CALCÚLO VECTORIAL, DIFERENCIAL E INTEGRAL
Análisis Vectorial
Vector: Módulo y Dirección
Matemático (No tiene un lugar)
Física (Todo depende del punto de vista de referencia)
Algebra de vectores
Youtube: Universo Mecánico: Vectores
Análisis Vectorial
Propiedades de la suma y resta de vectores
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐵 + 𝛼𝐴
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
Física
ESCALAR
VECTOR
Desplazamiento, Velocidad, Fuerza,
Campo Gravitatorio, Campo Eléctrico, etc.
Depende
ESPACIO
Tiempo, presión, carga eléctrica
temperatura, masa, etc.
No depende
Producto de vectores
Producto Punto
Producto Cruz
(·)
(x)
Youtube: El tejido del cosmos : odisea espacial, la importancia del espacio en el universo
Análisis Vectorial
Producto Punto
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵 cos 𝜃𝐴,𝐵 = 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴𝑅
Producto Cruz
𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴,𝐵 𝑢𝑛 = 𝑉𝐸𝐶𝑇𝑂𝑅
Propiedades
Análisis Vectorial
Sistema de coordenadas (referencia, ortogonal)
René Descartes Pierre de Fermat
Siglo VII (Introducción al sistema de coordenadas)
Rango de detección
John Wallis
Introdujo la idea del número complejo (𝑎 + 𝑏𝑖 )
a (horizontal)
bi (vertical)
𝐵
𝐴
𝐴 = −𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 − 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
Análisis Vectorial
Sistema de coordenadas (referencia, ortogonal)
Producto Punto
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 cos 𝜃𝐴,𝐵
𝐴 ∙ 𝐵 = −𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 ∙ (𝐵𝑥 𝑖 − 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘)
= (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑥 𝑖 ∙ 𝑖 + (−𝐴𝑥 ) −𝐵𝑦 𝑖 ∙ 𝑗 + (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑧 𝑖 ∙ 𝑘 + (𝐴𝑦 ) 𝐵𝑥 𝑗 ∙ 𝑖 +
(𝐴𝑦 ) 𝐵𝑦 𝑗 ∙ 𝑗 + … … …
= (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑥 cos 0 + (−𝐴𝑥 ) −𝐵𝑦 cos 90 + (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑧 cos 90 +
(𝐴𝑦 ) 𝐵𝑥 cos 90 + (𝐴𝑦 ) 𝐵𝑦 cos 0 + … … …
= (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑥 + (𝐴𝑦 ) −𝐵𝑦 + (𝐴𝑧 ) 𝐵𝑧
Producto Cruz
Ejercicios
𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴,𝐵 𝑢𝑛
𝐴 𝑥 𝐵 = −𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝑥 (𝐵𝑥 𝑖 − 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘)
= (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑥 𝑖𝑥 𝑖 + (−𝐴𝑥 ) −𝐵𝑦 𝑖𝑥𝑗 + (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑧 𝑖𝑥𝑘 + (𝐴𝑦 ) 𝐵𝑥 𝑗𝑥 𝑖 +
(𝐴𝑦 ) 𝐵𝑦 𝑗𝑥 𝑗 + … … …
Análisis Vectorial
𝐴 𝑥 𝐵 = (−𝐴𝑥 ) 𝐵𝑥 𝑠𝑒𝑛 0𝑢𝑛 + (−𝐴𝑥 ) −𝐵𝑦 𝑠𝑒𝑛 90𝑘 + ⋯
𝑖
𝐴 𝑥 𝐵 = −𝐴𝑥
𝐵𝑥
𝑗
𝐴𝑦
−𝐵𝑦
𝑘
𝐴𝑧
𝐵𝑧
Ejercicios
= 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − (−𝐵𝑦 )𝐴𝑧 𝑖 − (−𝐴𝑥 )𝐵𝑧 − 𝐵𝑥 𝐴𝑧 𝑗 + ((−𝐴𝑥 )(−𝐵𝑦 ) − 𝐵𝑥 𝐴𝑦 )𝑘
Youtube: REDES: La pendiente resbaladiza de la maldad
Sistema de coordenadas curvilíneas
Coordenadas Esféricas
𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑)
𝟎≤𝒓≤∞
𝟎≤𝜽≤𝝅
𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝟐𝝅
Sistema de coordenadas curvilíneas
Coordenadas Esféricas : Primer cuadrante
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘
𝐴 = 𝐴𝑟 𝑢𝑟 + 𝐴𝜃 𝑢𝜃 + 𝐴𝜑 𝑢𝜑
Módulo
𝑆𝑖 𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓[𝐴 𝑟, 𝜃, 𝜑 ]  𝐴 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑓[𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 ]
𝐴𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
𝐴𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑
𝐴𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝐴𝑟 =
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝐴𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠
𝐴𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠
𝑥2
+
𝑧
𝑦2
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
+
𝑧2
𝑥2 + 𝑦2
= 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛
= 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Sistema de coordenadas curvilíneas
Coordenadas Esféricas
𝑧
Dirección
𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑟
𝜃
rˆ  sen cos  iˆ  sensen  ˆj  cos  kˆ
𝜃
𝑆𝑒𝑛𝜃𝑆𝑒𝑛𝜑
𝑦
𝜑
𝑆𝑒𝑛𝜃𝐶𝑜𝑠𝜑
𝑥
𝜑
𝑆𝑒𝑛𝜃
Sistema de coordenadas curvilíneas
Coordenadas Esféricas
𝑧
𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑟
ˆ  iˆsen  ˆj cos 
𝜑
𝜃
𝐶𝑜𝑠𝜑
𝑆𝑒𝑛𝜑
𝑥
𝑦
𝜑
𝜑
Sistema de coordenadas curvilíneas
Coordenadas Esféricas
𝑧
𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
ˆ  cos  cos  iˆ  cos sen  ˆj  sen kˆ
𝑟
𝑆𝑒𝑛𝜃
𝜑
𝜃
𝜃
𝜃
𝑦
𝜑
𝐶𝑜𝑠𝜃𝐶𝑜𝑠𝜑
𝑥
𝐶𝑜𝑠𝜃𝑆𝑒𝑛𝜑
𝜑
Sistema de coordenadas curvilíneas
Coordenadas Cilíndricas
𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧  𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧)
𝟎≤𝒓≤∞
𝟎 ≤  ≤ 𝟐𝝅
−∞ ≤ 𝒛 ≤ ∞
Deber: pasar a esféricas el módulo y dirección
Cálculo Diferencial
(Razón de cambio)
Reglas de la diferenciación: suma, producto y la regla de cadena
Gradiente
Galileo Galilei
Introdujo: La Cinemática (cálculo diferencial)
Vector diferencial
𝛻=
𝜕
𝜕
𝜕
𝑖+
𝑗+ 𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
René Descartes Gottfried Leibniz Isaac Newton
Campo (física) : Es aquella que tiene al menos una variable dependiente. Se tiene campo
escalar y vectorial.
Escalar
Vectorial
Youtube: Universo Mecánico: Derivadas
Cálculo Diferencial
Gradiente de un escalar : Primer cuadrante
𝛻∙𝐴=
𝜕
𝜕
𝜕
𝑖+
𝑗 + 𝑘 ∙ 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑧
=
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑆𝑖 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧)
𝜕
𝜕
𝜕
𝛻∙𝐴=
𝑖+
𝑗+
𝑘 ∙ 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑧
=
+
𝑗+
+
𝑘
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
∴
𝛻 ∙ 𝐴 = 𝑉𝐸𝐶𝑇𝑂𝑅
Aquí todas son
independientes
Cálculo Diferencial
Divergencia : Primer cuadrante
𝜕
𝜕
𝜕
𝛻∙𝐴=
𝑖+
𝑗 + 𝑘 ∙ 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧
=
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Aquí todas son
independientes
𝑆𝑖 𝐴𝑥 = 𝑓(𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 )
𝛻∙𝐴=
=
𝜕
𝜕
𝜕
𝑖+
𝑗 + 𝑘 ∙ 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧
+
𝜕𝑦
𝜕𝑧
∴
𝛻 ∙ 𝐴 = 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴𝑅
Cálculo Diferencial
Rotacional : Primer cuadrante
𝜕
𝜕
𝜕
𝛻𝑥𝐴=
𝑖+
𝑗 + 𝑘 𝑥 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑖
𝛻𝑥 𝐴 = 𝜕𝑥
𝐴𝑥
=
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦
𝑗
𝜕𝑦
𝐴𝑦
−
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑧
𝐴𝑧
𝑖−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧
𝑗+
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦
𝑘=0
𝑆𝑖 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧)
𝑖
𝛻𝑥 𝐴 = 𝜕𝑥
𝐴𝑥
=
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧
𝑗
𝜕𝑦
𝐴𝑦
𝑘
𝜕𝑧
𝐴𝑧
𝑗−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦
𝑘
∴
𝛻 𝑥 𝐴 = 𝑉𝐸𝐶𝑇𝑂𝑅
Aquí todas son
independientes
Cálculo Diferencial
Segunda razón de cambio
Divergencia del Gradiente de un escalar
𝛻∙ 𝛻∙𝐴 =
𝜕𝐴𝑦
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑧
𝑖+
𝑗+ 𝑘 ∙
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕 2 𝐴𝑥 𝜕 2 𝐴𝑦 𝜕 2 𝐴𝑧
𝛻∙𝛻 ∙𝐴=
+
+
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
∴ 𝛻 2 𝐴 = 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴𝑅
Aquí todas son
independientes
L´placiano
Rotacional del Gradiente de un escalar
𝜕𝐴𝑦
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑧
𝛻𝑥 𝛻∙𝐴 =
𝑖+
𝑗+ 𝑘 𝑥
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝛻 𝑥 𝛻 ∙ 𝐴 𝑈𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 ǁ 𝑜  𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∴ 𝛻𝑥 𝛻∙𝐴 =0
Cálculo Diferencial
Gradiente de la divergencia
𝛻 ∙ 𝛻 ∙ 𝐴 ≠ 𝛻 ∙ 𝛻 ∙ 𝐴 = 𝛻2𝐴
Divergencia del Rotacional
𝛻∙ 𝛻𝑥𝐴 =0
Rotacional del Rotacional
𝛻 𝑥 𝛻 𝑥 𝐴 = 𝛻 ∙ 𝛻 ∙ 𝐴 − 𝛻2𝐴
Cálculo Diferencial
Gradiente en coordenadas esféricas
𝛻∙𝐴=
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑧
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
 𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, )
Factor común
𝜕𝐴 𝜕
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝐴𝜃 𝜕𝜃
𝑖=
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑟 𝜕𝑥
𝜕𝜃 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝐴 𝜕
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝐴𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝐴𝜃 𝜕𝜃
𝑗=
+
+
𝜕𝑦
𝜕𝑟 𝜕𝑦
𝜕𝜃 𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝑦
𝑗
𝜕𝐴 𝜕
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝐴𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝐴𝜃 𝜕𝜃
𝑘=
+
+
𝜕𝑧
𝜕𝑟 𝜕𝑧
𝜕𝜃 𝜕𝑧
𝜕 𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑟
𝑥
𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
𝑖=
𝑖=
𝑖 = sin 𝜃 cos 𝜑 𝑖
𝜕𝑥
𝑟
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜕𝑟
𝑦
𝑟 sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑗=
𝑗=
𝑗 = sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑗
2
2
2
𝜕𝑦
𝑟
𝑥 +𝑦 +𝑧
𝜕𝑟
𝑧
𝑟 sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑘=
𝑘=
𝑘 = sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑘
2
2
2
𝜕𝑧
𝑟
𝑥 +𝑦 +𝑧
Cálculo Diferencial
Gradiente en coordenadas esféricas
𝜕𝜃
𝑖=−
𝜕𝑥
1
1−
=
1
𝐶𝑜𝑠𝜑𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑖
𝑟
𝜕𝜃
𝑗=−
𝜕𝑦
1
1−
=
𝑧2
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑧2
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑥𝑧
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2
−
(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )
𝑦𝑧
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2
−
(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )
1
𝑆𝑒𝑛𝜑𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑗
𝑟
𝜕𝜃
𝑘=−
𝜕𝑧
1
𝑧2
1− 2
𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2
1
= − 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑘
𝑟
𝑥2
+
𝑦2
𝑖=
𝑗=
1
𝑟 2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
𝑟2
1
𝑟 2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
𝑟2
𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝐶𝑜𝑠𝜑 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑟
𝑟2
𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝑆𝑒𝑛𝜑 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑟
𝑟2
𝑖
𝑗
𝑧2
+ +
𝑟 2 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃
𝑟+
1
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑟
𝑘=−
𝑘
2
2
2
2
2
2
𝑥 +𝑦 +𝑧
𝑟
𝑟 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑟2
𝑧2
Cálculo Diferencial
Gradiente en coordenadas esféricas
𝜕𝜑
𝑖=−
𝜕𝑥
1
1−
𝜕𝜑
𝑗=−
𝜕𝑦
𝑥2
𝑥2
𝑥 2 + 𝑦2
1
𝑥2
1− 2
𝑥 + 𝑦2
𝑥2
+
−
𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝑆𝑒𝑛𝜑
𝑆𝑒𝑛𝜑
𝑥2 + 𝑦2
𝑖
=
−
𝑖
=−
−
𝑖
𝑥2 + 𝑦2
𝑟 2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑦2
𝑥2
−
𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝐶𝑜𝑠𝜑
𝐶𝑜𝑠𝜑
𝑥 2 + 𝑦2
𝑗
=
𝑗
=
𝑗
𝑥 2 + 𝑦2
𝑟 2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴𝑟
1 𝜕𝐴𝜃
1 𝜕𝐴
𝛻∙𝐴=
𝑢 +
𝑢 +
𝑢
𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕 
Cálculo Diferencial
Divergencia en coordenadas esféricas
1 𝜕 2
1
𝜕
1 𝜕𝐴
𝛻∙𝐴= 2
𝑟 𝐴𝑟 +
sin 𝜃𝐴𝜃 +
𝑟 𝜕𝑟
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝑟 sin 𝜃 𝜕
Rotacional en coordenadas esféricas
𝛻𝑥𝐴
1
𝜕
𝜕𝐴𝜃
1 1 𝜕𝐴𝑟
𝜕
sin 𝜃𝐴 −
𝑢𝑟 +
−
𝑟𝐴
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕
𝑟 sin 𝜃 𝜕
𝜕𝑟
1 𝜕
𝜕𝐴𝑟
+
𝑟𝐴𝜃 −
𝑢
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝜃 
=
𝜕𝐴𝜃
𝑢
𝜕𝜃 𝜃
L´placiano en coordenadas esféricas
2𝐴
𝜕
1
𝜕
𝜕𝐴
1
𝜕
𝜕𝐴
1

𝑟
𝜃
𝛻2𝐴 = 2
𝑟2
+ 2
sin 𝜃
+ 2
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑟 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝜕2
Deber: Pasar a coordenas cilíndricas
Cálculo Integral
Teorema del Gradiente
𝑏
𝑑𝑇 =
metal
100C
𝑏
𝑎
a
𝑑𝑙
b
𝛻. 𝑇 . 𝑑𝑙 = T b − T a
𝑎
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏  𝑇 𝑏 = 𝑇 𝑎
∴
𝛻. 𝑇 . 𝑑𝑙 = 0 = T b − T a
Demostración
𝑆𝑖 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ
𝑏
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑛 = 1 𝑦 ℝ1 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏]
𝑏
𝑑𝑇 =
𝑎
𝛻. 𝑇(𝑟) . 𝑑𝑙
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
𝑑
𝑑𝑙
(𝑇(𝑟)). 𝑑𝑙
𝑑(𝑇(𝑟)) = 𝑇 𝑟 /𝑏𝑎 = 𝑇 𝑏 − 𝑇(𝑎)
=
𝑎
Youtube: Universo Mecánico: Integrales
Cálculo Integral
Teorema de la Divergencia
𝛻. 𝐴 . 𝑑𝜏 =
𝐴 ∙ 𝑑𝑎
𝑆
Teorema de Gauss
Teorema de Green
Teorema de la Divergencia
Teorema del Rotacional
𝛻𝑥𝐶 . 𝑑𝑎 =
𝐶. 𝑑𝑙
Teorema de Stokes
Deber: Demostrar los teoremas que faltan
Infinitesimales en coordenas esféricas
Infinitesimal lineal
 𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, )
𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑𝑧 𝑘
𝑑𝑙 = 𝑑𝑟 𝑢𝑟 + 𝑟𝑑𝜃 𝑢𝜃 + r sin 𝜃 𝑑 𝑢
Infinitesimales en coordenas esféricas
Infinitesimal de área
𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑑𝑎 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑘
= 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑗
= 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑖
 𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, 
𝑑𝑎 = 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑢
= 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑 𝑢𝜃
= 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑 𝑢𝑟
Infinitesimal de volumen
𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑑𝜏 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
 𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, )
𝑑𝜏 = 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑
Deber: Pasar a coordenas cilíndricas