Universidad del Valle
Facultad de Ingeniería
Física Electrónica y de
Dispositivos Electrónicos
Álvaro Bernal N.
Escuela de Ing. Eléctrica y Electrónica
PRÓLOGO
Siempre se ha tenido una idea demasiado amplia de lo que es la electrónica. Se la puede definir
como la ciencia que estudia la conducción y el control del flujo de partículas cargadas, para la
generación, transmisión, recepción y almacenamiento de información. Este estudio de partículas
cargadas, en especial de los electrones, se realiza considerando su interacción con medios como
el vacío, los gases y los semiconductores y en presencia de voltajes, campos eléctricos, campos
magnéticos, temperatura, etc.
La aplicabilidad de la electrónica se orienta a rangos de corriente debajo de 1 amperio, sin ser
excluyente puesto que cada día se desarrollan elementos que pueden y manejar corrientes entre
25 – 30 amperios y mucho más. En términos de voltaje, estas magnitudes también se han ido
reduciendo Los voltajes de alimentación de los dispositivos y circuitos electrónicos antiguos
requerían de 150 o 300 voltios (tubos de vacío), en tanto que los dispositivos actuales pueden
operar con voltajes de continua que oscilan entre 1 V y 20 V aproximadamente. Vale la pena
aclarar que no se excluyen los altos voltajes (KV) y pequeñas corrientes en equipos electrónicos
como son los equipos de rayos X y de microscopia electrónica, para solo mencionar dos
ejemplos importantes. Un dispositivo electrónico es un elemento cuya constitución permite el
movimiento de electrones de manera controlada, ya que permite, cierra o regula el paso de
corriente.
La comprensión de la electrónica se fundamenta principalmente en el estudio de la física de los
semiconductores, más concretamente la física electrónica, y el modelado de los dispositivos
electrónicos utilizados actualmente, en donde se incluyen el análisis de las propiedades físicas,
el comportamiento, características y aplicaciones de los mismos. La estructuración de los
contenidos de los cursos de Física de Electrónica y Física de Dispositivos Electrónicos ofrecidos
en los semestres intermedios del programa de Ingeniería Electrónica de la Universidad del
Valle, ha motivado la escritura de este texto, percibiendo la dificultad para acceder a estos
contenidos, los cuales se encuentran usualmente dispersos en varias fuentes bibliográficas y con
mucha frecuencia en idiomas diferentes al castellano.
i
El texto compendia y desarrolla los temas considerados en el diseño curricular del programa de
estudios y son presentados de forma progresiva. La lectura de cada capítulo requiere del análisis
y comprensión de los capítulos precedentes.
Para abordar el texto el elector debe tener
conocimientos previos de Física, Algebra lineal, Teoría Electromagnética y Ecuaciones
diferenciales.
En los capítulos que conforman la primera mitad del libro se aborda el estudio de algunos
conceptos de la Física cuántica necesarios para introducirnos al estudio de la Física Electrónica.
En la segunda mitad del libro se hace uso de tales conceptos y teorías para ser aplicados en el
análisis y modelado de los Dispositivos Electrónicos más ampliamente usados en la ingeniería
electrónica.
El autor agradece a las múltiples promociones de estudiantes que han participado en la revisión,
corrección y mejoramiento de este material mediante sus aportes, comentarios y sugerencias.
ii
Contenido
Contenido
____________________________________________________________________________________________
PRÓLOGO ................................................................................................................................................................... i
Contenido...................................................................................................................................................................... i
1.
Ondas ................................................................................................................................................................... 1
1.1. Introducción.
1
1.2. Propagación de ondas en una dimensión.
1
1.3. Ecuación de onda para ondas transversales.
3
1.3.1.
Velocidad de onda................................................................................................................. 6
1.4. Ondas monocromáticas.
7
1.5. Constantes del movimiento.
9
1.5.1.
Longitud de onda. ................................................................................................................. 9
1.5.2.
Período de la onda. .............................................................................................................. 10
1.5.3.
Frecuencia angular. ............................................................................................................. 10
1.5.4.
Número de onda. ................................................................................................................. 10
1.5.5.
Fase inicial. ......................................................................................................................... 11
1.6. Superposición de ondas de diferente frecuencia.
15
1.7. Ondas complejas.
16
1.8. Dispersión y velocidad de grupo.
17
1.8.1.
Velocidad de Grupo ............................................................................................................ 18
1.9. Reflexión y transmisión.
19
1.10. Flujo de energía.
23
1.11. Ejercicios.
25
2.
Introducción a conceptos de física cuántica. ...................................................................................................... 27
2.1. Introducción.
27
2.2. Radiación térmica.
28
2.2.1.
Teoría clásica de la radiación. ............................................................................................. 29
2.2.2.
Previsiones de la ecuación con los resultados experimentales. ........................................... 35
2.2.3.
Teoría de Planck ................................................................................................................. 36
2.2.4.
Postulado de Planck ............................................................................................................ 39
2.3. El Efecto Fotoeléctrico.
40
2.3.1.
Modelo corpuscular de la luz. ............................................................................................. 42
2.4. El Efecto Compton.
45
2.5. Ejercicios.
50
3.
Ondas de materia ............................................................................................................................................... 52
3.1. Introducción.
52
3.2. Postulado de De Broglie
52
3.3. Propiedades de las ondas de materia.
53
3.4. Espectros Atómicos.
56
3.5. Postulados de Bohr
57
3.6. Ejercicios.
64
4.
La ecuación de onda. ......................................................................................................................................... 66
4.1. Introducción.
66
4.2. La ecuación de Schrödinger .
66
4.3. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
70
4.4. El pozo de potencial cuadrado infinito.
74
4.5. Barrera de potencial.
78
4.6. Potencial escalón.
88
4.7. Pozo de potencial cuadrado finito.
92
4.8. Ejercicios.
99
1
Contenido
5.
Números cuánticos. .......................................................................................................................................... 101
5.1. Introducción.
101
5.2. Separación de la ecuación independiente del tiempo
101
5.3. Principio de exclusión de Pauli.
105
5.4. Efecto de la periodicidad de la red en los estados permitidos.
108
5.5. Modelo de Kronig-Pennev.
110
5.6. Ejercicios.
116
6.
Semiconductores
6.1. Introducción.
136
6.2. Masa Efectiva
136
6.3. Bandas de energía
139
6.4. Conductividad en los semiconductores
144
6.4.1.
Semiconductores intrínsecos. ............................................................................................ 145
6.4.2.
Semiconductores extrínsecos ............................................................................................ 154
6.4.3.
Cálculo del número de portadores..................................................................................... 165
6.4.4.
Neutralidad de carga espacial............................................................................................ 166
6.4.5.
Nivel de Fermi extrínseco ................................................................................................. 166
6.5. Ejercicios.
171
136
7.
Fenómenos de transporte ................................................................................................................................. 173
7.1. Introducción
173
7.2. Arrastre del portador en un campo eléctrico
174
7.2.1.
Intensidad y resistencia ..................................................................................................... 175
7.3. Difusión de portadores.
179
7.3.1.
Análisis de la difusión ....................................................................................................... 180
7.4. Fenómeno de Generación – Recombinación.
183
7.4.1.
Baja inyección ................................................................................................................... 188
7.4.2.
Comportamiento de los portadores minoritarios con la distancia ..................................... 192
7.4.3.
Relacion de Einstein. ........................................................................................................ 195
7.5. Ecuaciones de continuidad.
198
7.6. Ejercicios.
202
8.
Materiales cristalinos. ...................................................................................................................................... 204
8.1. Introducción.
204
8.2. Redes simples.
205
8.2.1.
Estructura cúbica simple: .................................................................................................. 206
8.2.2.
Estructura cúbica centrada en cuerpo: ............................................................................... 207
8.2.3.
Estructura cúbica centrada en cara: ................................................................................... 207
8.2.4.
Hexagonal compacta: ........................................................................................................ 209
8.2.5.
Hexagonal simple: ............................................................................................................ 210
8.3. Factor de empaquetamiento
210
8.4. Celdas primitivas
211
8.5. Cálculo de densidades.
214
8.6. Estructuras cristalinas.
214
8.7. Índices de Miller.
217
8.7.1.
Direcciones y planos en los cristales. ................................................................................ 220
8.7.2.
Distancia y ángulo entre los planos. .................................................................................. 221
8.8. Ejercicios.
223
9.
Unión metal semiconductor. ............................................................................................................................ 225
9.1. Introducción
225
9.2. Sistemas en equilibrio térmico.
225
9.3. Unión metal semiconductor en equilibrio térmico.
226
9.3.1.
Unión metal-semiconductor tipo n. ................................................................................... 227
9.3.2.
Unión metal-semiconductor tipo p. ................................................................................... 231
9.4. Efectos Óhmicos
234
9.5. Estudio de la carga en la zona de depleción.
237
2
Contenido
9.6. Unión Schottky polarizada
243
9.7. Característica corriente-voltaje.
246
9.7.1.
Emisión Termoiónica. ....................................................................................................... 247
9.7.2.
Efecto Túnel ...................................................................................................................... 251
9.7.3.
Difusión. ........................................................................................................................... 252
9.8. Capacitancia de la unión.
258
9.9. Barrera Schottky no ideal.
259
9.10. Ejercicios.
263
10.
Unión p-n ..................................................................................................................................................... 264
10.1. Introducción.
264
10.2. Descripción cualitativa de una unión.
264
10.3. Propiedades de la unión.
266
10.4. Componentes de corriente
271
10.4.1. Cálculo del potencial de contacto. .................................................................................... 279
10.4.2. Cálculo del campo eléctrico .............................................................................................. 281
10.4.3. Capacitancia de la unión ................................................................................................... 286
10.5. Unión gradual.
290
10.5.1. Cálculo del campo eléctrico. ............................................................................................. 290
10.5.2. Cálculo del potencial eléctrico. ......................................................................................... 292
10.5.3. Capacitancia de depleción ................................................................................................. 293
10.6. Ejercicios
294
11.
El diodo. ....................................................................................................................................................... 296
11.1. Introducción
296
11.2. Unión p-n polarizada: El Diodo.
296
11.2.1. Polarización directa. .......................................................................................................... 299
11.2.2. Polarización inversa. ......................................................................................................... 305
11.3. Componentes de corriente.
306
11.3.1. Variación de los portadores en exceso con la polarización. .............................................. 308
11.3.2. Dependencia de los portadores en exceso con la posición. ............................................... 311
11.4. Ecuación fundamental del diodo
317
11.4.1. Análisis de las corrientes................................................................................................... 322
11.5. Expresiones para la anchura W y las zonas de penetración.
324
11.6. Dependencia de J0 con la temperatura.
326
11.7. Resistencias del diodo
329
11.7.1. Resistencia estática del diodo o de C.D. ........................................................................... 329
11.7.2. Resistencia dinámica r o incremental o de pequeña señal. ............................................. 330
11.8. Capacitancia de transición.
332
11.9. Capacitancia de difusión.
333
11.10. Variación de la capacitancia de la unión con el voltaje.
339
11.11. Voltaje y corriente en la unión p-n
341
11.11.1.
Línea de carga estática o de C.D. .................................................................................. 341
11.11.2.
Línea de carga dinámica. .............................................................................................. 344
11.12. Algunas aplicaciones del diodo
346
11.12.1.
Efecto de la señal alterna .............................................................................................. 346
11.12.2.
Modelo lineal a tramos. ................................................................................................. 347
11.12.3.
Rectificación de ½ onda. ............................................................................................... 348
11.12.4.
Circuitos recortadores o limitadores. ............................................................................ 349
11.12.5.
Tipos de diodos de unión p-n ........................................................................................ 349
11.13. Ejercicios
351
12.
Otros diodos. ................................................................................................................................................ 353
12.1. Introducción.
353
12.2. Diodo Zener
353
12.2.1. Símbolo ............................................................................................................................. 354
12.2.2. Mecanismos que explican los procesos de ruptura ........................................................... 355
12.2.3. Proceso de multiplicación. ................................................................................................ 357
3
Contenido
12.2.4. Aplicaciones del diodo Zener............................................................................................ 361
12.2.5. Dependencia con la temperatura. ...................................................................................... 365
12.2.6. Impedancia Dinámica versus Corriente de Zener I Z. ....................................................... 366
12.3. Diodo Varactor
367
12.3.1. Símbolo. ............................................................................................................................ 367
12.3.2. Estructura. ......................................................................................................................... 369
12.4. Diodo Túnel
371
12.4.1. Símbolos, especificaciones y circuito equivalente. ........................................................... 372
12.4.2. Estructura del dispositivo. ................................................................................................. 373
12.4.3. Efecto túnel ....................................................................................................................... 374
12.4.4. Estructura de las bandas de energía de un diodo p-n altamente dopado. .......................... 375
12.4.5. Característica tensión – corriente. ..................................................................................... 377
12.4.6. Análisis cualitativo de las características de un diodo túnel ............................................. 379
12.5. Fotodiodos.
382
12.5.1. Diodo emisor de luz. ......................................................................................................... 386
12.5.2. El foto resistor. .................................................................................................................. 387
12.6. Valores nominales
388
12.7. Ejercicios.
390
13.
Transistor unión bipolar (BJT) ..................................................................................................................... 392
13.1. Introducción.
392
13.2. Descripción física.
392
13.3. Símbolo.
394
13.4. Aspectos básicos.
394
13.4.1. Ecuación de corriente. ....................................................................................................... 396
13.5. Modos de operación.
399
13.5.1. Polarización directa activa. ............................................................................................... 399
13.5.2. Componentes de corriente en el transistor. ....................................................................... 401
13.5.3. Región de corte. ................................................................................................................ 405
13.5.4. Región reversa activa. ....................................................................................................... 406
13.5.5. Región saturación.............................................................................................................. 406
13.6. Efecto Early
407
13.6.1. Expresión alterna. ............................................................................................................. 409
13.7. Tiempo de transito en la base.
410
13.8. Modelo de Ebers-Moll
410
13.9. Número de portadores minoritarios en exceso.
412
13.9.1. Análisis de la unión ideal. ................................................................................................. 415
13.10. Configuraciones.
420
13.10.1.
Base Común. ................................................................................................................. 420
13.10.2.
Emisor Común. ............................................................................................................. 420
13.10.3.
Colector Común. ........................................................................................................... 421
13.11. Ecuación generalizada del transistor.
422
13.11.1.
Ganancia de corriente de base común. ......................................................................... 424
13.11.2.
Ganancia de corriente de emisor común. ...................................................................... 424
13.11.3.
Región directa activa ..................................................................................................... 426
13.11.4.
Región de corte. ............................................................................................................ 427
13.11.5.
Región de saturación ..................................................................................................... 428
13.12. Modelo SPICE del BJT
429
13.12.1.
Region directa activa. .................................................................................................... 429
13.12.2.
Region inversa activa. ................................................................................................... 430
13.12.3.
Region de Saturacion. ................................................................................................... 430
13.12.4.
Región de Corte. ........................................................................................................... 430
13.13. Modelo Estático - Efectos de segundo orden.
431
13.14. Modelo de Grandes Señales.
431
13.15. Aplicaciones.
436
13.15.1.
Interruptor. .................................................................................................................... 436
13.15.2.
Fuente de corriente. ....................................................................................................... 438
13.15.3.
Amplificador de pequeña señal (EC). ........................................................................... 439
4
Contenido
13.16. Ejercicios.
442
14.
Transistores de efecto de campo. ................................................................................................................. 444
14.1. Introducción.
444
14.2. El transistor de unión de efecto de campo.
445
14.2.1. Estructura. ......................................................................................................................... 446
14.2.2. Ecuaciones de corriente. ................................................................................................... 449
14.2.3. Transconductancia. ........................................................................................................... 452
14.3. Transistor MOS.
453
14.3.1. Estructura interna. ............................................................................................................. 453
14.3.2. Modo de operación. .......................................................................................................... 455
14.3.3. Análisis de carga. .............................................................................................................. 463
14.3.4. Ecuación de corriente. ....................................................................................................... 464
14.3.5. Transconductancias. .......................................................................................................... 468
14.3.6. Efecto del voltaje de cuerpo. ............................................................................................. 468
14.4. Ejercicios.
470
15.
Dispositivos de conmutación de cuatro capas. ............................................................................................. 472
15.1. Introducción.
472
15.2. Estructura básica.
472
15.3. Familias.
474
15.4. Operación básica y mecanismos físicos.
475
15.4.1. Corriente entre dos terminales. ......................................................................................... 475
15.4.2. Señal externa o de disparo. .............................................................................................. 487
15.4.3. Bloqueo inverso. ............................................................................................................... 496
15.4.4. Ruptura de la unión. .......................................................................................................... 497
15.5. Ejercicios.
500
16.
Bibliografia. ................................................................................................................................................. 502
5
Contenido
Lista de figuras.
Figura 1.1. Fuerzas externas sobre un arco de longitud l. ......................................................................................... 2
Figura 1.2. Fuerzas que actúan sobre un segmento de cuerda l ................................................................................. 3
Figura 1.3. Punto P definido que viaja con la onda ..................................................................................................... 6
Figura 1.4. Onda en función de la distancia para un t dado. ........................................................................................ 8
Figura 1.5. Ondas desfasadas un ángulo 1.................................................................................................................. 9
Figura 1.6. Superposición de ondas de diferentes frecuencias. .................................................................................. 16
Figura 1.7. Onda resultante de la suma de dos ondas a y b. ....................................................................................... 16
Figura 2.1. Radiancia espectral de un cuerpo negro en función de la frecuencia de radiación. ................................. 29
Figura 2.2. Cavidad cúbica de lado a ......................................................................................................................... 30
Figura 2.3. Valores posibles de la longitud de onda .................................................................................................. 31
Figura 2.4. Frecuencias posibles en un intervalo. ...................................................................................................... 31
Figura 2.5.. Extensión al caso tridimensional. .......................................................................................................... 32
Figura 2.6. Onda propagándose en una dirección definida por las ángulos ,, ..................................................... 32
Figura 2.7. Comparación de resultados teóricos y experimentales. ........................................................................... 35
Figura 2.8. Distribución de Boltzmann ...................................................................................................................... 37
Figura 2.9. Datos teóricos vs. resultados experimentales. ......................................................................................... 39
Figura 2.10. Efecto fotoeléctrico. .............................................................................................................................. 41
Figura 2.11. Potencial de corte .................................................................................................................................. 42
Figura 2.12. Frecuencia umbral ................................................................................................................................. 42
Figura 2.13. Experimento de Einstein. ....................................................................................................................... 43
Figura 2.14. Frecuencia vs. energía ........................................................................................................................... 43
Figura 2.15. Estudio del efecto Compton. .................................................................................................................. 45
Figura 2.16. Resultados para diferentes ángulos de dispersión. ................................................................................. 46
Figura 2.17. Conservación del momentum ................................................................................................................ 48
Figura 3.1. Forma de la onda de materia................................................................................................................... 53
Figura 3.2. Paquete de ondas. ................................................................................................................................... 54
Figura 3.3. Espectro para el hidrógeno. ..................................................................................................................... 56
Figura 3.4. Convergencia de las líneas del espectro. ................................................................................................. 56
Figura 3.5. Diagrama de niveles de energía para el hidrógeno. ................................................................................. 61
Figura 3.6. Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno .................................................................. 62
Figura 4.1. Onda de momento variable ...................................................................................................................... 67
Figura 4.2. Pozo de potencial infinito. ....................................................................................................................... 74
Figura 4.3. Comportamiento de la longitud de onda parta variaciones de n. ............................................................. 76
Figura 4.4. Barrera de potencial. ................................................................................................................................ 78
Figura 4.5. Potencial escalón. .................................................................................................................................... 88
Figura 4.6. Potencial cuadrado finito. ........................................................................................................................ 93
Figura 5.1. Energía potencial del electrón en el átomo de hidrógeno. ..................................................................... 109
Figura 5.2. Simetría de la energía potencial respecto al núcleo. .............................................................................. 109
Figura 5.3. Interacción de los niveles de energía para varios átomos. ..................................................................... 110
Figura 5.4. Modelo de Kronig – Penney .................................................................................................................. 111
Figura 5.5. Bandas de energía posibles. ................................................................................................................... 114
Figura 5.6. Curva de dispersión. .............................................................................................................................. 114
Figura 5.7. Representación en zona reducida. Primera zona de Brillouin. .............................................................. 115
Figura 6.1. Evidencia de la existencia de los electrones pesados............................................................................. 138
Figura 6.2. Distribución de los niveles de energía. .................................................................................................. 141
Figura 6.3. Representación de bandas de energía para diferentes materiales. ......................................................... 143
Figura 6.4. Función de Fermi................................................................................................................................... 146
Figura 6.5. Función de distribución y diagrama de bandas. ..................................................................................... 147
6
Contenido
Figura 6.6. (a) Dopado tipo n (b) Estados adicionales de impurezas. ..................................................................... 155
Figura 6.7. (a) Dopado tipo p (b) Estados adicionales de impurezas. ..................................................................... 156
Figura 6.8. Silicio intrínseco (b) Silicio tipo n. (c) Silicio tipo p. ............................................................................ 157
Figura 6.9. Niveles de energía para los átomos de impurezas (a) donadoras (b) aceptadoras. ................................ 159
Figura 6.10. Energías permitidas para impurezas. ................................................................................................... 163
Figura 6.11. Densidad de estados, función de probabilidad y concentración de portadores. ................................... 164
Figura 6.12. Diagrama de bandas correspondiente a una concentración variable. ................................................... 169
Figura 7.1. Velocidad de arrastre. ............................................................................................................................ 175
Figura 7.2. Sección de conductor bajo el influjo de un campo eléctrico.................................................................. 176
Figura 7.3. Concentración variable de portadores. .................................................................................................. 181
Figura 7.4.Comportamiento de los minoritarios con el tiempo. ............................................................................... 190
Figura 7.5.Comportamiento de la función de recombinación. ................................................................................. 191
Figura 7.6. Portadores minoritarios en función de la distancia ................................................................................ 193
Figura 7.7. Efecto del campo eléctrico en el diagrama de bandas ........................................................................... 195
Figura 7.8. Análisis de la difusión de portadores. .................................................................................................... 199
Figura 8.1. Diferentes tipos de estructuras atómicas................................................................................................ 204
Figura 8.2. Estructura cúbica simple. ....................................................................................................................... 206
Figura 8.3. Cúbica centrada en cuerpo. .................................................................................................................... 207
Figura 8.4. Cúbica centrada en cara. ........................................................................................................................ 208
Figura 8.5. Hexagonal compacta. ............................................................................................................................ 209
Figura 8.6. Hexagonal simple. ................................................................................................................................. 210
Figura 8.7.. Celdas primitivas. ................................................................................................................................. 212
Figura 8.8. Celdas unitarias. .................................................................................................................................... 213
Figura 8.9. Tetragonal compacta. ............................................................................................................................ 215
Figura 8.10. Proyección del vector R....................................................................................................................... 217
Figura 8.11. Plano paralelo. ..................................................................................................................................... 218
Figura 8.12. Planos cristalográficos. ........................................................................................................................ 220
Figura 8.13. Planos cristalográficos en redes hexagonales. ..................................................................................... 220
Figura 9.1. Sistema metal semiconductor tipo n aislados. ....................................................................................... 228
Figura 9.2. Sistemas en contacto.............................................................................................................................. 230
Figura 9.3. Sistema metal semiconductor tipo p aislados. ....................................................................................... 231
Figura 9.4. Diagrama de bandas de energía de los sistemas en contacto. ................................................................ 232
Figura 9.5. (a) Uniones metal-semiconductor (b) Símbolo. .................................................................................... 233
Figura 9.6. Circuito equivalente de la unión metal semiconductor. ......................................................................... 234
Figura 9.7. Curvas características de los contactos metal semiconductor. ............................................................... 236
Figura 9.8. Profundidad de la zona de depleción. .................................................................................................... 237
Figura 9.9. Distribución de carga espacial. .............................................................................................................. 238
Figura 9.10. Potencial y campo eléctricos. .............................................................................................................. 240
Figura 9.11. Unión Schottky. (a) Equilibrio térmico. (b) Polarización directa. ....................................................... 244
Figura 9.12. Unión Schottky. (a) Equilibrio térmico. (b) Polarización inversa. ...................................................... 245
Figura 9.13. Efecto túnel.......................................................................................................................................... 252
Figura 9.14. Efecto túnel.......................................................................................................................................... 252
Figura 9.15. Función corriente vs. voltaje ............................................................................................................... 258
Figura 9.16. 1/C2 vs. V ............................................................................................................................................ 259
Figura 9.17. Unión Schottky no ideal ...................................................................................................................... 260
Figura 9.18. Variación de la barrera de Schottky..................................................................................................... 261
Figura 10.1. Diagrama estructural de una unión n+ - p ............................................................................................ 264
Figura 10.2. Tipo de uniones (a) gradual, (b) abrupta (c) de un solo lado. .............................................................. 265
Figura 10.3. Estructura de la unión. ......................................................................................................................... 266
7
Contenido
Figura 10.4. Portadores libres. ................................................................................................................................. 268
Figura 10.5. Densidad de impurezas en la región de la unión. ................................................................................ 269
Figura 10.6. Carga neta y densidad de portadores en las regiones neutras. ............................................................ 270
Figura 10.7. Corrientes de difusión y desplazamiento. ............................................................................................ 272
Figura 10.8. (a) Semiconductores p y n+
(b) Unión p - n+ .............................................................................. 277
Figura 10.9. Potencial y campo eléctrico en la unión. ............................................................................................. 278
Figura 10.10. (a) Concentración de portadores (b) Potencial eléctrico (c) Campo eléctrico. .................................. 282
Figura 10.11. (a) Distribución de impurezas. (b) Potencial (c) Campo eléctrico. .................................................... 291
Figura 11.1. Símbolo del diodo................................................................................................................................ 297
Figura 11.2. Conexiones para la polarización directa .............................................................................................. 299
Figura 11.3. Diagrama de bandas para (a) equilibrio térmico (b) polarización directa ........................................... 300
Figura 11.4. Concentración de portadores para el caso de la polarización directa ................................................... 305
Figura 11.5. Polarización inversa de la unión. ......................................................................................................... 306
Figura 11.6. Diagrama de bandas de la unión polarizada inversamente. ................................................................. 306
Figura 11.7. Comportamiento de los portadores minoritarios bajo polarización inversa ......................................... 307
Figura 11.8. Variación de portadores minoritarios. Polarización a) directa b) inversa ............................................ 311
Figura 11.9. Volumen infinitesimal para análisis de la corriente. ............................................................................ 312
Figura 11.10. Representación de la ecuación del diodo ........................................................................................... 321
Figura 11.11. Componentes de corriente. ................................................................................................................ 324
Figura 11.12. Variación con la temperatura de la corriente del diodo. .................................................................... 327
Figura 11.13. Resistencia estática. ........................................................................................................................... 330
Figura 11.14. Variación de carga de los portadores minoritarios inyectados. ......................................................... 333
Figura 11.15. Tipos de capacitancias. ...................................................................................................................... 335
Figura 11.16. Circuito básico. .................................................................................................................................. 342
Figura 11.17. Solución gráfica del circuito .............................................................................................................. 342
Figura 11.18. Solución gráfica ................................................................................................................................. 343
Figura 11.19. Línea de carga dinámica. ................................................................................................................... 344
Figura 11.20. Señales alternas de pequeña señal ..................................................................................................... 346
Figura 11.21. Modelo del diodo ideal. ..................................................................................................................... 347
Figura 11.22. Aproximaciones del modelo .............................................................................................................. 348
Figura 11.23. Tercera aproximación del modelo. ................................................................................................... 348
Figura 11.24. (a) Circuito rectificador (b) Formas de onda .................................................................................... 349
Figura 12.1. Curva característica ............................................................................................................................. 354
Figura 12.2. Símbolo y modelo ideal. ...................................................................................................................... 354
Figura 12.3. Efecto Tunel. ....................................................................................................................................... 355
Figura 12.4. Diodos Zener usados como limitadores de voltaje. ............................................................................ 362
Figura 12.5. Zener usado como regulador de corriente............................................................................................ 363
Figura 12.6. Aplicaciones del Zener. ....................................................................................................................... 364
Figura 12.7. (a) Símbolo (b) circuito equivalente del diodo Varactor. .................................................................. 367
Figura 12.8. Otros símbolos y algunos dispositivos comerciales del diodo Varicap. .............................................. 368
Figura 12.9. Variación de la capacitancia con la tensión inversa............................................................................. 369
Figura 12.10. Estructura interna de un diodo varactor ............................................................................................. 370
Figura 12.11. Semejanza del diodo con el capacitor de placas planas. .................................................................... 370
Figura 12.12. Diagrama de bandas. ......................................................................................................................... 371
Figura 12.13. Diodo túnel. a) Símbolos b) circuito equivalente. ............................................................................ 372
Figura 12.14. Construcción de un diodo Túnel. ....................................................................................................... 374
Figura 12.15. Diagrama de bandas para un diodo dopado ligeramente. .................................................................. 375
Figura 12.16. Diodo p-n fuertemente dopado a) en circuito abierto y b) con polarización inversa. ........................ 377
Figura 12.17. Unión pn fuertemente dopada con polarización directa, cambio progresivo desde (a) hasta (d). ..... 378
Figura 12.18. Característica tensión – corriente....................................................................................................... 379
Figura 12.19. Diodo túnel y la recta de carga resultante. ......................................................................................... 380
Figura 12.20. Oscilador de resistencia negativa....................................................................................................... 381
Figura 12.21. Fotografía de un fotodiodo. ............................................................................................................... 382
Figura 12.22. Fotodiodo. (a) Símbolo. (b) Estructura interna. ................................................................................. 383
Figura 12.23. Curva característica. .......................................................................................................................... 384
Figura 12.24. Símbolo del LED ............................................................................................................................... 386
8
Contenido
Figura 12.25. Valores nominales de tensión y corriente. ......................................................................................... 388
Figura 13.1. Estructura del transistor bipolar. .......................................................................................................... 393
Figura 13.2. Ampliación de la región de las dos uniones. ....................................................................................... 393
Figura 13.3. Estructura básica del transistor bipolar. ............................................................................................... 394
Figura 13.4. Símbolos del transistor bipolar ............................................................................................................ 394
Figura 13.5. Polarización para la región directa activa ............................................................................................ 399
Figura 13.6. Diagrama de bandas (a) Equilibrio térmico (b) Región directa activa ................................................. 400
Figura 13.7.Componentes de corriente. ................................................................................................................... 402
Figura 13.8. Regiones de operación de BJT ............................................................................................................ 407
Figura 13.9. Voltaje Early........................................................................................................................................ 409
Figura 13.10. Modelo de Ebers – Moll .................................................................................................................... 412
Figura 13.11. Comportamiento de los minoritarios en las fronteras de la Base ....................................................... 414
Figura 13.12. Variación de los portadores minoritarios en la base .......................................................................... 417
Figura 13.13. Variación de los portadores minoritarios en la base corta. ................................................................ 418
Figura 13.14. Configuración de base común. ......................................................................................................... 420
Figura 13.15. Configuración en emisor común........................................................................................................ 421
Figura 13.16. Configuración colector común. ......................................................................................................... 422
Figura 13.17. Componentes de corriente del transistor BJT. ................................................................................... 423
Figura 13.18. Circuito del ejemplo 3 . ..................................................................................................................... 426
Figura 13.19. Circuito para la línea de carga. .......................................................................................................... 427
Figura 13.20. Diagrama de cargas. .......................................................................................................................... 432
Figura 13.21. Modelo de grandes señales ................................................................................................................ 433
Figura 13.22. (a) Fuente de corriente. (b) Punto de operación del circuito. ............................................................ 438
Figura 14.1. Posibles estructura del JFET................................................................................................................ 446
Figura 14.2. JFET (a) Estructura interna del dispositivo. (b) Símbolo. ................................................................... 446
Figura 14.3. Polarización del JFET .......................................................................................................................... 447
Figura 14.4.Polarización del JFET con polarización de dreno. ............................................................................... 448
Figura 14.5. Situación de estrangulamiento del canal. ............................................................................................. 450
Figura 14.6. Comportamiento del dispositivo para VDS > VDSAT ............................................................................. 451
Figura 14.7. Curva característica del JFET .............................................................................................................. 452
Figura 14.8. Estructura básica del transistor MOS. ................................................................................................. 454
Figura 14.9. Diagrama de bandas antes del contacto. .............................................................................................. 456
Figura 14.10. Diagrama de bandas después del contacto. ........................................................................................ 457
Figura 14.11. Acumulación ..................................................................................................................................... 458
Figura 14.12. Depleción de portadores. ................................................................................................................... 459
Figura 14.13. Situación de inversión débil. ............................................................................................................. 459
Figura 14.14. Situación de inversión fuerte. ............................................................................................................ 460
Figura 14.15. Potencial medido entre la fuente y un punto y en el canal. ................................................................ 463
Figura 14.16. Regiones de operación para variaciones de VDS ................................................................................ 467
Figura 14.17. Regiones lineal y de saturación en el dispositivo MOS. .................................................................... 468
Figura 15.1. Diodos Schockley. ............................................................................................................................... 473
Figura 15.2. Diodo Shockley. .................................................................................................................................. 473
Figura 15.3. Diagrama circuital. .............................................................................................................................. 476
Figura 15.4.Estado de bloqueo directo..................................................................................................................... 478
Figura 15.5. Inversión de la polarización de la unión J2 .......................................................................................... 480
Figura 15.6. Bloqueo inverso ................................................................................................................................... 483
Figura 15.7. Característica corriente vs. voltaje de un diodo pnpn. ......................................................................... 485
Figura 15.8. Diodo Shockley bi-direccional (a) Estructura (b) Símbolo ................................................................. 486
Figura 15.9. SCR (a) Estructura. (b) Símbolo.......................................................................................................... 488
Figura 15.10. (a) Fotos de algunos SCRs (b) Modelo para el estudio del SCR. ...................................................... 489
Figura 15.11. Curva característica del tiristor. ......................................................................................................... 491
Figura 15.12. TRIAC (a) Estructura (b) Símbolo. ................................................................................................... 491
Figura 15.13. Curva característica del TRIAC......................................................................................................... 492
9
Contenido
Lista de tablas.
Tabla 1.1. Resumen de las relaciones entre las constantes. ....................................................................................... 11
Tabla 2.1. Funciones trabajo de algunos elementos ................................................................................................... 44
Tabla 3.1. Diferentes series de las líneas de espectro. ............................................................................................... 57
Tabla 5.1. Estados permitidos para diferentes números cuánticos. .......................................................................... 106
Tabla 5.2. Representación en notación Shorthand. .................................................................................................. 107
Tabla 5.3.Números cuánticos ................................................................................................................................... 108
Tabla 6.1. Configuración electrónica de algunos elementos del Grupo IV.............................................................. 142
Tabla 6.2. Valores de Eg para algunos materiales. .................................................................................................. 144
Tabla 6.3. Energías de ionización. ........................................................................................................................... 163
Tabla 7.1. Valores de coeficientes de difusión y movilidad .................................................................................... 197
Tabla 7.2. Propiedades del Silicio y el Germanio .................................................................................................... 200
Tabla 8.1. Números de coordinación. ...................................................................................................................... 209
Tabla 8.2. Hexagonal compacta. .............................................................................................................................. 210
Tabla 8.3. Factor de empaquetamiento. ................................................................................................................... 211
Tabla 8.4. Cúbica centrada en caras ......................................................................................................................... 216
Tabla 8.5. Cúbica centrada en cuerpo ...................................................................................................................... 216
Tabla 8.6. Hexagonal compacto............................................................................................................................... 216
Tabla 9.1. Valores de barrera Schottky .................................................................................................................... 235
Tabla 9.2. Funciones trabajo. ................................................................................................................................... 236
Tabla 9.3. Propiedades de algunos semiconductores. .............................................................................................. 236
Tabla 11.1. Valores de los factores de ajuste ........................................................................................................... 326
Tabla 12.1. Parámetros típicos. ................................................................................................................................ 361
Tabla 12.2. Coeficiente de temperatura. .................................................................................................................. 366
Tabla 12.3. Parámetros del Zener a 25 ºC. .............................................................................................................. 366
Tabla 12.4. Especificaciones diodo Túnel de Ge 1N2939. ...................................................................................... 372
Tabla 12.5. Especificaciones diodo Túnel de Ge 1N2927 a 25ºC ........................................................................... 373
Tabla 12.6. Materiales usados .................................................................................................................................. 385
Tabla 12.7. Materiales usados en la fabricación de los LEDs .................................................................................. 387
Tabla 13.1. Regiones de operación. ......................................................................................................................... 436
Tabla 15.1. Familias de dispositivos de cuatro capas. ............................................................................................. 475
10
Capítulo 2. Ondas
1. Ondas
____________________________________________________________________________
1.1.
Introducción.
Mucho se ha estudiado alrededor de las fuerzas que se ejercen entre partículas cargadas y el
campo eléctrico que se origina. Una interacción adicional entre las cargas ocurre cuando la
partícula cargada se acelera, ya que emite energía en forma de radiación electromagnética, ésta
energía fluye alejándose de la carga en forma de ondas. Este fenómeno se conoce como
radiación electromagnética. En física, una onda es producida por la propagación de una
perturbación de alguna propiedad del medio, (densidad, presión, campo eléctrico o campo
magnético), que se propaga a través del espacio transportando energía. El medio perturbado
puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, metal o el vacío. Las ondas electromagnéticas
son aquellas ondas que no necesitan un medio material para propagarse tales como la luz visible,
las ondas de radio, televisión y telefonía. Dado que la naturaleza ondulatoria de la radiación
electromagnética no es evidente a nuestros sentidos, se hace necesario estudiar el fenómeno de
propagación de ondas haciendo uso del movimiento ondulatorio mecánico ya que tanto los
procesos del movimiento como los de generación misma de las ondas son más fáciles de
entender que si se estudian las ondas electromagnéticas.
1.2.
Propagación de ondas en una dimensión.
Para simplificar la explicación serán consideradas solamente ondas que se propagan en una
dirección. La propiedad universal del movimiento ondulatorio consiste en su velocidad de
propagación que a su vez depende de las propiedades del medio y de la forma de onda.
Para el análisis consideraremos el caso en que la velocidad de propagación depende sólo del
medio y que este medio es uniforme, a fin de poder obtener la misma velocidad en todas las
partes. Partiendo del modelo de la perturbación lateral de una cuerda tensa delgada, observamos
que en la perturbación del equilibrio, el pulso generado viaja a lo largo de la cuerda a una
velocidad definida.
1
Capítulo 2. Ondas
Supongamos que la forma del pulso permanece constante cuando viaja a lo largo de la cuerda,
esto significa que vamos a considerar que el observador se mueve a una velocidad igual a la del
pulso, viendo una forma estacionaria a través de la cual se hace pasar la cuerda. El observador
verá que la cuerda entra y deja el arco de perturbación de derecha a izquierda, tal como se
muestra en la figura 1.1.
Figura 1.1. Fuerzas externas sobre un arco de longitud l.
De la figura 1.1, podemos inferir que una porción de arco l suficientemente pequeña es el arco
de una circunferencia de radio R. Las fuerzas que actúan sobre la cuerda son fuerzas de tensión
tangentes a la cuerda y de igual magnitud pero diferente dirección, las componentes horizontales
de estas fuerzas se compensan (ya que la velocidad es constante), en tanto que las componentes
verticales se suman para obtener la fuerza resultante sobre el sector l, la cual resulta ser
perpendicular a la dirección del movimiento y la responsable de la aceleración radial hacia el
centro de curvatura del movimiento.
| F |= 2TSen
[1.1]
y
2TSen = m
v2
R
[1.2]
Siendo m la masa del elemento de cuerda y v la velocidad tangencial de la cuerda, la cual
resulta ser también la velocidad del pulso en el sistema de coordenadas en el cual la cuerda está
en reposo. Para un pequeño tenemos que Sen y además 2 = l/R, luego podemos
expresarlo como:
v2 = T
l
m
[1.3]
Definimos = m/l como la masa por unidad de longitud de la cuerda, transformándose la
expresión en:
v=
T
[1.4]
Esta expresión no es muy general, ya que se ha supuesto un pulso sin variaciones. Si la onda
varía, el cálculo de la velocidad de la onda pierde validez.
2
Capítulo 2. Ondas
1.3.
Ecuación de onda para ondas transversales.
Una solución general para la onda en una cuerda se obtiene mediante la aplicación de las leyes
de Newton a la misma, obteniéndose una ecuación diferencial general del movimiento, cuyas
soluciones describen el movimiento ondulatorio. De nuevo consideremos un elemento de cuerda
de longitud l sobre un plano cartesiano x vs y, como se observa en la figura 1.2. Si se aproxima
el comportamiento de la onda al de desplazamientos pequeños y se considera además que la
onda no presenta inclinaciones grandes, tenemos que la longitud de la cuerda no evidencia
mayores variaciones y la magnitud de la tensión permanece prácticamente constante. Sin
inclinaciones grandes, los ángulos de la cuerda perturbada serán pequeños, lo cual simplifica
algunos cálculos.
Figura 1.2. Fuerzas que actúan sobre un segmento de cuerda l
Las fuerzas que actúan sobre l (T1 y T2), son fuerzas ejercidas por las porciones adyacentes de
la cuerda, obteniéndose como fuerza resultante:
F = T
1
+ T2
[1.5]
Las componentes cartesianas de estas fuerzas son expresadas como:
F
F
x
= T2 Cos 2 − T1Cos 1
[1.6]
y
= T2 Sen 2 − T1 Sen 1
[1.7]
Dada la aproximación inicial de no considerar grandes inclinaciones, tenemos entonces que los
ángulos involucrados son pequeños, lo cual nos permite mediante la serie de Maclaurin,
simplificar el cálculo. Haciendo uso solamente del primer término de la serie obtenemos.
Cos = 1 −
2
2!
+
4
4!
[1.8]
3
Capítulo 2. Ondas
La componente x de la aceleración es igual a cero para una partícula de la cuerda. Así, la
expresión 1.6 se reduce a:
F
x
T2 − T1 = 0
[1.9]
De donde resulta que T2 = T1 = T. La componente y entonces es:
F
y
= T ( Sen 2 − Sen 1 )
[1.10]
Pero para ángulos pequeños sen tan, luego:
F
y
= T (Tan 2 − Tan 1 )
[1.11]
En términos de x y y
F
y
= T [(
dy
dy
) 2 − ( )1 ]
dx
dx
[1.12]
Como la variación de y respecto a x no es constante (en tal caso las fuerzas en y también se
anularían), podemos expresar la ecuación 1.12 de la forma:
F
y
= T (
dy
)
dx
[1.13]
Esta fuerza que actúa sobre el segmento debe ser igual a la fuerza que es producto de la masa
m del segmento, por su aceleración en la dirección y. Entonces:
F
y
= ma y
[1.14]
Nuevamente, la consideración de ángulos pequeños nos permite aproximar l x, de tal forma
que x = m. Luego igualando 1.14 y 1.13, tenemos:
T (
dy
d2y
) = x 2
dx
dt
[1.15]
El primer término de la ecuación 1.15 nos proporciona información de la variación de la
derivada de un extremo a otro del segmento l, ahora expresando esa variación por unidad de
longitud:
T
dy
d2y
( )= 2
x dx
dt
[1.16]
Se obtiene una relación puntual entre las derivadas respecto al tiempo y respecto a la posición;
ahora si consideramos el caso cuando x tiende a cero tenemos la expresión:
T
d2y
d2y
=
dx 2
dt 2
[1.17]
4
Capítulo 2. Ondas
La cual es denominada ecuación de onda. Dado que la solución de la ecuación diferencial debe
ser función tanto de x como de t, se hace conveniente expresar la ecuación de onda en términos
de derivadas parciales, así:
T 2y
2y
(
)= 2
x 2
t
[1.18]
La cual es una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Una función que puede ser una
solución general de la ecuación 1.18 puede expresarse como, y = F (u ) , donde u = ( x vt) ,
siendo v una constante del movimiento. Se verificará que la función y sea una solución, para ello
realizamos las derivadas requeridas.
y F (u ) u
=
x
u x
Pero
[1.19]
u
= 1 , y por lo tanto
x
y F (u )
=
x
u
[1.20]
La segunda derivada en consecuencia sería:
2 y F (u ) 2 F (u ) u 2 F (u )
=
=
=
x 2 x u
u 2 x
u 2
[1.21]
Ahora derivando respecto al tiempo.
y F (u ) u
=
t
u t
[1.22]
pero como
u ( x vt )
=
= vt
t
t
[1.23]
tenemos
y
F (u )
= v
t
u
[1.24]
Obteniendo la segunda derivada respecto al tiempo.
5
Capítulo 2. Ondas
2
2 y F (u )
2 F (u ) u
2 F (u )
=
v
=
v
=
v
u
t 2 t
u 2 t
u 2
[1.25]
Reemplazando en la función de onda las derivadas obtenidas
2
T 2 F (u )
2 F (u )
=
v
u 2
u 2
[1.26]
Podemos concluir que cualquier función u = ( x vt) es una solución, siempre que sea posible
obtener sus derivadas respecto al tiempo y a la posición y que:
T
= v2 ó v =
T
la cual es la misma expresión de la velocidad de onda deducida en el ítem
anterior.
1.3.1.
Velocidad de onda.
La velocidad de una onda que es descrita por la función y = F ( x vt) se puede hallar evaluando
el movimiento de un punto ubicado en la forma de onda, el movimiento de ese punto nos da
información acerca de cómo se mueve la forma de onda, la velocidad v de esta forma, es lo que
se denomina velocidad de onda.
Considérese un punto P cuyo desplazamiento a lo largo del eje x, es y0 tal como se muestra en la
figura 1.3. Si y = y0 es una constante, entonces x - vt (trabajando inicialmente con el signo
menos de las dos soluciones posibles) deber ser también constante, derivando respecto al tiempo
se tiene:
x
−v = 0
t
x
ó también dado que y es considerado constante:
=v
t y = y 0
Figura 1.3. Punto P definido que viaja con la onda
6
Capítulo 2. Ondas
La rapidez del movimiento de la coordenada x para el desplazamiento escogido y0 es la
definición de velocidad de onda y es igual a la constante v de la solución propuesta, o sea que v
es la velocidad de onda.
Dado que v es positiva la solución x – vt describe el movimiento de una onda que se desplaza
hacia la derecha, en tanto que la solución x + vt representa una onda que se mueve con la misma
velocidad constante v pero hacia la izquierda.
La forma de onda que es expresada mediante la función F, no aparece en la expresión para la
velocidad, por lo que podemos concluir que la velocidad de onda es independiente de la forma
de la onda, al menos en el caso de ondas transversales en cuerdas.
1.4.
Ondas monocromáticas.
La demostración de la validez del movimiento ondulatorio sólo requirió de la suposición de que
el cociente T/ fuese constante, eso significa que ese término puede ser reemplazado por un
valor v2 cualquiera y que la ecuación resultante - denominada ecuación de onda (ecuación 1.27)al reemplazar este cociente en la ecuación 1.18, es aplicable a otros sistemas físicos que
experimenten movimientos ondulatorios. El valor de v es determinado por las constantes físicas
del sistema particular.
v2 (
2y 2y
)= 2
x 2
t
[1.27]
Ahora, si se ha dicho que cualquier onda de la forma x ± vt satisface la ecuación de onda 1.27,
deben existir algunos determinantes que definan la forma de onda para diferentes casos. Uno de
los determinantes más importantes es la característica de la fuente generadora de la
perturbación.
Siendo la función y ( x, t ) = F ( x vt) , y el agente de perturbación actuando en x = 0, esto lo
representamos como
y (0, t ) = F (−vt) = (t ) , asumiendo una onda que se desplaza hacia la
derecha. Si consideramos el caso en el que la fuente generadora ejecuta un movimiento
armónico simple, el cual es descrito por la expresión:
(t ) = A sen 2ft
[1.28]
7
Capítulo 2. Ondas
Recordando que Sen(− ) = −Sen , tenemos que:
2f
F (−vt) = ASen
(−vt)
v
[1.29]
El movimiento para cualquier punto x de la cuerda se encuentra sustituyendo el argumento
(− vt ) en x = 0 por el argumento (x − vt ) para cualquier punto, obteniéndose:
x
y( x, t ) = ASen2f − t
v
[1.30]
Ecuación que representa una onda monocromática o de una sola frecuencia. Es una función de
dos variables independientes que especifican la posición y el tiempo. Presenta una amplitud
constante A. Un análisis instantáneo de la onda, requiere de un valor definido para t, si
asumimos t = 0, la onda fija viene dada por:
2fx
y( x,0) = ASen
= ASen
v
Donde: =
[1.31]
2fx
v
La figura 1.4, ilustra la gráfica reproducida por la función.
Figura 1.4. Onda en función de la distancia para un t dado.
Para un tiempo t 0 digamos t = t1.
2fx
y( x, t1 ) = ASen
− 2ft1
v
[1.32]
Donde 2ft1 = 1 es una constante, luego la ecuación deviene:
2fx
y( x, t1 ) = ASen
− 1
v
[1.33]
La ecuación 1.33 representa una forma de onda de las mismas amplitudes y frecuencias en el
espacio, pero desplazadas un ángulo 1, como se observa en la figura 1.5.
8
Capítulo 2. Ondas
Figura 1.5. Ondas desfasadas un ángulo 1
La gráfica nos ilustra la forma como el ángulo de desfase origina un corrimiento lineal con el
tiempo hacia la derecha, de tal forma que la forma de onda espacial se mueve hacia la derecha
con velocidad constante, a la vez que cada partícula de la onda es obligada a ejecutar un
movimiento armónico simple lineal en dirección vertical. Si consideramos un x dado x = x1, la
única diferencia al desplazar el punto observado variando x es el cambio en el ángulo de fase
inicial, como lo muestra la ecuación 1.34.
y( x1 , t ) = ASen(1 − 2ft )
1.5.
[1.34]
Constantes del movimiento.
En el movimiento ondulatorio existen ciertas constantes que identifican el tipo de onda, dándole
características particulares. Varias de esas constantes o más bien parámetros de la onda son
explicados en los ítems siguientes.
1.5.1.
Longitud de onda.
La longitud de onda se define como la distancia medida entre los dos puntos más cercanos de la
onda que oscilan con la misma fase y se denota como . Otra definición aceptada se refiere a la
distancia medida entre los dos puntos más cercanos que presentan el mismo valor de y y dy/dx.
Dado que la función seno se repite cada que el ángulo cambia 2 veces y sí x1 y x2
corresponden a los puntos mencionados, tenemos que:
2fx2 2fx1
−
= 2
v
v
Lo que significa:
x 2 − x1 =
v
=
f
[1.35]
9
Capítulo 2. Ondas
Este valor encontrado para la longitud de onda es válido sólo para ondas monocromáticas. Esta
constante está dada en función de la velocidad de la onda en el medio - la cual es definida por el
medio mismo -, y la frecuencia del movimiento de los puntos de la onda, la cual es definida por
la fuente generadora de la onda.
1.5.2.
Período de la onda.
El período de la onda se define como el tiempo requerido por cualquier partícula de la onda
para ejecutar un ciclo completo del movimiento y se denota como . Se define también como el
inverso de la frecuencia de la onda.
=
1
f
[1.36]
La ecuación de onda 1.30, usando las ecuaciones 1.35 y 1.36 puede escribirse como:
x t
y = ASen2 −
1.5.3.
[1.37]
Frecuencia angular.
La frecuencia angular es un término que incluye el valor periódico 2 en el parámetro de la
frecuencia. Se denota por , y ello simplifica la notación a ser usada en la descripción de las
formas de onda. Sus unidades vienen dadas en rad/seg. Presenta las dimensiones y la forma de la
velocidad angular en un movimiento circular.
= 2f
1.5.4.
[1.38]
Número de onda.
El número de onda, denotado como k, se define como el inverso de la longitud de onda y es
usado para medir el número de longitudes de onda por metro de longitud a lo largo de la onda.
k=
1
[1.39]
Sin embargo, es muy usual expresar este número de onda de una manera que permita medir el
número de longitudes de onda ya no por metro de longitud, sino por 2 metros de longitud. Este
número de onda se denota como K y está definido por:
10
Capítulo 2. Ondas
K=
2
[m-1]
[1.40]
De tal forma que K = 2k
1.5.5.
Fase inicial.
En la forma de onda analizada en los ítems anteriores, se ha considerado siempre que la fase
inicial en el origen es igual a cero, pero si se desea obtener una ecuación más general que
permita expresar las formas de onda en las cuales la fase inicial es diferente de cero,
necesitamos introducir en la ecuación de onda un ángulo de fase 0, este ángulo de fase de
puede determinar si se conoce y para cualquier particular de x y t. Usando el ángulo de fase y las
expresiones encontradas en 1.38 y 1.40, la ecuación de onda se puede también expresar de la
forma:
y ( x, t ) = ASen(Kx − t − 0 )
[1.41]
En la tabla 1.1 se resumen las diferentes formas en las que se puede expresar una forma de onda,
todas equivalentes entre sí, como también las relaciones existentes entre las diferentes
constantes que identifican una onda monocromática.
Tabla 1.1. Resumen de las relaciones entre las constantes.
Ecuación de onda
T 2y
2y
( 2)= 2
x
t
x
y( x, t ) = ASen2f − t
v
2fx
y( x, t1 ) = ASen
− 1
v
y( x1 , t ) = ASen(1 − 2ft )
x t
y = ASen2 −
Relación
v2 =
T
v – velocidad
de fase de la
onda.
1 = 2ft1
1 =
=
2fx1
v
Comentarios
La solución de la ecuación debe ser función
tanto de x como de t.
Función de onda. Solución para una onda
monocromática
Para un t dado, t = t1 constante
Para un x dado, x = x1 constante
v
1 En el vacío para la luz: c = f0.
; =
f
f v = c/n, n índice refractivo del medio.
n = r r
11
Capítulo 2. Ondas
y( x, t ) = ASen2 (kx − ft )
y( x, t ) = ASen(Kx − t )
y ( x, t ) = ASen(Kx − t − 0 )
k=
1
v=
;f =
K
1 k – Número de onda
= f
0 0
- Período
Considerando = 2f y K=2/λ
Con fase inicial 0
Ejemplo 1
Una partícula describe un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje x con un período de
2 ms. Dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π/2, se encuentran separados 20 cm.
Calcular: a) La longitud de onda. b) La velocidad de propagación.
Solución:
a) La diferencia de fase de dos puntos que distan una longitud de onda es 2π, entonces:
λ = 4 x 20 cm = 80 cm.
b) La velocidad de propagación de la onda es:
v=
T
=
0 .8 m
= 400 m
s
2 x10 −3 s
Ejemplo 2
Cuál es la masa de una cuerda de 10 m de longitud cuando siendo sometida a una tensión de 80
Nt experimenta una velocidad de las ondas transversales de 20 m/seg ?
Solución
Tenemos que: =m/l y además v = (T/)1/2 Entonces:
m = lT/v2 = (10 m x 80 kg-m/seg2 )/400 m2/seg2
m = 2 kg
12
Capítulo 2. Ondas
Ejemplo 3
La función de onda de un movimiento armónico en una cuerda es y(x, t) = 10-2sen(125,6t +
31,4x), escrita en el sistema MKS. a) ¿Cuál es la longitud de onda, frecuencia y periodo? b)
¿Cuál es la velocidad de la onda? c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento
cualquiera de la cuerda? d) ¿En qué sentido se mueve la onda? e) ¿Cuál es la ecuación de la
velocidad y aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentre en el punto x = – 2 cm ?
Solución:
a) El período, frecuencia, velocidad de propagación y longitud de onda se obtienen de dicha
función, que es de la forma y( x, t ) = ASen(Kx − t ) :
El número de onda se obtiene a partir de K = 2π/λ K= 31,4
=
2
= 0.2m
31.4
El período se obtiene de la ecuación de frecuencia angular = 2f =
Entonces: T =
2
rad
= 125.6
T
seg
2
= 0.05s
125.6
La frecuencia se obtiene como el inverso del período f =
b) Y la velocidad v = f =
T
=
1
1
=
= 20Hz
T 0.05s
0 .2 m
m
=4
0.05s
s
c) El desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda viene dado por la
amplitud de la función y(x, t), es decir: A = 10-2 m.
y ( x, t ) = 10−2 sen(125,6t + 31,4 x)
d) La función de onda de una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = -0,02 m es:
13
Capítulo 2. Ondas
y (−0,02, t ) = 10−2 sen(125,6t − 31,4 x0.02) = 10−2 sen(125,6t − 0,628)
La ecuación de su velocidad:
y
= 10 − 2 x125,6Cos(125,6t − 0,628) = 1,256Cos(125,6t − 0,628)
t
Y la de su aceleración:
2y
= −1,256x125,6Sen(125,6t − 0,628) = −157,75Sen(125,6t − 0,628)
t 2
e) El sentido en que se propaga una onda de función: y(x, t) = 10-2sen(125,6t + 31,4x) es, debido
al signo positivo en la variable x, el sentido negativo del eje X.
Ejemplo 4
La función de una onda transversal que se propaga en una cuerda es: y(x, t) = 4Sen2(t/0,1 –
x/20). Hallar la amplitud, periodo, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.
Solución
Nuestra ecuación es de la forma y = Asen(t – Kx) luego:
A=4
= 2f = 2/0,1
Luego:
f = 10 Hz
K = 2/20 = 0,1 = 2k= 2/
Luego:
= 20 cm
v = f = 200 cm/seg
T = 1/f = 0,1 seg.
14
Capítulo 2. Ondas
1.6.
Superposición de ondas de diferente frecuencia.
Dado que en la práctica resulta casi imposible producir ondas monocromáticas perfectas, se
presentan a menudo situaciones donde un grupo de ondas de longitud de onda muy similar se
mueven en lo que comúnmente se llama un paquete de onda. El fenómeno basado en la
combinación de dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes moviéndose juntas se estudia
mediante la superposición de ondas.
Si las frecuencias son diferentes, las longitudes de onda deben ser diferentes no importando que
las velocidades sean iguales. Para este caso general las funciones de onda que describen ondas
de frecuencia diferente desplazándose en la misma dirección se pueden expresar de la forma:
y1 ( x, t ) = ASen(K1 x − 1t )
[1.42]
y2 ( x, t ) = ASen(K 2 x − 2 t )
[1.43]
La superposición sería una nueva ecuación y( x, t ) = y1 ( x, t ) + y 2 ( x, t ) . Al realizar esta suma
resulta conveniente utilizar la identidad trigonométrica:
Sen 1 + Sen 2 = 2 Sen
1
( 1 + 2 )Cos 1 ( 1 − 2 )
2
2
Resulta entonces que
+ 2 K1 − K 2
− 2
K1 + K 2
y(x, t ) = 2 ASen
x− 1
t Cos
x− 1
t
2
2
2
2
[1.44]
f + f 2 x
f − f 2 x
y = 2 ASen2 1
− t Cos 2 1
−t
2 v
2 v
[1.45]
Donde f1 y f2 corresponden a las frecuencias de las ondas monocromáticas iniciales. Esta nueva
ecuación nos describe una nueva onda que es el producto de dos ondas que viajan a la misma
velocidad, pero con frecuencias diferentes. La primera onda viaja con una frecuencia que es
denominada portadora, es equivalente a f c =
f1 + f 2
, en tanto que la segunda onda viaja con
2
una frecuencia que es denominada frecuencia de modulación es igual a f m =
f1 − f 2
.
2
15
Capítulo 2. Ondas
Figura 1.6. Superposición de ondas de diferentes frecuencias.
La figura 1.6 ilustra la variación de y respecto a x para un tiempo t dado. En este caso tenemos
una variación de y con una frecuencia fc dominada por la función seno y una amplitud que varía
a una frecuencia fm correspondiente al factor coseno.
La figura en mención muestra el caso para fc = 13fm para t=0.
1.7.
Ondas complejas.
Aun cuando ondas monocromáticas no se encuentran en la naturaleza, su consideración y
estudio resulta conveniente en el sentido de que muchas fuentes y sus ondas resultantes pueden
ser consideradas prácticamente como ondas monocromáticas y en segundo lugar sabemos que
las superposiciones nos permiten tratar las ondas no monocromáticas como una suma de
componentes monocromáticas. O sea que aquellas ondas complejas que no pueden ser
representadas usando una única frecuencia, pueden ser estudiabas como la superposición de un
grupo de ondas armónicas simples, tal como se muestra en la figura 1.7.
Figura 1.7. Onda resultante de la suma de dos ondas a y b.
Aun cuando se trata de un ejemplo simple, es posible demostrar que cualquier onda periódica
puede descomponerse en componentes armónicas simples de tal forma que una onda compleja
16
Capítulo 2. Ondas
pueda ser reproducida mediante la adecuada selección de amplitudes y frecuencias de un grupo
de ondas armónicas simples. La superposición se expresaría como una serie de Fourier de la
forma:
f ( x) = A0 + ( An sen nx + Bn cos nx) Siendo n = 1, 2, 3, 4…….
n =1
En donde las frecuencias de las componentes de la onda son múltiplos enteros de una frecuencia
dada que denominaremos frecuencia patrón o fundamental. Así, el análisis de Fourier de una
onda compleja consiste en encontrar las amplitudes apropiadas asociadas a las ondas de
diferentes frecuencias. Como conclusión podemos afirmar que en todos los casos cualquier onda
compleja puede ser representada como una serie de ondas armónicas simples.
1.8.
Dispersión y velocidad de grupo.
En el caso de una onda compleja que ha sido representada mediante una combinación de ondas
armónicas simples, es de esperarse que, si todas las ondas armónicas simples viajan a la misma
velocidad, entonces la forma de onda compleja debe moverse a esa misma velocidad (como
ocurre con las ondas luminosas en el vacío). Sin embargo, las ondas luminosas en un medio
transparente y las ondas en el agua experimentan lo que se llama dispersión, esto quiere decir
que la velocidad es una función de la longitud de onda de la componente armónica simple. De
esta manera se obtiene como resultado que la onda compleja viaja a una velocidad diferente de
las ondas armónicas simples. A la velocidad de la onda resultante se le conoce con el nombre de
velocidad de grupo y se denota como Vg, en tanto que la velocidad a la que viajan las ondas
armónicas se les denomina velocidad de fase para esa frecuencia, y se denota como Vp.
Consideremos una onda compuesta de dos ondas armónicas simples de igual amplitud que
viajan en la misma dirección por la misma trayectoria con frecuencias diferentes, pero muy
próximas entre sí, esto lo podemos representar de la forma:
1 − 2
1
1
Luego las funciones de onda para las ondas componentes son
y1 ( x, t ) = ASen(K1 x − 1t )
[1.46]
y 2 ( x, t ) = ASen(K 2 x − 2 t )
[1.47]
17
Capítulo 2. Ondas
Siendo las velocidades de fase de las ondas diferentes.
v1 =
1
y
K1
v2 =
2
[1.48]
K2
La adición de las dos ondas presenta intervalos en el espacio donde las ondas se interfieren tanto
constructiva
como
destructivamente
para
generar
amplitudes
máximas
o
mínimas
respectivamente, como fue mostrado en la figura 1.6. El tren de ondas queda entonces dividido
moviéndose la onda de alta frecuencia a una velocidad diferente a aquella de la onda envolvente.
Las ondas envolventes reciben el nombre de Grupos o paquetes de ondas y las ondas de alta
frecuencia se mueven respecto a estas hacia la izquierda o la derecha
Ejemplo 5.
Dos movimientos ondulatorios originados por la misma fuente de frecuencia 120 Hz, se
propagan por un medio con la velocidad de 15 m/s. Hallar la diferencia de fase con que
interfieren en un punto ubicado a 13,7 m y 18,7 m respectivamente del origen de la fuente.
La función de onda de cada movimiento viene dada por:
y1 ( x1 , t ) = ASen(t − Kx1 )
y2 ( x2 , t ) = ASen(t − Kx2 )
Ya que presentan igual frecuencia e igual amplitud
La diferencia de fase entre estos dos movimientos será entonces:
= (t − Kx1 ) − (t − Kx 2 ) = K ( x2 − x1 )
=
2
1.8.1.
( x 2 − x1 ) =
2f
6.28x120
( x 2 − x1 ) =
5 = 251.2rad
v
15
Velocidad de Grupo
La velocidad de Grupo de la onda envolvente puede encontrarse a partir de la suma de las ondas
componentes, para ello hacemos uso de las identidades trigonométricas, así para la suma de
funciones seno tenemos:
18
Capítulo 2. Ondas
+ 2 K1 − K 2
− 2
K1 + K 2
y(x, t ) = 2 ASen
x− 1
t Cos
x− 1
t
2
2
2
2
[1.49]
Dado el hecho de ser muy próximas entre sí las frecuencias, estas pueden ser descritas:
K 2 = K1 + K
2 = 1 +
Luego escribimos la ecuación 1.49 de la forma,
K
K
y = 2 ASen K1 +
x−
t
x − 1 +
t Cos
2
2
2
2
[1.50]
Ahora como K K y , el resultado se puede escribir como,
y ( x, t ) = 2 ACos 12 (xK − t )sen(Kx − t )
La función de onda puede interpretarse como una onda que viaja a una velocidad dada
por v =
pero con un amplitud variable definida por la función coseno.
K
El factor coseno denota la modulación de onda en paquetes.
1.9.
Reflexión y transmisión.
En el momento en que una onda cambia de medio de propagación, es decir cuando las
propiedades del medio cambian de manera brusca, se presenta de igual forma en la onda, un
cambio en la velocidad de propagación. Sin embargo, no se presentan cambios abruptos ni en el
desplazamiento, ni en la pendiente de este. Este comportamiento es impuesto por las
denominadas condiciones de continuidad. Las cuales definen limitaciones en el movimiento de
la onda a lado y lado de la frontera, estando dentro de esas limitaciones la existencia de una
onda reflejada y una onda transmitida.
La frecuencia de las ondas incidente y de aquellas que se generen a partir de su incidencia en la
frontera que delimita los dos medios, deben ser iguales, dado que la onda incidente actúa como
fuente para las ondas generadas.
La condición que el desplazamiento sea continuo en la frontera nos dice que no se presenta una
ruptura de la onda en el momento de cruzarla. En cuanto a lo que tiene que ver con la pendiente,
19
Capítulo 2. Ondas
una discontinuidad de la derivada nos indica la existencia de una aceleración infinita en un
punto dado de la onda.
La primera condición de continuidad en el desplazamiento se expresa matemáticamente
mediante la ecuación 1.51. En la ecuación y0 representa la onda incidente, yR la onda reflejada y
yT la onda transmitida.
y 0 + y R = yT
[1.51]
En el caso de una onda incidente viajando hacia la derecha, la ecuación de la onda estaría dada
por la ecuación 1.52, en donde se ha escogido la función coseno por conveniencia en el manejo
posterior de los signos.
y 0 = A0 Cos(K1 x − t )
[1.52]
A su vez las ondas reflejadas y transmitidas son dadas por las ecuaciones 1.53 y 1.54.
Observemos que la onda reflejada conserva el mismo número de onda que la onda incidente, en
tanto que la onda transmitida, al cambiar de medio, cambia también su número de onda.
y R = AR Cos(K1 x + t )
[1.53]
yT = AT Cos(K 2 x − t )
[1.54]
Si tomamos convenientemente la frontera en un punto x=0, la condición de continuidad impone
la ecuación 1.55.
A0 Cos(− t ) + AR Cos(t ) = AT Cos(− t )
[1.56]
Considerando que cos(− t ) = cost , tenemos entonces que,
A0 + AR = AT
[1.57]
Ahora la segunda condición, la de la continuidad en la pendiente, la expresamos como
y0
x
+
x =0
y R
x
=
x =0
yT
x
[1.58]
x =0
20
Capítulo 2. Ondas
Para resolver recordemos que sen(− t ) = − sent , entonces obtenemos
K1 A0 − K1 AR = K 2 AT
[1.59]
La ecuación anterior puede ser expresada también en función de las velocidades, reemplazando
el número de onda, recordemos que k1 =
v1
y que k 2 =
v2
, entonces
v2 ( A0 − AR ) = v1 AT
[1.60]
Encontrando las amplitudes AT y AR mediante la combinación de las ecuaciones con dos
incógnitas 1.56 y 1.58, obtenemos
AT =
2v 2
A0
v1 + v 2
[1.61]
AR =
v2 − v1
A0
v1 + v2
[1.62]
Los valores encontrados corresponden a las amplitudes de las ondas transmitidas y reflejadas en
función de la amplitud de la onda incidente. Este análisis ha sido hecho para ondas transversales
en un análisis unidimensional, pero se adapta también al estudio de ondas longitudinales.
Ejemplo 6
Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación
y ( x, t ) = 10Sen
2
xCos20t expresada en el
sistema MKS. a) Hallar la amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición puede
dar lugar a dicha vibración. b) Distancia entre nodos. c) Velocidad de una partícula de la cuerda
situada en x = 0,5 cuando t = 1/40 s.
a) La ecuación describe una onda compleja que resulta de la superposición de dos movimientos
ondulatorios de igual frecuencia, amplitud y número de onda K, propagándose en sentidos
opuestos de la forma:
y1 = ACos(t − Kx)
y
y 2 = ACos(t + Kx + )
21
Capítulo 2. Ondas
Teniendo en cuenta que la forma general de la ecuación de la onda resultante de la
superposición es:
y1 = 2 ASenKxCost
Identificando, resulta:
K=
2
= 20s −1
m −1 y
De otro lado, desarrollando la expresión:
y =y1 + y 2
E identificando es:
A=
10
m = 5m
2
La velocidad de fase será:
v=
K
=
20
= 40 m
s
2
b) La distancia entre nodos es:
d=
2
=
2
= 2m
2K
c) La velocidad de las partículas de la cuerda se obtiene derivando respecto del tiempo la
ecuación de la onda. Es decir:
y
= −10Sen x( Sen20t ).20
t
2
La velocidad de la partícula considerada en el instante t = 1/40 s es entonces:
y
t
= −200Sen
( x = 0.5,t =3 / 4 )
0.5
2
Sen20
1
2
m
= −200Sen Sen = −200
= −100 2
40
4
2
2
s
22
Capítulo 2. Ondas
1.10. Flujo de energía.
Dado que una onda mecánica pone en movimiento materia que inicialmente estaba en reposo, a
este movimiento de la onda se le asocia un flujo de energía dW. Sea una onda que ha alcanzado
la posición x, Si en un tiempo igual a dt, a una longitud dx que tiene asociada una masa
equivalente a dx se le imprime un movimiento armónico simple, el diferencial de energía
asociada al diferencial de masa sería igual a,
dW = 12 xvm2
[1.63]
Siendo vm la máxima velocidad transversal. La rapidez del flujo de energía denotado como
dW/dt se obtiene derivando respecto al tiempo.
W 1 x 2
= 2 vm
t
t
[1.64]
Pero dx/dt es la velocidad de propagación v. Adicionalmente, tenemos que la función de onda
puede ser expresada de la forma,
y ( x, t ) = ASen (Kx − t )
[1.65]
Entonces,
vy =
y ( x, t )
= −ACos (Kx − t )
t
[1.66]
Luego la velocidad transversal máxima se logra en el mayor valor de la función, o sea que,
v m = −A
[1.67]
Luego la rapidez del flujo de energía se convierte en,
W 1
= 2 2 A 2 v
t
[1.68]
En la ecuación v corresponde a la velocidad con que avanza la onda, lo que hemos denominado
velocidad de grupo. Un concepto que resulta útil para especificar los efectos de la energía es el
23
Capítulo 2. Ondas
de flujo de energía por unidad de área, conocido también como intensidad. Siendo la
densidad o el diferencial de masa por diferencial de volumen, y partiendo de la ecuación.
2
W = 12 mvmax
[1.69]
Tenemos,
2
W = 12 Vv max
[1.70]
2
W = 12 xSvmax
[1.71]
Donde dS es el elemento de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Luego,
I=
dW
= 12 2 A 2 v
dSdt
[1.72]
Siendo la densidad volumétrica y dx/dt sustituye la velocidad de Grupo Vg
24
Capítulo 2. Ondas
1.11. Ejercicios.
1. Expresar la función de onda que describa la propagación de una perturbación en una cuerda
moviéndose hacia la izquierda con una velocidad de 5 m/s, frecuencia de 60 Hz y amplitud 2
m.
2. La función de una onda transversal viene dada por y(x, t) = 3Sen(t – 2x/10). Encontrar: a)
La velocidad de propagación de la onda. b) La velocidad y aceleración máxima de las
partículas de la cuerda.
3. Una onda transversal que se propaga hacia la izquierda tiene una longitud de onda de 10 m,
una amplitud de 2 m y una velocidad de propagación de 50 m/s Hallar: a) La ecuación de la
onda. b) La velocidad transversal máxima de un punto alcanzado por la vibración. c)
Aceleración transversal máxima de un punto del medio.
4. Una onda longitudinal se propaga horizontalmente y sin amortiguamiento hacia la izquierda,
la distancia entre dos puntos que están en fase es de 10 cm. La fuente de la perturbación, fija
al resorte, oscila con una frecuencia de 50 Hz y una amplitud de 5 cm. Encontrar: a) La
velocidad con que se propaga la onda. b) La ecuación de onda sabiendo que en t = 0, y(x, 0)
= 0. c) La velocidad y aceleración máximas de una partícula cualquiera del resorte.
5. La función de una onda transversal en una cuerda es y(x, t) = 4sen(50t + 0,20 x) estando las
distancias medidas en cm. y el tiempo en segundos. Encontrar a) la amplitud, longitud de
onda, la frecuencia, período y velocidad de propagación b) la elongación de la cuerda para
t=0,10 s y 0,02 s c) está la onda viajando en la dirección positiva o negativa del eje x.
6. Dos ondas se propagan en una cuerda en la misma dirección con una frecuencia de 120
Hertz, longitud de onda de 0,02 m y amplitud de 3 cm. ¿Hallar la amplitud de la onda
resultante si las ondas originales están desfasadas en 2/3?
7. Una cuerda con ambos extremos fijos vibra y las ondas tienen una velocidad de 24 m/s y una
frecuencia de 12 Hz. la amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 2 m a) Calcular la
25
Capítulo 2. Ondas
amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 60 cm b) 30 cm y c) 15
cm del extremo izquierdo de la cuerda.
26
Capítulo 2. Introducción a conceptos de física cuántica.
2. Introducción a conceptos de física cuántica.
____________________________________________________________________________
2.1.
Introducción.
El desarrollo de la física moderna, también denominada mecánica cuántica, presenta tres causas
bien definidas en su consolidación. Observaciones realizadas relacionadas con las radiaciones
emitidas por un cuerpo negro, el conocido efecto fotoeléctrico estudiado por Einstein y las
posteriores contradicciones formuladas por las observaciones de Compton, constituyeron los tres
grandes pilares sobre los que posteriormente se consolidó la física moderna
La primera causa consiste en los problemas teóricos relacionados con la imposibilidad de
describir el comportamiento de los cuerpos radiantes en función de su temperatura y su longitud
de onda basándose en los principios de la física clásica, como eran la mecánica y termodinámica
clásica y aun la electrodinámica.
La segunda causa corresponde a la obtención de una expresión teórica, la cual describía muy
satisfactoriamente las mediciones experimentales de fenómenos de emisión de electrones a
partir de superficies excitadas y en lo relacionado con el calor específico de los materiales a
bajas temperaturas.
La tercera causa está relacionada con lo que se denominó el efecto Compton, el cual consiste en
que un tipo de radiación con una determinada longitud de onda al ser dispersadas por efecto de
algún obstáculo, presentan radiaciones reflejadas o emitidas de diferentes longitudes de onda, lo
cual tampoco podía ser explicado desde la óptica de la teoría clásica ondulatoria de la radiación.
La naturaleza dual (corpuscular – ondulatoria) de la luz propuesta por De Broglie, unida al
hallazgo de que la energía se propaga en paquetes de ondas, lo cual evidencia la energía como
una función discreta en lugar de ser considerada como una función continua como era
considerada hasta el momento, permitió explicar satisfactoriamente cada uno de los tres
fenómenos observados.
27
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
En este capítulo describiremos brevemente cada uno de los tres fenómenos mencionados y
veremos cómo fue en su momento resuelto el problema. Las teorías propuestas fueron la base de
la actual física moderna y dieron pie a un gran avance de la física del pasado siglo.
2.2.
Radiación térmica.
El origen de la física cuántica puede decirse que ocurrió en diciembre de 1.900 cuando Max
Planck presentó ante la sociedad alemana de Física un artículo titulado “Sobre la teoría de la ley
de distribución de energía del espectro normal”. En este artículo Max Planck intentaba explicar
las propiedades observadas en la radiación térmica, llegando a la obtención de la constante de
Planck y al concepto cuántico relacionado a ella, cual es, el que la energía asume valores
discretos.
La radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo debido a su temperatura. Todo
cuerpo emite y absorbe ese tipo de radiación del medio que lo rodea. Cuando los índices de
emisión y absorción son iguales se obtiene el equilibrio térmico. La materia en estado
condensado emite un espectro continuo de radiación el cual es prácticamente independiente del
material, pero depende bastante de la temperatura.
La relación entre la temperatura de un cuerpo y el espectro de frecuencia de radiación emitida,
permite a través de un “pirómetro óptico” estimar la temperatura de un cuerpo caliente. La
distribución espectral de radiación de un cuerpo negro (cuerpos cuyas superficies absorben toda
la radiación térmica incidente sobre ellos) es especificada por la cantidad RT(f) llamada
radiancia espectral y se define como:
RT(f)df
Energía emitida por unidad de tiempo en radiación de frecuencia comprendida en el
intervalo f + df, por unidad de área de una superficie a temperatura absoluta T.
Luego la integral de la radiancia espectral RT(f) sobre todas las frecuencias representa la energía
total emitida por unidad de tiempo y por unidad de área para un cuerpo negro a temperatura T y
es llamada la radiancia y se define como:
R = RT ( f )df
[2.1]
0
28
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
De la figura 2.1 se observa que la radiancia crece rápidamente con el aumento de la temperatura,
esta dependencia fue enunciada de la forma: RT = T4, expresión dada a conocer en 1879 y
denominada como Ley de Stefan. En la expresión = 5.67xl0-8 w/m2-oK4 y se identifica como la
constante de Stefan – Boltzmann. Las primeras medidas de radiación espectral fueron debidas a
Lummer y Pringsheim en 1899.
Figura 2.1. Radiancia espectral de un cuerpo negro en función de la frecuencia de radiación.
2.2.1.
Teoría clásica de la radiación.
A comienzos del siglo pasado Rayleigh & Jeans calcularon la densidad de energía de radiación
de un cuerpo negro encontrando una divergencia entre la física clásica y los resultados
experimentales. Estudiando el comportamiento de las ondas electromagnéticas asociadas a los
movimientos acelerados de electrones en una cavidad de paredes metálicas calentadas, siguieron
el siguiente procedimiento:
i. Usan la teoría electromagnética clásica para mostrar que la radiación dentro de la cavidad
debe existir en forma de ondas estacionarias con nodos sobre las superficies metálicas.
ii. Establecieron el número de ondas estacionarias cuyas frecuencias están en el intervalo f y f +
df, para definir cómo ese número depende de f.
iii. Se usa la teoría cinética de los gases para calcular la energía total media de las ondas cuando
el sistema está en equilibrio térmico.
En la teoría clásica la energía total media depende sólo de la temperatura. El número de ondas
estacionarias en el intervalo de frecuencias, multiplicado por la energía media de las ondas y
dividido por el volumen de la cavidad, da la energía media contenida por unidad de volumen en
el intervalo. Para el cálculo usan el siguiente método, - ver la figura 2.2-.
29
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
a. La dirección de propagación de la radiación puede
ser
descompuesta
en
tres
componentes
perpendiculares. Dado que las paredes opuestas
son paralelas, las tres componentes de radiación no
se mezclan pudiendo ser tratadas separadamente.
- Toda radiación es reflejada y las ondas incidente
y reflejada se combinan formando una onda
estacionaria.
- El vector campo eléctrico es perpendicular a la
dirección de propagación y por tanto paralelo a
Figura 2.2. Cavidad cúbica de lado a
la pared.
- Sin embargo, en la pared metálica no puede existir un campo eléctrico paralelo a la superficie
dado que las cargas siempre fluyen buscando neutralizar el campo eléctrico.
- Luego, con un campo eléctrico igual a cero en la pared, tenemos que la onda asociada a la
componente x de la radiación tiene nodos en x = 0 y x = a. Esto es extensivo a las otras
componentes, lo cual limita las posibles longitudes de onda y en consecuencia las posibles
frecuencias de radiación.
b. Para establecer el número de ondas estacionarias con nodos en las superficies y con
longitudes de onda entre y + d que corresponden al intervalo de frecuencia de f a f +
df, tenemos que y f están relacionadas por f = c, siendo c la velocidad de propagación de
las ondas electromagnéticas. El campo eléctrico para ondas estacionarias unidimensionales
puede ser descrito por la función:
E ( x, t ) = E o Sen(
2x
Dónde:
) Sen(2ft )
[2.2]
Eo - Amplitud máxima.
- Longitud de onda.
f
- Frecuencia de la onda.
f = c/
Los nodos de esta ecuación se encuentran en las posiciones 2x/ = 0, 1, 2, 3,... . Para imponer las
condiciones de tener nodos en los extremos de la cavidad, tomamos x = 0 como origen e
imponemos en el otro x = a. En la figura 2.3 se observa como esta condición determina un
número de valores posibles para la longitud de onda de la forma:
30
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
2x
= n con n = 1,2,.. para x = a
Figura 2.3. Valores posibles de la longitud de onda
En términos de frecuencia, las frecuencias posibles vienen dadas por:
f =
c
con n = 2
a
luego: f =
c
=
cn
2a
con n =1,2,3,4,...
Estas frecuencias pueden ser representadas en un diagrama lineal como puede observarse en
la figura 2.4.
El
valor
de
correspondiente
la
a
frecuencia
un
valor
permitida
de
n,
es
igual a c/2a veces la distancia d, la cual va
desde 0 hasta el punto considerado.
El diagrama permite encontrar el número de
frecuencias posibles en el intervalo f, f + df
Figura 2.4. Frecuencias posibles en un intervalo.
que se denota como N(f)df.
Para esto basta contar el número de puntos entre los dos límites. Entonces tenemos que
N(f)df = (2a/c)df, pero si consideramos los dos posibles estados polarización de las ondas
electromagnéticas obtenemos: N(f)df = (4a/c)df.
Generalizando para el caso tridimensional, como es mostrado en la figura 2.5, el conjunto de
puntos uniformemente distribuidos a lo largo del eje n, es sustituido por el arreglo
tridimensional uniforme de puntos cuyas tres coordenadas son valores enteros tomados a lo
largo del sistema de coordenadas.
31
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Figura 2.5. Extensión al caso tridimensional.
Los valores enteros nx, ny, nz especificados para cada punto dan el número de nodos de las
componentes x, y, z de la onda tridimensional. Calculemos el número de ondas
electromagnéticas estacionarias posibles en cada intervalo de frecuencia. Considerando una
onda de longitud de onda y una frecuencia f tal que f = c/ propagándose en una dirección
definida por los ángulos ,, , como es mostrado en la figura 2.6, tenemos:
Figura 2.6. Onda propagándose en una dirección definida por los ángulos ,,
32
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Dado que se trata de una onda estacionaria, la distancia entre los nodos fijos definidos por los
planos nodales es /2. Esto determina la distancia entre los nodos de las ondas componentes,
así:
x/2 = / 2Cos
y/2 = / 2Cos
z/2 = / 2Cos
Los campos eléctricos de las tres componentes pueden entonces ser expresados de la forma:
Ex(x,t) = EoxSen(2x / x) Sen (2ft)
[2.3]
Ey(y,t) = EoySen(2y / y) Sen (2ft)
[2.4]
Ez(z,t) = EozSen(2z / z) Sen (2ft)
[2.5]
Ondas con amplitud máxima Eoi, con variación espacial sen(2i / i) y que oscilan con una
frecuencia f. Las tres ecuaciones satisfacen la condición de presentar un nodo en x = 0, y = 0,
z = 0. Para garantizar un nodo en x = y = z = a, hacemos:
2x/x = nx ; 2y/y = ny ; 2z/z = nz
con
nx =1,2,3,... ; ny =1,2,3,... ; nz =1,2,3
Luego podemos reescribirlas da la forma:
(2a/)Cos = nx
;
(2a/)Cos = ny
;
(2a/)Cos = nz
[2.6]
Elevando al cuadrado y sumando, obtenemos:
(4a2/2)(Cos2 + Cos2 + Cos2 ) = nx2 + ny2 + nz2
O sea que
(2a/) = (nx2 + ny2 + nz2 )1/2
[2.7]
[2.8]
La ecuación describe la limitación para las longitudes de onda posibles de la onda de
radiación electromagnética. Las frecuencias posibles serian entonces:
f = c/ = (c/2a)(nx2 + ny2 + nz2 )1/2
[2.9]
33
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Encontramos el número de frecuencias posibles en un intervalo de frecuencias f, f + df. El
número de frecuencias permitidos entre f y f + df, denotado como N(f)df es igual a N(r)dr, que
corresponde al número de puntos contenidos entre las capas concéntricas r y r + dr, sabiendo
que r = (nx2 + ny2 + nz2 )1/2.
Las tres coordenadas de cada punto de la red son iguales a un conjunto posible de tres enteros
nx, ny, nz, luego considerando un octante N(r)dr = 1/8 (4r2) dr. Entonces para la esfera:
N(r) dr = (/2)r 2dr
N(f)df = /2(2a/c)3f 2df
ó
[2.10]
ya que r = (2a/c)f
[2.11]
Resultando:
N(f)df = (8a3f2/c3)df
[2.12]
Por cada frecuencia posible existen dos ondas independientes correspondientes a los dos
estados posibles de polarización de la radiación electromagnética.
c. Para encontrar la energía total media asociada a cada onda estacionaria de frecuencia f,
consideramos que nuestro sistema corresponde a un gran número de entes físicos del mismo
tipo que se encuentran en equilibrio térmico entre sí a una temperatura T, ya que las
diferentes ondas pueden intercambiar energía entre sí de forma gradual.
El “principio de la equipartición de la energía” afirma que para un sistema de moléculas de
un gas en equilibrio térmico a una temperatura T, la energía cinética media de una molécula
por grado de libertad es KT/2 donde K es la constante de Boltzmann.
Esta ley puede ser aplicada a cualquier sistema clásico que contenga un gran número de entes
del mismo tipo en equilibrio térmico. Para el caso de las ondas estacionarias, en media todas
las energías cinéticas tienen el mismo valor KT/2. Pero cada onda estacionaria que oscila
sinusoidalmente tiene una energía cinética medía. Por tanto, cada onda estacionaria en la
cavidad tiene una energía igual a E = KT. La energía total media es la misma para todas las
ondas y no depende de sus frecuencias, así la energía por unidad de volumen en el intervalo de
34
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
frecuencia f + df del espectro de cuerpo negro de una cavidad a una temperatura T, viene dado
por el producto de la energía media por onda estacionaria, por el número de ondas
estacionarias en el intervalo de frecuencia.
E = (8f2a3KT)/c3
pero a3 = V.
[2.13]
Luego la energía por unidad de volumen:
T(f)df = (8f 2KT)/c3df
[2.14]
Siendo este el resultado encontrado por Rayleigh & Jeans para la radiación del cuerpo negro.
2.2.2.
Previsiones de la ecuación con los resultados experimentales.
Luego de los resultados obtenidos por Rayleigh & Jeans
y después de realizar ciertas
comparaciones con los resultados obtenidos a través de mediciones experimentales se hicieron
evidentes varias contradicciones, las cuales se enuncian a continuación y pueden ser observadas
en la figura 2.7.
i.
En el límite de bajas frecuencias el espectro clásico se aproxima de los resultados
experimentales.
ii.
Para un aumento de la frecuencia, la previsión teórica de la energía tiende a infinito.
iii.
La práctica ha demostrado que la densidad de energía siempre permanece finita, y para
altísimas frecuencias tiende a cero.
Figura 2.7. Comparación de resultados teóricos y experimentales.
35
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
La contradicción para altas frecuencias de la teoría clásica es denominada “La catástrofe del
ultravioleta”, enfatizando así la no-validez de la teoría clásica en esta región.
2.2.3.
Teoría de Planck
Las características de las discrepancias mencionadas llevan a Max Planck a reconsiderar varias
de las hipótesis utilizadas para tal análisis y supone una violación en la ley de “equipartición de
la energía”. El problema sería eliminando si hubiese una relación tal que:
E →
KT
→ 0
E →
0
→
O sea que la energía media es función de la frecuencia, lo cual contradice la ley de la
equipartición de la energía. Esta ley de la equipartición surge básicamente como un resultado de
la distribución de Boltzmann en la teoría cinética clásica, esta distribución puede ser expresada
como:
−
p( ) =
[2.15]
KT
e
KT
Donde p(E)dE es la probabilidad de encontrar un ente determinado en un sistema con energía
en el intervalo E y E+dE, cuando el número de estados de energía para el ente en ese intervalo
no depende de E. La función de distribución de Boltzmann da información sobre las energías de
los entes, incluyendo el valor medio
de las energías. Este valor medio es de la forma:
=
Ep(E)dE
0
Donde: E = KT
[2.16]
p(E)dE
0
La figura 2.8, muestra el comportamiento de la función probabilidad vs. valores de energía, la
probabilidad tiende a cero para valores de energía muy altos, y su decrecimiento es exponencial.
36
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Figura 2.8. Distribución de Boltzmann
El anterior es el resultado que se obtiene si se considera como una variable continua. Planck
encontró que las condiciones previamente establecidas serían satisfechas si modificase el
cálculo que lleva de p(E) a E, tratando E como una variable discreta, o sea la distribución de
Boltzmann podría escribirse ahora de la forma:
=
p( )
[2.17]
n =0
p( )
n =0
Planck supone que la energía puede asumir solo valores discretos y no valores continuos, es
decir valores de la forma E = 0, ΔE, 2ΔE, 3ΔE ... y dado que se había concluido que la
energía media era función de la frecuencia supone una proporcionalidad ente las cantidades ΔE
y f (ΔE α f) y lo escribe en forma de ecuación ΔE = hf donde h = 6.63xl0-34 joule-s es la
constante de proporcionalidad llamada la constante de Planck. Al resolver la distribución de
Boltzmann, considerando la energía como una variable discreta tenemos:
=
p( )
n =0
p( )
La energía asume apenas valores discretos:
0, hf, 2hf, 3hf,...o sea E = nhf n = 0, 1, 2, ...
n =0
Sustituyendo en la expresión de la distribución de Boltzmann:
−
−
KT
e
p( ) =
KT
Entonces:
p( ) =
nhf
KT
e
KT
[2.18]
37
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
La energía media seria:
=
nhf − nhf KT
e
n = 0 KT
− nhf
= KT
KT
e
n=0
n .e
− n
n=0
e
− n
n=0
KT
donde α = hf / KT
Pero:
−
d
d
ln
n=0
e
− n
=
−
d
d
e
e
− n
n=0
− n
n=0
d
−
e n
−
= n = 0 d
=
− n
e
n=0
ne
− n
n=0
e
− n
n=0
Luego:
= KT −
d − n
ln e
d n = 0
d − n
= − hf ln e
d n=0
Recordemos que:
e
− n
n=0
= 1 + e − + e − 2 + e − 3 + ...
2
3
= 1 + x + x + x + ... Donde
x =e
-α
Pero:
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + ...
1− x
Entonces:
= − hf
d
d
(
)
1
d
− − 1
ln 1 − x = − hf d ln 1 − e
O sea que:
−
( − 1)(1 − e − ) − 2 .e −
hfe
hf
= − hf
=
=
− −1
−
(1 − e )
e −1
1− e
38
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
hf
=
hf
e KT − 1
[2.19]
Luego la ecuación obtenida por Planck para la densidad de energía del espectro es nuevamente
la energía media de una onda estacionaria electromagnética de frecuencia f, multiplicado por el
número de ondas que tienen esta frecuencia, lo cual es expresado por la ecuación 2.20.
8 f 2
.
E =
c3
hf
e
hf
KT
.df
[2.20]
−1
En la figura 2.9, se muestra una comparación entre los resultados experimentales y los datos
suministrados por el modelo usando el nuevo concepto de energía. Como puede observarse la
ecuación 2.20 reproduce de forma satisfactoria las mediciones experimentales.
Figura 2.9. Datos teóricos vs. resultados experimentales.
Nuevas mediciones realizadas considerando las nuevas suposiciones llevaron a calcular un
nuevo valor de la constante de Planck, obteniéndose:
2.2.4.
h = 6.57 x 10-34 [Joules-seg]
Postulado de Planck
La contribución de Planck dio origen su famoso postulado: “Cualquier ente físico cuya
coordenada es una función senoidal del tiempo puede poseer apenas energías totales ε que
satisfagan la relación:
E = nhf
n = 0, 1,2,3,..
[2.21]
39
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
dónde:
f - Frecuencia de oscilación.
h - Constante universal.
En este postulado se entiende el término coordenada como la cantidad que describa la condición
instantánea del ente.”
Ejemplo 1:
Encuentre la más alta frecuencia presente en la radiación de una máquina de rayos X cuyo
potencial acelerador es V=40.000 V.
Solución:
Usando la expresión del postulado de Planck E = hf y recordando que E = qV, hallamos la
frecuencia:
f max =
(4 x104 V )(1.6 x10−19 C )
= 9.7 x1018 Hz
(6.6 x10−34 J .s)
Que puede ser usada para calcular la longitud de onda de esta radiación, con f = c.
c 3.0 x108 m / s
= =
= 3.1x10−11 m
18
f
9.7 x10 Hz
2.3.
El Efecto Fotoeléctrico.
Se conoce como Efecto Fotoeléctrico a la emisión de electrones de una superficie debida a la
incidencia de luz sobre dicha superficie. Hertz en 1.886 - 1.887 descubrió que una descarga
eléctrica entre dos electrodos ocurre más fácilmente cuando se hace incidir luz ultravioleta sobre
uno de ellos. Lenard, muestra que la descarga ocurre porque la luz ultravioleta hace que
electrones sean emitidos de la superficie del cátodo. Del experimento mostrado en la figura
2.10, se observa que:
40
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Figura 2.10. Efecto fotoeléctrico.
• La luz incidente libera electrones.
• Una diferencia de potencial VPC = V genera una corriente debida a los electrones colectados.
• Para V grande la corriente alcanza un valor de saturación, lo cual indica la colección total de
los fotoelectrones emitidos. Este valor de saturación depende de la intensidad de la luz
incidente.
• Para un potencial V invertido la corriente no llega a cero, o sea existen electrones que alcanzan
el colector no obstante el campo eléctrico se opone al movimiento.
• Los electrones son emitidos con una energía cinética E
• La corriente llega a cero a un valor V = V0 llamado potencial de corte.
• Ese potencial de corte no depende de la intensidad de la luz.
Adicionalmente al potencial de corte existe una frecuencia umbral o frecuencia de corte abajo de
la cual el efecto fotoeléctrico no ocurre. Para cada superficie existe una frecuencia umbral f0
característica, para frecuencias menores que f0, el efecto fotoeléctrico no ocurre no importando
la intensidad de la iluminación. La diferencia de potencial V, multiplicada por la carga del
electrón es la energía cinética del fotoelectrón emitido. Los fenómenos observados son
mostrados en las figuras 2.11 y 2.12.
41
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Figura 2.11. Potencial de corte
Figura 2.12. Frecuencia umbral
Este es el primero de una amplia clase de experimentos que no pueden ser explicados usando el
modelo ondulatorio para el caso de la luz, pero que pueden ser satisfechos asumiendo que la luz
se encuentra conformada por fotones, esto significa asociar una teoría corpuscular a la luz. La
teoría ondulatoria entonces no explica tres aspectos del efecto fotoeléctrico:
1. La amplitud del campo eléctrico oscilante E de la onda luminosa debe crecer si la intensidad
de la luz es aumentada, por tanto, la fuerza aplicada al electrón es igual a qE y la energía
cinética de los fotoelectrones debe crecer conforme crece la intensidad del haz luminoso.
2. De acuerdo con la teoría ondulatoria el efecto fotoeléctrico debe ocurrir para cualquier
frecuencia de luz, desde que fuere suficientemente intensa para dar energía necesaria a los
electrones.
3. Si la energía de un fotoelectrón es absorbida de la onda incidente para una luz débil, debería
existir un tiempo mensurable entre el momento que la luz comienza a incidir sobre la
superficie y el instante de eyección del fotoelectrón, pero ningún retardo pudo jamás ser
medido.
2.3.1.
Modelo corpuscular de la luz.
Einstein en el año de 1905, entra a cuestionar la teoría clásica de la luz y propone una nueva
teoría que se basa en la forma corpuscular de cómo la luz es emitida y absorbida. Basándose en
dos conceptos:
• La absorción de energía óptica de los electrones en un metal.
• La relación entre la cantidad de energía absorbida y la frecuencia de la luz.
42
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Así, basándose en el experimento mostrado en la figura 2.13, concluye la naturaleza discreta de
la luz.
Luz monocromática incide en la superficie del
metal en vacío.
Los electrones en el metal absorben energía de la
luz, sólo algunos absorben suficiente energía
Figura 2.13. Experimento de Einstein.
para ser expulsados del metal.
La medición de la energía cinética de los electrones, permite elaborar la gráfica 2.14.
Para frecuencias particulares f, de la luz incidente, se
obtiene una energía máxima de los electrones emitidos; el resultado Em vs f es lineal, con una pendiente
igual a la constante de Planck. Obtenemos la
ecuación de la recta:
Em = hf - q
[2.22]
Figura 2.14. Frecuencia vs. energía
Donde:
q
= Carga del electrón.
= Voltaje. Viene dado en voltios y es una característica del metal.
q
= Energía. Es la mínima energía requerida por el electrón para escapar del metal y
es denominada función trabajo.
El resultado indica que el electrón recibe una energía hf y pierde una cantidad q en escapar del
metal. El experimento demuestra la tesis de Planck, y concluye que la energía de la luz es
contenida en unidades discretas. Esos paquetes de energía localizados son llamados fotones.
43
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Soluciones:
1. Em no depende de la intensidad de la iluminación, La corriente depende de la intensidad.
2. La existencia de una frecuencia umbral. Si Em = 0 → hf0 = qФ. Esto significa que un fotón de
frecuencia f0 tiene energía necesaria para eyectar electrones. Para frecuencias menores los
fotones no poseen esa energía, no importa el número.
3. Un fotón es absorbido por un átomo, lo cual causa la emisión inmediata de un fotoelectrón.
En la tabla 2.1 se resumen las funciones trabajo de algunos elementos, al igual que su longitud
de onda y frecuencias umbrales.
Tabla 2.1. Funciones trabajo de algunos elementos
Elemento
Función trabajo
Longitud de onda
umbral λo
Frecuencia
umbral fo
nm
262
Hz
1,14·10
304
9,87·10
331
9,07·10
-19
243
1,2·10
-19
249
1,20·10
248
1,2·10
432
6,94·10
-19
304
9,87·10
-19
248
1,2·10
276
1,1·10
264
1,1·10
258
1,16·10
-19
287
1,04·10
-19
541
5,54·10
423
7,08·10
339
8,85·10
-19
302
9,9·10
-19
250
1,20·10
525
5,71·10
232
1,29·10
-19
292
1,03·10
-19
210
1,4·10
256
1,17·10
0
Ag
eV
4,73
J
7,58·10
Al
4,08
6,54·10
As
3,75
6,01·10
Au
5,1
8,2·10
Be
4,98
7,98·10
C
5
Ca
2,87
4,60·10
Cd
4,08
6,54·10
Co
5
8,0·10
Cr
4,5
7,2·10
8·10
Cu
4,7
7,5·10
Fe
4,81
7,71·10
Ga
4,32
6,92·10
K
2,29
3,67·10
Li
2,93
4,69·10
Mg
3,66
5,86·10
Mn
4,1
6,6·10
Mo
4,95
7,93·10
Na
2,36
3,78·10
Ni
5,35
8,57·10
Pb
4,25
6,81·10
Se
5,9
9,5·10
Si
4,85
7,77·10
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
-19
15
14
14
15
15
15
14
14
15
15
15
15
15
14
14
14
14
15
14
15
15
15
15
44
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Ejemplo 2:
Si la función trabajo para el aluminio es q0 = 4.2 eV y si un fotón de frecuencia f = 1.2x1015 Hz
incide sobre el metal. ¿Cuál es la energía cinética máxima con la que saldrá el electrón?
−
34
(6.63x10 j.s)(1.2 x1015 Hz )
hf =
= 4.97eV
(1.6 x10 −19 j / eV )
La energía cinética máxima será:
EC max = hf − hf 0 = (4.97 − 4.2)eV = 0.77eV
2.4.
El Efecto Compton.
El Efecto Compton es el otro experimento que puede ser entendido fácilmente en términos del
modelo de fotones asociados a la luz, ya que no puede ser explicado usando el modelo
ondulatorio de la física clásica. Este experimento (1923), se constituyó en uno de los que más
ayudó a consolidar el modelo corpuscular de la luz o mejor la realidad de los fotones debido a
que introdujo tanto el momentum como la energía del fotón.
Adicionalmente, el experimento demostró que el modelo se aplica no solamente a la luz visible
y ultravioleta (dominio del efecto fotoeléctrico), sino también a los rayos X. La incidencia de un
haz de rayos X de longitud de onda sobre una muestra de grafito origina una dispersión de los
rayos X en diferentes direcciones tal como se observa en la figura 2.15.
Figura 2.15. Estudio del efecto Compton.
La intensidad de estos rayos fue medida obteniéndose los resultados mostrados en la figura 2.16.
45
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
De la figura se puede observar que aun cuando el haz incidente posee una sola longitud de onda,
los rayos dispersados presentan picos de intensidad en dos longitudes de onda. El primer pico
corresponde a la longitud de onda del rayo incidente, en tanto que el otro presenta una longitud
de onda denotada por ’ , la cual es mayor que un factor igual a . Este efecto conocido
como desplazamiento Compton varía con el ángulo de observación al que son estudiados los
rayos X dispersados.
Figura 2.16. Resultados para diferentes ángulos de dispersión.
El pico de la dispersión de longitud de onda ’ no podría ser explicado si el rayo incidente X se
considera solamente como una onda, ya que de ser así los electrones en la muestra oscilarían a la
misma frecuencia de la onda incidente y por tanto los rayos dispersados tendrían únicamente esa
misma frecuencia, lo cual no corresponde con lo observado.
Compton considera entonces la composición del haz incidente como una serie de fotones de
energía E (E = hf) y momentum p (p = h/), y asume que dichos fotones colisionan con los
electrones libres de la muestra perdiendo energía en la colisión. Dado que el electrón posee una
determinada energía cinética en el momento de la colisión, el fotón dispersado debe poseer una
energía E’ menor que la del fotón incidente y por tanto una frecuencia f’ más baja y una
46
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
longitud de onda más larga tal como se observó en las mediciones. Al momento de presentarse
la colisión entre un fotón y un electrón libre, se presenta una dispersión tanto del fotón como del
electrón, en el caso del fotón -como ya se mencionó- con una longitud de onda inferior y en el
caso del electrón con un a velocidad comparable a la velocidad de la luz. Al establecerse
entonces la ley de conservación de energía una corrección relativista debe ser introducida para la
expresión de las energías cinéticas de la forma siguiente:
1
hf = hf ´+ mc 2
− 1
1 − ( v )2
c
[2.23]
En la expresión el segundo término corresponde a la energía cinética del electrón.
Reemplazando f = c/ la expresión resulta:
h
=
h
1
+ mc 2
− 1
1 − ( v )2
´
c
[2.24]
Adicionalmente aplicando el concepto de conservación del momentum a la colisión de las
partículas, tenemos que el momentum para el fotón viene dado por la expresión p = h/ en tanto
que para el electrón el momentum es también afectado por la corrección relativística:
p=
mv
[2.25]
1 − ( vc )
2
Entonces la conservación del momentum para la colisión fotón-electrón como se muestra en la
figura 2.17 se expresa de la forma:
h
mv
= Cos +
Cos
1 − ( v )2
´
c
h
mv
0 = Sen −
Sen
1 − ( v )2
´
c
h
En el eje x.
[2.26]
En el eje y.
[2.27]
47
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Ahora el objetivo es encontrar el diferencial de longitudes de onda = ’− que corresponde
al desplazamiento de longitud de onda de los fotones dispersados. De la totalidad de las
variables es posible eliminar f y que son aquellas relacionadas con el movimiento del electrón,
lo cual nos lleva a la expresión siguiente:
= ( mch )(1 − Cos )
[2.28]
Donde: h/mc = 2.43 x 10-12 m
Figura 2.17. Conservación del momentum
La ecuación anterior describe exactamente los resultados experimentales obtenidos del efecto
Compton y nos dice que el desplazamiento Compton depende solamente del ángulo de
dispersión y no de la energía inicial del fotón. Los ángulos de dispersión pueden variar entre
0° y 180°.
Ejemplo 3:
Rayos X de longitud de onda 22 pm y de una energía de 75 KeV son dispersados por un blanco
de carbono, la radiación dispersada se ve a un ángulo = 85 del haz incidente. a) ¿Cuál es el
desplazamiento Compton de estos rayos?
48
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
Solución
El desplazamiento Compton se calcula mediante la ecuación 2.27
=
h
(6.63x10−34 j.s)(1 − cos85)
(1 − cos ) =
= 2.21x10−12 m = 2.21pm
−31
8
mc
(9.11x10 kg)(3.00x10 m / s)
a) ¿Qué porcentaje de la energía inicial pierde el rayo X incidente?
La fracción de energía perdida está dada por:
f =
Ei − Ef hf − hf c / − c / −
=
=
=
=
=
Ei
hf
c/
+
f =
2.21pm
= 0.091 ó 9.1%
22 pm + 2.21pm
49
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
2.5.
1.
Ejercicios.
A una lámina de cobre le incide una luz de 150 nm de longitud de onda. De la tabla 3.1
obtenemos que la función trabajo para el cobre es de 4.7 eV. Encuentre: a) la energía
cinética máxima de los fotoelectrones emitidos, b) la longitud de onda de corte para el
cobre.
2.
Los fotones emitidos por una lámpara que usa el sodio, tienen una energía de 2.11 eV.
Encuentre la longitud de onda efectiva de la luz emitida. Qué tipo de luz es ?
3.
Rayos gamma son emitidos con una longitud de onda de 880 fm. Determine la energía
asociada a dichos fotones. ¿Cuál es el momento del fotón?
4.
Encuentre la longitud de onda de De Broglie de un electrón cuya energía cinética es 62 eV.
5.
Calcule la longitud de onda de De Broglie de una partícula que viaja a una velocidad de
5x107 cm/seg.
6.
Para qué ángulo de dispersión es máxima la transferencia de energía en el efecto Compton.
Halle la variación relativa de la longitud de onda que experimenta un haz de rayos X de λ =
7,1 nm, cuando es dispersado en dichas condiciones.
7.
La frecuencia umbral de un metal es de 8.5x1014 Hz. Determine la energía cinética máxima
de los electrones emitidos cuando el metal se ilumina con luz de 1.3x1015 Hz.
8.
Una radiación de luz ultravioleta de 1.500 Å de longitud de onda incide sobre una superficie
de potasio. Si el trabajo de extracción de un electrón del potasio es de 2 eV encuentre: a) la
energía por fotón de la radiación incidente, b) la energía máxima de los electrones
extraídos, c) la velocidad máxima de esos electrones.
9.
Cuál es la energía de un fotón emitido con una longitud de onda de 0.708x10-8 cm. Esta
longitud de onda correspondes a los rayos X.
50
2. Introducción a conceptos de la física cuántica.
10. El potencial correspondiente a la energía máxima de emisión de fotoelectrones emitidos de
una superficie iluminada por una luz de longitud de onda 491 nm es 0.71 V. Cuando la
longitud de onda de la luz incidente es cambiada a un nuevo valor, ese potencial cambia a
un valor de 1.43 V. a) Cuál es la nueva longitud de onda ?, b) Cuál es la función trabajo de
la superficie ?
11. La frecuencia umbral para la plata es 1,13x1015 Hz, ¿Cuál deberá ser la frecuencia de la
radiación incidente para que la energía cinética de los fotones emitidos sea de 2.6 eV ?
12. Estudiando el efecto fotoeléctrico se observa que un metal tiene una frecuencia umbral de
4,5x1014 Hz, si el metal se ilumina con una radiación que tiene como longitud de onda 4x10-7
m, encuentre la energía cinética y la velocidad de los electrones emitidos.
51
Capítulo 3. Ondas de materia.
3. Ondas de materia
3.1.
Introducción.
En 1.924 Louis De Broglie presenta en su tesis una propuesta acerca de la existencia de ondas
de materia. La física clásica en su momento planteaba diferencias entre las ondas y las
partículas, ya que a una partícula se le puede asignar una masa y en consecuencia ocupa un lugar
en el espacio, en tanto que a una onda propagándose en el espacio se le asocian una velocidad
definida y una masa nula. La propuesta de De Broglie consistió en establecer que no hay
diferencias fundamentales entre partículas y ondas, ya que las partículas pueden comportarse
como ondas y viceversa. La falta de evidencia experimental hizo que esas ideas no fueran
consideradas, hasta que Einstein llamó la atención hacia esta teoría actualmente aceptada.
3.2.
Postulado de De Broglie
La hipótesis de De Broglie consistió en afirmar que el comportamiento dual onda-partícula de la
radiación se aplicaba también a la materia. De esta manera una partícula material (electrón)
tiene asociada a ella una onda de materia que gobierna su movimiento. Tanto para la materia
como para la radiación, la energía total E se encuentra relacionada con la frecuencia f de la onda
asociada a su movimiento por la relación 4.1, en tanto que el momento p está relacionado con la
longitud de onda de la onda asociada por la ecuación 4.2, conocida como ecuación De Broglie.
E = hf
p=
[3.1]
h
[3.2]
Esta relación halla la longitud de onda λ de una onda de materia asociada al movimiento de una
partícula de momento p. Max Born propone entonces una teoría orientada a la unificación de los
modelos corpuscular y ondulatorio de la materia. Para lograr esto, se asocia la longitud de onda
y la frecuencia a las ondas de la materia. Se introduce entonces lo que se conoce como la
función de onda, ecuación que representa la onda de De Broglie.
x
= ASen2 − ft
[3.3]
52
Capítulo 3. Ondas de materia.
Esta función describe el comportamiento de partículas que se mueven en la dirección x con un
valor preciso de momento y energía.
3.3.
Propiedades de las ondas de materia.
Mediante la combinación de las ecuaciones de De Broglie y Einstein se llega al principio de
incertidumbre de Heisenberg. La amplitud de la función de onda debe ser modulada de forma tal
que su valor sea diferente de cero en una región vecina a la partícula, como se observa en la
figura 3.1, esa es la forma de asociar la onda de materia a la partícula. Definimos el término k
como el número de onda, el cual es igual a k = 1/λ, entonces la función de onda es descrita por
la ecuación 3.1.
Ψ = Sen2π(kx-ft)
[3.4]
Figura 3.1. Forma de la onda de materia.
Los nodos de esta función (ceros) se encuentran en posiciones xn tales que:
2π(kxn – ft) = nπ
para
n = 0, 1, 2, 3, ...
Despejando xn:
xn =
n
2
+ ft
k
xn =
n
ft
+
2k k
La velocidad con que se desplazan los nodos de la onda es llamada la velocidad de fase, y lo
denotamos como Vp, luego:
vp =
dxn
f
=
dt
k
o también,
V p = f
[3.5]
En el caso de que las amplitudes de las ondas sean moduladas de forma que constituyan un
grupo, entonces tendremos un grupo de ondas moviéndose en el sentido positivo de x, esto
puede ser modelado matemáticamente, sumando dos ondas:
(x,t) = 1(x,t) + 2(x,t)
[3.6]
53
Capítulo 3. Ondas de materia.
Donde:
Como:
1(x,t)= Sen2(kx-t)
[3.7]
2(x,t)= Sen2[(k+dk)x-(f+d)t]
[3.8]
Sen A + Sen B = 2 Cos [ ½ (A-B)] Sen [½ (A+B)]
[3.9]
Tenemos:
df
(2 f + df
dk
(2k + dk )
( x, t ) = 2Cos 2
x−
t Sen2
x−
2
2
2
2
t
[3.10]
Considerando: df <<2f y dk<<2k
df
dk
( x , t ) = 2Cos 2
x−
t Sen2 (kx − ft )
2
2
[3.11]
-----------------|-----------------
Amplitud de la nueva onda varia con x y t.
La figura 3.2, ilustra el comportamiento de la onda (x,t) para t = 0.
Figura 3.2. Paquete de ondas.
Ondas, de frecuencia y números de onda ligeramente diferentes interfieren entre sí, generando
una sucesión de grupos. La velocidad de las ondas individuales es calculada considerando el
último término de la expresión. La velocidad de los grupos es calculada a partir del primer
término. Los ceros de la función serían:
54
Capítulo 3. Ondas de materia.
df
dk
2 xn − t = (2n + 1)
2
2
2
xn =
n = 0,1,2,...luego
1 (2n + 1) + 2dft
2
dk
[3.12]
Derivando obtenemos la velocidad
vg =
dxn df
=
dt dk
vg =
df
dk
[3.13]
El resultado obtenido es válido para cualquier número de ondas superpuestas. Ahora podemos
calcular la velocidad de grupo (vg), del grupo de ondas de materia asociado a una partícula en
movimiento. De las relaciones de Einstein y de De Broglie
f =
E
h
1
y
k=
y
dk =
=
p
h
Entonces:
df =
dE
h
dp
h
Luego la velocidad del grupo es:
vg =
dE
dp
Pero:
E=
vg =
mvdv
mdv
[3.14]
1
mv 2
2
y
p = mv ,
vg = v
luego tenemos que
[3.15]
55
Capítulo 3. Ondas de materia.
Luego la velocidad de grupo de las ondas de materia es igual a la velocidad de la partícula cuyo
movimiento gobierna. Esta conclusión determina la coherencia de los postulados de De Broglie.
3.4.
Espectros Atómicos.
Los experimentos de emisión y absorción de luz por átomos han sido de un gran valor en la
física moderna. Descargas eléctricas en un gas originan que los átomos emitan luz con
longitudes de onda diferentes, las cuales son características del gas. Una medida de la intensidad
de la luz emitida como función de la longitud de onda, proporciona una serie de líneas
espaciadas en lugar de una distribución continua de longitudes de onda. Esta serie de líneas
espaciadas se conoce como el espectro atómico. Esto significa que la radiación electromagnética
emitida por átomos libres está concentrada en un conjunto de longitudes de onda discretas.
Experimentos realizados con el hidrógeno, han permitido determinar su espectro. El espectro
para el hidrógeno es mostrado en la figura 3.3.
Figura 3.3. Espectro para el hidrógeno.
Figura 3.4. Convergencia de las líneas del espectro.
Diferentes series son mostradas en la figura 3.4. El espaciamiento en longitudes de onda entre
las líneas adyacentes del espectro disminuye a medida que la longitud de onda de las líneas
disminuye. La serie de líneas converge hacia el limite 3645.6 A.
56
Capítulo 3. Ondas de materia.
Rydberg en 1.890 obtiene una ecuación empírica que representa la longitud de onda de las
líneas, explica las líneas del espectro del átomo de hidrógeno en la zona visible. La ecuación
propuesta es de la forma:
1
1
k = = Rh 2 − 2
2
n
Rh = Constante de Rydberg.
1
Rh = 10967757,6 1.2 m-1
[3.16]
Posteriormente aparecen otras series que describen las líneas del espectro del átomo de
hidrógeno en otras zonas. Algunas de ellas aparecen en la tabla 3.1.
Tabla 3.1. Diferentes series de las líneas de espectro.
Lyman
Ultravioleta
1
1
k = Rh 2 − 2
1
n
n = 2,3,4,...
Balmer
Próximo al ultravioleta
1
1
k = Rh 2 − 2
2
n
n = 3,4,5,...
Paschen
Infrarojo
1
1
k = Rh 2 − 2
3
n
n = 4,5,6,
Brackett
Infrarojo
1
1
k = Rh 2 − 2
4
n
n = 5,6,7,...
Pfund
Infrarojo
1
1
k = Rh 2 − 2
5
n
n = 6,7,8,...
Cada una de las series sigue usando la constante de Rydberg. La serie de Balmer en particular
describe las líneas del espectro del átomo de hidrógeno en la zona visible. La distribución del
espectro reproducido por estas series sería posteriormente obtenido de forma teórica al calcular
los niveles de energía y las transiciones de estas, a partir del modelo del átomo de Bohr, el cual
es obtenido a su vez considerando sus famosos postulados.
3.5.
Postulados de Bohr
Para desarrollar la teoría de bandas de un sólido, lo cual es importante para estudiar los
fenómenos de conducción en los materiales, es necesario estudiar las características básicas de
los átomos. A principios de siglo se empezaron a desarrollar las primeras teorías acerca de la
57
Capítulo 3. Ondas de materia.
constitución y características de los átomos. Se descubrió que los átomos están constituidos por
carga positiva y en igual cantidad de negativa. Las cargas positivas poseen la mayor parte de la
masa del átomo, lo que conduce a ubicar el centro de masa del átomo cerca de la región de carga
positiva que llamaremos nucleón. En el átomo, las cargas positivas son portadoras por los
protones y las negativas por los electrones. En 1,913 Niels Bohr presenta un modelo para el
átomo de hidrógeno que tiene concordancia cuantitativa con algunos de los datos
espectroscópicos. El modelo está basado en lo que se conoce actualmente como postulados de
Bohr, este modelo fue confirmado experimentalmente. Los postulados del modelo son los
siguientes:
1. Un electrón en un átomo se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo, bajo la
influencia de la atracción Coulombiana entre el electrón y el núcleo, obedeciendo las leyes de
la mecánica cuántica.
2. Un electrón solo puede ocupar una órbita en la cual su momento angular orbital p, es un
múltiplo entero de ħ. donde ħ se define como =
h
:
2
Es decir, los momentos angulares de las únicas órbitas permitidas están dados por:
mvr =
nh
2
[3.17]
3. A pesar de estar constantemente acelerado, un electrón que se mueve en una de esas órbitas
posibles no emite radiación electromagnética. Por tanto, su energía total E permanece
constante. La teoría electromagnética clásica predice que cualquier carga acelerada irradiará
energía en forma de onda electromagnética.
4. Si un electrón que se mueve en una órbita de energía total Ei, cambia su movimiento
discontinuamente hacia una órbita de energía total Ef, la frecuencia de la radiación emitida
f es igual a:
f =
Ei − E f
h
Para hacer un análisis cuantitativo del modelo, empecemos por hallar la energía del electrón que
está dada por la suma de las energías cinética y potencial. La energía potencial gravitacional de
interacción entre el electrón y el núcleo no la consideramos debido a que es muchos órdenes de
58
Capítulo 3. Ondas de materia.
magnitud más pequeña que la energía potencial eléctrica. Entonces consideremos un átomo
cuyo núcleo es de carga +Zq y un único electrón de carga q y masa m.
La igualdad 3.19 nos describe la igualdad de fuerzas que se presentan entre la fuerza de
atracción coulombiana y la fuerza centrípeta que es la que causa el movimiento circular.
−
q2z
4 o r
2
=−
mv 2
r
3.19
v = Velocidad del electrón
Ahora el segundo postulado nos permite introducir la condición de cuantización del momento
angular en la ecuación de la energía, así expresamos la velocidad, el radio y la energía en
función de n.
P0 = mvr = nħ
n 2 2
m v =
2
rn
Reemplazando
2
Zq
4
2
2
2
orn
n
=
2
Momento angular orbital
[3.20]
rn = radio (depende de n)
[4.20]
3.21
2
n
mr n3
Despejando el radio
rn =
2 2
4 o n
Zq 2 m
Radio de la n-sima orbita del electrón
-
Para un átomo de hidrógeno neutro
Z=1
-
Para un átomo de helio ionizado
Z=2
-
Para un átomo de litio doblemente ionizado
Z=3
v=
n
nq 2 Z
Zq 2
=
=
mrn 4 o n 2 2 4 o n
3.22
3.23
La energía total seria la suma de las energías potencial y cinética.
59
Capítulo 3. Ondas de materia.
Para hallar la energía cinética necesitamos la velocidad del electrón, que es la que causa el
movimiento circular.
Ahora la energía cinética viene dada por:
Ec =
3.24
1 2
mq 4 Z 2
mv =
2
2
2(16 2 o )n 2 2
La energía potencial se encuentra asumiendo que es cero cuando el electrón se encuentra lejos
del núcleo.
E p = −
r
Zq 2
4 o r
2
dr = −
Zq 2
4 o rn
3.25
La energía potencial es negativa porque la fuerza coulombiana es atractiva. Es necesario realizar
trabajo para alejar electrón.
Ep = −
Z 2q 2q 2m
(4 o ) 2 n 2 2
=−
Z 2q 4m
(4 o ) 2 n 2 2
3.26
Luego la energía total es:
ET = Ec + E p =
ET = −
mZ 2 q 4
2K 2 n 2 2
mZ 2 q 4
mZ 2 q 4
mZ 2 q 4
−
=
−
2(4 o ) 2 n 2 2 (4 o ) 2 n 2 2
2(4 o ) 2 n 2 2
3.27
Donde: K = 4o. Se observa que la cuantización del momento angular implica la cuantización
de la energía total. En la figura 3.5, se muestra un diagrama de los niveles de energía para el
hidrógeno.
Podemos observar que el radio, la velocidad y la energía del electrón están cuantizados. Solo
son posibles valores en los que n = 1,2,3,... La figura 3.5 muestra el diagrama de niveles de
energía. Para cada valor entero de n hay un valor de energía que representa un estado permitido.
Al nivel correspondiente a n = 1 se le denomina estado base o tierra. De la figura se puede
observar que para n>>1, lo que corresponde al electrón no ligado al átomo, la energía es cero
60
Capítulo 3. Ondas de materia.
(con respecto al nivel base). Esto significa que habrá que suministrarle 13.6 eV de energía al
electrón en su estado base para arrancarlo del átomo (ionización); para otros estados de energía
la energía de ionización será menor. Evaluando las constantes en las dos últimas expresiones se
encuentra
Figura 3.5. Diagrama de niveles de energía para el hidrógeno.
En la figura 3.6 se muestra un diagrama de niveles de energía y transiciones en el espectro
atómico del hidrógeno, calculados a partir de la ecuación obtenida anteriormente, estos
resultados comparados con la distribución espectral obtenida experimentalmente evidencian la
proximidad de los resultados.
61
Capítulo 3. Ondas de materia.
Figura 3.6. Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno
De acuerdo con el cuarto postulado, la frecuencia f de la radiación electromagnética emitida
cuando el electrón sufre una transición del estado cuántico ni, hacia el estado cuántico nf es:
f =
Ei − E f
h
=
1
( 4 o )
.
2
mZ 2 q 4 1
1
−
2 2 h n 2f
ni2
3.28
Luego:
1
mZ 2 q 4
1
f =
−
(4 o ) 2 4 3 n 2f
ni2
3.29
En términos del número de onda:
k=
1
=
f
mq 4
1
2 1
=
Z
−
n 2f
c
(4 o ) 2 4c 3
ni2
----------------------
3.30
Número de Rydberg
La constante obtenida a partir de la aplicación de los postulados de Bohr para el átomo de
hidrógeno reproduce exactamente la constante de Rydberg, lo cual valida sus postulados.
62
Capítulo 3. Ondas de materia.
El modelo de Bohr aplicado al átomo de Hidrogeno, da buena cuenta de los espectros de luz
emitidos por el átomo cuando esta excitado. La longitud de onda de la radiación emitida no es
continua sino discreta, comprobando de esta forma la existencia de niveles discretos de energía
en lugar de continuos. Sin embargo, este modelo se queda corto cuando se trata de átomos más
complejos. Un tratamiento más avanzado de la teoría del átomo la proporciono E. Schrödinger
alrededor de 1930 y físicos de su época cuando se empieza a desarrollar lo que se conoce como
la Física Cuántica.
63
Capítulo 3. Ondas de materia.
3.6.
Ejercicios.
1. Asuma que la masa de un protón en reposo es 1836 veces mayor que la del electrón en
reposo, establezca la relación entre las longitudes de onda de De Broglie de las dos partículas
considerando que se mueven con la misma energía cinética. (Desprecie los efectos relativistas).
2. Calcule la longitud de onda de De Broglie de un electrón de 15 KeV, b) calcule la longitud de
onda de De Broglie para un electrón que tiene una velocidad de 9107 m/s.
3. Determinar la longitud de onda de De Broglie de un electrón excitado del hidrógeno en el
nivel n=3.
4. Considere una partícula de radio r = 10-4 cm y de densidad = 10 g/cm3, que se mueve con
una velocidad v = 1 cm/s, calcule a) el momento, b) la longitud de onda de De Broglie, c)
repetir para un electrón de energía cinética T = 100 eV.
5. Un electrón de un átomo de hidrógeno pasa desde un estado cuya energía es - 0,85 eV a otro
que es -10,2 eV. ¿Cuánto valdrá la cantidad de movimiento del fotón emitido?
6. Siguiendo el modelo atómico de Bohr, calcule la relación de energías resultantes de pasar del
nivel n = 2 al n = 1 frente al salto del nivel n = 3 al n = 2.
7. Establezca las dimensiones de los radios (en Armstrong) de las tres primeras órbitas del
electrón en el átomo de hidrógeno según el átomo de Bohr.
8. Calcule la frecuencia de la luz absorbida cuando un electrón asociado a un átomo de He+
sufre una transición del nivel energético n =1 al nivel energético n = 3.
9. Encuentre la velocidad que debe tener un electrón a fin de lograr que su longitud de onda de
De Broglie sea 150 veces la correspondiente a un neutrón de energía cinética 5.5 eV. La
masa del neutrón es 1.7x10-27 Kg.
64
Capítulo 3. Ondas de materia.
10. Halle la longitud de onda, la frecuencia y el número de onda de una radiación cuyos cuantos
tienen una energía de 2x109 eV. ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenece esta
radiación.
65
4. La ecuación de onda.
4. La ecuación de onda.
____________________________________________________________________________
4.1.
Introducción.
Se sabe que las partículas de sistemas microscópicos se mueven de acuerdo con las leyes de un
movimiento ondulatorio y no con las leyes de movimiento de Newton obedecidas por las
partículas macroscópicas. Una partícula se mueve como si ciertos aspectos fueran gobernados
por el comportamiento de una onda de De Broglie asociada, o función de onda. Un
procedimiento más general que puede ser usado para tratar el comportamiento de partículas de
cualquier sistema microscópico es la teoría de Schrödinger de la mecánica cuántica.
4.2.
La ecuación de Schrödinger .
La teoría de Schrödinger especifica las leyes de movimiento ondulatorio que las partículas de
cualquier sistema microscópico obedecen. Cada sistema tiene especificadas tanto la ecuación
que controla el comportamiento de la función de onda, como la relación entre ese
comportamiento y el comportamiento de la partícula.
La teoría de Schrödinger es una generalización que incluye la teoría de Newton como un caso
especial (en el límite macroscópico) y presenta como característica esencial el hecho de ser una
extensión de los postulados de De Broglie, sin embargo, estos postulados nos indican que el
movimiento de una partícula microscópica es gobernado por la propagación de una onda
asociada, pero no dice como se propaga la onda. La ecuación de Erwin Schrödinger, propuesta
en al año de l.925, describe el comportamiento de cualquier función de onda teniendo en cuenta
tanto el momento variable de la partícula como las fuerzas a las cuales ella se encuentra
sometida. Una onda con estas características tiene la forma que es mostrada en la figura 4.1.
4. La ecuación de onda.
Figura 4.1. Onda de momento variable
La ecuación de Schrödinger genera la forma de la función de onda (x,t) en el caso que se
conozca la fuerza que actúa sobre la partícula. Eso significa que la función de onda es una
solución de la ecuación de Schrödinger para una energía potencial especifica. El problema
entonces no consiste en resolver una ecuación diferencial, sino encontrar esa ecuación y para
hacerlo se debe partir de varias consideraciones:
i. La ecuación de onda de la mecánica cuántica debe ser consistente con los postulados de
De Broglie – Einstein, esto es, deben cumplirse las relaciones
=
h
[4.1]
y
f =
E
h
[4.2]
ii. La ecuación debe ser consistente con la ecuación de energía E = Ec + E p , donde EC es el
valor de la energía cinética y EP el correspondiente valor de la energiza potencial.
E=
2
2m
+ EP
[4.3]
iii. (x,t) debe ser lineal, ello significa que si 1(x,t) y 2(x,t) son soluciones de la ecuación
diferencial entonces (x,t) = 1(x,t) + 2(x,t) debe ser también solución. Dado que todas las
funciones de onda presentan interferencias, debe ser posible mediante suma de ondas obtener
esas interferencias constructivas o destructivas.
iv. La energía potencial EP es en general una función de x y posiblemente del tiempo, sin
embargo, se considera que en un instante dado se puede dar la condición de tener una energía
potencial constante:
67
4. La ecuación de onda.
EP(x,t) = EP0
=>
Condición que define el caso de la partícula libre.
Entonces dado que
2
h2
EC = mv =
=
2m 2m2
1
2
2
[4.4]
la expresión de las energías E = EC + EP puede ser escrita de la forma
h2
+ EP ( x, t ) = hf
2m2
[4.5]
Pero recordemos que E = hf y adicionalmente, si definimos los parámetros: número de onda
angular, denotado como K=2π/λ y la frecuencia angular, denotada como ω = 2πf, obtenemos.
2K 2
+ E p ( x, t ) =
2m
[4.6]
Ahora la ecuación de Schrödinger es una relación entre su solución Ψ(x,t) y ciertas derivadas
de Ψ(x,t) en relación a las variables independientes x y t. Debido a la cuarta consideración, la
ecuación diferencial deseada debe admitir soluciones de onda sinusoidales de la forma:
Ψ(x,t)= Sen2π(kx-ft)
[4.7]
Obteniendo las derivadas respectivas tenemos entonces:
( x, t )
= KCos ( Kx − t )
x
2 ( x, t )
= − K 2 Sen( Kx − t )
2
x
( x, t )
= −Cos ( Kx − t )
t
2
( x, t )
= − 2 sen( Kx − t )
t 2
4.8
4.9
4.10
4.11
La ecuación debe involucrar la ecuación de onda y sus derivadas, el hecho de tomar la segunda
derivada espacial y la primera derivada temporal nos genera términos K2 y ω, los cuales
aparecen en la ecuación básica inicial (ecua. 4.6). Adicionalmente, debe aparecer un término
conteniendo un factor de EP(x,t). A fin de garantizar esta linealidad, el término debe contener
68
4. La ecuación de onda.
también un factor Ψ(x,t). Con base en lo anterior, entonces la ecuación debe ser de la forma:
2 ( x, t )
( x, t )
+ E p ( x , t ) ( x, t ) =
2
t
x
[4.12]
Donde α y β son constantes a ser determinadas. Considerando el caso en que EP(x,t) = EP0,
tendremos que :
-αSen(Kx-ωt) K2 + Sen(Kx-ωt)EP0 = -βCos(Kx – ωt)ω
[4.13]
Expresión que no está de acuerdo con la ecuación propuesta 4.6. La dificultad radica en los
senos y cosenos que aparecen, los cuales no se encuentran en la ecuación inicial. Para intentar
contornar el problema podemos ensayar con una función de onda solución de la forma
expresada en 4.14.
Ψ(x,t) = Cos(Kx-ωt) + γSen(Kx-ωt)
γ = Const
[4.14]
Tenemos que al calcular nuevamente las derivadas
( x, t )
= − KSen( Kx − t ) + KCos( Kx − t )
x
2 ( x, t )
= − K 2Cos( Kx − t ) − K 2Sen( Kx − t )
x 2
( x, t )
= Sen( Kx − t ) − Cos( Kx − t )
t
4.15
4.16
4.17
Entonces al reemplazar en 4.12 se obtiene:
-αK2Cos(Kx-ωt) – αK2γSen(Kx-ωt)+EpoCos(Kx-ωt)+EpoγSen(Kx-ωt) =
βωSen(Kx-ωt) – βωγCos(Kx-ωt)
Reagrupando:
(-αK2+Epo)Cos(Kx- ωt) + (Epoγ -αK2γ)Sen(Kx- ωt) = βωSen(Kx- ωt)- βωγCos(Kx-ωt)
La igualdad se establece cuando los coeficientes de senos y cosenos sean iguales. La validez de
esta condición se da para todas las combinaciones posibles de las variables independientes.
69
4. La ecuación de onda.
Entonces:
- K 2 + E P0 = -
E P0 − K 2 =
Se puede reescribir restando como:
- K 2 + E P0 = -
- K 2 + E P0 = /
--------------------0 = - - /
Resultando:
1
= − 2 = −1 = − 1 = i
Luego tenemos que
K 2 + E p 0 = i
y además
2K 2
+ + E p 0 =
2m
Obteniendo por comparación:
=−
2
2m
y
i = , luego = i
En consecuencia, la ecuación de Schroëdinger estaría dada por:
−
2 2 ( x, t )
( x, t )
+ E p ( x , t ) ( x , t ) = i
2
2m x
t
[4.18]
La anterior ecuación satisface todas las hipótesis relativas a la ecuación de onda de la mecánica
cuántica. En otras palabras es la ecuación de onda de la mecánica cuántica que genera
soluciones Ψ(x,t) que dan las funciones de onda que deben ser asociadas al movimiento de una
partícula de masa m, bajo la influencia de fuerzas que son descritas por la función de energía
potencial EP(x,t).
4.3.
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Una técnica para la solución de ecuaciones diferenciales parciales es encontrar las soluciones
como producto de funciones, donde cada función depende de una única variable. Esta técnica es
70
4. La ecuación de onda.
conocida como la técnica de separación de variables. Basándonos en esa técnica la función de
onda solución a la ecuación de onda se podría expresar de la forma:
Ψ(x,t) = ψ(x) φ(t)
[4.19]
Nótese que estamos usando notaciones diferentes para la función que depende de x y t
(mayúscula) y otra para la función de que depende exclusivamente de x (minúscula). Soluciones
de esa forma existen si la energía potencial no depende del tiempo, es decir, sí tenemos energías
potenciales tales que EP(x,t) = EP(x). Con la condición mencionada y solo si se cumple
podemos escribir la ecuación de Schrödinger de la forma:
−
2 2 ( x) (t )
( x) (t )
+ E p ( x, t ) ( x) (t ) = i
2
2m
t
x
[4.20]
Pero:
2 ( x) (t )
2 ( x)
d 2 ( x)
=
=
(
t
)
(
t
)
x 2
x 2
dx 2
( x) (t )
(t )
d (t )
= ( x)
= ( x)
t
t
dt
Luego reemplazando en la ecuación 4.20 tenemos:
−
2
d 2 ( x)
d (t )
(t )
+ E p ( x) ( x) (t ) = i ( x)
2
2m
dx
dt
[4.21]
Dividiendo ambos lados de la ecuación por ψ(x) φ(t), tenemos
1 2 d 2 ( x)
1 d (t )
+ E p ( x) ( x) = i
−
2
2m dx
(t ) dt
[4.22]
Resultando una igualdad de dos expresiones que dependen cada una de una única variable, la de
la derecha exclusivamente t y la de la izquierda exclusivamente de x; dado que cada ecuación
diferencial debe dar como solución una función que dependa solamente de esa variable y debido
a que las funciones que son solución de las ecuaciones diferenciales deben ser iguales,
concluimos que la solución debe ser una constante que llamaremos G, y la denominamos
constante de separación. Hacemos entonces:
71
4. La ecuación de onda.
i
1 d (t )
=G
(t ) dt
[4.23]
Luego:
d (t )
iG
= − (t )
dt
La expresión se puede escribir también de la forma
d (t )
iG
= − dt
(t )
Integrando:
ln (t ) = −
iG
t
O también
(t ) = ce
−
iG
t
[4.24]
Ahora si consideramos que la función (t ) también puede ser reescrita usando la identidad de
Euler de la forma: (t ) = ACos 2
G
G
t − iSen2 t y que representa una función que oscila con
h
h
el tiempo a una frecuencia f = G/h y recordando el postulado de De Broglie que nos dice que la
frecuencia es f = E/h, podemos intuir que la constante G corresponde a valores de energía,
luego se concluye que G = E. Entonces sustituyendo en la ecuación 4.24
(t ) = ce
−
iE
t
[4.25]
Ahora para el término que es función de x
1 2 d 2 ( x)
−
+ E p ( x) ( x) = E
2
( x) 2m dx
[4.26]
2 1 d 2 ( x)
+ E p ( x) = E
2m ( x) dx 2
[4.27]
Puede ser reescrita de la forma:
−
2 d 2 ( x)
+ E p ( x) ( x) = E ( x)
2m dx 2
[4.28]
72
4. La ecuación de onda.
Expresión conocida como la función de Schróëndinger independiente del tiempo. En la
ecuación, las funciones solución ψ(x) son denominadas funciones características soluciones a la
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. La solución total sería entonces:
Ψ(x,t) = ψ(x) φ(t)
[4.29]
Entonces la solución a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo sería
− iE t
( x, t ) = ce ( x)
[4.30]
Donde ψ(x) son también llamadas auto-funciones y son soluciones a la función de Schrödinger
independiente del tiempo. Estas determinan la dependencia espacial de las soluciones Ψ(x,t).
Deben ser finitas, únicas y continuas. En el caso que el mismo análisis se haga considerando las
tres dimensiones, esta extensión de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se
escribe de la forma:
2
2
2
( x , y , z ,t )
2 ( x , y , z ,t ) ( x , y , z ,t ) ( x , y , z ,t )
−
+
+
+ E p ( x , y , z ,t ) ( x , y , z ,t ) = i
2
2
2
2 x
y
z
t
La cual también puede ser expresada en una forma más compacta como:
−
2 2
+ EP = i
2
t
[4.31]
Siendo
M
m+M
=
m
Donde µ se conoce como la masa reducida, en la expresión m representa la masa del electrón y
M la masa del núcleo. Esta masa reducida considera el efecto de considerar las tres dimensiones.
En los casos en que la función potencial tridimensional sea independiente del tiempo, existirían
soluciones de la función de onda de la forma:
73
4. La ecuación de onda.
( x , y , z ,t ) = ( x , y , z ) e
−i
Et
[4.32]
Donde cada auto función (x,y,z) es una solución de la ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo dada en la expresión 4.33.
−
2 2
( x , y , z ) + E p ( x , y , z ) ( x , y , z ) = E ( x , y , z )
2
4.4.
[4.33]
El pozo de potencial cuadrado infinito.
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación de Schróëndinger para el pozo de potencial cuadrado infinito
el cual es definido como:
E P ( x) =
0
x < 0
ó
x > L
0 < x < L
Figura 4.2. Pozo de potencial infinito.
Solución:
El pozo de potencial cuadrado infinito (figura 4.2) es un modelo para potenciales capaces de
retener partículas con cualquier energía E > 0. El potencial puede ser considerado como infinito
fuera de una región comprendida entre 0 y L y nulo dentro de dicha región.
Este caso describe la situación en la que una partícula se mueve en una región limitada del
espacio bajo la influencia de fuerzas que la mantienen en esa región. Dado que la auto- función
debe ser finita, debe tener valores de función que sean cero en x = 0 y x = L. Luego dentro de la
caja (unidimensional) debemos resolver la ecuación 4.34.
d 2 ( x) 2mE
+ 2 ( x) = 0
dx 2
[4.34]
Resolviendo usando el operador D:
2 2mE
D + 2 ( x) = 0
D = i
2mE
2
D = i
2mE
74
4. La ecuación de onda.
Tiene como forma de solución:
( x) = Ae
Dx
+ Be
− Dx
= Ae
i
2 mE
x
+ Be
−i
2 mE
x
[4.35]
Pero dentro de la caja la energía total es la misma energía cinética ET = EC, entonces:
1
2m mV 2
2mE
m 2V 2 p
2
=
=
=
Además:
p
p
p 2
=
= 2 =
=K
h
h
2
Luego la solución está dada por la expresión 4.36 (haciendo uso de la identidad de Euler):
( x) = Ae iKx + Be −iKx = cSen( Kx + )
[4.36]
Aplicando condiciones continuidad (o de frontera) a la expresión 4.36, se debe cumplir que:
1. (0) = 0
2.
( x)
x
x =0
y
=0
y
( L) = 0
( x)
x
x=L
=0
Luego:
(0) = cSen = 0 Lo cual implica = 0 y en consecuencia ( x) = cSenKx . Entonces:
( L) = CSenKL = 0
Para satisfacer la anterior condición debe cumplirse que el ángulo KL sea múltiplo de n , luego
KL = n de donde se obtiene que K =
n
para valores de n = 0,1,2,....
L
Ahora, sustituyendo en la expresión de la energía cinética:
EC =
1 2 p2
mv =
2
2m
75
4. La ecuación de onda.
Pero
p=
h
=
2
p = 2k = K
Entonces obtenemos una expresión final para la energía total, la cual nos lleva también al
concepto de la cuantización de la energía:
E=
K 2 2 n 2 2 2
=
2m
2mL2
En =
[4.37]
n 2 2 2
2mL2
Expresando en función de n:
Kn =
n 2
=
L
y entonces L =
n
2
Graficando esta expresión, para n =1 obtenemos el valor de energía mínima – expresión 4.37.
En la caja observaríamos media longitud de onda. Para mayores valores de n tendríamos no
sólo incrementos de energía, sino que vemos que la longitud de onda disminuye, como se
observa en la figura 4.2.
Emínima =
2 2
[4.38]
2mL2
Figura 4.2. Comportamiento de la longitud de onda parta variaciones de n.
76
4. La ecuación de onda.
Para encontrar la constante C, normalizamos la función característica. La normalización de una
función tiene como efecto determinar la amplitud de la auto-función. La integral que define la
normalización representa adicionalmente la probabilidad de encontrar en algún lugar la partícula
descrita por la función de onda y tiene que ser de valor unitario para garantizar que la partícula
exista. La normalización de una función se define de la forma:
Para el caso de la función de onda de nuestro ejemplo, la
−
normalización de la función se plantea entonces de la forma
dx = 1
siguiente:
L
( x)
2
dx = 1
[4.39]
0
Entonces:
L
C
0
2
n
n
Sen2
xdx = 1
L
Cn
2
L
= 1 Cn =
2
2
L
Luego la solución para la función de onda viene dada por la ecuación 4.40:
( x ) n =
2
nx
Sen
L
L
[4.40]
Dado que la función de onda pueda explicar fenómenos que los límites impuestos por el análisis
clásico del movimiento no lo permiten, entonces se da lugar a unos importantes fenómenos
cuánticos, los cuales se estudiarán en lo ítems posteriores.
Ejemplo 2.
Para una partícula en el estado estacionario n de una caja monodimensional de longitud L,
encuentre la probabilidad de que la partícula esté en la región 0 x L/4.
Solución:
L/4
2
P(0 x L / 4) = dx =
L
0
L/4
0
sen2
nx
dx
L
que se resuelve haciendo uso de la identidad trigonométrica 2Sen2 = 1 − Cos(2 ) . Luego:
77
4. La ecuación de onda.
P(0 x L / 4) =
P(0 x L / 4) =
1
L
L/4
1 − Cos
0
2nx
1 L
L
n
Sen
dx = −
L
L 4 2n
2
1
1
n
−
Sen
4 2n
2
Nótese que, si n es par,
Sen
n
1
= 0 y P ( 0 x L / 4) = ,
2
4
y si n es impar, se puede expresar como n = 2l + 1, con l = 0,1,2,3.. , de tal forma que
Sen
(2l + 1) = (−1)l
n
= Sen
2
2
En este caso P(0 x L / 4) =
P ( 0 x L / 4) =
4.5.
1
1
−
,
4 2n
1
1
+
,
4 2 n
si n = 1,5,9……
y
si n = 3,7,11..
Barrera de potencial.
Ejemplo 3. Resuelva la ecuación de Schróëndinger para la barrera de potencial definida como se
muestra en la figura 4.3.
E
E P ( x) = P 0
0
0 < x < a
x < 0
o
x > a
Figura 4.3. Barrera de potencial.
78
4. La ecuación de onda.
Solución
La barrera de potencial está definida de acuerdo a la función de la energía potencial EP(x) que
consta de dos funciones escalón y presenta una altura EP0 y anchura a, como se muestra en la
figura 4.3. Se pide encontrar las eigenfunciones. Como la ecuación de Schrödinger y su
solución se extiende al campo de las pequeñas partículas comportándose de una forma diferente
a las funciones del modelo ondulatorio clásico, el estudio de este caso evidencia un fenómeno
muy importante en la concepción de los dispositivos electrónicos conocido como penetración de
la barrera de potencial.
Para el caso en el que la energía total de la partícula sea mayor que el valor de EP0, no existe
inconveniente en sobrepasar la barrera. Sin embargo, en el caso de que la partícula posea
energía menor a aquella de la barrera, la física clásica nos dice que una partícula proveniente de
la izquierda con E E p 0 se refleje en el origen x = 0, ya que de lo contrario, en la región 0 < x
< a la energía cinética de la partícula sería negativa y recordemos que EC = 1/2mv2, lo cual
resulta imposible en términos clásicos. En este evento la función de onda difiere del
comportamiento clásico ya que efectivamente las partículas en la condición mencionada logran
a pasar la barrera.
Las partículas que logran penetrar la barrera una distancia mayor o igual que a, tendrían en la
región III una energía cinética igual a su energía total, dado que la energía potencial vuelve a ser
cero y en consecuencia deberán moverse hacia la derecha con igual velocidad que las partículas
incidentes de la región I, estas partículas se llaman transmitidas ya que han pasado a través de
la barrera -prohibida por la física clásica debido a la condición de existencia de masa negativa-.
Desde el punto de vista de la Física Cuántica, al resolver la ecuación de Schröedinger en las tres
regiones y al aplicar las condiciones de continuidad de las funciones de onda y de su primera
derivada en los puntos de frontera x = 0 y x = a, encontramos evidencia de que efectivamente
existen ondas transmitidas. Resolveremos primero el caso en que E E p 0 , para las regiones I y
III.
79
4. La ecuación de onda.
Para x < 0 o x > a obtenemos las ecuaciones diferenciales:
d 2 1 ( x) 2mE
+ 2 1 ( x) = 0
dx 2
d 2 3 ( x) 2mE
+ 2 3 ( x) = 0
dx2
y
Resolviendo de la forma:
2 2mE
D + 2 ( x) = 0
D= −
2mE
2
D = i
2mE
= ik1
Sabemos que tienen solución:
1 ( x) = Ae ik x + Be −ik x
para x < 0
Región I
3 ( x) = Ceik x + De−ik x
para x > a
Región III
1
1
1
1
Como se observa la función de onda 1(x) debe contener las componentes de las partículas
incidentes y reflejadas. Para el caso de la función 3(x), puesto que estamos considerando el
caso de una partícula que incide desde la izquierda sobre la barrera, en la región III de la
derecha, sólo puede haber una onda transmitida ya que no existe nada en esta región para que se
produzca la reflexión. Entonces podemos hacer D = 0. Luego la función de onda en la región III
será 3 ( x) = Ceik1x y representa las partículas transmitidas.
En la región II, al interior de la barrera, tenemos:
2 ( x) 2m( E − E p 0 )
+
2 ( x) = 0
x 2
2
Resolviendo:
D2 +
2m( E − E P 0 )
=0
2
D2 =
2m( EP 0 − E )
2
D=
2 m( E P 0 − E )
= k2
Obtenemos soluciones de la forma
2 ( x) = Fe ik x + Ge −ik x
2
2
0<x<a
Región II
80
4. La ecuación de onda.
(x) decrece exponencialmente. Sin embargo, en esta situación no se puede considerar F = 0
en 2 ( x) ya que el valor de x está limitado en la región de la barrera (0 < x < a), y esta región
clásicamente prohibida no lo es en el análisis cuántico, sin embargo 2 ( x) para E E p0 no se
puede hacer infinitamente grande aun estando presente la exponencial creciente. Dependiendo
del valor de a es posible que ψ(x) no alcance el valor cero en x = a, la función de onda entonces
continuará a la derecha de dicho punto, con amplitud C, de la función ψ(x).
Lo anterior significa que la física cuántica nos dice que es posible que una partícula atraviese la
barrera de potencial aun cuando su energía cinética sea menor que la altura de la barrera, ello
dependiendo del valor de a. En el caso que estamos estudiando, es decir de partículas con
energías menor que la altura de la barrera E E P 0 , podemos determinar las constantes A, B, C,
F y G aplicando la condición de continuidad del campo de materia o función de onda para x = 0
y x=a.
1 ( x) x=0 = 2 ( x) x=0
2 ( x) x = a = 3 ( x) x = a
1 ( x)
2 ( x)
=
x x=0
x x=0
2 ( x)
3 ( x)
=
x x = a
x x = a
Estas condiciones generan cuatro igualdades
A+ B = F +G
Aik1 − Bik1 = − iFk2 − iGk2
Ce ik1a = Fe − k2a + Ge k2a
Cik1e ik1a = iFk 2 e − k2a − iGk 2 e k2 a
De estas ecuaciones se pueden obtener las constantes B, C, F y G en términos de A. el valor de
A determina la amplitud de la eigenfunción y se puede dejar arbitraria. Utilizando notación
matricial tenemos:
1
ik1
0
0
1
− ik1
0
0
0
0
1
ik1
−1
k2
− e −k2a
k 2 e − k2a
− 1 − ik1 f1 + f 2
− k 2 2ik1 f1
− e k 2 a f1 + f 2
− k 2 e k2a − f 2
81
4. La ecuación de onda.
2ik1
0
0
0
2ik1
0
0
0
0
2ik1
0
0
0 − ik1 + k 2
0 − ik1 − k 2
1
− e −k2a
0
2ik1
0
0
0
− ik1 − k 2 (−ik − k ) f + f
1
2
4
1
k 2 − ik1 (−ik + k ) f + f
1
2
4
2
− e k2a e −k2a f + f
4
3
ik1 − k 2 k2 a
e (−ik1 + k 2 ) f1
ik1k 2
1
2ik1 (ik1 + k 2 ) 0
0
2ik1
0
0
0
0
− ik1 − k 2
− ik f + f 2
k 2 − ik1 1k2 a1
e
f4
− e k2a
ik1 + k 2
− k 2 e k2 a
− ik1 + k 2
− ik1 − k 2
− e −k2a
k 2 e −k2a
0
0
1
ik1
0 0 e 2 k2 a (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2
0 0
(ik1 − k 2 )(e 2 k2 a − 1)
− 2k 2 k 2 a
1 0
e
ik1 + k 2
ik1 − k 2 k2 a
0 1
e
ik1 + k 2
Leyendo la primera ecuación obtenemos el valor de la constante G en términos de A y así con
las demás constantes.
2ik1 (ik1 + k 2 ) A + e 2 k2a (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2 G = 0
G=
e
2 k2a
− 2ik1 (ik1 + k 2 )
A
(ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2
(
)
(k1 + k 2 ) e 2 k2 a − 1
A
e 2 k2 a (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2
2
B=
2
− 4ik1k 2 e k2a
C = 2 k2a
A
e (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2
2ik1 (ik1 − k 2 )e k2a
F = 2 k2a
A
e (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2
El resultado más interesante de los cálculos es la razón T que se denomina coeficiente de
transmisión y representa la proporción de partículas incidentes que son transmitidas. En otras
palabras es la razón del flujo de probabilidad transmitido a través de la barrera y el flujo de
probabilidad incidente sobre la misma. Este coeficiente de transmisión está dado por la ecuación
82
4. La ecuación de onda.
T=
v1C *C
v1 A* A
Donde
C=
− 4ik1k 2 e k2a
A
e 2 k2a (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2
y
C* =
4ik1k 2 e k2a
A
e 2 k2a (−ik1 − k 2 ) 2 − (−ik1 + k 2 ) 2
Luego:
− 4ik1k 2 e k2a
4ik1k 2 e k2a
T = 2 k2 a
x
e (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2 e 2k2a (−ik1 − k 2 ) 2 − (−ik1 + k 2 ) 2
− 16i 2 k1 k 2 e 2 k2a
T = 2 k2 a
e (ik1 − k 2 ) 2 − (ik1 + k 2 ) 2 e 2 k2a (ik1 + k 2 ) 2 − (ik1 − k 2 ) 2
2
2
− 16i 2 k1 k 2 e 2 k2a
T = 4k a 2
2
2
2
e 2 (k1 + k 2 ) 2 − e 2 k2a (ik1 − k 2 ) 4 − e 2 k2a (ik1 + k 2 ) 4 + (k1 + k 2 ) 2
2
2
− 16i 2 k1 k 2
T = 2k a 2
2
2
2
e 2 (k1 + k 2 ) 2 − (ik1 − k 2 ) 4 + (ik1 + k 2 ) 4 + e −2 k2a (k1 + k 2 ) 2
2
2
T=
− 16i 2 k1 k 2
2
2
4
4
2
2
2
2
e 2 k2a (k1 + k 2 ) 2 − 2i 4 k1 + 2k 2 − 12k1 k 2 + e −2 k2a (k1 + k 2 ) 2
T=
16k1 k 2
2
2 2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2 k2 a
4 4
e (k1 + k 2 ) − 2i k1 + 4k1 k 2 + 2k 2 − 4k1 k 2 − 12k1 k 2 + e −2 k2a (k1 + k 2 ) 2
T=
16k1 k 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 k2a
e (k1 + k 2 ) − 2(k1 + k 2 ) 2 + 16k1 k 2 + e −2 k2a (k1 + k 2 ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
16k1 k 2
T= 2
2 2 2 k2a
2
2
(k1 + k 2 ) e
− 2 + e −2 k2a + 16k1 k 2
(
)
(k12 + k 2 2 ) 2 e k2a − e −k2a
T = 1 +
2
2
16k1 k 2
−1
83
4. La ecuación de onda.
2
e k2a − e −k2a
T = 1 +
16 E 1 − E
E p 0 E p 0
(
−1
)
O también
vE
J
4 E (E0 − E )
T= T =
=
2
2
JI v A
4 E ( E0 − E ) + E0 Senh2 (k2a)
2
Para E E P 0 , T es menor que la unidad. Nótese que el coeficiente de transmisión depende
tanto de las energías total y potencial como de la anchura de la barrera. De la ecuación se puede
inferir que el coeficiente de transmisión disminuye rápidamente a medida que se incrementa la
anchura de la barrera de potencial. Si los exponentes son muy grandes esta fórmula se reduce a
T 16
E
Ep0
1 − E e −2 k2a
Ep
0
k2 a 1
Una partícula de masa m y energía total E que incide sobre una barrera de potencial de altura
E E P 0 y ancho finito a, tiene cierta probabilidad T de penetrar la barrera y aparecer del otro
lado. A este fenómeno se le llama penetración de barreray se dice que la partícula hizo un túnel
a través de la barrera.
Para el segundo caso, o sea partículas con energía mayor que la altura de la barrera, E E P 0 , la
ecuación en la región II cambiaría a la forma:
2 ( x) 2m( E − E p 0 )
+
2 ( x) = 0
x 2
2
Resolviendo de la forma:
84
4. La ecuación de onda.
D2 = −
2 m( E − E P 0 )
2
D= −
2 m( E − E P 0 )
2
D = i
2 m( E − E P 0 )
= ik2
Tiene solución:
2 ( x) = Fe ik x + Ge −ik x
2
2
0<x<a
Tampoco se puede asumir F = 0 en 2 ( x) ya que para E E P 0 tendrá una componente en la
región de la barrera reflejada que proviene de la discontinuidad del potencial en x = a.
En este caso la eigenfunción es oscilatoria en las tres regiones, pero de longitud de onda mayor
en la región de la barrera, 0 < x < a. Resolviendo de nuevo, la ecuación de Schrödinger en las
tres regiones.
Región I (x < 0)
d 2 1 ( x) 2mE
+ 2 1 ( x) = 0
dx 2
1 ( x) = Aeik x + Be −ik x
1
1
Siendo k1 =
2
2mE
2
Región II ( 0 < x < a)
d 2 2 ( x) 2m( E − E p 0 )
+
2 ( x) = 0
dx 2
2
2 ( x) = Ce −ik x + Deik x
2
k2 =
2
2
2m( E − E p 0 )
2
Región III (x < a)
85
4. La ecuación de onda.
d 2 3 ( x) 2mE
+ 2 3 ( x) = 0
dx 2
3 ( x) = Eeik x
1
Las ecuaciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en x=a,
relacionan C y D con E, y en x=0 relacionan A y B con C y D y por tanto con E
Haciendo un tratamiento similar al hecho en el caso donde E E P 0 , la evaluación de las
constantes B, C, F y G mediante la aplicación de las condiciones de continuidad en x = 0 y x =
a, conducen a la fórmula siguiente para el coeficiente de transmisión
T=
v1C *C
v1 A* A
2
e ik3a − e −ik3a
T = 1 −
16 E E − 1
E p 0 E p 0
(
−1
)
2
2 2
JT v E
4k1 k2
T=
=
=
J I v A 2 4k12k2 2 + (k12 − k2 2 )2 Sen2 (k2a)
vE
J
4 E (E − E0 )
T= T =
=
2
2
JI v A
4 E ( E − E0 ) + E0 Sen2 (k2a)
2
Para E E P 0 , T alcanza el valor máximo para valores concretos del cociente E/E0. De la
ecuación obtenida se puede observar que T es igual a 1 (su valor máximo), cuando k2a=nπ,
siendo n un número entero.
Dado que k2 es el número de onda entonces y que, k2=2π/2, se obtiene que:
2 =
2a
n
con n= 1,2,3,4........
esa expresión relaciona la longitud de onda 2 de la partícula en la barrera de potencial con la
anchura a de la misma, para que se obtenga el máximo en el coeficiente de transmisión. Los
86
4. La ecuación de onda.
valores de la energía E, o mejor del cociente E/E0, para los cuales hay un máximo del
coeficiente de transmisión se denominan resonancias.
Ejemplo 4.
Verificar que las funciones de onda de la forma ( x, t ) = Ae
2i ( x − ft )
son soluciones de la
ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de una partícula libre. Expresar f en función
del momento lineal p.
Solución
Partiendo de la expresión para la ecuación de Schröedinger unidimensional dependiente del
tiempo:
2 2 ( x, t )
( x, t )
−
+ E p ( x, t )( x, t ) = i
2
t
2m x
Pero sabemos que para una partícula libre la energía potencial es cero, luego:
i
(x, t )
2 2 ( x, t )
=−
t
2m x 2
Para comprobar que es solución, calcularemos los dos miembros:
( Ae
i
2i ( x / − ft )
)
t
= − A2i 2 f (e 2i ( x / − ft ) ) = A2f (e 2i ( x / − ft ) )
y
−
2 2 Ae 2i ( x / − ft )
4 2i 2 2 2i ( x / − ft )
=
−
A
e
2m
x 2
2 2m
que son iguales si
2f =
4 2 2
2 2m
87
4. La ecuación de onda.
O sea, si
f =
2
2 m 2
Como
=
h
p
Entonces
hf =
4.6.
p2
2m
Potencial escalón.
Ejemplo 4.4 Resuelva la ecuación de Schrödinger para el potencial escalón definido por:
E
E P ( x) = P 0
0
x > 0
x < 0
Figura 4.4. Potencial escalón.
Solución:
Primer caso. E E P 0
En este caso la mecánica clásica nos dice que la partícula no puede estar a la derecha de 0,
porque, entonces la energía cinética EC = E − E P 0 sería negativa, lo que es imposible. De este
modo x 0 es una región clásicamente prohibida sí E E P 0 . En el caso de los electrones libres
en un metal, esto significa que aquellos electrones con E E P 0 no pueden escapar del metal,
sino que cuando llegan a su superficie son devueltos al interior.
Para obtener (x) para el potencial escalón debemos escribir la ecuación de Schrödinger para
las regiones x 0 y para x 0 .
88
4. La ecuación de onda.
Para la región x 0 en el cual E P 0 = 0 , tenemos
d 2 1 ( x) 2mE
+ 2 1 ( x) = 0
dx 2
Resolviendo de la forma:
2 2mE
D + 2 ( x ) = 0
D= −
2mE
2
D = i
2mE
= ik1
Tiene forma de solución 1 ( x) = Ae Dx + Be − Dx
1 ( x) = Ae ik x + Be −ik x
1
1
Para la región x 0 , en la cual EP ( x) = EP 0 , la ecuación de Schrödinger es
2 ( x) 2m( E p 0 − E )
=
2 ( x)
x 2
2
Resolviendo de la forma:
D2 −
2m ( E P 0 − E )
=0
2
D2 =
2m( EP 0 − E )
2
D=
2 m( E P 0 − E )
= k2
Tiene solución
2 ( x) = Ce k x + De − k x
2
2
La función creciente no es aceptable porque sabemos que la amplitud del campo es muy
pequeña en la región x 0 . Porconsiguiente debemos usar sólo la función exponencial
decreciente así
2 ( x) = De − k x
2
Podemos determinar las constantes A, B y D aplicando la condición de continuidad del campo
de materia o función de onda para x = 0 .
1 ( x) x=0 = 2 ( x) x=0
89
4. La ecuación de onda.
1 ( x)
2 ( x)
=
x x=0
x x=0
Aplicando las condiciones obtenemos:
A+ B = D
ik1 ( A − B) = − Dk 2
i 2 k1 ( A − B) = −iDk 2
( A − B) =
iDk 2
k1
Sumando primera y última expresión
2A = D +
A=
k 2i
D
k1
D k 2i
1 +
2
k1
Restando primera y segunda.
2B =D - iD
Con lo que se ha determinado A y B en términos de D y por tanto la Eigenfunción para el
potencial escalón y para la energía E E P 0 , es
D k 2i ik1x D k 2i −ik 1x
e +
1 −
e
1 +
k1
( x) = 2 k1
2
−ik2 x
De
x0
x0
La función de onda correspondiente a la Eigenfunción es
D k 2i ik x
e 1 +
1 +
2
k
Ψ(x,t) =
1
iEt
−
De −ik2 x e
iEt
e −ik 1xe −
x0
x0
[4.41]
90
4. La ecuación de onda.
Segundo caso E E P 0
Para la región (II), en la cual E P ( x) = E P 0 y E E P 0 , la ecuación de Schröedinger es
2 ( x) 2m( E p 0 − E )
=
2 ( x)
x 2
2
Resolviendo de la forma:
D2 = −
2m ( E − E P 0 )
2
D 2=−
2m( E − E P 0 )
2
D = i
2 m( E − E P 0 )
= k3
Tiene solución
2 ( x) = Ceik x + De−ik x
3
3
x0
[4.42]
Una partícula inicialmente en la región x < 0 y moviéndose hacia x = 0 debería, en la mecánica
clásica, tener una probabilidad igual a uno de pasar por el punto x = 0 y penetrar en la región x >
0, lo cual no es cierto en la mecánica cuántica. Debido a las propiedades ondulatorias de la
partícula existe cierta probabilidad de que la partícula sea reflejada en el punto x = 0 donde
existe un cambio discontinuo en la longitud de onda de De Broglie. Por lo tanto, será necesario
tomar ambos términos en la solución general de [4.41] para describir las ondas viajeras
incidente y reflejada en la región x < 0.
Sin embargo, no es necesario tomar el segundo término de la solución general de [4.42] ya que
este término describe una onda que viaja en la dirección de la que decrece x, sólo podría
provenir de una reflexión en algún punto con una coordenada x positiva mayor (más allá de la
discontinuidad en x = 0). Como no hay nada fuera de aquí que cause una reflexión, se sabe que
solamente existe una onda viajera transmitida en la región x > 0 y por lo tanto la constante se
hace D = 0 en forma arbitraria.
Las constantes arbitrarias A, B y C deberán escogerse para que (x ) y
( x)
sean continuas
x
en x = 0.
1 ( x) x=0 = 2 ( x) x=0
91
4. La ecuación de onda.
1 ( x)
2 ( x)
=
x x=0
x x=0
Estas condiciones dan
A+ B = C
ik1 ( A − B) = −iCk2
k1 ( A − B) = −Ck2
( A − B) = −
Ck 2
k1
De las ecuaciones (a) y (b) se encuentra
B=
k1 − k3
A
k1 + k3
C=
y
2k1
A
k1 + k3
Con lo que se ha determinado B y C en términos de A y por tanto la eigenfunción para el
potencial escalón y para la energía E E p0 , es
k1 − k3 −ik1x
ik1x
Ae + A k + k e
1
3
( x) =
A 2k1 e −ik3 x
k1 + k3
x0
x0
La función de onda correspondiente al eigenfunción es
iEt
−
ik1x
−ik1x
Ae
+
Be
e
( x) =
iEt
Ceik3x e −
(
4.7.
)
x0
x0
Pozo de potencial cuadrado finito.
Ejemplo 5. Resuelva la ecuación de Schröedinger para el pozo de potencial cuadrado finito. Ver
figura 4.5
Solución:
92
4. La ecuación de onda.
El pozo de potencial cuadrado finito puede ser descrito de la forma:
a
a
x − .....o...... x
2
2
a
a
− x
2
2
EP 0
E P ( x) =
0
Figura 4.5. Potencial cuadrado finito.
d ( x ) 2 m( E P ( x ) − E )
−
( x) = 0
dx2
2
2
Para la región −
a
a
x la ecuación de Schrödinger
2
2
d 2 ( x) 2mE
− 2 ( x) = 0
dx2
Resolviendo de la forma:
2mE
2
D2 = −
D= −
2mE
2
D = i
2mE
Tiene solución:
2 ( x) == Ae Dx + Be −Dx = Ae
i
2 mE
x
+ Be
−i
2 mE
x
Utilizando la identidad de Euler
e i = Cos iSen
Tenemos que para −
( x) = ACos
2mE
2mE
2mE
2mE
x + iSen x + B Cos x − iSen
( x) = (A + B )Cos
( x) = ASen
a
a
x
2
2
x
2mE
2mE
x + (iA − iB )Sen x
2mE
2mE
x + BCos x
93
4. La ecuación de onda.
En las regiones x −
a
2
y x
a
tenemos:
2
2 ( x) 2m( E p 0 − E )
−
( x) = 0
x 2
2
donde ( E p 0 − E) 0
Resolviendo de la forma:
D2 =
2 m( E P 0 − E )
2
D2 =
2 m( E P 0 − E )
2
D=
2 m( E P 0 − E )
Tiene solución:
1( x) = Ce
2m ( EP 0 − E )
x
+ De
−
2 m ( EP 0 − E )
x
a
2
[4.43]
a
2
[4.44]
x−
y
3( x) = Fe
2 m ( EP 0 − E )
x
+ Ge
−
2 m ( EP 0 − E )
x
x
Para determinar las constantes arbitrarias, debemos de tener en cuenta que las eigenfunciones
permanecen finitas para toda x. Evaluando en el límite x → − ,
lim ( x) = lim Ce
x − −
x − −
lim ( x) = lim Ce
x − −
2 m ( EP 0 − E )
x
2 m ( EP 0 − E )
x
x − −
lim ( x) = 0 + lim De
x − −
+ De
−
2 m ( EP 0 − E )
x
+ lim De
−
2 m ( EP 0 − E )
x
x − −
2 m ( EP 0 − E )
−
x
x − −
=0
Este requisito exige hacer D = 0. Similarmente F = 0, con el propósito que [4.44] permanezca
finita en el límite x → + .
94
4. La ecuación de onda.
Ahora se debe cumplir que las eigenfunciones y sus primeras derivadas sean continuas en
x=−
a
2
y x=
a
2
1 ( x) x = − a = 2 ( x) x = − a
2 ( x) x = a = 3 ( x ) x = a
1 ( x)
2 ( x)
=
x x = − a
x x = − a
2 ( x )
3 ( x)
=
x x = a
x x = a
2
2
2
2
2
2
2
2
Obtenemos cuatro igualdades:
− ASen
a 2mE
a 2mE
+ BCos
2
2
= Ce
−
a 2 m (EP 0 −E )
2
a 2 m (EP 0 −E )
2
−
a 2mE
a 2mE
2mE
2mE
+
=
B
Sen
Ce
A Cos
2
2
x
2m(EP0 -E )
a 2 m ( EP 0 −E )
2
−
a 2mE
a 2mE
+ BCos
= Ge
ASen
2
2
a 2 m ( EP 0 − E )
2
x
−
2mE
a 2mE
2mE
a 2mE
−Ge
B
Sen
−
=
A Cos
2
2
2m(EP0 -E )
Restando la primera de la tercera se obtiene
2mE
2 ASen
2
a
= (G − C )e
2
2 m ( EP 0 − E ) a
−
2
[4.45]
Y sumándolas resulta
−
a 2mE
2BCos
= (G + C )e
2
a 2 m ( EP 0 − E )
2
[4.46]
Restando la cuarta de la segunda:
2 m( E P 0 − E ) − a
2mE a
2 BSen
e
= (G + C )
2
2 m ( EP 0 − E )
2
[4.47]
Y sumándolas
2A
2m( EP 0 − E ) − a
2mE
a 2mE
Cos
= −(G − C )
e
2
2 m ( EP 0 − E )
2
[4.48]
95
4. La ecuación de onda.
Exigiendo que B 0 y que (G + C ) 0 , Se puede dividir [4.47] entre [4.46] y obtener
2 m( E P 0 − E )
2mE
a 2mE
tan
=
2
[4.49]
Exigiendo que A 0 y que (G − C ) 0 , Se puede dividir [4.48] entre [4.45] y obtener
2 m( E P 0 − E )
2mE
a 2mE
cot
=−
2
Observamos que las dos ecuaciones resultantes no se pueden satisfacer simultáneamente. Sí se
pudiera, la ecuación que se obtiene al sumarlas
2mE
a 2mE
2mE
a 2mE
tan 2 + cot 2 =
sería válida. Multiplicando por tan
[4.50]
a 2mE
la ecuación resulta en
2
2mE 2 a 2mE
2mE
tan 2 + = 0
O bien.
tan 2
a 2mE
= −1
2
que no puede ser válida ya que tanto
a
2mE
como
son reales. Entonces, solamente es
2
posible que se satisfaga una de las dos ecuaciones, pero no ambas. Las eigenfunciones del pozo
de potencial cuadrado forman dos clases. Para la primera clase
2 m( E P 0 − E )
2mE
a 2mE
tan
=
2
A=0
G-C=0
y entonces de la tercera ecuación del sistema de igualdades hallado, resulta en:
96
4. La ecuación de onda.
BCos
−
a 2mE
= Ge
2
G = BCos
a 2mE
e
2
a 2 m ( EP 0 − E )
2
a 2 m ( EP 0 − E )
2
=C
y las eigenfunciones serían
a
a 2mE
BCos
e
2
2mE
( x) = BCos
x
a
a 2mE
BCos
e
2
2 m ( EP 0 − E )
2
e
2 m ( EP 0 − E )
x
x−
−
2 m ( EP 0 − E )
2
−
e
a
2
a
a
x
2
2
2 m ( EP 0 − E )
x
x
a
2
para la segunda clase
2 m( E P 0 − E )
2mE
a 2mE
cot
=−
2
B=0
G+C=0
Luego resulta
ASen
−
a 2mE
= Ge
2
G = ASen
a 2mE
e
2
a 2 m ( EP 0 − E )
2
a 2 m ( EP 0 − E )
2
= −C
y las eigenfunciones serían
a 2 m ( EP 0 − E )
2 m ( EP 0 − E )
x
a 2mE
2
− ASen
e
e
2
2mE
( x) = ASen
x
a 2 m ( EP 0 − E )
2 m ( EP 0 − E )
−
x
a 2mE
2
ASen
e
e
2
x−
−
a
2
a
a
x
2
2
x
a
2
Considerando la ecuación [4.49] y multiplicándola por a/2 tenemos
97
4. La ecuación de onda.
2m( EP 0 − E )a 2
2mEa 2
2mEa 2
tan
=
2
2
2
[4.51]
Para una partícula dada de masa m y un pozo de potencial dado de profundidad E p0 y ancho a
existe una ecuación en una incógnita E. Sus soluciones son los valores permitidos para la
energía total de la partícula que son los eigenvalores para las eigenfunciones de la primera clase.
Las soluciones de esta ecuación trascendente solamente se pueden obtener por métodos
numéricos o gráficos. Haciendo un cambio de variable
mEa 2
2 2
así que la ecuación resulta
tan
mEP 0 a 2
− 2
2
2
si se grafica la función
p ( ) = tan
y la función
q( ) =
mEP 0 a 2
− 2
2 2
Las intersecciones especifican los valores de que son soluciones de [4.51].
98
4. La ecuación de onda.
4.8.
1.
Ejercicios.
Un electrón es confinado en un pozo infinito cuyo ancho L es 120 pm (diámetro del átomo).
¿Cuáles son las energías del electrón para los niveles n = 1, n = 2, n = 15 ?
2.
Un electrón cuya energía total es 5.1 eV se aproxima a una barrera cuya altura es 6.8 eV y
cuyo espesor L es 750 pm. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie del electrón
incidente? (b) Cuál es el coeficiente de transmisión ?
3.
Una partícula de polvo de 1.5 g se mueve entre dos muros rígidos distanciados entre sí
0.10 nm. Cruzar este trayecto le toma 120 seg. Considere la partícula como atrapada en un
pozo infinito. ¿Cuál es el número cuántico que describe el movimiento?
4.
Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables separadas por 0.200nm.
Determine los niveles de energía para los estados n=1, 2, 3.
5.
(
)
La función de onda de un electrón es: 2 ( x) = 2 Sen 2x . Calcule la probabilidad de
L
L
encontrar al electrón entre x = 0 y x = L/4.
6.
i ( kx − t )
Muestre que la función de onda ( x ) = Ae
es una solución de la ecuación de
Schröedinger donde k = 2π/λ y
7.
Ep = 0.
Comprobar que las funciones ( x, t ) = Ae
2i ( x − ft ) son soluciones de la ecuación de
Schröedinger monodimensional dependiente del tiempo de una partícula libre. Suponiendo
que es la longitud de onda de De Broglie, expresar f en función del momento lineal p.
8.
Hallar la longitud de onda de la luz emitida cuando una partícula de 10-27 g en una caja
mono dimensional de 30 nm pasa del nivel n=2 al nivel n=1.
99
4. La ecuación de onda.
9.
Para el estado fundamental de una partícula en una caja mono dimensional de longitud L,
encontrar la probabilidad de que la partícula esté entre 0.001L del punto L/2.
10. Para el estado estacionario de número cuántico n de la partícula en una caja, escribir una
expresión para la probabilidad de que la partícula se encuentre entre L/4 y L/2.
100
Capítulo 5. Números cuánticos
5. Números cuánticos.
____________________________________________________________________________
5.1.
Introducción.
En el capítulo anterior se obtuvo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para tres
dimensiones en un sistema de coordenadas cartesianas. Expresar dicha ecuación de onda
tridimensional en un sistema de coordenadas esféricas exige el cumplimiento de unas
condiciones que generan un conjunto de números que se relacionan entre sí por
condicionamientos específicos. Estos números se conocen como los números cuánticos, los
cuales identifican con precisión los estados en los que se ubica un electrón. A
continuación,
mostramos el desarrollo matemático que nos permite llegar a los mencionados números.
5.2.
Separación de la ecuación independiente del tiempo
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo puede también ser separada en tres
funciones dependiendo cada una de una única variable y esto es logrado mediante la aplicación
sucesiva de técnicas de separación de variables, resultando de esta técnica tres ecuaciones
diferenciales ordinarias (cada una dependiendo de una coordenada). Dicho método sin embargo,
no puede ser utilizado cuando son empleadas coordenadas rectangulares dado que la energía
potencial dependería de las tres coordenadas cartesianas Ep=Ep(x,y,z). Se hace necesario
entonces el uso de un nuevo sistema de coordenadas en el que se cumpla que la energía
potencial varíe sólo con una única variable, es decir de una posición r. Este sistema es el de
coordenadas esféricas, ya que la energía potencial variaría solamente con dicha variable.
Entonces cambiando de sistemas de coordenadas:
E p ( x , y , z ) = E p ( r , , ) = E p ( r )
[5.1]
Luego la función de onda se puede expresar como el producto de tres funciones independientes:
101
Capítulo 5. Números cuánticos
( x, y , z ) = ( r , , ) = R( r ) ( ) ( )
[5.2]
Por separación de variables obtenemos tres ecuaciones diferenciales. El operador Laplaciano en
coordenadas esféricas es de la forma:
1 2 (_)
1
2 (_)
1
(_)
2 = 2
+ 2
r
+ 2
Sen
2
2
2
r r Sen
r Sen
r r
[5.3]
Resolviendo el Laplaciano para (r,,) obtenemos:
1 2 R
1
2 R
1
R
r
+
+ 2
Sen
+ E p ( r ) R = ER
2
2
2
2
2
r r Sen
r Sen
r r
−
2
2
−
2 d 2 dR
R d 2
R
d
d
r
+
+ 2
Sen
+ E p ( r ) R = ER
2
2
2
2
2
2 r dr dr r Sen d
d
r Sen d
Multiplicando ambos miembros por −
Sen 2 d 2 dR 1 d 2 1 d
+
r
+
R dr dr d 2 d
2r 2 Sen2
tendremos:
R 2
d 2 2
2
Sen
− 2 r Sen ( E p ( r ) − E ) = 0
d
ó
1 d 2
Sen 2 d 2 dR 1 d
=
−
r
−
d 2
R dr dr d
d 2 2
2
Sen
− 2 r Sen ( E − E p ( r ) )
d
El primer término de la igualdad depende sólo de , en tanto que el segundo término depende
solamente de r y . El valor común de ambos no puede depender de ninguna de esas variables y
debe ser por tanto una constante que denominaremos (-m2)
Entonces:
d 2
= −m 2
2
[5.4]
Siendo esta la primera ecuación diferencial.
De igual forma, el valor común debe ser el mismo para el segundo término, así dividiendo por
102
Capítulo 5. Números cuánticos
Sen2 tenemos la expresión:
1 d 2 dR
1
d
d 2 2
m2
−
r (E − E p(r ) ) = −
r
−
Sen
−
R dr dr Sen d
d 2
Sen2
[5.5]
Que se puede escribir también de la forma:
[5.6]
1 d 2 dR 2 2
m
1
d
d
−
r
+ 2 r (E − E p(r ) ) =
Sen
2
R dr dr
d
Sen Sen d
2
En esta igualdad obtenemos de nuevo dos expresiones a lado y lado que dependen solamente de
las variables r y , escogemos convenientemente para la solución de las ecuaciones un valor
común constante denotado por l(l+ 1). Luego multiplicando ambos miembros por :
m2
1 d
d
−
Sen
= l (l + 1)
2
d
Sen Sen d
[5.7]
Y multiplicando por R/r2
1 d 2 dR 2
R
r
+ 2 ( E − E p ( r ) ) R = l (l + 1) 2
2
r dr dr
r
[5.8]
Resolviendo las ecuaciones tenemos:
1. () = eim
Esta ecuación representa el conjunto de funciones que son
soluciones aceptables para la ecuación diferencial que es
función de ɸ, y la cual satisface la condición de unicidad
solamente para valores de |m| = 0,1,2,3, ..
m - puede ser un entero positivo o negativo.
2. m()=SenmFl(Cos)
La expresión reproduce las soluciones aceptables si la
constante l tomase valores: l = |m|, |m| + 1, |m| +2, ....
Fl(Cos) son polinomios en Cos cuyas formas dependen
del número cúantico l y del valor absoluto de m ( |m| ).
103
Capítulo 5. Números cuánticos
3. Rn ( r ) = e
Con
−
zr
na0
l
zr
zr
Gnl
ao
ao
4 o 2
ao =
q 2
zr son polinomios en zr/ao con formas diferentes
G nl
a o para los diferentes valores de n y l.
Los valores permitidos para la energía total En
dependen solo de n. Existen soluciones aceptables de
estado ligadas si la constante E tiene un valor En tal que:
En = −
z 2 q 4
(4o)22 2 n 2
n = l+1, l+2, l+3,......
[5.9]
Las auto-funciones de un átomo de un electrón dependen de tres números cuánticos n, l, m y
aparecen dado que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo contiene tres variables,
así que tenemos unas condiciones que son satisfechas por los números cuánticos.
n = 1, 2, 3, ......
l = 0,1,2,.......n-1
m = -l, -l +1,...0,...,l -1, l
De esta forma tenemos:
() - La ecuación dependiente de sólo tiene soluciones aceptables para ciertos valores de
m.
() - Usando los valores de m, la ecuación dependiente de sólo tiene soluciones aceptables
para ciertos valores de l.
R(r)
- Con esos valores de l se encuentra que la ecuación dependiente de r sólo tiene valores
aceptables para ciertos valores de energía total E. Por causa de su papel de especificar
la energía total del átomo, n es llamado número cuántico principal.
Entonces tenemos los números cuánticos con las siguientes connotaciones:
n - número cuántico principal, el cual especifica la órbita del electrón.
l - número cuántico azimutal, determina el momento angular orbital. Define el subnivel y se
relaciona con la forma del orbital (depende de n). Podemos afirmar que cada nivel
energético n tiene un número equivalente de subniveles.
104
Capítulo 5. Números cuánticos
m - número cuántico magnético y define la energía del átomo en presencia de un campo
magnético externo (depende de l). Define los orbitales presentes en un subnivel. Cada
orbital acepta un número máximo de electrones igual a 2.
Un cuarto número cuántico es el spin, el cual define el momento angular intrínseco y puede
tener los valores de ( ½ ) identificando las dos posibles orientaciones del momento de dipolo
magnético del electrón en el campo magnético que existe en el átomo causado por el
movimiento de sus partículas cargadas. Postulado por Goudsmit y Uhlenbeck en 1.925.
s=
1
En unidades de , s =
2
2
El spín, no afecta ni la energía ni el momento del electrón. Las energías obtenidas a partir de las
funciones de onda son únicamente para el átomo de hidrógeno, pero las reglas de selección del
número cuántico son válidas para estructuras más complicadas y nos permite entender el arreglo
de los átomos en la tabla periódica de elementos químicos.
Tenemos entonces que el estado de un electrón se encuentra definido por los cuatro números
cuánticos; no es posible que dos o más de electrones ocupen el mismo estado de energía. Esta
condición requiere que exista un estado de energía disponible para que un electrón cambie de
estado. Cuando ello ocurre se presenta radiación o absorción de energía por parte del electrón.
En resumen, los electrones en los átomos orbitan alrededor del núcleo. Las únicas orbitas
posibles son aquellas donde se cumple la condición de cuantización de la energía.
5.3.
Principio de exclusión de Pauli.
Tal como se ha explicado, cada estado de energía permitido del electrón en el átomo de
hidrógeno es únicamente descrito por cuatro números cuánticos n, m, l, s. No puede haber dos
electrones en el mismo átomo con los cuatro números cuánticos iguales, condición que se
conoce como el principio de exclusión de Pauli. Esto conlleva a que los electrones se vayan
ubicando en los diversos estados de energía permitidos en el átomo, de menor a mayor
contenido de energía, lo que se conoce como el principio de Aufbau que se debe a Bohr. La
regla de Hund por su lado nos dice que ningún orbital puede tener dos electrones antes que los
restantes orbitales de la misma subcapa tengan al menos uno; cada estado siendo definido por
105
Capítulo 5. Números cuánticos
los cuatro números cuánticos. Cuando un estado ha sido ocupado por un electrón, los restantes
electrones pasan al siguiente estado de mayor energía permitida y empiezan a llenarlo. Esto
sucede hasta que todos los electrones estén en algún nivel de energía.
Pauli en su conocido principio nos dice que "dos electrones en un sistema Interactuante no
pueden tener el mismo grupo de números cuánticos n, m, l, s". Únicamente dos electrones
pueden tener los mismos números cuánticos n, m, l. Con base en los números cuánticos
podemos obtener el número de estados permitidos en cada órbita y sub-órbitas. En la tabla 5.1,
presentamos algunos ejemplos de los estados permitidos en cada órbita y cada sub-órbita, para
diferentes números cuánticos.
Tabla 5.1. Estados permitidos para diferentes números cuánticos.
n 1 m
s
Estados permitidos Estados permitidos
en cada su-órbita
1
0
0
1/2 2
2
0
0
1/2 2
1
-1
1/2
0
1/2 6
1
1/2
0
0
1/2 2
1
-1
1/2
0
1/2 6
1
1/2
-2
1/2
-1
1/2
0
1/2 10
1
1/2
2
1/2
3
2
en cada órbita
2
8
18
Expresando ahora en una notación conocida como notación “Shorthand” en la que a cada valor
de l se le asigna una letra, tal como se muestra en las líneas siguientes.
l 0 1 2 3 4 ..
s p d e f ..
106
Capítulo 5. Números cuánticos
Esta notación nos permite introducir lo que se conoce como la configuración electrónica, es
decir la descripción de la ubicación de los electrones en los distintos niveles (con sub-niveles y
orbitales) de un determinado átomo. Es la manera ordenada de repartir los electrones en los
niveles y subniveles de energía, o en otras palabras es la representación del modelo atómico de
Schröedinger, el cual describe exactamente el átomo de hidrógeno, pero que es aplicable a otros
átomos.
Podemos escribir un estado para el electrón de la forma: 3p6. Donde el coeficiente indica el
primer número cuántico (n = 3), la variable representaría el número cuántico azimutal (l = 1), y
el exponente la cantidad total de electrones. Así para algunos elementos de la tabla periódica:
n
l
1
0
1s
2
0
2s
1
2p
0
3s
1
3p
2
3d
3
Los números cuánticos principales se corresponden con los niveles de energía que describen las
orbitas alrededor de un átomo, a estos niveles (enumerados de 1 a 7), también se les asocian
letras para su denominación como se muestra abajo.
K
L
M
N
O
P
Q
1
2
3
4
5
6
7
Entonces para diferentes elementos de la tabla periódica, resultaría la notación mostrada en la
tabla 5.2.
n
l
1
0
Notación 1s
Tabla 5.2. Representación en notación Shorthand.
2
3
4
0
1
2s 2p
0
1
2 0
3s 3p 3d
1
4s 4p
2
3
4d
e4
Notación “Shorthand”
No. atómico Elemento
1
H
1
4
Be
2
1s1
2
1s2 2s2
107
Capítulo 5. Números cuánticos
1s2 2s2 2p6
10
Ne
2
2
6
14
Si
2
2
6
2
2
1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
18
Ar
2
2
6
2
6
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
32
Ge
2
2
6
2
6 10 2
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2
2
Como se observa de la anterior tabla, los átomos aislados tanto de Si como de Ge presentan una
distribución electrónica en la que el subnivel más exterior se encuentran semilleno. Debido a la
cantidad de electrones que posee el silicio, por ejemplo, el subnivel 3p6 posee 2 electrones
solamente, pudiendo ubicar 6. Esto hace que los átomos en el sólido puedan reaccionar con
otros átomos vecinos y compartir electrones de tal forma que parece que tuviesen el subnivel
lleno. Esto sucede pues las estructuras más estables son aquellas en donde los subniveles de
energía están llenos y no hay estados desocupados. El enlace entre un par de electrones de
valencia de 2 átomos vecinos, se denomina enlace covalente.
En la tabla 5.3 se muestra un diagrama que presenta el número de orbitales y subniveles que
pertenecen a cada nivel de energía.
Tabla 5.3.Números cuánticos
Niveles
Subniveles
Orbitales
Máximo No.
energía
(l)
(m)
de electrones
K
1
L
2
M
N
5.4.
3
l=0
s
1
0
2e
l=0
s
1
0
2e
l=1
p 3
-1 0 1
6e
l=0
s
0
2e
l=1
p 3
-1 0 1
6e
l=2
d 5
-2 -1 0 1 2
10e
1
l=0
s
1
0
2e
l=1
p
3
-1 0 1
6e
l=2
d
5
-2 -1 0 1 2
10e
l=3
f
7
-3 -2 -1 0 1 2 3
18e
4
2
8
18
32
Efecto de la periodicidad de la red en los estados permitidos.
108
Capítulo 5. Números cuánticos
Uno de los resultados importantes de la teoría de Schrödinger para el átomo de un solo electrón
es obtener una expresión para los valores permitidos de la energía total de los estados ligados al
átomo. Las expresiones 5.10 y 5.11 representan la energía total y la energía potencial consumida
desde infinito () hasta el radio r.
En = −
z 2 q 4
(4o ) 2 2 2 n 2
Ep ( r ) = −
[5.10]
z q2
4 o r
[5.11]
Una representación de las energías total y potencial para un átomo aislado de hidrógeno con los
respectivos estados de energía es mostrada en las figuras 5.1 y 5.2.
Figura 5.1. Energía potencial del electrón en el
átomo de hidrógeno.
Figura 5.2. Simetría de la energía potencial respecto al
núcleo.
Como se observa el efecto de la energía potencial es simétrico respecto al eje vertical si se
observa en dos dimensiones, en realidad es simétrico en todo el volumen. Pero en un sistema de
átomos con un arreglo periódico tenemos que los electrones más externos de cada átomo en el
cristal son afectados por los electrones externos de los otros átomos. Aquí debemos entender
como cristal un espacio ordenado de átomos o de moléculas (iones) en forma de bloque repetido
regularmente en tres dimensiones y correspondiente a una unidad de estructura fundamental.
Cuando consideramos varios átomos cercanos (red) ocurre que las autofunciones de los átomos
109
Capítulo 5. Números cuánticos
individuales se superponen, causando que las funciones de onda para una red muy larga no son
ondas sinusoidales de amplitud constante, sino que describen la periodicidad de la red en su
amplitud. Si la distancia entre los átomos es grande, los átomos conservan los niveles de energía
encontrados en el átomo aislado. Cuando la distancia disminuye, se presenta interacciones con
los potenciales de la red, que cambian los niveles de energía. Los estados más internos
mantienen la separación propia de la de los átomos individuales. Los estados más externos
cambian sus niveles debido a la presencia de los átomos en la red en su proximidad.
Así, si consideramos el caso de cuatro átomos como es mostrado en la figura 5.3 tendríamos:
Que la energía potencial resultante sería la suma de
las contribuciones de los cuatro átomos, de tal
forma que los estados permitidos más próximos al
núcleo no se verían afectados por la interacción
con los electrones de los átomos vecinos.
Contrariamente los estados más externos (digamos
Figura 5.3. Interacción de los niveles de
energía para varios átomos.
n = 3), presentan una órbita más alejada del núcleo
alcanzando a ser fuertemente afectada por las
órbitas de los electrones de los átomos vecinos.
Así, el estado n = 3 debe -por el principio de exclusión de Paulí-, dividirse en cuatro subniveles
para cada electrón aportado por cada átomo. En este caso cada electrón presentaría un conjunto
de números cuánticos diferentes. Para mayor número de átomos el nivel 3 se convertiría en una
banda continua de sub-niveles permitidos de tal forma que los electrones que se encuentren en
dicha banda pertenecerán al cristal y no a los átomos.
5.5.
Modelo de Kronig-Pennev.
No obstante, los electrones intentan disminuir las variaciones del potencial, este varía de forma
periódica acompañando la periodicidad de la red. El efecto de dicha periodicidad es cambiar la
amplitud de la auto-función, resultando una variación de amplitud periódica. Kronig & Penney
proponen un modelo que permite representar la periodicidad del potencial mediante la sucesión
110
Capítulo 5. Números cuánticos
de pozos cuadrados y barreras de potencial, donde a representa la periodicidad espacial de la red
tal como se muestra en la figura 5.4.
Figura 5.4. Modelo de Kronig – Penney
Uno de los más importantes teoremas en la estructura de bandas es conocido como el teorema de
Bloch, el cual nos dice que si el sistema presenta una energía potencial periódica, entonces las
soluciones de la ecuación de Schrödinger son de la forma:
(x) = K(x) eiKx
Representando la función K(x) una amplitud periódica.
Si a es la periodicidad de la red, entonces esta periodicidad exige que:
K(x) = K(x+a) = K(x + na)
con n = 1,2,3,...
luego la función de onda será:
(x, t) = K(x)ei(Kx - t)
[5.12]
Esta expresión describe una onda de longitud de onda = 2/k, que se propaga en la dirección
x creciente si K > 0 ó x decreciente se K < 0. La función K(x) describe la modulación de la
amplitud.
Ahora:
(x)
= K(x)ei(Kx)
[5.13]
(x + a) = K(x + a)eiK(x + a)
[5.14]
(x + a) = K(x + a)ei(Kx)ei(Ka)
[5.15]
111
Capítulo 5. Números cuánticos
(x + a) = K(x)eiKx eiKa
[5.16]
(x + a) = (x) eiKa
[5.17]
Puesto que (x) es periódica en a, debe cumplirse entonces que eiKa =1. Lo cual puede ser
expresado también de la forma:
n 2
tenemos:
a
eiKa = CosKa – i SenKa = 1
Ahora con K =
eiKa = Cos2n − iSen2n = 1
El seno del ángulo es cero, luego:
( x ) = K ( x ) e
i
n 2
x
a
[5.18]
Resolviendo la ecuación de Schrödinger tanto para las barreras de potencial como para los
pozos cuadrados de potencial obtenemos:
1.
2.
d 2 ( x )
dx
2
d 2 ( x )
dx
2
+
+
2mE
( x ) = 0
2
2m( E po − E )
2
,para 0 x L
,para L x a
( x ) = 0
Tenemos las soluciones del tipo:
( x ) = Ae
( x ) = Ce
i
i
2 mE
x
+ Be
2 m ( Epo − E )
x
−i
2 mE
x
+ De
−i
,para 0 x L
2 m ( Epo − E )
x
,para L x a
De otro lado, para el siguiente núcleo entre a y a + L la función debe ser la misma que existe
entre 0 y L, luego sustituyendo x - a para esa región en la ecuación periódica:
i
( x ) = Ae
2 Me
( x−a )
+ Be
−i
2 mE
( x −a )
iKa
e
,para a x a + L
112
Capítulo 5. Números cuánticos
Ahora como y
d
deben ser continuas, evaluemos la posible discontinuidad en x = L
dx
1.
Ae ik1L + Be − ik1L = Ce k 2 L + De − k2 L
2.
ik1 Ae ik1L − Be −ik1L = k 2 Ce k2 L − De − k2 L
(
)
(
)
Siendo:
k1 =
2mE
y
k2 =
2m( E po − E )
Discontinuidad en x = a
3. (A + B)eiKa = Cek2a + De-k2a
4. ik1(A - B)eika = k2[Cek2a – De-k2a]
Evaluando la continuidad obtenemos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Estas ecuaciones
son homogéneas y tienen solución diferente de cero solo cuando el determinante de los
coeficientes es igual a cero. Resolviendo el determinante y reacomodando algunas expresiones
obtenemos:
Cosk1 L Coshk2 (a − L) −
Considerando Epo > E
k12 − k 22
Senk1 L Senhk2 (a − L) − CosKa = 0
2k1k 2
[5.19]
resulta:
k12 − k 22
Cosk1 L Coshk2 (a − L) −
Senk1 L Senhk2 (a − L) = CosKa
2k1k 2
[5.20]
Si consideramos Epo < E, entonces k2 sería imaginario, lo cual nos reproduciría al ser substituido
la expresión:
Cosk1 L Cosk2 (a − L) −
k12 + k 22
Senk1 L Senk2 (a − L) = CosKa
2k1k 2
[5.21]
Estas ecuaciones determinan estados de energía permitidos dependiendo de los valores que
adopten k1 y k2. El lado derecho de las ecuaciones es periódico cuando K varia, siendo limitado
este término al intervalo [-1, 1]. 0 sea que cualquier valor arbitrario de energía (E) puede no
satisfacer la ecuación para una energía potencial Epo dada.
113
Capítulo 5. Números cuánticos
Para algunos valores de E, la magnitud del primer término de las expresiones es mayor que uno,
y por tanto el electrón no puede tener esas energías. Estas energías no posibles son llamadas
bandas de energía prohibidas. Graficando las ecuaciones en función de E/Epo obtenemos un
diagrama que nos reproduce las bandas de energía posibles, llamadas también bandas permitidas
de energía, como se muestra en la figura 5.5.
Figura 5.5. Bandas de energía posibles.
Las fronteras de estas bandas se encuentran cuando K = n/a, con n = 1,2,3,... Con el nivel más
bajo, podemos hallar E vs K, obteniendo una gráfica que se conoce con el nombre de curva de
dispersión, mostrada en la figura 5.6.
Figura 5.6. Curva de dispersión.
Dado que las ecuaciones no se alteran cuando Ka cambia en valores de 2n, se utiliza un
nuevo diagrama formado por el desplazamiento a la primera zona de Brillouin de las curvas de
dispersión, obteniéndose el diagrama de representación en zona reducida, el cual a su vez da
origen al diagrama rectangular de bandas, como se muestra en la figura 5.7.
114
Capítulo 5. Números cuánticos
Figura 5.7. Representación en zona reducida. Primera zona de Brillouin.
115
Capítulo 5. Números cuánticos
5.6.
Ejercicios.
1. Calcule en unidades de energía/átomo la diferencia de energía que se obtiene entre los
orbitales 1s y 2p del átomo de cobre si se conoce que la frecuencia de la radiación emitida en
la transición 2p al 1s es 1,95.1012 Hz.
2. Cuáles de los siguientes números cuánticos presentados de la forma (n, l, m, s) son
inconsistentes para un electrón en un átomo. (4, 4, 0, +1); (3, 2, -3, -1/2); (2, 0, +1, +1/2) y
(4, 3, 0, +1/2).
3. Escriba la configuración electrónica del estado fundamental de los átomos siguientes: N, Fe,
C, Al, Pb, Cl, Mg.
4. Identifique el grupo, período y tipo de elemento para los átomos que tienen las siguientes
configuraciones electrónicas externas: a) 3s2 3p6 3d5 4s2, b) 3s2 3p6 4s2, c) 3s2 3p6 3d10
4s2
5. Determine el número de electrones que podrían alojarse en un nivel n = 5. Cuántos en el
subnivel g.
6. Encuentre la diferencia de en ergios y electronvoltios la diferencia de energías entre las
órbitas 1s y 2p del átomo de cobre, sabiendo que la longitud de onda de la radiación emitida
cuándo el electrón salta entre estos niveles es = 1,54 A.
116
Capítulo 6. Semiconductores
6. Semiconductores
____________________________________________________________________________
6.1.
Introducción.
La relación unidimensional E vs. K encontrada en el capítulo anterior se torna más compleja en
una red real tridimensional, ya que dependería de la orientación del vector momento K respecto
a los ejes de la red, sin embargo, la conformación de las bandas seguiría siendo válido. Los
electrones en un cristal ocupan todos los estados permitidos, comenzando desde aquel con
mayor energía; arriba del nivel más alto ocupado existen otros estados permitidos desocupados.
Los materiales semiconductores presentan una propiedad especial, la cual consiste en que la
última banda (llamada banda de valencia) se encuentra completamente llena. El comportamiento
de estos semiconductores es la base de varios dispositivos electrónicos prácticos.
Los semiconductores presentan en el cero absoluto, la banda de valencia llena y la banda
superior llamada banda de conducción vacía. En el intermedio se ubica una banda de energía
prohibida, llamada “band-gap” o banda prohibida, denotada por Eg
6.2.
Masa Efectiva
En el estudio del comportamiento de un electrón en una red periódica sujeto a un campo
eléctrico externo, se introduce el concepto de masa efectiva del electrón. Se había mencionado
que el movimiento del electrón podía describirse en términos de un grupo de ondas progresivas,
donde la velocidad de Grupo se obtiene mediante el siguiente análisis:
EC − EF = KT ln
NC
ND − N A
[6.1]
Para un electrón libre.
E=
p2 2K 2
=
2m
2m
[6.2]
136
Capítulo. 6. Semiconductores
Como E = hf = , tenemos que
=
2K 2
Entonces
2m
d
=
2K
dK 2m
K
p mV
= =
=V
m
m
m
Vg =
Vg = V
[6.3]
[6.4]
Para un electrón en una red unidimensional y bajo la acción de un campo eléctrico externo Ē, la
fuerza aplicada al electrón sería F = qE . Luego la variación de la energía del electrón será
dxˆ
dE = qEdxˆ = qE dt = qEv dt = qEv g dt
dt
[6.5]
Pero:
E =
dE = d =
d
dK = Vg dK
dK
[6.6]
Comparando:
dK
qEVg dt = Vg dK
= qE
dt
[6.7]
Ahora:
[6.8]
Vg =
d 1 dE
=
dK dK
Tomando la derivada:
dVg
dt
dVg
dt
=
1 d 2 E 1 d 2 E dK
=
dKdt dK 2 dt
[6.9]
=
1 d 2E
qE
2 dK 2
[6.10]
137
Capítulo. 6. Semiconductores
En conclusión:
dV
qE
1
1 d 2E
=
=
donde
dt
m
m 2 dK 2
[6.11]
La ecuación anterior es de la forma a = F/m*, en donde m* es denominada la masa efectiva del
electrón en la red cristalina. Como se puede deducir de la expresión, la masa efectiva varía con
la segunda derivada de la energía respecto al vector de onda. Esta segunda derivada nos
representa gráficamente la curvatura que presenta la función que describe el comportamiento del
electrón en la red, como se muestra en la figura 6.1.
Figura 6.1. Evidencia de la existencia de los electrones pesados.
Así, en las cercanías del centro de la primera zona de Brillouin se cumple que el comportamiento
del electrón en la red es similar al del electrón libre, esto significa que:
1
1
m m
Alejándose del centro de la zona, la curvatura de la función difiere del comportamiento del
electrón libre. De esta forma la masa efectiva es determinada por el radio de la curvatura de la
curva E vs. K en un nivel de energía dado.
138
Capítulo. 6. Semiconductores
Al aproximarse al tope de la curva en la primera zona de Brillouin
d 2E
dK 2
es negativa y por
tanto podemos deducir que m* sería negativa, lo cual es un contrasentido. Una partícula en ese
estado es acelerada en la dirección contraria a la esperada para un electrón cargado
negativamente, comportándose como si tuviera masas y carga positiva, condición esta que da
origen al concepto de hueco. Esto significa que cerca de la zona prohibida, los electrones se
comportan como si tuvieran una carga positiva. Estos electrones son denominados electrones
pesados o más comúnmente huecos.
6.3.
Bandas de energía
Todos los sólidos están compuestos de átomos fuertemente unidos entre sí. En algunos sólidos
los átomos están distribuidos más o menos aleatoriamente; en otros, como el diamante los
átomos tienen un alto grado de orden en su distribución a través del sólido. Esta clase de
distribución o estructura es importante dado que las propiedades eléctricas de los sólidos
dependen en gran medida de su estructura cristalina. Entendemos por estructura cristalina a la
forma como los átomos están distribuidos en el material. La estructura cristalina en los cristales
semiconductores tiene un alto grado de regularidad, es decir, se puede predecir la forma en que
los átomos están distribuidos en todo el cristal por solo conocer esa distribución en una región
pequeña del material.
En los sólidos, las distancias entre los átomos de la red son del mismo orden de magnitud que
las distancias entre los electrones más exteriores y los núcleos de los átomos a los que
pertenecen. Esto hace que los electrones más externos de cada átomo sientan la influencia y
contribución en el potencial eléctrico de los átomos vecinos. Esta contribución produce en el
cristal un potencial periódico y un cambio o solapamiento de los niveles de energía para el
átomo individual.
Debido al principio de exclusión de Pauli (que prohíbe a 2 electrones tener el mismo estado de
energía), cuando acercamos N átomos para formar un sólido como el Silicio, la separación entre
los niveles 3S2 y 3p6 de cada átomo (estados más exteriores) va haciéndose diferente a la de los
demás átomos vecinos y a la obtenida en el modelo individual. Esto evita que haya solapamiento
de estados. Esta gama de estados nuevos de energía en conjunto forma una distribución continua
139
Capítulo. 6. Semiconductores
de estados o banda de energía en lugar de una distribución discreta como en el caso de N
átomos individuales en un gas. La creación de nuevos niveles de energía se debe a la formación
de potenciales periódicos en el sólido, que redistribuyen los niveles de energía permitida
iniciales.
Si consideramos una red cristalina conformada por N átomos, de la primera zona de Brillouin en
la curva de transferencia se puede encontrar que una red cristalina presenta N valores permitidos
de K, donde N representa también el número de celdas unitarias en la red. Cada valor K
corresponde a la función de onda o al estado electrónico que puede tener dos electrones con spin
opuesto, esto quiere decir que incluyendo el spin tenemos 2N estados electrónicos por banda de
energía o dos estados electrónicos por celda unitaria por banda de energía para una red de
Bravais.
Como ya se había mencionado, cuando los átomos conforman un cristal, los niveles de energía
de los electrones más internos no se ven afectados de forma importante por la presencia de
átomos vecinos. Sin embargo, los niveles de energía de los átomos más externos son
modificados de manera considerable dado que estos electrones sufren los efectos de las fuerzas
de atracción coulombianas de los átomos vecinos dando origen a las bandas de energía. El
comportamiento de estas bandas de energía se ve fuertemente afectado también por las
variaciones del espaciamiento interatómico de la red. Así, si consideramos una red con átomos
muy distanciados entre sí, podemos considerar que el efecto de interacción mutuo es
despreciable, y los niveles de energía corresponderían a los del átomo aislado.
Analizando el caso par un material de N átomos y una configuración de la forma 1s2 2s2 2p2,
sabemos que las dos últimas subcapas tienen dos electrones s y dos electrones p, luego para
distancias intraatómicas grandes tendremos 2N electrones que llenan completamente los 2N
niveles s posibles. Dado que las subcapas atómicas p tienen seis estados posibles en este caso se
tendrían 2N electrones para 6N estados posibles como se ilustra en la figura 6.2(a) para el caso
de átomos aislados.
140
Capítulo. 6. Semiconductores
(a)
(b)
Figura 6.2. Distribución de los niveles de energía.
Para distancias interatómicas más reducidas, la fuerza de los átomos con sus vecinos hace que se
presente una superposición de las funciones de onda creándose un sistema de bandas
electrónicas, las cuales deben obedecer el principio de exclusión de Pauli. Cuando tenemos una
red de átomos el principio de exclusión de Pauli presenta importantes implicaciones.
Los niveles de energía para distancias interatómicas pequeñas forman prácticamente bandas
continuas de energía. A medida que la separación atómica disminuye, los niveles de energía se
despliegan en bandas que llegan a superponerse, así para el número cuántico n = 2 los 6N
estados superiores se interceptan con los 2N estados inferiores dando el total de ocho estados
posibles, la mitad de los cuales se encuentran ocupados por 2N + 2N electrones localizables. En
ese espacio mostrado en la figura 6.2(b), cada átomo poseerá 4 electrones y no será posible
afirmar a cuál subcapa (s o p) pertenecen, ya que pertenecerán a todo el cristal
A una distancia inferior a aquella a la cual se superponen las bandas, la interacción entre los
átomos es muy elevada y su estructura de bandas estará definida por la orientación relativa de
los átomos en el espacio y de su número atómico, el cual determina la constitución eléctrica del
átomo. La solución de la ecuación de Schrödinger para estos casos ha sido obtenida para
141
Capítulo. 6. Semiconductores
algunos cristales. Debajo de la mencionada distancia, al llegar a lo que se denomina el
espaciamiento interatómico de equilibrio, se tienen dos bandas separadas por una banda
prohibida, donde la banda superior es llamada banda de conducción y la banda inferior banda de
valencia, cada una conteniendo 4N estados posibles. En sólidos perfectos la banda prohibida no
tiene estados permitidos para electrones. A medida que cambia el radio interatómico cambia la
distancia entre la banda de valencia y de conducción.
Banda de valencia se denomina al conjunto de estados continuos más exteriores y que,
generalmente, están ocupados. La banda de conducción es la región de estados que,
generalmente, no están ocupados. Una vez un electrón exista en esta banda, se puede mover
libremente en ella por la cantidad de estados disponibles.
En el caso analizado del carbono (1s2 2s2 2p2), para n = 2, existen entonces 4 electrones de
valencia que pueden ocupar los estados de la banda de valencia o la banda de conducción. A 0o
Kelvin se ocupan los estados de menor energía resultando la banda de valencia llena y la banda
de conducción vacía. Consecuentemente con estas situaciones podemos afirmar que elementos
como aquellos mostrados en la tabla 6.1 son tetravalentes, ya que contribuyen con cuatro
electrones cada uno al cristal.
Tabla 6.1. Configuración electrónica de algunos elementos del Grupo IV.
Elemento # atómico Configuración
C
6
1s2 2s2 2p2
Si
14
1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
Ge
32
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2
Sn
50
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s2 5p2
Debido a la cantidad de electrones que el Si posee, el subnivel 3p6 posee 2 electrones solamente,
pudiendo ubicar 6. Esto hace que los átomos en el sólido puedan reaccionar con otros átomos
vecinos y “compartir” electrones de tal forma que parece que tuviesen el subnivel lleno. Esto
sucede pues las estructuras más estables son aquellas en donde los subniveles de energía están
llenos y no hay estados desocupados. El enlace entre 1 par de electrones de valencia, de 2
átomos vecinos, se denomina enlace covalente.
142
Capítulo. 6. Semiconductores
Del resultado para el Sn, vemos que hay un salto del estado 4d 10 al estado 5s 2 sin pasar por el
estado 4f. Esto se debe a que los primeros estados del nivel 5 poseen menos energía que los
últimos estados del nivel 4, razón por la cual los electrones se ubicarán primero en estos niveles.
Esto se puede entender dado que la energía tiene dependencia del orbital.
Para los metales, no hay brecha entre la banda de valencia y de conducción; mientras que para el
Si, Ge y C se presentan diferentes brechas. Esta brecha de energía se denomina región de
energía prohibida (no hay ningún estado de energía permitido).
Una forma de representar las características de conductividad de los materiales usando el
diagrama cuadricular de bandas de energía se muestra en la figura 6.3. Los electrones ocupan
los estados en las bandas de energía empezando desde el nivel más bajo hasta agotar el número
de electrones. Encima del nivel de energía más alto ocupado, existen más niveles de energía
vacíos.
Dado que en los sólidos los electrones deben responder a la acción de un campo eléctrico, estos
niveles vacíos deben estar disponibles para ser ocupados por electrones acelerados que
adquieren energía para saltar de un nivel a otro. Esto es posible si los estados más altos están
desocupados y el nivel de energía prohibida no es muy grande. Estas condiciones definen
propiedades conductoras de los materiales.
Figura 6.3. Representación de bandas de energía para diferentes materiales.
143
Capítulo. 6. Semiconductores
En conductores metálicos monovalentes -figura 6.3 (a)-, la banda superior se encuentra
parcialmente llena y los electrones pueden ganar energía muy fácilmente de un campo externo,
originándose una alta conductividad. Para el caso de metales con átomos divalentes -figura 6.3
(b)-, las dos últimas bandas se encuentran sobrepuestas un rango de energía, obteniéndose unas
características de conducción diferente. Para el caso de materiales aislantes -figura 6.3 (c)-, la
banda de valencia se encuentra completamente llena y los estados vacíos más cercanos se
encuentran en la banda de conducción pero la energía de separación entre las dos bandas es muy
grande dificultando el paso de un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción.
Para el caso de los semiconductores intrínsecos -figura 6.3 (d)-, presentan la misma estructura
de los aisladores a cero grados Kelvin, es decir un semiconductor a estas temperaturas es un
aislante perfecto.
A medida que la temperatura aumenta, los electrones de la banda de valencia adquieren
suficiente energía que les permiten vencer el pequeño valor de la banda de energía prohibida. En
la tabla 6.2, se muestran los valores de energía prohibida para algunos materiales.
Tabla 6.2. Valores de Eg para algunos materiales.
AsGa 1.43 eV
Semiconductores
Aislantes
6.4.
Eg. < 2 eV
Eg > 3 eV
Si
1.10 eV
Ge
0.67 eV
Si02
8.0 eV
Conductividad en los semiconductores
La conductividad en los semiconductores se debe a que un número significativo de electrones
puede pasar de una banda de valencia hasta la banda de conducción a través de una ganancia de
energía que sobrepase el valor de Eg. Existen diferentes tipos de conductividad en
semiconductores, la cual depende de la forma como es obtenida la excitación electrónica:
Conductividad intrínseca: Este tipo de conductividad se presenta cuando el aumento de energía
de los electrones proviene de excitaciones térmicas u ópticas.
Conductividad extrínseca: Esta conductividad se logra mediante la adición de impurezas al
semiconductor.
144
Capítulo. 6. Semiconductores
6.4.1.
Semiconductores intrínsecos.
Un semiconductor puro o intrínseco es aquel donde cada electrón excitado en la banda de
conducción ha dejado un estado vacío en la banda de valencia. Consecuentemente el número de
electrones en la banda de conducción es igual al número de huecos o electrones pesados en la
banda de valencia.
Las concentraciones de huecos y electrones para un semiconductor intrínseco se denotan con un
subíndice i, pi y ni respectivamente. En el semiconductor intrínseco tenemos que pi = ni.
6.4.1.1.
El nivel de Fermi intrínseco.
El estudio de partículas siempre ha sido realizado haciendo uso de herramientas estadísticas y
probabilísticas debido a la cantidad y a los números elevados que se manejan. Así, los electrones
en los sólidos obedecen la estadística de Fermi-Dirac, las partículas en un gas obedecen la
estadística de Maxwell-Boltzmann, en tanto que los fotones siguen la estadística de BoseEinstein.
Para calcular la conductividad de un semiconductor es necesario conocer la concentración o
densidad de electrones y de huecos, n y p, respectivamente, éstas las podemos calcular si
conocemos la densidad de estados disponibles en un rango de energía dE a través de la función
de densidad de estado y la probabilidad de que un estado permitido este ocupado, la cual es
determinada por la distribución de Fermi-Dirac Los electrones en los sólidos obedecen a la
estadística de Fermi-Dirac, la cual considera su naturaleza ondulatoria como también el
principio de exclusión de Pauli.
La función f(E) o de Fermi-Dirac da la probabilidad de que un estado de energía disponible a la
energía E este ocupado por un electrón a la temperatura absoluta T. El resultado obtenido por
Fermi & Dirac para la distribución de electrones en un rango de niveles de energía permitidos en
equilibrio térmico viene dado por la ecuación:
f (E) =
1
1+ e
E − E Fi
KT
[6.12]
145
Capítulo. 6. Semiconductores
Donde la constante K es la constante de Boltzmann y T la temperatura. f(E) es la probabilidad
de que un estado de energía disponible E sea ocupado por un electrón. EFi es un estado de
energía virtual llamado energía del nivel de Fermi intrínseco y se define como la energía
asociada a un estado de energía que presenta una probabilidad de ½ de ser ocupado por un
electrón, ver figura 6.4. Si la energía E es igual a la del nivel de Fermi, E = EFi entonces f(E) =
½., lo cual significa que un estado en el nivel de Fermi intrínseco tiene la probabilidad ½ de
estar ocupado por un electrón. A 0º K la distribución toma una forma rectangular simple. Esta
distribución rectangular implica que a 0º K todo estado de energía disponible, por debajo de EFi
esta vacío. f(E) = 1 si E < EFi y f(E) = 0 si E > EFi Esta distribución rectangular implica que a
0 K todo estado de energía disponible por debajo de EFi esta vació.
Cuando la temperatura se incrementa la probabilidad de que haya estados ocupados por encima
del nivel de Fermi intrínseco aumenta, como es de esperarse. En la figura 6.4, se muestran
temperaturas diferentes y mayores que 0º K. Si consideramos valores de energía superiores a EFi
habrá mayor probabilidad de encontrar estados ocupados cuando la temperatura es mayor. Al
elevarse la temperatura por encima de 50º K, aproximadamente comienza a desprenderse
electrones de la banda de valencia hacia la banda de conducción.
Figura 6.4. Función de Fermi.
Según lo anterior se cumple que:
1
f ( EFi ) =
1+ e
EFi − EFi
KT
=
1
2
[6.13]
146
Capítulo. 6. Semiconductores
La función de Fermi es simétrica respecto a EFi para todas las temperaturas. Así, la probabilidad
f(EFi + E) de que un estado E arriba del nivel de Fermi intrínseco esté ocupado es igual a la
probabilidad 1 - f(EFi + E) de que un estado E abajo del nivel de Fermi intrínseco esté vacío,
ello significa huecos en la banda de valencia. La simetría respecto al nivel de Fermi es la que
hace que el nivel Fermi se considere como referencia en los cálculos de densidades de
electrones y huecos en semiconductores.
Se debe recalcar que la función de Fermi-Dirac es la probabilidad de encontrar un estado
permitido ocupado, es decir, no se debe pretender encontrar un electrón en un nivel que se
ubique en la banda prohibida. La función de distribución tendrá valores dentro de la banda
prohibida (Eg = Ec - Ev) pero al no haber estados disponibles no habrá electrones en este rango.
En un material intrínseco el nivel de Fermi se encuentra aproximadamente en la mitad de la
banda de energía prohibida, pues la densidad de huecos en la banda de valencia es igual a la de
electrones en la banda de conducción.
Para visualizar la relación entre la estructura de bandas y la curva de probabilidad f(E) vs. E,
giramos esta última a fin de hacer coincidir los ejes de energía. La relación entre la estructura de
bandas y el gráfico de la función de distribución es representada en la figura 6.5.
Figura 6.5. Función de distribución y diagrama de bandas.
6.4.1.2.
Concentraciones intrínsecas de portadores en equilibrio térmico
La función de distribución de Fermi puede ser usada para encontrar la concentración de
electrones y huecos en el semiconductor. Si la densidad de estados disponibles en las bandas de
valencia y conducción son conocidas y conocemos además la probabilidad de que un estado este
147
Capítulo. 6. Semiconductores
ocupado, la cual es determinada por la distribución de Fermi-Dirac, podemos escribir:
f ( E) N ( E)dE
no =
[6.14]
Ec
Donde N(E)dE representa la densidad de estados posibles en un intervalo de energía dE.
Existen tantos estados para cada rango de energía dentro de una banda permitida que es posible
hablar de que hay dN estados por unidad de volumen en un rango de energía comprendido entre
E y E + dE.
n denota el número de electrones por unidad de volumen en la banda de
conducción.
La función N(E) puede ser calculada a partir de la mecánica cuántica y el principio de exclusión
de Pauli. Se asigna un valor al nivel de energía de vacío E0. Esta aproximación no llega a
influir en el cálculo de n, puesto que f(E) es extremadamente pequeña a grandes valores de E.
Calculemos entonces el número de estados cuánticos por nivel de energía para niveles menores
que n. Denotamos por S el número de estados.
El número de estados es dos veces el volumen del espacio n.
14
S = n3 2
83
1
S = n3
3
Ahora como los electrones en la banda de conducción pueden describirse en términos de un
grupo de condiciones de frontera dentro de la red, es posible aplicar el caso del pozo de
potencial cuadrado infinito unidimensional a estos electrones, podemos usar entonces los
resultados obtenidos, extendiéndolos a tres dimensiones para el electrón confinado a un cubo de
arista L. En el caso de tres dimensiones: (n = nx, ny, nz)
En =
n 2 2 2
2mL2
Energía de electrón en el pozo de potencial en un análisis unidimensional.
148
Capítulo. 6. Semiconductores
2mE n n
=
2
L
n
Pero recordemos que el número de onda K =
.
L
2
Este número de onda angular (K), para tres dimensiones presenta tres componentes. Entonces:
2
2mEn nx n y
=
+
2
L L
2
n z
+
L
2
luego:
2 2
En =
2
2mL
(n
2
x
+ n y + nz 2
2
)
cada nx, ny, nz Z
[6.15]
Tenemos entonces que n2 = nx2 + ny2 + nz2 resultando la siguiente expresión:
n2 =
2mL2 En
2 2
[6.16]
Las tres componentes de este número cuántico definen niveles de energía degenerados cuando
funciones de onda diferentes presentan el mismo número cuántico principal. El siguiente
ejemplo ilustra esta situación:
nx = 1
nx = 1
nx = 2
ny = 1
ny = 2
nx = 1
nz = 2
nz = 1
nz = 1
➔ n = 6
Retomando la expresión correspondiente al número de estados y reemplazando este valor
obtenido para el número cuántico principal:
1 2mL2 E
S = 2 2 n
3
3
2
[6.17]
3
3
2 2m 2
S=
VE 2
2 3
3
ya que L3 = V
Ahora dS/dE nos representa el número de estados cuánticos por unidad de volumen y por unidad
de energía, lo cual es también denotados por N(E).
149
Capítulo. 6. Semiconductores
3
3
2 2m 2
S=
VE 2
2 3
3
S 8 2 m
=
E
h3
3
2
E
Densidad de estados como función de la energía.
1
2
La concentración de electrones en el rango dE es entonces dada por el producto de la densidad
de estado permitidos en ese rango por unidad de volumen y la probabilidad de ocupación.
Tenemos entonces que sí NedE = N(E)f(E)dE denota la densidad de estados electrónicos
ocupados en un diferencial de energía, entonces la concentración de electrones en la banda de
conducción a una temperatura dada será:
8 2m
n = N ( E ) f ( E )dE =
h3
0
3
2
1
E2
0
1
1+ e
E − EF
KT
dE
[6.18]
Se asumió un valor α para el correspondiente a la energía del nivel de vacío. Esto es inapropiado,
pero al ejecutar el producto, puesto que f(E) es extremadamente pequeña a grandes valores de E, no
llega a influir en el cálculo de n.
Considerando energías tal que E - EF >> KT, entonces f(E)
, resultando:
−E
KT
8 2m 3 / 2 KTF
2
n=
e
E
e
dE
0
h3
E
EF − E
e KT
1
[6.19]
La integral es de la forma estándar:
x
1
2 −x
e
dx =
0
8 2m
n=
h3
3
2
[6.20]
2a a
EF
e KT
1
2
KT
1
KT
Entonces:
150
Capítulo. 6. Semiconductores
3
3
4 2 2 m 2 ( KT )
n=
h3
3
2
e
EF
KT
3
EF
2me KT 2 KT
= 2
e
2
h
[6.21]
Donde hemos introducido los efectos de la red periódica usando la masa efectiva de los
electrones. La masa efectiva del electrón y del hueco es una aproximación que se hace para
evitar el estudio cuántico de la interacción del movimiento de los huecos y de los electrones con
los campos periódicos internos producidos por la red cristalina suponiendo débiles los campos
eléctricos externos. En lugar de tomar como referencia E = 0, tomamos E = Ec en el nivel más
bajo de la banda de conducción, entonces por traslado de ejes obtenemos la expresión:
3
− EC )
2me KT 2 ( EFKT
n = 2
e
2
h
n = Nce
[6.22]
( E F − Ec )
KT
[6.23]
Donde Nc es la densidad efectiva de estados en la banda de conducción y es equivalente a:
KT
N C = 2 2me 2
h
3
2
[6.24]
T me*
N C = 2.5 x10
300 mo
3
2
19
[6.25]
Para encontrar la concentración de huecos realizamos un análisis similar. La probabilidad de
encontrar estados de energía ocupados por electrones en la banda de conducción, por encima de
EFi, implica la probabilidad de encontrar estados vacíos bajo el nivel de Fermi intrínseco, o sea
huecos en la banda de valencia, matemáticamente expresada por:
1
f p ( Ev ) = 1 − f e ( E ) =
1+ e
E F − EV
KT
[6.26]
Sí EF – EV >> KT entonces:
151
Capítulo. 6. Semiconductores
f p (E ) = e
− ( EF − EV )
KT
[6.27]
V
Y
Np(E )
8 2mp
=
h3
3/ 2
E
1
2
[6.28]
3
− EF )
2mp KT 2 ( EvKT
p = 2
e
h2
p = NV e
[6.29]
( EV − E F )
KT
[6.30]
Siendo Nv la densidad efectiva de estados en la banda de valencia e igual a:
NV
2 m p KT
= 2
2
h
3
T mp
NV = 2.5 10
300 m0
2
[6.31]
3
2
19
[6.32]
Las concentraciones encontradas sirven tanto para materiales intrínsecos como para materiales
extrínsecos o dopados en equilibrio térmico. Para un material intrínseco, EF, se posiciona en un
nivel intrínseco EFi y las concentraciones de huecos o electrones intrínsecos son:
ni = N C e
−
pi = NV e
( Ec − E Fi )
KT
[6.33]
−
( E Fi − EV )
KT
[6.34]
Así para el silicio ni, = 1.5 x 1010 portadores/cm3 a temperatura ambiente. Multiplicando los dos
valores obtenemos:
152
Capítulo. 6. Semiconductores
( E −E )
( E −E )
− c Fi
− Fi v
KT
KT
pero Eg = (Ec –Ev)
ni p i = n = N c e
N V e
2
i
ni2 = N c N v e
−
[6.35]
Ec − Ev
KT
[6.36]
ni = N c N v e
−
Eg
2 KT
[6.37]
3
3
E
2
(me m ) 4 − 2 KTg elect
19 T
=
ni
2.5 10
e
3
3
2
300
cm
mo
p
[6.38]
ni puede ser considerada constante para una temperatura dada, no depende de dopado, pero sí de
T. De aquí se concluye que, si la banda prohibida es pequeña o la temperatura se incrementa, ni
aumenta.
6.4.1.3.
Ubicación del nivel de Fermi intrínseco.
La posición del nivel de Fermi intrínseco EFi, para materiales dopados tipo p o tipo n se obtiene
igualando las expresiones de las concentraciones intrínsecas de huecos y electrones.
Dado que pi = ni podemos escribir:
Nce
e
−
−
Ec − E Fi
KT
Ec − 2 E Fi + Ev
KT
= Nve
=
−
E Fi − Ev
KT
Nv
Nc
N
− Ec + 2 EFi − Ev = KT ln v
Nc
EFi =
Ec + Ev KT N v
+
ln
2
2 N c
[6.39]
EFi =
Ec + Ev 3KT mp
+
ln
2
4 me
[6.40]
153
Capítulo. 6. Semiconductores
De lo cual se desprende que el nivel de Fermi intrínseco estaría en la mitad de la banda
prohibida solamente sí T = 0 o sí mp* = me*.
6.4.2.
Semiconductores extrínsecos
Adicionalmente a los portadores intrínsecos generados térmicamente, es posible generar
portadores en semiconductores introduciendo impurezas en el cristal, este proceso es conocido
como el proceso de dopado. El dopado es una técnica que permite variar la conductividad de los
semiconductores, pudiéndose obtener bien sea un mayor número de electrones (semiconductor
tipo n) o un mayor número de huecos (semiconductor tipo p).
De esta forma, los semiconductores extrínsecos son aquellos intrínsecos a los cuales se les han
agregado átomos de impurezas, o sea de otros materiales, para mejorar las características
eléctricas del material principal. El objetivo fundamental es aumentar la conductividad y
controlar el tipo predominante de portador, ya sean huecos o electrones.
La fracción de impurezas agregadas es extremadamente pequeña y debe ser controlada con
precisión. Aún un semiconductor dopado puede ser 99.999% puro, pero de efecto apreciable en
la conductividad. Por ejemplo, al introducir una sustancia donadora en proporción 1 a 10 la
conductividad del Germanio a 30º C se multiplica por 12.
Se dice que un cristal esta dopado, cuando la concentración de portadores en equilibrio térmico
no y po son diferentes de la concentración de portadores intrínseca ni.
Este tipo de
semiconductor es denominado semiconductor extrínseco. El proceso de dopado con impurezas
se realiza mediante técnicas de sustitución de átomos del material base por átomos de otros
elementos. Las impurezas que se pueden agregar al material intrínseco son de dos tipos, de
acuerdo con su número de electrones de valencia: donadoras o aceptadoras.
Las impurezas donadoras pertenecen al grupo V de la tabla periódica (con cinco electrones de
valencia). Al agregar impurezas o imperfecciones se crean niveles adicionales en la estructura
de las bandas, usualmente dentro de la banda prohibida. La impureza pentavalente agregada en
muy pequeña proporción al Germanio o al Silicio, por ejemplo, desplaza los átomos del
154
Capítulo. 6. Semiconductores
intrínseco. Los cuatro electrones que el intrínseco requiere para completar los enlaces covalentes
son aportados por la sustancia pentavalente o donadora y su quinto electrón será un portador
libre en la red cristalina a temperatura ambiente. Ver figura 6.6(a) y 6.6(b).
(a)
(b)
Figura 6.6. (a) Dopado tipo n (b) Estados adicionales de impurezas.
Al introducir las impurezas lo que realmente sucede es que se introducen nuevos niveles de
energía permitidos, a una distancia muy pequeña del borde inferior de la banda de conducción.
Estos nuevos niveles conforman esencialmente un nivel discreto, pues los átomos de las
impurezas están muy separados de la red, como se discute más adelante.
A 0º K el nivel adicional está lleno de electrones y se requiere muy poca energía, alrededor de
0.01 eV para el Germanio y de 0.05 eV para el Silicio, para enviarlos a la banda de conducción.
Así para temperaturas entre 50º y 100º K, casi todos los electrones del nivel donador Ed han
sido donados a la banda de conducción, de ahí la denominación de impurezas donadoras.
Al impurificar el semiconductor intrínseco con una sustancia donadora, además de aumentar el
número de electrones en la banda de conducción, disminuye el número de huecos respecto al
original o intrínsecamente generadores porque se aumenta la recombinación o anulación de
parte electrón-huecos. Las sustancias donadoras más utilizadas son: el fósforo (P) que posee un
número atómico igual a 15, el Arsénico (As), de numero atómico 33 y el Antimonio (Sb) con
número atómico igual a 51.
Así, semiconductores dopados significativamente con átomos donadores tendrán la
concentración de electrones n mucho mayor que la concentración ni de electrones del intrínseco
155
Capítulo. 6. Semiconductores
o que la de huecos p a la temperatura ambiente. Estos serán materiales tipo n, cuyos portadores
mayoritarios son los electrones y los minoritarios son los huecos.
En el caso de las impurezas aceptadoras, éstas pertenecen al grupo III de la Tabla periódica, con
tres electrones. Al introducir una impureza trivalente en el intrínseco sólo se podrán ocupar tres
de los cuatro enlaces covalentes obteniéndose un enlace en exceso, por no existir un cuarto
enlace. De esta forma electrones saltarán de la banda de valencia al nivel de energía de los
aceptadores (EA) habilitando huecos en la banda de valencia. El hueco es aportado por la
impureza y será un hueco móvil. De este modo se garantiza que la concentración de huecos p es
mucho mayor que el número de electrones n en la banda de conducción. Este será un material
tipo p como se muestra en la figura 6.7.
(a)
(b)
Figura 6.7. (a) Dopado tipo p (b) Estados adicionales de impurezas.
Las sustancias más utilizadas como aceptadoras son el Boro (B) de número atómico 5, el Galio
(Ga) de número atómico 3 y el Indio (In) de número atómico 49. En un semiconductor tipo P,
los portadores mayoritarios serán los huecos y los electrones los minoritarios.
En la figura 6.8 (a) se ilustra la forma como se establecen los enlaces atómicos para el silicio
antes de un proceso de dopado, esto significa, para el material en su estado intrínseco. La figura
6.8(b) muestra la sustitución de un átomo de silicio por uno de fósforo , el cual posee cinco
electrones de valencia, de los cuales emplea cuatro para compartir con los átomos adyacentes de
silicio, quedando un electrón disponible con baja energía de ionización, este tipo de impureza
aumenta la conductividad debida a los electrones (tipo n) del material La figura 6.8(c) muestra
156
Capítulo. 6. Semiconductores
la sustitución de un átomo de silicio por uno de boro, el cual posee tres electrones de valencia,
usando los tres en los enlaces atómicos con los átomos adyacentes de silicio, el cuarto enlace es
ocupado por un electrón de un par electrón-hueco quedando el
hueco disponible para la
conducción, este tipo de impureza aumenta la conductividad debida a los huecos (tipo p) del
material.
(a)
(b)
(c)
Figura 6.8. Silicio intrínseco (b) Silicio tipo n. (c) Silicio tipo p.
p
La variación de la conductividad eléctrica del material es controlada mediante la cantidad de
impurezas a ser introducidas. Un átomo de impureza por cada millón de átomos ya presenta un
efecto significativo. La introducción de impurezas, las cuales pueden ser donadoras (fósforo,
arsénico) o aceptadoras (boro, indio), origina niveles de energía de impurezas dentro de la banda
prohibida. El cálculo más simple de estos niveles de energía se fundamenta en el modelo del
átomo de hidrógeno.
Para materiales dopados, los electrones en exceso se mueven en “orbitas” de radio muy grande,
esos electrones pueden fácilmente pasar a la banda de conducción para temperaturas menores a
las requeridas por los electrones de la banda de valencia. Los electrones suplementarios ocupan
un nivel de energía discreto abajo de la banda de conducción a bajas temperaturas. En el modelo
de bandas de energía, dado que esos electrones pueden ser fácilmente liberados, los niveles de
energía para estos electrones aportados por las impurezas donadoras se representan en el nivel
Ed debajo de la energía de conducción, indicando que pueden ser fácilmente excitados y
alcanzar la banda de conducción. Este nivel de energía es llamado nivel donador. La energía
157
Capítulo. 6. Semiconductores
requerida para excitar un electrón desde el nivel donador hasta el nivel de conducción es E D =
Ed – EC, donde EC corresponde a la energía del mínimo nivel en la banda de conducción, como
se muestra en la figura 6.9(a).
En un material tipo n hay una alta densidad de electrones en la banda de conducción comparada
con la densidad de huecos en la banda de valencia. Esto explica por qué el nivel de Fermi debe
estar localizado arriba de la posición en el material intrínseco, en la escala de la energía, cercano
a la banda de conducción. El valor de f(E) para cada nivel de energía en la banda de conducción
(y de aquí, la densidad total de electrones n), aumenta cuanto más se acerca EF a EC. Así, la
diferencia (EC-EF) da una medida de n, como se verá más adelante.
Para el caso de las impurezas aceptadoras, se requieren de electrones para suplir los enlaces
covalentes necesarios, a temperaturas mayores que el cero absoluto, electrones provenientes de
pares electrón-huecos pueden pasar de la banda de valencia a la banda de conducción dejando
huecos libres en la banda de valencia, aumentando así la cantidad de huecos del material. Estas
impurezas son llamadas aceptadoras debido al hecho que aceptan electrones. La energía
necesaria para “liberar” el hueco a partir de la impureza EA= Ea – Ev, corresponde a la energía
requerida para excitar un electrón desde la banda de valencia hasta el nivel de energía
correspondiente a los aceptadores (Ea), la cual se ubica arriba de la banda de valencia. Ver
figura 6.9(b). De este modo se garantiza que la concentración de huecos p es mucho mayor que
el número de electrones en la banda de conducción n. Este será un material tipo P. En un
semiconductor tipo P, los portadores mayoritarios serán los huecos y los electrones los
minoritarios. En el caso de que el nivel de energía creado por las impurezas al interior de la
banda prohibida se superponga con el nivel de energía de conducción o de valencia, se
constituyen lo que se denominan semiconductores degenerados.
En el material tipo p, el nivel de Fermi está cercano a la banda de valencia, tal que, la posición
[1-f(E)] por debajo de EV es mayor que la porción f(E) por encima de EC. El valor de la
diferencia (EF - EV) indica cuan dopado está el material p. Si EF implica las distribuciones de
huecos y electrones para una temperatura particular es más conveniente usar los diagramas
simplificados de energía (figura6.9).
158
Capítulo. 6. Semiconductores
(a)
(b)
Figura 6.9. Niveles de energía para los átomos de impurezas (a) donadoras (b) aceptadoras.
A 0º K el nivel aceptador, EA, introducido por la impureza aceptadora en la banda prohibida, no
tiene electrones. A mayores temperaturas, el nivel aceptador requiere poca energía (0.05eV para
el Silicio, y 0.01 para el Germanio) para que sea ocupado por electrones de la banda de valencia
que hacia donde está ubicado. Así, a bajas temperaturas los electrones excitados como resultado:
se obtiene la distribución de electrones en un rango de niveles de energía permitido en equilibrio
térmico.
Ejemplo 1
Un ejemplo de cómo las impurezas introducen en la estructura de bandas niveles de energía de
impurezas se observa al calcular la energía de ionización de un átomo donador para el germanio
(Ge) (r = 16, mn*= 0.12mo). El electrón se comporta como en el átomo de H en su estado
fundamental.
Solución:
Dado que:
E=−
mz 2 q 4
2K 2 n 2 2
Donde K = 4o
Entonces K= 4o debe ser modificado ya que el electrón se encuentra en una red y no en el
vacío, entonces K = 4or.
Luego:
159
Capítulo. 6. Semiconductores
mn* q 4
0.12(9.11x10−31 )(1.6 x10−19 ) 4
E=−
=
−
2(4 o r ) 2 2
8(8.85x10−12 x16) 2 (6.63x10−34 ) 2
E = - 1.02x 10-21 Joules = 0.0064 eV.
El nivel de energía correspondiente a los electrones
aportados por los átomos de impurezas se denota como
Ed y se posiciona abajo de la banda de conducción.
Las energías de ionización para el silicio y el arseniuro
de Galio son de 0.025 eV y 0.007 eV respectivamente.
En general:
Para el Germanio tenemos que niveles para donadores de la columna V, se encuentran
aproximadamente a 0.01 eV abajo de la banda de conducción, en tanto que niveles para
aceptadores de la columna III se encuentran aproximadamente a 0.01 eV arriba de la banda de
valencia. Para el silicio los niveles descansan a 0.03 eV debajo de la banda de conducción
aproximadamente y a 0.06 eV arriba de la banda de valencia.
Para compuestos III - IV, impurezas de la columna VI sustituyen el elemento V y sirven como
donadores, como es el caso de los elementos S, Se y Te. Para los mismos compuestos impurezas
de la columna II sustituyen el elemento de la columna III y sirven como aceptadores, como los
elementos Be, Zn y Cd.
Dado que los valores hallados para n o p son válidos para materiales intrínsecos o dopados y
que el producto de np en equilibrio es una constante para cada material a una temperatura dada,
al multiplicar las dos concentraciones tenemos:
160
Capítulo. 6. Semiconductores
E − EF
− c
KT
np = N c e
E F − Ev
N e − KT
v
Eg
= N N e − KT
c v
[6.41]
Se observa que ni no depende de los niveles de dopado. De aquí se concluye que si la banda
prohibida es pequeña o la temperatura se incrementa ni aumenta.
np = ni 2
Otra forma conveniente de expresar las concentraciones para n y p es:
n = ni e
E F − E Fi
p = ni e
KT
[6.42]
E Fi − E F
KT
[6.43]
Para encontrar la posición del nivel de Fermi extrínseco respecto al intrínseco, tenemos:
n = Nce
NC
=e
n
E F − EC
KT
[6.44]
EC − EF
KT
[6.45]
EC − E F = KT ln
NC
n
[6.46]
Y además como:
ni = N C e
−
N C = ni e
EC − EFi
KT
EC − EFi
KT
[6.47]
[6.48]
Luego:
161
Capítulo. 6. Semiconductores
EC − E Fi
ni e KT
EC − E F = KT ln
n
EC − E F
EC − Ei
n
i
= KT ln
+ ln e KT
n
[6.49]
[6.50]
n
EC − EF = KT ln i + EC − EFi
n
n
EF − EFi = KT ln
ni
[6.51]
[6.52]
Obtenemos las ecuaciones que nos determinan las concentraciones tanto para electrones como
para huecos – procediendo de igual forma- en función de la concentración intrínseca del
material. Estas dos expresiones se conocen con el nombre de relaciones de Boltzmann:
n = ni e
E F − E Fi
KT
[6.53]
p = ni e
E Fi − E F
KT
[6.54]
De las ecuaciones observamos que existe mayor cantidad de electrones (materiales tipo n)
cuando EF se encuentra más próximo a Ec. De forma equivalente para materiales tipo p, el nivel
de Fermi se posiciona abajo del nivel de Fermi intrínseco evidenciando gran cantidad de huecos
en la banda de valencia y pocos electrones en la banda de conducción, o sea que existe mayor
cantidad de huecos cuando EF es próximo a EV.
A temperatura ambiente la densidad de portadores intrínseco es pequeña comparada con los
niveles de dispositivos dopados. Sin embargo, ni incrementa con la temperatura, para el caso del
silicio se duplica con la temperatura cada 11 ºC.
Cuando las impurezas son introducidas, el nivel de Fermi debe ajustarse para preservar la
neutralidad de carga. Cuando un material extrínseco contiene tanto donadores como aceptadores
aparecen estados de energía permitidos en la banda prohibida, los electrones o huecos debidos a
las impurezas se posicionan en los niveles Ed o Ea respectivamente, tal como se muestra en la
162
Capítulo. 6. Semiconductores
figura 6.10. Para el silicio tenemos los valores de energías de ionización mostrados en la tabla
6.3.
Tabla 6.3. Energías de ionización.
Impurezas -ND (Ec – Ed) [eV]
P
0.045
As
0.050
Pb
0.039
Impurezas -NA (Ea – Ev) [eV]
B
0.045
Al
0.060
Ga
0.070
jn
0.160
Figura 6.10. Energías permitidas para impurezas.
Podemos entonces concluir que para materiales tipo n, la función de distribución f(E) debe
posicionarse arriba del nivel do Fermi intrínseco indicando poca existencia de huecos en la
banda de valencia (Ev), y de forma equivalente para materiales tipo p esta función de
distribución se posiciona abajo del nivel de Fermi intrínseco para indicar gran cantidad de
huecos en la banda de valencia y pocos y baja cantidad de electrones en la banda de conducción.
163
Capítulo. 6. Semiconductores
Figura 6.11. Densidad de estados, función de probabilidad y concentración de portadores.
En la figura 6.11, se ilustran los casos para un material intrínseco (a) y materiales extrínsecos
tipo n (b) y tipo p(c). Para el primer caso la función de distribución se posiciona al mismo nivel
de la energía de Fermi intrínseco de tal forma que el producto de la función de distribución y la
densidad efectiva de estados nos reproducen unas concentraciones iguales de huecos y
electrones - las dos áreas bajo la curva -. Ahora para el caso de semiconductores extrínsecos el
valor de f(E) para cada nivel de energía en la banda de conducción y en consecuencia la
densidad total de electrones n aumenta cuanto más se acerca EF a EC. Así, la diferencia (EC-EF)
da una medida de n. En el material tipo p, el nivel de Fermi está cercano a la banda de valencia,
de forma que la posición [1-f(E)] por debajo de EV es mayor que la porción f(E) por encima de
EC. El valor de la diferencia (EF-EV) indica cuan dopado está el material p.
Si EF implica las distribuciones de huecos y electrones para una temperatura particular es más
conveniente usar los siguientes diagramas simplificados.
En el caso de los materiales tipo n y tipo p las áreas bajo la curva de las respectivas
164
Capítulo. 6. Semiconductores
concentraciones de electrones y huecos es mayor, dado que la función de probabilidad tiene un
mayor valor arriba del nivel de la energía de conducción (para el material tipo n) y abajo del
nivel de la energía de valencia (para un material tipo p).
6.4.3.
Cálculo del número de portadores.
Nuevamente las densidades o concentraciones de huecos y de electrones, p y n, respectivamente
las podemos calcular si conocemos la densidad de estados disponibles en un rango de energía y
la probabilidad de que un estado permitido este ocupado determinado por la distribución de
Fermi-Dirac f(E).
Si nd es la cantidad de electrones que ocupan las posiciones posibles de energía Ed y la
concentración de impurezas donadoras adicionadas al cristal es ND. Nuevamente el número de
electrones viene dado por
nd = N D 1 − f ( Ed )
[6.55]
Pero
f ( Ed ) =
1
1
1+ e
g
Ed − E F
KT
[6.56]
Entonces para los donadores:
1
nd = N D 1 −
E −E
1 dKT F
1
+
e
g
Donde g representa la degeneración del estado
[6.57]
de impurezas. Es igual a 2 para los donadores
ya que el nivel de impurezas puede aceptar el
electrón con cualquier spin.
Para los aceptadores:
1
Pa = N A 1 −
Ea − E
1 KT F
1
+
e
g
g = 4 para cálculos con los iones aceptadores.
Debido a que para E = Ev existe traslape de
[6.58] bandas lo que permite al electrón uno de
cuatro estados cuánticos.
165
Capítulo. 6. Semiconductores
6.4.4.
Neutralidad de carga espacial
La relación exacta entre los aceptadores, donadores, electrones y huecos se expresa mediante la
ecuación de neutralidad de carga, en donde nd+ denota el número de átomos donadores
ionizados, pa- el número de átomos aceptadores ionizados, po y no el número de huecos y
electrones respectivamente. Así:
po+ nd+ = no + pa-
[6.59]
Entonces la concentración neta de electrones en la banda de conducción viene dada por la
expresión:
no = po + (nd+ – pa-).
[6.60]
Si el material dopado es tipo tipo n, tenemos que no>> po
y todas las impurezas estarán
ionizadas, o sea:
(nd+ – pa-) = (ND - NA)
luego:
no = (ND-NA) para un material tipo n.
Si el material dopado es tipo p, tenemos que po>> no y todas las impurezas estarán ionizadas.
(pa- – nd+) = (NA - ND)
6.4.5.
luego:
po = (NA – ND) para un material tipo p.
Nivel de Fermi extrínseco
Cuando se introducen impurezas en un semiconductor, se presentan cambios en la expresión de
neutralidad de carga y por tanto la energía de Fermi se desplaza. Dado que:
n0 = N C e
−
p0 = N V e
Ec − E F
KT
−
E F − EV
KT
[6.61]
[6.62]
166
Capítulo. 6. Semiconductores
Tenemos:
no N C
=
e
po NV
EF =
E − 2 E F + EV
− C
KT
no
P
KT ln o = 2 EF − ( EC + EV )
NC
NV
[6.63]
EC + EV KT no KT NV
+
ln +
ln
2
2
Po
2
NC
[6.64]
El nivel de Fermi se incrementa con la relación de electrones y huecos. Así, cuando se
introducen impurezas donadoras el nivel de Fermi se desplaza arriba del nivel de Fermi
intrínseco. Al introducirse impurezas aceptadoras el nivel de Fermi se desplaza abajo del nivel
de Fermi intrínseco.
EF = EFi+
KT no
ln
2 Po
[6.65]
A temperaturas normales de operación prácticamente todas las impurezas están ionizadas. Para
un material tipo n tenemos:
n = no − N A
n0 = N C
y
E − EF
− c
e KT
[6.66]
igualando:
N D − N A = NC e
−
EC − EF = KT ln
Ec − E F
KT
[6.67]
NC
ND − N A
[6.68]
Adicionalmente, como np = ni2, podemos escribir las ecuaciones para materiales extrínsecos,
utilizando el subíndice cero (o) para denotar el caso de equilibrio térmico:
n n 0 p n 0 = ni
2
[6.69]
p p 0 n p 0 = ni
2
[6.70]
• Luego para un material tipo n los portadores minoritarios pueden ser calculados usando la ley
de acción de masas. Así:
pn0 = ni2/(ND – NA)
[6.71]
167
Capítulo. 6. Semiconductores
•
Para un material tipo n fuertemente dopado, tendríamos una concentración NA despreciable y
por tanto n tendería a ND. Luego n ND y NA→ 0
pn0 = ni2/ND
[6.72]
Reemplazando en la expresión de Fermi:
N
E F = EFi+ KT ln D
ni
[6.73]
De igual forma para materiales tipo p tenemos:
Ppo = ( N A − N D )
[6.74]
y para materiales tipo p fuertemente dopados, tendríamos una concentración ND despreciable y
por tanto p tendería a NA. Luego p NA y ND→ 0
n po =
ni2
n2
= i
p po N A
[6.75]
Reemplazando en la expresión para el nivel de Fermi:
N
EF = EFi+ KT ln A
ni
[6.76]
Dado que la concentración de huecos viene dado la ecuación siguiente:
p = NV e
−
E F − EV
KT
[6.77]
Igualando tenemos:
N A − N D = NV
E F − EV = KT ln
E − EV
− F
e KT
NV
N A − ND
[6.78]
[6.79]
168
Capítulo. 6. Semiconductores
Expresión que nos relaciona la posición de la energía de Fermi respecto a la energía de valencia,
con las concentraciones de impurezas donadoras y aceptadoras que afectan el material.
Un sistema de electrones en un semiconductor en equilibrio térmico es caracterizado por un
nivel de Fermi constante como se verá más adelante. En un semiconductor en donde la densidad
de impurezas y la concentración de portadores varían con la posición a lo largo del
semiconductor, la separación entre el nivel de Fermi y las bandas de valencia y conducción
varían también con la posición.
Figura 6.12. Diagrama de bandas correspondiente a una concentración variable.
En la figura 6.12, se puede observar el caso de una concentración variable de impurezas -en la
parte superior-, la cual es función de la posición en el material; en la parte inferior se muestra el
diagrama de bandas que ese material en equilibrio térmico reproduciría.
La separación entre el nivel de Fermi y el borde de la banda es menor en regiones de alta densidad
de portadores que en regiones de baja densidad. Así, para el caso en que ND–NA < 0, estamos ante el
caso de un material tipo p, lo cual es representado en el diagrama de bandas mediante el
posicionamiento del nivel de Fermi abajo del nivel de Fermi intrínseco, siendo esta separación
menor cuando la diferencia ND – NA disminuye. Cuando ND – NA= 0, tenemos el caso del
semiconductor intrínseco, lo cual nos indica que EF = EFi.. Si ND – NA > 0 la conductividad del
169
Capítulo. 6. Semiconductores
material es tipo n y por tanto el nivel de Fermi se encuentra por encima del nivel de Fermi intrínseco,
acompañando este ultimo las variaciones respecto a la posición de la concentración de portadores.
170
Capítulo. 6. Semiconductores
6.5.
Ejercicios.
Para los problemas considere T = 300 ºK. (mn*=me*)
1.
Elemento
mn *
mp *
Eg (eV)
Si
1.1m0
0.59m0
0.67
Ge
0.5m0
0.37m0
1.10
InAs
0.027m0
0.4m0
0.35
Calcule el número de electrones por unidad de volumen para el Germanio en la banda de
conducción a 250ºK, 300ºK y 350ºK.
2.
Calcule el número de electrones por unidad de volumen para el Silicio en la banda de
conducción a 250ºK, 300ºK y 350ºK.
3.
Determinar la posición del nivel de Fermi en el Germanio intrínseco.
4.
Asuma que la masa efectiva de los huecos en el silicio es tres veces la de los electrones.
Encuentre la temperatura para la cual el nivel de Fermi se desplaza un 20% del nivel de
Fermi intrínseco.
5.
La probabilidad de que un estado de la banda de conducción (EC) esté ocupado es igual a la
probabilidad de que un estado de la banda de valencia (EV) está vacío. Encuentre la
posición del nivel de Fermi.
6.
Encuentre la concentración intrínseca para el Silicio y el Germanio a 300 ºK. Repita para
una temperatura de 350 ºK y 400 ºK. Considere Eg constante.
7.
Hallar la concentración de electrones y huecos en el Silicio puro a 300 K.
8.
Calcule la concentración de portadores intrínsecos en el InAs a 300 K y 600 K.
171
Capítulo. 6. Semiconductores
9.
Encuentre la probabilidad de que un estado cuya energía se posiciona 0.1 eV arriba de la
energía de Fermi se encuentre ocupado ? Asuma una temperatura de 800 K.
10. La concentración de portadores intrínsecos en Ge a 300 ºK es ni = 9,5×1012 cm-3. Calcular el
ancho de banda prohibida. Repita para el Si, donde ni = 1,3×109 cm-3.
172
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
7. Fenómenos de transporte
____________________________________________________________________________
7.1.
Introducción
En los capítulos precedentes, la mayoría de las ecuaciones y análisis efectuados se han llevado a
cabo en condiciones de equilibrio o cercanas a ellas. El cálculo de n y p se hizo suponiendo
condiciones de equilibrio térmico. Los semiconductores pueden presentar dos clases de
equilibrio, el equilibrio estático en el cual un objeto permanece indefinidamente en la misma
posición o condición a menos que sea perturbado (semiconductor a 0 ºK) y el equilibrio
dinámico, en el cual se mantienen unas condiciones constantes a pesar de haber perturbaciones.
Esa condición estable se logra por el balance entre el flujo que entra y el flujo que sale de un
sistema, por ejemplo, el flujo de moléculas de agua que se evaporan de la superficie de un
líquido se encuentra en equilibrio dinámico con el de las moléculas que se condensan del mismo
vapor.
En equilibrio térmico, un semiconductor tiene la misma temperatura del ambiente. El único
intercambio existente entre el ambiente y el semiconductor es energía térmica. Así, en un
semiconductor, los electrones de la banda de conducción y los huecos de la banda de valencia se
hallarán en equilibrio dinámico si los pares de electrón-hueco generados al saltar un electrón a la
banda de conducción son anulados por la recombinación de otros electrones.
El transporte de carga en un semiconductor no se hace solamente por corriente de arrastre
producida por la presencia de un campo eléctrico, sino también por difusión, o sea por la
presencia de un gradiente de concentración de portadores en el semiconductor, que hace que
fluyan cargas del silicio de mayor concentración al de menos concentración.
En este capítulo se estudiarán los tres fenómenos de transporte que se presentan en los
semiconductores fuera de condiciones de equilibrio térmico. Se trata de los fenómenos debidos a
la presencia de campos eléctricos externos, a la existencia de un gradiente de concentración de
portadores, -lo cual origina un flujo de cargas de la región de mayor concentración de portadores
a aquella de menor concentración-, y a los procesos de generación y recombinación.
173
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Encontraremos las expresiones de corriente para cada caso, lo que nos permitirá obtener una
ecuación generalizada de la corriente cuando las tres situaciones estén presentes.
Estos tres fenómenos estudian los cambios de la densidad de portadores móviles en un
semiconductor, lo cual es también conocido como inyección de portadores. Adicionalmente, el
tiempo que le toma al semiconductor volver a su condición de equilibrio una vez haya
desaparecido la perturbación, para determinar la máxima velocidad de conmutación de un
dispositivo. Finalmente, también se busca determinar la distancia recorrida por los portadores
móviles dentro del semiconductor o sea la longitud de difusión. Esta propiedad define las
máximas dimensiones físicas de ciertos dispositivos.
7.2.
Arrastre del portador en un campo eléctrico
Como es conocido, portadores bajo el efecto de un campo eléctrico origina un desplazamiento
de la carga dando origen a una corriente que llamamos de desplazamiento o arrastre. Para
campos eléctricos no muy intensos, la velocidad con que se desplazan los portadores es
proporcional a la magnitud del campo eléctrico y se denomina velocidad de arrastre VD. Esa
proporcionalidad puede ser expresada de la forma:
[7.1]
VD =E
Donde es una constante de proporcionalidad que llamaremos movilidad.
La velocidad media de desplazamiento converge aun valor constante finito, llamado
velocidad media de arrastre. VD es proporcional al campo E hasta un valor aproximado de
3.106 cm/seg correspondiendo a un valor de E = l03 V/cm. La movilidad se expresa en las
unidades =cm2/(volt-seg). Ver figura 7.1. Si se tiene un semiconductor sometido a la acción de
un campo eléctrico, el electrón estará sometido a una fuerza:
F = me *
dv
dt
[7.2]
174
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Figura 7.1. Velocidad de arrastre.
El electrón tiende a acelerarse, pero choques le hacen perder energía. La ecuación también
puede escribirse de la forma:
− qE = me *
dv
−q Etc = me *vd
dt
[7.3]
Entonces:
vd =
− q Et c
me
[7.4]
*
Donde tc es el tiempo libre medio del electrón y representa el tiempo que transcurre entre cada
colisión y la siguiente. De la expresión anterior obtenemos una cantidad dada por la ecuación
7.5, que denominaremos movilidad. La movilidad es afectada por el tiempo medio libre, el cual
a su vez varía con la temperatura. Entonces:
n =
[7.5]
qtc
me
*
La movilidad tanto para electrones como para huecos se denota como n y p respectivamente.
La movilidad presenta una variación con la temperatura de la forma = (m*)-3/2T1/2. Esta cantidad
describe la facilidad con la que el electrón se desplaza en el material.
7.2.1.
Intensidad y resistencia
Estudiemos la densidad de corriente resultante de unos electrones desplazándose con una
velocidad media de arrastre v. Recordemos que la intensidad de corriente que atraviesa un área
175
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
se define como la carga neta que fluye a través de dicha área por unidad de tiempo. Así, si
denotamos como dQ el valor de la carga neta que fluye a través de una superficie en un tiempo
dt, tenemos que la intensidad de corriente se expresa como:
I=
[7.6]
dQ
dt
Ahora la intensidad de la corriente que atraviesa un área específica puede también expresarse en
términos de la velocidad media de arrastre de las partículas cargadas, la cual es causada por las
colisiones entre las partículas mismas y las partículas con aquellas que componen la red
cristalina.
Si consideramos una porción de conductor de sección A, que se encuentra bajo el influjo de un
campo eléctrico E dirigido de derecha a izquierda, observaremos un movimiento de partículas
libres cargadas positivamente en el mismo sentido del campo, en tanto que las partículas libres
cargadas negativamente se moverán en sentido contrario. En la figura 7.2, si suponemos que
existen n1 número de partículas por unidad de volumen moviéndose con velocidad de arrastre
v1, en un diferencial de tiempo dt, cada partícula recorrerá una distancia equivalente a v1dt.
Figura 7.2. Sección de conductor bajo el influjo de un campo eléctrico.
Por tanto, sólo las partículas que se encuentran dentro de la región sombreada de longitud v1dt
lograrán atravesar la base del cilindro en un tiempo dt. El volumen del cilindro viene dado por
Av1dt y el número de partículas contenidas en el interior es n1Av1dt. Si la carga de cada partícula
es q1, el diferencial de carga que fluye a través de la base del cilindro durante el diferencial de
tiempo dt vendría dado por la expresión 7.7.
dQ1 = qn1Av1dt
[7.7]
De forma que la intensidad de corriente transportada por las partículas cargadas positivamente
es
176
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
I1 =
[7.8]
dQ1
= n1 q1v1 A
dt
Ahora, si existen n2 partículas por unidad de volumen cargadas negativamente con una carga
igual a q2, desplazándose de derecha a izquierda a la velocidad v2, la intensidad transportada es
de forma equivalente
I2 =
[7.9]
dQ2
= n2 q 2 v 2 A
dt
La intensidad total de corriente entonces es la suma de las corrientes anteriores.
I = A(n1q1v1 + n2 q2 v2 )
[7.10]
En general si un conductor contiene un cierto número de partículas diversas con diferentes
densidades da carga, la intensidad viene dada por
I = A nqv
[7.11]
Como la intensidad de corriente por unidad de sección se denomina densidad de corriente y se
denota como J entonces
J=
[7.12]
I
= nqv
A
En términos vectoriales, el vector densidad de corriente se define como
J = nqv
[7.13]
Ejemplo 1
Encuentre que la densidad corriente que atraviesa un sector de semiconductor de longitud L y
área transversal A está dada por la expresión:
J = qNnE
LA
considerando que n es el número
de electrones atravesando la sección.
Solución
177
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Sea t, el tiempo medido en segundos que tardan los N electrones en recorrer la distancia L
medida en metros. Así, n/t es el número de electrones que atraviesan la sección A por unidad de
tiempo. La carga asociada al número de electrones es qN, luego la corriente estaría dada por
i=
qN
t .
Si la velocidad de desplazamiento de los electrones es v = L
La densidad de corriente entonces
Ahora definiendo n = N
LA
qN
v
J=
i=
t
tenemos
qNv
L
LA , como v = E entonces J = qNE
LA
como el número de electrones por unidad de volumen obtenemos
que J = qnE
7.2.1.1.
Resistividad
La resistividad se define como la constante de proporcionalidad entre el campo eléctrico y la
densidad de corriente:
E = J
[7.14]
El valor recíproco es llamado conductividad
J =E
[7.15]
Ahora si consideramos el caso de la densidad de corriente resultante de unos electrones
desplazándose con una velocidad media de arrastre vd, -fenómeno que ocurre en los
semiconductores-, tenemos que la densidad de corriente debida a los electrones sería
J n = −qnvd
[7.16]
Luego, reemplazando vd por su equivalente dado en la ecuación 7.4
178
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Jn =
nq 2 t c
me
*
E
[7.17]
Pero como
J n = E
Obtenemos que la expresión 7.18 reproduce el valor para la conductividad
nq2tc
=
*
me
[7.18]
Sustituyendo la ecuación 7.5 de la movilidad en esta expresión obtenemos que la conductividad
es de la forma:
= qn n
[7.19]
Entonces encontramos nuevamente la expresión para densidad de corriente:
[7.20]
Para un semiconductor donde tanto los huecos como los electrones son responsables de la
conductividad tenemos:
= q( n n+ p p ) =
[7.21]
Donde
= qn n + qp p
7.3.
[7.22]
Difusión de portadores.
Hemos visto que la presencia de un campo eléctrico origina una corriente en el material, es
posible también la existencia de una corriente sin la presencia de un campo eléctrico. La
existencia de un gradiente de concentración de portadores, origina un flujo de cargas del
179
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
semiconductor de la región de mayor concentración de portadores a aquella de menor
concentración, esta corriente se llama corriente de difusión. La difusión es el mecanismo por el
cual la materia penetra aleatoriamente la materia, es un fenómeno estadístico similar al de los
gases neutros, este fenómeno no ocurre en los metales. Los portadores en el semiconductor se
difunden en un gradiente de portadores con movimiento térmico aleatorio. Si no hay
uniformidad en la concentración de cargas en un semiconductor, habrá gradientes de
concentración de portadores en función de la distancia. El movimiento de portadores debido a
ese gradiente origina la corriente de difusión.
La densidad de corriente de difusión es proporcional a la variación de la concentración de
partículas respecto a la posición. Sí denotamos con c la concentración de partículas, la
proporcionalidad se establece
J −
c
t
[7.23]
La igualdad se obtiene usando dos constantes de proporcionalidad para cada tipo de portador,
así, las ecuaciones 7.24 y 7.25 describen el valor de las corrientes para huecos y electrones. El
signo menos considera que los portadores van de regiones de alta concentración a las de baja
concentraciones, es decir la concentración disminuye con incrementos en la posición.
J h = − Dp q
J n = Dn q
p
x
n
x
[7.24]
[7.25]
Siendo Dn y Dp las constantes de difusión para electrones y huecos respectivamente y tienen como
unidades cm2/seg.
7.3.1.
Análisis de la difusión
A partir de una curva que describa la concentración de partículas dependiente de la posición.,
obtendremos la expresión para la corriente de difusión. Los electrones pueden moverse en
180
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
cualquier dirección, esto nos indica que en un tiempo t equivalente al tiempo de vida, existirá un
flujo de electrones entre las regiones 1 y 2 a través de xo, como podemos observar en la figura
7.3.
El movimiento de electrones debido a energía térmica es aleatorio y los electrones
atraviesan la superficie en ambos sentidos. En un intervalo dado habrá más electrones
circulando en un sentido que en el otro, dando paso una concentración más elevada y a un flujo
neto de cargas negativas. De aquí que se presente una corriente debida al fenómeno estadístico y
no al de repulsión o atracción de cargas.
Figura 7.3. Concentración variable de portadores.
El número neto de electrones que pasa a través de xo es:
M ( xo ) =
1
1
(n1 LA) − (n2 LA)
2
2
[7.26]
Donde A es el área perpendicular a x, o también:
M ( xo ) =
1
L 1
L
L n xo − − L n xo +
2
2 2
2
[7.27]
M ( xo ) =
L2
L
L
n xo − − n xo +
2L
2
2
[7.28]
Donde M(xo) corresponde al número de partículas por unidad de área. Pero recordemos que
L
L
n xo − − n xo +
dn
n
n( x) − n( x + x)
2
2
= lim
= lim
=
dx x→0 x x→0
x
x
[7.29]
181
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Luego la rata del flujo de electrones o mejor la densidad del flujo de electrones por unidad de
área, viene dado por:
L
L
L
n xo − − n xo +
2
2
2 M ( xo )
n ( xo ) =
=
t
t
[7.30]
L
L
n xo − − n xo +
2
2
L
n ( xo ) =
L
2t
[7.31]
L2 dn( x)
n ( xo ) = −
2t dx
[7.32]
2
n ( xo ) = − Dn
dn
dx
L
L
n
x
−
−
n
x
+
o
o
2
2
L2
n ( xo ) =
L
2t
[7.33]
[7.34]
El signo menos en la expresión 7.32 indica una tasa de cambio negativa debido a que los
portadores van de regiones de alta concentración a las de baja concentración y Dn se denomina
el coeficiente de difusión.
Entonces la corriente de difusión atravesando una unidad de área, lo cual definimos como la
densidad de corriente, es la densidad de flujo multiplicado por la carga electrónica. Luego a
partir de las expresiones para los flujos, dadas por las ecuaciones 7.35 y 7.36.
dn
dx
dp
p ( x) = − Dp
dx
n ( x) = − Dn
[7.35]
[7.36]
Obtenemos las expresiones de corriente tanto para electrones como para huecos
J n = −(− q ) Dn
dn
dx
[7.37]
182
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
J p = (− q ) Dp
[7.38]
dp
dx
Las expresiones finales para la corriente de difusión para huecos y electrones son
J p (dif ) = − qDp
J n (dif ) = qDn
dp
dx
dn
dx
[7.39]
[7.40]
En el caso que se presentan corrientes de difusión simultáneamente con corrientes de arrastre
debidas a la presencia de un campo eléctrico, las expresiones para la densidad de corriente
contendrían ambas componentes, así, para cada portador las ecuaciones serían
dn( x)
dx
dp( x)
J p ( x) = q p p ( x) E ( x) − qDp
dx
J n ( x) = q n n( x) E ( x) + qDn
[7.41]
[7.42]
Y la densidad de corriente total en consecuencia viene dada por:
J (x ) = J p (x ) + J n (x )
[7.43]
Si los mecanismos de difusión y arrastre son fenómenos termodinámicos estadísticos, las
constantes Dn, Dn, μp y μn no son independientes.
7.4.
Fenómeno de Generación – Recombinación.
El tercer fenómeno de conducción es el de generación – recombinación. Se denomina
generación al proceso de creación de un par electrón-hueco, al pasar un electrón de la banda de
valencia a la banda de conducción. El proceso contrario se denomina recombinación y es la
destrucción de un par electrón-hueco, cuando el electrón pierde energía en la banda de
conducción y regresa a la banda de valencia, restableciéndose el par electrón-hueco.
La generación - recombinación puede presentarse de forma directa o indirecta: la recombinación
de forma directa ocurre cuando un electrón de la banda de conducción cae espontáneamente en
183
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
un hueco de la banda de valencia. La energía correspondiente a la banda prohibida es cedida por
el electrón en forma de fotón con su frecuencia característica. El Arseniuro de Galio y
semiconductores que tengan la posibilidad de emitir luz se caracterizan por tener un proceso
rápido de recombinación. La recombinación directa es exactamente el proceso inverso de la
generación de pares electrón-hueco por absorción de fotones. Existen varias formas de
recombinación directa, entre ellas podemos mencionar:
•
El sistema absorbe energía ganando temperatura (genera un fonón).
•
La energía puede ser emitida, produciendo un fotón (recombinación radioactiva).
•
La energía puede ser transferida a otro portador (Recombinación AUGER).
En la recombinación indirecta, el objetivo también es que el electrón llegue a la banda de
valencia, pero en un proceso más lento y por etapas. La existencia de estados intermedios
conocidos como trampas o centros de recombinación, hace que los electrones pasen por esos
centros de recombinación antes de alcanzar la banda de valencia. Los centros discretos en la
banda prohibida pueden ser aceptadores de un electrón de la banda de conducción. Estos centros
son niveles de energía localizados dentro de la banda prohibida y son introducidos por átomos
de impurezas. La existencia de estos niveles se debe a defectos por la contaminación de átomos
de carbono primordialmente, oxigeno o elementos como el oro. Estos defectos en la red
cristalina pueden servir para controlar la vida media de los portadores móviles. Los materiales
semiconductores comunes como Si y Ge, son materiales llamados de brecha indirecta.
Si se asume que inicialmente un estado intermedio está vacante, un electrón al decaer
permanecería allí por un tiempo y en seguida caerá a un hueco en la banda de valencia. Mientras
permanezca el electrón en la trampa, interactuará fuertemente con las vibraciones térmicas
(fotones) del cristal y cederá su energía poco a poco en lugar de hacerlo en un quantum o
paquete de luz. Los materiales semiconductores comunes como Si y Ge, son materiales
llamados de recombinación indirecta.
La recombinación se denoto como R y representa el número de pares electrón-huecos que se
están recombinando por segundo y por unidad de volumen [(cm3 – seg)-1]. La generación
térmica se denota como G y representa el número de electrón-huecos que se están generando
por segundo y por unidad de volumen.
184
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Tenemos entonces que la recombinación debe ser proporcional tanto al número de huecos como
al número de electrones. La igualdad se establece usando una constante de proporcionalidad r.
R = rnp
R = R (n,p,T)
=> Para materiales fuera de equilibrio.
R = rni2
R = R (no,po,T)
=> Para materiales en equilibrio.
Adicionalmente la generación térmica solo depende de la temperatura y de las propiedades del
material extrínseco G = G(T)
En equilibrio térmico la recombinación y generación térmica deben ser iguales, o sea
G(T ) = R(no , p o , T ) = rno p o = rni
2
[7.44]
En situación de no equilibrio, por ejemplo, al hacer incidir luz en el material se produce un
exceso de pares electrón-huecos. La iluminación uniforme -que penetra uniformemente- en el
material, causa que los fotones rompan los enlaces en todo el cristal. Al iluminarse la muestra
habrá un excedente de portadores respecto al valor de equilibrio. Tanto n o como po aumenta en
cantidades absolutas iguales pues los enlaces rotos proveen pares electrón-huecos.
En estado estacionario se tiene un índice de generación de exceso Gop donde se tiene
G op +G(T ) = R(n, p, T )
[7.45]
O también
U = R(n, p, T ) − Gi
[7.46]
Siendo U la tasa neta de recombinación en el caso en que R > Gi, o la tasa neta de generación si
se presenta que Gi > R. Cuando el estímulo externo es suspendido, se presenta la condición Gop
= 0 y los electrones de no-equilibrio tienden a sus valores de equilibrio. El índice de
disminución es determinado por el índice de recombinación de los portadores en exceso
R (n, p, T ) − G (T ) = U = −
n
p
=−
t
t
[7.47]
185
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Los nuevos valores de la concentración de portadores se definirán por las expresiones 7.48 y
7.49, después de que se logra el equilibrio dinámico. La concentración de portadores debido al
estímulo sería de la forma
n = no + n´
[7.48]
p = p o + p´
[7.49]
Donde n’ y p’ representan las concentraciones de portadores en exceso (electrones y huecos
respectivamente). Si los portadores se generan y recombinan por pares tenemos que p´= n´ y
luego:
p − p o = n − n0
[7.50]
Si el material es tipo n podemos asumir que n = n 0 y que los portadores en exceso n´ son
despreciables. Sin embargo, no podemos afirmar lo mismo de los huecos ya que los huecos en
exceso pueden llegar a ser significativos respecto al valor de los mismos en condiciones de
equilibrio, es decir p = p o + p´ . Análogo razonamiento podemos realizar para un material tipo
p. En ese caso p = p 0 y los electrones minoritarios n = no + n´ .
Para cualquier tipo de semiconductor la luz inyecta portadores de ambos signos en cantidades
iguales, pero solo la presencia de minoritarios es significativa en términos porcentuales respecto
al valor original comparado con la generación porcentual de mayoritarios. Es por ello, que a
este fenómeno se le llama inyección de portadores minoritarios, pero no se debe olvidar que
siempre que se inyectan o generan minoritarios también se están inyectando mayoritarios para
mantener la neutralidad eléctrica del material.
Luego las variaciones de estos equivalen a las variaciones del número total de portadores. Al
iluminar una muestra de semiconductor la densidad de portadores minoritarios es notablemente
más afectada que la de los mayoritarios. Por esto nos interesa estudiar el comportamiento de los
minoritarios con el tiempo una vez la iluminación ha cesado y el material que asumimos tipo n,
tiende a volver al equilibrio. A partir del instante de t = 0 lo que ocurre con los minoritarios en
un material tipo n sería:
186
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
n n´
p p´
=
=
y
t
t
t
t
[7.50]
Entonces:
r (no + n' )( po + p ' ) − G (T ) = −
n'
p '
=−
t
t
rno po + r no p '+ po n'+ n' p ' − rno po = −
−
p '
= r ( no + p o + p ' ) p '
t
n'
p '
=−
t
t
Asumiendo p ' = n'
[7.51]
[7.52]
[7.53]
Entonces:
p'
dt
t
t
0 (no + po + p' ) p' = −r 0 dt
[7.54]
t
Resolviendo:
187
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
1
no + po
p'
ln
no + po + p '
t
= − rt
0
[7.55]
1
p ' (t )
p ' (0)
− ln
ln
= − rt
no + po no + po + p ' (t )
no + po + p ' (0)
[7.56]
p ' (t )[no + po + p ' (0)]
1
ln
= − rt
no + po p ' (0)[no + po + p ' (t )]
[7.57]
p' (t )[no + po + p' (0)] = p' (0)[no + po + p' (t )]e− r ( no + po )t
[7.58]
p' (t )[no + po + p' (0)] = [ p' (0)(no + po ) + p' (0) p' (t )]e− r ( no + po )t
[7.59]
p' (t )[no + po + p' (0) − p' (0)e −r ( no + po )t ] = p' (0)(no + po )e −r ( no + po )t
[7.60]
p' (t ) =
p' (t ) =
p' (0)(no + po )e− r ( no + po )t
no + po + p' (0) − p' (0)e− r ( no + po )t
p' (0)(no + po )
[no + po + p' (0)]e r ( no + po )t − p' (0)
[7.61]
[7.62]
En las ecuaciones, p´(0) sería la densidad de huecos en exceso en t=0. Recordemos que son
portadores minoritarios para material tipo n, El anterior resultado es válido para cualquier valor
no, po, y p’. En la fase posterior a la eliminación de la perturbación lumínica la tasa de
generación de huecos es menor que la recombinación de los mismos y por ese motivo la
concentración de minoritarios debe decaer.
7.4.1.
Baja inyección
En el caso del estímulo óptico, la luz inyectó portadores de ambos signos en cantidades iguales,
pero solo la presencia de minoritarios es significativa en términos porcentuales respecto al valor
original y comparado con la generación porcentual de mayoritarios. Es por ello, que a este
fenómeno se le llama inyección de portadores minoritarios, pero no se debe olvidar que siempre
188
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
que se inyectan o generan minoritarios también se están inyectando mayoritarios para mantener
la neutralidad eléctrica del material.
Cuando el número de portadores inyectados es despreciable respecto a aquellos mayoritarios en
equilibrio térmico, hablamos de condiciones de baja inyección. No obstante, si los mayoritarios
no se ven afectados por los portadores en exceso, los minoritarios sí, ya que una cantidad
pequeña de portadores minoritarios en exceso puede afectar la concentración de ellos en
equilibrio térmico. Ahora, baja inyección, significa que n’ << no o p’ << po para materiales tipo
n o p respectivamente. De la ecuación 8,62 vemos que p´(0) sería despreciable, de tal forma que
p´(0) 0 y además n0 + p0 + p´(0) n0 + p0 , luego la ecuación general se simplificaría en la
ecuación 7.63
p' (t ) = p' (0)e − r ( no + po ) t
p ' (t ) = p ' (0)e
−
[7.63]
t
p
[7.64]
Siendo:
p =
1
r ( no + po )
[7.65]
p = tiempo de vida de los portadores en exceso. Es el tiempo que demoran en recombinarse los
huecos (p) o los electrones (n), desde que fueron generados hasta que fueron recombinados,
también es llamado tiempo de recombinación. El rango va desde los nanosegundos o menos
hasta los milisegundos. Ahora como:
p' (t ) = p(t ) − po
[7.66]
Entonces
p(t ) − p o = p' (0)e
p(t ) = p o + p' (0)e
− t
p
[7.67]
− t
p
[7.68]
189
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Entonces la concentración en exceso de portadores minoritarios -en este caso huecos-, decrece
exponencialmente con el tiempo y depende del tiempo de vida medio. Se considera que el
equilibrio se alcanza cuando la concentración ha decaído entre el 10% y el 1% de su valor
inicial, que toma entre 2.3τp y 4.6τp, respectivamente. Los valores τp y τn son importantes dado
que ellos controlan la rata a la cual las densidades de portadores minoritarios en exceso retoman
a sus valores de equilibrio a través de la recombinación. La figura 7.4 ilustra este
comportamiento
Figura 7.4.Comportamiento de los minoritarios con el tiempo.
De esta forma la recombinación de los portadores en exceso para una inyección débil es:
R=
p ' (t )
1
= − p ' (t )
t
p
[7.69]
Tanto para semiconductores de brecha directa como para los de brecha indirecta la rata de
recombinación de portadores en exceso R, es función del número de minoritarios en exceso y de
su tiempo de vida media. R ahora varía con el tiempo.
En un intervalo de tiempo infinitesimal dt, el número de portadores minoritarios en exceso, en
este caso huecos, anulados por unidad de tiempo es:
R=
p(t ) − p o
p' (t )
=−
t
p
[7.70]
El signo menos significa que los minoritarios en exceso se reduce en un intervalo dt. En la
figura 7.5, se muestra el comportamiento de la función válida para la recombinación de
portadores en exceso.
190
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Figura 7.5.Comportamiento de la función de recombinación.
La vida media de los portadores minoritarios en un semiconductor de brecha directa como el
GaAs puede ser usualmente de 1nseg o menos, mientras que para un semiconductor de brecha
indirecta puede llegar a ser de hasta 100μseg (Si) o aun varios milisegundos (Ge).
Si se dopa el silicio con oro, introduciendo trampas en la banda prohibida se reducirá el tiempo
τp a alrededor de 1nseg. A mayor cantidad de átomos de oro, mayor la cantidad de trampas y
más bajo el tiempo medio. La desventaja radica en la liberación de portadores minoritarios
extras y en algunos dispositivos usados para bloquear corriente aparecerán con corrientes de
fuga considerables.
Ejemplo 2.
Supóngase un semiconductor tipo n, excitado por una fuente luminosa que es suspendida en un
tiempo t = 0. Evaluemos el comportamiento de los portadores minoritarios con el tiempo,
asumiendo que la densidad de huecos en exceso - portadores minoritarios en el material tipo n-,
inicia la fase de recombinación en t = 0, dado que la generación de huecos es menor que la
recombinación debido a que ya no hay excitación lumínica.
Consideremos entonces un semiconductor de Germanio tipo n con valores de concentración
intrínseca ni = 2.5*1019 mt-3 y ND= 1022 m-3. Consideremos también que la incidencia del haz
191
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
luminoso duplicó la densidad de huecos. Calculemos el tiempo tomado por la densidad de
huecos para decaer a una concentración de 8*1016 m-3 si p = 3 mseg.
Calculemos la concentración de huecos en equilibrio po.
ni2 (2.5x1019 mt −3 ) 2
p0 =
=
= 6.25x1016 m− 3
22
−3
ND
10 mt
Ahora como en t = 0 se duplica el número de huecos tenemos que:
p(0) = 2 p0 = p´(0) + p0 = 12,5x1016 m−3
Luego, p´(0) = p(0) − p0 = 6,25x1016 m−3
Al decaer la concentración al valor mencionado, p(t) = 8*1016 m-3
Entonces: p´(t) = 8x1016 m -3 - 6.25x1016 m -3 = 1.75x1016 m -3
De la ecuación 7.68, el tiempo tomado en decaer a ese valor es
t = p ln
p´()
= x− seg ln (
) = ms
p´(t )
7.4.2.
Comportamiento de los portadores minoritarios con la distancia
Una inyección de bajo nivel de pares electrón-huecos en un semiconductor, adiciona una baja
concentración de cargas extras en cada banda. De esta manera es más fuertemente afectada la
densidad de minoritarios en comparación con la de mayoritarios. En este ítem analizaremos
como es el comportamiento de los portadores minoritarios en función de la distancia.
Consideremos una barra de material tipo p, iluminada en un extremo. La inyección de bajo nivel
ya sea por luz u otro tipo de excitación, mantiene la densidad de minoritarios en exceso
constante en una posición x = 0 dentro del material. Ver figura 7.6.
192
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Figura 7.6. Portadores minoritarios en función de la distancia
Para valores de x positivos, hay solo generación de equilibrio de pares electrón-huecos. Los
portadores minoritarios en exceso tenderán a difundirse hacia la región no afectada donde la
densidad de minoritarios es más baja. Al difundirse se recombinarán a cierta distancia
permaneciendo cercanos al equilibrio.
Para evaluar el comportamiento de los minoritarios que se difunden y anulan por recombinación
con la distancia, consideremos un diferencial de volumen dentro del semiconductor dv = Adx y
efectuemos un balance de pérdidas y ganancias de portadores minoritarios en exceso. Se debe
tener en cuenta que en condiciones de equilibrio los procesos de generación y recombinación de
portadores se presentan, pero sus efectos se anulan entre sí.
Para el análisis consideramos la difusión de minoritarios en exceso (electrones) entrando al
diferencial de volumen. La densidad n de estos electrones en exceso variará con la posición x de
la forma:
− ADn
dn´
dx
Expresión que describe el número de electrones difundiéndose en x por segundo
De igual forma el número de minoritarios en exceso que se recombinan en el interior del
volumen sería n´ A
dx
n
electrones/seg. Donde la densidad (número de electrones por unidad de
volumen) se ha multiplicado por el volumen para dar la cantidad de electrones en exceso. La
división por τn da el número de electrones perdidos por segundo.
193
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Finalmente, en relación con la difusión de minoritarios en exceso fuera del volumen, es
necesario encontrar el valor del flujo de difusión en la posición ( x + x) ). Una función y(x) que
tiene el valor y en la posición x toma el valor:
y ( x + x) = y +
y
x
x
En la posición (x + dx).
[7.71]
La cantidad de electrones difundiéndose hacia afuera del volumen en x + dx, estaría dada por la
expresión 7.72.
n´ 2 n´
− AD n
+ 2 x electrones/seg
x x
[7.72]
El balance quedaría:
dn´
dx
dn´
d 2 n´
− ADn
= n´ A − ADn
− ADn
x
dx
x
dx
dx 2
[7.73]
De esta forma:
2 n´
n´
−
=0
2
Dn P
x
[7.74]
La solución tendrá como constantes arbitrarias k1 y k2:
n´( x) = k1e
−
x
Ln
+ k2e
+
x
Ln
[7.75]
Siendo Ln la longitud de difusión de los electrones, y nos indica la distancia recorrida por estos
antes de recombinarse. La longitud de difusión está dada por la ecuación 7.76
Ln = 2 Dn n
[7.76]
Si
n´= n´0
en x = 0
entonces
k1 = n´0
Y si
n´= 0
en x →
entonces
k2 = 0
Entonces:
n´( x) = n´0 e
−
x
Ln
[7.77]
194
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
La cantidad de portadores minoritarios en exceso decae exponencialmente con la distancia a la
superficie perturbada. Igual resultado se obtendrá para los huecos en exceso en materiales tipo n,
con una longitud de difusión L p = 2 D p p
El valor de Ln es típicamente de 3 mm para el Germanio, de 0.3 mm para el Silicio y de 2 m
para el Arseniuro de Galio. Esto es de suma importancia en la tecnología de transistores
bipolares donde importan las dimensiones de los dispositivos menores que Ln o Lp. En el
Germanio se han logrado tales dimensiones desde que ese semiconductor dominó el mercado. El
silicio presenta otras ventajas y es actualmente el de más demanda.
7.4.3.
Relacion de Einstein.
En el movimiento de portadores en un campo eléctrico, el efecto del campo sobre las energías
de los electrones se ve en los diagramas de bandas. Así, para un campo en la dirección x, el
potencial debe dibujarse inclinado. La energía potencial de los electrones se incrementa en la
dirección del campo, tal como se muestra en la figura 7.7. El campo está relacionado con el
potencial mediante la relación:
E ( x) = −
d ( x)
dx
[7.78]
Figura 7.7. Efecto del campo eléctrico en el diagrama de bandas
195
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Y el potencial está relacionado con la energía por: ( x) =
E ( x) = −
E ( x)
−q
Entonces:
d ( x)
d E ( x)
=−
dx
dx −q
[7.79]
La relación de energía potencial, con el campo en el diagrama de bandas requiere de un punto de
referencia. Podemos considerar EC, que sería la energía necesaria para liberar un electrón del
material, pero también serviría EV o EFI. Escogiendo EFi como referencia tendremos:
E ( x) =
[7.80]
1 dEFi
q dx
En equilibrio térmico no existe flujo neto de corriente en el semiconductor. Cualquier
fluctuación que origine corrientes de difusión genera un campo que redistribuye los portadores
de la ecuación de densidad de corriente. En equilibrio térmico tenemos:
dp ( x )
J p ( x ) = q p p ( x ) E ( x ) − qD p
=0
dx
[7.81]
Obteniendo que el campo sería:
E ( x) =
Dp
1 dp( x)
p( x) dx
p
[7.82]
Recordemos la expresión para los huecos (7.83), reemplazando en 7.82:
p( x) = ni e
E ( x) =
E ( x) =
E ( x) =
EFi − EF
KT
Dp
p
1
ni e
D p ni e
p
EFi − EF
KT
EFi − EF
KT
[7.83]
dp( x)
dx
1 d
EFi − EF
KT dx
ni e
[7.84]
[7.85]
EFi − EF
KT
Dp 1 dEFi dEF
−
p KT dx
dx
[7.86]
196
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
En equilibrio el nivel de Fermi no varía con x. Sustituyendo dEFi /dx obtenemos:
E ( x) =
[7.87]
Dp 1
qE ( x)
p KT
Entonces :
KT D p
=
q
p
[7.88]
Expresión conocida como la Relación de Einstein o Ecuación de Einstein, en general:
VT =
KT D p Dn
=
=
q
p n
Donde
VT conocido como el potencial térmico y es función de la temperatura f(T).
K es la constante de Boltzmann dada en julios/oK
VT ≈ 0.026 V a 300oK
Si los mecanismos de difusión y arrastre son fenómenos termodinámicos estadísticos, las
constantes D y µ no son independientes. En la tabla 7.1, son presentados los valores de la
resistividad, coeficientes de difusión y movilidad de electrones y huecos para algunos
semiconductores a 300 ºK.
Material
Tabla 7.1. Valores de coeficientes de difusión y movilidad
Dn[cm2/seg] Dp[cm2/seg] n[cm2/v-seg] p[cm2/v-seg]
Ge
48-cm
100
50
3900
1900
Si
316K-cm
35
12.5
1350
480
GaAs
100M-cm
220
10
8500
400
Ejemplo 2
La densidad de huecos es elevada a 1014 m-3 en la superficie de un semiconductor de silicio tipo
n, la concentración intrínseca del material a temperatura ambiente es de ni = 1.45x1016 m-3. La
concentración de impurezas donadoras es de ND=1020m-3, la movilidad del silicio
197
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
p = 480
cm 2
y p = 3seg . Si no ocurre generación de portadores en exceso lejos de la
v − seg
superficie, encuentre la profundidad a la cual la densidad de huecos decae a 1013 m-3
Solución
ni2 (1,45x1016 )
=
= 2,1x1012 m −3
La concentración de minoritarios en equilibrio térmico es p0 =
20
ND
10
2
Luego la densidad de portadores minoritarios en exceso:
p´(0) = p( x) − p0 = 1014 − 2,1x1012 = 9,78x1013 m−3
La longitud de difusión L p = D p p
Dado que
KT D p
=
q
p
Luego L p = 12,5
p´( x) = p´0 e
−
x
Lp
Entonces D p = p
KT
cm 2
cm 2
= 480
x0,026v 12,5
q
v − seg
seg
cm 2
cm 2
3seg = 12,5
3x10−3 seg = 0,0375cm 2 = 0,19cm
seg
seg
= 9,78x1013 e
−
x
0 ,19 x10 − 2 m
= 1013 m −3
x = 4,3m
7.5.
Ecuaciones de continuidad.
Para realizar el análisis de la difusión de portadores en exceso, consideremos la variación neta de la
concentración de huecos por unidad de tiempo
p
, esta variación puede ser calculada mediante la
t
diferencia entre el flujo de huecos por unidad de volumen entrando y saliendo de un volumen
determinado como se puede observar en la figura 7.8.
198
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Figura 7.8. Análisis de la difusión de portadores.
Dado que
Jp( x ) =
Entonces
I ( x )
qp ( x )
=
A
tA
1
1
p ( x)
Jp( x)
=
q
x
tAx
Así, 1 Jp( x) − Jp( x + x)
q
x
[7.89]
[7.90]
[7.91]
La ecuación 7.91, representa la variación de portadores por unidad de volumen que ocurre en el
volumen x.A por unidad de tiempo. Entonces el incremento neto en la concentración de huecos por
unidad de tiempo viene dado por:
p 1 ( Jp( x) − Jp( x + x))
=
−U
t q
x
Siendo
[7.92]
p
la variación de huecos, el primer término del segundo miembro de la igualdad es el
t
incremento de la concentración de huecos y el segundo representa la tasa de recombinación. La
ecuación puede escribirse de la forma: (para x ==> 0)
p
1 Jp
=−
− R + g (T )
t
q x
[7.93]
Con g(T) = G(T). Entonces las ecuaciones de continuidad en tres dimensiones pueden ser
representadas de la forma:
199
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
n
1
= Gn − Rn + .Jn
t
q
[7.94]
p
1
= G p − Rn − .Jp
t
q
[7.95]
Considerando una sola dimensión y en condiciones de baja inyección y con presencia simultánea de
los tres fenómenos de transporte, tenemos las expresiones 7.89 y 7.90, para describir la variación de
los portadores minoritarios con el tiempo. Expresiones conocidas como ecuaciones de continuidad.
n p
t
= Gn −
np − np0
n
+ n p n
[7.96]
n p
2np
E
+ n E
+ Dn
x
x
x 2
pn
p − pn 0
p
2 pn
E
= Gp − n
− pn p
− p E n + Dp
t
p
x
x
x 2
[7.97]
Estas ecuaciones son útiles para resolver problemas transitorios de difusión con procesos de
recombinación presentes, como es el caso del estudio de los dispositivos electrónicos. En la
tabla 7.2 se presenta una síntesis de las principales propiedades para el silicio y el germanio.
Tabla 7.2. Propiedades del Silicio y el Germanio
Ge
Si
32
14
Masa atómica (g/mol)
72,6
28,08
Radio atómico (nm)
0,137
0,132
....4s23d104p2
..3s23p2
5323
2330
4,42x1028
4,96x1028
Número atómico
Estructura electrónica
Densidad (kg/m3)
Concentración atómica (at/m3)
Concentración intrínseca a 300 K 2,5x1019 m-3 1,45x1016 m-3
Constante A (m-3·K-3/2)
Anchura banda prohibida a 300 K
1,91x1021
4,92x1021
0,67 eV
1,1 eV
Movilidad electrones a 300 K
0,39 m /V-s
0,135 m2/V-s
Movilidad huecos a 300 K
0,19 m2/V-s
0,048 m2/V-s
0,48 -m
2300 -m
-2
3,5x10-3 m2/s
Resistividad intrínseca a 300 K
Difusividad electrones
2
2
1x10 m /s
200
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
Difusividad huecos
Permitividad eléctrica
5x10-3 m2/s 1,25x10-3 m2/s
16
12
Masa efectiva electrones
0,5m0
1,1m0
Masa efectiva huecos
0,37m0
0,59m0
201
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
7.6.
1.
Ejercicios.
Una lámina de Ge de espesor 10-2 cm es dopado con átomos de fósforo. Entre sus caras se
aplica una diferencia de potencial de 2 V, a temperatura ambiente la resistividad y la
movilidad medidas entre sus caras es de =10 -cm y µn = 3900 cm2/V-seg. Calcule: a) El
tiempo que emplea un electrón en atravesar la lámina, b) Concentración de donadores.
2.
Un cristal de silicio es dopado con fósforo con una concentración igual a N D=1,4x1016 cm-3.
Determinar: a) La concentración de huecos p, b) La conductividad .
3.
Cuando un semiconductor de ancho de banda prohibida EG = 1,1 eV se calienta desde una
temperatura de 27 ºC hasta una temperatura T se duplica su conductividad, ¿Cuál es el valor
de T?
4.
Calcular la resistividad del germanio intrínseco a 300ºK.
5.
Una región de silicio intrínseco es utilizada como resistencia y se le da forma de barra de 4
mm de longitud y una sección rectangular de 1250x20000 micras. Calcular su resistencia a
300 K.
6.
Si la temperatura de un cristal de Ge intrínseco pasa de 20 a 30º Celsius, su conductividad
se incrementa un 50%. Determinar: a) La anchura de su banda prohibida, b) en el caso del
silicio, ¿cuál es el porcentaje de cambio de su conductividad para el mismo cambio de
temperatura?
7.
Un semiconductor está dopado negativamente, ND = 1,4x1022 m-3. Su concentración
intrínseca de portadores es ni = pi = 1,4x1016 m-3 y la movilidad de los electrones en su
banda de conducción es µn = 0,4 m2/V-seg. Determinar a) la concentración de huecos p, b)
la conductividad
8.
Una muestra de Ge se impurifica con 1014 átomos donadores/cm3 y 7x1013 átomos
202
Capítulo 7. Fenómenos de transporte.
aceptadores/cm3. A la temperatura de la muestra la resistividad del Ge puro intrínseco es 60
-cm Si se aplica un campo eléctrico de 2 V/cm. Calcular la densidad de corriente total de
conducción.
9.
Un semiconductor intrínseco contiene 1020 pares electrón–hueco por m3. Calcula la
resistividad.
10. A una barra de germanio de 2 cm2 de sección y longitud 10 cm se le aplica una diferencia
de potencial de 10 V entre sus extremos. Calcule a 300 ºK a) la resistividad de la muestra,
b) resistencia de la barra, c) velocidad de arrastre de electrones y huecos, d) intensidad de
corriente.
11. Para alcanzar una corriente de 1mA con un voltaje aplicado de 1V, cuál debe ser el nivel de
dopado de un semiconductor a 300o K. Considere L / A = 1x104 m −1 .
12. Asumiendo que la conductividad del cobre 58x106 (-m)-1 es enteramente debida a los
electrones libres cuya movilidad es de 3.5x10-3 m2/v-seg. (a) Calcule la densidad de
electrones libres del cobre a temperatura ambiente, b) Calcule la velocidad de
desplazamiento de los electrones libres en el cobre para un campo eléctrico de 0.5 V/cm.
203
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
8. Materiales cristalinos.
_____________________________________________________________________________
8.1.
Introducción.
Los sólidos pueden clasificarse de acuerdo con la regularidad como los átomos se acomodan
unos respecto a otros. Un material cristalino es aquel que presenta un arreglo periódico de
átomos en grandes distancias atómicas, considerando como distancia atómica la separación entre
dos átomos adyacentes. En general, todos los metales, los materiales cerámicos, el vidrio y
algunos polímeros forman estructuras cristalinas. Los elementos considerados de estado sólido y
sus componentes se clasifican dependiendo del arreglo de los átomos dentro del material como:
Monocristalinos: aquellos que presentan un arreglo regular con periodicidad tridimensional en
todo el volumen, tal como se muestra en la figura 8.1(a).
Policristalinos: presentan un arreglo cuya periodicidad es interrumpida aleatoriamente a través
de secciones bidimensionales que se interceptan, dividiendo el volumen del
sólido en varias regiones monocristalinas pequeñas también denominadas
granos. Ver figura 8.1(b).
Amorfos:
cuando no existe ninguna periodicidad en el arreglo de los átomos. O sea, la
periodicidad es del mismo tamaño que el espaciamiento atómico, este caso es
ilustrado en la figura 8.1(c).
Generalmente a los materiales que no forman estructuras periódicas de largo alcance se les
denomina no-cristalinos a más específicamente materiales amorfos.
(a) Monocristalino.
b) Policristalino.
(c) Amorfo
Figura 8.1. Diferentes tipos de estructuras atómicas.
204
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Algunas de las propiedades de los sólidos cristalinos dependen de la forma como se agrupan
internamente sus átomos, esto quiere decir que dependen de la forma espacial en la cual los
iones, átomos o moléculas se encuentran organizados. Muchas de las más importantes
propiedades de los sólidos son actualmente determinadas por esta periodicidad de los átomos.
Aún cuando, propiedades semiconductoras son observadas en las tres clases de sólidos, la
atención se centrará en materiales semiconductores monocristalinos. El uso de monocristales
simplifica considerablemente el número de etapas de procesamiento usado en la fabricación de
dispositivos semiconductores. Los portadores de carga en mono cristales exhiben propiedades
que son muy útiles en la operación de los dispositivos.
8.2.
Redes simples.
El arreglo periódico de los átomos evidencia la existencia de ciertas formas geométricas que
deben repetirse a fin de conformar el arreglo. A esta pequeña unidad que se repite en todas las
direcciones se le conoce como celda unitaria y corresponden en la mayoría de las estructuras a
paralelepípedos o prismas. No obstante, los semiconductores no cristalizan en redes simples,
éstas forman las bases para entender las más complicadas estructuras de los semiconductores.
En los metales el enlace entre los átomos se denomina enlace metálico, estando los iones en
posiciones fijas de la red (sites), mientras los electrones se mueven a lo largo del cristal. Dado
que este tipo de enlace no impone mayores restricciones acerca de la manera como se deben
organizar los átomos, estos cristalizan fundamentalmente en varios tipos de red conocidas como
redes simples.
El concepto más útil para representar las geometrías posibles es el de la Red de Bravais, estas
redes especifican la geometría de una estructura cristalina. La Red de Bravais es una matriz
infinita de puntos donde átomos o moléculas ubicados en esos puntos forman la estructura
cristalina. Matemáticamente la Red de Bravais consiste de todos los puntos generados por los
vectores:
R = niai
i = 1,2,3
Donde: ai corresponde a vectores no co-planares.
ni corresponde a todos los valores enteros.
205
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Esta expresión general para la red de Bravais permite mediante diferentes combinaciones
lineales generar una serie de estructuras diferentes, pero siempre se procura escoger aquella que
presente la mayor simetría posible. A continuación se estudian los tipos de redes más frecuentes.
8.2.1.
Estructura cúbica simple:
Esta estructura presenta un átomo en cada punto de un cubo de lado a, donde a se denomina la
constante de red o la distancia intersticial del cristal. La Red de Bravais puede ser determinada
por tres vectores mutuamente ortogonales de amplitud a, como se muestra en la figura 8.2.
Figura 8.2. Estructura cúbica simple.
Los vectores de la red de Bravais que describen esta celda: â1 = ax, â2 = ay, â3= az. Siendo
x, y, z los vectores unitarios cartesianos. Este conjunto de vectores evidencia la simetría de la
estructura reproduciendo la Red de Bravais usando la expresión general de la misma. El
conjunto de vectores sin embargo, es sólo uno de los que existen, dado que este tipo de
estructura puede también ser reproducido por los vectores
â1 = ax, â 2 = ay y un tercer vector
â4 = a(y + z) que corresponde a una de las diagonales del lado del cubo.
Una característica que se asocia a las redes es el número de átomos equivalentes dentro de la
celda la cual tiene un átomo equivalente interno. En este caso la celda presenta un átomo en
cada uno de los vértices, pero al interior de la celda solo pertenece un octavo del mismo, luego
el número de átomos equivalentes sería:
# At. = 8(1/8) = 1
206
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
El único metal que cristaliza en esta estructura es el polonio.
8.2.2.
Estructura cúbica centrada en cuerpo:
Esta estructura presenta un átomo en cada esquina de un cubo de dimensión a y uno en el punto
determinado por la intersección de las diagonales cúbicas. Los vectores primitivos y la
distribución atómica son presentados en la figura 8.3 y se describen como: â1 = (a/2)(-x+y+z),
â 2 = (a/2)(x-y+z) y â 3= (a/2)(x+y-z)
Figura 8.3. Cúbica centrada en cuerpo.
Esta estructura puede también ser vista como dos estructuras simples ínter penetradas, cada una
de lado a. Como puede observarse tiene 2 átomos internos.
# At. = 8(1/8) + 1 = 2
El conjunto de vectores primitivos presentado conforma el conjunto más simétrico para describir
la red. El radio de los átomos está relacionado con la constante de red mediante la expresión:
4R = a√3, luego a = 4R/√3.
Los siguientes elementos cristalizan en esta estructura: Bario, Cesio, Potasio, Tantalio,
Tungsteno, Titanio. Como puede observarse no son buenos conductores.
8.2.3.
Estructura cúbica centrada en cara:
Es la red más importante para las estructuras cristalinas semiconductoras. Consiste en
posiciones de red en las esquinas del cubo, con uno en cada punto determinado por la
intercepción de las diagonales de las caras, como puede ser visto en la figura 8.4.
207
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Figura 8.4. Cúbica centrada en cara.
Si el lado del cubo es a y sí asumimos que los átomos sobre las caras se encuentran
suficientemente juntos a través de la diagonal de las mismas (modelo de esferas compactas),
entonces el radio de los átomos está dado por: 4R = a√2
Resultando a = 2R√2.
Si trasladamos una de las esquinas del cubo al centro de uno de los átomos de las caras, la
estructura cristalina sigue siendo descrita por la misma celda ahora centrada en uno de los
átomos de las caras, es por este motivo que se dice que la red es invariante ante una traslación
del vector que une un vértice con uno de los átomos del centro de una de las caras. Muchos
metales solidifican en esta forma periódica. El conjunto de vectores primitivos más simétrico
que reproduce esta red es: â1 = (a/2)(y+z), â 2 = (a/2)(x+z), â 3= (a/2)(x+y)
Por cada celda hay un equivalente de 4 átomos internos, a saber, una octava parte de cada uno
de sus de ocho átomos en sus vértices y la mitad de cada uno de sus seis átomos en sus caras:
#. At. = 8(1/8) + 6(1/2) = 4
A esta estructura pertenecen los buenos conductores: Plata, Aluminio, Oro, Cobre, Iridio,
Níquel, Plomo, Platino, Radio, Argón.
En las mencionadas estructuras y para efectos del cálculo de la interacción de un átomo con los
demás átomos de la red se define el número de átomos vecinos más cercanos como el número de
coordinación o de vecinos más próximos; de tal forma que tendríamos las cifras mostradas en la
tabla 8.1.
208
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Tabla 8.1. Números de coordinación.
Estructura
No. de coordinación
8.2.4.
Cúbica simple
6
Cúbica centrada en cuerpo
8
Cúbica centrada en cara
12
Hexagonal compacta:
Aun cuando no es una red de Bravais, consiste en dos redes hexagonales simples ínter
penetradas. Consiste de seis átomos en los vértices de un hexágono regular en cuyo centro se
encuentra otro átomo. Esta conformación define la base y la cima de un prisma hexagonal, el
cual posee adicionalmente entorno a su centro geométrico otro conjunto de tres átomos en forma
de triángulo equilátero totalmente contenidos dentro del volumen; ver figura 8.5. Las dos redes
hexagonales simples están desplazadas una respecto a otra una distancia dada por:
d = (1/3) â1 + (1/3) â2 + (1/3) â3
Figura 8.5. Hexagonal compacta.
Cada celda contiene un número equivalente de seis átomos constituidos por la sexta parte de
cada uno de los doce átomos posicionados en cada vértice de los hexágonos superior e inferior,
la mitad de cada uno de los átomos ubicados en el cruce de las diagonales de las caras superior e
inferior y los tres átomos internos de la celda ubicados a una distancia d de los vértices cercanos.
# At. = 12(1/6) + 2(1/2) + 3 = 6
209
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
A esta estructura pertenecen los elementos, Cesio, Cadmio, Helio, Litio, Magnesio. De igual
forma corresponde a metales supremamente duros tales como el titanio a temperatura ambiente,
Cromo, Cobalto, Berilio. Estos metales no son buenos conductores.
8.2.5.
Hexagonal simple:
La red hexagonal simple es una red de Bravais que consiste en un triángulo equilátero de lado a
y átomos en cada esquina, con un conjunto adicional de puntos sobre un triángulo a una
distancia c arriba del primero, como se observa en la figura 8.6. Esta estructura es descrita por
los vectores primitivos: â1 = ax, â 2 = (a/2)x + (31/2/2)ay, â 3= cz.
Figura 8.6. Hexagonal simple.
En la tabla 8.2, se presenta el número de coordinación para las dos últimas estructuras. Las
formas más compactas son la cúbica centrada en caras y la hexagonal compacta.
Tabla 8.2. Hexagonal compacta.
Estructura
No. de coordinación
Hexagonal simple
Hexagonal compacta
8.3.
12
Factor de empaquetamiento
Otra característica importante para tener en cuenta en cada una de estas estructuras se denomina
el factor de empaquetamiento conocido como APF, el cual se calcula usando el módulo de
esferas compactas de acuerdo con la relación siguiente:
210
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
APF = Volumen de átomos en una celda unitaria / volumen total de la celda
De esta manera es posible encontrar este factor de empaquetamiento para cada una de las
estructuras analizadas, ver tabla 8.3.
Tabla 8.3. Factor de empaquetamiento.
Estructura
APF
Hexagonal simple
--
Hexagonal compacta
0.74
Cúbica simple
0.52
Cúbica centrada en cuerpo
0.68
Cúbica centrada en cara
0.74
Ejemplo 1.
Encuentre que el factor de empaquetamiento de una red cúbica centrada en cara es igual a 0.74.
Solución:
En una red cúbica centrada en cara, el átomo más cercano a otro ubicado en uno de los vértices
es aquel que se ubica en el centro de una de las caras adyacentes. La distancia de separación
sería igual a 2R, siendo R el radio atómico. Ahora si a es la distancia intersticial, es decir la
dimensión de las aristas del cubo, dado que existen cuatro átomos equivalentes al interior de la
celda, el volumen máximo que pueden ocupar esas esferas sería:
4 3
4
4
R =4
3
3
2
4 a
3
Luego el factor de empaquetamiento se calcula según la ecuación
4
4
3
8.4.
3
2
4 a
= 0.7405
a3
Celdas primitivas
Se define una celda primitiva como el volumen que trasladado en una red de Bravais llena todo
el espacio de la red. En la figura 8.7, se pueden observar dos celdas primitivas que corresponden
211
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
a las estructuras cúbica centrada en cuerpo (a) y cúbica centrada en cara (b).
(b)
(a)
Figura 8.7. Celdas primitivas.
Toda la posible gama de estructuras cristalinas pueden ser clasificadas en grupos de acuerdo al
tipo de celda unitaria o al arreglo de átomos. Esto se hace asignando a cada geometría un
sistema de coordenadas basado en la geometría de la celda unitaria sin considerar el tipo de
arreglo atómico dentro de la estructura. De esta forma la geometría de cada celda unitaria
quedaría suficientemente definida mediante seis parámetros: tres longitudes axiales (a, b, c) y
tres ángulos axiales (α, β, γ).
Muchos tipos de redes simples se presentan durante el proceso de solidificación de los
elementos, varias de ellas corresponden a celdas unitarias cuya representación geométrica
requiere de diferentes ángulos y longitudes axiales, los nombres de algunas de ellas y sus
definiciones geométricas son presentadas en la figura 8.8.
212
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Figura 8.8. Celdas unitarias.
213
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
8.5.
Cálculo de densidades.
La densidad (ρ) de un sólido se puede calcular a través del conocimiento de su estructura
cristalina y del volumen de la celda unitaria que conforma el cristal mediante la siguiente
expresión:
=
nA
VC AV
Donde:
[8.1]
n
-
Número de átomos por celda unitaria.
A
-
Peso atómico [gr/mol]
VC
-
Volumen de la celda unitaria.
AV
-
Número de Avogadro
Otro concepto relacionado con la densidad y que nos proporciona el número de átomos por
centímetro cúbico es conocido como la densidad atómica y está dado por la relación 8.2.
=
n
a3
[8.2]
Siendo a la arista de la celda unitaria.
8.6.
Estructuras cristalinas.
Un cristal ideal en la práctica es descrito por el conjunto de puntos de una red de Bravais,
átomos o moléculas son posicionados en los puntos de la red y son denominados “base”. La
combinación de las redes de Bravais y la “base” conforman lo que se denomina una estructura
cristalina. La estructura cristalina más común se encuentra conformada por dos átomos
diferentes y corresponde a una estructura cúbica centrada en cara, donde un átomo de un
segundo elemento se ubica a una distancia de un cuarto de las diagonales principales del cubo,
tal como es mostrado en la figura 8.9.
214
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Figura 8.9. Tetragonal compacta.
Los átomos se posicionan en el valor de la diagonal:
d = (a/2)(x + y + z)
En esta estructura cristalizan los más ampliamente usados semiconductores tales como el silicio,
el germanio y el arseniuro de Galio (AsGa). En el caso del arseniuro de Galio, este último
elemento se ubica en las cuartas partes de las diagonales principales, siendo de arsénico los
restantes. El cubo interno señalizado con línea discontinua muestra la celda cúbica en la que se
incluye la estructura tetragonal propia de algunos semiconductores y elementos como el carbono
y el diamante.
Para el silicio la densidad atómica es igual a 5x1022 at/cm3 , ello puede ser fácilmente explicado
a partir de la ecuación 8.2 y conociendo que el silicio cristaliza en la forma tetragonal compacta
y que a=5.43 Å, luego:
n = 4+
=
6 8
+
2 8
8 at
celda = 5 x1022 at
cm 3
(5.43x10−8 cm) 3
En las tablas 8.4, 8.5 y 8.6, se clasifican los principales elementos de acuerdo a la forma como
cristalizan en diversas estructuras con su respectiva distancia interatómica.
215
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Tabla 8.4. Cúbica centrada en caras
Elemento
Tabla 8.5. Cúbica centrada en cuerpo
a [Å]
Elemento
4.086
Bario
4.049
Cesio
Oro
4.078
Hierro
Cobre
3.61
Potasio
Iridio
3.89
Níquel
Ag
Al
(25 ºC)
a [Å]
5.025
(-185 ºC)
6.05
2.86 - 2.94
(-150 ºC)
5.21
Litio
(25 ºC)
3.50
3.52
Sodio
(25 ºC)
4.29
Plomo
4.95
Rubidio (-185 ºC)
5.63
Platino
3.92
Titanio
3.30
Radio
3.80
Tántalo
3.30
Argón (-253 ºC)
5.43
Vanadio
3.04
Tungsteno (25 ºC)
3.16
(900 ºC)
Tabla 8.6. Hexagonal compacto.
Elemento
a [Å]
c [Å]
Berilio
2.286
3.584
Cadmio
2.978
5.617
Cobalto
2.50
4.066
Cromo
2.72
4.42
Helio
(-271 ºC)
3.57
5.83
Litio
(-195 ºC)
3.09
4.086
Magnesio
3.20
5.21
Estroncio (248 ºC)
4.32
7.06
Titanio
2.95
4.68
2.66
4.34
(250 ºC)
Zinc
Ejemplo 2.
El cobre presenta un radio atónico de 0.128 nm y tiene una estructura cristalina fcc. Su peso
atómico es de 63.5 gr/mol. Calcule su densidad.
Solución:
216
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Usamos la ecuación 8.1 para calcular la densidad. Dado que es una estructura fcc sabemos que
el número por unidad de celda es 4 y el volumen en términos del radio (ver problema 11) es
16R 3 2 , luego la densidad sería igual a:
8.7.
Índices de Miller.
Consideremos un vector que describe la red de Bravais:
R = n1â1 + n2â 2 + n3â3
[8.3]
Y consideremos un vector K = hâ1 + kâ 2 + lâ3
tal que:
R.K = 2(n1â1 + n2â 2 + n3â3 ).( hâ1 + kâ 2 + lâ3 )
[8.4]
R.K = 2 ( hn1 + kn2 + ln3 )
[8.5]
R.K = 2N
[8.6]
De tal forma que: |K||R|Cosθ = 2N
representa la proyección del vector R a lo largo de la
dirección del vector K como se observa en la figura 9 .10.
Figura 8.10. Proyección del vector R
Esta proyección se expresa de la forma:
|R1|Cosθ = 2N/ |K
[8.7]
Dado que la red es infinita es posible encontrar otro punto que defina un vector con la misma
proyección, como por ejemplo:
R2 = (n1 –pl) â1 + (n2 – pl) â2 + [n3 +p(h +k)] â3
[8.8]
217
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Donde p es un entero para un punto determinado. Si p asume un rango de valores enteros, se
construye un conjunto infinito de puntos en el mismo plano el cual es ortogonal a K, para un
valor fijo de N, ver figura 8.11. Un plano paralelo adyacente podría ser obtenido haciendo:
|R3|Cosθ3 = 2 (N+1)/ |K|
[8.9]
Figura 8.11. Plano paralelo.
El conjunto de planos en una red puede ser convenientemente caracterizada por vectores en una
red recíproca o puntos en una red recíproca, con la restricción de que h,k,l no pueden tener
factor común. Los interceptos de un vector R = n1â1 + n2â 2 + n3â3 encontrados a partir de un
vector dado K con los ejes se encuentran mediante las expresiones:
K. n1â1 = 2πhn1 = 2πN
luego
K. n2â2 = 2πkn2 = 2πN
luego
K. n3â3 = 2πln3 = 2πN
luego
n1 =
N
h
n2 =
N
k
n3 =
N
l
Los interceptos del plano son inversamente proporcionales a las componentes del vector
recíproco. La notación usada para definir vectores recíprocos de red (h,k,l) es también usada
para definir planos en la red directa. Si un plano no intercepta un vector de la red directa, el
índice de Miller es cero. Si el plano intercepta en una dirección negativa el índice de Miller es
supra-rayado.
Notación:
•
Vectores en la red recíproca y planos en la red directa (h k l)
•
Vectores en la red directa y planos en la red recíproca [h k l]
218
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
En general el vector [h k l] es perpendicular al plano (h k l).
En las figuras 8.12, (a), (b), (c), se presentan algunos ejemplos de planos cristalográficos con su
respectiva notación tanto en la red directa como en la red recíproca. Para redes hexagonales son
requeridos cuatro índices de Miller, uno para cada uno de los tres vectores coplanares
espaciados 120 ºC y otro para la dirección normal al plano, tal como es mostrado en la figura
8.13.
•
Planos y vectores recíprocos (h k l m)
•
Direcciones en la red directa [h k l m]
(a)
(b)
219
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
(c)
Figura 8.12. Planos cristalográficos.
Figura 8.13. Planos cristalográficos en redes hexagonales.
8.7.1.
Direcciones y planos en los cristales.
La descripción matemática apropiada de una red involucra la identificación de las direcciones de
los vectores y los planos de la red. Para ello se usan los índices de Miller que hemos denotado
como (hkl). Ilustraremos el uso de los índices de Miller en la descripción de los planos mediante
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.
Encuentre los índices de Miller del plano que se muestra en la figura, corresponden a (323).
220
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
Solución:
Para obtener los índices de Miller que identifican el plano, inicialmente identificamos los cortes
del plano con los puntos de la red, en este caso lo ilustramos con los cortes en los ejes
cartesianos, que en este caso serían 232. Sin embargo, los índices de Miller que describen el
plano en el cristal son (323). Estos índices se obtienen invirtiendo los interceptos con los ejes
cartesianos, de acuerdo con nuestra definición de los índices de Miller, para posteriormente usar
el mínimo común múltiplo de los denominadores como multiplicador de las fracciones, lo que
permite obtener los enteros que aparecen entre los paréntesis.
Para el plano de un cristal que pasa por el origen de los ejes cartesianos, los índices de Miller se
obtienen haciendo una traslación del plano a lo largo de un vector perteneciente a la red.
8.7.2.
Distancia y ángulo entre los planos.
De las ecuaciones que describen los índices de Miller (ecuación 8.5) es posible derivar las
expresiones para el espaciamiento entre dos planos adyacentes y el ángulo que formarían dos
planos que se interceptan. Se ilustra mediante dos ejemplos.
Ejemplo 4.
Encuentre la distancia entre los planos (111) más cercanos entre sí.
Solución
De la ecuación 8.6 se obtiene que la distancia entre dos planos paralelos está dada por la
ecuación 8.10
221
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
d=
a
a
=
2
K
h + k2 +l2
[8.10]
Luego la distancia sería:
d=
a
a
a
=
=
2
2
2
K
3
1 +1 +1
Ejemplo 5.
Determine el ángulo entre los planos ABC y ADE de la red cúbica mostrada en la figura.
Solución
El ángulo entre dos planos puede ser hallado mediante la ecuación 8.11.
Cos =
(h
(h1h2 + k1k 2 + l1l2 )
2
1
)(
+ k1 + l1 h2 + k 2 + l2
2
2
2
2
2
)
[8.11]
En donde (h1k1l1) y (h2k2l2) corresponden a los índices de Miller de los planos en análisis.
Para nuestro caso los índices de Miller del plano ABC son (111), en tanto que para el plano
ADE son. 111 .
( )
1x1 + 1x1 + 1x(−1)
Cos =
(1
Cos =
1
1
=
(3)(3) 3
2
)(
+ 12 + 12 12 + 12 + (−1) 2
)
1
1
=
(3)(3) 3
1
= cos−1 = 70.52º
3
Cos =
222
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
8.8.
Ejercicios.
1. Encuentre que el factor de empaquetamiento para una celda bbc es igual a 0.68.
2. Encuentre que el factor de empaquetamiento para una celda hexagonal compacta es igual a
0.74.
3. Determine: (a) la dirección del vector ubicado en la red que se muestra en la figura (b) los
índices del plano mostrado.
4. Determine el ángulo entre los planos ABC y ABD de la red cúbica.
5. Encuentre la distancia de separación entre los dos planos (111) más cercanos entre sí.
6. Calcule la densidad superficial de átomos en un plano (110) de una celda bcc
7. Encuentra la densidad atómica de una celda bcc que presenta una constante de red a = 5Å
8. Calcule la densidad atómica del Germanio si su constante de red es a = 5.65 Å
9. Si la constante de red del silicio es 5.43 Å, encuentre la distancia que hay entre el centro de
un átomo de silicio y el centro del átomo más cercano.
223
Capítulo 8. Materiales cristalinos.
10. La constante de red de una estructura fcc es 4.75 Å, encuentre la densidad superficial de los
planos (100) y (110).
11. Calcule el volumen de una celda fcc en términos del radio atómico R.
224
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
9. Union metal semiconductor.
____________________________________________________________________________________________
9.1.
Introducción
El caso de dos sistemas que presentan diferentes energías de Fermi y diferentes funciones de
densidad de estados entre otras características y los cuales se encuentran en contacto es muy
común en la industria electrónica. En este capítulo estudiaremos la interfaz de contacto que se
encuentra con mayor frecuencia en los dispositivos electrónicos cual es la unión metal
semiconductor. Esta unión permite la polarización de los dispositivos debido a que sus
terminales de entrada/salida son en la mayoría de los casos fabricados usando un tipo de metal y
en consecuencia se requiere que este metal esté en contacto con el substrato del semiconductor.
Las junturas metal-semiconductor pueden ser de dos tipos: rectificadoras o también
denominadas barreras Schottky que permiten el paso de la corriente en un solo sentido y las
óhmicas, que presentan una resistencia muy baja y permiten el paso de la corriente en ambos
sentidos. La interfaz que se establece entre la placa semiconductora y el metal constituyen la
unión metal-semiconductor que será motivo de estudio en el capítulo.
9.2.
Sistemas en equilibrio térmico.
Para el estudio del contacto metal semiconductor partiremos de una particularidad que presentan
los sistemas cuando éstos se encuentran en contacto y en condiciones de equilibrio térmico. Si
suponemos dos sistemas genéricos que identificaremos como sistema 1 y sistema 2 y a los
cuales les asignamos valores de energía de Fermi diferentes EF1 y EF2 respectivamente y de igual
manera les asociamos unas funciones de densidad de estados N1 y N2 y adicionalmente unas
funciones de distribución de Fermi-Dirac f1(E) y f2(E) dadas por las ecuaciones 9.1 y 9.2 y
finalmente denotamos como n1, n2, p1 y p2 como el número de electrones y el número de estados
disponibles en los sistemas mencionados podemos escribir que:
f1 ( E ) =
1
1+ e
E − EF1
KT
y p1 = N1[1 – f1(E)]
[9.1]
f2 (E) =
1
1+ e
[9.3]
[9.2]
E − EF 2
KT
n2 = N 2 f 2 ( E )
y
p = N [1 – f (E)]
2
2
2
[9.4]
225
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Al entrar los sistemas en contacto se presenta una transferencia de portadores de un sistema a
otro hasta lograr un equilibrio basado en la igualdad de las corrientes debidas a los portadores
que se transfieren de lado a lado de la interfaz. Debido a que los procesos de transferencia de
portadores en ambos sentidos se producen a la misma velocidad, se puede afirmar que en
condiciones de equilibrio la probabilidad de transferencia de electrones (que denotaremos como
P) es proporcional al número de electrones en un sistema n1 y al número de estados accesibles
vacantes p2 del otro sistema, luego:
Entonces en equilibrio:
[9.5]
Y en consecuencia:
N1 f1 ( E ) N2 1 − f 2 ( E ) = N2 f 2 ( E ) N11 − f1 ( E )
[9.6]
f1 ( E )1 − f 2 ( E ) = f 2 ( E )1 − f1 ( E )
[9.7]
f1 (E) − f1 (E) f2 (E) = f2 (E) − f2 (E) f1 (E)
[9.8]
f1 ( E ) = f 2 ( E )
[9.9]
De la igualdad 9.9 y las ecuaciones 9.1 y 9.2, podemos deducir que la igualdad de las funciones
de probabilidad sólo se presenta cuando las energías de Fermi de los dos sistemas es la misma.
Entonces a manera de conclusión afirmaremos que si dos sistemas en condiciones de equilibrio
térmico están en contacto, todo el sistema debe tener la misma energía de Fermi.
9.3.
Unión metal semiconductor en equilibrio térmico.
Muchos metales pueden ser usados para crear barreras Schottky sobre semiconductores de
silicio (Si) o arseniuro de galio (GaAs). Para GaAs los metales más usados son platino, titanio y
oro. En la superficie de los materiales se presenta una discontinuidad con relación a la
periodicidad interna de la red cristalina, en el caso de los semiconductores esta discontinuidad
genera unos estados en la banda prohibida denominados estados de superficie, lo cual cambia la
densidad de estados en la superficie del semiconductor. La principal propiedad de una unión
metal-semiconductor es su efecto rectificador, lo cual constituye la base de la construcción de
los diodos Schottky. Sin embargo hay que tener en cuenta que no todas las uniones metal226
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
semiconductor constituyen un diodo Schottky, de hecho es posible obtener uniones metalsemiconductor de baja resistividad que no presentan efecto rectificador y que denominaremos
contacto óhmico. El modelo de la unión metal-semiconductor predice el establecimiento de una
barrera de potencial asociada a una zona espacial de carga que depende de la diferencia de las
funciones trabajo de los materiales. Dependiendo del modo de preparación de la superficie del
semiconductor, previo a la deposición del metal, es posible identificar varias situaciones, el
primer caso considera el proceso en el cual la superficie es pulida y luego corroída
químicamente, lo cual genera una capa intermedia muy fina de óxido entre el metal y el
semiconductor (alrededor de 10 y 20 Å). Las dimensiones tan finas de esta capa permiten ser
atravesada por los portadores por efecto túnel, o sea que existe una amplitud de onda cuántica
transferida a través de la barrera de potencial. Otra situación consiste en que las superficies están
decapadas y en este caso la presencia de una alta densidad de estados de superficie hace que las
propiedades de la unión no dependan prácticamente del metal depositado sino sólo de los
estados de superficie. En la superficie de los semiconductores los enlaces de valencia no se
encuentran totalmente saturados y en consecuencia se constituyen en estados atómicos
susceptibles de ser ocupados por electrones. Ello da lugar -en el modelo de bandas de energía-, a
estados de superficie que se representan por niveles de energía localizados al interior de la
banda prohibida como ya lo hemos visto en capítulos anteriores.
9.3.1.
Unión metal-semiconductor tipo n.
El comportamiento de la unión metal-semiconductor se puede explicar a partir de los diagramas
de bandas de energía de los electrones para un metal y un semiconductor. En la figura 9.1 se
pueden observar estos diagramas, en los cuales las ordenadas representan los niveles posibles de
energía y las abscisas la distancia que separa los materiales. Iniciemos considerando un
semiconductor tipo n y recordemos los conceptos de función trabajo (q) y afinidad electrónica
(q ); sabemos que para que un electrón pueda escapar de la superficie de un sólido en el que
está inmerso necesita realizar un trabajo, este trabajo o energía que se le suministra recibe el
nombre de función trabajo o energía de barrera. Esta última denominación es debida a que los
efectos de superficie se manifiestan como si existiera una barrera en la superficie del material
que debe ser superada por el electrón para poder escapar. La energía de barrera o función trabajo
es el trabajo total realizado por el electrón al liberarse de las fuerzas que lo mantenían sujeto al
material. Así, si se quiere liberar un electrón del material debe suministrársele un mínimo de
227
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
energía igual a la función trabajo. El nivel de vacío E0 es usado como nivel de referencia y
representa la energía que tendría un electrón si estuviera libre de la influencia del material.
Luego para asegurar el escape de electrones es necesario solamente suministrar la energía
adicional
q = E0 − E F . Esta cantidad depende de las propiedades del material, de las
condiciones de limpieza de los procesos de fabricación y en particular de las impurezas del
material; recordemos que la posición de la energía de Fermi depende del nivel de dopaje del
semiconductor. La afinidad electrónica es una constante del material y se define como la energía
que debe ser suministrada a un electrón en su banda de conducción para que éste logre escapar
del material. Esta afinidad electrónica depende exclusivamente del material.
Para un sistema aislado metal-semiconductor los diagramas de energía correspondientes se
muestran en la figura 9.1. Consideramos en este diagrama un semiconductor tipo n. En dicha
figura se ilustran los casos en los que la función trabajo del metal es mayor que la del
semiconductor (a) y el caso en que sea menor (b).
(a)
(b)
Figura 9.1. Sistema metal semiconductor tipo n aislados.
De la figura podemos identificar las siguientes magnitudes:
E0
energía del electrón libre o de vacío.
E0 − EF = q
función trabajo, dada la magnitud [] en Voltios.
qM
función trabajo del metal.
qS
función trabajo del semiconductor.
E0 − EC = q
afinidad electrónica o trabajo real de salida
q
carga del electrón
228
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Al entrar los dos sistemas en contacto se produce una transferencia de electrones desde el
material cuya función trabajo es menor hacia el otro. En el caso de la figura 9.1(a) el flujo de
electrones se produce desde el material que posee electrones con mayor energía de Fermi o sea
del semiconductor al metal; debido a la limitación de electrones disponibles en el
semiconductor, la región próxima a la superficie queda con un déficit de electrones, esta
situación genera una región de carga espacial en la interfaz del contacto de iones positivos en
lado del semiconductor debido a que los electrones que fluyen hacia el metal rompen la
neutralidad de los átomos de impurezas donadoras con los que se ha dopado el semiconductor
tipo n. El material que ganó electrones por su parte ganará carga negativa formando una región
de acumulación superficial cuyo espesor es del orden de 1 Å, es decir una capa de dimensiones
despreciable, en consecuencia, podemos afirmar que la carga se distribuye sobre toda la
superficie del metal. Esa distribución de carga a lado y lado de la interfaz de contacto evidencia
una diferencia de potencial que se produce sólo en el semiconductor ya que sólo en él se puede
presentar una región de depleción de portadores con cargas fijas de alta resistencia. En el metal
no puedan existir diferencias de potencial debido a la enorme conductividad del mismo.
La transferencia continúa hasta que se alcancen las condiciones de equilibrio es decir hasta que
los niveles de energía de Fermi sean iguales (EFM = EFS), tal como se vio en el apartado anterior.
Como el nivel de energía en el espacio libre E0 debe ser continuo y estando el sistema en
condiciones de equilibrio térmico, la nivelación de las energías de Fermi de los dos sistemas
hace que las bandas de energía del semiconductor presenten una curvatura manteniendo
constantes los valores de las magnitudes que son propiedades del material como la afinidad
electrónica y por tanto deben conservarse más allá de la región de depleción.
La curvatura en el diagrama de bandas también describe el hecho que, debido a la difusión de
electrones del semiconductor hacia metal, el semiconductor disminuye su cantidad de electrones
cerca de la interfaz, haciendo que el nivel de conducción se aleje del nivel de Fermi, el cual debe
permanecer constante en condiciones de equilibrio.
En el caso contrario, en donde la función trabajo del metal es menor que la del semiconductor
tenemos una transferencia de electrones del metal hacia el semiconductor creándose una región
de acumulación de carga negativa en el semiconductor y creándose un déficit de electrones en el
229
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
metal. La curvatura que se presenta en el diagrama de bandas es contraria a la que se discutió en
el caso anterior. En la figura 9.2 vemos el diagrama de bandas una vez se ha establecido el
contacto para las dos condiciones planteadas.
Como se ha mencionado las propiedades de la unión metal-semiconductor dependen de la
diferencia de las funciones trabajo del metal y del semiconductor, pero también de la naturaleza
de la superficie del semiconductor antes del depósito del contacto metálico y de los procesos y
tratamientos térmicos llevados a cabo. De la figura 9.2 vemos que la diferencia de la funciones
trabajo de los materiales usados define la barrera de potencial en equilibrio entre el metal y el
semiconductor que hemos denotado como q 0 .
(a)
(b)
Figura 9.2. Sistemas en contacto.
En la interfaz entre el semiconductor y el metal hay una brusca discontinuidad de los estados
permitidos de energía y se produce una barrera de potencial de altura q B . Esta es la barrera de
potencial vista por los electrones en el metal que tratan de moverse hacia el semiconductor y se
conoce como barrera Schottky y es la formada por la diferencia entre la función trabajo del
material y el valor de la afinidad electrónica, dicha barrera la denotaremos como q B y está
dada por la ecuación 9.11.
q 0 = q( M − S )
[9.10]
q B = q( M − S )
[9.11]
230
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
La estructura metal-semiconductor tipo n con la condición q M q S constituye un contacto
rectificador y se le denomina diodo Schottky. Para metales y concentraciones de dopado
estándar se encuentra en general que la magnitud de dicho potencial se puede aproximar a:
q B
2
Eg
3
[9.12]
De otro lado si un semiconductor tipo n se pone en contacto con un metal cuya función trabajo o
trabajo de extracción es menor que aquella del semiconductor, no se forma barrera de potencial
y por tanto no se produce efecto de rectificación en ningún sentido. En la figura 9.2(b) están
representados los niveles de energía para este caso y constituye lo que hemos de denominar un
contacto de tipo óhmico.
9.3.2.
Unión metal-semiconductor tipo p.
En el caso de que en la unión metal-semiconductor participe un semiconductor tipo p
observaremos que en la superficie del semiconductor las bandas de energía se curvan en sentido
contrario a la forma descrita en la sección anterior. En la figura 9.3 se observa el diagrama de
bandas de los sistemas antes del contacto para los casos en que la función trabajo del metal es
mayor que la del semiconductor (a) y viceversa (b). En el momento de establecerse el contacto,
la condición de equilibrio térmico fuerza la nivelación de las energías de Fermi, tal como se
observa en la figura 9.4, originando una curvatura en las bandas de energía cuya concavidad
depende de las magnitudes de las funciones trabajo de los materiales.
(a)
(b)
Figura 9.3. Sistema metal semiconductor tipo p aislados.
La conducción en este caso tiene lugar a través de los huecos presentes en la banda de valencia
del semiconductor y de los electrones presentes en el metal. Para el caso en que la función
231
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
trabajo del metal sea mayor a aquella del semiconductor, al nivelarse las bandas de energía
aparece una zona de carga espacial negativa en el metal debida a una acumulación de electrones
en su superficie inducidos por la carga de acumulación positiva que se forma en el
semiconductor. Lo anterior se evidencia en la aproximación del nivel de valencia del
semiconductor a su nivel de Fermi cerca de la frontera de contacto. Tanto la carga de electrones
en el metal como de huecos en el semiconductor está constituida por portadores libres que se
acumulan en la superficie del semiconductor.
Para el caso contrario en que la función trabajo del metal sea menor a aquella del semiconductor
tenemos que los electrones pasan del metal al semiconductor originándose un déficit de
electrones en la superficie del metal. En el semiconductor los electrones que llegan desde el
metal se recombinan con los huecos creando una zona de depleción debida a la presencia de
átomos aceptadores ionizados de carga negativa. La curvatura de las bandas cambia ligeramente
con el metal depositado y es más débil que en el caso de los semiconductores tipo n. La flexión
de las bandas determina si la unión metal-semiconductor forma un contacto de tipo óhmico o un
contacto rectificador.
La estructura metal-semiconductor tipo p con la condición q M q S constituye también un
contacto rectificador y en consecuencia es igualmente denominado como un diodo Schottky.
(a)
(b)
Figura 9.4. Diagrama de bandas de energía de los sistemas en contacto.
De la figura 9.4(b) podemos deducir que el valor de la barrera Schottky para una unión metal
semiconductor tipo p sería:
232
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
0 =
Eg
q
+ S − M
[9.13]
En los casos en que la estructura metal-semiconductor presente las condiciones contrarias a las
mencionadas anteriormente, es decir, una estructura metal-semiconductor tipo p con la
condición q M q S y una estructura metal-semiconductor tipo n con la condición
q M q S constituyen lo que hemos de denominar contactos óhmicos. Una unión metalsemiconductor se llama óhmica cuando su resistencia es tan débil que la corriente del
dispositivo está determinada por la característica del semiconductor o del dispositivo más que
por las propiedades del contacto. Generalmente un contacto óhmico se realiza con una unión
metal semiconductor, en donde el semiconductor es altamente dopado; ello implica que la zona
de carga de depleción es muy estrecha y que la barrera de potencial asociada puede ser del orden
de algunos mili nanómetros de tal forma que los electrones la pueden atravesar fácilmente por
efecto túnel. El efecto rectificador de este tipo de contactos es prácticamente despreciable en el
funcionamiento del dispositivo. En la figura 9.5(a) se observa la estructura de un dispositivo
que involucra contactos tanto óhmicos como rectificadores. En la figura 9.5(b) se presenta el
símbolo usado para este tipo de uniones.
(a)
(b)
Figura 9.5. (a) Uniones metal-semiconductor (b) Símbolo.
El circuito equivalente de pequeña señal del diodo Schottky se muestra en la figura 9.6 y está
conformado por la combinación en paralelo de la resistencia Rd y la capacidad CT de la región
de carga espacial, en serie con la resistencia RS que tiene en cuenta la resistencia de los
contactos y de la región neutra del semiconductor y además una inductancia parásita LS que
tiene efectos en aplicaciones de muy alta frecuencia. También se incluye la capacidad
233
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
geométrica del dispositivo (Cg), que puede calcularse como el cociente entre el área transversal
(A) y la longitud del dispositivo (L) multiplicada por la permitividad del semiconductor. El
valor de la capacitancia de la zona de depleción CT se discutirá más adelante.
Figura 9.6. Circuito equivalente de la unión metal semiconductor.
El diodo Schottky es un dispositivo de portadores mayoritarios y en consecuencia la
recombinación puede ser considerado como un efecto despreciable. Dicha característica hace
que el dispositivo tenga tiempos de conmutación elevados lo que lo hace atractivo para ser
usado en aplicaciones de alta frecuencia. Para un diodo Schottky típico por ejemplo un tiempo
de conmutación es del orden de 1 ps, en tanto que un diodo común está en el orden de 1 ns.
9.4.
Efectos Óhmicos
Un contacto de tipo óhmico también se puede establecer bajo condiciones ideales en las que se
da por sentado la inexistencia de estados de superficie en la interfaz de la unión metal
semiconductor. Esta condición ideal en donde además la función trabajo del semiconductor tipo
n es mayor que la del metal, implica que una vez que se realiza el contacto, no se establecen
zonas de carga espacial y la corriente fluye fácilmente en los dos sentidos cuando se aplica un
voltaje externo uniformemente distribuido sobre toda la región semiconductora, para este caso
específico los electrones pueden pasar fácilmente del metal al semiconductor y esta condición es
independiente de la tensión aplicada. Otra alternativa tecnológica para obtener un contacto
óhmico es usar semiconductores fuertemente dopados para obtener portadores mayoritarios más
numerosos en las cercanías del contacto, en ese caso se origina una región de acumulación de
electrones para el caso de semiconductores tipo n o de huecos para semiconductores tipo p.
Los contactos óhmicos se requieren para minimizar los efectos de los contactos sobre un
dispositivo y mantener la fidelidad de la señal transmitida ya que cualquier resistencia
234
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
provocaría una caída de potencial degradando la intensidad de la señal. Dado que se requiere
que en el contacto haya una caída de tensión mínima y un tiempo de recuperación muy corto, se
buscan resistencias de contacto ideales de magnitud cero. En la tecnología de circuitos
integrados el contacto óhmico se fabrica usando aluminio y silicio tipo n fuertemente dopado.
Concentraciones de dopado del orden de 1019-1020 cm-3 logran que el nivel de Fermi se
encuentre muy cerca de la banda de conducción y en consecuencia tanto la región de carga
espacial como la barrera de potencial son muy estrechas, facilitando el transporte de portadores
por efecto túnel.
En la tabla 9.1 se presentan algunos valores para la barrera Schottky cuando se usan diferentes
elementos como metal y dos tipos de conductividad tanto para el silicio como para el arseniuro
de galio. El arseniuro de galio es una hetero estructura utilizada en la elaboración de dispositivos
electrónicos de alta velocidad y dispositivos optoelectrónicos gracias a la alta movilidad de sus
electrones.
Tabla 9.1. Valores de barrera Schottky
Elementos
Metal
Plata
Aluminio
Oro
Cromo
Cobre
Molibdeno
Platino
Titanio
Tungsteno
Símbolo
Ag
Al
Au
Cr
Cu
Mo
Pt
Ti
W
B (Si) (eV)
Tipo n
0,78
0,72
0,80
0,61
0,58
0,68
0,90
0,50
0,67
Tipo p
0,94
0,58
0,34
0,50
0,46
0,42
---0,61
0,45
B (GaAs) (eV)
Tipo n
0,88
0,80
0,90
Tipo p
0,63
0,42
0,82
0.84
0,80
La altura de la barrera Schottky B entre los electrones en el metal y los estados accesibles de
banda de conducción es definida por las propiedades de los materiales que entran en contacto y
en consecuencia puede considerarse independiente de eventuales polarizaciones externas
aplicadas porque dentro del metal no puede sostenerse ningún potencial; aun cuando lo afirmado
no es del todo cierto, en la unión ideal en general podemos considerar como constante la altura
de la barrera Schottky una vez formado el contacto. De otro lado el voltaje que aparece en la
región de contacto desaparece totalmente en la región neutra del semiconductor.
235
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
En la tabla 9.2 se listan las magnitudes de las funciones trabajo para diferentes metales y en la
tabla 9.3 la afinidad electrónica y energía de banda prohibida de los tres semiconductores más
usados.
Tabla 9.2. Funciones trabajo.
Elemento
Plata
Aluminio
Oro
Cromo
Molibdeno
Níquel
Tungsteno
Titanio
Platino
Símbolo
Ag
Al
Au
Cr
Mo
Ni
W
Ti
Pt
M [eV]
4.73
4.10
5.1
4.5
4.95
5.35
5.22
4.33
5.93
Tabla 9.3. Propiedades de algunos semiconductores.
Elemento
Ge
Si
GaAs
(x) [eV]
Eg [eV]
S [eV]
r
4.13
4.15
4.07
0.67
1.10
1.43
5.0
4.9
16
12
13
Entre las principales aplicaciones de estas uniones metal semiconductor están evidentemente las
de rectificación de señal, circuitos de desplazamiento de voltaje y finalmente para la
construcción de transistores, CCDs, dispositivos de microondas, así como para la fabricación de
sensores y detectores. En la unión ideal la corriente a través del contacto óhmico varía
linealmente con el potencial aplicado. La figura 9.7 compara la característica corriente-tensión
entre un contacto óhmico y un contacto rectificador.
Figura 9.7. Curvas características de los contactos metal semiconductor.
236
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
9.5.
Estudio de la carga en la zona de depleción.
En una unión metal-semiconductor tipo n, cuando se produce la transferencia de electrones
desde un material hacia el otro, en sentido contrario también se presenta una corriente de
desplazamiento debida a la presencia del campo eléctrico que se forma en la zona de depleción
de portadores, esta zona de depleción es formada por los átomos donadores ionizados
positivamente debido a los electrones que rompen los enlaces covalentes y salen del
semiconductor. Cuando el sistema alcanza su condición de equilibrio las corrientes presentes en
la interfaz se anulan entre si lográndose una corriente total igual a cero en todo el sistema.
La profundidad de la región de depleción la denotamos como xd, a partir de esta frontera la carga
no es más compensada, dando inicio a la zona neutra del semiconductor como se puede observar
en la figura 9.8. A esta carga espacial se le asocia a un campo eléctrico originado por la
diferencia de potencial debida a la carga a lado y lado de las superficies de los materiales. En el
modelo de bandas de energía la existencia del campo eléctrico se evidencia por una curvatura de
los niveles de energía tanto de conducción como de valencia. Para el caso de la unión que nos
ocupa y suponiendo que el semiconductor tiene una concentración uniforme de átomos
donadores igual ND, entonces la región de carga espacial tendrá una carga distribuida positiva
igual a. = qND
Figura 9.8. Profundidad de la zona de depleción.
237
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
La carga espacial distribuida está presente a lo largo de la distancia xd y puede ser obtenida a
partir de la ecuación de Poisson para campos electrostáticos. Un valor equivalente de carga de
polaridad contraria se distribuye en un plano sobre la superficie del metal, tal como se muestra
en la figura 9.9.
Figura 9.9. Distribución de carga espacial.
Dado que el campo eléctrico se presenta fundamentalmente en la región de depleción tenemos
por las ecuaciones de Maxwell.
2 ( x)
E ( x) qND
=−
=
2
x
x
S
[9.14]
1
E ( x) = qN D dx + C1
[9.15]
1
E ( x) = qN D x + C1
[9.16]
El campo en la posición x=xd debe ser igual a cero, luego:
E ( xd ) = 0
[9.17]
S
S
C1 = −
1
S
qN D xd
[9.18]
Luego:
qN D
E ( x) =
( x − xd )
S
[9.19]
Observamos que el campo tiene un comportamiento lineal en función de la posición, partiendo
de un valor máximo medido en la frontera de contacto, hasta un valor de campo igual a cero en
238
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
la frontera de la zona de depleción y la región neutra del semiconductor. El valor máximo del
campo ocurre en x=0
qN
Emax = − D xd
S
[9.20]
Ahora, la expresión para el potencial se encuentra integrando nuevamente el valor del campo.
2 ( x) qN D
=
S
x 2
[9.21]
( x) = − E ( x)dx + C2
(x − xd )dx + C2
[9.23]
qN D x 2
− xxd + C2
S 2
[9.24]
( x) = −
( x) = −
[9.22]
qN D
S
( x) = (xd ) − (0) = 0
qN D xd2
0 =
2 S
[9.25]
[9.26]
Dado que ( xd ) = 0
C2 = −
qN D 2
xd
2 S
( x) = −
qN D
(xd − x )2
2 S
(0) = − 0
[9.27]
[9.28]
[9.29]
Se observa que al poner en contacto los dos materiales se establece una diferencia de potencial
en el semiconductor que crece según la ecuación 9.28 desde la frontera de la interfaz hasta una
distancia xd . Esta región de depleción se denomina también capa de barrera natural y tienen
dimensiones del orden de 1 a 10-2 µm, dependiendo de las propiedades eléctricas de los
materiales utilizados. En la figura 9.10 se puede observar el comportamiento del potencial y
campo eléctricos.
239
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Figura 9.10. Potencial y campo eléctricos.
Ahora como la energía es igual al potencial multiplicado por la carga E = − q , entonces:
− q ( x) =
q2 ND
(xd − x )2
2 S
− q (0) = q 0
[9.30]
[9.31]
Las expresiones anteriores indican entonces una diferencia de energía entre los electrones cerca
de la interfaz y aquellos en la zona neutra del semiconductor equivalente a q 0 . El valor de xd
que nos representa la penetración de la zona de depleción en el semiconductor, puede ser
obtenida a partir de la ecuación 9.26, luego:
xd =
2 S 0
2 S ( M − S )
=
qN D
qN D
[9.32]
De la ecuación se observa que cuanto mayor es la diferencia de funciones trabajo de los
materiales, mayor es la penetración de la zona de depleción en el semiconductor. Y
contrariamente es menor si el dopado del semiconductor es mayor. Reemplazando la ecuación
9.32 en la expresión de la carga espacial del semiconductor se obtiene su valor en el área de
contacto A.
Q
[9.33]
240
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Ejemplo 1
Se establece una unión Schottky cromo-silicio tipo n con una concentración uniforme del
semiconductor ND = 3x1018 cm-3. Calcular la altura de la barrera Schottky y el valor del
potencial de contacto. Repita para un semiconductor tipo p con la misma densidad de dopaje.
Solución.
Según la ecuación 9.11 y la información proporcionada por las tablas 9.2 y 9.3, obtenemos la
altura de la barrera Schottky dada por:
B = ( M − S ) = 4.5 − 4.15 = 0.35V
El potencial de contacto sería q B = q 0 − ( EC − EF ) pero recordemos que
N D = NC e
E F − EC
KT
0 = B − VT ln
aproximando n ND en la ecuación 9.35, luego:
NC
ND
Recordemos que:
3
T me* 2
. A temperatura ambiente y para el silicio me* = 1.1m0, entonces:
N C = 2.5 x10
300
m
o
19
NC = 2.88x1019 cm−3
0 = 0.35 − 0.026ln
2.88x1019
= 0.29V
3 x1018
La altura de la barrera de la unión de cromo y silicio tipo p es igual a (ecuación 9.13):
B = S +
Eg
q
− M
241
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
B = 4.15 + 1.1 − 4.5 = 0.75V
Y el potencial de contacto sería igual a:
0 = B − VT ln
NV
NA
Nuevamente a temperatura ambiente y para el silicio mh* = 0.59m0, entonces:
T mh
NV = 2.5 1019
300 m0
0 = 0.75 − 0.026ln
3
2
= 1.16x1019 cm − 3
1.16x1019
= 0.71V
3x1018
Los valores de las masas efectivas para el cálculo de las densidades efectivas de estado NC y NV
fueron obtenidas de la tabla de propiedades presentada en el capítulo anterior.
Ejemplo 2.
Encuentre el valor del potencial de contacto, el máximo campo eléctrico y ancho de la zona de
depleción de una barrera Schottky formada con silicio tipo n dopado con una concentración de
1019 cm-3 Asuma un valor de la barrera de Schottky igual a 0.3 eV.
Solución:
Recordando la ecuación para la concentración de electrones
2.88x1019
EC − EF = 0.026x ln
19
10
EC − EF = 0.027eV
Luego el potencial de contacto
0 = B − (EC − EF )
0 = 0.3 − 0.027 = 0.272V
242
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
De la ecuación 9.31 y recordando que la permitividad del material es S = r 0 , tenemos:
xd =
2 S 0
2 x12x8.85x10−140.272
=
qN D
1.6 x10−19 x1019
xd = 60 Å
Ahora el valor del campo máximo:
qND
1.6 x10−191019
Emax = −
xd = −
6.10−7
−14
S
(12) x8.85x10
V
Emax = 9 x105
cm
9.6.
Unión Schottky polarizada
El análisis que se presentó en las secciones anteriores correspondía a una interfaz metal
semiconductor en condiciones de equilibrio térmico, es decir sin polarización externa aplicada a
ninguno de los materiales. A continuación estudiaremos la unión metal-semiconductor bajo el
efecto de una polarización externa que denotaremos por V. Continuaremos con el caso del
contacto metal semiconductor tipo n y observaremos el comportamiento del diagrama de bandas
para dos tipo de polarización que denominaremos inversa y directa. En el caso de la polarización
directa consideraremos V 0 es decir un potencial positivo aplicado al metal y el negativo en el
semiconductor. La condición contraria la denominamos polarización inversa. En la figura 9.11
se muestra el diagrama de bandas para el caso del sistema en equilibrio térmico (a) y para el
caso de la unión polarizada en forma directa (b). En condiciones de equilibrio térmico
observamos la existencia de una barrera de potencial entre los electrones en el metal y los
estados posibles en la banda de conducción del semiconductor equivalente a q B y depende
exclusivamente de la diferencia de las funciones trabajo de los materiales. Dicha barrera no
depende de la polarización aplicada dado que la caída del voltaje se manifiesta en la zona de
depleción del semiconductor. El metal constituye un espacio equipotencial y por tanto no admite
diferencias de potencial entre ninguna de sus regiones.
243
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
(a)
(b)
Figura 9.11. Unión Schottky. (a) Equilibrio térmico. (b) Polarización directa.
Al polarizar en directo la unión metal semiconductor, un potencial negativo es aplicado al
semiconductor tipo n, de acuerdo a la relación entre la energía y el potencial E = − q , tenemos
que una energía positiva debe ser evidenciada en el diagrama de banda, este valor de energía se
mide a partir del nivel de energía de Fermi del metal, el cual tomamos como eje de referencia.
El valor de energía suministrado por el potencial origina un desplazamiento de todos los niveles
de energía en el semiconductor modificando la altura de la barrera de potencial a un nuevo valor
q( 0 − V ) . El aumento del nivel de Fermi en el semiconductor se debe a la inyección de
electrones que desde la fuente de potencial se está realizando al mismo. Como el nivel de Fermi
del semiconductor resulta mayor que el nivel de fermi del metal se presenta un aumento del
movimiento de electrones desde el semiconductor hacia el metal que depende del potencial
externo aplicado. Recordemos que la energía de Fermi es mayor en la región donde se inyectan
portadores. La disminución de la barrera de potencial trae como consecuencia la modificación
de la profundidad de la zona de depleción disminuyéndola respecto a su valor de equilibrio
térmico xd
Para el caso de la polarización inversa (figura 9.12), un potencial positivo es aplicado al
semiconductor y en consecuencia una cantidad negativa de energía debe ser aplicado la
diagrama de bandas a partir del nivel de referencia (EFM) originando un descenso de los niveles
244
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
de energía, aumentándose con ello tanto la altura de la barrera de potencial a un valor
q( 0 + V ) y la profundidad de la penetración de la zona de depleción en el semiconductor. La
disminución de la energía de Fermi del semiconductor se debe a la extracción de electrones del
semiconductor por efecto de la polarización aplicada.
Obsérvese que tanto para la polarización inversa o directa, el potencial de Schottky q B no se
ve modificado. De la ecuación 9.32 podemos generalizar la expresión para la profundidad de la
zona de depleción en función del potencial aplicado.
xd (V ) =
2 S ( 0 V )
qND
[9.34]
Una unión metal-semiconductor se comporta en general como rectificador cuando se trabaja con
bajos voltajes. El voltaje aplicado modifica las distribuciones de la densidad de corriente con
relación a la situación de equilibrio. Una parte del campo eléctrico se puede establecer en el
interior de todo el lado semiconductor del dispositivo dado que su resistencia es mayor que la
del lado metálico. Otra característica de la unión metal semiconductor es que la corriente la lleva
principalmente los portadores mayoritarios. Estas propiedades dan origen a las características
dinámicas extremadamente rápidas de los diodos Schottky prácticamente exentos de efectos de
almacenamiento de portadores.
(a)
(b)
Figura 9.12. Unión Schottky. (a) Equilibrio térmico. (b) Polarización inversa.
245
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Cualitativamente puede verse que los efectos de la polaridad en la unión metal-semiconductor
son debidos a la capa de barrera producida en la superficie. Si el semiconductor se hace negativo
respecto del metal, la capa de barrera es eliminada por el potencial externo aplicado, y la
corriente circula impedida solamente por la resistencia del semiconductor. Este es el sentido de
baja resistencia del rectificador. Cuando el potencial en el semiconductor es contrario, el espesor
de la capa de barrera aumenta y para que la corriente circule los electrones deben saltar a través
de la diferencia de potencial q(0+V). En este sentido ofrece gran resistencia. El diodo Schottky
es entonces un dispositivo semiconductor que proporciona conmutaciones muy rápidas a bajas
tensiones umbral del orden de 0.2 V. La alta velocidad de conmutación permite rectificar
señales de alta frecuencia y eliminar excesos de corriente de circuitos de alta intensidad.
9.7.
Característica corriente-voltaje.
Para explicar los fenómenos de transporte que se presentan en la unión metal-semiconductor
cuando ésta se encuentra sometida a la acción de una diferencia de potencial es necesario
describir los dos casos que limitan estos procesos: el primero de ellos es la teoría de la emisión
termoiónica, la cual estipula que los mecanismos de emisión de electrones en la interfaz limitan
la corriente. La segunda corresponde a la teoría de la difusión, que está fundamentada
esencialmente en procesos de difusión de los portadores que involucran gradientes de
concentración como presencia de campo eléctricos internos en la interfaz.
La corriente como se ha mencionado es debida a fenómenos físicos diferentes en cada región de
la estructura, en la interfaz es condicionada por la emisión termo electrónica de portadores con
energías superiores a la barrera de potencial, en tanto que en la zona de la carga de depleción la
componente de la corriente es debida fundamentalmente a fenómenos de difusión. Ya se ha
mencionado que en condiciones de equilibrio térmico la corriente resultante a través de la unión
es nula.
Recordemos que la corriente de difusión es debida a electrones de la banda de conducción del
semiconductor que pasan al metal y que poseen suficiente energía para superar el potencial de
contacto 0. También existe una corriente debida a la presencia del campo eléctrico que se
forma al interior de la zona de depleción de la unión y por lo tanto esta corriente de
246
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
desplazamiento fluye en sentido contrario anulando aquella de difusión. De forma similar
tenemos corrientes debidas a huecos, unas que fluyen desde el metal hacia el semiconductor
compuestas por huecos que se generan en el semiconductor cuando electrones de la banda de
valencia pasan a ocupar estados accesibles dentro del metal. Y la segunda que va del
semiconductor al metal, compuesta por huecos que llegan desde el interior del semiconductor y
desaparecen en la superficie cuando atrapan un electrón en el metal. La sumatoria de esas
corrientes es cero, es decir se anulan entre sí.
En el momento de polarizar en forma directa la unión tenemos que la barrera que deben vencer
los electrones que pasan del semiconductor al metal es menor (0 - V), en tanto que la barrera
Schottky (B) permanece constante, en consecuencia, aparece un desequilibrio en las
componentes iniciales dando origen a una corriente resultante. La corriente de portadores
minoritarios aun cuando existe podemos considerarla despreciable y podemos afirmar que en la
estructura, la corriente es debida fundamentalmente a los portadores mayoritarios y
consideraremos que es la única que existe. A continuación se describen los fenómenos de
transporte mencionados.
9.7.1.
Emisión Termoiónica.
Se conoce como emisión termoiónica el flujo de partículas cargadas desde una superficie de
metal sometida a incrementos de temperatura; los incrementos de temperatura originan
vibraciones en la red que provocan una fuerza electrostática que empuja a los electrones hacia la
superficie. Una emisión electrónica se conoce como emisión iónica pero dado que dicha emisión
es originada por la temperatura, a las partículas cargadas se les denomina termo iones y son
emitidas en metales o en óxidos de metal y su emisión aumenta considerablemente al subir la
temperatura, entre los 1000–3000 ºK.
Al suministrar energía térmica a un material, sus electrones adquieren energía cinética. Si dicha
energía es suficiente para superar la barrera de potencial característica de la superficie del
material (función trabajo), estos electrones serán emitidos dando origen a una corriente
electrónica que depende de las características del material, así como de su temperatura de
calentamiento. La función trabajo (q), que es el potencial en voltios correspondiente a la
mínima energía que se debe proporcionar al electrón para extraerlo del material, es la
247
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
característica del material que gobierna el proceso de emisión termoiónica. La ecuación de la
densidad de corriente debida a emisiones por un metal debe considerar entonces la función
trabajo q del mismo y la temperatura de calentamiento T al cual está sometido.
Ya hemos mencionado en capítulos anteriores que fuera de condiciones de equilibrio térmico la
ley de acción de masas no se cumple, pero sí se sigue cumpliendo la distribución de FermiDirac. La densidad de electrones en el semiconductor viene dado por la ecuación:
n = NC e
E F − EC
KT
[9.35]
La densidad de corriente que va desde el semiconductor al metal se limita por la emisión de
electrones desde la banda de conducción del semiconductor y debe ser proporcional al número
de electrones cuya energía sea superior a la barrera de potencial (0 - V) y se expresa por la
ecuación 9.36:
J = nqv
[9.36]
En dicha ecuación v es la velocidad media de los electrones. Si la superficie del contacto es
perpendicular a la dirección x, las componentes de la velocidad del electrón en las coordenadas y
y z no se verán afectadas cuando el electrón atraviese la superficie. Haciendo un análisis
unidimensional, en el modelo de electrones libres, la densidad total de corriente del
semiconductor al metal está dada por la suma sobre el conjunto de los electrones con una
distribución de velocidad que satisfaga la estadística de Maxwell-Boltzmann:
J =
EF + q B
qvdn
[9.37]
Siendo (EF + qB) la mínima energía requerida para la emisión termoiónica dentro del metal y
dn la densidad de electrones en un rango incremental de energía. La teoría de la emisión
termoiónica fue desarrollada asumiendo que la altura de la barrera Schottky es mucho mayor
que KT y que la existencia de una corriente neta no afecta las condiciones de equilibrio térmico.
Ahora recordemos que:
dn = N ( E ) f ( E )dE
[9.38]
Donde N(E) y f(E) corresponden a la densidad de estados y a la función de distribución.
respectivamente. Debido a la primera aproximación mencionada (ver ecuación 7.18 y 7.19), la
248
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
función de probabilidad f(E)se simplifica y la densidad de electrones puede ser escrita después
de la traslación de ejes de la forma:
dn =
dn =
4 (2me *)3 / 2 E − EC
h3
e
8 2 (me *)3 / 2 E − EC
h3
−
E − EF
KT
e
−
dE
[9.39]
E − EC + EC − EF
KT
dE
[9.40]
Separando exponenciales
− EC
E −E
− C F
8 2 (me *)3 / 2 E − EC − EKT
dn =
e
e KT dE
h3
[9.41]
En la ecuación me* es la masa efectiva del electrón y al asumir que toda la energía de los
electrones en la banda de conducción es meramente energía cinética, entonces:
1
E − E C = me * v 2
2
[9.42]
dE = me * vdv
[9.43]
me *
2
E − EC = v
[9.44]
Sustituyendo la ecuación 9.44 en la ecuación 9.39
3
m * −
dn = 2 e e
h
( EC − EF )
KT
e
−
me *v 2
2 KT
4v 2 dv
[9.45]
La ecuación anterior da el enumero de electrones por unidad de volumen que presentan
velocidades entre v+dv en todas las direcciones, si consideramos las tres componentes
cartesianas de velocidad tenemos que.
v 2 = (v x2 + v y2 + v z2 )
[9.46]
2
Haciendo uso de la transformación 4v dv = dvx dvy dvz y reemplazando
3
m* −
J = 2q
e
h
EC − EF
KT
v e
−
x
Vox
me *vx2
2 KT
dvx e
0
−
me *v 2y
2 KT
dvy e
−
me *vz2
2 KT
dvz
[9.47]
0
Las integrales tienen como solución:
e
−
me *v 2y
2 KT
dv y = e
−
me *v z2
2 KT
dvz =
2KT
me *
[9.48]
249
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
v e
−
me *v x2
2 KT
x
Vox
KT −
dvx =
e
me *
me *Vox2
2 KT
[9.49]
Luego:
4qme * K 2 2 −
J=
T e
h3
EC − EF
KT
e
−
me *Vox2
2 KT
[9.50]
Al asumir que la región de contacto es muy delgada, entonces los electrones con velocidad
mínima Vox requerida en la dirección x, pueden remontar la barrera de potencial y está dada por:
1
m * vox2 = q ( 0 − V )
2
[9.51]
Recordemos que 0 es el potencial de contacto en condiciones de equilibrio térmico. Ahora si
reemplazamos la ecuación 9.51 en la ecuación 9.50, obtenemos.
J = AT e
2
−
q ( 0 −V )
KT
e
−
EC − EF
KT
[9.52]
Siendo:
A=
4qme * K 2
= 1.20173x106 Am −2 K −2
h3
Este parámetro A se denomina constante efectiva de Richardson para emisión termoiónica,
depende de la masa efectiva de los electrones y la constante de Planck. La corriente de
superficie J debida a los electrones que pasan del metal al semiconductor no es afectada por el
voltaje aplicado.
Cuando no hay tensión aplicada V=0 las corrientes en ambos sentidos son iguales, es decir la
corriente que pasa del metal al semiconductor es igual a la corriente de electrones que pasa del
semiconductor al metal en condiciones de equilibrio. Del gráfico de bandas es posible observar
que:
q 0 + ( EC − E F ) = q B
[9.53]
Entonces para V=0 se obtiene:
J = − AT e
2
−
q ( B )
KT
[9.54]
Al aplicarse una tensión externa, la corriente desde el semiconductor al metal se modifica dado
que la barrera pasa a ser (q 0 − V ) . La corriente desde el metal al semiconductor no se
250
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
modifica pues la barrera que deben saltar los electrones sigue siendo q B . La corriente neta en
la unión fuera de condiciones de equilibrio será entonces:
J = AT e
2
J = AT e
2
−
−
q ( B −V )
KT
q ( B )
KT
− AT e
2
−
q ( B )
KT
qV
KT
e − 1
[9.55]
[9.56]
qV
J = J s (e KT − 1)
[9.57]
siendo
J s = AT 2 e
−
q ( B )
KT
[9.58]
Esta expresión (9.58) es denominada la ley exponencial típica del diodo teórico o ecuación del
diodo ideal. En el desarrollo que se ha presentado no se tuvieron en cuenta las corrientes de
huecos. Considerar estas corrientes no cambia la dependencia funcional de la corriente con el
potencial aplicado. Si el semiconductor es fuertemente dopado sus contribuciones son aún más
pequeñas.
Cuando la unión metal-semiconductor es polarizada en sentido directo, el proceso de emisión de
electrones por encima de la barrera de potencial excede el flujo de electrones por efecto túnel,
en consecuencia tenemos que la presencia de una delgada capa de óxido en la interfaz no
modifica de forma importante las propiedades del contacto respecto a la situación ideal que
describe la teoría de la emisión termoiónica.
De la ecuación 9.58 se observa que la corriente aumenta exponencialmente cuando la unión es
polarizada en forma directa y tiende a un valor de saturación igual a JS para polarización
inversa, evidenciando características rectificadoras en un contacto de este tipo.
9.7.2.
Efecto Túnel
Ya hemos mencionado que un contacto metal-semiconductor se considera óhmico si el efecto de
la barrera Schottky resulta despreciable. Si el semiconductor usado en la unión se dopa
fuertemente se puede reducir considerablemente el ancho de la carga espacial, ver ecuación
251
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
9.32. Cuando el espesor de la zona de depleción es muy pequeño se presenta un efecto de
penetración de la estrecha barrera por parte de los portadores para ambos tipos de polarización,
este efecto es conocido como Efecto túnel . En las figuras 9.13(a) y 9.13(b) se ilustran los casos
mencionados.
(a)
(b)
Figura 9.13. Efecto túnel
La corriente a través de la barrera por efecto túnel es importante cuando la región de carga
espacial en el semiconductor es muy estrecha y ello se logra usando semiconductores altamente
dopados o semiconductores degenerados. Recordemos que un semiconductor degenerado es
aquel que presenta un nivel de dopado tal que su nivel de Fermi extrínseco está por encima del
nivel de energía de conducción, ver figura 9.14. Si se construye un contacto de este tipo en el
cual el efecto túnel es posible, la resistencia del mismo es muy baja.
Figura 9.14. Efecto túnel.
9.7.3.
Difusión.
Cuando se establece la unión metal-semiconductor, además de los procesos descritos en los ítem
anteriores se presenta una componente de corriente debida a fenómenos de difusión de
252
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
portadores originados por el gradiente de concentración. La corriente de difusión que atraviesa
la unión está limitada por varios factores, para el análisis cuantitativo del fenómeno nuevamente
asumimos que la altura de la barrera es mayor que KT y se incluyen los efectos de colisión entre
electrones; de igual manera se considera que la concentración de portadores en la frontera de la
interfaz no es afectada por el flujo de corriente. Partimos nuevamente del hecho de que en la
interfaz el nivel de Fermi en el semiconductor coincide con el nivel de Fermi en el metal en
condiciones de equilibrio térmico.
Dado que la densidad de corriente de difusión al interior de la zona depleción depende del
campo interno y del gradiente de concentración, podemos hacer uso de la expresión de densidad
de corriente. En condiciones de régimen estacionario se desprecian las corrientes de
minoritarios, o sea que J=Jn
n
J = J n = q n n( x) E ( x) + Dn
x
[9.59]
En condiciones de equilibrio térmico la corriente es independiente de x y por lo tanto debe ser la
misma tanto en la zona de depleción como en la región neutra del semiconductor. Ahora,
KT Dn
( x)
=
teniendo en cuenta que E ( x) = − x y la relación de Einstein
q
n la densidad de
corriente en la dirección x expresada en función del cuasi-potencial de Fermi será:
n
q
J n = qDn −
n( x) +
x x
KT
[9.60]
Multiplicando miembro a miembro por e
−
q ( x )
KT
la densidad de electrones viene dada entonces
por:
J ne
−
q ( x )
KT
q ( x )
q ( x )
q
( x) − KT n − KT
= qDn −
n( x )
e
+ e
x
x
KT
[9.61]
La ecuación anterior representa la derivada de un producto que puede ser re-escrita como:
J ne
−
q ( x )
KT
−
= qDn n( x)e
x
q ( x )
KT
[9.62]
La anterior igualdad puede ser convertida en una ecuación integral tomando los valores en la
región de depleción desde x=0 hasta x=xd
253
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
xd
Jn e
−
q ( x )
KT
x = qDn n( x)e
−
q ( x ) xd
KT
0
[9.63]
0
Las condiciones de frontera para la concentración de portadores y el potencial son:
Para x = 0
n(0) = NC e
−
( EC ( 0 ) − EF )
KT
= NC e
−
q B
KT
[9.64]
( 0) = 0
Para x = xd
n( xd ) = N D = N C e
−
q FN
KT
[9.65]
( xd ) = 0 − V
Reemplazando los límites en la ecuación 9.63.
xd
Jn e
−
q ( x )
KT
x = qDn N C e
−
q FN
KT
e
−
q ( 0 −V )
KT
− NC e
−
q B
KT
[9.66]
0
Pero:
q B == q 0 + q FN
Sustituimos en la ecuación 9.66.
xd
Jn e
−
q ( x )
KT
x = qDn N C e
−
q FN
KT
e
−
q ( 0 −V )
KT
− NC e
−
q ( 0 + FN )
KT
[9.67]
0
Luego:
qDn N C e
Jn =
−
q ( FN )
q ( 0 )
−
KT
KT
e
xd
e
0
−
q ( x )
KT
e
qV
KT
−1
q ( 0 )
KT
qV
KT
= xd q ( x )
e
−
1
−
KT
e
x
qDn N D e
x
−
[9.68]
0
Para el cálculo de la integral del denominador, retomamos la expresión del potencial que se
halló a partir de la ecuación para el campo eléctrico, ver ecuación 9.24. Encontramos la
254
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
diferencia de potencial entre un punto al interior de la zona de carga espacial y la frontera de la
misma ( xd )
− q ( xd ) − q ( x) = −
2
q 2 N D xd
q2 ND
(xd − x )2
−
2 S
2 S
dado que ( xd ) = 0 − V cuando existe polarización externa, obtenemos
xd =
2
2 S ( 0 − V )
qND
Reemplazando
qN D
(x − xd )2
2 S
( x) = 0 −V −
xd
e
−
q ( x )
KT
x = e
−
q ( 0 −V )
KT
0
xd
e
q2 N D
( x− xd )2
2 S KT
x
[9.69]
0
La solución de la integral dada en la expresión 9.70.
xd
e
q2 N D
( x− xd )2
2 S KT
x
[9.70]
0
Puede obtenerse haciendo
u2 =
q2 ND
(x − xd )2
2 S KT
[9.71]
De donde se obtiene derivando
2uu =
q2 ND
2(x − xd )x
2 S KT
[9.72]
Despejando x
1
2 KT 2
u
x = 2S
q ND
[9.73]
Las fronteras de integración serían definidas como:
Para x=0
q 2 N D xd
q ( 0 − V )
=
2 S KT
KT
2
u2 =
Para x=xd
u2 = 0
255
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Reemplazando u y dx la integral de la ecuación 9.70 puede ser escrita de la forma:
xd
e
−
q ( x )
KT
x = e
−
q ( 0 −V )
KT
0
1
2 S KT 2 u u 2
2
e u
q ND 0
[9.74]
Si definimos
1
(q 0 − V ) 2
z=
KT
Obtenemos
xd
e
−
q ( x )
KT
0
1
2 S KT 2 −Z 2 z u 2
e e u
x = 2
q ND
0
e −Z
La expresión
z
2
e
u2
u
0
[9.75]
KT
1
(q 0 − V )
q
2z
tiende al valor cuando z >> 1, o sea cuando
,
lo cual se aplica nuestro estudio, luego:
xd
e
−
q ( x )
KT
0
1
1
1
2
2 KT 2 1 2 S KT 2 1 KT
x = 2S
= 2
q N D 2 z q N D 2 (q 0 − V )
[9.76]
Reemplazando en la expresión 9.68.
Jn =
2 S KT
2
q ND
1
2
−
q ( 0 )
KT
qV
KT
e
− 1
1
1 KT 2
2 (q 0 − V )
qDn N D e
[9.77]
Simplificando en la ecuación de densidad de corriente:
q 2 Dn N D
Jn = {
KT
1/ 2
0 )
qV
KT
q( 0 − V )2 N D − q (KT
} e − 1
e
s
[9.78]
Si definimos JS como la corriente inversa de saturación por la ecuación 9.79:
1/ 2
q( )
q 2 Dn N D q( 0 − V )2 N D − KT0
JS =
e
KT
s
[9.79]
256
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Tenemos:
qV
J n = J S e KT − 1
[9.80]
Una expresión alterna para JS se halla si recordamos que
q B == q 0 + q FN
N De
−
q ( 0 )
KT
= NC e
−
y además
N D = NC e
−
q ( FN )
KT
q (B )
KT
Substituyendo
q 2 Dn NC
Jn = {
KT
1/ 2
B )
qV
KT
q( 0 − V )2 N D − q (KT
} e − 1
e
s
[9.81]
Entonces JS también se puede expresar por:
q 2 Dn N C
JS =
KT
1/ 2
B )
q( 0 − V )2 N D − q (KT
e
s
[9.82]
Generalmente se admite una zona de transición con densidad de dopado uniforme, para nuestro
caso una concentración de átomos donadores ND constante. Donde el término JS es una
expresión alterna para la corriente inversa de saturación y varía de forma exponencial con la
barrera Schotkky.
Hasta ahora hemos considerado uniones metal semiconductor ideales, es decir contactos metal
semiconductor sin presencia de elementos extraños en la interfaz, sin embargo durante la
fabricación de la unión se forma una delgada capa de óxido en medio de los dos materiales, ello
da origen a la unión metal semiconductor no ideal. La unión metal semiconductor no ideal
presenta un comportamiento que involucra los fenómenos de emisión termoiónica y de difusión
ya descritos, pero también presenta en la fina capa de oxido una caída de potencial cuyo efecto
es originar variaciones en la barrera Schottky con el potencial aplicado. La influencia de estos
efectos sobre la corriente-voltaje característica se expresa introduciendo un factor de corrección
ɳ que comúnmente tiene un porcentaje mayor que la unidad.
qV
J = J s (eKT − 1)
[9.83]
257
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
En la figura 9.15 están representadas las características voltaje-corriente en el sentido inverso y
directo para un cristal de Germanio, en las abscisas se representa la diferencia de potencial
medido en voltios y en las ordenadas se representa la intensidad de corriente dada en mA.
Se puede observar que solamente 3 V producirán una corriente de 46 mA en el sentido directo,
mientras que en el sentido inverso para que circulen 0.6 mA es preciso aplicar al cristal una
diferencia de potencial de 60 V. Hasta unos pocos voltios la resistencia en sentido inverso es de
varios mega ohmios.
Figura 9.15. Función corriente vs. voltaje
9.8.
Capacitancia de la unión.
En el sistema que hemos venido estudiando tenemos de un lado un semiconductor tipo n y al
otro lado de la interfaz un metal, ambos separados por una zona de depleción de espesor xd. Ello
nos permite inferir que existe un efecto capacitivo en dicha estructura. Definiremos la
capacitancia de la unión como la variación de la carga espacial respecto a las variaciones de
potencial, de acuerdo a la definición clásica de capacitancia. Tenemos entonces que:
CT =
dQ
dV
[9.84]
Siendo Q la carga espacial en función del potencial aplicado, luego:
CT = A
q S N D
2( 0 − V )
[9.85]
258
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
CT =
A S
xd
[9.86]
La expresión 9.36 corresponde efectivamente a la capacitancia asociada a un capacitor de placas
planas paralelas, debemos tener presente que el valor de xd varia con el potencial aplicado según
la ecuación 9.33. Ahora de la ecuación 9.35 podemos obtener la expresión.
0 − V = A2
q S N D
2C 2
[9.87]
De la anterior ecuación si graficamos la relación 1/C2 vs. V obtenemos una recta en donde la
pendiente de esta recta nos da información de la concentración de dopado en el semiconductor,
en tanto que la intersección con el eje de las abscisas nos proporciona el valor del potencial de
contacto 0 como se ilustra en la figura 9.16.
2
Figura 9.16. 1/C vs. V
9.9.
Barrera Schottky no ideal.
Todos los análisis descritos anteriormente corresponden a una situación ideal, en realidad en el
intermedio de las capas siempre en los procesos de fabricación se genera una capa intermedia de
óxido. El diagrama de energía de una unión real se representa en la figura 9.17. En la capa de
óxido intermedia se establece un campo eléctrico debido a las diferentes polaridades de carga
que se establecen a lado y lado de la interfaz, negativa en la superficie del metal y positiva del
lado del semiconductor. No obstante, la caída de potencial a través de la capa aislante en la
interfaz es muy débil debido a que esta capa es muy delgada y los electrones libres la atraviesan
fácilmente por tunelamiento. Por lo tanto, las consideraciones hechas en nuestro análisis son una
buena aproximación para la barrera de potencial en equilibrio.
259
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
Figura 9.17. Unión Schottky no ideal
Sin embargo un análisis de la unión real nos permite afirmar que el supuesto de que la altura de
la barrera Schottky B permanece constante en condiciones de polarización aplicada no es
válido, ya que en realidad la altura de la barrera varía con la tensión aplicada y con más énfasis
en condiciones de polarización inversa, ello debido a que el Principio de la imagen eléctrica
también actúa. El principio nos dice que un electrón que se encuentre a una distancia x de una
superficie induce una carga positiva sobre ésta, la fuerza de atracción sobre el electrón equivale
a la de una carga elemental puntual positiva ubicada a una distancia x en el interior del sólido.
En consecuencia, los electrones de conducción experimentan una fuerza imagen en el metal que
los atrae hacia la superficie del metal disminuyendo la altura de la barrera y apartando la
relación corriente-tensión de su valor ideal. Dada la existencia de una capa estrecha de óxido en
medio de la interfaz, parte del potencial aplicado se establece en esta capa de óxido, el cual es de
alta resistividad. Es una razón adicional para que baje la barrera de potencial en la zona de carga
espacial de la región semiconductora.
La fuerza de atracción entre el electrón y la carga positiva inducida es igual a la fuerza que
existiría entre el electrón y la carga positiva ubicada una distancia -x de la interfaz. La fuerza
sería entonces:
F(x) =
- q2
- q2
=
4S (2x)2 16S x 2
Y la energía experimentada por el electrón al desplazarse una distancia x es:
x
E(x) = F(x)x =
0
- q2
16S x
260
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
En presencia de un campo eléctrico E constante, la energía experimentada por los electrones al
alejarse de la superficie metálica viene dada por la diferencia de la energía electrostática menos
la energía debida a la presencia del campo eléctrico, luego la ecuación es:
(x) =
- q2
- qxE
16S x
[9.88]
Esta energía E, (no confundirla con el campo eléctrico), corresponde a la energía potencial del
electrón a una distancia x de la superficie del metal. La figura 9.18 muestra el diagrama de
bandas para esta variación de energía.
Figura 9.18. Variación de la barrera de Schottky
El pico de la barrera de potencial B se encuentra a una distancia xd que puede calcularse
encontrando el valor de pendiente cero
xd =
q
cm
16 S E
E ( x )
= 0 , o sea:
x
[9.89]
Luego la variación de la energía de la barrera Schottky que denotamos como q está dado por:
q
E ( x) = −q = −q
+ xd E
16 S xd
Reemplazando xd
qE
qE
= 2
=
16S
4S
O también
= 2 Exd
[9.90]
[9.91]
[9.92]
261
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
En consecuencia, la altura de la barrera Schottky qB variará de la misma forma que lo hace ,
lo cual se verá reflejado en la expresión de la corriente, la cual depende exponencialmente de
dicha altura, ya que sólo el número de electrones en el metal con energías por encima del
máximo de la barrera podrá pasar a través de ella. La corriente emitida desde el metal en
condiciones de polarización inversa sería:
I = I 0e
q
KT
[9.93]
Habíamos encontrado que la corriente emitida desde el metal estaba dada por la ecuación 9.54,
al considerar el descenso de la barrera Schottky por efecto de la fuerza imagen, la ecuación debe
incluir tal efecto y se expresa de la forma:
se modifica a:
J0 = A T2 e
-
q B
KT
q
e KT
[9.94]
262
Capítulo 9. Unión metal-semiconductor.
9.10. Ejercicios.
Para la solución de los siguientes problemas usar la información de valores de funciones trabajo
(M) y afinidad electrónica
(x), que se suministra en las tablas 9.1, 9.2 y 9.3 para metales y
semiconductores
1. Se establece un contacto entre aluminio y Si tipo n el cual se ha dopado con una
concentración de 1017cm-3. Realizar a) el diagrama de bandas de energía de los dos
materiales antes de formar la unión b) el diagrama de bandas de energía para un contacto
ideal en condiciones de equilibrio cuando se forma la unión, c) calcular B, xd y Emáx.
2. Un diodo Schottky a temperatura ambiente es polarizado en inversa con 5 V. El dispositivo
está formado por la unión de oro y GaAs (S= 13) dopado con ND = 5x1017cm-3. Determinar:
a) la altura de la barrera Schottky, b) el ancho de la región de carga espacial xd y c) el valor
del campo máximo.
3. Un diodo Schottky se forma usando platino y silicio tipo n dopado con una concentración
ND = 5x1016 cm-3. a) Calcular la capacidad por unidad de área de la zona de depleción, b)
Para qué valor de potencial inverso aplicado la capacidad se reduce a 1/3 de su valor en
condiciones de equilibrio.
4. Se fabrica un diodo Schottky de aluminio y silicio tipo n de concentración ND = 1018 cm-3.
A qué valor de potencial inverso la barrera Schottky caería al 10% respecto al valor
equilibrio.
5.
Calcular la capacidad en equilibrio térmico a 300 ºK, para una barrera Schottky ideal entre
platino (M = 5.3V) y silicio dopado con ND = 2x1016 cm-3. El área del diodo es A= 10-4
cm2, b) calcule la polarización inversa para la cual la capacidad se reduce un 30% respecto
a su valor en equilibrio.
263
Capítulo 10. Unión p-n.
10. Unión p-n
____________________________________________________________________________
10.1. Introducción.
En el estudio de los dispositivos electrónicos la comprensión de la unión p-n resulta ser de
fundamental importancia ya que es prácticamente la base conceptual sobre la cual reposan todos
los análisis que se realizan en la mayoría de los dispositivos. La teoría de la unión p-n sirve
como fundamento para el estudio de los dispositivos electrónicos.
10.2. Descripción cualitativa de una unión.
Una unión es constituida por un cristal que contiene en una región impurezas aceptadoras (tipo
p) y en una región adyacente impurezas donadoras (tipo n). El límite entre esas regiones es
llamado la unión p-n. Según el material empleado, las uniones pueden clasificarse como
homouniones, cuando se utiliza un solo material base o heterouniones, cuando se usan
materiales diferentes. En este capítulo se estudiarán las uniones que usan un mismo material
base. La unión p-n, para aplicaciones prácticas requiere que una de las regiones se encuentre
más fuertemente dopadas que la otra, pudiéndose obtener uniones de tipo n+-p o uniones del
tipo p+-n. Esta unión es el principio de manufactura del diodo semiconductor. En la figura 10.1
se presenta el diagrama estructural de una unión p-n, en donde también se destacan las
concentraciones de portadores tanto mayoritarios como minoritarios de cada una de las regiones.
Figura 10.1. Diagrama estructural de una unión n+ - p
264
Capítulo 10. Unión p-n.
Si se introducen en el cristal semiconductor (Ge, Si, AsGa, etc.), impurezas donadoras en un
extremo (ND >> NA) y en el proceso se agregan impurezas aceptadoras en el otro (NA >> ND) se
forma una unión p-n. De esta forma tendríamos en el lado p una alta concentración de huecos
en tanto que en el lado n una alta concentración de electrones libres. Si el cambio del material
de tipo n al p se hace rápidamente durante el proceso de fabricación del cristal se tendrá una
región de frontera bastante abrupta que separará un tipo de región de la otra. Las dos regiones y
la frontera entre ellas se denominan unión p-n tipo abrupto. Si el dopado en un lado es de
mucha más alta concentración que en el otro, la denominamos una unión p-n abrupta de un
solo lado. Lograr una unión tan abrupta es difícil ya que siempre se presenta una concentración
gradual de dopado, obteniéndose realmente lo que denominamos una unión p-n gradual. En la
figura 10.2 se muestra la forma del gradiente de los perfiles de dopado en los diferentes tipos de
unión, (a) gradual, (b) abrupta, (c) de un solo lado.
No es posible obtener una unión p-n poniendo un material tipo p en contacto con otro material
tipo n, la unión se logra con dos regiones dopadas con concentraciones de diferente
conductividad en un mismo cristal. Superficies pulidas obtenidas industrialmente tienen muy
poca superficie de contacto. Además, tecnológicamente es difícil conseguir superficies
absolutamente limpias y el efecto del polvo y otros agentes contaminantes de la superficie
pueden reducir el área de contacto y causar otros efectos negativos. Adicionalmente, dos piezas
de semiconductor harán que la interfaz tenga alta velocidad de recombinación perdiéndose los
beneficios. Se han hecho experimentos de soldar eléctricamente los materiales p y n pero a
causa de que no se obtiene un mono-cristal en la soldadura, la dispersión de portadores de carga
libre es grande allí, no haciendo viable esta alternativa.
Figura 10.2. Tipo de uniones (a) gradual, (b) abrupta (c) de un solo lado.
265
Capítulo 10. Unión p-n.
10.3.
Propiedades de la unión.
En este ítem nos enfocaremos en el estudio de las propiedades de las homouniones de tipo
abrupto, para este caso simplificaremos la estructura considerando una unión de tipo p – n+
rectangular tal como se muestra en la figura 10.3(a).
Figura 10.3. Estructura de la unión.
En esta estructura podemos identificar claramente tres regiones, la región n+, la región p y la
región denominada zona de transición, a la cual se le ha asignado una dimensión W. Es en esta
zona de transición, también conocida como región de depleción, donde se presentan los
fenómenos que son motivo del estudio de la unión p-n. En términos prácticos, el estudio de la
unión p-n, es fundamentalmente el estudio de la zona de transición, ya que más allá de las
fronteras de esta región, es posible considerar que no se presentan fenómenos relevantes, razón
por la cual se denominan regiones neutras, tal como se identifican en la figura 10.3 (b).
266
Capítulo 10. Unión p-n.
Si consideramos la unión n+ - p, en la cual estamos representando los portadores libres en la
figura 10.3 (b), a cada lado de la unión, vemos que están constituidos por electrones (cargados
negativamente) en el lado n, y huecos (cargados positivamente) en el lado p. La distribución de
impurezas es mostrada en la figura 10.3 (c).
Las cargas en las regiones neutras corresponden a iones eléctricamente neutros, los cuales
poseen las cargas libres que serán posteriormente aportadas en las zonas próximas a las fronteras
de la unión, las impurezas aceptadoras NA, capaces de aportar huecos y las impurezas donadoras
ND, capaces de aportar electrones. Vibraciones térmicas originan que estas concentraciones a
lado y lado se difundan hacia la región donde existe déficit de portadores, es decir la existencia
misma de un gradiente de concentración estimula el fenómeno de difusión, la cual se realiza con
velocidades aleatorias. De esta forma tenemos un movimiento de huecos de la región p hacia la
región n y de electrones en sentido contrario. Su efecto en la distribución de carga es la
dispersión de la misma. Estos portadores, mayoritarios en su región, al desplazarse a la región
contraria a través de la zona de depleción, se encuentran rodeados de portadores de signo
opuesto dándose inicio a un proceso de recombinación; lo anterior explica por qué al
establecerse la unión, en la región de depleción se presentan bajas concentraciones de huecos y
de electrones debido a que los portadores libres se han recombinado con aquellos provenientes
de la región vecina que presenta diferente conductividad. Adicionalmente, lejos de las fronteras
de la zona de depleción, es decir hacia las regiones, se da la presencia de portadores libres y
átomos de dopado, los cuales son eléctricamente neutros por acción de la carga de los portadores
libres de signo opuesto alrededor de ellos. Cosa diferente ocurre en las fronteras de la unión, ya
que las impurezas han sido ionizadas debido a que los portadores libres se han recombinado con
aquellos de conductividad contraria quedando átomos aceptadores ionizados negativamente en
el lado p y átomos donadores ionizados positivamente en el lado n cerca de unión. En otras
palabras, se observan cargas inmóviles originadas por la ionización de los átomos, al ceder éstos
sus portadores, ello debido al gradiente de carga y a la presencia de un campo eléctrico interno
que se genera por la misma distribución de la carga. De esta forma, impurezas aceptadoras
quedan cargadas negativamente al aportar huecos, en tanto que las impurezas donadoras quedan
cargadas positivamente al ceder sus electrones, como se observa en la figura 10.4,
estableciéndose un campo eléctrico interno E. Se puede en consecuencia considerar que la carga
espacial dentro de la región de transición se debe solamente a iones aceptadores y donadores
267
Capítulo 10. Unión p-n.
descompensados. Después de haberse creado la distribución de cargas a lado y lado de la unión,
la difusión de portadores empieza a ser contrarrestada mediante la repulsión de los mismos por
los átomos ionizados posicionados en las fronteras de la unión. En otras palabras, el campo
eléctrico actúa para alejar los portadores de cargas que pueda haber en las fronteras cercanas a la
unión. Esta carga inmóvil ubicada en las fronteras de la unión genera como ya se ha mencionado
un campo eléctrico a lo largo de W que a su vez genera un gradiente de potencial variable con la
posición al interior de la unión. El efecto de este campo eléctrico interno además de neutralizar
el proceso de difusión de ambos tipos de portadores, es en síntesis generar una corriente de
arrastre que anula la corriente de difusión, obteniéndose una corriente resultante igual a cero.
Figura 10.4. Portadores libres.
Tratándose de una unión abrupta, podemos entonces aproximar la densidad de carga espacial
correspondiente a la distribución de impurezas al interior de la zona de transición mostrada en la
figura 10.5 (a), como una distribución alrededor de la frontera de la unión de la forma como es
presentada en la figura 10.5 (b). Debe recordarse que este tipo de cambio abrupto en la
concentración es prácticamente imposible de obtener, pero es una simplificación que facilita el
estudio de las uniones.
La distribución de cargas en las fronteras de la unión debe presentar igual número de portadores
y tal como se verá analíticamente más adelante puede extenderse hacia las regiones neutras n o
p dependiendo de las concentraciones de impurezas con las cuales se han dopado las regiones.
Así, si el lado p está ligeramente menos dopado que el lado n (NA<< ND), la región de carga
espacial penetra más hacia la región neutra de la región material p a fin de mantener una
cantidad equitativa de carga. En general la penetración de las fronteras de la unión se da en
mayor proporción hacia le región menos dopada. Además del equilibrio entre las densidades de
268
Capítulo 10. Unión p-n.
corrientes de difusión y arrastre para cada tipo de portador, se debe cumplir la distribución de
Boltzmann para las concentraciones a lado y lado de la unión, estas funciones de concentración
deben ser continuas.
Figura 10.5. Densidad de impurezas en la región de la unión.
De otro lado, la carga neta al interior de la zona de transición se logra multiplicando la densidad
de impurezas por la carga del portador respectivo, en la figura 10.5 (c) se muestra el diagrama
de carga neta. En dicha figura es posible observar también los valores denotados por –xp, xn,
los cuales representan la penetración de la zona de transición en las regiones neutras p y n
respectivamente.
Dado que estamos analizando el caso de una unión p- n+, tenemos una región más fuertemente
dopada que la otra, como se evidencia en la figura 10.6 (a), lo cual debe expresarse en diferentes
tipos de concentración tanto para portadores mayoritarios como minoritarios en ambas regiones,
269
Capítulo 10. Unión p-n.
como es mostrado en la figura 10.6 (b). La diferencia en los niveles de concentración en las dos
regiones también evidencia una asimetría en los valores de –xp, xn, lo que será justificado más
delante de forma cuantitativa.
Figura 10.6. Carga neta y densidad de portadores en las regiones neutras.
Teniendo en cuenta las simplificaciones inherentes al modelo de unión abrupta y asumiendo que
la unión se ha establecido y que ésta se encuentra a temperatura ambiente, observamos que se
presentan varios fenómenos al interior de la zona de transición o depleción. Como se había
mencionado cuando cada tipo de portador penetra en la región de transición, hacia el lado de
conductividad contraria, se presenta el proceso
de recombinación, originándose en
consecuencia, que en los límites de la región de transición y las regiones neutras, se pueda
considerar que las concentraciones de portadores libres es despreciable, pues ya se han
recombinado con portadores de tipo opuesto provenientes de la región adyacente.
Lo anterior se explica, debido a que lejos de la frontera, en las regiones neutras existen átomos
de impurezas cargados que se encuentran neutralizados efectivamente por portadores de signo
270
Capítulo 10. Unión p-n.
opuesto alrededor de ellos. Como cerca de la unión las impurezas no tienen carga espacial
neutralizante debido a que los portadores libres se han anulado entre sí, quedan aceptadores
ionizados negativamente en el lado p y donadores ionizados positivamente en el lado n, esto
sucede después de haberse formado la unión, tal como se muestra en la figura 10.5 (a).
10.4. Componentes de corriente
Para el estudio de la unión p-n, vamos a asumir que en la región de depleción se cumplen las
relaciones de Boltzmann, esto implica considerar condiciones de baja inyección, o sea que la
densidad de portadores minoritarios inyectados es pequeña comparada con la densidad de
portadores mayoritarios. Se considera adicionalmente que no existen corrientes de generación en
la región de depleción. En el material, al momento de establecerse la unión, se presentan una
serie de fenómenos al interior de la unión propiamente dicha, que generan unas corrientes y
campos eléctricos internos, los cuales sin embargo no son apreciables externamente.
En primer lugar, el gradiente de concentración que se presenta en la unión, origina una difusión
de electrones del lado n a la región p, generando un flujo de electrones en el mismo sentido y a
su vez una corriente de difusión debida a ellos en sentido opuesto Jn(dif), ello debido a la
convención adoptada de que la corriente de electrones es contraria al sentido de desplazamiento
real de las partículas. De otro lado, huecos se difunden de la región p a la región n, originando
un flujo de huecos en la misma dirección y una corriente de difusión debida a huecos en el
mismo sentido Jp(dif); recordemos que el sentido de la corriente debida a huecos coincide con el
sentido de desplazamiento de las partículas. La difusión y posterior recombinación de estos
portadores va generando a lado y lado de las fronteras de la unión una densidad de carga
espacial de tipo inmóvil debido a la ionización de las impurezas tanto donadoras como
aceptadoras. Estas cargas comienzan a establecer un campo eléctrico interno orientado de las
cargas positivas a las negativas, generando a su vez corrientes de arrastre de electrones Jn(E) y
huecos Jp(E), contrarias a las corrientes de difusión.
La corriente de difusión resultante J(dif), la cual es la suma de las dos componentes de huecos y
electrones se estabiliza debido a la acción del campo eléctrico E , generado en la unión, dando
inicio a una corriente de arrastre que anula la de difusión en el estado de equilibrio. En este
271
Capítulo 10. Unión p-n.
sentido podemos afirmar que el campo eléctrico se establece impidiendo la difusión hasta
obtener un material con una corriente total igual a cero. Así, las corrientes debidas a la difusión
y al campo eléctrico para cada tipo de portadores se anulan entre sí. La figura 10.7, ilustra las
diferentes corrientes que se presentan al interior de la unión p-n, teniendo en cuenta los sentidos
de desplazamiento de las partículas y el efecto del campo en las mismas.
El campo eléctrico E , que aparece a través de la zona de depleción tiene asociado a una
diferencia de carga espacial, y a su vez asociado un potencial de equilibrio que denominaremos
potencial de contacto y lo denotaremos por 0. La presencia de este potencial de contacto se da
por la diferencia de potencial entre los niveles de Fermi extrínseco de las dos regiones y gracias
a este potencial se logran las condiciones de equilibrio.
Figura 10.7. Corrientes de difusión y desplazamiento.
Para calcular la distribución del campo eléctrico dentro de la región de transición, se recurre a la
Ley de Gauss que relaciona el gradiente del campo eléctrico con la carga espacial en cualquier
punto, dad por la expresión 10.1.
2 E
− 2 =
=
x S
x
[10.1]
De le ecuación en un análisis unidimensional encontramos la relación entre el campo eléctrico y
el potencial eléctrico que se forman al interior de la unión.
d ( x )
E=−
dx
[10.2]
No obstante el campo como el potencial eléctrico al interior de la unión varían con la posición,
tenemos que en las regiones neutras aledañas a la zona de transición el campo eléctrico es cero,
272
Capítulo 10. Unión p-n.
es decir en las regiones neutras fuera de W. Hay un potencial constante FN en la región neutra
n y un potencial constante FP
en la región neutra p, para crear un potencial de contacto
0 = FN − FP , medido entre los potenciales de las regiones neutras. Este último será una
barrera necesaria para mantener el equilibrio. 0 es inherente a la unión, no genera corriente por
crearse en equilibrio térmico, no es medible con un voltímetro a causa del potencial de contacto
que se crea en las uniones metal semiconductor y la punta del medidor cancelando a 0 .
De acuerdo con lo discutido previamente, en condiciones de equilibrio térmico, la suma de las
corrientes debidas a la difusión y al campo eléctrico interno para cada tipo de portadores deben
ser cero:
Jn = Jn(dif) + Jn(E) = 0
[10.3]
Jp = Jp(dif) + Jp(E) = 0
[10.4]
Con base en estas condiciones podemos realizar nuestro análisis de la unión p-n basándonos en
los diagramas de bandas. Retomando las relaciones de Boltzmann para la densidad de
portadores en un semiconductor:
n = ni e
p = ni e
EF − EF i
KT
[10.5]
EF i − EF
KT
[10.6]
Expresando en términos del potencial y teniendo en cuenta que tenemos dos tipos de dopado,
estamos obligados a diferenciar las concentraciones en cada región, para ello hacemos uso del
concepto de los cuasi - niveles de Fermi, en consecuencia obtenemos:
E F = −q F
[10.7]
E Fi = −q Fi
[10.8]
E FN = −q FN
[10.9]
E FP = −q FP
[10.10]
Donde los potenciales corresponden a:
Fi nivel de Fermi intrínseco
273
Capítulo 10. Unión p-n.
F N nivel de Fermi en la región N
F P nivel de Fermi en la región P
Luego las concentraciones de electrones en la región n y huecos en la región p, vendrían dadas
por:
n = ni e
EFN − EF i
KT
[10.11]
EF i − EFP
p = ni e
KT
[10.12]
Las cuales a su vez pueden ser expresadas en función del potencial como:
n = ni e
( Fi − FN )
p = ni e
( FP − Fi )
q
KT
[10.13]
q
KT
[10.14]
O también:
q
KT
Fi
n = ni e
e
− FN
q
KT
[10.15]
nB
q
KT
−Fi
p = ni e
e
FP
q
KT
[10.16]
pB
Denominamos
PB = ni e
− i
q
kT
y
i
nB = ni e
q
KT
Luego:
n(x ) = nB e
−FN
p(x ) = p B e
q
KT
FP q KT
[10.17]
[10.18]
Correspondiéndose pB y nB con los valores de las concentraciones de las regiones.
274
Capítulo 10. Unión p-n.
p B = ni e
nB = ni e
−Fi
Fi
q
KT
q
KT
pB N A
[10.19]
nB N D
[10.20]
Aquí, pB y nB corresponden al número de electrones y de huecos propios del semiconductor,
independientes de x. Si retomamos nuestra unión en condición de equilibrio térmico, o sea no
existe voltaje aplicado externo y no existe flujo de corriente neto, tenemos que J n = 0 y J p = 0
Como:
n
J n = q n nE + Dn
x
Y además
n = ni e
[10.21]
EFN − EF i
KT
Entonces si reemplazamos en 10.21, tenemos:
n
E − E Fi
J n = q n n E + Dn
= q n n E + Dn n FN
x
x
KT
qDn E FN E F i
J n = qn n E +
n
−
KT x
x
= 0
= 0
E
qDn
E
qDn
J n = q n n(x )E (x ) +
n(x ) FN −
n( x ) F i = 0
KT
x
KT
x
[10.22]
[10.23]
[10.24]
Pero recordemos que:
E Fi
= qE (x )
x
[10.25]
Sustituyendo 10.25 en 10.24.
qDn
E
qDn
J n = q n n(x )E (x ) +
n(x ) FN −
n(x )qE (x ) = 0
KT
x
KT
[10.26]
De igual forma usando la relación de Einstein y sustituyendo
KT Dn D p
=
=
q
n p
[10.27]
275
Capítulo 10. Unión p-n.
E
J n = q n n(x )E (x ) + n n(x ) FN − n n(x )qE (x ) = 0
x
[10.28]
Luego cancelando los términos opuestos encontramos:
J n = n n(x )
E FN
=0
x
E FN
=0
x
[10.29]
Procediendo de forma similar para la corriente de huecos obtenemos:
J P = P p( x )
E FP
=0
x
E FP
=0
x
[10.30]
Como resultado del análisis anterior, de las ecuaciones 10.29 y 10.30, vemos que la condición
que se presenta en la unión, de densidad de corriente total igual a cero, requiere que los niveles
de Fermi sean constantes a través de la muestra, ello implica la nivelación de los niveles de
Fermi a lo largo del material, ya que se trata de una homounión. La figura 10.8 (a) muestra los
diagramas de bandas para semiconductores tipo p y n+, en la figura 10.8 (b) se presenta la
homounión establecida, teniendo en cuenta la nivelación de los niveles de Fermi de las regiones
con diferentes tipos de dopado.
Al establecerse la unión, dado que estamos considerando homouniones, el valor de la banda
prohibida EG es el mismo a lo largo de toda la muestra, por tanto las bandas de conducción y de
valencia deben acompañar el desplazamiento de los niveles de energía requerido para la
nivelación de los niveles de Fermi extrínsecos, lo mismo ocurre con el nivel de Fermi intrínseco,
dado que este se ubica más o menos en la mitad del valor de la banda prohibida.
El desplazamiento de los niveles de energía genera una curvatura de las bandas en la unión
propiamente dicha, de ancho W, evidenciando la existencia de un campo eléctrico y por tanto un
potencial asociado a él. Este campo es el que se genera debido a los fenómenos de difusión y
desplazamiento discutidos anteriormente. Tanto el campo, como el potencial eléctrico dependen
de la posición, pero se estabilizan en las regiones neutras. Tal como se ha mencionado, todos los
fenómenos relacionados con la unión p-n, se presentan en la zona de transición, de tal forma
que en las regiones neutras no se presentan corrientes, ni campo eléctrico, si ello fuera así,
276
Capítulo 10. Unión p-n.
tendríamos corrientes resultantes en el material, lo cual va en contra de las condiciones de
equilibrio térmico.
Figura 10.8. (a) Semiconductores p y n+ (b) Unión p - n+
El potencial de contacto 0, puede ser visto en el diagrama de bandas como la magnitud de la
barrera de potencial que se genera entre las dos regiones y puede ser encontrada considerando la
diferencia de los potenciales de Fermi constantes FN en la región n y FP en la región p. 0 es
inherente a la unión y no genera corriente total debido al establecimiento del equilibrio.
Del diagrama de bandas observamos que, al nivelarse los niveles de Fermi extrínsecos de las dos
regiones, se establece la barrera de potencial que separa las bandas un valor de energía
equivalente a q0. Las bandas de valencia y conducción de la región p se posicionan más altas
que aquellas del lado n en una cantidad equivalente al potencial de contacto. Esa separación en
equilibrio es la requerida para mantener constante el nivel de Fermi a lo largo del dispositivo. El
hecho de ser el nivel de Fermi constante en condiciones de equilibrio térmico garantiza una
corriente neta igual a cero. De la figura 10.9, es posible obtener en valores reales que:
q0 = q FN − q FP o en términos de potencial
0 = FN − FP
[10.31]
En condiciones de equilibrio, las partículas tienden a tomar posiciones de mínima energía, ello
significa que electrones bajan a las menores energías en el interior del átomo y los huecos tratan
277
Capítulo 10. Unión p-n.
de agolparse en la parte superior de la banda de valencia, justificando las variaciones de los
diagramas de bandas de energía.
Figura 10.9. Potencial y campo eléctrico en la unión.
Como consecuencias del establecimiento de la unión, tenemos que la aparición del campo
eléctrico interno se debe a la difusión de electrones saliendo de la región n+, hacia la región p,
causando una ionización de las impurezas donadoras que denotaremos como nd+ en la región n;
de otro lado tenemos huecos difundiéndose de la región p a la región n+, originando una
ionización de las impurezas aceptadoras, que denotaremos como pa-.
La ionización de estas cargas de signo opuesto a lado y lado de la unión, crean un campo
eléctrico orientado de las cargas positivas a las negativas, el cual se opone a las corrientes de
difusión debidas al gradiente de concentración, apareciendo las componentes de corriente de
arrastre de sentido contrario a las corrientes de difusión. El campo eléctrico se establece hasta
cuando la corriente neta sea cero.
El campo eléctrico E aparece en la región de saturación de ancho W, llamada también zona de
depleción o simplemente unión p-n. Este campo está asociado a la diferencia de potencial de
equilibrio , mediante la ecuación:
d ( x )
E (x ) = −
dx
[10.32]
278
Capítulo 10. Unión p-n.
Reiteramos que este campo es cero en las regiones neutras, o sea fuera de la región de depleción
W. En la ecuación 10.28, es el potencial de contacto o potencial en equilibrio. No origina
corrientes netas en el semiconductor. E(x) es el campo eléctrico creado en la región de transición
por la distribución de cargas.
10.4.1.
Cálculo del potencial de contacto.
Para el cálculo del potencial, retomamos las condiciones de equilibrio térmico, esto significa
que las corrientes tanto de huecos como de electrones se anulan, así para cada tipo de partículas
corrientes totales serán iguales a cero. Considerando las corrientes de huecos, se tiene:
J P (x ) = 0 ,
entonces:
dp
J p = q p p ( x )E ( x ) − qD p
=0
dx
[10.33]
dp
q p p( x )E ( x ) = qD p
dx
[10.34]
p
Dp
E (x ) =
1 dp(x )
p(x ) dx
[10.35]
Reemplazando 10.27 y 10.32 en 10.35, se obtiene:
−
q d (x )
1 dp(x )
=
KT dx
p(x ) dx
[10.36]
Que nos lleva a la integral de la ecuación 10.37 con los límites de integración para el diferencial
de potencial entre los cuasi niveles de Fermi de las regiones p y n, en las regiones neutras, en
tanto que al otro lado de la ecuación, las fronteras de integración para la concentración de
huecos irían desde la región p, en donde son mayoritarios (pp0) hasta la región n en donde son
minoritarios (pn0), también en las regiones neutras. A diferencia de lo que ocurre en las zonas
neutras, en la zona de depleción estas cantidades varían con la posición. Luego:
−
q
KT
FN
FP
d =
Pn0
Pp0
1
dp
p
[10.37]
279
Capítulo 10. Unión p-n.
Integrando para hallar (x)
−
q
( FN − FP ) = ln pn 0 − ln p p 0
KT
[10.38]
Pero FN − FP = 0 es el potencial de contacto. Entonces:
KT p po
ln
q p n 0
0 =
[10.39]
Ahora, consideremos que en la región tipo p, pp0 = NA y que en la región tipo n, nn0 = ND, y
además mediante la Ley de acción de masas aplicada a cada región, llegamos a una expresión
que nos relaciona el potencial de contacto con la concentración de impurezas del material.
pP0 N A
Como:
pn0 =
entonces:
ni2
ND
[10.40]
Luego:
0 =
p p0
KT
KT nn 0
ln
ln
o también de forma análoga para electrones 0 =
q
pn0
q
nP0
[10.41]
Por la Ley de acción de masas tenemos entonces:
0 =
KT N A N D
ln
2
q
ni
[10.42]
De las ecuaciones 10.41, encontramos dos expresiones para relacionar las concentraciones de
mayoritarios en una región con la de minoritarios en la otra mediante las siguientes ecuaciones:
pn0 = p P0 e
n P 0 = nn 0 e
−
−
q0
KT
q 0
KT
[10.43]
[10.44]
Las cuales nos dan información entre la cantidad de portadores minoritarios (huecos y
electrones) con las concentraciones fuera de la unión. Pero también nos dicen que la variación
280
Capítulo 10. Unión p-n.
de los portadores al interior de la unión, con un potencial que depende de la posición x, presenta
un comportamiento exponencial. En general podemos escribir:
p n 0 ( x) = p P 0 e
n P 0 ( x) = nn 0 e
−
−
q ( x )
KT
q ( x )
KT
[10.45]
[10.46]
Este comportamiento exponencial de la concentración de portadores minoritarios en función del
potencial al interior de la unión, el cual es a su vez función de la posición se muestra en la figura
10.10 (a). El comportamiento del potencial de contacto medido al interior de la unión es
mostrado en la figura 10.10 (b). Se debe recordar que la barrera de potencial de los electrones es
opuesta a la de los huecos. Por esta razón los diagramas de energía de los huecos serían opuestos
a aquellos que corresponden con los electrones.
10.4.2.
Cálculo del campo eléctrico
Para calcular la distribución del campo eléctrico dentro de la región de transición se recurre a la
ley de Gauss que relaciona el gradiente del campo eléctrico con la carga espacial en cualquier
punto. Debido a que en equilibrio térmico el campo eléctrico en las regiones neutras debe ser
cero, y a que debe existir neutralidad de carga a lo largo de la muestra, esto significa que debe
cumplirse la condición que la totalidad de carga negativa en lado p sea igual a la carga positiva
en el lado n, de otra forma existirían corrientes resultantes, tenemos:
qN A x P = qN D x n
[10.47]
281
Capítulo 10. Unión p-n.
Figura 10.10. (a) Concentración de portadores (b) Potencial eléctrico (c) Campo eléctrico.
De la ecuación de Poisson y conociendo que la densidad de carga total viene dada por:
p(x ) − n(x ) + nd+ − pa− = (x)
[10.48]
Y retomando la ecuación 10.1.
2 E (x ) q
− 2 =
=
=
p(x ) − n(x ) + nd+ (x ) − pa− (x )
x
S
S
x
[10.49]
La densidad de carga puede ser simplificada, si no consideramos los portadores mayoritarios,
esto es despreciamos p(x) y n(x) y adicionalmente asumimos que la totalidad de las impurezas
282
Capítulo 10. Unión p-n.
cercanas a la región de depleción se encuentran ionizadas, esto significa que podemos
+
aproximar nd N D
pa− N A .
y
Luego tendremos en las diferentes regiones que:
E q
=
ND
x S
E q
=
NA
x S
0 x xn
[10.50]
− xp x 0
[10.51]
Integrando:
qN A (x + x p )
E (x ) = −
− xp x 0
S
qN D
( x − xn )
E (x ) =
[10.52]
0 x xn
S
[10.53]
qN A x p
qN D xn
=−
El valor del campo máximo ocurre en x = 0 , Emax = −
S
S
[10.54]
En la figura 10.10(c), se ilustra el comportamiento del campo eléctrico al interior de la unión.
Con este valor del campo y de acuerdo con las leyes de Poisson, al integrar nuevamente
obtenemos el valor del potencial en función de las concentraciones y también una expresión
para la anchura de la región de depleción W. La expresión para el potencial sería:
xn
− 0 = E (x )dx = −
−xp
1
EmaxW
2
[10.55]
área bajo la curva
Como puede observarse el potencial puede ser encontrado de forma gráfica, hallando el área
bajo la curva del campo eléctrico, que corresponde al área del triángulo formado. Ahora para
hallar expresiones para las penetraciones xn y -xp y la anchura de la región de depleción W,
procedemos de la forma siguiente:
Como x n N D = x p N A
y
xn + x p = W
[10.56]
Sumamos a ambos miembros N D x p de la forma
283
Capítulo 10. Unión p-n.
N A x p + N D x p = N D xn + N D x p
[10.57]
Agrupando
x p (N A + N D ) = N D (xn + x p )
10.58]
Hallamos una expresión que nos permite calcular la penetración de la región de transición
dentro de la región p:
xp =
N DW
NA + ND
[10.59]
Y de forma equivalente la penetración en la región n:
xn =
N AW
NA + ND
[10.60]
Retomado la ecuación 10.55 y reemplazando 10.54 y 10.60 obtenemos la expresión para 0 en
función de W.
1 q NAND
*W 2
2 S NA + ND
Si se conoce 0 es posible hallar W, despejando.
0 =
20
W =
q
[10.61]
1
NA + ND
NAND
2
[10.62]
La magnitud de W determina el tamaño del dispositivo y el valor del voltaje de ruptura inverso,
como será visto más adelante. Si sustituimos 10.62 en 10.59 y 10.60 logramos unas expresiones
para las penetraciones en las regiones neutras que dependen exclusivamente del potencial de
contacto y las concentraciones de dopado, es decir exclusivamente de parámetros de fabricación.
1
2
xp = S 0
q
2
ND
N A ( N A + N D )
2
xn = S 0
q
2
NA
N D ( N A + N D )
[10.63]
1
[10.64]
284
Capítulo 10. Unión p-n.
Como es posible observar, los grados de penetración de la región de transición en las regiones
neutras depende exclusivamente del material base utilizado y especialmente de las
concentraciones usadas para el dopado de las dos regiones. Esto nos permite extender el análisis
para el caso de las denominadas uniones de un solo lado, en las cuales tenemos una de las
siguientes dos condiciones: NA >> ND o ND >> NA.
Ahora, considerando ese caso específico y analizando en 10.63 y 10.64.
W=
2 S 0
si N A N D
qN D
W=
2 S 0
si N D N A
qN A
o
[10.65]
[10.66]
Como podemos observar, la anchura de la unión sería prácticamente determinada por la región
de menor concentración de dopado.
En el cálculo de la expresión para el campo eléctrico se despreciaron las concentraciones de los
portadores mayoritarios, en el caso que esa simplificación no se haga, es decir, si consideramos
los portadores mayoritarios adicionados a la concentración de impurezas, obtenemos un
resultado más exacto. Ello significa considerar en la densidad de carga:
= −qN A − p(x) en el lado p,
[10.67]
= qN D − n(x )
[10.68]
en el lado
n.
Entonces el ancho de la zona de depleción es esencialmente el mismo, solo que, al potencial
obtenido debe introducírsele un factor de ajuste equivalente a 2KT/q, de tal forma que el
potencial obtenido debe ser remplazado por:
0 0 −
2 KT
q
[10.69]
Luego las expresiones obtenidas deben involucrar el nuevo factor de ajuste.
W=
2 S
qN D
2 KT
0 −
q
[10.70]
285
Capítulo 10. Unión p-n.
Ecuación que puede ser expresada también de la forma:
W = LD 2(0 − 2 )
[10.71]
Donde LD se conoce como la Longitud de Debye y es una medida cualitativa de la extensión
espacial de los efectos eléctricos en la frontera. Sería equivalente a:
LD =
S KT
q2NB
0 0 −
2 KT
→
q
Donde NB corresponde a la región de menor dopado
Factor de corrección
[10.72]
[10.73]
L D es una longitud característica para los semiconductores. La anchura de la región de
transición, en términos prácticos puede ser calculada usando la expresión de la Longitud de
Debye, ya que ésta depende de la concentración de impurezas de la región menos dopada y del
material usado. Así, en equilibrio térmico para uniones abruptas tenemos:
W = 6LD
Para el Germanio
[10.74]
W = 8 LD
Para el Silicio
[10.75]
W = 10LD
Para el Arseniuro de Galio
[10.76]
En general la longitud de Debye varía con el inverso de la raíz cuadrada de la concentración de
la región menos dopada.
1
LD ~ f
N
B
10.4.3.
[10.77]
Capacitancia de la unión
Dado que se tiene a lado y lado de la unión una distribución de carga de signo opuesto separados
por una distancia W, se presenta un valor de capacitancia al interior de la zona de depleción. La
capacitancia de la zona de depleción por unidad de área se define como:
C=
dQC
dv
[10.78]
286
Capítulo 10. Unión p-n.
Donde dQC es la variación incremental de carga por unidad de área a partir de un cambio de
voltaje aplicado dv .
Como:
QC = qN D xn = qN A x p
[10.79]
Y además:
2
xn = S 0
q
1
2
NA
(
)
N
N
+
N
D
D A
[10.80]
Entonces tenemos:
1
2q S0 N A 2
-2
QC = N D
cm
N D (N A + N D )
[10.81]
Considerando uniones de un solo lado, por ejemplo, el caso N A N D , tenemos que:
1
2 S 0
qN B
2 2
x n = S 0 o en términos generales, W =
qN D
[10.82]
Entonces:
dQC
d (qN BW )
qN B
=
=
= S
2
dv
qN W 2qN BW W
d B
2 S
2 S
Simplificando y reemplazando W:
C=
S
C=
2 S 0
q
NA + ND
NAND
qN
C= S B
20
1
2
[10.83]
qN B
= S
20
2 S 0
qN B
S
2
1
2
1
2
[10.84]
1
2
[10.85]
El valor de la capacitancia se ve afectado solamente por parámetros de fabricación y depende,
una vez construido el dispositivo, exclusivamente del potencial de contacto o los potenciales
287
Capítulo 10. Unión p-n.
externos que puedan modificarlo, como se verá en el próximo capítulo. Se concluye que C es
proporcional a 0-1/2 para una unión abrupta.
Si existe un potencial externo aplicado V, el nuevo potencial sería 0 V. Luego:
C=
1
q S N B
(0 V )− 2
2
C=
C0
1−
V
[10.86]
0
Donde:
C0 =
qN B S
2 0
Capacitancia de la unión en equilibrio térmico.
[10.87]
Q0 =
qN B S
2
Carga de la unión en equilibrio térmico.
[10.88]
La capacitancia de transición es más baja en una alta polarización inversa debido a que se
agregaron cargas extras en una separación mayor según la expansión de la zona de depleción. C
está presente tanto para la polarización directa como inversa, pero en la directa la capacitancia
es mayor.
Ahora, si introducimos el efecto de los portadores mayoritarios adicionados a la concentración
de impurezas, además del potencial aplicado V, debemos introducir también el factor de ajuste
correspondiente.
C=
C=
q S N B
2
S
2 LD
2 KT
0 −
V
q
(0 V − 2)− 2
1
−
1
2
F
cm 2
[10.89]
[10.90]
También es útil expresar la ecuación 10.89 de la forma:
2L
1
= D2
2
C
S
2
(0 V − 2)
[10.91]
288
Capítulo 10. Unión p-n.
1
vs V , obtenemos una línea recta para una unión abrupta. La pendiente da la
C2
recta nos da información de la concentración de impurezas N B , en tanto que el intercepto con el
Al graficar
eje y nos proporciona el valor del potencial 0 −
2 KT
.
q
Ejemplo 1
Se fabrica una unión p-n de silicio en la que se midieron las resistividades en ambas regiones a
300 ºK, obteniéndose para la región n un valor de 0.15 -cm y para la región p 0.45 -cm.
Calcule para dicha unión a) el potencial de contacto. b) el ancho de la región de depleción c) la
capacitancia de transición. Considere una unión de tipo abrupta.
Solución
Con los valores de resistividad en las regiones podemos encontrar las densidades de dopado en
cada una de ellas, de la tabla 8.1 obtenemos los valores de las movilidades.
p =
1
p
= qN A p
1
NA =
q p p
=
1
(1.6 x10 col )(0.45 − cm)(480cm 2 / v − seg)
−19
N A = 2.9 x1016 cm −3
n =
1
n
ND =
= qN D n
1
q n n
=
1
(1.6 x10 col )(0.15 − cm)(1350cm 2 / v − seg)
−19
N D = 3.08x1016 cm −3
El potencial de contacto sería entonces:
0 = =
KT N A N D
(2.9 x1016 cm −3 )(3.08x1016 cm −3 )
ln
=
0
.
0259
ln
q
ni2
(1.45x1010 cm −3 ) 2
0= =
KT N A N D
(2.9 x1016 )(3.08x1016 )
ln
=
0
.
0259
ln
q
ni2
(1.45x1010 cm −3 ) 2
0 = = 0.753 V
289
Capítulo 10. Unión p-n.
b) El ancho de la banda de depleción se calcula según la ecuación 10.62. Recordemos que la
permitividad absoluta es el producto de la permitividad relativa del material por la del vacío
=R0 y para el silicio R=12
2(12)(8.85x10 F cm)(0.753V ) 2.9 x10 cm + 3.08x10 cm
W =
16
−3
16
−3
1.6 x10−19 col
(2.9 x10 cm )(3.08x10 cm )
−14
16
−3
16
−3
1
2
W = 2.58x10−5 cm = 0.258 m
c) Para el cálculo de la capacitancia de transición usamos la ecuación 10.84.
S
C=
1
2 S0 N A + N D 2
q
N
N
A D
=
S
W
=
(12)(8.85x10−14 F cm )
2.58x10−5 cm
C = 4.11x10−8 F cm 2
10.5. Unión gradual.
El otro tipo de uniones que se estudiará en este ítem es el que corresponde a la unión gradual, la
cual se caracteriza por tener una distribución de impurezas de variación lineal, con una
pendiente asociada a, como se observa en la figura 10.11 (a).
10.5.1.
Cálculo del campo eléctrico.
Procediendo de forma similar al análisis hecho para la unión p-n de tipo abrupto, y haciendo
uso nuevamente la ecuación de Poisson y considerando una densidad de carga espacial que
desprecia los portadores mayoritarios p(x) y n(x):
2 E (x ) (x ) q
q
− 2 =
=
= ( p − n + ax)
ax
x
S
S
S
x
−
w
w
x
2
2
[10.92]
Entonces:
290
Capítulo 10. Unión p-n.
E (x ) (x ) q
q
=
= p( x) + n( x) + ax
ax
x
S
S
S
[10.93]
Donde a es el gradiente de impurezas y tiene como unidades cm−4 .
Al despreciar las concentraciones de portadores mayoritarios tenemos:
E (x ) q
W
W
ax − x
x
S
2
2
[10.94]
Figura 10.11. (a) Distribución de impurezas. (b) Potencial (c) Campo eléctrico.
Integrando obtenemos el campo eléctrico en función de la posición.
291
Capítulo 10. Unión p-n.
2
W
qa − x 2
2
E (x ) = −
2 S
[10.95]
Y el valor del campo máximo se obtiene cuando x = 0 . Entonces:
qaW 2
E max =
8 S
[10.96]
En la figura 10.11 (c), se ilustra el comportamiento del campo eléctrico a lo largo de la unión.
Integrando nuevamente obtenemos el potencial de contacto en ese punto. Este potencial es
representado en la figura 10.11 (b) y se muestra su variación a lo largo de la unión.
qaW 3
0 =
12 S
10.5.2.
12 S 0
W =
qa
1
3
[10.97]
Cálculo del potencial eléctrico.
Para encontrar una expresión para el potencial eléctrico 0 , procedemos de forma similar que
para el caso de la unión abrupta. El valor del potencial eléctrico en función de la concentración
se logra al considerar que el valor de la concentración en las fronteras de la región de depleción
w
w w
− , , es igual a a , luego el potencial de difusión será igual a:
2
2 2
W W
a a
KT 2 2
0
In
2
q
ni
KT aW
0
In
q
2 ni
[10.98]
2
[10.99]
La expresión 10.98 puede ser comparada con aquella encontrada para el caso de la unión
abrupta [10.42] (mostrada abajo) para establecer analogías.
292
Capítulo 10. Unión p-n.
0 =
KT N A N D
In
2
q
ni
10.5.3.
Capacitancia de depleción
La capacitancia de la zona de transición para la unión gradual se calcula aplicando la definición
general de capacitancia, cual es, la variación de la carga respecto variaciones de voltaje.
Dado que para la unión gradual la carga incremental es:
QC = qa
W2
8
[10.100]
Entonces:
W2
d qa
8 S
dQC
C
=
=
dv
W3 W
d qa
12
S
[10.101]
Lo cual equivale nuevamente a un condensador de placas planas paralelas por unidad de área.
S3
C =
12 S 0
qa
1
3
1
2 3
qa
S
=
120
[10.102]
Con potenciales externos: V representa los potenciales de polarización directa o inversa.
qa s
C=
12(0 V )
2
1
3
F
cm 2
[10.103]
Técnicas más exactas obtienen un valor para la capacitancia de la zona de depleción dada por la
misma expresión, pero con un valor para 0 expresado por:
a 2 S KT
2 KT
q
0 =
ln
3
3 q
8qni
[10.104]
Dando como resultado valores de voltaje menores (100 mV).
293
Capítulo 10. Unión p-n.
10.6. Ejercicios
1. Se fabrica una unión abrupta p-n de germanio, las resistividades en las regiones n y p son
0.05 -cm y 2 -cm respectivamente Calcule la altura de la barrera de potencial.
2. Repita el problema anterior considerando que se trata de una unión abrupta de silicio.
3. Una unión p-n de germanio tiene unas concentraciones ND = 2x102(NA) cm-3 y NA igual a un
átomo aceptador por 107 átomo de germanio. Calcule la anchura de la zona de transición y el
valor del campo máximo interno.
4. Repita para el caso de una unión de silicio.
5. Calcule la capacitancia de la zona de depleción de una unión p-n de silicio a 300ºK, con
16
-3
concentraciones de dopado de átomos aceptadores igual a 2x10 cm y una concentración de
17
átomos donadores de 3x10 cm
-3
6. Calcule el potencial de contacto en una unión de Arseniuro de Galio a temperatura ambiente
para una concentración de átomos donadores igual a 102NA. La concentración de átomos
aceptadores es de 1015 cm-3.
7. Encuentre las penetraciones de la zona de depleción las regiones neutras para el caso del
ejemplo anterior.
8. Una unión p-n de silicio dopada con 5x1017cm-3 átomos aceptadores, tiene un potencial de
contacto igual a 0,6 V en condiciones de equilibrio térmico. Determine la capacitancia de la
unión en equilibrio térmico.
9. Una unión gradual presenta una densidad de variación lineal = ax, encontrar que la tensión
de su barrera es igual a:
294
Capítulo 10. Unión p-n.
V0 =
qaW 3
12
10. Encontrar que en una unión aleada de silicio (NA << ND) la capacidad de la capa de
depleción en pico faradios /cm2 viene dada por:
CT = 2.9 x10−4 (N A / 0 )
1/ 2
295
Capítulo 11. El Diodo.
11. El diodo.
_____________________________________________________________________________
11.1. Introducción
El diodo es fundamentalmente una unión p-n polarizada. Es un elemento electrónico de
conmutación, el cual habilita el paso de corriente entre los dos terminales del dispositivo si se
logra vencer mediante una polarización externa la altura de la barrera de potencial inherente a la
unión. Un diodo es un elemento no lineal, podemos decir que existe linealidad en un sistema o
dispositivo cuando al aumentar la señal de entrada por un factor de multiplicación k, la salida
también es multiplicada por k, y sí además, al aplicar dos entradas simultáneamente en
diferentes puntos del sistema, la respuesta total resulta ser la suma de las respuestas individuales
o de cada una separadamente, situación que no se presenta en el diodo.
El diodo como dispositivo de conmutación manifiesta conducción en un sentido y casi ninguna
conducción en sentido contrario, debido a que la característica ideal de un diodo seria
determinada por una altísima resistencia en presencia de voltaje inverso y una resistencia
prácticamente nula con voltaje directo. En este capítulo estudiaremos los fenómenos que se
presentan al interior de la unión p-n cuando ésta se ve afectada por una polarización externa
aplicada entre los terminales de las dos regiones. De igual forma se presentará de forma sucinta,
aun cuando no es el objetivo del texto profundizar en este tema, el uso del diodo en diferentes
topologías a fin de lograr varias funciones de amplio uso en la electrónica.
11.2. Unión p-n polarizada: El Diodo.
El diodo es un dispositivo electrónico basado en una unión p − n
y es fundamental en la
realización de funciones tales como rectificación, amplificación o conmutación, entre otras. Este
dispositivo tiene como símbolo el mostrado en la figura 11.1, presenta dos terminales
denominados ánodo (A) y cátodo (K), entre los cuales se aplica un voltaje de polarización
externo V.
296
Capítulo 11. El Diodo.
Figura 11.1. Símbolo del diodo.
Al asumir un voltaje V aplicado a la unión p-n, podemos tener dos casos, un potencial positivo
del ánodo respecto al cátodo o viceversa. Asumimos que al aplicar un voltaje a la unión p-n,
todo el efecto del voltaje de polarización aparecerá a través de la zona de transición y no a través
de las regiones neutras p y n, ya que de otra forma, si existiera un efecto en la región neutral, se
presentaría un flujo de corriente, pero dado que la resistencia es baja en las regiones neutrales
obtendríamos pequeñísimos voltajes fuera de la región de transición. Ello es debido a que en
casi todos los dispositivos p-n, la longitud de cada región es pequeña comparada con su área y el
dopado es entre moderado y alto; así, la resistencia será pequeña en cada región neutral y sólo
una pequeña caída de voltaje se apreciaría en dichas zonas.
Cuando tenemos una unión p-n polarizada, su comportamiento cambia respecto a aquel en
equilibrio térmico. Los voltajes aplicados variarán -como será visto más adelante-, la altura de la
barrera de potencial electrostático y por supuesto, el campo eléctrico en la zona de transición.
También se observarán cambios en las componentes de las corrientes, la separación de las
bandas de energía y el ancho de la zona de depleción, cada uno de estos efectos se harán más
evidentes cuando se estudien en detalle las dos posibles polarizaciones.
Para este análisis, las características de estas polarizaciones serán estudiadas considerando
cuatro idealizaciones, las cuales se describen a continuación:
➢ Aproximación de zona de depleción abrupta: esto significa que la región de depleción
presenta contornos abruptos y fuera de esas fronteras el semiconductor es asumido
neutral.
➢ Aproximación de Boltzmann: en la zona de depleción las relaciones de Boltzmann son
válidas. La ecuación de Boltzmann es utilizada para encontrar la concentración de
huecos y electrones en los bordes de la zona de depleción para los materiales p y n
respectivamente. También es aplicable a un semiconductor de un solo tipo de impurezas
con concentración no uniforme.
297
Capítulo 11. El Diodo.
➢ Baja inyección: la densidad de portadores minoritarios inyectados en la unión por causa
del potencial externo, es pequeña comparada con la densidad de portadores mayoritarios.
El término “inyección de portadores minoritarios” se aplica en una unión polarizada
directamente pues los portadores pasan del lado donde son mayoritarios al opuesto
donde serán minoritarios Puesto que se analizan condiciones de baja inyección de carga
o inyección de bajo nivel podemos recurrir a las ecuaciones de equilibrio a pesar de que
se aplique un potencial V.
➢ Y por último, no existen corrientes de generación en la región de depleción.
Ya hemos visto que en condiciones de equilibrio térmico se cumple que la concentración de
losportadores están dadas por las ecuaciones 11.1 y 11.2.
n = ni e
EFN − EF i
p = ni e
KT
E Fi − E FP
KT
= ni e
F i −FN
= ni e
KT
q
FP − F i
KT
Recordemos que EF = −q .
[11.1]
q
[11.2]
Donde:
F i → Potencial correspondiente al nivel de Fermi intrínseco
FP → Potencial correspondiente al nivel de Fermi extrínseco, región p.
FN → Potencial correspondiente al nivel de Fermi extrínseco, región n.
Recordemos que en equilibrio térmico:
np = ni
2
[11.3]
Fuera de equilibrio, esto es, cuando es aplicado un voltaje externo, la densidad de portadores
minoritarios en ambos lados de la unión cambia y además el producto de los portadores ya no es
igual a la concentración intrínseca, o sea que np ni . De esta forma si retomamos el concepto
2
de cuasi - niveles de Fermi, tendremos que:
n = ni e
(Fi −FN )
KT
q
FN = F i −
KT n
Ln
q
ni
[11.4]
298
Capítulo 11. El Diodo.
p = ni e
(FP −F i )
KT
q
FP = Fi +
KT p
Ln
q
ni
[11.5]
Luego el producto pn sería:
np = ni e
2
11.2.1.
(FP −FN )q
KT
[11.6]
Polarización directa.
La polarización directa consiste en aplicar un voltaje más positivo en el lado p de la unión que
en el lado n, como se observa en la figura 11.2 Si se asume que existen contactos óhmicos en los
terminales, es decir los potenciales de contacto entre el metal de conexión y el semiconductor
son constantes e independientes de la magnitud y el sentido de la corriente, en consecuencia no
existirán efectos rectificadores y sí la resistencia de las zonas neutras es despreciable, de nuevo
se puede afirmar que el efecto del potencial aplicado se observará únicamente en la zona
depleción y que el potencial aplicado es igual al cambio de la altura de la barrera de potencial.
Figura 11.2. Conexiones para la polarización directa
La aplicación del voltaje V a la unión, con una polarización positiva en el lado p y negativa en el
lado n, origina un campo externo que tiende a disminuir el campo interno, obligando a los
electrones, mayoritarios en la región n, a fluir hacia la unión, sucediendo lo mismo a los huecos
en la región p. En este caso tenemos una corriente que circula con facilidad, debido a que, al
moverse los electrones libres hacia la unión, se crean iones positivos en el extremo derecho de la
unión que atraerán a los electrones hacia el cristal desde el circuito externo.
Para ser ilustrado el fenómeno en un diagrama de bandas se requiere definir un lado como
referencia y aplicar el voltaje en la región contraria. En la figura 11.3, se muestra cómo
definiendo la región p como referencia, aplicamos el efecto del potencial en el lado n+, de tal
forma que el potencial negativo en un diagrama de bandas de energía, se grafica en el sentido
299
Capítulo 11. El Diodo.
positivo debido a la relación E = -q, y elevaría el nivel de energía de Fermi de la región n+ un
valor de energía equivalente a qV a partir del nivel inicial. En cuanto a los niveles de nivel de
Fermi en cada región neutra se asume que son aquellos que corresponden a los de equilibrio, en
consecuencia, el desplazamiento de las bandas de energía bajo polarización implica la
separación de los niveles de Fermi a lado y lado de la unión. En condiciones de polarización
directa, el nivel de Fermi del lado n (EFN), se ubica por encima del nivel de Fermi del lado p
(EFP), en una cantidad de energía qV. La barrera de potencial disminuye porque la polarización
eleva el potencial electrostático de la región n, respecto a la región p. En unidades de
electronvoltios, los niveles de Fermi en las dos regiones neutras estarían separadas por el voltaje
aplicado, multiplicado por la carga.
(a)
(b)
Figura 11.3. Diagrama de bandas para (a) equilibrio térmico (b) polarización directa
Como se observa, la altura de la barrera de potencial 0 se reduce en una magnitud equivalente
al potencial aplicado V, de q0 en equilibrio pasa a ser q(0 - V). Esta reducción en la altura de
la barrera de potencial disminuye en consecuencia también el ancho de la zona de transición.
Como se había mencionado el campo eléctrico externo aplicado contrarresta el campo eléctrico
interno existente en la zona de transición, a fin de favorecer el movimiento de mayoritarios al
lado opuesto. Esto implica que una mayor cantidad de huecos cruzan de la región p a la n y una
mayor cantidad de electrones atraviesan de la región n a la p, de manera que se rompe el balance
que se establece en equilibrio térmico entre las componentes de arrastre y de desplazamiento.
Consecuentemente aparece una corriente grande de portadores inyectados del orden de varios
miliamperios, fuertemente dependiente del voltaje aplicado. Si el voltaje aplicado V se aproxima
a 0 (algunas décimas de voltios), la barrera de potencial desaparecería y la corriente podría
exceder el límite máximo del diodo. No se debe anular la barrera ya que puede averiarse el
300
Capítulo 11. El Diodo.
dispositivo, pues el aumento de la corriente viene limitado por la resistencia del cristal y de los
contactos óhmicos tal como se justificará más adelante.
Varios efectos se evidencian en la estructura cuando se aplica el potencial externo V, el primero
de ellos consiste en que la barrera de potencial electrostática en la unión se ve disminuida en un
valor igual al voltaje aplicado. La reducción de la barrera de potencial en la unión implica a su
vez una reducción del campo eléctrico. Desde el punto de vista de bandas de energía se observa
una menor curvatura de estas y en consecuencia deducimos un menor valor del campo. Desde el
punto de vista físico, podemos afirmar que el campo eléctrico se reduce con la polarización
directa, puesto que el campo aplicado externamente se opone al de la unión o de contacto.
La reducción del campo eléctrico interno y en consecuencia la del potencial asociado a la
barrera, evidencia una disminución de la cantidad de carga ionizada en la zona de transición y
por tanto un desplazamiento de las fronteras de la unión que denotaremos como xn y xp,
reduciéndose el ancho de la zona W. En conclusión, el voltaje aplicado V, entonces se distribuye
entre los contactos óhmicos y la resistencia del cristal, para originar una característica de
Corriente vs. Voltaje en sentido directo que se analiza a continuación.
11.2.1.1.
Componentes de corriente.
Las componentes de corriente que se presentan en la unión polarizada son tres: la corriente de
difusión, la corriente de desplazamiento y la corriente debida a los procesos de generación y
recombinación. La corriente de difusión se compone de electrones mayoritarios en el lado n,
que sobrepasan la barrera de potencial electrostático para difundirse hacia el lado p y de huecos
que sobrepasan la barrera de p hacia n, esta corriente se debe fundamentalmente al gradiente de
concentración y no es afectada por el campo eléctrico interno. De igual forma se ha mencionado
que esta corriente de difusión compuesta por portadores mayoritarios que vencen la barrera de
potencial y se difunden a la región opuesta aumenta en condiciones de polarización directa dada
la disminución de la barrera de potencial. Recordemos que la barrera de potencial de los
electrones es opuesta a la de los huecos. En polarización directa, la región n debe suplir
electrones que se desplazan hacia la unión desde los contactos externos a fin de mantener tanto
la recombinación con los huecos en exceso cerca de la unión como la inyección de electrones
hacia el material p. De forma similar ocurre con el aporte de los huecos desde la región p.
301
Capítulo 11. El Diodo.
La corriente de desplazamiento o de arrastre es debida a la acción del campo eléctrico interno
que se genera en la unión, tanto la corriente de huecos como de electrones por arrastre son
independientes de la altura de la barrera de potencial y por tanto del voltaje aplicado ya que es
limitada por el número de portadores móviles que son afectados por el campo eléctrico interno,
por la movilidad y por la magnitud del campo eléctrico. Los electrones minoritarios en la
región p, próximos a la zona de transición son atraídos por el campo eléctrico hacia el interior de
la unión dando lugar a la corriente de arrastre debida a los electrones. Todo electrón en el lado p
que se desplaza a la región de transición será afectado por el campo. Esta corriente es pequeña,
no a causa de la altura de la barrera, sino porque existen pocos minoritarios en el lado p. Un
comportamiento similar se verá en los huecos en el lado n.
Finalmente, la corriente de generación es la corriente resultante debido al arrastre de portadores
generados alrededor de la unión y es compuesta por los portadores minoritarios que participan
en la corriente de desplazamiento y que son generados mediante excitación térmica, es decir que
electrones en la banda de valencia pueden ser excitados térmica u ópticamente y pasar a la
banda de conducción creando un par electrón – hueco, este par de partículas contribuyen
también al proceso de conducción. La magnitud de esta corriente depende enteramente de la tasa
de generación de pares electrón-hueco. Transiciones directas entre la banda de valencia y la
banda de conducción se presentan en todos los semiconductores, sin embargo, defectos en las
estructuras cristalinas del silicio y del Germanio cuando existen bajas densidades de huecos y
electrones, hace que se presenten estados posibles en la banda prohibida. En equilibrio térmico
las ratas de regeneración y recombinación son iguales.
La corriente total que cruza la unión fuera de equilibrio térmico es entonces la suma de las
componentes descritas: la de difusión, arrastre y generación. En condiciones de polarización
directa la disminución del campo interno como consecuencia de la aplicación del campo
externo, origina un desequilibrio en las componentes de corriente. En la unión siguen
manifestándose las componentes de difusión y desplazamiento, en el caso de la corriente de
difusión, tenemos que al disminuir la altura de la barrera de potencial a un valor a (0 - V),
habrá mayor cantidad de electrones en la banda de conducción del lado n, con suficiente energía
para difundirse de n a p a través de una barrera más pequeña. En consecuencia, la corriente de
302
Capítulo 11. El Diodo.
difusión de electrones puede llegar a ser bastante alta, con polarización directa. De igual manera
ocurre con los huecos, ya que más huecos pueden difundirse de p hacia n por la misma causa.
Cabe resaltar que estos portadores inyectados a cada una de las regiones contrarias pasan a ser
considerados como minoritarios en la región destino.
De otro lado, en las fronteras de la unión tenemos los portadores minoritarios generados
térmicamente, si un par se genera dentro de una distancia respecto a la unión que llamaremos
longitud de difusión Ln , el portador puede ser atraído hacia la unión y ser barrido por el campo
hacia el lado n. Dado que la magnitud de esta corriente depende enteramente de la tasa de
generación de pares electrón-huecos, tenemos que en polarización directa esta corriente
permanece prácticamente invariable. Un desequilibrio en las dos componentes de corriente hace
que aparezca una corriente resultante a través del dispositivo, entonces tendremos un dispositivo
en estado de conducción, con una corriente circulando entre los terminales de ánodo y cátodo.
En cuanto a los niveles de Fermi en cada región neutra, se asume que estos niveles corresponden
a aquellos de equilibrio, de tal manera que el desplazamiento de las bandas de energía bajo
polarización directa implica la separación de los niveles de Fermi a lado y lado de la unión, en
consecuencia se originan unos desplazamientos de las fronteras de la unión generándose nuevos
valores de W (V ), xn (V ) y x p (V ) , los cuales pueden ser hallados con las mismas expresiones
encontradas en condiciones de equilibrio térmico, pero reemplazando el voltaje por su nuevo
valor (0 - V). Con este nuevo valor del voltaje tendríamos las ecuaciones:
dp
q FN −V
=
−
pP 0 p KT FP d
pn
ln
pn
q
(FN − V − FP )
=−
p p0
KT
[11.7]
[11.8]
Dado que ( FN − FP ) = 0
Entonces:
pn = p p 0 e
−
q
0
KT
*e
q
V
KT
[11.9]
303
Capítulo 11. El Diodo.
Pero:
pn0 = p p 0 e
−
q
0
KT
[11.10]
Luego:
pn = pn0 e
qV
KT
[11.11]
Procediendo de similar forma:
qV
n p = n p 0 e KT
[11.12]
Las ecuaciones 11.11 y 11.12 nos indican que el potencial aplicado V, origina un incremento de
portadores minoritarios en la región de depleción, por encima de su valor de equilibrio. Igual
ocurre con los huecos. Podemos afirmar que se presenta una inyección de portadores
minoritarios en la unión o zona de depleción, dada por estas ecuaciones.
Este resultado es conocido como la ley de la unión, en donde el número de huecos y electrones
inyectados depende de la tensión aplicada. Este aumento de los portadores minoritarios cerca de
la frontera de la unión, nos permite hablar de portadores en exceso, los cuales, adicionados al
valor de la concentración en equilibrio, nos daría el valor total de portadores. Si definimos
como p´ y n´, el exceso de portadores minoritarios en polarización directa, tenemos que el total
de portadores vendría dado por:
p´n = pn − pn 0
n´p = n p − n p 0
[11.13]
Reemplazando 11.11 y 11.12.
qV
KT
p´n = p n − p n 0 = p n 0 e − 1
qV
n´p = n p − n p 0 = n p 0 e KT − 1
[11.14]
304
Capítulo 11. El Diodo.
Las anteriores ecuaciones definen las condiciones de frontera para la ecuación de Corriente vs .
Voltaje. El aumento de portadores minoritarios y su variación exponencial respecto al voltaje se
ilustra en la figura 11.4. Se puede observar su variación, respecto al mismo diagrama en
condiciones de equilibrio térmico.
De la figura 11.4, es también posible observar, la reducción de la zona de depleción y la
presencia de los portadores minoritarios en exceso p n y n p , así como la invariabilidad de las
concentraciones de portadores mayoritarios, siendo consecuentes con la hipótesis de baja
inyección.
Figura 11.4. Concentración de portadores para el caso de la polarización directa
11.2.2.
Polarización inversa.
La polarización inversa consiste en aplicar un voltaje más positivo en el lado n de la unión
respecto al lado p, como se observa en la figura 11.5. La polaridad de la batería obliga a los
huecos, mayoritarios en la región p, a alejarse de la unión y a su vez a los electrones de la región
n hacer lo propio, como resultado la zona de carga de depleción se extiende.
305
Capítulo 11. El Diodo.
Figura 11.5. Polarización inversa de la unión.
Esta polarización, vista desde el punto de vista de un diagrama de bandas, genera un aumento de
la barrera de potencial debido a que la polarización inversa eleva el potencial electrostático del
lado n, con respecto al lado p, o lo que es lo mismo lo disminuye en un diagrama de bandas de
energía. Para la polarización inversa, el nivel de Fermi de la región p (EFP) es qV Julios más alta
que el nivel de Fermi de la región n (EFN), ello significa la carga electrónica q multiplicada por
la magnitud del potencial electrostático V. Esta situación se muestra en la figura 11.6. El
distanciamiento de los niveles de Fermi en las dos regiones neutras hace que la barrera de
potencial aumente oponiéndose a que los mayoritarios de cada región migren por difusión. Esta
separación de las bandas de energía es función directa de la barrera de potencial electrostático
en la unión. Así, para polarización inversa, la separación de las bandas de energía será q(0 + V).
En consecuencia, la región de transición W crece bajo polarización inversa.
Figura 11.6. Diagrama de bandas de la unión polarizada inversamente.
11.3. Componentes de corriente.
Como se ha descrito, en equilibrio térmico la corriente de difusión se compone de electrones,
mayoritarios en el lado n que sobrepasan la barrera de potencial electrostático para difundirse
306
Capítulo 11. El Diodo.
hacia el lado p y los huecos que sobrepasan la barrera de p hacia la región n. También existen
las componentes de las corrientes de arrastre que se anulan con las anteriores.
En la unión polarizada inversamente siguen existiendo las dos componentes de corriente ya
mencionadas. Inherente a la expansión de la zona de depleción, se presenta un crecimiento del
campo eléctrico interno por la influencia del campo externo generado por la fuente externa y
que tienen el mismo sentido. En este caso de polarización inversa, la corriente de mayoritarios
por difusión es casi nula, debido al aumento de la barrera de potencial y a la extracción de
mayoritarios, ya que sólo podrán superar la barrera de potencial los portadores minoritarios de
cada región generados térmicamente por efectos del campo eléctrico. La disminución de
portadores minoritarios en la unión se puede asociar a la extracción de estos, análogo a la
inyección en condiciones de polarización directa.
Figura 11.7. Comportamiento de los portadores minoritarios bajo polarización inversa
En la figura 11.7 es posible observar el comportamiento de los portadores minoritarios bajo
efectos de la polarización inversa, se hace evidente la extracción de portadores cerca de las
zonas de frontera. De igual forma se aprecia la expansión de la zona de depleción aumentando el
ancho W, y consecuentemente aparecerán nuevos valores para xn y xp. El comportamiento de los
307
Capítulo 11. El Diodo.
minoritarios por unidad de volumen varía exponencialmente con la distancia llegando a los
valores de equilibrio al adentrarse en las zonas neutras.
De otro lado la corriente de arrastre es independiente de la altura de la barrera de potencial. Los
electrones minoritarios en la región p, cercanos a la zona de transición son atraídos por el campo
eléctrico hacia el interior de la unión, o mejor, hacia el lado opuesto de la barrera dando lugar a
la componente de corriente de electrones. Esta corriente es pequeña no a causa de la altura de la
barrera sino porque existen pocos minoritarios en el lado p. Todo electrón en el lado p que se
desplaza a la región de transición lo hará sin importar que la barrera de potencial sea grande o
pequeña. Un comportamiento similar se verá en los huecos minoritarios en el lado n.
Ya hemos mencionado que la corriente total que cruza la unión es la suma de dos componentes
de corriente: la de difusión y la de arrastre. Las corrientes de difusión dirigiéndose ambas de p a
n (aunque las partículas tengan movimientos contrarios) y las de arrastre van de n a p. En
condiciones de polarización inversa ambas componentes de difusión son despreciables por la
existencia de la gran barrera y la única corriente es la de arrastre de n hacia p, de sentido
opuesto a la que circularía por el diodo polarizado directamente y es del orden de nanoamperios
(nA) para el Silicio y microamperios (A) para el Germanio. La corriente resultante entonces
sería una pequeña corriente debida a fenómenos de arrastre que llamaremos corriente inversa de
saturación y la denotaremos por I0; ésta depende entonces de la temperatura y su sentido es
contrario a aquel obtenido en condiciones de polarización directa, luego la corriente total en el
diodo sería I = - I0 para voltajes inversos apreciables. Aun cuando la corriente inversa de
saturación ocurre en la unión por arrastre de portadores hacia el pozo de potencial, esta corriente
se alimenta en cada lado por la difusión hacia la unión de los minoritarios de las zonas neutras.
11.3.1.
Variación de los portadores en exceso con la polarización.
Ya hemos visto que, si un semiconductor en equilibrio térmico es repentinamente perturbado
por la aplicación externa de un potencial en inversa, se presentará la extracción de portadores
minoritarios en las fronteras denominados portadores en defecto. Esos portadores aumentan
cuando el material regresa a su condición de equilibrio térmico.
308
Capítulo 11. El Diodo.
Tanto para polarización directa como inversa, se presenta, -ya sea por inyección o extracción de
portadores-, una variación de la concentración de los portadores minoritarios al interior de la
unión; de esta forma podemos hablar de exceso de portadores en el caso de polarización directa
o extracción de estos en el caso de polarización inversa.
En este ítem hallaremos las
expresiones para la variación de esos portadores minoritarios, que dependerán no solo del
potencial aplicado, sino de la posición alrededor de las fronteras de la unión.
Ahora para el caso de polarización directa, si consideramos un semiconductor en equilibrio
térmico, el cual es repentinamente perturbado por la creación de pares electrón–huecos, se
presenta un aumento en el número de portadores denominados portadores minoritarios en
exceso. Esos portadores también decaen cuando el material regresa a su condición de equilibrio
térmico o cuando éstos penetran a las regiones neutras y se recombinan con los portadores
mayoritarios. Para analizar la variación de los portadores minoritarios respecto a la posición por
efecto de la recombinación, haremos uso nuevamente de las aproximaciones enunciadas en el
capítulo anterior, cuales son:
- Aproximación de baja inyección: significa que los portadores minoritarios en exceso p y n
son mucho menores que la suma de las densidades en equilibrio térmico nn 0 y p p 0 . O sea:
n´(x) = n(x )− nn 0
[11.15]
p´(x) = p(x )− p p 0
[11.16]
Dado que se generan pares electrones-huecos podemos asumir también que:
n´(x) = p´(x)
-
[11.17]
Aproximación de bajo voltaje: significa que el voltaje aplicado V es pequeño y no afecta
considerablemente el balance entre las densidades de los portadores mayoritarios y minoritarios.
V 0 . Entonces en equilibrio térmico tenemos
pn0 = p p 0 e
−
q0
kT
[11.18]
309
Capítulo 11. El Diodo.
n p 0 = nn 0 e
−
q0
kT
[11.19]
Considerando los valores de fronteras, podemos escribir para huecos y electrones
q0
kT
pn 0 (xn ) = p p 0 (− x p )e
−
n p 0 (− x p ) = nn 0 (xn )e
q0
kT
−
[11.20]
[11.21]
Pero sabemos que:
nn 0 ( x n ) = N D
y además
p p 0 (− x p ) = N A
Luego:
n p 0 (− x p ) = N D e
−
q0
KT
[11.22]
q0
p p 0 (xn ) = N A e − KT
[11.23]
Ahora con voltaje externo aplicado habrá una alteración en la malla de voltaje pasando el nuevo
valor del exponente a ser 0 V incidiendo en una variación del número de portadores, lo cual
implica una concentración diferente a aquella de equilibrio, entonces para el caso de
polarización directa, las nuevas concentraciones serían:
n p (− x p ) = N D e
p n ( xn ) = N A e
−
−
q
(0 −V )
KT
[11.24]
q
(0 −V )
KT
[11.25]
Ahora, recordando que: n(x) = n(x) − nn0
y
p( x ) = p( x ) − p p 0
Obtenemos
n´p (− x p )= n p (− x p )− n p 0 (− x p )
[11.26]
Reemplazando 11.24 y 11.22 en 11.26 obtenemos
n´p (− x p )= nn 0 (x n )e
−
q
(0 −V )
KT
q0
− n n 0 (x n )e − KT
qV
− q 0
− q0
n´p (− x p )= nn 0 (x n )e KT e KT − e KT
[11.27]
[11.28]
310
Capítulo 11. El Diodo.
n´p (− x p )= nn 0 (x n )e
−q
0
KT
qV KT −
1
e
[11.29]
Pero recordemos que
n p 0 (− x p ) = nn 0 ( x n )e
−
q 0
KT
[11.30]
Luego, sustituyendo obtenemos una expresión para los electrones en exceso
qV
n´p (− x p )= n p 0 (− x p )e KT − 1
[11.31]
De igual forma para los huecos en exceso se obtiene
qV
p´n (x n ) = p n 0 (x n ) e KT − 1
[11.32]
Las expresiones 11.31 y 11.32 describen las densidades de portadores minoritarios en exceso o
defecto en las fronteras dependiendo del potencial de polarización y de las densidades de
equilibrio térmico. Sin embargo, aún no es claro su comportamiento en función de la posición
El efecto en la concentración de los portadores minoritarios para la polarización directa e
inversa en una unión p-n+ es mostrado en las figuras 11.8.
Figura 11.8. Variación de portadores minoritarios. Polarización a) directa b) inversa
11.3.2.
Dependencia de los portadores en exceso con la posición.
Ya se dijo que los portadores minoritarios son generadores en cada lado térmicamente al crearse
pares electrón-hueco. Pero estas concentraciones de portadores minoritarios no solo dependen
del potencial aplicado, ellos también varían con la distancia, ya que al polarizar directamente un
311
Capítulo 11. El Diodo.
diodo se inyectan huecos al material n y electrones al material p, regiones en la cuales pasan a
ser portadores minoritarios. Esta densidad de portadores minoritarios decrece exponencialmente
con la distancia, puesto que al difundirse lejos de la unión se recombinan con los mayoritarios
de la región a la cual migraron. De esta forma, el gradiente de concentración de los minoritarios
en exceso en función de la posición decae exponencialmente como se verá a continuación. Por
lo tanto, la corriente de difusión debida a estos minoritarios también decrece. Si un par se
genera dentro de una distancia respecto a la unión, que denominaremos Longitud de difusión y
la denotaremos como Ln para electrones y Lp para huecos, este electrón o hueco puede
desplazarse a la unión y recombinarse con los portadores contrarios. Para hallar ese tipo de
dependencia con la posición, concentrémonos en hacer el análisis de lo que ocurre con los
huecos, teniendo en cuenta que un análisis similar puede hacerse para los electrones.
Como se ha visto, tanto en polarización directa como inversa, la corriente de arrastre de
minoritarios es despreciable en el material por ser su densidad mucho menor que la de los
mayoritarios. La corriente se debe principalmente a la difusión de minoritarios, aunque su
densidad sea muy pequeña pues lo que cuenta es la gran variación espacial de la densidad o sea
el gradiente de concentración. El cálculo de la corriente de mayoritarios se deduce a partir de
encontrar la corriente de difusión de minoritarios. Con el objetivo de calcular una expresión para
el flujo de corriente en una unión p–n, resulta útil obtener una expresión que considere el flujo
de portadores libres dentro y fuera de un volumen infinitesimal, como es mostrado en la figura
11.9. Así, para obtener una ecuación unidimensional para electrones consideraremos:
El número de electrones entrando al volumen.
- Jn(x)
El número de electrones que salen.
- Jn(x+dx)
La tasa de generación de los electrones.
-G
La tasa a la cual se recombinan los electrones.
-R
Figura 11.9. Volumen infinitesimal para análisis de la corriente.
312
Capítulo 11. El Diodo.
La densidad de corriente en términos de los portadores se puede hallar mediante la ecuación
11.15
Jn =
I q n
=
A
A.t
Luego la expresión
[11.33]
J n .A n
representa el número de electrones por unidad de tiempo
=
q
t
La tasa total de incremento de electrones dentro del volumen sería:
J ( x) J n ( x + dx)
n
A + (Gn − Rn )Adx
dV = n
−
t
−q
−q
[11.34]
Por expansión en series de Taylor
J n (x + dx ) = J n (x ) +
J (x ) J (x ) J
J n
dx + .......... n − n + n dx
x
−q
qx
−q
1 J n
dx
q x
Entonces:
[11.35]
[11.36]
Luego:
1 J n
n
dV = (Gn − Rn )A.dx +
dx A
t
q
x
[11.37]
Obteniendo las expresiones de variación de electrones y de huecos en función de x:
n p
t
= (Gn − Rn ) +
1 J n
q x
pn
1 J P
= (GP − RP ) −
t
q x
Para electrones
[11.38]
Para huecos
[11.39]
Pueden ser expresadas también para el caso tridimensional de la forma:
n p
1
= Gn − U n + .J n
t
q
[11.40]
pn
1
= G p − U p − .J p
t
q
[11.41]
Donde:
313
Capítulo 11. El Diodo.
Gn
(GP ) →
Rn
(R P ) →
Rata de generación de electrones (huecos).
Rata de recombinación de electrones (huecos).
Las ecuaciones 11.40 y 11.41, son conocidas como las ecuaciones de continuidad. Para
condiciones de baja inyección, es decir, cuando la cantidad de portadores inyectados es mucho
menor que la densidad de portadores mayoritarios en equilibrio, la tasa de recombinación se
simplifica y es dada por:
Rn =
n p − n p0
n
Siendo: n p →
Densidad de portadores minoritarios.
n p0 →
Densidad de portadores minoritarios en equilibrio térmico.
n →
Tiempo de vida de los electrones.
Ahora sustituyendo en las ecuaciones de continuidad las expresiones para las densidades de
corriente.
n
J n = q n nE + qDn
x
p
J p = q p pE − qD p
x
[11.42]
[11.43]
Obtenemos para electrones la expresión:
n p
t
n p
t
= (Gn − Rn ) +
1
n
q n n(x )E (x ) + qDn
q x
x
= (Gn − Rn ) + n n(x )
E (x )
n(x )
2 n( x )
+ n E (x )
+ Dn
x
x
dx
[11.44]
[11.45]
De forma similar para huecos tendríamos:
pn
E (x )
p(x )
2 p(x )
= (GP − R p ) − p p(x )
− p E (x )
+ Dp
t
x
x
x 2
[11.46]
Sustituyendo la expresión para la recombinación en condiciones de baja inyección y
considerando p , n , Dn , D p como cantidades constantes.
314
Capítulo 11. El Diodo.
n p
t
= Gn −
n p − n p0
n
n p
2np
E
+ n p n
+ n E
+ Dn
x
x
x 2
p n
p − pn0
p
2 pn
E
= Gp − n
− pn p
− p E n + Dp
t
p
x
x
x 2
[11.47]
[11.48]
Si la polarización de la unión es constante, las variaciones de portadores minoritarios, dadas por
las ecuaciones anteriores, deben ser iguales a cero, si consideramos un análisis en estado
estacionario, ello significa que se cumplen las condiciones:
n p
=0
[11.49]
p n
=0
t
[11.50]
t
Adicionalmente, el cálculo de la corriente puede hacerse bien sea en la región de depleción o en
las regiones neutras, de cualquier forma, la densidad de corriente que atraviesa el dispositivo es
la misma a lo largo de estas regiones, si consideramos un área transversal constante. Tal como
se ha justificado previamente en las regiones neutras no hay presencia de campo eléctrico o este
es despreciable, así como tampoco se presentan fenómenos de generación. Luego para el caso de
los huecos tenemos:
2 pn pn − pn 0
Dp
−
=0
x 2
p
[11.51]
Donde p representa el tiempo de vida libre medio de los huecos en la región n, en otras
palabras, su existencia antes de la recombinación. Ahora, como la variación de los portadores
minoritarios respecto a la distancia puede ser expresado como:
p n (x ) = p n 0 + p´n (x )
[11.52]
Derivando obtenemos que la variación de los minoritarios se corresponde con la variación de
aquellos en exceso, es decir:
2 p n (x ) P´n (x )
=
x 2
x 2
[11.53]
315
Capítulo 11. El Diodo.
Entonces la ecuación se convierte en:
2 p´n (x ) p´n (x )
−
=0
x 2
D p p
Tomando 2 =
1
D p p
[11.54]
Y definiendo
L p = D p p
[11.55]
Como la longitud de difusión de los huecos en la región n. La solución es de la forma general
x
x
−
L
L
p n ( x ) = Ae p + Be p
[11.56]
Las constantes A y B se determinan por las condiciones de frontera. De tal forma que:
p´n (x ) → 0
Para x L p ,
luego B = 0
Y para
x = 0,
A = p´n (0 )
Entonces considerando que en la región neutra podemos afirmar que p n (x → ) = p n 0
p´n (x ) = p´n (0)e
−
x
Lp
[11.57]
Donde p´n (0) corresponde a la concentración de huecos inyectados en exceso en el borde de la
unión del lado n. Ahora de acuerdo con 11.52.
pn (x )− pn 0 = p´n (0)e
−
x
Lp
[11.58]
Desplazando los ejes coordenados. Haciendo x x - xn
pn (x − xn )− pn 0 = p´n (0)e
−
x − xn
LP
Recordemos que por la ecuación 11.32
qV
p´n (x − xn ) = pn 0 e KT − 1
[11.59]
Evaluando en x = xn
316
Capítulo 11. El Diodo.
qV
p´n (0) = pn 0 e KT − 1
[11.60]
Luego:
qV
KT
−
pn (x − xn ) − pn 0 = pn 0 e − 1e
x − xn
Lp
[11.61]
De igual forma para electrones encontramos:
qV
KT
−
n p (x − x p ) − n p 0 = n p 0 e − 1e
x− x p
Ln
[11.62]
Las expresiones anteriores nos describen la variación de los portadores minoritarios en función
tanto del potencial aplicado como de la posición, considerando las fronteras de la unión.
11.4. Ecuación fundamental del diodo
Con las expresiones halladas para los portadores minoritarios en función tanto del voltaje de
polarización y de la posición es posible encontrar la ecuación corriente total en el dispositivo. Se
trata de encontrar una expresión para la corriente que tenga en cuenta estas cantidades: voltaje y
la concentración de equilibrio Pno. Continuando con la expresión para huecos y recordando que
dado que el campo eléctrico es prácticamente despreciable en las regiones neutras, la corriente
total es esencialmente debida a la componente de difusión. El cálculo de la corriente de
mayoritarios se deduce a partir de encontrar la corriente de difusión de minoritarios. Entonces
expresando la densidad de corriente debida a huecos y evaluando en x = x n .
J P = −qDP
pn
x
qV
−
− qDP pn 0 KT
JP =
e − 1e
− LP
JP =
qDP p n 0
LP
[11.63]
x = xn
x − xn
LP
x = xn
qV
KT
e
− 1
[11.64]
[11.65]
De igual forma calculando para electrones tenemos:
317
Capítulo 11. El Diodo.
qV
qDn n p 0 KT
Jn =
e − 1
Ln
[11.66]
También sabemos que la corriente total es J = J p + J n . Reemplazando las expresiones
anteriores obtenemos:
D p p n 0 Dn n p 0 qV
e KT − 1
J = q
+
L
Ln
p
[11.67]
J0
En donde si definimos el primer término como J0 obtenemos la expresión que se conoce como le
ecuación fundamental del diodo.
qV
J = J 0 e KT − 1
[11.68]
La ecuación de corriente en el diodo se encontró a partir de la corriente de difusión de los
portadores minoritarios y se encuentra obviamente dominada por la inyección de portadores de
la región con más alta concentración.
Ejemplo 1
Un diodo de Germanio presenta una corriente inversa de saturación de 10 A a 300 ºK,
encontrar la corriente que circula a través del diodo cuando se polariza en directa con 0.1V,
0.2V, 0.3V.
Solución
De acuerdo con la ecuación 11.68, tenemos que I0 = 10 A y para 300 ºK:
−23 J
300º K
KT 1.38x10
ºK
=
= 0.0259 V
q
1.6 x10−19 col
Luego:
318
Capítulo 11. El Diodo.
0.1V
0.0259
V
J = 10 e
− 1 = 4.65x10−3 A
−5
0.2V
J = 10−5 e 0.0259V − 1 = 0.22 A
0.3V
J = 10−5 e 0.0259V − 1 = 10.72 A
Ejemplo 2
Encontrar que la corriente inversa de saturación puede también ser expresada de la forma:
D p p p Dn nn − q0
e KT
J 0 = q
+
L
Ln
p
Solución:
La expresión alterna para J0 se logra si reemplazamos las ecuaciones:
q0
p p = pn 0 e kT
[11.69]
q0
nn = n p 0 e kT
[11.70]
Luego la densidad de corriente total también puede ser escrita de la forma:
D p p p Dn nn − q0 qV
e KT e KT − 1
J = q
+
L
Ln
p
[11.71]
J0
qV
J = J 0 e KT − 1
[11.72]
Ejemplo 3
Encuentre que la expresión alterna 11.73 para la corriente inversa de saturación es válida:
319
Capítulo 11. El Diodo.
Dp
D
J 0 = q
+ n
L n
p n Ln p p
2
ni
11.73]
Solución:
De acuerdo con la ecuación 11.6, tenemos que
e
−
q0
KT
=
ni2
p p nn
Reemplazando en 11.71 obtenemos la expresión deseada.
Retomando nuestro análisis, en la ecuación fundamental del diodo reemplazaremos la ecuación
11.74 que denominaremos como voltaje térmico.
VT =
KT
q
[11.74]
Adicionalmente, se ha asumido que la zona de depleción tiene pocas cargas móviles y por lo
tanto se desprecian la recombinación y la generación de portadores tanto en el volumen como en
la superficie de la región. Esta simplificación sin embargo es válida en el Germanio, pero no en
el silicio, en el que existe una pequeña corriente de difusión frente a la generación de carga. Se
introduce entonces un factor que considera esos fenómenos. De acuerdo con las anteriores
consideraciones podemos expresar la ecuación del diodo de la forma:
VV
J = J 0 e T − 1
[11.75]
Al graficar la ecuación 11.75 obtenemos la figura 11.10, la cual describe el comportamiento
eléctrico de la unión ideal p-n. Aquí como lo hemos mencionado lo podemos considerar
como un factor de ajuste que se conoce como coeficiente de emisión o factor de idealidad,
siendo = 1 para el Germanio y = 2 para el Silicio.
320
Capítulo 11. El Diodo.
Figura 11.10. Representación de la ecuación del diodo
Se calculó entonces la corriente en el diodo a partir de las corrientes de difusión de minoritarios
inyectados. Observemos que esta corriente está dominada por la inyección de portadores del
lado más dopado hacia el lado menos dopado.
De la figura 11.9, podemos ver que el comportamiento del dispositivo se puede analizar
teniendo en cuenta tres regiones, la región de polarización negativa y en la región de
polarización positiva podemos considerar los dos casos: 0 < V < V y V > V. Si el voltaje es
inverso y mayor que VT es decir V VT = 26 mv a 300 °K, la densidad de corriente tiende al
valor de corriente J0 que es prácticamente independiente del voltaje aplicado y fuertemente
dependiente de la temperatura y de parámetros de fabricación; puede ser considerada constante a
una temperatura dada.
Esta corriente que hemos denominado corriente inversa de saturación no depende del voltaje,
sino de la temperatura (pares electrón- huecos generados térmicamente) y es constituida por
portadores minoritarios afectados por el campo eléctrico; como la densidad de esos portadores
en la unión es muy baja entonces esa corriente es pequeña. A temperatura ambiente la corriente
inversa de saturación de los diodos de silicio es mucho menor que los de Germanio, en el silicio
tenemos corrientes del orden de los nanoamperios en tanto que para el Germanio los órdenes de
magnitud son de microamperios.
Para el caso de polarización directa, en la medida en que el voltaje externo V empiece su
incremento gradual y si 0 < V < V, se presenta una corriente de arrastre muy pequeña generada
por el campo, que es en magnitud similar a la corriente inversa de saturación y también se
presenta una corriente de difusión que es despreciable hasta que el potencial aplicado sea
321
Capítulo 11. El Diodo.
cercano al potencial de contacto, recordemos que este potencial se opone a la libre circulación
de portadores mayoritarios.
Una vez se reduzca el potencial de contacto la corriente empezará a crecer de forma exponencial
cuando V > V , para valores mayores de voltaje la corriente presenta un comportamiento casi
lineal. Esta condición define un parámetro importante en el estudio y aplicación de los diodos
cual es el voltaje de disparo o también conocido como voltaje umbral V , que es el voltaje que
el diodo requiere en polarización directa para entrar en conducción. Para valores de voltaje por
debajo del voltaje de disparo la corriente que se presenta es menor que el 1 % de la corriente
máxima permisible. V corresponde al valor mínimo del potencial de contacto. Los voltajes de
polarización directa pueden oscilar entre V y 1.7 V dependiendo del tipo de diodo.
En conducción tenemos valores de corriente para diodos de Germanio del orden de
miliamperios [mA], en tanto que para diodos de Silicio la corriente es del orden de
microamperios [A]. El voltaje de disparo denotado como V está en el orden de 0.2 - 0.3 V
para diodos de Germanio y de 0.6 - 0.7 V para diodos de Silicio.
La expresión 11.75 es válida cuando se está considerando un flujo de portadores de bajo nivel.
En el análisis anterior se ha despreciado la disminución de huecos en la región p o electrones en
la región n, lo cual no puede ser realizado para flujos de niveles mayores. Para estos casos la
ecuación resultante es de la forma:
I I0
qV
KT
e
1− e
11.4.1.
− 2 q (0 −V )
KT
[11.76]
Análisis de las corrientes
Los huecos en exceso respecto a los de equilibrio térmico pn0, son los inyectados y los que crean
la corriente de difusión. Si asumimos una región más fuertemente dopada que la otra, por
322
Capítulo 11. El Diodo.
ejemplo ND >> NA, tenemos que la corriente de difusión de electrones será mayor que la
corriente de difusión debida a huecos. Ello significa que:
J ndif J pdif
[11.77]
Ahora en un circuito serie la corriente neta es la misma e independiente de x, luego la corriente
total será constante a lo largo del dispositivo, luego:
J (x ) = J d (x ) + J s (x ) = const.
[11.78]
En polarización directa el número de portadores minoritarios inyectados por unidad de volumen
disminuye exponencialmente con la distancia al difundirse lejos de la unión y recombinarse con
los mayoritarios de la región a la cual migraron. Por lo tanto, la corriente de difusión tiende a
decrecer, sin embargo, la fuente suple electrones que se desplazan hacia la unión desde los
contactos externos para mantener tanto la recombinación con los huecos en exceso dentro del
material N o electrones en el material tipo P cerca de la unión, como para mantener también la
inyección de portadores hacia la región contraria. Adicionalmente debe presentarse un aumento
en la corriente de arrastre a fin de compensar la disminución de la corriente de difusión.
En condiciones de polarización inversa la inyección de minoritarios se suspende, sólo se
presenta la de minoritarios cercanos a la unión -electrones en la región p y huecos en la región
n-, que logran cruzarla para reducir su energía, tales portadores minoritarios reducen su
densidad casi a cero en la unión. Quiere decir que si la corriente de difusión decae, esta debe ser
compensada por la corriente de arrastre que debe aumentar para mantener la corriente neta
constante, ver figura 11.11. La disminución en la densidad de portadores se da por la difusión de
minoritarios de cada región hacia la unión, una vez en la región contraria se convierten en
mayoritarios y una muy pequeña porción del voltaje aplicado sirve para producir una corriente
de arrastre. Recordemos que la corriente inversa de saturación ocurre en la unión por arrastre de
portadores hacia la unión, esta corriente se alimenta en cada lado por la difusión hacia la unión
de los min rotarios de las zonas neutras.
En conclusión, tanto en polarización directa e inversa, la corriente de arrastre de minoritarios es
muy pequeña. La corriente se debe principalmente a la corriente de difusión aun cuando las
densidades de concentración sean muy pequeñas, pues lo que cuenta es la gran variación
espacial de la densidad o sea el gradiente de concentración. La figura 11.11, muestra el
323
Capítulo 11. El Diodo.
comportamiento de las corrientes de difusión y arrastre para los casos de polarización (a) directa
y (b) inversa. La gráfica también permite establecer la comparación con los portadores
generados en ambos casos de polarización.
Figura 11.11. Componentes de corriente.
11.5. Expresiones para la anchura W y las zonas de penetración.
A partir de las ecuaciones 10.62 a 10.64, es posible encontrar las expresiones para la anchura de
la región de depleción y las penetraciones de esta en las regiones neutras en función del voltaje
aplicado. Partiendo de las mencionadas ecuaciones e introduciendo el nuevo valor de voltaje 0
V, obtenemos para la anchura de la zona de depleción:
324
Capítulo 11. El Diodo.
2 ( V ) N A + N D
W (V ) = S 0
q
NAND
1
2
[11.79]
Dividiendo y multiplicando por 0, tenemos:
2
W (V ) = S 0
q
1
N A + N D V 2
1
N A N D 0
[11.80]
Que se puede escribir en términos de la anchura de la unión en equilibrio térmico denotada
como W0
V
W (V ) = W0 1
0
1
2
[11.81]
Esta expresión nos da información acerca de los límites del voltaje de ruptura inverso y el
voltaje de polarización directo teniendo en cuenta el tamaño del dispositivo. Si sustituimos el
mismo valor de voltaje 0 V, en las expresiones 10.63 y 10.64 logramos unas ecuaciones para
las penetraciones en las regiones neutras que variarían con el potencial aplicado. Procediendo de
forma similar encontramos:
2 ( V )
ND
x p (V ) = S 0
(
)
q
N
N
+
N
A
A
D
1
2
[11.82]
1
V 2
x p (V ) = x p 0 1
0
2 ( V )
NA
xn (V ) = S 0
(
)
q
N
N
+
N
D
D A
[11.83]
1
2
[11.84]
1
V 2
xn (V ) = xn 0 1
0
[11.85]
Como es posible observar, los grados de penetración de la región de transición en las regiones
neutras para la unión polarizada dependen exclusivamente del voltaje mismo de polarización, y
325
Capítulo 11. El Diodo.
se desplazaran a la derecha o a la izquierda de los valores de equilibrio dependiendo de la
polaridad del voltaje aplicado entre los terminales de ánodo y cátodo.
11.6. Dependencia de J0 con la temperatura.
La corriente inversa es fuertemente dependiente con la temperatura. A partir de las ecuaciones
de concentración de huecos y electrones y de la densidad de átomos también se obtiene que la
corriente inversa de saturación varía con la temperatura de la forma:
2
Eg
−
J 0 = k0T e
KT
Donde k 0 =
[11.86]
Constante de proporcionalidad
E g = Energía de banda prohibida igual a Ec − Ev
y
Son parámetros de ajuste que dependen del material.
La tabla 11.1, muestra los valores de los parámetros introducidos en la ecuación de la corriente
inversa de saturación para el Germanio y el Silicio.
Tabla 11.1. Valores de los factores de ajuste
Material
Eg [eV]
Silicio
1.11
0.75
2
1
1
Germanio 0.67
Tenemos entonces que si a un voltaje fijo la temperatura aumenta, la corriente también aumenta,
lográndose conseguir el valor original de la corriente reduciendo el voltaje de polarización.
(
Normalmente se considera una variación de voltios respecto a la temperatura V
)
T del orden
de aproximadamente -2.5 mV/ ºC a temperatura ambiente, tanto para Germanio como para el
Silicio. Recordemos que la corriente inversa de saturación del silicio es menor que la del
(
germanio Si los voltajes de polarización son muy altos, V
)
T será positivo. De otro lado, el
326
Capítulo 11. El Diodo.
voltaje umbral V decrece con aumentos de temperatura, es decir, existe un coeficiente de
temperatura negativo para el diodo. En la figura 11.12 es posible observar ese comportamiento.
Figura 11.12. Variación con la temperatura de la corriente del diodo.
Variaciones más exactas se han obtenido para el silicio del orden de Silicio de -2.3 mV / ºC, en
tanto que para el Germanio se han medido variaciones desorden de -2.1 mV /ºC. En cuanto a la
corriente inversa de saturación I0, ésta varía respecto a la temperatura a razón del doble de I0 por
cada 10 °C de aumento de temperatura. El voltaje de ruptura de polarización inversa, al cual el
diodo deja de bloquear la corriente inversa también depende de la temperatura.
Se tiene la siguiente expresión alterna para describir esa variación
I 0 = I 0 (T0 ) 2
T1 −T0
10
[11.87]
Donde:
T0 temperatura inicial
T1 temperatura final
Ejemplo 4.
Un diodo de silicio polarizado inversamente con un alto voltaje presenta una corriente de 10 nA.
¿Cuál sería la corriente en directa si un voltaje de 2 voltios fuese aplicado? Considere el
dispositivo a temperatura ambiente.
327
Capítulo 11. El Diodo.
De la información suministrada por el enunciado obtenemos que I 0 = 10 −8 A .
Entonces usando la ecuación del diodo tenemos:
VV
i = 10 e T − 1
−8
Calculando el voltaje térmico:
VT =
KT
T
=
q
11600
Donde
K = 8.62 * 10 −5
eV
K
Luego:
VT =
300
= 0.0259 V
11600
Obtenemos
V
2
=
= 38.667
VT 2 * 0.0259
Hallando el valor de corriente, obtenemos un valor demasiado elevado de corriente:
(
)
ib = 10−8 e 38.667 − 1 = 6.2 x108 Amp
Ahora si consideramos el potencial en directa de V = 0,7 V. Hallando el voltaje térmico:
VT =
V
= 13.5333 V
VT
Luego:
(
)
ib = 10−8 e13.5333 − 1 = 7.54 mA
De lo anterior se puede observar la fuerte dependencia de la corriente con el voltaje de
polarización, dada su variación exponencial. Así, para un cambio de 0.7 V a 2 V, la corriente se
incrementa en cerca de 11 órdenes de magnitud. Ello evidencia la inconveniencia de polarizar la
unión p- n con voltajes superiores al potencial de contacto.
328
Capítulo 11. El Diodo.
Ejemplo 5.
Evalué el cambio en la corriente inversa de saturación, cuando se presenta una variación de
temperatura de 300 a 330 °K, en el diodo de silicio del ejemplo anterior.
Computemos el valor en J 0 para 300º K
10
−8
= k 0 (300) e
1.5
−
1.11
300
2 x 11600
Resolviendo se halla que k 0 = 4,02 *10−3
Luego:
−
I 0 = 4,02 *10−3 (330) e
1.5
1.11
330
2 x11600
I 0 = 8,12 *10−8 Amp
Comparando con la corriente J 0 inicial dada en el problema, se halla una relación de 8 a 1, para
un incremento de 30 °K.
11.7. Resistencias del diodo
En el diodo hablamos de dos tipos de resistencias que se presentan tanto en las condiciones de
polarización directa como en las de polarización inversa.
11.7.1.
Resistencia estática del diodo o de C.D.
La resistencia estática, que denotaremos como rF, se define sólo para un punto de operación en
C.D. Se refiere a valores absolutos asociados a la operación estática del dispositivo. No es de
mucha utilidad puesto que depende de la ubicación del punto de trabajo. Este parámetro da una
idea del valor que puede llegar a presentar el diodo dependiendo de la polarización. Así, si un
diodo es polarizado directamente en un punto P, -como se muestra en la figura 11.13-, deja
pasar una corriente directa I, tal que la resistencia estática directa rF =
V OQ
=
, puede tomar
I QP
329
Capítulo 11. El Diodo.
diferentes valores debido a la no linealidad del diodo y es un término de poca utilidad si la
polarización directa se altera de su valor P, a una pequeña cantidad V , la corriente se
incrementa en I y rF, será:
rF =
V PR
=
I
SR
[11.88]
Figura 11.13. Resistencia estática.
A manera de ejemplo podemos calcular para el caso de polarización directa si I=10 mA y VF =
0.7 V entonces la resistencia sería rF =
0,7
= 70
10 x10−3
Para polarización inversa si IR = -1A y V = -20 V entonces:
11.7.2.
rR =
20
= 20M
10−6
Resistencia dinámica r o incremental o de pequeña señal.
La resistencia dinámica r, también se denomina resistencia incremental o de pequeña señal,
pues se debe a las pequeñas variaciones de voltaje y corriente alterna alrededor de un punto de
trabajo determinado por el voltaje de C.D. Para el análisis del funcionamiento del diodo con
pequeñas señales, la resistencia dinámica o incremental es un parámetro importante. La
resistencia dinámica se define como la oposición que va a encontrar el paso de una corriente
variable alrededor de un punto dado debido a los fenómenos de la unión:
r
dv
→
dI
Se puede obtener gráficamente o a través de la derivada de la ecuación de la corriente del diodo,
ya que corresponde al inverso de la pendiente de la característica tensión- corriente a pequeñas
330
Capítulo 11. El Diodo.
variaciones de voltaje y corriente, es un valor incremental no constante que depende de la
tensión de trabajo. De acuerdo con su definición, la resistencia dinámica r no es una cantidad
fija debido a que la característica V/I del diodo no posee una pendiente constante en cada punto
de trabajo. Podemos calcular del reciproco de la derivada de la ecuación de diodo,
permitiéndonos introducir el concepto de la conductancia dinámica como el inverso de la
1
r
resistencia dinámica, es decir g . Entonces:
V
d I 0 e VT − 1
V
dI
1
VT
g=
=
= I 0e *
dv
dv
VT
VV
V
I 0 e T − 1 + I 0
I 0 e VT + I 0 − I 0
g=
=
VT
VT
g=
I + I0
VT
Para una polarización inversa tal que
[11.89]
[11.90]
[11.91]
V
1, g es muy pequeño y por lo tanto r es muy
VT
grande. Para una polarización directa superior a algunas décimas de voltios, digamos V >> ηVT,
tenemos una corriente I I 0 . Por ejemplo, una polarización directa I >> I0 dada en
miliamperios, en este caso = 1, T = 300º K y obtenemos una resistencia dinámica r dada en
tan pequeñas que r tiende a considerarse constante. Entonces obsérvese que a pesar de que r,
es un valor definido para alterna se puede calcular con un parámetro de continua.
r
VT
I
[11.92]
Podemos observar que para bajas corrientes la resistencia se hace grande, y por tanto permanece
pequeña independientemente de incrementos de V, generándose una curva característica casi
plana.
Tanto r como rF varían según el punto de operación seleccionado a lo largo de la curva,
significando que si un diodo se encuentra tanto bajo una polarización estable de C.D. como de
una pequeña señal de alterna, existirá un incremento de corriente igual a V , donde tanto δV
r
331
Capítulo 11. El Diodo.
como r son valores de pequeña señal. El diodo no posee resistencia dinámica para valores
estables de voltaje aplicado sino para pequeños incrementos. La resistencia dinámica varía
inversamente con la corriente. Para un modelo de pequeña señal, r puede emplearse como
constante.
11.8. Capacitancia de transición.
La polarización aplicada a un diodo origina que los portadores mayoritarios se alejen de la
región de transición. Esto modifica la cantidad de cargas inmóviles, causando que la anchura de
la zona de depleción aumente o disminuya. Este efecto en realidad es un efecto capacitivo.
La capacitancia de transición es el efecto que se presenta en la región de transición (CT ) ,
cuando el diodo es polarizado en forma inversa. CT es la capacitancia de unión o transición y es
una cantidad de pequeña señal definida por:
dQ
dv
CT =
[11.93]
Donde dQ es la variación de carga provocada por la variación de tensión. Como i =
Entonces CT =
dQ
,
dt
idt
.
dv
Luego:
I = cT
dv
dt
[11.94]
La capacitancia total sería CT multiplicada por el área seccional en la unión. El voltaje de
barrera total V, involucra tanto el voltaje de contacto, 0 y el aplicado V. La expresión para la
capacidad de un condensador de placas planas paralelas es
q S
NAND
CT =
=
W 2(0 V ) N A + N D
A
1
2
[11.95]
De donde se concluye que CT es proporcional a (0 V ) -1/2 para una unión abrupta. Para una
unión gradual este valor es proporcional a (0 V ) -1/3. La capacidad de transición no es
332
Capítulo 11. El Diodo.
constante, depende de la tensión exterior aplicada. La capacitancia de transición es baja con una
polarización inversa elevada debido a la mayor separación entre las fronteras de la unión dada la
expansión de la zona de depleción y al hecho de que se agregan cargas extras en las fronteras. A
mayor tensión inversa, mayor es la anchura de la región de depleción y menor su capacitancia.
A mayor tensión directa, menor es la anchura de la región de depleción y mayor la capacitancia.
CT está presente tanto en condiciones de polarización directa como inversa, pero en caso de
polarización directa, la elevada corriente prácticamente opaca este efecto.
Estas características son la base para una de las aplicaciones de la unión p-n polarizada, la cual
es la variación de la capacitancia mediante la variación del voltaje de polarización. Cuando es
fabricado con el objetivo de explotar estas características se le denomina el diodo varactor, el
cual será más ampliamente expuesto en el próximo capítulo.
11.9. Capacitancia de difusión.
El otro mecanismo de almacenamiento de carga en un diodo es la carga de portadores
minoritarios inyectados cuando éste se encuentra en condiciones de polarización directa, bajo
esta condición se eleva la densidad de los portadores minoritarios en las fronteras de la región de
depleción como ya fue mencionado previamente, difundiéndose al interior de la unión y
disminuyendo esta densidad por efectos de la recombinación tal como se explicó en el apartado
relacionado con el comportamiento de los portadores minoritarios en exceso. Ese decrecimiento
espacial es exponencial para un diodo de dimensiones grandes, pero se puede aproximar a una
variación lineal si el diodo tiene dimensiones pequeñas (diodo corto), como se muestra en la
figura 11.14.
Figura 11.14. Variación de carga de los portadores minoritarios inyectados.
333
Capítulo 11. El Diodo.
La capacitancia que aparece cuando se presenta una polarización directa en la unión p-n, se
denomina capacitancia de difusión. La capacitancia de difusión es mucho mayor que la
capacidad de transición y es originada por el almacenamiento de cargas inyectadas cerca de la
unión y fuera de la región de transición. La capacitancia de difusión es la variación de la carga
inyectada respecto a la variación del voltaje aplicado.
CD
dQ
dv
[11.96]
Asumiendo la corriente solo debida a los huecos ya que:
CD =
p
dQ
dI
= p
= pg =
dv
dv
r
[11.97]
CD =
pI
VT
[11.98]
Donde se ha sustituido la expresión para r . La capacitancia de difusión es proporcional a I .
Considerando ahora la corriente debida a huecos y electrones, la capacitancia total sería:
CD = CDp + CDn .
Para polarización inversa C D CT . Para polarización directa C D CT . La constante de
tiempo = rC D es pequeña no importando que C D sea grande. es la constante de tiempo o
vida media de los portadores. Una expresión alterna para esta capacitancia puede ser obtenida a
partir de la ecuación de los portadores minoritarios en exceso y de la ecuación para el cálculo de
la carga espacial
qV
pn (0 ) = pn 0 e KT
x
−
L
QC = qpn (0)e p dx
Para un diodo largo donde Wn >> Lp
0
QC = qpn (0) L p
Luego,
CD =
q 2 Lp
KT
qV
pn 0 e
KT
[F-m2]
[11.99]
334
Capítulo 11. El Diodo.
De la ecuación concluimos que CD es más efectivo en polarización directa ya que aumenta
exponencialmente con el potencial. CD es casi seis órdenes de magnitud mayor que CT y es
positiva dado que cualquier incremento en el potencial implica un incremento en el valor de la
densidad de portadores inyectados en la frontera. De acuerdo con lo anterior para una unión pn, existirá un modelo de pequeña señal en función de las capacitancias de difusión, de transición
y de la resistencia dinámica; el modelo y el comportamiento de las capacitancias se muestran en
la figura 11.15
Figura 11.15. Tipos de capacitancias.
Ejemplo 6.
Se fabrica una unión abrupta p-n de silicio con densidades de concentración NA= 2x1015 cm-3 y
ND= 5x1017 cm-3 y se polariza en inversa con un voltaje de 4 V y posteriormente en directa con
0.7 V. Calcule para dicha unión a) el potencial de contacto, b) las penetraciones de las fronteras
en las regiones neutras, c) el ancho de la región de depleción
Solución
a) Con los valores de las concentraciones en las regiones podemos encontrar el potencial de
contacto.
0 =
KT N A N D
ln
q
ni2
335
Capítulo 11. El Diodo.
Sabemos que K = 8.62x10−5 eV º K
K = 1.38x10−23 J º K , luego:
ó
(1.38x10−23 eV º K )(300º K ) (2 x1015 cm −3 )(5 x1017 cm −3 )
0 =
ln
1.6 x10−19 col
(1.45x1010 cm −3 ) 2
0 = 0.75 V
b) Las posiciones de las fronteras de la unión se obtienen con las ecuaciones 11.82 y 11.84.
Calculamos para V = 0 V, V = 4 V en inversa y V = 0.7 en directa.
Para la región p
1
2 ( V )
2
ND
x p (V ) = S 0
q
N A ( N A + N D )
Encontremos inicialmente el valor:
2 S
q
2(12)(8.85x10−14 F cm)
ND
5 x1017 cm −3
=
−19
15
−3
15
−3
17
−3
1.6 x10 col
2 x10 cm (2 x10 cm + 5 x10 cm )
N A (N A + N D )
2 S
q
ND
= 6.61x10−9 cm 2 V
N A (N A + N D )
Para V = 0
x p (0) = (0.75V )(6.61x10−9 cm 2 V )
1
2
x p (0) = 7.04x10−5 cm
x p (0) = 0.704m
Para V = -3 V
x p (− 3) = (0.75V + 3V )(6.61x10 cm V )
−9
x p (− 3) = (3.75V )(6.61x10 cm V )
−9
2
2
1
2
1
2
336
Capítulo 11. El Diodo.
x p (− 3) = 1.57 x10−4 cm
x p (− 3) = 1.57m
Para V = 0.7 V
1
x p (0.7 ) = (0.75V − 0.7V )(6.61x10−9 cm 2 V ) 2
1
x p (0.7) = (0.05V )(6.61x10−9 cm 2 V ) 2
x p (0.7 ) = 1.81x10−5 cm
x p (0.7) = 0.181m
Para la región n
1
2 ( V )
2
NA
xn (V ) = S 0
q
N D ( N A + N D )
2 S
q
2(12)(8.85x10−14 F cm)
NA
2 x1015 cm −3
=
−19
17
−3
15
−3
17
−3
(
)
(
)
N
N
+
N
1
.
6
x
10
col
5
x
10
cm
2
x
10
cm
+
5
x
10
cm
D
D A
2 S
q
NA
= 1.05x10−13 cm 2 V
(
)
N
N
+
N
D
D A
Para V = 0
xn (0) = (0.75V )(1.05x10−13 cm 2 V )
1
2
xn (0) = 2.81x10−7 cm
xn (0) = 2.81 nm
Para V = -3 V
xn (− 3) = (0.75V + 3V )(1.05x10−13 cm 2 V )
xn (− 3) = (3.75V )(1.05x10
−13
2
cm V )
1
2
1
2
337
Capítulo 11. El Diodo.
xn (− 3) = 6.27x10−7 cm
xn (− 3) = 6.27 nm
Para V = 0.7 V
xn (0.7 ) = (0.75V − 0.7V )(1.05x10−13 cm 2 V )
xn (0.7 ) = (0.05V )(1.05x10−13 cm 2 V )
1
2
1
2
xn (0.7) = 7.24x10−8 cm
xn (0.7 ) = 7.24
c) El ancho de la región de depleción puede encontrarse a partir de la ecuación 11.79.
Las magnitudes encontradas deben ser iguales a la suma de los valores encontrados en el ítem
anterior.
Para V = 0
2(12)(8.85x10 F cm)(0.75V ) 2 x10 cm + 5 x10 cm
W (0) =
15
−3
17
−3
1.6 x10−19 col
(2 x10 cm )(5 x10 cm )
−14
15
−3
17
−3
1
2
W (0) = 7.06x10−5 cm = 0.70 m
1
2(12)(8.85x10−14 F cm)(0.75V + 3V ) 2 x1015 cm −3 + 5 x1017 cm −3 2
W (− 3) =
15
−3
17
−3
1.6 x10−19 col
(2 x10 cm )(5 x10 cm )
W (− 3) = 1.58x10−4 cm = 1.58 m
1
2(12)(8.85x10−14 F cm)(0.75 − 0.7V ) 2 x1015 cm −3 + 5 x1017 cm −3 2
W (0.7 ) =
−19
15
−3
17
−3
1
.
6
x
10
col
(
2
x
10
cm
)(
5
x
10
cm
)
W (0.7 ) = 1.82x10−5 cm = 0.182 m
Obsérvese que el ancho de la zona de depleción coincide prácticamente con los valores hallados
para la penetración en la región p. Ello se debe a la diferencia en las concentraciones de dopado
338
Capítulo 11. El Diodo.
de las regiones. Se verifica que el ancho de la zona de depleción es determinado por la
penetración que se causa en la región menos dopada.
11.10. Variación de la capacitancia de la unión con el voltaje.
Ya hemos visto que la capacitancia se ve significativamente afectada por el voltaje de
polarización externo y hemos encontrado una ecuación que describe su comportamiento. Sin
embargo, podemos cuantificar la variación del valor de la capacitancia cuando existe un voltaje
aplicado respecto al valor de capacitancia en condiciones de equilibrio térmico. Para ello
partimos de la expresión de la capacitancia de la zona de depleción por unidad de área:
C=
dQC
dV
[11.100]
Es decir, la variación de la carga por unidad de área, a partir de un cambio del voltaje aplicado
dV .
Con QC = qN D xn = qN A x p , se calcula entonces;
0 − V = − E (x )dx
xn
[11.101]
xP
0 − V =
q
2 0 si
(N
A
x P2 + N D xn2 )
[11.102]
Simplificando, si asumimos que N A N D y x P x n
2
2
Entonces N A x P N D xn y tenemos:
xn =
1
2 0 si
(0 − V ) 2
qN D
[11.103]
Ahora, como:
C=
1
dQC
2 0 si
d
(0 − V ) 2
→C =
qN D
dV
dV
qN D
C=
d
dV
qN D 2 0 si ( 0 − V )
[11.104]
[11.105]
339
Capítulo 11. El Diodo.
1
1
1
C = (2qN D 0 si ) 2 * *
2 ( − V ) 12
0
C=
C=
0 si qN D
1
2
0 − V
[11.106]
[11.107]
C (0 )
1−
[11.108]
V
0
0 si qN D
C (0) =
2 0
Donde:
0 si qN D
Q(0) =
2
[11.109]
La variación de la capacitancia con el voltaje aplicado es para diodos típicos del orden de 2 a 20
pF para valores de voltaje inversos oscilando entre -20 V y -0.5 V.
Para esos mismos
dispositivos tendríamos valores de voltaje de ruptura inversa de magnitud -30 V y corriente de
fuga inversa 0.6 A; estos rangos de capacitancia pueden ser aumentados si se fabrican los
dispositivos con densidades de dopado mucho mayor.
Ejemplo 7.
Para la misma unión del ejemplo 11.6 calcule la capacitancia de transición.
Solución
La capacitancia de transición es según la ecuación 11.95:
1
(1.6 x10−19 col )(12)(8,85x10−14 F cm) (2 x1015 cm −3 )(5 x1017 cm −3 ) 2
CT (0) =
x
2(0.75V )
(2 x1015 cm −3 + 5 x1017 cm −3 )
CT (0) = 1.5 x10−8
F
cm 2
340
Capítulo 11. El Diodo.
1
(1.6 x10−19 col )(12)(8,85x10−14 F cm) (2 x1015 cm −3 )(5 x1017 cm −3 ) 2
CT (−3) =
x
2(0.75V + 3V )
(2 x1015 cm −3 + 5 x1017 cm −3 )
CT (−3) = 6.71x10−9
F
cm 2
De la ecuación 11.108 podemos verificar dicha variación respecto al valor de equilibrio.
C (−3) =
C (0)
1.5 x10−8 F cm 2 1.5 x10−8 F cm 2
=
=
= 6.71x10−9 F cm 2
V
3V
3V
1−
1+
1+
0
0.75V
0.75V
1
(1.6 x10−19 col )(12)(8,85x10−14 F cm) (2 x1015 cm −3 )(5 x1017 cm −3 ) 2
CT (5) =
x
2(0.75V − 0.7V )
(2 x1015 cm −3 + 5 x1017 cm −3 )
CT (5) = 5.81x10−8
F
cm 2
Nuevamente verificando con 11.108
C (0.7) =
C (0)
1.5 x10−8 F cm 2 1.5 x10−8 F cm 2
=
=
= 5.81x10−9 F cm 2
V
0.7V
0.7V
1−
1−
1−
0
0.75V
0.75V
11.11. Voltaje y corriente en la unión p-n
11.11.1. Línea de carga estática o de C.D.
Consideremos el circuito mostrado en la figura 11.16. Determinemos el valor de la corriente y el
voltaje a través del diodo. La línea de carga se obtiene a partir de encontrar una relación entre i b
y Vb. El objetivo de trazar la línea de carga de C.D., sobre las características de salida es obtener
el punto de operación Q a través del método gráfico. El punto de operación Q es la intersección
de la recta de carga y la característica del diodo suministrada por el fabricante. Se recalca que el
punto de operación lo definen los valores de voltaje Vbq y de corriente ibq (de C.D.). Para un
mismo valor de voltaje de fuente al variar RL varía la pendiente de la recta, si se mantiene RL
constante y se varía el voltaje de fuente, la recta se desplazará paralelamente.
341
Capítulo 11. El Diodo.
Figura 11.16. Circuito básico.
Al efectuar el análisis de voltajes, la ecuación de malla del circuito y la expresión característica
de la corriente de un diodo nos proporciona el siguiente sistema de ecuaciones.
i ) Vb = VBB − ib RL
VV
ii) ib = I 0 e − 1
b
T
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La línea de carga se obtiene a partir de la
segunda ecuación al establecer la relación entre la corriente y el voltaje a través del dispositivo.
ib = −
Vb VBB
+
RL RL
La pendiente de la recta es −
1
, como se observa en la figura 11.17. La línea de carga nos
RL
permite obtener el punto de operación del dispositivo mediante el método gráfico, el punto de
operación Q resulta de la intersección de la línea de carga y la curva característica del diodo.
Variaciones de RL origina una variación en la pendiente de la recta.
La solución del sistema da los valores de Vb e ib ; al aplicar el método grafico obtenemos en el
corte de las dos funciones los valores para ib y Vb . Los cortes con los ejes coordenados se
obtienen evaluando la función en los valores ib = 0 y Vb = 0 .
Figura 11.17. Solución gráfica del circuito
342
Capítulo 11. El Diodo.
La resistencia estática del diodo sería:
R=
Vbq
[11.110]
I bq
Esta resistencia estática varía fuertemente con Vbq y no es interesante como parámetro.
Ejemplo 8.
Si al circuito de la figura 11.11, se le asignan los valores que se presentan abajo, determinar el
punto de operación y la potencia consumida por el diodo.
V BB = 0.8 V
rL = 4 ohm
La solución de acuerdo al diagrama mostrado en la figura 11.18 sería:
Figura 11.18. Solución gráfica
De la figura 11.16, obtenemos el valor de la potencia, la cual sería:
Pbq = Vbq * ibq
Luego:
Pbq = 0.46 V * 0.085 A = 0.0391 W
La resistencia estática R se define como:
R=
VBQ
I BQ
La resistencia estática varia fuertemente con VBQ y no es interesante como parámetro.
343
Capítulo 11. El Diodo.
11.11.2. Línea de carga dinámica.
Esta línea de carga dinámica o de C.A. permite analizar el comportamiento de un circuito
electrónico y establecer los valores de voltaje y corriente del diodo, al variar un valor de voltaje
alrededor del punto de trabajo por la aplicación de una señal de alterna a la entrada del circuito.
El punto de trabajo Q se define por la intersección de la recta de carga estática lo que generará
una familia de líneas cuyas intersecciones con la curva característica del diodo permitirán
identificar los dos puntos máximos y mínimos de la operación. En la figura 11.19 se ilustra este
ejemplo.
Figura 11.19. Línea de carga dinámica.
En el circuito VG involucra valores de voltaje alterno y continuo, luego tenemos la ecuación:
vG = vg + VC = vg sent + VC
Además, la ecuación siguiente nos da el valor instantáneo de la corriente cuando el diodo
conduce y la hemos denominado ecuación de línea de carga.
i =
vG − v
RL
Si i = IDC y
.
Vg = 0, no existe voltaje de corriente alterna aplicado y la corriente iguala
solamente a la del punto de operación establecido por la fuente VC.
iDC =
VC
v
−
RL RL
Con cortes en:
iDC = 0
v=0
v = VC
ID = VC / RL
344
Capítulo 11. El Diodo.
Extendiendo este análisis podemos encontrar la familia de líneas de carga para cada valor de V
definidos a partir del valor de VG incluyendo los valores máximo y mínimo de desplazamiento
de i que corresponderá a los valores de voltaje de entrada máximo y mínimo respectivamente.
vG = VC + vg max = VC + vG
y
vG = VC + vg min = VC + vG
Luego:
i =
i =
VC + Vg
RL
VC − Vg
RL
−
v
RL
Con cortes en:
−
v
RL
Con cortes en:
i =0
v =0
i =0
v =0
v = VC + vg
i = (VC + vg) / RL
v = VC - vg
i = (VC - vg) / RL
En estas líneas de carga si RL permanece constante se genera una serie de líneas de carga
paralelas a aquella de la condición Vg=0. En el caso contrario, es decir cuando RL varía, para un
mismo valor de v, se obtendrían la máxima ó mínima indicación de la recta dependiendo de si
RL disminuye o aumenta.
Ejemplo 9.
Un diodo se conecta a una fuente de voltaje de 12 V a través de una resistencia de 1 K. El
diodo presenta una resistencia interna de 500 y presenta unas concentraciones de dopado de
1016 cm-3 y 1017 cm-3 en las regiones p y n respectivamente. Calcule la corriente del diodo en
condiciones de polaridad directa.
Solución
Con los valores de las concentraciones podemos calcular el potencial de contacto.
0 =
(1.38x10−23 J º K )(300º K ) (1016 cm −3 )(1017 cm −3 )
ln
1.6 x10−19 col
(1.45x1010 cm −3 ) 2
0 = 0.756 V
345
Capítulo 11. El Diodo.
Luego la corriente a través de diodo sería:
i =
12V − 0.756V
= 7.5 mA
1500
11.12. Algunas aplicaciones del diodo
La no linealidad del diodo es aprovechada en el procesamiento de señal y tratamiento de las
formas de onda. Diferentes topologías que explotan esta característica del diodo son los circuitos
generadores de señal, los moduladores, demoduladores, las fuentes y circuitos digitales, los
circuitos rectificadores y recortadores entre otros.
11.12.1. Efecto de la señal alterna
La unión p-n presenta muchas aplicaciones en los circuitos electrónicos, la más común de ellas
es la rectificación de señales, entre las que podemos mencionar la rectificación de media onda y
onda completa, aun cuando haría parte del contenido de un texto de circuitos electrónicos,
algunas aplicaciones adicionales se describirán brevemente.
Se han estudiado los efectos de la aplicación de un voltaje de polarización al disminuir o
aumentar la altura la barrera de potencial. Ahora si consideramos los efectos de señales que
varían con el tiempo o de corriente alterna, tendremos dos situaciones a analizar: el primero
consiste en la pequeña señal de alterna, entendida como una componente de voltaje aplicado
mucho mayor que la variación de corriente alterna. Ver figura 11.20; el segundo caso es la gran
señal de alterna, en donde el diodo actúa alternamente entre la polarización directa y la inversa.
Figura 11.20. Señales alternas de pequeña señal
346
Capítulo 11. El Diodo.
Para facilitar los análisis de las aplicaciones del dispositivo, debemos considerar un modelo
simplificado del diodo, el cual llamaremos modelo ideal o modelo lineal a tramos.
11.12.2. Modelo lineal a tramos.
El objetivo es linealizar el modelo que describe el comportamiento del diodo para facilitar su
análisis y uso en diferentes topologías electrónicas. Los siguientes modelos pueden ser usados
dependiendo de las características del circuito.
Primera aproximación del modelo: en este modelo se desprecia el valor del voltaje de disparo
V y se considera que I0 = IS, lo cual significa que para todo voltaje mayor que cero existirá una
corriente que tiende a infinito ya que la resistencia directa o de polarización directa rF será cero.
Para voltajes negativos, no habrá conducción del diodo y la resistencia de polarización inversa
rR tenderá a infinito. En ese caso tenemos el modelo presentado en la figura 11.21.
rF =
rs =
V
→0
I
V
→
I
Figura 11.21. Modelo del diodo ideal.
Tales aproximaciones son aceptables si los voltajes del circuito son mayores que V , si las
corrientes del circuito son mayores que IS = I0, y además si las resistencias del circuito en serie
con el diodo mayores que rF.
Segunda Aproximación: en este modelo se considera que si V = V habrá conducción y si el
voltaje a través del diodo es menor que V la corriente será cero. De nuevo la resistencia directa
rF tiende a cero y la resistencia inversa rR tiende a infinito, tal como se muestra en la figura
11.22. Es uno de los modelos más ampliamente usados en el análisis de los circuitos
electrónicos.
347
Capítulo 11. El Diodo.
Figura 11.22. Aproximaciones del modelo
Tercera aproximación: en polarización directa considera el modelo anterior adicionando una
resistencia RS y toda esa malla en antiparalelo con las condiciones de polarización inversa que
incluye el valor del voltaje de ruptura VZ y el valor de la resistencia del diodo en inversa RZ tal
como se presenta en la figura 11.23. El diodo que se presenta en el modelo es considerado un
diodo ideal.
Figura 11.23. Tercera aproximación del modelo.
La selección de la rama del circuito depende de la polaridad del voltaje aplicado, con el diodo
sustituido por interruptor abierto ó cerrado según la zona de operación. A partir de Vɤ a
pequeños incrementos del voltaje en directa corresponden grandes variaciones de corriente.
11.12.3. Rectificación de ½ onda.
Este tipo de rectificación permite la conversión de señales de corriente alternas (A.C.) a señales
de corriente continua o directa (D.C.). Así, si consideramos el circuito propuesto en la figura
11.24(a), en donde una señal alterna es aplicada a través del secundario de un transformador a
un diodo y una resistencia de carga conectados en serie, observamos en la figura 11.24(b) las
señales que obtendríamos para los voltaje Vi y VO.
348
Capítulo 11. El Diodo.
(a)
(b)
Figura 11.24. (a) Circuito rectificador (b) Formas de onda
Para el medio ciclo positivo el voltaje a través de RL es prácticamente Vi, puesto que el diodo
ideal tiene resistencia directa prácticamente igual a cero RD = 0. En el semiciclo negativo V0 0
puesto que la resistencia inversa del diodo es prácticamente infinita, esto es, Ri → , y por tanto
la corriente a través del dispositivo es cero y en consecuencia
V0 0. De esta forma, el
circuito proporciona en la salida V0, solo los valores positivos de la señal de entrada.
11.12.4. Circuitos recortadores o limitadores.
Estos circuitos también denominados selectores de amplitud, recortan una porción de la señal de
entrada sin afectar la forma de onda restante. Se usan para proteger la carga de voltajes
excesivos o de polaridad inapropiada. El ejemplo más sencillo de un circuito recortador es el
rectificador de media onda visto en la sección anterior.
11.12.5. Tipos de diodos de unión p-n
Como conclusión se puede decir que existen dos tipos de diodos, utilizados unos en generación
de potencia y transmisión de señal alterna y los otros de amplia aplicación en equipos que
requieren corriente directa.
Rectificadores: la aplicación más usada de la unión p-n es el del diodo de potencia, usualmente
en circuitos de rectificación de onda completa. Estos dispositivos presentan rangos de corriente
para polarización directa conocida como valor promedio o valor pico que van desde 1 A hasta
los 40 A. El voltaje de polarización directa a la corriente nominal también varía entre los 0.7 y
349
Capítulo 11. El Diodo.
1.5 V. A estos dispositivos también se les asocia el valor del voltaje inverso repetitivo máximo
denotado como VRRM, que es el potencial inverso que puede soportar el diodo sin deteriorarse.
Dispositivos de altas corrientes tienen un voltaje VRRM de hasta 1 KV, pero también se pueden
encontrar diodos de alta tensión con valores de VRRM de hasta 25 KV que solo manejan 3 mA.
La potencia de los diodos de rectificadores puede llegar hasta 60 Watts.
Diodos de señal: son aquellos que modifican el flujo de una señal en un circuito de baja
potencia. El dopado, el tamaño y el empaque los diferencia de los de potencia, pero tienen las
características adecuadas a costos más bajos. La potencia disipada es rara vez un problema en
los diodos de señal. Mientras que el silicio domina el mercado de los rectificadores algunos
diodos de señal son de Germanio. Las aplicaciones de diodos de señal incluyen conmutación de
alta velocidad, detectores y demoduladores.
350
Capítulo 11. El Diodo.
11.13. Ejercicios
1.
Un diodo de silicio tiene una corriente inversa de saturación Io a 300ºK de 10 μA. Calcular:
a) valor de la corriente con una polarización directa de 0,6 V, b) valor de la corriente con
una polarización inversa de 1V, c) resistencia estática en ambos casos. Repetir los cálculos
a 50ºC de temperatura.
2.
Un diodo de silicio tiene una corriente inversa de saturación de 22 nA a una temperatura
ambiente de 25ºC. Calcule a) la corriente con una polarización directa de 1V, b) valor de RF
con esa polarización, c) RR con una polarización inversa de 0,1 V.
3.
Un diodo de unión pn de silicio a T ambiente tiene una I0 de 10 nA. Calcule a) intensidad
con polarización directa de 0,5 V, b) Intensidad con polarización inversa de 0,5 V, c) valor
de la tensión inversa para la cual la intensidad es del 95% de I0 , d) RR para una polarización
directa de 0,7 V, e) RF para el mismo caso, f) RR para una polarización inversa de 1 V, g)
RR para el mismo caso.
4.
Un diodo de silicio tiene una corriente inversa de saturación I0 a 125 ºC de 0,1 μA. Hallar a
105 ºC la resistencia dinámica con polarización de 0,8 V, a) en sentido directo. b) en
sentido inverso.
5.
Calcule el potencial de contacto, el ancho de la región de depleción y el valor del máximo
campo, en una unión abrupta pn de silicio que presenta una densidad de dopado de
NA=8x1015 átomos/cm3 y ND=1017átomos/cm3. Asumir un voltaje inverso de 5 V.
6.
Calcule la capacitancia de la unión en equilibrio térmico para el ejemplo del problema
anterior y también calcular CJ para los valores de 5 V de voltaje inverso y a 0.3 V de voltaje
directo. Asume un área de la unión de 2x10-5cm2. Comparar ambos resultados y comentar.
7.
Calcule el voltaje de ruptura para la unión pn del problema 5, si el campo critico es de Ecrit =
351
Capítulo 11. El Diodo.
4x105 V/cm.
8.
Una unión p+n de un solo lado de silicio a 300K esta dopada con NA=1019cm-3. Diseñe la
unión de manera que CJ = 0.85 pF a VR=4 V.
9. Considera una unión abrupta p-n de silicio con un dopado constante en cualquier lado de la
unión. El diodo esta hecho de materiales tipo-p que muestra un valor de 2 Ω-cm y un
material tipo-n con un valor de 0.5 Ω-cm en el cual el tiempo de vida de los portadores
minoritarios son τn=10-6seg y τp=10-8seg. Respectivamente. Calcule a) las densidades de
portadores minoritarios (Jn y Jp) en los extremos de la región de depleción cuando el voltaje
aplicado es 0.6 V.
10. Para una unión abrupta de silicio ideal tipo pn con NA=1017cm-3 y ND=1015cm-3. Calcule 0
a 250, 300, 350, 400, 450 y 500 ºK, c) encuentre el ancho de la zona de depleción y el
máximo campo a voltaje cero para T=300K.
11. Mediante un proceso pobremente controlado sobre silicio se logró fabricar un diodo cuyo
funcionamiento es descrito por la ecuación mostrada. Determine a partir de la ecuación el
valor de la constante ɳ y la corriente inversa de saturación a 350 ºK.
V
I = 1.5 x102 e 0.2 − 1nA
352
Capítulo 12. Otros diodos.
12. Otros diodos.
____________________________________________________________________________
12.1. Introducción.
Ya se ha estudiado el comportamiento de la unión bajo las dos formas de polarización posibles,
se ha observado cómo es posible obtener entre otras, la variación tanto de portadores como del
ancho de la zona de depleción, de las penetraciones en las regiones neutras, de la capacitancia,
etc., todo en función del voltaje aplicado. Estos comportamientos permiten a la unión p-n ser
utilizada explotando varias de esas características, en diferentes modos de polarización y con
tipos de concentraciones específicos en cada una de las regiones. En este capítulo estudiaremos
tres dispositivos de amplio uso en la electrónica, que son basados en la unión p-n. Se trata de
los diodos Zener, Tunel y Varactor, los cuales se fundamentan en el comportamiento de la zona
de depleción bajo diferentes tipos de polarización y con concentraciones de dopado específicas.
De igual forma se presentará de forma resumida, aplicaciones de la unión p-.n para la
fabricación de otros tipos de dispositivos electrónicos de gran uso en la opto electrónica.
12.2. Diodo Zener
En términos prácticos podemos afirmar que el diodo Zener es una unión p-n polarizada en
sentido inverso. Cuando el voltaje de polarización inverso varía, puede ser entre algunas
unidades y decenas de voltios y sobrepasa un valor de voltaje denominado de ruptura (VZK), se
presenta un fenómeno de multiplicación de portadores que origina una variación importante de
la corriente, para pequeñas variaciones alrededor del voltaje aplicado. De esta forma, el voltaje
de polarización inversa caracteriza dos zonas de operación para los diodos Zener. El primero
corresponde al caso de polarización inversa, para la cual la corriente inversa de saturación es
constante con las variaciones de voltaje, ello ocurre cuando VZK < V < 0. Esta zona es
denominada zona de fuga.
La segunda zona de ruptura o Zener, ocurre cuando se presenta un valor de voltaje VZK ≥ V,
originando un aumento abrupto de la corriente explicado por dos mecanismos de ruptura
denominados Zener y de avalancha. La ruptura zener propiamente dicha, ocurre para voltajes
353
Capítulo 12. Otros diodos.
inversos V, comprendidos en el rango 0 > V > 6 V. Para voltajes aplicados mayores en
magnitud a 6 voltios inversos se obtiene un proceso de avalancha.
A diferencia de los diodos rectificadores y de señal que operan en condiciones de polarización
directa, los diodos Zener trabajan principalmente en la zona de ruptura con valores absolutos
superiores al valor del voltaje VZK. La figura 12.1 muestra las diferentes regiones de operación
de la unión p-n, en donde se observa la zona de ruptura o avalancha.
Figura 12.1. Curva característica
En la zona de ruptura inversa, se tiene una región en donde es posible tener grandes variaciones
de corriente IZK, para una pequeñísima variación del voltaje inverso VZK. Siendo esta la
principal característica de este dispositivo.
12.2.1.
Símbolo
El símbolo del dispositivo es mostrado en la figura 12.2 y se asocia con el modelo ideal del
mismo, que normalmente se representa como una fuente de voltaje en serie con su resistencia
interna. Este modelo prácticamente define las principales aplicaciones del diodo Zener, tales
como dispositivo de referencia de tensión, regulador de tensión y como diodo limitador.
Figura 12.2. Símbolo y modelo ideal.
Las uniones p-n fabricadas para ser usadas como diodos zener presentan altos grados de dopado
en las regiones. De esta forma, se logra que la zona de transición presente una longitud W muy
354
Capítulo 12. Otros diodos.
delgada puesto que su dimensión es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de las
concentraciones de dopado.
12.2.2.
Mecanismos que explican los procesos de ruptura
El proceso de ruptura es el fenómeno que se presenta cuando el diodo tiene voltajes inversos
aplicados suficientemente grandes. Ya hemos visto cómo una magnitud inversa de voltaje hace
que aumente la zona de depleción y en consecuencia se produce también un aumento del campo
eléctrico. Dado que la tensión inversa no puede aumentar de forma indefinida, debe existir un
valor límite para el campo eléctrico, ese límite lo define la magnitud de la fuerza eléctrica que se
ejerce sobre los electrones en la banda de valencia del material tipo p. Si el valor de dicha fuerza
es superior al valor de la fuerza de enlace de los electrones con su núcleo, estos electrones son
liberados y pasan por la acción del campo eléctrico a la banda de conducción del material tipo n.
El valor del voltaje al que se presenta la ruptura se denomina voltaje de ruptura o voltaje Zener
que hemos denominado VZK. Tal como se muestra en la figura 12.3, al aplicar un voltaje inverso
al diodo Zener, el diagrama de bandas de energía evidencia como la banda de conducción del
lado n aparece al frente de la banda de valencia del lado p, permitiendo que una gran cantidad
de estados disponibles en el lado n sea ocupada por electrones que se liberan del lado p, gracias
al alineamiento de estas zonas de energía. En el momento en que los electrones son liberados el
material se vuelve conductor y el voltaje de polarización no aumenta.
Figura 12.3. Efecto Tunel.
Los dos fenómenos que rigen el proceso de ruptura en el diodo Zener, son originados por el
efecto del voltaje inverso de polarización, el cual se puede aplicar entre rangos que van desde
355
Capítulo 12. Otros diodos.
algunos voltios hasta algunos cientos de voltios. A continuación se discuten cada uno de estos
mecanismos.
12.2.2.1.
Ruptura Zener, propiamente dicha.
Es conocido como ruptura Zener o ruptura en reversa, ocurre para valores de voltaje
comprendidos entre 0 > V > 6 V. Este mecanismo consiste en el rompimiento de enlaces
covalentes por efecto del campo, creándose pares electrón-huecos. El efecto túnel es favorecido
tanto por las dimensiones reducidas de la barrera que separa las dos bandas, como por la acción
del voltaje inverso; electrones minoritarios en el lado p pasan directamente de la banda de
valencia de este lado, a la de conducción del lado n constituyendo una corriente inversa de n
hacia p. El campo eléctrico máximo que se puede establecer en un semiconductor es aquel que
provoca la excitación directa de un electrón ligado a la banda de valencia hacia un estado libre
en la banda de conducción, en otras palabras, el que produce la ionización del material y por
tanto depende del material mismo. Se debe tener en cuenta que, por la estrechez de la zona de
transición, el campo eléctrico
E = −V x es intenso -en el caso del silicio es de
aproximadamente 106 - 107 V/m -, acelerando los minoritarios de un lado al opuesto y
rompiendo enlaces covalentes fácilmente. De esta manera a través de la región de depleción, es
posible obtener campos elevados con pequeños voltajes. Voltajes de ruptura pueden ser del
orden de los 6 V. Una vez la ruptura ha ocurrido, el voltaje a través del diodo se torna
independiente de la corriente a través de él. Tal como se observa en la zona de ruptura de la
figura 12.1.
12.2.2.2.
Efecto de avalancha o ruptura de avalancha.
La ruptura por avalancha ocurre para valores de voltaje inverso tales que V < 6 V. La corriente
inversa en una unión p-n consiste de una difusión de portadores minoritarios a través de la
barrera de potencial, acelerados por el campo. Los portadores acelerados colisionan con átomos
no ionizados originando su ionización, debido a la energía que ganan durante la colisión. El
desprendimiento de un electrón de su átomo origina un par electrón-hueco; este electrón es a su
vez acelerado por el campo. La colisión de cada electrón ionizado con los átomos del material
produce un efecto en cadena multiplicativo de avalancha, originando corrientes inversas
significativas. Cuando el campo es lo suficientemente grande, la corriente inversa se incrementa
356
Capítulo 12. Otros diodos.
muy rápidamente en la medida que el potencial inverso es incrementado. De acuerdo con ello,
los diodos Zener son operados como reguladores de voltaje. Los dos fenómenos de ruptura
definen la existencia de dos tipos de diodos, el diodo zener y el diodo de avalancha. Los diodos
de avalancha presentan un dopado más ligero que para los Zener propiamente dichos,
presentando una zona de transición de ancho W mayor que aquellos.
La corriente en este tipo de diodos es solo controlada por el circuito externo. El camino libre
medio entre colisiones es aproximadamente 10 nm y es mayor cuanto menos dopado sea el
semiconductor. Los campos inversos máximos son del orden de 200 kV/cm para el Germanio y
entre 200 y 1000 kV/cm para el silicio. Por ser menos sensible a la temperatura, se utiliza el
silicio en la fabricación de los Zener, que presentan una gama de voltajes de ruptura que van
desde los 2.4 voltios hasta cientos de voltios y hasta 50 Watts de potencia.
12.2.3.
Proceso de multiplicación.
El análisis del proceso de acumulación por avalancha es parte del hecho de que la corriente de
fuga que atraviesa la unión es multiplicada por un factor M, entonces si consideramos I0´ como
la corriente después de la avalancha, se tiene que:
I 0' = MI 0
[12.1]
Se introduce el concepto de coeficiente de ionización , para obtener la dependencia de M con
el voltaje inverso de la unión. No obstante, el coeficiente de ionización asume valores diferentes
tanto para electrones ( n ) como para huecos ( p ), en nuestro caso asumiremos que los dos
coeficientes son iguales, lo cual no resulta tan alejado de la realidad dado que el proceso de
generación produce pares electrón- huecos por colisiones. Así, podemos expresar que
n = p = . Ahora consideremos que la corriente inversa de saturación en la región de
depleción, bajo un campo inverso en condiciones de pre-multiplicación viene da por la suma de
las componentes tanto de huecos como de electrones en equilibrio térmico:
J 0 = J p 0 + J n0
[12.2]
357
Capítulo 12. Otros diodos.
Ahora, cuando el campo se incrementa, entonces se incrementa y por lo tanto las
componentes de corriente. Luego las componentes de corriente antes y después de la
multiplicación serían definidas de la forma:
1
q
J p (x ) →
Flujo de huecos en un punto x
q
J p (x)dx → Huecos adicionales creados por ionización en una distancia dx .
1
q
J n (x ) →
q
Flujo de electrones en un punto x .
J n (x )dx → Electrones adicionales creados por ionización en una distancia dx .
Luego el incremento del flujo total de huecos en un diferencial de posición estaría dado por:
1
dJ p = J p (x ) + J n (x ) dx
q
q
q
[12.3]
Donde el último termino representa los huecos generados por electrones fluyendo en dirección
'
contraria. Ahora, sí asumimos una sección transversal constante, entonces la corriente total J 0
debe ser la misma en cualquier valor de x , luego:
J 0' = J p (x ) + J n (x ) → Constante
[12.4]
Despejando J n ( x ) = J 0' − J p ( x ) en 12.4 y sustituyendo en la ecuación 12.3, obtenemos:
1
dJ p = J p (x )dx + J 0' − J p (x )dx
q
q
q
[12.5]
La expresión 12.5, es una ecuación diferencial que tiene como condición inicial J p (0) = J p 0 .
Resolviendo, encontramos que la solución del sistema es dada por la ecuación 12.6.
J p (x ) = J 0' x + J p 0
[12.6]
Procediendo de igual forma con los electrones, hallamos para la componente electrónica:
J n (x ) = J 0' x + J n 0
[12.7]
358
Capítulo 12. Otros diodos.
para las zonas de frontera, evaluando en x = 0 y x = W tenemos:
J p (0) = J p 0
J n (0) = J n 0
Observemos que cuando evaluamos en x = 0 para los huecos de la región p, debemos considerar
también los huecos que son generados por colisiones originadas por los electrones en la región
n; estos huecos han recorrido la distancia W desde la región opuesta, luego de 12.4:
J p (0) = J 0' − J n (W )
J p 0 = J 0' − J n (W )
[12.8]
De forma similar para electrones:
J n (0) = J 0' − J p (W )
J n 0 = J 0' − J p (W )
[12.9]
Reemplazando 12.8 y 12.9 en 12.6 y 12.7, obtenemos:
J p (W ) = J 0' W + J p 0 = J 0' − J n 0
J n (W ) = J 0' W + J n 0 = J 0' − J p 0
[12.10]
'
Resolviendo para J 0 se halla:
J 0' =
J n 0 + J po
1 − w
=
J0
1 − W
[12.11]
Donde J 0 es la corriente de fuga antes de la multiplicación.
Entonces:
M=
J 0'
1
=
J 0 1 − W
[12.12]
La cantidad W proporciona el número de ionizaciones que ocurren en la distancia W; ésta
depende del campo y del voltaje de polarización inverso. Luego podemos escribir una
proporcionalidad entre el número de ionizaciones y el voltaje inverso V, se tiene entonces:
W V m
[12.13]
Donde m, es un parámetro que varía entre 3 y 6 dependiendo del semiconductor y el dopado, y
es determinado empíricamente. La igualdad se establece con una constante de proporcionalidad
C, de la forma:
359
Capítulo 12. Otros diodos.
W = CV m
[12.14]
Ahora, el voltaje de ruptura (VZ) es considerado cuando se presenta la condición en la cual la
constante de multiplicación M tiende a infinito, o sea: M → . Esa condición implica W = 1
y V = VZ.
Luego C = VZ− m
[12.15]
Reemplazando12.15 en 12.12, se encuentra:
M=
1
1 − W
=
1
1
=
=
m
1 − CV
1 − VZ−mV m
1
V
1 −
VZ
m
[12.16]
Luego:
M =
1
V
1 −
VZ
[12.17]
m
Así, cuando V → VZ , el factor de multiplicación tiende a infinito y el diodo no limita la
corriente de fuga en ese momento.
Si se tiene un semiconductor para el cual, el campo de avalancha es conocido, es posible asociar
ese campo máximo al valor del campo de ruptura. Entonces sustituyendo Emax por EZ en la
expresión del campo para la unión p-n, podemos hallar una expresión para el voltaje de ruptura,
de la forma:
E max
2q( 0 + V ) N A N D
=
S
NA + ND
1
2
[12.18]
Haciendo 0 + V = VZ en la expresión anterior y resolviendo para VZ :
VZ =
S NA + ND
2q N A N D
E Z2
[12.19]
Cuando se trata de uniones de un solo lado, por ejemplo N A N D , se obtiene:
360
Capítulo 12. Otros diodos.
VZ =
S E Z2
[12.20]
2q N D
En este caso tenemos que E Z es una propiedad del material, VZ es controlado a través de la
concentración del lado menos dopado. La disipación de potencia de un diodo Zener viene dada
por P = IVZ y se consiguen diodos zener con potencias disponibles en el rango de 0,25 W hasta
los 50 W.
Cuando se trata de diodos zener basados en uniones graduales, el valor del voltaje Zener viene
dado por la expresión 12.21.
4E z
Vz =
3
3
2
2 S
q
1
2 − 12
a
[12.21]
En la tabla 12.1, se presentan los parámetros típicos del diodo Zener Motorola 1N2820 de 50 W.
12.2.4.
Tabla 12.1. Parámetros típicos.
A I Z = 520mA
Impedancia diferencial
A
I Z = 520mA
VZ = 24v
VZ
ZZ =
2.6
I Z
Impedancia diferencial
A
I Z = 5mA
Z Z = 80
Máxima corriente a 75 °C
I Z = 1.75
Voltaje Zener nominal
A
Aplicaciones del diodo Zener.
El Diodo Zener, al igual que la unión p-n, es usado también en diferentes topologías a fin de
lograr ciertas funciones requeridas en la electrónica, entre ellas podemos mencionar el uso como
dispositivo de referencia de tensión, como regulador de tensión y como limitador. A
continuación se presentarán brevemente las más conocidas.
Como limitador: una topología en donde aparecen dos diodos Zener en serie contrapuestos, ver
figura 12.4, nos reproduce un circuito limitador o también denominados selectores de amplitud.
Estos circuitos limitadores recortan partes definidas de una señal de entrada sin afectar la forma
de la onda restante. Los circuitos limitadores más ampliamente usados son aquellos que recortan
361
Capítulo 12. Otros diodos.
un lado de la señal de semiciclo positivo mientras anulan completamente el semiciclo negativo
por ejemplo, o aquellos que limitan la forma de onda al valor del voltaje de ruptura en ambas
polaridades de los diodos Zener en serie contrapuestos, como se observa en la figura 12.4; el
circuito se usa para proteger los dispositivos de voltajes excesivos o de polaridades
inapropiadas.
Figura 12.4. Diodos Zener usados como limitadores de voltaje.
Como regulador: en esta aplicación se pretende estabilizar el voltaje a través de una resistencia
de carga RL. En la figura 12.5 se muestra cómo la resistencia de carga al ser conectada en
paralelo con el dispositivo Zener permite que este último actúe como regulador, ya que el
dispositivo tiene como objetivo mantener estable el voltaje a pesar de las posibles variaciones
que se puedan presentar bien sea en el voltaje de la fuente, en la resistencia de carga o en ambos.
Las posibles variaciones que se puedan presentar bien sean en la fuente de entrada o en la
corriente que circula a través de la carga se ven reflejadas en la magnitud de la corriente que
atraviesa el diodo Zener, pero ya hemos visto que para grandes variaciones de corriente el
dispositivo presenta pequeñas variaciones de voltaje, lo que nos permite medir un voltaje estable
entre los terminales de la resistencia de carga. Si se cumple que la resistencia R >>
rZ, entonces
podremos observar que las variaciones del voltaje a través del dispositivo tienden a ser pequeñas
comparadas con las del voltaje de fuente. Para que el diodo opere como regulador debe
cumplirse la condición de que el voltaje Thevenin o de circuito abierto a través del diodo Zener
sea mayor que el voltaje nominal del Zener, de esa condición se comprende la importancia de
calcular apropiadamente el valor de RL para garantizar que el diodo esté en la zona de ruptura.
VTH =
Vi RL
> VZ
RL + R
[12.22]
362
Capítulo 12. Otros diodos.
Figura 12.5. Zener usado como regulador de corriente.
Cabe mencionarse que para valores de voltajes y corrientes próximos a los valores nominales o
de curva, (VZK , IZK) el diodo no regula ya que para esos valores la resistencia dinámica será
significativa comparada con aquella de la zona de operación típica. El diodo entonces regula
para valores lejanos de los nominales. De la figura 12.5 obtenemos que la corriente total I es la
suma de la corriente que atraviesa el diodo IZ, más la corriente que circula a través de la
resistencia de carga IL. Luego I = IL + IZ
[12.23]
De tal forma que, si la corriente de carga varía por efectos de variación de la resistencia de
carga, el cambio será asumido por IZ ya que I es constante para un valor fijo de la fuente de
voltaje; esas variaciones de la corriente a través del diodo no implican cambios de voltaje entre
los terminales del mismo. Adicional a este comportamiento el diodo Zener debe estar en
capacidad de operar de manera apropiada en el caso de que no haya carga, o sea cuando IZ = I.
De igual manera si el dispositivo se encuentra inactivo, ello ocurre cuando IZ < IZK, el diodo no
estará regulando y podemos afirmar que IZ = 0 y en consecuencia toda la corriente circulará por
la resistencia de carga, tenemos en ese caso que:
VL = VZ + IZ rZ
Así, si IZ = 0 entonces VL = VZ y la corriente total sería
I=
Vi − VZ
R
[12.24]
Entendemos que las variaciones de VZ serán mucho menores que las de Vi, luego el valor de Vi
determinará la magnitud de I ya que VZ puede considerarse constante. Los diodos de avalancha a
diferencia de los diodos Zener tienen en la región de curva un quiebre más pronunciado, lo que
los hace más atractivos para ser usados en circuitos reguladores. El siguiente ejemplo, ilustra
algunas aplicaciones
363
Capítulo 12. Otros diodos.
Ejemplo 1
Un diodo Zener tiene un VZ = 9 V y
rZ = 1.5 . Se conecta en paralelo con una resistencia de
carga RL que puede variar desde infinito hasta 200 . Ver figura 12.6(a). Si R = 250 y Vi =
22 V. Encuentre a) La IZ mínima, b) la IZ máxima y c) el cambio de corriente y voltaje en la
carga ?
(a)
(b)
Figura 12.6. Aplicaciones del Zener.
Solución:
a) Reemplazando el diodo Zener por su equivalente circuital y aplicando las leyes de Kirchhoff,
obtenemos que la corriente total mínima la encontramos cuando RL es infinito, luego:
I=
Vi − VZ
22V − 9V
13V
=
=
= 51.68mA
RT
250 + 1.5 251.5
La corriente mínima a través del Zener ocurre cuando RL es mínima, o sea cuando IL es máxima
luego:
Izmin = I - ILmax dado que el valor de la fuente de voltaje es fijo, esta corriente es estable
entonces:
Izmin = 51.68 mA – 9 V/200 = 51.68 mA - 45mA = 6.68 mA
b) Ahora la corriente máxima en el Zener ocurre cuando IL = 0, es decir cuando RL tiende a
infinito.
En ese caso Izmax = I = 51.68 mA
La variación de la corriente es luego IZ = 51.68 mA - 6.68 mA = 45mA
c) Valor del cambio de voltaje, VZ? Se puede hallar de dos formas:
i) Vz = rd Iz = 1.5 x 45 mA = 0,0675 V
Vz % = (0,0675 V x 100)/ 9 V = 0,75 %
364
Capítulo 12. Otros diodos.
ii) Considerando las variaciones de resistencia
En circuito abierto con RL tendiendo a infinito.
VZ = 22 - I (251.5) = 22 – (51.68 x 10-3 ) x 251.5 = 9 V
Ahora para el valor máximo de RL = 200
VZ = 22 - I (250) - IZ (1.5) = 22 – (51.68x10-3A x 250) - 6.68x10-3A x 1.5
VZ = 22 - 12.92 - 0.010 = 9.07 V
VZ = (9.07 - 9.00)/9.00 * 100% = 0.77%.
12.2.5.
Dependencia con la temperatura.
Como todos los dispositivos electrónicos, los diodos Zener son sensibles a los cambios de
temperatura. Existen coeficientes positivos de variación del voltaje respecto a la temperatura y
negativos respecto al voltaje de ruptura. El máximo porcentaje de variación es de
aproximadamente ±0.1%/oC para un Zener.
Se define el coeficiente de temperatura TC como:
TC =
VZ
*100% [% / oC]
VZ (T1 − T0 )
[12.25]
Donde VZ corresponde al valor de Voltaje Zener a To ≈ 25 oC. T0 sería la temperatura inicial
mientras que T1 corresponde a la temperatura final.
En los diodos Zener al aumentar la temperatura, aumenta también la energía que tiene un
electrón, éste puede escapar del átomo fácilmente, requiriéndose entonces un voltaje menor de
ruptura para extraer los electrones de sus posiciones cristalinas. En consecuencia, en la variación
de la curva característica se observa que el valor del voltaje de ruptura VZK disminuye con
aumentos de la temperatura; lo anterior implica la existencia de un coeficiente de temperatura
negativo.
En los diodos de avalancha se tienen unos niveles de dopado inferiores a aquellos diodos Zener
propiamente dichos, esta característica hace que el ancho de la zona de carga espacial sea
mayor. Conforme aumenta la temperatura, aumenta también la vibración de los átomos y
365
Capítulo 12. Otros diodos.
también los choques de los electrones libres con éstos al cruzar la zona de transición. Estas
colisiones hacen que los portadores pierdan energía necesitándose un mayor voltaje inverso
aplicado a fin de lograr el punto de ruptura. Entonces debido a que a mayor temperatura se
necesita mayor valor de voltaje, tenemos un coeficiente de temperatura positiva. La tabla 12.2
incluye algunos datos de variación de temperatura para un diodo Zener.
Tabla 12.2. Coeficiente de temperatura.
Corriente inversa máxima
(mA)
IR
10
12.2.6.
Voltaje de
prueba (V)
VR
7.2
Corriente de regulación
Coeficiente de
máxima. (mA)
temperatura típico
Izm
(% / oC)
32
+0.072
Impedancia Dinámica versus Corriente de Zener IZ.
De acuerdo con el modelo del diodo mostrado en las páginas iniciales del capítulo, éste es
representado por una fuente de voltaje en serie con una resistencia que hemos denotado como
rZ, esa magnitud es la pequeña resistencia incremental, que se calcula en un pequeño rango de
operación del diodo Zener y se define como.
rZ
dV
dI
[12.26]
De acuerdo con la definición, cuanto más intensa sea la corriente IZ, menor será la resistencia rZ,
y en forma recíproca
rZ aumenta a valores considerables cuando tenemos corrientes pequeñas.
En un mismo dispositivo se pueden observar variaciones de
rZ desde los [2 - 4]
para altas
corrientes hasta rangos que van desde los [200 - 500] para bajas corrientes (valores alrededor
de IZK). En la tabla 12.3, se presentan algunos valores típicos del diodo Zener 1N961. El valor
máximo de potencia se calcularía tomando como referencia el valor máximo de corriente IZKmax
Tipo
1N961
Tabla 12.3. Parámetros del Zener a 25 ºC.
Voltaje Zener
Corriente Impedancia Dinámica Impedancia en rodilla
Nominal
de prueba
máxima
Zener máxima
VZ
IZT(mA)
ZZT() a IZT
ZZK () a IZK(mA)
10
12.5
8.5
700 - 0.25
366
Capítulo 12. Otros diodos.
12.3. Diodo Varactor
Este tipo de diodo conocido también como Varicap, igual que el anterior, es un dispositivo
electrónico muy usado dada su importancia en la electrónica, pues presenta características de
funcionamiento de gran utilidad y aplicaciones en los circuitos electrónicos. Son diodos de
Silicio fabricados basados en el principio de variación del ancho de la zona de depleción W en
función de la tensión inversa aplicada entre sus extremos. A mayor voltaje inverso, más ancha la
zona de depleción W y menor la capacitancia de transición. Los diodos diseñados para estos
propósitos se conocen como varactores, este nombre proviene de su denominación en inglés
“variable reactors” o diodos de sintonía. Aunque la capacitancia es pequeña los Varactores se
pueden conectar en paralelo para proveer mayores valores. Este ítem tiene como objetivo,
identificar la importancia y mostrar las principales características del diodo Varactor enunciando
su estructura, modelo, problemas y algunas aplicaciones.
12.3.1.
Símbolo.
Tal como se estudió en la unión p-n polarizada, la capacitancia variable de la unión p-n en
función de la tensión del diodo polarizado en sentido inverso, es utilizado en aplicaciones
electrónicas que requieren capacitancias de estado sólido. Es esta la característica que se explota
en los diodos Varactores. Un ejemplo típico es la sintonización por tensión de un corto circuito
resonante LC . La figura 12.7 (a) muestra el símbolo esquemático, el cual efectivamente es
representado como un capacitor variable, la figura 12.7(b) muestra su circuito equivalente
conformado por una capacitancia variable CT en asocio con un par de resistencias.
(a)
(b)
Figura 12.7. (a) Símbolo (b) circuito equivalente del diodo Varactor.
La resistencia geométrica del diodo RS representa la resistencia serie (óhmica) del cuerpo del
diodo y es de un valor pequeño. Ejemplo de valores típicos de CT y RS son del orden de 20 pF y
367
Capítulo 12. Otros diodos.
8,5 respectivamente, a una tensión de polarización inversa de 4 V. La inductancia LS se
introduce dado que una de los usos del diodo es en aplicaciones de alta frecuencia, el valor de la
inductancia LS varía típicamente de 1 a 5 nH, existiendo sin embargo un límite de frecuencia
asociado con el uso del varicap. La resistencia inversa del diodo Rr en paralelo con CT por las
condiciones de polarización inversa es muy grande, aproximadamente 1 M y por tanto suele
ser despreciada. La variación de la capacitancia con el voltaje para este tipo de diodo es
típicamente de 2 a 20pF para voltajes inversos entre -20 V y -0.5 V. Otros valores típicos para
esta clase de dispositivos son voltajes de ruptura inversos de -30V y corriente de fuga inversa
0.5µA. En general se pueden obtener para estos dispositivos valores de capacidad variable que
se mueven en un amplio rango que van desde 1 a 500 pF, con tensión inversa mínima del orden
de 1 V. Valores de capacitancias CT mayores que pueden presentar variaciones en una relación
de 10:1 respecto a un valor inicial, pueden ser obtenidos aumentando las concentraciones de
impurezas en las regiones p y n del dispositivo haciendo al dispositivo útil en el ancho de banda
de AM desde los 535 hasta los 1605 Khz. En la figura 12.8 (a) se muestran unos símbolos
alternos también utilizados y en la figura 12.8 (b), algunos dispositivos comerciales.
(a)
(b)
Figura 12.8. Otros símbolos y algunos dispositivos comerciales del diodo Varicap.
Los diodos Varactor son diodos que basan su funcionamiento en el principio que hace que la
anchura W de la barrera de potencial en una unión p-n, varíe en función de la tensión inversa
aplicada entre sus extremos. Al aumentar dicha tensión, aumenta la anchura de esa barrera,
disminuyendo así la capacidad del diodo. De este modo se obtiene un condensador variable
controlado por tensión. Cuanto mayor sea la tensión inversa, mayor será la anchura de la zona
de carga espacial, y por lo tanto menor su capacidad CT. Esta variación de capacitancia vs.
voltaje inverso es representada para dos diodos típicos de silicio: 1N914 y 1N916 en la figura
12.9. Similarmente, si se aumenta la tensión directa (V positiva) W decrece y CT aumenta. En
368
Capítulo 12. Otros diodos.
términos de la polarización inversa aplicada, la capacitancia de transición se determina en forma
rápida mediante la ecuación 12.26.
CT =
K
(0 + V )a
K
= Constante definida por el material semiconductor y la técnica de construcción.
0
= Potencial de contacto.
V
= Magnitud de la polarización inversa.
a
= Parámetro: 1/2 para uniones abruptas y 1/3 para uniones graduales.
W
= Anchura de la región de depleción.
CT
= Capacitancia.
Siendo:
[12.27]
Figura 12.9. Variación de la capacitancia con la tensión inversa.
Recordemos que la zona de difusión se ensancha o estrecha según la polarización del diodo.
Esta propiedad de la unión p-n polarizada en sentido inverso, cuya capacidad es variable con la
tensión, se emplea en numerosos circuitos. Estos diodos Varactores o Varicaps son fabricados
especialmente para ser usados como tales, varias aplicaciones que se mencionarán más adelante
se basan en el principio de la variación de la capacidad con la tensión inversa aplicada.
12.3.2.
Estructura.
En la unión p-n polarizada inversamente, se forma una capacitancia o sea una región con carga
ionizada en ambos lados de la unión, pero sin presencia de carga móvil, que en conjunto forman
la región de depleción tal como se vio en el estudio de la unión p.-n polarizada, este valor de
capacitancia corresponde a la ecuación 12.26, por lo que muy bien se podría asemejar al valor
369
Capítulo 12. Otros diodos.
de un capacitor de placas planas paralelas con el material semiconductor como dieléctrico. En la
figura 12.10 se presenta la estructura interna de un diodo varactor. La figura 12.11, muestra la
semejanza del diodo con un condensador de placas planas paralelas. De la figura 12.11 (a), es
posible observar que en las placas del condensador se almacena carga eléctrica, positiva en una
placa y negativa en la otra, quedando el dieléctrico entre ellas. En la figura 12.11 (b), el diodo
tiene, en la región p, portadores positivos (huecos) y en la región n portadores negativos
(electrones), quedando la zona de difusión entre ellas, sin portadores móviles, de esta forma se
puede decir que la zona de difusión corresponde al dieléctrico de un condensador de placas
planas paralelas.
Figura 12.10. Estructura interna de un diodo varactor
(a)
(b)
Figura 12.11. Semejanza del diodo con el capacitor de placas planas.
12.3.2.1.
Diagrama de bandas.
El diagrama de bandas que explica el funcionamiento de un diodo Varactor, se corresponde con
aquel de la unión p-n polarizada inversamente; en el modelo rectangular del diagrama de
bandas mostrado en la figura 12.12, se evidencia la región de depleción de anchura variable en
función de la tensión de polarización inversa aplicada. Se observa que, a mayor V inverso, la
370
Capítulo 12. Otros diodos.
región W(V) aumentará, lo mismo que la altura de la barrera de potencial, lográndose una
disminución en el valor de capacitancia.
Figura 12.12. Diagrama de bandas.
El diodo Varicap o Varactor es muy utilizado en circuitos de radio frecuencia, sintonización y
tensión. La principal aplicación de estos diodos se encuentra en circuitos de sintonización
automática de voltaje de un circuito resonante de LC , para circuitos receptores compactos de
radio y de TV, circuitos de puentes auto balanceados así como en la modulación de frecuencia
en transmisiones de FM y radio. De igual forma son muy utilizados en circuitos de fuente auto
equilibrado y en algunos tipos especiales de amplificadores denominados amplificadores
paramétricos. En conclusión, podemos afirmar que el diodo Varactor es un componente de
estado sólido con el cual se obtiene un condensador variable controlado por tensión.
12.4. Diodo Túnel
Reona Esaki en 1973 ganó el premio nobel de física por los trabajos que le permitieron
descubrir el fenómeno del tunelamiento de barreras por parte de partículas, tal descubrimiento
le permitió dar a conocer por primera vez en 1958, el dispositivo conocido como diodo túnel
presentando como principal característica su región de resistencia negativa, o sea que en esta
región, un incremento en el voltaje aplicado entre los terminales del dispositivo, da como
resultado una reducción en la corriente del diodo. En este ítem se describirán las principales
características del diodo túnel y sus principios de funcionamiento.
371
Capítulo 12. Otros diodos.
12.4.1.
Símbolos, especificaciones y circuito equivalente.
Los símbolos más comúnmente usados para el diodo túnel son mostrados en la figura 12.13 (a),
el circuito equivalente del diodo en la región de resistencia negativa se muestra en la figura
12.13 (b). El modelo usado incluye una inductancia (LS) en serie con un sistema paralelo que
involucra un capacitor (CT) y un resistor (R) más una resistencia adicional en serie (RS).
(a)
(b)
Figura 12.13. Diodo túnel. a) Símbolos b) circuito equivalente.
La resistencia RS se debe tanto a los terminales, es decir al contacto óhmico en la unión metalsemiconductor, como a la naturaleza de los semiconductores. La capacitancia CT es la
capacitancia de difusión de la unión y R es la resistencia-negativa de la región. La inductancia
depende de la geometría del encapsulado y es función de la longitud de los terminales. Existe
una proporcionalidad directa entre el valor de la inductancia LS y la longitud de los terminales, a
modo de ejemplo, la inductancia LS asociada puede tener variaciones de 1 a 12 nH para unos
dispositivos y entre 1 y 6 nH para otros. Valores para cada parámetro del circuito equivalente
correspondientes a dos dispositivos, se especifican en las tablas 12.4. y 12.5.
Tabla 12.4. Especificaciones diodo Túnel de Ge 1N2939.
Valores máximos absolutos
Mínimo Típico Máximo
Unidades
Corriente directa (-55 a + 100oC)
5
mA
Corriente inversa (-55 a + 100oC)
10
mA
o
Características eléctricas (25 C)
IP
terminales de 1/8 pulg.
0,9
IV
VP
50
VV
1.0
1.1
mA
0.1
0.14mA
mA
60
65
mV
350
Voltaje inverso (IR = 1.0mA)
mV
30
mV
600
mV
Voltaje de corriente puntual
Pico directo VFP
450
500
372
Capítulo 12. Otros diodos.
IP/IV
10
-R
-152
C
5
LS
6
RS
1.5
15
pF
nH
4
Tabla 12.5. Especificaciones diodo Túnel de Ge 1N2927 a 25ºC
Símbolo Condiciones de prueba Mínimo Máximo Unidades
IP
90
110
µA
IV
35
µA
VP
75
mV
VV
475
mV
VF
IF = 110 µA
600
1000
mV
IR
1
mA
IF
500
µA
Como se puede notar los diodos túnel son dispositivos de baja potencia, lo cual los hace
atractivos para ser usados en el diseño de circuitos digitales, siendo la región de resistencia
negativa apropiada para el diseño de osciladores.
12.4.2.
Estructura del dispositivo.
Un diodo de unión p-n típico tiene región de depleción de más o menos del orden de una micra
y dimensiones de ese orden se logran dopando el semiconductor con dosis de impurezas de
aproximadamente 1 parte por 108 átomos-cm-3. Como ya se ha explicado, la barrera de potencial
impide el flujo de portadores de un lado al otro de la unión evitando que la componente de la
corriente de difusión se incremente por causa de la existencia del gradiente de concentración.
El Diodo túnel se fabrica dopando el material semiconductor que formará la unión p-n, a un
nivel de cien o varios miles de veces más que el de un diodo semiconductor típico. Si la
concentración de impurezas se aumenta de manera significativa respecto al dopado de las
uniones típicas, es decir a valores equivalentes a 1 parte por cada 10 3 átomos-cm-3, lo cual
implicaría concentraciones del orden de 1019 cm-3, la región de depleción se ve reducida
también considerablemente, aquí vale la pena recordar lo que ocurre con las uniones de un solo
lado. Las nuevas dimensiones pueden ser del orden de los 100 Ǻ o típicamente cerca de 1/100
373
Capítulo 12. Otros diodos.
del ancho de esta región para un diodo semiconductor común. La construcción básica de un
diodo túnel de diseño avanzado se muestra en la figura 12.14.
Figura 12.14. Construcción de un diodo Túnel.
12.4.3.
Efecto túnel
Sabemos que para que se presente el fenómeno de difusión, un portador debe tener una energía
suficiente o al menos equivalente a la altura de la barrera de potencial para poder atravesar la
unión, no obstante, la mecánica cuántica indica que la probabilidad de que puedan penetrar
partículas a través de una barrera tan estrecha como la que hemos indicado no es nula. Es en esta
región de depleción delgada, donde muchos portadores logran atravesar a altas velocidades la
barrera, perforándola, en lugar de tratar de superarla. Estas velocidades exceden en mucho a las
obtenidas en los diodos rectificadores y por esta razón el diodo túnel es usado en aplicaciones de
alta velocidad, como computadores, en las cuales se desean tiempos de conmutación de
nanosegundos o picosegundos. Sin embargo debido al surgimiento de nuevos dispositivo, el
diodo túnel está siendo desplazado en las aplicaciones de alta frecuencia. Los diodos túnel más
asequibles comercialmente, son fabricados de Germanio o de Arseniuro de Galio.
El mencionado fenómeno constituye el principio de funcionamiento del diodo túnel y al efecto
que lo permite se le conoce con el nombre de efecto túnel y por tanto estos elementos p-n cuyas
regiones han sido fuertemente dopadas con una alta densidad de impurezas se llaman diodos
túnel o diodos Esaki. Este mismo efecto túnel es responsable de las emisiones radioactivas y
emisión de electrones de un metal frío por un campo intenso. Sabemos que las dimensiones de
la barrera de la unión varían inversamente con la raíz cuadrada de la concentración de
impurezas, regida por la ecuación 12.28:
20
W =
qN B
1
2
[12.28]
Donde:
374
Capítulo 12. Otros diodos.
0 = potencial de union o de contacto
N B = concentracion de impurezas de la región menos dopada.
Para el diodo túnel W se reduce a menos de 100 Å, distancia que constituye la quincuagésima
parte de la longitud de onda de la luz visible.
12.4.4.
Estructura de las bandas de energía de un diodo p-n altamente dopado.
La condición de que la barrera sea menor que 100 Å es una condición necesaria, pero no
suficiente, para el efecto túnel. Se requiere también que existan estados de energía ocupados en
el lado desde el que los electrones pasan por efecto túnel y que además existan estados vacíos en
el otro lado (en el que penetran los electrones) al mismo nivel de energía. Por lo tanto, debemos
considerar ahora la estructura de las bandas de energía con concentraciones de impurezas
elevadas.
La figura 12.15 corresponde a un diodo p − n ligeramente dopado. El nivel de Fermi E F en el
lado p tiene la misma energía que el nivel de Fermi E F del lado n. Obsérvese que, en un lado de
la unión, no hay estados llenos con la misma energía que los vacíos correspondientes del otro
lado y por lo tanto no hay circulación de cargas en ninguna dirección a través de la unión y en
consecuencia la corriente es cero. Desde luego, ésta es una conclusión correcta para el caso de
un diodo en circuito abierto. El nivel de Fermi E F queda dentro de la zona de energía prohibida.
Figura 12.15. Diagrama de bandas para un diodo dopado ligeramente.
Demostraremos ahora que en un diodo lo suficientemente dopado como para que tenga lugar el
efecto túnel, E F está fuera de la banda prohibida. Se sabe que:
375
Capítulo 12. Otros diodos.
E F = EC − KT ln
NC
ND
[12.29]
En un semiconductor ligeramente dopado, N D N C , de modo que ln(N C / N D ) es un número
positivo. Por lo tanto, E F EC y el nivel de Fermi está dentro de la banda prohibida. Puesto
que la densidad efectiva de estados N C 1019 cm −3 , entonces con una concentración de
donadores superior a este orden, es decir N D 1019 cm −3 , que corresponde a una concentración
de dopado en exceso de una parte en 103, entonces la expresión ln(N C / N D ) será negativo. Por
lo tanto E F EC y el nivel de Fermi en el material de tipo n está dentro de la banda de
conducción. Mediante un razonamiento parecido, se deduce que, para una región fuertemente
dopada del tipo p, N A NV y el nivel de Fermi se posiciona en la banda de valencia:
E F = EV + KT ln
NV
NA
[12.30]
Ahora comparando las ecuaciones 12.31 y 12.32:
E g = KT ln
N C NV
E0 = KT ln
ND N A
ni
ni
2
2
[12.31]
[12.32]
Vemos que E0 E g , de modo que la diferencia de energía potencial del contacto E0 sobrepasa
ahora la tensión E g de la banda prohibida. En la figura 12.16 (a) se observa en condiciones de
equilibrio térmico el diagrama de bandas que representa la estructura de una unión p-n
fuertemente impurificada y en 12.16 (b) la misma estructura bajo condiciones de polarización
inversa. Tanto con polarización inversa como directa se da la condición de que estados llenos
quedan enfrentados a estados disponibles solamente separados por la estrecha zona de
depleción.
376
Capítulo 12. Otros diodos.
12.4.5.
Característica tensión – corriente.
Obtendremos mediante una descripción cualitativa la curva característica del diodo túnel con la
ayuda de las bandas de energía de las figuras 12.16, 12.17 y el concepto de la mecánica cuántica
sobre el efecto túnel. Vamos a considerar que el material p esta aterrizado y que la tensión
aplicada al diodo cambia el potencial del lado n respecto al lado p. Por ejemplo, si se aplica una
tensión de polarización inversa, sabemos que la altura de la barrera aumenta por encima del
valor E0 en circuito abierto; por lo tanto, los niveles del lado n deben bajar con respecto a los
niveles del lado p, como indica la figura 12.16(b). Observemos ahora que hay algunos estados
de energía en la banda de valencia del lado p, que están al mismo nivel que los estados vacíos en
la banda de la conducción del lado n. En consecuencia, estos electrones pasarán por efecto túnel
del lado p al lado n, dando lugar a una corriente inversa en el diodo. Cuando la magnitud de la
polarización inversa aumenta, la corriente inversa también aumenta, comportamiento que
constituye la región 1 de la figura 12.18 que corresponde a la curva característica del
dispositivo. Estos diagramas solamente son estrictamente válidos a 0 0 K , pero son muy
aproximados a temperatura ambiente. Se puede observar que el dispositivo es un excelente
conductor bajo condiciones de polarización inversa.
Figura 12.16. Diodo p-n fuertemente dopado a) en circuito abierto y b) con polarización inversa.
Consideremos ahora que aplicamos polarización directa al diodo, de manera que la barrera de
potencial disminuya por debajo de E0 . Por consiguiente, el nivel del lado n aumentara respecto
al del lado p y el grafico de bandas de energía queda reflejado en la figura 12.17.
Es evidente que hay estados ocupados en la banda de conducción del material n, que tienen el
mismo nivel de energía que los correspondientes estados vacíos (huecos) en la banda de
valencia del lado p. Por lo tanto, los electrones pasaran por efecto túnel del material n al
377
Capítulo 12. Otros diodos.
material p, dando lugar a la corriente directa de la parte 2 de la figura 12.17(a). Se observa que
para voltajes en directa pequeños la resistencia también resulta ser pequeña, aproximadamente 5
para el caso de diodos de Germanio. La resistencia es prácticamente lineal hasta alcanzar el
valor de voltaje VP, conocido como valor pico de voltaje.
Figura 12.17. Unión pn fuertemente dopada con polarización directa, cambio progresivo desde (a) hasta (d).
Cuando la polarización directa aumenta todavía más, se alcanza la condición representada en la
figura 12.17(b). Ahora, el número máximo de electrones pueden abandonar estados llenos del
lado de la derecha de la unión y por efecto túnel atravesar la barrera hacia estados vacíos de la
izquierda, dando lugar al pico de corriente de la figura 12.18. La presencia del pico de corriente
IP a bajos valores de voltaje de polarización se explica por el hecho de que la perforación de la
barrera se logra a potenciales de polarización en directa bajos.
Si se aumenta la magnitud de la polarización directa se obtiene la situación de la figura 12.17(c)
y la corriente del efecto túnel disminuirá, lo cual corresponde a la parte 3 de la figura 12.18.
Finalmente, al aumentar aún más la polarización directa, pasa a ser válida la estructura de
bandas de la figura 12.17(d).
378
Capítulo 12. Otros diodos.
Figura 12.18. Característica tensión – corriente.
Como ahora no hay uno de los lados con estados vacíos permitidos, que tengan la misma
energía que los estados ocupados del otro lado, la corriente por efecto túnel debe bajar a cero. A
partir de este mínimo de corriente debida al efecto túnel, para aumentos del voltaje empieza a
hacerse presente la corriente del diodo descrita en el capítulo anterior, es decir la corriente
debida a la inyección de portadores a la unión regular p-n, recordemos que viene dada por la
(
)
ecuación I = I 0 eV / VT −1 y está indicada por la parte 4 dibujada a trazos en la figura 12.18.
Como puede observarse de la figura 12.18, los valores de corriente de pico (IP) y de valle (IV)
determinan la pendiente de la zona de resistencia negativa (región 3), que resulta ser la zona
atractiva de este dispositivo, en consecuencia la relación entre las dos magnitudes se utiliza
como figura de mérito del dispositivo. La obtención de una relación I P I V alta en diodos túnel
de silicio no es común, por este motivo se usan materiales como Germanio que presenta una
relación 10:1 de las corrientes o Arseniuro de Galio cuya relación de corrientes es de 20:1.
Mientras los valores para las corrientes de pico se mueven en un rango amplio, que pueden ir de
las unidades de microamperios hasta cientos de amperios, los valores de voltaje de pico pueden
ser de hasta 600 mV ; en el Germanio ese valor es 50 mV.
12.4.6.
Análisis cualitativo de las características de un diodo túnel
De la figura 12.18, vemos que la relación dI dV es igual a cero en los valores correspondientes
al voltaje de pico VP y al voltaje de valle VV . Si la tensión V aumenta por encima de VP ,
379
Capítulo 12. Otros diodos.
caemos en la zona de resistencia negativa y en consecuencia la corriente disminuye, lo cual se
puede expresar como una conductancia dinámica g = dI dV negativa. A la tensión de valle VV
se presenta de nuevo la condición de conductancia igual cero y para valores mayores al voltaje
de valle la resistencia se torna positiva. El valor de la corriente de pico IP en la región 4 vuelve a
ser logrado a un valor definido de voltaje que denominamos VF , para valores de tensión
mayores a VF , la corriente continua su incremento.
La magnitud de la corriente de pico depende fundamentalmente de la concentración de
impurezas y el área de la unión. El rango de corrientes comprendido en el intervalo entre
I V e I P , nos permite observar que la corriente es una relación del voltaje ya que podemos lograr
la misma magnitud de corriente a tres valores diferentes voltaje, característica que lo hace
apropiado para diversas aplicaciones. Dado que el proceso de tunelamiento se hace a
velocidades cercanas a la velocidad de la luz, los retardos en las corrientes de arrastre y de
difusión son mínimos, haciéndolo atractivo para aplicaciones que requieren tiempos mínimos de
conmutación.
Aplicaciones. En la figura 12.19, se muestra un circuito que involucra una resistencia de carga y
un diodo túnel en serie, al resolver el sistema de forma gráfica, podemos ver la intersección de
la recta de carga con la curva característica del diodo en tres puntos diferentes. La recta de carga
está determinada por la ley de voltajes de Kirchhoff de la malla y las características del
dispositivo.
Figura 12.19. Diodo túnel y la recta de carga resultante.
Las intersecciones en a y b son puntos de operación estable, debido a las características de
resistencia positiva, ya que pequeñas variaciones en la fuente de voltaje no pondrá el sistema en
oscilación o dará como resultado un cambio significativo en la ubicación del punto de
operación. El punto de operación c en cambio es inestable, debido a que un ligero cambio en las
380
Capítulo 12. Otros diodos.
magnitudes de voltaje o corriente a través del diodo harán que el punto de operación se mueva
hacia a o hacia b. Esta inestabilidad en la región de resistencia negativa, origina que el más
ligero incremento en V se ve reflejado en un incremento en el voltaje a través del diodo túnel, lo
cual causará una disminución en la corriente y posteriores incrementos en el voltaje entre
terminales del dispositivo. Este efecto sucesivo genera un cambio en el valor de la corriente I T
hasta que se establece el punto de operación estable en b. El mismo análisis puede hacerse para
una disminución pequeña en el voltaje de la fuente V, el cual genera una transición hacia el
punto a.
La región de resistencia negativa es muy útil en el diseño de circuitos osciladores. En la figura
12.20, se presenta un circuito oscilador que involucra un diodo túnel. Cuando se cierra el
interruptor, el voltaje de la fuente de alimentación ira de O V a un valor final de V volts y en
consecuencia la corriente I se incrementa de 0 mA a IP. El resultado es un almacenamiento de
energía en el inductor en forma de un campo magnético. Un análisis del circuito nos permite
afirmar que una vez que se alcanza el valor de la corriente de pico I P , la corriente debe empezar
a disminuir para aumentos del voltaje por encima de VP, condición que está en contradicción
con la ecuación 12.33 ya que tanto la corriente como la resistencia disminuyen, mientras
tenemos una fuente de voltaje fija.
V = IR + I (− RT ) = I ( R − RT )
[12.33]
Figura 12.20. Oscilador de resistencia negativa.
La única posibilidad para que la corriente siga incrementándose es que el punto de operación
pase del punto 2 al punto 4. Ahora estando en el punto 4 el voltaje a través del diodo ha pasado a
tener un valor mayor que aquel del voltaje aplicado, lo cual se evidencia por el hecho de que el
punto 4 se ubica a la derecha del cualquier punto de la línea de carga. La única forma en que la
381
Capítulo 12. Otros diodos.
ley de voltaje de Kirchhoff se cumple es si la polaridad del voltaje transitorio a través de la
bobina se invierte y la corriente comienza a disminuir como se muestra de 4 a 3 en la curva
característica. Sin embargo cuando VT está disminuyendo hacia VV , la característica sugiere que
la corriente I T debe aumentar nuevamente, lo cual no ocurre porque VT es aún mayor que el
voltaje aplicado y la bobina está descargando a través del circuito en serie, en consecuencia el
punto de operación debe pasar al punto 1 para permitir que continúe el decremento de I T . A
partir de ese punto los niveles de potencial son tales que la corriente de túnel puede de nuevo
incrementarse de 0mA a I P , como se muestra en la característica repitiéndose el proceso sin
establecerse nunca en el punto de operación definido para la región inestable. El voltaje
resultante a través del diodo túnel aparece en la figura 12.22(c) y continuará mientras haya la
alimentación de DC. La disponibilidad de una región de resistencia negativa es útil no sólo en el
diseño de osciladores, sino también en redes de conmutación, generadores de pulso y
amplificadores.
12.5. Fotodiodos.
Los fotodiodos son en esencia uniones p-n polarizadas inversamente y activadas por una
excitación lumínica, es decir uniones fabricadas para ser sensibles a la absorción de fotones. La
corriente inversa en el foto diodo es función de la luz incidente, observándose una
proporcionalidad directa entre la intensidad de luz y la corriente de fuga. Debido a esas
particularidades los fotodiodos usualmente en su encapsulamiento vienen equipados con un
lente que concentra la cantidad de luz sobre la unión p-n, este lente puede ser accedido por la luz
a través de una ventana transparente en su parte superior, como puede ser observado en la figura
12.21.
Figura 12.21. Fotografía de un fotodiodo.1
1
http://www.directindustry.es/prod/laser-components/fotodiodos-36263-230244.html
382
Capítulo 12. Otros diodos.
Un fotodiodo fundamenta su operación en los procesos de generación de pares electrón - hueco
debido a la incidencia de energía luminosa. Para polarización inversa, al incidir el rayo de luz de
determinada longitud de onda en la unión, se crean pares electrón-hueco que se desplazan a
través de la zona de depleción debido al campo generado en la región de depleción, generándose
una corriente en el circuito externo que se conoce con el nombre de fotocorriente y que tiene la
característica de ser proporcional a la potencia incidente por unidad de superficie efectiva en el
dispositivo (lo cual se conoce como irradiancia). En estas condiciones de polarización estará
entonces presente la corriente de generación constituida por portadores minoritarios que son
generados térmicamente dentro de una distancia menor a la longitud de difusión y que
posteriormente bajo el influjo de campo eléctrico son capturados y arrastrados al lado opuesto
de la unión. Recordemos que en el diodo rectificador de silicio solamente existe generación
térmica de portadores de carga, lo cual marca la diferencia con el fotodiodo. En la figura 12.22
se muestra el símbolo (a) y la estructura interna de un fotodiodo (b).
(a)
(b)
Figura 12.22. Fotodiodo. (a) Símbolo. (b) Estructura interna.
El diodo en condiciones de oscuridad presenta una corriente inversa de saturación de valor I0
constituida por las corrientes de fuga de la cual son responsables los portadores minoritarios; sí
aunado a ello se presenta la generación de portadores debido a que la luz incidente suministra
energía mayor que el valor de energía de la banda prohibida del material, se provoca un
aumento importante de portadores minoritarios que se suman a la corriente de generación,
aumentándose la magnitud de la corriente de fuga en inversa tal y como se muestra en la curva
característica del fotodiodo de la figura 12.23.
383
Capítulo 12. Otros diodos.
Figura 12.23. Curva característica.
Para una determinada longitud de onda, el fotodiodo presenta un pico de respuesta en la
generación de pares electrón-huecos, creándose una cantidad de pares huecos-electrón en la
proximidad de la unión máxima para dicha longitud de onda; para un dispositivo típico de
silicio el máximo de la curva de respuesta espectral se halla en 850 nm aproximadamente, lo
cual lo hace apropiado para detectar rayos en la franja visible. Los diodos de silicio son
sensibles en el rango de 400 nm hasta los 1100 nm. De otro lado, si la radiación se hace incidir
en un punto alejado de la unión, los minoritarios que se generen pueden recombinarse en su
proceso de difusión hacia la unión, repercutiendo en una disminución de la corriente en el
dispositivo.
En síntesis, en condiciones de polarización inversa el dispositivo se comporta como un
generador de corriente constante hasta que se alcanza la tensión de avalancha. Este dispositivo
responde a los cambios de intensidad de la luz con más rapidez que los foto resistores y por tal
motivo se usa como detector de luz, ya que la proporcionalidad entre la intensidad de la luz y la
corriente inversa del diodo permite detectar cambios en el nivel de iluminación al que se
encuentra sometido del dispositivo. El dispositivo entonces convierte la luz en electricidad,
dando origen a corrientes que se hallan en el margen comprendido entre el sub-microamperio y
las decenas de microamperios para dispositivos comerciales.
Las propiedades de sensibilidad al espectro son definidas por el material usado para fabricar el
dispositivo, de esa manera los diodos de silicio son sensibles a la luz visible, es decir longitudes
de onda de hasta 1.1 m, en tanto que los de Germanio son usados para detectar luz infrarroja, la
cual presenta longitudes de onda de hasta 1.8 m aproximadamente. En la tabla 12.6 se muestra
otro tipo de materiales usados y el rango de longitudes de inda que detectan.
384
Capítulo 12. Otros diodos.
Tabla 12.6. Materiales usados
Material
Rango
Silicio
190 - 1100 nm
Germanio
800 - 1700 nm
Indio Galio Arsénico
800 - 2600 nm
Sulfuro de plomo
1000 -3500 nm
Los fotodiodos, dadas sus características de fabricación generan una tensión directa muy
pequeña entre ánodo y cátodo en ausencia de luz exterior, la cual genera una corriente entre
terminales, dicha corriente presente en ausencia de luz recibe el nombre de corriente de
oscuridad.
En el caso que el fotodiodo sea conectado en condiciones de polarización directa, la luz
incidente no tiene efecto sobre él y en consecuencia se comporta como un diodo normal. Esta
condición se presenta debido a que la inyección de portadores provenientes de cada una de las
regiones (mayoritarios) son más numerosos que los portadores que se generan por efectos del
haz incidente. Como ya sabemos, para el caso de un fotodiodo de silicio, la tensión que cae en el
dispositivo es aproximadamente de 0.7 V.
Si la tasa de generación de pares electrón-huecos debido a la excitación luminosa es Gop,
entonces el número de huecos generados por unidad de tiempo y unidad de volumen en al región
n, en una distancia equivalente a la longitud de difusión sería ALnGop y el de electrones en la
región p sería ALpGop. Luego la corriente resultante debida a los portadores generados
ópticamente en la unión se puede expresar de la forma:
I S = qGop A(Ln + Lp )
[12.34]
IS es directamente proporcional al número de fotones incidentes en la unión, es decir, a la
intensidad lumínica, en la ecuación 12.34, A es el área transversal del dispositivo. Si el
fotodiodo se encuentra conectado en condiciones de polarización directa, la ecuación de
corriente es:
385
Capítulo 12. Otros diodos.
qV
KT
I = I 0 e − 1 − I S
[12.35]
Ya se ha mencionado que I0 está en un rango de 1-500 nA. Dado que estas magnitudes de
corrientes inversas son pequeñas, estos dispositivos requieren circuitos amplificadores.
Entre las principales aplicaciones de estos dispositivos tenemos que pueden ser usados para
detección de láser, alarmas, sistemas de detección y control de luz, lectura de pista de sonido y
videos, control de televisores, decodificadores de posición, etc.
12.5.1.
Diodo emisor de luz.
El diodo emisor de luz es también conocido como LED, el cual es un acrónimo de su
denominación en inglés Light Emitting Diode. A diferencia del fotodiodo, este dispositivo se usa
en condiciones de polarización directa, generando luz visible o infrarroja cuando está en esa
condición de polarización. El rango de corriente promedio de estos dispositivos es del orden de
10 a 25 mA, en tanto que el voltaje promedio a través del LED es de aproximadamente 2 V,
obviamente este valor va a depender del tipo de material del diodo. Diodos emisores de luz
comerciales se consiguen con colores de emisión rojo, amarillo, verde, azules y de luz blanca y
con valores de voltaje diversos. En la figura 12.24, se observa el símbolo del LED.
Figura 12.24. Símbolo del LED
En toda unión p-n polarizada directamente cuando se presenta el paso de corriente ocurre una
recombinación de huecos y electrones, dicha recombinación libera la energía que posee un
electrón libre. La emisión de luz se da porque la liberación de dicha energía por efectos de la
recombinación directa que se produce en el semiconductor puede ser bien sea en forma de calor
o en forma de fotones (luz). En las uniones, dependiendo del tipo de cristal semiconductor, un
mayor o menor porcentaje de esta energía se convierte en calor y el resto en fotones, que son los
responsables de la emisión del haz luminoso. En semiconductores tales como el Si y el Ge el
mayor porcentaje de esa energía emitida se transforma en calor y en consecuencia la luz emitida
386
Capítulo 12. Otros diodos.
es insignificante. Para lograr una mayor eficiencia en la emisión de fotones se usan otro tipo de
materiales para fabricar los LED's, tales como Arseniuro de Galio (AsGa), Fosfuro Arseniuro de
de Galio (GaAsP) o fosfuro de Galio (GaP). La luz que se emite se concentra cerca de la unión
p-n ya que la mayoría de los portadores se encuentra dentro de la longitud de difusión de la
unión.
En la tabla 12.7, se presenta una lista de los materiales usualmente usados para la fabricación de
los LEDs, con su respectivo valor de voltaje de disparo y la longitud de onda de luz emitida. Es
recomendable que la intensidad de corriente que circule a través de un diodo LED al ser usado
en un circuito no supere los 20 mA; es una precaución de tipo práctico que resulta muy
apropiada al momento de diseñar los circuitos electrónicos.
Tabla 12.7. Materiales usados en la fabricación de los LEDs
Material
Longitud de Onda
Color
V Típico
AsGa
904 nm
IR
1V
InGaAsP
1300 nm
IR
1V
AsGaAl
750-850 nm
Rojo
1,5 V
AsGaP
590 nm
Amarillo
1,6 V
InGaAlP
560 nm
Verde
2,7 V
CSi
480 nm
Azul
3V
Los LEDs pueden ser utilizados en múltiples aplicaciones tales como indicadores de encendido
(muy útiles en la industria automotriz), en transmisiones rápidas de datos, en sistemas de
climatización, en las pantallas de reproductores de video y en la fabricación de pantallas de
despliegue de bajo voltaje.
Como se puede observar de la tabla 12.7, el arseniuro de galio emite radiación en el rango de los
infrarrojos, lo que lo habilita para múltiples aplicaciones. Dependiendo de las características de
fabricación del cristal se obtendrán emisiones pico en el rango de rojo a 635nm. Si se dopa el
GaAsP con nitrógeno se obtiene radiación amarilla (585 nm) y verde (565 nm). Los diodos de
emisión azul son hechos de sulfuro de Zinc o de carburo de silicio (ZnS y SiC).
12.5.2.
El foto resistor.
El funcionamiento del foto resistor de igual forma que el del fotodiodo se fundamenta en las
bases conceptuales de la unión p-n. En este dispositivo se observa el fenómeno de que la
387
Capítulo 12. Otros diodos.
resistencia disminuye con el aumento de intensidad de luz incidente. Se conoce también con el
nombre de resistor dependiente de la luz (light-dependent resistor), cuyo nombre en inglés da
origen a otra forma de denominarlo el LDR.
Estos resistores de estado sólido sacan ventaja de las propiedades fotoconductoras de los
cristales semiconductores tales como el sulfuro de cadmio o el seleniuro de cadmio. El tiempo
de respuesta de este dispositivo no es tan rápido como el del fotodiodo, pues el valor de la
fotorresistencia, la cual se mide en Ohmios no varía de forma instantánea cuando se presentan
cambios de intensidad del haz incidente, es más, su respuesta tampoco es instantánea cuando se
pasa de un estado de iluminación a un estado de oscuridad, lo cual limita su utilización en
ciertas aplicaciones que requieren medidas de exactitud y velocidad.
12.6. Valores nominales
En general y desde el punto de vista de su operación, los diferentes tipos de diodos presentan
una serie de valores nominales tanto de voltaje, corriente y temperatura a ser tenidos en cuenta
cuando se utiliza en la configuración de diferentes circuitos electrónicos. A continuación, se
describen algunos de estos valores nominales. Los valores nominales de tensión (a) y corriente
(b) se describen en la figura 12.25.
(a)
(b)
Figura 12.25. Valores nominales de tensión y corriente.
La nomenclatura que aparece en la figura 12.11 se describe a continuación:
VF = Tensión directa en los extremos del diodo en conducción.
VR = Tensión inversa en los extremos del diodo en polarización inversa.
VRSM = Tensión inversa de pico no repetitiva.
388
Capítulo 12. Otros diodos.
VRRM = Tensión inversa de pico repetitiva.
VRWM = Tensión inversa de cresta de funcionamiento.
IF = Corriente directa.
IR = Corriente inversa.
IFAV = Valor medio de la forma de onda de la corriente durante un periodo.
IFRMS = Corriente eficaz en estado de conducción. Es la máxima corriente eficaz que el diodo es
capaz de soportar.
IFSM = Corriente directa de pico (inicial) no repetitiva.
389
Capítulo 12. Otros diodos.
12.7. Ejercicios.
1.
La región n de un diodo zener se conecta al terminal positivo de una fuente de tensión de 12
V a través de una resistencia serie de 800 ohmios. Los elementos constitutivos del modelo
de este diodo son por VZ = 5.6 V rz=100 . Encuentre la corriente que circula por el diodo.
2.
Calcule la capacitancia de un diodo varactor de silicio a 300ºK, con concentraciones de
17
-3
dopado de átomos aceptadores igual a 10 cm y una concentración de átomos donadores
16
-3
de 5x10 cm . Se sabe que CJ0 = 0,5 pF y que el voltaje inverso aplicado es de 2.5 V.
3.
Encuentre el valor de la resistencia R del circuito regulador de tensión mostrado en la figura, si
la corriente de carga varíe entre 0 y 80mA y la fuente de tensión varía de 25 V a 35 V. Se desea
que la tensión de salida varíe entre 10 y 10.2 V
4.
Encontrar que en una unión de silicio (NA << ND) la capacidad de la capa de depleción en
pico Faradios /cm2 viene dada por CT = 2.9 x10−4 ( N A / 0 )1/ 2
5.
La ruptura zener ocurre en el Germanio a una intensidad de campo de 2x107 V/m.
(a) encuentre que la tensión de ruptura es VZ = 51/p, [p en -cm]. Suponer que NA << ND
(b) si el material es intrínseco, encuentre VZ. (c) para una impurificación de 1 parte por
cada 108 del material tipo p, la resistividad cae a 3.7 -cm. Calcule VZ. (d) para qué
resistividad del material tipo p. VZ = 1 V.
6.
Para el siguiente circuito el diodo LED necesita una corriente de 1 mA y un voltaje entre
sus terminales de 3 V. Calcular R1 y R2 necesarios para garantizar esas condiciones.
Considere que Q1 ( = 50, =0.98, VCE = 1.5 V).
390
Capítulo 12. Otros diodos.
391
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13. Transistor unión bipolar (BJT)
_____________________________________________________________________________
13.1. Introducción.
El transistor de unión bipolar se denomina de esa forma debido a que en su fenómeno de
conducción participan ambos tipos de portadores, tanto huecos como electrones. También toma
su nombre de la combinación de las palabras "transfer resistor" o dispositivo de transferencia de
resistencia. En el año de 1947, Willian Schockley, Walter Brattain y John Barden, científicos de
los laboratorios Bell descubren lo que denominan el transistor de punto de contacto,
demostrando el efecto amplificador del primer transistor, marcando de esta forma el inicio de la
revolución de la electrónica, éste trabajo los hizo merecedores del premio Nóbel. Antes de esa
fecha tuvieron su auge los conocidos tubos de vacío, entre los años de 1940 y 1947.
Ya en 1940 se mencionan los primeros trabajos en transistores de efecto de campo FETs pero por
razones tecnológicas no se desarrollaron sino hasta los setenta. Sólo hasta 1950 se obtiene el
primer circuito integrado en tecnología bipolar. El transistor bipolar presentó una serie de
ventajas comparativas respecto a su predecesor el tubo de vacío era más pequeño y ligero,
presentaba una resistencia mecánica mucho mayor, consumía de igual forma menos potencia,
requería voltajes de polarización inferiores y no requería de calentamiento previo.
13.2. Descripción física.
El transistor como dispositivo de estado sólido presenta una continuidad cristalográfica en su
estructura, de la cual podemos afirmar que se constituye de dos uniones pn en serie que
comparten una zona común que denominaremos base. La primera unión es formada por dos
regiones n+p, en tanto que la segunda es una unión de tipo p-n. La figura 13.1 muestra la
estructura interna de un transistor bipolar moderno; como se puede observar consta de tres
terminales denominados emisor, base y colector, con sus respectivos contactos de metal,
ocupando cada uno de ellos diferentes áreas dentro del dispositivo y con diferentes tipos de
dopado.
392
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.1. Estructura del transistor bipolar.
No obstante, la estructura presentada corresponde a la forma real como se fabrica el dispositivo,
podemos apreciar en la figura 13.2, una ampliación de la región que conforma el transistor
bipolar propiamente dicho. La figura muestra el dispositivo de tres terminales y dos uniones p-n
en serie con diferentes áreas transversales.
Figura 13.2. Ampliación de la región de las dos uniones.
Para el estudio del dispositivo se hace uso de un modelo simplificado el cual se puede observar
en la figura 13.3. El transistor bipolar para objeto de estudio puede ser considerado básicamente
como dos uniones p-n en serie separadas una distancia WB en un mismo semiconductor de
sección transversal A, tal como se muestra en la figura 13.3. Denotemos las dos uniones como J1
y J2.
393
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.3. Estructura básica del transistor bipolar.
13.3. Símbolo.
Pueden fabricarse dos tipos de transistores, lo cual implicaría dos tipos de uniones en serie en el
dispositivo. Así, es posible obtener transistor bipolar p+np o también n+pn, lo que nos define dos
símbolos para el dispositivo, tal como se muestra en la figura 13.4. En esta figura se presenta un
modelo simple para los transistores como también su modo de representación.
Figura 13.4. Símbolos del transistor bipolar
13.4. Aspectos básicos.
Como se ha mencionado y como puede observarse en la figura 13.3, las capas exteriores del
transistor se encuentran dopadas con altos niveles de concentración de impurezas, siendo el
emisor más fuertemente dopado que el colector, lo cual nos permite clasificar este tipo de
dispositivo como un dispositivo no simétrico, dada la inconveniencia que se evidencia al intentar
394
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
intercambiar estos dos terminales. Así, la concentración de impurezas de la capa central es
considerablemente menor que la de las capas exteriores, generalmente en proporción 1 a 10 o
menos, a fin de reducir el número de portadores libres presentes en esta capa y de esta forma
reducir en consecuencia las tasas de recombinación. De otro lado, los terminales de emisor y
colector presentan también dimensiones mucho mayores que aquella de la base, siendo
normalmente la relación entre el ancho total y el ancho de la base de 150 a 1. Esta geometría
garantiza que las dos uniones se encuentren muy próximas entre sí, a fin de impedir que la
pérdida de portadores por recombinación sea mínima en la región p. Estos criterios de
fabricación en combinación con ciertas formas de polarización de las uniones, nos da como
resultado el efecto de amplificación de potencia, condición que no se podría obtener con dos
uniones discretas p-n acopladas.
El emisor como se ha mencionado es de dimensiones mayores que la base y con una densidad de
dopado mayor, lo cual garantiza una alta inyección de portadores hacia la base y no presenta
criticidad por disipación de potencia debida a incrementos en la temperatura. Las dimensiones
reducidas de la base, logra que las dos uniones estén muy próximas entre sí, lográndose que las
pérdidas de portadores por recombinación sean mínimas. El dispositivo logra una modulación del
flujo de corriente a través de las uniones mediante la variación de la polarización de las mismas.
Las características del dispositivo le permiten ser usado como circuito amplificador, acoplador de
impedancias y como fuente de corriente.
Para el estudio del dispositivo es necesario partir de ciertas consideraciones, que si bien no son
del todo exactas si describen con muy buena aproximación las condiciones que se presentan. La
primera de ellas considera que cada región tiene una densidad uniforme de dopado.
Adicionalmente se considerarán uniones abruptas en J1 y J2, ello significa que los niveles de
dopado cambiarán abruptamente en esas uniones. Consideraremos también que el dispositivo
presenta contactos óhmicos en los tres terminales emisor, base y colector a fin de poder
despreciar las caídas de potencial en estos contactos.
395
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13.4.1.
Ecuación de corriente.
Dadas las diferentes posibilidades de cómo puede ser polarizado el dispositivo, vamos a tener
diferentes modos de operación del mismo, éstos serán vistos más adelante con mayor detalle. Sí
en nuestras simplificaciones iniciales hemos considerado un ancho de base pequeño y una baja
concentración de impurezas en la misma, podemos afirmar también que existe un flujo
despreciable de huecos en las dos uniones para cualquier condición de polarización.
Para el análisis de la ecuación de corriente, partiremos de la condición de polarización que
denominaremos región directa activa, la cual se presenta cuando el voltaje aplicado entre base y
emisor (VBE) polariza de forma directa la unión J1, en tanto que el voltaje aplicado entre base y
colector (VBC) polariza en forma inversa la unión J2.
El dispositivo funciona gracias a la inyección de portadores minoritarios de los dos tipos de
conductividad, de ahí su nombre de bipolar, pero debido a la gran diferencia en los niveles de
dopado, vamos a tener una diferencia también marcada en los niveles de inyección de portadores
por segundo en las regiones, siendo mayor la inyección de portadores mayoritarios desde el
emisor hacia la base que de la base al emisor. Con una unión J1 polarizada en directa existirá una
inyección significativa de portadores desde el emisor hacia la base. Si consideramos que no
existe recombinación en la base o que ésta es despreciable, la corriente de huecos en la dirección
x sería nula, o sea:
dp
J p = q p E (x ) p − qDp
= 0
dx
[13.1]
Entonces:
D 1 dp KT 1 dp
E (x ) = p
=
p p dx
q p dx
[13.2]
De la ecuación 13.2 se observa que el campo eléctrico es dependiente de la relación entre el
gradiente de portadores mayoritarios en la base y la concentración de portadores. Cuando las
uniones se encuentran polarizadas directamente, las uniones suministran electrones desde las
regiones n.
396
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
La corriente de electrones viene dada por:
dn
J n = qn nE + qDn
dx
[13.3]
Sustituyendo la relación del campo eléctrico, obtenemos
J n = KTn
n dp
dn
+ qDn
p dx
dx
[13.4]
Que puede escribirse como la derivada de un producto, reemplazando la relación de Einstein.
Jn =
qDn dp
dn qDn d ( pn)
+ p =
n
p dx
dx
p
dx
[13.5]
Ahora en términos de una integral sería:
x'
Jn
x
x'
p dx
d ( pn)
=
dx
q Dn x dx
[13.6]
Dado que se ha asumido la recombinación como despreciable, ello lleva a tratar la densidad de
corriente Jn como una constante. Luego
x'
Jn
x
p dx
= p ( x ' ) n( x ' ) − p ( x ) n( x )
q dn
[13.7]
Si consideramos las fronteras de integración en las posiciones x = 0 y x’ = xB, como se muestra
en la figura 13.3, observamos que el valor xB corresponde a la anchura de la región neutra de la
base, la cual se ve afectada por la expansión o reducción de las zonas de transición de ambas
uniones. Aceptado aquello y sabiendo que el producto pn en cada una de las fronteras de la base
se puede relacionar a los voltajes de la unión de la forma:
p (0)n(0) = ni2e
qV BE
KT
p ( xB ) n ( xB ) = n e
2
i
[13.8]
qV BC
KT
[13.9]
397
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Entonces tenemos que la corriente longitudinal de electrones en la base se puede expresar por:
qVBE
qVBC
qni2 e kT − e kT
Jn =
XB
pdx
0 Dn
[13.10]
La ecuación 13.10 es una ecuación generalizada para la densidad de corriente de electrones en la
base, sin embargo, se puede simplificar si tenemos en cuenta varios análisis adicionales.
El primero de ellos, tiene que ver con la constante de difusión Dn, la cual es una función de la
posición, pero dado que estamos considerando la base de tamaño pequeño, la constante variará
muy poco a lo largo de la misma. Definimos entonces un valor promedio de la forma.
XB
~
Dn =
pdx
[13.11]
0
p
0 Dn dx
XB
Otra modificación que se puede introducir en la ecuación 13.10, consiste en sustituir la densidad
de portadores mayoritarios por unidad de área en la base, dada por la ecuación 13.12.
XB
QB = q pdx
[13.12]
0
Luego:
qVBE
qVKTBC
J n = J S e
− e KT
~
q 2ni2 Dn
siendo J S =
QB
[13.13]
De la expresión anterior se puede observar que la corriente es controlada mediante los voltajes de
la unión VBE y VBC. Del comportamiento de estos voltajes encontramos también que, si VBC y
VBE son negativos y mayores que KT/q, Jn sería despreciable. En tanto que, si VBE y VBC son
positivos y mayores que KT/q, Jn sería función del voltaje más positivo.
398
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Si el caso de VBE positivo y VBC negativo identifica la región de polarización directa activa,
también lo es la condición en que VBC sea cero. En esa situación, si VBE es mayor que KT/q,
podemos expresar la corriente de electrones de la forma aproximada:
J n − J se
qVBE
KT
[13.14]
O sea que:
J n = + J C → Corriente de colector
[13.15]
En la polarización directa activa la densidad de corriente del colector está exponencialmente
relacionada con el voltaje emisor-base (VBE). Se presenta una dependencia exponencial de la
corriente de colector con VBE.
13.5. Modos de operación.
Sólo ha sido considerada la corriente que fluye entre colector y emisor en la región directa activa.
Existen sin embargo otras regiones de operación definidas por las diferentes alternativas de
polarización, en este ítem estudiaremos cada una de ellas.
13.5.1.
Polarización directa activa.
Como se ha mencionado se denomina región directa activa, la condición de polarización donde la
unión J1 es polarizada directamente y la unión J2 de modo inverso, tal como se observa en la
figura 13.5.
Figura 13.5. Polarización para la región directa activa
399
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Este tipo de polarización origina una disminución de la barrera de potencial en la unión J1 debido
al potencial VBE aplicado; de manera contraria la unión J2 queda polarizada en forma inversa
debido a la polaridad del potencial VBC aplicado, originando un aumento de la barrera de
potencial en dicha unión y en consecuencia un aumento de su campo eléctrico interno. La figura
13.6 presenta el diagrama de bandas correspondiente tanto al transistor en condiciones de
equilibrio térmico (a) como en condiciones de polarización directa activa (b). En la columna
respectiva se ilustra también el comportamiento de los portadores tanto mayoritarios como
minoritarios para cada una de las situaciones descritas.
(a)
(b)
Figura 13.6. Diagrama de bandas (a) Equilibrio térmico (b) Región directa activa
De esta manera observamos que la unión J1 polarizada directamente, reduce la anchura de su
región de transición e inyecta electrones a la base debido a la reducción de la barrera de su valor
de equilibrio, ello hace que aumente la corriente de emisor IE. Parte de los portadores inyectados
a la base se recombinan con otros portadores tanto en la región de transición de la unión J 1 como
en la zona neutra de la base xB. Estos portadores que se recombinan dan origen a la corriente de
base IB. Es por esta razón que el dispositivo requiere un ancho de base pequeño y una baja
concentración de impurezas en la base a fin de que la cantidad de portadores que se recombina
sea bajo y de esta forma la corriente sea lo más pequeña posible. De igual forma, la cantidad de
portadores inyectados depende de la concentración de impurezas del emisor, cuanto mayor sea,
mayor inyección de portadores habrá y el efecto de la recombinación será menor.
400
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
De otro lado la unión J2 sometida a una polarización inversa, ve expandida su región de
transición y en consecuencia su campo eléctrico interno. Despreciando la pequeña caída óhmica a
través de la base podemos considerar que el potencial es constante a lo largo de la misma y
tendremos que los portadores inyectados desde el emisor que no se recombinan, se difunden a lo
largo de la base hasta la unión J2, donde son capturados o colectados por acción del elevado
campo eléctrico y llevados hacia el colector. Esta suma de eventos genera un flujo de portadores
del emisor al colector. Este modo de polarización presenta una alta ganancia de corriente. El
aumento en los niveles de eficiencia se consigue entonces dopando la región de emisor de
manera más fuerte que aquellas de la base y del colector, justificando entonces que el dispositivo
no sea simétrico.
13.5.2.
Componentes de corriente en el transistor.
Para el análisis de las componentes de corriente de un transistor n+-p-n, en esta región de
operación llamada directa activa en la que el potencial VBE polariza de manera directa la unión
J1 y el potencial VBC polariza de forma inversa la unión J2, nos enfocaremos en el estudio de las
corrientes que aparecen a lo largo del dispositivo y que son mostradas en la figura, 13.7. De la
figura en mención observamos que la corriente de emisor IE se encuentra constituida por la
corriente de electrones que van desde el emisor hacia la base (InE), la cual hemos identificado con
el numeral 1 y la correspondiente corriente de huecos que van desde la base hacia el emisor (IpE)
y que hemos marcado con el numeral 2 como. De tal forma que:
IE = IpE + InE
[13.16]
Puesto que la conductividad de la base es mucho menor que la del emisor debido a las diferencias
de dopado, entre 1/100 para la base y 1/1000 del emisor en un transistor n+-p-n, podemos
afirmar que la corriente de emisor IE está exclusivamente constituida por electrones o portadores
inyectados desde el emisor; la asimetría en los niveles de concentración origina que los
portadores inyectados desde la base al emisor sea pequeña. Adicionalmente, la poca corriente de
huecos proveniente de la base hacia el emisor se neutraliza por la recombinación con los
electrones del emisor por la alta concentración de éstos, entonces podemos asumir que
la
401
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
corriente está compuesta exclusivamente por los portadores inyectados desde el emisor, en esta
caso electrones, luego: InE >> IpE y en conclusión.
Luego
IE ≈ InE
[13.17]
De otro lado, parte de los electrones que son inyectados desde el emisor hacia la base se
recombinan con los huecos existentes en la región de transición de la unión J1, en tanto que otra
parte se recombina con los huecos existentes en la zona neutra de la base -la cual es de baja
conductividad y de espesor delgado a fin de garantizar una mayor difusión de electrones hacia el
colector -, estos dos fenómenos son identificados con los numerales 3 y 4 respectivamente. Estas
dos corrientes de recombinación conforman la corriente de base IB, esta corriente de base es del
orden de microamperios y corresponde a la corriente de electrones que se recombinan en su
tránsito hacia el colector con sus mayoritarios (huecos), es de baja proporción respecto a la
corriente de electrones que se difunden al colector proveniente del emisor. Finalmente, la
cantidad de electrones que no se recombinan en la zona de tránsito y que logran llegar a la región
de colector constituyen la corriente de colector IC.
Figura 13.7.Componentes de corriente.
Se observa otra corriente en el dispositivo y es aquella identificada con el numeral 5. Esta
corriente corresponde a la corriente inversa de saturación de la unión J2 y la denotaremos como
IC0. Esta corriente es debida a los portadores minoritarios generados térmicamente, huecos en la
región n y electrones en la región p. Esta unión J2 polarizada inversamente nos permite afirmar
entonces que
Ic = IC0, que equivale a la corriente inversa de saturación de dicha unión en las
condiciones de la región directa activa.
402
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Desde otro punto de vista, la existencia de dos uniones p-n en al interior del dispositivo y
sometidas a diferentes tipos de polarización nos hace pensar que existirán a su vez dos
potenciales de contacto asociados a cada una de ellas y en consecuencia dos campos eléctricos
internos. Según lo discutido previamente, el campo asociado a la unión J1 controla el paso de
portadores mayoritarios desde las dos regiones involucradas, este campo que se genera es
contrario a la dirección del campo eléctrico que se está aplicando externamente y en
consecuencia la operación del diodo está relacionado con los efectos conjuntos de dos campos
opuestos cuya resultante se opone a la componente de difusión o de transporte térmico de
portadores que logran remontar la barrera de potencial. De otro lado, la corriente inyectada al
colector está afectada por el campo interno de la unión J2, aun cuando este campo lo único que
hace es transportar las cargas que se encuentran en su campo de influencia, al variar éste
estaríamos influenciando la cantidad de cargas que logra afectar.
Los huecos de la base que llegan al colector tienen corta vida, llegan por las dimensiones
pequeñas de la base. En conclusión, podemos afirmar que no todos los electrones que cruzan la
unión J1 llegan al colector, ello nos permite definir algunos parámetros que identifican al
transistor bipolar y que están relacionados con la eficiencia de captura de electrones por parte del
colector, más adelante definiremos esos parámetros.
Podemos afirmar que cuando el transistor presenta alta inyección de portadores al colector,
previa polarización en la unión base-emisor, la resistencia que se observa entre los terminales
emisor-colector es baja, o en otras palabras tenemos una alta conductividad en el dispositivo. En
el caso contrario, cuando se presenta baja inyección observamos una resistencia alta o una baja
conductividad, la naturaleza de este comportamiento define el nombre del dispositivo.
13.5.2.1.
Parámetros.
Eficiencia de emisión: en primer término requerimos de un indicador para determinar
la
eficiencia con que el emisor inyecta electrones a la base, esa medida es proporcionada por la
eficiencia de emisor, la cual denotamos por y se define como la relación entre la corriente de
inyección debida a los portadores mayoritarios desde el emisor hacia la base y la corriente total,
es decir aquella que considera no solo esa corriente, sino la de los portadores que son inyectados
desde la base hacia el emisor. Se cuantifica de la forma
403
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
=
I nE
=
I nE + I pE
1+
1
I pE
[13.18]
I nE
Ahora como I nE + I pE = I E , entonces tenemos:
I nE = I E
[13.19]
Luego la eficiencia de emisión nos relaciona la corriente total de emisor con la corriente debida a
los portadores mayoritarios del emisor inyectados a la base.
Factor de transporte: otro parámetro importante es aquel que proporciona información acerca de
la perdida de portadores inyectados por efectos de la recombinación en la región de la base, esta
medida es definida por el factor de transporte, el cual denotamos como T y se define como:
T =
I nE − I rB
[13.20]
I nE
Siendo:
InE - la corriente de electrones inyectados desde el emisor
IrB - la corriente de recombinación en la región base.
La corriente de recombinación puede ser calculada mediante la expresión 13.21.
I rB = qAE
n − n
2
i
XB
/ N D dx
[13.21]
n
0
En la región activa la densidad de electrones inyectados es mucho más grande que la densidad de
electrones en equilibrio térmico ni
qA
I rB = E
n
XB
0
ndx
2
N A a lo largo de la base. Luego:
[13.22]
Por este motivo podemos afirmar que el tiempo de vida no depende mucho de x entonces:
I rB
qAE ni2 xB
=
2 N A n
qVKTBE
− 1
e
[13.23]
404
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Ganancia de corriente: la magnitud del cociente entre la corriente de colector IC y la corriente de
emisor IE en la región activa es denotado por F y se define como:
F = −
IC
IE
[13.24]
Dado que la corriente de colector puede ser asumida como la corriente de emisor menos la de
recombinación, este parámetro se puede relacionar con el factor de transporte mediante la
expresión 13.25.
F = T
[13.25]
Tenemos además que la suma de corrientes en el transistor es cero:
IB + I E + IC = 0
[13.26]
Reemplazando:
IB −
Ic
+ IC = 0
[13.27]
F IB
= F I B
(1 − F )
[13.28]
F
Luego:
IC =
Siendo F =
IC
IB
la ganancia de corriente.
[13.29]
Típicamente, F 100, F 1. Si consideramos variaciones de los parámetros.
d F =
d F
(1 − F ) 2
[13.30]
Observamos que pequeños cambios en F pueden originar grandes cambios en F.
13.5.3.
Región de corte.
La región de corte se presenta con la condición de que VBE sea negativo, esta condición polariza
inversamente la unión J1, aumentando la altura de su barrera de potencial y en consecuencia
impidiendo el flujo de portadores mayoritarios del emisor hacia la base y viceversa. El
dispositivo se encuentra entonces en condición de corte independiente de la polaridad de VBC .
405
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
En el caso de que los potenciales VBC y VBE sean cero o negativos, se originará una depleción de
portadores minoritarios en la región de la base. La concentración de electrones en la base se
encuentra en equilibrio y solo pequeñas corrientes pueden fluir.
13.5.4.
Región reversa activa.
La región reversa activa presenta las condiciones de polarización contrarias a la región directa
activa, es decir el potencial VBC polariza directamente la unión J2, en tanto que el potencial VBE
polariza inversamente la unión J1. En esta condición ocurre que el transistor inyecta electrones
desde el colector y los colecta el emisor, siguiendo los mismos principios descritos para el caso
de la polarización directa activa, sin embargo, debido a los diferentes niveles de dopado que
existen entre emisor y colector, los niveles de eficiencia de inyección y de colección no son los
mismos. Para esta región se definen sin embargo los mismos parámetros con una
correspondencia unívoca con aquellos definidos para la región directa activa. Estos parámetros se
identificarían con el subíndice R para indicar la región de operación. Un ejemplo sería:
R =
IE
IB
[13.31]
En esta región los electrones inyectados desde el colector fluyen contra el campo eléctrico
formado en la base, originando pérdidas en el contacto de la base. La eficiencia de inyección en
consecuencia es mucho menor.
13.5.5.
Región saturación.
Ya hemos considerado que, si el voltaje VEB es positivo, entonces la polaridad de VBC
determinará si el transistor se encuentra bien sea en la región directa activa o en la región de
saturación. Esta región especifica está definida por la condición en la que ambas uniones se
encuentran polarizadas directamente y por tanto ambas uniones inyectan electrones hacia la base.
Ello origina un incremento de electrones en la base una y colección simultánea de portadores en
las uniones, presentándose un efecto de saturación en la colección por parte del colector. En la
figura 13.8 se muestran las diferentes zonas de operación del dispositivo.
406
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.8. Regiones de operación de BJT
13.6. Efecto Early
Durante la operación del transistor en la región activa, debe ser entonces considerando el rango
en que puede ser variado el voltaje colector-base, dado que el cambio en este voltaje causa una
variación en el ancho de la región de carga espacial en la unión de colector y aparecen efectos
que complican el desempeño del dispositivo como amplificador lineal. La modulación del ancho
de la base a través de la variación del voltaje colector-base es llamado efecto Early, debido a
James Early, quien estudió el fenómeno.
Como se ha visto, al aumentar el voltaje inverso del colector, aumenta el ancho de la región de
carga espacial de la unión J2, penetrando de forma más pronunciada la región neutral de la base y
reduciendo el ancho efectivo de la misma, WB. Este fenómeno presenta varios efectos que logran
modular la magnitud de la corriente de colector. Varios de estos fenómenos consisten en la
posibilidad de recombinación en la base, si WB se reduce entonces IB se reduce, y los parámetros
α y β tienen que aumentar conforme aumenta el voltaje del colector. En consecuencia, el
gradiente de carga aumenta dentro de la base y entonces aumenta la corriente de portadores
minoritarios inyectados a través de la unión de emisor, aumentando IC. Un voltaje entre colector
y emisor (VCE) inverso alto puede ocasionar la ruptura de transistores si WB tiende a cero, ya que
circularía una corriente muy elevada. Esto ocurre cuando la región de transición del colector
abarca todo el ancho de la base. Al variar VBC o VBE por aplicación de la señal que se va a
amplificar, el ancho efectivo se alterara al igual que los factores α y β. Si el dopado de la base
fuese superior al del colector se disminuirá el efecto Early.
407
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
El aumento del voltaje entre la base y colector de manera incontrolada puede dañar el dispositivo,
existen entonces límites prácticos para la tensión inversa que se le puede aplicar a estos
terminales. Cuatro mecanismos pueden originar ruptura de la unión base-colector, la primera de
ellas consiste en un incremento excesivo de la corriente inversa de saturación, el segundo es el
efecto de ruptura zener, el tercero el efecto de avalancha y finalmente la perforación de la base
conocida como "punch-through". Recordemos que al aumentar el voltaje VBC disminuye el ancho
de la base y puede presentarse la condición en que las dimensiones de la base sean mínimas
originando un aumento abrupto de la corriente
De la expresión hallada para la corriente del colector:
IC =
~
qDn ni2 AE e
qVBE
KT
[13.32]
XB
pdx
o
La ecuación nos muestra la dependencia de la corriente de colector con el voltaje VBE. Pero
también sabemos que existen variaciones del ancho de la región neutral de la base con
variaciones del voltaje VBC, originando a su vez una variación en la corriente de colector. Este
fenómeno puede ser expresado como:
I C
I C dQBC
=
V BC Q BC dVBC
I C
=
V BC
~
− qDn ni2 AE e
[13.33]
qVBE
KT
p( x B ) x B
V BC
pdx
2
XB
0
I C
1 x B
= − I C p( x B ) X
B
V
VBC
0 pdx BC
[13.34]
[13.35]
La ecuación 13.35 se puede expresar de la forma:
Ic
Ic
Ic
=−
=
VBC
VA VA
Siendo
VA =
XB
0
[13.36]
pdx
x
P ( xB ) B
VBC
Voltaje Early
[13.37]
408
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Si el colector esta polarizado inversamente, entonces X B VBC es negativa. Cuando VBC es
incrementado, el efecto Early origina un incremento en la corriente IC. El efecto Early entonces
varía linealmente con la corriente de colector.
13.6.1.
Expresión alterna.
Una expresión alterna y de más fácil recordación puede de la forma siguiente:
XB
Tenemos que
pdx =
0
QB
; donde QB es la densidad de cargas mayoritarias en la base.
q
También:
dQBC
dx
= qp( xB ) B
dVBC
dVBC
Además, si definimos
[13.38]
dQB
= CJc como una capacitancia de pequeña señal por unidad de área
dVBC
en la unión, tenemos.
VA =
QB
CJc
[13.39]
El efecto Early puede verse gráficamente como el voltaje de corte de la prolongación de las
pendientes de las curvas características del transistor en su región activa con el eje VCE, como se
muestra en la figura 13.9. Estas curvas son obtenidas mediante la polarización del circuito según
se observa en la figura 13.9(a).
(a)
(b)
Figura 13.9. Voltaje Early.
409
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13.7. Tiempo de tránsito en la base.
El tiempo de transito de los portadores minoritarios en la base, en la región de polarización
directa activa es importante. Este parámetro impuso serias limitaciones en el desempeño de los
primeros transistores. La magnitud de los portadores minoritarios en exceso en la base es:
XB
QnB = qAE n ' ( x)dx
0
[13.40]
Esta carga inyectada es la responsable de la corriente de colector. El tiempo de tránsito en la base
estaría entonces dado por:
B =
QnB
IC
[13.41]
Aquí B es una medida del tiempo requerido para el transporte por difusión a través de la región.
13.8. Modelo de Ebers-Moll
El modelado de dispositivos es un tema de gran importancia en la física, el transistor bipolar ha
sido la igual que el resto de los dispositivos modelado considerando diferentes condiciones de
uso. Uno de los modelos más ampliamente usado es el que lo describe mediante un modelo de
fenómenos de extracción e inyección de portadores, este modelo concebido por los señores J.J
Ebers y J.L.Moll en 1954, está basado en la comprensión del transistor bipolar, en términos de la
interacción de las uniones. El modelo considera las componentes de la corriente base IBE e IBC.
Para el contacto base-emisor
I BE
qVKTBE
= I OE e
− 1
[13.42]
Para el contacto base emisor
I BC
qVKTBC
= I OC e
− 1
[13.43]
en estas ecuaciones IOE e IOC son las corrientes inversas de saturación de las dos uniones. Con
estas ecuaciones podemos escribir las corrientes para emisor y colector. La corriente total en el
emisor viene dada por la corriente de colector menos la corriente en la base:
410
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
qVBE
qVBC
KT
I E = Is e
− e kT
qVKTBE
− I OE e
− 1
[13.44]
La corriente total en el colector viene dada por:
qVBC
qVKTBE
I C = Is e
− e kT
qVBC
− I OC e KT − 1
[13.45]
Reagrupando
qVBC
qVBE
I E = −( I S + I OE ) e KT − 1 + I S e KT − 1
[13.46]
qVKTBC
qVKTBE
I C = −( I S + I 0C ) e
− 1 + I S e
− 1
[13.47]
Ahora definiendo los siguientes parámetros.
I ES = I S + I OE
[13.48]
I CS = I S + I OC
[13.49]
F =
IS
I S + I OE
[13.50]
R =
IS
I S + I OC
[13.51]
Las expresiones para las corrientes son:
qVBC
qVBE
I E = e KT − 1 + R I CS e KT − 1
[13.52]
qVKTBC
qVKTBE
I C = e
− 1 + F I ES e
− 1
[13.53]
Las ecuaciones 13.49 y 13.50, son conocidas como las Ecuaciones de Ebers – Moll; estas
ecuaciones involucran los cuatro parámetros αF, αR, ICS, IES, que se relacionan entre sí de la
forma
FIES = R ICS = IS
[13.54]
411
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Ahora, si definimos dos nuevas expresiones para las nuevas uniones con polarización directa IF y
la polarización reversa IR de la forma:
qVkTBE
I F = I ES e
− 1
[13.55]
qVkTBC
I R = I CS e
− 1
[13.56]
Luego las expresiones se convierten en:
I E = −I F + R I R
[13.57]
I C = −I R + F I F
[13.58]
Estas ecuaciones originan el modelo mostrado en la figura 13.10:
Figura 13.10. Modelo de Ebers – Moll
Aplicando ley de corrientes de Kirchhoff:
I B = −(I E + I C ) = I F (1 − F ) + I R (1 − R )
[13.59]
13.9. Número de portadores minoritarios en exceso.
412
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Una expresión útil para la comprensión del transistor bipolar es aquella que nos describe el
comportamiento de los portadores minoritarios en la base. Para encontrar esta expresión,
relacionamos los valores de frontera de la densidad de portadores minoritarios al voltaje aplicado
a la unión. En ese sentido asumimos que el voltaje aplicado a la unión origina baja inyección de
portadores. Ello significa que el voltaje aplicado es pequeño de tal forma que el balance entre los
portadores minoritarios y mayoritarios a través de la unión no es perturbado.
Lo anterior nos lleva a considerar que el cambio de la densidad de portadores mayoritarios en las
fronteras de la región cuasi-neutrales es despreciable, permitiéndonos tomar
0 − V como el
voltaje a través de la unión. Sabemos del estudio hecho e la unión p-n que:
n po (− x p ) = nno ( x n )e
−
q0
KT
p no ( x n ) = p po (− x p )e
−
q0
KT
nno ( xn ) = N D
[13.60]
pero p po (− x p ) = N A
[13.61]
pero
Luego en equilibrio térmico:
n po (− x p ) = N D ( x n )e
pno ( xn ) = N A (− x p )e
−
−
q0
KT
[13.62]
q0
KT
[13.63]
Ahora, con un potencial V aplicado se tienen nuevas densidades que difieren de aquellas en
equilibrio:
n p (− x p ) = N D ( x n )e
−
p n ( x n ) = N A (− x p )e
q (0 −V )
KT
−
q (0 −V )
KT
[13.64]
[13.65]
Luego la densidad de portadores minoritarios en exceso es:
n 'p = n p − n po
[13.66]
pn' = pn − pno
[13.67]
413
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Entonces:
n (− x p ) = N D ( xn )e
'
p
−
q (0 −V )
KT
− N D ( xn )e
−
q0
KT
[13.68]
0
q
qV
− qKT
− 0
KT
n (− x p ) = N D ( xn ) e
+ e − e KT
[13.69]
q
qV
− q0 + qV
− 0
KT
KT
KT
KT
n (− x p ) = N D ( xn ) e e
− 1 = N D ( xn )e e − 1
[13.70]
'
p
'
p
Pero
n p 0 (− x p ) = N D ( x n )e
−
q0
KT
Luego
qV
KT
n (− x p ) = n po (− x p ) e − 1
'
p
[13.71]
Ahora procediendo de igual forma se halla P’n
qV
KT
p ( x n ) = p no ( x n ) e − 1
'
n
[13.72]
La variación de la densidad de portadores minoritarios en las fronteras es función exponencial del
voltaje aplicado y de las densidades de minoritarios en condiciones de equilibrio. Para el caso
del transistor bipolar en la región directa activa, tendremos que en la unión J1 existirá inyección
de portadores minoritarios, en tanto que en la región J2 se presenta extracción, lo cual se
representa con la figura 13.11.
Figura 13.11. Comportamiento de los minoritarios en las fronteras de la Base
414
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13.9.1.
Análisis de la unión ideal.
Con las expresiones para los portadores minoritarios es posible resolver las ecuaciones de
continuidad en la región cuasi-neutral de la base. Recordemos que en las regiones neutras hemos
asumido que no se presentan caídas de voltaje y en consecuencia no existen campos eléctricos.
Luego la ecuación de continuidad se reduce a:
pn
2 pn pn − pno
= Dp
−
t
x 2
p
[13.73]
Donde Pn es la densidad de huecos en la región n. Considerando una densidad constante de
donadores a lo largo del eje x, en estado estacionario:
pn
= 0 , luego:
t
d 2 p' n p' n
Dp
=
p
dx 2
[13.74]
Resolviendo:
d 2 p 'n
p 'n
−
=0
2
dx
D p p
2 −
1
D p p
= 0 → =
1
D p p
[13.75]
La solución es de la forma:
pn' ( x) = Aex + Be −x
pn' ( x) = Ae
x
D p p
+ Be
−
[13.76]
x
D p p
[13.77]
Haciendo la translación de punto de referencia mediante la traslación de ejes x → x − x n , se
obtiene:
p ( x) = Ae
'
n
−
x − xn
Lp
+ Be
x − xn
Lp
[13.78]
Donde Lp = Dp p se denomina la longitud media de difusión
415
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
La longitud media de difusión en la base la definimos como la distancia media que puede
recorrer un portador inyectado antes de recombinarse y depende la constante de difusión y del
tiempo medio de vida de esos portadores. Estos parámetros dependen de los procesos de
fabricación y factores químicos
La ecuación 13.78, que ya había sido obtenida para el caso de la unión, cuando se aplica al
transistor bipolar nos permite realizar el análisis para dispositivos que presentan diferentes
geometrías, podemos entonces considerar transistores de base corta o larga. Esta clasificación se
hace de acuerdo a las dimensiones de la base comparadas con la longitud de difusión.
13.9.1.1.
Bases largas
El transistor bipolar puede tener bases de corta dimensión o las consideradas bases largas, de
acuerdo con ello la variación de los minoritarios en su interior va a ser diferente. Una base larga
se define entonces de acuerdo con su longitud, comparado con la magnitud de la longitud de
difusión. Una base larga se define como aquella que presenta la característica WB >>LP, entonces
como tenemos que p’n(x) debe decrecer con el incremento de x, en la ecuación 13.78, B = 0.
Luego:
pn' ( x) = Ae
−
x − xn
Lp
[13.79]
qV
KT
p ( x n ) = p no ( x n ) e − 1
'
n
Ahora evaluando en x = xn tenemos A =p’n(xn), entonces
p ( x) = p´n ( xn )e
'
n
−
x − xn
Lp
Reemplazando la ecuación 13.71:
qV
−
p ( x) = pno ( xn ) e KT − 1 e
'
n
x − xn
Lp
[13.80]
Una representación gráfica de la anterior ecuación se muestra en la figura 13.12.
416
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.12. Variación de los portadores minoritarios en la base
Para electrones:
qV
KT
−
n ( x) = n po e − 1e
'
p
13.9.1.2.
x − xn
Lp
[13.81]
Bases cortas.
Un transistor de base corta está definido por la condición WB << LP. Para esa condición la
solución de la ecuación diferencial se aproxima a los dos primeros términos de la expansión de
series de Taylor:
x − xn
pn' ( x) = A + B
L
P
Pero como tenemos un contacto óhmico en x = WB. Entonces pn (WB ) = 0
'
Luego:
W − xn
= 0
pn' (WB ) = A + B B
LP
[13.82]
De donde resulta:
W − xn
A = − B B
L
p
Entonces:
417
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
W − xn
Pn' ( xn ) = − B B
Lp
x − WB
pn' ( x) = B
LP
+ B x − x n
Lp
= B x − xn − WB − xn
Lp
Lp
[13.83]
[13.84]
Con las condiciones iniciales evaluando en x = xn
x − WB
p n' ( x n ) = B n
L
p
[13.85]
Se obtiene
pn' ( xn )
B=
xn − WB
LP
[13.86]
Entonces reemplazando el valor de B en 13.84 y usando la ecuación 13.72 para los portadores en
exceso
qV
KT
L p
p ( x) = p no ( x n ) e − 1
x n − W B
'
n
qV
KT
W − x
p ( x) = p no ( x n ) e − 1 B
WB − x n
'
n
x − W B
L
P
[13.87]
[13.88]
La figura 13.13 ilustra este comportamiento.
Figura 13.13. Variación de los portadores minoritarios en la base corta.
418
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Con el comportamiento lineal de los minoritarios en exceso para bases cortas, podemos encontrar
una expresión del tiempo de tránsito en ese tipo de bases. Recordando la expresión genérica:
B =
QnB
donde
IC
xB
QnB = qAE n ' ( x)dx
[13.89]
0
IC =
qVBE
kT
2
i
qAE n e
xB p
0 Dn dx
[13.90]
Luego reemplazando:
XB
B =
qAE n ( x)dx
'
0
2
E i
qVBE
KT
=
XB
0
XB p
dx
n ' ( x)dx
0
D
n
2
i
qA n e
XB p
0 Dn dx
ne
qVBE
KT
[13.91]
Pero sabemos que:
~
Dn =
XB
0
XB
0
pdx
[13.92]
p
dx
Dn
Luego:
XB
0
p
dx =
Dn
XB
0
pdx
~
Dn
Luego tenemos para transistores arbitrariamente dopados:
B =
XB
0
n' ( x)dx
XB
0
qVBE
2 KT
n i
pdx
~
Dne
[13.93]
Para n'(x) lineal o lo que es igual para bases cortas.
419
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
xB2
B = ~
2 Dn
[13.94]
13.10. Configuraciones.
Las configuraciones tienen que ver con las diferentes topologías o formas de conectar el
transistor para sus diversas aplicaciones. Tenemos entonces tres configuraciones posibles, base
común, colector común y emisor común. Comentaremos de forma resumida cada una de ellas.
13.10.1. Base Común.
En esta configuración la base es común tanto a los componentes del circuito de entrada como a
los de salida. Aquí los voltajes son medidos respecto a la base como se observa en la figura
13.14.
Figura 13.14. Configuración de base común.
En esta forma de conexión si el potencial VBE es negativo, el transistor esta en corte, no
importando VBC.. Si por el contrario VBE es positivo, entonces VBC determina las zonas de
operación lineal o de saturación. Esta configuración es usada cuando el dispositivo se emplea en
funciones amplificadoras.
13.10.2. Emisor Común.
En esta configuración todos los voltajes son medidos respecto al emisor, como se observa en la
figura 13.15.
420
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.15. Configuración en emisor común.
En la región activa el VBE polariza directamente la unión y VCE la polariza inversamente.
Tenemos entonces que:
VCB = VCE − VBE
[13.95]
La polarización de la unión de entrada, en corte o conducción depende de VBE. Si VBE determina
la conducción, VCB =VCE - VBE determina la región lineal o de saturación. La corriente de entrada
es IB y la corriente de salida es IC. Recordemos que se presenta la condición de que IC >> IB.
13.10.3. Colector Común.
Configuración en la que el colector es común a los circuitos de entrada y de salida. Es decir que
los voltajes son medidos respecto al colector. Esta configuración se puede observar en la figura
13.16. de la figura obtenemos que:
VOUT = I E RE I C RE
[13.96]
=
VOUT
VIN
[13.97]
=
IC RE
I B (RB + RE ) + VBE
[13.98]
VI N VOUT
[13.99]
421
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.16. Configuración colector común.
Un dispositivo BJT puede amplificar señales gracias a dos importantes propiedades, la primera
de ellas debida a la baja resistencia de la unión base-emisor polarizada directamente y la alta
resistencia de la unión base-colector polarizada inversamente. La segunda es por la posibilidad de
controlar la inyección de portadores del emisor a la base mediante las fuentes externas.
13.11. Ecuación generalizada del transistor.
Es la ecuación que puede aplicarse para cualquier polarización entre base y colector V BC. Esta
ecuación generalizada permite analizar el comportamiento del dispositivo en las diferentes
configuraciones que puede ser usado. Así, si consideramos la corriente en la unión J2, podemos
expresar la ecuación 13.24 de la forma:
qVKTBC
I C = − F I E − I CO e
− 1
[13.100]
Análisis de corriente pueden efectuarse para diferentes configuraciones, obteniendo nuevos
parámetros relacionados con el dispositivo. En la región activa la totalidad de las corrientes que
se presentan para el transistor n+-p-n pueden describirse como se muestra en la figura 13.17.
Recordemos que en la región directa activa VBC es negativo y si es mayor que KT/q el
exponencial tendería a cero.
422
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Figura 13.17. Componentes de corriente del transistor BJT.
Las corrientes mostradas en la figura 13.17 se describen a continuación:
IpE , es la corriente de difusión de huecos de la base hacia el emisor.
InE, corresponde a la corriente de difusión de electrones del emisor hacia la base, recordemos que
el sentido de la corriente en el caso de los electrones es contrario al sentido real del movimiento
de los portadores. Luego la corriente total del emisor será
I E = I nE + I pE
Dado que en los en los transistores comerciales el nivel de dopado del emisor es mayor que el de
la base, situación que asegura que
I nE I pE , entonces podemos afirmar que I E I nE
InC,, es la corriente de electrones que logran llegar hasta colector, de tal forma que la diferencia
entre los emitidos y los colectados nos daría la cantidad de portadores recombinados. Luego la
corriente debida a la recombinación sería (InE – InC). Finalmente dennotamos como ICO la
corriente inversa de saturacion de la union J2.
Luego
I C = I nC + I CO
Y considerando
I nC = − F I E
[13.101]
[13.102]
En esta relación F nos indica la fracción de la corriente total de emisor, representada por los
electrones que han atravesado la base y la denominamos ganancia de corriente de base común.
En el ítem siguiente abordamos este parámetro.
423
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13.11.1. Ganancia de corriente de base común.
La ganancia de corriente de base común se denota como F y se define como F − I n C I E . El
parámetro F depende del voltaje inverso VBC y por tanto del ancho de la base; de igual forma
F depende de la corriente de emisor IE y de la temperatura. Si reemplazamos la ecuación 13.100
en la ecuación 13.101 obtenemos.
I C = − F I E + I CO
[13.103]
La ecuación 13.102 es equivalente a la ecuación 13.99 considerando voltajes entre Base y
Colector negativos y mayores que KT/q. La ganancia de corriente se puede redefinir a partir de la
ecuación 21.24, considerando la corriente inversa de saturación como.
F = −
I C − I CO
IE
[13.104]
Este parámetro se conoce también como la ganancia de corriente para grandes señales y no es
constante, pues varia con la corriente de emisor. Observemos que la ecuación 13.102 es
equivalente a la ecuación 13.24 cuando despreciamos la corriente inversa de saturación ICO.
Valores de F son menores que la unidad, valores típicos oscilan entre 0, 9 y 0,99.
F =
I CO − IC
(I − I )
I
= − C CO − C
IE
IE
IE
[13.105]
13.11.2. Ganancia de corriente de emisor común.
La ganancia de corriente de emisor común se denota como -IC/IB
o también como hFE y
presenta unos valores típicos entre 20 y 600, algunos dispositivos presentan valores de hasta
1000. El parámetro varía con la temperatura, a veces en una relación de 9 a 1. Menos del 5% de
los mayoritarios del emisor se recombinan en su tránsito por la base. En dicha configuración si
consideramos la corriente inversa de saturación de la unión J2 tenemos que las corrientes que
participan en la conducción pueden ser simplificadas, a partir de la ecuación 13.99, considerando
VBC negativo:
424
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
I C = I CO − F I E
[13.106]
Y además.
I B = − I E − IC
[13.107]
Luego reemplazando en 13.103
I C = I CO − F (− I B − I C )
[13.108]
I C (1 − F ) = I CO + F I B
[13.109]
IC =
I CO
F
+
IB
1− F 1− F
[13.110]
Ahora como:
F =
F
1 − F
F −F F = F
[13.111]
[13.112]
Luego:
F =
F
1 + F
[13.113]
Reemplazando en la ecuación 13.107, obtenemos
IC =
F I CO
+ F IB
F
[13.114]
O también:
I C = (1 + F ) I CO + F I B
[13.115]
Si IB >> ICO, entonces.
IC F I B
[13.116]
Que corresponde a la ecuación ya conocida.
425
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Ejemplo 3
Sea el circuito mostrado en la figura 13.18, donde se encuentra polarizado un transistor de silicio
con un valor típico de β =100. Encuentre los valores de corriente IC, IB, IE y el potencial VCE.
Figura 13.18. Circuito del ejemplo 3 .
Ya que se trata de un dispositivo de silicio, el potencial VBE de la unión J1, correspondería al
potencial de una unión p-n, el cual es de VBE = 0.6 V. Entonces estableciendo las ecuaciones de
malla.
IB =
20V − VBE
0.1mA
200K
I C = I B = 100 * 0.1mA = 10mA
VCE = 20 − I C * 1K
VCE = 20V − 10v = 10V
Adicionalmente a los parámetros ya definidos, se emplean otros que surgen de las diferentes
configuraciones y regiones de operación en las que puede ser utilizado el transistor, en
consecuencia, podemos encontrar parámetros que son propios del transistor cuando éste trabaja
en una configuración específica. A continuación revisaremos diferentes casos.
13.11.3. Región directa activa
La región directa activa se encuentra también definida para valores de voltaje entre colector y
emisor (VCE) arriba de unas décimas de voltio y por encima de IB = 0, identificada en la curva
característica. La corriente de salida del transistor en la región directa activa es más sensible a los
cambios de la señal de entrada. Debido a esto, es la zona usada para aplicaciones de
426
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
amplificación total. Así, para un potencial VCE mayor que varias décimas de voltios tenemos que
se cumplen las ecuaciones siguientes ya obtenidas.
IC =
I CO
F
+
IB
1− F 1− F
[13.117]
F
1 + F
[13.118]
F =
En este caso si αF y βF fuesen constantes, IC sería independiente de VCE y las curvas serían
prácticamente horizontales, trabajando aquí como fuente de corriente. Debemos recordar aquí la
dependencia de WB efectiva afectada por el efecto Early. Debemos tener en cuenta también que
un ligero cambio de αF genera grandes cambios en βF y por supuesto en las curvas de emisor
común, inclusive para transistores del mismo tipo.
Si consideramos la corriente de base IB despreciable, tenemos que IC ≈ IE, lo cual significaría
tener αF =1. Con esas dos aproximaciones se puede graficar la línea de carga en la región directa
activa. La línea de carga estática calculada en el circuito de D.C., a partir de la malla de salida, de
la figura 13.19 está dada por la ecuación:
VCC = VCE + RC I C
Los cortes en los ejes
- Si VCE = 0 , entonces
I C max =
VCC
RC
- Si I C = 0 ,
luego
VCE max = VCC
Figura 13.19. Circuito para la línea de carga.
13.11.4. Región de corte.
Como se describió previamente, esta región se identifica por la polarización inversa de ambas
uniones J1 y J2. En estas condiciones de polarización la corriente de base se puede considerar
despreciable o sea IB = 0. No obstante puede haber una corriente de colector IC apreciable cuya
427
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
principal componente es la corriente inversa de saturación entre base y colector, de esta manera,
si I B = 0 entonces obtenemos que I C = −I E + I C 0 como corriente resultante en zona activa y
además I B = −(I C + I E ) = 0 en el súper nodo.
Luego: I C = − I E =
I CO
I CEO
1−F
Donde definimos ICEO como la corriente de colector estando esta unión polarizada inversamente
y la base en circuito abierto.
13.11.4.1. Características de corte total.
El corte total se presenta solamente cuando se presentan las siguientes condiciones de forma
simultánea: I C = I CO , I E = 0 e I B = − I CO . Y además la unión J1 polarizada inversamente, lo
que significa valores de VBE iguales a 0.1 V para el Germanio y aproximadamente cero V para el
silicio. Es de anotar que un incremento del voltaje VBE inverso no tiene efecto alguno sobre la
corriente inversa.
13.11.4.2. Corriente inversa de saturación de colector ICB0.
Denotamos como ICBO, la corriente de colector cuando la corriente de emisor IE = 0, esta
corriente reemplaza la corriente inversa de saturación ICO. En estas condiciones se cumple que
|ICBO | > | ICO |, debido a que existen corrientes de fuga que circulan por la superficie y no a través
de la unión. Adicionalmente aumenta la corriente de colector por efecto de avalancha en la zona
de carga espacial pudiéndose llegar a condiciones de ruptura. Estos tres fenómenos hacen que la
corriente ICBO sea considerable. A 25oC, ICBO para el Ge es del orden de μA y para el Si de nA,
adicionalmente se duplica por cada 10oC de aumento de temperatura.
13.11.5. Región de saturación
La región de saturación se encuentra definida por la condición de polarización directa de las dos
uniones de colector y emisor. Esta condición se evidencia en las regiones del codo de la curva
característica de comportamiento no lineal.
428
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Para la región de saturación observamos valores para VCE de aproximadamente 0.2 V ó décimas
de voltio, este valor depende del transistor y del tipo de conductividad del mismo. En la región de
saturación se observa también que la relación entre la corriente de base y la corriente de colector
ya no se cumple, es decir tenemos la condición en la cual I C F I B , ya que lo que se presenta es
una relación de la forma I C F I B .
Los valores del potencial VBE en la región de saturación serían de aproximadamente 0.8V para
dispositivos fabricados en silicio y de 0.3 V si se trata de Germanio. El dispositivo en esta región
es comúnmente usado como interruptor electrónico, pues para aplicaciones como amplificador no
es apropiada dado que el dispositivo no es lineal en esta región.
13.12. Modelo SPICE del BJT
En el presente ítem, se presentan algunos modelos del transistor bipolar usados por el simulador
eléctrico SPICE, para las diferentes regiones de operación. Se parte de la definición de algunos
parámetros, como la conductancia denotada como GMIN, la cual es una conductancia de pequeño
valor, a la cual se le asigna un valor por defecto igual a 10-12 mohm y es puesta en paralelo con
cada union p-n. Esta conductancia es importante para facilitar la convergencia del análisis de las
ecuaciones. Se presentan las ecuaciones usadas para cadad región de operación.
13.12.1. Region directa activa.
En esta región de operación, el modelo usa las siguientes ecuaciones para las condiciones
planteadas.
Así, para
VBE −5
KT
q
V BC −5
KT
tenemos:
q
qVBE
1
1
VBC GMIN
I C = I S e KT +
+ VBE − 1 +
R
R
1
IB = IS
F
qVKTBE
1 VBE VBC
e
− +
GMIN
−
1
+
F
R
R
429
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13.12.2. Region inversa activa.
De igual manera para las mismas condiciones.
Para VBE −5
KT
q
V BC −5
KT
q
qV
qVBC
1 KTBC
1
I C = − I S e KT +
e
− 1 + V BE − 1 +
R
R
V BC G MIN
qV
1
V
V
1 kTBC
I B = −I S
−
e
− 1 + BE + BC G MIN
R
F
F R
13.12.3. Region de Saturacion.
En esta región se usan las ecuaciones para colector y base que se listan.
Para VBE −5
KT
KT
VBC −5
q
q
qVBC
qVBE
KT
I C = I S e
− e Kt
1
IB = IS
F
qVKTBC
e
+ VBE − 1 + 1 VBC GMIN
−
1
R
1
−
R
qVKTBE
1
e
+
−
1
R
qVKTBC
VBE VBC
e
+
−
1
+ GMIN
R
F
13.12.4. Región de Corte.
En esta región las ecuaciones de corriente son:
KT
q
KT
q
Para
VBE −5
IC =
1
VBC GMIN
+ VBE − 1 +
R
R
VBC −5
IS
+ R
I B = − I S F
F R
V BE V BC
+
+
R
F
G MIN
430
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Los parámetros usados en los modelos son:
IS
Corriente de saturación (Valor por defecto IS = 10-16 Amp)
F
Ganancia de corriente directa (F 1)
R
Ganancia de corriente inversa (R 1)
13.13. Modelo Estático - Efectos de segundo orden.
El modelo anterior es simple debido a que no considera las resistencias parásitas de la base, ni del
colector, ni el emisor. Tampoco considera la dependencia de IS con VBC, o sea no considera el
Efecto Early. De otro lado asume componentes de corriente de ideales y finalmente no considera
efectos de alto nivel en las regiones de base y colector. A fin de subsanar esas simplificaciones,
en el siguiente modelo estático se introducen cuatro nuevos parámetros, que se describen a
continuación:
rE - Resistencia óhmica en la región activa de emisor
(RE)
rB - Resistencia óhmica en la región activa de base
(RB)
rC - Resistencia óhmica en la región activa de colector
(RC)
VA - Voltaje Early
(VAF)
En este modelo el voltaje Early afecta las ecuaciones del modelo básico de corriente de colector y
base. Este modelo considera entonces las ecuaciones siguientes:
qVBC
qVBE
KT
I C = I S e
− e KT
1
IB = IS
F
VBC
1 −
VA
qVKTBC
e
+ VBE − 1 + 1 GMIN
−
1
R
V
V
− 1 + BE + BC GMIN
R
F
1
−
R
qVKTBE
1 qVkTBC
e
e
− 1 +
R
13.14. Modelo de Grandes Señales.
En el modelo para grandes señales, el almacenamiento de carga es considerado con la
introducción de tres tipos diferentes de capacitancias, el modelo incluye dos capacitancias de
unión no-lineales, dos capacitancias de difusión no- lineales y una capacitancia de substrato
constante. Para el caso uni-dimensional y asumiendo un dopado constante, podemos considerar
la recombinación en la base como despreciable. También se establece que se está bajo
431
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
condiciones de baja inyección. La carga asociada con los portadores móviles (IC – ICC), -ver
figura 13.20-, puede ser escrita como:
QDE = QE + Q
JE + QBF + QJC
Donde:
QE - Carga de portadores minoritarios almacenados en la región cuasi- neutral( emisor)
QJE - Carga de portadores minoritarios en la región de carga espacial base-emisor
QBF - Carga de portadores minoritarios en la región neutral de la base
QJC - Carga de portadores minoritarios en la carga espacial colector-base.
Figura 13.20. Diagrama de cargas.
La carga móvil asociada con la corriente de colector ICC, puede ser expresada como:
QDE = ( E + EB + BF + CB )I CC = F I CC
En donde
E - Atraso de emisor
EB - Tiempo de tránsito en la región de carga base- emisor
BF - Tiempo de tránsito en la base
CB - Tiempo de tránsito en la union-colector
F - Tiempo medio de los portadores minoritarios para atravesar la región neutral de la base.
Para la carga asociada con la corriente de emisor (IE - IEC)
QDC = QC + QJC / + QBR + QJE
Donde
QC - Carga de portadores minoritarios en la región neutral del colector
QBR - Carga de portadores minoritarios en la región neutral de la base
432
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
QDC = ( C + CB + BR + EB )I EC = R I EC
C - Atraso de colector
BR - Tiempo de tránsito en la base inverso
R - Tiempo de transito inverso total
Luego:
C DE =
dQDE d ( F I CC )
=
dVBE
dVBE
C DC =
dQDC d ( R I EC )
=
dVBC
dVBC
La figura 13.21, describe el modelo para grandes señales.
Figura 13.21. Modelo de grandes señales
Las diferentes variables del modelo se presentan a continuación:
C JE (VBE ) =
C JC (VBC ) =
C JE (0)
VBE
1 −
E
C JC (0)
mE
VBC
1 −
C
mC
433
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Las capacitancias CJE(0) y CJC(0) corresponden a las de las uniones base-emisor y base- colector
con VBE = 0 ó VBC = 0.
E , C
- barreras de potencial de las uniones.
mE , mC
-Factores de gradiente de las capacitancias de la unión.
Para obtener QJE y QJC
VBE
QJE =
0
VBC
QJC =
0
1− mE
C (0) VBE
1 −
C JE dv = JE
1 − mE
E
C (0) VBC
1 −
C JC dv = JC
1 − mC
C
1− mC
QBE
− mE
VBE
V
F I CC + C JE (0) 1 − dv
0
E
Q
BE
QJE
=
C JE (0) VBE
m EV
F3 +
F I CC + C JE (0) F1 +
F 2 FC +E
E
QBE
QJE
QBC
− mC
VBC
V
R I CC + C JC (0) 1 − dv
0
C
Q
DC
QJC
=
C JC (0) VBC
mCV
F3 +
dv
R I CC + C JC (0) F1 +
F 2 FC +E
C
QDC
QJC
QCS
− mS
VGS
V
C JC (0) * 1 − dv
0
s
=
VGS
mS V
C JS (0) * F10 1 − dv
S
VBE FCE
VBE FCE
VBC FCC
VBC FCC
VGS 0
VGS 0
434
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
C BE =
C BC =
CCS
dQBE
dVBE
dQBC
dVBC
− mE
dI
VBE
CC
F
+ C JE (0)1 −
dVBE
E
CDE
C JE
=
mEVBE
dICC C JE (0)
F dV + F 2 F 3 +
BE
E
CDE
C JE
− mC
dI
VBC
EC
R
+ C JC (0)1 −
dVBC
C
CDC
C JC
=
mCVBC
dI EC C JC (0)
R dV + F 2 F 3 +
BC
C
CDC
C JC
VBE FCE
VBE FCE
VBC FCC
VBC FCC
VGS 0
− mS
VGS
C JS (0) * 1 −
S
=
mSVGS
C JS (0) * 1 +
S
VGS 0
Donde:
Para el emisor
F1 =
E
1 − mE
Para el colector
1 − (1 − FC )
1− m E
F 2 = (1 − FC ) E
F 3 = 1 − FC (1 + m E )
1+ m
F1 =
C
1 − mC
1 − (1 − FC )
1− mC
F 2 = (1 − FC )1+ mC
F 3 = 1 − FC (1 + mC )
En la lista siguiente se resumen los parámetros usados por el SPICE para este modelo:
FC
→
Factor 0 < FC <1 usado para computar el Voltaje. (~0.5)
CJE
→
Capacitancia de depleción base-emisor
CJC
→
Capacitancia de depleción base-colector
435
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
CJS
→
Capacitancia de no polarización colector-substrato
VJE
→
Potencial de la union base-emisor (E)
VJC
→
Potencial de la union base-colector (C)
VJS
→
Potencial de la union con el subestrato(S)
R
→
Tiempo de transito inverso total (R)
F
→
Tiempo de transito directo total (R)
FC
→
Coeficiente para capacitancia de deplecion en polarizacion directa.
13.15. Aplicaciones.
Dependiendo de la región de operación en la cual se use el dispositivo, tendremos diferentes tipos
de aplicación posible,
como es posible inferir, entre las principales aplicaciones de éste
dispositivo tenemos la modulación del flujo de corriente en la unión p-n mediante la variación de
la polarización en las uniones, aplicación en la que es ampliamente usado. De igual manera se
usa también con gran frecuencia en circuitos amplificadores, en la implementación de
acopladores de impedancias y en la fabricación de fuentes de corriente. En la tabla 13.1 se
presentan las diferentes alternativas de polarización y su aplicación.
Unión J1 Unión J2
Tabla 13.1. Regiones de operación.
Condición
Flujo de Cte. E-C
Aplicación
Inversa
Inversa Corte
Corriente Inversa
•
Interruptor
Directa
Inversa Directa activa
Controlado por corriente
•
Amplificador
de base. (Alta ganancia)
•
Fuente de
corriente
Inversa
Directa Inversa activa
Controlada por corriente
•
Circuitos TTL
•
Interruptor
de base. (Baja ganancia)
Directa
Directa Saturación.
Alta corriente
A continuación miraremos muy sucintamente algunas características de estas topologías.
13.15.1. Interruptor.
Cuando es usado en este tipo de aplicación, el dispositivo opera únicamente en la zonas de corte
y saturación alternadamente y nunca en la región directa activa. En la región de corte, el
436
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
transistor actúa como un interruptor mecánico abierto, el dispositivo presenta una impedancia de
salida (Z0) alta, en este caso podemos afirmar que la corriente de colector es aproximadamente
igual a cero. En la región de saturación, el transistor se comporta como un interruptor mecánico
cerrado, ello significa que la impedancia de salida es mínima y la corriente de colector (IC) es
máxima, dependiendo de los componentes del circuito de salida y la fuente de voltaje.
La ecuación de la malla de salida en C.D. da origen a la línea de carga estática o de C.D. :
VCC = VCE + RC I C
Si VCE = 0 , entonces I C max =
Si I C = 0 ,
luego
VCC
RC
VCE max = VCC
La expresión para la corriente de base se obtiene a partir del análisis de voltajes de la malla de
entrada ó de base:
I B R B + V BEsat − V BB = 0
IB =
(VBB − VBEsat )
RB
Así, si
IB
IC
, el punto de operación Q está definido por las coordenadas (0, VCC/RC) si el
interruptor está cerrado.
Si
IB = 0, el punto de operación Q sería (VCC, 0) para interruptor abierto. La resistencia RB y el
voltaje de base determinan el gran valor de IB.
Si el voltaje de entrada es de 5V a través de la resistencia de 3 KΩ se polarizará directamente la
unión base - emisor a 0.8V en saturación IB tendrá un alto valor que hará que a su vez Ic adquiera
el valor máximo que la resistencia de 1K y la fuente de poder permiten.
IC =
15V − 0.2
= 15mA
1K
IB =
5 − 0.8
4.2
=
1.4mA
3 K
3 K
que se calcula independientemente de IB
437
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
El factor β mínimo que permite esta relación será IC/ IB y sería considerado sólo en el momento
de la transición de la zona activa a la de saturación puesto que en esta última condición
IB > IC/ β
Ejemplo: Circuito excitador de LED, éste requiere 2V de polarización y una corriente promedio
de 20mA.
A voltaje bajo (0V) en la entrada el transistor estará
en corte, IB = 0, IC = 0 y el LED no
encenderá (VC = 22V). voltaje de entrada alto (+5V) la resistencia de 3kΩ limita el voltaje de
base y la corriente en la base del transistor será aquella que garantice la saturación, así, VC estará
a 0V y la corriente IC en su máximo valor será:
IC =
22V − 2V
= 2mA
1K
Los interruptores tienen como ventaja el hecho que son circuitos simples que permiten
interrumpir muy rápidamente una señal de voltaje, su tiempo de respuesta está del orden de la en
fracción de microsegundos. Además, ofrecen la característica de poder interrumpir varios
circuitos con una sola señal eliminando cableado e interferencias por el mismo.
13.15.2. Fuente de corriente.
A diferencia del interruptor, el dispositivo para esta aplicación opera en la directa región activa.
Este circuito tiene una resistencia RE entre emisor y punto común, como se observa en la figura
13.22.
Figura 13.22. (a) Fuente de corriente. (b) Punto de operación del circuito.
438
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
De la figura podemos ver que la la caída del voltaje debida a IE es IERE. Así, sumando voltajes en
la malla da salida:
VCE + IERE - VCC + ICRC = 0
Debido a que en zona activa IC ≈ IE,
Ic ≈ | αIE |
Para βCC grande ó α → 1.
IC =
VCC − VCE
RC + R E
Ecuación de línea de carga de corriente continua afectada por RE.
Si VCE = 0 entonces, I C
Si
VCC
RC + R E
IC = 0 entonces VCE = VCC
El punto Q a lo largo de la trayectoria de la línea de carga en la región activa, mostrado en la
figura 13.16 fija la corriente de colector para que sea prácticamente inmune a los cambios de βcc.
13.15.3. Amplificador de pequeña señal (EC).
Con el objeto de utilizar los transistores es necesario primeramente polarizarlos para que puedan
operar. De acuerdo con el sentido de polarización de las uniones se escoge la zona de trabajo y el
punto de operación requerido. La zona lineal ó activa cuando se trata de amplificación o de
fuentes de corrientes. La de corte y la de saturación cuando se relaciona con interruptores o
circuitos de conmutación.
La polarización de corriente continua (C.D.) es una operación estática porque permite valores
fijos o estacionarios de corriente a través del dispositivo con una caída de voltaje fija deseada en
el dispositivo. Alrededor de ese punto de trabajo determinado por el circuito de C.D. se darán las
variaciones máximas o mínimas de voltajes y corriente según la polaridad y magnitud del voltaje
de alterna aplicado a la entrada. Es decir, la señal de alterna se superpone a la de directa. Al
439
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
observar la figura 13.17, podemos deducir el siguiente comportamiento del dispositivo en cada
uno de los puntos que se señalados
A: No hay polarización.
B: Deseado porque permite la máxima excursión de señal por encima y por debajo del punto Q.
Permisible para señales muy pequeñas para garantizar linealidad.
C: Permite variación positiva y negativa alrededor del punto, pero no hay linealidad constante
por estar cerca de saturación.
D: Muy cerca del máximo de potencia, la excursión en cercanías a la potencia máxima será
limitada.
Una vez polarizado el transistor en su punto Q (cerca de la mitad de la línea de carga de CD)
donde IC ICMAX / 2 y VCEQ VCE / 2 se puede acoplar una pequeña señal de A.C. En la base,
lo que producirá variaciones de igual forma y frecuencia en la corriente IC respecto a IB, siempre
que haya linealidad (IC está en fase con IB). La fase del voltaje de salida, si se toma por colector,
estará invertida 180o respecto a la señal de entrada y si es por emisor, tendrá el mismo sentido del
voltaje de entrada.
El amplificador es de alta fidelidad ó lineal sino distorsiona la señal. Esto sucede para señales
pequeñas cuya excursión alrededor del punto Q es corta y no llega a alcanzar las zonas de
saturación y corte. Si así fuera se acortar los picos de una onda senoidal, se achatan.
La pequeña onda senoidal aplicada a la base produce variaciones de la corriente de base que al
multiplicarse por cc se traducen en variaciones senoidales de Ic (corresponden a IB amplificada).
Esta corriente senoidal de colector fluye por RC produciendo variaciones en la salida o en el
voltaje de colector y así también en VCE.
El voltaje de salida está invertido 180° respecto al de entrada en una salida por colector: Durante
el primer semiciclo negativo para un transistor pnp, IB aumenta e IC también porque VCE cae a su
mínimo valor. En el primer semiciclo positivo de la entrada, Vg del transistor PNP hay reducción
de IB, por tanto, IC decrece y VCE aumenta al máximo cuando Vg está al mínimo porque la caída a
través de RC disminuye, VC se acerca a VCC.
440
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
Se recomienda, para evitar al máximo la distorsión, que para operaciones de amplificación de
pequeña señal, la variación pico a pico de la IC deberá ser menor que el 10% de la ICQ (de reposo
o estática o D.C.). Se notará que Q es el punto en el cual Vg = 0, no hay variaciones de alterna.
La línea de carga estática o de C.D. Nos ayuda a visualizar en que región trabaja el dispositivo.
Para el circuito mostrado, en la malla de salida: Ecuación de la línea de carga.
IC =
VCC − VCE
RC
El extremo superior o corte con IC de la línea a da:
VCE = 0 →
IC = VCC / RC
Condición de saturación.
El extremo inferior o corte con VCE de la línea lo da:
IC = 0 → VCE = VCC corte.
El punto de trabajo, estático o de operación Q es la intersección de la línea de carga C.C. Con la
corriente de base determinada por el circuito de polarización o de C.C. a la entrada. Al polarizar
un transistor también se deben considerar los efectos de los cambios de temperatura sobre β CC y
sobre la ICBO, lo que produce aumentos de la Ic, trasladando el punto Q a otra posición diferente a
la calculada con el circuito de polarización. Se requiere entonces de mecanismos ó técnicas que
estabilicen el circuito con la temperatura y/o en un momento dado, compensen las variaciones de
los parámetros de un transistor cuando este se sustituye o se fabrican circuitos en serie.
En general, el análisis gráfico es más útil en aplicaciones diferentes a las de pequeña señal ya que
al interpolar en la gráfica para analizas de pequeña señal hay imprecisión en los resultados por las
dimensiones pequeñas de las características. De hecho, basta con el método analítico para
pequeña señal puesto que el transistor sigue un comportamiento lineal en un tramo corto de sus
características.
441
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
13.16. Ejercicios.
1.
Determine los valores de IC y VBC del circuito mostrado, si αF = 0.98 y VE = 2 V.
2.
En el circuito mostrado, se encuentra polarizado un transistor de silicio con un valor
típico de β =100. Encuentre los valores de corriente IC, IB, IE y el potencial VCE.
3.
Para el circuito indicado 1 = 0.98, 2 = 0.96, VCC = 24 V, RC = 120 , e IE = -100 mA.
Despreciando las corrientes inversas de saturación, determine a) Las corrientes IC1, IB1, IE ,
IC2, IB2 e IC, b) IC /IB, IC /IE
4.
Represente el transistor bipolar mediante su modelo de Ebers-Moll.
5.
Explique el efecto Early en un transistor bipolar.
6.
A partir del modelo de Ebers-Moll encuentre que un transistor bipolar en configuración
emisor común y en polarización directa activa presenta una corriente de colector dada por:
IC =F IB - ICE0. Donde ICE0 es la corriente de fuga emisor—colector:
442
Capítulo 13. Transistor de unión bipolar.
I CE 0 =
7.
1 − F R
I CS
1−F
Realice el diagrama de bandas para dos uniones consecutivas n+pn en equilibrio térmico.
Repita para una condición de polarización en la directa activa.
8.
Elabore el diagrama de bandas de energía para un transistor p+np en equilibrio térmico y en
condiciones de operación directa activa. Identifique las corrientes que se presentan en el
transistor.
9. El transistor del circuito tiene un β = 50. Calcule el valor de RC para obtener VC = +5 V. Para
ese valor de RC, qué ocurriría si el transistor se reemplaza por otro con β = 100. Considere Vγ
= 0.7 V y VCE(Sat)=0.2 V
10. Un transistor bipolar pnp tiene una concentración de portadores en el emisor de 1018 cm-3 y
una concentración en la base de 1017 cm-3. Las anchuras de las uniones son de 1 μm y 0.2 μm
en el emisor y base, respectivamente. Suponiendo que las movilidades de huecos y
electrones valen 1000 y 300 cm2/V-seg., respectivamente y que el tiempo de recombinación
de los portadores minoritarios en la base es de 10 ns, deducir los valores de la ganancia de
corriente α y β.
443
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
14. Transistores de efecto de campo.
_____________________________________________________________________________
14.1. Introducción.
En el presente capítulo nos enfocaremos en el estudio de los transistores de efecto de campo,
conocidos como FET a partir de las letras iniciales de su denominación en inglés (Field Effect
Transistor); los FET son dispositivos semiconductores cuyo funcionamiento está basado en el
control de la corriente mediante un campo eléctrico en el área de la compuerta. Existen tres tipos
de dispositivos FET, el JFET, que puede ser canal n o canal p; el MOSFET, el cual puede
también ser canal n o canal p y el MESFET, el cual es un diodo basado en la barrera Schottky, y
es compuesto por una estructura metal - semiconductor.
No obstante la existencia de los tres dispositivos, en este capítulo estudiaremos
fundamentalmente dos de los más ampliamente usados, como son el transistor de unión de
efecto de campo conocido como JFET (Junction Field Effect Transistor) y el MOSFET (Metal
Oxide Semiconductor Field Effect Transistor). Iniciaremos nuestro estudio con el JFET,
revisaremos su estructura, modelo y ecuaciones de corriente, para posteriormente hacer lo
mismo con el MOSFET.
Como vimos en el capítulo anterior, en los transistores bipolares la corriente de salida IC, se
controla mediante la corriente de entrada IB. A diferencia de estos dispositivos, el FET es un
dispositivo unipolar que es controlado por voltaje, modulando una corriente de electrones en un
FET canal n o una corriente de huecos en un FET canal p. En estos dispositivos el voltaje de
entrada crea un campo eléctrico que permite modular las mencionadas corrientes, o sea que
aparece un efecto de campo, en otras palabras, la corriente de salida IDS se controla por el voltaje
de entrada o también denominado voltaje de puerta.
El dispositivo FET presenta una resistencia de entrada alta con un valor típico mayor que 10 7 Ω,
en tanto que la resistencia de entrada típica del BJT es aproximadamente 2 KΩ, lo cual implica
obtener corriente de puerta despreciable, IG ≈ 0 y que exista control por voltaje de entrada. El
444
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
FET no tiene voltaje de unión cuando se usa como interruptor y presenta mejor tolerancia a la
radiación que los BJT, los cuales son muy sensibles a la misma.
Los transistores FET son divididos en dos grandes Grupos:
•
Aquellos en donde la señal controla una unión p-n a través de la puerta (JFET)
•
Aquellos en donde la señal controla por medio de una puerta aislada (MOSFET)
Estos dispositivos presentan ventajas comparativas respecto a los transistores bipolares, una de
ellas es que involucran menos ruido que los bipolares haciéndolos más para ser usados en etapas
de amplificadores de bajo nivel, adicional a ello ofrecen mayor estabilidad térmica que los BJT,
su geometría también ofrece ventajas ya que son más pequeños y desde el punto de vista
tecnológico son más fáciles de construir, sus rangos en consumo de potencia son inferiores
siendo por todo ello más ampliamente usados que los BJT.
Los transistores FET sin embargo presentaron también ciertas desventajas comparativas
respecto a los BJT, siendo la más importante el hecho que el producto de ganancia por ancho de
banda era relativamente menor, lo que hacía a los BJT más aptos para trabajar a frecuencias más
elevadas. No obstante, con los avances tecnológicos y la miniaturización de los dispositivos
FET, estos alcanzaron márgenes de desempeño similares a los BJT desplazándolos
tecnológicamente en muchas aplicaciones. Entre las principales aplicaciones de los FETs
encontramos la de interruptor digital, amplificador de pequeña señal, acoplador de impedancias,
y resistencia variable controlada por voltaje.
14.2. El transistor de unión de efecto de campo.
Los FETs de unión o JFETs, son dispositivos de depleción, ello significa que operan en
condiciones de polarización inversa. Un JFET puede presentar varias estructuras. En la figura
14.1 se muestran dos posibles estructuras para esta clase de dispositivo.
445
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Figura 14.1. Posible estructura del JFET
14.2.1.
Estructura.
De la figura 14.1, observamos que en el JFET podemos identificar tres terminales: la puerta (G),
símil de la Base en el BJT; el dreno (D), símil del Colector en el BJT y la fuente (S), símil del
Emisor en el BJT. En realidad, la apariencia interna del dispositivo sería semejante a la
estructura mostrada en la figura 14.2 (a). La figura 14.2 (b) muestra el símbolo del dispositivo.
(a)
(b)
Figura 14.2. JFET (a) Estructura interna del dispositivo. (b) Símbolo.
El dispositivo consta de dos difusiones de conductividad contraria a aquella del sustrato del
semiconductor. Estas dos difusiones definen dos uniones p+-n (uniones de un solo lado) que son
polarizadas mediante los potenciales VDS y VGS. Tanto VDS como VGS corresponden a voltajes
inversos que originan la extracción de portadores en la región del canal. La forma de
polarización se puede observar en la figura 14.3 (a) y si equivalente en la figura 14.3 (b).
446
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
(b)
(a)
Figura 14.3. Polarización del JFET
La zona de depleción se crea a lo largo del canal de la forma como se muestra en la figura 14.3
(a) (zona sombreada), debido a que la concentración de impurezas es superior en las regiones
p+, que en la región de canal n, tenemos que la frontera de la región de depleción presenta una
mayor penetración en la región del canal.
Para el caso mostrado en la figura 14.3, con
polarización de puerta igual a cero, observamos que las zonas de depleción correspondientes a
las dos uniones p+-n polarizadas en inversa presentan simetría a lo largo de la longitud de canal
L, esto es, se tiene un área transversal uniforme a lo largo del canal.
Cuando hay un voltaje aplicado en la puerta, la polarización inversa V GS, tiene como efecto
controlar la extracción de cargas del canal alrededor de las regiones p+, causando una
ampliación de las regiones de depleción que se extienden a lo largo del canal y aumentando en
su interior el campo eléctrico interno, el campo contribuye a controlar la anchura de las
regiones de depleción, ello significa controlar la variación de H(y) y en consecuencia una
reducción del ancho del área efectiva del canal, aumentando a su vez la resistencia entre el
dreno y la fuente. O sea que aumentos de VGS, producen una reducción de la anchura del canal y
de esta forma una modulación de la corriente IDS que circularía a través del mismo. Ello
significa que se establece una dependencia directa entre IDS y VGS.
El área transversal efectiva, si consideramos una anchura del canal igual a W (usualmente W >>
L), estaría dada por la ecuación 14.1.
A = 2[a-H(y)]W
[14.1]
447
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Al variar VGS la profundidad de las zonas de depleción variarán de forma uniforme a lo largo del
canal, esto es cierto si VDS = 0. En estas condiciones de polarización no existe corriente entre
los terminales de dreno y fuente, a lo sumo se observará la existencia de las corrientes inversas
de saturación correspondientes a las dos uniones p+-n, de los terminales de puerta con el canal,
sin embargo, éstas se consideran despreciables a temperatura ambiente. Si se empieza a aplicar
una diferencia de potencial entre dreno y fuente VDS > 0, aparecerá una corriente entre dreno y
fuente (IDS) constituida por electrones que migran desde la fuente hacia el dreno atravesando el
canal, el cual, se encuentra bordeado por las dos regiones de depleción de los terminales de
puerta. Al aumentarse la región de depleción, mediante un incremento del voltaje de puerta
como se ha mencionado, se reduce en consecuencia la corriente IDS, no importando que VDS sea
incrementado.
Debemos enfatizar en un efecto que se presenta en las proximidades de la región del dreno
cuando se aplica el potencial VDS. Dado que el potencial esta aplicado al terminal de dreno se
genera una mayor extracción de portadores en dicha región, originando un aumento en la
profundidad de la región de depleción cerca a este terminal, como se observa en la figura 14.4.
Figura 14.4.Polarización del JFET con polarización de dreno.
La existencia de VDS, hace que exista una caída de voltaje a lo largo del canal, de tal manera que
el potencial medido para un punto cualquiera del canal va a depender de su posición (y). Así,
tenemos que el potencial variará a lo largo del canal desde los valores V(0) = 0, en la fuente,
hasta V(L) = VDS en el dreno.
448
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
14.2.2.
Ecuaciones de corriente.
La diferencia de potencial entre la puerta y el canal en cualquier punto y estaría dado por
VGS – V(y). Recordemos que para un dispositivo canal n, VGS < 0. Podemos entonces expresar
la ecuación para la densidad de corriente de la forma:
J DS = E ( y ) = −
J DS = −qn n
dV ( y )
dy
dV ( y )
dy
[14.2]
[14.3]
La región de canal libre en un punto y, o sea el área transversal libre por el cual circula la
corriente sería 2[a − H ( y )]W , es función de y no importando que VGS sea constante. Luego la
corriente considerando el área transversal en un punto y cualquiera es:
I DS = AJ DS = 2[a − H ( y)]WJ DS
[14.4]
Dado que H(y) corresponde a la profundidad de la zona de depleción de una unión p-n, podemos
expresarla considerando el voltaje de polarización respectivo, de la forma:
H ( y) =
2 S
[V ( y ) − VGS ]
qN D
[14.5]
Sustituyendo H(y) e IDS en la expresión de corriente y haciendo adicionalmente n = ND se
encuentra que:
dV ( y )
2
I DS = −2WqN D n a − [− S (VGS − V ( y ) )]1 / 2
qN D
dy
[14.6]
Separando las variables y y V e integrando a lo largo del canal, obtenemos:
L
VDS
0
0
I DS dy = −2WqN D n
2 S
(V ( y) − VGS )]1 / 2 dV
a − [
qN D
[14.7]
IDS es constante para cualquier sección transversal a lo largo del canal, resolviendo la integral y
reescribiendo obtenemos:
449
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
I DS
− 2WqaND n
=
L
1 / 2[
2 2 S
(− VGS + VDS )]3 / 2 − (−VGS ) 3 / 2
VDS −
2
3 qN D a
[14.8]
Ahora, si definimos algunos parámetros a fin de simplificar la ecuación:
G0 =
2WqaN D n
L
[14.9]
Ahora consideremos la situación en la que el voltaje inverso a través del zona de depleción VGS
– V(y) alcanza un valor VP, que denominaremos voltaje de estrangulamiento (pinch-off), y que
determina el momento en el cual el canal entra en completa depleción a partir del punto x = L.
Es decir, cuando H(y) = a según se ilustra en la figura 14.5.
Figura 14.5. Situación de estrangulamiento del canal.
Entonces el voltaje de estrangulamiento VP estaría dado por la ecuación 14.10
V P VGS − V ( y )
H (Y ) = a
=−
qa 2 N D
2 S
[14.10]
Reemplazando las ecuaciones 14.8 y 14.10 en 14.8, obtenemos
I DS
2 V − VDS
= −G0 VDS + VP GS
3 VP
3/ 2
V
− GS
VP
3/ 2
[14.11]
450
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
La ecuación 14.11 describe la corriente que circula a través del dispositivo entre dreno y fuente
en condiciones generales, sin embargo, la ecuación puede simplificarse aún más si consideramos
el caso especial en que VG S − VP VP , y teniendo en cuenta que para un transistor canal n,
tanto VGS como VP son menores que cero y VDS > 0. Adicionalmente al valor del voltaje entre el
dreno y la fuente para el cual se presenta condición de estrangulamiento lo denominamos voltaje
de saturación, luego definimos:
VDSAT = VGS − VP
[14.12]
Con estas aproximaciones y con VDS = VDSAT = VGS - VP la ecuación 14.11 se expresa:
I DS
2 V
= −G0 VGS [1 − GS
3 VP
1/ 2
VP
]−
3
[14.13]
Ahora para incrementos de VDS arriba de VDSAT se presenta una reducción efectiva del canal
debido al crecimiento de la zona de traslape de las regiones de depleción de las dos uniones de
puerta, tal como se observa en la figura 14.6.
Figura 14.6. Comportamiento del dispositivo para VDS > VDSAT
En esta condición de polarización, incrementos en VDS no se ven reflejados en incrementos de
corriente, ya que cualquier exceso de voltaje es consumido en la región de estrangulamiento de
la zona de depleción. El aumento de la región de depleción dado que corresponde a dos regiones
inversamente polarizadas, origina en su interior un campo eléctrico elevado, de tal forma que
451
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
electrones provenientes de la fuente entran en la región de estrangulamiento y son acelerados
hacia el dreno a una velocidad de arrastre de saturación, equivalente a 107 cm/seg. La corriente
para condiciones de polarización tales que VDS > VDSAT es por tanto constante, estableciéndose
de esta forma dos regiones definidas del comportamiento de la corriente, tal como se muestra en
la figura 14.7.
Figura 14.7. Curva característica del JFET
Una aproximación útil para las características reales de JFET, arriba del punto de saturación es:
I DSAT
V
= I DSS 1 − GS
VP
2
[14.17]
Donde IDSS = IDSAT con VGS = 0
14.2.3.
Transconductancia.
Al dispositivo se le asocian ciertas cantidades que son útiles en sus diversas aplicaciones y se
definen en las diferentes regiones. Así por ejemplo la transconductancia asociada a este
dispositivo en la región de saturación representa la medida de la distancia vertical entre la
familia de curvas de la curva característica y se define como:
gm
I DS
VGS
[14.14]
VDS =Const.
Luego en la región de saturación
452
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
V
g m = G0 1 − GS
VP
[14.15]
El incremento de VDS hace que el canal efectivo sea menor que la longitud geométrica del canal,
o sea L’ < L, lo que incrementa G0. Por esta razón IDS se incrementa muy poco para incrementos
de VDS > VDSAT.
La segunda cantidad asociada es la admitancia de salida g0, la cual se define como:
g0
I DS
VDS
[14.16]
VGS =Const.
14.3. Transistor MOS.
El transistor MOSFET (Transistor de efecto campo, metal-óxido-semiconductor), es también
conocido como: IGFET (Insulated Gate Field-Effect-Transistor), MISFET (Metal-InsulatorSemiconductor-Field-Effect-Transistor) y MOST (Metal-Oxido-Semiconductor-Transistor). El
principio del transistor de efecto de campo superficial fue propuesto en 1930 pero sólo hasta
1960 Kahng y Atalla logran fabricar el primer MOSFET. Las limitaciones tecnológicas de la
época impidieron su fabricación a pesar de haber sido propuesto como uno de los primeros
dispositivos apropiados para aplicaciones en amplificación, en los 60's se incorporó a la
tecnología, hasta el punto de que los C.I.s de gran escala y de muy grande escala se construyen
fundamentalmente con MOSFETS.
14.3.1.
Estructura interna.
La estructura básica del dispositivo MOS es mostrada en la figura 14.8. Como puede observarse
se trata de un dispositivo de cuatro terminales que consta de un substrato semiconductor tipo p,
con dos regiones n+, denominadas fuente (S) y dreno (D) y adicionalmente un contacto de metal
que llamaremos puerta (G), separado del substrato por un aislante, en este caso dióxido de
silicio (SiO2). El cuarto terminal corresponde a una polarización conectada al substrato que
453
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
denominaremos cuerpo (B). Los parámetros básicos del dispositivo se identifican a partir de la
figura 14.8:
L
- Longitud de canal: es la distancia entre las dos uniones n+
W
- Anchura del canal.
xox
- Espesor del óxido
rj
- Profundidad de las difusiones.
NA
- Dopado del substrato
Figura 14.8. Estructura básica del transistor MOS.
Aun cuando inicialmente se usó como contacto de puerta el aluminio, en los procesos actuales
se utiliza el silicio policristalino, el cual es un material de poli silicio fuertemente dopado. Han
sido fabricados dispositivos MOSFET usando como substrato diferentes materiales tales como
el Germanio (Ge), el Silicio (Si) y el Arseniuro de Galio (AsGa), combinados con los aisladores
SiO2, Si3N4 y el Al2O3. Sin embargo, la estructura más utilizada es el silicio (Si) con el óxido de
silicio (SiO2).
Se han conseguido varias decenas de millones de dispositivos MOS por chip usando una
tecnología de 0.13 m. Esto significa, con dispositivos que presentan una longitud de canal de
dichas dimensiones. Actualmente se encuentran disponibles tecnologías de 0.7 nm. Para efectos
del estudio del dispositivo, se hace necesario partir de una serie de idealizaciones que nos
permitirán abordar con más simplicidad el análisis cuantitativo del transistor. Dichas
idealizaciones serán usadas para entender mejor la forma como opera el dispositivo.
454
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
14.3.2.
Modo de operación.
Para iniciar este estudio partimos entonces del análisis del capacitor MOS, esto es de la
estructura Metal, Óxido, Semiconductor bajo las idealizaciones siguientes: la estructura de
puerta corresponde a un diodo MOS ideal, ello significa que no existen trampas en la interfaz
Silicio – Óxido de silicio, lo cual implica la inexistencia de cargas en el óxido. Adicionalmente
consideraremos también una diferencia en las funciones trabajo del material usado como puerta
y el material usado como substrato.
Otra idealización consiste en considerar que la movilidad de los portadores en la zona de
inversión es constante y que el dopado en la región del canal es uniforme. Tampoco
consideraremos corrientes de fuga inversas en las uniones de las difusiones, éstas serán
consideradas despreciables, implicando que no hay corrientes de fuga en las uniones del diodo.
En relación con la presencia de campos eléctricos, consideraremos que en la región del canal el
campo transversal (E(x)) es mucho mayor que el campo longitudinal (E(y)), lo cual se conoce
como la aproximación de canal gradual, o sea que la carga en el silicio se calcula sólo en la
dirección x. También consideraremos validos los conceptos de cuasi-niveles de Fermi,
implicando que FP y FN son constantes en x.
14.3.2.1.
Diagrama de bandas.
El funcionamiento del dispositivo se entiende fácilmente si realizamos el diagrama de bandas de
la estructura MOS, para ello haremos uso de los conceptos de afinidad electrónica y función
trabajo, que están relacionadas con las energías medidas entre la energía de vacío y las energías
de conducción y de Fermi extrínseca respectivamente. Iniciaremos considerando planos libres
de carga entre las interfaces de los materiales y condiciones de equilibrio térmico en la
estructura conocida como capacitor MOS. En la figura 14.9, se presenta el diagrama de bandas
de la estructura MOS antes de ser realizado el contacto entre los diferentes materiales. Para este
caso particular, se utiliza como material de puerta el aluminio, a fin de realzar el efecto que tiene
en el diagrama de bandas la diferencia de funciones de trabajo de los materiales.
455
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
En el diagrama se han posicionado los valores correspondientes a la afinidad electrónica del
semiconductor y el óxido, las funciones trabajo del metal y semiconductor y el potencial de
Fermi del semiconductor. El valor E0 corresponde al nivel de energía de vacío.
Figura 14.9. Diagrama de bandas antes del contacto.
En la figura 14.10, se muestra el mismo diagrama de bandas, pero ya considerando el contacto
establecido entre los diferentes materiales. Cuando es realizado el contacto y en condiciones de
equilibrio térmico, tenemos que los niveles de Fermi se igualan, originado una transferencia de
carga negativa del material con mayor nivel de Fermi hasta el material con menor nivel de
Fermi a través de la interfaz.
Dado que el nivel de vacío es una función continua en x, al nivelarse las funciones de Fermi,
este nivel de energía de vacío acompaña el desplazamiento de las bandas de energía a la nueva
posición referida al nivel de Fermi extrínseco. Así, los materiales forman un sistema en
equilibrio. En ese momento el aislador es incapaz de transferir carga (idealmente no posee
cargas móviles) y soporta una diferencia de voltaje, debido a las cargas almacenadas a cada
lado. Al lado del semiconductor se forma una zona de depleción de profundidad xd, y justo
debajo del óxido una región de inversión debido al cambio de conductividad del material,
obsérvese que el nivel de Fermi intrínseco se establece por debajo del nivel de Fermi extrínseco
a partir de ese punto de inversión.
456
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
14.3.2.2.
Voltaje de Banda Plana.
Debido a la diferencia de las funciones trabajo del metal qM y del semiconductor qS, al
alcanzar éstas el equilibrio, se presenta la transferencia de electrones del metal al semiconductor
ionizando aceptadores en el semiconductor. Esta diferencia de funciones trabajo S - M = 0.8
eV, produce una caída de potencial en la región de depleción.
Figura 14.10. Diagrama de bandas después del contacto.
Nótese que un potencial de 0.8 V remueve la región de depleción del semiconductor
dejando nuevamente las bandas planas (condición de “Flat Band”).
Este
voltaje
se llama
voltaje de banda plana y lo denotamos como VFB.
VFB = -(S - M)
14.3.2.3.
[14.18]
Regiones de agotamiento.
Dependiendo del voltaje de polarización aplicado a la puerta del dispositivo, se presentan
diferentes situaciones en la región de agotamiento que se presenta en el semiconductor., estas
situaciones se describen a continuación.
15.3.2.3.1. Acumulación.
Si un potencial más negativo que el voltaje de banda plana es aplicado, entonces tenemos que un
exceso de huecos es inducido en la superficie del semiconductor tipo p, generándose una zona
457
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
de acumulación. Se origina una superficie p+ conductora en el substrato tipo p. La energía
debida al potencial aplicado sería.
qVG = E FM − E FP
[14.19]
La figura 14.11, ilustra el caso.
Figura 14.11. Acumulación
15.3.2.3.2. Depleción.
Cuando un potencial positivo de baja magnitud es aplicado a la puerta, tendremos la aparición
de una región de depleción de portadores, haciendo que el material reduzca su concentración de
portadores en esa región sin llegar a producir la inversión de su tipo de conductividad, tal como
se muestra en la figura 14.12. La figura también ilustra que solo carga de depleción aparece en
la región de agotamiento del silicio, siendo ésta equivalente a la carga efectiva en el metal. De
igual manera, variaciones del potencial de puerta, generan variaciones de φS,, aumentando a su
vez la profundidad de la región de depleción xd.
458
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Figura 14.12. Depleción de portadores.
15.3.2.3.3. Inversión débil.
Cuando un potencial positivo de mayor magnitud es aplicado al metal, se ionizan más
aceptadores de los que están ionizados en equilibrio o en condiciones de depleción,
incrementándose la anchura de la región de depleción. A medida que el voltaje se hace más
positivo, electrones minoritarios comienzan a acumularse cerca de la superficie, creándose una
zona de inversión. La figura 14.13, ilustra el caso. En la situación de inversión se presenta la
condición de que: E Fi E FP . En este caso, la profundidad de la región de depleción adquiere
su máximo valor Xdmax.
Figura 14.13. Situación de inversión débil.
459
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
15.3.2.3.4. Inversión fuerte.
En esta condición, la anchura de la región de depleción no incrementa más, y el potencial
aplicado induce cada vez más electrones en la región de inversión. El potencial aplicado que
logra una fuerte inversión es llamado voltaje umbral (VT) En esta condición, la región n
inducida cerca de la superficie es eléctricamente aislada del substrato tipo p por la región de
carga espacial de aceptadores ionizados.
VT es el mínimo voltaje de puerta con el que una conducción de electrones de fuente a dreno
ocurre. La figura 14.14, ilustra esta condición.
Figura 14.14. Situación de inversión fuerte.
14.3.2.4.
Voltaje umbral.
El voltaje umbral puede ser calculado a partir de la expresión que encontraremos para el voltaje
de puerta VG. Dicha expresión puede obtenerse a partir del diagrama de bandas. Así tomando
como referencia el nivel de Fermi del Silicio.
q S = qSi +
EG
+ q FP
2
[14.20]
O también
S = Si +
EG
+ FP
2q
[14.21]
460
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Desde el punto de vista del metal.
M − VG + OX + S = Si +
EG
+ FP
2q
VG = OX + S + M − ( Si +
VG = OX + S + MS ,
[14.22]
EG
E
+ FP ) donde S = Si + G + FP
2q
2q
[14.23]
pues MS = M − Si
[14.24]
De les expresiones anteriores podemos afirmar lo siguiente:
1. M depende del metal que se encuentra en contacto íntimo con el SiO2.
2. La expresión de VG es válida para cualquier distribución de carga ox(x).
3. La tensión VG es la diferencia entre los potenciales del material de puerta y tierra, no
importando cuantos otros metales haya.
4. Si VG aumenta, el incremento se ve reflejado en los potenciales de óxido ( OX ) y de
semiconductor ( S ).
Ahora, en la región del óxido tenemos que:
OX = OX ( x = 0) − OX ( x = xOX )
[14.25]
OX = OX (0) − OX ( xOX )
[14.26]
Pero el campo se encuentra relacionado con el potencial por la ecuación
E=−
d
dx
Luego:
OX (0) − OX ( xOX ) =
x0 X
E
OX
dx
[14.27]
0
Por la Ley de Gauss:
Q
E
nˆds =
OX
➔ EOX A =
Q
OX
[14.28]
Donde Q es la carga total, ahora si consideramos valore de carga efectiva en las interfaces del
óxido con el semiconductor y el metal y denotamos esas cargas como QSS y QGSS
461
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
respectivamente y sí evaluamos la carga para una posición x = 0+, tenemos que la carga viene
dada por Q = (QM + QGSS), luego resolviendo 14.28:
EOX =
QM + QGSS
[14.29]
OX
Entonces reemplazando ese valor en la expresión:
OX = EOX xOX =
Y OX =
QM + QGSS
OX
xOX
QM + QGSS
OX
[14.30]
[14.31]
xOX
Pero como COX =
OX
xOX
A
Definimos una capacitancia del óxido por unidad de área
COX OX
=
A
xOX
Entonces reemplazando esta capacitancia encontramos una expresión alterna para el potencial
en el óxido:
OX =
QM + QGSS
COX
[14.32]
Considerando las condiciones de neutralidad de carga en condiciones de inversión, tenemos que
la sumatoria de carga total debe ser cero:
QM + QGSS + QSS + QSi = 0
[14.33]
De donde se obtiene: QM + QGSS = -(QSS + QSi)
[14.34]
Reemplazando en la expresión de la caída de potencial en el óxido:
OX = −
QSS + QSi
;
COX
[14.35]
Luego la expresión para el voltaje de puerta la podemos escribir de la forma:
462
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
VG = −
QSS + QSi
+ MS + S
COX
14.3.3.
Análisis de carga.
[14.36]
Si analizamos el total de carga inducida en el semiconductor por unidad de área, hasta una
distancia y de la fuente (la cual denotaremos por QSi), tal como se muestra en la figura 14.15,
vemos que puede ser calculada por la ecuación:
QSi ( y ) = −COX VGS − VFB − s ( y )
QSS
+ MS
xOX
COX
es el potencial que se debe aplicar a la puerta a fin de eliminar la curvatura de las bandas.
Donde COX =
VBF
OX
[14.37]
Es la capacitancia por unidad de área y:
VFB = −
En ese caso ocurre que cuando VG=VT entonces QSi y (s) son cero. Ver ecuación 14.36
Además.
s ( y ) = 2 FP + V ( y )
Siendo V(y) el potencial de polarización entre un punto cualquiera en el canal y la fuente.
Figura 14.15. Potencial medido entre la fuente y un punto y en el canal.
Como la carga en el silicio es la suma de las cargas de las regiones de depleción QB, más la
carga de inversión Qn, entonces:
Qsi ( y ) = QB ( y ) + Qn ( y )
[14.38]
Dado que la carga dentro de la región de depleción es:
QB ( y ) = − qN A x d = − 2qN A si s ( y )
[14.39]
463
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Reemplazando obtenemos:
Qsi ( y ) = Qn ( y ) − 2qN A si s ( y )
[14.40]
Sustituyendo el potencial de la unión para condiciones de inversión fuerte:
Q B ( y ) = − 2qN A si 2 FP + V ( y )
[14.41]
La carga del silicio sería:
QSi ( y) = − VG − VFB − V ( y) − 2FP COX
[14.42]
Reemplazando en Qn(y):
Qn ( y ) = − VG − VFB − V ( y ) − 2FP COX + 2qN A Si 2FP + V ( y)
14.3.4.
[14.43]
Ecuación de corriente.
Ahora procederemos a usar la expresión hallada para la carga, para encontrar una ecuación que
describa la corriente que circula entre dreno y fuente. Conociendo que la conductividad en el
canal se puede aproximar a:
( x) = qn( x) n ( x)
y que la conductancia viene dada por la expresión 14.44.
xi
g=
W
( x)dx
L 0
[14.44]
Y dado que la movilidad se asume constante (en realidad no lo es), obtenemos:
x
W n* Qn ( y )
qW i
g=
n n( x)dx =
L 0
L
Teniendo en cuenta la resistencia del canal de un diferencial de posición y, sería: dR =
dR =
dy
W Qn ( y )
*
n
[14.45]
dy
gL
[14.46]
464
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
y la caída de voltaje en ese diferencial es:
dV = I DS dR =
I DS dy
W n* Qn ( y )
[14.47]
Pero IDS es la corriente de dreno, la cual es constante e independiente de y. Entonces,
sustituyendo la expresión de la carga 14.42:
dV =
I DS dy
[14.48]
−W VGS − VFB − 2FP − V ( y ) COX + 2q Si N A ( 2FP + V ( y ) )
*
n
Esta expresión nos da una ecuación que puede ser resuelta mediante integración directa, usando
como fronteras e integración para el diferencial de voltaje entre 0 y VDS, en tanto que para el
diferencial de longitud evaluaríamos entre 0 y L
VDS
0
−W V
*
n
GS
− VFB − 2FP − V ( y) COX + 2q Si N A ( 2FP + V ( y) ) dv = I DS dy
L
o
[14.49]
Resolviendo, obtenemos la expresión general para la corriente entre dreno y fuente:
I DS =
W *
nCOX
L
VDS
2 2q Si N A
32
32
(VDS + 2FP ) − ( 2FP )
VGS − VFB − 2FP − 2 VDS − 3 C
OX
[14.50]
Esta expresión sin embargo es muy extensa para su utilización práctica, es posible obtener
expresiones más simples si consideramos ciertos casos especiales de polarización. Así, para un
voltaje entre dreno y fuente pequeño, esto es VDS << VGS - VT, tenemos que la ecuación de
corriente se nos convierte en:
2q Si N A 2FP
V
W
VG − VFB − 2FP − DS −
VDS
L
2
COX
V
W
= Cox n VGS − VT − DS VDS
L
2
I DS n*COX
[14.51]
I DS
[14.52]
Para un VDS menor aún:
W
I DS = n Cox(VGS − VT )VDS
L
[14.53]
465
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
La ecuación 14.51 define la región de comportamiento lineal de la corriente vs. el voltaje de
polarización aplicado entre dreno y la fuente. En dicha ecuación el parámetro VT está dado por
la expresión:
Siendo
VT = VFB + 2FP +
2q Si N A (2FP )
[14.54]
COX
En el caso idealizado, para un VGS dado la corriente de dreno se incrementa linealmente con el
voltaje de dreno, esta región es conocida como la región lineal. A medida que VDS es
incrementado, la región de depleción cerca al dreno sufre de una mayor extracción de
portadores, originándose una mayor profundidad de la misma y en consecuencia un
estrechamiento del canal. A mayores incrementos de VDS, se presenta el caso en que la
profundidad del canal xi = 0, situación que se conoce como estrangulamiento del canal, el valor
de VDS
para el cual ocurre el estrangulamiento (pinch-off), lo denotamos como VDSAT. Para
valores de VDS > VDSAT, ya no se presenta un incremento lineal de la corriente respecto al
voltaje de dreno, ello debido a que la energía suministrada es utilizada en capturar portadores en
el dreno y transportarlos hasta la región del canal a través de la región de depleción. Los
portadores trasportados de esa forma por acción del campo eléctrico elevado que se presenta en
la región de depleción polarizada inversamente generan una corriente de arrastre que va a estar
limitada por la velocidad de arrastre de los portadores, de esta forma la corriente se estabiliza
llegando a un valor de saturación, lo cual define la región de saturación. La figura 14.16 nos
ilustra las diferentes condiciones de operación bajo variaciones del potencial de dreno.
466
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Figura 14.16. Regiones de operación para variaciones de VDS
Más allá del punto de estrangulamiento (pinch-off), según hemos descrito la corriente IDS torna
prácticamente constante e independiente de VDS , la expresión para esta región se describe por la
ecuación 14.55
I DSAT =
mW
n Cox(VG − VT ) 2
L
[14.55]
Donde m es una función de la concentración de impurezas. Para bajos niveles de dopado m
1
.
2
Luego para bajas concentraciones la corriente de saturación sería:
I DSAT =
1W
n Cox(VG − VT )2
2 L
[14.56]
La figura 14.17 muestra el comportamiento de la corriente para los diferentes casos estudiados.
467
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Figura 14.17. Regiones lineal y de saturación en el dispositivo MOS.
14.3.5.
Transconductancias.
Se definen dos transconductacncias para el dispositivo en cada zona de operación. En la región
lineal, las transconductancias del canal (gd) y (gm) son dadas por las expresiones 14.57 y 14.58.
gd =
I D
VD
gm =
I D
VG
VG = const
VD = const
=
W
n Cox(VG − VT )
L
[14.57]
=
W
n CoxVD
L
[14.58]
La transconductancia en la región de saturación.
gm =
I D
VG
14.3.6.
=
VD = const
2mW
n Cox(VG − VT )
L
[14.59]
Efecto del voltaje de cuerpo.
Si un voltaje VBS es aplicado al substrato, la magnitud del voltaje umbral se ve modificado a un
nuevo valor. Las ecuaciones de equilibrio de energía tomadas a partir de la figura 14.7, serían:
q s + VBS = q s + qxox + q M − qVG
[14.60]
468
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
Y el potencial de puerta entonces es:
VG = M − S + s + ox − VBS
VG = −
[14.61]
Qss Qsi
−
+ s + MS − VBS
C ox C ox
[14.62]
En consecuencia, el valor para el voltaje umbral se ve afectado por la polarización de cuerpo
VBS.
2q S N A (2 FP + VBS )
Cox
VT = VFB + 2 FP +
[14.63]
La variación en el voltaje umbral puede ser definida como:
VT = VT (VBS ) −V T (VBS = 0)
[14.64]
Luego:
VT =
2q S N A
Cox
(
2 FP + VBS − 2 FP
)
[14.65]
469
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
14.4. Ejercicios.
1.
Explique el fenómeno de conducción de corriente de saturación cuando existe
estrangulamiento (“pinch-off”) en un JFET.
2.
Realizar el diagrama de bandas para un transistor N-MOS en conducción considerando
voltaje de cuerpo aplicado.
3.
Explique (a) porqué se hace necesario polarizar el substrato en los transistores MOS,
considere el caso de un transistor canal n. (b) Explique el fenómeno de conducción de
corriente de saturación cuando existe estrangulamiento (“pinch-off”).
4.
A partir del diagrama de bandas de una estructura MOS en equilibrio térmico encontrar la
expresión, para el voltaje umbral sin considerar cargas en las interfaces.
5.
El FET indicado tiene los siguientes parámetros IDSS = 5.6 mA y VP = - 4V.
(a)
Si Vi = 0 Hallar V0
(b)
Si Vi = 10 Hallar V0
(c)
Si V0 = 0 Hallar Vi
6. Obtenga el valor del voltaje de banda plana en un MOSFET, explique.
7. El amplificador mostrado utiliza un FET canal n que presenta IDSS = 1 mA VP = -1 V. Si la
tensión de reposo entre dreno y tierra es de 10 V, calcular R1.
470
Capítulo 14. Transistores de efecto de campo.
8. Se fabrica un MOSFET con puerta de aluminio. Espesor de la capa de óxido: Xox= 0.1 μm.
Permitividad relativa del óxido: εox=3.6. Cargas en la interface óxido-silicio: QSS/q = 3·1011
cm-2. Concentración de impurezas en el substrato: NA= 1.5x1015 cm-3. Relación de
dimensiones del canal: W/L = 100. Se sabe además que: ni= 1010 cm-3. EG= 1.1 eV, μn= 1000
cm2/V-seg. Barrera de extracción metal-óxido= 3.2 V. Barrera de extracción silicio-óxido=
3.25 V, εox= 8.85·10-14 F/cm. KT= 0.026 eV. Calcule: a) tensión de banda plana, b) tensión
umbral del MOSFET c) corriente de saturación con VG = 0
9.
Para un FET de silicio de canal p con a = 2x10-4 cm, la resistividad del canal es =10 -cm
a ) Hallar la tensión de estricción considerando r = 12, p = 500 cm2/V-seg, b) Repetir el
punto (a) para un FET de Germanio canal p. (=2 -cm, r =16, p =1800 cm2/V-seg.),
10. Encuentre que la transconductancia gm de un JFET se relaciona con la corriente de drenaje
IDS mediante la expresión:
gm = (2 / Vp)(IDS IDSS)1/2
11. Calcule la densidad de corriente de un transistor MOS en el cual L = 2 μm, W = 15 μm, VT
= 0.7 V y el espesor del óxido de puerta es 1000 A, para las zonas lineal y de saturación
cuando VDS = 5V e VGS a intervalos de 1 V.
εroxide=3.9 εo=8.8510-12F/m, μn=3900 cm2/v-seg, εrsilicio=12
471
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
_____________________________________________________________________________
15.1. Introducción.
Una de las aplicaciones más comunes de los dispositivos electrónicos, es en tareas de
conmutación, en donde el dispositivo pasa de un estado de bloqueo a un estado de conducción,
como en el caso del diodo rectificador en condiciones de polarización directa o inversa o como
en el caso del transistor bipolar, que dependiendo del modo de operación puede operar en la
región de corte o directa activa.
En la industria electrónica se pueden encontrar varios dispositivos electrónicos en los cuales se
puede pasar de tener una alta impedancia, de valores típicos de aproximadamente 100 M en
una condición de polarización, hasta una baja impedancia de valores típicos menores que 10
en condiciones diferentes de polarización. Sin embargo, un dispositivo que logre conmutar del
estado de corte al estado de conducción bajo las mismas condiciones de polarización no es tan
usual. Esa característica la presentan los dispositivos de conmutación denominados comúnmente
como de cuatro capas, nombre que toman debido a su configuración interna. La conmutación del
estado de corte al de conducción se logra usualmente mediante la aplicación de una señal de
conmutación que hará que el dispositivo se active; sin embargo, también es posible lograr dicha
activación sin necesidad de señal externa, característica que determina su clasificación. La
familia de dispositivos de conmutación de cuatro capas se estudiarán en este capítulo.
15.2. Estructura básica.
La estructura básica de un dispositivo semiconductor de cuatro capas consiste de cuatro regiones
extrínsecas p y n dispuestas alternadamente, o en otras palabras podemos asimilarla a tres
uniones p-n en serie. Estos dispositivos como se mencionó anteriormente pueden o no tener
señal externa de conmutación, lo cual permite clasificarlos en dispositivos con terminal de
control, que son comúnmente llamados tiristores, o sin terminal de control denominados
simplemente como diodos Shockley. La figura 15.1(a) muestra la configuración interna de un
diodo Shockley y la figura 15.1(b) muestra el símbolo de este dispositivo conocido también
472
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
como diodo pnpn. Como se puede observar si consideramos la estructura p-n-p-n como un
diodo con ánodo A en el extremo de la región p1 y el cátodo K en el terminal de la región n2,
aparecen entonces tres uniones fácilmente identificables que llamaremos J1, J2 y J3. La unión
J1 cerca al ánodo, J2 la central y J3 próxima al cátodo.
Figura 15.1 (a) Estructura interna
(b) Símbolo.
Figura 15.1. Diodos Schockley.
La estructura debe obedecer a parámetros que dependen tanto de la geometría como de los
procesos de fabricación. En cuanto a la geometría, como se puede observar la anchura de las
regiones no es la misma, esto se verá plenamente justificado más adelante. De igual forma
durante la fabricación del dispositivo cada una de las regiones se dopa con niveles diferentes de
impurezas, de tal forma que ciertas regiones quedan más dopadas que otras, ello garantiza un
funcionamiento adecuado del dispositivo como se evidenciará en las ecuaciones que lo
describen. En la figura 15.2(a) se muestra un ejemplo de los diferentes niveles de concentración
de impurezas usadas para cada región, en la figura 15.2(b) se muestran dispositivos comerciales.
(a) Densidad neta de impurezas.
(b) Diodos Shockley comerciales2
Figura 15.2. Diodo Shockley.
De la figura 15.2(a) se observa que las regiones externas presentan mayor nivel de
concentración de impurezas que las regiones internas y que la base de dimensión W no solo es
2
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Celectr.JPG/180px-Celectr.JPG
473
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
la más larga sino también le menos dopada. La región tercera (p2) presenta un nivel de dopado
intermedio y es una región más estrecha. En general, los dispositivos de cuatro capas son
dispositivos que presentan una alta impedancia bajo polarización directa, lo cual identifica la
condición de corte y bajo la misma condición de polarización pueden pasar al estado de
conducción mediante el establecimiento de ciertas condiciones de operación. De esta forma los
dispositivos son usados para bloquear o permitir el paso de la corriente a través de dos
terminales, bien sea usando o no una señal de control. Para dispositivos que presentan señal de
control, esta señal de conmutación es variada externamente y puede ser aplicada directamente en
un tipo específico de dispositivo a un tercer terminal. Estos dispositivos conocidos
genéricamente como tiristores son dispositivos de conmutación, usados principalmente en las
áreas de control. En los dispositivos de cuatro capas, la corriente principal puede ser conmutada,
pero no puede ser controlada internamente. Estos dispositivos de conmutación presentan las
siguientes propiedades:
•
Capacidad de conducir grandes corrientes con una densidad de corriente uniforme sobre
grandes áreas del dispositivo.
•
Mientras el dispositivo se encuentra en estado de conducción, la resistencia o caída de
voltaje es tan baja como sea posible a fin de reducir la disipación de calor.
•
La velocidad de conmutación es alta, esto significa que se tienen bajas capacitancias y un
efecto mínimo de almacenamiento de minoritarios.
El término tiristor fue tomado como una derivación del gas tiratrón, el cual presenta
características eléctricas similares.
15.3. Familias.
La existencia o no de señal externa define la clasificación general de los dispositivos de cuatro
capas, las cuales presentan derivaciones adicionales. Estos dispositivos pueden ser catalogados
en dos grandes familias, siendo la primera, aquella de los dispositivos que presentan terminal de
control externo y la segunda aquella de dispositivos que carecen de ella. En la tabla 15.1 se
presenta la clasificación. Estos dispositivos son utilizados principalmente en sistema que
implementen el control de grandes corrientes en motores, en calefactores, en sistemas de
iluminación, etc.
474
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Tabla 15.1. Familias de dispositivos de cuatro capas.
Dispositivos con compuerta Tiristores
SCR (Silicon controlled rectifier)
SCS (Silicon controlled switch)
GTO (Gate Turn-Off)
LASCR (SCR activado por luz)
TRIAC
Triode AC
Dispositivos sin compuerta Diodo Shockley O diodo p-n-p-n
DIAC
Diode AC.
15.4. Operación básica y mecanismos físicos.
Existen diversas variaciones de las estructuras básicas p-n-p-n o n-p-n-p como se muestra en la
tabla 15.1, pero su principio de operación es muy similar y se puede entender satisfactoriamente
si se estudian separadamente dos fenómenos. El primero de ellos tiene que ver con el flujo de
corriente entre los dos terminales y el segundo analiza los efectos de la señal de disparo de un
tercer terminal, el cual se estudiará posteriormente.
15.4.1.
Corriente entre dos terminales.
El estudio y análisis de este fenómeno nos permite comprender el funcionamiento de los
dispositivos que no poseen terminal externo de control. Cuando el ánodo se polariza
positivamente respecto al cátodo, hablamos de una condición de polarización directa. Con este
tipo de polarización se presentan dos estados, el de bloqueo directo o de alta impedancia y el de
conducción o de baja impedancia que se presenta a partir de un valor de voltaje pico directo
denominado voltaje crítico, el cual se denota como VBF. Para realizar el análisis del modo de
funcionamiento del dispositivo partiremos de un modelo muy usado que aproxima el dispositivo
a dos transistores bipolares realimentados.
15.4.1.1.
Modelo de transistores realimentados.
Para entender diodo Shockley, podemos usar la analogía de los dos transistores bipolares o
475
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
circuito candado. La estructura p-n-p-n, puede ser considerada como una combinación de un
par de transistores p-n-p y n-p-n, como muestra la figura 15.3. En este modelo, la unión J2 sirve
como una unión de colector para ambos transistores. La corriente de colector IC1 determina la
corriente de base IB2 y la corriente de base IB1 determina la corriente de colector IC2. Los
parámetros 1 y 2 representan las ganancias de corriente en base común para los transistores pn-p y n-p-n respectivamente. ICO es la corriente inversa de saturación entre colector y base en
cada transistor.
La realimentación existente origina que el colector del transistor Q1 altere la corriente de base
del transistor Q2 y de igual forma la corriente de base del transistor Q2 afecta la corriente de
colector del transistor Q1 en un proceso acumulativo. La unión central J2 actúa como unión de
colector a ambos transistores, colectando huecos de la unión J1 y colectando electrones de la
unión J3.
Figura 15.3. Diagrama circuital.
El lazo de realimentación es la causa de que entre ambos transistores se cree un proceso
reiterativo en la operación del dispositivo. De la ley de corrientes tenemos que:
I A = IK = I
[15.1]
I = I B2 + I C 2
[15.2]
476
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Para el transistor p-n-p, la corriente inversa de saturación ICO1 es negativa, en tanto que para el
dispositivo n-p-n la corriente inversa saturación ICO2 es positiva. De las ecuaciones obtenidas
para el transistor bipolar podemos escribir:
I C 2 = − 2 I E 2+ I CO2 = − I B1
[15.3]
I C1 = − 1 I E1+ I CO1 = − I B 2
[15.4]
Pero:
I = − I E 2 y además
I = I E1
Entonces:
I C 2 = 2 I + I CO2
[15.5]
I C1 = − 1 I + I CO1
[15.6]
La corriente total sería entonces:
I = I C 2 + I B 2 = I C 2 − I C1
[15.7]
I = I ( 2 + 1 ) + I CO2 − I CO1
[15.8]
Dado que ICO1 es negativa, entonces:
I=
I CO1 + I CO2
1 − ( 2 + 1 )
[15.9]
La ecuación 15.9 describe el comportamiento de la corriente del diodo Shockley y permite
explicar sus dos modos de operación: el modo de bloqueo y el modo de conducción, ambos bajo
condiciones de polarización directa.
15.4.1.2.
Modo de bloqueo directo.
Al aplicar un voltaje directo inicial, las uniones J1 y J3 se polarizan directamente, en tanto que la
unión J2 queda polarizada inversamente. Aumentos graduales del voltaje externo se ve
477
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
prácticamente consumido a través de la unión J2 polarizada inversamente, originando
incrementos en el campo de la zona de transición de dicha unión y por tanto en el ancho de la
misma. Durante ese periodo el dispositivo no conduce, estando la corriente total limitada por la
corriente inversa de saturación de la unión J2. Esta situación define el estado de bloqueo en
polarización directa, como se muestra en la figura 15.4.
Figura 15.4.Estado de bloqueo directo.
La corriente a través del dispositivo es pequeña debido a la extracción de portadores que se
presentan en las regiones n1 y p2 a través de la unión J2. La corriente que se presenta es
constituida por portadores generados térmicamente dentro de una longitud de difusión a lado y
lado de la unión J2, que en síntesis conforman la corriente inversa de saturación de dicha unión.
Podemos entonces afirmar que la corriente que atraviesa el dispositivo de ánodo a cátodo es
aproximadamente igual a la corriente inversa de saturación que cruza J2. De igual forma en la
unión J3, los huecos que se inyectan a n2 y los electrones en p2 contribuyen a la corriente de
saturación de la unión central J2. Las tres uniones polarizadas de la forma descrita originan que
el voltaje aplicado V se divida entre las tres uniones a fin de mantener la pequeña corriente a
través del dispositivo, obteniéndose:
VAK = V 1 + V 2 + V 3
[15.10]
De la expresión 15.9 se deduce que sí (1 + 2 ) es pequeño comparado con la unidad, la
corriente es pequeña, aproximadamente igual a la suma de las corrientes de inversas de colector
y el dispositivo se halla en estado de corte. En este caso de bloqueo directo, si despreciamos
tanto la corriente de difusión de los electrones inyectados desde la región n2 a p2 a través de la
unión J3, como la corriente de desplazamiento hacia n1 a través de la unión J2 por acción del
transistor, tenemos que la corriente que cruza la unión J2 es estrictamente la de saturación
generada térmicamente. Lo anterior indica que el parámetro 2 correspondiente al transistor
npn es pequeño. De igual forma, el suministro de huecos desde p1 e inyectados en n1 hacia p2 es
478
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
pobre dado que son pocos los que pueden cruzar la zona de transición de J2 sin recombinarse, lo
cual implica que 1 también es pequeño. La pequeña corriente que se presenta es debida
entonces a la generación térmica de portadores y no a la acción del transistor.
15.4.1.3.
Variación de con la inyección.
La razón de transferencia de corriente F, representa la amplificación de la corriente emisor colector y también es llamada ganancia de corriente en base común y viene dada por la ecuación
F = T. Donde:
T =
=
I nE − I rB
I nE
, corresponde al factor de transporte de la base y
I nE
, es la eficiencia de inyección de emisor.
I nE + I pE
[15.11]
[15.12]
Cualquier incremento entonces de F debido a la inyección se da por el incremento bien sea de
T o de o de ambos. En condiciones de baja inyección, es decir a muy bajas corrientes T y
son dominados por la recombinación en la región de transición de la unión de emisor. Para altas
corrientes entre tanto, la inyección domina sobre la recombinación dentro de la región de
transición, haciendo que T y aumenten. La ganancia T aumenta con la inyección debido a
que se presenta una saturación de los centros de recombinación y de otro lado cuando la
corriente aumenta, la inyección a través de la unión domina sobre la recombinación y
aumenta.
En conclusión, cualquiera que sea el fenómeno que domine, el incremento de
(1 + 2 )
siempre se obtiene para conmutar el dispositivo. Las ganancias 1 y 2 de los dos
transistores internos aumentan al disminuirse las dimensiones de las regiones neutras de sus
bases, pues se reducen las posibilidades de recombinación. Por esa razón afirmamos que el
disparo ocurre por el efecto de estrechamiento de las bases.
15.4.1.4.
Conducción en modo directo.
De acuerdo con la ecuación 15.9, si contrariamente (1 + 2 ) es próximo a la unidad, la
corriente I se incrementa rápidamente. Este incremento es limitado dado que (1 + 2 ) no llega
a ser igual a la unidad. Esto se debe a que en un instante dado J2 pasa a estar polarizada
479
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
directamente (ver figura 15.5), entrando ambos transistores en saturación después de la
conmutación, manteniéndose el dispositivo también en saturación. Esta condición se denomina
conducción en modo directo y se describe a continuación.
Figura 15.5. Inversión de la polarización de la unión J2
Para entender mejor el fenómeno de conmutación de la unión J2, recordemos que debido a la
polarización directa de las uniones J1 y J3 y a la inversa de J2 en el caso del bloqueo directo, los
dispositivos bipolares n2p2n1 y p1n1p2 actúan como transistores bipolares polarizados en la
región directa activa. A medida que el voltaje externo aumenta, los huecos inyectados desde la
región p1 en la unión J1 alcanzan a ser colectados a través de la unión J2 hacia la región p2,
condición que contribuye a alimentar la recombinación en la región p2 y mantener la inyección
de huecos hacia n2. De igual manera, los electrones inyectados desde la región n2 a través de la
unión J3 y colectados por el campo en J2, contribuyen a suministrar electrones a la región n1.
De esta forma se origina una fuerte colección de electrones en n1 y huecos en p2, esta colección
produce a su vez una reducción en la zona de depleción de la unión J2, la cual en la medida que
aumente la colección de portadores origina una reducción de su polarización inversa. La
transferencia de portadores a través de J2 es regenerativa, esto significa que mayor cantidad de
electrones hacia n1 permite más inyección de huecos hacia J1 desde p1 para mantener la
neutralidad de carga espacial. Esta inyección mayor de huecos alimentará a p2 por la acción del
transistor y el proceso continúa repitiéndose, presentándose un fenómeno de avalancha. La
multiplicación por avalancha en la unión J2 origina que muchos electrones sean colectados hacia
la región n2 y gran cantidad de huecos hacia la región p2, proporcionando a estas regiones los
portadores mayoritarios requeridos para una mayor inyección en las uniones de emisor.
De otro lado,
en la medida que
el voltaje de polarización externo va en aumento y el
dispositivo se encuentra en su estado de bloqueo directo, la región de depleción en J2 se
expande por causa de la polarización inversa creciente en el centro de la unión, originando a su
480
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
vez que las regiones neutrales de n1 y p2 correspondientes a la unión J2 se estrechen y como
consecuencia se presente un aumento de los parámetros 1 y 2 . La conmutación presenta
como una de sus causas el efecto de la reducción del ancho efectivo de las bases, que mediante
el incremento de las alfas genera la conmutación.
La conmutación entonces es el resultado de la acción mezclada del estrechamiento del ancho
efectivo de las bases, la multiplicación por avalancha y una corriente de fuga a través de J2 a alto
voltaje. El resultado de la conmutación es que la unión J2 pasa de su estado de polarización
inversa al de polarización directa. Cuando el dispositivo pasa del estado de bloqueo directo, al
estado de conducción, el dispositivo conmuta permitiendo el paso de corriente. En la figura
15.5, se observa la nueva situación de las uniones y sus polaridades en los potenciales de unión.
Desde otro punto de vista, si se hace un análisis de corrientes parciales del circuito equivalente
de la figura 15.4, se observa que el aumento en la colección de portadores origina un incremento
de la corriente IC1 , lo cual implica aumento de IB2, pero también un aumento de IC2, lo cual
implica aumento de IB1, incrementándose de nuevo IC1, este proceso acumulativo hace que los
transistores pasen a operar en la región de saturación , haciendo que el dispositivo se comporte
como un interruptor cerrado. Esta condición da paso a la polarización directa de la unión J2 y
cuando esta situación comienza se presenta un incremento en el valor de la corriente.
Ahora si IC1 disminuye, también lo hará IB2 al igual que IC2 e IB1 reduciendo de nuevo a IC1
hasta que ambos transistores entren en corte. Cabe anotar que si el voltaje externo no es
alterado, el candado permanecerá en uno de los estados, bien sea de bloqueo o conducción de
forma indefinida, hasta que una modificación de los voltajes se presente. Después de conmutar
al estado de conducción, el voltaje medido entre ánodo y cátodo es menor que 1V, lo cual
evidencia que las tres uniones se encuentran polarizadas directamente. Luego:
VAK = V1 − V2 + V3
15.4.1.5.
[15.13]
Conmutación.
La conmutación del estado de bloqueo al estado de conducción requiere que la corriente sea
elevada a un nivel suficiente para aproximarse a la condición 1 + 2 = 1 . Para que esto ocurra
481
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
se requiere aumentar gradualmente el voltaje directo aplicado entre ánodo y cátodo hasta
alcanzar el valor de voltaje crítico VBF. Sin embargo, la ruptura de la unión J2 no requiere que
(1 + 2 ) sea igual a la unidad ya que una vez iniciada, el incremento de los portadores n1 y p2
lleva el dispositivo a la conducción por la acción de transistores acoplados. Esta acción hace que
la polarización inversa de la unión J2 se pierda y los mecanismos de ruptura se desactiven. En
conclusión, la disminución del ancho de efectivo de las bases y el proceso de multiplicación por
avalancha sirven solamente para iniciar el proceso de conmutación.
Así, si (1 + 2 ) es lo suficientemente grande, de tal forma que muchos electrones son
colectados en n1 y suficientes huecos en p2, ello influirá en la reducción de la región de
transición de J2 conmutando su polarización, esta nueva condición de polarización de la unión
J2 deja los transistores operando en condiciones de saturación. Aparecerán entonces tres voltajes
de polarización directa a través de las uniones, observando entre ánodo y cátodo un voltaje igual
al que tendría una unión abrupta pn polarizada directamente, dado que se puede asumir que dos
de los potenciales de contacto pueden prácticamente anularse entre sí. Recordemos que para el
caso del silicio el valor del potencial de contacto de una unión p-n polarizada en directa para
concentraciones de dopado estándar es del orden del 0.7 V.
15.4.1.6.
Polarización inversa.
En este modo de polarización el ánodo es negativo respecto al cátodo, de tal forma que las
uniones J1 y J2 se encuentran polarizadas de forma inversa, mientras que J2 se encuentra
polarizada de forma directa, como se muestra en la figura 15.6. Dados los perfiles de dopado, la
mayor caída de voltaje se presentará en la zona de depleción de la unión J1. Este modo de
polarización define el modo de bloqueo inverso.
482
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Figura 15.6. Bloqueo inverso
Dado que el flujo de electrones hacia J2 está restringido por la polarización inversa de las
uniones J1 y J3, la corriente del dispositivo se limita a una pequeña corriente de saturación
proveniente de la generación térmica de pares electrón-huecos cerca de J1 y J3. Tratándose de
corrientes inversas de saturación, ya podemos asumir que la magnitud de esta corriente
permanece pequeña en la conducción de polarización inversa. De igual forma que en los diodos
convencionales si aumentamos el voltaje inverso de forma considerable podemos tener ruptura
por avalancha en las uniones, evento que puede ocurrir a un gran voltaje inverso aplicado que
puede ser de miles de voltios.
Dos factores básicos determinan el voltaje inverso de ruptura y el voltaje directo de ruptura. Se
presentan dos fenómenos, el primero se refiere a la ruptura por avalancha y el segundo
conocido por su nombre en inglés “punch-through”, el cual consiste en el traslape de las zonas
de depleción de las uniones. Así, la ruptura se presenta, dependiendo de las dimensiones de la
región n1 la cual se denota como Wn1, por las siguientes condiciones:
•
Avalancha: si la región de depleción al momento de la ruptura es menor que Wn1.
•
Punch-through: si la totalidad de la anchura de la unión Wn1 es totalmente afectada por la
zona de depleción. Es decir, si se presenta una intersección de las zonas de depleción de las
uniones.
Tal como se estudió en el caso de las uniones p-n, para una unión abrupta de silicio de un solo
lado, con una región p fuertemente dopada, el voltaje de avalancha viene dado por:
VB = 5.34x1013 (N n1 )
0.75
[V]
[15.14]
483
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Siendo Nn1 en el caso del diodo pnpn, la concentración de impurezas en la región n1
Si se tratase de uniones de tipo gradual, el voltaje de avalancha estaría dado por:
VPT
qN n1Wn21
2 s
Con W =
2 s 0
qN B
[15.15]
Donde NB es NA ó ND dependiendo de cuál lado sea el menos dopado.
15.4.1.7.
Curvas características.
Tal como se ha visto, el dispositivo presenta varias regiones de operación, la curva
característica, es decir el comportamiento de la corriente en función del voltaje aplicado entre
ánodo y cátodo VAK, se presenta en la figura 15.7. En la curva característica se pueden observar
las diferentes zonas de operación del dispositivo:
- En la región comprendida entre los puntos 0 y 1 estamos en la zona denominada bloqueo
directo, esto significa condiciones de alta impedancia. En esta región se presenta la condición
dV dI 0 y se identifican el voltaje de ruptura directo VBF y la corriente de activación IS, la
cual corresponde al valor del voltaje de ruptura.
484
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Figura 15.7. Característica corriente vs. voltaje de un diodo pnpn.
- En la región comprendida entre los puntos 1 y 2, tenemos la zona de resistencia negativa, en
esta zona tenemos de nuevo la condición dV dI 0 y los valores definidos como voltaje de
mantenimiento Vh y la corriente de mantenimiento Ih.
- Entre los puntos 2 y 3, encontramos la zona de conducción directa, si la tensión VAK que se
aplica al dispositivo aumenta por encima del valor VBF el diodo conmuta de su estado de
bloqueo al de conducción, pasando a funcionar en saturación. Si se reduce la tensión, el
dispositivo permanece en conducción hasta que la corriente disminuya por debajo del valor de
corriente Ih. El diodo Shockley usado en la región directa funciona como un dispositivo
biestable que puede ser activado o desactivado.
- En la región ubicada entre los puntos 0 y 4, tenemos la zona de bloqueo inverso, con una
corriente equivalente a las corrientes inversas de saturación de las uniones J1 y J3.
- En la región comprendida entre los puntos 4 y 5 se presenta la región de ruptura inversa, que
permite identificar el valor de voltaje VB, llamado voltaje de avalancha inversa, sin embargo,
usar el dispositivo en este modo de polarización no es atractivo.
485
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
15.4.1.8.
Diodo pnpn bidireccional o DIAC
Este diodo es constituido por dos diodos Shockley conectados en antiparalelo. La estructura y
diagrama esquemático del diodo se muestran en la figura 15.8.
(a)
(b)
Figura 15.8. Diodo Shockley bi-direccional (a) Estructura (b) Símbolo
Este dispositivo denominado diodo Schockley conmuta de un estado de bloqueo, en polarización
directa, a un estado de conducción con la misma polarización. El DIAC se define como un diodo
de corriente alterna, es usado fundamentalmente en actividades de conmutación. Se trata
entonces de un dispositivo bi-direccional, el cual presenta estados activos o inactivos para
voltajes de ánodo positivos o negativos. Son útiles para aplicaciones de A.C. El DIAC puede ser
construido como un diodo disparador de A.C. o un diodo de conmutación bidireccional pnpn.
En resumen, actúa como diodo Shockley para cada semiciclo de la señal alterna.
15.4.1.9.
Mecanismos de disparo.
Según hemos visto, varios fenómenos intervienen en la forma como un dispositivo pnpn puede
conmutar del estado de bloqueo directo al de conducción. El mecanismo de disparo de los
dispositivos de cuatro capas puede presentarse a través de distintos métodos.
486
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
i)
Aumento de temperatura: un incremento de la temperatura del dispositivo hace que
aumente la tasa de generación de portadores y la vida media de los mismos. En
consecuencia, la corriente IA aumenta y de igual manera los parámetros .
ii)
Excitación luminosa: de acuerdo con las características de fabricación del dispositivo,
este puede activarse por excitación luminosa aumentando el número de pares electrónhuecos aumentando la corriente.
iii)
Elevación de voltaje: el método más directo y más usado consiste en aumentar el voltaje
de polarización por encima del valor VBF. La conmutación se debe a una avalancha
significativa en la unión J2 polarizada negativamente. El aumento de la inyección de
portadores a las uniones J1 y J3, como consecuencia de la conmutación, se presenta como
respuesta a la acción combinada de la reducción de la zona de transición de la unión J2 y al
fenómeno de multiplicación por avalancha.
iv)
Voltaje directo rápido: cuando se presenta la condición dVAK dI A = 0 según se observa
de la curva característica del dispositivo.
v)
Señal externa: mediante la aplicación de una señal externa de disparo. Recordemos que
este es el segundo fenómeno que nos permite entender rel funcionamiento de estos
dispositivos.
15.4.2.
Señal externa o de disparo.
El segundo fenómeno que origina una conmutación controlada en los dispositivos de cuatro
capas es el efecto de una señal de disparo aplicada a un tercer terminal, este mecanismo de
disparo identifica a los dispositivos de cuatro capas conocidos ampliamente como tiristores,
estos dispositivos y su mecanismo de disparo son objeto de análisis a continuación.
15.4.2.1.
Tiristores.
Los tiristores son básicamente Diodos Shockley con terminal de control, es decir son
dispositivos de tres terminales y de igual forma usados en la conmutación, principalmente en las
áreas de control. El más conocido es el SCR que deriva su nombre de sus iniciales en inglés
(Silicon Controlled Rectifer). Presenta entonces tres terminales correspondientes al ánodo (A),
487
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
cátodo (K) y la puerta (G). En la figura 15.9 se observa la estructura y el símbolo de estos
dispositivos.
(a)
(b)
Figura 15.9. SCR (a) Estructura. (b) Símbolo
A diferencia del diodo Shockley, en el tiristor es posible controlar la conmutación del estado de
bloqueo directo al de conducción, mediante la aplicación de una señal externa a través de su
terminal de puerta. Este fenómeno es fácilmente entendido a partir del modelo de los dos
transistores bipolares realimentados, tal como se muestra en la figura 15.10. En el diagrama es
posible observar que se trata del mismo modelo usado para el estudio del diodo Shockley, pero
con la inclusión del tercer terminal de puerta en el que se aplica una corriente de puerta IG.
El tiristor presenta básicamente la misma curva característica del diodo Shockley, pero la
presencia de la corriente IG permite controlar voluntad el paso del estado de bloqueo al de
conducción. En la figura 15.10 (a) se presentan algunos tiristores comerciales. En el siguiente
ítem se presentan las ecuaciones que describen el proceso de conmutación.
488
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
(a)3
(b)
Figura 15.10. (a) Fotos de algunos SCRs4 (b) Modelo para el estudio del SCR.
15.4.2.2.
Modelo de transistores realimentados.
De la figura 15.10 y retomando las ecuaciones obtenidas para el transistor bipolar, se tiene que
las relaciones de las corrientes para un transistor bipolar pnp son:
I C = −I E + I CO
[15.17]
I B = (1 − )I E − I CO
[15.18]
Donde es la ganancia de corriente en base común. Aplicando al SCR tenemos que:
I C 2 = 2 I K + I CO 2
[15.19]
La ecuación 15.19 describe la corriente de colector del transistor npn relacionada con 2.
I B1 = (1 − 1 )I A − I CO1
[15.20]
La ecuación 15.20 es la corriente de base del transistor pnp suministrada por el colector del
transistor npn. Igualando las dos expresiones.
(1 − 1 )I A − I CO1 = 2 I K
+ I CO2
[15.21]
Ya que
I K = I A + IG
3
[15.22]
http://www.coronabrasil.com.br/espanhol/imagens/semi_condutores/tiristor_rabicho.jpg
489
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Entonces:
IA =
2 I G + I CO1 + I CO2
1 − ( 1 + 2 )
[15.23]
Como se puede leer de la expresión anterior, siguen siendo válidas las razones que permiten la
conmutación del dispositivo, si consideramos el caso especial en que IG = 0, caemos en el
estudio del diodo Shockley. Para el caso del tiristor, la corriente de puerta (IG ≠ 0), puede activar
la conmutación del dispositivo de manera controlada.
La ecuación 15.23, es la ecuación que rige la región de corte, 1 y 2 son funciones de IA y se
incrementan con incrementos de IA. IA es pequeña para valores de (1 + 2) menores que la
unidad. Cuando (1 + 2) se aproxima a la unidad, IA crece y acontece la conmutación. Dado el
crecimiento de la corriente, esta debe limitarse con un resistor externo. En el momento de la
conmutación, al igual que en el diodo Shockley el voltaje VAK se convierte en:
V AK = V1 − V2 + V3
[15.24]
Este potencial es aproximadamente igual al potencial de contacto de la unión. La conmutación
ocurre cuando dVAK dI A = 0 .
15.4.2.3.
Curva característica.
En la figura 15.11, se presenta la curva característica del tiristor, presentando las diferentes
posibilidades que tiene el dispositivo de controlar la conmutación mediante la corriente de
puerta. Dependiendo de la magnitud de esta corriente tendríamos diferentes valores para el
voltaje de ruptura directa. El tiristor permite anticipar el disparo mediante la aplicación de la
corriente de puerta, pero no puede lograr un disparo más allá del valor VBF que se obtiene
cuando IG = 0.
490
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Figura 15.11. Curva característica del tiristor.
15.4.2.4.
El TRIAC.
El dispositivo denominado TRIAC, derivado de la combinación de las palabras “Triode A.C.” o
tríodo de corriente alterna es un dispositivo conformado por tiristores bidireccionales, es usado
de igual forma en procesos de conmutación de señal. Estos tiristores bidireccionales presentan
estados activos o inactivos para voltajes de ánodo positivos o negativos. Son útiles para
aplicaciones de A.C. La estructura del dispositivo es mostrada en la figura 15.12 (a) y el
símbolo respectivo en la figura 15.12 (b).
(a)
(b)
Figura 15.12. TRIAC (a) Estructura (b) Símbolo.
491
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
El TRIAC puede conmutar la corriente en cualquier dirección mediante la aplicación de
pequeños voltajes o aplicando pulsos de corriente bajas para cualquier polaridad entre la puerta
y uno de los terminales principales. La curva característica I vs. V se observa en la figura 15.13
y evidencia similar comportamiento tanto para señales positivas o negativas de la señal de
corriente alterna.
Figura 15.13. Curva característica del TRIAC.
15.4.2.5.
Mecanismos de disparo.
Los mecanismos de disparo que fueron formulados para el diodo Shockley siguen siendo
válidos para el tiristor, sin embargo, ante la presencia de una señal externa de disparo se hace
necesario ampliar las posibilidades de los mecanismos que permiten conmutar del estado de
bloqueo directo al de conducción.
15.4.2.5.1.
Variación con IG(IG).
Consideremos una variación IG(IG), entonces:
I K = I A + I G
[15.41]
492
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Los alfa de pequeña señal serían:
1 =
dI C
=
dI A
lim
I A →0
2 =
dI C
=
dI K
lim
I K →0
I C
I A
[15.42]
I C
I K
[15.43]
Las corrientes de huecos colectados por J2 será 1IA en tanto que la corriente de electrones
será 2IK. Igualando el cambio de la corriente de ánodo con el cambio de corriente a través de
J2
I A = 1I A + 2 I K
[15.44]
Sustituyendo:
I A
2
=
I G 1 − ( 1 + 2 )
[15.45]
Cuando (1 + 2 ) están próximos a la unidad, cualquier incremento pequeño en IG causa un gran
incremento en IA.
15.4.2.5.2.
Voltaje de conmutación (VBF).
Asumiendo que el voltaje V2 de la unión J2 permanece invertido, a medida que este voltaje
aumenta el campo generado es suficientemente fuerte como para producir multiplicación por
avalancha. Si denotamos por Mn el factor de multiplicación de electrones y por Mp el factor de
multiplicación de huecos, podemos encontrar la corriente de avalancha debida a huecos de la
forma siguiente:
En x = x1, la corriente de huecos es equivalente a I p ( x1 ) . Esta corriente se convierte en
M p I p ( x1 ) para el punto x = x2. Ecuaciones similares pueden describirse para la corriente
debida a los electrones. Luego, la corriente total entendida como la suma de las componentes de
huecos y electrones es expresada de la forma:
493
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
I = M p I p ( x1 ) + M n I n ( x2 )
[15.46]
Pero recordemos que la corriente de colector del transistor pnp es:
I p ( x) = 1 ( I A ) I A + I co1
[15.47]
Y además:
I n ( x) = 2 ( I K ) I K + I co 2 es equivalente a I n ( x 2 )
[15.48]
Luego:
I = M p (1 ( I A ) I A + I co1 ) + M n ( 2 ( I K ) I K + I co 2 )
[15.49]
Si asumimos que los factores de multiplicación son iguales: M p = M n = M , tenemos:
I
(I )I
(I )I
1
= 1 A A+ 2 K K + 0
M (V2 )
I
I
I
[15.50]
Donde: I 0 = I co1 + I co 2
Ahora si consideramos que:
I G = I GA = 0
enonces
I = I A = I K , lo cual corresponde a hablar del DIAC, la expresión se
convierte en:
I
1
= 1 ( I ) + 2 ( I ) + 0
M (V2 )
I
[15.51]
Luego el inverso del factor de multiplicación viene dado por la ecuación:
1
1
=
M (V2 ) I − (V2 / VB ) n
[15.52]
Donde VB es el voltaje de ruptura de la unión y n es constante. El voltaje de conmutación puede
ser obtenido de las ecuaciones anteriores y tomando I >> I0
M (V2 ) =
1
1
=
1 + 2 I − (VBF / VB ) n
[15.53]
O también:
494
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
1
VBF = VB (1 − 1 − 2 ) n
[15.54]
VBF es siempre menor que VB. Así:
•
Para (1 + 2) pequeño, tenemos que VB. VBF.
•
Para (1 + 2) grande, se cumple que VB. VBF
La forma más importante de conmutar un SCR es mediante la corriente de disparo.
15.4.2.5.3.
Efecto de la velocidad.
Cuando la corriente de disparo o corriente de puerta es aplicada al ánodo a través del tiristor,
éste no responde inmediatamente, por esto se le asocia un tiempo de activación. Este tiempo de
activación viene dado por el valor medio geométrico de los tiempos de difusión en las regiones
n1 y p2
t n = t1 − t 2
[15.55]
Donde:
w2
t1 = n1
2D p
y
wn22
t2 =
2 Dn
[15.56]
Si asumimos que las cargas en los transistores son Q1 (pnp) y Q2 (npn). Las corrientes de
colector están dadas por:
I c2
Q1
t1
I c1
e
Q2
t2
En las condiciones ideales en las que ocurre que:
dQ1
= Ic 2
dt
y que
dQ2
= I G + I c1
dt
[15.57]
Obtenemos:
d 2 Q2 Q1 I G
−
=
t1t 2 t 2
dt 2
[15.58]
La solución es de la forma:
495
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
−
Ae
t
tn
con t n = t1 + t 2
[15.59]
Así para obtener tiempos de activación reducidos se deben implementar regiones Wn1 estrechas
y Wp2 anchas.
15.4.2.5.4.
Cátodo cortocircuitado y efecto dv/dt
Considerando el caso de tener el cátodo cortocircuitado, o sea que se presentan las condiciones
I GA = 0 e I = I A , tenemos:
IA =
MI 0
I
1 − M1 − M 2 K
IA
[15.60]
Para el caso de cátodo no cortocircuitado, tenemos que I K I A , luego.
IA =
MI 0
1 − M 1
[15.61]
Bajo estas condiciones VB. VBF. La reducción del voltaje de disparo directo depende de la
magnitud del voltaje de ánodo y su razón de cambio. Este efecto es llamado efecto dv dt .
La variación rápida del voltaje de ánodo causa el aumento de la corriente de desplazamiento
d (Cv) dt , donde C es la capacitancia de la unión J2. La corriente causa una variación en
(1 + 2 ) 1 , originando la conmutación.
15.4.3.
Bloqueo inverso.
Aun cuando no es usual operar los dispositivos en esta región de bloqueo directo, discutiremos
algunas características asociadas a su modo de operación en esta región. Los dos factores
básicos que limitan los voltajes de ruptura inverso (VBR) y de ruptura directa (VBF) son la
ruptura de avalancha y el “punch-through” de la región de depleción. Para el tiristor también
tenemos en el modo de bloqueo inverso las condiciones siguientes:
496
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
•
Las uniones J1 y J3 se encuentran polarizadas inversamente.
•
La unión J2 entre tanto se halla en modo de polarización directa.
•
Dadas las características de dopado, la mayor parte del voltaje inverso aplicado cae en la
unión J1.
Dependiendo de la dimensiones de la anchura Wn1, la ruptura puede presentarse bien sea,
debido a multiplicación por avalancha , si el ancho de la región de depleción es menor que Wn1,
o debido al fenómeno de “punch-through”, en el caso que se unan las regiones de depleción de
las regiones de transición. La señal de conmutación es controlada externamente para de esa
manera lograr comandar los estados de conducción o bloque del dispositivo.
15.4.4.
Ruptura de la unión.
La ruptura de la unión en condiciones de polarización inversa puede darse por dos fenómenos
que ya se han discutido con anterioridad: la multiplicación por avalancha y el segundo conocido
como "punch through" es el fenómeno de penetración de las barreras de depleción por sobre
posición de las mismas.
15.4.4.1.
Multiplicación por avalancha.
Este fenómeno es conocido también como ionización de impacto y constituye el mecanismo
más importante en la ruptura de la unión. El voltaje de ruptura de avalancha impone un límite
superior a la polarización inversa de la unión. Colisiones de portadores generados térmicamente
con los iones presentes en la zona de transición generan nuevos pares electrón-huecos que al
chocar con los átomos que constituyen el cristal rompen enlaces covalentes y generan nuevos
pares electrón-hueco. Así cada portador puede reiterativamente producir nuevos portadores
adicionales, creándose un proceso acumulativo que se domina multiplicación por avalancha. El
resultado es una gran corriente inversa.
Si definimos n y p como las ratas de ionización de electrones y huecos respectivamente y
además asumimos que la zona de transición está entrando una corriente Ipo, la corriente
incrementa con x, a través de la región de depleción alcanzando un valor MpIpo donde:
497
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
Mp =
I p (W )
[15.29]
I p (0)
De igual manera ocurriría para la corriente de electrones. El incremento de corriente en x es
igual al número de pares electrón-huecos generados por segundo en la distancia x.
Ip
q
I
= p
q
I
p x + n
q
I p
− ( p − n )I p = n I
x
nx
con
[15.30]
I = I p + In
La solución de la ecuación anterior, considerando las condiciones de frontera:
I = I p (w) = M p I p 0 es:
[15.31]
x
− ( p − n )x
1
0
I
+ ne
x
Mp 0
Ip ( x) =
x
x
(
e
)
− p − n x
0
[15.32]
Que puede ser reescrita de la forma:
− ( p − n )x
1
1−
= p e 0
x
Mp 0
x
W
[15.33]
El voltaje de ruptura de avalancha se define como el voltaje cuando M p → . Esta condición
está dada por la integral
x
W
p e
(
)
− p − n x
0
x = 1
[15.34]
0
Si el proceso de avalancha es iniciado por electrones la integral sería:
x
W
n
e
(
)
− p − n x
0
x = 1
[15.35]
0
Para semiconductores con iguales ratas de ionización n = p = , entonces
W
x = 1
[15.36]
0
Dado que la rata de ionización presenta una dependencia con el campo de la forma:
(E ) =
qE − ET
e
EI
[15.37]
498
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
donde:
T es la ionización por colisión.
EI la energía umbral de ionización efectiva.
E el campo eléctrico.
Resolviendo por métodos numéricos obtenemos:
VB =
EmW s Em2
=
2
2qN B
[15.38]
Para una unión abrupta de un solo lado.
Fenómeno de “punch-through”.
15.4.4.2.
El fenómeno de “punch-through” ocurre cuando se tiene una base muy estrecha y la región de
depleción de la unión J1 se superpone con la unión J2, quedando las dos regiones p en contacto
presentándose una corriente elevada. El voltaje de “punch-through” para la unión abrupta de un
solo lado es:
VPT =
qN BW 2
[15.39]
s
Para el caso del SCR el voltaje inverso de ruptura viene dado por:
VBR = VB (1 − 1 ) n
1
[15.40]
Donde:
1
•
M =
•
VB es el voltaje de ruptura de avalancha de la unión p1-n1.
•
n es una constante que depende del tipo de unión, es igual a 6 (seis) si se trata de una unión
1
es el factor de multiplicación de avalancha.
p+-n y tiene un valor de 4 (cuatro) si se trata de una unión n+-p.
Ya que (1 − 1 )n es menor que la unidad entonces VBR < VB
1
499
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
15.5. Ejercicios.
1.
A partir del diagrama circuital de dos transistores bipolares realimentados, encuentre la
ecuación de corriente del SCR.
2.
Explique para un dispositivo SCR como se logra el paso del estado de conducción directa a
el estado de bloqueo directo. Explique el fenómeno.
3.
Realice el diagrama de bandas de un diodo pnpn en bloqueo directo y conducción,
considerando dimensiones, niveles de concentración y voltajes aplicados, explique.
4.
Explique los diferentes fenómenos responsables de la conducción en la región inversa de un
diodo pnpn.
5.
Un diodo Shockley tiene los parámetros: voltaje de ruptura en directa VB = 12 V, corriente
de retención IH = 4 mA, tensión de codo es VK = 0,7 V. Encuentre a) el valor mínimo a que
debe llegar la tensión de la fuente para que el diodo conduzca, b) la tensión de la fuente
para la cual se desactiva el diodo.
6.
El circuito simple de control de potencia utiliza un tiristor como elemento de control de una
carga resistiva. Determine el valor de V necesario para producir el disparo del tiristor.
Suponiendo que se abre el interruptor, una vez disparado el tiristor, calcular el valor mínimo
de tensión, VE, que provoca el apagado del mismo. VE = 300 V R = 500 RL = 20
SCR
VH = 2 V
IH = 100x10-3 A
VG = 0.75 V
IG = 10x10-3 A
500
Capítulo 15. Dispositivos de conmutación de cuatro capas.
501
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505
Indice.
afinidad electrónica ....... 227, 228, 229, 230, 236, 263
alta inyección de portadores .......................... 395, 403
Amorfos .................................................................. 204
ancho de base ................................................ 396, 400
ancho de la base ............................ 395, 407, 408, 424
Antimonio............................................................... 156
Aproximación de Boltzmann .................................. 297
Arsénico ................................................................. 156
Arseniuro de Galio ........................................ 183, 195
átomo de Bohr.................................................... 57, 64
átomo de hidrógeno ......................... 57, 58, 59, 62, 64
átomos divalentes................................................... 144
auto-funciones.......................................................... 72
baja inyección ................ 188, 200, 403, 413, 432, 481
Baja inyección ....................................................... 297
banda de conducción .... 136, 142, 143, 144, 145, 146,
147, 148, 150, 151, 155, 156, 157, 158, 160, 162,
163, 164, 166, 171
banda de valencia . 136, 142, 143, 144, 145, 146, 147,
151, 152, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 163, 164,
171
Banda de valencia.................................................. 142
barrera de potencial 77, 79, 82, 83, 85, 296, 297, 299,
300, 301, 302, 306, 307, 308, 346
barrera Schottky ... 230, 232, 235, 241, 242, 247, 248,
251, 257, 260, 261, 262, 263, 446
barreras Schottky ........................................... 225, 226
base larga .............................................................. 416
bases de corta dimensión ....................................... 416
bloqueo directo ..... 477, 479, 480, 482, 483, 486, 488,
490, 494, 498, 502
brecha indirecta ..................................... 184, 190, 191
campo eléctrico4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 2, 267,
271, 272, 273, 276, 278, 279, 282, 283, 285, 290,
291
campo eléctrico interno . 300, 301, 302, 307, 400, 401
campo eléctrico máximo ........................................ 356
canal libre ............................................................. 451
capacidad geométrica ............................................ 234
Capacitancia de depleción ..................................... 292
capacitancia de la unión ........................................ 258
Capacitancia de la unión ............................... 286, 288
capacitancia de transición ..................... 288, 289, 290
Capacitancia de transición .................................... 332
carga de depleción ................................................. 460
carga electrónica ....................................................... 3
celda unitaria ................................. 205, 211, 212, 214
Celdas primitivas ........................................... 211, 212
centros de recombinación ...................................... 184
circuito candado .................................................... 478
coeficiente de emisión ............................................ 320
coeficiente de ionización ........................................ 357
componente de difusión ......................................... 403
componentes de corriente .............................. 401, 431
Compton .................................................................. 27
concentraciones de mayoritarios ......................... 280
condensador variable .................................... 368, 371
conductividad 143, 144, 145, 154, 157, 170, 178, 179,
202, 203
conductividad en el canal ...................................... 466
constante de Boltzmann ................................... 34, 146
constante de Coulomb ............................................... 3
constante de Planck ............................... 28, 37, 40, 43
contacto metal semiconductor ....................... 225, 243
contactos óhmicos ................................................ 395
contactos óhmicos ......................................... 233, 234
coordenadas esféricas ..................................... 99, 100
corriente de arrastre ......................173, 268, 271, 278
Corriente de colector............................................. 399
corriente de desplazamiento ...........237, 247, 480, 498
corriente de difusión ...... 180, 268, 271, 301, 302, 306,
312, 317, 318, 320, 321, 322, 323
corriente de generación......................................... 302
corriente de mantenimiento ................................... 487
corriente de pico.................................... 379, 380, 381
corriente inversa de saturación .... 308, 318, 319, 321,
323, 326, 327, 328, 351, 352, 478, 479, 480
corrientes inversas de saturación .......................... 450
cuantización del momento ................................. 59, 60
curva de dispersión ............................................... 112
De Broglie .... 27, 52, 53, 55, 56, 64, 65, 66, 71, 89, 97
de la unión ideal. ................................................... 415
degeneración del estado de impurezas .................. 165
densidad ......................... 214, 215, 216, 217, 223, 224
densidad de carga espacial ................... 268, 271, 290
densidad de corriente .... 175, 177, 178, 179, 180, 182,
183, 196, 203, 312, 315, 317, 319, 321
densidad de estados posibles ................................. 148
densidad de flujo ................................................... 182
desplazamiento Compton .................................. 45, 48
detector de luz ....................................................... 384
difusión .. 173, 174, 179, 180, 182, 183, 193, 194, 195,
196, 197, 198, 199, 200
diodo emisor de luz................................................ 386
diodo Schottky ........ 226, 231, 232, 233, 234, 246, 263
diodo túnel ..... 371, 372, 373, 374, 375, 376, 379, 380,
381, 382
Diodo Túnel ........................................................... 371
diodos Esaki .......................................................... 374
diodos Shockley ............................................. 474, 488
diodos Varactores.......................................... 367, 369
dispositivo unipolar ............................................... 446
dispositivos de conmutación de cuatro capas ....... 474
distancia atómica .................................................. 204
distribución de Boltzmann ........................... 36, 37, 38
distribución de carga............................... 4, 6, 7, 8, 11
distribución de Fermi-Dirac.................. 145, 148, 165
E. Schroëdinger ....................................................... 63
506
Indice.
ecuación de Maxwell ................................................. 6
ecuación de onda ............................... 6, 65, 66, 67, 69
ecuación de Schrödinger ... 65, 66, 67, 70, 71, 72, 99,
102, 110
Ecuación fundamental del diodo ........................... 317
Ecuación generalizada del transistor ................... 423
ecuaciones de continuidad ............................. 200, 314
efecto Compton ........................................................ 27
Efecto Compton ....................................................... 45
efecto Early ............................ 407, 408, 409, 427, 444
efecto fotoeléctrico ........................... 27, 41, 42, 45, 51
Efecto Fotoeléctrico ........................................... 40, 41
efecto rectificador .......................................... 226, 233
efecto túnel ..................... 356, 374, 375, 377, 378, 379
Efecto túnel .................................................... 252, 374
efectos de la señal de disparo ................................ 477
Eficiencia de emisión ............................................. 403
Einstein ........................................................ 52, 53, 55
El DIAC ................................................................. 488
El diodo.................................. 296, 331, 345, 348, 352
electrones en la base ...................................... 398, 406
electrones pesados ................................. 138, 139, 145
emisión termoiónica ....... 246, 247, 248, 250, 251, 257
energía cinética ............................................. 9, 13, 14
energía de Fermi............................ 164, 166, 169, 172
energía potencial ....................... 66, 69, 70, 77, 78, 85
energías de Fermi .......................... 225, 226, 229, 231
equilibrio dinámico ........................................ 173, 186
equilibrio estático .................................................. 173
equipartición de la energía ................................ 34, 36
espaciamiento interatómico ........................... 140, 142
espectro atómico ................................................ 56, 61
estadística de Bose-Einstein .................................. 145
estadística de Fermi-Dirac .................................... 145
estadística de Maxwell-Boltzmann ........................ 145
estructura cristalina ............................................... 139
Estructura cúbica centrada en cara ...................... 207
Estructura cúbica centrada en cuerpo ................... 207
Estructura cúbica simple ....................................... 206
estructuras cristalinas............................ 204, 207, 212
extracción de mayoritarios .................................... 307
factor de empaquetamiento .................... 210, 211, 223
factor de idealidad ................................................. 320
factor de transporte ....................................... 404, 405
fase inicia ................................................................. 12
fenómeno de avalancha ......................................... 482
fenómenos de arrastre ........................................... 308
fenómenos de ruptura ............................................ 357
fenómenos de transporte ................................ 173, 200
Fermi-Dirac ................................................... 145, 147
FET ................................................ 446, 447, 472, 473
flujo de corriente entre los dos terminales ............. 477
flujo de energía .................................................. 24, 25
flujo de portadores ......................................... 401, 406
flujo eléctrico ............................................................. 5
foto resistor .................................................... 387, 388
fotocorriente .......................................................... 383
fotodiodo......................... 382, 383, 384, 385, 386, 388
fotodiodos ...................................................... 382, 385
frecuencia ...................................52, 54, 58, 62, 64, 65
frecuencia angular .................................................. 11
fronteras de la unión ...... 301, 303, 309, 317, 333, 336
función de Fermi ................................................... 147
función de onda ................................................. 52, 53
función de probabilidad ................................ 164, 165
función de Schróëndinger independiente del tiempo 71
función trabajo227, 228, 229, 230, 231, 232, 234, 247
Ganancia de corriente ....................405, 424, 425, 431
gas tiratrón ............................................................ 476
generación ..... 173, 183, 184, 185, 186, 188, 191, 193,
198
generación – recombinación ................................. 183
gradiente de concentración ........................... 173, 179
Hertz ........................................................................ 41
heterouniones ........................................................ 264
Hexagonal compacta ............................. 209, 210, 211
Hexagonal simple .......................................... 210, 211
homouniones,................................................. 264, 276
huecos .... 139, 145, 147, 148, 151, 152, 153, 154, 155,
156, 157, 158, 159, 162, 163, 164, 165, 166, 167,
168, 171
impurezas aceptadoras .......................... 156, 158, 167
impurezas donadoras .............155, 158, 165, 167, 169
índice de Miller ............................................. 218, 220
intensidad de corriente ...................175, 176, 177, 203
intensidad lumínica ............................................... 385
Inversión débil ....................................................... 461
Inversión fuerte ..................................................... 462
inyección de portadores ........................ 174, 186, 188
inyección de portadores minoritarios............ 396, 415
J.J Ebers ................................................................ 410
J.L.Moll ................................................................. 410
JFET ............... 446, 447, 448, 449, 450, 454, 472, 473
John Barden .......................................................... 392
junturas metal-semiconductor ............................... 225
Kronig & Penney ................................................... 108
La catástrofe del ultravioleta .................................. 36
La densidad de carga ............................................ 282
La ecuación de Boltzmann .................................... 297
la ley de Gauss .......................................................... 5
la ley de la unión ................................................... 304
La resistencia dinámica ................................. 330, 331
La resistencia estática ........................... 329, 343, 344
Ley de acción de masas ......................................... 280
Ley de Coulomb ......................................................... 3
Ley de Gauss ......................................................... 272
Ley de Stefan ........................................................... 29
línea de carga de C.D............................................ 341
línea de carga dinámica ........................................ 344
Longitud de Debye......................................... 285, 286
longitud de difusión ............................................... 194
Longitud de difusión .............................................. 312
longitud de onda ...................................................... 10
507
Indice.
longitud media de difusión ..................................... 416
Louis De Broglie ...................................................... 52
Lummer y Pringsheim .............................................. 29
masa efectiva ................................. 136, 138, 151, 171
material cristalino ................................................. 204
materiales dopados ........................................ 153, 157
materiales extrínsecos............................ 152, 164, 167
materiales intrínsecos .................................... 152, 160
Max Born ................................................................. 52
Max Planck ........................................................ 28, 36
Mecanismos de disparo ................................. 488, 494
Modelo de Ebers-Moll ........................................... 410
Modelo SPICE del BJT .......................................... 429
modo de conducción .............................................. 479
Modos de operación............................................... 399
modulación del flujo de corriente .................. 395, 437
momentum .............................................. 45, 46, 47, 48
Monocristalinos ..................................................... 204
MOSFET ........................ 446, 447, 455, 456, 472, 473
movilidad ............... 174, 175, 179, 197, 198, 202, 203
movimiento armónico simple ..................................... 9
multiplicación de portadores ................................. 353
Multiplicación por avalancha ................................ 499
Newton ..................................................................... 65
Niels Bohr ................................................................ 58
nivel de Fermi 145, 146, 147, 151, 153, 154, 158, 159,
161, 162, 163, 164, 167, 168, 169, 171, 273, 274,
276, 277
nivel de Fermi intrínseco ...... 145, 146, 147, 151, 153,
154, 162, 163, 167, 170, 171
niveles de energía degenerados ............................. 149
notación “Shorthand.............................................. 104
número cuántico azimutal ...................................... 102
número cuántico magnético ................................... 103
número cuántico principal ..................................... 102
número de coordinación ................................ 208, 210
número de onda ....................................................... 12
números cuánticos ... 99, 102, 103, 104, 105, 108, 114
onda ........................................................................... 2
onda monocromática ................................................. 9
ondas complejas....................................................... 17
ondas de materia.......................................... 52, 53, 55
ondas electromagnéticas............................................ 2
operador Laplaciano ............................................. 100
período de la onda ................................................... 11
permitividad del vacío ............................................... 3
pico de la dispersión ................................................ 46
pico de respuesta ................................................... 384
pinch-off ......................................... 452, 468, 469, 472
Polarización inversa ...................................... 305, 306
Policristalinos ........................................................ 204
portadores minoritarios 168, 297, 298, 302, 303, 304,
305, 307, 308, 309, 311, 314, 315, 317, 318, 321,
323, 333, 334, 352
portadores minoritarios en exceso 188, 189, 190, 193,
195, 198
postulados de Bohr ............................................ 58, 62
potencial de contacto..... 272, 273, 277, 279, 280, 281,
284, 287, 289, 292, 294
potencial eléctrico ................................. 10, 11, 12, 13
potencial escalón ................................... 86, 87, 88, 90
potencial periódico ................................................ 139
potenciales de Fermi ............................................. 277
pozo de potencial cuadrado......................... 73, 90, 94
principio de Aufbau ............................................... 103
principio de exclusión de Pauli .... 103, 139, 141, 145,
148
Principio de la imagen eléctrica ........................... 260
probabilidad de transferencia ............................... 226
Proceso de multiplicación ..................................... 357
proceso de ruptura ................................................ 355
punch-through ................................408, 485, 499, 501
radiación electromagnética ..................... 2, 56, 58, 62
radiación térmica .................................................... 28
radiancia ........................................................... 28, 29
radiancia espectral .................................................. 28
Rata de generación de electrones .......................... 313
Rata de recombinación de electrones .................... 313
Rayleigh & Jeans............................................... 29, 35
rayos X ........................................................ 40, 45, 50
recombinación ....... 173, 183, 184, 185, 188, 189, 190,
191, 193, 199, 200
red cristalina .................. 138, 140, 151, 155, 176, 184
red de Bravais ....................................................... 140
Red de Bravais .............................................. 205, 206
región de corte .............................................. 405, 437
región de depleción266, 267, 271, 279, 282, 283, 289,
292, 449, 450, 453, 459, 460, 461, 462, 466, 468
región de saturación .............................................. 278
región de transición........................400, 401, 402, 407
región directa activa ..... 396, 399, 402, 406, 415, 423,
427, 437
región neutral ........................................................ 297
región reversa activa ............................................. 406
regiones neutras . 266, 267, 268, 269, 270, 272, 276,
279, 282, 284, 294, 297, 300, 306, 309, 315, 317,
324, 325, 335
regla de Hund ........................................................ 103
Relación de Einstein .............................................. 197
relaciones de Boltzmann ....................... 162, 271, 273
resistencia geométrica ........................................... 367
resistencia incremental.......................................... 330
resistencia negativa 371, 372, 373, 379, 380, 381, 382
resistividad ............................................ 178, 202, 203
ruptura por avalancha........................................... 485
ruptura zener ................................................. 353, 390
Rydberg ............................................................. 57, 62
SCR ......................... 477, 489, 490, 491, 497, 501, 502
semiconductor intrínseco ...................... 145, 155, 170
semiconductores extrínsecos ......................... 154, 164
señal externa de conmutación ............................... 474
serie de Balmer........................................................ 57
spin ........................................................................ 103
spín ........................................................................ 103
508
Indice.
Stefan – Boltzmann .................................................. 29
tasa de generación ................................................. 385
teorema de Bloch ................................................... 109
teoría de Schrödinger ............................................. 65
tiempo de respuesta ............................................... 388
Tiempo de transito en la base ........................ 410, 433
tiempo de vida ........................................................ 189
tiempo de vida libre medio..................................... 315
tiempo libre medio ................................................. 175
tiristores ................................. 474, 476, 489, 490, 493
trabajo de extracción ............................................. 231
transconductacncias .............................................. 470
transconductancia.................................. 454, 470, 473
transistor bipolar .. 392, 393, 394, 403, 410, 413, 415,
416, 430, 444, 445
transistor de punto de contacto.............................. 392
transistor de unión bipolar .................................... 392
transistores bipolares realimentados ............. 477, 490
transistores de efecto de campo ..................... 392, 446
transporte térmico de portadores .......................... 403
TRIAC .................................................... 477, 493, 494
Tunel .............................................................. 353, 355
tunelamiento de barreras ....................................... 371
unión gradual......................................... 290, 292, 294
unión p-n 264, 265, 266, 271, 272, 273, 276, 278, 288,
290, 294
unión p-n abrupta de un solo lado ......................... 265
unión p-n gradual .................................................. 265
unión p-n tipo abrupto ........................................... 265
Valores nominales ................................................. 388
Varactor ......................... 353, 366, 367, 368, 370, 371
Varicap .................................................. 366, 368, 371
velocidad de arrastre..............174, 176, 203, 454, 468
velocidad de fase ............................................... 18, 53
velocidad de grupo ............................................ 18, 55
velocidad de onda...................................................... 7
velocidad tangencial.................................................. 3
voltaje crítico VBF .................................................. 484
voltaje de “punch-through .................................... 501
voltaje de banda plana .................................. 459, 472
voltaje de disparo .................................. 321, 322, 347
voltaje de mantenimiento....................................... 487
voltaje de puerta .............................446, 450, 462, 465
voltaje de ruptura ...........................355, 360, 362, 365
voltaje de ruptura directo ...................................... 486
voltaje de ruptura inverso ..................................... 325
voltaje pico directo ................................................ 477
voltaje umbral ................................462, 470, 471, 472
voltajes de Kirchhoff ............................................. 380
Walter Brattain ...................................................... 392
Willian Schockley, ................................................. 392
Zener ..... 353, 354, 355, 356, 357, 361, 362, 363, 364,
365, 366
zona de acumulación ............................................. 460
zona de Brillouin ....................112, 113, 138, 139, 140
zona de depleción ...................449, 451, 452, 453, 458
zona de fuga .......................................................... 353
zona de inversión ........................................... 457, 461
zona de ruptura ..............................353, 354, 356, 362
zona de transición . 266, 268, 269, 270, 272, 276, 292,
294, 297, 300, 301, 302, 308
509
Índice.
510
