Curs 11 Petrescu Emil Facultatea de Ingineria Sistemelor Biotehnice 1 Legea lui Ohm S¼ a consider¼ am un conductor de lungime l şi secţiune S la cap¼ atul c¼ aruia se aplic¼ a o diferenţ¼ a de potenţial egal¼ a cu U: Câmpul electric în interiorul conductorul este: U E= l Acest câmp determim¼ a apariţia unei densit¼ aţi de curent egal¼ a cu: j= E (1) Deoarece j = I=S şi E = U=l relaţia (1) se poate scrie ca: I = S U l (2) de unde: l I = RI S M¼ arimea R poart¼ a numele de rezistenţ¼ a: U= R= l S (3) (4) Rezistenţa se m¼ asoar¼ a în Ohmi ( ) : 1V 1A poart¼ a numele de rezistivitate: 1 Inversa conductivit¼ aţii = = Pentru metale rezistivitatea 1 (5) depinde de temperatur¼ a dup¼ a legea: = 0 (1 + t) (6) unde 0 este rezistivitatea la 0 C şi este coe…cientul de variaţie cu temperatura al rezistivit¼ aţii. În Tabelul 5.3 sunt prezentate o serie de valori ale lui 0 şi : 1 Valori ale rezistivit¼ aţii Material Argint Cupru Aur Aluminiu Tungsten Fier Platin¼ a Plumb Carbon 2 Tabelul 5.3 şi a coe…cientului de variaţie a rezistivit¼ aţii cu temperatura C 1 3; 8 10 3 3; 9 10 3 3; 4 10 3 3; 9 10 3 4; 5 10 3 5; 0 10 3 3; 92 10 3 3; 9 10 3 0; 5 10 3 [ m] 1; 59 10 8 1; 7 10 8 2; 44 10 8 2; 82 10 8 5; 6 10 8 10 10 8 11 10 8 11 10 8 3500 10 8 Tensiunea electromotoare Pentru menţinerea unui curent electric într-un circuit este necesar ca purt¼ atorii de sarcin¼ a s¼ a …e acţionaţi de forţe care s¼ a le asigure deplasarea pe o durat¼ a de timp su…cient de mare. Sarcinile electrice transfer¼ a în mod continuu şi ireversibil energia lor atomilor din nodurile reţelei cristaline prin efect Joule. Aceasta înseamn¼ a c¼ a pe lâng¼ a forţele de natur¼ a electrostatic¼ a asupra sarcinilor acţioneaz¼ a şi forţe de natur¼ a neelectrostatic¼ a numite forţe imprimate. Ele iau naştere în anumite puncte ale circuitului în care se g¼ asesc surse de tensiune electromotoare (pile electrice, acumulatoare care transform¼ a energia liber¼ a prin diferite reacţii chimice în energie electric¼ a). Forţele imprimate determin¼ a un câmp electric numit câmp electric imprimat ~ ~ i = Fi E q (7) Câmpul electric total este suma dintre câmpul electric imprimat şi câmpul electrostatic. Lucrul mecanic efectuat asupra unei sarcini care se deplaseaz¼ a din punctul 1 în punctul 2 este: L12 = q0 Z2 ~ ~l + q0 Ed 1 Z2 ~ i d~l E (8) 1 L12 = q0 (V1 V2 ) + q0 E12 unde cu E12 am notat tensiunea electromotoare E12 = Z2 1 2 ~ i d~l E (9) De…nim c¼ aderea de tensiune între punctele 1 şi 2: U12 = L12 = (V1 q V2 ) + E12 (10) Se observ¼ a c¼ a dac¼ a tensiunea electromotoare este nul¼ a, c¼ aderea de tensiune este egal¼ a cu diferenţa de potenţial. Pentru un circuit închis I I ~ ~ ~ i d~l L = q Edl + q E (11) Dar pentru un câmp electrostatic: I ~ ~l = 0 Ed (12) Rezult¼ a c¼ a tensiunea electromotoare pe un circuit reprezint¼ a raportul dintre lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa sarcina q prin circuit şi acea sarcin¼ a: I L ~ i d~l (13) E= = E q Astfel tensiunea electromotoare ce acţioneaz¼ a într-un circuit este egal¼ a cu lucrul mecanic necesar pentru a deplasa unitatea de sarcin¼ a pe întregul circuit. 3 Magnetism Constatarea propriet¼ aţilor magnetice a fost f¼ acut¼ a înc¼ a din antichitate, numele de magnet provenind de la numele unei regiuni din Asia Mic¼ a ”Magnesia”unde se g¼ aseau roci cu astfel de propriet¼ aţi. În 1269 un francez Piere de Maricourt a g¼ asit c¼ a direcţiile unor ace lâng¼ a un magnet sferic natural formeaz¼ a linii care înconjoar¼ a sfera şi trec prin dou¼ a puncte diametral opuse. Punctele respective au fost numite polii magnetului. Experienţele ulterioare au ar¼ atat c¼ a indiferent de forma lor magneţii au doi poli: nord (N) şi sud (S) care exercit¼ a forţe asupra polilor altui magnet. Astfel interacţiile N-N şi S-S sunt de respingere în timp ce interacţiile N-S sunt întotdeauna de atracţie. Polii au primit numele datorit¼ a modului în care un magnet (de exemplu o busol¼ a) se comport¼ a în prezenţa câmpului magnetic terestru. Dac¼ a un ac magnetic este suspendat de centrul s¼ au şi se poate mişca liber în plan orizontal, el se va roti pân¼ a ce polul s¼ au nord se va poziţiona c¼ atre polul nord geogra…c şi polul sau sud se va poziţiona c¼ atre sudul geogra…c. Trebuie remarcat c¼ a polul nord geogra…c din punct de vedere magnetic este un pol sud iar polul sud geogra…c este din punct de vedere magnetic un pol nord. În 1600 William Gilbert a realizat o serie de experienţe noi cu o varietate de materiale. Utilizând faptul c¼ a magneţii se poziţioneaz¼ a într-o direcţie preferenţial¼ a, el a sugerat c¼ a P¼ amântul este un magnet uriaş. În 1750 experimentele realizate cu o balanţ¼ a de torsiune au ar¼ atat c¼ a forţele care se exercit¼ a între polii unor magneţi sunt invers proporţionale cu p¼ atratul 3 distanţei dintre polii care interacţioneaz¼ a. Deşi forţele între aceşti poli sunt similare cu cele dintre sarcinile electrice cu privire la modul în care variaz¼ a cu distanţa, un singur pol magnetic nu a putut … izolat aşa cum sarcinile pozitive şi cele negative pot … izolate. Astfel dac¼ a se taie un magnet de-a lungul unui plan perpendicular pe axa ce uneşte cei doi poli se obţin doi magneţi. În anul 1820 Hans Christian Öersted a g¼ asit o leg¼ atur¼ a între electricitate şi magnetism. El a descoperit c¼ a dac¼ a se aduce un ac magnetic în apropiera unui conductor prin care trece un curent electric, asupra acului magnetic se va exercita o forţ¼ a. La puţin timp de la descoperirea lui Öersted, Ampère a ar¼ atat c¼ a între doi conductori str¼ ab¼ atuţi de curent electric se exercit¼ a forţe de atracţie sau de respingere în funcţie de sensul curenţilor. Ele nu au aceiaşi natur¼ a ca şi forţele care se exercit¼ a între sarcinile electrice. Dac¼ a se introduce o plac¼ a metalic¼ a între cei doi conductori forţa de interacţie dintre ei nu se modi…c¼ a. S-a presupus c¼ a o astfel de forţa are aceiaşi natur¼ a ca şi forţa care se exercit¼ a între un conductor parcurs de curent electric şi un ac magnetic. Pentru a g¼ asi o corespondenţ¼ a între un ac magnetic şi un conductor str¼ ab¼ atut de un curent electric, Ampère a presupus c¼ a acul magnetic conţine un num¼ ar foarte mare de curenţi microscopici (care formeaz¼ a mici bucle de curent) pe care i-a denumit curenţi moleculari. Ulterior Maxwell a a…rmat c¼ a astfel de forţe se exercit¼ a între orice sarcini electrice în mişcare. Aceste forţe pot … atribuite existenţei în jurul sarcinilor în mişcare a unui câmp numit câmp magnetic. În consecinţ¼ a putem a…rma c¼ a sursele câmpului magnetic sunt sarcinile electrice în mişcare. 3.1 Forţa Lorentz. Inducţia câmpului magnetic. ~ numit inducţie a Câmpul magnetic poate … descris cu ajutorul unui vector B ~ câmpului magnetic. Direcţia lui B este direcţia în care se poziţioneaz¼ a un ac magnetic în punctul respectiv. Ca şi în cazul câmpului electric vom putea de…ni ~ este tangent în liniile de câmp magnetic ca …ind curbele la care vectorul B …ecare punct. În Fig. 1a sunt reprezentate liniile de câmp ale unui magnet în form¼ a de bar¼ a. Experimental ele se pot trasa cu ajutorul unei busole. Pentru de…nirea inducţiei câmpului magnetic se utilizeaz¼ a forţa Lorentz f~l care este forţa care acţioneaz¼ a asupra unei particule ce se deplaseaz¼ a în câmp magnetic cu viteza ~v (Fig. 1b). Experimental s-a demonstrat c¼ a: f~l = q ~v ~ B (14) Relaţia (14) poate … privit¼ a ca o relaţie de de…niţie pentru inducţia câmpului magnetic. În Fig (??b) sunt prezentate direcţia şi sensul forţei Lorentz pentru o sarcin¼ a pozitiv¼ a. M¼ arimea forţei Lorentz este: fl = qvB sin (15) Deoarece forţa Lorentz este perpendicular¼ a pe vitez¼ a ea este perpendicular¼ a şi pe deplasare. Astfel lucrul mecanic efectuat de forţa Lorentz este nul. Atunci conform teoremei variaţiei energiei cinetice rezult¼ a c¼ a variaţia energiei cinetice 4 Figure 1: a) Liniile de câmp ale unui magnet. b) Direcţia forţei Lorentz faţ¼ a de direcţiile vitezei şi câmpului magnetic Figure 2: Mişcarea elicoidal¼ a a unei sarcini care intr¼ a sub un unghi diferit de =2 într-un câmp magnetic. a unei particule înc¼ arcate în câmp magnetic este nul¼ a. În câmp magnetic poate varia doar direcţia vitezei unei particule înc¼ arcate nu şi m¼ arimea sa. Din relaţia 15 rezult¼ a c¼ a unitatea de m¼ asur¼ a pentru B care poart¼ a numele de Tesla este N N T= = C m/s A m O unitate tolerat¼ a este gaussul (G): 1T = 104 G Aplicaţie S¼ a se determine ce fel de mişcare execut¼ a o particul¼ a de mas¼ a m înc¼ arcat¼ a cu sarcina q care intr¼ a cu viteza ~v sub un unghi într-un câmp magnetic uniform ~ de inducţie B. Soluţie: 5 Se descompune viteza ~v în dou¼ a componente astfel : ~v? dup¼ a o direcţie ~ şi ~vk dup¼ ~ (Fig. perpendicular¼ a pe direcţia vectorului B a direcţia vectorului B 2 ). Atunci ~v? determin¼ a o mişcare circular¼ a a particulei deoarece tot timpul ~ şi ~v? ? B ~ forţa forţa Lorentz este perpendicular¼ a pe vitez¼ a. Deoarece f~l ? B Lotentz şi viteza se a‡a¼ în acelaşi plan. Rezult¼ a c¼ a forţa Lorentz este o forţ¼ a de tip centripet: 2 mv? R Din aceast¼ a relaţie rezult¼ a raza mişc¼ arii circulare: qv? B = R= mv sin mv? = qB qB Componenta ~vk determin¼ a o mişcare uniform¼ a a particulei în lungul direcţiei ~ deoarece aceast¼ lui B a component¼ a nu determin¼ a apariţia unei forţe Lorentz: f~l = qvk B sin 0 = 0 Prin suprapunerea mişc¼ arii uniforme şi a mişc¼ arii circulare se obţine în acest caz o mişcare elicoidal¼ a. O caracteristic¼ a a acestei mişc¼ ari este pasul elicei care reprezint¼ a deplasarea ~ în cursul unei perioade (în timpul când se particulei în lungul direcţiei lui B execut¼ a o rotaţie complet¼ a). p = vk T = vk 3.2 2 R 2 mv cos = v? qB Forţa electromagnetic¼ a Dac¼ a asupra unei particule se exercit¼ a o forţ¼ a atunci când aceasta se deplaseaz¼ a în câmp magnetic, este de aşteptat ca asupra unui conductor prin care trece un curent a‡at în câmp magnetic s¼ a se exercite o forţ¼ a (Fig. 3). S¼ a consider¼ am o porţiune de conductor prin care trece un curent I = neSv a‡at¼ a în câmp magnetic. Asupra …ec¼ arei sarcini (în cazul nostru electroni) acţioneaz¼ a o forţ¼ a Lorentz. ~ f~l = e ~v B (16) În porţiunea de conductor considerat¼ a num¼ arul de purt¼ atori de sarcini este: N = nSl unde n este concentraţia de electroni liberi, S este secţiunea conductorului şi l lungimea conductorului. Atunci forţa total¼ a care acţioneaz¼ a asupra porţiunii de conductor este ~ F~ = N f~l = nlSe ~v B (17) 6 Figure 3: Modul în care apare forţa electromagnetic¼ a care acţioneaz¼ a asupra unui conductor plasat în câmp magnetic. Figure 4: Conductor de form¼ a oarecare în câmp magnetic uniform Vom introduce în loc de ~v vectorul ~l care are modulul egal cu lungimea porţiuni de conductor şi sensul vitezei. Putem scrie l~v = v~l: Atunci ~ F~ = nvSe ~l B (18) F~ = I ~l ~ B (19) S¼ a consider¼ am un conductor având o form¼ a oarecare într-un câmp magnetic uniform (Fig. 4). Forţa care acţioneaz¼ a asupra porţiunii d~s este dF~ = I d~s ~ B (20) unde dF~ este perpendicular pe planul hârtiei, înspre cititor. Ecuaţia poate ~ … considerat¼ a ca o ecuaţie alternativ¼ a pentru de…nirea câmpului magnetic B. Forţa total¼ a care se exercit¼ a asupra conductorului este: F~ = I Z b d~s a unde a şi b reprezint¼ a capetele conductorului. 7 ~ B (21) Figure 5: a) Bucl¼ a dreptunghiular¼ a în câmp magnetic uniform. b) Forţe ce acţioneaz¼ a asupra unei bucle de curent a‡at¼ a în câmp magnetic când direcţia inducţiei câmpului magnetic este perpendicular¼ a pe direcţia normalei la suprafaţa buclei. c) Forţe ce acţioneaz¼ a asupra unei bucle de curent a‡at¼ a în câmp magnetic când direcţia inducţie câmpului magnetic face un unghi oarecare cu direcţia normalei la suprafaţa buclei Consider¼ am cazul când conductorul formeaz¼ a o curb¼ a închis¼ a şi este plasat într-un câmp magnetic uniform. Atunci I I ! ~ =I ~ F = I d~s B d~s B (22) Dar: I d~s = 0 (23) Rezult¼ a F~ = 0. Putem concluziona c¼ a forţa electromagnetic¼ a care acţioneaz¼ a asupra oric¼ arei bucle de curent a‡at¼ a într-un câmp magnetic uniform este nul¼ a. 3.3 Bucl¼ a de curent în câmp magnetic uniform S¼ a consider¼ am o bucl¼ a de curent de form¼ a dreptunghiular¼ a într-un câmp magnetic uniform ca în Fig. 5a. Asupra laturilor 1 şi 3 nu acţioneaz¼ a nici o forţ¼ a deoarece conductorii respectiv sunt paraleli cu liniile câmpului magnetic. Forţele electromagnetice acţioneaz¼ a asupra laturilor 2 şi 4 deoarece acestea sunt orientate perpendicular pe câmp. Valorile acestor forţe sunt: F2 = F4 = IaB 8 (24) Direcţiile lui F2 şi F4 sunt ar¼ atate în Fig. 5b. Forţele sunt egale paralele şi actioneaz¼ a în sensuri contrare. Ele formeaz¼ a un cuplu de forţe care are tendinţa s¼ a roteasc¼ a bucla în jurul axei d: Momentul cuplului faţ¼ a de aceast¼ a ax¼ a este: M = F2 b b b b + F4 = IaB + IaB = IaB = ISB 2 2 2 2 (25) Când bucla este rotit¼ a câmpul magnetic şi normala fac un unghi de < 90o ca în Fig 5c. Forţele F2 şi F4 acţioneaz¼ a pe aceiaşi direcţie în sensuri opuse şi rezultanta lor este nul¼ a. Momentul cuplului care acţioneaz¼ a asupra buclei este: b b b b M = F2 sin + F4 sin = IaB sin + IaB sin = ISB sin 2 2 2 2 (26) unde S = ab: Generalizând, momentul care acţioneaz¼ a asupra unei bucle de curent este: ~ B ~ = IS ~ ~ ~ =I S B (27) M = IS ~n B ~ = S~n, iar ~n este normal¼ unde S a pe suprafaţa buclei. Putem scrie ~ poart¼ M¼ arimea I S a numele de moment magnetic de dipol: ~ m ~ = IS (28) Atunci momentul forţei care acţioneaz¼ a asupra buclei se poate scrie ca: ~ =m M ~ ~ B (29) Acest moment tinde s¼ a alinieze bucla perpendicular pe câmpul magnetic Putem de…ni o energie potenţial¼ a a buclei de curent în câmpul magnetic extern. Pentru aceasta trebuie calculat lucrul mecanic pe care îl efectueaz¼ a câmpul asupra buclei când o roteşte cu un unghi. L= S-a ales Z 2 Md = 1 Z2 mB sin d = mB(cos 2 cos 1) (30) 1 d deoarece în cursul rotirii unghiul Ep = L = mB (cos 2 scade şi d < 0. Deoarece cos 1) (31) Rezult¼ a: Ep = Consider¼ am c¼ a atunci când Ep = ISB cos + const: (32) = =2; Ep = 0, rezult¼ a: mB cos = 9 ~ m ~B (33) 4 Probleme 1. Un …r lung de 2,8 m strab¼ atut de un curent de 5 A se a‡a¼ într-un câmp magnetic de 0,390 T. Calculaţi forţa magnetic¼ a ce acţioneaz¼ a a asupra …rului dac¼ a unghiul dintre …r şi câmpul magnetic este de 60 , 90 respectiv 120 . 2. Un proton se deplaseaz¼ a cu viteza v = (2~ex 4~ey +2~ez ) m=s: Într-o regiune în care câmpul magnetic este B = (~ex + 2~ey ~ez )T: Cu ce forţ¼ a va acţiona câmpul asupra acestei sarcini? 3. Un proton dintr-un fascicul de raze cosmice în spaţiul interstelar are energia de 10 MeV şi o orbit¼ a circular¼ a egal¼ a cu cea a planetei Mercur (6 1010 m) în jurul Soarelui. Calculaţi valoarea câmpului magnetic în acea regiune a spaţiului. 4. Un ion pozitiv cu sarcina q = 2e se deplaseaz¼ a cu viteza de 4; 6 106 m/s şi las¼ a o urm¼ a în form¼ a de cerc cu raza de 7,94 mm într-un câmp perpendicular de 1,8T al unei camere cu ceaţ¼ a. Calculaţi masa acestui ion în unit¼ aţi atomice de mas¼ a şi identi…caţi ionul. 10