OUTILS MATHÉMATIQUES
REGLES D’INFERENCE
Modus Ponens​ : [P & (P ⇒ Q)] → Q
Modus Tollens​ : [¬Q & (P ⇒ Q)] → ¬P
Addition​ : [P] → P ∨ Q
Simplification​ : [P ∧ Q] → P
Syllogisme par hypothèse​ :
[(P ⇒ Q) & (Q ⇒ R)] → (Q ⇒ R)
Syllogisme disjonctif​ : [(P ∨ Q) & ¬P] → Q
Conjonction​ : [P & Q] → P ∧ Q
Dilemme constructif​ :
[(P ⇒ Q) ∧ (R ⇒ S) & (P ∨ R)] → (Q ∨ S)
Instantiation universelle​ : [∀ x , P(x)] → P(c)
Généralisation universelle​ : [P(.)] → ∀ x , P(x)
Instantiation existentielle​ : [∃ x , P(x)] → P(c)
Généralisation existentielle​ : [P(c)] → ∃ x , P(x)
RELATION DANS UN ENSEMBLE
Propriétés d’une relation :
Réflexive​ : x ℛ x
Transitive​ : (x ℛ y) ∧ (y ℛ z) ⇒ x ℛ z
Symétrique​ : x ℛ y ⇒ y ℛ x
Antisymétrique​ : (x ℛ y) ∧ (y ℛ x) ⇒ x = y
Relation d’équivalence :
Une relation dans un ensemble A est une ​relation
d’équivalence si elle est ​réflexive​, ​symétrique et
transitive​.
Classe d’équivalence : [x]​ℛ​ = {y , x ℛ y}
[a]​ℛ =​ [b]​ℛ ⇔
a ℛ b ⇔[a]​ℛ​ ∩ [b]​ℛ​ ≠ ∅
​
Relation d’ordre :
Une relation R dans un ensemble S est appelée une
relation de préordre ou d’ordre partiel si elle est
réflexive​, ​antisymétrique​ et ​transitive​.
Ordre total :
Si (S, ≼) est un ensemble partiellement ordonné et que
tous les deux éléments quelconques de S sont
comparables, alors S est appelé un ensemble totalement
ordonné et ≼, un ordre total. Un ensemble totalement
ordonné est également appelé une chaîne.
FONCTIONS
Fonction injective​ : f(x) = f(y) ⇒ x = y
ou​ x ≠ y ⇒ f(x) = f(y)
Fonction surjective​ : ∀ b, ∃ a, b = f(a)
Fonction bijective​ : injective & surjective
Cardinalité :
Les ensembles A et B sont de même cardinalité si et
seulement si il existe une bijection de A dans B.
Suites :
Progression géométrique : a, a⋅r, a.r² ...
n
∑ ar j = a(n + 1) si r = 1
j=0
n
n+1
∑ ar j = a r r−1−1 sinon
j=0
Comportement asymptotique
f = O(g)​ : pour x assez grand, |f(x)| ≤C|g(x)|
Mult. scalaire​ : si f = O(g), alors a⋅f = O(g)
Addition​ : si f = O(h) et g = O(h), alors f+g = O(h)
Transitivité​ : si f = O(g) et g = O(h), alors f = O(h)
Produit et somme : ​Si f​1​ = O(g​1​), f​2​ = O(g​2​),
f​1​⋅f​2​ = O(g​1​⋅g​2​)
f​1​ + f​2 =​ O(​max​(g​1​ , g​2​))
f ∼ g​ : f = O(g) et g = O(f)
Classement de la complexité :
O(1) ⊆ O(log​n​) ⊆ O(n) ⊆ O(n⋅log​n​) ⊆ O(n²) ⊆ O(n​i​) ⊆
O(c​n​) ⊆ O(n!) ​(pour i > 2, c > 1)
Ensemble totalement ordonné
Un ensemble totalement ordonné (S, R) est bien ordonné
si et seulement si tout sous-ensemble de S a un plus petit
élément.
INDUCTION MATHÉMATIQUE
Premier principe de l’induction :
[P(0) & ∀ n, P(n) ⇒ P(n+1) ] → ∀ n, P(n)
Principe généralisé :
[P(0) & (∀ n, P(0) ∧ … ∧ P(n) ⇒ P(n+1)) ]
→ ∀ n, P(n)
RÉCURSIVITÉ ET ITÉRATION
ÉTAPE DE BASE: On précise la valeur de la fonction en
zéro.
ÉTAPE INDUCTIVE: On donne la règle pour trouver la
valeur de la fonction pour de nouveaux entiers à partir de
la valeur de la fonction pour des entiers plus petits.
FERMETURE D’UNE RELATION
ℛ relation, admet ou non la propriété P
S relation qui admet P, qui contient ℛ, telle que ​S est un
sous-ensemble de chaque relation avec la propriété P qui
contient ℛ. Alors S : fermeture ou clôture convenable de
ℛ par rapport à P.
COMPOSITION DE RELATIONS
Produit booléen : Soit A = [a​i,j​] une matrice booléenne
m×k et B= [b​i,j​] une matrice booléenne k×n. Alors, le
produit booléen de A par B, symbolisé par A⊙B, est la
matrice m×n avec comme (i, j)-ième élément[c​i,j​], où c​i,j​=
(a​i,1​∧b​1,j​)∨(a​i,2​∧b​2,j​)∨...∨(a​i,k​∧b​k,j​)
Note : M​S∘R​ = M​R​ ⊙ M​S
Disjonction booléenne : Soit A = [a​i,j​] et B = [b​i,j​] les
matrices booléennes m×n. Alors, la disjonction
booléenne de A et de B, symbolisée par A∨B, est la
matrice booléenne m×n avec comme (i, j)-ième élément
a​i,j​∨b​i,j
Propriété des relations transitives : Une relation ℛ dans
un ensemble A est transitive si et seulement si ℛ​n​⊆ ℛ
pour n > 0.
Relation de connexité : Soit ℛ une relation dans un
ensemble A. La relation de connexité ℛ​∗ est constituée
des couples (a, b) de telle sorte qu’il existe un chemin
entre a et b dans ℛ. La fermeture transitive d’une relation
ℛ est égale à la relation de connexité ℛ​∗​.
Si A a n éléments, M​ℛ*​ = M​ℛ​ ∨ M​ℛ​1​ ∨ ... ∨ M​ℛ​n
ORDRES
Ordre lexicographique (alphabétique et numérique)
Diagramme de Hasse
Étape 1 : On enlève les boucles dues
à la réflexivité
Étape 2 : ​On enlève les arcs dues à la
transitivité
Étape 3 : ​On dispose chaque arc
pour que son sommet initial se situe
en dessous de son sommet final
Étape 4 : ​On retire toutes les flèches
sur les arcs orientés puisque tous les
arcs pointent vers le haut
THÉORIE DES GRAPHES
TERMINOLOGIE DES GRAPHES
Degré d’un sommet : nombre d’arcs incidents à ce
sommets (une boucle contribue deux fois)
Sommet ​isolé​ : degré 0 / Sommet ​pendant​ : degré 1
THÉORÈME DES POIGNÉES DE MAIN
G = (V,E) avec e arcs
2⋅e =
∑ deg(v)
v εV
Corollaire : Un graphe non-orienté a un nombre pair de
sommets de degré
Degré intérieur : deg​-​(v) = nombre d’arcs qui ont v
comme extrémité finale
Degré extérieur : deg​+​(v) = nombre d’arcs qui ont v
comme initiale
∑ deg − (v) =
v εV
∑ deg + (v) = |E|
v εV
DÉFINITIONS
Graphe complet : graphe simple, exactement un arc
entre chaque paire de sommets distincts
Graphe biparti : l’ensemble V de ses sommets peut être
partitionné en deux ensembles
non vides et disjoints V​1 et V​2 de
telle façon que chaque arc du
graphe relie un sommet de V​1 à
un sommet de V​2​.
Graphe biparti complet : Le graphe biparti complet K​m,n
est un graphe dont l’ensemble des sommets est
partitionné en deux sous-ensembles qui ont
respectivement m et n sommets. Il y a un arc entre deux
sommets si et seulement si un sommet est dans le
premier sous ensemble et que l’autre sommet est dans le
second sous-ensemble.
Graphe régulier​ : tous les sommets sont de même degré
REPRÉSENTATION DES GRAPHES
Liste d’adjacence :
Matrice d’adjacence :
Matrice d’incidence :
Tri topologique
Relation d’ordre total à partir d’une relation de préordre
triTopo (S: ensemble partiellement ordonné fini) :
|k=1
| Tant Que S ≠ ∅
| | a​k​ = elt_minimal(S)
| | S = S − {a​k​}
| | k = k+1
| Retourne {a​1​, a​2​, …}
Isomorphisme de graphes :
Même nombre de sommets
Même nombre d’arcs
Même degré pour les sommets
PARCOURS DE GRAPHES
Chaîne simple​ : ne passe pas deux fois par le même arc
Connexité​ : un arc entre chaques sommets distincts
Un graphe non-connexe est l’union de sous-graphes
connexes.
Il existe une ​chaîne simple entre n’importe quelle paire
de sommets distincts d’un graphe non orienté connexe.
Un sommet est appelé un ​point de coupure ​ou ​point
d’articulation ​si le retrait de ce sommet et de tous les
arcs incidents à ce sommet conduit à former un
sous-graphe ayant plus de composantes connexes que le
graphe initial. Un arc est appelé un ​séparateur ou un
pont si le retrait de cet arc conduit à former un
sous-graphe ayant plus de composantes connexes que le
graphe initial.
Un graphe ​orienté est ​fortement connexe ​si, pour tout
couple de sommets (a, b) du graphe, il existe un chemin
de a à b et de b à a.
Un graphe ​orienté est ​faiblement connexe ​s’il existe une
chaîne entre n’importe quelle paire de sommets dans le
graphe non orienté sous-jacent.
Existence d’un cycle simple de longueur k : invariant pour
l’isomorphisme.
Dénombrement des chemins : nombre de chemins
différents de longueur p de v​i à v​j : [A​p​]​i,j​, A matrice
d’adjacence.
Chaînes et cycles particuliers
Chaîne/cycle eulérien : chaîne/cycle simple contenant
tous les arcs du graphe.
Chaîne/cycle hamiltonien : chaîne/cycle simple passant
par tous les sommets du graphe une seule fois.
Graphe connexe eulérien : contient un cycle eulérien (​ssi
chacun de ses sommets est de degré pair).
Un multigraphe admet une chaîne eulérienne ​ssi
exactement deux sommets de degré impair.
Existence de cycle hamiltonien​ :
(CN) Pas de sommet de degré 1. Si un sommet de degré
2, les deux arcs incidents appartiennent au cycle.
(CS) Graphe simple connexe avec n ≥ 3 sommets, degré
de chaque sommet ≥ n/2.
ARBRES
Arbre m-aire​ : chaque sommet a au plus m fils.
Un arbre à ​n sommets​ comporte ​n-1 arcs​.
Un arbre ​m-aire complet ​ayant :
> ​n sommets comporte i = n−1
sommets internes et
m
l=
n(m−1)+1
m
PARCOURS D’ARBRES
Parcours préfixe​ :
Sommet → Fils
a-b-e-j-k-n-o-p-f-c-d-g-l-m-h-i
Parcours postfixe​ :
Fils → Sommet
j-n-o-p-k-e-f-b-c-l-m-g-h-i-d-a
Parcours infixe​ :
Fils gauche → Sommet → Fils
droites
j-e-n-k-o-p-b-f-a-c-l-g-m-d-h
DÉNOMBREMENT
Nombre de r-permutations (ordonnées) dans un
ensemble de n éléments distincts :
n!
P (n, r) = (n−r)!
Conversion toujours possible entre une machine de
Moore et de Mealy
AUTOMATES À ÉTATS FINIS SANS SORTIE
Fermeture de Kleene de A​ : A * =
+∞
Ak
∪
k=0
Automate fini M = (S, I, f, s​0​, F)​ où :
S ensemble fini d’états, s​0​ : état initial
Nombre de r-combinaisons (non ordonnées) dans un I alphabet d’entrée fini
f : S×I → S fonction de transition
ensemble de n éléments distincts :
n!
F : sous-ensemble de S d’états finaux
C (n, r) = r!(n−r)!
= (nr )
Chaîne reconnue si elle fait passer de s​0 à un état final
Rq : C(n+ 1, k) = C(n, k−1) + C(n, k)
(pour un AFN : si un état final inclus dans les sorties)
Suites récurrentes linéaires :
Langage reconnu L(M)
: ensemble des chaînes
u​n+2​ = k​1​⋅u​n+1​+k​0​⋅u​n​ | (EC) r² - k​1​⋅r - k​0​ = 0
reconnues
n​
n
Si r​1​, r​2​ deux racines distinctes : u​n​ = a​1​⋅r​1​ + a​2​⋅r​2​
Automates équivalents​ : reconnaissent le même langage
(généralisable pour k racines distinctes)
Automate fini non-déterministe :
Si r​0​ racine double : u​n​ = (a​1​+ a​2​⋅n)⋅r​0​n
THÉORIE DES LANGAGES
TYPES DE GRAMMAIRES
Grammaire syntagmatique ​: G = (V,T,S,P) où :
V : Vocabulaire (ensemble des symboles), ​T : Symboles
terminaux, ​S​ : Symbole de départ, P
​ ​ : Productions
Automate fini déterministe :
(0 : généralisée - 1 : contextuelle - 2 : algébrique ou
hors-contexte - 3 : régulière)
Langage ​: L(G) = { w∈T​∗​ | S➩w}
MACHINE À ÉTATS FINIS
Machine de Mealy M = (S, I, O, f, g, s​0​)​ où :
S : ensemble fini d’états, s​0​ : état initial
I alphabet d’entrée fini, O alphabet de sortie fini
f : S×I → S fonction de transition qui attribue un nouvel
état à chaque couple (état,entrée)
g : S×I → O fonction de sortie qui attribue une sortie à
chaque couple (état, entrée)
feuilles
> ​i sommets internes comporte n = m · i + 1 sommets Machine de Moore M = (S, I, O, f, g, s​ )​ où :
0​
et l = i(m − 1) + 1 feuilles
S ensemble fini d’états, s​0​ : état initial
l−1
> ​l feuilles comporte n = m·l−1
sommets et i = m−1
I alphabet d’entrée fini, O alphabet de sortie fini
m−1
sommets internes
f : S×I → S fonction de transition qui attribue un nouvel
Au plus m​h​ feuilles dans un arbre m-aire de hauteur h.
état à chaque couple (état,entrée)
Si un arbre m-aire de hauteur h comporte l feuilles, alors g : S → O fonction de sortie qui attribue une sortie à
h≥⌈log​m​l⌉. Si l’arbre m-aire est complet et équilibré, alors chaque état
h=⌈log​m​l⌉
Déterminisation :
Pour tout AFN M​0 défini sur S, il existe un AFD M​1
équivalent à M​0​. Si M​0 a n états, alors M​1 a au plus 2​n
états.
GRAMMAIRES RÉGULIÈRES
Les ​expressions régulières dans un ensemble I sont
définies récursivement comme suit :
Le symbole ∅ est une expression régulière,
Le symbole ε est une expression régulière
Le symbole x est une expression régulière pour tout x ∈ I
Si A et B sont des expressions régulières, alors (A.B) ,
(A∪B) et A​∗​ sont des expressions régulières.
Les expressions régulières dénotent des ensembles
appelés ​ensembles réguliers​.
Théorème de Kleene : Un ensemble est régulier ​ssi cet
ensemble est reconnu par un automate fini.
Théorème : Un ensemble est généré par une grammaire
régulière si et seulement s’il constitue un ensemble
régulier.
LEMME DE POMPAGE
Soit L un langage régulier reconnu par un automate à p
états. Soit z un mot de L de longueur ≥ p. Alors z se
factorise en z = u.v.w, où :
|u.v| ≤ p , v ≠ ε (variante : |v| ≤ p , v ≠ ε)
Pour tout i ≥ 0, on a u.v​i​.w ∈ L.