Práctica 1 de laboratorio de circuitos II:
Medición de la potencia en un circuito trifásico: Análisis
y Simulación.
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Nicolás Orcasitas García – Ingeniería de electrónica - 2190418
Jorge Eduardo Angarita Pérez – Ingeniería electrónica - 2190427
Sergio Sebastián Oliveros Sepúlveda – Ingeniería electrónica – 2190396
«La vida es y siempre seguirá siendo una ecuación incapaz de resolver, pero tiene ciertos
factores que conocemos»
Nikola Tesla.
En el circuito de la figura, las bombillas son una carga balanceada. Cada bombilla es de
500 𝑊 a 120 𝑉. Asuma una resistencia constante. El motor trifásico es un motor de 5 𝑘𝑊
con factor de potencia 0.8 en atraso. El secundario del transformador proporciona una
tensión balanceada de 208 𝑉 y opera con una frecuencia de 60 𝐻𝑧. La carga está situada a
1500 𝑚 del transformador trifásico, y los vatímetros se ubican en los terminales del
transformador. La resistencia e inductancia reactiva de la línea de distribución es 0.403 Ω y
0.143 Ω respectivamente por cada 1000 𝑚 de cable de la línea. El valor de la resistencia 𝑅
es de 100 Ω.
Para el sistema trifásico descrito calcule:
- Las tensiones de línea y las tensiones de fase en la carga.
- La lectura de los vatímetros 𝑊1 y 𝑊2.
- Las corrientes del transformador.
Realice un diagrama fasorial para cada sistema trifásico, es decir, el transformador y las dos
cargas.
Simule el sistema en Simulink y haga un análisis comparativo con los resultados obtenidos
en el análisis fasorial.
Imagen 1. Circuito del problema.
Desarrollo del circuito:
Datos Iniciales:
Bombillas:
𝑃𝑏 = 500 [𝑊] 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑖𝑙𝑙𝑜.
𝑉𝑏 = 120 [𝑉] 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑖𝑙𝑙𝑜.
𝑉 2 1202
𝑅=
=
= 28,8 [𝛺]
𝑃
500
Imagen 2. Resistencias en paralelo.
𝑅𝑎 = 28.8 [Ω] 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑖𝑙𝑙𝑜.
Imagen 3. Resistencia equivalente.
𝑅1 =
𝑅𝑎
2
= 14.4[Ω] 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒.
Motor:
𝑃𝑚 = 5 [𝑘𝑊]
𝑓𝑝𝑚 = 0.8 𝑒𝑛 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
cos 𝜃 = 𝑓𝑝 = 0,8 (factor de potencia del motor)
𝜃 = cos −1 0,8
𝜃 = 36,87° (Angulo de la potencia compleja del motor)
𝑆3𝜙 =
𝑃
5 ∗ 103
=
= 6,25[𝑘𝑉𝐴] (𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟)
cos 𝜃
0,8
𝑆̃
3𝜙 = 6,25⌊36,87° [𝑘𝑉𝐴] (Fasor potencia compleja trifásica del motor)
Imagen 4. Triángulo de potencias.
𝑆̃
3𝜙
= 𝑆̃
1𝜙 = 2.0833⌊36,87° [𝑘𝑉𝐴]
3
|𝑉𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 | =
𝑍𝑚 =
208
√3
≈ 120[𝑉𝑟𝑚𝑠]
|𝑉𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 |2
1202
=
= 6.9121⌊36,87° [𝛺] = 5.5296 + 4.1472𝑗 [𝛺]
∗
2.0833 ∗ 103 ⌊−36,87°
𝑆̃
1𝜙
𝑋𝑚 = 𝐿𝑀 𝜔 = 𝐿𝑀 (2𝜋𝑓)
→
𝐿𝑀 =
𝑋𝑀
= 0.011 [𝐻]
2𝜋𝑓
Línea de transmisión:
𝑍𝐿 (𝑥) = 𝑥(𝑅 + 𝑗𝑋𝑠 ) → 𝑍𝐿 (1.5 𝑘𝑚) = 1.5(𝑅 + 𝑗𝑋𝑠 ) = 1.5(0.403 + 𝑗0.143)
𝑍𝐿 = 0.6045 + 𝑗0.2145 [𝛺] (𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐿í𝑛𝑒𝑎)
𝑋𝐿 = 0.2145 [𝛺] = 𝐿𝐿 𝜔 = 𝐿𝐿 (2𝜋𝑓)
→
𝐿𝐿 =
𝑋𝐿
= 5.6765 ∗ 10−4 [𝐻]
2𝜋𝑓
Resistencia adicional:
𝑅𝑑 = 100 [𝛺] (𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎)
Voltajes de la fuente:
𝑓 = 60 [𝐻𝑧] (𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)
Como no se especifica la secuencia se asume positiva, además se asumen los ángulos de desfase de la
tensión.
𝑉𝑎𝑏 = 208⌊30° 𝑉𝑏𝑐 = 208⌊−90° 𝑉𝑐𝑎 = 208⌊150° (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟)
𝑉𝑎𝑛 =
208
√3
⌊0° = 120⌊0° 𝑉𝑏𝑛 = 120⌊−120° 𝑉𝑐𝑛 = 120⌊120° (𝑉𝑜𝑙𝑡. 𝐹𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. )
Ecuaciones del circuito:
Se optó por la técnica de análisis de nodos:
Imagen 5. Nodos del Circuito.
Quedamos con:
𝑉𝑥 − 120⌊0 𝑉𝑥
𝑉𝑥
+ +
= 0 (𝐿. 𝐼. 𝐾. 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝑋)
𝑍𝐿
𝑅1 𝑍𝑚
𝑉𝑦 − 120⌊−120 𝑉𝑦
𝑉𝑦 𝑉𝑦 − 𝑉𝑧
+
+
+
= 0 (𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑌)
𝑍𝐿
𝑅1 𝑍𝑚
𝑅𝑑
𝑉𝑧 − 𝑉𝑦
𝑉𝑧 − 120⌊120 𝑉𝑧
𝑉𝑧
+ +
+
= 0 (𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑍)
𝑍𝐿
𝑅1 𝑍𝑚
𝑅𝑑
De la ecuación del nodo X :
1
1
1
120⌊0
𝑉𝑥 ( +
+
)=
𝑍𝐿 𝑅1 𝑍𝑚
𝑍𝐿
120⌊0
(
)
𝑍𝐿
𝑉𝑥 =
=
1
1
1
( +
+
)
𝑍𝐿 𝑅1 𝑍𝑚
Además:
1
1
1
1
𝑉𝑧
120⌊−120
𝑉𝑦 ( +
+
+ )−
=
𝑍𝐿 𝑅1 𝑍𝑚 𝑅𝑑
𝑅𝑑
𝑍𝐿
𝑉𝑧 (
𝑉𝑦
1
1
1
1
120⌊120
+
+
+ )−
=
𝑍𝐿 𝑅1 𝑍𝑚 𝑅𝑑
𝑅𝑑
𝑍𝐿
Resolvemos las 2 ecuaciones anteriores en Matlab, y llegamos a:
𝑉𝑥 = 106,2176⌊0.6509[𝑉𝑟𝑚𝑠]
𝑉𝑦 = 105,5559⌊−119,7779[𝑉𝑟𝑚𝑠]
𝑉𝑧 = 105,2012⌊120,7493[𝑉𝑟𝑚𝑠]
Ya teniendo esto calculamos las tensiones de línea:
𝑉𝑥𝑦 = 𝑉𝑥 − 𝑉𝑦 [𝑉] 𝑉𝑦𝑧 = 𝑉𝑦 − 𝑉𝑧 [𝑉]
𝑉𝑧𝑥 = 𝑉𝑧 − 𝑉𝑥 [𝑉]
𝑉𝑥𝑦 = 183,7965 ⌊30,3340[𝑉𝑟𝑚𝑠] 𝑉𝑦𝑧 = 182,0343 ⌊−89.5706[𝑉𝑟𝑚𝑠]
𝑉𝑧𝑥 = 183,1855⌊150,8588[𝑉𝑟𝑚𝑠]
Las corrientes en el transformador son:
𝐼𝑎 =
𝐼𝑏 =
120⌊0 − 𝑉𝑥
= 21.7178⌊−24.51 [𝐴𝑟𝑚𝑠]
𝑍𝐿
120⌊−120 − 𝑉𝑦
= 22.6674⌊−141.14 [𝐴𝑟𝑚𝑠]
𝑍𝐿
𝐼𝑐 =
120⌊120 − 𝑉𝑧
= 23.3230⌊95.19 [𝐴𝑟𝑚𝑠]
𝑍𝐿
La potencia medida por los vatímetros es:
𝑊1 = 𝑉𝑥𝑦 ∗ 𝐼′𝑦 ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝜃𝑥𝑦 − 𝜃𝑦 ) = 4,6594[𝑘𝑊]
𝑊2 = 𝑉𝑦𝑧 ∗ 𝐼′𝑧 ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝜃𝑦𝑧 − 𝜃𝑧 ) = 2,7991[𝑘𝑊]
Como la conexión es Aaron, podemos encontrar la potencia compleja de la fuente:
𝑃3∅ = 𝑊1 + 𝑊2 = 7,4585[𝑘𝑊]
𝑄3∅ = √3(𝑊1 − 𝑊2 ) = 3,2221[𝑘𝑉𝐴𝑅]
𝑆𝑓 = 8,1247⌊23,3647[𝑘𝑉𝐴]
Con todos los valores anteriores podemos construir los siguientes diagramas fasoriales:
Diagrama fasorial del transformador:
Imagen 6. Diagrama fasorial de las corrientes y voltajes de fase del transformador.
.
Diagrama fasorial del motor:
Imagen 7. Diagrama fasorial de las corrientes y voltajes de fase del motor
Diagrama fasorial de las cargas (Bombillas):
Imagen 8. Diagrama fasorial de las corrientes y voltajes de fase de la carga.
Simulación del circuito:
Siguiendo las indicaciones dadas se continuó con la implementación del sistema en Simulink,
obteniendo entonces el siguiente diagrama:
Imagen 9. Diagrama en Simulink.
De izquierda a derecha encontramos:
-
-
-
-
-
-
A. Fuente de voltaje: Esta representa al secundario del transformador, el cual es el elemento
que activa el circuito, tomamos como ángulo de referencia los 0°, para la frecuencia fueron
60 [𝐻𝑧] y su voltaje de línea fue 208 [𝑉].
B. Voltímetros de los Vatímetros: Aquí medimos los 2 voltajes de los 2 vatímetros.
C. Impedancia de línea: Se usó una Three-Phasic RLC Branch, para sus valores tuvimos en
cuenta la expresión de 𝑍𝐿 = 0.6045 + 𝑗0.214 [𝛺], dado que solo poseíamos la reactancia, fue
preciso hallar la inductancia equivalente: 𝐿𝐿 = 5.69 ∗ 10−4 [𝐻].
D. Medidor de voltaje y Corriente: Consiste en un medidor propio de la librería Simscape, el
cual permite encontrar las corrientes de línea de la fuente trifásica, junto con la información
del primer medidor podemos encontrar la lectura del vatímetro.
E. Cargas 1 y 2 (Bombillas): Para modelarlas necesitamos un subsistema, el cual contiene en
realidad 2 cargas resistivas puras con 𝑅𝑎 = 28.8 [Ω], además incluye la medidora para los
voltajes de fase y de línea. Hay que destacar que pudimos haber optado por una sola carga si
combináramos las 2 resistencias en paralelo.
F. Carga Desbalanceada: Está compuesta por una sola resistencia de 𝑅𝑑 = 100 [Ω], cuenta con
un medidor de corriente y voltaje, al igual que en el caso del desarrollo con ecuaciones, si
analizaron las diferencias obtenidas al desaparecerla.
G. Motor: Para este primero se tuvo que calcular una impedancia equivalente, cuestión que
se realizó en el desarrollo a mano del problema, igual que en el caso de la impedancia de línea
tuvimos que calcular una inductancia equivalente con la reactancia dada.
Tras iniciar la simulación se obtuvieron los siguientes datos:
Imagen 10. Datos simulación.
Además, ya que propiamente no pudimos insertar un vatímetro en Simulink, tuvimos que realizar
este último cálculo a mano, entonces tuvimos que usar la respectiva fórmula con los datos obtenidos:
𝑊1 = 𝑉𝑥𝑦 ∗ 𝐼 ′ 𝑦 ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝜃𝑥𝑦 − 𝜃𝑦 ) = 4,65871 [𝑘𝑊]
𝑊2 = 𝑉𝑦𝑧 ∗ 𝐼 ′ 𝑧 ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝜃𝑦𝑧 − 𝜃𝑧 ) = 2,79929 [𝑘𝑊]
Con el fin de determinar comparar los resultados, realizamos los porcentajes de error de cada
variable utilizada:
Variable
Valor del Análisis
Valor según Simulink
|𝑉𝑥 |
|𝑉𝑦 |
106,2176 [𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
105,5559 [𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
106,22[𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
105,56[𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
Porcentaje de error
[%]
0.0022
0.0039
|𝑉𝑧 |
|𝑉𝑥𝑦 |
105,2012 [𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
183,7965 [𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
105,20[𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
183,80[𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
0.0011
0.0019
|𝑉𝑦𝑧 |
182,0343 [𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
182,03[𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
0.0024
|𝑉𝑧𝑥 |
|𝐼𝑎 |
|𝐼𝑏 |
|𝐼𝑐 |
𝑊1
𝑊2
183,1855 [𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
21.7178 [𝐴𝑟𝑚𝑠 ]
22.6674 [𝐴𝑟𝑚𝑠 ]
23.3230 [𝐴𝑟𝑚𝑠 ]
4,6594 [𝑘𝑊]
2,7991 [𝑘𝑊]
183,18[𝑉𝑟𝑚𝑠 ]
21.72 [𝐴𝑟𝑚𝑠 ]
22.67 [𝐴𝑟𝑚𝑠 ]
23.33 [𝐴𝑟𝑚𝑠 ]
4,65871 [𝑘𝑊]
2,79929 [𝑘𝑊]
0.003
0.0101
0.0114
0.03
0.0001
0.00006
Se encontró que los porcentajes de error eran ínfimos, los valores eran los mismos.
También se analizó el caso en el que no existe la carga desbalanceada, este pequeño cambio simplifica
mucho este problema, pues podremos analizar el circuito por medio del equivalente monofásico,
además al simular este caso notamos que las tensiones obtenidas van a ser iguales en magnitud a la
tensión 𝑉𝑥 obtenida en el primer análisis ya que esta no fue afectada por la resistencia de 100 [𝛺]
(puesta entre 𝑉𝑦 y 𝑉𝑧 ). Al no existir una resistencia que desbalancee el circuito el desfase entre las
tensiones y corrientes será de 120 grados. Todo lo anterior se evidencia al correr la simulación:
Imagen 11. Segunda prueba con solo cargas balanceadas.