O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI Matematika yo’nalishi 2-bosqich 2M4-guruh talabasi Nabiyeva Ravshanoyning Analitik geometriya fanidan “Koordinatalarni almashtirish” Mavzusidagi tayyorlagan KURS ISHI Ish rahbari: Aliyeva Jamila Andijon-2022 1 REJA KIRISH I BOB. Koordinatalar . Dekart koordinatalari haqida tushuncha. 1.1-§. Dekart koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani topish. 2.2-§. Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi II BOB. Qutb koordinatalari . Qutb koordinatalari haqida. 2.1-§. Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish. 2.2-§. Qutb koordinatalari sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar 2 KIRISH Mamlakatimizda yosh avlod ta’lim-tarbiyasiga alohida e’tibor qaratilmoqda. O‘g‘il-qizlarning zamonaviy bilim olishi, yuksak ma’naviyatli bo‘lib ulg‘ayishi uchun zarur sharoit yaratish borasidagi ishlar izchil davom ettirilmoqda. Birinchi Prezidentimizning munosib shogirdi, boshlagan ishlarining davomchisi hisoblangan yurtboshimiz Shavkat Miromonovich Mirziyoyev "Bizni hamisha o‘ylantirib keladigan yana bir muhim masala – bu yoshlarimizning odobaxloqi, yurish-turishi, bir so‘z bilan aytganda, dunyoqarashi bilan bog‘liq. Bugun zamon shiddat bilan o‘zgaryapti. Bu o‘zgarishlarni hammadan ham ko‘proq his etadigan kim–yoshlar. Mayli, yoshlar o‘z davrining talablari bilan uyg‘un bo‘lsin. Lekin ayni paytda o‘zligini ham unutmasin. Biz kimmiz, qanday ulug‘ zotlarning avlodimiz, degan da’vat ularning qalbida doimo aks-sado berib, o‘zligiga sodiq qolishga undab tursin. Bunga nimaning hisobidan erishamiz? Tarbiya, tarbiya va faqat tarbiya hisobidan", deya ta’kidlaydi. Bu vazifalar maktab, oila, mahalla, butun jamoatchilikka katta mas’uliyat yuklaydi. Mamlakatimizda ta’lim-tarbiya sohasining barcha bo‘g‘inlari– maktabgacha ta’lim, maktab, o‘rta maxsus va oliy ta’lim tizimini takomillashtirish, yangi muassasalar bunyod etish va mavjudlarini qayta ta’mirlash bo‘yicha olib borilayotgan ishlar yoshlar kamolotida o‘z samarasini beradi. Inson hayotning murakkab so‘qmoqlaridan yura bilishi, turli xil qiyinchiliklarni yengga bilishi, chuqur bilim ko`nikma va malakaga ega bo`lishida ustoz va murabbiylarning xizmati beqiyosdir. Ushbu ulug` insoniy fazilat, ulkan sabr hamda vatan taraqqiyoti uchun fidoyilik tuyg`usiga ega bo`lgan ustozlarimiz zamonamizning har qaysi vaqtida chuqur hurmatga loyiq va sazovor bo`lgan kelajakning haqiqiy bunyodkorlari hisoblanadi. Millatning ravnaqi, voyaga yetayotgan yosh avlodning har tomonlama komil shaxs sifatida shakllanishini ta`minlashdek ulkan mas`uliyatni o`z zimmalariga ola bilgan ustoz va murabbiylarimiz haqida qancha yaxshi fikr-mulohazalar bildirsak ham ushbu 3 fikrlarning nihoyasini topa olmaymiz. Mustaqil O`zbekiston Respublikasining iqtisodiyot, madaniyat, sport hamda ta`lim sohalaridagi muvafaqqiyatlari bugungi kunda jahon hamjamiyati tomonidan birdek e`tirof etib kelinmoqda. Shavkat Miromonovich Mirziyoyev asarlarida ham ustoz degan ulug` kasbning mas`uliyatli tomonlari, xalqimiz ustoz va murabbiylarimizga bo`lgan faxr tuyg`usi o`z aksini topgan. “….Biz ajdodlarimizning yorqin xotirasini asrabavaylab, qalbimizda, yuragimizda abadiy saqlaymiz. Bukilmas iroda, fidoyilik, va jasorat na`munasini amalda namoyon etib, o`z hayotini aziz Vatanimizning har tomonlama ravnaq topishiga bag`ishlagan ustoz va murabbiylarimiz, zamondoshlarimiz bilan cheksiz faxrlanamiz”. Shuningdek, Prezidentimiz Shavkat Miromonovich Mirziyoyev tomonidan Oliy ta`lim tizimini rivojlantirsh orqali Vatanimiz kelajagi, yoshlarning ilmiy salohiyatini yanada rvojlantirish maqsadida 2017-yil 20-aprelda qabul qilingan “Oliy ta`lim tizimini yanada rivojlantirish chora tadbirlari to`g`risida”gi PQ-2909 sonli Qarorida ham ustuvor vazifalardan birinchisi sifatida e`tibor qaratilgani diqqatga sazovordir. Jumladan, “Har bir oliy ta`lim muassasi jahonning yetakchi ilmiy-ta`lim muassalari bilan yaqin hamkorlik aloqalarini o`rnatish, oquv jarayoniga xalqaro ta`lim standartlariga asoslangan ilg`or pedagogik texnologiyalar, o`quv dasturlari va o`quv uslubiy materiallarini keng joriy qilish, o`quv pedagogik faoliyatiga, master-klasslar o`tkazishga, malaka oshirish kurslariga xorijiy hamkor ta`lim muassasalaridan yuqori malakali o`qituvchilar va olimlarni faol jalb qilish, ularning bazasida tizimli asosda respublikamiz oliy ta`lim muassasalari magistrant, yosh o`qituvchi va ilmiy xodimlarning stajirovka o`tashlarini, professoro`qituvchilarni qayta tayyorlash va malakasini oshirishni tashkil qilish” . Shunday qilib, ushbu kurs ishimda koordinatalar sistemasini almashtirish to’g’risidagi bilim va amaliy ko’nikmalarni chuqurlashtirishni maqsad qilib qo’yganman . Shu maqsadda ushbu kurs ishida koordinatalarni topish, ularni hisoblash, ikki nuqta orasidagi masofani topish, ularni analitik usulda yechimini topish haqida so’z yuritiladi. So’ngra, koordinatalar qatnshgan masalalarni 4 geometrik talqini, ya’ni grafigini chizish va undan foydalanish to’g’risida tahlil qilinadi. Albatda bu kurs ishim oliy ta’lim tizimida dekart koordinatalar sistemasini hisoblashda yordam beradi degan umiddaman. Bu maqsadni amalga oshirish uchun quyidagi vazifalar bajarildi: - umumiy o‘rta ta’lim maktabi “Algebra” kursida dekart koordinatalar sistemasini o‘rganishga tayyorgarlik davridagi amalga oshirilgan ishlar tahlil qilindi; - akademik litsey va umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika kursida dekart va qutb koordinatalar sistemasini topish va ularni yechish bo‘yicha o‘rganiladigan o‘quv materiallari tahlil qilindi; - o‘quv, o‘quv-metodik adabiyotlar tahlil qilinib, dekart va qutb koordinatalarini yechish usullari aniqlandi; - akademik litsey va umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika kursida o‘rganiladigan dekart koordinatalari va ularni topish , o‘rganish bo‘yicha o‘quv materiallari va mashqlar sistemasi yaratildi. Ushbu kurs ishimda dekart va qutb koordinatalarini aniqlash, hisoblash va geomatrik talqini va ularni yechish bo‘yicha yaratilgan o‘quv materiallari, akademik litsey va umumiy o’rta ta’lim maktablari ta’limi algebra va analiz asoslari kursida uslubiy qo‘llanma sifatida qo‘llanilishi mumkin. 5 I BOB KOORDINATALAR. DEKART KOORDINATALAR HAQIDA TUSHUNCHA. 1.1-§. DEKART KOORDINATALAR SISTEMASIDA IKKI NUQTA ORASIDAGI MASOFANI TOPISH. KOORDINATALAR (lotincha so’zdan olingan bo’lib –birgalikda, ordinatus-tartiblangan, aniqlangan)- nuqtaning to’g’ri chiziq , tekislik , fazo va turli yuzalardagi holatini aniqlovchi sonlar. Masalan , geografiyada ma’lum nuqta joylashgan kenglik va uzunlikni ko’rsatuvchi sonlar; astranomiyada yoritqichning osmon sferasidagi holatini aniqlovchi sonlar va hokazo. DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI – tekislik yoki fazodagi to’g’ri chiziq koordinatalar tizimidir. Umumiy boshlang’ich nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo’lgan o’zaro perpendikulyar va o’qlar tekislikda dekart koordinatalar sistemasini tashkil etadi. Bu sistemaning o’qiga absissa o’qi va ordinata o’qi va ular birgalikda dekart koordinata o’qlari deb ataladi . Bunda O koordinata boshi , X,Y mos ravishda absissa va ordinata o’qlari , o’qlar joylashgan tekislik koordinata tekisligi deb ataladi. 6 Y X O X – absissa o’qi; Y – ordinata o’qi; 1-chizma Agar bizga dekart koordinatsi berilgan bo’lsa biz uni yozuvda ifodalashda X o’qidagi belgilangan sonni birin , Y o’qida belgilangan sonni ikkinchi o’ringa yozib qavlar ichiga quyidagi ko’rinishda yozamiz; ( x, y) . Masalan. . A(3, 5) B (4 , 6) . 2-chizma 7 Dekart koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani topish juda ham muhim ahamiyatga ega. Ikki nuqta orasidagi masofani topish uchun koordinatalrning mos elamentlarini bir-biridan ayrib , kvadratga ko’tarib va ularni bir-biriga qo’shib ildizdan chiqarib qo’ysak kifoya. Umumiy formulasi; 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 (1) 1-masala. A ( 4, 6) va B ( 7, 10) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping? Yechish . 𝑑 = √(7 − 4)2 + (10 − 6)2 = 5 Javob: 5 2-masala. A ( 1, 3) va B ( 5, 6) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping? Yechish . 𝑑 = √(5 − 1)2 + (6 − 3)2 =5 Javob: 5 3-masala. A ( 2, 5) va B ( 8, -3) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping? Yechish . d = √(8 − 2)2 + (−3 − 5)2 = 10 Javob: 10 4-masalan. A ( -6, 5) va B ( 6, 0) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping? Yechish . 𝑑 = √(6 + 6)2 + (0 − 5)2 = 13 Javob: 13 Dekart koordinatalar sistemasida XOY tekislik deb nomlanadi. Bundan ko’rinadiki , tekislikka biz kesma ham , to’g’ri chiziq ham chizishimiz mumkin. Kesma ham, to’g’ri chiziq ham koordinatalardan tashkil topgan bo’ladi. Bu ma’lumotdan esa, kesma va to’g’ri chiziqqa doir bir nacha savollar kelib chiqadi. 8 Dekart koordinatalar sistemasida AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatalarini toppish ham muhim omillardan biri hisoblanadi. Dekart koordinatalar sistemasida AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatalarini topish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz. Buning uchun esa biz dekart koordinatalar sistemasida AB kesmaning ko’rinishini chizib olishimiz kerak. y A(x,y) B(x1,y1) x 3-chizma AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatalarini topish uchun formula; X= 𝑥+𝑥1 2 ; Y= 𝑦+𝑦1 2 (2) 5-masala. Koordinatalari A ( 1, 2) va B ( 5, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A ( 1, 2) va B ( 5, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula X= X= 1+5 2 =3 ; Y= 2+6 2 𝑥+𝑥1 2 ; Y= 𝑦+𝑦1 2 dan =4 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (3,4). 6-masalan. Koordinatalari A ( 0, 0) va B ( 5, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? 9 Yechish . A ( 0, 0) va B ( 5, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula 𝑥+𝑥1 X = ; 2 X= 0+5 Y = =2,5 ; 2 𝑦+𝑦1 dan 2 Y= 0+6 =3 2 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (2,5; 3). 7-masalan. Koordinatalari A ( 1, 2) va B ( 0, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A ( 1, 2) va B ( 0, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula X = X= 𝑥+𝑥1 ; 2 1+0 Y = =0,5 ; 2 𝑦+𝑦1 dan 2 Y= 2+6 2 =4 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (0,5 ,4). 8-masalan. Koordinatalari A ( 1, 0) va B ( 5, 0) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A ( 1, 0) va B ( 5, 0) berilgan bo’lsa , umumiy formula X= 𝑥+𝑥1 X= 2 1+5 2 ; Y= =3; 𝑦+𝑦1 dan 2 Y= 0+0 2 =0 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (3,0). 9-masala. Koordinatalari A ( -1,- 2) va B (- 5,- 6) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A (- 1,- 2) va B (- 5,- 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula X= 𝑥+𝑥1 2 ; Y= 10 𝑦+𝑦1 2 dan −1−5 X= =-3; 2 Y= −2−6 2 =-4 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (-3,-4). 10-masalan. Koordinatalari A ( 1, -3) va B ( -6, -4) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A ( 1, -3) va B ( - 6,-4) berilgan bo’lsa , umumiy formula 𝑥+𝑥1 X= X= 2 1−6 ; Y= =-2,5 ; 2 Y= 𝑦+𝑦1 2 −3−4 2 dan =-3,5 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (-2,5,-3,5). 11-masala. Koordinatalari A ( 0,- 2) va B ( 5, -6) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A ( 0, -2) va B ( 5, -6) berilgan bo’lsa , umumiy formula X= X= 𝑥+𝑥1 2 0+5 2 ; Y= =2,5 ; 𝑦+𝑦1 2 Y= dan −2−6 2 =-4 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (2,5,-4). 12-masala. Koordinatalari A ( 1,- 2) va B (- 5, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasini toping? Yechish . A ( 1,- 2) va B ( -5, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula X= X= 𝑥+𝑥1 2 1−5 2 ; Y= =-2 ; 𝑦+𝑦1 2 Y= dan −2+6 2 =2 Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (-2,2). 11 Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi Tekislikda O nuqtaga qo’yilgan ikkita e1 , e2 bazis vektorlar berilgan bo’lsin (4chizma ). Bu vektorlar orqali o’tuvchi a va b to’g’ri chiziqlarni olamiz ( a b 0 ). 1 - Ta’rif. Musbat yo’nalishlari mos ravishda e1 , e2 vektorlar bilan aniqlanuvchi a va b to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lgan sistema tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi deyiladi va 0, e1 , e2 yoki 4-chizma (0, e1 , e2 ) ko’rinishda belgilanadi. 0 nuqta koordinatalar boshi e1 , e2 vektorlarni koordinat vektorlar deyiladi; a to’g’ri chiziqni OX bilan belgilab absissalar o’qi, b to’g’ri chiziqni esa Oy bilan belgilab ordinatalar o’qi deb ataladi. Tekislikda (0, e1 , e2 ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Shu tekislikda birorta N nuqtani olaylik (4- chizma ) ON vektorni N nuqtaning radius vektori deyiladi. ON vektorni hamma vaqt bazis vektorlari buyicha yoyib yozish mumkin: ON xe1 ye2 x, y R. 5-chizma (5) x, y sonlar ON radius vektorning koordinatalari deyiladi va ON ( x; y) kabi yoziladi. 12 Radius vektorning x, y koordinatalari N nuqtaning ham koordinatalari deyiladi va uni N( x, y ) kabi belgilaymiz. Bunda x soni N nuqtaning absissasi yoki birinchi koordinatasi, y son esa N nuqtaning ordinatasi yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi. Xullas, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilsa, istalgan N nuqtaga uning koordinatalari bo’lmish bir juft x, y R 2 R x R sonlar mos keladi, aksincha, ma’lum tartibda olingan x, y R sonlariga, koordinatalari shu sonlardan iborat bitta N nuqta mos keladi. Haqiqatan, tekislikda (0, e1 , e2 ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (5-chizma) absissalar o’qiga O nuqtadan boshlab ON 1 xe1 vektorni, ordinatalar o’qiga esa ON 2 ye2 vektorlarni qo’yib, N1 va N2 nuqtalardan OY va OX o’qlarga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz, ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan N nuqta bo’ladi, chunki ON ON 1 ON 2 xe1 ye2 Shunday qilib, (0, e1 , e2 ) ga nisbatan N ( x, y) ON xe1 ye2 Agar x =0 bo’lsa Agar y =0 bo’lsa , 𝑁 ∈ 𝑂𝑋 ya’ni 𝑂𝑋 o’qida yotadi. Shunday qilib, absissa o’qida yotgan nuqta koordinatalari ( x , 0) va ordinata o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari (0, y ) bo’ladi. Koordinatalar boshining koordinatalari O(0, 0) bo’ladi. Koordinat o’qlari tekislikni to’rtta qismga ajratadi. Har bir qismni chorak deyiladi. M(x,y) nuqta koordinat o’qlarida yotmasa uning qaysi chorakda yotishini x, y sonlarning ishorasiga qarab aniqlash mumkin. 13 13-masala. AB vektorning boshi A(x1, y1) va oxiri B(x2, y2) koordinatalari bilan berilgan bo’lsa, AB vektor koordinatasini toping.(6chizma) Yechish: OA x1e1 y1e2 OB x2 e1 y 2 e2 AB OB OA ( x2 x1 )e1 ( y 2 y1 )e2 6-chizma bundan AB( x2 x1 ; y2 y1 ) 14-masala. Affin koordinatalar sistemasi berilgan A(3, -2), B(0, 3), C(-2, 0) nuqtalarni yasang. Yechish. A nuqtani yasash uchun OA 3e1 2e2 vektorni yasaymiz. Buning uchun 0 nuqtadan boshlab e1 vektorga kollinear ОА1 3e1 vektorni, e2 vektorga kollinear OA 2 2e2 vektorlarni yasaymiz. 7-chizma Bu vektorlarning yig’indisini yasasak ОА vektorga ega bo’lamiz va A nuqtani topamiz. 14 Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. Bizga Oxy tekislikda ikkita turli A1 ( x1; y1 ) va A2 ( x2 ; y2 ) nuqtalar berilgan bo’lsin. A1 A2 kesmani 1 : 2 nisbatda bo’luvchi A nuqtaning x va y koordinatalarini topaylik. Aytaylik A1 A2 kesma x o’qiga parallel bo’lmasin. A1 , A, A2 nuqtalarning y o’qdagi proyeksiyalari mos ravishda A1 , A, A2 bo’lsin. U holda A1 A A1 A 1 (4) AA2 AA2 2 o’rinliligidan va A1 A y1 y , AA2 y y2 ekanidan quyidagiga ega bo’lamiz. y1 y 1 (5) y y2 2 A nuqta A1 va A2 nuqtalar orasida yotganidan y1 y va y y2 ifodalar bir xil ishorali bo’ladi. Demak y1 y y y 1 (6) 1 y y2 y y2 2 Bundan y ni topsak y 2 y1 1 y2 2 1 (7) Xuddi shunga o’xshash x Qisqalik uchun 1 2 1 t u holda 2 x1 1 x2 2 1 (8) 2 2 1 1 t Yuqoridagi belgilashlarga ko’ra x (1 t ) x1 tx2 , y (1 t ) y1 ty2 15 0 t 11 Tekislikni A va B nuqtalari va 1 haqiqiy son berilgan bo’lsin. AN NB Ta’rif. Agar shart o’rinli bo’lsa, u holda N nuqta AB kesmani berilgan nisbatda bo’ladi deyiladi. sonni uchta A, B, N nuqtalarning oddiy nisbati deyiladi va =( AB,N) ko’rinishda yoziladi. (8-chizma) Agar >0 bo’lsa, AN va NB vektorlar bir xil yo’nalgan bo’ladi, N AB kesmada yotadi, agar <0 bo’lsa, N AB . AN va NB vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan bo’ladi. 8-chizma A(x1, y1), B(x2, y2), N(x, y) koordinatalarga ega bo’lsin. Bo’luvchi N nuqtani koordinatalarini topaylik. AN ( x x1 , y y1 ) , NB( x2 x, y2 y) formuladan foydalanib quyidagini yozamiz. x x1 ( x 2 x ) y y1 ( y 2 y ) Bundan: x1 x2 1 y y 2 y 1 1 x 16 (9) (9) formula berilgan kesmani nisbatda bo’luvchi nuqta koordinatalarini topish formulasidir. Agar =1 bo’lsa, u holda N nuqta berilgan kesmani teng ikkiga bo’ladi, (9) x1 x 2 2 y y2 y 1 2 x formula quyidagi (10) ko’rinishda bo’lib, uni kesma o’rtasining koordinatalarini topish formulasi deyiladi. 15-masala. Uchlari A(1, 2), B(0, 5), C(-2, 3) nuqtalarda bo’lgan uchburchak medianalarining kesishgan nuqtasini toping. Yechish AD mediana D(x, y) nuqta BC tomon o’rta nuqtasi xD=-1, yD=4, D(-1, 4). Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi O(x, y) bo’lsin, u holda AO 2 : 1, 2 OD x x2 1 2(1) 1 x 1 1 3 3 y y 2 2 2 4 10 y 1 1 3 3 9-chizma 1 10 ). 3 3 Demak, O( , 17 II-BOB QUTB KOORDINATALARI. QUTB KOORDINATALARI HAQIDA. Tekislikda qutb koordinatalarini kiritish uchun birorta O nuqtani va bu nuqtadan o’tuvchi o’qni tanlab olamiz . Tanlangan nuqtani qutb boshi, o’qni esa qutb o’qi deb ataymiz va uni ℓ bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O nuqtadan farqli M nuqta uchun ρ bilan | OM| masofani, φ bilan esa ℓ bilan OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M (ρ,φ) ko’rinishda belgilanadi. Tekislikning O nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o’rtasidagi moslik o’zaro bir qiymatli bo’lishi uchun ρ va φ kattaliklar uchun quyidagi chegara qo’yiladi; 0<ρ<+∞ , 0<φ<2𝜋. x φ y O 10-chizma Agar (x,y) Dekart koordinatalar sistemasini 2- chizmadagidek kiritsak, quyidagi X=ρcosφ , Y= ρsinφ bog’lanishlarini olamiz. Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo’lsa , uning qutb koordinatalarini topish uchun p=√𝑥 2 + 𝑦 2 formula bo’yicha birinchi qutb koordinatalarini topamiz. Ikkinchi qutb koordinatani topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va φ= 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 arctg , φ=arcctg tengliklardan foydalanishimiz kerak. 18 16-masala. Dekart koordinatasi A ( 3, 4) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga o’tkazing. Yechish . Buning uchun 𝑦 p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg , X=ρcosφ , Y= ρsinφ , 𝑥 𝑥 φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz. 𝑦 p=√32 + 42 =5 , 1 cosφ=cos(arctgx)= 3 3 4 𝑥 sinφ= sin(arctgφ)= ±√12 +𝑥 2 ±√12 +𝑥 2 1 √3 cos(arctgφ)= = 42 ±5 ±√12 + sin(arctgφ)= 3 `X=±√𝟑 4 φ= arctg , φ=arcctg 4 3 4 ±√12 + = 2 4 ±5√3 3 4 , Y= ±√3 Javob: Qutb koordinatasi; (±√𝟑 4 , ±√3 ) 17-masala. Dekart koordinatasi A ( 6, 8) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga o’tkazing. Yechish . Buning uchun 𝑦 X=ρ cosφ , Y= ρsinφ , p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg , 𝑥 φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz. 𝑦 8 6 6 8 p=√62 + 82 =10, φ= arctg , φ=arcctg 1 cosφ=cos(arctgx)= ±√12 +𝑥 2 1 √6 cos(arctgφ)= = 2 ±10 8 ±√12 + ±√12 +𝑥 2 sin(arctgφ)= 6 X= ±√𝟔 8 6 8 ±√12 + 6 8 , Y= 𝑥 sinφ= sin(arctgφ)= ±√6 19 2 = ±10√6 𝑥 Javob: Qutb koordinatasi; ( ±√𝟔 8 , ± √6 ) 18- masala. Dekart koordinatasi A ( 5,12) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga o’tkazing. Yechish . 𝑦 p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg , Buning uchun X=ρcosφ , Y= ρsinφ , φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz. 𝑥 𝑥 𝑦 p=√52 + 122 =13 , 1 cosφ=cos(arctgx)= ±√12 +𝑥 2 1 √5 cos(arctgφ)= = 122 ±13 ±√12 + φ= arctg 5 , φ=arcctg 5 12 𝑥 sinφ= sin(arctgφ)= ±√12 +𝑥 2 sin(arctgφ)= 5 X= 12 12 5 12 ±√12 + = 2 12 ±13√5 5 12 ±√𝟓 , Y= ±√5 Javob: Qutb koordinatasi; ( ±√𝟔 8 , ± √6 ) 19-masala. Dekart koordinatasi A ( 1, 2) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga o’tkazing. Yechish . Buning uchun 𝑦 p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg , X=ρcosφ , Y= ρsinφ , 𝑥 𝑥 φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz. 𝑦 p=√12 + 22 =√5 , φ= arctg2 , φ=arcctg 1 cosφ=cos(arctgx)= ±√12 +𝑥 2 cos(arctgφ)= 1 ±√12 +22 X= ±1 , Y= = 1 ± √5 1 2 𝑥 sinφ= sin(arctgφ)= ±√12 +𝑥 2 sin(arctgφ)= 2 ±√12 +22 ±2 Javob: Qutb koordinatasi; ( ±𝟏, ±2). 20 = 2 ±√5 XULOSA Hozirgi kunda akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablarida o’quvchilarga ta’lim-tarbiya berishga kata e’tibor qaratilmoqda. Albatda buning uchun o’ziga yarasha islohotlar qilinmoqda. Shu qatorda biz ham kelajak yosh avlodni ma’naviyatli, bilimli bo’lib, ulg’ayishiga o’z hissamizni qo’shishimiz darkor. O’ylaymanki mazkur kurs ishim, akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablari o’quvchilarini shu mavzu borasida chuqur bilim egallashida ko’mak bo’ladi. Bundan tashqari akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablari ustozlari ham foydalanishlari mumkin. Ushbu kurs ishida kirish, ikkita bob, uchta paragraf, xulosa va oxirida foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati berilgan. Kirish qismida hozirgi davrda ta’lim sohasiga qaratilayotgan e’tibor, bitiruv malakaviy ishini maqsadi va shu maqsadda olib borilgan ishlar, vazifalari haqida so’z yuritiladi. Birinchi bob Koordinatalar . Dekart koordinatalari haqida ma’lumotlar deb nomlangan bo’lib, bitta paragrafga bo’lingan. Birinchi paragraf koordinatalar Dekart sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani topish yechish deb nomlanadi va ushbu paragrafda dekart koordinatalar sistemasini aniqlash, analitik usulda yechish va unga doir misollar ko’rsatib o’tilgan. Ikkinchi bob qutb koordinatalari . Qutb koordinatalari haqida deb nomlangan bo’lib, ushbu bob ham ikkita paragrafdan iborat. Ikkinchi bobning birinchi paragrafi nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish va uning tahlili deb nomlanadi va unda birinchi bobda ko’rilga dekart koordinatalar sistemasining geometrik talqini ya’ni grafik ko’rinishi tahlil qilinadi. Qutb koordinatalar sistemasidan dekartga o’tish yoki aksincha dekart koordinatalar sistemasidan qutb koordinatalar sistemasiga o’tish va uning grafiklari qay tarzda chizilshi, grafikdan yechimlarini topilishi to’g’risida so’z yuritiladi. Ikkinchi paragraf 21 Qutb koordinatalari sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani grafik usulda topish va uning tahlili deb nomlanib, unda qutb koordinatalarida ikki nuqta orasidagi masofani topish, ularni grafiklarini chizish, grafiklardan foydalanish to’g’risida so’z yuritilib, bir qancha misollar grafiklari bilan beriladi. Kurs ishini so’ngida foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va foydalanilgan saytlar ko’rsatilib o’tilgan. Albatta ushbu kurs ishi nazariy va amaliy izlanishlar asosida tuzilgan bo’lib, akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablari ustozlari, o’quvchilar, umuman olganda shu mavzuni talabalarga chuqur o’rganishda yordam beradi degan umiddaman. 22 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Sh. M Mirziyoyev “Erkin va farovon, demokratik O`zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz” asari, Toshkent “O`zbekiston” 2016-yil, 5-bet. 2. O`zbekiston Respublikasi Prezidentining “Oliy ta`lim tizimini yanada rivojlantirish chora tadbirlari to`grisida” PQ-2909 sonli Qarori, 2017-yil, 20-aprel. 3. “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” to’g’risida O’zbekiston Respublikasi qonuni. Barkamol avlod-O’zbekiston taraqqiyotining poydevori.-Т. ”SHARQ” 1997. 4. Umumiy o’rta ta’limning Davlat ta’lim standartlari va o’quv dasturi: Физика, Математика, Информатика ва хисоблаш техникаси,Чизмачилик, Мехнат. Таълим тараққиёти. Ўзбекистон Халқ таълими вазирлигининг ахборотномаси. 4-махсус сон-Т.:”Шарқ”, 1999.-384б. 5. Algebra va matematik analiz asoslari. Akademik litseylar uchun darslik Abduxamedov A. U., Nasimov X. A, Nosirov U. M., Xusanov J. X. /N. A. Nasimovning umumiy taxriri ostida;/ O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, O‘rta maxsus, kasb-xunar ta’limi markazi. 7-nashr.T.: “O‘qituvchi” NMIU, 2008.Q.I.-400 b. 6. Algebra va matematik analiz asoslari. 2-qism. Akademik litseylar uchun darslik. Mualliflar: A.U.Abduxamedov v.b. -T.: “O‘qituvchi”, 2003.-2-nashri. 368- b. 7. Algebra va analiz asoslari: Akademik litsey va kasb-xunar kollejlari uchun darslik. R.Vafaev, J.Xusanov, “O‘qituvchi”,2003.-368 b. 23 K.X.Fayziev va boshq. -T.: 8. Mirzaahmedov М. А va boshqalar. Matematik analiz va uning asoslari – Т.: “O’qituvchi”, 1989. – 196 b. 9. “Algebra va matematik analiz asoslari yechimlari” (umumta’lim maktablari, akademik litsey va kasb-xunar o‘qituvchilari uchun qo‘llanma). A. Axlimirzaev, M. Ibragimov, A. Rizaev, T. Nishonov, N. Jo‘raev. Andijon-2015 y.84-b. 10. A. A.Narmonov “Analitik geometriya” o’qituvchilar uchun qo’llanma. Toshkent “O’qituvchi” 1997. 11. A. G’aziyev, I. Isroilov, M. Yaxshiboyev “Funksiyalar va grafiklar”, “Voris-nashriyot” Toshkent-2006 24 FOYDALANILGAN SAYTLAR Internet: http://www.zensh.ru/study/moodles.php.course Internet: http://www.ziyouz.com kutubxonasi Internet: http://www.sistemasauto.ru Internet:http://www.wikipedia.com Internet: http://www.orginalfayl.uz Internet: http://www.referat.uz 25