BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Subbab 2.1 Masalah Cauchy untuk Persamaan Panas
Persamaan Diferensial Parsial dan Syarat Batas
SCMA603153
Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Maret 2021
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
1 / 13
PDP dengan domain tak terbatas
Selain klasifikasi PDP, jenis domain spasial juga mempengaruhi pemilihan
metode untuk menyelesaikan persamaannya.
Domain spasial bisa:
Terbatas: misal interval tutup
Tak terbatas: misal R
Semi infinite domain
Jika diberikan syarat batas, umumnya akan membuat masalah menjadi
lebih kompleks. Dalam subbab ini, akan dibahas persamaan panas
dengan domain tak terbatas
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
2 / 13
Masalah Cauchy untuk Persamaan Panas
Perhatikan persamaan panas (difusi) pada R
ut = kuxx , x ∈ R, t > 0
(1)
u(x, 0) = φ(x), x ∈ R
(2)
Masalah (1)-(2) merupakan model arus panas pada kawat logam yang
(diasumsikan) panjangnya takhingga, dengan suhu awal, φ(x) diberikan.
Catatan: Jika domain spasial-nya tak terbatas, spt misalnya R, maka syarat
batas tidak diberikan secara eksplisit, namun kadang dianggap diketahui dari
permasalahan awal, seperti solusinya terbatas, atau menuju nol untuk
x → ±∞.
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
3 / 13
Masalah (1)-(2) disebut masalah Cauchy untuk persamaan panas, dan
dapat diselesaikan dengan 2 langkah:
(a) Selesaikan untuk suatu fungsi tangga φ(x)
(b) Konstruksi solusi (1)-(2) menggunakan hasil (a).
Sebelum kita menyelesaikan masalah cauchy (1)-(2), berikut akan dibahas
mengenai analisis dimensional menggunakan pi theorem.
Misalkan diberikan suatu hukum fisis yang melibatkan besaran q1 , q2 , . . . , qm
yang memiliki dimensi, maka pi theorem menjamin terdapat hukum fisis yg
ekivalen yang memuat besaran-besaran dimensionless yang dibentuk dari
q1 , q2 , . . . , qm .
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
4 / 13
Contoh:
1
h = − gt2 + vt
2
dengan:
h: ketinggian suatu benda pada waktu t ketika dilempar ke atas (m)
v: kecepatan awal (m/s)
g: konstanta gravitasi (m/s2 )
Perhatikan kedua ruas dimensinya konsisten yaitu dalam meter (m).
Persamaan ini dapat kita tulis ulang dengan membagi kedua ruas dengan vt,
sehingga diperoleh persamaan yang ekivalen dan dimensionless.
1
π1 = − π2 + 1
2
dengan π1 = h/vt dan π2 = gt/v.
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
5 / 13
Pandang masalah berikut:
wt = kwxx , x ∈ R, t > 0
(3)
w(x, 0) = 0 untuk x < 0; w(x, 0) = u0 untuk x > 0
(4)
Dengan menggunakan pi theorem, yaitu dengan melihat variabel dan
konstanta pada (3)-(4), solusi dari (3)-(4) ‘diterka’ mempunyai bentuk
kombinasi dari dimensionless variable-nya:
x
w
=f √
u0
4kt
untuk suatu fungsi f yang akan ditentukan.
Untuk penyederhanaan, ambil u0 = 1. Substitusi w = f (z), z =
PDP (3), dengan aturan rantai diperoleh:
√x
4kt
pada
1 x
wt = f 0 (z)zt = − √
f 0 (z),
2 4kt
1
1
wx = f 0 (z)zx = √
f 0 (z), wxx = √
f 00 (z).
4kt
4kt
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
6 / 13
Diperoleh PDB linier order 2 koefisien variabel
f 00 (z) + 2zf 0 (z) = 0.
Persamaan ini mempunyai solusi
Z
f (z) = c1
z
2
e−r dr + c2 .
0
Sehingga solusi dari persamaan (3) adalah
Z
w(x, t) = c1
√
x/ 4kt
2
e−r dr + c2
0
Untuk mendapatkan nilai konstanta c1 dan c2 , kita gunakan nilai awal (4)
dengan u0 = 1.
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
7 / 13
Untuk t → 0+ dan x < 0:
√x
4kt
→ −∞, sehingga
−∞
Z
2
e−r dr + c2
0 = w(x, 0) = c1
0
Untuk t → 0+ dan x > 0:
√x
4kt
→ ∞, sehingga
∞
Z
2
e−r dr + c2
1 = w(x, 0) = c1
0
Dengan menggunakan hasil
Z
∞
√
−r 2
e
dr =
0
diperoleh c1 =
√1 , c2
π
= 21 . Sehingga solusi dari masalah (3)-(4) adalah
1
1
w(x, t) = + √
2
π
Tim Dosen PDP 2021
π
,
2
Z
√
x/ 4kt
2
e−r dr
(5)
0
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
8 / 13
Solusi (5) biasa ditulis dengan
w(x, t) =
Tim Dosen PDP 2021
1
2
1 + erf
√
x
4kt
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
(6)
Maret 2021
9 / 13
Solusi pada tahap 1 telah diperoleh, selanjutnya hasil ini akan digunakan
untuk memperoleh solusi dari masalah awal (1)-(2).
Dapat dilihat bahwa jika w memenuhi persamaan panas, maka wx juga
memenuhi yaitu
(wx )t − k(wx )xx = 0
Akibatnya, jika w(x, t) merupakan solusi dari persamaan panas, maka
G(x, t) ≡ wx (x, t) juga merupakan solusi, yaitu
"
#
Z x/√4kt
1
d 1
−r 2
+√
e dr
G(x, t) =
dx 2
π 0
=√
x2
1
e− 4kt
4πkt
(7)
G(x, t) disebut sebagai heat kernel atau solusi fundamental dari persamaan
panas.
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
10 / 13
Untuk t > 0 grafiknya bell-shaped, disebut juga fungsi Gaussian. Luas di
bawah kurva G(x, t) adalah 1,
Z ∞
G(x, t)dx = 1
−∞
G(x, t) merupakan suhu yang dihasilkan dari sumber panas awal satuan di
x = 0 dan t = 0.
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
11 / 13
R∞
Lebih lanjut perhatikan bahwa G(x − y, t) dan −∞ G(x − y, t)f (y)dy untuk
sembarang f (asalkan integral konvergen) juga merupakan solusi dari
persamaan panas.
G(x − y, t) dapat dipandang sebagai suhu kawat yang disebabkan sumber
panas awal satuan pada posisi y, untuk suatu y tetap (namun sembarang).
Teorema 2.1
Masalah Cauchy persamaan panas
ut = kuxx , x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = φ(x), x ∈ R, φ(x) → 0 jika x → −∞,
mempunyai solusi
Z
∞
φ(y)G(x − y, t)dy
u(x, t) =
−∞
Z ∞
=
−∞
Tim Dosen PDP 2021
φ(y) √
(x−y)2
1
e− 4kt dy
4πkt
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
(8)
Maret 2021
12 / 13
2
G(x, t) =
(x−y)
√ 1
e− 4kt
4πkt
disebut fungsi Green untuk masalah Cauchy.
TUGAS: Buktikan Teorema 2.1 dengan menunjukkan bahwa u(x, 0) = φ(x) !
Jika dimisalkan
x−y
,
r= √
4kt
maka persamaan (8) dapat ditulis sebagai
Z ∞
√
2
1
u(x, t) = √
e−r φ(x − r 4kt) dr
π −∞
(9)
Persamaan (9) disebut Poisson integral representation.
Tim Dosen PDP 2021
BAB 2. PDP dengan Domain Tak Terbatas
Maret 2021
13 / 13