Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
Aula 03
Análise no Domı́nio do Tempo
de Sistemas em Tempo Discreto
Eduardo Peixoto
Departamento de Engenharia Elétrica
Faculdade de Tecnologia
Universidade de Brası́lia
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Sumário
Aula 03
Equação Diferença
Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Notação Operacional
Resposta de Entrada Nula
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Equação Diferença
Equação Diferença
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Equação Diferença
Assim, podemos definir duas formas para representar a equação diferença (difference
equation:
Forma Não-Recursiva:
y [n] = T ·
n
X
x [k]
k=−∞
Forma Recursiva:
y [n] − y [n − 1] = T · x [n]
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Equação Diferença
Na forma não-recursiva, para calcular y [n] precisamos somar toda a entrada até a
entrada atual n.
Na forma recursiva, podemos calcular a saı́da y [n] usando a saı́da no instante n − 1,
somando apenas duas quantidades.
Embora equivalentes, o esforço para se calcular a saı́da é muito diferente nas duas formas.
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Equação Diferença
Relação entre a equação diferença e a equação diferencial
Considere a equação em tempo contı́nuo:
dy (t)
+ cy (t) = x (t)
dt
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Equação Diferença
Considere agora que vamos amostrar essa equação em amostras uniformemente
espaçadas. Assim, usando a definição de derivada, temos:
lim
T →0
y [n] − y [n − 1]
+ cy [n] = x [n]
T
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Equação Diferença
E, usando um T muito pequeno, e rearranjando os termos:
y [n] + αy [n − 1] = βx [n]
Onde:
−1
1 + cT
T
β=
1 + cT
α=
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Equação Diferença
Relação entre a equação diferença e equação diferencial
Assim, uma equação diferencial pode ser aproximada por uma equação diferença de
mesma ordem.
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Equações de Sistemas em Tempo Discreto
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Definimos um sistema linear, discreto e invariante no tempo (LDIT) como um sistema
descrito por uma equação diferença nas formas:
Forma de atraso:
y [n] + a1 y [n − 1] + a2 y [n − 2] + . . . + aN y [n − N ] =
bN −M x [n − N + M ] + bN −M +1 x [n − N + M + 1] + b0 x [n] +
b1 x [n − 1] + . . . + bN x [n − N ]
Forma de avanço:
y [n + N ] + a1 y [n + N − 1] + a2 y [n + N − 2] + . . . + aN y [n] =
bN −M x [n + M ] + bN −M +1 x [n + M + 1] + b0 x [n + N ] +
b1 x [n + N + 1] + . . . + bN x [n]
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Algumas propriedades:
a0 = 1, sem perda de generalidade.
Ordem = max (M, N )
Condição de Causalidade: a saı́da não pode depender de valores futuros da entrada
(i.e., M ≤ N ).
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Assim, para um sistema causal, podemos escrever:
y [n] + a1 y [n − 1] + a2 y [n − 2] + . . . + aN y [n − N ] =
b0 x [n] + b1 x [n − 1] + . . . + bN x [n − N ]
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Solução Recursiva (iterativa) para a equação de diferenças:
Podemos escrever:
y [n] = − a1 y [n − 1] − a2 y [n − 2] − . . . − aN y [n − N ]
+ b0 x [n] + b1 x [n − 1] + . . . + bN x [n − N ]
E calcular y [n] a partir de 2N − 1 informações:
As condições iniciais y [−1], y [−2], ..., y [−N ]
A entrada atual x [n] e as N amostras anteriores da entrada.
Determinamos y [0] para, então, determinar y [1], e assim por diante, iterativamente.
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Exemplo 3.9
Considere o sistema:
y [n + 2] − y [n + 1] + 0.24y [n] = x [n + 2] − 2x [n + 1]
E considere que:
y [−1] = 2
y [−2] = 1
x [n] = n u [n]
Escreva um código matlab para determinar a saı́da para n = 2 . . . 10.
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Equações de Sistemas em Tempo Discreto
Algoritmo 1 Implementação do Exemplo 3.9
1: n = (-2:1:10)’;
2: y = [1 ; 2 ; zeros(length(n) - 2,1)];
3: x = [0 ; 0 ; n(3:end)];
4: for (k = 1:1:length(n) - 2)
5:
y(k+2) = y(k+1) - 0.24 * y(k) + x(k+2) - 2 * x(k + 1);
6: end
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Notação Operacional
Notação Operacional
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Notação Operacional
Definimos o operador E como o operador avanço, de forma que:
E x [n] = x [n + 1]
E 2 x [n] = x [n + 2]
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Notação Operacional
E assim, para um sistema do tipo:
y [n + N ] + a1 y [n + N − 1] + a2 y [n + N − 2] + . . . + aN y [n] =
b0 x [n + N ] + b1 x [n + N − 1] + . . . + bN x [n]
Podemos escrever:
E N + a1 E N −1 + a2 E N −2 + . . . + aN y [n] =
b0 E N + b1 E N −1 + . . . + bN −1 E 1 + bN x [n]
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Notação Operacional
E podemos definir os polinômios:
E N + a1 E N −1 + a2 E N −2 + . . . + aN y [n] =
|
{z
}
Q(E)
|
b0 E
N
+ b1 E
N −1
+ . . . + bN −1 E 1 + bN x [n]
{z
}
P (E)
Ou seja:
Q (E) y [n] = P (E) x [n]
Onde:
Q (E) = E N + a1 E N −1 + a2 E N −2 + . . . + aN
P (E) = b0 E N + b1 E N −1 + . . . + bN −1 E 1 + bN
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Resposta do Sistema a Condições Internas
Resposta de Entrada Nula
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Assim como um sistema LIT, a resposta de um sistema LDIT pode ser expressa como a
soma dos componentes de entrada nula com a componente de estado nulo.
resposta total =
resposta a entrada nula
+
resposta ao estado nulo
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Para o sistema descrito por:
Q (E) y [n] = P (E) x [n]
A resposta y0 [n] de entrada nula é a resposta para x [n] = 0. Logo:
Q (E) y0 [n] = 0
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Ou seja:
Q (E) y0 [n] = 0
E N + a1 E N −1 + a2 E N −2 + . . . + aN y0 [n] = 0
y0 [n + N ] + a1 y0 [n + N − 1] + a2 y0 [n + N − 2] + . . . + aN y0 [n] = 0
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Resposta do Sistema a Condições Internas
y0 [n + N ] + a1 y0 [n + N − 1] + a2 y0 [n + N − 2] + . . . + aN y0 [n] = 0
A equação afirma que a combinação linear de y0 [n] e avanços de y0 [n] é zero, não para
um n especı́fico, mas para todo n.
Isto só é possı́vel se y0 [n] e y0 [n] avançado tiverem a mesma forma.
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Resposta do Sistema a Condições Internas
A única função que tem essa propriedade é a função γ n :
E k · {γ n } = γ n+k
= γk · γn
= c · γn
, com c = γ k
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Logo, a solução deve ter a forma:
y0 [n] = c · γ n
Assim:
E k · {y0 [n]} = y0 [n + k]
= c · γ n+k
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Substituindo y0 [n] = c · γ n na equação:
y0 [n + N ] + a1 y0 [n + N − 1] + a2 y0 [n + N − 2] + . . . + aN y0 [n] = 0
Temos:
cγ n+N + a1 cγ n+N −1 + . . . + an+N −1 cγ + aN cγ n = 0
c γ N + a1 γ N −1 + . . . + aN −1 γ + aN γ n = 0
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Resposta do Sistema a Condições Internas
c γ N + a1 γ N −1 + . . . + aN −1 γ + aN γ n = 0
As soluções triviais (c = 0 ou γ = 0) são irrelevantes. A solução não trivial da equação é
dada pela solução de:
γ N + a1 γ N −1 + . . . + aN −1 γ + aN = 0
Ou seja:
Q (γ) = 0
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Como Q (γ) é um polinômio de ordem N , ele pode ser expresso por:
Q (γ) = (γ − γ1 ) · (γ − γ2 ) . . . (γ − γN −1 ) · (γ − γN )
Logo, a equação Q (γ) = 0 possui N soluções (γ1 , γ2 , . . . , γN −1 , γN ).
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Resposta do Sistema a Condições Internas
A solução geral de Q (γ) = 0 é então uma combinação linear das N soluções:
n
n
y0 [n] = c1 γ1n + c2 γ2n + . . . + cN −1 γN
−1 + cN γN
As constantes (c1 , c2 , . . . , cN −1 , cN ) são determinadas pelas condições iniciais.
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Polinômio Caracterı́stico
O polinômio Q (γ) é chamado de polinômio caracterı́stico do sistema. A equação
Q (γ) = 0 é chamada de equação caracterı́stica.
As raı́zes (γ1 , γ2 , . . . , γN −1 , γN ) são chamadas de raı́zes caracterı́sticas ou valores
caracterı́sticos do sistema.
n
n
As exponenciais (γ1n , γ2n , . . . , γN
−1 , γN ) são chamados de modos caracterı́sticos ou
modos naturais do sistema.
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Raı́zes Repetidas
No caso mais geral, se uma raı́z γ1 se repete r vezes, os modos caracterı́sticos para esta
raı́z são γ1n , nγ1n , n2 γ1n , . . . , nr−1 γ1n .
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Raı́zes Repetidas
Logo, se:
Q (γ) = (γ − γ1 )r · (γ − γ2 ) . . . (γ − γN −1 ) · (γ − γN )
A resposta a entrada nula será:
n
y0 [n] = c1 + c2 n + c3 n2 + . . . + cr nr−1 γ1n + cr+1 γ2n + . . . + cr+N γN
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Raı́zes Complexas
Se os coeficientes da equação caracterı́stica do sistema forem reais, raı́zes complexas
sempre aparecerão em pares de conjugados.
A forma da solução não muda (uma raı́z complexa conta como uma raı́z distinta), mas é
comum se combinar as raı́zes para chegar a uma solução real.
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Raı́zes Complexas
Se as raı́zes complexas são:
γ1 = |γ| ejβ
γ2 = |γ| e−jβ
A resposta a entrada nula é, naturalmente:
y0 [n] = c1 γ1n + c2 γ2n
= c1 |γ|n ejβn + c2 |γ|n e−jβn
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Raı́zes Complexas
Para um sistema real, c1 e c2 também são complexos conjugados:
c jθ
e
2
c −jθ
c2 = e
2
c1 =
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Raı́zes Complexas
c jθ n jβn c −jθ n −jβn
e |γ| e
+ e |γ| e
2
2
n
o
c
= |γ|n ej(βn+θ) + e−j(βn+θ)
2
= c |γ|n cos (βn + θ)
y0 [n] =
Onde |γ| e β vem da raı́z complexa, e c e θ devem ser obtidos da condição inicial.
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Exemplo 3.10 a
Determine a componente de entrada nula para o sistema:
y [n + 2] − 0.6y [n + 1] − 0.16y [n] = 5x [n + 2]
Com as condições iniciais:
y [−1] = 0
25
y [−2] =
4
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Exemplo 3.10 b
Determine a componente de entrada nula para o sistema:
y [n + 2] + 6y [n + 1] + 9y [n] = 2x [n + 2] + 6x [n + 1]
Com as condições iniciais:
1
3
2
y [−2] = −
9
y [−1] = −
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Resposta do Sistema a Condições Internas
Exemplo 3.10 c
Determine a componente de entrada nula para o sistema:
y [n + 2] − 1.56y [n + 1] + 0.81y [n] = x [n + 1] + 3x [n]
Com as condições iniciais:
y [−1] = 2
y [−2] = 1
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Referências
Este material foi elaborado com base nos seguintes capı́tulos:
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Seção 3.5
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Seção 3.6
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Exercı́cios
Exercı́cios Propostos
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Ex. 3.6-1
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Ex. 3.6-2
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Ex. 3.6-3
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