机器人机构学的数学至伽
（第 2 版）
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馈意见进行了反复修改和改进。在此，向那些对本书提出修正慈见的师生们表示诚护的感谢。
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各章都增加了扩展阅读文献环节，更为重要的是增加了大量 的习题，部分习
题从最新科研成果中转化而来，具有较强的时代性 。
(6)
为配合教学开发了 一套模块 化 、可重构的柔性教具以帮助学生对旋量（系
理 论知 识有更直观的理解。经过在北航 几轮的尝试 ， 取得了很好的效果 。有
兴趣的读者可与作者联系，订购此教具 。
本书的出版得到了机械工业出版社的大力支持，在此表示诚挚的谢意 亡
由千编者水平有限，书中难免有疏戍之处，敬 请读者和专家批评 指正 D
作者
20[3 年 12 月 5
目
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录
绪论 . . . . . ` . . . . . . . . . 妒 . . . . . . . 覃 . . 雹 . 妒 惘 . . . . . . 肥 . . . 圈 令 . . . . . . 妒 . . 嘈 耙 匿 . . 覃 . . . . •. . 懂 . . . . . . 中 肥 . 铲 . . 情 . . 嘈 ". 圈 . . . 嘈 . 覃 " . . . . . 霪 . . . . 俷 . . 令 . . 嘈 . . 嘈 . . . 贮 . . 妒 耙 . . . 覃 . ". . . . . l
第1
1.1
1.2
l 构学与机器人学的发展历史概述......... 小………
•• • •••••••
品· ······ 忘······· ··· ·· 占· 酝．．酝．．酝.. 酝丞.. 忘· ··· ········ 忐 ，...
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机构学及机器人学中的基木概念．暨 ． ＂………．． ．． ．． ，．．．颅黔·糟中.. 中．．守俨雪”俨雹霓识雹雹＂．．．．．．阳 •n••• 听..... 中．．宁霄暨”“雹... .4
L2.1
机构与机器人的基本组成元素： 构件与运动副"""""…...... . ………….... 酗.. ., ••••• ,.., •• ., •• 4
1.2.2
运动链、 机构 与 机器人 ..... 户~ ••
＆云.. 云二
呻， 令云呻＆云· ·•··
云云
云二令么云 n 云二
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叶令云呻卜云占
6
. . .. J
_
l.2.3
勹， 由度与约束． ，．， ．．噜...................... 青..... .. . ............ 嚷 . .......................................................... 6
1.2A
机器人机构的分类．．．．．．．．．．贮............... ... ............ 心．．．贮．．心事. ...... ................ ...... 贮..... ...... . 霹. . .. .... 7
L3
机器人机构学的
lA
丸构学与机器人学研究中的现代数学工具,, 云''石书+云............. ... .... 户尸•+• 云.. 云书，云二
要研究内容................. '"'" ..... 圃.......... 旬........ 倩，．．，．． ，． ．．．．．．趴· 帽憎............ 憎......... 8
李群、，
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芯今呻七云, .•云;'" 8
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代数概述．＂ .......
旋 理论概述[137]. 饲．．．．．．谭.......... 酗................ 擅．．．．．．切.................... 撑............... 调．．．．．．．酗..... ....... 霾· 眉.... . 10
L4J
L4.2
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雹翌．．．书乞雹书于雹煌于琶雯勹黔翌书『圈勺喟．．．于肥遭..
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现代数 学工具在机构” 与机器 人 学 中的应用举例”铲瞿.... 宁．．干铲雯糟俨雹. .,飞”“嘈...... ...
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机器人机构学研究中的几个经典问题．．………诅配.. 配………., •• . •• 丛..... 堇小.. 山…….. 谒心......... ...... ...... ..
文献使用与说明．于琶谔于... 俨琶· 于琶琶 书俨琶烹宁.. 宁靶男丐铲雹．．．．宁更琶宁 于琶........ 肥言丐俨琶，宁匣· 书... 俨言，干艺丐宁... 俨琶.... 于俷亏 ,, 俷己.. 俨琶寻胪艺寻
扩
l
13
吧寻丐俨．．俨艺亨宁雯寻宁俨贾. 干．．宁 13
阅读文献．娼．．．．．． ． ．．值嗣.. 们．．．．．．．．．．．．谒酗· 圃........................................................ . .. 切酗............................ . 14
习题........ 心”
＆旮志....... . ...... . ... . . 兰. . ....... 嘈.
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"志....... . ...
"
,.... ,..,,. ..
志. .
名
. . . . ,. .......... . . . . ,
"
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..................... 15
2.5
运动副与位移子群十... 令二书 +•a 书.. 屯 ,.
·
•• • , 一 书于 一 .... 令， 已一 志令 .. 令 .. ....... , •• , •• 嘈 ;a 分七 一 .... 志, ••,.令二呻令... 23
·
·
4
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一
4
．
．
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已云" 一 .
志
SE(3)及其全 部子群．．淖．．缮... 切心.. 配．．谒.. 谒.... 鹏霉谒. ... 引........ 值.. 娼配· 蹋... 谒．．切配．．＂．． ＇， 躺霉谒．．＂．．．电， ．．切.. 切．．．．．．诅.. 谒．．．＂．． ＇， ．．马．．谑...... 2]
心
2.4
二
一
李子群及其运算 . .. . ,.,.作嘎唷 r 耋书于肥耆书管..... 于........... 乞豐唷于豐书俨．．于..... 书... 于配噜嘈... 铲....... .. 干于雯书... 于.... .. 书...... 嘈........... .. 唷.. 唷于... 19
一
．
2.3
志
几种典型的群.. ..... 小．．心心篡..... 酝雪切.. 谒........ 雪谑.. 霉心··················· · · ········ 谑．．切心......... .. .... 雪切｀．谒........ 雪............. 墟 ,..17
．
一
2.2
一
．
群与 -.. ~群的定义霉 ,,.•霪 ＇，， ．．｀．．煌.......... 嘈.. 嘈... 铲雹雪市贾雪．．．．．雹瑰妒雹霪煌........ 圈........ 雪霾嘈........ 谭 嘈＇ 雹．．．．．嗣．．．肥.......... 雪嘈.... 覃＂．．邓 .. 16
．
一
2靶 l
一
．
李群与李子群 ..... .. .. 山...... 心... ............... .. 心酝..... 引霾瀛 . 匡罩诅...... . ..... 谒... 昌， .. . .......... 心.. .................. 以.... ......... 心, 16
一
第2章
2.,6 位移子流形................. 倩．．．，．．＂．．．，．．调...................................... 谓．．调.............................................................. 崎.. 26
2.7
••••••••• .•••••
，云""书
云书己云·
片云书·
云.
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弓噜 ，
.
.
响，
...
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心,.
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••• , ••山云 . . 27
...... 效运动链...... 圈.. 酌．． ．．．圈... 渭．．．＂．围 「．． ．．．． ．暨霄听雹预 ，. .... ..... 圈．．．可圈．．．．．．．．叩暨· 懂句暨....... 27
2.7 圈 l
位移子群生成元
2.7.2
位移子流形的生成元——等效运动链 ．． ．．．．．．．．．．．．．．．．， 酝温山．．．．．．．， ．．．， ．．．， ．．．．．．心．．．．．．．．．山.... ... .... ... 31
七”
2.8
\./用实例 ——构造运动链云咐
展阅读文献雪霄叩雪 · 中.. 中...... .. 雹．．．匮围俷．．．．．． ． ．．．雪雪 ,,, 究．．．暨．．．． ．， ．．．肥．．．．． ，．．圃嘈....... 雪．．．．．＂暨． ．． ． ，．， 冒霪．．．．．．． ，俨匮........... 嘈．．嘈· 暨.... ... 33
`X-
题"酗．．．．． ．， ．．切.......... . .............. 心................. 填.................... 霾........... 圃．．．切酗.. 配· 圃........ 湟酗．．．．．心．．．．．．心...... 酗............ 湟， ．．值酗... .33
第3早
-3 l
.
李群与刚体变换..... 叩.. 璋.. 煌旷．．．．．霞...... 谓.................. 圈...... 煌......... 嗣· 情.. 圈叭.. . ........ 霪 ，． ．．．．．懂...... 饲.. 谔...................... 35
刚体运动 与刚体变换...
令今
合 一 ,, . 今
乙令"云;; 一 .. 芒 -令， 合弓呻七竺 ;;a;
35
刚体运动的定义，．．刊，．檐，嗣憾.......'""' ............. 删· 煌，．檐们.................... 糟．．．嘈. ............. 憾．．．．，．帽... .. ...... 傩... . 35
罩
J
酝
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. . .
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.
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. .. ....
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4
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4
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罩
罩
酝
3.L2
今亏 H 一..... .. 呻， 今弓.. . .. . ... 屯+. 一 书士 一 令午令.... 一 ·· · · ·· 今今
换
变
体
刚
3. :1 .l
， 一 书今艺兰
云 一 H 己一
石谑是事罩..... 石罩 ．， 车罩小＆玉.. 石漏 .. 36
3.2
'lj体的位姿描述糟 ，．， ．． ，．， ．．馆... .. 震........... 闱．．．．配霄漕. ........ 烽守震蟾....... .... 嘈．．胃... ..,. 罚嘈， ．．嘈＇ ．．． 俨 ．． ，．， ．．＂．．＂，．． 更帽喟剿........ 嘈 孰．．＂．＂铲霉煌... 37
3.3
刚体转动与 三 维旋转群．．诅......... 谒... 缸……............ 墟．．．．圈圈... 切．．． ．， ．．心.......... ... . 丛．．切．．．．．．．．．．．．．缸….... 霾....... 37
3.4
.3 芒 l
刚体姿态的 一 般描述与旋转变换群.. 俨言.... 宁.. 丐，习丐俨艺...... .. 宁... 俨艺勺于．．于耙言屯....... 艺寻书．．嘈于艺寻宁艺亨~ 俨雯.... 于 37
3.3.2
刚体姿态的其他描述方法．＂．．谒酗.. 酗.. 以．．配.. 诅酗.. 配.. 配．． ． ．．谒配........ 酗．．酗.. 剿... …...... 配.. 谒.. 谒配................. 40
一 般刚体运动与 刚 体运动群．
3.4J
俨弓 令...
俨，
芒亨
．艺呻....... 俨君
•巳｀＇芒丐．俨寻 ....
艺... . 亨嘈， ....
.. ••
十．．
．艺..
..
俨弓．＇ 俨雯丐
艺．十芒亨
俨. .... ... 42
一 般刚体运动与齐次变换矩阵…........ ……… ..... …… ,........... ... ..... …… ... . …… ..... …… .42
SE(3) 与一般刚体运动 ~
3.4.2
···· - ·· - 志
. . . . . 嘈. - • • - •
'". 一 嘈 ..
••
-- ........,
小~ 一 ．
.. ......
_,
....
43
谥.. 一 J
扩展阅读文献．． ＇， 嗣.................... 围... . .. 憎霉...... 嗣.................... 愕们．． ．？ 嗣· 谓．．氓...... 嗣......................... 唱黔· 曝＂．．引嗣.. 泗...... ..46
3.5
习题· ···· 心· 竺品＆罩.. 石谑~， ｀罩....... 志｀谥心...... ... 芯 ，.. 云 ，.. . 昼....
第4章
.........
..
｀谥
切...
心，.. . .... 云. . .. 认
， ....
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. ..
云晶"切
..
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忑 ， 止车... 云冯＆芯认. .
,
竺品贮云..
云罩
＆谥'""'玉谑心芯.... 芯"云.. 46
"
刚体运动群的李代数． ．．＂酗........ . 嗣......... . ......... . .... 酗........ . 嗣...................... 们．．国．．．．．．剿.. . ...................... . 48
4.i
李代数的定义.... 贮，唷于竺嗳个乞，于乞嗖. . 竺唷于艺噜『乞，于贮竺.. 兰，于生，于仁，书· 竺唷于艺，十乞，~ 俨遭.. 乞刁
4.2
刚体 运动群的李代数 ．』 ．．切.. 切．．．心................... .. ......... 通．．．配...... . ........... 麟霉.... 心............ 心............... 毓瞻.......... 49
... 贮兰....... .... 唷， 作竺..... 乞艺唷贮竺，令兰烹..... 艺，贮兰.. 生.... 唷乞竺，于艺嗖 .48
4.2.l
S0(3) 的 李代数 .... 艺”“
4.2.2
T(3) 的 江代数................. , 嗣........................... 嗣· 熄.. 圈.... . .................................... . 嗣· 谔.. 调叭............... 50
4.2.3
SE(2) 的
4.2.4
SE(3) 的 李代数 ．，． ．． ，．．．．．．糟酌.. 嘈． ．．．．．．．．．叩雪．．．暨愕中.. 叩圈.. 剿..... ......... 漕.. 糟＂．． ．， ．．．． ．暨．．．霪割．．咒圈．．．．． ．．．．．．．．．．．＂．． ．，， ．．．．暨..... 51
4.2.5
刚体运动群的正则表达与共枙表达. ... 切.. 谑... . .. 谒．．谒... 山....................... 晶. …….............. 53
代数
•
漏
•••••
;
巴巴
书
三;
, • • • •
气
.... .
••
酝马书妒..
.
.,
•
.... 一 一
•• • 气
•
..
噜仁玉噜+••
芒， 十 ,
•.,
,.
书妒音书
书
一 气
竺... . .. .
＆马噜..
品·
,.
一 . ..
呻...
--气. . .. 一 丐
. 令停....
;,;; 一 ;; 竺~ 十 ,,,. 一 .. 艺. .49
一 气
, ..
书...
枷玉书心酝~
• • ••
••
令·
书 ..5 ]
4.3
指数映射...... .... ., 究..... .... 中．． ＇，， ．．．．更·宁更翌
4.4
刚体 运动的 旨数坐标山· 遍 ，．， ．．谑......... 谑........ 蓦．．．．． ，．， 墓磕 ，．， ．．切．．．．．． ．．．．山......... ············ ·····................ 出.. ......... 扒.... 57
4.4.l
描述刚体转动的
4.4.2
一 般刚体运动的指数坐标.... …....... . ….. 澹劓..... . ...... ….... ….... 雇．．．．情．．．配.. 情．．．．．． ．， ．． ．， …….... 59
...
七 一 .. . 志
令 . .. . 今
书,
.
,
., . .
.
~
4
一
．
.... 云
今"'今.. . 屯+ • •+> · 书七云寸
,.
．
..
••••• 丐... ...... 艺.. 芒.. 57
吧芒，俨艺烹
畸
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俨艺丐俨芒· · ····
俨
．
'二今令 ． 书
今毛呻令云呻
艺. . . 艺屯· 艺勺于.. . ....
.
63
4
·
4.5.l
质点的瞬时运动速度圃........ 们………… ，．＇ 厕霉.......... .. 阴· 谓．．．妒．． ．， ………....................... .... 嘈........ 63
4.5.2
刚体速度的运动旋噩坐标. ...... . ... 小.. ........... .... ......... .. .. 小................... 心............ . ..... 谒 .64
4.5.3
冈 U 体速度的坐标变换震霪宁酐瞿．．．． ．， ．．嘈. ...... ... .. ... ..... 圃.... .. 震· 干胪瞿....... ... .... .... 雹，.......... 于琶........... .... .. .. 情.... 65
4.5.4
刚体速 度的叮 ,r 合变换匾霾．．．．．．．．， ．．．， ．．．．．． ，．． ．．心．． ，． ．．．．．． ，．．． ，． ．．．．．． ．．， ．．心．． ，．．．． ．．． ，．．．．．．墟．．．．．．．．．．．．．．， ．．小........ 谝 . 66
运动旋量与螺 旋运动于俷，书俷言书俨靶谭宁艺寻 •寻谭铲琶谭于艺可宁雯.. 俨．．于艺. .. 俨，勺俨烹书俨艺嘈，艺弓 宁 ，.. 铲琶丐干．． ，干.. 胄... 俨.... .. 气肥霄书千．．宁艺弓宁于寻丐... .. .. .干吏谔.. . 艺勹干令· 于 67
4.,6
4.,6.1
螺旋运动的定义 ，． ．．墟．．．．．． ． ．．圃.. 圃............... . ...... 埴．．． ．， ．． ． ．．切.. 谒叭．． ．， ．．诅．．．．．． ，． ．．．．．璃......... 谒．．曦.......... 值.... 67
4.,6.2
运动旋
4.·6.3
螺旋运动的速度 ． ．．可酮..... 妒．．谓霉· 曝.... 圆· 霞...... ., •• ,. •• 谓阶· 嘈们．． ．， 酮.,. •• 谓＂．．引圆.,. •• ,. •••••• ,. ••• 圈..... 嗜.. 谭.. 可引.. 引圆.... ,.., ••• 71
与瞬时螺旋运动
扩展阅读 献.... ..... 响
题
S 志
••
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俨严气宁俨气.. 一 气俨 一 . . .. 书俨· 嘻俨 一 书
令" . . .
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机器人运动学基础;+,. + 俨. ... 嘈俨~今
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霪
谭
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贮
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曙
邓
.. .... .. .. ... ... .. .. ...
覃
愕
第5章
：r 定理．”“俨艺气干芒亨于...... 于艺丐
ul
刚体速度 的运 动旋示表达 口户己
4,5
4.7
••••••••••.•••• 霪. ... 雹烹 ｀．， ．．．俨．．剿．．．．．干更翌嘈铲雯攫妒暨围 ... ........... ... 肥豐嘈干豐豐· 俨翌 宁 詈．．野．．贮暨豐嘈， ．．．侧暨· 宁雹烹 .54
艺亨... 噜＇ 俨-才..... 74
5J
Q.. H 参数与串联机器 人 正向运动学 ．霉谒篡．．．．．小.. ,. •••••••• …..... 黏………………切心...... 顺........ . . ……… .74
5.2
串联机器人 正向 运动学的指数积公式..... .. 艺.勹......
宁竺.,
艺.,
乞气
.,
芒空唷 ，
作竺气俨芒气
.,
乞艺于俨艺.,
巴.,
艺气
乞,.
•
竺书于竺臂
于守唷芒竺.. 艺.. 76
5.2.1
指 数牙只 公 式 . . . . . ' . . ' 嗣 . . 嗣 . . . . . ' . . 曦 . . . , . . ' . . 嘈 . . . , . . ' . . , 嗣 . . . . 罐
5 上2
惯性坐标系 与 初始位形的选择合艺呻， 一 ””“”“
5.2.3
D-H 参数法与 POE 公式之间的
5.2.4
实例分析 ...... 山.. 山.. 心.... 云. 心 .. . ........... ...... .... 山........ 忐 心 .. . ... 矗云· ···· ···· 山...... 山......... 心 云. . ......... 山谝· 山....... 78
、C
5.3
竺，
'
. . ' . . 谓 . . 谭 , . . , . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . 们 . . . 嗣 . 嘈 酗 . . , . . , . . 嘈 . . , ' . . ' 76
, ., .. ... ... . , .. ..
令艺呻,. 兮"呻
七 一 书妒,,
一 书
今~ 呻
邑呻 ,77
••••••••• ..究．．．暨..... .. 81
典
反向运动学的指数积公式.... 心酝........ 山.... 磕..... 匾谴心... 酝．．山.. ..卫·心...... ....... 谑．．． 忐墓罩. ...... ••• ··•••心...... 8 ],
5.3.2
5.3.3
七兮
系 ．．煌阶．． ．， ．． ．， 酮· 情黔.. 叭..... .. ,. •• ,. •• 霪... ,. •• 煌．．．即.. 渭.. 谭.. 谓叭.. 叩...... ., •• .,78
串联机器人反阮运动学的指数积公式暨勺宁．． ．＇ 雹霞预匮圃嘈..... 圃于俨霪颅．．糟... .. ..... 暨·宁雹．．雹雹｀俨.. 旷．．胪匮围
5.3.1
，分" 一 呤卜一才
，！子问题的求解... 妒淝豐
更弓丐铲艺丐于暨.. .
..
守俨艺.
...
..
. 干...
俨叟..
霪·
· ···
· 于詈豐..
淝....
. 干咒亏
．．，
千艺丐宁吧烹于把豐...
嘈俨巴曳嘈．．．
..................... 84
应川举例......... . .. . ......... . ......... . ......... . .. 倩．．．．．． ．］ ．帽 . ......... . ......... . ...... 们.. 即.. . .................... 86
POE 公式的机器人速度雅可比 .................. 艺............... 七艺...............
5.4
基
5.5
扩展阅读文献.. ,. ••••••••• , •• , ••••• 檐... . ...... . ............ ,.• 倩嗣...... 删帽，．．谓...... , •• ,. •••••• ,. •••••• 剿· 帽们删. . ......... ' ..... ,. •••• 9.1
习题....... 书＆玉刁…
第6章
.. +>.
书，．书
.....
马.
, ••••• .• ••
••••
石弓
石罩
'罩., 酝斗
.. ,.,
令马...
,.
令＆罩夕兮.,,.
书
十．．
,.
书，石
4
•
马. . ..
,
令.,
•••
子芯书.....
艺艺
弓土酝罩
女．书.... 艺.+俨．分.. , 午芒.. 88
＆马占..... 罩+• 弓+• 罩, .. 书 .9 ]
旋晕及其运算 ．．心．．．＂．． ．， ．． ，．， 晶篇 ，................. 心.... ...... . . 墓谑 ，．， ．．＂．．谑配..... . .......... .......... 墓墟 ，．， ．．＂．．切............................. 93
.. ••
6.1
速度瞬心
6.2
旋量 的定义黔....... 嗣........................ . 阴· 曝霉...... 嗣．．．．． ．， ．． ．， ．．＂嗣.. 们· 曝 ＇， ．． ．？ 嗣· 谓．．谓＂．． ．， 嗣....................... 阴· 唱黔· 曝.... 嗣．．泗........ 94
6.3
旋昼 的物 理 含义..... .... 心”芯澹， ＆昼占…
16.4
,6..5
一
占
••
...
小匕谥•· - · 心品 J
, _,
矗 一
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..
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一 书 合 一
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,
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云罩
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"
.... 一 .. . .. 93
＆谥'""' 玉谑..... ...... .. 97
"
6.3.1
旋 量 的物 理意 义书............ 嘈..... 雪雪 ＇妒 蒙雪．．覃． ，．， ．． ，．＇ 雹遭 ，· ··· ···· ···· ·· 俨蠲．．．． ．．， ．． ，．， 年... . 覃· 俨.. .... 书嗣........ 于．．．阮........ 耙... 覃. . ... 97
6.3.2
互 易旋 量 的物理 蔥 义．．黏.. 心．． ．， ……… ............. 阔 ，＇， 酗胃谒黏..... ..... .. ……·劓．．伽．．默............... .. ........ 煽队 99
力旋 量 ．于 2 兰勹管竺.. 兰，于吏,....... 唷．．， ．．．，于· 竺唷.艺, .... 贮竺.. 兰，于生，于．，唷于竺唷于艺，十俨,. 俨竺.. ..
...
贮兰,
..
书...
..
..
书俨竺.....
乞艺唷贮竺，令兰烹喟.
....
艺，贮主
,.
生·
嘈乞竺唷俷竺,
.•
吏
01
6.4.1
力旋量 的概念．．』 ．．切.. 切．．．心.............................. 通．．． ．』 ...... . ............ 麟霉.... 心............ 心............... 毓瞻....... 101
6.4.2
力旋 卢 的旋 愿 坐标. ,.
,,
巴巴
响,
•• • •
..
气
.... 一
......
· ·· · · ··· 气
芒， 十 ,,., 一 气
• ;+ . . . . . , .
一 . ..
--气. .
;.
芒气'' 一 "竺~ 十, ••• 一 .. 艺 [02
一 丐
机器人的力雅可比 矩 阵.......... 嗣· 谔．．．叭...... …., •• ., …嗣·熄，．罐 ．， ．． ． ．． ，． ．．谭., •• ., •• ,. ……,…...... 阶.. . 嗣· 谔.. 调叭.. ., ••• ….,. ~03
静 力雅可比 矩 阵
6.5.2
力雅可比 与 速度雅可 比之间的对偶性
•••••
书
••
酝马书妒..
,.
合品曷妒．．
噜仁玉噜+••
书
＆马噜..
品·
呻...
. 令停....
书
.
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..
• • ••
枷玉书心酝~
令·
.. 104
必
盲
酝
酝
心
酝
酝
谑
a
-
酝
`
酝
心
酝
`
谒
`
止一
心
酝
酝
矗
矗
心
止一
... ... ... ... ... .. .. ... . . . .. ... ... .. .. .. .... .. .. ... .. ... ... ... .. .. ... .... . . . .. ... ... ... .. ... ... ..
。
d.ua.]ity) 讨论[1 61-163] .. 可圈霪叩．．．．．．叩雪.. 霄暨... 104
1 5
呈
旋
反
6.5J
6.6
67
, _,,
6.6.[
反旋 量 的物理 意 义．．颅．．．．．．．究．．更雪．．．．．．． ，．．．谔俨匮．．．． 宁 ．．．更霪．．霪.... 宁......... 干．．屯· 雹．．．．阳肥翌嘈．．． ． ．．．．．．．．．宁．．．侧霪... 105
6.6.2
特殊几何条件下的 互 易旋 量 对.. .. ..... 磕配·牖 . ……… ····· ……… ,,………………. . ……山...... 射 .106
扩 展阅读文献... ..
邑 志
H 响令 一 ..
,
今
....
H 屯， 一 ;; 色今
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芒令+今 H
令 一 响 ， 令 一 ... 令;+今今书亡艺今, _
；今屯；合合书;;;; 一
合
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今一
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芒 t09
习题... 倩．．． ．］ ．． ．， ．．澹.. 帽................ . ..... 澹... . ...... 配.. . ......... . ............ 檐 . .. 澹匐.. 队........................ 劓．． ． ．．情........................... 11 01
线几何与旋量系．中 .. 中... 俨.. .. .... 圈~ 俨． ~ ．．． ． 俨雪霓咒．．．暨· 俨．． ，． 俨雹· 俨................ 妒鬻~ 宁旯雪”“暨．．．霪 ，干 .... ........ 圈闱俨肥．~．．~．．~．．．宁淝霪 .. 暨 . .. 112
第7
妒
亨
妒
艺
. ... . .. .
妒
翌
呵】
铲
嘈
暨
嘈
肥
嘈
艺
. ....
宁
俨
,
翌
.
嘈
俨
畴
妒
妒
亨
俨
嘈
俨
艺
.
俨
帜
艺
宁
炉
俨
嘈
俨
嘈
妒
俨
. .. ..• . . . ... .. . . .• . .. .. .
嘈
翌
俨
俨
嘈
艺
.
噜
艺
畸．
妒
翌
伽．
畸．
曳
妒
.
宁
中·
俨
吧
嘈
俨
畴
妒
亨
7.4
.
7.1.1
线矢 量 集
7己 1.2
不 屁 儿何 又 ．件下的线矢 堂 集
7.1.3
线空恒 酗．．．．． ．， ．． ，． ．．值酗．．．．． ． ．．谒酗· 谒....... 谒酗．．．．．酗...... 诅....... . 酗· 谒嗣· 谒配...................... 值酗．．．．． ． ．．谒．．．诅.. 谒.................. 119
7J.4l
7.1.5
偶 费 系户.. . . …
线簇及分类．．， ．圃谒酝．．．．认．．．心．．墟．．．．．． ，．．．．．．．．．． ．． ．．心．．．．．晶＆霾罩心．． ，．． ．．．．．．．．．谒．．．．．．．．．．＂．．是........ 112
俨.书.
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关性判别俨..
俨匣书俨.. . 俨气噜＇ 俨一.. . . . .. .. 俨.. 俨 一 .. 一 嗖
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艺． ，干艺亏守. ... 干艺
俨豐书俨芒丐嘈芒豐丐· 一 丐妒芒哼
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113
[20
等 效线簇．． ．， ．． ． ．．围嗣．． ． ．． ． ．． ，． ．．谓叩．． ．， ．．谓．．．．．．配......... 们.. . ......... . ... 圈· 懂., •• ., •• ., •••••• ., •• , •••••••••••••••••••• ., •• .,. 12 1
旋星系...... ........... .,... .,....... . .. 宁 ．．．肥琶．．．．
．．宁．．．．．．于.. ... ..... 书，琶· 宁 妒谔嘈俨琶嘈忻．． ，．， ．．宁 俨 · 糟俨．． ，齐.. .. 俷霪书 俨 巴书... . 肥胃嘈肥．．书... 铲霪可... 宁... 俨 霓 . 干 .123
一 义坊．．切......... . .. 霞 贮霍............. . 谴煌配.... 罩........ 暴............ 心霉篡.... 鼠．．以．．心.. 谒｀酝谒........ 霹褐』篡霉 . ..... 123
7.2J
7.3
守
围
.̀
唷
翌
铲
7.2
何
几
线
... . . . . .. ..• .
7.1
ll2
7竺2.2
旋 量 系维数
7.2.3
旋 量 系的分 类 .............. 配．．配．．｀｀．．刷霹．．．．小．．埴.. 埴 . .. . . 霜 ．． ．．配.. , ............... 切．．缮配· 蹋.. 畜凋切.............. 霹霉埽.霹... 128
7竺 2.4
可实现连续运动的旋 量 系.. . 竺... .. 霓之于... . 兰”“
或旋量
已叮 的
关 性） 的 一般判别 -法 乞噜于作艺.. 乞烹于乞艺刁乞乞... 贮兰.. 兰· 于生书于.. 唷于 兰 ~ 于乞 25
贮，.....
竺＇
， 贮竺守. .
芒燮哼俨竺.
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艺竺.. 竺嗖于艺勺干芒，唷芒竺.. 竺 l28
互易 旋量系...... 云汤小石茄 ... . 云.... 忐石罩 忐 · 已 . . 云... 谥心.... 云晶匕云. .. 石 3 心酝云.. 云.. 云. . 贮.. . 百. ... 罩 .. .... . 云.. 云芯 ，＆云云心＆云..... 云罩 . .. . ..... 云... 志 .. 盆汤心芯芯.. 云.. 石 1 29
7.3.1
互 易旋
系的 定 义．．谓............................. ,,. • ., .. 漕．．．＂．． ．， ．．谓．．．＂．． ．， ．．阳.... 圈．．酌.. 黔.. 馈...... 嘈....... 馈.......... l 29
7.3.2
互易旋
系的解析求解 ．心．．心酝墓....... 心...... 心 .. 心 ．．谒矗堇谒心..... 山..... . 山.. 心.... . .. . 酝 忐....... 心... . .. ... 山... . . . 心 . 1 29
7.3.3
旋 量系 与 其互易 旋量 系之间的几何关 系...... .. 雪· ·· ···· 暨·咱雹预．．．屯戳·馈.. …….. •••••••••••••• 瞿. . . 134
7.3.4
互易 旋 量空 侚线图表达． ．心.. 酝．．．．．＆．．心晶眉切.. 谑... . .. 埴.......飞·晶．．丛...... ....... 墟．．罩.. 谴谒... . ........... .. 晶..... 135
扩展阅读文献 曙＂．． ．， ．． ． ．．闺．．． ． ．． ． ．． ＇， 酗· 谓... ., •• 谓.. 曝... . ..... 闺嗣.. ., •• , 嗣．．．．．＂．． ．， ．． ，． ．． ，．．， ．． ．， ．． ．， ．．闺．．．酌．． ． ．．谓．．．．．．．们.. 叭......... .,. 135
习题 ...... , .. 刘.. 曝．．． ． ．．电．．．．．． ．， ．．．．．中．．．．．． ．， ．． ． ．．谓酮................... ,, •••••• 们· 曝 ，．， ．．谓酮．．＂．． ．， 霉............ ,, .......... ... 漕酮...................... 1.36
第8
运动与约束 ... 干豐丐俨 霪· 中．． ．．， 俨耋勺俨琶勺 宁 肥哩 干 俨霪· 俨暨刁俨.... ..... 丐· 覃．中.. .. 肥豐勺俨匮.胪.. . ...... .. 蟹 ... 更霪宁俨雪勺干雪· 中．．中... 俨 ... 匮· 宁 肥. ....... .... .. .... .. 守俨湮... 139
8. l
运 动 旋 量 系与约束 旋量 系．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． ．． ．．． ． ．．．．． 北 ...... .. .... ...飞．． ． ．． ．．．． ．．．． ．．． ． ．．．．． 北 .................. ..... . .. 139
等效运动副旋 ，．：系．志 - ·
8.2
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···· -· · 一 志 ....
一 书合 一 ．＊酝 J
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小· - ·
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8.2.1
等效运动副旋量系的概念...... ……....................... 谓......... ………........... 们．．~．．．黔· 曝酐.... 嗣........ l40
8 芯2.2
等效运动副旋
系的 ·1,用... 谥上车｀~ 车云... 认心｀怎
•
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云
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8.3
由度空 I A 与约束空间的基
8.3.1
常见运动卧或运动链的
8.3.2
匕概念．切.. 娼..... 阔 ，＇， 酗胃谒...... .................. .. 切似.... 蹲谒................... ·145
由度 ＆约 束线图”三, . 三唷... ... . 唷f 竺....... 唷.. , 令兰烹.... 贮竺，贮..... 书． ．．书俨竺... 148
由度与约束分析．．．． ．』 ．．切．．．．．．心.............................. 通．．． ．』 ．． ．， ．． ． ．．谒......... 麟霉..... 心............ 心............... 毓瞻....... 152
8.4
本概念 一. ..... ,.....
与自由度和约束相关的
8.4.l
8.4.2
芒气'' 一 ,, .. ..... 一 .. 艺
152
机构 由度计第的基本公式..... …............ 熄，．圃.... . ................. ……阶.......... 阶........ 调叭.... ……... l 53
.. , ..
••
..
.. 154
8.4.3 并联机构的自由度与过约束分析.. ••
8.4.4 基千几何图谱法的 由度分析．暨 愕酐．．叩圈.. 圈· 煌阶．．．．． ＇， ， ．．漕.. 糟＂．． ．， ．．．， ．暨＂．．霪 割.. . . ......... 叩圈霪．．．．＂．．叩．．．．暨... 159
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9. l. l
9.2
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习题-
9.1
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第9章
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8.5.2
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75
基于螺旋运动方程的串联机器 人速 度雅可比． ． ．．． ．．心酝昌心酝重.... 小晶罩．．．．．．．．．．心............ ...... 心 .175
9.1.2
并联机器人的速度雅可比．于艺,于... 俨艺
9.2 俨 ·1
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9.2.2
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177
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9.4.1
刚性体机器人 机构的静刚度映射... 酝罩..... 量”“品.... 嘉. .. 酝认 ，止筝场..... 霉篡＆……...... • 罩.. 嘉.. 霉谑土标谌.. 霾... 184
9.4.2
柔性机构的静刚度分析．嘈玄肥 刁炉. . .. ..... 书午覃·于包.... 书.. 漕于· 滩 ，...... 书 r 耙竺 .. .... ... 俨萱虫午包· ··· · 书...... 于．．嘈．．嘈炉.. .... 嘈．．嘈作 宣 86
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刁题. ... 竺于艺竺. , 艺哼贮色~
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参考文献 心云云小芯云.. 云.. 云温品， 云云.. . 云.. 云认心酝忑心车... 云品上芯篡心古芯 ... . 云品.. 谥..... 云.. 云认志云乙心.... 云... 云磕小＆玉..... 已』忐富玉 ，止配云.. 云.. 云己心车.. 车云.. 云芯.. .. 品晶云.. 云谥
芒，
｀谥
乞勺唷芒竺.. 竺
195
.... 云志 .. 盆谒 ，止芯乙忐｀云.. 云
198
于兰.,
艺.,
安臂
第1早
绪论
人类赖以生存的大于世界如此多姿多彩，不仅是因为大自然创造了于姿百态
的生灵，而且是由于这些生灵中最具有智慧的人类创造了如此多的机械。从外星
来观察地球，地球上存在希两种“机械” ， 即“自然机械”和“人造机械＼那么 ，
这两种“机械”是以什么原理构造而成的？它们有 什 么样的功 能和特性 ？人们应
如何根据性能来设计各种机械？这些都是机构学 领 域长期研究的基础科学问题。
机器人机构学研究的最高任务是揭示自然和人造机械的机构组成原理，创造
新机构，研究 基于特 定性 能的机构分 析与设计理论 ，为现代机械与机器人的设 计、
创 新和发明提供系统的基础理论和有效实用的方法。
机构学与机器人学的发展均离不 开数学 的推动作用 j• 先进的 数学工具更是给
现代机构学与先进机器 人技术的发展注入了强大的生 命力。
1匾 1
机构学与机器人学的发展历史概述
机构 学在广 义上又称机构与机器科学 ( !\1echanism
and Machine Science ) , 是机械工程学
科中的益要基础研究分支 。 机构学研究的最高任务就是揭示自然和人造机械的机构组成原理户
发明新机构 ， 研究基千特定功能 的机构分析与设计理论，为现代机械 与机器人的设计、创 新
和 发明提供系统的基础理论 和 有效方法。因此 ,, 机构学的研究对提商机械产品的自 主 设计和
创新有着十分重要的意义 [142] 。
机构学又是一门古老的学科 ，距今 已有 数 千 年的历史 凸 机构从一 出 现 就 一 直伴 随 甚至推
动着人类社会和 人 类文明的发展，它的研究和应用更是有着悠久的历史沿革 。 从纵向发展来
肴，主要经历了 三 个 阶段：
第 一 阶段（从古世纪—— 18 世纪中叶）：为机构的启蒙与发展时期。标志性的成果有：
古希腊大哲学家亚里士多德 ( Aristotle ) 的著作《 Problems
of Machiues 》是现存最早的研究
机械力学 原理的文献凸 阿 基米德 C Arc.hi medes ) 用古典几何学方法提出了严格的杠杆原理和
运动学理论 ， 建立了针对简单机械研究的理论体系 。 古埃及的赫伦 ( Heron ) 提出了组成机
械的 5 个基本元件；： 轮与轮轴、 杠杆、绞盘、模子 和 螺杆。中国古代的墨翟在机构方面也做
出了惊 人 的成就 ： 他制造的舟 、 车 、飞 莺以及根据力学原理为古代车子所创造的”车辖气叩
今之车闸）和为 “ 备城 门 ”所研制的“堑悬梁”都体现了机构的设计原理。意大利著名绘画
大师达芬奇 ( Da Vinci ) 的作品 th.e ·Madrid Codex 和 the A ti.antic Codex 中，列出了用 于机器
制造 的 22 种 基本部件”
J
达芬奇设计的汽车模型
图1 .1
机构模型
第 二 阶段（从 1.8 世 纪下半叶——20 世纪中叶） ： 为机构的快速发展时期，机构学成为
一门 独立的学科 凸 18 世纪下半叶第 一 次 工 业革命促进了机械工程学科的迅速发展，机构学
l
在原来的机械力学基础上发展成为一门独立的学牙咑 通过对机构的结构学、运动学和动力兰
的研究形成 了机 构学独立的体系和独特的研究内容，对千 l 8,--_, 19 世纪产生的纺织机械、蒸
气机及内燃机等结构和性能的完善起到了很大的推动作用。标志性的成果有 ： 瑞士数学家欧
拉 C Eu],er) 提出了平面运动可看成是一点的平动和绕该点的转动的叠加理论，奠定了机构
运动学分析的基础 。 法国的科里奥利 (Coriolis) 提出了相对速度 和 相对加速度的概念，研
究了机构的运动分析原理。英国的瓦特 ( Watt) 探讨了 连 杆 机构跟踪直线轨迹 问 题。剑桥大
学教授威利斯 ( Willis) 出版著作《 P:rindp, les
of Me.ch邸is1.ns » .. 形成了机构学理论体系 。 德
国的勒洛 ( Reuleaux ) 在其专著 « Kinematics of Machinery)) 中阐述了机构的符号表示法和构
型综合 句中~s劝.thesis);:, 他提出了高副和低副的概念，被誉为现代运动学的奠基人心布尔
梅斯特 (Burmester) 提出了将几 何方法应用千 机构的位移、速度和加速度分析，开创了机
构分析的运动几何学派。 Grubler 发现 了连杆组 的自由 度判据 ， 这标志着向机构的数综合
( n.mnber synd1esis ) 迈出了重要—步。
第 三 阶段（从 20 世纪下半叶
至今） ： 控制与信息技 术的发 展使机构学发展成为现代
机构学 凸现代 机械已大大不同于 l91 世纪机械的概念，， 其特征是充分利用 计 党机信息 处理 和
控制等现代化手段 ，， 促使机构学发生广泛、深刻的变化 口 具体而言 ： 现代机械是由机械和计
算机构成的一体化系统，它由机构、驱动、控制、传感与信息处理五 个 子系统构成，而机构
系统是现代机械的骨架与执行器（图 1.2) 。现代机构具有如下特点：： ([)机构是现代机械系
统的子系统 ， 机构学与驱动、控 制 、 信息等学科交叉与融合 ，研究内容上比传统机构学有明
显的扩展。 ( 2 ) 机构的结构学、运动学与动力学实现统 一建模 ，创建 三 者酌为 一体 ，、 且考虑
到驱动与控制技术的系统理论，为创新设计提供新的方法 ,;) ( 3) 机构创新设计 理论与计算机
技术的结合，为机构创新设计的实用软 件开发 提供技术基础。标志性的成果有: ]950-60 年
代平美国的弗洛丹斯坦 (Freudenstein) 将机构学研究与计葬机技术相结合 ，，
引 入图论 描述
机构拓扑结构 ， 全面研究平面机构和空间机构的构型综合，基于解析方法进行机构运动学和
动力学分析与综合，从而开辟了用机构运动学计算综合的道路心 1955 年，. Denavi.t 和 Hartenberg
提出了空 间机构运动分析的 D且 参数法。之后 ，
四元数 、旋 量 、 李群等数学工具 也 相继被
引入到机构分析与综合中。另外 ，过 去的 50 年内 ， 机构学 与其 他学科之间的交叉即合使得
机构类型更加广泛，不断涌现出新兴学科，如井联机构、柔性机构、仿 生机 构刁迭胞机构 ~D
原动机
工作 机
传动机
心｝ 传统机构
输入
- 驱动系 统 仁—~ 机构系统 I
输出
--- --....
·--....
~--- ~.'
,.•
- ,— ,--
.
控制系统
传感系统
lb)
图 l.2
现代机 吐
传统机构与现代机构的比射
总之，机构与机器的发明是人类科技发展史最灿 烂 的 一章心 从远古的简单机械、宋元时
期的浑天仪到文艺复兴时期的计时装置和天文观利器；从达芬奇的军事机械到工业革命时期
的 蒸汽机：从百年前莱特兄弟的飞机 、奔驰 的汽车到半 个世 纪前的模拟计绑机和数控机床 ；
从六十年代的登月飞船到现代的航天飞机和星球探测器，再到信息时代的数据储存设备、沪
费电子设备和服务机器 人 ，元一不说明了新机器的发明是社会发展的源动力， 人 类文明延续
的主导者 。 既使在信息时代的今天 ， 它仍作为社会发展的不可或缺的主要推动力。
现代机构学发展的重要标志之一 便是机器人机构学的诞生 。
机器人的概念在人类的想象中却已存在 三 于多年了。早在我固西周时代，就流传有关巧
匠偃师献给屁穆王 一 个歌舞机器人的故事 。作 为第 一 批 自动化动物之一 的能够飞翔的木鸟是
在公元前 400 年分 50 年间制成的。公元前 3 世纪 ， 古希腊发明家戴达罗斯用青铜为克里特
2
岛国王迈诺斯塑造了 一个守 卫宝岛的青铜 卫士塔罗斯 。 在公元 前 2 世纪出 现的 书籍 中，描 竺
过 — 个 具有类似机器 人角 色的机械化剧 院，这 些 角 色能够在宫廷 仪式上进行舞 蹈 和 列队表演。
我国东汉时期 ，
张衡发明的 指南 车是世界 上 最早的机器人雏形。
而 机器人 一 词本身是 1920 年由捷克斯洛伐 克作 家 卡 佩克 ( Capek ) 在他 的 科幻小说《罗
萨姆 的万能机器人 》中首先提出来的..,, 这本小说中他构思了 一 个名叫 Robot 的机器人扣它 能
够不知疲劳地进行 工 作 。 后来 ，
由该 剧派生出大 噩 的和幻小 说 、 话 剧和电影亨 如阿 西莫夫
( Ashnov) 的 科幻小说 忖戈 ， 机器人汃好莱坞 电 影《滕登时代》等， 从而形成 了对机器 人
的 一叶巾 共识： 像人，宽有知识，甚至还有个性；同时也体现了人类长期的 一 种愿 望 ，这种愿
就是创造出 一 种机器 ，能 够 代 替 人完成各 种 工作心
机 器 人 的真正发展始千 20 世纪中期，其技术背泵是 计 算机和自动 化的 发展，
以 及原子
能 的 开发利用 。 自 1'946 年第 一 台数字电子计算机 问 世 以来， 计算机取得 了 惊人的 进步 ， 井
不断向 商 速度、大容盄｀低价格的方向发展。大批噩生产的迫切需求推动 了 自动化 技术 的进
展，其结果之
一 便是 1952 年 数控 机床 的 谜生 。 与数控机床相关的控制、机械零件的研究又
为机器人 的开发奠定 了 基础 凸 另 一方面 ， 原子能实验室 的恶 劣环境要求某些操作机械代 替 人
处理放射性物质 。 在这 一 需 求 背泵 下， 美国原子能委员会的 阿 尔贡研究所 千 1947 年开 发了
遥控 机械手， 1948 年 又开发 了机 械式的 主 从机械手 0 1954 年美国的戴沃尔 (Devol) 最早提
出了工 业机器人的概念喟 并申请 了 专 利 。该专利的要点是借助伺服技术控 制机器 人的 关节 喟
利用人 手对机器 人进 行动作示教 ， 机器人能实现动作的记录和再现 。 这就是所谓的示教再现
机器人，也就是第 一 代 机器人 的雏形 凸 1962 年美国研 制成 功 PUMA (通用示教再现型 ， 即
Program_mabfo Uni v,e飞al Machine for Assemb]y 的 简写）机器 人 并将其应用 到通 用电气公司的
工业生产装配线上宁这标志着第 一代机器人走向成熟。 20 世纪 70 年代日本将这种示教再现
型 的机 器 人 进行 了工 业化，出现 了 很多机器人公司 ， 像 MOTOMAN, 安川公司 等。 而 且成
功地 用在了汽车 工 业，使 机器人 正式走向应用。
,.___
田 公司的拟人 机器人
图 l.J
机器人样机
从 20 世纪 70 年代到 20 世 纪 80 年代初期 ，很 多研究机构开始研究第 二 代机器人——具
有感知功能的机器 人， 使之具有类似人的某 种感觉扣如力觉 、触觉 、 滑觉、视觉 、 听觉等 凸
相继出现了 一 些专业的 机 器 人公 司 如瑞 典 的 ABB 公 司、德国的 KUKA 机器人公 司 以及
k 的 FUNAC 公 司等，在工 业机器人方面都有很大的作为；同时机器 人的 应用也在不断拓宽
巳已经从工业上的 一 些应用 ．扩 展到服务行业。
第 三 代机 器 人，也是机器人 学 中 一 个理想 的 高级阶段 ，为 智能机器 人 。它 不 仅具有力觉 、
触觉、滑觉 、视觉 、听 觉等感觉机能，而 且还 具有逻 辑思 维 、 学习、 判 断及决策等功能 ；
至 可以 根据要 求自 主地 完成复杂任务。目前典 型 的代表是美国 Boston Dy阻mies 公 司 推出的
仿生机器 人系 列 —— 大狗 ( BigDog ) 、野猫 ( Wild.Cat ) 等。
现在 ,, 机器人学已成为 一 门独立的学科 ， 固时 也 是多学科交叉的产物 ， 带动了多个学科
的 发展 ， 主要包括力学 ., 机械 学 、 计算机学 、 电子学 、 控制论、 信 息学等凸 机器人 学有蓿极
其 广 泛的研究和应用领域 。 这 些领 域体 现出广泛的学科交叉，涉及众多的诛题 ， 如机器人体
系结构 、机构、控制、 智能 、传 感、 机 器 人 装配 、 恶劣环境 下 的机器 人以及机 器 人话 言 等。
机器人已在工业、农业、商业、旅游业、空间和海洋以及国防 等 领域得到越来越普迫的应用。
不仅如此 喟还衍 生了更多的类如机器 人化 机器（最早由蒋新 松 院士提出 ， 又称之为智能机器
或智能机械） 、机器人技 术等专有名称，给机器 人 赋予了更加广阔的定义。
机 器 人 机构 学研究 的 对象主要是机器 人的机械系 统以及机械 与 其他学科的交叉点 。 机帣
3
人机械系统 主要包括构成机器 人 操作机本休的机器人机构。它是机器人 重要的 和基本的组成
部分，是机器人 实现各种 运动完成各种指定任务的主伈 D
机器人机构的发展是现代机构学发展的 一个 重要标志和重要的组成部分， 可以称 之为 机
器人机构学 凸例如 ：由传统的串联式关节型机器人 （工业机器 人的典 型机型）发展 成 多分支
的 井联 机器人； 由纯刚性体机器人发展成关节柔性机器人再到软体机器人 扣 由全自由度机器
人发展 到少自由度机器人、欠驱动机器人 ..,,JC余度机器人；由宏机器 人发展 到微型机器人 等。
机器人机构学的发展给现代机构学带来了生机和活力 ， 也形成了 — 些新的研究方向。
中国机构学与机器人的研究也走过了近百年的历史。北洋大学的刘仙洲是中国机构学的
先驱者，他于 t 93.5 年 出版 了我 国第 一 本系统阐述 机构 学原理的著作一 《机械原理》，开创
了研究中阳古代机威的先河 。 早在 1960 年代，， 以张启先、于东英等一 批 学者就开始了空间
机构分析与综合的研究。特别是近 20 年，中国机构学取得了长足的进步，在并联机器人机
构学理论、机构弹性动力学、变胞机构、柔性机构等研究领域已接近或达到国际领先水平，
期间 产生了大噩的学术 论文及 专著 ， 也不乏国际影响力的学者，其中最具代表性的人物是中
国 机构 学的泰斗 张 启先院士 、被誉 为解决“机构 学珠穆朗玛峰问题 ”的北京邮 电大学梁崇高
教授、以及并联机器人机构学专家黄真教授等 。
1!!2 机构学及机器人学中的基本概念
1.2.l
机构与机器人的基本组成元素 ： 构件与运动副
构 件 ( link ) : 机械系统中能够进行独 立运动的单元体。机器人中的构 件多为刚性连杆。
但在某些特定应州中 ，构 件的弹性或柔 性不可忽视 ， 或者本身叩为弹性构件或柔性）
I
Q
运动副 ( kinematic _
p air) : 是指两构件既保持接触又 有相对 运动的活动联接 。
1 9 世纪末期 ，. Reu]eaux 发现 并描述了 6 种运动副类型（图 1.4 ) 。这些运动副能够在保
持表面接触的同时相对运动，他把这 些当作构成机械关节最基 本的理想运动副 』 在机械工程
中，通常又称运动副为关节或者较链 ，， 其中转动副与移动副是最常用的两种运动副类型。
t
,/--·--~
......------ ..
,f
~,.,,.. \
c)'\\
'"-.__
-~- ·
I
··~_____)
图 1.4
令
, 6 种 Reuleaux 低 副
转动副 是 一 种使两构件间发生相对转动的 一 种联接结构，它具有 1 个转 动自由度 ., 约束
了刚体的其它 5 个运动，并使得两个构件在同—平面内运动 ， 因此转动副是一种平面 V
级低副 。
令
移动副是 一 种使两构 件间发生相对移动的 一 种联接结构 ，它具 有 1 个移动 自由度 ，约束
了 刚体的其它 5 个运 动，并使得两 个构件在同 一平面 内运 动，因此移动副是 一 种 平面 V
级低副。
令
螺旋副是 —种使两构件间发生螺旋运动的—种联接结构，它同样只具有 l 个 自由度 ， 约
束了刚体的其它 5 个 运动， 并使得两个构件在同 一 平面 内 运动 ， 因此 螺旋副也 是 - 种平
面 V 级低副心
令
圆柱副是 一 种使两构件间发生同 轴转 动 和移 动的 一种联 接结构，通常由共轴的转动剖和
移动副组合而成。它具有 2 个独立的自由度 ， 约束了 刚 体的其它 4 个运动 ， 并使得两个
构件在空间内运动，因此转动副是 一 种 空 间 1V 级低副 。
令
虎克较是 一种使两构 件间发生绕同 一 点 二 维转动的 一 种联 接结构 ，通常采用轴线 正交的
4
联接形式。它具有 2 个相对转动的自由度 ， 相当于轴线相交的两 个 转动副。它约束了 刚
体的其它 4 个运动，并使得两 个 构件在空间内运动，因此虎克较是 — 种空间 IV 级低副。
令
平 面副 是 一 种允 许两构件间在平面内任意移动和转动的 一 种联接结构，可 以 看作 2 个独
守的移动副和 l 个 转动副组成。它约束了刚体的其它 3 个 运动 ， 只 允 许两 个 构件在平面
内运动，因此平面副是 一 种平面 Hill 级低苗小由千没有物理结构与之相对应，工程中并
不常，,.,
令
0
球面副 是 —种 能使两 个 构 件 间在 三 维空 间 内绕同 — 点作任竞相对转动的运动副， 可以看
作是由轴线汇交 一 点的 3 个转动副组成。它约束了刚体的 三 维移动 ， 因此球面副是 一 种
空 间 IU 级低副
丈 1.1 对以上 7 种 常用运动副进行了总结。注意，表中乃至全书的 " R" 在本书中表示
转动， '' T"' 表示移动 ， 前面的数字表示数目。
表 1.1. 常见运动酣l 的类型及其代表符号
名称
符号
类型
1 平 面 V 级低 副
I 自 由度 1
I
转动副
R
移动副
p
1
螺旋副
H
I 平酣 V 级低 副 I
u
I
圆柱副
C
平面 V 级低 副
空间 ]V级低副
I
I
空间 W 级低副 I
图形
基本符号
~
I
(\~ 少乙会欢＼
:I R
飞尹
主
IT
《滑 A丕多乡多
lRI.T或
立仁心$r; 膨
冬志
心
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1
飞睾
2R
lR JP
.,,.
平面副
I
E
1 平 酣 III 级低 副 I
1R2P
球副
I
s
I 空间 III 级低 副 I
3.R
4
.....
飞 T 俨三日-
^
..
,
,,,. 另＇．
/
如
7
京
实际应用的机器 人 可能用到 上 述所提到的任何 一 类关节，但最常见的还是转动副和移动
副。虽然连杆可以用任何类型的运动副进行联接 ， 包括齿轮副 、 凸轮副等高副 ， 但机器人关
节 通 常只选用低届小如转动剧 R 、移动副 P 、 螺旋副 H 、圆柱副 C 、 虎克较 U 、 平面剖 E 以
及球面副 S 等 t
根据运动副在机构运动过程中的作月j 可分为主 动副 （或积极副 .active joint 或驱动副
acttmted. joint ) 和 被动副 （或消极 副 passive j oint) o 根据运动副的结构组成还可分为 简单副
imp~e joint ) 和 复杂绞链 C comp],ex. j oint ) 凸这些概念将在本书后续章节中有所涉及。
物理意 义 上的运动副表现形式其实还很多，甚至表现为机构的方式。但从运动学角度
不固运动副之间、机构与运动副之间存在运动学的等效性 ( kinie111.aitic ,eq ui妞lence ) 。前面提
到的球面副就是 一 个典型的例子 ， 其运动学可以由轴线汇交 一点的 3 个转动副等效而 成 。 六
际上，低副也可通过高副的组合来实 现 等效的运动和约束。例如转动副通过多 个 球轴承或滚
子轴承（都是高副）并联组合而成 ， 同样具有 运动（或约束）等效性 。另外 ， 复杂机构 可 以
等效为某 一 简单副 。 例如平行匹边形机构 可以 等效为 一 个移动副等等，诸如此类 。
随抒近年来 IVJEMS/NEMS 技术的出现使精微机构的应用范围愈来愈广泛。同样在仿
生领域 ， 设计加工一体化的机械结构使其更有优势。作为需要装配的传统刚性较 链 的有益 补
充 书 柔性较链应运而生 心 现有各种类型的柔性较链都可以看作由基本柔性单元组成。这些牢
5
性单元包括缺口 型 柔性单元、簧片 型 柔性单元、细长杆 型 柔性单元 、扭簧 型 柔性单元等，同
时它们也可以作为单独的柔性较链使阳。如图 1.5 所示 ， 缺口型柔性较链是 — 种 具有集中柔
度 的 柔性元件 ， 它在缺 口 处产生集中变形；而簧片和细长杆在受力悄况下 ， 其每个部分都产
生变形 ，它 们是具有分 布 柔度的柔性元件 。
---------- ----- ....
---~---~-
，一 - - 匾．
··--- —
(a) 栠中柔度
畸一 匾．
己一
- 飞一
....
-
＝ 气匾 屯
霆四 一
~
(b) 分布柔度
图 1.5
1.2.2
贮-
栠中柔度和分布柔度
运动链、机构与机器人
运动链 (kinematic c佃in.): 两个或两 个 以上的构件通过运动副联接而组成的系统称为运
动 链 。 组成运动链的各构件构成首末封 闭 系统的运动链称为 闭链 ( dosed-loop ) ; 反之为 开
链 ( open- ]oop ) 。由开链组成的 机器人称为串联机器人 ( serial manipu[aitor ) :: 完全由闭链组
成的机器人称为并联机器人 ( par.a 1le1 manipulator ) , 开链中含有陌链的机器人称为 串并联机
器人 (serial-parallel n诅nipufator ) 或混联机器人 ( hybrid m.ani pulator ) 。
机构 (mechanis:m ) : 将 运动链 中的某 — 个构件或几个加以固定 ， 而 让另 一 个或几个构
件按给定 运 动规律相对固定构件运动 ，， 如果运动链中其余各活动构 件 都具有确定的相 对运动
则 此运动链称为机构。其中的固定构件称作机架 ( base.1 凸
根据机构中各构 件间 的相对运动可将其分为平面机构 ( planar m.,e chanism ) 、 球面机构
(spherical mec怔.nism) 和 空间机构 (spatia] 1n欢h扭isn1) 。 此外， 根据构 件或运动副的柔度 ，
还可以将机构分成 刚性机构 (rigid m-echanisms) 、 弹性机构 (flexib]e mechanisms ) 及柔性机
构 ( compliant m四ha.nisn1s ) 。 刚性机构是指构 件 为刚体，运动副为理想柔度 ； 而哀实的机构
往往无法实现 ， 从而影响机构的性能（如刚度、精度等） ， 弹性机构及柔性机构而考虑了｀
一 点。它们 均是指构件或运动副为非理想柔度，但前者偏重考虑的非希缸柔性，而后者则充
分利用了构件或运动副的柔性 订
作为 一 种新 型 机构，柔性机构是指利用材料的弹性变形传递或转换运动、力或能噩的 一
种 机构。 柔性机构实施运动时通常通过其柔性单元
柔性较链米实现 ， 如转动或移动等等。
较之于传统的 刚 性机构（较链），柔性机构（绞链）具有许多优点，如 ： ( 1 ) 可 以整体化（耳
一 体化）设计和加工，故可简化结构、减小体积和重齐： 、降低成本 、 免于装配 ； ( 2 ) 无间陀
和 照擦，可实现高精度运动； ( 3 ) 免千陪损 § 提高寿命 ； ( 4 ) 免千润滑，避免污染； (5 ) 可
增大结构刚度 ， 等等。
机器人 ( mauipufato,r 或 robot) :: 很难从机构的 角度给出机器 人 一 个 明确的定义。不过，
从机构学角度，大多数机器人都是由 一组通过运动副联接而成 的 刚性连 杆（即 机构中 的构 件）
构成的特殊机构 。 机 器 人的驱动器 ( actuator) 安装在驱动副 处， 而在机器 人 的末端安装有
末端执行器 ( end过Iector) o
1.2.3
自 由 度与约束
约束 ( constraint). 当两构件通过运动副联接后 ，各 自的运动都会受 到不 固程度的限制 ，＇
这种限制就称为约束 。
自由度 ( Degree of freedom , 简 写 DOF): 确定机械系统的 位形 ( configuration) 或位姿
( pose ) 所需要的独立变量或广 义 坐标数。自由度是机构学与机器人研究 中最为重要的概念
之 一 ，也 是运动学研究中首先要关注的问题。
空 间中 的 一 个 刚体敢 多具有 6 自由度 ：， 沿 笛卡儿坐标系 C Cartesian fram.e, 即直角坐标
系） 三 个坐标 轴的 3 个 移动和绕 3 个 轴线的转动 。 因此，空间中任何 刚 体的运动都可以用这
这 6 个 基本运动的组合来描述 。
无论质点还是刚体，如果受到约束的作用 ， 其运动都会受到限制 ， 其自由度相应变少。
6
具体被约束的自由度数称为约束度 ( Degr,e e of Constraintt DOC ) 。根据 Maxwell 理论怓］中
任何物体（无论刚性体还是柔性体）如果在空间运动 ， 其自由度 J和约束度 c 都满足如下的
公式
f
+ ,c = 6
] .1 )
.l +c;;;;; 3
CL2 )
如果在平面运动，则满足
对机构而 言 ，约束在物理上通常表现为运动副 的形式。同样，约束对机构的运动会产
生重要的影响 ， 无论其构型设计、还是运动设计以及动力学设 计 都必然要考虑到约束。对 刚
性机构而言 ， 运动副的本质就是约束。
有关机构及机器 人 自 由度的计笢与分析问题 ， 我们将在本书第 8 章详 细讨论凸
l 立4
机器人机构的分类
由千本书讨论的对象是各类机器人机构，
因 此有必要先介绍 一 下机器人分类。
根据结构特征是否开 、 闭链 ， 可分为串联机器人、并联机器人（又称并联机构） 、 涅联
机器 人 （有时也称串并联机器人)等，这些概念在前面已经提过 。 早期的 工业机器 人 如 PUMA
机器 人 、 SCARA ( 由日本学者牧野洋于 1981 年提出，是 Se]ecti. v e Co,mpl.iance Assembly Robo,t
Ann 的简称）机器人等都是串联机器 人 书而像 DELTA 机器 人 （由瑞 士学者 R. Clave~于 198 8
年提出）、 Z3 (德国 DS Techno]ogy 公司开发）等 则 属千并联机器 人 的范畴 。 相比串联机器
人 ，并联机构具有高刚度 、 高负载I惯性比等优点 ， 但工作空间相对较 小 、结构较为复杂 。
这 正 好同串联机器 人 形成互补，从而扩大了机器人的选择及应 用范围 心， 类如 TR 叽 CEPT 机心
手模块 (Neuma血博士于 1'98 8 年发明）则是 一种 典 型 的 混联机器人 ， 它正好“中和“了串
联式与并联式两者的特点。
根据运动（或自由度）特性可分为 ： 平面机器人机构（实现平面运动）、球面机器 人机
构（实现球面运动）与空间机器人机构（实现空 间 运动）。平面机器人机构多为平面连杆机
构 ， 运动副多为转动副和移动副 ； 而由球面机构组成球面机器 人 机构 。除此 之外的机器人机
构，都为 空 间机器人机构 。不 过 和 更为普遍的分类方法是按照自由度类型来划分 和 如 1 -JDOF
平动机构, ] ,...,3DOF 转动机构和 2,...,6DOF 混合运动 ( mixed-n1otion 或者 hybrid ) 机构。
根据运动功能划分 ： 有 定位 ( _posi tioni.ng) 机器 人、调姿 ( odenting) 机器人 七， 传统意
义上，前者通常称之为机械臂 ( arm ), 而后者通常称为机械腕 ( wrist ) 。像 PUMA 机器人 中 ，
前 3 个 关节用千控制机械手的位置 ( position ) ., 而剩下的 3 个 关节用千控制机械手的 姿态
,'or:i entatfon ) 。机器人末端的位置与姿态共同构成了机器人的 位形空间 ( confi,guration space) 。
根据机器人工作空侚 (workspace) 的几 何 特征来分类（只针对 3D0F 机械臂） ：直角坐
标机器人 ( Cart,e 亚n robot) 、 圆柱坐标机器人 ( cylindrical robot 入 球面坐标机器人 (spherical
robot) 以 及 关节式机器人 (articulat忒 robot ) 组心
直角坐标机器人: 巾 3 个相互垂直的移动副构成，是 一 类最简单的机器 人 结构 D
>
圆柱坐标机器人 ；将直 角坐 标 机器人中的某 一 个移动副用转动副代替即为之 。
户
球面坐标机器人 ：前两个饺链为相互汇交 的转动副而第 三个为移动昔肛
>
关节式机器人 其特征是所有 3 个较链都为转动员肛
根据驱动分类 ： 有欠驱动机器人、冗余驱动机器人等。
根据移动性可分为平台式（也称固定式）机器人和移动机器 人 。目前 典 型的移动机器人
包括步行机器人（如类 人 机器人等仿生机器 人 ）、轮式机器 人 、 履带式机器 人 等凸
根据构件（或关节）有无柔性可分为刚性体机器人机构和柔性体（或弹性体）机器人机
构 。柔性机构杻］是 一类 典型的柔性体机构，具体表现为柔性较链机构 、 分布柔度机构等不
口 I 形式 。
此 外， 还有 一 类可实现结构重组或构态变化的可重构机构 (rec-0nfigurable· mechan:i s:m ) ,
典型的如 变胞机构 ( metaimo巾hie mechanism ) l 1 4J 。 机构在 工 作过程中，若在某瞬 间 某些构
件发生合并／分离 、 或机构出现几何奇异 ，， 其有效构件总数或机构的自由度发生变化，从而
产生了新构型的机构称为变胞机构。变胞机构的研究源于 J. 995 年应们多指手进行装溃式礼
品纸盒包装的研究。礼品纸盒类似千花样折纸 ( Origan1i ) 。借用 折痕为旋转轴 ＇， 连接纸板为
7
杆件， 折 纸 可以 构造出一个机构。这一新型机构除了具有折 展机构 (f7oldabie and dep]oyabfo
mechanism ) 的商度可缩和可展性 外， 还 可 改变 杆 件数 ， 改变 拓扑 图并导致自由度发生变化。
用进化论和生物学细胞分裂重构和胚胎演变的观点来解释，这 一书 机构具有变胞功能。
11.3 机器人机构学的主要研究内容
虽然机构学研究源远流长 i 但从古到今，机构学领城主要针对三个核心问题 升 展研究
叩机构的构型原理与新机构的发明创造、机构运动学与动力学分析 . , 根据运动学与动力学性
能指标设计机构。这三 个 方面内容在机器 人 机构学研究中尤为突出心
机构与机器人的结构分析与综合
•
机构的创新是机械设计中永恒的主题， 人 们要设计出新颖 、 合理、有用的机构， 不仅要
-丰富的实践经验，而且要熟悉机构 的 组成原理（例如平面连 杆机构 的 杆组法）。机构是由
运动副 和 构件按 一 定的方式连接而成 。 机构构型综合研究主要包括机构在“任务空间 ”下 的
基 木 功能特性与类型的数学描述 、 机构的自由度分析与计算方法 、， 机构的运动副类型 、 机构
的 支链类型 、 机构的构型屎理与数学描述方法等 。
机构与机器人运动学、动力学及性能评价
•
机构与机器人分析与设计是基千性能评价指标来实现的。性能评 价 指标应具有明确的物
理意义 ， 可用数学方程来描 述 和度噩 ， 具有可计算性，如工作空间、 奇异性 (singularity )
解耦性 ( decou_p1e 入 各向同性 C isotropy) . . 速度 ( veloc-ity ), 承载能力、 刚度 C stiffness 人
精度 ( accuracy) 等。
＿然国内 外 已有许多有关机构与机器 人 的运动学、动力学性能评价指标的研究 ， 但是，
巾于工程实际应用中机 械 设计问题的要求复杂而且是多种多样 的 ，目前机构性能评价指标研
究还 不 能完全满足工程实际需要，尤其对复杂机构和机器 人 机构设计指标的研究还很缺乏凸
机构与机器人设计理论
•
机械与机器人机构的设计是机构学领域最具挑战性的问题， 人 类至今乃至相当长的未来
时间里仍难以完全解决该问题，原因在于机构的设计，尤其是复杂机构的设 计 本质上是非线
性、强耦合问题。例如在井联机器人的研究领域，机器 人 的尺寸设计是一项很应要的研究内
容，因为机器 人机构 的 性能决定了机器 人 的操作特性。机器 人 机构的设计 不是为了执行特定
的 任务而是为了满足普遍的性能指标。由于性能指标和设计参数具有多元性 、 耦合性和非线
性，导致并联机器 人的 设计是 一 个昂贵... 费时 、 复杂和困难 的 过程。
11,.4
机构学与机器人学研究中的现代数学工具
从机构学的发展历史上来看 ， 机构学 的 诞生及早期发展与数学息息相关 ， 如 Burmester
提出了机构位移、速度 和 加速度分析的运动 几何方法。 现 代机构学的诞生同样也离不开数学
的 推动作用 ， 1 8-· 19 世纪期间诞生的各种经典数学相继完善 成熟 ， 并逐渐用在各类工程应用
中 ：： 进 入 2:0 世纪以后，不 仅 又涌现了 一 些新 的 数学分支如拓扑学 、 微分流形等。 20 世纪中
叶，计算机的发明与大量算法的提出大大提高了机构分析与综合过程中遭遇 到 的计算效率。
勺机构学联系紧密 的 数学工具有很多 t 既包括我们 熟悉 的 欧氏几何 、 线性代数与矩阵理
论 、用于拓 扑 分析与综合的 图论 ( graph tbemy ) 等 ； 此外还有 线几何 ( line gemnetry· ) 、旋
理论 (screw theory ) 、李群李代数 ( Li e group and Lie algebra ) 、 Cliffo过 代数 （或几何广
数 Clifford algebra ) 等由于每 种 数学工具都有其自身的特色，在机构学研究中的作用也
各有侧应。例如矩阵法之于机构分析有非常普遍的应用 ，， 而在机构综合过程中 ， 图论 . , 旋量
论 以 及李群李代数等数学工具的作用更为突出些 。
8
1.4.1
李群、李代数概述
群是创始人是法国人伽罗瓦 ( Galois) 。他用群理论解决了五次方程问题凸在此之前拉
格朗日 (Lagrange) 、阿贝尔 ( Abel) 等 人 也对群论做出了堇要贡献口
群的起源可以追溯到方程式的求解问题。一次、 二 次方程式的解法很早就为 人所熟悉
而忘次方程式的解法有两 个 方向 ： 其 一 为数字系数方程式的数值近似解 ， 这 种 方法最早在中
国发展得很完善。另 一 种则为文字系数方程式的根式解，它在 十 六世纪上半丙愈大利 一 些数
学家解决了 三 次及四次的问题，而掀起了高潮。当 三 次及四次方程式获解后，大家的注意力
自然就转到五次方程式。在这方面直到十八世纪末才算有些突破。 Lagrange 利用方程式根置
换的思想 ， 给出了四次 以 下方程式的统一解法。受到 Lagrange 的影响亨 Abel 证明了一般五
次 以上方程没有根式解，但英年早逝的他并未给出这些尚次方程中 ， 哪些特殊方程具有根式
解。而同样充满传奇色彩而生命更加短暂 的 Galois 针对一 个 给定的特殊方程式是否有 根 式
解问题，根据根的置换原理 ， 给出了判断准则心． 这个准则后面的核心思想就是群 。 Galois 方
程可解理论是这样 来描述的 ： 一 个方程式在 一 个含有其系数的数域中的群是 可 解群（合成指
数 列 中各个数都是素数 ） 的前提 下， 此方程式具有根式解。由千 Lagrange 、 Abel 及 Galois
等 人 的努力 ，根 式解方程式的间题终千告了 一 个 段落 D
时至今日 ， 群的概念已经普遍被认为是现代 数学中最基 本 的概念之 一 。它不但渗透到诸
如 几 何学 、 代数拓扑学、函数论 、， 泛函分析及其他许多数学分支中而起涫重要的作用，还形
成了 一 些新的学科如拓扑群 、 李群等 ，， 并在物理 、 化学、 工程学等领域产生了盟要的应用，
19 世纪末，捐威数学家 So,phus Li,e 为了把群的一些思想应用到微分方程 的对称性理论
中去，引进了李群的概念。就像 Galois 对代数方程所做的那样 ，
当时的数学工作表明很多
特殊函数及多项式都来自千群的对称性。 19 世纪数学界的 三 大主题 ： Ga]ois 的群与对称性
的代数概念 、 以 ·Poisson 和 Jacobi 为首的对力学中微分方程的几 何 理论、以 P]ucker 、 Grassm.an.n ..
Kl,ein 及 Riemann 等人 为代表的几何学新思想，都在李群这 一 概念之下交汇了。例如， Kleit1
用李群来描绘几何 ， 研究特定空间对称运舞下的不变量问题，用以分析射影空 间 变换的群的
特征（射影空间几 何 ） 。
虽然 Lie 当 之无愧地被称为李群理论的奠基 人 ，但李群结构理论重大的进步是和 Ki ]]ing
的工作分不开的 。 之后他的工作被 Cartan 进 一 步发展，到 Weyl 开始李群理论开始成熟 ， 他
仅将李群与量子力学联系起来 ， 而且明确区分了李代数和李群。
李群和李代数是现代数学中基本的研究对象， 在整个数学大厦中占有重要的位置 。李 群
是 一 个 群． 其上有拓扑，又是 一个解析流形。它 上 面同时包含代数结构、拓扑结构和解析结
构，这些结构需要满 足 一 些相容性条件 凸在李 群上 ， 司以同时研究群代数结构... 拓扑结构和
几何结构勺同时，李群又是 一个非线性的数学对象 ， 而李代数则是对李群结构自然的线性化 。
李群和李代数与其他许多数学分支都有深刻的联系 ， 对它们的研究也可以从不同的方同
和 角度来展开。例如 ＇， 既 可以 从微分流形的方法来研究李群 ，， 也可以从 纯代数的观点来研究
李代数。因此 ， 从本书中，我们将会看到无 论 是刚体运动群（李群的 一 种 ）还是运动旋量（
种 李代数）都会有不同的表达方式，如 刚 体运动群的矩阵表达及集合表达，运动旋噩的解析
表达 和 线图表达等 ， 进而产生出不同的机构分析与综合方抎 。
物理学中 ， 往往需要借助变换的概念来描述各种各样的运动，因此也少不 了 李群的免色
参与。事实 上 ，所有可能的刚体运动变换空间都是李群的—个范例。机器人学中大量的研究
伪容与在空间运动的刚体有关 ， 通常我们考虑机器人的构件是刚体 ， 而且负载 和 工具通常也
是刚体。
众所周知 ， 任何刚体变换是由旋转 飞 平移组成 ，， 刚 体变换 可 以表示成 4 X 4 矩阵 ；，
A=[R'],
其中 R 是 3 X3 的旋转矩阵，而t 是一个平移向世其中满足关系式 ' RTR = l,
0 I
且 det(R)
= 1 的旋转矩阵 R 阳被定义为旋转群 S0(3);
义为特殊的欧几里德群 (special.
在机器人中， 一 般刚体变换群被定
Eu.didian group ), 表示为 SE(3) 凸 它是绕省原点的旋转
S0(3) 和平移变换良 3 的半直积， SE(3)= S0(3)® 胶 3 。李群的子空间是李子群 ， 可以说
旋转变换 S0(3) 和平移变换 双3) 都是 SE(3) 的李子群 。
9
李代数可以看作 是李群在其单位元素上的切向量空间 守 在刚体运动中李代数的元素对应
广义速度。它们最早的应用是在 19 世纪末， R.S . BalJ 称其为运动旋量 （ 趼ist) ., 与其对偶的
元素称为 力旋量 ( wrench ) 。 运动旋星与力旋噩的乘积运 JI (点积或互易积）可以表示刚体
运动所作的瞬时功。运动旋学和力旋芹是旋产理论 中 最重要 的 两 个 概念心
19' 83 年 ， Brocket 最先将李群与李代数中的指数映射引 入 到机器人 中来 ， 建立了机器人
的 指数建模方法 ， 即通常所说的 指数积公式 ( POE formula) 。后来 ，， Murray . . Hen心 Selig . .
P江k 、 李泽湘等对李群与李代数理 论 在机器 人和机构学领域的应用进行了广泛而深 入 的研究 ，l
现在李群与李代数在刚体运动和机器 人研究方面取得了长足 的 进展。
1.4.2
旋量理论概述[ .l3 7]
旋量理论的研究最早 可 追溯到 1 8 世纪 ， 1 742 年 Bernoulli 首先提出了平面运动刚体速度
瞬心 的 概念 ， 认为任 一 平面运动都可看作是绕某 一 瞬心的转动 ； 1763 年意大利数学家 :Mozzi
提出 了 刚体瞬时运动轴 的 概念，而后 Chasles 于 ]830 年将概念由平面扩展到空 间， 提出了
空 间 运动刚体的瞬时螺旋轴概念心并证 明 任何物体从 一个位姿到另 一 个位姿 的 运动 都 可以用
绕某直线的转动和沿该直线的移动经过复合实现“通常将这 种 复合运动称为螺旋运动 (screw
muuion ); 而螺旋运动的无穷小量即为运动旋量。另 一 方面， Poinsot 发现 作 用在刚体上的任
何 力系都可以合成为 一 个 沿某直线的集中力 和 绕该直线的力矩，这 一 广义力叩为力旋量 。 这
些都成为了旋噩理论的起源。
1,9, 世纪末 ， 英国剑桥大学的 R+ S. Ball 教授对旋痉进行了系统全面 的 研究，于 1900 年 完
成 了 经典著作 ( A Tr,eatise on the Theory of Screws》 ， 奠定了旋量理论的数学基础。书 中 指出
运动旋量与力旋量之间存在着重要的 互易 ( recipro.ca] ) 关系 ，， 并讨论了所有旋量线性组合的
般模式及其在运动学上与刚体 一 阶速度间的关系 。
在 BaU 的经典著 作 问世后的近 50 年 间 ，旋啬理论几乎无人间津。而这期间德国和苏联
学派呈主导地位“直到 1950 年 代 ，美国学派兴起时 ， 旋护理论 才 恢复了生机。 1947 年 f 美
国 人 Brand 系统研究了旋量的运算 问 题 ， 提出了旋量的运算法 OO小而旋量理论与机构学的联
姻始千 1960 年代。苏联学者 Dimentberg 首先将旋量引 入 到机构学的研究中 ， 其专著千 1968
年翻译成英文 ， 题目为{ The
Screw Calculus and its Applications to Mechanics 沁 197 8 年，澳
大利亚学者 Hunt 著作《 Kine:r沺t:ic Geometry of~,[echanisms 》的出版标志着旋噩理论的进 一
步发展。该著作和 BaH 的著作 一 起已被 业 界公认为旋凳理论与应用旋莹理 论 研究机构学 问
题 的 经典。澳大利亚学者 P11i1Hps. 再次用旋量理论研究了机构的自由度 以 及机构的运动特性
推动了旋盘理论的发展 ， 他千 1'9.84 年 和 1990 年分别出版了专著 «Freedom
of Machinet"'j,
Volume 1.:. Introducing Screw Tlleio巧》 和 吓reedo1n of Machi11e:ry, Volume 2: Screw T"hoo巧
士xemplified. 》。与 Hunt 和 Phillips 同时 代 的学者还有美国学者 Roth 等 心
此后, Duffy..., Lipk1n 、 Tsai ,、 Davi dson 和 Da1 等学者在旋费理论方面开展了许多工作
进一步推动了旋量理论的发展勺黄真教授是我国研究与应用旋量理论最早的学者，在他的专
著中较详细系统地介绍了旋量理论及其在机构学中的应用 ，， 从而大大促进了旋量理论在机构
学特 别是对并联机器 人 机构学的发展。进入到 21 世纪，旋量理论在机构学、机器 人 学付， 多
体动力学 、 机械设计 、计 笋几何等多个领域 的 应用越来越广泛，相关的学者及其发表的论
呈落地开花 之 势。
旋量理论与李群李代数的有机结合可追溯到 19 世纪下半 叶 德国著名数学家 Klein 、英围
数学家 Cliffor-d 等 人 的工作 。 Klein 在研究李群李代数 的 固时也对旋噩的超二次曲面 问 题做
了大量研究 ， 从而将群 论 的研究合理地扩展到旋矗的几何研究中 ： Clifford 则 将肩时旋矗视
为李代数的 一 部分。之后，包 括 Brocket 、 SeHg 、 Dai 等学者 也 打诵了李群李代数与旋靠之
间的有机联系 [IO, 113-114, 135-136)i;:,
旋量理论是空间机构学研究中一种非常重要的数学工具口一个旋量由 2 个 三 维矢量组成，
可以 同时表示矢量的方向 和 位置 ， 如 刚 体运动中的速度和角速度，力和力矩等。 因 此 ， 在分
析复杂的空间机构时，运用旋昼理 论 可 以 把间题的描述和解决变得十分简洁统 一 ，而 且 易于
和其他方法如矢禁法、矩阵法等相互转换凸
那么何罚旋量呢? Ban 的定 义 是 ： 旋量是 一 个具有大小和节距的直线。 可以 将其想象为
一 个 机械螺旋 ， 节距想象为螺距宁直线为轴线。旋翟可以认为是与标量、矢量、张量等并列
rn
的 一 种几 何量 ， 形式上是双矢量。在欧氏 空间中，它与点、线、面 一 样 可以 作为其中的几何
元素。注意 ：这 里的旋昼与物理学上的旋星 ( spinor) 具有不同的含义 ，千万不要混淆 。
很显然 ， 旋匮与运动密切相关，同时又与力紧密相联。旋量理论就是建立在两个基本的
定理 (Chasies 定理和 Po~nsot 定理）基础之上的：前者提到了运动旋拼的概念，后者提到了
力旋噩的定义 中 两者之间存在着互易关系，可直接用千描述刚体的运动与约束 ， 由此还衍生
出了 旋量系 (screw systen1 ) 与反旋量系 ( 1氐］的概念 。另外，一般意义 上的旋 童是瞬时噩的概
念，因为它的节距是唯 — 的表达。这样在描述连续运动时便显得无能为力。由此，又提出­
有限运动旋量 (finite tw is,t) 的概念以弥 补 这 一 缺陷 [ l 9] 。
旋凭有四种表征形式：对偶矢杲、 P10.cker 坐标、列向荣和李代数 凸 每种表征都各有所
长，但同时又殊途同归 。
由前面的李群李代数知识 可 知 ，， 通过运动 旋量可将旋量理论与李群李代数联系起来; I石
时乎也可通过旋噩系特旋噩理论与线几何相联。上述内容都是本课程介绍的重点，需要深入
展开的而有关旋量理论的内容将是重中之重 。
11,.5
现代数学工具在机构学与机器人学中的应用举例
下面 以机构 与机器 人的结构 学 研究为例， 说明现代数学在机构 学与机器 人 学中的应用。
机械系统结构学的研究内容主要包括两 个 部分 ：自 由度分析计算与构型综合。自由度 计
笢和分析是由给定的机构求取自由度数和性质，而构型综合正好相反，是由给定的自由度数
自由度性质 求取 具体 的机型 。 构型综合 与自 由度计算和分析是对立统一 的，要解决构型综
的 问题？必须首先解决自由度计算和分析 的 问题勺
进行机构自由度计算 一般 使用的是传统的 Chebychev-G戊b [er-Kutz bach 公式（更常见的
一种说法 是 Gr的ler-Kutzbach 公式 ）。
F=d(n-l)- f (d-J;)=d(n-g-1)+ f.t;
扛~ 1
'1.3)
i=l
式中， F 为机构的自由度数， n 为构件数， g 为运动副数，
f 为第 i 个运动副的自由度数 心 d
为机构的阶数 (order, 通常用 d 表示，后面要涉及到这个概念） 。 一 般悄况下， 当 机构为空
司机构时，式中的 d=,6-; 为平面机构或球面机构时，式中的 d= 斗机构的阶数反映的是机
构的公共约束情况 。
但上式应用到 一 些特殊机构上常常得不到正确的结果亨包括著名的 DELTA 机构。其根
斗， 原因是对决定机构自由度的 一些基本要素缺乏消晰的定义和正确的计第判别方法。这 些基
本要素包括 局部自由度 、机构的阶数、公共约束和冗余约束等。以前的研究者经常靠经验直
观来推断机构的自由度数和性质，或用复杂的运动学分析经过繁琐的概念推理来导出少自由
度机构的自由度性质。
近几年来 § 在黄真、 Rico 、 Gogu 、戴 建生、赵景 111 等学者的 不懈努力下宁借用现代 几
何方法如李群李代数、旋蜇理论等，使得在空间闭环机构自由度计算的通用方法研究上得到
突破，同时对传统公式进行了修正 [ 1 8,34-,5 1 月2,, l lO, 130; L47; 1 48卫2] 。
【例 l.l] 试考察下图所示斜面机构的自由度情况 。
t-·
-,
图 1.6
解：， 代入式 (1.3) 可知 ，
-· 1
斜面机构
该机构的 自 巾度
II
F = 3(u = g = l)+
L .t; ;;;;;;;3x{=1)+3=0
i叫
按此公式推算 ， 该 斜 面机构是不能动的。不过 ，我们 通过 ADAMS 仿真以及实践经验
均表明该机构是可动的。出现如此矛后究觉是什么原 因 呢？
可以作如下的解释：口于该机构为 一 个完全由移动副组成的平面机构 ， 它的两个活动构
件被限制只能在二维平面内移动 ，故这 时机构的阶数不再是 3 而是 2 a 这时再带入自由度t
算公式，可以得到正确的计算结果。
;.t:
g
F = 2(n - g - 1)+
= 2x(-1 )+3 = I
为此引入了 一 个新的概念 一一公共约束 (common ,c onstraint) , 即机构中所有构件均
到的共同约束。
公共约束的概念可以用旋 量理 论来解释 。将 机构所有的运动副均以旋量坐标来表示，并
组成一个集合 ， 进而可 以 找到—个 n 阶旋蜇系（其阶数叩为机构的阶数），若存在—个与该
旋量系中每 —个旋量均互易的 ( 6-n ) 阶反旋量（系），这 个 反旋呈（系）就是该机构的一个
公共约束 ，
公共约束数为 ( 6-n ) 。
因此，上图所示的斜面机构中， 三 个移动副对应的旋凭系为
·s. = ,~O, 0生 0 ; l, 0~0)
S2 =(0" 0, 0 ; p 2, q2t O)
~S3 = (0, 0, O; 0, I, 0)
上面的旋量系实际上是—个 2 阶旋量系，因 此它的反旋董系的阶数为 4; 即机构的公共
约束数为 4 。
而复杂机构的构型综合 问题 更为突出：以少自由度并联机构为例 ， 对这类机构的研究始
80 年代初，然而在上世纪 90 年 代以前，少 自由度并联机构的机型严重匮乏 ，只有 寥寥十
几种口晕初少自由度并联机构构型的设计往往是凭设计者的经验，典型的少自由度机构有
unt 捉申的 3-RPS 井联机构 ， C[avd 提 出 的 DELTA 机构 等。
因此， 新机型 的发明，受到 了各国学者的高度重视。从上 个世纪 90 年代开始，学者们
开始寻找某种通用 的方法进行系统化 的构型发明 ， 尤其是设祀借助某些现代数学工具与表达
方式对其进行构型综合，少自由度并联机器 人构 型综合理论的研究逐渐成为学 术界的 一 个热
点。据不完全统计，从 2000 年到 2010 年的 1 0 年间在国 内外机构 学与机器 人 学相关的重要
核心期刊中发表的有关少自由度并联机构构型综合的学术论文不少于 200 篇 凸
综合上述机构学研究人员研究成果的特点发现一 个共同之处 4 在建立系统的少自由度井
联机构构型综合理论体系与方法的过程中，离不开现代的数学方法与数学工具作为支持 。 在
该领域，最为突出的特点是通过旋量理论与李群理论的引入为芒经作为机构学难题的构 型 综
合问题打开了 －扇明亮的天窗 E
黄真、李秦川、孔宪文、方跃法、赵铁石等基千运动旋量、约束旋量飞反旋量和旋量系
线性相关性等概念 ， 提出用互易旋量系理论研究并联机构的构型综合方法[2牛泌， 53黜54, 64咄 73
125-1.2丘 131 -132, 151. , 171)1 。该方法通过在某一 个特定 位置使所有支链的约束力形成 的子空间 兢加之
后等千理想运动在该点 切空间的补 空间 ，， 从而使移动平台在该点附近能实现给定运动 。 人们
使用该方法成功 地 设计出了多种少自由度新型井联机构，尤其是 4 、 5 自由度对称并联机构
的新构型 。 由千运动旋量和力旋量本身都是瞬时的，只能描述物体瞬时状态下的运动和约束，
所以约束综合法本质 上属 于瞬时范畴，必须对其得到的机构进行非瞬时性的判别。而后
Hopkins 、苏海 军 、 千靖军等将旋量系理论用在了柔性较链机构的构型综合中国丑 us., 129] r;,
：如飞 则较早地将李群理论引人到并联机构的构型综合，提出了基千位移子群的代数结
构对运动链进行分类的方法，证明了所有 6 种低副所生成的运动都是位移子群，给出了这 6
种 位移子群以及子群 间交集的 运纬法 则，从 而奠定了位移子群综合法的理论基础。 Herve
]2
. .,.
分析了位移子群及其对应的李代数，认为并联机构动平台的位移群是所有串联分支的位移群
的交集，用位移子群综合法研究了多种自由度类型并联机构（ 三维移动、 三维转 动等机构）
的构型 综合 [42-45] 。而后李秦 川、， 李泽湘等基于微分流形等现 代怓分几何 工具建立了 一 套少
由度并联机构构塑综合理论 [75-76, 引， U3J..,
1口6
机器人机构学研究中的几个经典问题
[1]1. 复杂机构(并联机构、柔性机构、变胞机构等）的自由度分析与构型综合 ；
[2]. 机器人机构的正、 反运动学建模 ；
[3] 酝机器人机构的运动学及静力学特性分析；
[4] 暨机器人机构的 运动学综合及 优化 设计；：
[5]. 机器人机构的动力学建模与优化设i
6] 艺 对 机器人机构 实用有效的性能指标。
11,.7
文献使用与说明
与本书相关的有关文献主要包括两个部分 ： 专著和 论文 凸近年 来， 出版 了 多部有关机构
学及 机器人 学方面的著作，这里仅给出与 木 书 相 关度较高的几木 。
笫一部分：专着
L
2.
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笫二部分 ：
学术期刊
同样 ， 国内外涉及机构学及机器 人 学方面的学术期刊和各
毛会议也 有 很多
这里仅向读
者罗 列 与 之 最为相关 的代表 性学术 期刊及会议（见下表） 。
( 1 ) 学术 期刊
.
..
...
•
一． i． }．
一
.
一
..
.
.l•
biterna.tional. Journal of Robotics, Research (简写 UR.R )
JEEE Transactions on Rohotics, ( 2005 年以 前为IEEE Transactions. oni Robotics& Autom.ahon, 简－
'JRO )
Journal of Mechanism and Robot1cs Trans.acnon:s o fthe·ASME (简写 JMR)
Journal of M,echani.cal Desig几 T:ransactions, of the ASME (简写JMD
,Iechanism and MacMae Theory (简写 MMT )
Robot~ca
Jomnal of Robotic Systems
International Joumal of Robotics and Automation
Journal ,o f M,echanical Engineert11g Sci印ces C, P四 IMedt.E
1 hi nc 沁 Journal of M,ec:hani ca1 Etnigjn ccring
Robotics and Computer-lnteg1-a1,ed Manufacturing
机械工程学报
机械设 计 与研究
机器人
( 2 ) 学术会议
Wodd Co鸣殴s iill Mee血nisn1 and Machi:ne Sdence, IFT叫M ( 每4年一次）
ASME Intemabon.a] D:esi.gn Engineering l'edm:ica·1Conferences & Computers, and Info.rmation in
压gin eering Conference, Mech.au.isms and Roboti!cs Conference
]EEE Int~m.atio皿I Conference 011 Robotics and Automation~ [CRA
lEEE ID即mation.al Con比r,ence on .Intelligent Robots and Systems~ ]RO、
．．必dvances in Robot Kinernati.,c:
Co叩1UJtationai Kine1natics
ASME![fToMMRcMAR
•••••
.
1,.8
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]4
习题
LI
列举对机构学及机器 人 领域做出重大贡献的 [0个历 史人物 。
1..2
制 作—个年表 ， 记录机构学发展的主要事件。
L3
制 作一个年表 ， 记录在过去 60年间工业机器 人 发展的主要事件心
1.4, 制 作—个年表 ， 记录在过去 200年 间 李群理论发展 的 主要事 件 。
LS
制 作 一 个年表，记录在过去 200年间旋噩理论发展的主要事 件 。
1. 6 通过查阅文献生了解机器人机构学发展的主要趋势。
1.7
刚性较链与柔性较链有何区别？各自 的 优缺点是什么？
1. 8
查阅文献 ， 区分机器 人 的自由度与活动度 ( mobility) ?
1..9· 查阅文献 ， 简述数学在机构学与机器 人 学研究中的作用与影日肛
1..10 结合自身的科研课题或科研实践 ，， 调研某种数学 工具在其 中的应用前景 ， 撰写 一篇综述
性论文 。
l5
第2早
李群与李子群
【 内容提示 】
本章的核心内容在于理解什么是“李群”。因此 ,,
本幸主要包括以下两个方面的
内容： (I) 鉴于李群具有群的代数结构，因此应对群的基本概念有一定的了解； (2.)
通过对一些特殊李群的介绍，学会识别李群。
在对李群概念充分理解的基础上，掌握与刚体运动相关的 12 种（位移）子群。
学会利用位移子群的运算生成新机构”
本章学习的难点在于对众多抽象概念的准确理解。
群与李群的定义
2.1
伽罗瓦
伽罗瓦
伽罗瓦
群的概念最初由 Galois提 出来 的，逐渐演 变成 一 种理论——群论。 现在 群论已 成为现代
数学的一个瓜要分支，其应用也深入到包括数学、物理学、机器人学在内的自然科学的各个
领域。群的提出是与研究对称性紧密相关的，如代数方程的对称性以及几何图形的对称性寺 o
通常情况下，群可认为是所有对称操作的媒合心而群论从本质上讲是 一种用于描述各种各样
的对 称性的数学工具。利用这一强有力的工具，已经取得了很多重要 的研究成果 。如 1.89'0
年 ， Federov等利用群论的方法系统解决了晶体结构分类的 问题 。此外在光谱学、角动噩理
论、原子核谱等物理学领域，群论也得到了广泛的应用。而将群与刚体运动有机联系起来还
20世 纪后半 叶的 车情，像Kargei61 1 、 Murray1961 、 He1veJ421 、 SeHgr 1131 等学者在这方面做小了
许多开创性的贡献。
那么 ， 何谓 “群” 呢？不妨这样给 出群 的定义 。
【 群的定义 】
群是指可对其元素 g 进行二元运算 (binary
operation,. 最常见的是乘法运
和加法运算，用算子 0 表示）的集合 1Go 它具有以下 4 个基本特征：
(1)
封闭律
G 中任意两个元素二元运算的结果仍为 G 的元素，， 即 V
:3mu/t(g1og2) Ev
g" g 2 ,e Gt
o
(2)
结合律对于元素 gpg2-t g3
E G'
则有(gi
og2)og3 = g1 o(g2 og) ) 。
(3)
么元律
存在唯一的单位元素 e, 满足 goe=eog=g 。
(4)
逆元律
即存在唯一的元素g- 1
= inv(g), 满足 gog-1 = g -1og = e 。
从 上面可以看到: ( l) 群一定不会是个空渠 f 因为它里面至少应包含单位元素 e ; (2)
依据 二 元运界的炎型群可分为加法群和乘法群。
【 交换群的定义 】
(,cotrunuta.ti ve group) j
如果 V
g1;g2 e G
j
都有 g!
og:2 =g2 ogl ,.
则 称群 G 为交换群
有时亦称阿贝尔 (AbeD 群，即其二元运算还要满足交换率。
生意: —般情况下的群运算并不具有交换性 。
l9 世纪末，挪威数学家 Soplms Lie 为 了将群的思想应用到微分方程的对称性中去 ，
引
入了连 续群即李群 ( L:i e groups) 的概忿。
【 李群的定义 】
按照 Li,e 的定义，李群除了满足一般群所具有的 4 个基本特征之外，还需
要满足一些特殊条件 ：
(S)
元素 g 的集合 G 必定构成一个可微分的流形（ 简称微 分流形 l9, 1341, differential
manifoM) 。而微分流形本质上是一个可积的空间，因此说李群同时具有可积可微性。
:16
( ,6 )
群的二元运算一定是一个可微分的映射。
(7)
元素 g 到其逆 g-1 的映射 inv(g)
= g-1, 也一定是一个可微分的映射 心
而李 群的维数就是其所对应流形的维数 。 这样 ， 通过李群就将群与微分流形有机地联系
习 来 。因此 ， 李群可以看作是同时具有群 和微 分流形特征元素所组成的集合（如图 2. 1 所示）飞
..
,'g
＿ 却
口
=
D
，已
肩一
图~·
2.2
俨E
枪
群｀流形与李群之间的关系阳不
几种典型的群
根据群及李群的定义及其应该满足 的 基 本特 征 来判断 下面 的例 子是否为群或李群。
【 例 2.1 】
“整数集合关于加法运算”构成群
合为全体整数亨 二 元运算为加法“下面分别验证该集合对于 二 元加法运算满足群的四
个特征。
( 1)
封闭律 ： 任意两 个 整数的和仍然是 个 整数；
(2)
结合律 ：
( 3)
(4)
么元律 ： 整数 0是该运算的单位元素·
数的加法满足结合律 ；
逆元律 ； 对于整数 a, 其相反数-a 可作为其逆元 ， 并且满足 a+(-a}=O (么元） 4
【 例 2-.2 】
平凡 ( trivial) 群
可以很容易验证只包含有 一 个元素的集合（例如由单位元素 e 组成的集合 E ) 满足群的
条件，并称之为平 凡群 。
【 例 2.3 】
单模复数群
设其元素为 z
( 5)
= cos0 +isin0 (0 ~ 0 < 2 冗）， 定义其 二 元运算为乘法 。
满足封闭律: mult(zi; .z2) = z1z2 = cos(01+ 0; ) + i sin(Bi + 02) :
(6 )
满足结合律:
(7)
( 8)
(z1z2)z3 = z1(z2z3) = cos(01 + 02 + 03) + is:in(0; + 02 + 03) ,
存在唯 一 的单 位元素 e=fil , 满足 ez = ze = z =cosB'+ ism ,0 ;
具有可逆性 ： 即存在唯 一 元素 inv(z) = z* = cos ,0 - i sin 0 亨满足 zz * = z ""z = e = 1·
另 外 ， 可以 看到 mult(z1 , z2 ) 和 inv(z) 既具有连续性， 而 rnult(z1, z2 ) 又具有可交换性 ，l
因此单模复数群是李群，同时也是交换群。
以看到，单模复数群所对应的流形是 单位圆 的拓扑结构（图 2 .2) 。
z;;::
,,7"--
cos 0 +isin (}
．霞
八O
阳 .2.2
_
单模复数群所对应的流形
]7
【 例 2, .4 】
单模四元数群
设其元素 为 q = a + ib + Jc + k£l(i2 = j 2 = k2 = -1; a 2 + b2 + c2 +d2;;;;;; I) , 定 义 其 二 元
运绑为 乘 法 。 可 以 验证
(l)
满 足封 闭 律；
( 2)
满 足 结合律
( 3)
存在唯 — 的 单位元素 e=fil , 满足 eq
(4 )
具有 可 逆性 ：即 存在 唯 — 元素 inv(q) = q二, = a-ib- jc - kd, 满足 qq .. =矿q=e=l :
;;;;; qe ; ; ; q·
另外 ， 可 以看 到 ffl'U/t( q1 , q2 ) 和 inv(q) 既具有 连 续性，而 mult (q,1 , q2 ) 不具有交换性 ，
此单模复数群是李群，但不是交 换 群。
可 以 看 到 ，， 单模四元数群 所对应 的 流形是 单位球的 拓扑结构（， 图 2.3 ) 凸
图 2.3
单楼复数 群所对 应 的流形
【 例 2,...5 >
“维向 量空间 贮
义 其 二 元运绑为 向量相加 。这 时 ，设定其中的 3 个 元素 ：
a = (a1, a1; · 巨 , an)T, h = (bp b2 勹.
,
• • •,
bri )T , C = (C1, Ci;. 攫十 ,'C月 ）
( l ) 满足封闭律 ： mult(a , b) = a + b = (a1+ b1, a1 + b2 尸 " t a11 + b1t )T E 贮 ；
( 2 ) 满足结合律 ：位 + h) + c
= a+ (b +e) = (a1+b1+ c1, a 2 + b2 +c2, …, a fl + b,, +en) ;
( 3 ) 存在 唯 一 的单位元素 ： 零向菌 e = (0, 0, .. 令 ， O)T ' 满足 a + e = ,e + a = a= (ap a1, …, a ri1 )T ;
( 4 ) 具 有 可逆性 ： 即 存 在唯 一 元素 in 'v(a )
= - a = (ai, a2 1 ' QPJ )T ;, 满 足 a + (-a) = e;
另 外 ， 可 以看 到 mult(,a, b) 和 inv{a) 都具有连续性 ， 因此很显然股 ” 是 n 维李群 。 由千
mult(a, b) 具 有可 交换性 ，因此也 是交换群 凸
有 一 类与 刚 体运动密切 相 关的特殊群 T(3), 称 为三维移动群 。 其中元素 t 的 一 般表达形
式 有 两种 ： —种 是向量表达 t ; ; ; (t.
右
t3)T; 另 外 — 种 是反对称矩阵表达 D 两者满足同构
( ismnorphis1n ) 关系。
t巨l,
i =I
0
-t3
片
t"
0
-tl
- t2
t
。
2.1
T(3) 是本书中瓜点讨论的 一 类群 ， 同时 也 是交换群 。
【 例 2.6, 】
所有 n
一般线性群 ( general
X
linear group ) GL(n, IR)
n. 阶非奇异实矩陪 组成 的群 为 一 般线性群 GL(n, JR) ;, 有时简写 GL{n) 。
，吁 · 于元索 A ,
B e Gl(n),
群的 二 元运算就是矩阵 乘 法 ， 即 mult( A ,
B) =
AB 。
根据线性代数 的知识 很容易 判 断 ， 封优律与结合 率 显然 成 立 ，对应 的 单位元素就是 nxn
阶单位矩 阵 ] , 其逆可由矩 阵 的逆给出。另外由 千 矩 阵 的乘积和逆都是可微的 ， 所 以 群的这
两 种 运算 也 是 可微的。 因此，
GL(n) 为李群 ， 但由千通常情况 下 A B 1:- BA
,.
因 此它不是交
换群 。
在 GL(n) 中包含 有 多种子群 ， 其中，我们将 行 列式为 l 的 一 般线性群称为特殊线性群
( spe.cial linear group,) ,
记 为 SL(n, 厌） 或 SL(n) 。
]8
【 例 2.7 】
正交群 O(n) 与特殊正交群 SO(n)
n x n 阶正交实数矩阵所 组 成的群称为 芷交群 ( orthogonal
group ) , 记作 O(n) , 而 nxn
阶单位正交实数矩阵所组成的群称为特殊正交群 (special orthogonal group ) , ; 记作 SO(n) ,.
S0(2) 和 S0(3) 是其中两种最业要的特殊正交群 和 削者用来表示绕某一固定轴线的平面转
动，而后者用来表示绕某一圆定轴线的空间转动。二维特殊正交群 S0(2) 的矩阵形式表达
S0(2)三si110
cos0
- sin ,0
( 2.2
cos0 ]
这 个 群所对应 的 流形还是圆。
而三维特殊正交群 S0(3) 中的元素通常用矩阵 R 表示亨但具体表达比较复杂， 这里＾
给出其 一 般表达。
片l
片 2:
fj .
R' =I 乐伍伍
＿几
2.3 )
压生 ＿
本书第 3 章将对其专门讨论。不过，可 以 验证 S0'(3) 不是交换群。
【 例 2.8, 】
特殊欧氏群 S£(3)
．三义 三维特殊正交群 80(3) 与向量空间股3 的半直积为 特殊欧氏群 (special Euclidian
group )
S£(3) 。
SE(3) = S0(3)x 酐
(2.4)
简单记为 (R , t) 。可将其写成 4 X 4 阶矩阵表达形式
C2.5 )
其 二 元运第满,_
(R2, t心 (R'1 , t1) = (R2R1, R2t1 + t2)
( 2马6
写成 4 X 4 阶矩阵的形式，有
2.7)
2.3 李子群及其运算
【 子群的定义】
对于给定吽 G 的一个 子群 H,
它应具有如下特性 ：
G ) 对于 H 中 的任一元素 h, 应满足 h e G " 但 G 中的元素 g 不一定属 于 H i
( ii ) H 应具有群的代数结构：包括对于 H 中的任一元素 h; 都有 11, - 1 EH' : 对于
hi , h2 EH ,
都有 h1o h2 EH;
( Hi) G 与 H 具有相同的单位元素 e 。
？李子群不 仅包含子群的 上 述全部特征，还应该是对应李群流形 上 的 子流 形
(sub111诅nffo]d ) 。
一 般情况下，每个群中都包含有两类子群 ： 本征子群 ( prope.r subgroup ) 和 平凡子群( trivia[
ubgtoup 或 1mpro,per
subgroup )., 其中群本身和单位元都屈千平 凡子 群 ，， 而其他子群为本征
子群）。
例如， 三 维移动群 T(3 ) 中包含有 2 个本征子群 ： 一维 移动群 T(l)和 二 维移动群 T(2};
』9
而 三 维转动群 S0(3) 中， 只包含有 l 个 本征子群： 一 维旋转群 S0(2) 凸
一子群的运镜通常表现为 三 种模式。
1. 组合运算 ( cotnposition)
李千群的组合运货通常表现为乘积 (product ) 运算。根据群的定义可以验证，两个一
群的组合不 一 定是群，而是 一 个流形，只有满足封闭性的条件才可能是群。
由俩个子群组合得到的流形通常通过两 种 运算楼式来实现: 直积 ( direct product 记作
Gi 0 G2)
运算与 半直积 (semi-dir,ect product, 记作 GI
【 直积运算的定义 】
X
G2) 运算。
给定群 G 和它的两个子群 U 与 V, 其中 UE ,U ,,
VEV,
由 U 与 V
的组合构成 G 的子流形，其中元素用 (u , v) 表示，定义该流形的直积运算 U®V 可以简；
表示成
叱 v1 )(u2,
v2) -= (u1 吟叩2)
(2.8)
在直积运绊模式下，两个子群组合后的流形不 一 定满足群的条件」但如果两个子群的直
积具有可 交换性 ，则它们的直积满足群的条件。另外，两 个（或多个）相同子群的直积仍
然等千该子群 。
【 例 2.,, 】
两 个一维移动子群 的直积可构成 二 维移动子群，〉
- 2 =股 l @ m,I
或者 7; ( w) ==
【 例 2 .10 】
T(u)·T(v) = T(v)·T(u)
一 维移动子群与同轴 一 维转动子群的直积可构成 二 维圆柱子群。
S0'(2)®' 股 l
或者 C(N, u)= 冗(N,
【 例 2.11 】
u)·T(n) = T(u)· 冗(N, u)
一维 移动子群与同轴 三 维平面子群的直积可构成佃维 Schonflies 子群寸
或者 才(.N,
【 半直积运算的定义 】
SE(2) '® 照 1
u)::::::: {l(u). 了（小 ＝ 了(u)心7(u)
给定群 G , 它的两个子群分别为子群 U 和交换子群 V, 其中 ueU .
v e V 口 U 在 V 上的运算满足线性关系。由 U 和 V 的组合构成 G 的子流形，其中元素仍然
用 (u 宁 v) 表示，这里定义该流形的 半直积运算 u· :xv 为
(u1, vL)(u2,..",2) = (u1u2, v1 + u1 (v2))
C2.9)
可以证明该子流形在半直积运算模式下是群 口
O 由式 (2.9) 可知满足封阳性的条件 ；
＠满足结合律，
因为
((U1, VI )(U2, V2)) (U3, V3) : (U iU2·宁 v1 +u1(v2))(u3 宁 V3) = (U1U2U3, V1 + u1(v2) + U1U2(v3))
(ui, v1) ((u2, v2)(u3, v3)) = (ui, v1)(u2u3, v2 + u2 (l'3)) == (u1u2u3 ., v1. + u1(v2 ) + u1_u2 (v3))
" Jl七口 ((u1, v1)(u2 1,飞J2 ))(u3, v3) = (ui, vJ )((u2, v2)(u3, v3))
© 存在单位元素 (e, O) C 也是群），满足 (u, v)(e, 0) = (e., O)(u.宁 v) = (几 v);
＠存在可逆元素(u, v)一 I = (U 飞 - u一i(v))' 满足(u , v)(u, v)一 1 = (u, v)-1(u, v) = (e, 0) 。
可以看到在半直积运算模式下，两个子群组合后的流形仍然满足群的条件，这可以为
群的构建提供一种新的方法（后面将给出具体的实例）。为此本书中使用专门的符号＠来描
述满足这样条件的组合群，，
卫p .UxV 。 一 个典型的例子是前面介绍的由三维特殊正交群
S0(3) 与向量空间脱 3 的半直积运算组合而成的特殊欧氏群 SE(3)
个 例 .J
0
20
= S0(3) 刘RJ 。再看另外
【例 2.12 】
由一维特殊正交群 S0(2) 与向量空 间 股 2经半直积运算而成的子群 SE(2)
SE(2) = 80(2) x 酐
2. 交运算 ( intersection
【定理】
给定群 G 和它的两 个子 群， 则 这两 个子群的交 G1 nG2 仍然是 G 的一个子叶 。
证明 ；由于 a, na2 中的元素 g 同时满足 g EGI,
gEG2, 故 G1 na2 = ,G2 na1 凸 很显然 ，
G1nG~ 仍是群。
.----'.I 此，李子群的交集还是李子群 。
3. 商运算 ( quot]ent)
如果 H 是群 G 的子群 ，， 则可通过 H 给出 G 中元素的等效关系 ，即如 果满 足 下述关系工心
则 G 中的两 个 元素是等效的。
g , 三 g2
¢::,,
g 1 = hg2 (gp g2 e G, h e H)
( 2.10)
这种等效被数学家赋予 了一 个专有名词 ：：陪 集 (coset ) ., 而对应的陪集空间称为 G 对 H
廿勺商空间 (quo,ti. e-nt sp,a.ce·) , 记为 G/H 或者 权］ 。因此 ，如果 h E H' 则 [g] = [hg]
C,
不过 ，＇
商空 间 肯定是个流形 ，但不 一 定是李群凸这 个 流形被称 为陪集空间 (ooset space ) 或齐次空
间 C homogeneous spac,e ) 勺
那么商空间成为李群或李子群的条件是什么呢？答案是子群 H 必 须是正则李子群 i 通
常记作 N 。 正则李子群 是指在 任何共枙变换条件下保持不变的李子群 ，
即
gng-1 e 1V, (g e G,. n ·E J.l) 或 者简写成gNg-1~N 。
这样 ， 如果将式 (2.1 0 ) 中的 h 换成 n ,
则变成
g 1 = g2 <=> g 1 = ng2 (g1,. g2 E G., n EN)
(2. ll ~
商空间内两个元素的积可以写 作
[g1 ][忒 = [g1g2]
( 2. 12.)
即
(n1gt)(n2g2) = n.1 (g,n2g 1_ )K1K2 = n,n3g 1g2
( 2.13
式中 ， n 1 = g1n2gt E N ~)
【例 2.13 】
正则李子群与 商空 间的实例：， 与 R.3 对应的 4 维矩 阵表示 为
n =[~ :JE N
可以验 证该子群是 SE(3) 的 一 个 正则子群 ，因为根据正 则子群 的定义
满足正 则 于群 的 条件 gng-1 e .N ,
(g e S£(3), n e 贮）。固时 也正好验证了与该 正则于群
对应的商空间 SE(3)/litj ~S0(3) 也是一个子群。
2.4 SE(3)及其全部子群
所有可能的 刚 体运动都是李群及其子群的典型范例。众所阁知，刚体运动包括旋转、平
移等形式（． 后面还要专门进行讨论） 。
具体将 三 维空 间 股3 上的刚体运动定 义为 具有形式 g(p)= Rp + .t 映射的集合 ，， 其中
t e 配 丿丘 S0(3) 。这些映 射 的全体构成一个 6 维李群，称为特殊欧几里德群嘈简称特殊
21
欧 氏 群 ， 表示为 SB(3), 。前面已经提 到， 它是绕着原点 的旋 转 S0(3)和平移变换股3 的半直积 ，l
即
SE(3) = S0(3) 刘矿
(2.1.4
简单记为 ( R , t) 口将其变 换为 4 X 4 阶矩阵表达形式
—「 R
tl
(2.15
LO I 」
般情况下 ， 要找到 一 个李群的所有子群是很难实现的，但对 SE(3) 就可 以 实 现 。
卜
面我们来推导 一 下 SE(3) 中都含有哪些子群。
由于一般空间的刚体运动衍要 6 个连续的参数 (3 个转动参数和 3 个 移动参数）来确定 ．
因此对应的 SE(3) 实质 上 是 个 6 维流形 ，， 流形上的每—点对应—个 刚 体位移 。 很显然嘈股 3
（更为常见的写法是 T(3)) 和 S,0(3) 是 SE(3) 的两个子群 。前面已经验 证过厌3 更是 SE(3)
的 一 个 正则子群。下面再来寻找分别包含在厌3 和 S0(3) 中的子群 D
如果设 G 为 SE(3) 中的了群，则根据群交集的运冥法则（两个了群的交集仍为子群 八
可以得到交集 N =: 厌3· n1 G 仁肤3 D 这样很容易找到包含在胶 3 中 的 所有（正则）子群。
N· = 胶， 3 嘎皿2, 见 pZ,pZ® 胶， pZ® 脱 2, pZ®qZ, pZ®'q.Z®脱， pZ®qZ®rZ.O
式中 p 喂 q 和 r 是实数 ， 而 pZ 是 一 个加 法群 ＇， 满足 {… -2p , - p, 0, p, 2p, …}。
同理可以找 到 包含在 S0(3)i 中的子群凡
.H ·= S0(3), S0(2).
。
下面再 根据 两个子群的 组 合运算来构建 SE(3 ) 中新的子群 G<) 仍然假设 G 为 SE(3) 中
的 子群 ， N 为包含在股3 中的正则子群乍 H 为包含在 S0(3) 中的 子 群，因此有 G=NH 或者
H 气 G/ 趴 一 种 方法是通 过两种子群 的半 直积运算找 到可 能的群 ， 这种方法比较繁琐 ；还
有 一 种方法是基千正则子群的特性 ， 即只需验证 N 在基于 H 的共枙变换下保持不变。
例如：如果 H
=S0(3),
,
「R
Ol 「 I"'
tl 「 RT
ol
「 I,.
.R tl
Lo
ru 」 L o
1 」 LO
I」
LO
l 」
( 2.16
这时仅有 N= 耿 3 和 N = O 是可能的。组合后的结果对应的就是 SE(3) 和 S0(3) ., 反之
N = 配就 不 可 以 心原因在于 当 t 已~.2 时， .Rt 不一 定属于页 ， 也可能属于厌3 心换 一种说
法， H;::;:;;: S0(3) 中可能包含有在平面民 2 之外 的转 动。
如果 H = S0(2), 这时 N=Rj~ 脱\见 pZ1, pZ X lit2 ·t 0 等都是可以的。当 N= 卧刷
可以组 合成 Schon/lies 子群 S0(2)x 照 j ' 但是 t 当 N = 股 2 R寸，要求 N= 良,2 所在的平面必
须同由 H 确定的旋转平面相一致 ，这样可以 组合成平面子群 SE(2) = S0(2) X R 2 ' 当
.N· = 股时 ， 要求矢量 N 必须沿由 H 确定的旋转平面的法线 ， 这样可以组合成圆柱运动子群
S0(2) x IR!:
当 N =pZ 时， 要 求 矢量 N 必须沿由 H 确定的旋转平面的法线亨这样 可以组
合成一维螺旋运动子群 S0(2)xpZ 或 S,O p (2) : 当 N = pfl ®, R2 时要求 N 所在的平面 必
须同由 H 确定的旋转平面相 一致， 这样可以组合成移动螺旋子群 SOP (2)x R 入
这样就找到了存在 SE(3) 中的 全部子群 ，如 表 2.1 所示。由千 SE(3) 及其子群与 刚 体位
移密不可分（该内容将在后面详细讲解），因此更习惯称它们为位 移子群 ( dispfa.cement
L•ubgroup) l42J 。
22
表 2亨1
位移子群
,..
几何表达
单位矩阵 E
$
冗(N,u
万iN,u)
巧(w)
S0(2) ® T(l)
C(N., 11}
SE(2) 或
{l(w)
2
表示移动副 R
表示螺旋副 H , 沿轴线 (N, u ) 且螺距为 p 的螺旋运动
在与平面 Pl 或由法向单位矢 萤 w 决定的平面平行的平面移
动
r
1r
表示圆 柱 副 C, 沿轴线 ( N, u ) 的圆柱运动
表示平面副 G,. 在与由法向单位矢鱼 w 决定的平面平行的平
面内运动
S0(2)x T(2)
Ti(3) 或贮
r·
S0(3)
S( N )
SOP(2) x T{2)
Y('w, p)
l,, (w)
3
表示空间 三维移动
3
F
\-
表示球面副 S,. 绕转动 中 心 点 为 N 的球面运动
表示法线为 w 的 平面二 维移动和沿任何平行于 w 的轴线 ， 螺
距为p 的螺旋运动
4
示空 间 的 三 维移动和绕任 意平行 w 的轴线的转动
S0( 2) x T(3)
SE(3) 或
l)
沿单位矢虽 u 方向移动
节
F
T(2) 或配
- 1
T(u)
表示转动副 R, 轴线沿单位矢且 .u 且过 N 点
－ 1
SOP (2) 或 H(l)
—
刚性联接 ， 无相对运动
．
l
T(l) 或厌
说明
一
S0(2)i
维数
0
矩阵表达
SE())中的位移子群
6
S0(3) x T(3)
表示空间的 — 般刚体运动于包括三 维转动与 三维移动
运动副与位移子群
2.5
l91 7.8 年 ， 法国学者 Herve基于 刚 体位移群 的代数 结 构对刚 体运动 中 存在的全部 [2 种位
移子群进 行 了枚举（与上面 讨 论的结果是 一 致的入其中有 6 种 位 移 子群可用来表示 6 种 低
副 ( lower kinetnatic pair ) , 即 转动副 、 移动副 、 螺旋副 、圆 柱苗小 球 面副和平面副 ，我们习
惯称 这 6 种低副为“ 位 移子群的 生成元 (generator) 飞
令
由转动副 R 生 成 的位 移 子群 冗(N; 切 ，表示 转 动副的轴线 为 单位矢堇 u 且过 N 点。它
仁一一 个 以转 角份 或角速度 0) 为 参 数的 一 维子群。 该 子群 的 矩 阵 表达用 S0(2) 表示 勹
令
由 移动副 P 生 成 的位移子群 为 T (u)t 表示 移 动方 向 沿单位矢措 u 。它是一 个以 移动
距离 t 或线速度 u 为参数的 一 维 子 群凸该子 群 的矩阵表 达用 T(ID) 表 示 凸
令
由 螺旋副 H 生成 的 位 移 子群为 1-fP(N)
u) ,
表示 轴 线为 过 N 点的单 位 矢萤 u (简 写 为 沿
轴线 (1VJ u ) ) 且螺矩为 p 的 螺旋运动 。 它是一个 以 转角份或移动距离 t ( t
=:
P<P' ) 为参
数 的 一维 子群。该子群的矩阵表 达 用 sop (2) 表示．
令
由 圆柱 副 C 生 成 的位移子群为 C(N,
u) , 表示沿轴线 ( N生 们的 圆柱运动勺 它 是 一 个
以 转角 侦和移 动距离 t 为参数的 二 维子群 口 该子群的矩阵表达 为 S0(2)0T(l)
令
..
由平面副 G 生成 的 位 移 子群为 y(uv) 或 y(w)' 表示在与由单位矢量 II, V 决定的 平 面
（ 或以 w 为法线 的 平面）平行 的 平面 内 运动。它是一 个以 转角 设 和 移 动距离 (I 、 t.. 为
参数的 三维 子群 r;, 该子群的矩阵表达 用 S£(2) 表示 。
令
球面副 S 生 成 的位移子群 为 S(N), 表示绕转动中 心 点 N 的球 面运动 。 它是 - 个以 3
个独立转 角 （如欧拉角）为参数 的 三 维子群勺该子群 的 矩阵表达用 S,0(3) 表不 勺
除了 以 上 6 种位移 子群生 成 元外 ；， 刚 体 运动 群 中还 存在另 外 6 种 位 移子群。 下 面 简 单 介
绍 一下 ：
令
单位子 群 t~ : 表示刚体无位姿变 化，也 可表示 刚性 联 接 ，无 相 对运动。它是 一 个 0 维
子群 ， 其矩阵群表 达 形式 为 E ..
23
令
平面移动子群 石 (Ul') 或 巧 (w)i 表示在与由单位矢量 111 JI' 决定 的 平面（或以 w 为法
线的平面）平行的平面内移动。它是一 个以 移动距离 tu 、 t~ 为参数的二维子群，该子群
的矩阵表达用 T(2) 表示 。
令
空间移动子群 了： 表示在欧氏空 间的 三维移动。它是 以 3 个独立移动 tlj~ti, 、 tll! 为参
数的三维子群，其矩阵群表达形式为 T(3) 心
令
移动螺旋子群 Y(w;
p) =
表示法线为 w 的平面 二 维移动和沿任何平 行于 w 的轴线，嫘
距为 p 的螺旋运动 。 它是 一个以移动距离 ti/ 、 tl' 和沿轴线 w 的移 动距离 t!.'i' 或 w 的转角 吩
为参数的 二维子群，其 矩 阵群表达形式为 so~ (2) x T(2)飞
令
Schonflies 子群 尤 (w): 表示欧氏空间的 三 维移动 和 绕任意平行 w 的轴线的转动，可以
表示成平面副子群 和 移动副子群的乘积。它是 — 个以三维空间移动 tlf 、 t~, 、 t,w 和轴线 w
的转角 份为参数的四维子群，其矩阵群表达形式为 SE(2)®T(l) 勺
令
特殊欧氏群 lJ:: 表示空间的一般刚体运动。它是—个 具有三维独立转动与三维独立移
动的 6 维刚 体位移群，其矩阵群表达形式为 SE(3) "'
从表 2J. 可以看出，每 一 种 位移子群都有两 种 符号表达形式。通常情况下，两者可以交
换使用。但它们之间又有一定的区别 ： 由千矩阵群表达无法描述坐标原点等方面的信息，而
建立这种群表达的前提必须要建立坐标系及坐标原点 ， 这样会导致 一些 必要信息的缺失 ， 造
成其应用受限。例如 ： 如果利用矩阵群表达式，很容易得到
S0(3) nS0(3) = S0(3)
( 2.11
很显然 ， 这个结论是荒谬的 D 实际上，如果采用位移子群 的几何表达 ， 可以得到
S(M)nS(N) ==冗(N卫）
u ·= (MN)/IIMNII
(2谓 18)
ll移千群是 一 类存在于刚体运动中的 特 殊李于群 ，因 此具有李群的完全代数特征和运饼
模式。
【 定理 】
位移子群的交集 A n B 还是位移子群，且满足交换半即 A nB ~ B n A 。例 如：
C(J\l, u) n S{N) = 冗(iV; .u)i
( 2.1.9)
如果两个位移子群的交梊 A nB 是平凡子群 £, 则定 义这两个子群为独立位移子群， 否
则 为相关位移子群 ，例 如
冗i(J\TI 心）门冗{J\12, z)
【 定理 】
(2.20 ·
=&
任意位移子群的乘积运算 A-B 可能构成位移子群 ， 也可能不具有群的代数结构 ．
只是 一 个位移子流形 (displaceme:nt submanifo]d) ps习6, 9 1] 。一般情况下不满足交换半， 即
A·B-::;=B·A .。但是，如果满足交换律 A·B=B . ·A, 则 .A-B 也是位移子群。
【 例 2.14 】
考察 冗(N; v)-7飞 u) 是否为位移子群？
如图 2 .4 所示 j
对千冗(N,
v)· 了(u) .,
考虑刚体在 ..,, 方向的移动，可以证明：
冗(N, v)·T(u) 所产生的位移不具有封闭性，因此不满足群的条件。
不过对 于 冗(N, u)-Ti(u), 注意 到
冗 (N , u)-T(u)i = T(u) 冗(N,
u)
此冗(N, u)-T(u) 构成位移子群，即为圆柱运动子群 C(N,u)飞
24
( 2+21)
L
,1 v
-····
!~
4抒：
三
”}
乓... .,,,,.
t
图 2.4
【 定理 】
-I
冗{N, •')·T(u) 所产牛的刚体位移［］
如果 A 和 B 都是同一位移群 Q 的子 集 宁即 A 竺 Q. , .B 三 Q; 根据群组合运算的
封闭性可以得到，这两个子集合的乘积仍然属于该群，即 A·B· ~二 Q 。因此 ，
A·B 是包含
在位移群 Q 中的一个位移子流形 ， 但不一定具有群的代数结构。
【 例 2桑15 】
由 于 冗 (N, u ) 仁 Q(u)' 根据群组合运算的封闭性 可以 得到
冗(N1; u) 冗(N2,
( 2.22)
u) c ,Q(u)
因此 冗 (NI 卫）·冗 (.N2 ., u)是包含在 Q( 11 ) 中 的 一 个 2 维子流形凸
考察 冗(N,.
【 例 2.16 】
u)· 冗(N, v) 是否为李子群？
对于 冗(N, .u) 即冗(N,
·v) ,
由千 冗('/\', u) 苔冗(N,
v)~ 冗(Nt v) 天~(N, u),
因此不是子群。
同样从物理意义上也可 以 证明 ，绕共点的两个空间轴线的连续旋转可以合成一个新的旋转
运动，但其轴线方向 一般不在这两个轴线所在的平面内 C 因此不能满足群的封闭律，故
是位移子群 ，但 由于 冗(N.,.
u ),Jc(N, v) ,c S(N), 因此是包含在 三 维旋转群中的一个 二 维
流形。
如果这两个空间 轴 线相互正交 ， 则可以等效成虎克饺生成的运动 。 即
ll(N, u, v) =
冗(N ,
u.)·R(N.~v)
( 2.23 .
屁样它是包含在 S(N) 中的 一 个 子流形凸
【 推论 1 】
两个（或多个）相同位移子群的乘积仍然等于该子群 。 例如：
冗(N, w)= 冗(N, w) 冗(N~ w)
(2.24 )
T(w) = 了(w) ·T(w)
(2. 25 )
【 推论 2 ) 如果 A 和 B 都 是同一位移子群 Q 的子集 ，
即 A ~ Q
,. B ~ Q ,
且
dim(A · B') = dim(Q) , 则 A·B 为 Q 的等效子群 ，即 A·B = Q o
【 例 2.17 】 由 于 冗(1'', u ) 亡 Q(u)' 根据群组合运终的封闭性可以得到
冗(Ni, u) 冗(Ni , u.) 冗(N3,
由此可知，冗(Ni,
考虑到
冗(N1 ,
u) ~ Q(u)
u ) · 冗(N2, u )· 冗 (N3 , u) 是包含在 Q(u) 中的 一 个 3 维 子流形 。 同时
d.im( 冗 (l-l., .u ) 心冗 (N2,
11)· 冗 (N3, .u )) = d~m(Q( ll)) =
3
。
因此
,
u) Jc(N2., u) 书 ，冗 (N3 ·卫 ）是 Q(u) 的 等效子群 ， 叩
+
冗(NI 平 u) 冗(N2,. u) 冗(N3,
【 定理 】
u) = Q(u )
( 2书 26
位移子群 的 商运算 AJ B 可能是位移子群宁也可能是一 个 位移 子 流形 。只 有在 B
为正则子群的前提下，
A/13 才能是一个位移子祥凸例如
歹/T - S(N)
25
( 2.27)
CfN·, w) / 了 (w)= 冗(J\1t w)
( 2.28)
H 据以上位移子群的运第特性 ，， 可以 得到一些有意 义的结果，如 可用千 机构的 自由度分
＝忙I~ 及结构综合等。
2.6 位移子流形
一 般刚体运动有多 种 表达形式 D 对 机器人 而 言 ， 通常悄况下讨论的是末端执行器的刚体
运动凸仅根据自由度特性来划分，典型的刚体运动可细分为如表 2.2 所示的 16 种形式户口
以看到其中 的—多半都不是位移子群。因此，前 面 所讲的 12 种位移子群并不能完全涵盖
刚体 的 运动，只是代表 了 l2 种特殊 的 刚 体运动（表 2.2 和表 2J 所示）凸但在 一 般情况 下 ．．
刚 体的运 动 都是 ? 中 的光滑位移子流形 (smooth disp阮e1uent submanifold. 虫以下简称位移子
流形） [91] 。
表 2.2
刚体运动与位移子流形
维数
刚体运动
类别
位移子群或子流形
6
3R3T
位移子群
p
s
3R2T
位移子流形
7;(w)· 心>(N)
5
2R3,T
位移子流形
4
2R2T
位移子流形
4
位移子流形
4
3RlT
1R3T
位移子群
才 i(w
3
1R2T
可能是位移子群 也 可能是位移子流形
fl(w) 或 冗 (u) 冗{N~ w)
3
3
2R1T
3T
3R
位移子流形
了(u) 冗(1V, u) 冗'(N,, v)
1Rl T
2T
可能是位移子 群也可能是位移子流形
2R
lR
]T
位移子流形
刚性联接
位移 子 群
3
2
2
2
j
。
7
冗(N,
u) 谓冗(N, v)
石位）,,,Je'(N, u) 冗(J\r,
v)
T(w)·S(N)
位移 千 群
T
位移子群
S(l\'}
C(N,w) 或 T(切·冗(N,
位移子群
w)
~(w)
冗(N,
u)· 冗(N, v),
位移子群
冗(N~ w)
位移子 群
7位）
£
同位移子群 一 样， 位移子流形也具有交 、， 乘积及商等三 种运笋模式，它们之间具有以下
一些特性 ：
( l)
位移子流形与正则位移子群 的 商可能是位移子群， 也可能是 位移子流形。
( 2)
如果两个位移子群的乘积满足交换率，则这两个位移子群的乘积也是位移子群? 两
个或者多个位移子流形的乘积、位移子流形与位移子群的乘积不 一 定是位移子流形。
通过乘 积运算 ，位移 子群可以组合成新的位移子群或位移子流形 ，反之，通过 交运算，
两 个 或者多个位移子群或位移子流形可得到新的位移子群或位移子流形 。
将位移子群与位移子流形引入到机器 人机构 学的研究中 ，其 意 义在 于可将群这 个抽象的
数学概念和机器人的具体几何结构有机地结合起来 。
.26
【 定理】
设互和 Hi 是 SE(3) 中的两个位移子群，则互·九; 是 S£(3) 中的一个位移子流
形，且 满足
曲n(冗十名） = ,dim(坏) +dim(名）－妯m(冗 n 年）
表 2.3
自由度
3R2T
位移子流形
位移子流形
说明
，尔分 S(N)
—
沿与入;JI 平面平行方向的 2DOF 移动和 3 DOF 的转动
2R3T
r 咒(N, x)·Jl(凡 JJ)
2R2T
冗(t) 冗(N, x) 冗(N, y)
3R IT
了 (z)八f(N)
'IR2T
尔z) 冗 (N心）
2R l T
穴d瓦(N, 巴）兄(N, x)
JRlT
了(z) 冗{N~ x)
【 推论】
(2.29)
3D0F 的移动 和绕 z 轴和 x 轴方向的 2D0F 转动
沿与 X)I 平面平行方 向的 2DOF 移 动 和绕 x 轴 和 y 轴方向的 2DOF 转动
沿 z 轴方向的 IDOF 移 动和 3D-OF 的转动
i 沿与习！平面平行方向的 2DOF 移动和绕 x 轴方向的 lDOF 转动
沿 z 轴方向的 ]DOF 移 动 和绕 z 轴和 x 轴方 向的 2 DOF 转动
沿 z 轴方向的 :IDOF 移 动 和绕 x 轴力向的 J. DOF 转动
设儿《和儿4 分别是 S0(3)和 T(3) 中的位移子流形，则儿ti· .A-1; 是 S£(3) 中的一
个微分流形，且满 足
dim(儿(邑儿t;)
【 例 2..18 >
= di1n( 儿） +dim( 儿'2)
( 2 谓 30)
试计绊 S(N)·Q 位）的维数 E
解：由 于 S(N)nQ(u) =冗 (N,
11) :Ii 因此根据式 (2.29' ) , 可 得
ditn(S(/\')·Q(11)) =din1(S(N)) + dim(Q(u)) - dit11(S(N) n Q(u)) =5
应用实例
2.7
构造运动链
前面我们已经给出了位移子群的概念，并列出了全部 12 种 位移子群。可以看到: 6 种
低副即转动副、移动副、旋 萤副、圆柱副 、 球面副和平面副产生的位移集合都是位移子群。
咄屯 Hen1,e 还给出了详尽的位移子群两两求交以及乘法运算的运算结果，并指出位移 子群
求交集的运算满足 一 般集合论中求交的运笋法则 （表 2.4 ) 。而在更多悄况 下 由运动链（多个
运动副组合而成）生成的刚体运动并不能满足位移群的代数结构，而只是其中的位移子流形勺
这里先讨论 一 下位移子群 、 位移子流形与运动副及运动链之间的关系凸我们 知道，运动
副及运动链的位移子群或位移子流形的生成元（或生成算子）；相应的，运动链末端相对十
固定端的任一运动无论其多么复杂，都可以表示成若干位移子群或位移子流形以及它们之
间的乘积形式。通常惰况 下， 可由所有低副生成的位移子群的乘积来决定 。 这些位移子群的
乘积可能仍然是位移子群，但在大多数清况下这个乘积不具有群的代数结构，只是 一 个位移
子流形心例如， PPP 运 动链生成的是一个 3 维的位移子群 r = .7 (u) · T ·(v) -T(w), 而 PRS
运动链生成的是一 个 5 维的位移子流形 了(u)i·R(N1 ,)')·S(N2 ) .,
下面分位移子群和光滑位移子流形两种情况分别讨论一下等效运动链的生成 。
2.7.1
(1)
位移子群生成元一一等效运动链
一 维转动、移动和螺旋运动子群冗(N, .u') 、了 (l4) 和万 ( N., 切的生成元
根据表 2沌 L 转动副 R 、 移动副 P 和螺旋副 H 可直接生成一维位移子群 冗(N, .u) 夕T(叭
和 万~(N,. u)飞
(2)
二 维圆柱运动子群 C{N~ u) 的生成元
.27
圆 柱运 动 子 群 C(l\' 卫） 可直 接 由圆柱副 C 生 成 ， 也可由单自由度的 R 副 、 P 副 或 H 副等
组合生 成 。 注意 到：两 个 固轴 的 螺旋副 HH 与 C 副等 效 ， 理 由 如 下 ：
表 2.4
位移子群的 运 贷 [4,2]
,
位移子 群
求交
求乘积
A(i;J)
砍j,k)
A(i,J) n B(J,k)
A(i, J)- B(j,k)
:?;(Pl)
7;(Pl1
T(Pl n Pr )
了
2;(Pl)
{l(Pl')
了(Pln Pt)
{l(Pl)
!l(Pl')i
T( Pl 门Pl')
y（ 玑 p)i
7;(Pl)
wLPJ
{l( v)
Y(w:1 p)
尤'(w') t
欢w) 冗(N心），叭L P/
Y(v, q)
T(u ) , u ..1. w , ,, J. ·v
~--F{ u) 冗 (J\f; l,),
T(u ), u ..l_ w , u ..l J1
才{ u) 冗 (N, ·v), 劝V
T(" )
Y(w, p) 冗(N, 切
T (u )
C (N ~u)1·冗1(N\ u)
.r (,,)
:J;(Pl) 冗 (N~ u)
了 ( 11. )
才 (u')
,,V ' 土 ' IV
C(N, u)
Y(w, p)
w j_
11
C(J\1, .u),
,C (N\ u)
l\r:;t N '
冗 (.Pl)
C(N卫）
Pl ll u
了
C'(N.10 11)
!J,(w)
C'(N,, 吩
w J. ,,
,-I'(w)
,C(Ni 切
W;f= U
w' 上 Pl勹 VN"
f
. ,-Yi( w)
T(1:1 )i, u ll Pl,. u ..l w
W'i:- V
Y(w, p)
·w ' 上 Pl'
yl( w)· 冗(NI
T(u )
＝冗( N,
切
w) · 冗(N, w) ··C{N~ .u )
比( w) 霉冗 (N,
T(u )
VN
a)
Y(u,p)
C{N,1 吩
叱i'(N,
u)
才俨 1位 ）
fl(切
C'(Nj 11)
冗{N卫）
才 (u )
S{N)
C(N~ u)
y(u')
冗{Nt u)
S(N)-7飞u)
才(u)
冗{N, u)
S(.N')
冗(N., u),
S '( N)
~S'i(N)
Si(N)
u)
S(N)·~(w),
Y(,,',,P)
:!;,(Pl)
f
~""(JV)· 冗(N,., 叶冗 (N', ·;,v),
l-' * W , J1* U ~ U 土 W
Pl .L H
才 (,u)
P(u)
r
7;_,(Pl) , Pl 1- u
尤 (,u)
Y(u! p)
T
J;(Pl) , Pl 1- ,~
才'(u')
7;,(Pl). Pl 1- u
才 ,(u)i
Y(u! p)
~(u,,q)
{J(u)
才宵 ( v )
·v ~ u
只U, p)
才 (v)
·v * u
才 (u )
才(v)
冗(Pl) t
w上“
勿
ll = (NN')/IINN1II
A'# N1
!J(u),
冗i(N·,
Pl 1- u
才i( u ) 兄( N, 叶劝N
7;_,(Pl) , Pl 1- u
,-,Yi( u) 冗 (N, v), 劝V
r
才i( u. ) 冗(.N, 叶 VN
28
由于
万~(}l, .u) ~ C(N, u) ., ¾(N,. u) ~ C(N,. u)
( 2.54
则 根据群 乘积的封 闭性 ， 可得
万p (N,u) 叩 Jiq (N, 切 ~C(N,
(2~55
u)
勹此万~ (N· , u) 力; (N 卫） 是 C(l\r, u) 的 一 个位移 子流形 ， 两者的差异表现在参变噩 上心
如果不考虑这一差 异，可视为 二者 相等。
万 (1V,
p
』
u) , 万 (N, u) = .C'(1V, u)
wl
图 2..5
［了 ( u· ) 可冗 ,(N,
7
位移子群 C(N卫）对应的等效运动涟
表 l..5
位移子群生成元
(2.56
(J
与 门 N, u)生成元等效的运动链 1
位移子群生成元
等效运动链
等效运动链
u )]
[ up uR]
［冗 (N争 u)· 气 (N, u )]
[" R UH]
［了（切·叱 (N, u)]
[ J• p i•H]
切~ (N-, u)· 叱 (N, .u )]
[" H.l'J _
H]
(3)
二维移动子群 :?;(w) 的生成元
该运动可由两个移动副 pp 生成 ；此外，也可以由 P:Pa 、 p~ pa 生成 。 其中与复杂饺链 pa
相对 应的 ~(v) 是 包 含 在 二 维子群巧 ('w) 中的 一 维位移子流形 ， 它实现的是 一 维圆弧移动。
(a)
(b) PPa 运动链
p~
图 2.6
(4)
复杂较链 I\ 与 ppfi1 运动链
三维移动子群 了的 生成 元
叮移千群 7 中包含 2 个本征子群 ： 了 ( w) 和 Z 位） ， 2 个平 凡 子群 E 和 7 。此外平
还包含 2 种位移子流形 =~(v) 和 .7;~ (w) 1 其中后者表示球面上的 二维移动，与之对应的
机械生成元可以是复杂较 链 u· [30, 14 1J 。
根据群乘积的封 闭性，我们可以 得到如 下关系式 ：
r ;;;;;
:J;(w) 罩 T(w)
r~r( u) 了 (v) · T(w) ~ T( u ) · T(v)·~(w) ;;;;;
( 2.57
T(u)·~(v)· ~t w
= ~(ii) -~(l''),-~(w)i = 气 (w)· 了 (w) = 左 ( w)· ~( w),
此 ， 该运动可由 3 个移动副 PPP 生 成 ， 此外 唱 也可 以由 PP{1 P ., ,
I 气中的 ［］ 表示其 中 各元索可任意烦序了此规定 也活用于本亲后而各节。
29
P~1PaPa . .
( 2.58
PU* 等生 成 。
(/--一---::-~~~-
(a) U响
(b) .PU * 运动链
图 2.7
(5)
复杂饺链 u"' 与 PU* 运动链
三维球面运动子群 S(.iV) 的生成元
该运动可直接由球副 S 生成；此外，由千多自山度运动副在运动学上可以看作转动副
或移动副的组合扣所以 三维转动子群 S(N) 也 可由 3 个轴线交千 一 点的转动副构成的 3R 球
面子链生成 。
S(N ) = 冗(JV, H) -12(N, ·y) ·冗 (N,w)
( 2.59)
注意 ： 在三维位移子群 '""'?(iV) 中包含有 一 个 二 维的位移子流形 s;(N)' 且
占: ( N)= 冗(JV, u) 冗(N,
v) = L/(1V, u , v)
( 2.60
匕可表示 一 个 2R 球面 子链或者虎克较 D
I
a.) 球较
(b) 空间汇交的 3 个 R 副组合 ( RRR )
阳 2.8
(6)
CJ U K 运动链
位移干群 S(J\T) 对应的等效运动链
平面运动子群 §(w) 的生成元
二 维位移子群 {l'(w) 表示一 个平面内的西个移动和绕该平面法线的 一个转动 中 对应的等
效生成元包括
.'7(,v) :=冗(Ni, ,v) 冗(N2, w) · 冗(N3, w)
.f l(w) =[冗(Ni, w') 冗(N2; w)· 了{v)]
tl( w)=[冗(Np
图 2.'9
w) · 了(v) · 丁(w)]
( 2 湟 6, 1)
( 2.62
( 2.6,3)
位移于群 y,( w)对 应的芍效运动链
节气轰在三维位移子群 §位）中包 含有—个二维位移子流形立 位） ＇，且 满足
fl(w) = [Q2 (w) 冗(N, lif')l
( 2.64)
Yi (,v) = 冗(N11w) 冗(N2 ~w)
( 2于65 ,
_,此，得到
乓 ( w) = [ 冗(N., w)·T(v)]
3,0
( 2宁66)
?;(w) = [了 (u) · 了 (v)
"
( 2.67
".
, a)
RR
"
fc) PP
(b) [RP]
图 2.10
位移子群 .9z(w) 对应的等效运动链
以 上对 fl(•..,) 和 [/2(w) 的讨 论中并没有考虑由复杂较链生成 的 光滑位移子流形在 内， 实
际上，复杂较链也是完全可 以 包含在其中 的 。
(7) 四维（ 三移一转）位移子群才'(w)的生成元
四维子群 才(w) 中包含 7 个本 征子群 了 (w) . . 穴 (w) . . r 、冗(N.,. w) 、万~ (N·, w)~
C(N, ·w) 和 §(w) 。此 外 还包含 3 种 位移子流形 ： 7=(v) . . .勾~ (w) 和½( w) 心 因此 ， 根据
群乘积的刲闭性，我们可 以 得到如下关系式 ：
才 (w)
= [fl(w) · r (w)] = [y(w) · ~(w)]
＝ 亿 (w)·C(N,
＝［了·冗 (N·,
( 2.68
w),] = [九 (w)·C(N; w)]
w)]
由上式可得到生成位移 子 群才"(w) 的等效运动 链 。
2.7咖2
位移子流形的生成元，~等效运动链
在前面 已经讨论了几种少自由度位移 子流形 以及 与之 对 应的等效运动链 ，
如 7;,(v) 、
左 (w) 、 '5;(N) 以及 £7i(w) 等。面其 他位移子 流形又如 何来生 成呢？鉴于 3-,6 维位移子流
形种类较多 ， 这里只举两个 5 维的例』 0
(l)
由平面副和球副 (y( 小"S(N)) 生成的等效运动链
注意到两个位移子群的交集还是位移子群 。
织 u) =[T( 门 -T(w) 冗(N,
u)] =[叨'(M,
u)·T(v) 冗 (N,
u )]
＝［冗 (L, u) 冗(M , u) 冗 (1V, u订 =[~(u) 冗( .I'/,
S(N), = 冗(N, u) 冗(N, i) 冗(Nt
j) = 龙(N,
u)]
u) ·'5;(1-l)
£l(u)nS(J\l) =冗(N,u)
冗(N, u)·J?(N1 u)== 冗(N, u)
( 2.69
( 2.70)
( 2.T1' "
( 2.72)
因此
趴 u) ·S(l\')
=
Q2 (u) 冗 (N, u) 冗 (N)
＝豆 (u) 冗 (N,
u ) -~(N)
.u ) ,s;(N) =纺 (u) , 6,(N) = Q(u) ·'5; (l\' )
( 2书 73
这样，可将 §(tt)·S(N) 生成 的 等效运动链再进一步分为 (R//R.)-S 和 Pl』一 迅心两个 子类。
31
R
R
|
3
g
8
rm心只仅凡l
阅
R
m巴均必 5
(b)
图 :2.n
可以 证明 ，
y'(u) 心;(N) 运动链的两种子逆开~ []
Y(H)·S(N) 所 生成 的 等效运动 链可以生成 3R2T 的运动。理由 如下：
证明： 生 成 3R2T 的运动 的 等效位移子流形是 :z;(w) 心~(N), 其中 Z 位）生成平面 二维移
动，
S(N) 生 成三维转动。
7.(w) = T(u)·T(v)
·"-:'(N) =
冗'(N., u ) · Ji?'(N; v) 嘈冗(N;, W)
( 2.74 )
( 2.75)
这样
:?;( w)·S( N) = 了(u)·J了(v) 冗(N, w) 冗(iV , .u) 冗(}l, 1')
;:::;;;T(u) · T(v) 冗(N; w) 冗(N,. w) 冗(N, u) 冗(N, v)
( 2.76)
= §(w)-S(N)
这 一结论 也 可以 从 表 2.4 中得到匀
此，
由 巧 ( w) ·S(N) 生 成 的等效运动 链 与 [l(u)-S(N) 所生 成 的等效运动 链 相同 ，
都 可以 产生 3R2T 的 运动。
(2)
由平面副和平面副 (y(u)飞7(v)) 生成的等效运动链
利用上面的方法 可以 证阴
叭u) · {,心） == !i";,(u)+£l(v)
( 2.77)
乓 (u)心7(v) =冗 ( N,, u) 冗(J\l2 ; u)心7(v)
( 2 谒 78)
对上 式 求 交运算得到
冗 (Ni, .u) 冗(N2 .J u)-{l( v)nr = 了
( 2.79 )
右乘 冗(N1, u )
冗(Ni 卫）冗 (N2 ,, u)飞7(v) 冗(.NI , u)n .T 冗(Ni, 切 = T 冗(N1 卫）
( 2.80 )
根据 冗(Np u) 与 了的乘 积具有可交换性，可以 得到
冗(N1, u) 冗(N2 , u)·{l(v) 冗(Ni, u)n 冗(N1, u) 了 ＝ 冗(Ni, u) 了
消去公共元素 冗(N1 ,
( 2. 81 )
u)
冗(N2 , u)·y(v). 冗(Nt,· u) 1nT = T
( 2.82)
m 此，冗，( N2 ,. u) · _{l(v) 冗 (Nt ., u) 也可以作 为 {l( u) ·il{ •') 的 等效生 成 元。由此可进
一步得到与之对应 的 等效运动链 ， 如 i·• R 仅 ~' R lr' RUR 、 1' R[ 1' P 1' R v Rl u R~ ti R尸P v R 1~·p1 "' R
司样 ， 我们 可 以 证明 y(u) · y(v) 可 以 产生 2R3T 的 运动。读者不妨 利 用前面的证明方
法进行证明。
32
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习题
2, l 试 证明 :'"' 全 体实数所成粲合关千加法运算 ”构成交换群 勺
2.2
试 判 断“实数集合关于乘法运算 ”是否构成群？
2,3
试 证 明：群中的单位元素是唯一 的，每 个 元素也只有 一个逆元 与 之对应 。
2.4 试 证明 ： 全体 芷交矩阵集合对矩阵的乘法 运钾 构成 一个群。
2.5
试证明 ； 若群 G 中每个 元素的平方都等于单位元素，那 么 G 一 定 一 个 交换群 仑
2 . 6 试 判 断下面的矩 阵是否满足群的 条件？
cos ,0
A =
L
2 . 7 试 判 断下 列矩阵是否满
-
sin 0'
x
sinB
cos.0
y
。
。
li
'
X,p, 0' E 厌
群的条件？
_
cos0' - sin(} 0 x
- I sin(}
A-
cos ,0 0 y
0
0
J z
。
。
0 l
I
x,y. z窄 ,()
E JR
2.8 何为李 群、李子 群 ？
2.9 设 A 、 B 都 是群 G 的 子群 ， 则当且仅当 AB=BA 时， AB 才 是 G 的子群。
2 干 10 试证明 ..:,""(N) = 冗(,N; u)· 冗(N, P) 冗(N; w) .,
33
2. 1l 试推导 了(w}1 冗(N1, u) 冗,(N:i: ·~ 切 =fl位） 宁
2.12 试推导 S(N)nQ( u)= 冗(}l, u)飞
2.13 试 证明 趴 u)- ,Q'(v) =冗 (A; u) 令 冗 (B; .u)- 冗(C;
2.14 试 证明
u) Jc(D,. V)
+
+
R(E响， V,
!;·
{l(w) = 冗(N, u,)U 7;,( w) 。
2.16 试证明 iS;(.N) 是位移子群 ,S(N) 中的 一 个二 维位移子流形 。
2.17 试 证明g 位）是位移子群 y(w) 中的 一 个 二 维位移子流形 9
2.J8
通过阅读并 查阅有关 利用 位移群及位移流形理论进行机构构型综合的文献 ， 完成—篇
不少于 3 000 字的学术报告（含文献综述），并 包括以下内容：
(l)
2)
谈谈你对位 移子群及位移子流形概念的认识及看法 ；
利用位移子群及位移子流形的理论研究 一 般机构的构型综合有何优缺点？总结 一 般
综合过程 ？
( 3)
举 - 个特殊的机构 （如 2R1 T) 构型综合的实例。
2 . 19 通过阅读 并查阅有关商联 机构[l卫] ( Q应心 的文献，完成 一 篇不少千 3 000 字的学术报
告（含文献综述） ，
I.)
(2)
并包括以下内容 ：
谈谈你对 QKM 概念的认识及看法:
利用位移子群及 位移子流形 的 理论研究 Q阳,1 的 构型综合有何优缺点？总结 主 要综
合过程？
( 3)
2.20
举一 个特殊 Q贮VI[ ( 如 2R' 1T) 构型综合的实例（注 蔥 不要用已 有实例 ）， 0
加深对位移子群与位移子流形的认识与理解。
( l ) 位移子群与 一 般位移子流形之 间 有何 区 别与联系？
2 ) 利用位移子群及位移子流形理论分析图 2,12 所示机构的自由度 。
图 2.12.
习 题 2.20 ltJ[ l 60)
34
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203
第3早
李群与刚体变换
［内容提示】
本章的核心是要掌握两种典型的刚体变换群以及它们与刚体运动的映射关系。
具体包括以下两个方面的内容 ：： (l ) 理解并掌握刚体运动与刚体变换的概念； (2)
掌握典型刚体变换群的矩阵表达。
本幸学习的重点在于了解如何应用李群表达旋转变换及一般刚体变换亨以及常
见的刚体姿态描述方法仑
3.1
刚体运动与刚体变换
3.Ll
刚体运动的定义
在欧 氏空 间胶3 中 ，质点 P 的位埋可用相对于惯性坐标系（也称困定坐标系或者参 考坐
标 系）的位暨矢 萤 p(pE 胶勹来描述 。质点 的运动轨迹可表示成参数形式：
p(t)=-(x(t), y(t), z(t)) ,E 脱3 ( 图 3 名 l ) 。
I
.1"(t)
p(t), = y(t,,
z(t)
图 l.l
质点在欧 氏 空间内的运动 描述
不过在机器人机构学中，通 常关 心的并不是某个 质点 的独 立 运动，而是由一系列质点所
组成的刚体 ( rigid body ) 运动。那么，什么是 刚体 呢？
【 刚体的定义 】
顾名思义， 刚体 是一 个 完全不 变形体，是相对弹性体或柔性体而 言的。 从
数学角度可以给出 一个 严格地定义：刚体是任意两点之间距离保持不变的点的集合 。若 P
和 Q 是刚体 上任意 两点，则 当刚 体 运动时 ，必须满 足 ：
llp(t) - q(t)II = llp(O) - q(O)II = c.onst
c3.1)
产,,. ....
图 3,.2
【 刚体运动的定义】
的连续运动 。
刚体在欧氏 空间内的运动 描述
刚体运动 (rigid rnotion) 是指物体上任意两点之间距离始终保持不变
对于刚体而言 ，
从一个位形到达另一位形的刚体运动称为刚体位移 ( dgid
displacement 汃典型的刚体位移包括 平移运动 ( translation, 简称平动）和 旋转运动 ( rotation ..
35
简称转动）。
【 转动与移动的定义 】
转动是指刚体运动过程中，始终保持一点固定的刚体位移形式。而
移动指刚体运动过程中，刚体上的所有点沿平行线方向移动相同距离的一种刚体位移形式。
图 3.3 和 3.4 图示了这两种运动形式。
,,. .,.
(a), 绕刚体上 一 点的转动
(b) 绕刚体外一点 的转动
阳 J.3
3儿2
~,,.
刚体转动
胆 J.4
刚体移动
刚体变换
【 刚体变换的定义 1 】
对千由氏的子集 0 描述的刚体，其刚体运动可以用 一 系列的连续
变换 g(t) : 01 今 股3 来描述即将 刚体上各 点相对千某个固定坐标系的运动描述为时间的函
数这时，刚体位移就可以用反映刚体上各点从初始位形到终止位形的单一映射 g: O 今 飞
来表示，并称之为刚体变换 (rigid body trans:fonnation), 记作 g(p) 心
假定刚体上有两点 p, q · E O, 连接两点 的矢 噩tv·;;;;; q —p
( V ·E 厌 3 儿前面已经讲到
在欧 氏几何中矢 量的表示与点 的表示从形式上完全相同，， 如 在笛卡儿坐标系中都用 (x; y亨 z)
来表示，但在射影几何中两者的表示就 呈现出了差异。矢量不与刚 体相固联，例如在同 一 刚
体 上还可存在其他两点 r,
~, E O ,
也满足 v
= s-r
(图 3.5) 。基千这种 原因，有时将矢量称
为 自由矢量 ( free vector ) 。
图 3.5
矢星的刚体变换
若用 g: 10 今匮 表示矢量 v 的 刚体位移，则该 刚体 变换可 以 写成
g.(v) = g(q) - g(p) := g(s) - g(r')
3.2)
由于 刚体上 任意俩点间 的 距离不随刚体运动而改变，因 此刚体变换 g:0--, 脱J 也 必须
保 证任意两点间的距离始终不变。但反过来并不成立 ，， 保证刚体上任意两点距离始终不变并
不 一定是 刚 体变换，如反射运动就是如 此 。 因此还需要附加其它条件（如保证刚体上任意两
矢量的夹角不变八
【 刚体变换的定义 2 】
同时满足以下两个条件的变换 g: :rre 分> R.3 ' 称之为刚体变换。
(a) 保持刚体上任 意 两点间的距离（向童的范 数 ）不变：对于 任愁 的点 p, qE 股j ' 均 有
llg(q) - g(p)II = llq - PII
( 3 巴3 ,
(b) 保持刚体上任 意两矢量 间的 夹角保持不变 ： 对千任意的矢童 ，J', WE 腔 3 J 均有
g*(vx 'W} = g,..(v) xg,. (w)
36
(3.4
刚体的位姿描述
3.2
在机构学研究过程中，总是离不开坐标系的，，因为通过坐标系可以更好 地 来描述机构及
其中各 个 构件的运动，也使描述过程变 得更加 简单 。机构和机器 人 分析中，经常采用两类坐
标系；一类坐标系是与地（或机架）固联的定坐标系 ， 即我们常说的 参考坐标系 (referen.c,e
coorrl.ina te fra1me),
一 般用 {A} 表示 D 其中，用 X..-r 'I
P'A,
ZA 表示参考坐 标系 3 个 坐标轴方
向 的单 位矢噩。 还有 —类是与活动 构件固联 且 随之—起运动 的动坐标系 ， 这里称为物体坐标
系 ( body
coordinate fraine) 书
一 般用 {B } 表示 D 其中，用 XB
, Y'e 'I
z·B 表示物体坐标系 3 个
坐标方向的单位矢 量。
图 3.6
描述刚体运动的两种坐标系
建立了坐标系，很容易给出 刚 体上某 一 点的位置坐标描述。因此 ，刚 体上任 一 点 P 在
参考坐标系 {A} 和物体坐标系 伐 ｝的位置 可 以分别描述成
”\
X
Ap,== I Ylt
i
Bp== I V
3 艺5
WJ
如何来描述刚体的姿态呢？相对位翌描述而言，姿态的描述复杂多样。由于刚体转动＾
改变刚休的姿态，因此，为了更好地描述刚体的姿态 ，， 我们 不妨先讨论一下 刚 体转 动。
3.3
刚体转动与三维旋转群
3..Ztl
刚体姿态的 一般描述与旋转变换群
一 种 最 简单的描述 刚 体姿态的方法是 ：： 阳附着在刚体上的物体坐标系 {B } 相 对千参考坐
标系员｝的相对姿态来描述。为使刚体姿态的描述简单直观 ， 我 们不 妨考虑两 种 坐标系共点
的情况 。具体如图 3.7 所示 ，坐标系 {B} 中表示 3 个坐标 轴方 向的单位矢 篮相 对 坐标系 切
的坐标表达 可分别用 A XB ' A Yn 平 A ZB 表示， 写 成矩阵的形式
;.;,.R =[A x n
A J'n
飞］迈
3.6)
这 里 称；R 为 旋转矩阵 (rotational matrix), 满足
XA·X B XA·yB XA· ZEl
cos(X A, XB) cos(X A, y B) cos(x A, z·B)
扭= Iy , ·X8
y , ·Ya
y , · z. =lcos(y., x 8)
cos(y,, y8)
cos(y,. Z8)
Z4 ·Xn
z·A 曦· y8
zA·z·.s
cos(zA, y8)
cos(z心 Zn)
j
cos(zA·,, x n.)
(3.7
由千；R 中的每个 元素均是方 向余弦，因此该 矩 阵又被称为 方 向 余弦矩阵 。
可以看到： 旋转 矩 阵； R 由 9 个 元素组成 ， 但实际上只有 3 个 独立参数 。这是因 为旋转
37
矩阵实质上是一个单位正交的正定矩阵口因此，它满足如下的关系式
IIAxs ll = IIAYBII = IIAzsll = l,. AXB·A y』i = A YB 弓 A Z』牙；；；；； AZB 心 A X』u=O
扭. - 1 =扭'if f 且 d.et( ; R)
图 3.,1
=
3.8)
旋转变换
鉴于旋转矩阵； R 的共性特征，因此可以将旋转矩阵同第 2 章所讲的 三 维特殊正交群
S0(3) 有机联系起来 ，， 且P 将所有满足上述性质的 3X3 旋转矩阵的集合 R 称为三维旋转群
( rotation
group) 。
S0(3) = {R ·E 芷： RR·T = .I, de:t(R) = l }
( 3 .9 )
可以 证明 S0(3) c 股~J 是满 足矩阵乘法运算的李群 勺
根据群的定义；凡在其 上 定义了二元运算井满足运算的封闭性、单位元、可逆性和结合
律的集合 G 称为群。对千 S0(3) 中的任意两个元素作矩阵乘法运算宁井满足 ：
(l)
2)
( 3)
4)
封闭律：如果 .R 1 , R汪 S0(3), 则 R 1 R2E
S,0(3) :
结合律： (R1R2)R3= R i{R2R 3) ;
么元律：单位矩阵 h 为其单位元索；
逆元律：由的性质可知， R- 1
: : : : :R7 E
S0(3, 。
同时，矩阵相乘与逆运算也满足可微的条件 。 因此，
S0(3) 是以矩阵乘法作为 二 元运
算以单位阵 /3 为单位元素 ， 以 R T 作为 R 的逆的李群。
~"
p( p
瓜{}. .
已，~-,..)
,
叭勺｀ ｀
/
R
IJI V_/
/,'
" , If
&.1 R
士 --
j
I
j
f
f
更俨
....
夕
...
,.,. ,..
.., 丘
""
}
_
4
,,
a)
(b)
图 3.8
旋转变换
旋转矩阵 R ·e S0(3) 不仅可 以 表示 刚 体上某一点在不同坐标系中的坐标变换（图 3 .6 ) 。
还可以表示刚体相对千固定坐标系旋转后的位形 。用参数 化的 R E S'0(3) 表示相应的运动
轨迹（图 3 憎 8ai. ) , 可以写 成
p(t) = Rp(O) , t E
[0,T]
(3 是 10
另外 ， R E80'(3) 不仅 可以表示点 的旋转变换 ， 还可以表示矢量的旋转变换（如图 3.8b 八
定义物体坐标系 {B } 上的两点B p,
Bq, 连接两点的矢量为 B V=Bq-Bp 。则满口
BR ev = ; R( 8q - 8p) =- Aq - Ap = " v
(3. 11
3 个以 上坐标系间的旋转变换也可以通过矩阵相乘得到，即满足旋转矩阵的合成法则。
扭 ＝ 坏扭
38
(3.1.2.
【定理】
旋转变换R e S0(3) 是一 个刚体变换 ，即 满 足
(]) R 保持距离不变：对于任意的 P' , q 己股J' 都有
= llq ·-
IIRq·- Rp'II
( 3.13
PII
(2) R保持两矢岳夹角不变 ： 对于任意的 凡 Y E 匮 3' 都有
R(ux v) = R'u x R'v
( 3.14)
证明： 可直接进行验证 。
,I l )
IIRq - Rpw
= (R(,q -
p)), (R(q - p ))
= (q- p)TR TR(q- p)
;;;;; 11q - p w
( 2) 注意到两矢 愿 的叉积所 具 有的特性
式中喟
.,.
UX V
=- Ul'
。
-u
U3
。
一U 2
u1
( 3.15
i 是与 u 相对应的反对称矩阵平即
..
;i
,.,
U=
u,,一
- ul I
( 3 懂 16)
。
则
Rux R·v = (Ru)A.Rv = RuR'1Rv = R加 = R( 心 v)
注 意 上式的证明过程 中用到了 {Ru)A = RuR·r ' 读者 可 以 自 行验证（具体见本盎习题
3 . 7) 。
以 上 初步讨论了 一 般刚体的 空间 转动 问 题，作为刚体转动的特例还有 平面定 轴 转动的情
况 。 不失 一 般性守不妨考虑绕坐标轴 Z 轴转动（或在 XY 平面内转动）的情况 。
R奴）＝ ［
cos0 - sm-n 0
sin0 cos0 ]
(3.17)
写成齐次坐标矩阵的形式
cos.0' —sin0 0
Rz(0) = s~u 0 cosB O I
0
0
( 3.1.8)
l
对满足 平面定轴转动的全体集合可以定义平面旋转群
S01(2)={R E 识坏2 :: .RR.1 = 1坏2 , det(R) = 1l
C3. 19)
同样 可 以证明 S0(2) 已股1x勹 是满足 矩 阵相乘运算的李群，旋转变换 R E S0(2) 也是 一
个 刚 体变换 ， 证明过程从略 心
【例 3.1 】
确定如图 3 .91 所示的旋转变换 。
_
•
39
图 3,_9,
例 3. 1 图
解 ：根据式 ( 3 霪 7) 可直接得到
lr
I"''
cos90"
1 。
勺] = cos90r;> c-0s90" cosfil .80"' = 0 。
COS '90° cosOIJ,
cos90'° I l o fil
cosO"'
: R ;;;;;:[ 飞8
11
Ys
cos90"
。
-I
I
。
刚体姿态的其他描述方法
3.3.2
前面 已经提到，对千 共点旋转变 换的 一 般倩形 ， 旋转矩阵 R 中的 9 个 元素 仅有 3 个
独立的。因此任意给定 3 个不在同 一 行或同 一 列的 3 个元素，其他元素也随之确定，可根据
前面给定的 6 个方程联 立 求出 ， 但用给定的 3 个独 立 的方向余弦来表示其余 的 6 个是很 困难
的，因为这样必须要解 6 个联立二 次方程式 j 因此，人们通常选用其他参数 。 下面先介绍I
种 方法 。
( 1) 用 3 个欧拉角表 示旋转矩阵
，六 间转动 通常采用欧拉角来描 述物体坐 标系 扭｝相对参考坐标系 凶｝的姿态 。
•
加欧拉角： 坐标系 {B} 最初与坐标系 {A} 重合 ， 将 {B} 绕其 z 轴旋转角 度 01 再绕 {B} 的
新 x 轴旋转角 度 ¢,, 最 后再绕 {B} 的新 z 轴旋转角 度 ~/ (图 3 ...10) 。 这样就 得到 了 一 个新
的姿态。巾千以上所有旋转变换都是相对动坐标系 {B} 来进行的，因此应遴循矩阵右乘
厘_ ,. 且µ
; R = Rz.它 (fJ, ¢, 1/1) = Rz (,0)R飞. (位）Rz胃 (,rp圈）
cos0 - sinB 0
= 1sin ,0 cos@ 0
o
I
O
0
0
0
cos 位
-sin 汾
c,os f//
sinff!
0
- sin ·' I'0
(3.20)
cos 切。
o n
0
1
sin 夕
cos 吩
cos ,(J cos w- sin 8 cos 砂 sin 1/1 - cos 8 sin tft - sin 0 cos 份COS'//
"'in 0' sin 份
-cos.0sin.份
= 1sin 0 cos~+·CO:S 0 OOS,砂 sin t;,r ·- "'in () sin VJ + oos 0 cos 份 COSV'
sin 份 sin'I'
oos 心
sin 扒 cost//
,:,(zll,)
劝
丐}-
10
”
(}
8
,Y~-
y
谝
凡
xA
立 (x.B , l ,
X n;
图 3.10
•
y,
~
斗， (XB')
ZXZ 变换
z亿欧拉 角 ：坐标系 {B} 最初与坐标系 员｝ 重合， 将祁｝绕其 z 轴旋转 角度01,, 再绕 { B } 的
新 y 轴旋转角度份，最后再绕 {B} 的 新 z 轴旋转 角 度 If/ (图 3 矗 11) 。这样就得到了 一 个新
的姿 态（,
; R = R只屯 (0, ,份，炒') = Rz(0) R~铲 (ef)) R::· <'I')
,cos@ -sin@ 0
= 1 sinB cos ,0 0
0
0
I
cost) 0 sin 砂
0
l
O
- sin¢ 0 ,cosefJ
cos 胚in 扒 cos 切 - sin 躲in ti/
= 1·sin 0' cos汾 co.~ ·VI + cos 0.si.ill! 切
-sin 扒 cos If/
COSVf
sin If
O
- sjn 切。
c.os'f
O
0
1
- cos Bcos¢sin tJ1 - sin Bcos'I'cos 0 sin (/)
- sin 0cos¢·sin 1/,尸沁()S 仇os~ sin 0 si.11 份
sit:淖 sin lJI
cos,¢,
40
(3.21)
J. 勾忆B'
＂（ 今｝
8
~ " .左凡
o·J..;
)",;
Ys ·O卜r
x矿产
.,·~,
图 3 ..U
X.11
ZYZ 变换
修正的ZYZ 欧拉角—T&T 角 ：： 坐标系 {B} 最 初与坐标系 {A} 惠 合中将 {B} 绕其 z 轴旋转免
•
度 O~ 再绕 {B} 的新 y 轴旋转角度 t/J,, 再绕 {BJ 的新 z 轴旋转角度-0, 这 3 个 连续转动组
u
句
冷
00g
n
sss
CS
s]
oi
I
”
tp
沧“儿
。
。
位
。
血
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- o)
s( - o)
。
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口 1
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哼七
· Z.1:1 (Z8,)
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·1n VW$sc
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- + s ,c
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(3.22
一
。
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仍句
心
一
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汃w叩
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Os)
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Soo
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OSIloon
R
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停s
h
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6-l
R
岁
Z
8
“
R
份
才
合成 一 个新的转动 凡（份） =R元 (10, 仇 - , 0); 最后再绕新的 z 轴旋转角度 II/ (图 3 闺 12) 。
) Rs
)0
)s- R i\nOs\jo
(
)
R=
R(=
(OOl-W$
)is0cc
=n
=
4
(O
z)
r
z矿
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y
....
"t)'
- Y,r
Yi!(心
X
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{a)
于勺
于心
句也． ）
胪
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Ar
．
山蠡
泊丫
干知
矿
z ( B_ )
句.(za.. ,, zB)
心J
心口一
凸“一
凸尸
权 -8
Ya
严旷
0 Y;-4
y
YIJ• (J'扩 ｀
x扩
(;I :!!!!!
x矿
心
1c)
X:~-
y丑• tJ-'R雪）
XB
(d)
图 3.12
修正的 ZYZ 变换
(2) 用绕 3 个固定坐标轴旋转角表示的旋转矩阵
此外 ， 还 可 采用 RPY
( Roll~Pitch, Yaw——翻滚、俯仰、偏航）来描述 三 维转动 心 串实
上， RP.Y 角源于对船舶在海中航行时的姿态描述方式 。
与欧拉角采用动轴旋转不同， RPY 角 采用的是基于固定坐标轴的旋转 。 具体描述如 下 ：
坐标系扭｝最初与参考坐标系凶｝ 应 合，首先绕 {A} 的 x 轴旋转角度 a" 再绕 {A} 的 y 轴旋转角
41
度/31 最后再绕 :[A} 的 z 轴旋转角度 y口这样也可得 到 一个 新的姿态凸由于以上所有旋转变换
都是相对固定坐标系来进行的 ， 因 此应违循矩阵左乘原 则 ，即
;，R ;;;;;· Rz欢 (a , /3, .r);;;;;: R勺 (r) R.J.'.~ (P) R"",. (a)
=•
cos fi',cos r
cos /3siu y
= sin/J
cos a sin /J cos r + sin a sin .r
cos a sm /J sin .r —sinac,osr
cosacosp
sin aswn Pcos r - cosasm r
in a sin /Jsin r +c-0sa cos r
s1nacosp
( 3 .23
刚 体旋转运动除了用欧拉角来表达外，还有更简单的表达形式 。 这部分内容将在后面捉
及。
3.4
I一般刚体运动与刚体运动群
3睿4. 1
一般刚体运动与 齐次变换矩阵
相对刚体转动的表达 而言 ， 描述一般的刚体运动要复杂得多，飞为了充分表达 刚 体运动，
必须同时描述刚体上任意 一点的移动及 刚体绕该点的转动 。 为此，通常在刚体上的某点处建
立物体坐标系 {B} 1 通过描述该坐标系相对千参考坐标系凶｝的运动来表 示刚 体的位形 。 这
追 刚 体上各点的运动情况都可从物体坐标系的运动 以及 该点相对千 物体坐标系的 运动来得
到（如图 3.13 所示）。因此，
AP =
: R B
p+
( 3.2 4)
A t BORG
式中 ：： A tDORG ——从坐标系 {A} 原 点 到坐标系 {B) 原点的 位置矢昼。
胆 3*13,
— 般刚体变换
将上式写成齐次变换的表达形式
( 3.25)
即
T
;T _
- _ BP
PP
AB AB
A
- _
P
_
,
.l
,
t B ORl
G
\
_
－
/
P_
_ AB
RO
．－
l
p ..B -
f:1;\J
一
\
{
A \
( 3.26)
( 327)
4x4
式中 ：
p —— 点 P 在坐标系 {A} 中的齐次坐标表示；
BP ——点 P 在 坐标系 {B} 中的齐次坐标表示；
;T —一 般 刚 体运动的齐次变换矩阵凸
注意在刚体运动中存在的两种特例（如 图 3.14 所示） : ( 1 ) 当 廿BORG
42
= 101 时 ， 就是纯转
动的清况 ， 前面对此已进行了详细讨论 ；： (2) 当； R = l 时书表示纯移动的清况 。空间 刚体
的单纯平移运动描述起来比较简单 ： 首先 选择 刚体上任意 一 点（通常为物体坐标系的原点）1 平
描述该点相对千参考坐标系的位置坐标，从而获得整个 刚 体的运动轨迹 t(.t) 引旷 ， te [ O, T] o
『一
,,
，
,
`1
~
(b) 纯移动
图 J,.. 14
【 例 3,"'2 】
,
I
一
夕
(a) 纯转动
',
J
,
/
-
I
-
,
[
,, ,
矿
＝尸
R I
j8
刚体变换的两种特殊恬况
已知 刚 体绕 z 轴方向的轴线转动角度 0, 且 轴线 经过点 ( 0~l,
0 ) , 求物体坐标系
~B }- 相对固定坐标系 {A} 的齐次变换矩阵勺
解t
由式 ( 3.27) 直接得 到物体坐标系 {B} 相对固定坐标系 {A) 的齐次变换矩阵。
-cose - sm0 0 0
寸u0
cos0 0 I
0
0
1 0
0
0
0 1
3.,4•.2 SE'(3) 与一般刚体运动
从前面 已经看 到，齐次变换矩阵可以用来描述 一 般 刚 体运动（移动与转动的合成运动）
但缺点在了该方法过于依赖坐标系 ， 表达 也比 较复杂，在描述多刚体运动时尤为麻烦。这个
问题在后面章节中还会提及。为简化运算+这里引入了李群的表达。
【 位形空间 】
刚体 的任一位形可由物体坐标系相对固定坐标系的位嚣 ( t E 贮）和姿态
R 芒 S,0(3)) 共同确定其所有位形组成的空间称为 刚体 的 位形空间 。因此 ，刚体的位
形空 间 可以表示为股3 与 S0(3) 的乘积空间（ 半直 积），记作 SE(3)
(I
SE(3) == { (R·; t): R 釭0(3); f E 切 = S0(3)x 氏
( 3 干28)
这里的 S£(3) 就是前面章节中介绍的特殊欧氏群 ，， 本书简称欧氏群，，注意：： 这 里的
SE(3) 是绕原点旋转变换 S0(3) 和 平移变换 T (3) 的半直积，半直积中各因子之间的作用才
具 有互换性 。因此上面 的半 直积就意味着是 指将旋转作用千平移，而不是相反。
为简单起见，本书用;, g
= ( ; R, A', BORG ) E SE(3) 表示坐标系 {B} 相 对千坐标系 {A} 的位
形，若在表达式中忽略坐标系 ， 可以简写 为 g
=(R'~t) E SE(3)飞
43
如前所述 ， 元素 ; g = ( ; R, At BORG 压 SE(3) 可 实现同 一 点在不同坐标系之 间 的 刚体变
换。同样写成齐次变换的形式 ，
即
P=;扩jj =[ :
At7RG] Bp
式中， 心4 矩阵掠称为； g ESE(3) 的齐次坐标表示 凸 通常情况下，
( 3.29)
, ~- (R, t) E SE(3) .
则
( 3 ..30)
可以看到，这里的 g 与前面所讲的齐次变换矩阵 T 表达方式完全 一样 。
注意 ：为 了后面章节的表达方便宁将不再 区 分点及 刚 体变换的齐次表达与苦通形式'°
达的区别 ,, 将P 写 成 p ,, g 写 成 gD 因此，式 (3.29' ) 简 写 成
Ap =; 矿p
(3..3W)
利用齐次坐标与齐次变换可以证明 SE(3) 对于矩阵乘法构成李群 。
证明：
封闭律：如果 g, t
(1)
g 1g2 = [ ~1
g2e SE(3) t
i][~';]
则 g1g2 E SE(3) t 因为
= [ R~R1\+t1] = [~'~]= g'E S£(3)
结合律 ： 刚体变换的复合满足结合律 ，即 (glg2 )g3 = g .l (g2g3)
2)
(3)
么元律 ： 存在唯 一 的单位矩阵 /4,E S£(3) 为其单位 元素。
(4)
逆元律 ： 即 g-• = (RT ,-R:r t) E SE(3), 这时因为
g -'=l:
:r
= [ :T -~T'] = l~" t:] =g"eSE(3)
SE(3) 中 包含有多 种特 殊的子群: S0(3) 、 T(3) 、 SE(2) 、 S0'(2) 等 。 其中， S0(3)
素代表旋转运动，齐次变换表示为 [o
R
1} T(3)的元素代表平移运动，齐次变换
0
ff,~[~;J 。
任 一 刚 体变换 g (g 己 SE(3) ) 都可以表示为旋转变换与平移变换的复合，即任何刚体
运动都可以表示成转动与平动的复合运动。
r1
,1 「R
ol
rR
tl
:1 」
L cit
m」
L..J' LO lliJl O
( 3 贮32
因此 SE(.3) 是以矩阵乘法作为 二 元运算，以单位阵 J 为单位元素的李群，， 因此又称为
刚体变换群 。
【定 理】
齐次变换 g
(gE SE(.3))
代表一个刚体运动（是一个刚体变换） 。即满足
(a) g 能保持两点间的距离不变：即对于任意的 p , ,qE 股3 ' 都有
l gq- gp,1 =llq - PI
(333)
(b) g 能保持刚体内的两个矢量间夹角不变 ： 对于任意的，l, 仅 E J[t3· ' 都有
g本 (u x v)
= g .. u x g .,v·
留给读者自己来证明 。
牡
(3.34
刚体变换 g芒 SE(3)也可以 通过矩阵相乘加以组合形 成新的 刚 体变换，即满足 刚 体变换
的 合成法则C 设 gAB E S£(3) 表 示 坐标系 扭 ｝相对千坐标系 {A} 的位形 ，， gRC E SE(.3) 表示坐
标系 ·{C} 相 对于坐标系 (B } 的位形 ，则 坐标系 (C} 相对 于 坐标系｛心的 位形
战＝；忒g = [ 气扭扭飞。R~ + J/tBORC ]
【 例 3.3 】
(3.35
已知 刚 体绕 z 轴方向 的 轴 线 转 动角度 d 且 轴 线经过点 ( 0.,
i, O) , 求 物体坐标 系
' B } 相 对 固定坐标 系 {A } 的位形（ 图 3.16 ) 。
~
解：：
由 式 ( 3.29 ) 直接得 到
cose - sin0'
, -[:R
社~ -
。
。
。
sin0
cos0'
。
f
。
。
l
。
。
。
。
fil
.
11
11
,.,!
最后再讨论 一 下另外 一 种特殊的 刚 体运动——平面 刚 体运动及平面 刚 体变换（图 3配 17 ) 。
平面 刚 体变换对应 的 李群是 SE{2) , 其定 义 与 SE(3) 有些类似 D
平面刚体变换 fF (.R, I) e SE(2) 由 平 面 二 维移动群 t e 厌 2 和绕该平面法线 的 转动群
构2 组成， 即
SE(2) = {(R ,t): .R E S0(2), t E 厌2 }
= S0'(2)® 酐
( 3 ,.36
SE(2) 称为平面欧氏群。用齐次 坐 标表示， g 对应的是— 个 3 X 3 矩 阵 D
g =[飞:2
;J
司样 利 用齐次坐标 和 齐次变换可以证明 SE(2) 对 千 矩阵乘法构成李群。同时 ,,
(R, t)
E S£(2) 表示 — 个 刚 体变换，证明过程从 略 。
图 3.17'
平面 刚休变 换
45
g=
扩展阅读文献
3.5
[l].
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[2] 黔熊有伦．机器人技术基础武汉：华 中 科技大学出版社，
1 993
1 996
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习题
玑
一 矢噩 AP 绕 ZA 轴旋转 30°t 然后绕 詈m 轴旋转 45 气求 按上述顺序旋转后得到的旋转矩
阵。
3.2 物体坐标系仿｝ 最初与惯性坐标系 {A} 篮合 ，将 坐标系 {B} 绕 ZB 轴旋转 30° ., 再绕新坐标
系的 Xa 轴旋转 45° , 求按上述顺序旋转后得到的旋转矩阵 。
33 在什么条件下，两个旋转 矩阵可以交换？
3.4 如果旋 转角度足够 小 ，任意两个旋转矩阵是否可以交换？
3.5
假设 一 个刚体内嵌有两个单位矢昼，， 证明 ，无论刚体如何旋转，两个 矢赁的夹角保持不
变。
3.6 证明 任何旋转矩阵行 列式的值 恒等于 1 。
3.7 求解旋 转矩阵 R 的特性：
(l)
求解 R 的特征值，井求与特征值为 I 对应的特征向量 ：1
( 2)
令 R =[ 'i
( 3)
证明 (Ru) /\ == R咏 T
r2 t3], 试证明 de·t(R) = 'i『 (r2 xr3);
o
3.8 试 证明 三 次绕固定坐标轴旋转的最终姿态与以相反顺序 三次绕运动坐标轴旋转的最终
姿态相同，即 Rz双 (a ,
3.9
p·, y) = R匀rx (y,. /J, a) 勺
试证明相似变换
R~(¢) = Rz (01)R_v (吵） R; 1(0') =: RZ)屯 (0', 份，— 0)
3..10 已知旋 转矩阵
l
O
0
扭 =1 0 句2 - 1/2
0 l/2 jj/2
灭与之等效的 RPY 角。
口 1 已知旋 转矩阵
fj/2
- 1/2
扭 =I 幻4
3月
四
0
-fil/2
fj/4 fj/2
求与之等效的 zxz 欧拉角。
3J2 在描述空间 刚 体姿态的各种方法中 ，， 欧拉角描述被称为是 一 种局部参数的描述方法 。 以
式 (3.20 ) 给出的 刚体旋转 矩阵 ( ZXZ 欧 拉角）为例，试证明当 份 ==0 时，矩阵奇异。
46
3..13 T&T CTil.t & T:orsion) 是加拿大学 者 Benev 提出的 一种 描述刚体姿态的方法，它实质上
是一种修正的 zrz 欧拉角 心 如果某类机构在运动过程中始终满足 Torsion 角为零，该机
构称为 零扭角机构 (zero-torsion mcchan i.sm ) l7J 。试通过查阅文献，找出 1-2 种零扭角
机构的例子。
3.14 证明 平面齐次变换矩阵 ( planar hmnogenous trans·缸1nation matrix )
co,s a
-sin a
,D =I sina
cosa
0
0
xQ 一 Xp co,sa
+ YP smna
yQ -yP sina -yP cosa
I
3.15 已知 一 速度矢噩 B V 和齐次变换矩阵；T 。
忑/2 -1/2 0
严＇
'l'
订 =I 1/2
'13/2
3丿
．I，
。
。
l
3
. 0
。
。
l
nv = I 2 1,
_~
I
:,,
0 -2
试计箕 A V 。
3..16 已知 一 刚体的齐次变换矩阵
扛/2
0
Jj/2
o
Q,
lO
。
订＝
1/2
- l/2
Q 24
·
0
1
0
试求解该变换的逆变换 ~T 。
3.17 对千由移动 I E 肤 2 和 2x2 旋转矩阵 R 组成的平面 刚体变换 g
= (R,t) e SE(2),
可以
用齐次坐标将其表示为 3x3 矩 W·-
证明任意平面刚体运动可以描述为关千某点的纯移动或纯转动 。
3.18 已知 刚体绕 z 轴方 向的轴线旋转 30°' 且轴线经过点 (I,
L
O) , 求物体坐标系 {B } 相对
固定坐标系 {A} 的位形。
3.19 已知刚体绕 x 轴方 向的轴线旋转 30°' 且轴线经 过 点 ( 1 :1
0,. 1) , 求物体坐标系 {.B } 相对
固定坐标系 {A} 的齐次变换矩阵 心
3.20 已知 一 机器人末端工具中心点为 P。 ， 求：经过机器人的 一 般运动变换（旋转 R1心 和平
移 1,:xl) 以后点 P 的表达 ， 并写出其逆变换矩阵表达 。
47
第4早
刚体运动群的李代数
【内容提示】
本章的核心使学生了解什么是刚体运动群的“李代数”？具体包括三个方面的
内容 ： (1) 理解并掌握运动旋童的概念： (2 ) 深刻了解刚体运动的指数映射； (3)
深刻理解运动旋量与螺旋运动之间的映射关系。
本幸学习的重点在于如何通过指数映射将刚体位移与速度有机地联系在一起；
学习的难点在于对李代数、， 指数映射、指数坐标、运动旋量等众多抽象概念的准确
理解。
4.1 李代数的定义
有几种方法可以定义 李代数 (Lie algebra ) 。
作为 一 种光滑流形，李群具有这样的 一 个特 性 ：在 其上任 一 点 P 处 都有切空间存在 ．
而该点的切空间包含有过点 P 的所有切向 费 ，并且切空间的维数 与 流形的维数 一 致 凸 不过 ．．
令我们最感兴趣的是李群中其单位元 e 处的切空间，并定义其为李代数..,.
【 例 4.1 】
考察群 SO(n) 中其单位元 e 处的切空间。
如果采用矩阵表达，其上经过单位元 e 的一条路径（可看作是一条刚体连续转动的轨迹）
可以表示成 R(t), 其中 R(O):::;; I n , 且 R(t) T R(t):;;;:;; Jn 。对该式进行微分，并令 t =O, 找
们得到
R(O)T + R(O);;;;; 0
4.1
巾此可以看出，单位元 e 处的切空间是 一个 nX.n 阶的反对称矩阵。
最初，李代数被当作是李群 G 中，i 其单位元 e 邻域内 一 个无穷小元索 凸 后来，演变成
单位元 e 处的切空间 。 具体而 言 ， 一 种 简单的办法是在李群 G 单位元 e 处的切空 间 X 上定
义李括号，井且满足上述条件。 从而使 X 成为 G的李代数，记作 9=.X
【 李括号及李子代数的定义】
-~-
设V 为域 F 上的向量空间，若在V 中引进李括号 (Lie bra,,cket
或称为交换算子 commutator) 的运算，即对于所有的 X t . Y , .Z ,eV t
满足李括号的性质 ：
( 1 ) 线性
[ax, /JY] ==硝 X, Y]
[ X,aY十p·z]
a, fJ 云卫
==a[X, Y] +P[ X, z]
a,
.P E 胶
(4.2)
(2) 反对称性
[X, Y] =-[Y, X]
4.3)
(3) 雅可比恒等式
[[ X, Y] )z] +[[Z, x] ).Y]+[[Y, z ],,x ] = 0
则 V 称为域 F 上的李代数。如果子空间 W 之V, 且对于所有的 X,Y 云 w,
[.X,.Y] EW~
4.4
都有
则该子空 间 W 称为 V 的 李子代数。可以行出由千 李括号是对其自身的 — 种映
射，因此李代数具有封陌性 令
为进 一 步强调李代数的线性特性 ，， 再定义李括号
48
[X ,. Y] -;;;;;; ,XY - 欢.
( 45)
贮代数的其他特性可从以上等式导出
[X , X]=O
(4)
【例 4.2 】
C4.6)
令玑偉）为实数域脱 上 的 nxn 矩 阵， XY 为其中元素 X 和 Y 的 矩 阵乘积，则
J 以验 证 [X, Y] = XY-JX 是丸偉 ） 上的李 代数。
再考虑 一 下 有关李群 的 共扼变换 。在该映 射下， 单位元素保持不变， 即 e =
geg-1, g
E
G
对其进行微分 ， 可得到单位元处切空间的映射（就是其自身） ，而且这种映 射满足线性关系凸
【伴随变换的定义】
李群 G 作用在其李子代数 g 上如果满足
AdgX= g~矿 (X e g,g e 1G)
(4. 7)
,j 称之为李代数的伴随变换 (adjoint ·transfo11nation) 。
可以发 现伴随变换 Ad X 具有线性特征，即满足
Adlg(aX1+ /JX2) = g(aX广 PX2 )g一 1 = aAdgX1+ f3AdgX 2
(4.8)
下面再考虑一下伴随变换的微分。
假设 g 为群 G 中一个元素（用矩阵表示 ）， x·.\ Y 为 它李 代数中的 元素。在单位元处，
可以 近似写成g~l + tX, 而 g-1:::::
1-tX ., 则
(I + tX)Y(l -.tX) = X + t(XY - 欢）
( 4.9)
对其进行微分并设定 t =0; 则 得到 XY-JX, 而这正是李括号 的 表达结构。 可以 看到 ，
两 个 李 代数 元素 的李 括号仍是—个李代数元素。因此，李代数除了具有线性之外 ，还具 有封
闭性。
4,2
刚体运动群的李代数
心.I
S0·(3) 的李代数
前面已经讲到， 三 维旋转群 S0(3) 是 一般线性群 GL(3) 的子群， 且满足
S0(3) ={RE GL(3): RRT = I, det.R =』 }
S0(3) 的李代数记为 so(3)
它表示 S0(3) 在其单位元 e 处的切空间 ， 具体可用 如下形
.,
式表示
孔
。
|
00
－ 然例
=
3
0
- ,~
一ro,
{i)
I
。
4.H
式中 ， 满足 如r = w xr, r 为 三 维列向 豐。这是 所有反对称矩阵 所共有的特性。
构造为
［甸 ®2]
( 4.10)
,., .,.
. . ., .
＝矶处一 w..,w1
. . 1, w_,.. 2. ,e so( 3)
w1
、李括号的
( 4.12)
或者通过 下 J_'..I
［也，巫] = (ru1x ro2),. .
,ro, ; w2 或
( 4.13
表示将矩阵to· e so(3) 映射到 OJ( ro, E 股J ) 中 心
另 外 ，对于旋转矩阵 R e
S.0(3) , 具有如下重要的性质；
dR
R = — = R· w 或 iiJ = R1R
dt
由于 so(3) 是 一 个 3 维向昼空间，因此存在 一 组标准正交基（用矩阵表达
49
( 4.14
l
e, = I OJ· e2 =
l]J l
e, = O I
0
式中 ，
o,
f Q\
0
( 4 .1 5 )
1J
e1 、 ei 和 e_, 分 别表示绕直 角 坐标 轴 X, J?, Z 的瞬 时转 动 轴 心 或者用 反对 称矩阵表 达
0 0
0
,el = o o
0
-1 ,
0 l
0 -1 0
0 [
e2= o o o
t'; =II
-1 0 0
0
O
O 0
0 01
4. ] ,6
很容易 导 出
[e" e2J= e3, [e2.,.eJ = e1, [e3, eiJ == ,e2
再 来 讨 论 一 下李 代 数 so(3) 的 伴 随变 换问 题 4 根据 前面的定 义，＇
( 4.17 )
so{3) 的 伴 随变换可 以
表 示为
毋= RiiJR'-I
= Rii.JRT
= R [,o,x r1 ru x t2
妒， 叮］
r1 -(w x 只
0'i · (ro x 心
=
I
0
f 2 ·(W X fl )
r2 -,(w x r3)
。
r3·(w x rL), ,:, ·(w x r2)
= 1
0
-应 (r1 X 心
,ru- 化 xr2 )
0
-OJ ·(,:1 Xlj)
=
1
{ti 翌 (r2
( 4.18
W· 亿 x r1
-ru- {r2. x r3)
。
x ~, )
0
w ·r,
-ro 飞
,OJ1 · .f2:
0
- w ·rI
- W · f :2
,(IJ · Ti
。
=Rru
因此 说 ，
心.2
厂 代 数 m 的 伴随变换就是 R,w 。
T(3) 的李代数
T(3) 的 李 代数 记 为 t(3) 。具 体可 用 如下 形式 的 反对 称 矩 阵 表了
-v3
乌
V3
0
叫
-v2
v1
0
- 0
'V
=I
( 4.1 9
其李 括 号的 构 造 为
伈引 ＝ 杭－炕
V1 , ·v 2
E
t(3)
( 4.2 0 )
或者 通过下 式
［ 丸订 = (v1 屯 ）,"
vp, .,,2 乏贮
( 4.2 1
将 v(v E lR3 } 映 射到矩 阵 l'E t ( 3) 中 。 注意与 T(3) 是交换群相类似， t(3) 也 具有可交 换
性（这 一 特性 可 以 扩展到 一 般情况，， 叩交换群的李 代 数都具有可交 换 性） 。 因 此有
[v1., v2]= 0
( 4.22
由于 t(3) 也 是 一 个 3 维向 萤空 间， 并 且 可 用 式 ( 4 .1 5 ) 所示的 一 组标准正交 基来 表 达 。
50
4上3
SE'(2) 的李代数
SE(2) 的李代数记为 se(2), 它 可 用如 下 形式 的 矩阵表不
三
「I'.;】
LU
，vl
们
「 fl
-n)l
Lm
CO E 腔 ， v 豆t:2
( 4.23
u 」
六李 括 号的表示
[~I,~\ ] = ii2-坛1
~1 i
2e se(2)
( 4 ~24 )
将式 ( 4.23 ) 代入式 ( 4.24 ) 中 ， 得到
( 4.25)
考虑' = (OJ, v·T f' 已脱3 曰 f E se(2)是—种 同构关系 ， 因此有
?=(:L 臼~=[: ~1心
4睿2.4
( 4 .26 J
SE'(3) 的李代数
给定 SE'(3) 中任意一条路径 t 曰 A(t)' 式中 t 为连续参数 1 而
「 R(t)
l
t(t)
7
] 」
O
( 4.2 7
S£(3) 的李代数记为 se(3) ,, 其中 的 元素贮 可通过 计 算 SE'(3) 单位元 处 的切向登 A 得到 。
R-r,7
＾，震「 1n
0 」
LO
( 4.28
上式还可用 如 下一般形式的矩阵表示
矶 V 云酐
( 4.29 )
其李 括 号的表不
ad(J.)i, = [J., Jl] = J.i2 一 l2i1 i., 0:2Ese(3)
( 4.30
将 式 (4 .291 ) 代入式 ( 4. 30 ) 中，得到
( 4.31
考虑, E se(3) IM (矿 ，, VT)T E 皿_6 是 一 种同构关系 ＇， 因 此有
q=l: ~l如4 曰q=(:t
( 4.32
由于李 代 数 se(3) 是 一 个 6 维向董空 间，因此 s.e(3) 还可以用 一 组正交基来表达。
忆 ， ，{1 ," 令，女 ｝为向量空 间 旷的一组单位正交基 ， 其中
:5 l
'0
。
。
。
。
l.
`.
女(~)= li·~,=(~)=i ji·~,=(:) =lii·~. =(:.) =ilj,{,=[:,J=j~I''·=[: )=l!;
(433)
叫女，女 ， ．．情心｝可以 给出 se(3)的 一 组标准正交基 ， 其中前 3 个元素表示绕 3 个坐标轴
的瞬时转动，而后 3 个 元素分别表示沿 3 个坐 标轴的瞬时移动 。
表 4. Tu 给出 了 部分位移 子群 相对应的李 子代数的标准正交基表达 。
表 4. l
正则形式下部分位移子群的李子代数
位移子群
李子代数
位移子群正则表示
李子代数的基坐标正则表达
S0(2)
so(2)
冗 (O,z)i
r(O~z) ::::::{ 式｝
T(l)
t(l)
T (.z)
心）＝ ｛咕 ｝
S01J2)
soP(2)
叱 (0心）
T(2)
t(2)
Z 伈）1
S0(2)x T,(I)
so(2) + t(l)
,C'(O, z)
S£(2)
se(2)
{l(z)
T(3)
t{3)
了．
S0(3)
so(3)
8(0)
S£(2) x Ti(l)
se{2) + t(I)
才;(z)
SE(3)
se(3)
SE(3)
h(O, z)
={m:3 + pm引 p 吵｝
t(z) == {咕,4' 心s }
兀斗云 R
={ ,@女呫 ｝
g(z) ={aJ,3, v1,4~v2~5}
t(3) ={认 ?4, V2i;5, v,i; fi}
so,(0) ={co1 q2~ ca1, 1, ~1}
x(z) ={m{1, 片 '4, v2:s, 113'6}
se(3) ={,v.:v
, m2~·2, m1~:i~ Vi'"' V2,~s, V3,r;6}
c(O~:)
.@J.
再来讨论 — 下李代数 se(3) 的 伴 随 变换问题 。 根据前面的定 义，,
se(3) 的伴防变换可以
表示为
X'=gXg一l =[:
~][! ~J[:T一了'] = [R~Rr
Rv - 7 0,Rrt ]
( 4_34
可以看 到， .RroRT 与 Rro 是等价的因此 Ra,R 1 t = ( R,甸t = R (血） = R'(w x t) = ( R,ro) x t ,
令 i 为 与 t 对应的反对称矩阵 ，则 对任何 向 詈 x:ll 都有 红 = f X~t' 。 这样 ~RwR T, =
i1ltn ,,
因此，式 (4.34) 变成
( 4.35)
将上式写成 6 维向巠形式的表达
( 4.36)
因此对应的伴随变换
( 4,.3 7)
在已知与位移子群 相 对应的李子代数正 则 表达的基础 上，我们可将李子代数从 正则位形
变换为 在—般位形下 的表达（表 4.2) 。 在前面已经对 so(3) 和 se(3) 进行过 讨 论 ， 这里将其
扩展至更多的位移子群。
令 N 是G 的正则子群 ，， 则 对 千所 有的 gE ,G 宁 都有 gNg- 1 = N 。 N 所对 应 的李 子 代数
52
记为 力 。 如果 g1 =ng2 (其中 n e N; gi, g 2 E G) , 则称 gl 与 g2 等价， 记作 gl - g 2°
表 4.2 给出了部分位移子群 相 对应的李子代数 的 共扼表达。
注意 ， 与位移子群对应的李子代数实际上与可实现全周运动 ( fully ,cycle mobility ) 的旋
盘系是 一一 对 应的 (19'] , 这将在本书第 7 章进行详细讨 论 。
表 4.2
共扼形式下部分位移子 群的李 子 代数
I
共辄位移子群
李子代数
共辄形式的基坐标
冗(N , w),
r(N~w)
{ ~=(如 P心 吩｝
穴v),
t(v)
｛仁 (0 ;,叶｝
气 (N邓）
h(N 邓）
忆＝（矶 P.v X (1) 十 p(i叶 ， P' 叫
J;(叫
t,(吩
C(N, ,叨
c(N, co)
趴叫
g(a,)
了
t(3)
S(."AI)
s(N)
才＠）
x(吩
{?1=(O;v1), {~.... (Q,;·~2)}
｛女 ；；；； （如 PN xm), i;2=(0 ; v1)}
尸1 ={w ~0),~2=(0; v1},~j. =(Oi .; ·心'2 )}
{,,1= (o ~ r中i) , 女 = (o;,v2}t (3= (o; v3)}
{'• = (01 ~PNx W1)i, {2={'°2; PNx W2), , 3= (w, ; p ,_, x ,wJ)}
{( L={a, ~ 0)''尸l = (0, v1), , 3=(0, ·v2), ( 4 = (o, v_
3)}
4.2.5
{~
刚体运动群的正则表达与共辄表达
类似的 ， 如果 H 是某 一 位移子群的正则表达，则通过共枙变换可以得到它的共枙表达
(前面已经证明也是一个子群）。
/ g(H) = {ghg-1 lh e H}
大I 此，可根据式 (4.38) 可导出任 一 位移子群的共扼表达。先看几个例子。
【 例 4.3 】
已知一维移动子群的正则表示为
则其共枙子群为
:][~ ~z][~: -~Tt].o~
式中 1
v ;;;;; Rzt 共枙子群表示沿轴线 v 方向的移动。
【 例 4,.4 】
已知—维转动子群的正则表示为
则其对应的共枙子群为
式中，
w
= Rz,
点 N 在轴线 o 上心共辄子群表示绕轴线 o 的转动凸
53
( 4.38)
【 例 4 ..5 >
已知平面子群的正 则 表示为
,0 E [0, 2叶 , a,f} ,e 1R
则其对应的共枙子群为
式中，
w
= Rz,
11, v 上 o 。共 枙子群表示轴线 Q 法平面内的刚体运动 。
利用类似的方法可以导出其他几种位移子群的正则及共扼表达，具体如表 4 .3 所示。
表 4 .. 3
部分 刚体运动群的正则表示与共扼表示
勹：~ : 冗(0,z)~{了了肛[O,2汀1} I 冗(N吩~{[":
TO
S0;,(2),
压） ={[i ~z],a 芒 叶
切. ,i~{[":
(l,~~~:~, 0e [o,
吓）＝｛［＇。: ~主气 ,
P~'}oe[o. 江］｝
2~1} m ~ R
• = Rt
知II/, 叫 -w:· (八 - e气;·+ p知尸 • [0, 2灯1} '
,w=&
T(2),
加＝ ｛片气气红， 妇叶
S0(2)®T(l)
顶 z) ~{厂: 7]立 已 日
SE(2)
T(3
S0(3)
心E(2)®T(l)
4.3
咋） ＝｛厂 ”一心y
(t
l
i
; 0 ~ [0,
2叶，
a ,./J E 阻
r~{[~ a叫
加） -{[~au尸•
(N,
}
w)=u-:
如，叶：
(f,
].a,P•叶 co = Rt ,u,v
- e加 :P, + ao,
J. "'
lOh;:~•
晒],} (IJ=&
叩 尸•],8;了出， w ~ R.:,o.v _i_ w
气~;}叫
S(N}={[:
Re
叩） ={[e: :]. 妇:~;;叶中｝凇=Rz
S(O) ~{[: ~],Re
(/,- ~)PN].
S0(3)}
如 ~ {[e: :J 妇:~:民:;叶，｝
S0(3)}
指数映射
我们知道 ， 给定一个李群， 可以通过 寻找其单位元 e 处 的切 向 量 ，从而很容易 地得到习
之对应的李代数。反之， 能否可以通过 李代数来确定 与之对应的李 群呢？ 下面我们来讨 论这
个问题。
根据微分流形理 论 [9」 34], 李群 G 上由切向 昼 X 经左移动产生的光滑向昼场是左不变向
，场；反过 来 ， 李群 G 上任何一个左不变向痉场 都 可以由 e 处的 某个切向 费经 过 左移动产
，一。也就是 说， 只要给定李 代数 的元素 ，， 就可以产生左不变向量场 ＇， 我们所要做的就是将 e
处的某 个 切向昼左移动到流形（李群）上的任 一 点 D 这样，在李代数元素（叩单位元 e 处的
切 向量）与左不变向量场之间就建立起 了 一一 映 射关系。
注意到 ， 左不变向护场的积分曲线是指各点处 以切向凭场为切线的曲线，它表示流形上
5-4
的 一 条路径， 即满足如下的微分方程
dy
一 ，．．
＝
dt
r-
( 4.39 )
该方程具有解析解 ， 即通过单位元索 e 处的解为
汃 t)1 ;;;;;;
ej}(
( 4.40
这是矩阵指数的形式，通过 Taylor 级数展开
ex ; ; ; J + X
这里， x 2
; ; ; xx
:I
l
2'!
1
+— x i+ 亭 , 匣 + — x n+ 亭 · 亭
n:!
( 4.41 ,
X 3 = .A XX' ., 其它依此类推 （I 能够证明这个级数是收敛的 。
矩阵指数与普通指数不一样守对于李代数元索 X 与 .Y , 只有在当 [X,Y ] = O 条件下才
具 有以 下 的结果
e X e:Y = e X+Y
( 4.42
也就是说只有 当 指数具有互换性时 ， 才能够将一个指数积的指数进行相加凸
由式 ( 4.41 ) 可知，指数 ex 也是 一 个矩阵 ，， 它表示与李代数元索 X 所对 应 的李群的 一
个 元素，而这个指数矩阵通常被看作 是李代数到其所对应的李群的一个映射 。
另外 ， 假设 X 表示为 一 个李代数的元素，
t 为参数，由于
e r,X e ':i: X = e (Ji +tl)X
( 4.43
因此 ， e'x 可 以 表示 一 个单参数的子群（或 一 维子群入也就是说，每个李代数元素都
可以 产生这样的一个单参数子群勺而李群的所有单参数子群都具有这种形式。
下面给出单参数子群的指数映射 一个正式的定义 。
【 指数映射的定义 】
t = O 时经过单位元 e ,
对千任意李 代 数元素 X, 设 r 表示左不变向量场上的积分曲线虫它在
即满足
y(O) ; :; ; ·e,
其中， X 表示一 个李 代 数元素申
d
—
y(t) = X
dt
t 为 参数"
, y(s + t ) ; :; ; y(s)y(t)
( 4.44 )
r(t) 是单参数子群。将
ex = 汃1)
( 4.45 )
所 定 义 的指数映射称为 从 李代数到单参数子群上的 指数映射 (exponential mappi11g) 口
设 { X1 , X 2, ·· ·, X,』}为李代数的一组基 中 映射
g = e-(i A 1 叮凸 -1-
.. 飞I ,:"'ti
( 4A6 )
这里将
(fl't; 2' """•' '~II )
( 4.47 )
称为第 一 类 正则坐标 ( canonical coordinate ) 。
图 4.3
指数映射
如果定义映射
g
= e 汀L x1 e11心 . . . e 江
( 4.48
这里将
(11'1, t72, 圃 . . ' 1Jn )
称为第 二 类正则坐标凸
55
( 4.49 )
那么如何实现两类正则坐标的转换呢？让我们再回到式 ( 4.42 ) 中 ， 该公式成立的条仁
是需要满足 [X,Y] = O,
但 对 千 一 般清况 ex er
= ,ef(X, r) 又如何来计铸呢？
a_mpbell-Baker-Hausdor-ff 定理给出了 一 个答案 。
<Campb.ell-Bak,er.. ffausdorff 定理 】
1
对千李代数的元素 X 和 Y扣 假设 ,ex,er
= efCX;Y) i 则
1
f(X,Y) = X+Y + —
[X, Y]+ —([X, [X, Y]] + 「 Y X. Y]] + ·· ·
2
12
( 4.50 )
式 ( 4.50 ) 只是给出了其中的 一 种 表达形式 七. CampbeU-Baker-Hausdorff 定理的益要性在
千 f(X, Y) 的高阶量也可由李代数元素表达 。 不过 ，， 不难看出应用式 ( 4 .50) 来计笢超过 2
个以 上 元素的指数积是 一 项非常复杂而困难的任务 。
指数映射的 一 个重要应用是可以导出串联机器人运动学的 指数积公式 ( product
exponentia~s i 简称 POE) t 详细描述可以参考本书第 5
of
。
【 例 4., >
考察 gl(n) 到 ,GL(n) 的 指数映射
对 于 任意 X
Egl(n) ..
r<t) = L
n=O
这是一 个 单参数子群凸由于 .r(O)
= .1
—
( 'X "
( 4.5
n!'
, 并且
d
切
t 儿一 I x 行
叩） ~ L
= y(t)X
dt~
11=1 (n - 1) !
( 4.52)
对应 的指 数映 射可以表示为
ex
. , .X 'r
= y(l) = 区
( 4.53,)
rJ=O n 匾
【 例 4.7 】
由式
考察 so(3) 到 S0(3) 的指数映射
4.53 ) 及 矿；；；；；； 一0 可以 得到指数映射关系
e拗 = r<1)=
吵＂
I—
动
.n !
矿矿
矿矿
= 1::i, + w(贮一＋一 . .. ) + 矿（一 － 一 · 圃 霉） = I
3! 5!
2! 4!
注意上式 成 对的条件还包括 1 1 (0, 11 = 1
w,sin 0
矿 (l - c-0s 0)
4.54
O
反过来 ， 假设给出 一 个任惫的 3 心的特殊的正交阵 ， 即 S0(3) 的 一 个 元素
按如下方式我们 可以找到参数 0 和反对称矩阵 OJ
比如说 R 。
C,
注意到 n气(13 ) = 3 护 tr(m) = 0和 ·tr(矿） = -2 凸 将 R 与 李代数元索 io 的指数刘比，得到
.R =e吵= / 3 + w sinB + 矿 (1 - cosB)
因此 R 的迹为
tr(R) = ~r(J3) + tr(ru)sin ,0 + tri(ro 2)(1 - cos 0 );;;;; ] + 2cos 0
4.55 )
要找出反对称矩阵 O 宁观察发现 ： 既然矩阵 (妇 是反对称的 ＇ 那么它的平方 iiJ,2 ~ 定是对
称的。因此 ， 通过计绑 R- RT 将得到
R ~ RT = 2wsmn0
通过式 ( 4. 55 ) 和 ( 4.56 ) 可以找出对应 千 S0(3) 的李代数元系 。
【 例 4.8 】
( 4.56
考察 se(3) 到 S£(3) 的指数映射
当(I) ;;;;; 0 时 ，
e@i
=
工 咬） ”
r (l) = : 区
.,=O
当 1w-;t;. O 时 ，
由式
n!
; ; ;:/3 + 0(:::;;;
4.41 ) 及 古 ＝ － 守 可 以 得到
56
[。
I
J
( 4.57)
呻 '1 !
e立 =rO) = 区
（失）ll'jl
= ,. 改心(I-cos 份＋泣-sin0) =[
"
,..
(1 -e气(w~v)心矿V]
。
e°'-~
( 4. 58 )
注意上式 成 立的条件 还包括 l l w, 1 1 = 1 。
4.4
刚体运动的指数坐标
4.4.l
描述 刚体转动 的 Euler 定理
如阳 4.4 所示的绕固定轴作旋转运动是 刚体运动中较为常见的 一 种 运动形式。尤其在机
器 人 学书机器 人 中 的 各连杆绕固定轴的旋转运动十分常见。设 叭lO E R3 ) 是表示旋转轴
方 向 的单位矢釐亨
B(OE 胶） 为转角。对于刚体的每一 个 旋转运动官都有一个旋转矩阵 R
< R e S,0(3) ) 与之对应，因此 ， 可将R写成 o和 O 的的数。
在转动 刚 体上取任意一点 p,, 如果刚体以单位角速度绕轴 o 作匀速转动 ， 那么 P 点的
速度 P 可以 表示为
P'( t) = m x P'( t) = iop (t)
( 4.59
式 ( 4.59 ) 是一个以时间为变蛋的一阶线性微分方程，其解为
p (t) = e 勹' p (O)
( 4.60 )
式中， p(O) 为该点的初始位置， e血为矩阵指数。进行 Taylor 级数展开
e付,J
(wt)2
= 1+血＋
2f
+
(ru,1 )
3 !'
+ ·· ·· 酬 ·
( 4.61 )
已-一
"一刚体绕定轴旋转
图 4.4
如果刚体以单位角速度绕 o 轴旋转角度 0 (以 O为变量），则旋转矩阵
R(w; 0)
以上各式中， .w 为反对称矩阵 ， 满足 OJT
= e0w
( 4.62
= (JJ- 1 = 气b 。为此定义所有的
3 x 3 阶反对称矩阵
组成的其合记为 so(3) :t 即
s o(3) = {年 正： 矿 ＝ ，哥
WE s,0(3) 称为 三 维旋转群 S0(3) 的李 代 数 C
( 4.63 )
通常情况下为了表达方便 ， io 通常取单位矩阵
的 形式，即 II 叫 = l <>因此，对 e从。进行 Taylor 级数展开，得到
e吵 ;: : :; J+0M
。2
矿
—－矿 ＋ —矿 + ·· · · 巨壹 ，卜
2!:
3!
( 4+64
注意到年 so(3) 满足以下关系 ：
" 1
矿 =W矿 - I
...
cot = - ro
4 . 64 ) 可以写成
57
( 4.65 )
06
e0心' = 1 +(0 - ——
+
- .... ···)a, + ( — - — + — - · 屯 .. , ,)矿
矿
05
3!
5!'.
,.,。2
2!'
(),4,
4?
( 4.66 )
6!'
因此
e ;: : :; J + ru s1n8 + 0J- (1 ,(J 由
cos0)1
( 4.67 )
上式通常 称 为罗德里格斯 C Rodr.i gues) 公式凸如果 11,0 11 土1' 上式修正为
由矿
e励 = I + — sin(llwlJ l 0) +—2 U- cos(llwl l 小）
IItoll
llwll
( 4.68)
以 上有关 Rodrigues 公式是通过寻找 S0(3) 与 so(.3) 的物理意义推导出来的，虽然相比
上 一 节给出的从 so(3) 到 S0(3) 的指数映射推导过程，相对更为繫琐些，但理解起来却容易
一些。
【 Euler 定理 】
空间绕 某 一固定 点 0 的旋转 必 定是绕过 0 点 一条固定轴线 的 转动 ，
也就
是说， 指 数映 射 e &心与旋转矩 阵 R 是等 价 的。 即
反 对 称 矩 阵 O的矩 阵指 数是 正 交矩阵 。 对于 任 一 反对 称矩阵 0 和 0~
(1)
都有
e6w e S0(3) ·
(2)
对于 给定 的 旋转矩阵 R , 必 存在 £0 ; 且 IJ IJ m ll = 1 ;, 以及 0, 使 得 R =e吵 ；
(3)
任一 旋转矩 阵 R 都可 以 等效 成 绕某 一 固定 轴 旋转 一定的 角 度 。
证明 ：
( 1 ) 对 千任急 的 反对 称 矩阵 0 和 0' ; 定 义 R == e 0由' ' 需要证明 R 满足 RTR' = RRT -= I'
并且 det( R)
= +1
。
R 一 I= (e 0千；；；；；
e °'心 ,
,e -0w =
= (e(Jru)T = R r
( 4.69
且P R1 R = RRT;;::;; f t 和 det(R) := 土 l 。 利 用行列式的连续性和指数变换的连续性
并考虑
到 det( R') = det(e如0 ) = 1 J 则 det ( R) = + 1 。 因 此 e姊 e S0(3) 。
( 2 ) 其证明是构造性的心给定旋转矩阵 R , 根据定 义 ，旋转矩阵 R 具有如 下 结构
厂
个
斤 2'i1
乃l
乃2
R =I 凡压 片
'3 3
构造 相 应的转轴和等效转角。令 R = e0';; , 则
eo心 =
I +i.nsin€} + w10 —cos0)
丑~ (l - c,o s 0) + cos 0
纲 ~ (1 - ,cos 小 - @3 sin 0
@a (i)3(1-
cos ,0) + (.ui sin 0
鸣 (l - cos0) + cosO
= •,句坐 (1 - cos 0) + w3sin 0
纺 «J3 (l - cos 0) 一 m1 si:n (}'
Q扎1-oos@) +cos 8
绍 m3 (1-cos 们- co2sin{} 砃然(] - cos O)i + c0i sin 0
因此
tr(R ) =
斤I
+ 122
+乃 'J:
= l + 2 cosO
( 4.70)
上式中 O 确实有解的条件是 ： ( I ) R的迹等千其特征值之和 ； ( 2 ) R保 持向豐长度不
变 (3)
det(.R) = + 1 : ( 4 )
R 的特征值的 校 为 L 井形成复共枙对 ，， 因此 1
s tr( R)~3,
且
€) = cos一 I ( 斤 l 飞 ＋乐 )
2
( 4,.7 1)
由千反三角函数 的 多值性 ， 其值 可 选为 2.lin 土 0 或 -0 土 2冗n 中的任何一个。再 对 R 的
非对角元素相减 ， 得到
乓2 -r23= 2 纠 sin0
斤 3 一尺 I :;;;;; 2,吟 sin0
~
r21 一 斤2 ; : ;:; 2例 s1n0
58
( 4.72
当 0 :t:O 时，转轴
W =
—
伍 - r23
I
r , - r.
2sin0
( 4.73)
＼芍 1 一 112 '
( 3 ) 直接 根 据 · 2 ) 的 结 果 即 可 得出结 论—— 任一旋 转 矩阵 R 与绕某一固定 轴旋转 运动是
等价 的 。
'OJ
/
胆 4.5
0
旋转矩 阵 的等效转轴 与 等效转角
指 数坐标提供了旋转矩阵的 一 种 局部参 数 化 的 表达方式 ， 而 上 述 旋转运动的表示方法
通常 称 为 等效轴表 示法[ I L叭 由对上面 Euler 定理 ( 2 ) 的 证 明 可知 ， 这种 表示方法并不 唯 一。
实际上，我们 也用其他整体或局部 的 方式对旋转矩阵进行参数表示，其中 比 较常用的局部参
数表示方法还有欧拉角表示法 ， 整体参数表示方法有 四 元数 ( quate1nion ) 表示法陨 96, 1 19'] 。
4.4.2
-般刚体运动的指数坐标
对刚体转动的指数映射有了 一 定了解之后 ，我们再考虑 一 般刚体运动。
欧 氏 群与旋转群 一 样 ，也 可以用指数坐标表示心例 如， 如图 4.6a 所示表示 一 个转动关
节设 ro( ru, 已a'. 3 ) 是表示其旋转轴方向的单位矢世， r 为轴上—点 D 如 果 物 体 以 单位 角 速度
绕轴线 o 作 匀速 转动 ， 那么 物 体上 一 点 P 的速度 P 可以 表示为
p (t)
= OJ X ( p (t) -
r)
( 4.74
-1 入 如下 4 X 4 矩阵 ；
( 4.75 )
则式 (4.74 ) 可写 成
( 4.76)
也 可以 写 成
( 4.77)
p = ?p
式 ( 4 . 77 ) 是一 个以 t 为自变量的 一 阶线性微分方程 ， 其解为
PV) ;;;;; e1~p (O)
( 4.78)
式中 ， p{O) 为该点的初始位置 ， e正为矩阵指数 。 进行 Tay]or 级数展开
,.. (比） 2 位）， 3
ti
+
+,...,
e ;;;;; / +乓 ＋
2'! . 3 巨
半 贮覂
司祥 ，
( 4.79
当 刚体以单位速度 v 平移时（图 4 . 6b ) ~ 点 P 的 速度
p(t) = V
( 4 ..80 )
p (t) = e1.f p (O)
( 4.81
求解微分方程 ，， 得到
其中 ， t 代 表移动星（由千是 匀 速移动） ， 而
59
( 4,.82 )
以上各式中的 4X 4 矩阵 ； 可以认为是对反对称矩阵 w E so(3) 的推广
se(3) = 杜 1~一W;v) :vE
财 年 so(3)}
( 4.83
"
.
(i
扒：I
l10
,,.
p.
心
,""' '飞\
, ...',''
、士
.. , e
\
l
j,
)
。
r
队
~
L
_
d
II
I
'-1...__'--;
满足
p(O
(a), 一 般刚休运动
,(b) 平移运动
图 4.6
刚体运动
se(3) 就是欧氏群 SE(3) 的李代数表达，物理上表示刚体的广义瞬时速度
~·E
这在前
面已经介绍过。其中
( 4,84)
通过定义 算子v, 可以将 4 X 4 矩阵 ； 映射为 6 维向厅 ~ <)
: ~r =(勹
t 85
釭1
这里我们赋予 § 一个新的概念，称之为运动旋量 (hvist) o 同 时，它也是本书中 最为重
要的概念之—。有时我们更习惯将其表示成 Plucker 坐标的形式 ,; = (CJ妃 v) , 亦称运动旋
坐肛
同样嘈利用逆笢子＾书可以将给定的 6 维向量 ; 构造成矩阵形式的 ,· I)
(:r =[: ~J
【 定理 】
( 4.86 )
函3) 中的元素与 SE(3) 中的元素之间存在指数映射的关系：
(1)
给定任一 'E S,e(3) 和 0,. 0~ 的指数映射都是 SE(3) 的元素，即 e0:
(2)
给定任一 g
E
S£(3) 平 则 必存在 i
E:
E
SE(3):
se(3) 和0 , 使得 g = e牧 。
证明：
(I ) 分两种情况岂接计算 e的，以 证明 e~E SE(3) 。
当 ltJ
= 0 时，有
畸
IO
( 4.87)
L
＿
＿
成俨
e
l
·
厂—
3
，
_ 1+
贝
匕
4.79 ) 得
．
e
-
;c
= . = " = ·Q
仑
=
250
2;c
力
因此，由式
妇JF
O
显然 ， e沉 e SE(3) 。
@
当 {l) 引 0 时，假设 llm l l ;;;;; 1 C 可通过改变飞值使其归 一 化）。定义某 一 刚体变 换
60
( 4.88 )
l
计笢 ； 的相似变换
i' "' g荔＿， 心
气
OJXVIIW1
..I!..
1
。
。
l
利用矩阵恒等凡
gcli'g-1 = eg( 时＇，矿' = e 咕
首先计览 eo令，利用 如V = OJXCQ ; ; ; O,
( 4 ..89
可以得到
由此
e0J'= I + 0(.1 十（如, 2 + (O,h' + ….. 心 ；；；；；［产
2!'
代入式
4.89 )
3!
0
很
( 4.9'0)
对比式 (4.90) 与式 (3.30), 显然这是 S£(3) 中 的元素 ，从 而证明了 e 般 e SE'(3)
r;,
我们在上一节也曾 讨 论过这个 问 题，并直接通过 se(3) 到 SE(3) 的指数映射很简单地导
出了式 (4.90) 。
( 2 ) 采用构造方法卡令 g ;: : : ; (R, t) : t E 胶3, R E S0(3) , 忽略解为 0= 0 以及任意；的情b巨
当 R = l 时宁不存在转动 ， 令
oo
。
2
.5 _
_
一
—
O
_
_ t
由式 ( 4.87 ) 可以证明
c0J
@
' 1"· R-;1;,
=[: ;]
=g
I 时，求 ? := (v 项）1 E 贮，使 ea勺~g 相 等。 即
尸 (/ - e气(wxv) + 0
0
1
考虑相对应的元素，可分解成
R
t
= e,&ii)
( 4.91
= (1 - e 皊）（,OJ X V) + 0(tJ(t)
V'
( 4~92)
牡用前面介绍的等效转轴法可 从式 (4.91) 中求得转轴 o 和转角 从 剩下的问题是如何
从式 (4.92) 中求得 v 。
可以看出矩阵 A=( l- e吵) /iJ + ,0ro,矿 对千所有的 0
E
(0, 2 元） 都是非奇异的。因此当
R * l 即 0' ;i= O 时，组成 A 的两个矩阵具有相互正交的零空间凸因此由 Av = O 得出 'V = O <l
【 例 4.9' 】
求绕某一空间固定轴旋转 所产生的刚休位移？
坐标系{.心的位形已知
61
中，物体坐标系 仿 ｝相对参考
C080
g ~;
sin@
- sin ,8 0 -./2 sin 0
cos f) 0 l] + /2 co,s. ()
。
0
I
0
。
。
0
I
计符相 对应的运动旋量坐标心
解为 计算 g的运动旋噩，可参考上面定理的证明过程。
满足 R' ;;;;; 产的转轴 (IJ 和转角胚I通过观察得到:
面求 V
T
ru,;; ; [O O I]
，即绕 z 轴转动 C 下
:
t
= (l-e气(rox v) + ,0血心
对上式进行展开，得
sin8
cos 妒 l O
r 古 sin0
cos0 - l
si.n0
0•'= 11+ l2cos0
0
0
01
1l
0
求解得到
V1
l1 = I
气
+右） sin0
2(1 - cosO)
。
从而导出了与 g 对应的运动旋量坐标。
。
。
1
..l L- I·;;;.
2
(/1+ /2)sin ,0 '
2(1-cos 份
。
夕
图 4,7
少
lll
例 4 ,9
图 4.8,
例 4.10 图
【例 4.:Jl,O 】 求绕空间固定轴作旋转运动产 生 的刚体位移 ， 已知物体坐标系 {B} 相 对参考坐标
和A} 的初始位形为
_
l O O 0
.0 I O l
g(O) = 10 0 ] 0
0 0 0 l
62
J3
假设坐 标系 {B} 绕固定 轴 线 (tJ =—-[l
.l
ir 转动转 角 O
3
求产
齐次变换 g(句 的运动
坐标一，
解： 巫 标系 {B} 相 对坐标系 ｛，心的 旋转矩 阵为
旋
R = e如
根据 Rodrigues 公 式
e知= l
+ tn siu 0 + w2O- cos 0)
可以 求得旋转矩阵
-—
.fj
2
1- ...:.(1 - cos 0
3
3
R=
石
l
sin 0 +-(]-c-0s 0)
3
3
jj
1
sin 0 + - (1 - cos {))
3
3
1
si.n0 + -(1- cosO)
3
—
-—
一 sin.0' + - (1 - cos 扒
3
1
3
3
Jj
1
3
3
1
3
3
—si.n {} + -(1- cos 0)
../3
l
-— s:in 0'+-(1- cos 0
2
]--([-cos 0)
Ji
.fj
3
3
2
l 一一 (] 一 ,oosfJ)
3
(- — sin0 +- (l - cos 价）l
2
(1 - 一 ([ - cos 0))l
t =Rt(O)=
3
Ji
1
1~sin ,()+ - (l - cos B))I
3
3
因此
下面求解 v 的方法同例 4 . 9 ,』
IE3,, 后
可求 得
I
l-cos0),- - 0 sin 0'2
J-3 rJ(l - COS,,(})
—
2
1
,, = (1 - ,cos 0) + 0 sin (J -Osin
0(1- cos&)
1
3
l
五
(l-c-0s 0), - - 0sin0 + - O(l-cosfJ)
2
2
.
从 而导 出 了产生齐次变换 g 的运动旋量坐标 ?
= (ro ;
v)飞
4.5 刚体速度的运动旋量表达
4夸5. l
质点的瞬时运动速度
空 间 上 某 一 质点的瞬时 运动速度可以认为是其位置矢量的导数（称为线速度）。该点速
度的表示不仅与其轨迹求导的相对坐标系有关，也与观测坐标系有关 。 如果令该点相对于物
体坐标系 {BJ 的位置用 B P 表示 ， 则该点运动速度定义为 B P 对时 f司的导数。
d
飞 (t) ;;;;; -
Jj
dt
p(t)
( 4.9'3 )
另 一 方面还必须指朗速度矢昼是在哪个坐标系中描述的 心 与其他矢翟 一 样，速度向昼
必 须指明观测坐标系，若相对于惯性坐标系 {A} 描述，则记为 A V p (f) 。如果观测坐标系与惯
性坐标系不同 ， 需要利用旋转矩阵 R 的导数进行变换 。 例如 ,, 点 P 相对惯性坐标系的运动
63
速度可通过； R 的导数来实现与其在物体坐标系下的运动速度进行转换，即
ffv_ =ARB
v
B
( 4.94)
我们知道旋转矩阵 R 由 9 个元素组成 ， 求解 R 意味着要对这 9 个元素进行求解 ， 因此
效率较低不过，注意到式 ( 4.94 ) 可以写成
A ,. , P
= (;il. ; R-' ) ; RBv,., = ;'.R( ; R-1 ;il.') Bv,P
( 4.95 )
可以证明 ， R矿 和R' - 1 .R 都是反对称矩阵（感兴趣的读者可以自己去证明）。而反对称
矩阵中只含有 3 个参数，从而可以简化计 览。
【 空间角速度的定义 】
(IJ S
在惯性坐标系中描述的刚体瞬时角速度称为 空间角速度 。记作
,E 臣，且
矿 = RR 一 l
【 物体角速度的定义】
( 4.916 )
在物体坐标系中描述的刚体瞬时角速度称为 物体角速度 。记作
矿 E 飞，且
矿 =
R-1 il.
( 4.917
巾式 ( 4 . 96 ) 和式 ( 4.9'7}, 可以导出空 间 角速度与物体角速度之 f司的映射关系 。
,;,s = R矿R-1
(或者 矿 = R-1 ws R
>
( 4.9'8)
这样式 ( 4 . 95 ) 就可以变换成
飞＝炒s 扭飞＝；矿 x ·· p
( 4.9'9 )
或者
飞＝炒 B
:·R-1Av P =
扣i'!J x .!! P '
(4.100
式 (4. 99 ) 和式 ( 4.100) 分别给出了 空间上某一质点基千空间 角速度及物体角速度的运
动速度的简洁表达式，当然也适合千空间上某一刚体做旋转转动时的速度表达。
【 例 4晕11 】
分别用空间角速度 和 物体角速度来描述 一 个单自由度机器人的旋转运动。已知
机器人在某 一参考位形卜 的轨迹为
cos0' - sin0 0
R ; ; ; I sin 0
cos 0
0
解 ：：
O
0'1
由于
0
-0
矗
。
0
汇砍 巨 妞T =I{)
0
0 11·,
0
0
0
iiJ,9·= R-1.R= RTR =
-ti}
。
。
。
。
。
。
。
`
因 此 ， 该机器人的空 间 角速度和物体角速度相同 ， 均为矿= OJ 9 = (Q Q
4丘2
0')T
I)
刚体速度的运动旋量坐标
刚体在位形空 间中按照 参数曲线； g(t)
= (R(t)勺 t(t)) 'E S£(3) 运 动时
相当于物体坐标
系 {B } 相对于惯性坐标系 {A} 的刚体运动。用 刚 体变换表示
C4.101
虽然比 (t) 没有特别的物理意义，但； g;g 一 1 和； g 一 I :g 却有着重要的意义 0
【 空间速度的定义】
记作 v· s
E
在惯性坐标系中描述的广义刚体速度称为空间速度 (spatial v,elocity) 。
se(3), 且
64
4. 102
写成 6 维列向昂的形式
vs = 勹 ） = ( _:
【 物 体速度的定 义 】
V13
E
: / : ;]
(4.103
在物体坐 标系中 描述的 刚体速 度称 为 物体速度 (body veloc:ity ) 。记作
se(3), 且
户 = g垃 = [R:R
R:i]
(4.104)
写成 6 维列向蜇的形式
(4.105)
4.5.3
刚体速度的坐标变换
空 间 速度与物体速度之 间 存在着相 似变换关系 ， 实际上
v s= g矿 = g(g 旭）矿 = g V B'g-1
(4.106
矿 ;;;;;; R矿
(4.1 07)
分解式 ( 4 . 1 06 ) 可 得
v s= -矿 x t+ t = t x (Rw8) + R泸
(4.108 )
写成向量的表达形式
( 4.109
由式 ( 4 .1 09 ) 可以看出，用 Ad g 可 以 表示从物体 速度到空间速度 的 映射
标变换凸显然 ，
进而实 现坐
Ad g 是可逆的 ，其逆矩 阵
( 4U 10)
请读者可以 自 己 证 明下面的等式。
(4. Ul )
Ad;1 =Adg l
可以 将式 ( -4八 1 09' ) 推广至同 一 刚 体速度在任意两个坐标系 之间 的变换 。
Av :;:; : Ad nv
( 4..112
【 定理 】
若 ~E se(3)是 ~ E 胶6 的 运 动 旋量 ，则对于 任意 的 g e SE (3)
Adg,乒 配 的 运动旋量。
【 例 4.12 】
t
g荔. - 1 是
分别 用空间速度 和物体 速度来描 述 一个 单自由度机器人的 刚休 运动（图 4 . 9 八
其 中 ，物体坐 标 系 { B } 相 对惯 性 坐 标系 {A} 的位形已 知 。
cos 0' - stn 0 0 一片 sm01
sin (} cos0 0 /1 + 11cos0
g= 。
0
]
0
。
。
。
65
l
解：：
图 4.9
例 4.12 图
R 1i.
矿 =
由式 (4. 105) 可 得
泸 ==
(R, R )v
庄式 ( 4.103 ) 司f
,,,s
= -RR 7r t i,
矿 =( RR-「 ) V
因此
讨 =I 一:°!,
ru8=rn V
S=[': i, W心 =I:
那么该如何理解空间速度和物体速度的物理意义呢？
物体速度的物 理意 义比较直观： VB 表示的是物体坐标系的坐标原点相对惯性坐标系的
线速度； WB 表示的是物体坐标系相对惯性坐标系的角速度 。无论沪还是 0)18:, 都在物体坐
标系下 来描述。例如例 4. 10 中，物体速度可以这样来解释：假想从物体坐标系的角度来观
测物体坐标系的原点 。其线 速度总是沿负 x 轴方向，其大小由杆长 lz 来决定： 而角 速度总是
沿 z 轴方向 。
空 间速度的物理意义就不是很直观了； 沪 表示的是刚体上的某一点通过惯性坐标系原
点时的瞬时线速度 扣而 不是指物体坐标系原点的绝对线速度； ros 表示的是物体坐标系相对
惯性坐标系的角速度，参照坐标系是惯性坐标系 。 例如例 4.12 中 ， 空间 速度可以这样来解
释 ：假想从惯性 坐标系的原点来观 测 刚 体 上的—点。 其线速度是指该点通过惯性坐标系 原点
的瞬时线速度 ； 而角速度总是沿 z 轴方向。
4.5t4
刚体速度的复合变换
木书第 3 章讨 论了 刚 体运动（位移）中的复合变换的问题，刚体运动速度之间也存在抒
复合变换的 问 题。
(l) 空间速度的复合变换
【 定理 】
假设存在 3 个坐标系：
{A}'{BL {C} I 则各自对应的空间速度间存在如下关系
：尸＝扣'i'+Ad .-J ~尸
Bg
( 4 . 113
证乳 坐标系 忙｝ 相 对 {A} 的位形满足
A
A
IJ
cg= !Jg cg
因此 ， 根据空间速度的定义 ， 可以得到
沪＝战 ： 广 =(;gtg+:g 扛刃 g勹旷＝；“广 +; g(~ggg 飞矿＝产 ＋ 比炉 ~:g -1
写成旋量坐标的形式 守 即为
1-1,v s =~尸 + Ad 1 8Vs
C
如；
(2) 物体速度的复合变换
66
【 定理】
假设存在 3 个坐标系：｛心，也 L
{CL
则各自对应的物体速度之间存在如 下 关
系
:v T1 + !vlJ
~V B = Ad 扛.
( 4..114
证明过程同上 中 读者自己可以证明口
利用上面的两个定理可以实现不同坐标系之间刚体运动速度的相互转换。
【 例 4.13 】
求 2 自由度机器人末端执行器相对惯性坐标系的空间速度（图 4.10) 心
解 ：， 直接通过观察可以得到
。
{
0 \
!Vs=(~::).
s
0
_
。
AB
—
,
·Q;:)-
A
BV
S
0
=
0
'
，
一
6
夕只 y
图 4.10
,t i)
S
·Cl::) \
l
r o\
l 2
BCs
0·ct::,r:t
v _ 0
;:;;;;
，
金
扣s =(~::}
B
例 4. n 图
丿
\
。 丿
并且
八
R
A
;
“`
八
oo
B
R
。
扭. I 勹 -/0 sin 01
/0 cos01
一
。
乌
OSn
。
鹃l1
olo
_
l cs1010
l
l]
1
g·
。
.
I .+
I
losmo
2
·
Bg
十
1
0
。
—
。
。
lO
||
00
0
II1
a
-l
。
, 。
!V s + Ad 凡 ，~v s=
C
。
因此 根据式 ( 4.113 ) 得
s=
O
,
。
。
且
/0cos01 - /0 sin01
lo
A
o, - s-1 01
sno
cjs
。
/!
。
cos01
0
oo
ooo,SO
00]000
O
j
·
0
o
0;
=
Ad ..f
cos.BL
sin ,0L
- -.:in ,0;
c2:r~~
C.Slo
4.6 运动旋量与螺旋运动
4睿6亟
螺旋运动的定义
第 3 章对 刚 体运动进行了初步讨论 ， 这里详细讨论一类称之为“螺旋运动”的特殊 刚 体
运动， 它是 一 种 刚 体绕空间轴 I 旋转O 角再沿该轴平移距离 d 的复合运动，类似于螺母沿螺
纹作进给运动的情形凸
67
当 0 :~0 时 ， 将移动量与旋转量的 比 值 h:=d / 0 定义为螺旋的节距（简称螺距），因此 ，
转 O 角后的纯移动量为 h0。当 h=O 时为纯转动 ，
h =oo ( 0= 0) 时为 纯移动。
若用 s(s ,E IR.3) 表示旋转轴方向的单位矢量 ， r 为轴上一点，则该旋转轴可表示成点的
集合
I = 行+ls: 儿 或 }
( 4..115)
如图 4. na 所示，刚体上任一点 P 旋转 O 角后的坐标为 p(0) = r + e0·~(p(O)-r) , 再沿
轴 线方向移动 h0后的最终坐标为 p(0 t h) = r·+ e 0; (p(O)-i·)+h0j' 。
对于纯移动的情况（图 4.11 b), 可将螺旋运动的轴线重新规定一下 ： 将过原点方向为 s
勺有向直线作为轴线方向， s 为单位矢 量』 这时，，螺距为～螺旋大小为沿 s 方向的移动 量 0和
刚 体 上任一点 P 沿轴线方向移动 0 的最 终坐标 p(0)
= p'(O) +es, . .
Q
庚：
(a) 一般螺旋运动
(b) 纯移 动
图 4.. Il
【螺旋运动的定义】
螺旋运动
螺 旋运动 的三 要素是轴线 l、螺距 h 和大小 p。螺旋运动表示绕轴
旋转p = 0., 再沿该轴平移距离 h0 的合成运动。如果 h
s 移动距离为 p的平动，记作 S(l,
4.6.2
= 00~
那么相应的螺旋运动即为沿轴
h, p) 心
运动旋量与瞬时螺旋运动
为计箕与螺旋运动 相 对应的 刚 体变换，先分析点 P 由起始坐标变换到最终坐标的运动 ，
如阳 4Jla 所示。点 P 的最终坐标为
P'( 0, h) -= r·+ ,e0~(p(0) - r) + hO S'
s :;t
O
( 4..1 16
表示成齐次坐标的形了
( n(B. h 八
(n{O八
'l
1 丿
「 e08
(1 —e01 )r + hfJ,'\'l ( n{ 0) \
l O
1
」\ ] 丿
( 4.1 l 7
大I 上式对任意的 p(O) E 臣都 成立故
「 e09
(1 - e 叭r +hfJ.f l
., . l O
如果取 m,
=s,
J
1
S' -;J;.0
( 4..118
't i' = r 侐 ＋ 加，则 P = OJXV 。代 人 式 ( 4且 8 ) , 可 得
g
= [ e:w (/ - e气(w~v) + 0吵TV]
W# 0
( 4.119
在意式 ( 4. 119 ) 所确定的 刚 体变换与式 ( 4. 90 ) 表示 的运动旋噩的矩阵指数有完全相扣
的表达形式 ，
即
e;o = [产,
0
这说明
(/-e气(wx v) + 8wwTv] w ,c 0
运动旋扭的坐标 ?
( 4.120)
l
= (w;
11) 却可产生式 ( 4 , ll6, ) 所示的螺旋运动
68
这里假定
I sll = I , 0 -:t= 0 八
特例：纯转动时， h
【 Chasles 定理】
=0 , 这时 , ~ = (ru, ; r x w) ; 纯移动时，
h
= 00 , 这时 1 ? == (0 ;
v) 。
任意刚休运动都可以通过螺旋运动即通过绕某轴的转动与沿该轴移动的
复合运动实现。也就是说，刚体运动与螺旋运动是等价的，即螺旋运动是刚体运动，刚体运
动也是螺旋运动。螺旋运动的无限小量为运动旋曼。
该定理包含两层含义 ：
1) 对 1为 给定的螺旋运动 S(I, h, p) :1
必存在一单位运动旋豐 ,, =(ru; v)e 胶 6
(
~ ·
为
乒 se(3) 的运动旋量坐标），使得螺旋运动 S(f, h, p) 由运动旋量 p~ 生成，即螺旋运动就是
刚体运动 。
2) 对于给定的运动旋量 f Ese(3) , 其对应的运动旋量坐标 , ~(m ; v) E 配 ， 总可以 找
到与之相对应的螺旋运动 S(l~h) p)it 即 刚体运动就是螺旋运动心
证明：
( 1 ) 采用构造法。
由给定的螺旋运动 S(I, h, p}; 构造形如 B~ 的旋堂 ， 其中 B=p , 假定点 r 为旋撤轴线
L 的任意 一 点。具体分成两种情况（纯移动及移动加转动）米 讨论 心
(I) h =oo
设 l ={r + 心： l ·vll = I, 儿立｝， 并定义
t=[:
这时 , = (0 ; v), 显然，存在 刚体运动 e0', 它对应于沿旋转轴 I 移动 0 的纯移动 凸
® h 为有限值
设 l ={r+ 凡a, :
这时 t;
l wl = lli, J 刮R}'
井定义
= (m· ; r· xw 十 h,v), 则通过言接计算叩可证明刚体运动 ee勹就是所给定的螺
旋运动凸
( 2 ) 对于给定的运动旋量坐标 , =(ru ; v) E 贮（这里不假定 ll wJI = 1 ) ., 相应的螺旋运动 S
(l, h, p) 为
( a) 轴线 l
wxv
I=
W*- 0
I i .. .心
4.12 l)
{O+ 儿v: 乒 配
m= O
b ) 节距 h
aJ ,· v
h=~OJ 磕 OJ
T
=
OJ V
勹l
(JJ;t:0
(I) 心
心
(4.1.22)
(t)
=0
(c) 螺旋运动的大小p
w -:t= O
4.123
m=O
4.2 给出了 4 种特殊的运动旋量（对应 4 种特殊的螺旋运动） 。
69
4 种特殊的运动二
4.2
序号
运动形式
参数特征
1
过坐标原点的纯转动
2
不过坐标 原点 的纯转动
h = O, .r = O
h=O
h =oo
(w ; 01)
(w ; r x m)
(0 ;. v)
llw ll = 1 或 w=O 且
(,m ; v) 或
(w ; ,. 双o + h(IJ)
纯移动
I
3
单位 螺旋运 动
I
4
【 例 4.14 】
I
I
I叶=l
I
可 表示移动 副
可把转动副 与移动 副 的
刚体运动 描述成 e统
巳知某一刚体的 角 速度为 Wt 其上 一 点 P 的线速度为 Vp ' 试 描述该刚体运动。
解： 根据 Chas.les 定理 ，刚体运动也是螺旋运动 ， 因此 可以 用螺旋运动描述该刚体运动。
为 此 ， 选择点 P 为坐标原点 ，
JI p 即为 刚 体在原点处的线速度 ， 这时螺旋运动 所对 应的
运动旋盄坐标 为 , ;;;;;; (w;vp ) 。 该旋量 的轴 线方程可由式 ( 4.121 ) 得 到 。
,.
;;;;;;
(OX)} p
+..lm
OJ • OJ
根据式 ( 4. ]22 ) 可得该旋益的节距。
h=
Vp ·W
(JJ' +(JJ
沮 旋运动的大 小可 由式 ( 4.123 ) 得到。
p = w,
前面 已经讲过 ， 运动旋噩 的指数邑数表示刚体的相对运动。作为一个变换， eo: 表示将
点由起始坐标 p(O) 引R.3 变换到经刚体运动后的坐标
p(IJ) ;;;;; e0i p (O)
式中 ，
(4.1 24 )
p(0) 和 JJ(fti)i 都是相对同一坐标系来表示的。
物体坐标系 伐｝经螺旋运动后，｛趴 相对惯性坐标系 {A} 的瞬时位形为
沁()') == e 0t~』 g (O)
(4. 125 )
该变换的意义在于： 右乘比 (0) 表示将 一 点相 对 {B } 系的坐标变换映射为相对 {A } 系的
巫 标， 而指数变换 则 是将点变换到最终位置。
【 例 4.15 】
考察 一 个绕空间固定轴旋转的 刚 体运动（阳 4必.12 ) I) 已知该运动的旋转轴方向
w, = (0, 0, 1)1 ,, 且经过点 r = (0, /, 0)T 1 节距为0 。
=
11
心
----~-~
-- l
图 4.1 2,
例 4. 1 5 附
解： 该刚体运动对应 的 运动旋量
,~ = (w ;.rxru) = (01 。11 l;l,O平 0)
其矩阵指数形式 为
『一
/sin ,0
I cos 0 -sin() 0
(1 - e气(w v) + 0四矿vl I sin0 cos0 0 l(l - cos 0)
x
1
I
70
,I
。
。
1
。
I
。
。
。
l
(0
」
1
cos ,0
- sin 0
0
。
8,g(ll);;;;; e时； g(O);;;;; 1 sin8
cos0
。
l
。
。
l
。
。
。
。
1
,
螺旋运动的速度
4.6.3
我们再来讨论 一 下经螺旋运动产生 的刚体速度间题 。
前面提到物体坐标系 {B} 经螺旋运动 e的启 {.B } 相对惯性坐标系 {A.} 的瞬时位形可以
表示成
如O' ) = e0i ; g(O)
如果这里的单位运动旋蛊是 一 个常值，则
d
—
(e,0J ) = , e 0J· ( 始
4.126
dt
m此，刚体运动的空间速度可以写成
产＝奻(8) 汇 (8) =( 婖气g(O))(1矿 (O)e一门1 =iJ~
(4更 127)
由此 ， 可以 得 出刚 体的空间速度 就是由与该螺旋运动相对应的运动旋量所产生的速度凸
同理可导出该螺旋运动的物体速度。
; V13
r
= ;g-1(B) ;g(.0') ={~- g -1 (rlr)e-隄 ）(0-:e岛； g(iO)) =or(;g-1(O)i~;g{O)) =@(Ad:g-• rni c; ( 4 酌 128)
考虑 一种 特殊情况：如果比 (0) = J ' 即物体坐标系 与惯 性坐标系在初 始位形情况
0 = 0 ) 重合 ，这时
护S
: : : ;f~B: : : f},~
(4.129)
4.7 扩展阅读文献
[1]. Murray Rt Li Z X, and Sastry S. A M呻em.atical b1troduct沁n to .Robotic Manip1.dation. CRC Pre:ss, 1994
[2]. Meng J., Liu G凡缸d Li Z.X. A goomctrk theory for syntihcsis and analysis of sub-6 Dof para.Uc]
[3] 肥
manipulators. IEEE Tr:ansaction on Robotics, 2007! 23(4): 625&,64-9
Se]ig J M. ,Geom的yFoundatio邸 in Robotics. \Vorld Scientific: Publisning Co.
习题
0 -t 0
4" 1 已知 X = t
O 0 1~
习, e
a
0 0 0....J
X
= - 10t 8t 0
0
0
,
·
已知
eex
勺
4.2
求
-3.t 3t 0
0
71
P比. Ltd蟹.
2000
4.3 试证明当 矩阵 A 与 B 的乘积具有互换性时（或者 [A , .B] = O ) ,. 满足 e..1e 8
= e小人
4.4 试证明矩阵指数的以下特忏
1) gex 矿= eg xg- 1"'g 为可逆矩阵；
(2)
d
!!__产= (X0)e0x = e。飞X); —
L=o ,erx = -~F
dt
( 3)
dt
（单参数于群的特性）；
-e-X =伈） -ID
4 . 5 试证明当 llroll
*l时
e
4.6 试证明当 llwll
=t;
奾
; ;: :; J
（I)
矿
s:m llwllB+ . .- (I-cos 1
1,mlO)
llru2II
1 °11
1时，
心
e--
8
=
I
.. o
eir-l
... 2
w
Bv+O - cos 0) —— v'+ (,0-sin ,0) "
llwll
llwll211
。
1
4.7 计笠 .S0(2) 的李代数。
4.8 计算 JT(3) 的李代数 9
4.9 计算 S0(3) 的 李代数。
4.JO 计绑 SE(3) 的李代数。
4.J] 计笢 SE(2) 的李代数。
4J2 对于旋转群及其李代数，
( 1)
若 R e S0(3) ; iiJ 为对应的李代数，试证明 ( Rw 丫= RciJR
( 2)
若R
;
ES0(2) , w 为对应的李代数，试证明 m == RwR勹
4.13 对于由移动 t eR.2 和 2x2 旋转矩阵 R 组成的平面刚体变换g
= (R', t) E SE(2) ,
可以
用齐次坐标将其表示为 3x3 矩陪
对应的运动旋扭 ~ e se(2) 可以表示成
{iJ
:=l O
l
VE 民 2, ,meR
(
对应的运动旋量坐标表示成 (; =(m· ; ·v) ,司R 。
( 1)
证明 ； 芒 se(2 ) 中运动旋量的指数给出了 一 个在 SE(2) 上的刚体变换 ；
( 2)
证明绕点 q 的纯转动平面运动旋盘和沿 ，., 方向的纯移动平面运动旋昼为
, = (O;q l'~ - -q.l.) (纯转动 ）
t;"= (O ;vx,vJ, ) (纯移动）
4.14 证明 R(t).R - ' (t) 和 R 一 li(t)il(t) 都是反对 称 矩阵凸
4..15 证明 Ad-g 1 ;;;;;;
Ad
_.1
[!o
4.16 对千由移动 tE 酐和 3x 3 旋转矩阵 R 组成的刚体变换 g =(R,t)
其表示为 4x4 矩阵
对应的运动旋量 ; 可以表示成
72
,.
可以用齐次坐标将
vo
一
—
一
＿
＿
}
-
尺' 0
0
卢
凸，
_--I
0
000
000
0
=
0
—
0^
V E ]Pl3 .• (tJ E 匣
对应的运动旋噩坐标表示成':::;:;; (0 0 OJ ; l') E 贮 。
(l)
证明该 刚体变换 g 为李群 ：
(2)
推导该 刚 体变换在其李代数上的伴随表达公式 ；
(3 )
给出至少两 种 满足该 刚 体变换的机器 人机构（不限串联、并联 、 混联） 如 画出机 构示
意图。
4.17 证明平面 刚体运动的伴随变换可由下式给出。
广
Ad1t = 1
t
R
-,,
红
-t~
0
]
[
4.'1 8 已知 一 维螺旋运动子群的
的 矩 阵表达 。
知旋转群的正则表示为 S(O) = {仁
l
为S(N) = {[: (I勹~)PN R E S0(3)} 。
;]. 飞;司} 求其共枙子群的矩阵表达凸
73
第5早
机器人运动学基础
【 内容提示 】
本章开始涉及如何应用几何方法未分析机器人运动学。那么什么是机器人运动学
呢？机器人运动学的主要任务是描述机器人关节与组成机器人的各刚体之间的运动
关系。大多数机器人都是由一组通过运动副（关节）联接而成的刚性连杅构成七不管
机器人关节采用何种运动副 ，， 都可以将它们分解为单自由度的转动副和移动副。
机器人的位置与速度分析是求解机器人运动学的基础。它主要讨论机器人输入与
输出构件间 的位置与速度关系，是机器人运动 学研究的最基本任务，同时也是各类运
动性能分析及尺度综合的基础。其中速度分析的核心是建立雅可比矩阵
本幸以前面介绍的旋量指数映射理论为工具许建立起一般串联机器人的运动学描
述。内容的核心是使学生了解如何应用指数积 (POE) 方法实现对串联机器人的正逆
运动学问题进行求解。因此，本章主要包括以下三个方面的内容：
(I)
串联机器人正向运动学的 POE 公式：
(2 )
串联机器人反向运动学的子问题分类；
( 3)
基于 POE 公式的速度雅可比矩阵。
D雪H 参数与串联机器人正向运动学
5.1
串联机器人实质上是一种由运动副连接各 个杆件组成的 空阁运动链）为描述各 杆件 间的
相对位姿，避常采用D-H 参数法。 D-H 参数法的核心在于引入了连杆坐标系。
根据连杆坐标系 { i} 与连杆 i 的位置关系喟 D-H 参数法有坐标系前置与坐标系后置两种：
其中图 5.1 (a) 所示的为前置方式图 5 .l (b)所示的为后翌方式 凸
生
盟
图 5.1
后
It
系
坐标系前
1
心标
0,T
』
才从坐
(a
b)
D-H 参数的定义
习书中采用的是坐标系后置方式 ，其 中图中各符号的定义如下 ：
•
令
...
.
.
关节轴线 si+t 表示连杆 L已相对 L』的相对运动轴线，同时也是 zj 轴+
连杆长度 ai 表示 轴线 sj 到轴线 s仕1 的距 拱 ；
~,
归T 的扭转角 a表示轴线 Si 到轴线 S,+I 的转角，遵循右手定则 ；
关节的转角 0, 表示连 杆 Li 相对 Li 一1 的转角；
连杆的偏距 d, 表示从 a ,-1 与轴 线 Si 的交点到ai 与 轴线 s, 的交点的有向距离；
连杅坐标系 o』 - xiyi zi 的建立原则 t 原点取在 a、I 与轴线 Si+I 的交点处 I
74
Zj 轴沿轴线
s叫方向， x1 轴沿 ai 方向
惯性坐标系（或基坐标系）
{S}
C 有时写成 {O}) 的选取: —般 取在机器人的机座位置 。
从图 5.1 可以看到每个连杆坐标系杜｝都对应帮 4 个 参数 : a』 ;, a i ; d i ., 0i 。可通过以
下 4 步导出从连杆坐标系 {i -]) 到坐标系｛片的齐次变换凸 CD 绕 Si ( ZH) 轴 转动 ei
;
(i:D
甘 Si 轴平移 di~( iii) 沿ai ( . Yi)
.
轴平移 aj; ( iv) 绕 q 轴转动 ai 。因此得到
- COS (Ji
』一lg = (R:: (,01).t..: (di' )) (t_\'{a1)R:\'{a1)) = I
sin fJj
。
0
- sin 0i COS a 1 SlJil ~ '. sin a 1 ai COS~
,cos ,01,cos a l - cos 01sin a 1 al sin 01
sma.
d1
cos a f
0
0
5. 1
对于自由度为 n 的串联机器人而言，总共需要建立 (n+ l ) 个连杆坐标系。
【 例 5 .•1 】 标出阳 5.2 所示的 3 自由度 3R 机器 人的 连杆坐标系 ， 并给出其 D-H 参数凸
"
I I
aI
j.
I
0
l I.
右
/'" /
图 5.2
/
'
}
/
dj
”
I~
0L
。
。2
。
83
3 自由度机器人的连杆坐标系及其 D-H 参数
串联机器人的 正向运动学 ( fm~rard kinematics ) 是指 ： 在给定相邻连杆的相对位置悄况
下，确定机器 人 末端执行器的位形。注意 t 大多数串联机器人都是由一组通过单自由度的转
动副或移动副联接而成的刚性连杆构成。
从经典理论角度来看，串联机器人的正向运动学可以通过将各个 关节引起 的 刚体运动加
以合成 。如果利川传统 的 ~H 参数法来计算工 具坐标系 { 11 相对惯性坐标系 {S} 的位形 ，
需
在各个关节上建立连 杆 坐标系甘｝ ， 然后利用连杆坐标系将相邻的 刚体运动联系起来。定 义
-; g 仿） 为 相 邻连 杆 坐标系间的齐次变换矩阵 中 则对于具有 n 个 关节的串联机器 人 正解的一
般计算公式为
; g(0)
= \'g(0; 片 g(02 )·.. 勹 g(0J·" n~:g (0,J;g
( 5.2)
式中亨 : g(,fJ') 表示机器人运动学的正解。
【 例 5,.,2 】 利用 D-H 参数法对 例 5J 中 的 3R 机器人进 行正向运动学 求解 凸
解： 例 5 .1 中巳经给出了该机器 人的 D1...H 参数 ， 这样 可以 建立相邻连杆坐标系间的齐次变
换矩阵。
L..
cos fl..
0
0
0
1
0
0
0
i
勹 g位）I ;;;;;; :
sin~.
严
cos 0~ - sin. I~ 0
qo}I
s
oiO
a cs
a'.
I1
.
)
l
i = l) 2,3
(5 .3)
进而根据式 (5. 2 ) 对其正向运动学进行求解。
:g(8) =~g(°' 片g(02) ; g(03);g
如果工具坐标系与连 杆 3 的坐标系重合宁上式中
75
5.4 )
1 0
0 0
IO l O 0
Tg = ,I
0 0 l 0
lo
5.5
O O I~
因此，将式 ( 5.3) 和 式 (5.5) 代 入 到式 ( 5.4) 中 ,, 得到
~c01 23 - s8123
I
如0)=1
s,0123
C18123
0
0
0
式中， 0ii 是 ~ + Oi 的 简写， c:OiJ
本 书 以 后各竞。如果用 g ;;;
0 l1c01 + l2 c 仇 +/3 c 知
l1s01+ l2s1812 + l3 S01 丛
1
0
0
5 乞 6)
0
0
I
= cos(°' + 0i ), s0if == sin(~ + Bj ),
_J
(x, y平） 表示机 器 人末 端的位姿 ，则 由式
依 此 类 推， 并 且 适用
( 5.6) 可以 得到
x ;;;;; l1c01+ l1 cBi口 + /3C012
y = l1sBi + l2s012 +13s012.,
rp ;;;;; ,012
串联机器人正向运动学的指数积公式
51.2
5睿2~1
指数积公式
利用本节介绍的方法 来求 解机器人运动学 正 解在某种 程度上要 比 传统的 D斗I 参数法简
乳因为它 无 需建 立 各连 杆 坐标系 ，， 整个系统中只有两个坐标系即 可 ： 一 个是惯性坐标系 {S}
另 一 个 是与末端执行器固联的 工 具坐标系 {T} 。
由于各关节的运动由与之关联的关节 轴 线的 运动旋 量 产生，由此可以给出其 运动学的几
何 描述 。 我们 回 顾 一 下 前面所 讲 的 内 容 ， 如果用 § 表示该关节轴线 的 单 位运 动旋量坐标，则
沿此轴线的 刚 体运动 可 表示为
观） = e0J g(O)
C5.7)
式中，如果§ 对 应 的是 一个零 节距的转动副轴线 ，则 0e § 1 表示的是 轴 线的转角 ； 反之 ， 如
§ 对应的是 － － 个 无穷大节距的移动副轴线 ，
则 fl1 E 脱 表 示 的是移动的距离 心
下面考虑— 个 2 自 由度的机器人 正向运动学的 求解 （ 如图 5 . 3 所示 ）飞
乌
"01
山度 的机器人
岳先将转动副 l 固定不动 只 转动 02 平 这时 0.
根据式 ( 5 . 7 },
= 0, 这时工具 坐标系 的 位 形只与 0~ 有关。
可得
76
冰幻== e蟋 ;·g(O)
CS,8)
然后将转动副 2 固定不动只转动 0; j 根据刚体运动的叠加原理可以得到
:g(Bi, 02) == e咕 ;g(02) == e句i1 e乌,:2 ; g(O)
C5.9)
从式 (5.8) 可以看到 ，， 该机器 人的 运动似乎与运动副的 顺序有关（先运动 02 后运动 Bt)飞
实际上是否 如 此呢？我们可以证明—下。
假设我们这次选择运动副的顺序正好与前面的相反，即首先转动 0. ' 井保 证 02 固定
动 ， 这时
奻(0; )==e味奻(0)
( 5心 10)
然后让转动副 2 运动 82 i' 这时第 二个连杆将 绕 新的轴线 转动。即
?~;;;;;; Ad冲 女，或者 ,;
= ee,.~, 女 e 一· 吐
再根据矩阵指数的性质 e 忒矿 = ge~g-1 ,. 得到
e 的；；；；； ，e 吠' eo~,tl e 烯
SJ -~)
根据刚体运动的叠加原理可以得到
Jg(ep 0~) = ,e 乌ii eOi·~1 ; g(O) = e01l1 e乌~2 e-01j1 e ~~1 ; g(O) = e 外J1 e 伪i2 ;·g(O) ( 5 谒 12)
式 (5 . 9 ) 与式 (5. l2 ) 结果完全一 样， 因此 可以 得出结论 ， 该机器 人的 运动学 公 式与运
动副的顺序选择无关。
根据 数学归纳法 ， 上面 所得的结论完全 可 以推广到具有 n 个关节的串联机器人正向运动
学的 求解 。定义机器 人的初始 位形（或者参考位形）为机器 人对应千 IJ' ;;;;; 0 时的位形，并用
;g(O) 表示机器 人 位于初始位形时惯性坐标系与工具坐标系 间 的 刚体变换 。对于每个关节都
可以构 造一个单位运动旋量 ,, 生这时除第 i 个关节之外的所有其它关节均固定千初始位形
<ej = O){I
饥
上
厂—
对千转动副
纵
J
rJ
x
=
( 5 于 13)
-
对千移动副
( 5J4)
这时，机器人正向运动学的指数积公式如下：
: g(O) = e0ri, e乌i.2 志 e'牧，: •i 咖 ·· e札丘； g(O)
i.
( 5.15
利用指数积公式，机器人的运动学完全可以用机器人各个关节的运动旋量坐标表征，
5.2.2
惯性坐标系与初始位形的选择
般悄况 下， 机器 人的惯 性坐标系 取在机器人的基 座上。不过，这 种选 取并不是唯 一 的，
可 以 根据实 际 情况选取惯性坐标系的位置凸为了简化计 绊，一种典型的选取方法是将惯性坐
标系取在与初始位形时 的 工具坐标系重合 的 位置。即当 0 = 0 时惯性坐标系与工具坐标系 直
，即 : g(O)
= J 。这样 ，
式 ( 5.15 ) 就简化成
;,g(,0) = e吹感 ·· ··e吐1 ... e0,IJJ,IJ
( 5. 16)
在描述机器人正 向运动学时 ， 初始位形选取的自由度更大。由千各个关节 的 运动旋噩坐
标取决 于初始 位形（ 以及 惯性坐标系）的选择 ，因此在选 取初始位形时应遵循使运动分析尽
星 的原则。
77
5上3
D-H 参数法与 POE 公式之问的关系
前面讨论了两种求解串联机器 人 正向运动学的方法 ； D-H 参数法和 POE 法。 下 面再讨
论 一 下它们之间的 联 系 r;:,
通过观察得知 ，在机器人的关节 D-H 参数与其对应的运动旋量坐标之间并不存在着一
一 映射的关系 （对于单个关节而言，完全描述其 D-EI 参数需要 4 个参数，而用旋量坐标 需
要 6 个参数）凸这是因为每个运动副的旋噩坐 标 都是 相 对惯性坐 标 系来描述的，它不能反映
相 邻 杆 件 之 间的相对运动。
我们可以得到
勹g(8;) = (e'一门 勹g(O)
( 5.17
这样，根据式 ( 5.2) 可得
;, g(O) = (el.ill ) ~g(O)(e1i0, ) ~g(O)· 嘈哪 (e'才 iii t :g(O)·. ·(e广;ie. ) "~g(Ol
( 5.18
很显然与式 ( 5.12 ) 给出 的 POE 公式 不 同 ， 但存在着某些相似之处。 作 进 一 步变换得
i g(9) = (e~i01)( ig(O)e11b屯 i g -1(10))( .~g(O)e;lB:i~g -1 (0))·"( P:1 -~g(O}e~io,. ,,-i g-1(0)) 1g(O) ( 5.19 )
根据矩阵指数的性质 eg切i = ge'g-1 ' 得到
ge 吁矿;;;;;;
eo1:&-1 ; ; ; e,oAt:111 兰
( 5"20 )
将式 ( 5.20 ) 代入式 ( 5.1.'9 ) 中，得到
s g(fJ)
r
=
( e怓) : eo,(Adf,., 及）
I, ..
A\北,./拉
re ( )
II,
I~g(O)
( 5.21 )
丿＼
出千 : g(O) =~g(O) t 将 式 ( 5.21. ) 与前面给出的串 联机器 人 的 POE 公式进行比较夕可
以 得到
: , = Ad rJg(仆 ' 飞
J
( 5.22
式 ( 5 . 22 ) 验证了 ~i 所 代 表的物理慈 义： 即第 i 个 关节在 初始位形下相对惯性坐标系 的
单位运动旋量坐标。
根据以 上 的推导，我们找到了 一 种根据串联机器 人 的 D—H 参数米求解各 个 关节运动旋
量坐标的方法。具体方法如下 ： 由千 D-H 参数法给定 ， 则勹 g(0; ) 已知 ，根据式 ( 5.17 ) 可
求得勹 , , 再根据式 ( 5 . 22) 求得 ?,。 不 过更多情况下 可 直接通过观察得到 §心
5睿2.4
实例分析
下面举例来 说 明如 何 应用指数积公式对机器 人 的正 向 运动学问题进行求解， 以 及如何选
择合适的惯性坐标系及初始位形I;>
【 例 5 ...3 】 利用指 数 积公式对例 5.1 中 的 3R 机器人进 行 正 向 运动 学 求解 。
解： 建立 惯性坐标系岱｝ 和工具坐标 系｛乃 。 取机器人 完全展 开 时 的位形为初始 位＇形 。 坐标系
与参 数 如图 5.4 所示。初始位 形时 惯性坐标系 与 工 具 坐标系 的变 换为
1; +l2 +l3
s
Tg
(O), =
I
,
11
OOl
1·3 戏
0
78
矗
..
8
,
,
I
~~
(a)i — 般 位形
(b) 初始位形
图 5.4
3R机器人的坐标系建斗
各个关节的单位运动旋量计赁如下
1o'\
r,,1
(o'\
门 +11
因此
,
。
0
。
。
。
。
1
。
[ co, ]
己－－
「 饥
J
。
r2 X(Q 2
。
Lrl
'"' ,,l
l
I
引
。
x,
-!,
。
- l I - l·2
。
' 0
考虑到
ela = [ e:
则
-顷
寻 =I 溥
L .
- sUi
吼，
。
。
。
。
w
O 0
c02 -""02 0 l1(l - c02)
0 0 ' c·心~= s.0~ c02 。
一体 0:!.
l 0
。
l
。
0 l
。
。
1
因此
-;1;.
c03
0
- s ,0刁
0
,01+l2)(1 - cOJ.
e队.:. 1 = , S ,(}3 c03 0
0
l
I o
0
0
0
7
l:
-(IL + l2)s03
11
0
l
c0u3 - s0u'.' 0 /l 吼 +l2 c 先+ l3c0123
c 010
2
0 l1s01+ /2s0;2 + l3s0,勾
I s012
: g(O) = ,e 实实咕 ;g(O)= I
l
。
。
I
r
。
。
。
这与例 5.2 的结果完全 一 致。
【 例 5量4 】 利用 POE 公式对 SCARA 机器人的正向运动学进行求解 D
解法 1: 建立惯性坐标系 {S} 和 工 具坐标系 {T} ' 并取机器 人 完全展开时的位形为初始位形凸
坐标系与参数如图 5.5a 所示“初始位形下惯性坐标系与 工具 坐标系的变换为
-
01 -
/ 3:.:3 ll + l:
祁(0)=
,lo
I
。
79
(b11
SCARA 机器人
图 s·.s
各 个 关节的单位运动旋巠计算如 下
W2 ;:;:; ffl3. ;::;;: V4
=
。
=
OJI
,
2
\
.lil11
-
』
7,IJ1000
-“
I
F __
__
rl X OJI
0
0
OO
oo
00
丿
\
因此 ，
片
io
、
\
( ollo f 0
oo
l- + I
r1 =
,
.,"
J r2 =
'
=
0
o
\ J
\
(
l
立 ； ； [r2
:~J~l lllo~,~[r,二] =II; + l2 ~. =[:.]=:~
Ol
。
。
。
1
考虑到
w=O
=[e:
eoi
00cs
le
r士
|,
．了J
认，
_
乌
.<
e i8
_ 33
_
_
l,s02
O
- /1(1 - c02)
-
.
1
。
O
.
O
·
。
岔
c
e
j5
。
LO
O
l
O
I'
I
2
E
L
a037 O3 001
(l + .)s|_
O
l
(
l
)
8o
+
1- 3 c
2 , e
l 2
- 0
l'
。
。
」。
l
§
5
-
a-a
- sll
,
c0~
O
C
S
1-
』
ooo
j 01 0010
- Qoo
C
1
l
1
a0CS
if;. 。
。
则
w
0
ooo
OOl
|
0I
= C
」
lO
0
,q :;,~1
O 0
利 用指数积公式 ， 并代 入 上面 求 得的参数 ，可 得到机器 人 的运动学正解七
沧(0') = et:ili 炽， 泸吩沁oi4 ;·g(O)
C·t'i 21
s,0123
0
- S
0i 23
c€J;13
0
Q - /'LS Iii - /2 S t'i 2
0
I
/1c:01+ /2c012
l,。 + ,04
。
。
。
1
解法 2 : 建勺如图 5.5b 所示的惯性坐标系 和 工具坐标系井且仍然取机器 人 完全展 开 时的位
形为初始位形。这时 ， 初始位形 下 惯性坐标系与工具坐 标 系的变换为
80
』 －-I一．
;gtO) = f妇
各个 关 节的 单位运动旋 量计 绊如下
.>
I
_
rl
因此
。
0x W 1 = W z =
,0 I
w, =
V4
=
I~尸
~=[-/l ~ l』 ,'• =勹
0
_
丿
,
l 0
0
0
r3 _
_
0
_1
·--
l
r.
01-OO
O·
ll2
_I飘.“
心 ~[f2
。
0
。
。
。I I
。
叶w, ]~
I
W2
] ~
X (1)2
r1 X ,(IJ.l气
-I2
。
...
/
]
0
O
J=
0
' 4! = V4, 。
。
。
lO.,
、 0)
l'
利用指数积 公 式，并代入 上面 求得 的参数，可 得到 机器 人的运 动学正 解 心
sg(O) ::.:: e气气气8伞“ 沧r(0)1
飞彻
-s 。~.l:3
0
- l, s 01-[2 吼
8012.3
=1
0
0
c(1iz3
0
0
0
1
0
-11-12 叶顷 +ll cell:
,0斗
I
由以将解 法 1 和解法2 进行 一 下比较 凸
5,.3
5睿3咖 I
串联机器人反向运动学的指数积公式
反向运动学的指数积公式
串联机器 人的反向运动学 ( inve飞e ki,nematks 寻亦称 运动学反解）是指给定工具坐 标 系
所期望的位形 ， 找出 与该位形相对应 的 各 个 关节输出。如果取初始位形时惯 性坐标系与工具
坐标系重合 ，
则
沧(IJ) ·= ,e&i 句i ,e 咕 . ... eeii,, .... e吐
( 5 馈 23 )
式中， .ii e se(3) 和 ;g(0) E S£(3) 均为已知量，待求值为 0尸 从上 式看关节量之 间 相互耦
合 ， 给串联机器 人 运动学反解的求解势必造 成一 定的困难。因 此 需要 利 用刚体 运动的某些特
性去消去 耦 合的关节量，达到简化求解 的目的 。
通常情况 下， 串 联机 器 人 运动学反解 可 分为两类 ：：封闭解和数值解 。 利 用前面 讨 论的运
动学正解的指数积公式 可以 构造运动学反解问题的 几何狩法。
为 求 解 一 般情况下 的 串联机器人运动学反解 问 题 ，必 须首先 解 决常见 的 运动学反解子问
题，然后 设法将 整个 运动学反解 问 题 分 解 成 若 干 个解 为 已知 的 子问题 ．。 这 些子问题应具有明
确的几何意 义 和数值稳定性。
,ru
p
旷＇
w,
，一 V
护匣
p
(a) 纯转动下轴线位宜保持不变
b) 纯转动下距离保持不变
图 5.6
三个 原则
81
I
(c) 纯移动下姿态保待不变
在具体讨论子问题之前，先给出反解过程中需遵衍的 三 个原则 Pili:, 即 (i) 位置保持不变
原则; (H) 距窝保持不变原 则； (iii) 姿态保持不变匝则 。前两 个原则与转动有关 ， 第三个
原 则 与移动有关。
【 定理】 给定一个单位运动旋壶坐标为{
= (m,; r x w) E
se(3) 的纯转 动干则转轴上任一点 P
的位置保持不变 ， 即 e咬p=: _p, ( 图 5.6a) 心
证明： 第 3 章给出了刚体变换矩阵
则
gp ; ; ; r+e气 p-r) +h如
由千是旋转轴 ，， 因此 h=O 。同时考虑到 p 、 r 都在 旋转轴线上嘈因此 ，
p - .r = 从肛上
式简化为
gp;;;;;;r + 儿 e如 ro
(5 ..24
+ ro siin 0 + ro2O- cos 0)
( 5.25)
对 e姊展开 ， 得到
e,o和= I
代入式 (5 .24 ) 扣化简得到
gp==p
于该特性，可以消去指数积公式中与转动副相对应的一个角度变免。
【 定理】给定一个运动 旋量坐标为
gp = e庞 p = p
(5.26
~;;;;;; (w; r xm) e se(3) 的纯转动，则不在转轴上的任一
点 p 到转轴上的定点 r 的距离保持不变，即 I e·oi P'- r = 11.P - rl'I (图 S ,,6b) 。
证胖 对千转动变换 g=e炎和 r; = (m .; r x,吩 e se(3) 。 由千点 r 是转轴上的一点，因此由
式 ( 5.26) 可 知 gr=r , 这样
llgp - r l[I= l gp - gr l = llg(p '- r)II
由付I)体运动的特点可知， llg(p' - r)ll= l [lp - rll ,· 因此
llgp - r il = I P - r il
基千该特性 ，
可以消去指数积公式中与转动副相对应的— 个 角度变量 E
llgp - 」r l = lee: p - , 11 == llp - r ll
【 定理】 给定一个沿单位运动旋壹为 <;
均满足 (e虎p - p')xv· = O (图 5.6c)
= (0 ; v) ·E se(3)
< 5屯.27)
的纯移动，则对 于 空间 中的任一 点p
a
证明：对千移动变换 g=e卢~=: (0 ; ·v) ,E se(3)~ 我们有
则
gp;;;;:;; p+0'v
因此
(gp - p ) X JJ = 0v X V = 0
基于该特性 ， 可以消去指数积公式中与移动副相对应的 一个移动变噩 D
(gp- p )xv = (e戎 _p ·-p)xv = 0
( 5.28
应用 以 上三个定理 可以有效地消去指数积公式 C 5.23) 中的 一 些未知变凭，从而简化反
向运动学方程的求解。根据实际情况 ，， 又可以细分为直接分解法和变量消元法两种。
82
直接分解法 是指直接消去 POE 公 式中更多的变量 ., 使得对 POE 公式的求解问题变成对
运动子链 ( kinematic, subchain ) 的求解问题。位移保持不变原则就属千此类。例如几个关节
运动旋噩相交千 一 点时可 以使 用位置保持不变原则进行方程简 化 。
【 例 5 ...5 】 已知 6 自由度 PRRRRR 机器人 ， 其结构简图如团 5.7 所示，特点是后三个转动关
节交于 一 点 牛
解： 根据式 ( 5.23), 可得
g(O) == eBii, ,e乌i2 ... e0"~/J
式中，
~1
= (0; 1'1) e
se(3) 表 示 移动 副 的运动旋 措 ，
~j
E se(3) (i = 2, 3, … 6) 表示转动 副
的运动旋 噩。由 于后 三 个转动关节相交于 一 点 q, 因此 ， 应用位置 保 持 不变 原则 ，由式 ( 5.26)
引得
广， 知 ,e0:心 ,e&c,·& q
=q
这样可将后三个转动关节变蜇从指数积公式中消掉 ， 剩下的指数积子链仅含有三个未知
关节变量。因此得到
e心实oiJ q = g(0)q
饥
A}d
“1
,
_
_
矗
n
l
一一二
图 5~7
6 自由度的 PRRRRR 机器 人结构简图
与直接分解法不同， 变量消元法只能 消去 POE 公 式中的 — 个 变量 ，下 面举例说明 ：
【 例 5鲁,,】 考察如图 5.8 所示的空间 :RRR 机器人 。
"
阜从
［二~;,
I
图 5.8,
3 自由度的 RRR 机器人 结构简图
解； 根据式 位 23)1 可得
o~(fJ) = e织灼沁钻
式中，
<;p 女，,
?1e se(3) 分别表 示 3
个转动关节的运动 旋质凸进 行下列变换
g(lJ)p = e·Oii1 e乌i2 e~i3p = e°'i1 (e4-i1e~i3 p) = g 1(01)q
式中， g1 (01) = e气 q=e乌i1: e负,3 p 勺应用距离保持不变原 则 ， 由式 ( 5.27) 可得
83
ll(gi(1牙），q-rll = llq-rll
式中 ， r 为 转动关节~. 轴线上 的 任一点 OO
由此可消去转动关节变噩 8,
,
即
e私i2 e~J3 p - r' = g(O') p - r
【 例 5 .7 】 考察如图 5.9 所示的空间 PRR 机 器 人 口
解： 根据式 ( 5.23 ):; 可得
g(fJ) == e·实心吐
式中 ，女 ~ ((ti; v·1) ·E se(3) 表示移动副 的 运动旋量 ，女 ， ,3 E se(3) 表示转动副 的 运动旋噩。
g(IJ)p = e斗~, e~t2 eB岛 p=· e咕i (e免:2 e0-i :; p) ==·g. (B,)q
式中 ， g1 (0;) = eeiJi, q = e呫 产 p 。应用姿态保持不变原则 ， 由式 ( 5.28) 得到
(g1(0;)q - q) X Vl = 0
由此可消去移动关节变噩 ， 即
(g(O)p - e咕屯
+v1
(0·
I
＿， 一仓
－匕－－－－
I
立
矗
(}
2
3
”_
1
81
i
—
阳 5.9
5..3.2
I
3 自由度的 PRR 机器 人 结构简图
典型子问题的求解
反向运动学求解的子问题一般是指涉及的运动旋严个数（即子 问 题的 阶数）不超过 3 :t
且具 有明确的几何意义 和 数值稳定性。所有 子 问题求解都是建立在几个基本 子 问题基础之 上
的，通常称之为 Paden-Kahan 子 问 题匮］。
【 Paden-Kahan 子问题 1 】即 SubProb,..R 付， _p ;
已 知 ：单 位运动旋设 ~ ;;;;;;
,q )
绕某个轴的旋转。
(w·; r x w1) ,E se(3), p , q e 贮是空间 两点 。
： 满足 条件 ee汀，p==q 的 O 。
一
,
”(
r
。
叭(,)
v,.
图 5.1 0
子问 题 h
SubProb-R (尽 p, q)
解 ：该问题实质上是将点 p 绕给定 轴§ 旋转 到 与 点 q 重合 ， 如图 5.10 所示（, 为此 ，， 假设 r
转轴 上 的 一 点 ， 定义
u = .p - r·, v = q - r·
84
由于
”
e心 P' = q',eef r ; ; ; r ( 位 置 不变原 则）
则
e
今义 u' 韦
v'为 U ,
()(
( 5.29)
U =V
V 在垂直于转轴 妇 的平面上的投影。则
U
=U -
WW U
式 ( 5.29) 有 解的条件是当且仅当 U
= V' -
V
j
( 5 .30
,W W V
V 在 轴 (0 上 的投影等 长，在 与 轴 m 上垂直的平国
,,
上的投影也等长，叩
(0·.u=a,·v , l u'II ·:;: : l r'II
( 5 濬 31.)
如果式 ( 5.31 ) 成立 和可根据投影矢量 u' , v' 求得 0 -Q- 若 u':;e 0 , 则
J1l -v' =l u'll l·v'll cos 0
( 5 于3 2 )
u'x v-'= ru·11 u'l 11v'II sin B
0 =a tan 2{m (u'x ·v'),.,lTv')
T
若 u'· ;;;;; o 元则 存在无穷多个解”这 时，
p ;;;;; r 且两点都在旋转轴上勺'
<Paden.. Kahan 子问题 2 】即 SubProb县趴女，女， p , ,q) 的特例
已知：两个单位运动旋泣 ,r;l
相交于一点 r ,
p,q
( 5.33)
= {纵； r x ru1) E se(3) ;
绕两个相交轴的旋转。
~2 = i(ru2 ; r 八u2) E se(3) ;, ,1 与 ~2
E 历是空间两点。
B:
求解：满足下面条件的 01; 尸
e囡~I e咕2 p· = q
篱 该问题实质上是将点 p 绕给定轴 ,·2 旋转 02 ' 再绕轴r:. 旋转 O1 到 点 q 重合 ， 如图 5.ll
所示。为此 ， 令 q, 是转轴'] 上 的 任 一 点 ，
由距离 保 持 不 变原则 得到
eo,i,
p- q,ll= l q- d
令 0= l lq — q,11 ; 则
e勺 -q1II 五
P(
汛v
,m,2:
皇,W.I
图 ,5 .l l
子问题 2: SubPr,ob也B(~心2_,
p , q)
令 q· 2 是转轴己上的任一点 ， 并定义
U
=p
- q2 '
V
= q l ·= q 2
因此
2
e蟋 u-v == 5 2
将所有点向垂直于 OJ2 的平面上的投影 ， 并定 义 U; ,. V; 为 u'l,' 在垂立于 Wz 的平 面上
的投影 凸则
U = U
—W.,.{IJ.2 T. U ,
t
V = V
85
—w,..2ll.J 2T l'
司样对 6 投影 ，可以 得到
沪 =02 - 11时 (p -,q1)ll2
这样，上式变成
1 ,e 呤 u'-•"II = 沪
设 O。为矢量 u' 与 v'之间的夹角，， 则
仇 =a 血 2( 矿 (u'x v1, u lT vt)
( 5.34
现在用余弦定理来 求解角吩;;;;;; °'。 - 82,;, 由 图 5 艺 12 可知
l u'll2 + llv'll 2- 2 llu'lll v'I ,cos 份 = o亿
因此
0
I·.,
=·,0-
llu1W
+
I
J
v
'l
l
2
8'2
士 at·rccos,(
)
211-u'll llv"II
( 5 情 35 )
此式可能无解和也 可 能有 1 个或 2 个解和这取决千半径为 llu'II 的圆 与半径为 o' 的圆的
交点的数目。
求得了 02' 则可由 P1 = e乌i1 p 求得凡，再根据 e0卢I P, = q 计笋出 0, (具体求解方法参
心 叩
伈
?
1
1
1
1
考子间题 l ) 。
,
..,.
W'2
qI
_ qi)
图
U12
【 Paden-Kahao 子问题 3 】 SubP:rob-T (,~,
已知: ,
=:
间题 2 的求解
沿某个轴线的移动。
p, q)
(0; v) ·E se(3) 为 一个无穷大节距的单位运动旋童，
/J:,q e 贮是空间两点 。
求解 ：满足 条件 e戊p = q 的队
q
。
'11
p
图 5.13
子问题 3 : :
SuhPrnb-T 1(~) p·, q·
解： 该问题实质 上是将点 p 沿给定轴 尸移 动到点 q 蜇合 ，如 图 5.13 所示口很显然
0 = (q- p )-· 'V'
5.3.3
( 5.36
应用举例
下面举几个例子来说 明如 何应用 上述的子问题对 复杂机器 人 进行反向运动学求解。
86
【 例 5.8 】 求6 自由度的 RRRRRR 机器 人 （图 5 日 14 ) 的运动学反解 ( RRR 表示汇交 于一点八
解 ：， 该机器人的 POE 公式为
g(8) = e0i蚐l e句i2 琶 曼 · e咕
式中 ， g(0)-= : g((J片 g-'{0) , , 1 = (l0'1; VJ' )
E
i(i == l 立 3 ,... · 6) 表示各个转动副的单
se(3)
位运动旋噩。
r̀
”一
，
斤
I
图 5~14
( 1 ) 利用子问题 2 求 解 01,
q5
一
--
-
，凡
04
6 自出度的 阳欢应迅见l器人
02, 03
由千后 三个转动关节相交千 — 点q l'' , 因此 ， 应用位置保持不变原则可得
e0..:i,4l e众{s e0"克 ,q w
= qw
这样可将后 三 个转动关节变噩从指数积公式中消掉，， 剩干的指数积公式中仅含有 3 个未
知关节变导，即
e咕ie劣f2eeJeJ qw == g(8)小
令 Pw
= g (O)q向，
则上式变成
eBi"'1 e乌~2 e蜕qll! == p吓＇
可 以 应用子 问 题对其进行求解： 考虑该机器人前 三个关节的特点 ——前 两 个 关节轴线相
交 凸 这样， 可 先求出 0'1. 。再根据 e01 i1 eal 勺~ Pt = ,q 求得 0, , 02 (参考子问题 2 ) 凸
(2) 利用子问题 2 求 解 041 , f)s,
06
由式 ( 5.33 ) 可得
e岔i3 e鸟i1 ,e忍i g(O) = ee4.~4 eBs~5 e如
卜面的方程中左边为已知量 ，
同样可利用子间题 2 的求解方法对 上 式求解。
【 例 5 .., 】 求 SCARA 机器 人 （阳 5 . 5 ) 的运动学反解。
解 ：， 前面例 5.4 中已经讨 论 过 SCARA 机器 人 的运动学正解问题，下面来求它的反解。
(l )
求 e;j.
已知机器人在工具坐标系 下 的位形为
尔\
三匕
: g(O') = e
~,l e
e.
俨．
0 xy
cosrp -sin rp
O
·
sruD 1/-1
cos f/1
S
r g(O) ; ; ; 1
- z
1
。
。
0
0
0 1
+
,
.
cl3,;} 84心
e
1
而在前面其正向运动学求解过程中排导的工具坐标系原点的位置坐标为
. X
I r-/1
sin Bi
- ll sin(01 十 研
p(8)= '1 y = 11cos.01+ l1,cos(Oi + 82)
z
J
10 + ,04
\
丿
由此可导出 0~ ;;;;; z-~。 C 可以看出对 ()4 的求解没有利用削面 讨 论过的任 一 子问题 。
87
(2) 求 Bi , 02, 03
e °-蚐1 e0i1 e~笠J = i g((}汀g 一 1 (0)e姑
上式的右边是巳知世 从方程形式上看属千子 问题 2~ 因此可按照对子问题 2 的求解万
法进行求解，这样可解出 03
5.4
; 再 通过 子 问题 l 的求解方 法分别求得 Bi,, 02;,
基千 PO E 公式的机器人速度雅可比
我们知道，串联机器人末端执行器的速度是由各个关节速度来实现的和田关节速度到末
端执 行 器速度之间的映射矩阵我们称为串联机器人 的速度雅可比矩阵（简称雅可比 ）］ 。
传统描述机器人雅 可 比矩阵的方法是对其 正 向运动学进行微分求解 ， 通常情 况下求解过
程和结果都比较复杂 。 不过运用 POE 公式可以 自然清晰地描述串联机器人的雅可比矩阵，
并能突出机器人的 几何特征，同时可避免微分法中采用局部参数表示的不足 。
下面首先利用 运动旋量与 POE 公式 导出机器 人雅 可比矩阵的表征 r
设g :Q~SE(3) 表示串联机器人正向运动学的映射 ， 其中关节的位形空间 0 ,e , Q 和 末
端执行器的位形空间 g(O')
e
SE(3) 。这时，由前面导出的机器 人 瞬时空间速度结果可得
-f5= g(O)g-1(0) =盓昙叶-•co)= 吝（轰矿(0)}
( 5.37
可以看出末端执行器的速度与各个关节速度之间是 —种线性的关系 决 对应的运动旋量坐
f\
了
n
vs =
壑硕
标可 以 表示成
vJ
\
g l ( 0) 9
“
I
( 5.38
,...
·•
:『
0~ )' 则式 ( 5.37 ) 变为
( S 埴 39)
v s;::::;;: J S(8')()
我们进 一 步对 J s (18 ) 进行分析 ，以了 解它的几 何 意义 。 由正向运动学 POE 公式得
g(IJ) = 6aii1 e札占 .. .. ,e0i~i ·· ~ ,e 丸；厅 g(O)
因此
( 5.40
aoa
贡矿 (0) = e'li', e私{, …en,_,克丽{ ee,i, ) ea,,,立1 … e丸立 g(O)g-' (O
=·e 4,, e~lz .. . e 0i~rir一l 长） e~i1 e礼心 ， 漕. . -e01t~" g(O)g-1(fJ)
( 5.41 )
= e·气占· 谭 · e 织如 长） e一心J一i .. -e一气辈
写成运动旋量坐标的形式
( 5.42)
~,;' = Ad 产岭， 心心-I ) , ． ，
则式 ( 5...39 ) 变成
I
iJ,
~
v心 = J占 {0)8 = [~II
q'2
•• •
灶ll
,(J
/
入“
巨
I_
式中，
88
( .5A3,)
J汀fJ) ;;;; [ ?1
召. . . 4飞］
f ;;;;; Ad . .
( 5.44
'
守心心.. "f:的叫 I
以 上各式 中 vs 表 示末端执 行器的 空 间 速度（相对惯性坐标系） ， O 为各 个 关节速度 ，
J S(,{)) 称 为机器人空间速度的雅可比矩阵，简称机器 人的 雅可比矩阵 。 其中
召 = Ad （心2~2 ,. 社归\ : .! 与经刚体变换 e 斗~. e 埜，.. e0'i-,~1一l 的第 i 个关节的单位运动旋量 (, 相
对应，表示将第 i 个 关节坐标系由初始位形变换到机器人的当前位形。因而机器 人 雅可比知
阵的第 i 列就是变换到机器 人当前位形 下的第 i 个关节的单位运动旋噩（相对于惯性坐标系）。
这 一 特性将在很大程度 上 简化机器人雅可比的计算。
另外，根据单位运动旋拫坐标的定义，与旋转关节对应的运动副旋冠坐标为
::=[,.二rJ
式中，
r/ 为当前位形下轴线上 一 点的位置矢量，
( 5.45
a,,J~ 为当前位形 下 旋转关节轴线方向的单位
矢量，并且满足
创 ==e气硒… e如如 wi
[i] = e0ii,e乌.:,
式中，
--
-e°'忑仁I
[r;;
( 5.46
(5 A7 )
~- (0)1 为初始伈形下轴线上 一 点的位置矢量。
对千移动关节
(5 ,.48
式中，
v; =e和~ e旺企… e°'--1如f一L }'i
g
如果 Js(O') 可 逆；则
{J = (JS(IJ厂））一l ,vs
( 5.49
利用同样的推导方法可以得到末端执行器物体速度的雅可比矩阵 J只0) ' 即
V8 :; ; ; J 8 (8)1()
( 5T50
式中
.JfJ' (IJ) = [?i"
古 =Ad-1
.
,: ; .. ·• , :]
.
心t,c 如如， 心B忒")
,.
( 5.51
j
J勺8) 的第 i 列表示变换到机器人当 前位形 下的第 i 个关节的单位运动旋量（在工具坐
标系中表示）。
_
空间速度的雅可比矩阵与物体速度的雅可比矩阵之间的映射关系可以用伴随变换来表
刀。
J 8(fJ) = AdgJ 8(0)
(5 .52
【 例 5 . 10 】 计算 SCARA 机器人（图 5.15) 的雅可比矩阵。
解 ：， 建立惯性坐标系 {S11
由于初始位形下 W1
当前位形下各个关节对应的运动旋量坐标表示如下 ：
;::::::;: QJ2 ;::::::;: W 1.3
:.: : : · V4
;::::::;:
(0 0 l) T
,.
动副旋量其方向并不发生改变 ， 但位置发生变化。因此
89
在运动过程中 ， 各个关节对应的运
,“
-^a`
血T
n
'
y
SCARA 机器人
0
,_.
0
,
'
,
w, = ,a ,,2 == lO3 == V4 =
l.
＼
(0
到
得
5
一，
丿
5
式
由
则
·(
丁
今
丿
O
·
二
，
,
K
\o
~ ( 5 47)
- l1sin01)
l1oos01
a
_
_ C.
,4~
几 J)
,n
o\
0
_
_.'..
0
.r; = ,eOii li + e01ieo1i 12
1
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＼器 斗
上
几
称
[E
2
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1
0
o
4
【 例 5.11 】 计算 ST.
'"'TANFORD 机器人
解： 建 立 惯性坐标系 {S}, 当前位形下各个关节对 应 的运动副旋 篮 坐标表示如下
1 -t\
f 0)
w,I
=
-O
。
。 )
ri,_ =
+e
.
90
e
志
丿
c 01 c02
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叫
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W.~
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rW x w4
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II' 5
扩展阅读文献
5,.5
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[2].
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北 京 :· 机械工业出版 社 J
1.992
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Decom posable
closed-form
inve『se
kinematics
fm· reconfigurable
robots
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us,ing
习题
5. 1 证明串联 机 器 人 正 向 运动学中 ， 机器 人末端 执 行 器 的运动与转 动 及移 动的顺序无关。
5..2
利用坐 标系 前 置方式标出 图 5.17 所示虎克较的连杆坐标系 ， 并给 出 其 D-H 参数。
l:3 , Xi,
阳 S.17
53
Xi
虎克饺
利用 D-H 参数法求解图 5 屯 17 所示虎克饺 的 位 移 勺已知输 入角 el 和输出 角 /3:1 求其他 各
较链 的 输出角度 心
SA
利用 D-H 参 数 法对图 5 品18 所示的空间 3 R 机 器 人 进行正 、逆 运动学 求解 。
5.5
利 用 D-H 参 数 法对图 5.5 所示的 SCARA 机器人进 行 正 、 逆运动学求解。
5.6
利用 POE 公 式对图 5. 1 8 所 示的 空 间 3 R 机 器 人进 行正 ｀逆 运动学 求解 。
5 .7
试 建立如图 5.1 9 所示各 机器 人 的 D'-H 参数t
5 .8
分别利 用 D-H 参 数 法和 POE 公 式求解如图 5. ] 9 所示 机器人 的正 向 运动学。
5.9
求解 图 5. 2 所示平面 3 R 机 器 人 的速度雅 可比 矩阵七
91
千向运动学进行子 问题分解 。
5 ..10 对如图 5.19 所示 4 种空间机
一． 一
,b
,
l
交 ，． ．， 记，
打
~
.
图 5.18
空 间 JR 机器人
O3
f仆
l"
(a
(b)
七
．
I
9~
,.
,
.,,
,II
_,.
,,.
,,
,i d)
(c)
图 5+19
习题 5.7-5 .9 图
5 呻Jl 求解图 5.l8 所 示空间 3R 机器人的速度雅可 比矩阵 凸
5..12 求解图 5.19 所示 4 种 空 间机械手的速度雅可 比 矩 阵 。
92
第6早
【内容提 示 】
从本幸开始将向读者介绍有关旋童理论方面的基础知识及应用 ，， 从中体现旋童
理论在机构分析与综合中的若 干 优势，其 中 部分理论与李群李代数理论相互交胎。
Chasles 证明了任何物体从一个位形到另一个位形的刚体运动都可以用绕某直
线的转动和沿该直线的移动复合实现。通常将这种复合运动称为螺旋运动 ， 而螺旋
运动的无穷 小 量就是运动旋量，从而将李群、旋量与螺旋运动紧密结合起来口另一
方面 ~ Poin.sot 发现作用在刚体上的任何力系都可以合成为一个由沿某直线的集中
力与绕该直线轴的 力 矩组成的广义 力 ，这一广义 力 称为力旋量。这些都成为了旋土
理论的起源 。 19· 世纪末，英国剑桥大学的 R.S. Ba.ll 教授首先对旋泣理论进行了系
统的研究，并于 1 900 年完成了经典著作《A Treatise on the Theory of Scre'\VS》。书 中
指出运动旋量（系 ） 与约束力旋量 （ 系 ） 之间存在着 互易性 (reciprocit)' ) 。
旋量理论已成为空间机构学研究 中一 种非常重要的数学工具 ， 涉及的主要概念
包括主旋量、运动旋量及 力 旋堂等。通常意义上的旋堂由 2 个三维矢童组成 t 可以
同时表示向注的方向和位置，如刚体运动中的速度与角速度，（约束）力与力偶等。
因此，在分析复杂的空间机构时，运用旋量理论可以把问题的描述和解决变得十分
简洁统一中而且易于和其他方法如向童法、矩阵法等进行相互转换 D
本章主要向读者介绍和与旋量有关的基本概念，包括自互易旋量、力旋量、反
旋埜等 ，
161.1
学习中注意这些概念的物理意义以及与刚体运动之间的联系。
速度瞬心
如图 6,.J 所示 刚 体 2 相对固定坐标系或静止刚体 1 作平面运动（包括移动、转动、一般
平面运动）。其上 P 点的绝对速度为零 ， 与该点位置重合的静止刚体 l 上点的绝对速度也为
零，由此，定义该点为刚体 2 相对 1 的瞬心，同时也为两个刚体的 同速点 凸 或者说，在任 一
瞬时， 某— 刚 体的平面运动都可看 作绕某 — 相对静止点的转动，该相对静止点称为速度 瞬心
instantaneous. center of velocity) 。任意俩个 刚 体都有相对瞬心 。 找到瞬心 P 后，就可以容
易地确定 刚 体上其他各点的速度 。 例如图 6.1 上点 C 的速度
V'c
= Vp + VCP = 0)2 X rCP
( 6. 皿
平面运动 刚 体速度瞬心（简称瞬心）概念最先由 J . Betnoulh 千 1742 年提出 ， 而后 Chasles
1830 年将其概念由平面扩展到空间提出了空 间 运动 刚 体的瞬时螺旋轴概念，并 且得出
“任何空 间刚体瞬时运动就是瞬 时螺旋运动 ”的结论 。 那么 ， 何为瞬时螺旋轴 和 螺旋运动
呢？为了更好地理解瞬时螺旋轴和螺旋运动的概念， 我们 首先 给出 一 个通用的概念。
C
“
b
p
_
同
一暹
图 6.1
刚体的瞬心
93
1
6,1.2
旋量的定义
我们知道 ， 点 、 直线和平面是描述欧氏几何空 间 的三种基本元素，而 作 为另 外 —种几伯
元素， 旋量 (screw quantity 或 SCl~W, ) , 亦称 螺旋， 是由直线引申而米的。 根据 Ban 的 定义 ，
“旋量是一条具有节距的直线” 。简单而言 ， 可直观 地 视之为 一 个机械螺旋。
【 旋量的定义 】设 s 与 s。为三维空间的两 个 单位矢量，且满足迁移公式 s位 ~s01
+ (r2 - lj) x s ,
则 s 与 s。 共同 构成一 个单位旋量 ，记作
$ = (s ; s0) = (.~; s0 + hs') = (s ; r x s + h.5) =:(L, M. , }.l; P零 ， Q*, R 零 ），
(6.2)
或者
(6 谥 3)
或者 S =[:
或者 $
rxs0+ hsl
= S+
( 6.4 )
( 6.5 )
E So
其中， ( ,6.2 ) 是旋登的 Ptucker 坐 标表示形式 ； ( 6.3 ) 是旋呈的向呈表示形式 ； ( 6.-4 ) 是旋严
的李代数表示形式； ( 6 . 5) 是旋量的对偶数表示形式， s 为原部矢量" so 为对偶部矢量。
式中 ， s—表示旋 霾轴线方向的单位矢量 ， 可耜 3 个方向余弦表示，，
即 s
= ( L, M.
N八
L~+ M 2 + N 2 == l ;
广－旋噩轴线上的任意 一 点（可以看出 ： r 用 ＄上其他点 r'(r' ==
r + ls) 代替时，式 ( 6.2
得到相同的结果，即 r 在＄上可以任意选定） ；
so—旋量的对偶部矢量 t s°=(P*, Q 客 ， R * ) = (P+l让， Q+hM.R+h人八
h一节距 ( pitch ),,
h = s · s0 = LP' 蠡
+ MQ 螂 +NR il! 凸
f
?
••
,,
I
．一
4
....
占
,
,,
f.
',
矗冒
卢
,
',
·s
,
图 6.2
单位旋茧
特例：
即 S• s0 = O ) 时 ， 羊位旋量退化为单位线矢量 （或称直线旋量 ） ， 记作
6.6
或者
$0 ;;;;; (s; s0) ;;;;; (L, M , N; P , Q, R)
6.7
可以看出 ， 线矢量中，原部矢噩与对偶部矢量相互正交。
( 2 ) 当节距 h 为无穷大时 ， 单位旋昼退化为单位偶堂 C couple. ) 或 自由矢盘， 记作
6 瞿 8)
或者
$c,-.= (O ; s)
94
6.9
$九
z
y
位）线矢
(b) 偶
图 Q
线矢
为简化表示 ， 如无特别说明，本书中 一般旋量用两端带双箭头的线表示 ， 偶量用两端带
单箭头的线表示，表示线矢噩的线两端无箭头。
很显然 ，
由千单位旋量满足 S·S
= li
(归一化条件） ， 这样， 6 个 Plucker 坐 标中只需要
5 个独立 的 参数来确定。不过 ， 如果用 Plucker 坐标表示一个任意的旋量，而不是单位旋噩 ，
还需要 6 个独立的参数坐标 。
定义
且
$ = (心M双；武 Q\ 矿） = (s; 句
( 6.10 )
$ = p$
式中，
( 6,. ']1
P 表示旋星的幅值。
考虑单位旋蜇 $ = (s ; s 0 ) 是齐次坐标的表达形式， 因此用纯噩 p 数乘后
p(s ; s灯仍
表示同 一 旋里 o
可以 证明 ， 单位旋呈中旋昼的方向 s 与原点的位翌选择无关 ；： 而 s。与原点的位置有关 。
例如，将旋噩 (s
;
s0) 的原点由点 0 移至点儿旋噩变成 (s
~ .'J
;;;;;
:
S A )1,
~
so + 的 x
( 6.12
对上式两边点乘 S', 得到
｀巨s· =
s ·s
( 6谓 13,
可以 看到 S·s'。是原点不变量。同样可以证明旋盘的节距 h 也是原点不变量 （习题 6.4)飞
旋量在空间对应有 一 条确定的轴线。为此可将 s'° 分解 成平行和垂直千 s 的两个分量 hs
和 s0 - hs , 且P
$ = (s ; s0) = (s ; s0 -hs)+(O; hs) = (s .; s0) +(O ; hs)
( 6.14)
式 ( 6J4 ) 表明 1 个线矢量 和 l 个偶量可 以 组成 l 个旋量 ，， 而 1 个 旋量可以看 作 是 1
个线矢量和 l 个偶量的侗轴叠加 D
。
S
..
一．
,
.,.
,'
.,
逼
·萨
[_
~
,.
.
',.
.,
,.
?
...
图 6.4
另 外，根据 式 ( 6.2 )
单位旋虽的分解
ll ( 6.10) 可以导出任一（单位）旋养的节距和轴线位胃＿ 凸
h=
- ;S'
-,o
S·
-S •S-· ,
h = S • So
j
r
=
~-一。
~XS
( 6.15 )
S 气 s
I"
= S X 5;,o
95
(6 肥 16 )
【 例 6, .1 】 求单位旋 觉 $ = {ID , O,O ; 1 10, 1 ) 的 轴 线与节距 凸
蟒 首先根据式 (6.1 6) 计 算旋 量 的节 B
h = s-s0;;;;;; LP呻 + . MQ* + NR+;;;;;; ID
和轴线位置 。
ro
。
r = s x s = —l
\0
例 6. 1 t冬
图 6.5
【 旋量互易积的定义 】 两旋量的 互易积 (r,eciprocaJ. product) 是指将两旋量 $1 和 $2 的原部矢
旦与对偶矢童交换后作点积之和，即
'1 =[1
-IO
凸
式中 ，
A 实 质 上 是 一 个反 对 称单 位矩 阵工 它 具 有以下 特性 ：
= .d
- i ) AA = l CH) 4 一1
对式 ( 6.14 ) 进行
( 6 ..17
M ,2 = $/ J$2 = $i TA$,. = Mll
(ih
AT = .d
( 16 .18)
开 ， 得到
M12 = s ,TJ$2 = s, . (r2 勺 ＋ 从） + s2·(lj x s1 +h1s1)
= (J~+ 凡）(s1 · s2 )+(r2 一 ，只 S2X S'1 )
:::::(~+凡） cos a12
1
( 16.19
- a12sin a 12
M12 称为俩 旋量 $1 和 $2 的 互矩 (mutual moment ) 。
坏r)
$1 = (SI ; lj )("I
了夕
/
I
/
刁
r,
t
_
--------- ....
I
\\\
Ii_
a,
—
}
--
_
＿
}}
~
l
r.,
~ =
:\',
-
.2
图 6.16
喟 取 两个 旋
对
+ h2.s2. )
....,
旋呈 的 互易积
旋 萤 ， 则 上式退化为
M11
*I 此
(S'1 ; "1 X S2
=21召
( 6.20
单位旋 量 其节 距
1
h ~- $TA$
2
对于 一 般旋量 ，， 其 节 距
96
( 6.21
TAS
$$
]
h__
-TrS
.
2
( 6.22 )
式中， I' = 代 ：：：］ 凸
由 以 上 各式可以看监 旋量的互易积与坐标原点的选择无关 。
［ 自互易旋量的定义 】 互易旋量 与 自互易旋量： 如果 两 旋量 s. 和 $2 的互易积 为 零 （ 或互矩
为 零 ）， 则称 $1 是 $2 的 互易旋量或反旋量 ( reci proca1screw) , 反之亦然心即
M 12
= (h1 + 构 ） cosa12 飞，12 sin a 12 = 0
( 6于23 ,
如果一个旋童 ＄ 与其自身的互易积为零，则称 ＄ 为 自互易旋量， 即 M11= 0 。
【 定理】只 有 线矢量和偶量是自互易旋量 。
一方面可 粮据线矢量和偶童的定 义 可直接验证 以 上结论 Cl
或者通过 $T A$ ;;;;; 2 s , s0 ;;;;; 0 得 ， ( 1 ) s ;;;;; O; 或者 ( 2 ) .'5°;;;;; 0; 或者 ( 3 ) S·So = 0 凸
( 1 ) 表明是 ＄ 偶虽 ~( 2 ) 和 ( 3 ) 表明 ＄ 是线矢董。
1
6,.3
旋量的物理含义
6.3.l
旋量的物理意义
如图 6.7 所示若用 w(we厌3 ) 替换 S 1 用 ，v(v 已R.3 ) 替换 So , 则上式变成
( 6.24)
，，
才
卫
'J
铲
，
..
I
了．
户＇
俨
..
r-
，
-
..
一
'?
,
I'
.
图 6了
运动旋下·
可以 赋 予式 ( 6,. 24 ) 明确的物理意义 和 即用来表示刚体的运动（瞬时速度） ， 因此将吁
称之为单位运动旋量 ( twist 入式 ( 6.24 ) 表示的是单位运动旋量 的射线坐标 (ray
,coordinates) ,,
写 成 Plucker 坐标为 (w; v) 。还可以给出运动旋量另 外 一 种表达式。
( 6.25
上式是单位运动旋 量 的 轴线坐标 ( , axis coordinates) 表示形式， 写 成 Plucker 坐标为
(v .~ {Oli o
至此，我们给出了单位运动旋凭的两 种 坐标表达形式 ： 轴线坐标 (v ; I矶） 和射线坐标
(,w ;
v) 。显然两者之 间 是原部矢量与对偶部矢噩互换 的 关系 。因 此 ， 可通过算子 A, 来实
现 运动旋荒的轴线坐标 与射 线坐标之 间的 相互转 化 心
不过，本书中在不作特别 声明 的情况下， 一 般采用单位运动旋登 的射线坐标表 示 形式 。
另外我们 可 以看到表示运动旋量 时使用的符号与 一 般旋 量 的坐标表示符号不太 一 致』运动
旋垦中 ， 单位转轴矢堡的符号 一一 般用 W, 单位运动旋噩的坐标通常用 ,,
97
= (w; v) 表示；
而
＝ 一般旋豐中经常用 s 表示单位转轴户对 应的旋呈坐标通常采用 $
= (s ;
s0 ) 。
汪慈以上的表达均没有考虑幅值的存在，如果考虑幅值的存在喟则式 ( 6.24
L叮
OJ
l /
6
@
@_
rJ
L r 屯 +hw」＼兀
~
^「匐 「
y'
v
V~
\")
v
V
v_2 ,1
V.匕
变成
i
(1... 1u6 .. .t.26)
o
式中 i' ilJ表示 刚 体绕坐标轴旋转的角速度』而 i 则表示 刚 体上 与原点重合点的瞬时线速度 。
如果式中 T的节矩为零，则该运动旋扭退化为 一 个线矢堡，刚体运动则退化成纯转动 ．，
相 应 的运动旋昼可 以表示该转动的转轴。如果式中 T 的节矩为无穷大，则该运动旋 昼退化
为 一 个偶 垦 ，螺旋运动则退化成移动运动，相应的运动旋 量可 以表示移动线的方向 。 反之，
式中 T 的节矩为有限大的非零值，则整个运动旋量 可以表示为该旋噩轴线的移 动与转动的
耦合运动（即 — 般螺旋运动）。
运动旋量的分解： 由式 (6. 26 ) 可知 ，， 一个运动旋荣 T 可以通 过 3 个 参数来给定:
{IJ ,.
t, h 。 反之，假设给定 一 个运动旋 量 ，则也 可 以唯 一 确定这 3 个参数。具体 可以通过对运动
旋量分解来实现。如图 6.8 所示。将运动旋量 分解成 一 个 与 转动轴线平行的分 量 （沿 o 方向
和 一 个与 转动轴线正交的分量（沿 r x w方向），则
lvlcos<p =hlw,1
( 6.27)
由于根据矢呈点 积的定义 ， 可 得
w-v = 位llvl cos (fJ
( 6.28)
而
(O· .,.,,
-h·=—
- -·
( 6.29
,. =..OJ X V.
(6..30)
0J1•,OJ
ru,. ro
由此 可以 导出 h 和 r 。 这样就求得了运动旋 量 T 的 三 个 参数 iiJ
hiiJ
,, r h
j
旷
.
图”
【 例 6,,,2 】
已知某一运动 旋
解：根据运动旋
运动旋
为 T -=(I, I, 0;
的分解
I; 3, 0) , 求 o
的表达 ， 可直接得到 v· = [I
3 01-r
7-
w= 「 l
r,
h。
1
O] 』， 正则化 O 得单
位矢 JEl.
5
迈 O]T
——
2
2
w=[
·---:J一· 根据式
6.29 ) 和式 ( 6.30) 求得其他两个参数。
ro-v·
--
h = -· -· = 2
(JJ • ,(JJ
- · OJOJ
。
ltJ X iV
r ;;;;; — ; ; ; ; ; [O
1]1
与表示 刚体 瞬时运动相似 ，刚 体上的作用力也 可 以表示成旋噩的表达。与运动旋 量相 对
应 的物 理概念是力旋量 (wrench), 这俩个概念都是 BaH 最先提出来的。
98
?
',
夕
,
，一
卢
,
,
,
'
,
户．
铲
I.
.,
..
.3
晶占
铲
..
图 6 ..9
力旋
如图 6-. 9 所示 ， 若月] /(/已R3 ) 替换单位旋量中的 S, 川 r(,E R3 ) 替换 s'。 ， 则变成
＄ 屯] =[rx!+ hf ]
(6.31)
实际上，式 ( 6.31 ) 有着明确的物理意义 户即 可以表示 刚体上的广 义 力 ，因 此将其称之
为单位 力 旋量。
任意 以 上的表达均没 有 考虑幅值的存在，如果考虑 幅值 的存在 ，
则式 ( 6.31 ) 变成
W =J平s = I!]=[r 尺f!+ hf-] = 亿 f俨~J, 气了，互 ）
T
(6.32
式中， i 表示 作 用在刚体 上 的纯力 ， 而 印 则表示对原点的矩 。用 Plucker 坐标（ 射 线坐标
形式）表示
一，
W :; ; ; (f; 句
( 6.33
考虑俩种特殊的单位力旋贯 ：
单位力 (forcel 简称力线矢 ）： 作用在刚体上的纯力可用表示成 f(f;
(I)
J 为作用力的大小，
rxf),
其中
(f; rxf) 为单位力线矢 D
单位力偶 C couple·) : 在 刚 体上作用两个大小相等 3 方向相反的平行力构成 一 个力偶 ，＇
(2)
同样也可用一个 特 殊 的 旋量——偶量来表示 r(O;
(0;
r),
其 中 t 为作用力偶 的 大小 中
r) 为单位力偶。 力 偶是自由矢噩 ， 它可在刚体内自由地平行移动但并不改变对
肘本 的 作用效果亡
6.3藏2
自互易旋址的物理意义
作为特殊的旋量类型，自互易旋噩（线矢量和偶堡）对机构学研究具有 十 分重要的意义。
实际上，线矢量可 以表示运动学中的 纯转动 或者静力学中 的纯力 （或约束力 ）凸而偶墨 可 以
表示运动学 中 的纯移动 或者静力学中 的纯力偶 （或者约束 力偶 ）。
(1) 刚体的瞬时转动和转动副
如图 6.10 所示， 刚 体绕某 一个 转动关节做瞬时 转 动。设 ,ro(m E 胶3 ) 是表示其旋转轴方向
的 单位矢盘 ， 角速度大 小 为 矶 r 为转轴上 — 点 E 我 们 知道， 描述 刚 体在 三 维空 间 上绕某个
轴 的旋转运动只用 一 个 角速度矢量是不 够的 ，还需要给出点该 转 动轴线的空间位置。很显然，
根据 前 面对线矢屋 的 定 义 ，可以很容易地给出与该转动关节对应的 Plilcker 坐 标为 W({I) ; V。)扣
或者
( 6.34
其中 ＇， 线矢量 的 第 二项 o.JV。=
mrx,(o .: 表示刚体 上 与原点重合点的速度，也就是转动 刚 体在
该重合点 处 的切向 速度 。 因此当转轴通过坐标系原点时 ，
{t)(,CJJ ; 0) ,:,
99
表示该转轴 的 线矢量可以简化为
t
才
夕
,,
,
-
`)
i
矿
,.
r··.._______ I ./' Vo
图 6. 10
刚体的瞬 时转动与转轴
(2) 刚体的瞬时移动和移动副
如图 6. ]] 所 示的 刚体做移动运动''设 v(v e 良3 ) 是表示移动副导路中心线方向的单位矢
童 ，速度大小为 v 。我 们 知道，对 千 移动运 动 ， 刚 体 上 所有点都有 相质的移动速度，， 也就是
说将速度方向 平移 井不改变 刚 体的运动状态， 因而 这 里 的 v 是自由矢 蜇。该自 由矢 量 对应的
即cker 坐标为 v(O ;
v'), 它是 一 个偶晟。另外， 刚体 移动可 以 看作 是绕转动轴线 位于与 v 正
交的无穷远平面内的一 个 瞬时转动。
1J r·--."'
：产---气·--
一、
\
图 6且
刚体的瞬时移动
(3) 刚体上的作用力（或者力约束）
与刚体瞬时转动的表示相类似 ， 作用在刚体上的纯力或者施加在 刚体上的 纯 力约束也可
以用线矢 噩 来表示。
如图 ,6J2 所示，某刚体作用 一 纯力或力约束 凸 设 f(f 芒苠_3 ) 是 表示该力作用线方向的
单位矢量， 大小为/, r 为作 用线上一点“同样清楚描述该力只用一个方向矢费是不够的 ，＇
还 需要给点该作用线的空间位置 勺很显然，根据 前面对线矢量 的定义，可以很容易 地给出表
示该力作用线的线矢噩 f (f; ·r o)' 即
( 6.35)
其中，线矢严的第 二 项 丘。 ；；；；； f八 J表示力对原点的力矩。当该力通过坐标系原点时，该线
、 户：可 以 简化为 f(J';. O) 心
·:, 一一 ·-..
图 ,6.1 2
I 歹T。
刚休 受纯力（或者约束 力）1 的作用
:100
(4) 刚体上作用的力偶（或者约束力偶）
如图 6-.13 所示的刚体受到纯力偶的作用。设 1-"(T E 历）是表示力偶平面法线方向的单位
矢量 ， 力偶大小为 r。实际上 ， 力偶也是—个自由矢量 ＇， 即将力偶在其所在平面内平移并不
改变它对刚体的作用效果。该自由矢昼对应的 PWcker 坐标为 r (O ;
r) ,.
它也是 一 个偶至 0
另外，（约束）力偶也可以看作是 一 个作 用在刚体上的“无限 小的力”对 原点的矩，该力的
作用线与 T 正交，并位千无穷远的平面上 仑
图 6. 13
1
6,.4
刚体受儿偶（或者约束力偶）的 作 用
力旋量
与表示 刚 体瞬时运动相似， 刚 体上的作用力也可以表示成旋莹的形式 口 与运动旋翌相对
应的物理概念是力旋量。因此 ， 本节重点 讨 论力旋量的基本概念以及与力旋量相关的一 些 几
何特 性，这些特性将加深对力旋米的理解 凸
().4.1
力旋量的概念
相对于某 一 参考坐标系，作用在 刚 体上的广义力包括移动分豐 f ( 纯力） 和 作用在 一 点
的 转动分量 1: (纯力矩），可用一个 6 维 列向蜇来表示
( 6.36)
或者用 Plucker 坐标（射线坐标形式）表示
F = (f ; x)
式中，
( 6宁3 7)
/., l' E 股J 。 通常将力与力矩组合而成的 6 维向量称为力旋 量。
力旋噩F ,已Ft.6 的值与表示力和力矩的坐标系有关 。 例如，若 {B} 为物体坐标系，则作
fj 千仿｝系坐标原点的力旋噩记为 B F =(B f ;
BT) , 其中 B j" f[I B T 均在坐标系 { B} 中 描述。
力旋噩与运动旋噩的互易积即 可 定义成瞬时功 。 考虑刚体运动； g(0)' 其中 {A} 系为惯
性坐标系， { B } 为物体坐标系。设;,VB E 胶6 表示刚体瞬时速度，
B F 表示施加给 刚 体的力
旋量 。 如果在坐标和B} 中来描述这俩个量， 二 者的互易积 可 表示无穷小的元功
,oW=.BFo ; 尸 = Bp T(J'.!VB) = BpT 炉B =BF 十 炉B=(Bj, ~ 沪 +B r , 饲）
式中，
( 6.38)
~V B 表示轴线坐标形式的物体速度 D
如果有两个力旋量对千任何可能的刚体运动所作的功相同，则称它们 等价。利用等价力
主可以替换作用在不同点处或者不同坐标系下的力旋星。
【 例 6,.3 】 已 知力旋 量 B F 作用在坐标系岱｝中的原点，要求确定作用在坐标系 {C} 原点处
的 等价力旋昼（ 图 16.14) 心
根据等 价力 旋乐 的定义， 考察 刚 体经过任意刚体运动时力旋荒所作的瞬时元功凸可得
8W= CF 十沪：：：：：：：：：
BF•
;v0 = (Ad r
A
f
B
)
.
8F
=
(Ad ,、 BF) ·~尸
廿 gC
廿g
囚此
:1m
(6.39)
C r.,=
Ad ,气
Bp
( 6.40
RK
将上式展 开得 到
(:.:J=[~;;R
( 6.41)
l
图 6.1 4
对于刚体位形为 gAB E
SE(3),,
例 6.3 图
作用在其 上的 合 力 旋量通常有两 种 表示方法 ； 一种在物
体坐标系 {B} 中 表示 ； 这时，力旋量 记 为 BF,, 它表示等 价 力旋量作 用在坐标系 {B } 中的原
点 ； 另一 种 在惯性坐标系 凶｝ 中表示 ， 这 时 ， 力 旋量记为 A p 。这些表示方法类似 千刚体速
度的惯性坐标 系表示或物体坐 标 系表示。因 此 ， 借助前面的速度表示， 可 以 很方便地给出力
旋量在不同坐标系中 的相 互关系 ， 具体可通过下列伴 随 矩阵 的转 置变换来表达凸
AF = Ad el B'F
( 6.42
BS
对 比 式 ( 6,.42 ) 和式 ( 4 . 112 ) , 两者的表示形式是完全 一 致 的 。
表 6.W 中给出了本书中几 种 常 见 物理琵的旋扭 坐 标 a
表 6.1
类别
I
线矢监 I
偶品
节距特点
角速度 ( ro ;
h ·;; 0
I h =ro I
I h 为有限值
静力学
运动学
线速度 ( 01
rxro)
I
(w;
力 (.f ;
r x ,w + h吩
rx f
力偶 (0, ;
; Y)
螺旋速度
旋虽
各种物理里的旋呈坐标比较
力旋呈 ,( J、· ;
)
T)
r x f +hf)
或者 (f ; T)
或者 （＂ ； 叭
(s ;
rxs)或者 (s;
s0)
(0 ; s)
i(s· ; r x s + hs
或者 (s ; s勹
如果 有 任意多个力旋量同时作用在同 一 个刚体上（构成空侚力系） ， 那么都 可以 等效倌
化为 一 个 力旋豐即合力旋费的作用 ， 而作用在 刚 体上 的 合力旋兑可通 过 力旋费 的 叠加来确定。
其通用的表达形式是 /$
= f(s ;, s0) =(js ; fso+ 沁）I '
它表示 一介个力线矢 （邑f,~; j炉 - hs) 和
一 个 与之共轴的力偶 (0 :; hs) 之 和 。
为使叠加有意 义 ，所有力旋翟应在同 一 坐 标 系中表示。 因此 ， 对 于给定的 一 组力旋昼，
必 须先将每 个 力旋昼表示成同 一 坐标系中 的 等价力旋萤 ， 然后再进行叠加得到作用在 刚 体上
的 合力旋量心
6.4曦2
力旋址的旋量坐标
般力旋量都 可以 通过沿空间某轴线施加 一 个 力与绕该 轴 线的力矩复合而 成 。 Chasles
指出，每 一 运动旋凿对拉的 刚 体运动都可 以 由某个 螺 旋运动产生。 Poinsot 得出了 一 个与其
类似的结论： 每一力旋量 都 等价千沿某轴线的力与绕此 轴的 力矩的复合尸 二 者 都 可 以 用旋量
坐 标来表示。
:102
在惯性坐标系 {A} 中 ，， 设螺旋运动 S 的轴线为 l ={r + 儿s: 儿 E JR},,
11s11 = l ,, 节距为 h ,
大 小 为p。螺旋运动 S 由通过施加的 一个沿轴线 i 、 大小为p的力 f 及绕此轴、大 小 为 hp的力
矩护生（若h
= 00,
可通过施加绕 轴 线 l、 大小为 hp的纯力矩产生）。与给定的螺旋运动 S
心. p)相对应的力旋量在坐标系 {A } 中 可 表示为
气勹 = p(
s
)
r x s + hs
T
h为有限值时
( 6.43 )
h= w
式中，
r· xs 为旋量轴线偏离坐标系 {A } 原点的距离 ，
F 为沿螺旋运动 S 的力旋量：
由千式
中所有噩都在坐标系切｝中描述，故省去下标。
【 Po-in.sot 定理 】 作 用在刚 体 上 的力 旋量等 价为 一 个 沿固定 轴 线 的力和 一个绕 此轴的力 矩 D
证明：
( I ) 采用构造法口
设 F = ( J" .; -r ) 为施加于刚体上的合力旋是 ， 不考虑 F = O 的情况。
CD< / =0 ,
纯 力 矩）
令 p == Iii-II ,
S ;;;;;;;
TI p'h = OO
由式 (6.43 ) 可知 ，， S (I, 切， p)就代表了力旋量 F 对应的螺旋运动。
@( f -;t.0 )
令 p = 1 111
:I
s = J/ p 1
则根据 p( r :x s + hs) = t' 解得
—
I XT
/ 1-r
h=.. :._— r =
IItll2
l t il2
由于轴 l 上 的 任意 一 点 r'(r' = r·+ /4 !,') 都满足式 ( ,6.42 ) , 因此解 不 是唯 一 的。
下面根据 Poinsot 定理给出力旋盘 F. =(/ ; T ) 的旋噩坐标表示勺
(a) 轴 l
f XT
( 6.44
_{0+1-r : 压配
J飞 = 0
( b ) 力旋昼 的 节距 h
~旦
/ ·t'· _ / TT
-
h =U· f
-11111' / "'- 0
/ =0
( 6.45
心
( c ) p的 大 4
叶11/11 / ,t, O
lrll / =O
1
6,.5
( 6.46)
机器人的力雅可比矩阵
本节以机器人的力雅可比为例 ， 讨论 一 下运动旋噩与力旋星之 间 的 对偶 ( dual ity ) 关系。
:103
静力雅可比矩阵
6.S'tl
利用功能等效（或虚功）原理，可以导出作用在末端执行器的输出力旋觉与由关节力或
力矩组成的关节力旋量之间的映射关系。为此 ，， 令 g(0)
e S£(3) 表示末端执行器的运动 ，
其上的输出力旋量为 B F (在物体坐标系中描述）喟则系统所作的功
ff'::::: f 2B_
F•VBdt ='i (尸）IT8 Fdt
.I
(6.47)
式中， ·JJ B 表示末端执行器的物体速度（轴线坐标表示） 心 如果不考虑摩擦及重力影响的话 ．，
系统所作的功还等千关节力旋量 ",a 对系统所作的功，即
W 寸 B (f , (} 切t
(6.48
由千无论关节力矩还是关节力 ， 它 们对系统所作的功 与 时间 区间的选择无关，因 此由节
( 16..47)
和式 (6.4.8) 可以导出
庐）T( 田；；；；； 1伈）T (DO')
根据机器人速度雅可比矩阵的定义，
(6.49
因此有
VB= J BiJ B,.
(os) (J Bf BF=(OBf (Bu)
(6志50 ,
曰 J8' ) 8F
(6.51.)
即
似的方法 ， 还可以得 到末端执行器 的空间力旋 噩 8 _F C 在惯性坐标系下描述）与关节
力旋量之间的映射关系。
(7 ;;;;;
(JS)TsF
(6.52)
由式 (6.51) 和 式 C 6.52) 可以得出结论：， 机器人雅可比矩阵的转置可以表征末端执行
器上的力旋噩与关节力旋量之间的映射关系。这时称其为机器人的 静力雅可比矩阵 （简称力
雅可比），该公式无论对串联式机器人还是并联式机器人都适用。而式 ( 6.5 :l ) 和式 (6. 52 )
也可以通过虚功原理 (principle of vi血al work) 得到 ，具体推 导 可参考文献[ l l 91 ] 。
下面看 一 个例子 。
【 例 6~ 】 讨论一下 SCA RA 机器人的力雅可比矩阵。
解 t 例 5.10 的分析已 经给出了该机器 人的速度雅可比矩 阵，根据力雅可比与速度雅可比之
间的映射关系 ， 可以得到
0
0
oooo
l110
0
6.5.2
q +l c oi
2
0
l
q
l SI
s 12
2
Ol
。
0
lc
I
l
。
0
0
勹』－
矿）＝
0s+ 0c
l 0il l 0l
力雅可比与速度雅可比之间的对偶性 (duality) 讨论 [l 6 1- 163]
由以上讨论可知，施加给末端执行器的力旋蜇与关节力旋量之间的映射关系可用机器人
的力雅可比 矩 阵来表达；而另 一 方面，力雅可比的转置也就是速度雅可比 ， 可用来描述机铲
人末端运动旋量与关节运动旋噩之间的映射关系。前者反映 的是机器人静力传递关系 ， 而后
者描述的是速度传递关系』因此说，机器人静力学与运动学之间必然存在着某种密切的联系。
机器人的微分运动 与 静力传递之 间 的关系可用如图 6雹 15 所示的线性映射图来表 示。我
们知道机器人的微分 运动方程可以看 成是从关节空间 Cn 维向蓝空间 V勹向位形空间顷
:1 04
维向豐空间 vm) 的映射为线性映射，雅可比矩阵 J·) (.fJ)
(以下简写成 J'( lJ) ) 与给定的位
形O一一对应其 中 ,,fl 表示关节数 ,,m 表示位形空 间维数 。 J(IJ) 的 域空间 ( range space)
R (J)
代表关节运动能够产生的全部操作速度集合。当 J (,fJ) 降秩时，机器人处于奇异位形， R(J)
不能张满整个位形空间， 即 存在至少一 个末端操 作手不能运动 的方向 廿子空间 N( J) 为 J (tJ)
的零空间 ， 川来表示不产生操作速度的关节速度集合，即满足 J{,fJ),O
~1
= o 。如果 J(O) 满秩 ，
(J) 的维数为机器人的冗余 自由度 ( n-m) ; 当 J(OI) 降秩时， R(J) 的维数减少， N(J) 的
维数增多，但两者的总和总是为 n1 即
diin(R(J)) + dmm(N(J )) = n
( 6谓 53, )
与微分运动映射不 同 ， 静力映射是 从 位形空间 ( m 维向 噩空间 Vm) 向关节 空 间 ( n 维
向噩空 间 V凡）的线 性映射 。因 此，关节力旋星 6 总 是由末端操作力旋 噩 F 咄 一地确定。
反过来，对于给定的关节力旋量 ，， 末端操 作力 旋世 却不总 存在，， 这与微分运动的估况类似。
令 零空间 N(JT ) 代 表不需要任 何 关节 力旋 量与之平衡的 所有末端 操 作 力旋量 的 集合 ，这时
的末端力 全 部 由 机器人机构本身 承担（如田 约束反力 来平衡 ）， 。而 域 空 间 R(J ' ) 代 表所有能
平 衡 末 端操作力 的关节力旋 噩集合。
J 与 JT 的域空间和零空间有行密切关系。山线性代数的有关理论可知 :1 零 空 间N (J)
是域空 间 R(JT) 在 V'J 上的正交补中反之亦然 。 若用 sl 表示 N(J) 在 V'·' 上的正交补主则 SI
与 R,(JT ) 等 价；同样，若用 SJ 表示 R(JT ) 在 y11 上的 正 交补，则 S寸 与 N(J)等价心， 这说 明
在 不 产生任何末端操 作 速度 的那 些关节速度方向上，关节力旋豐不可能被任何末端操作力 平
氮为了保持末端操 作 臂静止 不 动 ， 关节力旋量必须 为 零”
在位 形 空间 vm 中存 在类似的对 应关系 ，即域 空间R(J) 是零空间f.l(JT) 的正交补 。
故 s2 与 N(JT ) 等价， S4 与 R(J)等价。因此当 外力 作用 在末端不能运动的方 向时，不 需要
关节力旋量来平衡末端操作力；同样当外力加在末端可以运动的方向时 ，必 须全部由关节力
旋量来平衡。如果雅可比矩阵降秩或称操作手处于奇异位形时， 1V(J 1 ) 不降为 零 ，外力的
一部 分由约束反力来 平衡。微分运动学与静 力 学 的这种关系称之为运动学与静力学的对偶性 。
ve v•
J
N(J )
I
171',.
I
｀勋
_1
,!, ,
N,(.IT
双J T
1·.ev·
d ~V"
图 61.15
1
6,.6
反旋量
6.6.1
反旋量的物理意义
I
运动学与带 力学的对偶性
反旋噩又称互易旋昼，可用运动旋凿与力旋董的瞬时功率来定义 心，
一 个刚 体只允许沿单位旋量 $1
= (s1 ;
s01 )
= (s1
:105
;. lj x s1+ h, s1)作 螺旋运动，相对应的
单位运动旋晕的坐标为 ?
= (,m1 ; V1} = (纠； n 双o, +h陟1 ) 。设想在其上沿单位旋噩
$2 = (s2 ; s'°2 ) = (s2 ; '2 >< s2 + h2 s2 )
.F
= (J; ; 1'2) = (J;
方向作用一个单位力旋蜇
; '2 X1; + 丸 J;) ' 如 图 6.16 所示。
加:, )
图 6.16
不 失一般性，假定点 门 、
互易旋鱼的概念
片 分别位于距离最 近的 两轴线上，因此 片 可改写 成
'2 = 1i + .a 12·n ,, 其中 ” 是垂直千两轴线 的 单位向导中 这 时 ，《 与 F 的 瞬时功率为
P.'2= F 心 = F 切;
= J;_ ·V1+T2•,w,1
＝片 (r1
x.m1+ h1(JJ1) + m1·(r2 x / 2 + h2 儿 ）
= 仇+九） (ru1·J;_) + (r2 一 tj)·(J;
( 6.54 )
X0.劝
= (h, + 凡） cos aL2- a12 sin a.12
而根据本章第一节所给出的俩旋厅互易积的定 义， 可得
$1 '0$'2 = $l1 A,$2 ;;;; SI . (ri X.~2 +构s2 ) + s2·(r1Xs1+ hi,~1)
= (h, +凡 ） (~~1 · ,i·2)+(t2 - 1j) ·(S2 X,f1)
( 6.55)
= (h] + 忙） co,s a 12 - a12 sin a12
对 比 式 ( 6-. 54 ) 与式 ( 6 ..55) , 结果完全 相 同平则表明力旋蜇 F 与运动旋噩 ,.; 的互易积
正是这两个旋量产生 的 瞬时功率。因此 和 如果$ 1 , $2 的互易积为零 ， 则意味行 力 旋量与运动
旋量的瞬时功率为零。这种情况下，无论该力旋量中力或 力 矩有多大 ， 都 不 会对 刚 体做功
也 不 能改变该约束作用下刚体的运动状态。由 此称与 $2 构成互易积为零的旋量$1 为 $2 的 反旋
l
redproca.1 screw,.
也称互易旋最 ），反之 亦然。通常 情 况 下 反旋凳用 ＄ 尸表示，单位反旋
量用 $ "表示。
反旋量的概念最初是 Ban 提出来的 ， 它 从运动旋量与力旋量 引 申 而 来， 习 惯上主要表
征力旋萱心而 从物理意义上讲是一种 约束力旋盘， 可表示物体在三维空间内受 到的理想约束
( ideal constraint.,, ~
6亭6噢2
•
特殊儿何条件下的互易旋量对
旋量$1 与反旋量$2 的轴线相交
这时 公 法线为零 ， 即 at 2 =0;, 则 式 ( 6.55 ) 简化为
同凡＋ ，九） COS ,ctl2;;;;;
0
( 6.56)
特殊情况 I: 旋量＆与反旋量$2 轴线相交但不垂直 （图 16.17 )
由 于 cosa12
* 0 .,
因而
h1 = - hz
:106
( 6.57)
这是两个轴线相交但不垂直的一般旋量 互易时应满足的几何条 件（图 6.17a ) 。
~~
I
/ 飞、~--
a) 一般旋盄对
图 6.17
(b) 一个直线对
旋盘$1 与反旋莹岛的轴线相交不垂直
特殊情况 2: 旋址$1 与反旋址$,2, 轴线相交，且其中之一的节距为零 ( hi = 0 或 hl = 0 )
根据式 ( 6,.55), 要满足互易 的条 件 ， 可导出 另外 一 个旋 昼 的节距 也 为零（图 6J7b J飞
这时，两旋 垦均为 直线。即可以得出结 论：共面的两条直线 一定互易 。而 前面第 一卒巳 经证
明两条互易的 直 线 必 共面。因而可以得到 ：两条直 线互易的充要条件是它 们 共面。反之 ， 不
共面的两条直线 必 不互易 心
特殊情况 3: 旋量 S1 与反旋量$2, 的轴线垂直相交 （图 6.18
由千如；；；；；；
0
cos a 12 ;;;;; 0~ 满 足式 ( 6.55}, 因而 无 论节距取何值 ， 两个旋 量都互易 。
!I
这表明与运动旋量垂 直相交的力旋量 亨 无论节距多大都无法改变刚体的运动 状 态。
图 ,6.18
•
旋呈 $ 1 与 反旋凿12 的 轴线垂 直 相交
旋量$'l 与反旋量$2 的轴线平行 （图 6仅 19)
这时扭角为零 ， 即 a 12
= 0,
则式 ( ,6.55 ) 简化为
仇+
由千 cos a 12
;;i;
h2)cosa12
=0
( 6.58)
O ., 因 而
( 6谓 59)
h. ; ; ; -h2
七 ~
,:.
h, = -丸
/
勺
图 6.1 9
•
旋呈$1 与 反旋 至岛的轴线平行
若旋量$1 与反旋量S2 的轴线异面，但其中之一 的节距为零 (hi = 0 或凡 = 0)
如阳 6.20 所示 ，不妨令 hi
= 0, 则式 ( 6.55, ) 退化为
构= at 2 tan a 12
图 6项
二
旋昼$ 1 与反旋岳 $2 的轴线异面 ， 但其 中之一 的节距为 攷
:107
( 6.60 )
因此，如果 al2 ;;;;; o 但 知 ~ o 或者 a12 丑 90尸 （退化成图 6 . 21a 的形式） ， 则 $2 的 节距也
应为零 ( h2;;;;;; 0), 这时$2 退化成— 条直线。如果 S 1 表示约束力 ，则其反旋量$2 为与之相交
的 纯转动轴线。如果 a12 = 0 C 两个旋昼轴线平行，退化成图 6.2]b 的形 式），则 S2 的节距也
应 为 零 ( h == O ) , 这时$2 也退化成一 条 直线 。 如果 $L 表示 约束力，则其反 旋凳$2, 为与之平
行的 纯转动轴线 。
辽·~ = 0
，打，
(a) 轴线相交
化）轴 线平行
图 6.ll
特例： 如果 a1 2 ;;;;;; 900 但 an :#
0
两种特 例
(图 6 ..22a ), 则 $2 的节距应为无穷大（ 九 = 00), 这时 S2
退化成 一 个偶 量。如果 J1 表示约束 力 ， 则其反旋量 S2 为纯移动 。
还有 一 种特殊情况 ，即 a 12 = 0 且a1 2 = 90" (图 6. 22b ) 。 这时， $1 的节距 可 能为任意情
Q
a .. * 。
-·
·
---__
~r'一
, a) 两轴线正父但不相父
(b) 两轴线垂直相交
图 6.22
除以上四 种清况之外（叩 an
个 一 般旋童 ，其 节距 为 all tan all
•
-:I;,
0
7
两轴线 正 交的两种 特例
a n if:.
a
J
,a l2 * 90a ) ' 根据式 ( 6.5 5 ) 可得 $2 为 —
a
考虑纯移动情况： 当 物体受到约束，仅能 沿 巧 方向移动，速度为 V2 (0 ; V2), 作用 在物
体 上 的力旋昼为八 (ft ; -r l ), 所引起的瞬时功率 为
Pi 2 = fi fu·v2 v2 = J;v1J; ·v1 = J ;v1 cos a 12
( 6.61.)
因此，除 非运动旋呈与力旋费 的轴线 相互垂臼 和或者力旋登 退化成 一 个纯力偶 ， 有限节
距或零 节 距的 力 旋量都能对物体做功 ，， 进而改变物体的运动状态。
由此，根据以上分析可得到以下几点结论 ：
[1] 刊 2 条宜线 互易的 充要条 件是共面 ；
[2]. 2 个偶 量必然 互易 ；
[3]. ]条 直线与 1 个偶噩只有当它们的轴线相互垂直时 才 互易 ，否则不 互易 ；
同直线 与偶丰都具 有 自互 易性；
[5]. 任何垂直相交的 2 个 旋量必然互易，且与其节距大 小 无关
[6]. 任何平行或相交的 2 个旋 滥 ，， 只要 它们的节距等值反向 ，则必然 互易 ；
[7]. 给定任 一一般旋 量 J1 , 与之互易的 $2 可能为 一 般旋盔 、偶 量或直线 ， 在方向上两
可 能异面或相交，但节距必须满足~+杞 = .a 12 tana旧
[ 8] 忑 给定任 一 偶噩 S11 与之互易 的 Si 若为 一 般旋罣 ，则必 与 $1 正交 ，反之亦 然；
[9]. 给定任一直线＄］， 与之互易的$2 若为 一 般旋豐 ，则节 距必须满足幻 = aL'.!: tan a1 2 , 反
之亦然 。
:108
可简单地将上述结论 写 成如表 16.2 所 示的表格形式七，
表 6.2
几何条件
两旋呈互易的几何条件
给定旋至s. 的特征
线(lr, 呴
共面
正交
a12sina12=0
a12=90°
反旋虽$2
正交
的 特征
句 2=90-0
111 =a1 2tana1 i
止交
任忠方向
a12=9-0°
芷交
h2=autana1;i;
【 例 6.5 】 有 — 已知运动旋量 SL =
一般旋呈(h1为有限值）
偶里(1111=00}
h1 +h2 = a1~tan
a
~IL
a12 =90°
(1., 0) 0 ; 1, 0~0) ;, 求过轴线外 — 点 P (0 ,1,0) 而又与 $ 1 互
易的所有约束力（图 6.23) 。
图 6.23
例 6.5 图
解 ：： 代入式 (6.29), 得到其节距 hl =1 。 进而对运动旋噩 $1
1 条直线 (l,.
=
0; O; 0 ; l; O; 0) 进行分解得到
0, 0 ; 0,, 0, 0) 与 I 个偶昼 (01 0, 0 ; l; 0, 0) 的同轴组 合。代入式 ( 6.55), 可得
aL2 tan a12 ;;;;;
另外，令 $2 = i(s~r x s) 宁
,y = (x,y,z) T,
I
r = (0, ]tO)T, i = (],O, O)T 亨则根据 $2 .1~ ; ; ; ; Q
得到
i · s+i · r Xs'= 0
i ·(I + r)s = 0
可导出
x = -z
表明 直线 ＄ 应在 x= -z 的平面内乍因而 $2 与 $1 的轴线垂 直 D
1
6,.7
扩展阅读 文献
[l ]. 黄哀 ， 孔令宫 ， 方跃法 心 并联机器 人机构学理论及控制 云 北京 ：机械 工业出版社， 1997
[2]. 熊有伦．机器人学北京：机械工程出版社， 1992
[3] 于
黄宾 ，， 刘姑芳 ， 李艳文著．论机构 自山度 —寻 找 了 is:o 年的自由度通用公式北京科学出版社 ， 2011
[4]. M11.1[ray R, Li Z X刚 and Sastcy S. A 1HathenUltical lntrodu.c勋n to .Robotic Manipidation. CRC Press, I.994
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[6]. Davidson J K, Hunt K H. Robots and Screla1! t加伉~11: Applications of Kinematics and Statics to R'oboti心．
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[7]. Dutly J认 S如tics and K1'J1emat,沁s- with Applications to Robot比s-. Ca.mbridge Univers,ity .P[ess! l 996
:109
习题
6.1
证明所有轴线经过坐标原点 0 的旋量必然满足 cp ../£ := Q, 吨 /5'4 = 灼 /:J\r = h 。
6 .2
填空 t 补充空格的数值，使之表示 — 个线矢量。
( 1)
(2)
3)
(4)
6..3
(I, 0, 0 ; _:, 0., 0)
(1, l, 0 ;,]t _, 0)
(1, 1, 0 ; 0, _·亨 l
(O, _,O ; l; O, i)
填空 ： 补充空格的数值，使之表示—个满足 特 定节距的旋噩。
(l)
2)
( .3 )
(4)
(I, 0, 0 ; _,. 0., 0)
1
0, 0~0 ; lt - '0) ,
=l
h = l.
h
(l, 0, 0 ; l,, _, 0), h := IO
(l, _, 0 ;J, 0, 0) ; h = 1
,6..4
证明旋量的节距是原点不变量 。
6..5
试证明自互易旋昼有且 只 有线矢噩和偶昼两 种 类型。
6.6
从射影几何的角度来看 ，， 偶呈可看作是处于无穷远 处 的线矢冕 。 试从极限的角度证明
之。
6 . 7 填空 t 补充空格的数值于使之表示—个单位旋量 ＇， 并确定该旋量的节距和轴线坐标。
(])
(尽 ， 0, ·- ;, 1, 0, l
(2 )
(½"2''Ys..fi' _;0, -¾, 1)
6 . 8 试给出图所示单位正方体中 1 2 条边所对应单位线矢量 的旋蜇坐标表达，参考坐标系如
图所示。
川
·霍
1
6.9'
凯
图 6,.24
-1
68
.•,
试给出图所示单位正方体中 12 条边所对应单位偶量 的旋量坐标表达，参考坐标系如图
所示。
6.10 就旋量的物理慈义而言 ， 除了运动旋量和力旋量之 外 ，
你还能举出其他具有物理意义
的旋量类型吗 ？
6几 无论是空间速度还是物体速度 ， 它们都可 以 旋岳来表达 。 试 问， 空间加速度或物体加
速度也可表示成旋量的形式吗？
6.1 2 如果一种运第与坐标系的选择无关，
则称该运算具有坐标系无关性。试证明：旋噩的
互易积具有坐标系无关性。
6.13 证明 ： 在空间任何一点处 ， 都存在 唯 一一 条过该点的线矢屁与给定的旋噩互易。
6 .1 4 证明：轴线唾直相交的两旋量必互易 P
6. 15 Blanding 法则： 自由度线与约束线一定相交[6] 。请用互易旋噩与射影几何 的 知 识 证明
之。
6..16 运动旋量与约束旋量是 一 对互易旋量 D 能否给出其中的物理意义？如果刚体受到了纯
力约束 的 作用 ， 该 刚 体什么运动受到了约束 ？ 如果刚体受 到 了纯力偶约束的作业 ， 该
物体什么运动又受到了约束？
ll。
6 . 17 已知一旋量 $ = ([.,, 0, 0 ; 0, 0, 0) , 求过轴线 外 —点 P(r。，，], 0) 而又与 ＄互易 的 所 有力 旋
里 ， 用 图 示之凸
'6令 18 旋侨 的 对偶性 ( duahty ) 与互易性 ( recip,roc ity ) 有何区别 ？
,6.19 已知在惯性坐 标系 fA } 原点 的运动 旋 抵 飞 和齐次变换矩 阵 ；T 。
I
句气
I
tj 扛 ；；；；；
lf2 -h/2
I
0
—
I,J
。
。
—丿
ll
051
。
O
。
飞=I
)3/2 —1/2
0010
1 r
1'
。
5忙
试 计算 气 。
6 .20 已知平面 2 自 由 度 2R 机器人 的雅 可 比矩阵为
Js=
[-l,
sin Bi 一 片 sin(0, + 01) 一l, sin(01+ 02)
/1 cos 0, + I, ,cos(0, + 0,) !,
若 忽略 重力 ， 当 末 端受 到 外 力 旋量 s F
cos值 +0,), ]
= (1,0,0; 0, 0,0) 作用 时，求 与此 力 平衡 的 关节
力旋三。
Hl
第7早
线几何与旋量系
【内容提示】
旋量系 (s.cr,ew system) 是旋童理论中一个重要的组成部分。研究旋量系理论的
目的在于通过研究机构或机械系统中运动与约束之间的关系 ， 进而研究系统的运动特
性及力特性。从物理意义上讲，旋责系是运动旋量或力旋量在旋量空间中的基表达。
根据旋堂系的阶数（或维数），可分成旋量 1-6 系六种。其中一些特殊旋量系与
线几何紧密相关，因此对旋量系的分类问题可同线几何紧密联系起来。
反旋量系与旋量系之 间 具有互易性，在代数上对它们的求解可以看成是计算齐次
线性方程组的零空间；而利用旋量系的几何特性同样可以以图形化的方式进行互易性
描述。
因此，， 学习本幸内容的重点在于掌援互易旋岳系的概念、物理意义以及几何或解
析 求解方法，难点在于区分旋 量系的分类，以及特殊旋堂系的几何特性。
7.1
线几何
7.1.1
线矢量集、线簇及分类
n 条单位线矢 噩 S1, S2, .... Sn 可以组成 一 个线矢量集 ( tine 沈t )1 记为 S={$, t ~, …$11}
如果在线矢噩集 S 中，存在一组线性无关的单位线矢蜇$ 1 宁 $2 , …
,!]
Sr,· 并且 S 中 的其他所有
线矢量都是这些 r 条线矢量的线性组合， 则称该 r 条线矢量为线矢量集 S 的 一 组基心即这 r
条线矢 豐连同 它们的线性组 合共同组成所谓 的线簇 (l:i ne
variety) S ,. r 为该线簇的阶数或纱
数，记作,..,. = rank(S) 凸例 如，由所有通 过坐 标原点的线矢界所组成 的线矢 荒集中 ，， 任意 一 条
线矢量都可以通过下面 3 条正交（线性无关）的单位线矢量线性组合而成 i 它们组成了 一 个
维数为 3 的线簇。
$1 = (l,
o, o ; o, ot O)
旯= (0, I, 0 ; 0, 0, 0)
$3 =(0~Oi I ;
0亨 0,
C7. l
0)
事实上 ， 根据不同的维数， 存在许多具有不同几何特性的 线簇 ( l1ne variety ) 。由此 可
以根据其所具 有 的几何特 性将线簇进行 分类研究 。注意 这里的 n 取值为 1-6 而不是更多 ．，
源于这些线簇具有很强的物理 意 义 。实际上法国数学家 Grassmann 在 ]9 世纪的时候就研究
了其中 一 些典型线簇的几何特性，后人称之为 ·Gr.ass.mann 线几何 [9'l-93J (Grassm狐n Hne
geom.etry) 。
如表 7. ] 所 示 ， Medet 所给的 Gr.ass1nann 线几何包 括以下内容
巾 l 条线矢量或多条同轴线矢量所组成的线簇其维数为 l ( laJ飞
线簇的维数为 2 时 包括两种情况 ： ＠平面汇交于 一点 的任意多条线矢~.: (平面平行口
以看作相交千平面无 穷远点）组成平面线列(] rune: penci]) ,, 但其中只 有 2 条线矢量线性无关
(2a) 。＠异面（空间交错 ）的两条线矢 蜇 (2b ) 。
线簇的维数为 3 时包括 匹种情况 ： O 空 间汇交于 一点的任意多条线矢量（空间平行可
以看作相交于空 间无穷远点） 组成 空间共点线束 (line bundle ), 但其中只有 3 条线矢昼线
性无关 ( 3a) 凸＠ 共面的任意多条线矢 莹组 成共面线域 ( l.i ne
fie]d) , 其中也只有 3 条线矢
量线性无关 ( 3b) 。＠汇交点在两平面交线上 的两个平 面线列，其中也只有 3 条线矢量线
1.12
性无关 (3c)., @空间既不平行也不相交 的 3 条线矢 量 组成二次线列 Cregulus)ji 它们线性
无关，而它们的线性组合可构成一个单叶双曲面 (3d ) 。
线簇的维数为 4 时 称为 线汇 ( line co11gt11e11oe) , 它包括四种悄况：＠由空间既不平行
也不相交的 4 条线矢荣组成，它们线性无关 (4a ) 心＠由空问共点及共面两组线束组成，
且汇交点在平面上 ，这时 只有 4 条线矢 量 线性无关 ( 4b ) ,:, @由有 l 条公共交线的 3 个平
面线列组成 。 这种情况下，有 4 条线矢量线性无关 (4lc) 。＠能同时与另两条线矢量相交
的 4 条线矢 噩 ，
它 们 线性无关 (4d) 。
线簇的维数为 5 时 称为 线丛 (] in ear co111p lex) :, 它包括 2 种情况 ： CDm 空 间既不 平行也
®
不相 交的 5 条线 矢厅组成 一般线性丛， 也称非奇异线丛 凸 这 5 条线矢只线性无关 ( 5a ) ;
当所有线矢 量 同时与 一 条线矢 量相交时构成特殊线性丛 或称 奇异线丛 ，这时只有 5 条线矢
童线性无关 ( 5b) 。
:. 7_1
Ura达matm 线 几何
维数
线簇种类
-l
~
la
，二二2a
2
2b
平面线列（平面汇交或共酣平行）
异面（空 间交错）的两条线矢
3
3a
Jb
空间共点 线束 ｛包括 平行）
/
,-_,.- \!
-,、 3, d.
二 次线列
共 1ID
了
二 4a
4
F
4b
空间不 平行不相交的 4 条线矢 呈
共面共点
\.,.夕,.
---.. ,.....,---
-'le
交 I 条公共线 矢至 ， 且交角一定
A
1 •
4d
交 2 条公共线
矢 ........
5
S:a
7儿2
不同几何条件下的线矢量集相关性判别
上节中在给出了 一 些典型线簇的同时也给出了其维数（秩）。实际上对于复杂的线矢 亘
而言其维数 的 确定并非是件容易的事情。而确定维数 对认识线簇 而言却是最基 本的 事
憎。那么如 何来 正确地确定其维数呢？本节将重点讨论这个问题。
设有由 n 条单位线矢萤 $ i, $2, .. 小 Sn 组成的集合{ $1 'Si; … ＄付 ｝， 若存在 不全为 零的数丸
及心rt 使得 2 入1 $,
= 0'
则 该线矢 量柔线性相关；否则，该线矢量梊 线性无关。设线矢
量寀 中各条线矢 豐 的 Pl虹k,er 坐 标 可 表示为 (L"~1\.1 『, N 1; ~- 'Qi ' R』 )，， 则该线矢量梊的线性
相关 性可用 下列矩 阵 A 的秩来 判定勺'
Li M. N, ~Q;
RI
•
A ~I ½M:2
N2
-~ Q2 R2 I
L打
N,J
P;J
M,』
Q,,
R儿
涌 面讨论 一 下 线矢量集的线性相关性与坐标系之间的关系 。
当 一 组线矢 量 线性相关时，必可找到 一 组不全为零的数 a 1 :1 a2 , ... air , 使得
ll3
(7.2)
f
ai' $, = 0 , $; = sr+ E s。j 畸
i = L2畸 '.
i
7.3
.n
i • :I
按线矢量的加法法则，有
区，a isi ;;;;; 0 和 Lai s。i= O
1=1
7.4)
J=l
当坐标系由点 0 移至点 A ,. 各线矢盘变为 (S,I :; l 1Ai )
7.5)
sAi = s0; + AO x s,
为确定经坐标系变换后线矢量的相关性，分析其线性组合
廿
， ”“
区 a凡= La,. s. + L
inl
ai sA1
i..l
i.. I
” “
"
—
= La,si 廷 （区 ais。j + AO x Lalsi)
i'=I
i=I
(7. 6 )
i=l
式 (7.4) 代入式 (7.16 ); 三 项均为零 ，， 因此得到
儿
工心"'. = 0
』: •
7.7)
•
上式表明在原坐标系下为线性相关的线矢呈找，在新坐标系下仍保持线性相关 Q 容易证
明本问题的对称命题，即在原坐标系下为线性无关的线矢量集，在新坐标系下仍保持线性无
关。所以，辖矢量集的线性相 关性与坐标系的选择无关 。这使得 在后面的解析法分析中（如
·~.·带要的话），可以选取最方便的坐标系，从而可以最大程度地将线矢量坐标表达简化。例
如，尽堇使线矢昼集中各线矢昼的 P:lficker 坐标中出现更多的 1 和 0 元素 f l. 4妇481 。
下面我们再来讨论一下线簇线性无关特性的应用（,即根据“ 线矢量集的线性相关性与 坐
标系的选择无关”的特性来讨论三 维宁 间 中线矢 量粲在不同 几何条 件下的维数（或者最大线
性无关组的维数） ., 即所生 成的线簇惜况 。
•
同轴
不妨选择将参考坐标系的 X轴与各条线矢噩重合（阳 7.1) 。 则对于单位线矢鱼，其 Plucker
坐标是 .$
= (],,01,0 ; 0, 0, 0) ;
由此可以判断 同轴条件下任意多条线矢量所组成的菜合 S 穴
维数为 L 记为 d.im{S);=l 勺， 由此可得，同轴条件下的线矢量可构成一维线簇。
-----------
阳 7命1
~
同轴条件下的线簇
-----
,. -----;
如果用集合来表达，可表示成
•s·;; ; ·{k$1.S = (s ;r x s)}
7.8)
也可用更简单的集合符号来表达
冗 (N,
.f)
C7.9)
式中， N 表示线矢量上的一点 t s 表示线矢量的方向（单位矢量表示）。
•
平面汇交
不妨将线矢 量置千参考坐 标系的 ,.,.IT 平面内， 且 选择 汇交点为 坐标系的原点（图 7.2 八
则 对于单位线矢赁，其一般表达是 $
= (L, M·, 0 ; 0, 0, 0) ,
由此可以判断平面汇 交条件下
任意多条线矢量 所组成的权合 S 其维数为 2, 记为 dim(S)=2 勺由 此可 得 ，， 共面共点的线矢 豐
可构成 二维线簇。
图 7',,2
平面汇交条件下的线簇
如果用媒合来表达，可表示成
ll4
2S={$ = 从+ k2.S2,.k, ;;t; 0, 或 1c2 ;;t; o}
式中，
$, =[,:'s.]今
$, = [,:2s,]
( 7谓 10)
，口 =
$=k,$, +k,$2=[,x~·;:s~:2::sJ =[r:s]
k1S'1 +k2s2
(7. 1 l
也可用更简单的集合符号来表达
叭N呵 ll)
(n = S1XS211
( 7.12
式中， N 表示汇交点， ＂ 表 示 汇交线矢量所在平面的法线（单位矢量表示八
共面平行
•
不妨将线矢量置于参考坐标系的 XY平面内 ， 且与 X 轴平行（图 7.3) 。 则 对于单位线矢
·-'其 一 般表达是 $
= (1, 0, 0 ;
0, 0, R) .,
由此可以判断共面平行条件下任意多条线矢量 所
组成的农合 S 其维数为 2, 记为 dim(S)=2 o 由此可得 ， 共面平行的线矢 登可构成 二 维线簇勺
///
//
图 7,3
共面平 行条什 下的线簇
如果用集合来表达，可表示成
2s ;: : : ;{ $;: : ; ~凶+ k2S2,. k1 * 0, 或 k2 土 o}
「卜
sx
I
r1 s
，
一
：
$ __
一一
式中
-
一
L_ s rli
& _ .._1,L
>= _ r x s '_
2
_
$=k,$, +k心 ； ； (k1~\ +::;!)x s] =[,平, :
[
(7谓 13)
J r'= , k,
,'i + ,
k, , ,丰:,
( 7.14)
也 可用更简单的集合符号来表达
巧(.N,s,n.)
(s·n=:0)
( 7情 15)
式中， N表示平 面上的 一 点 ， s 表示所有 平 行线矢量的方向（单位矢量表示 ） ,n 表示平行线
矢噩所在平面的法线（单位矢噩表示） D
•
平面内两两汇交
不妨将线矢筐置于参考坐标系的 入T 平面内（图 7 .4 ) 。 则 对于单位线矢症 ， 其 一 般表达
是 $
= (L, M ; 0 ; O; O;, R) t
数为 3, 记为 dhn(S)=3 。
由此可以判断共面条件下任意多条线矢量所组成的集合 S 其维
由此可得 ， 平面两两汇交的线矢量 可 构成 三 维线簇。
图 1..4
平而两两汇 交条件 下的线簇
如果用奴合来表达 ，可 表 示成
3S ; ; ; {$ =kl$1+k2S2+从 $3, k, 古01 或k2 古0, 或女， -:;t;. o}
式中
ll5
(7埴 1 6)
$,. = (s1;r x s1)
$2 = (s2 ;r x .s-2) (s3 = as2- bs1 , r3= r + as2)
$3 = (,5l ; r3 X S3)
<7J 7)
也可用 更简单的集合符号来表达
( 7谓 18 ,
L(N, n)
式中， N 表示平面上的 一点 ，， ＂ 表示平面 的法线 （单位矢蜇表示）。
空间共点
•
不 妨 将 汇交点选作参考坐 标系的 原点 (00 7.5 入则对于单位线矢量 } 其 一 般 表 达 是
$'= (L,.1l.f ,. N ; 0, 0, 0) t 由 此可以判 断 空间共点条件下任意多条线矢量 所组成的梊合 S
其维数为 3 ,, 记为 dim(S)F= 斗由此可得，空间共点线矢量可构成 三维线簇。
图 7. 5
空 间 共点条 件下的 线簇
如果用集合来表达，可 表示成
屯 s ;;;;;;{$ ;;;;;;fG $, + k心 + k3~,,k, -;f;. 0蚁k2 ;1;,0_, 或k3
式中
$, = [ r :1sJ $2 = [r
:\』 $l
$ = k,$, +k,$2 +k3$, = lr x~1;:s~:2: :s::3: :sJ
;;to}
( 7.19)
=[r:,sJ
=[,: J
s = k,s, + k,s, +k.s
( 7.20 )
也可用更简单的集合符号来表达
( 7心21
S(l'·l)
式中 :t N 表示汇交点勺
•
空间平行
不妨选择参考坐标系的 X 轴与线矢噩平 行（ 图 7.6 ) 。 则 对千单位线矢量，其—般表达
飞 $
= (1, 0, 0 ; 0, Q, R) ,
由此可以判断 空间平行条件下任意多条线矢量 所组成的集合 S
_
二立
其维数为 31 记为 dim(S)i=3 。由 此可得，空间平行线矢 量 可构成 三 维线簇 。
~
/
`/
/
iL
-----;7
图 7.6
空 间平行条件下的线簇
如果用集合来表达 ，可 表示成
J
s = {$ = k1$1+ k.2 $2 +.fs$3 , k1* 0, 或k2 臼 0, 或k3 ;;/; 0}
式中
$, =
[r, :s],
$2 =[r, :s], $1 = [r,
+呫+
:J
l
(r1 xr2 x r, ~ 0)
(ki + k2+kl ) S
,!,',
kltj + 炽 ＋ 杻
s= Lk,sl
=
i-1
[ (k,r,
k, r, ) x s] = [ r'x s
r = k, + k2 + k1
J
也可用更简单的集合符号来表达
116
( 7.22
( 7.23 )
F(s)
( 7 . 24)
式中 ,, s 表示所有平行线矢矗的方 向 （单位矢量表示）。
•
交 3 条公共轴线
由于相交的两条线矢量 一定互 易 ，， 因此 当有线矢量与这 3 条公 共轴线 同时相 交时， 可以
很容易 判 断出：此条件下由任意多条线矢量 组成 的线 矢量集 S 其维数为 3 书记为 d.]ru心=3 。
具 体分为两种情况 ：
一种为 3 条 轴线不平 行 同—平面情况（图 7.7a ),
另一种为 3 条轴线忙
时平行同 一 平面情况（阳 7.7h ) 。前者对应的是 单叶双曲面； 后者对应的则是 双曲抛物面 。
/"——·—
~
'VJ{
(a)
单叶双曲面
胆 7~7
•
(b)
双曲抛物面
与 3 条公共轴线相交的线簇（ 二次线列
汇交点在两平面交线上的两平面汇交线束组合
不妨将线矢笸分别置千参考坐标系的 XY 与 ZX 平面内，交线为 X 轴，汇交点取为原点
（ 图 7.8a) . . 这时 ，对 于两组线束，其 一 般表达分别是 $l = (八 ， M1 , 0
$2 = (Li, 0, N2 ; 0,. 0, 0) ,.
.; 0, 0, 0)
中
由此 可以 判 断此条件下由 任意多条线矢量组成的集合 S 其维数
为 3~ 记为 dirn(S)=3 。
•
平而汇交线束与平面平行线束的组合
不妨 将线矢量分别置于参考坐标系 的 XY 与 ZX 平面内 ， 交线为 X 轴， 汇交点取为原点
（图 7.8 ) 。这时，对于两组线束，其 一 般 表达分 别 是 $J
= (L1, .M p O; 0, 0, 0) ,.
由此可以判断 此条件 下由 任意多条线矢量组成的集合 S 其维数为
$2 = (1, 0, O; 0, Q2, 0) ,
3, 记为 dim(S)::;:;:3 。
/.
' a)
(b)
图 7.8,
•
汇 交点在两平面交线上的两平面汇交线簇
共面与空间共点线簇
泡妨将共面的线矢量置千参考坐标系的立 平面 内，共点线矢量的汇交点取为屎点（图
7 . .9 ) 。这时 ＇，
对千两组线束 ，其 一 般表达分别是 $1
$2 =(4. ; M 2, N2 ; 0, O; 0) .,
~ 1; ,
0, 0)'
由此可 以判断在此条件下由 任意多条线矢量 组成的集合 S 其
维数为 4, 记为 din1{S};=4 心
O 竺 (j:;; 环
"
胆 7.9'
= (0,,M .I, JVI ;
共面与空间共点组合线簇（点在面上
|l l 7
•
交 2 条公共轴线 （图 7 圈 l. O )
由千相交的两条线矢量—定互易 ，因 此当所有线矢量都与 2 条公共轴线相交时， 可以 很
容易判断出 ： 此条件下由 任意多条线矢量组成的线矢垦集 S 其维数为 41 记为 dim(S)=4 。
图 7.10
•
与 2 条公共 轴线相交的线 ..,,..,
交 1 条公共轴线，且交角一定
存在两种估况如7.11 所示。不 妨以 7.. lla 为例，将各条线矢 量均与参考坐标系的 X 轴
相交，且与 X 轴的交 角为直角 。对千单位线矢量， 其 一 般表达是 $
= (0, M ., }l ;
0, ,Q, R) ,
从而可以判断这种情况下由 任意多条线矢量组成的线矢进集 S 其维数为 4, 记为 dim(S)=4 凸
乏~
,
天长
~"大一
,
.,. ,.
(b)
a)
图 7.11
•
·-··'
二
1
二：
, . . __之子
r
11
.....--
与 l 年公共轴线相交 ，且交 角一定的线簇
交 1 条公共轴线
不妨将各条线矢 昼均与参考坐标系的 X 轴相交（阳 7.12) 。对于单位线矢 昼 ， 其 一 般表
达是 $ = (l , M,N ;
O,Q,R),
从而可以判断这种情况下由任意多条线矢最组成的线矢 登
集 S 其维数为 5, 记为 dim(S)=5 。此 种 条件下又称 奇异线丛 。
化）
(a 1,
图'1.12
•
与 l 条公共轴线相交的线簇
含 1 条公法线的平面线列组合
不妨取平行平面的法线为参考坐标系的 Z 轴（图 7.1 3 ) 。对千单位线矢鼠，其 — 般表达
是 $
= (L,M, 0; P, -Q, R) ~
由此可以判断此条件下巾 任意多条线矢量 组成的线矢量集 S
其维数为 5, 记为 dim(S)~.s 凸
』“
夕~ :
图 7. lJ
•
含 l 条公法线的平
非奇异线丛（无公共交线，空间交错）
非奇异线丛是指线丛中所有线矢量空间交错，且无公共交线 宁因此 又称 一般线丛 （图
7,,14) 。 例如由一系列单叶双曲面组合而成的线簇就是非奇异线丛（本书第 5 章将具体讨论
该线簇需满足的几 何条件）。该此条件下全部由线矢盘组成的线矢呈集 S 其维数为 ,5, 记为
dim(S) = 5 。
ll8
图 7.14
非奇异线丛
这时有人可能会问，隐藏在线矢量集无关性背后的物理意义是什么。这个问题我们在后
面还要详细讨论 ， 这里只先简单提及一下。前面我们知道，线矢量可以表示约束力。如果—
个刚体受到空间共点力约束，这就意味着非共面的 3 个共点力就足够实现预期的约束 ， 任何
多余的共点力都是 冗余约束 ( redundant constraint) 或者虚约束 f 即所坰加的约束不会改变
对刚体的约束效果 。 反之 1 如果多余的约束满足不了共点的几 何 条件，则这些多余的约束就
变成了真正约束 ， 原有的约束 状 态发生变化。
7儿3
线空间
前面已经提到 Mer],et 基于Gr邸s1na11n 线几何 讨论 了一些典型的线簇分类间题 ， 总体来
看这些是泛泛的，还缺 少 详细的、有针对性的描述，尤其结合物理意义的阐述凸
由千线矢噩的 Plucker 坐标只有 6 维，， 因而由它们组成线簇的最高维数为 6 。 为此可根
据线簇的阶数将线簇分为 一 、 二 、 三 、 四、五 、 六阶线簇。其中 1 -3 维为低维线簇 ， 4-6 维
为高维线簇实际上我们在上一节中已经提到了若下 种 线簇 ：如 表 3 - 1 中所描述的 Grass皿i血
线 几 何都可以构成线簇。根据 几何特征，线簇又可分为基本型（表 3 -2 ) 和组合型 ， 前者 一一
般按照几何特征进行分类，而后者通常是由前者组合而成 。
引 入线空间 ( Hne spac,e ) 的概念可以使线簇更加形象化。这里的线空间是指将各类线簇
描述成 几 何空间的形式，其中的组成元素就是该线簇所包含的所有线矢厅 ，， 类如我们在前面
的线 图 (line pattern ) 表示口这种 形象化的方式在这里更习惯称之为可视化（或图谱化）表
达，例如表 7.2 所示的就是基本型线空间的线图表达形式 心， 鉴于线簇的集合特性，线空间还
可借助集合论的方法来进行描述。
对以 上 基本型线空间枚举式求并（包括同类线空间，也包 括 满足某种特殊条件下的多个
线空 间求 并），可以得到组合型线空间。通过这种方式可以得到不同类型的高维线空间｀例
如 ：： 2 个平行的平面 二 维基本型线空间可以组合而成 I 个三维线空间，如图 7.15 所示 。
"
1/77飞／
图 7.15
巧(N卫凡 U 巧(N勺i卫）
五(N, 11, n)U 巧，(1V1,
u', ,.,')
考虑到
巧(N:, u~ 1i) n 巧(W~ ii, n) = 芦(n)
注意式中的 P(n) 表示偶晃（本书 7. lA 节详细介绍） ,-,.
根据维数定理得到
Dim(y;; (.N, u, n) U 巧 (A'\ u', n)) ; ; ; 2 + 2 - 1;;;;; 3
|l l 9
表 7.2
I 维数
图示
菜合符号
,
~
_
基本型线簇的可视化表达
冗 (N,
I
几何条件
N 怂线矢歪上 任急 一 点， ＇＇， 表示线矢垂的方 向
u)
',
ll(N.. n ,,
N 在内线矢觉所在 平面上 ，＇， 是平面的法线
N 在两线矢品所在平 OO 上．平行线的方向 u 与
巧 { N . ll~ n '
2
平面的法线 “ 满足 ,r, · n = 0
A;; 仇,, )
” 和｝分别代表 2 条发生线的方 向
..C(N卫）
” 是平面的法线．
夕(n)
＂， 衣示所有平行线的方向
N 是所有线的
[、}
r
S (N)
At的
” 与所有发生 线都正交
A1 (11, vi , w)
7亭1.4
fl.,
V 和W 分别代表 3 条发生线的方 I旬
偶量系
全部由偶量组成 的 集合 称为偶量集 。
为形象地反映出偶昼集的线性相关性，这里以约束力偶为例来说明 一 下各类偶董集的最
大线性相关性 ：
(1) 无论是空间平行还是共面平行，方向是相同的，其实质上都是限制 一个方向的转动；
所以最大线性无关数是 1
,0
(2) 无论是平面汇交还是在一个平面上两两相交，其实质上都是限制两个方向上的转动，
所以最大线性无关数是 2..,,
(3) 空间汇交情况下 3 个力偶实质上是限制 3 个方向的转动，所以最大线性无关数是 3 。
在空 间中 无论有多 少个力偶，最 后的结果都可以得出上述结论。 因 而 ，偶 量党的最大维
数是 3 而不是 6 。 从偶 量的 PIG.ck-er 坐 标表达(0 ; s) 也 可以 得出这一结 论 。
表 7.3 和 表 7.4 分别 给出了偶昼集的线性相关 性条 件 以及偶 噩空间 的可 视化表达形式。
表 7..3
各偶呈满足的几何条件
共轴或平行
共面（含平 面汇交或两两
维数
]
2
相交）
佳共面（如空 间汇 交）
偶呈织的线性相关性
所代表的物理意义
1
沿偶 虽 轴线方 向 的移动或者限制偶呈轴线方向的转动
所有沿与两偶 茧轴线所仵平面 （ 或平行平面）的移动或者限
制 与 偶盘轴线方向半 行平面的所有转动
3
空间的所有三维移动或者限制空间的所有三 维转动
120
表 7. 4
维数
l
偶 蚕 空间的可视化表达
巨
乙:万 /7
栠合符号
几何条件
六切
u 表示 偶亘的方向
巧的
n 与平面 内的所有偶呈正交
r
包含空间所有偶 二
2
令
【 例 7嘈.l 】 某些构件中存在的并不影响其他构件尤其输出构件运动的自由度为 局部自由度
passive DOF 或 i dle DOF ) 。平面机构中，典型的局部自由度出现在滚子构件中 ； 空间机构
中，如运动剖 S-S -, S七、 E-E 等组成的运动涟中各存在 1 个局部自由度（图 7 于 16 八
具体可以从线空间的角度来解释局部自由度，由千
S(N)nS(N') =
f'(u)nS(N)
冗 (N,
=冗'(N,, u)
万(u)n 歹(v);;;;;
(b)
( 7.26
(7中27 )
P(w')
s晒E 迁接
图 ,·.1,
(7.25)
u}
{c)
局部自由度图不
口」部自由度的存在会导致机构的自由度数增加 。 例如 S-S 的运动副联接形式 ， 理论上它
勹 6 个自由度，但实际上通过构件的联接，导致了其中 一 个自由度（移动自由度）的缺久书
实际上只有 5 个自由度。因此在实际计 算机构自由度时应将局部自由度减掉。
【 例 7,..2 ] 平面运动链中，多由转动副和移动副组合而成；而空间运动链中，除了转动副和
移动副之外，还可能包括圆柱品小球副、虎克饺、平面剖等多自由度运动副类型 。这些运动
副的组合最终决定某一运动链的末端 运动模式阰叫 (rnotjon pattern) 或自由度类型。为此 ，
我们定义运动链中所有运动副（轴线）的组合为 运动副空间 ( kinerna tic pair space)·: 而其
端运动模式或自由度类型定义为 自由度空间 (freedom space:) , 所有约束组成 约束空间
,. cons订a int space).~ 例如，平面 3 R 机械手的运动副空间为 3 维空间平行线图 C..F(s)),. 其
自由度空间为 冗(N,
7.1.5
s) U :?;(s)1 ( ]R2T) 。两者实质是一样的。
等效线簇
以平面 3R 机械手为例 ， 该机构的 自由度可以表示为
(7才 28)
冗(N.; s)U 7;(s)
其中含有 3 个线性无关乔：。写成 P]uc.ker 坐标形式
I
$1
=,(s~r x s)
$1 = (0 ; S.z)1
(S·Si
= 0, i = 2, 3)
$3 = (0 ; s3)
通过线性组合（ ＄产 ＆，＄ ＋ ＆）可以得到另外 一 组基 心
121
(7.2 9)
$el = $, = (S' ;rx~y)
( 7.30)
~$e2 = SI + $1 = (S ; ri XS)
$e3 = $1 + $~ = (S .; r3
XS
式 ( 7.30 ) 所给出的正是 万(s) 的 一 组基 。因此我们 口
冗(.N,
( 7谒 3 1 )
s)U7i(s),;;::::;; .T(~·
说明这两种线图是等效的。类似的方法也可以导出
(7.32
巧(N, s, n) UP,(n)
与只s) 也是等效的。
图 7.17 给出了上述等效线图的图示表达 4
.|
-
_
I
_
.l"
/
图 7. 17
3 维空间平行线图的芍效线图
再 以 平面线图 .C,(N, n) 为例 。该线图的一组基（如图 7,18 所示）可以写成
$1 = (S1 ; r XSL)
S2 = (s2 ; r x s2)
$~=
(s3 = as2 - bs1, ,j
= r + as2)
( 7.3 3)
(s3~ 飞 X S3)
图 7.18,
3 维平面线图
通过对上式进行线性组合( b$1 -a$2 +~ ) 可以得到 与式 ( 7.33 ) 等效的 一 组基。
, $1
= (SI
; r · X SI
( 7宁34)
$2 ;: : : ;: (s1 ; r x s2)
$3 = (0 ;,abs.1 x s2)
式 (7. 34 ) 所给出的正是组合线空间 ll(N, n)1UP'i(n) 的一组基表达口因此说
叭N, n) UP仇）与 C(N, ti) 是等效的。
类似的方法可以导出
叹N~n)ILJP(n) ;;;;;; 乙 (N,
n)
( 7.35 ,
说明 C(N卫） U 歹(n) 与 .C(N, n) 也是等效的。
图 7 .19 给出了平面线图的等效图示表达 4
，一
图 7.19
3 维平面线 图的等效线图
上面的例子中都涉及到了线矢噩与偶量相混合的情况。这种情况 下 — 般都比较复杂 ， 但
屯满足某种特殊几 何条件时，这类混合空 间 可以向线空间等效。可以证明，当 混合空间中的
所有偶量—
均与该空间中的所有线经盘正交时， －一则可以等效一成完全由线矢盘组—成的空间建！
线空间） 。 表 7.5 给出了几种常见的含偶量的空间及其等效线空间。
122
表 7.5'
含 偶 堂的空侚及其等效线空间
含偶量子 空 间 的线空 间
维数
＇，
2
了三 1
月
i
1
夕
亭”
_.,
(1+]
(l+2
~
3
“
• ll'i'
{3+0
问
/
(2+12
-~ 二 :祀.;,y
~
//
颅
l_
I
4
一
」
\
二二
,..
/
3+ 1}
匣
采
==
采
三一
5
.-—,
/
—·
“
4+ 1)
一一一一一一一了
/
/
/.
间
空
子
线
示
飞+b) 中 ， a
7.12
旋量系
7咖2.1
旋量系的定义
b
n 个单位旋 量 $p $2, . 心可以组成 一 个旋量集 ，记为 S= {.Su, Si , …旯 ｝ 。 如果在旋量布
S 中 ，存 在 一 组线性无关的单位旋昼S i,
S2:, .. .Sr,
并且 S 中的其他所有旋噩都是这 r 个旋
芹： 的线 性组合 ，则称该 r 个 旋丰 为旋 荒集 S 的 一组基。 即这 r 个旋 果（连同它们的线性组合
f 、同）组成所罚的 旋量系 S, r 为该旋量系的阶数或维数 i 记作 r
123
= r狐k{S) r;., 例如，刚体在
空间 的所有瞬时运动可以由六维旋量系的一组正交标准基表示 ，即
~= (I,
0, 0 ; 0, 0, 0)
$2 = (0, .1 , 0 ; 0, 0, 0
$3 ; (0, 0, 1 ; 0, 0, OJ
( 7.36 )
$4 = (0, 0, 0 ; 1, 0, 0)
$~;;;;;;; (0, 0, 0 ; 0, l, 0)
$ti
=(0, 0,
0 ; 0,, 0; 1)
亡虑一个串联机械臂，其末端的运动可以表示为各个构件运动的叠加；当每 个 关节的运
动用旋量坐标表示时令末端的运动就是这些旋量的线性组合。所有决定末端运动的这些旋量
所组成的集合构成一个旋量集 ， 如果这些旋昼线性无关 ， 就构成了一个旋噩系。
下面考虑 n 个旋噩的线性组合。设 $1, Si 1 …, ＄”是 n 个线性无关的单位旋晕，这样 ，
n 阶旋 症系中的任一旋昼都 可以表示成Si, $2, …， ＄月的线性组合形式心
$ =~),$, =[~] =[tt]. (i=l,2.···n>
式中，九 (i = L.2" n) 为不同时为 零 的 任意实数。 P· = [s I
k ;;;;; [kl ~..
( 7.37)
.'i' l\1 Lx1』, p~= [ SOI
····
.. •
]如
S
k/T r 。该旋量的节距可以表示成
匾
0
TT
BA
kk
kk
s
s
h=
=
s. S
式中
l
S1 ·S2
l
A=PTP= I
勺， ．已俨 2
s,
...,
S2· S打
..
.
., _
. s"
I
• 厥嘈l
糟 s/J
S2 · S
· ···
rJ
1
s 暨 s位
hl
, B=P飞＝
.
.
.
(7.38
S2 · S
I
OL
,r.l( fJ
S
，．， 篇墓
s气
l
亨 s
伽
· S
加
心
•.
•."
.`
."'•
L.f" . SOI
I
h2
书， 已苍
s" 乞 , S 位
"'爸
hl'l
JfjX/J
若 n 阶旋昼系 S 中的 一组 基 S={$p $订 气凡 ｝可由 n 个自互易旋盄矿 (i ; ; ; l, 2, … n) 线性
组合而 成，即
s: = f
kJJ .$1,
$/ .dSt = o, (i,J = lli~2于.. 嚷 n)
( 7.39)
J=I
则称 该旋量系为 自互易旋量系 (.self-reciproca]
screw system 八
我们最关注的还是旋董系中的线矢量元素。文献上将 n 阶旋量系中所有线矢量的集合称
为线簇[ I 气如果 n 阶旋星系中存在 一 组由 n 条线性无关的线矢盘组成的基旋量， 则该旋量
系即可构成 一 个直线旋昼系 ( I ine scr,ew system) 。更特殊的情况下，旋晕系中的所有元素都
由线矢噩组成，则该旋挹系构成线系 ( l:ine sy啦m) ; 如果旋堑系中所有元索均为偶噩，则称
该旋豐系为 偶址系 ( couple sys'lem) "' 以 上概念的块合关系可用图 7.20 来表示。
图 7~20
各类旋亘系及其栠合关系
直线旋星系和偶噩系—定都是自互易旋量系。由两个 线性无关的自 互 易旋量所生成的
:·:-:-:;tJ"t.!
忒量系一定是自互易旋量系 。 其中 ， ( l ) 两条线性无关的线矢量张成线系的充要条 件
是共面； ( 2) 一 条线矢 括和一个偶括所张 成的 二 阶旋宗系成为线系的充要条件是两者正交；
124
( 3 ) 两个线性无关的偶量所张成的二阶旋量系一定是偶量系勺
【 例 ·7 ...3 >
验证下面的二阶旋星系是自互易旋量系。
r,
= (I, I, 0 ; 0, I, I)
$1 = 0, - 1~0 ; 0, 1, - 0
上 面的旋量系可由下面 2 个 自互易旋量张成 ($1=$e1十＄心 $2=$芒,-$立入
｛凡 = (I, 0, 0 ; 0, I, 0)
$位 = (0,
【 例 7鲁4 】
1,. 0 ; 0, 0,. ])
验证下面的二阶旋堂系不是自互易旋世系。
t•
= (I, 0, 0 ; 0, 0, 0
$2 = (0, o, 1 ; 0, o, 1}
上面 的 旋噩系中只有一 个 自互易旋昼$ ,
【 例 7.,.5 】
0
验证下面的 二 阶旋费系是线系 b
t • = (I, 0, 0 ; 0, I, 0)
$2 = (0, ·~ 0 ;, -[, 0~0)
七面旋扭系中的两条线矢量相交（共面）。几 何 上，相交两线矢瘟可构成 二 维平面汇交线束。
【 例 7 ..,>
验证下面的 二 阶旋晕系是线系 D
t ·= (1, 0, 0 ; 0, 0, 0)
$2 = (0生 0, 0 ; 0, ], 0)
上面旋量系中的线矢量＄ ！与偶量 $2 相互正交 ， 因此可等效为 二 维平面平行线系。
若 n 阶旋量系 S 中的 一 组基为 S= 忧, -~, …旯｝， 由此可写成列向量的形式 ，＇
A
=[s.1 s; … $: ]
6xn
，对其自身作互易积，得到自互易矩阵
M n M.2
1H = ATAA = I jtf21 1lf'22
MJr1
酝 · ·M. R
$「 A.$1
. 倩 ·M切
= I$; ~$1
M心... . ii二 1:l'll'I
11
J1r ~$2 … S11 ASJr
$J _d'$2 "" $; J$1t
心＄＄口，$'2
.
:::
(7填 40
$口;$1,· _J/1 邓
可以 看出 M 是一个 nxn 维的实对称矩阵亨因此 ， 它具有 n 个实特征值和 n 个 线性无关
的 实特征向厅。令 ~ (i = l, 2 >. · · n) 为 M 的特征值 d 为 M 的维数，即 d
= rank(AI) ,
可 以导
出 以 下结论。
窟按通过定义很容易证明 M 的所有主对角元素都为零 ，， 且P L AI = trace(M') = 0 a 因 此
我们有 如果旋量系是一个自互易旋量系， 则其自互易积矩阵的特征值 ~= O(i =1,2~…n)
ll'
若旋量系 S 中 的 某一 个 非空子集 St 在旋董加法与数乘下封闭， 则 Si 称为 S 的一个旋量
子系 。旋蜇系 S 中的两 个 旋量子系 .Si 和 ~ 满足以下运算法则。
7.2.2
运湃 ： si n s1= {$1 丘Si~ 乒 s . }
( 7.41
并运算 si us尸 伈+ sj Jsj Esp sj Es1}
c1.42
旋量系维数（或旋量集的相关性）的一般判别方法
旋矗系的维数（或旋蜇集的相关性）判别方法与第 3 章所 讲 的线矢盄集相同。设旋蜇集
中各 个 旋荒的 PWcker 坐标为 (Lt, M1~N,
;.f; 卓 ， Qt
j
.Ri. ) ' 则 该旋荒集的线性相关性可用 下 列钉
阵 A 的秩来判定凸
12:5
L1M1 N1 ;J: . Q.,
A =I
Rt
( 7嘈 43)
LiM2:N2;~·Q; R~
书
【 例 7譬7 】
试通过对图 7 .21 中所示的机构或运动链选取合适的坐标系，建立与之对应的运
动旋量集 ， 并计算该旋量集的秩，进而给出与之对应的一组旋量系。进而确定该旋量系是否
为自互易旋量系、直线旋噩系、线系还是偶昼系？
解 ：： 建立如图中所示的坐标系 ， 分别写出各自对应旋矗系的解析表达心具体如下 ：l
9,
,(a) 平行四杆机构
(c)i Sarmt 中几构
(b) 空间 RCPP 机构
图 7.ll
例 7. 7 图
(a)
J, = (0, 0, ] ; 0, 0. 0
, $,_ ...; (0, 0, l ; p2, q2, 0)
S'1 = (0, 0, l ; PJ, q:i , 0~1
_$11 = (0~0, l ; OJ q4) 0)
可以看到 4 个旋量的Plfi,cker 坐标中 ， 第 l 、 2 、 6 列元素都为零，故该旋噩集的秩为 3 。
~ I 以进 一 步判断该旋征系为线系（同时也是直线旋显系和自互易旋噩系）。
(b)
.s; ; ; ;: (0,
0, 1;
,S., = (0; 0, 1;
$3 =(0勺 0, 0 ~
.$4_;;;;; (O, a, o;
~$s = (0., 0., 0 ;
0, 0, 0)
Pi; qi · 0
0, 0, ])
p4, q4, 石）
Ps, qs;
,;)
注意上面的 C 副从运动等效的角度可以分解成 R、 P 俩个同轴单自由度的旋呈表达形式。
口 I 以 看到以上 5 个旋垦的 P Ukke-r 坐 标中，第 l 、 2 列元素都为零扣故该旋巠娱的秩为 4 . . 可
以进 一步判断该旋量系为自互易旋量系 ，但既不是 直线旋量系 、线系也不是偶 量系。
(c)
Si
= (1,
Si = 0,
J~ = (1,
S-1 = (0,
广, = (0,
$6 = (0;
0, 0 ~ 0, 0, 0)
0, 0 ; 0, 促 f'2
0, 0 ; 0, ql-, 1;
l, O; 0, 0~ 0)
l, 0 ; P,, 0, 乓 '
·1:i O; p 6; 0, 片i )
I
可以看到 6 个旋荒的 Pl'ilc~er 坐标中，第 3 列元素都为零 ，故该旋 荒知的秩 为 5 心可以
进一步判断该旋量系为自互易旋量系守但既不是直线旋量系、线系也不是偶量系。
126
同样， 也可将某些 特 殊 旋 量 系描述成几 何线图的表达 守以 张 成 具有特定 维数的 一 般旋量
空间 (screw sp缸e) 。 结合本书前面 有 关线空间 及偶 昼空 间 的讨论 ， 表 7 嘱, 6 给 出 了 不同几 侣
条件下各类 典 型空 间 线阳的表达及 其维 数，以 方便读者查 询 。
表 -,.,
几何条件
偶呈 空间
线空间（线簇）
,
I
线图
共轴
_....-,
维数
-----
一般旋鱼空间
线图
1
/41/
共面平行
平面汇交
不同 几何条件下的线图 空间 及其维数（部分）
丘一
维数
~
1
---~
2
---夕夕
立
／匀鹭V
2
维数
武一
1
2(1)
l
~ ~了
3(2)
2
/:~7
4(2)
3
1 /i衾鹭／
)
最大（最小勺
线图
乙
空间平行
///,,优'
I
3
I
//,么¼"J
I
7
/
共面
V/~~少
I
4(3)
3
r-
空间共点
l
6(3)
2
／翠／
二
5,(3)
单叶双曲面
（交 3 条公共
线矢呈）
交 1 条公共线
矢壹 f 且与法
线的交角相同
6(3)
'~
d ~
去~
. X .,__
_
产，
4
,
/
霖
"'- ....
尸一
...
6(4)
,-
......,_
-~~
具有 1 条公共
法线，且与法 I
线的交角相同
交 1 条公共线
矢量
具有 1 条公共
法线
与 1 条旋昼满
足固定的关系 I
护艺~
-
/
/
芷
夕.•
_._
----~
/
I
七艺之三
I
·肯最r
/
习迈匕{．
.-···
一，
乙,
5
(,'.'
一夕
5(4)
＿旮
冰
5
多
(
4
宏
6(5)
_
衄｀
一.
~
I ft
~
5(4)
I
勿，代欢又
式
I
5
I
I
6
I
常\~i;...._
6(5)
d1 l;m 01, = 矶估数｝
空问任意分布
l1111
；，玄:-- o:i
:z_ 比悄况下 ， 当所有旋岱的节距相等时 ，取 朵小维奴巳
127
I
J
I
ff l~
6
7.2.3
旋量系的分类
由于旋噩系中任 一 旋贲坐标都可以写成 Plil,ckc:r 坐 标形式 ， 因此旋噩系 的最 涯维数也是
6 心根据旋爵系 的阶数可将旋 景系分为 i...,6 阶旋 量 系，简称旋登一系 、旋 量 二 系、旋量 三 系、
旋量凹系 、， 旋童五系和旋量六系。根据旋量系的运动特性及约束特性可将旋量系分为运动旋
蜇系 和约束旋 星系。 研究旋蜇系 的目的在 千确定运动旋量节距的范围和运动旋量轴线的分布
曲面，进而从 几何角度研究 机构或机械系统的运动特性。根据不同的旋 量系分类方法 ， 可以
得到许多不同类型的旋子系心不过，我们更关注那些常用的特殊“旋常系。
旋量系的分类问题 ( 1
s, 19, 57, 10 1- 104, 1 的，_ l lO, 113-H 4, 1 35,1 47] 一直是一 个令众多学者感兴趣的问题 。
=rl 在 1900 年" Bal[ 在其著作中就提到 了这个问题，他研究的拟圆柱面 (cy]indro, id ) 就是认
为是对所有旋量二系的分类研究 C, 1978 年 ， Hunt 在其权威著 作 中对所有类型的旋 量系进行
了系统的分 类 ，并根据 主旋蓝节距的特性将旋量系区分为 一 般和特殊两种。 1990 年 ， Gibson
和 Hunt 用射影几何的理论提出了一种新的旋常系分类方法，他们将一个旋赁当作五维射影
空 间中的 一点 ，利用的是用旋 量系与 Klein 二 次曲面及无穷远平面相交的思想 ~1 992 年，＇
Duffy 等基于正交空 间 与子空间理 论对旋 量系的分类再次进行了分析，， 井应用此法对旋童一
系、二系、三系进行了分类。 ]. 993 年 ， Tsa~ 等应用线性代数的理论通过将任意给定的旋量
矩阵降阶为梯矩阵而找到了旋噩 二 系和三系的基， 并根据含有无穷大节距的 个 数对旋益 二 系
与旋萤三系进行了重 新分 类凸 2000 年，女真教授等从几何性质与几何特征等形象思维的角
度 ，针对 Tsai 的分类对旋 量 二 系和 三 系中所有旋噩的轴线在主坐标下的空间分布进行了讨
论 。鉴千这方面的研究不是 木书的 重点 ；， 这里不再赘述。
7.2.4
可实现连续运动的旋量系
旋噩系能够表征机构或机器人末端执行器位形的瞬时运动，当位形发生改变或者自由度
发生变化时，一般情况 下， 旋垦系或者旋垦系的阶数也将随之发生变化令这实际上反映了一
般旋童系所具有的瞬时特性。不过，还存在一类特殊旋量系即所讲的“不 变旋量系 ''( inv adant
c:rew systenlS ) 119'] ,, 这类旋益系所表征的运动具有连续性 E 只要旋蜇系的形式不发生改变，
就可以实现大范围的运动。表 7.7 给出了所有相关的不变旋量系，旋量系的表达都采用了正
则 坐标的形式。不变旋贵系的 一 个重要特性是旋噩系中各旋登的顺序无关紧要，所反映的 一
个物 理意义是运动副的连 接顺序并不影响 机构的相对运动 。 而这一特性正好反映了 位移子群
的某种特征，井 且 可以看出不变 旋量系（李子代数） 与位移子群具 有 一一映射的 关系。
表 7 ..7
可实现连续运动的旋呆系{对应的是位移子群）
正则坐标
旋鱼系
(1, 0, 0 ;
一系
二系
三系
h 生 0, 0)
对应的位移子群
I
酰,(2)
物理意义
螺旋副
转动副
(l, 0, 0 ; 0~0, 0)
S0,(2)
___
11
(0, 0, 0 ; 1, 0, 0)
T(l)
II
移动副
,(I., 0, ,0 ~ 010, 0
'l Ot 0, 0 ; I, 0, 0)
S0(2), ©T(l)
II
回柱副
lOt 0, 0 ; I, Ot O 1,,
'lo. 0, 0 ,;'°~ 1. 0
(l, 0, 0 ; 0, °'~0)
o, 1, 0 ; o, o, 0)
0, 0, l ; 0, 0, 0)
(I, 0, 0 ; h, 0, 0
(0, 0, 0 ~ 0, ], 0),
(0, 0, 0 ~ 0, 0, 1;
(l,.0,0 ; 0:1 0;, 0}
0, 0, 0 .; 0, ], 0)
0, 0, 0 ; 0, 0, l )
II
T(2)
11
平OO 二 维移动
I
空间转动
so;卫） xT(2)
II
平面憋旋运动
S£(2)
II
S0(3l
—
II
128
平面运动（平血副）
0, 0, 0 ~l? 0, 0)
(0, 0, 0 ; 0, l, 0)
T(3)
三 维移动
SE(2)®T(l)
Sc:bonflies 运动
SE(3)
已 4 般刚体运动
o, oj o; o古 。古 l )
(l, 0, 0 ; 0, 0,0)
(0, 0, 0 ;. l, 0, 0)
(0, 0, 0 ;, 0, l , 0)
(0, 0,0 ; 0令 。, :1 )
(1.., 0.,0 ~ 0中 。古。
(0中 1 ~0 ; 0~0, 0
(0, 0.~] ;. 0, 0, 0,
(0, 0, 0 ; l, 0~0~
(Ot o, 0 ; 0~1~0)
(O. 0, 0 ;. o. O.~])
四系
六系
7.3
互易旋量系的定义
7.3.1
【 互易旋量系的定义）
有一个 n 阶旋量系 S = {$ p $2j ···~ 凡}'必然 存在一个 (6-n)阶的 互
易旋量系 （或反旋量系 ） S'' ;{总芩…，＄仁｝ ， 该旋晕系由 (6-n) 个 与 S 中所有旋噩都互易
（简 称 与 S 互易）的旋晕组成， 反之亦然。
di1n(S US r) = di1n(S)+din1(S ,.) —dun(S n S '")
( 7.44
式中 ， dim()表示旋登系的阶数或维数。
s d = {$dP $d2 勺＋ ＋＋孕旯} = s n s J' = {$dJ' 1$dJ e s和$JI E S'勹 i = t 2.j
i
i
i
t
f}
勹45
用集合图示，旋 壅系与反 旋噩系之间的关系 可 以表示成图 7 枷22 中的各 种 可能形式。
s
s
SJ
I
('I r
彻
(a)
图 7血22
7.3.2
(c)
旋呈系与互易旋呈系之间关系的栠合表示
互易旋量系的解析求解
可基于线性代数 方法对互易旋量系进行解析 求解，该 方法具有通用性和快速 性。
对于一个矩阵表示形式的 n 阶旋垦系 s
=[$~' $! 尸勹斗]1, 必然存在 一 个 (,6-n)阶的互易
旋量系 Sr= [$~妒 ，鸟，…， $;_n 11, 且满足
SJSr = O
(7.46)
SX = 0
( 7.47)
令 .JS/' =X, 则
对上式的求解可归结为线性代数中的求解齐次线性方程 的零空间 ( null space ) 问 题”叭
1. 利用增广矩阵法求解一维零空间
考虑 5 阶旋量系（旋量五系） ， 这时它的互易旋量系中只含有 l 个旋量，矩阵 A 的零空
间为 l 维向严空间。这 时，式 (7.47 ) 变为
,Ab = D
( 7.48)
式中 A 为 5x6, 阶矩阵，且
b
= LJ$r
( 7.49
直接 求解式 ( 7.4'9 ) 是比较困难的，下 面给出一 种 增广矩阵法对 其求解。具体过程如下 ：＇
129
首先将 5x6 阶矩阵 A 通过增加 一 个旋量扩增 成 6, x 6 阶矩阵 A打 ， 增加的旋昼与其 他 5 个
旋噩线性无关。为此，可 以 找到如下所示的旋量 。
,~
ia : : : (-IA:sl 卜
I Asl 卜— IA331~
IA丑 It
IAa.,f,I)
— IA.l':51!
( 7.50 )
式中 ~<;J 是删除矩阵 A 的第 j 列后得到的 5 x 5 阶子矩阵卫可以证明由此得到的增广矩阵 Aa 是
个 非奇异矩阵。这时
= r¢0
${I 0$i"
( 7.51
式 ( 7.491 ) 可以写成
Aab = I'
( 7.52
式中，
ooooo
l_
::~
$T
( 7.53 )
I$! I
Aa =1
1
r=
$:
r
53
7
.
.
$T
这样将式 ( 7.49 ) 所示对齐次方程 的求解就转化为式
所示对非齐次方程的求解
问题，对应的一维零空 间 可通过下式给出。
cof(a61)
· ·
· oof (a61 )
|
oof(a妇 ｝
A
A |
_
_
24
A
—
A
A
七,
宁
—
A
—
4
j
- A
—
s
—
氏~
|
( 7.55
_
51
|
A
s
引
—
—
。
里
旋
易
互
130
的
它
型串联操作 “ 尸
,
求
』
....RR
示
所
•
』
丸}
图 7.2..1
7 23
.
5
l
阳
如
局
,
布
，
h
构
结
3 具
乍
一
i F
联
RRP RR
串
,
型
_
个
.
有
例
7 16 ]
-
s
1
AA
—
[
5
.A
＄操
_
_
_
—
互
的
得
求
要
所
了
到
得
占
“
样
这
略
忽
可
悼
s
|
( 7~54
—就
占
—
_
—
值
易旋蜇。
幅
其
由千计算得到的旋 童 只有 一 个 自 由度
—
.
_
•a
—A |
只
。
IAal
_
11
cof(a 杖
谑
•
A
囚
J =
I '
r
=
adj( A 订）勹
产
con 知
b =A丸一 L r
5f?
cof(a科
瞻
•
_—
_
解：与基座最近的 2 个转动副相互正交亨第 三 个关节是移动副，与第 二 个关节垂直，偏移 i
t.,.IJ为 ，a1 第匹个关节与第 三 个关节共线不过是转动副，第五个转动关节与第四个转动关节垂
直。由此可列出各个关节对应的单位运动旋堡坐标 。
SI = (0, 0, 'I ; 0, 01 0)
$2 = (cos011 sin 01 , 0; 0, 01 0
$3 = (0, 0, 0 ;. = sin 01 cos 01, cos@i cos 02 , sin 02)
$4 = (-sin 01co淳~ ~ CO!:!. 0, cos 8!, sin e2 ; -a~in el sin BP a cos: 0i sin 0! -acos0211
＝ 也让， N:; ; ~'Qs, 岛
½= - cos Oi oos°'1 + sin 0. si.n 02 .sin 0~
oo吼 - cos 0;
M5 = - si.11 {9i
式中，
凡=
sin a~s:in ()4
cos ()! s·in 0,暑
R = S(si1101sin0! cos,0. :i +cosB; s.in 乌） 一 as in 61 cos 02 sin 01
Q5 = .S(sin 01 sin ,0" 一 cos al sin O.i cos 0_1,) - a cos el oos (}2 sin ,0_书
R-s = Scos02cos 0,斗 + a sin (J! s.in 04
可以验 证 这 5 个单位旋量线性无关，从而形成了旋量五系；与之对应的互易旋噩 $1'( 表
示约束力旋 昼 ）可通过前面介绍的增广矩阵法计算得到（计笲过程从略）：
t: = -S ,cos 02 sin 02[cos(@; + 04) + cos ,01 ,c 环 02 ,co.5 04 ]I+ tl cos~s·un 0~sin fJ.
M r - -S cos 02(sin Bi Co\S 04 +,cos 01sin 02 sin ,04) +a sin 01 si]l 02s:i]l 04
I N ,- =.Scos 庆 sin04
pr ·= 呤 sin ,01 sin 04[c.os0/ cos 02(cos 02- sin O;i: )-1]- a·2 sjn 衍 cos 0i sio 04 (oos ,t)今 -Sill ,().
Q" = as cos 01 sin 04
R,-~ O
2.
利用矩阵分块法求解多维零空间
矩阵 分 块法 的 原理如下 ：设 旋量 系的阶数为 r, 将 r 阶旋 量 系 中 的 r 个旋 量作 为 行 向 量
组 成 矩 阵 A , 再将其 分解成两个子 矩 阵: rx (r+l) 阶子 矩 阵 和 rx,(6于'-0阶子矩 阵 。
a 1·(/'+I)
ar
邑吕邑
匣色巨
a寸
I
++
｀＾ 乒酝
A=
`
牛 ＋＋
+
,.
a
上
II
I
"
aI r
ar
'..
a心 l
:+ + +
( 7.56
写 成 矩阵 的 形式
( 7.57)
A= [A1: ~]
对 原 矩 阵 A 增加 一 个 行 向量 扩展成（户 l)X6 阶增 广矩阵 A 打， 行 向 量 的构造方法 与 前面所
讲的相 同 。 将 Aa 进 行 第 一 次分块， 具 体分成两 个子 矩 阵 ：（叶 l)x(r+ l) 阶于 矩 阵 A.a 1 和
r1"" 1) x (6寸-]) 阶 子矩 阵 A a2 。 其中 前者是 可逆 矩阵 。
a lu
•"
a10.
al l 叶， l) = · 令十
a ir
”
+'
”.
~4,r =
I
_
I
a
a
r斤
r(1·+I~
..
"
酝心
r-·6
'
( 7..58
饲
写 成 矩阵 的 形m
( 7.5'9)
A"'= [A.:i 1 : A"'J
展开得到
逵
．
”山
"
.
:131
0:
r 墨
`．;：·
xr
x +L
··
…
a戊
.
”:
。
...
卜
·
"
I
ù
s
rI
l
a rr
:＇::::·血
霉·
t
谒
•
a
aa
·`
,
.
.
I 1,. I '
I
鲨雪·
;
罩雹攘
ar l
ar
l
I
氏 ．：
",
。
xl
x.
`
r•.
( 7.60
x, (i = .. ·, 6) 是向量bl
式中
中的元素。对上式进一步分解得到
A执11. + A心礼 =I',
( 7.61)
由千 A幻， 可逆，故
bl l + A;/Aa2位= A;/r1
令 bl2.
= 0,
( 7.62)
则上式简化为
( 7谒 63
h1 I := A; LLr1
这样 ， 就可采川前面求解—维零空间的方法来求解反旋噩。具体如 下
一 I)尸 1l1 ~杠1)1
r't一 ：＂』-3
炉:.$; =亡）气飞r,)= 兀
IA,叫
( 7.64)
:
I
(一lY;--J;I iAI,如+1))1
0(6-r 一 I )x i
式中宁
A11sJ) 是删除掉矩阵 Aa 1 第 j 列 后得到的子矩阵如果不考虑幅值的大小 ， 可变为
(-lY+l IA凡~,} I
(- 1 )户J IAl(.r:iil
( 7.65
•
巳＄； ＝
:
（一 1 )户J+ I IA限伈rn l
0＂刁，一 I }>l I
飞用类似的方法亨可求出 6$; 。具体对矩阵 A 进行分块 具 体分成 三个子矩阵 ；， rx I 阶
子矩阵 2 A。 . . f对叶 1)阶子矩阵 L A] 和 rx (,6 -r-2)阶子矩阵 1. A2t 再通过增加 一个行向量朼原
矩阵 扩 展成 (J-1-l) X(户 l) 阶增广矩阵 切打，所对应的 三 个增广子矩阵分别是 2 A杠 o 、
:z A江2 (>其中 .. A:til
iAa 1 和
是可逆矩阵令
x
.
xr
_
g
00:
'
山
r(,·t l }
.....
”
'J下
l(r+ I}
I
a
";
"
+
一
"' .
-'
.
,'
;:
aa
. . '-a
_
)J
,
l. r i
惘嗣刷（
胪
,Q rl
:
a-1n
一
-.L 1
.1,'，'，',＇，唱管
尸
"
0
..
.:
r+
.._.
·
知 II
Xr
X
一一一尘．
1=
xr.. 2
.y
， 一
:.
`
x"
式中
( 7.66)
xi (i:::::: 1, …， 6) 是向翟 b,1 中 的元素。对上式进 一 步分解得到
丸心+ 2Aa,b21. 十？ 心处 = r 2
由于 2Aa1 可逆 ， 并且令 凡。 = h22:
同样可采用前面求解
= 0 ~ 则 上式简化为
bzt = 2A;1'I'2
维零空间的方法米求解互易旋量。具体如 下
:132
( 7.67
(7.68)
。
（一 1),叫 2 Al (sl) I
0
b20
从 = .1笠 = I ~ • = 2A凸一,1 r 2
处丿 l 0
2r~
A.:i1
=
I
c-1r+4 I2~ ,fs2)I
( 7.69)
.
:
- 1r订+I I 切l{:;(ri-1)}1
,o
( 6 寸 -2 扣 1
式中，
iAi句 ） 是删除掉矩阵 2 A 第j 列后 得到的 子矩 阵 。 如果不考 虑 幅值的大 小，可 变为
" ,
0
(—:l), 门3 1 2 Al (sl)I
( 7.70)
(- l.f +-t 12 Ai(521I
．刊书
A店 ＝
- 1)门j+l 1 :2.A心(r+l))I
。 (6-r-2)~1
同理 ， 可 以得到 一般形式的求解 互 易旋 量 的公式 D
。 (i-l)M.l
(-ir ...』,.-1 ljAl{sl)I
( 7.7
1 11 - 1r·~1叶l 11Ai(s2)I
4矿 ＝
(- 1r叮+I l iAl (s(r 山） 1
o,
r 心寸－小 l
【 例~，号17 】
考察—个 4 轴串联操作手（图 7.24) 。关节对应的单位运动旋量坐标如下 ：
-$1 = (0. 。1. l ~o. o. 0 1,
$2 = (cos 01 ~s1n. ,0 ]'0 ;. 0, 0亏 0)
;'~= (- sin ,Bi ,cos ,()2, cos 01cos 02, sin 02 ; -a sin Bi sin 02, a cos 01sin 02~ -a cos 02)
$4 = {女， M4, N4~ ~, Q4, R'4)
五= - cos @L cos {'3 +sin .~ sin 02sin 03
M41
式中，
4
= -s1nO. co吼 -c岱 (1i sin 0~sin BJ.
= cosB2sin 0,
~= S(sin O. sin 02cos 03 + cos~sin 幻 - a sin
8i cos~sin ,01
Q. . = S(sin 8i sin ~ - cos 01sin. 02cos~) - a cos 01 cos 01sin 0
R4 = Sease; cos03 + a sine; sin~
求它所对应的互易旋 量 系。
I,
趴
I $1
图 7.24
4 轴串联操 作 手
:133
解： 按照上面所给求解互易旋量系的步骤进 行求解 。
( 1)
构造矩阵 A 。
$11·1
A -I
_
s:
SJ
$;
「
。
。
cos el
sjn 01
一
_ - sin 0t cos 02 ,cos 01 cos 0.勹
。
。
0
0
0
sin 02 -a sin 01 sin 02 a cos 01 sin 0今
11.f 4
L4
。
l
N斗
P4
1
0
。
。
。
。
sin 乌
-a sin 01sin 02
0
-acos02
Q4
R4
( 2 ) 构 造增广矩阵 Aa 序并进行分块 。
。
。
cos: 01
sin.01
An = I1- sin 01cos 02 cos 0, cos 02
L4
M'4
凡
I:
a cos ,01sin 021 *
-~o
I *
切
( 3 ) 求解 ＄；。首先根据步骤 ( iii) 可知 ，
N;= o 。再 根据步骤 ( iv) 求得其他各元素，这
里从略，只给出结果。
L'; ~ -S,邓 ,()2 (sin 01 sir1~- cos 01 sin 02cos~) - a cos tJ. sin 03
1\1~= S cos 02(,cos 01sin 01+ sin Bi sin 02cos 03} - a si.n 01si.n 03
c
Pir - aS sin 0. s i.n e; sin~e·= -as cos ,0. s,in e2 s,in 0~
比 =0
( 4 ) 再构造增广矩阵 2 Aa, 并进行分块。
*
。
1
。
。
。
*
sin 0.
。
。
。
。
A- =·I * cose; cos02 sin ,乌
*
M ,1.
N~
l一
- a sin 01sin 02 a cos 01sin 02 - acos.02
.R,.
Q4
~
+
( 5 ) 求解 ＄；。首先根据步骤 (iii) 可知
P{-=0 。再 根据 步骤 (iv) 求 得其他各元素 ，这
里从略 ， 只给出结果。
互 =-aSsin 树 sin 0:i, - a 2cos 01sin 01sin 03
M ~- = - oS cos 01sin 0; sin 0~+ a 2 sin. ,012si咄
.,~- = aS sin 01sifl 01sin 03
Q~- =0
R~- =0
此外还有其它通用的方法可以用于求解互易旋噩系 ， 例如 G:ram·- Schrnidt 方法。而观
察法与等效旋量系构造法都是基千观察和经验的构造方法，同时又具有较强的物理意义 ， 不
过通用性相对较差凸 下 一 节我 们将重点讨论如 何 应用 几 何（图谱）法对特殊 几 何条 件下的旋
系及其互易旋量系进行求解v
7.3.3
旋量系与其互易旋量系之间的儿何关系
前面已经讨论了—个互易旋量对所满足的几何关系 ： (i) 2 条共面的线矢 量互易 ； ( ii)
2 个偶量 必 然互易; Uii) ] 条线矢量与 1 个偶量只有当相互垂直时才互易； Uv) 线矢 量与
偶量都具有自互易性； (v) 任何垂直 相交的 2 个旋 量必然互易 f 且与其节距大 小 无关勺由此
可进 一 步导出两个互易旋量系之间也满足类似的 几何关系 ：
('i)
旋址系中的所有线矢最 一定 与其互易 旋最系中的每条线矢扯相 交 ；
:134
旋鱼系中的所有线矢量一定与其互易旋量系中的每个偶鱼的方向线正交；：
('ii)
皿
旋量系中所有偶量的方向线一定与其互易旋量系中的每个旋量的轴线和所有线矢
＝正交；
旋量系中 一般旋量的轴线与其互易旋量系中的每个一般旋量的轴线应满足下式
h r)
(P『 +qi )cosaij - a甘 sin a ~= 0, i = l,2, 三.. , n , j
7.3.4
=
( 7书 72
l. 2. +· •• ,6 - n
互易旋量空间线图表达
基千上面给出的两个 互易旋量系之间 的几 何关系 ，可 直接确定与巳知旋量空 间 互易的旋
量空 间 。
下面举 一 个 简 单 的 例子 来 说明该方法 的 应用 。
已知 一 个 如 围 7 立25 所示的 5 阶直线旋荒系 S C$,, i
= t 2, ·… ) ，求 解其互易旋杲系凸
根据上面给出的互易旋量系之间的几 何 关系可知 ， 互易旋董系中 的 线矢量一定与线系 S
中 的 每条线矢噩都相交（这样 的线矢量只能找到 1 条， 如 图 7 豹25a 所示 ）］ ； 偶盘一定与线系 S
中 的 每条线矢噩都正交（ 不 存在） ；； 一 般旋噩 一 定与线系 S 中 的每条线矢量都满足 一 定的几
何 条件 ( h
=a, tan 仪，导 i =1:1 2,. · ·勺 5 ,,
如图 7..25b 所示汃实 际 上 ， 这对互易旋昼系之 间 的关系
完全可 以 采用旋扭空 闻 线图来表迖 ， 如 图 7 工25,c 所示凸
l
尸
.... .
(a)
, .丘
线子宁 间
丘
千i
,
·-.• _一
(b)
一 般旋
/
(c) 完整的互易旋萤空间线 图
图 7.25
可视化的旋華空间线图
类似的 方法 可 以找到任一旋噩系下的互易旋昼系 ，
并通过线图的形式来表现相应的旋
里空 间 。 Hopkini461就曾给出了 一 个 较为完备的互易旋量空间线图阳谱， 该图谱中涵盖了不
同自由度 下 的 自 由度空间及其对应的约束空 间 线图心从中 可以 看出，任 一 旋措系及旋果空间
在理论上讲都可以采用 几 何线图表示 。 但就 一 般旋詈系而言 ， 它的互易旋登空 间 线图虽然完
备， 但几 何特 征却变得越发不直观 ，从而在很大程度上失去了几 何 直观性的 优 点 和 这时 反而
如采用解析法。
7.,4
[ l].
扩展阅读文献
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[ l 2].
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R心s
—
习题
7..1 根据不同的 空间几 何分布 给出 3 种 二 维线簇类型 ， 用线圈示之。
7 . 2 根 据 不 同的空间几 何分布 给出 5 种 三 维线簇类型 ， 用线图示之 心
7.3
根据不 同的空间几 何分布 给出 3 种四维线簇类型 ， 用线团示乙 。
7..4 根据不同的空间几 何分布 给出 3 种五维线簇类型，用线图示之心
7.5
六 维旋量空间是否可完全用 6 个线矢量作为基坐标？如果可 以， 试给出一组基。
7.6 试确定 图 7.2 6 所示 3 个组合线簇的维数。
~二t
&
图 7.2'
习 题 i.6 图
7.7 试判断下面的 二 阶旋益系是否为自互易旋量系 。
{5'· = (l, 0 , 0 ; 0 , 0 , 1)
$2 = (O, l ~ 0 ; I, 0, 0
7.8 试 判 断下面的 三 阶旋 昼 系是 否 为自 互易 旋 量 系 。
SL = (L. 0, 0 ; 0, 0; 0)
Si = (0, 1,
o ; o, o, O)
.S2 = (O.~0,. 1 :
7.9 试 确定图 7.27 所示各个旋噩 空间 的维数 。
:136
o, o,
0)
矗
＂丿“一
公
．＄
8
1$
$.
1
.8
f$
L.
-l
8
尸
平
平C
a) 共轴
(c
汇交
.,
d) 空 间 平行
乏』
伸
I
(e),
共面
(f) 空 间共点
图 1.2-,
(g) 共面.... ,..
(h), 平行 同一平 r
不同几何条件下的旋呈系分布
7..10 观察下面的 一 组由相互平行的 4 个旋昼组成的旋噩四系
-~= (0, °'~'1~0~0,
~ = (0, 0;] ~
a, 0九）
0宁 b,, h3 ,
$4, = (0, 0, 1 ;
C,
$2 = (0; 0; 1 ;
i.
hl)
d, 九）
证明它们当具有相同节距的偕况 下 线性无关 ：并且证明当具有无穷节距的所有旋量均属于该
旋量四系凸
7,干 U 考察表 7.6
(1) 表中哪个旋量系可以表示球面运动？
(2) 证明表中 的 旋量阳系可以由 4 个相 互平行的具有不固有限节距的旋蜇表达。
7..12 主旋量 (principle SCI"CW) 是旋量系理论中 一 个重要的研究内容心以旋量 二 系为例， Ban
将两个节距取极值的旋噩称为主旋赍。试按下而的方法计算这两个主旋萤的旋昼坐标。
假设有 2 个旋量 $,(h.) 和 ~(九）， 为方便起见 ， 取坐标轴 Z 沿这两个旋量轴线的公垂线
方向 ，而 X 轴和 Y 轴以及原点按如图 7 及28 所示方式选取。
b
X
},
Si 仇
图 7.2S
两个旋
的合旋 ＿
7书13 考虑下面的旋呈四系，它的 4 条 发生线分别是
:137
s. =(1
.S;;:
t
0; 0 ; 0., 0, 0)
= (0~0, ll ; 1, 0, 0)
$1 ; ; ; (O, a, o ; o, 1~o)
$4 = i(O) 0~0 ; 0, 0, 1)
试给出该旋 费 系的 一组同维子空间 ，图示之 。
7.14 考察 一 个由 3 个关节组成的串联操作手，对 应的运动旋量 坐标如下
= (0,
0, l ,; 0, 0,, 0)
$2 =(乌 .,. M 2, 0; P2, Q2, 0)
$3 = (½, M 3,,, 0; 只， QJ, 0)
, $,
求与之互易的旋噩系。
7.15 考察 一 个由 3 个旋转关节组成的串联操作手，对应的运动旋 菌 坐标如下
,s, ~ (O, ot 1 ; o~o,
O)
$2 = (c01, s01, 0 .;. - z0s01, z。ct9i, 0)
式中，
c0; 是 c岱 O的简写， sOi 是 sin01 的简写。求与之互易的旋蛊系。
7.16 试识别 存 在如图 7.29' 所示 正方体各边（ 有些情况 可不受此局限）中 的 ]-6 维线 图 i 并
各给出 一 组与之互易的线图（考虑偶蜇元素的存在） 。
图 7.29
正方体
7.17 试证明：
如果 n 阶旋量系（或 n 维旋量空间）中，存在有线性无关的 r 条线矢量和 s 个 偶量 ， 即
n =r+s 。井且 每条线矢 量 都与这 s 个偶量正交，则可以确定该旋星系（或旋量空 间 ）存在有
n 个线性无关的线矢 噩（或 n 维线 子空间八
:138
第8旱
运动与约束
【内容提示）
在旋量理论中，旋责系的概念可以从运动学中演绎出来。对于一个多关节串联
机器人 ，其末 端执行器的运动可以表示为各组成构件运动的叠加。当这些运动用旋
表达时扣末端的运动就表现为旋量系的特征，这是旋世系的物理表 征 。如果给这
种旋世系与其互易旋圣系赋子物理意义的话 ， 就可以将其映射为运动旋注系与约束
旋量系。因此， 本辛内容是第 7 章内容的具体及深化，同时也可以作为研究机械系
统及机器人机构学有关结构问题的关锭环节。
机械系统结构学的研究内容主要包括两个部分 ： 机构自由度分析与构型综合。
自由度分析是由给定的机构求取自由度数目及特性，而构型综合正好相反，构型综
合可定义为在给定机构期望自由度数和性质的条件下，寻求机构的具体构型，包括
运动副的数目以及运动副在空间的布置。对于并联机构或混联机构还要考虑各个分
支的数目以及分支的布置等 C, 构型综合与自由度分析是对立统一的。
因此，本章的学习重点是如何应用运动旋量系与约束旋量系理论解决机构自由
度（或约束）分析与构型综合问题。
81,! 1
运动旋量系与约束旋量系
研 究 互易旋董 系的 主 要目的在 于 从更深 层 研究机构或机械系统的运动或约束特性 。 根据
旋 量 系的运动特 性 及约束特性可将旋显系分为运动旋量 系 （冈ist syst,e1n) 和约束旋量系
(constraint wrench system 八
对于 一 个 n 阶运动（或约束）旋豐 系 s :::;; [$P$2 尸·, s111:1r, 必然存在 一个 ( ,6 -n) 阶约
束（或运动）旋量 系 sr
=[.s:· ;s;·尸·, $匕］与之互易中该约束（或运动 ）
与 S 中各个旋 量 都 互 易的旋量组成 ，
旋量 系由 (6-n) 个
即
SA'S r
=0
(8.l)
根据定义 可 知 ，， 任何 — 对运动旋噩 系 与 约束旋 噩 系的维度之和都 等千 6, 即
dim( S) + d1mi(S ,. )
利用式 (8.1) 可 求得约束旋 豐 系 sr
!
=6
(8.2
具体求解过程可归结为线性代数中的求解齐次线
性方程的 零空间 问题（见本书第 7 章 内容） 。
除了代数方法外，仍然 可 以采用几何法 。 根据上 一 章给出的互易旋 量 系之间应该满 足 的
几何关系，由此可 进 一 步 导 出 运动旋 呈 系与其约束旋 昼 系之 间 的几何关系 ， 即广义 Bl皿d.ing,
法则 [BO, 1 681 凸
(v)
(vi)
(vH)1
(viii)
迫劲徒登素中的所有往劲伐一定马其土易徒普系中的各各彴束力伐相女 ，＇
这劲捉节象中的所唷矜劲伐 ，一定马其 .l. 易提贵象中的各个钓束力偶的方向钱正女·
i'- 劲徒骨象中的所唷书劲方向伐一定乌其 L 易装量会中的务各彴束力伐正女 ；
这劲徒普怠中一般痰癹的私依马其主易痰量系中今个一般痰癹的杜伐疫漓足下式 ．
(Pt+ q1)oosaiJ
— ,a&.
sin a ". = 0, i = l, 2, ·+·, n, j
= ill, 2, 善 ,
式中， Pi 和 q; 分别为运动旋 量系和约束旋量系中各旋量 的节距 。
归I] ,, 已 知图 8J 所示的 一 个 运动旋冠系 S
:139
( $j
r
i ;;;;; ].,2, … ,5),,
..
,6 — ,n
(8.3)
根据上述法则， 很容
易找到与之互易的一个约束旋蜇（单个与所有 $i 相交 的约束力＄， ．） 。
$
-
图 8.1
$
五维运动旋呈系及其对偶约束旋罢
8,.2 等效运动副旋量系
8.2.1
等效运动副旋量系的概念
【 运动副旋量的定义 】
当用运动旋量来描述基千较链联接的两个 刚 体间的运动时 ， 对应的
单位运动旋量又可以表示不固类拟的运动副，如转动副、移动苗叭 螺旋副等。因此又可以将
表示运动副特征的单位运动旋世 ＄称为运动副旋量 (k~nen1a'tic
【 等效运动副旋量系的定义 J
p,afr s,cre·w 1
简称 KP 旋堂） [ l31 ] 。
如果 一 个具有 n 个单自由度关节组成的串联操作手或由 n
个运动副组成的分支，可以川 ，KP 旋噩组成的旋昼集{ S'1,.. ,. Si~.. .Sn }来 描述它的运动。其末端
的 运动是该旋呈织中 n 个 KP 旋昼的线性组口 o
如果旋量集中各旋蜇线性无关且庐6; 则该旋噩集 必存在一个维数为 n 的基础解系作为
它的子空间。基于线性变换理论，末端执行器的运动完全可以由基础解系中这 n 个 旋董线书
组合得到。这 n 个 旋量通过线性组合 可生成 一种 或多种与基础解系形式不同的 KP 旋 量系
但它们与基础解系都表示末端同 一 运动。为此称根据线性组合得到的 KP 旋量系为基 KP 旋
量系的 等效 KP 旋量系 心类似的 ， 如果旋豐织中各旋量线性相关且它的秩 ,<6, 则该旋 豐权
必 存在 一个维数为 r 的基础解系作为它的子空间 。 这 r 个旋 量通过线性组合可生成 一 种或多
种 与基础解系形式不同的 KP 旋币系，但它们与基础解系都表示末端的同一运动。
【 例 8~1 】
考察平面四杆机构的 KP 旋呈系。
图 8._2
平面四杆机构
解： 建立如图 8.2 所示的坐标系，平面四杆机构的 KP 旋量集可以表示成
q =(.5 ; 0)
Si =(s; ·'i x,s)
~ = (s ,; (lj +'2)xs)
$4 ~ (s; 只 xs)
(8.4)
通过线性组合可以得到
＄心1 =(s~ o)i
$心 = (0; r; 对
＄七3 =(0;'2:xs·
＄心4
=(O~r., 灯
140
8.5
．配一 ，考虑到上式中第 2 项与第 3 项的线性 组合 可以 得到第 4 项 ，则 上式可以进一步等效成
＄心I =(s~ 0)
S:2= (0 ; lj XS}
~ ,J = (0; r2 X~~·.
8.6
m 此，式 ( 8.6 ) 可以作为平而四杆机构的等效 lKP 旋进系 a
8立2
等效运动副旋量系的应用
等效 K.P 旋量系 的用 途包括： ( l) 等效机构或运动链的 运动分析（自由度 、 约束等）； (2)
等效 KP 旋量系可用米构造运动链，实现机构（或运动锐）构型综合之目的。
【 例 8.2 】
试分 析 4R 型平行匹杆机构的等效运动 心
4
1).t;/
一
．
亨
y
i; ,
C
"" I I
图 8.3
,...
斗'21
平行四杆机构
解：： 4R 型平行四杆机构如图 8.3 所示 ， 当以杆 I 为机架、以杆 4 为输出构件时， 可 视其为
由 2 个分支组成 。首先建立相应的坐标系 ， 得到表示每个分支各自对应的 KP 旋 噩系
厂ii = (S,;':, XS』,)
(8.7
Si2= (s,[! ; ~x sJ
{~'=(~店片 x s.)
(8.8)
~=(sd; ,;1xsd)
式中，
s,:J = s11 = st: = sd 勺 且 满足
,;, = ,;, + (,nS.吐，
(8.'9)
,;. 叮 + t;l(. ~吹
( 8.10)
,., =飞 + ~岛S咕＋如SM
(8 云 ]1 )
式中， ·~ab, .!i'尔， s园和切， l沉，心分别表示线 ab 、 ac . . bd 的 方 向 和长度。代 入式 (8.7) 和 (8.8)
中 ，再通过线性 组合，可得到等效 KP 旋凭系 心
t"
t"
= (s,; ,;, xsa)
s eUl :=:
(ft ;
-~ (IC
X
.!i'i:i)
=(~己,; r;, +l,,,s,,,,x.s,,
丛 = {,0,;
式中 ,,
( 8.12 ,
( 8.13 )
Sac X Sa )
$./! l] = SI I , 从＝＄广 Si 1 ' $./!ll = $21' 斗 = -~2 - Si1I) 由此 ，较容易地导出对 应各分支
的约束互易旋噩系。
~l ={0 ~~心 xsa )
:_ =(0 ;
Sab X Sa )
'/"3
=(~:打； 0)
,r
=(s心；
O')
14]
( 8.14)
旯 = (0; s,欢 X S,j)'
(n,; .fab X Sa)
-"'23 = (sa~011
,·, =:
_r~;; ;
(Sm: ;
( 8.1 5 )
~动 X S心
将这 2 个约束旋量系组合成 一 个新集合，并求出 一 组基，从而得到输出杆的约束旋星系 凸
-,~;I ~ (0; S,rc X··.:1
s:气 - (01 ; s,劝 x stil )
( 8. 16)
，旯= (0 ~s«t, xs:执 ）
$~ =(s11 ; o)
_.s;s ~ (s忙; ,0)
进而根据运动旋量系与约束旋量系之间的互易关系 ， 可以求得输出杆的运动旋旦
s = (o;
式 (8.17) 表示该机构具有 1 个沿 Sac
X
.vm:" x s打）
( 8.17 )
Sa 方向移动的自山度（实质上是 一 个 沿圆弧曲线
的移动）。因此可以朼其视为等效移动副，记作 (4R)r 或 p~ 。
【 例 8.3 】
试分析 4S 型平行仰杆机构的等效运动 勺
4S 梨 平 行四边形机构如图 8..4 所示主与 4R 型平行加边形机构类似，只是不同之处在千
将其中的转动副换成球面副 。当 以杆 l 为机架、以 杆 4 为输出构件时， 可视其为由 2 和 3
两个分支组成的并联机构。
,
,
I
图 8.4
解：
4S 型平 行四杆机构
首先建立坐标系（原点任 意 选，为表达方便和使转动副 轴 线方向平行坐标轴） 。 考虑到
由两 个 球面副组成的 二 力 杆 所具有的特殊性能， 可 以 直接分析输出杆 4 受到的约束惰况 ， 进
而导出杆 4 的等效运动。
输出杆 4 分别受到来自于分支 2 和分支 3 施加的约束反力，即
S' 平气斗； ，心
J; ={~正 ( r+f.r心） XS应｝
/ahS.打1,
:
U,
( 8. I 8
ltJCSt1t;. ;;;;;; 伈 S应 = V 。 上式可以简化为
S' ~ {巧 ~ (v ; rxv)
( 8.19
s; - (0; u 对
这样可求得杆 4 的等效 KP 旋量 系。
$el = (0; U 叫
$e2 = (0~(11 劝）叫
s.~-~
(8.20
$e3=(U ; r XU)
$e4 = (V ; r XV)
式 (8.20 ) 表明 4S 型平 行四边形机构具有 2 个 沿 u x v 、 (u x v)xy 方向的移动以及 2
个绕 u 轴和 v 轴 转动的自由度，即包括沿垂直 v 轴 方向的平面运动和 1 个 绕 u 轴的 转动运动。
因此，可以将其等效为 4 自 巾度的复合较链。
不过，考虑到 4S 型子链在对边不平行的 一般位形情况下，其等效运动将发生变化 。因
此，应保 证 初始装配位形下的对边平 行 ，， 才能实 现 预期的运动 。 最 典 型的 4S 型子链应用实
例是 Clave] 提出的 Delta 机构D
142
【 例 8,A 】
试分析 3 -UU 型平行四边形运动链的等效运动。
3-UU 型平 行四边形运动 链如 图 8,,5 所示 ， 当 以 abe 为机架、以 cdf 为输出构件时 ， 可视
其为由 3 个分支组成的并联机构 I)
解：， 首先建立坐标系（原点任意选，为表达方便，使转动副 轴 线方向平行坐标轴），得到表
示每 个分支各自对应的 KP 旋 帚 系 口
攫
图 S.5
S曰
S11 =( ~·a; r· x 劝
S, 2 =(~心； r x. 心）
( 8.2 1)
S,3 =(s,.; (r + I这Su.:.. ) XS,
凡 =(scr1; (r +~生S立 ） xsro 1,
_1 = (sb~(r+I忒s品 J, xsh 11
玉 = (s:心； rxs心）
S习
( 8.22)
~=(sd; ,(r +.f心s00 +l~s&i)x sd)
X_ - =(Sc,1; (八 l心＋如sM)x sw)
~, =(sr; (r+t心平IOS 舒） x s,. )
~ 2.
~ (sr,1:i; (r-l~l.s心 sm60°) x s00 )
( 8.23 )
s ~:= ~
$'33 = (st'; (r +l(i.,_,~沺 邓 160°+ lrl-S~f ) XSf)
｀斗 =(s过 ； (r/.,.,. sf.li, oos 你＋坏办动
考虑到机构具有以下的几何关系？即 S = S = S = ,\' . = !;' = S - = S,
I
Sah = S,·d = S2 ,.
S{J(f ; ; ; S4 ; S3 , ,"tac = Sbd t 伈= /cd = fae· = [cf = /~e = Jdf' 仁=(应= lef 凸因此 ， /ab.Sab =伈·"~ ~ u1
la心 =(1 s寸可 儿 ，
laCS<IC
:=
l闷沁= 1~r~~f = .., 。再通过线性组合 ，可 得到等效 KP 旋量系。
r,$1!11 ... (S1; r XS1
$!'11~{s2; r xs2)
.sea ==~ $1!13={0;
( 8.24 )
vxs,
$..14 = (O~ V'Xs1)
＄心 ::::a( s., ; (r + u, )xs1)
S已叫
$1!22 =( l·2; TXl"2)
( 8.25 )
品 = (01 ~ vxs1 )
心 =(0 ; )ii' 心）
$引 ·=(s1 ; (r+u2cos60Q)x st)
': $心= (.\'2; ,(t-''2cos 邵） xs2)
sc3 叫
＄心 =(0 ; l'XS1)
( 8.26)
心 =('I ; 伈 s1: )
可直接 通过求交得到输 出杆的运动旋 量系（ 代表 等效运动）。
s ;;;;; s"'1 ns仁2n s心
143
( 8今 27)
S:=e
= (0 ; vxs, )
,$1 = ((J ; )' X s2)
式 C 8 .28 ) 表示该机构具有 2 个分别沿 吓 ~·1 .、
( 8.28 )
V X S2 方向移动的自由度 ， 因此可 以 将其
等效为 2 自由度的复合饺链，记作 (3--UU) pp 或 u·P•J 中
【 例 8, li 】
试分析 3-URU/SPS 并联机构 的 运动。 .3 -URU/SPS 平台机构如图 8.6 所示，它有
4 个分支 ， 其中 3 个 为 URU 分支 . l 个 为 SPS 分支。每 个 URU 分支由 5 个转动副组成。各
分支第一 、， 第五个转动副的轴线相互平 行 ，且平行千 Z 轴 勺第二 、 三 、 四 个 转动副的轴线
相 互平行 且 与 Z 轴垂直。各分支第四转动副的轴线位千 上 平台的同一平面内。
"` ,`.
a
,
t
图 8亭6
,f ii
3-URU/SPS 并联平台机构
解：： 由千 SPS 分支是无约束分支 ， 不提供约束。因此只考虑分支 URU 的运动。建立如图 8.5
所示 的 坐标系 ， 得到 表示分支 URU 的 KP 旋量系 ：
S,, = (sj1;'i;r x s11)
$i2 = (Si五几 X S12 )
$13 = (S13; 'itJ X~J
Si.,= (~』 4, ; I'~. XS;-4)
~·s = (81.s; t;江 x sis · ,,
式中 的 下标 i 表示第 i 个分支 i=l , 2,, 3 。
单位矢量 ， 其中 8r1
= 5is '
Sn= 8n
s
= 8i4 。
( 8.29 )
(j= 1, 2,, 3, 4, 5 ) 表示相 对应转动副轴线方向的
因此有
, !b = '1a +(心siah
( 8.30 )
=,:.h + l叔.s,l汒
( 8.3 1 )
, C
式中 ， siililb, •~ilx 和 li心，位 分 别表示两个连杆的方向 和 长度 。 代入 式 ( 8.29 ) 中 ， 再通过线性
组合，可以得 到等效 KP 旋萤系。
.l;.:ii =(s,L~ ~印 X 叩
~-e2 -= (si2: ; Ji如 x :si2 )
, s.d =(0 ; ~呻 XS『2)
( 8.32)
＄心 = (0 ; s心 X Sii
~ -d
- (0 ; -~心 X~L
式中， S1e1 = .Sn' ,Sie2 = Si戊 ， s;.i!l = (~3-劝 心 ，凡＝（＄召 - $,3 ) / l心 '$,es =心 - Sit )ll飞芷凸由 此， 可
以很容易地导出 对应该分支的约束旋量系。
St ={0 ; Sil XS;2 )
( 8.33)
式 ( 8 . 33 ) 表示分支约束旋量系由 1 个 力 偶组成。则该 机 构的约束旋虽系出 3 个力偶组
成 ， 这 3 个力偶都平行基平面 ，
因此线性相关 ， 它 们 共同限制了绕平行千基平面 X:OY 轴线
的 转动 。 即 这 3 个约束力偶的最大无关组是
=(0 ; x)
( 8.34)
s; =(O ; y)
( 8.35)
~ r
它们共同组成了该 机 构的约束旋量系。由千 SPS 分支属千无约束分支 ， 并不提供约束
反 力 。因此该 机 构丧失了 2 个转动自由度，可 确定该机构具有 4 个 自由度 ， 其中 3 个移动 r
144
由度 和 I 个绕 z 轴转动的自由度。
【 例 8, .6 】
试通过等效 KP 旋晕系方法构造与 RPP 运动链等效的运动链。已知 RPP 运动链
的基运动旋噩系为
rs. = 0., 0,.
< S2
= (0,
0 ; 0, 0, 。 11
0, O .; 0,
( 8.36)
1~O 刊
t $3 = (O, 。, 0 ~ 0, 0, 1)
解： 对上式进行线性组合，可得到与之运动等效的等效 KP 旋 噩系
.$1 - =SI =(lt 0生 o
; ot o, o_,,
( 8..37
$/=Si + q21S~+ r21S3 = (I, 0, 0 ; 0平 q2 1 勺 r21)
.S:;' = qHSl +乃 , s, = (0, 0, 0 ; 0,. qJlt 叫
式 (8. 37 ) 表示所构造的等效运动链为 R.RP, 其中两个转动副相互平行。或者
$1 乔 = $1 = (1 , 0,. 0 ~0, 07 0)
( 8.38)
S2.._ = .S1 +q立 Si + rn S1 = fl'0, 0 ; 0, q22~,社
.SJ" = SI +q心 +132$3 =( I, 0, 0 ; 0, q及， r沪
式 ( 8.38 ) 表示所构造的等效运动链为 RRR 喟 其中三个转动副 相 互平行。
从运动等效角度，以 上三个运动链 的末端都能产生同样的运动 。因此 可以称这 三个 分支
为等效运动链（图 8.7) 。
8.3
自由度空间与约束空间
8.3喻l
自由度空间与约束空间的基本概念
二 维空间中的自由物体具有 6 个 独立的自由度 3 个移动（自由度）和 3 个转动（自由度）飞
像很多机构那样，如果受到约束作用，其自由度拌会减少 。 有趣的是，对 于 某个受限刚体运
动而言，其自由度与约束及其之间的关系还可用直观的几何方法来表征
【 自由度线的定义 】： 对千转动 ， 自由度线可表示为和转动轴线重合的一条宜线，如图 8.Sa
所示。移动自由度线可表示为移动方向的带箭头的直线，巾于移动只和方向有关，所以移动
自由度线的起点不影响移动的效果 ，移动 自由度线是一条自由矢扭心由于移动可以看作是无
穷远处的转动 ， 如图 8.8b 所不 。
..,
·· ··--- -._、一、一丛
·.
··-, ••. _
＿一．．一一缸-~一．－－－－－一co - - i
一．一． ．一一一·--一· + -· 一．一.
.••
,(J "
...五
.•. 一一. .黜·-·.:..
'v~
父飞· -----. __
a) 转 动自由度线
(b}
图豁
移动自由度线
自由度线
【 约束线的定义 】 ：考虑两端连 着球较的连杆。 对千这样的连杆 ， 只有沿着连 杆方向的 运动
被约束，其他方向的移动和转动都是自巾的 。可 以看出，这个运动链的自由度数为 5 , 即仅
提供 一 个约束，约束方向沿 着连 杆 的轴线方向。所以可定义为一条约束线（图 8.9a ) 凸与 ，一
145
由度线类似约束线也有对应移动自由度线的类型——约束偶量，如果一条约束线可以理解
^>
为单—方向上移动的限 制 ，偶噩则可理解为转动的限制 D
,.
＿一＿一_ •• -----··· 一一一
..
v
oo
' ·- ••
图 8.9
~
---··-----·1------ ,一一一一·-- , 一一＿，一一＿，一＿
、·-
I
lv
一--畸.. 一一---------一. ,. ___ J曰--呻
••••• , ----- -·
衄....--巴己
约束偶
【 自由度空间与约束空间的定义 】： 自由度空侚是系统中所有运动副旋量所张成的空间 ， 它
表征了物体所允许的空仰运动心， 当物体 作基本运动（转动或移动）时， 其运动副旋噩可退化
为线矢 费及偶厨自由度空间可简单地描述成 自由度线图的形式 ” 相对地，约束空间是物体
所受力旋量所张成的空阁，它表征了物体受限的空间运动，即所受约束悄况。当物体受基本
约束（力或力偶）时，其力旋噩也退化为线矢量及饥量，约束空间也可简单地描述成约束线
图的形式， 这时更便千几何表达使其可视化、图谱化 ， 而且其中缢含着局部自由度、冗余约
束等诸多信息。
事实上，与 一 个机构的自 由度空 间及其约束空间对应的正是运动旋扯系与其 互易旋
系一一约束旋量系 这样，第 7 章 介绍的互易旋 量系线 图表达方法正好可以用千描述自由度
空 间 及其约束空间。图 8.JO 给出了球面三自由度机构的自由度空间与其约束空间图谱表达。
由第 7 章的分析可知，自由度空间与其约束空 间从几何上应满足广义 Blanding 法则。
图 8. 10
自由度线图与约束线 R
根据广义 Blanding 法则可进一步绘制出含线矢量和偶豐元素的自由度＆约束空间图
谱了如表 8.1 所示。
8.1
由典型自由度线空 间 与对偶约
由数
自度
自由度线图
类型
性接
刚联
-0
自由度线图特征
。
/
/
IR
/
lT
_.·' /
空间组成的图讲 ( F&C 线图空间图常）
尸，
l 维转动
_/ '
l 维移动
三
I
2
I
2R
, ，严—
I
卢,-—
妀令．／-可
（只含直线 ）
约束线图
（同时含直线和偶
量：． ）
D
帕仁
雪 ，（ I111 名
空免
/
约束线图
2 维球面转动牛且 2
个转动自由度轴线相
交
14,6
2T
------ 产
I 2 维移动 ，， 且 2 个转
/
I
; :-. 沁? 、',;, //
I
级
动自由度轴线异面
蠢
2 维移 动
不存在
·~ 1 立 ．，＇
// ! /
•.
2 维圆柱运动（转轴
'I
与移动方向平行）
/
~/ /
泳
\./_;
1 维转动+I 雒移动．
I
裘
,.
/-' / / /~
I.R .I T
级
尨旮／ ／鼻／涞
且转轴与移动方 向垂
直
1 维转动+l 维移动
且转轴与移动方 向既
/
.
不垂直也不平行
不存仕
3 绅球面转动
3 维转动，i 其中 2 个
转轴平面相交，第 3
个转轴 在相交转轴平
面之外， 且 与之平行
_J
3 维转动，其中 2 个
转轴平面相交，第 3
,,
卢
I
个转轴在另 一 平面
沪-
I
不存在
内， 且逌 过 两平面的
交线
,
3R
3 维转动，其中 3 个 l
一，
/
-.,.__二—
,•
./
/.
~
II
转轴异面，但各自所
I 在平面具有线 1 条公？
I
3
'\.'-.\ V
I
I
3 维转动，， 共中 3 个 l
转轴异面兮且分布在 I
司—单叶双曲面上
\\ I
f
;
/
Y/ /;.
不存在
3 维转动，其中 3 个
转轴异厮，且分布在
同 一 椭圆双曲面上
空间 3 维移动
3T
2R .I T
/_妥
二
动？且移动方向与 二
、存在
／仁
2 维球面转动 + [维 移
存在
7
转轴所在平面垂
二 绅球面转动＋一维
移动，且移动方向与
俩转轴所在平面平 f，一
147
I
I
(17777
__ [
!lZZl
两转轴异面且移动
心 向 与俩转轴所在平
面 均垂
l
2 维转动+ I. 维移动
两转轴异面 ， 且移动
I..
J
力 向 与两转轴所在平
矿
面 均平行
', ,采I勹
主丿
二
Ill
2 维转动订维移动
平面二绅移动＋一雏
转动 ， 且转轴与移动
平面垂直
2 门R
平面 2 维移动 + l 维转
动 ， 且转轴与移动平
羌
不存在
面平行
三
3 维球面转动刊 维移
动
不存在
3R:I T
3 维转动+ l 维移动
义 ----
3 维移动+ [ 维转动
小存在
2 维球面转动 +2 维移
JIil/
/
4
3Tl R
动 ， 且俩移动方 向 与
2R2.T
转轴平面垂直
5
勹勹 压
/
/
维移动
3R2T
T2R
/""—
J心间 3 维球面转动+2
空间 3 维移动 +2 维球
厂
不存在
~
不存在
面转动
。
。
8.3.2
二
3 维转动+3 维移动
I 3.R3T
6
不存在
常见运动副或运动链的自由度＆约束线图
绪论 中 已 对 常见 的 简单运动副进行了详细 介 绍。同样， 根 据其自由度与约束特 性 ， 很 容
易绘 制出 各 自对应 的 'F &C 线 图， 如表 8 . 2 所示 。
表 8.2
类型 I 自由度 1 符号 1
转动 副
lR
R
常见（简单）运动副的自山度及对偶 约束纹 妇
图形
自由度线图
1
／二77
冗 (N , u )
移动副
:I T
p
二
沪切
1.48
约 束线图
螺旋卧J
I
I
]H
I
H
/ 7
I /
为 (P t
虎克较 I
I u I
2-R
N~N')
／ 宋
,-,
,／
乙
洛
订 (N, .n }
1,J.!I 杜：：酚J
I
lRl T
I
I
C
!__// / 7
心／
C(N,N
凸
9
平面酢J
I
1R2T
球副
I
I
E
/~// I
II
',
火
9
I
I
/__
17
s
3R
．．一．
"一
气N)
运动副是组成机构 的 基本单元。单 个 运动副除了能以 物 理较 链 的形式实 现 外，有时件往
通过多 个 运动副以 单开链 [ 16牛 165] ( single-open-chain ) 的 组合方式来实现 C, 例如球较 S 可通过
空 间 汇交于 一 点的 3 个转 动副 R 组合实现 ； 虎克绞 U 可 通 过汇交于 一 点 的 2 个 转动副 R 组
＾实现；圆 柱 副 C 可通过平行的 l 个转动副 R 和 l 个移动副 P 组合实 现，诸 如此类 e 这类
与某种运动副等效的运动副组合由千经常作为运动链的 一 部分， 因 此 又 称之 为 运动子链
(kinematic sub鲤chain )
。
常见的单开铅式运动子链包括 ：球面运动子链 ( spherical
kinematic sub-cbain ) 、平面运
动子链 ( p:I a:nar kinematic sub-chain) 、 平动运动子链 ( tmns lationa:I kin.emati c sub过cha:in) 和 圆
柱运动子链 (cyliodlirical kinem_,atic sub-chain), 具体如表 SJ 所示 。
球面运动子链完全田转动副组成 ，， 各转动副之间可以实现绕子链中心点的球面转动 。 才
据维度区分 ， 球面子链包括 三 维和 二 维两种。根据广义 Blanding 法则可知，若有约束力作
用在该运动子链上， 该约束力 一定经过球面子链的中心点，从 而限定了约束力的作用点。
平面运动子链内 的各运动副之间只发生平面运动。其中的转动副相互平行、转动副与移
动副相互 正 交。同样它 也 包括三维和 二 维两种情况。我 们 在 本菜开始 巳经给出 了 三 维平面运
动子链的类型 : RRR 、 PRR~RRP 、 RPR 、 PPR 、 RPP 、 PRP 等 7 种“二维平面运动子链包
括 RR~RP 、 PR 等 3 种 。根据广义 Blanding 法则可知 ， 若有约束力作用在该类型运动子链
七，该约束力 一 定经过与平面运动子链内转动副的轴线平行、与移动副的轴线正交，从而
在 某种程度 上限定 了约束力的方向 。
表 8.3
名称
三 维球
面运动
I 自由度 1
简图
符号
3R
I
等效运
l
s
动副
I
自由度空间
＼诊
,
f、— ' '
、，勺
(RRR)s
子链
,
` ~~
一一
'飞
一一一二：：：:.aO
S(O)
`
二 维球
面运动
J与运动副等效的运动子链及其 F&C 线 阳
2R
u
{ RR)s
链
二翠7
tl(N响”
3 这里运动子链的概念与杨廷力教投提出的尺度约束型 以及孔宪文博士提出的 组成单元 有异曲间工之处干
149
约束空间
(RRR)E
足－＜
- 沁
.T(11)
(PPR)
。
或
三 维平
仁r
I
面运动 I
[R2T
子链
I
J
(PRP)E
E
产劝）
(PRR庄
或
(RRP)E
万（切
(RPR1E
(RR.)£
二 维乎 1
面运动 I
子链
··-·
．一.. __A_
I
_,
// /
气
名 (N,
ut 11)
IRtT
I
I ,(RP)E 或
(PR)
乙
／
.!
一
子
乙
三 维平
勾运动 I
3T
,~ --链
I
(PPP)
.
-·
r
二 维乎
动运动
2T
J
(PP)
子链
IR l T
子链
(RP)c
//:'.. ___"~炉,.. ／
_
冗伍）
r
二 维圆
柱运动
I
~
,c
＼沁I
泳
/// /
C ! N 勺 .u ·
平动子链完全由移动副 组成， 各移动副之间只能相互移动 上 同样 ， 根据 平 动的维度区分 ，
IL 动子 链也 包括三 维和 二 维两种 三比中 二 维平动子链中 的各移 动副 之 间不能 相 互平 行， 三维
动子 链中 的各移动副之 间既 不能相互平 行 也 不 能作用在同一平面。平动子 链内 移动副的最
佳分 布 是彼 此相互正交。根据广 义 B]andin_g 法则可知 ， 三维平动子链中 只 能作用有约束力
偶 ，而 无约束力作用。约束力只能作用在 二 维平动子链上 ，该约束力 一 定经过与该运动子
娃也移动副的轴线亚交从而在某种程度上限定了 约束力的方 向 凸
圆 柱运动子链内 的转 动副与移动副 轴 线 相 互平行 ， 子链 内 部各点可实 现 绕转轴转动和沿
转轴 方向的移动。圆 柱 子链包括 RP 和 PR 两种类型。 根据广 义 Bl叩ding 法则可知 ， 若有约
束力作用在该类型运动子 链 上 ， 该约束力 一定与圆柱运动子链内转动副的轴线垂 直相 交 。
表 8 . 3 对这些常见的运动子链进行了总结。
除 了 简单运动副和运动子链 外， 还有 一 些复合运动副 [14 l J 或复杂饺链 ( :1 2.8] 心 复杂蛟链
(complex
Joint) 一般 指 在机构 的运动链中存在的 一 类 闭 环或半团环运动子链 ， 如 4R 平行
四边形机构、 4U 平行匹边形机构 、 41S 平行四边形机构以及 3-2S 机构等（图 8..11 ) 都是闭
:150
环运动子链 七， 在 4R 平 行四边形机构中 ， 输出构件相对千机架的姿态是保待不变的。因此
平行匹边形机构常被用来消除机构的转动自由度（图 8. 12a ) 。 Clavel 在 1988 年首先将 4S
平行四边形机构用 千 Delta 并联机器 人 的分支中（臣 8.12b ) , Zhao 在 2001 年提出的 三 自 巾
度移动并联机构的分支中 用到了 4U 平行匹边形机构（ 图 8忐 12c ) , 而 Huang 在其提 出的 三
由度 移 动并联机构 的分支中 用到了 3 -2S 机构 （图 矶 2d ) 。复杂较链的引 入不仅 能丰富机构
的构 型 ，还能提 高机构的 刚度及其转动能力。除 此之外”还 有其他类型 [7] 。表 8.4 给出了这
些运动副的 F&C 线 图 。
(a}4R 平行四边形子链
(b)4U 平行 四边形子链
图 8,.]l
,~a)
图 .S. 1 2
(c.} 4S 平行四边形子链
(d) 3-2S 平 行四边形子链
4 种典型的复杂较链
(b)
(c)
{d)
含复杂较链的几种典型机 构 ： (a) 含 4R 平行四边形子链的 Y-star 机构 [4:J.J:: (b) 含 4U 平行四边形－，
链的 3-R(4U) J1= 联 机构 [ B2\ (C) 含 4S 平行四边形子链 的 DcJta 机器人[ 1 2:\ (d~ 含 3-28 平行四边形子况 的 严
维汴联平动机构[49]
表 S.4
类型
符号
结构简距
Pc~或
2-R.R
II
2-RR
凡
.... -S(U)S
S已
冶饺链及其等效自山度空间
拓扑罔
厂
.,.
I 自由度 1 等效运动链
p
l
／二
.,
,L ,;飞 。
/2
I
自由度空间
I
]
R
4
ER
/.,. . L
/
白
RRJP
u,:_
2-'llU
s
I
I
I
P,~ 或
1-RR&I -US
J-UU & ] -S(U)
一 "I
3
I
"
I
3
u2
:151
I
-
I
p行
RPP
II
I 二笠:二)7
／ 二二7
,1
＊ 或
-uir tf 3J
n2
U"" 或
4-UU
2
n2
pli! pl]
// 辜/ ／
P,.P,.
PaPaR
3-S(U)S
3
E*
4-UPU
3(4}-RRR
n3
3
rI3
3
E
3
PaPaP
PJ -fi! P
PPR
~)
Bennett 机构
8,.4
l
-~ f
R
／二
自由度与 约束分析
自 由度与约束是机构学研究中最重要 的概念之一“ 机构的 自 由度 与 运动副、构件之 间的
定量关系 一 直是机构构型综合、运动性能分析中簸基本的理论依据。而 约束设计
( constra,int-based design) 也已成为机械工程领域中 一种 重要的概念设计 方法，并广泛应用
于精密机械设计中。
8.4.1
与自由度和约束相关的基本概念
【 局部自由度的定义 】 ： 某些构件中存在的局部的并不影响其他构 件尤 其输出构件运动的
由度为 局部自由度 ( p邸sive: DOF 或 ~dJe DOF) 。平面机构中 ， 典型的局部自由度出现在滚子
构件中；空间机构中，如 运动副 S-S~, S-E 、 E-E 等组成的运动链（图 8J3 ) 中就各存在 1
个局部自由度。
,1:a)
s~s
(b)
图 8\j;l3
s王
局部自由度图尹
:152
(cl E-E
谙 部自由度的出现会导致机构的自由度数增加心例如 S-S 的运动副联接形式，理论上它
有 6 个 自由度 ， 但实际上通过构件的联接，导致了其中一个自由度（移动 自 由度 ）的 缺失 ，
实际上只有 5 个自由度。因此在实际计 笋机构自由度时应将局部自由度减掉。
【 公共约束的定义 】 ： 用旋量系理论来解释。将机构所有的运动副均以单位旋量表示， 并组
成 一 个 KP 旋昼集，进而可以找到 一 个 KP 旋昼系，若存在 一 个与该旋量系中每 一 个旋昼均
互易的反旋乐 ， 这个反旋乐就是该机构的一个 公共约束 ( common constrai.nt ) 。本书绪论对
此已有详细介绍。
【 冗余约束的定义 】 ；
由千机构中—部分运动副（不是全部）间满足某种特殊的几何条件，
使其中的有些约束对机构的运动不产生作用，不起作用的约束称为 冗余约束 ( r,edundaut
con:stra:int ) 凸冗余约束实质上存在于去除公共约束后 ， 机构中剩下的约束旋量数大于所组成
旋冕系阶数的情况。冗余约束都是在特定的 几何条件 下出现的，如果这些 几何条件 不被满足，
则 冗余约束就成为有效约束，机构就将不能运动 。值得指出的是 ， 机械设计中冗余约束往往
是根据某些实际需要采川的， 如为了增强支承刚度 ， 或为了改善受力 ， 或为了传递较大功率
等需要只是在计饶机构自巾度时应去除冗余约束。
公共约束与冗余约束统称为 过约束 ( overconstraint: )~ 相应的机构称之 过约束机构
ov,erc-0n strn.int ·mech an1sm) 心
【 例 s,.·7 】
试考察 Scott-RusseU 机构 的虚约束情况。
~~
s;
畸一
.s; ,~
r
5
图 8.14
Scott-Russ,e]] 机构
根据例 1.] 的方法很容易判断出该机构的公共约束数为 .3 ' 即为平面运动机构 心进 而通
过判断构件 3 的 受力情况来确定该机构是否存在冗余约束。其受力情况如图 8 合 14 所 示 ，， 它
受到 3 个 平面汇交力线矢作用，根据第 7 章的有关结论，所组成的旋量系维数应为 2 。因此
该机构 中 存在冗余约束，
【 机构阶数的定义 】： 用来描述机构运动所需要的运动旋量系的阶数 ( Hunt 定义） ， 即机构
运动旋董系的维数凸在数值上 ， 机构的阶数等于 ( 16 — 机构的公共约束数）。例如 一 般平而机
构 和 球面机构的阶数都为 3, 例题 1 丐 ］ 中的斜面机构阶数为 2 。
【 冗余自由度机构／全自由度机构／少自由度机构的定义 】： 可实现空间任意给定运动的 6 自
由度机构称为全自由度机构 。而当机构的自由度大于 6 时 中 称此机构为冗余自由度机构；
业机构的自巾度 小 于 6 时 ，称此机构为少自由度机构 。
8睿4.2
机构 自由 度计算 的基本公式
若在 三 维空间中有 n 个 完全不受约束 的物体，并选中其中 一 个 为固定参照物，这时，每
个物体相对参照物都有 6 个自由度的运动 ,;,若将所有的物体之 间用运动副连接起来 ，， 便构成
一 个 空间运动链。该运动 链中含有 (n -]) 个 活动构件 ， 连接构件的运动副用来限制构件
间的相对 运动 ， 它对自由度的约束可以视不同的运动副从 l 到 5 。 这样 ， 便得到了传统的用
于计算机构自由度的 Cbebyshev-G rtibler-Kutzbach (CGK ) 公式。
g
F =d(n - 1) -
L (d 寸 ） =d{n != I
g - 0 + f1;
( 8.39
I=I
式中， F为机构自由度数 g 为运动副数， i 为第 i 个 运动副的自由度数， d 为机构的阶数凸
不过，还衍考虑冗余约束和局部自由度对机构的影响凸上面的公式进一步修正为 [82]
:15.3
F = d(n - g - 0 分江 + v - ~
( 8.40
i =I
式中， v 表示机构的冗余约束数 t
q· 表示机构的局部自由度数。
由上式可以看到 ： 式 ( 8 . 40 ) 可以作为统—的计镜机构自由度基本公式 ， 而我们在《机
械原理》中给出的平面机构自由度计览公式是它的 一 个特例。另外 ， 还可以看到 ： 计算正确
的机构 自由度数 ，其公共约束、虚约束和局部 自由度的确定是真 正关键所在凸事实上，文 献
[18, 135] 等己对此类问题进行了系统的研究，有效地解决了难题 r;, 对机构的公共约束和虚
约束的确定采用的是旋昼系理论。采用该理论不仅可以计算机构的自由度 ；， 还可以对机构的
自由度进行定性地分析。
8.4.3
并联机构的自由度与过约束分析
一文节以并联机构为例，介绍旋 噩理 论在自由度分析中的应用。
并联机构是由基座、动平台、以及联接它们的若干分支所组成的多闭环机构。它是机器
人机 构族中 一 种复杂 的结构类型 』并联机构 的公 共约束 、， 虚约束和局部自巾度悄况复杂多变，
缺少直观性，因此对它的自由度分析也比较相难。相对而言 ，， 采用旋量理论可 以 有效地解决
此类机构的自由度分析问题心
]. 并联机构中的 几对基本旋量系 [ IS]
Cl) 分支运动 旋量系 SM 与分支约束旋量系 s~
分支运动旋量系用来描述单个分支（或分支）从基座到动平台的运动旋量系 ， 记为 S扩 ＇
它是对应于该分支的 阳), 旋量系；分支约束旋量系用来描述单 个 分支从基胚到动平台的约束
旋堂系，记为 .s~~. 。分支运动旋童系与分支约束旋量系构成互易旋量系 ， 记为
.S~o S村 = '0 j 或者 S,".dS{,
=0
di m(S0,} +di m(S~) = 6
(1)
( 8.41)
( 8.42)
平 台 运动旋童系 sl 与平 台约束 旋堂系 S I
平台运动旋量系用米描述机构中所有 p 个 分支对应运动旋量系的交集记为 S1 , 则
s. = sbl n sb,2, n - 叩 叩 n s如
( 8.43 )
平台约束旋量系用米描述机构中所有 p 个 分支对应约束旋量系的并集记为 S '., 则
s" =s;1 us;2 U· 胃 , Us;tp
•
cs..44
平台运动旋昼系与平台约束旋昼系构成互易旋噩系 ，记为
sf 心 =0 , 或者 S1 AS'' = 0
di m(Sr) + diin(S1) = 6
(2)
( 8.45 )
( 8.46)
机构运动旋过系 Sm 与机构约束旋岳系 S('
机构 运动旋昼系用来描述机构中所有 p 个分支对应运动旋 噩系的并集 ，记为 Sm, 则
s闪 =
sbl ush2 u… Usbp
( 8.47
机构约束旋 量系用来描述机构中所有 p 个分支对应约束旋 量系的交集 ， 记为 s(· ,. 则
sc; ; ; ; s:.·I n~;2 n 曝也心 ns~
实际上，
<&As
sc 反映了 机构所受的公共约束情况 。 因此， 定 义公共约束数 A
儿；；；；；；
dim(S'. )
( 8.49)
平台运动旋量系与平台约束旋量系构成互易旋量系 ， 记为
S " o Sm ;;;;;;
0 .,
或者 Sr.ir AS亡;;;; 0
dim(Sc) + dim(Sm) = 6
:154
( 8.50
( 8T5 1)
与机构公共约束数 相对应的是机构的阶数 ,d; 后者反映的是机构中各个构件共同具有的
所有可能的相对运动。因此 ， 可以得出
d = 6-1
( 8.52
除了 以 上所给的关系 外，根据 集合间的包含关系 ，可 得到上述三 对旋悖系之间还存在如
下关系 ：
S I~ S m~ 凡
( 8.53
sc 竺 s;i 竺 sr
( 8.54
对并联机构的自由度计第而言 仅有以 上关 系还难以完全表征 ， 需要再引 入几个 新的旋
·-.系凸
分支补约束旋量系 s;I
(3)
将分支 i 施加给动平台的约束 s;, 分成俩部分 ； 一部 分为机构所有构件（包括平台）所
的公共约束 S '"; 另一部分为分支 i 施加给动平台的刺余部分约束 s;尸 这两 部分无交集勺
称测余部分的约束 st:l 为 分支补约束旋量系， 用符号表示上述关系 ：
S~i = ScUs;i , Scns;
= '0
( 8.55 )
平台补约束旋量系 s:.·
( 4)
将平台所受的约束 sr 分成两部分 ： 一部 分为平台所受的公共约束 sc.
·;
另 一 部分为所
有分支施加给平台的剩余部分约束 s; 。这两部分无交集 。 这里将剩余部分的约束 s; 称为平
台补约束旋量系 了用符号表示上述关系 ：
sr =scUs; , scn S1'= 0
( 8.56
上述旋噩系（对 ） 在并联机构中普遍存在，如图 8..15 所示。
『
S
s
~I
图 8.15
u
S'
"
并联机构中的几对基本旋洼系
2. 并联机构自由度分析与计算的 一 般过程
下面首先给小 一 个通用的自中度分析步骤。
( 1)
判断机构是否含有局部 自 止度，并计郓出具体数值 ~;
(2)
建立参考坐标系，构造各个分支的运动旋量系 sbi;
(3)
根据 S~.ri1S~ =
(4)
根据 s "
( 5)
根据 Sl1'Sr;;;;;;
( 16 )
观察 S.r 的特点 可确定机构 的 白 由度分布情况；
( 7)
改变机构的位形护重复上述步骤 ，以 验证所求得的自由度是否为全周自由度 a 如果
0 ,.
求取各 个 分支的约束旋量系 s;门
=s;I us;l u …us;, ;,
得到动平台的约束旋堂系 S 勹
O, 计笢 得到动平台的运动旋量系 s卢
前后自由度性质不变，则为全周自由度；否则为瞬时自由度 C
通过以下 步骤还 可进 一步对机构进行过约束（包括公共约束 和 冗余约束）分析。
:155
求取动平台的约束旋带集体〉 = S心田 S女 l!J ; 十罔 s;) (巳表示所有元索相加，包含重
(l)
复元素），集合中的元索 个 数记作 ca.rd<( S1' 〉 ｀ 丰
(2)
根据 Sm= S.bl U S1i2 U … u s加 ，求 取整个机构的运动旋量系 S ·
(3)
根据 Sm As·C
(4)
根据 1 ;;;;:;; ,d血(S r: )' 确 定机构的公共约束数 2 ;
( 5)
根据 d=6 - 儿，确定机构的阶数 d~
(6 )
根据 sr
(7)
才良据 {sl' 〉 = S飞 {s; 〉，求得动平台补约束旋量集 (s;.-) 及 card((s; >);
( 8)
根据 V=C江d(伈凇 -d i111.(s; ) , 确定机构的虚约束数 V;
(9 )
根据自由度计辞公式 F = d(n-g - l) + f f + v - - , 验证前面分析得到的自由度是
=0 ,
求取整 个 机构的约束旋萤系 S ;
= ScU S;勹求得动平台 补 约束旋童系 s;· ;
'
i= I
否正确。
另外 ， 为简化机构自由度的分析及计览，可遵循如下两点原则乳
基千旋量的相关性及互易性均与坐标系选择无关的原理 ， 应该选择这样的坐标系 ，
( 1)
使其旋量坐标中的元素尽量简单，出现尽可能多的 0 或 l 。
对于旋扭坐标中与机构的尺寸或轴线位四有关的变萱等凸在自由度分析时不必解出
(2)
其具体的数值。
3.
实例分析
根据对上述机构自由度分析过程的描述，下面举一些具体的分析实例。
【例 8-.•8 >
计算 空 间 RCPP 机构的 自由度（图 8.16), 机构中 R 副与 C 副的轴线斗行“
图 8.t,6
RCPP 机构
解：： 如果将顶部的连杆视为动平台 ， 该机构可看成是由 2 个分支组成的并联机构。
( l)
判断机构是否含有局部 自 巾度 ； 很 明显 ， 该机构无局部自由度。
( 2)
建立参考坐标系，构造各个分支的运动旋量系 S切
如果取 R 副轴线方向为坐标轴 z 的 方向，建立各分支旋量系，各个旋量坐标用向量表不
如下：
or
sll = [o o o o o r
-s l I
= [o
o
1
o o
r
t
SI.') ; ; ; JS2, = [0 0 0
1
( 3)
根据 SbiAS~~==
0,
s;·t = [0
.S ~L = ~ 坏= [o
s;] =如
q21
r :!I
l~ 1.2 — L口 V O P22
q22
12.1]'
求取各 个 分支的约束旋蜇系 s;r
O
or
O O O 1
or
0 0 I
-pn O O 1
s; = [0
I
or
Q O l
Q Qr
，吐 = [O O O O ]
o{
s;J - [o o o o o
1『
S"缸
=~
斗 =[q22 -p22 0 0 0
:156
r
P2 1
or
(4)
根据 Si"
=s;·1US卢，
得到动平台 的约束 旋量 系 S r
旯 = [o O O [ 0
or
s;~= [0 0 0 0 l O]丁
.s" = s;. u s :2 = i ~~= [q12
o o of
-p12. 1
斗 = [ 0 0 0 0 0 1t
s;4~ [q.22
( 5)
根据 s,.~sr
= 0 ,,
-P22
计 算得到动平台的运动旋噩系 S_,-
S.,- = lO O O a b
(6)
o o o o]
of
观察 sf 的特点 可 确定机构 的自由度分布估况 ； 很 容 易判 断， 该机 构 的 自 由 度 为 一
维移动凸
(7)
由千 机 构位形改变后 ， 运动副 的 基 本 参数未发 生 变 化， 因此计算结果 仍 然 有 效心由
此可以 判 断该 机 构 所具有的移动自由度 为 全周自由度。
通 过 以下 步骤还可 进一步对该机 构 进 行 过 约 束（包括 公共约束和 冗余约束 ）分 析。
Cl )
求取 动平台 的 约 束 旋凳从 ( s,.) = S凶 l±' s;2 以及权合中 的 元素个数 cw劝(( S" 〉)
( s 1") = s ;1 t±J s心
＝ （环旯旯鸟旯琴孔）
· = card({s ,. )) - dim(S r) = 7 - 5 = 2
(2)
根据 Sm = Sb1. U Sb2 :1 求取 整个机 构 的 运动旋量系 Sm
s月, = s bL ILJ s b2 = i( $11
( 3)
根 据 Sm .dS c =
0,
$12
$1 l
丸）
求取 整 个机构 的约朱旋量系 s -·
._~ c
I
= $t =[o o o
Si =[O
1
o or
or
O O O I
机构 约束旋豐系是一个旋豐 二 系 。
(4)
根据儿 = dim(Sc ), 确定机构 的 公共约 束数 A
A = dl 1n(S 1:) = 2
( 5)
根据 d = 6 - ..i , 确 定 机 构 的 阶 数 d
,d ;;;;; 6-2 = 4
( ,6 )
根据 Sr = S c U s ; ~ 求 得动平台 补 约束旋量系 S "
s; = (st~ s~·J s; )
(7)
才良据 {sy 〉 ; ; ; S" l七1 (s; 〉 ， 求得动平台补约束旋量集 (s;:) 及 CalfG( 体分）
因 ； ； ； s; = (环旯旯）
card(( s ; >) = dim(S; ) = 3
( 8)
根据 V = C扛d (位〉） - dim(s ;_·) j 确 定 机 构 的 虚 约 束数 v
V
(9)
= card ({S凇 -dim(S; ) = 0
根 据自由度计算 公 式 F ;;;;; d(n-g-l) + L l 叶 -r;; 来验证前面自 由 度分析 的 正 确
曰
性
F = d(n - g - 1) 心J; + v - ~ = 4x (3 -
:157
4)+5 + 0 - 0 = I
【 例 8~'9 】
分析图 8 .17 所示 Sarrus 机构的自由度：注意，这里取一种特殊的运动副分布形
式：即每个分支中 R 副的轴线相互平行，但两个分支的运动副轴线相互垂直 F
,
义：
a) 解析法
(b)
图 .8.1 7
图诮法
Sarrus 机构及其自由度分析
解： 该机构可看成是由 2 个 分支组成的井联机构心
(1)
判断机构是否含有局部 自 由度；很明显，该机构无局部自由度。
(2)
建立参考坐标系 ＇，构造各个分支的 运动旋量系 Sb,
建立如图 2-17a 所示的坐标系，各分支旋量系的坐标用向量表示如下
=伈 =[IO
SI= [1 0 0 0 0 or
s .,
(3)
O O q2 rS' S.,= !$,=[0 IO p, 0 r,]'
_$-:3 = [1 0 0 0, Q:l, 13r
.$6 = [0 l O O O 0] T
根据 shiAs;i
= o ,.
求取各个分支的约束旋扭系 s;i
srl = [I O O O O O] 1
s ~·I = i $~ = [0 (], 0 0 ] or
心~ ~[O O O O O I广
(4)
根据 Sr
$4 = [o I O p4 0 .r4r
I
s~i =[o o o t o o]
s;:! = s~= [o O O O O :1.r
s·; = [O 1 0 0 0 0)
= S;, US伍，得到动平台的约束旋量系
sr
旯 = [ I O O O O of
S{~ = [o o o o 1 of
S ,- = s ;·I LJ s ;2- = 1J;~= [0 0 Q O O 1r
旯 = [o o o I o of
斗 = [[o 1 o o o o{
( S)
根据 S ,AS,.
= 0,
计笢得到动平台的运动旋杲系 sf
S1 = [0 0 0 0 0
( 6)
lr
观察 s, 的特点，可确定机构的自由度分布悄况 ； 很容易判断，该机构的自由度为 一
维移动。
(7)
巾千机构位形改变后，各分支运动副间的几何关系未发生变化 ， 因此计符结果仍然
有效。由此可 以 判断该机构所具有的移动自由度为全周自由度。
通过以下步骤还可进 一 步对该机构进行过约束（包括公共约束和冗余约束）分析。
( 1)
求取动平台的约束旋 量集 ( sr );;;;;;
s;1. t±I S卢吼 ·· 1:±J S;P
以及集合中的元素个数
card((S,..})
(sr 〉 ~- s;1 赶J s;2~(S(1
s;2 s~ s;, s;2 .s;3 )
c = card((S1 >) -dim(S,..) = 6-5 = 1
:158
根据 Sm ;;;;;;
(2)
sbl us,,2 1
求取 整个机构的运动旋 噩 系 Sm
s11r = sbl ush2= s
根据 SmASc
(3)
= O
!
求取整 个 机构的约束旋量系 s t~
sr: = $(~= lO
r
O O O O 1
根据 1 = di:m(Sc) ~ 确定机构的公共约束数儿 ；
(4)
凡=
dim(S' ) = l
根据 d=6 - 入，确定机构的阶数 d;
( 5)
d = 6- 1=5
根据 S1·=Sc U S~-,
(6 )
求得动平台 补 约束旋量系 s:
s; =(环
$11~s;I $五 ）
din1(S; ) = 4
根据 {s』) = scw(s; 〉，求得动平台补约束旋益集伈分及 呻(~分）
( 7)
(s分 ＝ 位 s,,. 2 s;l
s;1)
ca.rd((S分） =4
根据 v;;;;;;;C扛xi((s凇 -di1n(s;· ) , 确定机构的虚约束数 v
( 8)
v = ,card ({劝 -d.im(S; ) = 0
且
根据自由度计掷公式 P=d(n-g-1) + L
(9 )
J; 吵-£',, 米验证前面自由度分析的正确
l=I
性
F~d(n - g — I) 心 J;+v — (; = 5x (6-6-I) + 6+ 0-0 = l
【 例 8~10 】
计算 3-RPS 并联平台机构（图 8.18 ) 的自由度 。 其中 3 个 R 副的轴线关 千 中
心 0点切向分布 。
图 8. 18
3-RPS 井联机构
解：， 这里只作简单分析：机构中，每个分支运动旋旱系中各由 5 个 线性无关的线矢乐组成，
3 个分支中每个分支对斗 台各产生 1 个约束反力，这 3 个 线性无关的反力共同组成平台约束
旋盘系 51·' 且 dim(S'"):=3 。 这样 ，根据 F =dim(S1), ., 机构的自由度为 6- dim{S'") = 3 。
8.4.4
基千儿何图谱法的自由度分析
实际 上 ， 旋 量 法 还可 以根据其代数、几何特 性 细分成解析法和阳谱 法 ， 虽然 具 体 步 骤完
全可以统 一 在 一起 ” 但相对 而言 ，图谱 法无 需 写 出 各个旋 芦 坐标，也 省 却了旋 莹 系间的运红，
而 通过 简 单的 法则（广 义 Blanding 法则） 直 接确 定。 换句话 说 i 利用 自由度空 间 与 约束 空
间的几何关 系 有 时可使机构的自由 度 分析变得 更 加简单 直 观 。
下 面采用图 谱法来分析 Sarrus 机构的 自 由 度 分 布情 况，具体如图 8.1.7b 所示 。可 将该机
:159
构看作 一 个由 2 个分支组成的并联机构 守 动平台（图中灰色部分）的运动可看作是 2 个分支
司运动的结果。这样，动平台的运动（自由度）可通过对 2 个 分支末端的自由度求交得到。
很显然 ， 该机构只有 1 个 xy 平面法线方向（即 z 轴）的移动 。 巾千机构在运动过程平
［
由度特征并没有发生变化，因此该移动始终保持心
下面再举个例子。
【 例 8-. 11 >
试分析 Onmi- \Vdst Ill 并联机构的 自 由度。 机 构由动平台、基平台 和 匹条结构
相 同的分支组成。每条分支中 ， 转动副 .R 1 4 和 R 13 轴线相交于动平台中点 ； 转动副 Rn 和 R n
的轴 线交于基平台中心点 0;, 转动副 R1 2 和 R 13 的轴线交于点 J1 。 4 个分支 的 结构相同 ， 间
隔 90 ° 排布。如图 8.19 所示，每个分支中 R 副的轴线相互平行凸其中分支 l 和 3 的运动副
轴 线相互平行 ，， 分支 2 和 4 的运动副轴线相互平行，而分支 l 和 2 的运动副 轴 线相互世且匀
.
•
图 8.]9
Omnt- \Vrist Ill 机构简图
首先可以证明转动副 肚 和基平台转动副 R u 的轴线交于 一 点（忽略 ， 详见文献[] )。
这样可 以 得到 Omni. -Wri st Ul 机构一条分支上 的 自由度线分布 ， 如图 8 以 20a. 所示七转动副 R u
的自由度线 S n 与转动副 Rn 的自由度线 $ 12 相较千点 Ji. ·; 转动副 R11 的自由度线 $11 与转动副
R 1 4 的自由度线 凡相 较于点 J, 1 。根据 Blanding 法则，所 有 的自由度线和约束线相交 ，
可以 得到该分支的约束线分布 ， 如陌 8 . 20a 所示 D 其中 ，
由此
自由度线 $11 、 $12 、 $ 13 和 $ 14 与约束
线 矿1 分别相交千点 J1 , J,v 与约束线 $~2 分别相交千点 O, 0 『？通过上述分析可以发现 ， 每
条分支为动平台提供 了 两 个 约束 ， 即每条分支有两条约束线 sir] 和 s;~I 一条约束线在机构的
对称面 汀内一条约束线垂直 对称面 H 交对称 面汀与点 C 。伺理言其他各 个 分支为动平台提
供 相 同的约束。由此我们 可以得到整 个 机构的约束线与自由度线图谱情况，如 图 8 .20b 所示 ，
其中 4 条约束线在 机构 的 对 称 面n内 ， 另外 4 条约束线重合并与对 称 面 汀正交千点 C 。
(a)
个 分支简图
(b)
图 S.20
动平-
自中度与约束图谱
由于垂直千对称面n的4 条约束线益合，所 以 这4 条约束线只为动平台提 供 l 个独立约束
另外 3 条约束线为冗余约束 ； 在平面 内 的 3 条不相关直线确定一 个平 面 ， 所以在对 称 面月内的
约 束线为动平台提供 3 个 独立约束。 根据 上述分析 喟 动平台一共受到 4个独 立的约束 ， 则该机
构动平台具有 2 个 自巾度。动平台 的 约束图谱如图 8.2] 所示心其中，动平台的转动 轴 线为与
每条约束线都相交 的 两条置线 ， 即在对称面 m勾过点 C 的 任意俩条直线 ＄｛” 与 ＄；勹
由此， 根据修正 的 CGK 自由度计算公式得到该机构的 自 由度
F - d (n - g - l) +
L J.: + v -
K -
5(l 4 -16 - ]) + l 6 + ] - 0 -- 2
i=I
:160
改变机构位形后，血复上述分析过程，所得结论不变。由 此证明该机构的 2 个 转动自由
度为全周自由度。
fl
图 8 .21
Omni·-·W risi 111 动平 台自由度与 约束 图 谱
8,.5 构型综合
综合与分析通常具有互逆性凸机构的构型综合与自由度分析就是这样 一 个互逆过程。
我们不妨以井联机构为例简单同顾一下机构自由度分析的一般过程：为确定并联机构的
自由度，首先取出机构中的 一 条分支 ， 由这个分支的每个运动副组成 KP 旋噩集（为便于分
析，多自由度的运动副分解成单自出度运动副形式），进而得到 分支运动旋量系 (LTS ), 再
根据 分支约束旋量系 (L\VS ) 与分支运动旋量系之 间 的互易关系 ， 得到与该分支运动旋量
系相对应的互易旋量。该互易旋量系的物理意义可反映在该分支上的约束情况。同理可求得
其他分支的互易旋量，这样将各个分支约束旋量组合在 一 起得 到的 所有旋量就代表了对整个
运动平台的约束情况，并称之为平台约束旋蠹系守·\VS ) 。再 通过求其互易积，得到的 平台
运动旋量系 (PIS ) 就反映了运动平台的运动输出階况，也就是井联机构的自由度 。
将上述过程逆过来，便可实现可并联机构的构型综合。换句话说，旋昼系理论在机构的
构型综合过程中仍然有效 。
8丘 I
一般步骤
下面以并联机构的构型综合为例 ，，
(1)
给出一般步骤 [24-26, 53-54, 64-@, 73, 125-126, 131-132, t 51, 1 71] 。
首先根据给定目标机构的自由度确定 PTS, 通过求其互易旋噩系，可以得到 PWS 。
有关互易旋量及互易旋垦系的求法在本书第 7 亲已 有介绍 七
(2)
平台约束旋噩系确定后 ， 可 以根据 具 体的 几何条件确定对应的 L\VS, 然后再对 LWS
求其互易旋扭系，即 可获得 LTS 心 这时得到的可以是旋 噩 系的标准基表达，也 可 以
是旋噩系中各个旋微的通用表达式。前者可通过本章 8 围 I 节介绍的等效 KP 旋虽系法
生成不同结构的分支运动链 ， 而后者采用的是解析法进行推演『 导 出分支运动链的
几何特性。
( 3)
构造与配置运动学分支进而确定并联机构的构型是并联机构构型综合过程中 一 个十
分重要的步骤 。一旦得 到了满足某种几何 条件的 LTS ji 便可根据其旋量表达构造和
配置涵盖所有 运动副 的运动学分支 。
(4)
约束综合法本质上展于瞬时范畴，必须对综合出的机构进行瞬时性的判别心． 例如可
以利川平台约束旋 量系 的基在动平台连续运动前后是否保持不变来判别瞬时性。这
时由 于并联 机构的自由度是由平台约束旋荒系决定，如 自 由度数或性质改变，则平
台约束旋量系的基必发生改变。
( 5)
其他条件分析 ： 包括奇异性-,,主动输入选取等。
:161
8亭S't2
构型综合举例
下面以三自由度平动并联机构 C TPM) 为例，来说明 一 下基千旋量系理论在少自由度
并联机构构型综合中的应用心， 在分支运动旋 豐系的 构造过程中采用的是解析推演法佴］ 。
步骤 ］ ： 确定平台约束旋泣系 P\VS
对于任何的 TPM, 动平台只有 三 维移动 ， 失去了 3 个 方向的转动 ， 动平台上相应地作
用有 3 个 线性无关的约束力偶，这 3 个力偶就构成了 P\VS a
r
$( = (0, 0, 0 ~), 0, 0)
;1
Si. = (0) 0) o;o, l, 0)
( 8.57
_s; = (o, o, o ; o, o, 1
步骤 2 : 分析与 PWS 相对应的 LWS 应满足的几何条件
并联机构中 ， 不同的 PWS 源于不固 几何条件 下所有 LWS 的组合。因此，为综合出所
有可能的分支结构，有必要分析对应特定 PWS 的 L\VS 应满足的几何条件。
TPM 家族中可分为两类 ： 独立约束机构和过约束机构凸过约束机构的特点是分支中今
有的基本副数莞少于 5 个 心因 此，通过分别分析独立约束机构和过约束机构中的 LWS 应满
足的几何条 件 i 即 可找到对应的 PWS 。
表 8. 5 给出了 LWS 在不同 几何条件 下 ， LWS 和 PWS 之间的特 定关系。由表 中 可知 ，
TPM.
中的任 一 分支可向动平台提供不同数量的约束力偶。因此 ，
为构造可用的分支结构 ，l
衙要考虑对应不同数噩约束力偶的 LTS 应满足的几何条件。
表 .8 ..5
类别
PWS 的标准
LWS
旯 =
Ct
(O, o, o;ot o亨])
$r = (0, 0, 0 ; 0, 01 l
绕 Z 轴的转动
, ""'
旯 ={0, 。宁 。 ；凡 Q- ,
C2
0)
{ S~ ~ (O, 0, 0 ; P,1, Q,, , 0
CJ
｛忒 ~ (0, 0, 0 ; I, 0, 0)
共而
$~' = (0, 0, 0; Oi,; J, 0)
$,r2 = i(O, 0,0; 1;2, Q;2, 0)
＄心 =(010中 0; 片 ， Qp
C4
R,.)
｛ 旯 ~ (0, 0, O; 凡，佑， R;,)
C5
，觅 =(0,
0, 0 ; 凡， Q12• R心
既不同轴也不
共面
rs,; =(0, 0,0; ~·凶斗， R,,)
＄杠 = (0,
C6
绕 X: y 轴的转动
II S{盲 = (0., (I,
i
0 ,; l, (I, 0)
,s; = (0~ 。jo~oj 1;0
绕 X, Y1Z 轴的转动
., ; = (0, (I! 0~0, 0, 1
0, 0; ~1, Q12, Rn)
s:; = to宁 0. 0~,:-i, Q;3, R;3
步骤 3 :: 对与 L:WS 互 易的 LTS 进 行 求 解
根据旋量理论 ， LTS 中的每 — 个旋蜇都与 LWS 互易。 — 种 简单的确定 LTS 的方法是找
到 LTS 的 一 个基础解系，再通过这些基旋量 的组合，得到其他类型的 LTS, 每 一 种 LTS
1:1
表示一种特定类型的分支结构心
1 个约束力偶作用在动平台上时， LTS 和 LWS 应满足的几何条件
(I)
首先考虑 LWS 中只存在 1 个约束力偶的惜况 ， 其旋晕的—般表示为
旯 = ~O ; sr) = (0, 0, 0 ; P,,,
式中，
Q;., Rr )i
( 8.58 )
P,~2+ Qr 五 矿 = I. 。 不失 一般性 ，假定 p产。，对 应 的 LTS 构成 一个旋莹五系（, 通过
求解式 (8 艺 1 )' 得到 5 个基运动旋豐勺
1$『1 = {- Q. f!'.' 。I : 0. 0, 0 11
j
$已= (-.R,.,
0, -~-~ 0令。月。肌
$『1 = i(O, 0~0; :1~0, 0)
$『,1 1
= (0,0.,0;0,],0)
$『s = (0, 0, 0 ; 0, 0~1
:162
( 8.59)
通过对以 上 5 个 基 木旋 量进行 线性 组合 可 得到运动旋量通用 的 表示形丸。
$bi ;;;;; a$il + b$j2 + c$i3 + d $j,4 + e$iS ;;;;; (- (a Qr + bR,.), a~'b~: ~C, d.t e)
式中 ，
( 8. 60
a b,c, d 和 e 为 任意常值 ， 但 不能 侗时 为 零。下面考虑 几种特例 ：
【妇~ti a = b = O 并正则化矢昼 ，， 式 ( 8.60) 退化为一具有无限大节距 的 单位运动旋昼。
S1;,1
1
= (O; s) : - (0,0~O; c, d~e)
( 8.61)
",,
式中， w = Jc2 + d 1 + e2 。式 (8.,61 ) 表示 一 移动副。由于 c, d和 e 为任 慈常值 ，因此，只
要分支中各移动副的轴线线性无关 ， 它 们可沿 任意方 向 。
【 特例 2]
满足条件 s炉 =O 且 STS = l , 式 ( 8.60 ) 退化为 一 具有零节距的单位运动旋量。
I
acQ:r - adP,, +- bcRr
$bi =(s ; s°J = -· ,(一(aQr + b凡）， a-P,. , b几； C'; d,
,, . . .
( 8.62)
w
式中， w= 如·Q,,. + bR,,. )2 + a2~_1 + b2~~2 。式 ( 8 . 62 ) 表示 一 转动副 心 此外，根据式 (8.58)
和 式 ( 8 ., 60 ) , 可 导出 s飞= ,o, 这 怠味着转动副的 轴线 与 约束力偶的轴线相垂直（验 证了广
义 Blanding 法则） 。
由此可导出只提供 1 个 约束力偶的分支应满足的几何条件：
CONL 只要分支中各移动副的轴线线性无关，它们可沿任意方向。
CON2. 分支中所有转动副轴线平行千一个平面，且与给定的约束力偶轴线方向垂直。
由于旋量五系中零节距运动旋量最大线性独立的数目是 5 ,, 导出分支中转动副数日的 L
限 也 是 5; 而旋菌五系中无穷节距运动 旋 蓝最 大线性独 立 的数目是 3,, 导出 分支中 移动副数
的 上 限也是 3 心因 此， 若将转动副与 移 动副作 为基本饺链类型 ， 可获得 5R 、 4.R 1P 、 3 R2P
和 2RJP 等 4 种仰杆五副型 的分支结构 。 运用运 动副等 效 替代的原则， 可 以得到 三杆四副 、
二 杆 三 副以及一杅 二 副型等 3 种分支形式。
.2 个约束力偶作用在动平台上时， LTS 和 LWS 应满足的几何条件
(2)
考虑分支 l.WS 中存在 2 个约束力偶的附 况 ， 其旋昼表示为
｛旯 ~ (0 ; ( ,) ~ (0, 0, 0; ~ ,, Q,.,, R,, )
( S.63)
s;; = (O~s;2: ) = (O, 0; 0; P,.2, Qr2, R,,2)
式中 ，
珩 + QI广 + R/ = l
(i = ], 2) 且 S ;I =F 斗 。不失 一 般性 ， 假定 P门 * 0 1 对应 的 LTS
将形成 一 个旋 量 四系 凸 通 过 求解式 (8.63), 得到 4 个基运动旋里 0
•$11= (0,, 01 0 .; n, 0, 0)
＄心；；；；； {O,
0, 0 ; 0, l, 0)
( 8.64
$,3 = (0, 0, 0; 0, 0, 1
$14 ={Qrl 凡 - Q,.2 RrP R下1 尽 - Rr2P..1; P,.IQr.2 - ~ 2Qrl ;. O; 0, 0)
通过以 上 4 个基本旋量的线性组合 中可 得到其运动旋晕 的通用表 示形式。
$,)i;;;;;; a$i1 +b$12 + c$『3 + d$『4
( 8.65
= (a(Q,..R,2 - Q;.i 岛）， a(Rr1 P,.2 - Rr2 ~.1), ai(~i Qr2 一 ~- ;?'Q,.1 ) ; b C d)i
式中 :t a.,h! C 和 d 为任 意常值 ？但不能同时为 零。下面考 虑几种特例：
【 特例 ll] a = O 并正 则化 矢量 ， 式 C8.65 ) 退化为 一具有无限大节距 的单 位运动旋羊 0
1
S,,i = (0 ; s) =—(0, 0, 0 ; b, C, d 11
( 8.66)
'\1,
式中， w = 扛b2 + c2 +d 2 "' 式 ( 8 于166 ) 表示 一 移动届lj"' 由于 b, c 和 d 为任 意 常 值 ，因此， 只要
分支中各移动副的 轴 线线性无关 ， 它 们 可沿任意方向。
【特例 2]
满足条件 s炉 = O 且 sTs = L 式 ( 8,65) 退化为 一零节距的单位运动旋 ..~-"
l
sbi = (s; so) = —(Qr-1 R,.2 -Q,.2Rr-1 'Rr1 .P,.1 - R口 ~-L :1 .P,.lQ1·2 -~-2Q;.I ; bt C, d') ( 8,.6,?)
w
式中，
w = 寸(Qrl 肚 - Q,.2 岛）?+ (R,.. 九 -Rrl~-1 ) 2 + {~IQ心 － 凡Qr-1 )2
d '= - b(Q.rl R'r2 - Qr2.Rrl ) 一 c( R,.1 P,心 一 ，Rr2凡） ／（凡 Q心 - P,.iQr, ) 。式 ( 8 . 67) 表示一转动副。
:163
注意到根据式 ( 8.63) 和 式 (8. 67 ), 可 导出 ~:rs'i = 0 (.i=l ,2), 这意味行转动副轴线与两
个约束力 偶的轴线都垂直 。 这样 ， 分支中所有转动副的轴线应相互平行 。
根据式 ( 8.6,6 ) 和式 ( 8 . .67 ) , 导出提供 2 个 约束力偶的分支应满足的几何条件 ：
CONJ申只要分支中各移动副的轴线线性无关，它们可沿任意方向。
CON4申分支中所有转动副轴线应相互平行，其方向与 2 个约束力偶轴线方向相垂直。
通常意义上，旋童凹系中零节距运动旋量的最大线性独立数是 4, 但由千分支中所有转
动轴线的方向都平行平因此分支中转动副数不应超过 3 ,, 这样可避免冗余约束的存在 ； 而旋
量四系中无穷节距运动旋量的最大线性独立数是 3, 因此分支中所有移动副数目的 上 限是 3 。
丸此，若将转动副 与 移动副作为基本饺链类型，可获得 3R1P, 2R2P 和 1R3P 等 3 种 三杆四
副型的分支结构 。 运用运动副等效替代的原则，可以得到 二 杆三 副以及 一 杆 二 副型等 2 种分
形式 。
3 个约束力偶作用在动平台上时， LTS 和 LWIS 应满足的几何条件
(3)
考虑到分支 LWS 中存在 3 个约束力偶的倩况 ， 其单位力旋量表示为
，，苏 = (0 ; s;;) = (0, 0~0; P,.., Q~i, R1.1)
St2 = {O,~s;1) = (0, 0, O; ~ 1, Q~1, R心 111
( 8.68 )
$1~= (0 ; s;~), = (0, 0, 0; ~-:l ·~Q~:3, , R,.:3, :,,
式中， P,/ + Q/ + R/ = I (i = l, 2, 3) 。不失 一 般性，假定 ~"i :;c: 0 (i = 1, 2, 3) , 对应的 LIS 将
形成 一 个旋 呈三 系。通过求解式 (8. 68 ), 得到 3 个基运动旋旦巨
$i1
= (0, 0, 0; l, 0, 0)
~$12 = i(O,
0,. 0 ; 0, t 0
( 8.69
= (0, o~o ; o, o, l)
通过以上 3 个基本旋费的线性组合，可得到运动旋仔的通用表示形式 凸
_Si:i.
$hi.;;;;; a$i1 +b$i2 +c$i3 ;;;;; (0, 0, 0; a, b, c)
( 8谓 70
式中平 a, b 和c 为任意常值，但不能 同时为零。正 则化 方向矢量 ，， 式 ( 8 .70) 退化为 — 具有
无限大节距的单位运动旋噩 。
$a,= (0 ~s) =— (0,0,0;a,b,c)
w
式中，
( 8.71.)
w --J矿 +b丘 C':z I) 式 ( 8 . 71) 表示 一 移动副。由于 ，a,b 和 c 为任愈常值，因此 ，
分支中各移动副的轴线线性无关 ，
只要
它 们可 沿任意方向。
由此根据式 ( .8.71 ) , 可 导出提供 3 个 约束力偶的分支应满足的几何条件 ：＇
CONS. 只要分支中各移动副的轴线线性无关，它们可沿任意方向。
步骤 4 : 分析对应不同 LWS 的 LTS 应满足的几何条件
TPM 中，每 一 个分 支提供给动平台的约束力偶数扭可从 0 到 3, 因此，通过分析对应
不同 LWS 的 LTS 应满足的几何条件来确定 LTS 中各运动副应满足的几何关系，进而构造分
支结构 。 此外为确保动平台能实现连续的运动，每 一 分支的运动副还应满足 一 定的几何条
伴这也是— 项重要的研究议题 D
以 上 给出的几何条件 ( CO,N1-CO,N5 ) 只考虑了 TPM 的瞬时运动特性 ， 下面 讨 论 TPM
做连续运动时各分支应满足的几何条件 凸
由于动平台的转动受到限制，故需满足下列条件
m ,p
=
“
L wi
』=I
式中，
，Wp 表 示 动 平 台的角速度
.\·j
=•~
( 8,72)
s·t 表示第 i 个转动副的转轴方向，例是第 i 个 转动副的角
速率 。
如上所述 ， 分支中至多存在 5 个 转动副 ， 且 转动轴线位居平行平面之内 。 如果转动轴线
随机分布 ， 式 ( 8.72) 将无法满足 ，
除非所有的转动副的角速率满足 mr=O 。因此 ，
如果要
保证动平台实现连续的运动，只有保证分支中的转动副存在 2 组或者 2 组以上的平行转轴，
以使动平台沿其他轴线的瞬时转动被消除掉 。 由 于 分支中最多有 5 个转动副，因此所有运动
:164
副的轴线应为两组平行线，它们之间并不平行，其中一组沿固定轴线转动而另一组随呼机构
的运动而改变转轴方向。此外，由千下 —转轴的方向要受到前 一较 链的转动影响，因此可以
得出结论 ：除 了最靠近基座的转轴与最靠近动平台的转轴以及不考虑中间的移动副以 外 ， 每
组平行转轴必须连续分 布 。
经过以上讨论和可以总结出 TPM 连续运动时 LTS 所应满足的几 何 条件：
CON6. 分支中所有转动副的转轴是两组平行线，但每一组平行轴线的数量不超过 3 个以避
免冗余饺链的存在。
CON7. 除了最靠近基座的转轴与最靠近动平 台的转轴以及不考虑中间的移动副以外，每组
平行转轴必须连续分布 。
步骤 5 : 构造与配里运动学分支
构造与配置运动学分支是并联机构型综合过程中一个十分蜇要的组成部分。一旦得到了
满足某种几何条件的 LTS~ 我们便可 根据其旋呈表达构造涵盖所有运动副的运动学分支。另
一方面， 注意到 LTS 中 每—个旋世的位置是可以交换的，这就意味着运动学分支中较链的
位置分布也是可变的，但也 间 接地引入了瞬时运动机构 D
A. 具有 3 个相同单约束分支的 TPM
分成四种: 2R3P 型 (RA-RB-P-P-P) 、 3R2P 型 (RA-R幻Rs-P-P), 、 4-RIP 型(RA-RA-Rs=RB-P 或
者 RA-RA-RA-Rn-P) ... 5R 型 (RA -R A-Rn-Ra-RAJ o
包含复杂较链在内的所有可能的分支结构如表 8.6-. . . 8.9 所示 。注意 到并没有考虑表中所
有 运动副的组合顺序 ；
此外 ， 表中所示的下标 A 和 B 表示两种不同轴的转动。
表 8干6
4 杆型
3 杆型
RA-Ra-P-P.-P
P-PeP..:uAB
C1\-R:u-P-P
RA-Ra-(4R)-P-P
RA-Rs~(4\R),_(4R)-P
RA-RB.-(4R)-(4R)-(4R)
P-P-(4R)-UAB
P-(4R)-(4R)-l j AIB
4R)-{4R)>-(4R)-U
CA-Re-(4R)-P)
CA-Re-{4R)-(4R)
分支类型
｀含简单副
杂较链
2R3P 型分支结构
表劝
分支类型
只含简单副
2 杆型
,1
3 杆型
R A-R.A.-RH,··P -P
P-P-RK UAB
CA-Rs-RA-P
P -(SS)心
RA- P-(4U)B
RA-(4R)-(4U}13
RA-P-(3-2S)o
RA-(4R)-{3-SS)0
(4R)-(4R)-R11.-UAB
CA-R13-RK(4R
CA-Rfi-RR-(4R)
.8"8
CA-(3- SS片
4 杆型
I
R.!.- R 立 -R .a-R8- P
3 杆型
2 杆型
UAn-RA-RB-P
UAs-RA-RA-P
CA-RB-RA-RB
B"-'CA-RB
UAe,-CA-RA
~ IA-RA-RA一应
u应-UA0-P
,•• 亚-U 战 ..(4R)
RA-RA~R.a-RB-(4R)
RA -RA-RA-RB-(4R
表 8.9
R 11,=(4S)1AB
4RlP 型分支结构
A-RA-REI-Ra-P
含复杂较链
CA -(4U 儿
RA-RA-(4U)li;
RA-Rs-(4U)B
RA-RA-(3-S S}0
RA-Ra-(3-SS)o
C A-l!Aa"'E4R
P-(4R)-RA一'VAB
只含简单副
P 9(4 。从B
UAEl,-CA-P
cA ..cB-R
CA-Re,-R心-P
分支类型
. _..(还~P
3R.2P 型分支 结 构
4 杆型
RA-RK R8-(4 R)干
Rt.. -RA-Re-(4R)-(4R)
1 杆型
.5R 型分支结构
分支类型
4 杆型
3 杆型
2 杆型
只含简单副
RA-R1i.-RB-凡3'皇RA
UAB已RA-R;-\ 玉Re.
U AIB-UAn~R."'
B 亭 具有 3 个相 同双约束分支的 TPM
:165
可细分为 3 种：
!R3P 型分支 (R-P.-P-P) 、 2R2P 型分支(RA-RA-P-P) 、 3R l.P 型分支
(RA-RA-RA-P) 。所有可能的分支结构如表 8.]0-8 . 12 所示 。
表 8.. 10
]'.R3 P 型分文结构
分支类型
3 杆型
只含简单副
P-P-P-R
含复杂饺链
P-.P-(4R)-R
P-(4R.)-{4R)-R
{4R}-(4R)-(4R)-R
2 杆型
l 杆型
c 黜P 黜
CaPa(4R_)
C-(4R)-(4k ,,
P-(3-2S)
3 杆型
2 杆型
l 杆型
P-P-RA王R;..
P~CA-RA
P-a(4R}RA-RA
4R)-(4 R)-RA-RA
(4 R)哪 cA..:R.•
表 8.11
2R2P 型分支结构
C.
RA-(4, 1 1,
RA.-(3-2S)A
可 行的 3R1P 型分支结构
正二三二
8,,12
P~(.4U)
2 杆型
CA-RA-RA
具有 3 个相间三约束分支的 TPM
由式 ( 8 . 71) 可以得 到 3P 型分支结构（表 8.13) 。
表肛J,
分支类型
2 杆型
只含简单副
P-P-P
含复杂较链
步骤 6:
•
3P 型分支结构
(4R)-P-P
{4R只4R)-P
(4R)-(4R)-(4R)
构造所需要的 TP:_ ··
具有 2R3P 型分支结构的 TPM 包括： 3-P(4S)机构、 3-1--1(4S)机构、 3-RP(4U)机构、 3-PR(4
机构、 3-H(4U)机构... 3-C{4-U)机构、 3-RP(3-SS) 机构、 3-PR(3-SS)机构、 3-H(3-SS)机构
3 -C(3-SS)机构等。典型机构如直线驱动 Delta 机构 ( 3 -P(4S) ) 。
•
具 有 3R2P 型分支结构的 TPM 包括: 3-CCR 机构飞 3-R:CC 机构、 3-PCU 机构、 3-CPU
机构、 3,-UPC 机构、 3-P(4R)RRR机构、 3-0(4R).RR 机构、 3..iC(4R)U 机构、 3, - R{4S)机构、
3 -RR(4U)机构和 3 -RR(3 -SS)机构等。典型机构为 Ddta 机构 ( 3 -R(4S) ) 。
•
具有 4R]P 型分支结构的 TPM 包括 ： 3七PU 机构、 3-PUU 机构 3-RCU 机构、 3-RUC 机
构、 3-CRU 机 构、 3-PSS 机构和 .3 -HSS 机 构等，
圈
具 有 5R 型分支结构的 TPM 包括： J-RUU 机构和 3-URU 机构等。
•
具 有 lRJ·p 型分支结构的 TPM 包括 : 3-CPP 机构、 3-C(4R)(4R)机构、 3-CP(4R)机构、
3 ..iC(4R)P 机 构、 3-PPC 机构、 3-PCP 机构.,, 3 -PC(4R)机构、 3-,P(4U) 机构、 3-H(3- SS)机
构和 3-P(3-SS) 机构等 a
•
具有 2R2P 型分支结构的 TPM 包括： .J~RP即机构、 .3 -RRPP 机构、 3 -PRRP机构 、. 3 -PPRR
机构、 3-PRPR 机构、 3-RPPR 机构、 3 -CPR 机构、 3,..,JCRP 机构、 3-R(4R)(4R}R 机构
3 -(R(4R)R(4R.)机构、 3-.RR(4R)(4R)机构、 3 -R(4U)机构和 3-R{3-SS)机构等。典型机构如
Star 机 构 C 3,..:RH(4R)R, 阳 8.21a ) 和 Orthog[ide 机构 C 3-PR(4R)R,
•
图 8.2 ]b ) 。
具有 3R1P 型分支 结 构的 TPM 包括； 3-RPRR 机构、 3-R.(4R)RR. 机构、 .3 -RRRP 机构
3 一邸R(4R) 机 构 、 3 -RRPR 机 构、 3-RR(4R)R 机构、 3-PRRR机构、 3 -(4R)RRR 机构 、 3 -阳双H
机构、 3-RRC 机构、 3-CRR 机构和 3-RCR 机构 等。这类机构中最为典型的机构为 Tsai
氏机构 ( 3-RR(4R)R ,
•
图 8.2]. c)口
具有 3P 型分支结构的 TPM 包括 3.,ppp 机 构和 3-P(4R)(4R)机构等
至此我们完成了对称型 TPM 机构的型综合。实际上还存在机构主动输入选取等问题。
:166
此外，还有 一 些具有特殊结构的 TPM , 分支数可以是 2 个、 3 个 或者多千 3 个， 分支结构
可以相 同 ，
也可以不同 等等心 这里不再赘述， 具体可参考文献［］ 。
(a1,
(b
图 8.21
8.5.3
(c
三种典型的 TPivl 机构
图谱法构型综合的一般思想
8..3 节给出了图谱法进行机构自由度分析的实例中体现出某些便捷之处。反过来？是否
也 可以利用 图谱法来实 现 对机构或某类机械装置的构 型综合呢？答案是肯定的。与图谱法 ；启
由度分析功 能 相比 ， 该方法在综合方面较之解析法的优势更加明显。因为除了保留陌谱法简
单直观等优点 外，简单的线图 中还蕴含着足够丰宣 的 信息 ，比 如等效空间导致 的 等效运动链
等 。 例如，假设 要求对 3-DOF 平面运动 的 开链式机械手进行构型综合寸若采用 图谱法， 兀
成这个任务则变得非常简单 心， 图 8.22 给出了具体的过程示意。
lil ~~迭义
圃广 '
,
,
•1 仁 ！
l-)
I
、
童., ..
I
图 S.22
,/---.:.....
~
...>
图谱法对 3-DOF 平 即开式运动链构型综合的过程示竞
该思想同 样可以用千 并联机构的构 型综合。下面以 一 类 2RlT ( R戊~"'~)并联机构为例
岳先简单给出 对该 类 机构构型 综合的整体思 路 。
第 1 步，根据机构的自由度特征确定该机构动平台的自由度线图，进而根据广义 B,landing:
法则（或表 ,8.1 给 出的 F&C 线图空间图谱 ）确定其约束线图（或约束空间）。
1RI T ( RxRJ笃）并联机构动 平 台的 自由度线图与约 束线 图如表 :8-1.4 所示。可 以 看出两
种 线图都与 三维平面约 束线 图空间 £(N; n) 等效。
表 S-l4
自由度线图
2R.lT 并 联机构的自由度与对偶约
约束线图
乙(N, n)
第 2 步，根据支链数对平 台的约束线图进行分解，即根据约束线图中各约束的分布特性为
各支链合理选配约束，从而得到每个支链的约束线图 。这时，， 各支链的约束线图一定是平
台约 束线图的子 空间。
:167
如果只考虑该机构中含有 3 个支链分 布和 非过约束的情况 ， 则每个支链中都只受 1 条 力
约束（线）作旧， 且它们总是 分布在同 —平面内（但彼此之间不能共线 、共点、平行） ，
如
图 8.23 所示。
__.., ,,,-
/.,,~ --三,.
"--------,-
/
<,
图 8平13,
---------
/'·-----一．
-==::::--/ .,/三__\ /
对动平台约束线图进行分解
第 3 步，然后再通过广义 Blanding 法则求得与各支链约束线图互易的自由度空间（即运动
副空间）。
由于每条支链所受的约束都是一 维直线，因此其运动副空间中的各元素特征都是 －一 样的。
相 应 的约束线图及其对 应 的自由度空 间 如图 8.24 所示 。
\
/ a,
台巨
图 8.24
第 4 步，在各支链的运动副空间内选择合适的运动副配置。
从图 8.24 所示的运动副 空间中 ，我们可以很容易地配置出支链的运动副分布 心， 如果选
5 副联接的支链结构 ， 可选用的类型很多 ， 部分如图 8.25 所 示。 根据 运动副的等效性 ，
可在 5 副支链结构基础上，进 — 步选用 3 副联接的支链结构 ， 如 PPS( 两个 P 副不能平行）,..
tRS ( R 副与 P 副不能平行）、 RRS (两个 R 副必须平行） "'PC1J 等，并且各运动副之间没有
顺序的限 制。 这样可以综合出多种可用的支链类型 中
I
一工
T
.
亘?~
I
,
二
,
．平，
．
飞
..
I
•
I
-- -'
''
',
-'
—— :J'
一
(a)
(b)
图 8上5
PRS 运动链
三种典 型的 5 副支
(C:)
结构
第 5 步，将各支链组装成运动链和井联机构。
在第 4 步基础上，进 一 步将支链组装成运动链和并联机构。有关并联机构更为细节的讨
论将出现在本书第 7 章 凸图 8,2,6 给出了其中 3 种典型的 2R1T 型并联机构 凸
句
b)
3-PPS
图 8.26
3-PRS
二种典型的 2R]T 型井联机构
:168
在上 面这个例子的基础 上 ， 可 以给出 一 个 更 详细的并联机构构型 综 合流程 图，如 图 8.27
所示 。
实际 上 ，图 谱 法 与 解析 法一 样，， 不仅可以用在并联机构的构 型综 合 方面 ， 还可 以用 1刃
变形条 件 下 的 柔性机构构型综合 ， 有关 这方面 更 为详细的介绍，可 参考 文献 [']68] 。
L
I．尸心如心 1
恤
., ,
'·
·'
图 8 •.27
8,.6
臣诮法综合 并联机构的 一般流程 图
扩展阅读文献
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1.69
令· J(,8) = [$1 $2 .. • Sn] , V = [必 l': JM. ' /J =[ 8'1,()2 圃·仇 ]T. ~ 上式简化'
v '; ; ; J(.0)0
式中 .,
V 表示末端执行器的空间广义速度，
c9.2 )
(lJn 表示末端执行器的角速度，
vn 表示末端执
行器上任 一 点的线速度， iJ, 为关节速度 ， J (O) 称为机器 人 的雅可比矩阵（与本书第 5 章 推
． 』出的末端执行器空间速度雅可比一致）， ，＄ 为机器人各运动副旋荣在当前位形下的 Ptficker
坐标（相对惯性坐标系 ） 凸
【 例 ,, .1 】
采用机器人螺旋运动方程计算 SCA~A 机器人的雅可比矩阵勺
解 ：， 采用机器 人 螺旋运动方程求解，为此建立惯性坐标系 岱｝，各 个 关节对应 的 运动副旋里
坐标表示如下 ：
·1
= l'2 = 83 = S4 = s = I O
ol
q- ,
{ ls
1 _.1
l_C
r 2 _+11
0
Q\
I ,.
1J
r1 _I 0 I ,
0
,\
,
0
I
-l1s01 -右， s012
r~:::;;; I /1 顷 +!2 c0u
。
则
~ == (s ; o) =(oto, 1 ; o, o,.o)
$2 := { S; r2 XS)i = (0~0, 1. ; fl,c Bi, f1S 0p O)
S1 =(,\' ; 1"3 x s) = { 0, 0, 1 ; l码 +/2c 礼， l. sel + lis 先， O)i
$4 ;;;;; (01; s) ; ; ; (0, 0., 0 ; 0, 0~l)
因此，机器人 的雅可比矩阵为
J(,tJ) ;;;;; [~
~
~$41 ]
注意：为了便千正则化机器 人 中各运动副旋噩的坐标，在更多的情况 下， 我们并不 一定
将参考坐标系 （即 惯性坐标系）选择在基座上，而是选择在某 一 中 间 连杆坐标系中。
【 例 ,, .2 】
采用机器 人螺旋运动方程计算 S'IANFORD 机器 人 的雅可比矩阵。
觯 采用机器 人 螺旋运动方程求解 ，
不过这时的参考坐标系 {S} 取在关节 4 处（图 9. 2 ) ,
原
，点为 '"''并与关节 4 的局部坐标系重合。这时 ， 各个关节对拉的运动副旋噩坐标表示如 下 ：
趴
:
I- ~
义
,r~ 孚卞
网尸
I
."'-1
图 9立 STANFORD 机器人
176
oo
|
1_J
e"
._.'_
|··_
S
=[r,.,~SJ=i~1'
I
-
0
o
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0 d 04
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S
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6
[
。
0I
OS
0
0
井联机器人的速度雅可比
相比串联机器人而 言 ，并联机器人的速度雅可比求解要复杂 得多 ， 这 主要是并联机器人
所具有的多环结构特点决定的心有关求解的方法有多 种 ，其中 有 两种主流的方法 ： 运动影响
系数法 [HS-147]和旋 巠法 [I 19']~ 这 呈蜇点 介绍旋 噩法[ fl 9] 。
典型的并联机构由 m 个分支组成，每个分支中通常至 少 存 在 一个驱动关 节（ 主 动副） i
而其余关节为消极副，同样为了便千表征，需要将多自由度运动副运动学等效成单自由度运
动副的组合形式。这样可以将每 一 分支看成是由若千单自由度运动副组成的开环运动链 ， 其
末端与运动平台连接 凸 因此，表征运动平台的瞬时速度旋昼 可以写成
。
勺
一 ，＇
令心
$p~[::]~ 吝iJ;_,s,., ~[s,,
$.
''爸
$11' 气 1J I
。
<i = L.2,· .. m
)
9.3 )
:=
。
式 ( 9 .3) 中消极副所对应的运动副旋量 可 以通过互易旋量系 理 论消除掉 。 假设每个分
支中的最先 g 个关节为 驱动苗肛 因 此每 个 分支中至少存在 g 个 反旋 厅与 该分支中所有消极副
所组成的旋星系互易，为 此我们将它 们 的单位旋 量表示成 $~可, ( j
=1, 2, … g ) 。
对式 ( 9 . 3
的两边与 $;勹进行正交运算，得到如下关系式。
Jr,) 旯= Jf}_
J0 i
177
9.4 )
＄
12
i
，
一
＂嚣
摹合
，
I
『
＄
勺
一，
了3
蠡
，
。
．
叩．十
··'
I ;
云
~
·'
蛔
,'
l
，
I s:2.i
凡一
J ,.,J'=
瓜
们
叫
srl,j
式中，矩阵
^”^”
T
TdTr $T $
$
$$
..
I
.r
r '5 g.Jgg
.
..r - I .l 2,2
,g
TrT
$T $
$
$$
[
.
.
2
·`.r
2
i
i
J.r o
j,
J =,' J
I1
,
,
_
,
'
i
r
·`
.:
.
.
霉
.
fJ
$.
，
一
义
匾巨，
畸
心 」 g心
．
．嘈旷．
s;Jsl.i sr:. 『$2,j
．
戊
$T
响，
g
xg
写 成矩阵形式
式 ( 9 .4) 包含 m 个 方 i击
,J ,_ $p =Je@
。
J
月
。
。
.)
g, m
T
。
...
.
2
“心
,"
.
fJ
江}
8g.1
谓问糟
.
fJ
I,
谓
' fJ'=(61,1
…
.
卫
:·
…
.
。
八
00 . ..
J
“心
凇
r
..
弓
呵
J (J =
弓
r,
_
憎' .
J
【 例 9,.3 】
。
2
j
打i
J
．
阵
矩
式中
J =
l r
::
r
~
I
巳
1
J
1 r..
J
9.5
•
试 计算 Stewart-Gough 平台（
"
9.3 ) 的速度雅可 比 矩 阵 。
s6,.i 矗
s~.i
飞~飞
$
孔i
l\d
$ LI
图归
飞ewart-Gou:蚐 平
解： Stewart-Gough 平台中分支 的 等效运动链为 UPS,.
叩每 个 分支由 6 个单自由度的运动副
组成，因此对应 6 个运动副旋量 ， 其中第 3 个 为驱动副（ 为 移动副）。
=[(b,一；:;}xs,J
s.,, = [b, ~;
S2『 ； ； Lb』一；:·;xs2J $3『二
斗l Ss, :::,.J s6., r :·~
J
= [ b,
= b,
注意到分支中所有消极副的轴线 均 与驱动副的轴线相交 ， 因 此可以直接得到消极副旋量
系 的 一 个 可易旋噩。
这样 ， 满足
s;i$P = di
写出矩阵形式
J ,.$p = 160
趴小
或者
_ Jr- lo
dd
$Tr
“
I2
“
”
:.
=
•..
,
r.
=
::
.,
$.rr,
l3
b6 x.s l兮6 ) T
_
—
_
…
d
工”一
s
i
O
式中，
J
178
。
l3lj
s
_
1
(bl X '~3. 1) T
“
$T
, 210
IIF 26
(b2 Xs3.2)
91.2
运动性能分析
9睿2.1
奇异性分析
奇异位形 (singu.lar ,con;figurati o,tt) 又称特殊位形 (special configu.r ation), 对它的研究 ­
有数百年的历 史 。同 样机构的奇异也有两面性，它 也有好的 一 面而而且很早就为人类所利用 ，l
比如实际应filj 中的增力机械、自锁机械都是很好的例子。但是更多情况 下， 奇异位形的存在
对机构的控制是十分不利的 心 从《机械原理》中我 们 已经知道 ： 在 一 般机构的运动过程中总
会或多或少地遇到特殊的位置 ， 在这些位置 ，机构会出现某种特殊的 现象 ， 或者处于死点不
能继续运动 、 或者失去稳定，甚至自由度也发生改变；奇异位形下还会出现受力状态变坏，
损坏机构的估况，这些都会影响机构的正常 工 作 。 我们把发生这种现象的机构位形都统称为
机构的奇异位形。奇异是几乎所有机构都会发生的—种现象 心 对于空间多自由度机构，最典
型的代表是机器人机构．奇异位形更是十分常见同时也更为复杂 。
【 奇异位形的定义】：机 构在主动件的驱动 下 运动 ，
在运动过程中如果机构的运动学、动力
学性能瞬 时 发生突变，机构或处于死点、或失去袍定、或自由度发生变化，使得机构传递运
动和动力的能力失常，机构此 时 的位形称为奇异位形。
由千关节空间的复杂性，机构中可能同时存在几种 不固的奇异位形。因此 ， 对奇异位形
进行分类并分析各类奇异位形的特点，是进 一 步研究奇异位形 的基础 。
以 并联机构为例凸
.,--早对一般并联机构进行分类研究的是把并联机构的驱动关节看成输入 ，
动平台看成输出，记为 X。根据速度约束方程 AX =
BO
记为 (J' 而
1 把并联机构的奇异位形分为 三种
类型，即 A 降秩型、 B 降秩型以及 A ~ B 皆降秩型 [JS] 。这 种分 类方法比较简单直观 ， 因此它
成为以后研究并联机构奇异位形的基础 。
根据并联机构的结构特点，还可以将并联机构的奇异位形分为 结构奇异 、 位形奇异和 构
型奇异 三种 类型 [38」 。其中结构奇异是指与机构的结构参数有关的奇异 ， 有时又称 几 何奇 异；
位形奇异就是指以 ＿卜 提到的 三种 奇异位形，而构型奇异则只是 一一种数 学表示上 的奇 异。
还有将并联机构 的位形 空侚作为流形来研究 ，根据流形的特 点以及驱动器 和末端执行器
的选择，将并联机构的 奇异位形 也分为 三 种类型：即 位形空间奇异、驱动奇异 、 末端执行
器奇异 阶］。其中位形空间奇异位形是只与并联机构的位形空间有关的奇异位形 ， 与驱动器
和末端执行器的选择无关。驱动奇异与末端执行器奇异 则 分别是由千驱动器和末端执行器的
选择引入的奇异位形。与这 种 分类相对应的另外 一 种分类方法是分支奇异 、 驱动奇异 和 平台
奇异 心 分支奇异是由于分支中的运动旋昼系发生不必要的线性相关，造成该分支的运动旋一
系降秩，最终导致动平台的约束旋量系的秩数增加 。 从而引入了 意外的约束 ， 导致对分支运
动控制的失效 。 驱动奇异是指由于驱动器安装的数目和位置不尽合理 ， 造成机构在运动过程
中发生载荷上的突变，其后果可能造成机构运动锁死甚至烧毁电机 心平台 奇异是指动平台的
约束旋盘系发生线性相关，造成该旋量系降秩，即所谓的约束奇异状态 。 这时，机构的 自 由
度瞬时增加，造成机构失稳。阿时 ，其受力 状态 、运动学及动力学 性能 也会发生突变。
在分析某一个具体 机器人的奇异位形时， 需要求出所有奇异位形满足的条件』研究并联
机构的 奇异位形求解方法较多 ， 采用的方法也有很多种。
一 般比较直接且应用比较广泛的是 代数法 。机构 的奇异 位形最终可用—个或某些矩阵
（典型的莫 过 于机器 人的雅 可比矩阵）是否满秩来判断 ，代数法就是计 算这些矩阵的行列式
为 零 时的条件，奇 异位形是行列式所对应的非线性方程 的解 凸虽然对于一般 的机器人都可以
写出判断行列式所对应 的 非线性方程 ，， 但是对于多自由度的井联机构 ， 即使采用符号运算软
件，这样的非线性方程还 是非常复杂。 对 于这样复杂的非线性方程，计算 它 的解则是更为复
杂的事惰 。 因此代数的方法只适用千比较简单或者比较特殊的机构 。
鉴于 一 般代数方法的复杂性 ，旋量系理论开始被应用到 奇异位形的分析。通过利用旋昼
系的线性相关性及互易性 与 坐标系选择无关的特性，可以大大简化雅司比矩阵的解析形式进
而简 化 计算令因此 ，旋 量系理论巴广泛用千复杂机构尤其并联 机构 奇异位形的分析中。
由千在串联或并联机构中 ,, 驱动关节多采用转动副 ， 它对应节距为零的旋量 ， 即线矢量，
179
因此 线几何理论可以 应用在这些机构的奇异位形分析中。可以说，线几何理论是旋量系理论
的 — 个特 例 ， 但几何意义更加明显 D
这里仅以 Stanford 机 器人为例 ， 讨论 一 下应用旋量系理论求解串联机器人的奇异问题心
实际上，求解串联机器人奇异位形的关键是建立最简单形式的机器人雅可比矩阵，即如何选
取 合适的参考坐标系。注意到组成机器人雅 可比矩阵 的运动副旋 豐可以在任 何坐标系下进行
描述，但如果参考坐标系选在与某一个刚体坐标系重合的位置亨雅可比矩阵解析形式会大大
得以简化 ， 而这时参考坐标系通常取在第 3 或 4 杆的物体坐标系上[ 1 9」 。我们知道 ， 串联机
器人的奇异位形表现在雅可比矩阵上就是降秩的发生，目P 各运动副旋量线性相关，而旋量的
相关 性与坐标系选择无关凸因此说 ，无论参考坐标系选在哪里，都不会影响 对奇异位形分析
的结果 干
下面我们讨论一下 Stanford 机器人的奇异位形 。 例 9'.2 巳给出了它的速度雅可比矩阵 廿
因此这里贞按给出该机器人的雅可比矩阵。
0
4J
~f;2 $3 凡 $5 $6]
= [$,
0
0
c8
=I
I
-
一心。~c05
4 一 c04c0s
oooo
-s ,05
心
。
C
10440
OOOOlO
00100
,
1-(11+ 0J)cB~0
0
0
。
。
』
0
。
-l, - 队
。
*
det( 4.1) = 0, 则得 -(/1 + 03)2cos02cos05 =0 ° 假设 /l + .01 0 , 则 可 以得到以 下几 点结论 ：
( l ) 如果 cos02
( 2) 如果 coiS02
= 0 或者 cos05 = 0 :J 则机器 人 失去 l 个自由度 ；
= cos 05. = 0, 则机器人失 去 2 个 自由度 ；
( 3) 如果 ( 2) 发生在其工作空 间边界处，则机器人失 去 3 个自由度 。
I 例 !J· A]
对图 9.4 所示不同位形下的平面 3 雪RRR 并联机构进行自由度分析。
解 ：， 位形 一 所示为 一 般位形下的平面 3 -RRR 并联机构 ，很 容易确定它的自由度与 3R 开链机
构 一样 ，都是 3 个自由度 (2Tl R) 心但对 处 于 位形 二 和 位形 三 的平面 3-RRR 并联机构而言，
情况就变得复杂些。
翠
宝
I r
/
／勹
I ' )
_,...-
忒:
no
乌
乌
~'·-,
占'.)
(b) 位形．
(a), 位形 一
图 '!IA
(c) 位形三
平面 3 -RRR 机 构
卢
.
。
云
\
(a) 位形一
(c) 位形三
(b) 位形二
图 9.5
锁住驱动后动平台所受约
分布
下面我们采川另外一种思路来考噩机构的瞬时自由度。根拭并联机构学理论，当把机担
- . - '全
o, - 平台
人生叶互。
I~
由
un 。 假设图
I
9.5 中所示的机构中与机架相连的运动副为驱动副 ，i 下面来分析三种位形下锁住全部驱动副
后动平台所受约束情况凸对于位形一 ， 动平台受到 3 个既不 相交也不平行的平面力约束作用
:180
（均为二力杆），因此力约束维数为 3' 为 平面约束；而对千位形二中的动平台 ， 受到 3 个
平面 共点的约束 力作用（因为与动 平台直接 相连的 3 个杆都是 二 力杆）：位形 三 中的动 平 m
受到 3 个平面平行的约束力作用 E 这两种情况下的约束都包含有
． 个冗余约束，因此，动平
令的约束空间退化为平面 二 维力约束。这时，所对应动平台的自由度为 4 (平面内为 l )' 位
形 二 下平面 J-RRR 并联机构动平台所增加的自由度为过力约束汇交点且垂直纸面的一维转
动 (I R); 位形三下平面 3-RRR 并联机构动平台所增加的自由度为运动平面内垂直力约束作
用线的 一维移动 (IT) 。
9上2
灵巧度分析
机器人 速度雅可比矩阵的奇异性只是定性地描述了机器 人的 运动性能（如运动灵巧性）勺
我们在前面已经知道，当串联机器人处千奇异位形时，其速度雅可比矩阵降秩 ； 对千并联机
器人的奇异位形情况要复杂 一些。 机器人的雅 可比矩阵 的行列 式为零或趋千无穷大 ，这时，
机器人 被刚化或存在多余的自由度 ， 运动 不 确定。但从实际的机器 人操作及 精度控制角度出
发，机构不仅要避开奇异，还要尽壳远离奇 异位 形区域 心 这主要是因为 当机器人 接近奇异位
形时，其雅可比矩阵呈病态分布，其逆矩阵的精度降低，从而使运动输入与输出之间的传递
关系失真。我们把这种可以定蜇地来衡量这种运动失真程度的指标称为 灵巧度 (clexteri'ty)飞
前衡量机器人灵巧度主要有两类指标：
一是 雅可比条件数 ( J缸obian-bas,ed 1c ondition
number); 另外 一 个 是 可操作度 (manipulabfl ity 入
]. 雅可比条件数
对于 纯移动 或纯转动 的机构，可采用条 件数的概念[ l 19)
(l
我们知道，对 于一般矩阵的 条件数 e 是这样定义的 。
c= IIAII II A一' II
其中，如果采用矩阵 的谱 范数形式 ， 则
—
9.6)
IAxll
IIAll =max
一心 llxll
9.7)
IIAxll·:i: IAllllxll
9.8)
IIAil =n1ax
IIAxlll
hl!:!I
9.9
或者
如果令 llxl l ===I, 式 (9.7) 可化简为
, - - ,此， 雅可比矩阵 的条 件数可以定义为
K,(J) =IJIIIJ-1 II
( 9. 1.0)
且
IIJII= n1ax
IIJxll
ll.'1111=1
9.U
等式两边取平方 ，， 得
IIJll 2= max xr_
JTJx
( 9.1.2
ILd=I
由 此可知 宁 11Jli2 是矩 阵 JTJ 的最大特征值口如果 J 为非奇异阵 ，， 则 JTJ 为正定阵
其 特 征值均为正数。因此 J 的谱 范数是该矩阵 的录大 奇异值 (j'n虹（大 小 等千 J'fJ 最大特征
值 的 开方） ： 同理，
J一 l 的谱范数是 J 的最小奇异值的倒数 ( 1/u呻儿 因此 ．，
K(J) =,
1
(J'
max
( 9.13)
a ITl [ I]
由于速度雅可比是一 个 与 机构几何尺寸及位形有关的 莹 ，因此，雅可比条 件数 也 与机构
几 何尺 寸及位形有关 ，不 同位形下末端 执行 器 所对应的条件数一般不同 ，但 其最小值为 1 。
工作空 间内雅可比条件数为 1 时所 对应的点为各向同性 ( isou·opk ) 点 守相 应 的 位形称为运
动学各向同性 (kinematics iso的py ) 。这时 ， 机构处 于最佳的运动传递性能。反之 ＇， 如果条
:181
件数的值为无穷大 ， 机构处千奇异位形。事实上，有些机构可能在整个 工 作 空间内都没有各
向同性点 。
由式 ( 9 . 1.2 ) 司以推导出 一 种简单判断机构各向同性的方法 ： 如果 JTJ 与单位矩阵 I
成正比，即为各向同性 。
【 例 环】
试 判断图 9书 6 所示具有正交结构的 3~CPR 型 TPM 是 否具有各向同性心
解：由千 该正交型 TPM 在 整 个工 作空间内的速度雅可 比 J 为对角阵，因此 JTJ 与单位矩
阵 1 成正比 ，
由前面可知，该机器人为全局各向同性 D
忑
I
., ~,----- r- __J、
士＼-
......
图 9.6
\
芷交型 3,-CPR 机构
2. 可操作度
将雅可比矩阵与其转翌乘积的行列式定义为机器人可操作度的度量指标 ，， 即
w;;;;;~(9.14)
利用 J 的奇异值，式 ( 9.l4 ) 也可以写成
w = a ,a 2. ... (Jm
( 9.15
显然 ， 当 机器人处千正常位形时．可操作度就是速度雅可比矩阵行列式的值 ： 当机器人
处于奇异位形时，这时的可操作度为 0 。
以 上两种度豐 指标从不同角度反映了机器人灵巧度 ，， 但也都有各自的 优缺点 。 文献[ H9' ]
对此进行了分析，这里不再赘述。总之， 一 方面可应用可操作度直接判别奇异位形？但对评
定灵巧性指标有缺陷 ；
而应用雅可比条件数在评定纯移动或纯转动的灵巧性方面比较合洼，
但对于 一 类既有转动又有移动的少自止度并联机器人机构，无法保证其结论的正确性。另外，
也有采用雅可 比条件数的倒数作为衡量机器 人 尤其并联机器 人 性能指标的 ， 例如 局部条件指
标 ( loca 1 oondi tion index, 简 称 LCI ) 和 全局条件指标 C globaJ condition index, 简 称 GCT ) l( t :53J 。
9,.3
传动性能分析
与 一 般机内设计 一 样，机器人的设计必须考虑其传动性能的影响 』 那么 何 谓机器人的传
动性能呢？它是指可以定堇衡盘机器 人 功率输入与输出有效性的指标 心因 此总体传动性能应
当同时考虑传动比 ( speed ratio) 以及输入可操作性的影响。
传统衡 量传动性能的指标包括：传动角 (transmission angle) 、压力角 ( pressure
angle)
以及传动系数 ( transn1ission factor ) 等。但也都有各自的优缺点 ：传 动角更适合用于平面连
杆机构中 ， 而压力角对衡噩凸轮 、 齿轮机构的传动性能比较有效，但共同存在的间题是仅适
击纯力的衡量。传动系数被用千衡呈空间连杆机构的传动性能屯它是指传动过程中约束力
旋萱与输出运动旋篮的比侐 心
1. 传动角与压力角
在 《机械原理》中我们学过传动角与压力角的概念 c 其中压力角是指从动件受力方向与
其绝对速度方向所夹的锐角，而传动角是压力角的余角 。 如图 9 俷 7 所示，µ即为该机构的传
动角。 一 般情 况下，传动角越大 ， 传动性能越好 。
:182
这里对机构的传动角作进 一 步扩展 ： 前向传动角与反向传动角 心前 向 传动角 即为通常意
义上的传动角，而反向传动角是 指当 以原机构的输出 当 作输入时的传动角 。 例如图 9,7 中的
较链匹 杆 机构中,µ为前向传动角，而沙劝乏向传动角 。 为保证机构具 有较好 的传 动（ 或传力）
性能，这俩个传动角的取值最好在 µ,
YE [45°, 135°] 范围 内 取伯。
类似局部条件 指标和全局条件指标的概念，也可以基千传动角给出局部传动指标和全局
传动 指标的定义来衡昼 机构的传动性能[81 ., 159] 。前后 者之 间 的最主要区别是后者是坐标系不
变 Il'-
<'.I
局部传动指标：
X = sin(TA) 号，
TA=r 或 TA=µ
l 勺 X~sin( 刓4)
( 9" 16)
全局传动指标 ；
r=
J立订~dW
J
w
dfV
,
叶/4) 也 l
( 9.17
式中 :t w 为 工 作 空 间 。
利用局部传动指标和全局传动指标可以实现对 一些 井联机构的性能评价及优化设计 。
2. 广义传动力旋
与传动系数[ l.20)
如阳 '9.8 所 示 ， 在 一 个单 自由度的闭链机构中，驱动副旋 量 为 $i !' 输出副旋量为 ＄矿
1:1 间 较链（除去驱动副和输出副之 外 的运动副）所对应的运动副旋蜇分别用 $p $2, …，＄，表
示， 一 般情况下它们线性无关 ， 这样可构成旋养 r 系伐， si~ .. . ,s,.} j) 由旋芹系理论可以得 到
与 之互易的 (6-r) 阶约束旋 量系 {$;勹 ＄；，心 ＄；于 } j 这里称之为广义传动力旋量 ( generaHzed.
transmission wrench,
简 称 GTW) 。
r
产俨'
图 9.8
我们知道 ，
机构的传动系数
图 9.8 所示机构可动的充要条件是其上的所有旋量线性
叹 + L 心丿， 十 O。凡= 1
•~;,
I
即
( 9心 18 ~
户1
白千 GT\V 的任 —项 ＄：都与 区 wJ'$J 正 交 ， 因此
式可以写成
J =I
w,$1o s;· + 仗}己;, $O·0s:·= 0
( 9. 19)
为此定义 传动系数(transmission factor j简称 TF) 和 可操作度系数 ( niani pulability faC"tor ;,
:18.3
简称 MF )~
TF=l$1° s:1
吓= l$a $; I
( 9.20
( 9.21
O
下面举个简单例子说 明 这俩个性能指标在实际中的应用 。
【 例,, .,, 】
试分 析 曲 柄滑块 机 构 的 传动系数和可操作系数 ”
,.F
图 9.9
曲柄滑块机构
解 ：： 建立如图 9.9所示 的 坐标系 ， 写 成对应 的 运动副旋量坐标表达。
夕$i :; :; ; (0, 0 .,,I ; 0, 0 , 0)
$1
= (0, 0 ,l; a sin 8, acos.0 ,0)
$2 = (0, 0 ; l ; 0守 -z ,0)
$,Q
式中，
= (0, 0, 0; l, 0 , 0)
z = hcos: — ,acosB, 巾此可求出该机构的 GTW 。
$; = (0, 0 , - zsmn{; COS<;, - sin~,0)
( 9.22)
由式 ( 9.22 ) 可以 看出该机构的 GTW 实质上就是 一 个 纯力 ，这样 由式 ( 9.20) 和 ( 9.21 )
可以 得到 曲 柄滑块机 构的传动系数和 可 操作系数七
，一
sin2 0
TF=IS,
os;[= icos?I 千 (b/ a)
IVIF=lsl'.I 0s;·1 = I—zsin 引
上述思想可扩展到并联机构 传 动 性 能分析与评价中 ， 并进一步指导并联 机 构的优化设计
(81, 159']
刚度性能分析
91.4
当机器 人执行某项任务时，末端 执 行器会对周围环境施加 一定 的力或力矩；反过来，这
种 接触力（或力矩）也可能会使末端执行器偏离理想的位置 ，， 而偏移量的大 小 与该机器 人 的
静力学刚度（简称静刚度）有关 [Jo 因此 ＇ 机器 人 的静 刚 度 甫接会 影晌该机器 人 的定位粕度 q
机器 人 的静 刚 度与多 种 因素有关 ： 如各组成构件的材料及 几何特性 、 传动机构类型 、 驱
动器 、 控制器等。每一因素对机器 人 静刚度的影响都有所不同。例如对于空间机器 人 ，由干
杆件多为细长杆 ， 势必会影响机构的整体刚度 ； 对千工业机器 人， 柔度的根源可能更多来自
于传动机构及控制系统；而对千柔性体机器 人 ，柔度的 根源会更多 。
9睿4.1
刚性体机器人机构的静刚度映射
刚性体机器 人 机构的静 刚 度映射是指机构驱动系统与传动系统等的输 入刚 度与机器 人
卡端（或并联机构的动平台）输出刚度之 间 的映射关系。在刚性体机器 人 的静刚度分析中，
首先假设机器人的各杆件完全刚性 ， 只有驱动及传动系统是机器 人 中唯 — 的柔性源。
:184
1.. 串联机器人的静刚度映射
对于 串联机器人， 将驱动与传动系统的刚度合在 一 起用弹簧常数 K 表示 ， 以反映关节 i
的变形与所传递力矩（或力）的关系 ，'
~p
1:i ;;;;; ki8qi
式中，
Ti 为 关节力矩 ，
8q』， 为各关节的变形 勺 式 (9.23) 写成矩 阵 的形式
.( 1 ;:;;;
式中，
( 9.23)
,(1' = (环气，．．．，， 气') ,
xh.q
c9.24)
fu/ ; ; ; (/1qp 气，... , ~qn)T'
X = diag(k1 '1k21 ..' 'kill) 。
由速度雅可比矩阵 ( mXn 维 ）及力雅 可比 矩阵的定义可得
立 =J.匈，
式中，
tj ;;;;; JT F
M为机器人末端 的 变形 ， ，F 为 机器人末端的等效力旋噩。并定义
AX = CF
(9.25
c = Jz-1J 1
( 9.26)
式中
C 即为机器人的柔度矩阵 ( m X m 维）］ ，而 它的逆为机器人的 刚 度矩阵，
K=C一 I
=J-TJ..厂
( 9.27)
由式 (9.2,6 ) 和式 ( 9.27 ) 可以看出 ， 柔度矩阵和 刚 度矩阵都是对称阵 ， 且结 果与机构
的驱动刚度和雅可比矩陪有关 心， 而雅可比 矩 阵与机器人的 位形参数包括参考 坐标系的选择 都
有关，因此机器人的柔度（刚度）矩阵也 与 机器人的位形参数包括参 考坐标 系的选择有关 。
【 例 9汀 】
试计葬平面 2 自由度 2 R 机器人的静刚度
图 9.10
平面 2 自 由度 2R 机器人
解 ：假设该机器人末端的变形心~= [心,~Yr 和输出平衡力 F :::: [~f~F;.]r ~ 则该机器 人的速
度雅 可比 矩阵为
叶I或 -1,吼 -1,吼
回 +l,cB,, 鸿,]
I,
且
由式 (9.27) 可得该机器人的柔度矩阵
2
--------
- (/1C1 + f2C1.2)(i1S.1+ f2S12) /, Cp,,312
kL
k.2
勾
2
2.
{!,c, 2)
（伈 +/2'c, ., )
－低 + l2叩伲 +/2 SL 2 ) 一 生
k,
k2
k1
k2
(/LSI + /2S1 2:i
，C = 矿 JT =I
心~]
(/ S)"'"
+.....L让＿
k
—十 ~r—~~
2. 并联机器人的静刚度映射
对千 并联机器人 虫其静 刚 度是指动平台 处 的输出刚度。因此 求解并联机 器 人的静 刚度 问
题实质上是建立驱动传动系统的输入 刚 度与动平台输出 刚 度之间的映射关系。具体过程与串
联机器人的刚度矩阵建立过程 类似 D 同样 ， 首先假设机器 人的各 杆件没有柔性 ， 只有驱动及
传动系统是机器人中唯一的柔性源。
:18:5
令 (i =亿，气，…， 'l:n)T 为各分支中 主动副处 的驱动力旋噩 ， l:J.q, 为相应关节的变形。 1口
样设 X
= di.ag(k1, k2; …, kii);
k 为等效弹簧常数 。 则 写 成 矩 阵的形式
( 9.28
G = X,8 q
我们在上一章巳经分析了并联机构的速度雅可比， 其中可以写成
.J ,. $P = J e@'
( 9.29)
J = J;IJr
( 9.30
L\q = J心
( 9.3 1
令并联机器人的速度雅可比
将式 ('9.291 ) 用侬分形式表示，可以写成
式中，
AX为动平台的微 小 变形令并定义
.F = K M"
( 9.32 )
K=J了1,J
( 9.33
由此可以导出
如果各 个 分支完全 一 样，则各分支的等效弹簧系数完全相同 ， 上式可作进 一 步简化
= ld'l'J
K
( 9.34)
由式 ( 9.3 3 ) 可以看出，并联机器人的刚度（柔度 ） 矩阵也是对称阵 ， 且结果与机器人
的 位形参数包括参考坐标系的选择有关。
【 例 ,, .,】
解 ：，
试 计算 Stewart-Gough 平台（ 图 9.3 ) 的静刚度。
由例 9.2 可直接得到该机器人的速度雅可比矩阵。
' ~ J , ~: :;:
『J:t ::,:s; ':、~T
_$,\J
L斗
(b6 X Su}T
假设每 个分支的 等效弹簧系数完全相同 ，因此 该机器人的刚 度矩阵
K = kJ 1J
~.4.2
柔性机构的 静刚度分析
刚度（或柔度）是设 计和 评价柔性机构的一项宣要指标 ，， 因为刚度（柔度）很大程度上
影响着机器人的动态性能 和 末端的定位精度。柔性机构的席精度性能指标更是决定了其静 刚
度的重要性心因此建立柔性机构的静刚（柔）度矩阵更为重要心这里以柔度分析为例 f 采用
旋盘理论来讨论柔度矩阵建模的 问 题。
1. 空间柔度矩阵的建模
首先以简单的柔性单元为例，说明空间柔度矩阵的建膜过程 (2 1 ,
127, l 38] 。
鉴千大多数的柔性单元实际上都可以看作是一柔性梁，因此，我们不能仅考虑纯粹的弯
曲变形，还要考虑拉压、扭转 、 剪切等其他形式的变形。
不妨考虑 一 种简单的柔性变形单元
长为 l, 密度为p平 横截面面积为 A 的均匀梁巳
静止状态下 ，杆件 的中心轴线为 z, 如阳 9. H 所示。假设 杆件 的左端固定，当梁处于平衡状
态下 ，只 有末端作用一广义力（叩力旋景）
F =i(x; f ),
用轴线坐标表示勺与自由状态下
相比，受末端力的作用沿着梁 z 轴的任 —点 的变形被定义为 一个运动旋量
S忆）
= (O{z); J(z))
。因此，杆件末端点的变形能够写 成 一 个六维向董的形式
c;-(!) ;;;;; 位 (l) 01' (l炕(/) 0-i- 0) 8 ,(/)§~0)) T
o
,{JJ:-:1
(/)和心 (l) 分别是关千末端坐标系坐标轴的
3 个角位移变形分量和线位移变形分量心
:186
图 9.11
静 止状态下 梁杆件 的描述（未变形）
当系统 处在 平衡状态下 ，见 图 9嘈 12, 在 oyz 的投影 平面中 ，根据经典的梁理论，由边界
条 件 通过积分得到力 与弯曲变形的关 系方程 。
图 9.12
在 oyz 的 投影平面的梁杆 件的 弯曲变形
研） ~oo~(o) ~ o
Elx
El 'I
心，心
加2
酰 {z)
-
= -1."x
=—
ZT ,
z =O
( 9.35 )
+ (/- z )八
( 9.36
+z(气）八
( 9.37)
El龙七） ＝ －了r, + 了（气）八
z
注意到
(z)
fJli
y
说
z '
( 9.38)
= -队 (z ),, 所以式 ( 9.36 ) 可以写成
El队（习 = ZT, -z(/ - 釭
( 9.39
同样 ，通过观察能够发 现在 o立投影平面 的弯 曲可以描述为
应
霆;tl {z)
y
El,,
沪
=rv +(/ -z)f,.
ao~(z), =zr,
( 9.40)
十 ，z(气)r.
EI立(z} "' Tr, + 歼妙，
( 9.41)
( 9.42)
秘 (z)
司 时 ＇， 注恁 到 ____£_一 = oy (叶，由式 ( 91.41 ) , 得到如 下 方
oz
叩人习 =zr, 十 4 奇
沿 着习由的 长度方向上的分量 o: (z),
f: 和 0/(习，
( 9A3)
r ·: 的关系式可以得到
GJf}~(z) = zr2
( 9.44
EA82(z};;;; ~儿
( 9.45)
以 上 各式中 ， E 为 柔性梁的弹性模量 G 为 柔性单元的剪 切模 量， Ix 为 柔性单元 x 轴 截面惯
:187
性矩， -~v 表示 y 轴截面惯性矩扣 J 表示截面极惯性矩 凸
这样，由式 (9. 40 )
,.., 式 (9.4.5), 可以建 立 起杆件变形 q(z) 和力 F 之间的关系
( 9..46
~tz) = C(z)F
这里，沿 z 轴的任 － 一点 P 处的柔度矩阵为
志门）
。
。
2El,
。
坦，
。
--· 一
印
-z(号） 。 z
n
El习．
El..
臼］
。
。
。
。
。
。
0 1
。
。
。
。
z
( 9.47
。
a:
Elf
0
。
芒2
z
。
t
0
合.(,一三3) 。
0
C{ z.) =I
。
~
。
GI
令 z = l ' 我们 就 可以 得到整个 均匀梁的 空 间 柔度矩阵。
13
。1
。
3£/矿) "
/1
。
。
3El_r
。
,z
。
。
2Et,
。
。
2EJ
。
。
。
。
。
I
·
Elx
。
。
2Elx
EA
2El:r
f
/2
_
l
。
C- 1
。
ll
—
。
。
。
。
。
。
I
。
El I'
。
( 9.48)
I
GJ
，一
2. 柔度矩阵的坐标变换
众所 周知 ， 当 对机构的 动平台施加载荷时，动平台会产生运动心 根据 旋量理 论， 在给定
如图
9.13
乒 (tJ汾）I ::::::::;
所示的坐标系下，动平台的微 小 运动可 以用 运动旋量
(0:~,8~!; 0:史 ； ox.; 心 oz )
来表示 ；
施加在其上的载荷 可以 用力旋豐
= (1';f) = I亿 ，环环 fx ;fv , 儿 ） 来表示。这里 ， ,0. . 0 分别代表动 平台 的角变形和线变形，l
而 T、 I 则代表了施 加 在动平台上的力矩 和 纯力。
图 9.1.3
柔性机构的受力与变形
根据线弹性理 论， 动平台」一的运动旋昼与力旋量之间 存 在如下关系 ：：
乒 CF , F
= K .~ ,
C = x-1
式中， C和 K 分别表示机构的 6 阶柔度矩阵和 刚 度矩阵。
:188
( 9.49
显然，对柔度矩阵或 刚 度矩阵的 讨 论只有在同 一个坐标系 下 才有 意 义 。例 如 ， 为了建立
机构的整体柔度（或刚度）矩阵 ,, —般需要将 各局部坐标系下的柔度（或刚度）矩阵转化到
统 一 的参考坐标系下，即涉及到柔度（或刚度）矩阵的坐标变换。
首先来推导柔度（或 刚度）矩 阵在不同坐标系下的映射关系 「2 1 , 127, l3 8, I:52]
0
假设在参考坐标系下，机构运动旋豐和力旋示分别表示为 扩 = (6气 O s ) 和
F s =( 凸 Is )厂；而 在与动平台 固连的局部坐标系下，运动旋 量 和力旋 量 分别表示为
' B ;;;;; ((}气 扩）和 F [J = (-rB; 广） ；其中运动旋量是旋噩的射线坐标表达 i 而力旋量则是旋
,
早的轴线坐标表达。
由式 ( 9.49 ) 可得
.~·S = c s p S, ~B = C Bp B
( 9.50
另设局部坐标系与参考坐标系间坐标变换的旋转矩阵为 R t 平移向进为 t = (x,y古 z )气
则 坐标变换的伴随矩阵为 Ads =(; :J 。利用算子LI, 可以将轴线坐标表达的力旋量转化
成射线坐标形式JF。因此，在射线坐标下 ， 运动旋量和力旋量的坐标变换如 I.,
,: s = Adg,, B, LIF8 = Ad ~.dF lJ
( 9.5 1
由式 ( 9 . 50 ) 和式 ( 9~51 ) 可以导出柔度矩陪在不同坐标系下的变换关系式。具体推导
过程如 下
, s = c s F s = Adg~B = Ad.ge np n
Ll-1 = LI ,
由千，
( 9.52)
于是
F 心；；；；；；
将式 ( 9 . 53 ) 代入式 ( 9宁52 ),
L1Ad g LIF 8
( 9 . 53)
得到
C8L1Ad. g ..dF 8;;;;;; Ad g C8F 8
( 9.54
一理得到
,c s = Ad g C'B..dAd g一1.d1
注意到
dTg_
f|
T
Ri
_
，
一
i
_
ORT
、Lj
一 片
皿
dl _
(RR
\
TT
( 9.55 )
\
T t^\j
RR
)
( 9.56 )
此
( 9.57)
将式 C 9.57 ) 代入式 ( 9.55 ), 得到柔度矩阵在不同坐标系下的变换关系
c .,) = Ad C 8Ad gI
( 9 .,58)
对千刚度矩阵 冲 变换关系可根据 .K = c -• 直接得 到
K s = (Ad; 1)TK 8.Ad:1
( 9.59
式 ( 9 . 58 ) 和式 ( 9' . 5'9 ) 分别给出了柔度矩阵和刚度矩阵在不同坐标系下的映射关系。
【例 9, .5 】
试求 9 . 14 所示矩形截面均质悬酋梁 的 柔度矩 阵 。
＾今
1
r,
'l
.- _
图 9牛14
坐标系的建立
:189
解： 参考坐 标 系选在梁 的 质 心 （中点）处 ， 一 力 旋量作用在该点。根据 Von Mise 的梁变形
理 论 [ l21 」， 对—空 间 的均质梁 ， 在 力 旋盄作相 下 柔度矩阵为对 角阵 。
c户＝ 山ag[ 12:入, 121;八古向向金］
式中 ， E 为弹性税愿 G 为 剪 切 模同
相 对轴线 x 和 y 的惯性矩，
A ; ; ; tb为截面积 ，
l_r
( 9.60
= tb1/l2 ~ JY= bt3/l.2 表示截面
J = l :x + l y = tb(t 2 +b2 )/12 表示极惯性矩。
由 于 通常情况下，力旋蜇 通 常作用 在 梁 的 末端。这 时， 有必要进行柔度矩阵的坐 标变 换
即将梁在 中 点 处 的柔度矩陪转换 成在 其末端处的柔度矩阵表 达 。为 此， 衙采用伴随矩阵
( 9.6 1)
式中
-
0
l
-- 0
2
I
i= I !_。。
( 9.62)
2
。
。
。
这样， 新坐标 系下 的 柔度矩 阵表达为
,.,
ll
。
3EJJ,
。
CE = Ad!§C亡A叶 = I
。
p
。
_
JEI工
。
_
。
。
，
2El
。
( 9.63,)
Ji
。
。
。
l
Elx
。
。
。
。
。
I
E'!
。
。
。
。
。
/2
K
2E!1"
2EI..
,2
，一
。
。
2Ef
/2
。
I
EA
。
。
12
{
,—
GI
可以 看到式 ( 9.48) 与式 ( 9.,63 ) 是完全一 致的。
3. 柔性 机 构的柔（刚）度分析
式 ( 9,.4g ) 给出 了 基本均质梁单元的柔度矩阵模型 ， 式 ( 9·. 58 ) 和式 ( 91. 59 ) 又给出 j
柔性机构的柔度和刚度在不同坐标系下的映射关系， 「因此，我们可以将各 个 柔性单元的柔度
矩阵转换到统 一 的参考坐标系 下 D 随后， 在参考坐标系下可以将单元柔度矩阵组合成柔性机
构的柔度矩阵 凸 但是，串联机构 与 并联机构的组合方式又有所不同 心
简言之 ， 串联式柔性机构末端变形是各柔性单元变形的总和亨因此 在参考坐标系下串联
式柔性机构柔度矩阵为各柔性单元柔度矩阵的总和 。 设串联式柔性机构各柔性单元的柔度
矩阵为 C中则整个串联式柔性机构的柔度矩阵计算如下 ：
C占． ＝ 区 Ad罗C.si Ad;i
( 9.64
式中， Ad.g" 为串联式柔性机构中第 i 个柔 性 单元到参考坐标系的坐标变换运铭 ， m 为柔性单
元的数噩 。
并联式柔性机构动平台 产 生相同变形所需载荷为各柔性单元所需载荷的总和 ， 因此在参
考坐标系下并联式柔性机构的刚度矩阵为各柔性单元刚度矩阵的总和 。 设并联式柔性机构
各柔性单元柔度矩阵为 Cii.r. ' 则整 个 井联式柔性机构的柔度矩阵计算如下 ：＇
Cp = (吝(Ad,;C,11Ad; rJ
190
( 9.65 )
式中， A~均为并联式柔性机构中第 j 个 柔性单元到参考坐标系的坐标变换运算， n 为柔性单
元 的 数盘 。
式 ( 9 . 64 ) 和式 ( 9. 65 ) 分别给出了串联式柔性机构和并联式柔性机构的柔度矩阵计绊
方法。利用这两个式子可 以 对各种柔性机构进行柔度矩阵建校 。
【 例,, .,,】
试 对如图 9.15 所示柔性 RCC 装宜进行柔度分析口
RCC 装置由平动与旋转两部分 组成 。当受到环境力旋量 作 用时，机构 发生偏移或旋转
变形， 可以吸 收位置及角度误差 ， 在 一 定误差范围内 ， 可以 顺 利地完 成装配 作 业。从理论 户
讲 ， RCC 装置可 以 将其下端所夹持零件 的运动瞬心配置在空间上的任 一 点 ， 故能满足零 f
任何方式的柔顺运动要求。但实际上 ， 如果 RCC 装咒 的 刚度配咒不其合理 ， 该装贺将难以
实现装配，因此其刚度性能十分重要。
具体参数如 下 ： 柔性单元均为均质圆形截面积 ， 半径 r ;;;;;; 5 m1n , 长 I
单元分布圆半径 a ;;;;;; 40mmt
; ; ; 1000 nun ,
柔性
p = 400mm t 安装倾角 /J=5门 。 假 设柔顺中 心 处所受合力与
合 力 矩分别为 5000N 和 5000N·m !' 材 料选择铝。弹 性模蜇为 70MPar 泊松比为 0. 33 。
解 ：， RCC 装置中有 3 个同样的柔性杆单元 ，均 匀 分布 在上下端盘之间。参考坐标系原点 取
在其柔顺中 心 C 处 ， z 轴 沿着夹待工件方向 书 x 轴在柔性单元 I 和中 心轴 线所在的平面内 ，＇
且垂直 中心 轴线 许 y 轴由右手定 则 来确定户
月，＇
.
亡位盂：五
书、
(a) 机构简图
(b) 模型样机
图 9.15
柔性RCC 装罢
首先确定柔性单元 1 的 空 间 柔度矩阵 ，为 此取局部坐标系与其 几 何中 心 处 ， 具体如图
9. 15a 所示。这样可根据式 ( 9.60) 直接得到柔性单元 1 在局部坐标 系下 的 柔度矩 阵 （为 对
角阵） ； 若将 坐 标系平移到单元 末 端与小端端盘接触点 处， 可 根据式 ( 9.63 ) 得到柔性 单元 1
在新坐标系 下 的柔度矩阵。
13
JEl>,
0
。
。
l~
El
。
X
0
C '=I
0
。
_I
。
。
2.£1
fl
。
2El
。
X
。
EA
11
2El "
12
。
。
=
J
。
EIT
f
lEI,
。
。
0
0
0
0
0
。
。
I
El >'
。
0
-f:Gl
,—
242.522
。
。
。
363.783
。
。
242.522
。
-363.783
。
。
。
。
181.891
。
。
。
。
- 363.783
。
727.565
。
。
363,783,
。
。
。
727.565
。
。
。
。
。1
。
967.662
I~ IO..Q
通过伴 随 变换 可 进 一 步得到柔 性 中心 C 处 柔性单元 1 的 柔度矩 阵 ， 其中伴随矩阵
Adg1 =Adgr 一凡 o, - p; o,µ,ai) = Adt仁 a,0, 一 rl Ad R.(o·. .打，汀1l = Adt(一a, 队 一p) Ad R(0,0, 打1) AdR(O, 队 0}
=I
式中 i'
。配996195
。
0.087 1557
。
。
。
0
l
。
。
。
。
-0.0871557
。
0.996195
。
。
。
0
0.04
。
0.996[95
-0.,旧42056
。
0. 04632 35
。
。
-0.05
。
Ad 八 Ix, I_,. , 七) 宁
0 0.087 l557
I
-'0.087]557 0
。
0.996195
Ad R1(0-" , ()_,., °=二 ) 和 Ad g(t y • lJ' , t, ; 0/t '8_1,. '乌} 分别表示纯 移 动 、 纯转动及旋量运动
19」 : I
的 伴随变换，因 此
0
t2.6688
3 856
23
85
13
.
。
0
18 1
42
2]4,233
0
, 12.6688
C1 ~ Ad /Ji C'Ad-1~
g』
I
0
。
0
·
0
l 5 523
.
。
- 41.67252
729.389
。
20. 8462
。
727..565
。
20.846.2
。
965 .838
,.67252
- 333 .296
0
15. 7523
070
-333.296
0
334.2,65
0
X
]0-'J
伺理 ， 可以 得到 第 2 、第 3 个 柔性单元的变换矩阵。
.Ad Si =Ad g(acL1s y.a si11 r, -p; 0, /],az ) =Ad1{acosy.asi1~r, -p) Ad
.
R(O, 月，心2) =Ad ii.a eosr
I
tJS:in r• 一 p)
AdR( 仆 ,o. 九·2) Ad R( IJ. /I, 0)
Ad gl = Ad g(acosr, 一 行忒 Il l, 一 p,0, p, a:l) = Ad. tja,i;osy, - 打 si n r, 一 p) Ad R(O,/J, 0:1 l = Ad i(a 汉巧 l'I 一 口 5my, 一 p} Ad K(0,
. 0, 江d Ad mo,µ, a
C = Ad
218.833
-2.6553
10.3304
0.4829'.2
-33 2 旬459
-70.002
- 2.6553
215.766
l 7.8927
333.017 - 0.48292
40.4158
, 10.3304
0.48292
17.8927
333,.0]7
187.34 1 58 ..9625
58.9625 728.02]
- 34 ..042
0.78973
0
- '[0.423
-34 .1扭 2
0.78973
728..933
- 18.053
- 10.423
- 18.053
965.838
C1Ad 一 I ;;::::
叉~g~I
- 332.459 -0.48292
xl O书
。
-70.002
40.4158
2 18.833
2.6553
10.3304
- 0.48292 - 332.459
2..6553
215.766 - ]7.8927 333.0 17
, ]0.3304 -'I 7.8927 187 .341 -58.9625
C.3 = Adi:1C'Ad-1 =
Ki
I -0.48292
333 谒 Ol 7
- 58.962.5 728.02 l
70.002
0.48292
40.4158
- 34.042
0
-0.7897
-10.423
-33 2.459
0..48292
-34.042
-0切 7897
72,8 配933
18.053
70.002
40.4158
0
-10.423
18.053
965.838
以上各式中宁 E 为柔 性 单元的弹 性模噩 G 为柔 性 单元的剪切模噩 ，
I__ ;;;;;; 兀r 4 /4 为柔性单元 x 轴 截面惯性矩，
,a 3 =2 刓 3 。
由于采用并联方式
K = ,L Kj= K1 + 凡 +K~
A= 1rr2 为截面积 ，l
JY = 1rr4/4 表示 y 轴截面惯性矩 ．，
1 = 1x+ 1>,. == 吁4/2 表示截面极惯 忡 矩。其 他 参数 ：：
r = 冗/3
L(Ad; I)1 k i
因此 可 根据 K = 工 Ki =
,
a , =0
,
11
或者
c-1= >. C了= c;• + C/ +c.-1
IL..
71.3025
。
。
()
- ll l.23
。
。
71.2562
。
109'.927
。
] 0. 1453
。
。
59.99'25
。
- 8.0799
。
。
109.92 7
。
238.527
。
。
一 HI 屯 23
。
- 8.0799
。
242.396
。
。
] 0. 1453
。
。
。
29"9.J 82
Ix to书
因此 ， 根据式 ( 9.49 ) 可得
- 0.18 109
0.9156642
, = CF 分） ＝
0. 278101
L74387
IX 10- ::i
0.6 :1543
[.54824
通 过计算 ， 给出了柔性 RCC 装翌柔顺中 心 处 的 平 移 变形 j 和 旋转变形 (J ')
192
仪2= 刓3
d - 1 得到系统的 刚 度矩阵。叩
i
=I
x lO刁
4. 柔性机构的自由度分析
在力旋量 F气 t' ~ jJ 的作用下书机构的动平台产生微小变形告( 0 ,;
, = 1C F
BJ,
二者满足
( 9 .66
假设力旋 垦与 运动旋 量是同一个旋整 的标积，则 可 以得到下面的特征值方程
，石 =L1,C石
( 9.67)
一般地 ，式 C 9., 67 ) 中有 6 个特 征值 Ji 和 6 个 特征向帛t尸其中特征值 Ai 称为特征柔度
Ei_gen-compHa.nce ), 它是运动旋 詈与力 旋费的比侃与特征俏对 应 的特征向 矛 互 称为柔度
的特征旋量 (Ei_gen-screw ) 。这些特征旋蜇可表示柔性机构 的基本 运动极式，柔性机构的所
有运动均 可 由这些特征旋 量 线性表不 。
由式 ( 91.4g) 可知，转动 柔度 和 移动柔度具有不固的量纲 ，
因此，不能直接对 二者进行
匕 较。为此 ， 可将转动柔度除以 l/Ely , 移动柔度除 以 P!Ely'' 从而将转动柔度和移动柔度转
化为无董纲 噩。 这里， l 为机构中梁单元的长度（不妨取最长者作为标准）， ，l)' 为其截面惯性
矩凸
下面给 出解析法确定柔性机构自由度的 一般 过程 。
(1) 计 算机构的柔度矩阵 C, 单位统 一 采用国际单位制；
(2) 计算柔度 矩阵 C 的特 征值及特征向愿 ；
(3,) 将特 征值按柔度类型（转动柔度或移动柔度）进行无量纲化；
(4) 对无量纲的特征值进 行比较；
比较方法如下 ： 取无鱼纲特征值中的最大者，记为心ax ; 将其余特征值li 与 Amax 相比
若队 /~xl «I;, 则 该 特 征值近似为 0 。
(5) 处 理后 ， 非零特征值的数目即为柔性 机构的 自由度数目 ：
(6) 寻找与零特征值对应的特征 向 量 （旋 量 ），这些特征向 量 构成了约束旋 量 系（或旋 量空
间）；
(7) 根据运动旋量系与约束旋量系的互易性 ，求 得机构（动平台）的自巾度分 布 。
按照上述方法中 可以 对实际柔性机构的自由度特性进行分析。下面通过实例来验证，
【例 !J.7 】车轮型柔性较链的自由度分析
车轮型柔性较链的两 个 板簧单元相交于点 Q;, 且关于 0 点对称 C 参考坐标系及各结构
参数如图 9 .]6 所示。
\
图 9. 16
板簧单元 1 、 2 坐标变换的伴随矩阵如一
Ad功； ； ； ； 尸~';J
(,
Ad,,
=(,1
( 9,68)
式中，
cos0
Rl
=I
。
r cos,0' 0 - sin0'"'1
。 sin(}
,,
。
1
。
1 。 ' R2 =
- sin() 0 c,0-s()
I... sm ,0
.,
。
cos0 J
193
。
乒
....
ti ..., /2
=
lcosO
2
。
lco1s 0
2
。
。
。
。
。
因此，该车轮 型柔 性模块在参考坐标系下的柔度矩阵为
C= [ (Ad., C,Ad;S + (Ad,,C.Ad;,)一' ]
( 9.69)
给定该型柔性较链参数如 下：
l = 200m1n1 d = 1OOm1n, w = 50mm, t = 2n1m ,. 0'= 30° , E = 700Pa1 泊 松 比 Ji= 0.346
将参数代入到式 (9.68) 和式 C 9.69 ) 中 可 计 笋得到柔度矩阵 C心
0.8134
。
。
。
-0.0704
。
。
428.5714
。
37圈 1154
。
。
。
。
1..2962
。
。
。
。
37..1154
。
3.2 149
。
。
- 0.0704
。
。
。
0.0084
。
。
。
。
。
。
0.0002
o.8195
0.0023
0.0006
C=I
'
Ix 10-4
I
AC 的 特征值矩阵与 特 征向噩矩阵为
儿= diag(t2'962
431.7857
0 0.086
V=
`
。
。
1
。
o.oooi) x ]0-4
.
。
。
-0.086
1
。
。
。
。
。
。
。
1
。
。
]
0.086
。
。
。
]
。
。
1
。
。
。
-0.086 0
0
。
将特征值进行无量纲化后，得到
j = diag(l.5
503.8 0.9561 0.06617 0.0[654 0.00555) X :10-l
,:,. : diagf O 503.8 0 0 0 O} x 10-1
与零特征值对应的特 征向量组成机构的约束空间（列向菌表示约束力旋昼）。
夕
。
。
。
1
o ·<
O
书1.086
I
。
。
,0
。
。
。
1
。
0.08,6
。
。
0
1
0
L
O
O
'I
W=
0
- 0.08,6 0
O
0
根据运动旋噩系与约束旋量系的互易性，可得动平台的自由度分布。
: = (0, 1, 0 ,; 0 贮086,0 , 0)
通过点
上式表明车轮型柔性较链具有 1 个转 动 自由 度 ， 转动轴线平行 y 轴，
(0!0, - 0. 0816) 。注意到理想情况下 ， 0 点坐标为 (0, 0.! 一 lsin0/2) = (0,0, - 0.0866)
o
因此，车
轮型柔性较销的转动轴线通过 0 点 。
9,.5
[l]
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194
习题
们
(l)
已知图 9' . ]7 所示的机器人机构 。
在图示位形下，通过选取合适的坐标系，建立与之对应的运动副旋量集，计笲该旋
已众的秩，进而给出与之对应的 一 组运动副旋费系，并给出该机构的 一 组约束旋怪
系。
(2)
试通过等效运动副旋量系方法构造与下图所示运动链等效的运动链（给出至少 3 组 ）。
( 3)
试利用 POE 公式计莽该机构的正反解运动学，并导出该机构的 Jacobian 矩阵。
(4)
该机构是否存在奇异位形？如果存在 ， 试给出奇异位形存在的几何条件。
图 91.17
习题 9.J I王
9.2 利用 螺旋运动方程求解图 9令 ]8 所示串联机器人的速度雅可 比 矩阵。
IJ
图 9'.18
9..3
习匙 9.2 图
试 推导图 9.l9 所示对称分布的平面 5R 机构的速度雅可比矩阵中并讨论其中是否存在奇
异位形。
图 91.19
9.4
习题 9.3 肛
试 推导图 9.20 所 示 3,-RPS 平台机构的速度雅可比矩阵 ， 并讨论其中是否存在奇异位形。
195
矗 ，一，
图 9颂
9.5
习题 9.4 阳
试 拌寻平面串联式 2R 型机器 人各 向同性点存在的条件 。
9 . 6 试 推导平面串联式 3R 型 机器 人 奇异性与各向同性点存在的条 件 。
9.7 本 章介绍了多种衡星机器人运动性能的指标，如速度雅可比、灵巧性、各向同性、条件
数、可操作性、压力角 、传 动免· ,. LCI/GCI 、 LTI/GTill 等 。 试确定哪些参数是坐标系
变噩 。
9. 8 试 推导图 9.19 所示对称分布的 平 面 SR 机构的静 刚度矩阵 b
9 . 9 试 推导图 9 . 2:l 所示平面并联 3-RRR 机器人的静刚度矩阵。
图 91.21
习题 9.9 图
9.10 试 对图 9.22 所示 的平行四 杆 式柔性运动副进行空间柔度矩阵建模。给定机构参数如下 ：
w = 20n1.n1:1 t =
5n:un, H = IOcm j D1= 16ctn., E =
70GPa 。
_
一
、无
—;
甘
,
1
"
,_
~
图 9.22
平 行四杆 型 柔 性运动 副
9.1] 试 求 图 9 .23 所示柔廿机构的柔度矩阵 心 该柔性机构由多个相同的平行板簧以并联方式
均匀分布在动 平 台与基座之间 」 板簧单元从左到右编号为 1, 2•.... , n ,;- 局 部 坐标系建立在
各板簧单元质 心，， 参考 坐 标系建立在动平台的中心。坐标系中各个坐标轴方向及结构参
数如图 91 .23 所示。
196
已臼
谒
冒-
匕
~
1-E
司
图 9.13
立性机构
9.1 2 试 对图 91.24 所示的 等 腰梯形式柔性较链进行 空间柔度矩阵参数化建模 口
..
..
....
fJ.L....
..
．蠡
..
.
..
..
.;
图 ·9 .24
9..13 试对图 9.25 所 示的平行板簧
d = 80m.m, w = 50mm,
t·=
等腰梯形式柔性饺链
三性运动副进行自由度分析湘关参数如下 ： I= lOOu1m ,
2mm., E = 70GPa, 泊松比µ = OJ 46 凸
...
,
~
胆 '9 .25
平行板笋
197
性较链
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