O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA‘LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT UNVERSITETINING PEDAGOGIKA
INSTITUTI
TABIIY VA ANIQ FANLAR
FAKULTETI
“5110100-MATEMATIKA O’QITISH METODIKASI”
TA’LIM YO’NALISHI
K U R S I SH I
Mavzu: Teskari matrisalar. Matrisalarning
teskarilanish shartlari.
BAJARDI: MO‘M 301-guruh
talabasi:Yusupova Yulduz.
ILMIY RAXBAR: MO‘M
kafedrasi o‘qituvchisi:
Erdonov.B________
TERMIZ – 2021
Mundarija
Kirish .........................................................................................................................................
I.
BOB.Matritsalar ustida amallar
1 .l.Matritsa tushunchasi .............................................................................................................
1.2. Matritsalar ustida amallar ...................................................................................................
1.3. Matritsa rangi .....................................................................................................................
1.4. Teskari matritsa ..................................................................................................................
II.BOB.Matritsaviy normalar
2.1. Matritsalarda vektor normalari ..........................................................................................
2.2. Matritsaviy normalar .........................................................................................................
2.3. Matritsaviy normalarning tadbiqlari ..................................................................................
Xulosa .........................................................................................................................................
Adabiyotlar
Kirish
Ma’lumki respublikamizda yoshlaming ta’lim olishi uchun uch bosqichli uzluksiz ta’lim
tizimi joriy qilingan.Bu tizimning uchinchi bosqichida yoshlar oliy o„quv yurtlariga kirib
kamida to`rt yil davomida o`qib, oxirida o„zlari tanlagan yo‘nalishlari bo`yicha bakalavr
diplomini olishlari mumkin.Mamlaktimizda joriy etilgan bu ta’lim olish tizimi o„zining
samaraviyligi tufayli ko`pchilik mutaxassislarning e’tirofiga sazovor bo`lmoqda.Oliy o„quv
yurtlarida talabalarning ma’naviyatini boyitishga katta e’tibor beriladi.Fuqarolarning, ayniqsa,
yoshlarning ma’naviyati yuksakligi respublikamizning har tamonlama jadal rivojlanishini va
ilg`or davlatlar qatoriga qo`shilishini ta’minlaydi.O`zbekiston Respublikasining birinchi
prezidenti I.Karimovning `Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch` asarida buning ahamiyati to`la
yoritib berilgan.Oliy o`quv yurti talabasi bakalavr darajasini olishda avval Kursishini himoya
qilish zarur.`Matritsaviy normalar va ularning tatbiqlari`mavzusida Kursish yozildi.
Kurs ishning qisqacha mazmuni quyidagilardan iborat:Birinchi bobning birinchi paragrfida
algebra
va
sonlar
nazariyasining
muhim
tushunchalaridan
hisoblangan
matritsa
tushunchasi,matritsalar ustida amallar,teskari matritsa,matritsa rangi,matritsalarni chiziqli
almashtirishlar, kabi tushunchalar batafsil yoritib berigan.Ularga oid bir nechta misollar
keltirilgan.Ushbu paragrafda matritsalar haqida dastlabki tushunchalar, uning qanday holatda
berilishi,matritsalarni qo`shish, ko„paytirish va shularga oid ta’riflar,teoremalar, misollar hamda
misollarning ishlanish usullari keltirilgan.
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Matritsaviy normalar va ularning tatbiqlari
matematikaning ko`plab sohalarida uchrab turadi. Matritsaviy normalar va ularning tatbiqlarini
o`rganish jarayonida quyidagi masalalar o„rganildi.
1. Matritsa tushunchasi,ular ustida amallar.
2. Matritsaning iqtisodiy masalalarga tatbiqi
3. Matritsaviy norma va matritsaviy vektor normalar ularning xossalari
Kurs ishining asosiy maqsadi: Matritsaviy normalar va ularning tatbiqlarini o`rganishva uni
amaliyotga joriy qilish.
Kurs ishining asosiy vazifalari: Buning uchun quyidagi vazifalar qo„yildi:
1) Matritsaviy normalar va ularning tatbiqlarini o`rganishva ularni misolarda tahlil
qilish.
2) Teskari matritsani hisoblashdagi xatolik va chiziqli tenglamalar sistemasini yechish
Kurs ishining o‘rganganlik darajasi: Kursishi to`liqo`rganilgan.
Kurs ishining predmeti: Matritsalar ustida amallar, norma,matritsaviy norma,vektor
normalari...
Kurs ishining obyekti: Matritsaviy normalar va ularning tatbiqlar.
Kurs ishining ilmiy farazi: Kursishi referativ xarakterga ega. Olingan asosiy natijalar: bir
nechta adabiyotlardan mavzuga oid ma’lumotlar to`plangan, ular misollar bilan boyitilgan.
Kurs ishining metodlari: Chiziqli algebra, matematik analiz va funksional analiz usullaridan
foydalanildi.
Kurs ishining tarkibi va hajmi: Kirish, ikkita bob,yettita paragraf, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro„yxatidan iborat to`lib, I - bob to`rtparagrafdan iborat to`lib unda boshlang„ich
tushunchalar,
matritsa
tushunchasi,matritsalar
ustida
amallar,teskari
matritsa,matritsa
rangi,matritsalarni chiziqli almashtirishlar, kabi tushunchalar batafsil yoritib berigan. Kurs
ishining
II
-
bob
uchta
paragrafdan
iborat
to`lib,
unda
asosiy
qism,
norma
tushunchasi,matritsaviy norma,matritsaviy vektor normalarini o`rganishva ularni misollarda
tahlil qilish, Teskari matritsani hisoblashdagi xatolik va chiziqli tenglamalar sistemasini
yechishni o`rganishgabag„ishlangan.
I.
BOB.Matritsalar ustida amallar.
1 .l.Matritsa tushunchasi.
Matritsa tushunchasi va unga asoslangan matematikaning `Matritsalar algebrasi` bo‘limi
amaliyotda, jumladan, iqtisodiyotda katta ahamiyat kasb etadi. Bu shu bilan tushuntiriladiki,
aksariyat iqtisodiy ob’ekt va jarayonlarning matematik modellari matritsalar yordamida sodda
va kompakt ko‘rinishida tasvirlanadi.
Misol uchun quyidagi iqtisodiy masalani qaraylik:
Maxsulot turi
Xom ashyoning bir maxsulot Maxsulot ishlab chiqarish rejasi
birligini tayyorlash uchun sarf
normasi
Sl
A
3
2
B
5
C
1
30
Xom ashyo birligining narxi
s2
100
2
80
4
130
50
Maxsulotni rejadagi hajmini ishlab chiqarish uchun ketadigan xom ashyolar hajmi va
ularning umumiy narxi topilsin.
Yechish.
s±
xom ashyoning sarf hajmini topaylik:
birlik.
s 2 xom ashyo uchun s2 = 3-1 00 + 2-8 0 + 4-1 3 0 = 98 0 birlik. Shu sababli,S xom ashyoning
sarf hajmini quyidagi matritsa satr ko„rinishida ifodalash mumkin.
/2 3\
S = C-A = (1 00 80 1 3 0) (5 2 ) = (73 0 980)
u holda hom ashyoning sarf narxi Q=730■ 3 0 + 980 ■ 5 0 = 709 00 pul birligi,
Matritsa ko„rinishida quyidagicha yozish mumkin.
Q=(S ■B) = ( CA)B = (70900)
Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (18051865 y.y.) va
A.Kelli (1821-1895 y.y.) ishlarida uchraydi. Hozirgi kunda matritsa tushunchasi tabiiy va
amaliy jarayonlarni matematik modellashtirishda muhim apparat sifatida qo‘llaniladi.
1-
ta’rif. Matritsa deb m ta satr va n ta ustunga ega bo‘lgan to‘rtburchakli sonlar
jadvaliga aytiladi va quyidagicha belgilanadi:
'
a
n
a 12
a 22
a
( )=
V ij smn
a
.
, aj
21
a
m2 .
u
a
. 2n
a
V a m1
a
. 1n `
.
.
a
=
J
mn
a,,
11
m1
.
a
. 1n
a
. 2n
a m2
..
.
a
mn
a.~ ... a
12
а
а ml
.
a 22
a 21
a
mn у
a 12
1n
mn
2n
а m2
а
Bu matritsa (m x n) o‘lchamli bo‘lib,a ik - haqiqiy songa (bunda birinchi indeks satr
nomerini, ikkinchisi esa ustun nomerini ko‘rsatib, bularning kesishgan joyida aik element turadi
hamda i = 1,2,3,.. ,,m; k = 1,2,3,.. ,,n) uning elementi deb ataladi.
Matritsalar lotin grafikasining katta harflari bilan belgilanadi. Masalan, A, B, C,....
Quyida keltirilgan jadvallar matritsa bo‘la olmaydi, chunki ular to‘g‘ri to‘rtburchakli emas:(1x
n) odchamli matritsaga satr matritsa, (m x 1) odchamli matritsaga esa ustun matritsa deyiladi,
(
(
B
2
V
C
=
'5 10 32^
D
2
v0
,
V
ya’ni
f
a^
a
^ = («11«12••• «J,
L=
ii
a 21
V a m1 у
Bundan tashqari ba’zida bu matritsalar mos ravishda satr-vektor va ustun- vektor deb
ham ataladi. Vektorlaming elementlari esa ularning komponentlari deyiladi.
Har bir elementi nolga teng bodgan, ixtiyoriy odchamli matritsaga nol matritsa deb
aytiladi va quyidagi ko‘rinishda bodadi:
^ 0
в=
0
V
0
0.
. 0 ^
0.
. 0
0.
.
0
>
2- ta’rif. Agar A va B matritsalarning barcha mos elementlari o‘zaro teng bodsa, bunday
matritsalar teng deyiladi va A = B ko‘rinishda yoziladi.
3- ta’rif. Agar A matritsaning ustunlar soni B matritsaning satrlari soniga teng bodsa, A
matritsa B matritsa bilan zanjirlangan matritsa deyiladi.
4-
ta’rif. Ham satrlar soni,ham ustunlar soni n ga teng bodgan, ya’ni(n x n) odchamli
matritsaga n - tartibli kvadrat matritsa deyiladi.
Kvadrat matritsaning bosh diagonali deb, indekslari bir xil bodgan elementlarni xayolan
birlashtirish natijasida hosil bodgan to‘g‘ri chiziqqa aytiladi. Boshqacha aytganda, an a22 ... ann
yozuv diagonal elementlari deyiladi.
Agar A = (a ) kvadrat matritsada i>j(i < j) munosabat bajarilganda a = 0 bodsa, u holda A
matritsaga yuqori (quyi) uchburchak matritsa deyiladi.
' aii
a
.
a
22.
0
i2
Masalan, A =
0
0.
uchburchakli matritsa deb ataladi.
v
. ain"
' aii
. a2n
a
- yuqori B =
. annу
0.
a 22
.
. 0л
.0
2i
V ani
a
- quyi
n2 . . annу
A = (ay) kvadrat matritsada i Фjbodganda, a = 0 bodsa, u holda Amatritsaga diagonal
matritsadeyiladi.
n Л
fnn
0.
a ii
a
0
22
.. 0
.
A=
.. 0
V
0
0.
.. ann
Agar diagonal matritsaning barcha a., elementlari o‘zaro teng bodsa,
u holda bunday matritsaga skalyar matritsa
deyiladi, ya’ni
A=
0
a ...
... 0Л
f
a0
0
a
00
A = (a ) kvadrat matritsada i Фjbodganda ay = 0 va i = jbodganda esaa.. = 1
bodsa,u holda bunday matritsaga birlik matritsa deyiladi va odatda E harfi bilan belgilanadi,
ya’ni
fi
0
E=
,0
0.
i.
.0
0.
.i
.0
Agar A matritsada barcha satrlar mos ustunlar bilan almashtirilsa, u holda hosil bodgan
AT matritsaga A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi.
Masalan,
(2 3
5
>
v-1 4
0
A=
J
-f
4
0
J
Agar A kvadrat matritsada A = AT munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda bunday matritsaga
simmetrik matritsa deb ataladi.
Masalan,
A= 583
2 3 7 V 23 7J
Misoldan ko‘rinib turibdiki matritsaning elementlari bosh diagonalga nisbatan simmetrik
j oylashgan.
n(n +1)
n - tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni ko‘pi bilan^^—- ga teng, bunda n
- natural son.
Agar A kvadrat matritsada A = -AT munosabat o‘rinli bo‘lsa, boshqacha aytganda bosh
diagonalga nisbatan simmetrik bo‘lgan elementlari bir-biridan faqat ishoralari bilangina
farqlansa, ya’ni barcha i va j larda ay = -aJt bo‘lsa (bundan barcha
i lar uchun a.. = -a.. = 0 ekanligi kelib chiqadi), bunday matritsaga qiyasimmetrik matritsa deb
ataladi.
Masalan,
f
0 -5 5
A=
0
-2^
3
1.2.
Matritsalar ustida amallar.
O‘lchamlari aynan teng bo‘lgan matritsalar ustidagina algebraik qo‘shish amali
bajariladi.
O‘lchamlari aynan teng bo‘lgan A va B matritsalarni qo‘shish uchun, ularning
mos elementlari qo‘shiladi:
a
u + bu
a
21 + 21
b
+
22 +
a 12
b 12
•
a
b 22
•
v + К•
a
b
•• 2j + 2 j •
••
a
a
• 1n
• a2 n
+ b1n
Л
+ b2n
A+B=C=
a+ b
a
a2+ ^2 •
a
a
+ bj •
a
+
•• j
a
• in
•
v
a
m1
+
b
a
m1
m2
+
b
m2 •
•• mj
Ь
+ bn
a+b
Щ•
mn mn
J
Shuningdek, ikkita matritsa ayirmasi, ya’ni A - B = C ham xuddi shunday topiladi:
' 11
-b
- bn 3
12 •
a
1j •
12
.. a1j
.. a1n
11
a
b
- b
a 21
a
- b 21
22
-
b
22
.
• a 2j
- b2
j•
..
a2n
..
an
-b
2n
A-B=C=
b
b
- 1
- 2.
a
a
i1
2
•
b j.
— b.
1n
0,
-b
- b.
a
b
.. amj
mn J
mj
1-misol.Quyidagi matritsalarning yig‘indi va ayirmasini toping:
f31
0 2 va B = f 4
-1 2 - 2з
з
3 1
4 0/
0
v14
v- 3
v
a m1
-
b
a
m1
..
m2 - .
mn
J
A +B=
f3+4
1 -1
0+2 2-23f7
0
2
0\
v1-3
4+0
3 + 4 1 + 0 ){- 2
4
7
1J;
va
Yechish.Ta’rifga asosan
A-B=
f3-4
1 +1 0 - 2
2 + 2 ^ f-1 2
K1
4-0 3-4
1-0j=[4
+3
-2
4л
4 -1
1,
ega bo‘lamiz.
Biror haqiqiy 2 sonni matritsaga ko‘paytirish uchun shu son matritsaning har bir
elementiga ko‘paytiriladi: 2(ain) = (2ain).
f 2au
2a
12 . .. 2a1]
... 2a1n '
21
2a
22 . .. 2a2 j
... 2a2n
2a
n.
... 2a,n
2A =
2a
K
11
2a
m
1
2
m2 . .. 2lm]
... ^mn j
songa ko‘paytirish
amallari
bo‘ysunadi:
1) A + B = B + A;
2) A + (B + C) = (A + B) + C;
3) k (A + B) = к A + к B;
4) k (n A) = (к n) A ;
5) (k + n) A = к A + n A.
Matritsalarni qo‘shish, ayirish, ya’ni algebraik qo‘shish va matritsani songa ko‘paytirish
amallariga matritsalar ustida chiziqli amallar deyiladi.
Faqat va faqat zanjirlangan matritsalar ustida ko‘paytirish amali bajariladi. Zanjirlangan,
boshqacha aytganda mx p o‘lchamli A = (atj) matritsaning p x n
o‘lchamli
B = (bjk)
matritsaga ko(paytmasi deb, elementlaricft = abk + ai2b2k +...+
abpk kabi aniqlanadigan mxn o‘lchamli С= (c ) matritsaga aytiladi.
' a11
a21
Masalan, bizga umumiy holda A =
\a31
a
12
^
a
22
a
va B =
32
J
Ь11
Ь
V Ь21
Ь
12
ko‘rinishdagi
22 J
matritsalar berilgan bo‘lsin. Bu matritsalami ko‘paytirish quyidagicha amalga oshiriladi:
b
ь
a
a
11
12 (ььЛ211 1 a11ь11 + a^21 a11ь12 + a12^2
AB =
22 ьь
= a21Ь11 + a22Ь21 a21Ь12 + a22Ь22
a
a
32 V ь21ь22J
31ь12+ a32^2
v a31 J
V a31ь11 + ^2^1 J
a
21
a
Endi buni aniq misolda ko‘rib chiqamiz.
2-misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga ko‘paytiring:
'3
A= 2
V12
1 1
>
1 2 ,B=
3
f1
1
-1
2
10
V
>
- f|
1
1
J
Yechish. 1.Izlanayotgan C = AB matritsaning birinchi satr va birinchi ustunining
elementi A matritsaning birinchi satr elementlarini mos ravishda B matritsaning birinchi ustun
elementlari bilan ko‘payganini yig‘indisiga teng, ya’ni
c11 = 3 • 1 +1 • 2 +1 • 1 = 6.
2. Izlanayotgan C = AB matritsaning birinchi satr va ikkinchi ustunining elementi A
matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning ikkinchi ustun elementlari bilan mos
ravishda ko‘payganini yig‘indisiga teng:
c12 = 3 • 1 +1 • (-1) +1 • 0 = 2.
3. Birinchi satr va uchinchi ustun elementi
c13 = 3 • (-1) +1 • 1 +1 • 1 = -1 kabi aniqlanadi.
4. Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari A matritsaning ikkinchi satr
elementlarini B matritsaning mos ravishda 1-,2-,3- ustun elementlari bilan ko‘paytmasini
yig‘indisi sifatida topiladi:
c21 = 2 • 1+1 • 2 + 2 • 1 = 6; c22 =
2 • 1+1 • (-1) + 2 • 0 = 1; c23 = 2
• (-1) +1 • 1 + 2 • 1 = 1.
5. C matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga o‘xshash topiladi: c31
= 1 • 1 + 2 • 2 + 3 • 1 = 8;
c32 = 1 • 1 + 2 • (-1) + 3 • 0 = -1;
c33 = 1 • (-1) + 2 • 1 + 3 • 1 = 4.
Shunday qilib,
'6
2
- f|
C = AB = 6
1
у -1
1
4
У
Agar A va B bir xil tartibli kvadrat matritsalar bo‘lsa, AB va BA ko‘paytmalarini topish
mumkin. Agar AB = BAtenglik o‘rinli bo‘lsa, u holdaA va B matritsalarga kommutativ
matritsalar deyiladi. Masalan, E birlik matritsa ixtiyoriy A kvadrat matritsa bilan
kommutativdir. Haqiqatan ham
AE= EA = A.
2
3
Aytaylik bizga A = (1 2 3 4) va B =
3
У
matritsalar berilgan bo‘lsin. Bu
matritsalar zanjirlangan bo‘lganligi sababli ular ustida ko‘paytirish amali bajariladi.
AB = (1 2 3 4)
= (1 + 4 + 9 + 16) = (30).
У
4
a1
2
BA
(1 2 3 4) =
3
(1
2
3
2
4
6
4
1
8
3
6
9
12
16
4
v ,
v
4
8
12 >
Keltirilgan misoldan ko‘rinib turibdiki,A va B matritsalarning ko‘paytmasi o‘rin
almashtirish qonuniga bo‘ysunmaydi, ya’ni ABФBA.
Matritsani matritsaga ko‘paytirish quyidagi xossalarga bo‘ysunadi:
1. (kA)B = k(AB);
2. (A + B)C = AC + BC;
3. A(B + C) = AB + AC;
4. A(BC) = (AB)C.
Keltirilgan xossalardan to‘rtinchisini isbotini aniq misollar yordamida keltiramiz.
'3 4
' 3 02Л
matritsalar
1 va C =
,B=
2
1
5 1 °,
v
,
v
berilgan bo‘lsin.
a) AB = (1 2)
A(BC) = (1 2)
(51 6 14)
3 4 21
(7 6);
29 4 6 v11
1
4
(51 6 14). Xossa isbotlandi.
У
^3 021 ,5
1
°y
(AB)C= (7 6)
b) BC
' 3 41 ^3 02л
'29 4 61
v21 ,
v111 4,
v510,
Matritsalar ustida bajarilgan transponirlash amali quyidagi xossalarga bo‘ysinadi:
1-( AT f = A;
2. (AA)T= A A T ;
3. ( A + B)T = AT + B T ;
4. ( AB)T = B T A T .
Trapetsiyasimon (zinapoyasimon) matritsa deb biror satrini noldan farqli elementi к o‘rinda hamda qolgan barcha satrlarining birinchi к ta o‘rnida nollar turgan matritsaga aytiladi.
Masalan,
'3 4
1 2 2^
01201 0 0 3
4
5.
^0 0
0 0 0,
Kanonik matritsa deb uning bosh diagonal elementlarining dastlabki bir nechtasi birlar
qolgan elementlari nollardan iborat matritsaga aytiladi. Masalan,
^1 0
0
10
0
v0
0 0 0л
0
0
0
1 0
0.
0
0 0 0,
Matritsa rangi
n x m o„lchamli A = (aiK) matritsa berilgan to`lib, p matritsaning satrlari soni n va ustunlari
soni m larning kichigidan katta bo„lmagan son bo„lsin. Matritsaning ixtiyoriy p ta satrini va
ixtiyoriy p ta ustunini o„chiramiz. O„chirilgan elementlar p- tartibli kvadratik matritsani tashkil
etadi va unga o„z navbatida p-tartibli determinant yoki minorni mos qo„yish mumkin.
A matritsning rangi deb, noldan farqli matritsaosti minorlarining eng katta tartibiga
aytiladi va rang(A) ko„rinishida ifodalanadi.
(1
1-masala. A
-2 ^
- 2 4 matritsa rangini aniqlang?
3 -7
Berilgan matritsa 3 x 2 o„lchamli bo„lgani uchun satrlari va ustun-lari sonini taqqoslaymiz
va kichigi 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi tartibli minorlar ajratamiz va ularning kattaligini
M1 =
1
-2
-2
- 2
0, M2 =
4
-7
= -1 Ф0.
hisoblaymiz. Jarayonni noldan farqli ikkinchi-tartibli minor ajralmaguncha davom etamiz:
Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi.Demak,
ta'rifga binoan, A matritsa rangi 2 gateng.
2-masala. B
(1
V- 2
1
-2
-2 3 ^
matritsa rangini aniqlang?
4 -6 У
-2
4
= 0,
1
3
-2 - 6
= 0,
-2
4
3
= 0.
-6
B matritsadan ajralishi mumkin bo„lgan eng yuqori - ikkinchi tartibli har qanday minor
nolga teng:
Demak, matritsa rangi ikkiga teng bo„la olmaydi. V matritsa nolmas matritsa
bo„lgani uchun uning rangi 1 ga teng.
r
3-masala. C =
-11 - 2 ^ 2 - 3
4
matritsa rangini aniqlang?
V-1 0
- 2V
C matritsa uchinchi tartibli kvadratik matritsa. Undan yagona eng yuqori 3-tartibli M1
minor ajraladi. M1 minor kattaligini hisoblaymiz:
-1
Mi = 2
-1
1
-2
-3
4
0
-2
bo„la olmaydi.
= 0. M 1= 0 bo„lgani uchun, C matritsa rangi 3 gateng
-11
= 1Ф 0 bo„lgani uchun, rang(C) = 2.
2 -3
Matritsa rangi uning ustida quyidagi elementar almashtirishlar bajarganda
o„zgarmaydi.
1. Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa ko„paytirganda;
2. Matritsa satrlari (ustunlari) o„rinlari almashtirilganda;
3. Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos
elementlarini biror songa ko„paytirib, so„ngra qo„shganda;
4. Matritsa transponirlanganda.
Matritsa rangini aniqlashning ta'rif asosida biz yuqorida masalalarda ko„rgan «minorlar
ajratib hisoblash» usuli va nollar yig„ib hisoblashga asoslangan«Gauss algoritmi» usullari
mavjud.
Matritsa rangi «Gauss algoritmi» yoki nollar yig„ish usuli asosida quyidagicha
aniqlanadi: dastlabki ko„rinishdagi matritsa yuqorida sanab o„tilgan elementar almashtirishlar
yordamida «trapetsiyasimon matritsa» ko„rinishiga keltiriladi. Trapetsiyasimon matritsa deb,
bosh diagonaldan yuqorida yoki quyida joylashgan har bir elementi nolga teng bo„lgan
matritsaga aytiladi. Trapetsiyasimon matritsaning
rangi yoki xuddi shuning o„zi dastlabki matritsaning rangi trapetsiyasimon matritsaning noldan
farqli bosh diagonal elementlari soniga teng.
Masala. A =
f1-2
1 3^
31
0 7
v23
-1 4 ,
matritsaning rangini nollar yig„ish usulida
aniqlang?
Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar bajaramiz va
uning ko„rinishini trapetsiyasimon ko„rinishga keltiramiz:
-3 - 2
-3 - 2,
13^
f1 -2
~0
7
-3 - 2
о
0 7
-1 4 ,
л
1 3
о
31
v23
f1 -2
~0
7
7
1°
о
л
1 3
о
f1-2
Trapetsiyasimon matritsa bosh diagonal elementlaridan ikkitasi noldan farqli bo„lgani
uchun uning rangi va shu bilan birga berilgan matritsarangi ikkiga teng.
1.3. Teskari matritsa .
n - tartibli kvadratik A = (aiK) matritsa berilgan bo„lsin. Agar A matritsa determinant noldan farq
qilib, uning rangi tartibi n ga teng bo„lsa, matritsaga maxsusmas matritsa deyiladi. Agarda
det(A) = 0 to`lib, rangi n dan kichik bo„lsa, A matritsaga maxsus matritsa deyiladi.
Teorema.Ikki teng tartibli kvadrat matritsalarning ko„paytmasi, ko„paytuvchi
matritsalarning har biri maxsusmas bo„lgandagina, maxsusmas matritsadan iborat bo„ladi.
To‘g‘ridan-to‘g‘ri ko„paytirish yo„li bilan n - tartibli birlik E va n -tartibli har qanday A
matritsalarning o„zaro o„rin almashinuvchi ekanligini, ko„paytma A matritsani berishini, ya'ni
A-E = E-A = A tengliklar o„rinli bo„lishini misollarda tekshirib ko„rish qiyin emas.
Berilgan A kvadratik matritsaning teskari matritsasi deb, tartibi A matritsaning tartibiga teng
va A matritsaga chapdan yoki o„ngdan ko„paytmasi birlik E matritsaga teng bo„lgan A -1
matritsaga aytiladi: A-1-A = A-A-1 = E.
Yuqoridagi teoremaga asosan E birlik matritsaning maxsusmas ekanligini e'tiborga olsak,
maxsus matritsaning teskari matritsaga ega emasligini xulosa qilamiz. Har qanday maxsusmas
kvadrat matritsaning yagona teskari matritsasi mavjudligi quyidagi teoremadan kelib chiqadi.
Teorema.Teskari matritsa mavjud bo„lishi uchun det(A) Ф 0 to`lib, A matritsaning
maxsusmas bo„lishi zarur va yetarli.
Berilgan maxsusmas kvadrat matritsaning teskari matritsasini qurishning «klassik» va
Jordan usullari mavjud.
Berilgan A = (aiK) kvadratik matritsa har bir elementini o„zining ad'yunkti bilan
almashtirib, so„ngra hosil bo„lgan matritsani transponirlasak, quyidagi A matritsa elementlari
mos ad'yunktlari matritsasining transponirlangan matritsasi A v ni hosil qilamiz:
A
A
A
v
=
A
A
21.
••
A
12
A
22 • ••
A
n2
1n
A
2n.
••
A
nnу
v
A
A ^
n1
ii
Av matritsaga A matritsaning qo„shma matritsasi deyiladi. n-
tartibli determinantning xossalariga asosan:
^a11
a
a
a
21
V an1
12
.
•• 1n
a
(A A11
A
21 •
•• a2n
A
12
A
n2 •
•• ann у
v A1n
A
a
22 •
• An1A > •
22 •
• • An2
2n •
• • Ann у
' detA
0
detA •
0
=
v0
0
•0^
•0
• detA y
Tenglikni ixcham shaklda A-Av = det A-E ko„rinishda yozish mumkin. Tenglamaning
ikkala tomonini noldan farqli detA ga bo„lsak,
A—1—A v= E.
detA
Ikkinchi tomondan teskari matritsa ta'rifiga binoan A-A-1 = E. Tenglamalarni solishtirib, A
kvadratik maxsusmas matritsaning teskari matritsasi A -1 uchun quyidagi formulani olamiz:
A -1 =—1—A v
detA
Oxirgi formula A maxsusmas matritsaning teskarisini qurish klassik usul formulasi
deyiladi. Umuman olganda, klassik usulda teskari matritsa qurish jarayoni quyidagi ketma- ket
bajariladigan qadamlarni o„z ichiga oladi:
1. Berilgan A kvadrat matritsa determinant kattaligi hisoblanadi. Agar detA Ф 0 bo„lsa,
keyingi qadamga o„tiladi. Agarda detA = 0 bo„lsa, A matritsa maxsus va teskari matritsa mavjud
emas;
2. A = (aiK) matritsa elementlarining mos ad'yunklari hisoblanadi va tartib
saqlangan holda, matritsa elementlari mos ad'yunktlari matritsasi (A iK) tuziladi;
3. (AiK) matritsa transponirlanadi va A matritsa elementlari mos ad'yunklari
matritsasining transponirlangan matritsasi yoki shuning o„zi qo„shma A v = (AKi) matritsasi
tuziladi;
4.
quriladi.
Av = (AKi) matritsa har bir elementi detA ga
boTinadi va A-1 teskari matritsa
Masala. A
quring.
Klassik usulda ikkinchi tartibli maxsusmas matritsa teskarisi
V1
1 (A
11
detA V A12
maxsusmas matritsaning teskari matritsasini klassik usulda
formula asosida quriladi. Formulani qo„llab,
a
11
V a21
A
A21
A
a
12
a22
22у
Demak, berilgan A matritsaning teskarisi A 1 =
о
To
i
о
natijani olamiz. Teskari matritsa to„g„ri qurilganini ta'rif asosida tekshirib ko„ramiz:
0,4л
(10^
1 _ (3 - 4 ^ ( (20,2
4л
( 0,2 0,4^
=E
-1
12A = 01
v у 10 v-,-1 0,1
v у
3
, 0,3 ,
( 0,2 0,4^
v- 0,1 0,3 ,
Berilgan A kvadratik matritsa teskarisi A-1 Jordan usuli asosida quyidagicha quriladi: A
matritsaga o„ngdan tartibi uning tartibiga teng birlik E matritsa qo„shiladi va kengaytirilgan (A |
E) matritsa tuziladi. Parallel ravishda kengaytirilgan matritsaning chap va o„ng qismlari satrlari
ustida elementar almashtirishlar bajarilib, chap qism birlik matritsa ko„rinishiga keltiriladi.
Kengaytirilgan matritsaning chap qismi birlik E matritsa ko„rinishiga keltirilganda uning o„ng
qismida teskari A-1
matritsa hosil bo„ladi. Teskari matritsa qurish Jordan usuli algoritmi quyidagi sxema
shaklida ifodalanishi mumkin: (A | E) ~ (E | A-1).
f
4
1>
f
-1 4
1
1 1 ~ 1
2
-1
-1 3
3J
V
0
0 11
1r 5 2 11^ 0 10
-1
1 3 2 0 1 10
Masala. A =
matritsaning teskarisini Jordan usuli yordamida
quramiz.
f
5
1
2
3
0
4
1 11
0
2 10
4 10
1
0
0 5
"
0 ~ 1
2
3
1 11
0
2 |0
1
1
1
1 10
0
J
0
V
(
1
1
-1
V
1
0 0 14
1 0 |0
0 1 10
16
_9
16
13
16J
\ f
0 5
0 ~ 1
1
0
4J V
1 1
0 0 | 4 -4
10
I -15
1
4 4
0 1 | 1 _5
4 4
1 1>
4 16
1
1
2
-1 3
3J
-
1 0 11
1 0 |0
1 1 10
1>
0 4
1
1
2
0 1
4J
Oxirgi ko„rinishdagi kengaytirilgan matritsa o„ng qismida teskari matritsa shakli hosil
bo„ldi. Teskari matritsa to„g„ri qurilganini ta'rif asosida tekshirib ko„rish mumkin.
Teskari matritsa quyidagi xossalariga ega:
II.BOB. Matritsaviy normalar
2.1 .Matritsalarda vektor normalari
V2 fazoda berilgan ikkita a va b vektorlarning skalyar ko„paytmasi
(a,()=|a| ■ |(| ■ cos(a?b)
(2.1.1)
formula orqali aniqlanadi.
cos (a?b)
= (a’b}
vJ
mb
(2.1.2)
v
’
topiladi.Bunda (a. b) belgi a va b vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.
Haqiqiy sonlar maydon ustida aniqlangan V unitar fazoga Evklid fazosi deyiladi.
Evklid fazoni E orqali belgilaylik.
Bu ta’rifga ko„ra biror V fazo Evklid fazosi bo„lishi uchun uning elementlari ustida quyidagi
shartlar bajarilishi lozim.
1) (*,y) = ( y , x ) , ( E x , y E V )
2) ( x , y + z ) = ( x , y ) + ( x , z ) (E x,y~z £ V);
3) (Ях,у) = X ( x , y ) ( E x , y £ V, EX e R ) ;
4)
(x, x ) > 0 (E x, £ V,) (E xeV, x Ф 0), (x,x) = 0)(x, £ V, x = 0);
1-4 aksiomalar ( x , y ) skalyar ko„paytmaning har bir tashkil etuvchilariga ko„ra chiziqli
ekanligini bildiradi.
Ta’rif. V(a a ) miqdor (aeV) vektorning normasi (uzunligi) deyiladi va ||aH orqli
belglanadi.
Ta’rif. Agar ||a|| = 1 bo„lsa,a normallangan vektor deyiladi.
Agar a, b-Evklid fazosining ixtiyoriy vektorlari va X £ R uchun vektorning normasi quyidagi
xossalarga ega:
10INI > 0 (IHI = 0 <-> а = О);
20НЯйН = |я| ■ ИаН;
3°(а,Ь) < ||аИ ■ \\b\\ (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi)
4°\\а + Ь\\< ||аИ + \\b\\(uchburchak tengsizligi)
(2.1.3)
Evklid fazosining har biri normallangan аьа2 ,а3,.. ,.ап,
ortogonal vektorlar sistemsiga ortonormallangan vektorlar sistemasi deyiladi.
Ta’rif. Agar (2.1.3) sistema bazis tashkil etsa, unga Evklid fazosining ortonormallangan
bazisi deyiladi.
Misol. ( ^
^2 ,)=0, ( ^ ёз,)=0, ( ё, £3 ,)=0 ; J\ =
1, \\ё2J\ = 1, \\ёзJ\
=
1 ,bo„ladi.
Demak ё1(ё2<ё3<sistema E fazoning bazisi ekan.
Chekli o„lchovli Evklid fazosining istalgan bazisini ortonormallash mumkin.
Isboti. a, a2 , a3,.... an vektorlar sistemasi n o„lchovli Fn Evklid fazoning bazisi bo„lsin.Bizga
ma’lumki a-L, a2, a 3 ,.. an bazisni hamma vaqt ortogonallash mumkin.
Ortogonal bazisdagi har bir vektorni o„z normasiga to`lib,quyidagi sistemani hosil qilamiz:
Я1Я2
Яз
Я-^
11
‘'ййй
й
kn fazo Evklid fazosi bo„lgani uchun 6 = va ё= vektorlar
uchun
.
( 1 , agar i = j bo'lsa
( 6* 6* )={
v l }J
’ (0,agar i Фj bo'lsa
tenglik bajariladi.Demak (2.1.4) sistema ortonormallangan sistema ekan.
(2.1.4)
Misol.
=2
Matritsaviy normalarning tadbiqlari
10INI > 0 (IHI = 0 <-> а 2.3
= О);
Teskari matritsani hisoblashdagi xatolik va chiziqli tenglamalar sistemasini yechish
Matritsaviy va vektor normalarining tatbiqlari sifatda teskari matritsani hisoblashda yuz
beradigan xatoliklarini baholash muhim ahamiyatga ega.Biz ana shu masalani qarab chiqamiz.
A eMn xosmas matritsa bo‘lsin.Ya’ni det (A)№0
Printsip bo„yicha A matritsaning teskari matritsasini topish mumkin.Ammo hisoblash sonlarda
kompyuterda bajarilgani uchun bunda sonlarni yaxlitlashda ma’lum bir xatoliklar yuzaga
keladi.Bundan tashqari hisoblash yetarli darajada aniqlikda bajarilganda ham A matritsa
elementlari biror eksprement natijasi yoki oldinda hisoblangan xatolikka yo„l qo„yilgan natija
bo„lishi mumkin.
Yaxlitlangan va noaniq boshlang„ich qiymatlar topilgan teskari matritsaga qanday ta’sir
qiladi.
Ko„p hollarda yaxlitlangan xatoliklar algoritmining effektida quyidagi holat ro„y
beradi.
A xosmas matritsa bo„lsin. Biz unga A-1 teskari matritsani hisoblaymiz.Ammo haqiqatda
biz (A + E)
teskarisini hisoblaymiz bu yerda EОМиbo„lgan
og„ish.Agar og„ish yetarli darajada kichik bo„lsa (A + E )teskarilanuvchan bo„ladi.
U holda xatolik quyidagiga teng bo„ladi.
A -1 - (A + E)`1 = A -1 - (1 + A - E ) 1A -1
Agar p (A 'lE) < 1 bo„lsa A+E teskarilanuvchi bo„ladi.
(1 + A ' l E ) ni A ' l E ning darajali qatorlar ko„rinishida tasvirlaymiz.
Bu bizga quyidagi yoyilmani beradi.
Shunday qilib xatolikning aniq formulasiga ega bo„lamiz.
A(A
k E ) - ' = ( A ' ) - е (- ' ) ( A - ' E ) A - ' = е
((A
+ E)-'
= (A
' ) - е (к=
к =1
(- +'( A - ' E )A (2.3.1)
к= 1
к=
1
1
Agar p ( A - 'E) < 1
+ '(A-'E)A
1)‘(A- ' E ) k A - 1 =
A-'е
Agar || matritsaviy norma bo„lsin.Quyidagi
||A_1E|| < 1 bo„lsa
(2.3.1) fomula
(J (- 1)k + '(A - ' E ) A -1
к =1
к
J A -A
A - —
1
A -1E
l
A-1
1- A - E
o„rinli bo„ladi.
U holda
A -1 - ( A + E )-1
Teskari matritsani hisoblashni amalga oshirish jarayonida yuqoridan nisbiy baholashga
erish
amiz.
|A-1 - (A+ E)-1 L
||A-1
A-'Щ
^ 1 - A11 El
Agar
Agar ||A 'E| < 1 bo„lsa
To„ldiruvchi E matritsani yetarli darajada shunday kichik hisoblaymizki, ||E|| <n-^n bo„ladi.
A
Bundan quyidagi tengsizlikka kelamiz. p (A ^ E ) <||A_1E|| <||A||E <1 va quyidagi hisoblashni
olamiz.
10INI > 0 (IHI = 0 <->
О);B)-'L IIMII14
I A-а -=(A+
-1
Ml
„
.
,4
Bu miqdor x( A) = ^
IIMII All q 4 01A)
-I Mil 4`1 -IИИAll 014 01A)'
01 Ail-lAII,det
A * 0l
11
|ro,detA = 0
\
I
matrltsaviy normaga nisbatan A matrltsaning shaklllanganllk soni deylladl. Har
qanday matrltsaviy norma uchun quyldagl xossa 0‘rlnll.
x( A)=| A-HI A A A-‘ A = 1101=1
Agar ||4-||AЦ<1 shart bajarllsa.
Yuqorldagl belgllashdan foydalanlb oxlrgl baholashni quyldagl ko„rlnshda yozamlz
A- 1 -(A +
E)
iMT
X( A)
„
-
1 -x ( A)(|| 4
All)
И
/1 I
A
II
(2.3.2)
Bu tengslzllkda teskarl matrltsanlng nlsbly xatosl berllgan matrltsa xatoslga nisbatan
baholanadl.
4| klchlk qlymatlarlda (2.3.2) nlng o„ng tomonl x (A) = ||E||/||A|| ifodaga ekvlvalent.
Shunday qlllb,teskarl matrltsanl hlsoblagandagl nisbiy xato boshlang„lch qlymatlardagl
nisbiy xato bllan nisbiy darajaga ega bo„ladl.Agarda x( A) miqdor katta
bo„lsa A matrltsa yomon shartlangan deylladl (||-|| matrltsaviy normaga nisbatan)
Agar klchlk bo„lsa( yanl blrga yaqln bo„lsa ) u holda A matritsa,berilgan matrltsaly
normaga nlsbatan yaxshl shartlangan deylladl.
Agar x ( A ) = 1 bo„lsa berllgan matrltsaviy normaga nisbatan ideal shakllangan
deylladl.
Misol.
Agar biz spektral normani qaraydigan bo„lsak uning shakllanganlik soni quyidagi formula
bilan aniqlanadi.
X(
A) = p( A)p( A-') = |Л„ (A)/ Л„„ ( A)\
X( A) shartlanganlik soni matritsa normasiga bog„liq.
Ammo har xil normalarda shartlanganlik sonining quyidagi manodagi ekvivalentligiga
kelamiz.
Xa
A~
p
X
p
U holda shunday musbat Cm , C M o„zgarmaslar topiladiki quyidagi tengsizlikni qanotlantirsin.
C m Xa ( A)<X p( A)< C Xa (A)
M
ixtiyoriy A e M n matritsalar uchun.
Spektral normaga nisbtan ixtiyoriy U matritsa ideal shakllangan bo„ladi. X(U ) = 1 Ammo L,
normaga nisbatan har bir unitar matritsaning X (U ) shakllangan
soniga teng.Yomon shakllangan matritsalar sifatida biz Gilbert matritsasini qarashimiz
mumkin.
e Mn quyidagi elementlari bilan
Bu matritsa spektral normaga nisbatan quyidagi yomon shakllangan natijalarni hosil qilamiz.
Misol, x(H,)U 5-103,x{H„)a 1,5-103,^(//8)D 1,5-103
Xulosa
Ma’lumki matritsa tushunchasi ulug„ ingliz matematiklari A.Kelli,U.Gamilton nomlari
bilan
bog„liq.Matritsalar
iqtisodiy
masalalarda
texnikaviy
masalalarda
juda
keng
qo„llaniladi.Ushbu Kursishida matritsalar va ular ustida amallar matritsaning iqtisodiy
masalalarga tatbiqlari o„rganildi.Matritsaviy normalari va ularning xossalari o„rganildi.Bu
o`rganilgan materiallar asosida matritsaviy vektor normalarining tatbiqi sifatida teskari
matritsaning baholashda yuzga keladigan xatoliklar baholandi.
Adabiyotlar.
1. Белман Р. В. Ведение теории матриц. - M. , Наука, 1976.
2. Гельфонт И. М. Чизиыли алгебрадан лекциялар. -T. Олий ва щрта мактаб. 1964
3. Гантмахер Р. Теории матриц.- M.: Наука, 1967. - 576 с.
4. Груйич
Л.Т.,
Мартинюк
А.А.,
Риббенс
-
Павелла
M.
Устойчивость
крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях.- Киев.:
Наука. думка, 1984. - 307 с.
5. Демидович Б.П. Лекции по математическое теории устойчивости. -M.: Наука, 1967. 472 с
6. Iskandarov D., Mullajonova J. Kvadratik formalaming ishoralari. Respublika ilmiy-amaliy
anjumani materiallari. - Andijon 2011. 67-68 betlar.
7. Курош А. Г. Олий алгебра курси. Т. «Укитувчи» 1976
8. Кострикин А.И., Сборнык задач по алгебре. М., «Наука», 1986
9. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1982. -277с.
10. Миладжанов В. Г., Муллажонов Р.В. Об одном методе анализа устойчивости
линейных крупномасштабных систем. // Узбекский журнал Проблемы механики. Ташкент, 2009. - № 2-3. -С. 28-30.
11.
Миладжонов В.Г., Муллажонов Р.И., Абдугаппорова СН.Н., Транспонирланган ва
симметрик матрицалар. -Андижон, илмий хабарнома 2009- №1
12.
Хожиев Ж.Х., Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси. Т. `Узбекистон`
2001.
13. Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. Москва. Мир. 1989
2 -3
0
n - tartibli qiya simmetrik matritsaning turli elementlari soni ko‘pi bilan
n2- n +1 formula yordamida topiladi, bunda n - natural son.