Kỹ thuật siêu cao tần nâng cao
Hà Nội, 2013
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
Bộ lọc siêu cao tần
1. Bài tập ví dụ
1. Thiết kế bộ lọc thông thấp trên các phần tử tập trung, dạng đặc trưng phẳng
cực đại với tần số cắt 2 GHz, trở kháng đặc tính 50 Ω và suy hao ít nhất là 15
dB tại tần số 3 GHz.
2. Thiết kế bộ lọc thông dải trên các phần tử tập trung, dạng đặc trưng
Chebyshev, cho biết độ gợn sóng trong dải thông là 0.5 dB với N = 3, tần số
trung tâm là 1 GHz, độ rộng dải thông tương đối là 10 % và trở kháng đặc tính
là 50 Ω.
3. Thiết kế mạch lọc thông thấp trên mạch vi dải, cho tần số cắt là 4 GHz, trở
kháng đặc tính Z0 = 50 Ω, bộ lọc là loại Chebyshev bậc 3 với độ gợn sóng 3
dB.
4. Thiết kế mạch lọc thông thấp trên mạch vi dải, cho tần số cắt là 4 GHz, trở
kháng đặc tính Z0 = 50 Ω, bộ lọc là loại Chebyshev bậc 5 với độ gợn sóng 3
dB.
5. Thiết kế mạch lọc thông thấp trên mạch vi dải sử dụng cấu trúc có trở kháng
nhảy bậc cao thấp với trở kháng đặc tính cao nhất là 120 Ω, thấp nhất là 20 Ω,
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
1
cho tần số cắt là 2.5 GHz, trở kháng đặc tính Z0 = 50 Ω, bộ lọc là loại phẳng
cực đại có suy hao trên 20 dB tại tần số 2.5 GHz.
2. Công thức tính toán cho mạch vi dải
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
2
Phối hợp trở kháng dải hẹp
1. Phối hợp trở kháng bằng các phần tử thụ động (các mạng chữ L)
- Thường được thực hiện ở các tần số dưới 1 GHz.
- Có 2 sơ đồ. Sơ đồ 1 được dùng khi RL > Z0, sơ đồ 2 được dùng khi RL < Z0.
jX
Z0
jX
jB
ZL
Z0
a
jB
ZL
b
1.1. Tính toán bằng giải tích, sơ đồ 1
- Điều kiện PHTK: Trở kháng vào của mạch bao gồm mạch phối hợp và tải
mắc ở phía sau phải bằng Z0. Với ZL = RL + jXL, ta có:
Z0 = jX +
Advanced Microwave Engineering
1
jB + 1/(RL + jXL)
***
(1)
c Chi Hieu Ta
3
tách riêng phần thực và phần ảo, ta có:
B(XRL − XLZ0) = RL − Z0
X(1 − BXL) = BZ0RL − XL
(2)
(3)
rút X từ phương trình trên, thay vào pt dưới → được phương trình bậc 2 đối
với B, nghiệm của phương trình bậc 2:
B=
XL ±
p
p
2 + X2 − Z R
RL/Z0 RL
0 L
L
2 + X2
RL
L
(4)
do RL > Z0 nên biểu thức trong căn luôn dương ⇒ B có 2 giá trị thực
khác nhau, ta có
1 XLZ0
Z0
−
(5)
X= +
B
RL
BRL
⇒ có 2 cặp giá trị của B và X, cả hai đều thực hiện được về mặt vật lý do
B và X đều có thể nhận các giá trị âm hoặc dương.
- Nếu X > 0 : phần tử điện kháng là cuộn cảm, nếu X < 0 : phần tử điện
kháng là tụ điện.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
4
- Nếu B > 0 : phần tử điện kháng là tụ điện, nếu B < 0 : phần tử điện kháng
là cuộn cảm.
1.2. Tính toán bằng giải tích, sơ đồ 2
- Điều kiện PHTK: Dẫn nạp vào của mạch bao gồm mạch phối hợp và tải
mắc ở phía sau phải bằng Y0, ta có:
1
1
= jB +
Z0
RL + j(X + XL)
(6)
BZ0(X + XL) = Z0 − RL
(7)
suy ra
(X + XL) = BZ0RL
(8)
p
= ± RL(Z0 − RL) − XL
p
(Z0 − RL)/RL
= ±
Z0
(9)
giải ra ta được
X
B
Advanced Microwave Engineering
***
(10)
c Chi Hieu Ta
5
Do RL < Z0 ⇒ có 2 cặp nghiệm đối với X và B.
1.3. Giải bằng đồ thị vòng Smith
* Bài toán: Thiết kế mạch PHTK dạng chữ L để phối hợp tải ZL =
200 − j100 Ω với đường truyền có trở kháng đặc tính 100 Ω tại tần số 500
MHz.
* Giải:
- Ta có z̄L = 2 − j được biểu diễn tại điểm zL trên đồ thị vòng, vẽ vòng
tròn Kd =const đi qua tải, do RL > Z0 ⇒ dùng sơ đồ 1. Do phần tử đầu
tiên mắc song song với tải ⇒ lấy đối xứng điểm zL qua tâm để được điểm
yL, đồ thị vòng lúc này chuyển thành đồ thị vòng dẫn nạp, tính phần tử B
sao cho phần thực của trở kháng tương đương của jB mắc song song với tải
bằng Z0 (điện trở chuẩn hóa bằng 1), ta có: j B̄ = j0.3, khi đó điểm yL di
chuyển lên phía trên và nằm trên đường tròn 1 + jx (điểm M). Lúc này cần
khử thành phần kháng của trở kháng vào của mạch gồm jB và tải mắc song
song, do phần tử jX mắc nối tiếp với mạch ⇒ lấy đối xứng điểm M qua
tâm (chuyển trở về đồ thị vòng trở kháng) được điểm N nằm trên vòng tròn
1 + jx của đồ thị vòng trở kháng. Để khử thành phần kháng như vừa nêu,
cần có j X̄ = −jxN = j1.2. Như vậy lời giải thứ nhất: B̄ = 0.3 và X̄ = 1.2,
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
6
suy ra:
C
=
L =
B̄
0.3
=
= 0.92 pF
6
2πf Z0 2π50010
(11)
1.2100
X̄Z0
=
= 38.8 nH
6
2πf
2π50010
(12)
Lời giải 2: từ điểm yL đi xuống dưới và được j B̄ = −j0.7, sau đó lấy đối
xứng qua tâm và tính được X̄ = −1.2, suy ra:
C
=
L =
1
= 2.61 pF
2πf X̄Z0
−Z0
= 46.1nH
2πf B̄
(13)
(14)
2. Phối hợp trở kháng bằng phần tử kháng thuần điều chỉnh (stub)
2.1. Mạch phối hợp mắc song song
- Dùng một stub ngắn mạch hoặc hở mạch đầu cuối mắc song song vào đường
truyền, tại vị trí cách tải một khoảng d.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
7
- Phương pháp mắc: chọn vị trí có Gv = Y0 (ḡv = 1), mắc stub để khử Bv .
a. Tính bằng giải tích
Trở kháng vào ở tại điểm cách tải một khoảng là d được cho bởi
(RL + jXL) + jZ0 t
Zv (d) = Z0
Z0 + j(RL + XL) t
(15)
với t = tan(βd). Dẫn nạp vào tại điểm này bằng
Yv (d) =
1
= Gv + jBv
Zv (d)
(16)
trong đó
Gv
Bv
Advanced Microwave Engineering
=
RL(1 + t2)
2 + (X + Z t)2
RL
L
0
(17)
=
2
RL
t − (Z0 − XLt)(XL + Z0t)
2 + (X + Z t)2 )]
Z0[RL
L
0
(18)
***
c Chi Hieu Ta
8
d được chọn để Gv = Y0 = 1/Z0, suy ra
2
Z0(RL − Z0)t2 − 2XLZ0t + (RLZ0 − RL
− XL2 ) = 0
(19)
giải ra ta được
p
XL ± RL[(Z0 − RL)2 + XL2 ]/Z0
với RL 6= Z0
t=
RL − Z0
(20)
nếu RL = Z0 thì t = −XL/2Z0. Hai giá trị của d được cho bởi



1
tan−1 t
với t ≥ 0
d
2π
=
1
λ 

(π + tan−1 t) với t < 0
2π
(21)
Độ dài của stub hở mạch đầu cuối:
1
l
BS
=
tan−1
λ 2π
Y0
Advanced Microwave Engineering
=−
***
1
Bv
tan−1
2π
Y0
(22)
c Chi Hieu Ta
9
Độ dài của stub ngắn mạch đầu cuối:
1
−1
Y
Y0
l
0
−1
−1
=
=
tan
tan
λ
2π
BS
2π
Bv
(23)
Nếu độ dài tính theo các công thức trên là âm, ta cần cộng với λ/2 để được
kết quả dương.
b. Tính bằng đồ thị vòng Smith
Xét ví dụ sau: Cho đường truyền với trở kháng đặc tính Z0 = 50 Ω, có tải là
ZL = 147 − j23 Ω, bước sóng λ10 cm. Người ta dùng một stub hở mạch đầu
cuối mắc song song để phối hợp trở kháng. Hãy tính các khoảng cách gần nhất
từ chỗ mắc stub đến tải và tính các độ dài của các stub được gắn tại các vị trí
này biết rằng trở kháng đặc tính của stub cũng bằng 50 Ω.
Giải:
B1: Xác định vị trí điểm biểu diễn trở kháng tải chuẩn hóa (điểm L), dựng vòng
tròn Kd = const đi qua L.
B2: Lấy đối xứng điểm L qua gốc tọa độ, được điểm K, đồ thị vòng trở kháng
tự động chuyển thành đồ thị vòng dẫn nạp.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
10
B3: Vòng tròn Kd = const cắt vòng tròn ḡ = 1 tại 2 điểm M và N. Đây là các
điểm có thể mắc stub.
B4: Nếu mắc stub tại M, di chuyển từ M đến K theo chiều về tải ta sẽ tính được
khoảng cách d1 là khoảng cách từ M đến tải. Tương tự như vậy, nếu mắc stub
tại N, di chuyển từ N đến K theo chiều về tải, ta tính được khoảng cách d2.
B5: Tính độ dài stub: nếu mắc stub tại M, dẫn nạp vào của stub là b̄S = −b̄M .
Do đó ta di chuyển từ điểm N2 là điểm có dẫn nạp bằng b̄N 2 = 0 − j b̄M đến
điểm A là điểm tương ứng với dẫn nạp bằng 0 (hở mạch đầu cuối) theo chiều
về phía tải, từ đó ta sẽ tính được
lS1 = lS0 ∗ λ
(24)
với lS0 là khoảng cách đo được trên thang chia độ khi di chuyển từ N2 đến A.
Tương tự như vậy, nếu stub mắc tại N, dẫn nạp vào của stub là b̄S = −b̄N . Do
đó ta di chuyển từ điểm M2 là điểm có dẫn nạp bằng b̄M 2 = 0 − j b̄N đến điểm
A theo chiều về phía tải, từ đó ta sẽ tính được
lS2 = lS00 ∗ λ
Advanced Microwave Engineering
***
(25)
c Chi Hieu Ta
11
với lS00 là khoảng cách đo được trên thang chia độ khi di chuyển từ M2 đến A.
Nếu stub là ngắn mạch đầu cuối: di chuyển từ các điểm N2, M2 về điểm B (là
điểm có dẫn nạp bằng ∞) theo chiều về phía tải. Ta sẽ tính được các độ dài
lS1, lS2 tương ứng.
2.2. Mạch phối hợp mắc nối tiếp
a. Tính bằng giải tích
- Trở kháng vào chuẩn hóa tại điểm cách tải một khoảng d:
Z̄v (l) =
R̄L + j[X̄L + tan βd]
Z̄L + j tan βd
=
= r̄v + ix̄v
1 + j Z̄L tan βd (1 − X̄L tan βd) + j R̄L tan βd
(26)
- Phương pháp phối hợp: tìm vị trí có sẵn r̄v = 1, mắc stub để khử Xv .
- Qua biến đổi và tính toán, có thể suy ra khoảng cách từ chỗ mắc stub đến tải
là:


q
2 − A (1 − R̄ )
X̄
±
X̄
L
1
L 
L
1
−1 
dS = tan 
(27)

β
A1
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
12
với A1 = R̄L(R̄L − 1) + X̄L2 .
- Giá trị điện kháng vào của stub:
2
(X̄L + tan βdS )(1 − X̄L tan βdS ) − R̄L
tan βdS
X̄S = −
(R̄L tan βdS )2 + (1 − X̄L tan βdS )2
(28)
- Độ dài của stub ngắn mạch đầu cuối
lS
1
XS
=
tan−1
λ
2π
Z0
=−
XV
1
tan−1
2π
Z0
(29)
- Độ dài của stub hở mạch đầu cuối
Z0
lo −1
−1
=
tan
λ
2π
XS
1
Z0
−1
=
tan
2π
Xv
(30)
b. Tính bằng đồ thị vòng Smith
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
13
Ví dụ: Cho đường truyền với Z0 = 50 Ω, ZL = 127 + 236 Ω, được PHTK bằng
stub ngắn mạch đầu cuối mắc nối tiếp. Hãy tính khoảng cách từ các điểm mắc
stub đến tải và độ dài của các stub tương ứng với các điểm này biết rằng trở
kháng đặc tính của stub cũng bằng 50 Ω.
Giải:
B1: Tìm điểm biểu diễn trở kháng tải chuẩn hóa (điểm L). Qua điểm L dựng
vòng tròn Kd =const.
B2: Vòng tròn Kd =const cắt vòng tròn r̄v = 1 tại 2 điểm M và N. Đây là các
điểm có thể mắc stub.
B3: Nếu mắc stub tại M, di chuyển từ M đến L theo chiều về tải, ta tìm được
khoảng cách d1. Nếu mắc stub tại N, di chuyển từ N đến L theo chiều về tải ta
tìm được khoảng cách d2.
B4: Tính độ dài của stub:
Nếu mắc stub tại M: ta có x̄S = −x̄M , do đó ta sẽ di chuyển từ điểm N2 có
z̄N 2 = 0 − jx̄M đến điểm B (nếu là stub hở mạch đầu cuối) hoặc điểm A (nếu
là stub ngắn mạch đầu cuối). Qua đó ta sẽ tính được độ dài lS1 của stub mắc
vào M.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
14
Nếu mắc stub tại N: ta có x̄S = −x̄N , do đó ta sẽ di chuyển từ điểm M2 có
z̄M 2 = 0 − jx̄N đến điểm B (nếu là stub hở mạch đầu cuối) hoặc điểm A (nếu
là stub ngắn mạch đầu cuối). Qua đó ta sẽ tính được độ dài lS2 của stub mắc
vào N.
3. Phối hợp trở kháng bằng biến áp λ/4
- Ý tưởng: chọn vị trí có Xv = 0 mắc một mạch biến đổi từ Rv thành Zc0.
3.1. Trường hợp tải thuần (ZL = RL)
- Do XL = 0, chọn một đoạn đường truyền (biến áp) độ dài l = λ/4 mắc giữa
tải và đường truyền
√ chính có trở sóng đặc tính Zc0, trở sóng đặc tính ZCT của
biến áp: ZCT = Zc0RL.
3.2. Trường hợp tải phức (ZL = RL + jXL).
- Biến áp mắc cách tải một khoảng d, tại vị trí có Xv = 0 như đã đề cập ở trên.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
15
A
Máy
phát
Zc0
B
ZCT
A
ZL
B
l/4
d
a. Giải bằng giải tích
- Điều kiện phối hợp: ZAA = Zc0
- Trở sóng đặc tính của biến áp: ZCT =
√
ZAAZBB =
√
Zc0ZBB
- Vị trí mắc: Xv = 0 ⇒ là các điểm bụng áp và nút áp.
√
√
- Tại điểm bụng áp: ZCT = Zc0ZBB = Zc0 Kd
√
- Tại điểm nút áp: ZCT = Zc0/ Kd
- Khoảng cách d từ chỗ mắc biến áp đến tải:
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
16
* Tại điểm bụng áp đầu tiên:
dmax =
với A2 = R̄L R̄L −


s




R̄
L


2


X̄
−
A
X̄
±
1
−


2
L
L

Kd 
λt
arctan

2π





1
Kd
A2






+ X̄L2
* Tại điểm nút áp đầu tiên:
dmin =


s




R̄
L


2


X̄
−
A
1
−
X̄
±


3
L
L

Kd 
λt
arctan

2π





A3






với A3 = R̄L R̄L − Kd + X̄L2
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
17
b. Giải bằng đồ thị vòng Smith
Ví dụ: Zc0 = 50Ω, ZL = 100 + j75Ω, λt = 10 cm, tìm giá trị của khoảng cách
d từ chỗ mắc biến áp đến tải và trở sóng đặc tính của biến áp ZCT .
Giải:
B1: Xác định điểm biểu diễn trở kháng tải chuẩn hóa (điểm L). Qua điểm L
dựng vòng tròn Kd =const.
B2: Vòng tròn Kd =const cắt trục ngang tại 2 điểm D và E, đây là các điểm có
thể mắc biến áp.
B3: Nếu mắc biến áp tại D:
- Di chuyển từ D đến L theo chiều về tải, ta tính được khoảng cách d1 từ D đến
tải.
- Trở kháng đặc tính của biến áp mắc vào D được cho bởi:
ZCT 1
√
= Z0 r̄D
(31)
Nếu mắc biến áp tại E:
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
18
- Di chuyển từ E đến L theo chiều về tải, ta tính được khoảng cách d2 từ E đến
tải.
- Trở kháng đặc tính của biến áp mắc vào E:
ZCT 2
√
= Z0 r̄E
(32)
4. Phối hợp trở kháng dùng 2 stub (Double-stub tuning)
- Mạch PHTK dùng 1 stub: có khả năng phối hợp bất kỳ trở kháng tải nào (có
phần thuần trở dương) với đường truyền. Tuy nhiên khoảng cách từ stub đến tải
phải thay đổi được. ⇒ khó khăn khi cần thực hiện bộ PHTK điều chỉnh được.
- Mạch PHTK dùng 2 stub: dùng 2 stub điều chỉnh được, gắn tại các vị trí cố
định. Có khả năng điều chỉnh để PHTK, tuy nhiên không thể thực hiện phối
hợp cho bất kỳ tải nào.
- Mạch PHTK dùng 2 stub: thường thực hiện trên cáp đồng trục với các stub
điều chỉnh được mắc song song. Tuy nhiên có một số trường hợp cũng có thể
dùng stub mắc nối tiếp.
a. Giải bằng đồ thị vòng Smith
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
19
- Xác định điểm biểu diễn trở kháng tải chuẩn hóa.
- Lấy đối xứng để tìm điểm biểu diễn dẫn nạp tải chuẩn hóa và đổi sang đồ thị
vòng dẫn nạp.
- Dịch chuyển vòng tròn ḡ = 1 đi một khoảng d/λ theo chiều về tải (d là khoảng
cách giữa 2 stub). Được đường tròn ḡ 0 = 1
- Từ điểm biểu diễn dẫn nạp tải chuẩn hóa, di chuyển theo đường cong ḡ = const
về đến giao điểm với đường tròn ḡ 0 = 1, ta được các điểm y1 và y10 . Sau khi di
chuyển, từ lượng chênh lệch về điện dẫn giữa điểm biểu diễn dẫn nạp tải chuẩn
hóa và hai điểm y1, y10 ta tính được dẫn nạp vào của stub S1 và từ đó tính ra
độ dài của S1.
- Xoay các điểm y1 và y10 theo chiều về phía máy phát cho đến khi gặp vòng
tròn ḡ = 1. Ta được 2 điểm y2 và y20 . Từ 2 điểm này ta tìm ra các giá trị
b2 = −b(y2) và b02 = −b(y20 ) cũng như các độ dài của stub thứ 2 để khử được
các giá trị dẫn nạp vào tại y2 và y20 .
- Các giá trị thông thường của d: λ/8, λ/4, 3λ/8.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
20
b. Giải bằng giải tích
- Dẫn nạp vào ở tiết diện bên trái của stub thứ nhất là:
Y1 = GL + j(BL + BS1)
(33)
với BS1 là dẫn nạp vào của stub thứ nhất.
- Dẫn nạp vào ở tiết diện bên phải của stub S2 là:
Y2 = Y0
GL + j(BL + BS1 + Y0 tan βd)
Y0 + j(GL + jBL + jBS1 ) tan βd
(34)
với Y0 = 1/Z0. Tại vị trí này ta cần có phần thực của Y2 phải bằng Y0, do vậy
ta có phương trình:
G2L
1 + t2 (Y0 − BLt − BS1t)2
− GLY0 2 +
=0
2
t
t
(35)
với t = tan βd
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
21
- Để tìm điều kiện đối với vùng cấm, ta giải phương trình trên theo GL. Điều
kiện để có nghiệm GL là
4t2(Y0 − BLt − B1t)2
≤1
0≤
Y02(1 + t2)2
(36)
Y0
1 + t2
0 ≤ GL ≤ Y0 2 =
t
sin2 βd
(37)
nghĩa là
- Khi biết khoảng cách d (thường là cho trước), ta giải phương trình (35) theo
B1 để tìm ra các giá trị dẫn nạp vào của stub S1
p
Y0 ± (1 + t2)GLY0 − G2Lt2
B1 = −BL +
(38)
t
- Dẫn nạp vào của stub S2 được tính bằng số đối của phần ảo của (34)
p
± Y0GL(1 + t2) − GL2t2 + GLY0
B2 =
GL t
Advanced Microwave Engineering
***
(39)
c Chi Hieu Ta
22
Phối hợp trở kháng dải rộng
- Các phương pháp PHTK đã xét: đều phụ thuộc vào bước sóng ⇒ khi tần số
thay đổi, tác dụng PHTK sẽ yếu đi hoặc không còn ⇒ PHTK dải hẹp.
- PHTK dải rộng: dùng các phần tử thụ động, dùng nhiều đoạn biến áp nhảy
bậc và biến áp trở sóng biến đổi từ từ hình nêm, dùng kết hợp biến áp với stub...
1. PHTK dải rộng dùng nhiều đoạn biến áp nhảy bậc
- Xét bài toán PHTK trong dải tần cho trước giữa tải thuần trở ZL = RL với
đường truyền có trở kháng đặc tính Z0.
- Độ dài các đoạn là λ/4, trở kháng đặc tính được chọn sao cho hệ số phản
xạ tại chỗ nhìn về đường truyền trong dải tần có dạng đặc trưng theo đa thức
phẳng cực đại hoặc đa thức Chebyshev.
* Lý thuyết phản xạ nhỏ: hệ số phản xạ toàn phần sẽ bằng tổng vô hạn của
các hệ số phản xạ và truyền qua thành phần.
- Tìm hệ số phản xạ toàn phần tại vị trí mắc biến áp nhiều đoạn (N đoạn) dạng
nhẩy bậc với đường truyền trở kháng đặc tính Z0 kết cuối bởi trở tải thuần ZL
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
23
như sơ đồ mạch mô tả trên hình vẽ. Giả thiết là sự chênh về giá trị trở kháng
đặc tính của các đoạn biến áp liền nhau là nhỏ và có phân bố tăng hoặc giảm
đơn điệu, do đó các hệ số phản xạ tại các đoạn của biến áp có giá trị nhỏ. Chiều
dài của các đoạn bằng nhau là l = λ/4 và trở kháng đặc tính của chúng lần
lượt là Z1, Z2, . . . , ZN và giả thiết ZL > ZN > ZN −1 > . . . > Z0.
- Hệ số phản xạ toàn phần:
Γ(θ) = Γ0 + Γ1e−2jθ + Γ2e−4jθ + . . . + ΓN e−2jN θ
(40)
- Giả thiết biến áp được thiết kế đối xứng sao cho: Γ0 = ΓN , Γ1 = ΓN −1,
Γ2 = ΓN −2 (lưu ý rằng điều này không có nghĩa là Zn là đối xứng). Suy ra
h
i
o
n Γ(θ) = e−jN θ Γ0 ejN θ + e−jN θ + Γ1 ej(N −2)θ + e−j(N −2)θ + . . . (41)
jθ
−jθ
Nếu N là số lẻ, số hạng cuối sẽ là Γ(N −1)/2 e + e
, nếu N là số chẵn, số
hạng cuối là ΓN/2. Phương trình trên có dạng chuỗi cosin Fourier hữu hạn và
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
24
có thể viết thành:
h
Γ(θ) = 2e−jN θ Γ0 cos N θ + Γ1 cos(N − 2)θ + · · · + Γn cos(N − 2n)θ
i
1
+ · · · + ΓN/2 với N chẵn
2
(42)
và
Γ(θ) = 2e
−jN θ
h
Γ0 cos N θ + Γ1 cos(N − 2)θ + · · · + Γn cos(N − 2n)θ
i
+ · · · + Γ(N −1)/2 cos θ với N lẻ
(43)
Từ kết quả trên có thể thấy rằng ta có thể tổng hợp đáp ứng của hệ số phản xạ
của biến áp phối hợp trong dải tần nào đó như là một hàm của θ theo dạng của
một hàm cho trước bằng cách chọn đúng Γn và chọn đủ số lượng các đoạn N .
Điều này là rõ ràng vì một chuỗi Fourier có thể tiệm cận bất kỳ hàm trơn nào
nếu dùng đủ số lượng các số hạng. Phổ biến nhất, người ta hay chọn dạng hàm
của hệ số phản xạ theo dạng của đa thức phẳng cực đại và đa thức Chebyshev.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
25
Biến áp dạng đa thức phẳng cực đại
- Hệ số phản xạ của biến áp có dạng:
Γ(θ) = A(1 + e−2jθ )N
(44)
Khi đó mô đun hệ số phản xạ có dạng:
|Γ(θ)| = |A||e−jθ |N |ejθ + e−jθ |N = 2N |A| cos θ|N
(45)
Lưu ý rằng |Γ(θ)| = 0 với θ = π/2 và dn|Γ(θ)|/dθn = 0 với n = 1, 2, ..., N − 1.
Hệ số A được xác định bằng cách cho f → 0, khi đó θ = βl = 0 và
Γ(0) = 2N A =
suy ra
− Z0
ZL + Z0
−N ZL
A=2
Advanced Microwave Engineering
ZL − Z0
ZL + Z0
***
(46)
(47)
c Chi Hieu Ta
26
Ta lại có
Γ(θ) = A(1 + e−2jθ )N = A
N
X
CnN e−2jnθ
(48)
n=0
trong đó
CnN =
N!
(N − n)!n!
(49)
là các hệ số nhị thức.
Tiếp theo ta sẽ đồng nhất các hệ số ở trong phương trình dưới đây để tìm ra
các hệ số phản xạ Γn
Γ(θ) = A
N
X
CnN e−2jnθ = Γ0 + Γ1e−2jθ + Γ2e−4jθ + ... + ΓN e−2jN θ
(50)
n=0
suy ra
Γn = ACnN
(51)
với giá trị của Γn tìm được ở trên, ta có thể tính ra các giá trị của trở kháng
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
27
đặc tính Zn của các đoạn biến áp theo công thức đệ quy sau:
Γ0 =
Γn =
ΓN
=
Z1 − Z0
Z1 + Z0
Zn+1 − Zn
Zn+1 + Zn
ZL − ZN
ZL + ZN
(52)
(53)
(54)
NGoài phương pháp vừa nêu, ta cũng có thể dùng phương án tính gần đúng
như sau: do giả thiết là Γn là nhỏ nên
Γn =
Zn+1 − Zn 1 Zn+1
' ln
Zn+1 + Zn 2
Zn
(55)
khi đó ta có
Zn+1
ZL
N
−N N
ln
' 2Γn = 2ACn ' 2 Cn ln
Zn
Z0
công thức này có thể dùng để tính Zn+1 với giá trị ban đầu n = 0.
Advanced Microwave Engineering
***
(56)
c Chi Hieu Ta
28
Để có thiết kế chính xác, trong đó có tính đến hiệu ứng phản xạ nhiều lần tại
mỗi đoạn, ta cần giải bằng phương pháp số phương trình đường truyền cho mỗi
đoạn và tìm ra trở kháng đặc tính của chúng.
Các kết quả tính toán chính xác đối với một số trường hợp cụ thể được cho
trong bảng trong TLTK. Lưu ý rằng các kết quả trong bảng này ứng với trường
hợp ZL/Z0 > 1, nếu ZL/Z0 < 1, ta vẫn có thể dùng các kết quả này với Z1
bắt đầu từ phía tải, đó là vì các kết quả trên là đối xứng xung quanh giá trị
ZL/Z0 = 1, cùng 1 biến áp có thể dùng để phối hợp ZL với Z0 và có thể đảo
ngược lại để khối hợp Z0 với ZL.
Độ rộng dải tần phối hợp của biến áp dạng nhị thức được tính như sau:
Với Γm là giá trị lớn nhất cho phép của hệ số phản xạ trong dải thông, ta có:
Γm = 2N |A|
(57)
trong đó giá trị θm < π/2 tương ứng với biên dưới của dải thông như thể hiện
trong hình. Ta có:
" #
1/N
1 Γm
(58)
θm = arccos
2 |A|
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
29
từ đây ta có độ rộng băng thông tương đối của biến áp bằng
" #
1/N
1 Γm
4
∆f
2(f0 − fm)
4θm
=
=2−
= 2 − arccos
f0
f0
π
π
2 |A|
(59)
Biến áp phối hợp nhiều đoạn dạng đa thức Chebyshev
- Biến áp nhiều đoạn dạng đa thức Chebyshev tối ưu hóa băng thông tốt hơn
biến áp dạng phẳng cực đại. Đổi lại, nó có độ gợn sóng nhất định trong dải
thông. Biến áp loại này được thiết kế bằng cách đồng nhất Γ(θ) với một đa
thức Chebyshev.
Đa thức Chebyshev
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
30
Đa thức Chebyshev bậc n, ký hiệu là Tn(x) được cho bởi công thức sau:
T1(x) = x
(60)
T2(x) = 2x2 − 1
(61)
T3(x) = 4x3 − 3x
(62)
T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1
(63)
Tn(x) = 2xTn−1(x) − Tn−2(x)
(64)
Đồ thị của các đa thức trên được thể hiện trên hình. Từ đồ thị ta thấy:
* Với −1 ≤ x ≤ 1, |Tn(x)| < 1. Trong dải này các đa thức Chebyshev dao động
giữa ±1. Đây là tính chất độ gợn sóng đều, và vùng này sẽ được ánh xạ vào
vùng băng thông của biến áp phối hợp.
* Với |x| > 1, |Tn(x)| > 1. Vùng này sẽ được ánh xạ vào dải tần số bên ngoài
băng thông của biến áp phối hợp.
* Với |x| > 1, giá trị |Tn(x)| tăng nhanh hơn theo x khi n tăng.
Với |x| > 1, ta đặt x = cos θ, khi đó ta có thể chứng minh được rằng các đa
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
31
thức Chebyshev được biểu diễn như sau:
Tn(cos θ) = cos nθ
(65)
Tn(x) = cos(n cos−1 x) với |x| < 1,
(66)
Tn(x) = cos(n cosh−1 x) với |x| > 1,
(67)
hay ở dạng tổng quát hơn:
trong đó số mũ −1 ký hiệu cho hàm lượng giác ngược.
Để đảm bảo độ gợn sóng đồng đều trong dải thông, ta cần ánh xạ giá trị θm
sang thành x = 1 và π − θm thành x = −1, với θm và π − θm là các giá trị biên
dưới và biên trên của băng thông. Việc ánh xạ được thực hiện bằng cách đổi
biến x thành cos θ/ cos θm
cos θ
cos θ
= cos n cos−1
(68)
Tn(x) = Tn
cos θm
cos θm
khi đó | cos θ/ cos θm| < 1 đối với θm < θ < π − θm nên |Tn(cos θ/ cos θm)| < 1
trong dải giá trị này của θ.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
32
Do cosn θ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số hạng có dạng
cos(n − 2m)θ nên các đa thức Chebyshev được triển khai như sau:
T1
T2
T3
T4
cos θ
cos θm
cos θ
cos θm
cos θ
cos θm
cos θ
cos θm
=
cos θ
cos θm
=
1
(1 + cos 2θ) − 1
cos2 θm
=
1
1
(cos
3θ
−
3
cos
θ)
−
3
cos θ
3
cos θm
cos θm
=
1
1
(cos
4θ
+
4
cos
2θ
+
3)
−
4
(cos 2θ + 1) + 1
4
2
cos θm
cos θm
Thiết kế biến áp dựa trên đa thức Chebyshev
Việc thiết kế biến áp PHTK nhiều đoạn dựa trên đa thức Chebyshev được thực
hiện bằng cách làm cho Γ(θ) tỷ lệ với đa thức TN (cos θ/ cos θm) với N là số
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
33
lượng các đoạn của biến áp. Ta có:
Γ(θ) = 2e−jN θ [Γ0 cos N θ + Γ1 cos(N − 2)θ + · · · + Γn cos(N − 2n)θ + · · · ]
= Ae−jN θ TN (cos θ/ cos θm)
(69)
trong đó số hạng cuối cùng của chuỗi ở phương trình trên là (1/2)ΓN/2 với N
chẵn và Γ(N −1)/2 cos θ với N lẻ.
Để tìm A ta cho θ = 0 ứng với tần số bằng 0.
ZL − Z0
= ATN
Γ(0) =
ZL + Z0
suy ra
A=
Z L − Z0
ZL + Z0
1
cos θm
1
TN
1
cos θm
(70)
(71)
Ta lại thấy rằng, với θ = θm thì TN (cos θ/ cos θm) = TN (1) = 1, suy ra:
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
34
Γm = |A|. Do đó
TN
1
cos θm
1 ZL − Z 0
=
Γm ZL + Z 0
(72)
từ đây, ta tính được θm qua công thức
"
1
1
= cosh
cosh−1
cos θm
N
"
1
' cosh
cosh−1
N
!#
1 ZL − Z0
Γm ZL + Z0
!#
ln ZL/Z0
2Γm
(73)
Băng tần phối hợp được xác định bằng
∆f
4θm
=2−
f0
π
(74)
Từ phương trình (69), ta có thể tính được các hệ số phản xạ Γn sử dụng các
công thức triển khai của đa thức TN (cos θ/ cos θm) như đã trình bày và đồng
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
35
nhất các thừa số của các hàm cos(N − 2n)θ. Trở kháng đặc tính có thể được
tính bằng công thức đệ quy
Γ0 =
Γn =
ΓN
=
Z1 − Z0
Z1 + Z0
Zn+1 − Zn
Zn+1 + Zn
ZL − ZN
ZL + ZN
(75)
(76)
(77)
hoặc sử dụng công thức gần đúng:
Γn =
1 Zn+1
ln
2
Zn
(78)
Biến áp hình côn Nếu ta tăng số lượng đoạn của biến áp nhiều đoạn lên, độ
chênh lệch trở kháng của các đoạn biến áp sẽ giảm đi và ta sẽ đạt dần đến biến
áp có trở kháng biến đổi liên tục. Tuy nhiên độ dài của biến áp chỉ có giới hạn,
do đó người ta đề xuất biến áp hình côn có trở kháng đặc tính biến đổi liên tục.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
36
Xét đoạn đường truyền hình côn có trở kháng đặc tính biến đổi liên tục Z(z),
giả thiết rằng đoạn đường truyền này gồm nhiều đoạn con với độ dài ∆z và trở
kháng đặc tính của mỗi đoạn kề nhau tăng dần một lượng là ∆Z. Khi đó hệ số
phản xạ tại tiết diwwnj giữa hai đoạn kề nhau là
∆Γ =
(Z + ∆Z) − Z
∆Z
'
(Z + ∆Z) + Z
2Z
(79)
cho ∆z → 0, ta có:
dZ
1 d(ln Z/Z0)
dΓ =
=
dz
(80)
2Z
2
dz
Dựa trên lý thuyết phản xạ nhỏ, ta sẽ tìm được hệ số phản xạ tại z = 0 bằng
cách cộng các phản xạ thành phần với những độ dịch pha phù hợp:
1
Γ(θ) =
2
L
d
Z
−2jβz
e
ln
dz,
dz
Z
0
z=0
Z
(81)
trong đó θ = 2βl. Như vậy, nếu cho trước Z(z), ta có thể tìm được Γ(θ) như
là một hàm của tần số, ngược lại, nếu cho trước Γ(θ), ta cũng có thể tìm được
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
37
Z(z) tương ứng, tuy nhiên đây là việc khó khăn. Trên thực tế, người ta thường
sử dụng ba dạng hàm của Z(z) là hàm mũ, hàm tam giác và hàm Klopfenstein
để thực hiện biến áp hình côn.
a. Biến áp dạng hàm mũ
Với biến áp dạng này, trở kháng đặc tính Z(z) có dạng:
Z(z) = Z0eaz
với 0 < z < L
(82)
Tại z = 0, Z(0) = Z0. Tại z = L ta muốn có Z(L) = ZL = Z0eaL, suy ra
a=
Advanced Microwave Engineering
ZL
1
ln
L
Z0
***
(83)
c Chi Hieu Ta
38
Khi đó hệ số phản xạ Γ(θ) được tính như sau:
d
1 L −2jβz d
az
e
e
ln (e ) dz =
(az)dz
dz
2 z=0
dz
z=0
Z L
Z L
ln ZL/Z0
1
ae−2jβz dz =
e−2jβz dz
=
2 z=0
2L
z=0
1
Γ(θ) =
2
Z
L
Z
−2jβz
(84)
ln ZL/Z0 −jβL sin βL
=
e
2
βL
lưu ý trên đây đã giả thiết rằng β không phải là hàm của z, điều này thường chỉ
đúng cho các đường truyền sóng TEM.
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
39
6.12 Các phần tử siêu cao tần có ferrit
a. Tính chất của ferrit bị từ hóa
(Câu hỏi: Thế nào là ferrit bị từ hóa?)
- Có tính chất đặc biệt của môi trường không đẳng hướng, giá trị của độ từ
thẩm phụ thuộc vào hướng (độ từ thẩm có dạng tensor)
- Tác dụng khác nhau lên sóng phân cực tròn quay trái và quay phải
(Lưu ý: khái niệm phân cực tròn quay trái) và quay phải ở đây có nghĩa là sóng
~ quay sang trái và quay sang phải khi ta nhìn ngược chiều truyền
có vector H
sóng.)
- Hiện tượng cộng hưởng sắt từ: là hiện tượng mà khi H0 = H0ch thì thành
phần ảo của độ từ thẩm đối với sóng phân cực tròn quay phải biến đổi lớn và
sóng bị tiêu hao năng lượng nhiều.
- Hiệu ứng Faraday: là hiệu ứng quay mặt phẳng phân cực của một sóng SCT
phân cực thẳng khi nó truyền qua ferit bị từ hóa. Độ lớn của góc quay và chiều
~ 0 và kích thước của thanh ferit.
quay phụ thuộc vào chiều và độ lớn của H
b. Van cộng hưởng
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
40
- Cấu tạo: làm từ một đoạn ống dẫn sóng chữ nhật, bên trong tại vị trí sóng
H10 có phân cực tròn quay phải đặt một tấm ferrit mỏng song song với thành
hẹp và chạy dọc theo ống dẫn sóng. Từ trường từ hóa không đổi H0 hướng
vuông góc với thành rộng của ống dẫn sóng.
- Nguyên tắc hoạt động: Khi sóng H10 truyền theo phương z > 0 vào ống dẫn
sóng, với H0 = H0ch, tại vị trí đặt thanh ferrit sóng H10 có phân cực tròn quay
phải nên sẽ bị hấp thụ đáng kể do xảy ra hiện tượng cộng hưởng sắt từ, như
vậy sóng H10 truyền theo chiều z > 0 bị hấp thụ đáng kể. Khi sóng H10 truyền
theo phương z < 0 thì tại vị trí đặt thanh ferrit sóng có phân cực tròn quay trái
nên không bị hấp thụ bởi thanh ferrit. Phần tử hoạt động như một chiếc van,
gọi là van cộng hưởng. Để tăng cường hiệu quả của van, người ta đặt thêm một
tấm ferrit nữa tại vị trí 2 (là vị trí thứ 2 mà từ trường của sóng H10 có phân
cực tròn) nhưng với từ trường H0 có chiều ngược lại.
c. Bộ quay pha không thuận nghịch
- Cấu tạo: làm từ một đoạn ống dẫn sóng chữ nhật, có một tấm ferrit mỏng
đặt song song với thành hẹp tại vị trí x, từ trường từ hóa H0 vuông góc vối
thành rộng.
- Nguyên tắc hoạt động: Khi sóng H10 truyền qua thanh ferrit sẽ bị lệch pha
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
41
một lượng là ϕ. Do thanh ferrit bị từ hóa tác động khác nhau lên các sóng phân
cực tròn quay trái và quay phải nên độ lệch pha của sóng H10 truyền theo các
hướng z > 0 và z < 0 là khác nhau ⇒ bộ quay pha không thuận nghịch.
-- Câu hỏi: giải thích đồ thị trên hình 3.92
d. Bộ circulator dạng chữ Y
- Cấu tạo:
- Nguyên tắc hoạt động:
e. Bộ circulator 4 nhánh kiểu pha
- Cấu tạo:
- Nguyên tắc hoạt động: (1) → (2) → (3) → (4) → (1)
e. Bộ circulator 4 nhánh kiểu phân cực
- Cấu tạo:
- Nguyên tắc hoạt động: (1) → (2) → (3) → (4) → (1)
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
42
For more Information
• Documentation for Foiltex
http://www.tex.ac.uk/tex-archive/nonfree/macros/latex/contrib/
foiltex/foiltex.pdf
• Get what you can from an internet search
Advanced Microwave Engineering
***
c Chi Hieu Ta
43