VI
경우의 수
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2017-04-27 오후 5:05:18
| 이 단원을 배우면 |
•합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.
•순열의 의미를 이해하고, 순열의 수를 구할 수 있다.
•조합의 의미를 이해하고, 조합의 수를 구할 수 있다.
자
유점
브라
. 순열과 조합
이야기 속에 증명이 있다 !
진로 탐색
인공지능 전문가
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1
스스로 준비하는 중단원
중 수학 1 |
좌표평면과 그래프
중 수학 2 |
확률과 그 기본 성질
중 수학 2 |
확률과 그 기본 성질
1. a+b=10이 되는 자연수 a, b의
2. 한 개의 주사위를 던질 때, 나오
3. 한 개의 동전과 한 개의 주사위를
순서쌍 (a, b)의 개수를 구하라.
는 눈의 수가 2의 배수인 경우의 수
동시에 던져 나올 수 있는 모든 경우
를 구하라.
의 수를 구하라.
순열과 조합
01. 경우의 수
02. 순열
03. 조합
지하철이나 엘리베이터 등에서 쉽게 찾을 수 있는 브라유 점자는 시각 장애인들
이 사용하는 문자로, 시각 장애인들에게 세상과 소통할 길을 열어주는 역할을 한다.
브라유 점자는 직사각형 모양으로 배열된 6개의 돌출된 점으로 글자와 숫자 등
을 나타낸다. 예를 들어, 숫자를 사용할 때는 숫자를 나타내는
하는
을 사용하여
와 수 1을 의미
과 같이 나타낸다.
이처럼 6개의 점의 일부 또는 전부를 사용하여 나타낼 수 있는 경우의 수는 모
두 63이다.
위의 글에서 제시된 중심 단어나 문장을 도서관이나 인터넷을 통해 알아보고 이 단원의 학습 내용의 중요성을 말해 보자.
258
VI. 경우의 수
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1
순열과 조합
들어가기 전에
순서쌍의 뜻을
설명할 수 있나요?
예
아니오 258쪽
경우의 수
학습 목표
•합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.
합의 법칙과 곱의 법칙이란 무엇일까?
생각과
활동
지윤이는 다음 그림의 셔츠 3벌, 반바지 3벌, 긴바지 2벌 중에서 가족 여행 때 입을 옷을 고르
려고 한다.
활동 1 반바지 3벌, 긴바지 2벌 중에서 하의 한 벌을 고르는 경우의 수를 구해 보자.
활동 2 지윤이는 하의로 긴바지를 입기로 결정했다. 셔츠 3벌을 각각 A, B, C라 하고, 긴바지 2벌을 각각 a,
b라고 하자. 지윤이가 셔츠와 긴바지를 짝 지어 입는 방법을 나타낸 수형도를 완성하고, 그 경우의 수
를 구해 보자.
사건이 일어나는 모든
경우를 나뭇가지 모양의
그림으로 나타낸 것을 수
형도(tree graph)라고
한다.
셔츠
A
A
B
C
긴바지
a
b
B
C
a
b
1. 순열과 조합
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259
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한 개의 주사위를 던질 때, 5의 약수 또는 짝수의 눈이 나오는 경우의 수를 구해 보자.
합의 법칙
주사위의 눈의 수가 5의 약수인 경우는
1, 5의 2가지
이고, 주사위의 눈의 수가 짝수인 경우는
2, 4, 6의 3가지
이다.
이때 5의 약수의 눈이 나오는 경우와 짝수의 눈이 나오는 경우는 동시에 일어날 수 없
으므로 구하는 경우의 수는
2+3=5
이다.
일반적으로 경우의 수에 대하여 다음과 같은 합의 법칙이 성립한다.
합의 법칙
반복할 수 있는 실험이나
관찰에 의하여 일어나는 결
과를 사건이라고 한다.
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A, B가 일어나는 경우의 수가 각각
m, n이면 사건 A` 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n이다.
참고
합의 법칙은 어느 두 사건도 동시에 일어나지 않는 셋 이상의 사건에 대해서도 성립
한다.
합의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기
예제 1
풀이
20 이하의 자연수 중에서 3의 배수 또는 7의 배수의 개수를 구하라.
과정 1.
3의 배수와 7의 배수의 개수 구하기
20 이하의 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18의 6개
20 이하의 자연수 중에서 7의 배수는 7, 14의 2개
과정 2.
합의 법칙을 이용하여 개수 구하기
이때 20 이하의 자연수 중에서 3과 7의 공배수, 즉 21의 배수는 없으므로 20 이하의 자연수
중에서 3의 배수 또는 7의 배수의 개수는 합의 법칙에 의하여 6+2=8
1.
260
답
1부터 15까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 15장의 카드 중에서 한 장을 택할 때, 4의 배수 또
는 5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하라.
VI. 경우의 수
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2017-04-27 오후 5:05:50
2.
어느 요리 방송에서 오른쪽 표와 같이 한식 3가지, 양
한식
양식
식 2가지 중에서 한 가지 음식의 조리법을 소개하려고
불고기
스테이크
한다. 방송에서 조리법을 소개할 음식을 택하는 경우의
잡채
크림 파스타
수를 구하라.
곱의 법칙
비빔밥
서로 다른 두 개의 주사위 A, B를 동시에 던질 때, 주사위 A의 눈의 수는 2의 배수가
나오고 주사위 B의 눈의 수는 3의 배수가 나오는 경우의 수를 구해 보자.
주사위 A의 눈의 수가 2의 배수인 경우는
2, 4, 6의 3가지
이고, 그 각각의 경우에 대하여 주사위 B의 눈의 수가 3의 배수인 경우는
3, 6의 2가지
이다.
A
2
4
6
B
(A, B)
3
6
3
6
3
6
(2,
(2,
(4,
(4,
(6,
(6,
ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ
순서쌍으로 나타내면
3)
6)
3)
6)
3)
6)
따라서 위 그림과 같이 구하는 경우의 수는
3_2=6
이다.
일반적으로 경우의 수에 대하여 다음과 같은 곱의 법칙이 성립한다.
곱의 법칙
두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고 그 각각에 대하여 사건
B가 일어나는 경우의 수가 n일 때, 두 사건 A, B가 잇달아 일어나는 경우의 수는 m_n
이다.
참고
곱의 법칙은 잇달아 일어나는 셋 이상의 사건에 대해서도 성립한다.
1. 순열과 조합
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261
2017-04-27 오후 5:05:52
곱의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기
예제 2
두 자리 자연수 중에서 십의 자리의 숫자는 짝수이고, 일의 자리의 숫자는 홀수인 것의 개
수를 구하라.
풀이
과정 1.
십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것의 개수 구하기
십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 2, 4, 6, 8의 4개
일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5, 7, 9의 5개
과정 2.
곱의 법칙 이용하여 개수 구하기
따라서 구하는 두 자리의 자연수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 4_5=20
3.
답
학교, 체육관, 집을 잇는 길이 오른쪽 그림과 같
을 때, 학교에서 체육관을 거쳐 집까지 가는 경
우의 수를 구하라. (단, 같은 지점은 중복하여
지나지 않는다.)
4.
현진이는 1부터 10까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 10장의 카드를 가지고 있고, 창훈이는
1부터 5까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 5장의 카드를 가지고 있다. 두 사람이 자신이 가지
고 있는 카드 중에서 각각 한 장씩 택했을 때, 두 장의 카드에 적힌 수의 곱이 홀수가 되는 경우
의 수를 구하라.
생각
키우기
문제 해결 의사소통
약수의 개수와 곱의 법칙
다음은 오른쪽 표를 이용하여 24의 약수의 개수를 구하는 방법이다.
❶ 24를 소인수분해하면 24=2Ü`_3이다.
❷ 2Ü`의 약수는 1, 2, 2Û`, 2Ü`의 4개이고, 3의 약수는 1, 3의 2개이다.
❸ 24의 약수는 2Ü`의 약수와 3의 약수 중에서 각각 하나씩 택하여 곱한 수이므
로 24의 약수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 4_2=8이다.
_
1
3
1
1
3
2
2
2_3
2Û`
2Û`
2Û`_3
2Ü`
2Ü`
2Ü`_3
위와 같은 방법으로 다음 수의 약수의 개수를 구해 보자.
⑴ 54
262
⑵ 72
⑶ 725
VI. 경우의 수
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2017-04-27 오후 5:05:53
들어가기 전에
곱의 법칙을
설명할 수 있나요?
아니오 261쪽
예
순열
학습 목표
•순열의 의미를 이해하고, 순열의 수를 구할 수 있다.
순열이란 무엇일까?
생각과
활동
반드시 승부를 갈라야 하는 축구 경기의 결과가 무승부인 경우에는 각 팀의 선수가 한 번씩 번
갈아 가며 승부차기를 하여 승부를 결정한다.
활동 1 11명의 선수 중에서 서로 다른 5명의 선수를 선발하여 승부차기 순서를 정하려고 한다. 다음 표를 완성
하고 승부차기 순서를 정하는 경우의 수를 구해 보자.
순서
첫 번째
두 번째
경우의 수
11
10
세 번째
네 번째
다섯 번째
세 개의 숫자 1, 2, 3 중에서 서로 다른 두 개의 숫자를 택하여 두 자리 자연수를 만드
는 경우의 수를 구해 보자.
수학자 이야기
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3의 3가
지이고, 그 각각에 대하여 일의 자리에 올 수 있
는 숫자는 십의 자리 숫자를 제외한 나머지 2개
인도의 수학자 바스카라
(Bhaskara, A., 1114~1185)
는 순열과 조합을 처음 발견
한 수학자로 알려져 있다.
십의 자리
2
3
1
3
1
2
1
의 숫자 중 하나이다. 따라서 만들 수 있는 두 자
2
리의 자연수는 곱의 법칙에 의하여
3
3_2=6
일의 자리
3
_
2
두 자리 자연수
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
=
12
13
21
23
31
32
6
이다.
이와 같이 서로 다른 n개에서 r (0<rÉn)개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 n개에
서 r개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 기호
ÇP¨
ÇP¨의 P는 permutation
(순열)의 첫 글자이다.
로 나타낸다.
1. 순열과 조합
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263
2017-04-27 오후 5:05:58
이제 순열의 수 ÇP¨를 구하는 방법을 알아보자.
서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 나열할 때, 첫 번째 자리에 올 수 있는 것은
n가지이고, 그 각각에 대하여 두 번째 자리에 올 수 있는 것은 첫 번째 자리에 놓인 것
을 제외한 (n-1)가지이다. 이와 같이 계속하면 r번째 자리에 올 수 있는 것은 앞의
(r-1)자리에 놓인 것을 제외한 n-(r-1), 즉 (n-r+1)가지이다.
y
첫 번째
두 번째
세 번째
n가지
(n-1)가지
(n-2)가지
r번째
y
(n-r+1)가지
따라서 곱의 법칙에 의하여 다음이 성립한다.
ÇP¨=n(n-1)(n-2)`y`(n-r+1)
r개
이상을 정리하면 다음과 같다.
서로 다른 것의 개수
Pr=n
=n(n-1)`y`(n-r+1)
n
순열의 수 ⑴
서로 다른 n개에서 r (0<rÉn)개를 택하는 순열의 수는
r개
택하는 것의 개수
ÇP¨=n(n-1)(n-2)`y`(n-r+1)
개념 확인
1. °Pª=5_4=20
1.
2. ¤P£=6_5_4`=120
다음 값을 구하라.
⑴ ¦Pª
⑵ ¥PÁ
순열의 수 구하기 ⑴
예제 1
풀이
회원이 10명인 어느 동아리에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하라.
회원 10명 중에서 회장, 부회장을 뽑는 경우의 수는 10명 중에서 서로 다른 2명을 택하여 일
렬로 세우는 순열의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 Á¼Pª=10_9=90
2.
답
제주도 관광지인 우도, 섭지코지, 성산 일출봉, 천지연 폭포의 네 곳 중에서 세 곳을 택한 후 순
서를 정하여 관광하는 경우의 수를 구하라.
264
VI. 경우의 수
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2017-04-27 오후 5:06:00
서로 다른 n개에서 n개 모두를 택하는 순열의 수는 ÇP¨에서 r=n인 경우이므로
ÇPÇ=n(n-1)(n-2)_`y`_3_2_1`
이다.
이때 이 식의 우변과 같이 1부터 n까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 n의 계승이라 하
고, 이것을 기호 n!로 나타낸다. 즉,
n!=n(n-1)(n-2)_`y`_3_2_1`
n!에서 !을 ‘factorial’
이라고 읽는다.
이다.
한편, 0＜r＜n일 때, 순열의 수 ÇP¨를 계승을 사용하여 나타내면
수학자 이야기
ÇP¨=n(n-1)(n-2)`y`(n-r+1)
최석정 (崔錫鼎, 1646~
1715)은 구수략에서 마방
진의 원리를 소개했고, 순열
의 원리를 이용하여 직교 라
틴방진을 구성했다.
=
n(n-1)(n-2)`y`(n-r+1)(n-r)_`y`_3_2_1
(n-r+1)(n-r)_`y`_3_2_1
(n-r)_`y`_3_2_1
=
n!
(n-r)!
이다. 여기서 r=n일 때, (좌변)=ÇPÇ=n!이고 (우변)=
n!
n!
이므로 ÇP¨=
이
0!
(n-r)!
성립하도록 0!=1로 정의한다.
또, r=0일 때, ÇP¼=
n!
이 성립하도록 ÇP¼=1로 정의한다.
(n-0)!
이상을 정리하면 다음과 같다.
순열의 수 ⑵
❶ ÇPÇ=n!, 0!=1, ÇP¼=1
❷ ÇP¨=
n!
(단, 0ÉrÉn)
(n-r)!
개념 확인
1. ¢P¢=4!=4_3_2_1=24
3.
5_4_3_2_1
=60
2_1
다음 값을 구하라.
⑴ £P£
4.
5!
2. °P£= (5-3)! =
다음
⑶ ¦P¼
⑵ 5!_0!
안에 알맞은 수를 써넣으라.
⑴ ¤P¢=
6!
````````````
2 !
⑵ ¥P =
8!
5!
1. 순열과 조합
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265
2017-04-27 오후 5:06:01
순열의 수 구하기 ⑵
예제 2
다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 서로 다른 세 개를 택해 일렬로 나열하여 세 자리의 자
연수를 만들 때, 짝수의 개수를 구하라.
풀이
짝수가 되는 것은 일의 자리의 숫자가 2, 4인 두 가지 경우이다.
이때 나머지 2개의 숫자를 배열하는 경우의 수는 일의 자리에 오
는 숫자를 제외한 나머지 4개의 숫자 중에서 2개를 택하는 순열의
2, 4
¢Pª _ 2
수이므로 ¢Pª이다.
따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 짝수의 개수는 2_¢Pª=2_4_3=24
5.
답
여섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 서로 다른 세 개를 택해 일렬로 나열하여 세 자리의 자연
수를 만들 때, 다음을 구하라.
⑵ 300보다 작은 수의 개수
⑴ 홀수의 개수
순열의 수 구하기 ⑶
예제 3
오른쪽 그림과 같이 A, B를 포함한 다섯 명의 친구들
이 버스 뒷좌석에 한 줄로 나란히 앉을 때, A, B가 서
로 이웃하게 앉는 경우의 수를 구하라.
풀이
A, B를 한 사람으로 생각하면 모두 4명이고, 4명이 한
줄로 앉는 경우의 수는 4!이다.
이때 각 경우에 대하여 A, B의 두 사람이 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 구하는 경
우의 수는 4!_2!=24_2=48`
6.
답
남학생 4명, 여학생 2명이 일렬로 서서 사진을 찍으려고 할 때, 다음을 구하라.
⑴ 여학생 2명이 서로 이웃하게 서는 경우의 수
⑵ 남학생이 양 끝에 서는 경우의 수
생각
키우기
내 인생의 버킷 리스트
의사소통 태도 및 실천
버킷 리스트는 살아가면서 꼭 해 보고 싶은 것들을 정리한 목록을 말한다. 자신의 버킷 리스
트를 적어 보고, 실행하는 순서를 정하는 경우의 수를 발표해 보자.
266
VI. 경우의 수
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2017-04-27 오후 5:06:05
들어가기 전에
순열을 설명할 수
있나요?
예
아니오 263쪽
조합
학습 목표
•조합의 의미를 이해하고, 조합의 수를 구할 수 있다.
조합이란 무엇일까?
생각과
활동
수민이는 방학 동안 세 권의 책 A, B, C 중에서 서로 다른 2권을 택하여 읽으려고 한다.
A
B
C
활동 1 읽는 순서를 생각하지 않을 때, 서로 다른 2권을 택하는 경우를 모두 나열해 보자.
활동 2 서로 다른 2권을 택하여 읽는 순서를 정하는 경우를 모두 나열해 보자.
네 개의 문자 a, b, c, d 중에서 순서를 생각하지 않고 두 개를 택하는 방법은 a와 b,
a와 c, a와 d, b와 c, b와 d, c와 d의 6가지이다.
이와 같이 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r (0<rÉn)개를 택하는 것을
n개에서 r개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호
ÇC¨의 C는 combination
(조합)의 첫 글자이다.
ÇC¨
로 나타낸다.
1. 순열과 조합
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267
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이제 순열과 조합의 관계를 이용하여 조합의 수 ÇC¨를 구하는 방법을 알아보자.
네 개의 문자 a, b, c, d 중에서 두 개를 택하는 조합의 수는 ¢Cª이고, 그 각각에 대하
여 다음과 같이 2!가지의 순열을 만들 수 있다.
조합
a와 b
a와 c
a와 d
b와 c
b와 d
c와 d
ab
ba
ac
ca
ad
da
bc
cb
bd
db
cd
dc
순열
따라서 전체 순열의 수는 ¢Cª_2!이다. 이것은 4개에서 2개를 택하는 순열의 수 ¢Pª
와 같으므로
¢Cª_2!=¢Pª, ¢Cª=
¢Pª
2!
이다.
일반적으로 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수는 ÇC¨이고, 그 각각에 대하여
r개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 r!이다. 그런데 이것은 서로 다른 n개에서 r개를 택
하는 순열의 수인 ÇP¨와 같으므로
ÇC¨_r!=ÇP¨, ÇC¨=
ÇP¨
n!
=
r!
r!(n-r)!
이다.
여기서 r=0일 때, ÇC¼=
0!=1이다.
n!
이 성립하도록 ÇC¼=1로 정의한다.
0!(n-0)!
이상을 정리하면 다음과 같다.
조합의 수
서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수는
ÇP¨
ÇC¨=
r!
ÇC¨=
ÇC¨=
n(n-1)`y`(n-r+1)
r!
ÇP¨
n!
(단, 0ÉrÉn)
=
r! r!(n-r)!
개념 확인
¤C£=
1.
다음 값을 구하라.
⑴ °Cª
268
¤P£ 6_5_4
=
=20
3!
3_2_1
⑵ ¦C¦
⑶ Á¼C¼
VI. 경우의 수
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2017-04-27 오후 5:06:10
조합의 수를 이용하여 등식이 성립함을 증명하기
예제 1
0ÉrÉn일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하라.
ÇC¨=ÇCÇШ
증명
2.
ÇCÇШ=
n!
n!
=
=ÇC¨
(n-r)!{n-(n-r)}! r!(n-r)!
다음 등식을 만족시키는 자연수 n 또는 r의 값을 구하라.
⑵ ¥C¨=¥C¨Ð¢
⑴ ÇC¢=ÇC°
조합의 수 구하기 ⑴
예제 2
지혁이네 학급은 봉사 활동을 하려고 한다. 서로 다른 7개의 장소 중에서 서로 다른 4개의
장소를 택하는 경우의 수를 구하라.
풀이
서로 다른 7개의 장소 중에서 서로 다른 4개의 장소를 택하는 경우의 수는
¦C¢=¦C£=
7_6_5
=35`
3_2_1
답
3.
집합 {a, b, c, d, e}의 부분집합 중에서 원소의 개수가 2인 집합의 개수를 구하라.
4.
오른쪽 그림과 같이 원의 둘레 위에 서로 다른 6개의 점이 있다. 다음을 구
하라.
⑴ 두 개의 점을 이어서 만들 수 있는 선분의 개수
⑵ 세 개의 점을 이어서 만들 수 있는 삼각형의 개수
1. 순열과 조합
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조합의 수 구하기 ⑵
예제 3
1부터 9까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 9개의 공 중에서 4개의 공을 동시에 택할 때, 홀
수가 적힌 공 2개와 짝수가 적힌 공 2개를 꺼내는 경우의 수를 구하라.
풀이
과정 1.
홀수가 적힌 공의 개수와 짝수가 적힌 공의 개수 구하기
1부터 9까지의 자연수가 적힌 공 중에서 홀수가 적힌 공은 5개, 짝수가 적힌 공은 4개이다.
과정 2.
조합을 이용하여 경우의 수 구하기
홀수가 적힌 공 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 °Cª이고, 짝수가 적힌 공 4개 중에서
2개를 꺼내는 경우의 수는 ¢Cª이다.
과정 3.
곱의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 °Cª_¢Cª=
5_4 4_3
_
=60`
2_1 2_1
답
5.
남학생 4명과 여학생 3명으로 구성된 댄스 동아리 회원 중에서 댄스 대회에 출전할 3명의 학생
6.
오른쪽 그림과 같이 3개의 평행선과 5개의 평행선이 만나고 있다. 이들
을 뽑을 때, 남학생 1명과 여학생 2명을 뽑는 경우의 수를 구하라.
평행선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구하라.
생각
키우기
추론 정보 처리
모바일 앱으로 구하는 순열과 조합
1. 1부터 30까지의 자연수 중에서 5개의 수를 뽑아 일렬
2. 1부터 30까지의 자연수 중에서 서로 다른 5개의 수를
로 나열하는 경우의 수를 모바일 앱으로 구해 보자.
❶ 30
30을 입력한다.
버튼을 누르고 5와 =
=를 차례로 입력한다.
❷
택하는 경우의 수를 모바일 앱으로 구해 보자.
❶ 30
30을 입력한다.
❷
버튼을 누르고 5와 =
=를 차례로 입력한다.
3. 11명의 축구 선수 중에서 5명을 선발하여 1번부터 5번까지 승부차기 순서를 정하는 경우의 수를 모바일 앱을 이
용하여 구해 보자.
270
VI. 경우의 수
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이야기 속에 증명이 있다!
추론 의사소통 창의·융합 태도 및 실천
n!
을 이용하면 조합에 대한 여러 가지 등식이 성립함을 증명할 수 있
r!(n-r)!
지만, 다음과 같이 이야기로 등식이 성립함을 증명할 수도 있다. 다음 활동을 해 보자.
조합의 수 ÇC¨=
체리 맛
딸기 맛
초콜릿 맛
망고 맛
`: 와! 맛있는 아이스크림이다.
`: 체리, 딸기, 초콜릿, 망고 4가지 맛이 있어.
`: 나는 4가지 맛 중에서 3가지를 고를 거야.
`: 그러면 ¢C£가지 경우가 있어.
`: 맞아! 4가지 맛 중에서 제외되는 1가지 맛을 고르는 경우의 수와 같지. 그러니까 ¢C£=¢CÁ
이야.
이와 같이 n개에서 r개를 택하는 조합의 수는 n개에서 필요하지 않은 (n-r)개를 택하여
제외하는 조합의 수와 같으므로 등식 ÇC¨=ÇCÇШ (0ÉrÉn)가 성립한다.
활동 1
등식 ÇC¨=ÇÐÁC¨ÐÁ+ÇÐÁC¨ (1Ér<n)이 성립함을 모둠별로 이야기를 만들어 발표하고, 그 방법을 비
교해 보자.
활동 평가
모둠별 활동을 서로 평가해 보자.
평가 항목
내용
태도
3점 잘함
2점 보통
1점 부족
모둠 평가
A
B
C
D
E
활동 1 의 등식이 성립함을 설명하는 방법을 정확하게 발표했다.
모둠 내 활동에 적극적으로 참여했다.
다른 모둠의 발표 내용을 이해하기 위해 노력했다.
1. 순열과 조합
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스스로 익히는
순열과 조합
개념 1
개념을 정리하고, 얼마나 이해했는지 문제를 통해 확인해 보자.
개념 1
합의 법칙
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사
건 A, B가 일어나는 경우의 수가 각각 m, n이
260쪽
01. 두 자리의 자연수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 2 또는 9인 수의
개수를 구하라.
면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수
는 ① m+n 이다.
개념 2
개념 2
곱의 법칙
262쪽
사건 A가 일어나는 경우의 수가 m, 그 각각에
02. 1부터 7까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 7장의 카드에서 2장을
대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n일 때,
동시에 택할 때, 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 홀수가 되는 경우
두 사건 A, B가 잇달아 일어나는 경우의 수는
의 수를 구하라.
② m_n 이다.
개념 3
순열
⑴ 서로 다른 n개에서 r (0<rÉn)개를 택하여
일렬로 나열하는 것을 n개에서 r개를 택하는
개념 3
264쪽
03. 다음을 구하라.
순열이라 하고, 이 순열의 수를 기호 ③ nPr
⑴ 4명을 일렬로 세우는 경우의 수
로 나타낸다.
⑵ 6명의 학생들 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수
⑵ 1부터 n까지의 자연수를 차례대로 곱한 것
을 n의 ④ 계승 이라 하고, 기호 n!로 나타
낸다.
⑶ ① nPn=n!, 0!=⑤ 1 , nP0=⑥ 1
② nPr= ⑦
n!
(단, 0ÉrÉn)
(n-r)!
개념 4
268쪽
04. 다음을 구하라.
⑴ 8명의 학생 중에서 청소 당번 3명을 뽑는 경우의 수
개념 4
⑵ 학급 회장을 포함한 8명의 학생 중에서 학급 회장을 포함하지
조합
⑴ 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고
않고 청소 당번 3명을 뽑는 경우의 수
r (0<rÉn)개를 택하는 것을 n개에서 r개
를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기
호 ⑧ nCr 로 나타낸다.
⑵ ① nCr=
n!
ÇP¨
=⑨
r!(n-r)!
r!
(단, 0ÉrÉn)
② nC0=⑩ 1
개념 2
261쪽
05. 서로 다른 6개의 상자에서 상자 3개를 택하여 서로 다른 공 3개를
각 상자에 한 개씩 넣는 경우의 수를 구하라.
272
VI. 경우의 수
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정답 및 풀이 312쪽
중단원 학습 점검
자기 평가
개념 3
264쪽
06. 두 집합 X={a, b, c, d}, Y={1, 2, 3, 4}에 대하여 함수
맞힌 개념에 해당하는 칸에 색칠하고
정답률을 나타내 보자.
f`: X 24Ú Y 중에서 일대일대응의 개수를 구하라.
①
⑩
②
⑨
%
③
④
⑦
⑤
개념 4
⑧
⑥
269쪽
07. 오른쪽 그림과 같이 원의 둘레 위에 같은 간격
각 개념별로 해결한 문제 수만큼 색칠해
보자.
으로 서로 다른 8개의 점이 있다. 이 점 중에서
세 개의 점을 이어서 만들 수 있는 직각삼각형
개념 1
의 개수를 구하라.
개념 2
개념 3
개념 4
개념 4
268쪽
각 난이도별로 해결한 문제 수를 세어
보자.
08. A를 포함한 6명의 쇼트 트랙 스케이트 선수 중에서 단체전에 출
/4
/2
/3
전할 대표 선수 4명을 뽑을 때, 다음을 구하라.
⑴ A 선수를 반드시 포함하여 뽑는 경우의 수
⑵ A 선수를 포함하여 대표 선수 4명을 뽑아 경기할 순서를 정할
때, A 선수를 맨 마지막에 배치하는 경우의 수
이 단원에서 나의 학습 만족도를 평가해
보자.
0
25
50
75
100%
잘한 점은 발전시키고, 부족한 점은 보
완할 수 있도록 학습 계획을 세워 보자.
개념 4
268쪽
09. 다음 조건을 만족시키는 자연수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)
의 개수를 구하라.
다음 단원에서 우리는
㈎ abc는 홀수
㈏ a<b<cÉ12
순열과 조합을 다양한 상황에 적용할 수 있도
록 사고를 확장해 본다.
중단원 학습 점검
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스스로 마무리하는
경우의 수
260쪽
261쪽
01. 주머니 안에 1,`2,`3,`4의 숫자가 각각 하나씩 적
04. 어느 피자 가게에서는 토핑의 종류에 따라 아래
힌 4장의 카드가 있다. 주머니에서 2장의 카드를
표와 같이 구분하고, 크기에 따라 레귤러, 라지,
동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 두 수의 곱이 6 이하
패밀리 사이즈로 구분하여 판매하고 있다. 이 가
가 되는 경우의 수는?
게에서 피자 한 판을 주문하는 경우의 수는?
①1
②2
④4
⑤5
③3
건강한 피자
바다에서 온 피자
인기 많은 피자
단호박 피자
고구마 피자
야채 피자
새우 피자
모둠 해물 피자
콤비네이션 피자
치킨 피자
불고기 피자
스테이크 피자
261쪽
02. 다항식
(a+b+c+d)(x-y)를 전개했을 때,
항의 개수는?
①6
②8
④ 12
⑤ 14
① 21
② 24
④ 30
⑤ 33
③ 27
③ 10
262쪽
05. 162의 약수 중에서 3의 배수의 개수는?
264쪽
03.
겨울 방학 동안 6권의 권장 도서 중에서 서로 다른
네 권을 택한 후 순서를 정하여 읽는 경우의 수는?
① 15
② 30
④ 240
⑤ 360
학습 관리
①2
②4
④8
⑤ 10
③ 120
문제를 얼마나 잘 풀었는지 스스로 점검해 보자.
평가 항목
③6
01
3점 매우 만족
02
03
04
05
2점 만족
06
07
1점 노력을 요함
08
09
10
문제를 해결하는 데 필요한 내용을 알고 있다.
풀이 과정에 오류가 없다.
정답을 맞혔다.
총점
274
VI. 경우의 수
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대단원 학습 점검
정답 및 풀이 313쪽
266쪽
268쪽
06. 어느 영화 시사회에서 배우 2명과 제작진 3명이
09. 진로 체험 박람회의 서로 다른 10개의 프로그램
일렬로 설 때, 양 끝에 제작진이 서고 배우끼리는
중에서 서로 다른 2개의 프로그램을 택하는 경우
이웃하여 서는 경우의 수는?
의 수를 a, 서로 다른 2개의 프로그램을 택하여 각
① 24
② 26
④ 32
⑤ 36
③ 28
각 오전과 오후 프로그램으로 편성하는 경우의 수
를 b라고 할 때, a+b의 값을 구하라.
266쪽
07. 다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 모두 일렬로 나열하
여 다섯 자리의 자연수를 만들 때, 35000보다 큰
자연수의 개수는?
269쪽
① 30
② 42
④ 54
⑤ 60
10. 전체집합 U={x|x는 8 이하의 자연수}의 부분
③ 48
집합 A에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 집
합 A의 개수를 구하라.
㈎ n(A)=4
266쪽
08. O, R, A, N, G, E를 일렬로 나열할 때, 모음 O,
㈏ 집합 A의 원소 중 가장 작은 원소와 가장
큰 원소의 합은 9이다.
A, E 중에서 어느 두 개도 서로 이웃하지 않도록
나열하는 경우의 수는?
① 100
② 121
④ 169
⑤ 196
자기 관리
③ 144
학습 태도는 어떠했는지 스스로 점검해 보자.
평가 항목
3점 잘함
01
02
03
04
05
06
2점 보통
07
08
1점 부족
09
10
틀린 문제는 배운 내용을 복습하고 다시 풀었다.
문제를 자신 있게 해결했다.
끈기 있게 도전했다.
대단원 학습 점검
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스스로 마무리하는
대단원 학습 점검
정답 및 풀이 313쪽
경우의 수
262쪽
과정을 평가하는 서술·논술형 문제
12. 다음 그림은 어느 공원의 정문과 후문을 연결하는
[ 11~12 ] 다음 문제의 풀이 과정과 답을 쓰라.
산책로를 나타낸 것이다. 정문에서 출발하여 후문
268쪽
11. 집합 X={1, 2, 3}에서 Y={1, 2, 3, 4, 5}로의
으로 가는 경우의 수를 구하라. (단, 같은 지점은
중복하여 지나지 않는다.)
함수 f에 대하여 다음을 구하라.
⑴ 일대일함수 f의 개수
⑵ f(1)<f(2)<f(3)인 함수 f의 개수
풀이
풀이
이 단원을 마무리하며
이 단원을 학습하면서 재미있었거나 어려웠던 내용을 적어 보자.
이 단원이 왜 중요한지 생각해 보고, 앞으로 나의 학습 계획을 자유롭게 적어 보자.
276
VI. 경우의 수
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수학 ,
미래를
만들다
컴퓨터와 로봇에 생명을 불어 넣는
인공지능 전문가
컴퓨터나 로봇이 인간과 같은 사고 과정을 거쳐 의사 결정을 내리기 위해서는 인공지능 알고리즘을
개발하고 프로그램으로 구현해야 한다. 다음 평가표를 작성하여 자신의 적성을 평가해 보자.
A
호기심
사람의 인식과 행동에 관
심이 많다.
적성 평가표 작성 방법
E
5. 매우 그렇다.
B
4. 그렇다.
논리력
집착력
3. 보통이다.
관계없어 보이는 것을 연
결하여 생각해 보곤 한다.
한 가지 문제를 해결할
때까지 집중한다.
2. 그렇지 않다.
1. 전혀 그렇지 않다.
A
E
4 5
1 2 3
D
B
C
D
C
창의력
관찰력
다른 사람이 생각하지 못
하는 생각을 할 때가 많다.
트렌드의 변화를 빠르게
인식한다.
인공지능 전문가와의 톡톡 인터뷰
무슨 일을 하나요?
인간의 뇌와 뇌세포 구조에 대한 지식을 바탕으로 컴퓨터나 로봇
등이 인간과 같이 사고하고 학습하는 능력을 갖추는 것을 가능
하게 하는 프로그램을 개발, 연구하는 일을 해요.
인공지능 전문가가 되려면 어떻게 해야 하나요?
컴퓨터 응용 프로그램을 능숙하게 활용할 수 있어야 해요. 이러한 능력을
바탕으로 신경망, 퍼지, 패턴 인식 등의 전공을 선택해서 공부해야 하는데,
많은 데이터를 경우에 따라 합리적으로 나누어 수많은 정보를 수학적으로
처리할 수 있는 능력이 필요하답니다.
#인공지능 전문가, #신경회로망 연구원 등을 검색하여 인공지능 전문가의 일상을 알아보자.
출처: 커리어넷
수학, 미래를 만들다
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