INTEGRALE DE SUPRAFAȚĂ
1. SUPRAFEȚE (PÂNZE) PARAMETRIZATE
 O mulțime D   n se numește conexă (prin arce) dacă pentru orice două puncte A, B  D , există un
drum parametrizat  :  a, b    n , cu Im   D , astfel încât   a   A și   b   B .
Prin analogie cu drumurile parametrizate studiate în capitolul referitor la integralele curbilinii (unde o curbă
C  D , D fiind un domeniu conex, se reprezintă printr‐o funcție de un singur parametru,  :  a, b    3 ,
  t    x  t  , y  t  , z  t   ), o pânză (suprafață) S din 3 se poate reprezenta cu ajutorul unei funcții de
două variabile, r : D   , ( D   2 ) definită prin :
3
r  u, v    x  u, v  , y  u, v  , z  u, v   .


Prin funcția r : D   , fiecărui punct  u , v  din D îi corespunde un punct x  u , v  , y  u , v  , z  u , v  în S .
3
Astfel, mulțimea tuturor punctelor  x, y, z  din 3 pentru care x  x  u , v  , y  y  u , v  , z  z  u , v  , când
 u, v  parcurge domeniul
D formează pânza (suprafața) parametrizată S .
Funcția r : D   poate fi scrisă și vectorial:
3



r  u, v   x  u, v   i  y  u, v   j  z  u, v   k
  
unde i , j , k reprezintă versorii axelor de coordonate ai sistemului cartezian Oxyz .
Observații:
 Suprafața parametrizată prin funcția r : D   se numește simplă dacă aplicația r este injectivă;
 Ecuația suprafeței S poate fi determinată dacă se cunoaște parametrizarea ei, si reciproc. Pentru calcularea
integralelor de suprafață este necesară, de cele mai multe ori, parametrizarea suprafeței (este dată ecuația
suprafeței).
3
 Ecuațiile x  x  u , v  , y  y  u , v  , z  z  u , v  se numesc ecuațiile parametrice ale suprafeței S .
Exemplu: Să se parametrizeze suprafața de ecuație x  y  4 .
2
2
Rezolvare: Ecuația reprezintă un cilindru eliptic, cu secțiunea cerc de rază 2 și axă de simetrie Oz . Pentru a
parametriza suprafața cilindrului, folosim coordonatele cilindrice: x  2cos u , y  2sin u , z  v , deci



r  u, v    2 cos u, 2sin u, v  . Forma vectorială a parametrizării este: r  u , v   2 cos u  i  2sin u  j  v  k .
1
Observații:


 Dacă suprafața este reprezentată de mulțimea punctelor de forma  x, y, z   x, y, g  x, y  , se folosește
u  x și v  y , deci: r  x, y    x, y, g  x, y   (sau în formă



vectorială r  x, y   x  i  y  j  g  x, y   k ).
parametrizarea numită ”carteziană”, adică
 Ca și în cazul parametrizării curbelor, parametrizarea unei suprafețe nu este unică.
Exemplu: Determinați două parametrizări pentru suprafața conului de ecuație z  2 x 2  y 2 .
x  x , y  y și z  2 x 2  y 2 , deci:



(sau în formă vectorială r  x, y   x  i  y  j  2 x 2  y 2  k ).
Varianta 1: O primă parametrizare este cea carteziană:

r  x, y   x , y , 2 x 2  y 2

Varianta 2: Se pot folosi coordonatele polare,  și t , deci putem considera u   și v  t și avem:
x   , t    cos t , y   , t    sin t și z   , t   2  2 cos 2 t   2 sin 2 t  2  , cu   0 și t   0, 2  .
Reprezentarea parametrică este, în acest caz, r   , t     cos t ,  sin t , 2   (sau în formă vectorială



r   , t    cos t  i   sin t  j  2   k ).
2. PLANUL TANGENT ȘI VECTORUL NORMAL PENTRU O SUPRAFAȚĂ PARAMETRIZATĂ



Considerăm o suprafață S cu parametrizarea vectorială r  u , v   x  u , v   i  y  u , v   j  z  u , v   k , unde
 u, v   D . Fixăm un punct  u0 , v0  în domeniul D care corespunde,
P0  x0 , y0 , z0  de pe suprafața S , care are vectorul de poziție r  u0 , v0  .
prin parametrizarea r , punctului
Dacă considerăm u constant, adică u  u0 , obținem în domeniul D segmentul paralel cu axa Ov , care trece
prin  u0 , v0  iar r  u0 , v  devine o funcție de un singur parametru care definește curba C1 în S . Similar,
considerând v constant, adică v  v0 , obținem în domeniul D segmentul paralel cu axa Ou , care trece prin
 u0 , v0  iar r  u, v0  devine o funcție de un singur parametru care definește curba C2 în S .
Vectorul tangent la curba C1 în punctul P0  x0 , y0 , z0  se obține prin derivarea parțială a parametrizării
r  u, v  în raport cu v :
2
rv 

 y
 z
r
x
 u0 , v0    u0 , v0   i   u0 , v0   j   u0 , v0   k
v
v
v
v
Vectorul tangent la curba C2 în punctul P0  x0 , y0 , z0  se obține prin derivarea parțială a parametrizării
r  u, v  în raport cu u :
ru 

 y
 z
r
x
 u0 , v0    u0 , v0   i   u0 , v0   j   u0 , v0   k
u
u
u
u
Din punct de vedere geometric, vectorii tangenți la 2 curbe, într‐un punct dat, pot forma un plan (numit plan
tangent la suprafață în punctul respectiv) dacă nu au aceeași dreaptă suport (adică dacă nu sunt coliniari sau
confundați). Un alt mod de a pune în evidență existența planului tangent este determinarea vectorului normal
(perpendicular pe vectorii tangenți) nenul (vectorul normal ar fi nul dacă vectorii tangenți ar avea aceeași
dreaptă suport).
Observație: Considerăm în 3 vectorii a   a1 , a2 , a3  , b   b1 , b2 , b3  și c   c1 , c2 , c3  . Considerând că
vectorul c este perpendicular pe vectorii a și b , îl putem defini cu ajutorul produsului vectorial:

k
notatie



a3  c1  i  c2  j  c3  k
b3
 
i
j
c  a  b  a1 a2
b1 b2
Calcularea efectivă a produsului vectorial (al cărui rezultat este tot un vector) se face prin dezvoltarea
determinantului după prima linie (sau după orice altă regulă de calcul al determinanților de ordin 3, și
  
regruparea termenilor după versorii i , j , k ).
Revenind la suprafața parametrizată S , dacă produsul vectorial al vectorilor tangenți este nenul, ru  rv  0 ,
atunci suprafața S se numește netedă (nu are ”vârfuri” sau ”colțuri”).
r
r
 u0 , v0  și rv   u0 , v0  , cu ru  rv  0 este planul tangent la suprafață
v
u

(în punctul P0  x0 , y0 , z0  ) iar vectorul definit prin N  u , v   ru  rv  0 este vectorul normal la suprafața S
Planul generat de vectorii ru 
în punctul P0  x0 , y0 , z0  :

i
def

x
N  u , v   ru  rv 
u
x
v

k

j



z notatie
 N1  i  N 2  j  N 3  k
u
z
v
r
r
, rv 
sunt liniar
Suprafața parametrizată S se numește regulată dacă vectorii tangenți ru 
u
v
independenți în orice punct din D .
y
u
y
v
3


 N
Vectorul n   se numește versor normal ( N reprezintă norma euclidiană a vectorului normal, adică
N

N  N12  N 22  N 32 ).
Exemplu: Să se determine planul tangent la suprafața parametrizată definită prin ecuațiile parametrice
x  u, v   u 2 , y  u, v   v 2 , z  u , v   u  2v , în punctul 1,1,3 .
Rezolvare: Parametrizarea suprafeței este dată iar scrierea ei vectorială este:






r  u , v   x  u , v   i  y  u , v   j  z  u , v   k  u 2  i  v 2  j   u  2v   k
Coordonatele punctului P0  x0 , y0 , z0  sunt date, și anume x0  1, y0  1, z0  3 . Acestui punct de pe
suprafața S îi corespunde punctul  u0 , v0  din D . Valorile lui u0 și v0 sunt soluțiile sistemului algebric:
 u02  1

2
 v0  1 , adică  u0 , v0   1,1
u  2 v  3
0
 0
Vectorii tangenți într‐un punct oarecare al suprafeței S sunt:



r x  y  z 

 i   j   k  2u  i  0  j  1 k
u u
u
u



r x  y  z 
rv 
  i   j   k  0  i  2v  j  2  k
v v
v
v
ru 

 
i
j k




Vectorul normal corespunzător este: N  u , v   ru  rv  2u 0 1  2v  i  4u  j  4uv  k
0 2v 2




Pentru punctul  u0 , v0   1,1 vectorul normal este N 1,1  2  i  4  j  4  k iar ecuația planului tangent
în
punctul
 x0 , y0 , z0   1,1,3
corespunzător
este:
2  x  x0   4  y  y0   4  z  z0   0 , adică
x  2 y  2z  3  0 .
3. SUPRAFEȚE ORIENTATE

Direcția vectorului normal N  u , v  este independentă de reprezentarea parametrică, dar orientarea lui
depinde de reprezentarea parametrică a suprafeței S . Natural, orientarea unei suprafețe este dată de

orientarea versorul normalei n .
Pentru suprafețe închise (care sunt frontiera unui ”corp solid” – de exemplu o sferă), prin convenție, orientarea
pozitivă a suprafeței este ”spre exteriorul” suprafeței iar orientarea negativă ”spre interior”.
4
4. INTEGRALE DE SUPRAFAȚĂ DE PRIMA SPEȚĂ
Fie r : D   și fie S  r  D  imaginea ei (suprafața parametrizată) și fie f o funcție continuă al cărei
3
domeniu de definiție include suprafața parametrizată.
Integrala de suprafață se prima speță a lui f pe S este, prin definiție:

f  x, y , z  d  
S


f  r  u , v   N  u , v  dudv ,
D


unde N  u , v  este vectorul normal la suprafața S iar elementul de suprafață este d  N  u , v  dudv .
Cum se determină domeniul D ?
 De obicei, pentru parametrizarea suprafeței se folosesc reprezentări cunoscute (trecerea la coordonate
sferice sau cilindrice), care au domeniul parametrilor cunoscut. În aceste cazuri, D devine domeniu de
tip dreptunghi iar integrala dublă este simplu de calculat.
 În cazul parametrizărilor carteziene, D reprezintă proiecția suprafeței S pe unul dintre planele de
coordonate (dacă z  g  x, y  atunci proiecția este pe planul xOy , dar pot exista parametrizări
carteziene și pentru cazurile x  g  y, z  ‐ cu proiecția pe planul yOz sau y  g  x, z  ‐ cu proiecția
pe planul xOz )
Calculul integralelor de suprafață de prima speță în funcție de tipul parametrizării
1. Pentru o suprafață parametrizată cartezian:


Fie S o suprafață parametrizată cartezian: r  x, y, z   r x, y, g  x, y  cu  x, y   D   2 .
g
g
și q 
;
x
y

Notăm p 

Vectorii tangenți la suprafață sunt rx  1  i  0  j  p  k și ry  0  i  1  j  q  k ;








  
i j k




Vectorul normal la planul tangent este N  x, y   rx  ry  1 0 p   p  i  q  j  1  k , deci
0 1 q

N    p,  q, 1 ;

Elementul de arie este d  N  x, y  dxdy  1  p 2  q 2 dxdy .
În concluzie, integrala de prima speță a lui f pe S este:
 f  x, y, z  d   f  x, y, g  x, y  
S
1  p 2  q 2 dxdy
D
Aria suprafeței parametrizate cartezian se obține pentru f  x, y, z   1 :
aria  S  

1  p 2  q 2 dxdy .
D
5
2. Pentru o suprafață parametrizată general:
r  u, v    x  u , v  , y  u , v  , z  u, v   , cu  u , v   D   2

ru 
Determinăm vectorii tangenți la suprafață:
r x  y  z 

i   j  k
u u
u
u
și
rv 
r x  y  z 
 i   j  k ;
v v
v
v


i

j
x
u
x
v
y
u
y
v

Determinăm vectorul normal la planul tangent: N  u , v   ru  rv 

Calculăm N  x, y  și determinăm elementul de arie d  N  u , v  dudv ;

Aplicăm formula generală:



f  x, y , z  d 
S



k
z
;
u
z
v

f  x  u , v  , y  u , v  , z  u , v   N  u , v  dudv ;
D
Determinăm domeniul D și calculăm integrala dublă.
Aria suprafeței parametrizate general se obține pentru f  x, y, z   1 :
aria  S  


N  u , v  dudv
D
Observație:
Dacă suprafața S netedă pe porțiuni (adică este o reuniune finită de suprafețe netede, S1 , S2 ,..., Sn care se
intersectează doar pe frontiere), atunci integrala de suprafață pentru S se poate calcula ca sumă a integralelor
suprafețelor componente:
 f  x, y, z  d   f  x, y, z  d   f  x, y, z  d
1
S
S1
2
 ... 
S2
 f  x, y, z  d
n
Sn
Elementul de arie se calculează, evident, separat pentru fiecare suprafață S1 , S2 ,..., Sn .
5. INTEGRALE DE SUPRAFAȚĂ DE SPEȚA A DOUA
Fie P , Q și R funcții de 3 variabile:  x, y, z  . Atunci expresia:
  Pdy  dz  Qdz  dx  R dx  dy
se numește 2‐formă diferențială.
Integrala de suprafață de speța a doua reprezintă integrala pe o suprafață (orientată) parametrizată S din
forma 2‐diferențială  .
6
Unei 2‐forme diferențiale   Pdy  dz  Qdz  dx  R dx  dy i se asociază (în mod canonic) câmpul de


vectori V : D   3 , cu componentele V   P, Q, R  . Fie r : D  
3
o parametrizare cu imaginea S

(orientată cu versorul normalei n la suprafață), r  u, v    x  u , v  , y  u , v  , z  u, v   , cu  u, v   D   2 .
Atunci integrala de suprafață de speța a doua este:


S
 
V  n d
S



fluxul câmpului V
 



unde V  n este produsul scalar al vectorilor V și n iar elementul de arie este d  N  u , v  dudv .
După calcularea produsului scalar și al elementului de arie, integrala de suprafață

 
V  n d se calculează, în
S
continuare, ca o integrală de suprafață de prima speță.
Observație:

Practic, NU este nevoie de calcularea efectivă a normei vectorului normal N  u , v  .
Justificare:
Considerăm vectorul normal ca având componentele  N1 , N 2 , N3  și scriem produsul scalar:

  
N  u, v 
1
V  n  V  u, v   
 
 P  u, v   N1  Q  u, v   N 2  R  u, v   N3  . Deoarece elementul de
N  u, v 
N  u, v 

arie este definit prin d  N  u , v  dudv , integrala de suprafață de spața a doua devine:
 

1
V  n d 

 P  u, v   N1  Q  u, v   N 2  R  u, v   N3   N  u, v  dudv 
N  u, v 
S
D



  P  u, v   N
1
 Q  u , v   N 2  R  u , v   N 3  dudv , unde D este domeniul parametrilor  u , v  .
D
7