Administração Florestal Eduardo Scabora 05 de abril de 2023 Eduardo Scabora Administração Florestal Motivações O motivo de escolher o tema foi porque o desenvolvimento sustentável é prioridade para proteger o meio ambiente e o modelo que vamos ver é uma aplicação de álgebra linear onde o único requisito é operação com matrizes para compreensão do mesmo. Eduardo Scabora Administração Florestal Motivações Ao adotar ações sustentáveis, os recursos naturais como as árvores não se esgotarão, por isso, quando você faz a sua parte, deixa de prejudicar o meio ambiente quando faz ações sustentáveis. E não tem nada mais sustentável que a preocupação com a administração de nossas florestas. Eduardo Scabora Administração Florestal Vamos introduzir um modelo simplificado para o corte sustentável de uma floresta cujo as arvores são classificadas por sua altura. Supomos que a altura da árvore quando for cortada e vendida determina seu valor. Inicialmente Imaginemos uma floresta com árvores de alturas diferentes. Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Supomos que o plantador tenha uma floresta que vende suas arvores cortadas ano após anos para um fabricante de lápis. Em cada janeiro o plantador corta algumas arvores e planta uma muda em seu lugar. Ou seja o número de árvores total na floresta é sempre o mesmo. Vamos desconsiderar as arvores que morrem por outras situações. Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Então vamos separar as nossas arvores em n classes distintas de preços correspondentes aos intervalos de sua altura conforme as figuras abaixo. Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Seja xi (i=1,2,..,n) o número de árvores na i-ésima classe que não foram cortadas. Formamos um vetor coluna com estes números, que chamamos de vetor de não cortadas. x1 x2 x=. .. xn Para que o nosso modelo seja sustentável temos que após cada corte a floresta retorne a configuração inicial do vetor x Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo E sabe-se que o números total de árvores da floresta permanece fixado, podemos colocar x1 + x2 + · · · + xn = s. (1) Onde esse s pode variar muito com o tamanho da floresta, clima e etc. Então de maneira geral depois de cada corte Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Inicialmente, vamos considerar o crescimento das arvores da floresta para os cortes anuais. Durante esse tempo a árvore da classe i-ésima pode passar para uma classe maior de altura ou seu crescimento é retardado por algum motivo e ela fica na mesma classe. Então definimos o seguinte parâmetro de crescimento gi com i = 1, . . . , n − 1. gi = a fração das árvores da i-ésima classe que crescem para (i+1)-ésima classe durante o perı́odo de crescimento Vamos supor que durante o perı́odo uma árvore de alguma classe no máximo muda de classe para outra classe superior. 1 − gi = a fração das árvores da i-ésima classe que permanecem na mesma classe durante o perı́odo de crescimento Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Com esses n-1 parâmetros, podemos definir a matriz de crescimento nxn 1 − g1 0 0 ... ... g1 1 − g 0 . . . ... 2 .. .. 0 g2 1 − g3 . . G = .. .. .. .. .. . . . . . 0 0 0 . . . 1 − gn−1 0 0 0 ... gn−1 Eduardo Scabora Administração Florestal 0 0 0 .. . 0 1 O Modelo Como as entradas do vetor x são os números de árvores nas classes n antes do perı́odo de crescimento, temos que (1 − g1 )x1 g1 x1 + (1 − g2 )x2 .. Gx = . gn−2 xn−2 + (1 − gn−1 )xn−1 gn−1 xn−1 + xn são os números de árvores nas n classes depois do perı́odo de crescimento. Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Seja y1 y1 y=. .. yn o vetor que seja a quantidade de árvores cortadas da i-ésima classe. Assim, um total de y1 + y2 + +yn = p árvores são removidas em cada corte. Este número também é o mesmo número de novas mudas que serão replantadas depois de cada corte. Eduardo Scabora Administração Florestal O Modelo Definimos uma matriz de reposição 1 1 0 0 R = . . .. .. nxn ... ... .. . 0 0 ... 1 0 .. . 0 então o vetor coluna y1 + y2 + · · · + yn 0 0 Ry = .. . 0 é a multiplicação da matriz de reposição pela matriz de árvores de corte, resultando a matriz coluna das árvores que serão repostas Eduardo Scabora Administração Florestal Conclusão do Modelo Com isso, temos que para um procedimento sustentável temos a seguinte equação Configuração no final − Corte + Reposição de mudas = do perı́odo de crescimento Configuração no inı́cio do perı́odo de crescimento Ou seja, G x − y + Ry = x Podemos reescrever a equação como (I − R)y = (G − I )x Eduardo Scabora Administração Florestal (2) Dizemos que a equação (2) é a condição de corte sustentável. Quaisquer vetores x e y com entradas não negativas, tais que esses vetores satisfazem a equação matricial determinam uma politica de corte sustentável para a floresta. Ou seja quando começarmos o processo teremos que definir os vetores x e y inicialmente. Temos que (2) pode ser escrita como 0 0 0 . . . 0 0 −1 1 0 . . . 0 0 −1 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... −1 0 0 . . . 1 0 −1 0 0 . . . 0 1 y1 y2 y3 . . . yn−1 yn −g = Eduardo Scabora g1 0 . . . 0 0 1 0 −g2 g2 . . . 0 0 0 ... −g3 . . . 0 0 Administração Florestal ... 0 ... . . . ... ... 0 0 0 . . . −gn−1 gn−1 0 0 0 . . . 0 0 x1 x2 x3 . . . xn−1 xn Note que se y1 > 0 (mudas), forem cortadas então estamos removendo árvores sem valor e substituindo por mudas novas. Como não faz sentido temos que y1 = 0. (3) Então podemos verificar que (2) é o formato matricial do conjunto de equações y2 + · · · + yn = g1 x1 y2 = g1 x1 − g2 x2 y3 = g2 x2 − g3 x3 .. . yn−1 = gn−2 xn−2 − gn−1 xn−1 yn = gn−1 xn−1 Observe que a primeira equação de (4) é a soma das n − 1 equações. Eduardo Scabora Administração Florestal (4) Como devemos ter yi ≥ 0 com i = 2, . . . , n as equações (4) exigem que g1 x1 ≥ g2 x2 ≥ · · · ≥ gn−1 xn−1 ≥ 0. (5) Como vamos remover yi árvores da i-ésima classe (i = 2, . . . , n) e cada árvore da i-ésima classe tem um valor econômico pi , o rendimento total RT do corte é dado por RT = p2 y2 + · · · + pn yn (6) Substituindo (4) em (6), temos que RT = p2 g1 x1 + (p3 − p2 )g2 x2 + · · · + (pn − pn−1 )gn−1 xn−1 (7) Eduardo Scabora Administração Florestal Juntando (1), (7) e (4), formamos um problema de otimização linear Problema Encontre números não negativos x1 , . . . , xn que maximizem RT = p2 g1 x1 + (p3 − p2 )g2 x2 + · · · + (pn − pn−1 )gn−1 xn−1 sujeito a x1 + x2 + · · · + xn = s e g1 x1 ≥ g2 x2 ≥ · · · ≥ gn−1 xn−1 ≥ 0 Como já falamos o único pré requisito é operação com matrizes então vamos tentar justificar esse problema de otimização linear com um teorema que vai nos dizer qual o melhor corte sustentável sem que resolvemos esse problema de otimização linear. Eduardo Scabora Administração Florestal Teorema (1) Rendimento Sustentável Ótimo O rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de uma classe de altura especı́fica e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Vamos começar denotando por RTk = rendimento obtido cortando todas as árvores da k-ésima classe e nenhuma árvore das outras classes. O maior valor de RTk com k = 1, . . . , n, será o rendimento sustentável ótimo. Eduardo Scabora Administração Florestal E o correspondente ı́ndice k será a classe qual todas as árvores devem ser cortadas para obter o rendimento. Como nenhuma classe é cortada com exceção da k temos que y2 = y3 = · · · = yk−1 = yk+1 = · · · = yn = 0. (8) Além disse, como todas as árvores da k-ésima classe são cortadas, não restam árvores para cortar na k-ésima classe e nunca há arvores nas classes de altura acima da k-ésima classe. Assim xk = xk+1 = · · · = xn = 0 Eduardo Scabora Administração Florestal (9) Substituindo (8) e (9) nas condições de corte sustentável, ou seja em (4), obtemos yk = g1 x1 0 = g1 x1 − g2 x2 0 = g2 x2 − g3 x3 .. . (10) 0 = gk−2 xk−2 − gk−1 xk−1 yk = gk−1 xk−1 As equações (10) também podem ser escritas como yk = g1 x1 = g2 x2 = · · · = gk−1 xk−1 Eduardo Scabora Administração Florestal (11) Do qual segue que g1 x1 g2 g1 x1 x3 = g3 .. . g1 x1 xk−1 = gk−1 x2 = (12) Substituindo as equações (12) e (9) em x1 + x2 + · · · + xn = s podemos resolver em x1 e obter x1 = 1+ g1 g2 + Eduardo Scabora g1 g3 s + ··· + g1 gk−1 . Administração Florestal (13) Para o rendimento RTk , combinamos (6), (8), (11) e (13) para obter RTK = P2 y2 + · · · + pn yn = pk yk (14) = pk g1 x1 = 1 g1 + 1 g2 pk s + ··· + 1 gk−1 A Equação final (14) determina o rendimento total da classe k em termos dos parâmetros econômicos e de crescimento conhecidos, com k = 2, . . . , n. Assim finalizando o nosso estudo com o seguinte Teorema. Eduardo Scabora Administração Florestal Teorema (2) Encontrando o Rendimento Sustentável Ótimo O rendimento sustentável ótimo é o maior valor de 1 g1 + 1 g2 pk s + ··· + 1 gk−1 com k = 2, . . . , n. O correspondente valor de k é o número da classe que é completamente cortada. Eduardo Scabora Administração Florestal