第一章 组合分析
1.1
引言
1.1.1 面对确定性事件与不确定的态度
1.1.2 不确定事件
概率性或随机性事件
奈特不确定性事件— — 现代经济金融理论的主要研究对象
1.1.3 概率性事件（或现象）的分类：
本质性概率 随机 事件：人类的自由意志或智能驱动 量子事件或现象 不可能归约为确定性事件
非本质性概率 随机 事件：可以归约为确定性事件的事件
1.1.4 随机模型分类：
离散型 连续型 混合型
1.1.5 概率论研究复杂性事件的有利工具，培养随机性思维与不确定性思维的习惯
1.2
组合分析与计数基本法则
1.2.1 组合分析
组合分析：可以通过计算某个事件结果的数目的分析方法
计数基本法则：并行结构——加法原理
串行结构——乘法原理
完成试验 1 有 m 种方法，而对每一种方法还有试验 2 的 n 个结果，两个试验得到的不同结果
为 mn。
1.2.2 其余自学
第二章 概率论公理
2.1 引言
2.1.1 围棋人机大战
李世石是韩国的职业围棋九段，近十几年获得 14 个中日韩世界冠军（截止至 2016）
。前不久农
心杯中中国九段柯洁战胜。
Google Alpha Go：战胜职业二段樊麾，基于“深度学习”这一机器学习算法开发的围棋专用机器
（人工智能）
，它的算法开发基于以下方面
① 价值网络：选择布局，减少搜索的深度，放弃明显不利的布局。
② 策略网络：在选定的布局下选择棋步，减少搜索的宽度，放弃明星错误的棋步。
③ 模拟计算：利用蒙特卡洛模拟方法，将上述信息放入一个特定的概率函数，重在分析赢面较
大的棋步
难度：国际象棋：一个回合有 35 种可能性，一盘棋可能有 80 个回合，大约有 1047 种不同的可能
选择。
围棋：一个回合有 250 种可能性，一盘棋可能有 150 个回合，大约有 10170 个不同的可能
选择。
宇宙中原子数：1080 个
如何看待此事？ 将人类智能的某些方面转化成定量分析办法，可以将获得的成果泛化到其它重
要领域
2.1.2 不确定性事件的分析：
随机性 奈特不确定性
分析不确定性现象的，首先要确定该现象所有恒定的约束条件或假设~物理学中物体的受力状况
分析该现象在所有恒定的约束条件或假设下的基本事件（不可分解的事件）全体~物理学中的基
本粒子
确定该现象合理事件的全体~物理中的物体
确定或估计事件发生可能性的性质，若是可以确定可能性为一个值，则该现象为随机现象，否则
为奈特不确定性现象。
2.2 样本空间与事件
2.2.1 样本空间是不确定现象在既有恒定约束条件或假设下所有基本事件组成的集合，一般记为Ω
2.2.2 事件是可以描述不确定现象中可能出现的由基本事件构成的Ω的“合理”子集，其全体记为ℱ。
2.2.3 事件之间的运算
𝐴，𝐵 ∈ ℱ
①并：𝐴 ∪ 𝐵 = {𝜔 ∈ Ω: ω ∈ A 或 ω ∈ B}
②交：
③包含：
④补：
注记：①ℱ关于有限并，有限交，及取补集封闭
②为了应用分析学技巧研究概率论还要求ℱ关于可列交与并封闭
2.2.4 事件运算遵循的法则
给定𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℱ
交换律：𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
结合律：(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
分配律：(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴𝐵) ∪ (𝐵𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
德摩根律：脑补（注：𝑛 → ∞也成立）
①若𝐴 ∩ 𝐴 = ∅(1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑛)，则
𝐴 =
𝐴
也称𝐴 彼此之间为互斥事件
2.3 概率公理
P：ℱ → [0,1]称为概率。(Ω, ℱ, 𝑃)
补充：①𝑃 (𝐴) =
发生的频次
总频次
= (相对频率) → (𝑛 → ∞)记为𝑃(𝐴),为何收敛？客观观点或频率观点
②确信程度大小？贝叶斯观点
概率公理：给定(Ω, ℱ)
公理 1：0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1(∀𝐴 ∈ ℱ)
公理 2：𝑃(∅) = 0, 𝑃(Ω) = 1
公理 3：若⋃
𝐴 =∑
𝐴 ，则𝑃(∑
𝐴)=∑
𝑃(𝐴 ) , 𝑛 ≥ 1
注 1：为了使用分析学进一步要求𝑛 = +∞也成立
承认前三条不承认注记 1 的叫容量理论（容度理论）
注 2：若允许任意交与并对ℱ封闭，公理 3 也可以推广为任意不相交族，此时基本事件的概率为无穷
小（数理逻辑的模型论出现后建立了非标准分析，这个无穷小是非标准分析意义上的，此时称概率论
为非标准概率论）
注记 3：是否Ω的任何子集都为事件？回答涉及数理逻辑
2.4 几个简单命题
命题 2.4.1：𝑃(𝐴 ) = 1 − 𝑃(𝐴), ∀𝐴 ∈ ℱ。由公理 2 和公理 3 脑补得到
命题 2.4.2：𝐴 ⊂ 𝐵 → 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵), ∀𝐴, 𝐵 ∈ ℱ
命题 2.4.3：𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵)
命题 2.4.4（容斥恒等式）
：𝑃(⋃
𝐴)=∑
𝑃(𝐴 ) − ∑
𝑃 𝐴 𝐴 + ⋯ + (−1)
𝑃(𝐴 𝐴 … 𝐴 )
2.5 等可能结果的样本空间
当我们对基本事件无信息可以判断两个不同的基本事件发生可能性不同时，认为它们发生的概率相
等，此时称Ω为等可能结果的样本空间。
情况 1：Ω是有限集合，无妨设Ω = {𝜔 , … 𝜔 }
𝑃(𝜔 ) = ⋯ = 𝑃(𝜔 ) =
𝐴中元素个数
1
, 𝑃(𝐴) =
𝑁
𝑁