8-Ma’ruza
Maktab matematika kursida funksiyalar haqidagi ta’limot
Reja:
1. Funksiya tushunchasini kiritishga turlicha yondashishlar.
2. Umumiy o’rta ta’lim maktabi algebra kursida elementar funksiyalarni
o’rganish uslubiyoti.
3. Umumiy o’rta ta’lim maktabi algebra va analiz asoslari kursida
elementar funksiyalarni o’rganish uslubiyoti.
1.Funksiya tushunchasini kiritishga turlicha yondashishlar.
Umumiy o‘rta ta’lim maktabi VII-IX algerba kursida va X-XI sinflar algebra
va analiz asoslari kursida boshqa o‘quv materiallari bilan bir qatorda elementar
funksiyalar, ularning xossalari va grafiklarini yasash o‘rganiladi. Elementar
funksiyalarning eng soddalari va shu bilan birga eng muhimlari – bu chiziqli,
darajali, ko‘rsatkichli, logarifmik, kosinus, sinus, arkkosinus, arksinus
funksiyalardir. Shuning uchun bu funksiyalarni bazis elementar funksiyalar deyiladi.
Funksiya tushunchasi- to’plam, son tushunchalari kabi matematikaning
fundamental tushunchalaridan biridir.
Matematika fani rivojlanishinig turli bosqichlarida funksiya tushunchasiga
turlicha ta’rif berilgan. Hozirgi paytda funksiya tushunchasini kiritishning turli
usullari mavjud.
Maktab matematika kursida funksiya tushunchasini kiritish uslubiyotida
ikkita yo’nalish mavjud:
1.Funksiya tushunchasini munosabat (moslik) asosida kiritish.
2.Funksiya tushunchasini an’anaviy: erkli va erksiz o’zgaruvchilar asosida
kiritish (genetik usul).
Funksiya tushunchasi munosabat (moslik) yordamida kiritilganda
quyidagicha ta’riflanadi: Bir to’plamning har bir elementiga ikkinchi to’plamning
bittadan ortiq bo’lmagan elementi mos kelgan holda, ikki to’plam elementlari
orasidagi munosabat funksiya deyiladi.
Shunday qilib bu usulda ta’riflashda funksiya funksionallik shartini
bajaruvchi ikki to’plam orasidagi munosabat (moslik) ko’rinishida qaraladi. Bunda
funksiya strelkalar, juftlar, orqali beriladi. Tushunchaning umumiyligi va undan
kelib chiquvchi turli aloqalarni o’rnatish imkoniyatlari kengligi bunday usulda
ta’riflashning asosiy ustunligidir.
Funksiya tushunchasi bu usulda kiritilgandan so’ng, agar berilgan munosabat
funksiya bo’lsa, uning aniqlanish sohasi funksianing aniqlanish sohasi,
133
munosabatning qiymatlar soxasi esa, funksiyaning qiymatlar soxasi deb atalishi
ko’rsatiladi. Bu holda berilgan funksiyaga teskari funksiya tushunchasi teskari
moslik orqali kiritiladi.
Funksiya tushunchasini bu usulda ta’riflab kiritish to’plamlarni akslantirishga
asoslangan bo’lsada, lekin matematik ta’limni amalga oshirishda funksiya
tushunchasini o‘rganish keyinchalik asosan sonli argumentning sonli funksiyasini
o’rganish bilan bog’lanib qoladi. Shuning uchun ham konkret sonli funksiyalarni
o’rganish (chiziqli, kvadratik, logarifmik va boshqalar) xuddi an’anaviy usulda
(erkli va erksiz o’zgaruvchi) qanday o’rganilgan bo’lsa, xuddi shunday amalga
oshiriladi.
Ana’anaviy usulda (erkli va erksiz o‘zgaruvchilar asosida) (funksiya
tushunchasiga) quyidagicha ta’rif beriladi: x o’zgaruvchining xar bir qiymatiga y
o’zgaruvchining yagona qiymati mos kelsa, bu holda y o’zgaruvchining x
o’zgaruvchida bog’liqligi funksiya deyiladi.
x o’zgaruvchi erkli o’zgaruvchi yoki argument deyiladi, y o’zgaruvchi esa,
erksiz o’zgaruvchi deyiladi, yoki x o’zgaruvchining funksiyasi deyiladi.
Bugungi kunda umumiy o‘rta ta’lim maktabi algebra kursida (8-sinf) funksiya
tushunchasiga quyidagicha ta’rif beriladi:
Agar biror sonlar to‘plamidan olingan x ning bir qiymatiga biror qoida
bo‘yicha y son mos qilib qo‘yilgan bo‘lsa, u holda shu to‘plamda funksiya
aniqlangan deyiladi.
y miqdorning x miqdorga bog‘liqligini ta’kidlash uchun ko‘pincha y(x) deb
yoziladi (o‘qiladi: “igrek iksdan”). Bunda x – erkli o‘zgaruvchi, y(x) esa erksiz
o‘zgaruvchi yoki funksiya deyiladi.
So‘ngra: 1) funksiyani formula bilan berilishi;
2) jadval bilan berilishi;
3) grafik usulda berilish usullari bilan tanishtiriladi.
Matematik ta’limni amalga oshirishda funksiya tushunchasining quyidagi
komponentlarni ajratilishi va ular orasidagi bog‘lanishlar o’rnatilishi kerak:
1)
real jarayonlarda va matematikada o’zgaruvchi miqdorlarning
funksional bog’lanishi haqida tasavvur;
2)
funksiya moslik (munosabat) ekanligi xaqida tasavvur;
3)
funksiyalar grafiklarini yasash va ulardan foydalanish, funksiyalarni
tadqiq etish;
4)
funksiyalarning qiymatlarini hisoblash.
Funksiya tushunchasini o‘rganish uzoq davom etadigan jarayon bo‘lib, u
quyidagi uchta yo’nalishda olib boriladi:
134
1)
funksiya haqidagi tasavvurlarni tartiblash; funksional yo‘nalishga
xarakterli bo‘lgan tushunchalar sistemasini: funksiyaning berilish usullari va
umumiy xossalari, aniqlanish sohasini, qiymatlar to‘plami, o‘sish, kamayish va
xokazolarni koordinatalar tekisligida chizmada talqin qilish;
2)
ayrim funksiyalar va ularning sinflarini chuqurroq o’rganish;
3)
funksional bog‘lanishlarga tayangan holda algebraning qo’llanish
sohalarini kengaytirish.
Birinchi yo’nalishni amalga oshirishda funksiya tushunchasiga kiruvchi
argumentning va funksiyaning unga mos qiymati bir qiymatli aniqlanishni tarkib
toptirilishga katta ahamiyat beriladi. Buni amalga oshirish uchun funksiyalarni turli
xil usulda berilishidan keng foydalaniladi.
Ma’lumki matematikada ko’p hollarda funksiya formula bilan beriladi.
Shuning uchun ham matematik ta’limni amalga oshirishda funksiya berilishining
uchta usuli bilan o‘quvchilar tanishtirilgach, asosiy e’tibor formula bilan
ifodalanadigan funksiyalarni o‘rganishga qaratiladi.
Funksional yo‘nalish bilan sonli sistemalarning bog‘liqligini o’rnatish
funksiyaning qiymatini formula asosida hisoblashlarni amalga oshirishdan
boshlanadi. Bunda o‘quvchilar ongiga agar biror funksiya M to‘plamda aniqlangan
bo‘lsa, u holda ixtiyoriy x M uchun f (x) ning mos qiymatini doimo topish
mumkin degan fikrni singdirish muximdir. Bu bog‘liqlikni yanada kuchaytirish
uchun erkli o‘zgaruvchining qiymatlari sifatida turli sonli to‘plamlarga tegishli
bo‘lgan qiymatlarni olish maqsadga muvofiqdir.
Misol. Funksiya f ( x)  x 2 
0,14;
1
formula bilan berilgan. Uning qiymatini x=5;
x
3
bo‘lganda toping.
4
(argument qiymati butun, o‘nli kasr, oddiy kasrdan iboratdir)
Umumiy o‘rta ta’lim maktabi, AL lar matematika kursida o‘rganiladigan
funksiyalar ularning analitik usulda berilish usullari, va demak, grafiklari
o‘xshashligi, qo‘llanish sohalari bo‘yicha sinflar tashkil etadi. Funksiyalarni
o‘rganishning dastlabki bosqichlarida bunga e’tibor berilmasada (chunki har bir
konkret funksiyaning konkret xossalari o‘rganiladi), keyingi bosqichlarda bunga
katta e’tibor berish boshlanadi.
2. Umumiy o‘rta ta’lim maktabi algebra kursida funksiyalarni
o‘rganish uslubiyoti.
Matematik ta’limni amalga oshirishda elementar funksiyalarni o’rganishni
ikkita katta bosqichini ko’rsatish mumkin:
135
1. O’rta umumta’lim maktabi, 8-9 sinflari matematika kursida elementar
funksiyalarni o’rganish. Bunda elementar funksiyalarni o’rganish uslubiyotining
asosiy hususiyati shundan iboratki, bunda o’rganilayotgan funksiyaning grafiklari
oldin yasalib, funksiyaning xossalari asosan ana shu grafiklarga tayanib keltirib
chiqariladi.
2. O’rta umumta’lim maktabi X-XI sinflari, akademik litseylar algebra va
analiz asoslari kursida elementar funksiyalarni o’rganish. Akademik litseylarda esa
o’quvchilarning matematik tafakkur qilish qobiliyatlari rivojlangani uchun, oldin
o’rganilayotgan funksiyalarning asosiy xossalari keltirib chiqarilib, so’ngra ularga
tayangan holda uning grafigi yasaladi.
O’rta umumta’lim maktabi algebra kursida konkret funksiyalarni o’rganishni
quyidagi uslubiy sxemada olib borish maqsadga muvofiqdir:
1.
O’rganilayotgan funksiyaga olib keladigan konkret holatlarni
(masalalarni) ko’rish.
2.
Bu funksiyani formula shaklida ifodalash, formulaga kiruvchi
parametrlarni tekshirish.
3.
O’quvchilarni bu funksiya grafigi bilan tanishtirish.
4.
Funksiyaning asosiy xossalarini tekshirish.
5.
Funksiyaning o’rganilgan xossalarini turli masalalarini echishda,
hususan tenglama va tengsizliklarni yechishda qo’llash.
1. Misol tariqasida darslikda (algebra, 8-sinf) y  kx funksiya va uning grafigini
o‘rganishga doir o‘quv materialini yoritishni ko‘rib o‘taylik.
Dastlab bu funksiyaga olib keladigan quyidagi masala ko‘riladi:
Asosi 3 ga, balandligi esa x ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini
hisoblaymiz. Agar izlanayotgan yuzni y harfi bilan belgilansa, u holda javobni
y  3x formula bilan yozish mumkin.
Agar to‘g‘ri to‘rtburchakning asosi k ga teng bo‘lsa, u holda x balandlik bilan
y yuz orasidagi bog‘liqlik y  kx formula bilan ifoda qilinadi. k sonning har bir
qiymati biror y  kx (1) funksiyani aniqlaydi. Endi y  kx funksiyaning grafigini
yasaymiz. k  2 bo‘lsin, deylik. U holda funksiya bunday ko‘rinishga ega bo‘ladi:
y  2 x (2). x ga turli qiymatlar berilib, (2) formula bo‘yicha y mos qiymatlarini
hisoblaymiz.
Masalan, x  2 ni olib, y  4 ni hosil qilamiz. Koordinatalari (2;4) bo‘lgan
nuqtani yasaymiz. Agar x  0 bo‘lsa, u holda y  2  0  0 ; agar x  3 bo‘lsa, u holda
y  2  (3)  6 ; agar x  0,5 bo‘lsa, u holda y  2  0,5  1 bo‘ladi va hokazo. Jadval
tuzamiz:
136
X
y
2
4
0
0
-3
-6
0,5
1
Topilgan koordinata bo‘yicha to’g’ri chiziqni yasaymiz. Chiziqni qo‘yib,
barcha topilgan nuqtalar koordinatalari boshidan o‘tuvchi bir to‘g‘ri chiziqda
yotishiga ishonch hosil qilish mumkin. shu to‘g‘ri chiziq y  2 x funksiyaning grafigi
bo‘ladi.
Koordinatalari (x; y ) bo‘lgan nuqta faqat y  2 x tenglik to‘g‘ri bo‘lgan
holdagina shu to‘g‘ri chiziqda yotadi. Masalan, (-1;-2) koordinatali nuqta bu to‘g‘ri
chiziqda yotadi, chunki (-2)=2∙(-1) to‘g‘ri tenglik.
y  kx funksiyaning grafigi k ning istalgan qiymatida koordinatalar boshidan
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.
Geometriya kursidan ma’lumki, ikki nuqta orqali birgina to‘g‘ri chiziq o‘tadi,
shu sababli y  kx funksiyaning grafigini yasash uchun grafikning ikkita nuqtasini
yasash yetarli, so‘ngra esa shu nuqtalar orqali chizg‘ich yordamida to‘g‘ri chiziq
o‘tkaziladi.
Koordinatalar boshi y  kx funksiyaning grafigiga tegishli bo‘lgani sababli bu
grafikni yasash uchun uning yana bir nuqtasini topish yetarli.
x bilan y orasidagi y  kx (bu yerda k  0 ) formula bilan ifodalangan
bog‘lanish odatda to‘g‘ri proporsional bog‘lanish, k son esa proporsionallik
koeffitsenti deyiladi.
Bu bosqichda funksiyani o’rganishning yana bir hususiyati shundan iboratki,
funksiya tushunchasini kiritishda juda ko’p ma’lumotlar berilgan bo’lsa ham konkret
funksiyalarni o’rganishda material ancha sodda bo’lib, bu materiallar turli boblarda
joylashganligidadir.
O’quvchilarda 𝑦 = 𝑘𝑥 funksiya haqida tushuncha hosil qilingan “ chiziqli
funksiya va uning grafigi” mavzusi o’rganiladi.
Chiziqli funksiya deb, 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi, bu
yerda k va b- berilgan sonlar. b=0 bo’lganda chiziqli funksiya 𝑦 = 𝑘𝑥 ko’rinishga
ega bo’ladi va uning grafigi koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’ladi.
Bu dalilga asoslanib, 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 chiziqli funksiyaning grafigi to’g’ri chiziq
bo’lishini ko’rsatish mumkin. Ikki nuqta orqali birgina to’g’ri chiziq o’tganligi
sababli 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 funksiyaning grafigini yasash uchun shu grafikning ikkita
nuqtasini yasash yetarli.
Bir necha masalalar ko’rib, ularga asoslanib, umuman 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
funksiyaning grafigi 𝑦 = 𝑘𝑥 funksiya grafigini ordinatalar o’qi bo’ylab, b birlikka
137
siljitish yo’li bilan hosil qilinadi. 𝑦 = 𝑘𝑥
va 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 funksiyalarning
grafiklari parallel to’g’ri chiziqlar bo’ladi deb xulosa keltirib chiqariladi.
Umumiy o‘rta ta’lim maktabi algebra kursida – kvadrat funksiyalarni
o’rganish usullari. Darslik bo‘yicha kvadrat funksiyani o‘rganish ketma-ketligi
quyidagicha belgilangan:
- y  x 2 funksiyaning o‘rganish;
- y  ax 2 funksiyani o‘rganish;
- y  ax 2  bx  c funksiyani o‘rganiladi.
y  x 2 funksiyani, ya’ni a  1 , b  c  0 bo‘lganda y  ax 2  bx  c kvadrat
funksiyaning xususiy holini o‘rganish uchun dastlab, uning grafigi yasaladi.
Grafikni yasash uchun uning qiymatlari jadvalini tuziladi.
x
yx
2
-4
16
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
Jadvalda ko‘rsatilgan nuqtalarni to‘g‘ri
burchakli koordinatalar sistemasida yasab va ularni
silliq egri chiziq bilan tutashtirib, y  x 2 funksiyaning
grafigini hosil qilinib, y  x 2 funksiyaning grafigi
bo‘lgan egri
chiziq parabola deyilishi haqida
o‘quvchilarga tushuncha berilib, so’ngra grafikga
tayangan holda uning quyidagi xossalari yoritiladi.
1) y  x 2 funksiyaning qiymati x  0 bo‘lganda
musbat va x  0 bo‘lganda nolga teng. Demak, y  x 2
parabola koordinatalar boshidan o‘tadi, parabolaning
qolgan nuqtalari esa abssissalar o‘qidan yuqorida
2
yotadi. y  x parabola o‘qiga (0;0) nuqtada urinadi, deyiladi.
2) y  x 2 funksiyaning grafigi ordinatalar o‘qiga nisbatan simmetrik, chunki
( x) 2  x 2 . Masalan y (3)  y (3)  9 . Shunday qilib ordinatalar o‘qi parabolaning
simmetriya o‘qi bo‘ladi. Parabolaning o‘z simmetriya o‘qi bilan kesishish nuqtasi
parabolaning uchi deyiladi. y  x 2 parabola uchi koordinatalar boshi uning uchi
bo‘ladi.
3) x  0 bo‘lganda x ning katta qiymatiga y ning katta qiymati mos keladi.
Masalan, y(3)  y(2) . y  x 2 funksiya x  0 oraliqda o‘suvchi deyiladi.
138
x  0 bo‘lganda x ning katta qiymatiga y ning kichik qiymati mos keladi.
Masalan, y (2)  y (4) . y  x 2 funksiya x  0 oraliqda kamayuvchi deyiladi.
y  ax 2 funksiyaning hossalari va grafigini yasashni o‘rganish uchun, dastlab
konkret
y  2x 2 , y 
1 2
x , y  x2
2
funksiyalar grafiklarini nuqtalar bo‘yicha
yasalib, grafiklarga tayangan holda ularning xossalari keltirib chiqarilgandan so‘ng,
ular umumlashtirib quyidagi xulosa qilinadi:
y  ax 2 funksiyaning grafigi istalgan a  0 da ham parabola deb ataladi. a  0
da parabolaning tarmoqlari yuqoriga, a  0 da esa pastga yo‘nalgan bo‘ladi.
Yuqoridagi misollarga tayangan holda y  ax 2 ( a  0 ) asosiy xossalari keltirib
chiqariladi:
1)
agar a  0 bo‘lsa, u holda y  ax 2 funksiya x  0 bo‘lganda musbat
qiymatlar qabul qiladi;
agar 𝑎 < 0 bo‘lsa, u holda y  ax 2 funksiya x  0 bo‘lganda manfiy qiymatlar
qabul qiladi;
y  ax 2 funksiyaning qiymati faqat x  0 bo‘lgandagina 0 ga teng bo‘ladi;
2) y  ax 2 parabola ordinatalar o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi;
3) agar a  0 bo‘lsa, u holda y  ax 2 funksiya x  0 bo‘lganda o‘sadi va x  0
bo‘lganda kamayadi;
agar a  0 bo‘lsa, u holda y  ax 2 funksiya x  0 bo‘lganda kamayadi va x  0
bo‘lganda o‘sadi.
139
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 funksiya grafigi va xossalarini o‘rganish uchun dastlab,
konkret y  x 2  2 x  3 funksiyaning grafigi nuqtalar bo‘yicha yasalib, uni y  x 2
funksiya grafigi bilan taqqoslanadi. Grafiklarni taqqoslash uchun to‘la kvadratni
ajratish usulidan foydalanib y  x 2  2 x  3  x 2  2 x  1  2  ( x  1) 2  2 ko‘rinishda
yozib olinib; dastlab y  x 2 va y  ( x  1) 2 funksiyani grafiklari taqqoslanadi, so‘ngra
y  ( x  1) 2 va y  ( x  1) 2  2 funksiyalar grafiklari taqqoslanadi.
Taqqoslash natijasida quyidagi xulosalar keltirib chiqariladi.
y  a ( x  x0 ) 2  y 0 funksiyaningn grafigi y  ax 2 parabolani:
agar x0  0 bo‘lsa, abssissalar o‘qi bo‘yicha o‘ngga x 0 ga, agar x0  0 bo‘lsa,
chapga | x0 | ga siljitish;
agar y0  0 bo‘lsa, ordinatalar o‘qi bo‘ylab yuqoriga y 0 ga, agar y0  0 bo‘lsa,
pastga | y0 | ga siljitish yo‘li bilan hosil qilinadigan parabola bo‘ladi.
Istalgan
yordamida
y  ax 2  bx  c kvadrat
funksiyani unda to‘la kvadratni ajratish
140
y  a (x 
ya’ni
b 2 b 2  4ac
) 
,
2a
4a
y  a( x  x0 ) 2  y 0
x0  
kabi ko‘rinishda yozish mumkin, bunda
 (b 2  4ac)
b
.
, y0  y ( x0 ) 
2a
4a
Shunday qilib
y  ax 2  bx  c funksiyaning grafigi y  ax 2 parabolani
koordinatalar o‘qlari bo‘ylab siljitishlar natijasida hosil bo‘ladigan parabola bo‘ladi.
y  ax 2  bx  c tenglik parabolaning tenglamasi deyiladi. y  ax 2  bx  c parabola
uchining ( x0 ; y 0 ) koordinatalarini quyidagi formula bo‘yicha topish mumkin.
x0  
b
2
, y0  y( x0 )  ax0  bx0  c
2a
parabolaning simmetriya o‘qi ordinatalar o‘qiga parallel va
parabolaning uchidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.
y  ax 2  bx  c parabolaning tarmoqlari , agar a  0 bo‘lsa, yuqoriga yo‘nalgan,
agar a  0 bo‘lsa, pastga yo‘nalgan bo‘ladi.
Kvadrat funksiyaning grafigini yasash.
Dastlab, y  x 2  4 x  3 funksiyaning grafigini yasash uchun:
y  ax 2  bx  c
1.
Parabola uchining koordinatalari hisoblanib, 𝑥0 = −
−4
2
= 2; 𝑦0 =
22 − 4 ∙ 2 ∙ 3 = −1 yasaladi.
2.
(2;-1) nuqta orqali ordinatalar o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq, ya’ni
parabolaning simmetriya o‘qi o‘tkaziladi.
x 2  4 x  3  0 tenglama echilib, funksiyaning nollari topiladi:
3.
x1  1, x2  3; (1;0) va (3;0) nuqtalar yasaladi.
4.
Ox o‘qida x  2 nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan ikkita nuqta,
masalan, x  0 va x  4 nuqtalar olinib, funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari
hisoblanadi: y (0)  y (4)  3 va (0;3) va (4;3) nuqtalar yasaladi.
5.
Yasalgan nuqtalar orqali parabola o‘tkaziladi.
141
Bu
konkret misolga tayangan holda istalgan y  ax 2  bx  c kvadrat
funksiyaning grafigini shu yo‘sinda yasash mumkinligi haqida ma’lumot beriladi,
ya’ni:
1. x 0 , y0 larni x0  
b
,
2a
y0  y( x0 ) formulalardan foydalanib hisoblab,
parabolaning ( x 0 , y0 ) uchi yasaladi.
2. Parabolaning uchidan ordinatalar o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq –
parabolaning simmetriya o‘qi o‘tkaziladi.
3. Funksiyaning nollari (agar ular mavjud bo‘lsa) topiladi va abssissalar o‘qida
parabolaning mos nuqtalari yasaladi.
4. Parabolaning uning o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lgan qandaydir ikkita
nuqtasi yasaladi. Buning uchun Ox o‘qida x0 ( x  0) nuqtaga nisbatan simmetrik
bo‘lgan ikkita nuqta olish va funksiyaning mos qiymatlarini (bu qiymatlar bir xil)
hisoblash kerak. Masalan, parabolannig abssissalari x  0 va x  2x0 bo‘lgan
nuqtalarini (bu nuqtalarning ordinatalari c ga teng) yasash mumkin.
5. Yasalgan nuqtalar orqali parabola o‘tkaziladi. Grafikni yanada aniqroq
yasash uchun parabolaning yana bir nechta nuqtasini topish foydalidir.
9-sinfda o’rganiladigan yana bitta funksiyalar sinfi bu darajali funksiyalardir.
Bunda dastlab funksiyaning aniqlanish sohasiga quyidagicha kiritiladi:
funksiyaning aniqlanish sohasi deb uning argumenti qabul qilishi mumkin bo’lgan
barcha qiymatlar to’plamiga aytiladi.
Agar funksiya formula bilan berilgan bo’lsa, u holda funksiya argumentning
berilgan formula ma’noga ega bo’ladigan ( ya’ni formulaning o’ng qismida turgan
ifodada ko’rsatilgan hamma amallar bajariladigan) barcha qiymatlarida aniqlangan
deb hisoblash qabul qilinganligi ko’rsatib o’tiladi.
So’ngra funksiyaning grafigi tushunchasiga quyidagicha ta’rif kiritiladi:
Funksiyaning grafigi deb, koordinatalar tekisligining abssissalari shu
funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan erkli o’zgaruvchining qiymatlariga,
ordinatalari esa funksiyaning mos qiymatlariga teng bo’lgan nuqtalar to’plamiga
aytiladi.
Funksiyaning o’sishi va kamayishi mavzusida quyidagi ta’riflar kiritiladi.
Agar argumentning biror oraliqdan olingan kata qiymatiga funksiyaning katta
qiymatiga mos kelsa, ya’ni shu oraliqqa tegishli istalgan 𝑥1 va 𝑥2 uchun 𝑥2 > 𝑥1
tengsizlikdan 𝑦(𝑥2 ) > 𝑦(𝑥1 ) tengsizlik kelib chiqsa, 𝑦(𝑥) funksiya shu oraliqda
o’suvchi funksiya deyiladi.
142
Agar biror oraliqqa tegishli istalgan 𝑥1 va 𝑥2 uchun 𝑥2 > 𝑥1 tengsizlikdan
𝑦(𝑥2 ) < 𝑦(𝑥1 ) tengsizlik kelib chiqsa, 𝑦(𝑥) funksiya shu oraliqda kamayuvchi
funksiya deyiladi.
Ushbu ta’riflardan foydalanib, quyidagi xulosalar keltirib chiqariladi:
Agar 𝑟 > 0 bo’lsa, u holda 𝑦 = 𝑥 𝑟 darajali funksiya 𝑥 ≥ 0 oraliqda o’sadi;
Agar 𝑟 < 0 bo’lsa, u holda 𝑦 = 𝑥 𝑟 darajali funksiya 𝑥 > 0 oarliqda kamayadi.
So’ngra funksiyalarning juftligi va toqligi kiritiladi.
Agar y(x) funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan istalgan x uchun 𝑦(−𝑥) =
𝑦(𝑥) bo’lsa, bu funksiya juft funksiya deyiladi.
Agar 𝑦(𝑥) fynksiyaning aniqlanish sohasidan olingan istalgan x uchun
𝑦(−𝑥) = −𝑦(𝑥) bo’lsa, bu funksiya toq funksiya deyiladi.
Xulosa keltirib chiqariladi: Juft va toq funksiyalarning aniqlanish sohasi
koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
10-sinfda elementar funktsiyalarni o’rganishda dastlab munosabatlar va
akslantirishlar mavzusi ko’rilib misollarga tayangan holda quyidagi ta’rif kiritiladi:
Dekart koordinata tekisligida berilgan nuqtalar to’plami munosabat deyiladi.
Ko’pincha munosabat x, y o’zgaruvchilar qatnashgan tenglama ko’rinishida
beriladi, masalan, y  x  3; x  y 2 .
Agar munosabatda birinchi koordinatasi teng bo’lgan ikkita turli nuqta
mavjud bo’lmasa, bu munosabat akslantirish yoki funktsiya deyiladi.
Demak funktsiya munosabatning maxsus turi ekan.
Elementar funktsiyalarning monotonligi. Eng katta va eng kichik qiymatlari
haqida tushuncha.
Agar x1  x2 tengsizlikni qanoatlaniruvchi barcha x1 , x2  J uchun f ( x1 )  f ( x2 )
tengsizlik o’rinli bo’lsa, J oraliqda f ( x) funktsiya o’suvchi deyiladi.
Agar x1  x2 tengsizlikni qanoatlaniruvchi barcha x1 , x2  J uchun f ( x1 )  f ( x2 )
tengsizlik o’rinli bo’lsa, J oraliqda f ( x) funktsiya kamayuvchi deyiladi.
Agar funktsiya o’suvchi bo’lsa, grafik bo’ylab chapdan o’ngga “harakat”
qilsak, ordinatalar ortadi, funktsiya kamayuvchi bo’lsa, ordinatalar kamayadi.
So’ngra funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari haqida tushuncha
beriladi. Buning uchun 5  x  6 oraliqda aniqlangan funktsiya grafigi qaralib
143
A nuqtaning ordinatasi boshqa nuqtalar ordinatalaridan kichik bo’lgani
sababli shu nuqta global minimum nuqtasi deyiladi
Funktsiyaning unga mos bo’lgan qiymati funktsiyaning eng katta qiymati
deyiladi. B nuqta lokal maksimum nuqtasi deyiladi. S nuqta lokal minimum nuqtasi
deyiladi.
Davriy jarayonlar va ularni kuzatish mavzusida davriy funktsiya
tushunchasiga ta’rif kiritiladi.
X to’plamda aniqlangan f ( x) funktsiya uchun ixtiyoriy x da f ( x  T )  f (x )
tenglikni qanoatlantiruvchi T  0 mavjud bo’lsa, f ( x) funktsiya davriy funktsiya
deyiladi, bunda x  T  X .
Ravshanki, f ( x  T )  f ( x) bo’lsa, u holda f ( x)  f ( x  T )  f ( x  2T )  ... .
Bunday T sonlarning eng kichik qiymati funktsiyaning Davri deb ataladi.
So’ngra parametrik ko’rinishda berilgan sodda funktsiyalar va ularning
grafiklarini yasash ko’rib o’tiladi.
Moddiy nuqtaning ( x; y ) koordinatalari t parametrga bog’liq bo’lsin:
x   (t ), y   (t ) .
t biror T oraliqda o’zgarganda ( (t ), (t )) nuqtalar to’plami qanday bo’ladi?
Bu to’plamni parametrik ko’rinishda berilgan funktsiyaning grafigi deb ataladi.
 x  3t  1
 y  5t  8
1-misol. Moddiy nuqtaning koordinatalari parametrik ko’rinishda 
berilgan. Bu moddiy nuqta xarakati davomida chizgan chiziqni (moddiy nuqta
traektoriyasini) toping.
Yechish. Tenglamalardan t parametrni topamiz:
x 1
y 8
;t 
3
5
x 1 y  8

;5 x  5  3 y  24;5 x  3 y  19  0
3
5
t
Bu to’g’ri chiziq tenglamasidir. Demak, izlangan funktsiya
3 y  5 x  19
5
19
y  x ;
3
3
5
3
Javob. y  x 
144
19
;
3
Ko’rsatkichli funktsiya va uning grafigi
f ( x)  a x , a  0, a  1, ko’rinishdagi funktsiya ko’rsatkichli funktsiya deyiladi.
Bunday funktsiya quyidagi xossalarga ega:
1) aniqlanish soxasi (; ) oraliqdan iborat;
2) qiymatlar soxasi (0;+  )oraliqdan iborat;
3) barcha a(a  0; a  1) uchun a 0  1
4) a  1 bo’lsa, funktsiya o’suvchi;
5) 0  a  1 bo’lsa, funktsiya kamayuvchidir.
Logarifmik funktsiya va uning grafigi
f ( x)  log a x funktsiya (bu yerda x-argument, a  0, a  1 ) a asosli logarifmik
funktsiya deyiladi.
Logarifmik funktsiyaning xossalari
1) aniqlanish soxasi (0; ) dan iborat
2) qiymatlar soxasi  ;  
3) noli x  1, ya’ni log a 1  0
4) a  1 bo’lsa, logarifmik funktsiya (0; ) oraliqda o’suvchi;
5) 0  a  1 bo’lsa, logarifmik funktsiya (0; ) oraliqda kamayuvchi.
145
TAKRORLASH UCHUN SAVOLLAR
1. Funksiya tushunchasi moslik yordamida qanday kiritiladi?
2. Funksiya tushunchasi erkli va erksiz o’zgaruvchilar yordamida qanday
kiritiladi?
3. Funksiyaning berilish usullarini ayting?
4. y=kx funksiya qanday kiritiladi?
5. Kvadrat funksiyani o’rganish ketma-ketligi qanday?
6. Kvadrat funksiya grafigi qanday yasaladi?
7. O’suvchi, kamayuvchi funksiya ta’riflarini bering?
8. Juft va toq funksiya ta’rifini bering?
9. Ko’rsatkichli funksiya xossalarini aytib bering?
10. Logarifmik funksiya xossalalrini aytib bering?
Tayanch iboralar
Funksiya, funksiyaning berilish usullari, moslik, erkli va erksiz
o’zgaruvchilar, chiziqli funksiya, kvadrat funksiya, darajali funksiya, o’suvchi
funksiya, kamayuvchi funksiya, juft funksiya, toq funksiya, ko’rsatkichli funksiya,
logarifmik funksiya.
146