O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
sistemasini matritsalar yordamida integrallash
R E J A:
1. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
sistemasi
2. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
sistemasini yechish usullari
3. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
sistemasini matritsalar usulida yechish
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.
Bunday sistemaning sodda ko’rinishi
dyi n
  a ij y j  f i ( x)
dx j 1
(1)
(i  1, n)
dan iborat, bunda a ij o’zgarmas sonlar. f i (x) esa ko’rilayotgan oraliqda
aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar
sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli
chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga
to’g’ri keladi.
Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli
differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz
topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lsin.
n
dyi
  a ij y j
dx j 1
(2)
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta 𝑛-tartibli differensial
tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini
(3)
y1   1 e x ,
y 2   2 e x ,......,
y n   n e x
ko’rinishda izlaymiz.
Bunda  i va  lar o’zgarmas sonlardir.
Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.
n
n
j 1
j 1
 i e x   aij  j ex yoki  i   a ij 
j
buni ochib yozsak
(a11   ) 1  a12 2  a13 3  .....  a1n  n  0

(4).
a 21 1  (a 22   ) 2  a 23 3  .....  a 2 n  n  0
a   a   a   .....  (a   )  0
n2 2
n3 3
nn
n
 n1 1
Bu  1 ,  2 ,...., n , larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar
sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun,
uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.
a11  
a12
a13 .....a1n
(5).
( )  a 21
a 22  
a 23 .....a 2 n
0
a n1
an2
a n 3 .......a nn  
(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning
ildizlariga xarakteristik son deyiladi.
(5)  ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir
(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun  (5) xarakteristik
tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz
a11  
a12
a13 .....a1n
(6).
 ( )  a 21
a 22  
a 23 .....a 2 n
a n1
a n 3 .......a nn  
an2
a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning  1 ,  2 ,..., n ildizlari haqiqiy va
bir-biriga teng bo’lmasin.
Agar    j ildizni (5) ga olib borib qo’ysak
( j )  0
(7)
bo’ladi.
Isbot etamizkim    j qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda
𝑛 − 1 tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.
Haqiqatan xam    j xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani
uchun
d( )
  ( j )  0
(8)
d   j
nolga teng bo’lmaydi.
Ikkinchi tomondan
1
a12 ...
a1n
a11  
 ( )  0 a 22  .....
a 2 n  a 21
0
a n 2 ...
a nn  
a n1

a11  
a12
a 21
a 22  ...
a n1
a n 2 ...
0
0
a1n
 1...
a 2n
0...
a nn  

(9)
n
0    kk ( )
1
r 1
Bunda  kk ( ), ( ) determinantdagi a kk   elementining algebraik
tuldiruvchisi bo’ladi.Agar    j kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga
asosan  kk ( j ) larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni
(9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng
bo’lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4)
sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan  j1 ,  j 2 ,..., jn yechimlarga ega .
Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan
o’zgarmas songa fark kiladi.
 j1  c j A j1 ,  j 2  c j A j 2 ,.... jn  c j A jn ,
Bunda A ji lar o’zgarmas sonlardir.
Agar c j  1 teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik
tenglamaning    j ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy
yechimlari.
(10)
y j1  A j1e jx , y j 2  A j 2 e jx ,......y jn  A jn e jx ,
ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa
ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
Shunga kura, xarakteristik tenglamaning  1 ,  2 ,..., n ildizlari uchun
yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi
xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.
Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan
sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
Misol 1
 x  2 x  y

 y  3x  4 y
x   1e  t
y   2 et
tenglamaga
qo' ysak
(2   ) 1   2  0

3 1  (4   ) 2  0
(*)
xarakteristik tenglama tuzamiz
2
1
0
2  6  5  0
3
4
 1   2  0
1  1 
3 1  3 2  0
 3 1   2  0
2  5 
 1   2
x11  e t
 2  3 1
x21  e 5t
3 1   2  0
 x(t )  c1 x11  c2 x21  c1e t  c2 e 5t

t
5t
 y (t )  c1 x12  c2 x22  c1e  3c2 e
1  1, 2  5
 2  1  1  1
y12  e t
c1
1 1  2  3
y 22  3e 5t
c2
b) Farazetaylikxarakteristiktenglama 1    i konpleksildizgaegabo’lsin.
Xarakteristiktenglamaningkoeffisiyentlarihaqiqiysonalardaniboratbo’lganiuc
hunu   i gaqo’shmabo’lgan  2    i kompleksildizgaxamegabo’ladi..
Xarakteristik tenglamaning 1    i ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning
yechimi
y j   j e ( i ) x   j ex e ix   j ex (cos x  i sin x)
 j kompleks son bo’lgani uchun uni  j  1 /  i 2 / ko’rinishda yozish
mumkin. U xolda
y j  ( ij  i 2 j )e x (cos x  sin x)  e x ( ij cos x   2 j sin x) 
 ie x ( ij sin x   2 j cos x)
y ij  e x ( ij cos x   2 j sin x)
y 2 j  e x ( ij sin x   2 j cos x)
( j  1, n)
yechimlarga ega bulamiz. Bundan kurinadikim xarakteristik tenglamaning
bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.
Misol 2
 x  x  y
x   1e t
y  2 e t

 y  2 x  3 y
(1   ) 1   2  0

 2 1  (3   ) 2  0
2  4 x  5  0
1 
1
2
3
1, 2  2  i
0
1  2  i
 (1  i ) 1   2  0
 2  (1  i ) 1
1  1


2


(
1

i
)


0

1
2
(
2

i
)
t
2
t
~
x e
 e (cos t  i sin t )
~
y  (1  i )e ( 2i ) t  e 2 t (cos t  i sin t )  (cos t  sin t )
x11  e 2t cos t
y12  e 2t (cos t  sin t )
x 21  e 2t sin t
y 22  e 2t (cos t  sin t )
2 1 i
c1 , c 2
 x(t )  c1 e 2t cos t  c2 e 2t sin t  e 2t (c1 cos t  c2 sin t)

2t
 y (t )  e (c1  c 2 ) cos t  ( c2  c1 ) sin t
v) Faraz etaylik xarakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.
U xolda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa
olmaymiz. Lekin bu xolda xam uning umumiy yechimini elementar
funksiyalar yordamida topish mumkin.
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada qurgan edikim
agar  j xarakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bo’lsa, tenglamaning bu
ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari mavjud
bo’ladi.
Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
TEOREMA. Agar  j xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu
ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimlari
 x
 x
 x
y1  pk(1)1 ( x)e ,
y2  pk(1)1 ( x)e ,.....yn  pk(1)1e
(11)
ko’rinishda bo’ladi.
Bunda p k( i)1 ( x) (i  1n) lar𝑥 ga nisbatan darajasi k  1 dan katta bo’lmagan
ko’p xadlilardir. Bu ko’p xadlilarning xar birida 𝑘ta o’zgarmas sonlar
j
j
j
qatnashadi. Bu ko’pxadlilarning xammasidagi xamma koeffisiyentlardan 𝑘
tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar shu 𝑘 ta koeffisiyentlar orqali
ifodalanadi.Xususiy xolda p k(i)1 ( x) ko’pxadlilar o’zgarmas songa teng
bo’lishi mumkin. Bu xolda  j xarakteristik ildizga mos bo’lgan (2)
sistemaning yechimi
y i   i e jx
(1  1n) bo’ladi.
Bundagi  i sonlardan k tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan k  n koeffisiyentlar
ular orqali ifodalanadi.
Amaliyotda p k(i)1 ( x) ko’pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun,
ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko’pxadlalarning koeffisiyentlariga
nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k
tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.
Misol 3
x   1 e  t y   2 e  t z   3 e t
 x  2 x  y  z

 y  2 x  y  2 z
 z   x  y  2 z

2
1
1
(2   ) 1   2   3  0

2
 (1   )  2  0
2 1  (1   ) 2  2 3  0
     (2   )  0
1
1
2
2
3
 1
(  1) 3  0
1, 2,3  1
 x  ( a1  a 2 t  a 3 t 2 ) e t

2
t
 y  (b1  b2 t  b3 t )e

2
t
 z  ( q1  q 2 t  q 3 t ) e
bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan
foydalansak a i , bi , q i i  1,2,3 larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega
bulamiz.
 a1  a 2  b1  q1  0
a1  b1  q1  q 2  0
 a 2  2a 3  b2  q 2  0
a 2  b2  q 2  2q 3  0
 a 3  b3  q 3  0
a 3  b3  q 3  0
 2a1  2b2  b2  2q1  0
 2a 2  2b2  2b3  2q 2  0
 2a 3  2b3  2q 3  0
bulardan
a 2  a1  b1  q1
a3  0
b3  0
q3  0
b2  2a1  2b1  1q1
q 2  a1  b1  q1
yechimlar
x  a1  (a1  b1  q1 )t e t
y  b1  2(a1  b1  q1 )t e t
x  q1  (a1  b1  q1 )t e t
xususiy yechimlarni topish
a1  1
b1  0
q1  0
1)
x11  (1  t )e t
y12  2te t
z13  te t
a1  0
b1  1
q1  0
2)
x 21  te t
y 22  (1  2t )e t
z 23  te t
a1  0
b1  0
q1  1
3)
x 31  te t
y 32  2te t
z 33  (1  t )e t
Agar
da
a1  c1
b1  c 2
a1  b1  q1  c 3 desak
 x(t )  (c1  c 3 t )e t

t
 y (t )  (c 2  2c 3 t )e

t
 z (t )  (c1  c 3  c 3 )  c 3 t e
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi
dyi n
  a ij y j
(i  1, n)
(1)
dx j 1
berilgan bo’lsin.
Ma’lumki (1) sistemani vektorli
dy
 Ay
(2)
dx
ko’rinishda xam yozish mumkin. Bunda
 a11 a12  a1n 
 y1 


 
a
a

a

 y2 
22
2n 
A   21
,
y



   


 
 a n1 a n 2  a nn 
 yn 
Birustunlimatrisayoki𝑛o’lchovlivectorustun (2)
vektorlitenglamauchunKoshimasalasi
 y10 
 
 y0 
y ( x 0 )  y 0 , y 0   2   colon ( y10 , y 20 ,..., y n0 )

 y0 
 n
(2)tenglamani yechimini
y  Be x
(3)
ko’rinishda izlaymiz. Bunda B, n  1 tartibli matrisa
1 
 
 
B 2

 
 n 
(3) ni (2) ga keltirib qo’ysak
Be x  ABe x
yoki
( A  E ) B  0
(4)
tenglama ega bo’lamiz. Bunda E birlik matrisa
1 0  0


0
1

0


E 
,
   


0
0

1


0
 
0
trivial bo’lmagan B    matrisa (4) tenglamani qanoatlantirishi uchun

 
0
( A  E )
(5)
matirisaning maxsus bo’lishi zarur va yetarlidir. Ya’ni uning determinanti
det( A  E )  A  E  0
(6).
(6) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarkteristik tenglama deyiladi.
soniga A matrisaning xos qiymati, V vektor esa λ ga mos bo’lgan xos
vektor deyiladi.
(6) xarkteristik tenglamaning xar bir λk ildizi uchun (4) tenglamadan nolga
teng bo’lmagan
  1( k ) 


(k )
 
B 2 
  
 (k ) 
 n 
Matrisanianiqlaymiz.
(2) vektorlitenglamaningixtiyoriy𝑛 −tachiziqlibog’liqbo’lmagan
Y1 ( x), Y2 ( x),...,Yn ( x)
vektorli yechimlarga (2) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi
deyiladi. Bunda quyidagi xollar bo’lishi mumkin.
1xol
Xrakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiyva bir-biriga teng emas.
U xolda (2) tenglama n-ta yechimlarga ega bo’lib ularni
(7)
Yk  B ( k ) e  k x
(k  1, n)
ko’rinishda yozish mumkin. Isbot etish mumkinkim bular (2) tenglamaning
fundamental yechim sistemasini tashkil etadi.U xolda (2) tenglamaning
umumiy yechimi
n
n
y   c k B ( k ) e kx   c k y k
k 1
(8)
k 1
dan iborat bo’ladi.
 6  1

A  
3
2


A  E  0
Misol-1 y   Ay
( A  E ) B  0
6   1
 0 12  8  15  0 1  3  2  5
3 2
( A  1 E ) B
(1)
(1)
 3  1 1 


0
(1)
 3  1 2 
3 1(1)   2(1)  0 3 1(1)   2(1)
1 
B (1)   
 3
( A  1 E ) B
 1( 2)   2( 2)
 1(1)  1
 2(1)  3
1 
y1  B (1) e 3t  e 3t  
 3
( 2)
0
( 2)
1  1  1 


0
( 2)
 3  3  2 
 1( 2)  1
 2( 2)  1
 1
B ( 2)   
 1
 1
y 2  e 5t  
 1
1 
 1
y  c1 y1  c 2 y 2  c1 e 3t    c 2 e 5t  
 3
 1
2 xolxarakteristiktenglama  k  p  qi kompleksildizgaegabo’lsinBuxolda
(2) tenglamaningyechimibuildizgamosbo’lganyechimi
y k  B ( k ) e ( p  qi ) x  B ( k ) e px e iqx  B ( k ) e px (cos qx  i sin qx)
B (k ) kompleks son bo’lgani uchun uni
(k )
(k )
 11
  21


 

(k )
(k )
(
k
)
(
k
)
k
B  B1  iB 2   12   i 22 

 

 1(nk )   2( kn) 

 

ko’rinishda yozish mumkin ( A  B)C  AC  BC ga asosan
(k )
(k ) 
  11
   21





 (k )
(k ) 




 

~
y k  e px  12   i 22  (cos qx  i sin qx) 
 ....   .. 
  ( k )    ( k ) 
 1n   2 n 


(k )
(k )
(k )
(k )
  11
cos qx   21
sin qx  i  21
cos qx   11
sin qx 


(k )
(k )
(k )
(k )

 cos qx   22 sin qx  i  22 cos qx   12 sin qx 
 e px  12

 ......................................................................

 (k )

(k )
(k )
(k )
  1n cos qx   2 n sin qx  i  2 n cos qx   1n sin qx 

(1)
(k )
(k )
  11
cos qx   21
sin qx 


y1k  e px  ............................. ; y 2 k  e px
 ( k )

(k )

cos
qx


sin
qx
1
n
2
n


px
y  c1 y1k  c 2 y 2 k  c1e (1)  c 2 e px (2)
Misol
 3  2
dy

 Ay
A  
dx
4  1
 A  E B  0
3
2
4
1
A  E  0
0
 2  2  5  0
 y 
y   1 
 y 2 
1, 2  1  2i
2
 3  1  2i
  1 

   0
4
 1  1  2i  2 

2  2i  1  2 2  0 1  i  1   2
 A  1 E B  0
1  1
( 2)
(k )
(k )
  11
sin qx   21
cos qx 


 ............................. 
 ( k )

(k )

sin
qx


cos
qx
1
n
2
n


2 1 i
 1 
~
cos 2 x  i sin 2 x  
y  B (1) e 1 2i x  e x B (1) e 2ix  e x 
1

i


cos 2 x  i sin 2 x



 e x 


cos
2
x

sin
2
x

i
sin
2
x

cos
2
x


cos 2 x
sin 2 x




  c 2 e x 

y  c1e x 
cos
2
x

sin
2
x
sin
2
x

cos
2
x




y1  c1e x cos 2 x  c 2 e x sin 2 x
y 2  c1e x (cos 2 x  sin 2 x)  c 2 e x (sin 2 x  cos 2 x)
3 xol.
Agarxarakteristiktenglamar-karraliλsildizgaegabo’lsa, uxolda,
buildizgamosbo’lgan (2) tenglamaningyechimi
y ( x)  B1( s )  B2( s ) x  B3( s ) x 2  ...  Br( s ) x r 1 e s x
dan iborat buladi.
Misol-2


1  2

A  
 2  3
 A  E B  0
A  E  0
dy
 Ay
dx
1 
2
2
3
0
(  1) 2  0
1, 2  1
 A   A  
y   1    2  x  e  x  0
 B1   B 2  
buni berilgan tenglamaga qo’yamiz
 A   A  
A 
 1  2   A1   A2
  1    2  x e  x   2 e  x  
    
B
B
B
2

3

  B1   B2
 2
 1   2  
bundan
  x
 x e
 
 A1  A2 x  A2  A1  2 B1  A1 x  2 B 2 x

 B1  B 2 x  B 2  2 A1`  3B1  2 A2 x  3B 2 x
A1 , A2 ixtiyoriy
 А1  А2  А1  2 B1
2 B1  2 А1  А2
 А2  А2  2 B 2
2 B 2  2 A2
 B1  B 2  2 А1  3B1
 B 2  2 А2  3B 2
B1  A1 
A2
2
B 2  A2
A2 x 
 A1 


 A2    x  A1  


 e  x 

A2    x e     A2
y

 A2 x 
 A1 
 A1  
A 
 2

2   2 


1
 2x 

 c1 e  x    c 2 e  x 
1
 2 x  1
A2
 c2
2
Endi (2) tenglamaning 𝑛 ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlaridan
y(x) matrisani tuzamiz.
A1  c1
nxn
 y1 ( x)   y1 ( x) y12 ( x).....y1n ( x) 


 
Y ( x)   y 2 ( x)    y 21 ( x) y 22 ( x).....y 2 n ( x) 
 y ( x)   y ( x) y ( x).....y ( x) 
 n   n1
n2
nn

u xolda
dY
 A( x)Y
(9)
dx
ga matrisali tenglama deyiladi.
det Y ( x)  W ( x) ga
Vronskiy determinanti deyiladi. Agar U(x) matrisa, (9) matrisiali
tenglamani qanoatlantirsa, unga (9) tenglamaning integrali yoki fundamental
matrisasi deyiladi. (matrisali yechim) Bundan ko’rinadikim chiziqli
differensiali tenglamalar sistemasini
n
dyi
dy
dY
  Pij ( x) y j ni A( x) y vektorli ravishda yoki
A( x)Y
dx j 1
dx
dx
matrisali ravishda yozish mumkin. Bu tenglamalr orasidagi boglanish
shundan iboratki n x n Y (x) matrisali yechimning ustunlari (2)
tenglamaning uzaro chiziqli bog’liq bo’lmagan vektorli yechimlarni tashkil
etadi.
Agar A(x) matrisa funksiya, o’zgarmas matrisa bo’lsa.
 a11 a12 .....a1n 


А   a 21 a 22 .....a 2 n 
a

 n1 a n 2 .....a nn 
o’zgarmas koeffisiyentli matrisali
dY
 AY
dx
tenglamaning yechimini
Y  Be x
ko’rinishda izlaymiz bunda B n  1 tartibli matrisa
 1 
 
B   2 
 
 n
Agar o’zgarmas matrisa uchun
Ah  h
tenglik bajarilsa, u xolda  son A matrisaning xos soni (xos qiymati), h
vektorga esa  ga mos bo’lgan xos vektor deyiladi.
TEOREMA.Y(x) matrisa (9) tenglamaning fundamental matrisasi bo’lishi
x  ( ,  ) oraliqdagi qiymatlar uchun
det Y ( x)  W ( x)  0
shartining bajarilishi zarur va yetarlidir.
TEOREMA 2.Agar y1 ( x) matrisa (9) tenglamaning biror intervalda
aniqlangan matrisali yechimi bo’lsa u xolda y1 ( x )c xam bu tenglamaning
yechimi buladi.
d (Y1c)
Ya’ni
 A(t ) (Y , c)
dx
S, n x 1 tartibli ixtiyoriy o’zgarmas matrisa xakikatan xam
dY1
(10)
 A( x)Y1
dx
tenglamaning ikki tomonini ungdan C matrisaga kupaytiramiz.
dY1
 C  A( x)Y1C
dx
\C o’zgarmas matrisa bo’lgani uchun
d (Y1C )
 A( x)(Y1C )
dx
ya’ni Y1C (9) tenglamani yechimi buladi.
Xulosa
Bu kurs ishida O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial
tenglamalar sistemasini matritsalar usulida yechish haqida keltirib o’tilgan.
Bunday sistemaning sodda ko’rinishi
dyi n
  a ij y j  f i ( x)
dx j 1
(1)
(i  1, n)
dan iborat, bunda a ij o’zgarmas sonlar. f i (x) esa ko’rilayotgan oraliqda
aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar
sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli
chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga
to’g’ri keladi.
Tenglamalar sistemasini bu usulda yechish turli misollar yordamida
tushuntirilgan.
Foydalanilgan
a d a b i y o t l a r:
С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Т. В. Муратова. “Дифференциальные
уравнения.” Учебник для вузов -М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999.336с (Серия Математика в техническом университете ;Вып. VIII),Глава
5 параграф 2.
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления. - 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с.
3. Дифференциальные уравнения. Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А.,
Сафонов А.Н. (1984, 176с.)
4. Дифференциальные уравнения в задачах и
примерах. (Учебно-метод. пос.) Пушкарь Е.А. (МГИУ; 2007, 158с.)
5. Internetsaytlari:
www.ziyonet.uz
www.alleng.ru
www.ru.wikipedia.org