O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI
ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
Matematika yo’nalishi 2-bosqich 2M4-guruh talabasi
Nabiyeva Ravshanoyning Analitik geometriya fanidan
“Koordinatalarni almashtirish”
Mavzusidagi tayyorlagan
KURS ISHI
Ish rahbari: Aliyeva Jamila
Andijon-2022
1
REJA
KIRISH
I BOB. Koordinatalar . Dekart koordinatalari haqida tushuncha.
1.1-§. Dekart koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani topish.
2.2-§. Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi
II BOB. Qutb koordinatalari . Qutb koordinatalari haqida.
2.1-§. Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish.
2.2-§. Qutb koordinatalari sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
2
KIRISH
Mamlakatimizda yosh avlod ta’lim-tarbiyasiga alohida e’tibor qaratilmoqda.
O‘g‘il-qizlarning zamonaviy bilim olishi, yuksak ma’naviyatli bo‘lib ulg‘ayishi
uchun zarur sharoit yaratish borasidagi ishlar izchil davom ettirilmoqda.
Birinchi Prezidentimizning munosib shogirdi, boshlagan ishlarining
davomchisi hisoblangan yurtboshimiz Shavkat Miromonovich Mirziyoyev "Bizni
hamisha o‘ylantirib keladigan yana bir muhim masala – bu yoshlarimizning odobaxloqi, yurish-turishi, bir so‘z bilan aytganda, dunyoqarashi bilan bog‘liq. Bugun
zamon shiddat bilan o‘zgaryapti. Bu o‘zgarishlarni hammadan ham ko‘proq his
etadigan kim–yoshlar. Mayli, yoshlar o‘z davrining talablari bilan uyg‘un bo‘lsin.
Lekin ayni paytda o‘zligini ham unutmasin. Biz kimmiz, qanday ulug‘ zotlarning
avlodimiz, degan da’vat ularning qalbida doimo aks-sado berib, o‘zligiga sodiq
qolishga undab tursin. Bunga nimaning hisobidan erishamiz? Tarbiya, tarbiya va
faqat tarbiya hisobidan", deya ta’kidlaydi.
Bu vazifalar maktab, oila, mahalla, butun jamoatchilikka katta mas’uliyat
yuklaydi.
Mamlakatimizda
ta’lim-tarbiya
sohasining
barcha
bo‘g‘inlari–
maktabgacha ta’lim, maktab, o‘rta maxsus va oliy ta’lim tizimini takomillashtirish,
yangi muassasalar bunyod etish va mavjudlarini qayta ta’mirlash bo‘yicha olib
borilayotgan ishlar yoshlar kamolotida o‘z samarasini beradi.
Inson
hayotning
murakkab
so‘qmoqlaridan
yura
bilishi,
turli
xil
qiyinchiliklarni yengga bilishi, chuqur bilim ko`nikma va malakaga ega bo`lishida
ustoz va murabbiylarning xizmati beqiyosdir. Ushbu ulug` insoniy fazilat, ulkan sabr
hamda vatan taraqqiyoti uchun fidoyilik tuyg`usiga ega bo`lgan ustozlarimiz
zamonamizning har qaysi vaqtida chuqur hurmatga loyiq va sazovor bo`lgan
kelajakning haqiqiy bunyodkorlari hisoblanadi. Millatning ravnaqi, voyaga
yetayotgan yosh avlodning har tomonlama komil shaxs sifatida shakllanishini
ta`minlashdek ulkan mas`uliyatni o`z zimmalariga ola bilgan ustoz va
murabbiylarimiz haqida qancha yaxshi fikr-mulohazalar bildirsak ham ushbu
3
fikrlarning nihoyasini topa olmaymiz. Mustaqil O`zbekiston Respublikasining
iqtisodiyot, madaniyat, sport hamda ta`lim sohalaridagi muvafaqqiyatlari bugungi
kunda jahon hamjamiyati tomonidan birdek e`tirof etib kelinmoqda.
Shavkat Miromonovich Mirziyoyev asarlarida ham ustoz degan ulug`
kasbning mas`uliyatli tomonlari, xalqimiz ustoz va murabbiylarimizga bo`lgan faxr
tuyg`usi o`z aksini topgan. “….Biz ajdodlarimizning yorqin xotirasini asrabavaylab, qalbimizda, yuragimizda abadiy saqlaymiz. Bukilmas iroda, fidoyilik, va
jasorat na`munasini amalda namoyon etib, o`z hayotini aziz Vatanimizning har
tomonlama
ravnaq
topishiga
bag`ishlagan
ustoz
va
murabbiylarimiz,
zamondoshlarimiz bilan cheksiz faxrlanamiz”.
Shuningdek, Prezidentimiz Shavkat Miromonovich Mirziyoyev tomonidan
Oliy ta`lim tizimini rivojlantirsh orqali Vatanimiz kelajagi, yoshlarning ilmiy
salohiyatini yanada rvojlantirish maqsadida 2017-yil 20-aprelda qabul qilingan
“Oliy ta`lim tizimini yanada rivojlantirish chora tadbirlari to`g`risida”gi PQ-2909
sonli Qarorida ham ustuvor vazifalardan birinchisi sifatida e`tibor qaratilgani
diqqatga sazovordir. Jumladan, “Har bir oliy ta`lim muassasi jahonning yetakchi
ilmiy-ta`lim muassalari bilan yaqin hamkorlik aloqalarini o`rnatish, oquv jarayoniga
xalqaro ta`lim standartlariga asoslangan ilg`or pedagogik texnologiyalar, o`quv
dasturlari va o`quv uslubiy materiallarini keng joriy qilish, o`quv pedagogik
faoliyatiga, master-klasslar o`tkazishga, malaka oshirish kurslariga xorijiy hamkor
ta`lim muassasalaridan yuqori malakali o`qituvchilar va olimlarni faol jalb qilish,
ularning bazasida tizimli asosda respublikamiz oliy ta`lim muassasalari magistrant,
yosh o`qituvchi va ilmiy xodimlarning stajirovka o`tashlarini, professoro`qituvchilarni qayta tayyorlash va malakasini oshirishni tashkil qilish” .
Shunday qilib, ushbu kurs ishimda
koordinatalar sistemasini almashtirish
to’g’risidagi bilim va amaliy ko’nikmalarni chuqurlashtirishni maqsad qilib
qo’yganman . Shu maqsadda ushbu kurs ishida koordinatalarni topish, ularni
hisoblash, ikki nuqta orasidagi masofani topish, ularni analitik usulda yechimini
topish haqida so’z yuritiladi. So’ngra, koordinatalar qatnshgan masalalarni
4
geometrik talqini, ya’ni grafigini chizish va undan foydalanish to’g’risida tahlil
qilinadi. Albatda bu kurs ishim oliy ta’lim tizimida dekart koordinatalar sistemasini
hisoblashda yordam beradi degan umiddaman.
Bu maqsadni amalga oshirish uchun quyidagi vazifalar bajarildi:
- umumiy o‘rta ta’lim maktabi “Algebra” kursida dekart koordinatalar sistemasini
o‘rganishga tayyorgarlik davridagi amalga oshirilgan ishlar tahlil qilindi;
- akademik litsey va umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika kursida dekart va
qutb koordinatalar sistemasini topish va ularni yechish bo‘yicha o‘rganiladigan
o‘quv materiallari tahlil qilindi;
- o‘quv, o‘quv-metodik adabiyotlar tahlil qilinib, dekart va qutb koordinatalarini
yechish usullari aniqlandi;
- akademik litsey va umumiy o’rta ta’lim maktablari
matematika kursida
o‘rganiladigan dekart koordinatalari va ularni topish , o‘rganish bo‘yicha o‘quv
materiallari va mashqlar sistemasi yaratildi.
Ushbu kurs ishimda dekart va qutb koordinatalarini aniqlash, hisoblash va
geomatrik talqini va ularni yechish bo‘yicha yaratilgan o‘quv materiallari, akademik
litsey va umumiy o’rta ta’lim maktablari ta’limi algebra va analiz asoslari kursida
uslubiy qo‘llanma sifatida qo‘llanilishi mumkin.
5
I BOB
KOORDINATALAR. DEKART KOORDINATALAR HAQIDA
TUSHUNCHA.
1.1-§. DEKART KOORDINATALAR SISTEMASIDA IKKI NUQTA
ORASIDAGI MASOFANI TOPISH.
KOORDINATALAR (lotincha so’zdan olingan bo’lib
–birgalikda,
ordinatus-tartiblangan, aniqlangan)- nuqtaning to’g’ri chiziq , tekislik , fazo va turli
yuzalardagi holatini aniqlovchi sonlar.
Masalan , geografiyada ma’lum nuqta
joylashgan kenglik va uzunlikni ko’rsatuvchi sonlar; astranomiyada yoritqichning
osmon sferasidagi holatini aniqlovchi sonlar va hokazo.
DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI – tekislik yoki fazodagi
to’g’ri chiziq koordinatalar tizimidir.
Umumiy boshlang’ich nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo’lgan
o’zaro perpendikulyar va o’qlar tekislikda dekart koordinatalar sistemasini tashkil
etadi. Bu sistemaning o’qiga absissa o’qi va ordinata o’qi va ular birgalikda dekart
koordinata o’qlari deb ataladi . Bunda O koordinata boshi , X,Y mos ravishda
absissa va ordinata o’qlari , o’qlar joylashgan tekislik koordinata tekisligi deb
ataladi.
6
Y
X
O
X – absissa o’qi; Y – ordinata o’qi;
1-chizma
Agar bizga dekart koordinatsi berilgan bo’lsa biz uni yozuvda ifodalashda X
o’qidagi belgilangan sonni birin , Y o’qida belgilangan sonni ikkinchi o’ringa yozib
qavlar ichiga quyidagi ko’rinishda yozamiz; ( x, y) .
Masalan.
. A(3, 5)
B (4 , 6) .
2-chizma
7
Dekart koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani topish
juda ham muhim ahamiyatga ega. Ikki nuqta orasidagi masofani topish uchun
koordinatalrning mos elamentlarini bir-biridan ayrib , kvadratga ko’tarib va ularni
bir-biriga qo’shib ildizdan chiqarib qo’ysak kifoya.
Umumiy formulasi;
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
(1)
1-masala.
A ( 4, 6) va B ( 7, 10) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping?
Yechish .
𝑑 = √(7 − 4)2 + (10 − 6)2 = 5
Javob: 5
2-masala.
A ( 1, 3) va B ( 5, 6) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping?
Yechish . 𝑑 = √(5 − 1)2 + (6 − 3)2 =5
Javob: 5
3-masala.
A ( 2, 5) va B ( 8, -3) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping?
Yechish . d = √(8 − 2)2 + (−3 − 5)2 = 10
Javob: 10
4-masalan.
A ( -6, 5) va B ( 6, 0) berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping?
Yechish . 𝑑 = √(6 + 6)2 + (0 − 5)2 = 13
Javob: 13
Dekart koordinatalar sistemasida XOY
tekislik deb nomlanadi. Bundan
ko’rinadiki , tekislikka biz kesma ham , to’g’ri chiziq ham chizishimiz mumkin.
Kesma ham, to’g’ri chiziq ham koordinatalardan tashkil topgan bo’ladi. Bu
ma’lumotdan esa, kesma va to’g’ri chiziqqa doir bir nacha savollar kelib chiqadi.
8
Dekart koordinatalar sistemasida AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatalarini
toppish ham muhim omillardan biri hisoblanadi. Dekart koordinatalar sistemasida
AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatalarini topish uchun quyidagi
formuladan foydalanamiz. Buning uchun esa biz dekart koordinatalar sistemasida
AB kesmaning ko’rinishini chizib olishimiz kerak.
y
A(x,y)
B(x1,y1)
x
3-chizma
AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatalarini topish uchun formula;
X=
𝑥+𝑥1
2
;
Y=
𝑦+𝑦1
2
(2)
5-masala. Koordinatalari A ( 1, 2) va B ( 5, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma
o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A ( 1, 2) va B ( 5, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula
X=
X=
1+5
2
=3 ;
Y=
2+6
2
𝑥+𝑥1
2
;
Y=
𝑦+𝑦1
2
dan
=4
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (3,4).
6-masalan. Koordinatalari A ( 0, 0) va B ( 5, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma
o’rtasining koordinatasini toping?
9
Yechish .
A ( 0, 0) va B ( 5, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula
𝑥+𝑥1
X =
;
2
X=
0+5
Y =
=2,5 ;
2
𝑦+𝑦1
dan
2
Y=
0+6
=3
2
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (2,5; 3).
7-masalan. Koordinatalari A ( 1, 2) va B ( 0, 6) bo’lgan AB kesmaning kesma
o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A ( 1, 2) va B ( 0, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula
X =
X=
𝑥+𝑥1
;
2
1+0
Y =
=0,5 ;
2
𝑦+𝑦1
dan
2
Y=
2+6
2
=4
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (0,5 ,4).
8-masalan. Koordinatalari A ( 1, 0) va B ( 5, 0) bo’lgan AB kesmaning kesma
o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A ( 1, 0) va B ( 5, 0) berilgan bo’lsa , umumiy formula
X=
𝑥+𝑥1
X=
2
1+5
2
;
Y=
=3;
𝑦+𝑦1
dan
2
Y=
0+0
2
=0
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (3,0).
9-masala. Koordinatalari A ( -1,- 2) va B (- 5,- 6) bo’lgan AB kesmaning
kesma o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A (- 1,- 2) va B (- 5,- 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula
X=
𝑥+𝑥1
2
;
Y=
10
𝑦+𝑦1
2
dan
−1−5
X=
=-3;
2
Y=
−2−6
2
=-4
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (-3,-4).
10-masalan. Koordinatalari A ( 1, -3) va B ( -6, -4) bo’lgan AB kesmaning
kesma o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A ( 1, -3) va B ( - 6,-4) berilgan bo’lsa , umumiy formula
𝑥+𝑥1
X=
X=
2
1−6
;
Y=
=-2,5 ;
2
Y=
𝑦+𝑦1
2
−3−4
2
dan
=-3,5
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (-2,5,-3,5).
11-masala. Koordinatalari A ( 0,- 2) va B ( 5, -6) bo’lgan AB kesmaning
kesma o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A ( 0, -2) va B ( 5, -6) berilgan bo’lsa , umumiy formula
X=
X=
𝑥+𝑥1
2
0+5
2
;
Y=
=2,5 ;
𝑦+𝑦1
2
Y=
dan
−2−6
2
=-4
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (2,5,-4).
12-masala. Koordinatalari A ( 1,- 2) va B (- 5, 6) bo’lgan AB kesmaning
kesma o’rtasining koordinatasini toping?
Yechish . A ( 1,- 2) va B ( -5, 6) berilgan bo’lsa , umumiy formula
X=
X=
𝑥+𝑥1
2
1−5
2
;
Y=
=-2 ;
𝑦+𝑦1
2
Y=
dan
−2+6
2
=2
Javob: AB kesmaning kesma o’rtasining koordinatasi; (-2,2).
11
Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi


Tekislikda O nuqtaga qo’yilgan ikkita e1 , e2 bazis vektorlar berilgan bo’lsin (4chizma ). Bu vektorlar orqali o’tuvchi a va b to’g’ri chiziqlarni olamiz
(
a b  0 ).
1 - Ta’rif. Musbat yo’nalishlari mos ravishda
 
e1 , e2 vektorlar bilan aniqlanuvchi a va b to’g’ri
chiziqlardan iborat bo’lgan sistema tekislikdagi affin


koordinatalar sistemasi deyiladi va 0, e1 , e2 yoki
4-chizma


(0, e1 , e2 ) ko’rinishda belgilanadi. 0 nuqta


koordinatalar boshi e1 , e2
vektorlarni koordinat vektorlar deyiladi; a to’g’ri
chiziqni OX bilan belgilab absissalar o’qi, b to’g’ri chiziqni esa Oy bilan belgilab
ordinatalar o’qi deb ataladi.


Tekislikda (0, e1 , e2 ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Shu
tekislikda birorta N nuqtani olaylik (4- chizma ) ON
vektorni N nuqtaning radius vektori deyiladi.
ON vektorni hamma
vaqt bazis
vektorlari buyicha yoyib yozish mumkin:


ON  xe1  ye2
x, y  R.
5-chizma
(5)
x, y
sonlar ON radius
vektorning koordinatalari deyiladi va ON ( x; y) kabi yoziladi.
12
Radius vektorning x, y koordinatalari N nuqtaning ham koordinatalari deyiladi
va uni N( x, y ) kabi belgilaymiz. Bunda x soni N nuqtaning absissasi yoki birinchi
koordinatasi, y son esa N nuqtaning ordinatasi yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi.
Xullas, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilsa, istalgan N nuqtaga
uning koordinatalari bo’lmish bir juft x, y  R 2  R x R sonlar mos keladi, aksincha,
ma’lum tartibda olingan x, y  R sonlariga, koordinatalari shu sonlardan iborat bitta
N nuqta mos keladi.


Haqiqatan, tekislikda (0, e1 , e2 ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin

(5-chizma) absissalar o’qiga O nuqtadan boshlab ON 1  xe1 vektorni, ordinatalar

o’qiga esa ON 2  ye2 vektorlarni qo’yib, N1 va N2 nuqtalardan OY va OX o’qlarga
parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz, ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan N


nuqta bo’ladi, chunki ON  ON 1  ON 2  xe1  ye2


Shunday qilib, (0, e1 , e2 ) ga nisbatan


N ( x, y)  ON  xe1  ye2
Agar x =0 bo’lsa
Agar y =0 bo’lsa , 𝑁 ∈ 𝑂𝑋 ya’ni 𝑂𝑋 o’qida yotadi.
Shunday qilib, absissa o’qida yotgan nuqta koordinatalari ( x , 0) va ordinata
o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari (0, y ) bo’ladi. Koordinatalar boshining
koordinatalari O(0, 0) bo’ladi.
Koordinat o’qlari tekislikni to’rtta qismga ajratadi. Har bir qismni chorak
deyiladi.
M(x,y) nuqta koordinat o’qlarida yotmasa uning qaysi chorakda yotishini x, y
sonlarning ishorasiga qarab aniqlash mumkin.
13
13-masala. AB vektorning boshi A(x1, y1) va oxiri B(x2, y2) koordinatalari bilan
berilgan bo’lsa, AB vektor koordinatasini toping.(6chizma)
Yechish:


OA  x1e1  y1e2


OB  x2 e1  y 2 e2


AB  OB  OA  ( x2  x1 )e1  ( y 2  y1 )e2
6-chizma
bundan AB( x2  x1 ; y2  y1 )
14-masala. Affin koordinatalar sistemasi berilgan A(3, -2), B(0, 3), C(-2, 0) nuqtalarni
yasang.
Yechish. A nuqtani yasash uchun


OA  3e1  2e2
vektorni yasaymiz.

Buning uchun 0 nuqtadan boshlab e1 vektorga


kollinear ОА1  3e1 vektorni, e2 vektorga kollinear

OA 2  2e2 vektorlarni yasaymiz.
7-chizma
Bu vektorlarning yig’indisini yasasak ОА vektorga ega bo’lamiz va A nuqtani
topamiz.
14
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
Bizga Oxy tekislikda ikkita turli A1 ( x1; y1 ) va A2 ( x2 ; y2 ) nuqtalar berilgan bo’lsin.
A1 A2 kesmani 1 : 2 nisbatda bo’luvchi A nuqtaning x va y koordinatalarini
topaylik.
Aytaylik A1 A2 kesma
x o’qiga parallel bo’lmasin. A1 , A, A2 nuqtalarning y
o’qdagi proyeksiyalari mos ravishda A1 , A, A2 bo’lsin. U holda
A1 A A1 A 1 (4)


AA2 AA2 2
o’rinliligidan va A1 A  y1  y , AA2  y  y2 ekanidan quyidagiga ega bo’lamiz.
y1  y 1 (5)

y  y2 2
A nuqta A1 va A2 nuqtalar orasida yotganidan y1  y va y  y2 ifodalar bir xil
ishorali bo’ladi. Demak
y1  y
y  y 1 (6)
 1

y  y2 y  y2 2
Bundan y ni topsak
y
2 y1  1 y2
2  1
(7)
Xuddi shunga o’xshash
x
Qisqalik uchun
1
2  1
 t u holda
2 x1  1 x2
2  1 (8)
2
2  1
1 t
Yuqoridagi belgilashlarga ko’ra
x  (1  t ) x1  tx2 , y  (1  t ) y1  ty2
15
0  t  11
Tekislikni A va B nuqtalari va   1 haqiqiy son berilgan bo’lsin.
AN   NB
Ta’rif. Agar
shart o’rinli bo’lsa, u holda N nuqta AB kesmani berilgan  nisbatda bo’ladi deyiladi.
 sonni uchta A, B, N nuqtalarning oddiy nisbati deyiladi va  =( AB,N) ko’rinishda
yoziladi. (8-chizma)
Agar  >0 bo’lsa, AN
va
NB vektorlar bir xil
yo’nalgan bo’ladi, N  AB kesmada yotadi, agar  <0
bo’lsa, N  AB . AN
va
NB vektorlar qarama-qarshi
yo’nalgan bo’ladi.
8-chizma
A(x1, y1), B(x2, y2), N(x, y) koordinatalarga ega bo’lsin.
Bo’luvchi N nuqtani koordinatalarini topaylik.
AN ( x  x1 , y  y1 ) , NB( x2  x, y2  y)
formuladan foydalanib quyidagini yozamiz.
x  x1   ( x 2  x )
y  y1   ( y 2  y )
Bundan:
x1  x2
1 
y  y 2
y 1
1 
x
16
(9)
(9) formula berilgan kesmani  nisbatda bo’luvchi nuqta koordinatalarini
topish formulasidir.
Agar  =1 bo’lsa, u holda N nuqta berilgan kesmani teng ikkiga bo’ladi, (9)
x1  x 2
2
y  y2
y 1
2
x
formula quyidagi
(10)
ko’rinishda bo’lib, uni kesma o’rtasining koordinatalarini topish formulasi
deyiladi.
15-masala. Uchlari A(1, 2), B(0, 5), C(-2, 3) nuqtalarda bo’lgan uchburchak
medianalarining kesishgan nuqtasini toping.
Yechish AD mediana D(x, y) nuqta BC tomon o’rta nuqtasi xD=-1, yD=4, D(-1, 4).
Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi O(x, y) bo’lsin, u holda
AO
   2 : 1,   2
OD
x  x2 1  2(1)
1
x 1


1 
3
3
y  y 2 2  2  4 10
y 1


1 
3
3
9-chizma
1 10
).
3 3
Demak, O( ,
17
II-BOB
QUTB KOORDINATALARI. QUTB KOORDINATALARI HAQIDA.
Tekislikda qutb koordinatalarini kiritish uchun birorta
O nuqtani
va bu
nuqtadan o’tuvchi o’qni tanlab olamiz . Tanlangan nuqtani qutb boshi, o’qni esa qutb
o’qi deb ataymiz va uni ℓ bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O
nuqtadan farqli M nuqta uchun ρ bilan | OM| masofani, φ bilan esa ℓ bilan OM nur
orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb koordinatalari
deyiladi va M (ρ,φ) ko’rinishda belgilanadi.
Tekislikning O nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o’rtasidagi moslik
o’zaro bir qiymatli bo’lishi uchun ρ va φ kattaliklar uchun quyidagi chegara
qo’yiladi; 0<ρ<+∞ , 0<φ<2𝜋.
x
φ
y
O
10-chizma
Agar (x,y) Dekart koordinatalar sistemasini 2- chizmadagidek kiritsak,
quyidagi X=ρcosφ , Y= ρsinφ
bog’lanishlarini olamiz. Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo’lsa
, uning qutb koordinatalarini topish uchun
p=√𝑥 2 + 𝑦 2
formula bo’yicha birinchi qutb koordinatalarini topamiz. Ikkinchi qutb koordinatani
topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va φ=
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
arctg , φ=arcctg tengliklardan foydalanishimiz kerak.
18
16-masala. Dekart koordinatasi A ( 3, 4) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga
o’tkazing.
Yechish .
Buning uchun
𝑦
p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg ,
X=ρcosφ , Y= ρsinφ ,
𝑥
𝑥
φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz.
𝑦
p=√32 + 42 =5 ,
1
cosφ=cos(arctgx)=
3
3
4
𝑥
sinφ= sin(arctgφ)=
±√12 +𝑥 2
±√12 +𝑥 2
1
√3
cos(arctgφ)=
=
42 ±5
±√12 +
sin(arctgφ)=
3
`X=±√𝟑
4
φ= arctg , φ=arcctg
4
3
4
±√12 +
=
2
4
±5√3
3
4
, Y=
±√3
Javob: Qutb koordinatasi; (±√𝟑
4
,
±√3
)
17-masala. Dekart koordinatasi A ( 6, 8) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga
o’tkazing.
Yechish .
Buning uchun
𝑦
X=ρ cosφ , Y= ρsinφ ,
p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg ,
𝑥
φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz.
𝑦
8
6
6
8
p=√62 + 82 =10, φ= arctg , φ=arcctg
1
cosφ=cos(arctgx)=
±√12 +𝑥 2
1
√6
cos(arctgφ)=
=
2
±10
8
±√12 +
±√12 +𝑥 2
sin(arctgφ)=
6
X=
±√𝟔
8
6
8
±√12 +
6
8
, Y=
𝑥
sinφ= sin(arctgφ)=
±√6
19
2
=
±10√6
𝑥
Javob: Qutb koordinatasi; ( ±√𝟔
8
, ± √6
)
18- masala. Dekart koordinatasi A ( 5,12) bo’lgan nuqtani, qutb
koordinatasiga o’tkazing.
Yechish .
𝑦
p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg ,
Buning uchun
X=ρcosφ , Y= ρsinφ ,
φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz.
𝑥
𝑥
𝑦
p=√52 + 122 =13 ,
1
cosφ=cos(arctgx)=
±√12 +𝑥 2
1
√5
cos(arctgφ)=
=
122 ±13
±√12 +
φ= arctg
5
, φ=arcctg
5
12
𝑥
sinφ= sin(arctgφ)=
±√12 +𝑥 2
sin(arctgφ)=
5
X=
12
12
5
12
±√12 +
=
2
12
±13√5
5
12
±√𝟓
, Y=
±√5
Javob: Qutb koordinatasi; ( ±√𝟔
8
, ± √6
)
19-masala. Dekart koordinatasi A ( 1, 2) bo’lgan nuqtani, qutb koordinatasiga
o’tkazing.
Yechish .
Buning uchun
𝑦
p=√𝑥 2 + 𝑦 2 , φ= arctg ,
X=ρcosφ , Y= ρsinφ ,
𝑥
𝑥
φ=arcctg formulalaridan foydalanamiz.
𝑦
p=√12 + 22 =√5 ,
φ= arctg2 , φ=arcctg
1
cosφ=cos(arctgx)=
±√12 +𝑥 2
cos(arctgφ)=
1
±√12 +22
X=
±1
, Y=
=
1
± √5
1
2
𝑥
sinφ= sin(arctgφ)=
±√12 +𝑥 2
sin(arctgφ)=
2
±√12 +22
±2
Javob: Qutb koordinatasi; ( ±𝟏, ±2).
20
=
2
±√5
XULOSA
Hozirgi kunda akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablarida o’quvchilarga
ta’lim-tarbiya berishga kata e’tibor qaratilmoqda. Albatda buning uchun o’ziga
yarasha islohotlar qilinmoqda. Shu qatorda biz ham kelajak yosh avlodni
ma’naviyatli, bilimli bo’lib, ulg’ayishiga o’z hissamizni qo’shishimiz darkor.
O’ylaymanki mazkur kurs ishim, akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablari
o’quvchilarini shu mavzu borasida chuqur bilim egallashida ko’mak bo’ladi.
Bundan tashqari akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablari ustozlari ham
foydalanishlari mumkin.
Ushbu kurs ishida kirish, ikkita bob, uchta paragraf, xulosa va oxirida
foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati berilgan. Kirish qismida hozirgi davrda ta’lim
sohasiga qaratilayotgan e’tibor, bitiruv malakaviy ishini maqsadi va shu maqsadda
olib borilgan ishlar, vazifalari haqida so’z yuritiladi.
Birinchi bob Koordinatalar . Dekart koordinatalari haqida
ma’lumotlar deb
nomlangan bo’lib, bitta paragrafga bo’lingan. Birinchi paragraf
koordinatalar
Dekart
sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani topish yechish deb
nomlanadi va ushbu paragrafda dekart koordinatalar sistemasini aniqlash, analitik
usulda yechish va unga doir misollar ko’rsatib o’tilgan.
Ikkinchi bob qutb koordinatalari . Qutb koordinatalari haqida deb nomlangan
bo’lib, ushbu bob ham ikkita paragrafdan iborat. Ikkinchi bobning birinchi paragrafi
nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish va uning tahlili deb
nomlanadi va unda birinchi bobda ko’rilga dekart koordinatalar sistemasining
geometrik talqini ya’ni grafik ko’rinishi tahlil qilinadi. Qutb koordinatalar
sistemasidan dekartga o’tish yoki aksincha dekart koordinatalar sistemasidan qutb
koordinatalar sistemasiga o’tish va uning grafiklari qay tarzda chizilshi, grafikdan
yechimlarini topilishi to’g’risida so’z yuritiladi. Ikkinchi paragraf
21
Qutb
koordinatalari sistemasida ikki nuqta orasidagi masofani grafik usulda topish va
uning tahlili deb nomlanib, unda qutb koordinatalarida ikki nuqta orasidagi masofani
topish, ularni grafiklarini chizish, grafiklardan foydalanish to’g’risida so’z yuritilib,
bir qancha misollar grafiklari bilan beriladi. Kurs ishini so’ngida foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxati va foydalanilgan saytlar ko’rsatilib o’tilgan.
Albatta ushbu kurs ishi nazariy va amaliy izlanishlar asosida tuzilgan bo’lib,
akademik litsey va o’rta umumiy ta’lim maktablari ustozlari, o’quvchilar, umuman
olganda shu mavzuni talabalarga chuqur o’rganishda yordam beradi degan
umiddaman.
22
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Sh. M Mirziyoyev “Erkin va farovon, demokratik O`zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz” asari, Toshkent “O`zbekiston” 2016-yil, 5-bet.
2. O`zbekiston Respublikasi Prezidentining “Oliy ta`lim tizimini yanada
rivojlantirish chora tadbirlari to`grisida” PQ-2909 sonli Qarori, 2017-yil, 20-aprel.
3. “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” to’g’risida O’zbekiston Respublikasi
qonuni. Barkamol avlod-O’zbekiston taraqqiyotining poydevori.-Т. ”SHARQ”
1997.
4. Umumiy o’rta ta’limning Davlat ta’lim standartlari va o’quv dasturi:
Физика, Математика, Информатика ва хисоблаш техникаси,Чизмачилик,
Мехнат. Таълим тараққиёти. Ўзбекистон Халқ таълими вазирлигининг
ахборотномаси. 4-махсус сон-Т.:”Шарқ”, 1999.-384б.
5. Algebra va matematik analiz asoslari. Akademik litseylar uchun darslik
Abduxamedov A. U., Nasimov X. A, Nosirov U. M., Xusanov J. X. /N. A.
Nasimovning umumiy taxriri ostida;/ O‘zbekiston Respublikasi Oliy va
o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, O‘rta maxsus, kasb-xunar ta’limi markazi. 7-nashr.T.: “O‘qituvchi” NMIU, 2008.Q.I.-400 b.
6. Algebra va matematik analiz asoslari. 2-qism. Akademik litseylar uchun
darslik. Mualliflar: A.U.Abduxamedov v.b. -T.: “O‘qituvchi”, 2003.-2-nashri.
368- b.
7. Algebra va analiz asoslari: Akademik litsey va kasb-xunar kollejlari
uchun
darslik.
R.Vafaev,
J.Xusanov,
“O‘qituvchi”,2003.-368 b.
23
K.X.Fayziev
va
boshq.
-T.:
8. Mirzaahmedov М. А va boshqalar. Matematik analiz va uning asoslari –
Т.: “O’qituvchi”, 1989. – 196 b.
9. “Algebra va matematik analiz asoslari yechimlari” (umumta’lim
maktablari, akademik litsey va kasb-xunar o‘qituvchilari uchun qo‘llanma). A.
Axlimirzaev, M. Ibragimov, A. Rizaev, T. Nishonov, N. Jo‘raev. Andijon-2015
y.84-b.
10. A. A.Narmonov “Analitik geometriya” o’qituvchilar uchun qo’llanma.
Toshkent “O’qituvchi” 1997.
11. A. G’aziyev, I. Isroilov, M. Yaxshiboyev “Funksiyalar va grafiklar”,
“Voris-nashriyot” Toshkent-2006
24
FOYDALANILGAN SAYTLAR
Internet: http://www.zensh.ru/study/moodles.php.course
Internet: http://www.ziyouz.com kutubxonasi
Internet: http://www.sistemasauto.ru
Internet:http://www.wikipedia.com
Internet: http://www.orginalfayl.uz
Internet: http://www.referat.uz
25