Mesures Physiques – S2
Systèmes électriques
TD N°1
Régime Variable – Association de Dipôles
i2(t)
Exercice N°1 : Régime sinusoïdal – Loi des nœuds –
i1(t)

π
5π 


i3(t)
i1 (t)  4 2 sin  ωt   et i 2 (t)  2 2 sin  ωt  
3
6 


Déterminer i3 (t) par la méthode des vecteurs de Fresnel et par la méthode des nombres complexes.
Calculer i1 ,i2  , i2 ,i3  et i1 ,i3 
------------------------------------- Solution
1. Détermination du courant i3(t) par la méthode des vecteurs de Fresnel
D’après la loi des nœuds on a : i1  i2  i3  i3  i1  i 2 ; on prend comme échelle pour le
courant : 1 cm  1A, d’où : i1 = 4 A 4 cm et i2 =2 A 2 cm (valeur efficace).
Echelle courant : 1 cm
2 cm
i2
φ i2  
0
π
φ i1  
3
5π
6
 4,5 cm
1A
Axe d’origine
des phases
φ i3  ?
i3
4 cm
i1
i 2
On mesure directement sur le schéma de Fresnel (Graphiquement) on a :
i3  4,5cm  4,5 A et φi3  33  0,58 rad , d’où i3 (t)  4,5 2 sin  ωt  0,58  A
2. Méthode des nombres complexes
L’utilisation des vecteurs pour les calculs (somme, soustraction) nécessite souvent une résolution
graphique qui n’est pas forcément rapide.
Savoir-faire : passer de la représentation temporelle d’un signal sinusoïdal à sa représentation
complexe. On peut exprimer un signal temporelle sous les formes polaire (module, argument) et
algébrique (a+jb).
Alors (on prend uniquement la valeur efficace pour simplifier la présentation):
 3
π
π


 π
 π
1
i1 (t)  4 2 sin  ωt    I1   4,    4 cos     j4sin     4     j4  

3
3


 3
 3
2
 2 
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π

 I1   4,    2  j2 3
3

 3
5π 
5π 


 5π 
 5π 
1
i 2 (t)  2 2 sin  ωt    I 2   2,    2 cos     j2sin     2  
  j2   
6 
6 


 6 
 6 
2
 2 
5π 

 I2   2,     3  j
6 


 
 

D’où : I3  I1  I 2  2  j2 3   3  j  2  3  j 1  2 3

Module de I3 
 2  3   1  2 3 
2
I3 
2
 3, 732    2, 464 

2
2
 13,927  6, 071  19,998  4, 47 A
 2, 464 
Argument de I3  arg I3  arctan 
  arctan  0,66   0,583rad
 3,732 
 
 I3   4, 47; 0,583  A
Finalement on peut exprimer le signal temporel du courant i3 (t)  4, 47 2 sin  ωt  0,583
3. Le calcul du déphasage entre les différents courants i1 ,i2  , i2 ,i3  et i1 ,i3 
π  5π 
π 5π 3π π
i1 /i2          

  90 ; i1 est en quadrature en avance sur i2
3  6 
3 6
6 2
 i2 /i3   
5π
  0,584   2, 616  0,584  2, 032 rad  116, 48
6
i1 /i3   i1 /i2    i2 /i3   90  116, 48  26, 48
Exercice N°2 : Régime sinusoïdal – Représentation de Fresnel & Nombres Complexes –
Représentation de Fresnel :
- Construire UR , UC et U .
- En déduire l’expression de Zeq ainsi que l’expression du déphasage de U par rapport à I.
- Quelle plage de valeurs peut prendre le déphasage ?
C
R
I
Utilisation des nombres complexes :
UR
- Déterminer Zeq. En déduire Zeq et .
UC
U
Applications numériques : On donne U = 5 V, f = 10 kHz, R = 1 ket C = 10 nF.
- Calculer I, , UR et UC. Comparer U et UR + UC. Commentaires ?
- Pour quelle fréquence a-t-on UC = UR ?
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------------------------------------- Solution
y
Echelle tension : 1 cm
1. Suivant la représentation de Fresnel on a :
UR
0
U  UC  U R
1V
I
φ U/I 
U
I
Suivant le théorème de Pythagore : U2  U2R  UC2
I
Avec : U R  R  I et U C 
Cω
Par définition : Zeq 
UC
UC
U
U2 U2R  UC2 R 2  I2
I2
1
 1 
D’où : Z  2 


 R2 
 R2  

2
2
2
2
2
I
I
 C ω 
I
 C  ω
 C  ω  I
2
2
eq
 1 
Finalement : Zeq  R 2  

 Cω 
2
et
tan φ  
UC
1

UR
RCω
 1 
soit : φ   arctan 

 RCω 
Le déphasage  est compris entre -90° et 0°
2. Représentation de l’impédance équivalente sous forme nombre complexe
Zeq  R  j
1
 1 
 Zeq  R 2  

Cω
 Cω 
2
1
 1 
et tan φ   Cω ; d’où : φ   arctan 

R
 RCω 
3. Application numérique
I
U

Zeq
U
 1 
R 

 Cω 
2
2
5

2
1

110    10 109  2π
3 
10 10 
5
5


 0, 002659  2, 659mA
3535496,95 1880, 2917
3 2
1
1
 1 




φ   arctan 
  arctan 
 57,86
   arctan 
3
9
3 
1 
 RCω 
 110 10 10  2π 10 10 
 2π 10 
 1, 0099 rad
UR  R  I  1103  2,659 103  2,659V
UC 
I
2, 659 103
2, 659 103 104


 4, 234 V
Cω 10 109  2  π 10 103
6, 28
On remarque que : U  U R  U C , c’est-à-dire les valeurs efficaces ne s’additionnent pas (sauf cas
particulier !)
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x
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I
La fréquence qui correspond à UC = UR ? ; U R  U C  R  I 
, soit : RCω  1  2πfRC  1
Cω
1
1
105


 f  15,92 103  15,92 kHz
D’où f 
3
9
2πRC 2π 10 10 10
2π
Exercice N°3 : Régime sinusoïdal – Représentation de Fresnel & Nombres Complexes –
Une bobine réelle est équivalente à une résistance R en série avec une inductance L. On la branche en
série avec une résistance r = 8 . On donne f = 50 Hz, U = 14 V, UB = 8 V et Ur = 8V.
1. Calculer I.
2. Construction de Fresnel :
I
 Construire Ur , UB et U . Calculer U/ I et UB / I .
r
L, R
Ur
UB
U
 A partir de UB construire UR et UL . En déduire R et L.
------------------------------------- Solution
y
Echelle tension : 1 cm
Echelle courant : 1,5 cm
1. Suivant la loi d’Ohm on a :
Ur  r  I  I 
Ur 8
  1A
r
8
Ur
2. Construction de Fresnel
UB
Avant de faire la construction de Fresnel, on doit
rappeler que dans un triangle quelconque
2
U
UB
φ U/I 
a  b  c  2bc cos 
2
2V
1A
2
Axe d’origine des phases x
0
I
Ur
D’autre part on sait que le triangle des tensions
pour déterminer par exemple le vecteur U est
sous la forme de la figure ci-contre, donc soit en
module : U  b ; U B  a et U r  c
b
a
α
0
c
D’où dans le triangle délimité par les trois vecteurs est : U 2B  U 2  U r2  2U  U r cos  U/I
 cos  U/I 
U 2  U 2r  U 2B 142  82  82 196



 0,875 , donc arc cos  U/I   28,95  29
2U  U r
2 14  8
224
Maintenant en revint sur le papier millimètre pour la construction de Fresnel, en prend comme origine
des phases le courant (les deux dipôles sont associés en série), voir la figure ci-dessus.
Pour des raisons de symétrie de la construction de Fresnel (deux triangle symétrie : Ur=UB) on a :
 UB /I  2   U/I  2  29  58
 A partir uniquement du vecteur UB on va construire UR et UL et on déduit R et L.
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y
I
L, R
I
R
L
UR
UB
UR
Echelle tension : 1 cm
Echelle courant : 1 cm
UL
UL
UB
1V
1A
UB
UL
Par définition on a : la tension aux bornes de la
résistance est en phase avec le courant par contre la
tension aux bornes de la bobine est en quadrature
avance de phase sur le courant I (90°).
φ UB /I
Axe d’origine des phases x
0
I
UR
Donc pour la construction de Fresnel propre à la bobine (L et R) voir la figure ci-dessus, il faut avoir
les informations sur la valeur de la tension UR et UL et après on déduit facilement les valeurs de R et
L, c’est-à-dire :
UB  UR  UL , on décompose suivant les axes x et y le vecteur UB , on obtient :

 U R  U B cos  UB /I  8  cos  58   8  0,53  4, 24 V  4, 24cm


 U L  U B sin  UB /I  8  sin  58   8  0,85  6,80 V  6,80cm
En fin on déduit les valeurs : R 
U
U R 4, 24
6,80
6,80


 4, 24  et L  L 
 21, 6 m H
I 2   50 314
I
1
Exercice N°4 : Régime sinusoïdal – Représentation de Fresnel & Nombres Complexes –
I
1. Déterminer Yeq . En déduire Yeq et U / I
Applications numériques : On donne U = 2 V, f = 15 kHz, R = 4,7 ket L = 65 mH.
U
 Calculer IR , IL , I, U / I , IL / I et I / IR
iR
iL
L
R
 Pour quelle fréquence a-t-on U / I  45 ?
------------------------------------- Solution
Rappel : L’admittance, notée Y, est l'inverse de l'impédance. Elle se mesure en siemens (S).
Elle est définie par : Y  Z1  1
Z
Avec : Y l'admittance en S et Z l'impédance en Ω.
L'impédance étant une résistance complexe, et la conductance G étant l'inverse de la résistance,
l'admittance est une conductance complexe.
La partie réelle de l'admittance est la conductance, sa partie imaginaire est la susceptance :
Y  G  jB
Le module de l'admittance est donné par (comme tous les nombres complexes) :
Avec : G la conductance en S et B la susceptance en S.
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1. Détermination de l’admittance équivalente Yeq du circuit de l’exercice, puis on déduit le
module Yeq et φ U/I
1
1
1
j

 
R jLω R Lω
D’après le circuit on a deux dipôles en parallèle  Y eq  Y R  Y L 
2
2
1  1 
Le module de l’admittance équivalente est : Yeq      

 R   Lω 
L’argument de l’admittance équivalente est :
 1 


 R 
φ U/I  arg Y  arctan g  Lω    arctan g 

 Lω 
 1 
 R 
Application numériques :
IR 
U
U
2
2
2



 0, 42 mA et I L 
 0,32 mA
3
3
3
Lω 65 10  2  π 15 10
R 4, 7 10
6126,10
2
2
1
1

 

Yeq  

 4, 49 108  2, 65 108  0, 267 mΩ
3 
3
3 
 4, 7 10   65 10  2  π 15 10 
D’où : I  Yeq  U  0, 212 103  2  0, 424 mA

4, 7 103
Maintenant on va calculer les déphasages : φ U/I   arctan g 
3
3
 65  10  2  π 15  10

  37, 48

φ IL /I  φ IL / U   φ U/I   90  37, 48  127, 48 et φ I/IR   φ I/ U   37, 48
En fin si φ U/I  45 ; or arctan g 1  45 
Donc f 
R
R
1
1
Lω
L 2 πf
R
4, 7 103

 11,50 kHz
L  2  π 65 103  2  π
Exercice N°5 : Régime sinusoïdal – Représentation de Fresnel & Nombres Complexes –
I
1. Déterminer Zeq
2. En déduire Zeq et U / I
R
L
C
UR
UL
UC
Quand U et I sont en phase on dit qu’il y a résonance. Que vaut alors Zeq ?
U
A quelle pulsation 0 a lieu la résonance ?
UC
1
, est appelé coefficient de surtension. Montrer qu’à la résonance Q0 
U
RCω0
Applications numériques : R = 440 , C = 1 nF/63 V, L = 100 mH et U = 5 V.
Q
Calculer 0, Q0 et UC0. Commentaire ?
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------------------------------------- Solution
1. Détermination de l’impédance équivalente du circuit :
Zeq  R  jLω 
1
j
1 

 R  jLω 
 R  j  Lω 

jCω
Cω
Cω 

2. Détermination de l’expression du module et l’argument ( Zeq et φU/I ) :
1 

Zeq  R 2   Lω 

Cω 

2
1 

 Lω  Cω 
et φ U/I   arg Z  arctan g 

R




Quand U et I sont en phase on dit qu’il y a résonance  φ U/I  0  Lω 
1
 0 . Et Zeq  R
Cω
A la résonance, le circuit a un comportement purement résistif, donc : Lω0 
d’où ω0 
Q
1
0,
Cω0
1
LC
UC
I
1
, est appelé coefficient de surtension, avec U  Zeq I et U C 
, donc : Q 
.
U
Cω
Zeq Cω
Alors à la résonance Q0 
1
RCω0
Application numérique :
ω0 
1
1
1
1


 105 rad / s ; Q0 
 22, 72
RCω0 440 1109 105
LC
100 103 1109
U C0
 U C0  Q0  U  22, 72  5  113, 6 V
U
On dépasse la tension maximale admissible par le condensateur (63 V), dans ce cas il y a
destruction du condensateur (claquage du diélectrique).
Et Q0 
Exercice N°6 : Condensateur réel
Dans un condensateur réel, l'isolant (diélectrique) n'est pas parfait et peut présenter une résistance
i
assez faible (schéma ci-contre) :
Condensateur réel
On a : R = 4,7 k ; C = 100 nF et U=Ueff = 5V
iR
Essai à haute fréquence : f = 3,5kHz
U
R
iC
C
1. Calculer les valeurs des courants IR et IC.
2. Déterminer la valeur du courant I en utilisant un schéma de Fresnel.
Echelle : 1cm  2V et 1cm  1mA
3. Mesurer  sur le schéma de Fresnel et en déduire l'impédance Z   Z;  du condensateur pour
cette fréquence.
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Essai à basse fréquence : f = 200Hz
4. Calculer les valeurs des courants IR et IC.
5. Déterminer la valeur du courant I en utilisant un schéma de Fresnel.
Echelle : 1cm  2V et 1cm  0,1mA
6. Mesurer  sur le schéma de Fresnel et en déduire l'impédance Z   Z;  du condensateur pour
cette fréquence.
Conclusion
7. Dans quel cas (haute fréquence ou basse fréquence ?) le condensateur réel se comporte-t-il
comme un condensateur presque idéal ?
y
------------------------------------- Solution
IC
U U
5
 
 1, 06 103  1, 06 mA  1, 06cm
ZR R 4, 7 103
U
U
IC 

 CωU  C  2πf  U  100 109  2π  3,5 103  5
1
ZC
Cω
 10,99 103  11 mA  11cm
I
11,05 cm
Essai à haute fréquence : f = 3,5kHz
IR 
11 cm
1.
Echelle tension : 1 cm
Echelle courant : 1 cm
2. Schéma de Fresnel avec I  IR  IC
3. On mesure   - 85° ; on mesure aussi I  11,05 cm  11,05 mA
On en déduit Z 
U
5

 453Ω  Z   453 ;  85 Ω
I 11, 05 103
φ  85
IR
1,06 cm
Essai à basse fréquence : f = 200Hz
Echelle tension : 1 cm
Echelle courant : 1 cm
y
U
x
2,50 cm
2V
0,1mA
4.
U U
5
 
 1, 06 103
ZR R 4, 7 103
 1, 06 mA  10, 6 cm
U
U
IC 

 CωU  C  2πf  U
1
ZC
Cω
 100 109  2π  200  5
IC
I
12,4 cm
6,28 cm
IR 
φ  31
IR
3
 0, 628 10  0, 628 mA  6, 28cm
2,50 cm
5. Schéma de Fresnel avec I  IR  IC
U
10,6 cm
x
6. On mesure   - 31° ; on mesure aussi I  12,4 cm  1,24 mA
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2V
1mA
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On en déduit Z 
Systèmes électriques
U
5

 4, 06 kΩ  Z   4, 06 ;  31 kΩ
I 1, 24 103
7. Le condensateur réel se comporte comme un condensateur presque idéal aux hautes fréquences
Exercice N°7 : Circuit –RLC série.
Le circuit "RLC série" ci-dessous est utilisé dans les filtres audio entre l'amplificateur et le hautparleur.
C
I
R = 220  L = ? C = ?
UR = 31 V ; UL = 44 V ; UC = 96 V
f = 500 Hz
R
L
UR
UL
UC
U
1. En utilisant R et UR, calculer la valeur de I.
2. Tracer un schéma de Fresnel avec les vecteurs UR ; UL ; UC et I (phase de I = 0).
3. Ajouter le vecteur U sur le schéma de Fresnel.
4. Déduire de la question 3 la valeur de U et la valeur du déphasage (degré et radian).
5. Déduire des questions 1et 4 la valeur de l'impédance Z   Z;  du circuit.
6.
7.
8.
9.
Calculer la valeur de L en utilisant UL, I et .
Calculer la valeur de C en utilisant UC, I et .
Recalculer Z et en utilisant, cette fois, les valeurs de R, L, C et .
Calculer la valeur de la fréquence de résonance f0 du circuit.
------------------------------------- Solution
y
1. Calcule de la valeur de I en utilisant R et UR
UL
U 31

 0,1409 A  141mA  2,82 cm
R 220
10 V
20 mA
4,40 cm
I
Echelle tension : 1 cm
Echelle courant : 1 cm
2. & 3. Schéma de Fresnel avec les vecteurs :
UR ; UL ; UC ; U et I (phase de I = 0).
UR
3,1 cm
7,05 cm
I
φ  59
4. La valeur de U et la valeur du déphasage (degré et radian).
On mesure directement sur le schéma de Fresnel
6,05 cm
9,60 cm
U  6,05 cm  60,50 V et   - 59°
5. La valeur de l'impédance Z   Z;  du circuit.
U
UR
UL
6. La valeur de L en utilisant UL, I et .
UOEB - IT
5,20 cm
U
60,5
Z 
 429, 07Ω  Z   429, 07 ;  59 Ω
I 141103
UC
9
2022-2023
x
Mesures Physiques – S2
On a
Systèmes électriques
UL
44

ω  I 2  π  500  0,141
 0, 09938 H  99, 4 mH
UL  L  ω  I  L 
7. La valeur de C en utilisant UC, I et .
On a
UC 
1
I
0,141
I  C 

Cω
ω  U C 2  π  500  96
 0, 00000046775 F  467, 75 nF
8. Calcule de Z et en utilisant, cette fois ci les valeurs de R, L, C et .
2
2
1 
1



2
3
Z  R   Lω 
 Z  429,38 Ω
  220   99, 4 10  2π  500 
9
Cω 
467, 75 10  2π  500 


2
1
1  99, 4 103  2π  500 

Lω 


467, 75 109  2π  500
Cω 
φ  tan 1 
 φ  59

R
220




8. Calcule de la valeur de la fréquence de résonance f0 du circuit.
La résonance série - rappel
Pour une certaine valeur de fréquence à l'entrée du circuit, les tensions UC et UL ont la même
valeur. Comme nous l'avons vu, UC et UL sont déphasées de 180°, ce qui implique que lorsqu'elles
sont égales, il y a un échange total d'énergie entre le condensateur et la bobine. Lorsque cette
condition est remplie, cette fréquence est appelée : fréquence de résonance fo. Selon la loi d’Ohm,
les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont proportionnelles au courant et à la
réactance de l’élément.
U C  X C  I et U L  X L  I
Le courant étant commun pour les deux éléments, lorsque les deux tensions UC et UL sont
identiques, les deux réactances ont également la même valeur.
On peut en déduire qu’à la fréquence de résonance :
UL = -UC donc XL = -XC (le signe - indique le déphasage). Pour obtenir la résonance dans un
circuit RLC série, il faut donc que XC = XL.
XC  X L 
f 02 
UOEB - IT
1
 2  π  f0  L
2  π  f0  C
1
1
1
1

 f0 
d’où f 0 
2
2
2 π  L 2 π  C 4 π  L C
4 π  L C
2 π LC
10
2022-2023
Mesures Physiques – S2
Systèmes électriques
Cette formule s’appelle formule de Thomson et elle permet de définir la fréquence de résonance fo
d’un circuit RLC série. A la résonance, un circuit R-L-C série se comporte comme une résistance
pure.
Conséquences et applications de la résonance
En électrotechnique, ce sont des accidents très rares qui peuvent produire de grands désordres
sur le réseau.
En haute fréquence, on fait un usage systématique et poussé de la résonance.
f0 
1

2 π  L C 2 π
1
99, 4 103    467,75 109 
 f 0  740 Hz
Exercice N°8 :
Soit le circuit de la figure ci-dessous : R1 = 3 , L1 = 4 , R2 = 4 , L2 = 5 , R3 = 3 ,
1/C = 1 . Il est alimenté par une tension alternative de fréquence 50Hz et de valeur
efficace U = 200V (90°).
1. Calculer les intensités dans les différentes branches (modules et phases),
2. Quelle est la puissance totale dépensée.
L2
i2 R2
R1
L1 B
UBC
C
A
i1
i3
C
R3
U
Solution Exercice
1. Les intensités dans les différentes branches (modules et phases)
Z1  R1  jL1  (3  j4)
A
B
Z2  R2  jL2  (4  j5)
Z1
1
Z3
Z 3  R3  j
 (3  j)
C
U
Z2  Z3 (4  j5)(3  j) 17  j11
Z  Z1  Z23 , Z23 


(7  j4)
7  j4
Z2  Z3
17  j11 (7  j4)(3  j4)  17  j11 5  j49  17  j11 22  j51
Z  3  j4 



7  j4
7  j4
7  j4
7  j4
(22  j51)(7  j4) 358  j269


49  16
65
Z  (5,5  j4,14)  6,8836,95    36,95
UOEB - IT
11
Z23
Z2
C
2022-2023
Mesures Physiques – S2
I1
U
Z
U BC
Systèmes électriques
200 90
6,88 36,95
Z 23 .I 1
I2
U BC
Z2
I3
I1
29 53,05 A
2,51 3,16
72,79 56, 21
6, 4 51,34
I2
U BC
Z3
29 53,05
72,79 56, 21 V
11,37 4,87 A
72,79 56, 21
3,16
18, 43
23,07 74,64 A
2. La puissance totale dépensée
P  U  I  Cos  200  29  Cos(90  36,95)  200  29  Cos(53,05)
 4627,10W
ou bien P  R1I12  R2 I 22  R3 I 32
 3 (29)2  4  (11,37)2  3 (23)2  4627,10 W
UOEB - IT
12
2022-2023