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0
1
9
汤 姆逊 定 理 的一 种证 明 方 法
上 海 师 范 大学
史玉 昌
一。
理的方 法
万。
币
本 文 用 奥 似 分 析 力 学中积 分 虚 功 推 导哈 密 顿 原
摘要
‘
，
证 明 汤 姆逊 定 理
「
一
。
占
。
一
的
并指 出 只 有 在 空 间 无 电
。 、
奥
占。 。
一
。
犷
荷 时静 电 场 能 才 具 有 极 小 值
，
式中
汤 姆逊 定理 又 叫静电场能 量 最 小 定 理
一 种表述是 川
表述
，
它有两 种
只 有 当每个导 体处 于 等势 体 的
，
户
详
人
办
情 况 下 导 体 系 统才 能 达 到静 电平 衡 另 一 种 表 述
是 〔 卜 如 果 许多 导 体表 面的位置 固定 且 每个导体面 所
，
的
，
￡
，
带电荷都 已 给定 则 导 体 上 的 电 荷 将 这 样来 分 布 使
，
合 成 的 静 电 场 能 量 为最 小 该定 理 的应 用 颇 为 广 泛
。 出
定理 的证 明方 法 通 常是从 静 电场 能 。 一 冬 。
，
，
经 过矢量运 算 而 得 到
导 致 系统 的 静 电 场 能 的 变 更
因 为定 理 是 讨 论极 值 问题
，
本
分原 理 在非力学 系统 的一 种 应 用
人
，
、
。
包含 一 个 假设
，
‘
二一
，、 ，
二‘
一
，。
即外力 可 以 由势 能 推得
、
，
，
，
尸
，
而 静 电 场是保守场 具 有类 似 的力 学 性 质
刁
一箭
，
，
，
，
，
的
当
，
电荷 体 密度为
设
。
一
则有
、
、
。 一
占。
，
合
以 厂
‘
·
口 厂
。
一
。
以 卜
，
一号
、
。
。 。
以
、产
、
、尸
、声
口
且有
占
。
。 一
。
。
，，
，
一”
式说 明在有 场源
时
，
有极 大 值
如 果 电荷 只 存 在 于 导 体 上
仅毋
·
价 占价
占价
中
“
占毋
式
月
由
产
一
升
卜
万
￡
·
，，
·
。，
。 一
￡
砂 犷
占毋
，
空 间没 有 电 荷
，
二
则有
遍 及 系 统 的所 有 空 间 因有
·
牙
。
咨
。 ，
刀
「
。 ，
，
积分 为
代人
式改 写 成
虚 功关 于 空 间 的定 积 分 变 成定 积分 的 变分
令
现 在 用 电 势 毋 作广义 坐 标 虚 位移 占伞 虚 功 的 体
式中
。
一
式 的 面 积 分 项 为零 现 将
卫
，
一
书器 告
，
于是
，
空 间介质 是均 匀的 泊松 方 程
，一
二
成能 量 密度 的定 积 分 积 分 应从 原 来 的 固 定 时 间间 隔
，
，
，
。，
可以写
即 须 对 全 部 空 间取 体 积 分
也就是 说 导 体 处 于 静
币 粤
，
，
，
，
，
式右端第一 项 为零
，
是保守的
完 整 约 束 系统 研 究 的对 象 是 静 电 场 的 能 量
改为 固定 的体积 积 分
扮兴
式 右端 的两 项
占毋
且
用 虚 功 的 时 间积 分 得 到 哈 密 顿 原 理
。
件，
·
·
因 “ “ 势是 位 置 的 函 数
推 导 哈密顿 原理 的方 法 证 明 汤 姆 逊 定 理 这 也 是 变
、
王兴
电平 衡 时
，
、
￡
匆
当所 有 导 体 的 电势 都 固 定 不 变
，
，
二
假 设 以 某 种方式 使一些 电荷分布 在 某些 导 体表 面
，
文 拟从泊松方 程 出发 用 类 似分析 力 学 中 由 积 分 虚 功
大 家知 道
与 凡 组 成 的 空 间中
在
。
—
下 面 分别计算
‘
发 考虑 一 个 虚 过 程
」
刁价
占职
，
是 电场 中各个 导 体 的翱 菌积之 和
凡 位于 无 穷远 处 场域
，
，
，
凡
，
·
占，
。
“
‘
号
上
号
工
‘
一
。
卜。
·
、
‘
吓转
，
反少
等效 模型在求解静态 场 中的应 用
曲阜 师大
本 文 针 时静 态 场 中的 某些 实 际 问 题
摘要
，
于 国安
， 性 一
应 用 简单 的
，
等 效模 型模 拟 复杂 的 物理 问题 从 而 使 求 场 的 问题 简化
等效模 型 法 是 物理教学和 科 研 中常 用 的 方 法
，
上
六
六
式 中取柱 为电势参考点
，
轴平 行 极 化 强 度矢 量
帆 为 常数
解
由于 极化
击
女风
，
吸
沿
柱 面 上 有面 电荷分布 其密度为
，
轴 的夹角
，
。
必
△
的带 电
、
在柱 内 外产 生 的电 势分别 为
干
，， ，
升
，，
页
导 体表 面 带有电荷 处 于 静 电 平 衡 时
，
，
一
目
，
当然 静 电平衡后 导 体上 的电 荷分布 以 及 各 个 导
，
体上 的 电势数值 均应服从 汤 姆 逊定 理
刁
下 ，一
—
’
达 最大值
，
凸
围 空 间 有 电荷时
，
式同 当 职 。 树
当 职笋 时
，
，
，
将 △ 缩 小 并相应 增大
，
面 电荷 密度
内
中
而 保 持 凡 恒定
，
则这
因 为 这 样两
电荷又 有一 种分布 静 电场能
粤么 ‘
， 、
能
，
为 导体
，
‘
，
上 不 存在感应 电荷时的静 电 场
平 假想为 引人 的导体
上 存在感 应 电荷时的实际静电场能
牙
…
当导 体 周
有极 大值 而 当导 体周 围空 间 没
上 式 说 明导体
，
有 电荷 时 静 电场能有极小 值 这 比 其他方 法 证 明 要
了
，
巧
，
’
价
的 电势 由于导 体
的引人 而 降低
比用 电力 线证 明要 严格得多
，
的 电场 中 引人 不 带 电
在 带正 电 的导体
，
证明
越 近 时电势越 低
离
【 证 』因导 体 不 带 电 带 电 体 系 的静 电 场 能 就
是 导体 的静 电场 能 这时导体 上 的 电荷有 一 种分 布
，
，
，一
粤么 ‘
‘
接近
时
，
导体
，
牙
下面举 一 例说 明汤姆逊定理 的应用
【例
当
中
八
根 据 汤 姆 逊 定 理 显 然有
用 类 比 的方 法 得到 静 电 场 的极 值关 系
的 导体
了于不
。
这种推 导方 法 的好 处 在 于 加 强 了力 学 和 电学 的联
，
一
叼石不五刃耳
‘
导体应 是一 个
，
等势体 且 静电场能量具 有 极 小值 这 就 是 汤 姆 逊 定
全 面些
，
，
，
系
凡
个带 电 体 造 成 的 电 荷分布 与极 化 圆柱 面 上 的 电 荷 分
，
，
一
个电荷分 布可 视为名符其实的面 电荷分布
了
，‘
。
式括号 中表示 的就是 静电场 的能量 说 明仅 当
理
女
六呀
丫石不石不
角 价 的意 义 与
一 个半径 为 凡 电 荷 密 度 为
，
让接
刹
我 们 设 想 一 种物 理
、
，、 ， 一
，
。’
，
模 型 来等效原 来 的物理问题
圆 柱体
，
一
于 是就造成 一 个柱 面 电荷分布 其 电荷 密度 为
中
为了减 少 数学 上 的 麻烦
，
”
这 两 个带 电体 如果 趋 于 重 合 则大部分电荷 互 相抵 消
在电动力学 中 属 于 这 类 问题 一 般 需 要 解 拉普拉
我 们 知道
、
△· ，
，【
’
，
，
，
，
一
求柱 内 外 的 电势
式 中 毋 为电荷分 布点处 柱 面 的法 线 与
斯方 程
份
抓不
只 是它 的轴线相对 于 前一 圆柱体轴线沿负
一
职
、
‘
。
，
。
轴方 向有一 小位移 缸 它在柱 内 外产生 的电势为
，
，
，
，
有 一 半 径 为凡 的无 限长圆柱 体被 均 匀 极 化
轴方向
。
半径 也为
，
，
一
·
，
假定 另 有 一 无限长 圆柱 体 其电荷体密度 为
下 面 举 例说 明在 静 态 场 的求解 中等 效 模 型 的 应用
例
，
面
它
模 型 进行模 拟 以 简化 运 算手 续 达 到事半 功 倍 的 目的
设 圆柱 轴线与
“
。
，
的 基 本 思 想是 将复杂 的实 际 问题 用 简单 的物 理 或数 学
，
子，一
，
上 的电荷不 变
，
电势为匕 犷
参考 文献
【
，
，
蔡圣 善 经 典电动 力学 复旦 大学 出版杜
，
【
冯慈璋 静态 电磁 场 西 安交通 大学出版 社
【
梁灿 彬等 电磁 学 高等教育 出版社
，
，
，
，
们