O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
MEXANIKA - MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIK FIZIKA VA FUNKSIIONAL ANALIZ
KAFEDRASI
“Tаsdiqlаyman”
O’quv ishlari bo’yicha prorektor
___________ prof. A.Soleev
2019 yil “__”________
Ro’yxatga olindi:
№________________
2019 yil “__”________
Bilim sohasi:
Ta’lim sohasi:
Ta’lim yo’nalishi
100 000 - Gumanitar soha
140 000 – Tabiiy fanlar
5140200 – Fizika
MATEMATIK FIZIKA USULLARI FANIDAN
FANIDAN
O‘quv uslubiy majmua
(Moodle tizimi rejasi asosida)
Tuzuvchi:
SamDU Mexanika- matematika fakul’teti matematik
fizika va funksional analiz kafedrasi dotsentlari:
S.M.Samatov
E.N.Sattorov
O.I.Maxmudov
Kafedra mudiri:
akad.S.N.Laqaev
Fakul’tet dekani:
prof.A.X.Begmatov
SAMARQAND – 2019
Ushbu majmuada «Matematik fizika usullari» fanining maqsadi va vazifalari,
fanni o‘zlashtirishga qo‘yilgan talablar, fan bo‘yicha o‘quv mashg‘ulotlari turlari
va ularning hajmi (soatlarda), fanning mazmuni, fan bo‘yicha talabalar
o‘zlashtirishining nazorati, fanning o‘quv, o‘quv-uslubiy qo‘llanmalar bilan
ta’minlanganlik darajasi, fanni o‘zlashtirish uchun kerakli jihozlar va (asbob
uskunalar) apparatura, o‘qituvchilar uchun uslubiy tavsiyalar, talabalarning
mustaqil ishini bajarish bo‘yicha uslubiy tavsiyalar shuningdek, oraliq nazoratlar
uchun savollar va variantlar namunalari, yakuniy nazorat uchun nazariy savollar
va variantlar namunalari, test savollari, «Matematik fizika usullari» fanidan
ma’ruza darsi ishlanmasi namunalari va amaliy mashg‘ulot darsi ishlanmasi
namunasi ilovalar shaklida berilgan.
O‘quv uslubiy majmua bakalavriatning 5440100 – fizika, ta’lim
yo‘nalishlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, u amaldagi davlat ta’lim standartlari va
«Matematik fizika usullari» fani namunaviy dasturi hamda fanning o’quv ishchi
dasturi asosida tuzildi. Ushbu o’quv-uslubiy majmuadan matematika, mexanika,
amaliy matematika, fizika, elektronika va astranomiya ta’lim yo’nalishlarida
o’qiyotgan talabalar, o’qituvchilar hamda barcha qiziquvchilar foydalanishlari
mumkin.
Ishchi o’quv reja
“Informatika ” fanidan o’quv dasturi
“Informatika” fanidan ishchi o’quv dasturi
Kalendar – tematik reja
Ta’lim texnologiyasi: Mashg’ulotlarning pedagogik texnologiyasi
Mashg’ulotlarning texnologik xaritasi
Nazorat materiallari: Topshiriqlar mazmuni
ON, YaN testlari.
Yozma ish va og’zaki nazoratlar savollari (variantlar)
O’quv materiallari : Maruza matni
Masala va mashqlar to’plami.
Amaliyot va laboratoriya mashg’ulotlarining ishlanmalari va
tavsiyanomalar
Tarqatma materiallar (referat, adabiyoitlar, baholash mezonlari,
xorijiy manbalar).
Mustaqil ish mavzulari va uni bajarish bo’yicha tavziyalar
BMI mavzulari banki va uni bajarish bo’yicha tavziyalar
Atamalar
Ilova
Ishchi o’quv darsturida ko’rsatilgan darsliklar, o’quv qo’llanmalari
Uslubiy qo’llanmalar, uslubiy ko’rsatmalar
Electron darsliklar va o’quv materiallari
3. Fanning
annotatsiyasi
Kadrlar tayyorlash Milliy dasturining asosiy maqsadlaridan biri talabalarni
kerakli o’quv adabiyotlari, ma’ruza matnlari va hakozolar bilan ta’minlash bo’lib,
bu masala hozirgi davrning dolzarb masalalaridan biri hisoblanadi.
Hozirgi kunda bu masalani hal qilish uchun bir qancha chora tadbirlar
amalga oshirilgan bo’lib, lekin bular muammoni to’liq yechish uchun yetarli emas.
Shuning uchun ushbu o’quv-uslubiy majmua “Matematik fizika usullari” fanini
o’rganayotgan talabalarga yetarli ma’lumotlarni berish niyatida yozilgan.
“Matematik fizika usullari” fanidan o’quv-uslubiy majmua fizika va
astronomiya yo’nalishida bilim olayotgan talabalar uchun mo’ljallangan bo’lib,
26 soat ma’ruza, 30 soat amaliy mashg’ulotni o’z ichiga olgan.
O’quv-uslubiy majmua fizik jarayonnarni matematik modellashtirish,
matematik fizika tenglamalarining turlari, kanonik shaklga keltirish, boshlang’ich
va chegaraviy shartlarni qo’yish, aralash masalalarni yechishning o’zgaruvchilarni
ajratish metodlari kabi mavzularini o’rganishga mo’ljallangan.
“Matematik fizika usullari” fanidan o’quv uslubiy majmua fizika va
astronomiya
yo’nalishida ta’lim olayotgan 3-kurs talabalari uchun
mo’ljallangan.
Фан масалаларининг долзарблиги: «Кадрлар тайёрлаш миллий
Дастури»да юқори малакали мутахассисларини тайёрлашга алохида урғу
берилган. Физика соҳасидаги бундай мутахассисларни тайёрлашда “Назарий
физика” курсидаги фанлар катта ахамиятга эга бўлади. “Математик физика
тенгламалари” фани назарий физика курсларининг математик аппаратини
ифода қилади ва у олий математика ва умумий физика курсларига асосланиб
ўтилади.
Фаннинг ахамияти: Назарий физика фани табиат қонунларини
математик услублар билан тадқиқ қилишга багишланган. Шунинг учун
назарий физиканинг университет курси унинг математик методларини
ўрганишдан бошланади. Назарий физиканинг кейинги барча қисмларида
“Математик физика тенгламари” фанида киритилган тушунчалар ва усуллар
кенг қўлланилади.
Фаннинг ўқитишнинг мақсади –Назарий физикани урганишда кўп
учрайдиган бир қатор математик тушунчалар ва методларнинг назариясини
бериш ва талабада шу тушунчаларга бўлган уқувни хосил қилишдир.
Фанни ўқитишнинг вазифалари:
“Математик физика тенгламари” фанини шартли равишда икки қисмга
бўлиш мумкин: унинг биринчи қисми – махсус функциялар, иикинчи қисми
– классик математик физика тенгламаларидир.
Биринчи қисмнинг вазифаси талабаларни назарий физикада кенг
учрайдиган махсус функциялар аппарати билан таништириш ва уларни
амалда қўллашга ўргатишдир.
Иккинчи қисмда талабалар ҳар хил физик жараёнлар (тўлқин
тарқалиши, иссиқлик тарқалиши) нинг математик моделларини яратишни ва
уларни ечишни ўрганиши керак, жумладан:
Физикада тўлқин тарқалиши ва диффузия процесслари билан боғлиқ бўлган
асосий қонунлари ва уларнинг математик ифодасини билиш.
Дифференциал тенгламаларни таҳлил қила олиш.
Фурье қаторлари билан ишлай билиш.
Умумий талаб даражасидаги масалаларни ечиш ва таҳлил қилиш.
Масалаларни ечишда турли усулларни қўллай билиш.
Фаннинг бошқа фанлар билан алоқаси. Мазкур фанни ўрганиш учун зарур
бўлган фанлар «Математик таҳлил», «Вектор ва тензор таҳлил»,
«Дифференциал тенгламалар», «Комплекс ўзгарувчили функциялар
назарияси», «Электр ва магнетизм» ва «Назарий механика» дир.
Фаннинг ўқитиш турлари: - дастурда қўрсатилган мавзулар маъруза,
амалий машғулотлар шаклида олиб борилади, шунингдек фаннинг долбзар
масалалари талабаларга мустақил иш сифатида ўзлаштириш учун берилади.
Фан замонавий педагогик технологиянинг “Диспут”сингари методлари
оркали ҳамда мультимедиа намойишлари билан ўтказилади.
Фан бўйича билим, малака ва қўникмага қўйиладиган талаблар.
“Математик физика тенгламари” фанидаги асосий қонунлари ва уларни
математик ифодасини билиш, дифференциал тенгламалар билан ишлаш,
Фурье қаторлари билан ишлай билиш, умумий талаб даражасидаги
масалаларни ечиш ва тахлил қилиш ҳамда бу масалаларни ечишда турли
усулларни кўллай билиш.
Фанни ўқитишдаги янги технологиялар. Курсни ўқитишда традицион
бўлган метод- соддадан мураккабга ва мисолдан назарияга ўтиш
технологияси асосийдир. Бу методни Интернет тармоғидан, кўргазмали
материаллардан, шунингдек, педагогик технологиялардан фойдаланиш янада
тўлдиради.
Асосий қисм
Фаннинг назарий машғулотлари мазмуни
Махсус функциялар
Цилиндрик функциялар. Цилиндрик функциялар учун қаторлар ва
интеграллар. Цилиндрик функциялар учун рекуррент муносабатлар. Лежандр
полиномлари. Сферик функциялар. Эрмит полиномлари. Хамма махсус
функциялар учун интеграл ва қатор кўринишдаги тасаввурлар ва рекуррент
муносабатлар.
Математик физика тенгламалари
Иккинчи тартибли ҳусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг
классификацияси
Икки
ўзгарувчили
хусусий
хосилали
дифференциал
тенгламаларни каноник кўринишга келтириш. Гиперболик хол.
Параболик хол. Эллиптик хол.
Математик физика тенгламаларини келтириб чиқариш
Тулқин тарқалиши тенгламаси. Чексиз тўғри чизикда тебраниш
тенгламаси.Диффузия ва иссиқлик тарқалиши тенгламалари.Чекланган
соҳада иссиқлик тарқалиш тенгламаси. Чексиз тўғри чизикда иссиқлик
тарқалиш тенгламаси.Чегаравий шартларнинг қўйилиши.
Математик физика тенгламаларининг ечиш методлари
Тарқалаётган тулқинлар методи
Тарқалаётган тўлқинлар (Даламбер) методи. Акслантириш методи.
Ўзгарувчиларни ажратиш (Фурье) методи
Хос функциялар ва хос қийматлар масаласи. Гиперболик тенгламаларни
Фурье методи ёрдамида ечиш. Параболик тенгламалар. Эллиптик
тенгламалар учун чегаравий масалаларнинг қўйилиши. Доира учун Дирихле
ва Нейман масалалари.
Грин функцияси методи.
Дельта функция. Тенгламанинг фундаментал ечими тушунчаси. Лаплас
операторининг фундаментал ечими. Чегаравий шартларни хисобга олиш.
Амалий машғулотлар
Назарий олинган билимлар амалий машғулотларда
пухталаниб, аудитория машқлари ва уй вазифалари сифатида амалга
оширилади.Уй вазифа дафтарлари мутассил равишда текширилиб
борилади. Амалий машғулотлар қўйидаги мавзулар бўйича ўтказилиши
тавсия этилади:
Махсус функциялар. Интеграллар ва рекуррент муносабатлар. Икки
ўзгарувчили иккинчи тартибли ҳусусий ҳосилали дифференциал
тенгламаларнинг классификацияси. Гиперболик, эллиптик ва параболик
тенгламаларни каноник кўринишга келтириш. Математик физика
тенгламаларини келтириб чиқариш. Тўлқин ва иссиқлик тарқалиши
масалаларини қўйилиши. Тарқалаётган тўлқинлар методи. Чексиз тор учун
масалаларни ечиш. Ўзгарувчиларни ажратиш (Фурье) методи. Тўлқин,
иссиқлик ва масса тарқалиши масалалари (чекли тор ва стерженлар учун).
Грин функцияси методи. Дельта функция. Электростатика масалалари.
Мустақил иш
Мустақил иш ўқитувчининг талабаларига аввалда бериб
қўйиладиган фаннинг мавзулари асосида ташкил этилади. Мустақил иш фан
бўйича асосий мавзуларни ўзлаштириш учун зарур бўлган ва уларни
мазмунан тўлдирадиган мавзулар талабаларга мустақил мутаола сифатида
берилади. Шуни таъқидлаш лозимки, бундай мавзулар бошқа фанлар
доирасида ҳам қисман ўзлаштирилшан бўлиб уларни ўзлаштириш талалабар
учун айтайлик қийинчилик тўгдирмайди ва унинг билим даражасини
тўлдиришга ёрдам беради.
Назарий олинган билимлар амалий
машғулотларда пухталаниб, аудитория машқлари ва уй вазифалари сифатида
амалга оширилади.Уй вазифа дафтарлари муттасил равишда текширилиб
борилади. дарслик ва ўқув қўлланмалар, электрон манбалар бўйича фан
боблари ва мавзуларини ўрганиш;
тарқатма материаллардан фойдаланган ҳолда фаннинг маърузалар
қисмини ўзлаштириш;
махсус адабиётлардан фойдаланган ҳолда, фан бўлимлари ёки
мавзулари устида ишлаш;
фаннинг талабанинг ўқув-илмий-тадқиқот ишларини бажариш
билан боғлиқ бўлган бўлимларини ва мавзуларини чуқур ўрганиш;
«Математик физика тенгламалари» фанининг хусусиятларини ҳисобга
олган ҳолда талабага қуйидаги шакллардан фойдаланиш тавсия этилади:
Иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенгламаларни қаторга ёйиб
ечиш методи. Икки мустақил ўзгарувчили хусусий хосилали дифференциал
тенгламаларни каноник кўринишга келтириш. Гиперболик тенгламалар учун
чегаравий масалаларни қўйиш. Параболик тенгламалар учун чегаравий
масалаларни қўйиш. Чексиз ва чекли торлар учун Даламбер методи билан
тўлқин тарқалишини аниқлаш. Берилган чизиқли дифференциал
операторнинг хусусий функциялари ва хусусий қийматларини топиш. Фурье
методи ёрдамида гиперболик тенгламалар учун аралаш масалаларни ечиш.
Фурье методи ёрдамида параболик тенгламалар учун аралаш масалаларни
ечиш. Эллиптик тенгламалар учун чегаравий масалалар. Электростатика
масалаларини Грин функцияси методи билан ечиш.
Дастурнинг информацион методик таъминоти
Дастурдаги мавзуларни ўтишда таълимнинг замонавий методларидан
кенг фойдаланиш, ўқув жараёнини янги педагогик технологиялар асосида
ташкил этиш самарали натижа беради. Бу борада замонавий педагогик
технологияларнинг «Муаммоли таълим» технологиясининг «Мунозарали
дарс» методи, шунингдек, “Математик физика тенгламалари” фанига доир
слайдлардан фойдаланиш, дидактик усулларини қўллаш назарда тутилади.
Фойдаланиладиган асосий дарсликлар ва ўқув қўлланмалар рўйхати
Асосий дарсликлар ва ўқув қўлланмалар рўйхати
1. Тешабаева Н.Х. Математик физика методлари. Т. 1980.
2. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.,
1977.
3. Будак Б.М., Тихонов А.Н., Самарский А.А. Сборник задач по
уравнениям математической физики.
4. Садуллаев А., Худайберганов Г., Варисов А. Математик анализ
курсидан мисол ва масалалар тўплами, III-қисм, Т., 2000.
5. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической
физики, М., 1982.
Қўшимча адабиётлар
6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные
функции. Наука, 1974.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1971.
8. Бицадзе А. Уравнения математической физики. М., 1980.
Mashg’ulotlarning pedagogik texnologiyasi.
Mashg’ulotning texnologik xaritasi
1mavzu
Цилиндрик функциялар. Цилиндрик функциялар учун
қаторлар ва интеграллар. Цилиндрик функциялар учун
рекуррент муносабатлар.
1.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Kirish. Цилиндрик функциялаp.
2. Цилиндрик функциялар учун қаторлар
ва интеграллар .
3. Цилиндрик
функциялар
учун
рекуррент муносабатлар.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Цилиндрик функциялар. Цилиндрик
функциялар учун қаторлар ва интеграллар. Цилиндрик функциялар учун
рекуррент муносабатлар bo’yicha bilim va malakasini shakllantirish.
O’quv faoliyati natijalari:
Pedagogik vazifalar:
1. Цилиндрик
функциялаp: Talaba:
aҳaмияти, қўлланиши haqda 1. Цилиндрик
функциялаp
mazmuntushunchalar berish
mohiyati bo’yicha tushuncha hosil
2. Цилиндрик функциялар учун
qiladilar.
қаторлар ва интеграллар.
2. Цилиндрик функциялар учун қаторлар
3. Цилиндрик функциялар учун
ва интеграллардан amalda foydalana
рекуррент муносабатлар.
olish
ko’nikma
va
malakasini
o’zlashtirib oldilar.
3. Цилиндрик
функциялар
учун
рекуррент муносабатлар bo’yicha
ko’nikmalar hosil qiladi
4. Цилиндрик функцияларни қўллаш
бўйича bilimga ega bo’ladilar.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
1.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich. 1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va rejasini ma’lum qiladi. Erishadi- oladilar.
(10 daqiqa) gan natijalar bilan tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot muammoli tarzda
o’tishini e’lon qiladi.
2 bosqich. 2.1. Talabalar e’tiborini
rejadagi
Asosiy
savollar va ulardagi tushunchalarga
(60 daqiqa) qaratadi. Blis-so’rov o’tka-zadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti-rish
maqsadida B.B.B jadvalini daftarga
chizishni taklif etadi.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga
tashlaydi va ularni birgalikda
o’qishga chorlaydi:
1. Цилиндрик функциялаpning
o’rganilish sabablari nima?
2. Цилиндрик функциялар учун
қаторлар ва интеграллар qanday
ko’rinishда bo’ladi?
3. Цилиндрик функциялар учун
рекуррент муносабатлар qanday
ifodalanadi?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
2.1.Eshitadi. Navbat bilan
bir-birini
takrorlamay
atamalarni
aytadi,
daftarlariga chizadi, jadval-ning
1
va
2
ustunlarini
to’ldiradilar.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
va to’g’ri javobni eshitadi.
2.3. Eslab qoladi, yozadi.
Har bir savolga javob
berishga harakat qiladi.
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
formulani qo’llasga harakat
qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
to’g’rilaydilar.
3.2. Rag’batlantiriladi.
Лежандр полиномлари. Сферик функциялар. Эрмит
полиномлари. Mахсус функциялар учун интеграл ва қатор
кўринишдаги тасаввурлар ва рекуррент муносабатлар.
2.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Лежандр
полиномлари.
Сферик
функциялар.
2. Эрмит полиномлари.
3. Mахсус функциялар учун интеграл ва
қатор кўринишдаги тасаввурлар ва
рекуррент муносабатлар.
O’quv
mashg’ulotining maqsadi: Лежандр полиномлари. Сферик
функциялар. Эрмит полиномлари. Mахсус функциялар учун интеграл ва
қатор кўринишдаги тасаввурлар ва рекуррент муносабатлар bo’yicha bilim
va ko’nikmalarni shakllantirish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Лежандр
полиномлари. Talaba:
Сферик
функциялар
haqda 1. Komputerlarning
tarkibiy
qismlari
bo’yicha tushuncha hosil qiladilar.
tushunchalar berish
2–
mavzu
2. Эрмит
полиномлари
va 2. Asosiy va qo’shimcha qurilmalar,
ularning
қўлланишини ularning vazifalari bo’yicha ko’nikma va
malakasini o’zlashtirib oldilar.
tushuntirib berish.
3. Mахсус функциялар учун
интеграл ва қатор кўринишдаги
тасаввурлар
ва
рекуррент
муносабатлар
va
ularning
тадбиқини tushuntirib berish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
2.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich. 1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va rejasini ma’lum qiladi. Erishadi- oladilar.
(10 daqiqa) gan natijalar bilan tanishtiradi.
Mazkur mashg’ulot muammoli
tarzda o’tishini e’lon qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
Asosiy
takrorlamay
(60 daqiqa) larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, dafzadi.
tarlariga chizadi, jadval2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
daftarga chizishni taklif etadi.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Лежандр полиномлари. Сферик berishga harakat qiladi.
функциялар qanday ko’rinishda 2.4. Ta’rifni yozib oladi,
bo’ladi?
formulani qo’llasga harakat
2. Эрмит полиномлари qanday
qiladi.
3. Mахсус функциялар учун
интеграл ва қатор кўринишдаги
рекуррент муносабатларni yozing?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
3-
Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va
mavzu
ularni sinflash.
3.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Ikkinchi
tartibli
xususiy
hosilali
differensial
tenglamalar
va
ularni
qo’llanishi
2. Ikkinchi
tartibli
xususiy
hosilali
differensial tenglamalar va ularni sinflash.
3. Ikkinchi
tartibli
xususiy
hosilali
differensial tenglamalarni yechimi.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamalar va ularni sinflash usullari to’g’risida bilim va malakalarni
shakllantirish.
O’quv faoliyati natijalari:
Pedagogik vazifalar:
1. Ikkinchi
tartibli
xususiy Talaba:
tartibli
xususiy
hosilali
hosilali
differensial 1. Ikkinchi
tenglamalar
bo’yicha:
differensial
tenglamalar
bo’yicha
muammolar,
izlanishlar
tushuncha hosil qiladilar.
tartibli
xususiy
hosilali
yechimlar haqda tushunchalar 2. Ikkinchi
berish
differensial tenglamalaridan amalda
2. Ikkinchi
tartibli
xususiy
foydalana olish ko’nikma va malakasini
hosilali
differensial
o’zlashtirib oldilar.
tartibli
xususiy
hosilali
tenglamalarni xarakteristikalari 3. Ikkinchi
haqida tushuncha berish.
differensial
tenglamalar
bo’yicha
3. Ikkinchi
tartibli
xususiy
ko’nikmalar hosil qiladi.
hosilali
differensial
tenglamalarni
yechish
usullarini tushuntirib berish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
texnikasi
“ha-yo’q”texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
3.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich. 1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va rejasini ma’lum qiladi. Erishadi- oladilar.
(10 daqiqa) gan natijalar bilan tanishtiradi.
Mazkur mashg’ulot muammoli
tarzda o’tishini e’lon qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
takrorlamay
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, daftarlariga chizadi, jadvalzadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
daftarga chizishni taklif etadi.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali berishga harakat qiladi.
differensial tenglama nima?
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali formulani qo’llasga harakat
differensial tenglamalar amalda qiladi.
qanday tasvirlanadi, koeffisientlarini
aniqlang?
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglamalar yechimi
deb nimaga aytiladi?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
Asosiy
(60 daqiqa)
4–
mavzu
Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish usullari.
4.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglamalarning
xarakteristikalari.
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglamalarning kanonik
shaklga keltirish usullari.
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglamalarni sinflarga
ajratish.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari haqida tasavvurga ega bo’lish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Ikkinchi tartibli xususiy
Talaba:
hosilali differensial
1. Ikkinchi
tartibli
xususiy
hosilali
tenglamalarning xarakteristik
differensial tenglamalarning xarakteristik
tenglamalari haqidagi umumiy
tenglamalari mazmun-mohiyati bo’yicha
tushuncha hosil qiladilar.
bilimlarni hosil qilish.
2. Ikkinchi
tartibli
xususiy
hosilali
2. Ikkinchi tartibli xususiy
hosilali differensial tenglamalarni differensial tenglamalarni kanonik shaklga
kanonik shaklga keltirish bo’yicha keltirish bo’yicha ko’nikma va malakasini
tasav vurga ega bo’lish.
o’zlashtirib oldilar.
3. Ikkinchi
tartibli
xususiy 3. Ikkinchi
tartibli
xususiy
hosilali
hosilali differensial tenglamalarni differensial
tenglamalarni
giperbolik,
giperbolik, parabolic va elliptik parabolic va elliptik
tiplarga ajratish
tiplarga
ajratish
bo’yicha bo’yicha ko’nikmalar hosil qiladi .
malakalarni shakllantirish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
texnikasi
“ha-yo’q”texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
4.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
Kirish
natijalar
bilan
(10 daqiqa) Erishadigan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
takrorlamay
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
Asosiy
(60 daqiqa) larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, daftarlariga chizadi, jadvalzadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
daftarga chizishni taklif etadi.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
Har bir savolga javob
o’qishga chorlaydi:
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali berishga harakat qiladi.
differensial
tenglamalarning 2.4. Ta’rifni yozib oladi,
formulani qo’llasga harakat
xarakteristik tenglamalari?
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali qiladi.
differensial tenglamalarni kanonik
shaklga keltiring?
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial
tenglamalarni
giperbolik, parabolik va elliptik
tiplarga ajrating?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantira-di.
5mavzu
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
to’g’rilaydilar.
3.2. Rag’batlantiriladi.
Giperbolik tipli tenglamalarga keltiruvchi fizik jarayonlar: tor
va sterjen tebranishlari.
5.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Giperbolik tipli tenglamalarga
keltiruvchi fizik jarayonlar.
2. Tor tebranish tenglamasi.
3. Sterjen tebranish tenglamasi.
O’quv
mashg’ulotining maqsadi: Giperbolik tipdagi tenglamalarga
keltiriladigan fizik jarayonlar bo’yicha asosiy bilimlarni hosil qilish, tor va
sterjen tebranishlari keltirib chiqarish bo’yicha malakalarni shakllantirish.
O’quv faoliyati natijalari:
Pedagogik vazifalar:
Talaba:
1. Giperbolik tipli
1. Giperbolik
tipli
tenglamalarga
tenglamalarga keltiruluvchi fizik
keltiruluvchi fizik jarayonlar bo’yicha
jarayonlar haqda tushunchalar
tushuncha hosil qiladilar.
berish
2. Tor tebranish tenglamasi 2. Tor tebranish tenglamasi hosil qilish va
ulardan
amalda
foydalana
olish
bo’yicha bilim berish.
ko’nikma va malakasini o’zlashtirib
3.
Sterjen
tebranish
oladilar.
tenglamasi bo’yicha tushuncha
3. Sterjen tebranish tenglamasi bo’yicha
berish.
ko’nikmalar hosil qiladi .
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
5.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
(10 daqiqa) Erishadigan
natijalar
bilan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
takrorlamay
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, daftarlariga chizadi, jadvalzadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
daftarga chizishni taklif etadi.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Giperbolik tipli tenglamalarga
berishga harakat qiladi.
keltiruluvchi fizik jarayonlar
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
qanday?
formulani qo’llasga harakat
2. U qanday holatni ifodalaydi?
qiladi.
3. Tor tebranish tenglamasi qanday
hosil qilinadi?
4. Torning erkin va majburiy
tebranishini aniqlang?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
2 bosqich.
Asosiy
(60 daqiqa)
To’lqin tenglamalari uchun asosiy chegaraviy masalalarning
qo’yilishi va yechimning yagonaligi. To’lqin tenglamasi uchun
Koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish usuli.
6.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. To’lqin tenglamalari uchun asosiy
chegaraviy masalalarning qo’yilishi
2. Chegaraviy masalalarning qo’yilishi va
yechimning yagonaligini.
3. To’lqin tenglamasi uchun Koshi
masalasining qo’yilishi va uni yechish
usuli (Dalamber formulasi)
O’quv mashg’ulotining maqsadi: To’lqin tenglamalari uchun asosiy
chegaraviy masalalarning qo’yilishi va yechimning yagonaligi. To’lqin
tenglamasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish usuli bo’yicha
malakalarni shakllantirish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. To’lqin tenglamalari uchun Talaba:
asosiy chegaraviy masalalar 1. To’lqin tenglamalari uchun asosiy
ning qo’yilishi va yechimning
chegaraviy masalalarning qo’yilishi va
yagonaligi.
yechimning
yagonaligini
aniqlash
6–
mavzu
2. To’lqin tenglamasi uchun
bo’yicha tushuncha hosil qiladilar.
Koshi masalasining qo’yilishi 2. To’lqin tenglamasi uchun Koshi
va uni yechish usuli bo’yicha
masalasining qo’yilishi va uni yechish
malakalarni shakllantirish.
usuli bo’yicha ko’nikma va malakasini
o’zlashtirib oladilar.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
6.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
Kirish
natijalar
bilan
(10 daqiqa) Erishadigan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
takrorlamay
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
Asosiy
(60 daqiqa) larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, daftarlariga chizadi, jadvalzadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
daftarga chizishni taklif etadi.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
Har bir savolga javob
o’qishga chorlaydi:
berishga harakat qiladi.
1. To’lqin tenglamalari uchun
asosiy chegaraviy masalalarni
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
aniqlang?
formulani qo’llasga harakat
2. To’lqin tenglamalari uchun
qiladi.
asosiy chegaraviy masalalarning
qo’yilishi va yechimning
yagonaligi nimadan iborat?
3. To’lqin tenglamasi uchun Koshi
masalasining qo’yilishi va uni
yechish usuli (Dalamber
formulasi)?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantira-di.
3.2. Rag’batlantiriladi.
7–
mavzu
Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash
masalani yechishning Fur’e usuli.
7.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Torning erkin tebranishi tenglamasi
uchun qo’yilgan aralash masala.
2. Torning erkin tebranishi tenglamasi
uchun qo’yilgan aralash masalani
yechishning Fur’e usuli.
3. Xos qiymat va xos funksiya tushunchasi.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun
qo’yilgan aralash masalani yechishning Fur’e usuli bo’yicha bilim va
ko’nikmalarni shakllantirish.
O’quv faoliyati natijalari:
Pedagogik vazifalar:
Talaba:
1. Torning erkin tebranishi
1. Torning erkin tebranishi tenglamasi
tenglamasi uchun qo’yilgan
uchun qo’yilgan aralash masalalar bo’yicha
aralash masalalarni qo’yish
tushuncha hosil qiladilar.
haqida tushunchalar berish.
2. Torning erkin tebranishi tenglamasi
2. Torning erkin tebranishi
uchun
qo’yilgan
aralash
masalani
tenglamasi uchun qo’yilgan
Fur’e
usulini
bo’yicha
aralash masalani yechishning yechishning
ko’nikma va malakasini o’zlashtirib oladilar.
Fur’e usulini tushuntirib
berish.
3. Xos qiymat va xos funksiya tushunchasi
3. Xos qiymat va xos funksiya
bo’yicha bilimga ega bo’ladi.
tushunchasi bo’yicha bilim
berish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
7.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
Kirish
natijalar
bilan
(10 daqiqa) Erishadigan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
takrorlamay
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, daftarlariga chizadi, jadvalzadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
daftarga chizishni taklif etadi.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Torning erkin tebranishi
berishga harakat qiladi.
tenglamasi uchun qo’yilgan aralash
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
masalalarni tushuntiring?
formulani qo’llasga harakat
2. Torning erkin tebranishi
qiladi.
tenglamasi uchun qo’yilgan aralash
masalalarni yechishning Fur’e
(o’zgaruvchilarni ajratish ) usulini
tushuntiring?
3. Xos qiymat va xos funksiya
tushunchasi nimadan iborat ?
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
Yakuniy
3.2. Rag’batlantiriladi.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
Asosiy
(60 daqiqa)
Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar:
issiqlik tarqalish tenglamasi. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun
asosiy masalalarning qo’yilishi.
8.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Parabolik tipli tenglamalarga
keltiriladigan fizik jarayonlar.
2. Issiqlik tarqalish tenglamasi.
3. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun
asosiy masalalarning qo’yilishi.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Talabalarda parabolik tipli tenglamalarga
keltiriladigan fizik jarayonlar: issiqlik tarqalish tenglamasi. Issiqlik tarqalish
tenglamasi uchun asosiy masalalarning qo’yilishi bo’yicha asosiy bilimlarni
hosil qilish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Parabolik tipli tenglamalarga
Talaba:
keltiriladigan fizik jarayonlar. 1. Parabolik tipli tenglamalarga
haqida tushunchalar berish.
keltiriladigan fizik jarayonlar to’g’risida
2. Issiqlik tarqalish tengla
bilimlarni hosil qilish.
masini tushuntirib berish.
2. Issiqlik tarqalish tenglamasini
8–
mavzu
tushuntirib berishga ega bo’lish.
3. Issiqlik tarqalish tenglamasi
uchun asosiy masalalarning 3. Issiqlik tarqalish tenglamasi
qo’yilishi
bo’yicha
uchun asosiy masalalarning qo’yilishi
tushunchalar berish.
bajarish bo’yicha malakalarni egallash.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
texnikasi
“ha-yo’q”texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
Bosqichlar,
vaqti
1 bosqich.
Kirish
(10 daqiqa)
2 bosqich.
Asosiy
(60 daqiqa)
3 bosqich.
Yakuniy
(10 daqiqa)
9–
8.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
O’qituvchi
Talaba
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
Erishadigan
natijalar
bilan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
takrorlamay
larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, dafzadi.
tarlariga chizadi, jadval2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
daftarga chizishni taklif etadi.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Parabolik tipli tenglamalarga
berishga harakat qiladi.
keltiriladigan fizik jarayonlarni
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
aniqlang?
formulani qo’llasga harakat
2. Issiqlik tarqalish tenglamasini qiladi.
tushuntirib bering?
3. Issiqlik tarqalish tenglamasi
uchun asosiy masalalarning
qo’yilishi tushuntiring.
3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimi uchun maksimal qiymat
prinsipi. Chegaraviy va Koshi masalsi yechining yagonaligi. Cheksiz
sohada issiqlik tarqalishi tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasini
yechish usuli.
9.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimi
uchun maksimal qiymat prinsipi.
2. Chegaraviy va Koshi masalsi yechining
yagonaligi.
3. Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi
tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasini
yechish usuli.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimi
uchun maksimal qiymat prinsipi. Chegaraviy va Koshi masalsi yechining
yagonaligi. Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi tenglamasiga qo’yilgan Koshi
masalasini yechish usuli haqida umumiy va asosiy bilimlarni hosil qilish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi
Talaba:
yechimi uchun maksimal
1.Issiqlik tarqalish tenglamasi
yechimi
qiymat prinsipi to’g’risida
uchun maksimal qiymat prinsipi bo’yicha
tushuncha hosil qiladilar.
umumiy bilimlarni hosil qilish.
2.Chegaraviy va Koshi masalsi yechining
2. Chegaraviy va Koshi masalsi
yagonaligi bo’yicha ko’nikma va
yechining yagonaligi haqida
malakasini o’zlashtirib oldilar.
tasavvurga ega bo’lish.
sohada
issiqlik
tarqalishi
3. Cheksiz
sohada
issiqlik 3.Cheksiz
tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasini
tarqalishi
tenglamasiga
yechish usuli bo’yicha ko’nikmalar hosil
qo’yilgan Koshi masalasini
qiladi .
yechish usuli tugmachalari
bo’yicha malakalarni shakllantirish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
9.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
(10 daqiqa) Erishadigan
natijalar
bilan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
mavzu
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
Asosiy
takrorlamay
(60 daqiqa) larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, dafzadi.
tarlariga chizadi, jadval2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
daftarga chizishni taklif etadi.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi
berishga harakat qiladi.
yechimi uchun maksimal qiymat
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
prinsipi haqida nima bilasiz?
formulani qo’llasga harakat
2. Chegaraviy va Koshi masalsi
qiladi.
yechining yagonaligi haqida nima
bilasiz?
3. Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi
tenglamasiga qo’yilgan Koshi
masalasini yechish usuli nimadan
iborat?
4. Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi
tenglamasiga qo’yilgan Koshi
masalasini yechish formulasini
yozing?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
10 –
mavzu
Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan aralash masalalarni
yechishning Fur’e usuli.
10.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
aralash masalalar. Boshlang’ich va
chegaraviy shartlar.
2. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
aralash masalalarni yechishda ShturimLiuvill masalasi, xos qiymat va xos
funksiya.
3. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
aralash masalalarni yechishning
(o’zgaruvchilarni ajratish) Fur’e usuli.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
aralash masalalarni yechishning Fur’e usuli to’g’risida umumiy va asosiy
bilimlarni hosil qilish
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Parabolik tipli tenglamalarga
Talaba:
qo’yilgan aralash masalalar.
1. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
Boshlang’ich va chegaraviy
aralash
masalalar.
Boshlang’ich
va
shartlar haqida umumiy va asosiy chegaraviy shartlar bo’yicha tushuncha hosil
bilimlarni hosil qilish.
qiladilar.
2. Parabolik tipli tenglamalarga
2. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
qo’yilgan aralash masalalarni
aralash masalalarni yechishda Shturimyechishda Shturim-Liuvill
Liuvill masalasi, xos qiymat
va xos
masalasi, xos qiymat va xos
funksiya bo’yicha ko’nikma va malakasini
funksiya haqida tasavvurga ega
o’zlashtirib oldilar.
bo’lish.
3. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan
3. Parabolik tipli tenglamalarga aralash
masalalarni
yechishning
qo’yilgan aralash masalalarni (o’zgaruvchilarni ajratish) Fur’e usuli
yechishning
(o’zgaruvchilarni bo’yicha ko’nikmalar hosil qiladi .
ajratish) Fur’e usuli bo’yicha
malakalarni shakllantirish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
10.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich. 1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va rejasini ma’lum qiladi. Erishadi- oladilar.
(10 daqiqa) gan natijalar bilan tanishtiradi.
Mazkur mashg’ulot muammoli
tarzda o’tishini e’lon qiladi.
2 bosqich. 2.1. Talabalar e’tiborini
rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
savollar va ulardagi tushuncha-larga bir-birini
Asosiy
takrorlamay
atamalarni aytadi, daf(60 daqiqa) qaratadi. Blis-so’rov o’tka-zadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti-rish tarlariga chizadi, jadvalmaqsadida B.B.B jadvalini daftarga ning 1 va 2 ustunlarini
chizishni taklif etadi.
to’ldiradilar.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga 2.2. O’ylaydi, javob beradi
tashlaydi va ularni birgalikda va to’g’ri javobni eshitadi.
o’qishga chorlaydi:
1. Parabolik tipli tenglamalarga
qo’yilgan
aralash
masalalar.
Boshlang’ich va chegaraviy shartlar
nimadan iborat?
2. Parabolik tipli tenglamalarga
qo’yilgan
aralash
masalalarni
yechishda Shturim-Liuvill masalasi,
xos qiymat
va xos funksiya
aniqlang?
3. Parabolik tipli tenglamalarga
qo’yilgan
aralash
masalalarni
yechishning
(o’zgaruvchilarni
ajratish) Fur’e usulini tushuntiring?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol
Yakuniy
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
2.3. Eslab qoladi, yozadi.
Har bir savolga javob
berishga harakat qiladi.
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
to’g’rilaydilar.
3.2. Rag’batlantiriladi.
Laplas tenglamasining egri chiziqli koordinatalardagi tasviri.
Laplas tenglamasining fundamental yechimi. Garmonik
funktsiyalar va ularning xossalari.
11.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Laplas tenglamasining egri chiziqli
koordinatalardagi tasviri.
2. Laplas tenglamasining fundamental
yechim.
3. Garmonik funktsiyalar va ularning
xossalari.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Laplas tenglamasining egri chiziqli
koordinatalardagi tasviri. Laplas tenglamasining fundamental yechimi.
Garmonik funktsiyalar va ularning xossalari to’g’risida umumiy va asosiy
bilimlarni hosil qilish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Laplas tenglamasining egri
Talaba:
chiziqli koordinatalardagi tasviri
1. Laplas tenglamasining egri chiziqli
haqida tasavvurga ega bo’lish.
koordinatalardagi tasviri haqida
2. Laplas tenglamasining
tasavvurga ega bo’lish.
fundamental yechim bo’yicha
2. Laplas tenglamasining fundamental
malakalarni shakllantirish.
yechim bo’yicha ko’nikmalar hosil
3. Garmonik funktsiyalar va
qiladi.
ularning xossalari bo’yicha
3. Garmonik funktsiyalar va ularning
malakalarni shakllantirish.
xossalari bo’yicha malakalarni
11 –
mavzu
shakllantiradi.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
“ha-yo’q”texnikasi
texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
11.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich. 1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
Kirish
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
(10 daqiqa) Erishadigan
natijalar
bilan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2 bosqich. 2.1. Talabalar e’tiborini
rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
takrorlamay
savollar va ulardagi tushuncha-larga bir-birini
Asosiy
atamalarni aytadi, daf(60 daqiqa) qaratadi. Blis-so’rov o’tka-zadi.
2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti-rish tarlariga chizadi, jadvalmaqsadida B.B.B jadvalini daftarga ning 1 va 2 ustunlarini
to’ldiradilar.
chizishni taklif etadi.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga 2.2. O’ylaydi, javob beradi
tashlaydi va ularni birgalikda va to’g’ri javobni eshitadi.
2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
1. Laplas tenglamasining egri Har bir savolga javob
chiziqli koordinatalardagi tasviri berishga harakat qiladi.
(qutrb, sferik) qanday ko’rinishda 2.4. Ta’rifni yozib oladi,
formulani qo’llasga harakat
bo’ladi?
2.
Laplas
tenglamasining qiladi.
fundamental yechiminig ko’rinishini
yozing?
3. Garmonik funktsiya deb qanday
funksiyaga aytiladi va uning qanday
xossalarini bilasiz?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
12 –
mavzu
Garmonik funksiya uchun maksimum prinsipi. Yagonalik
teoremasi.
12.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Garmonik funksiya uchun maksimum
prinsipi .
2. Yagonalik teoremasi.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Garmonik funksiya uchun maksimum
prinsipi. Yagonalik teoremasi to’g’risida mukammal tasavvurga ega bo’lish.
Pedagogik vazifalar:
O’quv faoliyati natijalari:
1. Garmonik funksiya uchun
Talaba:
maksimum prinsipi to’g’risida
1. Garmonik funksiya uchun maksimum
umumiy va asosiy bilimlarni
prinsipi bo’yicha tushuncha hosil qiladilar.
hosil qilish.
2. Yagonalik teoremasi bo’yicha ko’nikma
2. Yagonalik teoremasi
va malakasini o’zlashtirib oladilar.
to’g’risida tasavvurga ega bo’lish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
texnikasi
“ha-yo’q”texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
12.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
Kirish
natijalar
bilan
(10 daqiqa) Erishadigan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
2 bosqich.
Asosiy
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
takrorlamay
(60 daqiqa) larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, dafzadi.
tarlariga chizadi, jadval2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
daftarga chizishni taklif etadi.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
o’qishga chorlaydi:
Har bir savolga javob
1. Garmonik funksiyaning asosiy
berishga harakat qiladi.
xossalarini tushuntiring.
2.4. Ta’rifni yozib oladi,
2. Garmonik funksiya uchun
formulani qo’llasga harakat
maksimum prinsipining mohiyatini
qiladi.
nimadan iborat?
3. Yagonalik teoremasi nimadan
iborat ?
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol
Yakuniy
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
13–
mavzu
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
to’g’rilaydilar.
3.2. Rag’batlantiriladi.
Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle va Neyman
masalalarining qo’yilishi va uni Fur’e usulida yechish.
13.1. Ma’ruza mashg’ulotining pedagogik texnologiyasi
Vaqti: 2 soat
Talabalar soni: 54 nafar
O’quv mashg’ulotining shakli
Kirish, vizual ma’ruza
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi
1. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle
va Neyman masalalarining qo’yilishi.
2. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle
va Neyman masalalarining Fur’e (o’zga
ruvchilarni ajratish) usulida yechish.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle
va Neyman masalalarining qo’yilishi va uni Fur’e usulida yechish to’g’risida
amaliy ko’nikmaga ega bo’lish.
O’quv faoliyati natijalari:
Pedagogik vazifalar:
1. Laplas
tenglamasi
uchun Talaba:
doirada Dirixle va Neyman 1. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle
masalalarining
qo’yilishi va Neyman masalalarining qo’yilishi
bo’yicha
ko’nikma
va
malakasini
to’g’risida bilimga ega bo’lish.
2. Laplas
tenglamasi
uchun o’zlashtirib oldilar.
doirada Dirixle va Neyman 2. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle
masalalarining
Fur’e
(o’zga va Neyman masalalarining Fur’e (o’zga
ruvchilarni
ajratish)
usulida ruvchilarni ajratish) usulida yechish
yechish
malakalarini bo’yicha ko’nikmalar hosil qiladi .
shakllantirish.
O’qitish uslubi va
Vizual ma’ruza, blis-so’rov, bayon qilish, klaster,
texnikasi
“ha-yo’q”texnikasi
O’qitish vositalari
Ma’ruzalar matni, proyektor, tarqatma materiallar,
grafik organayzerlar.
O’qitish shakli
Jamoa, guruh va juftlikda ishlash.
O’qitish shart-sharoiti
Proyektor, kompyuter bilan jihozlangan auditoriya
13.2. Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi
Faoliyat mazmuni
Bosqichlar,
vaqti
O’qituvchi
Talaba
1 bosqich.
1.1. O’quv mashg’ulotining mavzu 1.1. Eshitadilar va yozib
va
rejasini
ma’lum
qiladi. oladilar.
Kirish
natijalar
bilan
(10 daqiqa) Erishadigan
tanishtiradi. Mazkur mashg’ulot
muammoli tarzda o’tishini e’lon
qiladi.
2 bosqich.
2.1. Talabalar e’tiborini rejadagi 2.1.Eshitadi. Navbat bilan
savollar va ulardagi tushuncha- bir-birini
Asosiy
takrorlamay
(60 daqiqa) larga qaratadi. Blis-so’rov o’tka- atamalarni aytadi, dafzadi.
tarlariga chizadi, jadval2.2. Bilimlarni yanada aniqlashti- ning 1 va 2 ustunlarini
rish maqsadida B.B.B jadvalini to’ldiradilar.
2.2. O’ylaydi, javob beradi
daftarga chizishni taklif etadi.
2.3. Muammoli savollarni o’rtaga va to’g’ri javobni eshitadi.
tashlaydi va ularni birgalikda 2.3. Eslab qoladi, yozadi.
Har bir savolga javob
o’qishga chorlaydi:
1. Laplas tenglamasi uchun doirada berishga harakat qiladi.
Dirixle
masalasining
qo’yilishi 2.4. Ta’rifni yozib oladi,
formulani qo’llasga harakat
nimadan iborat?
2. Laplas tenglamasi uchun doirada qiladi.
Neyman masalasi qanday qo’yiladi?
3. Laplas tenglamasi uchun doirada
Dirixle va Neyman masalalarining
Fur’e (o’zga ruvchilarni ajratish)
usulida yechish uslibini tushuntiring.
3 bosqich. 3.1. Mavzuga xulosa qiladi.
3.1. Eshitadilar, o’zlarini
Yakuniy
3.2. Rejadagi natijaga erishishda faol to’g’rilaydilar.
(10 daqiqa) ishtirokchilarni rag’batlantiradi.
3.2. Rag’batlantiriladi.
7.1.Topshiriqlar mazmuni
Matematik fizika usullari fanini mukammal o’rganish avvalo talabalarning
o’tilgan materialni puxta o’zlashtirishi va mustaqil tarzda mashg‘ulotlarni
bajarishi, o’z sohasining etuk mutaxassisi bo’lib etishishida muhim rol o‘ynaydi.
Ikkinchi tomondan, ularning mustaqil ishlashi bilim va ko‘nikmalarini
shakllantirishda amaliy va mustaqil mashg‘ulotlari katta ahamiyatga ega.
Har bir amaliy mashg’ulot topshiriqlari quyidagi bosqichlar orqali amalga
oshiriladi:
1. Amaliy mashg’ulot mavzusi.
2. Amaliy mashg’ulot maqsadi.
3. Mavzu bo‘yicha nazariy ma’lumotlar.
4. Topshiriqning mazmuni.
5. Topshiriqni bajarilish jarayoni (algoritmi).
6. Topshiriq natijasi
Mustaqil mashg‘ulotlarini bajarish bo‘yicha har bir talabaga 4 ta topshiriq:
referat yozish, berilgan savollarga javob yozish, berilgan mavzuni
konspektlashtirish, tushunchalarga yozma izoh berish.
I. Referat mavzulari talabalarning har biri uchun alohida topshiriq sifatida
taqsimlab beriladi, ya’ni talabalar guruh jurnalidagi tartib raqamiga mos referat
mavzularini bajaradilar.
Referatning tuzilishi quyidagicha bo’ladi:
1. Titul varaqasi.
2. Reja.
3. Kirish qismi.
4. Asosiy qismi.
5. Xulosa.
6. Ilovalar (mavzuga oid krossvord va test) .
7. Foydalanilgan adabiyotlar.
II.Berilgan savollarga javob tayyorlash va daftarga qayd etish.
III. Tayanch iboralarga izoh beriladi,
Mustaqil topshiriqlar talabalar tomonidan o’z vaqtida bajarilib, faylli
papkaga joylashtiriladi va laboratoriya ishlari hisobotlari bilan birga nazorat
o‘tkazish davrigacha o’qituvchiga topshirishlari lozim.
7.2.
1. Tenglamaning tartibini aniqlang.
2;
4;
3;
ON va YaN uchun testlar
ln u xx u yy ln u xx ln u yy u y u y 0
5
2. Tenglamaning tartibini aniqlang.
2u xx u xxy
u xx 2u y u xyy u x 0
y
3;
2;
4;
1;
3. Tenglamaning tipini aniqlang.
u xx 4u xy u yy 2u x 2u y u 0
Giperbolik tipli; Parabolik tipli; Elliptik tipli; Tipini aniqlab bo’lmaydi.
4. Tenglamaning tipini aniqlang.
2u xx 2u xy u yy 2u y u 0
Elliptik tipli; Parabolik tipli; Giperbolik tipli; Tipini aniqlab bo’lmaydi.
5) Ushbu tenglamaning xarakteristik tenglamasini ko’rsating: xu xx yu yy u 0.
xdy 2 ydx 2 0 ; ydy 2 xdx 2 0 ; ydy 2 xdx 2 0 ; xdy 2 ydx 2 0
6) Ushbu tenglamaning xarakteristik tenglamasini ko’rsating:
u xx 2 sin xu xy cos2 xu yy cos xu y 0
A) dy 2 2 sin xdxdy cos 2 xdx 2 0 ;
B) dy 2 2 sin xdxdy cos 2 xdx 2 0 ;
C) dy 2 2 sin xdxdy cos 2 xdx 2 0 ;
D) dx 2 2 sin xdxdy cos 2 xdy 2 0
7) Qaysi differensial tenglamalar uch ulchovli?
1) xU xx yU yy 2U x 2U y 0.
2) U xx xyU yy 0
3) U xy U xz 2U x 2U y 0.
4) U xy U zz U x 2U yy 0.
3, 4; 1,2; 2,3; 1,4
8) Qaysi differensial tenglamalar uch ulchovli?
1) U xx 2U xy 4U yz 0
2) U xy 2U xz 4U yz U x 0
3) 2U xy 4U yy U x 2U y U x 0
4) U xx U yy U x U y U z 0
1,2, 4; 1,2; 1,3; 1,4.
9) Chiziqli differensial tenglamalarni ko’rsating
1) 2U xx2 (U xx 2)U xy U yy2 0
2) U xx U xU yy 3U yy 0
3) U xx 2U xy U zz 8U 0
4) U xy x sin xU yy 3U y 0
3,4; 1,2; 2,3; 1,4;
10) u xx 2u xy 3u yy 9u 0 tenglamaning xarakteristik chiziqlarini ko’rsating
y 3 x c1 ; y x c 2 . ;
y 3 x c1 ; y 2 x c 2 .
y 3 x c1 ; y x c 2 . ;
2 y 3 x c1 ;2 y 3 x c 2 .
11) u xx 2 sin xu xy cos2 xu yy cos xu y 0 tenglamaning xarakteristik chiziqlarini
ko’rsating
y cos x x c1 , y cos x x c2 ;
y cos x x c1 , y cos x x c2
y sin x x c1 , y sin x x c2 ; y sin x x c1 , y sin x x c2 .
12) k ning qanday qiymatlarida U ( x, y ) x 3 ky 2 funksiya garmonik bo’ladi.
-3;
2;
4;
-4.
13) k ning qanday qiymatlarida U ( x, y ) x 2 y 2 kz 2 funksiya garmonik bo’ladi.
-2;
2;
4;
-4.
14) Gelmgolts tenglamasini ko’rsating.
U xx U yy Uzz U 0 ; U xx U yy Uzz 0 ; U xx U yy Uzz x 2 ; U xx U yy Uzz y 2 .
15) Bigarmonik tenglamani ko’rsating.
U 0 ;
U 0 ; 2U 0 .
U 0 ;
16) Silindrik koordinatalarni ko’rsating.
x cos , y sin , z z ; x sin , y cos , z z ;
x 2 cos 2 , y 2 sin 2 , z z ; x cos , y sin , z z ..
17) Sferik koordinatalarni ko’rsating.
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .;
x r sin cos , y r cos cos , z r cos ;
x r cos cos , y r cos cos , z r sin ; x r cos , y r sin , z r cos .
18) U tt a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) ( x ), U t ( x,0) ( x ) masalaning xos
qiymatlarini ko’rsating.
nl
n
n
, n 1,2,3,... . ; n , n 1,2,3,... . ;
l
( 2n 1)
( 2n 1)
n
, n 1,2,3,... . ; n
, n 1,2,3,... .
2l
2l
19) xU x yU y zU z 0 tenglamaning xarakteristik sistemasini tuzing.
dx dy dz
dx dy dz dx dy dz
; dx dy dz ;
;
x
y
z
y
x
z
z
x
y
20) U x U y U z U tenglamaning xarakteristik sistemasini tuzing.
dU dx
dy dz dU dx dy dz
;
;
dy dz dU ; dx
dU
U U
U
z
1
z
U
x
21) x 2U x y 2U y U 1 tenglamaning xarakteristik sistemasini tuzing.
dx dy dz
dx dy
dx dy
dz
dU
dx
dx dU dx dy
;
; 2 2 dU
2 2 ; 2 2
2
2
U 1 U 1 y
U 1 x
y
x
y
x
y
x
22) U x U y 0 tenglamaning xarakteristik chizig’ini ko’rsating.
x
c.
y
23) xU x yU y 0 tenglamaning xarakteristik chizig’ini ko’rsating.
x y c ; x y c ; xy c ;
x
c. ; x y c ; xy c ; x 2 y c
y
24) x 2U x y 2U y 0 tenglamaning xarakteristik chizig’ini ko’rsating.
1 1
c. ; x y c ; x y c ; xy c .
x y
25) yU x xU y 0 tenglamaning xarakteristik chizig’ini ko’rsating.
x2
c ; x y c ; x y c.
y2
26) U xx 4U xy 13U yy 3U x 24U y 9U 9( x y ) 0 tenglamaning xarakteristik
ciziqlarini toping.
2 x y c1 , 3x c 2 . ; 2 x y c1 , 3x c2 . ; x 2 y c1 , 3x c 2 . ; x 2 y c1 , 3x c2 .
27) U xx 2 sin xU xy cos 2 xU yy cos xU y 0 tenglamaning xarakteristik ciziqlarini toping.
x2 y2 c ;
x y cos x c1 , x y cos x c 2 . ; x 2 y cos x c1 , x y cos x c2 . ;
2 x y cos x c1 , x 2 y cos x c2 . ; x y cos x c1 , 2 y 3x cos x c 2 .
28) x 2 y 2 r 2 R 2 doira uchun Dirixlening ichki masalasi qanday ko’rinishga ega.
U ( x, y ) 0, 0 r R
U ( x, y) 0, 0 r R
; U ( x, y )
;
g ( x, y ), r R
U ( x, y ) g ( x, y ), r R
U ( x, y ) 0, R r
U ( x, y) 0, R r
; U ( x, y )
g ( x, y ), r R
U ( x, y) g ( x, y ), r R
29) x 2 y 2 r 2 R 2 doira uchun Dirixlening tashqi masalasi qanday ko’rinishga ega.
U ( x, y ) 0, R r
U ( x, y) 0, 0 r R
;
;
U ( x, y ) g ( x, y ), r R, U ( x, y ) U ( x, y ) g ( x, y ), r R
U ( x, y ) 0, R r
U ( x, y ) 0, R r
. ; U ( x, y )
U ( x, y )
g ( x, y ), r R, U ( x, y ) .
g ( x, y ), r R
U ( x, y )
30) x 2 y 2 r 2 R 2 doira uchun U ( x, y ) 0, 0 r R ,
f ( x, y ), r R
Neyman ichki masalasining to’g’ri qo’yilish shartini aniqlang
2
2
f ( x, y )ds 0 ;
0
f ( x, y )ds 0 ;
0
2
2
2
f
0 ds 0 ;
2
f ( x, y)ds 0
0
2
31) x y r R doirada Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini ko’rsating.
U ( x, y) f ( x, y), 0 r R U ( x, y) 0, 0 r R
;
;
U ( x, y) g ( x, y), r R.
U ( x, y) g ( x, y ), r R.
U ( x, y ) f ( x, y ),
U ( x, y )
g ( x, y ),
32) x 2 y 2 r 2 R 2
qo’yiladi?
U ( x, y ) f ( x, y ),
U ( x, y ) g ( x, y ), r
0rR
r R.
U ( x, y) U ( x, y ), 0 r R
;
U ( x, y ) g ( x, y ), r R.
doirada Puasson tenglamasi uchun Dirixle tashqi masalasi qanday
Rr
U ( x, y) 0, R r
;
;
R, U ( x, y ) . U ( x, y) g ( x, y ), r R.
U ( x, y ) f ( x, y ), R r
;
U ( x, y )
g ( x, y ), r R.
U ( x, y) U ( x, y ), 0 r R
U ( x, y ) g ( x, y ), r R.
33) Tekislikda aniqlangan Laplas operatorini aniqlang:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 ; 2 2 2 ; 2 2
2 ; 2 2
z
x y
x y
xy y
x
y
x
34) Uc o’lchovli fazoda berilgan Laplas operatorini aniqlang:
2
2
2
2
2
2 2 2 ; 2 2 ;
z
x y
x
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
xy y 2
yz z 2
x 2
xz
xy y 2
x 2
35) Tekislikda aniqlangan Laplas tenglamasini aniqlang:
2u 2u
2u 2u
2u 2u 2u
2u
0;
u 2 2 0 ; u 2 2 2 0 ; u 2 2
y
z
x
y
xy y 2
x
x
2u 2u
u 2 2 xy
y
x
36) Uch o’lchovli fazoda berilgan Laplas tenglamasini aniqlang:
2u 2u
2u 2u
2u 2u 2u
2u
0;
u 2 2 2 0 ; u 2 2 0 ; u 2 2
z
y
y
x
xy y 2
x
x
u
2u 2u
xy
x 2 y 2
37) Tekislikda aniqlangan Puasson tenglamasini aniqlang:
2u 2u
2u 2u 2u
2u 2u
2u 2u
2u
x
0
2
f
(
x
,
y
)
y.
;
;
;
x 2 y 2
x 2 y 2 z 2
xy y 2
x 2 y 2
x 2
38) Uc o’lchovli fazoda berilgan Puasson tenglamasini aniqlang:
2u 2u
2u
2u 2u
2u 2u 2u
2u 2u
1; 2 2 0 ; 2 2
1; 2 2 xy
xy y 2
y
x
x
y
x 2 y 2 z 2
x
39) Qaysi javobda chekli torning erkin tebranish tenglamasi keltirilgan
U tt a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) ( x ), U t ( x,0) ( x ) ;
U t a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) o, U t ( x,0) ( x ) ;
U t a 2U xx f ( x), U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) ( x ), U t ( x,0) ( x ) ;
U ( x, y )
U ( x, y ) 0, 0 r R ,
f ( x, y ), r R , x 2 y 2 r 2 R 2 .
40) Qaysi tenglama gaz tarqalish va diffuziya tenglamasi bo’ladi
U ( x, y ) 0, 0 r R ,
U ( x, y ) f ( x, y ), r R , x 2 y 2 r 2 R 2 ;
U tt a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) ( x ), U t ( x,0) ( x ) ;
U tt a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) x 2 , U t ( x,0) x ;
U t a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) o, U t ( x,0) ( x )
.41) Qaysi tenglama issiqlik tarqalish tenglamasi bo’ladi
U t a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) o, U t ( x,0) ( x ) ;
U ( x, y ) f ( x, y ), r R , x 2 y 2 r 2 R 2 ;
U tt a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) ( x ), U t ( x,0) ( x ) ;
U ( x, y ) 0, 0 r R ,
U tt a 2U xx , U (0, t ) U (l , t ) 0, U ( x,0) x 2 , U t ( x,0) x
42) U xy x y tenglamaning umumiy yechimini toping.
x 2 y xy 2
x2 y
1 ( x ) ( y ) ; U
1 ( x ) ( y ) ;
2
2
2
x 2 y xy 2
xy 2
U
1 ( x ) ( y ) ; U
1 ( x ) ( y ) .
2
2
2
U
43) U xy U yy 0 tenglamaning umumiy yechimini toping.
U ( x y ) ( y x) ; U ( x y ) (2 y x) ;
U ( x e y ) ( y e x ) ; U ( x 2 y) ( x 2 y) .
44) 3U xy 10U xy 3U yy 0 tenglamaning umumiy yechimini toping.
U (3 y x ) ( y x ) ; U ( x y ) ( x y ) ;
1
1
U ( y 3 x) ( y 3 x) ; U ( y x) ( y 3x) .
3
3
45) U xx 6U xy 5U yy 0 tenglamaning umumiy yechimini toping.
U ( y 5 x) ( y x) ; U ( x 5 y ) ( y x) ;
U ( y 5 x ) ( y x ) ; U (5 y 4 x ) ( 4 y x ) .
U tt U xx U yy U zz
U ( x, y, z ,0) xyz, U t ( x, y, z ,0) x 2 y 2 z 2
1
1
1 7
U xyz ( xyz ) 2 t ( x 2 y 2 x 2 z 2 y 2 z 2 )t 3 ( x 2 y 2 z 2 )t 5
t ; U xyz .
3
15
105
t7
.
U xyz ( xyz ) 3 t ; U xyz
105
46) Koshi masalasini yeching:
47) Ushbu
U tt U xx U yy U zz
Koshi masalasi yechimini
U ( x, y, z ,0) x 2 y 2 z 2 , U t ( x, y, z ,0) xy
ko’rsating
U x 2 y 2 z 2 3t 2 xyt ; U x 2 y 2 z 2 ; U x 2 y 2 z 2 3t 2 ; U x 2 y 2 z 2 5t 2
.
U tt U xx U yy U zz
48) Ushbu
U ( x, y, z ,0) x 2 y 2 , U t ( x, y, z ,0) 1
Koshi masalasi yechimini ko’rsating
U x 2 y 2 t 2t 2 ; U x 2 z 2 t 2t 2 ; U x 2 z 2 t 3t 2 ; U y 2 z 2 t 2t 2 .
49) Berilgan Koshi masalasi yechimini aniqlang:
U tt U xx U yy U zz
U ( x, y, z,0) x y, U t ( x, y, z,0) 1
U x y t ; U x y t ; U x y t2; U x y t .
50) Berilgan Koshi masalasini yechimini aniqlang:
U tt U xx U yy U zz
U ( x, y, z,0) x y z, U t ( x, y, z,0) z
U x y z tz ; U ( x y z )t 2 tz ; U x y z tx ; U x y z ty .
51) U x U y 0 tenglamani yechimini ko’rsating.
U x y.
U xy .
x
.
y
U x2 y 2 .
U
52) xU x yU y 0 tenglamani yechimini ko’rsating.
x
.
y
U x y.
U
U xy .
U x2 y 2.
53) x 2U x y 2U y 0 tenglamani yechimini ko’rsating.
1 1
.
x y
U x y.
U
x
.
y
U x2 y2.
U
54) yU x xU y 0 tenglamani yechimini ko’rsating.
U x2 y 2 .
U x y.
x
.
y
y
U .
x
U
55) U x U y 0 tenglamani umumiy yechimini ko’rsating.
U ( x y) .
x
U ( ) .
y
U (xy ) .
U ( x 2 y 2 ) .
56) xU x yU y 0 tenglamani umumiy yechimini ko’rsating.
x
U ( ) ..
y
U ( x y) .
U (xy ) .
U ( x 2 y) .
57) x 2U x y 2U y 0 tenglamani umumiy yechimini ko’rsating.
1 1
U ( ) ..
x y
U ( x y) .
U ( x 2 y 2 ) .
U ( x 2 y 2 ) .
58) yU x xU y 0 tenglamani umumiy yechimini ko’rsating.
U ( x 2 y 2 ) ..
U ( x y) .
x
U ( ) .
y
U (xy ) .
59) xU x yU y 0 tenglamaning birinchi integralini aniqlang.
xy c ..
x
c.
y
x y c.
x y c.
U tt U xx , x , t 0
60)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
U ( x,0) x, U t ( x,0) 0, x
U ( x, t ) x .
U ( x, t ) x t .
U ( x, t ) xt .
U ( x, t ) x t .
U tt U xx , x , t 0
61)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
U ( x,0) sin x, U t ( x,0) 0, x
U ( x, t ) sin x cos x .
U ( x, t ) sin x cos x .
U ( x, t ) sin x cos t .
U ( x, t ) sin x sin t .
U tt U xx , x , t 0
62)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
(
,
0
)
0
,
(
,
0
)
,
U
x
U
x
x
x
t
U ( x, t ) xt .
x
U ( x, t ) .
t
U ( x, t ) x 2 t 2 .
U ( x, t ) x t .
U tt U xx , x , t 0
63)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
U ( x,0) x, U t ( x,0) 1, x
U ( x, t ) x t .
U ( x, t ) sin( x t ) .
U ( x, t ) x 2t .
U ( x, t ) 2 xt .
U tt U xx , x , t 0
64)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
U ( x,0) cos x, U t ( x,0) 0, x
U ( x, t ) cos x cos t .
U ( x, t ) cos x cos t .
U ( x, t ) cos x sin t .
U ( x, t ) sin x sin t .
U tt U xx , x , t 0
65)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
2
(
,
0
)
,
(
,
0
)
0
,
U
x
x
U
x
x
t
U ( x, t ) x 2 t 2 .
U ( x, t ) xt .
x
U ( x, t ) .
t
x2
U ( x, t ) 2 .
t
U tt U xx , x , t 0
66)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
U ( x,0) 0, U t ( x,0) sin x, x
U ( x, t ) sin x sin t .
sin x sin t
.
U ( x, t )
2
U ( x, t ) sin x sin t .
U ( x, t ) sin x cos t .
U tt U xx , x , t 0
67)
Koshi masalasi yechimini aniqalng
U ( x,0) 0, U t ( x,0) cos x, x
U ( x, t ) cos x sin t .
U ( x, t ) sin x cos t .
U ( x, t ) cos x sin t .
U ( x, t ) cos x sin t .
68) Quyidagi tenglamalardan qaysi birini V xy aV 0 kurinishga keltirish mumkin.
U xy U x U y 0
U xy x 2U x 2 y 2U y 0
1
1
U xy U x U y 0
x
y
U xy sin xU x cos yU y 0
69) U xy 2U x 3U y U tenglama qanday turdagi tenglamaning sodda kurinishidan
iborat.
Giperbolik turdagi.
Elliptik turdagi.
Parabolik turdagi.
Elleptiko-Parabolik turdagi.
70) U xx U yy 0 tenglama qanday turdagi tenglamaning sodda ko’rinishidan iborat
Elliptik turdagi.
Giperbolikik turdagi.
Parabolik turdagi.
Giberbolo-Parabolik turdagi.
71) U xx U x U y U tenglama qanday turdagi tenglamaning sodda ko’rinishidan iborat
Parabolik turdagi.
Giperbolikik turdagi.
Elliptik turdagi.
Elliptiko-Giberbolik turdagi.
72) Nyuton potensialini aniqlang
1
y dy1 dy 2 dy 3
|x y|
D
1
u x
y d
| x y|
1
u x ln
y dy1dy 2
x
y
D
x
u x y ln
dy1dy 2
x y
D
u x
73) Logarifmik potensialini aniqlang
1
y dy1dy 2
u x ln
x y
D
1
u x
y d
| x y|
1
y dy1 dy 2 dy 3
|x y|
D
x
u x y ln
dy1dy 2
x y
D
u x
74) Quyidagi funksiyaning qaysi biri u x y12 y 22 ln
D
1
dy1 dy 2 logarifmik
|x y|
potensialning zichligi bo’ladi.
y y12 y 22
1
y 2
y1 y22
1
y 2
y1 y22
y 1
75) u x
D
y1
1
dy1dy2 dy3 Nyuton potensiali zichligini aniqlang
y1 y2 | x y |
y1
y
y1 y2
1
y1 y2
y y
y 1 2
y1
y 1
y
76) utt a 2u xx , u ( x,0) ( x ), ut ( x,0) ( x) masala yechimi uchun Dalamber formulasini
kursating.
( x at ) ( x at ) 1 x at
( )d
u ( x, t )
2
2a x at
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
x at
u ( x, t )
u ( x, t )
1
( )d
2a x at
( x at ) ( x at )
2
x at
1
( )d
2a x at
77) U xx 2U xy 2U yy 5U zz 0 kurinishdagi elliptic tipli tenglamaning sodda ko’rinishini
aniqlang.
V V V 0 .
V V V 0
V V V 0 .
V V V V 0 .
78) Quyidagi giperbolik tipli tenglamaning sodda kurinishini aniqlang:
3U xy 2U xz 2U yz U 0
V V V V 0 .
V V V 0
V V V V 0 .
V V V V V 0 .
79) Ikkinchi tartibli ko’p o’zgaruvchili parabolic tipli tenglamalarning sodda kurinishini
ko’rsating
U xx 4U yy U zz 4U xy 2U xz 4U yz 2U 0 .
V 2V 0 .
V V V 0
V V V 0 .
V V V 0 .
80) Fazoda Laplas tenglamasining fundamental yechimini aniqlang.
U
1
.
x y
U ln
1
.
x y
U x y .
U x y .
81) Tekislikda Laplas tenglamasining fundamental yechimini aniqlang.
1
U ln
.
x y
U x y .
U x y .
U
1
.
x y
82) U xx U yy
x2 y 2 r 2 , 0 r R
Dirixle masalasi yechimini
0 tenglama uchun
U ( x, y ) g ( x, y ), r R
kursating.
2
a2 r 2
1
d
U
2 0 a 2 2ar cos( ) r 2
2
U
a2 r 2
0 a 2 2ar cos( ) r 2 d
2
1 r2
d
U
1 2r cos( ) r 2
0
U
1
2
a2 r 2
0 a 2 2ar cos( ) r 2 d
83) U tt a 2U xx , U ( x,0) ( x ) , U t ( x,0) ( x ) , U (0, t ) 0 , U t (l , t ) 0
masalaga mos keluvchi Shturm-Liuvill masalasini kursating
X '' 2 X 0,
X (0) X (l ) 0
''
2 2
X a X 0,
X (0) X (l ) 0
''
2
X a X 0,
X (0) X (l ) 0
''
2
X X 0,
X (0) X (l ) 0
84) U tt a 2U xx , U ( x,0) ( x ) , U t ( x,0) ( x ) , U (0, t ) 0 , U x (l , t ) 0
masalaga mos keluvchi Shturm-Liuvill masalasini kursating
X '' 2 X 0,
X (0) X ' (l ) 0
X '' a 2 2 X 0,
X (0) X (l ) 0
X '' a 2 X 0,
X (0) X (l ) 0
X X 0,
X (0) X (l ) 0 .
''
2
85) U tt a 2U xx f ( x, t ), U ( x,0) ( x) , U t ( x,0) ( x) , U x (0, t ) 0 , U x (l , t ) 0
masalaga mos keluvchi Shturm-Liuvill masalasini kursating
X '' 2 X 0,
X ' (0) X ' (l ) 0
X '' a 22 X 0,
X (0) X ' (l ) 0
''
2
X a X 0,
X ' (0) X (l ) 0
''
2
X X 0,
X ' (0) X (l ) 0
86) Quyidagi aralash masalaga mos keluvchi Shturm-Liuvill masalasini kursating
U tt a 2U xx f ( x, t ), U ( x,0) ( x) , U t ( x,0) ( x) , U x (0, t ) HU (0, t ) 0 , U (l , t ) 0
X '' 2 X 0,
X ' (0) HX (0) 0, X (l ) 0
X '' 2 X 0,
X (0) X ' (l ) 0
X X 0,
X (0) HX ' (0) 0,
X X 0,
X ' (0) X ' (l ) 0
''
''
2
2
X (l ) 0
87) Quyidagi aralash masalaga mos keluvchi Shturm-Liuvill masalasini kursating
U tt a 2U xx f ( x, t ), U ( x,0) 0 , U t ( x,0) 1, U (0, t ) 0 , U x (l , t ) HU (l , t ) 0
X '' 2 X 0,
X (0) 0, X ' (l ) HX (l ) 0 .
X '' 2 X 0,
X (0) X ' (l ) 0
X X 0,
X (0) HX ' (0) 0,
X X 0,
X ' (0) X ' (l ) 0
''
''
2
2
X (l ) 0
88) Chegaraviy sharti uchunchi tur bulgan quyidagi aralash masalaga mos Shturm-Liuvill
masalasini kursating:
U tt a 2U xx , U ( x,0) ( x ) , U t ( x,0) ( x ) , U x (0, t ) HU (0, t ) 0 , U x (l , t ) HU (l , t ) 0
X '' 2 X 0,
X ' (0) HX (0) 0, X ' (l ) HX (l ) 0 .
X '' 2 X 0,
X (0) X (l ) 0
X X 0,
X ' (0) 0,
X X 0,
X ' (0) X (l ) 0
''
''
2
2
X ' (l ) 0
89) U tt a 2U xx , U ( x,0) 0 , U t ( x,0) x , U (0, t ) 0 , U (l , t ) 0 masalaning xos
qiymatlarini kursating.
n
n
,
n 1,2,3,... .
l
2 n
n
,
n 1,2,3,... .
l
(2n 1)
n
,
n 1,2,3,... .
2l
l
n
,
n 1,2,3,... .
n
90) Quyidagi chegaraviy sharti ikkinchi turdan iborat bo’lgan aralash masalaning xos
qiymatlarini kursating:
U tt a 2U xx , U ( x,0) x , U t ( x,0) 1 x , U x (0, t ) 0 , U x (l , t ) 0
n
n
,
n 1,2,3,... .
l
(2n 1)
n
,
n 1,2,3,... .
l
l
n
,
n 1,2,3,... .
n
l
n
,
n 1,2,3,... .
2n 1
91) Quyidagi aralash masalaning xos qiymatlarini kursating:
U tt a 2U xx , U ( x,0) sin x , U t ( x,0) cos x , U (0, t ) 0 , U x (l , t ) 0
(2n 1)
,
n 1,2,3,... .
2l
n
n
,
n 0,1,2,3,... .
l
l
n ,
n 1,2,3,... .
n
2n 1
n
,
n 0,1,2,3,... .
l
n
92) U tt U xx tenglama uchun Gursa masalasi shartlarini ko’rsating.
U ( x, t ) ( x), agar t x 0 bo' lsa ,
U ( x, t ) ( x), agar t x 0 bo' lsa.
U ( x,0) ( x), U t ( x,0) ( x) .
U x ( x,0) ( x), U t ( x,0) ( x) .
U x ( x,0) ( x), U x ( x,0) ( x) .
93) Bir ulchovli to’lqin tenglamasi uchun qo’yilga Koshi masalasi yechimi qanday formula
orqali beriladi?
Dalamber formulasi.
Grin formulasi.
Puasson integrali.
Krixgorf formulasi.
94) Ikki ulchovli to’lqin tenglamasi uchun qo’yilga Koshi masalasi yechimi qanday formula
orqali beriladi?
Puasson formulasi.
Grin formulasi.
Dalamber formulasi.
Krixgorf formulasi.
95) Uch ulchovli to’lqin tenglamasi uchun qo’yilga Koshi masalasi yechimi qanday formula
orqali beriladi?
Krixgorf formulasi.
Grin formulasi.
Puasson integrali.
Dalamber formulasi.
96) Fazoda Laplas tenglamasi uchun Grin funksiyasining kurinishi qanday buladi?
1
G ( x, y )
g ( x, y ) .
x y
G ( x, y ) ln
1
g ( x, y ) .
x y
1
.
x y
1
G ( x, y ) ln
.
x y
G ( x, y )
97) Tekislikda Laplas tenglamasi uchun Grin funksiyasining kurinishi qanday buladi?
1
G ( x, y ) ln
g ( x, y ), g ( x, y ) garmonik funksiya .
x y
1
g ( x, y ) .
x y
1
G ( x, y )
.
x y
G ( x, y )
G ( x, y ) ln
1
.
x y
98) Fazoda Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan Dirixle masalasi yechimi qanday
ko’rinishda?
Puasson integrali ko’rinishida.
Kirxgorf formulasi ko’rinishida.
Grin formulasi ko’rinishida.
Dalamber formulasi ko’rinishida.
99) Tekislikda Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan Dirixle masalasi yechimi qanday
ko’rinishda?
Puasson integrali ko’rinishida.
Kirxgorf formulasi ko’rinishida.
Grin formulasi ko’rinishida.
Dalamber formulasi ko’rinishida.
100) Gel’mgol’ts tenglamasini ko’rsating.
U xx U yy U zz k 2U 0 .
U xx U yy U zz 0 .
U xx U yy 0 .
U tt U xx U yy U zz 0 .
7.3. Yozma ish va og’zaki nazoratlar savollari
(variantlar)
Bilet № 1
1.Bir tomondan chegaralangan sterjendagi issiklikning erkin tarkalish tenglamasiga
qo’yiladigan masalalar (birinchi chegaraviy masalaning yechimi).
2. Murakkab bulgan aralash chegaraviy masalani sodda masalalalarga keltirish.
3. 0 x l , t 0 yarim polosada aralash masalani yeching:
5
x, u x,0 10 sin x, u 0, t u l , t 0
l
l
2
2
4. ut a u xx , u x,0 x ( x l ), u 0,t u l ,t 0 masalani yeching
ut a 2u xx e t sin
5. u u xx u yy 0, D x, y : x y 25 , u D 4 x 5 y masalani yeching
2
2
Bilet № 2
1. Bir jinsli sterjenning erkin tebranish tenglamasini keltirib chikaring.
( xs)
2
d - Puasson integraliga tegishli bulgan lemmalar.
( )e
3. 0 x l , t 0 yarim polosada aralash masalani yeching:
2. u x, t
1
2 a t
2
4a t
u t 4u xx , u x,0 2 sin
5
8
x, u 0, t u l , t 0
x 3 sin
l
l
4. Shturm-Liuvill masalasi va uning yechimlari (xos qiymat va xos funksiyalarni
topish masalasi).
5. u u xx u yy 0, D x, y :0 x a,0 y , u 0, y u a, y 0, ux,0 A1 x , u x, 0
a
masalani yeching
Bilet № 3
1. Parabolik tipdagi tenglama va uni soda kurinishga keltirish. (tenglama tipini
aniklash, xarakteristikalar orkali uni kanonik shaklga keltirish).
2. Garmonik funksiya va uning birinchi xossasi.
3. Quyidagi masalani yeching:
2
u
u
5
10
9 2 ,0 x l , t 0, u x,0 10 sin
x 15 sin
x, u 0,t u l ,t 0.
t
l
l
x
4. 4u xx u yy 2u x 3u y 0 tenglamaning kanonik shaklini toping.
«Matematik fizika usullari» fanidan joriy va oraliq nazorat uchun
Bilet № 4
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun 1-chegaraviy shartga mos ShtuurmLiuvill masalasini keltiring va yechimini toping (sterjen, uchlari, issiqlik balansi,
1-chegaraviy masala).
2. Garmonik funksiyalar uchun o'rta qiymat haqidagi xossani isbotlang.
3. e y u xx 6e y u xy 5e y u yy 2u x = 0 tenglamaning kanonik shaklini toping.
4. ut = 4u xx ,u ( x,0) = 10 sin
5
x,u (0, t ) = u (l, t ) = 0 aralash masalani yeching.
l
Bilet № 5
1. Ikkinchi tartibli giperbolik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik ko'rinishga keltirish. (Xususiy hosila, differensial tenglama,tip,
xarakterisitkalar, kanonik ko'rinish, 2-shakli).
2. Kompleks o'zgaruvchili garmonik funksiyalar uchun Koshi - Riman
shartlarini isbotlang.
4
x,u (0, t ) = u x (l, t ) = 0 aralash masalani yeching.
l
4.Agar u ( x1 , x2 , x3 , x4 ) funksiya garmonik bo'lsa, u holda v( x1 , x2 , x3 , x4 ) =
3. ut = 36u xx ,u ( x,0) = 7 sin
u (3 x1 4,3 x2 6,7 x3 9,3 x4 3) funksiyaning ham garmonik ekanligini ko'rsating.
Bilet № 6
1. Ikkinchi tartibli parabolik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik ko'rinishga keltirish. (Xususiy hosila, differensial tenglama,tip,
xarakterisitkalar, kanonik ko'rinish).
2. Laplas tenglamasining sferik koodinatalardagi ko'rinishini keltirib
chiqaring.
3. 3 y 2u xx 12 x 2u yy 4u x 5u y = 0, ( xy = 0) tenglamani kanonik shaklga keltiring.
4. u ( x, y ) = (2 x 3 y ) ko'rinishdagi garmonik funksiyani toping.
Bilet № 7
1.Chegaralangmagan sterjenda issiqlikning erkin tarqalish tenglamasiga
qo'yilgan Koshi masalasi va yechimning yagonaligi. (Chegaralanmagan sterjen,
issiqlik tenglamasi, boshlangich shartlar, yechimning yagonaligi).
2.Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarning qo'yilishi va ularning
mohiyati.
5
tenglamaning umumiy yechimini toping.
xy 1
3
4. ut = 4u xx ,u ( x,0) = cos x, u x (0, t ) = u (l, t ) = 0 aralash masalani yeching.
l
3. u xx = x 2 y cos(3 y )
Bilet № 8
1. Torning erkin tebranish tenglamasi va unga qo'yilgan Koshi masalasi
yechimining yagonaligi. (Tor va uning erkin tebranish tenglamasi, Koshi
masalasi,yechimning yagonaligi).
2.Garmonik funksiyalar va ular uchun maksimum qiymat prinsipini
isbotlang. (Garmonik funksiya, extremal nuqta va qiymat).
3. u xy = x 3cos 2 (3 y) 12 xy 7 tenglamaning umumiy yechimini toping.
4. utt = 4u xx ,u x (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 2 sin
3
2
x,ut ( x,0) = 3 cos
x
l
l
aralash
masalani yeching.
Bilet № 9
1.Cheksiz uzunlikdagi tor erkin tebranish tenglamasiga qo'yilgan Koshi
masalasi yechimini topish usulini keltiring. (Chegaralanmagan tor, tebranish
tenglamasi, boshlangich shartlar, Dalamber yechimi).
2.Laplas tenglamasining silindrik va qutb koordinatalardagi tasvirini keltirib
chiqaring.
3. e 2 y u xy e xu yy 3u y = 0 tenglamani kanonik shaklga keltiring.
4.
ut = 9u xx ,ut ( x,0) = 3sin
2
x,u x (0, t ) = u (l, t ) = 0
l
aralash masala yechimini
toping.
Bilet № 10
1.Ikkinchi tartibli elliptik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik ko'rinishga keltirish. (Xususiy hosila, differensial tenglama,tip,
xarakterisitkalar, kanonik ko'rinish).
2.Garmonik funksiyalar uchun maksimum qiymat prinsipining natijalarini
keltiring va 2-sini isbotlang.
3. 2u xx 6u xy 5u yy = 0 tenglamani kanonik shaklga keltiring.
4.Berilgan
aralash
masalani
yeching:
utt = 9u xx ,u x (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 3cos
3
x,ut ( x,0) = 0.
2l
Bilet № 11
1. Ikkinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglamalarni sinflash.
(chiziqli, kvazichiziqli, yuqori tartibga nisbatan chiziqli, bir jinsli va bir jinsli
bo'lmagan tenglamalar, tipini aniqlash).
2. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimining mavjudligi va
yagonaligi.
garmonik
funksiya
bulsa,
3. u ( x, y )
funksiyani
garmoniklikka
w( x, y ) = ( y 2)u x (2 x 5,2 y 4) ( x 1)u y (2 x 5,2 y 4)
tekshiring.
4. utt = u xx ,u x (0, t ) = u (l, t ) = 0,u ( x,0) = 3 cos x,ut ( x,0) = 5 sin
l
2
x aralash masalani
l
yeching.
Bilet № 12
1. Parabolik tipli tenglamalarga qoyiluvchi asosiy chegaraviy shartlar va
ularning moxiyatini keltiring. (Parabolik tipli tenglama, jarayon, chegaraviy
shartlar, fizik mohiyati).
2.Garmonik funksiyalar uchun maksimum prinsipi. 1-natijani isbotlang.
(garmonik funksiya, extremum nuqtalari, soha chegarasi, natija).
3. ut = 4u xx ,u (0, t ) = u (l, t ) = 0,u ( x,0) = x aralash masalani yeching.
4. T = {x 2
y2
4}
4
sohada
aniqlangan
v ( x, y ) = y 3 3 x 2 y
funksiyaning
ekstremumlarini toping.
Bilet № 13
1. To'lqin tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasi uchun yechimining
yagonalik teoremasini isbotlang. (To'lqin tenglamasi, boshlang'ich shart, Koshi
masalasi, yesim, yaggonalik).
2. Laplas tenglamasi uchun Dirixlening tashqi masalasini yechish usulini
keltiring.
3. u ( x, y ) = 3chxsiny 5 funksiyaga qo'shma garmonik v( x, y ) funksiyani
toping.
4. ut = 25u xx ,u (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 5 cos
3
x aralash masalani yeching.
2l
Bilet № 14
1.Issiqlik tarqalish tenglamasiga qo'yilgan 1-tur chegaraviy masala uchun
Shtuurm - Liuvill masalasi va uning yechimi. (Issiqlik taqqalish tenglamasi,
boshlangich va chegaraviy shartlar, Fur'e usuli, Shtuurm-Liuvill masalasi).
2. Torning majburiy tebranish tenglamasini keltirib chiqaring.
3. 5u xx 20u xy 15u yy 2u x = 0 tenglamani soddalashtiring.
4. u x = xy x 2 y 2 4 bo'lsa, u ( x, y ) funksiyaga qo'shma garmonik funksiyani
toping.
Bilet № 15
1.Parabolik tipli tenglamalarga keltiriluvchi jarayonlar va ularga
qo'yiladigan chegaraviy shartlar. (parabolik tenglamalar va unga mos fizik
jarayonlar, boshlangich va chegaraviy masalalar).
2.Doirada Laplas tenglamasiga qo'yilgan Neyman ichki masalasini Furye
usulida yechish.
3. x 2u xx 2 xyuxy y 2u yy yu y = 0 tenglamaning barcha xarakteristik chiziqlaro
oilasini toping.
4. ut = 4u xx ,u ( x,0) = 2cos
3
x,u x ( x,0) = u x (l, t ) = 0 aralash masalani yeching.
l
Bilet № 16
1. Elliptik tipli tenglamalarni kanonik shaklga keltirish ususli (elliptik
tenglama, xarakteristikalari, kanonik ko'rinish).
2.Garmonik funksiyalarning 3-xossasini isbotlang. (Laplas tenglamasi,
garmonik funksiya va uning xossasi).
3. utt = 16u xx ,u (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 0,ut ( x,0) = 10 cos
3
x
l
aralash
masalani
4. S = {( x, y ) :x 2 y 2 > 4} soxada u = 0 tenglamaning chegarada
u
= 2y A
n
yeching.
shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bilet № 17
1.Parabolik tipli tenglamalar uchun maksimum qiymat prinsipi.(parabolik
tenglamalar, chegaraviy va boshlangich shartlar, yechimning maksimum qiymati
haqidagi teorema).
2.Parabolik tipli tenglamalar maksimum qiymat prinsipi natijalari. 2-si
isboti.
3. yuxx 4 xyuxy 4 x 2 yu yy xux = 0 tenglamani soddalashtiring.
4. utt = u xx ,u (0, t ) = cos
3
t ,u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 1,ut ( x,0) = 4
l
aralash
masalani
yeching.
Bilet № 18
1.Sterjenda Issiqlik taqkalish tenglamasiga qo'yilgn 1-chegaraviy masala
yechimining yagonaligi. (Issiqlik tarqalish tenglamasi, Koshi masalasi, yechimning
yagonaligi).
2.Tekislikda Laplas tenglamasining fundamental yechimlarini keltirib
chiqaring.(doirada Laplas tenglamasi, xususiy yechimlari).
3. utt = u xx 2u,u x (0, t ) = u (l, t ) = 0,u ( x,0) = sin
masalani yeching.
3
x,ut ( x,0) = cos
x
l
l
aralash
4. D = {( x, y ) : x 2 y 2 < 2} soxada berilgan
ekstremumlarini toping.
w( x, y ) = x 3 3 xy 2
funksiyaning
Bilet № 19
1. To'lqin tenglamasi uchun aralash masala va uni Fure usulida yechish. (Bir
jinsli bo'lmagan aralash masala va Furye metodi.)
2.Laplas
tenglamasiga
qo'yilgan
Direxle
ichki
masalasi
differensiallanuvchanligi. Laplas tenglamasi, Direxle masalasi, yechim,
diffrensial).
3. x 2u xx 2 xyuxy y 2u yy xux yu y = 0 tenglama umumiy yechimini toping.
4. ut = 4u xx 3u,u x (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = sin
9
x aralash masalani yeching.
2l
Bilet № 20
1.Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasini Dalamber
usulida yechish.(Issiqlik tenglamasi,Koshi masalasi, Dalamber yechimi).
2. To'lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi.
3. 3u xx 8u xy 4u yy 2u x 5u y xy = 0 tenglamani soddalashtiring.
4. utt = 16u xx ,u x (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = sin
3
5
x,ut ( x,0) = cos
x
l
l
masalani
yeching.
Bilet № 21
1.Bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasiga qo'yilgan Koshi masalasini
yechish. (Issiqlik tenglamasi, Koshi masalasi).
2.Garmonik funksiya va o'rta qiymat haqidagi teorema.
3.Birlik doirada u = xy 1 funksiyaning ekstremumini toping.
4. ut = u xx 3u,u (0, t ) = 0,u ( x,0) = sin
3
x,u x (l, t ) = 0 masala yechimini toping.
l
Bilet № 22
1.To'lkin tenglamasiga qoyilgan 1-chegaraviy masala uchun Shtuurm-Liuvill
masalasi xos qiymatlari va xususiy yechimlarini topish. (Tulkin tenglamasi uchun
1-chegaraviy masala, Shturm-Liuvill masalasi va uni yechish).
2. Dirixle ichki masalasi yechimining bo'yicha diffrensiallanuvchanligi.
3.Agar
u ( x1 , x2 , L , xn )
garmonik
funksiya
bulsa,
u
xolda
1
1
w( x1 , x2 , L , xn ) = u ( x1 1, x2 , L , xn )
2
n
funksiya
ko'rsating.
4. utt = 49u xx ,u x (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 4 sin
xam
garmonik
ekanligini
7
x,ut ( x,0) = 0 masalani yeching.
l
Bilet № 23
1. Ikki o'lchovli to'lqin tenglamasi uchun aralash masalani Fure metodi
yordamida yechish.
2. Kompleks o'zgaruvchili garmonik funktsiyalar, analitik funksiyalar va
qo'shma garmonik funksiyalar.
3. y 2u xx x 2u yy xux yu y = 0, ( xy = 0) tenglamani kanonik shaklga keltiring.
4. utt = 4u xx , < x < ,u ( x,0) = x,ut ( x,0) = sin 2
x
masalani yeching.
2
Bilet № 24
1.Sterjenda issiklikning majburiy tarqalish tenglamasiga qo'yilgan
chegaraviy masala yechimining yagonaligi. (Issiqlik taqkalish tenglamasi,
chegaraviy shart, aralash masala, yagonalik ).
2. Laplas tenglamasi uchun Dirixle tashqi masalasi Fur'e yechimining
bo'yicha differensiallanuvchanligini ko'rsating.
3. 3xuxx 4 y 2u yy 4u x 8u y = 0 tenglamaning tipini aniqlang.
4. utt = 36u xx ,u (0, t ) = u (l, t ) = 0,u ( x,0) = 9 sin
2
x,ut ( x,0) = 0 masalani yeching.
l
Bilet № 25
1. To'lqin tenglamasi uchun 2-chegaraviy masalaga mos Shtuurm Liuvill
masalasini quring va yechimini toping. (To'lqin tenglamasi, chegaraviy shartlar,
Fur'e usuli, Shtuurm-Liuvill masalasi).
2. Laplas tenglamasi uchun Dirixle tashqi masalasi Fur'e yechimining
bo'yicha differensiallanuvchanligini ko'rsating.
3. utt = 16u xx , < x < ,t > 0 u ( x,0) = 2 sin
3
5
x,ut ( x,0) = 10 cos
x
l
l
Koshi
masalasini yeching.
4. u ( x, y ) funksiyaning garmonikligidan foydalanib, w( x, y ) = (
u 2 u 2
) ( )
y
x
funksiyani garmoniklikka tekshiring.
Bilet № 26
1. Chegaralanmagan sohada to'lqin tarqalish tenglamasi uchun Koshi
masalasi va uni yechish.(Chegaralanmagan tor tebranishi, boshlangich shartlarning
qo'yilishi, yechish usuli).
2. Laplas tenglamasi uchun Dirixle ichki masalasi Fur'e yechimining
bo'yicha differensiallanuvchanligini ko'rsating.
3. xu yy 2u xy 2u x u y = 4e x tenglamaning kanonik shaklini toping.
4. ut = 25u xx ,0 < x < l,t > 0 u ( x,0) = 2 x,u x (0, t ) = u (l, t ) = 0 masalani yeching.
Bilet № 27
1.Parabolik tipli tenglamalarga qo'yiluvchi asosiy chegaraviy masala uchun
maksimum qiymat prinsipi. (Parabolik tenglama, chegaraviy masala, yechimning
extremumlari, soha chetki nuqtalari).
2. Elliptik tenglamalar uchun doiradan tashqarida 1-chegaraviy masala
yechimining integral tasviri. (Garmonik funksiya, 1-chegaraviy masala, Furye
yechimi, Puasson integrali).
3. utt = 4u xx ,| x |< ,t > 0 u ( x,0) = 10 cos
3
x,ut ( x, o) = 12 x 3 masalani yeching.
2l
4. u ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = ( x12 x22 x32 x42 x52 )
bo'ladigan k ning qiymatini toping.
k
2
funksiya
doimo
garmonik
Bilet № 28
1. Elliptik tipli tenglamalarni kanonik ko'rinishga keltirish. (xususiy hosila,
ikkinchi tartibli dif.tenglama, tipi, xarakteristikalar, yangi o'zgaruvchi, kanonik
shakl).
2.Laplas tenglamasiga qo'yiladigan aralash masalalar, Neyman masalasi
Fur'e yechimini diffrernsiallanuvchanligini ko'rsating.
3. 5 xu xx 2 xyu xy 7 yu yy 3u x 8u y = ycosx tenglamaning tipini aniqlang.
4. D = {( x, y ) :
x2 y2
3} soxada aniqlangan w( x, y ) = x 2 y 2 4 funksiyaning
4
9
ekstremumlarini toping.
Bilet № 29
1.Parabolik tipli tenglama orqali tavsiflanuvchi jarayonlar va ularga
qo'yiladigan chegaraviy shartlarning turlari. (Parabolik tenglama, fizik jarayonlar,
chegaraviy masalalar).
2.Laplas tenglamasining silndrik koordinatalardagi ko'rinishini keltirib
chiqaring.(Laplas operatori va silindrik koordinatalar)
3. u xy u y = xy tenglama umumiy yechimini toping.
4. ut = 49u xx ,u (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = 3 sin
7
x aralash masalani yeching.
2l
Bilet № 30
1.Cheksiz sohada to'lqinning tarqalish tenglamasiga boshlang'ich shartlar va
uni yechish (cheksiz tor tebranishi, boshlangich shartlar, yechim.)
2.Qutb va silindrik koordinatalarida Larlas operatorining ko'rinishini keltirib
chiqaring va doirada Laplas tenglamasining xususiy yechimi.(Qutb, silindrik
koordinatalari, Laplas tenglamasi, fundamental yechim).
3. y 2u xx 4 xyuxy 3x 2u yy xu x yu y = 0 tenglamani soddalashtiring.
4. utt = 36u xx ,u (0, t ) = u x (l, t ) = 0,u ( x,0) = x,ut ( x,0) = 2 x 10
aralash
masalani
yeching.
Variant № 1
1. Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning xususiy hosilalari. Misollar (Ko’p
o’zgaruvchili funksiya, xususiy hosila, yo’nalish bo’yicha hosila, orttirma,
misollar).
2. Garmonik funksiyalar uchun maxsimum prinsipi va uning isboti (Laplas
tenglamasi, garmonik funksiya, soha, chegara, extremum qiymat, ichki nuqta).
3. ( x 1)u xx y 2 u yy 2u x 3u y xy 0 tenglamaning tipini aniqlang va bu
sohalarni chizmada tasvirlang.
4. Issiqlik tarqalish tenglamsi uchun 2-chegaraviy masala va unga mos ShturmLiuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyalarini toping.
5. u ( x, y, z ) 4 x yz x 2 y 3 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
3
Variant № 2
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni sinflash.
Misollar (Xusuiy hosilali tenglama, tartibi, chiziqli, kavazichiziqli, yuqori
tartibli hosilaga nisbatan chiziqli, yechim, umumiy yechim, xususiy yechim,
misollar).
2. 1-chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill masalasi, xos funksiya va xos
qiymatlarini topish (chegaraviy masala, uning turlari, Shturm-Liuvill masalasi,
xos qiymat, musbatlik, xos funkiya, yechima).
3. utt 4uxx x, x , t 0 tenglama uchun u( x,0) x3 , ut ( x,0) 3x2
boshlang’ich shartli Koshi masalasi yechimini toping.
4. Shunday garmonik funksiyalarga misol quringki, ularning yig’indisi, ayirmasi
garmonik funksiya bo’lib, ko’paytmasi garmonik funksiya bo’lmasin.
5. u ( x, y, z ) e x y z 2 y 3 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
5
2
Variant № 3
1. Ikkinchi tartibli giperbolik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish usulini bayon qiling (tenglama, tartibi, chiziqli
tenglama, tipi, xarateristik tenglama, lemma, almashtirishlar, kanonik shakl).
2. To’lqin tenglamasiga qo’yilgan 1-chegaraviy masala yechimi yagonami, agar
yagona bo’lsa isbotlash sxemasi qanday? (to’lqin tenglamasi, boshlang’ich
shart, chegaraviy shart, yechim, yagonalik, isboat, ixtiyoriy yechimlar,
ayirmasi, tengligigi).
3. ut 9uxx , 0 x 2, t 0 tenglama uchun u( x,0) 2x boshlang’ich shart va
u (0, t ) u x (2, t ) 0 chegaraviy shartga mos Shturm-Liuvill masalasini quring
va uning xos qiymat va xos funksiyasini toping.
4. Aylanada berilgan funksiyaning Fur’e qatori va Fur’e koeffisientlari nima?
5. u ( x, y, z ) cos( x5 y 2 z ) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 4
1. Ikkinchi tartibli parabolik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish usuli (xusuiy hosilali chiziqli tenglama, tartibi, tipi,
xarateristik tenglama, xarakteristik chiziqlar, almashtirishlar, kanonik shakl).
2. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun yechimning mavjudlik, yagonalik va
turgunlik masalasi nima? (issiqlik tenglamasi, qo’shimcha shartlar, fizik
jarayon, bir qiymatli aniqlash, yechimlar, uzluksizlik).
u
ax 2 2 x 1
3. a parametrning qanday qiymatida u ( x, y) 0, x 2 y 2 4,
n
Neyman masalasi to’g’ri qo’yilgan hisoblanadi?
4. u( x, y) x 3 2 x 2 y 3 y funksiya xu xxy u xy 0 tenglamaning u(0, y) 3 y,
u x (0, y ) 0 shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladimi? Javobni asoslang.
5. u ( x, y, z ) sin( x3 y 3 z 4 ) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 5
1. Ikkinchi tartibli elliptik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik
shaklga keltirish usuli (xusuiy hosila. chiziqli tenglama, tartib, tip, xarateristik
tenglama, xarakteristik chiziqlar, almashtirishlar, kanonik shakl).
2. Garmonik funksiyalar uchun maksimum prinsipining 2 ta natijasini keltiring
vaulardan 2-sini isbotlang (garmonik funksiya, eng katta, eng kichik, natija, isbot).
3. u ( x, y, z ) ( x 23 yz 2 ) sin( xyz ) funksiyaning barcha ikkinchi tartibli xususiy
hosilalarini hisoblang.
4. u( x, y) x 2 y 2 2 x 3 y funksiyaning u xx u xy u yy 0, u ( x, x) 5 x , u y ( x, x) 3 2 x
masala yechimi ekanligini tekshiring. Javobni asoslang.
5.
u xx xyu yy 0 differensial tenglamaning xarakteristik chiziqlarini toping.
Variant № 6
1. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasini yechishning Dalamber usuli.
(To’lqin tenglamasi, chegaralanmagan tor, bir jinsli, kanonik shakl, umumiy
yechim, Dalamber yechimi).
2. Doirada Dirixle tashqi masalasi Fur’e yechimining Puasson integrali orqali
tasvirlanishi (garmonik funksiya, Dirixle masalasi, tashqi, Fur’e yechimi, Fur’e
koeffisientlari, geom. progressiya, Puasson integrali).
3. u xx 2 yu xy 2 yu yy 5u x sin yu y x cos y 0 tenglama turi, tartibi va tipi
aniqlanib, sohalarni chizmada tasvirlang.
masalasi
4. X "( x) 2 X ( x) 0, (0 x 4), X (0) X ' (4) 0 Shturm-Liuvill
xos qiymat va funksiyalarini toping.
5. u ( x, y, z ) sin x 3 5 yx 2 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
Variant № 7
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi va uning xusuiy hollari (issiqlik muvozanati,
temperatura, sterjen, issiqlik oqimi, issiqlik manbalari, tashqi muhit, bir jinsli)
2. Doirada Dirixle ichki masalasi Fur’e yechimining Puasson integrali orqali
tasvirlanishi (garmonik funksiya, Dirixle masalasi, ichki soha, Fur’e yechimi,
Fur’e koeffisientlari, geom. progressiya, Puasson integrali).
3. uxx 5u x x y tenglama turi, tartibi va tipi aniqlanib, umumiy yechimini
toping.
4. utt 4u xx , (0 x 1, t 0), u x (0, t ) u(1, t ) 0 chegaraviy masalaga mos ShturmLiuvill masalasini qurib, xos qiymat va xos funksiyalarini toping.
5. u ( x, y, z ) e x 6 y 2 z 4 x funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
3
Variant № 8
1. Laplas tenglamasining qutb koordinatalardagi tasviri. (Laplas tenglamasi, egri
chiziqli qutb koordinatalar sistemasi, radius vektor, nuqtaning bosh argumenti)
2. Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalani
yechishning Fur’e usuli. (Chegaralangan tor, boshlang’ich shart, bir jinsli
tenglama, chegaraviy shartlar, Fur’e qatori, Fur’e koeffisientlari)
3. v( x, y) 2 xyz2 3x 2 4 y 3 5z 2 2 y 7 x 5z funksiyaning koordinata o'qlari bilan
3
,
2
va burchaklar tashkil etuvchi vektor yo’nalishi bo’yicha
3
4
hosilasini hisoblang.
4. u xy x y ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy
yechimini toping.
5. u( x, y) x 4 2x 3 6xy 2 3 funksiya u xx u yy u xy 12x 2 12 y tenlamaning yechimi
ekanligini tekshiring.
Variant № 9
1. Laplas tenglamasining sferik koordinatalardagi tasviri. (Laplas tenglamasi, egri
chiziqli sferik koordinatalar sistemasi, o’tish formulalari, teskari almashtirish)
2. Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar (issiqlik
o’tkazuvchanlik, sterjen, gazlarning diffuziyasi, issiqlik miqdori, temperatura)
3. u xx u yy 0 bo’lganda, u( x, y) kx 2 5kyx 6x funksiya k ning qanday qiymatida
garmonik bo’ladi?
5
2
4. u ( x, y) sin
5x y
x y 3
sin
funksiyaning u xx 6u xy 5u yy 0, u( x, x) sin x,
2
2
6
u y ( x, x) cos x masala yechimi ekanligini tekshiring.
5. u( x, y, z) cos 2 x 3 y 2 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 10
1. Laplas tenglamasining silindrik koordinatalardagi tasviri. (Laplas tenglamasi,
egri chiziqli silindrik koordinatalar sistemasi, o’tish formulalari, teskari
almashtirish)
2. Maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan 1-Natijani ayting va mustaqil
isbotlang. (soha, garmonik funksiya, maksimal qiymat, ichki nuqta, chegaraviy
nuqta)
3. Quyida berilgan xusuiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik shaklga
keltiring. u xx 8u xy 7u yy 3u x 2u y u x 0 ,
4. u( x, y) 5xy 2 x 3 y
qiymatlarini toping.
5. u ( x, y , z )
1.
2.
3.
4.
funksiyaning
2
x
xye z funksiyaning
3
y z
2
( x 1) 2 y 2 4
doiradagi extremal
ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 11
Dirixle va Neyman masalalri nimadan iborat? Ularning farqi nimada?
(garmonik va uzluksiz funksiya, chegaraviy shart, tashqi normal???)
3-chegaraviy shart uchun Shturm – Liuvill masalasi xos qiymat va xos
funksiyalarini toping. (3-chegaraviy (aralash) masala, Laplas va Fur’ye
almashtirishlari, Fur’ye usuli, xos qiymat, xos funksiya)
u xx xu yy ( x y)u x y 3 0 tenglamaning giperboliklik, paraboliklik va elliptiklik
sohalarini toping va chizmada tasvirlang.
u yy y 2 sin x x tenglamaning umumiy yechimini toping.
x
5. u ( x, y , z ) cos
xe yz funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
2 3
y z
Variant № 12
1. Xususiy hosilali differensial tenglamaning xususiy va umumiy yechimi deb
nimaga aytiladi? (differensial tenglama, xususiy hosila, xususiy yechim,
umumiy yechim)
2. Qanday fizik jarayonlar giperbolik tipli tenglamalar orqali o’rganiladi
(Giperbolik tenglama, tor, membrana, diffuziya)
3. u(x, y, z) cos(x 2 3yz) e xyz funksiyaning u xyz va u yyz xususiy hosilalarini
hisoblang.
4. utt 4u xx , ( x , t 0), u ( x,0) 2 x 3, ut ( x,0) x 2 4 x
Koshi
masalasi
yechimini toping.
5. u yy 7u y xy 4 tenglamaning umumiy yechimini toping.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
Variant № 13
Issiqlik tarqalish jarayoni uchun chegaraviy masala yechimining yagonaligi
(issiqlik tarqalish, bir jinsli tenglama, boshlang’ich shart, chegaraviy shart,
yagonalik, ikkita yechim, ayirma)
Laplas tenglamasining fundamental yechimlari (Laplas tenglamasi, qutb
koordinatalari, fundamental yechim, fazoda).
uxy ux x2 y3 tenglamaning umumiy yechimini toping.
ut 4u xx , (0 x 2, t 0), u(0, t ) ux (2, t ) 0
masalaga mos Shturm-Liuvill
masalasini quring va xos qiymatini toping.
u ( x, y , z ) log 1 x ( xyz ) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
2
Variant № 14
Issiqlik tarqalish jarayoni uchun chegaraviy masala yechimining yagonaligi
(issiqlik tarqalish, bir jinsli tenglama, boshlang’ich shart, chegaraviy shart,
yagonalik, ikkita yechim, ayirma)
Laplas tenglamasining fundamental yechimlari (Laplas tenglamasi, qutb
koordinatalari, fundamental yechim, fazoda).
xu xy ( y 2)u yy 2u x u y x 2u y 3 0 tenglamaning tipini aniqlang va mos
sohalarni chizmada tasvirlang.
ut 9uxx , (0 x 1, t 0), ux (0, t ) u x (1, t ) 0
masalaga mos Shturm-Liuvill
masalasini quring va xos qiymatini toping.
u ( x, y, z ) 7 x yz tg ( xyz) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
2
Variant № 15
Issiqlik tarqalish jarayoni uchun chegaraviy masalalarning qo’yilishi va fizik
mohiyati (issiqlik tarqalish, tenglama, boshlang’ich shart, chegaraviy shart, 3
turi, mohiyati)
Neyman masalasi va uning to’g’ri qo’yilishi. Misollarda tahlil qiling. (Laplas
tenglamasi,normal,chegaraviy shart,integrali,to’g’ri qo’yilish, misol).
u( x, y) x3 2 x 2 y 3 y
2u xx 3u xy xy 2u yy 8 y,
u( x,0) x3 ,
funksiyani
u y ( x,0) 3 2 x 2 Koshi masalsi yechimi bo’lishlikka tekshiring.
X " ( x) X ( x) 0, (0 x 3) X ' (0) X (3) 0 Shturm-Liuvill masalasi xos qiymat
va xos funksiyasini toping.
u ( x, y , z )
cos x sin y
funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
z3
Variant № 16
1. Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning xususiy hosilalari. Misollar (Ko’p
o’zgaruvchili funksiya, xususiy hosila, yo’nalish bo’yicha hosila, orttirma,
misollar).
2. Garmonik funksiyalar uchun maxsimum prinsipi va uning isboti (Laplas
tenglamasi, garmonik funksiya, soha, chegara, extremum qiymat, ichki nuqta).
3. ( x 1)u xx y 2 u yy 2u x 3u y xy 0 tenglamaning tipini aniqlang va bu
sohalarni chizmada tasvirlang.
4. Issiqlik tarqalish tenglamsi uchun 2-chegaraviy masala va unga mos ShturmLiuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyalarini toping.
5. u ( x, y, z ) 4 x yz x 2 y 3 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
3
Variant № 17
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni sinflash.
Misollar (Xusuiy hosilali tenglama, tartibi, chiziqli, kavazichiziqli, yuqori tartibli
hosilaga nisbatan chiziqli, yechim, umumiy yechim, xususiy yechim, misollar).
2. 1-chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill masalasi, xos funksiya va xos
qiymatlarini topish (chegaraviy masala, uning turlari, Shturm-Liuvill masalasi, xos
qiymat, musbatlik, xos funkiya, yechima).
3. utt 4uxx x, x , t 0 tenglama uchun u( x,0) x3 , ut ( x,0) 3x2
boshlang’ich shartli Koshi masalasi yechimini toping.
4. Shunday garmonik funksiyalarga misol quringki, ularning yig’indisi, ayirmasi
garmonik funksiya bo’lib, ko’paytmasi garmonik funksiya bo’lmasin.
5. u ( x, y, z ) e x y z 2 y 3 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
5
2
Variant № 18
1. Ikkinchi tartibli giperbolik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish usulini bayon qiling (tenglama, tartibi, chiziqli tenglama,
tipi, xarateristik tenglama, lemma, almashtirishlar, kanonik shakl).
2. To’lqin tenglamasiga qo’yilgan 1-chegaraviy masala yechimi yagonami, agar
yagona bo’lsa isbotlash sxemasi qanday? (to’lqin tenglamasi, boshlang’ich shart,
chegaraviy shart, yechim, yagonalik, ixtiyoriy yechimlar, ayirmasi, tengligigi).
3. ut 9uxx , 0 x 2, t 0 tenglama uchun u( x,0) 2x boshlang’ich shart va
u (0, t ) u x (2, t ) 0 chegaraviy shartga mos Shturm-Liuvill masalasini quring va
uning xos qiymat va xos funksiyasini toping.
4. Aylanada berilgan funksiyaning Fur’e qatori va Fur’e koeffisientlari nima?
5. u ( x, y, z ) cos( x5 y 2 z ) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 19
1. Ikkinchi tartibli parabolik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish usuli (xusuiy hosilali chiziqli tenglama, tartibi, tipi,
xarateristik tenglama, xarakteristik chiziqlar, almashtirishlar, kanonik shakl).
2. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun yechimning mavjudlik, yagonalik va
turgunlik masalasi nima? (issiqlik tenglamasi, qo’shimcha shartlar, fizik jarayon,
bir qiymatli aniqlash, yechimlar, uzluksizlik).
u
3. a parametrning qanday qiymatida u ( x, y) 0, x 2 y 2 4,
ax 2 2 x 1
n
Neyman masalasi to’g’ri qo’yilgan hisoblanadi?
4. u( x, y) x 3 2 x 2 y 3 y funksiya xu xxy u xy 0 tenglamaning u(0, y) 3 y,
u x (0, y ) 0 shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladimi? Javobni asoslang.
5. u ( x, y, z ) sin( x3 y 3 z 4 ) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
Variant № 20
1. Ikkinchi tartibli elliptik tipli xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik
shaklga keltirish usuli (xusuiy hosila. chiziqli tenglama, tartib, tip, xarateristik
tenglama, xarakteristik chiziqlar, almashtirishlar, kanonik shakl).
2. Garmonik funksiyalar uchun maksimum prinsipining 2 ta natijasini keltiring
vaulardan 2-sini isbotlang (garmonik funksiya, eng katta, eng kichik, natija, isbot).
3. u ( x, y, z ) ( x 23 yz 2 ) sin( xyz ) funksiyaning barcha ikkinchi tartibli xususiy
hosilalarini hisoblang.
4. u( x, y) x 2 y 2 2 x 3 y funksiyaning u xx u xy u yy 0, u ( x, x) 5 x , u y ( x, x) 3 2 x
masala yechimi ekanligini tekshiring. Javobni asoslang.
5. u xx xyu yy 0 differensial tenglamaning xarakteristik chiziqlarini toping.
Variant № 21
1. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasini yechishning Dalamber usuli.
(To’lqin tenglamasi, chegaralanmagan tor, bir jinsli, kanonik shakl, umumiy
yechim, Dalamber yechimi).
2. Doirada Dirixle tashqi masalasi Fur’e yechimining Puasson integrali orqali
tasvirlanishi (garmonik funksiya, Dirixle masalasi, tashqi, Fur’e yechimi, Fur’e
koeffisientlari, geom. progressiya, Puasson integrali).
3. u xx 2 yu xy 2 yu yy 5u x sin yu y x cos y 0 tenglama turi, tartibi va tipi
aniqlanib, sohalarni chizmada tasvirlang.
4. X "( x) 2 X ( x) 0, (0 x 4), X (0) X ' (4) 0 Shturm-Liuvill masalasi xos
qiymat va funksiyalarini toping.
5. u ( x, y, z ) sin x 3 5 yx 2 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
Variant № 22
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi va uning xusuiy hollari (issiqlik muvozanati,
temperatura, sterjen, issiqlik oqimi, issiqlik manbalari, tashqi muhit, bir jinsli)
2. Doirada Dirixle ichki masalasi Fur’e yechimining Puasson integrali orqali
tasvirlanishi (garmonik funksiya, Dirixle masalasi, ichki soha, Fur’e yechimi,
Fur’e koeffisientlari, geom. progressiya, Puasson integrali).
3. uxx 5u x x y tenglama turi, tartibi va tipi aniqlanib, umumiy yechimini
toping.
4. utt 4u xx , (0 x 1, t 0), u x (0, t ) u(1, t ) 0 chegaraviy masalaga mos ShturmLiuvill masalasini qurib, xos qiymat va xos funksiyalarini toping.
5. u ( x, y, z ) e x 6 y 2 z 4 x funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
3
Variant № 23
1. Laplas tenglamasining qutb koordinatalardagi tasviri. (Laplas tenglamasi, egri
chiziqli qutb koordinatalar sistemasi, radius vektor, nuqtaning bosh argumenti)
2. Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalani
yechishning Fur’e usuli. (tor, boshlang’ich shart, bir jinsli, chegaraviy shartlar,
Fur’e qatori, Fur’e koeffisientlari)
3. v( x, y) 2 xyz2 3x 2 4 y 3 5z 2 2 y 7 x 5z funksiyaning koordinata o'qlari bilan
3
,
2
va burchaklar tashkil etuvchi vektor yo’nalishi bo’yicha
3
4
hosilasini hisoblang.
4. u xy x y ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy
yechimini toping.
5. u( x, y) x 4 2x 3 6xy 2 3 funksiya u xx u yy u xy 12x 2 12 y tenlamaning yechimi
ekanligini tekshiring.
Variant № 24
1. Laplas tenglamasining sferik koordinatalardagi tasviri. (Laplas tenglamasi, egri
chiziqli sferik koordinatalar sistemasi, o’tish formulalari, teskari almashtirish)
2. Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar (issiqlik
o’tkazuvchanlik, sterjen, gazlarning diffuziyasi, issiqlik miqdori, temperatura)
3. u xx u yy 0 bo’lganda, u( x, y) kx 2 5kyx 6x funksiya k ning qanday qiymatida
garmonik bo’ladi?
5x y
x y 3
5
sin
funksiyaning u xx 6u xy 5u yy 0, u( x, x) sin x,
2
2
2
6
u y ( x, x) cos x masala yechimi ekanligini tekshiring.
4. u ( x, y) sin
5. u( x, y, z) cos 2 x 3 y 2 z 4 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 25
1. Laplas tenglamasining silindrik koordinatalardagi tasviri. (Laplas tenglamasi,
egri chiziqli silindrik koordinatalar sistemasi, o’tish formulalari, teskari
almashtirish)
2. Maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan 1-Natijani ayting va mustaqil
isbotlang. (soha, garmonik funksiya, maksimal qiymat, ichki nuqta, chegaraviy
nuqta)
3. Quyida berilgan xusuiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik shaklga
keltiring. u xx 8u xy 7u yy 3u x 2u y u x 0 ,
4. u( x, y) 5xy 2 x 3 y
qiymatlarini toping.
5. u ( x, y , z )
1.
2.
3.
4.
funksiyaning
2
x
xye z funksiyaning
3
y z
2
( x 1) 2 y 2 4
doiradagi extremal
ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
Variant № 26
Dirixle va Neyman masalalari nimadan iborat? Ularning farqi nimada?
(garmonik va uzluksiz funksiya, chegaraviy shart, tashqi normal)
3-chegaraviy shart uchun Shturm – Liuvill masalasi xos qiymat va xos
funksiyalarini toping. (3-chegaraviy (aralash) masala, Laplas va Fur’e
almashtirishlari, Fur’e usuli, xos qiymat, xos funksiya)
u xx xu yy ( x y)u x y 3 0 tenglamaning giperboliklik, paraboliklik va elliptiklik
sohalarini toping va chizmada tasvirlang.
u yy y 2 sin x x tenglamaning umumiy yechimini toping.
x
5. u ( x, y , z ) cos
xe yz funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
2 3
y z
Variant № 27
1. Xususiy hosilali differensial tenglamaning xususiy va umumiy yechimi deb
nimaga aytiladi? (differensial tenglama, xususiy hosila, xususiy yechim, umumiy
yechim)
2. Qanday fizik jarayonlar giperbolik tipli tenglamalar orqali o’rganiladi
(Giperbolik tenglama, tor, membrana, diffuziya)
3. u(x, y, z) cos(x 2 3yz) e xyz funksiyaning u xyz va u yyz xususiy hosilalarini
hisoblang.
4. utt 4u xx , ( x , t 0), u ( x,0) 2 x 3, ut ( x,0) x 2 4 x Koshi masalasi yechimini
toping.
5. u yy 7u y xy 4 tenglamaning umumiy yechimini toping.
Variant № 28
1. Issiqlik tarqalish jarayoni uchun chegaraviy masala yechimining yagonaligi
(issiqlik tarqalish, bir jinsli tenglama, boshlang’ich shart, chegaraviy shart,
yagonalik, ikkita yechim, ayirma)
2. Laplas tenglamasining fundamental yechimlari (Laplas tenglamasi, qutb
koordinatalari, fundamental yechim, fazoda).
3. uxy ux x2 y3 tenglamaning umumiy yechimini toping.
4. ut 4u xx , (0 x 2, t 0), u(0, t ) ux (2, t ) 0
masalaga mos Shturm-Liuvill
masalasini quring va xos qiymatini toping.
5. u ( x, y, z ) log 1 x ( xyz ) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
2
Variant № 29
1. Issiqlik tarqalish jarayoni uchun chegaraviy masala yechimining yagonaligi
(issiqlik tarqalish, bir jinsli tenglama, boshlang’ich shart, chegaraviy shart,
yagonalik, ikkita yechim, ayirma)
2. Laplas tenglamasining fundamental yechimlari (Laplas tenglamasi, qutb
koordinatalari, fundamental yechim, fazoda).
3. xu xy ( y 2)u yy 2u x u y x 2u y 3 0 tenglamaning tipini aniqlang va mos
sohalarni chizmada tasvirlang.
4. ut 9uxx , (0 x 1, t 0), ux (0, t ) u x (1, t ) 0
masalaga mos Shturm-Liuvill
masalasini quring va xos qiymatini toping.
5. u ( x, y, z) 7 x yz tg ( xyz) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini
toping
2
Variant № 30
1. Issiqlik tarqalish jarayoni uchun chegaraviy masalalarning qo’yilishi va fizik
mohiyati (issiqlik tarqalish, tenglama, boshlang’ich shart, chegaraviy shart, 3 turi,
mohiyati)
2. Neyman masalasi va uning to’g’ri qo’yilishi. Misollarda tahlil qiling. (Laplas
tenglamasi,normal,chegaraviy shart,integrali,to’g’ri qo’yilish, misol).
2u xx 3u xy xy 2u yy 8 y,
u( x,0) x3 ,
3. u( x, y) x3 2 x 2 y 3 y
funksiyani
u y ( x,0) 3 2 x 2 Koshi masalsi yechimi bo’lishlikka tekshiring.
4. X " ( x) X ( x) 0, (0 x 3) X ' (0) X (3) 0 Shturm-Liuvill masalasi xos qiymat va
xos funksiyasini toping.
5. u ( x, y, z )
cos x sin y
funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping
z3
O’quv materiallari
Ma’ruza matni
1 –MAVZU
ЦИЛИНДРИК ФУНКЦИЯЛАР. ЦИЛИНДРИК ФУНКЦИЯЛАР УЧУН
ҚАТОРЛАР ВА ИНТЕГРАЛЛАР. ЦИЛИНДРИК ФУНКЦИЯЛАР УЧУН
РЕКУРРЕНТ МУНОСАБАТЛАР
Reja:
1. Kirish. Цилиндрик функциялаp.
2. Цилиндрик функциялар учун қаторлар ва интеграллар .
3. Цилиндрик функциялар учун рекуррент муносабатлар.
Dars maqsadlari:
a) Ta’limiy maqsad: Talabalarda цилиндрик функциялаp, ular uchun qatorlar
va integrallar, rekkurent munosabatlar, aҳaмияти, қўлланиши haqda tushunchalar
berish haqida ko’nikma hosil qilish, bu prinsip va uning natijalarini chegaraviy
masala yechimining yagonaligi va turg’unligini isbotlashga tadbiq etishga
o’rgatish, amaliy masalalarni yechishga yo’naltirish.
Darsa zamonaviy
information texnologiyalar va pedagogik usullardan foydalanish.
b) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
c) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: цилиндрик функциялаp, ularni qator
va integral ko’rinishdagi ifodasi, rekkurent munosabatlar.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish, tarqatma materiallar, oson
va qisqa vaqt talab etuvchi mashqlardan foydalanish, testlardan foydalanish
nazarda tutiladi.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari, Laplas tenglamasi, Puasson tenglamasi, ularga
mos fizik jarayonlar, elliptik tenglamalar uchun chegaraviy massalalarning
qo’yilishi, egri chiziqli koordinatalardagi tasviri kabi tushunchalarni
o’zlashtirganligi yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va
muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning
bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob
berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Silindirik funksiyalar va ular uchun qatorlar va integrallash
Matematik fizikaning ko’plab masalalarni yechish
x 2 y ' ' xy ' ( x 2 2 ) y 0
chiziqli difrensial tenglamaga keltiriladi. Uni x2 ga bo`lib, quyidagicha yozamiz:
y ' '
2
1
y '1 y 0 ,
x
x
(1)
bu yerda - o’zgarmas paramet, (1) -tenglama fizika, mexanika, astronomiya va
boshqa sohalarda ko’plab uchraydi. Silindirik funksiya termumining kelib
chiqishiga asosiy sabab (1) tenglama silindirik sohaga oid potensial uchun
chegaraviv masalalarini tekshirishda uchraydi.
Silindirik funksiyelarning ba’zi sinflarini Bessel funksiyalarning hamma
sinflarini ham Bessel funksiyalar deb ataladi.
(1)- tenglamaga Bessel tenglamasi ham deb ataladi.
(1)-tenglama x=0 nuqtada mahsuslikka ega bo’lib uning xususiy yechimini
umumlashgan darajali qator
y x p a k x k (a00)
(2)
k 0
Ko’rinishda izlaymiz. (2)- qatorni (1)-tenglamaga keltirib quyib
1. ( p 2 2 )a 0 x p p 12 a1 x p 1 p k 2 2 a k a k 2 x k 0
(3)
k 2
y ' a k x k p ( p k ) a k x k p 1 1a1 x p 1 p k a k x p k )
k 2
k 2
k 0
(3)- formuladan x-turli xil darajalarining oldiga koeyfisentlarini tenglashtirib
quydagilarni hosil qilamiz.
(4)
2 2 0
k 2 2 0
(5)
2
p k 2 ak ak 2 0
(6)
(4)- P uchun 2 ta kupaytma topamiz p1=, p2=-
Agar
P1=,
k 2 2
ildizni
olsak
(5)
va
(6)
formulalar
k ( 2 k ),...., K 2,3,4..... , a2k+1=0(k=0,1,2,3….)
a2
2(2 2 )!
a0
a0
a2
4
a4
4(4 2 ) 2 4 4 (1 )2 2 1 2 2!
a2
a1=0, a k
a k 1
k ( 2 n )
a k (1) k
a0
ixtiyoriy bo’lmagan a0 koyefisentni
2 (1 )(2 ) (k ) K !
1
a0
2 ( 1)
2k
(7)
(7)-ko’rishda tanlaymiz bu yerda Г()Г gamma funksiya bo’lib - daning barcha
musbat qiymatlarida haqiqiy qismi musbat bo;lgan komplekis qiymatlarda ham
e x x 1 dx
(8)
0
Shu ko’rinishda aniqlanadi a0 ni shunday tanlash orqali a2k koyfisentlar
a k (1) k
2
2k
1
( 1), , , ( k ) 1
(9)
(9) formulani gamma funksiya asosiy hossasidan foydalanib soddalashtirish
mavxum. Buning uchun (8) ning aniq mumkin ekanliklarini ko’rsatadi K musbat
butun son bolsin (10) – formulani 1 nechta maratoba
Г(+k+1)=(+1)(+2),,,,(+k)Г(=1)
(11)
Ekanligini o’rinli ko’rsatish mumkin.
(11)- formuladan =0 deb olib p(1) e x dx e x 0 1 mana shu tenglikdan
0
(12)
Г(k+1)=K!
Hosil qilamiz (11)- yordamida a2k uchun (9)-formuladan
a 2 k (1) k
1
2
2 k 1
(13)
k! k 1
Ko’rinishda yozish mumkin.
1- misol
X’(t)-3x’(t)+2x(t)=6e-t tenglamasi uchun x(0)=2,x’(0)=0 boshlang’ich shart bilan
Koshi masalasini yeching
x(t ) X ( p)
bo’lsin
u
x' (t ) pX ( p) x(0) pX ( p) 2
holda
x' ' (t ) p 2 X ( p) px(0) x' (0) p 2 X ( p ) 2 p
Tenglamaga tasvirga o’tib p 2 X ( p) 2 p 3( pX ( p) 2) 2 X ( p)
6
2p
,
, , X ( p) 2
p 1
p 1
Bundan x(t)=2cht.
2- Misol
x’’’(t)+x’(t)=cost tenglamaning yechimini x(0)=0, x’(0)=-2, x’’(0)=0
boshlang’ich
shartlardan
topamiz.
x(t ) X ( p)
bo’lsin
u
holda
x' ' (t ) X ( p ), X ' ' ' (t ) p 3 X ( p) 2 p
p
3
p X ( p ) 2 p
Tenglamaning
tasvirga
1 2 p2
p
X
p
(
)
hosil
qilamiz,
bundan
2
1 p2
1 p2
o’tib
1 2p2
1 p
2 2
1 p2 1
3 1
,
2
2 p2 1
2 p2 1
p
p2 1
2
p2
t cos t ,
2
1
sin t
1 p2
p2 1
1
3
1
1
3
X ( p)
2
, x(t ) t cos t sin t
2
2
2
2
2 p 1
2 p 1
3- Misol x IV (t ) 2 x' ' (t ) x(t ) sin t tenglamani nol bo’lgan boshlang’ich shartda
yechamiz.
Agar x(t ) X ( p) u holda p 4 2 p 2 1X ( p)
1
1
bundan X ( p) 2
shuning
p 1
( p 1) 2
2
3
3
1
8
8
8
2
2
u u
u
2 Misol
2 ,0 x 1, t 0 tenglamani U t 0
t 0 0 boshlag’ich shartlarda
2
t
t
x
u
va quydagi chegaraviy shartlarda U (0, t ) 0
(l, t ) sin t yeching
t
2 u 2 d 2V
p
Boshlang’ich shartlarni
Yechish U ( x, t ) U ( x, p ) u holda
x 2
dx 2
d 2V
p 2V hosil qilamiz. Buning umumiy yechimi
inobatga olib tenglamaga o’tib
2
dx
uchun x(t ) sin t t cos t t 2 sin t
p 2
V ( x, p)C1chpx C 2 shpx chunki sin t
V(0,t)=0,
dV
(l, t ) 2
dx
p 2
2
V ( x, p )
, chegaraviy shartdan
sin p
V ( x, p ) funksiya i ,i k ,
p( p 2 2 )chp
1
nuqtalarda qutbga ega bu yerda k k ; k 1,2,3... Yoyilma haqidagi 22
res
res
res
res
G ( p)
G( p)
G ( p)
G( p)
teoremaga ko’ra U ( x, t )
p pk
p i
p i
k 1 p p k
k 1,2,3, , , , , , deb faraz qilib G(p)
, bu yerda p k i k , Gp V x, p e pt
funksiyaning
barcha
qutblari
oddiy.
it
e sin xp
res
1
i sin xe
G p
2
2
p i
2 cos
pchp p i p ' p i
pt
ikt
e pt sin xp
sin k x
res
k 1 ie
(
)
G ( p )
2
2
2
p i
k 2 k
p p shp p pk
sin k x sin k t
res
res
res
G ( p)
G ( p) 2 Re
G( p)
p i
p i
p i
k k2 2
sin x sin t
k sin k x sin k t
2 1
U ( x, t )
cos
k k2 2
k 1
Xususiy hosilali differensial bo’lgan hol
Uchlari mahkamlangan 0xl isterjindagi torning tebranishini qaraymiz. Faraz
qilaylik torning boshlang’ich tezligi va boshlang’ich tebranishi berilgan bolsin
ya’ni qo’ydagi masala qaraladi.
2
2U
2 U
,
t 2
x 2
U ( x ,0 ) U ( l , t ) 0 ,
U ( x,0) U 1 ( x)
Ut ( x,0) U 2 ( x)
(6)
(7)
(8)
Faraz qilaylik U1 ( x) U 2 ( x) funksiyalar yetarlicha silliq va 6 va 8 masalaning silliq
yechimini taminlovchi 0, l kesmaning qushimcha shartlarni qanoatlantirsin V ( p, t )
shartlar qanoatlantirsin U ( x, t ) funksiya tasviri u holda p parametiri sifatida
hisoblab
2
2U
d 2V
t U
e
dt
x 2 0
x 2
dx 2
(9)
Asl funksiya difrensial qoydasiga ko’ra va 8 shardan
2U
V p , x p , U x U 2 x
t 2
(10)
9-10-larni 6-ga tenglamaga qo’yish natijasida tasvir natijasida
d 2U
p 2V pU 1U 2 0
2
dx
2
(11)
7- shartdan
V p,0 V p, l 0
(12)
11 va 12 masalaning yechimni topib V p, x -tasbir funksiyadan U 1 ( x, t ) asl
funksiyaga o’tamiz.
Misol 6-8 masalaning yechimini 1 , l 1 bo’lganda U 1 ( x) sin x U 2 ( x) 0 bu
d 2V
masalaning yechimi (11) dan
p 2V p sin x
V ( p,0)V ( p,1) 0
2
dx
p sin x
u masalaning yechimi V ( p, x) 2
U ( x, t ) cos t sin x
p 2
sh
asl
funksiya.
Nazorat uchun savollar:
1. Цилиндрик функциялаpning o’rganilish sabablari nima?
2. Цилиндрик функциялар учун қаторлар ва интеграллар qanday ko’rinishда
bo’ladi?
3. Цилиндрик функциялар учун рекуррент муносабатлар qanday ifodalanadi?
2 – MAVZU
ЛЕЖАНДР КУПХАДЛАРИ. СФЕРИК ФУНКЦИЯЛАР.
ЭРМИТ КУПХАДЛАРИ. MАХСУС ФУНКЦИЯЛАР УЧУН
ИНТЕГРАЛ ВА ҚАТОР КЎРИНИШДАГИ ТАСВИРЛАР,
РЕКУРРЕНТ МУНОСАБАТЛАР.
Reja:
1. Лежандр полиномлари. Сферик функциялар.
2. Эрмит полиномлари.
3. Mахсус функциялар учун интеграл ва қатор кўринишдаги
тасаввурлар ва рекуррент муносабатлар.
Darsning maqsadi:
1. Лежандр полиномлари. Сферик функциялар haqda tushunchalar berish
2. Эрмит полиномлари va ularning қўлланишини tushuntirib berish.
3. Mахсус функциялар учун интеграл ва қатор кўринишдаги тасаввурлар
ва рекуррент муносабатлар va ularning тадбиқини tushuntirib berish.
Dars maqsadlari:
d) Ta’limiy maqsad: Talabalarda
Lejandr, Ermit polinomlari, sferik
funksiyalar, maxsus funksiyalarni integral va qator ko’rinishi haqida ko’nikma
hosil qilish, bu prinsip va uning natijalarini chegaraviy masala yechimining
yagonaligi va turg’unligini isbotlashga tadbiq etishga o’rgatish, amaliy masalalarni
yechishga yo’naltirish.
Darsa zamonaviy information texnologiyalar va
pedagogik usullardan foydalanish.
e) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
f) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: garmonik funksiya, eng katta qiymat, eng
kichik qiymat, soha, soha chegarasi, Dirixle masalasi, yechim, yagonalik,
turg’unlik.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish, tarqatma materiallar, oson
va qisqa vaqt talab etuvchi mashqlardan foydalanish, testlardan foydalanish
nazarda tutiladi.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari, Laplas tenglamasi, Puasson tenglamasi, ularga
mos fizik jarayonlar, elliptik tenglamalar uchun chegaraviy massalalarning
qo’yilishi, egri chiziqli koordinatalardagi tasviri kabi tushunchalarni
o’zlashtirganligi yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va
muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning
bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob
berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Lejandr ko’phadi
d
dy
(1 x 2 ) y 0
dx
dx
(1)
ko’rinishdagi tenglamaga Lajandr tenglamasi deyiladi. -parametir, x=1 nuqtada
maxsuslikka ega
Qo’ydagi chegaraviy masalani qaraymiz: x=1 maxsus nuqtalarda chegaralangan
1,1 oraliqda (1) – tenglamaning trivial bo’lmagan yechimi mavjud bo’ladigan
parametirlarning qiymatini toping. Lejandr tenglamasining yechimini
y an x n
(2)
n 0
Darajali qator ko’rinishda izlaymiz (2) ni (1) ga qo’ ysak
n 2n 1a n 2 n(n 1) _ a n
0 yoki a n 2
n(n 1)
a n kelib chiqadi
(n 1)(n 2)
a0 va a1 koyfisentlar ixtiyoriy bo’lib qoladi a00, a10 x- ning faqat juft
darajalarini saqlovchi (1)- tenglamaning xususiy yechimini a00, a10- x –ning
faqat tor darajalarning saqlovchi xususiy yechimini hosil qilamiz.
=n(n+1) bo’lganda (1) tenglamaning yrchimi n darajali ko’p had ko’rinishida
bo’lib x=1 nuqtalarda chegaralangan
Endi
d
dy
(1 x 2 ) n(n 1) y 0
dx
dx
(4)
Tenglamning n darajali ko’p had ko’rinishi shaklidagi nolmas yechimini topamiz.
Darajasi 2n bo’lgan ko’p hadni qaraymiz; z=(x2-1)n
Osongina ko’rinish mumkinki, bu ko’p had quydagicha x 2 1
dz
2nxz 0
dx
differensial tenglamni qanoatlantiradi
Bu tenglamaning ikkala tamonini x bo’yicha n marotoba differensiallab
n
1 x dzdx
2
n(n 1) z ( n1) 0 hosil qilamiz
Agar bu tenglamani x bo’yicha yana bir marta differensiallasak z n (4)tenglamani
qanoatlantiradi. Shunday qilib (4) tenglama
y Cz n C
d n ( x 2 1) n
1
yechimga ega bo’ladi, bu yerda C- o’zgarmas C n deb
n
dx
2 n!
y p n ( x)
1
d n ( x 2 1) n
n 0,1,2,3, , , , , , ,
2 n n!
dx n
(5)
Hosil qilamiz. Bu Lejandr ko’p hadi bo’lib =n(n+1) bo’lganda (1) tenglamaning
yechimidan iboratdir.(5)-formula Rodriga formulasi deyiladi.
Shunday qilib Lejandr ko’p hadi qaralayotgan masalada n=n(n+1)(n=0,1,2.3,,,,,)
xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyadan iboratdir (5)- formula bo’yicha
1
2
1
2
hisoblab P0 ( x) 1, , P1 ( x) x, , P2 ( x) (3x 2 1), , P3 ( x) (5 x 3 3x)
1
1
P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3), , P5 ( x) (63 x 5 70 x 3 15 x) vahokozo
8
8
Xossalari;
10. n- darajali Lejandr ko’p hadi n kabi juft funksiyadir.
(6)
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x )
Bu tasdiq to’g’ridan to’g’ri (5) formuladan kelib chiqadi x 2 1 funksiya juft, har
bir differensiallash uning juftligini o’zgartiradi.
n
2 0.
3 0.
P2 n 1 (0) 0, , P2 n (0) (1) n
2n !
2n
2 (n!) 2
Pn (1) 1, , Pn (1) ( 1) n
40. Pn ( x) - Lejandr ko’p hadining barcha ildizlari haqiqiy, har xil va (-1;+1)
intervalda yotadi.
Lejandr ko’p hadining integral tasviri.
Lejandr ko’p hadi uchun (5) Rodriga differensial shakildan tashqari integral
tasvirlarini ham olish mumkin. Shlefli Lejandr ko’p hadini komplekis integral
ko’rinishdagi
(7)
Pn ( x)
n
1
1 z2 1
dz
2i 2 n z x n 1
(9)
Tasvirni bergan, bunda L-x nuqtani o’zida qoplovchi ixtiyoriy yopiq kontor.
Shlefli formulasidan
pn x
x
1
n
(10)
x 2 1 cos d
0
Laplas formulasini hosil qilish mumkin.
Sferik funksiya
y ''
y 0
1 ' 2
y 1 2
x
x
(1)
Silindrik funksiysning kelib chiqishiga shu narsa sabab bo’ladiki tenglama
silindrik sohaga oid potensial chegaraviy masalalarni tekshirishda uchraydi.
Silndrik funksiya na’zi sinflari Bessel funksiyalari deb yuritiladi, ba’zan silindrik
funksiyaning hamma sinflari ham Bessel funksiyalari deb ataladi.(1)-ga Bessel
tenglamasi ham deyiladi. (1)- x=0 nuqtada maxsuslikka ega uning xususiy
yechimini umumlashgan qator ko’rinishida
y x ak x k
(2)
( a 0 0)
k 0
izlaymiz. (2)- qatorni (1)- tenglamaga qo’yib
2
2 a 0 x 1 2 a1 x 1 k 2 a k a k 2 a k 0
2
2
(3)
k 2
X turli xil darajalari oldidagi koyfisentlarni tenglashtirib
(4)
(5)
(6)
2 2 0
12 a1 0
k a
2
k
ak 2 0
(1)- tenglikdan p uchun 2 ta qiymatni p1= va p2=- topamiz.
Agar 1- ildiz p= olsak (5)va (6) formuladan a1 0 va a k
(k 1,2,3,4......) juft ihdekisli koyfisentlar esa a 2
ak 2
k (2 k )
a0
,
2 1 1l
2
a0
vahokozo a 2 k koyfisentlar uchun umumiy ifida
a4 4
2 1( 2) 2 l
a 2 k (1) k
a0
(k 1,2,3,....)
2 ( 1)( 2)...( k ) k!
2k
Hozirgacha ixtiyoriy bo’lgan a 0 koeffisentni esa
a0
1
(7)
2 1
ko’rinishda tanlaymiz, bu yerda gamma funksiya -= barcha musbat
qiymatlarida (musbat haqiqiy qisni kompleks qiymatlari uchun ham) qo’ydagi
tarzda
e x x 1 dx
(8)
0
aniqlanadi.
a 0 ni shunday tanlash orqali
a 2 k (1) k
2
a 2 k koeffisentlar
2 k
1
k!( 1)( 2)...( k ) 1
(9)
ko’rinishda izlaymiz.
Bu ifodani gamma funksiyaning asosiy xossasidan foydalanib soddalashtirib
yozish mumkin. Buning uchun (8)-ning o’ng tamonini bo’laklab integrallaymiz; u
holda
1 ( )
(10)
(10)- formula gamma funksiyani - manfiy qiymatlari va barcha kompleks
qiymatlari uchun ham qniqlash mumkin ekanligini ko’rsatadi.
K-butun musbat son bolsin (10) formulani bir necha marotaba qo’llab
k 1 ( 1)( 2)....( k )( 1)
(11)
Bu formulada 0 deb (1) e x dx 1 tenglikdan gamma funksiyaning
0
k 1 k!
(12)
Tenglik bilan ifodalovchi boshqa bir xossasi topiladi. (11)- formula yordamida a 2 k
koyfisent uchun (9) – ifoda qo’ydagi ko’rinishni oladi.
a2k
(1) k
2 2 k k! k 1
(13)
(2)-qatorda a 2 k 1 va a 2 k koyfisentlarning qiymatini topib (1)- tenglamaning xususiy
yechimini hosil qilamiz. Bu yechimga Besselning 1- jinsli - tartibli va x
ko’rinishida bo’ladi. Shunday qilib
2 k
x
(1) k
2
x
k 0 K ! k 1
(14)
(14)-qator x ning ixtiyoriy qiymatida yaqinlashadi dalamber belgisi orqali ishonch
hosil qilish mumkin, Ikkinchidan ildiz 2 qo’llab (1) tenglamaning 2- xususiy
yechimini qurish mumkin. Buni (14) yechimdan va ga almashtirib
2 k
x
(1) k
2
x
k 0 K ! k 1
(15)
Agar butun son bo’lmasa , (1) Bessel tenglamasining ( x)va ( x) xususuy
yechimlari chiziqli bog’langan bo’ladi chunki (14) va (15) – formulalarning ung
tomonidagi yoyilmalar x ning har xil darajalaridan boshlanadi. Agar musbat
butun n bo’sa n ( x)va n ( x) yechimlari chiziqli bog’langanligini ko’rish mumkin.
Haqiqatdan , butun uchun k=0,1,2,3,…, n-1 qiymatlarda k 1 manfiy qiymat
yoki nol qabul qildi. K ning bu qiymtlari uchun ( k 1) qaysiki
m
(m 1)
formuladan kelib chiqadi.
m
Shunday qilib (15) yoyilmada 1- n-ta hadi nolga aylanadi va
n 2k
x
(1)
2
yoki k n l ko’yib
n x
k n ( k 1) n k 1
k
2 l
n x
n
l x
(
1
)
2
, yani n ( x) (1) n n ( x)
l 0 (l 1)n l 1
(n- butun )
(16)
Bundan kelib chiqadiki, n ning butun qiymatlarida n ( x)va n ( x) chiziqli bog’langan
ning n butun son qiymatlariga teng bo’lgandagi (1) tenglamaning umumiy
yechimini topish uchun v (x) dan chiziqli bog’lanmagan 2- xususiy yechimni
topish kerak. Buning uchun yangi Yn (x) funksiyani qaratamiz
Y ( x)
( x) cos ( x)
sin
(17)
Bu funksiya ham (1)-tenglamaning yechimi ekanligini ko’rish mumkin, chunki
( x)va ( x) xususiy yechimlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat. Osongina
ko’rish mumkinki (16) – munosabatga ko’ra - ning n- ni butun qiymatlariga teng
bo’lganda (17) tenglikni o’ng tomoni
0
ko’roshdagi aniqmaslikni qabul qiladi. .
0
Bu aniqmaslikni Lapital qoidasiga ko’ra ko’rishni hosil qilamiz;
n2k
x 1 n 1 n k 1 x
Yn ( x) y n ( x)ln
2 k 0
k!
2
2
1 x
1
2
k 0 k!k n !
k
n 2k
' k 1
k 1
(18)
Xususiy hold n=0 bolganda y(x) funksiya
x
(1)
2
x 2
2
Y0 ( x) 0 ( x)ln
2 k 0
k!2
2k
k
' k 1
k 1
(19)
Kiritilgan Y(x) funksiya Besselning 2- jinsli tartibli yoki Veber funksiyasi
deyiladi. Y(x) ham Bessel tenglamasining butun son bo’lgandagi yechimi
Y(x) va Y(x) funksiyalar chiziqli bog’lanmagan, bu funksiyalar kasr yoki butun
barcha qiymatlarida fundamental yechimlar sistemasini tashkil qiladi. Bunda (1)
tenglamaning umumiy yechimi
y=c1I(x)+c2y(x)
(20)
ko’rinishda ifodalanadi c1va c2 – ixtiyoriy o’zgarmaslar
' ( x) 1 ( x)
' ( x) 1 ( x)
1 x
( x) ; Y' ( x) Y 1 ( x) Y ( x) ,
x
x
x
Y' ( x) Y 1 ( x) Y ( x) ,
x
( x)
2
x 1 x ,
x
Y 1 x
2
x Y 1 x ,
x
1
2l
x 2
(
1
)
2
1 ( x)
3
k 0
2
k! k
2
l
(11)- formuladan kelib chiqadiki,
3
1 3 5....( 2k 1) 1
k
,
2 k 1
2
2
2 (1) k x 2 k 1
1 ( x)
;
k k 0 2k 1!
2
1 ( x)
2
1
,
2
2
sosx
k
(21)
(22)
(23)
1
2
sin x
2
sin x cos x
cos x
x
k
k
2 x
2
1 ( x)
2
3
2
5 x
2
1
sin x
2
2
sin x cos x
cos x
x
k
2k
2 x
2
2
3
1
2
3
3
1 2 sin x cos( x )
sin x sin x cos x
2 x
2
k
k x
x
x
Bessel funksiyaning ayrim integral tasviri
Integral tasvir Puasson tamonidan olingan
2k
x
k
2
x 1
k 1 k 1
k 0
(1)
1
1
Bu qatorning umumiy holidagi surat va maxrajni k ga ko’paytirib
2
2
1
k 1 k 2 2 k 2k !
2
2k
1 x
2
k 1 k 1
k
1
1
x
k
k 2k
1 x 2 2
2
1 2k !
k 1
2
yoki
m 1 n 1
1 2 2
m
n
0 cos sin d 2
m n2
2
2
formulaga ko’ra
2k
1 x
2
k 1 k 1
k
x
2
k 2k 2
1 x cos 2 sin 2kk d
2
1
2k ! 0
2
(2)- tenglik xulosasidan (1)- qator
(2)
x
2
k 2k 2
1
x
2
( x)
cos 2 sin 2 k d
1
2k ! 0
k 0
2
Integral va yig’indi belgilarini almashtirib
x
2
k
2
1 x 2 k sin 2 k
2
2
( x)
d
cos
1 0
2k !
k 0
2
(3)
Qator bilan integrallashning o’rnini almashtirish qonuni, chunki qator
yaqinlashadi. Bu qatorning yig’indisi cos(xsin) dan iborat. Shunday qilib
,Puasson formulasini
x
2
2
2
cos 2 cos( x sin )d
( x)
1
0
2
Hosil qilamiz , integralning yaqinlashishi uchun Re
(4)
1
bo’lishi kerak, u holda x
2
ixtiyoriy haqiqiy yoki komplekisqiymatni qabul qiladi
Yagi integrallanuvchi o’zgaruvchi kiritib t=sin almashtirish olib
x
2
1
2
( x)
1 t2
1 1
2
1
2
cos xtdt
Integral ostidagi funksiyaning juftligi va 1 t 2
1
2
sin xt toqligidan
x
2
1
2
1 t2
( x)
1
1
2
1
2
e ixt dt
Puasson formulasi yordamida ixtiyoriy haqiqiy x da (x) ni osongina baholash
mumkin. Haqiqatdan cos(xsin)1 inobatga olib (4) dan
(5)
x
2
2
2
( x)
cos 2 d
1
1
2
xR va
x
2
(6)
1
uchun I ( x)
1
2
bo’ladi.
Nazorat uchun savollar:
1. Лежандр полиномлари. Сферик функциялар qanday ko’rinishda
bo’ladi?
2. Эрмит полиномлари qanday
3. Mахсус функциялар учун интеграл ва қатор кўринишдаги
рекуррент муносабатларni yozing?
3-MA’RUZA
IKKINCHI TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI CHIZIQLI
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
VA ULARNI SINFLASH
Reja:
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni
qo’llanishi
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni sinflash.
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechimi.
Darsning maqsadi:
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’yicha
muammolar, izlanishlar yechimlar haqda tushunchalar berish
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni xarakteristikalari
haqida tushuncha berish.
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish
usullarini tushuntirib berish.
Dars maqsadlari:
g) Ta’limiy maqsad:Talabalarda ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamalar haqida ko’nikma hosil qilish, bu prinsip va uning natijalarini
chegaraviy masala yechimining yagonaligi va turg’unligini isbotlashga tadbiq
etishga o’rgatish, amaliy masalalarni yechishga yo’naltirish.
Darsa zamonaviy
information texnologiyalar va pedagogik usullardan foydalanish.
h) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
i) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: ko’p o’garuvchili funksiya, xususiy
hosila, differensial tenglama, tenglama tartibi, yechimi, kvazichiziqli tenglama,
yuqori tartibli hosilaga nisbatan chiziqli tenglama, tenglamaning tipi, giperbolik,
parabolik, elliptik.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish, tarqatma materiallar, oson
va qisqa vaqt talab etuvchi mashqlardan foydalanish, testlardan foydalanish
nazarda tutiladi.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari, Laplas tenglamasi, Puasson tenglamasi, ularga
mos fizik jarayonlar, elliptik tenglamalar uchun chegaraviy massalalarning
qo’yilishi, egri chiziqli koordinatalardagi tasviri kabi tushunchalarni
o’zlashtirganligi yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va
muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning
bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob
berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Bu mavzuda biz xusuiy hosilali tenglama tushunchasi bilan tanishamiz va
bunday tenglamaning tartibi, yechimi haqida to’xtalamiz hamda uning turli
ko’rinishlarini ajratamiz.
1-Ta’rif. Xususiy hosilali differensial tenglama deb ko’p o’zgaruvchili
funksiya, uning xususiy hosilalari va o’zgaruvchilar ishtirok etgan tenglamaga
aytiladi.
Xususiy hosilali differensial tenglamaning tartibi deb unda ishtirok etgan
noma’lum funksiya xusussiy hosilalarining eng katta tartibiga aytiladi.
u u ( x1 , x2 , L , xn ) funksiyaga nisbatan m - tartibli xususiy hosilali differensial
tenglama umumiy holda
F ( x1 , L , xn , u ,
ko’rinishda yoziladi.
bo’lib
u
u
mu
,L,
, L , k1
)0
x1
xn
x1 L xnk n
(1)
Bunda F berilgan funksiya, k1 , k 2 ,L , k n , m natural sonlar
k1 k 2 L k n m tenglikni qanoatlantiradi. Eslatib o’tish kerakki, agar
xususiy hosilali differensial tenglamaning tartibi m ga teng bo’lsa, u holda
tenglamada noma’lum funksiyaning m tartibgacha xususiy hosilalari ishtirok etishi
mumkin bo’lib, ularning hammasi mavjud bo’lishi shart emas.
Agar noma’lum u funksiya ikkita: x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, u
holda (1) ga ko’ra ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama umumiy
holda quyidagi ko’rinishda beriladi:
F ( x, y , u ,
u u 2u 2u 2u
,
,
,
,
)0
x y x 2 xy y 2
(2)
ko’rinishda yoziladi. Bunda F biror berilgan funksiya.
1-Misol.
Quyida berilgan tenglamalardan qaysilari xususiy hosilali
differensial tenglamani ifodalaydi. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning
tartibini toping.
3) tg 2 u xx u 6y u xyy x 5 y sin u 0
1) ln( xu x ) ln u y ln(u xu y ) xy 0
2) cos 2 u xy sin 2 u xy x 0
4) u xy3 u x x cos u x 0
Yechish. Berilgan ushbu tenglamalarda ba’zi elementar almashtirishlardan
keyin hosil bo’lgan tenglamalarni yozamiz. Buning uchun 1) – tenglamada
elementar metematikadan ma’lum bo’lgan
ln A ln B ln C ln( AB ) ln C ln
AB
C
ayniyatni hisobga olsak, bu tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
ln( xu x ) ln u y ln(u x u y ) xy 0
ln
xu x u y
u xu y
xy 0
ln x xy 0 .
Hosil bo’lgan bu tenglamada esa noma’lum funksiya u u ( x, y ) va uning birorta
ham xususiy hosilalari ishtirok etmadi. Bu esa 3- ta’rifga binoan 1) tenglamaning
xususiy hosilali differensial tenglama emasligini bildiradi.
Xuddi shu kabi 2) – tenglamada ham trigonometriyadan ixtiyoriy
(, ) uchun o’rinli bo’lgan
Cos 2 Sin 2 1
Ayniyatni e’tiborga olsak, ushbu tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:
cos 2 u xy sin 2 u xy x 0
1 x 0 .
Bu tenglama va o’z navbatida 2) – tenglama ham 3-ta’rifga asosan xususiy hosilali
differensial tenglama bo’lmas ekan.
3) va 4) – tenglamalarni boshqa elementar almashtirishlar natijasida yanada
soddalashmaydi, ya’ni unda ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni yo’qotib
bo’lmaydi. Shuning uchun ham 3-ta’rifga binoan 3) va 4) tenglamalar xususiy
hosilali differensial tenglamalar bo’ladi. 3) tenglamada noma’lum funksiya
u u ( x, y ) bilan birga u xx , u y , u xyy xususiy hosilalar ham ishtirok etmoqda. Ko’rinib
turibdiki, unda ishtirok etgan xususiy hosilalardan eng katta tartiblisi 3 bo’lib, u
u xyy dan iborat. Demak 3) xususiy hosilali differensial tenglamalarning tartibi 3 ga
teng ekan.
Xuddi shu kabi, 4) tenglamada ham noma’lum funksiya u u ( x, y ) bilan
birga u xy , u x xususiy hosilalar qatnashmoqda. Ulardan eng katta tartibli xususiy
hosila u xy bo’lib, uning tartibi 2 ga teng.
2-Ta’rif. Agar ikkinchi tartibli xususiy hosilali diffrernsial tenglama
a11 ( x1 , x 2 , L , x n )
b1 ( x1 , x2 , L , xn )
2u
2u
2u
a
x
x
x
a
x
x
x
2
(
,
,
L
,
)
L
(
,
,
L
,
)
n
nn
1
2
n
12
1
2
x1x 2
x12
x n2
u
u
L bn ( x1 , x2 , L , xn )
c( x1 , L , xn )u ( x1 , L , xn ) f ( x1 , L , xn )
x1
xn
(3)
ko’rinishda bo’lsa unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglama deb ataladi.
Agar (3) da f ( x1 ,L , x n ) 0 bo’lsa unga bir jinsli, aks holda bir jinsli
bo’lmagan xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Masalan
u
u
xyu ( x, y ) 1,
y
x
y
x
2u 2u
0,
x 2 y 2
u 2 u u
x
u ( x, y ) 0
y xy y
differensial tenglamalar ikki o’zgaruvchili u u ( x, y ) funksiyaga nisbatan mos
ravishda birinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan va ikkinchi, uchinchi tartibli bir jinsli
xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar bo’ladi, chunki ularda noma’lum
funksiya va uninh xususiy hosilalari oldidagi koeffisientlar faqat
( x, y )
o’zgaruvchilargagina bog’liq. Xususan, birinchi tenglama uchun b1 ( x, y ) x,
b2 ( x, y) y, c( x, y ) xy, f ( x, y ) 1 tengliklar o’rinli.
3-Ta’rif. Agar (3) xususiy hosilali differernsial tenglamada aij , bi , i, j 1, n
koeffisientlar faqat ( x1 ,L , xn ) o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmasdan u,
u
, k 1, n
x k
lardan ham bog’liq bo’lsa, ya’ni (3) tenglama ko’rinishi
a11 ( x1 , x2 , L , xn , u , u x1 , L , u xn )u x1 x1 L ann ( x1 , L , xn , u , u x1 , L , u xn )u xn xn
b1 ( x1 , L , xn , u )u x1 L bn ( x1 , x2 , L , xn , u )u xn f ( x1 , L , xn , u )
(4)
kabi bo’lsa, unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali kavazichiziqli differensial
tenglama deb ataladi.
Xuddi shu kabi birinchi tartibli xususiy hosilali kavazichiziqli differensial
tenglama deb
(5)
b1 ( x1 , L , xn , u )u x L bn ( x1 , L , xn , u )u x f ( x1 , L , xn , u )
1
n
ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi. Agar (5) da bi , i 1, n koeffisientlar noma’lum
funksiya u u ( x, y ) dan bog’liq bo’lmasa unga birinchi tartibli xususiy hosilali
chiziqli differensial tenlama deyiladi.
2-Misol. Quyida berilgan
2u x u xx 3 cos(u y )u xy (u x 5u y )u yy x 2 u x xyuu y sin( xy) 0 ,
2 xux 3 cos uu y x 2 yu y 2 x 0
tenglamalar mos ravishda ikkinchi va birinchi tartibli kvazichiziqli xususiy hosilali
differensial tenglamalar bo’ladi. Chunki, ularning birinchisida (4) fornulada
belgilangan koeffisientlar quyidagilarga teng:
a11 ( x, y , u x ) 2u x , a12 ( x, y , u y ) 1,5 cos(u y ), a 22 ( x, y , u x , u y ) (u x 5u y ),
b1 ( x) x 2 , b2 ( x, y, u ) xyu , f ( x, y ) sin( xy ) .
Ikkinchi tenglamada esa (5) fornulada belgilangan koeffisientlar quyidagilarga
teng:
b1 ( x) 2 x, b2 ( x, y, u ) 3 cos u , c( x, y ) x 2 y, f ( x, y ) y 2 x .
4-Ta’rif. Xususiy hosilali differernsial tenglamaning yechimi deb uni
ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga aytiladi.
Xususiy hosilali differernsial tenglamani yechish deb uning barcha
yechimlarini topish yoki yechimga ega emasligini ko’rsatish jarayoniga aytiladi.
Ma’lumki, oddiy differensial tenglamani integrallash orqali topiladigan
yechim unung umumiy yechimi yoki umumiy integrali deb atalib, u odatda bir
nechta erkin parametrlarga bog’liq bo’ladi. Umumiy yechimdan parametrlarning
berilgan qiymatlarida hosil bo’luvci yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi.
Agarda tenglamaga qo’shimcha hech qanday shartlar ilova qilinmagan holda
differensial tenglamaning xususiy yechimlari cheksiz ko’p bo’ladi.
3-Misol. Berilgan
y" y '6 y 0
ikkinchi tartibli bir jinsli oddiy differensial tenglama yechimini y ( x) e kx
ko’rinishida izlaymiz. U holda
y ' ( x) ke kx , y ' ( x) k 2 e kx
bo’lib, uni berilgan tenglamaga qo’yib va tenglamaning ikkala tomonini musbat e kx
ifodaga bo’lamiz. Natijada biz xarakteristik tenglama deb ataluvchi
k2 k 60
kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning yechimlari k1 3, k 2 2 bo’lib, dastlabki
tenglamaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari
y1 ( x) e 3 x , y2 ( x) e 2 x
bo’lib, tenglamaning umumiy yechimi
y ( x) C1e 3 x C2 e 2 x
ko’rinishda bo’ladi va bunda C1 , C2 lar ixtiyoriy doimiylar (parametrlar).
Xuddi shu kabi xususiy hosilali differensial tenglama ham odatda cheksiz
ko’p sondagi yechimlarga ega bo’lib, umumiy yechim bir qancha ixtiyoriy
funksiyalardan bo’g’liq bo’ladi. Ushbu ixtiyoriy funksiyalarni tanlash bilan
umumiy yechimdan hosil qilinuvchi yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi.
Umumiy yechimdan hosil qilib bo’lmaydigan tenglama yechimlariga esa maxsus
yechimlar deb ataladi.
4-Misol. u1 ( x, y ) 6 x 2 xy ,
u 2 ( x, y ) 6 x 2 xy 6 y 2 , u1 ( x, y ) 6 x 2 xy y 1
funksiyalarning har biri xuxusiy hosilali
u x 12 x y
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlari bo’ladi. Chunki berilgan
funksiyalarning har biridan x bo’yicha olingan xususiy hosilalar hammasi 12 x y
ga teng. Qaralayotgan u x 12 x y xususiy hosilali differensial tenglamaning
umumiy yechimini topish uchun uning o’ng tomonidafi funksiyani har bir
tayinlangan y da biror x0 olib ( x 0 , x) oraliqda x bo’yicha integrallaymiz:
x
u ( x, y ) (12 x y )dx f1 ( y )
x0
u ( x, y ) 6 x 2 xy f ( y ) .
Bunda f ( y ) 6 x02 x0 y f1 ( y ) va f1 ( y ) ixtiyoriy funksiyalar.
u1 ( x, y ) 6 x 2 xy ,
u 2 ( x, y ) 6 x 2 xy 6 y 2 ,
u ( x, y ) 6 x 2 xy f ( y )
umumiy
Dastlab berilgan
u1 ( x, y ) 6 x 2 xy y 1
yechimda
mos
yechimlar
ravishda
f ( y ) 0, f ( y ) 6 y 2 , f ( y ) y 1 kabi tanlash natijasida hosil bo’ladi. Demak ular
berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi. Bu tenglama maxsus
yechimlarga ega emas.
5-Misol. u xx 12 xy 1 xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy
yechimini toping.
Yechish. Berilagan tenglama u u ( x, y ) funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli
xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamadir. Uning yechimi x bo’yicha ikki
marta hosilasi f ( x, y ) 12 xy 1 funksiyaga teng bo’lishi kerak. Bunday funksiyani
topish uchun har bir tayinlangan y da f ( x) f y ( x) 12 xy 1 funksiyadan x
bo’yicha ikki marta aniqmas integral olamiz. Bir marta integrallash bilan quyidagi
natijani olamiz:
u x (12 xy 1) dx 6 x 2 y x g1 ( y ) .
Uni ikkinchi marta x bo’yicha integrallab, izlangan yechimni olamiz:
u ( x, y ) (6 x 2 y x g1 ( y ))dx 2 x 3 y
1 2
x g1 ( y ) x g 2 ( y ) .
2
Bunda g1 va g 2 lar faqat y o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan va ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalardir. Demak berilgan tenglamaning
yechimi ikkita ixtiyoriy uzluksiz funksiyadan bog’liq bo’lib
u ( x, y ) 2 x 3 y
1 2
x g1 ( y ) x g 2 ( y )
2
formula bilan aniqlanar ekan.
Quyidagi misollar 2-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglamalarni ma’lum soddalashtirish natijasida umumiy yechimni topish
jarayonida keng qo’llaniladi.
6-Misol.
u xx 2u x 6 sin x y xususiy hosilali differensial tenglamaning
umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda tasvirlab olamiz:
(u x 2u ) x 6 sin x y .
Xuddi yuqorida berilgan misoldagi kabi bu tenglamani x bo’yicha integrallab,
quyidagi tenglamaga kelamiz:
u x 2u (6 sin x y ) dx 6 cos x xy f1 ( y ) .
Bunda f1 ( y ) ixtiyoriy uzluksiz funksiya. Endi
u x 2u 6 cos x xy f1 ( y )
(6)
u ( x, y ) e 2 x w( x, y )
(7)
tenglamani yechish maqsadida
almashtirish bajaramiz. U holda u x 2e 2 x w e 2 x wx bo’lib, (6) tenglama quyidagi
ko’rinishga keladi:
2e 2 x w e 2 x wx 2e 2 x w 6 cos x xy f1 ( y ) .
Bu tenglamaning ikkala tomonini e 2 x ga bo’lingandan keyin unga teng kuchli
bo’lgan tenglamani hosil qilamiz:
wx e 2 x 6 cos x xye 2 x e 2 x f1 ( y ) .
Bu tenglama xuddi 5-misoldagi kabi ko’rinishga ega bo’lib, bir marta x
bo’yicha integrallab w( x, y ) ni topamiz:
1
1
1
w (e 2 x 6 cos x xye 2 x e 2 x f1 ( y ))dx e 2 x 2 sin x 4 cos x xy y f1 ( y ) f 2 ( y ) ,
2
4
2
bunda f1 ( y ) va f 2 ( y) ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalar.
w( x, y ) ning bu ifodasini (7) ga qo’yib, dastlab berilgan differensial tenglamaning
umumiy yechimiga ega bo’lamiz:
u ( x, y ) 2 sin x 4 cos x
1
1
1
xy y f1 ( y ) e 2 x f 2 ( y ) .
2
4
2
7-Misol. u xy 2u x f ( x) , f -berilgan funksiya, xususiy hosilali tenglamaning
umumiy yechimini toping.
Yechish. Ushbu tenglama ham xuddi oldingi misoldagi kabi yechiladi. Uni
ham dastlab
(u y 2u ) x f ( x)
ko’rinishda yozib olamiz va
kelamiz:
x bo’yicha
integrallab, quyidagi tenglamaga
u y 2u f ( x ) dx g1 ( y ) .
(8)
Ushbu differensial tenglamani yechish maqsadida
u ( x, y ) e y w( x, y )
(9)
almashtirish bajaramiz. U holda u y e y w e y wy bo’lib, (8) tenglama quyidagi
sodda ko’rinishga keladi:
w y e y f ( x ) dx e y g1 ( y ) .
Xuddi oldingi misollardagi kabi bu tenglama y bo’yicha integrallab w( x, y )
ni topamiz:
w( x, y ) e y f ( x ) dx e y g1 ( y ) dy g 2 ( x ) .
Bunda birinchi integralni bajarib quyidagi natijani olamiz
w( x, y ) e y f ( x ) dx e y g1 ( y ) dy g 2 ( x ) ,
bu formulada g1 va g 2 lar ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy ikki
funksiyalar.
w( x, y ) ning bu ifodasini (9) ga qo’yib,
berilgan differensial
tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz:
u ( x, y ) f ( x) dx e y e y g1 ( y ) dy e y g 2 ( x ) .
Ushbu yechimni quyidagicha tasvirlash qulaydir:
u ( x, y ) f ( x ) dx g 3 ( y ) e y g 2 ( x ) .
Bunda g1 funksiya ixtiyoriy qiymat qabul qilganda g 3 ( y ) e y e y g1 ( y )dy funksiya
ham ixtiyoriy qiymatlar qabul qiladi.
Xulosa qilib aytganda ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglamaning yechimi mavjud bo’lganda ikkita ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lar
ekan.
Mustaqil ishlah uchun savol va topshiriqlar
1) Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xususiy (qismiy) hosilalasi deb nimaga
aytiladi? Misollar keltiring.
2) Xususiy hosilali differensial tenglama deb nimaga aytiladi? Misollar
keltiring.
3) Xususiy hosilali differensial tenglamaning oddiy differensial tenglamaga
o’xshash jihatlari va farqlarini tushuntiring. Misollar keltiring.
4) Oddiy differensial tenglamani ham xususiy hosilali differensial tenglama
deb qarash mumkinmi? Javobni asoslang.
5) Xususiy hosilali differensial tenglamani oddiy differensial deb qarash
mumkinmi? Javobni asoslang.
6) Xususiy hosilali differensial tenglama tartibi deb nimaga aytiladi. Tartibi
1,2,3,4 bo’lgan oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalarga misollar
keltiring.
7) Tenglamaning yechimi va uni yechish deb nimaga aytiladi? Umumiy,
xususiy va maxsus yechimlarning umumiy va farq qiluvchu jihatlari nimalardan
iborat?
8) Chiziqli, yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli va kvazichiziqli
tenglamalarni ta’rifini keltiring. Misollarda tushuntiring.
9) Chiziqli tenglama yuqori tartibli hosilaga nisbatan chiziqli tenglama yoki
kazichiziqli tenglama bo’ladimi? Teskari tasdiqlar o’rinli bo’ladimi? Misollarda
javobni asoslang.
10) Uchinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamada noma’lum
funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmasligi mumkinmi?
Ikkinchi tartiblilarchi? 3-tartiblisichi?
Amaliy mashg’ulotlar uchun mashqlar to’plami
1) Berilgan funksiyalarning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
a) u ( x, y ) 4 x 5 y ,
b) u ( x, y ) 5 sin x 2 12 x 14 ,
c) u ( x, y ) yctgy e 2 y 2 ,
d) u ( x, y ) 4e y sin 2 x e 2 x cos 2 y 2 y 9 x 7 ,
e) u ( x, y ) x 2 3xy y 3 ,
f) u ( x, y ) (2 x 3 y 2 ) 2 2 x 5 y 8 ,
g) u ( x, y ) x 2 cos y y sin x 5 ,
h) u ( x, y ) sin x cos 2 2 y x 2 y 7 y 3 e 7 ,
i) u ( x, y ) y sin x 2 e 2 x 5 y 2 x 9 y 1 ,
j) u ( x, y ) cos x shy sin y chx ,
2
k) u ( x, y ) y 3 sin x 3x 3 y 12 x 9 y 2 5 ,
l) u ( x, y ) (2 x 5 y ) 4 2 x 2 2 y 2 32011 ,
m) u ( x, y, z ) x 2 3 xy y 2 z z 2 2 xz 4 ,
n) u ( x, y, z ) ( x 3 5 y 2 z ) 2 6 xz 9 z 2 2 ,
o) u ( x, y, z ) log 2 ( x 2 y 2 8 z 2 ) 44 x 7 z y 5 ,
p) u ( x, y, z ) tg ( x 2 2 z 4 3) 3 sin xy 9 y 3 z 2 2 x 8 ,
q) u ( x, y, z ) ln(3 y 4 x 2 4 z 2 8) 2 xz 4 y 4 sin
5
,
r) u ( x, y, z ) (2 x 2 3xy ) 2 3z z 4 2 x 2 z 4e ,
s) u ( x, y, z ) cos( x 2 3xy ) sin( y 2 z z 2 ) 2 xz 4 ,
2
t) u ( x, y, z ) e x 3 y z xz 2 2 yz 5 ,
u) u ( x, y, z ) sh( x 2 yz 2 3) 3xch( y 9 z 2 ) 2 x e 14 ,
v) u ( x1 , x2 ,L xn ) x12 x22 L xn2 ,
w) u ( x1 , x2 ,L xn ) ( x1 x2 L xn ) 2 ,
x) u ( x1 , x2 ,L xn ) log 3 ( x1 x2 L xn ) 2 x1n ,
y) u ( x1 , x2 ,L xn ) sin x1 sin x2 sin x3 sin x4 L sin xn1 sin xn ,
z) u ( x1 , x2 ,L xn )
1
3
( x1 x2 L xn ) 2
, xn 0, n 1,2, L .
2) Quyida keltirilgan xususiy hosilali tenglamaning tartibini
toping.
a) u x4 u x3 2u y2 4u xy 6 0 ,
b) u xx3 3u xy3 7 y 6 0 ,
c) u xx u yy 0 ,
d) xux y 3u y x 2 0 ,
4
4
u x3 ) 2u y2 sin 2 (u xxx
u x3 ) 4u 4 y 6 0 ,
e) cos2 (u xxx
f) ln | u xx | ln | u xxu yy | ln u 3yy u x4 xy 7 0 ,
g) u y u xy2 (u yy2 2u xy2 u x ) 2 2 xy5 u 4 ( x, y) 0 ,
h) 4u xu xy2 (2u xy2 u x ) 2 sin y 5 xy 0 ,
i) cos2 u xy sin 2 u xy 2u y4 3u y u 3 ( x, y) 0 ,
j) 2(u x 2u )u xy
k)
(u y 2u ) 2 2 x 5 u 0 ,
y
2
(u yy u y ) 2u yy (u xy u x ) 2u x 9 x 7 7u 0 ,
x
y
(u yy u x ) 2 2u x u xyy u y 2 x 7 y 92 0 ,
x
m) 2u xxu xxy (u xx u y ) 2 2u y u xxy 34u x tg 4 ( xy ) y 5 0 .
y
l) 2u yy u xyy
n) 2uxxuxxy (uxx uxxy )2 2u yuxxy uxx2 y19 0
Nazorat uchun savollar:
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama nima?
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar amalda qanday
tasvirlanadi, koeffisientlarini aniqlang?
4. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar yechimi deb
nimaga aytiladi?
4-MA’RUZA
IKKINCHI TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI CHIZIQLI
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI KANONIK SHAKLGA
KELTIRISH USULLARI
Reja
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaga mos
xarakteristik tenglama va xarakteristik chiziqlar.
2. Giperbolik tipli tenglamalrni kanonik shaklga keltirish
3. Parabolik tipli tenglamalrni kanonik shaklga keltirish
4. Uch yoki undan ko’p o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan 2-tartibli differensial
tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari
5. Xulosa
Darsning maqsadi:
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning xarakteristik
tenglamalari haqidagi umumiy bilimlarni hosil qilish.
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik shaklga
keltirish bo’yicha tasav vurga ega bo’lish.
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni giperbolik,
parabolicva elliptik tiplarga ajratish bo’yicha malakalarni shakllantirish.
Tayanch so’z va iboralar: xususiy hosila, chiziqli tenglama, tenglama tipi,
xarakteristik tenglama, xarakteristik chiziqlar oilasi, kanonik shakl, kvadratik
forma, matrissa.
Dars o‘tish vositalari: sinf doskasi, o‘quv-uslubiy qo‘llanmalar, ma‘ruza
matnlari, komputer, ma‘ruza bo‘yicha slaydlar.
Dars o‘tish usuli: namoyish dasturiy vositalat ishtirokida, jonli muloqotli
ma‘ruza .
Darsning xrono xaritasi – 80 minut.
Tashkiliy qism: xonaning tozaligi, jihozlanilishi, sanitariya holati.
Talabalarning davomati– 2 minut.
Talabalar bilimini baholash: o‘tilgan mavzuni qisqacha takrorlash,
talabala bilan savol javob o‘tkazish - 10 minut.
Yangi mavzu bayoni - 55 minut.
Mavzuni o’zlashtirish darajasini aniqlash va mustahkamlash – 10 minut.
Sinov savollari – 5 minut.
Uyga vazifa berish – 3 minut.
Yangi mavzu bayoni
Oldingi mavzuda ta’kidlanganidek ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglama noma’lum funksiya va uning barcha xususiy hosilalariga
nisbatan chiziqli bo’lsa, unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglama deb yuritiladi.
Odatda to’g’ri chiziqd bo’layotgan jarayonlar nuqta o’rni va vaqtga nisbatan
ikki o’zgaruvchili funksiya orqali tavsiflansa, shu kabi tekislikdagi fizik jarayonlar
uch o’zgaruvchili funksiyalar orqali tavsiflanadi.
Quyida biz n ta erkli o’zgaruvchili ux1 , x2 ,L, xn funksiyaga nisbatan ikkinchi
tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishini
keltiramiz:
n
n
a ( x ,L, x )u
ij
i , j 1
1
n
xi x j
( x1 ,L, xn ) bi ( x1 ,L, xn )u xi ( x1 ,L, xn ) f ( x1 ,L, xn ) 0 ,
(1)
i 1
bunda aij ( x1 , x2 ,L, xn ) , bi ( x1, x2 ,L, xn ), i, j 1,2,L, n va
f ( x1 , x2 ,L, xn )
funksiyalar
qaralayotgan sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi berilgan funksiyalar.
Biz ushbu kursda asosan ikki o’zgaruvchili funksiyalar bilan shug’ullanamiz
va ko’p o’zgaruvchili hol uchun tegishli ko’rsatma beramiz. Bu holda ikkinchi
tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi ko’rinishda yoziladi:
a11 ( x, y )u xx 2a12 ( x, y )u xy a22 ( x, y )u yy b1 ( x, y )u x b2 ( x, y )u y c ( x, y )u f ( x, y ) 0 (2)
Agar (2) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni o’zaro bir qiymatli
( x, y ),
(3)
( x, y )
almashtirish bajarsak (2) differensial tenglamaga ekvivalent tenglamani hosil
qilamiz. Ushbu yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglamada ishtirok etayotgan xususiy
hosilalarni hisoblaymiz:
u x u x u x
u y u y u y
2
2
u xx u x 2u x x u x u xx u xx
u xy u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy
u yy u y2 2u y y u y2 u yy u yy
(4)
(4) dagi ifodalarni (2) ga qo’yamiz va bir xil xususiy hosilalarni jamlab, (2) ga
ekvivalent bo’lgan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamaga kelamiz:
a11 ( , )u 2a12 ( , )u a22 ( , )u b1 ( , )u b2 ( , )u c ( , )u f ( , ) 0 .
Bunda koeffisientlardagi
quyidagicha ifodalanadi
funksiyalar
(2)
tenglama
koeffisientlari
(5)
orqali
a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a 22 y y
a 22 a11 y2 2a12 x y a 22 y2
b1 a11 xx 2a12 xy a 22 yy b1 x b2 y
b2 a11 xx 2a12 xy a 22 yy b1 x b2 y
a11 a11 x2 2a12 x y a 22 y2
(6)
Demak o’zaro bir qiymatli akslantirishlar natijasida xususiy hosilali chiziqli
differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o’tar ekan. (6) dan
ko’rinib turibdiki, agar biror z ( x, y ) funksiya
a11 z x2 2a12 z x z y a22 z y2 0
(7)
1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda (6) da
( x, y ) deb olinsa a11 0 bo’ladi. Xuddi shu kabi mulohazalarni a12 va a22
koeffisientlar uchun ham aytish mumkin. Demak yangi o’zgaruvchilarni (5)
diffrensial tenglamaning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan ba’zilari nolga teng
bo’ladigan qilibtanlash masalasi (7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamaning yechimini topish bilan uzviy bog’liq ekan. 2-tartibli xususiy hosilali
differensial tenglamaning aralash ikkinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmagan
bu sodda shakli odatda uning kanonik shakli deb yuritiladi.
Kanonik shaklini ta’minlovchi (7) birinchi tartibli xusuiy hosilali differensial
tenglamaning yechimga ega bo’lish masalasi (2) dtenglamaning xarakteristik
tenglamasi deb ataluvchi
a11dy 2 2a12 dydx a22 dx 2 0
(8)
oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bilan uzviy bog’liq bo’ladi.
Uning umumiy integrallariga odatda (2) tenglamaning xarakteristik chiziqlari deb
yuritiladi. Yuqoridagi tasdiqni biz quyidagi lemmada keltiramiz.
Lemma.
z ( x, y ) funksiya (7) birinchi tartibli xususiy hosilali
tenglamaning
aynan
o’zgarmasdan
farqli
yechimi
bo’lishi
uchun
( x, y ) C , C const ning (8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali
bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik z ( x, y ) funksiya (7) birinchi tartibli
xususiy hosilali differensial tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli
yechimi bolsin. U holda
a11 x2 2a12 x y a22 y2 0
ayniyatga ega bo’lamiz. Uni quyidagi ayniyat bilan almashtiramiz
biror
a11 x
y
2
2a12 x
y
a22 0 .
y
(9)
Endi ( x, y ) C oshkormas munosabatdan y g ( x, C ) funksiyani aniqlash mumkin
deb, uning hosilasini qaraymiz
dy
( x, g ( x, C ))
x
.
dx
y ( x, g ( x, C ))
U holda (8) ni quyidagi
2
2
dy
dy
0.
a22 a11 x 2a12 x a22
a11 2a12
dx
y
dx
y
y g ( x ,C )
(10)
Ta’kidlanganidek (9) ning ayniyat ekanligidan so’ngi tenglik ham sohada
qaralayotgan har bir nuqtada bajariladi. Bu esa y g ( x, C ) funksiya (8) ning
umumiy yechimi ekanligini anglatadi. Bunday nuqtalar to’plami esa ( x, y ) C
umumiy integralni beradi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik ( x, y ) C , C const (8) ning umumiy integrali
bo’lsin.
Qaralayotgan sohadan ixtiyoriy bir ( x0 , y 0 ) nuqtani olamiz.
Va bu
nuqtadan (8) ning ( x0 , y0 ) C0 shartni qanoatlantiruvchi biror integral chizig’ini
o’tkazamiz. Endi y g ( x, C 0 ) shartni qanoatlantiruvchi integral egri chiziq uchun
(10) ning o’rinli ekanligini olamiz. Undan esa (5) ning z ( x, y ) da bajarilishini
hosil qilamiz. Lemma isbot bo’ldi.
(8) oddiy differensial tenglama quyidagi ikki oddiy differensial tenglamaga
ajraladi:
2
dy a12 a12 a11 a 22
dx
a11
2
dy a12 a12 a11 a 22
dx
a11
(11)
(11) dagi ildiz belgisi ostidagi ifodaning qaralayotgan nuqtadagi qiymatiga qarab
(2) tenglama quyidagi 3 tipga ajraladi.
Ta’rif.
1)
Agar
berilgan
( x0 , y 0 )
nuqtada
a122 ( x 0 , y 0 ) a11 ( x 0 , y 0 ) a 22 ( x 0 , y 0 ) 0 bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada giperbolik
tipli deyiladi.
2) Agar berilgan ( x0 , y 0 ) nuqtada a122 ( x0 , y0 ) a11 ( x0 , y0 )a22 ( x0 , y0 ) 0 bo’lsa (2)
tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi.
3) Agar berilgan ( x0 , y 0 ) nuqtada a122 ( x0 , y0 ) a11 ( x0 , y0 )a22 ( x0 , y0 ) 0 bo’lsa (2)
tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi.
(2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu
tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic
sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi
deyiladi. Agar (2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega
bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi.
Endi (2) tenglama faqat bir tipga ega bo’ladigan biror D to’plamni
qaraymiz. (11) ga asosan bu sohaning har bir nuqtasidan (2) tenglamaning ikkita
xarakteristik chizig’I o’tadi. Xususan, (2) tenglama D sohada giperbolik tipli
bo’lganda ikkala turli haqiqiy qiymatli, parabolik holda ustma-ust tushuvchi
haqiqiy qiymatli va elliptik bo’lganda esa ikkita qo’shma kompleks qiymatli
xarakteristik chiziqlar hosil bo’ladi. (2) tenglamaning kanonik shaklini topish
uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.
1)
D sohada (2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida
a122 a11a22 0 tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi
haqiqiy qiymatli
( x, y) C1 , ( x, y) C2
umumiy integrallarga ega bo’ladi. Mavzu boshida aytilgan yangi o’zgaruvchilarni
( x, y ),
( x, y )
kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (6) ga asosan a11 a22 0, a12 0 bo’lib, yangi
o’zgaruvchilarda (2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
u F1 ( , , u , u , u ) ,
(12)
bunda
F1 ( , , u , u , u )
f ( , )
c ( , )
b ( , )
b1 ( , )
.
u
u
u 2
2a12 ( , )
2a12 ( , )
2a12 ( , )
2a12 ( , )
Odatda (12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1-tur kanonik shakli
deyiladi. Agar unda
2
,
2
u
almashtirishlarni bajarsak
1
(u u )
4
bo’lib, (12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli
u u 4F1 ( , , u, u , u )
hosil bo’ladi.
2)
D sohada (2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida
a122 a11a22 0 tenglik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi bitta
haqiqiy qiymatli
( x, y ) C
umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni
( x, y ),
( x, y )
kabi tanlaymiz. Bunda ( x, y ) orqali ( x, y ) bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy
funksiya tanlangan.
a12 a11
U holda Lemma va (6) ga asosan a11 0, a12 0 va bo’lib,
a22 bo’lganligi uchun (6) dan
a12 ( a11 x a22 y )( a11 x a22 y ) 0
ekanligini olamiz.
Natijada
(5) da a22 bo’lish bilan giperbolik tipli
tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz:
u F2 ( , , u , u , u ) .
Bunda
F1 ( , , u , u , u )
b1 ( , )
f ( , )
c ( , )
b ( , )
u
u
u 2
.
a22 ( , )
a22 ( , )
a22 ( , )
a22 ( , )
3) D sohada (2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha
nuqtalarida a122 a11a22 0 tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ikkita qo’shma
kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi
( x, y) i ( x, y) C1, ( x, y) i ( x, y) C2 .
Bu holda yangi o’zgaruvchilarni
( x, y ),
kabi tanlaymiz.
Bu holda
( x, y )
a11 a22 0, a12 0 o’rinli bo’ladi. (5) tenglamaning
ikkala tomonini a11 ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning
u u F3 ( , , u , u , u )
kanonik shaklini hosil qilamiz.
Xulosa. i) Shunday qilib, ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiyaga nisbatan
ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli (2) differensial tenglamani kanonik
shaklga keltrish uchun yuqorida bayon qilingan usul odatda xarakteristikalar usuli
deb atalib, u quyidagi bosqichlarda bajariladi:
1) Tenglama tipi ( x, y ) a122 ( x, y ) a11 ( x, y )a22 ( x, y ) orqali aniqlanadi;
2) (8) xarakteristik tenglamaning umumiy integrallari (11) orqali topiladi;
3)
( x, y ),
Tenglama
tipiga
mos
ravishda
( x, y )
o’zgaruvchilardan
yangi
( x, y ) o’zgaruvchilarga o’tiladi;
4) Yangi o’zgaruvchilarda (5) tenglama koeffisientlari (6) orqali topiladi;
Bunda giperbolik holda a11 a22 0, a12 0 ; parabolic holda a11 a12 0, a22 0 va
lliptik holda a11 a22 0, a12 0 ekanligini hisobga olib nolga teng koeffisientlarni
hisoblash shart emas.
5) Topilgan koeffisientlar (5) ga qo’yilib, noma’lum funksiyaning yuqori
tartibli xususiy hosilasining koeffisientiga bo’lish amali bajariladi.
ii) Ko’p o’zgaruvchili hol uchun kvadratik formlar usuli. Agar qaralayotgan
ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli diffrensial tenglama uch yoki undan ortiq
erkli o’zgaruvchilarga bog’liq funksiyaga nisbatan tuzilgan bo’lsa, u holda bu
tenglamaning tipini topish uchun unga mos kvadratik forma qaraladi:
(13)
Q(1 , 2 ,L, n ) a1112 2a12 12 L a nn 2n .
n
Agar shunday i ik k almashtirish topilib, (13) kvadratik forma
k 1
Q ( 1 , 2 , L , n ) 12 12 L m2
(14)
kanonik ko’rinishga ega bo’lsin. Chunki har qanday simmetrik matrissa diagonal
shaklga keladi va uning diagonal elementlari 1,-1,0 lardan iborat bo’ladi.
Agar (14) formada m n bo’lib, barcha qo’shiluvchilar bir xil ishorali
bo’lsa, u holda bu bu sohada tenglama elliptic tipli deyiladi.
Agar (14) formada m n bo’lib, qo’shiluvchilar orasida turli ishorali hadlar
mavjud bo’lsa, u holda bu sohada tenglama giperbolik tipli deyiladi.
Agar (14) formada m n bo’lsa, u holda bu sohada tenglama parabolik
tipli deyiladi.
Ba’zan (14) ning asos matrisasi tuziladi:
a11 a12 L a1n
a 21 a 22 L a 2 n .
A
LLLLL
a a La
n1 n 2
nn
Qaralayotgan tenglamada izlanayotgan yechimni ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi funksiyalar sinfidan deb qaraganimiz uchun takroroi xususiy
hosilalar ikaalasi ham bir vaqtda mavjud va bir-biriga tengligi bizga matematik
analiz kursidan ma’lum. Shuning uchun ham biz tenglamadgi koeffisientlar uchun
aij a ji , i, j 1,2,L, n deb qaraymiz. Shu sababli yuqorida kiritilgan
matrissa
o’z-o’ziga qo’shma (transponirlangan matrissasi o’ziga teng) bo’lgan kvadratik
matrissadan iborat bo’ladi. Bunday matrisalarni albatta diagonal shaklga keltirish
mumkin. Keltirilgan shakldagi barcha elementlar noldan farqli va bir xil ishorali 1
yoki -1 dan iborat bo’lsa tenglama bu nuqtada elliptic tipli, agar qaralayotgan
nuqtada diagonal matrissaning elementlari har xil ishorali 1 va -1 lardan iborat
bo’lsa bu nuqtada tenglama giperbolik tipli va nihoyat dioganalda 0 ham
qatnashsa bu nuqtada tenglama parabolic tipga ega bo’ladi.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
1) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama deb nimaga aytamiz?
2) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli va kvazichiziqli tenglamalarning
o’xshash va farqli jihatlarini sanab o’ting.
3) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglamaning xarakteristik
tenglamasi nima. U qanday turdagi tenglama va tartibi nimaga teng?
4) Xususiy hosilali chiziqli tenglamaning xarakteristik chiziqlari nima?
Misollar ayting.
5) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama qachon parabolic tipli
deyiladi?
6) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama qachon parabolik tipli
deyiladi?
7) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama qachon elliptik tipli
deyiladi?
8) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglamaning xarakteristikalari
bilan oddiy differensial tenglama orasidagi bog’lanishni ifodalovchi
lemmani ayting. Mohiyatini tushuntiring.
9) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli giperbolik tipli tenglamani kanonik
shaklga keltirish bosqichlarini sanab o’ting.
10) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli parabolik tipli tenglamani kanonik
shaklga keltirish bosqichlarini sanab o’ting.
11) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli elliptik tipli tenglamani kanonik
shaklga keltirish bosqichlarini sanab o’ting.
12) O’zaro bir qiymatli almashtirish natijasida chiziqli differensial tenglama
yana chiziqli tenglamaga kelishini isbotlang.
13) Ko’p o’zgaruvchili holda xususiy hosilali tenglama tipi qanday aniqlanadi.
14) Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning kanonik
shakli deganda nimani tushunasiz? U umumiy ko’rinishdan qanday
farqlanadi?
15) Xulosaning ii) qismini ikki o’zgaruvchili noma’lumli funksiyaga nisbatan
ikinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaga ham tatbiq etish
mumkinmi? Qaysi usul qulayroq: xarakteristikalar usulimi yoki kvadratik
formalar usuli?
Mustaqil yechish uchun misollar
1) Quyidagi tenglamalarning giperboliklik, paraboliklik va elliptiklik sohalarini
toping va chizmada tasvirlang.
a) xu xx yu yy xu y 0
b) ( x 2 y 2 )u xx 6u xy u yy sin( xy)u y 0
c) u xx xu yy ( x y)u x y 3 0
d) yu xx 8 xu xy u yy xyu y 0
2) Quyida berilgan xusuiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik shaklga
keltiring.
a) u xx 8u xy 7u yy 3u x 2u y u x 0
b) 4u xx 12u xy 9u yy u x u y 0
c) 5u xx 6u xy u yy 2u x 6u y 2u 0
d) yu xx xu yy u x yu y 0
e) u xx xyu yy 0
f) e 2 xu xx 2e x yu xy e 2 y u yy u y 0
g) uxx (1 x) 2 u yy ux u y 0
h) sin2 xuxx e2 yu yy ux u y 0
3) Quyida berilgan tenglamalarning umumiy yechimini toping.
a) u xy 24 xy 2 3
b) u yy y 2 sin x x
c) u xx 2 cos x 3 x sin y 5
d) u xx 3u x x y
e) u xy 3u x xy 6 y 3
f) u xy 4u y 3x 4 y e 2 y
g)
u yy 7u y xy 4
Nazorat uchun savollar:
1. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning xarakteristik
tenglamalari?
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik
shaklga keltiring?
3. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni giperbolik, parabolik
va elliptik tiplarga ajrating?
5-MA’RUZA
GIPERBOLIK TIPLI TENGLAMALARGA
KELTIRILUVCHI FIZIK JARAYONLAR: TOR, STERJEN VA
MEMBRANA TEBRANISH TENGLAMALARI
1.
2.
3.
Reja
Torning ko’ndalang tebranish tenglamasi
Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi
Membrananing tebranish tenglamasi.
Darsning maqsadi:
1. Giperbolik tipli tenglamalar ga keltiruluvchi fizik jarayonlar haqda
tushunchalar berish
2. Tor tebranish tenglamasi bo’yicha bilim berish.
3. Sterjen tebranish tenglamasi bo’yicha tushuncha berish.
Tayanch iboralar: tor, siljish, chetlanish, muvozanat holati, yoy uzunligi,
tebranish, taranglik kuchi, Gukk qonuni, harakar miqdori, o’rta qiymat, sterjen,
membrane, tekislik, zichlik, tashqi ta’sir, bir jinsli tenglama, differensial ko’rinish.
Dars o‘tish vositalari: sinf doskasi, o‘quv-uslubiy qo‘llanmalar, ma‘ruza
matnlari, komputer, ma‘ruza bo‘yicha slaydlar.
Dars o‘tish usuli: namoyish dasturiy vositalat ishtirokida, jonli muloqotli
ma‘ruza .
Darsning xrono xaritasi – 80 minut.
Tashkiliy qism: xonaning tozaligi, jihozlanilishi, sanitariya holati.
Talabalarning davomati– 2 minut.
Talabalar bilimini baholash: o‘tilgan mavzuni qisqacha takrorlash,
talabala bilan savol javob o‘tkazish - 10 minut.
Yangi mavzu bayoni - 55 minut.
Mavzuni o’zlashtirish darajasini aniqlash va mustahkamlash – 10 minut.
Sinov savollari – 5 minut.
Uyga vazifa berish – 3 minut.
Yangi mavzu bayoni
Bu mavzuda biz tabiatdagi turli to’lqin jarayonlarni o’rganishni matematik
modelini tuzish, ya’ni ushbu jarayonga mos matematik tenglamalarni qurish
masalasi bilan tanishamiz.
1.
Torning kichik ko’ndalang tebranish tenglamasi.
1-Ta’rif. Tor deb tebranishga qarshilik ko’rsatmaydigan ingichka, vaznsiz
ipga aytiladi.
Faraz qilaylik tor tor ox o’qida joylashgan bo’lib, Ox o’qiga perpendikulyar
ravishda tebransin. Tor tebranishi uning x nuqtasining t vaqtdagi Ox o’qidan
chetlanishini ifodalovchi ( , ) funksiya orqali tavsiflanadi. Tor ixtiyoriy
( , ) qismiga mos yoy uzunligi quyidagicha hisoblanadi:
=
1+(
)
≈
−
.
Gukk qonuniga asosan torning taranglik kuchi har bir nuqtada vaqtdan
hamda
o’qlariga proeksiyalari mos ravishda
bog’liq bo’lmaydi va uning
quyidagiga teng:
( )
( )= ( )
=
= ( ),
1+( )
( )= ( )
≈ ( )
= ( ) .
Bunda
orqali ( , ) funksiya grafigiga ( , ) nuqtasiga o’tkazilgan
urinmasining
o’qi musbat yo’nalishi bilan tashkil qilgan burchagi belgilangan.
o’qi bo’ylab yo’nalganligi
Farazimizga ko’ra torning inersiya kuchlari
uchun
( ) − ( ) = 0 yoki
( )= ( )
ekanligini olamiz. Bunda
va nuqtalarning ixtiyoriyligidan
( )= "=
(1)
ekanligini olamiz.
Tor tebranishining izlangan tenglamasini olish uchun harakat miqdorining
saqlanish qonunini tadbiq etamiz. Tor ( , ) qismining
o’q bo’yicha
yo’nalgan harakat miqdori tashkil etuvchisi quyidagiga teng:
#(
, )$( )
,
bunda $( ) tor nuqtasiga mos kesim zichligi. U holda ( , ) qismi harakat
miqdorining ∆ = − vaqt mobaynidagi o’zgarishi quyidagicha ifodalanadi:
$(&)' # (&,
)−
# (&,
)( &.
Ushbu miqdorni biz torning
" taranglik kuchi va )( , ) tashqi kuch
impulslari o’zgarishiga tenglashtiramiz:
x2
t2
x2 t 2
x1
t1
x1 t1
( )ut ( , t 2 ) ut ( , t1 )d T0 u x ( x2 , ) u x ( x1 , )d F ( , )dd (2)
(2) tor tebranishining integral ko’rinishidagi tenglamasidir. Uning
differensial ko’rinishdagi tenglamasini olish uchun integrallarda o’rta qiymat
haqidagi teoremani qo’llaymiz. Natijada torning kichik ko’ndalang tebranishi
uchun
$ ## = "
+ )( , )
(3)
tenglamani olamiz.
Agar qaralayotgan tor bir jinsli bo’lsa, ya’ni u hamma nuqtalarda bir
xil $( ) = $ =
zichlikka ega bo’lsa, u holda (3) tenglama
+ +( , ),
(4)
## = *
ko’rinishda yoziladi, bunda
-
* = , . , +( , ) =
/
0( ,#)
/
– kuchning taqsimlanish zichligi.
Agar tor erkin tebranayotgan bo’lsa, yani unga muvozanat holatidan
chiqarilgandan keyin tashqi kuchlar ta’sir etmasa )( , ) = 0 bo’lib (4) xususiy
hosilali differensial tenglama
=*
ko’rinishdagi bir jinsli tenglamaga aylanadi. Agar bu tenglamada 1 = *
almashtirish bajarsak, torning erkin tebranish tenglamasining quyidagi tasvirini
olamiz:
= 0.
22 −
##
2.
Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi.
Bizga ℓ (ℓ > 0) uzunlikdagi sterjen berilgan bo’lib, u dastlabki muvozanat
holatida
bo’ylab yo’nalgan bo’lsin. Faraz qilamzki, sterjen nuqtasining
ga perpendikulyar 4( ) kesim yuzi siljish vaqtida tekisligicha va
o’qiga
perpendikulyarligicha qolsin. Bu oxirgi shart sterjen uzunligi uning ko’ndalang
kesimidan yetarlicha katta deb olish bilan o’rinli bo’ladi. Sterjen ko’ndalang
kesimining
o’qi bo’ylab vaqtdagi siljishini ( , ) deb belgilaymiz. Faraz
qilaylik $( ) sterjen zichligi, )( , ) sterjenga
o’qi bo’yicha ta’sir etuvchi
tashqi kuchlarning hajmiy taqsimlanish zichligi , 5 = 5( ) sterjen uchun Yung
elastiklik moduli, ( , ) esa sterjen nuqtasining vaqtdagi tarangligi bo’lsin.
Sterjenning ixtiyoriy ( , + ∆ ) qismi bilan chegaralangan yetarlicha kichik 6
bo’lakchasini qaraymiz. Dalamber prinsipini qo’llab sterjenning ushbu qismi
uchun harakat tenglamasini olishimiz mumkin. Ushbu prinsipga binoan sterjenning
boylab siljishi bo’yicha ta’sir etuvchi kuchlarning yig’indisi nolga teng bo’lishi
kerak:
( + ∆ , ) − ( , ) + 4( ̅ ))( ̅ , )∆ − 4( 8)$( 8) ## ( 8, )∆ = 0, ̅ , 8 ∈ 6.
Bunda Gukk qonuniga asosan sterjenning ( , ) taranglik kuchi uning
nisbiy uzayishi # ( , ) ga to’g’ri proporsional ekanligini, ya’ni
( , ) = 5( ) 4( ) ( , )
tenglikni hisobga olsak, yuqoridagi tenglamadan quyidagi tenglamaga
kelamiz:
5( + ∆ )4( + ∆ ) ( + ∆ , ) − 5( )4( ) ( , ) +
+4( ̅ ))( ̅ , )∆ = 4( 8)$( 8) ## ( 8, )∆ , ̅ , 8 ∈ 6.
(5)
Ta’kidlash kerakki, agar ∆ → 0 intilsa yuqorida kiritilgan ̅ , 8 ∈ 6 ⊂
( , + ∆ ) nuqtalar uchun ̅ → , 8 → munosabat o’rinli bo’ladi. Buni hisobga
olib (5) tenglikning ikkala tomonini ∆ ga bo’lib ∆ → 0 da limitga o’tamiz:
(54
)( + ∆ , ) − (54 )( , )
lim
+
∆ →"
∆
+4( ))( , ) = 4( )$( ) ## ( , ), 0 < < @.
Usbu tenglikning chap qismi har bir tayinlangan > 0 da 5( )4( ) ( , )
funksiyadan
o’zgaruvchi bo’yicha xususiy hosilasidan iboratligi uchun
sterjenning
bo’ylama tebranishining diffrensial tenglamasi deb ataluvchi
tenglamaga kelamiz:
A
AB
(5( )4( )
( , ) ) + 4( ))( , ) = 4( )$( )
## (
, ), 0 <
< @.
(6)
Agar qaralayotgan sterjen bir jinsli va hamma nuqtalarida bir xil
keo’ndalang kesimga ega bo’lsa, ya’ni 4( ) ≡ 4 =
, $( ) ≡ $ =
bo’lsa, u holda sterjenning (6) bo’ylama tebranish tenglamasi
( , ) + +( , ),
0 < < @. (7)
## ( , ) = *
D
ko’rinishni oladi. Bunda * = , , +( , ) =
/
0( ,#)
.
/
Ko’rinib turibdiki, sterjenning ko’ndalang tebranish tenglamasi (7) ham tor
tebranishini ifodalovchi (4) tenglamaga keltirilar ekan. Bu ikkala tenglama ham
avvalgi mavzularda ta’kidlangan mulohazalarga asosan giperbolik tipli tenglama
bo’ladi. (Tekshirish uchun * = −* , * = 0, * = 1 deb olish kifoya).
3.
Membrana tebranish tenglamasi
2-Ta’rif. Membrana deb cho’zilish va tebranishga qarshilik
ko’rsatmaydigan yupqa elastik pardaga aytiladi.
1 tekisligining
Membrana tekisligi dastlabki muvozanat holatida
biror qismiga tortilgan deb faraz qilamiz.
orqali membrana tekisligida
yotuvchi biror chiziqqa mos keluvchi yoy uzunligini belgilaymiz. Bu
taranglik kuchi ta’sir etib, bu kuchning vertical tashkil etuvchisi
elementga
quyidagiga tengdir:
F
=
.
E
F
orqali membrana biror qismining ( , 1) tekisligiga proeksiyasini va
G orqali esa shu qism chegarasini belgilaymiz. Membranaga ichki inersiya
kuchlaridan tashqari, unga tashqi kuchlarning ham ta’siri mavjud bo’lib,
ularning sirt bo’ylab ta’sir zichligi )( , 1, ) bo’lsin.
Xuddi tor tebranish tenglamasi va sterjen bo’ylama tebranish
tenglamasini olishdagi kabi bunda ham membrane qaralayotgan qismiga ta’sir
etuvchi barcha kuchlarning harakat miqdorini nolga tenglashtirib, memrana
tebranishi uchun quyidagi integral tenglama ko’rinishidagi tenglamaga ega
bo’lamiz:
u ( x, y, t
t
S
u
) u ( x, y , t ) ( x, y ) dxdy T dsdt F ( x, y , t ) dxdydt
t2
2
t
t2
1
t1 C
n
t1 S
Bunda $( , 1) membrananing sirt zichligi, )(∙,∙,∙) esa memranaga ta’sir
etayotgan tashqi kuch zichligi. Yuqoridagi tenglamadagi integrallarda o’rta
qiymat haqidagi teoremani qo’llab memrana nuqtalari tebranishining
differensial ko’rinishini olamiz:
$( , 1)
## (
, 1, ) =
"I
( , 1, ) +
22 (
, 1, )J + )( , 1, ).
(8)
Agar qaralayotgan membrana bir jinsli bo’lsa, yani u bir xil
materialdan bir xil qalinlikda yasalgan bo’lsa, u holda $( , 1) = $ =
bo’lib, (8) tenglama quyidagicha soddaroq shaklga keladi:
## (
, 1, ) = * I
Bu formulada * =
-.
/
( , 1, ) +
, +( , 1, ) =
22 (
0( ,2,#)
/
, 1, )J + +( , 1, ).
(9)
belgilashlar kiritilgan.
Agarda membrana erkin tebranayotgan bo’lsa, ya’ni unga tashqi
kuchlar ta’siri kuzatilmayotgan bo’lsa, u holda (9) ga asosan membrana
tebranishi uchun ikkinchi tartibli xususiy hosilali uch o’lchamli bir jinsli
differensial tenglamaga kelamiz:
## (
, 1, ) = * I
( , 1, ) +
22 (
, 1, )J.
(10)
Membrana nuqtalarining tebranishi uchun keltirilgan (8), (9) va (10)
tenglamalar ham yuqorida keltirilgan tor va sterjen tebranishlarini ifodalovchi
(4) va (7) tenglamalar kabi uch o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan ikkinchi
tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani ifodalaydi.
Xulosa qilib aytganda, tabiatda yuz berayotgan turli tebranishlar va
to’lqinlarni odatda biz giperbolik tipli tenglamalar va ularga qo’yiladigan
qo’shimcha shartlar asosida o’rganiladi.
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar.
1. Tor deb nimaga aytiladi?
2. Qanday fizik jarayonlar giperbolik tipli tenglamalar orqli o’rganiladi?
3. Tor tebranishini keltirib chiqarishda tor nuqtalari va tashqi kuchlarga
qanday shartlar qo’yildi? Qo’yilgan shartlardan foydalanilgan mulohazalarni
sanab o’ting.
4. Torning tebranishini keltirib chiqarishda qaysi prinsip va usuldan
foydalandik?
5. Tor tebranishi tenglamasining giperbolik tipli tenglama ekanligini asoslang.
6. Bo’ylama va ko’ndalang tebranishlar deb nimaga aytiladi? Ularning
o’xshash va farq qiluvchi tomonlarini keltiring.
7. Sterjen deb nimaga aytiladi?
8. Sterjen bo’ylama tebranishini keltirib chiqarishda sterjen nuqtalari va
tashqi kuchlarga qanday shartlar qo’yildi? Qo’yilgan shartlardan foydalanilgan
mulohazalarni sanab o’ting.
9. Sterjenning tebranishini keltirib chiqarishda qaysi prinsip va usuldan
foydalandik? Tor tebranishdagi mulohazalardan qanday farqli mulohazalar
mavjud?
10. Sterjen tebranishi tenglamasining giperbolik tipli tenglama ekanligini
asoslang.
11. Membrana deb nimaga aytiladi? Membranaga bir nechta hayotiy misollar
keltiring.
12. Membrana tebranishi tenglamasini keltirib chiqarishda sterjen nuqtalari
va tashqi kuchlarga qanday shartlar qo’yildi va qanday qonuniyatdan
foydalanildi?
13. Membrana tebranish tenglamasi tor va sterjen tebranish tenglamasidan
qaanday farq qiladi?
14. To’lqin deb nimaga aytiladi? To’lqin tarqalishiga doir bir nechta amaliy
misollar keltiring.
1.
2.
3.
4.
Nazorat uchun savollar:
Giperbolik tipli tenglamalarga keltiruluvchi fizik jarayonlar qanday?
U qanday holatni ifodalaydi?
Tor tebranish tenglamasi qanday hosil qilinadi?
Torning erkin va majburiy tebranishini aniqlang?
6-MA’RUZA
TO’LQIN TENGLAMALARI UCHUN ASOSIY CHEGARAVIY
MASALALARNING QO’YILISHI. YECHIMNING
YAGONALIGI. TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN KOSHI
MASALASINING QO’YILISHI VA UNI YECHISH USULI.
Reja:
1. To’lqin tenglamasiga boshlang’ich va chegaraviy shartlarning
qo’yilishi va mohiyati.
2. Chegaraviy masalalarni va Koshi masalasini ta’riflash.
3. Koshi masalasi yechimi uchun yagonalik teoremasi.
4. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish
usuli (Dalamber formulasi)
Darsning maqsadi:
1. To’lqin tenglamalari uchun asosiy chegaraviy masalalar ning qo’yilishi
va yechimning yagonaligi.
2. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish
usuli bo’yicha malakalarni shakllantirish.
Tayanch iboralar: tor uchlari, boshlangich shart, dastlabki holat, elastik
mahkamlanish, erkin uch, belgilangan rejim, belgilangan kuch, chegaraviy
masalalar, aralash masala, Koshi masalasi, yechimning mavjudligi, yagonaligi.
Dars o‘tish vositalari: sinf doskasi, o‘quv-uslubiy qo‘llanmalar, ma‘ruza
matnlari, komputer, ma‘ruza bo‘yicha slaydlar.
Dars o‘tish usuli: namoyish dasturiy vositalat ishtirokida, jonli muloqotli
ma‘ruza .
Darsning xrono xaritasi – 80 minut.
Tashkiliy qism: xonaning tozaligi, jihozlanilishi, sanitariya holati.
Talabalarning davomati– 2 minut.
Talabalar bilimini baholash: o‘tilgan mavzuni qisqacha takrorlash,
talabala bilan savol javob o‘tkazish - 10 minut.
Yangi mavzu bayoni - 55 minut.
Mavzuni o’zlashtirish darajasini aniqlash va mustahkamlash – 10 minut.
Sinov savollari – 5 minut.
Uyga vazifa berish – 3 minut.
Yangi mavzu bayoni
Bizga ma’lumki, odatda differensial tenglamalar hech qanday qo’shimcha
shartlarsiz cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega bo’ladi. Ushbu mavzuda biz
oldingi mavzuda keltirib chiqarilgan to’lqin tenglamalari uchun ayni bir fizik
jarayonni bir qiymatli tavsiflashi uchun qo’shimcha shartlarning qo’yilishi bilan
tor tebranishi tenglamasi misolida tanishib chiqamiz. Bunday shartlar odatda
torning tebranish boshlanayotgandagi nuqtalarining vaziyatini ifodalovchi
boshlang’ich shartlar hamda tebranish jarayonida tor uchlarining holatini
tavsiflovchi chegaraviy shartlardan iborat bo’ladi.
Boshlang’ich shartlarning tanlanishi. Agar tor nuqtalari siljishi tebranish
boshida K( ) qonuniyatga hamda uning siljish tezligi L( ) rejimga bo’sinsa, u
holda (4) tenglama uchun boshlang’ich shartlar
( , 0) = K( ),
(1)
# ( , 0) = L( )
ko’rinishda yoziladi. Bunda K( ) va L( ), 0 < < @ lar berilgan uzluksiz
funksiyalar.
Chegaraviy shartlarning tanlanishi. Chegaraviy shartlar odatda 3 xil
ko’rinishda uchraydi. Tor tebranishi boshlangan vaqtni aniqlik uchun vaqt
hisobining = 0 boshi sifatida qabul qilamiz. Quyida biz ularni alohida qarab
chiqamiz.
1) Agar 0 ≤ ≤ ℓ torning ikkala uchlari ham mustahkam
mahkamlangan bo’lsa, u holda torning ikkala uchi ham doimo muvozanat
nuqtasida tinch turadi. Shuning uchun ularning vaqt davomidagi chetlanishlari
uchun quyidagi munosabatni olamiz:
(0, ) = 0,
( ℓ , ) = 0.
(2)
Agar tor uchlari mustahkam mahkamlanmasdan ularning vaqt davomidagi
muvozanat vaziyatidan siljishi berilgan qonuniyat asosida bo’lishi shart bo’lganda
(2) bir jinsli chegaraviy shartlar quyidagicha umumiylashtiriladi:
(0, ) = O ( ),
(ℓ, ) = O ( ).
(3)
Bunda O ( ) va O ( ) funksiyalar > 0 da aniqlangan, berilgan uzluksiz
funksiyalar.
2) Torning uchlari sharnirli mahkamlangan bo’lib, biror tayinlangan
kuch ta’sirida uchlar vaqt davomida siljish tezligi berilgan qonuniyatga
bo’ysinsin. Bu holda chegaraviy shartlar ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(0, ) = P ( ),
(ℓ, ) = P ( ).
(4)
Bunda ham P ( ) va P ( ) funksiyalar > 0 da aniqlangan, berilgan
uzluksiz funksiyalardir.
3) Agar torning ikkala uchi ham elastik mahkamlangan bo’lsa, uning
uchlari siljish tezligi va siljish mutanosiblik qonuniyati masala uchun chegaraviy
shart bo’lib xizmat qiladi:
(0, ) = ℎ R (0, ) − S ( )T,
Shunday qilib biz
(ℓ, ) = ℎ R (ℓ, ) − S ( )T.
(5)
=*
+ +( , ), 0 < < @, > 0
(6)
To’lqin tarqalish tenglamasi uchun asosan quyidagi uch turdagi chegaraviy
shart bilan tanishib o’tdik.
1-tur chegaraviy shart: (0, ) = O ( ), (ℓ, ) = O ( ) belgilangan rejim;
2-tur chegaraviy shart: (0, ) = P ( ), (ℓ, ) = P ( ) belgilangan kuch;
3-tur chegaraviy shart: elastic mahkamlanish:
##
(0, ) = ℎ R (0, ) − S ( )T,
(ℓ, ) = ℎ R (ℓ, ) − S ( )T.
Ta’rif. (Chegaraviy masalalar.) a) (6) to’lqin tarqalish tenglamasining (1)
boshlang’ich shartni va (3) 1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini
topish masalasiga to’lqin tenglamasi uchun 1-chegaraviy masala deyiladi.
b) (6) to’lqin tarqalish tenglamasining (1) boshlang’ich shartni va (4)
2-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga to’lqin
tenglamasi uchun 2-chegaraviy masala deyiladi.
c) (6) to’lqin tarqalish tenglamasining (1) boshlang’ich shartni va (4)
3-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga to’lqin
tenglamasi uchun 3-chegaraviy masala deyiladi.
d) (6) to’lqin tarqalish tenglamasining (1) boshlang’ich shartni va
uning bir = 0 uchi biror tur chegaraviy shartni ikkinchi = ℓ uchi esa boshqa
bir chegaraviy shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasiga to’lqin
tenglamasi uchun aralash chegaraviy masala deyiladi.
Chegaraviy masala yechimining yagonaligi.
Ushbu mavzuda biz chekli ℓ uzunlikdagi tor tebranish tenglamasiga
qo’yilgan aralash masala yechimining yagonaligi haqida to’xtalamiz. Odatda fizik
masalalarga mos matematik modellar o’rganilayotganda quyidagi muammolar
muhim ahamiyat kasb etadi:
1. Masala yechimining yagonaligi – tanlangan shartlar qaralayotgan fizik
masalaga mos yechimni bir qiymatli topishga yetarliligi;
2. Masala yechimining mavjudligi – tanlangan shartlar qo’yilgan masalani
turli xil aniqlamasligi, ya’ni shartlar ichida bir-birini inkor etadiganlari bo’lmasligi;
3. Masala yechimining turg’unligi – tanlangan qo’shimcha shartlarning
kichik o’zgarishlariga mavjud yechimning ham yetarlicha kichik o’zgarishi mos
kelishi.
Ta’kidlash kerakki, ko’pgina hollarda masala yechimining mavjudligi uni
toppish bilan uzviy bog’liq bo’ladi. Hozir biz yuqorida ta’riflangan chegaraviy
masala yechimining yagonaligiga to’xtalamiz.
1-Teorema. Faraz qilaylik $( ) va U( ) funksiyalar 0 ≤ ≤ ℓ oraliqda
aniqlangan uzluksiz funksiyalar bo’lsin. U holda
$( )
V
V#
=
V
V
V
IU( ) V J + )( , ), 0 <
< @,
>0
(7)
tenglamani va (1) boshlangich shartlarni hamda 1-tur (3) chegaraviy
shartni qanoatlantiruvchi o’zining ikkinchi tartibgacha xususiy hosilalalari bilan
0 ≤ ≤ ℓ, ≥ 0 sohada aniqlangan va uzluksiz ( , ) yechimi yagonadir.
∇. Isbot. Faraz qilaylik (7) tenglamaning teoremada aytilgan shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimlari yagona bo’lmasin. Ularning ixtiyoriy ikkitasi ( , )
va ( , ) ni olamiz ularning farqini qaraymiz:
Y( , ) = ( , ) − ( , )
Qurilgan bu funksiya ham qaralayotgan sohada ikkinchi tartibgacha uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo’lib quyidagi
$( )
V Z
V#
=
V
V
VZ
IU( ) V J , 0 <
< @, > 0
(8)
bir jinsli to’lqin tenglamasini bir jinsli boshlang’ich shartlar
Y( , 0) = ( , 0) − ( , 0) = 0, Y# ( , 0) = # ( , 0) − # ( , 0) = 0 (9)
hamda bir jinsli chegaraviy shartlar
Y(0, ) = 0,
Y(ℓ, ) = 0
(10)
bilan birgalikda qanoatlantiradi. Torning to’la mexanik energiyasini
qarymiz:
ℓ
5( ) = [" \U( )RY ( , )T + $( )(Y# ( , )) ]
Teorema shartlari bajarilganda (11) ni
mumkin:
VD(#)
V#
.
(11)
bo’yicha hadlag differensiallash
ℓ
= [" ^U( )Y ( , )Y # ( , ) + $( )Y# ( , )Y## ( , )_
.
(12)
Ushbu tenglikning o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchining integralini
bo’laklab integrallash formulasi yordamida hisoblaymiz
l
l
k ( x)v x ( x, t )v xt ( x, t )dx [k ( x)v x ( x, t )vt ( x, t )] 0 vt ( x, t )(kv x ) x ( x, t )dx .
l
0
0
Tenglikning o’ng tomonidagi birinchi had chegaraviy Y(0, ) = 0, Y(ℓ, ) =
0 shartlarga ko’ra Y# (0, ) = 0, Y# (ℓ, ) = 0 bo’lganligi uchun nolga aylanadi. U
holda (12) ga ko’ra
F5( )
=
F
ℓ
"
^$( )Y# ( , )Y## ( , ) − Y# ( , )(UY ) ( , )_
ℓ
= [" Y# ( , )^$( )Y## ( , ) − (UY ) ( , )_
=
= 0,
ekanligiga kelamiz. Oxirgi tenglik (8) ga asosan yozilgan. Demak tor to’la
. U holda = 0
energiyasi 5( ) vaqtdan bog’liq emas ekan, ya’ni 5( ) =
uchun quiydagi tenglikni olamiz:
ℓ
5( ) = 5(0) = [" \U( )RY ( , 0)T + $( )RY# ( , 0)T ]
= 0.
(13)
Bunda oxirgi tenglik bir jinsli (9) chegaraviy shartlarga asoslanib yozilgan. Fizik
parametrlar $( ) va U( ) larning musbat qiymatliligidan foydalansak (11) va (13)
larga binoan ixtiyoriy ≥ 0 uchun quyidagi tengliklarni olamiz:
Y ( , ) = 0, Y# ( , ) = 0.
ekanligi kelib chiqadi. Agar bunda Y(0, ) =
Ushbu tengliklardan Y( , ) ≡
0 boshlang’ich shartni hisobga olsak, Y( , ) = ( , ) − ( , ) ≡ 0 ekanligini
( , ) va
( , ) yechimlarning ixtiyoriyligidan hamda
( , )≡
olamiz.
( , ) munosabatdan qarallayotgan 1-chegaraviy masala yechimining yagona
ekanligini olamiz. ∆
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar
1. Boshlang’ich shart deganda nimani tushunasiz? U qanday mohiyatga ega?
2. Chegaraviy shart deganda nimani tushunasiz? U qanday mohiyatga ega?
3. Chegaraviy shart necha turda bo’ladi? Ularni sanab o’ting.
4. Chegaraviy shartlarning fizik mohiyatlarini tushuntiring.
5. 1-chegaraviy masalani tenglamalari va shartlari bilan yozib ta’riflang.
6. 2-chegaraviy masalani tenglamalari va shartlari bilan yozib ta’riflang.
7. 3-chegaraviy masalani tenglamalari va shartlari bilan yozib ta’riflang.
8. Aralash chegaraviy masala nima? Unga oid bir nechta misollar keltiring.
9. Chegaraviy masala yechimining mavjudligi deganda nimani tushunasiz va
u qanday hal etiladi?
10. Chegaraviy masala yechimining yagonaligi va turg’unligi nimani
anglatadi?
Yagonalik
11. Energiyaning saqlanish qonunini ayting va izohlang.
teoremasi isbotida ihlatilgan o’rnini belgilang.
12. Tor tebranishi uchun 1-chegaraviy masala yechimining yagonaligi
haqidagi teoremani ayting.
13. 1-chegaraviy masala yechimi uchun yagonalik teoremasi isbotida asosan
qanday usullar qo’llanilgan.
14. Teoremaning shartlari uning isbotida qanday mulohazalarda qo’llanilgan?
15. 2-chegaraviy masala uchun yechimning yagonalik teoremasi qanday
ta’riflanadi?
16. 2-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremasining 1-chegaraviy
masaladagidan farqli tomonlari va o’xshash jihatlari nimalardan iborat?
17. 1-chegaraviy masala yagonalik teoremasidan foydalanib 2-chegaraviy
masala yagonalik teoremasini mustaqil isbotlang.
18. 3-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremasi qanday ta’riflanadai va
uni1- va 2-chegaraviy masalalar bilan qanday bog’lash mumkin.
19. Masala yechimini topsak, masalaga qo’yilgan yechimning mavjudlik,
yagonalik va turg’unlik masalasi hal bo’ldi deb hisoblash mumkinmi? Javobni
izohlang.
Nazorat uchun savollar:
1. To’lqin tenglamalari uchun asosiy chegaraviy masalalarni aniqlang?
2. To’lqin tenglamalari uchun asosiy chegaraviy masalalarning qo’yilishi va
yechimning yagonaligi nimadan iborat?
3. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish
usuli (Dalamber formulasi)?
6’-MAVZU (qo’shimcha)
TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN CHEGARAVIY
MASALALARNING QO’YILISHI. YECHIMNING
YAGONALIGI VA TURG’UNLIGI
Reja
1. Fizik masala yechimining mavjudlik, yagonalik va turg’unligi haqida
umumiy tushunchalar.
2. Birinchi va ikkinchi tur chegaraviy masala yechimining yagonaligi.
3. Uchinchi tur chegaraviy masala yechimining yagonaligi.
4. Xulosa
to’lqin tenglamasi, chegaraviy shartlar,
Tayanch so’z va iboralar:
boshlang’ich shartlar, aralash masala, yechim, yagonalik, mavjudlik, turg’unlik.
Yangi mavzu bayoni
To’lqintarqalish tenglamalriga qo’yilgan chegaraviy yoki aralash masalalarni
yechishda quyidagi muammolarga e’tibor qaratish lozim:
1) Tenglamaga biriktirilayotgan qo’shimcha (boshlang’ich va chegaraviy )
shartlar qo’yilgan fizik masalani to’liq aniqlashiga, yani yechimni bir
qiymatli ravishda aniqlanishiga yetarlilik muammosi;
2) Tenglamaga qo’yilgan qo’shimcha shartlar ichida o’zaro mos bo’lmaganlari
yoki bir-biridan kelib chiqadiganlari hamda bir-birini inkor qiladigan
shartlarning mavjud bo’lmaslik muammosi;
3) Tenglamaga qo’yilgan qo’shimcha shartlarning kichik o’zgarishiga mos
yechimning ham yetarlicha kichik o’zgarishi mos kelish muammosi.
Bunda
ta’kidlangan 1) – muammo qo’yilgan masala yechimining
yagonaligini isbotlash bilan, 2)- muammo qaralayotgan fizik masalaga mos
matematik masala yechimining mavjudligini isbotlash orqali va 3) – muammo esa
masala yechimining turg’unligini isbotlash orqali hal etiladi. Dastlab biz to’lqin
tenglamasiga qo’yilgan 1-chegaraviy masala yechimining yagonalik masalasi bilan
shug’ullanamiz.
1-Teorema (Yagonalik). Faraz qilaylik ( x ) va k ( x ) lar 0 x l da
aniqlangan uzluksiz funksiyalar bo’lsin. U holda
( x)u tt
k ( x)u x F ( x, t ), 0 x l, t 0
x
(1)
to’lqin tenglamasining
u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x ), 0 x l
(2)
boshlang’ch shartlarni va
u (0, t ) (t ), u ( x ,0 ) (t ), t 0
(3)
1-tur chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikkinchi tartibgacha uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo’lgan yechimi yagonadir.
Isbot. Faraz qilaylik teorema shartlari bajarilib, (1) tenglamaning (2)
boshlang’ich va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi yagona
bo’lmasin. U holda ularning ixtiyoriy ikkisini tanlab, u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) bilan
belgilaymiz hamda bu yechimlarning ayirmasini qaraymiz:
v( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) .
U holda v ( x, t ) funksiya bir jinsli
( x)vtt
k ( x)v x , 0 x l, t 0
x
(4)
to’lqin tenglamasinining bir jinsli boshlang’ich va chegaraviy shartlar
v( x,0) 0, vt ( x,0) 0
v(0, t ) 0, v(l, t ) 0
(5)
ni qanoatlantiradi va ikkita xususiy hosilalarga ega funksiyalarning ayirmasi
sifatida ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega boladi. Maqsadimiz v ( x, t )
funksiyaning aynan nolga teng ekanligini ko’rsatishdan iborat. Shu maqsadda
torning t vaqtdagi to’la energiyasi
l
E (t )
1
k ( x)v x2 ( x, t ) ( x)vt2 ( x, t ) dx
20
(6)
ni qaraymiz va uning t dan bog’liq emasligini ko’rsatamiz. Teorema shartlari
bajarilganda integral belgisi oatida differensiallash mumkin bo’lganligi uchun t
bo’yicha differensiallaymiz
E (t )
k ( x)v x ( x, t )vxt ( x, t ) ( x)vt ( x, t )vtt ( x, t ) dx .
t
0
l
Bu tenglik o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchi integralini bo’aklab integrallash
formulasiga binoan integrallaymiz
l
l
k ( x ) v ( x, t ) v
x
0
( x, t )dx k ( x)v x ( x, t )vt ( x, t ) x 0 vt ( x, t )
l
xt
0
k ( x)vx ( x, t )dx .
x
(7)
(5) dagi chegaraviy shartga asosan v (0, t ) 0, v (l, t ) 0 lardan vt (0, t ) 0, vt (l, t ) 0
ekanligi hosil bo’ladi. Bunga asosan (7) ning o’ng tomonidagi birinchi had o’rniga
qo’yish natijasida nolga aylanadi. Demak quyidagi tenglikni hosil qildik
E (t )
( x)vt ( x, t )vtt ( x, t ) vt ( x, t ) k ( x)vx ( x, t )dx
x
t
0
l
vt ( x, t ) ( x)vtt ( x, t ) k ( x)vx ( x, t )dx 0 .
x
0
l
Bundan esa E (t ) const ekanligini olamiz.
(5) dagi boshlang’ichshartlarni
hisobga olib quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:
l
1
E (t ) const E (0) k ( x)v x2 ( x,0) ( x)vt2 ( x,0) dx 0 .
20
(6) tenglikda
E (t ) 0
ekanligidan hamda
k () va () larning
(8)
musbat qiymatli
funksiyalar ekanligidan foydalansak
v x ( x , t ) vt ( x , t ) 0
ekanligiga kelamiz. Bulardan esa v ( x, t ) C const ekanligini olamiz. (5) dagi
boshlang’ich shartlarning birinchisini tatbiq etamiz:
v ( x ,0 ) C 0 .
Shunday qilib biz teorema shartlari bajarilganda v ( x, t ) 0 ekanligiga va bundan esa
u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
ekanligini olamiz. u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlarning ixtiyoriyligidan esa qo’yilgan
1-tur chegaraviy masala teorema shartlari bajarilganda yagona yechimga ega
ekanligini hosil qilamiz. 1-Teorema isbot bo’ldi.
Xuddi shu kabi to’lqin tarqalish tenglamasiga qo’yilgan 2-tur chegaraviy
masala yechimining yagonaligi haqidagi teorema ham o’rinlidir.
2-Teorema (Yagonalik). Faraz qilaylik ( x ) va k ( x ) lar 0 x l da
aniqlangan uzluksiz funksiyalar bo’lsin. U holda
( x)u tt
k ( x)u x F ( x, t ), 0 x l, t 0
x
(1)
to’lqin tenglamasining
u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x ), 0 x l
(2)
boshlang’ch shartlarni va
u x (0, t ) (t ), u x ( x,0) (t ), t 0
(9)
2-tur chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikkinchi tartibgacha uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo’lgan yechimi yagonadir.
Isbot. Bu teoremaning isboti xuddi yuqorida keltirilgan 1-teorema isboti kabi
bajariladi. Faraz qilaylik (1) to’lqin tenglamasining
teorema shartlarini
qanoatlantiruvchi yechimi yagona bo’lmasin. Xuddi avvalgi kabi shu yechimlardan
ixtiyoriy ikkitasini olib, ularning ayirmasini qaraymiz:
v( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) .
U holda v ( x, t ) funksiya
bir jinsli
(4) to’lqin tenglamasini va bir jinsli
boshlang’ich va 2-tur chegaraviy shartlar
v( x,0) 0, vt ( x,0) 0
v x (0, t ) 0, v x (l, t ) 0
(10)
ni qanoatlantiradi. Endi torninig to’liq mexanik energiyasi va uning t bo’yicha
differensialini 1-teorema isbotidagi kabi ifodalaymiz . Bu holda ham (10) dagi
chgaraviy shartlarga asosan (7) tenglikning o’ng tomonidagi o’rniga qo’yishlardan
keyin shu had nolga aylanadi. Bundan esa
E (t ) const
ekanligini olamiz. (5) dagi boshlang’ichshartlarni hisobga olib quyidagi
tengliklarga ega bo’lamiz:
l
E (t ) const E (0)
(6) tenglikda
E (t ) 0
1
k ( x)v x2 ( x,0) ( x)vt2 ( x,0) dx 0 .
20
ekanligidan hamda
k () va () larning
musbat qiymatli
funksiyalar ekanligidan foydalansak
v x ( x , t ) vt ( x , t ) 0
ekanligiga kelamiz. Bulardan esa
v ( x , t ) C const
ekanligini olamiz. (5) dagi boshlang’ich shartlarning birinchisini tatbiq etamiz:
v ( x ,0 ) C 0 .
Shunday qilib biz teorema shartlari bajarilganda
v ( x, t ) 0
ekanligiga va bundan esa
u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
ekanligini olamiz. u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlarning ixtiyoriyligidan esa qo’yilgan
2-tur chegaraviy masala teorema shartlari bajarilganda yagona yechimga ega
ekanligini hosil qilamiz. 2-Teorema isbot bo’ldi.
3-tur chegaraviy masala yechimining yagonaligi ham o’rinli bo’lib, uning
isbotida biroz farq yuzaga keladi. Dastlab yechimning yagonalik teoremasini
keltiramiz:
3-Teorema (Yagonalik). Faraz qilaylik ( x ) va k ( x ) lar 0 x l da
aniqlangan uzluksiz funksiyalar bo’lsin. U holda
( x)u tt
k ( x)u x F ( x, t ), 0 x l, t 0
x
(1)
to’lqin tenglamasining
u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x ), 0 x l
(2)
boshlang’ch shartlarni va
u x (0, t ) h1[u (0, t ) 1 (t )], u x (l, t ) h2 [u (l, t ) 2 (t )], h1 0, h2 0
(11)
3-tur chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikkinchi tartibgacha uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo’lgan yechimi yagonadir.
Isbot. Bu holda ham teorema shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni yagona
emas deb faraz qilamiz va ularning ixtiyoriy ikkitasining ayirmasini qaraymiz:
v( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) .
Bu holda v ( x, t ) funksiya bir jinsli (4) to’lqin tenglamasini va
v( x,0) 0, vt ( x,0) 0
v x (0, t ) h1v(0, t ) 0, vx (l, t ) h2v(l, t ) 0, h1 0, h2 0
(12)
bir jinsli boshlang’ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. To’lqin to’la
energiyasi birinchi hadi bo’laklab integrallashda o’rniga qo’yishni quyidagicha
ifodalaymiz:
k ( x)vx ( x, t )vt ( x, t ) lx 0 k h2v 2 (l, t ) h1v 2 (0, t ). .
2 t
Endi
dE (t )
dt
ifodani t bo’yicha (0, t ) oraliqda integrallab hamda (11) dagi
boshlang’ich shartlarni hisobga olib quyidagi ifodani hosil qilamiz:
E (t )
k
h2 v 2 (l, t ) h1v 2 (0, t ) 0.
2 t
Ikkinchi tomondan (6) dagi integral ostidagi ifodaning manfiymasligi va aniq
integral ta’rifidan E (t ) 0 ekanligiga kelamiz. Bu so’ngi ikki tengsizliklardan esa
E (t ) 0
ni olamiz. Xuddi oldingi teoremalar isboti oxiridagi mulohazalar yuritib,
bu holda ham
v ( x, t ) 0
ekanligi va bundan esa
u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
ekanligini olamiz. 3-teorema isbot bo’ldi.
Xulosa. (1) to'lqin tenglamasiga qo’yilgan 1-, 2- va 3-tur chegaraviy
masalalar ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega funksiyalar
to’plamida yagona yechimga ega ekan.
Yagonalik teoremailarini isbotlashda biz sistema to’liq mexanik energiyasi
tebranishning har bir nuqtasida bir xil bo’lib va vaqtdan bog’liq emasligidan
foydalandik.
Bo’laklab integrallash natijasida chegaraviy va boshlangich
shartlardan foydalandik. Tatbiq etilgan bu usul matematik fizikaning turli
sohalari, xususan elektromagnit maydon nazariyasi, elastiklik nazariyasi va
gidrodinamika masalalari yechimi yagonalik teoremalarini isbotlash uchun
ishlatiladi.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
1.
2.
3.
4.
To’lqin tenglamasi uchun 1-chegaraviy masalani ta’riflang.
To’lqin tenglamasi uchun 2-chegaraviy masalani ta’riflang.
To’lqin tenglamasi uchun 3-chegaraviy masalani ta’riflang.
1-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremsini ayting va mohiyatini
tushuntiring.
5. 1-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremsi isbotining qaysi o’rinlarida
teorema shartlari qo’llanilgan? Ularning muhimligiga e’tibor bering.
6. Torning to’liq mexanik energiyasi uchun formulani yozing. Unda qaysi
qo’shiluvchi potential va qaysi qo’shiluvchi kinetik energiyani ifodalaydi?
7. 2-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremsini ayting va mohiyatini
tushuntiring.
8. 2-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremsi isbotining qaysi o’rinlarida
teorema shartlari qo’llanilgan? Ularning muhimligiga e’tibor bering.
9. 1- va 2- chegaraviy masalalar uchun qo’yilgan yagonalik teoremasi va uning
isbotining asosiy farqlarini sanab o’ting.
10.3-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremsini ayting va mohiyatini
tushuntiring.
11.3-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremsi isbotining qaysi o’rinlarida
teorema shartlari qo’llanilgan? Ularning muhimligiga e’tibor bering.
12.3-chegaraviy masala uchun qo’yilgan yagonalik teoremasi o’z ichiga 1- va
2- chegaraviy masalalarni ham qamrab oladi deyish mumkinmi?
Javobingizni asoslang.
13. Yagonalik teoremasida qo’llanilgan usulning mohiyatini va uning tatbiq
qilinishi mumkin bo’lgan sohalarni ayting.
6’’-MAVZU (davomi)
6.2-MAVZU
TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASINING
QO’YILISHI VA UNI YECHISH USULI.
Reja:
1. Koshi masalasining qo’yilishi va yechimni topishning Dalamber usuli
2. Yechimning fizik mohiyati
3. Koshi masalasi yechimining ba’zi chegaraviy masalalarni yechishga tatbiqi.
Dars maqsadlari:
j) Ta’limiy maqsad: O’quvchida chegaralanmagan tor tebranishiga mos bir
jinsli to’lqin tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasi, uning yechimini topishning
Dalamber yoki tarqaluvchi to’lqinlar deb ataluvchi usuli haqida yangi tushuncha,
bilim va ko’nikamalr hosil qilish. Topilgan yechimning fizik mohiyatini
tushuntirish va misollar bialn uni mustahkamlash mavzuning asosiy ta’limiy
maqsadi hisoblanadi.
k) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish.
l) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: Chegaralanmagan tor,
to’lqin
tenglamasi, boshlang’ich shartlar, Koshi masalasi, xarakteristikalar, umumiy
yechim, Dalamber yechimi, xuxsusiy yechim, yuguruvchi to’lqinlar.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasining darsga taxtligini va sanitariya
holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning matematik
analiz, oliy matematika, differensial tenglamalar, kompleks o’zharuvchili
funksiyalar nazariyasi kabi fanlardan olgan bilimlari hamda oldingi o’tilgan
mavzular yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli
topshiriqlarni bajarishini tashkil etish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash
(bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan mavzu
yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Biz oldingi mavzularda to’lqin tarqalish jarayonini torning ko’nfdalang,
sterjenning bo’ylama va memerananing ko’ndalang tebranishi misolida qarab
chiqqan edik. Ushbu fizik jarayonlarni ularni tavsiflovchi funksiyalarga nisbatan
ikkinchi tartibli xususiy hosilali giperbolik tipdagi chiziqli differensial
tenglamalarga keltirgan edik. Qurilfgan matematik model qaralayotgan fizik
jarayonni bir qiymatli aniqlashini ta’minlash maqsadida uch turdagi chegaraviy
shart va boshlang’ich shartlarning tanlanishi hamda ularning fizik mohiyati bilan
tanishgan edik (Bu tushunchalar talabalar yodida qolish maqsadida har bir
guruhdan 2 ta o’quvchidan ularning ta’rifi va tenglamasi so’raladi).
Ushbu darsda biz dastlab uchlari chegaralanmagan (uchlarining tebranishi
ahamiyat kasb etmaydigan) torning erkin tebranish tenglamasiga qo’yilgan Koshi
masalasini yechishning bir usuli bilan tanishamiz. Bu masalaning qo’yilishi oldingi
mavzularda keltirlgan bo’lsada, quyida yana bir bor uni ta’riflaymiz.
1-Ta’rif (Koshi masalasining qo’yilishi).
(1)
u tt a 2 u xx , x , t 0
to’lqin tenglamasining qaralayotgan sohada ikkinchi tartibgacha uzluksiz
differensiallanuvchi va
u ( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x), x
(2)
boshlang’ich
shartalarni qanoatlantiruvchi hamda qaralayotgan sohada
chegaralangan yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bunda
( x ), ( x ), x berilgan uzluksiz diffdernsiallanuvchi funksiyalar.
Masala yechimining mavjud va yagonaligi.
Avval ta’kidlaganimiz kabi, (1) giperbolik tipdagi ikkinchi tartibli xususiy
hosilali chiziqli differensial tenglamaga misol bo’ladi (Nega?-Determinanti sonlar
tekisligining hamma nuqtalarida musbat va a 2 0 gat eng bo’lganligi uchun).
Shuning uchun ham uning 1-kanonik shaklida faqat aralash tartibli ikkinchi tartibli
xususiy hosila qatnashadi. Uning kanonik shaklini topish maqsadida (1) ga mos
xarakteristik tenglamni tuzamiz:
dx 2 a 2 dt 2 0 .
Ko’rinib turibdiki, bu xarakteristik tenglama quyidagi
dx adt 0 va dx adt 0
ikkiita sodda tenglamalarga ajraladi. Bu tenglamalarni differensiallashning sodda
xossalaridan foydalanib
d ( x at ) 0 va d ( x at ) 0
Ularni integrallab,
x at C1 va x at C2
(1) ning ikkita turli haqiqiy xarakteristik chiziqlari oilasiga ega bo’lamiz. Kanonik
shaklga keltirish maqsadida avvalgi mavzulardagi kabi yangi o’zgaruvchilarni
x at va x at
kabi tanlaymiz. Bu almashtirishlar natijasida (1) differensial tenglama
u 0
(3)
ko’rinishga keladi. (Avvalgi mavzudagi yangi koeffisientlarni hisoblash
formulalari yordamida bu tasdiqni mustaqil tekshirib ko’ring). Endi (3) ning
umumiy yechimini topishga harakat qilamiz. Buning uchun uni dastlab va
so’ngra bo’yicha integrallaymiz (boshlang’ich funksiyasini hisoblaymiz). (3) da
bo’yicha hosilasi nolga tengligidan
u ( , ) f ( )
(4)
ekanligini olamiz. Bunda f faqat dan bog’liq bo’lgan bir o’zgaruvchili ixtiyoriy
uzluksiz differensiallanuvchu funksiya. (4) ni bo’yicha integrallash bilan (3)
tenglamaning
u ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ko’rinishdagi yechimini hosil qilamiz.
Bunda
f1 ( ) f ( )d bo’lib, f1 ( ) va
f 2 ( ) ixtiyoriy ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyzlrdir.
Yuqorida
keltirilgan yangi o’zgaruvchilarga o’tish formulalaridan yana avvalgi x va t
o’zgaruvchilarga qaytsak, ikkinchi tartibli xususiy hosilali (1) to’lqin
tenglamasining
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
(5)
ko’rinishdagi umumiy yechimini topamiz. Aksincha ikkinchi tartibgacha uzluksiz
differensiallanuvchi f1 va f 2 funksiyalar yordamida qurilgan har qanday (5)
ko’rinishdagi funksiya (1) ning yechimi bo’ladi.
(5) umumiy yechimdagi ixtiyoriy deb qaralayotgan f1 va f 2 funksialarni
shunday tanlaymizki, yechim (2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni:
u ( x,0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x,0) af1' ( x) af 2' ( x) ( x)
(6)
Shu maqsadda (6) sistemaning ikkinchi tenglamasini x bo’yicha biror ( x0 , x)
oraliqda integrallab, f1 va f 2 larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz:
f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x )
1
.
f1 ( x ) f 2 ( x ) ( s ) ds C
a x0
x
Bu sistemani f1 va f 2 larga nisbatan yechamiz:
1
1
C
( s)ds
f1 ( x) ( x)
2 a x0
2
2
x
1
1
C
( s)ds
f 2 ( x) ( x )
2a x0
2
2
x
(7)
(7) ifodalarni (5) qo’yib, qaralayotgan Koshi masalsining yechimini olamiz:
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
x at
x at
1
( s ) ds ( s ) ds .
2a x0
x0
(8)
(8) ning o’ng tomonidagi qavs ichidagi ifoda uchun
x at
x at
x at
x0
x0
x at
x at
x0
x0
x0
x at
x at
x0
x at
( s)ds (s )ds (s)ds (s )ds ( s)ds ( s)ds (s )ds
tengliklar o’rinli bo’lganligi uchun (8) yechimni quyidagicha yozish mumkin
bo’ladi:
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
x at
1
( s)ds, x , t 0.
2a x at
(9)
Odatda (1)-(2) Koshi masalasining (9) ko’rinishdagi yechimi Dalamber
yechimi va uni yechishning bayon qilingan usuliga Dalamber usuli deb yuritiladi.
Demak (1)-(2) Koshi masalasining har qanday yechimi (9) ko’rinishda ifodalanr
ekan. Bu esa qaralayotgan masala yechimining mavjuda va yagonaligini isbtlaydi.
Topilgan (9) yechimning ko’rinishidan, u (1)-(2) Koshi masalasida qo’yilgan
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’lishi uchun berilgan funksiyalardan ning
ikki marta va ning esa bir marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lishu yetarli
bo’lar ekan.
1-Misol.
utt 4u xx , x , t 0
tenglamaning u ( x,0) x 2 , ut ( x,0) sin x
boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini, ya’ni Koshi masalasining
yechimini toping.
Yechish. Bu masalaning yechimini yuqorida keltirilgan Dalamber usulida,
ya’ni (9) formula yordamida topamiz. Bizning holimizda
( x) x 2 , ( x) sin x, a 2
bo’lib, biz yuqorida talab qilgan shartlarni qanoatlantiradi. Yechim umumiy holda
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
x at
1
( s )ds, x , t 0
2a x at
ko’rinishda bo’lib, bizning holimizda berilganlarni o’rniga qo’ysak, u quyidagicha
yoziladi
x 2t
u ( x, t )
x 2 4t 2
( x at ) 2 ( x at ) 2 1
sin sds
2
4 x 2t
1
cos( x 2t ) cos( x 2t ) x 2 4t 2 1 sin x sin 2t .
4
2
Demak berilgan ushbu Koshi masalasining yechimi
1
u ( x, t ) x 2 4t 2 sin x sin 2t
2
funksiyadan iborat ekan.
Yechimning fizik mohiyati. Elementar matematikadan bizga ma’lumki,
har bir c 0 uchun y f ( x c ) funksiya grafigi y f (x ) funksiya grafigini har bir
nuqtada Ox o’qi bo’ylab c birlik chapga (manfiy yo’nalishga siljitish) bo’lsa,
y f ( x c ) funksiya grafigi esa y f (x ) funksiya grafigini har bir nuqtada Ox o’qi
bo’ylab c birlik o’nga (musbat yo’nalishga siljitish) bo’lar edi.
Yuqorida aytilgan fikrga asosan, qaralayotgan Koshi masalasining (9)
ko’rinishdagi yechimi boshlang’ich shartda berilgan boshlang’ich chetlanish va
boshlangich tezlikning vaqt davomida tarqalishini ifodalashini ko’ramiz.
Haqiqatan ham, f1 ( x at ) va f 2 ( x at ) funksiyalar o’z qiymatlarini o’zgartirmagan
holda f1 ( x) va f 2 ( x) funksiyalarning mos ravishda manfiy va musbat yo’nalish
boylab siljishlarini ifodalaydi.
Bu funksiyalar esa qaralayotgan Koshi
masalasining berilganlari orqali siljislar yigindisini tashkil etadi. Shuning uchun
ham bu funksiyalar fizik ma’noda qaralganda, gorizontal o’q bo’ylab siljiyaotgan
to’lqinlarni kasb etadi.
Bu fikrlarga asoslanib, ba’zan qaralayotgan (1)-(2) Koshi masalasini
yechishning bu usuli taraqluvchi to’lqinlar usuli ham deb nomlanadi.
Masala yechimimning turg’unligi.
Endi qo’yilgan Koshi masalsi yechimining turg’unligi, yani yechimning
boshlan’ih shartlardan uzluksiz bog’liqligi haqida to’xtalamiz.
1-Teorema (Koshi masalasi yechimining turg’unligi).
(1) to’lqin
tenglamasiga qo’yilgan boshlangich shartlarning kichik o’zgarishi natijasida
Koshi masalasining (9) yechimlari ham yetarlicha kichik o’zgaradi. Boshqacha
aytganda ixtiyoriy 0 soni va ixtiyoriy [0, t0 ] vaqt oralig’i uchun shunday
( , t0 ) 0 son topiladiki,
1 ( x) 2 ( x) va 1 ( x) 2 ( x)
shartlarni
qanoalantiruvchi funksiyalar uchun (1) to’lqin tenglamasining mos ravishda
u1 ( x,0) 1 ( x)
u1 ( x,0) 1 ( x )
t
u 2 ( x ,0 ) 2 ( x )
va
u 2 ( x ,0 ) 2 ( x )
t
boshlang’ich shaartlarni qanoatlantiruvchi u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlari uchun
u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot.
Faraz qilaylik teorema shartlari bajarilib, u1 ( x, t ) va u2 ( x, t )
funksiyalar
u tt a 2 u xx , x , t 0
to’lqin tenglamasining qaralayotgan sohada ikkinchi tartibgacha uzluksiz
differensiallanuvchi va mos ravishda
u( x,0) 1 ( x)
ut ( x,0) 1 ( x),
va
u ( x,0) 2 ( x)
ut ( x,0) 2 ( x)
boshlang’ich shartalarni qanoatlantiruvchi yechimlari bo’lsin. U holda yuqorida
isbotlanganiga ko’ra bu yechimlarning har biri (9) formula bilan ifodalanadi:
ui ( x, t )
i ( x at ) i ( x at )
2
x at
1
i ( s)ds, x , t 0, i 1, 2.
2a x at
Bu yechimlarning farqini baholaymiz:
u1 ( x , t ) u 2 ( x , t )
1 ( x at ) 2 ( x at )
2
1 ( x at ) 2 ( x at )
2
Bunda yig’indining moduli uchun | a b c || a | | b | | c | va
elementar tengsizliklarni
x at
1
1 ( s) 2 ( s ) ds .
2a x at
b
b
a
a
f ( x)dx | f ( x) | dx
hamda t t 0 ekanligini inobatga olisak, yuqoridagi
ayirmani yuqoridan quyidagicha baholashimiz mumkin:
u1 ( x, t ) u 2 ( x, t )
1 ( x at ) 2 ( x at ) 1 ( x at ) 2 ( x at )
2
2
x at
1
1 ( s) 2 ( s) ds t0 (1 t0 ) .
2a x at
2 2
Demak
1 t0
deb olsak yuqoridagi tengsizliklardan
u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
ekanligini olamiz. Bu esa biz isbotlashimiz kerak bo’lgan tengsizlikdir.
Teorema isbot bo’ldi.
Koshi masalasini yechish usulining ba’zi chegaraviy
masalalarga tatbiqi.
Bu bo’limda biz yuqorida ikkala tomondan ham chegaralanmagan tor uchun
Koshi masalasini yechimini topishning Dalamber yoki tarqaluvchi to’lqinlar
usulini yarim chksiz tor uchun 1- yoki 2-tur chegaraviy masalalarni yechishga
tatbiq etish bilan shug’ullanamiz. Ushbu chegaraviy masalalar manbaadan to’g’ri
chiziq bo’ylab tarqaluvchi tovush, elektromagnit, yoruglik, suyuqlik yoki gaz
dinamikasi masalalarida muhim ahamiyatga ega.
Dastlab keyinchalik muhim ahamiyat kasb etuvchi lemmani keltiramiz.
1-Lemma. 1) Agar (1)-(2) Koshi masalasining (2) boshlang’ich
shartlaridagi
( x ) va ( x), x lar toq funksiyalardan iborat bo’lsa, u
holda barcha t 0 uchun bu Koshi masalasi yechumi uchun u (0, t ) 0 tenglik
o’rinli bo’ladi.
( x ) va ( x), x lar juft funksiyalardan
2) Agar bu masaladagi
iborat bo’lsa, u holda barcha t 0 uchun bu Koshi masalasi yechumi uchun
u x (0, t ) 0 tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. 1) Faraz qilaylik Koshi masalsining (2) boshlangich shartidagi ( x ) va
( x), x lar toq funksiyalar bo’lsin. U holda (9) ga asosan istalgan t 0
uchun quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:
u ( x, t )
x at
( x at ) ( x at )
1
( s)ds.
2a xat
2
Bu tenglikning birinchi qo’shiluvchida ( x )
ning toq funksiyaligi, ya’ni
( x ) ( x ) , ikkinchisida esa ( x ) ning toq funksiyaligi, ya’ni ( x ) ( x )
ayniyatdan hamda integralda o’zgaruvchini s z kabi almashtirib quyidagi
natijaga kelamiz
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
x at
1
( z )dz u ( x, t ).
2a x at
Demak Lemmaning 1) bandi shartlari bajarilganda (1)-(2) Koshi masalasi
yechimi har bir t 0 da x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida toq funksiya
bo’ladi u ( x, t ) u ( x, t ). Bu ayniyatda x 0 desak, u (0, t ) u (0, t ) ayniyatdan
kerakli u (0, t ) 0 tenglikni olamiz. Lemmaning 1)-qismi isbot bo’ldi.
2) Lemmaning 2)- bandi shartlari bajarilganda, yani ( x ) va ( x), x
lar juft funksiyalar ekanligidan ( x ) ( x ) va ( x ) ( x ), x ayniyatlar
o’rinli bo’lganda (9) yechimning x bo’yicha xususiy hosilasini hisoblaymiz
u x ( x, t )
' ( x at ) ' ( x at )
2
1
[ ( x at ) ( x at )] .
2a
Bu tenglikda x o’rniga x qo’yib, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
u x ( x, t )
' ( x at ) ' ( x at )
2
1
[ ( x at ) ( x at )] .
2a
Juft funksiya hosilasi toq funksiya bo’lganligi uchun yuqoridagi tenglikdan
u x ( x, t )
' ( x at ) ' ( x at )
2
1
[ ( x at ) ( x at )] u x ( x, t )
2a
ayniyatni hosil qilamiz. Bu ayniyatda ham x 0 deb, u x (0, t ) u x (0, t ) ayniyatdan
kerakli u x (0, t ) 0 tenglikni olamiz.
Lemmaning 2)-qismi va Lemma to’liq isbot bo’ldi.
Ushbu lemmadan biz yarim to’g’ri chiziqda (nurda) berilgan quyidagi
chegaraviy masalalarni yechishda foydalanamiz.
Masalaning qo’yilishi.
(10)
utt a 2u xx , 0 x , t 0
to’lqin tenglamasining qaralayotgan sohada ikkinchi tartibgacha uzluksiz
differensiallanuvchi va
u ( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x), 0 x
(11)
boshlang’ich shartalarni hamda yo
u ( 0, t ) 0, t 0
(12)
u x (0, t ) 0, t 0
(13)
yoki
Chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping masalasiga mos ravishda
yarim o’qda bir jinsli to’lqin tenglamasiga qo’yilgan 1-chegaraviy yoki 2chegaraviy masala deyiladi.
(10)
0 x yarim o’qda qo’yilgan 1-chegaraviy masalani, ya’ni
tenglamaning (11) boshlang’ich shartlar va (12) chegaraviy shartni
qanoatlantiruvchi yechimini topish uchun yuqoridagi Lemmaning 1)-qismidan
foydalanamiz. Buning uchun (12) boshlang’ich shartdagi funksiyalarni manfiy
o’qqa toq davom ettiramiz:
agar x 0
( x),
( x)
( x), agar x 0
agar x 0
( x ),
( x)
( x ), agar x 0
U holda x da qaralgan (10) tenglamaning
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x), x
Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi
x at
( x at ) ( x at ) 1
(s)ds
u( x, t )
2
2a x at
(9) ko’rinishdagi yechimi uchun 1-Lemmaning 1)- qismiga asosan
u ( 0, t ) 0
bo’lib, (12) chegaraviy shart bajariladi. Endi bu yechimni masalaning berillganlari
orqali ifodalaymiz. Buning uchu yechimdagi funksiyalar argumentlarining musbat
va manfiy qiymat qabul qiluvchi sohalarini ajratish kifoya.
x
a
Agar t , x 0 bo’lsa x at 0 bo’lib, bu holda
( x at ) ( x at )
va ( s ) ( s )
x
bo’lib, yechim t , x 0 bo’gan holda quyidagicha tasvirlanadi:
a
( x at ) ( x at ) 1 x at
u ( x, t )
( s)ds .
2
2a x at
x
Agar t , x 0 bo’lsa x at 0 bo’lib, bu holda
a
( x at ) (at x), ( x at ) ( x at )
x
bo’lib, yechim t , x 0 bo’lgan holda quyidagicha tasvirlanadi:
a
u ( x, t )
( x at ) (at x)
2
( x at ) (at x)
2
x at
1 0
(
s
)
ds
(
s
)
ds
2a x at
0
x at
1 0
(
s
)
ds
(
s
)
ds
.
2a at x
0
Bu ikki holni birlashtirib, yarim to’g’ri chiziqda berilgan birinchi chegaraviy
masala yechimini topamiz
x
( x at ) ( x at ) 1 x at
( s ) ds , agar t , x 0 bo' lsa
a
2
2a x at
u ( x, t )
x at
( x at ) ( at x ) 1 ( s )ds , agar t x , x 0 bo' lsa
2
2 a at x
a
Endi yarim to’g’ri chiziqda aniqlangan 2-chegaraviy masalani qaraymiz,
ya’ni (10) tenglamaning (11) boshlang’ich shartlarni va (13) chegaraviy shartni
qanoatlantiruvchi yechimini topamiz. Buning uchun (11) boshlang’ich shartdagi
funksiyalarni to’g’ri chiziqqa juft davom ettiramiz:
( x),
( x)
( x ),
( x),
( x)
( x ),
agar x 0
agar x 0
agar x 0
agar x 0
U holda Lemmaning 2)-qismiga asosan x da qaralgan (10)
tenglamaning
u ( x ,0 ) ( x )
ut ( x,0) ( x ), x
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi Lemmaning 2)-qismiga asosan
o’z-o’zidan (13) chegaraviy shartni qanoatlantirishiga erishgan bo’lamiz. Bu holda
ham xuddi yuqoridagi kabi umumiy yechimni (9) yordamida topib, funksiyalarni
berilganlar orqali yozsak, yarim to’g’ri chiziqda berilgan 2-chegaraviy masala
yechini olamiz (to’liq isbotni o’quvchiga havola qilamiz)
x
( x at ) ( x at ) 1 x at
( s)ds, agar t , x 0 bo' lsa
2
2a x at
a
.
u ( x, t )
x at
at x
(
)
(
)
1
x
at
at
x
x
( s)ds ( s )ds , t bo' lsa
2
2a 0
a
0
Xulosa.
Biz avvalgi mavzuda chekli tor uchun qoyilgan chegaraviy
masalalarning qo’yilishi va ular yechimlarining yechimlarining yagonaligi haqida
to’xtalgan edik. Bugungi mavzuda qaralgan Koshi masalasini o’sha masalalarda
uchlari tebranishi ahamiyatga ega bo’lmagan tor uchun har ikkala uchi
cheksizlikka intilgan (biri minus, ikkinchisi musbat yo’nalishdagi cheksizlikka
intilgan) limitik hol sifatida qarash mumkin. Demakki bu masalada ham
yechimning mavjudlik, yagonalik va turg’unlik masalalari muhim ahamiyat kasb
etadi. Tor ichki nuqtalarining boshlangich chetlanichi va chetlanishning
boshlang’ich tezligi berilgan qonuniyatlarga bo’ysinganda biz yechimning
mavjudligi (uning aniq ifodasi), yagonaligi va boshlangich shartdafi
berilganlarning uzluksiz funksiyasi ekanligini (yechimning turg’unligi) isbotladik.
Yechish usulini musbat yarim o’q bo’yicha tarqaluvchi to’lqinlar uchun
qo’yilgan 1- va 2- chegaraviy masalalrni yechishga tatbiq etish mumkinligi bilan
tanishdik. Bunda biz toq va juft funksiyaning hol nuqtadagi qiymatlaridan
foydalandik.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
1. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasini ta’riflang.
2. Nima uchun (2) shartlar boshlang’ich shartlar deb nomlangan?
3. Bir jinsli to’lqin tenglamasining umumiy yechimini topishda qanday
usul foydalanilgan?
4. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama
xarakteristikalari, uning kanonik shakli Koshi masalasini yechishda
qanday ahamiyatga ega?
5. Dalamber formulasini mustaqil keltirib chiqaring.
6. Dalamber yechimi qo’yilgan Koshi masalasining yechimi bo’lishi
uchun unga qanday shartlar qo’yilishi lozim?
7. Yuguruvchi (oldinga yoki orqaga) to’lqin deganda nimani tushunasiz?
8. Dalamber yechimi Koshi masalsi yechimining mavjudlik, yagonalik
va turg’unlik muammosini hal etadimi? Javobni asosalang.
9. Musbat yarim o’qda to’lqin tenglamasi uchun 1- chegaraviy
masalani ta’riflang.
10.Musbat yarim o’qda to’lqin tenglamasi uchun 2- chegaraviy
masalani ta’riflang.
11. Nomanfiy yarim o’qda berilgan funksiyani son o’qiga juft davom
ettirish deganda nimani tushunasiz? Misollar keltiring.
12. Nomanfiy yarim o’qda berilgan funksiyani son o’qiga toq davom
ettirish deganda nimani tushunasiz? Misollar keltiring.
Amaliy topshiriqlar.
1. Son o’qidagi to’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan quyidagi Koshi
masalalarini yeching.
a) utt a 2u xx , x , t 0 ,
u ( x,0) x sin x, ut ( x,0) x 2 3x 1
b) utt a 2u xx , x , t 0 ,
u ( x ,0 )
x
, u t ( x ,0 ) 3 x 1
1 x2
c) utt 9u xx , x , t 0 ,
u ( x,0) x 2 x 1 , ut ( x,0) xe x 1
d) utt 25u xx , x , t 0 ,
u ( x,0) x 2 sin x, ut ( x,0) x cos x 3
2. Nomanfiy yarim o’qdagi to’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan quyidagi
chegaraviy masalalarini yeching.
a) utt a 2u xx , 0 x , t 0 ,
u ( x,0) x 2 sin x, ut ( x,0) x 3 1
b) utt 4u xx , 0 x , t 0 ,
u ( x ,0 ) x 2 , u t ( x ,0 ) 3 x
c) utt 49u xx , 0 x , t 0 ,
u ( x,0) xe x 1 , ut ( x,0) e x x
d)
utt a 2u xx , 0 x , t 0 ,
u ( x,0) x 2 sin x, ut ( x,0) x 3
7-MAVZU
TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN CHEGARAVIY VA
ARALASH MASALALARNI YECHISHNING FUR’E USULI
Reja:
1. Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalaning
qo’yilishi va yechimni o’zgaruvchilarni ajratish usulida izlash..
2. Shturm-Liuvill masalasi . Xos qiymat va xos funksiya tushunchasi.
3. Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalani
yechishning Fur’e usuli.
Dars maqsadlari:
m)
Ta’limiy maqsad: O’quvchida chegaralangan tor tebranishiga mos bir
jinsli to’lqin tenglamasiga qo’yiladigan chegaraviy chegaraviy masalalar, uning
yechimini topishning o’zgaruvchilarni ajratish yoki Fur’e usuli haqida yangi
tushuncha, bilim va ko’nikamalr hosil qilish. Funksiyani Fur’e qartoriga yoyish,
Fur’e koeffisientlarini topish kabi tushunchalar hosil qilish, yechimning fizik
mohiyatini tushuntirish va misollar bialn uni mustahkamlash mavzuning asosiy
ta’limiy maqsadi hisoblanadi.
n) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish.
o) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: Chegaralangan tor, boshlang’ich shart,
bir jinsli tenglama, 1-tur chegaraviy shart, 2-tur chegaraviy shart, 3-tur
chegaraviy shart, o’zgaruvchilarni ajratish, Shturm-Liuvill masalasi, xos qiymat,
xos funksiya, Fur’e qatori, Fur’e koeffisientlari, tekis yaqinlashish
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasining darsga taxtligini va sanitariya
holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning matematik
analiz, oliy matematika, differensial tenglamalar, kompleks o’zharuvchili
funksiyalar nazariyasi kabi fanlardan olgan bilimlari hamda oldingi o’tilgan
mavzular yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli
topshiriqlarni bajarishini tashkil etish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash
(bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan mavzu
yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasida chegaraviy yoki
aralash masalalrni yechishda eng ko’p qo’llaniladigan usullardan biri bu
o’zgaruvchilarni ajratish yoki Fur’e usuli hisoblanadi. Biz bu mavzuda ushbu
usulni uchlari mustahkam mahkamlangan torning erkin tebranish tenglamasiga
qo’yilgan ch1-chegaraviy masala misolida tanishib chiqamiz. Qolgan chegaraviy
masalalar va aralash masalalar xuddi shunga o’xshash tarzda yechiladi.
Masalaning qo’yilishi.
Biz oldingi mavzularda to’lqin tenglamasi uchun uchta turdagi chegaraviy
masalalar va aralash turdagi chegaraviy masalalarning qo’yilishi bilan tanishgan
edik. Hozir biz bir jinsli chegaraviy shartli 1-chegaraviy masala yechimini, ya’ni
utt a 2 u xx , 0 x l, t 0
(1)
u ( x ,0 ) ( x )
u t ( x,0) ( x), 0 x l
(2)
to’lqin tenglamasining
boshlang’ich shartni hamda uchlari mustahkamlanishga mos (uchlari siljishi yo’q)
u (0, t ) 0
(3)
u (l, t ) 0, t 0
1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan tanishamiz.
Xuddi shu kabi bir jinsli 2-tur va 3-tur chegaraviy masalalarni hamda ular
yordamida tuzuladigan aralash tipdagi bir jinsli chegaraviy masalalrni ham
ta’riflashimiz mumkin (Oldingi mavzularda mavjudligi uchun ularni keltirishni
o’quvchiga havola qilamiz).
Bizga yagonalik teoremasidan ma’lumki qoyiladigan bu chegaraviy masalalr
yagona yechimga ega.
Quyida biz ushbu yechimni topish masalasi bilan
tanishamiz.
Yechish usuli.
Hozircha (1)-(3) masalaning
u( x, t ) X ( x)T (t ), 0 x l, t 0
(4)
ko’rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz qlamiz va uninig ko’rinishini
topamiz. Buning uchun (4) dan kerakli xususiy hosilalarni olamiz
u xx ( x, t ) X " ( x ) T (t ), utt ( x, t ) X ( x ) T " (t )
hamda ularni (1) ga qo’yamiz:
X ( x) T " (t ) a 2 X "( x) T (t ) .
Ushbu tenglamani shartga ko’ra aynan nolga teng bo’lmagan a 2 X ( x) T (t ) ifodaga
bo’lib, unga teng kuchli bolgan tenglamaga kelamiz:
X " ( x) T " (t )
.
X ( x) a 2T (t )
Bu tenglamaning chap qismi faqat x (0, l) o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa,
uning o’ng tomoni faqat t (0,) o’zgaruvchining funksiyasidan iboratdir.
Demak u nolmas yechimga ega bo’lishi uchun har ikkala kasrlar aynan bir
o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak. Hisoblashda qulaylik bo’lsishi uchun uni
deb belgilaymiz:
X " ( x) T " (t )
.
(5)
X ( x) a 2T (t )
Tabiiyki (5) tenglamalar sistemasi aynan nolga teng bo’lmagan yechimga
ega bo’lishi lozim bo’lgan quyidagi ikkita oddiy diferensial tenglamalarga ajraladi:
X "( x) X ( x) 0, X ( x) 0
T "(t ) a 2T (t ) 0, T (t ) 0 .
(3) chegaraviy shartlarni qaraymiz:
u (0, t ) X (0)T (t ) 0
u (l, t ) X (l)T (t ) 0
Shartga ko’ra T (t ) 0 , aks holda u( x, t ) 0 bo’lar edi. Shuning uchun yuqoridagi
chegaraviy shartlardan
X (0) X (l) 0
shartlarni hosil qilamiz. Shunday qilib biz qo’yilgan chegaraviy masalani yechish
jarayonida X (x) funksiya uchun Stuurm-Liuvill masalasi deb ataluvchi quyidagi
masalaga keldik.
Stuurm-Liuvill masalasi va uni yechish.
Ta’rif. ning
X " ( x ) X ( x ) 0
X ( 0) X ( l ) 0
(6)
masala nolmas yechimga ega bo’ladigan qiymatiga shu masalaning xos
qiymati va unga mos nolmas yechimga esa xos qiymatga mos xos funksiya
deyiladi. xos qiymatni va unga mos xos funksiyani topish masalasiga odatda
Sturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi.
Ushbu masalaninig yechimini topish maqsadida ning manfiy, nolga teng
va musbat qiymatli hollarini alohida – alohida qaraymiz.
1-hol. Faraz qilaylik 0 bo’lsin. Bu holda differensial tenglamalar
kursidan bizga ma’lumki, (6) dagi ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning
umumiy yechimi
X ( x) C1e
x
C2e
x
(7)
ko’rinishda bo’ladi. Bunda C1 , C2 - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Ularni shunday
tanlaymizki, (6) dagi chegaraviy shartlar o’rinli bo’lsin:
X (0) C1 C2 0
C2 C1
yoki
.
X (l) C1el C2el 0
C1 (el el ) 0
Qaralayotgan holda 0 va l 0 haqiqiy sonlar bo’lganligi uchun
el
e l
0.
Demak ikkinchi
tenglamadan C1 0 va birinchisidan esa
C2 C1 0 hosil bo’ladi.
Demak (7) ga asosan 0 bo’lganda (6) masala faqat nol yechimga ega
bo’lar ekan, ya’ni bu holda Shtuurm-Liuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyaga
ega emas ekan.
2-hol. Faraz qilaylik 0 bo’lsin. Bu holda (6) dagi ikkinchi tartibli oddiy
differensial tenglama X " ( x) 0 bo’lib, ununig umumiy yechimi
X ( x) C1 x C2
(8)
ko’rinishda bo’ladi. Bunda C1 , C2 - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. (6) dagi chegaraviy
shartlardan ularni tanlaymiz:
X ( 0 ) C2 0
C2 0
yoki
.
X (l) C1l C2 0
C1 0
Demak (8) ga asosan 0 holda ham (6) masala faqat nol yechimga ega
bo’lib, Shtuurm-Liuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyaga ega bo’lmas ekan.
3-hol. Faraz qilaylik 0 bo’lsin. Bu holda differensial tenglamalar
kursidan bizga ma’lumki, (6) dagi ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama
ikkita qo’shma kompleks xarakteristik ildizlarga ega bo’lib, uning umumiy
yechimi
X ( x) C1 cos x C2 sin x
(9)
ko’rinishda bo’ladi. Bunda C1 , C2 - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Ularni shunday
tanlaymizki, (6) dagi chegaraviy shartlar o’rinli bo’lsin:
X (0) C1 0
.
X (l) C2 sin l 0
X ( x) 0 ekanligidan C 2 0 bo’ladi. Demak bu sistemadan
sin l 0
ekanligini olmiz. Bu sodda trigonometrik tenglamaning yechimi
2
n
n , n Z .
l
2
Shunday qilib,
(6) masala faqat
n
n , n Z bo’lgan holda
l
aynan nolga teng bo’lmagan
n
x
l
yechimlarga ega bo’lar ekan. Bunda Cn - ixtiyoriy doimiy.
X n ( x) Cn sin
2
n
Demak (6) Shtuurm-Liuvill masalasi uchun n
0 sonlar xos
l
qiymatlar va
n
X n ( x) sin
x
(10)
l
funksiyalar esa o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida olingan xos funksiyalar bo’ladi.
Bu xos funkiyalar skalyar ko’paytmasi uchun
l
l
n
m
( X n , X m ) X n ( x) X m ( x)dx sin
x sin
xdx
l
l
0
0
l
(n m)
(n m)
1 l
, agar n m bo'lsa
cos
x cos
xdx 2
2 0
l
l
0, agar n m bo' lsa
tenglik o’rinli.
Shunday qilib biz quyidagi tasdiqni isbotladik .
2
n
Teorema.
(6) Shtuurm-Liuvill
masalasi faqat n
0
l
bo’lgandagina nolmas yechimga ega bo’lib, barcha xos qiymatlar musbat va har
xil xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar o’zaro ortogonaldir.
2
n
n 0 bo’lganda
l
T "(t ) a 2T (t ) 0, T (t ) 0
differensial tenglama (6) dagi differensial tenglamaga o’xshash bo’lganligi ( X (x)
o’rnida T (t ) va o’rnida esa a 2 keladi) uchun uning umumiy yechimi quyidagi
ko’rinishda bo’ladi:
Tn (t ) An cos
n
n
a t Bn sin
at .
l
l
(11)
2
n
U holda n
0 bo’ganda (1) to’lqin tenglamining (3) bir jinsli
l
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi (4), (10) va (11) ga asosan
quydagi ko’rinishda bo’ladi:
n
n n
un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) An cos
a t Bn sin
at sin
x.
l
l
l
Berilgan (1) tenglama chiziqli va bir jinsli ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglama bo’lganligi uchun ushbu xususiy yechimlarnig yig’indisi ham
(1) tenglamani va (3) chegaraviy shartni qanoatlantiradi:
n
n n
u ( x, t ) un ( x, t ) An cos
a t Bn sin
at sin
x.
l
l
l
n 1
n 1
Bu yechimdagi
An va Bn koeffisientlarni
(12)
shunday tanlaymizki, (2)
boshlang’ich shartlar ham bajarilsin, ya’ni:
n
x ( x)
l
n 1
(13)
n
n
ut ( x,0)
aBn sin
x ( x)
n 1 l
l
va Bn koeffisientlarni topish uchun 0 x l oraliqda
u ( x,0) An sin
Bu sistemadan An
aniqlangan har qanday uzluksiz differensiallanuvchi f (x)
funksiyani sinuslar
(yoki kosinuslar) bo’yicha Fur’e qatori deb ataluvchi trigonometrik qatorga yoyish
mumkinligidan foydalanamiz:
n
x.
l
n 1
koeffisientlarga f (x) funksiyaning Fur’e koeffisientlari deb
f ( x) bn sin
Bunda
bn , n N
aytiladi va
2l
n
bn f ( s ) sin
s ds .
l0
l
Bundan foydalanib (13) sistemani An va Bn
larga nisbatan yechish
maqsadida uzluksiz differensiallanuvchi (x) va (x) funksiyalarni Fur’e qatoriga
yoyamiz va mos ravishda Fur’e koeffisientlarini yozamiz
n
2l
n
( x) n sin
x,
n ( s ) sin
s ds
l
l0
l
n 1
( x) n sin
n 1
n
x,
l
n
2l
n
( s ) sin
s ds .
l0
l
(14)
(15)
(14) va (15) ni (13) ga qo’yib, mos koeffisientlarni tenglashtirish bilan An va Bn
lar uchun quyidagi ifodalarni hosil qilamiz:
2l
n
2l
n
l
An n ( s ) sin
s ds va Bn
n ( s ) sin
s ds .
l0
l
na
l0
l
(16)
An va Bn larning (16) formulalar bo’yicha topilgan bu qiymatlarini (12) ga qo’yib,
(1)-(3) bir jinsli 1-tur chegaraviy masalaning formal ko’rinishda yozilgan
yechimini hosil qilamiz. Chunki bu ko’rinishda yozilgan (12) yechim cheksiz
hadli qator bo’lib, bu qator uzoqlashuvchi bo’lishi yoki uning yig’indisi
differensiallanuvchan bo’lmasligi mumkin. Bu holda (12) orqali qurilgan
funksiyani biz qaralayotgan masala yechimi deya olmaymiz. Shu maqsadda
koeffisientlari (16) formulalar
bilan aniqlanuvchi (12) funksional qator
yig’indisining uzluksizligini va uni differensiallash natijasida hosil bo’lgan
qatorning tekis yaqinlashuvchanligini ko’rsatishimiz yetarli.
(12) qatorning ko’rinishidan uni k-marta differensiallash natijasida hosil
bo’lgan qatorning umumiy hadi
n k (| n | | n |)
bilan yuqoridan baholanadi. Fur’e qatorlari nazariyasidan esa
n (|
k
n 1
n
| | n |)
qator yaqinlashuvchan bo’ladi. Bundan esa funksional qatrolarning tekis
yaqinlashuvchanligi haqidagi Veyershtrass teoremasiga asosan (12) qator tekis
yaqinlashuvchi bo’ladi, yani uning yigindisi uzluksiz funksiya bo’lib, qatorni
istalgan marta differensiallash mumkin.
Shu bilan (12) ko’rinishdagi yechim biz qaragan masalaning haqiqiy
yechimi ekanligini isbotladik.
Torning majburiy tebranish tenglamasiga qo’yilgan bir jinsli
chegaraviy masalani yechishning Fur’e usuli.
Ushbu usun faqat torning erkin tebranish tenglamasiga emas, balki uning
majburiy tebranish tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy masalani yechishga ham
tatbiq etilishi mumkin.
Faraz qilaylik bizga torning majburiy tebranish tenglamasi
utt a 2uxx f ( x, t ), 0 x l, t 0
(17)
ning
u ( x ,0 ) ( x )
ut ( x,0) ( x), 0 x l
(18)
boshlang’ich shartlarni hamda
u (0, t ) 0
u (l, t ) 0, t 0
(19)
bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin.
Ushbu masala yechimini u( x, t ) funksiyning x bo’yicha Fur’e qatori
ko’rinishida izlaymiz:
n
x.
l
n 1
Xuddi shu kabi f ( x, t ), ( x) va (x) funksiyalarni ham Fur’e qatoriga
u ( x, t ) un (t ) sin
yoyamiz va bu qatorlarni va yechimning tanlangan Fur’e qatorini (17) ga qo’yib,
quyidagi tenglamaga kelamiz:
n
u (t )
l
2
(20)
a un (t ) f n (t ) .
Bunda un (t ) va f n (t ) bilan mos ravishda u( x, t ) va f ( x, t ) funksiyalarning har bir
"
n
tayinlangan t da Fur’e koeffisientlari belgilangan.
(18) boshlang’ich shartlar fur’e qatorlariga yoyilgandan keyin
un (0) n , uт' (0) т .
(21)
(21) shartlar asosida (20) differensial tenglama bir qiymatli yechiladi. Uning
yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo’lmagan
tenglamaning bitta xususiy yechimidan iborat bo’lib, quyidagi ko’rinishda
yoziladi:
l
n n
n
u ( x, t ) n cos a t
n sin at sin x
l
na
l
l
n 1
n
n
l l
sin
a(t ) sin
x f n ( )d .
l
l
n 1 na 0
Ba’zan bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala ham qaraladi:
utt a 2uxx f ( x), 0 x l, t 0
tenglamaning
u ( x ,0 ) ( x )
ut ( x,0) ( x), 0 x l
boshlang’ich shartlarni hamda
u (0, t ) A
u (l , t ) B
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim.
Ushbu masala noma’lum funksiyani
u( x, t ) w( x) v( x, t )
ko’rinishda izlash bilan oldin o’rganilgan bir jinsli chegaraviy masalaga keltirish
mumkin. Haqiqatan ham yechimning izlangan shaklini berilgan tenglamaga qo’yib
vtt a 2vxx a 2 w"( x) f ( x) .
Bunda w(x) funksiyani quyidagicha tanlaymiz:
a 2 w"( x) f ( x) 0, w(0) A, w(l) B .
Bu oddiy differensial tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasini yechib, topamiz:
1 xs
x
x ls
w( x ) A ( B A) 2 f ( )dds 2 f ( )dds .
l la 0 0
a 00
U holda v( x, t ) funksiya biz yuqorida qarab chiqqan quyidagi masalani
qanoatlantirishi kerak bo’ladi:
vtt a 2vxx , 0 x l, t 0
v( x,0) ( x) w( x)
vt ( x,0) ( x), 0 x l
v(0, t ) v(l, t ) 0 .
So’ngi masalani yechishni esa biz to’laligicha qarab chiqdik. Uni yechib, dastlabki
qo’yilgan masalaning yechimini ham topishimiz mumkin bo’ladi.
Xulosa.
Biz abbalgi mavzularda to’lqin tenglamasiga qo’yiladigan
chegaraviy va aralash masalalrning qop’yilishi, masala yechimining mavjud va
yagonaligi bialn tanishgan edik. Bu mavzuda biz chegaraviy masala yechimini
topishning Fur’e uculi bilan tanishdik. Yechimning ko’rinishidan uning
masalaning boshlang’ich shartlaridan uzluksiz bog’liqligi ko’rinib turibdi. Bu esa
chegaraviy masala yechimining turgun ekanligini isbotlaydi.
Eslatma. Ta’kidlash lozimki, tor tebranish tenglamasiga qo’yilgan 1-tur
chegaraviy maslani yechish jarayonida qo’llanilgan ushbu usulni 2-tur , 3-tur va
aralash masalalarni yechishga ham to’g’ridan-to’g’ri qo’llash mumkin. Bunda
asosiy farq Shturm-Liuvill masalasi chegaraviy shartlari o’zgarishi bilan uning xos
qiymatlari va xos funksiyalari o’zgarishi mumkin. Hosil bo’lgan yechim ko’rinishi
va unga mos Fur’e ko’rinishlari ham biroz o’zgarishi mumkin.
Biror [ l, l ] oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi f (x) funksiyaning Fur’e
qatori umumiy holda
a0
n
n
f ( x) an cos
x bn sin
x
2 n 1
l
l
bo’lib,
uning
a0 , an , bn , n N
Fur’e koeffisientlari mos ravishda quyidagi
formulalar bilan aniqlanadi.
1l
n
1l
n
an f ( s ) cos
s ds, bn f ( s ) sin
s ds .
l l
l
l l
l
Berilgan chegaraviy shartga mos Shtuurm – Liuvill masalsi xos funksiyalariga mos
ravishda fur’e qatori tanlanadi.
Mustahkamnlash uchun savol va topshiriqlar.
1.
2.
3.
4.
5.
Tor erkin tebranish tenglamasi uchun 1-tur chegaraviy masalani ta’riflang.
Tor erkin tebranish tenglamasi uchun 2-tur chegaraviy masalani ta’riflang.
Tor erkin tebranish tenglamasi uchun 3-tur chegaraviy masalani ta’riflang.
Mavzuda qo’llanilgan usulning asosiy sxemasini ayting.
Masalani yechishda boshlangich shartdagi va noma’lum funksiyalar qanday
shartlarni qanoatlantirishi lozim?
6. Funksiyaning Fur’e qatori va Fur’e koeffisientlari nima? Ularni 2,3 ta
funksiyalarda hisoblab ko’ring.
7. Shturm-Liuvill masalasi nimadan iborat?
8. Shturm-Liuvill masalasi xos funksiya va xos qiymatlari uchun qanday
tasdiqlarni bilasiz?
9. Bir jinsli bo’lmagan to’lqin tenglamasi uchun bir jinsli chegaraviy masalani
yechish usulini bayon qiling.
10. Murakkab masalani sodda hlga keltiruvchi masalani yechish usulini
qisqacha bayon qiling.
11.2-tur bir jinsli chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill masalasini quring
va mavzudagi bilan farqini tushuntiring.
12. 3-tur bir jinsli chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill masalasini quring
va mavzudagi bilan farqini tushuntiring.
13. Aralash turdagi bir jinsli chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill
masalasini quring va mavzudagi bilan farqini tushuntiring.
14.2-tur bir jinsli chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill masalasi xos qiymat
va xos funksiyalarini toping.
15. 3-tur bir jinsli chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill masalasi xos
qiymat va xos funksiyalarini toping.
16. Aralash turdagi bir jinsli chegaraviy masala uchun Shturm-Liuvill
masalasi xos qiymat va xos funksiyalarini toping.
17. f ( x) x 3 , x [ , ] funksiyani Fur’e qatoriga yoying.
18. Yuqorida qo’llanilgan yechish usulini 2-tur bir jinsli chegaraviy masala
uchun bajarib chiqing. Asosiy farqlarni sanab o’ting.
Nazorat uchun savollar:
1. Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalalarni
tushuntiring?
2. Torning erkin tebranishi tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalalarni
yechishning Fur’e (o’zgaruvchilarni ajratish ) usulini tushuntiring?
3. Xos qiymat va xos funksiya tushunchasi nimadan iborat ?
8-MAVZU
PARABOLIK TIPLI TENGLAMALARGA KELTIRILADIGAN
FIZIK JARAYONLAR: ISSIQLIK TARQALISH VA DIFFUZIYA
TENGLAMALARI. ASOSIY MASALALARNING QO’YILISHI
Reja:
4. Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar.
5.
6.
7.
8.
Issiqlikning to’g’ri chiziqli tarqalish tenglamasi
Gazlarda diffuziya tenglamasi
Chegaraviy va Koshi masalalarining qo’yilishi
Xulosa
Dars maqsadlari:
p) Ta’limiy maqsad: O’quvchida chegaralanmagan iikinchi tartibli xususiy
hosilali tenglamalardan parabolik tipli tenglamalar orqali o’rganiluvchi fizik
jarayonlar haqida va ularni matematik model – mos parabolik tipli differensial
tenglamalarga keltirish usullari bilan tanishtirish. Qo’llanilayotgan usullarda fizik
jarayonni tavsiflovchi parametrlarning roli, fizik qonuniyatlarning tanlanishi
hamda hosil bo’lgan dxususiy hosilali tenglama xususiy hollari haqida yangi bilim,
лщэтшльф berish, ularni amaliy misollarda mustahkamlash mavzuning asosiy
ta’limiy maqsadi hisoblanadi.
q) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish.
r) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Tayanch iboralar: issiqlik o’tkazuvchanlik, sterjen, issiqlikdan
muhofazalangan, issiqlik miqdori, oqim, Fur/e qonuni, temperatura, issiqlikning
oqimi, integral tasvir, o’rta qiymat, differensial shakl, gaz notekis taqsimoti,
diffuziya, konsentratsiya, Nernst qonuni, fazoda issiqlikning tarqalishi, chegaraviy
shart, chegaraviy masala, chegaralanmagan sterjen,boshlang’ich shart, Koshi
masalasi, yarim cheksiz sterjen.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasining darsga taxtligini va sanitariya
holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning matematik
analiz, oliy matematika, differensial tenglamalar, kompleks o’zharuvchili
funksiyalar nazariyasi kabi fanlardan olgan bilimlari hamda oldingi o’tilgan
mavzular yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli
topshiriqlarni bajarishini tashkil etish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash
(bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan mavzu
yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Fizikaning issiqlik harakati va gazlarning diffuziyasi bilan bog’liq
masalalarini o’rganish odatda ikkinchi tartibli xususiy hosilali giperbolik
tenglamalar orqali o’rganiladi. Bunday tenglamalrni kanonik shaklga keltirish
bilan ularning eng sodda misoli sifatida
ut u xx
issiqlikning
o’qi bo’ylab erkin tarqalish tenglamasi hisoblanadi. Bu shakldagi
tenglamalar chekli uzulikdagi sterjen, yaxlit uzun metal o’tkazgich bo’ylab
nuqtasiga mos kesimning vaqtdagi
tarqalayotgan issiqlik miqdorini uning
( , ) temperaturasi orqali o’rganishda hosil bo’ladi.
Chekli sterjenda issiqlikning tarqalishi
Biz mavzuning bu qismida tashqi muhitdan issiqlikdan himoyalangan ℓ
uzunlikdagi yatarlicha ingichka sterjenni qaraymiz. Aniqlik uchun sterjenni
o’qi bo’ylab bir uchini = 0 nuqtaga, uning ikkinchi uchini esa = ℓ nuqtaga
joylashtiramiz. Sterjen
nuqtasiga mos kesimning vaqtdagi temperaturasini
( , ) bilan belgilaymiz.
Dastlab eng sodda masalalarni qaraymiz. Faraz qilaylik sterjen uchlarida
va
temperaturalar ushlab turilgan bo’lsa, u holda bir jinsli sterjenda
doimiy
biz issiqlikning uning nuqtalari bo’ylab chiziqli uzatilishiga ega bo’lamiz:
( )=
+
- `ℓ
.
(1)
Ma’lumki, bunda issiqlik yuqori temperaturali uchdan past temperaturali
uchga tomon oqadi. Bunda biz agar issiqlik oqimi
o’qining musbat yo’nalishida
bo’lsa uni musbat, aks holda manfiy deb qaraymiz.
Bu holda sterjenning 4 kesim yuzidan birlik vaqt mobaynida oqib o’tgan
isiqlik miqdori
Q k
T2 T1
u
S kS
l
x
(2)
Formula bialn hisoblanadi. Bunda k sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik
koeffisienti bo’lib, u sterjen materialiga bog’liq.
Endi sterjenda issiqlik tarqalishining umumiy holini qaraymiz, ya’ni bu holda
( , ) funksiya qanday parametrlar orqali aniqlanishi va qanday qonuniyatga
bo’ysinishi haqida to’xtalamiz.
1) Sterjenning nuqtasiga mos ko’ndalang kesim yuzidan ( , ) vaqt
mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori
#
y = −4 [# U( )
V ( ,#)
V
(3)
formula bilan ifodalanadi. U( ) − sterjen
nuqtasiga mos kesimning issiqlik
o’tkazuvchanlik koeffisienti.
2) Elementar fizikadan ma’lumki, bir jinsli issiqli o’tkazuvchi jism
temperaturasini ∆ ga oshirish uchun unga
y = z∆u = cρV∆u
miqdordagi issiqlik miqdorini berish kerak . Bunda − jismning solishtirma
issiqlik sig’imi, z − jism massasi, $ − jism zichligi, ~ − jism hajmi bo’lib, jism
bir jinsli bo’lganligi uchun bu parametrlar doimiy, yani jism nuqtalaridan va
vaqtdan bog’liq emas.
Agarda sterjen bir jinsli bo’lmasa bu qiymatlar sterjen nuqtalaridan bog’liq
bo’lib, unga berilgan issiqlik miqdori quyidagicha ko’rinish oladi:
B
y = 4 [B c(x)ρ(x)∆u(x, t) dx.
(4)
3) Sterjen ichki nuqtalarida issiqlik hosil bo’lishi mumkin. Bu iisiqlik
miqdori
vaqtda
nuqtadagi issiqlik manbalarining )( , ) zichligi bilan
tavsiflanadi. Ushbu issiqlik manbalarining sterjen ( , ) qismiga ( , ) vaqt
mobaynida bergan jami issiqlik miqdori
#
y• = 4 [# [ )( , )
(5)
formula bilan beriladi.
Ushbu topilgan uchta issiqlik miqdorlari orqali sterjen ( , ) qismi uchun
( , ) vaqt oralig’ida issiqlik balansi tenglamasi tuzib, sterjenda iisqlikning
tarqalish tenglamasini hosil qilishimiz mumkin bo’ladi. Buning energiyaning
saqlanish qonuni va (3), (4) va (5) formulalardan foydalansak quyidagi tenglamani
hosil qilamiz:
#
#
'U( )
F ( , )
F ( , )
− U( )
(
F
F
+
#
#
)( , )
=
.
(6)
(6) sterjenda issiqlik tarqalishining integral ko’rinishdagi tenglamasidir. Undagi
integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab issiqlik tarqalishining
differensial formadagi
u ( x, t )
u
k ( x)
F ( x, t ) c ( x ) ( x ) .
x
x
t
(7)
Agar sterjen bir jinsli bo’lsa (7) tenglamada U, va $ lar doimiy bo’lib, (7)
tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
ut ( x, t ) a 2u xx ( x, t ) f ( x, t ) ,
(8)
bunda
a2
k
F ( x, t )
, f ( x, t )
.
c
c
Agarda sterjenda tashqi issiqlik manbaalari bo’lmasa, )( , ) = 0 bo’lib,
issiqlik tarqalish tenglamasi quyidagi sodda ko’rinishga keladi:
ut ( x, t ) a 2u xx ( x, t ) .
(9)
Gaz diffuziyasi tenglamasi.
Agar muhit turli gazlar bilan notekis to’ldirilgan bo’lsa, u holda yuqori
konsentratsiyali nuqtalardan past konsentratsiyali nuqtalarga tomon gaz diffuziyasi
kuzatiladi. Ushbu hodisa notekis aralashgan suyuqlik aralashmalarida ham
uchraydi. Ushbu harakatni biz gaz tarqalayotgan trubka nuqtasining ondagi
( , ) gaz yoki suyuqlik konsentratsiuasi orqali tavsiflaymiz. Biz soddalik uchun
trubkada gaz yoki suyuqlik manbalari yoq va uning ichki devorlarida diffuziya
sodir bo’lmaydi deb faraz qilamiz.
Nernst qonuniga asosan trubka
nuqtasidan vaqt intervalida oqib o’tgan
gaz massasi
u ( x, t )
dQ D( x, t )
S ( x)dt W ( x, t ) S ( x)dt
x
formula bilan beriladi. Bunda D - diffuziya koeffisienti, S - trubka ko’ndalang kesim
yuzi, W ( x, t ) - gaz vaqt birligida birlik yuzadan oqib o’tgan gam massasi bo’lib
diffuziya oqimi zichligi deyiladi.
Konsentratsiyaning ta’rifidan ~ hajmdagi gaz miqdori
Q uV
gat eng bo’ladi. Bundan gaz konsentratsiyasi ∆
( , ) qismida gaz massasining o’zgarishi uchun
ga o’zgarganda trubkaning
x2
Q c( x)u( x, t ) S ( x)dx
x1
ifodani hosil qilamiz. Trubkaning har bir nuqtasi ko’ndalang kesimi bir xil bo’lsin,
ya’ni 4( ) = 4 =
deb qaraymiz.
Trubka ( , ) qismi uchun ( , ) vaqt intervalida gaz massasi balansi
tenglamasi quyuidagi ko’rinishda bo’ladi:
u ( x1 , t )
u ( x2 , t )
D ( x1 , t )
dt S c ( x )u ( x, t2 ) u ( x, t1 )dx .
S D ( x2 , t )
x
x
t
x
t2
x2
1
1
Ushbu integrallarga ham o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab, gaz yoki
suyuqlik diffuziya uchu differensial shakldagi tenglamaga ega bo’lamiz:
u ( x, t )
u ( x, t )
.
D ( x, t )
c( x)
x
x
t
(10)
Ko’rinib turibdiki, (10) diffuziya tenglamasi ham xuddi sterjenda issiqlik
tarqalish tenglamasi (9) ga o’xshash ko’rinishga ega. Ulardagi asosiy farq
noma’lum funksiya shu fizik jarayonni xarakterlovchi turli kattaliklarni ifodalaydi.
Agar shu bo’lim boshida yo’qligi talab qilingan trubkada manbalar bo’lishi
yoki uning devorlari ham diffuziya jarayoniga ishtirok etishi mumkinligi hisobga
olinsa, diffuziyaning issiqlik tarqlish tenglamasining umimiyroq ko’rinishidagi (7)
yoki (8) ga o’xshashdifferensial tenglamalarni hosil qilgan bo’lar edik.
Xuddi shu kabi issiqlikning fazoda tarqalish masalasi ham parabolik tipdagi
tenglamalarga keltiriladi. Bu jarayon issiqlik tarqalayotgan muhitning ( , 1, €)
nuqtasining vaqtdagi temmperaturasi ( , 1, €, ) orqali tavsiflanadi. Bu holda
ham Fur’e qonunidan va issiqlik balansi tenglamasidan foydalanib issiqlikning
( , 1, €, )funksiyaga nisbatan
fazoda tarqalish jarayonini to’rt o’zgaruvchili
ikkinchi tartibli xususiy hosilali
cut
u u u
k k k F ( x, y , z , t ) .
x x y y z z
Bunda k k ( x, y, z ) - issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisienti. Agar muhit bir
jinsli bo’lsa c const , const va k const bo’lib, yuqoridagi tenglama
ut a 2 (u xx u yy u zz ) f ( x, y, z , t )
ko’rinishga keladi. Buyerda
a2
k
F
, f
.
c
c
Chegaraviy masalalarning qo’yilishi.
Avvalgi mavzularda ta’kidlanganidek issiqlik tarqalish va diffuziya
tenglamalarini ifodalovchi matematik modellar ikkinchi tartibli xususiy hosilsli
tenglamalardan iborat bo’lib, bu tenglamalar cheksiz ko’p yechimga ega. Bu
tenglamalar qaralayotgan jarayonni bir qiymatli aniqlashi uchun unga shu
charayonni tavsiflovchi qo’shimcha shartlar ilova qilinishi lozim.
Issiqlik tarqalish tenglamalarida bo’yicha birinchi tartibli xususiy hosila
ishtirok etayotganligi uchun boshlang’ich shart sifatida jarayonning boshida
sterjen nuqtalarida o’rnatilgan temperaturani ifodalovchi shart, ya’ni ( , )
funksiyaning tajriba boshlangan " ondagi qiymati berilishidan iborat bo’ladi:
u ( x, t 0 ) ( x ) .
(11)
Bunda ( x), 0 x l - berilgan uzluksiz funkisya, l - sterjen uzunligi. Odatda
tajriba boshlangan " vaqtni sanoq boshi deb olinadi, ya’ni " = 0.
Faraz qilaylik sterjen
o’qi boylab gorizontal joylashgan bo’lib, uning bir
uchi = 0 nuqtada, ikkinchi uchi esa = ℓ nuqtada bo’lsin. Uning uchlaridagi
temperatura rejimiga asoslanib chegaraviy shartlar turli ko’rinishlarda qo’yilishi
mumkin. Xuddi to’lqin tenglamasiga qo’yilgani kabi issiqlik tarqalish va diffuziya
tenglamalariga ham asosan uch tipdagi chegaraviy shartlar qo’yiladi:
`1) Sterjenning x 0 uchida vaqt davomida u (0, t ) 1 (t ) harorat, x l
uchida esa u (l, t ) 2 (t ) harorat belgilangan bo’lsin . Bunda 1 (t ) va 2 (t ) lar
biror '0, ( vaqt oralig’ida aniqlangan berilgan funksiyalar,
kuzatiladigan vaqt uzunligi. Sterjen uchlarida berilgan
− jarayon
u (0, t ) 1 (t )
u (l, t ) 2 (t )
ko’rinishdagi chegaraviy shartga birinchi tipdagi chegaraviy shart deb yuritamiz.
2) Sterjen uchlari kesim yuzidan oqib o’tuvchi issiqlik oqimi belgilangan
bo’lsin.
Masalan uning x 0 cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi y (0, )
belgilangan rejimga bo’singan bo’lsa
u (0, t )
Q1 (0, t ) k
x
Q (0, t )
shart
tenglik bajariladi. Bundan sterjenning x 0 uchida u x (0, t ) 1 (t ) 1
k
bajarilishi lozimligiga kelamiz.
Xuddi shu kabi sterjen x l cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi
y (ℓ, ) belgilangan rejimga bo’singan bo’lsa
u (l, t )
Q2 (l, t ) k
x
Q2 (l, t )
shart
k
bajarilishi lozimligiga kelamiz. Shunday qilib sterjen uchlarida issiqlik oqimi
o’zgarishi belgilangan rejimga bo’sinishi talab qilinganda, issiqlik tarqalish
tenglamasiga qo’shimcha
tenglik bajariladi. Bundan sterjenning x l uchida u x (l, t ) 2 (t )
u x (0, t ) 1 (t )
u x (l, t ) 2 (t )
chegaraviy shartlarning bajarilishi lozim ekanligiga kelamiz. Bu ko’rinishdagi
chegaraviy shartlarga 2-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritamiz.
3) Faraz qilaylik sterjen temperaturasi vaqt davomida aniq va (t )
qonuniyat boyicha o’zgaruvchi tashqi muhit bilan issiqlik almashinuvi belgilangan
rejimga bo’sinsin. Bu holda sterjen = 0 va = ℓ uchlari uchun qo’yiladigan
qo’shimcha shartlar
ux (0, t ) h1u(0, t ) (t )
ux (l, t ) h2 u(l, t ) (t )
ko’rinishda ifodalanib, ularga odatda 3-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritiladi.
Bulardan tashqari sterjenning ikkala uchida ikki tipdagi chegaraviy shart
qo’yilishi ham mumkin. Bu tipdagi chegaraviy shartlarga aralash tipdagi
chegaraviy shartlar deb yuritamiz.
1-Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining (11) boshlang’ich shart va 1tipdagi (mos ravishda 2-tipli, 3-tipli yoki aralash tipli) chegaraviy sharni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga 1-tur (mos ravishda 2-tur, 3-tur
yoki aralash) chegaraviy masala deyiladi.
Chegaraviy masalaning regulyar yechimi deganda issiqlik tenglamasining
boshlang’ich va belgilangan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikki
marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimiga aytiladi.
Ba’zan
ta’riflangan
chegaraviy
masalalrdan
tashqari
uzunligi
chegaralanmagan yoki juda ham uzun sterjenda issiqlikning tarqalish masalasini
ham o’rganishga to’g’ri keladi. Bu holda sterjen bir uchi −∞ likda va ikkinchi
uchini esa +∞ deb qarab, (7) tenglamaning faqat (11) boshlang’ich shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga duch kelamiz. Bu masala odatda
Koshi masalasi deyiladi.
2-Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining x , t 0 sohada
aniqlangan va
u ( x,0) ( x ), x
sartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga issiqlik tarqalish tenglamasi
uchun qo’yilgan Koshi masalasi deyiladi. Bunda ( x ), x berilgan
funksiya.
Xuddi shu kabi bir uchi chegaralanmagan sterjen uchun boshlang’ich shart
va bitta chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi chegaraviy
masalalar ham uchraydi.
Xulosa. Turmush hayotimizda muhim ahamiyatga ega bo’lgan isssiqlikning
to’g’ri chiziq, tekislik va fazoda tarqalish jarayoni, shuningdek diffuziya hodisasi
parabolik tipli tenglamalar orqali o’rganiladi. Bu tenglamalar uchun ham to’lqin
tenglamasi kabi chegaraviy va Koshi masalari tenglama yechimini bir qiymatli
ajratib olishga imkon yaratadi va ular belgilangan rejimga asosan tanlab olinadi.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
1. Parabolik tipli tenglamaga keltiriluvchi jarayonlarni ayting.
2. Issiqlikning sterjenda tarqalish tenglamasida asosiy issiqlik miqdorlari nomi
va ularning formulalarini keltiring.
3. Sterjenda issiqlik miqdori qanday uzatiladi va u qanday parametrlarga
bog’liq?
4. Issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqarishda qanday usuldan
foydalandik. Umumiy sxemani ayting.
5. Issiqlikning sterjenda, plastina bo’ylab va fazoda tarqalish tenglamalarini
yopzing hamda ulardagi farqlarni ayting.
6. Gaz diffuziyasi nima?
7. Diffuziya tenglamasini keltirib chiqarishning umumiy sxemasi nimadan
iborat?
8. Diffuziya tenglamasini yozing va uning turlarini keltirib, mohiyatini
tyushuntiring.
9. Issiqlikning tog’ri chiziqli, tekislik bo’ylab va fazoda tarqalishiga oid
turmushdan misollar ayting. Bu har bir hol qanday va necha o’zgaruvchili
funksiya bilan tavsiflanishini asoslang.
10.Nima uchun issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalarini biz giperbolik
tenglamalar deb atamoqdamiz? Javobni oldingi mavzularga bog’lab bering.
11.Sterjenda iisqlik tarqalish va trubada diffuziya tenglamalari qanday farq va
o’xshashliklarga ega?
12. Sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqarish usulining
bayonidan foydalaniv, yupqa metall plastinada issiqlikning tarqalish
tenglamasini keltirib chiqaring.
13.Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun boshlang’ich shartning qo’yilishi va
uning fizik mohiyatini ayting.
14.1-tipdagi chegaraviy shart, uning fizik mohiyati va u orqali qurilgan 1-tur
chegaraviy masalani keltiring.
15. 2- va 3-tipdagi chegaraviy shartlar, ularning fizik mohiyati va u orqali
qurilgan 2-va 3-tur chegaraviy masalalarni keltiring.
16. Aralash chegaraviy masala nima? u qanday ko’rinishlarda bo’ladi, soni
nechta?
17. Issiqlik tenglamasi uchun Koshi masalsi qanday ta’riflanadi? Qanday fizik
ahamiyatga ega?
Nazorat uchun savollar:
1. Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlarni aniqlang?
2. Issiqlik tarqalish tenglamasini tushuntirib bering?
3.
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun asosiy masalalarning qo’yilishi
tushuntiring.
9-MAVZU
ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI YECHIMI UCHUN
MAKSIMAL QIYMAT PRINSIPI. CHEGARAVIY VA KOSHI
MASALASI YECHIMINING YAGONALIGI. CHEKSIZ SOHADA
ISSIQLIK TARQALISHI TENGLAMASIGA QO’YILGAN
KOSHI MASALASINI YECHISH USULI.
Reja:
1.
2.
3.
4.
5.
Maksimal qiymat prinsipi.
Chegaraviy masala yechimining yagonaligi.
Maksimal qiymat prinsipidan лудши chiqadigan natijalar.
Koshi masalasi yechimining yagonaligi.
Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi tenglamasiga qo’yilgan
masalasini yechish usuli.
Koshi
Dars maqsadlari:
s) Ta’limiy maqsad: Talabalarga issiqlik tarqalish masalasi uchun qo’yilgan
chegaraviy masala yechimi uning faqat boshlang’ish va chegaraviy shartlari bilan
aniqlanishi, ya’ni yechi shu prametrlardan uzluksiz bo’lib, yechim o’zining eng
katta va eng kichik qiymatlariga sohaninig chetki nuqtalarida yoki boslang’ich
holat funksiyasida erishishini tushuntirish. Bu tasdiqning fizik mohiyati, aralash
masalalar yechimining yagonaligi va turg’unligida muhim ahamiyatga ega ekanligi
haqida ko’nikma va bilim hosil qilish.
t) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish.
u) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: issiqlik tenglamasi. chegaraviy shart,
boshlang’ich shart, maksimal qiymat, minimal qiymat, soha chegarasi, vaqt boshi,
yagonalik, turg’unlik, natija.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasining darsga taxtligini va sanitariya
holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati kabi tushunchalari, oldingi
mavzularda olgan bilimlari yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob
berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish orqali talabalarning
bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob
berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan mavzu
yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Ushbu va keyingi mavzularda biz alohida ta’kidlanmasa, o’zgarmas
koeffisientli
wt a 2 wxx wx w
(1)
issiqlik tarqalish masalasini qaraymiz. Ushbu tenglamada
w( x, t ) e xt u ( x, t )
almashtirish bajarib
цt e xt u ext ut , wx e xt u e xt ux , wxx 2e xt u 2e xt ux e xt uxx
bo’lib, ularni yuqoridagi tenglamaga qo’sak , unga teng kuchli bo’lgan
ut a 2uxx (2a 2 )ux ( 2 a 2 )u
tenglamaga kelamiz. Agar bu tenglamada
2a 2
,
2
4a 2
deb olsak so’ngi tenglama
ut a 2u xx
(2)
sodda ko’rinishga keladi. Demak (1) va (2) differensial tenglamalar bir vaqtda
yechimga ega yoki ega bo’lmaydi. Shuning uchun (2) ko’rinishdagi tenglama
yechimini tadqiq qilish yetarlidir. Quyidagi teoremada (2) issiqlik tarqalish
tenglama yechimining ekstremal qiymatlari haqida so’z yuritiladi.
1-Teorema (Maksimal qiymat prinsipi). Agar u ( x, t ) funksiya yopiq
0 t T , 0 x l sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,
0 t T , 0 x l sohada (2) tengllani qanoatlantirsa, u holda u ( x, t ) funksiya
o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga yo boshlang’ich t 0 vaqtda yoki
sohaning chegaraviy nuqtalari x 0 yoki x l nuqtalarda erishadi.
Isbot.
Dastlab teoremaning fizik mohiyatiga to’xtalamiz. Agar sterjen
uchlarida va boshlang’ich vaqtda temperature biror qiymatdan oshmasa, u holda
issiqlik manbaalari bo’lmaganda sterjen ichki nuqtalaridagi temperature shu
qiymatdan oshmaydi, chunki uning ichki nuqtalarida yuqori temperaturani hosil
qiluvchi qo’shimcha manbaalar yo’q.
Ko’rinib turibdiki, u ( x, t ) C const funksiya (2) tenglamaning yechimi
bo’ladi. Bu holda yechimning eng katta va eng kichik qiymati qaralayotgan
sohaning barcha nuqtalarida, xususan uning chetki nuqtalarida ham erishiladi.
(2) differensial tenglamaning doimiy bo’lmaga yechimi uchun teorema
isbotini teskarisidan faraz qilish bilan bajaramiz. Dastlab teorema tasdig’ini
yechimning eng katta qiymati uchun keltiramiz.
Faraz qilaylik (2) tenglama yechimi u ( x, t ) funksiyaning {t 0 , 0 x l} ,
{x 0, 0 t T } va {x l, 0 t T } to’plamlardagi eng katta qiymati M 1 bo’lsin
va u ( x, t ) funksiya o’zining
eng katta M 2 qiymatiga {0 x l, 0 t T }
sohadagi biror ( x0 , t0 ) nuqtada erishib, M 2 M 1 bo’lsin. U holda shunday ‚ > 0
son topilib M 2 M1 tenglik bajariladi.
u ( x, t ) funksiya ( x0 , t0 ) nuqtada o’zining
eng katta qiymatiga erishganligi
uchun
u x ( x0 , t0 ) 0 va
uxx ( x0 , t0 ) 0
(3)
munosabatlar bajarilishu kerak. u ( x, t ) uzluksiz differensiallanuvchi funksiya
bo’lganligi va u ( x0 , t )
funksiya o’zining eng katta qiymatiga t t 0 nuqtada
erishganligi sababli quyidagi tasdiqlar bajariladi:
ut(x0 ,t0 ) 0 , agar t0 T bo' lsa,
(4)
ut(x0 ,t0 ) 0 , agar t0 T bo' lsa
U holda ( x0 , t0 ) nuqtada (2) tenlamaning o’ng va chap tomonlarini taqqoslab, (3) va
(4) ga asosan bu nuqtada ularning har ikkalasi ham faqat nolga teng bo’lishi
mumkinlgini olamiz.
Endi qaralayotgan sohadan shunday ( x1 , t1 ) ichki nuqta topilib
u xx ( x1 , t1 ) 0 va ut ( x1 , t1 ) 0
tengsizliklar bajarilishini ko’rsatamiz. Shu maqsadda yangi
v( x, t ) u ( x, t ) k (t0 t )
(5)
funksiyani aniqlaymiz, bunda k 0 biror son. Yuqoridagi mulohazalardan va
0 t0 T , 0 t T ekanligidan
v( x0 , t0 ) u( x0 , t0 ) M1 va k (t0 t ) kT
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. k 0 parametrni k
deb, yani kT
tengsizlik
2T
2
bajariladi deb tanlasak v ( x, t ) funksiyaning t 0 dagi v( x,0) , x 0 yoki x l
nuqtalardagi v (0, t ) yoki v (l, t ) qiymatlari har biri M 1
v ( x, t ) M 1
2
dan oshmaydi:
, agar yo t 0 yoki x 0 yoki x l .
2
Uzluksiz funksiya yopiq sohada o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga shu
sohaning biror nuqtasida erishganligidan, v ( x, t ) funksiya ham o’zining eng katta
qiymatiga 0 x l,0 t T sohaning biror
( x1 , t1 )
nuqtasida erishadi va bu
qiymat eng katta ekanligidan
v( x1 , t1 ) v( x0 , t0 ) M1
tengsizlik bajariladi. Chegaraviy nuqtalarda bu funksiya qiymati bu qiymatdan
kichik bo’lganligi uchun 0 x1 l,0 t1 T . Xuddi yuqorida (3) va (4) dagi
mulohazalarni yuritib
vxx ( x1 , t1 ) 0, vt ( x1 , t1 ) 0
tengsizliklar o’rinli bo’lishi lozimligiga kelamiz. (5) ga ko’ra
u xx ( x1 , t1 ) vxx ( x1 , t1 ) 0 ,
ut ( x1 , t1 ) vt ( x1 , t1 ) k k 0 .
Bu ifodalarni (2) ga qo’yib
ut ( x1 , t1 ) a 2uxx ( x1 , t1 ) k 0
bo’lib, (2) issiqlik tenglamasi icki nuqtada bajarilmayapti. Bu zidlik (2) issiqlik
tarqalish tenglamasi yechim qaralayotgan shaning ichki nuqtalarida o’zining eng
katta qiymatiga erisha olmasligini anglatadi.
Teorema tasdig’ining eng kichik qiymat uchun qismi shunga o’xshash tarzda
qadamma-qadam bajarilishi mumkin. Lekin agar (2) ning u ( x, t ) yechimi sifatida
u ( x, t ) funksiyani qarasak,
u ( x, t ) funksiya eng kichik qiymatga erishgan
nuqtada u ( x, t ) funksiya eng katta qiymatga erishadi. Teoremaning bieimnchi
qismidagi mulohazalarni u ( x, t ) funksiya uchun tadbiq etib, uning soha ichki
nuqtalarida eng katta qiymatga va bundan u ( x, t ) ning eng kichik qiymatga erisha
olmasligini olamiz.
Teorema isbot bo’ldi.
Endi biz maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan natijalarga
to’xtalamiz. Ushbu natijalardan eng muhimi chegaraviy masala yechimining
yagonaligini isbotlashga tatbiqi hisoblanadi. Quyida biz yagonalik teoremasini
keltiramiz.
2-Teorema. (1-chegaraviy masala yechimining yagonaligi)
ut a 2uxx f ( x, t ), 0 x l, t 0
(6)
issiqlik tarqalish tenglamasi
u ( x ,0 ) ( x )
(7)
boshlang’ich shart va
u (0, t ) 1 (t ), u(l, t ) 2 (t )
(8)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va 0 x l, 0 t T sohada aniqlangan,
ikkinchi tartibgacha uzluksiz differensizllanuvchi yechimi yagonadir.
Isbot.
Faraz qilaylik 1-tur chegaraviy masalaning teorema shartlarini
qanoatlantiruvchi yechimi yagona bo’lmasin. Ularning ixtiyoriy ikkitasini olib
u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) bilan belgilaymiz. Odatdagi kabi uklarning ayirmasini qaraymiz
v ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, t ) .
u1 ( x, t )
va
u2 ( x, t )
funksiyalar
0 x l, 0 t T
sohada
uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lganligi uchun v ( x, t ) funksiya ham shu sohada uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lib, quyidagi bir jinsli issiqlik tenglamasining bir jinsli 1tur chegaraviy shartlarni qanoatantiradi:
vt a 2vxx , 0 x l, t 0
v ( x ,0 ) 0
v(0, t ) 0, v(l, t ) 0 .
Demak
v ( x, t ) funksiyaga maksimal qiymat prinsipini qo’llashimiz
mumkin, ya’ni bu funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga yo t 0 da
yoki x 0 da yoki x l da erishadi. v ( x, t ) ga qo’ylgan boshlang’ich va
chegaraviy shartlarga asosan bu qiymatlarning hammasi nolga teng. Demak v ( x, t )
ning
maksimumi
ham
minimum
v ( x, t ) 0, 0 x l, 0 t T . Bundan esa
ham
nolga
teng.
Demak
u2 ( x, t ) u1 ( x, t )
ekanligi hosil bo’ladi. Bu yechimlarning ixtiyoriyligidan (6)-(8) 1-tur chegaraviy
masala yechimining yagonaligini olamiz.
2-Teorem isbot bo’ldi.
Endi maksimal qiymat prinsipidan to’g’ridan to’g’ri kelin chiqadigan
natijalarni keltiramiz:
1-Natija. Agar (2) tenglamaning ikkita u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlari uchun
u2 ( x,0) u1 ( x,0) ,
u2 (0, t ) u1 (0, t ), u2 (l, t ) u1 (l, t )
tengsizliklar o’rinli bo’lsa u holda barcha 0 x l, 0 t T lar uchun
u2 ( x, t ) u1 ( x, t )
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot.
Haqiqatan ham bu yechimlarning farqidan iborat
v ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, t ) funksiya uchun maksimal qiymat prinsipining barcha
shartlari o’rinli bo’lib
v ( x,0) 0 , v (0, t ) 0, v (l, t ) 0
tengsizliklar o’rinli. U holda maksimal qiymat prinsipidan v ( x, t ) funksiyaning
minimum qiymati nomanfiy bo’lishini olamiz, yani:
v ( x, t ) 0, 0 x l, 0 t T .
Bu esa biz isbotlashimiz kerak bo’lgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlikdir.
1-Natija isbot bo’ldi.
2-Natija. Agar (2)
tenglamaning uchta
u1 ( x, t ), u2 ( x, t ) va u3 ( x, t )
yechimlari uchun
u1 ( x,0) u2 ( x,0) u3 ( x,0) ,
u1 (0, t ) u2 (0, t ) u3 (0, t ), u1 (l, t ) u2 (l, t ) u3 (l, t )
tengsizliklar o’rinli bo’lsa u holda barcha 0 x l, 0 t T lar uchun
u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) u3 ( x, t )
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Bu tasdiqni isbotlash uchun 1-Natijani ikki marta, yani dastlab
u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) funksiyalarga qo’llab barcha 0 x l, 0 t T lar uchun
u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
tengsizlikni olamiz. So’ngra 1-Natijani u2 ( x, t ) va u3 ( x, t ) funksiyalarga qo’llab
barcha 0 x l, 0 t T lar uchun
u 2 ( x , t ) u3 ( x , t )
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu ikki tengsizliklarni birlashtirib 2-Natija tasdig’ini
olamiz.
2-Natija isbot bo’ldi.
3-Natija. Agar ixtiyoriy 0 soni va (2) tenglamaning ikkita u1 ( x, t ) va
u2 ( x, t ) yechimlari uchun
u2 ( x,0) u1 ( x,0) ,
u2 (0, t ) u1 (0, t ) , u2 (l, t ) u1 (l, t )
tengsizliklar o’rinli bo’lsa u holda barcha 0 x l, 0 t T lar uchun
u2 ( x, t ) u1 ( x, t )
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Bu natijani 2-Natija tasdig’idan foydalanib bajaramiz. Buning uchun
2-Natijani (2) tenglamaning haqiqiy qiymatli
v1 ( x, t ) , v2 ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, t ), v3 ( x, t )
yechimlariga tadbiq etib, barcha 0 x l, 0 t T larda
u2 ( x, t ) u1 ( x, t )
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu esa biz isbotlashimiz kerak bo’lagan tengsizlikdir.
3-Natija isbot bo’ldi.
3-Natija issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan 1-tur chegaraviy masala
yechimi unga qo’yilgan chegaraviy va boshlang’ich shartlarga uzluksiz
bog’liqligini, ya’ni chegaraviy masala yechimining turg’unligini ifodalaydi.
Fizikada issiqlikning to’g’ri chiziq bo’ylab cheksizlikka yoki yetarlicha katta
oraliqqa tarqalish masalasi muhim ahamiyatga ega hisoblanadi. Issiqlikning to’g’ri
chiziq bo’ylab cheksizlikka tarqalish tenglamasiga qoyiladigan masala yechimi
yagona bo’lishi uchun unga boshlang’ich shartdan tashqari yana qo’shimcha
shartlar talab qilinadi. Bu masalada sterjen uchlari cheksizlikda deb faraz
qilinganligi uchun chegaraviy shartlar qatnashmaydi. Odatda bu masala Koshi
masalasi deb yuritiladi. Ushbu masalada yechimning qaralayotgan sohada
chegaralanganligi muhim ahamiyatga ega.
1-Ta’rif. Agar shunday M 0 son topilib, ixtiyoriy x va t 0
uchun
u ( x, t ) M
tengsizlik bajarilsa, u holda u ( x, t ) funksiyaga shu sohada chegaralangan
deyiladi.
2-Ta’rif. x , t 0 sohada
ut a 2u xx
issiqlik tarqalish tenglamasining
(9)
u ( x,0) ( x), x
(10)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi uzluksiz va chegaralangan yechimini
topish masalasiga issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasi
deyiladi.
Endi ushbu masala yechimining yagonalik teoremasini keltiramiz.
3-Teorema. x , t 0 sohada (9) tenglamaning (10) boshlangich
shartni qanoatlantiruvchi uzluksiz va chegaralangan yechimi yagonadir.
Isbot.
Yagonalik masalalrida qaralgani kabi bu holda ham Koshi
masalasining yechimlari yagona bo’lmasin deb faraz qilamiz U holda ulardan
ixtiyoriy ikkita u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlarni щдшиб ularning ayirmasini
qaraymiz:
v ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, t ) .
v ( x, t ) ikkita uzluksiz yechimlar ayirmasi sifatida chiziqli (9) tenglamaning
uzluksiz yechimi bo’ladi va u uchun
v( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, t ) 2 M , x , t 0
tengsizlik bajariladi. Demak v ( x, t ) funksiya (9) ning uzluksiz chegaralangan
yechimi bo’ladi.
u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlarning har biri (10) boshlang’ich shartni
qanoatlantirgani uchun v ( x, t ) funksiya
v( x,0) u2 ( x,0) u1 ( x,0) ( x) ( x) 0, yani v( x,0) 0
boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Maksimal qiymat prinsipini qo’llash
maqsadida dastlab chekli | x | d oraliqni qaraymiz, so’ngra cheksiz oraliqqa
o’tish uchun d deb olamiz. Shu maqsadda yordamchi
4M x 2
w( x, t ) 2 a 2 t
(11)
d 2
funksiyani quramiz. Bu funksiya ham (9) tenglamaning uzluksiz yechimi bo’lib,
aniqlanishi (11) ga asosan quyidagi munosabatlarni qanoatlantiradi:
2 Mx 2
w( x,0)
| v ( x,0) | 0 ,
d2
4 Ma 2t
w( d , t ) 2 M
2 M v( d , t ) .
d2
(12)
Demak chegaralangan | x | d , 0 t T sohada maksimum qiymat prinsipi
o’rinli. Bu prinsipning 2-Natijasini
u1 ( x, t ) w( x, t ) , u2 ( x, t ) v( x, t )
va
u3 ( x, t ) w( x, t ) yechimlar uchun qo’llab, (12) ga asosan
4M x 2
4M x 2
2
2 a t v ( x , t ) 2 a 2t
d 2
d 2
tengsizlik barcha | x | d , 0 t T lar uchun o’rinli ekanligini olamiz. Ushbu
tengsizlikda d da limitga o’tib
v ( x, t ) 0 yoki u1 ( x, t ) u2 ( x, t )
ekanligini olamiz. u1 ( x, t ) va u2 ( x, t ) yechimlarning ixtiyoriyligidan yechimning
yagonaligiga ega bo’lamiz.
3-Teorema isbot bo’ldi.
Xulosa.
Shunday qilib biz ushbu mavzuda issiqlik tarqalish maslasi yechimi uchun
maksimal qiymat prinsipi va u yordamida 1-tur chegaraviy masala yechimi
yagonaliga va turg’unligi, Koshi masalasi yechiminig yagonaligini isbotladik.
Issiqlikning tekislik va fazodagi chegaralangan sohada tarqalish tenglamas
ga qo’yilgan 1-tur chegaraviy masala yechimining yagonaligini xuddi 2-teorema
isbotiga o’xshash tarzda bajarish mumkin. Isbot aynan takrorlashdan iborat
bo’lganligi uchun uni bajarishni o’quvchiga havola qilamiz.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
1. Issiqlik tarqalish tenglamasi va uning xususiy hollarini ayting, ma’nosini
tushuntiring.
2. Issiqlik tarqalish masalasi uchun qoyiladigan boshlang’ich shart va uning
fizik mohiyati nimadan iborat?
3. Issiqlikning erkin tarqalish tenglamasi yechimi uchun maksimal qiymat
prinsipini ayting.
4. Maksimal qiymat prinsipida issiqlik tenglamasi yechimiga qanday shartlar
qo’yigan?
5. Issiqlik tenglamasi yechimi uchun maksimal qiymat prinsipini isbotlashda
yechimning uzluksizligida qanday foydalaniladi?
6. Issiqlik tenglamasi uchun 1-tur chegaraviy masala yechimining yagonalik
teoremasini ayting, mohiyatini tushuntiring.
7. Maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan 1-Natijani ayting va mustaqil
isbotlang.
8. Maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan 2-Natijani ayting va mustaqil
isbotlang.
9. Maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan 3-Natijani ayting va mustaqil
isbotlang.
10. Issiqlikning to’g’richiziq bo’ylab cheksizlikka tarqalish tenglamasiga
qoyiladigan Koshi masalsini ta’riflang. Qoyilgan shartlarning fizik mohiyati
nimalardan iborat.
11.Issiqlikning to’g’ri chiziq bo’ylab cheksizlikka tarqalish tenglamasiga
qoyiladigan Koshi masalsini yechimining yagonaligini isbotlashda qanday
usuldan foydalanildi? Qisqacha sxemani ayting.
12.Xulosada keltirilgan topshiriqni mustaqil bajaring.
1.
Nazorat uchun savollar:
Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimi uchun maksimal qiymat prinsipi
haqida nima bilasiz?
2. Chegaraviy va Koshi masalsi yechining yagonaligi haqida nima bilasiz?
3. Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasini
yechish usuli nimadan iborat?
4. Cheksiz sohada issiqlik tarqalishi tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasini
yechish formulasini yozing?
9-MAVZU (davomi)
CHEKSIZ SOHADA ISSIQLIK TARQALISHI TENGLAMASIGA
QO’YILGAN KOSHI MASALASINI YECHISH USULI.
Reja:
9. Bir jinsli masalaga o’zgaruvchilarni ajrtish usulining tadbiq qilinishi.
10.Shtuurm – Liuvill masalasi va uni yechish.
11.Yechimning differensiallanuvchanligi.
12.Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning bir jinsli shartlarda Fur’e usulida
yechilishi
13.Umumiy holda 1-chegaraviy masalani sodda holga keltirish.
Dars maqsadlari:
v) Ta’limiy maqsad: O’quvchiga issiqlik tarqalish masalasi uchun qo’yilgan
Koshi masalsining qo’yilishi, uning mohiyati, matematik modeli va uni yechish
usuli haqida bilimlar berish. Umumiy chegaraviy masalalrni sodda holga keltirish
usulini o’rgatish. Darsa zamonaviy information texnologiyalar va pedagogic
usullardan foydalanish.
w)Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
x) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: issiqlik tenglamasi. chegaraviy shart,
boshlang’ich shart, bir jinsli tenglama va chegaraviy shartlar, o’zgaruvchilarni
ajratish, Fur’e qatori, Fur’e koeffisientlari, umumiy masala, almashtirish, sodda
holga keltirish.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari kabi tushunchalarni o’zlashtirganligi yuzasidan
o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni
bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash
(bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Bu mavzuning asosiy mohiyati xuddi chegaraviy masalaning limitik holi
sifatida uchlari cheksizlikda bo’lgan chegaralanmagan sterjenda issiqlikning
tarqalish masalasi, ya’ni Koshi masalasi qo’yilishi va uni yechish usuli bilan
tanishishdan iborat. Avvalgi mavzularda biz issiqlik tarqalish tenglamasiga
qo’yilgan uch turdagi chegaraviy masalalar hamda Koshi masalasining qo’yilishi,
ular yechimining yagonaligi masalasini hal etilishi bilan tanishgan edik.
Ayytilgandek biz uchlari cheksizlikda bo’lgan chegaralanmagan sterjenda
issiqlikning tarqalish masalasining uzluksiz chegaralangan yechimini topish
masalasi bilan tanishamiz. Ushbu fizik masala matematik model sifatida
quyidagicha yoziladi:
Ta’rif.
ut a 2uxx , x , t 0
issiqlik tarqalish tenglamasining
(1)
u ( x,0) ( x), x
(2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz va chegaralangan yechimini
topish masalasiga chegaralanmagan sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasi uchun
Koshi masalasi deyiladi.
Bu masala issiqlik tarqalayotgan sterjenning uzunligi ahamiyatga ega
bo’lmagan va asosiy e’tibot sterjen ichki nuqtalaridagi temperaturaning yetarlicha
kichik vaqt intervalidagi holatiga qaratilgan fizik masalalarda hosil bo’ladi. Endi
bu masalaning yechimini topish bilan shug’ullanamiz.
(1)-(2)
Koshi
masalasining
nolmas
chegaralangan
yechimini
o’zgaruvchilarni ajratish usulida izlaymiz, ya’ni yechimni
u ( x, t ) X ( x)T (t )
(3)
ko’rinishda izlaymiz. (3) ifodani (1) ga qo’yib xuddi Fur’e usulidagi kabi quyidagi
tenglamalarni olamiz:
X" T'
2 2 .
X aT
Bu tenglama esa o’z navbatida ikkita
T ' a 2 2T 0 ,
(4)
X "2 X 0
(5)
oddiy differensial tenglamalarga ajraladi. Bu oddiy differensial tenglamalarni
yechish bilan biz tanishmiz:
2
T (t ) C1 ( )e ( a ) t ,
X ( x) C2 ( )eix ,
bunda C1 ( ) va C2 ( ) ixtiyoriy chekli doimiylar. Bularga va (3) ga asosan (1)
tenglamaning chegaralangan yechimi uchun
u ( x , t ) C ( )e ( a )
2
t ix
ifodani hosil qilamiz. (1) chiziqli tenglama bo’lganligi uchun bu yechimlarning
bo’yicha yig’indisi ham yana yechim bo’ladi:
u ( x , t ) C ( )e ( a )
2
t ix
d .
(6)
Yechimning bu ko’rinishidagi noma’lum C ( ) koeffisientlarni (2) boshlang’ich
shartdan foydalanib topamiz
u ( x,0) ( x) C ( )eix d .
(7)
(7) da teskari Fur’e almashtirishlarini qo’llash bilan noma’lum koeffisientlarni
topamiz:
C ( )
1
( s )e is ds .
2
(8)
C ( ) koeffisientlarning (8) ifodasini (6) ga qo’yish bilan qo’yilgan (1)-(2) Koshi
masalasi yechimini hosil qilamiz
u ( x, t )
1
( a ) t ix
is
d
( s)e ds e
2
2
1 ( a ) t i ( x s )
d ( s)ds .
e
2
Oxirgi tenglikdagi ichki integralni hisoblaymiz:
2
2
( xs )
1 ( a ) t i ( x s )
1
e
d
e 4a t .
(9)
2
2
2 a t
Natijada qaralayotgan Koshi masalasi yechimi uchun quyidagi integral tasvirni
olamiz
2
2
( x s )
4 a 2t
1
2
e ( s)ds .
2 a 2t
Ba’zan (1)-(2) Koshi masalsining topilgan (10) ko’rinishdagi yechimini
u ( x, t )
(10)
u ( x, t ) G ( x, s, t ) ( s)ds
(11)
лщэкштшырвф yoziladi. Bunda
G ( x, s , t )
1
e
( xs )2
4 a 2t
2 a t
funksiya odatda issiqlik tarqalish tenglamasining fundamental yechimi deb
aytiladi. Bu funksiya quyidagicha fizik ma’no kasb etadi: Agar boshlang’ich t t 0
2
vaqtda syerjen s nuqtasida Q c issiqlik miqdori ajralgan bo’lsa, u holda
( xs )2
2
( t t0 )
1
G ( x, s , t t0 )
e 4a
2
c 2 a (t t0 )
funksiya sterjen x nuqtasining t ondagi temperaturasini ifodalaydi. Bundan
tashqari G ( x, s, t t 0 ) funksiya o’zining ( x, t ) o’zgaruvchilar bo’yicha ut a 2u xx
issiqlik tarqalish tenglamasining yechimi bo’ladi. Haqiqatan ham integralni hadlab
differensiallash haqidagi teoremani qo’llab quyidagi xususiy hosilalarni topamiz:
G x ( x , s , t t0 )
1
xs
2 2a 2 (t t )2
0
3
e
( xs )2
4 a 2 ( t t0 )
,
( xs )
1
1
( x s) 2 4 a ( t t )
Gxx ( x, s, t t0 )
,
3
5 e
2 2a 2 (t t )2 4a 2 (t t )2
0
0
2
2
a2
Gt ( x, s, t t0 )
2
0
( xs )
1
( x s) 2 4 a ( t t )
.
3
5 e
2a 2 (t t0 )2 4a 2 (t t0 )2
2
2
0
Bularni o’rniga qo’yib haqiqatan ham Gt a 2Gxx ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Hisoblashlarga ishonch hosil qilish uchun yuqoridagi xusuiy hosilalarni va
tenglama yechimi ekanligini mustaqil tekshirib chiqing.
Koshi masalasidagi boshlang’ich shartdagi berilgan funksiya uzluksiz va
chegaralangan funksiyadir. Koshi masalasining integral tasviri, ya’ni (10) formula
odatda chegaralanmagan sohada Koshi masalasi yechimi uchun Puasson formulasi
hamda undagi integralga esa Puasson integrali deg yuritiladi.
Xulosa. Biz bu mavzuda chekli uzunlikdagi sterjenda qo’yilgan aralash
masalalarning limitik holi sifatida aniqlagan chegaralanmagan uzunlikdagi
sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan (1)-(2) Koshi masalasining
yechimi xuddi giperbolik tenglamalar uchun chegaraviy masalalrni yechishda
qo’llanilgan o’zgaruvchilarni almashtirish yoki Fur’e usuli yordamida topilib,
yechim Puasson integrali deb ataluvchi integral shaklda tasvirlanishini o’rgandik.
Yechimning topilgan (10) shakli va integral belgisi ostida limitga o’tish haqidagi
teoremaga asosan yechim boshlang’ich shartdan uzluksiz bog’liq ekanligini, ya’ni
qaralgan Koshi masalasi yechimi turg’un ekanligiga amin bo’lamiz.
Topilgan (10) yechim berilgan funksiya chegaralangan bo’lganda, ya’ni
iztiyoriy x uchun shunday M 0 son topilib, ( x) M bo’lganda
(10) dagi integral tekis chegaralangan bo’ladi. Haqiqatan ham bu holda (10)
yechim uchun quyidagi baho o’rinli
| u ( x, t ) | M
1
( xs )2
4 a 2t
ds
M
z2
dz M .
t
Bundagi birinchi integralda o’zgaruvchini
xs
z
2a t
kabi almashtirish bajarishdan hmda oxirgi integralnini qiymati esa
a
e
e
z2
dz
e
ekanligidan foydalanildi. Demak integral belgisi ostida hadlab differensiallash va
limitga o’tish haqidagi teoremalar bu holda qo’llanilishi mumkin. Shunday qilib
(10) Puasson integrali qaralayotgan Koshi masalasining chegaralangan uzluksiz
yechimini ifodalashi to’liq isbotlandi.
Eslatma. Xuddi to’lqin tenglamasidagi kabi boshlang’ich funksiyani sonlar
o’qiga juft yoki toq davom ettirish yo’li bilan yarim cheksiz uzunlikdagi sterjenda
issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilhan 1- va 2-tur chegaraviy masalalarni (10)
formula yordamida topish mumkin.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar.
1. To’lqin va issiqlik tarqalish tenglamalariga mos chegaraviy masalalar uchun
qo’llanilaga Fur’e usulining umumiy sxemasini ayting.
2. Uzluksiz funksiyaning Fur’e qatori va Fur’e almashtirishi deganda nimani
tushunasiz?
3. Issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’llanilgan Fur’e usulining to’lqin
tenglamasiga qo’llanilgandagidan farqi va o’xshash jihatlari nimalardan
iborat?
4. Chegaralanmagan sterjen uchun Koshi masalasining qo’yilishini ta’riflang.
Bu masalaning fizik mohiyati va ahamiyati nimadan iborat?
5. Cheksiz sohada issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasi
umumiy yechimini topishda qanday usul qo’llanildi.
6. Issiqlik tarqalish tenglamasining fundamental yechimi deganda nimani
tushunasiz?
7. Cheksiz sohada issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan Koshi masalasi
umumiy yechimidan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona
yechimni ajratish qanday amalga oshiriladi?
8. Puasson integralini hadlab differensiallash va integral belgisi ostida limitga
o’tishni asoslang? Bu nima uchun kerak?
9. Koshi masalasining Puasson yechimini yozing. Yechimni aniq masalaga
tatbiq eting.
10.Chekli uzunlikdagi sterjendagi issiqlik tarqalishi uchun qo’yilgan Koshi
masalasi bilan mazudagi Koshi masalasining farqli va o’xshash jihatlarini
ajrating. To’lqin tenglamasidagidan qanday farqli tomonlari bor?
11. Issiqlik tarqalish tenglamsining fundamental yechimi G ( x, s, t t 0 ) uchun
mavzuda bayon qilingan 2 ta tasdiqni mustaqil tekshirib chiqing va xulosa
qiling.
12. Eslatma bayon qilingan masalalrning matematik modelini quring. Yarim
cheksiz sterjenda 1-chegaraviy masala yechimini toq davom ettirish bilan
topish sxemasini keltiring.
13. Yarim cheksiz sterjenda 2-chegaraviy masala yechimini juft davom ettirish
bilan topish sxemasini keltiring.
10-MAVZU
PARABOLIK TIPLI TENGLAMALARGA QO’YILGAN
CHEGARAVIY MASALALARNI YECHISHNING
FUR’E USULI.
Reja:
14.Bir jinsli masalaga o’zgaruvchilarni ajrtish usulining tadbiq qilinishi.
15.Shtuurm – Liuvill masalasi va uni yechish.
16.Yechimning differensiallanuvchanligi.
17.Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning bir jinsli shartlarda Fur’e usulida
yechilishi
18.Umumiy holda 1-chegaraviy masalani sodda holga keltirish.
Dars maqsadlari:
y) Ta’limiy maqsad: O’quvchiga issiqlik tarqalish masalasi uchun qo’yilgan
chegaraviy va aralash masalalarni yechishning o’zgaruvchilarni ajratish yoki Fur’e
htuurm-Liuvill maslasi xos qiymatlar, xos funksiyalari, uzluksiz funksiyaning
Fur’e qatori va Fur’e koeffisientlari haqida bilimlar berish. Umumiy chegaraviy
masalalrni sodda holga keltirish usulini o’rgatish. Darsa zamonaviy information
texnologiyalar va pedagogic usullardan foydalanish.
z) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
aa) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: issiqlik tenglamasi. chegaraviy shart,
boshlang’ich shart, bir jinsli tenglama va chegaraviy shartlar, o’zgaruvchilarni
ajratish, Fur’e qatori, Fur’e koeffisientlari, umumiy masala, almashtirish, sodda
holga keltirish.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari kabi tushunchalarni o’zlashtirganligi yuzasidan
o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni
bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash
(bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Bu mavzuning asosiy mohiyati xuddi biz to’lqin tenglamasiga qo’yilgan
chegaraviy yoki aralash masalani yechishda qo’llanilgan Fur’e usulining issiqlik
tarqalish tenglamasiga tadbiq etishdan iboratdir. Avvalgi mavzularda biz issiqlik
tarqalish tenglamasiga qo’yilgan uch turdagi chegaraviy masalalarning qo’yilishi,
ular yechimining yagonaligi masalasini hal etilishi bilan tanishgan edik.
Ayytilgan usul bilan biz dastlab issiqlikning bir jinsli tenglamasiga qoyilgan
bir jinsli 1-tur chegaraviy masala misolida tanishamiz, ya’ni quyydagi masalani
yechamiz:
ut a 2u xx , 0 x l, t 0
(1)
u ( x,0) ( x ), 0 x l
(2)
issiqlik tarqalish tenglamasining
boshlang’ich hamda
u (0, t ) 0, u (l, t ) 0, t 0
(3)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi va 0 x l, t 0 sohada aniqlangan ikkinchi
tartibgacha uzluksiz yechimini topish talab qilinadi. Bunda ( x) berilgan uzluksiz
differensizllanuvchi funksiya bo’lib, (0) 0 shartni qanoatlantiradi.
Ushbu masalaning izlangan ko’rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz
qilib
u ( x, t ) X ( x )T (t ) 0
(4)
ko’rinishda izlaymiz. Yechimning kerakli xususiy hosilalarni topib (1) tenglamaga
qo’ysak, u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:
X ( x)T ' (t ) a 2 X "( x)T (t ), 0 x l, t 0 .
Xuddi to’lqin tenglamasidagi kabi, bu tenglamaninig ikkala qismini nolmas
a 2 X ( x)T (t ) ifodaga bo’lib quyidagi tenglamalarga kelamiz:
X "( x) T ' (t )
.
X ( x) a 2T (t )
Bu tenglama biz avval tanishganimiz kabi ikkita oddiy differensial tenglamalarga
ajraladi:
X " ( x ) X ( x ) 0
T ' (t ) a 2T (t ) 0
(3) chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishni oladi:
u( x,0) 0
u( x, l) 0
X (0)T (t ) 0
X (l)T (t ) 0
(5)
X (0) 0
,
X (l) 0
chunki T (t ) 0 bo’lsa (4) ga asosan u ( x, t ) yechimning aynan nolga tengligiga
kelamiz. Bu esa shartga ko’ra mumkin emas.
Shunday qilib biz X ( x), 0 x l funksiya uchun quyidagi qo’shimcha
masalaga keldik:
X " ( x ) X ( x ) 0
(6)
X (0) 0, X (l) 0
(7)
tenglamaning
shartlarni qanoatlantiruvchi nolmas yechimini topish lozim. Odatda bu masala
issiqlik tarqalish tenglamiga qo’yilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masalaga mos
Shturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi. (6) tenglama nolmas yechimga ega
bo’ladigan ning qiymatiga Shturm-Liuvill masalasi xos qiymati va unga mos
nolmas X ( x) yechimga esa unga mos xos funksiya deyiladi.
Shturm-Liuvill masalasi yechimini X ( x) Cekx ko’rinishda izlaymiz. U
holda ikkinchi tartibli oddiy chiziqli (6) differensial tenglamaning xarakteristik
tenglamasi deb ataluvchi
k2 0
(8)
tenglamaga kelamiz. Ushbu chala kvadrat tenglamaning yechimi qiymatining
ishorasiga (manfiy, nol yoki musbatligiga) bog’liq. Shuning uchun ham bu uchta
holni alohida-alohida qarab chiqamiz.
1-hol. 0 manfiy bo’lsin. Bu holda (8) tenglama ikkita har xil haqiqiy
k1, 2 ildizlarga ega bo’lib, (6) tenglamaning umumiy yechimi
X ( x) Ae
x
Be
ko’rinishda bo’ladi. Bundagi
va ƒ koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (7)
chegaraviy shartlar ham bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli
tenglamalar sistemasiga kelamiz:
X (0) 0
X (l ) 0
A B 0
Ae
l
Be
l
0
A B
B (e
l
e
l
A 0
.
) 0 B 0
Oxirgi tenglik 0 bo’lganda ( 0 bo’lishi yetarli) e l e l ga asoslanib
yozilgan. Demak 0 bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi faqat nol
yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega emas ekan. Endi ikkinchi
holni qaraymiz.
2-hol. 0 bo’lsin. Bu holda (6) tenglama X " ( x ) 0 ko’rinishni oladi.
Uning umumiy yechimi X ( x) Ax B ko’rinishda bo’ladi. Bunda ham
koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin:
X ( 0) 0
X (l ) 0
B0
Al 0
va ƒ
A 0
.
B 0
Demak 0 bo’lgan holda ham Shturm-Liuvill masalasi faqat nol
yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega bo’lmas ekan. Endi
so’ngi holni qaraymiz.
3-hol. 0 musbat bo’lsin. Bu holda (8) tenglama ikkita qo’shma
kompleks k1, 2 i ildizlarga ega bo’lib, (6) tenglamaning umumiy yechimi
X ( x ) A cos x B sin x
ko’rinishda bo’ladi. Bu holda ham umumiy yechimdagi ixtiyoriy
va ƒ
koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (7) chegaraviy shartlar bajarilsin. Bu shartlar
asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:
A0
X ( 0) 0
.
X (l ) 0
B sin l 0
Oxirgi sistemadan X ( x ) 0 bo’lganligidan (ƒ = 0 bo’lsa „( ) = 0 bo’lar edi)
2
n
n , n 1,2,3,L
l
ekanligini va ularha mos yechim o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida
n
X n ( x) sin
x.
l
Demak 0
bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi
musbat
2
n
n
n , n 1,2,3,L xos qiymatlarga va ularga mos X n ( x) sin
x xos
l
l
funksiyalarga ega bo’lib, xos funksiyalar skalyar ko’paytmasi uchun ≠ z ∈ †
bo’lganda
X
l
n
, X m sin
0
n
m
1 1
1
x sin
xdx
sin( n m)
sin( n m) 0
nm
2 n m
l
l
tenglikni, ya’ni ortogonallik shartini qanoatlantiradi.
2
n
Demak (1) tenglama faqatgina n
, n 1,2,3,L bo’lgandagina nolmas
l
2
n
yechimga ega bo’lar ekan. n , n 1,2,3,L bo’lganda (5) sistemaning
l
ikkinchi tenglamasi yechimi quyidagicha tasvirlanadi:
2
Tn (t ) Cn e a t .
(9)
n
U holda (4) ga asosan
2
n
a t
l
n
x.
l
(1) ning chiziqli differensial tenglama ekanligidan va hozircha yaqinlashishi
noma’lum bolgan
un ( x, t ) Tn (t ) X n ( x ) Cn e
sin
2
n
a t
l
n
(10)
x
l
n 1
n 1
qator har biri uning yechimidan iboratligidan yig’indi ham (1) tenglamaniing (3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. СE koeffisientlarni
shunday tanlaymizki, (2) boshlang’ich shart ham bajarilsin:
n
( x) u ( x,0) Cn sin x .
l
n 1
Biz to’lqin tenglamasi uchun Fur’e usulida ta’kidlaganimizdek, oxirgi
u ( x , t ) u n ( x, t ) C n e
sin
ifodadan СE lar ( x ) funksiyaning Fur’e koeffisientlari ekanligini olamiz. Bundan
esa bu koeffisientlar uchun
Cn n
2l
n
( x) sin
xdx
l0
l
(11)
formula o’rinli ekanligini olamiz.
Shunday qilib biz koeffisientlari (11) formulalar bilan aniqlanuvchi (10)
qatorning yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi u ( x, t ) ning (ya’ni qatorning)
bo’yicha ikki marta va bo’yicha bir marta differensiallanuvchanligini ko’rsatsak,
qo’yilgan (1)-(3) masalaning yechimini topgan bo’lamiz.
Shu maqsadda biz
u n
2u n
va 2
n 1 t
n 1 x
qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Buning uchun funksional
qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lishligi haqidagi Veyershtrass teoremsini tatbiq
etamiz. Faraz qilaylik t 0 0 ixtiyoriy son va t t0 bo’lsin.
un
n
Cn
t
l
2
2
n
a t
l
a e
n
n
sin
x Cn
l
l
2
2
n
a t
l
a e
.
Shartga ko’ra ( x ) funksiya yopiq 0 x l sohada uzluksiz bo’lganligi uchun
ˆ > 0 son topilib barcha 0 x l lar
chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday
uchun ( x) M tengsizlik bajariladi. U holda
Cn
2l
n
2l
(
x
)
sin
xdx
( x) dx 2M
l 0
l
l0
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan foydalansak quyidagi munosabatga ega
bo’lamiz:
2
2
n
un
n l a t
2M
a e
.
t
l
0
Umumiy hadi
2
2
n
a t0
l
n
an 2M
a e
l
bo’lgan
a
n 1
n
musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ma’lum alomatlar, masalan
Dalamber (yoki Koshi) alomatidan foydalanib
a
l im n 1 0
n
an
ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak Veyershtrass teoremasiga ko’ra (10) qatorni
bo’yicha t t0 0 sohada istalgan marta differensiallash mumkin. t 0 0 ning
ixtiyoriyligidan bu tasdiq istalgan t 0 uchun o’rinli bo’lib, (10) qator yig’indisi
(1) tenglamani va (2)-(3) shartlarni qanoatlantiradi.
Endi (10) qatorni bo’yicha 0 x l sohada istalgan marta diffrensiallash
mumkinligini ko’rsatamiz. Xuddi yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, quyidagi
baholashga ega bo’lamiz:
2
2u n
n
2M
e
x 2
l
2
n
a t0
l
Bundan esa (10) qator yaqinlashuvchi va uning yi’indisi (1) tenglamaning (2)-(3)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi ekanligini olamiz.
Bir jinsli bo’lmagan to’lqin tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy masala
uchun Fur’e usulining qo’llanilishi.
Endi biz yuqorida qollagan usulni issiqlik tarqakishning bir jinsli bo’lmagan,
ya’ni sterjenda issiqlik manbalari ta’siri kuzatilgan hilga tadbiq etamiz. Bu holda
biz
ut a 2uxx f ( x, t ), 0 x l, t 0
(12)
issiqlik tarqalish tenglamasining
u ( x,0) 0, 0 x l
bir jinsli boshlang’ich shartni hamda
u (0, t ) 0, u (l, t ) 0, t 0
(13)
(14)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va 0 x l, t 0 sohada aniqlangan
ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topishdan
iboratdir.
Ushbu masala yechimini oldingi masaladagi Shturm-Liuvill masalasi
n
X n ( x) sin
x
l
xos funksiyalari bo’yicha Fur’e qatori ko’rinishida izlaymiz, ya’ni
n
u ( x, t ) un (t ) sin
x.
(15)
l
n 1
Xuddi shu kabi (12) tenglama o’ng tomonidagi f ( x, t ) funksiyani ham
ni
hozircha parametr sifatida qarab, Fur’e qatoriga yoyamiz:
n
f ( x, t ) f n (t ) sin
x.
l
n 1
Bunda
2l
n
f n (t ) f ( x, t ) sin
xdx .
l0
l
(16)
Yechimning izlangan (15) ifodasini va f ( x, t ) funksiyaning (16) ifodasini
(12) tenglamaga qo’yib
n 2
n
n
a un (t ) un' (t ) f n (t ) sin
x 0 0 sin
x.
l
l
n 1 l
n 1
Ikki teng funksiyalar Fur’e koeffisientlari teng bo’lganligi uchun oxirgi
tenglamadan
n
l
oddiy differensial tenglamaga
qaraymiz.
2
a un (t ) un' (t ) f n (t ) 0
(17)
kelamiz.
Endi (13) boshlang’ich shartlarni
n
x 0.
l
n 1
Demak (13) boshlang’ch shart u n (t ) uchun qo’yilgan
u ( x,0) un (0) sin
u n (0) 0
(18)
shartga o’tar ekan. (17) birinchi tartibli oddiu chiziqli differensial tenglamaning
(18) shartni qanoatlantiruvchi yechimi bizga oddiy differensial tenglamalar
kursidan ma’lum bo’lgan formulada yechiladi:
l
un (t ) f n ( )e
n
a ( t )
l
d .
0
u n (t ) ning bu ifodasini (15) ga qo’yib, qo’yilgan (12)-(14) masalaning yechimiga
ega bo’lamiz:
n
l
a ( t )
n
u ( x, t ) f n ( )e l d sin
x.
l
n 1 0
Ushbu yechimni f n (t ) ning ifodasini o’rniga qo’yish va qator tekis
yaqinlashuvchanligiga asosan uni hadlab integrallash mumkin ligidan foydalanib
t l
u ( x, t ) G ( x, , t ) f ( , ) dd
0 0
ko’rinishda yozish mumkin. Bunda
n
n
n
2 l a z
G ( x, y , z ) e
x sin
sin
.
l n1
l
l
Odatda ushbu G ( x, y, z ) funksiyani nuqtaviy issiqlik manba funksiyasi deb
aytiladi.
Umumiy 1-tur chegaraviy masala va uni yechishni sodda holga
keltirish usuli.
Endi issiqlik tarqalishining bir jinsli bo’lmagan tenglamasiga qo’yilgan bir
jinsli bo’lmagan boshlang’ich va 1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi
yechimni topish masalasini, ya’ni
ut a 2uxx f ( x, t ), 0 x l, t 0
(12)
issiqlik tarqalish tenglamasining
u ( x,0) ( x ), 0 x l
(19)
boshlang’ich shartni hamda
u (0, t ) 1 (t ), u (l, t ) 2 (t ), t 0
(20)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va 0 x l, t 0 sohada aniqlangan
ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topish
masalasini qaraymiz. Bunda ( x), 0 x l va i (t ), t 0, i 1,2 lar berilgan
funksiyalar bo’lib,
o’z argumentlarining uzluksiz differensiallanuvchi
funksiyalaridir.
Ushbu masalani yordamchi kiritish bilan avval o’rganilgan soddaroq
chegaraviy masalalarni yechishga keltirish mumkin. Haqiqatan ham (12)
tenglamaning yechimini
u ( x, t ) v ( x, t ) w( x, t )
(21)
ko’rinishda izlasak va undan kerakli xususiy hosilalarni olib (12), (19) va (20) ga
qo’ysak va unda w( x, t ) yordamchi funksiyani
1 (t ) w(0, t ), 2 (t ) w(l, t )
shartlarni qanoatlantirsin deb, masalan
x
w( x, t ) 1 (t ) [ 2 (t ) 1 (t )]
(22)
l
kabi tanlasak (bunday funksiyalar yagona emas), v ( x, t ) funksiya uchun (1)-(3)
masalaga o’xshash bo’lgan
vt a 2vxx f1 ( x, t ), 0 x l, t 0
v( x,0) 1 ( x), 0 x l
v (0, t ) v(l, t ) 0, t 0
masalani yechish masalasiga kelamiz. Bunda
f1 ( x, t ) f ( x, t ) a 2 wxx ( x, t ) wt ( x, t ) , 1 ( x ) ( x) w( x,0)
aniq ko’rinishga ega bo’lgan berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir.
Bu masalani (1)-(3) masalani yechish usulidagi kabi yechib, uni va (22) ni (21) ga
qo’yib, (12) issiqlik tarqalish tenglamasining (19) va (20) shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimini olamiz.
Xulosa. Bu mavzuda biz aralash masalani yechimini topishning Fur’e usuli
bilan 1-chegaraviy masala misolaida tanishdik. Ushbu usulni 2-, 3-chegaraviy
masalalar hamda aralash chegaraviy masalalarga ham xuddi shu kabi tatbiq etish
mumkin. Ushbu hollarda asosiy farq faqat chegaraviy shartlarda bo’lgani kabi
Shtuurm-Liuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyalari o’zgaradi.
Mavzuda dastlab bir jinsli chegaraviy shartlar qo’yilgan, so’ngra bir jinsli
bo’lmagan tenglama va oxirida umumiy chegaraviy masalani yechish usullari
hamda uni sodda masalaga keltirish usuli bilan tanishdik. Qo’llanil;gan ushbu usul
2- , 3- va aralash turdagi chegaraviy masalalarni yechish uchun ham bevosita
qo’llanilishi mumkin. Bunda faqat Shturm-Liuvilll masalasi chegaraviy shartlari va
o’z navbatida xos qiymat va xos funksiyalari boshqacharoq ko’rinishni oladi. Shu
sababli tuzulgan Fur’e qatori ham xos funksiya ko’rinishiga bog’liq ravishda
o’zgaradi. Yechim berilgan boshlang’ich va chegaraviy shartlardan uzluksiz
bog’liqligi uning ko’rinishidan va integralning uzluksizlik xossasidan kelib
chiqadi. Shuning bilan biz chegaraviy masal yechimining mavjudligi, yagonaligi
va turg’unligini to’la hal etdik.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar.
14.Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Fur’e usulining umumiy sxemasini
ayting.
15.Bir jinsli tenglamaga qo’yilgan bir jinsli 1-chegaraviy shartlarda Shturm –
Liuvill masalasi qanday ko’rinishda bo’ladi?
16.Bir jinsli tenglamaga qo’yilgan bir jinsli 2-chegaraviy shartlarda Shturm –
Liuvill masalasi qanday ko’rinishda bo’ladi?
17.2-chegaraviy shart uchun Shturm – Liuvill masalasi xos qiymat va xos
funksiyalarini toping.
18.Uzluksiz funksiyaning Fur’e qatori nima?
19.Bir jinsli tenglamaga qo’yilgan bir jinsli 3-chegaraviy shartlarda Shturm –
Liuvill masalasi qanday ko’rinishda bo’ladi?
20.3-chegaraviy shart uchun Shturm – Liuvill masalasi xos qiymat va xos
funksiyalarini toping.
21.Aralash (bir uchi 1-, 2-uchi 2-chegaraviy shartli) masala uchun ShturmLiuvill masalasini quring va uning xos funksiyalarini toping.
22.Bir jinsli bo’lmagan tenglamaga qo’yilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy
masalani yechishning Fur’e usuli mohiyatini qisqacha tushuntiring.
23.Umumiy chegaraviy masalani sodda holga keltirish yo’lini ayting.
24.Issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’llanilgan Fur’e usulining to’lqin
tenglamasiga qo’llanilgandagidan farqi va o’xshash jihatlari nimalardan
iborat?
25.Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo’llanilgan oxirgi usulni aniq bir
misolda to’liq tahlil qiling va masalani yechishning algoritmini tuzib
chiqing.
Nazorat uchun savollar:
1. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan aralash masalalar. Boshlang’ich va
chegaraviy shartlar nimadan iborat?
2. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan aralash masalalarni yechishda
Shturim-Liuvill masalasi, xos qiymat va xos funksiya aniqlang?
3. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan aralash masalalarni yechishning
(o’zgaruvchilarni ajratish) Fur’e usulini tushuntiring?
11-MAVZU
LAPLAS TENGLAMASINING EGRI CHIZIQLI
KOORDINATALARDAGI TASVIRI. GARMONIK
FUNKSIYALAR VA ULARNING XOSSALARI.
LAPLAS TENGLAMASINING FUNDAMENTAL YECHIMI
Reja:
19.Elliptik tenglamalarga keltiriluvchi fizik jarayonlar. Asosiy masalalarning
qo’yilishi.
20.Laplas tenglamasi va uning egri chiziqli koordinatalaradagi tasvirlari: qutb,
sferik va silindrik koordinatalar sistemasi.
21.Laplas tenglamasining fundamental yechimi.
22.Garmonik funsiya va uning sodda xossalari.
Dars maqsadlari:
bb)
Ta’limiy maqsad: O’quvchida elliptik tenglamalarning eng muhim
aplas va Puasson tenglamalari, ular orqali tavsiflanadigan fizik jarayonlar haqida
ma’lumot berish. Garmonik funksiya, uning sodda xossalari, maksimum qiymat
prinsipi va Laplas tenglamasining tekislik va fazodagi fundamental yechimlari
haqida yangi bilimlar berish, ularni amaliy misollar va fizik tushunchalar bilan
mustahkamlash. Darsa zamonaviy information texnologiyalar va pedagogik
usullardan foydalanish.
Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
cc)
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
dd) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: statsionar hofizik hodidisalar, elliptik
tenglama, Laplas tenglamasi, Puasson tenglamasi, qutb koordinatalar sistemasi,
sferik va silindrik koordinatalar, garmonik funklsiya, o’rta qiymat, maksimum
qiymat, fundamental yechim.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish, tarqatma materiallar, oson
va qisqa vaqt talab etuvchi mashqlardan foydalanish, testlardan foydalanish
nazarda tutiladi.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari kabi tushunchalarni o’zlashtirganligi yuzasidan
o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni
bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash
(bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Biz oldingi mavzularda to’g’ri chiziq, tekislik va fazoda issiqlik tarqalish
hamda gaz va suyuqlik diffuziyasi kabi jarayonlar mos ravishda
ut a 2uxx f ( x, t ) , ut a 2 (u xx u yy ) f ( x, y, t ) ,
ut a 2 (u xx u yy u zz ) f ( x, y, z , t )
parabolik tipli tenglamalar va ularga qo’yiladigan chegaraviy masalalarni
o’rganishga keltitilishi va ushbu masalalarni yechish usullari bilan tanishdik.
Ko’rinib turibdiki, ushbu jarayonlar va shu kabi kabi zarralar harakati
natijasida kuzatiladigan fizik jarayonlar vaqt davomida bir xilda yuz bersa, ya’ni
qaralayotgan fizik jarayon statsionar jarayon bo’lsa, u holda bu jarayonlar quyidagi
elliptik tipli tenglamalarga keltiriladi:
u ( x, y, z ) u xx u yy uzz 0 yoki u ( x, y, z ) u xx u yy u zz f ( x, y, z ) .
Ulardan birinchisi odatda fazoda berilgan Laplas tenglamasi, ikkinchisi esa
Puasson tenglamasi deb yuritiladi. Bunda
2
2
2
2 2 L 2
x n
x1 x2
o’lchovli ‰ ⊂ Š E sohada aniqlangan Laplas operatori.
Avval ko’rib o’tgan iisiqlikning statsionar tarqalishi, statsionar to’lqin
tebranishi, diffuziya va suyuqlik va elektr tokini potensiali kabi fizik jarayonlarni
o’rganish masalasi tashqi manba yoki tashqi ta’sirlar bo’lmaganda
u 0
(1)
Laplas tenglamasini o’rganishga keltiriladi. Agar qaralayotgan jarayonda tashqi
ta’sirlar hisobga olinsa, u holda bu jarayonni ifodalovchi differensial tenglama
ikki8nchi tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamaga keltiriladi. Agar bu
jarayon ham statsionar bo’lsa, u holda uni o’rganish
u f , f 0
(2)
Puasson tenglamasiga keltiriladi. Demak Puasson tenglamasi bir jinsli bo’lmagan
Laplas tenglamasidan iborat ekan.
Xuddi giperbolik va parabolik jarayonlarni bir qiymatli aniqlash maqsadida
qaralayotgan tenglamalarga qo’shimcha shartlar ilova qilingani kabi, statsionar
jarayonlarni bir qiymatli aniqlanishini ta’minlash maqsadida Laplas va Puasson
tenglamalariga qo’shimcha shartlar qo’yiladi. Statsiaonar jarayonlar vaqtdan
bog’liq bo’lmaganligi uchin qo’shimcha shartlar faqat chegaraviy shartlardan
iborat bo’ladi. Hozir biz ushbu chegaraviy shartlarning qo’yilishi bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik bizga biror sirt bilan chegaralangan D soha berilgan
bo’lsin.
Yuqorida
ta’kidlanganiga
asosan
D
soha
ichida
u ( x), x ( x1 , x 2 ,L, xn ) D temperaturaning statsionar tarzda taqsimlanish
masalasining matematik modeli quyidagich ifodalanadi.
Chegaraviy masalaning qo’yilishi.
1-Ta’rif. D sohaning ichida
u ( x) f ( x ), x ( x1 , x2 ,L, xn ) D
(2)
Puasson tenglamasini hamda
‹ sirtda berilgan f1 ( x ) qiymatni qabul qilsin, ya’ni
I.
u ( x ) f1 ( x), x .
II.
‹ sirtda normal bo’yicha hosilasi berilgan f 2 ( x) qiymatni qabul
qilsin, ya’ni
u ( x)
f 2 ( x), x .
n
u ( x)
normal bo’yicha hosilasi funksiya qiymatiga
n
proporsional o’zgarsin, ya’ni
u ( x)
h( x)(u ( x) f3 ( x)), x
n
birinchi, ikkinchi va uchinchi tipli chegaraviy shartlardan birortasini
qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasiga mos ravishda (2) Puasson
III.
‹ sirtda
tenglamsiga qo’yilgan 1-, 2- va 3-tur chegaraviy masala deb aytiladi. Bunda f1 ,
f 2 , f 3 va h lar ‹ sirtda aniqlangan berilgan funksiyalar.
Agar (2) da
f ( x) 0, x D bo’lsa , u holda biz u ( x ) 0 Laplas
tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy masalalarga ega bo’lamiz.
2-Ta’rif. Laplas tenglamasiga qo’yilgan 1-chegaraviy masalaga Dirixle
masalasi va 2-chegaraviy masalaga esa Neyman masalasi deyiladi.
Bizga kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasidan ma’lumki, yopiq
silliq sirt tekislik yoko fazonni iikita o’zaro kesishmaydigan sohalarga ajratadi.
Yuqorida ta’riflangan masalalarda qaralayotgan D soha sirtning ichki
yoki tashqi qismidan iboratligiga bog’liq ravishda qaralayotgan chegaraviy
masalaga ichki yoki tashqi chegaraviy masala deyiladi.
Keyinchalik ko’p ishlatish nazarda tutilgani uchun markazi koordinatalar
boshida va radiusi Š ga teng sfera bilan chegaralangan sohalar uchun Laplas
tenglamasiga qo’yilgan Dirixle va Neymanning ichki va tashqi masalalarining
matematik ifodalarini keltiramiz.
3-Ta’rif. a)
x12 x22 L xn2 R 2 doirada ( x12 x22 L xn2 R 2 doira
tashqarisida) (1) Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi va uning chegarasi
x12 x22 L xn2 R 2 sferada berilgan f1 ( x )
qiymatni qabul qiluvchi u ( x)
funksiyani topish masalaiga doira uchun Dirixlening ichki (tashqi) masalasi
deyilad).
b)
a)
x12 x22 L xn2 R 2
doirada
( x12 x22 L xn2 R 2
doira
tashqarisida) (1) Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi va uning chegarasi
u ( x)
x12 x22 L xn2 R 2 sferada normal bo’yicha
hosilasi berilgan f 2 ( x)
n
qiymatni qabul qiluvchi u ( x) funksiyani topish masalaiga doira uchun
Neymanning ichki (tashqi) masalasi deyilad.
Xuddi shu kabi Puasson tenglamasi uchun Dirixle va Neymanning ichki va
tashqi masalalarini ta’riflanadi. Bunda faqat (1) tenglama o’rnida (2) Puasson
tenglamasini qarash yetarli.
Laplas yoki Puasson tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni yechishda
Dekart koordinatalar siatemsi o’rniga boshqa biror egri chiziqli korrdinatalar
sistemasini qarash, masalan qutb, sferik yoki silindrik koordinatalar sistemasini
qarash biroz qulay bo’ladi. Shu maqsadda Laplas tenglamasining ushbu egri
chiziqli koordinatalardagi ko’rinishini topamiz.
Qutb koordinatalar sistemasida u ( x, y ) 0 yoki u xx ( x, y ) u yy ( x, y ) 0
Laplas tenglamasining ko’rinishi.
Matematik
analiz
kursidan
ma’lumki,
( x, y )
Dekart
koordinatalar
sistemasidan egri chiziqli ( , ) qutb koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari
x cos
y sin
(3)
ko’rinishfa ega. Bunda - koordinata boshidan berilgan A( x, y ) nuqtagacha
masofa bo’lib, uni odatda nuqtaning radius vektori deyiladi, - esa OX o’qining
musbat yo’nalishi bilan nuqtaning radius vektori orasidagi (soat strelkasi
harakatiga teskari yo’nalishda aniqlangan) burchak bo’lib, uni odatda berilgan
nuqtaning bosh argumenti deyiladi.
u( cos , sin ) v( , )
deb belgilaymiz.
Aytilganlarga asosan 0 2
bo’lganda (3) o’zaro bir qiymatli
akslantirish bo’lib, unga mos teskari almashtirishlar quyidagicha aniqlanadi:
x2 y 2
(4)
y .
arctg
x
( , ) koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasining ko’rinishini topish
uchun dastlab birinchi tartibli u x va u y xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
u x v x v x
u y v y v y
x
y
sin
v
v
cos
v
v ,
x2 y 2
x2 y2
y
x y
2
2
v
x
cos
v sin v
v .
2
x y
2
Bu xususiy hosilalar yordamida Laplas tenglamasi uchun kerakli bo’lgan ikkinchi
tartibli u xx va u yy xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
u xx (u x ) x (u x ) x (u x ) x
sin sin
sin
v
v
cos v
cos v
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
2
v
v
v
v .
cos v
2
2
cos
u yy (u y ) y (u y ) y (u y ) y
sin
cos cos
cos
v
v
sin v
sin v
sin v
2
sin 2
v
cos 2
2
v
cos 2
v
sin 2
2
v .
Topilgan bu ifodalarni u 0 , ya’ni u xx u yy 0 Laplas tenglamsiga qo’yib, uning
qutb koordinatalardagi ko’rinishini olamiz:
v ( , ) cos v
2
,
sin v
2
sin 2
sin 2
v
v
cos 2
2
sin 2
v
2
v
cos 2
sin 2
v
v
sin 2
2
sin 2
2
v
v 0 .
Ushbu tenglamani soddalashtirsak u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:
, v ( , ) v 12 v 1 v 0 .
Agar differensiallah uchun
v
v v
tenglikning o’rinli ekanligini hisobga olsak yuqoridagi tenglamani
1 u 1 2u
, u
0
2 2
(5)
ko’rinshda yozish mumkin bo’ladi. Odatda (5) tenglama Laplas tenglamasining
qutb koordinatalar sistemasidagi tasviri hisoblanadi.
Silindrik va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasining ko’rinishi.
Endi fazodagi biror sohada qaralgan Laplas tenglamasining silindrik va
sferik koordinatalardagi tasvirlarini keltirib chiqaramiz. Ushbu tenglamalar
qaralayotgan soha silindrsimon va sharsimon ko’rinishda bo’lganda Laplas
tenglamasining yechimlarini topishda qulay hisoblanadi.
Ma’lumki, ( x, y , z ) Dekart koordinatalar sistemasidan egri chiziqli ( , , z )
silindrik koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari
x cos
y sin
zz
ko’rinishga ega bo’lib, yuqoridagi hisoblashlarga asosan u xx u yy u zz 0 Laplas
tenglamasining silindrik koordinatalardagi ko’rinishi
1 u 1 2u 2u
, , z u
0.
2 2 z 2
(6)
kabi ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Xudddi shu kabi hisoblashlarni ( x, y , z ) Dekart koordinatalar sistemasidan
egri chiziqli (r , , ) sferik koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
kabi bo’lib, unga teskari almashtirish
r x y z
z
arccos 2
2
2
x y z
y
arctg
x
formula bilan aniqlanadi. Bu holda ham xuddi qutb koordonatalardagi kabi
u ( r sin cos , r sin sin , r cos ) w( r , , )
2
2
2
belgilash kiritib, kerakli xusuiy hosilalarni hisoblash bilan Laplas tenglamasining
sferik koordinatalardagi ko’rinishini olamiz:
1 2 u
1
1
2u
u
sin
0.
r
(7)
r 2 sin 2
r 2 r r r 2 sin
Laplas tenglamasi uchun berilgan Dirixle va Neyman masalalarining
berilgan sohasiga qarab ushbu Laplas tenglamasining u yoki bu koordinatalardagi
tasviridan foydalanish yechimni topishga, masalan unda Fur’e usulini qo’llashga
qulay bo’ladi.
Laplas tenglamasining fundamental yechimlari.
Fazodagi silindrik hamda sharsimon sohalarda berilgan Laplas
tenglamasining faqat radius vektorlardan, ya’ni (6) yoki (7) tenglamaning faqat
r , , u
yoki r dan bog’liq bo’lgan (qolgan z , , o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmagan)
yechimiga silindrik va sferik simmetrik yechimi deb yuritiladi. Ushbu yechimlar
garmonik funksiyalar va umuman elliptik tipli differensial tenglamalar
nazariyasida muhim ahamiyatga ega.
Shuning uchun ham biz Laplas
tenglamasining sferik va silindrik simmetrik yechimlarinining ko’rinishini topish
masalasi bilan shug’ullanamiz.
Ta’rif. Laplas tenglamasining berilgan sohaning ajralgan maxsus nuqtalari
yoki o’zi-o’zini kesmaydigan silliq sirtlarda maxsuslikka ega bo’lgan yechimiga
fundamental yechimi deyiladi. Laplas yenglamasining sohada maxsuslikka ega
bo’lmagan va ozining iikinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz yechimiga
esa regulyar yechimi deyiladi.
Faraz qilaylik Laplas tenglamasining silindrik simmetrik (fazoda) yoki
doiraviy simmetrik (tekislikda) yechimini topish lozim bo’lsin. Aytilganlarga
asosan bu holda (6) yoki (5) tenglamalarning faqat dan bog’liq u u ( )
yechimini topish lozim. Ushbu hollarda u u z 0 bo’lganligi uchun (5) va (6)
tenglamalar
u
0
ko’rinishga keladi. Uni integrallab
u
C1
yoki
u
1
C1
tenglamaga kelamiz. Uni integrallash natijasida Laplas tenglamasining silindrik
simmetrik yechimining umumiy ko’rinishi
u ( ) C1 ln C2
ekanligini olamiz. Agar ushbu umumiy yechimda C1 1, C 2 0 deb tanlasak
Laplas tenglamasining silindrik yoki doiraviy simmetrik yechimlardan bittasini
hosil qilamiz:
1
u ( ) ln .
Ushbu yechimga odatda tekislikda Laplas tenglamasining fundamental yechimi
deyiladi.
Xuddi shu kabi Laplas tenglamasining sferik simmetrik u u (r ) yechimini
topamiz. Bu holda Lapals tenglamasining sferik koordinatalardagi (7)
ko’rinishidan foydalanamiz. Qaralayotgan holda u u 0 bo’lib, Laplas
tenglamasi quyidagi ko’rinishga keladi:
2 u
r
0.
r r
Bu tenglamani integrallab
1
u (r ) C1 C2
r
umumiy yechimni hosil qilamiz. Agar bunda C1 1, C 2 0 deb faraz qilsak,
Laplas tenglamasining fazodagi fundamental yechimi deb ataluvchi
1
u (r )
r
yechimni hosil qilamiz.
Shunday qilib Lapals tenglamasining fundamental yechimi umumiy holda
quyidagi ko’rinishda yozilishu mumkin degan xulosaga kelamiz:
ln r , agar n 2 bo' lsa,
u (r ) 1
r n 2 , agar n 2 bo' lsa
bunda
r | x y | ( x1 y1 ) 2 L ( xn y n ) 2 .
3. Garmonik funsiya va uning sodda xossalari
Ta’rif. Biror D sohada ∆ = 0 Laplas tenglamasini qanoatlantiradigan
funksiyalarga shu sohadagarmonik unksiya deyiladi.
1-Misol.
u ( x, y ) x 2 3xy y 2 4 x 5 y 7
va
w( x, y ) x 3 y 3
funksiyalarni D R 2 sohada garmoniklikka tekshiring.
Yechish. Dastlab u ( x, y ) x 2 3 xy y 2 4 x 5 y 7 funksiyani D R 2
sohada garmoniklikka tekshiramiz. Buning uchun undan birinchi tartibli xususiy
hosilalarni hisoblaymiz:
ux 2 x 3 y 4 ,
u y 3 x 2 y 5 .
Ular yordamida Laplas tenglamasiga kerakli bo’lgan 2-tartibli xususiy hosilalarni
topamiz:
u xx 2 , u yy 2 .
Bu holda barcha ( x, y) D R 2 uchun
u u xx u yy 2 (2) 0
bo’lib, berilgan funksiyalardan birinchisi u ( x, y ) x 2 3 xy y 2 4 x 5 y 7
funksiya tekislikning barcha nuqtalarida garmonik ekanligini hosil qilamiz.
Endi ularning ikkinchisi, ya’ni w( x, y ) x 3 y 3 funksiyani
R 2 tekislikda
garmoniklikka tekshiramiz. Bu funksiya uchun ham yuqoridagi kabi xususiy
hosilalarni topamiz:
wx ( x, y ) 3x 2 ,
wy ( x, y ) 3 y 2 ,
wxx ( x, y ) 6 x,
wyy ( x, y ) 6 y .
Ushbu funksiya uchun
w wxx wyy 6( x y )
bo’lib, bu tengikdan w( x, y ) funksiya R 2 tekislikning faqat 1 =
nuqatalar
to’plamidagina garmonik bo’lib, tekislikda garmonik bo’lmasligini hosil qilamiz.
Yigindi va ayirmaning hosilasi hosilalar yigindisiga teng bo’lganligi uchun
(C1u C 2 v ) C1 u C 2 v
(8)
tenglikka asosan garmonik funksiyalarning 1-sodda xossasini hosil qilamiz.
1-xossa. Biror sohada garmonik ikkita funksiyaning yig’indisi, ayirmasi va
o’zgarmas songa ko’paytmasi shu sohada yana garmonik funksiya bo’ladi.
Haqiqatan ham agar u va v funksiyalar biror D sohada garmonik
funksiyalar bo’lsa, u holda (8) ning o’ng qismi nolga teng bo’ladi. Bu esa 1ta’rifga binoan C1 va C2 o’zgarmaslar uchun C1u ( x ) C2v ( x ), x D funksiyaning
D sohada garmonik ekanligini anglatadi.
2-xossa. Agar u ( x1 , x2 ,L , xn ) funksiy biror D sohada garmonik bo’lsa, u
holda ixtiyoriy R va a (a1 , a2 ,L, an ) R n doimiylar uchun w( x ) u (x a )
funksiya ham В sohada garmonik funksiya bo’ladi.
Haqiqatan ham bunda w( x) u (x1 a1 , x2 a2 ,L, xn an ) funksiyaning
xususiy hosilalarini murakkab funksiya hosilasi kabi hisoblab
2
2 w( x )
2 u (t )
, t i xi ai , i 1,2,L, n.
t i2
xi2
natijani olamiz. Bunga asosan esa
(w)( x) 2 u (x a)
ekanligiga ega bo’lamiz. Shartga asosan u ( x1 , x2 ,L , xn ) funksiy
garmonik bo’lganligi uchun x a D bo’lganda
u (x a) 0
(9)
D sohada
bo’ladi. U holda (9) va 1-ta’rifga asosan w( x) u (x1 a1 , x2 a2 ,L, xn an )
funksiyaning ham D sohada garmonik ekanligi kelib chiqadi.
Grin formulalari va u yordamida isbotlanadigan
garmonik funksiya xossalari
Faraz qilaylik D soha va uning chegarasida o’zining birinchi tartibli xususiy
hosilalari bilan uzluksiz, D sohada esa ikkinchi tartibli uzluksiz xusuiy hosilalarga
ega bo’lgan u ( x, y , z ) va v ( x, y, z ) funksiyalar berilgan bo’lsin. Bizga matematik
analiz kursidan ma’lum bo’lgan va biror ‰ hajm bo’yicha integralni uning Σ sirti
bo’yicha olingan integralga keltiruvchi Ostragradskiy formulasi quyidagicha edi:
P( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z )
d
x
y
z
D
P ( x, y, z ) cos Q( x, y, z ) cos R ( x, y, z ) cos d .
Bunda d va d mos ravishda birlik hajm va yoy elementlari. Ushbu formulada
v
v
v
Pu , Qu , R u
x
y
z
deb olsak Grinning 1-formulasi deb ataluvchi
u v
v
u v
u v
uvd u n d x x y y z z d .
(10)
Agar bu formulada va Y larning o’rnini almashtirib hosil bo’lgan tenglikni
(10) dan ayirsak Grinning 2-formulasini hosil qilamiz
D
T
v
u
uv vu d u n v n d .
(11)
D
Grinning ushbu 2-formulasi Garmonik funksiyalar uchun o’rta qiymat haqidagi
teoremani isbotlashda muhim ahamiyatga ega. Faqaz qilaylik M 0 ( x0 , y0 , z0 ) nuqta
silliq Σ sirt ichida yotsin, U U ( M 0 ) esa markazi M 0 nuqtada, radiusi gat eng
bo’lgan va butunlay D sohada yotuvchi shar bo’lsin. Grinning 2-formulasi (11) ni
1
D \ U sohada v va v R RMM funksiyalar uchun tatbiq etishimiz mumkin,
R
bunda M ( x, y , z ) D . Sharda normal bo’yicha hosila radius vektor bo’yicha
0
hosilaga teng bo’lganligini, sferada funksiyaning o’rta qiymatini hisobga olsak va
0 da limitga o’tib Grinning asosiy formulasi deb ataluvchi quyidagi
formulaga kelishamiz:
u(M 0 )
1 1 u ( M )
u
M
(
)
RMM nM
nM
0
1
R
MM
0
d M u ( M ) d M
RMM
D
.
(12)
0
Bunda
4 , agar M 0 D bo' lsa,
2 , agar M 0 bo' lsa,
0, agar M D bo' lsa.
0
Agar
garmonik funksiya bo’lsa, (12) formula quyidagi ko’rinishni oladi:
u(M 0 )
1 1 u(M )
u(M )
RMM nM
nM
0
1
R
MM
0
d M
(13)
Agarda qaralayotgan soha tekislikda biror silliq G yopiq chiziq bilan
chegaralangan 4 sohadan iborat bo’lsa, u holda yuqoridagi mulohazalarda v
o’rnida Laplas tenglamasining tekislikdagi fundamental yechimi
1
v ln
RMM
0
funksiyani ishlatsak (12) va (13) ga ox’shash formulalarni olamiz:
u(M 0 )
2
1 u ( M )
u (M )
ln
C RMM nM
nM
0
u(M 0 )
ln 1
R
MM
0
ds M u ( M ) d M
RMM
S
2
1 u ( M )
u (M )
ln
C RMM nM
nM
0
(12’)
0
ln 1
R
MM
0
dsM .
(13’)
Endi garmonik funksiyaning Grin formulalari yordamida isbotlanadigan bir
nechta xossalarini keltiramiz.
3-xossa. Agar biror ‹ yopiq silliq sirt bilan chegaralangan ‰ sohada
garmonik funksiya bo’las, u holda ‰ da butunlay yotuvchi ixtiyoriy yopiq silliq 4
sirt uchun
u
(14)
S n d 0
tenglik o’rinlidir.
Isbot. Grinning 1-formulasi (10) da u 0 va Y ≡ 1 deb olsak, (14) kelib
chiqadi. (Uni tekshirib chiqishni o’quvchiga havola qilamiz).
4-xossa (o’rta qiymat haqidagi teorema). Faraz qilaylik u ( M ) funksiya
D sohada garmonik bo’lib, M 0 D - biror ichki nuqta bo’lsin. U holda u ( M )
funksiyaning M 0 nuqtadagi u M 0 qiymati uchun
u M 0
1
ud ,
4a 2 U ( M )
a
(15)
0
formula o’rinlidir. Bunda U a ( M 0 ) - markazi M 0 D nuqtada, radiusi * ga teng
va D sohada butunlay yotuvchi sfera.
Isbot. Garmonik funksiyalar uchun o’rinli bo’lgan (13) formulasini U a ( M 0 )
sfera uchun tadbiq etamiz:
d ./
Agar bu formulada sferaning tashqi normali uning radius vektori yo’nalishi bilan
ustma ust tushishidan va
u( M 0 )
1 u(M )
1
1
u(M )
4 U ( M ) RMM n
n RMM
a
0
R a,
0
0
1
1
1
2
a
n R U R R R a
a
tengliklarning o’rinli ekanligidan hamda yuqorida isbotlangan 3-xossani hisobga
olsak (15) ni hosil qilamiz.
Tekislikdagi 4 sohada garmonik bo’lgan ikki o’zgaruvchili funksiyalar
uchun o’rta qiymat haqidagi (15) formula
1
u M 0
uds
2a C ( M )
a
0
ko’rinishga ega bo’ladi. Bunda Ca ( M 0 ) - markazi M 0 D nuqtada, radiusi a ga
teng va S sohada butunlay yotuvchi aylana. Bu formulani yuqoridagi kabi
isbotlashni biz o’quvchiga havola qilamiz. Bu safar Grinning tekislikdagi
garmonik funksiyalar uchun o’rinli bo’lgan (13’) asosiy formulasidan foydalanish
lozim.
Biz yuqorida isbotlagan o’rta qiymat haqidagi 4-xossadan garmonik
funksiyualarning maksimum va minimum qiymatlari haqidagi yana bir muhim
xossasi kelib chiqadi. Bu xossa bilan biz keyingi mavzuda tanishamiz.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar.
26. Laplas va Puasson tenglamalari ko’rinbishini yozing. Ularning elliptik tipli
tenglama ekanligini ko’rsating.
27.Laplas yoki Puasson tenglamalariga keltiriladigan fizik jarayonlar qaysilar?
28.Laplas
va Puasson tenglamalariga qo’yiladigan asosiy chegaraviy
masalalarni ayting.
29.Ichki va tashqi masalalarni ayting. Ularning farqini tushuntiring.
30.Laplas tenglamalasining qutb koordinatasidagi ko’rinishini ayting.
31.Laplas tenglamalasining silindrik koordinatasidagi ko’rinishini ayting.
32.Laplas tenglamalasining sferik koordinatasidagi ko’rinishini ayting.
33.Garmonik funksiya ta’rifini keltirib, biror sohada garmonik va garmonik
bo’lmagan funksiyalarga misollar keltiring.
34. Lapals tenglamasining fundamental yechimi deb nimaga aytiladi?
Uningko’rinishiga misol keltiring.
35. Grinning 1-formulasini keltirib chiqaring.
36. Grinning 1-formulasidan uning 2-formulasini keltrib chiqarish bosqichlarini
to’liq keltiring.
37. Garmonik funksiyaning songa ko’paytmasim yigindi va ayirmasi haqida
nima deyish mumkin?
38.Shunday garmonik funksiyalarga misol keltiringki, ularning ko’paytmasi
garmonik bo’lmasin.
39. Shunday garmonik funksiyalarga misol keltiringki, ularning ko’paytmasi
ham garmonik bo’lsin.
40. Shunday garmonik funksiyalarga misol keltiringki, ularning nisbati
garmonik bo’lmasin.
41. Shunday garmonik funksiyalarga misol keltiringki, ularning nisbati ham
garmonik bo’lsin.
42.(12) formulani chiqarishdagi mulohazalarni mustaqil takrorlab (12’)
formulani keltirib chiqaring.
43. Uch o’zgaruvchili harmonik funksiyalar uchun o’rta qiymat haqidagi
teoremani isbotlang. Isbotda Grin formulasidan qanday foydalanilgan?
44. Ikki o’zgaruvchili harmonik funksiyalar uchun o’rta qiymat haqidagi
teoremani mustaqil isbotlang.
45. Garmonik funksiya normal boyicha hosilasi integrali haqida nima deyish
mumkin?
46. Ma’ruza davomida mustaqil isbotlash uchun qoldirildan formula va
tasdiqlarni isbotlang va ularning isbotida keltirilgan o’xshash tasdiq
isbotidan farq qiladigan jihatlarini ayting.
Nazorat uchun savollar:
1. Laplas tenglamasining egri chiziqli koordinatalardagi tasviri (qutrb,
sferik) qanday ko’rinishda bo’ladi?
2. Laplas tenglamasining fundamental yechiminig ko’rinishini yozing?
3. Garmonik funktsiya deb qanday funksiyaga aytiladi va uning qanday
xossalarini bilasiz?
12-MAVZU
GARMONIK FUNKSIYALAR UCHUN MAKSIMUM QIYMAT
PRINSIPI. YAGONALIK TEOREMASI.
Reja:
23.Garmonik funksiya uchun maksimum qiymat prinsipi.
24.Maksimum qiymat prinsipidan kelib chiqadigan natijalar.
25.Dirixle masalasi yechimining yagonalik va turg’unlik teoremalari.
Dars maqsadlari:
ee)
Ta’limiy maqsad: O’quvchida garmonik funksiyaning eng katta va
eng kichik qiymatlari garmoniklik sohasi chegarasida erishishi haqidagi
maksimum qiymat prinsipi haqida ko’nikma hosil qilish, bu prinsip va uning
natijalarini chegaraviy masala yechimining yagonaligi va turg’unligini isbotlashga
tadbiq etishga o’rgatish, amaliy masalalarni yechishga yo’naltirish.
Darsa
zamonaviy information texnologiyalar va pedagogik usullardan foydalanish.
ff) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish,
o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga
bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
gg) Rivojlantiruvchi maqsad: talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish
ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, mantiqiy va
ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: garmonik funksiya, eng katta qiymat, eng
kichik qiymat, soha, soha chegarasi, Dirixle masalasi, yechim, yagonalik,
turg’unlik.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish, tarqatma materiallar, oson
va qisqa vaqt talab etuvchi mashqlardan foydalanish, testlardan foydalanish
nazarda tutiladi.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari, Laplas tenglamasi, Puasson tenglamasi, ularga
mos fizik jarayonlar, elliptik tenglamalar uchun chegaraviy massalalarning
qo’yilishi, egri chiziqli koordinatalardagi tasviri kabi tushunchalarni
o’zlashtirganligi yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va
muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning
bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob
berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda bugungi
yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan holda, qisqa javob
beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini darsga qaratgan holda yangi
bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani, kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz
nazorat qilib borish. Kichik guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan bugungi yangi
mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi mavzularga bog’lash, fizik
mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson yechiladigan misollar so’rash,
tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida
tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish,
mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini tushunish, muammoli
topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol, o’rtacha va
passiv qatnashgan talabalar yoki talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada
faolroq bo’lishga chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Biz o’tgan mavzuni garmonik funksiya uchun o’rta qiymat haqidagi
quyidagi teoremani isbotlash bilan yakunlagan edik.
4-xossa (o’rta qiymat haqidagi teorema). Faraz qilaylik u ( M ) funksiya
D sohada garmonik bo’lib, M 0 D - biror ichki nuqta bo’lsin. U holda u ( M )
funksiyaning M 0 nuqtadagi u M 0 qiymati uchun
u M 0
1
ud ,
4a 2 U ( M )
a
0
formula o’rinlidir. Bunda U a ( M 0 ) - markazi M 0 D nuqtada, radiusi * ga teng
va D sohada butunlay yotuvchi sfera.
Ushbu xossadan garmonik funksiyualarning maksimum va minimum
qiymatlari haqidagi yana bir muhim xossasi kelib chiqadi.
5-xossa (Maksimum qiymat prinsipi). Faraz qilaylik aynan o’zgarmasdan
farqli u funksiya biror silliq yopiq sirt bilan chegaralangan D sohada
garmonik bo’lib, yopiq D sohada uzluksiz bo’lsin. U holda u funksiya
o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga D soha chegarasi sirtda erishadi.
Isbot.
Dastlab xossani maksimum qiymat uchun isbotlaymiz. Faraz
qilaylik u funksiya D sohada garmonik bo’lib, o’zining eng katta qiymati
u ( M 0 ) u 0 ga D sohaning biror ichki nuqtasi M 0 da erishsin, ya’ni
u0 u ( M 0 ) u ( M ), M 0 D, M D .
M 0 D ichki nuqta bo’lganligi uchun, markazi M 0 nuqtada, radiusi 0 ga teng
bo’lgan shunday
U M 0 M D : M M 0
sfera topiladiki, u D sohada butunlay yotadi. Shartga ko’ra u ( M 0 ) qiymat
funksiyaning D sohadagi eng katta qiymati bo’lganligi va U (M 0 ) D
bo’lganligi uchun
uU
tengsizlik bajariladi. U holda
(M0 )
u M 0 u 0
funksiya uchun o’rta qiymat haqidagi 4-
xossani U ( M 0 ) sfera uchun qo’llab, quyidagi tengsizliklarni olamiz:
u(M 0 )
1
1
u ( M )d 4 u ( M
4
2
2
U
U
Agar U ( M 0 ) sferadagi biror ˆ nuqta uchun
(ˆ) < (ˆ" )
0
) d u ( M 0 ) .
(1)
tengsizlik bajarilsa (1) tengsizlik qat’iy tengsizlikka aylanadi va u ( M 0 ) u ( M 0 )
zidlik
funksiyaning U ( M 0 ) sferada o’zgarmas ekanligini, ya’ni
u ( M ) u M 0 , M U M 0 .
Faraz qilaylik U ( M 0 ) sferadan sirtgacha eng qisqa masofa 0 bo’lsin. Hozirgi
mulohazalarni takrorlab
ning uzluksizligidan quyidagi tenglikni olamiz:
u ( M ) u M 0 , M U M 0 .
0
Shunday qilib biz sirtda funksiya eng katta qiymatiga erishadigan kamida bitta
nuqta borligini isbot qildik.
Endi faraz qilylik M 1 D bo’lsin. ‰ ning bir bog’lamli soha ekanligidan
kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasidagi analitik funksiyalar uchun
yagonalik teoremasini qo’llab
u ( M ) u M 0 , M U M 1 D
0
ekanligini olamiz. ˆ ning ixtiyoriy nuqtaligidan u ( M ) u M 0 const , M D
ekanligi hosil bo’ladi. Bu esa
M 0 bo’ladi.
ning aynan o’zgarmasligiga zid. Shunday qilib
Xossaning eng kichik qiymat haqidagi tasdig’I ham xuddi shu kabi
bajariladi. Bunda
ni –
ga almashtirsak ‰ sohada –
ham garmonik bo’lib (1-
xossa) – minimumga erishgan nuqtada – eng katta qiymatga erishadi. –
uchun yuqorida isbotlanganiga asosan minimum beruvchi nuqta faqat garmoniklik
sohasi chegarasida ekanligini olamiz.
5-xossa to’liq isbot bo’ldi.
1-Misol. u ( x, y ) x 2 y 2 2 y funksiyaning x 2 y 2 4 doiradagi extremal
nuqtalari va extremal qiymatlarini toping.
Yechish. Berilishiga ko’ra u ( x, y ) funksiya sonlar tekisligida, xususan
berilgan doirada uzluksiz va istalgan tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega.
Dastlab berilgan funksiyani x 2 y 2 4 doirada garmoniklikka tekshiramiz.
Buning uchun uning xususiy hosilalarini hisoblaymiz:
ux
2u ( x, y)
u ( x, y)
2,
2 x, u xx
x 2
x
u ( x, y )
2 u ( x, y )
uy
2 y 2, u yy
2 .
y
y 2
U holda bu funksiya uchun
u ( x, y ) u xx u yy 2 2 0
bo’lib, u Laplas tenglamasining regulyar yechimi, ya’ni tekislikdagi barcha
nuqtalarda, xususan x 2 y 2 4 doirada ham garmonik funksiya bo’ladi.
Demak bu funksiya uchun garmonik funksiya uchun maksimum qiymat
prinsipini qo’llash mumkin. Bu funksiya garmonik bo’lgan x 2 y 2 4 doira
chegarasi x 2 y 2 4 aylanadan iborat bo’lib, chegaraviy nuqtalarda x 2 4 y 2
tenglik o’rinli bo’lib, bu nuqtalar to’plamida qaralayotgan funksiya
w( y ) u ( 4 y 2 , y ) 2 y 2 2 y 4, 2 y 2
1
nuqtada w 4,5 maksimum
2
qiymatga va y 2 nuqtada esa w 8 minimum qiymatga erishadi. Erkli
ko’rinish oladi. Bu kvadrat funksiya bo’lib, u y
1
qiymatiga
2
x 0 qiymati mos keladi.
o’zgaruvchi 1 ning y
Shunday
qilib
berilgan
ning x
15
va y 2 qiymatga esa
2
u ( x, y ) x 2 y 2 2 y
funksiya
15 1
;
2
2
chegaraviy nuqtalarda
15 1 9
umax u
;
2 2
2
eng katta (maksimum) qiymatiga va 0;2 chegaraviy nuqtada esa
umin u 0;2 8
eng kichik (minimum) qiymatiga erishadi.
Ushbu xossadan Dirixle va Neyman masalalari yechimining yagonaligi va
turg’unligini isbotlashda muhim ahamiyatga ega bo’ladigan bir nechta natijalar
kwelib chiqadi. Quyida biz ushbu natijalarni keltiramiz.
1-Natija. Faraz qilaylik u va v funksiyalar biror ‰ soha va uning Σ
chegarasida ham uzluksiz bo’lib, ‰ sohada garmonik bo’lsin. Agar Σ sirtda
u ( x ) v ( x ), x
(2)
tengsizlik bajarilsa, u holda bu tengsizlik ‰ sohada ham bajariladi.
Isbot. Faraz qilaylik natijadagi shartlar bajarilsin. U holda u va v
funksiyalar ayirmasi v u funksiya ham D da aniqlangan va uzluksiz, 1xossaga asosan ‰ sohada garmonik va (2) ga asosan Σ sirtda nomanfiy qiymatli
funksiya bo’ladi. U holda maksimum qiymat prinsipiga ko’ra v u funksiyaning
‰ soha
eng kichik qiymati ham nomanfiy degan xulosaga kelamiz. Demak
nuqtalarida
v( x) u ( x) min u ( x, y ) 0, x D .
x , y
Demak (2) tengsizlik ‰ soha nuqtalarida ham o’rinli ekan.
2-Natija. Faraz qilaylik u1 , u 2 va u3 funksiyalar biror ‰ soha va uning Σ
chegarasida ham uzluksiz bo’lib, ‰ sohada garmonik bo’lsin. Agar Σ sirtda
u1 ( x) u2 ( x ) u3 ( x ), x
(3)
tengsizlik bajarilsa, u holda bu tengsizlik ‰ sohada ham bajariladi.
Isbot. Haqiqatan ham agar yuqorida isbotlangan natijani
2 marta
u1 ( x ) u2 ( x ), x va u2 ( x ) u3 ( x ), x tengsizliklar uchun qo’llash bilan
ularning har biri butun ‰ sohada ham bajarilishini olamiz. Hosil qilingan
tengsizliklarni yana birlashtirib, (3) tengsizlik ‰ sohada ham bajarilishiga ishonch
hosilqilamiz.
Isbotlangan bu natija yordamida quyidagi natijalarni ham isbotlash mumkin.
Ularning isboti sodda bo’lganligi uchun
isbotlashni o’quvchiga mustaqil
bajarishni tavsiya etamiz.
3-Natija. Faraz qilaylik u1 va u 2 funksiyalar biror ‰ soha va uning Σ
chegarasida ham uzluksiz bo’lib, ‰ sohada garmonik bo’lsin. Agar Σ sirtda
u1 ( x) u2 ( x), x
(4)
tengsizlik bajarilsa, u holda bu tengsizlik ‰ sohada ham bajariladi.
Isbotlash uchun ko’rsatma: (4) tengsizlikni (3) ga o’xshash qo’sh tengsizlik
ko’rinishda yozing. O’tgan mavzudagi garmonik funksiyalar uchun 1-xossa va
yuqorida isbotlangan 2-natijadan foydalaning.
4-Natija. ‰ sohada garmonik va ‰ soha hamda uning Σ chegarasida ham
uzluksiz u funksiya uchun
u ( x) max u ( x)
x
(5)
tengsizlik ‰ ∪ Σ sohada ham o’rinlidir.
Isbotlash uchun ko’rsatma: (5) tengsizlikning (4) o’xshashligidan va
o’zgarmas qiymatli funksiyaning garmonikligidan va 3-natijadan foydalaning.
Dirixle masalasi yechimining yagonaligi va turg’unligi.
Bu qismda biz oldingi mavzularda ta’riflangan Dirixle masalasi yechimining
yagonalik va turg’unlik teoremalarini isbotlash bilan tanishamiz. Faraz qilaylik
bizga biror silliq Σ yopiq sirt bilan chegaralangan ‰ soha va unnig chegarasida
ham uzluksiz + funksiya berilgan bo’lsin. Bizga ma’lumki Dirixlening ichki
masalasi quyidagicha qo’yilar edi:
Ta’rif. (Dirixle masalasi) D yopiq sohada aniqlangan uzluksiz, ‰
sohada garmonik va soha chegarasi ‹ sirtda berilgan + funksiya bilan ustma-ust
tushadigan funksiyani topish masalsiga Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi
deyiadi.
Dastlab ushbu masala yechimi uchun yagonalik teoremasini keltiramiz.
1-Teorema (Yagonalik teoremasi). Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan
Dirixle masalasi yechimi yagonadir.
Isbot. Odatdagi kabi qoyilgan masalaning yechimi yagona bo’lmasin deb
faraz qilib, ulardan ixtiyoriy ikkitasini u1 va u 2 deb olamiz. U holda uzluksiz
funksiyalar ayirmasi sifatida
v u1 u 2
funksiya ham D yopiq sohada aniqlangan uzluksiz va D sohada garmonik
funksiya bo’ladi. u1 va u 2 funksiyalarning har biri Σ sirtda bir xil + qiymatni qabul
qilgani uchun Y funksiya Σ sirtda nolga aylanadi. Natijada maksimum qiymat
prinsipiga asosan Y funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga Σ sirtda
erishadi. Demak bu funksiyaning minimumi ham maksimumi ham nolga teng.
Bundan v ( x ) 0, x D tenglikni va o’z navbatida tanlangan ixtiyoriy ikki
yechim uchun
u1 ( x) u2 ( x), x D
tenglikni olamiz. Bu esa Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan Dirixle masalasi
yechimga ega bo’lsa, u yagona ekanligini anglatadi. 1-Teorema isbot bo’ldi.
Hozircha biz Dirixle masalasi yechimining mavjudlik masalasini ochiq
qoldiramiz. Bu masalani yechimnini topish bilan hal etish mumkin. Buni biz
keyingi mavzularda bajaramiz. Endi Dirixle masalasining fizik jihatdan ma’noga
ega ekanligini, ya’ni masalani aniqlovchi shartlarning, bizning holimizda
chegaraviy shartlar kichik o’zgarishiga mos yechimning ham kichik o’zgarishi mos
kelishi haqida to’xtalamiz. Fizik masalaning bunday yechimiga turg’un yechim
deyiladi.
2-Teorema (Yechimning turg’unligi). Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan
Dirixle masalasi yechimi turg’undir.
Isbot. Faraz qilaylik u1 va u 2 lar D yopiq sohada aniqlangan uzluksiz
va ‰ sohada garmonik funksiyalar bo’lsin.
Agar bu funksiyalarning soha
chegarasidagi qiymatlari bir-biridan yetarlicha kam farq qilsa, ya’ni yetarlicha
kichik 0 uchun
u1 ( x) u 2 ( x) , x
tengsizlik o’rinli bo’ladi. U holda garmonik funksiyalar uchun maksim qiymat
prinsipining 2-natijasiga asosan bu tengsizlik butun D sohada ham bajariladi.
Bu esa garmonik funksiya uchun chegaraviy qiymatlari uchun yuqoridan olingan
baho soha ichidagi qiymatlari uchun han o’rinli ekanligini anglatadi. Boshqacha
aytganda Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan Dirixle masalasi fizik jihatdan
aniqlanganligini bildiradi. 2-Teorema isbot bo’ldi.
3-Teorema (Yechimning yagonaligi). Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan
Neyman masalasi yechimi o’zgarmas qo’shiluvchi aniqligida yagonadir.
Isbot. Odatdagi kabi qoyilgan masalaning yechimi yagona bo’lmasin deb
faraz qilib, ulardan ixtiyoriy ikkitasini u1 va u 2 deb olamiz. U holda uzluksiz
funksiyalar ayirmasi sifatida
v u1 u 2
funksiya ham D yopiq sohada aniqlangan uzluksiz va D sohada garmonik
funksiya bo’ladi. Maksimum qiymat prinsipiga asosan u1 , u 2 va v funksiyalar
o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga soha chegarasi Σ sirtda erishadi. Lekin
bu funksiyalarning har biri Neyman masalasi yechimi bo’lgani uchun Σ sirtda
u1 ( M )
u 2 ( M )
f ( M ),
f ( M ), M
n
n
tenglikni qanoatlantiradi. Bundan esa ularni hadma-had ayirish natijasida
v( M )
0, M
n
tenglikni hosil qilamiz. Bu esa Y funksiya Σ sirtda o’zgarmasga tengligini
anglatadi. Demak Neyman masalasining ixtiyoriy ikkita yechimi bir-biridan
o’garmasga farqlanar ekan. 3-Teorema isbot bo’ldi.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar.
47.Laplas
va Puasson tenglamalariga qo’yiladigan asosiy chegaraviy
masalalarni ayting.
48.Garmonik funksiya deb nimaga aytiladi? Bitta sohada garmonik bo’ladigan
va bo’lmaydigan funksiyalarga misollar quring.
49.Uch va ikki o’zgaruvchili garmonik funksiyalar uchun o’rta qiymat
haqidagi teoremalar keltiring va ularni isbotlang.
50. Garmonik bo’ladigan va garmonik bo’lmagan funksiyaga misol keltiring.
51.Berilgan funksiya uchun shunday ikkita sohani quringki, ulardan birida
funksiya garmonik ikkinchisida esa garmonik bo’lmasin.
52.Maksimum qiymat prinsipi shartlarini izohlang. Teorema isbotida ular
qo’llanilgan joylarni ayting.
53.Maksimum qiymat prinsipi asosida biror garmonik funksiyaning ekstremal
qiymatlarini toping.
54.Maksimum qiymat prinsipining 1-2-natijalari isbotida prinsip qo’llanilgan
o’rinni ayting va izohlang. Misol quring.
55.Maksimum qiymat prinsipining 3-natijasi isbotini bajaring. Misol quring.
56.Maksimum qiymat prinsipining 4-natijasi isbotini bajaring. Misol quring.
57.Dirixle va Neyman masalalri nimadan iborat? Ularning farqi nimada?
58.Dirixle masalasi yechimining yagonaligini isbotlashda maksimum qiymat
prinsipidan qanday foydalanildi?
59.Yagonalik teoremasini Neymann masalasiga o’tkazish mumkinmi? Javobni
izohlang.
60.Masalaning fizik jihatdan aniqlanganligi deganda nimani tushunasiz. Dirixle
masalasi yechimining yagonaligi va turg’unlik teoremalarini ayting.
61. u ( x, y ) 5 xy 2 x 3 y funksiyaning ( x 1) 2 y 2 4 doiradagi extremal
qiymatlarini toping.
x2 y2
62. u ( x, y ) 2 x 3xy 2 y 3 y funksiyaning
1 ellipsdagi extremal
9
4
qiymatlarini toping.
Nazorat uchun savollar:
1. Garmonik funksiyaning asosiy xossalarini tushuntiring.
2. Garmonik funksiya uchun maksimum prinsipining mohiyatini nimadan iborat?
3. Yagonalik teoremasi nimadan iborat ?
2
2
13-MAVZU
LAPLAS TENGLAMASI UCHUN DOIRADA DIRIXLE VA
NEYMAN MASALALARINING QO’YILISHI VA UNI FUR’E
USULIDA YECHISH.
Reja
1. Dirixle msalasi yechimini topishning o’zgaruvchilarni ajratish usuli
2. Fur’e usulining tatbiqi.
3. Yechimning diffrensiallanuvchiligi.
4. Xulosa
Darsning maqsadi:
1. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle va Neyman masalalarining
qo’yilishi to’g’risida umumiy va asosiy bilimlarni hosil qilish.
2. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle va Neyman masalalarining
qo’yilishi va uni Fur’e usulida yechish to’g’risida amaliy ko’nikmaga
ega bo’lish.
3. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle va Neyman masalalarining
qo’yilishi va uni Fur’e usulida yechish bo’yicha malakalarni
shakllantirish.
Dars maqsadlari:
hh) Ta’limiy maqsad: O’quvchida garmonik funksiyaning eng katta
va eng kichik qiymatlari garmoniklik sohasi chegarasida erishishi
haqidagi maksimum qiymat prinsipi haqida ko’nikma hosil qilish, bu
prinsip va uning natijalarini chegaraviy masala yechimining yagonaligi
va turg’unligini isbotlashga tadbiq etishga o’rgatish, amaliy masalalarni
yechishga yo’naltirish. Darsa zamonaviy information texnologiyalar va
pedagogik usullardan foydalanish.
ii) Tarbiyaviy maqsad: talabalarni mustaqil fikrlash va faol
mustaqil ish faoliyatiga jalb etish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik
fazilatlarini shakllantirish, o’z atrofidagi jarayonlarni idrok etish va uni
talqin qilishga o’rgatish hamda fanga bo’lgan qiziqishni o’stirish. Darsni
ma’naviy-ma’rifiy sohalarga bog’lash.
maqsad:
talabalardagi
izlanuvchanlik
jj) Rivojlantiruvchi
faoliyatini rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar
berish ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni
umumlashtirish, mantiqiy va ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini
rivojlantirish.
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: garmonik funksiya, eng katta qiymat, eng
kichik qiymat, soha, soha chegarasi, Dirixle masalasi, yechim, yagonalik,
turg’unlik.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi va bo’r, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar matni, ko’rgazmali stendlar, tarixiy ma’lumotlar, izohli
lug’atlar, atamalar, o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli
toshiriqlar majmuasi, testlar, tarqatma materiallar va kartochkalar, imkoni bo’lgan
hollarda shaxsiy kompyuter, lazerli videoproyektor.
Dars o’tish usuli: avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
aniqlash maqsadida sodda munozarali topshiriqlar, o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar olish uchun munozarali, jonli muloqotni amalga oshirish,
talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr –
mulohazalarni bayon qilishga o’rgatish, jonli muloqat, kichik guruhlarga bo’lish,
fikrlar hujumi va aqliy hujum usullaridan foydalanish, tarqatma materiallar, oson
va qisqa vaqt talab etuvchi mashqlardan foydalanish, testlardan foydalanish
nazarda tutiladi.
Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasi va talabalarning darsga tayyorligini
nazorat qilish, auditoriyaning sanitariya holatini kuzatish, davomatni qayd etish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning giperbolik
tenglamalar, chegaraviy va Koshi masalalri, Fur’e usuli, issiqlik tenglamasi,
chegaraviy shartlarning qo’yilishi va mohiyati, yagonalik teoremasi, maksimal
qiymat prinsipi va uning natijalari, Laplas tenglamasi, Puasson tenglamasi, ularga
mos fizik jarayonlar, elliptik tenglamalar uchun chegaraviy massalalarning
qo’yilishi, egri chiziqli koordinatalardagi tasviri kabi tushunchalarni
o’zlashtirganligi yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va
muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish, testlar berish orqali talabalarning
bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob
berishi ko’zda tutiladi).
Asosiy qism (50 minut) – Oldingi mavzularga bog’langan holda
bugungi yangi mavzuni jonli muloqot, amaliy misollar bilan boyitgan
holda, qisqa javob beriladigan savollar yordamida talabalar diqqatini
darsga qaratgan holda yangi bilim va ko’nikmalar berish. Auditoriyani,
kichik guruhlar faoliyatini uzluksiz nazorat qilib borish. Kichik
guruhlarga va talabalarga individual savollar berish.
Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan
bugungi yangi mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, uni oldingi
mavzularga bog’lash, fizik mohiyatini tushunishni nazorat qilish, oson
yechiladigan misollar so’rash, tushinilmagan tasdiq, teorema va
formulalarni qayta izohlash va misollar asosida tushuntirish.
Uy vazifa berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va
konspekt qilish, mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini
tushunish, muammoli topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash.
Dars davomida faol, o’rtacha va passiv qatnashgan talabalar yoki
talabalar kichik guruhlarini ta’kidlash va yanada faolroq bo’lishga
chorlash, rag’batlantirish. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.
Yangi mavzu bayoni
Bu mavzuda biz doira uchu Dirixle va Neyman ichki va tashqi masalalarini
yechishning o’zgaruvchilarni ajratish yoki Fur’e usuli deb ataluvchi usuli bilan
tanishamiz. Bu usul bilan biz to’lqin va issiqlik tarqalish tenglamalariga qo’yilgan
chegaraviy masalalari yechish jarayonida tanishgan edik. Bu usul yordamida biz
qaralayotgan masalalarning yechimini aniq ko’rinishda topamiz va shu bilan
masala yechimining mavjudlik masalasini ijobiy hal etgan bo’lamiz. Yechim
mavjud bo’lganda uning yagonaligi va turg’unligi bilan biz oldingi mavzuda
tanishgan edik.
Dastlab biz ushbu usul bilan doirada Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan
Dirixle masalasi misolida tanishib chiqamiz va so’ngra uning Neyman masalasiga
tatbiq etilganda o’ziga xos jihatlariga to’xtalamiz.
Faraz qilaylik bizga tekislikda markazi koordinatalar boshida va radiusi Š ga teng
doirada aniqlangan va uning chegarasida ham uzluksiz + funksiya berilgan
bo’lsin. Avval ta’kidlaganimdek, ushbu doirada garmonik va uning chegarasida
berilgan ham uzluksiz bo’lib, berilgan + funksiya bilan ustma-ust tushadigan
funksiyani topish masalasiga Dirixle ichki masalasi deyilar edi. Agar
qaralayotgan soha berilgan aylanananing tashqi qismi bo’lsa, u holda bu masalasi
Dirixlening tashqi masalasi deb yuritilar edi. Ushbu masala matematik
ko’rinishda quyidagicha yoziladi:
u ( x, y ) 0 , agar x 2 y 2 R 2 x 2 y 2 R 2 tashqi masalada ,
u ( x, y ) f ( x, y ) , agar x 2 y 2 R 2 .
Bu chegaraviy masalani yechish uchun tekislikda , qutb koordinatalar
sistemasiga o’tamiz. Bizga ma’lumki bu sistemada Laplas operatori quyidagi
ko’rinishda tasvirlanadi:
1 u 1 2u
u ,
0.
2 2
Bu tenglamaning yechimi mavjud deb faraz qilib, uning nolmas xususiy
yechimini
u ( , ) P( ) ( ) 0
(1)
(2)
ko’rinishda izlaymiz. Undan kerakli xusuiy hosilalarni olib (1) ga qo’ysak, unga
teng kuchli bo’lgan
d dP( )
d 2 ( )
d
d
d 2
P( )
( )
tenglamani olamiz. Ushbu tenglama ikkinchi tartibli ikkita oddiy differensial
tenglamalarga ajraladi:
" ( ) ( ) 0
d dP( )
P ( ) 0 .
d
d
(3)
(4)
Biz oldingi mavzularda qaragan Shturm-Liuvill masalalarida ham (3) ga o’xshash
tenglamani qaragan edik va (3) diffrensial tenglamaning umumiy yechimi
( ) A cos B sin
(5)
ko’rinishda tasvirlanishini bilamiz. Qutb koordinatalarida K o’zgaruvchi
nuqtaning argument hisoblanib, u aylana bo’ylab ga o’zgarganda nuqta dastlabki
holatiga qaytganligi uchun ( ) funksiyaning davrli ekanligini olamiz. (5) ga
asosan bu faqat n 2 , n Z bo’lgandagina bajariladi. Demak (5) yechim
n ( ) An cos n Bn sin n
ko’rinishda yoziladi. Bunda − butun son bo’lib keyingi mulohazalarda uni
natural deb qaraymiz. An va Bn lar esa doimiylar.
(6)
(4) tenglamaning yechimini
P( )
ko’rinishda izlaymiz. Uni (4) ga qo’yib O ga nisbatan quyidagi tenglamaga
kelamiz:
2 n 2 yoki n .
Demak (4) tenglamaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari
P1 ( ) n va P2 ( ) n
bo’ladi. Dirixlening ichki masalasi qaralaganda bu yechimlardan birinchisini olish
mumkin, chunki ikkinchi yechim va u ( , ) P( ) ( ) funksiya 0 da
uzluksiz bo’lmaydi. Shuning uchun ham bu funksiyani doira ichida garmonik deb
bo’lmaydi. Tashqi masala qaralganda esa P2 ( ) n ikkinchi yechimni olish
mumkin, chunki yechimning cheksizlikda ham chegaralanganlik sharti birinchi
yechim uchun bajarilmaydi:
lim n .
Topilganlarga asosan (1) tenglama xusuiy yechimlari uchun
un ( , ) n An cos n Bn sin n agar R bo’lsa (ichki masalada),
un ( , ) n An cos n Bn sin n agar R bo’lsa (tashqi masalada)
formulalarni hosil qilamiz. Laplas tenglamasining chiziqli diffrerensial tenglama
ekanligidan bu yechimlarning yig’indisi ham yechim bo’ladi:
n A cos n B sin n , agar R bo' lsa (ichki masalada)
n
n
n0
u ( , )
n An cos n Bn sin n , agar R bo' lsa (tashqi masalada)
n0
(7)
Ushbu yechimdagi An va Bn koeffisientlarni chegaraviy shartdan foydalanib
topamiz. Chegaraviy shart qutb koordinatalarida
u ( R, ) f ( )
ko’rinishni oladi. Bunda f qaralayotgan x 2 y 2 R 2 aylanada aniqlangan
uzluksiz diffrensiallanuvchi berilgan funksiya. Topilgan (7) yechim uchun
chegaraviy shart ko’rinishini yozamiz:
cos n B n sin n f ( ), agar R bo' lsa (ichki masalada)
n 0
n
R
A
cos
n
B
sin
n
f
(
),
agar
R
bo'
lsa
(tashqi
masalada)
n
n
n 0
R A
n
n
(8)
An va Bn koeffisientlarni topish maqsadida uzluksiz diffrensiallanuvchi
f ( ) funksiyani [ ; ] oraliqda Fur’e qatoriga yoyamiz:
f ( )
0
n cos n n sin n .
(9)
2 n1
Bunda 0 , n va n lar f ( ) funksiyaning Fur’e koeffisientlari deb atalib,
quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
1
1
1
0 f ( )d , n f ( ) cos n d , n
f ( ) sin n d .
(10)
(9) va (10) ifodalarni (8) ga qo’yib, mos koeffisientlarni tenglashtirish natijasida
Dirixle ichki masalasi yechimidagi An va Bn koeffisientlar uchun quyidagi
formulalarni topamiz:
0
1
A0
2 2
n
1
f ( )d , An R n R n f ( ) cos n d ,
1
n
Bn n n f ( ) sin n d .
R R
Tashqi masala uchun esa bu koeffisientlar quyidagicha topiladi:
0
1
A0
2 2
f ( )d , An n R
n
Bn n R n
R
Rn
f ( ) cos n d ,
n
f ( ) sin n d .
Ushbu topilgan ifodalarni (7) ga qo’yib, Dirixle masalasining f ( ) funksiyaning
(10) Fur’e koeffisientlari orqali berilgan yechimini topamiz:
n
n cos n n sin n , agar R bo' lsa (ichki masalada)
n 0 R
u ( , )
(11)
n
R cos n sin n , agar R bo' lsa (tashqi masalada)
n
n
n 0
Agar
R , agar R ichki masalada
t
R , agar R tashqi masalada
parametrni kiritsak, Dirixle ichki va tashqi masalalarining (11) shakldagi
yechimlarini bitta formula bilan ifodalash mumkin bo’ladi
u (t , )
0
t n n cos n n sin n .
(12)
2 n 1
Topilgan bu ifodaning haqiqatan ham Dirixle masalasining yechimi bo’lishi
uchun uning yaqinlashuvchi ekanligini, hadlab differensiallash mumkuinligini
hamda har bir o’zgaruvchisining uzluksiz funksiyasi ekanligini ko’rsatishimiz
lozim. Dastlab (12) qatorni K bo’yicha istalgan marta diferensiallash mumkinligini
ko’rsatamiz. Buning uchun u n (t , ) orqali (12) dagi qatorning umumiy hadini
belgilaymiz:
un (t , ) t n n cos n n sin n .
Bu fuynksiyaning K bo’yicha U-tartibli xususiy hosilasi quuyidagi ko’rinishda
tasvirlanadi:
k u n (t , ) n k
k
k
cos
sin
t
n
n
n
.
n
n
k
2
2
Shartga ko’ra + uzluksiz chegaralangan funksiya bo’lganligi uchun uning
Fur’e koeffisientlari uchun
n
1
f ( ) cos n d
n
1
1
f ( ) cos n d
f ( ) sin n d
1
1
f ( ) d
f ( ) d
M
M
d 2M ,
d 2M
k un (t , )
baholar o’rinli. Bunga ko’ra
ifoda quyidagicha baholanadi:
k
k u n (t , )
4Mt n n k .
k
U holda
n 1
n 1
4Mt n nk 4M t n nk
darajali qator t t 0 1 da ixtiyoriy natural U uchun tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Shuning uchun ham Dirixle ichki yoki tashqi masalasi yechimini ifodalovchi (11)
qatorlarni K bo’yicha mos ravishda qaralayotgan doira ichki yoki tashqi
nuqtalarida hadlab differensiallash mumkin. Xuddi shu kabi (12) qatorning
umumiy hadi u n (t , ) ni t bo’yicha k - tartibli xususiy hoslasini topamiz:
k u n (t , )
n(n 1)L (n (k 1))t n k n cos n n sin n .
k
t
Bu ifodani ham yuqoridagi kabi baholaymiz:
k un (t , )
n(n 1)L(n (k 1))t n k n cos n n sin n 4Mt n k n k .
k
t
Har bir tayinlangan t 0 1 da
n t
n 1
k nk
0
sonly qatorning yaqinlashuvchiligidan va Veyershtrass teoremasiga asosan
ixtiyoriy natural U uchun
k un (t , )
t k
n 1
qator 0 t t 0 1 da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bu esa (11) qatorlarni
bo’yicha ham istalgan marta hadlab differensiallash mumkinligini anglatadi. Tekis
yaqinlashuvchi qator yig’indisining uzluksizligi haqidagi teoremaga asosan esa
u ( , ) funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi. Shunday qilib biz (11) dagi
funksiyalar maos ravishda qaralayotgan doira ichki va tashqi nuqtalarida u 0
Laplas tenglamasining regulyar yechimlari bo’lar ekan.
Endi Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle masalasi yechimlaridan iborat
(11) formulalarni biroz soddaroq, ya’ni integral ko’rinishini keltiramiz. Buning
uchun (11) ga + funksiya Fur’e koeffisientlarining ifodalarini qo’yamiz hamda
tekis yaqinlashuvchi qatorni hadlab integrallash mumkinligiga asosan quyidagini
olamiz:
1
1 n
u (t , ) f ( ) t cos n cos n cos n cos n d
2 n1
1
1 n
(
)
f
(13)
t cos n( )d .
2
n
1
Ushbu ifodaning o’ng tomonidagi qavs ichidagi yig’indini hisoblaymiz. Buning
uchun kompleks o’zgaruvchili funkisiyalar nazariyasidan ma’lum bo’lgan Eyler
formulasidan foydalanib kosinusni ko’rsatkichli funksiya orqali tasvirlaymiz, hosil
bo’lgan qatorlar uchun cheksiz kamayuvchi geometric progressiya yig’indisidan
foydalanamiz. Aytilganlarga asosan quyidagilarga egamiz:
1
1
t n cos n( ) 1 (te i ( ) ) n (te i ( ) ) n
2 n1
2 n1
1
tei ( )
te i ( ) 1
1 t2
, t 1.
1
2 1 tei ( ) 1 tei ( ) 2 1 2t cos( ) t 2
Ushbu ifodalarni (13) ga qo’yib, Dirixle masalasi yechimi uchun quyidagi
formulani hosil qilamiz:
1
(1 t 2 ) f ( )
d , 0 t 1 .
u (t , )
2 1 2t cos( ) t 2
Kiritilgan belgilashdan voz kechib Dirixle ichki masalasi yechimi uchun
1
u ( , )
2
( R 2 2 ) f ( )
d , 0 R
2
2
R 2 R cos( )
(14)
formulani hosil qilamiz. Xuddi shu kabi tashqi masala yechimi uchun quyidagi
tasvirni olamiz
u ( , )
1
2
( 2 R 2 ) f ( )
R 2 2R cos( ) 2 d , R .
(15)
(14) va (15) ko’rinishdagi integrallar odatda Puasson integrallari deyiladi. Biz
ularni keltirib chiqarishda (masalan geometric progressiyaning cheksiz
kamayuvchiligida) t 1 deb qaradik. Ma’lumki, t 1 ( R ) da bizga chegaraviy
shart berilgan bo’lib, uni (14) yoki (15) bilan birga qarab mos ravishda Dirixle
ichki masalasi uchun
( R 2 2 ) f ( )
1
d , agar 0 R
u ( , ) 2 R 2 2 R cos( ) 2
f ( ), agar R
va tashqi masala uchun esa
( 2 R 2 ) f ( )
1
d , agar R
u ( , ) 2 R 2 2 R cos( ) 2
f ( ), agar R
formulalarni hosil qilamiz.
Laplas tenglamasi uchun doirada 2-chegaraviy masala, ya’ni Neyman
masalasi ham xuddi shu usulda ishlanishi mumkin. Bunda qaralayotgan
, u 0, R,
u ( , )
f ( ), R
Neyman ichki masalasi yoki
, u 0, R,
u ( , )
f ( ), R
Neyman tashqi masalsining to’g’ri qo’yilish sharti
2
f ( )d 0
0
tekshiriladi va yechim shu ko’rinishdamavjud deb faraz qilinib
u ( , ) P( ) ( )
ko’rinishda izlaymiz. Qolgan qadamlar xuddi Dirixle masalasi kabi bajariladi.
Faqat (7) umumiy yechimdagi An va Bn koeffisientlarni aniqlash formulalari
chegaraviy shart
n 1
n 1
nR An cos n Bn sin n f ( ), agar R bo' lsa (tashqi masalada)
n 1
nR A
n 1
n
cos n Bn sin n f ( ), agar R bo' lsa (ichki masalada)
kabi o’zgarganligi sababli A0 C ixtiyoriy doimiy va qolgan koeffisientlar mos
Fur’e koeffisientlarni tenglashtirish bilan Neyman ichki masalasida
1
An nn 1
f ( ) cos n d , n 1,2,3,....
nR
nR n 1
Bn
n
nR n1
1
f ( ) sin n d
nR n 1
formulalar bilan va Neyman tashqi masalasida esa
An
n R n 1
n
R n 1
f ( ) cos n d , n 1,2,3,... ,
n
n R n 1
R n 1
Bn
f ( ) sin n d
n
n
formulalar bilan hisoblanishini topmiz. Ularni keltirib chiqarishni o’quvchiga
mustaqil ish sifatida qoldiramiz. Topilgan qatorning differensiallanuvchanligi va
uning uzluksizligi ham xuddi Dirixle masalasidagi kabi bajariladi.
Xulosa. Shunday qilib biz bumavzu davomida berilgan aylanada aniqlangan
+(K) uzluksiz differensiallanuvchi funksiya uchun Laplas tenglamasi uchun 1hamda 2-chegaraviy masalalar yechimlari tekis yaqinlashuvchi qator shaklida
tasvirlanishi va undagi Fur’e koeffisientlari ko’rinishidan foydalanib bu qatordan
Puasson integrali deb ataluvchi tasvirga ega bo’ldik. Yechimning bu ko’rinishi
avvalgisidan bir nechta koeffisientlarni topish va qator yig’indisini aniqlashdan
voz kechib berilgan funksiya orqali Puasson integralini hisoblashdan iborat
qulaylik tug’diradi.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
Doirada Laplas tenglamasi uchun Dirixle ichki va tashqi masalalari
qo’yilishini ayting.
Doirada Laplas tenglamasi uchun Neyman ichki va tashqi masalalari
qo’yilishini ayting. Uning Dirixle masalasidan farqi qanday?
Neyman masalasining to’g’ri qoyilish sharti nimadan iborat? Uning fizik
mohiyatini yushuntiring.
Dirixle masalasining umumiy yechimini topishda o’zgaruvchilarni ajratish
usulining qo’llanilishini tusuntiring. Yechimning davriyligini asoslang.
Berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning Fur’e qatori deb nimaga
aytiladi? Biror funksiyaning Fur’e koeffisientlarini toping va Fur’e qatorini
quring.
Dirixle masalasi Fur’e yechimining diffrensiallanuvchanligi deganda nimani
tushunasiz? Uni isbotlashning umumiy sxemasini ayting.
Neymann masalasi yechimini topishga Fur’e usulining qo’llanilishini to’liq
yozib chiqing.
Neyman masalasi uumiy yechimida Fur’e koeffisientlarining qo’llaniliashi
dirixle masalasidagidan qanday farq qiladi?
9. Dirixle masalasi yechimining Puasson integrali orqali tasvirlanishini keltirib
chiqaring.
10.Neyman
masalasi yechimi uchun ham Puasson integraliga o’xshash
integral tasvir olish mumkinmi? Agar mumkin bo’lsa, uni keltirib chiqaring.
11. Dirixle va Neyman masalasida qaralayotgan aylan markazi koordinatalar
boshidan farqli A(a, b) nuqtada bo’lsa, yechish jarayoni va yechimda
bo’ladigan o’zgarishlar qanday bo’ladi?
Amaliy topshiriqlar
1. f ( ) 2 1, [ ; ] funksiyaning Fur’e qatorini quring.
2. f ( ) 2 , [ ; ] funksiyaning Fur’e qatorini quring.
3. x 2 y 2 4
aylana
ichida
garmonik
va
aylana
ustidagi
qiymati
u ( x, y ) x y bo’lgan funksiyani toping (Dirixle ichki masalasi).
4. x 2 y 2 1
sohada
garmonik
va
uning
chegarasidagi
qiymati
u ( x, y ) x 2 2 y bo’lgan funksiyani toping (Dirixle tashqi masalasi).
5. x 2 y 2 4
aylana
ichida
garmonik
va
aylana
ustidagi
qiymati
u ( x, y )
x y 2 A shartni qanoatlantiruvchi funksiyani topish haqidagi
n
Neyman ichki masalasi to’g’ri qo’yilganlikka tekshiring va uning yechimini
toping.
6. x 2 ( y 1)2 1 sohada garmonik va uning chegarasidagi
qiymati
u ( x, y )
Ax 2 2 y bo’lgan Neyman tashqi masalsini to’g’ri qo’yilganlikka
n
tekshiring va uning yechimini Fur’e usulida toping.
Nazorat uchun savollar:
1. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle masalasining qo’yilishi nimadan
iborat?
2. Laplas tenglamasi uchun doirada Neyman masalasi qanday qo’yiladi?
3. Laplas tenglamasi uchun doirada Dirixle va Neyman masalalarining Fur’e
(o’zga ruvchilarni ajratish) usulida yechish uslibini tushuntiring.
AMALIY MASHG’ULOTLAR
ISHLANMASI
1 –MAVZU
ЦИЛИНДРИК ФУНКЦИЯЛАР. ЦИЛИНДРИК ФУНКЦИЯЛАР УЧУН
ҚАТОРЛАР ВА ИНТЕГРАЛЛАР. ЦИЛИНДРИК ФУНКЦИЯЛАР УЧУН
РЕКУРРЕНТ МУНОСАБАТЛАР
Fazodagi biror sohada aniqlangan va o’z o’zgaruvchilarining uzluksiz
r
funksiyasidan iborat u f ( x, y, z )
funksiyadan a (a x , a y , a z ) vektor bo’yicha
hosilani hisoblash uchun quyidagi algoritm bo’yicha ish ko’riladi:
r
1. Dastlab a (a x , a y , a z ) vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari topiladi:
cos
ax
a x2 a y2 a z2
, cos
ay
a x2 a y2 a z2
2. Berilgan u f ( x, y, z ) funksiyaning
, cos
u u
,
x y
va
az
a x2 a y2 a z2
u
z
. (1)
xususiy hosilalari
hisoblanadi.
3. Topilgan qiymatlarni
u
u
u
u
u
lim
cos
cos
cos
d
0
z
a
d
x
y
(2)
tenglikka qo’yiladi.
r
Agarda a vektorning Dekart koordinata o’qlari bilan tashkil etgan burchaklari
berilsa, 1-qadam tashlanib ishni 2-qadamdan boshlaymiz.
Namunaviy misollar
1-Misol. Berilgan u ( x, y ) x 3 2 x 2 y 2 xy 2 y 3 10 xy funksiyadan OX o’qi
musbat yo’nalishi bilan
6
r
burchak tashkil etuvchi a vektor boyicha hosilani
hisoblang.
Yechish. Ushbu misolda ikki o’zgaruvchili funksiyaning berilgan yo’nalish
bo’yicha hosilasini topish so’ralmoqda. Bizga yo’naltiruvchi kosinuslarning
burchaklari
6
,
2
6
3
berilganligi uchun ularning qiymatlarini
hisoblaymiz:
cos cos
u ( x, y ) x 3 2 x 2 y 2 xy 2 y 3 10 xy
6
3
1
, cos cos .
2
3 2
funksiyaning x va
bo’yicha xususiy
y
hosilalarini hisoblaymiz:
u ( x, y )
u ( x , y )
3 x 2 4 xy 3 y 2 10 y ,
2 x 2 6 xy 3 y 2 .
x
y
U holda berilgan u ( x, y ) funksiyaning berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani
hisoblash uchun (6) formuladan foydalanamiz:
f
u u
1
3
(2 x 2 6 xy 3 y 2 )
cos cos (3 x 2 4 xy 3 y 2 10 y )
r
y
a x
2
2
2-Misol.
(3 3 2 ) 2
3 3 3 2
x ( 2 3 3) xy
y 5 3y .
2
2
u ( x, y , z ) x 2 2 xy 3 yz z 2
funksiyaning
A(1,0,1)
nuqtadagi
r
a i 2 j 2k vektor yo’nalishi bo’yicha hosilasini toping.
Yechish. Vektor yo’nalishi bo’yicha hosilaning 2-ta’rifiga va (2) formulaga
binoan quyidagi ifodaning A(1,0,1) nuqtadagi qiymatini hisoblashimiz kerak:
u
u
u
u
cos
cos
cos .
r
a
x
y
z
r
Buning uchun dastlab a i 2 j 2k vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini
hisoblaymiz:
cos
ax
r
|a |
1
1
,
3
1 4 4
ay
2
2
cos r
,
|a|
1 4 4 3
a
2
2
cos rz
.
|a|
1 4 4 3
Berilgan
u ( x, y , z ) x 2 2 xy 3 yz z 2
funksiyaning
birinchi
xususiyhosilalarining A(1,0,1) nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz:
u ( A)
( 2 x 2 y )( A ) 2 ( 1 ) 2 0 2 ,
x
u ( A)
( 2 x 3 z )( A ) 2 ( 1 ) 3 1 1 ,
y
tartibli
u ( A)
( 3 y 2 z )( A ) 3 0 2 1 2 .
z
r
U holda yuqorida keltirilgan formulaga binoan berilgan funksiyaning a i 2 j 2k
vektor bo’yicha hosilasining A(1,0,1) nuqtadagi qiymatini olamiz:
u ( A)
1
2
2
1
r 2 1 2 .
a
3
3
3
3
3-Misol.
u ( x, y ) x 4 3 x 2 y 4 y 2 funksiyaning A(1,1) nuqtasidan B (5,2)
nuqtaga yo’nalgan vektor yonalishi bo’yicha hosilasini toping.
Yechish.
Dastlab berilgan yonalishni aniqlovchi
r
a
vektorning
r
koordinatalarini aniqlaymiz. Buning uchun a AB ekanligini hisobga olsak,
r
a
vektorning koordinatalari B nuqtaning koordinatasidan A nuqtaning mos
koordinatasini ayirish bilan hosil qilinadi, ya’ni:
r r
r
a a (6 2;1 ( 2)) a ( 4; 3) 4i 3 j .
r
Endi xuddi yuqorida berilgan 2-misoldagi kabi dastlab a vektorning
yonaltiruvchi kosinuslarini, keyin esa berilgan funksiyaning birinchi tartibli
xususiy hosilalarini hisoblaymiz:
u ( x, y ) x 4 3 x 2 y 4 y 2
cos
ax
r
|a |
4
16 9
a
4
4
3
3
3
, cos ry
.
5
|a|
25
16 9
25 5
u
( x 4 3 x 2 y 4 y 2 ) 4 x 3 3 xy ,
x
x
u
(x4 3x2 y 4 y2) 3x2 8 y .
y
y
r r
U holda u ( x, y ) x 4 3x 2 y 4 y 2 funksiyaning a a (4; 3) 4i 3 j vektor yo’nalishi
bo’yicha hosilaning 1-ta’rifiga binoan quyidagi natijani olamiz:
u
u
u
3
4
cos
cos ( 4 x 3 3 xy ) ( 3 x 2 8 y )
r
a
x
y
5
5
2,4 x 3 2,4 x 2 1,8 xy 6,4 y .
Matematik fizikaning ko’plab masalalarni yechish
x 2 y ' ' xy ' ( x 2 2 ) y 0
bir chiziqli difrensial tenglamaga krltiriladi.
2
1
y ' ' y '1 y 0 ,
x
x
(1)
bu yerda - o’zgarmas paramet, (1) -tenglama fizika mexanika astronomiya va
boshqa sohalarda ko’plab uchraydi. Silindirik funksiya termumining kelib
chiqishiga asosiy sabab (1)-tenglama silindirik soxada oid potensialning
chegaraviv masalalarini tekshirishga uchraydi.
Silindirik funksiyelarning ba’zi sinflarini Bessel funksiyalarning hamma
sinflarini ham Bessel funksiyalar deb ataladi.
(1)- tenglamaga Bessel tenglamasi ham deb ataladi.
(1)-tenglama x=0 nuqtada mahsuslikka ega bo’lib uning xususiy yechimini
umumlashgan darajali qator
y x p a k x k (a00)
(2)
k 0
Ko’rinishda izlaymiz. (2)- qatorni (1)-tenglamaga keltirib quyib
2. ( p 2 2 )a 0 x p p 12 a1 x p 1 p k 2 2 a k a k 2 x k 0
(3)
k 2
y ' a k x k p ( p k ) a k x k p 1 1a1 x p 1 p k a k x p k )
k 2
k 2
k 0
(3)- formuladan x-turli xil darajalarining oldiga koeyfisentlarini tenglashtirib
quydagilarni hosil qilamiz.
(4)
2 2 0
k 2 2 0
(5)
2
p k 2 ak ak 2 0
(6)
(4)- uchun 2 ta ko’upaytma topamiz P1=, p2=-
Agar
P1=,
k 2 2
ildizni
olsak
(5)
va
(6)
formulalar
a1=0, a k
a k 1
k ( 2 n )
k (2 k ),...., K 2,3,4..... , a2k+1=0(k=0,1,2,3….)
a2
2(2 2 )!
a0
a0
a2
4
a4
4(4 2 ) 2 4 4 (1 )2 2 1 2 2!
a0
a k (1) k 2 k
ixtiyoriy bo’lmagan a0 koyefisentni
2 (1 )(2 ) (k ) K!
1
a0
2 ( 1)
a2
(7)
(7)-ko’rishda tanlaymiz bu yerda Г()Г gamma funksiya bo’lib - daning barcha
musbat qiymatlarida haqiqiy qismi musbat bo;lgan komplekis qiymatlarda ham
e x x 1 dx
(8)
0
Shu ko’rinishda aniqlanadi a0 ni shunday tanlash orqali a2k koyfisentlar
a k (1) k
2
2k
1
( 1), , , ( k ) 1
(9)
(9) formulani gamma funksiya asosiy hossasidan foydalanib soddalashtirish
mavxum. Buning uchun (8) ning aniq mumkin ekanliklarini ko’rsatadi K musbat
butun son bolsin (10) – formulani 1 nechta maratoba
(11)
Г(+k+1)=(+1)(+2),,,,(+k)Г(=1)
Ekanligini o’rinli ko’rsatish mumkin.
(11)- formuladan =0 deb olib p(1) e x dx e x 0 1 mana shu tenglikdan
0
(12)
Г(k+1)=K!
Hosil qilamiz (11)- yordamida a2k uchun (9)-formuladan
a 2 k (1) k
1
2
2 k 1
(13)
k! k 1
Ko’rinishda yozish mumkin.
4- misol
X’(t)-3x’(t)+2x(t)=6e-t tenglamasi uchun x(0)=2,x’(0)=0 boshlang’ich shart bilan
Koshi masalasini yeching
x(t ) X ( p)
bo’lsin
u
x' (t ) pX ( p) x(0) pX ( p) 2
holda
x' ' (t ) p 2 X ( p) px(0) x' (0) p 2 X ( p ) 2 p
Tenglamaga tasvirga o’tib p 2 X ( p) 2 p 3( pX ( p) 2) 2 X ( p)
6
2p
,
, , X ( p) 2
p 1
p 1
Bundan x(t)=2cht.
2- Misol
x’’’(t)+x’(t)=cost tenglamaning yechimini x(0)=0, x’(0)=-2, x’’(0)=0
boshlang’ich
shartlardan
topamiz.
x(t ) X ( p)
bo’lsin
u
holda
x' ' (t ) X ( p), X ' ' ' (t ) p 3 X ( p ) 2 p
Tenglamaning
tasvirga
o’tib
1 2 p2
p
p p X ( p) 2 p 1 p 2 hosil qilamiz, bundan X ( p)
2
1 p2
3
1 2p
2
1 p
2 2
2
1 p 1
3 1
,
2
2 p2 1
2 p2 1
2
p
p 1
2
p2
t cos t ,
2
1
sin t
1 p2
p2 1
1
3
1
1
3
X ( p)
2
, x(t ) t cos t sin t
2
2
2
2
2 p 1
2 p 1
5- Misol x IV (t ) 2 x' ' (t ) x(t ) sin t tenglamani nol bo’lgan boshlang’ich shartda
yechamiz.
Agar x(t ) X ( p) u holda p 4 2 p 2 1X ( p)
1
1
bundan X ( p) 2
shuning
p 1
( p 1) 2
2
3
3
1
8
8
8
2
2
u u
u
2 ,0 x 1, t 0 tenglamani U t 0
2 Misol
t 0 0 boshlag’ich shartlarda
2
t
t
x
u
va quydagi chegaraviy shartlarda U (0, t ) 0
(l, t ) sin t yeching
t
uchun x(t ) sin t t cos t t 2 sin t
Yechish U ( x, t ) U ( x, p ) u holda
inobatga olib tenglamaga o’tib
dV
(l, t ) 2
dx
p 2
Boshlang’ich shartlarni
d 2V
p 2V hosil qilamiz. Buning umumiy yechimi
2
dx
p 2
V ( x, p)C1chpx C 2 shpx chunki sin t
V(0,t)=0,
2 u 2 d 2V
p
x 2
dx 2
2
V ( x, p )
, chegaraviy shartdan
sin p
V ( x, p ) funksiya i ,i k ,
p( p 2 2 )chp
1
nuqtalarda qutbga ega bu yerda k k ; k 1,2,3... Yoyilma haqidagi 2-
2
res
res
res
res
G ( p)
G( p)
G( p)
G( p)
teoremaga ko’ra U ( x, t )
p pk
p i
p i
k 1 p p k
, bu yerda p k i k , Gp V x, p e pt
funksiyaning
barcha
k 1,2,3, , , , , , deb faraz qilib G(p)
qutblari
oddiy.
it
e sin xp
res
1
i sin xe
G p
2
2
p i
2 cos
pchp p i p ' p i
pt
ikt
e pt sin xp
sin k x
res
k 1 ie
(
)
G ( p )
2
2
2
p i
k 2 k
p p shp p pk
sin k x sin k t
res
res
res
G ( p)
G ( p) 2 Re
G( p)
p i
p i
p i
k k2 2
sin x sin t
k sin k x sin k t
U ( x, t )
2 1
cos
k k2 2
k 1
Mustahkamlash uchun misollar
r
1. u ( x, y ) x 2 3xy y 3 funksiyaning A(1,1) nuqtadagi a (3,4) vektor bo’yicha
hosilasini hisoblang.
r
2. u ( x, y ) yx 2 sin x 2 x 3 y 2 funksiyaning n (5,12) vektor yo’nalishi bo’yicha
hosilasini hisoblang.
r
3. u ( x, y ) x cos 2 y 3 x 2 y 4 funksiyaning n (1,1) vektor yo’nalishi bo’yicha
hosilasini hisoblang.
4. u ( x, y ) ln x 2 ytg 3x 2 y 7 x funksiyaning Ox va Oy koordinata o'qlari bilan
va burchaklar tashkil etuvchi vektor yo’nalishi
6
3
bo’yicha hosilasini hisoblang va bu hosilaning A(2,1), B(1,2), C (2,0), D( ,1)
3
mos ravishda
nuqtalardagi qiymatini toping.
5. v( x, y ) 3xy x 2 4 y 3 2 y 7 x funksiyaning Ox koordinata o'qi bilan
3
burchak tashkil etuvchi vektor yo’nalishi bo’yicha hosilasini hisoblang va
hosilaning A(3,2), B (1,2), C (2,3), D (4,1) nuqtalardagi qiymatlarini toping.
r
6. u ( x, y, z ) x 2 3xy 4 yz 2 y 3 2 z 2 funksiyaning A(1,3,1) nuqtadagi a (2,1,2)
vektor bo’yicha hosilasini hisoblang.
r
7. u ( x, y ) yzx 2 sin xz 2 xy 2 3zy 2 funksiyaning n (5,0,12) vektor yo’nalishi
bo’yicha hosilasini hisoblang.
8. u ( x, y ) 2 z cos 2
x
3x 3 y 4 z 2
2
funksiyaning
r
n (1,2,2)
vektor yo’nalishi
bo’yicha hosilasini hisoblang.
9. u ( x, y ) 2 x 2 y yctg 3z 2 zy 3x 6 z funksiyaning Ox , Oy va Oz koordinata
6
o'qlari bilan mos ravishda ,
2
va
burchaklar tashkil etuvchi
4
3
vektor yo’nalishi bo’yicha hosilasini hisoblang va bu hosilaning
A(2,1,1), B (1,2,3), C (1,2, ), D (3,2, ) nuqtalardagi qiymatini toping.
6
4
2
2
3
2
10. v( x, y ) 2 xyz 3x 4 y 5 z 2 y 7 x 5 z funksiyaning koordinata o'qlari
2
bilan ,
va burchaklar tashkil etuvchi vektor yo’nalishi
3
3
4
bo’yicha hosilasini hisoblang va uning A(3,1,2), B (1,4,2), C (0,2,3), D (4,1,1)
nuqtalardagi qiymatlarini toping.
2 – MAVZU
ЛЕЖАНДР ПОЛИНОМЛАРИ. СФЕРИК ФУНКЦИЯЛАР.
ЭРМИТ ПОЛИНОМЛАРИ. MАХСУС ФУНКЦИЯЛАР УЧУН
ИНТЕГРАЛ ВА ҚАТОР КЎРИНИШДАГИ ТАСАВВУРЛАР ВА
РЕКУРРЕНТ МУНОСАБАТЛАР.
Bu mavzuda biz birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama,
uning kvazichiziqli, chiziqli ko’rinishlari, bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan
ko’rinishlari bilan tanishamiz hamda ushbu tenglamalarninig xususiy va umumiy
yechimini uning xarakteristik tenglamasi va birinchi integrallar deb ataluvchi
xarakterisytik chiziqlar oilasi orqali qurish usuli haqida to’xtalamiz. Topilgan
umumiy yechim orqali tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasi yechimini topish
masalasi ham o’rganiladi. Bu tushunchalarni tuzish, aniqlash va yechish bilan siz
ma’ruza darsidan tanishsiz, shuning uchun biz Koshi masalasini yechish usuli bilan
amaliy misollarda tanishamiz.
Sferik funksiya
1 ' 2
y y 1 2
x
x
''
y 0
(1)
Silindrik funksiysning kelib chiqishiga shu narsa sabab bo’ladiki tenglama
silindrik sohaga oid potensial chegaraviy masalalarni tekshirishda uchraydi.
Silndrik funksiya na’zi sinflari Bessel funksiyalari deb yuritiladi, ba’zan silindrik
funksiyaning hamma sinflari ham Bessel funksiyalari deb ataladi.(1)-ga Bessel
tenglamasi ham deyiladi. (1)- x=0 nuqtada maxsuslikka ega uning xususiy
yechimini umumlashgan qator ko’rinishida
y x ak x k
(2)
( a 0 0)
k 0
izlaymiz. (2)- qatorni (1)- tenglamaga qo’yib
2
2 a 0 x 1 2 a1 x 1 k 2 a k a k 2 a k 0
2
2
(3)
k 2
X turli xil darajalari oldidagi koyfisentlarni tenglashtirib
(4)
(5)
(6)
2 2 0
1 a 0
k a a 0
2
1
2
k
k 2
(1)- tenglikdan p uchun 2 ta qiymatni p1= va p2=- topamiz.
Agar 1- ildiz p= olsak (5)va (6) formuladan a1 0 va a k
(k 1,2,3,4......) juft ihdekisli koyfisentlar esa a 2
ak 2
k (2 k )
a0
,
2 1 1l
2
a4
a0
vahokozo a 2 k koyfisentlar uchun umumiy ifida
2 1( 2) 2 l
4
a 2 k (1) k
a0
(k 1,2,3,....)
2 ( 1)( 2)...( k ) k!
2k
Hozirgacha ixtiyoriy bo’lgan a 0 koeffisentni esa
a0
1
2 1
(7)
ko’rinishda tanlaymiz, bu yerda gamma funksiya -= barcha musbat
qiymatlarida (musbat haqiqiy qisni kompleks qiymatlari uchun ham) qo’ydagi
tarzda
e x x 1dx
0
aniqlanadi.
a 0 ni shunday tanlash orqali
a 2 k koeffisentlar
(8)
a 2 k (1) k
2
2 k
1
k!( 1)( 2)...( k ) 1
(9)
ko’rinishda izlaymiz.
Bu ifodani gamma funksiyaning asosiy xossasidan foydalanib soddalashtirib
yozish mumkin. Buning uchun (8)-ning o’ng tamonini bo’laklab integrallaymiz; u
holda
1 ( )
(10)
(10)- formula gamma funksiyani - manfiy qiymatlari va barcha kompleks
qiymatlari uchun ham qniqlash mumkin ekanligini ko’rsatadi.
K-butun musbat son bolsin (10) formulani bir necha marotaba qo’llab
k 1 ( 1)( 2)....( k )( 1)
(11)
Bu formulada 0 deb (1) e x dx 1 tenglikdan gamma funksiyaning
0
k 1 k!
(12)
Tenglik bilan ifodalovchi boshqa bir xossasi topiladi. (11)- formula yordamida a 2 k
koyfisent uchun (9) – ifoda qo’ydagi ko’rinishni oladi.
a2k
(1) k
2 k
2
k! k 1
(13)
(2)-qatorda a 2 k 1 va a 2 k koyfisentlarning qiymatini topib (1)- tenglamaning xususiy
yechimini hosil qilamiz. Bu yechimga Besselning 1- jinsli - tartibli va x
ko’rinishida bo’ladi. Shunday qilib
2 k
x
(1)
2
x
k 0 K ! k 1
k
(14)
(14)-qator x ning ixtiyoriy qiymatida yaqinlashadi dalamber belgisi orqali ishonch
hosil qilish mumkin, Ikkinchidan ildiz 2 qo’llab (1) tenglamaning 2- xususiy
yechimini qurish mumkin. Buni (14) yechimdan va ga almashtirib
2 k
x
(1)
2
x
k 0 K ! k 1
k
(15)
Agar butun son bo’lmasa , (1) Bessel tenglamasining ( x)va ( x) xususuy
yechimlari chiziqli bog’langan bo’ladi chunki (14) va (15) – formulalarning ung
tomonidagi yoyilmalar x ning har xil darajalaridan boshlanadi. Agar musbat
butun n bo’sa n ( x)va n ( x) yechimlari chiziqli bog’langanligini ko’rish mumkin.
Haqiqatdan , butun uchun k=0,1,2,3,…, n-1 qiymatlarda k 1 manfiy qiymat
yoki nol qabul qildi. K ning bu qiymtlari uchun ( k 1) qaysiki
m
(m 1)
formuladan kelib chiqadi.
m
Shunday qilib (15) yoyilmada 1- n-ta hadi nolga aylanadi va
n2k
x
(1)
2
n x
yoki k n l ko’yib
k n ( k 1) n k 1
k
2 l
x
(1)
2
, yani n ( x) (1) n n ( x)
l 0 (l 1)n l 1
l
n x
n
(n- butun )
(16)
Bundan kelib chiqadiki, n ning butun qiymatlarida n ( x)va n ( x) chiziqli bog’langan
ning n butun son qiymatlariga teng bo’lgandagi (1) tenglamaning umumiy
yechimini topish uchun v (x) dan chiziqli bog’lanmagan 2- xususiy yechimni
topish kerak. Buning uchun yangi Yn (x) funksiyani qaratamiz
Y ( x)
( x) cos ( x)
sin
(17)
Bu funksiya ham (1)-tenglamaning yechimi ekanligini ko’rish mumkin, chunki
( x)va ( x) xususiy yechimlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat. Osongina
ko’rish mumkinki (16) – munosabatga ko’ra - ning n- ni butun qiymatlariga teng
bo’lganda (17) tenglikni o’ng tomoni
0
ko’roshdagi aniqmaslikni qabul qiladi. .
0
Bu aniqmaslikni Lapital qoidasiga ko’ra ko’rishni hosil qilamiz;
n2k
x 1 n 1 n k 1 x
Yn ( x) y n ( x)ln
k!
2 k 0
2
2
1 x
1
2
k 0 k!k n !
k
n 2 k
' k 1
k 1
(18)
Xususiy hold n=0 bolganda y(x) funksiya
x
(1)
2
x 2
2
Y0 ( x) 0 ( x)ln
2 k 0
k!2
2k
k
' k 1
k 1
(19)
Kiritilgan Y(x) funksiya Besselning 2- jinsli tartibli yoki Veber funksiyasi
deyiladi. Y(x) ham Bessel tenglamasining butun son bo’lgandagi yechimi
Y(x) va Y(x) funksiyalar chiziqli bog’lanmagan, bu funksiyalar kasr yoki butun
barcha qiymatlarida fundamental yechimlar sistemasini tashkil qiladi. Bunda (1)
tenglamaning umumiy yechimi
y=c1I(x)+c2y(x)
(20)
ko’rinishda ifodalanadi c1va c2 – ixtiyoriy o’zgarmaslar
' ( x) 1 ( x)
' ( x) 1 ( x)
1 x
( x) ; Y' ( x) Y 1 ( x) Y ( x) ,
x
x
x
Y' ( x) Y 1 ( x) Y ( x) ,
x
( x)
2
x 1 x ,
x
Y 1 x
2
x Y 1 x ,
x
(21)
(22)
(23)
1
2l
x 2
(
1
)
2
1 ( x)
3
k 0
2
k! k
2
l
(11)- formuladan kelib chiqadiki,
3
1 3 5....( 2k 1) 1
k
,
2 k 1
2
2
2 (1) k x 2 k 1
1 ( x)
;
k k 0 2k 1!
2
1 ( x)
2
3
2
5 x
2
1 ( x)
2
1
,
2
2
sosx
k
1
2
sin x
2
sin x cos x
cos x
k
k
2 x
2
x
sin x
2
2
1
sin x cos x
cos x
2k
2 x
2
x
k
2
3
1
2
3
3
1 2 sin x cos( x )
sin x sin x cos x
2 x
2
k
k x
x
x
Bessel funksiyaning ayrim integral tasviri
Integral tasvir Puasson tamonidan olingan
2k
x
k
2
x 1
k 1 k 1
k 0
(1)
1
1
Bu qatorning umumiy holidagi surat va maxrajni k ga ko’paytirib
2
2
1
k 1 k 2 2 k 2k !
2
2k
1
1
x
k
k 2k
1 x 2 2
2
2
1 2k !
k 1 k 1
k 1
2
1k x
yoki
m 1 n 1
1 2 2
m
n
0 cos sin d 2
m n2
2
2
formulaga ko’ra
2k
1 x
2
k 1 k 1
k
x
2
k 2k 2
1 x cos 2 sin 2kk d
2
1
2k ! 0
2
(2)
(2)- tenglik xulosasidan (1)- qator
x
2
k 2k 2
1 x cos 2 sin 2k d
2
( x)
1
2k ! 0
k 0
2
Integral va yig’indi belgilarini almashtirib
x
2
2
1k x 2k sin 2k d
2
2
( x)
cos
1
2k !
k 0
0
2
Qator bilan integrallashning o’rnini almashtirish qonuni, chunki qator
yaqinlashadi. Bu qatorning yig’indisi cos(xsin) dan iborat. Shunday qilib
,Puasson formulasini
(3)
x
2
2
2
( x)
cos 2 cos( x sin )d
1
0
2
(4)
Hosil qilamiz , integralning yaqinlashishi uchun Re
1
bo’lishi kerak, u holda x
2
ixtiyoriy haqiqiy yoki komplekisqiymatni qabul qiladi
Yagi integrallanuvchi o’zgaruvchi kiritib t=sin almashtirish olib
x
2
1
2
( x)
1 t2
1
1
2
1
2
cos xtdt
Integral ostidagi funksiyaning juftligi va 1 t 2
1
2
sin xt toqligidan
x
2
1
2
( x)
1 t2
1
1
2
1
2
e ixt dt
(5)
Puasson formulasi yordamida ixtiyoriy haqiqiy x da (x) ni osongina baholash
mumkin. Haqiqatdan cos(xsin)1 inobatga olib (4) dan
x
2
2
2
cos 2 d
( x)
1
1
2
xR va
x
2
(6)
1
uchun I ( x)
1
2
bo’ladi.
Faraz qilaylik bizga birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli
differensial tenglama berilgan bo’lsin:
b1 ( x1 , L , xn ) u x L bn ( x1 , L , xn ) u x 0 .
(1)
1
n
Bunda bi ( x1 ,L , xn ) 0, i 1,2,L , n koeffisientlar biror D R n sohada aniqlangan va
o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin.
Odatda (1) bilan bir vaqtda uning xarakteristik tenglamalari deb ataluvchi
quiydagi diffrensial tenglamalar sistemasi qaraladi:
dxn
dx1
dx2
.
L
b1 ( x1 , L , xn ) b2 ( x1 , L , xn )
bn ( x1 , L , xn )
(2) sistemani unga ekvivalent bo’lgan
almashtiramiz
(2)
quyidagi tenglamalar sistemasi bilan
dxi bi ( x1 , L , xn )
, i 1,2, L , n 1 .
dxn bn ( x1 , L , xn )
(3)
bi ( x1 , L , xn ), i 1,2, L , n koeffisientlarga yuqoridagi qo’yilgan shartlarda (3) sistema
n 1 ta chiziqli bog’lanmagan birinchi integrallarga ega bo’ladi:
i ( x1 , x2 , L , xn ) Ci , i 1,2, L , n 1 .
(4)
(6) ga (3) tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasi deb ataladi.
Agar i ( x1 , x2 ,L , xn ) Ci , i 1,2,L , n 1 lar (5) ning birinchi integrallari
bo’lsa, u holda (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi
u F 1 , 2 , L , n 1
dan iborat bo’ladi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi
ixtiyoriy funksiya.
1-Misol. xu x yu y zu z 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglamaning umumiy yechimini toping. Bir nechta xususiy yechimlarni yozing.
Yechish. Bu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi quyidagi
ko’rinishda bo’ladi:
dx dy dz
.
x
y
z
Bu sistemani
dx dz
x
z
dy dz
y
z
ko’rinishda yozib uning integrallarini topamiz:
ln x ln z ln C1
ln y ln z ln C2
yoki
x
C1
z
.
y
C2
z
U holda teoremaga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi uzluksiz
differensiallanuvchi ixtiyoriy F funksiya orqali
x y
u F ,
z z
ko’rinishda bo’ladi. Umumiy yechimning bu ko’rinishidan berilgan tenglamaning
bir nechta xususiy yechimlarini yozamiz:
x
z
1) u
2-Misol.
y
z
x
z
2) u sin
y
z
2
x
y
3) u ( x, y, z ) cos 2 1 .
z
z
2 yu x xu y 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Ushbu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi
dx dy
2y x
ko’rinishdagi bitta o’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglamadan
iborat bo’ladi. Uni xdx 2 ydy shaklda tasvirlab, integrallaymiz va natijada
berilgan tenglamaning
1 2
x y 2 C yoki
2
1 2
x y2 C
2
xarakteristik chiziqlari oilasini olamiz. Natijada berilgan tenglamaning umumiy
yechimi
1
u F ( x2 y2 )
2
funksiyadan iborat bo’ladi. Bunda F uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy
funksiya.
Bu misollardan ko’rinib turibdiki, xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglama cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega ekan. Unga qanday qo’shimcha
shart qo’yilsa, bu tenglama yagona yechimga ega bo’ladi degan savol muhim fizik
va matematik ahamiyatga ega hisoblanadi.
3-Misol. xu x yu y zu z 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglamaning u ( x, y,2) x 2 3 y shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Biz 1-misolda bu tenglamaning umumiy yechimi
x
u ( x, y , z ) F ,
z
y
z
Ko’rinishda ekanligini topgan edik. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz
differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Endi bu yechimdan berilgan shartni
qanoatlantiradigan xususiy yechimni ajratib olamiz. Buning uchin topilgan
umumiy yechimda z 2 deb, uni u ( x, y,2) x 2 3 y ga tenglashtiramiz:
x y
F , x2 3y .
2 2
Agar
x
w1
2
y
w2
2
x 2w1
y 2w2
yoki
desak yuqoridagi shartdan
F w1 , w2 (2 w1 ) 2 3(2 w2 ) yoki F w1 , w2 4 w12 6 w2
x y
ekanligini olamiz. Topligan umumiy yechim u ( x, y, z ) F , bo’lganligi uchun
z z
qo’yilgan Koshi masalasi yechimi
2
x 6y
u ( x, y, z ) 4
z
z
funksiyadan iborat bo’ladi.
4-Misol.
2 yzu x 3 xzu y 4 xyu z 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli
differensial tenglamaning
toping.
Bunda
y0 -
u ( x, y0 , z ) f ( x, z ) shartni qanoatlantiruvchi yechimini
biror
haqiqiy
son,
f ( x, z )
esa
berilgan
uzluksiz
differensiallanuvchi funksiya.
Yechish. Dastlab bu differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
Shu maqsadda xuddi 1- va 2-misollardagi kabi yo’l tutamiz, yani berilgan
tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasini tuzamiz:
dx
dy
dz
.
2 yz 3 xz 4 xy
Bu sistemani
3xdx 2 ydy
4 ydy 3zdz
ko’rinishda yozib, ularni integrallash bilan berilgan tenglamaning xarakteristik
chiziqlari oilasini topamiz:
3 2
1
x y 2 C1
1 ( x, y ) 3 x 2 2 y 2 C1
2
2
yoki
.
2
2
3 2 1
(
x
,
y
)
4
y
3
z
С
2
2
2
2 y z С2
2
2
U holda berilgan tenglamaning umumiy yechimi
u ( x, y , z ) F (3 x 2 2 y 2 , 4 y 2 3 z 2 )
ko’rinishda bo’ladi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi
ixtiyoriy funksiya.
Endi umumiy yechimdan
u ( x, y0 , z ) f ( x, z ) , ya’ni F (3 x 2 2 y02 , 4 y02 3 z 2 ) f ( x, z )
Shartni qanoatlantiradigan yechimni ajratib olamiz. Buning uchun
3 x 2 2 y 02 w1
4 y 02 3 z 2 w2
belgilashlar kiritib, bu sistemani x va z larga nisbatan yechamiz:
1
w1 2 y02
3
.
1
2
z
w2 4 y0
3
x
U holda yuqoridagi shart
F ( w1 , w2 ) f (
1
1
w1 2 y02 ,
w2 4 y02 ) .
3
3
Ushbu ifodadan
F (3 x 2 2 y 2 , 4 y 2 3 z 2 ) f (
1
1
4 y 2 3 z 2 4 y02 )
3 x 2 2 y 2 2 y02 ,
3
3
ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglik va umumiy yechimning tasviriga asosan
qo’yilgan Koshi masalasining yechimi
u ( x, y, z ) f (
1
1
4 y 2 3 z 2 4 y02 )
3 x 2 2 y 2 2 y02 ,
3
3
funksiyadan iborat bo’ladi.
Faraz qilaylik bizga
b1 ( x1 , L , xn , u ) u x1 L bn ( x1 , L , xn , u ) u xn f ( x1 , L , xn , u ), f 0
(5)
ko’rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama berilgan
bo’lsin. Odatda bu tenglama hosilalarga nisbatan chiziqli yoki kvazichiziqli
differensial tenglama deb yuritiladi. Tenglamada berilgan bi , i 1,2, L , n va f
funksiyalarni
o’z
o’zgaruvchilarining
o’zgarish
sohasida
uzluksiz
differensiallanuvchi va noldan farqli berilgan funksiyalar deb qaraymiz.
(5) umumiy yechimini topish uchun dastlab unga mos xarakteristik
tenglamalar sistemasini tuzamiz:
dxn
dx1
dx2
du
L
, f 0.
b1 ( x1 , L , xn , u ) b2 ( x1 , L , xn , u )
bn ( x1 , L , xn , u ) f ( x1 , L , xn , u )
Faraz qilaylik bu n ta tenglamalar sistemalarining umumiy integrallari
1 ( x1 ,L, xn , u ) C1
2 ( x1 ,L, xn , u ) C2
LLLLLLLL
n ( x1 ,L, xn , u ) Cn
bo’lsin. U holda (5) tenglamaning umumiy yechimi
F (1 ( x1 , L , xn , u ), 2 ( x1 , L , xn , u ), L , n ( x1 , L , xn , u )) 0
oshkormas ko’rinishda beriladi.
Topilgan bu yechimdan foydalanib, (5) tenglamaga qo’yilgan Koshi
masalasining, ya’ni (5) ning biror shartni qanoatlantiruvchi yechimini ham
topishimiz mumkin.
5-Misol.
( x 2)u x ( y 1)u y ( z 3)u z u 4
xususiy hosilali differensial
tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama uch o’zgaruvchili u ( x, y, z ) funksiyaga nisbatan
bibrinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamadir. Uning
umumiy yechimini topish maqsadida dastlab bu tenglamaga mos xarakteristik
tenglamani tuzamiz:
dx
dy
dz
du
.
x 2 y 1 z 3 u 4
Ushbu 3 ta diferensial tenglamalardan iborat sistemani
dx
du
x 2 u 4
dy
du
y 1 u 4
dz
du
z 3 u 4
ko’rinishda yozib, integrallarini topamiz:
x2
C1
u4
y 1
C2 .
u4
z3
C3
u4
Yuqorida ta’kidlaganimizga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi
(umumiy integrali) oshkormas ko’rinishda
x 2 y 1 z 3
,
,
F
0
u 4 u4 u4
formula bilan beriladi. Bunda ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi F funksiya.
6-Misol.
( x 2)u x ( y 1)u y ( z 3)u z u 4 xususiy hosilali differensial
tenglamaning
u ( x, y ,0) f ( x, y ) shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
f -
Bu biz 5-misolda qaragan tenglamaga qo’shimcha
u ( x, y ,0) f ( x, y ) shart qo’yilgan Koshi masalasidan iborat. Uning umumiy yechimi
Yechish.
(umumiy integrali) 5-misolda topilgani kabi
x 2 y 1 z 3
,
,
F
0
u 4 u4 u4
oshkormas ko’rinishda topiladi.
Endi qo’yilgan Koshi masalasining yechimini topish uchun
uzluksiz differensiallanuvchi F funksiyani shunfay tanlaymizki,
u ( x, y ,0) f ( x, y ) yoki u ( x, y ,0) f ( x, y ) 0
ixtiyoriy
qo’shimcha shartni
3
x2
y 1
u ( x, y,0) f ( x, y )
,
,
F
u ( x, y,0) 4 u ( x, y,0) 4 u ( x, y,0) 4
ko’rinishda yozamiz.
belgilashlar kiritamiz:
(6)
5-misolda topilgan xarakteristikalarda z 0 deb, yangi
x2
w1
u4
y 1
w2
u4
3
w3
u4
Bu sistemani x, y , u ga nisbatan yechamiz:
3w1 2 w3
w3
3w2 w3
y
.
w3
3 4 w3
u
w3
x
Topilgan bu ifodalarni (6) ga qo’yib, quyidagi ifodani hosil qilamiz
F w1 , w2 , w3
3w 2w3 3w2 w3
3 4w3
.
,
f 1
w
w
w3
3
3
x 2 y 1 z 3
,
,
0 bo’lganligi uchun yuqorigagi tenglikka
u 4 u4 u4
Masala yechimi F
asosan qo’yilgan Koshi masalasining yechimi oshkormas shaklda
z 3
z 3
y 1 z 3
x2
2
3
3
u4 f u4
u4 , u4 u4 0
z 3
z3
z 3
u4
u4
u4
3 4
formula bilan beriladi. Bu ifodalarda soddalshtirishlarni bajarsak quyidagi tenlikni
olamiz
3u 4 z
3x 2 z 3 y z
f
,
.
z 3
z 3 z 3
Bu tenglikni u ga nisbatan yechib, Koshi masalasining
u ( x, y , z )
z 3 3x 2 z 3 y z 4 z
f
,
3
z3 z3 3
oshkor ko’rinishdagi yechimiga ega bo’lamiz.
Eslatma. Ba’zan 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning
umumiy yechimini topishda xarakteristik tenglamalar sistemasi integrallarini
topish jarayonida
dxn
dx1
dx2
L
k
b1 ( x1 , L , xn ) b2 ( x1 , L , xn )
bn ( x1 , L , xn )
ekanligidan
a1dx1 a2 dx2 L am dxm
k
a1b1 ab L am bm
tenglikning
ham
o’rinli
ekanligidan foydalanish
a i a i ( x1 , x 2 , L , x n ), i 1,2, L , m; m N biror funksiyalar.
mumkin.
Bunda
Mustaqil yechish uchun misollar
I. Quyidagi 1-tartibli xusuiy hosilali bir jinsli differensial tenglamalarning
umumiy yechimini toping.
1) 5 yu x 3xu y 0
2) 3xzu x 4 yzu y 5 xyuz 0
3) 5 y 4u x 3x 2u y 0
4) cos2 y u x 6 sin 3x u y 0
5) (1 x 2 )u x (2 y 5)u y 23 z 1 u z 0
6) x sin x u x e y cos y u y 0
7) xu x 2 yu y zu z u 1
8) x 2u x 2 yu yu y u 2
II. Quyidagi 1-tartibli xusuiy hosilali bir jinsli differensial tenglamalar
uchun Koshi masalasi yechimini toping.
1) ( y 3)u x ( x 1)u y 0, u ( x,1) x 2 3x 5
2) xzu x 4 yzu y 5 xyu z 0, u (1, y, z ) ( y 1) sin z 2
3) xzux yzu y 3xyuz 0, u ( x, y, y0 ) x 2 3 y 2
4) (1 x 2 )u x (2 y 5)u y u z 0, u(2, y, z) 5 y 4 z 2 7 yz
5) ( z y)u x zu y yu z 0, u(0, y, z ) 2 y 2 ( y z ) 1
3-MAVZU
IKKINCHI TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR VA ULARNI SINFLASH
Dastlab mavzuning nazariy asoslarini keltiramiz.
D Rn
sohada
x ( x1 , x2 , L , xn ) D
ma’lumki biror
u u ( x1 , x2 , L , xn )
Ma’ruza darsidan
o'zgaruvchilarning
funksiyasiga nisbatan 2-tartibli xususiy hosilali differensial
tenglama deb shu noma’lum funksiya, uning argumentlari va ikkinchi tartibgacha
xususiy hosilalari qatnashgan tenglamaga aytiladi.
U umumiy holda biror
berilgan F funksiya orqali
F ( x1 , x2 , L , xn , u , u x , L , u x , u x x , L , u x x ) 0
(1)
1
n
1 1
n n
ko’rinishda yoziladi. Agar (1) tenglama
a11u x1 x1 2a12u x1x2 L ann u xn xn f ( x, u , u x1 , L u xn ) 0
(2)
ko’rinishda bo’lib, a ij , i, j 1,2, L , n koeffisientlar ( x, u , u x ,L u x ) larning funksiyasi
1
n
bo’lsa, u holda (2)ga D R n sohada ikkinchi tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli
diffrensial tenglama deyiladi. Agar (2) da a ij , i, j 1,2, L , n koeffisientlar faqat
( x1 , L , xn ) larning funksiyasi bo’lsib, f ( x, u , u x1 , L u xn ) ham o’z argumentlarining
chiziqli funksiyasi bo’lsa, unga 2-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial
tenglama deiladi. 2-tatibli xusuiy hosilali differensial tenglamaning berilgan
nuqtadagi tipi unga mos 2-tartibli
Q(1 , L , n ) a11 ( x)12 2a12 ( x)12 L ann ( x)2n
(3)
kvadratik formaning kanonik shakli (aralash ko’paytmalar qatnashmagan to’la
kvadratik shakli) ga uzviy bog’liq. n 2 holda uning tipi ( x) a122 ( x) a11 ( x)a 22 ( x)
determinant qiymatining ishorasi bilan topilishi bizga ma’lum. Quyida biz ushbu
fikrlarni aniq misollarda tahlil qilamiz.
1-misol. u xx 2u xy 2u yy 4u yz 5u zz = 0 tenglamani tipini aniqlang.
Yechish. Ushbu tenglamani tipini aniqlash uchun xaraktristik forma
usulidan foydalanamiz. Berilgan tenglama quyidagi kvadratik formaga ega:
Q(1 , 2 , 3 ) = 12 212 22 423 532 =
= (1 2 ) 2 (2 23 ) 2 32 .
Bu yerda 1 = 1 2 , 1 = 2 23 , 3 = 3 ya'ni 1 = 1 2 2 3 , 2 = 2 2 3 ,
3 = 3 almashtirish bajargandan keyin kvadratik forma quyidagi Q( ) = 12 22 32
kanonik ko'rinishga keladi. Bundan 1 = 2 = 3 = 1 ekanligini hisobga olsak,
berilgan tenglama elliptik tipga tegishli ekanligi kelib chiqadi.
u xx u yz u xz x cos xu y y sin xu ( x y )e y
2-misol.
tenglamani
tipini
aniqlang.
Yechish. Berilgan tenglamani matritsasini tuzamiz:
A11 = 0, A12 =
A23 =
1
1
1
1
, A13 = , A21 = , A22 = ,
2
2
2
2
1
1
1
, A31 = , A32 = , A33 = 0
2
2
2
Eslatib o'tamizki, tenglamaning kanonik ko'rinishdagi k sonlar shu
tenglama matritsasining xaraktristik sonlari bo'ladi.Shuning uchun hosil qilingan
matritsaning xaraktristik sonlarini topamiz:
0,5
det ( A E ) = 0,5
0,5
0,5
0,5 = 0.
0,5
BUndan esa
42 3 1 = 0,(2 1) 2 ( 1) = 0,1/2 = 0,5;3 = 1.
Demak, matritsa noldan farqli har xil ishorali xaraktristik sonlardan iborat.
Ta'rifga asosan berilgan tenglama giperbolik tipli tenglama ekan.
3-misol. u xx yu yy 6u x 3u yy 11u = 0 tenglamani tipini aniqlang.
Yechish. Brilgan tenglama ( A11 = 1, A12 = 0, A21 = 0, A22 = y )dan quyidagiga ega
bo'lamiz:
det ( A E ) =
1
0
0
= 0,(1 )( y ) = 0,1 = 1,1 = y.
y
Demak, birilgan tenglama
y>0
bo'lganda elliptik,
y<0
bo'lganda
giperbolik va y = 0 parabolik tipli tenglama bo'ladi.
4-misol. u x2u xx u y2u yy 4u x 4u y = 0 tenglamani tipini u = x y ga nisbatan
aniqlang.
Yechish.Brilgan tenglama ( A11 = ux2 , A12 = 0, A21 = 0, A22 = u y2 ) va u = x y dan
quyidagiga ega bo'lamiz:
det ( A E ) =
0
1
0
u x2
=
= (1 ) 2 = 0,
2
0
0 1
uy
1 = 2 = 1. Demak, birilgan tenglama u = x y ga nisbatan giperbolik tipli
tenglama bo'ladi.
5-misol. u xx 8u xy 16u yy 3u y = 0 tenglamani tipini aniqlang.
Yechish. Ma'lumki, ikki o'zgaruvchili ikkinchi tartibli kvazichiziqli
differensial tenglama
A( x, y )u xx 2 B ( x, y )u xy C ( x, y )u yy ( x, y, u , u x , u y ) = 0
differensial tenglama (| A | | B | | C | 0) agar
B 2 AC > 0,
B 2 AC < 0,
B 2 AC = 0 bo'lsa, u holda tenglama mos ravishda elliptik, giperbolik, parabolik
tipli tenglama deyiladi. Shunga ko'ra biz qarayotgan tenglama uchun
A( x, y ) = 1, B ( x, y ) = 4,C ( x, y ) = 16,
B 2 AC = (4) 2 1 16 = 16 16 = 0.
Demak ta'rifga asosan berilgan tenglama parabolik tipga tegishli bo'ladi.
6-misol.
2
u xx2 4(u xy 1)u xy 4u yy
9u x 2u y u = 0
tenglamaning
tipini
u = ( x y ) 2 yechimga nisbatan aniqlang.
Yechish. Berilgan tenglamadan quyidagini aniqlaymiz:
A( x, y ) = u xx , B ( x, y ) = 2(u xy 1),C ( x, y ) = 4u yy .
Bundan va u = ( x y ) 2 dan quyidagini
A( x, y ) = 2, B ( x, y ) = 6,C ( x, y ) = 8,
B 2 AC = 6 2 2 (8) = 36 16 = 52 > 0
hosil qilamiz. Demak, tenglama u = ( x y ) 2 yechimga nisbatan giperbolik
tipga tegishli bo'ladi.
Mustaqil yechish uchun masalalar.
I. Quyidagi differensial tenglamalarning tipini aniqlang.
1. u xx 4u xy u yy 4u x 6u y 2u 5 x 2 y = 0.
2. 2u xx 2u xy u yy 2ux2 2u y u = 0.
3. u xx 2u xy u yy u xu y u sin xy 2 .
4. u xx 6u xy 9u yy 2u y = 0.
5. 4uxx 2u yy 6uzz 6uxy 10uxz 4u yz 2u = 0.
6. u xx 2u xy 2u yy 4u yz 5u zz xu x yu y = 0.
7. uxx 4uxy 2uxz 4u yy uzz 2xyux 3xu = 0.
8. u xy u yz u xz 3 x 2u y y (sin x)u x exp y .
9. u xx 2u xy 2u yy 2u yz 3u z u = 0.
10. xyu xx u yy = 0.
11. y 2m1u xx u yy u x = 0,m - nomanfiy butun son.
12. xu xx yu yy u = 0.
13. 4u xx 4u xy 12u yy 6u y 2u 5 x 2 y = 0.
14. u xx 12u xy 2u yy 2u x2 u = 0.
15. 2u xx 2u xy 12u yy u y u cos xy 3 = 0.
16. 2u xx 3u xy u yy 2u y = 0.
17. 2u xx 2u yy 3u zz u xy 8u xz 2u = 0.
18. 2u xy 2u yy 4u yz 5u zz xu x yu y = 0.
19. 4u xx 14u xy 2u xz u yy 5u zz 12 xyux 4 xu = 0.
2
20. 1.1u xy u yz u xz 3x 2u y y 2 (sincos x)u x exp y .
21. 5u xx 2u xy 2u yy 2u yz 16u z exp y u = 0.
22. xyu xx u yy = 0.
23. x 2m1u xx u yy 12u x = 0,m > 0 .
24. 12 xu xx 5 yu yy u = 0. 19. u xx 4u xy 2u xz u yy 5u zz 4 xu = 0.
2
20. u xy 3u yz u xz 3x 2u y y 2 ln( x 2 1)u x exp y .
21. 2u xy 2u yy 2u yz 16u z ln( x 4 2) exp y u = 0.
22. xyu xx u y = 0.
23. xu xx u yy 12u x = 0.
24. 2 xu xx 5 yu yy u x = 0.
II. Quyidagi tenglamarning tipini uning berilgan yechimiga nisbatan
aniqlang.
1. u xx2 (u xx 2)u xy u 2yy = 0,
u = x2 y 2.
2. u xy2 u xxu yy u yy2 = 8,
u = 2 2 xy.
3. u xx2 4u xy u yy2 = 0,
u = ( x y) 2 .
4. u xx u xyu yy u yy2 4u yy = 0,
5. 3u xx3 6u xy u yy 4 = 0,
u = 2 y2.
1 2
( x y 2 ).
2
u=
6. u xx2 u xy 5u yy u x 2( x y) 8 = 0,
7. uxx4 2uxy2 3u yy u y 2x = 0,
u = 2xy 8 y.
8. 5u xx5 7u xy 25u yy 150 y = 0,
9. u xx2 5u xy2 6u yy2 = 12,
u = x 2 2 xy.
u=
5
x2
y 3 xy.
2
7
u = 3x 2 .
10. u xx3 4u xy2 7u yy 4u x u y 3x 4 y 3 = 0,
u=
1
( x y)2 .
2
11. u xx2 u xy2 u yy2 2u x 2( x y ) = 0,
u=
12. u xy2 u xxu xy u yy2 2u xx 2 u yy = 0,
u = x2 y 2 .
13. 2u xx2 (u xx 1)u xy 2u yy2 = 0,
14. u xy3 u xx2 u yy 2u yy2 = 8,
u = 3x 2 y 2 .
u = 3 2 x 2 y.
15. u xx3 4u xy u yy2 = 0,
u = ( x 2 y) 2 .
16. u xx2 u xyu yy 2u yy2 u yy = 0,
17. 2u xx3 6u xy u yy 4 = 0,
u = 2 y 2 x.
u=
1 2
( x y 2 ).
2
18. u xx2 u xy 2u yy ( x y )u x 2( x y ) 8 = 0,
19. u xx4 2u xy2 3u yy u y 3x = 0,
20. 4u 25u yy 15y = 0,
5
xx
21. u xx3 5u xy2 6u yy2 = 12,
u = ( x 2 y) x.
u = 2 xy 22 y.
x2
4
u = y3 y.
4
7
u = 2 x 2 xy.
22. uxx2 2u xy3 u yy 4ux u y 3 = 0,
23. 3u xx2 u xy2 2u x x y 2 = 0,
u = x 2 xy.
u=
24. u xy5 u xxu xy2 2u yy2 3u xx 2 u yy = 0,
25. 4uxx5 25u yy 15y = 0,
26. 5uxy2 2uxxu 2yy = 0,
1 2
x xy.
2
u=
1
( x y)2 .
2
u = x 2 y 2 xy.
x2
4
y3 y.
4
7
u = x 2 xy.
27. u xxu xx 2u xy3 u yy 4u x 1 = 0,
28. u xx2 u xy2 2u x x y 2 = 0,
u = x2.
u = ( x y) 2 .
29. u xy3 u xxu xy 24u yy2 3u xx 2 = 0,
30. uxy5 2u yy4 3u xx4 u yy = 0,
u = x 2 y 2 xy.
u = x 2 y 2 2 xy.
4-MAVZU.
IKKINCHI TARTIBLI IKKI O’ZGARUVCHILI XUSUSIY
HOSILALI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI KANONIK
KO’RINISHGA KELTIRISH.
Ushbu
a11u xx 2a12 u xy a 22 u yy F ( x, y, u , u x , u y ) 0
(1)
ko’rinishdagi ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili xususiy xosilali differensiyal
tenglamani qaraymiz. Bunda a11 , a12 , a22 koeffitsientlar x, y ning funksiyalari. Bu
erda xususiy holda F funksiya u , u x , u y larga nisbatan chiziqli bo’lishi ham
mo’mkin.
a11 (dy ) 2 2a12 dxdy a 22 (dx) 2 0
(2)
oddiy differensial tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Xarakteristik tenglamaning umumiy yechimlari (1) tenglamaning
xarakteristikalari deyiladi.
(2) xarakteristik tenglama a11 0 bo’lganda quyidagi ikkita birinchi tartibli
oddiy differensial tenglamalarga ajraladi:
a122 a11a22
dy a12
dx a11
a11
(3)
a122 a11a22
dy a12
dx a11
a11
(4)
Bu tenglamalardagi radikal ostidagi a122 a11a22 ifodaning ishorasiga qarab, (1)
tenglama tiplarga ajraladi:
1) Agar M nuqtada a122 a11a22 0 bo’lsa,
(1) tenglama giperbolik
tipdagi tenglama deyiladi.
2) Agar M nuqtada a122 a11a22 0 bo’lsa, (1) tenglama parabolik tipdagi
tenglama deyiladi.
3) Agar M nuqtada a122 a11a22 0 bo’lsa, (1) tenglama elliptik tipdagi
tenglama deyiladi.
Agar tenglama qaralayotgan sohaning barcha nuqtalarida 0 yoki 0
yoki 0 bo’lsa, (1) tenglama mos ravishda giperbolik, parabolik va elliptik
tipga tegishli deyiladi.
Agar tenglama qaralayotgan sohaning turli qismlarida a122 a11a22
ifodaning ishorasi turlicha bo’lsa, (1) tenglama bu sohada aralash tipdagi
tenglama deyiladi.
1. 0 bo’lsin. (1) giperbolik tipli tenglama bo’lib, (2) xarakteristik
tenglamaning umumiy yechimlari haqiqiy har xil ( x, y) C1, ( x, y) C2 bo’ladi.
Agar (1) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni ( x, y ), ( x, y ) tengliklar orqali
almashtirsak, tenglama
(5)
V Q1 ( , ,V ,V ,V )
ko’rinishga
keladi,
tenglamalarning
bu
erda
kanonik
V ( , ) u ( x, y )
ko’rinishi
o’zgaruvchilardan yangi ,
tenglama
deyiladi.
(5)
giperbolik
tipdagi
tenglamada
,
o’zgaruvchilarga , tengliklar
yordamida o’tsak, tenglama
(6)
W W Q2 ( , ,W ,W ,W )
ko’rinishga keladi, (6) tenglama giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi kanonik
ko;rinishinishi deyiladi.
1-Misol. 7u xx 6u xy u yy u x 3u 0 tenglamani kanonik shaklga keltiring.
Yechish. a122 a11a22 32 7(1) 16 0 bo’lgani uchun, berilgan tenglama
giperbolik tipga tegishli. (2) ga ko’ra berilgan tenglamaga mos xarakteristik
tenglama
7 dy 2 6dxdy dx 2 0 yoki (7 dy dx )( dy dx ) 0 .
Bundan esa
7 dy dx 0 yoki dy dx 0
bo’ladi. Bo;ndan esa berilgan tenglamaning xarakteristikalarini topamiz:
7 y x C1 ,
y x C2 .
Yangi va o’zgaruvchilarni 7 y x
yx
kiritib, tenglamada
qatnashayotgan hosilalarni hisoblaymiz:
u x v x v x v v ,
u xx 7v 6v v ,
u yy 49v 14v v .
So’ng bularnia tenglamaga qo’yib,
u xx v 2v v ,
u y v y v y 7v v ,
v
1
(v v 3v) 0, v( , ) u ( x, y )
64
kanonik tenglamani olamiz.
2. 0 bo’lsin. (1) parabolik tipdagi tenglama bo’lib, (2) xarakteristik
tenglama bitta ( x, y ) C haqiqiy umumiy yechimga ega bo’ladi. Yangi erkli
o’zgaruvchilarni ( x, y ), ( x, y )
(bo’ yerda ( x, y ) sifatida
( x, y )
funksiyaga chiziqli bog’liq bo’lmagan ixtiyoriy funksiyani olish mumkin) deb
olsak, (3.1) tenglama
V Q3 ( , ,V ,V ,V )
(7)
ko’rinishga keladi. (7) – parabolik tipdagi tenglamalarning kanonik ko’rinishi
deyiladi.
2-Misol. uxx 4uxy 4u yy 3ux u y 0 tenglamani kanonik shaklga keltiring.
Yechish.
parabolik
a122 a11a22 (2) 2 1 4 0
bo’lgani uchun, berilgan tenglama
tipga
tegishli. (2) ga ko’ra o’ning xarakteristik tenglamasi
dy 2 4dxdy 4dx 2 0 yoki dy 2dx 0 ko’rinishda bo’ladi. Uni integrallab,
y 2 x C xrakteristikani olamiz.
Ushbu
y 2 x, y
Formula bo’yicha yangi o’zgaruvchilarni tanlab,
u x 2v , u y v v , u xx 4v
u xy 2v 2v , u yy v 2v v
xususiy
v
xosilalar
qiymatlariniberilgan
tenglamaga
qo’yamiz.
Natijada
5v v
0 parabolik tipdagi tenglamaning kanonik ko’rinishini olamiz, bu
4
yerda v( , ) u ( x, y ) .
3. ( x, y ) 0 bo’lsin, u holda (1) elleptik tipdagi teglama bo’lib (2)
xarakteristik tenglama ikkita qo’shma kompleks
( x, y ) C1 , ( x, y ) C2
yechimlarga bo’ladi. Yangi erkli o’zgaruvchilarni
Re ( x, y ), Im ( x, y )
deb olsak, (1) tenglama
V V Q4 ( , , V , V , V )
(8)
kanonik shaklga keladi. (8) – elliptik tipli xususiy hosilali differensial
tenglamalarning kanonik tasviri (ko’rinishi) deyiladi.
3-Misol. uxx 2uxy 10u yy u 3xy 0 tenglamani kanonik shaklga keltiring.
Yechish. a122 a11a22 12 1 10 9 0 bo’lgani uchun, berilgan tenglama
elliptik tipga tegishli. (2) ga ko’ra o’ning xarakteristik tenglamasi
dy 2 2dxdy 10dx 2 0
yoki dy (1 3i )dx
y x 3 xi C1 ,
ko'rinishda bo’ladi. Bundan
xarakteristikalarga ega bo’lamiz.
Tenglamada
yx,
ikita qo’shma
y x 3 xi C 2
3x
yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz. U holda u ( x, y) v( , ) ni hisobg olib
u x v x v x v 3v ,
u xx v 6v 9v ,
u y v y v y v , u xy v 3v v , u yy v
ega bo’lamiz. Bo’larni tenglamaga qo’yib,
1
1
v v v ( ) 0
9
3
kanonik tenglamani olamiz.
Agar (1) tenglamadagi F funksiya chiziqli bo’lib tenglamaning
koeffitsientlari o’zgarmas sonlar bo’lsa, bu tenglamaning kanonik ko’rinishi
quyidagicha bo’ladi:
V V b1V b2V cV f 0 (elliptik tip),
(8)
V b1V b2V cV f 0
yoki
(giperbolik tip),
V V b1V b2V cV f 0
(9)
V b1V b2V cV f 0
yoki
(parabolik tip),
V b1V b2V cV f 0
(10)
bu yerda b1, b2 , c o’zgarmas sonlar, f ( , ) ning funksiyasi.
(8), (9), (10) kanonik ko’rinishdagi tenglamalarni
V ( , ) e W ( , )
(11)
koeffitsientlarni tanlash hisobiga yanada
tenglik yordamida, va
soddalashtirish mumkin.
4-Misol. u xx 4u xy 5u yy 2u x 2u y u 0
tenglamani kanonik ko’rinishga
keltiring va kanonik tenglamani soddalashtiring.
Yechish. a122 a11a22 22 1 5 1 0 bo’lgani uchun, berilgan tenglama
elliptik tipga tegishli.
(2) ga ko’ra o’ning xarakteristik tenglamasi
dy 2 4dxdy 5dx 2 0
yoki dy (2 i )dx
ko’rinishda bo’ladi. Bundan 2 x y xi C1 , 2 x y xi C2 ikita qo’shma
xarakteristikalarga ega bo’lamiz.
Tenglamada
2x y ,
x
yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz. U holda u ( x, y) V ( , ) ni hisobga olib
u x V x V x 2V V ,
u xx 4V 4V V ,
u y V y V y V , u xy 2V V , u yy V
ega bo’lamiz. Bularni tenglamaga qo’yib
V V 2V 2V V 0
(12)
kanonik tenglamani olamiz.
(11) ga ko’ra (12) tenglamaga V ( , ) e W ( , ) bajarib quyidagi
W W W 0
kanonik tenglamani olamiz.
Mustaqil yechish uchun masalalar
Quyidagi tenglamalarning tipini aniqlang.
I.
1. 3u xx u yy 4u x u y 1 0.
2. 5uxx 16u xy 16u yy 64u 0.
3. u xx 6u xy 9u yy 2u y 0.
4. y 2 m1u xx u yy 2u x u 0 , m butun manfiy bo’lmaga son.
5. xuxx yu yy u 0.
6. xyuxx u yy 0.
7. xuxx yu yy u x u y 0, , haqiqiy sonlar.
8. signy uxx signx uyy ux uy u 0.
m
m
9. signy y uxx signx x uyy ux uy u 0, m const 0.
m
n
10. signy y uxx signx x uyy 0, m, n const 0.
m
11. signy y uxx uyy
y
m
1
2
ux uy u 0, m const 0.
y
II. Quyidagi tenglamalarni tipi o’zgarmaydigan sohada kanonik
ko’rinishga keltiring.
1. u xx uxy 2u yy 3ux 15u y 27 x 0.
2. u xx 2u xy u yy 9u x 9u y 9u 0.
3. u xx 2u xy 5u yy 32u 0.
2 2
2
4. u xx (1 y ) u yy 2 y (1 y )u y 0.
5. xy 2u xx 2 x 2 yu xy x 3u yy 0.
6. (1 x 2 ) 2 u xx u yy 2 x(1 x 2 )u x 0.
7. u xx 2 xuxy 0.
8. xuxx 2u xy ( x 1)u yy 0.
9. xuxx u yy 0.
10. xuxx yu yy 2ux 2u y 0.
11. u xx xyu yy 0.
2x
2y
x y
12. e u xx 2e u xy e u yy xu 0.
2
2
13. (1 x )u xx (1 y )u yy xu x yu y 0.
2
2
14. y u xx 2 xyu xy 2 x u yy yu y 0.
15. uxx yu yy u y 0.
2
2
3
16. tg x u xx 2 ytgx u xy y u yy tg x u x 0.
2
2
17. sin x u xx 2 y sin x u xy y u yy 0.
2
18. u xx 2 sin x u xy cos x u yy cos x u y 0.
m
19. ( y ) u xx u yy u 0, y 0, m const 0.
m
m 1
20. u xx ( y ) u yy ( y ) u y 0, y 0, 0 m 1, const 0.
m
n
21. ( y ) u xx x u yy 0, x 0, y 0, m, n const 0.
22. u xx ( y ) m u yy u 0, y 0, 0 m 1, haqiqiy son.
m
23. ( y ) u xx u yy
0
m
1
2
ux
0
( y )
y
u y u 0, m 0,
y 0, 0 , 0 const.
III. Quyidagi tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltiring va
kanonik tenglamalarni soddalashtiring.
1. 2u xy 4u yy u x 2u y u x 0.
2. u xx 6uxy 9u yy u x 2u y 0.
3. 2u xx 2u xy u yy 4ux 4u y u 0.
4. 3u xx u xy 3u x u y u y 0.
5. 5u xx 16uxy 16u yy 24u x 32u y 64u 0.
6. u xx 2u xy u yy 3ux 5u y 4u 0.
7. u xx 2uxy u yy 3ux 12u y 27u 0.
8. u xx u xy u y 10u 4 x 0.
9. u xy 2u yy u x 4u y u 0.
IV. Quyidagi masalalar yechilsin.
1. u xy u yy u x u y 0 tenglama berilgan:
a) tenglamani tipini aniqlang.
b) tenglamaning barcha xarakteristikalarini toping.
c) tenglamaning kanonik ko’rinishini toping.
2. 2u xx u xy 1 tenglama berilgan:
a) tenglamani tipini aniqlang.
b) tenglamaning barcha xarakteristikalarini toping.
c) tenglamaning kanonik ko’rinishini toping.
3. u xx 2u xy 3 2u yy u y u x 0 tenglama berilgan, bu yerda haqiqiy parametr.
a) parametrning qiymatlariga mos ravishda tenglamaning tipini aniqlang.
b) tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring.
4. uxx 4u xy u yy 0 tenglama berilgan, haqiqiy parametr, parametrning
shunday qiymatlari to’plamini topinki, bu qiymatlarda berilgan tenglama
a) utt u zz , b) ut u zz , c) utt u zz 0 tenglamaga keltiruvchi chiziqli
( x, y ) (t , z ) almashtirish mavjud bo’lsin.
5. u xx 4u xy u yy u x u y 0 tenglama berilgan, haqiqiy parametr,
parametrning shunday qiymatlari to’plamini topinki, bu qiymatlarda berilgan
tenglama
2
a) utt u zz , b) ut u zz , c) utt u zz 0 tenglamaga keltiruvchi chiziqli
( x, y ) (t , z ) almashtirish mavjud bo’lsin.
6. parametrning shunday qiymatlari to’plamini topingki
2u xx ( 1)u xy 2u yy 0 tenglama
a) giperbolik tipga; b) parabolic tipga; c) elliptic tipga tegishli bo’lsin.
V. Quyidagi tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltiring va kanonik
tenglamalarni soddalshtiring.
1. u xy u xz u x u y u 0.
2. u xy u xz 2u x 3u y 4u z u 0.
3. u xx 2u xy 2u xz u x u y 2u z u 0.
4. u yy 2u xy u zz u x u y u z u 0.
5. u xx u xy u zz u x u y u z u 0.
6. u xx 2u xy u zz u x u y u z u 0.
7. 2u xx 2u xy u zz u yy 2u x u y u z 4u 0.
8. 2u xx 2u xy u zz u yy 2u x u y u z u 0.
9. 3u xx u yy u zz 2u xy 2u xz 2u x 2u y 2u z 0.
10. u xx u yy u zz 2u xy 2u xz 2u yz 2u x u z u 0.
5-MAVZU
2-TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL
TENGLAMALARNI VA KOSHI MASALASINI YECHISH
USULLARI.
Oddiy diferensial tenglamalar kursidan ma'lumki, n-tartibli
F ( x, y, y' ,..., y ( n ) ) = 0
oddiy diferensial tenglamaning yechimi n ta ixtiyoriy o'zgarmasga bog'liqdir, ya'ni
y = ( x, c1 ,..., cn ). Bu o'zgarmaslarni aniqlash uchun noma'um funksiya y (x)
qo'shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu
tenglamalarning umumiy yechimi oddiy diferensial tenglamaning umumiy
yechimidan farqli ravishda berilgan tenglamaning tartibiga teng bo'lgan sondagi
ixtiyoriy funksiyalarga bog'liq bo'ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarning soni
yechim argumentlari sonidan bitta kam bo'ladi. Bu fikrning to'g'riligiga KoshiKovalevskaya teoremasiga asosan ishonch hosilqilish mumkin.
Ta'rif.
a11u xx 2a12u xy a22u yy F ( x, y, u , u x , u y ) = 0
(1)
tenglamaning koeffisientlari biror sohada uzluksiz bo'lsin. Agar sohada
aniqlangan u ( x, y ) funksiya (1) tenglamada ishtirok etuvchi barcha hodilalari bilan
uzluksiz bo'lib, uni ayniyatga aylantirsa, u holda u ( x, y ) funksiya (1) tenglamaning
regulyar (klassik) yechimi deyiladi. Bunday
tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
Buni sodda misollarda ko'rib chiqamiz.
yechimlar
to'plamiga
(1)
1-Misol. Ushbu u xy = 0 yoki (u y ) x = 0 tenglamani qaraymiz. Uni x bo'yicha
integrallab,
du
= ( y ) tenglamani hosil qilamiz. Bunda ( y ) y ning ixtiyoriy
dy
funksiyasi. Oxirgi tenglamani y bo'yicha integrallab,
u ( x, y ) = ( y )dy 1 ( x)
tenglikni hosil qilamiz. Bunda 1 ( x) x ning ixtiyoriy funksiyasi.
( y)dy =
2
( y)
deb belgilab,
u ( x, y ) = 1 ( x ) 2 ( y )
formulaga ega bo'lamiz. Bu yerda 1 ( x) ixtiyoriy funksiya bo'lganligi uchun 2 ( y)
ham y ning ixtiyoriy funksiyasi bo'ladi.
2-Misol.
Uchinchi
tartibli
u xyy = 0
tenglamaning
umumiy
yechimi
u ( x, y ) = ( y ) y ( x) 1 ( x) dan iborat bo'ladi.
Uyqorida keltirilgan misollar 1- tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamalarning barcha yechimlari formulasi, yani umumiy yechi bitta ixtiyoriy
funksiyaga, m-tartibli tenglaning umumiy yechimi m ta ixtiyoriy funksiyaga
bog'liq bo'lishi kerak, degan fikrga olb keladi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini
xarakteristikalar usuli (yoki Dalamber usuli) bilan ham topish mumkin.
Tenglamani xarakteristikalar usuli bilan yechishda daslabki tenglama
xarakteristikalari yordamida kanonik ko'rinishga keltiriladi, so'ngra kanonik
tenglama integrallanib qaytadan eski o'zgaruvchilarga o'tilsa, berilgan
tenglamaning umumiy yechimi hosil bo'ladi.
3-Misol. 2u x = 3u y tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani
= 3 x 2 y , = 3 x 3 y , u ( x, y ) = v ( , )
almashtirish yordamida 12v = 0 ko'rinishga keltirish mumkin. Bu tenlamaning
umumiy yechimi v( , ) = ( ) bo'ladi. Demak, 2u x = 3u y tenglamaning umumiy
yechimi u ( x, y ) = (3x 2 y ) dan iborat.
Xuddi shunga o'xshash, agar , , va o'zgarmas sonlar bo'lib 0
bo'lsa,
ux u y u = 0
tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi.
(2)
u ( x, y ) = ( x y ) exp{
( x y )}.
2
(3)
4-Misol.
u xx 2 cos xuxy sin2 xu yy (cos x sin x 1)u y u x = 0
tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani
= x y sin x, = y x sin x, u ( x, y ) = v ( , )
almashtirish yordamida v , = 0,5v kanonik ko'rinishga keltiramiz. Uning umumiy
1
2
yechimini topish uchun v = w belgilash kiritamiz. U holda w = w tenglama hosil
bo'ladi. Oxirgi tenglikni integrallab, w funksiyani topamiz
w , = f ( )e0,5 ,
1
bu yerda f ( ) ixtiyoriy funksiya. Bundan va belgilashga ko'ra v = f ( )e 2 ga ega
bo'lamiz. Bu ifodani integrallab,
1
v( , ) = f1 ( )e 2 f 2 ( )
ni hosil qilamiz, bu yerda
f1 ( ),
f 2 ( )
- ixtiyoriy ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi funksiyalar.
Demak, boshlang'ich tenglamaning umumiy yechimi
u ( x, y ) = f1 (t x sin x)e 0,5( x y sin x )
funksiyadan iborat.
6-Misol. u xy yu y u = 0 tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani y bo'yicha differensiallab,
u xyy yu yy u y u y = 0
yoki u xyy yu yy = 0
ni hosil qilamiz. Bu tenglamani u y = v almashtirish yordamida
vxy yv y = 0
(4)
ko'rinishda yozib olamiz.
Bundan va
u
(vx yv) = v
ni hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz:
y
u = vx yv
Endi (4) tenglamani v y = w almashtirish yordamida yechamiz:
wx yw = 0 w( x, y ) = ( y)e xy v y ( x, y) = ( y )e xy
(5)
y
w( x, y ) = ( )e x d ( x).
y0
Bundan va (5) ga asosan boshlang'ich tenglamaning umumiy yechimi
y
u ( x, y ) = y ( x) ( x) ( y )e x ( )d
y0
dan iborat bo'ladi.
7-Misol. Quyidagi
u xy u x = 0
ikkinchi tartibli ikki o'zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglama uchun
qo'yilgan quyidagi
u | y = x = sin x,
u x | y = x = 1,
| x |<
(6)
Koshi masalasi yechimini toping.
Yechish. Dastlab berilgan tenglamaning umumiy yechimini
(7)
ko'rinishda izlaymiz, bunda , lar ixtiyoriy kompleks yoki haqiqiy sonlar. (7)
u = e x y v
ning tenglamada qatnashgan hususiy hosilalarini topamiz:
u x = ex y v ex y v x ,
u xy = ex y v ex y v y ex y vx ex y vxy .
Bu ifodalarni berilgan tenglamaga qo'yib va uning har bir hadini nolmas ex y
ifodaga bo'lib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
vxy ( 1) vx v y ( ) v = 0.
(8)
va sonlar ixtiyoriy bo'lganligi uchun ularni shunday tanlaymizki, (8)
tenglama sodda ko'rinishga kelsin. Agar
= 0, = 1
(9)
v xy = 0
(10)
deb tanlasak,
tenglamani hosil qilamiz. (10) ni ketma-ket ikki marta integrallab, tenglama uchun
v( xy) = f1 ( x) f 2 ( x)
(11)
yechimni olamiz.
(9) va (11) ni (7) tenglikka qo'yib dastlabki tenglama uchun
u ( xy ) = e x ( f1 ( x) f 2 ( x))
umumiy yechimni olamiz.
(12)
Bu yechimni (6) shartlarga qo'yib, quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz
f1 ( x) f 2 ( x) = sin xe x
f1( x) = e x
Bu sistemaning oxirgi tenglamasidan
(13)
f1 ( x) = e x C
ni olamiz. Buni
yuqoridagi sistemaning birinchi tenglamasiga qo'yib, f 2 ( x) = e x (sin x 1) C ni hosil
qilamiz. Oxirgi ikkita tengliklardan foydalanib berilgan Koshi tenglamasining
yechimini quyidagicha yozamiz:
u ( x, y ) = e x y sin y 1.
Mustaqil yechish uchun masalalar
Quyidagi tenglamalarning umumiy yechimlari topilsin.
1. u xx = 1. 2. u yy = 6 y.
3. u xy = 1. 4. 2u xx 5u xy 3u yy = 0.
5. 2u xx 6u xy 4u yy u x u y = 0.
6. 3u xx 10u xy 3u yy 2u x 4u y
5
u = 0.
15
7. u yy 2u xy 2u x u y = 4e x .
8. 3u xx 5u xy 2u yy 3u x u y = 2.
9. u xy 2u x 3u y 6u = 2e x y .
10. u xy au x bu y abu = ce x y .
11. u xx 2 sin xuxy cos2 xu yy cos xu y = 0.
12. cos2 xu yy 2 sin xuxy u xx (cos x 4)u y 4u = 0.
13. yu xx ( x y )u xy xu yy = 0.
14. 2u xx 3u xy u yy 7u x 4u y 3u = 0.
15. u xx (1 y 2 ) 2 u yy 2 y(1 y 2 )u y = 0.
Ikkinchi tartibli ikki o'zgaruvchili xususiy hosilali differensial
tenglamalar uchun qo'yilgan quyidagi Koshi masalalari yechimini toping.
1. u xy u x = 0, u | y = x = sin x, u x | y = x = 1 | x |< .
2. u xx u yy 2u x 2u y = 0, u | y = 0 = x,
u x | y =0 = 0
| x |< .
3. u xx u yy 2u x 2u y = 4, u | x = 0 = y,
4. u xx 2u xy 3u yy = 2, u | y = 0 = 0,
u x |x =0 = y 1
u x | y = 0 = x cos x
5. u xy yu x xu x xyu = 0, u | y =3 x = 0,
6. xu xx ( x y )u xy yu yy = 0, u |
| y |< .
y=
1
x
= x3 ,
7. x 2u xx y 2u yy 2 yu y = 0, u | x =1 = y,
8. u xx 6u xy 5u yy = 0, u | y = x = sin x,
u x | y = 3 x = e 5 x
ux |
y=
1
x
| x |< .
2
| x |< 1.
= 2x2
u x | x =1 = y
x > 0.
y < 0.
u x | y = x = cos x.
6-MAVZU
TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN KOSHI
MASALASINING QO’YILISHI VA UNI YECHISH USULI.
To'lqin tenglamasi uchun klassik Koshi masalasi deb o'zining birinchi va
ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz va t > 0 da
(14)
utt = a 2 (u x x u x x K u x x ) f ( x, t )
1 1
2 2
n n
tenglamani, t = 0 da esa
u ( x,0) = ( x), ut ( x,0) = ( x), x = ( x1 , x2 , L , xn )
(15)
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) funksiyani topishga aytiladi, bu
yerda f ( x, t ), ( x), ( x) - berilgan funksiyalar.
1. Agar n = 1 da f (t 0) va (R1 ) lar o'zining birinchi, o'zining birinchi
va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz bo'lsa, u holda (1)-(2)
Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona b'olib, u
x at
t x a ( t )
1
1
1
u ( x, t ) = [ ( x at ) ( x at )]
( )d f ( , )dd
2a 0 x a ( t )
2a x at
2
(16)
Dalamber formulasi orqali ifodalanadi.
1-Misol. utt = u xx 6 tenglama uchun qo'yilgan quyidagi
u ( x, t ) |t = 0 = x 2 , ut ( x, t ) |t = 0 = 4 x
(17)
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. (3) Dalamber formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va (4) shartdan
foydalanib yechim uchun quyidagi
x t
1
1
u ( x, t ) = [( x t ) 2 ( x t ) 2 ] 4d
2 x t
2
t x ( t )
( x t )2 ( x t )2
1
6dd = x 2 t 2 2
2
2 0 x (t )
t
3( x t x t )d = x 2 t 2 4 xt
0
3(2t 2 ) | ==t0 = x 2 t 2 4 xt 3t 2 = ( x 2t ) 2
formulani hosil qilamiz. Demak, utt = u xx 6 tenglama uchun qo'yilgan (4) Koshi
masalasining yechimi u ( x, t ) = ( x 2t ) 2 funksiyadan iboratdir.
Agar xususiy hosilali differensial tenglama
a11 ( x, y )u xx 2a12 ( x, y )u xy a22 ( x, y )u yy b1u x b2u y c( x, y )u f ( x, y ) = 0
(18)
ko'rinishda berilgan bo'lsa, u holda bu tenglama uchun qo'yilgan
u ( x, y ) | y = ( x ) = ( x),
u ( x, y )
| y = ( x ) = ( x)
y
(19)
u ( x, y ) | x = g ( y ) = ( y ),
u ( x, y )
|x = g ( y ) = ( x)
x
(20)
yoki
qo'shimcha shartli Koshi masalasini yechish uchun xarakteristikalar usulidan
foydalaniladi. Bu yerda y = ( x) yoki x = g ( y ) funksiyalar (5) tenglamaning
xarakteristikalarini qaralayotgan sohada bittadan ortiq nuqtada kesib o'tmaydigan
uzluksiz egri chiziqlar.
2-Misol. u xx 4u xy 3u yy 4e y x = 0 tenglama uchun qo'yilgan quyidagi
u ( x, y ) | y = 0 = 2 x , u y ( x, y ) | y = 0 = 0
(21)
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani
= x y , = 3 x y , u ( x, y ) = v ( , )
almashtirish yordamida
v = e
ko'rinishga keltirish mumkin (ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish mavzusiga qarang). Uning umumiy yechimi
v( , ) = e f1 ( ) f 2 ( )
ko'rinishda bo'ladi. Bunda f1 va f 2 ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi
ixtiyoriy funksiyalar. Bu formuladan oldingi ( x, y ) o'zgaruvchilarga qaytib berilgan
tenglamaning umumiy yechimi
u ( x, y ) = (3 x y )e x y f1 ( x y ) f 2 (3 x y )
(22)
funksiyadan iborat ekanligini olamiz.
f1 va f 2 funksiyalarni aniqlash uchun (9) ni (8) shartlarga qo'yamiz va
ushbu
f1 ( x) f 2 (3x) 3xe x = 2 x,
x
f1 ( x) f 2 (3x) (1 3x)e = 0
sistemani olamiz. Uni f1 va f 2 ga nisbatan yechib,
f1 ( x) = x 3e x (1 x) f 2 (0), f 2 (3 x) = 3 x 3e x f1 (0)
ifodalarga ega bo'lamiz. Bularni (9) ga qo'ysak,
u ( x, y ) = 2 x (3 2 y )e
x y
3e
y 3 x
3
hosil bo'ladi. Bu esa berilgan tenglama uchun Koshi masalasining yechimidir.
2. Agar n = 2 da f C 2 (t 0), C 3 (R n ), C 2 (R n ) shartlar bajarilsa, u holda
(1)-(2) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo'lib, u
u ( x, y ) =
| x |< at
1
2
f ( , )dd
t
0 | x |< a ( t )
( )d
a 2t 2 | x |2
a 2 (t ) 2 | x |2
1
( )d
2 t | x |< at a 2t 2 | x |2
(23)
Puasson formulasi orqali ifodalaniladi.
3-Misol. utt = u xx u yy 2 tenglama uchun qo'yilgan quyidagi
u ( x, y, t ) |t = 0 = x, ut ( x, y, t ) |t = 0 = y
(24)
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. (10) Puasson formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va (11)
shartdan foydalanib quyidagini
x t
t
u ( x, y , t ) =
1
d
d
2 0 x t
y t
1
2
y t
1
2
y ( t ) 2
( x )
x t 2
( y )2
2 d
(t ) ( x) 2 ( y )
2
2
x t 2 ( y ) 2
d
x t
y (t ) 2 ( x ) 2
d
t 2 ( x) 2 ( y ) 2
y t 2 ( x) 2
d
x t
y t2
( x)2
x t
2
u ( x, y , t ) =
d d
2 0 x t
2
t
d
t ( x) 2 ( y ) 2
2
y t
xt
d 2 t xtd =
y t
( y t )2
1 2 y t 1 2 x t
2 =t
|x t = (t ) | = 0
= 2 (t )d | y t
4
4 t
4
0
t
( y t )2 1
[( x t ) 2 ( x t ) 2 ] = t 2 yt x
4
4 t
ni hosil qilamiz. Demak, Koshi masalasining yechimi
u ( x, y, t ) = t 2 ty x
funksiyadan iboratdir.
3. Agar n = 3 da f C 2 (t 0), 3 C (R n ), C 2 (R n ) shartlar bajarilsa, u holda
(1)-(2)Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo'lib, u
u ( x, t ) =
| x |
1
1
)d
f ( , t
2
4a | x |< at | x |
a
1 1
1
( )d
[
( )d ]
2
4a 2 t t | x |= at
4ta | x |= at
Kirxgov formulasi bilan ifodalaniladi.
4-Misol
utt = u xx u yy u zz 2 xyz, < x, y, z < , t > 0
(25)
tenglama uchun qo'yilgan quyidagi
u ( x, y, z , t ) |t = 0 = x 2 y 2 2 z 2 , ut ( x, y, z , t ) |t = 0 = 5, < x, y, z < ,
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. (12) Kirxgov formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va shartdan
foydalanib quyidagi
1
2
1
d
d
4 0 S t
4
t
u ( x, y , z , t ) =
t
5
1 2 2 2 2
d
d
S t
t
4 t
S
t
t
ni hosil qilamiz, bu yerda St va St lar mos ravishda radiuslari t va t , va
markazi esa (x,y,z) nuqtada bo'lgan sferalardir.
M ( , , ) S t bo'lganligi uchun Kirxgof formulasida ushbu
= x t sin cos , = y t sin sin , = z t cos , 0 2 , 0
almashtirishni bajaramiz.
So'ngra quyidagi integrallarni hisoblaymiz:
2
1
2
1
1
d
d =
d d
{2[ x (t ) sin cos ]
4 0 S t
4 0 0 0 t
t
J1 =
t
t
[ y (t ) sin sin ] [ z (t ) cos ]} (t ) 2 sin d =
t
1
(t )d
=
2 0
J2 =
5
4
2
t
xyz sin dd = 2 xyz (t )d = t
0 0
2
xyz,
0
1
5
S t d = 4
t
2
1
t t
2
sin dd = 5t ,
0 0
2
1
1
1
2 2 2 2
J3 =
d =
d {[ x t sin cos ]2
4 t S
4 t 0 0 t
t
t
2
[ y t sin sin ]2 [ z t cos ]2 } t 2 =
1
d [ x 2 2 xt
4 t 0 0
2
1
d [ y 2 2 yt
sin cos t sin cos ] t sin d
4 t 0 0
2
2
2
2
sin sin t 2 sin 2 sin 2 ] t sin d
2
1
d [2 z 2 4 zt
4 t 0 0
1
d t ( x 2 y 2 2 z 2 ) sin d
cos 2t cos ] t sin d =
4 t 0 0
2
2
2
1
1
d t 3 (sin 2 2 cos2 ) sin d
2t 2 x sin 2 d
4 t 0
4 t 0 0
2
cos d
0
2
1
2t 2 y sin 2 d sin d
4 t 0
0
2
1
2t 2 z sin cos d d = x 2 y 2 2 z 2 .
4 t 0
0
Demak, masalasining yechimi
u ( x, y, z ) = x 2 y 2 2 z 2 5t t 2 xyz
dan iboratdir.
Dalamber, Puasson va Kirxgof formulalaridan xulosa qilib aytish mumkinki,
bir jinsli to'lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining ixtiyoriy
M 0 ( x0 , t0 ) = M 0 ( x10 , x20 ,..., xn0 ; t 0 ) nuqtadagi qiymati berilgan boshlang'ich (x ) va (x )
funksiyalarning
1) n=1 bo'lganda, [ x0 at 0 , x0 at 0 ] kesmadagi,
2) n=2 bo'lganda, markazi x0 nuqtada radiusi at 0 bo'lgan doiradagi,
2) n=2 bo'lganda, markazi x0 nuqtada radiusi at 0 ga teng bo'lgan sferadagi
qiymatlari bilan aniqlanar ekan.
4. Xususiy yechimlarni tanlash yordamida to'lqin tenglamasi uchun
Koshi masalasini yechish.
Bu holda tenglama yoki boshlang'ich shartlarning o'ng tomoniga qarab
qo'yilgan Koshi masalasining yechimi izlanadi.
5-misol.
utt = u xx u yy u zz te5 x sin 3 y cos 4 z, < x, y, z < , t > 0
tenglama uchun qo'yilgan quyidagi
u ( x, y, z , t ) |t = 0 = e 6 x 8 y cos 10 z , ut ( x, y, z , t ) |t = 0 = e 4 z 3 y sin 5 x, < x, y, z <
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan masalani quyidagi ikkita masalaga ajratib yechamiz:
vtt = vxx v yy vzz te 5 x sin 3 y cos 4 z, < x, y, z < , t > 0
v( x, y, z, t ) |t = 0 = 0, vt ( x, y, z , t ) |t = 0 = 0, < x, y, z < ;
(26)
wtt = wxx wyy wzz , < x, y, z < , t > 0
6 x 8 y
cos10 z , wt ( x, y, z, t ) |t = 0 = e 4 z 3 y sin 5 x
w( x, y, z , t ) |t = 0 = e
< x, y, z < ;
(27)
(13) masalaning yechimi quyidagi
v ( x, y , z , t ) =
1 3 5x
t e sin 3 y cos 4 z
6
ko'rinishda bo'ladi. Haqiqatan, ham
1
v v xx v yy v zz = t 3 [25e5 x sin 3 y cos 4 z 9e5 x sin 3 y cos 4 z
6
16e 5 x sin 3 y cos 4 z ] = 0, vtt = te 5 x sin 3 y cos 4 z.
Bundan
vtt [vxx v yy v zz ] te5 x sin 3 y cos 4 z = te5 x sin 3 y cos 4 z 0 te5 x sin 3 y cos 4 z = 0
ga ega bo'lamiz.
Xuddi
shunday,
ushbu
( x, y, z ) = e 6 x 8 y cos 10 z , ( x, y, z ) = e 4 z 3 y sin 5 x
funksiyalar wxx wyy wzz = 0 tenglamani echimi bo'lishligini osongina tekshirib
ko'rish mumkin.
U holda
w( x, y, z , t ) = e 6 x 8 y cos 10 z te 4 z 3 y sin 5 x
funksiya (14) masalaning yechimi bo'ladi.
Shunday qilib, qo'yilgan masalaning yechimi
u ( x, y, z , t ) = v( x, y, z , t ) w( x, y, z , t ) =
1 3 5x
t e sin 3 y cos 4 z e 6 x 8 y cos 10 z te 4 z 3 y sin 5 x
6
ko'rinishda bo'ladi.
Misol. utt = a 2 (u xx u yy ), < x, y < , t > 0
tenglama
uchun
quyidagi
u ( x, y, z , t ) |t = 0 = cos(bx cy ), ut ( x, y, z ) |t = 0 = sin (bx cy ), < x, y <
Koshi masalasining yechimini toping.
qo'yilgan
Yechish. Berilgan masalani quyidagi ikkita masalaga ajratib yechamiz:
vtt = a 2 (v xx v yy ), < x, y < , t > 0
v( x, y, z , t ) |t = 0 = cos(bx cy ), vt ( x, y, z , t ) |t = 0 = 0
< x, y < ;
(28)
wtt = a 2 ( wxx wyy ), < x, y < , t > 0
wt ( x, y, z , t ) |t = 0 = 0, w( x, y, z , t ) |t = 0 = sin (bx cy )
< x, y < ;
(29)
(15) masalaning yechimini quyidagi
v( x, y , z , t ) = (t ) cos (bx cy )
(30)
ko'rinishda izlaymiz. Bundan (16) masala boshlagich shartlarining bajarilishi
uchun (0) = 1, (0) = 0 shartlar kelib chiqadi.
(17)ni (15) masalaga qo'yib, quyidagi
'' (t ) a 2 (b 2 c 2 ) (t ) = 0, t > 0,
(0) = 0, ' (0) = 0
(31)
Koshi masalasini olamiz. Bu masalaning yechimi (t ) = cos( a b 2 c 2 t ) ko'rinishda
bo'ladi. Bundan masalaning yechimi quyidagi
v( x, y, z , t ) = cos( a b 2 c 2 t ) cos(bx cy )
ko'rinishda bo'ladi.
Xuddi shunday, (16) masalaning yechimi quyidagi
w( x, y , z , t ) = (t ) sin (bx cy )
ko'rinishda izlaymiz. U holda quyidagi
'' (t ) a 2 (b 2 c 2 ) (t ) = 0, t > 0,
(0) = 0, ' (0) = 0
Koshi masalasini olamiz. Bu masalaning yechimi
(t ) = sin (a b 2 c 2 t )/a b 2 c 2
ko'rinishda bo'ladi.
Bundan (16) masalaning yechimi quyidagi
w( x, y, z, t ) =
sin (a b 2 c 2 t )
a b2 c 2
sin (bx cy)
ko'rinishda topiladi.
Shunday qilib, qo'yilgan masalaning yechimi
(32)
u ( x, y, z , t ) = v( x, y, z , t ) w( x, y, z , t ) = cos( a b 2 c 2 t ) cos(bx cy )
sin (a b 2 c 2 t )
a b2 c2
sin (bx cy)
ko'rinishda bo'ladi.
Mustaqil yechish uchun masalalar
I. Tor tebranish tenglamasi uchun qo'yilgan quyidagi Koshi masalalari
yechimini toping.
u ( x,0) = x,
ut ( x,0) = x.
1. utt = u xx ,
2. utt = a 2u xx ,
u ( x,0) = 0,
3. utt = u xx ,
u ( x,0) = sin x,
ut ( x,0) = cos x.
4. utt = u xx ,
u ( x,0) = x 2 ,
ut ( x,0) = 4 x.
5. utt = 4u xx xt , u ( x,0) = x 2 ,
6. utt = u xx sin x, u ( x,0) = sin x,
ut ( x,0) = cos x.
ut ( x,0) = x.
ut ( x,0) = 0.
7. utt = u xx bx 2 , u ( x,0) = e x
ut ( x,0) = a.
8. utt = u xx axt , u ( x,0) = x,
ut ( x,0) = sin x.
9. utt = u xx ae t , u ( x,0) = b sin x,
ut ( x,0) = c cos x.
10. utt = u xx x sin t , u ( x,0) = cos x, ut ( x,0) = sin x.
11. utt = u xx x sin t , u ( x,0) = sin x, ut ( x,0) = cos x.
12. utt = 9u xx sin x, u ( x,0) = 1, ut ( x,0) = 1.
13. utt = u xx e x , u ( x,0) = sin x, ut ( x,0) = x cos x.
14. utt = a 2u xx sin wx, u ( x,0) = 0, ut ( x,0) = 0.
7-MAVZU
TORNING ERKIN TEBRANISH TENGLAMASI
UCHUN QO'YILGAN ARALASH MASALANI
YECHISHNING FUR'E USULI
Ushbu
( x)utt = [ ( x)u x ]x q ( x)u ,0 < x < l ,t > 0
tenglamaning P = {( x, t ) : 0 x l , t 0} yo’lakda aniqlangan uzluksiz
u |t =0 = ( x),0 x l ut |t =0 = ( x),0 < x < l
(1)
boshlang'ich shartlarni hamda
u (0, t ) x (0, t ) = 0,t 0
u (l , t ) u x (l , t ) = 0,t 0
(2)
chegaraviy shartlarni qanoatlanturuvchi u ( x, t ) yechim topilsin.
Bu erda ( x), ( x), ( x), q ( x), p ( x) -berilgan funksiyalar va l , . , , - berilgan
sonlar bo'lib,
( x ) > 0, q ( x ) 0, p ( x ) > 0, l > 0, 2 2 0, 2 2 0. ( x) 1, q ( x) 0, p( x) a 2
bo'lganda (1) dan tor tarqalish tenglamasi, = = 0, = = 0, 0 bo'lganda (2)
dan mos ravishda I, II, III chegaraviy shartlar kelib chiqadi. Bu odatda chegaraviy
masala deb yuritiladi.
Yuqorida qo'yilgan aralash masalani Fur'ening o'zgaruvchilarni ajratish usuli
bilan yechish mumkin. Uning nazariy asosi sizlaga ma’ruza darsidan ma’lum.
Hozir biz bu usulni quyidagi misollarda tushuntiramiz.
1-misol.
utt = a 2u xx ,0 < x < l ,t > 0
(3)
tenglamaning
u |t = 0 = 0,0 x l , ut |t = 0 = sin
3
x sin x,0 x l
2l
2l
(4)
boshlang'ich shartlarni hamda
u (0, t ) = 0 u x (l , t ) = 0
(5)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) yechimi topilsin.
Yechish. Yechimni quyidagicha, ya'ni
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
(6)
ko'rinishda izlaymiz. Bu tenglikni (3) tenglamaga olib borib qo'usak,
T (t ) a 2T (t ) = 0,
X ( x ) X ( x) = 0.
(7)
(8)
ko'rinishdagi oddiy differensial tenglamalarga ega bo'lamiz, bu yerda -o'zgarmas
parametr. (8) ni (5) ga qo'yish natijasida T (t ) 0 ekanligini hisobga olib,
X (0) = 0, X (l ) = 0
shartga ega bo'lamiz. Bu shart Shturm-Luivill masalasi deyiladi.
(9)
(3) ko'rinishdagi (4) shartni qanoatlantiruvchi u ( x, y ) yechimni topish uchun
(8) tenglamani (9) chegaraviy shartlarnini qanoatlantiruvchi yechimini topish
zarurdir.
Agar > 0 bo'lsa, (8) tenglamaning (9) chegaraviy shartlarnini
qanoatlantiruvchi yechimi mavjud. (8) tenglamaning umumiy yechimi
X ( x) = C1 cos x C2 sin x
ko'rinishda bo'ladi. (9) shartlarga binoan
C2 cos l = 0.
C1 = 0,
Bunda C2 0, aks holda X (x) = 0 bo'lar edi. Demak,
cos l = 0 l =
2
n n =
2 (1 2n) 2
4l 2
,n = 0,1,2,...
chunki,
cos n = sin n,cos n = sin n.
2
2
(8), (9) masalaning yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi.
X n ( x) = sin
Endi har bir n =
2 (1 2n) 2
4l 2
Tn (t ) = an cos
(1 2n)
2l
x,n = 0,1,2,...
ni (7) ga qo'yib, uning umumiy yechimi
a (1 2n)
2l
t bn sin
a (1 2n)
2l
t
ko'rinishda ekanligini topamiz, bu yerda an ,bn -ixtiyoriy o'zgarmas sonlar.
(6) ga asosan yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har bir
un ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) =
a (1 2n)
a (1 2n) (1 2n)
= an cos
t bn sin
t sin
x
2l
2l
2l
funksiya (1) tenglamani
va
(5) shartni qanoatlantiradi. Tenglamaning
chiziqliligidan xusuiy yechimlarning cheksiz yig'indisi ham yechim bo'ladi, ya'ni
a (1 2n)
a (1 2n) (1 2n)
u ( x, t ) = an cos
t bn sin
t sin
x.
2l
2l
2l
n =0
Bu funksiyani t bo'yicha differensiallab,
u t ( x, t ) =
n=0
a (1 2n)
2l
a (1 2n)
a (1 2n) (1 2n)
bn sin
t an sin
t sin
x.
2l
2l
2l
tenglikni hosil qilamiz va boshlang'ich shartlarga asosan
(10)
u ( x,0) = an sin
a(1 2n)
a(1 2n)
a(1 2n)
2l
n=0
ut ( x,0) = bn
2l
n=0
sin
2l
x an = 0.
x = sin
3
x sin x
2l
2l
tengliklarga ega bo'lamiz. Bundan
b0
bn
a
2l
sin
x
2l
a(1 2n)
2l
n=3
b0 =
b1
sin
3a 3x
5a 3x
b2
sin
sin
2l
2l
2l
2l
a (1 2n)
2l
x = sin
3
x sin x
2l
2l
2l
2l
, b1 =
, bn = 0, n = 3,4,...
a
3a
tengliklarni hosil qilamiz. Bularni (10) tenglikka olib borb qo'ysak, (3)-(5) aralash
chegaraviy masalaning yechimini hosil qilamiz:
u ( x, t ) =
a
2l
3a
3
2l
sin
sin t sin x
t sin
x.
a
2l
2l
3a
2l
2l
Mustaqil yechish uchun masalalar.
I. utt = a 2u xx tenglama uchun 0 < x < l ,t > 0 yarim yo'lakda qo'yilgan
quyidagi masalalarning yechimi topilsin.
4h
x(l x),ut | x = 0 = 0, h > 0.
l2
5x
2. u(0,t ) = 0,u(l, t ) = 0,u( x,0) = 0,ut |t =0 = sin .
l
1. u (0, t ) = 0,u (l , t ) = 0,u ( x,0) =
3. u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t = 0 = sin 7 x,ut |t = 0 = 0,a = 1,l = 1.
4. u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t = 0 = 0,ut |t = 0 = sin
2
x.
l
5
x,ut |t = 0 = sin x.
2l
2l
3
5
6. ux (0,t ) = u(l, t ) = 0,u |t =0 = cos x,ut |t =0 = cos x cos x.
2l
2l
2l
5. u (0, t ) = u x (l , t ) = 0,u |t =0 = sin
7. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0,u |t = 0 = x,ut |t = 0 = 1.
8. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0,u |t =0 = cos 2 x,ut |t =0 = 3 cos 5x,l = 1,a = 1.
9. u x (0, t ) = 0,u x (l , t ) hu (l , t ) = 0,u |t = 0 = ( x),ut |t = 0 = ( x),h > 0.
10. u x (0, t ) = 0,u x (l , t ) hu (l , t ) = 0,u |t = 0 = 0,ut |t = 0 = 1,h > 0.
11. u x (0, t ) hu (0, t ) = 0,u x (l , t ) = 0,u |t = 0 = ( x),ut |t = 0 = ( x),h > 0.
12. u x (0, t ) hu (0, t ) = 0,u x (l , t ) hu (l , t ) = 0,u |t = 0 = ( x),ut |t = 0 = = ( x),h > 0.
13. u (0, t ) = 0,u (l , t ) = 0,u ( x,0) = l 2 x(l x),ut | x= 0 = 0,h > 0.
14. u (0, t ) = 0,u (l , t ) = 0,u ( x,0) = 1,ut |t = 0 = sin
5x
.
l
15. u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t =0 = sin 2 7 x,ut |t = 0 = 0,a = 2,l = 3.
16. u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t = 0 = 1,ut |t = 0 = sin
2
x.
l
15
3
x,ut |t = 0 = sin
x.
2l
2l
1
18. u x (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t = 0 = sin x,ut |t = 0 = x.
2l
17. u (0, t ) = u x (l , t ) = 0,u |t = 0 = sin
19. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0,u |t = 0 = x 2 ,ut |t = 0 = x.
20. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0,u |t = 0 = sin 3x,ut |t = 0 = 2 cos 5 x,l = 1,a = 1.
21. u x (0, t ) = 0,u x (l , t ) u (l , t ) = 0,u |t = 0 = x,ut |t = 0 = ( x),h > 0.
22. u x (0, t ) = 0,u x (l , t ) hu (l , t ) = 0,u |t = 0 = 1,ut |t = 0 = 1,h > 0.
23. u x (0, t ) hu (0, t ) = 0,u x (l , t ) = 0,u |t = 0 = x 3 ,ut |t = 0 = ( x),h > 0.
24. u x (0, t ) hu (0, t ) = 0,u x (l , t ) hu (l , t ) = 0,u |t = 0 = ( x),ut |t = 0 = = x,h > 0.
25. u x (0, t ) hu (0, t ) = 0,u x (l , t ) hu (l , t ) = 0,u |t = 0 = ( x),ut |t = 0 = = ( x),h > 0.
II.
utt = a 2u xx f ( x)
tenglama uchun
0 < x < l ,t > 0
yarim yo'lakda
qo'yilgan, bir jinsli u |t = 0 = 0,ut |t = 0 = 0 boshlang'ich va quyidagi chegaraviy
shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimi
u ( x, t ) = ( x, t ) w( x, t ) ko'rinishda izlang).
1. u (0, t ) = 0,u (l , t ) = 0, f ( x) = b shx.
2. u (0, t ) = ,u (l , t ) = .
3. u x (0, t ) = ,u x (l , t ) = .
4. u x (0, t ) hu (0, t ) = ,u (l , t ) = .
5. u x (0, t ) = ,u x (l , t ) hu (l , t ) = .
6. u x (0, t ) hu (0, t ) = ,u x (l , t ) hu (l , t ) = .
7. u (0, t ) = 0,u (l , t ) = 0, f ( x) = a chx.
8. u (0, t ) = ,u (l , t ) = 1.
9. u x (0, t ) = ,u x (l , t ) = 1.
10. u x (0, t ) hu (0, t ) = ,u (l , t ) = .
11. u x (0, t ) = ,u x (l , t ) hu (l , t ) = .
12. u x (0, t ) hu (0, t ) = ,u x (l , t ) hu(l , t ) = 1.
topilsin.
(Ko'rsatma:
yechimni
III. utt = a 2u xx f ( x, t ) tenglama uchun 0 < x < l ,t > 0 yarim yo'lakda
qo'yilgan, bir jinsli u |t = 0 = 0,ut |t = 0 = 0 boshlang'ich va quyidagi chegaraviy
shartlarni
qanoatlantiruvchi
u ( x, t ) = u k (t ) sin
k =1
yechimi
topilsin.
(Ko'rsatma:
Yechim
kx
kx
ko'rinishda izlanib f , funksiyalar sin
bo'yicha qatorga
l
l
yoyiladi. )
1. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = sin
x
l
.
2. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = Ae t sin
x
l
.
3. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = Axe t .
4. u (0, t ) = u x (l , t ) = 0, f ( x, t ) = Ae t sin x.
5. u x (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = A sin t.
6. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0.
7. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = etxl.
8. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = Ae 2t x 3 .
9. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = xe t t.
10. u (0, t ) = u x (l , t ) = 0, f ( x, t ) = e x sin t.
11. u x (0, t ) = u (l , t ) = 0, f ( x, t ) = At sin x.
12. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0, f ( x, t ) = tx.
IV. Quyidagi aralash masalani Fur'e usuli bilan yeching.
1. utt = u xx 4u,0 < x < 1,t > 0,u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t =0 = = x 2 x,ut |t = 0 = 0.
2. utt 2ut = u xx u,0 < x < ,t > 0,u (0, t ) = u ( , t ) = 0,u |t = 0 = = x 2 x,ut |t = 0 = 0.
3. utt 2ut = u xx u,0 < x < ,t > 0,u x (0, t ) = u ( , t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = x.
4. utt ut = u xx ,0 < x < 1,t > 0,u (0, t ) = t ,u (1, t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = 1 x.
5. utt ut = u xx ,0 < x < 2,t > 0,u (0, t ) = 2t ,u (2, t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = 0.
x
l
6. utt ut = u xx ,0 < x < l ,t > 0,u (0, t ) = t ,u (l , t ) = 0,u |t =0 = = 0,ut |t = 0 = .
2
2
7. utt 2ut u xx = 4 x 8et cos x,0 < x < ,t > 0,u x (0, t ) = 2t ,u ( , t ) =
= t ,u |t = 0 = cos x,ut |t = 0 = 2 x.
8. utt 3ut u xx = (4 t ) x cos
3x
,0 < x < ,t > 0,u x (0, t ) =
2
= 1 t ,u ( , t ) = (1 t ),u |t = 0 = x,ut |t = 0 = x.
9. utt = u xx 10u 2 cos x sin 2 x,0 < x < 0,5 ,t > 0,u (0, t ) =
= 0,u x (0,5 , t ) = 0,u |t = 0 = 0,ut |t = 0 = 0.
10. utt = u xx 2u,0 < x < 1,t > 0,u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t =0 = = x,ut |t = 0 = 0.
11. utt ut = 2u xx u,0 < x < ,t > 0,u (0, t ) = u ( , t ) = 0,u |t = 0 = = x 2 ,ut |t =0 = 0.
12. utt 2ut = u xx 2u,0 < x < ,t > 0,u x (0, t ) = u ( , t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = x 2 .
13. utt 2ut = 2u xx ,0 < x < 2,t > 0,u (0, t ) = t ,u (2, t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = 1.
14. utt 3ut = 3u xx ,0 < x < 3,t > 0,u (0, t ) = 2t ,u (3, t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = 1.
15. utt ut = 2u xx ,0 < x < l ,t > 0,u (0, t ) = t ,u (l , t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t =0 =
2
2
x3
.
2l
16. utt ut u xx = 4 cos x,0 < x < ,t > 0,u x (0, t ) = 2t ,u ( , t ) = = t ,u |t = 0 = cos x,ut |t = 0 = 2 x.
17. utt ut u xx = 1,u ( , t ) = (1 t ),u |t = 0 = x,ut |t = 0 = 2 x.
18. utt = u xx u sin 2 x,0 < x < 0,5 ,t > 0,u (0, t ) = 0,u x (0,5 , t ) = = 0,u |t = 0 = 0,ut |t = 0 = 0.
20. utt = 2u xx 3u,0 < x < 1,t > 0,u (0, t ) = u (l , t ) = 0,u |t = 0 = = x 2 ,ut |t = 0 = 0.
21. utt 2ut = u xx 3u ,0 < x < ,t > 0,u (0, t ) = u ( , t ) = 0,u |t = 0 = = e x ,ut |t = 0 = 0.
22. utt 2ut = u xx ,0 < x < ,t > 0,u x (0, t ) = u ( , t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = e x .
23. utt ut = u xx ,0 < x < 1,t > 0,u (0, t ) = t ,u (1, t ) = 0,u |t =0 = = 0,ut |t = 0 = ln (1 x).
24. utt ut = u xx ,0 < x < 2,t > 0,u (0, t ) = t ,u (2, t ) = 0,u |t = 0 = = 0,ut |t = 0 = x.
x
2l
25. utt ut = u xx ,0 < x < 2l ,t > 0,u (0, t ) = t ,u (2l , t ) = 0,u |t =0 = = 0,ut |t =0 = .
26. u tt u t u xx = 4 xe t ,0 < x <
,t > 0,u x (0, t ) = 2t ,u ( , t ) = t ,u |t = 0 = cos x 2 ,u t |t = 0 = x.
2
2
3x
27. utt 3ut u xx = (4 t ) x cos ,0 < x < 2 ,t > 0,u x (0, t ) = 1
2
u (2 , t ) = 2 (1 t ),u |t = 0 = x,ut |t = 0 = 0.
28. u tt = u xx 2 cos x,0 < x < 0,5 ,t > 0,u (0, t ) = 0,u x (0,5 , t ) = 0,u |t = 0 = 1,ut |t = 0 = 0.
8-MAVZU
CHEKSIZ SOHADA ISSIQLIK TARQALISHI
TENGLAMASIGA QO'YILGAN KOSHI MASALASINI
YECHISH USULI
Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun klassik Koshi masalasi deb
C 2,1 C (t 0) sinfga tegishli va t > 0, x R n da
ut = a 2 (u x x u x x L u x x ) f ( x, t )
1 1
2 2
n n
(33)
tenglamani, t = 0 da esa
(34)
u |t = 0 = ( x), x R n
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) funksiyani topishga aytiladi, bu
yerda f ( x, t ), (x) berilgan funksiyalar.
Agar
berilgan
f ( x, t ), x R n , 0 t < va ( x), x R n
uzluksiz
chegaralangan funksiyalar bo'lsa, u holda (1), (2) Koshi masalasining yechimi
mavjud va yagona bo'lib, u
u ( x, t ) =
| x | 2
2
1
(2a t )
n
t
f ( , )e
4 a t d
e
(
)
4a (t )
[2a (t ) ]
0 Rn
Rn
| x | 2
2
dd
n
(35)
Puasson formulasi orqali ifodalanadi.
1. Agar (3) formulada n = 1, f ( x, t ) 0 bo'lsa u holda (1), (2) Koshi
masalasini yechimi
( x ) 2
2
1
u ( x, t ) =
( )e 4a t d =
E ( x, t ; ) ( )d
2a
(2a t )
1
ko'rinishda yozamiz. Bu yerda E ( x, t; ) =
1
t
(36)
( x ) 2
2
e 4a t funksiya t > 0 da ut = a 2u xx
tenglamaning fundamental yechimi deyiladi.
2. Agar (3) formulada n = 1, f ( x, t ) 0 bo'lsa u holda (1), (2) Koshi
masalasini yechimi
u ( x, t ) =
1
2a t
( )e
( x ) 2
2
4 a t d
(37)
t
| x |2
2
1
4a (t )
e
f ( , )dd
a
t
2
(
)
0
ko'rinishda yoziladi.
2
1-Misol. ut = u xx , < x < , t > 0 tenglamaning u ( x,0) = x e x , < x <
shartni qanoatlantiruvchi (Koshi masalasining) yechimini toping.
Yechish. (4) formulaga asosan berilgan masalaning yechimi
u ( x, t ) =
1
2 t
2
e e
( x )2
4t
d
(38)
ko'rinishda bo'ladi.
O'ng tomondagi integralni hisoblaymiz:
2
e e
( x )2
4t
d =
2
x
e
4
=
1
e
2
( x )2
4t
2
de =
2
( x 2) 2
2 ( x 2)
4t d 1 e
4t d .
4t
Bundan
2
I = e
( x 2) 2
4t d =
2
x
e
4t 1
( x )2
4t d
Quyidagi
( x ) 2 4t 1 2 2 x
x2
x2
4t 1
x 2
)
=
(
)
=
(
4t
4t
4t 1 4t 4t 1
4t
4t 1
2
tenglikka va
e
2
(39)
d =
formulaga ko'ra
I=
x2
x
e 4t 1 e
4t 1
4t 1
x 2
(
)
4t
4 t 1
d =
2 t
(4t 1)
3
x2
xe 4t 1
(40)
Shunday qilib (8) ni (6) tenglikka qo'yib,berilgan Koshi masalasining
yechimini olamiz:
u ( x, t ) =
x2
x
(4t 1) 3
e 4t 1.
2-Misol. ut = 4u xx t e t , < x < , t > 0 tenglama uchun quyidagi
(41)
u ( x, t ) |t = 0 = 2
shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. n=1 da (3) Puasson formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va (9)
shartdan foydalanib quyidagi
u ( x, t ) =
1
2 t
2e
| x |2
16t d (t e )d
0 4 (t )
t
e
| x |2
16(t )
d
tenglikni hosil qilamiz.
(10) ifodaning bo'yincha olingan birinchi va ikkinchi integrallarida
(42)
= x 4 t s, d = 4 t ds, = x 4 t z , d = 4 t dz
almashtirish bajarib quyidagi
2
u ( x, t ) =
e
| s|2
ds
1
t
( e )d e
| z|2
dz
(43)
0
tenglikka ega bo'lamiz. Ma'lum bo'lgan (7) formulaga asosan (11)formuladan
u ( x, t ) =
t2
t2
t
( e )d = 2 e 1 = 1 et
2
2
0
2
t
1
ni hosil qilamiz.Demak,berilgan tenglama uchun qo'yilgan Koshi masalasining
yechimi u ( x, y, t ) = 1
t2
et dan iboratdir.
2
3-Misol. ut = u xx u yy et tenglama uchun quyidagi
(44)
u ( x, y, t ) |t = 0 = cos x sin y
shartni qanoatlantiruvchi yechimni toping.
Yechish. n=2 da (5) Puasson formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va (12)
shartdan foydalanib quyidagini
u ( x, y, t ) =
1
cos sin e
4t
1
4
t
e d
t e
| x |2
| y |2
4t
dd
| y |2
4(t )
(45)
| x |2
dd
0
hosil qilamiz.
(13) ifodaning birinshi va ikkinchi integrallarida
= x 2 t s1 , d = 2 t ds1 , = y 2 t s2 , d = 2 t ds2
= x 2 t z1 , d = 2 t dz1 , = y 2 t z 2 , d = 2 t dz 2
almashtirishlar bajarib quyidagi
u ( x, y , t ) =
e
4t
|s1|2
sin
(
x
2
t
s
)
e
ds1 cos( y 2 t s2 )
1
4t
|
| s2 2
4
ds2
4
e (t )
| z1|2
| z 2|2
d
e
dz
e
dz2
1
0 (t )
t
ga ega bo'lamiz. Ma'lum bo'lgan (7) va
(46)
e
2
cos d = e 4 2
2 2
formulalarga asosan (14) formuladan
u ( x, y, t ) = e t 1 e 2 t cos x sin y
Koshi masalasining yechimini hosil qilamiz.
Mustaqil yechish uchun masalalar
Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching.
1. ut = u xx ,
u ( x , t ) |t = 0 = 8
< x < ,
t > 0.
2. ut = u xx 2t ,
u ( x , t ) |t = 0 = 1
3. ut = u xx ,
u ( x , t ) |t = 0 = e x
< x < ,
2
t > 0.
< x < ,
4. ut = u xx sin t , u ( x, t ) |t = 0 = 0
t > 0.
< x < ,
t > 0.
5. ut = u xx ,
u ( x, t ) |t = 0 = sin 2 x
< x < ,
t > 0.
6. ut = u xx ,
u ( x, t ) |t = 0 = cos 3 x
< x < ,
t > 0.
7. ut = u xx ,
u ( x, t ) |t = 0 = x
8. ut = u xx ,
u ( x , t ) |t = 0 = 2 x
9. ut = u xx 3t 2 ,
< x < ,
t > 0.
< x < ,
t > 0.
u ( x, t ) |t = 0 = sin x
< x < ,
t > 0.
10. ut = u xx e t cos x, u ( x, t ) |t = 0 = cos x
< x < ,
t > 0.
11. ut = u xx e t sin x, u ( x, t ) |t = 0 = sin x
< x < ,
2
12. ut = u xx sin t ,
u ( x, t ) |t = 0 = e x
13. 4ut = u xx ,
u ( x, t ) |t = 0 = e 2 x x
14. ut = u xx ,
u ( x, t ) |t = 0 = xe x
15. 4ut = u xx ,
< x < ,
2
< x < ,
2
u ( x, t ) |t = 0 = sin x e x
< x < ,
2
< x < ,
t > 0.
t > 0.
t > 0.
t > 0.
t > 0.
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasi
Dastlab mavzuning nazariy asosini keltiramiz.
Ta’rif. Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun klassik Koshi masalasi
deb C 2,1 (t > 0) C (t 0) sinfga tegishli va t > 0, x R n da
ut = a 2 (u x x u x x ... u x x ) f ( x, t )
1 1
2 2
n n
(1)
Xususiy hosilali 2-tartibli chiziqli differensial tenglamaning t = 0 da
(2)
u |t = 0 = ( x), x R n
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) funksiyani topish masalasiga aytiladi.
Bunda f ( x, t ), ( x) qaralayotgan sohada berilgan funksiyalar.
Agar f ( x, t ), x R n , 0 t < va ( x), x R n berilgan uzluksiz chegaralangan
funksiyalar bo'lsa, u holda (1), (2) Koshi masalasinig yechimi yagona bo'lib u
u ( x, t ) =
| x |2
2
1
(2a t )
n
t
f ( , )e
4a t d
e
(
)
2a
0 Rn
Rn
| x |2
2
4a (t )
(t )
dd
n
(3)
Puasson formulasi orqali ifodalanadi.
Agar (1) formulada n = 1 va f ( x, t ) 0 bo'lsa, u holda issiqlik tarqalish
tenglamasi uchun (1)-(2) Koshi masalasining yechimi
( x ) 2
2
1
u ( x, t ) =
( )e 4a t d =
E ( x, t ; ) ( )d
2a
(2a t )
1
ko'rinishda yoziladi. Bunda E ( x, t; ) =
1
t
( x ) 2
2
e 4a t
(4)
funksiya t > 0 da ut = a 2u xx
tenglamaning fundamental yechimi deyiladi.
Agar (1) formulada n = 1, f ( x, t ) 0 bo'lsa, u holda (1)-(2) Koshi
masalasining yechimi
u ( x, t ) =
1
2a t
( x ) 2
2
t
f ( , )e
4a t d
e
(
)
0
( x ) 2
2
4a (t )
dd
2a (t )
(5)
ko'rinishda yoziladi.
Quyida biz ushbu keltirilgan Koshi masalasini yechish usullari bilan misollarda
tanishamiz.
2
1-misol. ut = u xx , < x < , t > 0 tenglama uchun quyidagi u |t =0 = xe x ,
< x < shartlarni qanoatlantiruvchi Koshi masalasini yeching.
Yechish. (27) formulaga asosan berilgan Koshi masalasining yechimi
u ( x, t ) = e
( x ) 2
2
e 4t d
ko'rinishda bo'ladi.
Bu integralni hisobalaymiz. Shu maqsadda uni I orqali belgilab olamiz:
(6)
( x ) 2
I = e
2
( x ) 2
2
1
e 4t d = e 4t de .
2
Bu integralni ikki marta bo'laklab iuntegrallash natijasida quyidagini hosil
qilamiz:
( x ) 2
2
I = e e 4t d =
2
x
e
4t 1
(x )2
4t d .
Quyidagi
( x ) 2 4t 1 2 2 x x 2
4t 1 2
x2
x
=
=
4t
4t
4t 1 4t 4t 1
4t
4t 1
2
2
tenglikka ko'ra va
e
2
d =
formulaga ko'ra
x2
I=
2
x
4t 1 d =
4 t 1 2
4t
x
e 4t 1 e
4t 1
2 t
(4t 1)
3
x2
xe 4t 1
tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglikni (6) tenglikka olib borib qo'yish natijasida
berilgan Koshi masalasining yechimini topamiz:
u ( x, t ) =
x2
x
(4t 1)
3
e 4t 1.
2-misol. ut = 4u xx t e t , < x < , t > 0 tenglama uchun quyidagi
(7)
u (x,0) |= 2
Koshi masalasini yechimini toping.
Yechish. Puasson formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va Koshi
masalasidan foydalanib, quyidagi
u ( x, t ) =
1
2 t
2e
| x |2
16t d ( e )d
0 4 (t )
t
e
| x |2
16(t )
d
ifodani hosil qilamiz. Bu ifodaning bo'yicha olingan birinchi va ikkinchi
integrallarida
= x 4 t s,d = 4 t ds; = x 4 t z,d = 4 t dz
kabi almashtirish bajarib, quyidagi tenglikka ega bo'lamiz:
2
u ( x, t ) =
t
2
1
( e )d e | z| dz.
0
2
|s|
e ds
(8)
Bu tenglikda
e
d =
Formulani e’tiborga olsak, (8) ga asosan yechim uchun
2
u ( x, t ) =
t
1
( e )d = 2
0
t2
t2
e t 1 = 1 et
2
2
tenglikni hosil qilamiz. Demak, berilgan tenglama uchun qo'yilgan Koshi
masalasining yechimi
u ( x, t ) = 1
t2
et
2
funksiyadan iboratdir.
3-misol. ut = u xx u yy et tenglama uchun qo'yilgan quyidagi
(9)
u ( x, y, t ) |t = 0 = cos x sin y
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. (3) Puasson formulasiga ko'ra berilgan tenglama (9) shartga ko'ra
quiyidagi ko'rinishga keladi:
u ( x, y , t ) =
1
4
1
cos sin e
4t
e d
t
t e
| y |2
4(t )
| x |2
| y |2
4t
dd
| x |2
dd .
0
Bu ifodaning birinchi va ikkinchi integralida
= x 2 t s1 ,d = 2 t ds1 , = y 2 t s2 ,d = 2 t ds2 ;
= x 2 (t ) z1 ,d = 2 (t ) dz1 ,
= y 2 (t ) z2 ,d = 2 (t ) dz2
almashtirish bajarib, quyidagiga ega bo'lamiz:
u ( x, y, t ) =
4
4
4t
4t
sin ( x 2 t s1 ) e
e ( t ) d
0 (t )
t
|
| s1 2
ds1
cos ( y 2
e
|
| z1 2
dz 1 e
|
| z 2 2
dz 2 .
t s2 )e
|
|s 2 2
ds 2
Oxirgi tenglikdan va
e
2
e
d = ,
2
cos d = e 4 2
2 2
formulalardan
u ( x, y, t ) = et 1 e 2t cos x sin y
koshi masalasining yechimini olamiz.
Mustaqil yechish uchun masalalar.
I . n = 1 bo'lgan holda (to’g’ri chiziqda) issiqlik tarqalish tenglamasi
uchun quyidagi Koshi masalalarining yechimini toping.
1. ut = 16u xx , u ( x, t ) |t =0 = 8.
2. ut = u xx 2t , u ( x, t ) |t = 0 = 1.
2
3. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = e x .
4. ut = u xx sin t , u ( x, t ) |t = 0 = 0.
5. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = sin 2 x.
6. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = cos 3x.
7. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = chx.
8. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = sh2 x.
9. ut = u xx 3t 2 , u ( x, t ) |t = 0 = sin x.
10. ut = u xx e t cos x, u ( x, t ) |t = 0 = cos x.
11. ut = u xx e t sin x, u ( x, t ) |t = 0 = sin x.
2
12. 4ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = e 2 x x .
2
13. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = xe x .
2
14. 4ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = sin xe x .
15. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = x 2 .
16. ut = u xx 3t 3 , u ( x, t ) |t = 0 = sin x cos x.
2
17. ut = u xx e t , u ( x, t ) |t = 0 = e x .
18. ut = u xx sin t cos x, u ( x, t ) |t = 0 = 1.
19. ut = u xx t , u ( x, t ) |t = 0 = sin x.
20. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = 3 x.
21. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = 2chx x.
22. ut = u xx t 3 , u ( x, t ) |t = 0 = sh2 x x.
23. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = sin x.
24. ut = u xx 3e t cos x, u ( x, t ) |t = 0 = sin x.
25. ut = u xx 2t sin x, u ( x, t ) |t =0 = sin x.
26. 2ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = e x x.
2
27. ut = u xx sin t , u ( x, t ) |t = 0 = e x .
2
28. ut = u xx , u ( x, t ) |t = 0 = sin xe x cos x.
II . n = 2 bo'lgan holda (tekislikda) issiqlik tarqalish tenglamasi uchun
quyidagi Koshi masalalarining yechimini toping.
1. ut = u, u ( x, y, t ) |t = 0 = sin x sin 2 y.
2. ut = u, u ( x, y, t ) |t = 0 = sin 2 x cos y.
3. ut = u t sin y cos y, u ( x, y, t ) |t = 0 = xy.
4. ut = u xye t , u ( x, y, t ) |t = 0 = 2 x sin y.
5. ut = 4u xt sin y, u ( x, y, t ) |t = 0 = x cos y.
6. ut = u et , u ( x, y, t ) |t = 0 = cos x sin y.
7. ut = u sin t sin x sin y, u ( x, y, t ) |t = 0 = sin x sin 2 y.
2
2
8. ut = u cos t , u( x, y, t ) |t =0 = xye x y .
2
9. 8ut = u 1, u ( x, y, t ) |t = 0 = e( x y ) .
10. 2ut = u, u( x, y, t ) |t = 0 = cos xy.
11. ut = u x 2 , u ( x, y, t ) |t = 0 = sin x.
12. ut = u x, u( x, y, t ) |t = 0 = sin 2 x cos y x 2 .
13. ut = u, u( x, y, t ) |t =0 = xy 2 .
14. ut = u xy, u ( x, y, t ) |t = 0 = 2 x.
15. ut = 4u xt, u ( x, y, t ) |t = 0 = x sin y cos y.
16. ut = u et sin y, u ( x, y, t ) |t = 0 = cos x.
17. ut = u, u( x, y, t ) |t = 0 = e y sin 2 y.
2
2
18. ut = u sin t sin x sin y, u ( x, y, t ) |t =0 = xye x y .
19. 8ut = u 1, u( x, y, t ) |t =0 = 1.
20. 2ut = u, u( x, y, t) |t =0 = cos x.
21. ut = u sin x, u ( x, y, t ) |t = 0 = sin 2 y.
22. ut = u, u ( x, y, t ) |t = 0 = sh2 x cos y.
23. ut = u t , u ( x, y, t ) |t = 0 = chy.
24. ut = u sin ye t , u ( x, y, t ) |t = 0 = 2 x sin 2 y.
25. ut = 4u sin y, u ( x, y, t ) |t = 0 = cos y.
26. ut = u, u ( x, y, t ) |t = 0 = cos x sin y e x .
27. ut = u sin y, u ( x, y, t ) |t = 0 = e x sin 2 y.
2
2
28. ut = u et , u ( x, y, t ) |t =0 = xe x y .
29. ut = u 1, u( x, y, t ) |t =0 = e x .
30. 4ut = u, u ( x, y, t ) |t = 0 = cos xy e x .
III. n = 3 bo'lgan hol.
1. ut = 2 t cos x, u( x, y, z, t ) |t =0 = cos y cos z.
2. ut = 3 et , u ( x, y, z, t ) |t =0 = sin( x y z ).
2
3. 4ut = sin 2 z, u ( x, y, z , t ) |t = 0 = 0,25 sin 2 z e x cos 2 y.
2
4. ut = 2 cos( x y z ), u ( x, y, z, t ) |t = 0 = e ( x y z ) .
5. ut = 2 t cos x, u( x, y, z, t ) |t =0 = cos y cos z.
6. ut = 2, u ( x, y, z, t ) |t = 0 = cos xy sin z.
7. ut = 2 t cos x, u ( x, y, z, t ) |t = 0 = cos z.
8. ut = 3 et sin x, u ( x, y, z, t ) |t = 0 = cos( x y z ).
2
9. 4ut = , u ( x, y, z, t ) |t = 0 = sin 2 ze x cos 2 y.
10. ut = 2 cos( x y ), u ( x, y, z, t ) |t =0 = sin xz.
11. ut = 2 et t cos x, u ( x, y, z, t ) |t =0 = cos y 1.
12. ut = 2 sincos x, u ( x, y, z, t ) |t =0 = cos xyz.
13. Quyidagi funksiya
u ( x, t ) =
1
2 t
( y )e
( x y ) 2
4t dy, t > 0,
bu yerda ( x), < x < -- berilgan uzluksiz chegaralangan funksiya, ut = u xx
tenglamaning u |t = 0 = ( x), < x < shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo'lishini
ko'rsating.
14. ut = u xx tenglamaning t > 0 yarim tekislikdagi regulyar yechimi uchun
m u ( x, y ) M
baho
m = inf u ( x,0), M = sup u ( x,0).
( , )
( , )
o'rinli
bo'lishini
ko'rsating.
Bunda
15. ut = u xx , u |t = 0 = ( x), < x < Koshi masalasining yechimi yagona
ekanligini ko'rsating.
16. Bevosita tekshirish yo'li bilan
t
u ( x, t ) = ( x, , t )d
0
funksiya ut = u xx g ( x, t ) tenglamani qanoatlantirishini ko'rsating. bu yerda
v( x, t , ) =
1
2 (t )
e
( x y )2
4(t )
g ( y, )dy, t > 0,
bu yerda g ( x, ), < x, < -- berilgan uzluksiz chegaralangan funksiya.
17. ut = u xx tenglama uchun t > T bo'lganda u( x, t) |t =T = chx Koshi masalasinig
yechimini toping.
9-MAVZU
PARABOLIK TIPLI TENGLAMALARGA QO'YILGAN
ARALASH MASALANI FUR'YE USULIDA YECHISH.
Dastlab mavzuning nazariy asosini keltiramiz.
I. Birinchi chegaraviy masala. {( x, t ) : 0 x l , t 0} sohada berilgan
u 2u
=
t x 2
(1)
tenglamaning shu sohada aniqlangan uzluksiz va
u | x = 0 = 0, u | x = l = 0, 0 x l
(2)
u |t = 0 = ( x), t 0
(3)
chegaraviy shartlarni hamda
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) yechim topilsin. Bu yerda (x ) berilgan uzluksiz yoki bo'lakli uzluksiz funksiya.
Fur'ye usuliga binoan (1) tenglamaning nolmas xususiy yechimlarini
u ( x , t ) = T (t ) X ( x )
(4)
ko'rinishda izlaymiz va bu tenglamani (1), (3) ga qo'yish natijasida quyidagini
hosil qilamiz.
(5)
T (t ) a 2 T (t ) = 0,
X ( x) X ( x) = 0
.
X (0) = X (l ) = 0
(6)
Oldingi mavzulardan ma'limki, (6) Shturm-Luivill masalasi bo'lib, uning
xos qiymatlari
n =
2n2
l2
, n = 1,2,3,...
sonlardan va xos qiymatlari esa
X n = sin
nx
l
funksiyalardan iboratdir. parametrning = n qiymatlariga (5) tenglamaning
an 2
Tn (t ) = an exp
t
l
yechimlari mos keladi, bunda an - ixtiyoriy o'zgarmas son.
Demak,
an 2
exp
u n ( x, t ) = an sin
t
l
l
nx
funksiyalar (1) tenglamani va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. (1) ning
xusuiy hosilali chiziqli differensial tenglama ekanligidan bu xususiy yechimlarning
cheksiz yig'indisi ham uning yechimi bo'ladi, ya'ni (1)-(2) masalaning umumiy
yechimi ko’rinishi quyidagi funksiyadan iborat
u ( x, t ) = an sin
n =1
an 2
exp
t .
l
l
nx
Boshlang'ich shartga asosan
u ( x,0) = an sin
n =1
nx
= ( x),
l
2
n
an = ( ) sin
d
l 0
l
l
tenglikkaga ega bo'lamiz. Demak yechim quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
l
u ( x, t ) = G ( x, t ; ) ( )d .
0
Bunda
G ( x, t ; ) =
an 2 n
2
nx
exp
sin
.
t sin
l n=1
l
l
l
II. Ikkinchi chegaraviy masala.
(1) tenglamaning (2) boshlang'ich shartni hamda
u x | x =0 , u x |x =l
(7)
2-tur chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) yechim topilsin.
III. Ikkinchi chegaraviy masala.
(1) tenglamaning (2) boshlang'ich shartni hamda
1u | x = 0 1u x |x = 0 = 0, 2u |x = l 2u x | x =l = 0
3-tur chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) yechim topilsin, bu yerda
i2 i2 0, i = 1,2.
II va III chegaraviy masalalarni ham xuddi I chegaravaviy masala kabi
yechish mumkin.
1-misol. ut = a 2u xx , 0 < x < l , l > 0 tenglamaning
u x (0, t ) = 0, u x (l , t ) = 0, t > 0
chegaraviy va
u ( x,0) = x
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) yechim topilsin.
Yechish. Qo'yilgan masalani yuqorida aytilgan ammallar bajarib, ya'ni,
Fur'ye usulida yechib,
u ( x, t ) = an e
(
an 2
)
l
t
cos
n =0
x
l
(8)
x
ko'rinishga ega bo'lamiz, bunda
1
1 x2
a0 = xdx =
l0
l 2
t
x=l
=
x=0
l
,
2
2
x
x cos xdx n = 1,2,...
l
l 0
t
an =
oxirgi ifodani soddalashtirish uchun bo'laklab integrallaymiz:
= x d = dx, d = cos
n
l
n
dx = sin x.
l
n
l
Bundan
x =l
t
2l
2 l
n
l
n
an = x sin
x sin
xdx = sin n
l n
l x = 0 n 0
l
n
x =l
2l
n
l
l
cos
[cos x cos 0] =
[(1) n 1] =
x =
2
2
2
(n )
2(n )
l x = 0 2(n )
0, agar m = 2k
4l
=
, agar n = 2k 1,k = 0,1,2,...
(n 2 )
topilgan koeffitsientlarni (8) tenglikka qo'yib quyidagi yechimga ega bo'lamiz:
(
l 4l
1
e
u ( x, t ) = 2
2 k = 0 (2k 1)2
(2 k 1) a 2
)
l
t
cos
(2k 1)x
.
l
2-misol. ut = a 2u xx , 0 < x < l , l > 0 tenglamaning
u (0, t ) = u x (l , t ) hu (l , t ) = 0, t > 0, h > 0
chegaraviy va u (x,0) = 1 boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi u ( x, t ) yechimi
topilsin.
Yechish. Yechimni
u ( x , t ) = T (t ) X ( x )
ko'rinishda izlab va uni berilgan tenglama va berilgan chegaraviy shartlarga qo'yib
quyidagini hosil qilamiz:
(9)
T (t ) a 2 2T (t ) = 0
X ( x) 2 X ( x) = 0
X (0) = X (l ) hX (l ) = 0
(10)
(11)
Endi (9), (11) masalani yechamiz. Ma'luki, (9) oddiy differensial
tenglamaning yechimi
(12)
X ( x) = c1 cos x c2 sin x
ko'rinishda bo'ladi va ga asosan c1 va c2 larni topamiz:
X (0) = c1 ,
c2 [ cos l h sin l ] = 0.
Bundan
c2 0, cos l = h sin l , htgl = .
Oxirgi tenglamaning musbat eychimlarini n deb belgilaymiz va unga mos
xos funksiya
X n ( x) = sin n x, n = 1,2,3,...
ko'rinishda bo'ladi.
(10) tenglamaning n ga mos yechimi
Tn (t ) = an e
2n 2
at
ko'rinishda bo'ladi, bu yerda an -- ixtiyoriy o'zagarmaslar.
Demak, berilgan masalaning yechimi
u ( x, t ) = an e
2n 2
at
sin n x
(13)
n =1
funksiyadan iboratdir, bunda
1
l (h 2 2n ) h
.
(
)
sin
,
=
x
xdx
c
n
n
2(h 2 2n )
cn 0
t
an =
( x ) 1 ni hosobga olib an koeffitsientlarni hisoblaymiz:
2(h 2 2n )
2(h 2 2n )
cos n x | xx ==l0 =
sin
x
=
an =
n
2
2
2
2
n [l (h n ) h]
l (h n ) h 0
t
=
2(h 2 2n )
2(h 2 2n )
l
.
[
cos
cos
0]
=
n
n [l (h 2 2n ) h]
n [l (h 2 2n ) h]
Topilgan ushbu koeffitsientlarni (13) tenglikka qo'yib,
2n 2
at
(h 2 2n )
sin n x
2
2
n =1 n [l ( h n ) h]
u ( x , t ) = 2
e
Izlangan yechimni hosil qilamiz.
Mustaqil yechish uchun masalalar.
I. ut = a 2u xx tenglama uchun 0 < x < l , t > 0 yarim polosada qo'yilgan
quyidagi aralash masalalarning yuechimi topilsin.
1. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, u ( x,0) = Ax, A ozgarmasson.
2. u (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = ( x).
3. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = A(l x).
4. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = U .
5. u x (0, t ) = u x (l , t ) hu (l , t ) = 0, u ( x,0) = ( x), h > 0.
6. u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = U , h > 0.
7. u x (0, t ) hu(0, t ) = u x (l , t ) hu (l , t ), u ( x,0) = U , h > 0.
8. u (0, t ) = u (l , t ) = 1, u ( x,0) = x.
9. u(0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = e x .
10. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = l x.
11. u x (0, t ) = u x (l , t ) = 1, u ( x,0) = x.
12. u x (0, t ) = u x (l , t ) hu (l , t ) = 0, u ( x,0) = x 2 x, h > 0.
13. u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = x, h > 0.
14. u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = x, h > 0.
15. u (0, t ) = u (l , t ) = 0, u ( x,0) = Ax.
16. u (0, t ) = u x (l , t ) = t 3 , u ( x,0) = ( x).
17. u x (0, t ) = u x (l , t ) = t , u ( x,0) = x e x .
18. u x (0, t ) = u x (l , t ) = t , u ( x,0) = U .
19. u x (0, t ) = u x (l , t ) hu (l , t ) = t , u ( x,0) = x, h > 0.
20. u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) hu (l , t ) = t , u ( x,0) = x, h > 0.
II. Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun 0 < x < l , t > 0 yarim
polosada qo'yilgan quyidagi aralash masalani yeching.
1. ut = a 2u xx u, u (0, t ) = u (l , t ) = 0, u ( x,0) = ( x).
2. ut = a 2u xx u, u (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = sin
x
.
2l
3. ut = a 2u xx u, u x (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = ( x).
4. ut = a 2u xx u, u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) = 0, u ( x,0) = U ,h > 0.
5. ut = a 2u xx f ( x), u (0, t ) = 0, u x (l , t ) = q, u( x,0) = ( x).
6. ut = a 2u xx , u x (0, t ) = u x (l , t ) = q, u ( x,0) = Ax.
7. ut = a 2u xx , u (0, t ) = T , u x (l , t ) hu(l , t ) = U , u ( x,0) = 0, h > 0.
8. ut = a 2u xx u sin
x
, u (0, t ) = u (l , t ) = 0, u ( x,0) = 0.
2l
9. ut = a 2u xx , u (0, t ) = 0 u x (l , t ) = Ae t , u ( x,0) = T .
10. ut = a 2u xx , u (0, t ) = At u (l , t ) = T , u ( x,0) = 0.
11. ut = a 2u xx u, u (0, t ) = u (l , t ) = t , u ( x,0) = e x .
12. ut = a 2u xx , u x (0, t ) = u x (l , t ) = t , u ( x,0) = sin
x
.
l
13. 2ut = a 2u xx u, u x (0, t ) = u x (l , t ) = t t 2 , u ( x,0) = ( x).
14. ut = a 2u xx f ( x), u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) = 1, u ( x,0) = x,h > 0.
15. ut = a 2u xx , u (0, t ) = T t , u (l , t ) = U , u ( x,0) = 1.
16. ut = a 2u xx f ( x), u (0, t ) = A, u x (l , t ) = A, u ( x,0) = x 3 .
17. ut = a 2u xx 1, u x (0, t ) = u x (l , t ) = 1, u ( x,0) = x.
18. ut = u xx 1, u (0, t ) = T , u x (l , t ) hu (l , t ) = 1, u ( x,0) = 0, h > 0.
19. ut = a 2u xx u e x , u (0, t ) = u (l , t ) = 0, u ( x,0) = 0.
20. ut = u xx , u (0, t ) = 0 u x (l , t ) = e t sin t , u ( x,0) = 0.
21. ut = u xx 1, u (0, t ) = t u (l , t ) = T , u ( x,0) = 0.
22. ut = u xx u, u (0, t ) = u (l , t ) = t T , u ( x,0) = ( x).
23. ut = u xx u 1, u (0, t ) = u x (l , t ) = 1, u ( x,0) = cos
x
.
2l
24. ut = u xx u, u x (0, t ) = u x (l , t ) = 1, u ( x,0) = x 3 .
25. ut = a 2u xx u, u x (0, t ) hu (0, t ) = u x (l , t ) = t , u ( x,0) = U ,h > 0.
26. ut = a 2u xx , u (0, t ) = T e t sin t , u (l , t ) = sin t , u ( x,0) = 1.
27. ut = a 2u xx f ( x), u (0, t ) = 0, u x (l , t ) = q, u ( x,0) = ( x 2) 2 e x .
28. ut = uxx 1, ux (0,t) = ux (l, t) = 1, u( x,0) = 1.
29. ut = a 2u xx , u (0, t ) = T , u x (l , t ) hu (l , t ) = Ut , u ( x,0) = 0, h > 0.
30. ut = u xx u cos
x
, u (0, t ) = u (l , t ) = 0, u ( x,0) = 0.
2l
31. ut = u xx , u (0, t ) = t u x (l , t ) = 1, u ( x,0) = 1.
10-MAVZU
GARMONIK FUNKSIYALAR VA ULARNING XOSSALARI.
LAPLAS TENGLAMASINING FUNDAMENTAL YECHIMI.
10.1-Ta’rif. Agar f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) funksiya z0 nuqtada va uning biror
atrofida differensiallanuvchi bo’lsa, bu funksiya shu nuqtada analitik deyiladi.
10.2-Ta’rif. Biror D sohaning barcha nuqtalarida analitik bo’lgan f (z )
funksiya, D soxada analitik deyiladi.
1-Misol. Quydagi e z , cos z, sin z, z n , chz, shz funksiyalar barcha z larda
differensiallanuvchi bo’lgani uchun butun tekisliklarda analitik funksiyalar
bo’ladi.
Agar f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) funksiya D soxada analitik bo’lsa, u holda bu
funksiya uchun quydagi
u v
,
x y
Koshi-Riman sharti bajariladi.
(10.1) shartning birinchisini
differensiallab,
x
u
v
y
x
bo’yicha,
(10.1)
ikkinchisini
y
bo’yicha
2v
2v
xy yx
tenglikni etiborga olsak, u ( x, y ) funksiya uchun
2u 2 v
0
x 2 y 2
(10.2)
tenglikni olamiz. Xuddi shu usul bilan v( x, y ) funksiya uchun (10.2) yenglik
o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin. (10.2 ) ko’rinishidagi tenglama Laplas
tenglamasi deyiladi va bu tenglama elliptik tipdagi eng sodda va muhim
tenglamalardan biri hisoblanadi.
Endi ushbu Laplas tenglamasini
2
u 0 , 2 ,
i 1 xi
n
(10.2’)
qaraylik
10.3 –Ta’rif. Agar u ( x) u ( x1, x2 ,..., xn _ ) funksiya chekli D sohada ikki
marta uzliksiz diferensiallanuvchi bo’lib
qanoatlantirsa , u ( x) u ( x1, x2 ,..., x n _ ) funksiya
(10.2’) Laplas tenglamasini
chekli D sohada garmonik
funksiya deyiladi [11],[15].
10.4-Ta’rif. Agar u ( x) u ( x1, x2 ,..., xn _ )
funksiya cheksiz D sohaning
kordinata boshidan chekli masofada ixtiyory x nuqtasida ikkki marta uzliksiz
diferensiallanuvchi bo’lib (10.2’) Laplas tenglamasini qanoatlantirsa va yetarli
c
katta x lar uchun u ( x)
x
n2
, x x1 2 .... xn2 , c const.
tengsizlik bajarilsa
u (x) funksiya cheksiz D sohada garmonok funksiya deyiladi.
Masalan: 1) u ( x) 1 funksiya
n=2
bo’lganda
cheksiz
D sohada
garmonik funksiya bo’ladi. Agar n >2 bo’lsa , u holda cheksiz D sohada
garmonik funksiya bo’la olmaydi . Lekin bu funksiya ixtiyoriy n da chekli D
soxada garmonik funksiya bo’la oladi.
2) u ( x, y ) x 2 y 2 5 funksiya hech bir soxada garmonik funksiya emas,
chunki bu funksiya Laplas tenglamasini qanoatlantirmaydi:
u ( x, y ) ( x 2 y 2 5) 4 0 .
2-Misol.
u u ( ax b, cy d )
o’zgarmas sonlar,
Agar u u ( x, y )
garmonik
funksiya
bo’lsa,
funksiya ham garmonik bo’ladimi? Bu yerda
u
holda
a, b, c, d-
Yechish. Tariflarga ko’ra
u u ( x, y ) - garmonik
bo’lgani uchun bu
funksiya ikki marta uzliksiz differensiallanuvchi bo’lib, quydagi
u ( x, y )
2 u ( x, y ) 2 u ( x, y )
0
y 2
x 2
Laplas tenglamasini qanoatlantiradi.
Bundan u u (ax b, cy d ) funksiya’ning
xosilalari uzliksizdir. Endi
qanoatlamntirishini ko’rsatamiz.
Quyidagi tenglik o’rinli
bu
u u (ax b, cy d )
a2
ham
funksiya’ni
2-tartibgacha
Laplas
xususiy
tenglamasini
2u (ax b, cy d ) 2u (ax b, cy d )
y 2
x 2
2
2 u (ax b, cy d )
2 u ( ax b, cy d )
c
.
(ax b) 2
(cy d ) 2
Bu yerdan ko’rinadiki agar a c bo’lsa u u (ax b, cy d ) funksiya garmonik
bo’ladi , a c da esa, garmonik emas .
Shunday qilib yuqoridagi tariflarga asosan analitik funksiya’ning
mavhum va haqiqiy qismlari garmonik funksiyalar sinfiga tegishli bo’ladi .
3-Misol: u x ( x, y ) xy x 2 y 2 bo’lsa u ( x, y ) garmonik funksiya’ni toping.
Yechish: u ( x, y ) garmonik funksiya Laplas tenglamasini qanoatlantiradi ,
demak berilgan ifodadan va
u xx ( x. y ) y 2 x,
u ( x, y )
x2
x3
y xy 2 ( y ), u yy ( x, y ) 2 x .,, ( y )
2
3
larni etiborga olib quyidagiga u xx u yy y ,, ( y), 0 ga ega bo’lamiz. Bundan
1
( y ) y 3 c1 yc0 ;
6
funksiyani topamiz, ya’ni yuqoridagilarga ko’ra u ( x, y ) garmonik funksiya
u ( x, y )
x3 y3 x2 y
xy 2 c1 y c0
3
6
2
ko’rinishga ega bo’ladi.
4-Misol: u z e x ( x cos y y sin y ) 2 z; bo’lsa garmonik funksiya’ni toping.
Yechish:
Laplas
u ( x, y , z ) garmonik funksiya
tenglamasini
qanoatlantiradi
u z e x ( x cos y y sin y ) 2 z ifodadan
2u 2u 2u
0 uch o’lchovli
x 2 y 2 z 2
.Demak
u z e x ( x cos y y sin y ) z z 2 f ( x, y )
berilgan
(10.3)
ni olamiz, bu yerda f ( x, y ) ixtiyoriy ikki marta uzliksiz differensiallanuvchi
funksiya.
(10.3) funksiyadan quyidagi xususiy hosilalarni topamiz:
u zz 2, u xx [e x ( x 2) cos y e y y sin y ]z f xx
u yy [e x ( x 2) cos y e y y sin y ] z f xx
topamiz. Bu ifodalarni uch o’lchovli Laplas tenglamasiga qo’yib
u xx u yy u zz 2 f xx f yy 0
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
f xx f yy 2
tenglamani yechimi
f ( x, y ) g ( x, y ) ( x )
ko’rinishda
izlaymiz, bu
yerda g ( x, y ) - ixtiyoriy
garmonik
funksiya.
f ( x, y ) g ( x, y ) ( x ) ifodani oxirgi tenglamaga qo’yib
( x) x 2 cx c1
funksiyaga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, u ( x, y, z ) garmonik funksiya
u e x ( x cos y y sin y ) z z 2 x 2 g ( x, y )
ko’rinishga ega bo’lamiz.
10.5-Ta’rif. Koshi-Riman sharti orqali bog’langan ikkita u ( x, y ) va v( x, y )
garmonik funksiyalar qo’shma garmonik funksiyalar deyiladi.
10.6-Ta’rif. Agar u ( x, y ) va v( x, y ) funksiyalar biror D soxada qo’shma
garmonik bo’lsa, u holda
f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
funksiya D soxada analitik
bo’ladi.
5-Misol[3]. u ( x, y ) chx sin y funksiya qo’shma garmonik bo’lgan v( x, y )
funksiya’ni Koshi-Riman sistemasidan foydalanib toping.
Yechish. Koshi-Riman sistemasidan foydalanib
u ( x, y ) shx cos y
funksiyadan u x ( x, y ) cos y chx v y ( x, y ) ni olamiz.Bundan esa
v( x, y ) sin y chx ( x )
ga ega bo’lamiz.
(10.4) ni x bo’yicha differensiallab,
formulani e’tiborga olib, quydagiga
berilgan funksiya va (10.1)
v x ( x, y ) sin y shx ( x) u y ( x, y ) shx sin y
ega bo’lamiz. Bundan
' ( x ) 0 ( x ) const .
Shunday qilib
v ( x, y )
funksiya
ko’rinishga ega
v ( x, y ) sin y shx c
bo’ladi.
6-Misol: u x ( x, y ) xy bo’lsa v( x, y ) qo’shma garmonik
funksiya’ni toping
Yechish: (10.1) Koshi-Riman sistemasiga
Bundan v( x, y ) =
ko’ra
u x ( x, y ) xy =
xy 2
( x) ga ega bo’lamiz . Izlanayotgan
2
v y ( x, y )
ga teng.
v ( x, y )
funksiya garmonik funksiya bo’lgani uchun Laplas tenglamasini
qanoatlantiradi ,
quyidagilarni
ya’ni
v xx ( x, y ) ,, ( x)
v yy ( x, y ) x,
v yy ( x, y ) v xx ( x, y ) = ,, ( x) + x 0 ,, ( x) = x
ni topamiz .Shunday qilib
( x) x 3 / 6 c1 x c2
funksiya v( x, y ) =
xy 2 x 3
c1 x c 2
2
6
larni etiborga olib
olamiz.
Bundan
v ( x, y ) qo’shma garmonik
ko’rinishsda bo’ladi .
Bir bog’lamli D soxada v( x, y ) va u ( x, y ) garmonik funksiyalar
f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
analitik funksiya’ning haqiqiy va mavhum qismlari bo’lib, ular o’zaro (10.1)
Koshi-Riman
sharti
orqali
bog’langan
bo’lsin.
Shunuing
uchun
dv v x dx v y dy u y dx u x dy ifoda v ( x, y ) qo’shma garmonik funksiya’ni to’la
differensialini ifodalaydi. Bu ifodani egri chiziqli integrali quydagi
( x, y )
( x, y)
dv
( x0 , y 0 )
u dx u dy
y
(10.5)
x
( x0 , y0 )
ko’rinishda topiladi, bu yerda ( x0 , y 0 ) va ( x, y ) nuqtalar D sohaning ixtiyoriy
nuqtalari
bo’lib
bu
nuqtalarda
u, u x va u y funksiyalar
integrallash yo’li D sohada yotgan biror ( x0 , y 0 ) va ( x, y0 )
uzliksizdir.
Agar
va ( x, y0 ) , ( x, y )
nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziqli kesmadan iborat bo’lsa u holda (10.5)
tenglikda v( x, y ) funksiya’ni quydagi
y
v ( x, y )
u ( x, y )
u ( x, y )
y x dx x y dx c
0
0
x
(10.6)
ko’rinishda topamiz.
Xuddi shu usul bilan u ( x, y ) funksiya’ni v( x, y ) funksiya orqali quydagicha
y
v( x0 , y )
v( x, y )
x y dx y x dy c
0
0
x
u ( x, y )
ifodalaymiz.
7-Misol. Agar f (z ) analitik
(10.7)
funksiya’ning
u ( x, y ) Re f ( z ) sin x chy
haqiqiy qismi berilgan bo’lsa, u holda bir bog’lamli D sohada egri chiziqli
integrallash yordamida f (z ) analitik funksiya’ni toping.
Yechish.
Ma’lumki
f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
bo’lib
u ( x, y ) va
v ( x, y )
funksiyalar
u x v y 0
u y v x 0
Koshi-Riman sistemasini qanoatlantiradi. Demak, (10.5) formulaga ko’ra
quydagiga ega bo’lamiz:
y
v( x, y )
v( x, y )
dx
dy c sin x shy0 dx cos xchydy cos xshy0
y
x
x0
y0
x0
x
x
u ( x, y )
cos x0 shy0 cos xshy cos xshy0 c cos x0 shy 0 cos xshy c.
Shunday qilib, f (z ) analitik funksiya quydagi
f ( z ) sin xchy i (cos xshy cos x0 shy 0 c)
ko’rinishida tuziladi.
8-Misol. v( x, y )
e2x 1
sin y funksiya va f (0) 2 shart orqali
ex
f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
analitik funksiya’ni toping.
Yechish. v( x, y ) funksiya garmonik
maqsadida
( x, y )
funksiya
2v
2v
2
sin
shx
y
va
2shx sin y hosilalarini
x 2
y 2
ekanligini
tekshirish
topamiz va barcha
lar uchun Laplas tenglamasi qanoatlantirilishiga ishonch hosil qilamiz,
ya’ni
2v 2 v
0
x 2 y 2
tenglik bajariladi. Demak v( x, y ) funk siya garmonik funksiyadir. Bundan va
(10.7) formuladan hamda x0 0, y0 0 nuqtani tanlab, quyidagiga
x
y
0
0
u ( x, y ) 2 sh t cos y dt 2 ch0 sin s ds 2chx cos y 2 c
ega bo’lamiz.
Shunday qilib, f (z ) analitik funksiya quyidagi
f ( z ) 2chx cos y 2i shx sin y 2 c
ko’rinishda tuziladi. Demak, izlanayotgan f (z ) funksiya
f ( z ) 2(chx cos y i shx sin y )
ko'rinishda bo’ladi.
Ekstremum prinsipi. D sohada garmonik va aynan o’zgarmasdan farqli
u (x) funksiya o’zining ekstremum qiymati (eng katta va eng kichik qiymati)ga
sohaning ichki nuqtasida erishmaydi.
Regulyar va fundamental yechim.
D orqali dekat orthogonal koordinatalari x1 , x2 ,K, xn n 2 bo’lgan x
nuqtalarning n o’lchovli E n Evklid fazosidagi sohani, ya’ni ochiq bog’langan
(bo’sh bo’lmagan) to’plamni belgilaymiz.
D sohada aniqlangan ushbu
(10.8)
F ( x,K, D u ,K) 0
ko'rinishdagi m tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraylik, bu yerda
u
, D 0u u ( x )
1
2
n
x1 x2 L xn
D u D11 D2 2 L Dn n u
1 , 2 ,K , n
(10.9)
n tartibli mul’tiindeks bo’lib, uning uzunligi 1 2 L n ga
teng.
10.7-Ta’rif. D sohada aniqlangan u (x) funksiya (10.8) tenglamada ishtirok
etuvchi barcha hosilalari bilan uzluksiz bo’lib, uni ayniyatga aylantirsa, u (x) ni
(10.8) tenglamaning regulyar (klassik) yechimi deyiladi.
10.8-Ta’rif. Ayrim ajralgan nuqtalarda yoki maxsus ko’rinishdagi
ko’pxillik (o’z-o’zi bilan kesishmaydigan va chetlari bo’lmagan sirt) larda regulyar
yechim bo’lmaydigan yechimlarga (10.8) ning fundamental (elementar) yechimi
deyiladi.
Masalan. E n fazodagi ikki x ( x1 , x2 ,K, xn ), (1 , 2 ,K, n ) nuqta orasidagi
masofani r orqali belgilab olamiz, ya’ni
r x
n
x
i
i
2
(10.10)
i 1
Bevosita tekshirish bilan ishonch hosil qilish mumkinki, ushbu
r 2 n , n 2
E ( x, ) 1
ln , n 2
r
(10.11)
funksiya x bo’lganda x bo’yicha ham, bo’yicha ham (10.2’) Laplas
tenglamasini qanoatlantiradi.
Haqiqatan,
E
r
x i
( 2 n ) r 1 n
( 2 n ) r 1 n i
(2 n)r n xi i ,
xi
xi
r
2E
2
(2 n)r n (2 n)nr n 2 xi i .
2
xi
Oxirgi ifodani (10.2’) Laplas tenglamasining chap tomoniga olib borib
qo’yamiz. U holda (10.10) ga ko’ra
Xuddi shunga o’xshash n 2 holni tekshirib ko’riladi. E ( x, ) funksiya x va
ga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun bu funksiya x da bo’yicha ham (10.2’)
Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. Shunday qilib, 10.2 –ta’rifga ko’ra (10.11)
formula bilan aniqlangan E ( x, ) funksiyani (10.2’) Laplas tenglamasining
elementar yoki fundamental yechimi deyiladi.
E ( x, )
funksiya uchun
cheksizlikda ( x )
1
E ( x, ) O n 2
x
(10.12)
baho o’rinlidir. Agar n 2 bo’lsa, u holda E ( x, ) funksiya cheksizlikda
chegaralangan bo’ladi.
1-Misol.
E ( x, )
1
r
funksiyani
u x1 x1 u x 2 x 2 u x3 x3 0
tenglama
uchun
fundamental yechimi bo’lishini isbotlang.
Isbot. Berilgan E ( x, )
1
funksiya x bo’lganda x bo’yicha ham,
r
bo’yicha ham berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Haqiqatan ham,
E
1
3 x1 1 ,
x1
r
2E 3
1
2
5 x1 1 3 ,
2
r
r
x1
E
2E 3
1
1
2
3 x2 2 ,
5 x2 2 3 ,
2
x2
r
r
r
x2
E
2E 3
1
1
2
3 x3 3 ,
5 x3 3 3 .
2
x3
r
r
r
x3
Bu ifodalarni berilgan tenglamaning chap tomoniga quyib, (10.10) ga
ko’ra quyidagiga
2E 2E 2E 3
3
3
3
3 3
2
2
2
5 x1 1 x2 2 x3 3 3 5 r 2 3 3( 3 3 ) 0
2
2
2
r
r
r
r
r
r
x1
x2
x3
ega bo’lamiz. Shunday qilib, E ( x, ) funksiya x bo’lganda berilgan Laplas
tenglamasini qanoatlantiradi.
Demak, 10.8-ta’rifga ko’ra E ( x, )
2-Misol. E ( x, )
1
fundamental yechimdir.
r
1
i Koshi – Riman
z 2 x
y
1
1
funksiya
z ( x iy )
operatorining fundamental yechimi ekanligini isbotlang.
Isbot. E ( x, )
1
funksiya z x iy 0 da
0 Koshi – Riman
( x iy )
z
tenglamasini qanoatlantiradi.
Haqiqatan,
E
1
,
x
( x iy ) 2
E
i
y
( x iy ) 2
Ifodaga ko’ra
1 1
1
E
i
i
2
2
2 ( x iy )
( x iy )
2
z
tenglikga ega bo’lamiz. Shunday qilib, E ( x, )
1
1
( x iy ) 2 ( x iy ) 2 0
1
funksiya Koshi – Riman
( x iy )
tenglamasini qanoatlantiradi. Demak bu funksiya fundamental yechimdir.
Mustaqil ishlash uchun masalalar.
1. Quyidagi funksiyalar k ning qanday qiymatida garmonik bo’ladi?
a) u ( x, y ) kx 2 3kxy 2 x; b) g ( x, y ) 2 x 3 3kxy 2 1; c) f ( x, y ) e 2 x sh(ky);
d) v( x, y ) e kx ch3 y; e) w( x, y ) cos 2 x sh (ky ).
2. Agar u u ( x, y ) funksiya biror D R 2 sohada garmonik funksiya bo’lsa,
quyidagi funksiyalarni shu sohada garmoniklikka tekshiring.
a) v( x, y ) u ( x h1 , y h2 ), h1 , h2 o’zgarmas sonlar;
b) w( x, y ) u (x, y ), skalyar o’zgarmas;
c) p( x, y )
u u
;
x y
d) r ( x, y ) y
u
u
g) f ( x, y ) x y ;
x
y
u
f) v( x, y ) 2 x 2 ;
ux u y
2
u
u
x ;
x
y
2
u
u
i) v( x, y ) ;
x y
e) w( x, y ) x
u
u
y ;
x
y
2
2
u u
h) h( x, y ) ;
x y
3. Agar u ( x1 , x2 , x3 ) va v( x1 , x2 , x3 ) funksiyalar biror D R 3 sohada garmonik
funksiyalar bo’lsa, u holda quyidagi funksiyalar ham shu sohada garmonik
funksiya bo’ladimi?
a) w( x1 , x2 , x3 ) u ( x1 , x2 , x3 ) v( x1 , x2 , x3 ) ;
b) h( x) u ( x h), h h(h1 , h2 , h3 ) o’zgarmas vector;
c) h( x1 , x2 , x3 ) u x u x ;
1
2
d) k ( x1 , x2 , x3 ) u x u x vx vx ;
1
2
1
2
e) w( x1 , x2 , x3 ) x1u x x2u x x3u x .
1
2
3
4. Agar f (z ) analitik funksiyaning u ( x, y ) Re f ( z ) yoki
v ( x, y ) Im f ( z )
mavhum qismi berilgan bo’lsa, u holda bir bog’lamli D sohada egri chiziqli
integrallash yordamida f (z ) analitik funksiyani toping:
a) u ( x, y ) x
x
; b) u ( x, y ) x 3 3 xy 2 ; c) u ( x, y ) e x sin y;
x y2
2
d) u ( x, y ) e x ( x cos y y sin y ), f (0) 0; e) u ( x, y )
f) v( x, y ) x 3 y xy 3 ;
i) v( x, y ) x 2 y 2 ,
x
,
x y2
2
f (1) 1 i;
g) v( x, y ) chx sin y; h) v ( x, y ) shx cos y,
f (2) i 2;
j) v( x, y ) 5chx sin y ,
f (0) 3;
f (0) 1;
5. Koshi-Riman sistemasidan foydalanib, u ( x, y ) ga qo’shma garmonik bo’lgan
v ( x, y ) funksiyani toping:
a) u ( x, y ) xy 3 yx3 ; b) u ( x, y ) shx cos y; c) u x ( x, y ) chx sin y;
d) u y ( x, y, z ) e x cos z 2 y; e) u z ( x, y ) xy 2 xz 2 6 xz x;
6. E ( x, )
1 1
ln , r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 , u xx u yy 0 tenglamaning fundamental
2 r
yechimi bo’lishini isbotlang.
7. E ( x , )
2
n
n 22
n
2u
0 tenglamaning
2
i 3 xi
n
2 n2
r
, n 3,4K funksiya u
fundamental yechimi ekanligini isbotlang.
8. E ( x, )
eikr
, r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 funksiya u xx u yy u zz k 2u 0
4r
Gel’mgoldrts tenglamasining fundamental yechimi ekanligini isbotlang.
9. E ( x, y, z )
e ikr
, r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 funksiya u xx u yy u zz k 2u 0
4r
Gel’mgoldrts tenglamasining fundamental yechimi ekanligini isbotlang.
10.
E ( x, y , z )
1 sign Im
e , Im 0
y x
2i
funksiya
u
u
u 0
x
y
umumlashgan Koshi – Riman tenglamasining fundamental yechimi ekanligini
isbotlang.
11. E (x) - funksiya berilgan tenglamaning fundamental yechimi bo’lishligini
isbotlang.
1) E ( x) x e ax ;
1, x 0,
du
au 0, x
dx
0, x 0;
2) E ( x) x
sin ax
;
a
d 2u
a 2u 0;
2
dx
3) E ( x) x
sh ax
;
a
d 2u
a 2u 0;
dx 2
4) E ( x) x
1 e 4 x
;
4
5) E ( x) 0.5 x 1 e ;
x 2
u
d 2u
4
0;
2
x
dx
d 3u 2u
u
2 2
0.
3
dx
x
x
n
12. u ( x) v0 ( x) x v1 ( x), v0 ( x) 0, v1 ( x) 0, x xi2
2
2
funksiya
2u 0,
i 1
bigarmonik tenglamaning yechimi ekanligini isbotlang.
13. u (r ) r 2 ln r , x y r 0 funksiya n 2 da 2u 0, bigarmonik yenglamaning
yechimi ekanligini isbotlang.
11-MAVZU
GARMONIK FUNKSIYA UCHUN MAKSIMUM PRINSIPI.
YAGONALIK TEOREMASI.
Ekstremum prinsipi. D sohada garmonik bo’lgan o’zgarmasdan farqli
u (x) funksiya o’zining ekstremum qiymatiga sohaning hech bir ichki nuqtasida
erishmaydi.
Ya,ni D sohada garmonik bo’lgan o’zgarmasdan farqli u (x) funksiya
o’zining maksimum yoki minimum qiymatiga sohaning chegara nuqtasidagina
erishadi.
Bu teoremadan tabiatdagi jarayonlarni tavsiflovchi kattaliklarning ular
statsionar o’zgarganda o’zgarish amplitudalarini topish maqsadida foydalanish
mumkin. Bundan tashqari Laplas va Puasson tenglamalari uchun chegaraviy
masalalar yechimlarining mavjud vayagonaligini isbotlashda keng foydalaniladi.
1-Masala
chegarasida
x 2 y 2 r 2 22
doirada u ( x, y ) 0 garmonik va
shartni
u ( x, y ) r 2 2 x 2 x 5,
uning
qanoatlantiruvchi
u x, y
funksiyaning eng katta qiymatini toping.
Yechish. Ekstremum prinsipiga asosan, ux, y garmonik funksiya uzining eng
katta qiymatiga doiraning chegarasida erishadi. Demak
o’rnidan foydalansak, hosil bo’lgan
chegaraviy nuqtalar
g ( x ) 2 x 2 x 5
chegaraviy funksiyaning eng katta qiymatini topish yetarli,
1
g ' ( x) 4 x 1 0 4 x 1 x0 ,
4
1
g ' ' ( x0 ) g ' ' ( ) 4 0 x0
4
nuqta eng katta qiymatga erishadigan nuqta va
2
1
2 1
1
7
1 1
g ( x0 ) g ( ) 2 5 5 5 4
4
16 4
8
8
4 4
bo’ndan ux, y garmonik funksiyaning eng katta qiymati
max u x, y 4
x, y
7
8
ekanligini hosil qilamiz.
2-Masala.
x 2 y 2 r 2 52
garmonik va uning chegarasida
doira tashqarisida
u ( x, y ) 0, 5 r ,
u ( x, y ) r 5 g ( x, y ) x 2 3 shartni qanoatlantiruvchi
u ( x, y ) funksiyani eng kichik qiymatini toping.
Yechish. Ekstremum prinsipiga asosan, ux, y garmonik funksiya uzining
eng kichik
qiymatiga doiraning chegarasida erishadi, demak g ( x, y ) x 2 3
chegaraviy
funksiyaning
eng
kichik
qiymatini
toppish
yetarli.
g ' ( x, y ) 2 x 0 x0 0 ,
g ' ' ( x0 , y ) g ' ' (0, y ) 2 0 ekanligidan x0 0 nuqta
minimum nuqta va
g ( x0 , y ) g (0, y ) 3
qiymat minimum qiymat ekan, demak
min u ( x, y ) 3 ekan.
Mustaqil yechish uchun misollar.
1.
x2 y 2 r 2 R2
u ( x, y ) r R g ( x, y ),
doirada u ( x, y ) 0
garmonik
va
chegarasida
0 r R shartni qanoatlantiruvchi ux, y funksiyaning eng
katta qiymatini toping:
a) g ( x, y ) 4 xy 2 ;
b) g ( x, y ) x 2 2 y 2 ; c) g ( x, y )
e) g ( x, y ) 2( x 2 y );
y2
Rxy;
R
d) g ( x, y ) x xy;
f) g ( x, y ) 4 y 3 ;
2. x 2 y 2 r 2 R 2 doira tashqarisida u ( x, y ) 0, R r
garmonik va
chegarasida u ( x, y) r R g ( x, y ) shartni qanoatlantiruvchi ux, y funksiyaning
eng kichik qiymatini toping.
a) g ( x, y ) y 2 x y; b) g ( x, y ) 2 x 2 x y; c) g ( x, y ) y 2 xy;
d) g ( x, y ) y 2 xy;
1
x
g) g ( x, y ) ;
e) g ( x, y ) x 2 y 2 ;
h) g ( x, y )
f) g ( x, y ) x 2 1;
1
;
2 x2
i) g ( x, y )
2
;
x y2
2
3. x 2 y 2 r 2 42 doira tashqarisida u ( x, y ) 0, 4 r
chegarasida
garmonik va
u ( x, y ) r 4 g ( x, y ) shartni qanoatlantiruvchi u x, y funksiyaning
eng kichik va eng katta qiymatlarini toping.
a) g ( x, y ) Ay 2 B;
b) g ( x, y ) 2 x 2 A; c) g ( x, y ) 1;
d) g ( x, y ) A;
e) g ( x, y ) 2 xy;
f) g ( x, y ) Ax 2 By 2 y;
Bu yerda A, B - o’zgarmaslar.
12-MAVZU
DOIRA UCHUN DIRIXLE VA NEYMAN MASALALARINING
QO’YOLISHI VA UNI FUR’E USULIDA YECHISH.
Ma’lumki statsionar bo’lmagan issiqlik maydonning temperaturasi u t a 2 u
differensial tenglamani qanoatlantiradi. Agar jarayon statsionar bo’lsa, u holda
u ( x, y ) temperaturaning vaqtga nisbatan o’zgarmas tarqalishi kuzatiladi, ya’ni
temperatura (10.2) Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. Issiqlik manbai ma’lum
bo’lgan holda esa
u f ,
f
F
k
(12.1)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda F issiqlik manbai zichligi, k esa issiqlik
tarqalish koeffitsiyenti. (12.1) ko’rinishdagi bir jinsli bo’lmagan Laplas
tenglamasini ko’p hollarda Puasson tenglamasi deb ham yuritiladi. E n fazodagi
ikki x ( x1 ,K, xn ), (1 ,K, n ) nuqtalar orasidagi masofani r orqali belgilab
olamiz, ya’ni
r x
n
x .
2
i
i
i 1
ko’p hollarda Laplas tenglamasining sferik yoki silindrik simmetriyaga ega
bo’lgan, ya’ni faqat r yoki ga bog’liq bo’lgan yechimini toppish masalasi katta
qiziqish uyg’otadi. Buning uchun Laplas operatorining sferik yoki slindrik
koordinatalardagi ko’rinishi muhim ahamiyat kasb etadi.
Laplas tenglamasining sferik simmetriyaga ega bo’lgan yechimi
u (r )
c1
c2
r
(12.2)
ko’rinishda bo’lsa, silindrik yoki doiraviy simmetriyaga ega bo’lgan yechimi esa,
u ( ) c1 ln c2
(12.3)
bu yerda c1, c2 ixtiyoriy o’zgarmas sonlar.
Shunday qilib, u0 (r )
1
r
va u ( ) ln
1
funksiyalarga Laplas tenglamasining
mos ravishda fazodagi va tekislikdagi fundamental yechimlari deyiladi.
Berilgan G sohada garmonik va uning G chegarasida berilgan f ( x), x G
qiymatni qabul qiluvchi funksiyani topish masalasiga Laplas operatori uchun
qo’yiilgan Dirixle masalasi deb yuritiladi.
r
G sohada garmonik va uning G chegarasida sohaning n normali bo’yicha
hosilasi berilgan f ( x), x G qiymatni qabul qiluvchi funksiyani topish masalasiga
Laplas operatori uchun qo’yiilgan Neyman masalasi deb yuritiladi.
1-Misol. Laplas operatorining qutb koordinatalardagi ko’rinishini aniqlang.
Yechish. u x, y
2 u x, y 2 v x , y
operatorda
x 2
y 2
x r cos ,
y r sin
(12.4)
qutb koordinatalarida almashtirishni bajaramiz, bu yerda r 0, 0 2 bo’lib,
(12.4) almashtirish teskarilanuvchi, ya’ni r va o’zgaruvchilar x va y orqali
quyidagicha aniqlanadi:
x 2 y 2 r 2 , arctg y
x
(12.5)
u x, y operatorni r va o’zgaruvchilari orqali ifodalaymiz:
u x u r rx u x , u y u r ry u y ,
1 y2
2 xy
2 xy
y2
x2
u xx u r 2ur rx x u ur rxx u xx 2 urr 3 ur 4 u 3 ur 4 u
r
r
r
r
r r
2
rr x
2
x
u yy
1 y2
y2
x2
2 xy
2 xy
3 u r 4 u .
u
u
u
rr
r
2
3
4
r
r
r
r
r r
Demak, Laplas operatorining qutb koordinatalardagi ko’rinishi quyidagicha
bo’ladi:
1 u 1 2u
1
1
.
u urr 2 u ur yoki u
r
r r r r 2 2
r
r
(12.6)
2-Misol. u ( x, y ) r k ak cos k bk sin k funksiyaning z R doirada
k 0
garmonik funksiya ekanligini ko’rsating, bu yerda r z , arg z, z x iy
va
ak , bk lar haqiqiy sonlar.
Yechish. Berilgan ux, y funksiya garmonik funksiya bo’lishi uchun z R
doirada r va o’zgaruvchilar bo’yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilaga ega
bo’lib, u urr
1
1
u ur 0 tenglamani qanoatlantirishi shart.
2
r
r
Demak, berilgan funksiyadan quyidagi hosilalarni hisoblaymiz:
ur ( x, y ) k r k 1 ak cos k bk sin k ,
k 0
urr ( x, y ) k k 1 r k 2 ak cos k bk sin k ,
k 0
u ( x, y ) k 2 r k ak cos k bk sin k
k 0
va topilganlarni (12.6) tenglamaga qo’yamiz:
u ak cos k bk sin k k k 1 r k 2 k 2 r k 2 k r k 2
k 0
ak cos k bk sin k k 2 r k 2 k 2 r k 2 k r k 2 k r k 2 0
k 0
Shunday qilib, berilgan funksiya (12.6) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni bu
funksiya garmonik funksiyadir.
Garmonik funksiyalar nazariyasida, mos ravishda birinchi va ikkinchi
chegaraviy masala deb yuritiladigan Dirixle va Neyman masalalari muhim o’rin
tutadi.
D E n fazoda chekli soha bo’lib, uning chegarasi S bo’laklari silliq sirtdan
iborat bo’lsin. D D S , D1 E n \ D deb belgilash kiritamiz.
Dirixlening ichki masalasi. D sohada garmonik D da uzluksiz va
lim u ( x) ( x0 ), x0 S , x D
x x0
(12.7)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi u (x) funksiya topilsin, bu yerda x C (S ) berilgan funksiya.
1-Masala
(Dirixlening doira uchun ichki masalasi).
tenglamaning
x2 y 2 r 2 R2
u x, y 0
doirada u ( x, y ) r R 2 x 2 x y, (0 r R) shartni
qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Dirixle masalasini yechimini qutb koordinatalarida
u (r , ) r k ak cos k bk sin k
(12.8)
k 0
ko’rinishda izlaymiz. Demak, masala sharti va (12.4) ga asosan
u ( R, ) R 2 1 cos 2 R sin R cos R k ak cos k bk sin k
k 0
ga ega bo’lamiz. Bundan noma’lum koeffitsientlarni quyidagicha
a0 R 2 ; a1 1; b1 1; a2 1; b2 b3 K 0; a3 a4 K 0
aniqlaymiz.
Shunday qilib, topilgan koeffitsientlarni o’rniga quyib Dirixle
masalasining yechimini quyidagi ko’rinishda topamiz:
u (r , ) R 2 r cos r sin r 2 cos 2
yoki
u ( x, y ) R 2 x y x 2 y 2 .
Dirixlening tashqi masalasi. D1 sohada garmonik shunday u (x) funksiya
topilsinki, u S da berilgan uzluksiz qiymatlarni qabul qilib,
(12.9)
lim u ( x) ( x0 ), x0 S , x D1
x x0
x da n 2 bo’lgan holda x
2n
dan sekin bo’lmay nolga intilsin, n 2 da esa
chekli limitga intilsin.
2-Masala (Dirixlening doira uchun tashqi masalasi).
doira
tashqarisida
u ( x, y ) r R ax by c,
u ( x, y ) 0, R r ,
x2 y 2 r 2 R2
tenglamaning
u ( x, y ) , shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Dirixlening tashqi masalasini yechimini qutb koordinatalarida
u (r , ) r k ak cos k bk sin k
k 0
ko’rinishda izlaymiz. Demak, masala sharti va (12.4) ga asosan
u ( R, ) aR cos bR sin c R k ak cos k bk sin k
k 0
ni hosil qilamiz. Bundan noma’lum koeffitsientlarni quyidagicha
a0 c; a1 aR 2 ; b1 bR 2 ; a2 a3 a4 K 0; b2 b3 K 0
(12.10)
aniqlaymiz. Demak, (12.10) ga ko’ra quyilgan masala yechimini quyidagicha
topamiz:
R2
R2
cos b sin c,
r
r
u ( r , ) a
yoki
u ( x, y )
R2
ax by c.
x2 y 2
Halqa uchun Dirixle masalasi. Markazi koordinata boshida, radiuslari R1
va R2 bo’lgan halqada quyidagi
(12.11)
u ( x, y ) u xx u yy 0, R12 x 2 y 2 R22 ,
(12.12)
u L f1 , u L f 2
1
2
Dirixle masalasini qaraylik, bu yerda
L1 : x 2 y 2 R12 , L2 : x 2 y 2 R22 .
(12.11), (12.12) masalani masalani qutb koordinatalarda quyidagicha yozib olish
mumkin:
u r 2urr u rur 0, R1 r R2 , 0 2 ,
(12.13)
(12.14)
u ( R1 , ) f1 ( ), u ( R2 , ) f 2 ( )
bu yerda f1 va f 2 funksiyalar davriy bo’lib, uning davri 2 ga teng.
(12.13), (12.14) Dirixle masalasining yechimi quyidagi ko’rinishda
ifodalanadi:
u (r , ) a0 b0 ln r (ak r k bk r k ) cos k (ck r k d k r k ) sin k .
(12.15)
k 1
Bu yechimdagi noma’lum a0 , b0 , ak , bk , ck , d k koeffitsientlar quyidagi sistemalardan
topiladi:
2
1
a
b
ln
R
f1 s ds,
0 0
1
2 0
2
a b ln R 1 f s ds;
2
2
0 0
2 0
2
1
2
k
ak R1 bk R1 f1 s cos ksds,
0
2
a R 2 b R k 1 f s cos ksds;
k 2
k 2
0 2
(12.16)
2
k
1
k
c
R
d
R
f s sin ksds,
k 1
k 1
0 1
2
c R k d R k 1 f s sin ksds;
k 2
k 2
0 2
Neymanning ichki masalasi. D sohada garmonik bo’lgan,
u ( x)
x0 , x0 S , x D
x x0
n
(12.17)
lim
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi u x C 1 D funksiyani toping, bu yerda
x C S berilgan funksiya, n S ga o’tkazilgan tashqi normal.
Neymanning ichki masalasi yechimga ega bo’lishi uchun
u ( x)
dS 0,
n
S
(12.18)
Shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
4-Misol. x 2 y 2 r 2 R 2 doirada ux, y 0, 0 r R tenglamaning
u ( x, y )
Ax 2 By 2 y,
r r R
shartni qanoatlantiruvchi yechimga ega bo’ladigan A va B ning qiymatlarini
toping va masalani yeching.
Yechish. Quyilgan masala Neyman masalasi bo’lib, masala yechimga
ega bo’lishi uchun (12.18) ga asosan
2
AR
0
2
2
cos 2 1
1 cos 2
BR 2
R sin d
cos 2 BR 2 sin 2 R sin d AR 2
2
2
0
AR 2
BR 2
2
2 0
2
2
Shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. Bu shart faqat A B bo’lgandagina
bajariladi, ya’ni A B bo’lganda esa noto’g’ri quyilganligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, A B bo’lgan holda masala yechimini (12.8) ko’rinishda
izlaymiz va masala shartiga asosan
ur r k kR k 1 ak cos k bk sin k
k 0
2
AR 2
cos 2 1 BR 1 cos 2 R sin
2
2
ga ega bo’lamiz. Bundan noma’lum koeffitsientlarni quyidagicha
a1 0, a2
A B R ,
4
a3 a4 K 0; b1 R, b2 b3 b4 b5 K 0
aniqlaymiz. Demak, (12.8) ga ko’ra A B bo’lganda Neyman masalasining
yechimini
u (r , ) rR sin
A R 2
r cos 2 a0 ,
2
yoki
u ( x, y ) Ry
A R 2
( x y 2 ) const
2
ko’rinishda topamiz.
Neymanning ichki masalasini r , qutb koordinatalarda quyidagicha yozib
olish mumkin:
(12.19)
u r 2urr u rur 0, 0 r R, 0 2
va
u
f , 0 2
r r R
(12.20)
(12.19), (12.20) masalaning yechimini quyidagi ko’rinishda
r
u ( x, y )
k 0 R
k
ak cos k bk sin k
(12.21)
izlaymiz. (12.21) yechimdagi ak va bk koeffitsientlar
ak
R
k
2
f cos kd , bk
0
R
k
2
f sin kd ,
k 1,2,K
(12.22)
0
formuladan topamiz.
Mustaqil yechish uchun misollar.
1. u ( x, y ) 0 tenglamaning x 2 y 2 r 2 R 2 doirada u ( x, y) r R g ( x, y ), 0 r R
shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping:
a) g ( x, y ) 4 xy 2 ;
b) g ( x, y ) x 2 2 y 2 ; c) g ( x, y )
e) g ( x, y ) 2( x 2 y );
2.
x2 y 2 r 2 R2
u ( x, y ) r R g ( x , y )
y2
Rxy;
R
d) g ( x, y ) x xy;
f) g ( x, y ) 4 y 3 ;
doira tashqarisida u ( x, y ) 0, R r , tenglamaning
yoki
u r R f ( ), u x, y ,
shartni
yechimini toping:
a) g ( x, y ) y 2 x y; b) g ( x, y ) 2 x 2 x y; c) g ( x, y ) y 2 xy;
qanoatlantiruvchi
d) g ( x, y ) y 2 xy;
e) g ( x, y ) x 2 y 2 ;
f) g ( x, y ) x 2 1;
g) f ( ) A;
h) f ( ) A cos ;
i) f ( ) A BR sin ;
j) f ( ) AR 2 sin cos ; k) f ( ) A B sin ; l) f ( ) A sin 2 B cos 2 ;
3. x 2 y 2 r 2 R 2 doirada ux, y 0, 0 r R tenglamaning
u ( x, y )
g ( x, y ), x 2 y 2 R 2
r
shartni qanoatlantiruvchi yechimga ega bo’ladigan A va B ning qiymatlarini
toping va masalani yeching. Bunda
a) g ( x, y ) Ay 2 B;
b) g ( x, y ) 2 x 2 A; c) g ( x, y ) 1;
e) g ( x, y ) 2 xy;
d) g ( x, y ) A;
4.
x2 y 2 r 2 R2
doira tashqarisida u ( x, y ) 0, R r , tenglamaning
u ( x, y )
g ( x, y )
r r R
bo’ladigan
A
f) g ( x, y ) Ax 2 By 2 y; A, B const .
u x, y ,
va
shartni qanoatlantiruvchi yechimga ega
B o’zgarmaslarning qiymatlarini toping va Neyman
masalasini yeching:
a) g ( x, y ) y 2 A;
b) g ( x, y ) 2 xy Ax 2 B;
c) g ( x, y ) x 2 Ax B;
d) g ( x, y ) x 2 Ay 2 B.
13-MAVZU
LAPLAS TENGLAMASI UCHUN CHEGARAVIY MASALA
YECHIMINING PUASSON INTEGRALI ORQALI TASVIRI
Ayrim hollarda Dirixle masalasini yechishda taqqoslash usulidan foydalanib
bo’lmaydi. Bu hollarda Dirixlening doira uchun ichki va tashqi masalasining
yechimini mos ravishda quyidagi ko’rinishda
r
u (r , )
k 0 R
r
u (r , )
k 0 R
k
k
ak cos k bk sin k
(13.1)
ak cos k bk sin k
(13.2)
ham izlash mumkin, bu yerdagi ak , bk , k 0,1,2,3,K koeffitsientlar
2
a0
ak
1
1
( )d ,
2 0
2
( ) cos kd ,
bk
0
(13.3)
1
2
( ) sin kd
(13.4)
0
formulalardan topiladi.
(13.3)-(13.4) formulalar bo’yicha topiluvchi Fur’e koeffitsientlari ifodalarini
(13.1) yechimga qo’yib, qator yig’indisini hisoblash bilan Dirixlening doira
uchun ichki masalasining yechimi uchun
u (r , )
1
2
2
R2 r 2
0 R 2 2rR cos r 2 ( )d
(r R)
(13.5)
ko’rinishdagi va Dirixlening tashqi masalasi yechimi uchun esa
u ( r , )
1
2
2
r 2 R2
0 r 2 2rR cos R 2 ( )d
(r R)
(13.6)
Puasson integrali orqali beriladigan yechimni hosil qilamiz.
Ba’zan masalalarni yechishda Puasson formulasining quyidagi kompleks
ko’rinishdagi formasidan foydalanamiz
2
1
R e i z
1
u (r ) Re
( )
d Re
i
2 0
Re z
2i
( )
R
z
d ,
z
z R
(13.7)
1-Masala. Doirada quyidagi
u 0,
u 2; u
z 2
2 sin
5 3 cos
Dirixle masalasini yeching.
Yechish. Yechishda (13.7) formuladan foydalanamiz. Agar 2ei bo’lsa, u
holda
sin
bo’lib, ( )
( )
ei e i 1 2
ei e i 1 2
, cos
2i
2i 2
2
2 2
2 sin
chegaraviy funksiya quyidagi ko’rinishga
5 3 cos
2 sin
2
2
2 4
2
5 3 cos i 3 20 12 i
ega bo’ladi. (13.8) ni (13.7) ga quyib,
2 4
2
3 6
3
(13.8)
J
1
2i
2
i
2
2 4
1
z
d
F ( )d
2 z
2i 2
3 6
3
integralni xisoblaymiz. Bu yerda F funksiya 2 sohada 6 da bitta
chekli va da bartaraf qilish mumkin bo’lga maxsus nuqtalarga ega. Shunday
qilib, qoldiqlar haqidagi Koshi teoremasiga ko’ra
J res F res F ( )
6
ga ega bo’lamiz, bu yerda
2
32
4 z 6
2 6 z
z 6
,
i z 6 6 3i 6 z
3i 16 z 6 6
3
4
z
1 2 1
2 1
1
2
2
res F ( ) res
res K .
3i
3i
3i
6
2
z
1
1 1
3
res F
6
Demak,
J res F res F ( )
6
2 z6 2
4z
4
x iy
3i z 6 3i 3i z 6 3i 6 x iy
4 x iy 6 x iy
.
3i
6 x 2 y 2
Bundan
Re J
8y
36 12 x x 2 y 2
yoki
Re J
8r sin
.
36 12r cos r 2
Shunday qilib Dirixle masalasining yechimi
u (r , )
ko’rinishda bo’ladi.
2-Masala.
x2 y 2 r 2 R2
8r sin
36 12r cos r 2
doirada
u x, y y, 0 r R
Puasson
tenglamasining u( x, y ) r R 1 shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
1
6
Yechish. Masala yechimini u ( x, y ) u0 ( x, y ) y 3 ko’rinishda izlaymiz. Bu
yerda
1 3
y funksiya berilgan tenglamaning xususiy yechimi, u0 ( x, y ) funksiya esa
6
u 0 tenglamaning yechimi
u0 (r , ) r k ak cos k bk sin k
k 0
ekanligini e’tiborga olib, qo’yilgan masala shartidan
u ( R, ) R k ak cos k bk sin k
k 0
1 3 3
R sin 1,
6
ya’ni
R a
k
k 0
k
1 3
1
cos k bk sin k 1 R 3 sin sin 3
6 4
4
ga ega bo’lamiz. Bundan noma’lum koeffitsientlarni quyidagicha
a0 1; a1 a2 a3 a4 K 0; b1
1
R2
; b2 0, b3 , b4 b5 K 0
8
24
aniqlaymiz.
Shunday qilib, topilgan koeffitsientlarni o’rniga quyib, Puasson
tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimini quyidagi ko’rinishda topamiz:
u (r , ) 1
1
1
r R2
r3
r R2
r3
3 sin 4 sin 3 r 3 sin 3
sin sin 3 r 3 sin 3 1
sin
8
24
6
8
24
6
yoki
u ( x, y )
1
8 R 2 y y 3 x 2 y .
8
Mustaqil yechish uchun masalalar.
1. x 2 y 2 r 2 R 2 doirada u ( x, y ) f ( x, y ), 0 r R Puasson tenglamasining
u ( x, y ) r R g ( x, y ) shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
a) f ( x, y ) 4, g ( x, y ) 1 ; b) f ( x, y ) 1, g ( x, y )
c) f ( x, y ) x, g ( x, y ) 0;
y2
;
2
d) f ( x, y ) x 4 y 4 , g ( x, y ) 0, R 1.
Tarqatma matеriallar
Referat va mustaqil ish mavzulari
Talabalar ON dan to’playdigan ballarning namunaviy mezonlari
№
1
2
3
Ko’rsatkichlar
ON ballari
maks 1-ON 2-ON
Darslarga qatnashganlik darajasi. Ma’ruza darslaridagi
10
0-5
0-5
faolligi, konspekt daftarlarining yuritilishi va tulikligi.
Talabalarning mustaqil ta’lim topshiriqlarini uz vaktida 10
0-5
0-5
va sifatli bajarishi va o’zlashtirish.
Ogzaki savol-javoblar, kollokvium va boshqa nazorat
10
0-7
0-8
turlari natijalari bo’yicha
Jami ON ballari
35
0-17 0-18
Talabalarning JN dan to’playdigan ballarning namunaviy mezonlari
№
Ko’rsatkichlar
1
Darslarga qatnashganlik va o’zlashtirishi darajasi.
Amaliy mashgulotlardagi faolligi, amaliy mashgulot
daftarlarining yuritilishi va holati
Mustaqil ta’lim topshiriqlarining uz vaktida va sifatli
bajarilishi. Mavzular bo’yicha uy vazifalarini bajarilish
va o’zlashtirishi darajasi.
Yozma nazorat ishi yoki test savollariga berilgan
javoblar
Jami JN ballari
2
3
JN ballari
maks
1-JN 2-JN
15
0-7 0-8
10
0-5
0-5
10
0-5
0-5
35
0-18 0-17
“Matematik fizika usullari “fanidan foydalanish uchun
xorijiy adabiyotlar ro’yxati
“Matematik fizika usullari “ faniga tegishli Internet ilovalar
1. http://www.tdpu.uz
2. http://www.pedagog.uz
3. http://www.tdpuziyonet.uz
4. http://www.edu.uz
5. http://www.cs.ifmo.ru
6. http://www.intuit.ru
7. http://www.informatika.ru
8. http://www.twirpx.com
9. http://balonov.boom.ru
10. http://gбprog.narod.ru
11. http://ipg.h1.ru
12. http://delo.uka.ru
13. http://books.net-soft.ru
14. http://book.invlad.ru
15.
http://inf.e-alekseev.ru
16. http://krutoe.info
14. Foydalangan asosiy atamalar va olimlar haqida ma’lumotlar
(Glossary)
A
Adamar Jak (8.12.1865-17.10.1963)-fransuz matematigi, Parij FA (1912 y.)
a’zosi.
Aksioma- biror matematik nazariya yaratishda boshlang’ich fakt (asos) deb
qaraladigan va isbotsiz qabul qilinadigan jumla.
Analiz- Tahlil(analiz)- noma’lumdan ma’lumga, izlanayotgandan berilganga
o’tish yo’li bilan fikr yuritish yoki isbotlash metodi (usuli). A. ning teskarisi, ya’ni
teskari tartibda fikr yuritsh sintezdir.
Grekcha analysis –yechish, bo’shatish.
Analitik funksiya, golomorf, regulyar funksiya- kompleks o’zgaruvchili
funksiyalar nazariyasining asosiy tushunchasi. Agar € = + 1 kompleks
o’zgaruvchining bir qiymatli • = +(€) funksiyasi markazi €" nuqtada, radiusi
‘ > 0 bo’lgan biror |€ − €" | < ‘ doirada aniqlangan bo’lib,
+(€) = *" + * (€ − €" ) + * (€ − €" ) + ⋯ + *E (€ − €" )E + ⋯
darajali qator bilan tasvirlanadigan bo’lsa (bu qator Teylor qatoridan iborat bo’lishi
shart), +(€) funksiya € = €" nuqtada analitik funksiya deyiladi. +(€) funksiya ‰
sohada analitik deyiladi, agar bu sohaning har bir nuqtasida analitik bo’lsa.
Yoki
Bir qiymatli • = +(€) funksiya €" nuqtada analitik deyiladi, agar bu funksiya
€" nuqtaning qandaydir atrofidagi har bir nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa.
Analitik davom ettirish – biror sohada analitik bo’lgan funksiyani ancha
keng sohaga tarqatish.
Arifmetik ildiz- manfiy bo’lmagan sonning juft yoki toq darajali ildizining
manfiy bo’lmagan qiymati.
Argument erkli o’zgaruvchi.
Arkkosinus – kosinusga teskari funksiya. A. bunday belgilanadi: ‘
.
A. ko’p qiymatli (cheksiz ko’p qiymatli) funksiya. Uning bir qiymatli tarmog’i A.
tushuniladi, bunda 0 ≤ *‘
≤
ning bosh qiymati deyiladi va *‘
”, −1 ≤ ≤ 1.
Arksinus – sinusga teskari funksiya. A. bunday belgilanadi: ‘
. A.
ko’p qiymatli (cheksiz ko’p qiymatli) funksiya. Uning bir qiymatli tarmog’i A.
•
tushuniladi, bunda − ≤ *‘
≤
ning bosh qiymati deyiladi va *‘
•
, −1 ≤ ≤ 1.
Asimptotik ifoda- +( ) funksiyaning taqribiy qiymatlaridan biri.
Asimptotik baholar –
→ * da +(x) = O(g(x)),
+( ) = R ( )T,
+( )~ ( ) ko’rinishdagi munosabatlardir.
B
Bernulli (Bernoulli Yakob, 1667 - 1705) Shvesariya matematiki.
Bir jinsli funksiya f x, y funksiya 0
F tx, ty t m f x, y shartni
qanoatlantirsa. m – chi darajali bir jinsli funksiya deyiladi.
Bessel (Bessel Friedrish Vishelm, 1784 - 1846) nemis matematiki.
Bog’lamli to’plam deyiladi agar ‰ ⊂ G to’plamga tegishli ixtiyoriy * va ˜
nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq shu to’plamga tegishli bo’lsa.
Bir yaproqli funksiya – • = +(€) funksiya b.ya. deyiladi, agar bu
funksiyaga teskari € = (•) funksiya bir qiymatli bo’lsa.
D
D’Alamber Jak Leron (10.11.1717 -29.10.1783) fransuz matematigi,
mexanik va filosofi. Parij FA a’zosi (1741 y.) Dalamber usuli o’zgarmas
koeffisiyentli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topish usuli. D. birinchi
bo’lib gidrodinamikada uchraydigan matematik fizikaning elliptik tipdagi
tenglamasiga kompleps o’zgaruvchili funksiyalarni qo’llagan. D. va Eyler birinchi
bo’lib analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlarini bog’lovchi tenglamani
topgan, keyinchalik bu Koshi-Riman tenglamasi deb yuritilgan.
Dirixle Peter Gustav Lejen (13.2.1805-05.05.1859) –nemis matmatigi.
Birinchi bo’lib qatorning shartli yarinlashishini tekshirgan va ifodalagan
E
Eyler ( Euler Leonhard,27.11. 1707 – 18.09.1783) -fransuz, matematik, fizik,
mexanik va astronomi. Peterburg, Berlin, London FA lari a’zosi.
Eyler tenglamasi
Eyler formulasi - ™
a 0 x h y n a 1 x n 1 y n 1 ... a n 1 xy ' a n y f x
š›
=
K+
K
G
Grin Djordj (14.7.1793-31.3.1841) – ingliz matematigi va fizigi
Garmonik funksiya –
va 1 ikki haqiqiy o’zgaruvchili œ( , 1) funksiya ‰
sohada garmonik deyiladi , agar ‰ sohada ∆œ =
V •
V
+
V •
V2
= 0 tenglik bajarilsa.
I
Integrallovchi ko’paytuvchi – x, y ni tenglamaga ko’paytirganda
tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa.
Ichki nuqta –Agar ž ∈ ‰ nuqta o’zining biror atrofi bilan shu ‰ to’plamga
tegishli bo’lsa, * nuqta bu to’plamning ichki nuqtasi deyiladi.
J
Jordan (Jordan Camille, 1838 - 1922) fransuz matematiki
Jukovskiy Nikolay Yegorovich (17.01.1847-17.03.1921) – rus olimi, hozirgi
zamon gidro va aerodinamikasinin asoschisi. Peterburg FA muxbir a’zosi (1894
y.)Birinchi bo’lib kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi metodini gidro va
aerodinamikaga qo’llagan. J. nomi bilan funksiya va analitik funksiyalarning
chegaraviy xossalaridagi bitta teorema ifodalanadi.
K
Kantor Georg (03.03.1845-06.01.1918) nemis matematigi, to’plamlar
nazariyasining asoschisi. K.Veyershtrassning o’quvchisi
Koshi (Caushy Augustin Lauis, 1789 - 1857) fransuz matematigi, Parij FA
a’zosi (1816 y.). Funksiya uzluksizligi ta’ifi, yaqinlashuvchi qatorlar nazariyasini,
kompleks o’zgaruvchining geometric tasvirini nuqta sifatida ifodalagan. XVIII
asrda L.Eyler va J.D’Alamberlar asos solgan analitik funksiyalar nazariyasini
rivojlantirdi. Analitik funksiyani integral ko’rinishda ifodalash, bundan darajali
qatorga yoyish, qoldiqlar nazariyasini ishlab chiqish va uni analizning ko’plab
masalalarga tadbiqini ko’rsatgan.
Koshi masalasi (boshlang’ich masala) n – chi tartibli tenglamada noma’lum
funksiya va uning dastlabki (n - 1) tartibgacha hosilalari argumentning birta
qiymatida aniqlangan ya’ni y x 0 y 0 , y ' x 0 y 0 ,...., y n 1 x 0 y 0 n 1 .
Kompleks son deb Ÿ, ∈ ¡ haqiqiy sonlarning tartiblangan ( , 1) juftiga
aytamiz va shartli ravishda € = + 1 ro’rinishda yozamiz. Bunga k.s.ning
algebraik shakli bo’lib, − uning haqiqiy qismi ( = Š™€ kabi belgilanadi)
deyiladi, 1 soni esa mavhum qismi (1 = ¢z€ kabi belgilanadi), (0,1) juftlik
mavhum birlik deyiladi va simvoli bilan belgilanadi.
€ = ‘( K +
K) - trigonometril shakli, ‘ = |€| -moduli, K =
2
– k.s.argumenti.
‘ € = *‘ € + 2U”, U = 0, ±1, ±2, ⋯ , *‘ € = *‘
€ = ‘™ š› - k.s. ko’rsatkichli shakli deyiladi.
¨
Koshi-Adamar formulasi - Š ∈ '0, ∞( son
= lim | ¦ | formula bilan
aniqlanadi.
©ª
©«
Koshi-Riman sharti- = ,
©Ÿ
©
¥
©ª
©
=−
©«
©Ÿ
¦→§
.
Konform akslantirish – € kompleks tekislikning ‰ sohasini • kompleks
tekislikning ¬ sohasiga o’zaro bir qiymatli akslantirish konform deyiladi, agar bu
akslantirish shu sohada burchakning saqlanish va cho’zilishning o’zgarmaslik
xossasiga ega bo’lsa.
L
Lagrang (Ioseph Louis de Lagrange, 1736 - 1813) fransuz matematigi. Berlin FA
prezidenti, Peterburg FA faxriy a’zosi. Lagrange usuli – o’zgarmasni
variasiyalash usuli.
Laplas operatori - ∆≡
V
V
+
V
V2
Limitik nuqta - ž ∈ - nuqta ^€E _§
E® ketma-ketlikning limitik nuqtasi deyiladi,
agar bu nuqtaning ixtiyoriy ‚ > 0 atrofi œ¯ (*) = ^€: |€ − *| < ‚_da berilgan
ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlari joylashgan bo’lsa.
µ
Loran qatori- ±(²) = ∑¶§
`§ ´µ (² − ž) .
M
Maxsus nuqta Ikki o’zgaruvchili chiziqli birjinsli o’zgarmas koeffisiyentli
tenglama maxsus nuqtalari sinflari: egar, tugun, dikretik tugun, tug’ma tugun,
fokus, markaz (Bu sinflash Puancare tomonidan taklif etilgan)
Maple matematik paket(misol va masalalar yechish ychyn dastur).
Maxsus yechim har bir nuqtasida yagonalik sharti bajarilmagan yechim.
Maxsus nuqta mavjudlik va yagonalik teoremasi shartlari bajarilmagan nuqta.
Muhim maxsus nuqta - € = * nuqta +(€) funksiyaning muhim maxsus nuqtasi
deyiladi agar ·¸¹²→ž ±(²) mavjud bo’lmasa.
O
Ochiq to’plam – barcha nuqtalari ichki nuqtalardan iborat to’plam.
P
Puancare (Poincare Henri Iules, 1854 - 1912) fransuz matematiki.
Pikar( Picard Emile Charle, 1856 - 1941) fransuz matematiki.
Pikar yaqinlashishlari (ketma – ket yaqinlanishlar)
x
yn x y0 f t , yn1 t dt n 1, 2,3,...
x0
Q
Qo’shma kompleks son - ² = Ÿ − º son € = + 1 songa q.k. son deyiladi.
Qutb maxsus nuqta –€ = * nuqta +(€) funksiyaning qutbi deyiladi agar
·¸¹²→ž ±(²) = ∞.
R
Rikkati tenglamasi y ' a x y 2 b x y c x
Rikkati (Riccati Iacopo Francesco, 1676 - 1754) italiyan matematiki.
Riman sferasi – kengaytirilgan kompleks tekislikning cferaga stereogfafik
proeksilash.
S
Soha- ‰ to’plam soha deyiladi, agar bog’lamli va ochiq bo’lsa.
T
Tenglama – agar tenglamada bir o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa,
tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi.
agar tenglamada bir nechta argumentga bog’liq funksiya o’z hosilalari bilan
qatnashsa bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Trayektoriya integral chiziqni holatlar fazosidagi izi.
To’liq differensialli tenglama
F x, y , x ' ,..., y n 0 tenglamanig chap tomoni biror funsiyaning to’liq
differensialiga teng bo’lsa.
V
Veyershtrass Karl Teodar Vil’gelm (31.10.1815-19.02.1897) –nemis
matematigi. Berlin FA a’zosi (1856 y.) Asosiy natijalari Analitik funksiyalarning
biror sohada tekis yaqinlashuvchi qatorining yig’indisi analitik funksiya bo’lishi,
butun funksiyalarni cheksiz ko’paytma ko’rinishda ifodalash
U
Umumiy yechim tenglama yechimi oshkor ko’rinishda
Umumiy integral tenglama yechimi oshkorlik ko’rinishda.
Ch
Chiziqli tenglama: birinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan y ' p x y q x
n – chi tartibli bir jinsli bo’lmagan a0 x y n a1 x y n1 ... an x y f x
Birinchi tartibli bir jinsli y ' x y
n
n1
n – chi tartibli bir jinsli. a0 x y a1 x y ... an x y 0.
Chegaraviy masala izlanuvchi funksiya va uning hosilalari qiymatlari
argumentning ikkidan kam bo’lmagan qiymatlarida berilgan bo’lsa.
Chebishev(Чебышев Пафнутий Львович ,1821 - 1894) rus matematiki
Chegirma – yakkalangan maxsus €" nuqtaga nisbatan analitik bo’lgan +(€)
funksiyaning chegirmasi deb bu funksiyani shu nuqta atrofida Loran qatoriga
yoyganda (€ − €" )` ning koeffisentiga aytiladi.
Chegaralangan ketma-ketlik- Agar ^€E _§
ketma-ketlikning har bir
E®
hadining moduli biror musbat sondan kichik bo’lsa, ya’ni shunday chekli ˆ > 0
son mavjud bo’lib, barcha €E lar uchun |€E | < ˆ bo’lsa, ^€E _§
E® ketma-ketlik
chegaralangan deyiladi.
Ya
Yaqinlashuvchi ketma-ketlik - ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi, agar
chegarlangan va yagona limitik nuqtaga ega bo’lsa.
Yo
Yopiq to’plam deyiladi agar to’plamning barcha limitik nuqtalari shu to’plamga
tegishli bo’lsa.
15. Ilova
1.1.
Ishchi o’quv rejada дарслик ва ўқув қўлланмалар
1. Тешабаева Н.Х. Математик физика методлари. Т. 1980.
2. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.,
1977.
3. Будак Б.М., Тихонов А.Н., Самарский А.А. Сборник задач по
уравнениям математической физики.
4. Садуллаев А., Худайберганов Г., Варисов А. Математик анализ
курсидан мисол ва масалалар тўплами, III-қисм, Т., 2000.
5. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической
физики, М., 1982.
6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные
функции. Наука, 1974.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1971.
8. Бицадзе А. Уравнения математической физики. М., 1980.
15.2. Uslubiy qo’llanmalar, uslubiy ko’rsatmalar
1. Saloxiddinov M, Islomov B. “Matematik-fizika tenglamalari” Toshkent, 2010.
2. Saloxiddinov M, Islomov B. “Matematik-fizika tenglamalaridan mashqlar
to’plami” Toshkent, 2010.
1.
2.
3.
4.
5.
15.3. Elektron darsliklar va boshqa elektron o’quv materiallari
www.ziyonet.uz.
www.mathsoft.ru.
www.intuit.ru.
www.titli.uz.
www.karsu.uz