Fişă de lucru
1) Să se scrie polinoamele următoare sub forma algebrică:
Prin forma algebrică sau forma canonică înţelegem f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0
a) i) f   X  1   3 X  1 , f    X 
2
2
ii) f   X  1   2 X  1 , f    X 
3
b) i) f   X  2    3 X  1 , f    X 
2
2

 
ii) f   X  3    2 X  1 , f    X 
2
c) i) f   X  i    X  i  , f    X 
2

3
3
3
ii) f   2 X  3i    2 X  i  , f    X 

2
d) i) f  4 X  1  X  3 2 X  3 , f   6  X 
2

2
 


3
ii) f  2 X  1  X  3 2 X  1 , f   4  X 
2) Calculaţi f  g , f  g , 2 f  3g şi scrieţi rezultatul sub forma algebrică dacă:
a) i) f  X 3  1 , g  X 2  2 X  1 , ii) f  X 2  X  1 , g  X 2  X  1
b) i) f  X 2  3 X , g  X 2  2 3 X  1 ii) f  X 3  2 X  1 , g  X 3  X 2  2 X  1
ii) f  2 X 3  iX 2  2  3i , g  3 X 3  2iX 2  2 X  3i ,
c) i) f  X 2  iX , g  X 2  iX ,
ii) f  X 2  X  1 , g  X 2  X  2 f   3  X 
d) i) f  X 3  1 , g  X 2  2 X  1 , f   6  X 
3) Calculaţi f  g , f 2 şi scrieţi rezultatul sub forma algebrică dacă:
a) i) f  X  1 , g  X 2  X  1 ,
ii) f  X 2  X  1 , g  X  1
b) i) f  X 2  3 X , g  X 2  3 X ii) f  X 3  2 X  1 , g  X 3  2 X  1
ii) f  2 X 3  3i , g  2 X 3  3i ,
c) i) f  X 2  iX , g  X 2  iX ,
ii) f  X 2  X  1 , g  X 2  X  2 f   3  X 
d) i) f  X 3  2 , g  X 2  2 X  1 , f   6  X 
4) Să se determine în funcţie de parametrul real m, gradul polinoamelor f    X  :
Dacă f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 şi an  0 atunci spunem că polinomul f are gradul n .
Notaţie grad  f   n sau gr  f   n
a) f   m  1 X 3   m  1 X 2  3 X  1 , a  0 .
b) f   m  1 X 3   m 2  1 X 2  3 X  1 , a  0 .
c) f   m 2  1 X 4   m 2  4  X 3   m  3 X 2  3 X  2
d) f   m2  5m  6  X 4   m 2  4  X 3   m  2  X 2  3 X  2
5) Să se determine a, b, c, ...   știind că f  g
Polinoamele f şi g sunt egale şi scriem f  g dacă gr  f   gr  g  şi ai  bi , i  1, n adică au
grade egale şi coeficienţii corespunzători egali.
a) f   4a  b  X 3   a  b  X 2   c  3 , g  6 X 3  X 2  5
b) f   4a  b  X 3  bX 2  c  1 , g   2a  b  X 3  2 X 2  b  3
c) f   4a  b  X 3   a  b  X 2   c  3 , g   2a  b  X 3  2 X 2   a  c 


d) f  3a  3b X 2  2 X  2a  3b , g  2 X 2  2 X  3a  2b
f , g  5  X 
1
6) Să se determine a, b, c, ...   știind că
a) f  aX 2  bX  c , a  0 . pentru care forma algebrică a polinomului g   X  1  f este
X 3 1
b) f  aX 3  bX 2  cX  d , a  0 . pentru care forma algebrică a polinomului
g   X  1  f este X 4  1
c) f  aX 3  bX 2  cX  d  1 , a  0 . pentru care forma algebrică a polinomului
g   X  1 X  1  f este X 5  1
d) f  aX 4  bX 3  cX 2  dX  1 , a  0 . pentru care forma algebrică a polinomului
g   X  1 X  1  f este X 6  1
7) Să se calculeze valoarea f   a polinomului f în cazurile:
Numărul f    an n  an1 n1  ...  a1  a0 se numeşte valoarea polinomului în α şi se obţine
din calculul înlocuirii nedeterminatei X cu  .
a) i) f  2 X 3  4 X 2  X  3,   2 ii) f  X 4  X 3  4 X 2  X  2,   1 ,
b) i) f  2 X 3  4 X 2  X  3,   2 ii) f  2 X 4  X 2  X  1,    2
c) i) f  X 4  3 X 2  X  2,   2i ii) f  X 4  2 X 2  3,   i 3
 f    X  ,   3 ii) f  X 4  3 X 2  2 X  1, f    X  ,   2
d) i) f  X 4  4 X 2  3 X  5,
5
4
8) Să se calculeze P și S în cazurile:
a) P  f  0   f 1  f  2  S  f  1  f  2   f  3 , dacă f  X 3  X 2  X  1
b) P  f  2   f  3  , S  f  2 2   f   3  ,
c) P  f  i   f  i  , S  f 1  i   f 1  i  ,
    
dacă f  2 X 2  3 X  1
dacă f  2 X 2  iX  1
  
 f    X ,
d) P  f 0  f 1  f 2 , S  f 3  f 4  f 5 , dacă f  X 3  2 X 2  X  3,
7
9) Determinați polinomul f în cazurile:
a) f    X  , f  X 3  X 2  aX  b și f 1  0, f  1   4
b) f    X  , grad f = 1 și f  1  8, f  2   1 ,
c) f    X  , grad f = 2 și f 1  0, f  0   1, f  2   5 ,


d) f   7  X  , f  X 3  aX 2  b și f 0  5 şi f 1  3 .
10)
Să se calculeze suma coeficienţilor polinomului f în cazurile:
Suma coeficienţilor se obţine calculând valoarea polinomului în 1 adică
S  f 1  an  an 1  ...  a1  a0
a)
b)
c)
d)
11)
i) f  2 X 3  4 X 2  X  3 ii) f  X 4  X 3  4 X 2  X  2,
i) f  2 X 3  4 X 2  X  3 ii) f  2 X 4  X 2  X  1
i) f  X 4  3 X 2  X  2  i ii) f  X 4  2 X 2  3  i
 f    X  ii) f  X 4  3 X 2  2 X  1, f    X 
i) f  X 4  4 X 2  3 X  5,
5
4
Să se calculeze suma coeficienţilor polinomului f în cazurile:
2
a) i) f   2 X  1
2017
b) i) f   2 X 3  3
c) i) f   X 4  i 
10

2018
ii) f   3 X  4 
2017
ii) f   X 4  X 2  X 
ii) f   X 8  i 
d) i) f  X 4  4 X 2  3 X  5
2018
12

2017


, f  *5  X  ii) f  X 4  3 X 2  2 X  1
2018
, f 4  X 
Verificați dacă  este rădăcină pentru polinomului f :
12)
Numărul  este rădăcină pentru polinomului f dacă f    0
a)
b)
c)
d)
13)
i) f  X 3  8 ,   2
ii) f  X 3  64 ,   4
ii) f  X 3  6 ,    3 6
i) f  X 2  5 ,   5
i) f  X 3  6 X 2  11X  6 ,   2 ii) f  X 3  6 X 2  11X  6 ,   1
f  X 6  2 X 5  4 X 4  3 X 3  3 X 2  11X  6 ,   1 ii) f  X 7  i ,   i
Verificaţi dacă  este rădăcină dublă pentru polinomul f :
 f    0

 este rădăcină dublă pentru polinomul f dacă  f l    0 adică α este rădăcină pentru f,
 f ll    0

pentru f l şi nu e pentru f ll
a) i) f  X 3  5 X 2  8 X  4 ,   2
ii) f  X 3  3 X 2  3 X  1 ,   1
ii) f  X 3  3 X  2 ,   1
b) i) f  X 3  X 2  X  1 ,   1
c) i) f  X 3  5 X 2  3 X  9 ,   3 ii) f  X 3  7 X 2  12 X  9 ,   3
d) f  X 3  9 X 2  24 X  16 ,   4 ii) f  X 3  7 X 2  8 X  16 ,   4
14) Calculaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la g în următoarele cazuri:
a) f  X 4  3 X 3  2 X 2  X  1, g  X 2  X  1, f , g  [ X ] ;
b) f  X 5  2 X 3  X 2  5 X  1, g  X 3  1, f , g  [ X ] :
c) f  X 3  2 X 2  2 X  1, g  X 2  2, f , g  [ X ]
d) f  X 5  2 X 4  2 X 2  2 X  6, g  X 2  2 X  5,
f , g  [ X ]
4
3
2
2
e) f  X  (1  i ) X  2 X  iX  11, g  X  X  i, f , g  [ X ]
f) f  X 4  (1  i) X 3  2 X 2  iX  1, g  X 2  i, f , g  [ X ]
15) Calculaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la g în următoarele cazuri:
a) f  X 4  2 X 3  2 X 2  X  1, g  X 2  X  1, f , g   3 [ X ] ;
b) f  X 5  2 X 3  X 2  1, g  X 3  1, f , g   3[ X ] :
ˆ
c) f  X 3  2ˆ X 2  3ˆ X  1,ˆ g  X 2  2,
f , g   5[ X ]
ˆ g  X 2  2ˆ X  5,
ˆ
f , g   7[ X ]
d) f  X 5  2ˆ X 4  2ˆ X 2  6ˆ X  6,
 g  2 X 2  3 X ,
e) f  3 X 3  4 X 2  3 X  2,
f , g   5[ X ]
f) f  2 X 3  3 X 2  2 X  1, g  5 X 2  2 X , f , g   6 [ X ]
16) Calculaţi restul împărţirii polinomului f la g în următoarele cazuri:
3
Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X   este egal cu valoarea polinomului în
 adică f ( ) deci reţinem că r  f  
a) f  X 4  3 X 3  2 X 2  X  1, g  X  1, f , g  [ X ] ;
b) f  X 5  2 X 3  X 2  5 X  1, g  X  1, f , g  [ X ] :

c) f  X 3  2ˆ X 2  3ˆ X  1,ˆ g  X  3,
f , g   5[ X ]

ˆ g  X  2,
d) f  X 5  2ˆ X 4  2ˆ X 2  6ˆ X  6,
f , g  7[ X ]
4
3
2
e) f  X  (1  i ) X  2 X  iX  11, g  X  i, f , g  [ X ]
f) f  X 4  (1  i) X 3  2 X 2  iX  1, g  X  i, f , g  [ X ]
17)
Calculaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la g în următoarele cazuri:
Câtul şi restul împărţirii unui polinom f prin binomul X   se pot afla cu schema lui
Horner
a) f  X 5  5 X 4  2 X 2  3 X  1, g  X  1, f , g  [ X ]
b) f  3 X 6  2 X 5  7 X 4  X  2, g  X  1, f , g  [ X ]
1
1
1
3
1
f , g  [ X ]
2
2
2
2
2
ˆ g  X  3,
ˆ f , g  [X ]
d) f  X 5  X 4  2ˆ X 2  3ˆ X  4,
5
6
4
3
2

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e) f  X  2 X  X  7X  6 X  6, g  X  5, f , g  11[ X ]
c) f  X 4  X 3  X 2  X  , g  X  ,
f) f  X 4  (2  i) X 3  2iX 2  X  1  i, g  X  i, f , g  [ x]
18)
Determinaţi m   în următoarele cazuri:
a) f  X 4  mX 3  2 X 2  (m  1) X  m  1 să dea restul 5 la împărţirea cu X  2 ;
b) f  X 3  2 X 2  (m  1) X  m  1 să dea restul 1 la împărţirea cu X  2 ;
c) f  X 3  2 X 2  (m  1) X  m  1 să dea restul 1 la împărţirea cu X  3 ;
d) f  X 3  (2m  1) X 2  (m  1) X  3m  1 să fie divizibil cu X  3 .
e) f  X 3  (2m  1) X 2  (m  1) X  3m  1 să fie divizibil cu X  1 .
f) f  X 3  (m  1) X 2  (m  1) X  2m  1 să fie divizibil cu X  2 .
19)
Determinaţi m, n   în următoarele cazuri:
a) f  X 4  (2m  n) X 3  (m  n) X  1 dă restul 1 la împărţirea cu X  2 şi restul 2
împărţirea cu X  1 .
b) f  X 3  (m  n) X 2  (m  n) X  1 dă restul 2 la împărţirea cu X  2 şi restul 2
împărţirea cu X  1 .
c) f  X 4  (2m  n) X 3  (m  n) X  1 dă restul 3 la împărţirea cu X  1 şi restul 2
împărţirea cu X  1 .
d) f  X 4   m  3 X 3   2m  3 X 2  nX  3 dă restul 5 la împărţirea cu X  1 şi restul 3
împărţirea cu X  1 .
20)
Fără a efectua împărţirea, determinaţi restul împărţirii polinomului
la
la
la
la
4
Dacă nu aplicăm algoritmul la împărţirea cu  X    X    atunci determinarea restului
se va face astfel: aplicăm T.I.R şi obţinem f   X    X     q  mx  n şi apoi calculăm
f   şi f    în două moduri şi obţinem un sistem în m şi n
a)
b)
c)
d)
e)
f)
21)
a)
f  X 4  3 X 3  2 X 2  X  4 la polinomul g   X  2  X  1 ;
f  X 3  6 X 2  11X  5 la polinomul g = X 2  3 X  2 .
f  X 4  3 X 3  2 X 2  X  2 la polinomul g   X  1 X  1 ;
f  X 3  6 X 2  11X  6 la polinomul g = X 2  3 X  2 .
f  X 100  3 X 99  4 la polinomul g  X 2  1 ;
f  X 200  X 101  X  1 la polinomul g  X  X  1 .
Aplicând teorema împărțirii cu rest aflați
restul împărţirii polinomului f prin  X  1 X  1 dacă f împărţit prin X  1, X  1
dă restul 2 şi respectiv 3.
b) restul împărţirii polinomului f prin  X  1 X  1 X  2  dacă f împărţit prin
X  1, X  1, X  2 dă resturile 2, 6 şi respectiv 3.
c) restul împărţirii polinomului f prin  X  1 X  2  X  2  dacă f împărţit prin
X  2, X  1, X  2 dă resturile 1, 2 şi respectiv 3.
d) restul împărţirii polinomului f prin  X  1 X  2  X  3 dacă f împărţit prin
X  1, X  2, X  3 dă resturile 1, 1 şi respectiv 1.
22)
Arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul g unde:
Polinomul f este divizibil cu binomul X   dacă şi numai dacă f    0 adică  este
rădăcină.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
23)
f  X 3 8 , g  X  2
f  X 3  27 , g  X  3
f  X 3  6 X 2  11X  6 , g  X  2
f  X 6  2 X 5  4 X 4  3 X 3  3 X 2  11X  6 , g  X  1
f  X 3  6 X 2  11X  6 , g  X  1
f  X3 2 , g  X  2
Arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul g unde:
f  g dacă şi numai dacă f împărţit la g dă restul 0
a)
b)
c)
d)
e)
f  X 3 1 , g  X 2  X 1
f  X 3  27 , g  X 2  3 X  9
f  X 3  6 X 2  11X  6 , g  X 2  3 X  2
f  X 6  2 X 5  4 X 4  3 X 3  3 X 2  11X  6 , g   X  3 X  1 X  2 
f  X 3  6 X 2  11X  6 , g  X 2  3 X  2
5
f) f  nX n 2   n  1 X n1  X , g   X  1
24)
Arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul g unde:
2
f  g dacă şi numai dacă rădăcinile lui g sunt şi rădăcini pentru f.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
25)
f  X 4  3 X 3  2 X 2  X  3 , g   X  2  X  1 ;
f  X 3  6 X 2  11X  6 , g  X 2  3 X  2 .
f  X 4  3 X 3  2 X 2  X  3 , g   X  1 X  1 ;
f  X 3  6 X 2  11X  6 , g  X 2  3 X  2 .
f  X 100  3 X 99  5 , g  X 2  1 ;
f  X 200  X 101  X , g  X  X 2  1 .
Arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul g unde:
a) f   X 2  X  1
2 n 1
b) f   X 2  X  1
4 n 1
c) f   X  1
n2
 X , g  X 2 1
  X 2  X  1
4 n3
, g  X 2 1
 X 2 n 1 , g  X 2  X  1
d) f   X  1    X  , g  X 2  X  1
e) f  X 6 n 1  X  1, g  X 2  X  1
f) f  X 12 n 2  X 6 n1  1, g  X 2  X  1
26)
Arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul g unde:
2 n 1
n2
f   X    dacă şi numai dacă  este rădăcină multiplă de ordin p pentru f .
p
 f    0
 l
 f    0
adică α este
 rădăcină multiplă de ordin p pentru polinomul f dacă 
...

 f ( p 1)    0

rădăcină pentru f, pentru f l , f l l ,…, f (p) şi nu e pentru f (p+1)
a) i) f  X 3  5 X 2  8 X  4 , g   X  2 
b) i) f  X 3  X 2  X  1 , g   X  1
ii) f  X 3  3 X  2 , g   X  1
2
c) i) f  X 3  5 X 2  3 X  9 , g   X  3
d)
27)
a)
b)
c)
d)
28)
ii) f  X 3  3 X 2  3 X  1 , g   X  1
2
2
ii) f  X 3  7 X 2  12 X  9 , g   X  3
2
3
2
i) f  nX n 1  nX n  nX  n , g   X  1 ii) f  nX n  2   n  1 X n 1  X , g   X  1
Determinați a, b   astfel încât f  g unde:
2
2
f  X 4  3 X 3  bX 2  aX  b , g  X 2  1
f  X 3  6 X 2  aX  b , g  X 2  3 X  2
f  aX 3 +bX 2  37 X  14 , g  X 2  X  2
f  X 4  aX 3  iX 2  b , g  X 2  i
Determinați un polinomul f în cazurile:
6
Dacă cunoaştem rădăcinile x1 , x2 ,..., xn atunci putem afla polinomul desfăcând parantezele
an  X  x1  X  x2   ...   X  xn  , an  0 .
a)
b)
c)
d)
29)
a)
b)
c)
d)
30)
a)
b)
c)
d)
31)
a)
b)
c)
32)
a)
b)
c)
33)
a)
i) gr ( f )  2 , x1  1, x2  3, ii) gr ( f )  2 , x1  2, x2  5,
i) gr ( f )  2 , x1  1, x2  3, ii) gr ( f )  2 , x1  2, x2  i,
i) gr ( f )  3 , x1  1, x2  3, x3  2 ii) gr ( f )  3 , x1  1, x2  3, x3  2
i) gr ( f )  3 , x1  1, x2  3, x3   3 ii) gr ( f )  3 , x1  1, x2  i, x3  i
Determinați rădăcinile reale ale polinomului f dacă:
i) f  X 3  3 X  2 ii) f  X 3  3 X  2
i) f  X 3  3 X 2  4 ii) f  X 3  7 X 2  12 X  9 ,
i) f  X 3  5 X 2  3 X  9 ii) f  X 3  5 X 2  3 X  9 ,
i) f  X 3  5 X 2  8 X  4 , ii) f  X 4  4 X 3  2 X 2  12 X  9
Determinați rădăcinile complexe ale polinomului f dacă:
f  X 3  6 X 2  11X  6
f  X 3  6 X 2  11X  6
f  X 3  4X 2  X  6
f  X 5  3X 4  4 X 3  4 X 2  3X 1
Determinați ordinul de multiplicitate al rădăcinii indicate dacă:
f  X 4  8 X 3  23 X 2  28 X  12,   2
f  X 5  5X 4  7 X 3  2X 2  4X  8 ,   2
f  X 5  7 X 4  17 X 3  8 X 2  16 X  16 ,   2
Determinați a, b   dacă:
f  X 3  3 X 2  aX  b admite rădăcina dublă 2
f  X 3  3 X 2  aX  b admite rădăcina dublă 1
f  X 3  3 X 2  aX  b admite rădăcina dublă 1
Determinați rădăcinile polinomului f    X  dacă admite rădăcina indicată:
f  X 3  X 2  2, x1  1  i
1  i 3
2
4
3
2
c) f  X  7 X  19 X  23 X  1, x1  2  i
b) f  X 4  2 X 3  X  2, x1 
34)
Determinați a, b   și rădăcinile polinomului f    X  dacă admite rădăcina
indicată:
a) f  X 3  X 2  aX  b , x1  1  i
b) f  X 4  aX 3  49 X 2  bX  78, x1  3  2i
c) f  X 4  aX 3  bX 2  X  1, x1  i
35)
Determinați rădăcinile polinomului f    X  dacă admite rădăcina indicată:
a) f  X 3  X 2  3 X  3, x1   3
7
b) f  X 4  4 X 3  4 X 2  16 X  12, x1  1  3
c) f  X 4  2 X 3  3 X 2  6 X  18, x1  1  7
36)
Determinați a, b   și rădăcinile polinomului f    X  dacă admite rădăcina
indicată:
a) f  X 3  X 2  aX  b , x1  3
b) f  X 4  2 X 3  25 X 2  aX  b , x1  4  2 2
c) f  X 4  10 X 3  aX 2  34 X  b , x1  3  5
37)
Descompuneţi în factori polinoamele f dacă:
Fie f   X  , f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 cu rădăcinile distincte x1 , x2 ,..., xn .
Formula de descompunere este :
f  an  X  x1  X  x2   ...   X  xn 
Dacă rădăcinile nu sunt distincte atunci:
p
f  an  X  x1   X  x2   ...   X  xk  unde p1 , p2 ,..., pk sunt ordinele de multiplicitate a
rădăcinilor x1 , x2 ,..., xk
p1
a)
b)
c)
d)
38)
a)
b)
c)
d)
39)
p2
k
i) f  X 3  3 X  2 ii) f  X 3  3 X  2
iii) f  X 3  3 X 2  4
i) f  X 3  6 X 2  11X  6 ii) f  X 3  7 X 2  12 X  9 , iii) f  X 3  6 X 2  11X  6
i) f  X 3  5 X 2  3 X  9 ii) f  X 3  5 X 2  3 X  9 , iii) f  X 3  4 X 2  X  6
i) f  X 3  5 X 2  8 X  4 ii) f  X 4  4 X 3  2 X 2  12 X  9 iii) f  X 5  3 X 4  4 X 3  4 X 2  3 X  1
Descompuneţi în factori ireductibili polinoamele f în mulţimile cerute dacă:
i) f  X 3  5 X  4, f    X  ii) f  X 3  5 X  6, f    X  iii) f  X 3  3 X 2  4, f    X 
i) f  X 3  6 X 2  11X  6 , f    X  ii) f  X 3  7 X 2  12 X  9 , f    X 
i) f  X 3  5 X 2  3 X  9 f    X  ii) f  X 3  5 X 2  3 X  9 , f    X 
i) f  X 3  5 X 2  8 X  4, f    X  ii) f  X 4  X 2  1, f    X  f  X 4  X 2  1, f    X 
Dacă f    X  atunci arătați că:
Dacă f    X  atunci f  x   f  y   x  y
a) i) f  2017   f  3  1007 ii) f  2017   f  2015   2
b) i) f  f  2017    f  f  7    10 ii) f  f  2017    f  f  5    4
c) i) f  f  2    f  f  2017    5 ii) f  f  2015    f  f  2017    2
40)
Scrieţi relaţiile lui Viète pentru următoarele polinoame:
Fie f    X  , f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 cu rădăcinile x1 , x2 ,..., xn . Relaţiile lui Viète sunt :
V1  x1  x2  ...  xn  
an 1
an
8
a
V2  x1 x2  x1 x3  ...  xn 1 xn  n  2
 an
2
Cn termeni
a
V3  x1 x2 x3  x1 x2 x4  ...  xn  2 xn 1 xn   n 3

an
3
Cn termeni
....
Vn  x1 x2 ...xn  (1) n 
a)
b)
c)
d)
41)
a0
.
an
i) f  X 3  X 2  X  2 ii) f  X 3  X 2  2, iii) f  X 3  1,
i) f  X 4  X 3  X 2  2 X  1 ii) f  X 4  X 3  X  1 iii) f  X 4  2 ,
i) f  X 4  X 3  2 X 2  4 X  8 ii) f  X 4  X  16 , iii) f  X 4  X 3  1,
i) f  X 5  5 X 4  7 X 3  2 X 2  4 X  8 ii) f  X 5  X  16 , iii) f  X 5  X ,
Determinați ecuaţiile care verifică relaţiile în cazurile următoare:
Dacă cunoaştem V1 ,V2 ,...,Vn atunci ecuaţia care are soluţiile x1 , x2 ,..., xn este :
x n  V1 x n 1  V 2 x n  2  ...  ( 1) k Vk x n  k  ...  ( 1) n Vn  0.
a)
b)
c)
d)
42)
i) V1  1, V2  3 ii) V1  1, V2  2
i) V1  1, V2  3,V3  1 ii) V1  2, V2  3,V3  1
i) V1  1, V2  3,V3  1 ii) i) V1  1, V2  i,V3  1
i) V1  1, V2  3,V3  1,V4  2 ii) V1  1, V2  3,V3  0,V4  2
Fie f  X 3  2 X  1 cu rădăcinile x1 , x2 , x3 . Calculați:
a) i) x12  x22  x32 ii)
b) i)
x
x1
x
 2  3
x2 x3 x3 x1 x1 x2
c) i) x15  x25  x35 ii)
43)
1 1 1
 
x1 x2 x3
iii)
1
1
1


x1 x2 x2 x3 x3 x1
iv) 1  x1   1  x2   1  x3 
ii) x13  x23  x33
iii) x14  x24  x34
iv) 1  x1   1  x2   1  x3 
3
2
3
2
3
1  x1 1  x2 1  x3
x2
x12
x2
iv) 1  x1 1  x2 1  x3 
 2  3 iii)


x2 x3 x3 x1 x1 x2
x2 x3
x1 x3
x1 x2
Fie f  X 3  X 2  1 cu rădăcinile x1 , x2 , x3 . Calculați:
a) i) x12  x22  x32 ii)
1 1 1
 
x1 x2 x3
b) i) x13  x23  x33 ii) x14  x24  x34
c) i) x15  x25  x35 ii)
44)
2
1
1
1
2
2
2
iv) 1  x1   1  x2   1  x3 


x1 x2 x2 x3 x3 x1
x
x
x
3
3
3
iii) 1  2  3 iv) 1  x1   1  x2   1  x3 
x2 x3 x3 x1 x1 x2
iii)
x2
1  x1 1  x2 1  x3
x12
x2
iv) 1  x1 1  x2 1  x3 
 2  3 iii)


x2 x3 x3 x1 x1 x2
x2 x3
x1 x3
x1 x2
Fie f  X 4  X 3  2 X  1 cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 . Calculați:
a) i) x12  x22  x32  x42 ii)
1 1 1 1
1
1
1
1
iii)
  



x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2
9
b) i) x13  x23  x33  x43 ii) x14  x24  x34  x44 iii)
c) i) x  x  x  x
5
1
45)
5
2
5
3
5
4
x3
x1
x
x
 2 
 4
x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
x32
x12
x2 2
x4 2
1  x1 1  x2 1  x3 1  x4
ii)
iii)






x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
Fie f  X 4  X 3  X  1 cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 . Calculați:
1 1 1 1
1
1
1
1
iii)



  
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2
x3
x1
x
x
ii) x14  x24  x34  x44 iii)
 2 
 4
x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
a) i) x12  x22  x32  x42 ii)
b) i) x13  x23  x33  x43
c) i) x15  x25  x35  x45 ii)
46)
x2
1  x1 1  x2 1  x3 1  x4
x12
x2
x2
iii)
 2  3  4



x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
Fie f  X 4  X 3  X  1 cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 . Calculați:
1 1 1 1
1
1
1
1



  
iii)
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2
x3
x1
x
x
ii) și x14  x24  x34  x44 iii)
 2 
 4
x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
a) i) x12  x22  x32  x42 ii)
b) i) x13  x23  x33  x43
c) i) x15  x25  x35  x45 ii)
47)
1  x1 1  x2 1  x3 1  x4
x2
x12
x2
x2
 2  3  4
iii)



x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 x2 x3
Arătaţi că următoarele polinoame nu au toate rădăcinile reale :
Dacă x12  x22  ...  xn2  0 atunci polinomul nu are toate rădăcinile reale
a)
b)
c)
d)
48)
a)
b)
c)
49)
a)
b)
c)
50)
a)
b)
c)
i) f  X 3  X 2  X  2 ii) f  X 3  X 2  2 X  1, iii) f  X 3  1,
i) f  X 4  X 3  X 2  2 X  1 ii) f  X 4  X 3  X 2  1 iii) f  X 4  2 ,
i) f  X 4  X 3  2 X 2  4 X  8 ii) f  X 4  X  16 , iii) f  X 4  X 3  X 2  1,
i) f  X 5  2 X 4  7 X 3  2 X 2  4 X  8 ii) f  X 5  X  16 , iii) f  X 5  X
Determinați rădăcinile polinoamelor dacă:
i) f  X 3  6 X 2  11X  6 și x1  x2  3 ii) f  X 3  6 X 2  11X  6 și x1  x2  3
i) f  X 3  5 X 2  2 X  24 și x1  x2  7 ii) f  3 X 3  7 X 2  18 X  8 și x1  x2  3
i) f  2X 3  X 2  7 X  3 și x1  x2  1 ii) f  X 3  13 X 2  12 și x1  x2  2
Determinați m   dacă:
f  X 3  6 X 2  11X  m și x1  x2  3
f  X 3  5 X 2  2 X  m și x1  x2  7
f  X 3  6 X 2  11X  m și x1  x2  5
Determinați m   dacă:
f  X 3  6 X 2  11X  m și x1  x2  x3
f  X 3  4 X 2  2 X  m și x1  x3  x2
f  X 3  6 X 2  11X  m și x2  x3  x1
10
51)
Determinați m   dacă:



b) f  X 3  6 X 2  11X  m și x1 , x2 , x 3

a) f  X 3  6 X 2  11X  m și x1 , x2 , x 3
c) f  2 X 3  12 X 2  6 X  m și x1 , x2 , x 3
52)


Determinați m   dacă:



3
2
b) f  X  13 X  39 X  m și x1 , x2 , x 3


c) f  2 X 3  7 X 2  7 X  m și x1 , x2 , x 3

a) f  X 3  7 X 2  14 X  m și x1 , x2 , x 3
53)
Rezolvaţi următoarele ecuaţii în  :
1
x
Dacă gradul este par atunci se face substituţia x   t , x  0 şi prin calcul x 2 +
1
 t2  2
2
x
Dacă gradul este impar atunci 1 este rădăcină şi aplicând schema lui Horner obţinem o
altă ecuaţie reciprocă, dar de grad par
a) i. x 4  x3  4 x 2  x  1  0, ii. x 4  2 x3  6 x 2  2 x  1  0
b) i. x 4  3x 3  6 x 2  3 x  1  0, ii. x 4  3 x 3  8 x 2  3 x  1  0
c) i. 2 x 4  7 x3  4 x 2  7 x  2  0, ii. 3 x 4  5 x3  6 x 2  5 x  3  0
11