KULIAH 1
Fungsi Periodik dan Rerata Fungsi
A. Pendahuluan
Enam perkuliahan pertama membahas deret Fourier. Perkuliahan pertama tentang fungsi
periodik dan penentuan nilai rerata fungsi pada suatu interval. Kedua topik ini merupakan
konsep dasar penting untuk menentukan nilai koefisien deret Fourier. Oleh karena itu di akhir
perkuliahan pertama, Saudara diharapkan mampu
 menentukan periode dari fungsi periodik, menggambar sket fungsi periodik, dan
menuliskan persamaan fungsi periodik berdasarkan sket/grafik.
 menentukan nilai rata-rata suatu fungsi pada interval tertentu
Agar mudah mengikuti perkuliahan ini, Saudara memiliki pemahaman tentang fungsi,
grafik fungsi, dan integral. Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan
ini dari buku-buku teks kalkulus.
B. Fungsi Periodik
Deret Fourier adalah deret tak hingga dari fungsi sin dan cos atau eksponensial dari fungsi
periodik. Deret Fourier diperlukan karena beberapa alasan antara lain, banyak permasalahan
fisika seperti gelombang bunyi, radio, cahaya, arus listrik a-c, dan sebagainya terdiri dari
gabungan berbagai frekuensi dan memiliki bentuk sin atau cos; fungsi periodik lebih tepat bila
dikembangkan dalam deret dari fungsi yang periodik (sin dan cos merupakan fungsi yang
periodik); deret pangkat tidak menampung fungsi yang diskontinyu dan fungsi yang tidak
dapat didiferensialkan.
Bentuk umum dari deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi periodik dengan periode 2l
adalah

1
n
n
f  x   a0   an cos
x  bn sin
x
2
l
l
n1
sedangkan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks adalah

f x  
c e
i
n
x
l
n
n  -
dengan an ,bn ,cn disebut sebagai koefisien Fourier.
Untuk menentukan koefisien Fourier, fungsi periodik dan rerata fungsi pada suatu interval
harus dikuasai dengan baik. Fungsi periodik didefinisikan sebagai berikut
Fungsi f (x) disebut fungsi periodik jika f ( x  p )  f ( x) untuk setiap x; dengan p adalah
periode fungsi f (x) .
Contoh:
 sin x memiliki periode 2  , 4 , 6  , …. karena sin  x  2   sin x ; sin x  4  sin x ;
sin x  6  sin x , dan seterisnya (lihat grafik y  sin x di bawah). Periode sin x adalah
2  karena 2  adalah nilai periode yang terkecil.
 sinx  2n   sin x
Deret Fourier
Fisika Matematika II
1







cos x memilki periode 2  , 4 , 6  , …. karena cos x  2   cos x ; cos x  4   cos x ;
cos x  6  cos x ; dan seterusnya (lihat grafik y  cos x di halaman berikutnya).
Periode cos x adalah 2  karena 2  adalah
nilai periode terkecil.
cos x  2n  cos x
2
n
sin x + sin 2 x memiliki periode 2  . Periode dari fungsi hasil penjumlahan fungsi-fungsi
yang periodik adalah periode yang terbesar di antara fungsi-fungsi yang dijumlahkan.
sin 2 x memiliki periode 1 karena sin 2  x  1  sin 2 x

x
x
 x

sin memiliki 2l karena sin  x  2l   sin  2   sin
l
l
l
 l

nx
2l
n 
2l 
nx
 nx

cos
memiliki periode
karena cos  x    cos
 2   cos
l
n
l 
n
l
 l

sin nx atau cos nx memiliki periode
e
i
n x
l
memiliki periode
i
2l
karena e
n
n  x  2 l 


l 
n 
e
i
nx
l
periode

periode

Pada umumnya, fungsi periodik diberikan pada satu periode dan dituliskan sebagai
0,    x  0
f ( x)  
 1, 0  x  
Fungsi periodik ini memiliki periode 2 . Sket grafik f (x) ditunjukkan oleh gambar di
bawah.
1
-3
Deret Fourier
-2
-
0

Fisika Matematika II
2
3
2
Soal – soal 1.1
Tentukan apakah fungsi berikut periodik dan jika ya tentukan periodenya (periode terkecil
atau disebut juga sebagai.periode fundamental).

n x
2 n x
1. sin 5 x  cos 2 x
2.  cos
3. sin
 cos nx 4. sin nx  cos nx
l
k
n 1
2 n x
2 n x
5. sin
6. 3 cos 5t
7. 2 sin 4t  1
 cos
k
k
8. 0.5 cos( t  8)
9. 5 sin t   
10. 2 sin 3t cos 3t


11. 3 sin 2t  8   3 sin 2t  8 
12. sin  t  sin 2 t  sin 3 t
13. cos 2 t  cos 4 t  cos 6 t
14. Jika f (x) dan g (x) adalah fungsi periodik dengan periode p maka tunjukkan bahwa
h( x )  a f ( x)  b g ( x) juga periodik dengan periode p.
 x
15. Jika f (x) adalah fungsi periodik dengan periode p maka tunjukkan bahwa f   dan
a
g (bx) dengan a dan b konstanta (tidak sama dengan nol) juga periodik dengan masingp
masing periode ap dan .
b
Gambarkan grafik fungsi periodik berikut (fungsi diberikan pada satu periode)
 1,    x  
  x  0
0,
2
16. f ( x)  
17. f ( x)  

 x 
sin x, 0  x  
 1,
2
 0,  x  0
 0,  x    2


18. f ( x)  1, 0  x  
19. f ( x)  2k ,   2  x  
2
2
 


0, 2  x  
 0, 2  x  
0,  12  x  0
 x / 2, 0  x  2
20. f ( x)  
21. f ( x)  
1
2 x3
1,
 x, 0  x  2
22. f ( x)  x 2 ,  1  x  1
 2x, 0  x  3
24. f ( x )  
 0,  3  x  0
22. f ( x)  x, 0  x  2
  x,  4  x  0
23. f ( x)  
 x, 0  x  4
 2  x, 0  x  4
25. f ( x )  
 x  6, 4  x  8
Tuliskan persamaan fungsi dari sket grafik fungsi periodik berikut ini
26.
27.
1
- -/2 0 /2
Deret Fourier

-
28.
a
0


Fisika Matematika II
-
0

3
29.
30.
31.


/2
- -/2 0 /2

32.
0
-
-

33.
0

34.


/2
- -/2 0 /2

0
-

0
-

-
35.
36.
37.
Vo
2
0
2
0


0
2

2
C. Nilai Rerata Fungsi
Rerata dari satu set bilangan diperoleh dengan menjumlahkannya dan membagi dengan
banyak bilangan. Dengan cara yang sama maka rerata fungsi f (x) pada interval (a, b) (lihat
f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )
Gambar 1.1) adalah f ( x) 
.
n
f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )
f ( x) 
n
y
y = f(x)
x1=a
x2
x3
xn=b
x
Figure 1.1
Deret Fourier
Fisika Matematika II
4
Jika jarak antar xn dan x n 1 adalah sama yakni x, maka rerata f (x) pada interval (a, b)
menjadi
n
f ( x) 
 f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( x n )x 
 f ( x ) x
i
i 1
dengan nx = b – a
nx
nx
Jika n  dan x0 maka  sehingga diperoleh rerata fungsi f (x) pada interval (a, b)
b
 f ( x) dx
f ( x) 
a
(1.1)
ba
Untuk fungsi periodik, biasanya rerata f (x) ditentukan pada interval periodenya. Pada kasus
tertentu, rerata fungsi periodik ada yang bernilai nol, misalnya rerata sin x atau cos x pada
interval periodenya (–, ) atau (0, 2). Berikut adalah contoh-contoh cara menentukan rerata
suatu fungsi
1. Rerata sin 2 x dan cos 2 x pada interval satu periode
Rerata sin 2 x pada satu periode yakni pada interval   ,  
π
π

1
1 1  cos 2 x
1
2 1
2
=
=
sin
x
dx
dx =
( x  12 sin 2 x)




4 2
2π  π
2π π
2
4
Rerata cos 2 x pada satu periode yakni pada interval   ,  
1
2

2
 cos x dx =

1
2




1  cos 2 x
1
2 1
=
dx =
( x  12 sin 2 x)


4 2
2
4
Cara lain yang juga mudah adalah dengan menggunakan fakta bahwa luas daerah di bawah
kurva sin 2 x dan cos 2 x untuk seperempat periode adalah sama.
sin2 x
cos2x
0



2
2
 sin x dx   cos x dx atau

0
2


2
2
 sin nx dx   cos nx dx untuk n  0.




Karena sin 2 nx  cos 2 nx  1 maka  sin 2 nx  cos2 nx dx 


2
 dx  2
sehingga


2
2
2
2
 sin nx dx   cos nx dx   . Jadi rerata sin x dan cos x pada satu periode adalah

1
2


2
 sin nx dx =

Deret Fourier
1
2

cos

2
nx dx =
1
2
Fisika Matematika II
(1.2)
5
b. Menentukan rerata sin mx cos nx pada satu periode
Cara 1: Menggunakan hubungan trigonometri 2 sin 12 (C  D) cos 12 (C  D)  sin C  sin D
1
2

1
4
 sin mx cos nx dx =


 sin( m  n) x  sin( m  n) x dx


1  1
1

cos(m  n) x 
cos(m  n) x 

4  m  n
mn

=

= 0 karena cos(k )  cos k
Cara 2: Menggunakan formula Euler yakni sin kx 

 e
ikx
1
2

dx 

(1.3a)
eikx  e ikx
eikx  eikx
; cos kx 
; dan
2i
2
1 ik
(e  e ik )  0 karena eik  e ik  cos k sebab sin k = 0
ik
1
2
 sin mx cos nx dx =

1
2
=0
=

eimx  e imx einx  e inx
 2i . 2 dx


ei ( m  n ) x  ei ( m  n ) x  e  i ( m  n ) x  e  i ( m  n ) x
dx

4i

(1.3b)
Dengan cara yang sama, maka dapat diperoleh hasil sebagai berikut
1
2

 sin mx cos nx dx  0

0, m  n

 sin mx sin nx dx   12 , m  n  0
 0, m  n  0

0, m  n
1 

cos mx cos nx dx   12 , m  n  0

2 
 1, m  n  0

1
2

(1.4)
Soal-soal 1.2
1. Buktikan bahwa

1
2
 sin mx dx  0 dan

2
1
2

 cos mx dx  0

2
2. Buktikan bahwa
1
1
sin mx dx  0 dan
cos mx dx  0

2 0
2 0
3. Buktikan bahwa
1
m
1
m
sin
x dx  0 dan
cos
x dx  0


2l l
l
2l l
l
l
Deret Fourier
l
Fisika Matematika II
6
0, m  n

sin mx sin nx dx   12 , m  n  0
 0, m  n  0

0, m  n
1 

cos mx cos nx dx   12 , m  n  0

2 
 1, m  n  0

0, m  n
l
1
m
n

sin
x sin
x dx   12 , m  n  0

2l l
l
l
 0, m  n  0

0, m  n

1
m
n

cos
x cos
x dx   12 , m  n  0
2l 
l
l
 1, m  n  0

 0,m  n
2l
1
m
n

cos
x cos x dx   12 ,m  n  0
2l 0
l
l
 1,m  n  0


1
4. Buktikan bahwa
2
5. Buktikan bahwa
6. Buktikan bahwa
7. Buktikan bahwa
8. Buktikan bahwa
2l
9. Buktikan bahwa
1
m
n
sin
x cos x dx  0

2l 0
l
l
l
1
m
n
10. Buktikan bahwa
sin
x cos
x dx  0

2l l
l
l
2l
11. Buktikan bahwa
1
m
n
sin
x cos x dx  0

2l 0
l
l

m0
 0,
l
m
n

12. Buktikan bahwa  sin
x cos
x dx   0,
m, n genap atau m, n ganjil
l
l
0
 l 2m
 m 2  n 2 , m genap, n ganjil atau sebaliknya

Tentukan rerata fungsi berikut pada interval yang dicantumkan di belakangnya
13. sin x  2 sin 2 x  3 sin 3 x ; (0, 2)
14. 1  e  x ; (0, 1)
15. sin x ; (0, )
16. cos 2 12 x ; (0, /2)
18. sin 2 x ; ( 6 , 76 )
17. cos x ; (0, 3)
20. x  cos 2 6 x ; (0, /6)
21. sin x + sin2 x; (0, 2)
3
2
23. x  3 sinh 2 x  sin x  cos 3x at  5, 5
24. 2 sin 2 3 x  4 cos x  5 x cosh 2 x  x cos 2 x at   ,  
b
19. sin 2 3 x ; (0, 4)
22. cos2 7x/2; (0, 8/7)
b
1
(b  a ) jika k(b – a) kelipatan 
2
a
a
Gunakan no 25 untuk menentukan integral berikut:
4 / 3
3 / 2
11 / 4
2
 3x 
x
 x 
26. a.  sin 2   dx
b.  cos2   dx
27. a.  cos2 x dx b.  sin 2   dx
 3
 2
2
0
 / 2
1/ 4
1
25. Buktikan bahwa
Deret Fourier
2
2
 sin kx dx   cos kx dx 
Fisika Matematika II
7
2 / 
28. a.
 sin
0
2
2
t dt
b.  cos2 2t dt
0
29. Simpangan partikel yang bergerak harmonik sederhana terhadap posisi setimbang
memiliki bentuk y  A sin  t atau y  A sin( t   ) bergantung pada pemilihan syarat
awal. Tunjukkan bahwa rerata energi kinetik partikel yang bermassa m (pada satu periode)
sama untuk kedua formula di atas. Tentukan rerata energi kinetik untuk y  A sin( t   )
dengan dua cara: (a) pemilihan batas integral sehingga pengubahan variabel dapat
menyederhanakan integral ke dalam bentuk sin  t ; (b) menderetkan sin( t   ) dengan
penjumlahan trigonometri.
Deret Fourier
Fisika Matematika II
8
KULIAH 2
Deret Fourier Bentuk Sin – Cos
A. Pendahukuan
Pada perkuliahan kedua ini, Saudara akan mempelajari deret Fourier bentuk sin – cos dari
fungsi periodik dengan periode 2l dengan l adalah bilangan real. Saudara akan mempelajari
bagaimana menentukan koefisien Fourier a0 , an , bn dan setelah menemukan nilainya
kemudian mensubstitusikannya ke dalam bentuk umum deret Fourier, maka Saudara akan
mendapatkan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi tersebut. Oleh karena itu, di akhir
perkuliahan kedua ini Saudara diharapkan mampu menentukan deret Fourier bentuk sin – cos
dari fungsi periodik dengan periode sembarang.
Untuk memudahkan proses perkuliahan kedua ini, Saudara diharapkan menyiapkan
keterampilan dasar tentang integral fungsi sin atau cos dan integral sin atau cos dikalikan
dengan fungsi x. Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan ini dari
buku-buku teks kalkulus.
B. Deret Fourier Bentuk Sin – Cos
Fungsi periodik f (x) dengan periode 2l dapat dideretkan ke dalam deret Fourier bentuk
sin – cos yang memiliki bentuk umum sebagai berikut

a
n
n
f  x   0   an cos
x  bn sin
x
(2.1)
2 n 1
l
l
an dan bn disebut sebagai koefisien Fourier.
Menentukan a0
Rerata fungsi pada sisi kiri dan setiap fungsi pada sisi kanan persamaan (2.1) pada satu
periode dalam interval  l , l  adalah
l
l
l
l
/
1
1
1

1

1
n
f  x dx   12 a0 dx   a1 cos x dx  ...   b1 sin x dx  ...   bn sin x dx  ... (2.2)
2l l
2l l
2l l
l
2l l
l
2l l
l
Berdasarkan persamaan (1.3a) dan (1.3b) pada KULIAH 1, maka dapat diperoleh bahwa
seluruh suku pada sisi kanan persamaan (2.2) sama dengan nol kecuali suku pertama sehingga
diperoleh
l
a0 
1
f(x)dx
l l
(2.3)
Menentukan a1

Setiap suku pada persamaan (2.1) dikalikan dengan cos x kemudian ditentukan nilai
l
reratanya pada interval  l , l 
l
l
l
l
1

1

1

1

n
f  x  cos x dx   12 a0 cos x dx   a1 cos 2 x dx  ...   an cos x cos x dx  ...
2l l
l
2l l
l
2l l
l
2l l
l
l
l

l
1


1
n

b1 sin x cos x dx  ...   bn sin x cos xdx  ... (2.4)

2l l
l
l
2l l
l
l
Berdasarkan persamaan (1.4) pada KULIAH 1, maka seluruh suku pada sisi kanan persamaan
(2.4) sama dengan nol kecuali suku pertama sehingga dapat diperoleh
l
a1 
1

f  x  cos x dx

l l
l
Deret Fourier
(2.5)
Fisika Matematika II
9
Menentukan an
Seluruh suku pada kedua sisi persamaan (2.1) dikalikan dengan cos
n
x kemudian
l
ditentukan nilai reratanya pada interval  l , l 
l
l
l
l
1
n
1
n
1

n
1
n
f x  cos
x dx   12 a0 cos x dx   a1 cos x cos x dx   an cos 2
xdx

2l l
l
2l l
l
2l l
l
l
2l l
l
l

l
1

n
1
n
n
b1 sin x cos x dx  ...   bn sin x cos xdx  ...
2l l
l
l
2l l
l
l
(2.6)
Berdasarkan persamaan (1.4) pada KULIAH 1, maka dapat ditentukan maka seluruh suku
pada sisi kanan persamaan (2.6) sama dengan nol kecuali suku yang mengandung cos kuadrat
sehingga dapat diperoleh
l
1
n
an   f  x  cos
x dx
l l
l
(2.7)
Menentukan bn
Seluruh suku pada kedua sisi persamaan (2.1) dikalikan dengan sin
n
x kemudian
l
ditentukan nilai reratanya pada interval  l , l 
l
l
l
l

1
n
1 1
n
1
m
n
1
m
n


f
x
sin
x
dx

a
sin
x
dx

am cos
x sin
xdx   bm sin
x sin
x dx

2
0



2l l
l
2l l
l
l
l
2l l
l
l
m 1 2l l
(2.8)
Berdasarkan persamaan (1.4) pada KULIAH 1, maka dapat ditentukan maka seluruh suku
pada sisi kanan persamaan (2.8) sama dengan nol kecuali suku ketika m = n sehingga dapat
diperoleh
l
bn 
1
n
f  x  sin
x dx
l l
l
(2.9)
Dengan demikian dapat dirangkum bahwa
Deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi periodik dengan periode 2l adalah

a
n
n
f  x   0   an cos
x  bn sin
x
2 n 1
l
l
l
dengan an 
l
1
n
1
n
f  x  cos
x dx and bn   f  x  sin
x dx

l l
l
l l
l
0 ,    x  0
Contoh 1, tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari f  x   
 1, 0  x  
Fungsi ini memiliki periode 2  , sehingga l  
Menentukan a0
a0 
π
0

 
1
1
f(x)dx

0
dx

dx    1




π π
 
0
 
Deret Fourier
Fisika Matematika II
10
Grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 2.1
1
–3
–2
0
–
2

3
Gambar 2.1
Menentukan a n
an 
π
0
π

1
1
f(x)
cos
nx
dx

0
.
cos
nx
dx

1. cos nx dx



π π
π  π
0

an 
π
π
1
cos nx dx  1 . 1 sin nx  0 ,n  0

π n
π0
0
a n = 0 kecuali n = 0 karena telah ditentukan sebelumnya bahwa a 0 = 1
Menentukan bn
bn 
π
0
π

1
1
f(x)
sin
nx
dx

0
.
sin
nx
dx

1.sin nx dx 



π π
π  π
0

bn 
π
0 , n  even
1
1   cos nx  π
1
 1n  1 atau bn   2 , n  odd
sin nx dx  



π0
π  n 0
nπ
 n


Dengan demikian deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi tersebut adalah
1 2  sin nx
1 2 sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x

f x   
atau f x    



 ...

2 π n 1,odd n
2 π 1
3
5
7

Sket/grafik deret Fourier ini dapat dilihat pada Gambar 2.2
.
-6
-4
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
2
4
6
-6
-4
-2
2 suku
2
4
6
3 suku
1
1
0.8
0.8
-6
-4
-2
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
2
4
6
-6
-4
-2
2
4
6
4 suku
501 suku
Gambar 2.2 Grafik n suku pertama dari deret Fourier
Deret Fourier
Fisika Matematika II
11
1,    x  0
Contoh 2, tentukan deret Fourier sin – cos dari g  x   
0 , 0  x  
Periode fungsi adalah 2  , maka l  
Menentukan a 0
π
1
a0   f  x dx 
π π
0

 
1
  dx   0dx   1
  
0
 
Menentukan a n
π
0
π

1
1


f
x
cos
nx
dx

cos
nx
dx

0 dx




π π
π π
0

0
0
1
an   cos nx dx  1 . 1 sin nx
 0 ,n  0
π n
π 

an 
an  0 keculai n  0 karena a 0 = 1
Menentukan bn
π
0
π

1
1
bn   f  x  sin nx dx    1. sin nx dx   0. sin nx dx 
π π
π π
0

0
1
1   cos nx  0
1
n
bn   sin nx dx  

1   1
π
π  n   
nπ



 0, n  genap
bn   2
 n , n  ganjil
Deret Fourier sin – cos dari fungsi tersebut adalah
1 2  sin nx
g x    
2 π n 1,odd n
 1,    x  0
Contoh 3, tentukan deret Fourier sin – cos dari h x   
 1, 0  x  
Menentukan a 0
π
a0 
1
f  x dx 
π π
0


1
  dx   dx  0
  
0

Menentukan a n
π
0
π

1
1


f
x
cos
nx
dx


cos
nx
dx

cos nx dx




π π
π  π
0



1 sin x 0 sin nx 
an  

0
π  n  
n 0 
an 
Menentukan bn
π
0
π

1
1
f

x

sin
nx
dx


1
.
sin
nx
dx

1. sin nx dx 




π π
π  π
0

0


1
1 cos nx 0 cos nx 
1
n
n
bn   sin nx dx  

1   1   1  1

π 
π  n 
n 0  nπ
bn 

Deret Fourier
Fisika Matematika II


12
0 , n  even
bn   4
 n , n  odd
Deret Fourier sin – cos dari fungsi tersebut adalah
4  sin nx
h x  

π n 1,odd n
Deret Fourier sin – cos pada contoh 3 dapat diperoleh dari deret Fourier contoh 1 dikurangi
deret Fourier contoh 2 karena h x   f  x   g  x  . Deret Fourier sin – cos pada contoh 3 dapat
juga ditentukan dari contoh 1 karena dapat diperoleh bahwa h x   2 f  x   1 . Dengan
0 ,    x  2
menggunakan ide ini, maka deret Fourier sin – cos dari l  x    2
dapat diperoleh
3
1, 2  x  2

dari deret Fourier contoh 1 yang digeser sejauh ke kiri atau l  x   f x  2  dan deret
2

Fourier nya adalah (mengganti x dengan x  2 pada contoh 1
l x  
1 2  sin nx 
 
2 π n 1
n

2
 1 2
2
 1n 1 cos2n  1x

 n 1
2n  1

odd
Soal-soal 2
Setiap fungsi di bawah ini adalah fungsi periodik dengan periode 2. Gambar grafik fungsi
tersebut untuk beberapa periode kemudian tentukan deret Fourir bentuk sin – cos
 0,  x  0
0,    x  

1,    x  0
2
1. f ( x)  
2. f ( x)  1, 0  x  
3. f ( x)  
2

0
,
0

x


1
,

x




 
2
0, 2  x  
 0,  x  0
 1,    x  


k
,



x

0

2
4. f ( x)  
5. f ( x)  
6. f ( x)   1, 0  x  
2
 k, 0  x  
 1,  2  x  
 
1
,

x



2
1,    x    dan 0  x  
 1,    x  
2
2
2
2
7. f ( x )  
8. f ( x )  



3

 0 ,  2  x  0 dan 2  x  0
 1, 2  x  2
0,    x  0
9. f ( x)  
 2, 0  x  
 0,    x    2

10. f ( x)  2k ,   2  x  
2


 x 
 0,
2
12. f ( x)  x,    x  
13. f ( x)  1  x,    x  
  x  0
0,
15. f ( x)  
sin x, 0  x  
 4 x,    x  0
17. f ( x)  
 4 x, 0  x  
Deret Fourier
0,    x  0
11. f ( x)  
 x, 0  x  
x   ,    x  0
14. f ( x)  
 0, 0  x  
x   ,    x  0
16. f ( x)  
  x, 0  x  
18. f ( x)  x 2 ,    x  
Fisika Matematika II
13
19. f ( x)  x 2 , 0  x  2
20. f ( x)  e x ,    x  
21. f ( x)  cosh x,    x  
 x2 ,    x  
2
2

22. f ( x)   1 2
  ,  2  x  3 2
4
 V0 cos x,    x  

2
2
23. f ( x)  

 x  3
 0,
2
2
25. f ( x)  1  x, 0  x  2
27. f ( x)  e x ,    x  
 V (1  x 2 ),    x  0
24. f ( x)   0
0, 0  x  

26. f ( x)  x  x 2 ,    x  
28. f ( x)  x 3 ,    x  
29. Tunjukkan bahwa f ( x)  x ,    x   dapat dituliskan sebagai
f ( x) 
2 4  cos(2n  1) x
 
  n0 2n  12
30. Tunjukkan bahwa f ( x)  sin x ,    x   dapat dituliskan sebagai
f ( x) 
2 4  cos 2nx
 
  n  0 4n 2  1
Masing-masing grafik berikut ini diberikan untuk satu periode. Tentukan deret Fourier bentuk
sin – cos dari setiap grafik berikut ini.
31.
33.
32.
1
- -/2 0 /2

34.
-
a
0


35.
-
0

36.


/2
- -/2 0 /2

37.
-

0
38.
-

0
39.


/2
- -/2 0 /2

-
0

-
0

-
Deret Fourier
Fisika Matematika II
14
40.
41.
42.
2
0

Vo
2
0

2
0

2
Soal – soal no 43 – 84 adalah soal-soal no 1 – 42 tetapi dengan periode 2l (–l, l). Hal ini
berarti  diganti dengan l atau /2 diganti dengan l/2. Tentukan deret Fourier bentuk sin
– cos dari setiap fungsi tersebut.
Fungsi=fungsi pada soal – soal no 85 – 88 diberikan untuk satu periode. Sket grafik fungsi
untuk tiga periode dan tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari setiap fungsi tersebut.
85a. f  x   x 2 , – < x < ;
b. f  x   x 2 , 0 < x < 2
86a. f  x   e x , – < x < ;
87a. f  x   2  x , –2 < x < 2;
88a. f  x   sin x , –1/2 < x < 1/2;
b. f  x   e x , 0 < x < 2
b. f  x   2  x , 0 < x < 4
b. f  x   sin x , 0 < x < 1
89. Fungsi f  x   x diberikan pada interval – 1 < x < 1. Sket grafik fungsi tersebut jika
periodenya 2 dan tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi tersebut.
Masing-masing grafik berikut ini diberikan untuk satu periode. Sket grafik fungsi untuk tiga
periode dan tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi-fungsi tersebut.
0,  1  x  0
90. f  x   x , 0 < x < 2
91. f ( x)  
 1, 0  x  3
92. f  x   x 2 , 0 < x < 10
0,  12  x  0
93. f ( x)  
1
 x, 0  x  2
 x / 2, 0  x  2
94. f ( x)  
2 x3
1,
Deret Fourier
Fisika Matematika II
15
KULIAH 3
Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks
A. Pendahuluan
Saudara akan mempelajari deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari fungsi
periodeik dengan periode 2l dengan l adalah bilangan real, pada perkuliahan ketiga ini.
Saudara juga akan mempelajari bagaimana menentukan koefisien cn dan menemukan deret
Fourier bentuk ekpsonensial kompleks dari suatu fungsi periodik setelah mensubstitusikan
nilai koefisien Fourier cn ke dalam bentuk umum deret Fourier bentuk ekpsonensial
kompleks. Oleh karena itu, di akhir perkuliahan ketiga ini, diharapkan Saudara mampu
menentukan deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks dari fungsi periodik dengan periode
sembarang/bebas.
Agar mampu mengikuti perkuliahan ini dengan baik, sebaiknya Saudara menyiapkan diri
dengan penguasaan integral eksponensial atau integral eksponensial kali dengan fungsi x.
Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan ini dari buku-buku teks
kalkulus.
B. Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks
Formula Euler menyatakan bahwa fungsi sin dan cos dapat dituliskan sebagai fungsi
eksponensial kompleks sebagai berikut
i
n
i
x
n
x
i
n
i
x
n
x
n
e l e l
n
e l e l
sin x 
dan cos
x
l
2i
l
2
Dengan demikian deret Fourier bentuk sin – cos (persamaan (2.1) pada KULIAH 2) dapat
dituliskan sebagai deret Fourier bentuk eksponensial kompleks sebagai berikut

n
n
f  x   12 a0   an cos x  bn sin
x
l
l
n 1
f  x   a0  ...  a2e
1
2
1
2
i
2
x
l
a b 
f  x   12 a0   1  1 e
 2 2i 
f  x   c0  c1e
f  x   ...  c 2e
f x  

c e

i x
l
2
i x
l
1
2i
 b2e

i x
l
 c1e

i x
l
 c1e
i
2
x
l
 ae
a b 
  1  1 e
 2 2i 
 c 2e

i x
l
i
2
x
l
1
2 1

i x
l
 c0  c1e
1
2i 1
 be

i x
l
a b 
  2  2 e
 2 2i 
 c2 e

i x
l

i x
l
i
2
x
l
1
2
 a1e
2
i
x
l

i x
l
1
2i

i x
l
1
 be
a b 
  2  2 e
 2 2i 
2
i
x
l
1
2
 a2e
i
2
x
l
 ...
 ...
 ...
  c2e
i
2
x
l
 ...
n
i x
l
(3.1)
n
n  
cn is Fourier coefficient
Menentukan c0
Rerata setiap suku pada kedua sisi persamaa (3.1) pada satu periode  l , l  adalah
l
l
l

l

l
i x
i x
i
1
1
1
1
1
f  x  dx   c0 dx   c1e l dx   c1e l dx   c2 e

2l l
2l l
2l l
2l l
2l l
Deret Fourier
Fisika Matematika II
2
x
l
l
2
i x
1
dx   c2e l dx ... (3.2)
2l l
16
l
k
x
l
l ik
e  e ik  0 maka seiap suku pada sisi kanan persamaan (3.2)
ik
l
berharga nol kecuali suku pertama, sehingga dapat diperoleh
Karena  e
i

dx 

l
1
c0   f  x dx
2l l
(3.3)
Menentukan cn
Rerata setiap fungsi pada kedua sisi persamaan (3.1) setelah dikalikan dengan e
periode  l , l  adalah
n
l
l

-i x
i
1
1
f  x  e l dx  
cm e


2l l
m 2l l
l
Karena
e
i
k
x
l
dx 
l
m
n
x -i x
l
l
e
i
n
x
l
pada satu
dx
l ik
e  e ik  0 kecuali k = 0 (hal ini terjadi pada saat m = n) maka
ik


dapat diperoleh
n
l
cn 
-i x
1
f  x  e l dx

2l l
(3.4)
Dengan demikian dapat dirangkum bahwa
Deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari fungsi dengan periode 2l dalam interval
(–l, l) adalah
f x  

 cn e
i
nπ
x
l
l
dengan cn 
n  
n
-i x
1
f  x  e l dx

2l l
0 ,  π  x  0
Contoh 3.1. Tentukan deret Fourier bentuk eksonensial kompleks dari f  x   
 1, 0  x  π
(contoh pada KULIAH 2).
Menentukan c0
Fungsi tersebut memiliki periode 2  , sehingga l  
π
c0 
π
1
1
1
f  x dx 
dx 
2π π
2π 0
2
Menentukan c n
π
0
π

1
1 
 inx
f

x

e
dx

0
dx

einx dx



2π π
2π  π
0

 1 , n  ganjil
1 einx π
1
cn 

e iππ  1   in
2π  in 0  2πin
0 , n  genap  0
cn 


Substitusikan koefisien ini ke dalam persamaan (3.1) untuk menemukan deret Fourier bentuk
eksponensial kompleks sebagai berikut
f x  

1
1 inx
 
e
2 n , in
(3.5)
ganjil
Deret Fourier
Fisika Matematika II
17
Dapat dibuktikan bahwa deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks ini sama dengan deret
Fourier bentuk sin – cos sebagaimana pada contoh pada KULIAH 2. Dengan menggunakan
formula Euler, persamaan (3.5) dapat diuraikan dan dikumpulkan sebagai berikut
 1  e ix e 3ix e5ix

1 1  eix e3ix e5ix
  

 ...  


 
2 iπ  1
3
5
3
5
n 
 iπ  1

ix
ix
3ix
3ix
5 ix
5 ix

1 2 e  e
e e
e e
f x    


 ...
2 π  2i
2i.3
2i.5


f x  
 cn einx 
f x  
1 2  sin x sin 3 x sin 5 x

 


 ... sebagaimana pada contoh pada KULIAH 2.
2 π 1
3
5

Contoh 3.2, menentukan deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks dari Find the complex
0, 0  x  l
.
f ( x)  
1, l  x  2l
Grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 3.1 di bawah ini.
1
–3l
–2l
–l
0
l
2l
3l
Gambar 3.1
Menentukan c0
c0 
1
2l
2l
l
f  x  dx 

0
1
1
0 dx 

2l 0
2l
2l
1
 dx  2
l
Menentukan cn
cn 
cn 
cn 
1
2l
2l

f  x e
i
nπ
x
l
l
dx 
0
1 e  inx / l
2l  in / l
2l

l
1
1
0 dx 

2l 0
2l
2l

e
i
nπ
x
l
dx
l
1
(e  2in  e  n )
 2in
1
 0, n  even  0
( 1  e  n )   1
 2in
 in , n  odd
1 1  eix / l e ix / l e3ix / l e 3ix / l 




...
n
2 i  1
1
3
3
n  

1 2  sin πx/l  sin 3πx/l  
f x    

...
2 π
1
3


f ( x) 
c e
inx
 f x  
Soal-soal 3.
Soal-soal no 1 – 94 adalah soal-soal no 1 – 94 dari Soal-soal 2. Untuk setiap soal, tentukan
deret Fourier bentuk eksponensial kompleks. Buktikan dengan menggunakan formula Euler
bahwa jawaban setiap soal sama dengan jawaban yang ditemukan pada KULIAH 2.
Deret Fourier
Fisika Matematika II
18
95. Simbol x berarti bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x (contoh,
[3] = 3, [2.1] = 2, [–4.5] = –5). Tentukan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari
1
fungsi x  x  dengan periode 1.
2
96. Tentukan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari f (t )  e i t dengan periode 2 
pada interval   ,  
Deret Fourier
Fisika Matematika II
19
KULIAH 4
Deret Sin dan Deret Cos
A. Introduction
Sebelum membahas deret Fourier sin yang sering disebut sebagai deret sin atau deret cos,
definisi fungsi genap dan ganjil serta akibatnya pada nilai koefisien Fourier diberikan sebagai
konsep dasar. Saudara akan menemukan bahwa koefisien Fourier bn  0 untuk fungsi genap,
sehingga mendapatkan deret cos atau sebalikanya bahwa keofisien Fourier an  0 untuk
fungsi ganjil sehingga mendapatkan deret sin. Dengan demikian, di akhir perkuliahan
keempat ini diharapkan Saudara mampu menentukan
 deret Fourier bentuk sin (deret sin) dari suatu fungsi periodik
 deret Fourier bentuk cos (deret cos) dari suatu fungsi periodik
Agar Saudara tidak mengalami kesulitan mengikuti perkuliahan keempat ini, sebaikanya
Saudara menguasai karakteristik fungsi genap dan ganjil, integral fungsi sin atau cos dan
integral sin atau cos dikalikan dengan fungsi x. Saudara diharapkan membaca kembali
keterampilan persyaratan ini dari buku-buku teks kalkulus.
B. Fungsi Genap dan Ganjil
1. Even Functions.
f x  merupakan fungsi genap jika
 f  x   f  x  or
 grafik f x  untuk –x adalah cermin dari grafik untuk x terhadap sumbu y
Contoh:
2
 f  x   x 2 , karena f  x    x   x 2  f  x  (lihat Gambar 4.1)
 f  x   cos x , karena f  x   cos x   cos x  f  x  (lihat Gambar 4.1)
Figure 4.1
2. Fungsi Ganjil.
f x  merupakan fungsi ganjil jika f  x    f  x 
Contoh:
 f  x   x , karena f  x    x   f  x 
 f  x   sin x karena f  x   sin x    sin x  f  x 
Beberapa fungsi adalah fungsi genap, beberapa fungsi lain adalah fungsi ganjil dan beberapa
fungsi lain bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil (contoh, f  x   e x ). Akan tetapi setiap
fungsi dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil, yakni
1
1
f ( x)   f ( x)  f (  x)    f ( x)  f (  x ) dengan bagian pertama fungsi genap dan bagian
2
2
kedua adalah fungsi ganjil.
Deret Fourier
Fisika Matematika II
20
Contoh:
1
1
e x  e x  e  x  e x  e x
2
2
Integral fungsi genap pada interval simetrik, seperti (–, ) atau (–l, l), dapat disederhanakan,

 
l
seperti

l
2
2
 x dx  2 x dx . Integral fungsi ganjil pada interval simetrik akan bernilai nol, seperti
l
0
l
 sin x dx  0 . Jadi dapat dirangkum bahwa
l
l

l
jika f ( x) ganjil
 0,
 l
f ( x) dx  
2 f ( x)dx, jika f ( x) genap
 
 0
C. Deret Fourier Cos dan Deret Fourier Sin
1. Deret Fourier Cos
Jika f  x  merupakan fungsi genap, maka f ( x) cos
nx
merupakan fungsi genap sehingga:
l
l

2
nx
dx
an   f  x cos
Jika f  x  genap maka 
l 0
l
 b 0
 n

Deret Fourier cos dari fungsi genap adalah f  x   12 a0   an cos
n1
l
dengan a0 
nπ
x
l
l
2
2
nx
f ( x )dx dan an   f ( x) cos
dx

l 0
l 0
l
2. Deret Fourier sin
Jika f  x  merupakan fungsi ganjil, maka f ( x) sin
nx
merupakan fungsi ganjil sehingga:
l
an  0 ,

l
2
Jika f  x  ganjil maka 
bn   f  x  sin xdx

l 0


Deret Fourier sin dari fungsi ganjil adalah f  x    bn sin
n 1
nπ
x
l
l
2
nx
dengan bn   f ( x ) sin
dx
l 0
l
Deret Fourier
Fisika Matematika II
21
Dengan demikian jika suatu fungsi f  x  didefinisikan pada (0, l) maka ia dapat :
 dideretkan sebagai deret Fourier sin – cos atau ekponensial dengan periode l, yakni

l
l
nπ
nπ
f(x)  12 a0   an cos
x  bn sin
x ; an  1  f(x)cos nπ x dx ; bn  1  f(x)sin nx dx
l
l
l l
l
l l
l
n 1
atau

f(x) 
c e
n
i
nx
l
2l l
n  

l
; cn  1
-i
f(x) e
nx
l
dx
dideretkan sebagai deret Fourier cos dengan menjadikan f x  fungsi genap dengan
l

nπ
2
periode 2l yakni f  x   a0   an cos
x dengan a0   f ( x )dx dan
l
l 0
n1
1
2
l
2
nx
an   f ( x) cos
dx
l 0
l

dideretkan sebagai deret Fourier sin dengan menjadikan f  x  fungsi ganjil dengan
l

nπ
2
nx
periode 2l; yakni f  x    bn sin
x dengan bn   f ( x ) sin
dx
l
l 0
l
n 1
1, 0  x  12
Contoh: Tentukan f ( x)  
dalam (a) deret Fourier bentuk sin; (b) deret Fourier
1
0
,

x

1
2

bentuk cos; dan (c) deret Fourier bentuk sin – cos
Jawab:
(a) f x  dijadikan fungsi ganjil; periode = 2
1
-1
-1/2
1/2
1
l

nπ
2
nx
Untuk fungsi ganjil, f  x    bn sin
x dengan bn   f ( x ) sin
dx
l
l 0
l
n 1
1/ 2
2
2
n
2
4
2
; b3 
; b4  0 , …
bn  
cos nx  
(cos
 1)  b1  ; b2 
2
3
n
n
2

0
2
sin 2x sin 3x sin 5x

Jadi diperoleh f x    sin n 


 ...

2
3
5

(b) f  x  dijadikan fungsi genap; periode = 2
1
-1
Deret Fourier
-1/2
1/2
Fisika Matematika II
1
22
l

nπ
2
nx
Untuk fungsi genap f  x   a0   an cos
x dengan an   f ( x) cos
dx
l
l 0
l
n 1
1
2
1
1/ 2
2
a0   f ( x) dx  2  dx  1
10
0
1
1/ 2
2
2
an   f ( x) cos nxdx 
sin nx
10
n
0
an 
2
n
sin
n
2
Jadi diperoleh f(x) 
1 2  cos x cos 3x cos 5x

 


 ...
2  1
3
5

(c) f x  sebagaimana adanya; periode = 1
1
-1
-1/2
1/2
1
Deret Fourier bentuk eksponensial

 cn e
f(x) 
i
nx
l
l
dengan cn 
n  
1
c0 
1
f(x) dx 
1 0
1/ 2
 dx 
0
-i
1
f(x) e

2l  l
nx
l
1
dx
1
1
; cn   f(x) e-2inx dx 
2
10
1/ 2
e
- 2 inx
dx
0
1  e in 1  (1) n  in1 , n  ganjil


2in
2in
 0, n  genap  0
1 1 
e6ix e 6ix 
1 2
sin 6x 
Jadi diperoleh f ( x)   e2ix  e 2ix 
...

...  f  x     sin 2x 
2 i 
3
3
2 
3


cn 
Soal-soal 4
Tulislah masing-masing fungsi berikut sebagai jumlah fungsi genap dan ganjil
1a. einx
b. xe x
2a. ln 1  x
b. 1  x sin x  cos x 
3a. x 5  x 4  x3  1
b. 1  e x
Fungsi-fungsi berikut diberikan pada satu periode. Sket untuk beberapa periode, tentukan
sebagai fungsi genap atau ganjil dan tentukan deret Fourier yang sesuai.
 1,    x  0
 1,  l  x  0
4. f ( x)  
5. f ( x)  
 1, 0  x  
 1, 0  x  l
 1,  1  x  1
6. f ( x )  
 0 ,  2  x  1 dan 1  x  2
8. f ( x)  x 2 ,  1 / 2  x  1 / 2
10. f ( x)  cosh x,    x  
Deret Fourier
7. f ( x)  x,   / 2  x   / 2
9. f ( x)  x ,   / 2  x   / 2
 x  1,  1  x  0
11. f ( x)  
 x 1, 0  x  1
Fisika Matematika II
23
 8, 0  x  2
12. f  x   
 8 , 2  x  4
 x ,  4  x  0
13. f  x   
 x, 0  x  4
 2x, 0  x  3
14. f  x   
0 ,  3  x  0
15. f  x   cos x , 0  x  
 cos x , 0  x  
17. f  x   
  x  2
 x,
Fungsi berikut diberikan pada interval 0 < x < b. Sket beberapa periode dari fungsi genap
dengan periode 2b, fungsi ganjil dengan periode 2b dan fungsi dengan periode b. Tentukan
deret Fourier dari ketiga jenis fungsi tersebut.
 1, 0  x  1 / 2
18. f ( x)  
19. f ( x)  cos x , 0  x  
1, 1 / 2  x  1
16. f  x   x10  x , 0  x  10
 x, 0  x  1
20. f ( x)  
2  x, 1  x  2
1, 0  x  1
21. f ( x)  
0, 1  x  3
 10, 0  x  10
23. f ( x)  
20, 10  x  20
22. f ( x)  x 2 , 0  x  1
24. f  x   x , 0  x  2
 x, 0  x  1
25. It’s given a function of f ( x)  
 2, 1  x  2
a. Sketch at least three periods of the graph of the function represented by the sine series
for f  x  . Without finding any series, answer the following questions.
b. To what value does the sine series in (a) converge at x = 1; x = 0; x = – 1; x = 2?
c. If the given function is continued with period 2 and then is represented by a complex

exponential series

c e
n
in x
, what is the value of
n 
c
2
n
n  
 x, 0  x  1
26. Given f ( x)  
 2, 1  x  2
a. Sketch at least three periods of the graph of the function represented by the cosine
series for f x  .
b. Sketch at least three periods of the graph of the function represented by the
exponential Fourier series of period 2 for f  x  .
c. To what value does the cosine series in (a) converge at x = 0; x = 1; x = 2; x = – 2?
d. To what value does the exponential series in (b) converge at x = 0; x = 1; x = 3/2;
x = – 2?
27. Find an appropriate Fourier for f (t )  x with period of 2 on the interval   ,   .
 x, 0  x  1
28. Find the three Fourier series of f ( x)  
.
 2, 1  x  2
 x, 0  x  1
29. Find the three Fourier series of f ( x)  
 2, 1  x  2
Deret Fourier
Fisika Matematika II
24
KULIAH 5
Teorema Dirichlet dan Parseval
A. Introduction
Pada perkuliahan kelima ini, Saudara akan mempelajari dua teorema penting yang sangat
berguna pada fisika statistik yakni teorema Dirichlet dan Parseval. Teorema Dirichlet
merupakan pernyataan tentang kekonvergenan fungsi f x  pada titik diskontinyitas atau titik
lompat sedangkan teorema Parseval mengajarkan tentang bagaimana menentukan jumlah
deret takhingga. Oleh karena itu, di akhir perkuliahan kelima ini, Saudara diharapkan mampu
menerapkan
 persyaratan Dirichlet untuk menentukan kekonvergenan fungsi periodik
 teorema Parseval untuk menentukan jumlah suatu deret
Agar Saudara mengikuti perkuliahan ini dengan mudah sebaiknya Saudara menguasai sket
grafik fungsi, integral fungsi sin atau cos atau eksponensial dan integral sin atau cos atau
eksponensial dikalikan dengan fungsi f x  . Saudara disarankan untuk membaca kembali
persyaratan ini pada buku-buku teks kalkulus.
B. Dirichlet theorem
Jika f (x)
 merupakan fungsi periodik;
 bernilai tunggal dan kontinyu;
 memiliki jumlah nilai maksimum dan minimum terbatas dalam satu periode;
 memiliki jumlah diskontunitas yang terbatas dan
  f ( x) dx bernilai terbatas (konvergen)
maka deret Fourier dari fungsi tersebut konvergen pada f (x) pada seluruh titik di mana
f (x) kontinyu dan deret Fourier konvergen pada titik tengah nilai diskontinyuitasnya pada
titik diskontinyu.
Contoh, gunakan teorema Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier dari
0 ,    x  0

3
pada x sama dengan 0,  ,   , 
,  2
f(x) 
2
2
 1, 0  x  
1
–3
–2
–
0

2
3
Fungsi ini memenuhi persyaratan Dirichlet karena
 merupakan fungsi periodik dengan periode 2  ;
 memiliki nilai tunggal;
 memiliki nilai maksimum dan minimum yang terbatas;
 memiliki jumlah diskontunitas yang terbatas dan





f  x  dx   dx  
Deret Fourier
0
Fisika Matematika II
25
Oleh karena itu kekonvergenan deret Fourier ditunjukkan oleh tabel di bawah ini.
0
x
–2
–3/2
–
–/2
/2

3/2
2
0.5
1
0.5
0
0.5
1
0.5
0
0.5
f(x) 
Pada contoh dalam KULIAH 2 telah diperoleh bahwa deret Fourier bentuk sin dari
0 ,    x  0
1 2  sin nx
f x   
adalah f  x   

2 π n 1,odd n
 1, 0  x  
Dengan menggunakan kekonvergenan nilai deret Fourier pada tabel di atas, diperoleh


bahwa f  x   1 pada x  . Jika disubstitusikan x  pada deret Fouirer sin di atas maka
2
2
dapat diperoleh bahwa
1 2   1
 
2 π n1 2n  1
n 1
1

 1n1

 2n  1  4
atau
1 1
3 5
1
7
atau 1     ... 
n 1

4
Soal-soal 5.1
I. Untuk setiap fungsi periodik pada Soal – soal 2 nomor 1 – 42, gunakan teorema

Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier pada x = 0,  ,   ,
2
3

,  2
2
II. Untuk setiap fungsi periodik pada Soal – soal 2 nomor 43 – 84, gunakan teorema
Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier pada x =  l/2;  l;  3l/2;
 2l.
III. Untuk setiap fungsi periodik pada Soal – soal 2 nomor 90 – 94, gunakan teorema
Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier pada x =  1/2;  2; 
5/2;  3.
 x, 0  x  1
95. Diberikan fungsi f ( x)  
 2, 1  x  2
a. Buat grafik deret cos dari fungsi di atas untuk tiga periode
b. Buat grafik deret Fourier kompleks dari fungsi di atas untuk tiga periode
c. Berapa nilai konvergensi deret cos pada x = 0; x = 1; x = 2; x = – 2 ?
d. Berapa nilai konvergensi deret Fourier bentuk eksponensial pada x = 0; x = 1; x = 3/2;
x=–2?
C. Parseval’s Theorem
Teorema Parseval terkait dengan hubungan antara rerata kuadrat f (x) dan koefisien
l
dalam deret Fourier dengan asumsi bahwa
 f x 
2
dx adalah terbatas. Rerata dari masing-
l
masing kuadrat suku dari deret Fourier dari fungsi periodik dengan periode 2l adalah

 f x 2   12 a0   an cos

n1
l
Rerata  f  x  adalah
2
Deret Fourier
nπ
nπ 
x  bn sin
x
l
l 
1
 f ( x)2 dx ; Rerata
2l l
2
2
1 
 2 a0  adalah
Fisika Matematika II
 12 a0 2 ;
26
2
2
n 
n 
1
1


2
2
Rerata an cos x  adalah an  ; Rerata bn sin
x  adalah bn 
l 
2
l 
2


n
nx
n
m
Rerata 2. 12 a0bn sin x atau 2. 12 a0 an cos x atau 2.anbm cos
x sin
x adalah nol. Oleh
l
l
l
l
karenanya teorema Parseval dinyatakan oleh persamaan
l


1
2
2
2
2
1
1
1
=


+
a
+
bn

f
(
x
)

dx
a


n
2
2
2 0

2l l
n 1
n 1
Dengan cara yang sama maka dapat diperoleh
l

1
2
2
=
cn

f
(
x
)

dx


2l l
n  
 1,    x  0
1
1
 2  ... dengan deret f ( x)  
.
2
3 5
 1, 0  x  
f (x) merupakan fungsi ganjil sehingga
Contoh, tentukan jumlah 1 


 0 ,n genap
2
2
2

n
bn   f ( x ) sin nxdx   sin nx dx  
( 1 )  1  
0
0
n
 n4 ,n ganjil

0


1
1 
2
2
Rerata kuadrat f(x) adalah
 f ( x) dx    (1) dx   12 dx  1

2 
2 
0


Berdasarkan teorema Parseval
1
2


2
  f ( x) dx

=
1
2
ganjil

2
 bn atau 1 =

1
2
 
4 2
n
.
ganjil
2
1 2
1 1
atau
=

1



...
2
32 52
8
8
n ganjil n

Jadi

Soal-soal 5.2

1 
2
2
=
cn

f
(
x
)

dx


2 
n  
Gunakan teorema Parseval dan deret Fourier dari fungsi yang diberikan pada interval di
sampingnya pada soal-soal nomor 2 – 20 berikut ini.

1
2. f ( x)  x,  1  x  1 untuk menentukan  2
n
n

1
1
1
3. f  x   x 2 ,   x  untuk menentukan  4
2
2
n 1 n

1
4. f ( x)  1  x,    x   untuk menentukan  2
n 1 n

1
5. f ( x)  x ,   / 2  x   / 2 untuk menentukan  4
n 1,odd n
  x  0
 0,
1
1
1
6. f ( x)  
untuk menentukan jumlah dari 2  2  2  ...
3 15
35
sin x, 0  x  
1. Buktikan bahwa
 x,
7. f  x   
 x ,
Deret Fourier
0 x2
untuk menentukan
2 x0

1
n
4
n1
Fisika Matematika II
27
8. f  x   x  x , 0  x   untuk menunjukkan bahwa
9. f  x   x  x , 0  x   untuk menunjukkan bahwa
1 2


2
6
n 1 n



 1n 1  2
n2
n 1
12
n 1
10. f  x   x  x , 0  x   untuk menunjukkan bahwa
 1  3

3
32
n 1 2n  1
11. f  x   x  x , 0  x   untuk menunjukkan bahwa
n


1
4

n 1
4
90
1
6


6
945
n 1 n

12. f  x   x  x , 0  x   untuk menunjukkan bahwa
1
1
1
2  8



...

12.32 32.52 52.7 2
16
n 1
2

 1  
14. f  x   x 2 ,  1  x  1 untuk menunjukkan bahwa 
n2
12
n 1
13. f  x   sin x , 0  x   untuk menunjukkan bahwa
15. f  x   x 2 ,  1  x  1 untuk menunjukkan bahwa
1 2


2
6
n 1 n
16. f  x   x 2 ,  1  x  1 untuk menunjukkan bahwa
n


1
4

n 1
17. f  x   x 2 ,  1  x  1 untuk menunjukkan bahwa
4
90
 1n 1

3
n 1 2n  1


3
32
18. Gunakan teorema Parseval untuk menunjukkan bahwa
1 1 1 1 1
1
33 2






...

13 33 53 73 93 113
128


1
4
1
6
19. Tunjukkan bahwa 
dan



4
6
96
960
n 1 2n  1
n 1 2n  1
1
1
1
42  39



...

12.22.32 22.32.42 32.42.52
16
 x
21. (a) Tentukan deret sin dengan periode 2 dari fungsi f (t ) 
pada 0,   ;
2
1
(b) Gunakan hasil (a) untuk menghitung  2
n
2
22. (a) Tentukan deret Fourier dengan periode 2 dari fungsi f (t )   x  1 pada 0, 2  ;
1
(b) gunakan hasil (a) untuk menghitung  4
n
 x, 0  x  1
23. Diberikan fungsi f ( x)  
 2, 1  x  2
a. Buat grafik deret sin dari fungsi di atas untuk tiga periode
b. Berapa nilai konvergensi deret sin pada x = 1; x = 0; x = – 1 ?
c. Jika fungsi diberikan di atas kontinyu dengan periode 2 dan dideretkan ke dalam deret
20. Tunjukkan bahwa

Fourier bentuk kompleks

 cn e in x maka berapa nilai dari
n 
Deret Fourier
Fisika Matematika II
c
2
n
?
n  
28
KULIAH 6
Aplikasi Deret Fourier pada Fisika
A. Pendahuluan
Pada akhir perkuliahan tentang deret Fourier, Saudara akan mempelajari penerapan atau
aplikasinya pada bidang Fisika. Saudara akan menemukan bahwa deret Fourier merupakan
keterampilan matematika yang penting untuk menganalisis permasalahan fisika. Pada
perkuliahan keenam ini, kita hanya mendiskusikan aplikasi deret Fourier pada gelombang
bunyi dan listrik. Akan tetapi, Saudara dapat mengembangkannya pada aplikasi pada bidang
Fisika yang lain. Oleh karena itu di akhir perkuliahan keenam ini, diharapkan Saudara mampu
menerapkan deret Fourier untuk menyelesaikan permasalahan fisika yang terkait.
Agar Saudara tidak mengalami kesulitan mengikuti perkuliahan keenam ini, sebaiknya
Saudara menguasai materi perkuliahan kedua sampai dengan perkuliahan kelima. Saudara
disarankan untuk membaca kembali materi perkuliahan KULIAH 2 sampai dengan KULIAH
5 serta membaca buku teks kalkulus untuk penguasaan ketarampilan matematika yang terkait.
B. Aplikasi Deret Fourier pada Fisika
Besaran-besaran fisika seperti gelombang bunyi, radio, cahaya, arus AC, dan lain-lain
merupakan contoh aplikasi deret Fourier karena besaran fisika tsb terdiri dari gabungan
berbagai frekuensi. Gelombang bunyi akan mengganggu udara ketika gelombang bunyi
melaluinya. Gangguan ini diwakili dengan perubahan tekanan udara terhadap waktu. Sebagai
contoh, perubahan tekanan ditunjukkan oleh gambar di bawah.
p(t)
1
1
7
7
8

8
1
524
1

1048
-1
1
1048
7
8
1
524
1
262
t (s)
-1
Sebagaimana disebutkan di depan bahwa gelombang bunyi terdiri dari banyak frekuensi.
Selanjutnya, untuk perubahan tekanan terhadap waktu yang ditunjukkan oleh gambar di atas,
berapa frekuensi gelombang bunyi? Frekuensi berapa yang terdengar paling keras? Untuk
menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, langkah pertama adalah menderetkan fungsi tekanan
terhadap waktu pt  ke dalam deret Fourier. pt  merupakan fungsi ganjil dengan periode
1
262
detik sehingga l =

1
524
. Dengan demikian deret sin dari fungsi pt  adalah

p(t )   bn sin nl t   bn sin 524nt
n 1
1 524
bn 
2
1
524
n 1
 p(t ) sin 524n t dt
0
1
524
 11048

 cos n2  1 7 cos n  cos n2 
bn  1048  sin 524nt dt    78 sin 524nt dt  bn  1048


524
n

8
524n
1
 0



1048

2  15
7

bn 
 cos n2  1  cos n 

n  8
8

Deret Fourier
Fisika Matematika II
29
2
 7 1
1  8   4 ; b2  2


1 1
b4  0 ;
b5 
;
4 5
b1 
2

p( t ) 
7  15
15
 8  1  8   4 ;


1 15
b6 
;
4 3
2  7 1 1
1

3  8  4 3
1 1
b7 
;
b8  0
4 7
b3 
1  sin 524 t 30 sin 524.2 t sin 524.3 t sin 524.4  t




4 
1
2
3
4

sin 524.4 t sin 524.5 t 30 sin 524.6 t



 ...
4
5
6

Intensitas gelombang bunyi adalah sebanding dengan kuadrat amplitudo dari fungsi
tekanan udara terhadap waktu. Dengan demikian perbandingan intensitas untuk setiap
frekuensi ditunjukkan pada tabel berikut ini.
n
frekuensi
Intensitas
relatif
1
262
2
524
3
786
4
1048
5
1310
1
225
1/9
0
1/25
6
7
8
1572 1834 2096
25
1/49
0
Berdasarkan tabel di atas, gelombang bunyi terdiri dari frekuensi 262 Hz, 524 Hz, 786 Hz,
130 Hz dan seterusnya. Frekuensi 524 Hz (harmonik kedua) merupakan frekuensi yang
terdengar paling keras karena intensitasnya paling besar
Soal-soal 6
Berikut adalah grafik kelebihan tekanan udara akibat gelombang bunyi yang diberikan untuk
satu periode. Tentukan frekuensi yang terpenting dan perbandingan intensitasnya.
1.
p(t)
1

1
220

1
330

1
660
1
660
1
330
1
220
t (s)
-1
p(t)
2
3
1

1
262
-1
1
786
1
393
1
262
t (s)
-3
Deret Fourier
Fisika Matematika II
30
3.
p(t)
3
2

1
220

1
440
1
220
–2
–3
t (s)
1
440
Berikut adalah signal listrik (arus listrik atau tegangan listrik) yang periodenya 1/60 detik.
Tentukan deret Fourier yang sesuai dan selanjutnya tentukan frekuensi yang terkandung pada
setiap signal dan perbandingan intensitasnya.
4. fungsi sin
5. fungsi sin
100
100
1
120
1
60
1
120
t (s)
6. 100
7.
1
120
1
60
1
60
t (s)
10
1
60
1
120
t (s)
t (s)
– 10
8.
9.
100
100
1
120
1
60
t (s)
1
120
- 100
1
60
t (s)
10. Berapa nilai frekuensi yang paling jelas (kuat) terdengar dari gelombang bunyi yang

cos 60n t
diwakili oleh p (t )  
?
2
n 1 100( n  3)  1
Deret Fourier
Fisika Matematika II
31
Daftar Rujukan
1. Mary L. Boas, ‘Mathematical Methods in the Physical Sciences’, 3rd edition, John Wiley
& Son, 2005.
2. K.F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, ‘Mathematical Methods for Physics and
Engineering’, 3rd edition, Cambridge University Press, 2006.
3. K.T. Tang, ‘Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1, 2, 3’, Springer Verlag,
Berlin, 2006.
4. Arfken & Weber, ‘Mathematical Methods for Physicist’, Elsevier Academic Press,
California, USA, 2005
Deret Fourier
Fisika Matematika II
32