


⑴ 몫:     , 나머지: 
⑵ 몫:      , 나머지:    
⑴       ,   ,
                
⑵          ,
              
본문 10쪽
1⑴
   ⑵      ⑶  ⑷  
2⑴
     ⑵    ⑶     

본문 17쪽
, ,  ,  
, ,  
⑴        ⑵ 몫:   , 나머지: 

⑷     
본문 11~12쪽
       
11쪽


➌           ,        ,   



⑴         ⑵        





⑴         ,           



⑵           ,         
⑴         ⑵       
1
2㈎
본문 18~20쪽
㈑
      ㈏         ㈐     
㈑         ㈒      
➍ ⑵     
1
2
⑴     
⑵     
⑴     
⑵       
⑶       
3
⑴           
⑵       
⑶        ⑷    ⑸   
㈓     
4
⑴ 몫:   , 나머지:   
⑵ 몫:       , 나머지: 
본문 13~16쪽
개의 작은 직사각형의 넓이의 합은
13쪽
          이고 큰 직사각형의 넓이는
      이므로
                  
5
6
7
8
      ,         
 ×      ×    ×   이므로
  ,   ,      ,           
⑴           
 
     ×  × 
  

⑴        ⑵       
⑵                ×  ×   
        
9
        
⑴                  
    ×   
             
⑵      × 에서
       






                     
               
⑴            






⑵         ⑶    ⑷   
268
정답 및 풀이


⑵
10
11


  

             ×   
              
             이므로
           
50%
         ÷   
24~27쪽

  
50%
    
24쪽
12
⑴      로 놓으면
⑵  
⑴ 
(주어진 식)            

⑶ 


⑴  ⑵ 


           
1
⑵         
   
 ,  을 로 나누었을 때의 나머지는
         
각각 ,    이므로    을 로 나누었
         
을 때의 나머지는     이다.
2

     로 놓으면

(주어진 식)            

13

         
의 나머지는      이다.
         
즉    은 로 나누어떨어진다.
      ,

   이므로    을 로 나누었을 때

      ,

      

⑴   ⑵  
      
  ,   

⑴ 몫:     , 나머지: 
40%

⑵ 몫:     , 나머지:  
                
    ×   
⑴ 몫:     , 나머지:  
30%
따라서 직육면체의 대각선의 길이는
⑵ 몫:     , 나머지:  

      
  

14
 ,  을 로 나누었을 때의 나머지는 각각 ,
30%
                    
본문 28~30쪽

  ×         
      
28쪽
   
           
⑴   
⑶        
2⑴
⑴         
⑷
  
⑷       
      
본문 21쪽
1 ⑵,
⑵   


⑵     
⑶     
⑵         
⑴       
⑷     
⑵         
      는    을 인수로 가지므로
[그림 1]의 빈칸에 알맞은 식을 써넣을 수 있지만  은 인수
본문 22~23쪽
22쪽
의 값에 관계없이    ÷     이므
로 갖지 않으므로 [그림 2]의 빈칸에 알맞은 식을 써넣을 수
없다.
로 계산 결과는 항상 같다.
본문 31쪽
      ′  ′  ′ 에서
직육면체 개의 부피의 합은
  ′     ′     ′  
위의 등식이 에 대한 항등식이 되려면
  ′ ,   ′ ,   ′
⑴   ,   ,    ⑵   ,   ,   
네 수를 ,   ,   ,   이라고 하면
          이므로 대각선에 있는 두 수의

       이고, 직육면체 개를
이어 붙여 만든 정육면체의 부피는    
이므로 인수분해 공식
          
이 성립함을 알 수 있다.
곱의 차는 항상 같다.
Ⅰ. 다항식
269
본문 32~34쪽
12
    ,     를 변끼리 더하면


  

          
➊ ⑵   ′ ,   ′ ,   ′ ➌ ⑴      ,     
1
  ,   ,   
2

⑴  ⑵ 

3
4
⑴      
⑵   

            



         

⑶        
5

            

13
⑴         
         이므로
        

⑵       
       
⑶       
따라서 구하는 몫은     , 나머지는  이다.
6
14
      

        ×         
                   
        ,
        
7
15
주어진 등식에   ,   을 각각 대입하면
    ,      
8
50%
        

    
    이므로
         ,
  
 ×   
          




    
    
  ,   
위의 두 식을 연립하여 풀면
50%
이것과 [그림 2]의 물의 부피가 같아야 하므로
  ,   ,   ,   
에서
[그림 1]에서 그릇에 남아 있는 물의 부피는



       
50%
따라서          이므로 구하는 나
머지는
           
9
50%
⑴           
본문 35~37쪽
01
           
(주어진 식)         
            
      
㉠  ㉡ ÷ 를 하면
      
              
     
⑵             
           
    가   로 나누어떨어지므로
…… ㉠

          이   로 나누어떨어지므로
            ,
  를 ㉠에 대입하면
11

    ,   ,     
  
02
⑵
이때                   이고

…… ㉡

㉠  ㉡ ÷ 를 하면
         
  
…… ㉠
        
⑵      로 놓으면
10
        
⑴  ≠ 이므로       의 양변을 로 나누면

      ,




⑵       


03
04

  


         ×   

                    
   을   로 나누었을 때의 몫을   라고 하면
           
          
이때 나머지가 이차식이고 몫이 이 아니므로
     
  를   로 나누었을 때의 몫을   라고 하면
270
정답 및 풀이
12
          
          
               
이때 나머지가 일차식이고 몫이 이 아니므로
         

     
05
이때    ≠ 이므로       , 즉      이다.
주어진 등식에   ,   을 각각 대입하면
…… ㉠
인 직각삼각형이다.
     ⋯   
…… ㉡
13
        

14
    ,     이므로 구하는 나머지는
     (, 는 상수)라고 하면
순서쌍  은
의 개이다.
15
    ,
16
즉             에서


     ⋯             

따라서  의 계수는
  


   ⋯          
  
60%
  을 위의 식에 대입하면 구하는 나머지는
17

         라고 하면   가
   
40%
   ,    ,    에서
     ,      ,      

    , 즉     로 나누어떨어지므로
즉    는   ,   ,   을 인수로 갖는다.
   ,    
40%

이때   는  의 계수가 인 삼차식이므로
        ,         
           
  ,   
위의 두 식을 연립하여 풀면
10
30%
    를   로 나누었을 때의 나머지
     ,
    ×     
09
      
           
따라서      이므로

70%
는       이므로

  을 위의 식에 대입하면
전개식에서  항이 생기는 경우는
 ×  ,  × ,  × 
           

             에서
 ,  ,  , … ,  
  을    으로 나누었을 때의 몫을   ,
  을 위의 식에 대입하면
       이므로
    이고      ⋯  인 자연수 , 의
         ×    ×   
08
⑤

          ×   
       라고 하면      이므로
          ,
07
따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 빗변의 길이가 
     ⋯   
㉠  ㉡ ÷ 를 하면
06
            에서
30%
따라서 구하는 나머지는
             

⑴      로 놓으면
18
(주어진 식)         

           


30%
  이라고 하면

             
50%
         
         
50%
         
 


⑵         
본문 38쪽
                  
형구, 민영이가 가진 카드를 각각      ,   
           




으로 나타내면                 
                   
11
이므로 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 , , , 인 경우는
          
각각 가지, 가지, 가지, 가지이다.
           
지유, 은주, 상호가 가진 카드를 각각 ,    ,
     로 놓으면
   으로 나타내면             
(주어진 식)                 
이 식이 완전제곱식이 되려면

     ,
  
이므로 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 , , 인 경우는 각
각 가지, 가지, 가지이다.
Ⅰ. 다항식
271
본문 48~50쪽
,   (실수)
48쪽
,   (허수)
±
⑴    ± 
 (실근) ⑵    (허근)

본문 42쪽
1⑴
2⑴
⑶ ± 

⑵ ±
±
⑷ 
⑴ 서로 다른 두 허근

⑵    또는   

   또는   
⑵ 서로 다른 두 실근
⑶ 중근(서로 같은 두 실근)
⑷ 서로 다른 두 허근

  

⑷    ± 

⑶   (중근)
⑷    ± 
  (허근)
⑶    (실근)

 , 

이차방정식       에서   이면 이 이차
방정식의 판별식  는       이다.
본문 43~47쪽
따라서 이차항의 계수와 상수항의 부호가 다른 이차방정식은
항상 서로 다른 두 실근을 갖는다.
있다.
43쪽
없다.
⑴ 실수부분:  , 허수부분: 
본문 51~54쪽
⑵ 실수부분: , 허수부분:  
51쪽
⑶ 실수부분:  , 허수부분: 
이차방정식
    
      
두근
, 
, 
두 근의 합


⑷ 실수부분: , 허수부분:  
실수: ⑴, ⑵, 허수: ⑶, ⑷
⑴   ,   
⑴   
⑵   ,   
⑵     ⑶  
 ⑷ 
⑴   
⑵   
⑴    ⑵ 
⑶   
⑴ 
⑵   
 
⑶  
 
1
2
(두 근의 합) 
⑷   
 
⑷   
 
이차방정식
      
      
두근

 , 


 , 

두 근의 합






  ,   ,   ,   
(두 근의 곱) 
       ⋯ 
                 




⋯       
(상수항)
( 의 계수)
⑴ 합: , 곱: 

⑶ 합: , 곱: 


                ⋯       
    ⋯   
⑴ 
⑵  

⑴ ± 
⑵ ± 
⑵ 합: , 곱:  


⑷ 합:   , 곱: 



⑵ 

⑴ 
⑶ 

⑷ 

⑴   
      ⑵       


⑴        


  
   
⑴ 
 
   
   











   
⑵ 



 
 
 
(의 계수)
( 의 계수)

1


     

    
  
    ×   
  
  
3
      
⑵       
2
      
   ± 
54쪽
없다.
            , 같다.
272
정답 및 풀이
⑴   
   
  ⑵   
   
 
⑶     
     
 
 
   

  




⑷     







  
   
  
 


9

   
따라서   ,   이므로
본문 55쪽
다른 한 근:   ,   ,   
10
    
주어진 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판
별식  가   이어야 하므로
       ×  ×       ,

따라서 정수 의 최솟값은 이다.
본문 56~58쪽
➊ ⑵ 실수부분, 허수부분 ⑷ 켤레복소수 ⑹ 
 ,  

 
➌  , 
 
➋  , , 
1
2
3
4
⑵   ,   
⑴   
⑵    

⑵   
⑶ 
⑴ 서로 다른 두 실근
    ,   
따라서 이차방정식       의 두 근이 , 이므로
12
⑴ , 는 이차방정식       의 두 근이다. 이때
   
   


이므로 두 수 , 는  ,  이다.


⑷ 
⑵ , 는 이차방정식       의 두 근이다. 이때
⑵ 서로 다른 두 허근
⑶ 중근(서로 같은 두 실근)

⑵ 


⑶ 

5
⑴ 
6
   

   에서

    

양변을 제곱하여 정리하면
      
   ± 
    ×  × 
     ± 


⑷ 
이므로 두 수 , 는   
 ,   
 이다.
13

     이므로

  


                     

⑴     

   


14
⑵                     
   

  ×       


7
주어진 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식
 가   이어야 하므로
        ×  ×       
⑴ 
  
 
   
     
 

         
         
    ,      
  ,   
            

     
15

   

조건 ㈎, ㈏에서 , 는  이하인 소수의 제곱수이므
, 가 될 수 있는 수는
       
40%
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
  ,      ,
40%
로
    (, 는 실수)라고 하면 주어진 등식
에서
60%
위의 식이 의 값에 관계없이 항상 성립하려면





  

⑵    



8
  ,   
  ± 
  ± 
   ×  × 




⑷ 
⑴   
이차방정식       의 두 근이 , 이므로
    ,   ,
⑴   ,   
⑶ 

11
  ,   
따라서     이다.
 ,  ,  ,  , 즉 , , , 
한편 이차방정식       의 두 근이 , 이므로 이차
방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
40%
20%
    ,   
이때 조건 ㈎에서 , , , 가  이하의 서로 다른 자연수
이므로
      ,    ×   
Ⅱ. 방정식과 부등식
273
⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 만나지 않는다.
 , 
본문 59쪽
1 ⑴ 서로 다른 두 허근
⑶ 한 점에서 만난다. (접한다.)
1
⑵ 서로 다른 두 실근
  
2
3
  
    
⑶ 중근(서로 같은 두 실근)
2⑴
⑵
본문 64~67쪽
      
64쪽
 m
꼭짓점의 좌표:   
꼭짓점의 좌표:  
⑶
⑴ 최솟값:  , 최댓값: 없다.
⑵ 최댓값: , 최솟값: 없다.
⑴ 최댓값: , 최솟값: 
⑵ 최댓값: , 최솟값:  

1
꼭짓점의 좌표:   
   
2 두 실수의 곱을
본문 60~61쪽
 과 , , 없다.
60쪽
라고 하면


        



  
   또는   ,   , 없다.

이므로 는    일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 합이 일정

⑴  ⑵  ⑶  ⑷ 
한 두 실수의 곱이 최대일 때는 두 수가 서로 같을 때이다.
⑴  ⑵  ⑶ 
1 이차함수

본문 68쪽
  을 지나므로
      ,
원
      의 그래프가 점
m
  
즉       이므로       에서
   또는   ,
2 이차방정식

본문 69~71쪽
      의 두 근이  , 이므로
     ,   ×   ,
  ,   
본문 62~63쪽
➊  , , 
1
3
➋  , , 
⑴  ⑵  ⑶ 
2
➌ ⑵ , 

⑴ 한 점에서 만난다. (접한다.) ⑵ 만나지 않는다.
⑶ 서로 다른 두 점에서 만난다.
62쪽
4
⑴ 최솟값: , 최댓값: 없다.
⑵ 최댓값: , 최솟값: 없다.
5
⑴ 최댓값: , 최솟값:  
⑵ 최댓값: , 최솟값:  
6
, , 
274
정답 및 풀이
      의 두 근이  , 이므로
     ,   ×   ,
  ,   
7
        의 판별식  이    이어야 하므
      ×  ×           
   또는   
…… ㉠
       의 판별식  가    이어야 하므로
건 ㈏에 의하여 꼭짓점의 좌표는  이다.
따라서              이므로
  ,   
     ×   ×       
⑵   일 때 최대이므로 구하는 최댓값은

  

  
…… ㉡
15
㉠, ㉡에서

8
        , 즉



 
DF      ,
70%
따라서 자연수 은 , 의 개다.
          ,
  
…… ㉠


DF    

이때 □DEBF의 넓이를 라고 하면


   ×                


30%
          의 그래프가 점 을 지나므

△ABC △DFC (AA 닮음)이므로
      ×  ×          
로

AB  
    

BF 라고 하면 
FC    이므로
        의 판별식  가   이어야 하므로
9
⑴ 조건 ㈎에 의하여   의 그래프의 꼭짓점의 

좌표는   이고, 그래프는 아래로 볼록하므로 조

로
      ,
14
따라서   일 때 최댓값 를 가지므로 □DEBF 의 넓이의
최댓값은 이다.
따라서             , 즉
        의 판별식  가   이어야 하므로
       ×  ×         
  
  을 ㉠에 대입하면
10


           


본문 72쪽




  이므로 이 선수가

1⑴
      
⑵       
2⑴
  ,   
⑵   ,   

가장 높이 올라갔을 때의 수면으로부터의 높이는  m 이다.

11
본문 73~75쪽
                이므로
즉     이므로
  
또   일 때 최솟값   을 가지므로 구하는 최솟값은

⑴    또는    또는   


  ± 

⑵    또는    또는   


     
12
            이므로   
일 때 최댓값    일 때 최솟값 을 갖는다.
⑴  ±  또는  ± 
따라서 이익금의 최댓값은 만 원, 최솟값은 만 원이다.


⑵  ±  또는  ± 

13
⑶  ± 
  또는  ± 
이차함수       의 그래프가 직선
      보다 항상 위쪽에 있으려면 이차함수의 그래
프와 직선이 만나지 않아야 한다.

  
, 
73쪽
  일 때 최댓값   를 갖는다.
30%

          , 즉         의
     ×  ×         
따라서 정수 의 최솟값은 이다.
⑴   (중근) 또는   
 ± 

⑵    또는    또는   

판별식  가   이어야 하므로

 

 ± 

⑷    또는    또는   

  , 나머지 두 근: ,  
50%

20%
Ⅱ. 방정식과 부등식
275
1
는   의 근이므로
  , 즉     에서
        
는       의 근이므로
2
  
      
5
⑵

⑴

± 
 ± 
또는  ± (복호동순)
 ±





± 
 ± 
또는  ± (복호동순)
 ±




6
⑴     에서
        
          
본문 76~77쪽
⑵       에서
㈎:     , ㈏:     
76쪽
⑴








3
2
    
  ± 
 ± 


   또는   


7
 ± 

 ± 

⑵
또는
(복호동순)
 ∓ 

 ± 

        
          


  

또는
⑵
또는


  

 ± 

 ± 

⑴
또는
(복호동순)
 ∓ 

 ± 

1
   ±  또는    ± 

⑴     를 주어진 방정식에 대입하여 정리하면
           
, 가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
    
    ,        ,
  ,   
⑵         에서
  ,   
        
   또는    ± 
본문 78쪽
수아:  , , ,     ,   
 ,   
 , 
따라서 나머지 두 근은 ,   이다.
8
        의 좌변을 인수분해하면
세연: , 
      

20%
이때 이차방정식     이 두 개의 허근을 가져
야 하므로

60%
따라서 정수 의 최댓값은  이다.
본문 79~81쪽
➊ , 
➋ ⑵ 이차방정식
 ± 

⑴    또는   

1
9
⑴     에서         이므로 , 

는       의 두 허근이다. 이차방정식의 근과 계수
⑴   (중근) 또는  ± 

⑵  ± 
  또는  ± 
  ± 

⑴    또는   

3
 ± 

⑵    또는    또는   

  

⑴
또는
  


4



  
⑵ 

  

또는

 

 
 , 
 
의 관계에 의하여
 





⑵    또는    또는  ± 

2


    


⑵      


         
  
 
10



⑴            에서
 

         ,
⑵     에서
    ,
    ,
   또는   
  ,
 ± 

(ⅱ)   일 때,     이므로

(ⅰ), (ⅱ)에서
정답 및 풀이
    

⑶ (ⅰ)   일 때,     이므로

      ,
276
20%
 ± 



 ± 

 ±  또는   

11
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
  


    
㉠에서
…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면

        
이 에 대한 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식  가
  이어야 한다.
       ×  ×     ,
12
1⑴
  
⑵ 
2⑴
 , 

⑵  , 

 ± 


    
      
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
      ,
㉡에서
본문 82쪽
   또는   
    ,
(ⅰ)   를 ㉠에 대입하면
    ,
⑴     
 ± 
13
   
처음 양식장의 가로, 세로의 길이를 각각  m ,
 m 라고 하면

    
        
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
    
…… ㉢
㉡에서
㉢을 ㉠에 대입하면
(ⅰ)   을 ㉢에 대입하면

(ⅱ)   을 ㉢에 대입하면

10%
⑶ 
⑴  ≤  또는  ≥ 
⑵ 
⑴     
⑵  ≤  또는  ≥ 
⑵ 해는 없다.
⑶  ≠ 인 모든 실수
⑷ 모든 실수
⑶ 해는 없다.
        
    
수영장의 가로, 세로의 길이를 각각  m ,  m 라고 하면

    
  
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
    
…… ㉢
      
      ,
⑶ 해는 없다.
≤
   ≥ 
⑵   
⑷ ≤
⑵     ≤ 
⑶   ≤  ≤ 
⑷      
   또는   
(ⅰ)   을 ㉢에 대입하면
  
(ⅱ)   을 ㉢에 대입하면
  
(ⅰ), (ⅱ)에서   이므로
⑴ ≤
⑵ 


⑴     ≤  또는  ≤   


          
    
    
91쪽
⑵ 해는 없다.
⑷ 모든 실수
⑴     

따라서 원 위의 개의 점을 선분으로 연결해야 한다.
이때   ,   이므로
⑷  ≤  또는  ≥ 
⑴ 
⑴ 모든 실수

그런데 은 자연수이므로
초와 초 사이
⑶ 

㉢을 ㉠에 대입하면
⑵ 

⑴    또는    ⑵   ≤  ≤ 

60%

          에서


㉠, ㉡에서
⑴ 
87쪽
          
15

⑵    ≤ 

본문 87~92쪽
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 넓이는  m  이다.

⑴    ≤ 

30%
   또는   
      ,

⑵ 해는 없다.
      

14
⑷ ≤
⑴ 해는 없다.
1
2
     ≤ 
⑵ 
⑶ 
  일 때   ,   일 때   
(ⅰ), (ⅱ)에서   의 최댓값은
    
83쪽
 ± 
  일 때   ,   일 때   
(ⅱ)   를 ㉠에 대입하면
본문 83~86쪽
  ,   
따라서 수영장의 가로, 세로의 길이는 각각  m ,  m 이다.
Ⅱ. 방정식과 부등식
277

1
2
A      , B   , C     
A
8
⑴       , 즉       이
      과 같으므로
⑵      ≥ 에서
9
⑵
     ≥ 
 ≤  또는  ≥ 
본문 93쪽
⑴
  ,   
         라고 하면
40%
            
     
30%
따라서 부등식       에서


   또는   


      ,
10
본문 94~96쪽
1
⑴  ≤   
⑶ 해는 없다.
          의 판별식  가   이어야 하므
       ×  ×     
      ,
    

⑵   ≤ 

따라서 정수 의 최댓값은 이다.
⑷ 
11
     ≤ 에서

2

  ≤ 


3

⑴    또는   

⑵ ≤
4

⑴    

⑵ 모든 실수
       ≤ 에서
     ≤  … ㉡
수인 해가 개뿐이려면
≤
12
         가 항상 성립하려면 이차방정식
        의 판별식  이    이어야 하므로
⑷ 해는 없다.

 

     ×  ×      ,
⑴ ≤
        에서
   ≤ 에서
    
…… ㉠
        의 판별식  가  ≤  이어야 하므로
      ×  ×    ≤ ,
…… ㉡
≤
㉠, ㉡의 공통부분이     ≤ 이므로
  ,   
㉠, ㉡의 공통부분은
  
7
(ⅰ)   일 때,

 ≥ 

13
≥
그런데   ≤   이므로
(ⅲ)  ≥ 일 때,
≤
≤
그런데  ≥ 이므로
≤≤
이상에서 주어진 부등식의 해는
≤≤
따라서 정수 는 , , , , 의 개이다.

≤  … ㉡



≤ 



방의 개수를 라고 하면 학생 수는   이므로
     ≤    ≤     
그런데   이므로 해는 없다.
(ⅱ)   ≤   일 때,
     ≤   에서

≤ 

…… ㉠
   ≤     에서
 ≥ 
…… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분은  ≤  ≤  이므로 방의 최대 개수는

이다.
14
       ≤ 에서
     ≤ 
…… ㉠
≤≤
        에서
   또는   
278
정답 및 풀이
…㉠
     ≤   가 항상 성립하려면 이차방정식
⑵   ≤    또는    ≤ 
6
…㉠
≤≤
㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 정

⑶ 

5
주어진 이차부등식이 해를 갖지 않으려면 이차방정식

로
➊ ⑶      ,    또는   
30%
      
…… ㉡
 ± 
  또는  ± 

㉠, ㉡의 공통부분이   ≤    또는    ≤ 이므로
  ,   ,   
따라서 , 는 
 ,  
 이므로


즉         에서
      ,
15
08
      
    
세로의 길이는    cm 이므로
그런데   이므로
   ≤ 
…… ㉡
80%
㉠, ㉡의 공통부분은  ≤  ≤ 이므로 가로의 길
이의 범위는  cm 이상  cm 이하이다.
20%
(ⅱ)   를 ㉠에 대입하면

이때     에서   이므로
01
02
                이므로 이 실수
   또는   
또   ,   를     에 대입하여 풀면
  
   
   에서
  
따라서     ,     을 두 근으로 하고  의 계수가

인 이차방정식은
04
사진의 가로, 세로의 길이를 각각  cm ,  cm 라고 하면
근이  ,  이므로


    
…… ㉢
   또는   
㉢을 ㉡에 대입하여 풀면
(ⅰ)   를 ㉢에 대입하면
(ⅱ)   을 ㉢에 대입하면
  
  
  ,   
따라서 사진의 가로, 세로의 길이는 각각  cm ,  cm 이다.
11
    에서
     에서
    에서
       

 

…… ㉠

 

…… ㉡
㉠, ㉡의 공통부분이      이므로
 
      ,

05
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
 
      
        , 즉         의 두


 ,   ,




          , 즉
12
  ,   
ㄱ.      ≥ 이므로 이차방정식       의
             의 판별식  가   이어
판별식  는
야 하므로              
따라서 모든 실수 에 대하여 성립한다.

위의 식이 의 값에 관계없이 항상 성립하므로
    ,      ,
     ×  ×     
ㄴ.       이므로 이차방정식       의 판
         
06
  ,   
              이므로
별식  는
      ×  ×   
따라서 해는 없다.
ㄷ.      ≤ 이므로 이차방정식       의 판
      ×  ×     
  ≤  ≤ 에서   일 때 최댓값 을 갖는다.
별식  는
즉     이므로
따라서 해는 없다.
07

  
(ⅰ), (ⅱ)에서   이므로
  
  ,   
      
㉠에서

            
       
  



  
     
   에서
   또는   

본문 97~99쪽
03
…… ㉠
(ⅰ)   을 ㉠에 대입하면
10
가 되려면
  

㉠을     에 대입하여 풀면
…… ㉠
  ≤  ≤ 
그런데   이므로
    에서

B 의 세로의 길이는    cm 이므로
   ≤ ,
  ,   
09
 ≤  또는  ≥ 
 ≥ 
  ,       이므로
                
두 타일의 가로의 길이를  cm 라고 하면 A의
   ≥ ,
     
  
   로 놓으면 주어진 방정식은
       ,
       
   또는   , 즉    또는   
ㄹ.       이므로 이차방정식       의 판
별식  는
      ×  ×     
따라서 모든 실수 에 대하여 성립한다.
이상에서 구하는 부등식은 ㄱ, ㄹ이다.
Ⅱ. 방정식과 부등식
③
279
13
   ≤ 에서
 ≤  또는  ≥  … ㉡
     ≥   에서
㉠, ㉡의 공통부분은
…㉠
≤≤

≤≤

     ≤ 의 해가  ≤  ≤ 이므로 이 부등식이
본문 104쪽
     ≤ , 즉      ≤ 
1
과 같아야 한다.
따라서    ,   이므로
2⑴
  ,   

 
  
    

(주어진 식)    




14
       


  

    



15
A , B   , C     , D   
50%
본문 105~107쪽
50%
20%

AC  , 
BC  
105쪽
직각삼각형 ABC 에서 피타고라스 정리에 의하여
△ABC 에서 길이가 같은 두 변의 길이를 라
고 하면 나머지 한 변의 길이는   이다.
⑵ 



AB  
    
세 정사각형의 넓이의 합을 라고 하면


             

60%

이때     이므로    일 때 세 정사각형의


넓이의 합의 최솟값은  이다.

16
⑴ 

  
20%
⑴ 
        
17
80%

20%
      의 판별식  이  ≥  이어야
하므로
      ×  ×      ≥ 
 ≤  또는  ≥ 




CA  
AB  
BC
따라서 △ABC 는 ∠B  °인 직각삼각형이다.
 
를 축, 직선 AB 를 축으로 하는
좌표평면을 잡으면 점 B 는 원점이다.
이때 나머지 세 꼭짓점의 좌표를 각
각 A , C , D 라 하



PA  
PC             
        의 판별식  가    이어야 하므로







PB  
PD              

     ×  ×           
    
⑷ 

고 점 P 의 좌표를  라고 하면
…… ㉠

⑶ 

오른쪽 그림과 같이 직선 BC
      
그런데   이므로
⑵ 

AB  
 , 
BC  
 , 
CA 
 이므로
   ,    이므로      에서
     ,
⑵ 
…… ㉡
          
80%




따라서 
PA  
PC  
PB  
PD 이 성립한다.
㉠, ㉡의 공통부분은
    ≤  또는  ≤   
20%
본문 108~113쪽
본문 100쪽



×  ×       





 
…… ㉠

  를 ㉠에 대입하면  ×  ×     이므로

  는 방정식 ㉠의 해이다.
크고 작은 정사각형이 하나씩 있다. 두 정사각형의
넓이의 합은 자이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 작은
정사각형의 한 변의 길이의 배이다. 큰 정사각형의 한 변의
길이는 얼마인가? (구일집)
280
정답 및 풀이
A지점에서 B 지점 쪽으로  m 떨어진 지점
108쪽
⑴ 
⑵ 
⑴   
⑵   
  
 
A지점에서 B 지점 쪽으로  m 떨어진 지점
111쪽
 
⑴  
⑵ 
⑴    
⑵  
7
이 점이 직선      위에 있으므로
  
1


AB 를    로 내분하는 점의 좌표는
8


D   , E 


점 C 의 좌표를  라고 하면 G  이므로
   
  
 ,   ,



2
 
  ,   
따라서 점 C 의 좌표는   이다.
9

AB 를      로 내분하는 점의 좌표는
     
이 점이 제사분면 위에 있으려면
    ,     
본문 114쪽
받침점은 
AB 를    으로 내분하는 점이다.
에서
   

  

 

70%
이때     이므로
10




30%

AB 를    으로 외분하는 점의 좌표는
      
본문 115~117쪽
➊ ⑴    
⑵
         

     
➋ ⑴ , 
 
 
4
5
2
⑴  ⑵ 
⑵ 
⑶ 
⑴  
⑵   

⑶  

      

12
6

AB  
BC    

AP 
BP 
CP 이므로



AP  
BP 에서
30%
…… ㉠
…… ㉡
  ,   
50%
따라서 △ABC 의 외심의 좌표는  이고 외접원

      

20%
지점 O 를 원점으로 하는 좌표평면을 생각하면 출발한
지 분 후의 슬기와 현지의 위치는 각각    ,
⑴ 점 P 의 좌표를  라고 하면

AP 
     , 
BP 
    
   으로 나타낼 수 있으므로 두 사람 사이의 거
리는


이때 
AP 
BP 이므로 
AP  
BP 에서

따라서 점 P의 좌표는  이다.
⑵ 점 Q 의 좌표를  라고 하면

AQ 
     , 
BQ 
    


이때 
AQ 
BQ 이므로 
AQ  
BQ 에서
따라서 점 Q 의 좌표는  이다.
    
    
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
13
  
          ,




AP  
BP  
CP
의 반지름의 길이는

          ,
 ,  
△ABC 의 외심을 P  라고 하면



BP  
CP 에서

  ,   
즉 점 C는 
AB 를    로 내분하는 점 또는    로 외분하는
               
   ,

AB   
BC 에서
⑴ 
 ⑵ 

⑴ 

11
점이므로 점 C 의 좌표는
           
⑵ , , , 
 
 


1
3
따라서      ,     이므로


        
 
    
따라서 두 사람 사이의 거리가 가장 가까워지는 것은 출발한
지 분 후이다.
14
각의 이등분선의 성질에 의하여

AB  
AC  
BD  
CD
이때 
AB  
 , 
AC  
 이므로 점 D 는 
BC 를    로
내분한다.
즉 점 D는 
BC 의 중점이므로 점 D 의 좌표는
  
Ⅲ. 도형의 방정식
281

⑵      

⑴     
    
본문 118쪽
1

2
3


기울기:   , 절편: , 절편: 


오른쪽 그림에서 두 직선 AB ,
    
CD 의 기울기는 각각
  
    
  ,   

  

  

이므로 두 직선 AB , CD 의 기울기의
본문 119~121쪽
119쪽
 
  ×   
 
곱은

따라서 두 직선 AB , CD는 서로 수직이다. 즉 두 길은 서로
  
수직이다.


′
′
        , ′       


′
′
⑴     
⑵ 
⑴     
⑵ 
1 두 직선
절편이 이고 절편이 인 직선은 두 점  ,
 를 지나므로 직선의 방정식은

       ,

 ≠ 이므로 양변을 로 나누면

′

′
    ,   ≠ 

′

′




즉    ,  ≠  에서
′
′ ′
′
2 두 직선

  


 , ′ 이 서로 평행하려면
 , ′ 이 서로 수직이려면
 

′
  ×    ,

′
 
 

 




 ≠

′ 
′
′
′  ′  
본문 125쪽




 
⑴     ,   




     
⑵  


두 직선       ,       의 교점의 좌표
를  라고 하면       ,       이므로 실수
의 값에 관계없이 다음이 항상 성립한다.
            
따라서 일차방정식             이 나타내
는 직선은 실수 의 값에 관계없이 항상 점  를 지난다.


  
⑶ 
AC 의 수직이등분선:      




  
   를       에 대입하면



        
    





     
따라서 
AC 의 수직이등분선은 점    를 지


난다.
본문 122~124쪽
122쪽
평행하다.
 
,

 

⑴     
⑵     

123쪽
OA 
 , 
OB  
, 
AB  이므로




OA  
OB  
AB
따라서 △AOB 는 ∠AOB  °인 직각삼각형이다.

,  

두 점 B , C 에서 각각의 대변 AC , AB 에 내린 수선
의 발을 각각 D , E라고 하면
직선 BD 의 방정식은


   


직선 CE의 방정식은


   



두 직선 BD , CE의 절편이   로 같으므로 두 직선의 교

점은 축 위에 있다. 이때 축은 꼭짓점 A에서 
BC 에 그은
수선이므로 △ABC 의 세 꼭짓점에서 각각의 대변에 그은 수



선은 한 점    에서 만난다.

282
정답 및 풀이
7
A , B , C 이라고 하면
 
F  




AC 의 기울기가 같아야 하므로

 

     
에서 D    , E    이고 두 직선



,

  
DF 와 EF의 기울기는  로 같다.
  
        

,

    
    
  이므로
본문 126~128쪽
9


AB           이므로

    
            에서
이 직선은 실수 의 값에 관계없이 항상 두 직선
3



   


            
2

C  , D  

⑵        ,

   
        
   
   


         

내린 수선의 발을 F라고 하면 △AOB ≡ △BEC ≡ △DFA

⑴      ,

 km
    
점 C 에서 축에 내린 수선의 발을 E, 점 D 에서 축에
이므로
P 도시에서 직선 도로에 내린 수선의 발


⑴  ⑵ 



1

   
       ,
   
8

   ,   

  
따라서 구하는 직선의 방정식은
따라서 세 점 D , E, F 는 한 직선 위에 있다.
126쪽
세 점 A, B , C 가 한 직선 위에 있으려면 두 직선 AB ,
      ,       의 교점  을 지난다.

10
   

         × 
   × 


        




점 A 에서 직선     에 내린 수선

의 발을 H라고 하면 직선 AH의 기울기는   이므로 직선

AH의 방정식은

     



     


50%


두 직선     ,       의 교점이 수선의


발이므로 그 좌표는  이다.
본문 129~131쪽
➊ ⑴         
  
⑵         
  
➋ ⑴   ′ ,  ≠ ′
⑵ ′  
축 위의 점의 좌표를  이라고 하면
 ×    ×    
 
,


  
     
   또는   
80%
따라서 구하는 점의 좌표는
  ,   
     
➌ 

  
1
    
2


⑴    


3
평행한 직선: ⑴, 수직인 직선: ⑶
4



6
두 직선       ,       의 교점의 좌표는
⑵   
5

따라서 두 점  ,  를 지나는 직선의 방정식은
    
20%


⑵        ⑶ 

12
⑴ 

13
구하는 직선은 각 직사각형의 두 대각선의 교점  
과     를 지나야 하므로
 

       ,

11
50%
14

⑷ 



   


(ⅰ) 어느 두 직선이 서로 평행할 때,

직선       의 기울기가   이므로




    또는    




   또는   

Ⅲ. 도형의 방정식
283
⑴     
(ⅱ) 세 직선이 한 점에서 만날 때,
직선       이 두 직선     ,
⑵   


    


    ,     
      의 교점    을 지나야 하므로
점  에서 원     에 그은 두 접선의 방정



      ,
식은   ,   이다. 그런데   은        의


   ,   ,   


(ⅰ), (ⅱ)에서
꼴로 나타낼 수 없으므로   을 구할 수 없다.
   
     
  에서



  
    
15
           ,
본문 142~144쪽
   ±     
      ,       
➊ ⑴          
➋ ⑴  , ,  ,  , , 

⑵    ± 
    ,     
본문 132쪽
1
⑴ 
 ⑵ 
2
  
3
⑴ 
 ⑵ 

1
⑴         
⑵         
2
⑴   
 또는   

⑵  ± 

본문 133~135쪽

    
133쪽


⑴         



⑵     

⑶         

3
4
5
        
  ,     
원의 방정식을             이라고
   또는   
따라서 두 원의 중심의 좌표는  ,  이므로 중심 사
이의 거리는

        


⑵        
⑴ 중심의 좌표:     , 반지름의 길이: 




⑵ 중심의 좌표:     , 반지름의 길이: 




6
          에서
          에서
         
         
두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은 두 원의 중심
  
본문 136쪽
   ,   를 모두 지나야 하므로 그 방정식은
   
       ,

         
7
본문 137~141쪽
137쪽
    
         ,

⑴         

⑶  
    

하면 이 원이 점  을 지나므로


⑶          
초
m
⑴       ⑵  ±  ⑶    또는   
⑴    ± 

⑵    ± 


AB 의 수직이등분선은 원       의

중심  을 지나고 기울기가   이다.


       ,

⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 만나지 않는다.
    
8


     


          에서
원의 중심   과 직선        사이의 거리는
 ×     ×    



  
    , 최솟값은     이다.
정답 및 풀이
40%
        
이때 원의 반지름의 길이가 이므로 구하는 최댓값은
284
60%
9
원의 방정식을             이라고 하
면 이 원과 직선       이 접하므로
 ×    ×    
 ,


   
10
        
원      위의 점    에서의 접선
    ,
의 방정식은
      
원           , 즉           
와 직선       이 접하므로
11
80%
  
          에서
이때 
         
AB  
 이므로 △ABC 의 넓

× 
 ×   
     



이의 최댓값은
14
          에서
        
이 원 위의 점   에서의 접선은 점   과 원의 중
 ×    ×    
 
  


    

  
   ,
 ×    ×   

   





  
사이의 거리는
  

따라서 구하는 원의 방정식은



점 A 와 직선       , 즉     



20%
심     을 지나는 직선에 수직이므로 접선의 기울기를
이라고 하면

 ×   ,
    
         
점   을 지나는 접선의 방정식을      라고 하
따라서 접선의 방정식은
면 원의 중심    와 직선      , 즉
       사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 과

  



     


이 직선이 점  를 지나므로
같아야 하므로
 ×    ×     
 ,


     
양변을 제곱하여 정리하면
     
  
      


   


따라서 구하는 기울기의 합은
12
 
      
 
본문 145쪽
1
2
  ,   ,   
두 직선     ,     가 서로 평행하므로 구하
는 원은 중심은 직선      위에 있다. 원의 중심의 좌표
를    라고 하자.
두 직선     ,      사이의 거리는 직선     
위의 점    과 직선     , 즉        사이
의 거리와 같으므로
 ×    ×     
 



    
본문 146~148쪽
즉 원의 반지름의 길이가 
 이고 원이 원점을 지나므로

      
,
      ,
오른쪽으로 칸, 위쪽으로 칸 움직여야 한다.
146쪽
⑴   
⑵   
⑴       
⑵          
  ,   
      
1

   또는   

2

    
따라서 구하는 원의 방정식은

13




 

  


본문 149~152쪽
  ,         
△ABC 의 넓이는 오른쪽 그
림과 같이 점 C 에서의 원의 접선이
직선 AB 와 평행할 때 최대이다.

직선 AB 의 기울기는   이므로


기울기가   인 접선의 방정식은



  
149쪽
⑴    
⑶   
⑵  
⑷   
  
⑴ 축:       , 축:       ,
원점:       , 직선   :       
⑵ 축:          , 축:         ,



    ± 


Ⅲ. 도형의 방정식
285
이 직선을 직선   에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
원점:          ,
      
직선   :         
70%
이 직선이 점  를 지나므로
      
본문 153쪽



 km
11
 m

30%

직선      을 축에 대하여 대칭이동한 직선의 방


     

정식은
이 직선에 수직인 직선의 기울기는 이므로 기울기가 이고
본문 154~156쪽
점  를 지나는 직선의 방정식은
      ,
➊ ⑴   ,   
⑵   ,   
➋ ⑴    ,     ⑵     ,    
1
2
3
12
원         를 직선   에 대하여 대칭
이동한 원의 방정식은
  ,   

⑴       
⑵          
⑴  
⑵    
방향으로 만큼 평행이동한 원의 방정식은
            
㉠, ㉡이 일치하므로
4
⑵     
13
⑶     
5
⑵        
⑴       
⑶       
6
따라서 구하는 점의 좌표는
7
그런데   이므로
     , 즉  
         
14
이 식이     와 일치하므로
  ,   ,   
8
         
ㄷ.           에서

ㄹ.           에서

점 A의 좌표를       이라고 하면
직각삼각형이므로
  
× AB × AC  ,



        
그런데   이므로

따라서 점 A의 좌표는
진 원과 겹쳐질 수 있는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
15
A   , B   , C     이므로

△ABC   ×    ×     

10
직선       을 축에 대하여 대칭이동
한 직선의 방정식은
      

× 
 × 
    


     또는     
원을 평행이동하여도 반지름의 길이는 변하지 않으므로 주어
9
 
점 A를 축에 대하여 대칭이동한 점을 A′ , 직선   
에 대하여 대칭이동한 점을 A″ 이라고 하면
A′   , A″  
이때 
AB  
A′B ,

CA 
CA″ 이므로
오른쪽
그림에서

AB  
BC  
CA

A′B  
BC  
CA″
≥
A′A″
따라서 △ABC 의 둘레의 길이의 최솟값은

         
A′A″  

286
정답 및 풀이
20%
B   , C     
         


 

80%
점 C 는 직선      위의 점이고, △ABC 는 ∠A  °인
             
          에서
     
     또는     
이 원을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행
이동한 원의 방정식은
        
 ×    ×    
 
 ,


   

          에서
원       을 축의 방향으로 만
이 원이 직선       과 접하므로
        
이 식이       과 일치하므로
…㉡
  ,   
큼 평행이동한 원의 방정식은
⑷       
          에서
…㉠
원         를 축의 방향으로 만큼, 축의
⑷   


⑷    


        

⑶   
⑴     
    
본문 157~159쪽
01
이 원과 직선       이 만나야 하므로
 ×    ×     
≤ 
,


  

AB  
 에서 AB   이므로

        ,
      
P    , Q   이므로
03


D   , E , F    이므로 △DEF의 무게



중심의 좌표는
04


PQ 


10
두 점  ,    를 지나는 직선의 방정식은
    
05
    
   을 위의 식에 대입하면
      ,

    이므로 오른쪽 그림에서 구하
는 넓이는








AB            




두 직선   ,   의 교점 O  과 직선     
  

  이므로 구하는 넓이는
사이의 거리는 





  
 



△OAB   ×  ×   





두 점   ,  를 지름의 양 끝 점으로 하는 원
의 중심의 좌표는  이고 반지름의 길이는 
 이므로
원의 방정식은
         
  을 위의 식에 대입하면
    
     또는     ,    또는   
따라서 구하는 두 점 사이의 거리는
08
          에서
이므로 두 원의 중심  ,    사이의 거리는

     
이때 두 원의 반지름의 길이가 각각 , 이므로 
AB 의 길이
의 최솟값은
      

          에서


        
11

직선       을 축의 방향으로 만큼, 축의 방
향으로 만큼 평행이동한 직선의 방정식은
          , 즉         
  
이 직선이 원점을 지나므로
12
직선       을 원점에 대하여 대칭이동한 직선
의 방정식은

      
          에서

        
직선       이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심
    를 지나야 하므로
       ,
13

원          를 축의 방향으로 만큼 평
행이동한 원의 방정식은
        
이 원을 축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
        
     
        
09


 

×   ×   


 

직선     과 두 직선   ,   의 교점을
 
각각 A, B 라고 하면 A    , B  이므로


07
 ± 
따라서 접선의 방정식은     ,



  ×   ,     이므로

 

  
       
  ,   ,     
06
   ,
또 점    은 원      위의 점이므로
이 직선이 점    을 지나므로
      ,
접점의 좌표를    이라고 하면 접선의 방정식은
이 직선이 점  을 지나므로
 

     ,


 ≤  또는  ≥ 

     ≥ ,
02

     ≥ 
양변을 제곱하여 정리하면
따라서 모든 의 값의 곱은  이다.
    ≤ 
 
  
이 원이 직선   에 대하여 대칭이므로 원의 중심   
가 직선    위에 있어야 한다. 즉
  
14
오른쪽 그림과 같이 점 B 를
원점, 직선 BC 를 축, 직선 AB
를 축으로 하는 좌표평면을 잡고
점 P 를 직선 AD 에 대하여 대칭
이동한 점을 P′ , 점 Q 를 직선
BC 에 대하여 대칭이동한 점을
Q′ 이라고 하면
P′  , Q′   
Ⅲ. 도형의 방정식
287
이때 
PX  
P′X , 
YQ 
YQ′ 이므로

PX  
XY  
YQ 
P′X  
XY  
YQ′ ≥ 
P′Q′
따라서 구하는 최솟값은

         
P′Q′  

15
본문 164쪽
P 이라고 하면
1⑴







AP  
BP             
      
⑵ , , , , , , , 
80%
따라서 구하는 최솟값은 이다.
20%
2⑴
선 AB 에 수직인 직선의 기울기는  이다.
, , , 
⑵ , , , , …


직선 AB 의 기울기는    이므로 직
 
16
, , , , , , , 
40%
본문 165~167쪽
기울기가  이고 절편이 인 직선의 방정식은
    
30%
따라서 이 직선의 절편은 이다.
17
조건이 명확하지 않으므로 그 대상이 분명하지 않다.
30%
점  를 지나는 접선의 방정식을
    라고 하면 원의 중심  과 직선     ,
즉        사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 와

 ,


     
같아야 하므로
양변을 제곱하여 정리하면
  
  
       
유람선, 요트
165쪽
⑴ , , , , 
⑷ , 
⑴ ∈
⑵ ∉
⑶ ∈
⑷ ∉
⑴     는 의 약수 
⑵       
⑴
70%
⑵
이 에 대한 이차방정식의 두 근의 곱이  이므로
  
 ,


⑴ 
  

  이므로
18
  
1
30%
⑵ 
⑶ 
⑴ 키가  cm 이하인
⑵ 인구가 만 명 이상인
점 A를 축에 대하여
⑶ 가장 높은
대칭이동한 점을 A′ 이라고 하면
2
A′   
    는 과 의 공약수 ,
    는  이하의 홀수 
이때 
AC  
A′C 이므로 오른쪽 그림
에서

AC  
BC  
A′C  
BC
본문 168~169쪽
≥
A′B
50%
직선 A′B 의 방정식은

       ,

속한다.
168쪽
속하지 않는다.


    





따라서 점 C 의 좌표는   이다.

30%
⑴ ⊄
⑵ ⊂
∅, , , , ,  ,  ,  ,
20%
 ,  ,  ,   ,   ,   ,
  ,    
⑴ 
본문 160쪽
288
정답 및 풀이
⑵ ≠
⑴        
∅,  , , ,   ,   ,  
1
2

⑵         
⑴     
⑴  ⑵ 
⑵       
⑴
본문 170~177쪽
170쪽
경복궁, 공주산성, 불국사, 오죽헌, 해운대, 낙안
읍성
따라서      가 성립한다.
경복궁, 공주산성
⑵
⑴ ∪      , ∩   
⑵ ∪        , ∩  
⑶ ∪             ,
∩  ∅이므로  와  는 서로소이다.
     
따라서 ∪    가 성립한다.
⑶
∩ ∩ 와 ∩ ∩  를 벤다이어그램으로 나
타내면 다음과 같다.
따라서 ∩   ∅이 성립한다.
⑴
따라서      ∩ 가 성립한다.
⑵
따라서 ∩ ∩  ∩ ∩  가 성립한다.
∪ ∩  와 ∪ ∩ ∪  를 벤다이어그램으
로 나타내면 다음과 같다.
따라서   ∩      가 성립한다.
∪    ∩   
175쪽
∩    ∪       
⑴
따라서 ∪ ∩   ∪ ∩∪  가 성립한다.
173쪽
, , , 
    
따라서  ∩     ∪  가 성립한다.
Ⅳ. 집합과 명제
289
따라서     ∪        ∩  가 성립한다.
⑵
[방법 2] 집합의 연산 법칙 이용
   ∪     ∩  ∪∩  
 ∩ ∪  
 ∩ ∩ 
     ∩ 


따라서        ∪ 가 성립한다.

⑴ [방법 1] 벤다이어그램 이용
본문 178쪽
   ∪    와 ∪   ∩  를 벤다이어그램
호실 손님은   호실로 객실을 옮기게 한다.
으로 나타내면 다음과 같다.
호실 손님은 호실로 객실을 옮기게 한다.
본문 179~181쪽
➊ ⑴ 집합
⑵ 원소
➋ ⑴ 부분집합
⑶  ∪ 
➌⑴ ∅
따라서     ∪      ∪   ∩  가 성립한
다.
[방법 2] 집합의 연산 법칙 이용
   ∪    
 ∩  ∪  ∩  
 ∪ ∩  ∩ ∪  ∩  
 ∪ ∩∪  ∩ ∪ ∩  ∪  
 ∪ ∩ ∪    ∪ ∩∩ 
 ∪   ∩ 
⑵ [방법 1] 벤다이어그램 이용
   ∪    와    ∩  를 벤다이어그램으로
나타내면 다음과 같다.
1
2
3
⑶ 진부분집합

⑷  ∩ 
⑵, ⑷
ㄴ, ㄹ
⑴        
⑵  
⑶     
⑷   
4
5

    ,       ,      
⊂⊂
이므로
6
②
       이므로
∩ ∩   ∩ ∩    
7
∩   에서  ⊂  이고  ∪   에서
 ⊂  이므로
⊂⊂
50%
이때      ,        
이므로 집합  의 개수는
   ,     ,
    ,      
의 이다.
290
정답 및 풀이
50%
8
오른쪽 벤다이어그램에서
    
본문 182쪽
9
⑴ ∩∪   ∩ ∩  

  ∩ ∩
1
⑴ ⊂
2
⑴ 
⑵ ⊄
⑵ 
⑶ 
⑷ 

 ∅∩   ∅
본문 183~189쪽
⑵    ∩     ∩  ∩∩  
①, ②
183쪽
 ∩ ∩  
⑴참
 ∩ ∪ 
이고       이 홀수이므로 는 홀수이다.
      ∩  에서
∩   
따라서 두 홀수의 곱은 홀수이다.
    ∪      ∪   ∩ 
⑴      ⑵        
 ∪   ∩ 
⑴ 는 의 배수가 아니다. ⑵   
     
⑴ 는 소수가 아니다. (거짓)
⑵      (참)
∩   이므로

    ,
⑴ 는 의 약수가 아니다.,   
      
   또는   
30%

⑵      ≠ ,     
1
(ⅰ)   일 때,
       이므로
∩  

    이므로
∩   
2
50%
(ⅰ), (ⅱ)에서   이고     이므로
∪     
∪   ∪ 이려면
는 의 약수가 아니거나 의 약수가 아니다.,

 ∪     ⋯ 
(ⅱ)   일 때,
13
⑷참
              
③
12
⑵ 거짓
    ,      ( , 은 자연수)이라고 하면
    ∪ 
10
11
③
는 의 약수도 아니고 의 약수도 아니다.,
 ∩      
⑴ 가정: , 가 짝수이다., 결론:   가 짝수이다.
20%
⑵ 가정:   , 결론:     
    ⊂  ,     ⊂ 
⑴ 거짓
이때      ,      이므로 집합  의 개수
는
⑵참
⑶ 거짓
⑷참
≥
참: ②, ③, 거짓: ①, ④
188쪽
   ,     ,     ,
⑴참
    ,      ,
⑴ 어떤 실수 에 대하여     ≤ 이다. (참)
     ,      ,
⑵ 거짓
⑵ 모든 실수 에 대하여  ≠   이다. (거짓)
      
의 이다.
14
본문 190~192쪽
전체 학생의 집합을  , 버스를 이용하는 학생의 집합을
 , 지하철을 이용하는 학생의 집합을  라고 하면
190쪽
거짓
참
   ,    ,    ,  ∩   
 ⊂  일 때 ∩  가 최대이므로 의 최댓값은
  ∩      
∪   일 때 ∩  가 최소이므로 의 최솟값은
  ∩ 
        ∪ 
       
Ⅳ. 집합과 명제
291
⑴ 역:    이면   이다.



⑴         


대우:  ≠  이면  ≠ 이다.
⑵ 역: 평행사변형은 마름모이다.
대우: 평행사변형이 아니면 마름모가 아니다.
⑶ 역:   이면    또는   이다.


 ≥ ,   ≥ 에서

     ≥  (단, 등호는     일 때 성립)
, 가 실수이므로     ≥ ,  ≥ 에서
⑷ 역:   이고   이면     이다.
대우:  ≠  또는  ≠ 이면    ≠ 이다.
⑴ 두 실수 , 에 대하여 , 가 모두  또는 양수
이면    ≥ 이다. (참)
     ≥  (단, 등호는     일 때 성립)

⑴   ,   이므로




   ≥   ×    (단, 등호는   일 때 성립)



⑵참
, 의 진리집합을 각각  ,  ,  라고
하면  ⊂ ,  ⊂  이다. 따라서  ⊂  이므로 명제
 → 가 참이다.
2 명제
   
⑵           
대우:  ≠ 이면  ≠ 이고  ≠ 이다.
1 세 조건 ,


, 가 실수이므로   


∼  → ∼ 가 참이므로 그 대우  → 도 참이다.
따라서 두 명제  → ,  → 가 모두 참이므로 명제
 → 가 참이다.
⑴ 필요충분조건 ⑵ 필요조건
⑶ 충분조건


⑵   ,   이므로



 
 
  ≥   ×    (단, 등호는   일 때 성립)

 



⑴               
이때   ≥ 이므로
    ≥ 
     ≥    
    ≥ ,     ≥ 이므로
    ≥     (단, 등호는  ≤ 일 때 성립)
본문 193~194쪽
부등식이 성립한다.
㈁
193쪽
⑵ (ⅰ)     일 때,      ,      이므로 주어진
⑴ 주어진 명제의 대우는 ‘자연수 에 대하여 이 짝
수이면  도 짝수이다.’이다. 이 짝수이면    (는
(ⅱ)  ≥  일 때,
             
이때   ≥ 이므로
자연수)로 나타낼 수 있으므로
    ≥ 
    ≥    
       × 
이때  은 자연수이므로  은 짝수이다. 따라서 주어진
명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
⑵ 주어진 명제의 대우는 ‘   또는   이면   이다.’
이다.   이면 의 값에 관계없이   이고,   이
    ≥ ,     ≥ 이므로
   ≥    
(ⅰ), (ⅱ)에서
    ≥    
(단, 등호는  ≥  ,    일 때 성립)
본문 197쪽
면 의 값에 관계없이   이다. 따라서 주어진 명제의
대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
  
 가 유리수라고 가정하면   
   (는 유
⑴ 바깥쪽의 정사각형의 넓이는     이고 색칠한 도
형의 넓이는 이므로
리수)로 놓을 수 있다. 즉 
    이고 유리수끼리의 뺄셈
   ≥ 
은 유리수이므로   은 유리수이다. 그런데 
 는 유리수
    ,   이므로
가 아니므로 모순이다. 따라서   
 는 유리수가 아니다.
1
2
B
C
   ≥ 


≥ 
 (단, 등호는   일 때 성립)


⑵ △AED △DEB 이므로


DE  
AE× 
EB  
본문 195~196쪽
195쪽
①, ②, ④
②, ④
  ,   이므로

DE 

이때 주어진 반원의 지름의 길이가   이므로


CO  이고 
CO≥ 
DE 이므로


≥ 
 (단, 등호는   일 때 성립)


292
정답 및 풀이
따라서   의 최솟값은
본문 198~200쪽
     
➊ ⑴ 명제
11
⑵ 조건, 진리집합 ⑶ 거짓
➌ ⑴ 충분, 필요
⑵ 필요충분
2
⑴, ⑵, ⑷
       ≥   
  ≤ 
(단, 등호는   일 때 성립)
⑴ 역 :   이면   이다.
12
대우:  ≠ 이면  ≠ 이다.
⑵ 필요
13
 ⇒ 이므로
30%
∼ ⇒ ∼
      ,
⑵ 어떤 실수 에 대하여  ≤ 이다. (참)
14
⑶ 모든 소수는 홀수이다. (거짓)
재하지 않는다.
  


  ,    을 동시에 만족시키는 양수 , 는 존
 



 
 
            
 
 
두 조건 , 의 진리집합을 각각  ,  라고 하면
      ≤  ≤   ,     ≤  ≤ 
≥    × 
명제  → 의 역이 참이 되려면
 ⊂  이어야 하므로 오른쪽 그림


  × 
  (단, 등호는   일 때 성립)
   ≤ ,    ≥ 


 
따라서       의 최솟값은 이다.
 
 ≤ ≤ 
8
 ≤  
즉   이면       이므로

  
  


에서
70%

⑴ 정사각형은 마름모가 아니다. (거짓)
7
…… ㉠
…… ㉡
㉠, ㉡에서

  
   
   
6

 ≥ 
 ≥ 
⑶ 필요충분
 
  
   
      
  이므로

  
  , 
    이므로
    ,
명제 ㈏가 참이려면
대우:    ≤ 이면  ≤  또는  ≤ 이다.
⑴ 충분
      에서     이므로 명제 ㈎가
참이려면
⑵ 역 :     이면   이고   이다.
4
5
                
     ≥ 
❹ 절대부등식
1
3
20%
두 명제  → 와  → ∼ 가 모두 참이므로 각각의 대
우 ∼  → ∼ 와  → ∼ 도 모두 참이다. 또 두 명제
 → 와  → ∼ 가 모두 참이므로  → ∼ 도 참이다.
본문 201~203쪽
이상에서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.
9
 ∪ ∩ ∪     ∪ ∩∩ 
  ∪   ∩ 
따라서 ∪   ∩      가 성립하기 위한 필요충
분조건은  ⊂  이다.
10
①
01
02
03
⑤ ∩    
⑤
 ∩  ⊂  ⊂  이고 ∩  이므로 집합  의
,  ,  ,  ,  ,   ,
  ,   ,   ,   ,
라고 하면
  ,    ,    ,
         또는   ,
   ,    ,     
20%
의 이다.
이때 주어진 조건에
의하여  ⊂  ⊂  이어야 하
므로 오른쪽 그림에서
 ≤ ,  ≥ 
⑤
개수는
세 조건 , , 의 진리집합을 각각  ,  , 
     ,      
⑤  ⊂ 
60%
04
05
①
    ,    , ∩   이므로
∪         ∩ 
       
Ⅳ. 집합과 명제
293
06
동아리 전체 학생의 집합을  , 가수 A를 좋아하는 학생
의 집합을  , 가수 B 를 좋아하는 학생의 집합을  라고 하면
13
은 원소로 갖지 않는다.
   ,    ,    ,   ∩    


따라서 집합  의 개수는
  ,   ,    
    ∪ 
의 이다.
∪   
14
∪         ∩  이므로
       ∩ 
 ⊂   이므로
고 , , , g부분에 속한 원소의 개수의
∩  ∅
②
합이 이다.
50%
이때 구하는 학생 수는 부분에
(ⅰ)    ≥ 일 때,
속한 원소의 개수와 같으므로
   ≤ 이어야 하므로
        
≤
15
≤≤
(ⅱ)     일 때,
      에서
   또는   
≤
     의 범위에 속해야 한다.
(ⅰ), (ⅱ)에서  ≤  ≤ 이므로 정수 는 , , , … , 의
개이다.
ㄴ. ∪   , ∩  ∅이므로

∪  ⊄ 


    ,   이므로



        


 ⊂  ⊂ 
ㄷ.  ⊂  ⊂  이므로
20%
16
⊂


따라서  ∩     이므로

 ∩  ⊂ 
≥

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
③
∼  ⇒ ∼ ,  ⇒ ∼ 
    
따라서 반드시 참이라고 할 수 없는 것은 ⑤이다.
② 필요조건
④ 필요조건
     또는     
⑤
그런데   이므로
③ 필요충분조건

70%

따라서    은   에서 최솟값 을 가지므

⑤ 충분조건
⑤
12
 ×  
 ⇒ ∼ ,  ⇒ ∼ 
① 필요조건



   × 


이때 등호는      일 때 성립하므로
 
 ⇒ ,  ⇒ ∼ 에서
11
60%
따라서   이어야 하므로 정수 의 최솟값은 이
다.
ㄱ .  ⊂  ,  ⊂  이므로
이므로
20%
가 이기 위한 충분조건이므로   ,   가
≥
10
40%
      
   ≥ 이어야 하므로

10%
부분에 속한 원소의 개수가 각각 , 이
         ∩       
09
전체 학생의 집합을  , 문제 A, B , C 를 맞힌
오른쪽 벤다이어그램에서 , 
따라서 가수 A만을 좋아하는 학생 수는
즉
40%
학생의 집합을 각각  ,  ,  라고 하자.
∩   
즉
60%
,  ,  ,  ,   ,

 ∩   ∪       ∪  이므로
07
08
집합  는 를 반드시 원소로 갖고 , , , 
주어진 명제의 대우는 ‘, , 가 자연수일 때, , , 가
로
  ,   
  
30%
모두 홀수이면    ≠  이다.’이다.
, , 가 모두 홀수이면  ,  ,  은 모두 홀수이고,   




본문 204쪽
은 짝수이다. 이때  은 홀수이므로    ≠  이다.
X : 인간, Y : 악마, Z: 천사
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이
월 일
다.
294
정답 및 풀이
라고 하면  ≠  이지만      일 때가 있으므로 함
수 는 일대일함수가 아니다. 따라서 일대일대응도 아니다.
본문 214~216쪽
본문 208쪽
민우: 원, 호선: 원, 성희: 원
214쪽
1⑴
  , 함수이다.
⑵    , 함수이다.
함수이다.
2⑴

⑵ 
⑴ 

⑵  
⑶ 
⑷ 

⑴  g ∘       
본문 209~213쪽
⑵  ∘ g     
⑶  ∘     
⑷  g ∘ g       
209쪽
 ∘ g           이므로
 ∘ g  ∘    ∘ g         
 g ∘   g       이므로
 ∘  g ∘           
따라서  ∘ g  ∘    ∘  g ∘ 가 성립한다.
1
탐구 ②
⑴  의 원소 에 대응하는  의 원소가 없으므로 는
함수가 아니다.
2
 ∘   ,  ∘  ∘     
 은 짝수
 ∘  ∘⋯∘  
   은 홀수
개


⑵ 함수이다.,
정의역:    , 공역:   , 치역:  
본문 217~220쪽
⑶  의 원소 에 대응하는  의 원소가 , 의 개이므로 
는 함수가 아니다.
함수 에서  의 각 원소에  의 원소가 오직
217쪽
⑷ 함수이다.,
하나씩 대응하므로 반대 방향으로의 대응이 함수이다.
정의역:    , 공역:   , 치역:   
⑴ 
⑴ 정의역, 치역: 실수 전체의 집합
⑵ 
⑵ 정의역: 실수 전체의 집합, 치역:   ≥ 
⑶ 정의역:   ≠ 인 실수 , 치역:   ≠ 인 실수 
  g    ,   g   ,
  g   이므로
 g
⑴
⑵
⑴ 
⑵ 
⑴     
⑶ 

⑵      

➊  ∘ g     이므로


 ∘ g        


⑴, ⑶ 함수의 그래프이다.
⑵ 정의역의 원소 에 대응하는 의 값이 개일 때가 있으므
로 함수의 그래프가 아니다.
⑴, ⑷
함수   의 그래프가 공역의 원소 에 대하여
직선   와 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를 각각  , 



        , g        이므로





 g   ∘        


따라서  ∘ g    g   ∘   이다.



➋         이므로


         
따라서      이다.
Ⅴ. 함수
295
⑴
⑵
10
    에서


       




따라서         이어야 하므로




   ,   


  
본문 221쪽
11
    라고 하면
매장 B
 g ∘     ,  ∘ g     
g ∘  ≠  ∘g
이므로
 ∘         
    
     ,
  ,
 ∘    

12
  
  
  ∘ g        g         ,
  ∘ g      g       
본문 222~224쪽
➊⑴ 함수
⑵ 일대일함수
⑷ 항등함수

13
⑶ 일대일대응

∘g

  

∘ g   
   ,
       ,
⑸ 상수함수
➋ 합성함수, g ∘ 
➌ ⑴ 역함수,   ⑵   
        ,
1
3
4
6
2
        ,
ㄱ, ㄴ, ㄹ
⑴ ㄱ, ㄴ ⑵ ㄱ ⑶ ㄷ
⑴  g ∘      ⑵  ∘ g     
5

        
따라서 구하는 자연수 의 최솟값은 이다.
     ,     
7
14


   ,   


  ,     
  ,   
8
 ∘ g           ,
 g ∘   g          
50%
즉            이어야 하므로
       ,
9
  
     ≤   

    ≤   
 ∘ g   


     ≤  ≤ 




…… ㉡
㉠, ㉡에서
    ≤≤  ≤ ,
g       ≤  ≤  이므로
…… ㉠
  
 
     ≤   
 g ∘   g             
또    이므로
        ,
        ,

  에서    ,   이어야 하므로
위의 두 식을 연립하여 풀면
80%




따라서 함수    ∘ g  의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
50%
⑴  ∘           이므로

     

⑵  ∘         에서     로 놓으


면       이므로








             






     


296
정답 및 풀이
15
조건 ㈎에 의하여 g   이므로 조건 ㈏에서
  g   ,
    
또 g   , g   이므로 조건 ㈐에서
 ≠ 
  ,   
따라서  ∘       이므로
 ∘       
20%
본문 231~235쪽
본문 225쪽
1
2












⑴     
 m
231쪽

,  

⑵       
배
⑴  ≤  ≤ 
⑵ ≤
⑴ 
⑵     
  
⑴   ≤ 

⑵   ≥ 

⑴
⑵


본문 226~230쪽

배


226쪽




 
    
,  ,  

  


⑴ 
    

⑵ 
  
⑴   ≠ 인 실수  ⑵   ≠ 인 실수 
⑶
⑷
⑴
⑴
⑵
⑵
정의역:   ≤ 
정의역:   ≤ 
치역:   ≥ 
치역:   ≤ 
1⑴
점근선의 방정식:
점근선의 방정식:
  ,   
  ,   
⑴
2
  ,   
⑵   ,   
  ,   ,   
본문 236쪽
⑵
점근선의 방정식:
점근선의 방정식:
  ,   

  , 

1 다항함수
2 상수함수
3
   ≠ ,  ≠ 
Ⅴ. 함수
297
본문 237쪽
  
,
,
, 여:

 
 

남:
 
,

 

6
     
      의 그래프를 축의 방향으로


만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은

    

별과 바람
  
   이라 하고 자음 ㄱ, ㄴ, ㄷ, … 에
즉     ,      ,     이므로
양의 정수 , , , … 의 함숫값을, 모음 ㅏ, ㅑ, ㅓ, … 에 음
의 정수  ,  ,  , … 의 함숫값을, 빈칸에 의 함숫값을
대응시키다.
  ,   ,   
7
주어진 그래프의 점근선의 방정식이   ,   이므로
  ,   
 
즉    의 그래프가 점  를 지나므로

본문 238~240쪽
➊ ⑴ 유리함수
⑶ , ,   ,   
➋ ⑴ 무리함수
⑶ , ,   ≥ ,   ≥ ,   ≤ ,   ≥ 

⑴ 

1

⑶ 
    
2
 
⑵ 
  
8
  을 ㉠에 대입하면
9
…… ㉠
  
  

 
      
 이므로

 

   
        

       




   
 
  

10
치역:   ≠ 인 실수 ,
    
   
     이므로     에서


⑷ 
    
⑴ 정의역:   ≠ 인 실수 ,
  
    이므로
 
  
주어진 그래프의 식을   
    라고 하면 그
래프가 원점을 지나므로
점근선의 방정식:   ,   
  
  ,
⑵ 정의역:   ≠ 인 실수 ,

따라서   
    이므로
  ,   
11
    
…… ㉠
    
…… ㉡
  이므로
g   에서   이므로
치역:   ≠ 인 실수 ,
70%
점근선의 방정식:   ,   
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
  ,   
3



4
⑴
12
30%


      에서 점 A는 이 그래프의 두 점


근선의 교점이다. 원의 반지름인 
AP
⑵
의 길이가 최소일 때 원의 넓이가 최
소이고, 이때의 점 P 는 오른쪽 그림과
같이 P  , P  의 두 개가 존재한다.
   ≥   ,
정의역:   ≤ ,
정의역:
치역:   ≥ 
치역:   ≤ 
      






이어야

 
 
    
    
5
하므로
298
정답 및 풀이
에 대하여 대칭이므로 직선     에 대하여 대칭이다.
 
   에서


      ,
  ,   
   ± 

즉 두 점 P  , P  의 좌표는 각각    
     
,
   
     
  이므로
    ,     
위의 두 식을 연립하여 풀면
 
한편    의 그래프는 점 A


AP   
AP   

따라서 구하는 원의 넓이의 최솟값은
 × 
    
  

   이므로 주어진 부등식에서



13

 ≤  ≤ 

30%

 ≤  ≤ 에서   

08
09
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
10

    ,

따라서   
    은   에서 최솟값 를 갖는다.
11
10%
  ∘ g      g     이므로     
라고 하면   에서
직선     이 점
g
 를 지날 때,
    ,
③
  
    은   일 때 최댓값 을 가지므로
  
    ,
따라서   의 최댓값은
14
  
      
    
③ 그래프는   
 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
60%



  

 


   
 
g   
g    
의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로


≤ , ≥ 


g  는 의 역함수이므로

∘   g

  g   이므로 g      이라
고 하면 g    에서
 
따라서 함수   
    의

그래프와 직선     이 만나


 
∘ g    g

∘   
    ≥  가 일대일대응이
지 않도록 하는  의 값의 범위는   이므로 구하는 자연
12
수 의 최솟값은 이다.
려면  ≥ 일 때와   일 때의 그래프의 기울기의 부호가
 
서로 같아야 하므로
80%
      ,
본문 241~243쪽
01
02
     
    
…… ㉡
      의 기울기가 양수이어야 하므로
05

40%
주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식은
  ,   이므로 점  가 두 직선     ,
    의 교점이다. 즉
    ,     
①
80%
위의 두 식을 연립하여 풀면
 

      의 그래프를 축의 방향으로 만
 
큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은
  ,   
15
20%
구하는 교점은 함수   의 그래프와 직선
  의 교점과 같으므로 
      에서

  

즉      ,     이므로
06
60%
점의 좌표는  이다.
14
함수 가 일대일대응이려면   일 때의 직선
  
즉 g             이므로 구하는
…… ㉠
  ,   
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
04
 ∘ g       ,
      ,
   g  에서
20%
 g ∘       이므로  ∘ g  g ∘ 에서
③
  g  에서
03
13
   또는   
  ,   
   

      의 그래프



      ,
   또는   
70%
따라서 두 교점의 좌표는  ,  이므로 두
교점 사이의 거리는

         

30%
는 오른쪽 그림과 같다.
본문 244쪽
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
⑤
07



    ,     ,    , …이므로





 는  ,  ,  가 차례대로 반복된다.
이때    ×   이므로
자판기
웹 사이트를 이용하여 QR 코드 만들기를 검색한 후
원하는 정보를 직접 담거나 또는 링크로 이동하는 방식으로
QR 코드를 생성할 수 있다.

      

Ⅴ. 함수
299
⑴  ⑵ 

C  ×   C    
  

×

    
   


  ×   C  ×  C 
     
본문 248쪽
1
2

3

따라서 C  × C   C  ×   C    이다.


1㈎
본문 249~251쪽

249쪽

C 

⑴  ⑵ 
⑵ 
1
2
칙을 이용할 수 있다.
본문 252쪽
⑴ ㈒ ⑵ 
⑴  ⑵ 
본문 253~256쪽
⑵ 
⑶ 
⑴ 
⑵ 
⑶ 

➊  
⑵ ×
➋ ⑴ P 
⑵ , , ,   
➌ ⑴ C 
⑵ ,   , ,   
1
5
6
⑵ 
⑶ 
2

⑴ 
3

⑵ 
4

⑶ 
⑷ 
      또는      
20%
(ⅰ)      을 만족시키는 순서쌍  는
⑷ 
 ,  ,  ,  
의 개
  
  
  P   ×   P        × 
    
  
(ⅱ)      을 만족시키는 순서쌍  는
 ,  ,  ,  ,  ,  
        

  
  

     P 
  
  
따라서 P     P    ×   P    이다.
⑴  ⑵ 
⑴  ⑵ 

본문 257~259쪽
{연지, 현경}, {연지, 미주}, {현경, 미주}
⑴ 
⑵ 
⑶ 
⑷ 
의 개
60%
(ⅰ), (ⅱ)에서
7
8
    
⑴  ×   
⑵  ×  ×   
⑴  ×   
⑵ P  ×   
정답 및 풀이
20%
⑶  ×   
9
10
⑴
  C   
 C   
⑵ C   C   
⑴ C   C   C   C      
⑵ C    C   C   C    
11
자물쇠 A의 비밀번호를 설정하는 경우의 수는
C 
 
자물쇠 B 의 비밀번호를 설정하는 경우의 수는
300

    ≤ 에서


257쪽
⑴ 
본문 261~263쪽
있고, 두 사건이 동시에 일어나거나 잇달아 일어날 때 곱의 법
⑴ 
   C   

두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 합의 법칙을 이용할 수
253쪽
  C   

⑴ 
, 
  C 

㈏  ㈐
본문 260쪽

250쪽
  C 


3
2

P 
 
12
⑴ 로 시작하는 것의 개수는 , , 로 시작하는 것
남자 복식, 여자 복식에 출전할 학생 명씩을 뽑는 경우의 수는
C  × C 
의 개수는 각각 , , 로 시작하는 것의 개수는 각각
남아 있는 남자 명, 여자 명이 각각 남자 단식, 여자 단식에
, 로 시작하는 것은 의 개이므로
   ×    ×     
출전하면 되므로 경우의 수는
따라서 는 번째이다.
따라서 구하는 경우의 수는
⑵ , , , 로 시작하는 것의 개수는 각각 , 로 시작하
는 것의 개수는 , , 로 시작하는 것의 개수는 각각
이므로
09
P 
 
 × P   
 
    
10
짝이 맞는 구두를 한 켤레 택하는 경우의 수는
20%
여학생, 남학생의 순서로 교대로 서는 경우의
 ×   
수는

50%
(ⅰ), (ⅱ)에서 의 배수의 개수는
, , , 에 대응시키면 되므로 함수 의
C 
30%
(ⅱ) 일의 자리의 숫자가 인 자연수의 개수는
⑵  의 원소 중에서 개를 택하여 작은 것부터 순서대로
14
 ×  ×   
(ⅰ) 일의 자리의 숫자가 인 자연수의 개수는
⑴ P   
C 

이어야 한다.
 ×      ×   
에 오는 문자는 이다.
개수는
C  × C 
의 배수이려면 일의 자리의 숫자가  또는 
이때 로 시작하는 것은 , 이므로 번째
13
 
남학생, 여학생의 순서로 교대로 서는 경우의 수는
나머지 구두 짝 중에서 짝을 택하는 경우의 수는
C  이
 ×   
C   C   
두 짝을 택하는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
 ×   
11
20%
개의 점 중에서 개를 택하는 경우의 수는
C   
80%
20%
    
따라서 구하는 경우의 수는
고, 짝이 맞는 짝, 즉 구두 켤레 중에서 한 켤레를 택하는
경우의 수는 C  이므로 구두 짝 중에서 짝이 맞지 않는 구
80%
반원의 지름 위의 개의 점 중에서 개를 택하는 경우의 수는
C 

반원의 지름 위의 개의 점 중에서 개를 택하고 나머지 개
본문 264~265쪽
01
C  × C 
(ⅰ)   일 때,
 ,  , … ,  의 개
(ⅱ)   일 때,
 ,  ,  ,  의 개
(ⅲ)   일 때,
 의 개
이상에서 구하는 순서쌍의 개수는
02
      
두 주사위에서 나오는 눈의 수가 모두 홀수이거나 모두
짝수이면 되므로 구하는 경우의 수는  ×    ×   
03
04
의 점 중에서 개를 택하는 경우의 수는
  
 
따라서 구하는 사각형의 개수는
      
12
20%
각 문제를 푸는 학생 수는 명, 명, 명이어
야 하므로 명을 명, 명, 명으로 나누는 경우의 수는
C  × C  × C 
 
40%
명, 명, 명으로 나뉜 학생들이 풀 문제를 정하는
경우의 수는
보다 큰 수는  ○○○ ,  ○○○,  ○○○○,
80%
  
40%
따라서 구하는 경우의 수는
 ×   
20%
 ○○○○의 꼴이므로 구하는 자연수의 개수는
        
05
06
본문 266쪽
 ×  ×  ×   
P   C  ×  이므로
⑴ 
   × ,
P          이므로
07


⑵ 

우리나라의 주민 등록 번호는 개의 숫자로 구성
명을 키가 큰 순서대로 한 줄로 세우는 경우는 가지이
되어 있으며 생년월일, 성별, 지역 코드, 검증 번호로 이루어
므로 세우는 순서는 고려하지 않아야 된다. 즉 C    이다.
져 있어 개인마다 서로 다른 번호가 부여된다. 이때 검증 번호
08
인 마지막 숫자는 앞의 자리의 숫자에 순서대로 , , ,
남녀 혼합 복식에 출전할 학생 명을 뽑는 경우의 수는
C  × C 
 
, , , , , , , , 를 곱한 뒤 그 값을 전부 더한 후 
로 나누었을 때의 나머지를 에서 뺀 수이다.
Ⅵ. 순열과 조합
301