O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI
ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA KAFEDRASI
Matematika yo’nalishining
3-kurs 3M16-guruh talabasi
Mo’ydinov Abdulloning
,,Algebraik tenglama va tengsizliklar’’
mavzusidagi
KURS ISHI
Qabul qildi:
Bajardi :
S.G’ulomov
AMo’ydinov
Reja:
I.Kirish.
II.Tenglama va tengsizliklarning teng kuchliligi.
III.Tenglama,tengsizliklar va ularning sistemalarini asosiy sinflarini
o’rganish metodikasi.
IV.Bir noma’lumli chiziqli tenglamalar.
V.Ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi.
VI.Irratsional tengsizliklar
Kirish
Tenglama va tengsizliklar, ularga bog’liq bo’lgan materiallar o’rta maktab
matematika kursining katta qismini o’z ichiga oladi. Chunki, tenglama va
tengsizliklar matematikaning turli bo’limlarini o’rganishda amaliy mazmundagi
masalalarni hal etishda keng qo’llaniladi.
Ma’lumki, qadimgi misrliklar va vavilonliklar matematik xarakterdagi
masalalarni yechishda sonli hisoblash usuliga asoslangan edilar. Ammo, kundalik
hayotda ham, matematikani o’rganishda ham shunday masalalar uchraydiki, ularni
tenglama yoki tengsizliklar sistemasi yordamidagina hal etish mumkin. Dastlabki
vaqtlarda bunday masalalarni yechishda arifmetik metodlardan foydalanilgan.
Keyinroq esa algebraik tasavvurlar shakllana boshlangan. Masalan. vaveloniyalik
hisobchilar ikkinchi darajali tenglamalarni yecha bilganlar. Hunday qilib, matinli
masalarni yechish metodi hosil qilinib, u keyinchalik algebraik komponentlarni
ajratishda va uning no’malumini o’rganishda qo’llaniladi. Bunday tadbiqlar boshqa
davrlarda oldin arab matematiklari ayrim amallar (o’xshash tenglikning hadlarini
xchamlash, tenglamani, hadini bir tomondan ikkinchi tomonga teskari ishora bilan
utkazish) yordami bilan tenglamalarni standart ko’rinishga keltirganlar. So’ngra esa
bu ish Yevropa matematiklari tomonidan amalga oshirilgan. Ko’p izlanishlar
natijasida hozirgi zamon algebrasining tili (xarflardan foydalanish arefmetik amal
belgilari, qavslar va h.k) yuzaga keldi.
XVI-XVII asrlarda algebra matematikaning maxsus bir qismi sifatida o’zining
predmeti metodi, qo’lanilish sohasiga ega bo’ldi. Kelgusidagi taraqiyoti esa uning
metodining mukamallashuvi, qo’llanilish sohasining kengayishi, tushunchalarini
aniqlash va matematikaning boshqa sohalari tushunchalari bilan bog’lanishi ustida
bordi. SHu davr ichida algebraik tushuunchalar ichida tenglama tushunchasining
muhimligi yaqqolroq sezila borildi. Koordinatalar metodining (Dekart XVIII asr)
yaratilishi, analitik geometriyaning rivojlanishi algebrada faqat sonlar sistemasiga
bog’liq bolgan masalardan tashqari, turli xil geometrik figuralarning xossalarini
o’rgaanishiga ham imkon yaratdi.
Bunday imkoniyaatlar algebrada tenglamalarni asosiy tushuncha sifatida uchta
muhim yo’nalish bo’yicha o’rnini mustahkamladi:
a) Tenglama – matnli masalarni yechishdagi muhim vosita ekanligi ,
b) Tenglama – algebraik obyektlarni o’rganadigan maxsus formula sifatida,
c) Tenglama – tekislikdagi (fazodagi) nuqtalarning koordinatalari qiymatini
aniqlovhi maxsus formula sifatida.
Bu har bir yo’nalishning o’ziga xos ijobiy tomoni mavjud. Demak. Tenglama
umummatematik tushuncha bo’lib ko’p yo’nalishlidir. Bu yo’nalishlarni birortasini
ayniqsa maktab matematikasida etiborda chiqarib bo’lmaydi.
Endi tenglama va tengsizliklar tusshunchalarini shakllantirishga to’xtalib
o’taylik. biror A to’plamidagi elementni a harfi bilan belgilaylik. a shu to’plamdagi
boshqa elementga mos kelmasin. Agar a elementning nomi (ismi) bo’lsa, uni
"a element" deyish mumkin. SHu elementni boshqa nom biror b deb atashimiz
mumkin. b ham A dagi boshqa biror elementga mos kelmaydi. Agar a va b yagona
bir elementni ifodalasa, u holda bu elementlar mos keladi yoki ayniy deyilib, a ≡ b
ko’rinishda yoziladi. Ayniy elementlarni ko’pincha teng elementlar ham deyilib,
bunday munday munasabatni a = b ko’rinishda yoziladi. Misol uchun, D aniqlanish
sohasidagi n argumentli funktsiyalar to’plamida tenglik munosabati quydagicha
aniqlanishi mumkin.
Agar
(x1 , x2 , … , xn )ϵD
nuqtada
f(x1 , x2 , … , xn )
va
φ(x1 , x2 , … , xn )
funksiyalarning qiymatlari teng bo’lsa, bunda f va φ funksiyalar teng deyiladi. Bu
yerda f va φ lar funksiyalar har xil ko’rinishdagi idolalari bo’lib kelgan.
Matematikada tenglik tushunchasiga umumiyroq yondashadilar : ikki f va φ analitik
≪=≫ ishorasi bilan bog’lansa, f = φ tenglikni hosil qiladi.
f=φ
tenglikning bunday ta’rifi, ayniqsa tenglama tushunchasini bayon
qilishda munozaralarga sabab bo’ladi. munozara yurituvchilarning har xil
qatnashchilari, u = v ifodalarda tenglik munosabati bo’lmasa (mazmuniga ko’ra
ma’nosida), uholda u = v munosabatini to’g’ri bo’lmagan tenglik deb atashni,
ikkinchi xil munozara yurituvchilar esa bunday nuqtai nazarni noo’rin, to’g’ri
bo’lmagan tenglik bo’lmaydi deb hisoblaydilar.
Yuzaga kelgan bunday anglashilmovchilikni matematik nuqtai nazari bo’yicha
hal qilish mumkin. Agar u va v sonli ifodalar bo’lsa, u = v munosabat jumlaning
simvolik yozuvi sifatida qaraladi: u ifodaning qiymati v ifodaning qiymatiga teng
bo’ladi. jumla chin yoki yolg’on bo’lishi mumkin. Agar u = v jumla yolg’on bo’lsa,
u holda u = v munosabat to’g’ri bo’lmagan tenglik deyiladi. Agar u ifoda yoki v
ifoda (yoki ikkalasi) o’zgaruvchilardan iborat bo’lsa, u holda u = v munosabat
jumla bo’lmaydi, bunday holda uni predikat dyiladi. u va v ifodalardagi
o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlarini qo’ymaguncha uning chimligi to’g’risida gapira
olmaymiz. Masalan, x + 2 = x 2 , " x + 2 ifodaning qiymatiga teng “ jumlasini
ifodalovchi predikatga x = 2 qiymatda chin, x = 1 da yolg’on jumlaga aylanadi.
Tenglama tushunchasining har xil ta’riflarida oshkor yoki oshkor bo’lmagan holda
f(x1 , x2 , … , xn ) va φ(x1 , x2 , … , xn ) funksiyalarning (x1 , x2 , … , xn ) argumentlarning
qiymatlari sistemasida f va φ funksiyalarning qiymatlarining tengligi izlanadi.
Agar biror to’plamning a va b elementlari tenglik munosabatida bo’lmasa (a
va b nomlar turlicha predikatlar) ular tengsizlik munosabatida bo’ladilar deyiladi.
Bu munosabat a ≠ b ko’rinishida yoziladi. Haqiqiy sonlarda “kichik” munosabati
mavjud. Bu munosabatdan foydalanib quydagi ta’riflarni kirita olamiz : a va b
haqiqiy sonlarni a − b ayirmasi manfiy bo’lsa, u holda a soni b sondan “kichik”
deyiladi, va a < b ko’rinishida yoziladi. Agar a < b bo’lsa, u holda b soni a dan
“katta ” deyiladi va b > a ko’rinishda yoziladi.
Haqiqiy sonlar to’plamida “katt emas”, “kichik emas” munosabatlar ham
mavjud.
Agar a − b soni manfiy yoki nolga teng bo’lsa (ya’ni munosabat bo’lmaganda),
u holda a soni b dan katta emas deyiladi va a ≤ b ko’rinishda yoziladi. a < b, a ≤
b, a > b, a ≥ b munosabatlari umumiy holda tengsizlik deb yuritiladi. a < b va c >
d, a ≤ b va c ≥ d tengsizliklari qarama-qarshi ma’nodagi tengsizliklar, a < b va
c < d, a > b va c > d tengsizliklar bir hil ma’noli munosabatlar deyiladi.
Tengsizlik tushunchasi uchun quydagicha formal xarakteristika mavjud :
u va v ikki analitik ifoda < (≤) yoki > (≥) bilan birlashtirilsa u < v (u ≤ v)
yoki u > v (u ≥ v)
tengsizlik hosil qilinadi. Ma’lum bir ko’rinishdagi
tenglamalarning (tengsizliklarning) chiziqli, kvadrat, n darajali, ratsional,
irratsional, soddatrigonometrik, ko’rsatkichli va logarifmik deb atalishi shu
ko’rinishdagi funksiyalardan keyin kiritiladi va o’rganiladi.
Endi (tengsizlik) turlariga to’xtaylik:
1. Agar f(x) va φ(x) algebraik funksional bo’lsa, f(x) = φ(x) tenglama (f(x) <
φ(x) tengsizligi) algebraik deyiladi.
2. f(x) va φ(x) funksiyalardan kamida bittasi transsendent bo’lsa, bunday
tenglamalar (tengsizliklar) transsendent deyiladi.
3. f(x) va φ(x) ratsional funkasiyalar bo’lsa tenglamalar (tengsizliklar) ham
ratsional deyiladi.
4. f(x) va φ(x) funksiyalardan kamida biri irratsional bo’lsa, tenglamalar
(tengsizliklar) irratsional deyiladi.
5. P(x) standart ko’rinishidagi ko’phad bo’lib, mos holda birinchi, ikkinchi,
uchinchi, n darajali bo’ganda, P(x) = 0 (P(x) ∨ 0) chiziqli (birinchi darajali),
kvadrat (ikkinchi darajali), kubinchi ( uchinchi darajali), n chi (n −darajai)
tenglamalar (tengsizliklar) deyiladi.
Tenglamalar va tengsizliklar tushunchalari yordamida borliqning o’zaro
bog’lanish qonuniyatlarini o’rganish mumkin, bu esa o’quvchilarda ma’lum
darajada qiziqish o’rgatadi. Faqat bugina emas tenglama va tengsizliklarning har
bir mavzusini o’rganishda o’quvchilarning nazariy bilimlarini mustahkamlash
chuqurlashtirish, takrorlash va kengaytirish, natijda esa ularning matematik
faoliyatlarini ijodiy rivojlantirish imkoni yuzaga keladi.
Matematikaning turli bo’limlariga oid masalalarini tenglama va tengsizlik
yordamida yechish arifmetika, algebra, geometriyaning yagona matematika fanining
turli ko’rinishlardagi ifodalari ekanligini anglashga yordam beradi. Ishlab chiqarish,
xalq xo’jaligiga predmetlararo masalalarni tenglama va tengsizliklar yordamida
yechish politexnik ta’limni amalga oshirishga matematika o’qitishni kundalik hayot
bilan bog’lashga, o’qituvchilarni kasbga to’g’ri yo’naltirishga yordam beradi. SHu
sababdan ham o’rta maktabda tenglama va tengsizliklarni o’rganish muhim o’rinni
egallaydi.
Matematiklarning va metodistlarning tenglama tushunchasini yoritish
yuzasidan turli qarashlari mavjud. Ko’pchilik hollarda tenglama masalaning analitik
ko’rinishi sifatida ifodalanib, o’zgarishlarning shunday qiymatlar to’plami
izlanadiki, bunda tenglamaning chap va o’ng tomonidagi ifodalar teng qiymatlarni
qabul qiladi. Bunday yondashish tenglama tushunchasidan foydalanishni birmuncha
chegaralab qo’yadi. “Tenglama” termini ko’pincha masalani yechimiga etibor
qilmay ham ishlatamiz. Masalan, “urinmaning tenglamasi” “nuqta harakatining
tenglamasi” va hokazo.
O’rta maktabda IV-sinf matematika darsligida ishlatilgan ta’rifdan foydalanish
qulay.
Tenglama noma’lumli tenglikdir. Tenglamaga misol qilib, x + 4 = 6,
(x + 3)2 = x 2 + 6x + 9, x + y = xy ifodalarni ko’rsatish mumkin. Tenglama va
tengsizliklarga o’zgaruvchili jumlalarning xususiy bir ko’rinishi sifatida qarashimiz
mumkin. Bu fikrni batafsil qarab o’taylik.
4;
1
8
1
1
4
7
> + .
4 + 7 = 11,
1
4
1
1
5
7
− > ; 22 = 8 −
Bu tenglama va tengsizliklarning chap va o’ng tomoni sonli
ifodalardan iborat bo’lgani uchun ma’noga ega. Bularning har birini chin yoki
yolg’onligi haqida gapirish mumkin. SHu sababdan chap va o’ng tomoni sonli
tenglik va tengsizliklardan iborat bo’lgan ifoda ma’noga ega bo’lsa, jumla sifatida
qarash mumkin.
x
y
= x + 4;
3
x
> 2; x 2 > y 2 o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar jumla
bo’lmaydi. Agar o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) da o’zgaruvchi o’rniga shunday
qiymat qo’yilsaki, unda tenglama (tengsizlik) ning ikkala qismi ham ma’noga ega
bo’lsa, u holda chin yoki sonli tenglik (tengsizlik) hosil bo’ladi. Bu yerda
o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlar qo’yish to’g’risida bormoqda. Demak, har bir
tenglama yoki tengsizlikdagi o’zgaruvchilar o’rniga ma’lum qiymatlarni qo’yganda
chin yoki yolg’on jumlalar hosil bo’ladi.
Bir o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) ni yechimi deb uni to’g’ri sonli
tenglikka (tengsizlikka) aylantiradgan o’zgaruvchining qiymatiga aytiladi. Bir
o’zgaruvchili tenglamaning yechimini uning ildizi deyiladi. Bir necha o’zgaruvchili
tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish ham shunga o’xshash amalga oshiriladi.
Tenglama (tengsizlik) ni yechish uni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarini topish
demakdir.
TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNING TENG KUCHLILIGI.
Matematikada tenglama va tengsizliklarning tengkuchlilik masalasi mazmun
jihatdan juda yaqin va o’zaro bog’liqdir. Biror tenglamaning tenglamalar
sistemasiga, tengsizlikni esa tenglamalarga teng kuchli bo’lishini ko’p uchratish
mumkin.
Misollar keltiraylik :
1. (3x − 6)(5x + 1) = 0 tenglma quydagi ikki 3x − 6 = 0 va 5x + 1 = 0
tenglamalarga teng kuchli.
2.
5x−15
x2 −27
5x − 15 = 0
= 0 tenglama { 2
tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
x + 27 ≠ 0
3. |5 − 3x| = 5 − 3x tenglama qatiyb bo’lmagan 5 − 3x ≥ 0 tengsizlikka
teng kuchli.
4. (x − 7y)2 + (5x − 3y − 4)2 = 0
tenglama
x − 7y = 0
{
5x − 3y − 4 = 0
tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
5 − 2x > 0
5. lg(5 − 2x) < −1 tengsizligi {
tengsizliklar sistemasiga teng
5 − 2x < 0,1
kuchli.
6. (5 − 2x)(1 − 6x) < 0
tengsizligi
5 − 2x < 0
{
1 − 6x > 0
yoki
5 − 2x > 0
{
1 − 6x < 0
tengsizliklar sistemalariga teng kuchli.
7. (x 2 + 4)(10 − x)2 < 0 tengsizligi 10 − x = 0 tenglamaga teng kuchli.
Bu misollardan ko’rinib turibdiki, tenglama, tengsizlik va ularning sistemalari
orasidagi teng kuchlilikni bir-biridan ajratib o’rganish maqsadga muvofiq emas
ekan.
Tengkuchlilik tushunchasi “dan kelib chiqadi” tushunchasiga asoslanadi. Bu
tushunchaning ma’nosini quydagi misolda tushuntiramiz √x + 2 = x tenglamani
x + 2 = x 2 tenglama ko’rinishiga (tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko’tarish
orqali) keltirish mumkin. Bundan ko’rinadiki
ning biror qiymatida √x + 2 =
x tenglama to’g’ri sonli tenglikka aylansa, o’zgaruvchining o’sha qiymatida x +
2 = x 2 tenglamasi ham to’g’ri sonli tenglikka aylanadi. Bundan berilgan tenglikdan
ikkinchi tenglama kelib chiqadi deyiladi. Ikkinchi bir misolni ko’raylik : y < 7
tengsizligidan y < 10 tengsizligi kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham, y ning biror y0 qiymatida berilgan tengsizlik to’g’ri
tengsizlikka aylanadi y0 < 7 . u holda y0 < 7 va 7 < 10 shartidan “kichik”
munosabatning tranzitivlik xossasiga asosan y0 < 10 to’g’ri (chin) tengsizligi kelib
chiqadi, ya’ni y0 soni ikkinchi tengsizlikning yechimi bo’ladi.
Demak, birinchi tengsizlikning har bir yechimi ikkinchi tengsizlikni yechimi
bo’ladi, ya’ni birinchi tengsizlikdan ikkinchi tengsizlik kelib chiqadi.
TENGLAMA,
TENGSIZLIK
VA
ULARNING
SISTEMALARINI
ASOSIY SINFLARINI O’RGANISH METODIKASI.
Tenglama, tengsizlik va ularning sistemalarini ikki gruppaga bo’ish mumkin :
Birinchi gruppa – ratsional tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalari.
Bu gruppada muximlari bir noma’lumli chiziqli tenglamalar, kvadrat tenglamalar
va bularga mos tengsizliklar, ikki noma’lumli chiziqli tenglama (tengsizliklar)
sistemasi hisoblanadi.
Ikkinchi gruppa – irratsional va trantssendent tenglamalar, tengsizliklar va
ularning sistemalari. bu gruppa sostaviga irratsional, ko’rsatkichli, logarifmik,
trigonometrik tenglamalar va ularga tegishli tengsizliklar kiradi.
To’liqsiz o’rta maktab algebra kursida o’quvchilar birinchi gruppaga tegishli
bilimlarini to’liq egallaydilar. Yuqori sinf algebra va analiz assoslari kursida
ikkinchi gruppaga tegishli materiallrni xususiy ko’rinishlari va ularning ayrim
rurlarini o’rganadilar. Umumiy holda to’lig’icha algebra va analiz kurslarida oliy
o’quv yurtlarida tanishadilar.
Turli ko’rinishdagi tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalarini
o’rganish ketma-ketligi turli darsliklarda turlicha talqin etiladi. Bularni asosan
ikkiga ajratish mumkin.
1) Oldin tenglamalar va ularning sistemalari, so’ngra esa tengsizliklar
o’rganiladi. Bunday usul kbadrat uchhadlarni o’rganish bilan tugaydi.
Yuqori sinflarda logarifmik, ko’rsatkichli va trigonometrik tenglamalar va
ularga mos tengsizliklar bir-biriga bog’liq holda o’rganiladi.
2) Asosiy tengsizliklar sinflari o’zlariga mos tenglamalardan so’ng
o’rganiladi. Bu usullarning mavjudligi o’ziga hos ijobiy va salbiy
xususiyatlarga ega.
BIR NOMA’LUMLI CHIZIQLI TENGLAMALAR.
Bu sinfdagi tenglamalarni o’rganishga algebra kursiga birinchi kirishiladi. SHu
sababdan bunday tenglamalarni o’rganish xarakterining muhimligi kelgusidagi
tenglama tengsizliklarni o’rganishda muhim o’rinni egallaydi. Bir noma’lumli
chiziqli tenglamalarni o’rganish borasida tenglama tushunchasini umumiy holda
shakillantirish, tenglama termnini kiritilishi singari savollarga duch kelinadi.
Tenglama tushunchasiga ta’rif berishda o’qituvchi birinchi marta metodik
izlanishga majbur bo’ladi. bunday holatda algebraik usulda yechiladigan bir
noma’lumli birinchi darajali tenglamaga keltiriladigan uncha murakkab bo’lmagan
tekstli masaladan foydalanish maqsadga muvofiq. O’quvchilarning masala yechish
mobaynida diqqatini asosiy usulm bo’lgan umumiy ko’rinishi f(x) = g(x) (bu
yerda f va g lar bir xil noma’lumli ifodalar) bo’lgan algebraik modelga o’tkazishga
qaratilmog’i kerak bo’ladi.
So’ngra o’qituvchi aniq formula analizi orqali darslikdagi tenglama tarifini
beradi va unga tegishli terminlarni kiritadi. Birinchi darajali bir noma’lumli
tenglamaga darsliklarda turlicha ta’ris beradilar. Masalan, Makarechev Y.N. va
boshqalar “Algebra 6-sinflar uchun darslik” (S.A. Telyakovskiy taxriri ostida)
kitobida quydagi ta’rif keltirilgan : Bir noma’lumli tenglama deb
ax = b
ko’rinishidagi tenglamaga aytiladi. Bu yerda x noma’lum, a va b lar ma’lum
sonlardan iborat. Tenglamaga berilgan bunday ta’rif juda tor ma’noga ega bo’lib,
xattoki eng sodda masalalarni yechishga ham yetarli emas.
SH. A. Alimov va boshqalarning “Algebra 6-8-sinflar uchun” kitobida birinchi
darajali bir noma’lumli tenglamaga aniq ta’rif berilmay, misollar yechimlari orqali
tushuntiriladi. Kitobda asosiy e’tibor ketma-ket shakl almashtirish qoidasidan
foydalanilgan holda tenglama ax = b ko’rinishiga keltirilishi ko’rsatiladi. Bu usulda
o’quvchilar tenglama haqida yetarli hajmda tasavvurga ega bo’la olmaydi.
Tenglama ta’rifi turli ko’rinishda berilgan bo’lsa ham uni o’rganish metodikasi
esa asosan birxildir. Birinchi darajali bir noma’lumli tengalamalarn o’rganishda
o’quvchilar quydagi bilimlarni egallashlari lozim : berilgan tenglamani yechish
algoritmini bilish, tenglama yechimini tekshirish natijalarini qo’llay olish,
tenglamalar umumiy nazariyasidagi asosiy tushunchalarni bilishlari, tekstli
masalalarni yechishda shu sinfdagi tenglamalarni qo’llay olishlari lozim.
IKKI NOMA’LUMLI IKKI CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI.
Bir noma’lumli chiziqli tenglamalar yordamida birgina noma’lum bo’lgan,
yoki noma’lumlari ichidan bittasini boshqaari orqali ifodalash mumkin bo’lgan
tenglamalarni yechish mumkin.
Ko’pchilik hollarda bir xil xossali birnecha parametrli hodisalar bayon etilishi
mumkin. Bunday hodisalarni o’rganish uchun yangi algebraik vosita talab etiladi.
SHunday vositalardan biri sifatida algebra kursida ikki noma’lumli ikki chiziqli
tenglamalar sistemasi olinadi. Bunday usul yuqoridagi tenglamalar sinfini o’rganish
metodikasiga asoslanadi. Mavzuni bayon etishni quydagi masalaga oxshash
masalani yechish bilan boshlash yaxshi ntija beradi.
Masala. Bir oila o’z tomorqasiga 41,4 so’mga 26 tup olma va 15 tup gilos
ko’chati, ikkinchi olia esa shu narxda 34,2 so’mga 22 tup olma, 12 tup gilos ko’chati
o’tqazdi. Har bir tub olma va gilos ko’chatini narxini aniqlang.
Bu masalani eng avval bir noma’lumli tenglama yordamida yechish maqsadga
muvofiq. Buning uchun bir tup olma ko’chatini narxini x desak, 26 tup olma ko’chati
26x so’m bo’ladi, 15 tup gilos ko’chati esa 15(41,4 − 26x) so’m bo’ladi. Bir tup
gilos ko’chati 41,4 − 26x so’m bo’ladi. Ikkala oila ko’chatlarini bir xil narxda
olgani uchun quydagi tenglamani tuzamiz :
41,4−26x
15
=
34,2−22x
12
Tenglamani yechib x = 0,9 (bir tub olma ko’chat narxi topildi). Gilos
ko’chatini narxini topish uchun tenglamadagi ixtiyoriy bir ifodaga qo’yib 1,2
natijaga ega bo’lamiz.
Demak, olma ko’chati 0,9 so’m, gilos ko’chati esa 1,2 so’m ekan. SHu masalani
ikki harf – ikki noma’lum yordamida qanday yechishni ko’raylik. Olma ko’chati
narxini x so’m, gilos ko’chati narxini esa y so’m deb belgilasak, masalaning shartiga
asosan quydagi tenglamalarni tuzamiz.
26x + 15y = 41,4
{
22x + 12y = 34,2
Masalani yechish uchun ikkala tenglamani ham qanoatlantiruvchi x va y ni
qiymatlarini topish kerak, ikkinchi xil aytganda tenglamalarni birgalikda yechish
kerak. SHunday hollarda birinchi darajali, ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi
berilgan deyilib, ikkalasini birgalikda qavsga olinadi.
26x + 15y = 41,4
{
22x + 12y = 34,2
O’quvchilarga masalaning yuqorida berilgan qiymatlari sistemali javoblari
bo’lish bo’lmasligini mustaqil tekshirib ko’rish topshiriladi. Bunday masalalarni
yechgandan so’ng sistemaga ta’rif berish mumkin :
1) Bir xil noma’lumlar bitta kattalikni ifodalovchi ikki yoki birnechta tenglama
- tenglamalar sistemasini tashkil etadi.
2) Ikki tenglama sistemasini yechish undagi noma’lumlarni qanoatlantiruvchi
qiymatlarini topish demakdir. Noma’lumlarni qanoatlantiruvchi shunday
qiymatlar juftiga sistemaning yechimi deyiladi. Bunday tushuncha bilan
ikki noma’lumli tenglamaning yechimi ixtiyoriy son bo’lmay balki
tartiblangan juftidan iborat muxim yangi tasavvurga ega bo’ladi.
Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini
{
a1 x + b1 y = c1
a 2 x + b2 y = c 2
Umumiy ko’rinishini ko’rsatish foydali bo’ladi. Mavzuni o’tishda, o’rniga qo’yish,
qo’shish usullari yordamida ikki noma’lumli ikki tenglama, sistemasini mustaqil
yechishga va bunday sistemaga keluvchi masalalarni hal qilish ko’nikmalariga ega
bo’lishga o’quvchilarni diqqatlarini qaratmoq kerak. Ikki noma’lumli ikki tenglama
sistemasini grafik usulda yechishda sistemaning yagona cheksiz ko’p yechimlariga
ega bo’lgan hamda yechimlari mavjud bo’lmagan hollarga alohida e’tibor qilish
lozim bo’ladi.
KVADRAT TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda kvadrat tenglamalarni yechish va u yordamida
masalalarni hal qilish muhim o’rinni egallaydi. SHu sababdan bu mavzuni o’tishda
o’qituvchidan kvadrat tenglamani turli ko’rinishlarini yechishni sodda va qulay
usullarini, eng muhimi kvadrat tenglama keltiriladigan masalalarni yechish
ko’nikmalarini o’quvchilariga puxta o’rgatishga alohida e’tibor qilish lozim. a2 x 2 +
bx + c = 0 (bu yerda a ≠ 0) ko’rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi.
Kvadrat tenglama ildizlarining soni b − 4ac ifodaning musbat, manfiy yoki nolga
teng bo’lishiga bog’liq. b = 4ac ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi
va odatda D harfi bilan belgilanadi.
Agar :
1) D < 0 bo’sa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.
2) D = 0 bo’lganda tenglama −
b
2a
yagona ildizga ega bo’ladi.
3) D > 0 bo’lganda esa berilgan tenglama ikkita ildizga
−b−√D
2a
va
−b+√D
2a
ega
bo’ladi. umumiy holda (bu yerda D = b2 − 4ac) ko’rinishida yoziladi.
Ko’pchilik algebra kitoblarida yuqoridagi formuladan tashqari keltirilgan
p
kvadrat tenglama x 2 + px + q = 0 uchun quydagi formuladan x1,2 = − ±
2
d
D
4
4
√ bu yerda
p
= ( )2 − q foydalaniladi. Kvadrat tenglamani yechishni
2
o’quvchilar 7-sinfda o’rganadilar. Keyingi sinflarda esa bu mavzuga doir
har xil misol va masalar orqali uni takrorlaydi va ayrim xossalari bilan
tanishadilar. h(x) = 0
(bu yerda h(x) – uchinchi yoki undan yuqori
darajada bo’lgan ko’phad) korinishidagi tenglamalarni, berilgan ko’phad
birinchi yoki ikkinchi darajali ko’phadga ega bo’lgan ko’paytuvchilarga
ajratish bilan, yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yoki ax 4 + b = 0, (a ≠
0) ko’rinishiga keltirish bilan yechadilar. Aytaylik y 3 − y 2 − 16y + 16 =
0 ko’rinishidagi tenglamani yechish lozim bo’lsin. tenglamadagi ko’phadni
ko’paytuvchilarga ajratib quydagiga ega bo’lamiz :
(y − 1)(y + 4)(y − 4) = 0,
y − 1,
y + 4,
y−4
Ifodaning har biri y ning har qanday qiymatida ma’noga ega bo’lgani uchun
berilgan tenglama y − 1 = 0 yoki y + 4 = 0 yoki y − 4 = 0 tenglamalariga teng
kuchli. Demak, berilgan tenglamaning yechimlari -1, -4, 4 sonlardan iborat.
Sakkiz yillik maktablarda yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yechiladigan
tenglamalarga misol qilib ax 4 + bx 2 + c = 0,
(a ≠ 0) bikvadrat tenglamani
ko’rsatish mumkin. Bu tenglamani yechishga doir aniq misol ko’raylik 3x 4 −
13x 2 + 1 = 0
Tenglamadagi x 2 = y orqali belgilab, 3y 2 − 13y + 1 = 0 ga ega bo’lamiz.
Butenglamani yechib
1
4
va
1
9
ikkita ildizga ega bo’lamiz. Demak, berilgan bikvadrat
1
1
1
4
9
2
tenglama x 2 = yoki x 2 = larga teng kuchli bo’ladi. bu tenglamalarni yechib − ,
1
2
1
1
3
3
;− ;
qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni berilgan bikvadrat tenglamaning
ildizlari bo’ladi. ax n + b = 0 ko’rinishidagi tenglamani unga teng kuchli x n = −
n
toq bo’lganda bu tenglamani x = √−
tenglamaga almashtirish mumkin. n −
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
tenglamaga teng kuchli bo’ladi. n − juft bo’lganda : − < 0 ; − = 0 ; − > 0
b
bo’lganda, x n = −
hollari bo’lishi mumkin. − < 0
a
b
b
a
a
emas. − = 0 bo’lganda x n = −
0 bo’lganda esa x n = −
b
a
b
a
tenglama yechimga ega
b
tenglama birgina yechimga ega bo’adi. − >
a
n
tenglama √−
b
a
n
va − √−
b
a
ikkita ildizga ega bo’ladi.
Demak, f(x) va g(x) ifodalar butun bo’lganda f(x) = g(x) ko’rinishidagi chiziqli
yoki kvadrat tenglamaga teng kuchli bo’lgan har qanday tenglamani o’quvchilar
yecha oladilar. Agar ko’rib o’tilgan tenglamalar h(x) = 0, (h(x) − uchinchi yoki
undan katta darajali bo’lgan ko’phaddan iborat) tenglamaga teng kuchli bo’lsa, u
holda bunday bunday tenglamalarni o’quvchilar maxsus ko’rinishtagilarnigina
yecha oladilar. Endi f(x) va g(x) lar ratsional ifodalar, kamida bittasi kasrli bo’lgan
f(x) = g(x) ko’rinishidagi tenglamani yechishni ko’raylik. Uni aniq misollarda
ko’ramiz.
3
2y−1
+
7
2y+1
=
4−20y2
(1)
1−4y2
Tenglamasi berilgan bo’lsin. Tenglamani
4−20y2
1−4y2
hadini teskari ishora bilan
tenglikning chap tomoniga o’tqazib nolga tenglashtiramiz.
3
2y−1
(1)
+
7
2y+1
−
4−20y2
1−4y2
= 0 (2)
tenglama (2) ko’rinishga keltirilganda uning ildizi yo’qolishi yoki
yangidan ildizga ega bolishi mumkin. Haqiqatdan
4y 2 ≠ 0
4−20y2
1−4y2
qiymatlarida aynan nolga teng. 1 − 4y 2
−
4−20y2
1−4y2
ifoda y ning 1 −
ni nolga aylantiradigan
qiymatlarida yangidan ildizga ega bo’lishi mumkin. bu qiymatlar (2) tenglamaning
ildizlari bo’la olmaydi, chunki bu qiymatlarda
4−20y2
ifoda o’z ma’nosini
1−4y2
yo’qotadi. SHu tariqa muhokama yuritib f(x) va g(x)
ratsional ifodalar va
bularning kamoda bittasi kasrli bo’lganda f(x) = g(x) tenglama f(x) − g(x) = 0
tenglamaga teng kuchli bo’ladi. yuqorida ko’rib o’tgan misolga qaytaylik
3
7
4 − 20y 2
+
=
2y − 1 2y + 1
1 − 4y 2
Kasrlarning yig’indisi keltirib, quydagi tenglamaga ega bo’lamiz
20y 2 − 20y 2
=0
1 − 4y 2
(3)
(3)tenglamaga (2) va (1) tenglamalarga teng kuchli bo’ladi. f(x) − g(x) kasrli
ifodani surat va maxraji ko’phadlardan iborat bo’lganda f(x) − g(x) = 0
tenglamani almashtirish natijasida o’ziga teng kuchli bo’lgan
har doim o’tish mumkinmi ?
Buni aniq misollarda ko’raylik.
f(x)
g(x)
= 0 tenglamaga
1-misol.
y3 −4y
y−2
−
4y2
y−2
=0
(4)
tenglamani
y3 −4y−4y2
y−2
= 0 ko’rinishiga
keltiramiz.
Tenglamaning chap tomonidagi ifodalarni qisqartirib, quydagiga ega bo’lamiz.
y(y − 2) = 0 (5)
(5) tenglama (4) ga teng kuchli emas.
Haqiqatdan 2 soni (5) tenglamani qanoatlantiradi, (4) ni esa qanoatlantirmayni.
CHunki ayniy almashtirishda teng kuchlilikka zid ish qilindi, natijada torroq
aniqlanish sohasidan unga nisbatan kengroq aniqlanish sohasiga o’tildi, ya’ni
y3 +4y−4y2
y−2
ifoda y ≠ 2 dan boshqa hamma qiymatlarda aniqlangan. y(y − 2)
oifodasi esa y ning istalgan qiymatida aniqlangandir.
2-misol.
y2 −9
y
+
Bu tenglamada
y2 −9
y
1
y−3
−
1
y−3
1
y−3
−
= 0 (6)
1
y−3
ayirmani nol soni bilan amashtiramiz. U holda
= 0 (7) tenglikka ega bo’lamiz. (7) tenglama 6 tenglamaga tengkuchli emas,
chunki o’zgaruvchi y ning shunday qiymati (3 soni) mavjudki, u (7) ni
qanoatlantiradi, (6)ni esa qanoatlantirmaydi. Bu yerda tengkuchlilik buzilgan,
ifodaning aniqlanish soxasi
y2 −9
y
+
1
y−3
−
1
y−3
y2 −9
y
ifodaning aniqlanish sohasidan
kengroq.
Kamida bittasi kasr bo’lgan f(x) − g(x) ratsional ifodani
almashtirilganda f(x) va g(x)
f(x)
g(x)
kasri bilan
ko’phadlarda bajarilgan ayniy almashtirishlar
aniqlanish sohalarini o’zgartirmasa, u holda
f(x)
g(x)
= 0 tenglamasi f(x) − g(x) = 0
tenglamasiga , bundan esa f(x) = g(x) ga teng kuchli bo’ladi. demak,
(4)
tenglamaga
0 yoki
y2 +4y−4y2
y−2
y3 −9y−3y2 +27
y2 −3y
tenglama teng kuchli. (6) tenglamaga esa
=0
(y2 −9)(y−3)+y−y
y(y−3)
=
tenglamasi teng kuchli.
Xulosa qilib aytganda yuqorida ko’rib o’tgan tenglamaning har xil ko’rinishlari
bilan o’quvchilar VII sinfda tanishadilar. Bu usul “traditsion usul” hisoblangan
maxrajini tashlab yuborish usulidan qatiy ustunlikka ega.
O’ZGARUVCHISI MODULGA TEGISHLI TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli sodda tenglamalar
o’rganiladi. Bunday tenglamalarga |ax + b| = c ni ko’rsatish mumkin. bunday
tenglamalarni yechishda modulning ta’rifiga asosan quydagilarni e’tiborga olish
kerak : c < 0, c = 0, c > 0. Agar c < 0 bo’lsa |ax + b| = c tenglama ildizga
ega bo’lmaydi. c = 0 bo’lsa, |ax + b| = c tenglama ax + b = c ga teng kuchli,
c > 0 bo’lganda esa |ax + b| = c tenglama ax + b = c yoki ax + b = −c larga
teng kuchli bo’ladi.
Undan tashqari VIII sinf o’quvchilari |ax + b| = ax + b yoki |ax + b| =
−|ax + b|
ko’rinishidagi tenglamalar bilan ham tanishadilar. Bunday
tenglamalarga misol qilib √x 2 = x, √x 2 − 4x + 4 = 2 − x
tenglamalarni
ko’rsatish mumkin. Agar m ≥ 0 bo’lgandagina |m| = m tengligi to’g’ri bo’ladi,
m ≤ 0 bo’lganda esa |m| = −m bo’ladi. SHuning uchun ham |ax + b| = ax + b
tenglama ax + b ≥ 0 ga tengkuchli, |ax + b| = −(ax + b) tenglamasi esa ax +
b ≤ 0 ga tengkuchlidir. Bir noma’lumli tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega
bo’lgan hol bilan o’quvchilar “Sonning butun va kasr qismi” mavzusi bilan
tanishganlarida duch keladilar. Masalan, [x] = 2 da [x] − x ning butun qismini
ifodalaydi va 2 ≤ x ≤ 3 tengsizligiga tengkuchli bo’lib, tenglamaning yechimi
[2; 3) oraliqda joylashgan bo’ladi. [x] = 2 va 2 ≤ x < 3 larning tengkuchliligi
sonini butun qismi ta’rifidan kelib chiqadi. Sonning kasr qismi ta’rifidan {x} =
0,02 (bu yerda {x} − x ning kasr qismi) ning yechimi P + 0,2 PϵZ sonlaridan iborat.
Irratsional ko’rsatkichli va
logarifmik tenglamalarni boshqa paragrafda
qaraymiz.
BIR O’ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR.
f(x) va g(x) butun ifodalar bo’lganda f(x) ≷ g(x) ko’rinishdagi tengsizliklar.
Sakkiz yillik maktablarda o’ng va chap tomoni butun ifodalar bo’lgan bir
o’zgaruvchili tengsizliklar qaraladi.
Tenglamalarda ko’rib o’tganimizdek, chap va o’ng tomonlari butun ifodalar
bo’lgan f(x) ≷ g(x) tengsizlikni ikki tomonga −g(x) ifodani qo’shib,
ayniy
almashtirishlardan so’ng berilgan tengsizlikka tengkuchli bo’lgan h(x) ≶ 0(h(x) −
biror ko’phad tengsizlikni hosil qilamiz h(x) ko’phadning darajasiga bog’liq
bo’lgan quydagi ko’rinishdagi tengsizliklar hosil bo’lishi mumkin :
ax + b ≷ 0
(a ≠ 0)
ax 2 + bx + c ≷ 0
(a ≠ 0)
ax 3 + bx 2 + cx + d ≷ 0
(a ≠ 0) va h.k.
Biz ax + b ≷ 0 va ax 2 + bx + c ≷ 0 (a ≠ 0) singari tengsizliklarni o’rganish
bilan chegaralanamiz.
ax + b ≷ 0
ko’rinishdagi tengsizlik deyiladi. ax + b ≶ 0
tengsizlikni
yechishni ko’raylik. Bunday tengsizlikni yrchishda a ≠ 0 va a = 0 hollar bo’lishi
mumkin.
b
a ≠ 0 bo’ganda ax + b < 0 tengsizlikning yechimi (− ; +∞)
a
b
yoki
(−∞; − ) oraliqlarda bo’ladi. a = 0 va b < 0 bo’lganda ax + b < 0 ning
a
yechimi (−∞; +∞) oraliqda joylashgan bo’ladi.
a = 0 va b > 0 bo’lganda ax + b < 0 tengsizlik yechimga ega o’lmaydi.
ax + b > 0 tengsizligi ham yuqoridagi usulda yechiladi. a ≠ 0 bo’lganda bu
b
b
tengsizlikning yechimi (− ; +∞) yoki (−∞; − ) oraliqda joylashgan bo’ladi.
a
a
a = 0 va b ≤ 0 bo’lganda ax + b ≥ 0 tengsizlikning yechimi mavjud emas. a =
0, b > 0
bo’lganda esa yechimlari (−∞; +∞)
oraliqda joylashgan bo’ladi.
CHiziqli tenlama va chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmlari bir-biriga o’xshash.
SHu sababdan bu tomonlarni birgalikda o’rganish chiziqli tengsizliklarni yechish
algoritmini o’rganishni osonlashtiradi. Biroq o’quvchilar bu ikki mavzuni birgalikda
o’rganishda tengsizlik ishoralarini to’g’ri baholamaydilar.
SHuning uchun o’qituvchi bu borada o’quvchilar bilan maxsus ish olib
borishga to’g’ri keladi. Ko’pchilik matematik masalalarda bir o’zgaruvchili chiziqli
tengsizliklar sistemasini yechish bilan uni to’g’ri hal qilishga to’g’ri keladi.
2x − 1 ≥ 0
Masalan, √2x − 1 + √3 − x ifodalarni aniqlash sohasini topish uchun {
3−x≥0
sistemani yechimini topish, yoki
2x−5
3−x
> 0 tengsizlikni yechish uchun esa
2x − 5 > 0
2x − 5 < 0
va {
sistemalarni yechib, yechimlar birlashmasini topish
{
3−x>0
3−x<0
lozim bo’ladi. shu sababdan algebra kursida bir o’agaruvchili chiziqli tengsizliklar
sistemsini o’rganishga alohida e’tibor qilinadi. Sistemani yechishda, undagi har bir
tengsizlik alohida yechilib, sistema uchun javob ularniing umumiy qiymatlari
olinadi.
Sistemalar ikkidan ortiq tengsizlik ishtirok etsa ularga tengkuchli bo’lgan ikki
tengsizlikdan
sistenaga
keltiriladi.
Sakkizlik
yillik
maktablarda
chiziqli
tengsizliklardan tashqari ax 2 + bx + c ≷ 0 ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda
y = ax 2 + bx + c funksiya grafigini abstsissa o’qiga nisbatan joylashishiga e’tibor
qilinadi. Bunda ikta shart mavjud :
I.
ax 2 + bx + c kvadrat uchhadning D diskriminantining qiymati musbat,
nol yoki manfiy bo’lishi mumkin.
II.
a − koeffisientining ishorasining belgisi qanday ?
Agar D > 0 bo’lsa, parabola abstsissa o’qini ikki nuqtada kesadi, agar D = 0
bo’ganda parabol uni abstsissa o’qi bilan kesishadi, D < 0 bo’lganda esa parabola
abstsissa o’qi bilan umumiy nuqtaga ega emas. a − koeffisientining ishorasi
parabolaning “tarmoq” larga bog’liq bo’ladi. a > 0 bo’lganda parabola tarmoqlari
yuqoriga, a < 0 esa pastga qaratgan bo’ladi.
Bulardan chiqib, y = ax 2 + bx + c
funksiyasining grafigini koordinatalar
yekkisligida sxematik tasvirlashimiz mumkin.
Tasvirda parabola uchini koordinatalari, ordinata o’ziga nisbatan vaziyati bizni
qiziqtirmaydi. Bizni faqat parabola abstissa o’qi bilan kesishadimi ? kesishsa nacha
nuqtada va qanday nuqtalarda kesishishligi hamda parabola tarmog’ini yo’nalishi
qiziqtiradi. Bu aytilganlarni aniq misolda ko’rib o’taylik. bizga 3x 2 − 10x + 8 > 0
tengsizligi berilgan bo’lsin 3x 2 − 10x + 8 uchhadni diskriminantini hisoblab D =
4 ni topamiz. D > 0 ekan. y = 3x 2 − 10x + 8 funksiya grafigi abstsissa o’qini ikki
1
nuqtada kesib o’tadi. Bu nuqtalar 1 va 2 lardan iborat. Parabola tarmoqlari yuqori
3
1
qaraganigina hisobga olib, parabola x lari o’qining 1 va 2 nuqtalaridan o’tishligini
3
bilamiz. CHizamad foydalanib, 3x 2 − 10x + 8 > 0
tengsizlikning yechimini
1
quydagicha yoza olamiz : (−∞; 1 ) ∪ (2; +∞). Misollar ishlashda har doim
3
parabolani chizish shart emas. Berilgan qiymatlarga asosan, parabolani fikridan
tasavvur etib, tengsizliklarning javobini yozish lozim. ax 2 + bx + c
kvadrat
uchhadning D diskriminantini manfiy bo’lsa, kvadrat uchhaddan ikkihadning
kvadratini sjratib olib, ax 2 + bx + c ifodasining har doim musbat, yoki har doim
manfiy ekanigini bilish mumkin va uni ax 2 + bx + c = 0 yoki ax 2 + bx + c < 0
tengsizlik yechimi uchun ifodalanish mumkin, misol uchun 4x 2 + 4x + 5 < 0
tengsizlikdagi kvadrat uchhadning diskriminanti manfiy, uni o’ziga teng kuchli
bo’lgan (2x + 1)2 + 4 < 0 tengsizlik bilan almashtiramiz. Tengsizlikning yechimi
mavjud emas. SHunga asosan, berilgan tengsizlikning yechimi ham mavjud emas.
Endi 25x 2 + 30x + 12 > 0 tengsizlikni ko’raylik. Uning diskriminanti ham manfiy
berilgan tengsizlikning o’ziga teng kuchli bo’lsa (5x + 3)2 + 3 > 0 tengsizlikka
keltiramiz. Bunday tengsizlikning yechimi butun sonlar o’qidan ya’nin (−∞; +∞)
dan iborat.
Agar D = 0 bo’sa, ax 2 + bx + c ≷ 0 ko’rinishdagi tengsizlik yoki yechimga
ega bo’lmaydi yoki ax 2 + bx + c
uchhdni ildizidan boshqa x − ning hamma
qiymatlariga tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Misol ko’raylik, 9x 2 − 6x + 1 < 0 tengsizligi (3x − 1)2 < 0 tengsizligiga
tengkuchli. Keyingi tengsizlik x ning harqanday qiymatida ham manfiy
bo’lolmasligi uchun tengsizlik yechmga ega emas. 4x 2 − 4x + 1 > 0 tengsizligini
ko’raylik bu tengsizlik (2x − 1)2 > 0
tengsizligiga teng kuchli. Demak, x ning
1
2
dan boshqa hamma qiymatlarida tengsizlik o’rinli. Tengsizlikni qanoatlantiradigan
1
1
2
2
soha (−∞; ; ) ∪ ( ; +∞)
dan iborat. Agar D > 0 bo’lsa, ax 2 + bx + c ≷ 0
tengsizlikni yechish uchun undagi kvadrat uchhadni ko’paytuvchilarga ajratib,
ko’paytmani musbat (manfiy) dan foydalaniladi. Masalan, : 2x 2 − 5x + 2 > 0
tengsizligi 2(x − 0,5)(x − 2) > 0 tengsizligiga tengkuchli. So’nggi tengsizlik esa
x − 0,5 > 0
{
x−2>0
yoki {
x − 0,5 < 0
sistemalarga tengkuchli. Demak, tengsizlikni x
x−2<0
ning (−∞; 0,5) ∪ (2; +∞) oralqdagi qiymatlari qnoatlantiradi. f(x) va g(x) –
ratsional ifodalar bo’lib, ularning kamida biri kasr bo’lgan f(x) ≷ g(x) ko’rinishdagi
tengsizliklar.
SHunday
ko’rinishdagi
tenglamalarga
o’xshash
f(x) ≷ g(x)
tengkuchli bo’lgan f(x) − g(x) ≷ 0 tengsizlikka keltirish mumkin. f(x) − g(x)
ifodani surat maxraji ko’phad bo’gan o’ziga aynan teng
f(x)
g(x)
kasrga keltirish
mumkin. agar shunday shakl almashtirishlar bajarilganda ifodaning aniqlash sohasi
o’zgarmasa, u holda f(x) − g(x) ≷ 0 tengsizligiga tengkuchli bo’lgan
f(x)
g(x)
≷0
tengsizlikka ega bo’lamiz. Agr shakil almashtirishlar natijasida berilgan
tengsizlikning aniqlanish sohasidan kengroq tengsizlik
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≷ 0 yuzaga kelsa, u
holda berilgan tengsizlik, hosil bo’lgan tengsizlik bilan 𝑥 ning olishi mumkin
bo’lmagan qiymatidan tuzilgan tengsizlik sistemasiga tengkuchli bo’ladi.
Mamanfiy bo’lmagan salan,
𝑥2
𝑥−3
−
9
𝑥−3
>0
(1) tengsizligiga
tengsizligiga teng kuchli. Agar kasrda qisqartirishni bajarsak
𝑥 2 −9
𝑥−3
𝑥 2 −9
𝑥−3
>0
kasr ifoda o’rniga
𝑥 + 3 butun ifodaga ega bo’lamiz. Bu tengsizlik (1) ga tengkuchli emas. Haqiqatdan
𝑥 + 3 > 0 tengsizligi (−3; +∞) oraliqdagi ixtiyoriy sonlarni qanoatlantiradi. SHu
jumadan 3 sonini ham. (1) tengsizliklarni esa 3 soni qanoatlantirmaydi. SHuning
𝑥+3>0
uchun ham (1) tengsizlikka tengkuchli bo’lgan quydagi {
sistemaning
𝑥≠3
yechimi berilgan tengsizlikni qanoatlantiradi.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≷ 0 tengsizlikni yechimi,
tengsizlikdagi sonli kasrni musbat (manfiy) bo’lishligi surat va maxraji bir xil
tengsizlikdan (har xil tengsizlikdan) iborat bo’lishligiga bog’liq. SHuning uchun
ham
𝑓(𝑥) > 0
𝑓(𝑥) < 0
> 0 tengsizligi {
yoki {
sistemaga teng kuchli.
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) > 0
𝑔(𝑥) < 0
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) > 0
𝑓(𝑥) < 0
< 0 tengsizligi esa, {
yoki {
sistemasiga teng kuchli.
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) < 0
𝑔(𝑥) > 0
𝑓(𝑥)
Sakkiz yillik maktablarda
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≷ 0 ko’rinishdagi tengsizliklarni 𝑓(𝑥) 𝑣𝑎 𝑔(𝑥)
ifodalar chiziqli ikkihadli bo’lgan yoki ulardan chiziqli ikkihad bo’lgan, ikkinchisi
esa faqat musbat (manfiy bo’lmagan) qiymatlar yoki faqat manify (musbat
bo’lmagan) qiymatlarni qabul qiladi.
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
≷ 0 ko’rinishdagi tengsizlikni chiziqli tengsizliklar sistemasiga keltirib
yechiladi.
Masalan,
5𝑥−1
𝑥−4
5𝑥 − 1 > 0
5𝑥 − 1 < 0
> 0 tengsizligi {
yoki {
har bir
𝑥−4>0
𝑥−4<0
1
sistemani yechimini topib, ularni birlashmasini topamiz (−∞; ) ∪ (4; +∞) . agar
5
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≷0
tengsizligiga ifodalardan biri o’z ishorasini saqlasa, u holda ikkita
sistemani yechishning xojati yo’q. Haqiqatdan,
teng kuchli,
5+3𝑥
(𝑥−4)2
0 tengsizligi {
4𝑥−1
𝑥 2 +8
< 0 tengsizligi 4𝑥 − 1 < 0 ga
5 + 3𝑥 > 0
sistemasiga teng kuchli.
𝑥−4≠0
O’ZGARUVCHISI
MODULGA
TEGISHLI
BO’LGAN
TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli bo’lgan quydagi
ko’rinishdagi tengsizliklar |𝑥 − 𝑎| < 𝑏 va |𝑥 − 𝑎| > 𝑏 uchraydi.
Bunday tengsizliklarni yechish koordinatasi to’g’ri chiziqli nuqtala orasidagi
masofa tushunchasiga asoslangan.
|𝑥 − 2| < 6 tengsizlikni yechish kerak bo’lsin.
|𝑥 − 2| − ifoda koordinatalar to’g’ri chizig’ida koordinatalari 𝑥 va 2 ga teng
bo’lgan masofani bildiradi. Bu holda berilgan masalani boshqacha ifodalash
mumkin : koordinatasi 2 son bo’lgan nuqtadan uzoqda 6 birlikdan ham bo’lgan
nuqtalarning koordinatalari to’plamini toping. Koordinatasi 2 bo’lgan nuqtadan 6
oraliq uzoqda bo’lgan nuqtalarni koordinatalari -4 va 8 bo’ladi. shu nuqtalar
orasidagi hamma nuqtalar koordinatasi 2 nuqtadan 6 birlik kichik bo’lgan
nuqtalardir. U holda |𝑥 − 2| < 6 tengsizlik −4 < 𝑥 < 8 tengsizligiga teng kuchli
bo’lib, uning yechimi (-4,8) oraliqda bo’ladi. shuningdek |𝑥 − 2| > 6 tengsizligi
ham 𝑥 < −4 yoki 𝑥 > 8 tengsizliklariga teng kuchli bo’lib, uning yechimlari
to’plami (−∞; −4) ∪ (8; +∞) oraliqlarda bo’ladi.
Agar tengsizlik |𝑥 + 𝑎| ≷ 𝑏 bo’lib, 𝑎 musbat son bo’lganda, bu tengsizlikning
yechimini |𝑥 − (−𝑎)| ≷ 𝑏 ko’rinishda yozish qulayroq. |𝑥 − 𝑎| < 𝑏 va |𝑥 − 𝑎| >
𝑏 tengsizliklarini yuqoridagi usuldan boshqacha, ya’ni sonning moduli ta’rifidan
foydalanib yechish ham mumkin.
Masalan, |𝑥 − 2| < 6
tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritish
mumkin. Moduli 6 kichik bo’lgan sonlar (−5,5) oraliqda joylashgan bo’ladi.
|𝑥 − 2| < 6 tengsizligini quydagicha yozish mimkin :
−6 < 𝑥 < −2 < 6 bundan −4 < 𝑥 < 8. Demak, berilgan tengsizlikning
yechimlar to’plami (−4; 8) oraliqda joylashgan bo’ladi. shuningdek |𝑥 − 2| > 6
tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritamiz. Modul 6 dan katta sonlar -6 dan
kichik +6 dan katta sonlar hisoblanadi, uholda |𝑥 − 2| > 6 tengsizligiga 𝑥 − 2 <
−6 yoki 𝑥 − 2 > 6 tengsizliklar teng kuchli ulardan esa 𝑥 < −4 yoki 𝑥 > 8 kelib
chiqadi. Berilgan tengsizlikning yechimi (−∞; −4) ∪ (8; +∞) dan iborat.
Qo’shimcha mashg’ulotlarda, ko’rib o’tilgan misollardan murakkabroq
topshiriqlar berish mumkin. masalan, 2 < |𝑥 − 1| < 3 tengsizligini yechish talab
etilsin. Bu qo’sh tengsizlikni rquydagi ko’rinishda yozish mumkin. {
|𝑥 − 1| > 2
|𝑥 − 3| < 3
ularning har birini yechib, yechimlar to’plamning kesishmasini (umumiysini)
yozamia. (−2; −1) ∪ (3; 4);
2 < |𝑥 − 1| < 3 tengsizlikni boshqacha yozish
ham mumkin. buning uchun 𝑥 ≥ 1 va 𝑥 > 1 bo’lgan hollarni alohida qaraymiz.
Agar 𝑥 ≥ 1 bo’lsa, u holda |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 bo’ladi. berilgan tengsizlik 2 < 𝑥 −
1 < 3 ko’rinishga kelib, −2 < 𝑥 < −1 natijani olish mumkin.
Agar 𝑥 < 1 bo’lsa, uholda |𝑥 − 1| = 1 − 𝑥 bo’ladi. berilgan tengsizlik 2 <
|1 − 𝑥| < 3 ko’rinishiga kelib, −2 < 𝑥 < −1 natija olish mumkin. u holda 2 <
|𝑥 − 1| < 3
tengsizligini yechimi 3 < 𝑥 < 4
va
−1 > 𝑥
bo’lib, ularning
birlashmasi (−2; −1)(3; 4) dan iborat.
IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda irratsional tengsizliklar ham irratsional tenglamalar
singari o’ziga mos funksiya xossasini o’rganish prossesida o’rganiladi. Demak,
4
irratsional tengsizliklar 𝑦 = √𝑥 funksiyaning xossasini o’rganishga asoslanadi.
4
Faqat √𝑥 ≷ 𝑐 (𝑐 −ixtiyoriy son) ko’rinishdagi tengsizlik o’rganilib, uning yechimi
irratsional tenglama yechimi bilan birga o’rganiladi. Masalan,
a)
3
√𝑥 = 2;
3
√x > 2;
3
√x < 2
b)
4
a)
Topshiriqda √x = 2 da x = 8 bo’ladi, y = √8 funksiyasi o’suvchi va
√x = 3;
4
√x > 3;
4
√x < 3
3
3
3
x ning har qanday qiymatida aniqlanganligidan foydalanib ( √x > 2) dan x > 8,
3
( √x < 2) dan 8 > x kelib chiqadi.
Demak, birinchi tengsizlik uchun (8, +∞)
oraliqdagi ikkinchisi uchun
(−∞, 8) oraliqdagi qiymatlar toplami javob bo’ladi.
4
Topshiriqda √x = 3 dan x = 81 bo’ladi.
b)
4
So’ngra y = √x funksiyani aniqlanish soxasi va o’suvchiligini hisobga olib,
quydagini yozish mumkin
4
( √x > 3) dan x > 81,
4
( √x < 3) dan x < 81
Birinchi tengsizlik uchun (81, +∞) , ikkinchisi uchun (−∞, 81) oraliqdagi
qiymatlar javob bo’ladi.