Soluciones - Mecánica Cuántica Moderna
Lucas Quijada Aguilera
6 de abril de 2023
Resumen
Problemas Resueltos:
Relación de Indeterminación de Heisenberg
Probar la relación de Indeterminación de Heisenberg
∆A∆B ≥
1
| ⟨[A, B]⟩ |.
2
(1)
.
Solución:
Dos operadores A y B son hermı́ticos, es decir, cumplen las relaciones A† = A y B † = B. Llamamos a
dos operadores ∆A y ∆B que se pueden expresar como
∆A = A − ⟨A⟩
(2)
∆B = B − ⟨B⟩
(3)
donde ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ , y |ψ⟩ es un estado arbitrario.
Es necesario saber si ∆A y ∆B son hermitianos o no. Para esto basta usar
†
∆A† = A† − ⟨A⟩ = A − ⟨A⟩ = ∆A
†
∆B = ∆B
†
sobre estos últimos
(4)
(5)
De (4) y (5) se concluye que ∆A y ∆B son hermitianos .
Llamemos dos vectores kets |ζ⟩ y |Ω⟩ talque
|ζ⟩ = ∆A |ψ⟩
(6)
|Ω⟩ = ∆B |ψ⟩
(7)
De acuerdo a la desigualdad de Schwarz se debe cumplir
⟨ζ|ζ⟩ ⟨Ω|Ω⟩ ≥ | ⟨ζ|Ω⟩ |2
La cantidad ⟨ψ|(∆A)2 |ψ⟩ = ⟨(∆A)2 ⟩ es conocida como la dispersión de A.
Calculando el lado izquierdo de (8)
⟨ζ|ζ⟩ ⟨Ω|Ω⟩ = ⟨ψ| ∆A† ∆A |ψ⟩ ⟨ψ| ∆B † ∆B |ψ⟩
Usando (4) y (5)
⟨ζ|ζ⟩ ⟨Ω|Ω⟩ = ⟨ψ| ∆A∆A |ψ⟩ ⟨ψ| ∆B∆B |ψ⟩
1
(8)
⟨ζ|ζ⟩ ⟨Ω|Ω⟩ = ⟨ψ|(∆A)2 |ψ⟩ ⟨ψ|(∆B)2 |ψ⟩
(9)
Usando nuevamente (4) y (5), el lado derecho de (8) queda
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 = | ⟨ψ| ∆A∆B |ψ⟩ |2
(10)
Por construcción ∆A∆B se puede reescribir como
∆A∆B =
∆A∆B
∆B∆A ∆B∆A
1
1
∆A∆B
+
+
−
= (∆A∆B + ∆B∆A) + (∆A∆B − ∆B∆A)
2
2
2
2
2
2
∆A∆B =
{∆A, ∆B} [∆A, ∆B]
+
2
2
(11)
Insertando (11) en (10)
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 = ⟨ψ|
{∆A, ∆B} [∆A, ∆B]
+
|ψ⟩
2
2
2
=
1
⟨ψ| {∆A, ∆B} |ψ⟩ + ⟨ψ| [∆A, ∆B] |ψ⟩
4
2
(12)
Ahora nos preguntamos si {∆A, ∆B} y [∆A, ∆B] son hermitianos o no.
Para {∆A, ∆B} se tiene
{∆A, ∆B}† = (∆A∆B + ∆B∆A)† = (∆A∆B)† + (∆B∆A)† = (∆B † ∆A† ) + (∆A† ∆B † ),
usando (4) y (5) ,
{∆A, ∆B}† = (∆B∆A) + (∆A∆B) = (∆A∆B + ∆B∆A) = {∆A, ∆B}
(13)
De (13) se concluye que {∆A, ∆B} es hermitiano.
Respecto a [∆A, ∆B]( antes de ver si es Hermitiano) primero es necesario la siguiente observación
[∆A, ∆B] = (∆A∆B − ∆B∆A) = (A − ⟨A⟩)(B − ⟨B⟩) − (B − ⟨B⟩)(A − ⟨A⟩)
[∆A, ∆B] = AB − A ⟨B⟩ − B ⟨A⟩ + ⟨A⟩ ⟨B⟩ − (BA + B ⟨A⟩ + A ⟨B⟩ − ⟨B⟩ ⟨A⟩) = AB − BA = [A, B]
[∆A, ∆B] = [A, B]
(14)
Dagando [∆A, ∆B]
[∆A, ∆B]† = [A, B]† = (AB − BA)† = (AB) † −(BA)† = B † A† − A† B † = BA − AB
= −(AB − BA) = −[A, B] = −[∆A, ∆B]
[∆A, ∆B]† = −[∆A, ∆B]
(15)
De (15) se concluye que [∆A, ∆B] es anti-hermitiano.
Suponga que dos operadores X e Y pueden ser expresados como
X = {∆A, ∆B}
(16)
Y = [A, B]
(17)
Ya se sabe que X es hermitiano, e Y anti hermitiano. De esto último se debe cumplir que los valores esperados
de X e Y , con respecto a |⟩ = |ψ⟩ , cumplan
†
†
⟨{∆A, ∆B}⟩ = ⟨|X|⟩ = ⟨|X † |⟩ = ⟨|X|⟩
†
†
†
⟨|[∆A, ∆B]|⟩ = ⟨|Y |⟩ = ⟨|Y |⟩ = − ⟨|Y |⟩
2
(18)
(19)
donde se han usado las propiedades de los operadores hermitiano o anti-Heritiano, las cuales nos dicen que;
de (18) se puede concluir que ⟨{∆A, ∆B}⟩ debe ser un número real, y que ⟨|[∆A, ∆B]|⟩ debe ser un número
imaginario puro. Esto último se puede expresar como
⟨{∆A, ∆B}⟩ = A
(20)
⟨|[∆A, ∆B]|⟩ = iB
(21)
donde A y B son número reales.
Reconsiderando la relación (12), esta se puede reexpresar usando (20) y (21) para probar que
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 =
1
⟨| {∆A, ∆B} |⟩ + ⟨| [∆A, ∆B] |⟩
4
2
=
1
1
|(A + iB)|2 = (A + iB)(A − iB)
4
4
1
(|A|2 + |B|2 )
4
donde en la última expresión se ha asumido que A = A∗ y B = B ∗ .
Por lo tanto el lado derecho de (12) queda
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 =
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 =
1
⟨| {∆A, ∆B} |⟩ + ⟨| [∆A, ∆B] |⟩
4
2
=
1
| ⟨| {∆A, ∆B} |⟩ |2 + | ⟨| [∆A, ∆B] |⟩ |2
4
reescribiendo ⟨|...|⟩ como ⟨...⟩
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 =
1
| ⟨{∆A, ∆B}⟩ |2 + | ⟨[∆A, ∆B]⟩ |2
4
(22)
Dado que la normas cuadradas de ⟨{∆A, ∆B}⟩ y ⟨[∆A, ∆B]⟩ son números reales positivos, entonces se puede
inferir que
1
1
2
2
| ⟨{∆A, ∆B}⟩ | + | ⟨[∆A, ∆B]⟩ | ≥ | ⟨[∆A, ∆B]⟩ |2
(23)
4
4
Usando (23) en (22) , junto a (14) ,
| ⟨ζ|Ω⟩ |2 ≥
1
| ⟨[A, B]⟩ |2
4
(24)
Juntando (9) y (24) a través de (8)
1
| ⟨[A, B]⟩ |2
4
1
=⇒ ⟨(∆A)2 ⟩ ⟨(∆B)2 ⟩ ≥ | ⟨[A, B]⟩ |2
4
p
Tomando la raı́z de esta última desigualdad, y considerando ∆A = ⟨(∆A)2 ⟩ al igual que para B, se llega
finalmente a la relación de la indeterminación de Heisenberg
⟨(∆A)2 ⟩ ⟨(∆B)2 ⟩ ≥ | ⟨ζ|Ω⟩ |2 ≥
∆A∆B ≥
1
| ⟨[A, B]⟩ |
2
3
(25)