ÓZBEKSTAN RESPUBLIKASI
INFORMACIYALIQ TEXNOLOGIYALARI HÁM
KOMMUNIKACIYALARIN
RAWAJLANDIRIW MINISTRLIGI
MUHAMMED AL-XOREZMIY ATINDAĞI
TASHKENT INFORMACIYALIQ TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
NOKIS FILIALI
Kompyuter injiniring fakulteti Kompyuter injiniring baǵdari 1-kurs 3001-22topar student
Razaqbergenov Alpisbaydiń
Differencial tenlemeler páninen
ÓZ BETINSHE JUMISI
Tayarlaǵan:________________A.Razaqbergenov.
Qabillaǵan:_________________A. Tuxtarova
Differensial teńlemelerdi analitik sheshiw
Joba:
1) Analitik haqqında túsinik.
2) Differensial teńlemelerdi analitik sheshiw.
Ulıwma alǵanda, analitik (grekshe: ἀναλυτi'κός, analytikos) grek tilinen
alınǵan bolıp - " analytikos", yaǵnıy " analiz qılıw qábiletine ıyelew" yamasa "
elementler yamasa principlerge bóliniw" degen mánislerdi ańlatadı.
Analitika tiykarınan pikir túsinigi bolıp tabıladı. Tolıq hám tolıq
kórsetiletuǵın pikirdi ańlatadı. Ádetde bul pikirlew usılı statistikalıq
maǵlıwmatlarǵa salıstırǵanda qóyıladı. Mashqalalardi sheshiwge qaratılǵan
jantasıwlar analitik dep aytıladı.
Pikirlew hám analiz qılıw usılı bolǵan analitik turmıstıń barlıq tarawlarında
qolaylıq jaratadı. Lekin birpara aymaqlarda bul ajıralmaytuǵın usıl bolıp tabıladı.
Analitik pikirlew, ásirese, jeke rawajlanıwda, ximiya, filosofiya hám medicinada,
pán salasında hám texnologiyalıq islenbelerde júdá zárúrli bolıp tabıladı. Bul
tarawlarda dus kelgen máseleler kishi bólimlerge bólinedi usınıń menen birgelikte
sheshim teoriyası islep shiǵarıladı hám de múmkin bolǵan máselelerge qarsı rezerv
sheshimlerdi alıw arqalı áwmetsizlikler jónge salıw etiledi.
Analitik yamasa analitik tómendegi mánislerge de ıyelewi múmkin:
Analitik geometriya - geometriya bólimi. Ol jaǵdayda ápiwayı
geometriyalıq obrazlar (noqatlar, tuwrı sızıqlar, tegislikler, ekinshi tártipli iymek
sızıqlar hám betler) koordinatalar usılı tiykarında algebraik qurallar menen
uyreniledi.
Abstrakt analitik sanlar teoriyası, analitik sanlar teoriyasınan basqa matematikalıq
tarawlarda ideyalar hám usıllardı qóllaw
Analitik kombinatorika, kombinatorikaning generatsiya funksiyalarınan
paydalanǵan halda kombinator klassların xarakteristikalaytuǵın bólimi
Analitik element usılı, bólekan differensial teńlemelerdi sheshiw ushın
isletiletuǵın cifrlı usıl
Analitik ańlatpa yamasa analitik sheshim, esaplaw ushın qolay bolǵan belgili
operatsiyalardan paydalanatuǵın matematikalıq ańlatpa
Analitik geometriya, hákisiomalarga emes, bálki cifrlı koordinatalarǵa
tiykarlanǵan geometriyani úyreniw
Analitik sanlar teoriyası, sanlar teoriyasınıń matematikalıq analiz usıllarınan
paydalanatuǵın bólimi
Matematikalıq analiz
Redaktorlaw
Analitik sıyımlılıq, málim bir sheklengen analitik funkciya qanshellilik úlken
bolıwı múmkinligin kórsetetuǵın nomer
Analitik dawam, málim bir analitik funkciyanı anıqlaw salasın keńeytiw usılı
Analitik funkciya, konvergent dárejeler qatarı tárepinen lokal túrde berilgen
funkciya
Analitik manifold, analitik ótiw kartaları menen tapologik manifold
Analitik xilma -xillik, analitik funkciyalardı óz ishine alǵan bir neshe
teńlemelerdiń ulıwma sheshimleri kompleksi
Jıynaq teoriyası
Redaktorlaw
Analitik ierarxiya, arifmetik ierarxiyaning keńeytpesi
Analitik jıynaq, Polsha mákanınıń úzliksiz suwreti
Tastıyıq teoriyası
Redaktorlaw
Analitik tastıyıq, strukturalıq tastıyıq teoriyasında, dúzilisi ayriqsha tárzde ápiwayı
bolǵan tastıyıq
Analitik keste, logikalıq formulalardı analiz qılıw ushın isletiletuǵın terek dúzilisi
Kompyuterdiń qollanılıw tarawlarınan biri mexanik processlerdi hám
obiektlerdiń matematikalıq modellerin esaplaw usılları hám kompyuterlerdiń
programmalıq quralları járdeminde izertlew bolıp qalıp atır. Esaplaw matematikası
usılları hám kompyuterlerdiń zamanagóy múmkinshilikleri birgelikte mexanik
processler hám ob'yektlarning sol payıtqa deyin belgisiz qásiyetlerin ashıwǵa jáne,
texnologiyalıq processlerdi jetilistiriwge xizmet etip atır.
Matematikalıq modeller úyrenilip atırǵan processtiń tiykarǵı qásiyetlerin
ózinde ılajı bolǵanınsha tolıqlaw, to'kisroq sáwlelengen etiwi kerek. Bul bolsa
olardıń ılajsız quramalılashuviga sebep boladı. Bunday matematikalıq modellerdi
isletiw, olar tiykarında
joybar kórsetkishleriniń qásiyetlerin suwretleytuǵın sheshim alıw da óz gezeginde
quramalılasadı. Matematikalıq modellerdi quraytuǵın algebrik, differensial,
integral,integrodifferensial hám basqa teńlemelerdi sheshiw usılları jetkilikli
dárejede rawajlanbaģan. Ayırım arnawlı kurslarda keltiriletuǵın anıq, analitik
usıllar tek menshikli kórinistegi, ápiwayı teńlemelerdiń sheshimin tabıw
imkaniyatın beredi, tek.
Sanlı usıllar bolsa ulıwmalaw, talay quramalı teńlemelerdiń sheshimlerin tabıwǵa
múmkinshilik beredi.[1]
Elektron esaplaw mashinalarınıń jaratılıwı sanlı usıllar nátiyjeni ámelde
qollanıwına keń keleshek jarattı. Ilgeri analitik usıllarda sheshilmagan teńlemelerdi
kompyuterlerde sanlı usıllar menen sheshiw múmkinshiligi jaratıldı. Bul keyingi
jıllarda joybar shólkemleri tárepinen tuzilayotgan qurılıs ob'ektleriniń
joybarlarında da óz hákisin tabıp atır.
90 -jıllardıń baslarında universal programmalastırıw tilleri kompyuter
matematikasınıń arnawlı sistemaları (CCM) menen almastırildi. Olardan eń
ataqlıları Evrika, Mercury,Mathcad, Derive, Mathematica 2/3/4, Maple v
R3/R4/R5 hám Maple 6 hám basqalar.[3]
Ilimiy programmalıq támiynat hám matematikalıq paketler zamanagóy pán hám
texnikada zárúrli orın tutadı. Axiom, Derive, Macsyma, Maple, MatErin,
MathCAD,Mathematica sıyaqlı paketler rawajlanǵan mámleketler universitetleri,
izertlew orayları hám kompaniyalarında keń tarqalǵan. Bir yamasa bir neshe
matematikalıq jıynaqlarǵa iye bolıw hám olardan ishda úzliksiz paydalanıw, qále
ol izertlew yamasa oqıw wazıypası bola ma, demde qánige ushın ádetiy halǵa
aylanıp barıp atır.[2]
Analitik esaplar járdeminde teńlemeler hám sistemalardıń analitik yamasa
tolıq sheshimleri tabıladı, olar tuwındı hám uǵımsız integrallarǵa esaplanadı,
quramalı ańlatpalar ózgertiriledi (mısalı, ápiwayılastırıw ). Basqasha etip aytatuǵın
bolsaq, bul jantasıw menen siz nátiyjeni qanday da funksiya formasında alıwıńız
múmkin. Maple programmasında ramziy ózgerislerdi ámelge asırıwda
ózgeriwshilerge berilgen arnawlı bahalar itibarǵa alınbaydı - ózgeriwshiler
anıqlanbaǵan parametrler retinde kórip shıǵıladı.
Analitik esaplar járdeminde teńlemeler hám sistemalardıń analitik yamasa
tolıq sheshimleri tabıladı, olar tuwındı hám uǵımsız integrallarǵa esaplanadı,
quramalı ańlatpalar ózgertiriledi (mısalı, ápiwayılastırıw ). Basqasha etip aytatuǵın
bolsaq, bul jantasıw menen siz nátiyjeni qanday da funksiya formasında alıwıńız
múmkin. Maple programmasında ramziy ózgerislerdi ámelge asırıwda
ózgeriwshilerge berilgen arnawlı bahalar itibarǵa alınbaydı - ózgeriwshiler
anıqlanbaǵan parametrler retinde kórip shıǵıladı. Analitik esap -kitaplardı orınlaw
ushın buyrıqlar tiykarlanıp Symbols menyusında jıynanǵan hám soǵan uqsas
ásbaplar panelinde tákirarlanadı.[4]
Házirgi kúnde pán-texnika rawajlanıp barǵan sayın matematikanıń roli artıp
barıp atır. Sonday-aq matematikadan fizika, mexanika hám astronomiya hám de
ekonomikalıq máselelerdi sheshiwde, biologiyalıq processlerdi analiz etıwde hám
basqa kop tarawlarda paydalanıladı. Bul tarawlar daǵı processlerdiń matematikalıq
modeli differensial teńlemeler atı menen júritiledi.
Bul referat esaplaw matematikası hám kompyuterdiń ilimiy izertlew
jumıslarda qollanılıwına baylanıslı bolib, ilimiy hám ámeliy tárepten aktual bolıp
tabıladı (Proxorov hám bas., 2006 ). Referatta ápiwayı differensial teńlemelerdi
Maple programması járdeminde analitik hám ámeliy sheshiw máselesi qaraladı.
Tómende máseleniń qoyilishi jáne onı sheshiwdiń izbe-iz algoritmı keltirilgen.
Ápiwayı differensial teńlemelerdi sheshiw ushın zárúr bolǵan esaplaw usılları
xarakterlenedi.
Ámelde qálegen matematikalıq paket járdeminde ámelge asırıw múmkin
bolǵan elementar esaplawlar hám almastırıwlar shınjırı quramalı máselelerdi de
sheshiw imkaniyatın beredi (mısalı, ápiwayı differensial teńlemeler, shegaralıq
máselelerdi sheshiw). Maple programmalıq paketi joqarı matematikanıń arnawlı
bolimlaridagi kopgina máselelerdiń sheshimlerin tabıwǵa múmkinshilik beredi.
Maple ortalıǵında islew texnologiyası menen arnawlı ádebiyatlarda tanısıw
múmkin (Goloskokov, 2004). Maple matematikalıq paketinen « Differensial
teńlemeler » hám « Joqarı matematika » páninen balatuǵın ámeliy mashgulotlarda,
seminar mashgulotlarida, ápiwayı differensial teńleme hám teńlemeler sisteması,
shegaralıq máselelerdi sanlı sheshiw boyicha tańlaw pánleri mashgulotlarida
paydalanıw múmkin.
Shama menen oylayıq materiallıq noqat OX oqi boylab háreket qilsin.
Háreket funksiyası f (t) bolsin. Bunnan tısqarı qandayda bir t=t0 momentte onıń
absissasi x0 bahanı qabıl qilsin. Sol materiallıq noqattıń háreket nızamın tabıń.
Bul máseleniń matematikalıq modeli bul
dx
 f t , xt 0   x0
dt
Differensial teńleme hám baslanǵısh shárt korinish menen ańlatıladı.
Taǵı bir mısal keltiraylik. Radiaktiv element esaplanǵan radiyning ıdıraw
tezligi onıń muǵdarına togri proporsiolnal. Shama menen oylayıq, t momentte R0 g
radiy bar bolsin. Qálegen t momentte Rg radiy muǵdarın anıqlań.
Eger proporsionallıq koefficienti c (c>0) ga teń bolsa, ol halda másele bul
differensial teńlemeni sheshiwge keltiriledi.
R
 cl
t
Bul teńlemenı t=t0 da R=R0 ģa teń bólatuģın sheshimi
R=R0e-c(t-t0)
funksiya menen sıpatlanadı.
Joqarıdaǵı máselelerden korinadiki, bir differensial teńlemeni bir neshe
funksiyalar qánaatlantirishi múmkin, sol sebepli differensial teńlemeler
teoriyasınıń tiykarǵı maqseti berilgen teńlemediń barlıq sheshimlerin tabıw hám
olardıń qásiyetlerin organishdan ibarat. Bul maqsetke erisiw ushın házirgi kúnde
biziń qolimizda arnawlı matematikalıq paketler bar. Bular Maple, Mathcad,
MathErin, Mathematica hám taǵı basqa. Áne sol paketlerden paydalanǵan halda
ápiwayı differensial teńlemelerdi sheshiwimiz múmkin baladı.
Tómende áne soǵan erisiw ushın aldın differensial teńleme, shegaralıq másele,
olardıń ulıwma hám menshikli sheshimleri, olardı analitik usılda tabıw, qaysı
jaǵdaylarda matematikalıq paketlerden qanday paydalanıw múmkinligi haqqında
saz ásbapları júritiledi.
Maple de differensial teńlemelerdiń analitik sheshimlerin tabıw ushın
tómendegi komanda isletiledi:
dsolve(eq,var,options),
bul jerde
eq – differensial teńleme;
var – Uǵımsız funksiyalar ;
options – parametrler.
Differensial teńlemeni kirgiziwde tuwındın bildiriw ushın diff komanda
isletiledi, mısalı,
y''+y=x
Differensial teńleme tómendegi kóriniste jazıladı :
diff(y(x),x$2)+y(x)=x.
Differensial teńleme sanlı sheshiminiń grafigini qurıw ushın bul
odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2)
Komandadan paydalanıw múmkin, bul jerde funksiya retinde dd:=dsolve ({eq,
cond}, y (x), numeric) sanlı sheshiw komandasınan paydalanılǵan, endigiden bolsa
kvadrat qawsırmada ózgeriwshi hám belgisiz funksiya [x, y (x) ] hám de grafik
qurıwdıń intervalı x=x1..x2 sıyaqlı kórsetilgen.
Mashqalanı oydinlashtirishni shınıǵıwlarda atqarıp kóreylik hám
tómendegi nátiyjeni ámelde qollanıwlardı atqaraylik:
Tómendegi Koshi máselesiniń sanlı hám ámeliy sheshimin 2-tártipli dárejeli qatar
kórinisinde tabayıq:
y' ' x sin( y)   sin x , y (0)  1, y' (0)  1 .
Bunıń ushın áwele Koshi máselesiniń sanlı sheshimin tabamız, keyin bolsa
tabılǵan sheshimdiń grafigini quramız :
> restart; ordev=6:
> eq:=diff(y(x),x$2)+x*sin(y(x))= - sin(x):
> cond:=y(0)=-1, D(y)(0)=1:
> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric);
> de:=proc(rkf45_x)...end proc
> de(0.5);
Nátiyjeni shıǵarıw qatarında rkf45 usıldan paydalanilganlik haqqında malumot
shıǵadı. Eger qatar kerekli malumot bermasa, bul aralıq komandanı eki noqat
qoyıw menen ajıratıp qoyıw kerek. Eger x dıń qandayda bir fiksirlangan ma`nisi
ushın nátiyje alıw (mısalı, sheshimdiń sol noqat daǵı tuwındı ma`nisin shıǵarıw )
zárúr bolsa, mısalı, x=0. 5 noqatda, ol halda tómendegiler teriledi (1-súwret):



x

.5
,
y
(
x
)

-.50644

,
y
(
x
)

.954





x


> with(plots):
> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);
1-súwret. Koshi máselesi sanlı sheshiminiń grafigi.
Koshi máselesi yamasa shegaralıq máseleniń sheshiliwi. Dsolve komanda
Koshi máselesi yamasa shegaralıq máseleniń sheshimin tabıwı múmkin, egerde
berilgen differensial teńleme ushın uǵımsız funksiyanıń baslanǵısh hám de
shegaralıq shártleri berilsa. Baslanǵısh yamasa shegaralıq shártlerde tuwındılardı
belgilew ushın differensial operator isletiledi mısalı, y– (0) =2 shártni
( D @@2)( y)(0)  2 sıyaqlı beriwge tuwra keledi yamasa y'(1)=0 shartni:
D( y)(1)  0 . Esletıl ótemiz, n-shi tártıplı tuwindi ( D @@n)( y) sıyaqlı jazıladı .
1). Mashqalanı oydinlashtirishni shınıǵıwlarda atqarıp kóreylik hám
tómendegi nátiyjeni ámelde qollanıwlardı atqaraylik, yaǵniy Koshi máselesiniń
sheshimin tabayıq :
y(4)+y''=2cosx, y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0.
Sheshim:
> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);
 4
  2

de :  4 y( x )    2 y( x )   2 cos(x )
 x
  x


 

> cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0,
(D@@3)(y)(0)=0;
cond:=y(0)=2, D(y)(0)=1, (D(2))(y)(0)=0, (D(3))(y)(0)=0
> dsolve({de,cond},y(x));
y(x) = 2cos(x)xsin(x)+x.
2). Basqa túrdegi ápiwayı differensial teńlemediń sheshimin túrli analitik
usıllar járdeminde Maple programmasınan paydalanıp sheshiń:
sin( x) y' ( x)  cos(x) y( x)  0 .
Sheshiw:
> ode_L:=sin(x)*diff(y(x),x)-cos(x)*y(x)=0;
d
ode_L := sin ( x )  y( x ) cos( x ) y( x )0
 dx

> dsolve(ode_L,[linear],useInt);
y( x )_C1 e
  cos ( x )


dx 

 

 sin( x )


> value(%);
y( x )_C1 sin ( x )
> dsolve(ode_L,[separable],useInt);
 cos( x )


dx




sin
(
x
)




y( x )
1
d_a _C10
_a
> value(%);
ln ( sin ( x ) )ln ( y( x ) )_C10
Kópshilik differensial teńlemeler túrleriniń anıq analitik sheshimi tabilǵan
zatydı. Bul halda differensial teńlemelerdiń sheshimin jaqınlashuvchi metodlar
járdeminde tabıw múmkin, yaǵniy uǵımsız funksiyanı dárejeli qatarǵa jayıw arqalı
tabıw.
Differensial teńlemediń sheshimin dárejeli qatar kórinisinde tabıw ushın
dsolve komandada ózgeriwshilerden keyin type=series (yamasa jaysha series)
parametrin korsatish kerek. n -ne yoyilma rejimin korsatish ushın, yaǵniy dáreje
rejimin yoyilma tugaguncha, dsolve komandadan aldın tártipti anıqlaytuǵın
Order:=n komandanı qoyıw kerek.
2-súwret. Koshi máselesi sheshiminiń grafigi.
Endi Koshi máselesiniń sheshimin dárejeli qatar korinishida tabamız hám de
sanlı sheshim hám alınǵan dárejeli qatardıń grafigini olar sáykeslew túsiwi
múmkin bolǵan interval ushın yasaymiz (2-súwret).
> dsolve({eq, cond}, y(x), series);
1
1
1
1
1




3
4
5
6
y
(
x
)


1

x

sin
(
1
)

x

cos
(
1
)
x


sin
(
1
)
x

O
(
x
)








6
6
12
120
40




> convert(%, polynom):p:=rhs(%):
> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-3..3, thickness=2,
color=black):
> p2:=plot(p,x=-3..3,thickness=2,linestyle=3,
color=blue):
> display(p1,p2);
Sheshimdiń dárejeli qatar menen júdá jaqın bahaları (1 < x < 1 ekenligi grafiktan
korinib turıptı.
Eger bul sıyaqlı máselelrni ápiwayı matematikalıq usılda tarqatıp alıw, hám de
onıń grafigini payda etiw zárúr bolsa, bul studentlerden, ilimiy xızmetker hám
oqıtıwshılardan kop waqıt hám ilmiy tájriybe talap etedi. Joqarıdaǵı máseleden
korinib turıptı, olda, onı Maple ortalıǵında ańsat sheshiw hám bir waqıtta onıń
grafigini da payda etiw múmkin eken.
Ekenin aytıw kerek, differensial hám integral esaptıń nátiyjeni ámelde
qollanıwı kóp predmetler menen baylanıslı. Sol sebepli bul túsiniklerdi jetilisken
ańǵarıw hám tushinib jetiw oqıwshı hám studentler ushın zárúrli bolıp tabıladı.
Mektep, licey hám joqarı oqıw orınlarında ótiletuǵın joqarı matematika hám
geometriya pánlerinde differensial hám tuwındı haqqındaǵı temalardan mısal hám
máseleler sheshiwde Maple ámeliy programmasınan paydalansak jumısımız talay
jeńil hám ańsat keshedi. Maple ámeliy programmasında differensial teńlemeni
analitik sheshiw, differensial teńlemediń ulıwma sheshimi, fundamental (bazis)
sistemanıń sheshimi, Koshi máselesiniń sheshimi yamasa shegaralıq
máseleler,differensial teńlemeler sistemasın sheshiw, dárejeli qatarlar járdeminde
differensial teńlemediń ámeliy sheshimin tabıw, differensial teńlemeni sanlı
sheshiw,odeplot komandası járdeminde differensial teńlemediń grafigini soǵıw,
differensial teńleme sheshiminiń grafigini Detools paketi járdeminde kórsetiw hám
differensial teńlemeler sistemasınıń keńislikgi suwretin sızıw sıyaqlı ámellerdi
ózinde saqlaydı.
Maple ámeliy programması mine sol mısallardı sheshiwde joqarı múmkinshilik
dárejeleri menen
ajralıp turadı.
Paydalanılģan ádebiyatlar :
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в
пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
Прохоров Г. В., Леденев М. А., Колбеев В. В. Пакет символьных вычислений
Maple V. М.: Петит., 1997.-200 с.
Голоскоков А.К. Уравнения математической физики. Решение задач в
системе Maple. Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2004. – 448 с.
Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет
для всех. М.: Мир, 1997. – 596 с.