Usmonov M.T.
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti
Qarshi filiali 4-kurs talabasi
Sayifov B.Z.
Toshkent kimyo-texnologiyalari instituti
Shahrisabz filiali 2-kurs talabasi
Ilmiy rahbar: Qodirov F.E.
BIRINCHI VA IKKINCHI TUR EGRI CHIZIQ INTEGRALLAR
(GEOMETRIK VA FIZIK MA’NOLARI.) GRIN FORMULASI
Annotatsiya: Ushbu maqolada matematikaning eng qiziq mavzularidan biri
bo’lgan I-va II-tur egri chiziq integrallar (geometrik va fizik ma’nolari.) Grin
formulasi haqida ma’lumotlar berib o’tildi va mavjud muanmolarga ilmiy
yondashildi hamda muanmolarni hal etish uchun tegishli tavsiyalar berib o’tildi.
Kalit so’zlar: I tur egri chiziq integrali uni hisoblash va xossalari, II tur
egri chiziqli integrallar, xossalari va hisoblash, Grin formulasi.
Usmonov M.T.
4th year student
Tashkent University of Information Technologies
Karshi branch
Sayifov B.Z.
2nd year student
Tashkent Institute of Chemical Technology
Shahrisabz branch
Scientific adviser: Qodirov F.E.
THE FIRST AND SECOND TYPES OF CURVILINEAR INTEGRALS
(GEOMETRIC AND PHYSICAL MEANINGS.) GREEN'S FORMULA
Abstract: This article provides information about the Green formula, one
of the most interesting topics in mathematics, type I and II curvilinear integrals
(geometric and physical meanings), and provides a scientific approach to existing
problems and to solve problems. appropriate recommendations were made.
Keywords: Type I curve integral, its calculation and properties, Type II
curvilinear integrals, properties and calculation, Green's formula.
1. I tur egri chiziq integrali uni hisoblash va xossalari.
Tekislikda biror silliq AB egri chiziq berilgan bo’lib, unda f(x,y) funksiya
aniqlangan bo’lsin.
yMi
Ai Ai+1B
"Экономика и социум" №2(93)-1 2022
www.iupr.ru
152
A
0 x
Endi AB egri chiziqniA=A0,A1,A2,..., An=B nuqtalar bilan
Ai
Ai+1(i=0,...,n-1) yoylarga ajratamiz, har bir yoychada ixtiyoriy M i (i, i) nuqta
olib bu nuqtadagi f(x,y) funksiyani qiymatinif (i, i) deb belgilab quyidagi
yig’indini tuzamiz.
n 1
   f ( i , i )si (1)
i 0
maxsi= deb belgilaylik.
Ta’rif: Agar AB egri chiziqda aniqlangan f(x,y) funksiya uchun tuzilgan
(1) yig’indi  da AB egri chiziqni Ai, Ai+1 yoylarga bo’lish usuliga va har bir
Ai, Ai+1 yoychada Mi (i, i) nuqtani tanlab olish usuliga bog’liq bo’lmagan
limitga ega bo’lsa, bu limitga f(x,y) funksiyadan AB egri chiziq bo’yicha olingan
 f ( x, y)ds deb belgilanadi. Demak.
birinchi tip egri chiziqli integral deyiladi va
( AB )
n 1
lim   lim  f ( i ,i )si 
 0
 0
i 0
 f ( x, y)ds
( AB )
Birinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari:
1.
 f ( x, y)ds   f ( x, y)ds
( АВ )
2.
( BA)
 Сf ( x, y)ds С  f ( x, y)ds
( АВ )
3.
AB
  f ( x, y )  f
1
(k )
2
( x, y) ds   f 1 ( x, y)ds   f 2 ( x, y)ds
(k )
4. Agar k=k1+k2 bo’lsa,
(k )
 f ( x, y)ds  
(k )
f ( x, y)ds 
( k1 )
 f ( x, y)ds
( k2 )
bo’ladi.
Agar birinchi tur egri chiziqli integralda f(x,y)=1 desak, u xolda
 f ( x, y)ds   ds  S -egri chiziqning uzunligini beradi. Agar f(x,y) funksiyani
(k )
(k)
musbat va o’zgaruvchan chiziqli zichlik   f ( x, y ) deb qarasak,
 f ( x, y)ds -
(k )
integral k-egri chiziqning massasini ifodalaydi.
Teorema. Agar f(x,y) funksiya, parametrik tenglamasi
x  ( t ) 
булган(   t   ) (k) egri chiziqda aniqlangan va uzluksiz
y   2 ( t )
bo’lsa, u xolda
 f ( x, y)ds
integral mavjud bo’lib
(k )
"Экономика и социум" №2(93)-1 2022
www.iupr.ru
153

 f ( x , y )ds   f  ( t ), ,( t )
 1 ( t ), 1 ( t )dt
2
2
formula
bilan
(k )
hisoblanadi.
Agar fazodagi (k) egri chiziqning tenglamasi
x  1 (t ), y   2 (t ), z   3 (t ) (t1  t  t 2 ) bo’lsa,
t2
 f ( x, y, z)ds   f  (t ), 
1
(k )
2
(t ),  3 (t ) 1 ' 2 (t )   2 ' 2 (t )   3 ' 2 (t )dt
bo’ladi.
t1
Misol. Zichligi p  f ( x, y, z)  2 y qonun bilan o’zgaradigan va fazodagi
1 2
1 3
parametrik tenglamasi x  t , y  t , t  t (0  t  1) lar bilan berilgan egri
2
3
chiziqning massasini toping.
M

1
f ( x, y, z )ds   pds   2 y ds   2 
(k )
k
k
0
1 2
t
2
1
x 1  y 1  z 1 dt   t 1  t 2  t 4 dt 
2
2
2
0
1
 2 1

t 
1
1
3  2 1 1 
3
1
 2 1
2  t 4  t 2  1  en(t 2   t 4  t 2  1) 
  t    dt    

20 
2
4 
2 2  2
8
2



1
3 3 2 3

  3 3  1  en

8
2
3

2
2. Ikkinchi tur egri chiziqli integral.
Fazoda aniq yo’nalishli silliq (gladkoy) AB egri chiziq berilgan bo’lib,
unda P(x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar aniqlangan bo’lsin odatdagicha
bu egri chiziqni A=A0, A1,..., An-1, An=B nuqtalar bilan Ai Ai+1 yoylarga ajratib
har bir Ai Ai+1 yoychada ixtiyoriy M(  i ,i ,  i ) nuqta olib quyidagicha yig’indi
tuzamiz.
z
B
AAi Mi Ai+1
0 y
x
n 1
 ( , , 
i 0
i
i
i
)xi  Q( i , i ,  i )y i  R( i , i ,  i )z  (2)
xi , yi va z i lar Ai Ai+1 yoyning mos ravishda ox,oy, va oz o’qlariga
bo’lgan proeksiyasi maxxi=1,maxyi=2, maxzi=3, deylik
Ta’rif. Agar AB da aniqlangan P (x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar
uchun tuzilgan (2) integral yig’indi 1  0, 2  0, 3  0 da AB egri chiziqni Ai
Ai+1 yoylarga va har bir Ai Ai+1 yoyda ixtiyoriy M ( i ,i ,  i ) ,nuqtani tanlab olish
"Экономика и социум" №2(93)-1 2022
www.iupr.ru
154
usuliga botsliq bo’lmagan limitga ega bo’lsa bu limitga ‘ (x,y,z), Q (x,y,z) va R
(x,y,z) funksiyalardan AB egri chiziq bo’ylab A dan V ga qarab olingan ikkinchi
tip egri chiziqli integral deyiladi va
 P( x, y, z)dx   Q( x, y, z)dy   R( x, y, z)dz yoki
AB
AB
AB
 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz
ko’rinishda yoziladi.
AB
Demak
 Pdx  Qdy  Rdz  lim
n 1
 P x
1 0
2 0 i 1
310
AB
i
 Qy i  Rz i 
Agar (2) integral yig’indini P,Q,R funksiyalarning ixtiyoriy bittasi yoki
ixtiyoriy ikkitasi uchun tuzsak u xolda ikkinchi tip egri chiziqli integralimiz
quyidagi ko’rinishlarda bo’ladi.
 Pdx  Qdy,  Qdy  Rdz ,  Pdy  Rdz ,  Pdy,  Qdy,  Rdz
AB
AB
AB
AB
AB
AB

Agar P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) funksiyalarni F kuchning ox, oy, oz
o’qlaridagi proektsiyasi sifatida qarasak va x, y, z larni AB egri chiziqning F
kuch tahsir qilayotgan nuqtasining ko’chishi s ning ox, oy, oz o’qlaridagi

proeksiyasi sifatida qarasak, u xolda ikkinchi tur egri chiziqli integral F kuchning
butun AB egri chiziq bo’ylab bajargan ishni beradi, ya’ni A=  Pdy  Qdy Rdz
AB
bo’ladi.
Ikkinchi tip egri chiziqli integralda integrallash yo’nalishini o’zgartirsak,
integral qiymati o’z ishorasini o’zgartiradi
 P( x, y, z)dx    Р( x, y, z)dх chunki x1 ning ishorasi o’zgaradi.
ВА
AB
Ikkinchi tip egri chiziqli integralning qolgan hossalari esa birinchi tip egri
chiziqli integralning xossalari kabi bo’ladi.
Teorema. AB egri chiziqning tenglamasi parametrik xolda berilgan bo’lib:
x   1 t  
y   2 t  

z   3 t   (x,y,z) nuqta A dan B ga qarab harakat qilsin.
  t   
Agar 1 t  ,
 2 t ,  3 t  , P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar AB da
1
1
uzluksiz va uzluksiz  1 t  ,  2 t  ,  3 t  , hosilalarga ega bo’lsa, u xolda
1
 Pdх  Qdy Rdz
ikkinchi
tur
egri
chiziqli
integral
mavjud
va
AB

1
 P( x, y, z)dx   1 t , 2 t  3 t 1 (t )dt teng bo’ladi.
AB

"Экономика и социум" №2(93)-1 2022
www.iupr.ru
155
Misol. Agar AB egri chiziqning parametrik tenglamasi

x  cos t 

y  sin t  bo’lsa,
 
0t  
2 
Yechimi. dx  
x
2
ydy  y 2 xdx integralni hisoblang
АВ
sin t
2 cos t
dt , dy  
cos t
2 sin t
dt -bularni va x,y larni berilgan
interalga qo’ysak.

2

cos t
sin t 
x
ydy

y
xdx
 sin t  cos t 
dt 
=   cos t  sin t 
АВ
2
sin
t
2
cos
t


0
2
2


1 2
1 2

2
2
  (cos t  sin t )dt   dt  .
20
20
4
Misol. Tenglamasi
x  a cos t 
 parametrik ko’rinishda berilgan ellipsning
y  b sin t 
yuzi hisoblansin.
1
S 
2
ab

2
1
Z xdy  ydx  2
2

 (cos
2
2
 a cos t  b cos t  b sin t  a sin t 
dt 
0
t  sin 2 t ) dt ab
0
Adabiyotlar ro’yxati:
1. Сlaudio Сanuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer,
I-part, 2008, II-part, 2010.
2. W. WL.Chen “Linear algebra ”, London, Chapter 1-12, 1983, 2008.
3. W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004,
2013.
4. W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008.
5. Soatov Yo U. Oliy matematika. Т., O’qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar.
6. Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Тoishkent, O’qituvhi, 1-qism,
1989.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997.
8. V.Ye.Shneyder, А.I.Slutskiy, А.S.Shumov. Qisqaha oliy matematika kursi. Т.,
1985., 2-qism.
9. Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.
10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. М.: Наука, 1983.
11. Piskunov N.S. Differensial va integral hisob. Oliy texnika o’quv yurtlari
talabalari uсhun o’quv qo’llanma. Тoshkent, O’qituvсhi, 1974, 1, 2-qism.
"Экономика и социум" №2(93)-1 2022
www.iupr.ru
156