МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ
“ЛЬВIВСЬКА ПОЛIТЕХНIКА”
ЗАВДАННЯ
ДО РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ
з теорiї ймовiрностей та математичної статистики
МОДУЛЬ 1
для студентiв
iнженерно-технiчних спецiальностей
Львiв – 2008
2
Теорiя ймовiрностей та математична статистика, 1 модуль: Розрахунковi завдання для студентiв iнженерно-технiчних спецiальностей /
Укладачi: З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач. – Львiв: Видавництво
Нацiонального унiверситету “Львiвська полiтехнiка”, 2008. – 37 с.
Укладачi: Нитребич З.М., канд фiз.-мат. наук, доц.,
Iлькiв В.С., д-р фiз.-мат. наук, проф.,
Пукач П.Я., канд. фiз.-мат. наук, доц.
Затверджено на засiданнi кафедри
обчислювальної математики i програмування
(протокол № 6 вiд 12 лютого 2008 р.)
Iндивiдуальнi завдання
3
ВАРIАНТ 1
1. На залiзничнiй станцiї є n свiтлофорiв. Скiльки можна дати рiзних сигналiв цими свiтлофорами, якщо кожен свiтлофор має три стани: горить або зелене, або червоне, або
жовте свiтло ?
2. Гральну кiстку пiдкидають 2 рази. Подiї: A – два рази випало парна кiлькiсть очок, B
– жодного разу не випало число 4, C – двiчi випала кiлькiсть очок, бiльша нiж 4, D –
принаймнi один раз випала непарна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi нi ?
Описати подiї: A ∪ B, A ∩ B, A, B, C, A ∪ B ∪ C, A ∩ D.
3. У коробцi є 8 бiлих та 6 чорних кульок. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 4 навмання
вийнятих кульок буде: а) саме 2 бiлих; б) усi кульки будуть чорнi.
4. Довiльно iз вiдрiзка [0; 2] вибрано 2 числа. Знайти ймовiрнiсть того, що їх сума бiльша за
одиницю, а добуток менший вiд одиницi.
5. Є три однаковi з вигляду коробки. У першiй коробцi 10 бiлих i 5 чорних кульок, у другiй
– 8 бiлих i 8 чорних куль, а у третiй – тiльки чорнi. Навмання виймається коробка, а
з неї кулька. а) Яка ймовiрнiсть того, що вийнята кулька бiла ? б) Нехай вийнята бiла
кулька. Яка ймовiрнiсть того, що вона з першої коробки ?
6. П’ять разiв пiдкидаємо монету. Яка ймовiрнiсть того, що герб випаде саме 2 рази ? Принаймнi 2 рази ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 1 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 5, 5, Dξ = 2, 25.
8. Знайти ймовiрнiсть того, що подiя A станеться рiвно 60 разiв у 250 незалежних випробуваннях, якщо ймовiрнiсть появи подiї A у кожному випробуваннi дорiвнює 0,25.
9. Пiдкидаємо монету три рази. Нехай випадкова величина ξ– кiлькiсть випадань герба.
Побудувати для неї ряд розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та
середнє квадратичне вiдхилення.
10. Функцiя розподiлу випадкової величини ξ задається формулою:

x < −1;
 0,
(x + 1)/2, x ∈ (−1; 1];
F (x) =

1,
x > 1.
Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 2
1. Поїзд, в якому їдуть n пасажирiв, робить k зупинок. Скiлькома способами можуть вийти
пасажири на цих зупинках ?
2. Гральну кiстку пiдкидають один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випала одиниця, N – випало менше, нiж 6 очок; K – випала
парна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: N , K, M ∪ K,
N ∪ M, M ∩ N, N ∩ K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. У класi навчається 12 дiвчат та 18 хлопцiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 4 опитаних
учнiв: а) буде саме 2 дiвчини; б) не буде жодної дiвчини.
4. Усерединi квадрата з вершинами в точках (0, 0), (1, 0), (0, 1) i (1, 1) навмання вибирається
точка M (x; y). Яка ймовiрнiсть подiї A, яка полягає у тому, що точка M лежатиме
всерединi одиничного круга з центром у початку координат ?
Iндивiдуальнi завдання
4
5. Партiя виробiв, серед яких 10% бракованих, поступила на перевiрку. При перевiрцi бракований вирiб виявляється з iмовiрнiстю 0,92 i добрий вирiб бракується з iмовiрнiстю
0,06. Нехай вирiб забраковано пiд час перевiрки. Яка ймовiрнiсть того, що вiн дiйсно
бракований ?
6. П’ять разiв пiдкидаємо гральну кiстку. Яка ймовiрнiсть того, що “6” випаде один раз ?
Принаймнi один раз ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 2 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 5, 8, Dξ = 5, 76.
8. Iмовiрнiсть появи подiї A у кожному зi 100 незалежних випробувань стала i дорiвнює 0,6.
Знайти ймовiрнiсть того, що подiя A появиться не менше 50 i не бiльше 80 разiв.
9. Проводяться 4 незалежнi пострiли по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 2/3. Нехай випадкова величина ξ – це кiлькiсть влучень. Побудувати для ξ ряд розподiлу, многокутник
розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Нехай щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
(6 − x)/18, x ∈ (0; 6);
f (x) =
0,
x∈
/ (0; 6).
Знайти функцiю розподiлу та ймовiрнiсть попадання величини ξ на промiжок (3; 6).
Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 3
1. Скiлькома способами можна подiлити групу з 20 студентiв на 3 частини так, щоб в першiй
було 5 студентiв, у другiй – 7, у третiй – 8 ?
2. Гральна кiстка пiдкидається два рази. Результат експерименту – пара чисел (x, y), x, y =
1, 2, . . . , 6. Розглянемо подiї: A – випало 2 парних числа; B – випало двi двiйки; C – сума
чисел, що випали, не перевищує трьох. Якi з даних подiй є сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: A, C, A ∩ B, A ∪ B, B ∩ C, B ∪ C.
3. У колодi 36 карт. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 4 навмання взятих карт буде: а) саме
1 туз; б) жодного туза.
4. Знайти ймовiрнiсть того, що вiдстань вiд навмання заданої точки всерединi квадрата
ABCD зi стороною 20 см до найближчої сторони не перевищуватиме 5 см.
5. У продажу є телевiзори трьох заводiв: 30% телевiзорiв першого заводу, 40% – другого
заводу, 30% – третього. Продукцiя першого заводу мiстить прихований дефект з iмовiрнiстю 0,92, другого заводу – з iмовiрнiстю 0,87, а третього – 0,85. а) Яка ймовiрнiсть
того, що навмання куплений телевiзор добрий ? б) Нехай куплений телевiзор добрий.
Яка ймовiрнiсть того, що вiн виготовлений на першому заводi ?
6. Прилад складається з п’яти вузлiв. Iмовiрнiсть виходу з ладу за час t кожного з вузлiв
0,2 (вузли виходять iз ладу незалежно один вiд одного). Знайти ймовiрнiсть того, що:
а) iз ладу вийде саме 3 вузли; б) жоден вузол не вийде з ладу.
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 3 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 6, 6, Dξ = 13, 44.
8. Iмовiрнiсть влучення в мiшень при одному пострiлi дорiвнює 0,7. Знайти ймовiрнiсть того,
що при 100 незалежних пострiлах буде рiвно 70 влучень у мiшень.
Iндивiдуальнi завдання
5
9. Проводяться три незалежних дослiди, у кожному з яких подiя F появляється з iмовiрнiстю 0,3. Розглянемо випадкову величину ξ – кiлькiсть появ подiї A. Побудувати для ξ
ряд розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне
вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
2
ax , x ∈ (0; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (0; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 4
1. Скiлькома способами можуть сiсти за круглий стiл 5 чоловiкiв та 5 жiнок так, щоб жоднi
двi особи однiєї статi не сидiли поруч ?
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало не бiльше, нiж 2 очки; N – випало не менше, нiж 2
очки; K – випало бiльше, нiж 4 очки. Якi зi згаданих подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: M ∩ N , M ∩ K, M ∪ N, N ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. Партiя зi 100 виробiв мiстить 5 бракованих. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вибраних
10 виробiв буде: а) рiвно 3 бракованi; б) жодного бракованого.
4. Промiнь локатора перемiщується в горизонтальнiй площинi з постiйною кутовою швидкiстю. Яка ймовiрнiсть того, що цiль буде виявлена у фiксованому секторi π/4 радiан,
якщо поява її у довiльному напрямi рiвноможлива ?
5. Проводяться два незалежних пострiли снарядами по цiлi з iмовiрнiстю влучення 0,6 кожен.
Цiль знищується з iмовiрнiстю 0,5 при влученнi в неї i з повною ймовiрнiстю при двох
влученнях. а) Яка ймовiрнiсть того, що цiль буде знищена ? б) Нехай цiль знищена. Яка
ймовiрнiсть того, що в неї влучив тiльки один снаряд ?
6. Ймовiрнiсть влучення в мiшень при одному пострiлi дорiвнює 0,6. Робиться п’ять незалежних пострiлiв. Яка ймовiрнiсть того, що: а) буде 4 влучення ? б) не буде жодного
промаху ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 4 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 4, 4, Dξ = 3, 84.
8. Пiдкидаємо монету 100 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що герб появиться не менше 40 i
не бiльше 70 разiв.
9. Два стрiльцi незалежно один вiд одного роблять один пострiл по мiшенi, причому ймовiрнiсть влучення для першого стрiльця 0,6, а для другого – 0,8. Нехай випадкова величина
ξ – кiлькiсть влучень у мiшень. Побудувати для неї ряд розподiлу, функцiю розподiлу, многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє
квадратичне вiдхилення.
10. Задано функцiю розподiлу випадкової величини ξ:

 0, x ≤ −π/2;
cos x, x ∈ (−π/2; 0);
F (x) =

1, x ≥ 0.
Знайти моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
Iндивiдуальнi завдання
6
ВАРIАНТ 5
1. Є 5 рiзних конвертiв i 6 видiв марок однакової вартостi. Скiлькома способами можна
вибрати конверт з маркою, щоб вiдправити лист ?
2. Кидають три монети. Розглянемо подiї: A – випав хоча б один герб; B – на однiй i третiй
монетi випали герби; C – випало принаймнi двi цифри. Якi з даних подiй сумiснi, а якi
– нi ? Описати подiї: A, C, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∩ C.
3. Студент знає 40 питань з 50. Щоб скласти iспит, потрiбно вiдповiсти хоча б на два питання
з 3, якi є в бiлетi. Яка ймовiрнiсть того, що студент складе iспит ?
4. Яка ймовiрнiсть того, що сума довжин двох навмання взятих вiдрiзкiв, кожен iз яких
довжини не бiльшої 2, буде бiльша 2 ?
5. Два заводи виготовляють однаковi реактиви, причому 8% пачок першого i 6% другого
заводу мають бiльшу вiд допустимої межi кiлькiсть домiшок. На складi є 200 пачок
реактивiв першого заводу i 300 пачок другого заводу. а) Яка ймовiрнiсть того, що взята
навмання пачка реактивiв виявиться доброю ? б) Нехай пачка реактивiв добра. Яка
ймовiрнiсть того, що вона виготовлена на першому заводi ?
6. П’ять разiв кидаємо по 2 гральнi кiстки. Яка ймовiрнiсть того, що саме три рази сума
очок, якi випадуть, буде не менше 10 ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 5 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 4, Dξ = 4.
8. Ймовiрнiсть народження хлопчика дорiвнює 0,51. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 150
новонароджених дiтей буде рiвно 75 хлопчикiв.
9. Кидається гральна кiстка, випадкова величина ξ – кiлькiсть очок, якi випали. Знайти ряд
розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та
середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
2
ax , x ∈ (1; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 6
1. У магазинi є 4 сорти морозива. Скiлькома способами можна купити 10 порцiй ?
2. Гральну кiстку пiдкидають один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випала двiйка; N – випало менше, нiж 5 очок; K – випало
непарна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ K,
M ∩ K, M ∪ N, N ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. Серед 30 коробок реактивiв 3 коробки недоброякiснi. Знайти ймовiрнiсть того, що серед
3 взятих навмання коробок: а) усi пачки будуть доброякiснi; б) двi пачки будуть недоброякiсними.
4. Знайти ймовiрнiсть того, що коренi квадратного рiвняння x2 + px + q = 0 є комплексними,
якщо p ∈ [0; 4], q ∈ [0; 4].
Iндивiдуальнi завдання
7
5. У коробцi лежить 25 тенiсних м’ячiв, причому 15 iз них нових, а 10 – уже перебувало в
грi. Для гри беруть навмання 2 м’ячi, а потiм повертають у коробку. Для другої гри
теж беруть 2 м’ячi. Яка ймовiрнiсть того, що вони будуть новими ?
6. Завод випускає деталi з ймовiрнiстю браку 0,05. Яка ймовiрнiсть того, що серед 5 виробiв
буде не бiльше одного бракованого ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 6 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 4, Dξ = 6.
8. Пiдкидаємо гральну кiстку 110 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що “п’ятiрка” випаде не
менше 15 i не бiльше 40 разiв.
9. Кидається двi монети. Випадкова величина ξ набуває значення 1, коли випадуть два герби,
–1 – коли випадуть двi цифри, а також 0 – в усiх iнших випадках. Побудувати для неї
ряд розподiлу, функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне
сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Нехай щiльнiсть випадкової величини ξ задається такою формулою:
a cos x, x ∈ (π/4; π/2);
f (x) =
0,
x∈
/ (π/4; π/2).
Знайти a, ймовiрнiсть попадання випадкової величини ξ на промiжок (π/4; π/3). Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 7
1. На вершину гори ведуть 10 дорiг. Скiлькома способами турист може пiднятись на гору i
спуститись з неї ?
2. Гральну кiстку пiдкидають двiчi. Результат експерименту – число очок, що випали. Розглянемо подiї: M – сума очок дорiвнює двом; N – сума очок, якi випали, менша 12; K
– сума очок, що дiлиться на 3. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї:
M ∩ N , M ∩ K, M ∪ N, N ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. У коробцi є 10 бiлих та 5 червоних кульок. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 5 вибраних
навмання кульок: а) усi кульки будуть бiлi; б) буде саме 3 бiлi кульки.
4. Знайти ймовiрнiсть того, що навмання взята точка з круга радiуса 1 попаде в квадрат,
який вписано в цей круг.
5. З 24 студентiв, якi прийшли на iспит, 4 знає всi 30 бiлетiв, 10 знає 25 бiлетiв, 8 знає 20
бiлетiв, а 2 – тiльки 15. Викликається навмання один студент. а) Яка ймовiрнiсть того,
що вiн складе iспит ? б) Нехай студент склав iспит. Яка ймовiрнiсть того, що вiн знав
тiльки 15 бiлетiв з 30 ?
6. Проводиться 6 незалежних пострiлiв по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 0,7. Яка ймовiрнiсть
не менше 5 влучень у мiшень ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 7 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 8, Dξ = 7, 56.
8. Монета пiдкидається 200 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що герб випаде рiвно 100 разiв.
9. Випадкова величина ξ задана рядом розподiлу:
xi
pi
–2 –1
0
0,1 0,2 0,3
1
2
0,3 0,1
Iндивiдуальнi завдання
8
Знайти функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Дано функцiю розподiлу

0,
x ≤ 0;

(x2 + x)/2, 0 < x ≤ 1;
F (x) =

1,
x > 1,
випадкової величини ξ. Обчислити її моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю.
ВАРIАНТ 8
1. Скiлькома способами 5 однакових кульок можна розкласти в 6 ящиках ?
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало бiльше, нiж 4 очки; N – випало менше, нiж 6 очок;
K – випало число “5”. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ N ,
N ∩ K, K ∪ N, M ∪ N, N , M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, K.
3. У групi навчається 8 дiвчат та 16 хлопцiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 5 навмання
опитаних студентiв: а) буде саме 3 хлопцi; б) будуть самi дiвчата.
4. Знайти ймовiрнiсть того, що коренi квадратного рiвняння x2 + px + q = 0 є дiйснi i рiзнi,
якщо p ∈ [−1; 1], q ∈ [−1; 1].
5. У двох коробках є вiдповiдно 20 i 30 кульок, причому по 10 бiлих, а решта – чорнi. З
першої коробки в другу переклали 2 кульки, перемiшали їх, i вийняли одну кульку. Яка
ймовiрнiсть того, що вона є бiлою ?
6. Що ймовiрнiше: випадання 3 гербiв при 6 киданнях монети чи 2 гербiв при 4 киданнях
монети ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 8 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 4, Dξ = 7, 84.
8. Стрiляють 170 разiв по мiшенi з ймовiрнiстю влучення 0,8. Яка ймовiрнiсть того, що буде
не менше 80 i не бiльше 110 влучень, якщо пострiли незалежнi ?
9. Нехай дискретна випадкова величина задана функцiєю розподiлу:

0, x ≤ 2;




 0, 1, 2 < x ≤ 4;
0, 4, 4 < x ≤ 5;
F (x) =


0, 8, 5 < x ≤ 6;



1, x > 6.
Задати ряд розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
3
ax , x ∈ (0; 3);
f (x) =
0,
x∈
/ (0; 3).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
Iндивiдуальнi завдання
9
ВАРIАНТ 9
1. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написанi на 5 картках. Навмання послiдовно вибирають три картки.
Скiльки парних чисел можна отримати ?
2. З колоди карт навмання виймають одну карту. Розглянемо подiї: A – вийняли карту червоної мастi; B – вийняли туза; C – вийняли бубнову карту. Якi з даних подiй є сумiснi,
а якi – нi ? Описати подiї: A, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C.
3. З коробки шашок (24 штук) випадково загубилося 5 штук. Знайти ймовiрнiсть того, що:
а) пропало саме 3 бiлi шашки; б) усi шашки, якi пропали, чорнi.
4. Знайти ймовiрнiсть того, що навмання вибрана точка з круга радiуса R попаде всередину
рiвностороннього трикутника, вписаного в цей круг.
5. У групi є два вiдмiнники, 10 добрих студентiв та 13 середнiх. На iспитi вiдмiнники можуть
отримати тiльки “5”, добрi студенти “4” i “5” з однаковою ймовiрнiстю, а середнi – “4”, “3” i
“2” теж з однаковою ймовiрнiстю. Викликається навмання один студент. Яка ймовiрнiсть
того, що вiн отримає оцiнку не нижче “4” ?
6. Нехай iмовiрнiсть влучення в мiшень при одному пострiлi дорiвнює 0,4. Що ймовiрнiше:
2 влучення з 5 незалежних пострiлiв чи 4 влучення з 10 ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 9 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 2, 8, Dξ = 5, 76.
8. Гральна кiстка пiдкидається 120 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що шiстiрка випаде саме
20 разiв.
9. Проводиться 3 незалежнi пострiли по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 0,6. Нехай випадкова величина ξ – це кiлькiсть влучень. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник
розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення випадкової величини ξ.
10. Дано функцiю розподiлу випадкової величини ξ:

0,
x ≤ 0;

(x2 + 2x)/3, 0 < x ≤ 1;
F (x) =

1,
x > 1.
Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 10
1. У шаховому турнiрi беруть участь 20 осiб. Їх за жеребкуванням розподiлено на 2 групи
по 10 осiб. Скiльки iснує при цьому способiв, щоб двоє найсильнiших гравцiв грали у
рiзних групах ?
2. Три рази стрiляють по мiшенi. Розглянемо подiї: A – хоча б одне влучення; B – попадання
при другому та третьому пострiлах; C – принаймнi два промахи. Якi з даних подiй
сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: A, C, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∩ C.
3. У колодi є 36 карт. Яка ймовiрнiсть того, що серед 3 навмання вийнятих карт буде:
а) саме одна дама ? б) жодного короля ?
4. У квадратi зi стороною 10 см навмання вибирається точка. Яка ймовiрнiсть того, що
вiддаль вiд цiєї точки до найближчої сторони не перевищує 2 см ?
Iндивiдуальнi завдання
10
5. Є 20 екзаменацiйних бiлетiв, у кожному з яких є по 2 питання. Студент знає вiдповiдь
тiльки на 30 питань. Щоб скласти екзамен, йому потрiбно або вiдповiсти на два питання бiлета, або на одне питання з бiлета та одне питання з додаткового бiлета. Яка
ймовiрнiсть того, що студент складе екзамен ?
6. Що ймовiрнiше: одне випадання “шiстки” при шести киданнях гральної кiстки чи два
випадання з 12 кидань ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 9 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 9, Dξ = 0, 09.
8. Завод виготовляє деталi, 5% iз яких є бракованi. Яка ймовiрнiсть того, що в партiї з 220
деталей буде не менше 5 i не бiльше 20 бракованих ?
9. Проводяться 3 незалежних дослiди, у кожному з яких подiя A появляється з iмовiрнiстю
0,2. Розглянемо випадкову величину ξ – кiлькiсть появ подiї A. Побудувати ряд розподiлу, функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
3
ax , x ∈ (1; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 11
1. У шаховому турнiрi беруть участь 20 осiб. Їх за жеребкуванням розподiлено на 2 групи по
10 осiб. Скiльки iснує при цьому способiв, щоб четверо найсильнiших гравцiв потрапили
по двоє у рiзнi групи ?
2. Гральну кiстку пiдкидають два рази. Результат експерименту – сума очок, що випали.
Розглянемо подiї: M – сума очок дорiвнює 11; N – сума очок не менша 3; K – число
очок дiлиться на 5. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ N , N ∩ K,
M ∪ N, M ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. Партiя з 50 виробiв мiстить 5 бракованих. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 4 виробiв
буде: а) саме 2 бракованих; б) жодного бракованого.
4. Усерединi квадрата з вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0) навмання вибирається
точка M (x; y). Знайти ймовiрнiсть того, що xy < a, якщо 0 < a < 1.
5. Вироби, якi виготовляє завод, з iмовiрнiстю 0,09 мають дефект. Працюють два контролери,
причому вирiб потрапляє до кожного з них з однаковою ймовiрнiстю. Перший контролер
бракує поганий вирiб з ймовiрнiстю 0,85, а другий – з ймовiрнiстю 0,91. Яка ймовiрнiсть
того, що довiльно взятий вирiб буде забраковано ?
6. Завод виготовляє деталi, серед яких 5% бракованих. Що ймовiрнiше: що серед 10 деталей
буде саме 2 бракованих чи серед 5 деталей буде не менше однiєї бракованої ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 9 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 1, Dξ = 0, 09.
8. Серед людей, що проживають на данiй територiї, 35% мають карi очi. Якi ймовiрнiсть
того, що серед 350 дiтей мiсцевої школи буде рiвно 100 карооких ?
Iндивiдуальнi завдання
11
9. Один раз пiдкидаємо двi гральнi кiстки. Випадкова величина ξ набуває значення, рiвнi
бiльшому з чисел, якi випали. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє
квадратичне вiдхилення.
10. Функцiя розподiлу випадкової величини ξ задається формулою:

x ≤ 1;
 0,
2(x − 1), x ∈ (−1; 1, 5];
F (x) =

1,
x > 1, 5.
Знайти моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
Побудувати криву розподiлу.
ВАРIАНТ 12
1. Скiлькома способами можна впорядкувати множину {1, 2, 3, . . . , n} так, щоб числа 1, 2, 3
стояли поруч i в порядку зростання ?
2. Гральну кiстку пiдкидають один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало число “3”; N – випало менше, нiж 4 очки; K –
випала парна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї:
M ∩ N , M ∪ N, N ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, N ∩ K.
3. Студент знає 40 питань з 60. Щоб успiшно скласти iспит, потрiбно вiдповiсти принаймнi
на 4 питання з 5, що є в бiлетi. Яка ймовiрнiсть того, що студент складе iспит ?
4. Знайти ймовiрнiсть того, що навмання √
взята точка круга радiуса R попаде в трикутник
ABC, якщо AB = 2R, AC = CB = R 2.
5. Мандрiвник виходить з пункту A i на кожному роздорiжжi вибирає навмання одне з можливих продовжень шляху (не повертаючись назад):
Яка ймовiрнiсть того, що вiн попаде в пункт B ?
6. Кидається гральна кiстка. Що ймовiрнiше: що з 5 кидань не бiльше 2 разiв випаде парна
кiлькiсть очок чи з 7 кидань випаде не менше 3 разiв парна кiлькiсть очок ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 3 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 2, Dξ = 0, 15.
8. Завод випускає телевiзори, причому 9% iз них мають прихованi дефекти. Яка ймовiрнiсть того, що серед 180 телевiзорiв, якi є на складi, не менше 15 i не бiльше 30 мають
прихованi дефекти ?
9. З урни, яка мiстить 7 бiлих i 3 чорнi кульки, навмання виймаємо двi. Нехай випадкова
величина ξ – це кiлькiсть серед них бiлих кульок. Побудувати для ξ ряд розподiлу,
многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
Iндивiдуальнi завдання
12
10. Нехай щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
(4 − x)/8, x ∈ (0; 4);
f (x) =
0,
x∈
/ (0; 4).
Знайти функцiю розподiлу та ймовiрнiсть попадання величини ξ на вiдрiзок [2; 3]. Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 13
1. Скiлькома способами з колоди 36 карт можна взяти 10 карт так, щоб 7 з них були однiєї
мастi ?
2. Гральна кiстка пiдкидається два рази. Результат експерименту – пара чисел (x, y), x, y =
1, 2, . . . , 6. Розглянемо подiї: A – випало 2 непарнi числа; B – випало двi п’ятiрки; C –
сума чисел, що випали, не перевищує чотирьох. Якi з даних подiй є сумiснi, а якi – нi ?
Описати подiї: A, C, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∪ A.
3. Серед 10 коробок реактивiв 4 коробки недоброякiснi. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 4
взятих навмання коробок: а) буде одна недоброякiсна; б) усi доброякiснi.
4. Усерединi квадрата зi стороною 5 см навмання вибирається точка. Яка ймовiрнiсть того,
що її вiддаль до точки перетину дiагоналей квадрата не перевищує 1 см ?
5. Є три однаковi з вигляду коробки. У першiй коробцi є 6 бiлих i 12 чорних кульок, у другiй –
5 бiлих i 5 чорних кульок, а в третiй – 20 бiлих та 5 чорних кульок. Навмання вибирають
коробку, а з неї одну кульку. а) Яка ймовiрнiсть того, що вийнята кулька є чорною ?
б) Нехай вийнята кулька є чорною. Яка ймовiрнiсть того, що вийнята кулька є з третьої
коробки ?
6. Що ймовiрнiше: виграти в шахи у рiвносильного противника 2 партiї з 4 чи 4 партiї з 6 ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 7 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 3, Dξ = 0, 21.
8. Завод випускає вироби, серед яких 7% бракованих. Яка ймовiрнiсть того, що серед 140
виробiв заводу, якi надiйшли на склад, буде рiвно 20 бракованих ?
9. Середнiй студент отримує оцiнку “3” i “4” з iмовiрнiстю 0,4, “5” i “2” – з iмовiрнiстю 0,1.
Нехай випадкова величина ξ – оцiнка, отримана студентом. Побудувати для ξ ряд розподiлу, многокутник розподiлу, функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
4
ax , x ∈ (0; 2);
f (x) =
0, x ∈
/ (0; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 14
1. Скiлькома способами можна 10 рiзних олiвцiв розкласти у три пенали ?
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випала четвiрка; N – випало менше, нiж 3 очки; K – випала
непарна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ N,
N ∩ K, M ∪ N, N ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
Iндивiдуальнi завдання
13
3. З повного набору домiно (28 штук) навмання виймають 7 кiсток. Яка ймовiрнiсть того,
що серед них виявиться: а) саме 2 “дублi”; б) жодного “дубля” ?
4. Усерединi квадрата зi стороною 8 см навмання вибрана точка. Яка ймовiрнiсть того, що
вiддаль вiд неї до фiксованої сторони не перевищуватиме 6 см ?
5. Проводяться три незалежних пострiли снарядами по цiлi з iмовiрнiстю влучення 0,6 кожен. Цiль знищується з iмовiрнiстю 0,5 при влученнi одним снарядом, з iмовiрнiстю
0,9 при влученнi двома снарядами i з повною ймовiрнiстю при влученнi трьох снарядiв.
а) Знайти повну ймовiрнiсть знищення цiлi; б) Нехай цiль знищена. Яка ймовiрнiсть
того, що в неї влучив тiльки один снаряд ?
6. Кидаємо гральну кiстку. Що ймовiрнiше: що з 6 кидань число “5” випаде саме 2 рази чи
з 3 кидань число “2” випаде саме один раз ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 3 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 1, Dξ = 1, 89.
8. Серед населення даної територiї 28% брюнетiв. Яка ймовiрнiсть того, що серед 190 покупцiв унiвермагу буде не менше 50 i не бiльше 70 брюнетiв ?
9. Нехай дискретна випадкова величина задана функцiєю розподiлу:

0, x ≤ −2;




 0, 2, −2 < x ≤ −1;
0, 4, −1 < x ≤ 1;
F (x) =


0, 8, 1 < x ≤ 2;



1, x > 2.
Задати ряд розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Задано функцiю розподiлу випадкової величини ξ:

x ≤ 0;
 0,
sin x, x ∈ (0; π/2];
F (x) =

1,
x > π/2.
Знайти моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 15
n+2
n
n+1
n+2
1. Довести, що Cm
+ 2Cm
+ Cm
= Cm+2
.
2. Кидають три монети. Розглянемо подiї: A – випало принаймнi 2 герби; B – на однiй монетi
випав герб; C – випала хоча б одна цифра. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: A, C, A ∪ B, A ∩ C, A ∪ C, B ∩ A.
3. У коробцi є 9 жовтих та 7 синiх кульок. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 5 навмання
вийнятих кульок буде: а) саме 2 синiх; б) усi жовтi.
4. Усерединi квадрата ABCD знаходиться iнший квадрат KLM N . Яка ймовiрнiсть того, що
навмання взята точка з квадрата ABCD попаде у квадрат KLM N , якщо AB = 8 см,
KL = 0, 5 см ?
5. Студент Митрофанов приходить на лекцiю з фiлософiї з ймовiрнiстю 0,8. Залежно вiд
настрою лектор з ймовiрнiстю 0,3 робить перекличку в усiх групах, iз тiєю ж ймовiрнiстю тiльки в однiй з груп, взятiй навмання, i з ймовiрнiстю 0,1 взагалi переклички не
робить. Яка ймовiрнiсть того, що у випадково взятий день буде зафiксована вiдсутнiсть
студента Митрофанова на лекцiї з фiлософiї ?
Iндивiдуальнi завдання
14
6. Шiсть разiв пiдкидаємо монету. Яка ймовiрнiсть того, що герб випаде не менше 2 разiв ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 5 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 5, Dξ = 0, 25.
8. Завод випускає телевiзори, серед яких 8% мають прихованi дефекти. Яка ймовiрнiсть того,
що серед 160 телевiзорiв, якi перевiряються, саме 13 мають прихований дефект ?
9. Випадкова величина ξ задана рядом розподiлу:
xi
pi
–5 –1
0
0,2 0,1 0,4
1
5
0,2 0,1
Знайти функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
4
ax , x ∈ (1; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 16
1. Скiльки рiзних слiв (в тому числi без змiсту i без звучання) можна отримати, переставляючи букви у словi "паралелограм"?
2. Гральну кiстку пiдкидають один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало бiльше, нiж 3 очки; N – випало менше, нiж 5 очок;
K – випало число “3”. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ N , K,
N ∩ K, M ∪ N, N ∪ K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, N .
3. У групi з 25 студентiв є тiльки 5 дiвчат. Яка ймовiрнiсть того, що серед 4 опитаних студентiв: а) буде саме двi дiвчини; б) не буде жодної дiвчини ?
4. На перехрестi встановлено автоматичний свiтлофор, в якому 30 сек. горить червоне свiтло,
а потiм 5 сек. горить жовте, потiм 1 хв. зелене, 5 сек. жовте i знову червоне. Яка ймовiрнiсть того, що автомобiль, який з’явився у випадковий момент часу, не затримається
на перехрестi ?
5. Руслана i Тамара – близькi подруги. Найчастiше (у 70% випадкiв) вони разом роблять
домашнє завдання з математики i з iмовiрнiстю 0,8 воно в них виконано правильно. Але
часом завдання робить сама Руслана (у 20% випадкiв) чи сама Тамара (у 10% випадкiв),
а iнша просто переписує. На жаль, Тамара виконує завдання правильно з iмовiрнiстю
0,6, а Руслана – з iмовiрнiстю 0,1. Яка ймовiрнiсть того, що на час перевiрки у дiвчат
буде правильно виконане завдання ?
6. Шiсть разiв пiдкидаємо гральну кiстку. Яка ймовiрнiсть того, що “двiйка” випаде: а) саме
3 рази; б) не випаде жодного разу ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 4 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 6, Dξ = 0, 24.
8. Серед чоловiкiв, якi проживають на данiй територiї, є 15% лисих. Дiвчина рахує через
вiкно перехожих. Яка ймовiрнiсть того, що серед 210 чоловiкiв, яких вона нарахувала,
було не менше 20 i не бiльше 50 лисих ?
Iндивiдуальнi завдання
15
9. Пiдкидаємо 5 разiв монету. Нехай випадкова величина ξ – це кiлькiсть випадань герба.
Побудувати для неї ряд розподiлу, функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Нехай щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a sin x, x ∈ (π/4; π/2);
f (x) =
0,
x∈
/ (π/4; π/2),
де a – невiдомий параметр. Знайти ймовiрнiсть попадання випадкової величини ξ на
промiжок (π/4; π/3). Обчислити медiану, моду, математичне сподiвання та дисперсiю
випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 17
1. Скiлькома способами можна розставити 20 книг у книжковiй шафi з 5 полицями, якщо
кожна полиця може вмiстити усi 20 книг ?
2. Гральну кiстку пiдкидають двiчi. Результат експерименту – число очок, що випали. Розглянемо подiї: M – сума очок дорiвнює трьом; N – сума очок, якi випали, менша 11;
K – сума очок, що дiлиться на 5. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї:
M ∩ N, K, N ∩ K, M ∪ N, M ∪ K, N , M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. У колодi 36 карт. Яка ймовiрнiсть того, що серед 5 навмання взятих карт: а) саме двi
бубнової мастi; б) жодної черви ?
4. Усерединi квадрата з вершинами в точках (0; 1), (1; 0), (0; 0), (1; 1) навмання вибирається точка M (x; y). Яка ймовiрнiсть того, що її вiддаль до точки (1; 1) не перевищить
0,5 ?
5. Двi сестри ходять у лiс по чорницi з маленьким вiдерком. Разом вони завжди назбирують
повне вiдерко, старша сестра сама може назбирати вiдерко в 40% випадкiв, а молодша –
тiльки в 5%. Мама може залишити сестер незалежно одну вiд одної вдома з iмовiрнiстю
2/3. Яка ймовiрнiсть того, що у випадково взятий день буде назбирано повне вiдерко
чорниць ?
6. Прилад складається з 6 вузлiв, якi виходять iз ладу за час t з iмовiрнiстю 0,1 незалежно
один вiд одного. Знайти ймовiрнiсть того, що за час t з ладу вийде не менше 5 вузлiв.
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 3 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 7, Dξ = 0, 21.
8. Знайти ймовiрнiсть того, що подiя A станеться рiвно 70 разiв у 220 випробуваннях, якщо
ймовiрнiсть появи подiї A у кожному з них дорiвнює 0,3.
9. Проводиться три пострiли по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 2/3. Нехай випадкова величина ξ – це кiлькiсть влучень. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу
та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Дано функцiю розподiлу випадкової величини ξ:

0,
x ≤ 0;

(x2 + 3x)/4, 0 < x ≤ 1;
F (x) =

1,
x > 1.
Обчислити медiану, моду, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
Iндивiдуальнi завдання
16
ВАРIАНТ 18
m+3
1. Довести, що Cnm + 3Cnm+1 + 3Cnm+2 + Cnm+3 = Cn+3
.
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випала п’ятiрка; N – випало не менше, нiж 2 очки; K
– випала парна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї:
M ∩ K, N ∩ K, M ∪ N, M ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K.
3. Партiя з 80 телевiзорiв мiстить 5 iз прихованим дефектом. Знайти ймовiрнiсть того, що
серед 3 вiдiбраних телевiзорiв: а) усi будуть добрi; б) буде саме один бракований.
4. Нехай задано рiвностороннiй трикутник ABC зi стороною 5 см. Знайти ймовiрнiсть того,
що навмання взята точка в ньому буде знаходитись вiд точки A на вiддалi, бiльшiй нiж
2 см.
5. Є двi коробки: в першiй 10 бiлих i 15 чорних кульок, а в другiй – 10 бiлих i 10 чорних. З
першої коробки в другу, не дивлячись, перекидають 5 кульок, перемiшують їх i з другої
коробки навмання виймають одну кульку. Яка ймовiрнiсть того, що вона бiла ?
6. Iмовiрнiсть влучення в мiшень при одному пострiлi дорiвнює 0,7. Робиться 6 незалежних
пострiлiв. Яка ймовiрнiсть: а) саме 4 влучень; б) 6 влучень ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 2 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 8, 8, Dξ = 0, 16.
8. Ймовiрнiсть появи подiї A в кожному з 230 незалежних випробувань стала i дорiвнює 0,4.
Знайти ймовiрнiсть того, що подiя A станеться не бiльше, нiж 100 разiв.
9. Проводиться 4 незалежних дослiди, в кожному з яких подiя з’являється з ймовiрнiстю 0,4.
Нехай випадкова величина ξ – кiлькiсть появ подiї A. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a/x, x ∈ (1; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 19
1. Скiльки дiльникiв має число 35 74 ?
2. З колоди карт навмання виймають одну карту. Розглянемо подiї: A – вийняли карту чорної
мастi; B – вийняли короля; C – вийняли даму треф. Якi з даних подiй є сумiснi, а якi
– нi ? Описати подiї: A, A ∩ B, A ∪ C, A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C.
3. Студент знає 25 питань з 30. Щоб скласти iспит, потрiбно вiдповiсти принаймнi на 2 питання з 3, що є в бiлетi. Яка ймовiрнiсть того, що студент складе iспит ?
4. Яка ймовiрнiсть того, що навмання вибрана точка з круга радiуса R попаде всередину
фiксованого сектора в π/3 радiанiв ?
5. Вироби, якi виготовляє завод, з iмовiрнiстю 0,05 мають дефект. Працюють два контролери,
причому вирiб потрапляє до одного з них з однаковою ймовiрнiстю. Перший контролер
бракує поганий вирiб з iмовiрнiстю 0,9, а другий – з iмовiрнiстю 0,8. Яка ймовiрнiсть
того, що навмання взятий вирiб буде забраковано ?
Iндивiдуальнi завдання
17
6. Шiсть разiв пiдкидаємо пару (двi) гральних кiсток. Яка ймовiрнiсть того, що саме 3 рази
сума очок, якi випадуть, буде не бiльше чотирьох ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 6 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 2, Dξ = 2, 16.
8. Iмовiрнiсть влучення в мiшень при одному пострiлi дорiвнює 0,65. Знайти ймовiрнiсть
того, що з 240 незалежних пострiлiв буде рiвно 150 влучень.
9. Два стрiльцi незалежно один вiд одного роблять по одному пострiлу по мiшенi, причому
ймовiрнiсть влучення для першого стрiльця становить 0,5, а для другого – 0,7. Нехай
випадкова величина – кiлькiсть влучень у мiшень. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Дано функцiю розподiлу випадкової величини ξ:

x ≤ 0;
 0,
2
x + 3x/2, 0 < x ≤ 1/2;
F (x) =

1,
x > 1/2.
Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 20
1. Студенту потрiбно скласти 4 iспити протягом 12 днiв. Скiлькома способами вiн може це
зробити ?
2. Три рази стрiляють по мiшенi. Розглянемо подiї: A – принаймнi два попадання; B – попадання при першому пострiлi; C – хоча б один промах. Якi з даних подiй сумiснi, а якi
– нi ? Описати подiї: A, C, A ∪ B, A ∪ C, A ∩ B, A ∩ C.
3. Серед 50 пачок реактивiв 10 пачок недоброякiсних. Купили 5 пачок реактивiв. Яка ймовiрнiсть того, що серед них: а) буде лише одна пачка недоброякiсна; б) усi пачки реактивiв
добрi ?
4. У кубi зi стороною 5 см навмання вибирається точка. Яка ймовiрнiсть того, що її вiддаль
до фiксованої вершини куба буде менша за 2 см ?
5. Прилад може працювати у двох режимах: нормальному й ненормальному, причому ймовiрнiсть нормального режиму 0,8, а ненормального – 0,2. Iмовiрнiсть виходу з ладу приладу в нормальному режимi 0,1, а в ненормальному – 0,4. Вiдомо, що прилад вийшов
iз ладу. Яка ймовiрнiсть того, що вiн працював у нормальному режимi ?
6. Завод випускає деталi, серед яких 7% бракованих. Яка ймовiрнiсть того, що серед 6 деталей
буде не менше однiєї бракованої ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 9 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 2, 2, Dξ = 0, 36.
8. Пiдкидаємо монету 260 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що герб появиться не бiльше 150
разiв.
9. Один раз пiдкидається гральна кiстка. Випадкова величина ξ набуває значення рiвнi кiлькостi очок, що випали, мiнус 2. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє
квадратичне вiдхилення.
Iндивiдуальнi завдання
18
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a/x, x ∈ (2; 4);
f (x) =
0, x ∈
/ (2; 4).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 21
1. Знайти n, якщо вiдомо, що в розкладi (1 + x)n коефiцiєнти при x5 i x12 є однаковi ?
2. Гральну кiстку пiдкидають два рази. Результат експерименту – сума очок, що випали.
Розглянемо подiї: M – сума очок, що випали, дорiвнює 4; N – сума очок менша 10;
K – сума очок дiлиться на 3. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї:
M ∩ N, N ∩ K, N , K, M ∪ K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, M ∪ N.
3. У коробцi є 7 бiлих та 11 чорних кульок. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 5 навмання
вийнятих кульок буде: а) саме 4 бiлих; б) жодної бiлої.
4. У кулi радiуса 4 см навмання вибрана точка. Яка ймовiрнiсть того, що вона розташована
не далi, як на 1 см вiд граничної сфери ?
5. У двох коробках мiститься вiдповiдно 12 та 18 кульок, причому по 5 i 7 бiлих. З першої
коробки переклали одну кульку в другу, перемiшали й вийняли з другої коробки одну
кулю. Яка ймовiрнiсть того, що вона бiла ?
6. Проводиться 6 незалежних пострiлiв по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 0,4. Яка ймовiрнiсть
не бiльше 4 влучень ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 2 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 2, 6, Dξ = 0, 64.
8. Iмовiрнiсть народження хлопчика дорiвнює 0,51. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 120
новонароджених дiтей буде рiвно 60 хлопчикiв.
9. Випадкова величина ξ задана рядом розподiлу:
xi
pi
–2 –1
0
0,1 0,2 0,2
2
3
0,3 0,2
Знайти функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Функцiя розподiлу випадкової величини ξ задається формулою:

x ≤ −2;
 0,
(x + 2)/4, x ∈ (−2; 2];
F (x) =

1,
x > 2.
Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
Побудувати криву розподiлу.
ВАРIАНТ 22
1. В iнститутi навчаються 1500 студентiв. Довести, що принаймнi двоє з них мають однаковi
iнiцiали.
Iндивiдуальнi завдання
19
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випала шiстка; N – випало бiльше, нiж 1 очко; K – випала
непарна кiлькiсть очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ N ,
M ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, M ∪ N, N ∩ K.
3. У класi навчається 16 дiвчат та 20 хлопцiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 4 чергових
у їдальнi: а) буде 3 дiвчини; б) не буде жодної дiвчини.
4. Яка ймовiрнiсть того, що навмання взята точка з куба зi стороною 12 см знаходиться
всерединi максимальної вписаної у нього кулi ?
5. Мандрiвник виходить з пункту A i на кожному роздорiжжi вибирає навмання одне з можливих продовжень шляху (не повертаючись назад):
6.
7.
8.
9.
Яка ймовiрнiсть того, що вiн попаде в пункт B ?
Що ймовiрнiше: випадання 2 гербiв при 5 киданнях монети чи 3 гербiв при 6 киданнях ?
Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 6 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 1, 4, Dξ = 0, 24.
Гральну кiстку пiдкидають 270 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що “трiйка” випаде не
менше 50 разiв.
Нехай дискретна випадкова величина задана функцiєю розподiлу

0, x ≤ −1;



0, 1, −1 < x ≤ 0;
F (x) =
0, 5, 0 < x ≤ 1;



1, x > 1.
Побудувати ряд розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Нехай щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
(2 − x)/2, x ∈ (0; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (0; 2).
Знайти функцiю розподiлу та ймовiрнiсть попадання величини ξ на промiжок (1; 2).
Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 23
1. Скiлькома способами 20 рiзних предметiв можна розташувати у 5 ящиках ?
2. Гральна кiстка пiдкидається два рази. Результат експерименту – пара чисел (x, y), x, y =
1, 2, . . . , 6. Розглянемо подiї: A – сума чисел, якi випали, парна; B – випало двi четвiрки;
C – принаймнi одне число непарне. Якi з даних подiй є сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: A, C, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∪ A.
3. У колодi 36 карт. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 3 взятих навмання карт буде: а) саме
2 дами; б) жодного валета.
Iндивiдуальнi завдання
20
4. Яка ймовiрнiсть того, що навмання вибрана точка з рiвностороннього трикутника ABC
розташована ближче, нiж 1 см до сторони AB, якщо AB = 8 см ?
5. У першiй коробцi є 10 бiлих i 5 чорних кульок, у другiй – 5 бiлих i 10 чорних куль, а
в третiй – лише бiлi кульки. Навмання вибирають коробку, а з неї одна куля. а) Яка
ймовiрнiсть того, що вийнята кулька є бiлою ? б) Нехай вийнята кулька є бiлою. Яка
ймовiрнiсть того, що ця кулька з третьої коробки ?
6. Нехай iмовiрнiсть влучення в мiшень 0,8. Що ймовiрнiше: 4 влучення з 6 незалежних
пострiлiв чи 5 влучень з 7 ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 1 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 1, 9, Dξ = 0, 09.
8. Монета пiдкидається 146 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що герб випаде рiвно 75 разiв.
9. Пiдкидаються три монети. Випадкова величина ξ набуває значення – 5, коли випадуть
всi герби, 1 – коли випаде саме 1 герб, 5 – усi три цифри i 0 – в усiх iнших випадках.
Побудувати для неї ряд розподiлу.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a/x2 , x ∈ (1; 2);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 24
1. У групi 20 студентiв знають англiйську мову, 15 – нiмецьку, 7 з них знають обидвi мови.
Скiльки студентiв у групi, якщо кожен студент знає хоча б одну iз названих мов ?
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало не бiльше, нiж 3 очки; N – випало не менше, нiж
3 очки; K – випало бiльше, нiж 5 очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: M ∩ N, N ∩ K, M ∪ N, M ∪ K, M ∪ N ∪ K, N , K, M ∩ N ∩ K.
3. Партiя з 70 деталей мiстить 5 бракованих. Закупили 10 деталей. Яка ймовiрнiсть того, що
серед них: а) буде саме 2 бракованi; б) не буде жодної бракованої ?
4. Яка ймовiрнiсть того, що точка, вибрана навмання з кулi радiуса 6 см знаходиться не
бiльше, як на 2 см вiд її центру ?
5. З 12 студентiв, якi прийшли на iспит, троє знають 30 бiлетiв з 40, двоє – 15 бiлетiв, один –
10, а решта знають усi бiлети. Викликається навмання один студент. а) Яка ймовiрнiсть
того, що вiн складе iспит ? б) Нехай студент склав iспит. Яка ймовiрнiсть того, що вiн
знав лише 10 бiлетiв з 40 ?
6. Що ймовiрнiше: два випадання “шiстки” при 7 киданнях гральної кiстки чи 3 випадання
з 6 кидань ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 9 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 4, 1, Dξ = 0, 09.
8. Стрiляють 280 разiв по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 0,6. Знайти ймовiрнiсть того, що
влучать не менше 180 разiв (пострiли незалежнi).
9. Один раз пiдкидають двi гральнi кiстки. Випадкова величина ξ набуває значення, рiвне
меншому з них. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю
розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
Iндивiдуальнi завдання
21
10. Задано функцiю розподiлу




0,
x ≤ 1;
2
(x − 1)
F (x) =
, 1 < x ≤ 3;

4


1,
x > 3,
випадкової величини ξ. Знайти її моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю.
ВАРIАНТ 25
1. У їдальнi є 3 першi страви, 5 других та 2 третi. Скiлькома способами можна скласти з них
обiд, який складається з трьох страв ?
2. Кидають три монети. Розглянемо подiї: A – випало саме 2 герби; B – на третiй монетi випав
герб; C – випала хоча б одна цифра. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: A, C, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∩ C.
3. Студент знає 30 питань з 45. Щоб скласти iспит, вiн має вiдповiсти принаймнi на 3 питання
з 5, якi є в бiлетi. Яка ймовiрнiсть того, що студент складе iспит ?
4. У випадковий момент часу з 7 до 12 години з’являється радiосигнал довжиною в 15 хвилин.
У випадковий момент цього промiжку включається на годину приймач. Яка ймовiрнiсть
виявити сигнал ?
5. Шiсть кульок, серед яких 3 бiлi та 3 чорнi, розподiляються по трьох коробках. Навмання
вибирається коробка i з неї – кулька. Як розподiлити кульки по коробках, щоб iмовiрнiсть вийняти бiлу кульку, була максимальною ?
6. Завод виготовляє деталi, серед яких 6% бракованих. Що ймовiрнiше: що серед 6 деталей
буде саме одна бракована чи, що серед 10 деталей буде не бiльше однiєї бракованої.
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 1 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 5, 8, Dξ = 0, 36.
8. Гральна кiстка пiдкидається 125 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що “трiйка” випаде рiвно
21 раз.
9. З урни, в якiй 5 бiлих та 3 чорних кульки, навмання виймаються 2 кульки. Нехай випадкова величина ξ – кiлькiсть бiлих кульок серед них. Побудувати для неї ряд розподiлу,
многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a/x2 , x ∈ (1; 3);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 3).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 26
1. Скiлькома способами можна зробити триколiрний прапорець з горизонтальними смугами
однакової ширини, якщо є тканина шести рiзних кольорiв ?
Iндивiдуальнi завдання
22
2. Гральну кiстку пiдкидають один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало не бiльше, нiж 4 очки; N – випало не менше, нiж
4 очки; K – випало менше, нiж 3 очки. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати
подiї: M ∩ N, N ∩ K, M ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∪ N, M ∩ N ∩ K.
3. Серед 40 телевiзорiв 5 мають прихованi дефекти. Яка ймовiрнiсть того, що серед чотирьох вiдiбраних для перевiрки телевiзорiв: а) виявиться один бракований; б) жодного
бракованого ?
4. З 9 до 11 години лiкар чекає двох пацiєнтiв: молодого чоловiка та старшу панi. Яка ймовiрнiсть того, що комусь з них доведеться чекати в приймальнi, якщо вони прийдуть у
випадковий момент часу вказаного промiжку й прийом панi триває 1 годину, а молодого
чоловiка – 15 хв. ?
5. У коробцi лежить 25 тенiсних м’ячiв, причому 20 нових i 5 граних. Для гри навмання
виймають 2 м’ячi, а потiм повертають назад. Для другої гри теж виймають 2 м’ячi. Яка
ймовiрнiсть того, що вони виявляться новими ?
6. Кидається гральна кiстка. Що ймовiрнiше: з 7 кидань 3 рази випаде парна кiлькiсть очок
чи з 5 кидань не менше одного разу випаде парна кiлькiсть очок ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 1 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 5, 5, Dξ = 2, 25.
8. Завод виготовляє деталi, причому 6% iз них бракованi. Яка ймовiрнiсть того, що в партiї
з 290 деталей буде не бiльше 20 бракованих ?
9. Проводиться 4 незалежнi пострiли по мiшенi з iмовiрнiстю влучення 0,8. Нехай випадкова
величина ξ – це кiлькiсть влучень. Побудувати для ξ ряд розподiлу, функцiю розподiлу
та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє
квадратичне вiдхилення.
10. Нехай щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a sin x, x ∈ (0; π/3);
f (x) =
0,
x∈
/ (0; π/3),
де a – невiдомий параметр. Знайти ймовiрнiсть попадання випадкової величини ξ на
промiжок (0; π/4). Обчислити моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 27
1. Рота складається з трьох офiцерiв, шести сержантiв i шестидесяти рядових. Скiлькома
способами можна видiлити з них загiн, що складається з одного офiцера, двох сержантiв
i двадцяти рядових ?
2. Гральну кiстку пiдкидають двiчi. Результат експерименту – число очок, що випали. Розглянемо подiї: M – сума очок не менша 5; N – сума очок, якi випали, не бiльша 4;
K – сума очок дiлиться на 5. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї:
M ∩ N, N ∩ K, M ∪ N, M ∪ K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, N , K.
3. У коробцi є 8 бiлих та 10 чорних кульок. Яка ймовiрнiсть того, що серед 4 навмання взятих
кульок: а) саме двi бiлi; б) усi кульки бiлi ?
4. Двоє друзiв вiдвiдують одну й ту ж кав’ярню мiж 10 та 11 годиною. Кожен приходить у
випадковий момент даного промiжку, 10 хв. п’є свою каву i йде геть. Яка ймовiрнiсть
їм зустрiтись випадково ?
Iндивiдуальнi завдання
23
5. Проводиться два незалежних пострiли снарядами по цiлi з iмовiрнiстю влучення 0,6 кожен.
Цiль знищена з iмовiрнiстю 0,7 при одному влученнi в неї i з повною ймовiрнiстю при
двох влученнях. а) Яка ймовiрнiсть того, що цiль буде знищена ? б) Нехай цiль знищена.
Яка ймовiрнiсть того, що в цiль влучив рiвно один снаряд ?
6. Що ймовiрнiше: виграти в шахи у рiвносильного противника двi партiї з п’яти чи не бiльше
двох з шести ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 2 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 5, 8, Dξ = 5, 76.
8. Серед людей, якi проживають на данiй територiї, 28% мають карi очi. Яка ймовiрнiсть
того, що серед 95 вибраних осiб буде 25 карооких ?
9. Проводиться 4 незалежнi дослiди, в кожному з яких подiя A з’являється з iмовiрнiстю 0,6.
Нехай випадкова величина ξ – це кiлькiсть появ подiї A. Побудувати для ξ ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Дано функцiю розподiлу

x ≤ 0;
 0,
2
2x + x, 0 < x ≤ 1/2;
F (x) =

1,
x > 1/2,
випадкової величини ξ. Обчислити її моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю.
ВАРIАНТ 28
1. З десяти рiзних квiток треба скласти букет так, щоб у ньому була непарна кiлькiсть квiток.
Скiлькома способами це можна зробити ?
2. Гральна кiстка пiдкидається один раз. Результат експерименту – число очок на верхнiй
гранi. Розглянемо подiї: M – випало бiльше, нiж 2 очки; N – випало менше, нiж 4 очки;
K – випала 5 очок. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: M ∩ N, N ∩ K,
M ∪ K, N , K, M ∪ N ∪ K, M ∩ N ∩ K, M ∪ N.
3. У групi з 23 студентiв є 18 хлопцiв. Яка ймовiрнiсть того, що серед 4 опитаних студентiв:
а) саме 4 хлопцi; б) лише 2 хлопцi ?
4. На поверхнi кулi радiуса 2 см навмання вибирають 2 точки. Яка ймовiрнiсть того, що їх
можна з’єднати (по поверхнi кулi) ниткою довжиною π?
5. Два заводи виготовляють однаковi деталi, причому перший з 10% браку, а другий – з 15%.
Вiдомо, що є 100 деталей першого заводу i 200 – другого. а) Яка ймовiрнiсть того, що
навмання взята деталь добра ? б) Нехай вибрана деталь добра. Яка ймовiрнiсть того,
що вона виготовлена на першому заводi ?
6. Кидаємо гральну кiстку. Що ймовiрнiше: з 8 кидань число “2” випаде саме 2 рази чи з 3
кидань число “3” не випаде жодного разу ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 3 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 6, 6, Dξ = 13, 44.
8. Завод випускає телевiзори, причому 8% iз них мають прихованi дефекти. Яка ймовiрнiсть
того, що серед 200 телевiзорiв, якi перевiряються, буде не менше 50 iз дефектами ?
Iндивiдуальнi завдання
24
9. Два стрiльцi незалежно один вiд одного роблять по одному пострiлу по мiшенi, причому
ймовiрнiсть влучення для першого стрiльця 0,7, а для другого 0,8. Нехай випадкова
величина ξ – кiлькiсть влучень у мiшень. Побудувати для неї ряд розподiлу, многокутник розподiлу та функцiю розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та
середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
f (x) =
a/x3 , x ∈ (1; 2);
0,
x∈
/ (1; 2).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
ВАРIАНТ 29
1. Двi листоношi повиннi вiднести 10 листiв. Скiлькома способами вони можуть роздiлити
цю роботу ?
2. З колоди 36 карт навмання виймають одну карту. Розглянемо подiї: A – вийняли карту
червоної мастi; B – вийняли дев’ятку; C – вийняли бубнового туза. Якi з даних подiй є
сумiснi, а якi – нi ? Описати подiї: A, A ∪ B, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∩ C.
3. З повного набору домiно (28 штук) навмання виймають 7 штук. Яка ймовiрнiсть того, що
серед них буде саме 2 кiстки iз сумою очок 6 ?
4. Яка ймовiрнiсть того, що сума довжин трьох навмання взятих вiдрiзкiв довжини меншої
10 см буде не бiльше 10 см ?
5. У продажу є телевiзори трьох заводiв: 20% телевiзорiв першого заводу, 40% – другого i
стiльки ж третього. Продукцiя першого заводу мiстить 10% телевiзорiв iз прихованим
дефектом, другого заводу – 5%, а третього – 8%. а) Яка ймовiрнiсть того, що навмання
куплений телевiзор добрий ? б) Нехай купили добрий телевiзор. Яка ймовiрнiсть того,
що вiн виготовлений на третьому заводi ?
6. При в’їздi в нову квартиру в електромережу було включено 10 лампочок. Кожна електролампочка на протязi року перегоряє з iмовiрнiстю 1/4. Яка ймовiрнiсть того, що на
протязi року перегорить не менше половини лампочок ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 4 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 4, 4, Dξ = 3, 84.
8. Завод випускає вироби, серед яких є 6% бракованих. Яка ймовiрнiсть того, що серед 120
виробiв, якi поступили для перевiрки, буде рiвно 15 бракованих ?
9. Випадкова величина ξ задана рядом розподiлу:
xi
pi
–0,5 0
1
2
0,2 0,6 0,1 0,1
Знайти функцiю розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
Iндивiдуальнi завдання
25
10. Дано функцiю розподiлу


0,
x ≤ 0;
3x + x/2, 0 < x ≤ 1/2;
F (x) =

1,
x > 1/2,
2
випадкової величини ξ. Обчислити її моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю.
ВАРIАНТ 30
1. Скiлькома способами можна зробити триколiрну горизонтальну смугу однакової ширини,
якщо є фарби п’яти рiзних кольорiв ?
2. Три рази стрiляють по мiшенi. Розглянемо подiї: A – саме два попадання; B – попадання
при третьому пострiлi; C – хоча б один промах. Якi з даних подiй сумiснi, а якi – нi ?
Описати подiї: A, C, B ∩ C, A ∪ C, A ∩ B, A ∩ C.
3. Одна стара панi не любить цифру “6”. Яка ймовiрнiсть того, що в номерi нового автомобiля
її зятя не буде цифри “6” ?
4. Яка ймовiрнiсть того, що грати квадратної решiтки можуть затримати випадкову кулю
(нескiнченно малого розмiру), якщо решiтка зроблена з прутiв радiуса 2 см, а вiддаль
мiж її осями 10 см ?
5. Партiя деталей, серед яких 5% браку, поступила на перевiрку. При перевiрцi бракована
деталь виявляється з iмовiрнiстю 0,95 i добра деталь бракується з iмовiрнiстю 0,05.
Яка ймовiрнiсть того, що вибрана навмання деталь буде забракована ? Нехай деталь
забракували в процесi перевiрки. Яка ймовiрнiсть того, що вона дiйсно бракована ?
6. Завод виготовляє вироби, серед яких 8% бракованих. На контрольному пунктi бракований
вирiб виявляється з iмовiрнiстю 0,1. Яка ймовiрнiсть того, що серед 10 виробiв буде
виявлено: а) саме 2 бракованi; б) жодного бракованого ?
7. Знайти закон розподiлу дискретної випадкової величини ξ, яка може набувати лише два
значення: x1 з iмовiрнiстю p1 = 0, 6 i x2 , якщо x1 < x2 i M ξ = 3, 2, Dξ = 2, 16.
8. Серед населення даної територiї 15% блондинiв. Яка ймовiрнiсть того, що серед 100 випадково вибраних мiсцевих жительок буде не менше 20 бiлявок ?
9. Нехай дискретна випадкова величина задана функцiєю розподiлу:

0, x ≤ 0;




 0, 1, 0 < x ≤ 1;
0, 4, 1 < x ≤ 2;
F (x) =


0, 7, 2 < x ≤ 4;



1, x > 4.
Задати ряд розподiлу та многокутник розподiлу. Обчислити математичне сподiвання,
дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення.
10. Щiльнiсть випадкової величини ξ задається формулою:
a/x3 , x ∈ (1; 3);
f (x) =
0,
x∈
/ (1; 3).
Визначити невiдомий параметр a. Знайти функцiю розподiлу, моду, медiану, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини ξ.
Iндивiдуальнi завдання
26
Додатки
1
2
Додаток 1. Таблиця значень функцiї ϕ(x) = √ e−x /2
2π
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0784
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0101
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
Iндивiдуальнi завдання
27
1
Додаток 2. Таблиця значень функцiї Φ0 (x) = √
2π
Zx
2 /2
e−t
dt
0
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0,0000
0398
0793
1179
1554
1915
2257
2580
2881
3159
3413
3643
3849
4032
4192
4332
4452
4554
4641
4713
4772
4821
4861
4893
4918
4938
4953
4965
4974
4981
1
0040
0438
0832
1217
1591
1950
2291
2611
2910
3186
3437
3665
3869
4049
4207
4345
4463
4564
4648
4719
4778
4826
4864
4896
4920
4940
4955
4966
4975
4982
x
3,0
3,1
3,2
3,3
2
0080
0478
0871
1255
1628
1985
2324
2642
2939
3212
3461
3686
3888
4066
4222
4357
4474
4573
4656
4726
4783
4830
4868
4898
4922
4941
4956
4967
4976
4982
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
3
0120
0517
0909
1293
1664
2019
2356
2673
2967
3238
3485
3708
3906
4082
4236
4370
4484
4582
4664
4732
4788
4834
4871
4901
4924
4943
4957
4968
4977
4983
x
3,4
3,5
3,6
3,7
4
0159
0557
0948
1331
1700
2054
2389
2703
2995
3264
3508
3728
3925
4099
4251
4382
4495
4591
4671
4738
4793
4838
4874
4904
4927
4945
4958
4969
4977
4984
0,49966
0,4998
0,4998
0,49989
5
0199
0596
0987
1368
1736
2088
2421
2734
3023
3289
3531
3749
3943
4115
4265
4394
4505
4599
4678
4744
4798
4842
4878
4906
4929
4946
4960
4970
4978
4984
6
0239
0636
1026
1406
1772
2123
2454
2764
3051
3315
3554
3770
3962
4131
4279
4406
4515
4608
4686
4750
4803
4846
4881
4909
4930
4948
4961
4971
4979
4985
x
3,8
3,9
4,0
5,0
7
0279
0675
1064
1443
1808
2157
2486
2793
3078
3340
3577
3790
3980
4147
4292
4418
4525
4616
4692
4756
4808
4850
4884
4911
4932
4949
4962
4972
4979
4985
0,49993
0,49995
0,499968
0,499999
8
0319
0714
1103
1480
1844
2190
2517
2823
3106
3365
3599
3810
3997
4162
4306
4429
4535
4625
4699
4761
4812
4854
4887
4913
4934
4951
4963
4973
4980
4986
9
0359
0753
1141
1517
1879
2224
2549
2852
3133
3389
3621
3830
4015
4177
4319
4441
4545
4633
4704
4767
4817
4857
4890
4916
4936
4952
4964
4974
4981
4986