El Cálculo No Entero: utilidad en el modelado y el control Dr. Jean-Fr. Duhé Introducción ¿ De dónde viene el cálculo no entero ? 1 𝑑2 1𝑓 𝑑𝑥 2 𝑥 ? Siglo XIX : desarrollo del formalismo del cálculo no entero Siglo XX: aparición de la definición de Caputo Siglo XX ( años 70 en adelante) : síntesis del operador no entero, aplicación en automatización, aplicación en modelado Formalismo: la integral de Cauchy Sea una función 𝑓(𝑡) con condiciones iniciales nulas. Su transformada de Laplace está dada por 𝐹 𝑝 . La integral de orden 𝑛 : 1 𝐹(𝑝) 𝑝𝑛 Si en el dominio temporal aplicamos una integración 𝑛 veces a una función: 𝑡 ℐ𝑛 𝑓 𝑡 = 𝑡 … 0 𝑡 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = 0 0 𝑡 − 𝑦 𝑛−1 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 𝑛−1 ! Formalismo: Integral de Riemann-Liouville Generalizando el número de integraciones 𝑛 a un número real 𝛾, la integral de Cauchy se transforma en la integral de Riemann-Liouville: 1 ℐ𝛾 𝑓 𝑡 = Γ(𝛾) 𝑡 𝑡−𝑦 𝛾−1 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 0 La derivada no entera de Riemann-Liouville: 𝒟𝛾𝑓 𝑑𝑚 1 𝑡 = 𝑚 𝑑𝑡 Γ(m − 𝛾) 𝑡 0 𝑓 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 − 𝜏 𝛾−𝑚+1 Formalismo: definición de GrunwaldLetnikov La definición de GL: 1 𝐺𝐿 𝛾 𝒟 𝑓 𝑡 = lim 𝛾 ℎ→0 ℎ 𝑡/ℎ −1 𝑗 𝛾 𝑗 𝑓(𝑡 − 𝑗ℎ) 𝑗=0 El binomio generalizado de Newton: Γ(𝛾 + 1) 𝛾 = 𝑗 Γ 𝑗 + 1 Γ(𝛾 − 𝑗 + 1) De forma informática: 𝐺𝐿 𝒟𝛾𝑓 𝑡 ≈ 1 𝑡/𝑇𝑠 −1 𝛾 𝑇𝑠 𝑗=0 𝑗 𝛾 𝑗 𝑓(𝑡 − 𝑗𝑇𝑠 ) Sistema dinámico no entero 𝑑 𝛼1 𝑑 𝛼𝑚𝐴 𝑑 𝛽0 𝑑 𝛽1 𝑑 𝛽𝑚𝐵 𝑦 𝑡 + 𝑎1 𝛼 𝑦 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚𝐴 𝛼𝑚 𝑦 𝑡 = 𝑏0 𝛽 𝑢 𝑡 + 𝑏1 𝛽 𝑢 𝑡 + ⋯ + 𝑏𝑚𝐵 𝛽 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 𝐴 𝑑𝑡 0 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 𝑚𝐵 𝐺 𝑝 = 1 𝑚𝐵 𝛽𝑖 𝑖=0 𝑏𝑖 𝑝 𝑚𝐴 + 𝑗=0 𝑎𝑗 𝑝𝛼𝑖 Característica frecuencial del derivador no entero Operador no entero limitado en frecuencia Aplicaciones al modelado: el dique poroso 𝐹 𝑝 𝜔0 𝑍 𝑝 = = 𝑉(𝑝) 𝑝 𝑚 Aplicaciones al modelado: transferencia de calor 𝜌𝑐 𝑍1 = 𝑍2 = 𝜕𝑇 = 𝑘∇2 𝑇 𝑑𝑡 1 𝑘𝑆𝑚𝑢𝑟 𝛿 𝑍3 = [coth 𝛿𝐿 − csch(𝛿𝐿)] 1 𝑘𝑆𝑚𝑢𝑟 𝛿 𝛿= csch(𝛿𝐿) 𝑝/𝑎 𝑍𝑒𝑞−𝐻𝐹 = 𝐾 𝑝 Aplicaciones al modelado: impedancia dental Controladores No Enteros: el FOPID El controlador PID paralelo no entero se define como: 𝐶𝐼 𝐶𝐷 𝑝𝜇 𝐶 𝑝 = 𝐶𝑃 + 𝜆 + 1 + 𝜏𝐹 𝑝 𝛾 𝑝 Inconvenientes: Pérdida de eficacia del integrador Implementación costosa para la parte integral Controladores no enteros: el 𝑃𝐼𝐷 𝜇 en serie 𝐶 𝑝 = 𝐶0 𝑝 1+ 𝜔𝑖 𝑛𝑖 𝑝 1+ 𝜔1 𝑝 1+ 𝜔2 𝜇 1 𝑝 1+ 𝜔ℎ La acción no entera es la derivada Permite anular los errores estacionarios Se filtra el ruido de alta frecuencia 𝑛ℎ CRONE: Control Robusto de Orden No Entero Permiten obtener controladores robustos frente a incertidumbres Puede tomar en cuenta cualquier tipo de incertidumbre, sea estructurada o no Se sintetizan en el dominio de la frecuencia Se evita la sobre-estimación de la incertidumbre CRONE: Control Robusto de Orden No Entero Aplicaciones: tabla de corte Robustez frente a incertidumbres como: Espesor y propiedades del material Características del instrumento de corte: láser, agua a alta presión, cuchillo Aumento de la banda ancha Aplicaciones: suspensión de vehículos Manejo del compromiso entre comodidad y adherencia al suelo. Robustez ante la incertidumbre de la carga. Suspensión pasiva y semi-activa. Prototipos implementados en autos Citroen y Peugeot Aplicaciones: piloto automático de un velero ¡Gracias por su atención! Preguntas ?
