Facultad de Ciencias Básicas - Departamento de Fı́sica y Electrónica
Taller N°2 Mecanica Estadistica
Luis Fernando Martinez, Raul Melendez, Ronald Lara,
Universidad de Córdoba – Facultad de Ciencias Básicas – Departamento de Fı́sica y Electrónica
© 2022, Departamento de Fı́sica y Electrónica. Todos los derechos reservados.
1. Punto 1
a). Calculamos la funcion particion de una sola particula.
Z1 =
RLR∞
1
h
0
−∞
2
p
exp[−β( 2m
+ U0 + bx)]dpdx
RL
R∞
2
→ h1 ( 0 exp[−β(U0 + bx)]dx)( −∞ exp[− βp
2m ]dp)
Calculamos la primera integral por sustitucion usnado v = −β(U0 + bx); dv = −βbdx →
RL
dv
−βb
= dx, obtenemos:
− e−β(U0 +bL) ]
q
q
β
β
La segunda integral se resuelve haciendo t = 2m
p; dt = 2m
dp, de esta forma la integral nos da:
q
R∞
2
2mπ
exp[− βp
2m ]dp =
β
−∞
0
exp[−β(U0 + bx)]dx =
1
−βU0
βb [e
La funcion particion para una particula es entonces:
q
e−βU0
−βbL
)] = h1 ZK1 ZP 1
Z1 = h1 [ 2mπ
β ][ βb (1 − e
La funcion particion para el sistema de N particulas tenemos que:
q
e−βU0
−βbL
Z = ζ N = ( h1 [ 2mπ
)])N
β ][ βb (1 − e
b). Para la energia cinetica media por atomo tenemos.
N
2
ZkN = ( 2mπ
β )
ln Zk =
Ek
N
E
N
N
2
= − N1
=
KT
2
ln 2mπ
β =
∂ ln Z
∂β
N
2 (ln 2mπ
− ln β)
= − N1 [− N2 β] =
KT
2
2
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PUNTO 2
c). Para la energia potencial media por atomo tenemos.
−βU0
ln Zp = N [ln[ e βbh ] ∗ (1 − e−βbL )]
→ N [−βU0 − ln β − ln bh + ln(1 − e−βbL )]
Ep
N
= − N1
Ep
N
∂ ln Zp
∂β
= − N1 [−N U0 −
= U0 + KT +
N
β
N bLe−βbL
]
1−e−βbL
+
bL
bL
e KT −1
2. Punto 2
a). Calculamos la funcion particion para una particula.
Z1 =
1
h3
RR
2
p
d3 rd3 pexp[−β( 2m
+ U )]
−βp2
x
2m
=
R∞
1
h3 [( −∞
=
R∞
1
h3 [ −∞
=
1 2mπ 32 v
h3 [ β ] [ 2
Z1 =
e
e
−βp2
x
2m
dx)(
dx]3 [
R∞
e
−∞
R
V0
−βp2
y
2m
dy)(
e−β∗0 dr +
R∞
e
−∞
R
V1
−βp2
z
2m
dz)(
R
V ol
e−βU dr)]
e−βU dr]
+ v2 e−βU ]
v
2mπ 23
2h3 ( β ) (1
+ e−βU )
Como las particulas son distinguibles entonces la funcion particion del sistema es:
Z = Z1N = ( v2 )N ( 2mπ
h2 β )
3N
2
(1 + e−βU )N
b). Calculamos ahora la energia media
ln Z = N [ln v2 +
3
2
−βU
ln 2mπ
)]
βh2 + ln(1 + e
ln Z
E = − ∂ ∂β
= −N [− 32 KT −
E = N [ 23 KT −
U e−βU
1+e−βU
U e−βU
1+e−βU
]
]
Como el primer término corresponde a la energı́a media en ausencia de potencial (energı́a cinética media), el término
restante es el que corresponde a la energı́a potencial media que, expresada por partı́cula, nos queda:
Ep
N
=
U e−βU
1+e−βU
c). La capacidad calorifica es:
3
Cv = ( ∂E
∂T )V = N K[ 2 +
(βU )2 e−βU
(1+e−βU )2
]
Si hacemos T → 0; β → ∞ obtenemos:
Cv ≈ N K[ 32 + (βU )2 e−βU ] = 23 N K
2
3
PUNTO 3
Taller II Estadistica
Si ahora hacemos que T → ∞; β → 0 obtenemos:
(βU )2
4 ]
Cv ≈ N K[ 32 +
= 23 N K
Notamos que en ambos casos no depende del potencial.
3. Punto 3
H=
P2
2m
+
kq 2
2 ;
Oscilador armonico clasico.
Calculamos la funcion particion Z
Z=
1
h
RR
2
p
exp[−β( 2m
+
kq 2
2 )]dpdq
= h1 (
2
R∞
p
exp[−β 2m
]dp)(
−∞
Para la primera integral tenemos:
q
p2
β
βP 2
2
exp[−β
]dp,
hacemos
t
=
;
t
=
2m
2m
2m p
−∞
q
q
β
dp → dp = 2m
dt = 2m
β dt
q
q
R∞
R ∞ −t2
p2
→ −∞ exp[−β 2m
]dp = 2m
e dt = 2mπ
β
β
−∞
R∞
Para la segunda integral se procede de forma similar:
q
R∞
2
2π
exp[−β kq2 ]dq = βk
−∞
Entonces la funcion particion para este sistema es:
q
q
2π
)(
Z = h1 ( 2mπ
β
βk )
→
Z=
1 2π
h β
pm
k
Calculamos lnZ
2π
ln Z = ln[ hβ
pm
k
] = ln[ 2π
h
pm
k
] − ln β
El valor medio de la nergia esta dado por:
ln Z
E = − ∂ ∂β
= −(− β1 ) = KB T
E = KB T
La dispersion de la energia se puede calcular como:
∂ 1
−
(∆E)2 = − ∂E
∂β = − ∂β ( β ) = −(−β 2) =
1
β2
= (KB T )2
(∆E)2 = (KB T )2
3
R∞
−∞
2
exp[−β kq2 ]dq)
4
Departamento de Fı́sica y Electrónica
PUNTO 4
4. Punto 4
a). Encontramos la forma del potencial Ep .
Para el primer intervalo −L ≤ x < −r tenemos que Ep = 0
Para el segundo intervalo −r ≤ x < 0 tenemos que el potencial a partir de la ecuacion punto - pendiente es
(x1 , e1 ) = (−r, 0)
(x2 , e2 ) = (0, −U )
m=
−U −0
0−(−r)
=
−U
r
Ep − E1 = m(x − x1 ) → Ep − 0 = − Ur (x − (−r))
Ep = − Ur x − U
Para el tercer intervalo 0 ≤ x < r realizamos el mismo proceso anterior
(x1 , e1 ) = (0, −U )
(x2 , e2 ) = (r, 0)
m=
0−−U
r−0
=
U
r
Ep − E1 = m(x − x1 ) → Ep − (−U ) =
Ep =
U
rx
U
r (x
− 0)
−U
Y para el ultimo intervalo r ≤ x ≤ L tenemos que Ep = 0, en resumen tenemos que
Ep =















0 si − L ≤ x < −r
−U
r x
− U si − r ≤ x < 0
U
rx
− U si 0 ≤ x < r
0 si r ≤ x ≤ L















b). Calculamos la funcion particion para una particulaR∞
RL
p2
Z1 = h1 ( −∞ e−β 2m dp)( −L e−βEp dx)
La primera integral sabemos que da:
q
R ∞ β p2
2mπ
2 dp =
e
β
−∞
La segunda integral la dividimos por intervalos:
RL
−L
e−βEp dx =
R −r
−L
e−β∗0 dx +
R0
−r
U
e−β(− r x−U ) dx +
4
Rr
0
U
e−β( r x−U ) dx +
RL
r
e−β∗0 dx
5
PUNTO 5
Taller II Estadistica
Resolvemos integrales, la primera y la ultima son triviales, las dos restantes las resolvemos por sustitucion simple,
al final obtenemos que:
RL
−L
r
βU
βU (e
= −r + L +
r
βU
βU (e
= 2(L − r +
− 1) +
r
βU
βU (e
− 1) + L − r
− 1))
Entonces la funcion particion para una particula es:
q
r
βU
− 1))
Z1 = h2 ( 2mπ
β )(L − r + βU (e
Y para todo el sistema es:
q
r
βU
Z = Z1N = [ h2 ( 2mπ
− 1))]N
β )(L − r + βU (e
c). Por teorema de equiparticion y por lo problemas anteriores, sabemos que la energia cinetica media por particula es:
Ek
N
= 12 KT
Por otra parte la energia potencial la tenemos que calcular:
Ep
N
= − N1
Ep
N
=
(
∂ ln Zp
∂β
r
β2 U
= N[
(
−r
β2 U
r
)(eβU −1)+ βU
(U eβU )
r
(eβU −1)
L−r+ βU
]
r
)(eβU −1)− βU
(U eβU )
r
L−r+ βU
(eβU −1)
Ahora la energia media total por particula es la suma de las energias medias cinetica y potencial
E
N
= 12 KT +
(
U
U
(KT )2 r
r
KT
)(e KT −1)− KT
U
U (U e
U
r
KT −1)
L−r+ KT
U (e
)
5. Punto 5
Los niveles de energia son:
E1 = ε; E2 = 2ε; E3 = 3ε
La energia total del sistema es:
E = n1 E1 + n2 E2 + n3 E3 ; aqui N = n1 + n2 + n3
Las 5 particulas pueden estar en los tres estados, por lo que buscamos las formas en como se pueden organizar
1era forma: n1 = 2, n2 = 3, n3 = 0
2da forma: n1 = 3, n2 = 1, n3 = 1
se hizo de esta forma tal que:
8 = n1 + 2n2 + 3n3
Ahora calculamos Ω
5
6
Departamento de Fı́sica y Electrónica
Ω1 =
5!
2!3!0!
= 10
Ω2 =
5!
3!1!1!
= 20
PUNTO 6
→ ΩT = Ω1 + Ω2 = 30
Con esto podemos calcular la entropia del sistema
S = K ln ΩT = 4,69 · 10−23 J/K
Ahora procedemos a calcular la probabilidad de una particula de estar en alguno de los 3 niveles de energia.
Para el primer nivel tenemos:
16
30
P (n1 ) =
= 0,533
Para el segundo nivel tenemos:
10
30
P (n2 ) =
= 0,333
Por ultimo para el tercer nivel tenemos:
4
30
P (n3 ) =
= 0,133
6. Punto 6
a). La funcion particion para una particula es:
Z1 = e−β(E0 +E1 ) = e−βE0 + e−βE1
Calculamos la energia media por particula del sistema
E=
E
N
∂ ln Z
∂β
=
−βE0
−βE1
−E1 e
= −N ( −E0ee−βE0 +e
−βE1
)
E0 e−βE0 +E1 e−βE1
e−βE0 +e−βE1
ahora calculamos la dispersion:
−βE0
−βE1
+E1 e
∂ E0 e
(∆E)2 = − ∂E
∂β = −N ∂β [
e−βE0 +e−βE1
(∆E)2 = N
]
E02 e−β(E0 +E1 ) +E12 e−β(E0 +E1 ) +2E0 E1 e−β(E0 +E1 )
(e−βE0 +e−βE1 )2
b).
Ω=
N!
N0 !N1 !
=
N!
N0 !(N −N0 )! ,
asi obtenemos P(N)
6
7
PUNTO 7
P (N ) =
Taller II Estadistica
N0 !(N −N0 )!
N!
c). Calculamos la temperatura de la siguiente forma:
N0
N1
0
= eβ(E1 −E0 ) → ln( N
N1 ) = β(E1 − E0 )
0
ln( N
N1 ) =
T =
E1 −E0
KT
E1 −E0
N
K ln( N0 )
1
7. Punto 7
Problema 6.6: Two State System
A system consists of N weakly interacting particles, each of which can be in either of two states with respective
energies ϵ1 and ϵ2 where ϵ1 < ϵ2 .
(a) Without explicit calculation, make a qualitative plot of the mean energy E¯ of the system as a function of its
temperature T. What is E¯ in the limit of very low and very high temperatures? Roughly near what temperature does
E¯ change from its low to its high temperature limiting values?.
(b) Using the result of (a), make a qualitative plot of the heat capacity CV (at constant volume) as a function of the
temperature T.
(c) Calculate explicitly the mean energy E(T ) and heat capacity CV (T ) of this system. Verify that your expressions
exhibit the qualitative features discussed in (a) and (b).
solucion a) Para un sistema en contacto con un depósito de calor sabemos que la probabilidad de que el sistema esté
en un estado con energı́a E es proporcional a eβE , el factor de Boltzmann. Por lo tanto, sin un cálculo detallado,
+ϵ2
podemos deducir que el lı́mite de T pequeños da E = N ϵ1 y el lı́mite de T altos da E = N ϵ1N
. (A bajas temperaturas, las partı́culas preferirán situarse en un estado. A altas temperaturas, las partı́culas llenarán ambos estados
con la misma probabilidad). Ahora bien, hay una escala de energı́a asociada a la diferencia entre los dos estados
∆ϵ = ϵ2 − ϵ1 Aproximadamente, la transición de E ocurrirá en β∆ϵ = 1.
T =
ϵ2 −ϵ1
K
solucion b)Cualitativamente, la energı́a debe acercarse a ∆ϵ
2 a medida que T → ∞ y cuando T → 0, la energı́a va
a 0. Además, la relación de probabilidad de estar en los dos estados es el factor de Boltzmann. Por lo tanto, deberı́a
ser algo ası́ como una función escalonada suave que cambia su valor alrededor de ∆ϵ ∼ KT . CV es una primera
derivada de E(T) por lo que debe tener un pico alrededor de KT ∼ ∆ϵ según el argumento y deberı́a acercarse a
cero para altas y bajas temperaturas.
solucion c. Calculamos la energia media del sistema
−βϵ1 +ϵ2 e−βϵ2
E = N ϵ1ee−βϵ1 +e−βϵ2
Podemos comprobar fácilmente que en el lı́mite a baja temperatura, β → ∞, obtenemos E → ϵ1 . Para lı́mite de
altas temperatura, β → 0, el factor de Boltzmann se aproxima a uno, por lo que E → ϵ1 + ϵ2 . Para encontrar CV
7
7
Departamento de Fı́sica y Electrónica
PUNTO 7
derivamos con respecto a T la energia media:
CV =
∂E
∂T
=
N ϵ1 −ϵ2 e−β∆ϵ
KT 2 (1+e−β∆ϵ )2
Problema 7.11: Specific heat of graphite
Assume the following highly simplified model for calculating the specific heat of graphite, which has a highly
anisotropic crystalline layer structure. Each carbon atom in this structure can be regarded as performing simple
harmonic oscillations in three dimensions. The restoring forces in directions parallel to a layer are very large; hence
the natural frequencies of oscillations in the x and y directions lying within the plane of a layer are both equal to a
value ω∥ which is so large that ℏω∥ ≫ 300K. On the other hand, the restoring force perpendicular to a layer is quite
small; hence the frequency of oscillation ω⊥ of an atom in the z direction perpendicular to a layer is so small that
ℏω⊥ ≪ 300K. On the basis of this model, what is the molar specific heat (at constant volume) of graphite at 300K?.
Solucion
Tenemos la energia del oscilador armonico E = ℏω(n 21 ), ahora le agregamos los terminos para todas las direcciones:
E = ℏω⊥ (n1 + n2 + 1) + ℏω∥ (n∥ + 12 )
Como los terminos de energia son independientes en cada direccion, podemos hacer lo siguiente:
Z = Z⊥ Z∥
Ahora procedemos a hallar el calor especifico
CV =
∂E
∂T
2
= − ∂∂Tln∂βZ
2
Z⊥
= − ∂ ∂Tln∂β
−
=
∂E ⊥
∂T
+
∂ 2 ln Z∥
∂T ∂β
∂E ∥
∂T
Aplicamos ahora las condiciones dadas a 300K (ℏω∥ ≫ 300K) y (ℏω⊥ ≪ 300K), para esto usamos los resultados
del analisis del libro Reif en la pagina 253 (269 en pdf), esto es:
E ⊥ = E 1 + E 2 ≈ ℏω⊥ (1 + 2e−βω⊥ )
E ∥ ≈ KT
Retomando las derivadas tenemos:
dβ ∂E ⊥
dT ∂β
∂E ⊥
∂T
=
∂E ∥
∂T
=K
= 2k(βℏω⊥ )2 e−βℏω⊥
Combinando estos dos resultados y agregando el termino de la temperatura de einstein (θE =
aplicaciones, el calor especifico nos queda:
CV = K[2( θTE )2 eθE /T + 1]
8
ℏω
K )
visto en las