Cap. 1 Teorías de falla
C A P Í T U L O 1:
Pág. 1-1
TEORÍAS D E F A L L A
1.1 Introducción
Todas las piezas de construcción, ya sean elementos de máquinas o elementos de
estructuras, se deforman bajo la acción de fuerzas externas. A estas fuerzas externas se les
oponen fuerzas que se originan al interior de la estructura del material y son tales que
oponen resistencia a la deformación. Ellas son las denominadas fuerzas internas. E n caso
normal las fuerzas externas e internas se encuentran en equilibrio.
Para la determinación de las fuerzas internas se emplea el método de las secciones. Por
ejemplo, la pieza cilindrica de la figura Fig. 1.1a se divide en dos partes mediante una
sección imaginaria. Para recomponer el equilibrio se debe colocar a cada una de las partes
la fuerza F¡. Esta es la fuerza interna o también denominada fuerza de sección. E n la figura
Fig. 1.1b se muestra otro ejemplo en el que además aparece un momento flector como
momento interno o de sección. Estas fuerzas y momentos internos actúan como fuerzas de
cohesión en la sección respectiva y son las que mantienen unidas entre sí a las partículas
que componen el material. Si crecen las fuerzas externas, es decir, si crece la carga,
entonces también crecen las fuerzas internas en el material.
r
-
- i -
-M
F
—
i
Area transversal
9
'
X
F\
'
F; I-
.
1
l
I
—1
(a)
/
SLi-íhx)
(b)
Fig. 1.1
HA -4-s
a
Fuerzas y/o momentos de sección: a) E n un elemento
sometido a tracción, b) en un elemento sometido a flexión.
Como medida de la solicitación de una pieza se utiliza el esfuerzo mecánico, simplemente
denominado esfuerzo. Diremos entonces que el esfuerzo es la fuerza interna referida a una
unidad de superficie, o dicho de otra manera: es la fracción de fuerza interna que puede
soportar una unidad de superficie de la sección analizada.
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Pág. 1-2
Solicitación de una pieza
de c o n s t r u c c i ó n
Cargas
Vigas con eje recto o
ligeramente curvado.
V i g a s , soportes, ...
Fuerzas, momentos
Reacciones en apoyos y
fuerzas de sección
Estática
(a =
P a r á m e t r o s del
área
transversal
te
0)
i
Area
Condiciones
cinemáticas
cinética
(a * 0)
C o n f i g u r a c i ó n del área
• Momento de inercia
• Momento polar de
inercia
P a r á m e t r o s (medidas)
de la s o l i c i t a c i ó n
mecánica
Esfuerzos
Deformaciones
Trabajo de cambio de
forma
Valores de resistencia
obtenidos en ensayos de
materiales
• Resistencia estática
• Resistencia en función
del tiempo
• Criterios de falla
• S o l i c i t a c i ó n permisible
• Resistencia a la fatiga
• Cargabilidad
• Factores de seguridad
• Tipo de carga (variable,
continua)
Aspectos e c o n ó m i c o s ,
Confiabilidad de los
funciones y exigencias
procesos de cálculo
• Formas constructivas
recomendadas
• Causas, condicionamientos
en el sistema t é c n i c o
• E c o n o m í a en el uso del
material
• M o d e l a c i ó n (idealización)
• T r a n s m i s i ó n del modelo
• Sustitución del material
• Requerimientos técnicos
especiales
• Definicioones en el
marco t é c n i c o económico
Fig. 1.2
Factores que intervienen en el cálculo de una pieza por resistencia.
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Páa. 1-3
L a fuerza interna por unidad de área resistente se denomina resistencia. Los elementos de
máquinas o de estructuras pueden ser solicitados de tal manera que no deben llegar a ser
destruidos o que no alcancen deformaciones tales que el desempeño de sus funciones se
vea afectado. E n otras palabras: sus límites de resistencia no deben ser sobrepasados. Estos
límites de resistencia de los diferentes materiales utilizados en ingeniería se determinan en
el marco de los ensayos de materiales a través de pruebas de laboratorio y se denominan
esfuerzos límite. E n el presente Texto utilizaremos para los esfuerzos, casi exclusivamente,
la unidad N / m m ' , también conocida como Mega-Pascal, en honor al gran P a s c a l .
])
1.2 Tarea de la Resistencia de Materiales
E n la Resistencia de Materiales han sido desarrollados procedimientos de cálculo mediante
los cuales se pueden determinar los esfuerzos y deformaciones que corresponden a
determinados tipos de solicitación. Ello posibilita predecir si los esfuerzos en una pieza,
como consecuencia de una cierta solicitación, están dentro de límites admisibles. O dicho
en otras palabras: si la pieza es capaz de soportar la solicitación a que es sometida. E s
decir, se puede predecir si la pieza fallará o no, o si ella se defonnará excesivamente o no.
L a Fig. 1.2 muestra los factores que intervienen en un cálculo de esta naturaleza.
Por otro lado es posible calcular las dimensiones necesarias de una pieza si es que se
conocen las características del material y la magnitud de la solicitación. E n otro caso, si se
conocieran las dimensiones y características mecánicas del material, entonces se pueden
calcular las máximas cargas externas que la pieza estaría en condiciones de soportar para
ciertos márgenes de seguridad.
E n todos los cálculos de resistencia es necesario hacer simplificaciones o idealizaciones,
pues en la realidad la verdadera distribución de esfuerzos en una pieza es muy complicada
y es muy difícil de determinar a partir de procedimientos analíticos. L a teoría de elasticidad
proporciona
algunos
métodos
analíticos
muy
complicados
y con
muchos
condicionamientos y restricciones en su aplicación. Felizmente en los últimos años se han
desarrollado métodos que permiten evaluar con muy buena aproximación los verdaderos
esfuerzos. Entre ellos se pueden mencionar el método fotoelástico, el método de los
elementos finitos y el método de los elementos de borde.
1.3 E l ensayo de t r a c c i ó n
Las propiedades de los materiales detenmnadas por la ciencia de los materiales mediante
ensayos de laboratorio son condicionamientos muy importantes para la resistencia de los
materiales. Para la determinación de las fuerzas internas bastan los métodos desarrollados
en la estática de los cuerpos rígidos. Ellos pueden ser aplicados directamente también para
los cuerpos deformables o elásticos, pues las deformaciones que éstos presentan son
normalmente muy pequeñas.
!!
Blaise Pascal (1623 - 1662), filósofo y matemático fraticés.
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Pág. 1-4
E n la construcción de máquinas y de estructuras metálicas se utilizan muy a menudo los
resultados que provee el ensayo de tracción según D I N 50145. E n la F i g 1.3a se puede
observar la probeta respectiva antes del ensayo. Esta tiene sección circular de diámetro do y
longitud de prueba sin deformar Lo. Si se carga la probeta con una fuerza F (Fig. 1.3b) la
probeta se estira en AL. Si la longitud en ese instante es L entonces diremos que el
estiramiento es AL = L - Ln. Se define:
Deformación unitaria:
£
=
AL
L -L
L
L
n
n
(l.i)
n
la cual es una relación cuyo valor es un número muy pequeño y por ello se acostumbra a
expresarla en porcentaje:
Def. unitaria en porcentaje:
£ = ^100%
(1.2)
Tí
-estncción
(a)
Fig. 1.3
(b)
(c)
Probeta para el ensayo de tracción según D I N 50145. a) Probeta sin
carga, b) Probeta deformada en AL debido a la acción de la carga F
(esfuerzo nominal a<a ), c) Probeta al momento de la rotura.
P
Aparte de haberse estirado, la probeta ha disminuido en su diámetro transversal. Se define:
Deformación transversal:
Ad
d - d
n
(1.3)
d
n
L a relación entre la deformación transversal y la deformación unitaria se denomina módulo
de Poisson 1 Su valor depende del material y como dato referencial se puede mencionar
que dicho módulo es 0,3 para los aceros.
1
Módulo de Poisson:
(1.4)
Siméon-Dénis Poisson (1781, Phitiviers - 1840, París), físico francés.
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Páa. 1-5
Si se hace crecer la fuerza F y se grafican los diversos valores de esfuerzo en función de la
deformación unitaria obtendremos el denominado gráfico esfuerzo-deformación. E n la
figura 1.4 se muestra el mencionado gráfico para un acero de bajo contenido de carbono.
L a línea m á s gruesa indica el esfuerzo referido al área transversal inicial de la probeta Any
se denomina esfuerzo nominal (a = FIA o) mientras que la línea m á s delgada representa al
esfuerzo referido al área transversal A y que se denomina esfuerzo efectivo (cr = FIA ).
Ambas gráficas están representadas en función de la deformación unitaria s - ALILQ. L a
gráfica del esfuerzo efectivo está por encima de la otra puesto que éste está referido al área
efectiva A .
e
e
e
e
Fig. 1.4
Diagrama esfuerzo-deformación para un acero de
bajo contenido de carbono.
E l esfuerzo aumenta en forma lineal hasta el límite de proporcionalidad er . Esta región
está representada por una recta denominada recta de Hooke en honor al descubridor de
esta característica. L a ley de Hooke establece que en la región de proporcionalidad, el
esfuerzo es proporcional a la deformación. E l factor de proporcionalidad se denomina
módulo de elasticidad E.
P
1)
£ =—
Módulo de elasticidad:
(1.5)
£
Análogamente existe en el rango de proporcionalidad el factor G (módulo de elasticidad
transversal) que relaciona el esfuerzo de corte con el ángulo de distorsión:
i
G=—
(1.6)
Y
L a relación entre el módulo de elasticidad E y el módulo de elasticidad transversal G es:
Módulo de elasticidad transversal:
F
G =—
2 (1 + v)
(1.7)
Robert Hooke (1635. FreshwaterTnsel Wright - 1703, London), físico inglés.
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E n la tabla 1.1 se muestran algunas propiedades de materiales comúnmente utilizados en
ingeniería.
Tabla 1.1
Densidad p, módulo de elasticidad E, módulo transversal de
elasticidad G y coeficiente de dilatación lineal a para algunos
materiales.
Material
P
kg/dm
3
Fundición gris
Fundición templable
Acero, acero fundido
Aluminio
Plomo
Cobre
Bronce
Vidrio
Madera:
• en dirección de las fibras
• perpendicular a las fibras
7,2
7,4
7,85
2,7
11,35
8,96
8,4
2,4
0,7
0,7
E
N/mm
100
170
210
70
16
120
80
60
a
10" /°K
G
N/mm
2
2
000
000
000
000
000
000
000
000
40 000
68 000
80 000
27 000
6 000
47 000
31 000
24 000
11 000
8 000
5 500
6
10
10
12
24
29
17
18
8
0,4
5
-
Para esfuerzos mayores que <j la deformación aumenta m á s rápido que el esfuerzo
nominal. Entonces la recta se convierte en una curva de muy pequeña curvatura. Hasta el
límite de elasticidad ofe el material se comporta en forma completamente elástica. E s decir,
si se descarga la probeta, ésta recupera su forma y tamaño original. Apenas se sobrepasa
este valor de o se entra en el rango plástico del material. Ante una eventual descarga la
probeta ya no recupera su tamaño original. E n otras palabras, se producen deformaciones
permanentes (plásticas). Como se puede ver en el gráfico analizado, los valores de a y cr
no son claros en el diagrama. E s más, sus valores están muy cercanos uno de otro y no son
fácilmente medibles.
P
F
P
£
E l esfuerzo de fluencia <J sí es fácil de reconocer pues a ese nivel se produce una caída
brusca del esfuerzo. Durante la fluencia se produce gran deformación del material sin que
se eleve el esfuerzo. Una vez que ella termina es necesario aumentar la carga F para seguir
deformando el material hasta llegar al límite de rotura <j . A partir de este valor ya no es
posible elevar el valor del esfuerzo. Bajo una estricción (contracción) muy fuerte
disminuye el esfuerzo nominal hasta el límite de desprendimiento cr . E n la técnica este
valor no tiene significado práctico alguno.
F
B
z
E l esfuerzo de fluencia <j se denomina también límite de proporcionalidad
R y el límite
de rotura cr se denomina también Resistencia a la tracción R .
E n el caso de materiales para los cuales no se presenta el fenómeno de fluencia ( F i g . 1.5) y
que por consiguiente no presentan un claro límite de fluencia, es usual utilizar el límite de
deformación del 0,2% (CTOJ) en reemplazo del límite de proporcionalidad.
F
B
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e
m
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Pá2. 1-7
cr
-£
£•= 0.2%
Fig. 1.5
Diagrama esfuerzo-deformación para un acero de alto
contenido de carbono (no presenta fluencia).
1.4 Materiales dúctiles y materiales frágiles
E n función del comportamiento
clasificar a éstos en dos grupos:
de los materiales en ensayos de tracción, podemos
• Materiales dúctiles
» Materiales frágiles
Los materiales dúctiles sufren relativamente mayor deformación que los frágiles para los
mismos niveles de solicitación. Ello se nota en las gráficas de las figuras 1.6 y 1.7.
cr
Fig. 1.6
Gráficos a-spava material dúctil y material frágil
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E n general diremos que un material dúctil sufre una deformación mayor que el 5% al
momento de la rotura, mientras que en el frágil la deformación está muy por debajo de este
nivel. Por otro lado, en los materiales dúctiles se presenta la estricción antes de la rotura
final (ver F i g . 1.3c), mientras que en los frágiles la rotura se produce con deformación
transversal muy pequeña. E l fenómeno de la fluencia es característica de algunos materiales
dúctiles, como por ejemplo los aceros de bajo contenido de carbono.
Tabla 1.2
Resistencia a la tracción {a ) y esfuerzo de fluencia (of) de algunas
aleaciones ferrosas.
B
Materia]
° B
N/mm
Hierros fundidos grises
(DIN 1691)
Hierros fundidos
(DIN 1693)
Aceros fundidos
(DIN 1681)
Aceros de construcción
(DIN 17 100)
Aceros bonificabies
(DIN 17 200)
F
GG-15
GG-20
150 .. 250
200 .. 300
GG-25
250 .. 350
GG-30
300 .. 400
GG-35
350 .. 450
GTS-35-10
GTS-45-06
Fundiciones maleables
(DIN 1692)
cr (a )
2
350
450
0f2
N/mm
2
200
270
GTS-55-04
550
340
GTS-65-02
650
430
GTS-70-02
700
530
GTW-40-05
360 . 420
200 . . 230
GTW-45-07
400 .. 480
230 . . 280
GGG-40
GGG-50
370 .. 400
420 .. 500
240 . . 250
290 . . 320
GGG-60
550 .. 600
340 . . 380
GGG-70
650 .. 700
380 . .440
GS-38
GS-45
3 80
450
200
230
GS-52
5 20
260
GS-60
600
300
St 37-2
St 44-2
340 .. 470
410 .. 540
195 . . 235
235 . . 275
St 50-2
470 .. 610
255 . . 295
St 60-2
570 .. 710
295 . . 335
St 70-2
670 .. 830
325 . . 365
C 3 5 , Ck35
C 4 5 , Ck45
550 . . 780
630 . . 850
320 ..
370 ..
430
500
C 60 Ck 60
750 . . 1000
450 ..
580
34 Cr 4
700 . . 1100
460 ..
700
34 CrMo 4
700 . . 1200
750 . . 1300
450 ..
800
500 ..
900
900
:
42 CrMo 4
50 CrV 4
800 . . 1300
600 ..
30 CrNiMo 8
900 . . 1450
700 .. 1050
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-9
acero de alta resistencia
Gráficos a-e para diferentes materiales.
Fig. 1.7
E n las siguiente tablas se presentan algunas relaciones interesantes entre los parámetros de
resistencia de las aleaciones ferrosas.
Tabla 1.3
Parámetros de resistencia de aceros y hierros fundidos
sometidos a carga estática o cuasi-estática (a y op ó cr .2 según
la tabla \ .2,f según la tabla 1.4)
B
0
q
Material
Tipo de carga
Acero
Tracción
Os
cr
Compresión
c3
Fundición gris
0> (Ó Go.2)
os
<y p ~ Of
cr-fi *4 <J
& cr
B
c
B
°JB ~fq os
OjB ~fq &B
Flexión
Corte
z
Torsión
T ~ 0, 7 Cr
cB
lB
Tabla 1.4
B
?cB ~ Os
-
B
r
íF
~0,6 cjp
Factor de forma de s e c c i ó n /
Sección
z
~0,8 a
;
' para flexión estática
Sección
Sección
* 1,05
* 1,2
* 1,4
* 1,15
~ 1,2
* 1,5
" E l factor de fonna de sección para flexión estática es la relación a^lap (o también a¡ !cr ).
B
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B
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Cap. 1 Teorías de falla
1.5
Pág. 1-10
Criterios de falla
Hasta ahora se han visto algunos aspectos del proceso del cálculo de piezas de máquinas o
de estructuras por resistencia. Temas importantes como la evaluación de las cargas sobre
una pieza así como las fuerzas de reacción que originan y la determinación de fuerzas y
momentos de sección han sido tratados al detalle en el curso de Estática. Además, en un
curso introductorio de Resistencia de Materiales se analizaron los esfuerzos ocasionados
por un determinado tipo de carga individual (carga axial o torsión o flexión pura, por
ejemplo). E n esos casos los esfuerzos ocasionados podían ser relacionados directamente
con experimentos análogos para el mismo material. Tomando como base tal evidencia
experimental se aprendió a preveer, ciertamente con un cierto margen razonable de
exactitud, el comportamiento de las piezas con respecto al inicio de la fluencia o rotura de
una cierta pieza.
L a respuesta de un material al esfuerzo uniaxial o al esfuerzo cortante puro se puede
representar en un diagrama a-e. Sin embargo ello no será posible para el caso en que
debido a una solicitación compleja del elemento se origine un estado combinado de
esfuerzos, lo cual se presenta a menudo en los elementos de máquinas o de estructuras.
Habrá que establecer entonces criterios de comportamiento para esos casos para poder así
predecir la falla o no del elemento.
1.6 Definición de falla
U n elemento de máquinas o estructural falla, cuando deja de cumplir las funciones para las
cuales fue diseñado. A partir de esta definición se pueden establecer los siguientes tipos de
falla:
falla por resistencia
falla por deformación
e falla por estabilidad
E n la falla por resistencia se producen esfuerzos de tal magnitud que superan los límites de
resistencia del material. Estos límites están dados por la fluencia en materiales dúctiles y
por la rotura en materiales frágiles. Cuando se diseña un elemento de tal manera que en
ningún punto de él se alcance la resistencia límite del material se dice que el elemento se
calcula por resistencia.
cT
tr
para materiales dúctiles
F
R
(CT )
b
para materiales frágiles
E n la falla por deformación el elemento alcanza deformaciones que sobrepasan valores de
deformación permisibles aún sin haber alcanzado los límites de resistencia del material.
Cuando se diseña un elemento de tal manera que ésto no ocurra se dice que el cálculo es
por rigidez.
En la falla por estabilidad el estado de equilibrio del elemento alcanza un nivel de
inestabilidad tal que se produce un cambio brusco a un nivel de equilibrio más estable. Este
cambio v a acompañado generalmente de grandes deformaciones que hacen que el elemento
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Pág. 1-11
colapse. Ejemplos de ello son el pandeo de elementos esbeltos sometidos a compresión o la
abolladura de cilindros de paredes delgadas. Este tipo de falla será especialmente analizado
en el capítulo de pandeo.
1.7 Teorías de falla y esfuerzo equivalente
Hemos visto que las propiedades de resistencia (como cr y crf) se determinan a partir de
ensayos de tracción según D I N 50145 y por consiguiente están referidas a estados de
esfuerzo uniaxial. L a Fig. 1.8 muestra una pieza solicitada por una fuerza axial F. Se trata
de analizar un punto cualquiera del elemento para preveer si falla o no. E l esfuerzo de
tracción representado en ei elemento diferencial mostrado se puede comparar directamente
con un elemento diferencial de una probeta del mismo material sometida a tracción al
momento de la falla.
ñ
Fig. 1.8
Elemento sometido a carga axial.
L a comparación en este caso es directa y se puede afirmar, independientemente del
mecanismo real que causa la falla en el material, que mientras cr, sea menor que aiun no se
producirá la falla del elemento. Como conclusión se puede afirmar que un elemento
sometido sólo a tracción no falla si se cumple que el esfuerzo originado por la solicitación
axial no iguala al esfuerzo límite del material (el cual se determina a través de un ensayo de
tracción). E s decir, se debe cumplir que cr < cr .
t
Um
Ahora bien, el mismo razonamiento nos llevaría a afirmar que un elemento sometido sólo a
torsión (Fig. 1.9) no fallaría si el esfuerzo de corte producido en el punto más solicitado de
la sección no iguala al esfuerzo de corte límite del material (el cual se determina en un
ensayo de torsión para una probeta del mismo material del elemento). E s decir, r < i
.
t
Fig. 1.9
L m
Elemento sometido a torsión. E l elemento diferencial representa a un
punto cualquiera de la superficie del elemento, el cual está sometido al
máximo esfuerzo de corte que aparece en el elemento.
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Pág. 1-12
Sin embargo en la mayoría de los casos prácticos de la técnica se presentan mas bien
solicitaciones combinadas que originan estados de esfuerzos complejos en los que se
tienen, en general, esfuerzos normales debidos a carga axial, esfuerzos debidos a flexión,
esfuerzos de corte debidos a torsión y esfuerzos de corte longitudinal. Ahora bien, la
pregunta es: cómo podríamos preveer si un tal elemento falla o no?. E n otras palabras:
cómo podríamos relacionar un estado general de esfuerzos con los resultados de un ensayo
de tracción para predecir la falla o no del elemento?.
Para ilustrar esta última cuestión analizaremos la pieza de la F i g . 1,10. E n ella el elemento
está solicitado por una carga F. E n un punto cualquiera del elemento, como el mostrado, se
produce un estado plano de esfuerzos.
F
F
Fig. 1.10 Pieza bajo la acción de carga flexionante, a) un punto cualquiera como el
mostrado está sometido a estado de esfuerzo plano, b) el mismo estado de
esfuerzos representado por los esfuerzos principales.
Está claro que este estado de esfuerzos (Fig. 1.10a) es diferente al estado uniaxial de
esfuerzos que se produciría en una probeta del mismo material, por lo tanto, una
comparación directa ya no es posible. Sabemos que para el punto analizado es posible
hallar los esfuerzos principales que representan un estado equivalente de esfuerzos (ver
Fig. 1.10b). Sin embargo, y a pesar de la simplificación efectuada, tampoco es posible una
comparación directa con el estado uniaxial de esfuerzos de la prpobeta a tracción. Entonces
se hace necesario establecer criterios referentes al mecanismo real de falla del material,
para a través de ellos, comparar un estado general de esfuerzos con el estado de esfuerzos
en la probeta. E n la Fig. 1.11 se muestra en forma esquemática el camino de solución para
resolver el problema planteado y que permite hacer la comparación de ambos estados de
esfuerzos en el material.
(b)
(c)
Fig. 1.11 Obtención del esfuerzo equivalente a partir del estado general de esfuerzos:
a) Estado general de esfuerzos, b) esfuerzos principales y c) esfuerzo equivalente.
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Páe. 1-13
E l paso del estado general de esfuerzos (Fig. 1.11a) al estado triaxial representado por los
esfuerzos principales (Fig. 1.11b) ha sido ya estudiado en el primer curso de Resistencia de
Materiales y a manera de repaso se resumirá el procedimiento para hallar dichos esfuerzos
principales. Sea S la matriz que representa al tensor estado general de esfuerzos:
T
T
xy
xz
s =
(1
T
x
:
Entonces, los valores propios de esta matriz S son los esfuerzos principales, mientras que
los vectores propios son las direcciones principales. E n general se debe cumplir que:
(S-crE)
n = 0
(1.2)
donde E es la matriz unidad, a es uno cualquiera de los esfuerzos principales y n es la
matriz columna que representa al vector dirección principal correspondiente.
\S - cr E_\ = 0
Para que no haya solución trivial:
CT*
es decir:
T
xy
CT
-
T
CT
yx
r_„
?x:
i
r
-
.- a
yz
r.„
0
(1.3)
a _ - cr
E l desauollo de este determinante da lugar a una ecuación polinómica de tercer grado
denominada ecuación característica:
a
3
- I, cr
+ E
2
donde:
=
0
(1.4)
CT„ + CT.
X
/,
cr - L
" V
= CT CT + CT CT_ + CT CT. -
°x
T
xy
T
x:
*yx
cr
r
r_,.
r_
cr.
y
T~
y :
Los coeficientes I¡, 12 e ^3 son las denominadas invariantes del tensor esfuerzo. Las raíces
de la ecuación característica son reales (pues la matriz S es simétrica) y constituyen los
esfuerzos principales cr\ , cri y 03 , los cuales aplicados uno a uno a la ecuación (1.2)
detemiinan las correspondientes direcciones principales ñ , i¡ y ñ~.
x
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2
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-14
E l paso del estado triaxial (Fig. 1.11b) al de un estado "equivalente" uniaxial (Fig. 1.11c)
no es posible en forma analítica. L a única manera de hacerlo es a través de suposiciones
sobre el mecanismo real de falla. Estas suposiciones han sido presentadas por diferentes
grupos de científicos y se conocen como teorías o hipótesis de falla.
Debe estar claro que el esfuerzo equivalente cr , sea cual fuere la teoría de falla utilizada,
estará en función de todas las componentes del estado general de esfuerzos:
eq
CT = cT (CT , cT , ¿J , r , T
eq
o lo que es lo mismo:
cr
sq
eq
X
= ex ( a i ,
eq
y
CT ,
2
z
x y
y z
,T )
(1.5)
xz
03)
(1.6)
Ahora sí es posible una comparación directa entre el estado de esfuerzo "equivalente"
uniaxial y el de la probeta al momento de producirse la falla. Entonces podemos decir que
no se producirá la falla del elemento si garantizamos que
Ceq (CT CT , CT ) < c T
U
2
3
(1.7)
Lim
Como cualquier hipótesis en la ciencia de la mecánica de los materiales, ninguna de las
hipótesis de falla es de aplicación universal y mas bien encuentran sus propios campos de
aplicación en función del tipo de material. Algunas darán mejores resultados, es decir,
resultados más cercanos a la realidad, cuando sean aplicadas a materiales dúctiles y otras
serán más convenientes de usar para preveer la falla de materiales frágiles.
No es objetivo de este capítulo mostrar todas las hipótesis de falla existentes, si no mas
bien las más utilizadas en la mecánica aplicada:
» Para materiales dúctiles:
-
•
- Teoría del m á x i m o esfuerzo normal (Rankine)
- Teoría de Mohr
1.7.1
Para materiales frágiles:
Teoría del m á x i m o esfuerzo cortante (Tresca)
Teoría de la m á x i m a energía de distorsión (von Mises)
T e o r í a del m á x i m o esfuerzo cortante (Tresca , Guest & Mohr)
! )
Esta teoría fue aparentemente propuesta por C . A . Coulomb en 1773. Sin embargo fue H .
Tresca quien la mencionó formalmente en 1868 de la siguiente manera.
2 )
"Un material falla cuando el esfuerzo cortante máximo resistente iguala el valor
esfuerzo cortante de una probeta sometida a tracción en el momento de la fluencia"''.
del
Este criterio se basa en la observación de que la fluencia en los materiales dúctiles es
causada por el deslizamiento a lo largo de superficies oblicuas y se debe primordialmente a
esfuerzos cortantes.
Charles Augustm Coulomb (1736 - 1806), científico francés.
Henry Tresca presenta en 1868 su trabajo acerca del flujo de metales a grandes presiones ante la
Academia Francesa y allí menciona por primera vez su famosa teoría.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-15
Caso de estado uniaxial de esfuerzos
L a Fig. 1.12a muestra una pieza sometida a carga uniaxial, el cual sería el caso de una
probeta sometida a ensayo de tracción. Si analizamos una sección cualquiera del
elemento que forme el ángulo <p con una sección transversal (Fig. 1.12b) obtendremos
las siguientes fuerzas de sección:
F\¡ = F eos <p
F = F sen cp
y
9
FK
F
F
5
F
F
T
Area transversal A
\.
,,,
,,
Area oblicua A{(p) •
A
(b)
COS(p
(a)
Fig. 1.12 a) Elemento sometido a tracción, b) Fuerzas internas en una sección oblicua.
A esas fuerzas internas corresponden los siguientes esfuerzos:
=
r{(p)
L 7 T T = — eos
A{(p)
A
F
= ——
A((p)
(1.8)
^
F
= —sen<p eos(p
A
(1.9)
Si llamamos cío al esfuerzo normal en una sección transversal {cp =0) entonces:
F
Utilizando las relaciones trigonométricas
1 + cos2</?
eos" <p =
sen cp eos cp
obtenemos de (1.8) y (1.9):
cr(<p)
(1 + c o s 2 f )
r(cp)
sen 2 <p
sen 2<p
(1.10)
L a Fig. 1.13 muestra las gráficas de G~((p) y r((p) en función del ángulo cp . Los valores
extremos de esfuerzo cortante se presentan correspondientemente en planos que forman
45° con el eje longitudinal del elemento. De la expresión ( L I O ) se observa que dichos
valores son: r„
2
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-16
(T((p) T((p)
— —
Esfuerzo normal a{(p)
— E s f u e r z o de corte z(<P)
9
Fig. 1.13 Gráficas de a{(p) y i(<p) en función del ángulo cp.
E n el caso de un elemento sometido a carga axial de compresión se presenta la misma
característica respecto de la influencia del esfuerzo cortante en planos oblicuos a 45° del
eje longitudinal de la pieza (ver Fig. 1.14).
Fig. 1.14 Falla de un elemento sometido a carga axial de compresión.
Esto se puede ver de otra manera si usamos el círculo de Molrr para representar los
esfuerzos en el punto analizado del elemento sometido a tracción (Fig. 1.15).
r
r
t
= °"
i
max
2
^90°
0
V
: 90°
2
Fig. 1.15 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en un punto
cualquiera de un elemento sometido sólo a tracción.
E n dicha figura se puede notar que si rotamos 90° en sentido horario o antihorario en el
círculo de Molrr respecto del eje que representa al eje longitudinal de la pieza (eje de las
abscisas), o lo que es lo mismo, si giramos 45° en uno u otro sentido respecto del eje
longitudinal de la pieza analizada, estaremos ante un estado de esfuerzos equivalente en
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-17
el que el esfuerzo cortante es justamente el máximo que se podría alcanzar, es decir.
±oo/2. Ello coincide con el análisis realizado anteriormente.
Ahora bien, a partir de las observaciones realizadas, podríamos expresar con cierta
justeza que en los materiales dúctiles los esfuerzos cortantes juegan un papel importante
en el mecanismo que ocasiona la fluencia. Entonces, sea cual fuere el estado de
esfuerzos a que está sometido un elemento de material dúctil, la teoría del máximo
esfuerzo cortante dice que para que no falle el elemento, el m á x i m o esfuerzo cortante no
debe igualarse con el máximo esfuerzo cortante que actúa en una probeta del mismo
material al momento mismo de ocurrir la falla, es decir, al momento de iniciarse la
fluencia. E l siguiente paso será la determinación de este esfuerzo. L a Fig. 1.16 muestra
el círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en la probeta de tracción al
momento de iniciarse la fluencia.
2
- cr
0
2
Fig. 1.16 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en un punto
cualquiera de una probeta de tracción al momento de alcanzar la
fluencia.
De dicho círculo se ve claramente que el esfuerzo de corte m á x i m o a! momento de la
fluencia es:
r
F
= ^
(1.12)
2
o Caso de estado general de esfuerzos
Y a hemos visto que independientemente de cualquier hipótesis de falla y gracias a una
simple transformación de coordenadas, un sistema general de esfuerzos puede ser
representado por un estado triaxial de esfuerzos en el que solamente actúan los tres
esfuerzos principales según las direcciones principales correspondientes.
L a tarea que nos podemos plantear a continuación sería la de evaluar el esfuerzo
cortante máximo que se originaría en el caso del estado triaxial de esfuerzos. Para ello
tendremos que distinguir los diferentes casos que se derivan del signo de los esfuerzos
principales.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-18
- S i en > o? > cr > 0
(ver Fig. 1.17)
3
r
Fig. 1.17 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el
caso en que o"] > a > cx > 0.
2
3
Para que no ocurra la falla, según la T M E C :
E s decir:
-
S i ai <
<JI_ <
Fig. 1.18
x
a - a
1
en < 0
- — — — < rp =
2
max
< <J
3
2
(i)
f
(ver Fig. 1.18)
Círculo de Molrr que representa el estado de esfuerzos triaxial para
el caso en que 03 < a < cr, < 0.
2
Para que no ocurra la falla, según la T M E C :
Es decir:
-
cr -cr
]
3
3
según la T M E C , para que no ocurra la falla:
F
=———
< xy = °"
2
2
<a
S i 01 > cr? > ai donde cr! > 0 y cr < 0
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x
(U)
F
(ver Fig. 1.19)
z"
max
= — — — < TF = ° "
F
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C a p . 1 T e o r í a s de f a l l a
Pág. \-\9
Fig. 1.19 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el
caso en que a > a > a- y oj y cr tienen diferentes signos.
í
2
:
3
cr, - cr, <
E s decir:
Las expresiones (i), (//') y (iü) se pueden generalizar en una sola:
a
x
- a ,
<
cr
(1.13)
F
Si es que ahora observamos nuevamente la Fig. 1.11c y recordamos las consideraciones
que nos llevaron a la expresión 1.7. podemos concluir que para el caso del estado
general de esfuerzos y según la T M E C :
cr
(1.14)
= cr, - o\
donde <T\ > cr? > tr para cualesquiera signos de <j\, a-i y 0 5 .
3
Estado plano de esfuerzos
(cr = 0)
3
Aquí consideraremos dos casos para el análisis, de acuerdo a los signos de los esfuerzos
<j\
y
-
S i cTi v cr? tienen el mismo signo
ai.
E n la Fig. 1.20 se ve claramente que el
esfuerzo cortante máximo es:
Según la F M E C la falla no se produce
Fig. 1.20 Círculo de Mohr para estado plano de
esfuerzos: cr¡ y a tienen el mismo
siano.
<
si:
2
E s decir:
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Oí < CTF.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pás. 1-20
Si consideramos que c? podría ser mayor que a i , entonces se tendría que cumplir
que:
r
max
~
2
(72 < Of.
"~
L a condición de no-falla para ambas posibilidades será: <j\ < O F A 0 2 < crp
(1.15)
Ahora viene la posibilidad adicional de que ambos esfuerzos principales <j\ y rj? sean
negativos, por lo cual tendremos que reescribir la expresión 1.15 para que quede en
ella la consideración de esta última posibilidad:
cr < crp
1
A
cr < crp
(1.16)
2
Si en y cr? tienen diferente signo
E n la F i g . 1.21 se ve que el esfuerzo
cortante m á x i m o es:
|cr,! + |cT,
Según la T M E C , la falla no se produce
si:
|cT,| + |cT |
n-
?
9
Fig. 1.21 Círculo de Mohr para estado plano de
esfuerzos: <j\ y <T tienen diferente
2
<
cr, + IcrJ < a?.
E s decir:
(1.17)
signo.
Si graneamos las relaciones (1.16) y (1.17) en un plano o"i vs. o? (Fig. 1.22)
obtendremos el denominado hexágono de Tresca.
<Tl
Fig. 1.22 Criterio de fluencia basado en la teoría del máximo
esfuerzo cortante o de Tresca.
Si el punto que representa un estado cualquiera de esfuerzo plano ( a ) , 0 2 ) está dentro
del hexágono de Fresca, se interpreta como que el elemento no fallará.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-21
Ejemplo 1.1: Aplicación para el caso de estado plano de esfuerzos en que actúan cr y r .
x
E n este caso
T
7
=
/
1
No hay falla si
2
Por consiguiente:
1.7.2
max
9
max
.
2
cr
F
+
cr
+4 r
4
xy
V
~ < cr,.
(1.18)
CT
eq
Teoría de la máxima energía de distorsión (von Mises , Hencky y Huber)
Esta teoría se basa en conceptos de energía de deformación. L a energía elástica total de
deformación se puede dividir en dos partes: una relacionada con los cambios volumétricos
del material, y otra que causa distorsiones por corte. A partir de ello se hace el siguiente
enunciado, que constituye el criterio de falla de von Mises:
" L a falla se produce si el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen del
material es igual a la energía de distorsión por unidad de volumen requerida para causar
fluencia en una probeta de prueba a tracción del mismo material".
E l siguiente paso será, por consiguiente, evaluar la energía de distorsión para el estado
general de esfuerzos. E l tensor esfuerzo correspondiente a los tres esfuerzos principales se
puede descomponer en dos tensores:
l
0
0^
0
O",
0
0
0
donde
0
0^
= 0
CT
0
lo
0
CTJ
(a
_
cr,+(7,+er,
cr =
=
' t 7 , - CT
+
0
l o
0
0
cr, - ( T
0
0
^
(1.19)
CT -CT)
3
es el denominado tensor hidrostático medio.
E l primer tensor está relacionado directamente a la dilatación del cubo elemental en estudio
y por ello se le llama tensor esfuerzo dilatacional. E l segundo tensor está relacionado a la
distorsión del elemento y recibe el nombre de esfuerzo distorsional o desviatorio. De
acuerdo a lo dicho podemos dividir la energía total de deformación elástica en dos partes:
la relativa a la actuación del esfuerzo dilatacional y la relativa al esfuerzo distorsional.
Litoral
—
C-'dilat + L>'dist
(1.20)
En realidad fue el italiano E . Beltrami, quien en 1885 intentó utilizar la energía total de deformación como
criterio de fluencia. En 1904. el polaco M.T. Huber propuso la teoría en su forma actual y posteriormente
frieron el alemán R. von Mises (1913) y el americano H. Hencky (1925) quienes la desarrollaron y
explicaron más a fondo.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-22
Evaluación de la energía total:
=
U
(T
£
~^( i
lota¡
+
\
L a ley de Hooke generalizada establece que:
2
a
£
+ c r
i
£
L21
3 i)
£ =—
E
( )
— (cr + < X )
E
Y
2
3
Reemplazando estas tres expresiones en la de energía total (1.21) y ordenando se obtiene:
t/total =
TTffW
+
a
2
+ ^ S ) - - ^ ( ^ 1 ^ 2 +CT CT +CT CT )
Z
2
2
3
1
(1.22)
3
L a energía por cambio de volumen se puede evaluar reemplazando en la ecuación 1.22 los
términos a i , CT y 03 por el valor del esfuerzo hidrostático medio a :
2
3(l-2v)_
^mia,
=
\-2v,
2
,
2
= -T7r( i+V2+°3)
a
n
(7
r
2E
d-23)
oE
L a energía de distorsión la podemos evaluar simplemente restando la expresión (1.23) de la
(1.22) y recordando de (1.7) que G = E I 2 ( l + v):
U
d¡5¡
= -1—
12 Cr
[(cr, - C T )
2
2
+(cT -CT3)
+(cr
2
2
- O",) ]
2
3
(1.24)
1
U = — - cr,'
6G
Para el caso de tracción pura (cr = 03 = 0) la energía de distorsión será:
2
d
Por consiguiente, en el instante de la fluencia la energía de distorsión será:
V =-7 ;<T
L
dF
?
2
(1-25)
F
OCr
Según la T M E D o de von Mises, no se produce falla si:
U
dlst
=
— ~ ; [ ( C T ,
-cr )
2
2
+ ( c r -c> f
2
3
2
+ (a -cr ) ]
3
< U
l
dF
12 Cr
2
=
cr
O
Cr
o lo que es lo mismo, si se cumple que:
2
(cr, - Q Y +{cr -cr )
:
ij
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2
3
2
+(cr -cr )
1
3
< cr .
F
(1.26)
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Pág. 1-23
Cap. 1 Teorías de falla
Si es que observamos nuevamente l a F i g . 1.11c y la expresión (1.7), podemos concluir que
para el caso del estado general de esfuerzos y según la T M E D :
•
Estado plano de esfuerzos
(a¡ = 0)
L a energía de distorsión será según (1.24) es:
1
U ,
dis
6G
,
(cr," - <J <y + a
x
2
2
2
)
Según von Mises, la condición de "no falla" es:
1
o
1
6G
oG
E s decir:
-Ja^ + a
y por consiguiente:
cr
- cr cr
2
= ^¡cr
l
¡
< cr
2
(1.28)
F
+a '-cr a
2
]
(1.29)
2
Si graneamos la relación (1.28) en un plano <j\ vs. CT (Fig. 1.23) obtendremos la
denominada elipse de von Mises. S i un punto que representa un estado cualquiera de
esfuerzo plano (cñ, cr ) está dentro de la elipse, diremos que el elemento, según von
Mises, no fallará.
2
2
Fig. 1.23 Criterio de fluencia basado en la teoría de la máxima
energía de distorsión o de von Mises.
A continuación se presenta un ejemplo de aplicación de está teoría, muy común en
elementos de máquinas como ejes de transmisión de potencia, en que se presentan
esfuerzos normales debidos a flexión y esfuerzos de corte debidos a torsión.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-24
Ejemplo 1.2: Aplicación para el caso de estado plano de esfuerzos en que actúan cr y r .
x
xy
E n este caso <T =0 y según (1.28) la condición de "no falla" será:
3
a
—
2
CT
1
cr
<
2
a
F
Recordando la teoría del círculo de Mohr (Fig, 1.24) para la determinación de los esfuerzos
principales:
1
cr, = — + - , / c r " +4 r
L
cr, =
Reemplazando o\ y <r en la condición de
no falla se obtiene:
2
Fig. 1.24 Círculo de Mohr para estado plano de
esfuerzos en que actúan <T y T .
x
1.7.3
XY
E s decir:
Teoría del máximo esfuerzo normal
cr
(Rankine
}
2
2
=
JCT~+3T
(1-30)
)
Según esta teoría "/a falla se produce cuando el esfuerzo normal máximo alcanza el
esfuerzo límite del material obtenido en un ensayo de tracción". Por consiguiente, para
aplicar este criterio sólo se debe determinar el mayor de los esfuerzos principales.
Los resultados experimentales indican que esta teoría arroja buenos resultados para
materiales frágiles. E n dicho caso el esfuerzo límite corresponde al esfuerzo de rotura.
« Estado triaxial de esfuerzos
-
S i cT] > cr? > CT > 0
-
Si 05 < tT < en < 0
-
Si
no falla si G\ < cr
3
2
(Ti
> cr? > cr ,
3
¿Ti >
=>
Rt
no falla si ¡cr | < O R
3
0, cr < 0
3
c
=>
cr = o\
(1.31)
=>
creq=|cr |
(1.32)
=> no falla si ai < cr
=>
CT
eq
= Ti
V
CT
eq
Rt
eq
3
A
¡<r j < <r
= ICT3 i
3
Rc
(1.33)
W.J.M. Rankine (1820 - 1872), científico británico.
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•
Pág. 1-25
(03 = 0)
Estado plano de esfuerzos
-
S i <7\ y (72 positivos
-
S i <7\y 02 negativos
-
Si
CT\
y
02
=>
=>
de diferente signo
no hay falla si
no hay falla si
=>
o\ < cr A cr < cx
Rt
W \ < tr
2
Rc
Rt
A jtrj < cr
no hay falla si: CT¡ < tr
o si:
2
Rt
CT < cr
2
Rt
Rc
A
ÍCT |
A
¡CTj¡ < cr
2
<
CT
R C
Rc
De manera análoga a las otras teorías descritas, si graneamos estas relaciones en un
plano <7\ vs. <r obtendremos el polígono mostrado en la F i g . 1.25. S i un punto que
representa un estado cualquiera de esfuerzo plano ( 0 1 , tr ) está dentro del polígono,
diremos que el elemento, según esta teoría, no fallará.
2
2
Ofct
-OR
C
0
Fig. 1.25 Criterio de falla para materiales frágiles basado en la
teoría del máximo esfuerzo normal.
1.7.4
Teoría de Mohr
1
Primero se realizan diferentes experimentos con probetas de material frágil: una prueba de
tracción, una de compresión y una de corte puro. Si graneamos los círculos de Mohr que
representan cada uno de los experimentos mencionados al momento de la rotura,
obtendremos la figura 1.26. E s lógico pensar que cualquier círculo de Mohr que está dentro
de alguno de los tres círculos dibujados representará un estado de esfuerzos que no causa
falla (en este caso rotura) en el material. Mohr establece que una evolvente a dichos
círculos definirá una evolvente de falla. E s decir, los círculos tangentes a dicha evolvente
definen a su vez los valores de tj\ y CT> para los cuales se produce la condición de falla.
Orto Mohr (1835, Wesselburen ; Holstein - 1918, Dresden), ingeniero alemán.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-26
r
Si graneamos los puntos (cr\, 02) que representan a estos círculos entonces obtendremos el
polígono de falla para la teoría de Mohr (Fig. 1.27)
°2
- ex,
0
-ORC
Fig. 1.27
Criterio de falla para materiales frágiles basado en la
teoría de Mohr.
E n la práctica se suele reemplazar las partes curvas referentes a la evolvente de Molrr con
rectas. A l gráfico resultante se le denomina polígono simplificado de la teoría de Mohr.
CT
2
°Rt
0
-ORC
Fig. 1.28
l
OR,
Criterio de falla para materiales frágiles basado en la
teoría de Mohr modificada.
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-27
1.8 Incertidumbre y factor de seguridad
Siempre que se hace el cálculo de algún elemento se tiene la incertidumbre de si va a
cumplir su función tal como se espera que lo haga. Entre otras preguntas que uno se puede
hacer están las de: ¿resistirá?, ¿se deformará excesivamente?.
E l motivo de estas preguntas radica en algunas dudas, tales como:
•
•
•
•
•
•
¿tendrá el material la resistencia que se especifica en el catálogo o la norma?
¿se hará el tratamiento térmico en forma adecuada?
¿será correcta la teoría aplicada?
¿se presentará alguna sobrecarga?
¿habrán vibraciones?
¿se está asumiendo lo correcto al no poder evaluar exactamente alguna carga?
1.8.1 Incertidumbre en eí diseño
•
Debido a los métodos de análisis: Todos los métodos de diseño están basados en ciertas
hipótesis simplificatorias. Los esfuerzos calculados son sólo aproximaciones a las
reales.
•
Variaciones en las propiedades del material: L a composición, resistencia y dimensiones
de los materiales están sujetas a pequeñas variaciones en su manufactura.
.
Tipo de carga: No se conoce con exactitud tipo de carga (son aproximaciones). Se
requiere tener en cuenta efectos dinámicos (entre impacto y aplicación progresiva o
estática de la carga).
•
Tipo de falla: Los materiales dúctiles sufren deformaciones considerables que dan aviso
antes de la falla, mientras que ios materiales frágiles fallan súbitamente, sin advertencia.
L a falla por inestabilidad o pandeo es repentina. Cuando existe posibilidad de falla
súbita debe usarse mayor factor de seguridad.
•
Mantenimiento y condiciones ambientales: Desgaste y corrosión son difíciles de
controlar. Operación en temperaturas distintas a las normales (dilataciones, esfuerzos,
enfriamientos, fragilidad).
.
Efecto de maquinado y proceso de conformación: Pueden introducir efectos
concentración de tensiones; tratamientos térmicos mal efectuados.
.
Efecto del tamaño en la detenninación de propiedades: Las tablas de propiedades (a
menos que se indique otras condiciones) listan valores para especímenes de tamaño
normalizado; componentes m á s grandes pueden fallar a esfuerzos menores, como en la
solicitación cíclica (fatiga).
•
Riesgo para la vida y propiedad.
Pontificia Universidad C a t ó l i c a del P e r ú
de
S e c c i ó n I n g e n i e r í a M e c á n i c a - Área de D i s e ñ o
Pág. 1-28
Cap. 1 Teorías de falla
Para tomar en cuenta estas fuentes de incertidumbre se introduce el factor de seguridad
(FS). Basándose en la práctica, en cada rama de las diversas disciplinas de ingeniería, se
sientan métodos y exigencias de acuerdo a las cuales se señalan factores de seguridad
recomendados o directamente esfuerzos admisibles.
1.8.2 Factor de seguridad:
Con el Factor de Seguridad (FS) se tratan de cubrir las dudas o incertidumbre que se
presenten durante el cálculo. Se define como una relación numérica de la siguiente manera:
el factor de seguridad existente es la relación entre el esfuerzo límite del material y el
esfuerzo de trabajo a actuante. Este último corresponde, en general, al esfuerzo equivalente
calculado a través de alguna teoría de falla adecuada. E s decir:
(1.34)
(a)
e
1
T
(b)
Fig. 1.29 Margen de seguridad para los casos de: a) material dúctil y b) material frágil.
Esto último significa que si estamos dimensionando un cierto elemento, dado un cierto
factor de seguridad mínimo que debe tener la construcción, el esfuerzo equivalente en el
punto más crítico será tal que a lo m á s :
0 ' e
G
q
q
l.,mL
= ^
(1.35)
FS
E n la práctica bastará realizar el dimensionamiento de tal manera que
cr
eq
<
a
(1.36)
FS
Si definimos esfuerzo admisible (cr )
Ac¡m
como:
[c7
a,
donde
FS
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cr
Lim
si material dúctil
F
=
(1.37)
I ^ R f ^ R c
si material frágil
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-29
Entonces, al diseñar un elemento por resistencia se debe cumplir que:
^
^
=
^
T
I
(1-38)
Relación fundamental para el
diseño por resistencia
Como se dijo anteriormente, el Factor de Seguridad de esta expresión se da por
recomendación o por experiencia y en algunos casos (elevadores de personal, estructuras,
calderas, recipientes de fluidos a alta presión) son determinados por las normas de diseño y
construcción correspondientes.
Mayormente se conocen, para diversos materiales, resultados de ensayos de tracción, por lo
que para solicitaciones diferentes a tracción, se pueden utilizar las relaciones aproximadas
mostradas en la tabla 1.5. E n todo caso, si se tienen datos m á s exactos, se deben preferir
éstos (ver tablas anexas A y B al final del texto).
Tabla 1.5
Relaciones aproximadas con respecto al esfuerzo admisible para tracción (cr Adm) para
esfuerzos admisibles para diferentes tipos de solicitación estática.
t
[ R e í : Roloff/'Matek, Maschinenelemeiite, E d . Vieweg. Braunschweig/Wiesbaden, 1994]
Material
dúctil
Tipo de solicitación
Tracción
Aceros,
aceros
fundidos,
aleaciones
de cobre
frágil
Fundición maleable
Aluminio,
aleaciones
de aluminio
Hierros
fundidos
cr • -
0~tAdm
j
Compresión
a
~
0¡ Adm
flexión
(JíAdm
~
CT, Adm
T
*
0-8
»
0,65 cr,
Corte
i
c A d m
F2 a; _!/,„
£
CT, Adm
T „,
Combinada
cr „, «
cAd
Ad
Adm
l,2(7, Adm
M
1
Allm
0,7 CT ,4dm
R
l,5cr
CT, Adm
1
u
Adm
CT,Adi>:
l,2cx,
A d m
-
i
|
CT, Adm
l Aam
i
O?
2 CJ, Adm
lAdm
CT, Adm
0)8cT ¿„,
0¡Adm
í
Torsión
[ 2,5 cr,
negra
^
FS
l A a m
ró
cMm
blanca
CT, Adm
cr,
J
cr,
Adm
Adm
E n cuanto a los valores de FS recomendados para la tabla anterior se tiene lo siguiente:
FS = 1.2 ... 1.8
FS - 1,5 ... 3
Seguridad a la fluencia
Seguridad a la rotura
Notar que para el caso de esfuerzos combinados, el esfuerzo equivalente se debe comparar
con el esfuerzo admisible para tracción
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(cr ¡ ).
!Ac
m
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Cap. 1 Teorías de falla
Páe. 1-30
Lógicamente en la literatura especializada se pueden encontrar muchas más
recomendaciones, como por ejemplo la que hace Joseph Vidosic "Machine Design
Projects", The Ronald Press, New York, 1957, y que se muestra en la tabla 1.6.
Tabla 1.6
Factores de Seguridad recomendados para la construcción de maquinaria.
Factor de
Seguridad
FS
Observaciones
1
1,25 ... 1.5
Para materiales excepcionalmente confiables usados bajo
condiciones controladas y sujetos a carga y esfuerzos que
pueden determinarse con exactitud. Una consideración muy
importante es que casi siempre se usan para pesos pequeños.
2
1,5 ... 2
Para materiales bien conocidos, para condiciones de medio
ambiente razonablemente constantes y sujetos a carga y
esfuerzos que puedan calcularse con facilidad.
2 ... 2,5
Para materiales promedio que trabajen en condiciones de
medio ambiente ordinarias y sujetos a cargas y esfuerzos
que puedan calcularse.
4
2,5 ... 3
Para materiales poco experimentados o para materiales
frágiles en condiciones promedio de medio ambiente, carga
y esfuerzo.
5
3 ... 4
Para materiales no experimentados usados para condiciones
promedio de medio ambiente, carga y esfuerzo.
6
3 ...4
Deberá también usarse con materiales mejor conocidos que
vayan a usarse en condiciones ambientales inciertas o
sujetos a cargas y esfuerzo inciertos.
Caso
7
Cargas repetidas: son aceptables los factores indicados en
los puntos 1 al 6 pero debe aplicarse el límite de rotura por
carga cíclica o esfuerzo de fatiga en lugar del esfuerzo de
fluencia del material
8
Fuerza de impacto: son aceptables los factores dados en los
puntos 3 al 6, pero deberá incluirse un factor de impacto.
9
Materiales frágiles: si se considera a la resistencia máxima
( O R ) como la máxima teórica, los factores indicados en los
puntos 1 al 6 deberán multiplicarse por 2.
10
Para el caso deseable de tener factores elevados, deberá
efectuarse un análisis muy completo del problema antes de
decidir sobre su uso.
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Cap.l Teorías de falla
Pág. 1-31
Ejemplo 1.3: L a figura muestra el árbol de una máquina que se encuentra apoyado sobre
los cojinetes A y B y lleva un engranaje cónico de dientes rectos y una rueda
cilindrica de dientes rectos. L a rueda cilindrica es accionada por la fuerza
tangencial F la cual le es transmitida por su respectivo piñón (no
mostrado). L a potencia transmitida es 12 k W a una velocidad de 1450 R P M .
h
•
•
•
•
•
a)
b)
c)
E l árbol es de acero 42 CrMo 4.
Diámetro primitivo de la rueda cilindrica: 90 mm.
Semiángulo del vértice del cono: 5 = 20°
Angulo de presión de todas las ruedas:
a- 20°.
E l apoyo B soporta toda la carga axial ejercida por el piñón cónico sobre el árbol.
Dibujar diagramas acotados de fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos
torsores para el árbol.
Calcular el diámetro d necesario en la sección 1 para un FS = 2. Utilizar el criterio de
von Mises.
Calcular el factor de seguridad en la sección 3 sabiendo que su diámetro es también d.
Solución:
Diagrama de fuerzas y momentos sobre el árbol:
80
•
100
70
Fuerzas en los engranajes cilindricos (entrada de la potencia al árbol):
E l torque transmitido por el árbol será:
Además, en el engranaje mayor:
donde:
despejando:
L a fuerza radial será:
M =—=
co
2TT
^ = 7 9 N-m = 79000 N-mm
• 1450
M, - F • ~
r
F es la fuerza tangencial en la rueda
D es el diámetro primitivo de la rueda
t
">M
2-79000
'- =
D
90
F=F.tan
20°
F=
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—>
F =1756,2 N
—>
F =639.2 N
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Cap.l Teorías de falla
Pág. 1-32
Fuerzas en los engranajes cónicos:
E n el piñón cónico:
M,=F -—^-
donde: F
m
es la fuerza tangencial,
m
es el diámetro medio del piñón.
D
tm
Entonces:
2-M,
=•
F
F
2-79000
50
c
Fm, = „n
tan20°cos20
F =F
toz20°sen20
->
F =1975 N
->
F
h
c
=675,5 N
F=
245,8 N
9,83-675,5-0,08 +it -0,1-1756,2-0,17 = 0
i?
- 675,5-/^-/^+1756,2 =0
/v^_ =-2346,9 N
I A 4 ( = 0 : -»
1975 • 0,08 + fl -0,1 + 639,2-0,17 = 0
/ t ^ =-2666,6N
2F
-1975 + ^ + ^ - 6 3 9 , 2 = 0
am
tm
am
Cálculo de las reacciones en los apoyos^ y B:
2F
IM
V
= 0:
> v 4
= 0 : ->
I F = 0:
V
->
= 0:
->
->
£ . = 245,8 N
S
T
Sz
flv
í 2
= 3427,6 N
= 4002,4 N
A/.
70
1671,4
DFC (plano xz)
•675,5 N I
-1756,2
DMF (plano xz)
9,8 N-m
2027,4
' '
DFC (plano xy)
44,7
DMF (plano xy)
158 N-m
79 N-m
DMT
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a)
Páe. 1-33
Análisis de la sección 1:
Las fuerzas internas en esta sección son:
Fuerza normal:
F= 312,97 N
momento
M
flector:
3
3
= -•' (158-10 )- +(44,2-10 )
f
2
->
3
M
f
= 164 -10 N-mm
3
momento torsor:
M, = 79 N-m = 79-10 N-mm
fuerza cortante:
V - • 167.4 + 2027,4 = 26275 N
2
2
(se puede despreciar!)
Los esfuerzos correspondientes serán (d en mm):
F
Esfuerzo normal:
c¡„ =
A
32 M
f
flexión:
1
r
2
M (dí2)
esfuerzo de
312,97 . .
,
— íN/mm"'
d
1670,54-10
f
4
~ ,Td /64
3
~
izd
3
3
d
X T Í
2
N/mm"
3
402.35-10
,
v, =
—:
N/mm"
d
x t ;
esfuerzo de torsión:
i, = •
:
3
r =
A
r
1
E l esfuerzo equivalente según von Mises será: a
1670.54-10
cr
=
3
3
d
312,9
f
(cr + cr,,) + 3 ( r + r )
2
2
2
f
3
(3345,6
3
d
7
^ FS
0
0
2
Resolviendo se obtiene d= 17,3 mm
c)
=
402,35 -10 Y
d-
Se debe cumplir que:
Nota:
3345.6 ,
,
— N/mm"
d
X 7
esfuerzo de corte:
-350NW
—>
d=2Q mm (para asiento de rodamiento)
Se obtiene el mismo resultado despreciando el efecto de la fuerza normal y la cortante.
Para el análisis de la sección 3 despreciaremos el efecto de la fuerza cortante.
Fuerza normal:
F= 312,97 N
Momento
M=
flector:
Momento torsor:
f
3
2
3
(122.9-10 ) -t-(44,7-10 )
2
3
-» M
f
= 130,77-10 N-mm
3
M, = 79 N-m = 79-10 N-mm
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-34
Los esfuerzos correspondientes serán (para d=20 mm):
Esfuerzo normal:
esfuerzo de
a =—
A
flexión:
a,=
J-
—>
a,
->•
o
f
= 0,78 N/mm
1332,0M0
—.
d
402,35 •10
3
2
,
= 166,5 N/mm
C
T /
2
3
J
esfuerzo de torsión:
r =
A
—>
r,
, .
9
= 50,29 N/mm
n
Q
M
/
3
d
E l esfuerzo equivalente según von Mises será:
es decir:
2
cr = -: (l66,5 + 0,78) + 3 (50,29)
Por consiguiente:
FS = -^o-
Nota:
b)
c)
e?
= ^~ =
CT
LJ(;
= 188,6 N/mnr
FS=3,7
188,6
-
E n la realidad los árboles de transmisión no se calculan bajo carga estática, como lo
acabamos de hacer, si no mas bien se tienen que hacer consideraciones de falla por fatiga,
puesto que los esfuerzos ocasionados por la flexión en un eje giratorio son variables en el
tiempo. E l l o será tratado en el tercer capítulo.
Ejemplo 1.4:
a)
2
et?
2
cr = - (o-y + cr,, ) +3 r/
E n la figura se muestra un elevador de capacidad T. E l aparejo o winche de
arrastre no se muestra. E l material de la viga horizontal es un acero
estructural St 37 (según DEN 17100). Despreciando los cambios de
velocidad en el cable, se pide:
Dibujar los diagramas de fuerzas normales, fuerzas cortantes y momentos flectores
para la viga empotrada.
Para la sección más crítica se pide mostrar la distribución de esfuerzos normales y de
flexión y de cortante longitudinal.
Calcular el m á x i m o valor de T que se puede aplicar al aparejo para tener un factor de
seguridad FS=2 para la viga. Utilizar el criterio de Tresca.
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Cap. 1 Teorías de falla
Páe. 1-35
a) Cálculo de reacciones:
1200
,v/ =
yon
n
DFN
DFC
= 0
->
^ x
= 0
-»
¿> = T
LM, = 0
->
M
700
A
->
b)
T
=
= M+ 1200 r
= 700 r+ 1200 T
= 1900 r
Sección crítica: del D M F se ve que
empotramiento.
el m á x i m o momento
Oj-
flector
actúa en el
T (promedio)
t
c
-"to
Xá
YA
Esfuerzo normal (compresión):
a
Esfuerzo cortante:
r
Esfuerzo de
/
n
c
flexión:
F
T
A
V
3036
T
A
_
a
M
4
>
3036
f C
m
t
t
2
ex, =-3,29-10" T N / m m (C)
¡r\ = 3.29 -10
73 N/mm"
X
f
para el lado a tracción:
1900 T-28,6
a
f
para el lado a compresión:
a
'
f c
2,154-10
=
07, =2,52-10~ 73 N m m ( T )
2
6
1900 T- 60.4
2
a
fc
2,154-10
2
= -5,33 • 10" T N/mm" (C)
6
Se ve claramente que la fibra crítica es la que está a compresión
c) E n el punto crítico (en el lado de compresión para c
max
2
cr =o
c
fc
4
= 60,4 mm):
2
Z
+ <7„ = - 5 . 3 3 - 1 0 " r - 3,29-10" T NV m m = -5,36-\Q~ T (C)
4
r =3,29-10" T N/mm
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2
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r
Cap. 1 Teorías de falla
Páa. 1-36
¡f.
cr,
Los esfuerzos principales serán:
2
2
H
2
2
donde
a = a = - 5,36 • 10~ T N/mm
y
x = T = 0329 -10~ T W mm
x
3
xy
2
C
6
Reemplazando:
2
c
cr. = 2,024-10~ T N/mm
2
2
cr, = -5.36-10" T N / m m
2
Graficamos el punto P de coordenadas (cr/, 02) dentro del hexágono de Tresca:
a
J
E l factor de seguridad para el esfuerzo
representado por P estará dado por:
.
es decir:
OQ
OQ
FS =— =— ,
6>P
O",
L2:
Recta límite:
.OQ,
= ——
cr
-a +cj
2
l
F
(0
(recta límite en segundo cuadrante)
Recta de carea:
í
Li:
\
cr, =
('0
(nota: aquí GZP y 07^ con sus signos !)
L a falla se produciría, según Tresca, si el esfuerzo estuviera representado por el punto O
(intersección de la recta límite con la línea de carga). Para hallar sus coordenadas:
igualando (/) y (//):
CT] = CT, +
V O!
CTc
<J
F
Jp
-
1V
A
\
JP
E l factor de seguridad estará dado por:
240
cr,
f
2
-5,36-10" 7
1FS
\)0
=
\
G
\
a
2,024-10 T
v
2,024-1 o r
JP
2
->
T = 2 238.7 N
-6
Comprobemos el resultado utilizando la expresión para el esfuerzo
deducida en el ejemplo 1.1:
cr ~ - 4 r .
x
Se debe cumplir que:
2
cr - 5,36 • 10
De donde:
2
6
2
(-5,36-10' 73) +4 (2,024-10" T)
r
2
M m
T < cr.Adm
equivalente cr
eCj
2
=5,36-10" T
a
240
,
—^ =
N/mm
FS
2
F
= 2 238,3 N
Notar que el esfuerzo cortante es muy pequeño (despreciable) al lado del esfuerzo de
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flexión.
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Pág. 1-37
Cap.] Teorías de falla
Ejemplo 1.5
Teorías de falla para materiales frágiles.
E n la figura se muestra una consola de hierro fundido sometida a la acción de una carga F.
E l material de la consola es un hierro fundido gris con las siguientes características:
120 N / m m
<jR =
t
2
-i
CTRC =
360
N/mm'
Se pide:
a)
Calcular el valor m á x i m o de la fuerza i q u e se puede aplicar a la consola para que la
7
sección A tenga un factor de seguridad de 1.8. Considerar en los cálculos el esfuerzo
cortante promedio ( r = VIA). Utilizar la teoría del m á x i m o esfuerzo normal.
c
b)
Lo mismo que en a), pero utilizando la teoría de Mohr simplificada.
85
UZZZtfZZÁ
7,
A' 4^
10
Solución:
a)
Ubicación del centro de gravedad de la sección A :
I
_ ( 8 5 0 ) ( 5 ) + (100)(15) + (200)(90)
=
2
Q
6
_
mm
850 + 100-200
Cálculo del momento de inercia respecto al ejex:
F
;
=d(85)(i0)
3
:
3
2
+ (850)(15,65) + ^ ( 1 0 ) ( 1 0 ) +(100)(5,65) +
->
7 = 1 187 844,21 mm
]
° ^
+ (200)(69,35)
2
4
X
Los puntos M y N son los puntos más críticos de la sección A (mayor esfuerzo normal
debido a la flexión). Por consiguiente calcularemos en cada uno de ellos los máximos
esfuerzos normales.
.
Punto M:
Flexión:
Corte:
a, =
•'
M
f
M
'°
I
x
=
8
0
F
3
1187844,21
4
r„ = — =
= 8.7-10' F
A 1150
'
L
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2
= 1,39.10' F [N/mm ] (tracción)
2
[N/mm ]
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Cap. 1 Teorías de falla
Pág. 1-38
Determinación de los esfuerzos principales:
<j
=^-±
12
De donde:
+ C =6,95-10~ F±AÍ(6,95-10" Fr - ( S ^ - I O " ^
4
4
J l °Y
cr, = 1,81 • 10 ~F
4
(tracción)
4
cr =-4,18 • 10" F
(compresión)
2
Como se ve, hemos obtenido esfuerzos principales de diferente signo, por consiguiente hay
que comparar cada uno de ellos con el correspondiente esfuerzo límite, es decir tT ó cx ,
según sea el caso. Queda claro que en este caso bastará trabajar con o\, pues cr es bastante
menor en módulo mientras que el esfuerzo admisible correspondiente es mayor.
Rt
Rc
2
3
Se debe cumplir que:
cr, = 1,81 • 10" F < cr dm
-»
f
Punto N:
—— - - —
FS
1,8
2
[N/mm ]
F < 36 832,41 N
M
e
=
A
Flexión:
c
a, =
(0
80 F (79 35)
v
V
=
;
J
2
'
= 5,34-10~ F [N/mm ] ( C )
I
1187844,21
r = — = • — = 8,7 • 10" F [N/mm ]
A
1150
;
X
/
Corte:
4
2
Determinación de los esfuerzos principales:
CT
1 9
=
—
V
De donde:
2
V
1
+ r
2
2
3
= -5,34 -ii) 7- -
4
(- 5,34 • 1 0 " F J + (8,7 • 10^ F J
J
cr, = 1,38 • 10" F
(tracción)
a = - 5,48 • 10"' F
(compresión)
4
2
E n este caso queda claro que bastará trabajar con cr , pues cj\ es bastante menor en módulo
y además el esfuerzo límite correspondiente es mayor.
2
Se debe cumplir que:
3
Icr, I = 5.48 • 10" F < a
'
Aim
1
->
= —— =
FS
1,8
F < 36 496,35 N
2
[N/mm ]
(ii)
Se ve pues de las expresiones (i) y (ii), que el punto ;V es ligeramente m á s crítico que M,
por lo que la respuesta será:
F
Pontificia Universidad C a t ó l i c a del P e r ú
m a x
= 36 496,35 N
S e c c i ó n I n g e n i e r í a M e c á n i c a - Á r e a de D i s e ñ o
Cap. 1 Teorías de falla
b)
Páa. 1-39
,T
Y a tenemos calculados tanto er\ como cr para los puntos críticos M y A . Sólo falta
ubicar, para cada uno de éstos, el punto ( a i , cr ) en el polígono simplificado de la
Teoría de Mohr.
2
2
Sabemos que:
cr, = 1,81-10 F
J
(tracción)
4
cr - - 4.18 • 10" F
(compresión)
2
cr
Recta límite:
->•
Línea de carga:
R
a-, - —'— (cr, - cr , )
(recta L i : recta límite en cuarto cuadrante)
R
a
2
= 3 (cr, -120)
cr-, =
^
cri
y,
(recta
L2
) (nota: aquí
CT A
2
y
CT¡A
con sus signos !)
JA
L a m á x i m a carga posible según Mohr, asumiendo un incremento lineal, ocasionaría un
esfuerzo que estaría representado por la intersección de la recta límite con la línea de carga
(punto B).
Intersección:
| — ! cr, =3 (cr, -120)
->
(cr, ) =
B
Determinando la fuerza F m á x i m a que podrá soportar la consola para un factor de
seguridad de 1,8:
360
como
FS =
OS
OB
OA
OA
x
r
->
Pontificia Universidad C a t ó l i c a del P e r ú
( £ 7 )
(C7 )
1 A
F
m a r
-
3 - -2,31-10J
1,81 -1Q- F
= 34 1 9 9 N
(///)
S e c c i ó n I n g e n i e r í a M e c á n i c a - .Área de D i s e ñ o
Cap.l Teorías de falla
Pág. 1-40
Punto A*:
Tenemos ya calculados los esfuerzos principales correspondientes:
(tracción)
cr, = 1 , 3 8 - K T V
3
cr = - 5,48 • 10 F
(compresión)
2
= -39,71
Pendiente de la línea de carga:
JA
E l factor de seguridad está dado de manera análoga a la deducida para el punto M:
Intersección:
CT,
=3
20)
(¿7,-1
->
360
( £ 7 ! ^ = CT,
\
W
\ J
360
360
FS =
3-(-39,71)
(^I)Í
1,38-10
-4
= 1,8
F = 33 932,93 N
Por lo tanto, de (iii) y (¿v) concluimos que la m á x i m a fuerza F será:
F , = 33 932,93 N
M
Pontificia Universidad C a t ó l i c a del P e r ú
X
S e c c i ó n I n g e n i e r í a M e c á n i c a - Á r e a de D i s e ñ o