O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA
TA‘LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA
INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA FAKULTETI
“MATEMATIKA VA INFORMATIKA”
TA’LIM YO’NALISHI
K U R S I SH I
Mavzu: Binar algebraik amallar turlari
xossalari. Yarim guruppalar
BAJARDI: MI 201-guruh
talabasi: Egamberganova Muhayyo
ILMIY RAXBAR: MI kafedrasi
o‘qituvchisi: Erdonov B
TERMIZ – 2022
Mundarija
Kirish.
Asosiy qism
I Bob Algebraik amal. Binar algebraik amallarni turlari
§ l.l. Algebraik amal tushunchasi.
§ 1.2. Neytral va simmetrik elementlar.
§ 1.3. Algebralar gomomorfizmi va izomorfizmi.
II Bob Gruppalar nazariyasiga kirish
§ 2.1. Guruppa tushunchasi.
§ 2.2. Yarim gruppa, monoid va gruppalar.
Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.
Kirish.
Tŏplam va uning ustida aniqlangan algebraik amallar hozirgi zamon algebrasining asosiy
tushunchalari deb hisoblanadilar. Shuning uchun algebraik amallarni ŏrganish va ularni
xossalarini aniqlash masalalari dolzarb hisoblanadi. Ushbu ma’ruzadagi tŏplamlar
sifatida bŏshmas tŏplamlar qaraladi. Algebraik sistemalar uchun ham tur, gomorfizm va
izomorfizm kabi tushunchalarni tabiiy ravishda kiritish mumkin. Demak turli tabiatdagi
algebraik sistemalarga yagona nuqtai nazaradan qarash maksadga muvofiqdir. Algebralar
va algebraik sistemalarni tadqiq qilish osonlashtirishda izomorfizm tushunchasi katta rol
ŏynaydi beradi. Izomorfizm nafaqat asosiy tŏplam tuzilishini, balki algebraik xossalarni
strukturasini ŏzgartirmaydi. Izomorf bŏlgan algebraik sistemalarni algebraik xossalarini
strukturasi bir xil bŏlgani uchun, ularni tashkil qilgan elementlar tabiatiga e’tibor
bermasdan yagona nuqtai nazardan qaralishi mumkin. Bu esa abstrakt algebrani yutug’i
deb hisoblanadi va algebrani zamonaviy matematikaning tiliga aylanishiga asosiy sabab
bŏldi. Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni seleksiya
qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim muassasalariga qamrab
olish ishlarini to‘g‘ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi. Bolalar uchun mazkur fandan
oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik va o‘quv qo‘llanmalari yaratish,
matematik ongni, kerak bo‘lsa, bog‘chadan boshlab shakllantirish vazifasi qo‘yildi.
- Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng
tafakkurli bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi, - dedi Prezident.
Har bir tuman markazida bittadan matematika faniga ixtisoslashgan maktab tashkil qilib,
ularda ishlaydigan o‘qituvchilarga qo‘shimcha ustama haqlar to‘lash bo‘yicha ko‘rsatma
berildi.
Yangi konlar topish uchun yer qa’rining yanada chuqurroq qatlamlarini geologik
o‘rganish, murakkab tarkibli konlarni o‘zlashtirish bo‘yicha sohaga ilmiy asoslangan
ilg‘or usullar va innovasion texnologiyalarni keng joriy etish maqsadida Toshkentda
Geologiya fanlari universiteti tashkil etilmoqda.
Yosh tadqiqotchilarni qo‘llab-quvvatlash va doktorantura tizimining natijadorligini
rag‘batlantirish muhimligi ta’kidlandi.
Dissertasiyasini muddatidan avval himoya qilgan doktorantlar va ularning ilmiy
rahbarlari yoki maslahatchilarini munosib rag‘batlantirish maqsadida tejalgan
mablag‘larni to‘liq to‘lab berish amaliyotini joriy qilish taklifi bildirildi.
Soʻnggi yillarda mamlakatimizda oliy ta’lim sifatini oshirishga qaratilgan bir qancha
chora-tadbirlar amalga oshirilmoqda. O`zbekiston Resbublikasi Prezidentining 2019-yil
9-iyulda “ Matematika ta’limi va fanlarni yanada rivojlantirishni davlat tomonidan
qo`llab-quvvatlash, shuningdek, O`zbekiston Respublikasi fanlar akademiyasining
V.I.Romanovskiy nomidagi instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari
to`g`risida “ gi qarorni imzoladi.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoevning: “Biz ta’lim va tarbiya
tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida
takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz” [1] deb
aytgan gaplarining negizida uzluksiz ta’limning yagona tizimini vujudga keltirish, ta’lim
berish samaradorligini va yoshlarni mustaqil hayotga tayyorlashni tubdan yaxshilashga
yanada chuqurroq ahamiyat berish g‘oyalari yotadi. O`zbekiston Respublikasi Prezidenti
“ Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish
chora-tadbirlari to`g`risida”gi qarori imzolandi. Mamlakatimizda matematia 2020-yildagi
ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo`nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O`tgan davr
ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan
qator tizimli ishlar amalga oshirildi:
birinchidan, ilg`or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematika
olimlarning taklif qilinishi va xalqaro imiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shartsharoit yaratildi;
ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g`olib bo`lgan yoshlarimiz va ularning
murabbiy ustozlari mehnatini rag`batlantirish tizimi joriy etildi;
uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarni ta’minlash maqsadida talabalar
shaharchasida
Fanlar
akademiyasining
V.I.Romanovskiy
nomidagi
Matematika
institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi.
to`rtinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muommolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim
va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash
maqsadida O`zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisligida Fan va texnologiyalar
bo`yicha respublika kengashi barpo etildi.
Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o`qitish tizimini yanada
takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo`llab quvvatlash, ilmiy-tadqiqot
ishlarining ko`lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro hamjamiyat
bilan aloqalarni mustahkamlash.
Kurs ishining obyekti. Oliy ta lim muassasalarida Binar algebraik amallar
turlari, xossalari. Yarim guruppalar o'qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Oliy ta'lim muassasalarida Binar algebraik amallar
turlari, xossalari. Yarim guruppalari nazariy va amaliy bilimlamni o'rgatish usullari
va vositalari.
Kurs ishining maqsadi. Oliy ta' lim muassasalarida Binar algebraik amallar
turlari, xossalari. Yarim guruppalar mavzulari yuzasidan masalalar yechish
metodikasini ishlab chiqish.
Kurs ishining vazifalari. Oliy ta'lim muassasalarida uchun DTS, taqvim
rejasi, mavzuga oid mavjud adabiyotlar, internet ma"lumotlarini to’plash va tahlil
qilish;
" Binar algebraik amallar turlari, xossalari. Yarim guruppalari " mavzusida
masalalar ishlashning muammolarini, fanda tutgan o'mi va ahamiyatini o'rganib
chiqish;
Oliy ta'lim muassasalarida yugori tartibli Algebra solar nazariyasi Binar
algebraik amallar
turlari, xossalari. Yarim guruppalari mavzusining asosiy
tushunchalarini tahlil qilish, innovation texnologiyalardan foydalangan holda
mavzuni o’qitish metodikasini ishlab chiqish.
Algebra sonlarnazariyasi fani yuzasidan tajriba o'tkazish, uning natijalarini
tahlil qilish va tegishli xulosalar chiqarish.
Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi kirish, asosiy qism, 2 ta bob 5 ta paragraf,
xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro'yxatidan iborat.
Asosiy qism
§ l.l. Algebraik amal tushunchasi.
Ta’rif. X tŏplam berilgan bŏlsin. f : Xn  X funktsiyaga X dagi algebraik amal deyiladi.
Ŏzgaruvchilar soniga qarab algebraik amal bir ŏrinli yoki unar (bitta ŏzgaruvchi
qatnashsa), ikki ŏrinli yoki binar (ikkita ŏzgaruvchi qatnashsa), uch
ŏrinli yoki ternar (uch ŏzgaruvchi qatnashsa), va umumiy holda n - ŏrinli yoki n-ar (n-ta
ŏzga-ruvchi qatnashsa) deyiladi.
Nol’ ŏrinli yoki nular algebraik amal sifatida X tŏplamning istalgan elementini alohida
olish amali tushuniladi.
Binar algebraik amalning turlari . Algebra fanida kŏpincha binar amallar qaraladi,
shuning uchun ushbu hol jiddiyroq tahlil qilinishi lozim.
Ushbu holda x = (x , u )  X 2 uchun f(x , u ) belgilash ŏrniga x f u belgilash qabul
qilingan (f belgini ŏrniga ixtiyoriy maxsus belgi ishlatilishi mumkin, masalan ,, , ,
,, ,,,, , , , ).
Misollar.
a) xaqiqiy sonlar tŏplamida qŏshish “” amali, kŏpaytirish “” amali, ayirish “” amali;
b) f : X  X , g : X  X funktsiyalar uchun h(x)=g( f(x)) xX tenglik bilan aniqlangan g f : X  X kompozitsiyani mos qŏyadigan akslantirish;
v) Mulohazalar algebrasida aniqlangan  va  amallar;
g) Barcha tŏplamlar orasida aniqlangan  va  amallar
binar algebraik amallarga misol sifatida qaralishi mumkin.
Bitta tŏplamning ŏzida bir nechta algebraik amallar aniqlangan bŏlishi mumkin.
Faraz qilaylik, X tŏplamda  binar amal berilgan bŏlsin.
Ta’rif.  binar algebraik amal kommutativ deyiladi, agar
ixtiyoriy x X va u X uchun x  u = u  x tenglik bajarilsa.
Masalan, xaqiqiy sonlar tŏplamida qŏshish va kŏpaytirish amallari kommu-tativ bŏladi,
ayirish amali esa nokommutativ amaldir.
Ta’rif.  binar algebraik amal assotsiativ deyiladi, agar
ixtiyoriy x,y,z X uchun x  (u  z) = ( x  u )  z tenglik bajarilsa.
Masalan, xaqiqiy sonlar tŏplamida qŏshish va kŏpaytirish amallari assotsiativ bŏladi,
ayirish amali esa noassotsiativ amal bŏladi.
Faraz qilaylik, X tŏplamda ikkita ,  binar amallar berilgan bŏlsin.
Ta’rif.  amal  amalga nisbatan distributiv deyiladi, agar
ixtiyoriy x,y,z X uchun x  (u  z) = ( x  u )  (x  z) , (u  z) x = ( u  x
)  (z  x) tenglik-lar bajarilsa.
Masalan, xaqiqiy sonlar tŏplamida kŏpaytirish amali qŏshish amaliga nisbatan distributiv
bŏladi.
§ 1.2. Neytral va simmetrik elementlar.
Ta’rif. e X element  amalga nisbatan chap (ŏng) neytral deyiladi, agar
ixtiyoriy x X uchun e  x = x (xe = x) tenglik bajarilsa.
Ta’rif. e X element  amalga nisbatan neytral deyiladi, agar u ham chap, ham ŏng
neytral element bŏlsa, ya’ni ixtiyoriy x X uchun e  x = xe = x tengliklar bajarilsa.
a) 0 – xaqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan qŏshish amaliga nisbatan neytral element;
b) 1 - xaqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan qŏpaytirish amaliga nisbatan neytral element;
v) Bŏsh tŏplam tŏplamlar birlashmasiga nisbatan neytral element;
g) e(x)=x x  X tenglik bilan aniqlangan e : X  X ayniy funktsiya
f : X  X funktsiyalar tŏplamida aniqlangan kompozitsiya amaliga nisbatan neytral
element.
1-teorema. Agar neytral element mavjud bŏlsa, u yagonadir.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz , ya’ni e va e’ – turli neytral elementlar bŏlsin. U
holda e’= e’  e = e. Bu esa farazimizga zid. Demak, e neytral element yagonadir.
Natija. Agar neytral element mavjud bŏlsa, u holda barcha chap va ung neytral
elementlar u bilan ustma-ust tushadi.
Ta’rif. X tŏplamda aniqlangan  amalga nisbatan neytral e X mavjud
bŏlsin. x’ X element x X ga chap (ŏng ) simmetrik deyiladi, agar x’  x = e
(x x’ = e )tenglik bajarilsa.
Ta’rif. X tŏplamda aniqlangan  amalga nisbatan neytral e X element mavjud
bŏlsin. x’ X element x X ga simmetrik deyiladi, agar u x X ga ham chap ham ŏng
simmetrik element bŏlsa, ya’ni x’ x=x x’ = e tenglik bajarilsa.
2-teorema. X tŏplamda aniqlangan  assotsiativ amalga nisbatan neytral
e X mavjud bŏlsin. Agar x X uchun x’ X simmetrik element mavjud bŏlsa, u
yagonadir.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz , ya’ni x’ X va x” X elementlar x X uchun turli
simmetrik elementlar bŏlsin, ya’ni x’ x=x x’ = e va x” x=x x” = e.
U holda assotsiativlik xossasidan x’= x’  e = x’  ( x x”)=(x’  x) x” =
= e x” = x”, ya’ni x’= x”tenglik kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid.
Demak, x’ simmetrik element yagonadir.
Xulosa. Binar algebraik amallar xossalarini bayon etishda qŏyidagi usullar qullanilishi
maqsadga muvofiqdir.
a) Binar algebraik amalni kŏpaytirish amali deb nomlash va x,y X uchun
x  u ŏrniga xu yozish. Bundan tashqari “neytral element” sŏz birikmasi ŏrniga “birlik
element” sŏz birikmasini , “simmetrik element” sŏz birikmasi ŏrniga esa“teskari
element” sŏzini ishlatish. Birlik element va x ga teskari element mos ravishda 1 va x 1
orqali belgilanadi. Tabiiyki, amallarning xossalari kŏrinishi ham mos ravishda
ŏzgaradi.
Masalan, ushbu holda assotsiativlik xossasi x (uz) = (x u )z kŏrinishga ega.
Ushbu holda algebraik xossalar mul’tiplikativ tilda bayon etilgan deyiladi
(“multiplication” – inglizcha «kŏpaytirish» sŏzini anglatadi) .
b) Binar algebraik amalni qŏshish amali deb nomlash va x,y X uchun x  u ŏrniga x+
u yozish, bundan tashqari “neytral element” sŏz birikmasi ŏrniga “nol element“ sŏz
birikmasini, “simmetrik element” sŏz birikmasi ŏrniga esa“qarama-qarshi element” sŏz
birikmasini ishlatish. Nol’ element va x ga qarama-qarshi element mos ravishda 0 va (x) orqali belgilanadi. Tabiiyki, bu holda amallar-ning xossalari umumiy kŏrinishi ham
mos ravishda ŏzgaradi. Masalan, assotsiativlik xossasi kŏyidagicha yoziladi: x +(u+z) =
(x+u)+z.
Shu holda algebraik xossalar additiv tilda bayon etilgan deyiladi (“addition” – inglizcha
«kŏshish» sŏzini anglatadi) .
§ 1.3. Algebralar gomomorfizmi va izomorfizmi.
1.3.1-Ta’rif. (X, ), (X’ , ’) bir xil turli algebralar berilgan bŏlsin.
Agar ixtiyoriy rangi r ga teng bŏlgan f  amal va (x1 ,x2 , …, xr )  X r uchun rangi r ga
teng bŏlgan f’ ’ amal va  : X  X’ akslantirish mavjud bŏlib, ular uchun
( f (x1 ,x2 , …, xr )) = f’((x1), (x2) , …, (xr ) munosabatlar ŏrinli bŏlsa , u holda
(X, ), (X’ , ’) algebralar gomomorf ,  akslantirish esa berilgan algebralar gomomorfizmi deyiladi.
Ta’rifdan (X, ) dagi neytral va simmetrik elementlarini gomomorf obrazlari (agar
mavjud bŏlsa) (X’ , ’) dagi neytral va simmetrik elementlariga teng bŏlishi bevosita
kelib chiqadi.
1.3.2-Ta’rif. (X, ), (X’ , ’) gomomorf algebralar berilgan bŏlsin.
Agar  : X  X’ gomomorfizm biektsiya bŏlsa, u holda (X, ) va (X’ , ’)
algebralar izomorf ,  biektsiya esa berilgan algebralar izomorfizmi deyiladi.
Ravshanki, agar  : X  X’ - izomorfizm bŏlsa, u holda  -1 : X  X’ akslantirish ham
izomorfizm bŏladi.
(X, ), (X’ , ’) algebralar orasida izomorflik munosabatini biz (X, )  (X’ , ’) kabi
belgilaymiz.
Masalan, (R+ , ,1) (R ,+, 0) ekanligini kŏrsatish uchun  : R+  R sifatida (x) = ln x,
x R+ , funktsiyani olamiz, u holda x,y R+ uchun (xy) = ln(xy)= lnx+lny =(x )+
(y) ŏrinli bŏladi.
Biz isbotlagan biektiv funktsiyalar xossalaridan izomorflik munosabati ekvivalentlik
munosabati bŏlishi kelib chiqadi.
Masalan, n = 2 holda z = a + bi algebraik kŏrinishga ega bŏlsin. (1) tenglamani
echimini w= x + iy kŏrinishda izlaymiz.
1.3.1-tenglama x2-y2 = a ; 2xy = b sistemaga ekvivalentligini kŏrsatish mumkin.
Shu sistemani echib, talab qilingan ildizlar kŏrinishini topamiz:
w1,2 =
.
Agar daraja ikkidan kattarok bŏlsa, u holda (1) tenglamani xuddi n=2 holiga ŏhshatib
echish mumkin. Ammo ushbu usul yaxshi samara bermaydi. Shuning uchun ham biz
kompleks sonlarining xossalaridan fodalanib, (1) – tenglamani echimini topishda yahshi
samara beradigan usulni vujudga keltirishga kirishishimiz kerak. Ushbu ishda bizga
Muavr formulasi yordam beradi.
Biz z sonini z = r (cos + i sin) trigonometrik shaklida yozib w sonni
w =  (cos + i sin) trigonometrik shaklda izlaymiz.
Ushbu holda (1)- tenglikni
n (cos + i sin)n = r (cos + i sin) (2)
kŏrinishda yozsa bŏladi.
(cos + i sin)n = cos(n) + i sin(n) Muavr formulasidan foydalanib, (2) tenglamani
(n = r) (cos(n)= cos)  (sin(n)= sin)
tenglamalar sistemasiga keltiramiz:
Demak, (1) tenglama qŏyidagi echimlarga ega
wk =
(cos
+ i sin
), k Z (3)
(3) da k = 0,1,…, n-1 qabul qilamiz va (1) tenglamani mos bŏlgan n –ta echimini
ajratamiz.
Ushbu echimlar turliligi ularni argumentlarining turliligidan bevosita kelib chikadi.
Bundan tashkari trigonometrik funktsiyaning davriyligidan ws = wn+s tenglikni hosil
kilamiz, bu erda s – ixtiyoriy butun son.
Demak, natijada qŏyidagi teorema isbotlandi.
1.3.2-Teorema. Ixtieriy noldan farkli z = r (cos + i sin) kompleks sonini aksariyat n-ta
turli n-chi darajali ildizlari mavjud va ular
wk =
(cos
+ i sin
), k=0,1,…,n-1 (4)
formulalar yordamida topiladi.
Birning n-darajali ildizlarining tsiklik gruppasi.
Ma’lumki 1 = cos0 + i sin0 . U holda (4) dan birning n- darajali ildizlari
wk = (cos
+ i sin
), k=0,1,…,n-1 (5)
formula yordamida aniqlanadi.
1.3.3-Ta’rif. Biror elementning darajalaridan iborat bŏlgan gruppa tesiklik
gruppa deyiladi.
1.3.3-Teorema. Birning n- darajali ildizlari mul’tiplikativ tsiklik gruppani tashkil qiladi.
Isbot. Agar n =1 va  n =1 bŏlsa, u holda () n = n  n =1. Demak, birning n- darajali
ildizlarining kŏpaytmasi yana birning n- darajali ildizi bŏladi.
1 n =1 tenglikdan bir soni birlik element bŏladi. n =1 bŏlsa, (1/)n =1/n =1 tenglik
ŏrinli. Demak, birning n- darajali ildizining teskarisi ham birning n- darajali ildizi bŏladi.
Nihoyat, Muavr formulasidan
wk =(cos
+ i sin
) k = (w1 ) k, k=0,1,…,n-1,
formula kelib chiqadi. Demak birning n- darajali ildizlari mul’tiplikativ tsiklik gruppani
tashkil etadi.
II Bob. Gruppalar nazariyasiga kirish
2.1-§. Gruppa tushunchasi.
Sonlar to'plami va ularda aniqlangan qo'shish va ko'paytirish amallari algebraik
sistemalarga eng dastlabki misollar bo'la oladi. Masalan, natural, butun, rat- sional,
haqiqiy va kompleks sonlar to'plami qo'shish va ko'paytirish amallari bilan birgalikda
algebraik sistema tashkil qiladi. Lekin barcha sonlar to'plami ham ushbu amallarga
nisbatan algebraik sistema bo'lavermaydi, masalan manfiy sonlar to'plami ko'paytirish
amaliga nisbatan algebraik sistema emas, chunki ikkita manfiy sonning ko'paytmasi
musbat son bo'ladi. Shuningdek, irratsional sonlar to'plami qo'shish amaliga nisbatan
algebraik sistema bo'lmaydi, chunki ikkita irratsional sonning yig'indisi ratsional son
bo'lib qolishi mumkin. Haqiqiy sonlar ustidagi qo'shish va ko'paytirish amallari binar
amallar hisoblanib, gruppa tushunchasi ham biror to'plamda aniqlangan binar amal
yordamida kiritiladi. Umiman olganda algebraik amal deganda nafaqat binar amal, balki
n-ar amallar ham tushuniladi.
2.2-§. Binar amal, yarim gruppa, monoid va gruppalar
Bizga bo'sh bo'lmagan A to'plam va A x A dekart ko'paytma berilgan bo'lsin. A x A dekart
ko'paytmani A to'plamga o'tkazuvchi * : A x A ! A asklantirish berilgan bo'lsa, u holda A
to'plamda binar amal aniqlangan deyiladi. Ushbu (A, *) juftlikka esa algebraik sistema
yoki gruppoid deb ataladi. Odatda (a, b) elementning bu akslantirishdagi qiymati a * b,
a • b yoki ab kabi belgilanadi.
2.2.1-misol.
•
Bizga biror A to'plam berilgan bo'lib, ushbu to'plamdan olingan ixtiyoriy x
va y elementlar uchun x * y = x ko'rinishda aniqlangan * amali binar amal bo'ladi.
•
N natural sonlar to'plamida quyidagi amallar binar amal bo'ladi:
+, •, max, min, EKUB, EKUK,
ya'ni qo'shish, ko'paytirish, ikki sonning maksimumi, minimumi, eng katta umumiy
bo'luvchisi va eng kichik umumiy karralisi.
•
Z butun sonlar to'plamida qo'shish (+) va ko'paytirish (•) amallari binar
amal bo'ladi.
•
[a,b] kesmada uzluksiz bo'lgan barcha funksiyalar fazosi C[a,b] da ixtiyoriy
f,g 2 C[a,b] funksiyalar uchun (f о g)(x) = f (g(x)) kabi aniqlangan amal binar amal
bo'ladi.
2.2.1-ta'rif. Agar (S, *) algebraik sistemada ixtiyoriy a,b,c ϵ S elementlar uchun
assosiativlik xossasi, ya'ni
(a * b) * c = a * (b * c)
tenglik o'rinli bo'lsa, u holda (S, *) algebraik sistemaga yarim gruppa deyiladi.
2.2.2-misol.
•
•
(N, +), (N, •), (Z, •) algebraik sistemalar yarim gruppa bo'ladi.
A to'plamda olingan ixtiyoriy x, y elementlar uchun * amali x * y = x
ko'rinishda aniqlangan bo'lsa, (A, *) algebraik sistema yarim gruppa bo'ladi.
2.2.2-ta'rif. Agar (M, *) yarim gruppada shunday e 2 M element mavjud bo'lib, ixtiyoriy
a 2 M element uchun
e*a=a*e=a
tenglik bajarilsa, u holda (M, *) yarim gruppaga monoid deyiladi. Ushbu e ele- mentga
esa birlik element deb ataladi.
2.2.3-misol.
•
(Z, •), (N, •), (Z, +) algebraik sistemalar monoid tashkil qiladi.
•
(Mn(R), +) - elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo'lgan n-tartibli kvadrat
matritsalar to'plami, matritsalarni qo'shish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.
•
(Mn(R), •) - elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo'lgan n-tartibli kvadrat
matritsalar to'plami, matritsalarni ko'paytirish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.
Endi asosiy tushuncha hisoblangan gruppaning ta’rihni keltiramiz.
2.2.3-ta'rif. Agar (G, *) monoid berilgan bo'lib, ixtiyoriy a 2 G element uchun
a-1 *a = a * a-1 = e
tenglikni qanoatlantiruvchi a 1 2 G element mavjud bo'lsa, u holda (G, *) algebraik
sistemaga gruppa deyiladi. a 1 element esa a elementning teskari ele- menti deb ataladi.
Demak, gruppa bu biror to'plamda aniqlangan algebraik amalga nisbatan assosiativlik xossasi o'rinli bo'ladigan, birlik elementi mavjud bo'lib, ixtiyoriy ele- menti
teskarilanuvchi bo'ladigan algebraik sistema ekan.
Agar (G, *) gruppaning ixtiyoriy a, b 2 G elementlari uchun
a*b=b*a
tenglik o'rinli bo'lsa, u holda (G, *) gruppa kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi
deyiladi. Kommutativ bo'lmagan gruppa esa nokommutativ gruppa deyiladi.
2.2.4-misol.
•
•
(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo'ladi.
(Q \{0}, •), (R \{0}, •), (C \{0}, •) algebraik sistemalar kommutativ gruppa
bo'ladi.
•
(Mn(R), +) - elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo'lgan n-tartibli kvadrat
matritsalar to'plami, matritsalarni qo'shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil
qiladi.
•
(GLn(R), •) - elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo'lib, determinanti
noldan farqli bo'lgan n-tartibli matritsalar to'plami, matritsalarni ko'paytirish ama- liga
nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.
•
(SLn(R), •) - elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo'lib, determinanti 1 ga
teng bo'lgan n-tartibli matritsalar to'plami, matritsalarni ko'paytirish ama- liga nisbatan
nokommutativ gruppa tashkil qiladi.
Qiyudagi misolda X to'plamning barcha qism to'plamlaridan tuzilgan P(X) oilani
qarab, bu oila ikki to'plamning birlashmasi, kesishmasi va simmetrik ayirmasi kabi
amallarga nisbatan qanday algebraik sistema tashkil qilishini aniqlaymiz.
2.2.5-misol. Bo'sh bo'lmagan X to'plamning barcha qism to'plamlaridan tuzilgan P(X)
sistema uchun quyidagilar o'rinli bo'ladi:
•
P(X) to'plam birlashma U amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin
(P(X), U) gruppa emas. Haqiqatdan ham, birlashma amali binar amal bo'lib, ushbu
amal uchun assosiativlik xossasi o'rinli bo'ladi. Birlik element vazifasini e = 0 bajarsa,
bo'sh to'plamdan farqli bo'lgan ixtiyoriy to'plam teska- rilanuvchi emas. Shuning uchun
(P(X), U) monoid bo'lib, gruppa tashkil qilmaydi.
•
P(X) to'plam kesishma \ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P(X),
\) gruppa emas. Bu yerda ham aniqlangan amal binar amal bo'lishi va assosiativlikning
bajarilishi ravshan. Birlik element vazifasini e = X ba- jarsa, X dan farqli bo'lgan
ixtiyoriy to'plam teskarilanuvchi emas.
•
P(X) to'plam simmetrik ayirma A amaliga nisbatan kommutativ gruppa
tashkil qiladi. Chunki, simmetrik ayirmaga nisbatan birlik element e = 0 bo'lib, ixtiyoriy
A 2 P(X) elementning teskarisi o'ziga teng bo'ladi, ya'ni A-1 = A.
Bizga sonlar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy n natural son uchun Zn={0,1,... ,n - 1}
chegirmalar sinfini hosil qilish mumkin, hamda bu chegirmalar sinfida qo'shish va
ko'paytirish amallari aniqlanadi.
2.2.6-misol. Zn = {0,1,... ,n — 1g chegirmalar sinfi uchun quyidagilar o'rinli:
•
(Zn, +n) kommutativ gruppa tashkil qiladi.
•
(Zn, -n) monoid tashkil qiladi, lekin gruppa bo'lmaydi.
2.2.7-misol. (Zn, -n) monoidning barcha teskarilanuvchi elementlari to'plami
Un = {a 2 Zn \ {0g | (a, n) = 1g
ko'rinishida bo'lib, bu to'plam ko'paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya'ni
(Un, -n) kommutativ gruppa.
Endi gruppaning ba’zi sodda xossalarini o'z ichiga olgan qiyudagi tasdiqni keltiramiz.
2.2.1-tasdiq. Ixtiyoriy (G, *) gruppa uchun quyidagilar o'rinli:
1)
Gruppaning birlik elementi yagona.
2)
Ixtiyoriy a 2 G element uchun yagona teskari element mavjud.
3)
Ixtiyoriy a 2 G element uchun (a 1) 1 = a.
4)
Ixtiyoriy a,b 2 G elementlar uchun (a * b)-1 = b-1 * a-1.
Isbot. 1) Faraz qilaylik (G, *) gruppada ikkita e1 va e2 birlik elementlar mavjud
bo'lsin. U holda e1 * e2 ko'paytmani qarasak, e1 element birlik element bo'lganligi uchun
e1 * e2 = e2. Ikkinchi tomondan esa, e2 element birlik element bo'lganligi uchun e1 * e2 =
e1. Demak, e1 = e2.
2)
Faraz qilaylik a 2 G element uchun ikkita teskari element mavjud bo'lsin,
ya’ni shunday b,c 2 G elementlar mavjud bo'lib,
a * b = b * a = e, a * c = c * a = e
bo'lsin. Quyidagi tengliklardan b va c elementlarning tengligini hosil qilamiz:
b = b * e = b * (a * c) = (b * a) * c = e * c = c.
Demak, a elementga teskari element yagona.
3)
a 2 G elementning teskarisi a-1 bo'lganligi uchun
a * a-1 = a-1 * a = e.
Faraz qilaylik, b 2 G element a-1 ga teskari element bo'lsin. U holda
b * a-1 = a-1 * b = e.
Bu tengliklardan biz a va b elementlar a-1 ga teskari element ekanligini hosil qilamiz. 2)xossaga ko'ra ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona bo'lganligi uchun b = a
ekanligi kelib chiqadi. b element a-1 ning teskarisi ekanligidan (a-1 )-1 = a bo'ladi.
4)
Bizga a, b 2 G elementlar berilgan bo'lib, a-1 va b-1 elementlar ularning
teskari elementlari bo'lsin, ya’ni
a * a-1 = a-1 * a = e, b * b-1 = b-1 * b = e.
Quyidagi tengliklarni qaraymiz
(a * b) * (b-1 * a-1) = (a * (b * b-1)) * a-1 = (a * e) * a-1 = a * a-1 = e.
(b-1 * a-1) * (a * b) = (b-1 * (a-1 * a)) * b = (b-1 * e) * b = b-1 * b = e.
Ushbu tengliklardan a * b elementning teskarisi b-1 * a-1 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
(a * b)-1 = b-1 * a-1.
□
Endi gruppaning tartibi va gruppa elementi tartibi tushunchalarini kiritamiz.
2.2.4-ta’rif. Agar G gruppaning elementlari soni chekli bo'lsa, u holda G gruppa chekli
gruppa deyiladi. Chekli gruppaning elementlari soni uning tartibi deyiladi va |G| kabi
belgilanadi. Elementlari cheksiz ko'p bo'lgan gruppalar cheksiz gruppalar deyiladi.
Bizga (G, *) gruppa va uning a 2 G elementi berilgan bo'lsin. Ushbu element- ning
darajalarini quyidagicha aniqlaymiz:
a0 = e,
an = a" 1 * a, n > 1,
an = (a-1)-n, n < 0.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy k, s butun sonlar uchun ak *as = ak+s tenglik o'rinli. Agar
qandaydir k,s (k > s) butun sonlar uchun a k = as, tenglik o'rinli bo'lsa, u holda ak~s = e
munosabatga ega bo'lamiz.
2.2.5-ta'rif. G gruppaning a 2 G elementi uchun an = e shartni qanoatlantiruv- chi
natural sonlarning eng kichigiga berilgan elementning tartibi deb ataladi. Agar an = e
shartni qanoatlantiruvchi natural son mavjud bo'lmasa, u holda bu elementning tartibi
cheksizga teng deb ataladi. Berilgan a 2 G elementning tartibi ord(a) kabi belgilanadi.
2.2.9-misol. (Z6, +6) gruppani qarasak, bu gruppaning tartibi 6 ga teng, ya'ni \Z6\ = 6
hamda
ord(0) = 1, ord(1) = 6, ord(2) = 3, ord(3) = 2, ord(4) = 3, ord(5) = 6.
2.2.10-misol. M = {1,i, —1, —ig to'plam ko'paytirish amaliga nisbatan gruppa
tashkil qilib,
ord(1) = 1, ord(i) = 4, ord(—1) = 2, ord(—i) = 4.
Gruppada assosiativlik xossasi o'rinli bo'lganligi uchun, a1, a2,..., an element- larni
ko'paytirishda qavslarning qo'yilishi ahamiyatli emas, shuning uchun odatda chapdan
qo'yilgan qavslar ishlatilib, ko'paytma (... ((a1 * a2) * a3 ...) * an) kabi yoziladi.
Bundan tashqari gruppalar uchun quyidagi xossalar ham o'rinli bo'lib, biz ularni
isbotsiz keltirib o'tamiz.
2.2.2-tasdiq. (G, *) gruppadagi ixtiyoriy a, b, c 2 G elementlar uchun quyidagilar
o'rinli:
1)
a * x = b tenglama yagona yechimga ega bo'lib, x = a-1 * b bo'ladi.
2)
x * a = b tenglama yagona yechimga ega bo'lib, x = b * a-1 bo'ladi.
3)
a * b = a * c yoki b * a = c * a tenglikdan b = c kelib chiqadi.
4)
agar a2 = a bo'lsa, u holda a=e bo'ladi. ]
Quyidagi teoremada gruppaning elementi tartibi bilan bo'g'liq bo'lgan asosiy xossalarni
keltiramiz.
2.2.1-teorema. Aytaylik, G gruppaning a 2 G elementi uchun ord(a) = n bo'lsin, u holda
quyidagilar o'rinli:
1) Agar qandaydir m natural son uchun am = e bo'lsa, u holda m soni n ga bo'linadi.
2) Ixtiyoriy t natural son uchun ord(at) = n/EKUB(t,n).
Isbot. 1) Aytaylik, m = qn + r bo'lsin, bu yerda 0 < r < n. U holda
ar = am-qn = am * a-qn = am * (an)-q = e.
Berilgan elementning tartibi n ga teng bo'lganligi uchun n soni an = e shartni
qanoatlantiruvchi eng kichik natural son. ar = 0 va 0 < r < n ekanligidan esa, r = 0 kelib
chiqadi, ya’ni m soni n ga qoldiqsiz bo'linadi.
2) Aytaylik, ord(at) = k bo'lsin, u holda atk = (at)k = e. Demak, tk soni n ga bo'linadi,
ya’ni tk = nr. Agar EKUB(t,n) = d bo'lsa, u holda t = du,n = dv, EKUB(u,v) = 1 bo'lib, tk
= nr ekanligidan duk = dvr tenglikka, bundan esa uk = vr munosabatga ega bo'lamiz. Bu
esa, uk soni v soniga bo'linishini anglatadi. Bundan esa, EKUB(u,v) = 1 ekanligini
hisobga olsak, k soni v = n soniga bo'linishi kelib chiqadi.
Endi (a1)d elementni qaraymiz:
(at )n/d = ant/d= a ndu/d = a nu= e.
Bu tenglikdan, ord(a^) = k ekanligini hisobga olgan holda, n soni k ga bo'linishini
keltirib chiqaramiz. Demak, k = Щ, ya’ni ord(at) = EKUB(t n).
Yuqoridagi teoremaning isbotidan osongina ko'rish mumkinki, agar a elementning
tartibi n ga teng bo'lsa, u holda
□
e, a, a2,... an-1
elementlar turli bo'lib, ixtiyoriy m butun son uchun am element ulardan biriga teng
bo'ladi.
2.2.11-misol. G = (—1; 1) intervaldan iborat bo'lgan to'plamning a * b = amalga
nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
a+b
Yechish. Dastlab ushbu amal haqiqatdan ham binar amal bo'lishini tekshi- ramiz,
ya’ni a, b 2 G ekanligidan a * b 2 G kelib chiqishini ko'rsatamiz. Buning uchun a2 < 1+ab
1, b2
< 1 ekanligidan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz:
(1 — a2)(1 — b2) > 0,
1 — a2 — b2 + a2b2 > 0,
a2 + b2 < 1+ a2b2,
a2 + 2ab + b2 < 1 + 2ab + a2b2
(a + b)2 < (1 + ab)2,
a+b
1 + ab <1
Demak, haqiqatdan ham a * b G bo'ladi. Quyidagi
tengliklardan assosiativlik xossasining o'rinli ekanligi kelib chiqadi. Ushbu algebraik
sistemada birlik element vasifasini e = 0 bajarib, ixtiyoriy a 2 G elementning teskarisi
esa —a bo'ladi. Demak, (G, *) gruppa bo'ladi.
2.2.12-misol. Tartibi juft songa teng bo'lgan gruppada a2 = e shartni qanoat- lantiruvchi
a = e element mavjud ekanligini ko'rsating.
Yechish. Bizga G gruppa beringan bo'lib, |G| = 2n bo'lsin. Ma’lumki, agar qandaydir
a 2 G element uchun a-1 = a bo'lsa, u holda a2 = e bo'ladi.
A = {g 2 G | g-1 = gg to'plamni qaraymiz. Ma’lumki, e 2 A bo'lib, A to'plamda yotuvchi
biror elementning teskarisi ham shu to'plamda yotadi. Demak, A to'plamning
elementlari soni juft son bo'lib, A = G. Bundan esa, A to'plamda yotmaydigan birlik
elementdan farqli, a 2 G element mavjudligi kelib chiqadi, ya’ni a = e, a-1 = a. Demak, a2
= e.
□
Xulosa.
Xulosa o’rnida Toshkentdagi Talabalar shaharchasidagi Matematika institutining yangi
binosiga tashrifida ushbu fanni eski uslubini tanqid qilib, matematikada raqobat muhitini
yaratish maqsadini qo‘ydi. Endilikda Matematika instituti bolalar bog‘chalari, maktablar
va OTMlarda matematikani o‘qitishni muvofiqlashtiradi.
Davlat rahbari joriy yil 31 may kuni olimlar bilan uchrashuvda matematik ongni
bog‘chadan boshlab shakllantirish zarurligini ta’kidlagan edi. Shundan kelib chiqib,
Matematika institutida maktabgacha ta’lim, maktablar va oliy o‘quv yurtlaridagi
darslarni muvofiqlashtiradigan tizim yo‘lga qo‘yilmoqda.
Shu boradagi taqdimot bilan tanishar ekan, prezident “matematika o‘qituvchilarining
bilim va malakasi bo‘yicha har bir tuman kesimida tahlil bormi? Moddiy va tashkiliy
jihatdan yana nimalar qilishimiz kerak?” deya savollar qo‘ydi.
“Kechagi dars berish uslubi bilan matematikani jadal rivojlantirib bo‘lmaydi. Shu bois
avval amalda yaxshi natija bergan xorijiy metodika asosida ta’lim dasturlari
yaratib,o‘qituvchilarni qayta tayyorlash zarur. Metodika shunday bo‘lishi kerakki,
u bolalarda matematikaga muhabbat uyg‘otsin. Buning uchun o‘quvchilar bu fan
hayotda, har bir sohada o‘ziga kerakligini anglashi zarur. Yoshlar imtihondan o‘tish
uchun emas, bilimli mutaxassis bo‘lish uchun o‘qishi lozim”, — deb ta’kidladi davlat
rahbari.
Oxirgi besh-o‘n yilda matematika yo‘nalishi bo‘yicha universitetlarni bitirgan yoshlarni
topib, xohishiga qarab qayta tayyorlab, maktablarga, fan nomzodlarini esa oliy ta’lim
muassasalariga ishga jalb etish muhimligi ta’kidlandi. Matematika kafedra mudirlarini
saylash tartibini joriy qilish, kafedra mudirlari kengashi tuzib, doimiy tajriba
almashinuvni yo‘lga qo‘yish bo‘yicha ko‘rsatma berildi.
Foydalanilgan adabiyotlar
O‘zbekiston Respublikasi “ Ta’lim to’g’risida ”gi qonuni. Toshkent 23.09.2020-yil.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh. Mirziyoevning "Xalq ta’limi tizimidagi
maktabdan tashqari ta’lim samaradorligini tubdan oshirish chora-tadbirlari to‘g‘risida"gi
qarori. Toshkent shahri, 2019 yil 30 sentyabr.
Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга
қурамиз. -Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.
Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт
тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. -Т.: Ўзбекистон, 2017.
Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда
барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.
Jumayev M.E., Tadjiyeva Z.G’. “Yuqori sinflarda matematikadan fakultativ darslarni
tashkil etish metodikasi” Toshkent, “TDPU” 2005 yil
Jumayev M.E. Bolalarda matematik tushunchlarni rivojlantirish nazariyasi va netodikasi
(KHK uchun) Toshkent, “Ilm-Ziyo” 2005 yil
Jumayev M.E. Yuqori matematika nazariyasi va netodikasi (KHK uchun) Toshkent,
“Arnoprint” 2005 yil
Toshmurodov B. “Yuqori sinflarda matematika o’qitishni takomillashtirish ” Toshkent
“O’qituvchi”, 2000 yil
Jumayev M. E. “Matematika o’qitish metodikasidan praktikum” Toshkent “O’qituvchi”
2004 yil
Omonov B. “Qiziqarli matematika” Toshkent “O’qituvchi”, 1994 yil
Mavlonova R. A. Raxmonqulova N.X. “Yuqori ta’lining integratsiyalashgan
pedagogikasi” Toshkent “Ilm ziyo”, 2009 yil.
Yo’ldoshev J. G’. Usmonov S. A. “Pedagogik texnologiya asoslari” Toshkent
“O’qituvchi”, 2004 yil
Jo’rayev R. Zunnunov A. “Ta’lim jarayonida o’quv fanlarini integratsiyalash” Toshkent
“Sharq”, 2005 yil
Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. “Yuqori sinflarda matematika o’qitish metodikasidan
amaliy mashg’ulotlar” Jizzax, 2006 yil
Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. “Yuqori sinflarda matematika darslarida didaktik
o’yinlar” Jizzax, 2007 yil
Ibragimov X. I. va boshqalar “Pedagogik- psixologiya” Toshkent “O’zbekiston
faylasuflar milliy jamiyati nashriyoti”, 2009 yil
Xalq ta’limi jurnali 2005 yil 5-6-son
Yuqori ta’lim jurnali 2006 yil 4-son
Yuqori ta’lim jurnali 2009 yil 10-son