Libro de Texto
Agosto 2021 – Enero 2022
Álgebra
Plantel: ___________________________________________
Nombre del Alumno: __________________________________
_________________________________________________
Carrera: __________________________________________
Semestre:
_______
Grupo:
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche
______
Eje: Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico
Componentes: Patrones, simbolización y generalización, elementos de algebra básica
Contenido central: Variacional lineal como introducción a la relación funcional.
Variacional proporcional. Tratamiento de lo lineal y lo lineal (normalmente cuadrático).
El trabajo simbólico.
Contenido específico: Sobre el uso de tasas, razones, proporciones y variación
proporcional directa como caso particular de la función lineal entre dos variables: ¿qué
magnitudes se relacionan?, ¿cómo es el comportamiento de dicha relación?
La proporcionalidad y sus propiedades numéricas, geométricas y su representación
algebraica.
Se sugiere tratar con situaciones cotidianas antropométricas y de mezclas (colores y
sabores): ¿qué es lo que se mantiene constante en una relación proporcional?
Operaciones con polinomios y factorizaciones básicas de trinomios (productos notables).
Se sugiere apoyarse de los modelos geométricos materiales y simbólicos
para el cuadrado de un binomio.
Aprendizajes esperados: Productos notables y Factorización
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PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
¿Qué son los productos notables?
En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar una
multiplicación. Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o destaca
entre un grupo de cosas.
Entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales
entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás
multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que
se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una
simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.
Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Los productos notables que se estudiarán son:
A) Cuadrado de un Binomio
B) Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
C) Producto de 2 Binomios conjugados
D) Factorización de diferencia de cuadrados
E) Producto de 2 binomios con término común
F) Factorización del trinomio de la forma x2 +bx +c
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Un poco más sobre la nomenclatura algebraica
Recordando un poco, una expresión algebraica corresponde a una expresión que combina
incógnitas o variables (como 2, 7, x, y, etc.) por medio de operadores aritméticos (como
+, −, ×, /, etc). Por ejemplo, las siguientes expresiones son algebraicas:
2x2, x+1, (x+2)/(y+3), x+x2+x3+x4+x5+x6
Las expresiones algebraicas reciben nombres especiales dependiendo del número de
términos que las compongan: cuando solo poseen un término se les llama monomios,
por ejemplo:
x, −y, x2, 5x2y3, −1/2x
Cuando poseen dos términos se les llama binomios por ejemplo:
x+y, (2x−3y)2, x2+y2, 1/2x−2/3x2
Cuando poseen tres términos se les llama trinomios, por ejemplo:
x+y+z, −x2+x3−x4, (3x+2y+10xy)4.
Éstos son los nombres más comunes. A las expresiones algebraicas con cuatro términos
se les puede llamar cuatrinomios, pero en general cuando una expresión tiene más de tres
términos se le suele llamar polinomio.
Como nota, también los monomios, binomios y trinomios son polinomios; el término
'polinomio' es independiente del número de términos que posea una expresión algebraica
e indica que la expresión está formada por monomios.
¿Para qué se usan los productos notables?
Los productos notables los podemos usar para realizar operaciones algebraicas de una
manera más rápida, sin necesidad de hacer una comprobación de la multiplicación
realizada.
¿Cómo se aplican los productos notables en la vida diaria?
Los productos notables nos sirven para reducir procedimientos y para ahorrarnos algunos
pasos a la hora de hacer operaciones. Se utilizan en la ingeniería civil, pues ayuda a medir,
calcular y contar las áreas del perímetro, también sirven para calcular la superficie del
terreno.
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A) CUADRADO DE UN BINOMIO
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio.
El desarrollo del cuadrado del binomio a + b se puede obtener multiplicando término a
término:
(a + b)2= (a+b)(a+b) = a2 + ab +ab+b2= a2 + 2ab +b2
Regla “El cuadrado de un binomio a + b es igual al cuadrado del primer término más el
doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a + b y las regiones que estas
medidas generan en el cuadrado. Los segmentos a y b horizontales y verticales dividen al
cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b,
y dos rectángulos de largo a y ancho b. La suma de las áreas de estos cuadrados y
rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a + b:
Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a −b, también multiplicando término a término, se
obtiene
(a - b)2= (a- b)(a- b) = a2 - ab - ba+b2= a2 - 2ab +b2
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Regla “El cuadrado de un binomio a −b es igual al cuadrado del primer término menos el
doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”.
EJEMPLOS
EJEMPLO Desarrollar el cuadrado de la suma (3m + 4n)2

El cuadrado del primer término ………….(3m)(3m) = 9m 2

El doble producto de ambos términos ….2(3m)(4n) = 24 mn

El cuadrado del segundo término ………(4n)(4n) =16 n 2
Se unen los términos obtenidos en los pasos anteriores y se reescribe la expresión.
(3m +4n)2= 9m2 +24 mn +16n2
trinomio cuadrado perfecto
EJEMPLO Desarrollar el cuadrado de la diferencia (7x3 - 2y2)2

El cuadrado del primer término ………….(7x3)(7x3) = 49x6

El doble producto de ambos términos ….2(7x3)(2y2) = 28x3y2

El cuadrado del segundo término ………(2y2)(2y2) = 4y4
Se unen los términos obtenidos en los pasos anteriores y se reescribe la expresión
(7x3 - 2y2)2= 49x6 - 28x3y2 + 4y4
trinomio cuadrado perfecto
EJEMPLO Desarrollar el cuadrado de la diferencia (2x – 3y)2

El cuadrado del primer término ………….(2x)(2x) = 4x2

El doble producto de ambos términos ….2(2x)(3y) = 12xy

El cuadrado del segundo término ………(3y)(3y) = 9y2
Se unen los términos obtenidos en los pasos anteriores y se reescribe la expresión
(2x - 3y)2= 4x2 -12xy +9 y2
trinomio cuadrado perfecto
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EJEMPLO Encuentra directamente el producto de (4a2 +2b)2

El cuadrado del primer término ………….(4a2)(4a2) = 16a4

El doble producto de ambos términos ….2(4a2)(2b) = 16a2b

El cuadrado del segundo término ………(2b)(2b) = 4b2
Se unen los términos obtenidos en los pasos anteriores y se reescribe la expresión
(4a2 + 2b)2= 16a4 +16 a2b + 4b2
trinomio cuadrado perfecto
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Encuentra directamente el producto de (7x- 2y)2
2) Encuentra directamente el producto de (x +4x2)2
3) Encuentra directamente el producto de (2 - 5a)2
Respuestas.
1) 49x2 -28xy +4y2
2) x2-8x3+16x4
3) 4 -20a +25a2
B) FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
En el tema anterior desarrollamos un binomio al cuadrado, obteniendo como resultado un
trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
Ahora factorizamos el trinomio cuadrado perfecto, es decir, tenemos que buscar los
Los factores que lo originaron. Ya sabemos que factorizar es el proceso contrario de un
producto.
Se identifica y factoriza el trinomio cuadrado perfecto, el primer término y el tercer término
deben tener raíz cuadrada exacta y el segundo término debe ser el doble de sus raíces.
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El desarrollo del binomio al cuadrado (a+b)2 origina un trinomio cuadrado perfecto, que a
continuación se explica con ejemplos como factorizarlo, así como la forma de identificarlo
Supongamos el desarrollo del binomio al cuadrado
(a +b)2 =
a2 +
2ab + b2
Tercer término √b2 = b
Primer término √a2= a
El segundo término = 2 a b
Resultado de la factorización de a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 = (a+b)(a+b)
EJEMPLO Factorizar el trinomio cuadrado perfecto (16 + 40x2 + 25x4)
Primer término √16= 4
Tercer término √25x4 = 5x2
Segundo término = 2 (4)(5x2) = 40 x2
Se agregan los valores obtenidos del cálculo de las raíces cuadradas del primer (4) y
segundo términos (5x2) y se escribe el signo del segundo término del trinomio y se elevan
al cuadrado; quedando de la siguiente manera.
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La factorización del trinomio (16 + 40x2 + 25x4) = (4 + 5x2)2 = (4 + 5x2) (4 + 5x2)
EJEMPLO Factorizar el trinomio cuadrado perfecto (4x2 - 12xy + 9y2)
Primer término √4x2= 2x
Tercer término √9y2 = 3y
Segundo término = 2 (2x)(3y) = 12xy
Se agregan los valores obtenidos del cálculo de las raíces cuadradas del primer (2x) y
segundo términos (3y) y se escribe el signo del segundo término del trinomio y se elevan
al cuadrado; quedando de la siguiente manera.
La factorización del trinomio (4x2 - 12xy + 9y2) = (2x -3y)2 = (2x -3y) (2x-3y)
Comprobación
+
2x -3y
x 2x -3y
-6xy +9y2
2
4x -6xy___
4x2 -12xy +9y2
El resultado de la multiplicación comprueba
que es correcta la factorización del trinomio.
EJEMPLO Factorizar el trinomio cuadrado perfecto (16a2 +40a +25)
Primer término √16a2= 4a
Tercer término √25 = 5
Segundo término = 2 (4a)(5) = 40 a
Se agregan los valores obtenidos del cálculo de las raíces cuadradas del primer (4a) y
segundo términos (5) y se escribe el signo del segundo término del trinomio y se elevan
al cuadrado; quedando de la siguiente manera.
La factorización del trinomio (16a2 +40a + 25) = (4a +5)2 = (4a +5 ) (4a+5)
Comprobación
+
4a+5
x 4a+5
20a +25
2
16a +20a___
16a2 +40a+25
El resultado de la multiplicación comprueba
que es correcta la factorización del trinomio.
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¿COMO IDENTIFICAR Y FACTORIZAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO?
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio debe ser ordenado con relación a una letra.

Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término tienen raices exactas
son cuadrados perfectos.

El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas
PARA FACTORIZAR APLICAREMOS EL MÉTODO DE LAS TIJERAS
Ejemplo Factorizar el trinomio 16a2 -24ab +9b2
Descomponer el término cuadrático en una multiplicación de 2 factores
4a
4a___
16 a2
- 3b = -12ab
__- 3b__ = -12ab
9b2
- 24ab
Número que multiplicados den
9b2 que es el tercer término del
trinomio. 3b x 3b= 9b2
El signo positivo, del tercer término de
trinomio en este caso +9b2
Indica que 12ab y 12ab se deben a
sumar
El signo negativo del segundo término
del trinomio indica el signo del binomio
factorizado.
Una vez realizada las operaciones. La factorización queda:
16a2 -24ab +9b2 = (4a -3b)(4a - 3b) = (4a - 3b)2 resultado
Comprobación
+
4a -3b
x 4a - 3b
-12ab +9b2
16 a2 -12ab___
16 a2 -24ab +9b2
El resultado de la multiplicación comprueba que
es correcta la factorización del trinomio.
Ejemplo Factorizar el trinomio x2 - 6x + 9
Descomponer el término cuadrático en una multiplicación de 2 factores
x
_x___
x2
-3
= - 3x
_- 3___= - 3x
+9
- 6x
El signo positivo, del tercer término de
trinomio en este caso + 9,
indica que 3x y 3x se deben a sumar
El signo negativo del segundo término del
trinomio indica el signo del binomio
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De la suma anterior, por lo tanto seria -3x -3x = - 6x.
Una vez realizada las operaciones. La factorización queda:
x2 - 6x + 9 =
(x-3)(x-3) = (x-3)2…. resultado
Comprobación
+
x-3
x (x -3)
-3x +9
2
x -3x___
x2 -6x + 9
El resultado de la multiplicación comprueba que
es correcta la factorización del trinomio.
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Factorizar el trinomio 49y2 +14y +1
2) Factorizar el trinomio 9x2 +30x +25
3) Factorizar el trinomio 4x2 +12x +9
C)
Respuestas.
1) (7y+1)2=(7y+1)(7y+1)
2) (3x+5)2= (3x+5)(3x+5)
3) (2x+3)2= (2x+3)(2x+3)
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
La multiplicación de dos binomios conjugados es otro tipo de producto notable, llamado
así porque tiene ciertas características: uno de los términos aparece en uno de los
binomios con signo positivo y en el otro binomio con signo negativo, de ahí el nombre de
conjugado. Esto permite resolverlos fácilmente utilizando reglas precisas.
(a+b)(a-b) = a2 –b2
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Representación gráfica del producto de dos binomios conjugados estas operaciones dan
origen a la diferencia de cuadrados
REGLA GENERAL DE SOLUCIÓN
El producto de binomios conjugados es igual al
cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. A este resultado
se le llama diferencia de cuadrados
Ejemplo: Encuentra directamente el producto de (2x +3y)(2x-3y)
(2x +3y) (2x-3y) = 4x2 - 9y2
(2x)2 = 4x2
(3y)2= 9y2
El signo de menos es
por la regla
Comprobación
+
2x + 3y
x 2x - 3y
-6xy - 9y2
2
4x + 6xy___
4x2
- 9y2
El resultado de la
multiplicación comprueba
que es correcta la
factorización
Ejemplo: Encuentra directamente el producto de (4 a2 +5b)(4 a2 -5b)
(4 a2 +5b)(4 a2 -5b)= 16a4 – 25b2
(4a2)2 = 16a4
(5b)2= 25b2
Comprobación
+
4a2 + 5b
x 4a2 - 5b
-20a2b - 25b2
4
16a -20a2b___
16a4
- 25b2
El signo de menos es
por la regla
El resultado de la
multiplicación comprueba
que es correcta la
factorización
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Ejemplo: Encuentra directamente el producto de (2m +9 )(2m -9)
(2m +9 )(2m -9) = 4m2 - 81
(2m)2 = 4m2
(9)2= 81
Comprobación
+
2m + 9
x 2m - 9
-18m - 81
2
4m +18m___
4m2
-81
El signo de menos es
por la regla
El resultado de la
multiplicación comprueba
que es correcto el
producto realizado
OTRO PROCEDIMIENTO..
Ejemplo
Encuentra directamente el producto de (x+3)(x-3)
El término “x” del primer factor multiplica primero a “x” y luego al -3 del segundo factor
(x)(x) = x2
(x)(-3) = -3x
El termino +3 del primer factor multiplica primero a “x” y despues a -3 del segundo factor
(3)(x) = 3x
(3)(-3) = -9
Luego se acomodan los productos obtenidos en los pasos anteriores y se reducen los
términos semejantes:
x2 - 3x + 3x - 9 … se elimina -3x +3x…. quedando x2- 9 resultado
Ejemplo Multiplicar (3x+2y)(3x-2y)
El término “3x” del primer factor multiplica primero a “3x” y luego a -2y del segundo
factor.
(3x)(3x) = 9x2
(3x)(-2y) = - 6xy
El termino +2y del primer factor multiplica primero a “3x” y despues a -2y del segundo
factor.
(2y)(3x) = 6xy
(2y)(-2y)= - 4y2
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Luego se acomodan los productos obtenidos en los pasos anteriores y se reducen los
términos semejantes:
9x2 - 6xy + 6xy - 4y2… se elimina -6xy + 6xy…. quedando 9x2 - 4y2 resultado
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Encuentra directamente el producto de (5x2 +3y3) (5x2 -3y3)
2) Encuentra directamente el producto de (3x + y)( 3x- y)
3) Encuentra directamente el producto de (4 +2b) (4-2b)
Respuestas.
1) 25x4 - 9y6
2) 9x2 - y2
3) 16 - 4b2
D) FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados de dos términos es igual al producto de la suma de estos
términos por la diferencia de estos términos.
Regla La regla general de solución es obtener el cuadrado del primer término menos el
cuadrado del término conjugado. Es decir, al efectuar el producto de binomios conjugados
se obtiene una diferencia de cuadrados.
(a+b) (a-b) = a2– b2
En este caso se hace el procedimiento inverso, que es la factorización de la diferencia de
cuadrados. Para ello se sigue una regla sencilla: se obtienen las raíces de los dos
cuadrados, luego estas raíces se unen en binomios conjugados, donde el término que se
esta restando es el que aparece en los binomios con signo diferente.
Diferencia de
cuadrados
a2– b2 = (a+b) (a-b)
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Binomios
conjugados
Ejemplo Ahora procedemos a factorizar una diferencia de cuadrados 9x2 -25y2
Primer término
Calculamos la √9x2 = 3x
Una vez obtenido las raíces, se
unen en binomios conjugados
Segundo término
Calculamos la √25y2= 5y
9x2 -25y2 = (3x+5)(3x-5)
Ejemplo Factorizar la expresión 25x2 -81.
Calculamos la raíz cuadrada del primer
término √25x2= 5x
Calculamos la raíz cuadrada del segundo
término √81= 9
Las raíces se unen en binomios conjugados
(5x+9)(5x-9)
Ejemplo Factorizar la expresión x4 – 36.
Calculamos la raíz cuadrada del primer
término √x4= x2
Calculamos la raíz cuadrada del segundo
término √36= 6
Las raíces se unen en binomios conjugados
(x2 + 6)( x2 - 6)
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Factoriza la expresión 169m2 -196n2
2) Factoriza la expresión 16x2 -100
3) Factoriza la expresión 36x4 - 49x100
Respuestas.
1) (13m +14n) (13m-14n)
2) (4x +10)(4x -10)
3) (6x2 +7x10)(6x2 -7x10)
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E) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una
multiplicación de dos binomios que tienen un término en común.
La regla indica lo siguiente:
Regla: El cuadrado del término común. Más la suma los términos que no son comunes y
luego multiplicarlos por el término común. Más la suma de la multiplicación de los términos
que no son comunes.
Se representa en la fórmula: (x + a) (x + b) y es desarrollada como se muestra en la
imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.
Ejemplo Desarrollar el siguiente binomio: (x + 3)(x+8).
Solución
Se tiene un binomio donde existe un término común, que es “x” y el segundo término es
positivo.
Regla: Para desarrollarlo solo se tiene que elevar al cuadrado el término común, más la
suma de los términos que no son comunes (3 y 8) y luego multiplicarlos por el término
común, más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.
(x + 3)(x + 8) = x2 + (3 + 8)x + (3)(8)
= x2 + 11x + 24.
Comprobación
+
x+3
x (x + 8)
8x +24
x2 + 3x___
x2 +11x +24
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcto el
desarrollo del binomio
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Ejemplo Desarrollar el siguiente binomio (x + 6) (x + 9)
= x2 + (6 + 9) x + (6)( 9)
= x2 +15x +54
Comprobación
+
x+6
x (x + 9)
9x +54
x2 + 6x___
x2 +15x +24
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcto el
desarrollo del binomio
Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su
fórmula es la siguiente: (x + a) (x – b).
Ejemplo
Desarrollar el siguiente binomio (7x + 4) (7x – 2)
= (7x)(7x) + (4 – 2)7x + 4(-2)
= 49 x2 + (2)7x + (-8)
= 49x2 + 14x – 8
Regla: Para desarrollarlo solo se tiene que elevar al cuadrado el término común (7x), más
la suma de los términos que no son comunes (4 y -2) y luego multiplicarlos por el término
común (7x), más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes (4)(-2).
Comprobación
+
7x + 4
x (7x - 2)
-14x - 8
2
49x +28x___
49x2 +14x - 8
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcto el
desarrollo del binomio
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También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula
será: (x – a) (x – b).
Ejemplo
Desarrollar el siguiente binomio (3b – 6) (3b – 5)
=(3b)(3b) + (-6 – 5)3b + (-6)(-5)
= 9b2 + (-11) (3b) + (30)
= 9b2 – 33b + 30.
Regla: Para desarrollarlo solo se tiene que elevar al cuadrado el término común (3b), más
la suma de los términos que no son comunes (-6 y -5) y luego multiplicarlos por el término
común (3b), más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes (-6)(5).
Comprobación
+
3b - 6
x 3b - 5
-15b +30
9b2 -18b___
9b2 -33x +30
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcto el
desarrollo
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EJEMPLO: Hallar el área del triángulo cuyas dimensiones son (𝑥 + 10)(𝑥 + 6)
x+10
x+6
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FORMULA DEL TÉRMINO COMÚN
𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Sustituyendo valores
𝑥 2 + (10 + 6)𝑥 + (10)(6)
El área del triángulo es:
(𝑥 2 + 16𝑥 + 60)/2
EJEMPLO: Hallar el área de una puerta cuya altura es (2𝑥 + 4) y cuya base es (2𝑥 − 3)
FORMULA DEL TÉRMINO COMÚN
𝑥 2 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑎𝑏
Sustituyendo valores
(2𝑥)2 + (4 − 3)2𝑥 − (4)(3)
2x+4
El área de la puerta es:
4𝑥 2 + 2𝑥 + 12
2x- 3
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Desarrollar el siguiente binomio (4x + 11) (4x + 2)
2) Desarrollar el siguiente binomio (2x + 5) ( 2x - 9)
3) Desarrollar el siguiente binomio (7x – 5) (7x + 8 )
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Respuestas.
1) 16x2 +52x +22
2) 4x2 -8x - 45
3) 49x2 – 91x +40
F) FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA x2+ bx + c
PARA FACTORIZAR APLICAREMOS EL MÉTODO DE LAS TIJERAS
EJEMPLO Factoriza el trinomio x2 + 7x + 10
Descomponer el término cuadrático en una multiplicación de 2 factores
Multiplicación tijera
x
5
=
5x
El signo positivo, del tercer término de trinomio
en este caso +10
x___
x2
__2___= 2x
10
indica que 5x y 2x se deben sumar.
7x El signo positivo del segundo término del trinomio
indica el signo De la suma anterior, por lo tanto es 5x
……………………………………
+2x = 7x
Número que multiplicados den 10 que es
el tercer término del trinomio 5x2= 10
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Una vez realizada las operaciones. La factorización queda:
x2 + 7x + 10 = (x +5)(x + 2)… resultado
EJEMPLO Factoriza el trinomio x2 - 2x - 15
Descomponer el término cuadrático en una multiplicación de 2 factores
Multiplicación tijera
x
- 5 = - 5x El signo negativo, del tercer término de trinomio en este caso -
15
x___
x2
3_=
15
3x
indica que 5 y 3 se deben restar.
-2x
El signo negativo del segundo término del trinomio indica el
signo. De la resta anterior, por lo tanto seria -5x +3x = -2x
Número que multiplicados
den 15 que es el tercer
término del trinomio. 5x3
Una vez realizada las operaciones. La factorización queda:
x2 - 2x – 15= (x -5)(x + 3)…. resultado
OTRO MÉTODO PARA FACTORIZAR TRINOMIO X2+BX +C
PROCEDIMIENTO:
1) Se extrae la raíz del término cuadrático y esta se coloca como primer término en ambos
factores binomios, entre paréntesis. (x
)(x
)
2) Se coloca el signo del segundo término del trinomio en el primer factor. Y en el segundo
factor se coloca el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el
tercero. (x± )(x± )
3) Si los signos de los factores binomios son iguales se buscan dos números
que sumados den el coeficiente del 2º término del binomio y que multiplicados den como
producto el valor del 3º término.
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4) Si los signos de los factores binomios son diferentes se buscan dos números
que restados den el coeficiente del 2º término del binomio y que multiplicados den como
producto el valor del 3º término.
5) El resultado de los dos números sumados o restados, y después multiplicados se
colocan como segundo términos en cada uno de los factores binomios. (x±d)(x±e)
Ejemplo Factoriza el trinomio m² -13m +30
La raíz cuadrada de m² es = m
El signo del primer factor binomio debe ser (-) igual al signo del 2º término del trinomio; y
el signo del 2º factor debe ser (-), porque (-)(+)=(-)
(m - )(m - )
Buscando dos números que sumados den -13, y multiplicados den 30: estos son -10 y -3
La factorización del trinomio m² -13m +30 = (m-10)(m-3) Solución.
Comprobación
+
m -10
X m-3
-3m +30
m2 -10m___
m2 - 13m +30
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcta la
factorización
Ejemplo Factoriza el trinomio x² -18 -7x
 Ordenando el trinomio con relación a la “x” con mayor exponente:
x² -7x -18

La raíz cuadrada de x² es x

El signo del primer factor binomio debe ser (-) igual al signo del 2º término del
trinomio; y el signo del 2º factor debe ser (+), porque (-)(-)=(+)
(x- )(x+ )

Buscando dos números que restados den -7, y multiplicados den -18: estos son
-9 y 2.
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La factorización del trinomio x² -7x -18 = (x-9)(x+2) Solución
Comprobación
+
x-9
X (x + 2)
2x -18
2
x - 9x___
x2 - 7x - 18
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcta la
factorización
Ejemplo Factoriza el trinomio n² +7n +6

Raíz de n² es = n

El signo del 1º factor binomio es (n+ ). y del 2º factor binomio es (n+ )

Los números que sumados dan 7, y multiplicados dan 6, son 6 y 1
La factorización de trinomio n² +7n +6 = (n+6)(n+1) Solución.
Comprobación
+
n+6
X n+1
1n + 6
2
n +6n___
n2 +7n + 6
El resultado de la multiplicación
comprueba que es correcta la
factorización
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Factoriza el trinomio x2 + x - 20
2) Factoriza el trinomio x2 -7x +12
3) Factoriza el trinomio x2 -8x +15
Respuestas.
1) (x + 5) (x - 4)
2) ( x- 4) (x -3)
3) (x - 5) (x - 3)
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Aprendizajes esperados:

Expresa de forma coloquial y escrita fenómenos de proporcionalidad directa de
su vida cotidiana con base en prácticas como: comparar, equivaler, medir,
construir unidades de medida, entre otras.

Caracteriza una relación proporcional directa.

Resignifica en contexto al algoritmo de la regla de tres simple.

Expresa de manera simbólica fenómenos de naturaleza proporcional en el marco de su
vida cotidiana.
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RAZONES Y PROPORCIONES
Magnitud: propiedad o cualidad medible de un cuerpo: longitud, masa, tiempo,
temperatura.
Magnitud homogénea: Aquellas que pertenecen a una misma magnitud (tiempo,
longitud, masa..)
Razón de dos cantidades: Homogéneas es el número que expresa el valor de la
primera cuando la segunda se toma como unidad.
Ejemplo: Una caja de tornillos pesa 2,5 kg y otra de 0,5 kg. La razón es
2,5
0.5
= 5; se lee
“2,5 es a 0,5” y nos indica que la caja grande pesa 5 veces más que la pequeña.
(No confundir razón con fracción; en una razón los números a y b pueden ser decimales
y en una fracción estos números son enteros)
RAZÓN
Razón es el cociente entre dos cantidades 𝑎 𝑦 𝑏 . Se escribe 𝑎/𝑏 y se lee " 𝑎 𝑒𝑠 𝑎 𝑏",
No tiene unidades y sirve para comparar. Indica el número de veces que una cantidad es
mayor que otra. Decimos que
"𝑎"𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 y
Ejemplo; la razón de los números 5 y 50 es:
5
50
o
1
10
Razones inversas:
Aquellas cuyo producto es la unidad: 𝑎/𝑏 y 𝑏/𝑎
Ejemplo:
7
3
𝑦
3
7
7
3
3
21
7
21
∗ =
=1
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"𝑏" 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒.
APLICACIONES
CARTOGRAFÍA
En lenguaje de cartografía la razón se conoce
como escala.
Si un mapa está a escala de 1:1000, ¿Qué
significa? Indica que cualquier distancia
(digamos 1 cm) en el mapa, representa 1000
cm en la vida real es decir 10 metros.
DEMOGRAFÍA
Los demógrafos, que son los que
estudian la evolución de las poblaciones
establecen que la razón de natalidad
anual es de:
13
1000
Queriendo decir con esto de que por
cada 1000 habitantes nacen al año 13
bebés.
La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como
densidad poblacional.
Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de
285,255 personas y también se sabe que la superficie territorial es de 30.718,1
kilómetros cuadrados.
Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional
De:
285255
30718.1
= 9.3 Habitantes por kilómetro cuadrado
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PROPORCIONES
Un poco de historia…
El Hombre de Vitruvio debe su nombre a
Marco Vitruvio, un arquitecto romano del
siglo I a. C., que trabajó para Julio César y
que fijó algunas proporciones matemáticas
para definir al hombre perfecto. Leonardo
da Vinci aplicó estas fórmulas (retocadas
por él) para dibujar su famoso canon de las
proporciones humanas en uno de sus
. diarios.
El hombre de Vitruvio representa una figura masculina desnuda en dos
posiciones sobrepuestas en brazos y piernas y simultáneamente inscritas en un
círculo y un cuadrado.
Esta obra también recibe el nombre de Canon de las proporciones humanas.
Actualmente se encuentra en la Galería de la Academia de Venecia, Italia, y para
admirarla tendrás que tener la suerte que se encuentre en exhibición
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Marco Vitruvio aplicó sus conocimientos de arquitectura para intentar definir el
hombre perfecto a través de la simetría. Así, por ejemplo, algunas de las
proporciones que dejó escritas, fueron:

El rostro, desde la barbilla hasta la parte más alta de la frente, mide
una décima parte de la altura total.

La cabeza, desde la barbilla hasta su coronilla, mide la octava parte de
todo el cuerpo. Desde el esternón hasta las raíces del pelo equivale a
una sexta parte de todo el cuerpo.

Desde la parte media del pecho hasta la coronilla, una cuarta parte de
todo el cuerpo. La frente mide, igualmente, otra tercera parte del rostro.

El pie equivale a un sexto de la altura del cuerpo.
RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud; mediante
las operaciones de sustracción y división.
Si dicha comparación se realiza por sustracción se llama razón aritmética, pero si se
realiza mediante una división se llama razón geométrica.
Razón
aritmética
Razón
geométrica
𝒂−𝒃 =𝒓
𝒂
=𝒌
𝒃
división
sustracción
Donde
𝒂: 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒃: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒓: 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝒌: 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
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Ejemplo:
En física la velocidad 𝑣 de un cuerpo se expresa como distancia entre el tiempo
En 𝑣 =
𝑑
𝑡
, la razón
𝑑
𝑡
representa la proporción de la distancia que corresponde a una
unidad de tiempo.
EJEMPLO
Luis y Roxana son aficionados al atletismo. Deciden
hacer una competencia y observan que cuando Luis
recorre 25 metros, Roxana recorre 35 metros.
Basados en este ejemplo podemos afirmar que:
Roxana recorre 10 metros más que Luis
Para llegar a esta conclusión hemos efectuado una comparación por sustracción. A este
tipo de comparación le llamaremos razón aritmética,
𝟑𝟓 − 𝟐𝟓 = 𝟏𝟎
Antecedente
Consecuente
Valor de la
Razón
aritmética
𝒓 = 𝟏𝟎
Ahora
Si efectuamos la división entre la distancia recorrida por Roxana y la de Luis
obtenemos:
Antecedente
Consecuente
35
25
𝒌=
=
7
5
𝟕
𝟓
Valor de la
Razón
geométrica
Interpretación: Por lo que podemos afirmar que la rapidez de Roxana está en relación
de 7 a 5. La rapidez de Roxana es como 7 y la de Luis es como 5. Por lo tanto la
rapidez de Roxana es de 7/5 más que la de Luis.
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EJEMPLO
Los automóviles A y B se desplazan con
velocidad de 24 m/s y 20 m/s, respectivamente
comparemos sus velocidades.
24
𝑚
𝑠
−
Antecedente
20
𝑚
𝑠
= 4 𝑚/𝑠
Consecuente
Valor de
la razón
aritmética
𝑟 = 4 𝑚/𝑠
Interpretación: la velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del
automóvil “B”.
EJEMPLO
Los edificios M y N tienen una altura de 48
metro y 36 metros respectivamente,
comparemos sus alturas (en ese orden)
Antecedente
Consecuente
48
36
=
4
3
𝟒
𝒌=
𝟑
Valor de la
Razón geométrica
Interpretación. Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3, porque:
Altura de M: 4 (12), donde: 12 es la unidad de referencia.
Altura de N: 3(12)
Por cada 4 unidades de 48 metros hay 3 unidades de 36 metros.
Las alturas de los dos edificios M y N están en la relación de 4 a 3
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EJEMPLO Separa el número 27 en dos partes que estén en razón 4: 5

Solución
Formamos ecuación
4𝑥 + 5𝑥 = 27
9𝑥 = 27
𝑥=
27
9
Sustituimos el valor de 𝑥 para
obtener las partes correspondientes
4𝑥 = 4(3) = 12
5𝑥 = 5(3) = 15
27
La suma de estos dos resultados
son 27, la separación es 12 y 15
𝑥=3
EJEMPLO
En un triángulo rectángulo los ángulos agudos
son proporcionales a los números 3 y 7.
¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?

Solución
Como todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. Recuerda que la suma de los
tres ángulos es igual a 180°
Digamos que el primer ángulo es 3𝑥 grados, para algún x ∈ Z. Entonces, el segundo
ángulo será 7𝑥 grados.
Luego la suma de estos dos ángulos es 90°.
Formamos la ecuación
3𝑥 + 7𝑥 = 90°
10𝑥 = 90°
90
𝑥 = 10
Sustituyendo el valor de 𝑥
Para obtener los ángulos
3𝑥 = 3(9) = 27°
7𝑥 = 7(9) = 63°
𝑥 = 9°
90°
La suma de estos dos resultados son
90°, los ángulos calculados son 27° y 63°
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EJEMPLO
Las edades de 2 personas están en la razón
4: 7. ¿Qué edad tiene cada una si la diferencia
de sus edades es de 15 años?
Solución
Digamos que la primera persona tiene 4𝑥 años, para algún x ∈ Z. Entonces, la
segunda persona tendrá 7𝑥 años
Luego, como la diferencia de sus edades es 15 años, la ecuación queda así:
Formamos ecuación
4𝑥 − 7𝑥 = 15
3𝑥 = 15
𝑥=
15
3
𝑥=5
Sustituyendo el valor de 𝑥
Para calcular la edad de las dos personas
4𝑥 = 4(5) = 20 𝑎ñ𝑜𝑠 Edad persona 1
7𝑥 = 7(5) = 35 𝑎ñ𝑜𝑠 Edad persona 2
EJEMPLO
Un ángulo de 90° es dividido en 3 ángulos que
se encuentran en la razón 4 : 5 : 9, ¿Cuál es la
medida de los ángulos?
Solución
Llamemos α, β y γ a los ángulos.
Digamos que α = 4x°, para algún x ∈ Z.
Entonces, β = 5x° y finalmente γ = 9x°
Luego, como deben sumar 90°
entonces la ecuación queda así:
Sustituyendo el valor de 𝑥
Para calcular los ángulos
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
4𝑥 = 4(5) = 20°
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛽
5𝑥 = 5(5) = 25°
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛾
9𝑥 = 9(5) = 45°
Medidas de los tres ángulos
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Formamos ecuación
9𝑥 + 5𝑥 + 4𝑥 = 90
18𝑥 = 90
𝑥=
90
18
𝑥=5
RAZONES EQUIVALENTES
x 2
𝟔∶𝟖
entre 2
= 𝟏𝟐: 𝟏𝟔
𝟔∶𝟖 = 𝟑∶𝟒
x 2
Se lee 6 es 8 como 12 es a 16
entre 2
Se lee 6 es a 8 como 3 es a 4
Si tenemos una razón a : b, si se multiplica o divide a y b por el
mismo número, las razones resultantes son equivalentes.
Ejemplo
Roberto prepara una mezcla de 4 sacos de arena y 2 sacos de cemento. Mientras que
Elizabet prepara otra mezcla con 12 sacos de arena y 6 de cemento.
Escriba en forma de razón las cantidades de arena y cemento que utilizó cada uno.
Divida y observe el resultado.
Solución:
Mezcla de Roberto
Mezcla de Elizabet
4
2
La razón= 2
12 ∶ 6 𝑜
4∶2 𝑜
4÷2 =2
12
6
La razón = 2
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12 ÷ 6 = 2
Al dividir los números de la razón, el cociente es el mismo. Se dice que las dos razones
son equivalentes
Es decir…………
𝟒
𝟐
𝒆𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂
𝟏𝟐
𝟔
Ejemplo
A Lorenzo le piden encontrar una razón equivalente a 28 : 35 pero con números más
pequeños. Observa como lo hace
FORMA B
FORMA A
28 ∶ 35 =
28 37
∶
7
7
= 𝟒 ∶ 𝟓
7
28 4
=
35 5
7
= 𝟒 ∶𝟓
Una razón se puede simplificar si se divide los números que la forman entre un
mismo número. Si se quiere la simplificación con menores números, se divide
cada número entre el máximo común divisor de ambos.
Ejemplo
Simplificar 0.6 : 1.2
0.6 ∶ 1.2 = ( 0.6 𝑥 10) ∶ (1.2 𝑥 10 ) Multiplicamos por 10
=
6 ∶ 12
Dividido 6 y 12 entre su MCD
= 1 ∶ 2 Listo, aquí está la razón simplificada y equivalente de 0.6 : 1.2
Una razón expresada con decimales se puede convertir en una razón equivalente
expresada con números naturales. Esto hace más fácil su manejo.
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EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Tres números cuya suma es de 240 guardan entre si la relación de los números 2,
3 y 5. Hallar los número
2) Los Rodríguez y los Liotta alquilaron una casa quinta para pasar sus vacaciones, y
acordaron repartir el costo del alquiler en forma directamente proporcional a la
cantidad de integrantes de cada familia. La familia Rodríguez está compuesta por
el padre, la madre y cuatro hijos, mientras que los Liotta son el padre, la madre, un
hijo y la abuela. ¿Cuánto más deben abonar los Rodríguez, si el alquiler es de
$2500
3) La abuela Dora trajo una caja con 98 bombones y los quiere repartir entre sus nietos
más chicos – Agustina, Federico y Lucas – en forma directamente proporcional a
sus edades. Agustina tiene tres años, Federico, seis y Lucas, cinco. a) ¿Cuántos
bombones le tocarán a cada uno?
Respuestas
1) 48, 72 y 120
2) 500 pesos
3) 21, 42 y 35 bombones
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PROPORCIONES
PROPORCIONALIDAD ARITMÉTICA
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
Es la igualdad de dos razones
aritméticas
Ejemplo
9 − 7 = 10 − 8
Es la igualdad de dos razones
geométricas
Ejemplo
1
3
=
2
6
Donde 1 y 6 son extremos
2 y 3 son medios
En toda proporción geométrica el
producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
1
3
En este caso
=
2
6
(1)(6) = (2)(3)
6 =6
En general si
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
(𝑎)(𝑑) = (𝑏)(𝑐)
Entonces
Donde 9 y 8 son extremos
7 y 10 son medios
En toda proporción aritmética la suma
de los extremos es igual a la suma de
los medios.
En este caso
9 − 7 = 10 − 8
9 + 8 = 10 + 7
17 = 17
En general si
𝑎−𝑏 =𝑐−𝑑
Entonces
𝑎+𝑑 =𝑐+𝑏
Pueden ser:
Discretas cuando sus medios no son
iguales
Ejemplo 15 − 10 = 12 − 7
Pueden ser:
Discretas cuando sus medios no son
iguales
Continuas cuando sus medios son
iguales
Ejemplo 28 − 21 = 21 − 14
Continuas cuando sus medios son
Ejemplo
1
3
iguales. Ejemplo
=
1
4
4
12
=
4
16
Propiedad fundamental de las proporciones: el producto de medios es igual al
producto de extremos.
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1)
Propiedades
2)
3)
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 𝑐 𝑎+𝑐
= =
𝑏 𝑑 𝑏+𝑑
=𝑑
=
=
𝑎 𝑐 𝑎−𝑐
= =
𝑏 𝑑 𝑏−𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
𝑎+𝑐 𝑎−𝑐
=
𝑏+𝑑 𝑏−𝑑
𝑑
CUARTO PROPORCIONAL
Podemos calcular cualquier término de una proporción conociendo los otros tres. Se
llama cuarto proporcional al término que desconocemos en una proporción.
Lo representamos con la letra 𝑥:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑥
𝑥=
𝑏∗𝑐
𝑎
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES (TFP)
El Teorema Fundamental de las Proporciones dice que: En una proporción, el producto
de los extremos es igual al producto de los medios.
Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. Se escribe
Ejemplo
Dadas las proporciones, calcule el valor de la incógnita
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𝒙 𝟏𝟓
=
𝟒
𝟔
Multiplicación cruzada
6𝑥 = 4(15)
6𝑥 = 60
6𝑥 60
=
6
6
𝒙 = 𝟏𝟎
𝟒𝟗 𝒛
=
𝟓𝟔 𝟖
𝟓 𝟔𝟒
=
𝟖
𝒚
Multiplicación cruzada
5𝑦 = 8(64)
5𝑦 = 512
5𝑦 512
=
5
5
𝒚 = 𝟏𝟎𝟐. 𝟒
𝟓𝒙 + 𝟐
𝟏
=
𝟑𝒙 + 𝟐𝟓 𝟐
Multiplicación cruzada
Multiplicación cruzada
𝟐(5𝑥 + 2) = 𝟏(3𝑥 + 25)
10𝑥 + 4 = 3𝑥 + 25
10𝑥 − 3𝑥 = 25 − 4
7𝑥 = 21
56𝑧 = 49(8)
56𝑧 = 392
56𝑧 392
=
56
56
7𝑥 21
=
7
7
𝒛=𝟕
𝒙=𝟑
𝟔𝟑 𝟗
=
𝒙
𝟕
Multiplicación cruzada
9𝑥 = 7(63)
9𝑥 = 441
9𝑥 441
=
9
9
𝒙 = 𝟒𝟗
𝟖𝒙 − 𝟏𝟎
𝟐
=
𝟏𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 𝟐
Multiplicación cruzada
𝟐(8𝑥 − 10) = 𝟐(13𝑥 − 2𝑥)
16𝑥 − 20 = 26𝑥 − 4𝑥
16𝑥 − 20 = 22𝑥
16𝑥 − 22𝑥 = 20
−6𝑥 = 20
6𝑥
20
−
=
−6 −6
𝒙=−
𝟐𝟎
𝟔
EJEMPLO Es la proporción verdadera o falsa?
100 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 50 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
=
4 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
2 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
Analizamos primero las unidades son consistentes en los numeradores y las unidades
son consistentes en denominadores
Escribe la razón en su forma simplificada
100 ÷ 4 25
=
= 25
4÷4
1
50÷2
2÷2
=
25
1
=
25
1
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
= 25
Como las fracciones simplificadas son equivalentes, la proporción es verdadera
Respuesta: la proporción es verdadera
25 25
=
1
1
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IDENTIFICANDO PROPORCIONES VERDADERAS
Para determinar si una proporción compara razones iguales o no, puedes
seguir los siguientes pasos.
Asegúrate que las unidades en las razones individuales son consistentes ya
sea vertical
1. y horizontalmente. Por ejemplo,
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
=
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
o
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
= ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 son
representaciones verdaderas de una proporción.
3.
Expresa cada razón como una fracción simplificada.
4.
Si las fracciones simplificadas son la misma, la proporción
es verdadera; si las fracciones son distintas, la proporción es falsa.
EJEMPLO ¿Es la proporción verdadera o falsa?
5
9
=
9
8
Identifica la relación del producto cruzado
5 ∗ 8 = 40
Usa el producto cruzado para determinar si la proporción es
Verdadera o falsa
6 ∗ 9 = 54
40 ≠ 54
Como los productos no son iguales, la proporción es falsa.
Respuesta: La proporción es falsa.
EJEMPLO Resuelve la cantidad desconocida, n.
𝑛
25
=
4
20
Multiplicar cruzado
20𝑛 = 4 ∗ 25
20𝑛 = 100
100
𝑛=
20
𝑛=5
Respuesta . 𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 = 5
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EJEMPLO
Una oficina tiene 3 impresoras para 18
computadoras. Otra oficina tiene 20 impresoras
para 105 computadoras. ¿Es la razón de
impresoras y computadoras la misma para ambas
oficinas?
Identifica la relación
𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑎𝑠
=
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠
Escribe las razones que describen cada situación, e iguálalas.
3 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑎𝑠
20 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑎𝑠
=
18 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 105 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠
Comprueba que las unidades en los numeradores (impresoras) sean iguales
Comprueba que las unidades en los denominadores (computadora) sean iguales
3÷3
18÷3
=
20÷5
105÷5
1
6
≠
1
Simplifica cada fracción y determina si son equivalentes
6
=
4
21
4
21
Como las fracciones simplificadas no son iguales la proporción no es
verdadera
Respuesta: La razón de impresoras y computadoras no es la misma en las dos oficinas.
EJEMPLO
A Sandra le toma 1 hora para escribir 4
páginas. ¿Cuánto le tomaría completar
27 páginas?
Establece una proporción comparando las páginas que puede escribir y el tiempo que le
toma escribirlas
4 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎𝑠
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
=
27 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
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Encuentra el producto cruzado
4 𝑥 = 1 ∗ 27
4𝑥 = 27
𝑥=
27
4
= 6.75 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Respuesta: a Sandra le toma 6.75 horas para completar las 27 páginas.
PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTÍNUA.
Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamándose a cada uno de los términos
medios: Media diferencial o media aritmética
En la proporción aritmética contínua, se cumple que la media diferencial es igual a la
semisuma de los extremos.
Medios
𝟗−𝟔=𝟔−𝟑
Ejemplo:
Extremos
La media diferencia es 6
Para nuestro ejemplo
tendríamos que:
(9 + 3)
=6
2
¿Cómo se halla la media diferencial?
Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x”, colocándose
este último como término medio repetido, luego se halla el valor de “x” que es la media
diferencial.
Ejemplo. Hallar la media diferencial de 8 y 2.
Planteamos la proporción
8−𝑥 = 𝑥−2
Medios
10
2
=𝑥
8−𝑥 =𝑥−2
8+2=𝑥+𝑥
10 = 2𝑥
𝒙=𝟓
La media diferencia de 8 y 2 es 5
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¿Cómo se halla la tercia o tercera diferencial?
Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x”. Repitiéndose
como medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x” y esa es la tercia
diferencial.
Ejemplo: Hallar la tercera diferencia de 2 y 8
Planteamos la proporción
2−𝟖 =𝟖−𝑥
medios
Ahora resolvemos la ecuación
2−8=8−𝑥
−6 = 8 − 𝑥
−6 − 8 = −𝑥
−14 = −𝑥
(−1) − 14 = −𝑥
𝟏𝟒 = 𝒙
La tercera diferencial de 2 y 8 es 14
¿Cómo se halla la cuarta diferencial?
Se forma una proporción aritmética con los tres números dados y con “x”, colocándolos
en cualquier orden (x debe ir en la cuarta posición). Se halla el valor de “x” y ese es la
cuarta diferencial.
Ejemplo: Hallar la cuarta diferencial de 10, 4 y 8
Planteamos la proporción
10 − 4 = 8 − 𝑥
Resolvemos la ecuación
10 − 4 = 8 − 𝑥
10 − 4 − 8 = −𝑥
10 − 12 = −𝑥
(−1) − 2 = −𝑥
2=𝑥
La cuarta diferencial de 10,4 y 8
es 2
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PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Es la comparación de dos razones geométricas iguales.
6
Ejemplo:
2
=
12
4
Razón
geométrica 3
Razón
geométrica 3
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA
Es aquella cuyos términos son diferentes:
Ejemplo:
12
3
=
8
2
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 12 ≠ 8 ≠ 3 ≠ 2
En toda proporción geométrica debe cumplirse que el producto de los términos extremos
es igual al producto de los términos medios.
Tomando el ejemplo anterior: 12 x 2 = 3 x 8 = 24
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTÍNUA
Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamando a cada uno de los términos
medios: Media proporcional o media geométrica.
Ejemplo:
medios
8
4
=
4
2
extremos
En este caso la media proporcional es 4.
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En la proporción geométrica continua se cumple que la media proporcional es igual a la
raíz cuadrada del producto de los términos extremos.
Para este caso media proporcional es la raíz cuadrada de la multiplicación de los términos
extremos 8 y 2
√8*2= √16= 4
¿Cómo se halla la media proporcional?
Se forma una proporción geométrica con los números dados y con “x”, colocando “x” dos
veces como término medio repetido. Se halla el valor de “x”, ese valor es la media
proporcional.
Ejemplo: Halla la media proporcional de 12 y 3
Los números dados, se distribuyen de la siguiente manera:
12 𝑥
=
𝑥
3
Multiplicamos cruzado
𝑥(𝑥) = 12(3)
𝑥2 = 36
𝑥 = √36 = 6
𝑥=6
Luego, la media proporcional de los
números 12 y 3 es 6.
¿Cómo se halla la tercera proporcional?
Se forma una proporción geométrica con los dos números dados y con “x”, repitiéndose
como término medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x” y ese valor es la
tercera proporcional.
Ejemplo: Halla la tercera proporcional de 2 y 8
Los números dados se distribuyen de la siguiente manera:
2 8
=
8 𝑥
Por propiedad
2𝑥 = 8(8)
64
𝑥=
2
𝑥 = 32
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¿Cómo se halla la cuarta proporcional?
Se toma una proporción geométrica con los tres números dados y con “x”, colocándolos
en cualquier orden (con todo será práctico colocar “x” en cuarto lugar). Se halla el valor
de “x” y ese valor es la cuarta proporcional.
Ejemplo: Hallar la cuarta proporcional de 10, 5 y 18.
Los números dados, se distribuyen de la siguiente manera:
𝑥
5
=
18
𝑥
Por propiedad 10𝑥 = 5(18)
10𝑥 = 90 ……..𝑥 =
90
10
……. 𝒙 = 𝟗
La tercera proporcional de 10, 5 y 18 es 9
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Para hacer pan es necesario agregar 6 cucharadas de levadura por cada3kg de harina.
¿Cuántas cucharadas de levadura se necesitan para 7kg de harina?
2) Juan y Pedro aportaron un capital para formar una empresa y decidieron que sus
ganancias serían repartidas de manera proporcional a sus edades, que son 25 y 35 años,
respectivamente. Si las ganancias, a la fecha, son $3.336.000. ¿Cuánto debería recibir
cada uno?
3) Un automóvil recorre 30 kilómetros en 20 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 42
minutos manteniendo la misma velocidad? ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 55 minutos,
manteniendo la misma velocidad?
Respuestas
1) 14 cucharadas de levadura
2) Juan $ 1,390,000 y Pedro $ 1,946,000
3) 63 km, Resolver, 82 km
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PORCENTAJES APLICANDO PROPORCIONES
Un tanto por ciento o porcentaje expresa la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se
usa el símbolo %. En realidad no deja de ser una proporción en la que uno de sus términos
es 100.
Por ejemplo: Si en la etiqueta de un refresco de naranja leemos que contiene un 25% de
zumo natural, eso quiere decir que de cada 100 ml. de refresco 25 ml. son de zumo natural.
El resto serán otros ingredientes del zumo (agua, azúcar, conservantes....)
EJEMPLO De los 800 alumnos de un
colegio,
han
ido
de
viaje 600.
¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de
viaje?
Solución:
800 alumnos
100 alumnos
600 alumnos
x alumnos
Regla de tres simple.
Multiplicamos cruzado
800
100
=
600
𝑥
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800𝑥 = 600(100)
𝑥=
60,000
800
𝑥 = 75 %
𝒙 = 𝟕𝟓% 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒉𝒂𝒏 𝒉𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒋𝒆
EJEMPLO
Al comprar un monitor que cuesta 450 €
(euros) nos hacen un descuento del 8%.
¿Cuánto tenemos que pagar?
Solución
Hay un descuento de 8%, es decir, de cada 100 € (euros) pagamos menos, por tanto
en vez de los 100% pagamos el 92%
100 %
450 euros
100
450
=
92%
x
92
𝑥
100𝑥 = 450(92)
𝑥=
41.400
100
𝑥 = 414
= 414 𝐸𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 8%
Ejemplo El 26 % de los libros de una
biblioteca son novelas, el 18 % son libros
de poesía, el 10 % son libros de historia,
el 22% son libros de ciencias y el 24% son
enciclopedias y diccionarios. En la
biblioteca hay 1250 libros. ¿Cuántos libros
hay de cada tipo?
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Solución:
1,250 − − − −100%
𝑥 − − − −26% 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎𝑠
26(1250)
𝑥 = 100 = 𝟑𝟐𝟓 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒏𝒐𝒗𝒆𝒍𝒂
1,250 − − − −100%
𝑥 − − − −18% 𝑝𝑜𝑒𝑠í𝑎
18(1250)
𝑥 = 100 = 𝟐𝟐𝟓 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒆𝒔í𝒂
1,250 − − − −100%
𝑥 − − − −10% ℎ𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
10(1250)
𝑥 = 100 = 𝟏𝟐𝟓 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒉𝒊𝒔𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂
1,250 − − − −100%
𝑥 − − − −22% 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
22(1250)
𝑥 = 100 = 𝟐𝟕𝟓 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔
1,250 − − − −100%
𝑥 − − − −24% 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑝𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑥=
24(1250)
100
Total de libros de cada tipo
325 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎
225 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑒𝑠í𝑎
125 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
275 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
300 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑝𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠
1250 libros en total
= 𝟑𝟎𝟎 𝒆𝒏𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒑𝒆𝒅𝒊𝒂𝒔
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1) Las piezas de un puzzle que expresan el porcentaje de una cantidad se han
separado. Empareja los trozos correspondientes para volver a unir las piezas
11% de 7000 =
26 % de 500 =
400
507
45% de 200 =
770
78% de 650 =
90
32% de 1250 =
130
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2) Marina quiere regalarle a su hermano una cámara digital que cuesta 2,300 pesos,
sin añadirle el IVA del 16%. Si lleva 2,500 pesos. ¿Tendría suficiente dinero para
pagar? ¿Cuánto dinero le faltaría o le sobraría para pagar?
3) Carlos quiere comprarse un carro. El precio inicial del vehículo es de 65,000 pesos,
pero a esta cifra hay que añadirle el 16% de IVA. ¿Cuánto aumentará el precio del
carro?
Respuestas
1) 770, 130, 90, 507, 400
2) No, le faltan $ 168
3) aumentará $10,400
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Aprendizajes esperados:

Reconoce la existencia de las variables y distinguen sus usos como número
general, como incógnita y como relación funcional.

Reconocen patrones de comportamiento entre magnitudes.

Formula de manera coloquial escrita (retórica), numérica y gráficamente patrones
de comportamiento.

Reconoce fenómenos con comportamiento lineal o no lineal.

Diferencia los cocientes y/x y ∆y/∆x como tipos de relaciones constantes entre
magnitudes.

Representa gráficamente fenómenos de variación constante en dominios
discreto.
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¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PARA QUÉ SIRVE?
Antes necesitamos saber qué es una magnitud. Una magnitud es aquello que se puede
medir. Por ejemplo, el peso de una persona, el número de albañiles trabajando, el número
de plátanos, la cantidad de pienso que come un perro, la distancia entre dos pueblos o la
velocidad de un caballo al galopar.
Todas estas magnitudes se pueden relacionar con otras.
Se puede relacionar:

El peso de una persona con la talla de ropa que usa.

El número de albañiles trabajando con el tiempo que tardan en terminar la obra.

El número de plátanos con el número de cajas necesarias para colocarlos.

La distancia entre dos pueblos con el tiempo que se tarda en ir de uno a otro.

La velocidad de un caballo galopando con el tiempo que tarda el caballo en llegar
de un punto a otro
PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Entre más agua coloques a un jugo más jugo se tendrá.

Entre más tiempo se deje en el Sol un metal más caliente se pondrá.

Entre más tiempo deje cargando un teléfono más carga tomará.

Entre más trabajadores se contraten más se debe pagar por sueldo.
PROPORCIONALIDAD INVERSA

Entre mayor sea la velocidad menor será el tiempo.

Entre más trabajadores tengamos menos tiempo gastamos en realizar una tarea.

Entre más gastos se tengan menos ganancias se obtienen.

Entre más caudal haya en la pila menos el tiempo de llenado.
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EJEMPLO
La siguiente tabla muestra la relación entre las horas trabajadas y el dinero en dólares,
que obtuvo Juan trabajando a razón de $3.00 por hora.
En esta tabla, podemos ver que el dinero ganado es igual al producto de las horas
trabajadas por 3. Otra manera de decir eso es que la constante de variación o proporción
es igual o 3. También se puede observar que cada vez que "𝑥" aumenta en un 1, la variable
"𝑦" aumenta en 3.
Otra manera de decir eso es que la razón de cambio es igual a 3.
x= horas trabajadas
y= dólares ganados
0
0
1
3
2
6
3
9
4
12
EJEMPLO
Si cada caja de leche contiene 4 botellas, la tabla anterior muestra la relación entre el
número de cajas de leche y el número de botellas que contienen. En esta tabla, podemos
ver que el número de botellas de leche se obtiene multiplicando el número de cajas de
leche por 4.
Cajas de leche
Botellas de leche
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
En todas estas relaciones de los ejemplos anteriores, una variable es igual a otra variable
multiplicada por una constante distinta de cero. Estas relaciones se conocen como
proporciones directas o variaciones directas.
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PROPORCIÓN DE VARIACIÓN DIRECTA
Aprendizaje esperado: analiza y compara situaciones de variación lineal y
proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica,
interpreta y resuelve problemas que se modelan con este tipo de variación, incluyendo
fenómenos de la física y otros contextos.
PROPORCIÓN DE VARIACIÓN DIRECTA:
“Cuando dos cantidades o magnitudes son directamente
proporcionales, si al aumentar una magnitud la otra aumenta,
o si disminuye una magnitud la otra disminuye”.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:

La razón de proporcionalidad

Una regla de tres

El método de reducción a la unidad
Constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al
multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida)
por el mismo número.
Si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m 2 de la segunda
magnitud, se puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre
constante. A esta cantidad se le llama constante o razón de proporcionalidad directa.
Regla de tres directa Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad
directa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la razón o
constante de proporcionalidad directa para calcular el cuarto término.
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Reducción a la unidad. Sin embargo la regla de tres se convierte en un procedimiento
mecánico que, aunque permite resolver de forma fácil cualquier actividad, no se razona
de forma conveniente su resolución. Otro procedimiento que podemos llamar de reducción
a la unidad, consiste en calcular el valor de la segunda magnitud correspondiente a la
unidad de la primera. Este valor es el que se ha llamado anteriormente constante de
proporcionalidad directa. A partir de aquí es más fácil calcular el valor final de la segunda
magnitud.
Definición
Dadas dos variables “x” y “y”, los enunciados:
“y” varía directamente como “x”,
“y” es directamente proporcional a “x y”
“y” es proporcional a “x”
Todos significan que y = kx, para algún número real fijo “k”.
Al número “k” se le llama la constante de variación o constante de proporcionalidad. El
valor de “k” también representa la razón de cambio de la relación. Es decir, cada
aumento de 1 en “x” va a corresponder a un aumento de k en “y”.
Pasos para hallar la Fórmula para Relaciones de Variación Directa
Las relaciones de variación directa tienen la forma 𝑦 = 𝑘𝑥 donde "𝑥" y "𝑦" son
variables y "𝑘" es una constante distinta de cero. La fórmula para una relación de
variación directa se puede hallar mediante los siguientes pasos:
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
"𝑦" es directamente proporcional a "𝑥" significa
𝑦 = 𝑘𝑥
Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar "𝑘"
Paso 3: Sustituir "𝑘" y escribir la fórmula
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EJEMPLO "𝑝" varía directamente como "𝑧". Si 𝑝 = 210 cuando
𝑧 = 200, escribe la
fórmula para expresar la relación entre 𝑝 y 𝑧.
Solución:
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
"𝑝". varía directamente como "𝑧" significa
𝑝=𝑘∗𝑧
Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.
210 = 𝑘 ∗ 200
210 = k· 200
210
𝑘 = 200 = 1.05.
𝑘 = 1.05.
Paso 3: Sustituir "𝑘" y escribir la fórmula.
𝑝 =𝑘∗𝑧
𝑝 = 1.05𝑧
EJEMPLO "𝑢" es proporcional a "𝑣". Si 𝑢 = 16 cuando 𝑣 = 4, escribe la fórmula
para la relación entre "𝑢 𝑦 𝑣".
Solución
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
“u” es proporcional a “v” significa
𝑢 = 𝑘∗𝑣
Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.
16 = 𝑘 ∗ 4
Despejando
𝑘=
16
4
=4
Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.
𝑢 = 4𝑣
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EJEMPLO
Durante una jornada de trabajo, 6 operarios cavan una zanja de 80 metros de longitud.
¿Cuántos metros cavarán 42 operarios trabajando en las mismas condiciones?
Solución
a) Datos del problema
Numero de
operarios
6
42
Longitud de la
zanja
80
x
b) Analizar la proporcionalidad
Una atenta lectura, permite determinar que: si la variable número de operarios
aumenta, la variable longitud de la zanja también lo hace en la misma razón,
por el contrario, si una variable disminuye, la otra también disminuye en la misma
razón. Por lo tanto se trata de una proporción directa.
c) Plantear la proporción como consecuencia del tipo de proporcionalidad y resolver
Forma 1
Con los datos del problema,
formaremos la proporción
6
80
=
, 𝑥≠0
42
𝑥
Despejamos “x”
6𝑥 = 80 ∗ 42
3360
𝑥=
6
𝑥 = 560
¿Cuántos metros cavarán 42
operarios trabajando en las mismas
condiciones?
Respuesta. Cavarán 560 metros
Forma 2
Con los datos del problema,
calculamos la constante de
proporcionalidad (k) proporción:
𝑘=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑎𝑛𝑗𝑎
80
=
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
6
Simplificamos por 2.
𝑘=
40
3
Tenemos que
𝑘=
𝑥=
40
3
=
𝑥
42
(40)(42)
3
𝑥 = 560
¿Cuántos metros cavarán 42 operarios
trabajando en las mismas condiciones?
Respuesta. Cavarán 560 metros
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EJEMPLO Un automóvil recorre a velocidad constante de una ciudad a otra, si con 5
litros de gasolina recorre, 675 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 1, 2, 3, 4, 5 y 6
litros de gasolina?
Si dividimos “y “que representa los km, entre “x” que representa los litros, la constante de
proporcionalidad sería:
𝐾=
675
= 135 𝑘𝑚.
5
Los datos se pueden registrar en una tabla de variación proporcional como la siguiente.
x =Litros de
gasolina
1
y= Distancia en (km) 135
2
3
4
5
6
270
405
540
675
810
Esto quiere decir que, para buscar los km, se multiplica la constante por el tiempo.
Entonces la expresión algebraica de esta cuestión seria:
y= kilómetros
x= litros
𝒚 = (𝒌)(𝒙)
𝒌𝒎 = 𝟏𝟑𝟓 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔
Sustituimos en la ecuación, para obtener la cantidad de kilómetros recorridos.
𝒚 = (𝒌)(𝒙)
..𝒚 = (𝟏𝟑𝟓)(𝟐) = 𝟐𝟕𝟎
𝒚 = (𝟏𝟑𝟓)(𝟑) = 𝟒𝟎𝟓 ..𝒚 = (𝟏𝟑𝟓)(𝟒) = 𝟓𝟒𝟎 𝒚 = (𝟏𝟑𝟓)(𝟓) = 𝟔𝟕𝟓 𝒚 = (𝟏𝟑𝟓)(𝟔) = 𝟖𝟏𝟎
Una vez completada la tabla ya se puede realizar la gráfica, en la cual se utiliza una parte
del plano cartesiano, principalmente el primer cuadrante. En donde cada pareja de la
tabla se registra por medio de puntos, que al final se unen para obtener la gráfica.
gráfica proporcional directa
D
i
s
t
a
n
c
i
a
k
m
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
Litros de gasolina
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6
7
NOTA: Los datos de la primera fila de la tabla se colocan en el eje horizontal, eje x de
las abscisas (litros de gasolina) y los datos de la segunda fila de la tabla se colocan en
el eje vertical “y” de las ordenadas (distancia en km) como lo pueden observar en la
gráfica.
EJEMPLO. En una fábrica de balones, cada trabajador fabrica 5 balones al día. Si la
empresa contrata más trabajadores, el número de balones que se fabrica será mayor.
Escribimos una tabla con el número de trabajadores y el de balones fabricados al día:
x=TRABAJADORES y=BALONES
1
2
3
5
5
10
15
25
Si dividimos el número de balones entre el de trabajadores, obtenemos un resultado
constante:
5
1
=5
10
-
2
=5
15
-
3
=5
25
-
5
= 5 Este número se denomina constante de
proporcionalidad o razón.
Con la siguiente tabla procedemos a construir la gráfica que representa la proporción
directa.
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NOTA: Los datos de la primera fila de la tabla se colocan en el eje horizontal, eje x de
las abscisas (número de trabajadores) y los datos de la segunda fila de la tabla se
colocan en el eje vertical “y” de las ordenadas (número de balones) como lo pueden
observar en la gráfica.
EJEMPLO
Un coche ha dado 60 vueltas a un circuito en 105 minutos. Calcula el tiempo que
tardará en recorrer en el mismo circuito 40 vueltas.
REGLA DE TRES DIRECTA
Numero de
vueltas
60
40
𝟏𝟎𝟓
𝟔𝟎
=
𝒙=
minutos
105
x
𝒙
𝟔𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟓(𝟒𝟎)
𝟒𝟎
𝟏𝟎𝟓(𝟒𝟎)
𝟔𝟎
𝒙=
REDUCCION A LA UNIDAD
Numero de
vueltas
minutos
60
60/60 = 1
1* 40
40
105
105/60=1.75
1.75*40
70
Solución: 70 minutos
𝟒𝟐𝟎𝟎
= 𝟕𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
𝟔𝟎
Solución: 70 minutos
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EJERCICIOS PARA PRACTICAR
Indicaciones
Realiza una tabla de variación proporcional y la gráfica de variación, de cada una de las
siguientes cuestiones:
1) Carmen compra en la dulcería 3 bolsas de dulces y
pagó $180.00; ¿cuánto pagaría si compra 1, 2, 3, 4, 5 y
6 bolsas de dulces de la misma denominación?
2) Si cuatro personas pintan un muro en 18 días, ¿Cuantas
personas pintaran un muro en 2, 3, 4, 6 y 9 días?
3) A cierta hora del día un poste de 1.5 metros de largo
proyecta una sombra de 60 centímetros. ¿Cuánto mide
un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de
2.40 metros?
PROPORCIÓN DE VARIACIÓN INVERSA
Se le llama proporcional inversa se dice:
“Cuando dos cantidades o magnitudes son inversamente proporcional si, al
aumentar una de las magnitudes la otra disminuye en proporción inversa a la
primera”.
Es decir que, si una cantidad aumenta el doble, la otra cantidad disminuye a la
mitad y el producto de las dos magnitudes es la constante de proporcionalidad (k).
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Constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al
multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada)
por el mismo número.
Si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m2 de la segunda
magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre
constante. A este producto se le llama constante de proporcionalidad inversa.
Regla de tres inversa. Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad
inversa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la constante
de proporcionalidad inversa para calcular el cuarto término.
Reducción a la unidad. Sin embargo, la regla de tres se convierte en un procedimiento
mecánico que, aunque permite resolver de forma fácil cualquier actividad, no se razona
de forma conveniente su resolución.
Otro procedimiento que podemos llamar de
reducción a la unidad, consiste en calcular el valor de la segunda magnitud
correspondiente a la unidad de la primera.
Este valor es el que se ha llamado
anteriormente constante de proporcionalidad inversa. A partir de aquí es más fácil calcular
el valor final de la segunda magnitud.
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EJEMPLO
La rapidez de un automóvil es de 70 Km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta
distancia. ¿Cuántas horas demorara, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con
una rapidez de 80 ok/h?
Solución
a) Datos del problema
b)
Velocidad del
automóvil (km/h)
70
80
Tiempo
(horas)
5
x
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c) Analizar la proporcionalidad
Una atenta lectura permite determinar que: para una distancia constante, si la variable
velocidad aumenta, la variable tiempo disminuye en la misma razón, por el contrario, si
una variable disminuye, la otra aumenta en la misma razón, Por lo tanto se trata de una
proporción inversa
d) Plantear la proporción como consecuencia del tipo de proporcionalidad y resolver .
La constante de proporcionalidad es:
𝑘 = 𝑥𝑦
𝑘 = 70 ∗ 5 = 350
Con los datos del problema , formaremos las dos proporciones
Velocidad del
automóvil (km/h)
70
80
Tiempo
(horas)
5
x
70
5
80
𝑥
Como nuestra proporcionalidad es inversa, invertimos las razones
70
=
𝑥
80
5
Despejamos a “𝑥"
70 ∗ 5 = 80 𝑥
70∗5
=𝑥
80
350
=𝑥
80
4.37 = 𝑥
El auto demorará 4.37 horas en recorrer la misma distancia
EJEMPLO: En una construcción dos albañiles tardan en construir un muro en 12 días.
¿Cuántos días tardarán en construir un muro: 2, 3, 6, 8, 12 y 16 albañiles?
Si multiplicamos “y “que representa los días, por “x” que representa los albañiles, la
constante de proporcionalidad sería:
𝑘 = 12(2) = 24
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Los datos se pueden registrar también en una tabla de variación proporcional como la
siguiente:
x=Albañiles
2
3
6
8
12
16
y=Tiempo (días)
12
8
4
3
2
1.5
Esto quiere decir que, para buscar los días que tardan lo albañiles en hacer un muro,
Se divide la constante de proporcionalidad entre el número de albañiles.
Entonces la expresión algebraica de esta cuestión seria:
𝑘
𝑦=𝑥
24
𝑑 = 𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
Sustitución en la ecuación para completar la tabla
24
𝑑=
= 𝟑 𝒅𝒊𝒂𝒔
24
8 𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑑=
= 𝟖 𝒅𝒊𝒂𝒔
3 𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
24
𝑑=
= 𝟐 𝒅𝒊𝒂𝒔
24
12 𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑑=
= 𝟒 𝒅𝒊𝒂𝒔
6 𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
24
𝑑 = 16 𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠 = 𝟏. 𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔
Una vez ha completado la tabla ya se puede realizar la gráfica, en la cual se utiliza una
parte del plano cartesiano, principalmente el primer cuadrante. En donde cada pareja de
la tabla se registra por medio de puntos, que al final se unen para obtener la gráfica.
NOTA: Los datos de la primera fila de la tabla se colocan en el eje horizontal (eje “x” de
las abscisas) y los datos de la segunda fila de la tabla se colocan en el eje vertical (eje
“y” de las ordenadas) como lo pueden observar en la gráfica.
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gráfica de variación proporcional inversa
14
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
Como puedes observar la gráfica de una variación proporcional inversa es una línea
curva llamada hipérbola.
EJEMPLO
El número de obreros y los días que tardan en pintar una torre representa una situación
de proporcionalidad inversa. Complete la siguiente tabla donde se relacionan estas
variables.
x= No. De obreros
y= No. De días
1
90
2
45
3
30
4
22.5
6
15
Aplicamos la fórmula de la constante de proporcionalidad 𝑘 = 𝑥𝑦
Recuerda que 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 y 𝑦 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠
𝑘 = 1(90) = 90
Despejamos a “y” para calcular número de días
𝑘 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑘
𝑥
Aplicamos formula y sustituimos valores
𝑦=
90
= 𝟑𝟎
3
𝑦=
90
= 𝟏𝟓
𝟔
𝑦=
90
= 𝟐𝟐. 𝟓
𝟒
𝑦=
90
= 𝟏𝟎
𝟗
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9
10
18
5
Una vez ha completado la tabla ya se puede realizar la gráfica, en la cual se utiliza una
parte del plano cartesiano, principalmente el primer cuadrante. En donde cada pareja de
la tabla se registra por medio de puntos, que al final se unen para obtener la gráfica.
GRAFICA DE PROPORCIÓN DE VARIACIÓN INVERSA
NOTA: Los datos de la primera fila de la tabla se colocan en el eje horizontal “x” de las
abscisas (número de obreros) y los datos de la segunda fila de la tabla se colocan en el
eje vertical “y” de las ordenadas (número de días) como lo pueden observar en la gráfica
EJEMPLO 6 fotocopiadoras tardan 6 horas en realizar un gran número de copias,
¿cuánto tiempo tardarían 4 fotocopiadoras en realizar el mismo trabajo?
REGLA DE TRES INVERSA
fotocopiadoras
6
4
6∗6= 4∗𝑥
horas
6
x
6∗6
𝑥= 4 =9
Solución: 9 horas
REDUCCION A LA UNIDAD
fotocopiadora
horas
6
6/6 = 1
1* 4
4
6
6*6=36
36/4
9
Solución: 9 horas
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EJEMPLO 18 alumnos han pagado 6 euros cada uno para comprar un regalo a una
compañera, ¿cuánto tendrá que pagar cada uno si al final participan 24 alumnos?
REGLA DE TRES INVERSA
Número de
personas
18
24
18 ∗ 6 = 24 ∗ 𝑥
REDUCCION A LA UNIDAD
Euros
6
x
𝑥=
Solución: 4.5 Euros
18∗6
24
= 4.5
Numero de
persona
Euros
18
18/18 = 1
1*24
24
6
6*18=108
108/24
4.5
Solución: 4.5 Euros
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EJERCICIOS PARA PRACTICAR
INDICACIONES
Escribe la constante de proporcionalidad, realiza la tabla de variación y la gráfica de
cada una de las siguientes cuestiones, en tu libreta de apuntes.
1) Una frutería vende tres sacos de mandarina en $510.00; ¿cuánto pagarías si compras
1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 sacos de mandarinas?
2) Si 5 personas pintan una casa en 8 días, ¿cuantas personas pintaran una casa en 2,
4, 5, 8 y 10 días?
3) Una persona paga mensualmente a una compañía telefónica $390.00 por el servicio
de internet. ¿cuánto paga por 1, 2, 3, 4, 5, 6 y7 meses?
1) Proporción directa
sacos 1
2
3
dinero 170 340 510
2) Proporción inversa
4
680
días
2
4
#personas
20
10
3) Proporción directa
5
8
5
850
8
5
6
1020
7
1190
10
4
mes
1
2
3
4
5
6
7
costo 390 780 1170 1560 1950 2340 2730
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CARPETA DE EVIDENCIAS SEGUNDO PARCIAL
Semestre: Agosto 2021 – Enero 2022
EVIDENCIA
Propósito: Que el estudiante aprenda a identificar y a resolver problemas de productos
notables y factorización, así como problemas de razones y proporciones. Para
aplicarlos en su contexto.
Instrucciones para el alumno: De manera individual el alumno resolverá los
siguientes problemas propuestos por el facilitador y lo integrará a su carpeta de
evidencias. Lo realizara a mano, en hojas blancas con margen y con su nombre,
utilizando solo pluma negra para los enunciados y lápiz para la solución del ejercicio.
No deberá contener tachones o rayones. Deberá entregar sus evidencias en Forma y
Tiempo. (Anexa el procedimiento)
NOMBRE DEL ALUMNO:_________________________________________________
CARRERA: ____________________________________________________________
NOMBRE DEL PROFESOR(A): ___________________________________________
BINOMIO AL CUADRADO
1.- Desarrollar el cuadrado de la suma (𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 )2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
2. Escribe el término que falta en TCP. 49x4 +
Anexa los procedimientos.
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+ 36
BINOMIO CONJUGADO
3. Desarrollar (3x4 - 4) (3x4 + 4)
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
4. Calcular el área del terreno cuyas dimensiones se muestran en la figura.
Aplica la fórmula para obtener el valor del área
2x +11
2x - 7
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx +C
5. Factorizar el trinomio n2+ 5n -24
6. Factorizar el trinomio x2+19x +34
RAZÓN
7. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la razón 7/4
Calcula el peso de cada vehículo
PORCENTAJES APLICANDO PROPORCIONES
8.-El 75% de un grupo de árboles son pinos. Si hay 160 árboles, ¿cuántos son pinos?
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PROPORCIÓN DE VARIACIÓN DIRECTA
9. En una frutería venden las sandias a $ 12.35 pesos el kilo. Completa la siguiente
tabla y realiza la gráfica de variación.
Número de
kilos
Costo en
pesos
1
3
4
24.7
5
61.75
86.45
PROPORCIÓN DE VARIACIÓN INVERSA
10. Una bañera con 1 grifo tarda en llenarse 1 hora, con 2 grifos la mitad y así
sucesivamente, completa la siguiente tabla indicando el tiempo que tardara en llenarse
según el número de grifos que tenga. Realiza la gráfica de variación.
Número de
grifos
Tiempo en
minutos
1
2
3
4
60
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5
6
NOMBRE DEL ALUMNO:
CARRERA:
CICLO ESCOLAR
SEMESTRE: 1°
GRUPO:
2021-2022
APRENDIZAJES ESPERADOS:
1. Caracteriza una relación proporcional directa.
2. Resignifica en contexto al algoritmo de la regla de tres simple.
3. Expresa de manera simbólica fenómenos de naturaleza
proporcional en el marco de su vida cotidiana. (Productos Notables y
Factorización)
NOMBRE
Ejercicios de variación
proporcional, productos
notables y factorización
PLAN DE EVALUACIÓN
TIPO
Formativa
PARCIAL: SEGUNDO
PRODUCTOS ESPERADOS:
 Ejercicios de variación proporcional
directa e inversa aplicando la regla
de 3 simple.
 Ejercicios
o
problemas
de Productos
Notables
y
Factorización.
 Ejercicios de razón y proporción
directa e inversa.
ALCANCE
PONDERACIÓN
Heteroevaluación
100%
CUMPLE
SÍ
NO
CRITERIOS A EVALUAR
OBSERVACIONES
1. Expresa correctamente la razón como la comparación de dos
cantidades.
2. Resuelve correctamente porcentajes aplicando proporciones
3. Obtiene el resultado correcto de problemas proporción
inversa y construye grafica de variación.
4. Obtiene el resultado correcto de problemas proporción
directa y construye grafica de variación.
5. Desarrolla correctamente binomios al cuadrado
6. Resuelve correctamente trinomio cuadrado perfecto.
7. Resuelve correctamente los binomios conjugados.
8. Desarrolla correctamente binomios con término común.
9. Desarrolla correctamente la factorización de Trinomios de la
forma x2 + bx + c
10. Entrega los trabajos en orden y limpieza
11. Entrega los productos esperados en el tiempo solicitado.
RESULTADO DE EVALUACIÓN
COMPETENCIAS GENÉRICAS:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de
medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
ATRIBUTOS:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en
el que se encuentra y los objetivos que persigue.
5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALUÓ:
OBSERVACIONES:
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BIBLIOGRAFÍA
Álgebra Elemental. Allen R. Angel
Álgebra. Baldor, Aurelio. Grupo Editorial Patria, 2da Edición.
Álgebra Elemental. Richard N. Aufman / Joanne S. Lockwood
Álgebra. Contreras Riquelme, Teresa Edda, Gafra Editores, 2da Edición.
Aritmética y Álgebra, Fuenlabrada de la Vega Trucíos, Samuel; Fuellabrada Velázquez,
Irma Rosa. (2014). México. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta Edición.
Matemáticas I. Cuéllar Carvajal, Juan Antonio. Editorial McGraw-Hill, 3ra Edición.
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