Сборник готовых задач
с непрерывной случайной величиной
Дополнительный материал к теме «Непрерывная случайная величина»:
http://mathprofi.ru/nepreryvnaya_sluchaynaya_velichina.html
Оглавление:
(кликабельно)
1. Задачи, в которых СВ задана функцией распределения ............................................ 2
2. Задачи, в которых СВ задана функцией плотности ................................................. 20
3. Равномерное распределение случайной величины .................................................. 41
4. Показательное распределение вероятностей ............................................................ 47
5. Нормальное распределение вероятностей ................................................................ 51
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
1. Задачи, в которых СВ задана функцией распределения
Задача 1. Дана функция распределения случайной величины X
0; x  0
1
F ( x)   ( x3  3x 2  3x); 0  x  2
2
1; x  2
Найти M (X ) , D(X ) , P( X  1)
Решение: найдем функцию плотности распределения:
0; x  0
1
3
f ( x)  F ( x)   (3x 2  6 x  3)  ( x 2  2 x  1); 0  x  2
2
2
0
;
x

2

Вычислим математическое ожидание:

2
2
3
3
M ( X )   xf ( x)dx   x  ( x 2  2 x  1)dx   ( x3  2 x 2  x)dx 
2
20

0

3  x 4 2 x3 x 2  2 3 
16
 3 2
  
  0    4   2     1
2  4
3
2
2 
3
 2 3
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

2
2
3
2
2 3
2
4
3
2
x f ( x)dx  0 x  2 ( x  2 x  1)dx  2 0 ( x  2 x  x )dx 

3  x 5 x 4 x 3  2 3  32
8
 3 16 8
     0     8   0    
2 5
2
3
2  5
3
 2 15 5
Таким образом:
8
8
3
D( X )   12   1   0,6
5
5
5
1
1 1
P( X  1)  F ()  F (1)  1  (1  3  3)  1   – вероятность того, что
2
2 2
случайная величина X примет значение большее единицы.
Ответ: M ( X )  1 , D( X ) 
3
1
 0,6 , P( X  1)   0,5
5
2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 2. Дана функция распределения случайной величины X
0, x  0

1
F ( x)  
1
, x0
2

 ( x  1)
Найти M (X ) , P X  1
Решение: найдем функцию плотности распределения:
0, x  0

f ( x)  F ( x)   2
, x0
3

 ( x  1)
Вычислим математическое ожидание:



2
xdx
M ( X )   xf ( x)dx   x 
dx

2
3

( x  1)
( x  1)3

0
0
Сначала найдем неопределенный интеграл:
xdx
2
 (*)
( x  1)3
Проведем замену: t  x  1 , x  t  1 , dt  dx
2


(t  1)dt
1
1
1 1
 1 1 

 2  2  3 dt  2   2   2 

3
2 
t
t 
t
 t 2t 
 x  1 2( x  1) 
Таким образом:


b
xdx
1
1
 0 
M (X )  2 
 2 lim  

3
2
b  
( x  1)
 x  1 2( x  1) 
0
0
0

1
1
1
1
 2 lim  

 1    2   1
2
b  
2(b  1)
2
2
 b 1
1
1 1

P X  1  F ()  F (1)  1  1  2   1  1   – вероятность того, что
4 4
 2 
случайная величина X примет значение из данного интервала.
Ответ: M ( X )  1 , P X  1 
1
4
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 3. Известна функция распределения случайной величины T – срока
службы блока:

0, t  0

3

F (t )  kt2 , 0  t 
4

3

1, t  4
Найти коэффициент k , средний срок службы и дисперсию срока службы блока.
Решение: по свойству функции распределения:
2
3
3
F    k   1
4
4
9
k  1
16
16
k
9
Таким образом, функция распределения вероятностей:

0, t  0

3
16
F (t )   t 2 , 0  t 
4
9
3

1, t  4
Найдем функцию плотности распределения:

0, t  0

3
 32t
f (t )  F (t )  
, 0t 
4
 9
3

0, t  4
Вычислим средний срок службы блока:
34

32 2
32 1
32  27
 1
M (T )   tf (t )dt 
t dt   (t 3 ) 30 4 
   0 

9 0
9 3
27  64
 2

Дисперсию службы блока вычислим по формуле:

D(T )   t 2 f (t )dt  ( M (T ))2

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
В данном случае:
34

32 3
32 1 4 3 4 8  81
 9
2
t f (t )dt  9 0 t dt  9  4 (t ) 0  9   256  0   32
Таким образом:
2
D(T ) 
9 1
9 1 1
  
 
32  2  32 4 32
Ответ: k 
16
1
1
, M (T )  , D(T ) 
2
32
9
Задача 4. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
вероятностей F ( x)  c  d ( x  2) 4 на интервале (2;6) . Найти: значения постоянных c и d ;
плотность распределения вероятностей f (x) ; P(5  X  6) ; математическое ожидание
M (X ) ; дисперсию D(X )
Решение: найдем значения c и d . По свойству функции распределения:
F (2)  c  0  c  0
1
1
F (6)  0  d (6  2) 4  d  28  1  d  8 
2
256
Таким образом:
0, x  2;
1
F ( x)   8 ( x  2) 4 , 2  x  6;
2
1, x  6
Найдем плотность распределения вероятностей f (x) :
0, x  2;
1
f ( x)  F ( x)   6 ( x  2)3 , 2  x  6;
2
0, x  6
34
81 175
1

 0,68 – вероятность
8
2
256 256
того, что случайная величина X примет значение из данного интервала.
Вычислим P(5  X  6)  F (6)  F (5)  1 
Вычислим математическое ожидание:

6
1
M ( X )   xf ( x)dx  6  x( x  2)3 dx  ()
2 2

Интегрируем по частям:
u  x  du  dx
1
dv  ( x  2)3 dx  v  ( x  2) 4
4
 udv  uv   vdu
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
6
x
 1 
1
1
4 6
4
8
5 6
 ( x  2) 2   ( x  2) dx  8 6  2  0  ( x  2) 2  
42
5

 4
 2 

1
210
4 26
1
8
 8  6  2 
 0   6  
 5  5,2
2 
5
5 5
5

1
()  6
2
Вычислим дисперсию. Используем формулу:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

6
1
2
x
f
(
x
)
dx

x 2 ( x  2)3 dx  ()
6 

2 2
Дважды интегрируем по частям:
u  x 2  du  2 xdx
1
dv  ( x  2)3 dx  v  ( x  2) 4
4
 udv  uv   vdu
() 
1
26
6
 x2
 1
2
4 6
4
 ( x  2) 2   x( x  2) dx  8
42
 4
 2
6


8
36

2

0

2
x( x  2) 4 dx  ()


2


u  x  du  dx
1
dv  ( x  2) 4 dx  v  ( x  2)5
5
() 
6
x

1 
1
8
5 6
5

 
36

2

2
(
x

2
)

(
x

2
)
dx
2
8 

5

2 
5
2


1 
12
2 1

36  28   210   ( x  2)6 62  
8 
2 
5
5 6

1 
12
1
48 16 412

 8 36  28   210   212   36 
 
2 
5
15
5 15 15


Таким образом:
2
412  26 
412 676 32
D( X ) 
  


 0,43
15  5 
15
25 75
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 5. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
d
вероятностей F ( x)  c 
на интервале (2;) . Найти: значения постоянных c и d ;
( x  2)3
плотность распределения вероятностей f (x) ; P(2  X  3) ; математическое ожидание
M (X ) ; дисперсию D(X )
Решение: найдем значения постоянных c и d . Используем свойство
непрерывности функции распределения:
d
F ()  c 
 c  0 1 c 1;

d
F (2)  1  3  0  d  26  64 .
4
Таким образом:
0, x  2;

F ( x)  
26
1

 ( x  2)3 , x  2

Найдем плотность распределения вероятностей:
0, x  2;

f ( x)  F ( x)   3  26
 ( x  2) 4 , x  2

26
64
61
 0 1

 0,488 – вероятность того, что
3
5
125 125
случайная величина X примет значение из данного интервала.
P(2  X  3)  F (3)  F (2)  1 
Вычислим математическое ожидание:


x
6
M ( X )   xf ( x)dx  3  2 
dx  ()
( x  2)4

2
Проведем замену: t  x  2  x  t  2  dx  dt
Новые пределы интегрирования:
t1  2  2  4;
t2    2  


t2
2 
1 2
 1
(*)  3  2  4 dt  3  26   3  4 dt  3  26 lim   2  3  b4 
b  
t
t
t 
3t 
 2t
4
4
6
0
  1 0
  1
2
1  
1 
1

 3  2 lim   2  3     5 
 3  26  5 
62 4

5
5 


b  
3b
 2 3 2 
  2 3 2 
  2b
6
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
В данном случае:





 3  26

x2
(t  2) 2
t 2  4t  4
6
6
dx

3

2
dt

3

2
dt 
4
4
4


(
x

2
)
t
t
2
4
4
2
6
 x f ( x)dx  3  2 
1
  t
2
4

4 4
4 
 1 2
 4 dt  3  26 lim    2  3  b4 
3
b  
t
t 
3t 
 t t
0
  1 0 2 0
  1
4
1
1  
1
1 
1
 3  26 lim   
 2  3     2  3 
 3  26  2  3 


4
4 

b  
b
b
3
b
2
2
3

2
2
2
3

2








 48  24  4  28
Таким образом:
D( X )  28  42  28  16  12
Задача 6. Дана функция распределения вероятностей
0, x  2
1

F ( x)   ( x  2) 2 , 2  x  4
4
1, x  4
Найти f (x) , P(3  X  4) , P( X  1) , P( X  5) , P(2,1  X  5) . Построить графики
F (x) и f (x) .
Решение: найдем функцию плотности распределения вероятностей:
0, x  2
1

f ( x)  F ( x)   ( x  2), 2  x  4
2
0, x  4
Построим графики F (x) и f (x) :
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1,5
1
0,5
0
-2
-1
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Вычислим вероятности попадания случайной величины X в интервалы:
1
1
1 3
P(3  X  4)  F (4)  F (3)  (4  2)2  (3  2)2  1  
4
4
4 4
P( X  1)  F ()  F (1)  1  0  1
P( X  5)  F (5)  F ()  1  0  1
1
P(2,1  X  5)  F (5)  F (2,1)  1  (2,1  2)2  1  0,0025  0,9975
4
Задача 7. Задана функция распределения случайной величины X :
0, x  0
1

F ( x)   (2 x 2  5 x), 0  x  3
 33
1, x  3
Найти плотность распределения вероятностей f (x) , математическое ожидание
M (X ) , дисперсию D(X ) и вероятность попадания случайной величины X на отрезок
1;2. Построить графики функций F (x) и f (x) .
Решение: найдем функцию плотности распределения вероятностей:
0, x  0
1

f ( x)  F ( x)   (4 x  5), 0  x  3
 33
0, x  3
Построим графики функций F (x) и f (x) :
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Вычислим математическое ожидание:

3
3
1
1
M ( X )   xf ( x)dx   x(4 x  5)dx   (4 x 2  5 x)dx 
33 0
33 0


1  4 x3 5 x 2  3 1 
45
 1 117 39
 0    36 
 

 0  

 1,77
33  3
2 
33 
2
22
 33 2
Дисперсию вычислим по формуле:

2
1
 39 
D( X )   x f ( x)dx  ( M ( X ))   x 2 (4 x  5)dx    
33 0
 22 

3
2
2

3
1
1521 1  4 5 x 3  3 1521 1
1521
3
2
 0 
(
4
x

5
x
)
dx

   x 
  81  45  0 


33 0
484 33 
3 
484 33
484

42 1521 327


 0,676
11 484 484
Найдем вероятность того, что X примет значение из отрезка 1;2 .
18 7 11 1
P(1  X  2)  F (2)  F (1) 


  0,333 – искомая вероятность.
33 33 33 3
Задача 8. Случайная непрерывная величина X задана своей функцией
0, x  0
1

распределения F ( x)   x 3 , 0  x  2 . Требуется: а) найти плотность распределения
8
1, x  2
вероятностей f (x) ; б) схематично построить график функций F (x) и f (x) ; в) Вычислить
математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X ) ; г) Определить вероятность того,
что X примет значение из интервала ( ;  )  (1;3) .
Решение:
а) Найдем плотность распределения вероятностей:
0, x  0
 2
 3x

f ( x)  F ( x)  
, 0 x2
 8
0, x  2
б) Построим графики F (x) и f (x) :
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
4
5
6
7
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
в) Вычислим математическое ожидание:

2
3
3 1
3
3
M ( X )   xf ( x)dx   x3dx   x 4 02 
 (16  0)   1,5
80
8 4
32
2

 
Дисперсию вычислим по формуле:

2
 
3
3 3 1
D( X )   x f ( x)dx  ( M ( X ))   x 4 dx      x 5
80
2 8 5

2
2

2
2
0

9

4
3(32  0) 9 12 9 3
   
 0,15
40
4 5 4 20
г) Найдем вероятность того, что X примет значение из интервала ( ;  )  (1;3) :
1 7
P(1  X  3)  F (3)  F (1)  1    0,875 – искомая вероятность.
8 8
Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
0, x  1
1
F ( x)   ( x 4  1), 1  x  2
15
1, x  2
Найти функцию плотности распределения f (x) и построить графики данных
функций. Вычислить математическое ожидание и медиану x0 .
Решение: найдём функцию плотности распределения:
0, x  1
 4 x 3
f ( x)  F ( x)  
, 1 x  2
 15
0, x  2
Вычислим математическое ожидание:

2
 4 x3dx  4 2 4

M ( X )   xf ( x)dx    x 
x dx 
15  15 1

1

4 1 5 2 4
4
124
 (x ) 1 
 (32  1) 
 31 
 1,65
15 5
75
75
75
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Построим графики:
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
3
2
1
0
-2
-1
Медиана непрерывной случайной величины определяется условием F ( x0 ) 
1
,в
2
данном случае:
1 4
1
( x0  1) 
15
2
15
x04  1 
2
15
17
x04   1 
2
2
17
x0  4
 1,71
2
Задача 10. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:

0, x  0
 x

F ( x)  tg , 0  x 
2
 2

1, x 

2
Найти функцию плотности распределения f (x) и построить графики данных

 
функций. Вычислить математическое ожидание и найти p   X   .
3
 3
Решение: найдём функцию плотности распределения:


0, x  0
 1


f ( x)  F ( x)  
, 0 x
x
2
 2 cos 2
2



0, x  2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Выполним чертежи:
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
Вычислим математическое ожидание:

1
M ( X )   xf ( x)dx 
2

 2

0
xdx
x
cos
2
 (*)
2
Интегрируем по частям:
u  x  du  dx
 x
d 
dx
x
2
dv 
 v      tg
x
x
2
2 cos 2
cos 2
2
2
b
 udv  uv
a
b
b
a
  vdu
a
x

x
 2 d  cos 
sin dx
x
x

2


2  2
(*)   xtg  0 2   tg dx   0  


x
x
2
2
2
2

0
0
0
cos
cos
2
2

x


 1


 
  2 ln cos 0 2   2 ln cos  ln cos 0    2 ln
 ln 1 
2
2
2
4
2

 2


 2

 2
1


 

 2 ln 2 2  0     ln 2   0,88
2


 2

Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение из данного
интервала:


1
 
 
 
p   X    F    F     tg  0 
 0,58
3
6
3
 3
3
 3
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 11. Задана непрерывная случайная величина X функцией распределения:

0, x  0



F ( x)   2 sin x, 0  x 
4



1, x  4
Требуется: 1) найти плотность распределения вероятностей f (x) ; 2) схематично
построить графики f (x) и F (x) ; 3) найти математическое ожидание и дисперсию X .
Решение:
1) Найдем функцию плотности распределения f (x) :

0, x  0



f ( x)  F ( x)   2 cos x, 0  x 
4



0, x  4
2) Построим графики функций f (x) и F (x) :
1,5
1,25
1
0,75
0,5
0,25
0
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1,5
1,25
1
0,75
0,5
0,25
0
-2
-1
3) Вычислим математическое ожидание:

M (X ) 

4

0
 xf ( x)dx  2  x cos xdx  (*)
Интегрируем по частям:
u  2 x  du  2dx
dv  cos x  v  sin x
b
b
 udv  uv a  vdu
b
a
a
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!





(*)  2 ( x sin x) 04  2  sin xdx  2  sin  0   2 cos x 04 
4
4

0

 2
4


 1
 

 
 2  cos  cos 0    2 
 1   1  2  0,37
4
4 2

 4
 2  4
Дисперсию вычислим по формуле:

x
D( X ) 
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:


4

0
2
2
 x f ( x)dx  2  x cos xdx  (*)
Дважды интегрируем по частям:
u  2 x 2  du  2 2 xdx
dv  cos x  v  sin x
b
b
 udv  uv  vdu
b
a
a
a



4
 

(*)  2 x 2 sin x 4  2 2  x sin x  2 
 0   2 2  x sin x  (*)
0
 16 2

0
0
4
2
u  2 2 x  du  2 2dx
dv  sin xdx  v   cos x




2
 

(*) 
 2 2 x cos x  2 2  cos xdx 
 2 2
 0   2 2 sin x 4 
0
0
16
16
4 2

0

2
16

2
4
4

 1
 2 
 2 2
 0 
 2
2
 2
 16 2
Таким образом:
2





 
D( X ) 
  2   1 2  
 2
 (1  2 )  (1  2 ) 2 
16 2
16 2
16 2
4



2
2

2

2
2
2
2
2
1 2 2  2 
 2 2  5  0,05
2
2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 12. Задана функция распределения случайной величины X :

0, x  0



F ( x)  1  cos x, 0  x  .
2



1, x  2
Найти плотность распределения вероятностей f (x) , математическое ожидание
M (X ) , дисперсию D(X ) и вероятность попадания случайной величины X на отрезок
 
0; 3  . Построить графики функций F (x) и f (x) .
Решение: найдем функцию плотности распределения вероятностей:

0, x  0



f ( x)  F ( x)  sin x, 0  x 
2



0, x  2
Построим графики функций F (x) и f (x) :
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
Вычислим математическое ожидание:

M (X ) 

2

0
 xf ( x)dx   x sin xdx  (*)
Интегрируем по частям:
u  x  du  dx
dv  sin x  v   cos x
b
b
 udv  uv  vdu
b
a
a
a
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!



2
(*)  ( x cos x) 02   cos xdx  (0  0)  sin x 02 1  0  1
0
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:


2

0
2
2
 x f ( x)dx   x sin xdx  (*)
Дважды интегрируем по частям:
u  x 2  du  2 xdx
dv  sin x  v   cos x
b
b
 udv  uv  vdu
b
a
a
a



2
2
0
0
(*)  ( x cos x)  2  x cos x  0  0  2  x cos x  (*)
2
2
0
u  2 x  du  2dx
dv  cos xdx  v  sin x




(*)  2( x sin x) 02  2  sin xdx  2  0   2cos x 02 
2

0
   2(0  1)    2

2
Таким образом:
D( X )    2  12    3  0,14
 
Найдем вероятность того, что X примет значение из отрезка 0;  :
 3


1 1

 
P 0  X    F    F 0  1  cos  (1  1)  1  
3
3
2 2

3
– искомая вероятность.
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 13. Задана функция распределения случайной величины X :
3

0, x  4

3

F ( x)  cos 2 x,
 x  .
4

1, x  

Найти плотность распределения вероятностей f (x) , математическое ожидание
M (X ) , дисперсию D(X ) и вероятность попадания случайной величины X на отрезок
 3 5 
 4 ; 6  . Построить графики функций F (x) и f (x) .
Решение: найдем функцию плотности распределения вероятностей:
3

0, x  4

3

f ( x)  F ( x)   2 sin 2 x,
 x 
4

0, x  

Построим графики функций F (x) и F (x) :
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
2
1,5
1
0,5
0
-2
-1
Вычислим математическое ожидание:
M (X ) 



3
4
 xf ( x)dx  2  x sin 2 xdx  (*)
Интегрируем по частям:
u  x  du  dx
dv  2 sin 2 x  v  cos 2 x
b
b
 udv  uv  vdu
b
a
a
a
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!


1
1
1

(*)  ( x cos 2 x) 3   cos 2 xdx  (  0)  sin 2 x   (0  1)     2,64
3

2
2
2
4
3
4
4
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:



3
4
2
2
 x f ( x)dx  2  x sin 2 xdx  (*)
Дважды интегрируем по частям:
u  x 2  du  2 xdx
dv  2 sin 2 x  v  cos 2 x





(*)  ( x cos 2 x) 3  2  x cos 2 x    0  2  x cos 2 x  (*)
2
4
3
4
2
3
4
u   x  du  dx
dv  2 cos 2 xdx  v  sin 2 x

3


(*)   2  ( x sin 2 x) 3   sin 2 xdx   2   0 
4
4

3

 1
  cos 2 x 3 
4
 2
4
2 
3 1
3 1
 (1  0)   2 

4 2
4 2
Таким образом:
3 1 
1
3 1
1  3
D( X )   
       2 
  2   
 0,035
4 2 
2
4 2
4
4
2
2
 3 5 
Найдем вероятность того, что X примет значение из отрезка  ;
:
 4 6 
5 
 3
 5 
 3 
 5 
 3 
P
X
  F    F    cos 2 
  cos 2   
6 
6 
4 
 4
 6 
 4 


 5 
 3  1
 cos   cos    0  0,5 – искомая вероятность.
 3 
 2  2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
2. Задачи, в которых СВ задана функцией плотности
Задача 14. Дана функция плотности распределения случайной величины X
Cx 2 , x  0;2
f ( x)  
0, x  0;2
1

Найти C , M (X ) , P 0  X  
2

Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством

 f ( x)dx  1 . В данном случае:

2
C  x 2 dx  1  C 
0
1
2
 x dx
2
0
2
1
 x dx  3 ( x )
2
3
2
0
0
1
8
 (8  0) 
3
3
Таким образом:
1 3
C 
8 8
3
Функция плотности распределения вероятностей:
3

 x 2 , x  0;2
f ( x)   8

0, x  0;2
Вычислим математическое ожидание:

2
2
3 2
3 3
3 1
M ( X )   xf ( x)dx   x  x dx   x dx   ( x 4 ) 02 
8
80
8 4

0

3
16  0  3  1 1
32
2
2
Найдём:
12
12
 
1
3
3 1
11

 1
P 0  X     f ( x)dx   x 2 dx   x3 10 2    0  
– вероятность того,
2 0
80
8 3
88

 64
что случайная величина X примет значение из данного интервала.
Ответ: C 
3
1
1 1

, M ( X )  1  1,5 , P 0  X   
 0,015625
2
8
2  64

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 15. Дана функция плотности распределения случайной величины X
3

 (1  x 2 ), x   1;1
f ( x)   4

0, x   1;1
1
 1
Найти M (X ) , D(X ) , P   X  
2
 2
Решение: вычислим математическое ожидание:

1
1
3
3
M ( X )   xf ( x)dx   x  (1  x 2 )dx   ( x  x 3 )dx 
4
4 1

1
3  x2 x4  1
   1 
4  2
4
31 1 1 1 3
       0  0
4 2 4 2 4 4
Вычислим дисперсию:

D( X ) 
1
1
3
2
2
2 3
2
2
2
4
x f ( x)dx  (M ( x))  1 x  4 (1  x )dx  0  4 1( x  x )dx 
3  x3 x5  1
   1 
4  3 5 
3  1 1  1 1  3  2 2  3 4 1
               
4  3 5  3 5   4  3 5  4 15 5
12
12
1
3
 1
P   X     f ( x)dx   (1  x 2 )dx 
2  1 2
4 1 2
 2
3
x3 
 x   112 2 
4
3
3  1 1  1 1  3 
1  3 11 11
          1     
– вероятность того, что случайная
4  2 24  2 24   4  12  4 12 16
величина X примет значение из данного интервала.
Ответ: M ( X )  0 , D( X ) 
1
1  11
 1
 0,2 , P   X   
 0,6875
5
2  16
 2
Задача 16. Дана функция плотности распределения случайной величины X
C

 4, x2
f ( x)   x

0, x  2
Найти C , M (X ) , P2  X  3
Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством

 f ( x)dx  1 . В данном случае:


dx
1 C 
x4
2
C
1
dx
2 x 4

 1 0 1 
dx
1
1
1 
1 1
 1 b


lim


lim
2 x 4 3 b x3  2 3 b b3  23    3   0  8   24

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
1
 24
1
24
Функция плотности распределения вероятностей:
 24
, x2
f ( x)   x 4
0, x  2
Таким образом: C 
Вычислим математическое ожидание:



24
dx
 1
1
M ( X )   xf ( x)dx   x  4 dx  24  3  24     lim  2  b2 
b


x
x
 2
x 

2
2
 1 0 1 
1

 12 lim  2  2   12   0    3
b   b
2 
4


dx
 1  1 
 1 1
 19  19
–
 24       3  32  8      8   

4
x
3
x
27
8
216
27








2
вероятность того, что случайная величина X примет значение из данного интервала.
3
P2  X  3  24
Ответ: C  24 , M ( X )  3 , P2  X  3 
19
 0,7037
27
Задача 17. Задана плотность распределения вероятностей f (x) непрерывной
случайной величины X :
0, x  1;

f ( x)   A x , 1  x  4;
0, x  4

Найти функцию распределения F (x) и P2  X  3

Решение: сначала найдем коэффициент A . По свойству
 f ( x)dx  1 функции

плотности распределения:
4
A x dx  1  A 
1
1
4

x dx
1
4
1
 x 2 dx 
1
2 3
x
3
4
1
2
2
14
3
 ( 64  1)  (8  1)   A 
3
3
3
14
Таким образом, функция плотности:
0, x  1;
3

f ( x)  
x , 1  x  4;
14
0, x  4
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Найдем функцию распределения F (x) :
x
Если x  1, то f ( x)  0 и F ( x)   0dx  0 .

3
Если 1  x  4, то f ( x) 
x и
14
1
x
3
3 2 3
F ( x)   0dx   x dx  0  
x
14 1
14 3

x
1
1
 ( x3  1) .
7
Если x  4, то f ( x)  0 и:
1
F ( x) 
 0dx 

4
x
3
3 2
x dx   0dx  0  

14 1
14 3
4
x
3
4
1
1
1
 0  (8  1)   7  1.
7
7
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  1
1

F ( x)   ( x 3  1), 1  x  4
7
1, x  4
Вычислим:


1
1
1
P(2  X  3)  F (3)  F (2)  (3 3  1)  (2 2  1)  3 3  1  2 2  1 
7
7
7
3 32 2

 0,34 – вероятность того, что X примет значение из интервала (2; 3) :
7
Задача 18. Случайная величина X задана плотность распределения
3

f ( x)  с x 2  2 x  на интервале (0;1) ; вне этого интервала f ( x)  0 . Найти: а) параметр
2

c ; б) функцию распределения случайной величины X ; с) математическое ожидание и
дисперсию величины X .
Решение:
а) Найдем коэффициент c . Функция плотности распределения вероятности

обладает свойством
 f ( x)dx  1. В данном случае:

3

c   x 2  2 x dx  1
2

0
1
1

c x 3  x 2  10  1
2

1

c  1  0   1
2

3c
2
1 c 
2
3
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Таким образом, функция плотности распределения:
4

 x 2  x, x  (0;1)
f ( x)  
3

0
,
x
 (0;1)

б) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  0 то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

Если 0  x  1, то f ( x)  x 2 
4
x
3
 x3 2 x 2  x 1 3
1
 2 4 
 0  ( x  2 x 2  0)  ( x3  2 x 2 )
F ( x)   0dx    x  x dx  0   
3 
3 
3
3
3

0
0
x
Если x  1 то f ( x)  0
x
 x3 2 x 2  1
1 2
 2 4 
 0  0    0  1
F ( x)   0dx    x  x dx   0dx  0   
3 
3 
3 3
3

0
1
0
1
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  0
1

F ( x)   ( x 3  2 x 2 ), 0  x  1
3
1, x  1
с) Найдем математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X ) .
Вычислим математическое ожидание:

1
1
 x 4 4 x3  1 1 4 25
4 
 2 4 

0   
M ( X )   xf ( x)dx   x x  x dx    x3  x 2 dx   
 0,7
3 
3 
9 
4 9 36
 4

0 
0
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:


1
1
 x5 x 4  1
4 
 4 4 3
2
2 2
   0 
x
f
(
x
)
dx

x
x

x
dx

x

x
dx








3
3
3




5


0
0
1 1
8
  0
5 3
15
2
 x f ( x)dx 
Таким образом:
2
8  25 
8 625
D( X )      
 0,05
15  36  15 1296
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 19. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
0, x  0
 4
 x  2x
вероятностей f ( x)  
, 0  x  1.
c

0, x  1
Найти c , M (X ) , D(X ) , P(0,5  X  2,5)
Решение: найдем коэффициент c .
По свойству функции плотности распределения:

 f ( x)dx  1

В данной задаче:
1 4
x  2x
0 c dx  1
1
1
( x 4  2 x)dx  1

c0
1
 x5
 1
6
c   ( x 4  2 x)dx    x 2  10   1  0  0 
5
5
 5
0
Таким образом, функция плотности распределения:
0, x  0
5

f ( x)   ( x 4  2 x), 0  x  1
6
0, x  1
Вычислим математическое ожидание:

1
1
5 4
5
5  x6 2 x3  1
 0
M ( X )   xf ( x)dx   x  ( x  2 x)dx   ( x 5  2 x 2 )dx   
6
60
6 6
3 

0
51 2
 5 5 25
    0  0   
66 3
 6 6 36
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

1
5 4
5
5  x7 x4  1
6
3
   0 
x
f
(
x
)
dx

x

(
x

2
x
)
dx

(
x

2
x
)
dx


0 6
6 0
6  7
2

51 1
 5 9 15
    0  0   
67 2
 6 14 28
1
2
2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Таким образом, дисперсия:
2
15  25  15 625
485
D( X ) 
  


 0,05
28  36 
28 1296 9072
Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение из
интервала (0,5; 2,5) :
2,5
1
2,5
5
P(0,5  X  2,5)   f ( x)dx   ( x 4  2 x)dx   0dx 
6 0,5
0,5
1

5  x5
51
1
1  5  6 41 
41 151
   x 2  11  0    1 
   

 1
6 5
65
160 4  6  5 160 
192 192
2
Ответ: c 
485
25
151
6
; M (X ) 
 0,05 ; P(0,5  X  2,5) 
 0,7 ; D( X ) 
 0,79
9072
36
192
5
Задача 20. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
 A( x  1), x  2;4
f ( x)  
0, x  2;4
Требуется:
1) найти коэффициент A ;
2) найти функцию распределения F (x) ;
3) построить графики функций f (x) и F (x) ;
4) вычислить вероятности попадания случайной величины X на промежутки
 5;3 и (3;7) ;
5) найти математическое ожидание M (X ) , дисперсию D(X ) и среднее
квадратическое отклонение  (X ) .
Решение:
1) Найдем коэффициент A .

Функция плотности распределения вероятности обладает свойством
 f ( x)dx  1.

В данном случае:
4
A ( x  1)dx  1
2
A
( x  1) 2 42  1
2
A(9  1)  2
A
1
4
Таким образом, функция плотности распределения:
1

 ( x  1), x  2;4
f ( x)   4

0, x  2;4
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
2) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  2 то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

1
Если 2  x  4, то f ( x)  ( x  1)
4
2
x
x
1
1
( x  1) 2  1 x 2  2 x  1  1 x 2  2 x
F ( x)   0dx   ( x  1)dx  0  ( x  1) 2 


2
42
8
8
8
8

Если x  4 то f ( x)  0
2
4
x
4
1
1
1
F ( x)   0dx   ( x  1)dx   0dx  0  ( x  1)2  0  (9  1) 1.
2
42
8
8

4
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  2
 2
 x  2x
F ( x)  
, 2 x4
 8
1, x  4
3) Построим графики функций f (x) и F (x) .
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
4) Вычислим вероятности попадания значений случайной величины X на
промежутки  5;3 и (3;7) :
P(5  X  3)  F (3)  F (5) 
96
 0  0,375
8
P(3  X  7)  F (7)  F (3)  1  0,375  0,625
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
5) Найдем математическое ожидание M (X ) , дисперсию D(X ) и среднее
квадратическое отклонение  (X ) .
Математическое ожидание:

4
4
1
1
M ( X )   xf ( x)dx   x( x  1)dx   ( x 2  x)dx 
42
42

1  x3 x 2  4
   2 
4  3
2
1  64
8
1
 1 38 19
   8   2  

3
4 3
3
6
6
 4 3
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:




2
 x f ( x)dx 
2
 x f ( x)dx 
4
4
1 2
1
x ( x  1)dx   ( x 3  x 2 )dx 

42
42
1  x 4 x3  4
   2 
4  4
3
1
64
8  1 124 31
  64 
4  

4
3
3 4 3
3
Таким образом:
2
D( X ) 
31  19  31 361 11
   

3 6
3 36 36
Среднее квадратическое отклонение:
11
11
 ( X )  D( X ) 

 0,55
36
6
Задача 21. Задана случайная непрерывная величина X своей плотностью
0, x  3

распределения вероятностей f ( x)  c( x  4),  3  x  1 . Требуется:
0, x  1

1) определить коэффициент C ;
2) найти функцию распределения F (x) ;
3) схематично построить графики функций f (x) и F (x) ;
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X ;
5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала
( ,  )  (2,0) .
Решение:
1) Найдем коэффициент С . По свойству функции плотности распределения:

 f ( x)dx  1 Для данной задачи:

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
1
с  ( x  4)dx  1  c 
3
1
1
 ( x  4)dx
3
( x  4) 2 1 1
25  1  12  c  1
3 
2
2
12
3
Таким образом, функция плотности распределения:
0, x  3
1

f ( x)   ( x  4),  3  x  1
12
0, x  1
1
 ( x  4)dx 
2) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  3, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

1
( x  4),
12
3
x
x
1
1 1
1
( x  4) 2  1
F ( x)   0dx   ( x  4)dx  0   ( x  4) 2 
( x  4) 2  1 
.
3
12 3
12 2
24
24

Если x  1, то f ( x)  0,
Если  3  x  1 то f ( x) 

3
1

x
1
1
1
21
(
x

4
)
dx

0
dx

0

(
x

4
)
0
(25  1) 1 .



3
12
24
24

3
1
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  3

 ( x  4) 2  1
F ( x)  
, 3  x 1
24

1, x  1
F ( x)   0dx 
3) Построим графики функций f (x) и F (x) :
0,5
f(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1,2
1
2
3
F(x)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
1
2
3
4) Вычислим математическое ожидание:

1
1
1
1
1  x3
2
21

  3 
M ( X )   xf ( x)dx 
x
(
x

4
)
dx

(
x

4
x
)
dx


2
x


3
12
12
12



3
3

1 1
5
 1  20 
  2   9  18       
12  3
9
 12  3 
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

1
1
1
1
1  x4 4 3  1
2
2
3
2
x f ( x)dx  12 3 x ( x  4)dx  12 3( x  4 x )dx  12  4  3 x  3 

1  1 4  81
  1 52 13

     36    
12  4 3  4
9
  12 3
Таким образом:
2
D( X ) 
13  5  13 25 92
11
    

 1  1,136
9  9
9 81 81
81
5) Найдем вероятность того, что X примет значение из интервала ( ,  )  (2,0) .
15 3 12 1
P(2  X  0)  F (0)  F (2) 


 – искомая вероятность.
24 24 24 2
Задача 22. Непрерывная случайная величина (НСВ) X задана плотностью
распределения вероятностей:
0; x  3
a;  3  x  1

f ( x)  
3a;  1  x  2
0; x  2
Найти значение a и построить график плотности распределения. Найти функцию
распределения вероятностей F (x) и построить ее график. Найти числовые
характеристики НСВ X – математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X ) . Найти
вероятность P(2  X  0) .
Решение: найдем значение параметра a . Функция плотности распределения

вероятности обладает свойством
 f ( x)dx  1 . В данном случае:

1
2
a  dx  3a  dx  1
3
a  ( x)
1
1
3
 3a  ( x) 21  1
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
a  (1  (3))  3a  (2  (1))  1
2a  9a  1
11a  1  a 
1
11
Таким образом, функция плотности распределения вероятности:
0; x  3
1
 ;  3  x  1
f ( x)  11
3
 ; 1  x  2
11
0; x  2
Выполним чертеж:
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Составим функцию распределения вероятностей:
x
Если x  3 , то f ( x)  0 , F ( x)   0dx  0

3
Если  3  x  1 , то f ( x) 
Если  1  x  2 , то f ( x) 
3
F ( x) 
 0dx 

1
1
1
x3
1
, F ( x)   0dx   dx  0  ( x) x 3 
11 3
11
11
11

x
3
,
11
x
1
3
1
3
1
3
dx   dx  0  ( x) 13  ( x) x1  (1  3)  ( x  1) 

11  3
11 1
11
11
11
11
2  3x  3 3x  5


11
11
Если x  2 , то f ( x)  0 ,
3
F ( x) 
 0dx 


1
2
x
1
3
1
3
dx   dx   0dx  0  ( x) 13  ( x) 21  0 

11  3
11 1
11
11
2
1
3
2 9
(1  3)  (2  1)    1
11
11
11 11
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Таким образом:
0; x  3
x  3
;  3  x  1

F ( x)   11
3x  5

; 1  x  2
 11
1; x  2
Выполним чертеж:
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Вычислим математическое ожидание:

1
2
1
3
1 1
3 1
M ( X )   xf ( x)dx   xdx   xdx   ( x 2 ) 13   ( x 2 ) 21 
11  3
11 1
11 2
11 2


1
3
8
9
1
(1  9)  (4  1)   

22
22
22 22 22
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

1
2
1
3
1 1 3 1 3 1 3 2
2
2
2
x f ( x)dx  11 3 x dx  11 1 x dx  11  3 ( x ) 3  11  3 ( x ) 1 
1
1
26 9 53
(1  27)  (8  1) 
 
33
11
33 11 33
Таким образом:

53  1  53
1
2332  3 2329
877
D( X ) 
  



1
33  22  33 484
1452
1452
1452
2
5 1 4
 
– вероятность того, что
11 11 11
случайная величина X примет значение из данного отрезка.
Вычислим P(2  X  0)  F (0)  F (2) 
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 23. Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей:
2

 Ax , x  3
f ( x)  

0, x  3
Требуется:
1) Определить коэффициент A ;
2) Найти функцию распределения F (x) ;
3) Схематично построить графики функций f (x) и F (x) ;
4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию X ;
5) Определить вероятность того, что X примет значение из интервала (a; b)  (1;2)
Решение:
1) Найдем коэффициент A . По свойству функции плотности распределения:

 f ( x)dx  1 . Для данной задачи:

3
1
A  x 2 dx  1  A 
3
x
3
2
dx
3
3
x
3
3
2
dx  2 x 2 dx 
0
2 3
x
3
3
0

2
1
(27  0)  18  A 
3
18
Таким образом, искомая функция плотности распределения:
1 2
 x , x 3
f ( x)  18
0, x  3

2) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  3, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

1
Если  3  x  3, то f ( x)  x 2 ,
18
3
x
1
1
F ( x)   0dx   x 2 dx  0  x 3
18 3
18

Если x  3, то f ( x)  0,
3
F ( x)   0dx 

3
x
3

1 1 3
1
 ( x  (27))  ( x 3  27) .
18 3
54
x
1
1 1
x 2 dx   0dx  0   x 3

18 3
18 3
3
3
3
0
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  3
1

F ( x)   ( x 3  27),  3  x  3
 54
1, x  3
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
1
1
(27  (27))   54  1.
54
54
3) Изобразим графики функций f (x) и F (x) :
4) Вычислим математическое ожидание:

3
1
M ( X )   xf ( x)dx   x3dx  0, так как подынтегральная функция является
18 3

нечетной, интервал интегрирования симметричен относительно нуля.
Дисперсию вычислим по формуле:

3
3
1
1
1 1
243 27
2
2
4
2
D( X )   x f ( x)dx  ( M ( X ))   x dx  0   2 x 4 dx   x5 30 

 5,4
18 3
18 0
9 5
45
5

5) Найдем вероятность того, что X примет значение из интервала (a; b)  (1;2) :
1
1
35 28 7
P(1  X  2)  F (2)  F (1)  (8  27)  (1  27) 


 0,13
54
54
54 54 54
Задача 24. Задана плотность распределения вероятностей f (x) непрерывной
случайной величины X :
0, x  1;

f ( x)   Ax 4 ,  1  x  1;
0, x  1

Требуется:
1) Определить коэффициент A ;
2) Найти функцию распределения F (x) ;
3) Схематично построить графики функций F (x) и f (x) ;
4) Найти математическое ожидание и дисперсию X ;
5) Найти вероятность того, что X примет значение из интервала ( ;  )  (0,5;1)
Решение:

1) Найдем коэффициент A . По свойству
 f ( x)dx  1 функции плотности:

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
1
A  x 4 dx  1  A 
1
1
1
 x dx  1
4
1
1
1
 x dx  1  5 x
4
5 1
1
1
1
2
5
 (1  (1))   A 
5
5
2
Таким образом, функция плотности распределения:
0, x  1;
5

f ( x)   x 4 ,  1  x  1;
2
0, x  1
2) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  1 то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

1
Если  1  x  1, то f ( x) 
Если x  1 то f ( x)  0,
1
1
x
5
5 1
5 4
x , F ( x)   0dx   x 4 dx  0   x5
2 1
2 5
2

x
5
5 1
F ( x)   0dx   x 4 dx   0dx  0   x5
2 1
2 5

1
1
1
1 5

( x  1) .
1
2
x
1
1
 0  (1  (1))   2  1.
2
2
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  1
1

F ( x)   ( x 5  1),  1  x  1
2
1, x  1
3) Построим графики функций f (x) и F (x) :
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
4) Вычислим математическое ожидание:

1
1
5
5 5
5 1
5
4
M ( X )   xf ( x)dx   x  x dx   x dx   x 6 11  (1  1)  0
2 1
2 1
2 6
12

Дисперсию вычислим по формуле:

1
1
5 2 4
5 6
5 1
5
5
2
2
2
D( X )   x f ( x)dx  ( M ( X ))   x  x dx  0   x dx   x 7 11  (1  1)   0,71
2 1
2 1
2 7
14
7

5) Найдем вероятность того, что X примет значение из интервала ( ;  )  (0,5;1) :
1
1
P(0,5  X  1)  F (1)  F (0,5)  (1  1)  0,55  1  1  0,515625  0,484375
2
2


Задача 25. Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей:

 
 A sin 2 x, x  0; 2 



f ( x)  
0, x  0;  
 2 

Требуется:
1) Определить коэффициент A ;
2) Найти функцию распределения F (x) ;
3) Схематично построить графики функций f (x) и F (x) ;
4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию X ;
  
5) Определить вероятность попадания в интервал (a; b)    ;  .
 6 6
Решение:
1) Найдем коэффициент A . По свойству функции плотности распределения:

 f ( x)dx  1 . Для данной задачи:


2
A sin 2 xdx  1  A 
0
1

2
 sin 2 xdx
0


1
1
1
1
2   (cos   cos 0)   ( 1  1)  1  A 
sin
2
xdx


cos
2
x
1
0
0
2
2
2
1
2
Таким образом, функция плотности:

 
sin 2 x, x  0; 2 



f ( x)  
0, x  0;  
 2 

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
2) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  0, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

Если 0  x 
0

2
, то f ( x)  sin 2 x,
x
1
1
1
x
F ( x)   0dx   sin 2 xdx  0  cos 2 x 0   (cos 2 x  cos 0)  (1  cos 2 x)  sin 2 x .
2
2
2

0
Если x 

2
, то f ( x)  0,

0
F ( x) 

x
2
1
1
1
0
dx


0 sin 2 xdx   0dx  0  2 cos 2 x 02  0   2 (cos   cos 0)   2 (1  1) 1.
2
Таким образом, искомая функция распределения:

0, x  0



F ( x)  sin 2 x, 0  x 
2



1, x  2
3) Изобразим графики функций f (x) и F (x) .
f(x)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4
-3
-2
-1
0
-3
-2
-1

2
2
3
4
x
F(x)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4
1
0
1

2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
2
3
4
x
4) Вычислим математическое ожидание:

M (X ) 

2

0
 xf ( x)dx   x sin 2 xdx  (*)
Интегрируем по частям:
u  x  du  dx
1
dv  sin 2 x  v   cos 2 x
2
b
b
 udv  uv a  vdu
b
a
a


1
12
1 
1  

 1
2
(*)   x cos 2 x 0   cos 2 xdx    cos   0   sin 2 x 02       0 
2
20
2 2
2 2 
4
 4

Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:


2

0
2
2
 x f ( x)dx   x sin 2 xdx  (*)
Дважды интегрируем по частям:
u  x 2  du  2 xdx
1
dv  sin 2 x  v   cos 2 x
2




2

1
1 

(*)   x 2 cos 2 x 2   x cos 2 x    
 0    x cos 2 x 
  x cos 2 x  (*)
0
2
2 4
8 0
 0
0
u  x  du  dx
1
dv  cos 2 xdx  v  sin 2 x
2
2
2
2
2

(*) 


2
8


1
12
2
1
2 1
x sin 2 x 02   sin 2 xdx 
 0  cos 2 x 02 
 (cos   cos 0) 
2
20
8
4
8 4

2
1
2 1
 (1  1) 
 .
8 4
8 2
2
1  
 2 1  2  2 1  2 8
Таким образом: D( X ) 
   
 

 
8 2 4
8 2 16 16 2
16
2
  
5) Найдем вероятность попадания в интервал (a; b)    ;  :
 6 6


1
 
 
 
1
P   X    F    F     sin 2  0    
6
6
4
 6
6
 6
2
2
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 26. Случайная величина X задана функцией плотности распределения


0, x  4



вероятностей: f ( x)   2 cos 2 x,
x
4
2


0, x 

2
Найти функцию распределения F (x) и построить графики данных функций.


Вычислить математическое ожидание и найти P  X    .
3

Решение: найдем функцию распределения F (x) :
1) Если x 
2) Если

4

4
x
, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .
x

2

, то f ( x)  2 cos 2 x

F ( x) 
1

x

 0dx  2 cos 2 xdx  0  2  2 sin 2 x 4   sin 2 x  sin 2  1  sin 2 x .
x
4
4
3) Если x 

2
, то f ( x)  0,



2
1
 1

F ( x)   0dx  2  cos 2 xdx   0dx  0  2  sin 2 x 2  0   sin   sin   (1  1) 1.
2
2 2



4

x
4
4
2
Таким образом, искомая функция распределения:


0, x  4



F ( x)  1  sin 2 x,
x
4
2


1, x 

2
Выполним чертежи:
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Вычислим математическое ожидание:
M (X ) 

 2

4
 xf ( x)dx  2 x cos 2 xdx  (*)
Интегрируем по частям:
u  2 x  du  2dx
1
dv  cos 2 x  v   cos 2 xdx  sin 2 x
2
b
b
a
a
b
 udv  uv a   vdu
 2
  1

(*)  ( x sin 2 x)  24   sin 2 xdx    0   1  (cos 2 x)  24 
4  2
2
 4


1
 1  2
 (1  0)   
 1,285
4 2
4 2
4
Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение из данного
интервала:
2 
3


 

P  X     F ( )  F    1  1  sin
 0,866

3  2
3

3

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
3. Равномерное распределение случайной величины
Задача 27. Все значения равномерно распределенной случайной величины X
лежат на отрезке 2;8 . Найти вероятность попадания случайной величины X в
промежуток (3;5) .
Решение: составим функцию плотности распределения вероятностей равномерно
распределенной случайной величины X :
0, x  2
0, x  2

1
 1

f ( x)  
, 2 x8 , 2 x8
 (8  2)
6
0, x  8
0, x  8
Тогда искомая вероятность:
5
5
1
1
1
2 1
P(3  X  5)   f ( x)dx   dx   ( x) 53   (5  3)    0,333
63
6
6
6 3
3
Ответ:
1
 0,33
3
Задача 28. Случайная непрерывная величина X задана своей функцией
0, x  2

распределения F ( x)   x  2, 2  x  3 . Требуется: а) найти плотность распределения
1, x  3

вероятностей f (x) ; б) схематично построить график функций f (x) и F (x) ; в) Вычислить
математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X ) ; г) Определить вероятность того,
что X примет значение из интервала ( ;  )  (1;3) .
Решение:
а) Найдем плотность распределения вероятностей:
0, x  2

f ( x)  F ( x)  1, 2  x  3
0, x  3

б) Построим графики функций f (x) и F (x) :
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
4
5
6
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
в) Вычислим математическое ожидание:

3
1
1
5
1
M ( X )   xf ( x)dx   xdx  ( x 2 ) 32  (9  4)   2
2
2
2
2

2
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

x


2
f ( x)dx 
x
3
2

1
1
19
f ( x)dx   x 2 dx  ( x3 ) 32  (27  8) 
3
3
3
2
Таким образом:
2
19  5  19 25 1
D( X )      

3 2
3
4 12
г) Найдем вероятность того, что X примет значение из интервала ( ;  )  (1;3) .
P1  X  3  F 3  F 1  1  0  1 – искомая вероятность.
Задача 29. Задана функция распределения случайной величины X :
0, x  1
1

F ( x)   ( x  1), с  x  d
5
1, x  4
Найти значения c, d , плотность распределения вероятностей f (x) ,
математическое ожидание M (X ) , дисперсию D(X ) и вероятность попадания случайной
величины X на отрезок 0;3 . Построить графики функций F (x) и f (x) .
Решение: в силу непрерывности функции распределения:
1
F (c)  (c  1)  0  c  1
5
1
F (d )  (d  1)  1  d  4
5
Таким образом:
0, x  1
1

F ( x)   ( x  1),  1  x  4
5
1, x  4
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Найдем функцию плотности распределения вероятностей:
0, x  1
1


f ( x)  F ( x)   ,  1  x  4
5
0, x  4
Построим графики функций f (x) и F (x) .
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
Вычислим математическое ожидание:

4
1
1 1
1
15 3
M ( X )   xf ( x)dx   xdx   ( x 2 ) 41   (16  1) 
  1,5
5 1
5 2
10
10 2

Дисперсию вычислим по формуле:

2
1
3
D( X )   x f ( x)dx  ( M ( x))   x 2 dx    
5 1
2

4
2
2
1 1
9 1
9 13 9 25
  ( x 3 ) 41   (64  1)    
 2,083
5 3
4 15
4 3 4 12
Найдем вероятность того, что X примет значение из отрезка 0;3 :
P(0  X  3)  F (3)  F (0) 
4 1 3
   0,6 – искомая вероятность.
5 5 5
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 30. Равномерно распределенная непрерывная случайная величина X задана
дифференциальной функцией (плотностью вероятности):
1

 , x  (5;11)
f ( x)  16

0, x  (5;11)
Найти: а) интегральную функцию распределения F (x) ; б) математическое
ожидание и дисперсию случайной величины X ; в) P(6  x  7) .
Решение:
а) Найдем функцию распределения F (x) :
x
Если x  5 то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

0
x
1
1
1
1
и F ( x)   0dx   dx  0  ( x) x 5  ( x  5)
16 5
16
16
16

Если x  11 то f ( x)  0 ,следовательно:
Если  5  x  11 то f ( x) 
0
11
x
1
1
1
1
F ( x)   0dx   dx   0dx  0  ( x) 11
 (11  5)   16  1
5  0 
16 5
16
16
16

11
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  5
1

F ( x)   ( x  5),  5  x  11
16
1, x  11
б) Найдем математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X ) .
Вычислим математическое ожидание:

11
1
1 1
1
1
M ( X )   xf ( x)dx 
xdx   ( x 2 ) 11
 (121  25)   96  3
5 

16 5
16 2
32
32

Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:




2
 x f ( x)dx 
2
 x f ( x)dx 
11
1
1 1
1
1456 91
x 2 dx   ( x3 ) 11
 (1331  125) 

5 

16 5
16 3
48
48
3
Таким образом:
91
91
64
1
D( X )   32   9 
 21
3
3
3
3
в) Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение из
данного интервала:
1
12 3
P(6  X  7)  F (7)  F (6)  (7  5)  0 

16
16 4
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 31. Найдите c , M (X ) , D(X ) , F (x) , P(0  X  7) , если плотность
1


, x  6;9,
распределения f (x) случайной величины X имеет вид: f ( x)   c  10

0, x  6;9.
Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством

 f ( x)dx  1 . В данном случае:

96
 1  c  10  3  c  13
c  10
6
Таким образом, функция плотности распределения:
1

 , x  6;9,
f ( x)   3

 0, x  6;9.
9
 c  10  1  c  10 x 
1
1
9
6
1
Вычислим математическое ожидание:

9
1
1 1
1
1
15
1
M ( X )   xf ( x)dx   xdx   x 2 96  81  36   45   7
36
3 2
6
6
2
2

 
Дисперсию вычислим по формуле:

9
1 2
1 1
2
2
2
D( X )   x f ( x)dx  ( M ( X ))   x dx  7,5   x3
36
3 3

 

9
6
 56,25 
(729  216)
 56,25  57  56,25  0,75
9
Найдем функцию распределения F (x) :
x
Если x  6, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

6
x
1
1
1
Если 6  x  9, то f ( x)  , F ( x)   0dx   dx  0  x
36
3
3

6
Если x  9, то f ( x)  0, F ( x) 
 0dx 

9
x
6

x6
.
3
x
1
1
dx   0dx  0  x

36
3
9
9
6
1
 0  (9  6) 1.
3
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  6
x  6

F ( x)  
, 6 x9
 3
1, x  9
Вычислим вероятность того, что случайная величина X примет значение из
данного интервала:
1
1
P(0  X  7)  F (7)  F (0)   0  .
3
3
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 32. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X ,
распределенной равномерно в интервале (2;8) . Найти и построить графики функции
распределения и плотности распределения равномерной непрерывной случайной
величины X .
Решение: составим функцию плотности распределения случайной величины:
0, x  2
0, x  2
 1
1


f ( x)  
, 2 x8 , 2 x8
8  2
6
0, x  8
0, x  8
Вычислим математическое ожидание:

8
1
1 1
1
60
M ( x)   xf ( x)dx   xdx   ( x 2 ) 82  (64  4) 
5
6
6
2
12
12

2
Вычислим дисперсию:

8
1
1 1
D( x)   x 2 f ( x)dx  ( M ( x))2   x 2 dx  52   ( x 3 ) 82 25 
62
6 3


1
504
(512  8)  25 
 25  28  25  3
18
18
Найдем функцию распределения F (x) :
x
Если x  2 то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0

2
Если 2  x  8 то f ( x) 
x
1
1
1
1
x
, F ( x)   0dx   dx  0  ( x) 2  ( x  2) .
62
6
6
6

2
8
x
1
1
1
8
Если x  8, то f ( x)  0, F ( x)   0dx   dx   0dx  0  ( x) 2  0  (8  2) 1 .
82
6
6

8
Таким образом:
0, x  2
1

F ( x)   ( x  2), 2  x  8
6
1, x  8
Выполним чертежи:
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
4. Показательное распределение вероятностей
Задача 33. Случайная величина X подчинена показательному закону с
параметром  :
0, x  0
f ( x)    x
e , x  0
Построить кривую распределения. Найти функцию распределения. Найти
вероятность того, что случайная величина X примет меньшее значение, чем ее
математическое ожидание.
Решение: построим кривую плотности распределения:
Найдем функцию распределения:
x
Если x  0, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

Если x  0, то f ( x)  e
F ( x) 
0
x

0
 x
 x
 0dx    e dx  0   
1

x
(e x )   (e x  1)  1  e x
0
Таким образом, функция распределения:
0, x  0
F ( x)  
 x
1  e , x  0
Вычислим вероятность того, что случайная величина X примет меньшее значение,
чем ее математическое ожидание.
Из теории известно, что функция плотности показательного распределения
0, x  0
1
заданная в виде f ( x)    x
имеет математическое ожидание M ( x)  .

e , x  0
Таким образом:
1


1
1
P    X    F    F (0)  1  e   (1  1)  1  e1 – искомая вероятность.



0, x  0

1
Ответ: F ( x)  
, P    X    1  e1  0,6321
 x

1  e , x  0 
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 34. Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей:
0, x  0
f ( x)    2 x
 Ae , x  0
Требуется:
1) определить коэффициент A ;
2) найти функцию распределения F (x) ;
3) схематично построить графики функций f (x) и F (x) ;
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X ;
5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала
(a; b)  (1;) .
Решение:
1) Найдем коэффициент A . По свойству функции плотности распределения:

 f ( x)dx  1

В данной задаче:

A  e 2 x dx  1  A 
0
1

e
2 x
dx
0

e
2 x
dx  
0


1
1
1
1
lim (e 2 x ) b0   lim e 2b  e0   (0  1)   A  2
b


b


0
2
2
2
2
Таким образом, функция плотности распределения:
0, x  0
f ( x)    2 x
2e , x  0
2) Найдем функцию распределения F (x) .
x
Если x  0, то f ( x)  0, F ( x)   0dx  0 .

Если x  0, то f ( x)  2e2 x
0
x
x
1
F ( x)   0dx  2 e 2 x dx  0  2  (e 2 x )  (e 2 x  1)  1 e 2 x .
0
2

0
Таким образом, искомая функция распределения:
0, x  0
F ( x)  
2x
1  e , x  0
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
3) Построим графики f (x) и F (x) :
4) Найдём математическое ожидание и дисперсию.
Способ первый, готовые формулы: из теории известно, что математическое
ожидание и дисперсия показательно распределённой случайной величины
0, x  0
1 1
1
1 1
f ( x )    x
равны: M ( x)   , D( X )  2  2  .
 2
 2
4
e , x  0
Способ второй, прямые вычисления.
Вычислим математическое ожидание:
M (X ) 



0
2 x
 xf ( x)dx  2  xe dx
Сначала найдем неопределенный интеграл:
2 xe 2 x dx  (*)
Интегрируем по частям:
u  x  du  dx
dv  2e 2 x dx  v  e 2 x
 udv  uv  vdu
1
1
(*)   xe 2 x   e 2 x dx   xe 2 x  e 2 x   (2 x  1)e 2 x
2
2
Таким образом, математическое ожидание:

1
1
1
1
 (2b  1) 
M ( X )  2  xe  2 x dx   lim (2 x  1)e 2 x b0   lim 
 1   (0  1) 
2
b
2 b  
2 b   e
2
2

0

(

(2b  1)
 0 т.к. показательная функция более высокого порядка роста)
e 2b
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) 
x
2
f ( x)dx  ( M ( X ))2

В данном случае:

x


2
f ( x)dx  2  x 2e 2 x dx
0
Сначала вычислим неопределенный интеграл:
2 x 2e 2 x dx  (*)
Интегрируем по частям:
u  x 2  du  2 xdx
dv  2e 2 x dx  v  e 2 x
1
1
(*)   x 2e 2 x  2 xe 2 x dx   x 2e 2 x  (2 x  1)e 2 x   (2 x 2  2 x  1)e 2 x
2
2
Несобственный интеграл:

1
2  x 2e 2 x dx   lim (2 x 2  2 x  1)e 2 x
2 b
0


b
0
 (2b 2  2b  1) 
1
1
1
  lim 
 1   (0  1) 
2b
b


2
e
2
2


2b 2  2b  1
 0 , так как показательная функция более высокого порядка роста,
e 2b
чем квадратичная)
(
Таким образом, дисперсия:
2
D( X ) 
1 1
1 1 1
    
2 2
2 4 4
5) Вычислим вероятность того, что X примет значение из интервала (a; b)  (1;  )
P(1  X  )  F ()  F (1)  1  (1  e2 )  e2  0,135 – искомая вероятность.
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
5. Нормальное распределение вероятностей
Задача 35. Случайная величина X имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием a  10 и дисперсией D( X )  4 . Найти вероятность попадания
этой случайной величины на интервал (12; 14) .
Решение: вычислим среднее квадратическое отклонение:   D  4  2
Используем формулу
 a
  a 
P(  X   )  
  
 , где (x) – функция Лапласа, её значения
  
  
находим по соответствующей таблице.
В данном случае:
 14  10 
 12  10 
P(12  X  14)  
  
  (2)  (1)  0,4772  0,3413  0,1359 –
 2 
 2 
вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (12; 14) .
Ответ: P(12  X  14)  0,1359
Задача 36. Случайная величина X распределена по нормальному закону с
математическим ожиданием a  2 и средним квадратическим отклонением   0,3 . Найти
вероятность отклонения случайной величины X от своего математического ожидания по
абсолютной величине, меньше, чем 0,4.
Решение: Используем формулу:
 
P( X  a   )  2  .
 
В данной задаче:
 0,4 
P( X  2  0,4)  2
  2(1,33)  2  0,4082  0,8165 – вероятность того, что
 0,3 
X отклонится по модулю от своего математического ожидания не более чем на 0,4.
Ответ: P( X  2  0,4)  0,8165
Задача 37. Считается, что изделие – высшего качества, если отклонение его
размеров от номинальных не превосходит по абсолютной величине 3,6 мм. Случайные
отклонения размера изделия от номинального подчиняется нормальному закону со
средним квадратическим отклонением, равным 3 мм. Систематические отклонения
отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего качества среди 100
изготовленных.
Решение: рассмотрим случайную величину X – отклонение фактического размера
изделия от номинального значения.
По условию,   3 , и поскольку систематические отклонения отсутствуют, то
математическое ожидание отклонения равно нулю: a  0
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Используем формулу:
 
P( X  a   )  2  , где (x) – функция Лапласа
 
В данном случае   3,6 :
 3,6 
P( X  3,6)  2
  2(1,2)  2  0,3849  0,7699  0,77 –вероятность того, что
 3 
изделие – высшего качества.
Таким образом, среднее число изделий высшего качества среди 100 изготовленных:
0,77  100  77
Ответ: 77
Задача 38. Заданы математическое ожидание m  9 и среднее квадратическое
отклонение   3 нормально распределенной случайной величины X . Найти:
1) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
( ;  )  (9;18) ;
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения x  m окажется меньше
  6.
Решение:
1) Найдем вероятность того, что X примет значение из интервала ( ;  )  (9;18)
Используем формулу:
  m
  m 
P(  X   )  
  
 , где (x) – функция Лапласа, значения
  
  
данной функции находим по соответствующей таблице.
В данном случае:
 18  9 
99
P(9  X  18)  
  
  (3)  (0)  0,4987  0  0,4987 – искомая
 3 
 3 
вероятность.
2) Используем формулу:
 
P( X  m   )  2  .
 
В данном случае:
6
P( X  9  6)  2   2(2)  2  0,47725  0,9545 – вероятность того, что
3
значение X отклонится по модулю от m  9 не более чем на   6 .
Ответ: 1)  0,4987
2)  0,9545
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Задача 39. Написать функцию плотности нормального распределения случайной
величины X , если известно, что M ( X )  2 и D( X )  5 . Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу (1; 7)
Решение: функция плотности случайной величины, распределенной по
нормальному закону, имеет вид:
1
f ( x) 
 2

e
( x a )2
, где a – математическое ожидание,  – среднее
2 2
квадратическое отклонение. В данном случае:
a  M ( X )  2 ,   D( X )  5
Таким образом, искомая функция:

1
f ( x) 
e
10
( x  2) 2
10
Найдем вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
(1; 7) . Используем формулу:
 a
  a 
P(  X   )  
  
 , где (x) – функция Лапласа.
  
  
В данном случае:
7 2
1 2 
P(1  X  7)  
  
  (2,24)  (0,45)  (2,24)  (0,45) 
 5 
 5 
 0,4875  0,1736  0,6611 – искомая вероятность.
Задача 40. Заданы математическое ожидание a  6 и среднее квадратическое
отклонение   2 нормально распределенной случайной величины X . Написать
плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график. Применяя
правило «трех сигм», найти значения случайной величины X .
Решение: функция плотности распределения случайной величины,
распределенной по нормальному закону, имеет вид: f ( x) 
1
 2

e
( x a )2
2 2
, где a –
математическое ожидание,  – среднее квадратическое отклонение.
В данной задаче:

1
f ( x) 
e
2 2
( x  6) 2
8
Выполним чертёж:
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
9
10
11
12
13
14
Практически достоверным является тот факт, что случайная величина X примет
значение, которое отклоняется по модулю от математического ожидания, не более чем на
3 . Соответствующий интервал значений случайной величины:
a  3  X  a  3
6  3 2  X  6  3 2
0  X  12
Задача 41. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с
параметрами a и  2 . Найти эти параметры, если известно, что вероятности P( X  1)  0,5
и P(2  X  4)  0,9973 .
Решение: график нормально распределенной случайной величины симметричен
относительно своего математического ожидания, и справедливыми являются вероятности:
P( X  a)  0,5 и P( X  a)  0,5 .
В данном случае P( X  1)  0,5 , таким образом, a  1
Согласно правилу трёх сигм: P( X  a  3 )  2(3)  0,9973
В данном случае:
P(a  3  X  a  3 )  0,9973
P(1  3  X  1  3 )  0,9973
1  3  2
1  3  4
Таким образом:   1
Ответ: a  1 ,  2  1
Задача 42. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
 x2 4 x4
1
f ( x) 
e 18
18
Найти ее математическое ожидание, дисперсию, построить кривую вероятности.
Найти вероятности событий: A – случайная величина примет только отрицательные
значения, B – случайная величина попадет в интервал длиной в три средних
квадратических отклонения, симметричный относительно математического ожидания.
Решение: преобразуем функцию плотности распределения:

1
f ( x) 
e
9  2
x2 4x4
2 9

1

e
3 2
( x  2) 2
2 3 2
( xa )2

1
2
e 2 , а значит, случайная величина X
Данная функция имеет вид f ( x) 
 2
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a  2 и средним
квадратическим отклонением   3 .
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Выполним чертеж:
0,15
0,12
0,09
0,06
0,03
0
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Найдем вероятность события A – случайная величина примет только
 a
  a 
отрицательные значения. Используем формулу P(  X   )  
  
 и
  
  
таблицу значений функции Лапласа:
02
2
P( A)  P(  X  0)  
  
  (0,67)  () 
 3 
 3 
 (0,67)  ()  0,2486  0,5  0,2514
Найдем вероятность события B – случайная величина попадет в интервал длиной в
три средних квадратических отклонения, симметричный относительно математического
ожидания:
 11  2 
72
P( B)  P(2  3  3 X  2  3  3)  P(7  X  11)  
  

 3 
 3 
 (3)  (3)  (3)  (3)  2(3)  2  0,4987  0,9973
Ответ: a  2,  2  9, P( A)  0,2514, P( B)  0,9973
Задача 43. Плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет
2
вид f ( x)  e4 x 6 x1 . Найти  , математическое ожидание M (X ) , дисперсию D(X ) ,
функцию распределения случайной величины X , вероятность выполнения неравенства
3
1
 X .
4
4
Решение: преобразуем показатель функции:
2
3

x 
2
3
9
9
3 5
5
4


 4 x 2  6 x  1  4 x 2  2  x    1   4 x      

2
4
16 
4
4 4
4


 1 
2

2 2
( xa )2

1
2
Таким образом, функция плотности приводима к виду f ( x) 
e 2 , а
 2
значит, случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим
ожиданием a и средним квадратическим отклонением  .
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
В данном случае:
3

 x 
4

f ( x)  e  4 x
2
 e
 6 x 1
2
5


2 4
 1 
2

2 2
Очевидно, что M ( X )  

5
4
 e e
  3 
 x     
  4 
 1 
2

2 2
2
2
3
1
и D( X )   2  .
4
8
Найдём значение параметра  :
5
e 4 
1
1
2 2
 2

5
4
 
f ( x)  e e
3

 x 
4


2

5
e 4 , таким образом, функция плотности:
2
 1 
2

2 2

2

2

e
5

4
5
4
e e
3

 x 
4

2
 1 
2

2 2

2

2

e
 3
 x 
 4
2
 1 
2

2 2
2
Запишем функцию распределения вероятностей:
5 x
2  4 4 x2 6 x1
F ( x) 
e e
dx .


Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение из данного
интервала. Используем формулу:
 a
  a 
P(  X   )  
  
 , где (x) – функция Лапласа, её значения
  
  
найдём по соответствующей таблице.
В данном случае:
 1  3
 3  3
    
     
3
1
4  4
4  4



P   X    
 
 (2 2 )  (0)  0,4977  0  0,4977




1
1
4
 4




2 2
 2 2 


– вероятность того, что случайная величина X примет значение из данного интервала.
5
4
5 x
1
2  4 4 x2 6 x1
3
e e
dx ,
e , M ( X )   , D( X )  , F ( x) 
Ответ:  
4
8



1
 3
P   X    0,4977 .
4
 4
2

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!