一 基礎聲學 吳柏賢 2022.02.23 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 時間 空間 週期 𝑇 ：兩個波峰的時間差 波長 𝜆 = 𝑐Τ𝑓 ：兩個波峰的距離 頻率 𝑓 = 1Τ𝑇 ：單位時間內的波動次數 波速 𝑐 ：波前進的速度 角頻率 𝜔 = 2𝜋𝑓 ：2𝜋內波動的次數 波數 𝑘 = 2𝜋Τ𝜆 = 𝜔 Τ𝑐 𝜆 𝑇 1 1 0.5 0.5 振0 幅 -0.5 -1 0 -0.5 0 20 40 60 80 時間 100 120 140 160 180 200 -1 0 20 40 60 80 距離 100 120 140 160 180 200 2 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 假設聲波為正弦函數，方程式可表示為： 𝑝 𝑥, 𝑡 = 𝑝0 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙 其中 振幅 𝑝0 ：由平衡點到波峰（或波谷）的最大位移量 相位 𝜙 ：兩質點的相對位置（或時間差） 均方根值 𝑝𝑟𝑚𝑠 = 1 𝑇 න 𝑝 𝑥0 , 𝑡 2𝑑𝑡 𝑇 0 ：量測時間內所有振幅的平方平均後開根號 3 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲音物理量的表示方式： 1.聲壓（Sound Pressure）： 屬於物理量，使用與大氣壓力相同的單位（Pascal, 𝑁Τ𝑚2 ）， 符號一般表示為 𝑝 2.聲強（Sound Intensity）： 單位時間內通過單位面積的能量，符號一般表示為 𝐼 ∝ 𝑝2 3.聲功率（Sound Power）： 單位時間內所輸出的能量，符號一般表示為 𝑊 4 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲音大小的表示方式（分貝）： ⚫ 實驗發現，人耳對聲壓大小的感覺是非線性的，並且接近於對數值的變化 ⚫ 聲壓值以分貝（dB）表示 𝐿𝑝 = 20log10 其中 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑓 𝑝𝑟𝑒𝑓 = 20 × 10−6 NΤm2 or Pa 參考聲壓，定義為人耳可聽到的最小聲壓，0dB。 註1：人耳的聽力範圍約在0~140dB。 註2：聲壓低於0dB ，不表示完全沒有聲音，只是人耳無法感受聲音的存在。 5 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲音大小的表示方式（分貝）： ⚫ 聲強值以分貝（dB）表示 𝐿𝐼 = 10log10 ⚫ 聲功率值以分貝（dB）表示 𝐿𝑤 = 10log10 𝐼 𝐼𝑟𝑒𝑓 𝑊 𝑊𝑟𝑒𝑓 其中 𝐼𝑟𝑒𝑓 = 10−12 𝑊𝑎𝑡𝑡Τ𝑚2 參考聲強，定義為人耳可聽到的最小聲音強度。 𝑊𝑟𝑒𝑓 = 10−12 𝑊𝑎𝑡𝑡 參考聲功率，定義為人耳可聽到的最小聲功率。 6 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 例題： 聲壓值1 Pascal ，相當於多少分貝（dB）？ 解： 𝐿𝑝 = 20log10 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑓 = 20log10 1 ≈ 94dB 20 × 10−6 註：1大氣壓為 101325 Pascal 7 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 例題： 假設一個聲音的聲壓值為60dB ，請問當聲壓值增加為兩倍時，相當於多少分貝？ 解： 60 = 20log10 20log10 𝑝 −6 → 𝑝 = 20 × 10 × 10 −6 20 × 10 60 20 = 0.02 Pa 2×𝑝 0.04 = 20log ≈ 66 dB 10 −6 −6 20 × 10 20 × 10 8 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 多個聲源的分貝相加(減)： ⚫ 根據聲壓的均方根值定義 𝑝𝑟𝑚𝑠 = 1 𝑇 න 𝑝 𝑥0 , 𝑡 2𝑑𝑡 𝑇 0 ⚫ 聲壓值以分貝（dB）表示 𝐿𝑝 = 10log10 2 𝑝𝑟𝑚𝑠 2 𝑝𝑟𝑒𝑓 ⚫ n個聲源的分貝相加 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 10log10 𝐿𝑝1 10 10 𝐿𝑝𝑛 + ⋯ + 10 10 9 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 例題： 假設有兩個獨立的聲源，聲壓值皆為60dB ，請問兩個聲源加總相當於多少分貝？ 解： 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 10log10 𝐿𝑝1 10 10 + ⋯+ 𝐿𝑝𝑛 10 10 = 60 10log10 1010 60 + 1010 ≈ 63 dB 與前一個範例的結果不同?? 10 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 假設兩個獨立的音源，聲壓分別為 𝑝1 (𝑡) 與 𝑝2 (𝑡) ，聲壓總和為 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡 = 𝑝1 (𝑡)+ 𝑝2(𝑡) 1 𝑇 2 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0 𝑝1 (𝑡)+ 𝑝2(𝑡) 2𝑑𝑡 = 𝑝12 + 2𝑝1 𝑝2 + 𝑝22 𝑇 兩個獨立的音源，意味著 𝑝1 𝑝2 = 0 ，若兩個音源大小皆相同，聲壓總和為 2 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑝12 + 𝑝22 = 2 × 𝑝12 單個音源聲壓增加兩倍，意味著 𝑝1 𝑝2 = 𝑝12 ，聲壓總和為 2 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑝12 + 2𝑝1 𝑝2 + 𝑝22 = 4 × 𝑝12 11 聲波參數 分貝 八度音 聲速 單個音源聲壓增加兩倍 聲源 聲波傳遞 聲強 兩個獨立的音源 12 https://www.getit01.com/p2017121185800/ 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 平均時間聲壓值(均能聲壓值) 在量測時間 𝑇 內的聲壓值，單位dB。 𝐿𝑝𝑒𝑞𝑇 = 10log10 1 𝑇 𝑝(𝑡) න 𝑇 0 𝑝𝑟𝑒𝑓 2 𝑑𝑡 = 10log10 2 𝑝𝑟𝑚𝑠 2 𝑝𝑟𝑒𝑓 其中 𝑝(𝑡) 為瞬時間壓力值 𝑇 為量測時間 13 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 例題： 假設一個聲源，在不同的時間範圍，產生不同的聲壓值，求平均時間聲壓值？ 時間 09:00~12:00 12:00~14:00 14:00~14:30 14:30~17:00 聲壓值(dB) 94 89 98 83 解： 𝐿𝑝𝑒𝑞𝑇 = 10log10 3 94 × 1010 +2 89 × 1010 + 0.5 × 8 98 1010 + 2.5 × 83 1010 = 92.03 (dB) 14 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲音的頻率與八度音： ⚫ 頻率：單位時間內反覆循環的次數，單位是Hertz(Hz) ，相當於(次/秒) ⚫ 人耳的聽覺範圍：20~20000Hz，高於人耳聽覺範圍的聲音，稱為超音波(Ultrasound) ⚫ 八度音(Octave)： A. 頻率上限為頻率下限的兩倍，稱為一個八度音 B. 符合於人耳對聲音頻率的反應 八度音數目 頻率上限 2𝑛 = 𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑚𝑖𝑛 頻率下限 音名 唱名 頻率(Hz) 中央C Do 261.63 中央D Re 293.66 中央E Mi 329.63 中央F Fa 349.23 中央G Sol 392.00 中央A La 440.00 中央B Si 493.88 高音C Do 523.25 𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑓𝑚𝑎𝑥 15 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 假設每個頻帶的中心頻率為 𝑓𝑐 ，該頻帶的 聲波傳遞 目前業界常用octave (31.5Hz~8000Hz) 頻率上限 𝑓𝑚𝑎𝑥 與下限 𝑓𝑚𝑖𝑛 可由下式計算： 𝑓𝑐 = 2𝑓𝑚𝑖𝑛 = = 𝑓𝑚𝑎𝑥 2 𝑓𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑚𝑎𝑥 聲強 八度音 頻率範圍 Hz 頻帶數 𝑓𝑐 𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑓𝑚𝑎𝑥 1 31.5 22.27 44.54 2 63 44.54 89.09 3 125 88.38 176.77 4 250 176.77 353.55 5 500 353.55 707.10 6 1000 707.10 1414.21 7 2000 1414.21 2828.42 8 4000 2828.42 5656.85 9 8000 5656.85 11313.70 16 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 目前業界常用 1/3 octave (25Hz~10000Hz) ： 1/3八度音 1 23 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑓𝑐 = 1 26 𝑓𝑚𝑖𝑛 = 𝑓𝑚𝑎𝑥 1 26 17 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲速： ⚫ 聲波在介質中傳遞的速度，不同介質傳遞聲音的速度會不同。 ⚫ 聲速的定義： 瞬間壓力 𝑐= 𝜕𝑝 𝜕𝜌 瞬間密度 介質 速度 𝑚Τ𝑠 密度 𝑔Τ𝑐𝑚3 空氣 20°𝐶 344 0.001205 海水 1490 1.025 鋼 5000 7.8 註：一般情況下，壓力與密度皆會隨溫度而變化，因此聲速可表示為 壓力、密度、溫度的函數 𝑐 𝑝, 𝜌, 𝑡 18 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 根據熱力學定律，絕熱過程的理想氣體，滿足： 常數 熱容比 𝑝 × 𝜌−𝛾 = 𝐾 則 𝜕𝑝 𝑝 𝛾−1 = 𝐾×𝛾×𝜌 =𝛾 𝜕𝜌 𝜌 𝑐= 𝜕𝑝 = 𝜕𝜌 𝑐= 𝛾𝑅𝑇 𝑝 𝛾 𝜌 理想氣體同時滿足 氣體常數 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 絕對溫度 19 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 對於空氣而言，𝛾 ≈ 1.4，𝑅 ≈ 287 𝑚2 Τ𝐾𝑠 2 ，故： 𝑐= 𝛾𝑅𝑇 = 1.4 × 287 × 𝑡 + 273.15 = 331.287 × 1+ 𝑡 273.15 ≈ 331 × 0.6𝑡 聲速 𝑚Τ𝑠 聲速 𝑚Τ𝑠 331 × 0.6𝑡 331.287 × 1 + 𝑡 273 .15 溫度 °C 溫度 °C 20 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 點聲源： ⚫ 聲源到接收點的距離遠大於聲源尺寸，此狀況可視為點聲源。 ⚫ 理想的點聲源為球面波擴散。 ⚫ 假設聲波傳遞過程無能量消耗，聲壓大小隨距離衰減。 ⚫ 當距離增加一倍，聲壓值下降6dB 。 4𝜋𝑟02 × 𝐼0 = 4𝜋𝑟12 × 𝐼1 𝑟02 × 𝑝02 = 𝑟12 × 𝑝12 𝑟0 𝑝1 = 𝑝0 𝑟1 4𝜋𝑟02 4𝜋𝑟12 𝑟0 𝑟1 21 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 線聲源： ⚫ 音源具有無限長度，聲音能量僅會向圓柱面方向擴散。 ⚫ 道路上的所有車輛集合，可假設為線音源。 ⚫ 假設聲波傳遞過程無能量消耗，聲壓大小隨距離開平方衰減。 ⚫ 當距離增加一倍，聲壓值下降3dB 。 2𝜋𝑟0 2𝜋𝑟0 × 𝐼0 = 2𝜋𝑟1 × 𝐼1 2𝜋𝑟1 𝑟0 × 𝑝02 = 𝑟1 × 𝑝12 𝑟0 𝑟1 𝑝1 = 𝑟0 𝑝0 𝑟1 22 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 平面聲源： ⚫ 管路中以活塞推動所形成的平面聲波，一般情況如容易產生此聲源。 ⚫ 聲壓大小不會隨著距離增加而衰減。 𝑟0 𝑝1 = 𝑟1 𝑛 𝑝0 n=0 ：平面波傳遞，無傳輸損耗。 n=1/2：柱面波傳遞。 n=1 ：球面波傳遞。 23 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲波的傳遞方式： 聲波遵循費馬定律（Fermat law），波總是沿著所需最短時間的路徑傳遞。 1. 反射（Reflection） ⚫ 當反射物的表面尺寸大於聲波的波長，即會形成反射。 ⚫ 高頻率的聲波（波長較短），容易形成反射。 平面 凹面 凸面 24 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 2. 繞射（Diffraction） ⚫ 當反射物的表面尺寸遠小於聲波的波長，即會形成繞射。 ⚫ 當反射物的表面尺寸遠大於聲波的波長，物體後方會產生音影區，但物體邊緣會視為新 的波前向四面八方傳播，此稱為惠更斯－菲涅耳原理（Huygens–Fresnel principle）。 𝐿 𝐿 𝐿 ≪ 𝜆 低頻音 𝐿≫𝜆 高頻音 25 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 2. 繞射（Diffraction） ⚫ 當孔隙的尺寸遠小於聲波的波長，聲波會在孔隙後方形成新的波前向四周前進，但強度 會減小許多。 ⚫ 當孔隙的尺寸遠大於聲波的波長，聲波會直接穿過孔隙。 𝐿 𝐿 ≪ 𝜆 低頻音 𝐿 𝐿≫𝜆 高頻音 26 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 2. 繞射（Diffraction） 惠更斯－菲涅耳原理 （Huygens–Fresnel principle） 𝐿≪𝜆 https://publish.obsidian.md/myquantumwell/Electromagnetism/Optics/Huygens-Fresnel+Principle https://www.wikiwand.com/en/Huygens%E2%80%93Fresnel_principle 𝐿≫𝜆 27 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 3. 干射（Interference） ⚫ 當多個聲源產生時，聲波之間會相互干擾。 ⚫ 建設性干涉：當波峰互相重疊時，會形成振幅更大的波。 ⚫ 波壞性干涉：當波峰與波谷相互重疊時，會形成振幅為零的區域。 https://gifimage.net/double-slit-experiment-gif-6/ https://imgur.com/gallery/MZDcb 28 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 4. 折射（Refraction） ⚫ 當聲波接觸物體時，一部分能量會穿透該物體並產生折射。 ⚫ 折射的原因：兩個介質間存在不同的聲速。 sin 𝜃𝑖 sin 𝜃𝑡 = ⚫ 史奈爾定定律(Snell’s law) ： 𝑐1 𝑐2 𝜃𝑡 𝑝𝑡 空氣(c 2) 界面 水(c 1) 空氣(c 1) 水(c 2) 𝜃𝑖 𝜃𝑖 𝑝𝑖 𝑝𝑟 𝑝𝑖 𝑝𝑟 𝜃𝑖 ≠ 𝜃𝑡 稱為折射 𝜃𝑖 𝜃𝑖 界面 𝜃𝑡 𝑝𝑡 29 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 5. 都卜勒效應（Doppler effect） ⚫ 當聲源與接收者存在相對運動時，接收者收到的聲波頻率會發生變化。 ⚫ 如消防車駛近時，會感覺鳴笛音調變高，遠離時則相反。 𝑐 ± 𝑣𝑟 ⚫ 都卜勒效應： 𝑓𝑟 = 𝑓𝑠 𝑐 ∓ 𝑣𝑠 其中 𝑣𝑟 為接收者的移動速度，接近聲源為正 𝑣𝑠 為聲源的移動速度，接近接收者為負 https://twgreatdaily.com/bUUUP3IBiuFnsJQV-Fu3.html 30 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 聲強(Sound Intensity)： ⚫ 單位時間內通過單位面積的能量，單位為 𝑊 Τ𝑚2 。 ⚫ 為平均時間內瞬間聲壓與瞬間粒子速度的乘積： 𝐼Ԧ = 𝑝 𝑡 𝑢 𝑡 ⚫ 假設聲波為正弦波，聲壓與粒子速度可表示為： 𝑡 1 𝑇 = න 𝑝 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑝 𝑡 = 𝑝0 sin 𝜔𝑡 − 𝜙 𝑢 𝑡 = 𝑢0 sin 𝜔𝑡 − 𝜓 ⚫ 聲強可計算如下： 1 𝑇 𝐼Ԧ = න 𝑝0 𝑢0 sin 𝜔𝑡 − 𝜙 sin 𝜔𝑡 − 𝜓 𝑑𝑡 𝑇 0 1 𝑇 1 1 = න 𝑝0 𝑢0 cos 𝜙 − 𝜓 − cos 2𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝜓 𝑑𝑡 ≅ 𝑝0 𝑢0 cos 𝜙 − 𝜓 𝑇 0 2 2 31 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 ⚫ 考慮複數域，假設聲波為簡諧振動，聲壓與粒子速度可表示如下： 𝑝 𝑡 = 𝑝0𝑒 𝑖 𝜔𝑡−𝜙 𝑢 𝑡 = 𝑢0 𝑒 𝑖 𝜔𝑡−𝜓 ⚫ 聲強計算表示如下： 𝐼Ԧ = 𝑝 𝑡 𝑢 𝑡 𝑡 1 1 ∗ = Re 𝑝0𝑢0 = Re 𝑝0∗𝑢0 2 2 其中 Re ∙ ∗ 代表取實部 代表共軛運算 32 聲波參數 ⚫ 分貝 八度音 聲速 聲源 粒子速度 (Particle velocity) 由牛頓第二運動定律 聲波傳遞 理想流體：壓力=質量 x 加速度 管路面積 𝑝 𝑥 𝜕𝐮 𝑝 𝑥 − 𝑝 𝑥 + 𝑑𝑥 𝐴 = 𝜌0 × 𝐴𝑑𝑥 × 𝜕𝑡 𝜌0 𝑨 一次泰勒級數展開 推廣至三維空間 𝑝 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 一維管路內的壓力變化 𝜕𝑝 𝜕𝐮 𝑝 𝑥 − 𝑝 𝑥 − 𝑑𝑥 𝐴 = 𝜌0 × 𝐴𝑑𝑥 × 𝜕𝑥 𝜕𝑡 動量方程式 (Momentum equation) 聲強 𝜕𝐮 𝜕𝑝 𝜌0 =− 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜌0 𝜕𝐮 = −∇𝑝 𝜕𝑡 梯度 𝝏𝒑 𝝏𝒑 𝝏𝒑 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 33 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 ⚫ 考慮複數域，假設聲波為簡諧振動，聲壓與粒子速度可表示如下： 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑝0 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢0 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑡 由動量方程式： 𝜕𝑢 𝜌0 = −∇𝑝 𝜕𝑡 𝜌0 × 𝑖𝜔 × 𝑢 = −∇𝑝 𝜌0 × 𝑖𝜔 × 𝑢0 = −∇𝑝0 粒子速度可表示為： 𝑢0 = 𝑖 𝜌0 𝜔 ∇𝑝0 34 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 ⚫ 考慮一維空間，假設聲波為簡諧振動與平面行進波，聲壓可表示如下： 𝑝 𝑥, 𝑡 = 𝑝0 𝑥 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝐴𝑒 𝑖 𝜔𝑡−𝑘𝑥 𝑝0 𝑥 = 𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝑥 粒子速度可表示為： 𝑢0 = 𝑖 𝜌0 𝜔 ∇𝑝0 = 𝑖 𝜌0 𝜔 × −𝑖𝑘 × 𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝑥 = 𝑝0 𝜌0 𝑐 平面行進波之聲強可表示為： ∗ 1 𝑝 × 𝑝 𝑝0 2 0 0 ∗ 𝐼Ԧ = Re 𝑝0𝑢0 = = 2 2𝜌0 𝑐 2𝜌0 𝑐 35 聲波參數 分貝 八度音 聲速 聲源 聲波傳遞 聲強 ⚫ 假設聲波為簡諧振動與球面行進波，聲壓可表示如下： 𝑝 𝑟, 𝑡 = 𝑝0 𝑟 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝐴 𝑖 𝑒 𝑟 𝜔𝑡−𝑘𝑟 𝐴 −𝑖𝑘𝑟 𝑝0 𝑟 = 𝑒 𝑟 粒子速度可表示為： 𝑢0 = 𝑖 𝜌0 𝜔 ∇𝑝0 = 𝑖 𝜌0 𝜔 × − 𝐴 𝑟2 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 𝐴 − 𝑖𝑘 𝑒 𝑟 −𝑖𝑘𝑟 = 1− 𝑖 𝑝0 𝑘𝑟 𝜌0 𝑐 球面行進波之聲強可表示為： 1 1 𝑖 𝑝0 𝑝0 2 ∗ ∗ 𝐼Ԧ = Re 𝑝0𝑢0 = Re 𝑝0 × 1 − = 2 2 𝑘𝑟 𝜌0𝑐 2𝜌0 𝑐 注意： 平面波與球面波的聲強方程式雖 然一致，但聲壓振幅 𝑝0 不同。 36 Q&A