FORMULE INTEGRALE
1‐5: Să se calculeze următoarele integrale curbilinii folosind formula Green‐Riemann:
1.

  3 y  e  dx   7 x 
y 4  1 dy , unde C este curba de ecuație x 2  y 2  9 .
sin x
C
2.
 xydx  x dy , unde C este dreptunghiul cu vârfurile  0, 0  ,  3, 0 ,  3,1 ,  0,1 .
2
C
3.
 xydx  x
C
4.
 y  e
x
C
2
y 3 dy , unde C este triunghiul cu vârfurile  0, 0  , 1, 0  , 1, 2  .
 dx   2 x  cos y  dy ,
2
parabolelor y  x 2 și x  y 2 .
unde C este frontiera domeniului delimitat de intersecția


5. Considerăm forța F ( x, y )  xy 2 i  2 x 2 y j care acționează asupra unei particule materiale. Folosiți
formula Green‐Riemann pentru a determina lucrul mecanic a forței F necesar deplasării particulei de la
origine la punctul  2, 2  , apoi la punctul  2, 4  și înapoi la origine.
6‐9: Calculați cu ajutorul formulei Stokes următoarele integrale curbilinii (cu reprezentare grafică):
6.
 ydx  zdy  xdz ,
unde  este curba de intersecție a suprafețelor de ecuație z  x 2  y 2 și
x y z 0.
7.
 x
2
y 3 dx  dy  zdz , unde  este curba de ecuație x 2  y 2  1 , din planul z  0 iar suprafața S care
are frontiera  este z  1  x 2  y 2 , și are normala orientată în interior.
8. Calculați
  z  y dx   x  z dy   y  x dz , unde 
este conturul  ABC , A  a, 0, 0  , B  0, b, 0 
și C  0, 0, c  , cu a, b, c  0 , parcurs în sensul A  B  C .
9. Calculați
  y  z dx   z  x dy   x  y dz , unde
 este curba de intersecție a suprafețelor de
z
 1 (orientarea la alegere).
2




10. Calculați fluxul câmpului V  x 3 i  x 2 y j  x 2 z k prin fețele cilindrului x 2  y 2  R 2 , 0  z  a (
R  0, a  0 ), folosind formula Gauss‐Ostrogradski (cilindrul este considerat împreună cu bazele aflate în
ecuație x 2  y 2  1 și x 
planele z  0 , respectiv z  a )




11. Calculați fluxul câmpului V  x 2 i  y 2 j  z 2 k prin fața exterioară a sferei x 2  y 2  z 2  4 .



 a  r


r
12. Se consideră câmpurile vectoriale definite prin: U   3 , V   3 și W  r  r , unde a este un
r
r

vector constant iar r este vectorul de poziție al unui punct oarecare din 3 . Se cere:



a) Calculați divU , divV și divW ;
 

b) Calculați fluxul câmpurilor U , V și W printr‐o sferă centrată în origine (normala se alege la
exterior).
1
Indicații și răspunsuri
1. Avem P ( x, y )  3 y  esin x și Q ( x, y )  7 x 
y 4  1 . Atunci:





Pdx  Qdy   
7 x  y 4  1   3 y  esin x   dxdy   4dxdy . Domeniul K va fi un disc:
x
y

C K
K 
K

K
 x, y   
2

x 2  y 2  9 . Se trece la coordonate polare: x  r cos t , y  r sin t , J  r și
r   0,3 , t   0, 2  . Integrala devine:

C K
Pdx  Qdy  
3
0


2
4r dr dt  36 .
0
2. Avem P ( x, y )  xy și Q ( x, y )  x 2 . Atunci:



Pdx  Qdy     x 2    xy   dxdy   xdxdy . Domeniul K este de tip dreptunghi
x
y

C  K
K 
K

K
 x, y   
2

x   0,3 , y   0,1 și integrala devine:

C K
Pdx  Qdy  
1
0
  x dx  dy  92 .
3
0
3. Avem P ( x, y )  xy și Q ( x, y )  x 2 y 3 . Atunci:



Pdx  Qdy     x 2 y 3    xy   dxdy   x  2 y 3  1dxdy . Domeniul K este de tip
x
y

C K
K 
K

intergrafic: K 

C K
 x, y   
Pdx  Qdy  
1
0

2x
0
4. Avem P( x, y )  y  e
2

x   0,1 , 0  y  2 x . Integrala devine:

x  2 y 3  1 dy dx    8 x5  2 x 2  dx 
x
1
0
2
.
3
și Q ( x, y )  2 x  cos y 2 . Atunci:


2
Pdx
Qdy


 x  2 x  cos y   y y  e


C K
K 

x
 dxdy   dxdy .
K
x ,K 
intergrafic și este delimitat de curbele y  x 2 și y 

K
Domeniul
 x, y   
2
este de tip

x   0,1 , x 2  y  x .

1
x
1
1
Pdx  Qdy     2 dy  dx  
x  x 2 dx  .
0 x
0
3

C K


5. F ( x, y )  xy 2 i  2 x 2 y j , cu P ( x, y )  xy 2 și Q ( x, y )  2 x 2 y . Atunci:
Integrala devine:




Pdx  Qdy     2 x 2 y    xy 2   dxdy   2 xy dxdy . Ecuația dreptei care trece prin punctele
x
y

C K
K 
K

 0, 0  și  2, 2  este
Domeniul

C K
K
y  x , iar ecuația dreptei care trece prin punctele  0, 0  și  2, 4  este y  2 x .
este de tip intergrafic: K 
Pdx  Qdy  
2
0

2x
x

 x, y   
2

x   0, 2 , x  y  2 x .
Integrala devine:
2
2 xy dy dx   3x3 dx  12 .
0
6. z   x  y este un plan ce trece prin origine și nu intersectează axele de coordonate în alt punct (se
verifică acest lucru prin calcul). Suprafața S este situată în planul z   x  y și frontiera ei este curba 
(intersecția cu paraboloidul z  x 2  y 2 ). Orientarea normalei la S este în direcția de creștere a lui z iar
orientarea lui  este în sens trigonometric. Conform formulei Stokes avem


2
 
 Vdr   rotV  n d , unde
S








câmpul vectorial asociat în mod canonic formei diferențiale este V  yi  z j  xk iar rotV  i  j  k .


 




Suprafața S se parametrizează cartezian, r  x, y   x  i  y  j    x  y   k , N  i  j  k iar produsul
 
 
 rotV  n d   3dxdy . Pentru a obține D  pr
scalar este rotV  N  3 , deci
xOy
S
S se ”elimină” z
D
2
2
2
1 
1  1 

(cerc cu centrul în
din ecuațiile inițiale și avem x  y   x  y , adică  x     y    
2 
2   2 

2
2
2
2
2

1 
1   1  
1
 1 1
2 
), deci D  prxOy S   x, y     x     y    
  ,   și rază
  . Se trece la
2
2
2
2
 2 2





 

coordonate polare cu x  
și se obține:

1
1
 1 
și t   0, 2 
 r cos t , y    r sin t , jacobianul J  r , cu r  0,
2
2
2 

3dxdy  3
D
2



 
0
0

7. Conform formulei Stokes avem

rdr  dt  3 2 .


 
Vdr  rotV  n d , unde câmpul vectorial asociat în mod canonic
1/ 2


S






 
formei diferențiale este V  x 2 y 3 i  j  zk iar rotV  0i  0 j  3 x 2 y 2 k . Suprafața S se parametrizează




cartezian: r  x, y   x  i  y  j  1  x 2  y 2  k ,




N int   N ext 

x
1  x2  y2
 
rotV  n d 
S

i
y
1  x2  y2
 3x y dxdy , unde
2
 
 
j  k iar produsul scalar este rotV  N int  3x 2 y 2 , deci
D  prxOy S 
2
 x, y   
2

x 2  y 2  1 . Se trece la coordonate
D
polare cu x  r cos t ,
y  r sin t , jacobianul J  r , cu r   0,1 și t   0, 2  și se obține:

cos 2 t  sin 2 tdr  dt  (...)  .
0
0
8

D

 
8. Conform formulei Stokes avem Vdr  rotV  n d , unde câmpul vectorial asociat în mod canonic

3dxdy  3
2



1
 r
5



S





  
formei diferențiale este V   z  y  i   x  z  j   y  x k iar rotV  2 i  j  k . Suprafața S (a







x y
 k ,
a b
 
c c 
rotV  N  2    1 ,
a b 
triunghiului ABC ) se parametrizează cartezian: r  x, y   xi  yj  c  1 

c c 
iar
produsul
scalar
este
deci
N    p,  q,1  i  j  k
a
b
 

b

c c 
rotV  n d  2    1 dxdy , unde D  prxOy S   x, y    2 0  x  a , 0  y   x  b 
a
a b 


S
D


(proiecția pe xOy este triunghiul ”plin” OAB). Se obține:

D
c c 
c c 
2    1 dxdy  2    1
a b 
a b 
a



 
0
b
 x b
a
0

dy  dx  (...)   bc  ca  ba  .


3
z
 1 este un plan ce nu trece prin origine și intersectează Ox în x  1 și Oz în z  2 . Suprafața
2
z
S este situată în planul x   1 și frontiera ei este curba  (intersecția cu cilindrul x 2  y 2  1 ).
2
Alegem orientarea normalei la S în direcția de creștere a lui z iar orientarea lui  în sens trigonometric.

 
Conform formulei Stokes avem Vdr  rotV  n d , unde câmpul vectorial asociat în mod canonic
9. x 



S





  
formei diferențiale este V   y  z  i   z  x  j   x  y k iar rotV  2 i  j  k . Suprafața S



 

z
 1 ) se parametrizează cartezian: r  x, y   xi  yj   2  2 x  k ,
2

 
 

 
N    p,  q,1  2i  0 j  k iar produsul scalar este rotV  N  6 , deci
rotV  n d 
(situată în planul x 

unde D  prxOy S 
 x, y   
S


G‐O.
sunt
îndeplinite
și
2
 1 r dr  dt  6 .


0  0

 

I  V  n d 
divV dxdydz .
6 dxdy  6
D
teoremei
D
x 2  y 2  1 . Se trece la coordonate polare cu x  r cos t , y  r sin t ,
2
jacobianul J  r , cu r   0,1 și t   0, 2  și se obține:
10. Condițiile
 

avem:

K
 


divV   x 3    x 2 y    x 2 z   5 x 2 ,
x
y
z
D  prxOy K 
 x, y   
2
 6 dxdy ,
deci:
I

  
0
D

a
K
5 x 2 dz  dxdy  5a

 x dxdy ,
2
unde
D
x  y  R . Se trece la coordonate polare cu x  r cos t , y  r sin t ,
2
2
2
jacobianul J  r , cu r   0, R  și t   0, 2  și se obține:
I  5a
2



 
0
11.Condițiile
R
0
4
5aR
.
r 2 sin 2 t  r dr  dt  (...) 
4

teoremei
G‐O.
sunt
îndeplinite
și
avem:

K
 


divV   x 2    y 2    z 2   2  x  y  z  , deci: I  2
x
y
z
 
V  n d 


divV dxdydz .
K
  x  y  z  dxdydz .
Se trece la
K
coordonate sferice cu x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  , jacobianul J  r 2 sin  , r   0, 2 ,
   0,   și    0, 2  și se obține:

2
r  sin  cos   sin  sin   cos    r 2 sin  dr  d d  (...)  0

K


 





2
2
2
12. Avem r  xi  yj  zk , cu r  x  y  z și a  a1i  a2 j  a3 k . Câmpurile vectoriale sunt:



 
r
1
U 3
xi  yj  zk ,
3
r
 x2  y2  z 2 
  
i
j k

 a  r


1
1
V 3 
a1 a2 a3 
a2 z  a3 y  i   a3 x  a1 z  j   a1 y  a2 x  k

3
3
r
 x2  y 2  z 2  x y z  x2  y 2  z 2 
2
  x  y  z  dxdydz  20




 
0
2
0


4



 

W  r  r  x 2  y 2  z 2 xi  yj  zk .


  
a) divU 
x 

x
x
2
 y2  z2 
2 x 2  y 2  z 2

 x2  y 2  z 2 
 
  
divV   
x
 



2
 y2  z2 
3
x
2
y z
2

2 5
3
x
2
 y2  z2 
 x2  y 2  z 2 


  
  y 






  
  z 




y
x2  2 y 2  z 2

5
a2 z  a3 y
x
3


  
  y 




5
2
x
x2  y 2  2z 2

 x2  y 2  z 2 
a3 x  a1 z
x
3
z
 y2  z2 
3


  
  z 




2
 y2  z2 
3





0;
5
a1 y  a2 x
x
2
 y2  z2 
3


 

 
 a2 xz  a3 xy  a3 xy  a1 yz  a1 yz  a2 xz   0 ;



 






divW 
x x2  y 2  z 2 
y x2  y 2  z 2 
z x2  y 2  z 2  5 x2  y 2  z 2  5 r .
x
y
z


 
1
b) Fluxul câmpului U 
xi  yj  zk nu se poate calcula cu ajutorul formulei Gauss‐
3
 x2  y2  z 2 


Ostrogradski deoarece condițiile teoremei nu sunt îndeplinite (în punctul
 0, 0, 0   K ,
componentele
câmpului vectorial nu sunt de clasă C 1 ). Fluxul se va calcula folosind integrala de suprafață (pentru sfera de
rază R , centrată în origine):
 
 U  n d .
Se parametrizează sfera folosind coordonate sferice:
S
x  R sin  cos  , y  R sin  sin  , z  R cos  ,    0,   și    0, 2  . Parametrizarea este





U
r  ,    R sin  cos  i  R sin  sin  j  R cos  k
iar
câmpul
vectorial
devine:
 



1
U  r  ,     2 sin  cos  i  sin  sin  j  cos  k . Vectorii tangenți sunt :
R






r
r
  R sin  sin  i  R sin  cos  j  0k .
 R cos  cos  i  R cos  sin  j  R sin  k și r 
r 






Vectorul normal este: N  ,    r  r  R 2 sin 2  cos  i  sin 2  sin  j  sin  cos  k iar produsul



 
scalar U  N  sin  . Obținem astfel:


 
U  n d 
S

Fluxul câmpului V 
2
 y2  z2 



 
0

0
sin  d  d  4 .


1
x
2
3


  a z  a y  i   a x  a z  j   a y  a x  k  nu se poate calcula
2
3
3
1
1
2

cu ajutorul formulei Gauss‐Ostrogradski din aceleași considerente ca în cazul câmpului vectorial U . Fluxul
se va calcula folosind integrala de suprafață (pentru sfera de rază R , centrată în origine):
 
 V  n d . Se
S
procedează ca mai sus (aceeași parametrizare, același vector normal




N  ,    R 2 sin 2  cos  i  sin 2  sin  j  sin  cos  k ) iar


5
 



1
V  r  ,     2  a2 cos   a3 sin  sin   i   a3 sin  cos   a1 cos   j   a1 sin  sin   a2 sin  cos   k 
R
 
 
și se obține produsul scalar V  N  0 Obținem astfel: V  n d  0 .



 
Fluxul câmpului W  x 2  y 2  z 2 x i  yj  zk

S

se poate calcula cu ajutorul formulei Gauss‐

Ostrogradski (sunt îndeplinite condițiile teoremei), deci
 
W  n d 
S


divW dxdydz . De la punctul a)
K

avem divW  5 x 2  y 2  z 2 , deci pentru calcularea integralei triple folosim trecerea la coordonate
sferice: x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  , jacobianul J  r 2 sin  și domeniul parametrilor:
r   0, R  ,    0,   și    0, 2  . Obținem :

divW dxdydz 
5 x 2  y 2  z 2 dxdydz 

K

K
2




  
0
0
6
R
0
5r  r 2 sin  dr  d d  5 R 4 .
