O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ZAHIRIDDIN
MUHAMMAD BOBUR NOMLI ANDIJON DAVLAT
UNVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA
FAKULTETI IV-BOSQICH 4M4-GURUX TALABASI
KENJAYEVA OYDINNING
ANALITIK GEOMETRIYA FANIDAN
KURS ISHI
MAVZU : LEBEG-STILTES O’LCHOVI VA INTEGRALI
Ilmiy rahbari:
I.Zaynobiddinov
1
Reja
I.
Kirish
II. Asosiy qism
1. Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya
2. Lеbеg - Stiltеs o`lchоvi
3. Lеbеg - Stiltеs integrali
III. Xulosa
IV. Adabiyotlar
2
Matematika—hamma
aniq
fanlarga
asos.Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli ,
keng
tafakkurli
bo`lib
o`sadi,istalgan
sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi.
Sh.M.Mirziyoyev
KIRISH
Mamlakatimizda matematika
2020-yildagi ilm fanni rivojlantirishning
ustuvor yo`nalishlarning biri sifatida belgilandi. O`tgan davr ichida matematika ilm
fani va ta`limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli
ishlar amalga oshirildi.
2020-yil 7-may PQ-4708 ga asosan “2020-2023 –yillarda O`zbekiston
Respublikasida matematika fanlari bo`yicha ta`lim sifatini yaxshilash ,ilmiytadqiqotlarning natijadorligi va amaliy ahamiyatini oshrishning “ Maqsadli dasturi
ishlab chiqildi.
Oliy ta`lim va ilmiy tadqiqotlarning o`zaro integratsiyalashuvini ta`minlash
maqsadida Talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy
nomidagi Matematika insitutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi.
Kurs ishining mavzusining dolzarbligi:
Analitik geometriyaning ko`pgina masalalarini yechishda birinchi darajali
ko`p noma`lumli tenglamalar sistemasi bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi
Bunday sistemalarni yechish va umuman ularni tekshirish elementar
algebraning odatdagi yo`llari bilan ,mumkin bo`lsada ,lekin u yo`llar g`oyat
darajada uzun bo`lib noqulaydir.
Kurs ishining maqsadi:
Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali bilan yaqindan tanishish.
Kurs ishining vazifasi:
Lebeg-stiltes o’lchovi va integralini o`rganish.
3
Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya
Yuqorida Lebeg o`chovini qaraganimizda , a, b segmentning Lebeg
o`lchovi deb uning b  a  uzunligini aytgan edik. Lekin
a, b
segmentni va
uning qism to`plamlarini boshqacha usul bilan ham o`lchash mumkun.
Faraz qilaylik, a, b segmentda aniqlangan, chapdan uzluksiz va monoton
kamaymaydigan F  x 
segmentning,
a, b
va
funksiya berilgan bo`lsin. Bu funksiya orqali , a, b
a, b
yarim intervallarning hamda a, b
intervalning
o`lchovlarini mos ravishda quyidagicha aniqlaymiz:
m[a, b]  F (b  0)  F (a),
m[a, b)  F (b)  F (a),
(1)
m(a, b]  F (b  0)  F (a  0),
ma, b)  F (b)  F (a  0),
Endi
a, b
segment berilgan bo`lib, bu segmentning barcha
ko`rinishidagi yarim intervallaridan tashkil topgan segmentni
belgilaylik. H sistemaning yarim halqa tashkil etishi ravshan.
H
 ,  
orqali
(1) ga asosan har
qanday  ,    H uchun
m[ ,  )  F ( )  F ( ),
(2)
tenglikka ega bo`lamiz. H sistemada bu tenglik bilan aniqlangan m to`plam
funksiyasi o`lchovdir. Haqiqatan, har qanday
 ,    H
uchun m[ ,  )  0
ekanligi (2) tenglikka asosan F  x  funksiyaning monoton kamaymaydiganligidan
kelib chiqadi. Endi m to`plam funksiyasining additiv funksiya ekanligini
ko`rsatamiz.
Faraz qilaylik,
[ ,  )  [ ,  1 )  [ 1 ,  2 )  ...  [ n1 ,  n )  [ n ,  )
bo`lsin. U holda (2) ga asosan
m[a, b)  F (b)  F (a)  [ F (  )  F ( n )]  [ F ( n )  F ( n1 )]  ...  [ F ( 2 )  F ( 1 )] 
[ F ( 1 )  F (b)]  m[ n ,  )  m[ 2 ,  n )  ...  m[ 1 ,  2 )  m[ ,  1 )
4
tenglikka ega bo`lamiz. Demak, H sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan m
to`plam funksiyasi o`lchov ekan.
1 – ta`rif. Agar F  x  funksiya (2) segmentda aniqlangan chapdan uzluksiz
va monotom kamaymaydigan funksiya bo`lib,
H
sistema
a, b
segmentning
barcha [ ,   ko`rinishidagi yarim intervallar sistemasi bo`lsa, u holda H
sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan m to`plam funksiyasi
F funksiya orqali
hosil qilingan Stiltes o`lchovi deyiladi. F  x  funksiya Stiltes o`lchovini keltirib
chiqaruvchi funksiya deyiladi.
F x  va F x   cc  const  funksiyalar bir xil Stiltes o`lchovini keltirib
chiqaradi. Umuman, (2) o`lchovni keltirib chiqaradigan funksiyalarning umumiy
ko`rinishi F  x   c dan iborat. Haqiqatdan,
F x  , x  funksiyalar
o`lchovni keltirib chiqaradigan ixtiyoriy funksiyalar bo`lsin.
a, b
(2)
segmentdan
biror x0  [a, b] nuqtani tayinlab olib, ixtiyoriy x  [a, b] nuqtani olamiz. Agar
x0  x bo`lsa, u holda, (2) tenglikka asosan [ x0 , x) yarim interval uchun ( F  x  va
x  funksiyalar m o`lchovini keltirib chiqaradigan funksiyalar bo`lganligi
sababli)
m[ x0 , x)  F ( x)  F ( x0 )  Ф( x)  Ф( x0 )
bo`lib, bundan
Ф( x)  F ( x)  Ф( х0 )  F ( x0 )
tenglikka ega bo`lamiz. Shunga o`xshash agar x  x0 bo`lsa, yana
(2) tenglikdan
x, x0  yarim interval uchun
m[ x, x0 )  F ( x0 )  F ( x)  Ф( x0 )  Ф( x)
bo`lib, bundan yana
Ф( x)  F ( x)  Ф( х0 )  F ( x0 )
tenglikka kelamiz. x  [a, b] ixtiyoriy bo`lgani uchun bundan
Ф( x)  F ( x)  c
5
(3)
tenglik kelib chiqadi. Demak, har bir x  [a, b]
uchun m o`lchovni keltirib
chiqaradigan har qanday F (x) va Ф(х) funksiyalar orasida ushbu
Ф( x)  F ( x)  с
munosabat o`rinli bo`ladi.
1-teorema:
F (x)
funksiya [a, b] segmentda kamaymaydigan funksiya
bo`lib,
m[ ,  )  F (  )  F ( )
o`lchov
H
(4)
sistemada aniqlangan Stiltes o`lchovi bo`lsin.
(4) o`lchovning
  additiv o`lchov bo`lishi uchun F (x) funksiyaning [a, b] da
chapdan uzliksiz bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot: Zaruriyligi. (4) o`lchovning
funksiyaning
  additiv o`lchov deb , F (x)
chapdan uzluksiz ekanini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik,
F (x)
funksiyaning [a, b] ning biror nuqtasida chapdan uzluksiz bo`lmasin, ya`ni x 0
nuqtada F (x) funksiya uchun
F ( x0  0)  F ( x0 )
munosabat o`rinli bo`lsin, [a, b] dan shu x 0 nuqtaga o`sib intiladigan {xn }
ketma-ketlikni olamiz:
x1  x2  . . .  xn  . . .  x0 , xn  x0 , n  
F (x) funksiya kamaymaydigan funksiya bo`lganligi sababli
lim F ( xn )  F ( x0  0)
n
xn  x0
limit mavjud va farazimizga asosan
lim F ( xn )  F ( x0  0)  F ( x0 )
n 
xn  x0
munosabat o`rinli. (5) munosabatga asosan ushbu
[ x1, x2 )  [ x1, x3 )  . . .  [ x1, xn )  . . .
6
(5)
munosabatning o`rinli ekani ravshan. Bu munosabatdan va n   da
xn  x0
ekanligidan,
[ x1 , x0 ) 

[ x1 , xn )
n 1
tenglik kelib chiqadi. Bundan va m o`lchovning   additivligidan

m[ x1 , x0 )  m( [ x1 , xn ))  lim m[ x1 , xn )
n 
n 1
tenglikni olamiz. Natijada (4) tenglikka asosan ushbu
lim [ F ( xn )  F ( x1 )]  F ( x0 )  F ( x1 )
n 
yoki ushbu
lim F ( xn )  F ( x0 )
n 
tenglik hosil bo`ladi. Bu esa farazimizga zid. Demak,
F (x) funksiya chapdan
uzluksiz ekan.
Yetarliligi: F (x) funksiyani
[ a, b]
da chapdan uzluksiz deb, (4) tenglik
bilan aniqlangan m o`lchovning   additivligini ko`rsatamiz.
Faraz qilaylik,

[ ,  )   [ n ,  n ),[ k ,  k )  [ j ,  j )  SH, k  j
(6)
т 1
bo`lsin. U holda har qanday N son uchun ushbu

 [ n ,  n )  [ ,  )
т 1
munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan va m o`lchovning   additivlik hamda
monotonlik xossasidan

 m[
n 1
n
,  n )  m[ ,  )
Endi teskari tengsizlikni isbotlaymiz. (6) munosabatda   
(7)
bo`lsin, u
holda       munosabatni qanoatlantiruvchi   son hamma vaqt mavjud.
F (x) funksiya chapdan uzluksiz bo`lganligi sababli ixtiyoriy   0 son uchun har
7
bir n natural sonda  n   n munosabatni qanoatlantiruvchi shunday
 n va  n
sonlar topiladiki, ular uchun ushbu
F ( n )  F ( n ) 

2n
munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan
F (  n )  F ( n )  F (  n )  F ( n ) 

(8)
2n
tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda  n son (6) munosabatdagi [ n , n ) yarim
intervalni tashkil etuvchi son.  n , n va n sonlarning olinishiga asosan
[ n ,  n )  ( n ,  n ) munosabat o`rinli. Demak, [ ,  ) yarim intervalda joylashgan
[ ,  ] segment soni sanoqli ( n ,  n ) intervallar sistemasi bilan qoplanar ekan.
Borel-Lebeg teoremasiga asosan bu sistemadan [ ,  ] segmentni qoplaydigan
soni chekli {( n ,  n ) (k  1,2,..., r )} qism sistemani ajratib olish mumkun.
k
k
Agar soni chekli {( n ,  n ) } intervallar sistemasi [ ,  ] segmentni qoplasa, u
k
k
holda [ n ,  n ) yarim intervallar sistemasi ham shu segmentni qoplaydi, ya`ni
k
k
r
[ ,  ]  [ n k ,  nk ) .
k 1
Bundan quyidagi munosabat bevosita kelib chiqadi:
r
[ ,  )  [ nk ,  nk )
k 1
Bu munosabatdan hamda m o`lchovning additivlik va monotonlik xossasidan
ushbu
r
m[ ,  )   m[ nk ,  nk )
(9)
k 1
tengsizlikka ega bo`lamiz. (4) tenglikka asosan
m[ nk ,  nk )  F (  nk )  F ( nk )
tengliklar o`rinli bo`lgani uchun (9) munosabatdan ushbu
8
r
F (  )  F ( )  [F (  nk )  F ( nk )]
k 1
tengsizlik
kelib chiqadi. Bundan va F (x) funksiyaning
kamaymaydigan
ekanligidan ushbu

F (  )  F ( )  [F (  n )  F ( n )]
k 1
munosabatga ega bo`lamiz. Buning o`ng tamonidagi yig`indi ostidagi ifodaga (8)
tengsizlikni qo`llab ushbu

F (  )  F ( )  [F (  n )  F ( )]  
k 1
tengsizlikni olamiz, bu tengsizlik
      munosabatni qanoatlantiruvchi har
qanday   son uchun o`rinli bo`lganligi sababli
F (x) funksiyaning chapdan
uzluksizligiga asosan,     bo`lganda ham o`rinlidir, ya`ni

F (  )  F ( )  [F (  n )  F ( n )]  
k 1
bundan va   0 sonning ixtiyoriyligidan ushbu

F (  )  F ( )  [F (  n )  F ( n )]
k 1
tengsizlik kelib chiqadi.Bu munosabatdan (4) ga asosan
ushbu

m[ ,  )   m[ n  n )
n 1
tenglikka ega bo`lamiz. Bu va (7) tenglik teoremani isbotlaydi.
Shunday qilib, H yarim halqada
(4) tenglik bilan aniqlanadigan  
additiv m o`lchovga ega bo`ldik.
Bu o`lchovni
H sistemani o`z ichiga olgan
minimal Z (H ) halqaga davom
ettirib,   additiv  F o`lchovga ega bo`lamiz. Bu o`lchov F funksiyaga mos
bo`lgan Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi. F funksiya esa  F o`lchovni keltirib
chiqaruvchi funksiya deyiladi.
9
Lebeg-Stiltes o`lchovining uchta muhim xususiy holi bilan tanishib
chiqamiz.
1.
Faraz
qilaylik, F (x)
funksiya
20-ma`ruzada (1) tenglik
bilan
aniqlangan chapdan h(x) pog`onali funksiya bo`lsin. Bu funksiyaning uzilish
nuqtalarini
x1  x2  . . .  xn  . . .
bo`lib , shu nuqtalarga mos kelgan sakrash esa

h1  0, h2  0, ..., hn  0, ...( hk  )
k 1
sonlardan iborat bo`lsin. 1- ta`rifda F (x) sifatida h(x) funksiyani olamiz . U
holda h(x) funksiya keltirib chiqargan  o`lchov bo`yicha [a, b] oraliqning har
qanday
qismi
o`lchovli
bo`lib,
A  [a, b] to`plamning
 h o`lchovi
shu
to`plamga tegishli xi larga mos kelgan hi larning yig`indisiga teng, ya`ni
h ( A) 
h
xi  A
(10)
i
haqiqatan, Lebeg-Stiltes o`lchovining ta`rifidan ko`rinadiki , har bir xi nuqtaning
o`lchovi hi ga teng, ya`ni
 F ({xi })  hi

Agar D  {xi } bo`lsa , u holda
i 1
h ([a, b] \ D)  0
tenglik o`rinli . Demak  h o`lchovining tashuvchisi D ekan . Bundan va  h
o`lchovning   additivligidan har qanday
A  [a, b] uchun (10) tenglik kelib
chiqadi.
2-ta`rif: Biror
F
pog`onali monoton funksiya keltirib chiqargan  F
o`lchov diskret o`lchov deyiladi.
10
2. Faraz qilaylik, F
monoton
funksiya [a, b]
segmentda absolyut
uzluksiz bo`lib , uning hosilasi F ( x)  f ( x) bo`lsin. 22-ma`ruzadagi
teoremasiga
asosan
har bir
yarim
8- Lebeg
intervalda [ ,  )  [a, b] uchun
uning
o`lchovini

mF ([ ,  ))  F (  )  F ( )   f ( x)d

tenglik
orqali
yerda  o`lchov [ a, b] segmentdagi Lebeg
aniqlaymiz (bu
o`lchovi). U holda
elementlari [a, b] segmentning barcha [ ,  ) ko`rinishidagi yarim intervalidan
iborat bo`lgan H sistemada aniqlangan  additiv mF o`lchovga ega bo`lammiz.
mF o`lchov H sistemaning o`z ichiga olgan minimal minimal Z H  halqada
aniqlangan  additiv  F o`lchovgacha davom ettirilishi mumkin. Bu usulda
aniqlangan  F o`lchov har qanday A Z H  uchun
F  A   f x d
(11)
A
tenglik bilan aniqlanadi.
3-ta`rif: Agar  F va  o`lchovlar berilgan bo`lib,   A  0 bo`lgan har
qanday o`lchovli A to`plam uchun F  A  0 bo`lsa,  F o`lchovni absolyut
uzluksiz o`lchov deyiladi.
Lebeg integralining absalyut uzluksizligiga asosan (11) tenglikdan  F
o`lchovning  o`lchovga nisbatan absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.
3. Faraz qilaylik, F monoton singulyar funksiya bo`lsin. Ma`lumki, bunday
funksiya uzluksiz bo`lib, o`zgarishi chegaralangan va hosilasi deyarli nolga teng.
Bundan, F
singulyar funksiya keltirib chiqargan  F o`lchovning tashuvchisi
Lebeg o`lchovi nol bo`lgan to`plamdan iborat ekanligi kelib chiqadi.
4-ta`rif: Agar  F va

o`lchovlar berilgan bo`lib, har qanday bitta
nuqtali to`plamda F  0 bo`ladi, lekin shunday   A  0
to`plam bo`lsaki,
F (CA)  0
tenglik bajarilsa,  F ga
nisbatan singulyar o`lchov deyildi.
11
bo`lgan o`lchovli A

o`lchovga
Demak, biror F singulyar
funksiya
orqali keltirib chiqarilgan o`lchov
Lebeg o`lchoviga nisbatan singulyar o`lchov bo`lar ekan.
Agar F  F1  F2 bo`lsa,
mF [ ,  )  F    F    F1    F1   
 F2    F2    M F1 [ ,  )  mF2 ([ ,  ))
tenglikka asosan
F  F1  F .
2
Har qanday monoton funksiyani uchta funksiya – absalyut uzluksiz, pog`onali va
singulyar funksiyalarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkin. Bundan va (11)
tenglikdan har qanday Lebeg Stiltes o`lchovi absolyut uzluksiz, diskret va
singulyar o`lchovlarning yig`indisi sifatida ifoda etish mumkin, degan muhim
hulosa kelib chiqadi.
Agar f(x) funktsiyaning E to’plamdagi har xil qiymatlar soni sanoqli
to’plamdan ortiq bo’lmasa, u holda bunday f(x) funktsiya E to’plamda sodda
funktsiya deyiladi.
Agar Ek to’plam o’lchovli Ek va
𝐸𝑘 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑘 }
bo’lib
∑|𝐶𝑘 | 𝜇𝐸𝑘
𝑘
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda E to’plamda berilgan va o’lchovli bo’lgan f(x)
sodda funktsiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrllanuvchi deyiladi.
Agar E to’plamdagi f(x) sodda funktsiya integrallanuvchi bo’lsa, u holda
∑|𝐶𝑘 | 𝜇𝐸𝑘
𝑘
qator Lebeg integrali deyiladi va
12
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐸
deb belgilanadi.
Agar E to’plam deyarli hamma joyida f(x) funktsiyaga tekis yaqinlashuvchi
integrallanuvchi sodda {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u holda
o’lchovli va deyarli hamma joyda chekli bo’lgan f(x) funktsiya E to’plam bo’yicha
Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥
𝑛→∞
𝐸
E to’plam bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐸
deb belgilanadi.
1.
Asosiy teoremalar
1.Teorema. Faraz qilaylik f(x) sodda funktsiya
𝐸 = ∪𝑘
𝐸𝑘 , (𝐸𝑘 = {𝑥 ∈ 𝐸; 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑘 } < 𝐸𝑘 ∩ 𝐸𝑠 =, ks)
to’plamda berilgan bo’lsin. Agar Ek to’plamning har biri o’lchovli bo’lsa, u holda
f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
2.Teorema. O’lchovi nol bo’lgan to’plam bo’yicha ixtiyoriy f(x) funktsiyadan
olingan integral noga teng.
13
3.Teorema O’lchovi nol bo’lgan to’plamdagi integrallanuvchi funktsiyaning
o’zgarishi, uning integral qiymatini o’zgartirmaydi.
Teorema. (additivlik xossasi) Faraz qilaylik E to’plam Ak to’plamlarning
birlashmasi
sifatida
tasvirlangan
bo’lib
Ak
larning
ixtiyoriy
bir
jufti
kesishmaydigan bo’lsin va {Ak} to’plam soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasin.
Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) har bir A k
to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝜇 = ∑ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝜇
𝐸
𝐴𝑘
𝑘
shu bilan birga
∑ ∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝜇 < ∞
𝐴𝑘
𝑘
5.Teorema. Faraz qilaylik E to’plam Ak to’plamlarning birlashmasi sifatida
tasvirlangan bo’lib Ak larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {Ak}
to’plam sanoqli to’lamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya har bir Ak
to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va
∑ ∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝜇 < ∞
𝐴𝑘
𝑘
bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.
14
6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f(x) funktsiya E to’plamda
integrallanuvchi bo’lsa, u holda >0,  bo’lib ixtiyoriy eE (e<)
uchun
∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝜇 < 𝜀
𝑒
bo’ladi.
7.Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz qilaylik {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E
to’plamda f(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va E to’plamda
integrallanuvchi bo’lgan (x) uchun
|𝑓𝑛 (𝑥)| ≤ 𝜙(𝑥), ∀𝑛 ∈ 𝑁
tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U holda f(x) funktsiya E to’plamda
integrallanuvchi bo’ladi va
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇 = ∫(lim𝑓𝑛 (𝑥))𝑑𝜇
𝑛
𝑛
𝐸
𝐸
tenglik o’rinli bo’ladi.
8.Teorema. (B.Levi) Faraz qilaylik {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi quyidagi
shartlarni qanoatlantirsin:
1)
{fn(x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin;
2)
E to’plamda fn(x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lib
∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝐾 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 = {1,2,3, . . . }
𝐸
15
bo’lsin. U holda
lim 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑛→∞
mavjud va f(x) funktsiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇 = ∫ lim 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑛→∞
𝑛→∞
𝐸
Natija. Agar
𝐸
𝐸
manfiy bo’lmagan {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun E
to’plamda
∞
∑ ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇
𝐸𝑛
𝑛=1
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda
∞
∑ 𝑓𝑛 (𝑥)
𝑛=1
qator E to’plamda deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi bo’ladi va
∞
∞
∑ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇 = ∑ ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇
∫
𝑛=1
𝐸
𝑛=1
𝐸
tenglik bajariladi.
16
9.Teorema. (P.Fatu) Agar manfiy bo’lmagan {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E
to’plamda f(x) funktsiya deyarli yaqinlashuvchi bo’lib E to’plamda fn(x)
funktsiyalar integrallanuvchi bo’lsa va ixtiyoriy n natural son uchun
∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝜇 ≤ 𝐾, 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝐸
bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝜇 ≤ 𝐾
𝐸
bo’ladi.
10.Teorema.
[a,b]
kesmada
berilgan
f(x)
funktsiya
Riman
bo’yicha
integrallanuvchi bo’lishi uchun f(x) funktsiya chegaralangan va [a,b] kesmada
deyarli hamma joyda uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.
Lеbеg - stiltеs o`lchоvi
1.-masala. [-1,1] kesmada integrallanmaydigan sodda funktsiyani tuzing.
Echish. f(x) funktsiyani quyidagicha tuzamiz. Agar
1 1
1
1
𝑥 ∈ ([− , ] \ [−
,
]) , 𝑛 = 1,2,3, . ..
𝑛 𝑛
𝑛+1 𝑛+1
bo’lsa, f(x)n deb olamiz va x0 bo’lsa, f(x)0 deb olamiz. U xolda f(x) sodda va
o’lchovli funktsiyalardan iborat bo’ladi. Agar
1 1
1
1
En [− 𝑛 , 𝑛] \ [− 𝑛+1 , 𝑛+1]
17
bo’lsa, u holda En o’lchovi
2
En 𝑛(𝑛+1)
Endi
∞
∞
1
∑𝑛=1 𝑛(𝜇𝐸𝑛 ) = 2 ∑
𝑛=1 𝑛+1
=∞
bo’lgani uchun f(x) funktsiya [-1,1] kesmada integrallanuvchi emas.
2. Masala. Agar R va Qn-1 tuplam Kantor tuplamlari bulib
xn
2n  1
(kn,kn)G

k 1
bo’lganda
f(x)(kn-x)(x-kn)
bo’lsa va xP bo’lganda
f(x)0
bo’lsa, u holda
1

f(x)dx
0
integralni hisoblang.
Echish. Bunday berilgan f(x) funktsiya [0,1] kesmada uzluksiz. Shuning
uchun
[0,1] da
Lebeg ma’nosida va
integrallashuvchi. Teoremaga asosan
18
demak
Riman ma’nosida ham
1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑄 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, PQ [0,1]
𝑃
0
Endi P0 bo’lgani uchun 2.teoremaga ko’ra
∫𝑝 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
Bu tenglikni e’tiborga olib teoremaga asosan tenglikka quyidagini topamiz.
2𝑛−1
∞
1
𝛽𝑘𝑛
∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ ∑ ∫ (𝛼𝑘𝑛 − 𝑥)(𝛽𝑘𝑛 − 𝑥)𝑑𝑥 =
𝑛=1
0
𝛼𝑘𝑛
∫
𝑛=1
𝛥𝑛
∞
2𝑛−1
∞
1
2𝑘
= ∑∑∫ 𝑥 (
0
𝑛=1
𝑘=1
1
3𝑛
1
1
𝑛−1
−
𝑥)
𝑑𝑥
=
2
∫
𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 =
∑
(
3𝑛
3𝑛
0
𝑘=1
𝑛=1
∞
∞
2
1
2 𝑛
1
= ∑ 2𝑛+1 =
∑( ) =
3
12
27
150
𝑛−1
𝑛=1
𝑛=1
3. Masala. Faraz qilaylik  bo’lib, A to’plamning hamma joyida deyarli
f(x)>0 bo’lsin. Agar
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝐴
bo’lsa, u holda 0 ekanligi isbotlansin.
Echish. V to’plamni quyidagicha aniqlaymiz
19
B{x f(x)0}
U holda  ekanligi masala shartidan kelib chikadi. 3.Teoremani e’tiborga olsak
A to’plamda f(x)>0 deb qarashimiz mumkin.
Endi faraz qilaylik  bo’lsin. U holda F0 bo’lsa FA berk qism
to’plam mavjuddir va F to’plamda f(x) funktsiya uzluksiz bo’ladi (Luzin
teoremasiga qarang). F to’plamning ixtiyoriy x nuqtasi uchun f(x)>0 bo’lganidan
va f(x) funktsiya F to’plamda uzluksiz bo’lganidan f(x)C tengsizlik o’rinli
bo’ladigan S>0 son mavjud.
Endi
0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝜇 ≥ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝜇 ≥ 𝐶 ⋅ (𝜇𝐹) > 0
𝐴
𝐹
Bu qarama-qarshilik (ziddiyat) bizning farazimiz noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi.
Demak, 0
masala.
1
∫ 𝑥 𝑝−1 ln(1 − 𝑥 𝑞 )𝑑𝑥 , 𝑝 > 1, 𝑞 > 0
0
integralni hisoblang.
Echish. Ma’lumki, ln(1-xq) funktsiyani [0,1) oraliqda ushbu
∞
𝑥 𝑘𝑞
−∑
𝑘
𝑘=1
darajali qatorga yoyiladi. Bu qator [0,1) da tekis yaqinlashuvchidir. Demak qator
ln(1-xq) funktsiyaga [0,1) hamma joyida deyarli yaqinlashadi.
20
Endi
𝑛
𝑥 𝑘𝑞+𝑝−1
𝑓𝑛 (𝑥) = − ∑
𝑘
𝑘=1
deb faraz qilaylik. fn(x) funktsiyalar o’smaydigan ketma-ketlikni tashkil qiladi va
uning integrali
𝑛
𝑛
1
|∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 | = ∑
0
𝑘=1
𝑛
𝑛
1
1
1
1
1
1
1
= ∑
<
<
∑
∑
𝑝
𝑘(𝑘𝑞 + 𝑝) 𝑞
𝑘2 𝑞
𝑘2
𝑘(𝑘 + ) 𝑞
2
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
<∞
Bu esa {fn(x)} ketma-ketlikning 8.teorema shartlarini qanoatlantirishini ko’rsatadi.
Demak,
1
1
∞
∫ 𝑥 𝑝−1 ln(1 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = − ∑
𝑛→∞
0
0
5.masala. Ushbu
√𝑥sin𝑥
𝑥 + 100
funktsiya [0,) oraliqda:
a) Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi?
v) Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi?
Echish. Quyidagicha belgilash qilamiz.
21
𝑘=1
1
𝑘(𝑘𝑞 + 𝑝)
𝑓(𝑥) =
√𝑥
→ 𝑔(𝑥) = sin𝑥
𝑥 + 100
f(x) funktsiya x da monoton kamayuvchidir va f(x)0.
g(x) funktsiyaning [0,A] oraliqdagi boshlang’ich funktsiyasi tekis chegaralangan.
Shuning uchun [0,) da f(x)g(x) funktsiyaning Piman integrali mavjud (Dirixle
alomatiga asosan).
Lebeg ma’nosida f(x)g(x) va  f(x)g(x) funktsiyalar bir vaqtda yoki
integrallanuvchi yoki integrali mavjud emas. [0,)da f(x)g(x) funktsiyaning
integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham,agar f(x)g(x)integrallanuvchi bo’lsa, u holda sin2xsinx
(xR) ga asosan
1
1
𝑓(𝑥)sin2 𝑥 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)cos2𝑥
2
2
1
(sin2 𝑥 = (1 − cos2𝑥))
2
funktsiya ham integrallanuvchi bo’ladi.
Demak [0,) da f(x) va f(x)cos2x funktsiyalar integrallanuvchi.
Lekin
∞
∫
0
𝑑𝑡
𝜋
=
𝑎
𝑡 2 + 𝑎2 2
bo’lgani uchun
22
∞
∞
∞
∞
2
𝑡2
√𝑥
𝑥
=
𝑡
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 = |
| = 2∫ 2
𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 − 10𝜋
𝑥 + 100
𝑡 + 100
𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡
∫
0
0
0
0
=∞
bu oxirgi qarama-qarshilik (ziddiyat) f(x)g(x) funktsiyaning [0,) da
integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatadi.
Demak, bu funktsiyaning Lebeg integrali mavjud emas.
6.masala. f(x) funktsiyaning ixtiyoriy [] da ([(a,b)) Riman integrali
mavjud. Bu funktsiyaning [a,b] kesmada integrali mavjudmi?
Echish. Yuqoridagi 10. teoremaga asosan f(x) funktsiya chegaralangan va
[a,b] ning deyarli hamma joyida uzluksiz bo’lishi kerak.
Ixtiyoriy (a,b) kesmada f(x) funktsiya integrallanuvchi bo’lganligidan
f(x) funktsiya (a,b) intervalda deyarli hamma joyda uzluksizligi kelib chiqadi. U
holda [a,b] kesmaning hamma joyida deyarli uzluksiz. Lekin ixtiyoriy (a,b)
kesmada f(x)ning chegaralanganligidan [a,b] kesmada chegaralnganligi kelib
chiqadi. Haqiqatan ham, agar f ( x) 
1
bo’lsa, u holda f(x) funktsiya [a,b]
xa
kesmada chegaralanmagan, lekin ixtiyoriy (a,b)da funktsiya chegarlangan.
Demak, f(x) funktsiyaning [a,b] kesmada Riman integrali mavjud
bo’lmasligi mumkin.
7.masala. Agar
𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥𝑒 −𝑛𝑥
2
bo’lsa
1
1
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ lim𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 1,2, . . .
𝑛
𝑛
0
0
23
tenglik o’rinli bo’ladimi?
Echish. {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi [0,1] kesmada nolga yaqinlashadi.
Demak, {fn(x)} ketma-ketlik n o’lchov bo’yicha nolga yaqinlashadi. Bu esa
Lebeg teoremasining (7.teorema) birinchi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Endi
1
1
1
1
1
2
∫ 𝑛𝑥𝑒 −𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛 ∫ 𝑒 −𝑛𝑡 𝑑𝑡 = (1 − 𝑒 −𝑛 ) → , 𝑛 → ∞
2
2
2
0
0
bo’lgani uchun Lebeg teoremasining ikkinchi sharti bajarilmasligini ko’ramiz.
Shunday qilib {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun integrallanuvchi
mojaronta (taqqoslanuvchi) funktsiya mavjud emasligini tasdiqlaymiz.
Demak, berilgan funktsiya uchun
1
1
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 ≠ ∫(lim𝑓𝑛 (𝑥))𝑑𝑥
𝑛
0
0
8.masala. Agar
𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛𝛼 𝑥(1 − 𝑥)𝑛
bo’lsa, u holda  ning qanday qiymatlarida
1
1
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫(lim𝑓𝑛 (𝑥))𝑑𝑥
0
0
tenglik o’rinli bo’ladi?
Echish. Ixtiyoriy n{1,2,…} uchun
24
𝑓𝑛 (0) = 𝑓𝑛 (1) = 0
Bu esa n da x0, x1 nuqtalarda fn(x)0 ekanligini ko’rsatadi. Agar 0<x<1
bo’lsa, u holda 0<1-x va
𝑛𝛼 (1 − 𝜃)𝜃 𝑛 = 𝑛𝛼 𝜃 𝑛 − 𝑛𝛼 𝜃 𝑛+1
Ixtiyoriy R(-) uchun n da nn0 bo’lganidan n da [0,1]
kesmada fn(x) R.
Shuning uchun R bo’lib n da
1
∫(lim𝑓𝑛 (𝑥))𝑑𝑥 → 0
0
Ikkinchi tomondan
1
1
1
𝑛𝛼
∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑛 ∫ 𝑥(1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑛 ∫(1 − 𝑥)𝑥 𝑑𝑥 =
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
𝛼
0
𝑛
𝛼
0
𝑛
0
Bu oxirgi tenglik  bo’lganda
1
lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = 0, 𝑛 → ∞
𝑛
0
tenglikni keltirib chiqaradi.
Demak, berilgan funktsiya uchun ko’rsatilgan tenglik  hamma qyimatlar
uchun bajariladi.
25
9. Masala.
[0,1] kesmada quyidagi shartni qanoatlantiruvchi
{f n(x)}
integrallanuvchi funktsiyalar ketma-ketligini tuzing:
1)
n da fn(x) f(x) deyarli hamma joyda
2)
f(x) funktsiya [0,1] da integrallanuvchi
3)
lim ∫0 |𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 ≠ 0
1
𝑛
Echish. {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligini quyidagicha tuzamiz:
n2, 0x<
1
n
fn(x)
0,
1
x1
n
[0,1] kesmada deyarli, n da fn(x) 0 ekanligi ko’rinib turibdi va shu bilan
birga
1
∫(lim𝑓𝑛 (𝑥))𝑑𝑥 = 0
0
Bu esa 1) va 2) shart bajarilishini ko’rsatadi. Lekin
1
𝑛
1
lim ∫|𝑓𝑛 (𝑥)|𝑑𝑥 = lim 𝑛2 ∫ 𝑑𝑥 = ∞ ≠ 0
𝑛→∞
𝑛→∞
0
0
Bu 3) shart bajarilishini ko’rsatadi.
10.- Masala. Agar
lnx , 0x
26
1
n
fn(x)
cos2x ,
bo’lsa, u holda
1
x1
n
[0,1] kesmada {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligining limit
funktsiyasi integrallanuvchi bo’ladimi?
Echish. Xar qanday x0 uchun
1
 x bo’ladigan n0n0(x) son topiladi. Bu
n0
esa nn0 bulganda ixtiyoriy x0 uchun fn(x)cos2x, ya’ni n da ixtiyoriy
bo’lsa,
u
holda
x0 uchun fn(x)cos2x munosabatni bildiradi.
Agar
ixtiyoriy n (nN) uchun fn(x).
n da deyarli hamma joyda
Demak
x0
fn(x)sos2x va bu limit funktsiya [0,1] da integrallanuvchidir.
Endi chegaralanmagan funktsiyaning Lebeg integraliga doir masalalarni
ko’raylik.
Avvalo chegaralanmagan funktsiyaning Lebeg integrali tushunchasini
eslaylik.
Faraz qilalylik f(x)0 funktsiya bo’lsin va [f(x)]n esa quyidagicha aniqlansin.
𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) ≤ 𝑛
[𝑓(𝑥)]𝑛 = {
𝑛, 𝑓(𝑥) > 𝑛
Bu {f(x)}nfunktsiya chegaralangan va o’lchovli. Demak u integrallanuvchi.
Endi f(x) funktsiyadan E to’plam bo’yicha olingan integralni [f(x)]n
funktsiya integralining limiti sifatida aniqlaylik (limit mavjud bo’lgan holda), ya’ni
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫[𝑓(𝑥)]𝑛 𝑑𝑥
𝑛→∞
Е
𝐸
11.-masala Ushbu
1
∫ 𝑥 −𝛼 𝑑𝑥
0
27
integral -ning qanday qiymatlarida mavjud?
Echish. Bizda a(ch)ch- berilgan. Shuning uchun
1
𝑥 −𝛼 , 𝑥 ∈ [𝑛−𝛼 , 1]
{𝑓(𝑥)}𝑛 =
1
{
𝑛, 𝑥 ∈ [0, 𝑛−𝛼 )
deb olamiz.
Endi Lebeg bo’yicha integral quyidagicha
1
−
𝑛 𝛼
1
∫ 𝑥 −𝛼 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
0
1
∫ 𝑛𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 −𝛼 𝑑𝑥 =
1
{0
−
𝑛 𝛼
bunda 0<<1; agar 1 bo’lsa integral mavjud emas.
Demak, berilgan integral 0<<1 da mavjud.
28
}
1
,
1−𝛼
XULOSA
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida birinchi bo`lib shu mavzuga doir
adabiyot va manbalar to`pladim. Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali bilan tanishib
chiqdim. Mavzu Analitik geometriya fani bilan bog`liq. Kurs ishi kirish, asosiy
qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qismlaridan iborat.
Kirish qismi hozirgi ta`limga hamda matemetika faniga bo`layotgan e`tibor ,
ularni rivojlantirishga qaratilayotgan chora tadbir,qonun va farmonlar haqidagi
ma`lumotlardan iborat.Hozirgi kunda yurtimizda matematika fani taraqqqiyotiga
juda katta e`tibor berilmoqda. Jumladan, Oliy ta`lim va ilmiy tadqiqotlarning
o`zaro integratsiyalashuvini ta`minlash maqsadida Talabalar shaharchasida Fanlar
akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika insitutining yangi va
zamonaviy binosi barpo etildi va foydalanishga topshirildi.bugungi kunga kelib
institut O`zbekistonda matematika sohasida olib borilayotgan tadqiqotlarni
muvofiqlashtiruvchi respublika uchun yuqori malakali kadrlarni tayyorlash
bo`yicha katta ishlarni amalga oshirayotgan markaz bo`lib shakllangan. Bundan
tashqari prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev “Raqamli iqtisodiyotni rivojlantirishda”
matematika fanining o`rni katta ekanligini alohida ta`kidlab o`tdi.
Kurs ishining asosiy qismida Lebeg-stiltes o’lchovi va integralini kengroq,
chuqurroq misollar yordamida tushuntirib berishga harakat qildim.
29
ADABIYOTLAR.
1. T.A.Sarimsoqov Haqiqiy o’zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi,
«O’zbekiston» T. 1993 y.-340 b.
2. T.A.Sarimsoqov Funktsional analiz kursi, «O’qituvchi» T., 1986 y.-400
b.
3. V.K.Qobulov Funktsional analiz va hisoblash matematikasi,
«O’qituvchi», T., 1976 y. –436 b.
4. A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin Elemento’ teorii funktsiy i
funktsionalnogo analiza, M.: «Nauka», 1989 g. –624 s.
5. A.A.Kirillov, A.D.Gvishiani Teoremo’ i zadachi funktsionalnogo
analiza, M.: «Nauka», 1979 g.-381 s.
6. Funktsional analiz ma’ruza matnlari I, II – qism. Tuzuvchi
G.G’aymnazarov, Guliston «GulDU» 2000 y. -83 b.
7. G.I.Arxipov, V.A.Sadovnichiy, V.I.Chubarikov Lektsii po
matematicheskomu analizu, M.: «Vo’sshaya shkola» 1999 g. 523 s.
8. Sh.A.Ayupov, M.A.Berdiqulov, R.M.Turg’unboev Funktsiyalar
nazariyasi (funktsiyalar nazariyasi va funktsional analiz kursiga kirish)
«O’AJBNT» Markazi, T. 2004 y. – 148 b.
9. www.ziyonet.uz
10.www.nur.uz
30