Modellazione CAD di Carene di Barche a Vela
Antonio Mancuso
Dipartimento di Meccanica e Aeronautica, Università di Palermo
Viale delle Scienze – 90128 Palermo
e-mail: mancuso@dima.unipa.it
In questo lavoro è affrontato il problema della modellazione delle carene di
imbarcazioni a vela sfruttando le potenzialità dei moderni software di CAD.
In particolare, il modello matematico tridimensionale dello scafo è stato ottenuto sulla
sola base delle specifiche di progetto. Esso è stato poi successivamente modificato sino al
raggiungimento di un desiderato livello di accuratezza.
Per gli scopi, si sono utilizzate le superfici NURBS (Non Uniform Rational B-Spline)
che bene si adattano a descrivere una superficie di forma libera come la carena.
La metodologia è stata applicata utilizzando modellatori 3D commerciali.
L’applicazione ha riguardato la progettazione di una barca a vela da crociera/regata di 7.6 m
(~25 ft). Nella scelta dei parametri descrittivi della carena, si è cercato un giusto
compromesso tra abitabilità (caratteristica fondamentale per una barca da crociera) e
prestazioni. Com’è intuitivo, infatti, queste due caratteristiche antitetiche tra loro vanno
opportunamente mediate.
Il modello CAD può essere così utilizzato per successive verifiche numeriche
(idrodinamiche, strutturali, ecc.). Ancora, per mezzo di tecniche di prototipazione rapida, si
può disporre di un modello fisico da provare, ad esempio, in vasca navale.
Lista dei simboli
Si riporta di seguito la lista dei principali simboli utilizzati. Poiché le fonti
bibliografiche sono prevalentemente di origine anglosassone, si preferisce adottare la
corrispondente notazione.
LOA
LWL
Bmax
Baft
T
Tc
Ff
Faft
W
Wb
Amax
∇
∇c
Length Over All
(lunghezza fuori tutto)
Length Water Line (lunghezza al galleggiamento)
maximum Beam
(massima larghezza dello scafo)
aft Beam
(larghezza dello scafo a poppa)
Draft
(pescaggio dello scafo comprensivo di appendici)
Canoe Draft
(pescaggio del solo scafo senza le appendici)
Freeboard forward (bordo libero a prua)
Freeboard aft
(bordo libero a poppa)
Weight
(peso dello scafo)
Ballast Weight
(peso della zavorra)
maximum Area
(area della parte immersa della sezione maestra)
Dislocamento dello scafo comprensivo di appendici
Dislocamento dello scafo senza le appendici
1.
Introduzione
Tradizionalmente il disegno di una carena [1] è ottenuto per mezzo di due set di curve
mutuamente ortogonali denominate rispettivamente (Fig. 1) linee d’acqua ed ordinate (Water
Line e Section nella terminologia anglosassone). Le linee d’acqua sono ottenute sezionando lo
scafo per mezzo di piani
orizzontali
mentre
le
ordinate
si
ricavano
sezionando lo scafo con
piani
verticali
aventi
giacitura
normale
alla
direzione prua-poppa.
Il
progettista,
sulla
base
di
specifiche
di
progetto, cerca di conferire
adeguate caratteristiche di
Linee d’acqua
continuità e curvatura a tutte
Ordinate
queste curve.
Longitudinali
Tuttavia, il fatto che
Fig. 1 - Alcune curve utilizzate nella definizione di uno scafo
singolarmente tutte le curve
abbiano il giusto avviamento, non è di per se sufficiente a garantire l’avviamento dell’intero
scafo. Per tale motivo si ricorre molto spesso ad ulteriori curve di sezione ottenute con piani
verticali aventi giacitura parallela alla direzione prua-poppa. Tali curve, dette Longitudinali
(Fig.1), servono al progettista per verificare il contemporaneo avviamento delle linee d’acqua
e delle ordinate. Com’è intuitivo, il disegno definitivo dello scafo è ottenuto con una tecnica
del tipo “trial and error”. Questo tipo di procedura, oltre a richiedere naturalmente notevole
esperienza da parte del progettista, necessita di tempi di elaborazione notevoli; infatti, la
semplice modifica di un punto di una curva, può anche riflettersi integralmente su tutte le
altre.
L’avvento delle nuove tecnologie CAD spinge i progettisti verso un uso sempre più
intensivo di questi strumenti informatici. Le ragioni sono molteplici; innanzi tutto avere a
disposizione un modello “virtuale” dello scafo consente di eseguire tutta una serie di calcoli
preliminari (volumi, pesi, momenti d’inerzia, ecc.), in tempi molto ridotti. Queste
informazioni sono necessarie per perfezionare il disegno della carena in accordo con le
specifiche di progetto. I modellatori più evoluti inoltre, consentono all’utente un controllo
immediato sulle caratteristiche geometriche delle curve (superfici) utilizzate nel disegno
come, ad esempio, la curvatura. E’ importante notare che la curvatura delle linee dello scafo
gioca un ruolo fondamentale sul comportamento idrodinamico dello stesso. Non è immediato
stabilire l’andamento che dovrà avere una linea d’acqua in termini di curvature. Ad esempio,
negli scafi disegnati intorno agli anni ’70 – ‘80 e destinati a partecipare in particolari classi di
regata come la IOR (International Offshore Rules) è facile osservare inversioni di curvatura in
alcune delle linee d’acqua. In questi scafi, poiché la deriva è parte integrante della carena, al
fine di conferire il giusto avviamento allo scafo è spesso necessario ricorrere ad inversioni di
curvature. Nei progetti più moderni tale tendenza è sempre più rara. La principale ragione è
certamente dovuta al fatto che in queste barche la deriva è riportata ed è spesso composta da
una lama a profilo aerodinamico e da un bulbo (generalmente in piombo massiccio) nella
parte terminale. Il vantaggio più evidente, come sarà chiarito in seguito, è un abbassamento
del baricentro dello scafo con un conseguente aumento di stabilità. Infatti, l’utilizzo dei
materiali compositi (vetro, carbonio, kevlar) consentendo la progettazione di scafi sempre più
leggeri e resistenti favorisce implicitamente l’abbassamento delle masse.
2.
Le NURBS come strumento di modellazione CAD
La maggior parte dei modellatori CAD, dedicati al disegno navale, adotta le NURBS
per la definizione di curve e superfici. Queste, infatti, bene si adattano a descrivere una forma
libera come la carena di una barca.
Le NURBS da un punto di vista matematico, discendono direttamente dalle B-spline;
queste ultime sono curve (superfici) parametriche di grado opportuno. Per una trattazione
rigorosa della matematica delle NURBS si può fare riferimento alla bibliografia [2]-[6]. In
questa sede si ritiene opportuno farne un breve cenno iniziando dalla formulazione analitica
delle curve B-spline:
p(u ) =
n
∑ M i (u ) Pi
(1)
i =0
Per un dato set di n+1 punti di controllo P è possibile definire una curva p(u) come
combinazione lineare di questi e di alcune funzioni, che prendono il nome di funzioni di
miscelamento M, aventi grado e continuità opportuni. Queste funzioni, hanno l’importante
proprietà di supporto locale; esse in altre parole sono diverse da zero solo in un certo sotto
intervallo, la cui estensione dipende dal grado che assumono.
Le funzioni base M sono definite da equazioni ricorsive del tipo:
 N (u ) = 1 se t i ≤ u < ti + 1
M i (u ) =  i,1
(2)
altrimenti
 Ni,1 (u ) = 0
e
(t
− u ) Ni + 1, k −1 (u )
+ i+ k
(3)
t i + k −1 − ti
ti + k − t i + 1
dove k è indipendente dal numero di punti è stabilisce il grado k-1 della funzione polinomiale
in u. I t i sono chiamati nodi ed influenzano la forma della curva. Per una B-spline non
periodica (caratterizzata dall’avere i punti di controllo iniziale e finale distinti) si assume
generalmente:
se i < k
0
ti = i − k + 1 se k ≤ i ≤ n dove  0 ≤ i ≤ n + k
(4)
0 ≤ u ≤ n − k +2

n - k + 2 se i > n
In figura 2 a) è riportato un esempio di curva B-spline. Come si può notare, lo
spostamento di un punto di controllo influenza solo una parte della curva lasciando inalterata
il resto. Inoltre, una curva con i nodi definiti come in (4) gode della proprietà di essere
tangente al poligono di controllo nei punti iniziale e finale.
M i (u ) = Ni, k (u ) =
(u − t i ) Ni, k − 1 ( u)
wi = 3
wi = 1
Fig. 2 a) - Effetto dello spostamento di un punto
di controllo sulla forma della curva
Fig. 2 b) - Effetto della modifica del peso di un punto
di controllo sulla forma della curva
Le B-spline, consentono un controllo intuitivo della curva; non è difficile, infatti, avere
un’idea di massima di quale sarà l’andamento di questa dalla semplice osservazione del
poligono di controllo.
Una curva NURBS è definita invece dalla seguente equazione:
n
∑ wi M i (u ) Pi
p(u ) = i = 0n
∑ wi M i (u )
(5)
i =0
dove l’unica differenza rispetto alla (1) è dovuta alla presenza dei pesi w. Se questi sono tutti
posti uguali ad 1, allora le due formulazioni coincidono. I pesi, giocano un ruolo molto simile
a quello illustrato in fig. 2 a). Per modificare un tratto di curva può essere sufficiente agire sui
pesi dei nodi che la controllano. In fig. 2 b) è riportato un esempio in cui si è modificato il
peso di un nodo. L’effetto di questa modifica, ha come conseguenza, lo spostamento della
curva verso il punto di controllo (nel caso in cui il peso aumenti). Da notare che i pesi hanno
un effetto analogo alla molteplicità dei punti di controllo nelle curve di Bèzier [2].
Relazioni equivalenti si possono ottenere per le superfici. Si assuma che Pi,j rappresenti
un poliedro di controllo avente (nu +1)×(nv+1) punti che Mi(u) e Mj(v) siano le funzioni base e
wi, wj i pesi di ogni punto di controllo; una superficie NURBS (di grado k u -1, k v–1) così
definita, avrà la seguente espressione:
nu nv
∑ ∑ wi M i ( u) w j M j (v ) Pi , j
p(u , v ) =
i = 0 j =0
nu nv
(6)
∑ ∑ wi M i (u ) w j M j (v )
i =0 j =0
Così come per le curve, anche per le superfici si osserva che se i pesi sono tutti unitari,
l’equazione (6) descrive una superficie B-spline.
3.
I Principali Parametri per una barca a vela
Stabilire la forma che dovrà avere una barca non è certamente cosa semplice. Per far
questo, un possibile approccio consiste nel definire alcuni parametri caratteristici che
permettono di individuare l’ingombro dello scafo; questa tecnica è stata da sempre adottata
nel disegno navale. In particolare, si ricorre spesso a rapporti tra quantità in modo tale da
rendere tali numeri, spesso adimensionali, utilizzabili per molte tipologie di scafi simili
indipendentemente dalle loro dimensioni effettive. Per questo motivo in bibliografia [7], [8]
questi sono tabellati (o riportati in grafici) in funzione di una dimensione caratteristica e cioè
Bmax
LOA
Baft
falchetta
Ff
prua
Faft
Linea al galleggiamento
Tc
chiglia
deriva
LWL
Fig. 3- Principali definizioni e misure di una barca a vela
T
la lunghezza al galleggiamento, LWL, dello scafo (vedi Fig. 3).
Molti di questi parametri influenzano fortemente le caratteristiche dello scafo in termini
di comportamento idrodinamico, di stabilità, di prestazioni, ecc.. Altri ancora invece danno
conto di aspetti più funzionali come abitabilità, possibilità di navigare acque basse, ecc.. E’
importante notare che esiste una forte correlazione tra questi parametri. Per questa ragione la
progettazione di una barca a vela cosiddetta multypurpose non è possibile. Se ad esempio si
prevede che la maggior parte della navigazione si debba fare con andature portanti, spesso i
parametri da adottare saranno in antitesi con quelli relativi ad una barca che debba navigare
prevalentemente controvento. Il problema è maggiormente sentito nell’ambito delle barche da
regata di cui l’esempio estremo sono quelle appartenenti alla classe IACC (International
America’s Cup Class). Le barche di Coppa America sono, di fatto, considerate le Formula 1
del mare; sono progettate per gareggiare in un determinato tratto di mare ed in dato periodo
dell’anno. Utilizzarle in condizioni differenti significa, probabilmente, pregiudicarne le
prestazioni.
Nel seguito si vuole fare una breve disamina dei principali parametri, rimandando alla
bibliografia per una trattazione completa [7], [8].
L oa L’aumento della lunghezza della barca è accompagnato da un aumento
a)
B max
inferiore (relativamente parlando) della sua larghezza. La principale ragione sta nel fatto che
se così non fosse, la barca risulterebbe eccessivamente stabile.
L oa La tendenza nelle barche moderne è quella di aumentare il più possibile
b)
LWL
questo rapporto. I motivi sono principalmente di natura idrodinamica ed estetica. Inoltre per
barche da regata appartenenti alla classe IMS (International Measurement System) un valore
elevato contribuisce a ridurre il rating1 . [9].
LWL La scelta del pescaggio è un compromesso tra prestazioni (soprattutto in
c)
T
andature controvento) e capacità di navigare acque basse. Nelle barche da regata, rispetto a
quelle da crociera, si adottano rapporti generalmente più bassi.
LWL Soprattutto nei nuovi progetti che, come detto, adottano chiglie riportate, ha
d)
Tc
senso introdurre questo rapporto in cui Tc è il cosiddetto pescaggio del canoe body. Barche
ultraleggere possono adottare valori sensibilmente più elevati di quelle a dislocamento
maggiore.
LWL Questo rapporto influenza le caratteristiche di abitabilità di una barca
e)
3
∇
nonché le sue prestazioni agendo sul numero di Froude Fr [7]. Per far sì che una barca superi
il valore critico di Fr≅0.45 è necessario che tale rapporto assuma valori superiori a 5.7.
Tuttavia in alcuni casi estremi, come quelli di Coppa America, si possono raggiungere anche
valori di 7-7.5.
f)
Ff
LWL
Il bordo libero relativo, decresce con l’aumentare della lunghezza di scafo.
Questo è dovuto principalmente a requisiti di abitabilità (anche in piccole barche cabinate
deve potersi realizzare l’altezza in cabina).
1
Il rating è una penalità che ogni barca appartenente a questa classe deve pagare nel conteggio dei tempi
impiegati per completare il percorso di regata.
g)
Ff
F aft
questo rapporto, nei moderni yacht a vela, ha un valore pressoché
indipendente dalla lunghezza al galleggiamento. Così come per il parametro precedente,
anche in questo caso, la scelta influenza soprattutto le caratteristiche di abitabilità ed estetica.
W B Com’è stato detto precedentemente, l’uso dei materiali compositi permette
h)
W
di realizzare barche molto leggere e di concentrare quindi parte del peso nella zavorra con un
conseguente incremento della stabilità della barca. Valori tipici stanno nell’intervallo di 0.350.45. Anche in questo caso alcuni scafi IACC hanno valori decisamente più elevati ≅0.9.
Tuttavia questi valori sono raggiungibili solo usufruendo di elevate tecnologie; all’aumentare
del rapporto i problemi strutturali (principalmente di flessione nella zona di attacco della
deriva allo scafo) aumentano in modo consistente.
B aft
i)
Non è influenzato in modo sensibile dalla LWL ed il suo valore è
B max
principalmente legato ad aspetti di abitabilità (un aumento crea maggiori volumi verso
poppa).
∇c
l)
Questo rapporto, prende il nome di coefficiente prismatico e da
Cp =
LWL × Amax
indicazioni sulla pienezza delle estremità della carena (prua e poppa). Il valore ottimo del Cp è
di difficile individuazione poiché dipende da molti fattori tra cui: la velocità dello scafo, la
sua andatura (portante, controvento) e l’intensità del vento. Generalmente, le barche sono
ottimizzate per andatura controvento in regime di brezza; in queste condizioni il Cp ottimo
vale circa 0.56 [7].
La lista riportata non è certamente esaustiva ma, è tuttavia sufficiente a definire un
ingombro di massima dello scafo. E’ cura del progettista prevedere forme di carena adeguate
a soddisfare i parametri scelti.
4.
Applicazione
L’applicazione ha riguardato la progettazione di una barca a vela da crociera/regata di
7.6 m (~25 ft). Nella scelta dei parametri descrittivi della carena, si è cercato un giusto
compromesso tra abitabilità (caratteristica fondamentale per una barca da crociera) e
prestazioni. Com’è intuitivo, infatti, queste due caratteristiche antitetiche tra loro vanno
opportunamente mediate.
4.1.
scelta dei parametri
In tabella 1, sono riportati i valori
assegnati ai parametri che sono stati
descritti nel paragrafo precedente.
Nella terza colonna sono indicati i valori
medi corrispondenti ad una barca avente la
stessa lunghezza al galleggiamento di
quella in studio e sono stati ottenuti da
un’analisi statistica di alcune centinaia di
yacht progettati sia in Europa che negli
USA [7]. Tali valori sono da considerare
validi in configurazione leggera cioè in
assenza di equipaggio, vivande, acqua e
carburante. In effetti, è in queste condizioni
Tabella 1 – Assegnazione dei principali parametri
adimensionali
Parametro di
Valore
Valore medio per
riga
riferimento
assegnato
LWL =6.6 m
L
B
oa max
1
3
2.9
2
L oa LWL
1.15
1.23
3
LWL T
4.6
4.7
4
LWL T c
24
18
5
3∇
5.6
5
LWL
c
6
F f LWL
0.153
0.157
7
WB W
0.45
0.45
8
F f F aft
1.24
1.3
che si calcola il rating di cui si è accennato in precedenza. In configurazione pesante, la barca
può incrementare il proprio peso di circa il 20%. Analizzando la tabella, si osserva che il
rapporto tra la lunghezza fuori tutto e quella al galleggiamento (seconda riga) è stato scelto
più basso rispetto alla media e questo, al fine di favorire il rating dello scafo. Il pescaggio del
solo scafo (quarta riga) è più basso della media (rapporto più elevato); in tal modo si potrà
disporre di una deriva più profonda e conseguentemente di un momento raddrizzante più
elevato [8]. Il rapporto tra il bordo libero di prua e quello di poppa (ottava riga) è più basso
rispetto alla media; l’intento è di favorire la sistemazione di cuccette più accessibili verso
poppa. Un altro parametro, non riportato in tabella, è il rapporto tra la larghezza dello scafo a
poppa e la Bmax . Questo dato non è disponibile in letteratura tuttavia, il valore assegnato
( Baft Bmax = 0. 85 ) può, in base all’esperienza acquisita, essere considerato nella media per una
barca da crociera/regata di queste dimensioni.
4.2.
modellazione
La modellazione dello scafo è stata eseguita utilizzando il software commerciale
Rhinoceros; questo, utilizza curve e superfici NURBS definite matematicamente come in (5) e
(6).
Il diagramma di flusso riportato in figura 4,
vuole essere indicativo delle fasi che sono state
Definizione di chiglia,
eseguite per pervenire al disegno finale della carena.
falchetta e prua sulla base dei
Come detto, in base ai parametri scelti è possibile
parametri di tabella 1
definire un ingombro della carena; partendo da queste
informazioni si può costruire la sezione maestra la cui
Costruzione della
posizione in direzione prua-poppa è in corrispondenza
ordinata maestra
alla massima larghezza della falchetta. Al fine di
avviare bene la superficie di carena sin dalle prime
Definizione di ordinate
fasi di modellazione, è stato opportuno definire altre
ausiliarie
ordinate. La superficie è stata ottenuta dalle curve già
definite. Si tratta di una NURBS vincolata a passare
per le curve di contorno (prua, poppa, chiglia e
Costruzione della superficie
falchetta) e libera di approssimare, con una tolleranza
NURBS
imposta, le ordinate. Il modello finale della superficie
di carena è costituita da una NURBS bi-cubica
(k u =k v=4) avente 24×21 punti di controllo. Si può
Controllo delle curve di
dimostrare [4] che una superficie così definita ha una
sezione:
2,2
continuità di tipo C ; essa dunque garantisce la
linee d’acqua e longitudinali
derivata seconda continua. Questo fatto è molto
importante soprattutto se si prevede di utilizzare il
modello CAD per analisi di tipo fluidodinamico.
Disegno di carena
no
definitivo?
La superficie adesso può essere sezionata con
piani, in modo da ottenere tutte le curve necessarie al
si
fine
controllo dell’avviamento della stessa. In tal modo si
possono apportare le modifiche sia ai parametri
Fig. 4 – Diagramma di flusso delle fasi
relative al disegno della carena
iniziali, che eventualmente alle ordinate, reiterando il
processo.
4.3.
rappresentazione e verifiche
La rappresentazione di un disegno navale avviene per mezzo del cosiddetto piano di
costruzione; in esso sono rappresentate le principali curve dello scafo. Nel caso in studio,
queste sono state ottenute dal modello di superficie, eseguendo sezioni con vari piani; in
particolare in figura 5, sono rappresentate in blu le linee d’acqua, in nero le ordinate ed in
rosso le longitudinali. Per motivi di chiarezza del disegno si è limitato il numero delle curve.
Con DWL (Designed Water Line) si è indicata la linea al galleggiamento.
0
1
I
2
II
3
III
4
IV
5
6
7
8
7.6 m
6.6 m
2.5 m
1.4 m
0.27 m
1611 Kg
0.557
10
11
V
WL1
LOA
LWL
Bmax
T
Tc
W
Cp
9
WL2
WL3
DWL
WL4
WL5
Fig. 5 - Il piano di costruzione della barca
Sono state eseguite
alcune verifiche numeriche. 500
Innanzi tutto il calcolo del Cp
x (cm)
che è risultato di 0.557 400
(valore prossimo all’ottimo
nell’ipotesi di navigazione 300
controvento in regime di
brezza). Ancora, è stato
eseguito il calcolo delle curve 200
di stabilità teorica dello scafo,
riportate in figura 6, dove 100
y (cm)
sono indicate le coordinate
della posizione del centro di
θθ (°)
0
carena (Center of Buoyancy)
0
30
60
90
120
150
180
al variare dell’angolo di rollio
z (cm)
(rotazione attorno all’asse -100
longitudinale dello scafo). Il
grafico è stato ottenuto -200
calcolando l’altezza del piano
Fig. 6 - Curve di stabilità teorica dello scafo
di galleggiamento in grado di
garantire un volume immerso sempre uguale al dislocamento della barca. Va osservato che il
diagramma non tiene conto dell’inevitabile variazione di assetto longitudinale (angolo di
beccheggio), spesso di piccola entità, conseguente allo sbandamento trasversale. La
conoscenza di queste curve è fondamentale per calcoli di stabilità, equilibrio e prestazioni
delle barche [8]. Infine la figura 7 mostra un’immagine virtuale dello scafo comprensivo di
appendici (deriva e timone). Queste sono state realizzate utilizzando un profilo aerodinamico
simmetrico della serie NACA a quattro cifre (in particolare 0012) [10]. Il bulbo terminale
nella deriva ha lo scopo di aumentare il volume per la zavorra in una posizione più bassa
possibile.
CB
CB
CB
Fig. 7 – Rappresentazione realistica dello scafo; in rosso è rappresentata la parte immersa
dello scafo (opera viva). Le appendici sono state realizzate utilizzando profili NACA
5.
Conclusioni
In questo lavoro è stata descritta una metodologia per la progettazione di carene di
barche a vela, sfruttando le potenzialità dei moderni software di CAD. Il progetto è stato
razionalizzato in fasi successive, la prima delle quali è la scelta dei parametri descrittivi della
carena. Questi, sono fortemente dipendenti dal tipo di barca che si intende disegnare se da
crociera o da regata. La modellazione poi, è stata realizzata mediante l’uso di superfici
NURBS che sono particolarmente adatte a descrivere forme complesse come le carene. Infine,
l’utilizzo di software commerciali dedicati, ha reso la fase di verifica e controllo dei risultati,
più rapida ed efficiente. La metodologia è stata applicata al disegno di una barca di 7.6 m da
crociera/regata.
Bibliografia
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[2]
Mortenson M.E., Modelli geometrici in computer graphics, McGraw Hill, Milano,
1989.
[3]
Plastock R.A., Kalley G., Computer graphics, McGrawHill Book C., New York,
1986.
[4]
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[5]
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San Diego, 1996.
[6]
de Boor C., A practical guide to splines, Springer-Verlag, New York, 1978.
[7]
Larsson L., Eliasson R.E., Principles of yacht design, Adlard Coles Nautical,
London, 1996
[8]
Garrett R., Fisica della Vela, Zanchelli, Bologna, 1994
[9]
American Bureau of Shipping, Guide for building and classing offshore racing
yachts, New York, 1996.
[10]
Abbott H. I., Von Doenhoff A. E., Theory of Wing Sections, Dover Publications, Inc.
New York, 1958