Xosmas integral
Reja:
1. Integrallash oralig`i cheksiz bo`lgan hol
2. Integrallash oralig`i chekli bo`lib integral osti funksiya
3. chegaranmagan hol
4. Umumiy hol
5. Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi
Yuqorida aniq integralni ta`riflashda integrallash oralig`i [a;b] ni chekli hamda
unda aniqlangan f(x) integral osti funksiyasi chegaralangan bo`lishini talab qilgan
edik. Bunga sabab qo`yilgan bu shartlardan birortasi bajarilmagan taqdirda
integral yig`indi mabjud bo`lmay qolishi mumkinligidir. Ammo, bu shartlar
bajarilmagan taqdirda ham integral tushunchasini kiritish mumkin bo`lib, bunday
holda uni xosmas integral deb ataladi. Bu yerda xosmas integral tushunchasini
integrallash oralig`i cheksiz bo`lgan, integrallash oralig`i chekli bo`lib, unda
integral osti funksiyasi chegaralanmagan va nihoyat, yuqoridagi ikkala hol ham
mavjud bo`lgan hollar uchun alohida kiritamiz.
1. Integrallash oralig`i cheksiz bo`lgan hol
1. Aytaylik, f(x) funksiya [a;+) yarim cheksiz oraliqda aniqlangan va
uzluksiz bo`lsin. U vaqtda b a son uchun
b
 f ( x)dx
(1)
a
aniq integral mabjuddir. Agar b+ da (12.1)integralning chekli limiti mabjud
bo`lsa, bu limit f(x) funksiyaning [a;+) oraliq bo`yicha xosmas integrali deyiladi

va
 f ( x)dx kabi belgilanadi.
a
Demak, ta`rif bo`yicha

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx .
a
b  
(2)
a

Agar
 f ( x)dx
xosmas integral yuqorida kiritilgan ma`noda mabjud bo`lsa,
a
uni yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi. Xosmas integral
uzoqlashuvchi bo`lsa, u son qiymati jihatdan hech qanday ma`noga ega emasligini
aytamiz.

1-misol.
dx
0 1  x 2 xosmas integral hisoblansin.
Yechish. Integral ostidagi funktsiya grafigini quramiz:
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(1/(1+x^2), x=-6..6, y=-1..2,color= blue,
thickness=2);
b
dx
1 x
2
 arctgx b0  arctgb  arctg 0  arctgb;
0

dx
1 x
2
 lim arctgb 

b  
0
2
.
Demak, bu xosmas integral yaqinlashuvchi va uning son qiymati
tengdir.
> int( 1/(1+x^2), x=0..infinity );

2-misol.
dx
 x
1
p
2
xosmas integralni  ga nisbatan tekshiring (R)
1
x1
Agar 1 bo`lsa,  x dx 
1
1
b
Yechish.

Bu yerda ikki holni farqlashga to`g`ri keladi.
a) >1  1-< 0   -1 >0 bo`lib,
b
1
b1
1


.
1 1

ga
2

dx
 x
1
 1

1
1
 
 lim 

,


1
b     1
(  1)b    1

ya`ni bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.
b1
1
b)   1 
ifoda 1->0 bo`lganligi sababli b1- + , ya`ni

1 1
 b1
1 
   .
lim 

b   1  
1




Demak, bu holda xosmas integral uzoqlashuvchidir.
Endi =1 holni qarasak, b >1 bo`lganda
b
b
dx
dx
b
ln b  
1 x   1 x  ln x 1  ln b  ln 1  ln b; blim
 

ekanligidan
dx
xosmas integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
x
1


Shunday qilib,
dx
xosmas integral >1 bo`lganda yaqinlashuvchi bo`lib,
 x
1
1 bo`lganda esa uzoqlashuvchidir.
Eslatma. Xosmas integralni yuqoridagi misoldagiga o`xshash tekshirish uni
yaqinlashishga tekshirish deb atalib, bunda uning qiymatini, agar talab qilinmagan
bo`lsa, topish (hisoblash) shart emasdir.
Yuqorida ko`rilgan misollardan integral osti funksiyasining boshlang`ich
funksiyasi F(x) ning xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lishi uchun x+ dagi
chekli limiti mabjud bo`lishi kerak ekanligini ko`ramiz. Quyidagi teorema
o`rinlidir.
1-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz
bo`lib, bu oraliqda uning boshlang`ich funksiyasi F(x) mavjud va x+ da chekli

limitiga ega bo`lsa,
 f ( x)dx xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
a
b
Isbot.
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a) , (b  a) ;
a
b
lim
b  
 f ( x)dx  lim (F (b)  F (a))  F ()  F (a) .
a
b  
F ( x) belgilashdan foydalandik. Teorema sharti asosida
Bu yerda F ()  blim
 
F(+) chekli limit mabjudligidan xosmas integralning yaqinlashuvchiligi kelib
chiqadi.
2-teorema. Agar f(x) va (x) funksiyalar [a;+) oraliqda aniqlangan va
uzluksiz x[a;+) f(x) (x) 0 tengsizlik o`rinli bo`lib,


1)

  ( x)dx ham yaqinlashuvchi bo`ladi;
f ( x)dx yaqinlashuvchi bo`lsa,
a
a


a
a
2)   ( x)dx uzoqlashuvchi bo`lsa,
 f ( x)dx ham uzoqlashuvchi bo`ladi;
Navbatdagi teoremani keltirish
avvalida integralga tegishli yana bir
tushunchani kiritamiz. Agar f(x) funksiya absolut qiymatining biror oraliq bo`yicha
(cheklimi yoki cheksizmi) integrali mabjud bo`lsa, bu funksiya shu oraliq bo`yicha
absolut integrallanuvchi deyiladi, ya`ni
b
 f ( x) dx
mabjud bo`lsa, f(x) (a;b) oraliqda absolut integrallanuvchidir.
a
3-teorema. Agar f(x) funksiya
[a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz

bo`lib, shu oraliqda absolut integrallanuvchi bo`lsa,
 f ( x)dx
xosmas integral
a
yaqinlashuvchi bo`ladi.
4-teorema. Agar f(x) va (x) [a;+) oraliqda uzluksiz va manfiy bo`lmagan
funksiyalar bo`lib,
f ( x)
lim
c0
x    ( x )

chekli limit mabjud bo`lsa,
 f ( x)dx
va
a

  ( x)dx
xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi yoki ikkalasi ham
a
uzoqlashuvchi bo`ladi, ya`ni ulardan biri yaqinlashuvchi boshqasi uzoqlashuvchi
bo`laolmaydi.
1-eslatma. Agar 4- teoremada lim
x  
f ( x)
0
 ( x)
bo`lsa, u holda


a
a
a)   ( x)dx yaqinlashuvchi bo`lsa 

b)

 f ( x)dx yaqinlashuvchi;

f ( x)dx uzoqlashuvchi bo`lsa,    ( x)dx uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi,
a
a
ammo, bir xil tabiatli ekanligi kelib chiqmaydi.
2-eslatma.
Yuqorida
keltirilgan
teoremalar
xosmas
integralning
yaqinlashish belgilari deb yuritiladi.
2. Xuddi yuqoridagidek, agar f(x) funksiya (-; a] oraliqda uzluksiz bo`lsa,
a

a
f ( x)dx  lim
b

 f ( x)dx
(b<a)
b
deb qabul qilib, bu oraliq uchun ham xosmas integral tushunchasi kiritiladi. Bu
yerda 2a-x=t almashtirish bilan yuqoridagini (t)=-f(2a-t) funksiyaning

  (t)dt
a
xosmas integraliga keltirish mumkin. Demak, yuqoridagi yaqinlashish belgilari bu
yerda ham o`rinlidir.
3. Agar f(x) funksiya (-;+) oraliqda uzluksiz funksiya bo`lsa, ixtiyoriy
a(-;+) nuqtani olib, (-;+) oraliq uchun xosmas integral tushunchasi

a



a
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
ko`rinishda kiritiladi. Ko`pincha a=0 deb olinadi.


dx
dx
dx
 
 

   .
3-misol , 
2
2
2
2 2
1  x
1  x
0 1 x
0
> int( 1/(1+x^2), x=-infinity..infinity );

2. Integrallash oralig`i chekli bo`lib integral osti funksiya
chegaranmagan hol
1. Aytaylik, f(x) funksiya [a;b) oraliqda uzluksiz bo`lib, oraliqning o`ng
uchida cheksiz katta, ya`ni f(b-0)= bo`lsin. U holda b-[a;b) shartni
qanoatlantiruvchi har bir musbat  uchun
b 
 f ( x)dx
aniq integral mabjuddir. Agar
a
+0 da bu integralning chekli limiti mabjud bo`lsa, bu limit f(x) funksiyaning
b
[a;b) oraliq bo`yicha xosmas integrali deyilib,
 f ( x)dx
a
bilan belgilanadi. Bu belgilash aniq integral belgisidan
farq qilmaydi, ammo bu yerda f(x) integrallash oralig`ida
chegaralanmagan ekanligini unutmaslik kerak.
Demak, ta`rif bo`yicha
b 
b

f ( x)dx  lim
  0
a
1
2-misol.

0
 f ( x)dx .
(5)
a
dx
integral hisoblansin.
1 x
Yechish. f ( x) 
1
, x  [0,1) da uzluksiz , ammo f(1-0)=+ ya`ni
1 x
cheksiz katta.
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(1/sqrt(1-x), x=-6..6, y=-1..10,color= blue,
thickness=2);
Demak, bu integral xosmasdir.
1

0
dx
 lim
1  x  0

 lim  2 1  x
 0
1
 1 d (1  x) 
dx

 lim   2 

1  x  0
0 2 1 x 

0
1
0
  lim (2
 0
  2)  2  0  2  2
> int( 1/sqrt(1-x), x=0..1);
2
2. Xuddi yuqoridagiga o`xshash f(x) funksiya (a;b] oraliqda uzluksiz bo`lib,
f(a+0)= bo`lsa, xosmas integralni
b
b
 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx



0
a
a 
(6)
ko`rinishda ta`riflaymiz.
3. Agar f(x) funksiya (a;b) oraliqda uzluksiz bo`lib f(a+0)=, f(b-0)=
bo`lsa, c (a;b) ixtiyoriy nuqta yordamida xosmas integralni
b
c
b
f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx



 f ( x)dx
a
a
c
ko`rinishda ta`riflaymiz.
(7)
3. Umumiy hol
Agar f(x) (a;b) oraliqning chetki va ba`zi bir ichki c1<c2<…<cn (a;b)
nuqtalarida ham cheksiz katta bo`lib, (ci-1;ci) oraliqlarning har birida uzluksiz
bo`lsa, xosmas integralni
b
n 1 c i
a
i 1 c i 1
 f ( x)dx    f ( x)dx
(8)
ko`rinishda ta`riflaymiz, bu yerda c0=a, cn+1=b deb qabul qilinadi. Bu yerda yana
shuni ham aytamizki, (8) da a=-;b=+ bo`lishi ham mumkin va bu holda x
da f(x) ning cheksiz katta bo`lishi talab qilinmaydi.
Eslatma. (5)- (8) xosmas integrallar uchun ham yuqorida ko`rilgan
yaqinlashish belgilari o`z kuchida qoladi. (7) va (8) lar uchun bu belgilar har bir
oraliqda alohida qaralishi lozimdir.

4-misol.


dx
| x(1  x 2 ) |
Yechish. f ( x) 
xosmas integralning yaqinlashishi tekshirilsin.
1
| x(1  x 2 ) |
funksiya x1= -1, x2=0 va x3=1 nuqtalarda
cheksiz kattadir, (-;-1) (-1;0), (0,1) va (1;+) oraliqning har birida uzluksizdir.
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(1/sqrt(abs(x*(x^2-1))), x=-6..6, y=1..10,color= blue, thickness=2);
Demak, (8) ga asosan

1
dx


| x(1  x 2 ) |

0
dx

x(1  x 2 )


1
1
dx
x( x 2  1)

dx

x(1  x 2 )
0

dx
2
 1)
 x( x
1
Integral osti funksiyasi juftligidan
1



dx


x(1  x )
2
0
dx
x( x  1)
2
1

;
1
1
dx
x( x  1)
2

0
dx
x(1  x 2 )
tengliklar, ular mabjud bo`lgan taqdirda, o`rinlidir (12.7) ga asosan
1
1)

0
0,5
dx
x(1  x )
2


1
dx
x(1  x )
0
dx


2
x(1  x 2 )
0,5
ko`rinishda yozib olamiz. U holda
a) x  (0;0,5],
0, 5

1
dx
0,75
0
x

1
x(1  x 2 )  0,75 x  0 
0, 5
2
lim
0,75  то
dx
 2
x
2

x(1  x )
2

lim ( x ) 0,5 
0,75  то
1
1

0,75 x
1,5
3
lim ( 0,5   ) 
3  то
3
yaqinlanuvchi. Demak, yuqoridagi eslatmaga ko`ra va 2 - teoremaga asosan
0,5

0
dx
x(1  x 2 )
ning yaqinlanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
b) x  [0,5 : 1)  x(1  x 2 )  x(1  x)(1  x)  0,5  1,5(1  x)  0,75(1  x) ,
0
1

0,5
x(1  x 2 )

1
,
0,75 1  x
dx
ham yaqinlashuvchidir (yuqoridagidek ko`rsatiladi).
0,75 1  x
1
demak,
dx

x(1  x 2 )
0

2)
1

1
2
dx
x( x  1)
2


1
yaqinlashuvchidir.
dx
x( x  1)
2



2
dx
x( x 2  1)
a) x  (1;2], x( x 2  1)  x( x  1)( x  1)  2( x  1)  0 
2
x( x 2  1)
dx
- yaqinlashuvchi (yuqoridagidek ko`rsatiladi),
2 x 1

1
2
demak,
1

1
dx
x(x 2  1)
yaqinlashuvchi

1
,
2 x 1
1 

x( x  1)  x 1  2 
x 

b) x  [2;),


2
dx
x3


dx
x
2
3
2
yaqinlashuvchi
2

teoremaga asosan
dx


Demak,

1
dx
x(x 2  1)
lim
x  
3


   1
2


x
 lim
x  
3
dx

2-misolga qarang, bundan 12.4-
kelib chiqadi.
> with(IntegrationTools):
XI2 := Int(1/sqrt(abs(x*(x^2-1))), x=infinity..infinity);
N
1
XI2 := ò
|x ( x 2 K 1 ) |
KN
dx
> Split(XI2, [-1, 0, 1]);
K 1
1
dx C
2
|x ( x K 1 ) |
K N
C
∫
1
1 0
x2
xosmas integralning yaqinlashuvchi ekanligi
| x(1  x 2 ) |

∫
1
yaqinlashuvchi.

Shunday qilib,
x( x 2  1)
ning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
x(x 2  1)
2
va
3
1
1
0
2
|x ( x K 1 ) |
∫
0
1
dx C
∫
dx
2
|x ( x K 1 ) |
K1
N
1
1
|x ( x 2 K 1 ) |
> XI2:=value(%);
0K I 2 EllipticF0 x C 1 , 12 2 11
1
1
C 2 EllipticK0 2 1K I 2 EllipticK0 2 1
2
2
1
C I 2 EllipticF0 2 ,
21
2
1
C lim 0
K 2 EllipticF0 x C 1 ,
21
2
1
C 2 EllipticF0 2 ,
2 11
2
XI2 := lim
x/ K N
x/ N
> evalf(XI2,5);
dx
5.2317 C 0. I
1
5-misol.
dx
 x  xosmas
integralning yaqinlashuvchiligi tekshirilsin (R).
0
Yechish. Bu yerda (-;1), =1 va (1;) bo`lgan uch holni ajratamiz.
1) 1 bo`lsin, u holda
dx
1   1


lim
x
dx

lim
0 x  0 
 0 1  
1
1
oxirgi limit  <1 bo`lganda mabjuddir va uning qiymati
1
ga tengdir,
1
ya`ni
1
dx
 x
  1,

0
1
- xosmas integral yaqinlasuvchi.
1
Agar >1 bo`lsa,

1   1
1
1 
   ,
 lim 



1
  0 1  
  0 (  1)


1


lim
ya`ni,   1,
1
dx
 x
- xosmas integral uzoqlashuvchi.
0
1
dx
 lim ( ln  )   , ya`ni xosmas integral uzoqlashuvchi
x   0
0
2)   1  
ekan.
1
Demak,
dx
 x
-xosmas integral <1 bo`lganda yaqinlashuvchi, 1
0
bo`lganda esa uzoqlashuvchidir.
Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi
6-misol. y 
a3
x  a 2
Anyezi chziq zulfi va abtsissalar o`qi orasida joylashgan
yuzani hisoblang.
a3
Yechish. Yuz elimenti: dS  ydx  
dx .
x  a2
Izlanayotgan yuza qiymati integrallash chegaralari cheksiz bo`lgan xosmas
integralga teng:

S
 ydx 

a3
x
2
2 
2
 x  a 2 dx  2a arctg a 0 2a 2  a 

> restart;
> with(plots): f:=x->8/(x^2+4):
> plot({f(x)}, x=-6..6, y=0..2,color=red,
style=line, thickness=2, title=`YUZA`);
> XI1:=int( a^3/(x^2+a^2), x=-infinity..infinity );


3
XI1 : a 



> a:=2:XI1;
7-misol. y 2 
x( x  a) 2
2a  x


a
,

a
, a0
a0
, a0
4p
strofoida va uning asimptotasi bilan chegaralangan yuzani
hisoblang.
Yechish. Yuz elimenti: dS  ydx  ( x  a)
x
dx .
2a  x
Izlanayotgan yuza qiymati uzlykli funktsiyadan olingan xosmas integralga
teng:
2a
S   ( x  a)
a
x
dx
2a  x
Integralostidagi funktsiya x=2a nuqtada uzilishga ega. Bu integralda
x=2asin2t , dx=4a sint cost, a≤x≤2a dan π/4≤t≤ π/2
ga o`tib quyidagi yechimni topamiz:
 /2
1


S  2a 2 (t  sin 2t  sin t )
 2a 2 (  1)  a 2 (  2)
 /4
4
4
2
Strofoida grafigini uning parametrik tenglamasi x=1+sinφ, y=(1+sinφ)
sinφ/cosφ asosida quramiz:
> with(plots):
> plot([1*(1+sin(t)), 1*(1+sin(t))*sin(t)/cos(t),
t=0..2*Pi], 0..4, -4..4,
color=blue,thickness=2,title=`Strofoida`);
> XI3:=2*int((x-a)*sqrt(x/(2*a-x)),x=a..2*a);
2a
XI3 := 2
∫
a
x
dx
2 aK x
(x K a )
> value(%);
2a
2
> a:=1:XI3;
∫
a
(x K a)
2C
x
dx
2 aK x
1
p
2
8-misol. y  2 1  12  (x>1) egri chizuq cheksiz tarmog`ining Ox o`qi atrofida
x
x 
aylanishdan hosil bolgan jisim xajmini hisoblang.
Yechish. Aylanish xajmi elimenti: dV  y 2 dx  4  1  12  dx .
x
x 
Izlanayotgan jism qiymatini chegarasi 0,  bo`lgan quyidagi integralga
teng:

1   4
1 1 
 4 1
Vx  4    2  dx  4    2  3  
x x 
3x  1 3
 x x
0
2
1)grafigini quyidagich quramiz:
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> implicitplot(y=2*(1/x-1/(x^2)), x=0..6, y=1..1,color= blue, thickness=2);
2)jisim xajmini 2 xil usulda hisoblaymiz.
a) formula bo`yicha:
> XI4:=4*Pi*Int((1/x-1/(x^2))^2,x=1..infinity);
N
XI4 := 4 p
∫1 [
1
1
K 2
x
x
]
2
dx
> XI4:=4*Pi*int((1/x1/(x^2))^2,x=1..infinity); XI4 := 8 p
3
b) VolumeOfRevolution buyrug`i bo`yicha jisim
xajmini [1,6] dagi qismi:
> restart; with(plots):
with(Student[Calculus1]):
> VolumeOfRevolution((x1)/x^2,x=1..6,output=plot);
> VolumeOfRevolution(2*(x-1)/x^2,x=1..6,
output=integral);
6
∫1
> value(%);
2
4 p (x K 1)
dx
4
x
125
p
162