ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛ-ХОРАЗМИЙ
Равшанов Н.К., Назирова Э.Ш., Неъматов А.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТЕЙ И
ГАЗА В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
Ташкент - 2021
УДК 512:519.6
Ответственный редактор:
Заведующий кафедрой ТерГУ
д.ф-м.н., профессор Нормурадов Ч.Б.
Рецензенты:
Профессор ТФИ
д.т.н. И.Х.Хабубуллаев
Заведующий кафедрой ТУИТ
д.т.н. Ш.А.Анарова
В
настоящей
монографии
изложены
результаты
научноисследовательских работ в области математического моделирования
сложных нестационарных процессов фильтрации нефти и газа в пористой
среде. Рассматривается вопросы разработки математической и численной
модели, а также эффективных численных алгоритмов для решения задач
мониторинга, анализа и прогнозирования основных показателей разработки
нефтегазовых месторождений. В прикладном аспекте разработанный
математический аппарат представляет интерес в решении проблем анализа и
проектирования разработки нефтегазовых месторождений.
Материал, изложенный в книге, предназначен для студентов,
соискателей, докторантов, преподавателей ВУЗов и специалистов научных и
профессиональных интересов связаны с моделированием сложных процессов
фильтрации нефти и газа в пористой среде.
Монография рекомендована к печати решением Ученого совета ТУИТ
(протокол №8-21 от 21.11.21).
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
11
1.1.Физические основы теории фильтрации
11
1.2.Понятие пористости и проницаемости пласта. Коэффициенты
15
вязкости и сжимаемости нефти
1.3.Понятие модели и моделирование
23
1.4.Основные уравнение теории фильтрации
30
1.5.Граничные условия для уравнения фильтрации
31
1.6.Математические модели задачи неустановившейся фильтрации
жидкостей в пористой среде
32
1.7.Математические модели задачи неустановившейся фильтрации
газа в пористой среде
35
1.8.Учет неоднородности пласта по коллекторским свойствам
39
ГЛАВА II. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
43
2.1.Аппрокцимации дифференциального уравнения конечноразностным аналогам. Явные и неявные конечно-разностные схемы
43
2.2.Однамерная задача неустановившейся фильтрации нефти в
пористой среде
49
2.3.Конечно-разностный метод для решения одномерной задачи
фильтрации нефти в пористых средах
52
2.4.Аппроксимации граничных условий различного рода на конечно-
54
разностные
2.5.Методы решения систем разностных уравнений. Потоковая,
встречная и матричная прогонка.
3
57
2.6.Примеры решения одномерных задач фильтрация нефти в
пористой среде.
65
ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ
68
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ
НЕУСТАНОВИВЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ПОРИСТОЙ
СРЕДЕ
3.1.Одномерная задача неустановившейся фильтрация газа в пористой 68
среде
3.2.Численное решение задачи фильтрации газа в пористой среде
70
3.3.Метод линеаризации нелинейность задачи фильтрации газа в
пористой среде
72
3.4.Алгоритм решения задачи фильтрации газа в пористой среде
74
3.5.Примеры решения задачи фильтрация газа в пористых средах
74
ГЛАВА IV. МНОГОМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИН МОДЕЛИ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
78
4.1.Двумерная математическая модель фильтрации нефти
79
в пористой среде
4.2.Продольно-поперечный метод для решения задач фильтрации
нефти в неоднородных пористых средах
82
4.3.Численный алгоритм решения задачи фильтрация нефти в
пористых средах
85
4.4.Численное решение задач фильтрации нефти в пористой среде
86
методом покоординатного расщепления
4.5.Двумерная математическая модель фильтрации газа в пористых
89
средах
4.6.Алгоритм решения двумерной задачи фильтрация газа в пористых 94
средах
4.7.Тестовые примеры численного решения двумерной задачи
фильтрации нефти и газа в пористых средах
4
96
ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
109
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТНАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА В
ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
5.1.Задача Коши и их методы решения. Метод Рунге Кутта и Кутта
Меерсон для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
109
5.2.Дифференциальная прогонка для решения одномерных задач
фильтрации нефти и газа в пористых средах
117
5.3.Дифференциальная прогонка для решения многомерных задач
фильтрации нефти и газа в пористых средах
128
5.4.Примеры решения задач фильтрации нефти и газа на основе
метода дифференциальной прогонки
144
ГЛАВА VI. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
СОВМЕСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ
ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
149
6.1.Определения основных показателей разработки
газовых месторождений с учетом их особенностей
нефтяных и 149
6.2.Построение дискретной модели и алгоритма решения двумерных 155
задач
фильтрация многокомпонентных жидкостей с учетом
подвижной границы раздела “нефть-вода”
6.3.Построение дискретной модели и алгоритма решения задач 165
фильтрация жидкостей и газа в по
ристой среде с учетом подвижной границы раздела “газ- вода”
6.4.Визуализация результатов расчета основных
разработки нефтяных и газовых месторождений
показателей 175
ГЛАВА VII. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА ПРИ
РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
186
7.1.Автоматизация численного решения задачи фильтрации нефти и
газа в пористой среде
186
7.2. Общие принципы построения пакета прикладных программ для
проведения вычислительного эксперимента на ЭВМ
188
5
7.3.Информационное обеспечение системы для решения задач
прогнозирования, анализа и мониторинга разработки нефтяных и
газовых месторождений
195
7.4.Программно-инструментальный комплекс для мониторинга и
прогнозирования основных показателей разработки нефтяных и
газовых месторождений
199
7.5.Визуализация результаты ВЭ на ЭВМ для моделирование
процессов разработки нефтегазовых месторождений для принятия
управленческих решений
206
ЛИТЕРАТУРА
213
6
ВВЕДЕНИЕ
В мире уделяется большое внимание созданию и совершенствованию, а
также
развитию
процессов,
математических
использованию
моделей
возможностей
газо-гидродинамических
численных
методов
и
инфокоммуникационных технологий для решения линейных и нелинейных
задач теории фильтрации. Создание автоматизированных систем для
определения, анализа и прогноза основных показателей разработки нефтяных
и газовых месторождений, а также исследование нестационарных процессов
фильтрации на основе современных информационных технологий остаются
главными задачами в этой области. Математические модели нестационарных
процессов фильтрации нефти и газа, разработка вычислительных алгоритмов
и создание программных средств имеют важную особенность в таких
развитых странах мира, как США, Франция, Китай, ОАЭ, Иран, Россия,
Украина, Казахстан, Азербайджан и др.
В мире ведутся научные исследования, направленные на создание
математической модели процессов фильтрации нефти и газа в пористой
среде, разработку алгоритмов и систем программного обеспечения расчета
основных показателей нефтяных и газовых месторождений, создание
геологических, гидродинамических 3D-моделей объектов нефтяных и
газовых масторождений, проведению вычислительных экспериментов для
исследования процессов фильтрации, а также на исследование полученных
результатов. В этом направлении, в частности в исследовании сложных
процессов движения нефти и газов в многопластовой пористой среде и
построении математических моделей определения реальных объектов,
разработка вычислительного алгоритма и создание автоматизированных
систем являются важными задачами. Вместе с этим основным направлением
7
является научное обоснование разработки численных и аналитических
методов и эффективных алгоритмов решения нелинейных задач для области
фильтрации со сложной конфигурацией.
В нашей республике проводится большая работа по проектированию
процессов эксплуатации нефтяных и газовых месторождений, разработке
математических
моделей
нестационарных
процессов
фильтрации
неоднородных жидкостей и алгоритмов исследования нелинейных газо- и
гидродинамических
процессов,
оценке
основных
показателей
с
использованием современных компьютерных технологий, а также по
созданию автоматизированных программных обеспечений. В Стратегии
дальнейшего
развития
определены
такие
Республики
задачи,
как
Узбекистан
«...
на
2017-2021
внедрение
годы
информационно-
коммуникационных технологий в экономике, в социальной сфере и
управлении, … расширение использования возобновляемых источников
энергии». При реализации этих задач важными вопросами являются
разработка
адекватных
математических
моделей,
эффективных
вычислительных алгоритмов и автоматизированных систем для процессов
проектирования нестационарных процессов фильтрации неоднородных
жидкостей
и
газов
в
пористых
средах
на
основе
современных
информационных технологий.
Научными
исследованиями,
направленными
на
разработку
математических моделей и эффективных алгоритмов для решения задач
фильтрации жидкостей в пористой среде, занимаются в ведущих научных
центрах мира и высших образовательных учреждениях, в том числе в Mineral
Engineering at the Pennsylvania State University, University of Texas at Austin,
Missouri University of Science and Technology (США), Robert Gordon
University
(Великобритания),
Institut
Français
du
Pétrole
(Франция),
Polytechnic University of Turin (Италия), Technical University of Denmark
(Германия), East China University of Science and Technology (Китай), University
of Petroleum&Energy Studies Dehradun (Индия), Petroleum Institute Abu Dhabi
8
(ОАЭ), Российском Государственном университете нефти и газа имени
И.М.Губкина
(Российская
Азербайджана,
федерация),
Государственном
Казахстанско-Британском
университете
техническом
университете
(Казахстан), Ташкентском университете информационных технологий им.
Мухаммад ал-Хоразми (Узбекистан).
Разработаны
математические
модели
нестационарных
процессов
фильтрационного движения жидкостей и газа в пористых средах с учетом
динамической связи между пластами (University of Pittsburgh, США;
Государственный университет Азербайджана). Предложены математические
модели процесса разработки нефтегазовых месторождений с учетом
вероятностного распределения параметров объекта исследования (Robert
Gordon University, Великобритания). Разработаны математические модели
контроля и управления технологическими процессами, связанными с
движением структурированных неоднородных жидкостей со сложными
(неравновесными и нелинейными) характеристиками, а также численные
модели вытеснения высоковязкой нефти водой (Казанский инновационный
университет имени В.Г.Тимирясова, Институт компьютерных исследований,
Кубанский государственный технологический университет, Российская
Федерация).
В мире особую актуальность приобретают проблемы повышения
эффективности разработки нефтегазовых месторождений, и для развития
этой сферы исследования проводятся по следующим приоритетным
направлениям: эффективные методы расчета и алгоритмы по увеличению
добычи
нефти;
заводнение
нефтяных
пластов
для
искусственного
поддержания пластового давления; разработка методов и алгоритмов
увеличения
производительности
нефтяных
пластов;
разработка
математической модели прогнозирования и определения объема запаса
нефти по основным показателям разработки, создание информационных
систем с функциями мониторинга добычи нефти и газа, проведение
системного анализа эксплуатации нефтяных и газовых месторождений,
9
создание
программного
обеспечения
для
повышения
экономической
эффективности эксплуатации нефтяных и газовых месторождений.
Разработка и усовершенствование математических моделей сложных
динамических процессов фильтрации в нефтегазовых и водоносных пластах,
а также численных методов для их решения, решение стационарных и
нестационарных задач фильтрации в слоях нефти и газа с плохой
проницаемостью рассмотрены в работах таких ученых, как M.Sharma,
Х.Азиз, Э.Сеттари, N.B.Lopuh, C.Atkinson, K.Ives, Z.Mehdi, Monteiro P.J.,
S.Banerjee, G.I.Barenblatt, M.Chraibi, D.B.Silin, F.Boyer, C.Lapuerta, S.Minjeaud,
А.Дарси, Л.С.Лейбензон, А.Х.Мирзаджанзаде, М.М.Хасанов, Б.Б.Лапук,
К.С.Басниев, С.Н.Закиров, Д.Ж.Ахмед-Заки, А.В.Ахметзянов, А.Никифоров,
А.В.Цепаев и др.
В Республике Узбекистан математические модели и вычислительные
методы
для
исследования
нестационарных
процессов
фильтрации
многофазных жидкостей и газов в пористых средах изучены в исследованиях
таких ученых, как Ф.Б.Абуталиев, Дж.Ф.Файзуллаев, Н.М.Мухидинов,
Р.Садуллаев,
У.С.Назаров,
А.Бегматов,
Ш.Каюмов,
Б.Х.Хужаёров,
Я.Ярбеков,
М.Арипов,
А.Мирзаев
и
Н.Равшанов,
др.
Проблемы
автоматизации решения некоторых краевых задач по модульному принципу
представлены
в
работах
В.К.Кабулова,
Ф.Б.Абуталиева,
А.Нематова,
В.Ф.Бурнашева и других ученых.
Анализ исследований в этой области показывает, что в настоящее время
недостаточно изучены процессы нестационарной фильтрации газа и
жидкости, когда область фильтрации имеет сложную конфигурацию и
является многослойной пористой средой с разной проницаемостью при
наличии гидродинамической связи между пластами.
10
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
1.1.Физические основы теории фильтрации
Подземная гидромеханика – наука о фильтрации жидкостей, газов и их
смесей в пористых горных породах. Объектом изучения подземной
гидромеханики является фильтрационный поток – поток жидкости (газа,
газожидкостной смеси) в поровой или трещинной среде.
Подземная гидромеханика является одной из составляющих теории
разработки
нефтяных
и
газовых
месторождений
и
технологии
нефтегазодобычи. Знание законов подземной гидромеханики необходимо
при решении задач выбора систем и режимов разработки залежей,
рациональных для данных пластовых условий.
Гидродинамическое моделирование разработки залежей основано на
использовании математических уравнений, полученных в рамках решения
прямой
задачи
подземной
гидромеханики
и
описывающих
процесс
фильтрации в конкретных условиях.
Подземная гидромеханика имеет обширные области приложения в
других науках: гидрогеологии, инженерной геологии, гидротехнике и др.
Первые опыты по изучению фильтрации воды в насыщенных грунтах
принадлежат французскому ученому А. Дарси, который в 1856 г.
сформулировал
экспериментальный
закон,
выражающий
зависимость
скорости фильтрации от градиента давления. В эти же годы опубликована
монография другого французского ученого Ж. Дюпюи, в которой изложена
теория фильтрации грунтовых вод, выведены формулы дебитов колодцев и
решены другие фильтрационные задачи.
Существенный вклад в развитие подземной гидромеханики внесли
американские ученые Ч. Слихтер и М. Маскет.
11
Основоположники российской школы теории фильтрации – профессор
Н.Е. Жуковский и академик Н.Н. Павловский, основоположник
отечественной нефтегазовой подземной гидромеханики – академик Л.С.
Лейбензон.
Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации жидкостей и газов в
нефегазоводоносных пластах внесли ученые С.А. Христианович, Б.Б. Лапук,
И.А. Чарный, В.Н. Щелкачев и др.
Жидкости и газы движутся в продуктивных пластах в различных по
размерам и форме. Такое движение в пористой среде называется
фильтрацией.
В отличие от движения жидкостей и газов по трубам и в открытых руслах
фильтрация имеет свои особенности: весьма малые поперечные размеры
поровых каналов и малые скорости движения жидкости; большая роль сил
трения вследствие вязкости жидкости и больших значений площади
поверхности стенок поровых каналов.
В подземной гидромеханике горные породы подразделяют на
проницаемые и плотные. К проницаемым принято относить породы,
способные вмещать и пропускать через себя флюиды (жидкости и газы) при
создании перепада давления. Такие породы называют коллекторами.
Флюиды занимают в породе пустоты (поры, каверны, трещины),
образующиеся при неполном контакте твердых частиц, из которых сложена
горная порода.
По своему происхождению и по характеру взаимодействия с флюидами
коллекторы можно разделить на два вида: поровые и трещинные.
Важнейшими характеристиками порового коллектора являются его
емкостные свойства – пористость. Пористость – наличие в горной породе
пустот в виде пор.
Скорость фильтрации W равна отношению объемного расхода
жидкости (газа) через поперечное сечение рассматриваемого элемента
пористой среды Q к площади нормального к направлению движения сечения
этого элемента F:
W=Q/F.
Скорость фильтрации отличается от истинной скорости движения жидкостей
или газов. Для определения скорости движения V необходимо объемный
12
расход Q разделить на площадь нормального к направлению движения
поперечного сечения поровых каналов:
V=Q/Fпор =Q/(m ⋅ F)=W/m .
Введение понятия скорости фильтрации позволяет рассматривать пласт
как непрерывное поле скоростей фильтрации и давлений, величины которых
в каждой точке пласта являются функцией координат этой точки и времени.
Поле физической величины есть совокупность ее значений во всех точках
рассматриваемой пространственной области в данный момент времени. Если
поле изменяется во времени, оно называется нестационарным, в ином случае
– стационарным.
Классификация
фильтрационных
потоков.
Скорость
относится
к
величинам, которые задаются не только числом, но и направлением
(векторные величины). Положив в основу классификации зависимость
вектора скорости от координат, можно выделить следующие типы
фильтрационных потоков:
-одномерные w=f(x);
-двухмерные w=f(x,y);
-трехмерные w=f(x,y,z).
Частным
случаем
двухмерного
потока
является
плоскорадиальный
фильтрационный поток, когда выполняется условие , то есть вектор скорости
фильтрации является функцией расстояния до некоторой точки. Сами же
точки называются стоками (когда движение жидкости происходит от
периферии к центру) или источниками (движение от центра к периферии).
При постоянном во времени давлении в данной точке пласта (стационарное
поле давлений) фильтрационный поток называется установившимся; если
давление в такой точке изменяется с течением времени (нестационарное
поле), фильтрационный поток называется неустановившимся.
При изучении процессов фильтрации различают потоки сжимаемой и
несжимаемой жидкостей, потоки однородных жидкостей, смесей и др.
13
Законы фильтрации. Основное соотношение теории фильтрации называют
законом фильтрации. Он устанавливает связь между вектором скорости
фильтрации и полем давления, которое вызывает фильтрацию.
Первые исследования фильтрации жидкости в пористых средах
проведены французскими инженерами Дарси и Дюпюи, работы которых
положили начало теории фильтрации. При изучении движения воды через
песчаные фильтры установлена экспериментальная зависимость
Q=k f ⋅ ∆P/L ⋅ F
где Q – объемный расход жидкости через фильтр длиной L и площадью
поперечного сечения F; ∆P - разность напоров; - гидравлический уклон; kf–
коэффициент
фильтрации
(коэффициент
пропорциональности),
представляющий собой скорость фильтрации при гидравлическом уклоне,
равном единице. Коэффициент фильтрации имеет размерность скорости.
Коэффициент
фильтрации
используется
обычно
в
гидротехнических
расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При
исследовании фильтрации нефти, газа и их смесей необходимо разделить
влияние на фильтрацию свойств пористой среды и жидкости:
Q=
k
µ
⋅ ρg ⋅
∆P
⋅F
L
При этом
k ∆P
k dP
⋅
или W=- ⋅
µ L
µ l
ρ - плотность жидкости; μ – динамическая вязкость жидкости; ΔPW=
где
перепад давления; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от
свойств пористой среды и характеризующий ее способность пропускать
сквозь себя жидкости или газы при перепаде давления; знак «минус»
означает, что давление в направлении движения жидкости уменьшается.
Коэффициент k называют коэффициентом проницаемости, который имеет
размерность площади (м2).
14
В СИ за единицу проницаемости в 1 м2 пронимается проницаемость пористой
среды, при фильтрации через образец которой площадью 1 м2, длиной 1 м и
перепаде давления 1 Па расход жидкости вязкостью 1 Па∙с составляет 1 м3/с.
На практике нередко пользуются единицей измерения проницаемости,
называемой Дарси (Д). Один Дарси - это проницаемость пористой среды, при
фильтрации через образец которой площадью в 1 см2 и длиной в 1 см при
перепаде давления в 1 ат (0,1 МПа) расход жидкости вязкостью 1 мПа∙с
составляет 1 см3/с.
Последнее уравнение - линейный закон фильтрации (закон Дарси), в
соответствии с которым зависимость между вектором скорости и градиентом
давления линейная.
1.2.Понятие пористости и проницаемости пласта.
Коэффициенты вязкости и сжимаемости нефти
Проницаемость горных пород пласта
Проницаемость горных пород пласта - способность пород пласта пропускать
жидкость и газ при перепаде давления.
Рис. 1.1. Проницаемость горных пород
При относительно небольших перепадах давления в нефтяных пластах
многие породы в результате незначительных размеров пор оказываются
практически непроницаемыми для жидкостей и газов (глины, сланцы и т.д.).
Хотя при сверхвысоких давлениях все горные породы проницаемы.
15
Хорошо
проницаемыми
породами
являются:
песок,
песчаники,
доломиты, глины с массивной пакетной упаковкой, алевролиты.
Плохо проницаемыми породами являются: глины, с упорядоченной
пакетной упаковкой, глинистые сланцы, песчаники с глинистой цементацией,
мергели.
Различают
также
абсолютную,
фазовую
и
относительную
проницаемости.
Абсолютная проницаемость - проницаемость пористой среды, заполненной
лишь одной фазой, инертной к пористой среде. Она зависит от размера и
структуры поровых каналов, но не зависит от насыщающего флюида, т.е.
характеризует
физические
свойства
породы.
Обычно
абсолютную
проницаемость определяют при фильтрации азота через породу.
Для оценки проницаемости горных пород применяется открытый в
1856 г линейный закон фильтрации Дарси, который установил зависимость
скорости фильтрации жидкости от градиента давления.
Абсолютную проницаемость определяют на основании закона Дарси по
уравнению:
где qф - объемный расход флюида (дебит), м3/с; k - проницаемость пористой
среды, м2; η - динамическая вязкость флюида, Па·с;
ΔP=Р1-Р2 - перепад
давления, Па; L - длина образца пористой среды, м;
F - площадь
фильтрации, м2.
Проницаемость определяется как:
Единица
проницаемости называемая Дарси
(Д),
соответствует
проницаемости горной породы, через поперечное сечение которой, равное
1 см2, при ламинарном режиме фильтрации, при перепаде давления в
1 атм на протяжении 1 см в 1 сек проходит 1 см3 жидкости, вязкость которой
1 сП.
16
Физический смысл размерности проницаемости - это площадь сечения
каналов пористой среды, через которые идет фильтрация.
Проницаемость пород, служащих коллекторами, может быть выражена
в миллидарси (мД), мкм2 или м2.
Проницаемостью в 1 м2 соответствует проницаемости горной породы при
фильтрации через образец площадью 1 м2 длиной 1 м и при перепаде давления 1 Па, при которой расход жидкости вязкостью 1 Па*с составляет 1 м3.
1 Д =1,02×10-3 мкм2 = 1,02×10-12 м2 = 1000 мД.
Таблица 1.1.
Размерность параметров уравнения Дарси в разных системах единиц
Размерность
Параметры уравнения
СИ
СГС
НПГ
Объемный расход флюида
(дебит), Q
м3/сек
см3/сек
см3/сек
Площадь фильтрации F
м2
см2
см2
Длина образца горной
породы (фильтра), L
м
см
см
Перепад давления, ∆P
Па
дн/см2
атм
Динамическая вязкость
жидкости, µ
Па·с
дн·с/см2
спз
(сантипуаз)
По величине проницаемости продуктивные пласты делятся на:
-Низкопроницаемые (от 0 до 100 мД);
-Среднепроницаемые (от 100 мД до 500 мД);
-Высокопроницаемые (более 500 мД).
Существует деление на 5 классов коллекторов (мкм2):
- очень хорошо проницаемые (>1);
- хорошо проницаемые (0,1 - 1);
- средне проницаемые (0,01 - 0,1);
17
- слабопроницаемые (0,001 - 0,01);
- плохопроницаемые (<0,001).
Для классификации коллекторов газовых месторождений используют 1-4
классы коллекторов.
Природные пласты содержат не только нефть и природный газ, но также
определенное количество воды. При движении флюидов, не смешивающихся
между собой, проницаемость для каждого из флюидов в пласте меньше чем
абсолютная проницаемость породы.
Фазовая (эффективная) проницаемость - проницаемость породы для
отдельно взятого флюида при наличии в ней многофазных систем. Фазовая
проницаемость зависит от количественного содержания того или иного
флюида в пласте, а также от его, их физико-химических свойств. С
практической точки большее значение имеет относительная фазовая
проницаемость.
Относительная фазовая проницаемость - отношение эффективной
проницаемости к выбранной базовой проницаемости (обычно абсолютной).
На графике показано изменение относительных фазовых проницаемостей.
Рис. 1.2. График изменения относительная фазовая
проницаемость пласта
18
Если для движения несжимаемой жидкости справедливы уравнения по
линейному закону Дарси, то в случае фильтрации газа при перепаде давления
объём газа оценивается по закону Бойля-Мариотта:
Пористость породы.
Под пористостью горной породы понимается наличие в ней пор (пустот).
Пористость характеризует способность горной породы вмещать жидкости и
газа.
В зависимости от происхождения различают следующие виды пор:
1.Поры между зёрнами обломочного материала (межкристаллические). Это
первичные поры, образовавшиеся одновременно с формированием породы.
2.Поры растворения – образовались в результате циркуляции подземных
вод.
3.Пустоты и трещины, образованные за счёт процессов растворения
минеральной составляющей породы активными флюидами и образование
карста.
4.Поры и трещины, возникшие под влиянием химических процессов,
например, превращение известняка (СаСО3) в доломит (МgСО3) – при
доломитизации идёт сокращение объёмов породы на 12%.
5.Пустоты и трещины, образованные за счёт выветривания, эрозионных
процессов, закарстовывания.
Виды пор (2)-(5) – это так называемые вторичные поры, возникшие при
геолого-химических процессах.
Объём пор зависит от:
-формы зёрен;
-сортировки
зёрен
(чем
лучше
отсортирован
материал,
тем
выше пористость);
-размера зёрен;
-укладки зёрен – при кубической укладке пористость составляет » 47,6%,
при ромбической укладке – 25,96% (см. рис. 1.3);
19
-однородности и окатанности зёрен;
-вида цемента.
Рис. 1.3. Различная укладка сферических зёрен одного размера,
составляющих пористый материал
Не все виды пор заполняются флюидами, газами, нефтью. Часть пор бывает
изолирована, в основном, это внутренние поры.
Виды пористости
Общая (полная, абсолютная) пористость – суммарный объём всех пор
(Vпор), открытых и закрытых.
Пористость открытая эквивалентна объёму сообщающихся (Vсообщ) между
собой пор.
На практике для характеристики пористости используется коэффициент
пористости (m), выраженный в долях или в процентах.
Сумма объемов закрытых и открытых пор характеризует общую или
полную пористость породы. mпп= Vпор/Vп
Данные о полной пористости пород используются при интерпретации
материалов ГИС.
Открытая
пористость
соответственно
коэффициентом открытой пористости. mоп= Vопор/Vп
20
характеризуется
Эффективная пористость характеризует объем каналов фильтрации, в
которых осуществляется движение жидкости при градиентах давления,
соответствующих природным условиям. mэф= Vэпор/Vп
Чаще
всего
(остаточной) воды, т.е.
она
определяется
с
учетом
объема
связанной
mэф= 1- Vов/Vп
Это понятие весьма условно и трактуется разными авторами по
разному, равно как и понятие динамической пористости при существовании в
пористой среде двух- и трехфазных систем. Например, нефтенасыщенный
коллектор характеризуется динамической пористостью равной
mдин= 1- Vов/Vп - Vон/Vп
Для коэффициентов пористости всегда выполняется соотношение:
mп > mo > mэф.
Для хороших коллекторов пористость лежит в пределах 15-25%
Коэффициенты вязкости и сжимаемости нефти
Вязкость нефти, газа, конденсата – один из параметров, который
характеризует их физико-химические свойства и используются при расчетах
движения нефти, газа и конденсата и газоконденсатных смесей.
Вязкость пластовой нефти всегда значительно отличается от вязкости
сепарированной вследствие большого количества растворенного газа,
повышенной пластовой температуры и давления. При этом все нефти
подчиняются следующим общим закономерностям: вязкость их уменьшается
с повышением количества газа в растворе, с увеличением температуры;
повышение давления вызывает некоторое увеличение вязкости. Увеличение
вязкости нефти с ростом давления заметно лишь при давлениях выше
давления насыщения.
В пластовых условиях вязкость нефти может быть в десятки раз
меньше вязкости сепарированной нефти.
Сила трения, возникающая между двумя смежными слоями внутри жидкости
на единице поверхности, называется напряжением внутреннего трения.
21
По закону Ньютона это напряжение
τ =µ
du
dτ
где u -скорость течения на расстоянии R от стенок;
µ -коэффициент пропорциональности, различный для разных жидкостей.
Величина µ называется коэффициентом абсолютной или динамической
вязкости.
За единицу измерения динамической вязкости в системе принят пуаз с
размерностью \дин ∙ с/см2 \. В практических расчетах пользуются величиной
в 100 раз меньшей – сп (сантипуаз). В технической системе единицей
абсолютной вязкости является \кг ∙ с/м2 \.
Между этими единицами существует следующее соотношение:
\кг ∙ с/м2 \ = 98,1 \дин ∙ с/см2 \.
В системе СИ динамическая вязкость равна:
0,1 Н ∙ с/м2 = 0,1 Па ∙ с.
Соотношение между единицами динамической вязкости ( µ ) приводится
в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Единицы
Па с
кг с/м2
дин с/см2
Н ч/м2
1 Па с
1
0.102
10
2.78 10-6
1 кг с/м2
9.81
1
98.1
2.78 10-3
1 дин с/см2
0.1
10.2 10-3
1
2.78 10-7
1 Н ч/м2
3600
367
36 103
1
Коэффициент сжимаемости нефти:
Коэффициент сжимаемости нефти (βн) – показатель изменения
единицы объема пластовой нефти при изменении давления на 0,1 МПа.
Размерность коэффициента сжимаемости нефти в системе СИ – 1/МПа.
22
где: M НГ – масса нефти.
Определение коэффициента упругоемкости пласта:
Дано: пористость m = 0.17
сжимаемость нефти – βн = 19·10-4, 1/МПа
– βв = 4.5·10-4, 1/МПа
количество связанной воды Sв = 0.35
обводненность пласта nв = 0.2
Вычислить сжимаемость скелета пласта:
где: m– пористость пласта.
Вычислить коэффициент упругоемкости пласта:
Коэффициент упругоемкости пласта
характеризует упругие свойства
скелета и насыщающей его пластовой жидкости.
– сжимаемость воды, Па-1;
где:
–сжимаемость скелета пласта, 1/МПа.
– насыщенность пор связанной водой, в долях от объема пор;
где:
–водонасыщенность пласта, в долях.
1.3.Понятие модели и моделирование
1.3.1.Типы моделей
Некто однажды сказал: «...Человеческий разум сталкивается с
трудностями при принятии решения, рассматривая больше чем 10 - 20
факторов одновременно». При решении задач по разработке нефтяного
месторождения анализируется несколько сот переменных. Эти переменные
нельзя
количественно
определить
и
систематизировать
в
простой
поддающейся оценке форме, но тем не менее они существуют. При этом
23
следует
учитывать
эксплуатационные
характеристики
пласта,
состав
оборудования, подачу насосов, положение скважин и продуктивность каждой
скважины, причем всю эту информацию следует оценивать в процессе ее
постоянного изменения. Некоторые руководители и специалисты раньше
использовали интуитивный подход и добивались успешных результатов во
многих случаях; не сохранилась память о тех, чья интуиция была не столь
блестящей или в чьих «логических» заключениях отсутствовал учет тонких
факторов и «проницательность». Современному инженеру или руководителю
необходимо иметь инструмент, который позволял бы оценивать имеющиеся
факторы и определять их взаимосвязь с полученным решением. Более того,
этот инструмент должен позволять эффективно принимать решение и
выбирать необходимые средства модернизации, средства изменения и
уточнения систем и объектов в процессе работы. Модельный подход
наиболее близко отвечает этим целям.
В основном встречаются модели двух типов: 1) физические; 2)
математические.
1.Физические модели - это по существу масштабно уменьшенные образцы
оригинала (пилотные установки, прототипы н им подобные) или модели,
воспроизводящие процесс, физически подобный оригиналу, но который
может
подчиняться
другой
группе
физических
законов.
Например
электролитическая модель, используемая для изучения процессов в пласте и
основанная на однозначной связи междуфильтрацией жидкости в пористой
Среде н потоком ионов в электрическом потенциальном поле.
2.Математические модели представляют собой системы математических
уравнений, описывающие с физической точки зрения характер исследуемого
процесса.
При
моделировании
процессов
разработки
нефтяных
месторождений .эти уравнения в общем виде представляют собой сложные
дифференциальные
уравнения
в
частных
производных,
но
при
моделировании процессов в других областях они могут быть системой более
24
простые уравнений. Вследствие.. значительной, размерности системы
уравнений и сложности этих математических .моделей для их расчета
необходимо применять вычислительную, технику.
3.Численные модели. Уравнения, описывающие математическую модель
пласта, если сложно их невозможно решить аналитическими методами.
Чтобы представить уравнения в форме, пригодной для решения на
вычислительных машинах, следует их аппроксимировать в виде конечноразностного уравнения.
Для решения математических уравнении, которые описывают поведение
флюидов в пористой среде, применяют численные модели и цифровые
вычислительные машины. При этом обычно используется метод сеток.
4.Машинная модель. Машинная модель пласта –это программа или система
программ для вычислительных машин, составленная с целью решения
уравнений численной модели.
1.3.2.Понятие моделирование
Понятие «моделирование» очень широкое. Под моделированием
понимают не только конструирование и использование конкретных, моделей
для анализа процессов (будь то нефтяной пласт или коммутационная сеть).
Слово «моделирование» может истолковываться различными людьми поразному. У некоторых представления о модели граничат с невероятным:
модель - это непонятный черный ящик, чудесным образом дающий
непогрешимые результаты, абсолютно точные для всех значащих цифр. Этот
подход - «голубая мечта» исследователей. При более практичном .подходе
под
моделированием
использует
модель
понимают
для
.процесс,
получения
при
информации,
котором
на
специалист
базе
которой
руководитель может принять разумное решение. Для этого сначала
выбирают средства, наилучшим образом удовлетворяющие поставленной
25
задаче. Учитывая опыт, качество исходных данных и характер источников
данные, специалист выдает результаты, которые можно использовать для
управления. На всех этапах он может вмешаться в процесс решения. Процесс
моделирования не заменяет процесса изучения объекта, но он может помочь
руководителю понять, основные взаимосвязи процессов, происходящих в
объекте.
1.3.3.Необходимость моделирования
Классический подход к решению проблемы моделирования заключался
в том, чтобы сформулировать исходную задачу и затем постараться ввести
как можно больше упрощающих предположений для формулирования новой
задачи, которая .поддается решению. Что произойдет, если даже после всах
этих упрощающих предположений задача все еще останется трудно
разрешимой? В этом случае различные исследователи склонны подходить к
ней по-разному. Один способ - это предположить, что задача неразрешима.
Так поступали алхимики в старину, когда они разрабатывали флогистонную
теорию горения, не понимая сущности процесса. Само по себе указание на
сложность проблемы не приближает нас к ее решению.
В другом случае можно попытаться использовать все имеющиеся
технические средства для получения приближенного решения. То, что
получен неполный ответ, не должно мешать разумному использованию
результатов. На практике только в редких случаях отсутствие ответа лучше,
чем получение приближенного решения. Применение аналитических методов
становится менее эффективным по мере увеличения сложности задач. В
нефтепромысловом деле сложность физических процессов скорее правило,
чем исключение. Современный инженер должен не только определять
наилучшие характеристики, основанные на физическом поведении системы,
но все в большей степени должен также осознавать воздействие
26
экономических, управленческих, юридических и экологических факторов на
его решения. Все это способствует образованию такой сложной системы, для
изучения которой требуется проанализировать всю совокупность процессов.
Компоненты процесса отображаются в процессе моделирования таким
образом, чтобы была возможность оценки влияния различных параметров на
результаты решения. Для получения практических выводов исследуемые
явления в процессе моделирования упрощаются.
Рассмотрим блок-схему, приведенную на рис. 1.4. Центральная часть
представляет
модель.
Ее
формулирование
и
разработка
требуют
существенных знаний математики и вычислительной техники.
Рис.1.4. Блок-схема процесса математического моделирования
Однако пользоваться этой моделью может любой квалифицированный
инженер. Как показано на рисунке, в процессе моделирования применяется
цепь обратной связи. Модель реализуется с помощью вычислительной
машины.
Все остальные блоки, показанные на схеме, относятся к области
деятельности инженера. Процесс начинается с того, что в модель вводят
исходные данные, после обработки которых с помощью модели получают
выходные данные. Эта информация анализируется с точки зрения
эффективности влияния происшедших изменений на рабочие характеристики
процесса. Если необходимо, проводится коррекция, и затем процесс
моделирования повторяется. В процессе моделирования от цикла к циклу
27
благодаря опыту специалиста получают более подробное представление о
пласте, которое можно использовать для прогнозирования процесса
разработки.
Инженер использует технику моделирования, пытаясь количественно
оценить принимаемые решения и сделать их более оптимальными.
Современная техника моделирования развивалась, совершенствовалась и
стала до такой степени проблемно ориентированной, что инженер или
ученый, который еще не начал применять методы моделирования, может
встретить большие трудности при общении со специалистами в области
вычислительной техники и математики. Потребность в экономическом
обосновании при выборе технических средств постоянно стимулирует
специалистов к использованию методов моделирования.
1.3.4.Моделирование пласта
В области моделирования процессов разработки для анализа процессов,
происходящих в продуктивных пластовых системах, применяют все
концепции и средства математического моделирования. В более узком
смысле термин «моделирование пластов» означает только моделирование
гидродинамики потоков в пласте. В более широком смысле этот термин
характеризует моделирование полного процесса нефтедобычи и связанную с
этим деятельность человека. Основная модель нестационарного течения всех
фаз жидкостей и газов в пластовой среде описывается дифференциальными
уравнениями в частных производных. В модель вводятся алгоритмы,
необходимые для решения этих уравнений. В результате она будет
представлять набор программ, реализующихся на конкретной цифровой
вычислительной машине. Составные части модули, и связях в единое целое
показаны на рис. 1.5.
28
Рис. 1.5. Составные части модели
Для решения математических уравнении, которые описывают поведение
флюидов в пористой среде, применяют численные модели и цифровые
вычислительные машины. При этом обычно используется метод сеток.
Граница пласта
1
2
1.6. Сеточная модель пласта
1 -нагнетательные скважины: 2 -эксплуатационные скважины
29
Численные модели были разработаны в середине 50-х годов Писманом и
Рэкфордом, после чего усовершенствованы таким образом, что можно
моделировать картину процесса разработки почти любого месторождения.
При этом пласт разделяется на блоки-ячейки, составляется баланс масс и
энергии для всех блоков одновременно. Использование большого числа
ячеек позволяет более реалистично учесть свойства породы и флюидов,
которые могут изменяться от ячейки к ячейке. Типичная сеточная модель
представлена на рис. 1.6.
1.4.Основные уравнение теории фильтрации
Неустановившаяся фильтрация. Для процессов, происходящих в
нефтяных и газовых пластах, зависимость различных параметров от времени
существенна.
Такие
процессы
называются
неустановившимися
(нестационарными). Задачи неустановившегося движения жидкости и газа в
пласте решаются методами математической физики. Для этого составляются
и интегрируются дифференциальные уравнения.
К
основным
дифференциальным
уравнениям
подземной
гидромеханики относятся уравнение неразрывности и уравнение движения.
Уравнение неразрывности представляет собой уравнение баланса
массы в элементарном объеме пористой среды:
∂ρ vx ∂ρ v y ∂ρ vz
∂ρ
+
+
= −m
,
∂x
∂y
∂z
∂t
где
ρ -плотность жидкости; vx , vy , vz -проекции скорости фильтрации
соответствующие оси координат; m -коэффициент пористости.
Дифференциальное уравнение движения упругой (сжимаемой) жидкости
∂2P ∂2P ∂2P
1 ∂P
+
+
=
−
,
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
χ ∂t
30
где
χ -коэффициент
пьезопроводности,
характеризующий
скорость
перераспределения давления в пласте, м2 /с.
Коэффициент пьезопроводности определяется по формуле, предложенной
В.Н. Щелкачевым
χ=
k
µ ⋅ (mβ ж − β П )
,
где βж, βП -соответственно, коэффициенты объемного сжатия жидкости и
горной породы.
Установившаяся фильтрация. Для установившегося потока справедлив
частный случай уравнения Фурье - уравнение Лапласа
∂2P ∂2P ∂2P
+
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Однамерный поток
∂2P
= 0.
∂x 2
1.5.Граничные условия для уравнения фильтрации
Анализируем возможные варианты граничных условий на границе
области фильтрации G .
1.
PG = const .
Такой случай уместен, когда пласт имеет достаточно большую площадь, а
рассматриваемая расчетная область намного менышее площади пласты.
Потеря или увеличение давления в расчетной области незначительны для
пласта. Внутренняя и внешняя области сообщаются жидкостью. Перетоки
можно рассчитать через поле скорости жидкости.
2.
∂PG
= qG .
∂n
В этом случае могут следующие:
31
Если qG = 0 , то согласно закону Дарси, поток жидкости через границу
отсутствует. Возможен вариант гидроизоляции на границе. Или организована
условие симметрии как в осесимметричном течении.
Если qG ≠ 0 , то в конкретной точке границы осуществляется отбор или
подкачка жидкости.
−
3.
Это
kh ∂PG
= α ( PA − PG ) .
µ ∂n
условие
соответствует
показателями κ , h
и
случаю,
µ сообщается
когда
через
расчетная
границу
с
область
областью,
с
где
гидростатическое давление составляет PA, n -нормально к границе области
расчёта.
Здесь α − аналог коэффициента теплоотдачи в теории теплопередачи.
Его значение можно выбирать вычислительным экспериментом или из
физических соображений.
1.6.Математические модели задачи неустановившейся фильтрации
жидкостей в пористой среде
Фильтрацию
можно
описать
в
рамках
взаимопроникающих
и
взаимодействующих сред модели Х.А.Рахматулина [20]. При этом скорость
скелета коллектора принимается равной нулю, а жидкие и газовые много
компонентные среда перемещаются относительно друг от друга и скелета.
При этом возникают трудности в описании силы взаимодействия между
составляющими фазами и компонентами единичного объема среды. В связи с
этим рамках данной главы обращаемся к нелинейному закону Дарси и
применим его к двумерной фильтрации в декартовых координатах. При этом,
если не учитывается сила гравитации, скорости жидкости описываются
формулами
u ( x, y , t ) = −
k ( x, y ) ∂p
,
µ ∂x
v ( x, y , t ) = −
32
k ( x, y ) ∂p
.
µ ∂y
Где
u и v − составляющие вектора скорости по координатам x и y ;
t − время;
p − гидростатическое давление;
µ–
коэффициент
динамической
вязкости
жидкости,
который
принимается постоянной.
Для
вывода
уравнения
барического
состояния
коллектора
с
фильтрацией пользуются уравнением неразрывности сжимаемой среды [20]
∂p ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v )
+
+
= q.
∂t
∂x
∂y
Где q представляет стоки или источники массы в расчетной области в виде
изменения массы единичного объема среды в течение единичного времени.
Подстановка значений u и v , учет упруго емкости пласта β (1/Па) , а
также мощности пласта h ( x, y ) приводят к уравнению [21]:
для одномерных задач-
β h ( x, y )
∂P ∂  k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P 
= 
+Q;
µ
∂t ∂x 
∂x 
для двумерных задач-
β h ( x, y )
∂P ∂  k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P  ∂  k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P 
= 
+ 
+Q.
µ
µ
∂t ∂x 
∂x  ∂y 
∂x 
В таком представлении отдельные слагаемые имеют размерность м/с , так
что Q представляет мощность стока или источника м3 в единичной
площади, соответствующей 1 секунду.
Трехмерный аналог данного уравнения строится аналогичным образом.
Размерность его членов составляет 1/с , т.к. h ( x, y ) участвует. При этом Q
(
)
представляется единицей измерения м3 : м2с = 1/ с .
Обращение к двухмерной задаче обусловлено тем, что роль источника
или стока массы более ярко выражается в двухмерной постановке, когда с
33
увеличением расстояния влияние выражается величиной Q / r 2 , в тоже время
для трехмерной постановке имеет порядок Q / r 3 . Это первое упрощение
задачи.
Второе упрощение задачи относятся величинам проницаемости и
мощности пласта. Полагаем, что они, как и вязкость µ , постоянные:
k = const ,
h = const .
При этом уравнение принимает вид
βh
∂P kh  ∂ 2 P ∂ 2 P 
=  2 + 2  + Q.
∂t
∂y 
µ  ∂x
Здесь из секундой переходим в сутки: t ⋅ 86400c = t сутки.
Умножим обеих сторон уравнения на
86400
. Тогда уравнение
βh
принимает вид:
2
∂P
∂2P 
2∂ P
=a  2 + 2 +Q ,
∂t
∂y 
 ∂x
где
a2 =
86400k
βµ
,
Q=
Q
.
βh
Здесь Q относится суточному, a не секундному отбору или подкачке из
квадратного метра площади.
1.7.Математические модели задачи неустановившейся фильтрации
газа в пористой среде
При проектировании, анализе и определении перспектив разработки
газовых и газоконденсатных месторождений требуется определять изменение
во времени необходимого числа эксплуатационных и нагнетательных
скважин, дебитов газовых и расходов нагнетательных скважин, пластовых,
забойных, устьевых давлений и температур, продвижение во времени
34
контурных или подошвенных вод, изменение количества и состава
выпадающего в пласте и добываемого конденсата и другие показатели.
Процессы, происходящие в пласте при разработке месторождений
природных газов, описываются дифференциальными уравнениями в частных
производных.
Для
определения
показателей
разработки
газовых
и
газоконденсатных месторождений с учетом неоднородности пласта по
коллекторским свойствам, произвольного расположения разно дебитных
скважин, неравномерности продвижения границы раздела газ-вода и т. д.
необходимо
интегрирование
неустановившейся
дифференциальных
фильтрации
газа,
воды
и
уравнений
конденсата
при
соответствующих начальных и граничных условиях. При этом особую
важность
в
теории
разработки
газовых
месторождений
имеет
дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа.
Коллекторы природного газа характеризуются неоднородностью,
изменчивостью параметров пласта. Мощность продуктивных отложений по
площади газовой залежи может изменяться в очень широких пределах.
Коэффициенты
проницаемости
и
пористости
пласта
претерпевают
значительные изменения по мощности и по площади газовой залежи.
Лабораторные и промысловые исследования показывают зависимость
коэффициентов проницаемости и пористости от изменения пластового
давления [13]. Согласно этим исследованиям, коэффициент проницаемости
при снижении давления может уменьшаться до 50% и более по сравнению с
коэффициентом проницаемости при начальном пластовом давлении.
При значительном пластовом давлении начинают проявляться и влиять
на показатели разработки отклонения свойств реальных газов от законов
идеального газа. Учет реальных свойств природных газов приводит к
необходимости вводить в уравнение состояния для газа коэффициент сверх
сжимаемости. Реальные свойства газов проявляются и в том, что
коэффициент динамической вязкости газа изменяется с изменением
давления.
35
Теория и практика разработки месторождений природного газа
показывают, что отмеченные факторы могут оказывать большое влияние на
процессы,
происходящие
в
продуктивных
пластах
при
разработке
месторождения. В связи с этим рассмотрим вывод дифференциального
уравнения неустановившейся фильтрации реального газа в неоднородной
поколлекторским свойствам, деформируемой пористой среде. При решении
задач разработки месторождений природных газов обычно рассматривают
двумерные дифференциальные уравнения. Использование этих уравнений
связано
со
значительными
трудностями
определения
зависимостей
изменения параметров пласта в направлениях по х, у и, т. е. построения
трехмерной модели пласта. Исследование же ряда трехмерных задач можно
свести к ≪набору≫ двумерных задач — к рассмотрению двумерных задач
неустановившейся фильтрации, например, в каждом отдельном пласте,
поропласте и т. д. Поэтому приведем вывод искомого уравнения для
двумерного случая.
В газоносном пласте переменной мощности выделим элементарный
объем dx dy h {х, у}. Здесь h (x, у) — значение мощности пласта в точке с
координатами х и у (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Элементарный объем пласта
36
Рассуждая обычным образом [15, 19], получаем, что через грань a'b'c'd'
за время dt втекает масса газа, равная
1 ∂( ρuh( x, y )) 

uh
(
x
,
y
)
dy
−
dx
dy  dt
ρ

∂x
2

(1.1)
За это же время через грань abсd вытекает масса газа
1 ∂[ ρ uh ( x , y )] 

uh
(
x
,
y
)
dy
+
dx
dy  dt
ρ

∂x
2

(1.2)
Изменение массы газа в элементе dx dy h (x, у) за время dt составляет
−
∂
[ ρuh( x, y)]dx dy dt.
∂x
(1.3)
Аналогично этому изменение массы газа за то же время в элементе dx dy
h (x, у) за счет фильтрации газа вдоль оси Оу" равно
−
∂
[ ρ uh ( x, y )]dx dy dt.
∂y
(1.4)
Суммарное изменение массы газа в элементе пласта dx dy h (ж, у) за время dt
составляет
−
∂
∂
[ ρ uh( x, y )]dx dy dt − [ ρ uh( x, y )]dx dy dt.
∂x
∂y
(1.5)
Здесь и и v — компоненты вектора скорости фильтрации в точке пласта
с координатами х и у вдоль осей ох и оу соответственно.
В газонасыщенном норовом объеме рассматриваемого элемента масса
газа равна
ρα m( x, y )h( x, y)dx dy
(т — коэффициент пористости в точке пласта с координатами х и у).
Темп ее изменения во времени составляет
h( x, y) dx dy
∂( ρα m)
∂t
За время dt изменение массы газа в элементе dx dy h (x, у) равно
37
h( x, y ) dx dy
∂( ρα m)
dt.
∂t
(1.6)
Приравнивая (1.5) и (1.6), получаем уравнение неразрывности для
фильтрационного потока в пласте переменной мощности:
∂
∂
∂ ( ρα m)
[ ρ um( x, y )] + [ ρ vm( x, y )] + h( x, y )
= 0.
∂x
∂y
∂t
(1.7)
Если в точке пласта с координатами х и у при давлении P и коэффициенте
газонасыщенности а величину коэффициента проницаемости обозначим
через k (х, у, P), а коэффициента динамической вязкости газа - µ ( P) , то
выражения для проекций вектора скорости фильтрации, согласно закону
Дарси, запишутся в виде:
u=−
k ( x, y, P ) ∂P
⋅ ,
µ ( P)
∂x
v=−
k ( x, y, P) ∂P
⋅ .
µ ( P ) ∂y
(1.8)
Уравнение состояния для реального газа дается следующим соотношением:
ρ = ρaT ⋅
P
.
z ( P) PaT
(1.9)
Значения коэффициента динамической вязкости газа µ ( p) , плотности
газа ρ aT и коэффициента сверхсжимаемости газа z (p) вычисляются при
пластовой температуре.
Подставляя (1.8) и (1.9) в (1.7) и принимая коэффициенты пористости и
газонасыщенности неизменными во времени, получаем
∂  k ( x , y , P ) h ( x , y ) ∂P 2  ∂  k ( x , y , P ) h ( x , y ) ∂P 2 
⋅
+
⋅
=
∂x  µ ( P ) z ( P )
∂x  ∂y  µ ( P ) z ( P )
∂y 
∂P  P 
.
= 2α ( x , y ) m ( x , y ) h ( x , y )
∂t  z ( P ) 
(1.10)
Дифференциальное
процесс
уравнение
(1.10)
описывает
неустановившейся фильтрации реального газа в реальной неоднородной по
коллекторским
свойствам
пористой
среде.
Уравнение
(10)
нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа.
38
является
При выводе уравнения (1.10) принято, что скорость фильтрации
неизменна вдоль мощности пласта, и при ее определении, согласно (8),
учитывается
величина
коэффициента
начальной
газонасыщенности
(используются коэффициенты фазовой проницаемости для газа). Кроме того,
принято, что коэффициент газонасыщенности не изменяется в процессе
разработки залежи. Проведенные специальные исследования подтверждают
это (М. Т. Абасов, О. Б. Качалов и др.).
Коэффициент газонасыщенности увеличивается достаточно быстро до
единицы в призабойной зоне пласта . В пласте за пределами призабойной
зоны изменением коэффициента газонасыщенности во времени можно
пренебречь. В частном случае из (1.10) имеем, что неустановившаяся
фильтрация
идеального
газа
( µ = cons, z = 1) в
неоднородной
по
коллекторским свойствам, недеформируемой пористой среде описывается
следующим уравнением:
∂ 
∂P 2  ∂ 
∂P 2 
k ( x, y ) h( x, y ) ⋅
k ( x, y ) h( x, y ) ⋅
+
=
∂x 
∂y  ∂y 
∂y 
∂P
= 2α ( x , y ) m ( x , y ) h ( x , y ) µ
.
∂t
(1.11)
1.8.Учет неоднородности пласта по коллекторским свойствам
Результаты
предыдущего
раздела
обобщим
на
случай
пласта
неоднородного по коллекторским свойствам. При этом рассмотрим также
алгоритм
решения
получаемой
системы
алгебраических
уравнений
применительно к резким изменениям коллекторских свойств пласта вдоль
пространственной координаты.
Рассматривается задача, аналогичная задаче предыдущего раздела. В
отличие от исследованной задачи будем считать, что коэффициент
проницаемости - некоторая функция пространственной координаты х
(k=k(x)). Значения коэффициента проницаемости в разных точках пласта
39
разделим на характерное значение коэффициента проницаемости k0
(например, среднее значение для данного пласта). Тогда функция k*(x) =
будет
k(x)/ko
описывать
изменение
безразмерной
проницаемости
от
координаты х. В этом случае исходная краевая задача в безразмерном виде
записывается следующим образом:
∂  * * ∂P*  ∂P*
k (x ) *  =
,
∂x 
∂x  ∂ τ
(1.12)
τ = 0,
(1.13)
P* = P* ( x* ),
x * = 0, ∂P * / ∂x* = 0,
(1.14)
x * = 1, ∂P * / ∂x* = 0,
(1.15)
где
P * = P / P0 ; x* = x / L; k * = k / k0 ;
Здесь
τ=
k0 t
.
βµ L2
P0 - некоторое характерное значение давления;
k0 ˗ некоторое характерное значение проницаемости пласта;
h0 ˗ некоторое характерное значение мощности пласта;
L – характерная длина.
Движение жидкости в неоднородных коллекторах. В природных условиях
продуктивные нефтегазосодержащие пласты редко бывают однородными.
Поровая среда называется неоднородной, если ее основные характеристики –
пористость и проницаемость – различны в разных частях продуктивного
пласта.
При хаотичном характере изменения проницаемости горных пород в
пределах одного пласта значительные его части (области) можно считать в
среднем однородными по проницаемости. Если в пределах пласта
выделяются значительные по размерам однородные зоны (области, части),
параметры такого макронеоднородного пласта существенно влияют на
характеристики фильтрационных потоков. При этом выделяют следующие
основные виды макронеоднородности:
40
• слоистая неоднородность, когда пласт разделяется по толщине на
несколько слоев, в каждом из которых проницаемость в среднем
одинакова,
но
отлична
от
проницаемости
соседних
слоев
(неоднородность по разрезу);
• зональная неоднородность, при которой пласт по площади состоит из
нескольких зон (областей) различной проницаемости (неоднородность
по площади). В пределах одной и той же зоны проницаемость в
среднем одинакова, но отлична от проницаемости соседних зон.
При одномерном движении в каждом поропласте при отсутствии
перетоков между ними имеет место линейное распределение давления.
Так как значения граничных давлений Рк и РГ для всех пропластков
одинаковы и распределение давления в них не зависит от проницаемости,
очевидно, что при одном и том же значении координаты x приведенное к
одной плоскости давление в каждом поропласте должно быть одинаковым
(рис. 1.8):
P = Pk −
Pk − PГ
⋅x
L
Рис.1.8. Вертикальное сечение и линия распределения давления
для одномерного потока в слоисто-неоднородном пласте
41
В
зонально-неоднородном
пласте
при
одномерном
движении
распределение давления в каждой зоне линейное и определяется
выражением
Pi ( x) = Pi −1 −
где
0 ≤ x ≤ li
-то
есть
Pi −1 − Pi
⋅x,
li
координата
х
берется
только
в
пределах
рассматриваемой зоны. График распределения давления внутри каждой зоны
представляет собой прямую линию, по пласту в целом – ломаную линию,
состоящую из прямолинейных отрезков (рис.1.9).
Рис.1.9. Вертикальное сечение и линия распределения давления
для одномерного потока в зонально-неоднородном пласте
42
ГЛАВА II. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ (ОДНОМЕРНАЯ
ЗАДАЧА)
2.1.Аппрокцимации дифференциального уравнения конечноразностным аналогам. Явные и неявные
конечно-разностные схемы
При численном решении дифференциальных задач на ЭВМ их обычно
заменяют некоторыми дискретными задачами, а затем строят машинные
методы решения этих дискретных задач. Известны различные способы
дискретизации: метод конечных разностей, метод прямых, метод конечных
элементов, метод интегральных соотношений и др. После дискретизации
исходного параболического уравнения получаем разностную задачу. Таким
образом, при решении уравнений параболического типа не только постоит
дискретной модели задачи, алгоритм ее решения и оценить близости
машинного решения задачи к математическому.
В теории фильтрации решение краевой задачи обычно сводится к
интегрированию дифференциального уравнения в частных производных с
соответствующими начальными и граничными условиями. При численном
интегрировании исходное дифференциальное уравнение аппроксимируется
(заменяется)
системой
конечно-разностных
уравнений.
При
этом
производные от искомой функции по времени и пространственным
координатам заменяются разностными значении функции в соседних
узловых точек. Это - один из главных моментов алгоритмах решения краевых
задач.
Аппроксимация
дифференциального
уравнения
конечно-
разностным аналогам. Известно, что любая функция P(x), непрерывную и
имеющую все необходимые производные при x=a, можно разложить в ряд
Тейлора:
43
( x − a)
( x − a)' '
P( x) = P(a) +
P(a) +
P (a) + ...
1!
2!
Здесь
(2.1)
P(a) -значение функции в точке x=a; P' (a), P'' (a) -значения первой
и второй производныx по x в точке x=a.
Предположим, что на оси ox имеется некоторый отрезок [0, N],
который разбить на n равных частей (рис. 2.1). Тогда расстояние (шаг) между
двумя точками равен h = N / n . Множество полученных точек называется
разностной сеткой на отрезке [0, N] и обозначается через
ϖ h = { xi = ih, i = 0,1,..., N , h = N / n}
Рис. 2.1.Схема разбиение сетки
Выберем произвольные точки i-1, i и i+1 на отрезке [0, N]. При помощи
ряда Тейлора (2.1) запишем функции значения функции в точках i-1 и i+1
через значения функции и ее производных в i –й точке. Для точки i-1
величина (x-a)=-h, а для точки i+1 она равна h. Следовательно,
Pi −1 = Pi − hPi ' +
1 2 '' 1 2 '''
h Pi − h Pi + ...
2
6
(2.2)
Pi +1 = Pi + hPi ' +
1 2 '' 1 2 '''
h Pi + h Pi + ...
2
6
(2.3)
Здесь Pi−1, Pi , Pi+1 -соответственно значения функции в i-й, (i-1)-й и (i+1)'
''
'''
й точках; Pi , Pi , Pi ,... -соответственно значения первый, второй, третьей и
других производных по x в i-й точке.
Из выражений (2.2) и (2.3) легко получить значения первой
производной в точке i:
44
Pi ' =
Pi − Pi −1
+ R1 ( h ),
h
(2.4)
Pi ' =
Pi +1 − Pi
+ R2 ( h ).
h
(2.5)
Здесь R1 (h) и R2 (h) суммы соответствующих остаточных членов рядов (2.2)
и (2.3), соответственно днленных на h.
Таким образом, формула (2.4) без R1 (h) дает значение производной для
конца интервала [(i — 1), i], а формула (2.5) без R2 (h) — дли конца интервала
[i, (i + 1)] с погрешностью порядка h, так как R1 (h) и R2 (h) —члены первого
порядка малости относительно шага h.
`Более точное выражение для первой производной по х в точке i
получим, если вычтем (1.2) из (1.3). В результате имеем:
Pi′ =
Pi +1 − Pi −1
+ R3 (h 2 ).
2h
(2.6)
Здесь R3 (h) —член второго порядка малости относительно шага h.
Сложив (2.2) и (2.3), получим аппроксимирующее выражение для второй
производной в точке i:
Pi′′=
Pi +1 − 2 Pi + Pi −1
+ R4 (h 2 ).
2
h
(2.7)
Отсюда видно, что для аппроксимации второй производной в точке i
используются значения функции в самой точке i и в соседних, слева и справа,
точках. При этом отбрасываемый член R4 имеет второй порядок малости
относительно шага h.
Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение неустановившейся
плоскопараллельной фильтрации жидкости (в безразмерном виде)
∂  * ∂P *  ∂P *
k
=
∂x 
∂x  ∂τ
где
45
(2.8)
P* = P / P0 ; x* = x / L; τ =
k xt
, k * = k / kx .
2
βµ L
Здесь P0 - некоторое характерное значение давления; L – характерная
длина; kx –характерная значения проницаемости пласта.
Интересующий нас интервал времени [0, Т] разобьем на Nt равных
интервалов. Точки разбиения временного интервала обозначим через 0,1,…,l,
l+1,…, Nt . Давление P в точке с координатой
x = i∆x
в момент
τ = l ∆τ обозначим через Pi l . Соответственно давление в точке пласта с
координатой x = i∆x в момент τ = (l + 1)∆τ -через Pi l и т.д. Тогда уравнение
(2.8) с учетом (2.5) и (2.7) для точки i можно без переменными
коэффициентами записать следующим образом:
Pi −l +11 − 2 Pi l +1 + Pi +l +11 Pi l +1 − Pi l
=
+ 0[∆τ + ( ∆x ) 2 ].
2
( ∆x )
∆τ
(2.9)
Здесь 0[∆τ + (∆x)2 ] — погрешность аппроксимации уравнения (2.8)
конечно-разностным уравнением. В дальнейшем считаем, что данным
членом можно пренебречь.
Уравнения
(2.8)
с
переменными
коэффициентами
можно
аппроксимировать в следующим образом:
ki −0.5 Pi −l +11 − ( ki −0.5 + ki +0.5 ) Pi l +1 + ki +0.5 Pi +l +11 Pi l +1 − Pi l
=
+ 0[∆τ + ( ∆x) 2 ]
2
∆τ
(∆x)
где
ki −0.5 =
ki −1 + kk
k + kk +1
, ki +0.5 = i
.
2
2
Явная и неявная разностные схемы
Уравнение (2.9) можно записать двояким образом в зависимости от
того, к какому временному слою относить его левую часть. Допустим, что
решение уравнения (2.8) на момент j∆ t уже известно. Отыскивается решение
на момент ( j + 1) ∆τ .
46
Запишем левую часть уравнения (2.9) на временном слое τ = l ∆τ :
Pi −l 1 − 2 Pi l + Pi +l 1 Pi l +1 − Pi l
=
.
∆τ
( ∆x ) 2
(2.10)
Если левую часть уравнения (2.9) записать на временном τ = (l + 1) ∆τ
то получим
Pi −l +11 − 2 Pi l +1 + Pi +l +11 Pi l +1 − Pi l
=
.
∆τ
( ∆x ) 2
(2.11)
Уравнение (2.10) соответствует явной (рис.2.2), а уравнение (2.11) -неявной разностной схеме (рис.2.3).
Из уравнения (2.10) видно, что в него входит лишь одна неизвестная
величина - Pi l +1 (рис. 2.2). Если решение задачи на слое l ∆τ известно, то,
применяя последовательно уравнение (2.10) к каждой i-й точке (с учетом
граничных условий), можно получить искомое решение на временном слое
(l + 1) ∆τ и т.д. Эго поясняет, почему данная схема называется явной:
уравнение (2.10) позволяет явным образом находить решение задачи в
каждой i-й точке в момент (l + 1) ∆τ .
Рис.2.2. Явная схема
47
Рис.2.3. Неявная схема
В уравнении (2.11) имеются три неизвестные величины: Pi −l +11 , Pi l +1, Pi +l +11
(рис. 2.3). Записав уравнение (2.11) для точек i =1,2,..., N -1, получим систему
из N-1 уравнений с N+1 неизвестными. Граничные условия в точках i = 0 и
i=N
дают еще два уравнения. Следовательно, для нахождения решения
задачи на слое (l + 1) ∆τ требуется решить систему из N+1 уравнении с N+1
неизвестными: P0l +1, P1l +1, P2l +1,..., PNl +−11, PNl +1 .
Итак, использование численных методов сводит интегрирование
дифференциального уравнения (2.8) при соответствующих краевых условиях
к решению чисто алгебраической задачи. При этом практическое применение
получила неявная схема, так как для явной схемы характерно наличие
следующего ограничения на шаг по оси времени:.
1
∆τ ≤ ( ∆x) 2
2
(2.12)
Данное ограничение является жестким, поэтому выгодно, с точки
зрения затрат времени на ЭВМ, на каждом временном слое решать системы
алгебраических уравнений, используя шаг ∆τ , значительно превосходящий
временной шаг ∆τ , диктуемый неравенством (2.12) для явной схемы.
48
2.2.Однамерная задача неустановившейся фильтрации нефти
в пористой среде
В
качестве
показателей
разработки
нефтяных
месторождений
используется достаточное число параметров пласта. Из них более важными
показателями разработки являются следующие: 1) изменения во времени
пластового и забойного давления; 2) изменения во времени дебитов скважин;
3) потребное число скважин и их изменения во времени.
Эти показатели можно определить применением математического
моделирования и численного интегрирования дифференциального уравнения
неустановившейся
фильтрации
нефти
в
пористой
среде
при
соответствующих краевых условиях, адекватно описывающих процесс в
целом. В связи со сложностью дифференциальных уравнений фильтрации
нефти в настоящее время не представляется возможным получить
необходимые аналитические решения. Поэтому, для расчета показателей
разработки
нефтяных
месторождений
были
предложены
различные
численные методы, вычислительные алгоритмы и их программные средства
для проведения ВЭ на ЭВМ. При этом использование ЭВМ и применение
соответствующих эффективных численных методов позволяют получить
достоверные численные результаты.
Проведение натурных экспериментов в реальном масштабе времени по
фильтрации жидкостей и газов в пористой среде очень трудоёмкая работа и
требует больших затрат. Иногда проведение натурных экспериментов
невозможно. В этих случаях для изучения объекта необходимо применить
численное моделирование с использованием эффективных численных
методов
и
современной
компьютерной
технологии
для
реализации
разработанных вычислительных алгоритмов решения задач.
При этом использование современных численных методов, а также
разработка программного обеспечения для проведения исследования и
49
анализа основных показателей нефтяных месторождений экономит время
экспериментов.
Рассмотрим
нестационарный
процесс
фильтрации
нефти
в
неоднородной пористой среде в одномерной постановке.
Формулировка задачи
одномерной неустановившейся фильтрации нефти
Пусть в ограниченном по размерам нефтеносном полозообразном
пласте в результате работы эксплуатационной скважины на начало
интересующего момента" времени (t=0) возникло некоторое распределение
давления. Требуется найти распределение давления в пласте в моменты
времени t >0.
С учетом указанных выше факторов неустановившаяся фильтрация
нефти
в
неоднородной
пористой
среде
описывается
следующим
дифференциальным уравнением:
β h(x)
∂P ∂  k ( x ) h ( x ) ∂P 
= 
 − δ q (t ),
∂t ∂ x 
∂x 
µ
0 < x < L,
(2.13)
При определении основных показателей разработки месторождений
нефти дифференциальное
уравнение
(2.13) решаем при
следующих
начальных и граничных условиях:
P ( x ) = PH ( x ) ,
при t = 0,
k ( x ) h ( x ) ∂P
= α ( PA − P ) при
µ
∂x
x=0
k ( x ) h ( x ) ∂P
= α ( PB − P ) при
µ
∂x
x=L
−
Здесь и далее пользуемся обозначениями:
P - давление в пласте;
PH - начальное пластовое давление;
PA - приграничное давление;
µ - динамическая вязкость нефти;
50
(2.14)
(2.15)
(2.16)
k - коэффициент проницаемости пласта;
h - мощность пласта;
β - коэффициент упругоёмкости пласта;
β H - коэффициент сжимаемости нефти;
βc - коэффициент сжимаемости среды;
qiq - дебит iq - й скважины;
N q - количество скважин;
m - коэффициент пористости пласта;
0, условие непротекания,
1, третье граничное условие.
δ - функция Дирака, α = 
Для численного решения задачи (2.13)-(2.16) методом конечных
разностей введём следующие безразмерные переменные:
P * = P / P0 ; x * = x / L;
τ=
Здесь
k0t
;
βµ L2
k * = k / k0 ;
q* =
h* = h / h0 ;
qµ
.
π k0 P0h0
P0 - некоторое характерное значение давления;
k0 ˗некоторое характерное значение проницаемости пласта;
h0 ˗некоторое характерное значение мощности пласта, например,
h0 = max ( h ( x, y ) ) ;
L – характерная длина.
В дальнейшем для простоты «*» в уравнениях будем опускать. Тогда с
учётом этого задача (2.13)-(2.16) в безразмерных переменных переписывается
следующим образом:
h( x )
∂P ∂  k ( x ) h ( x ) ∂P 
= 
 −δ q
∂τ ∂x 
∂x 
µ
P ( x, t ) = PH ( x ) при t = 0
(2.17)
(2.18)
51
∂P
= α ( PA − P ) при
∂x
x=0
(2.19)
∂P
= α ( PA − P ) при
∂x
x =1
(2.20)
−
2.3.Конечно-разностный метод для решения одномерной задачи
фильтрации нефти в пористых средах
Для численного решения безразмерная задачи (2.17)-(2.20) область
фильтрации с внешней границей заменяем сеточной областью с равномерным
шагом: ∆x , ∆τ .

1 
Lxτ k = ( xi = i∆x, τ l = l ∆τ ) ; i = 1, N ; l = 0, N τ , ∆τ =
.
N
τ 

Предполагается, что каждая iq - я скважина попадает в узловую точку.
Для
получения
конечно-разностной
задачи
используется
алгоритмическая идея неявной схемы. Тогда уравнения (2.17) можно записать
в виде конечно-разностное уравнение для l+1 -го временного слоя, который
принимает следующий вид:
Pi − Pˆi Ti−0.5 Pi−1 − (Ti−0.5 + Ti +0.5 ) Pi + Ti +0.5 Pi+1
=
− δi qi ,
∆τ
∆x2
(2.21)
где Pˆi – значение давления на l -м временном слое;
Ti = k i hi ; Ti − 0.5 =
Ti −1 + Ti
T + Ti
; Ti + 0.5 = i +1
.
2
2
Для вычисления значения давления с достаточной точностью на l+1 -м
временном слое решаем следующую систему трехточечных уравнений:
( 3 − 2∆xLα ) P0 − 4 P1 + P2 = −2∆xLα PA ,

 ai Pi −1 − bi Pi + ci Pi +1 = − di , i = 1, 2,..., N − 1 ,
 3 − 2∆xLα P − 4 P + P = 2∆xLα P .
) N
N −1
N −2
A
(
52
(2.22)
Здесь
∆x2
ai = Ti−0.5 , bi = Ti−0.5 + Ti+0.5 + ,
∆τ
∆x 2 ˆ
ci = Ti +0.5 , d i =
Pi − δ i q i .
∆τ
Характерным для системы уравнений (2.22 является то, что они имеют
трех диагональную матрицу (на каждой строке или столбце сеточной
области). Это обстоятельство позволяет, при нахождении решения l+1 -м
временном шагах использовать метод прогонки.
Полученные конечно-разностные уравнения (2.22) решаются на
l+1 -м временном слое методом прогонки.
Воспользуемся методом прогонки для решения второго уравнения системы
конечных разностей (2.22). Его численное решение по методу прогонки:
Pi = Ai Pi +1 + Bi
(i = N − 1,...,1)
Здесь Ai , Bi - прогоничные коэффициенты. Они опеределяется по формулы:
Ai =
ci
;
bi + ai Ai −1
Bi =
ai Bi −1 + d i
;
bi + ai Ai −1
Начальные значение прогоночные коэффициенты A0 , B0 определяется
из первых граничных условий:
A0 =
b1 − 4 c1
;
a1 − (3 − 2 ∆ x ) c1
B0 =
d1
.
a1 − (3 − 2 ∆ x ) c1
Определение значение функции давлений Pn осуществляется из граничных
условий на правой части области фильтраци.
PN =
( dN + aN BN −1 ) .
(b
N
− AN −1aN )
Как видно, точность аппроксимации уравнения и граничных условий
имеет порядок O ( ∆τ + (∆x)2 ) .
53
2.4.Аппроксимации граничных условий различного рода
на конечно-разностные
В
процессе
моделирования
поведения
нефтяного
пласта
его
взаимодействие с окружающей областью отражается условиями, заданными
на границах. Необходимо, чтобы граничные условия были сформулированы
и аппроксимировались в соответствии с взаимодействием пласта с его
окружением.
Граничные условия первого рода
При условиях первого рода (условия Дирихле) задают значение U на
границе области. При моделировании нефтяных пластов учитывают условия
Дирихле в том случае, если задается давление на границе пласта или в
скважине.
Граничное условие при x=0 для нестационарного уравнения
U ( 0, t ) = f1 ( t )
(2.23)
Конечно-разностное граничное условие для сетки с распределенными узлами
u0n = f1 ( t n )
n = 0,1.
(2.24)
Уравнение (2.24) используется в том случае, когда нужно учитывать
значение u0n , а для первого узла сетки это уравнение решать не обязательно.
Поэтому первое неизвестное u1 нужно определять во втором узле сетки.
Для блочно-центрированной сетки ближайшая точка расположена на
расстоянии ∆x / 2 от границы и значение u0 должно экстраполироваться в эту
точку. В простейшем случае аппроксимация первого порядка:
u0n = f1 ( t n ) + O ( ∆x ) .
(2.25)
Аппроксимация второго порядка:
1
3u1n − u2n ) = f1 ( t n ) + O ( ∆x 2 ) .
(
2
54
(2.26)
Недостатком данного способа учета граничных условий является то, что
уравнение (2.26) должно быть включено в систему решаемых разностных
уравнений. Поэтому блочно-центрированную сетку иногда модифицируют,
используя полу блоки на границе моделируемой области (фактически на
границах
балочно-центрированная
сетка
преобразуется
в
сетку
с
распределенными узлами).
Граничные условия второго рода
Для уравнения относительно давления условия второго рода (Неймана)
пропорционально расходу через границу области. Они могут быть
использованы при учете дебита скважины, известной величины притока из
водоносного пласта или перетока из частей пласта, находящихся вне
моделируемой области. Иногда поток флюида через границы выражается с
помощью члена источника q(x, t).
Пусть граничные условия при x=0 имеют вид
∂U
= f2 (t ) .
∂x
(2.27)
При использовании внутренних точек сетки производная аппроксимируется с
помощью метода порядка O ( ∆x ) :
f 2 ( t n ) ≃ ( u2n − u1n ) / ∆x.
(2.28
Это грубая аппроксимация для производных на границе, в особенности для
балочно-центрированной сетки.
Широко распространенный метод отражения — метод второго порядка
точности. Граничное условие для уравнения (2.27) дискредитируется с
использованием центральной разности при х=0:
f 2 ( t n ) = ( u2n − u1n ) / 2∆x + O ( ∆x 2 ) .
(2.28)
С помощью формулы (2.28) u0n исключается из разностного уравнения,
записанного для узла x=0.
55
Граничные условия третьего рода
Такие граничные условия возможны при комбинации двух предыдущих
условий
a
∂u u
+ b = f3 ( t ) .
∂x
“Смешанные” граничные условия очень часто встречаются в литературе по
теплопереносу. В задачах о течении жидкостей они возникают в следующей
ситуации.
Рассмотрим пласт I, связанный в точке х=0 с другим пластом, среднее
давление в U II ( t ) изменяется. Влияние второго пласта учитывается с
помощью граничного условия на х=0. Переток флюида из пласта II в I
qII → I ( t ) = b U II ( t ) − u1  ,
где
b
-константа
пропорциональности,
(2.29)
аналогичная
коэффициенту
продуктивности. С другой стороны, внутри пласта I при x → 0 расход
жидкости определяется в соответствии с законом Дарси
qII →I ( t ) = a
∂U
∂x
(2.30)
При комбинации этих двух уравнений имеем граничное условие типа:
a
Для
сетки
с
∂U
+ bU = bU II ( t ) .
∂x
распределенными
узлами
уравнение
может
быть
аппроксимировано посредством
a u2n − U IIn  / 2∆x + bu1n = bU IIn , ,
(2.40)
где использована отраженная точка. В случае блочное-центрированной сетки
возникают трудности при аппроксимации bu в точке х=0; при этом
уравнения становятся более сложными.
56
2.5.Методы решения систем разностных уравнений
Современное
применении
развитие
технологий
вычислительной
параллельного
техники
строится
программирования.
на
Численное
решение дифференциальных уравнений находит свое применение во многих
отраслях
науки.
Неявная
конечно-разностная
аппроксимация
дифференциальных уравнений приводит к необходимости решать систему
линейных алгебраических уравнений вида, где матрица-трех диагональная.
Метод прогонки
Основным
методом
решения
систем
уравнений
с
матрицей
трехдиагонального вида является метод прогонки.
Систему уравнений AX=B можно представить в виде:
ai Pi −1 − bi Pi + ci Pi +1 = − d i , i = 1, 2,..., N − 1,
a0 = 0; c0 = 0.
(2.31)
Метод прогонки является модификацией метода Гаусса, использующий
специальный вид матрицы системы. Алгоритм метода разделяется на прямой
и обратный ход:
1. Прямой ход – вычисляются специальные прогоночные коэффициенты;
2. Обратный ход – вычисляются неизвестные.
Алгоритм метода прогонки можно организовывать разными способами.
Разница в том, как происходит вычисления прогоночных коэффициентов и в
какой порядке находятся неизвестные системы.
Алгоритм правой прогонки:
Прогоночные коэффициенты α и β можно найти последующим формулам:
αi =
( a β + d i ) ; i = 1, 2, 3,..., n − 1
ci
; β i = i i −1
( bi − ai α i −1 )
( bi − ai α i −1 )
(2.32)
Здесь α 0 , β 0 началные значение прогоночнқх коэффициентов определяется
по следующим формулам:
57
α0 =
( b1 − 4c1 ) µ
a1 µ − ( 3µ − 2 ∆ xα ) c1
β0 = −
;
d1 µ
.
a1 µ − ( 3µ − 2 ∆xα ) c1
Определение значение функции давлений PN осуществляется из граничных
условий на правой части области фильтраци
PN =
( dN + aN βN −1 ) .
(b
N
− α N −1aN )
Обратный ход:
Pi = αi Pi+1 + βi ,
(2.33)
Метод встречных прогонок. Выше были получены формулы правой
прогонки для решения конечно-разностной системы (2.31). Аналогично
выводятся формулы левой прогонки:
ξi =
ai
,
ci − biξ i +1
i = N − 1, N − 2, ... , 1,
ξN =
aN
cN
(2.34)
ηi =
f i + η i +1 + bi
,
ci + biξ i +1
i = N − 1, N − 2, ... , 0,
ηN =
fN
cN
(2.35)
i = 0,1, ..., N −1,
P0 = η0
Pi+1 = ξi+1Pi +ηi+1,
(2.36)
Здесь значения Pi находятся последовательно при возрастании индекса i
(слева направо)
Иногда оказывается удобным комбинировать правую и левую
прогонки, получая так называемый метод встречных прогонок. Этот метод
целесообразно применять, если надо найти только одно неизвестное,
например Pm ( 0 ≤ m ≤ N ) или группу идущих подряд неизвестных. Получим
формулы метода встречных прогонок. Пусть 1 ≤ m ≤ N и формулам (2.32),
(2.33), (2.34) найдены
α1, α1,..., αm, β1, β1,..., βm, ξN , ξN −1, ..., ξm , ηN , ηN −1, ...,ηm.
Выпишем формулы (2.33), (2.36) для обратного хода правой и левой
прогонок для i = m − 1. Будем иметь систему
58
Pm−1 = αm Pm + βm ,
Pm = ξm Pm−1 + ηm ,
Из которой найдем Pm:
Pm =
ηm + ξmβm
.
1 − ξ mα m
Используя найденное Pm, по формулам (2.33) для i = m −1, m − 2,..., 0 найдем
последовательно Pm−1, Pm−2 , ..., P0 , а по формулам (2.36) для
i = m, m+1,..., N
вычислим остальные Pm+1, Pm+2 , ... , PN .
Итак, формулы метода встреченных прогонок имеют вид:
αi +1 =
bi
,
ci − aiαi
i = 1, 2, ... , m − 1,
α1 =
b0
c0
βi+1 =
fi + ai βi
,
ci − aiα i
i = 1, 2, ... , m − 1,
β1 =
f0
c0
ai
ξi =
,
ci − biξi+1
i = N − 1, N − 2, ... , m,
f
ξN = N
cN
fi + ηi +1bi
,
ci − biξi +1
i = N − 1, N − 2, ... , m,
ηN =
ηi =
(2.37)
fN
cN
для вычисления прогоночных коэффициентов и
Pi = α i +1 Pi +1 + β i +1 , i = m − 1, m − 2, ... , 0,
Pi +1 = ξ i +1 Pi + η i +1 , i = m, m + 1, ... , N − 1,
η + ξmβm
Pm = m
1 − ξ mα m
(2.38)
для определения решения.
Очевидно, что число действий, затрачиваемое на нахождение решения
задачи (1) по методу встреченных прогонок, такое же, как и для левой или
правой прогонок, т.е. Q≈8N. Заметим, что для частного случая постоянных
коэффициентов ai = bi = 1, ci = c для
i =1, 2,..., N −1
и b0 = aN = 0 число
действий может быть уменьшено, если N – нечетное число, следующим
образом. Пусть N = 2M − 1 . Положим в формулах (2.37), (2.38) метода
59
встречных прогонок m = M . Тогда ξN −i+1 = αi , i = 1, 2, ..., M . Следовательно,
прогоночный коэффициент ξi находить не нужно, и формулы метода
встреченных прогонок будут иметь вид
1
,
c − αi
i = 1, 2, ... , M − 1,
α1 = 0,
β i +1 = ( f i + βi )α i +1 ,
i = 1, 2, ... , M − 1,
β1 =
ηi = ( f i + ηi +1 )α N −i +1 ,
i = N − 1, N − 2, ... , M ,
ηN =
Pi = (α i +1Pi +1 + βi +1 ),
i = M − 1, M − 2, ... , 0,
Pi +1 = (α N −i Pi + ηi +1 ),
i = M , M + 1, ... , N − 1,
α i +1 =
Где PM =
f0
,
c0
fN
,
cN
(η M + α M β M )
.
(1 − α M2 )
Потоковый вариант метода прогонки. Рассмотрим вариант метода
прогонки,
применяемый
при
решении
разностных
задач
с
сильно
меняющимися коэффициентами. Примерами таких задач являются задачи
гидродинамики
параметров
с
теплопроводности
среды.
В
случае
зависят
тепловых
от
задач
термодинамических
могут
иметь
место
адиабатические участки, где теплопроводность бесконечно велика. В
магнитных
задачах
–
соответственно
идеально
проводящие
и
неэлектропроводные участки.
Часто в таких задачах, помимо самого решения, требуется найти
еще и поток тепла (тепловая задача). При решении разностных уравнений
второго порядка, к которым сводятся разностные схемы для этих задач, по
формулам обычной прогонки часто происходит значительная потеря
точности. Последующее использование численного дифференцирования для
60
вычисления
потока
приводит
к
неудовлетворительному
результату.
Избавиться от этого недостатка удается путем перехода к так называемому
потоковому варианту метода прогонки. Формулы для этого варианта
прогонки можно получить в результате преобразования формул обычной
прогонки.
Итак, рассмотрим разностную краевую задачу
1 ≤ i ≤ N−1,
− ai Pi −1 + ci Pi − ai +1 Pi +1 = f i ,
(2.39)
PN − x2 PN −1 = µ2 ,
P0 − x1 P1 = µ1 ,
где
ci = ai + ai+1 + di ,
0 < ai <∞,
i =1, 2, 3,..., N −1,
di > 0,
x1 ≤ 1,
(2.40)
(2.41)
x2 ≤ 1 ,
Формулы правой прогонки для задачи (2.39) с учетом (2.40)
принимают вид
Pi = αi +1Pi+1 + βi +1,
α i +1 =
i = N − 1, N − 2, ... , 0,
α i +1
,
α i +1 + d i + α i (1 − α i )
β i+1 = ( fi + ai β i )
αi +1
ai+1
,
PN =
i = 1, 2, ... , N − 1,
µ2 + x2 β N
1 − x2α N
(2.41)
α 1 = x1
(2.42)
β1 = µ1,
i = 1, 2, ... , N − 1,
(2.43)
Введем новую неизвестную сеточную функция (поток) по формуле
ωi = −ai (Pi − Pi−1),
i =1, 2,..., N,
(2.44)
и перепишем (1) в виде
ωi+1 −ωi + di Pi = fi ,
1≤ i ≤ N −1,
P0 − x1P1 = µ1,
i = 0,
−x2ωN + aN (1− x2 )PN = aN µ2,
i = N.
Из (2.44) найдем
61
(2.45)
P1 = Pi +1 +
1
ω i +1 ,
a i +1
i = 0, 1, ... , N − 1,
и подставим это выражение в (4). В результате найдем соотношение,
связывающее yi+1 и
ωi+1 :
ωi+1 + ai+1 (1 − ai+1 ) Pi+1 = ai+1 β i+1 ,
Вводя обозначения
αi = ai (1 − ai ) βi = ai β i ,
i = 1, 2, ... , N ,
перепишем это соотношение в виде
ωi + α1P1 = β1,
i =1, 2,..., N,
(2.46)
Заметим, что уравнения (2.45), (2.46) образуют алгебраическую
систему, содержащую 2N+1 уравнение относительно 2N+1 не известных
P0, P1,..., PN и ω1, ω2 ,..., ωN . Построим эти системы.
Выразим из (2.46) Pi : Pi = (βi −ωi )/αi , i =1, 2,..., N и подставим в
уравнения системы (2.45) для
ωi =
αi
α i + di
ωi +1 +
i =1,2,..., N . В результате получим уравнения
di βi − α i fi
,
α i + di
i = N − 1, N − 2, ... ,1,
(2.47)
a [(1 − x2 ) β N − α N µ 2 ]
,
ωN = N
(1 − x2 ) aN − α N x2
решая которые последовательно найдем все
Получим теперь уравнения для
.
. Для этого вқразим
из (9):
i =1, 2,..., N. В
ωi = −ωω
i i + ωi , i = 1, 2,..., N и подставим в (2.45) для
результате получим уравнения
α i +1
f − βi +1 + β i
Pi +1 + i
,
α i + di
α i + di
P0 = x1P1 + µ1 ,
x2 β N + aN µ2
PN =
(1 − x2 )aN − α N x2
Pi =
i = N − 1, N − 2, ... , 1,
(2.48)
Для последовательного вычисления
62
Напишем рекуррентные формулы для определения Pi и Pi .
Используя (2.42) и (2.43), найдем
α i+1 = α i+1 (1 − α i+1 ) =
i = 1, 2, ... , N − 1,
β i +1 = ai +1 β i +1 =
α i+1[α i (1 − α i ) + di ]
a (α + di )
= i +1 i
,
α i+1 + di+1 + α i (1 − α i ) αi+1 + αi + di
α i = ai (1 − xi )
a i +1 ( f i + β i )
,
α i +1 + α i + d i
i = 1, 2, ... , N − 1,
β i = a1 µ1
Из условий (2.40), (2.41) и формул (2.49) следует, что
коэффициент
(2.50)
αi ≥0. Тогда
αi / αi + di ** в формуле (2.47) не превосходит единицу, что
обеспечивает устойчивость алгоритма при вычислении
условий
(2.49)
ωi . Далее, так как из
αi ≥0. и di > 0 следует, что ai+1 < ai+1 +αi + di то в силу (2.49)
справедливо неравенство
αi+1 < αi + di . Поэтому коэффициент αi+1 / (αi + di ) в
формуле (2.48) всегда меньше единицы, что обеспечивает устойчивость при
вычислении yi . Отметим, что знаменатель в выражениях для
ωN и y N
всегда больше нуля.
Итак,
алгоритм
метода
потоковой
прогонки
описывается
формулами (10) - (13). Отметим, что указанными рекуррентными формулами
для
αi и βi , а также выражениями для
если ai+1 <1. Если
и
целесообразно пользоваться,
αi+1 ≥ 1, то рекомендуется использовать следующие
формулы, получаемые из (2.47) – (2.50) делением числителя и знаменателя
дробей на αi+1
α i + di
,
1 + (α i + d i ) / α i +1
x β / a + µ2
yN = 2 N N
,
1 − x2 + x2α N / a N
α i +1 =
β i+1 =
ωN =
fi + βi
,
1 + (α i + di ) / α i +1
(1 − x2 ) β N − α N µ 2
.
1 − x2 + x2α N / α N
Подсчитаем число арифметических действий, которое необходимо
затратить для реализации (2.47) – (2.50). При разумной организации
63
вычислений, когда общие для нескольких формул выражения вычисляются
один раз, а общие множители при нескольких слагаемых выносятся за
скобку, число действий для (2.47) – (2.50) составляет Q=21N+1 операция.
Это примерно в 2 раза больше того числа действий, которое нужно было бы
затратить, чтобы по формулам обычной прогонки найти решение pi задачи
(2.39), а затем по формуле (2.46) найти поток
ωi .
2.6.Алгоритм решения одномерной задачи фильтрации нефти
в пористой среде
Рассмотрим
вычислительный
алгоритм
определения
основных
показателей разработки нефтяных месторождений. При этом численная
реализация алгоритма решения задачи для фиксированного временного слоя
осуществляется с помощью следующих шагах:
-вычисляются
коэффициенты
разноcтного
уравнения ai , bi , ci , d i ( i = 2,.., N − 1) ;
-определяются начальные значения прогоночных коэффициентов A0 и
B0 из граничных условий;
-определяются конечные значения функции давления PN из второй
граничных условий;
-вычисляются значения функции давления Pi ( i = N − 1, N − 2,..,1) с
обратной прогонкой.
Эти алгоритмы повторяются на каждом временном слое. При этом,
каждое полученное решение будет служить - начальным условием для
следующего временного шага.
64
2.7.Примеры решения одномерных задач фильтрация нефти
в пористой среде
Для решение краевой задачи (2.13)-(2.16) разработано алгоритм и
программа расчета на программном инструменте MatLab. Численные
результаты расчета приводится в графике визуальном виде.
Для
иллюстрации
приводим
пример
решения
задач,
согласно
изложенной выше методике.
Пример 1. Нефтяная залежь имеет прямоугольную форму. Требуется найти
закон распределения давления в пласте во времени и падение давления в
скважинах. Нефтяная залежь имеется две скважины в ближе центра пласта
по линии координат ox. Они находится в точки x=0.38 и x=0.60 c
одинаковыми[ расходами соответственно: Q1=100 м3/сут.; Q2=100 м3/сут.
Исходные данные для краевой задачи (2.13)-(2.16) следующие:
PH - начальное пластовое давление - 200кг/см2;
µ - динамическая вязкость нефти - 3 спз ;
k - коэффициент проницаемости пласта -0.1 Д.;
h - мощность пласта – 10 м.;
β - коэффициент упругоёмкости пласта – 0.0001 см2/кг;
n - число точек по ox – N=101;
T - время разработки – 360 сутки.
В графике результаты работы программы приведены численные расчеты
распределение давление в пласте и падение давление в скважинах (рис. 2.4).
65
Рис. 2.4. График распределение давление в пласте
и падение давление в скважинах
Пример
2.
Рассмотрим
проницаемости:
k1=0.3
кусочно-неоднородный
0 ≤ x ≤ 0.33;
при
нефтяной
пласт
k2=0.1
по
при
0.33 < x ≤ 0.36; k3=0.3 при 0.36 < x ≤ 1 . Остальные исходные данные
остаётся по прежнему. Результаты численных расчетов приведены в виде
графика (рис. 2.5).
Рис. 2.5. График распределение давление в пласте
и падение давление в скважинах в кусочно-неоднородных средах
при значение динамической вязкости -3 сП
66
Пример
3.
Рассмотрим
проницаемости:
:
кусочно-неоднородный
k1=0.3
0.33 < x ≤ 0.36; k3=0.3 при
при
нефтяной
0 ≤ x ≤ 0.33;
пласт
k2=0.1
по
при
0.36 < x ≤ 1 . В этом примере значение
динамической вязкости нефти
µ = 5сП . Остальные исходные данные
остаётся по прежнему. Результаты численных расчетов приведены в виде
графика (рис. 2.6).
Рис. 2.6. График распределение давление в пласте
и падение давление в скважинах в кусочно-неоднородных средах
при значение динамической вязкости -5 сП
Из этих вычислительных экспериментов можно сделать следующие
рассуждение:
• при увеличение значение динамической вязкости нефти в пласте
расперделение давление будед медленно, а скважинах падение
давление увеличивается (рис. 2.5 и 2.6);
• при увеличение значение коэффициента проницаемости пласта
распределение давления будет быстрее, а скважинах падение давление
уменьшается (рис. 2.4, 2.5 и 2.6).
Математическая модель подтверждает этих рассуждений, поскольку
коэффициент проницаемости прямо пропорционален функции давления и
обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
67
ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ДЛЯ
ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ
НЕУСТАНОВИВЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
(ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА)
3.1.Одномерная задача неустановившейся фильтрация газа
в пористой среде
При решении вопросов проектирования, управления, прогнозирования
и
анализа
разработки
газовых
и
газоконденсатных
месторождений
применение методов математического моделирования, а также современных
компьютерных технологий упрощает решение поставленной задачи и требует
меньше времени. Это даёт возможность ускорить проектирование и анализ
разработки газовых и газоконденсатных месторождений.
Математическая модель процесса нестационарной фильтрации газа в
пористой
среде
описывается
нелинейными
дифференциальными
уравнениями параболического типа и записывается в виде следующей
краевой задачи:
∂  k ( x ) h ( x ) ∂P 2 
∂P
+ Q, 0 < x < L

 = 2amh ( x )
µ
∂x 
∂x 
∂t
(3.1)
P ( x ) = PH ( x ) при t = 0,
(3.2)
−
k ( x ) h ( x ) ∂P ( x, t )
µ
∂x
k ( x ) h ( x ) ∂P ( x, t )
µ
∂x
= α ( PA − P ) при x = 0,
= α ( PA − P )
при x = L .
Здесь
P - давление в пласте;
PH - начальное пластовое давление;
PA - приграничное давление;
68
(3.3)
(3.4)
µ - динамическая вязкость газа;
k - коэффициент проницаемости пласта;
h - мощность пласта;
qiq - дебит iq - й скважины;
N q - количество скважин;
m - коэффициент пористости пласта;
δ - функция Дирака,
0, условие непротекания,
1, массаобмен в границе.
α =
a - коэффициент насыщенности газа.
Для численного решения задачи (3.1)-(3.2) сначала переходим к
безразмерным переменным по следующим формулам:
P* = P / P0 ; x* = x / L;
τ =
k 0 P0 t
;
am µ L2
k * = k / k0 ;
q* =
h* = h / h0 ;
Pam q µ
.
π k 0 P02 h0
Здесь P0 – характерное значение давления в области газоносности;
k0 – характерное значение проницаемости пласта; h0 – характерное значение
мощность пласта; L – характерная длина.
Тогда задача (3.1)-(3.4) записывается в безразмерной форме в
следующем виде:
∂  ∂P 2 
∂P
при 0 < x < 1,
 kh
=h
∂x 
∂x 
∂τ
(3.5)
P ( x, t0 ) = PH ( x ) при t = 0,
(3.6)
−k ( x ) h ( x )
k ( x) h ( x)
∂P ( x, t )
∂x
∂P ( x, t )
∂x
= α ( PA − P ) при x = 0,
= α ( PA − P ) при x = 1,
69
(3.7)
(3.8)
Так как задача (3.5)-(3.8) описывается с помощью нелинейного
дифференциального уравнения, для ее решения используем конечноразностный метод совместно итерационном методам.
3.2.Численное решение задачи фильтрации газа в пористой среде
Для перехода от дифференциальной задачи к разностной построим
следующие сетки:

1 
Lxτ = ( xi = i∆x, τ = l ∆τ ) ; i = 1, N , l = 0, N τ , ∆τ =
,
Nτ 

где N –число узлов на прямой
xi ; ∆x – шаг сетки.
Тогда используемую для дифференциального уравнения в частных
производных (3.5) описывающую процесс фильтрации, в области уравнений
можем заменить следующим разностным соотношением для l+1 временного
шага:
Pi − Pˆi Ti −0.5 Pi −21 − (Ti −0.5 + Ti +0.5 ) Pi 2 + Ti +0.5 Pi +21
=
− δ i qi .
∆t
∆x 2
(3.9)
Здесь Pˆi – значение давления газа на l -м временном слое
Ti −0.5 = ki −0.5 hi −0.5 , Ti + 0.5 = ki + 0.5 hi + 0.5 .
Очевидно, что полученные разностные уравнения относительно
функции давления P нелинейные. Поэтому для решения применяется
итерационный метод, основанный на методе квазилинеаризации нелинейных
членов [5]. Согласно, методу нелинейные члены разностного уравнения (3.9)
представляются в таком виде:
( ) (
ψ ( P ) ≅ ψ Pɶ + P − Pɶ
)
( ).
∂ψ Pɶ
∂P
(3.10)
Здесь Pɶ – приближенное значение функции P, которое уточняется в
(s)
(0)
процессе итерации Pɶ = Pi , при этом Pi = Pˆi .
70
Если формулу (3.10) запишем для квадрата функции давления
ɶ − Pɶ 2 , тогда вместо конечно-разностного уравнения (3.9) получим
P 2 ≈ 2 PP
следующее уравнение:

∆x 2 
ɶ
ɶ
2Ti −0.5 Pi −1Pi −1 −  2 (Ti −0.5 + Ti +0.5 ) Pi +
Pi + 2Ti +0.5 Pɶi +1Pi +1 =

∆τ 

∆x 2 ˆ
2
2
2
ɶ
ɶ
ɶ
= Ti −0.5 Pi −1 − (Ti −0.5 + Ti + 0.5 ) Pi + Ti +0.5 Pi +1  −
Pi − ∆x 2δ i qi .
∆τ
Здесь Pi −1 , Pi , Pi +1 – значения функции давления l+1 -м временном слое;
P i −1 , P i , P i +1 –приближенные значения функции давления; Pˆi
- значения
функции давления l -м временном слое.
Отсюда получим следующие трёхточечные разностные уравнения для
l+1 -го временного слоя:
 ( 3 − 2 ∆ xLα ) P0 + 4 P1 − P2 = 2 ∆ xα LPA ,

 ai Pi −1 − bi Pi + ci Pi +1 = − d i при i = 1, 2,..., N − 1,
 3 − 2 ∆ xLα P + 4 P − P = − 2 ∆ xα LP ;
) N
N −1
N −2
A
(
(3.11)
∆x
,
ci = 2Ti +0.5 Pɶi +1, bi = ai + ci −
∆τ
2
где ai = 2Ti −0.5 Pɶi −1 ,
∆x 2 ɶ
di =
Pi − Ti −0.5 Pɶ i2−1 − (Ti −0.5 + Ti +0.5 ) Pɶ i2 + Ti +0.5 Pɶ i2+1  − ∆x 2δ i qi .
∆τ
Полученные конечно-разностные уравнения (3.11) решаются на
l+1 -м временном слое методом прогонки.
Воспользуемся методом прогонки для решения второго уравнения системы
конечных разностей (3.11). Его решение по методу прогонки представляется
в виде:
Pi = Ai Pi +1 + Bi
(i = N − 1,...,1)
Здесь Ai , Bi - прогоничные коэффициенты. Они опеределяется по формулы:
Ai =
ci
;
bi + ai Ai −1
Bi =
71
ai Bi −1 + d i
;
bi + ai Ai −1
Начальные значение прогоночные коэффициенты A0 , B0 определяется
из первых граничных условий:
A0 =
b1 − 4 c1
;
a1 − (3 − 2 ∆x )c1
B0 =
d1
.
a1 − (3 − 2 ∆x )c1
Определение значение функции давлений Pn осуществляется из граничных
условий на правой части области фильтраци.
PN =
( d N + aN BN −1 ) .
(b
N
− AN −1aN )
Как видно, точность аппроксимации уравнения и граничных условий имеет
порядок O ( ∆τ + ∆x 2 ) .
Итерационной процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится
условие
max | Pi ( s ) − Pi ( s −1) |≤ ε ,
i
где
ε – точность итерации, заранее заданная малая величина;
s – номер итерации.
На основе численной модели разработаны алгоритм и программа
расчета, с помощью которых проведен ряд вычислительных экспериментов
на ЭВМ для исследования процессов фильтрации газа в пористой среде.
3.3.Метод линеаризации нелинейность задачи фильтрации газа в
пористой среде
Итерирование нелинейных членов. В некоторых случаях способ
учета нелинейности исходного дифференциального уравнения сказывает
значительное влияние на точность получаемого решения.
В рассмотренном алгоритме осуществлена линеаризация полученной
на l+1 -м временом слое системы нелинейных алгебраических уравнений,
при вычислении коэффициентов, определяющих нелинейность системы
72
алгебраических уравнений, использованы давления в
i-х точках в l -й
момент времени.
Согласно, методе квазилинеаризации нелинейных членов разностного
уравнения представляются в таком виде:
( ) (
ψ ( P ) ≅ ψ Pɶ + P − Pɶ
)
( ).
∂ψ Pɶ
∂P
Здесь Pɶ – приближенное значение функции P, которое уточняется в
(s)
( 0)
процессе итерации Pɶ = Pi , при этом Pi = Pˆi .
При более точном учете нелинейности проводится итерирование
(уточнение) нелинейных членов на каждом временном слое. При расчетах в
первом приближении нелинейные члены в (l+1) – й
принимаются (или вычисляются)
момент времени
по данным решения задачи на l -м
временном слое. Затем определяется приближенное решение на (l+1)-й
момент времени. Во втором пиближении для вычисления нелинейных членов
используется решение задачи, полученное на (l+1)-м слое. С уточненными
значениями нелинейных членов вновь отыскивается решение на (l+1)-й
момент времени и т.д. Итерационнқй прцесс продолжается до выполнения
следуюшего неравенства:
max | Pi ( s ) − Pi ( s −1) |≤ ε .
i
Здесь - заданная точность итерации.
(0)
Начальные приближенного значения функции давления Pi берутся из
начальных условий. При выполнения условия итерации последние значение
функции давления будут искомое приближенное решение на l+1 –м
временном слое и она будет начальное приближенное значения для l+2 –м
временного слоя и т.д.
73
3.4.Алгоритм решения задачи фильтрации газа в пористой среде
Рассмотрим
вычислительный
алгоритм
определения
основных
показателей разработки газовых месторождений. При этом численная
реализация алгоритма решения задачи для фиксированного временного слоя
осуществляется на следующих шагах:
-вычисляются
коэффициенты
разноcтного
уравнения ai , bi , ci , d i ( i = 2,.., N − 1) ;
-определяются начальные значения прогоночных коэффициентов A0 и
B0 из граничных условий;
- вычисляются значения прогоночных коэффициентов
Ai и Bi
(i=1,2,…,N-1);
-определяются конечные значения функции давления PN из второй
граничных условий;
-вычисляются значения функции давления Pi ( i = N − 1, N − 2,..,1) с
обратной прогонкой.
-проверка итерационного процесса. Если итерационный процесс
выполняется то переход осуществляется на следующий временной слой. В
противном случае повторяется.
Эти алгоритмы повторяются на каждом временном слое. При этом,
каждое полученное решение будет служить - начальным условием для
следующего временного шага.
3.5.Примеры решения задачи фильтрация газа в пористых средах
Для решение краевой задачи (3.1)-(3.4) разработано алгоритм и
программа расчета на программном инструменте MatLab. Численные
результаты расчета приводится в графике визуальном виде.
74
Для
иллюстрации
приводим
пример
решения
задач,
согласно
изложенной выше методике.
Пример 1. Газовая залежь имеет прямоугольную форму. Требуется найти
закон распределения давления в пласте во времени и падение давления в
скважинах. Нефтяная залежь имеется две скважины в ближе центра пласта по
линии координат x. Они находится в точки x=0.38 и x=0.60 c одинаковыми[
расходами соответственно: Q1=100000 м3/сут.; Q2=100000 м3/сут.
Исходные данные для краевой задачи (3.1)-(3.4) следующие:
PH - начальное пластовое давление - 300кг/см2;
µ - динамическая вязкость нефти – 0.01 спз;
k - коэффициент проницаемости пласта -0.2 Д.;
m - коэффициент пористости пласта -0.1.;
h - мощность пласта – 10 м.;
n - число точек по ox – N=101;
L – длина пласта -10000 метр;
T - время разработки – 1080 сутки.
В графике результаты работы программы приведены численные расчеты
распределение давление в пласте и падение давление в скважинах при
различных моментах времени 360, 720 и 1080 суток (рис. 1.1).
75
Рис. 1.1. График распределение давление в пласте
и падение давление газа в скважинах
Пример 2. Рассмотрим газовой пласт проницаемости k=0.2, динамический
вязкости µ = 0.001сП . Остальные исходные данные остаётся по прежнему.
Результаты численных расчетов приведены в виде графика (рис. 1.2).
Рис. 1.2. График распределение давление в пласте
и падение давление в скважинах при значение
динамической вязкости µ = 0.001сП
76
Пример 3. Рассмотрим разно дебитный газовой залежь проницаемости k=0.2,
динамический вязкости
µ = 0.005сП . Дебиты скважины c расходами
соответственно: Q1=100000 м3/сут.; Q2=70000 м3/сут. Скважины расположены
в точках 40 и 60. Остальные исходные данные остаётся по прежнему.
Результаты численных расчетов приведены в виде графика (рис. 3.3).
Рис. 1.3. График распределение давление в пласте
и падение давление в скважинах
Q1=100000 м3/сут.; Q2=70000 м3/сут.
Из этих вычислительных экспериментов можно сделать следующие
рассуждение: при малых значениях динамической вязкости газа в пласте
расперделение давление будед быстрее, а скважинах падение давление
уменьшается (рис. 1.1 и 1.2); Это обусловливается поток газа к скважины
будет быстрее и в около скважины газ наполняется быстро.
77
ГЛАВА IV. МНОГОМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
В
качестве
показателей
разработки
нефтяных
или
газовых
месторождений используется достаточное число параметров пласта. Из них
более важными показателями разработки являются следующие: 1) изменения
во времени пластового и забойного давления; 2) изменения во времени
дебитов скважин; 3) потребное число скважин и их изменения во времени.
Эти показатели можно определить применением математического
моделирования и численного интегрирования дифференциального уравнения
неустановившейся фильтрации нефти или газа в пористой среде при
соответствующих краевых условиях, адекватно описывающих процесс в
целом.
В
связи
со
сложностью
и
нелинейностью
двумерных
дифференциальных уравнений фильтрации нефти и газа в настоящее время
не представляется возможным получить необходимые аналитические
решения. Поэтому, для расчета показателей разработки нефтяных и газовых
месторождений
были
предложены
различные
численные
методы,
вычислительные алгоритмы и их программные средства для проведения ВЭ
на ЭВМ. При этом использование ЭВМ и применение соответствующих
эффективных
численных
методов
позволяют
получить
достоверные
численные результаты.
Проведение натурных экспериментов в реальном масштабе времени по
фильтрации жидкостей и газов в пористой среде очень трудоёмкая работа и
требует больших затрат. Иногда проведение натурных экспериментов
невозможно. В этих случаях для изучения объекта необходимо применить
численное моделирование с использованием эффективных численных
методов
и
современной
компьютерной
технологии
разработанных вычислительных алгоритмов решения задач.
78
для
реализации
При этом использование современных численных методов, а также
разработка программного обеспечения для проведения исследования и
анализа основных показателей нефтяных и газовых месторождений экономит
время экспериментов.
4.1.Двумерная математическая модель фильтрации нефти
в пористой среде
Рассмотрим
нестационарный
процесс
фильтрации
нефти
в
неоднородной пористой среде в двумерной постановке. Произвольность
конфигурации месторождения и изменение параметров пласта по площади
залежи, неравномерность расположения нефтяных скважин на площади
нефтеносности и их разнодебитность не являются ограничивающими
факторами для использования численного моделирования при расчетах по
разработке месторождений нефти. При численном моделировании учет этих
факторов представляет существенные трудности для расчетов на ЭВМ по
разработке месторождений нефти и газа со сложной конфигурацией и
изменяющимися гидродинамическими параметрами объекта.
Проведенные исследования процесса фильтрации сильнозагрязнённой
нефти в пористых средах показали, что при интенсивной работе галереи
скважин в забойных зонах происходит закупоривание порового пространства
мелкодисперсными частицами. Тем самым снижается нефтеотдача пластовых
систем. Очевидно, что указанное явление играет существенную роль в
процессе фильтрации нефти в пористых средах. Поэтому была разработана
математическая
модель, учитывающая
такие
факторы, как
скорость
осаждения мелкодисперсных частиц, изменение коэффициента пористости и
фильтрации по времени.
79
С учетом указанных выше факторов неустановившаяся фильтрация
нефти
в
неоднородной
пористой
среде
описывается
следующим
дифференциальным уравнением:
β h ( x, y )
∂P ∂  k ( x , y ) h ( x , y ) ∂P  ∂  k ( x , y ) h ( x , y ) ∂P 
=

+ 
−Q
µ
µ
∂t ∂x 
∂x  ∂y 
∂y 
(4.1)
При определении основных показателей разработки месторождений
нефти дифференциальное уравнение (4.1) решаем при следующих начальных
и граничных условиях:
P ( x, y ) = PH ( x, y ) ,
при t = 0,
k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P
= α ( PA − P ) при
( x, y ) ∈Γ,
µ
∂n
k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P
ds = − qiq ( t ) при ( x, y ) ∈ siq , iq = 1, N q .
∂n
µ
(4.2)
−
∫
siq
Nq
Q = ∑ δi, j qi, j
i , j =1
Здесь P -давление в пласте;
PH -начальное пластовое давление;
PA -приграничное давление;
µ -динамическая вязкость нефти;
k -коэффициент проницаемости пласта;
h -мощность пласта;
β -коэффициент упругоёмкости пласта β = mβH + βc.;
β H -коэффициент сжимаемости нефти;
βc -коэффициент сжимаемости среды;
qiq -дебит iq - й скважины;
si -контур iq- й скважины;
q
80
(4.3)
n -внутренняя нормаль к границе Г;
N q -количество скважин;
m -коэффициент пористости пласта;
δ -функция Дирака;
0, условие непротекания,
1, третье граничное условие.
α =
Для численного решения задачи (4.1)-(4.3) методом конечных
разностей введём следующие безразмерные переменные:
P* = P/ P0; x* = x / L; y* = y / L; k* = k / k0; h* = h/ h0;
τ =
Здесь
характерное,
k0t
;
βµ L2
q* =
qµ
.
π k 0 P0 h0
P0 - некоторое характерное значение давления; k0 ˗ некоторое
например,
начальное
значение
проницаемости
пласта;
h0 ˗ некоторое характерное значение мощности пласта, например,
h0 = max ( h ( x, y ) ) ; L – характерная длина.
В дальнейшем для простоты «*» в уравнениях будем опускать. Тогда с
учётом этого задача (4.1)-(4.3) в безразмерных переменных переписывается
следующим образом:
 ∂P
∂ 
∂P  ∂ 
∂P 
=
h
 k ( x, y ) h ( x, y )
−Q
 k ( x, y ) h ( x, y )
+
∂x  ∂ y 
∂y 
 ∂τ ∂x 
(4.4)
P ( x, y ) = PH ( x, y ) при t = 0, ( x, y ) ∈G,
(4.5)
− k ( x, y ) h ( x , y )
∫
siq
∂P
= α ( PA − P ) при
∂n
k ( x , y ) h ( x , y ) ∂P
ds = − qiq ( t ) при
µ
∂n
( x, y ) ∈ Γ,
( x, y ) ∈ si
q
, iq = 1, N q .
(4.6)
(4.7)
Разработанная безразмерная краевая задача (4.4)-(4.7) фильтрации нефти в
пористой среде описывающим дифференциальных уравнений в частных
81
производных с краевыми условиями решается с помощью продольнопоперечного метода.
4.2.Продольно-поперечный метод для решения задач фильтрации
нефти неоднородных пористых средах
Для численного решения задачи (4.4)-(4.7) область фильтрации G с
внешней границей Г покроем квадратной сеточной областью с равномерным
шагом ∆h = ∆hx = ∆hy :

1 
Ω xyτ = ( xi = i∆x, y j = j∆y , τ = l ∆τ ) ; i = 1, N ; j = 1, M , l = 0, N τ , ∆τ =
.
Nτ 

Предполагается, что каждая iq - я скважина с своим контуром siq
попадает в узловую точку.
Для
получения
конечно-разностной
задачи
используется
алгоритмическая идея неявной схемы для переменных направлений
(продольно-поперечная метод). Переход от l - го временного слоя к слою l+1
совершается в два этапа с шагом 0.5∆τ . В результате получается
последовательное решение двух систем конечно-разностных уравнений.
Первое конечно-разностное уравнение для l+0.5 -го слоя для внутренних
узлов принимает следующий вид:
Pi , j − P i , j
∆τ / 2
+
=
Ti − 0.5, j Pi −1, j − (Ti − 0.5, j + Ti + 0.5, j ) Pi , j + Ti + 0.5, j Pi +1, j
∆x 2
Ti , j − 0.5 P i , j −1 − (Ti , j − 0.5 + Ti , j + 0.5 ) P i , j + Ti , j + 0.5 P i , j +1
∆y 2
82
+
− δ i , j qi , j ,
где
P i , j – значение давления на l -м временном слое; Pi, j – значение
давления на l+0.5 -м временном слое; Ti , j = ki , j hi , j ;
Ti + 0.5, j =
Ti , j + Ti +1, j
2
; Ti, j −0.5 =
Ti, j −1 + Ti, j
2
; Ti , j +0.5 =
Ti, j + Ti, j +1
2
Ti −0.5, j =
Ti −1, j + Ti , j
2
;
.
Для вычисления значения давления Pi , j с достаточной точностью на
l+0.5 -м временном слое для каждой прямой x = xi решаем следующую
систему трехточечных уравнений:
( 3 − 2∆xLα ) P0, j − 4 P1, j + P2, j = −2∆xLα PA ,

ai Pi −1, j − bi Pi , j + ci Pi +1, j = −di , i = 1, 2,..., N − 1,

( 3 − 2∆xLα ) PN , j − 4 PN −1, j + PN −2, j = 2∆xLα PA .
Здесь
ai = Ti −0.5, j , bi = Ti −0.5, j + Ti+0.5, j +
∆x 2
,
∆τ / 2
(4.8)
ci = Ti+0.5, j ,
∆x2
∆x2
di = 2 (Ti, j −0.5 Pi, j −1 − (Ti , j −0.5 + Ti , j +0.5 ) Pi, j + Ti , j +0.5 Pi , j +1 +
Pi, j − ∆x2δi , j qi , j .
∆y
∆τ / 2
Второе уравнение системы (4.8) получено из конечно-разностных
уравнений, а остальные – путем аппроксимации с учетом граничных условий
(4.6) на границе области фильтрации со вторым порядком точности
аппроксимации.
Система (4.8) решается методом прогонки при 2 ≤ j ≤ Mi −1 .
Запишем аналогичное конечно-разностное уравнение для l+1 -го
временного слоя:
Pi , j − Pi , j
∆τ / 2
+
=
Ti − 0.5, j Pi −1, j − (Ti − 0.5, j + Ti + 0.5, j ) Pi , j + Ti + 0.5, j Pi +1, j
∆x 2
Ti , j − 0.5 Pi , j −1 − (Ti , j − 0.5 + Ti , j + 0.5 ) Pi , j + Ti , j + 0.5 Pi , j +1
∆y 2
83
+
где Pi , j – значение давления на l+0.5 -м временном слое; Pi , j – значение
давления на l+1 -м временном слое.
Из конечно-разностного уравнения и аппроксимации граничных
условий (4.6) со вторым порядком точности получаем следующую систему
трехточечных уравнений:
( 3 − 2∆yα L ) Pi ,0 − 4 Pi ,1 + Pi ,2 = −2∆yα LPA ,

a j Pi , j −1 − b j Pi , j + ci Pi , j +1 = −d j , j = 1, 2,..., M − 1,

( 3 − 2∆yα L ) Pi , M − 4 Pi , M −1 + Pi , M −2 = 2∆yα LPA .
(4.9)
∆y 2
, c =T
,
Здесь a j = Ti, j −0.5 , b j = Ti , j −0.5 + Ti , j +0.5 +
∆τ / 2 j i, j +0.5
∆y 2
∆y 2
d j = 2 (Ti − 0.5, j Pi −1, j − (Ti − 0.5, j + Ti + 0.5, j ) Pi , j + Ti + 0.5, j Pi +1, j ) +
Pi , j − ∆y 2δ i , j qi , j .
∆x
∆τ / 2
Характерным для системы уравнений (4.8) и (4.9) является то, что они
имеют трехдиагональную матрицу (на каждой строке или столбце сеточной
области). Это обстоятельство позволяет, при нахождении решения, на
промежуточном и l+1 -м временном шагах использовать метод прогонки.
Таким образом, продольно-поперечного метода решаются
конечно
разностных
уравнений
(4.8)
и
(4.9).
При
этом
системы
сначала
осуществляется прогонка на каждой строке сеточной области вдоль оси O x
и получается промежуточное решение задачи на l+0.5 -м временном слое.
После этого, таким же образом решается конечно разностная система
уравнений
(4.9).
Здесь
получаемое
решение
является
искомым
и
соответствует l+1 -му моменту времени, а точность аппроксимации
составляет O ( ∆ τ + ∆ x 2 + ∆ y 2 ) .
84
4.3.Численный алгоритм решения задачи фильтрация нефти
в пористых средах
Двумерная краевая задача фильтрации нефти (4.1)-(4.3) в пористой
среде легко преобразуется в конечно-разностную задачу с помощью
продольно-поперечной схемы и решается методам прогонки.
Рассмотрим
вычислительный
алгоритм
определения
основных
показателей разработки нефтяных месторождений для произвольной области
фильтрации. При этом численная реализация алгоритма решения задачи для
фиксированного временного слоя осуществляется на следующих этапах.
Первый этап алгоритма вычислений основных показателей разработки
нефтяного месторождения осуществляется вычислением значений функции
давления на l+0.5 -м временном слое по направлению переменной x при
фиксированной переменной y. При этом применяется метод прогонки по
направлению переменной x, а вычисление осуществляется следующим
образом:
- определяются начальные значения прогоночных коэффициентов α0 и
β0 из граничных условий левой части дискретной области фильтрации, т.е. из
первого уравнения трехточечной системы уравнений (4.9);
-
вычисляются
коэффициенты
ai , bi , ci , di ( i = 2,.., N − 1)
второго
трёхточечного разноcтного уравнения (4.9);
- вычисляются значения прогоночных коэффициентов α0 и
β0
( i = 1,2,.., N − 1) ;
- определяются конечные значения функции давления
PN , j
из
граничных условий правой части дискретной области фильтрации согласно
результатам прогонки и третьего уравнения (4.9);
- вычисляются значения функции давления
обратной прогонкой.
85
Pi , j ( i = N − 1, N − 2,..,1)
Второй этап алгоритма составляется аналогичным образом для l+1 -го
временного слоя по направлению переменной y при фиксированном значении
переменной x .
Эти алгоритмы первого и второго этапов повторяются на каждом
временном слое. При этом, каждое полученное решение будет служить начальным условием для следующего временного шага.
4.4.Численное моделирование задач фильтрации нефти в пористой среде
методом покоординатного расщепления
Реальные физические процессы протекают во времени и пространстве,
имеющем три измерения. При построении разностных схем переход к
многомерным
задачам
фильтрации
не
вызывает
принципиальных
трудностей. Однако число неизвестных в системе разностных уравнений
значительно возрастает, увеличивается число арифметических операций,
необходимых для ее решения.
Рассмотрим безразмерная уравнения фильтрации нефти в пористых
средах.
∂P* ∂ 2 P* ∂ 2 P*
= *2 + *2 − q*.
∂τ
∂x
∂y
Где P* = P / P0 ; x* = x / L; y* = y / L;
(4.10)
τ =
k 0t
;
βµ L2
q* =
qµ
.
π k 0 P0 h0
Далее опускаем (*).
Здесь P0 - некоторое характерное значение давления; k0 ˗ некоторое
характерное,
h0
например,
начальное
значение
проницаемости
пласта;
˗ некоторое характерное значение мощности пласта, например,
h0 = max ( h ( x, y ) ) ; L – характерная длина.
86
Часто бывает удобно уравнение (4.10) записать в операторной форме.
Введем обозначение:
∂2
∂2
Lx = 2 , Ly = 2 ,
∂x
∂y
тогда уравнение (3.1) перепишется в виде:
∂P
= Lx P + Ly P − q.
∂τ
Введем разностную сетку с шагами ∆x, ∆y, ∆τ по переменным x, y,
τ соответственно. Примем обозначения:
Pi l, j = P( i∆x, j∆y ,l ∆τ ).
Pi+l 1, j − 2 Pi l, j + Pi −l 1, j
ΛxP =
l
∆x 2
Pi l, j +1 − 2 Pi l, j + Pi l, j −1
ΛyP =
l
∆y 2
,
.
Для задачи (4.10) запишем две схемы:
Pi l, +j 1 − Pi l, j
∆τ
Pi l, +j 1 − Pi l, j
∆τ
= Λ x P l + Λ y P l − δ qil, j ,
(4.11)
= Λ x P l +1 + Λ y P l +1 − δ qil, j .
(4.12)
Первая схема (4.11) явная, в которой Pi l, +j 1 определяется через пять
значений P на нижнем временном слое. Она устойчива при ∆τ / h 2 < 1 / 4.
Для вычисления Pi l, +j 1 требуется много процессорного времени, поэтому схема
(4.11) является малоэффективной.
87
Вторая схема (4.12) неявная. Она устойчива при любых ∆x, ∆y, ∆τ , но
для
Pi l, +j 1
вычисления
использованием
необходимо
матричной
решать
прогонки,
систему
требующей
уравнений
большого
с
объема
вычислений.
Для решения многомерных задач математической физики применяются
разностные методы, основанные на методе дробных шагов. Такие схемы
обладают свойством абсолютной устойчивости и для перехода с одного
временного слоя на другой требуют числа арифметических операций
пропорционального числу узлов разностной сетки. Такая экономичность
разностных схем достигается благодаря тому, что решение сложной
многомерной задачи сводится к решению ряда одномерных, решаемых
методом прогонки.
Метод покоординатного расщепления. Рассмотрим вариант метода
дробных шагов - метод покоординатного расщепления на примере решения
двумерного уравнения теплопроводности (4.10). Рассмотрим промежуток
времени
∆τ = τ n +1 − τ n . и условно разделим процесс распространения
давления в направлению (x,y) на два этапа. На первом этапе будем считать,
что давления жидкости пористой среде распространяется только в
направлении оси x, на втором - в направлении у. С учетом этой гипотезы
разностная схема запишется в виде:
Pi l, +j 0.5 − Pi l, j
=
∆τ
Pi l, +j 1 − Pi l, +j 0.5
∆τ
=
Pi −l +10, j.5 − 2 Pi l, +j 0.5 + Pi +l +10, j.5
∆x 2
Pi l, +j −11 − 2 Pi l, +j 1 + Pi l, +j +11
∆y
2
,
− δ qil, j ,
(4.13)
(4.14)
или в операторной форме:
Pi l, +j 0.5i , j − Pi l, j
∆τ
Pi l, +j 1 − Pi ,jj+0.5
∆τ
= Λ x P l +0.5 ,
= Λ y P l +1 − δ qil, j
88
(4.15/)
(4.16/)
Разностная схема (4.15) - (4.16) позволяет по известным значениям Pi l, j
в два этапа определить Pi l, +j 1 . На первом этапе по заданным Pi l, j вычисляются
Pi l, +j 0.5 , на втором - по полученным Pi l, +j 0.5 вычисляются Pi l, +j 1 . Разностная схема
(4.15) - (4.16) неявная по обоим направлениям, абсолютно устойчивая,
решается методом прогонки. Разностная схема (4.13) - (4.14) аппроксимирует
исходную задачу с погрешностью порядка O(( ∆τ ) + ∆x 2 + ∆y 2 ).
Алгоритм
решения
состоит
в
последовательности
следующих
действий:
1.Решаем уравнения (4.15) методом прогонки, вдоль x, для j = 1,2,3,...,M -1.
В результате во всех внутренних точках i,j будут определены Pi l, +j 0.5 . На
границе Pi l, +j 0.5 определяются граничным условием.
2.Решаем уравнения (4.16) методом прогонки, вдоль у, для i= 1,2,3,...,N-1. В
результате во всех внутренних точках i,j будут определены Pi l, +j 1 . На границе
Pi l, +j 1 определяются граничным условием.
Для определения поля давлений на последующем временном слое
повторяем вычисления по п. 1, 2.
4.5.Двумерная математическая модель фильтрации газа
в пористых средах
При решении вопросов проектирования, управления, прогнозирования
и
анализа
разработки
газовых
и
газоконденсатных
месторождений
применение методов математического моделирования, а также современных
компьютерных технологий упрощает решение поставленной задачи и требует
меньше времени. Это даёт возможность ускорить проектирование и анализ
разработки газовых и газоконденсатных месторождений.
89
Математическая модель процесса нестационарной фильтрации газа в
пористой
среде
описывается
нелинейными
дифференциальными
уравнениями параболического типа и записывается в виде следующей
краевой задачи:
∂  k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P 2  ∂  k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P 2 
∂P
+Q

+ 
 = 2amh ( x, y )
µ
µ
∂x 
∂x  ∂y 
∂y 
∂t
(4.17)
при ( x, y) ∈G,
P( x, y) = PH ( x, y) при t = 0,
−
( x, y) ∈G;
k ( x, y ) h ( x, y ) ∂P ( x, y, t )
= α ( PA − P ) при
µ
∂n
(4.18)
( x, y ) ∈Γ,
(4.19)
k ( x, y ) h ( x, y ) P ∂P
ds = −qiq ( t ) при ( x, y ) ∈ siq , iq = 1, 2...
∫siq
Pат ∂n
µ
Pат газа; a
Здесь
вязкости
(4.20)
атмосферное давление; µ - коэффициент динамической
- консентрация в газовой фазе. Остальные обозначения
приведены в предыдущем параграфе.
Для численного решения задачи (4.17)-(4.20) сначала переходим к
безразмерным переменным по следующим формулам:
P * = P / P0 ; x * = x / L;
τ=
y * = y / L;
k0 P0t
;
amµ L2
q* =
k * = k / k0 ;
h* = h / h0 ;
Pam qµ
.
π k0 P02 h0
Здесь P0 – характерное значение давления в области газоносности;
k0
– характерное значение проницаемости пласта;
h0
– характерное значение
мощность пласта; L – характерная длина.
Тогда задача (4.17)-(4.20) записывается в безразмерной форме.
Пропуская «*», запишем ее в следующем виде:
∂  ∂P 2
 kh
∂x 
∂x
 ∂  ∂P 2
 +  kh
∂y
 ∂y 

∂P
+ q при ( x , y ) ∈ G ,
=h
∂
τ

90
(4.21)
P ( x, y, t0 ) = PH ( x, y ) при t = 0,
− k ( x, y ) h ( x, y )
∫
siq
( x, y ) ∈ G ,
∂P ( x, y, t )
= α ( PA − P ) при
∂n
k ( x, y ) h ( x, y ) P
∂P
ds = − qiq ( t ) при
∂n
(4.22)
( x, y ) ∈ Γ,
( x, y ) ∈ si
q
iq = 1, 2...
(4.23)
(4.24)
Так как задача (4.21)-(4.24) описывается с помощью нелинейного
дифференциального уравнения, для ее решения используем конечноразностный метод. При этом, для получения разностной задачи используется
алгоритмическая идея неявной схемы переменных направлений [3] и
алгоритм метода прогонки по каждому направлению.
Для перехода от дифференциальной задачи к разностной области
фильтрации G+Г поставим в соответствие сеточную область, построенную
следующим образом:

1
Ωxyτ = ( xi = i∆x, y j = j∆y, τl = l ∆τ ) ; i = 1, N; j = 1, M, l = 0, Nτ , ∆τ = ,
Nτ 

где N – число узлов на прямой yj ; M – число узлов на прямой
xi ;
∆x, ∆y – шаги сетки.
Тогда схему переменных направлений по переменной х, используемую
для дифференциального уравнения в частных производных (4.21) и
описывающую процесс фильтрации, в области уравнений можем заменить
следующим разностным соотношением для τ + 0.5 -го временного шага:
Pi , j − Pˆi , j
∆τ / 2
=
Ti − 0.5, j Pi−21, j − (Ti − 0.5, j + Ti + 0.5, j ) Pi ,2j + Ti + 0.5, j Pi+21, j
+
∆x 2
Ti , j −0.5 Pˆi ,2j −1 − (Ti , j −0.5 + Ti , j + 0.5 ) Pˆi 2, j + Ti , j + 0.5 Pˆi ,2j +1
∆y 2
+
(4.25)
− δ i , j qi , j .
Здесь Pˆi , j – значение давления газа на l -м временном слое; P i , j –
значение давления газа на l+0.5 –м слое;
91
Ti −0.5, j = ki −0.5, j hi −0.5, j , Ti +0.5, j = ki +0.5, j hi +0.5, j ,
Ti , j −0.5 = ki , j −0.5 hi , j −0.5 , Ti , j +0.5 = ki , j +0.5 hi , j +0.5 .
Очевидно, что полученные разностные уравнения относительно
функции давления P нелинейные. Поэтому для решения применяется
итерационный метод, основанный на методе квазилинеаризации нелинейных
членов [5]. Согласно этому методу нелинейные члены разностного уравнения
(4.25) представляются в таком виде:
( ) (
ψ ( P ) ≅ ψ Pɶ + P − Pɶ
)
( )
∂ψ Pɶ
∂P
.
(4.26)
Здесь Pɶ – приближенное значение функции P, которое уточняется в
( s)
( 0)
процессе итерации Pɶ = Pi, j , при этом Pi, j = Pˆi, j .
Если формулу (4.26) запишем для квадрата функции давления
ɶ − Pɶ 2 , тогда вместо конечно-разностного уравнения (4.25) получим
P2 ≈ 2PP
следующее уравнение:

∆x 2 
ɶ
ɶ
ɶ
2Ti −0.5 j Pi −1 j Pi −1 j −  2 (Ti −0.5 j + Ti −0.5 j ) Pij +
 Pij + 2Ti + 0.5 j Pi +1 j Pi +1 j =
/
2
τ
∆


= Ti −0.5 j Pɶi −21 j − (Ti −0.5 j + Ti + 0.5 j ) Pɶij2 + Ti +0.5 j Pɶi +21 j  −
∆x 2
∆x 2 ˆ
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ


Pij − ∆x 2δ i , j qi , j .
− 2 Tij −0.5 Pij −1 − (Tij −0.5 + Tij + 0.5 ) Pij + Tij +0.5 Pij +1  −
∆y
∆τ / 2
Здесь Pi−1, j , Pi, j , Pi+1, j – значения функции давления l+0.5 -м временном
слое;
P i −1, j , P i , j , P i +1, j – приближенные значения функции давления;
Pˆi, j −1, Pˆi, j , Pˆi, j +1 - значения функции давления l -м временном слое.
Отсюда получим следующие трёхточечные разностные уравнения для
l+0.5 -го временного слоя:
92
( 3 − 2∆xLα ) P0, j + 4 P1, j − P2, j = 2∆xα LPA ,

ai Pi −1, j − bi Pi , j + ci Pi +1, j = −di при i = 1,2,..., N − 1,

( 3 − 2∆xLα ) PN , j + 4 PN −1, j − PN −2, j = −2∆xα LPA ;
где
ai = 2Ti −0.5, j Pɶi −1, j ,
∆x 2
bi = ai + ci −
,
∆τ / 2
(2.27)
ci = 2Ti+0.5, j Pɶi+1, j ,
∆x 2 ɶ
di =
Pi , j − Ti −0.5, j Pɶ i2−1, j − (Ti−0.5, j + Ti +0.5, j ) Pɶ i2, j + Ti +0.5, j Pɶ i2+1, j  −
∆τ / 2
∆x 2 
− 2 Ti , j −0.5 Pˆ i2, j −1 − (Ti , j −0.5 + Ti , j +0.5 ) Pˆ i2, j + Ti , j +0.5 Pˆ i2, j +1  − ∆x 2δ i , j qi , j .
∆y
Аналогичном образом, используя схему переменных направлений по
переменной y для дифференциального уравнения в частных производных
(4.21), получим следующее трёхточечное разностное уравнение для l+1 -го
временного слоя:
( 3 − 2∆yα L ) Pi ,0 + 4 Pi ,1 − Pi ,2 = 2∆yα LPA ,

a j Pi , j −1 − b j Pi , j + c j Pi , j +1 = −d j при j = 1,2,...,M − 1,

( 3 − 2∆yα L ) Pi , M + 4 Pi , M −1 − Pi , M − 2 = −2∆yα LPA ,
где
a j = 2Ti, j −0.5 Pɶi, j −1,
∆y 2
bj = a j + c j −
,
∆τ / 2
(4.28)
c j = 2Ti , j +1 Pɶi , j +1 ,
∆y 2 ɶ
dj =
Pi , j − Ti , j −0.5 Pɶ i2, j −1 − (Ti , j −0.5 + Ti , j + 0.5 ) Pɶ i2, j + Ti , j + 0.5 Pɶ i2, j +1  −
∆τ / 2
2
2
2
∆y 2 
− 2 Ti −0.5, j P i −1, j − (Ti − 0.5, j + Ti + 0.5, j ) P i , j + Ti + 0.5, j P i +1, j  − ∆y 2δ i , j qi , j .

∆x 
Полученные конечно-разностные уравнения (4.12) решаются на
l+0.5 -м временном слое, а уравнение (4.13) - на l+1 -м временном слое
методом прогонки.
93
Как видно, точность аппроксимации уравнения и граничных условий
2
2
имеет порядок O ( ∆τ + ∆x + ∆x ) .
Итерационной процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится
условие
max | Pi ,( sj ) − Pi ,( sj −1) |≤ ε ,
i, j
где
ε
-точность
итерации,
заранее
(2.29)
заданная
малая
величина;
s -номер итерации.
На основе численной модели разработаны алгоритм и программа
расчета, с помощью которых проведен ряд вычислительных экспериментов
на ЭВМ для исследования процессов фильтрации нефти и газа в пористой
среде.
4.6.Алгоритм решения двумерной задачи
фильтрация газа в пористых средах
Двумерная краевая задача фильтрации нефти и газа в пористой среде
легко преобразуется в конечно-разностную задачу с помощью продольнопоперечной схемы и решается методам прогонки.
Рассмотрим
вычислительный
алгоритм
определения
основных
показателей разработки нефтяных месторождений для произвольной области
фильтрации. При этом численная реализация алгоритма решения задачи для
фиксированного временного слоя осуществляется на следующих этапах.
Первый этап алгоритма вычислений основных показателей разработки
нефтяного месторождения осуществляется вычислением значений функции
давления на l+0.5 -м временном слое по направлению переменной x при
фиксированной переменной y . При этом применяется метод прогонки по
направлению переменной x, а вычисление осуществляется следующим
образом:
94
-вычисляются
коэффициенты
ai , bi , ci , di ( i = 2,.., N − 1)
второго
трёхточечного разноcтного уравнения (2.14);
-определяются начальные значения прогоночных коэффициентов
β0
α0
и
из граничных условий левой части дискретной области фильтрации, т.е.
из первого уравнения трехточечной системы уравнений (4.14);
-вычисляются
значения
прогоночных
коэффициентов
α0
и
β0
( i = 1,2,.., N − 1) ;
-определяются конечные значения функции давления PN j из граничных
условий правой части дискретной области фильтрации согласно результатам
прогонки и третьего уравнения (2.14);
-вычисляются значения функции давления Pi ( i = N − 1, N − 2,..,1)
обратной прогонкой.
Второй этап алгоритма составляется аналогичным образом для l+1 -го
временного слоя по направлению переменной y при фиксированном значении
переменной x . Здесь метод прогонки применяется для решения (4.16).
Эти алгоритмы первого и второго этапов повторяются на каждом
временном слое. При этом, каждое полученное решение будет служить начальным условием для следующего временного шага.
Рассмотрим
вычислительный
алгоритм
определения
основных
показателей разработки газовых месторождений для произвольной области
фильтрации. При этом численная реализация алгоритма решения задачи для
фиксированного значения времени осуществляется на следующих этапах.
Первый этап алгоритма вычислений основных показателей разработки
газового месторождения осуществляется вычислением значений функции
давления на l+0.5 - м временном слое по направлению переменной x при
фиксированной переменной y . При этом применяется метод прогонки по
направлению переменной
x . Вычисления осуществляются следующим
образом:
95
- определяются начальные значения прогоночных коэффициентов
α0
и
β0 из граничных условий левой части дискретной области фильтрации, т.е. из
первого уравнения трехточечной системы (4.27);
- вычисляются коэффициенты ai , bi , ci , d i ( i = 2,.., N − 1) трёхточечного
разноcтного уравнения (4.27);
- вычисляются значения прогоночных коэффициентов
αi
и
βi
(i = 2,.., N − 1) ;
- определяются конечные значения функции давления
PN j , из
граничных условий правой части дискретной области фильтрации, т.е. из
третьего уравнения трехточечной системы (2.27);
- обратной прогонкой вычисляются значения функции давления
Pi ( i = N − 1, N − 2,..,1) .
Аналогичная процедура повторяется во втором этапе для l+1 -го
временного слоя. После этого проверяется условие итерационного процесса
по формуле (4.29).
Если условие итерационного процесса выполнено, то осуществляется
переход на l+1 -й временной слой. Иначе, перечисленные пункты вычисления
повторяются.
4.7.Тестовые примеры численного решения двумерной задачи
фильтрации нефти и газа в пористых средах
Проведен ряд вычислительных экспериментов на ЭВМ для различных
значений параметров фильтрации нефти и газа в пористых средах, а также по
различной конфигурации области фильтрации. Для проверки адекватности
математической модели, а также правильности алгоритмов и программы
используется уравнение материального баланса.
96
Для произвольной конфигурации области фильтрации разработана
информационная модель, которая учитывает границы расчетной области,
проводимости, пористости и расположения скважины в дискретной области
фильтрации.
Осуществляется
расчет
для
круглой,
эллиптической,
прямоугольной, многоугольной и произвольной конфигурации дискретной
области фильтрации.
Вычислительный эксперимент для исследования основных показателей
нефтяных месторождений
Для исследования и определения основных показателей нефтяных
месторождений и проведения вычислительного экспремента на ЭВМ
используем следующие исходные данные:
• длина пласта L = 1 0 0 0 0 м ;
• мощность пласта h = 2 0 м ;
• начальное пластовое давление PH = 300 атм ;
• проницаемость пласта k = 0.05 Дарси ;
• упругоёмкость пласта β = 2.3 ⋅ 10−5 см2 / кгс ;
• вязкость нефти µ = 4 и 8 сПз .
На рис. 4.1-4.6 приведены результаты расчета для различной
конфигурации области фильтрации нефтяных месторождений. Результаты
расчета приведены в виде контурного графика, трехмерного графика,
профиля распределения давления в пласте и падения давления на отдельных
скважинах во времени.
На рис. 4.1 в графическом виде приведены результаты расчета для
круговой области фильтрации центральной скважины за три года разработки
нефтяного месторождения.
97
3
Рис. 4.1. Результаты расчета давления при q = 300 м / сут, x = 0.5
В левой части экрана выведены изобары в расчетной области с
соответствующей шкалой давления. В правом верхнем углу помещён график
изменения давления на скважине по времени. В правом нижнем углу
представлен график изменения давления в сечении при x = 0.5 .
Рис. 4.2. Результаты расчета для квадратной области, полученные
3
при q1 = q2 = q3 = q4 = 200 м / сут
Рис. 4.3. Результаты расчета для произвольной области,
3
полученные при q1 = 200 м / сут
98
На
рис.
4.2
и
4.3
приведены
результаты
расчета
динамики
распределения давления в графическом виде для квадратной области
фильтрации, в центральной части которой расположены четыре скважины с
одинаковыми дебитами после три года разработки нефтяного месторождения.
На рис. 4.4-4.6 приведены результаты расчета динамики распределения
давления
в
графическом
виде
для
произвольной,
эллиптической
и
шестиугольной области фильтрации с расположением скважины в центре за
три года разработки нефтяных месторождений.
Рис. 4.4. Результаты для произвольной области, полученные
3
при q1 = 300 м / сут
Рис. 4.6. Результаты расчета для эллиптической области,
3
полученные при q1 = 300 м / сут, x = 0.5; y = 0.5
99
Рис. 4.6. Результаты для многоугольной области, полученные
при q1 = 300 м3 / сут, x = 0.5; y = 0.5
На рис. 4.7 приведены результаты расчета в графическом виде для
круговой области фильтрации при расположении скважины в центре с
различными дебитами скважины за три года разработки нефтяных
месторождений.
3
Рис. 4.7. Результаты расчета при q1 = 300 м / сут, x = 0.4; y = 0.6 и
q1 = 200 м3 / сут, x = 0.6; y = 0.4
Далее приведены численные результаты расчетов в визуальной форме
при различных значениях параметров пласта и дебита скважин за различные
годы разработки.
100
q1 = 300 м3 / сут, x = 0.5; y = 0.5
Рис. 4.8. Результаты расчета после 1-го года разработки
месторождения круглой формы.
q1 = 300 м3 / сут, x = 0.5; y = 0.5
Рис. 4.9. Результаты расчета после 2-года разработки
месторождения круглой формы.
q1 = 300 м3 / сут, x = 0.5; y = 0.5
Рис. 4.10. Результаты расчета после 3-года разработки
месторождения круглой формы.
На рис. 4.8-4.10 для наглядности результатов расчета приведены
значения за различные годы разработки нефтяных месторождений для
круговой расчетной области фильтрации. Из рисунков видно, что в начале
101
разработки давление на скважинах резко падает, а далее стабилизируется, т. е.
падает медленно. Здесь, если сопоставить распространение давления на
контурном графике в 1-2-й и 2-3-й годы разработки, то видно, что в
последний год разработки возмущения давления быстрее распространяются,
чем в предыдущий. Отсюда следует, что давление во времени в пласте
распространяется быстрее, а давление в скважине падает медленно за счет
постепенного расширения области извлечения нефти.
Полное представление интерфейса программного обеспечения расчета
нефтяного месторождения приведено на рис. 4.12, результаты которого
относятся случаю q1 = q2 = q3 = q4 = 300 м3 / сут, µ = 4 сПз .
В части исходных данных вводятся продолжительность разработки (в
сутках), начальное давление (в атм), шаги по времени (в сутках) и др.
Количество скважин в данном случае составляет 4. При необходимсти можно
увеличить количество скважин.
Предусмотрены различные варианты конфигураций месторождения:
круг, прямоугольник, эллипс, многоугольник и произвольная форма.
Проницаемость пласта может приниматься постоянной или в виде табличных
данных.
102
q1 = q2 = q3 = q4 = 300 м3 / сут, µ = 4 сПз
Рис. 4.11. Результаты четвертой скважины на 3-й год разработки.
q1 = q2 = q3 = q4 = 300 м3 / сут, µ = 6 сПз
Рис. 4.12. Результаты четвертой скважины на 3-й год разработки.
На рис. 4.11-4.12 приведены результаты расчетов при различной
вязкости
и
пористости
за
последние
годы
разработки
нефтяных
месторождений. Из рисунков видно, при большей вязкости нефти в
нефтеносном пласте давление распространяется медленно, а давление на
скважинах падает быстрее при малых вязкостях нефти. Выявлено, что при
увеличении значения коэффициента проницаемости возмущения давления в
пласте распространяются быстрее.
103
q1 = 300 м3 / сут, µ = 4сПз, k = 0.1 Д
Рис. 4.13. Результаты расчетов после 3-го года разработки.
Из этих рассуждений вытекают следующие выводы:
• большое значение коэффициента вязкости нефти приводит к
медленному падению давления в пласте;
• большое значение коэффициента проницаемости пласта приводит к
быстрому распределению возмущений давления в пласте;
• в эксплуатационных скважинах падение давления нефти происходит
быстрее в первые годы разработки, а затем оно постепенно стабилизируется.
Представление результатов расчетов в виде графического объекта в
визуальной форме обеспечивает их лучшее восприятие и использование
специалистами.
Таким
образом,
разработанные
способы
и
методы,
а
также
программное обеспечение для расчета основных показателей разработки
нефтяных
месторождений
можно
использовать
проектировании разработке нефтяных месторождений.
104
при
анализе
и
Вычислительный эксперимент для исследование основных
показателей газовых месторождений
Составлена аналогичная программа расчета динамического состояния
газового месторождения с одной или несколькими скважинами и их
дебитами, а также учтена сжимаемость целевого продукта.
Пользовательское окно интерфейса программы, где вводятся исходные
данные и выводятся результаты в виде таблицы, изобар и кривых давления,
представлено на рис. 4.14-4.16. Результаты данного окна относятся к случаю
q = 500000 м3 / сут, x1 =0.5, y1 =0.5, когда область расчета представляет из себя
1
круг. На рис. 4.19 расчеты провели при µ = 0.03сПз, а на рис. 4.18 – при
µ = 0.01сПз .
Симметричная форма области расчета (в виде круга или квадрата)
использовались
для
того,
чтобы
сравнить
результаты
расчета
на
симметричность в условиях использования P2 в членах с производными по
пространственным координатам и для квазилинеаризации этих членов.
3
Рис. 4.14. Результаты расчета при q1 = 500000 м / сут и µ = 0.03сПз
105
Рис. 4.15. Расчеты пластового давления при
q1 = 500000 м3 / сут и µ = 0.1 сП з
Вычислительные эксперименты проведены при следующих значениях
параметров: длина пласта
начальное
пластовое
проницаемость пласта
L = 10 км ; мощность пласта h = 20 м ;
давление
PH =300атм;
пористость
m = 0 .1 ;
k = 0.01 Д ; дебиты скважины q1 = 500000 м3 / сут.
При этом рассмотрены варианты, когда коэффициент вязкости газа принимал
значения
µ = 0.1, 0.03 и 0.05сПз .
Рис. 4.16. Расчеты пластового давления при
q1 = q2 = q3 = q3 = q4 = 300000 м3 / сут и µ = 0.03сПз
106
На рис.4.17, 4.18 приведены значения интенсивности падения давления
на скважинах при различных дебитах четырех симметрично расположенных
скважин в 3-й год разработки при
µ = 0.1сПз .
Рис. 4.17. Расчеты пластового давления при
q1 = q2 = q3 = q4 = 500000 м3 / сут и µ = 0.1сПз
Рис. 4.18. Расчеты пластового давления при
q1 = q2 = q3 = q4 = 500000 м3 / сут и µ = 0.05сПз
На рис. 4.20, 4.21 приведены расчеты пластового давления при
одинаковых
значениях
дебитов
четырьмя
107
симметричных
скважинах
q1 = q2 = q3 = q4 = 500000 м3 / сут - в 3-й год разработки при значениях вязкости
газа µ = 0.1 сПз и µ = 0.05 сПз . Из рисунков видно, что при большом
значении вязкости газа падение давления в скважине увеличивается и
приводит к медленному перераспределению давления в пласте.
Полученные
результаты
демонстрируют,
что
несмотря
на
использование членов с Р2 и их квазилинеаризации, результаты оказались
симметричными
относительно
центра
при
круглой
форме
области
фильтрации и симметричными относительно прямых, делящих квадратичную
область расчета на симметричные части. Соответственно, программу можно
использовать и для других форм области расчета при различных значениях
входных параметров.
108
ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТНАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА В ПОРИСТЫХ
СРЕДАХ
5.1.Задача Коши и их методы решения. Метод Рунге Кутта и Кутта
Меерсон. Метод дифференциальная прогонка для решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод Рунге-Кутты используют для расчета стандартных моделей
достаточно часто, так как при небольшом объеме вычислений он обладает
точностью метода Ο4(h).
Для построения разностной схемы интегрирования воспользуемся
разложением функции
в ряд Тейлора:
Заменим вторую производную в этом разложении выражением
где
Причем Δx подбирается из условия достижения наибольшей точности
записанного выражения. Для дальнейших выкладок произведем замену
величины «y с тильдой» разложением в ряд Тейлора:
Для исходного уравнения (1) построим вычислительную схему:
которую преобразуем к виду:
109
Введем следующие обозначения:
Эти обозначения позволяют записать предыдущее выражение в форме:
Очевидно, что все введенные коэффициенты зависят от величины Δx и
могут быть определены через коэффициент α, который в этом случае играет
роль параметра:
Окончательно схема Рунге-Кутты принимает вид:
Та же схема в форме разностного аналога уравнения (1):
При α = 0 получаем как частный случай уже известную схему Эйлера:
При α = 1:
При α = 1 проведение расчетов на очередном шаге интегрирования можно
рассматривать как последовательность нижеследующих операций.
1. Вычисляется
выражение,
представляющее
собой
полушаг
интегрирования по схеме Эйлера, то есть определяется приближенное
значение искомой функции в точке xk + h/2:
110
2. Для той же промежуточной точки находится приближенное значение
производной:
3. Определяется уточненное значение функции в конечной точке всего
шага, причем по схеме Эйлера с вычисленным на предыдущем шаге
значением производной:
Геометрические построения (рис. 15.1) показывают, что получаемое в такой
последовательности решение лежит «ближе» к истинному, чем вычисляемое
по схеме Эйлера, то есть следует ожидать более высокой точности решения,
получаемого
методом
Рунге-Кутты.
Ранее
мы
назвали
эту
схему
«модифицированным методом Эйлера».
Рис. 15.1. Иллюстрация расчета на шаге методом Рунге-Кутты
при значении параметра α = 1
Теперь рассмотрим схему при α = 0.5 (геометрическая интерпретация
результата приведена на рис. 15.2).
111
1. Выполняется полный шаг метода Эйлера с целью определения
приближенного
значения
искомой
функции
на
конце
отрезка
интегрирования:
2. Для этой же точки вычисляется приближенное значение производной:
3. Находится среднее значение двух производных, определенных на
концах отрезка:
4. Вычисляется значение искомой функции в конечной точке всего шага
по схеме Эйлера с усредненным значением производной:
Рис. 15.2. Иллюстрация расчета на шаге методом
Рунге-Кутты при значении параметра α = 0.5
Иногда получающееся выражение называют схемой (методом) ЭйлераКоши. Геометрически понятно, что получаемый указанным способом
результат также должен быть «ближе» к истинному решению, чем
получаемый по схеме Эйлера.
Пример. Решить уравнение dy/dx = –y, y(0) = 1 методом Рунге-Кутты.
112
Поскольку
вид: f(x, y) = –y,
правая
часть
схема
метода
дифференциального
уравнения
при α = 0.5 представляется
имеет
следующим
образом:
Построим последовательность значений искомой функции:
…
Результаты
получаемого численного решения
аргумента x = 10 при
различных
шагах
для
интегрирования
значения
приведены
в
табл. 15.1. Три верные значащие цифры получены для шага h = 0.01.
Таблица 15.1.
Результаты численного решения yn методом Рунге-Кутты второго
порядка дифференциального уравнения y' = –y с начальным условием y(0) = 1
Величина шага h 0.5
0.25
0.1
0.01
0.001
0.0001
40
100
1000
10 000
100 000
Число шагов n
20
yn · 104
0.827181 0.514756 0.462229 0.454076 0.454000 0.453999
113
Оценим погрешность аппроксимации уравнения (1) разностной схемой
метода Рунге-Кутты. Подставляем точное решение в разностный аналог
исходного дифференциального уравнения и вычисляем невязку:
Подставим разложения функций
в полученное выражение:
Учитывая уравнение (1), а также выражение для производной
окончательно
получаем,
что ψk = Ο(h2),
то
есть
метод
Рунге-Кутты,
независимо от значения параметра α, имеет второй порядок аппроксимации.
Методы Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков
Рассмотрим две различные схемы Рунге-Кутты, предназначенные для
численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка и имеющие третий порядок аппроксимации:
114
И две схемы Рунге-Кутты, имеющие четвертый порядок аппроксимации:
Пример.
Решить
методом
Рунге-Кутты
четвертого
порядка
уравнение dy/dx = –y, y(0) = 1.
В соответствии с приведенными выше соотношениями определяем
коэффициенты:
Построим последовательность значений искомой функции:
115
…
Результаты
получаемого
аргумента x = 10 при
численного
различных
шагах
решения
интегрирования
для
значения
приведены
в
табл. 15.2. Три верные значащие цифры получены для шага h = 0.25.
Таблица 15.2.
Результаты численного решения yn методом Рунге-Кутты четвертого
порядка дифференциального уравнения y' = –y с начальным условием y(0) = 1
Величина шага h 0.5
0.25
0.1
0.01
0.001
0.0001
40
100
1000
10 000
100 000
Число шагов n
20
yn · 104
0.457608 0.454181 0.454003 0.453999 0.453999 0.453999
Сравнение таблиц 15.1 и 15.2 с решениями одной и той же задачи
позволяет
сделать
вывод,
аппроксимации дифференциального
что более
уравнения
высокая
разностным
степень
аналогом
позволяет получать более точное решение при более крупном шаге и,
следовательно, меньшем числе шагов, то есть приводит к снижению
требуемых ресурсов ЭВМ.
На сегодняшний день для грубого расчета вычисления производятся методом
Эйлера, для точного расчета — методом Рунге-Кутты.
116
5.2.Дифференциальная прогонка для решения одномерных задач
фильтрации нефти и газа в пористых средах
Математические
модели
процессов
нестационарной
фильтрации
жидкостей представляют собой краевые задачи для дифференциальных
уравнений параболического типа с однородными и неоднородными
граничными условиями, аналитическое решение которых затруднено даже в
простейших случаях.
Когда рассматриваемый пласт кусочно неоднородной тогда численное
моделирование таких задач можно осуществить с помощью метода
дифференциальной
прогонки,
который
имеет
высокоэффективний
вычислительний алгоритмов и программ.
Добыча нефти происходит в сложнейших условиях, эффективность
эксплуатации месторождения зависит от степени адекватности принимаемых
решений по проектированию и управлению. Адекватность принимаемых
решений зависит от степени соответствия математических моделей,
вычислительных алгоритмов и программно-инструментальных средств для
анализа
и
прогнозирования
технологических
показателей
разработки
нефтяных и газовых месторождений современным требованиям.
5.2.1.Построение дискретной модели и алгоритма решения
задач фильтрации нефти в пористой среде
Представляемая математическая модель основывается на следующих
предположениях:
- рассматриваемые жидкости являются несмещивающимися;
- движение жидкостей в пористой среде прямолинейное и в области
фильтрации подчиняются линейному закону Дарси;
- коэффициенты проводимости пласта в вертикальном направлении
идентичны.
117
На основе этих предположений рассмотрим задачу фильтрайии нефти в
пористой среде. Здесь предполагается, что пласт характеризуется постоянной
мощностью h, протяженностью L, пористостью m и начальным пластовым
давлением Рн.
При этих предположениях математическая модель задачи фильтраци
нефти в пористой среде описывается дифференциальных уравнений
параболического типа:
∂  k ∂P 
∂P
+ Q; 0 < x < L

 = aβ H
∂x  µ ∂x 
∂t
Уравнения
(5.1)
интегрируется
при
(5.1)
следующих
начальных
и
граничных условиях:
P = PH ( x ) при t = 0,
−K
∂P
∂x
K
∂P
∂x
x =0
= α ( PA − P );
(5.3)
x=L
= α ( PB − P );
(5.4)
Здесь P - давление; k
коэффициент
- коэффициент проницаемость пласта; µ
динамической
вязкости
упругоёмкости пласта (β н = mβ нж + βс ) ; β нж
нефти;
βс
(5.2)
нефти;
βн
-
-
коэффициент
- коэффициент сжимаемости
- сжимаемость пласта; m - коэффициент пористости пласта; qHi q
дебит iq -й нефтяной скважины; N q - число скважин соответственно в
области нефтеносности; a - коэффициент нефтенасыщенности.
Для решения поставленный задачи обезразмеривание переменных в
(5.1)-(5.4) осуществляется по формулам
x
k
P
β aµ L2
q µ
τ ; qН* = Н .
x* = ; k * = ; P * = ; t = H
L
kx
Px
kx
π kx Px hx
118
Здесь
Px - некоторые характерные значения давления; kx - некоторое
характерные значения проницаемости пласта; L - характерная длина.
После перехода к безразмерным переменным в системе (5.1) с
соответствующими краевыми условиями (5.2)-(5.4) задача решается численно
методом дифференциальной прогонки.
Область
фильтрации
покрывается
сеточной
ωht ,
областью
образованной регулярной сеткой координатных линий:

ωht =  xi = i∆x, τ l = l ∆τ , i = 1, N , l = 0, N τ , ∆τ =

Здесь N - число узлов на прямой
1 
.
Nτ 
xi ;
∆x - шаг сетки по оси ох.
Воспользуемся метода дифференциальной прогонки для дифференциальноразностной схемы. Тогда решение (5.1) находится из уравнений:
(l )
dP ( x )  1 ( l +1)
P ( x)
d 
P ( x) = −
 k ( x)
−
∆τ
dx 
dx
 ∆τ
( l +1)
(5.5)
Полученная дифференциально-разностных уравнений (5.5) решается
методом дифференциальной прогонки вдоль каждой из прямых
xi
c
начальными условиями, известными при τ = τ l .
Согласно
методу
дифференциальной
прогонки
решения
дифференциально-разностных уравнений (5.5) на l+1 -м временном слоя с
краевыми условиями (5.3)-(5.4) определяются формулами
P(
l +1 )
(x) =
γ ( x )u ( x ) − α ( x ) w ( x )
,
α ( x )v ( x ) − β ( x )u ( x )
dP (l +1) ( x )
v ( x)γ ( x) − w ( x) β ( x)
1
,
=
dx
k ( x ) α ( x ) v ( x ) − β ( x ) u ( x ) 
119
(5.6)
(5.7)
где
коэффициенты
левой
α ( x), β ( x), γ ( x)
и
правой
прогонки
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) находятся как решения следующих задач Коши:

du ( x )
k
x
= v ( x ) , u ( 0 ) = 1,
(
)

dx

 dv ( x )
= Ru ( x ) ,
v ( 0 ) = 0,

dx

 dw ( x )
= Fu ( x ) ,
w ( 0 ) = 0;

dx


dα ( x )
k
x
= β ( x ) , α (1) = 1,
(
)

dx

 d β ( x)
= Rα ( x ) ,
β (1) = 0,

dx

 dγ ( x )
γ (1) = 0;
= Fα ( x ) ,

dx

(5.8)
(5.9)
Здесь
P (l ) ( x )
F =−
− δ qi ,
∆τ
1
R=
.
∆τ
Для решения задач Коши (5.8)-(5.9) начальные условия определяются
из граничных условий (5.3) и (5.4).
Если на границе области фильтрации известны значения давления, т. е.
задано первое краевое условие, тогда начальные условия задачи Коши
принимают следующий вид соответственно на левой и правой частях
внешней границы Γ :
u1 = 0, v1 =−1, w1 = Pг ; αn = 0, βn =−1, γn = Pг .
Если на внешней границе области фильтрации задан поток, т. е. второе
краевое условие, тогда начальные условия задачи Коши принимают
следующий вид, соответственно на левой и правой частях границы:
u1 =1, v1 = 0, w1 = fΓ; αm = 0, βm = 0, γm = fΓ;
fΓ - известная функция. Если fΓ =0, то граница непроницаема.
120
В случае, когда на одной части границ области фильтрации задается
условие 1-го рода, а на другой части - условие 2-го рода, т.е. на одной части
задано давление, а на другой части - поток, начальные условия задачи Коши
определяются аналогично.
На внутренних границах многосвязной области задаются условие
непроницаемости и неразрывности давления. Эти условия выполняются
автоматически на переходе границы раздела двух фаз при применении
метода
дифференциальной
прогонки.
В
процессе
последовательного
нахождения значений u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) при переходе от одной фазы к другой
в качестве начальных условий используются предыдущие значения этих
функций.
Численное интегрирование задачи Коши осуществляется методом
Рунге-Кутта
с
использованием
процедуры
нормировки
прогоночных
коэффициентов и коэффициентов данного метода.
В каждом итерационном шаге при вычислении вектора Ui+1 в правую
часть системы уравнений вместо Ui подставляется нормированный вектор
(где U = ( u , v , w ) или U = (α , β , γ ) ). Процедура нормировки может быть
опущена, если выбранный метод устойчиво решает задачу Коши.
Численная реализация дискретной модели на ЭВМ строится по
следующему алгоритму:
1. Начало.
2. Ввод исходных данных: вязкость нефти; проницаемость пласта;
пористость; коэффициент упругоёмкости пласта; шаг по времени; время
выделенное в процесс решения; максимальная размерность сеточной
области; дебиты скважин; мощность пласта; начальное пластовое давления.
3. Определение дискретных шагов по сетке.
3.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w( x ) ;
121
3.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) (для всех j=2,3,...,Mi −1) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
3.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( x ) , β ( x) , γ ( x ) на верхней части контура Γ ;
3.4. Вычисление
α ( x) , β ( x) , γ ( x)
(для
значений
прогоночных
j = Mi −1, Mi − 2,...,2 )
всех
коэффициентов
методом
Рунге-Кутта
(обратный ход);
3.5. Вычисление значения пластового давления Pi .
4. Проверка условия окончания решения во времени. Если tl > T , то
перейти к шагу 10, в противном случае вычислительный процесс
продолжается для следующего временного шага, т.е. следует переход к шагу
4.
5. Конец.
Следует отметить, что при численном моделировании подобных
процессов
в
многосвязной
области
применения
дифференциально-
разностного метода имеет следующие преимущества:
- нет необходимости удовлетворения специальных соотношений при
переходе из одной фазы на другую, поскольку условия сопряжения
выполняются автоматически;
- решаемые задачи Коши относительно прогоночных коэффициентов с
желаемой точностью могут быть интегрированы известными методами
Рунге-Кутта или Кутта-Меерсона, для которых существует соответствующее
программное обеспечение;
- при численном интегрировании задач Коши методом Рунге-Кутта
используются процедуры нормировки пригоночных коэффициентов и
коэффициентов метода Рунге-Кутта. При этом в каждом итерационном шаге
при вычислении вектора
подставляются
вместо
Ui
Ui+1
в правую часть системы уравнений
нормированный
вектор
(U = ( u , v, w )
U = (α , β , γ ) ). Это обеспечивает устойчивость решения задачи Коши;
122
или
- поз воляет проводить сквозной счет в областях с внутренними
особенностями;
- позволяет получить абсолютно устойчивую вычислительную схему
для системы в целом.
- разработанный вычислительный алгоритм легко реализуется на
ЭВМ.
5.2.2.Построение дискретной модели и алгоритма решения
задач фильтрации газа в пористой среде
Процессы фильтрации газа, происходящие в пласте при разработке
месторождений,
уравнениями
в
описываются
частных
нелинейными
производных
дифференциальными
параболического
типа.
Для
определения показателей разработки газовых месторождений с учетом
неоднородности
скважин
пласта,
необходимо
произвольного
интегрирование
расположения
разнодебитных
дифференциальных
уравнений
неустановивщейся фильтрации газа при соответствущих начальных и
граничных условиях.
Пусть пласт разрабатывается системой нескольких эксплуатационных
скважин с различными дебитами.
В случае плоского фильтрационного потока нестационарное движение
газа математически описывается системой дифференциальных уравнений в
частных производных:
∂  k ∂P 2  am ∂P 2
+ Q; 0 < x < L

=
∂x  µ ∂x  2 Pɶ ∂t
(5.9)
Для уравнения (5.9) в качестве начальных и граничных условий
берутся следующие:
P = PH ( x ) при t = 0,
123
(5.10)
−k
∂P
∂x
k
∂P
∂x
x =0
= α ( P − PA );
(5.11)
x=L
= α ( P − PA );
(5.12)
Здесь P - давления в области газоносности; µ - коэффициент
динамической вязкости газа; qГi - дебит iq -й газовой скважины; Nq - число
q
скважин соответственно в области газоносности; siй -контур iq -й скважины;
a - коэффициент газонасыщенности.
Из поставленной задачи (5.9)-(5.12) видно, что получить аналитическое
решение затруднительно. Для численного интегрирования задачи введем
следующие безразмерные переменные, замены которых осуществляются в
виде:
x = x / L, k = k / kx , P = P / Px ,
*
Здесь
*
*
q µP
amµ L2
t=
τ , q*Г = Г 2ат .
π k x Px hx
px k x
Px - некоторое характерное значение давления; kx - некоторое
характерное значение проницаемости пласта; L - характерная длина.
Уравнения (5.9) с соответствующими краевыми условиями (5.10)-(5.22)
решается численно с помощью метода дифференциальной прогонки [3].
Область
фильтрации
покрывается
сеточной
областью
ω ht ,
образованной регулярной сеткой координатных линий:

ωht =  xi = i∆x, τ l = l ∆τ , i = 1, N , l = 0, N , ∆τ =

Здесь N - число узлов на прямой
1 
.
Nτ 
xi ;
h - шаг сетки.
Воспользуемся дифференциально-разностная схема. Тогда решение (5.9)
находится из уравнений:
124
( l +1)
(l )
l +1
dP 2 ( x ) 
P2 ( x )
d 
1
2( )
 k ( x)
−
P ( x) = −
 2 Pɶ ( x)∆τ
dx 
dx
2 Pɶ ( x) ∆τ


(5.13)
Полученная дифференциально-разностная задача решается методом
дифференциальной прогонки.
Так как полученная система дифференциально-разностных уравнений
относительно
функции
P
давления
нелинейные,
то
для
решения
применяется итерационный метод. При этом Pɶ - приближенное значение
функции пластового давления, которое уточняется в процессе итерации
Pɶ = Pi (s) , при этом Pi (0) = Pˆi .
Полученная дифференциально-разностных уравнений (5.5) решается
методом дифференциальной прогонки вдоль каждой из прямых
xi
c
начальными условиями, известными при τ = τ l .
Согласно
методу
дифференциальной
прогонки
решения
дифференциально-разностных уравнений (5.13) на l+1 -м временном слоя с
краевыми условиями определяются формулами
P
2 ( l +1 )
(x) =
γ ( x )u ( x ) − α ( x ) w ( x )
,
α ( x)v ( x ) − β ( x )u ( x )
dP 2(l +1) ( x )
v ( x )γ ( x) − w ( x ) β ( x)
1
,
=
dx
k ( x ) α ( x ) v ( x ) − β ( x ) u ( x ) 
(5.14)
(5.15)
где коэффициенты левой α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) и правой прогонки u ( x ) , v ( x ) , w ( x )
находятся как решения следующих задач Коши:

du ( x )
k
x
= v ( x ) , u ( 0 ) = 1,
(
)

dx

 dv ( x )
= Ru ( x ) ,
v ( 0 ) = 0,

dx

 dw ( x )
w ( 0 ) = 0;
= Fu ( x ) ,

dx

125
(5.16)

dα ( x )
= β ( x ) , α (1) = 1,
k ( x )
dx

 d β ( x)
= Rα ( x ) ,
β (1) = 0,

dx

 dγ ( x )
γ (1) = 0;
= Fα ( x ) ,

dx

(5.17)
Здесь
P (l ) ( x )
− δ qi ,
F =− ɶ
2 P ( x ) ∆τ
1
.
R= ɶ
2 P ( x ) ∆τ
Для
решения
задач
Коши
(5.16)-(5.17)
начальные
условия
определяются из граничных условий (5.11) и (5.12).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится
условие
max Pi(s) − Pi(s−1) ≤ ε .
i
Здесь
ε
(5.18)
– точность итерации, заранее заданная малая величина; s –
номер итерации.
Задача Коши в данной постановке с заданными начальными условиями
решается методом Рунге-Кутта или Кутта-Меерсона.
Использование метода дифференциальной прогонки в качестве метода
сквозного счета обусловлено тем, что в нем автоматически учитываются
внутренние условия, в частности, условия сопряжения.
Для многосвязной области на внутренних границах задаются условия
непроницаемости перемычки
и неразрывности потока. Эти
условия
выполняются автоматически на переходе границы раздела двух сред при
применении
метода
дифференциальной
прогонки.
В
процессе
последовательного нахождения значений ui ( x ) , vi ( x ) , wi ( x ) при переходе от
126
одной фазы к другой, в качестве начальных условий используются
предыдущие значения этих функций.
Численное интегрирование задач Коши осуществляется методом
Рунге-Кутта
с
использованием
процедуры
нормировки
прогоночных
коэффициентов и коэффициентов метода Рунге-Кутта.
В каждом итерационном шаге при вычислении вектора Ui +1 в правую
часть системы уравнений подставляются вместо Ui нормированный вектор
(где U = ( u , v , w ) или U = (α , β , γ ) ). Процедура нормировки может быть
пропущена, если выбранный метод устойчиво решает задачу Коши.
Рассмотрим алгоритм решения задачи с подвижной границей раздела
газ-вода.
1. Начало.
2. Ввод исходных данных: вязкости газа; проницаемость пласта;
пористость; коэффициент упругоёмкости пласта; шаг по времени; время,
выделенное в процесс решения; максимальная размерность сеточной
области; точность итерационного процесса; дебиты скважин; мощность
пласта; начальное пластовое давления.
2.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) в левый части границы;
2.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) (для всех j = 2,3,..., Mi −1) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
2.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) в правый части границы;
2.4. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) (для всех j =Mi −1, Mi −2,...,2) методом Рунге-Кутта (обратный
ход);
2.5. Вычисление значения пластового давления Pi ;
3. Проверка итерационного процесса по функции давления
127
max Pi ( s ) − Pi ( s −1) ≤ ε .
i
Если выполняется это условие, то осуществляется переход к
следующему временному шагу, в противном случае переход к шагу 6 для
продолжения процесса расчета новых приближений.
4. Проверка условия окончания решения во времени. Если tl > T , то
перейти к шагу 11, в противном случае вычислительный процесс
продолжается для следующего временного шага, т.е. переход осуществляется
к шагу 4.
5. Конец.
Следует
отметить,
что
применение
метода
дифференциальной
прогонки для решения двумерной задачи с подвижной границей раздела дает
квадратичную
сходимость
итерационного
процесса при
определении
положения границы раздела и позволяет получить абсолютно устойчивую
вычисленную схему для системы в целом.
5.3.Дифференциальная прогонка для решения многомерных задач
фильтрации нефти и газа в пористых средах
Численное моделирование можно осуществить с помощью методов
сквозного счета, что требует разработки новых высокоэффективных
вычислительных алгоритмов и программ.
5.3.1.Дифференциальная прогонка для решения двумерных задач
фильтрации нефти в пористой среде
Математическая модель двумерной задачи фильтрации нефти в
пористой среде описывается дифференциальных уравнений параболического
типа:
128
∂  k ∂P  ∂  k ∂P 
∂P
+Q,
 = aβ H

+ 
∂x  µ ∂x  ∂y  µ ∂y 
∂t
( x, y ) ∈ G1
(5.19)
Система уравнений (3.1) интегрируется при следующих начальных,
граничных и внутренних условиях:
P = PH ( x, y ) при t = 0,
K
q Нiq ( t ) =
∂P
∂n
x= Г
= α ( P − PA );
k ∂P1
ds при
n
∂
1
∫−µ
siq
(5.20)
(5.21)
( x , y ) ∈ si
q
, iq = 1, N q ,
P -давление в области нефтеносности; k - коэффициент проницаемость
пласта;
µ
-
коэффициенты
динамической
вязкости
нефти;
βн
-
коэффициенты упругоёмкости пласта в области нефти (β н = mβ нж + βс ) ; β нж коэффициенты сжимаемости нефти;
βс
- сжимаемость пласта; m -
коэффициент пористости пласта; Γ - внешний контур водоносного пласта; siй
-
iq -й
контур
скважины;
qHi - дебит iq -й нефтяной скважины; N q - число скважин в области нефти; l
q
a - коэффициент нефтенасыщенности.
Обезразмеривание переменных в (5.19)-(5.21) осуществляется по
формулам
k
P
β H aµ L2
q µ
x
y
*
*
*
τ ; qН* = Н
.
x = ; y = ; k = ; P = ; t=
π k x Px hx
L
L
kx
Px
kx
*
Здесь
Px - некоторые характерные значения давления; kx - некоторое
характерные значения проницаемости пласта; L - характерная длина.
После перехода к безразмерным переменным в системе (5.21) с
соответствующими краевыми условиями (5.20)-(5.21) задача решается
129
численно
с
применением
дифференциально-разностной
продольно-поперечной
задачи
и
методом
схемы
для
дифференциальной
прогонки.
Область фильтрации
G
Ωhxytk ,
покрывается сеточной областью
образованной регулярной сеткой координатных линий:

1 
Ω xyτ =  xi = i∆x, y j = j ∆y, τ l = l ∆τ , i = 1, N , j = 1, M , l = 0, N τ , ∆τ =
.
Nτ 

Здесь
N j , M i - число узлов на прямой yj и xi соответственно;
h - шаг сетки, соответствующий осям
x и y.
Воспользуемся алгоритмической идеей неявной схемы переменных
направлений
(продольно-поперечная
схема)
для
получения
дифференциально-разностной задачи. Переход от слоя l к слою l+1
совершается в два этапа с шагом 0.5 ∆τ . Тогда решение (5.19) находится
последовательным решением системы уравнений:
dPj(l + 0.5) ( x ) 
Pj( l ) ( x )
1
d 
( l + 0.5)
− Λ y  k j Pi ,( lj)  ,
Pj
x) = −
 k j ( x)
−
(

0.5∆τ
dx 
dx
 0.5∆τ
(5.22)
dPi ( l +1) ( y ) 
Pi (l + 0.5) ( y )
1
d 
l + 0.5 )
( l +1)
(
− Λ x  ki Pi , j  ,
P
y =−
 ki ( y )
−
 0.5∆τ i ( )
∆
0.5
τ
dy 
dy

где
ki , j −0.5 Pi ,( j −1 ) − ( ki , j −0.5 + ki , j +0.5 ) Pi ,( j
l + 0.5 )
l + 0.5
l + 0.5
Λ x  ki , j Pi ,( j )  =
(l ) 
Λ y  ki , j Pi , j  =
+ ki , j + 0.5 Pi ,( j +1
l + 0.5)
∆x 2
ki −0.5, j Pi −(l1,) j − ( ki −0.5, j + ki + 0.5, j ) Pi ,(lj) + ki + 0.5, j Pi +(l1,) j
∆y 2
,
.
Полученная система дифференциально-разностных уравнений (5.22)
решается методом дифференциальной прогонки вдоль каждой из прямых
xi
c начальными условиями, известными при τ = τ l , а затем вдоль каждой из
130
прямых y j , где в качестве начального условия берутся только что найденные
значения, соответствующие l+0.5 -му слою.
Согласно
методу
дифференциальной
прогонки
решения
дифференциально-разностных уравнений (5.22) на l+0.5 -м и
l+1 -м
временных слоях с краевыми условиями (5.20)-(5.21) определяются
формулами
Pi ,( j
l + 0.5 )
( x) =
dPi ,(lj+0.5) ( x )
dx
Pi ,( j
l +1)
=
( y) =
dPi ,( lj+1) ( y )
dy
=
γ j ( x)u j ( x) − α j ( x) wj ( x)
,
α j ( x) vj ( x) − β j ( x)u j ( x)
1
v j ( x) γ j ( x ) − wj ( x ) β j ( x )
k j ( x ) α j ( x ) v j ( x ) − β j ( x ) u j ( x ) 
(5.23)
,
(5.24)
γ i ( y ) ui ( y ) − α i ( y ) wi ( y )
,
α i ( y ) vi ( y ) − βi ( y ) ui ( y )
1
vi ( y ) γ i ( y ) − wi ( y ) β i ( y )
ki ( y ) α i ( y ) vi ( y ) − β i ( y ) ui ( y ) 
(5.25)
.
где коэффициенты левой и правой прогонки
(5.26)
α j ( x) , β j ( x) , γ j ( x) и
u j ( x) , v j ( x) , wj ( x) находятся как решения следующих задач Коши:

du j ( x )
= v j ( x ) , u j ( 0 ) = 1,
k j ( x )
dx

 dv j ( x )
v j ( 0 ) = 0,
= Ru j ( x ) ,

dx

 dw j ( x )
w j ( 0 ) = 0;
= F1 j u j ( x ) ,

dx


dα j ( x )
= β j ( x ) , α j (1) = 1,
k j ( x )
dx

 d β j ( x)
β j (1) = 0,
= Rα j ( x ) ,

dx

 dγ j ( x )
= F1 jα j ( x ) ,
γ j (1) = 0;

dx

131
(5.27)
(5.28)
Здесь также коэффициенты левой и правой прогонки α i ( y ) , β i ( y ) , γ i ( y ) и
ui ( y ) , vi ( y ) , wi ( y ) находятся как решения следующих задач Коши:
dui ( y )

= vi ( y ) , ui ( 0 ) = 1,
 ki ( y )
dy

 dvi ( y )
vi ( 0 ) = 0,
= Rui ( y ) ,

dy

 dw ( y )
 i
wi ( 0 ) = 0;
= F1i ui ( y ) ,
 dy
(5.29)

dα j ( y )
= β i ( y ) , α i (1) = 1,
 ki ( y )
dy

 d β i ( y )
β i (1) = 0,
= Rα i ( y ) ,

dy

 dγ ( y )
 i
γ i (1) = 0.
= F2iα i ( y ) ,
 dy
(5.30)
Здесь
Pi ,( j) ( x )
l
F1 j = −
0.5 ∆ τ
l + 0.5 )
F2 i = −
R=
Для
Pi ,( j
l
− Λ  k i , j Pi ,( j)  − δ i , j qi , j ,
( y)
0.5 ∆ τ
l + 0.5
− Λ  k i , j Pi (, j )  ,
1
.
0.5 ∆τ
решения
задач
Коши
(5.27)-(5.30)
начальные
условия
определяются из граничных условий (5.21).
На границе области фильтрации может выполняться одно из условий:
первого рода; второго рода и смешанное условие.
Если на границе области фильтрации известны значения давления, т. е.
задано первое краевое условие, тогда начальные условия задачи Коши
принимают следующий вид соответственно на левой и правой частях
внешней границы Γ : u1 = 0, v1 = −1, w1 = PГ ; αn = 0, βn = −1, γ n = PГ .
132
Если на внешней границе области фильтрации задан поток, т. е. второе
краевое условие, тогда начальные условия задачи Коши принимают
следующий вид, соответственно на левой и правой частях границы:
αm = 0, βm = 0, γ m = f Γ ;
u1 = 1, v1 = 0, w1 = f Γ ;
fГ - известная функция. Если fГ =0, то граница непроницаема.
В случае, когда на одной части границ области фильтрации задается
условие 1-го рода, а на другой части - условие 2-го рода, т.е. на одной части
задано давление, а на другой части - поток, начальные условия задачи Коши
определяются аналогично.
На внутренних границах многосвязной области задаются условие
непроницаемости и неразрывности давления. Эти условия выполняются
автоматически на переходе границы раздела двух фаз при применении
метода
дифференциальной
прогонки.
В
процессе
последовательного
нахождения значений ui(x), vi(x), wi(x) при переходе от одной фазы к другой в
качестве начальных условий используются предыдущие значения этих
функций.
Численное интегрирование задачи Коши осуществляется методом
Рунге-Кутта
с
использованием
процедуры
нормировки
прогоночных
коэффициентов и коэффициентов данного метода.
В каждом итерационном шаге при вычислении вектора Ui +1 в правую
часть системы уравнений вместо Ui подставляется нормированный вектор
(где U = ( u , v , w ) или U = (α , β , γ ) ). Процедура нормировки может быть
опущена, если выбранный метод устойчиво решает задачу Коши.
Численная реализация дискретной модели на ЭВМ строится по
следующему алгоритму:
6. Начало.
7. Ввод исходных данных: вязкость нефти и воды; проницаемость
пласта;
пористость;
коэффициент
упругоёмкости
пласта
в
области
нефтеносности и водоносности соответственно; информация о конфигурации
сеточной области; шаг по времени; время выделенное в процесс решения;
133
максимальная размерность сеточной области; точность итерационного
процесса для определения границы раздела; дебиты скважин; мощность
пласта; начальное пластовое давления.
8. Определение дискретных шагов по сетке.
9. Формирование
информационного
массива
сеточной
области
фильтрации.
10. Определение начальных точек координат ( x, y ) границы Γ раздела
в сеточной области.
11. Решение системы дискретных уравнений по переменной x методом
переменных направлений:
11.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) в нижней части контура Γ ;
11.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) (для всех j =2,3,...,Mi −1) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
11.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) на верхней части контура Γ ;
11.4. Вычисление
α ( x) , β ( x) , γ ( x)
(для
значений
всех
прогоночных
j = Mi −1, Mi − 2,...,2 )
коэффициентов
методом
Рунге-Кутта
(обратный ход);
11.5. Вычисление значения пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 6.1-6.5 повторяются для всех i =1,2,.., Nj −1.
12. Решение системы дискретных уравнений по переменной y методом
переменных направлений:
12.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( y ) , v ( y ) , w( y ) на левой части контура Γ ;
12.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( y ) , v ( y ) , w( y ) (для всех i =1,2,.., Nj ) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
134
12.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( y ) , β ( y) , γ ( y ) на правой части контура Γ ;
12.4. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
α ( y ) , β ( y) , γ ( y ) (для всех i = N j , N j −1, N j − 2,...,1) методом Рунге-Кутта
(обратный ход);
12.5. Вычисление значений пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 7.1-7.5 повторяются для всех j = 1,2,.., Mi .
13. Определение значений положения границы раздела l ( x, y) .
14. Проверка условия окончания решения во времени. Если
tk > T , то
перейти к шагу 10, в противном случае вычислительный процесс
продолжается для следующего временного шага, т.е. следует переход к шагу
4.
15. Конец.
Следует отметить, что при численном моделировании подобных
процессов
в
многосвязной
области
применения
дифференциально-
разностного метода имеет следующие преимущества:
- нет необходимости удовлетворения специальных соотношений при
переходе из одной фазы на другую, поскольку условия сопряжения
выполняются автоматически;
- решаемые задачи Коши относительно прогоночных коэффициентов с
желаемой точностью могут быть интегрированы известными методами
Рунге-Кутта или Кутта-Меерсона, для которых существует соответствующее
программное обеспечение;
- при численном интегрировании задач Коши методом Рунге-Кутта
используются процедуры нормировки пригоночных коэффициентов и
коэффициентов метода Рунге-Кутта. При этом в каждом итерационном шаге
при вычислении вектора
подставляются
вместо
Ui
Ui+1
в правую часть системы уравнений
нормированный
вектор
(U = ( u , v, w )
U = (α , β , γ ) ). Это обеспечивает устойчивость решения задачи Коши;
135
или
- позволяет проводить сквозной счет в областях с внутренними
особенностями;
- позволяет получить абсолютно устойчивую вычислительную схему
для системы в целом.
- разработанный вычислительный алгоритм легко реализуется на ЭВМ.
5.3.2.Дифференциальная прогонка для решения двумерных задач
фильтрации газа в пористой среде
При проектировании, анализе и определении переспектив разработки
газовых месторождений требуется определить изменение во времени
необходимого числа эксплуатационных и нагнетательных скважин, дебитов
газовых и расходов нагнетательных скважин, пластовых, забойных давлений
и продвижение во времени контурных или подошвенных вод и другие
показатели.
Процессы фильтрации газа, происходящие в пласте при разработке
месторождений,
уравнениями
в
описываются
частных
нелинейными
производных
дифференциальными
параболического
типа.
Для
определения показателей разработки газовых месторождений с учетом
неоднородности
пласта,
произвольного
расположения
разнодебитных
скважин, неравномерности продвижения границы раздела газ-вода и т.д.
необходимо
интегрирование
дифференциальных
уравнений
неустановивщейся фильтрации газа и воды при соответствущих начальных,
внутренних и граничных условиях. При этом особую важность в теории
разработки газовых месторождений имеет дифференциальное уравнение
неустановивщейся фильтрации газа.
Пусть показатели разработки газовой залежи определяются в условиях
водонапорного
режима.
Пласт
разрабатывается
системой
нескольких
эксплуатационных и нагнетательных скважин с различными дебитами. При
136
этом рассмативаемая математическая модель описывает процесс разработки
массивных залежей на основе модели поршневого вытеснения (модель типа
Стефена).
В случае плоского фильтрационного потока нестационарное движение
газа и воды математически описывается системой дифференциальных
уравнений в частных производных:
∂  k ∂P 2  ∂  k ∂P 2 
∂P
+Q

+ 
 = 2am
∂x  µ ∂x  ∂y  µ ∂y 
∂t
при ( x, y ) ∈ G
(5.31)
Для системы уравнений (5.31) в качестве начальных, граничных и
внутренних условий берутся следующие:
P = PH ( x, y ) при t = 0,
−K
∂P
∂n
qgiq ( t ) =
x= Г
∫−
siq
(5.32)
= α ( PA − P );
(5.33)
k ∂P
ds при ( x, y ) ∈ siq , iq = 1, N q ,
µ ∂n
Здесь P - давления в области газоносности и водоносности; µ коэффициенты динамической вязкости газа; qГi
q
- дебит iq -й газовой
скважины; N q - число скважины; siй -контур iq -й скважины; a
-
коэффициенты газонасыщенности.
Из
поставленной
задачи
(3.18)-(3.24)
видно,
что
получить
аналитическое решение затруднительно. Для численного интегрирования
задачи введем следующие безразмерные переменные, замены которых
осуществляются в виде:
x* = x / L, y * = y / L, k * = k / k x , P* = P / Px .
q µP
amµ L2
t=
τ , q*Г = Г 2ат .
π k x Px hx
px k x
137
Здесь
Px - некоторое характерное значение давления; kx - некоторое
характерное значение проницаемости пласта; L - характерная длина.
Диффренциальная уравнения (5.31) с соответствующими краевыми
условиями
(5.32)-(5.33)
решается
численно
с
помощью
метода
дифференциальной прогонки [3].
Область фильтрации G покрывается регулярной сеткой координатных
линий:

1 
Ω xyτ =  xi = i∆x, y j = j ∆y, τ l = l ∆τ , i = 1, N , j = 1, M, l = 0, N τ , ∆τ =
.
Nτ 

Для
решения
дифференциально-разностной
задачи
используется
алгоритмическая идея неявной схемы переменных направлений, что
позволяет применить метод дифференциальной прогонки вдоль каждой из
прямых координатных линий:
( l + 0.5)
(l )
d 
dPj2 ( x ) 
Pj2 ( x )
l +0.5)
(l )
1
2(
  ki , j
−
Pj
x) = −
− Λ y  ki , j Pi ,2j  ,
(


 2 Pɶj 0.5∆τ
dx
2 Pɶj 0.5∆τ
 dx 



(5.34)
l +0.5)
( l +1)
2(
d 
l +1)
l +0.5)
dPi 2 ( y ) 
P
y
(
(
(
)
1
−
Pi 2 ( y ) = − i
− Λ x  ki , j Pi ,2j  .
  ki , j
ɶ
ɶ


 2 Pi 0.5∆τ
dy
2 Pi 0.5∆τ
 dy 

Здесь
ki −0.5, j Pi −21, j − ( ki −0.5, j + ki +0.5, j ) P1i2, j
( l +0.5)
Λ x  ki , j Pi ,2j

( l +0.5)
=

( l +0.5)
∆x
2
ki , j −0.5 Pi , j(−)1 − ( ki , j −0.5 + ki , j +0.5 ) Pi , j( ) + ki , j + 0.5 Pi , j(+)1
2l
2l
Λ y  ki , j Pi , j( )  =
( l +0.5)
+ ki + 0.5, j P1i2+1, j
2l
∆y 2
,
2l
.
Полученная дифференциально-разностная задача решается методом
дифференциальной прогонки вдоль каждой из прямых xi
c начальными
условиями, известными при τ = τ l , а затем вдоль каждой из прямых y j , где в
138
качестве начального условия берутся только что найденные значения
функции давления в l+0.5 -м временном слое.
Так как полученная система дифференциально-разностных уравнений
относительно
функции
давления
P
нелинейные,
то
для
решения
применяется итерационный метод при квазилинеаризации нелинейных
членов [5]. Согласно этому методу, нелинейные члены разностного уравнения
(5.34) представляются в виде:
( ) (
ϕ ( P ) ≅ ϕ Pɶ + P − Pɶ
)
( ).
∂ϕ Pɶ
(5.35)
∂P
Здесь Pɶ - приближенное значение функции пластового давления,
(0)
(s)
которое уточняется в процессе итерации Pɶ = Pi, j , при этом Pi, j = Pˆi, j .
Если, формулы (5.35) запишем для нелинейной функции давления, то
получим следующую формулу
ɶ − Pɶ 2.
P2 ≈ 2PP
Согласно
методу
дифференциальной
прогонки
решения
дифференциально-разностных уравнений (5.34) на l+0.5 -м и l+1 -м
временных слоях с краевыми условиями (5.32)-(5.33) определяются
формулами
Pj (
2 l + 0.5 )
( x) =
dPj (
( x)
2 l + 0.5 )
dx
Pj2(l +1) ( y ) =
dPj (
2 l +1)
dy
( y)
γ j ( x) u j ( x) − α j ( x ) wj ( x )
,
α j ( x) vj ( x) − β j ( x)u j ( x)
=
1
v j ( x )γ j ( x ) − w j ( x ) β j ( x )
k j ( x ) α j ( x ) v j ( x ) − β j ( x ) u j ( x ) 
(5.36)
,
γ j ( y ) u j ( y ) − α j ( y ) wj ( y )
,
α j ( y)vj ( y) − β j ( y)u j ( y)
=
1
v j ( y )γ j ( y ) − wj ( y ) β j ( y )
k j ( y ) α j ( y ) v j ( y ) − β j ( y ) u j ( y ) 
139
(5.37
(5.38)
;
(5.39)
где коэффициенты левой и правой прогонки
α j ( x) , β j ( x) , γ j ( x) и
u j ( x) , v j ( x) , wj ( x) находятся как решения следующих задач Коши:
du j ( x )

= v j ( x ) , u j ( 0 ) = 1,
k
x
(
)
 j
dx

 dv j ( x )
= Ru j ( x ) ,
v j ( 0 ) = 0,

dx

 dw j ( x )
= F1 j u j ( x ) ,
w j ( 0 ) = 0;

dx


dα j ( x )
= β j ( x ) , α j (1) = 1,
k
x
(
)
 j
dx

 dβ j ( x)
= Rα j ( x ) ,
β j (1) = 0,

dx

 dγ j ( x )
= F1 jα j ( x ) ,
γ j (1) = 0;

dx

(5.40)
(5.41
Здесь также коэффициенты левой и правой прогонки α i ( y ) , β i ( y ) , γ i ( y ) и
ui ( y ) , vi ( y ) , wi ( y ) находятся как решения следующих задач Коши:
dui ( y )

k
y
= vi ( y ) , ui ( 0 ) = 1,
(
)
 i
dy

 dvi ( y )
vi ( 0 ) = 0,
= Rui ( y ) ,

dy

 dw ( y )
 i
wi ( 0 ) = 0;
= F1i ui ( y ) ,
dy


dα i ( y )
k
y
= β i ( y ) , α i (1) = 1,
(
)
 i
dy

 d β i ( y )
β i (1) = 0,
= Rα i ( y ) ,

dy

 dγ ( y )
 i
γ i (1) = 0.
= F2iα i ( y ) ,
 dy
140
(5.42)
(5.43)
Здесь
(l )
Pj2 ( x )
F1 j = − ɶ
− Λ  ki , j Pi ,2j(l )  − δ i , j qi , j ,
2 P 0.5∆τ
j
( l +0.5)
Pj2 ( y )
F2i = − ɶ
− Λ  ki , j Pi ,2j(l +0.5)  ,
2 P 0.5∆τ
j
1
R= ɶ
.
2 Pi 0.5∆τ
Для
решения
задач
Коши
(5.40)-(5.43)
начальные
условия
определяются из граничных условий (5.33).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится
условие
−1) ≤ ε .
max Pi(s)
− Pi(s
,
j
,
j
i, j
Здесь
ε
(5.44)
– точность итерации, заранее заданная малая величина; s –
номер итерации.
Повторяя данную процедуру, строится вычислительная схема для
третьего и четвертого уравнений системы (3.25) (т.е. для прямых yj). Задача
Коши в данной постановке с заданными начальными условиями решается
методом Рунге-Кутта или Кутта-Меерсона.
Использование метода дифференциальной прогонки в качестве метода
сквозного счета обусловлено тем, что в нем автоматически учитываются
внутренние условия, в частности, условия сопряжения.
Для многосвязной области на внутренних границах задаются условия
непроницаемости перемычки
и неразрывности потока. Эти
условия
выполняются автоматически на переходе границы раздела двух сред при
применении
метода
дифференциальной
прогонки.
В
процессе
последовательного нахождения значений ui ( x ) , vi ( x ) , wi ( x ) при переходе от
одной фазы к другой, в качестве начальных условий используются
предыдущие значения этих функций.
141
Численное интегрирование задач Коши осуществляется методом
Рунге-Кутта
с
использованием
процедуры
нормировки
прогоночных
коэффициентов и коэффициентов метода Рунге-Кутта.
В каждом итерационном шаге при вычислении вектора Ui +1 в правую
часть системы уравнений подставляются вместо Ui нормированный вектор
(где U = ( u , v , w ) или U = (α , β , γ ) ). Процедура нормировки может быть
пропущена, если выбранный метод устойчиво решает задачу Коши.
Рассмотрим алгоритм решения задачи с подвижной границей раздела
газ-вода.
6. Начало.
7. Ввод исходных данных: вязкости газа и воды; проницаемость пласта;
пористость; коэффициент упругоёмкости пласта в области нефтеносности и
водоносности соответственно; информация о конфигурации сеточной
области; шаг по времени; время, выделенное в процесс решения;
максимальная размерность сеточной области; точность итерационного
процесса для определения границы раздела; дебиты скважин; мощность
пласта; начальное пластовое давления.
8. Определение дискретных шагов по сетке.
9. Формирование информационного массива о сеточной области
фильтрации.
10. Определение начальных точек координат ( x, y ) границы Γ раздела
в сеточной области.
11. Решение системы дискретных уравнений по переменной x методом
переменных направлений:
11.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) в нижней части контура Γ ;
11.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) (для всех j = 2,3,..., Mi −1) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
142
11.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) на верхней части контура Γ ;
11.4. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) (для всех j =Mi −1, Mi −2,...,2) методом Рунге-Кутта (обратный
ход);
11.5. Вычисление значения пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 6.1-6.5 повторяются для всех i = 1,2,.., M j .
12. Решение системы дискретных уравнений по переменной y методом
переменных направлений:
12.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( y ) , v ( y ) , w ( y ) на левой части контура Γ ;
12.2. Вычисление
u ( y ) , v ( y ) , w ( y ) (для всех
значений
i = 1,2,.., M j )
прогоночных
коэффициентов
методом Рунге-Кутта (прямой ход);
12.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( y ) , β ( y ) , γ ( y ) на правой части контура Γ ;
12.4. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
α ( y ) , β ( y ) , γ ( y ) (для всех i =Nj −1, Nj −2,...,2) методом Рунге-Кутта (обратный
ход);
12.5. Вычисление значения пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 7.1-7.5. повторяются для всех
j =1,2,..,N.
13. Проверка итерационного процесса по функции давления
max P1(i,sj) − P1(i ,sj−1) ≤ ε .
i, j
Если выполняется это условие, то осуществляется переход к
следующему временному шагу, в противном случае переход к шагу 6 для
продолжения процесса расчета новых приближений.
14. Определение значения границы раздела l ( x, y) .
143
15. Проверка условия окончания решения во времени. Если tk > T , то
перейти к шагу 11, в противном случае вычислительный процесс
продолжается для следующего временного шага, т.е. переход осуществляется
к шагу 4.
16. Конец.
Следует
отметить,
что
применение
метода
дифференциальной
прогонки для решения двумерной задачи с подвижной границей раздела дает
квадратичную
сходимость
итерационного
процесса
при
определении
положения границы раздела и позволяет получить абсолютно устойчивую
вычисленную схему для системы в целом.
5.4.Примеры решения задач фильтрации на основе метода
дифференциальной прогонки
Пример 1. Рассматриваемой нефтяной залежь в виде прямоугольника,
который разрабатывается единой центральной скважиной с постоянными
дебитам (q=400 м3). Пласт по проницаемости кусочно-неоднородный.
Представляемая кусочно-неоднородный пласт по вертикали принимает
следующие значение
0.05 0 ≤ x ≤ 0.3,

k ( x) = 0.5 0.3 < x < 0.7,
0.05 0.7 ≤ x ≤ 1.

Остальные параметры пласта принимает следующие значение (табл. 5.1)
144
Исходные данные для решение задачи
Таблица 5.1
Числовые значение и
размерност параметров
Название входные данные
300 кгс/см2
Начальное пластовое давление -P
Вязкость нефти
4 Спуаз
Проницаемость пласта
0.01 - 0.1 Дарси
Упругоемкость пласта
10*10-6 см2/кгс
Дебит скважины
400 м3/сут
Характерная длина пласта
10000 метр
Мощность пласта
10 метр
Общая время
На
1080 сутка
основе
вычислительные
эти
изложенных
эксперименты.
тестовых
Результаты
задач
расчета
приведены
вычислительных
экспериментов приведены в рис.5.1. Расположению скважины в центре и
значениям
коэффициента
проницаемости
пласта
для
кусочно-
неоднородного состояния по оси абсцисс, результат показывает, что на
графиках наблюдается излом при 0,3 и 0,7 точки по оси абсцисс. Это
показывает, что в этих точках коэффициент k (x) в уравнения значительно
меняет свое значение.
145
Рис.5.1. График распределение давление в пласте и скважинах
визуалном 3D и 2D форме
Пример 2. Рассмотрим кусочно неоднородный пласт. В этих случаях
вычислительные эксперименты проведены в значения коэффициентов
проницаемости в зонах получены следующим образом:
0.3
0.07

k ( x ) = 0.7
0.07

0.3
0 ≤ x ≤ 0.25,
0.25 < x ≤ 0.36,
0.36 ≤ x ≤ 0.64,
0.64 < x ≤ 0.75,
0.75 < x ≤ 1.0.
Остальные исходные данные остается прежному приведенному табл.5.1.
На рис. 5.2 вычислительные эксперименты показывают изменение давления
во кусочно-неоднородной пористой среде для случая, когда коэффициент
проницаемости составляет пять зон с 5 различными значениями в
горизонтальном направлении в различных графических представлениях.
146
Эти вычислительные эксперименты наглядно проиллюстрированы на рис 5.2.
Из графика видно, что значения коэффициента проницаемости k(x) в
математической модели в этих точках сильно различаются в этих точках.
Рис.5.2. График распределение давление в пласте и скважинах
визуалном 3D и 2D форме
Пример 3. Рассмотрим кусочно неоднородный пласт. В этих случаях
вычислительные эксперименты проведены в значения коэффициентов
проницаемости
в
зонах
получены
как
первому
примеру.
Пласт
разрабатывается три центральной скважиной с постоянными дебитам (q=400
м3). Результаты расчета вычислительных экспериментов приведены в рис.5.3
в графическом виде. Из результатов вычислителгого эксперимента видно что,
отличие
от
первого
применра,
здесь
147
в
центре
нефтяной
залежи
разрабатывается трмя скважинами. По этому в центре нефтяной залежи
давление пласта отличие от первый пример больше падение давление.
Рис.5.3. График распределение давление в пласте и скважинах
визуалном 3D и 2D форме
148
ГЛАВА VI. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
СОВМЕСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ
ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
В этой главе рассматриваются моделирование процесса вытеснения
одной жидкости другой в пористых средах и разработка алгоритмов
численного решения, основанные на идеях конечно-разностных метода и
дифференциальной прогонки метода. Разрабатываются вычислительные
алгоритмы расчета основных показателей процесса разработки нефтяных и
газовых месторождений, рассматриваются вопросы учета граничных условий
на дискретной модели, исследуется влияние параметров, характеризующих
свойства жидкостей и пласта, на распределение давления, а также
закономерности движения нефтеводяных и газоводяных контактов в
пористой среде.
6.1. Определение основных показателей разработки нефтяных и
газовых месторождений с учетом их особенностей
При водонапорном режиме основным видом энергии является напор
краевой воды, которая внедряется в залежь и относительно быстро и
полностью компенсирует в объеме отбираемое количество нефти и попутной
воды. В процессе эксплуатации залежи в ее пределах происходит движение
всей массы нефти.
Режим свойственен залежам, приуроченным к инфильтрационным
водонапорным системам, при хорошей гидродинамической связи залежи с
законтурной зоной пласта и с областью питания. Эти предпосылки
обеспечиваются при следующих геологических условиях:
-больших размеров законтурной области;
-небольшой удаленности залежи от области питания: высокой
проницаемости
и
относительно
однородном
строении
коллектора как в пределах залежи, так и в водоносной области;
149
пласта-
-отсутствие
тектонических
нарушений,
затрудняющих
движение
жидкостей в системе;
-низкой вязкости пластовой нефти;
-небольших размеров залежи и соответственно умеренных отборов
жидкости из продуктивного горизонта, благодаря чему они могут
полностью компенсироваться внедряющейся в залежь водой.
Водонапорный режим отличают следующие особенности динамики
показателей разработки:
-
тесная связь поведения динамического пластового давления с
величиной текущего отбора жидкости из пласта — относительно небольшое
его снижение при увеличении отбора, неизменная величина при постоянном
отборе, увеличение при уменьшении отбора, восстановление почти до
начального пластового давления при полном прекращении отбора жидкости
из залежи, область снижения давления обычно ограничивается площадью
залежи;
-
практически
неизменные
на
протяжении
всего
периода
разработки средние значения промыслового газового фактора;
-
достигаемый высокий темп годовой добычи нефти в период
высокой стабильной добычи нефти, называемый II стадией разработки, - до
8-10 % в год и более от начальных извлекаемых запасов, отбор за основной
период разработки (за первые три стадии) около 85-90 % извлекаемых
запасов нефти;
-
извлечение попутной воды вместе с нефтью в период падения
добычи нефти, в результате чего к концу разработки отношение накопленных
отборов воды и нефти (водонефтяной фактор - ВНФ) может достигать 0.5 – 1.
При
водонапорном
режиме
достигается
наиболее
высокий
коэффициент извлечения нефти - до 0.6 - 0.7. Это обусловлено способностью
воды, особенно пластовой минерализованной, хорошо отмывать нефть и
вытеснять
ее
из
пустот
породы-коллектора,
150
а
также
сочетанием
исключительно благоприятных геолого-физических условий, в которых
действует рассматриваемый режим.
Для повышения эффективности естественных режимов работы залежи
применяются различные искусственные методы воздействия на нефтяные
пласты и призабойную зону. Их можно разделить на три группы:
- методы поддержания пластового давления (заводнение, закачка газа в
газовую шапку пласта);
- другие методы, повышающие проницаемость пласта и призабойной
зоны (соляно-кислотные обработки призабойной зоны пласта, гидроразрыв
пласта, перфорация и др.);
- методы повышения нефтеотдачи и газоотдачи пластов.
Искусственное поддержание пластового давления достигается методами
законтурного, приконтурного и внутриконтурного заводнения, а также
закачкой газа в газовую шапку пласта.
Метод законтурного заводнения применяют при разработке сравнительно
небольших по размерам залежей. Он заключается в закачке воды в пласт через
нагнетательные скважины, размещаемые за внешним контуром нефтеносности
на расстоянии 100 м и более. Эксплуатационные скважины располагаются
внутри контура нефтеносности параллельно контуру.
В результате заводнения приток воды к пласту увеличивается и давление
в нефтяной залежи поддерживается на высоком уровне.
Метод приконтурного заводнения применяют на месторождениях с
низкой проницаемостью продуктивных пластов в части, заполненной водой
(рис. 6.1). Поэтому нагнетательные скважины располагают либо вблизи
контура нефтеносности, либо непосредственно на нем.
Внутриконтурное
заводнение
представлено
разновидностей:
• разрезание рядами нагнетательных скважин;
• площадное;
• избирательное;
151
целым
рядом
• очаговое;
• головное;
• барьерное.
1
2
Рис. 6.1. Система разработки нефтяной залежи с законтурным заводнением
(Скважины: 1 -нагнетательные, 2 -добывающие)
Выделяют несколько подвидов разрезания рядами нагнетательных
скважин - разрезание на площади, блоковое и центральное.
При заводнении с разрезанием эксплуатационного объекта на
площади самостоятельной разработки разрезающие ряды располагают таким
образом, чтобы выделить площади самостоятельной разработки, значительно
различающиеся по геолого-промысловой характеристике (участки с разным
количеством
пластов
в
эксплуатационном
объекте,
с
разной
продуктивностью разреза, с различным характером нефти-водонасыщения и
т. д.).
Большое преимущество системы разработки с разрезанием объекта на
площади - возможность начинать проектирование и разработку с площадей
наиболее продуктивных и с наибольшими запасами.
152
При блоковом заводнении нефтяную залежь разрезают рядами
нагнетательных скважин на полосы (блоки), в пределах которых размещают
ряды добывающих скважин такого же направления. При вытянутой форме
залежи ряды скважин располагают обычно перпендикулярно к ее длинной
оси (рис. 6.2). При «круговой» форме залежей, особенно с обширными
площадями нефтеносности, направление рядов скважин выбирают с учетом
зональной неоднородности продуктивных пластов - в крест выявленной по
данным разведки превалирующей ориентации зон с повышенной мощностью
(и,
как
правило,
с
повышенной
пористостью
и
проницаемостью)
коллекторов.
1
2
Рис. 6.2. Система разработки нефтяной залежи с блоковым
заводнением (Скважины: 1 - нагнетательные; 2 – добывающие)
В результате достигается пересечение всех зон, содержащих основную
часть запасов нефти, линиями разрезания и, следовательно, обеспечение
большего влияния в них закачки воды. При ином направлении блоков,
принятом без учета данных о границах зон разной продуктивности,
разрезающие ряды в значительной части могут оказаться на участках с
153
пониженной проницаемостью пласта, что обусловит низкую приемистость
значительной части нагнетательных скважин и отсутствие в части
высокопродуктивных зон воздействия нагнетаемой воды.
При разрезании залежи рядами нагнетательных скважин закачка воды в
пласты производится через нагнетательные скважины, расположенные в
пределах самой залежи рядами, называемыми разрезающими рядами или
линиями разрезания.
1
2
Рис. 6.3. Разновидность системы со сводовым заводнением
(Скважины: 1 - нагнетательные, 2 – добывающие)
Обычно
все
скважины
разрезающего
ряда
после
бурения
непродолжительно эксплуатируются на нефть при возможно более высоких
дебитах. Это позволяет очистить призабойную зону пласта и снизить
пластовое давление в ряду, т.е. создается условия для успешного освоения
скважин под закачку воды. Затем скважины через одну осваивают под
нагнетание, продолжая интенсивную добычу нефти из промежуточных
скважин ряда. Это способствует перемещению нагнетаемой в пласт воды
вдоль разрезающего ряда. После обводнения промежуточных скважин они
154
также переводятся под закачку воды. При такой технологии освоения
скважин разрезающего ряда вдоль него в пласте создается полоса воды.
Добывающие
скважины
при
этой
разновидности
заводнения
располагают в рядах, параллельных разрезающим рядам. Отбор нефти из
добывающих скважин и продолжающееся нагнетание воды в скважины
разрезающего ряда обусловливают расширение полосы воды, созданной
вдоль ряда, и перемещение ее границ в направлении к добывающим рядам.
Таким путем обеспечиваются вытеснение нефти водой и ее перемещение в
пласте к добывающим скважинам.
При сводовом заводнении нагнетание воды осуществляется в скважины
одного практически прямолинейного или кольцевого разрезающего ряда
(рис. 6.3), расположенного в сводовой части залежи. Эти разновидности
заводнения применяют для пластов, геолого-физическая характеристика
которых благоприятна для применения разрезания вообще. Рациональны они
для залежей с умеренной площадью нефтеносности. Показания для
применения - низкая проницаемость пластов или наличие экранирующего
слоя под залежью, необходимость дополнить законтурное заводнение для
усиления воздействия на центральную часть залежи.
6.2. Построение дискретной модели и алгоритма решения двумерных
задач фильтрации многокомпонентных жидкостей в пористой среде с
учетом подвижной границы раздела «нефть-вода»
Математические
модели
процессов
нестационарной
совместной
фильтрации двух и более жидкостей представляют собой краевые задачи для
систем дифференциальных уравнений параболического типа с однородными
и неоднородными граничными условиями, аналитическое решение которых
затруднено даже в простейших случаях.
155
Численное моделирование можно осуществить с помощью методов
сквозного счета, что требует разработки новых высокоэффективных
вычислительных алгоритмов и программ.
Процесс совместной фильтрации двух и более несмешивающихся
жидкостей в пористой среде является весьма сложным и характеризуется
следующими особенностями:
-
коэффициенты уравнения зависят от времени и пространственных
координат;
-
значения давления на границе раздела двух фаз заранее неизвестны;
-
положение границы раздела двух фаз определяется в процессе
решения.
Добыча нефти происходит в сложнейших условиях, эффективность
эксплуатации месторождения зависит от степени адекватности принимаемых
решений по проектированию и управлению. Адекватность принимаемых
решений зависит от степени соответствия математических моделей,
вычислительных алгоритмов и программно-инструментальных средств для
анализа
и
прогнозирования
технологических
показателей
разработки
нефтяных и газовых месторождений современным требованиям.
При разработке нефтяных месторождений в условиях водонапорного
режима наблюдается продвижение контурных или подошвенных вод. В
математическом отношении такие процессы формулируются как задачи с
подвижной границей раздела нефть-вода.
Представляемая математическая модель основывается на следующих
предположениях:
- рассматриваемые жидкости являются несмещивающимися;
- движение жидкостей в пористой среде прямолинейное и в каждой
области фильтрации подчиняются линейному закону Дарси;
- коэффициенты проводимости пласта в вертикальном направлении
идентичны;
- свойства жидкостей обеих фаз во времени неизменны.
156
На основе этих предположений рассмотрим в плане задачу с
подвижной границей раздела нефть-вода. Здесь предполагается, что пласт
характеризуется постоянной мощностью h, протяженностью L, пористостью
m и начальным пластовым давлением Рн.
При этих предположениях математическая модель задачи с подвижной
границей раздела нефть-вода описывается системой дифференциальных
уравнений параболического типа:
 ∂  k ∂P1  ∂  k ∂P1 
∂P1
+ Q при
( x, y ) ∈ G1 ,
 
+ 
 = aβ H
x
x
y
y
t
∂
∂
∂
∂
∂
µ
µ
  1

 1


(6.1)
 ∂  k ∂P2  + ∂  k ∂P2  = 1 − a β ∂P2 − Q при x, y ∈ G .
( ) 2
0) B
 ∂x  µ ∂x  ∂y  µ ∂y  (
∂
t

 2

  2
Система уравнений (6.1) интегрируется при следующих начальных,
граничных и внутренних условиях:
P1 = P2 = PH ( x, y ) при t = 0,
qНiq ( t ) =
(6.3)
k ∂P2
ds при ( x, y ) ∈ siq , iq = 1, M q ,
∂
n
2
(6.4)
∫µ
siq
(6.2)
k ∂P1
ds при ( x, y ) ∈ siq , iq = 1, N q ,
∂
n
1
∫µ
siq
qВiq ( t ) =
( x, y ) ∈G1 + G2 ,
∂P2
= 0 при ( x, y ) ∈Γ2 ,
∂n
P1 ( x, y ) = P2 ( x, y ) ,
(6.5)
k ∂P1 k ∂P2
=
при ( x, y ) ∈Γ1 ,
µ1 ∂n µ2 ∂n
(6.6)
∂ϑ ( x, y , t )
∂P1 ( x, y, t )
k
,
=−
µ1m ( a − a0 )
∂t
∂n
(6.7)
ϑ ( x, y , 0 ) = φ ( x, y ) при ( x, y ) ∈ Γ1.
(6.8)
157
Здесь
-
k
P1 , P2
-давление
коэффициент
в
области
нефтеносности
и
водоносности;
µ1, µ2
-
коэффициенты
проницаемость
пласта;
динамической вязкости нефти и воды; βн , βc - коэффициенты упругоёмкости
пласта в области нефти и воды (βн = mβнж + βс ; βв = mβвж + βс ) ; βнж, βвж коэффициенты сжимаемости нефти и воды;
коэффициент пористости пласта;
βс
- сжимаемость пласта; m -
Γ1 - контур подвижной границы раздела
нефть-вода;
Γ2 - внешний контур водоносного пласта; si - контур iq -й скважины;
й
qHi - дебит iq -й нефтяной скважины; qBi - дебит iq -й водяной скважины;
q
q
Nq , Mq
- число скважин соответственно в области нефтеносности и
водоносности; ϑ - вектор скорости, направленной по внутренней нормали;
a - коэффициент нефтенасыщенности; a0 - коэффициент остаточной
нефтенасыщенности;
φ
-
начальная
граница
раздела
нефть-вода;
n - нормал, соответственно к контурам S, Γ2 .
Обезразмеривание
переменных
в
(6.1)-(6.8)
осуществляется
по
формулам
x
y
k
P
P
x* = ; y* = ; k * = ; P1* = 1 ; P2* = 2 ;
L
L
kx
Px
Px
( a − a0 ) β B .
β a µ L2
q µ
qµ
t = H 1 τ ; qН* = Н 1 ; qВ* = В 2 ; R* =
π kx Px hx
π kx Px hx
kx
аβ H
Здесь
Px - некоторые характерные значения давления; kx - некоторое
характерные значения проницаемости пласта; L - характерная длина.
После перехода к безразмерным переменным в системе (6.1) с
соответствующими краевыми условиями (6.2)-(6.8) задача решается численно
с
применением
продольно-поперечной
схемы
для
дифференциально-
разностной задачи и методом дифференциальной прогонки для определения
неизвестной границы.
158
Область фильтрации G1 + G2 покрывается сеточной областью Ω xyτ ,
образованной регулярной сеткой координатных линий:

1 
Ω xyτ =  xi = i∆x, y j = j ∆y, τ l = l ∆τ , i = 1, N , j = 1, M , l = 0, N τ , ∆τ =
.
Nτ 

Здесь
N,
-число
M
узлов
на
yj
прямой
и
xi
соответственно;
∆x, ∆y - шаги сетки, соответствующий осям x и y .
Воспользуемся алгоритмической идеей неявной схемы переменных
направлений
(продольно-поперечная
схема)
для
получения
дифференциально-разностной задачи. Переход от слоя l к слою l+1
совершается в два этапа с шагом 0.5 ∆τ . Тогда решение (6.1) находится
последовательным решением системы уравнений:
d 
  ki , j
 dx 

d 
  ki , j
 dy 

d 
  ki , j
 dx 

 d k
 dy  i , j
 
dP1(j
l + 0.5 )
dx
dP1(i
l +1)
P1(j ) ( x )
1
l
( l + 0.5)
− Λ1 y  ki , j P1(i , )j  ;
P1 j
x) = −
−
(

0.5∆τ
 0.5∆τ
( x) 
l
P1(i ) ( y )
1
l + 0.5
( l +1)
− Λ1x  ki , j P1(i , j )  ,
P1i ( y ) = −


0.5∆τ
dy
 0.5∆τ
l
l + 0.5
(6.9)
dP2( j ) ( x ) 
P2( j ) ( x )
R*
l
( l + 0.5)
P2 j
x) = −
− Λ 2 y  ki , j P2(i ,)j  ;
−
(

0.5∆τ
dx
 0.5∆τ
dP2(i
l +1)
dy
( y)  −
l + 0.5
( y)  −
(l + 0.5)
P
( y ) − Λ  k P(l + 0.5)  .
R*
l +1
P2(i ) ( y ) = − 2i

2 x  i , j 2i , j


0.5∆τ
 0.5∆τ
Где
(l ) 
Λ1 y  ki , j P1i , j  =
ki −0.5, j P1(i l−)1, j − ( ki − 0.5, j + ki + 0.5, j ) P1(i l, )j + ki + 0.5, j P1(i +l )1, j
( l + 0.5) 
Λ1x  ki , j P1i , j
∆y 2
=
)
( l + 0.5)
)
ki , j −0.5 P1(i ,l +j −0.5
+ ki , j + 0.5 P1(i ,l +j +0.5
1 − ( ki , j − 0.5 + ki , j + 0.5 ) P1i , j
1
∆x 2
ki −0.5, j P2(i −)1, j − ( ki −0.5, j + ki + 0.5, j ) P2(i ,)j + ki + 0.5, j P2(i +)1, j
l
(l )
Λ 2 y  ki , j P2i , j  =
;
l + 0.5
Λ 2 x  ki , j P2(i , j )  =
l
∆y 2
;
l
;
( l + 0.5 )
)
)
ki , j −0.5 P2(il,+j 0.5
+ ki , j + 0.5 P2(il,+j 0.5
−1 − ( ki , j − 0.5 + ki , j + 0.5 ) P2 i , j
+1
∆x 2
159
.
Полученная система дифференциально-разностных уравнений (6.9)
решается методом дифференциальной прогонки вдоль каждой из прямых
xi
c начальными условиями, известными при τ = τ l , а затем вдоль каждой из
прямых y j , где в качестве начального условия берутся только что найденные
значения, соответствующие l+0.5 -му слою.
Согласно
методу
дифференциальной
прогонки
решения
дифференциально-разностных уравнений (3.9) на l+0.5 -м и l+1 -м
временных слоях с краевыми условиями (3.2)-(3.7) определяются формулами
P1(j
l + 0.5 )
dP1(j
l + 0.5 )
( x)
dx
P1(i
l +1)
dP1(i
=
( y) =
l +1)
dy
γ j ( x) u j ( x) − α j ( x) wj ( x)
,
α j ( x) vj ( x) − β j ( x)u j ( x)
( x) =
( y) =
1
(6.10)
v j ( x)γ j ( x) − wj ( x) β j ( x)
k j ( x ) α j ( x ) v j ( x ) − β j ( x ) u j ( x ) 
γ i ( y ) ui ( y ) − α i ( y ) wi ( y )
,
α i ( y ) vi ( y ) − βi ( y ) ui ( y )
1
vi ( y ) γ i ( y ) − wi ( y ) βi ( y )
ki ( y ) α i ( y ) vi ( y ) − βi ( y ) ui ( y ) 
,
(6.11)
(6.12)
;
где коэффициенты левой и правой прогонки
(6.13)
α j ( x) , β j ( x) , γ j ( x) и
u j ( x) , v j ( x) , wj ( x) находятся как решения следующих задач Коши:
du j ( x )

= v j ( x ) , u j ( 0 ) = 1;
k
x
(
)
 j
dx

 dv j ( x )
= R1 j u j ( x ) ,
v j ( 0 ) = 0;

dx

 dw j ( x )
= F1 j u j ( x ) ,
w j ( 0 ) = 0.

dx

160
(3.14)

dα j ( x )
= β j ( x ) , α j (1) = 1;
k j ( x )
dx

 d β j ( x)
= R1 jα j ( x ) ,
β j (1) = 0;

dx

 dγ j ( x )
γ j (1) = 0.
= F1 jα j ( x ) ,

dx

(3.15)
Также коэффициенты левой и правой прогонки α i ( y ) , β i ( y ) , γ i ( y ) и
ui ( y ) , vi ( y ) , wi ( y ) находятся как решения следующих задач Коши:

dui ( y )
= vi ( y ) , ui ( 0 ) = 1;
k
y
(
)
 i
dy

 dvi ( y )
vi ( 0 ) = 0;
= R1iui ( y ) ,

 dy
 dwi ( y )
= F1iui ( y ) ,
wi ( 0 ) = 0.

 dy
(3.16)

dα j ( y )
= βi ( y ) , α i (1) = 1;
k
y
(
)
 i
dy

 d β i ( y )
= R1iα i ( y ) ,
βi (1) = 0;

dy

 dγ ( y )
 i
= F1iα i ( y ) ,
γ i (1) = 0.
 dy
(3.17)
Здесь
P1(jl ) ( x )
F1 j = −
− Λ  ki , j P1(i ,l )j  − δ i , j qi , j ;
0.5∆τ
P1i(l + 0.5) ( y )
F1i = −
− Λ  ki , j P1(i ,l +j 0.5)  ;
0.5∆τ
1
1
R1 j =
, R1i =
.
0.5∆τ
0.5∆τ
Для
решения
задач
Коши
(6.14)-(6.17)
определяются из граничных условий (6.4).
161
начальные
условия
Решения
третьего
и
четвёртого
дифференциально-разностного
уравнений (6.9) на l+0.5 -м и l+1 -м временных слоях с краевыми условиями
(6.2)-(6.7) определяются аналогично. При этом, также решаются задачи Коши
(6.14)-(6.17) для третьего и четвёртого уравнений, с учетом
P2( j ) ( x )
l
F2 j = −
F2i = −
R2 j
0.5∆τ
− Λ  ki , j P2(il,)j  + δ i , j qi , j ;
P2(il + 0.5) ( y )
l + 0.5
− Λ  ki , j P2(i , j )  ;
0.5∆τ
R*
R*
, R 2i =
.
=
0.5∆τ
0.5∆τ
Аппроксимируя дифференциальные уравнения (3.7) по
τ,
получаем
формулу для уточнения положения границы раздела на каждом временном
слое:
ϑi , j = ϑˆi , j −
∆τ ki , j  dP1

dP
cos α + 1 cos β  ,

mµ1  dx
dy

где ϑi, j – вектор скорости, направленный по внутренней нормали на границе
раздела; ϑˆi , j - вектор скорости, направленный по внутренней нормали на
границе раздела в предыдущем временном слое; α – угол между нормалью и
осью ox; β – угол между нормалью и осью oy: β = 3 π + α .
2
При уточнении положения границы раздела значения ϑi, j берутся из
начального условия (3.8).
На границе области фильтрации может выполняться одно из условий:
первого рода; второго рода и смешанное условие.
Если на границе области фильтрации известны значения давления, т. е.
задано первое краевое условие, тогда начальные условия задачи Коши
162
принимают следующий вид соответственно на левой и правой частях
внешней границы Γ :
u1 = 0, v1 =−1, w1 = Pг ; αn = 0, βn =−1, γn = Pг .
Если на внешней границе области фильтрации задан поток, т. е. второе
краевое условие, тогда начальные условия задачи Коши принимают
следующий вид, соответственно на левой и правой частях границы:
u1 =1, v1 = 0, w1 = fΓ; αm = 0, βm = 0, γm = fΓ;
fΓ - известная функция. Если fΓ =0, то граница непроницаема.
В случае, когда на одной части границ области фильтрации задается
условие 1-го рода, а на другой части - условие 2-го рода, т.е. на одной части
задано давление, а на другой части - поток, начальные условия задачи Коши
определяются аналогично.
На внутренних границах многосвязной области задаются условие
непроницаемости и неразрывности давления. Эти условия выполняются
автоматически на переходе границы раздела двух фаз при применении
метода
дифференциальной
прогонки.
В
процессе
последовательного
нахождения значений ui(x), vi(x), wi(x) при переходе от одной фазы к другой в
качестве начальных условий используются предыдущие значения этих
функций.
Численное интегрирование задачи Коши осуществляется методом
Рунге-Кутта
с
использованием
процедуры
нормировки
прогоночных
коэффициентов и коэффициентов данного метода.
В каждом итерационном шаге при вычислении вектора Ui+1 в правую
часть системы уравнений вместо Ui подставляется нормированный вектор
(где U = ( u , v , w ) или U = (α , β , γ ) ). Процедура нормировки может быть
опущена, если выбранный метод устойчиво решает задачу Коши.
Численная реализация дискретной модели на ЭВМ строится по
следующему алгоритму:
1. Начало.
163
2. Ввод исходных данных: вязкость нефти и воды; проницаемость
пласта;
пористость;
коэффициент
упругоёмкости
пласта
в
области
нефтеносности и водоносности соответственно; информация о конфигурации
сеточной области; шаг по времени; время выделенное в процесс решения;
максимальная размерность сеточной области; точность итерационного
процесса для определения границы раздела; дебиты скважин; мощность
пласта; начальное пластовое давления.
3. Определение дискретных шагов по сетке.
4. Формирование
информационного
массива
сеточной
области
фильтрации.
5. Определение начальных точек координат ( x, y ) границы Γ раздела
в сеточной области.
6. Решение системы дискретных уравнений по переменной x методом
переменных направлений:
6.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) в нижней части контура Γ ;
6.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) (для всех j =2,3,...,Mi −1) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
6.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( x ) , β ( x) , γ ( x ) на верхней части контура Γ ;
6.4. Вычисление
α ( x) , β ( x) , γ ( x)
(для
значений
всех
прогоночных
j = Mi −1, Mi − 2,...,2 )
коэффициентов
методом
Рунге-Кутта
(обратный ход);
6.5. Вычисление значения пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 6.1-6.5 повторяются для всех i =1,2,.., Nj −1.
7. Решение системы дискретных уравнений по переменной y методом
переменных направлений:
164
7.1.
Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( y ) , v ( y ) , w( y ) на левой части контура Γ ;
7.2.
Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( y ) , v ( y ) , w( y ) (для всех i =1,2,.., Nj ) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
7.3.
Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( y) , β ( y) , γ ( y) на правой части контура Γ ;
7.4.
Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
α ( y) , β ( y) , γ ( y) (для всех i = N j , N j −1, N j − 2,...,1) методом Рунге-Кутта
(обратный ход);
7.5.Вычисление значений пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 7.1-7.5 повторяются для всех j = 1,2,.., Mi .
8. Проверка условия окончания решения во времени. Если
tk > T , то
перейти к шагу 10, в противном случае вычислительный процесс
продолжается для следующего временного шага, т.е. следует переход к шагу 4.
9. Конец.
6.3. Построение дискретной модели и алгоритма решения задач
фильтрации жидкости и газа в пористой среде с учетом подвижной
границы раздела «газ-вода»
При проектировании, анализе и определении переспектив разработки
газовых месторождений требуется определить изменение во времени
необходимого числа эксплуатационных и нагнетательных скважин, дебитов
газовых и расходов нагнетательных скважин, пластовых, забойных давлений
и продвижение во времени контурных или подошвенных вод и другие
показатели.
Процессы фильтрации газа, происходящие в пласте при разработке
месторождений,
описываются
нелинейными
165
дифференциальными
уравнениями
в
частных
производных
параболического
типа.
Для
определения показателей разработки газовых месторождений с учетом
неоднородности
пласта,
произвольного
расположения
разнодебитных
скважин, неравномерности продвижения границы раздела газ-вода и т.д.
необходимо
интегрирование
дифференциальных
уравнений
неустановивщейся фильтрации газа и воды при соответствущих начальных,
внутренних и граничных условиях. При этом особую важность в теории
разработки газовых месторождений имеет дифференциальное уравнение
неустановивщейся фильтрации газа.
Пусть показатели разработки газовой залежи определяются в условиях
водонапорного
режима.
Пласт
разрабатывается
системой
нескольких
эксплуатационных и нагнетательных скважин с различными дебитами. При
этом рассмативаемая математическая модель описывает процесс разработки
массивных залежей на основе модели поршневого вытеснения (модель типа
Стефена).
В случае плоского фильтрационного потока нестационарное движение
газа и воды математически описывается системой дифференциальных
уравнений в частных производных:
 ∂  k ∂P12  ∂  k
 
+ 
x
x
∂
∂
µ
  1
 ∂y  µ1

 ∂  k ∂P2  + ∂  k


 
 ∂x  µ2 ∂x  ∂y  µ2
∂P12 
∂P1
+Q
 = 2am
∂y 
∂t
при ( x, y ) ∈ G1 ;
∂P2 
∂P2
− Q при ( x, y ) ∈ G2 .
 = (1 − a0 ) β B
∂y 
∂t
(6.18)
Для системы уравнений (3.18) в качестве начальных, граничных и
внутренних условий берутся следующие:
P1 = P2 = P ( x, y ) при t = 0,
q Гiq ( t ) =
k P1 ∂P1
ds при
1 Pат ∂n
∫µ
siq
( x, y ) ∈ G1 + G2 ,
( x, y ) ∈ si ,
q
166
(6.19)
iq = 1, N q ,
(6.20)
qВiq ( t ) =
∫
siq
k ∂P1
ds при ( x, y ) ∈ siq , iq = 1, M q ,
µ 2 ∂n
(6.21)
∂P2
= 0 при
∂n
( x, y ) ∈ Γ 2 ,
P1 ( x, y ) = P2 ( x, y ) ,
(6.22)
k ∂P1 k ∂P2
при ( x, y ) ∈Γ1,
=
µ1 ∂n µ2 ∂n
(6.23)
∂P1
∂ϑ
k
=−
; ϑ (0) = φ ( x, y ) при ( x, y ) ∈ Γ1.
∂t
µ1m ( a − a0 ) ∂n
(6.24)
Здесь
P1, P2 - давления соответственно в области газоносности и
водоносности;
µ1, µ2
- коэффициенты динамической вязкости газа и воды
соответсвенно; qГi - дебит iq -й газовой скважины; qBi - дебит iq - й водяной
q
q
скважины; Nq , M q - число скважин соответственно в области газоносности и
водоносности; siй -контур iq -й скважины;
Γ1 - контур подвижной границы
раздела газ-вода; a - коэффициенты газонасыщенности;
a0 - коэффициент
остаточной газонасыщенности; n - нормаль, соответственно к контурам
S, Γ2; ϑ - вектор скорости, направленный по внутренней нормали.
Из
поставленной
задачи
(6.18)-(6.24)
видно,
что
получить
аналитическое решение затруднительно. Для численного интегрирования
задачи введем следующие безразмерные переменные, замены которых
осуществляются в виде:
x* = x / L, y * = y / L, k * = k / k x , P1* = P1 / Px , P2* = P2 / Px ,
( a − a0 ) βB .
q µP
amµ1L2
q µ
τ , q*Г = Г 1 2ат , qВ* = Г 2 , R* =
t=
π kx Px hx
π kx Px hx
px kx
2am
Здесь Px - некоторое характерное значение давления;
kx - некоторое
характерное значение проницаемости пласта; L - характерная длина.
167
Система (6.18) с соответствующими краевыми условиями (6.19)-(6.24)
решается численно с помощью метода дифференциальной прогонки [3].
Область
фильтрации
G1 + G2
покрывается
регулярной
сеткой
координатных линий:

1 
Ω xyτ =  xi = i∆x, y j = j ∆x, τ l = l ∆τ , i = 1, N , j = 1, M, l = 0, N τ , ∆τ =
.
N
τ 

Для
решения
дифференциально-разностной
задачи
используется
алгоритмическая идея неявной схемы переменных направлений, что
позволяет применить метод дифференциальной прогонки вдоль каждой из
прямых координатных линий:
d 
  ki , j
 dx 
 
d 
  ki , j
 dy 

d 
  ki , j
 dx 

d 
 dy  ki , j
 
( l +0.5)
dP12j
dx
( l +1)
(l )
( x ) 
P12j ( x )
l + 0.5)
(l )
1
2(
−
− Λ1 y  ki , j P1i2, j  ;
P1 j
x) = −
(


 2 Pɶ1 j 0.5∆τ
2 Pɶ1 j 0.5∆τ

( l +0.5 )
( y )  −
l +1
P1i2 ( y )
( l +0.5)
1
2( )
− Λ1x  ki , j P1i2, j  ;
P1i ( y ) = −


 2 Pɶ1i 0.5∆τ
2 Pɶ1i 0.5∆τ
dy

l
l + 0.5
(6.25)
P2( j ) ( x )
dP2( j ) ( x ) 
R*
( l + 0.5)
(l ) 

P
x
k
P
−
=
−
−
Λ
;

( )
2 y  i , j , 2i , j 
 0.5∆τ 2 j
∆
0.5
τ
dx

dP2(il +1) ( y ) 
P2(il + 0.5) ( y )
R*
l + 0.5
( l +1)
P2i ( y ) = −
− Λ 2 x  ki , j P2(i , j )  .
−

dy
0.5∆τ
 0.5∆τ
dP1i2
Здесь
ki −0.5, j P1i2−1, j − ( ki −0.5, j + ki + 0.5, j ) P1i2, j
( l +0.5)
( l +0.5)
l +0.5)
2(
Λ1x  ki , j P1i , j

=

∆x 2
ki , j −0.5 P12i , j −1 − ( ki , j −0.5 + ki , j + 0.5 ) P1i2, j + ki , j + 0.5 P1i2, j +1
(l )
(l )
l
2( )
i , j 1i , j
Λ1 y  k P

=

( l +0.5)
+ ki + 0.5, j P1i2+1, j
∆y 2
168
(l )
;
;
ki − 0.5, j P2(i −1, j ) − ( ki − 0.5, j + ki + 0.5, j ) P2(i , j
l + 0.5)
l + 0.5
( l + 0.5) 
Λ 2 x  ki , j P2i , j
=
Λ 2 y  ki , j P2i , j  =
l + 0.5
∆x 2
ki , j −0.5 P2(i ,)j −1 − ( ki , j −0.5 + ki , j + 0.5 ) P2(i ,)j + ki , j + 0.5 P2(i ,)j +1
l
(l )
+ ki + 0.5, j P2(i +1, j )
l
;
l
∆y 2
.
Полученная дифференциально-разностная задача решается методом
дифференциальной прогонки вдоль каждой из прямых xi c начальными
условиями, известными при τ = τ l , а затем вдоль каждой из прямых yj, где в
качестве начального условия берутся только что найденные значения
функции давления в l+0.5 -м временном слое.
Так как полученная система дифференциально-разностных уравнений
относительно
функции
давления
P
нелинейные,
то
для
решения
применяется итерационный метод при квазилинеаризации нелинейных
членов [5]. Согласно этому методу, нелинейные члены разностного уравнения
(6.25) представляются в виде:
( ) (
ϕ ( P ) ≅ ϕ Pɶ + P − Pɶ
Здесь
Pɶ
)
( ).
∂ϕ Pɶ
(6.26)
∂P
- приближенное значение функции пластового давления,
которое уточняется в процессе итерации
Pɶ = Pi,(s)j , при этом Pi,(0)j = Pˆi, j .
Если, формулы (6.26) запишем для нелинейной функции давления, то
получим следующую формулу
ɶ − Pɶ 2.
P2 ≈ 2PP
Для
уравнений
нахождения
(6.25)
общего
согласно
решения
методу
дифференциально-разностных
дифференциальной
прогонки
рассматривается эквивалентное уравнение, удовлетворяющее граничным
условиям
169
dP1
= v1 ( x ) P1 + w1 ( x ) ,
dx
dP
u2 ( x ) k 2 = v2 ( x ) P2 + w2 ( x ) ,
dx
u1 ( x ) kP1
где
u1 ( x) , v1 ( x) , w1 ( x) и u2 ( x) , v2 ( x) , w2 ( x) - коэффициенты левой прогонки.
Очевидно, что первое уравнение системы нелинейное и для него
применяется метод квазилинеаризации:
u1 ( x ) k
dP1
2
2
= v1 ( x ) + w1 ( x ) − 2 w1 ( x ) P1 ,
dx
Pɶ1
Pɶ1
u2 ( x ) k
dP2
= v2 ( x ) P2 + w2 ( x ) .
dx
(6.27)
(6.28)
Аналогично можно составить уравнения, удовлетворяющие граничным
условиям в правой части контура
α1 ( x ) k
Γ2 :
dP1
2
1
= β1 ( x ) + γ 1 ( x ) − 2 γ 1 ( x ) P1,
dx
Pɶ1
Pɶ1
α2 ( x ) k
dP2
= β2 ( x ) P2 + γ 2 ( x ) .
dx
(6.29)
(6.30)
Здесь α1 ( x ) , β1 ( x ) , γ 1 ( x ) и α2 ( x) , β2 ( x) ,γ 2 ( x) - коэффициенты правой
прогонки.
Таким образом, общее решение дифференциально-разностных систем
(6.25) определяется из следующих соотношений (6.27)-(6.30)
P1 =
1 v1 ( x ) α1 ( x ) − β1 ( x ) u1 ( x ) ɶ
+ P1 ,
Pɶ12 w1 ( x ) α1 ( x ) − u1 ( x ) γ 1 ( x )
P2 =
γ 2 ( x ) u2 ( x ) − α 2 ( x ) w2 ( x )
.
α 2 ( x ) v2 ( x ) − β 2 ( x ) u 2 ( x )
170
Здесь коэффициенты левой и правой прогонки находятся как решение
задачи Коши по методике, описанной в разделе 6.2. Но при этом в отличие от
линейного
случая
на
границе
раздела
коэффициенты
прогонки
u1 (ξ ) , v1 (ξ ) , w1 (ξ ) и u2 (ξ ) , v2 (ξ ) , w2 (ξ ) не совпадают. Это является следствием
влияния нелинейных членов первого уравнения. Поэтому для применения
метода сквозного счета, на границе раздела необходимо установить
отношения
между
прогоночными
коэффициентами,
которые
для
коэффициентов левой прогонки имеют вид:
u1 (ξ ) = u2 (ξ ) ; v1 (ξ ) = −
1
Pɶ12 (ξ )
w2 (ξ ) , w1 (ξ ) = v2 (ξ ) −
2
Pɶ12 (ξ )
w2 (ξ ) .
Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов
правой прогонки.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится
условие
−1) ≤ ε .
max Pi(s)
− Pi(s
j
j
,
,
i, j
Здесь
ε
(6.31)
– точность итерации, заранее заданная малая величина; s –
номер итерации.
Повторяя данную процедуру, строится вычислительная схема для
третьего и четвертого уравнений системы (6.25) (т.е. для прямых yj). Задача
Коши в данной постановке с заданными начальными условиями решается
методом Рунге-Кутта или Кутта-Меерсона.
На каждом временном слое положения границы раздела газ-вода
определяется по формуле
ϑi , j = ϑˆi , j −
∆τ ki , j  dP1

dP
cos α + 1 cos β  .

mµ1  dx
dy

171
Здесь ϑi , j -вектор скорости, направленный по внутренней нормали на
границе раздела; ϑˆi , j
-вектор скорости, направленный по внутренней
нормали на границе раздела в предыдущем временном слое.
Начальное значение положения границы раздела ϑˆi , j берётся из
начального условия r ( x, y,0 ) = φ ( x, y ) ; α – угол между нормалью и осью ox;
β – угол между нормалью и осью oy: β = 3 π + α .
2
Использование метода дифференциальной прогонки в качестве метода
сквозного счета обусловлено тем, что в нем автоматически учитываются
внутренние условия, в частности, условия сопряжения.
Для многосвязной области на внутренних границах задаются условия
непроницаемости перемычки
и неразрывности потока. Эти
условия
выполняются автоматически на переходе границы раздела двух сред при
применении
метода
дифференциальной
прогонки.
В
процессе
последовательного нахождения значений ui ( x ) , vi ( x ) , wi ( x ) при переходе от
одной фазы к другой, в качестве начальных условий используются
предыдущие значения этих функций.
Численное интегрирование задач Коши осуществляется методом
Рунге-Кутта
с
использованием
процедуры
нормировки
прогоночных
коэффициентов и коэффициентов метода Рунге-Кутта.
В каждом итерационном шаге при вычислении вектора Ui+1 в правую
часть системы уравнений подставляются вместо Ui нормированный вектор
(где U = ( u , v , w ) или U = (α , β , γ ) ). Процедура нормировки может быть
пропущена, если выбранный метод устойчиво решает задачу Коши.
Рассмотрим алгоритм решения задачи с подвижной границей раздела
газ-вода.
1. Начало.
172
2. Ввод исходных данных: вязкости газа и воды; проницаемость пласта;
пористость; коэффициент упругоёмкости пласта в области нефтеносности и
водоносности соответственно; информация о конфигурации сеточной
области; шаг по времени; время, выделенное в процесс решения;
максимальная размерность сеточной области; точность итерационного
процесса для определения границы раздела; дебиты скважин; мощность
пласта; начальное пластовое давления.
3. Определение дискретных шагов по сетке.
4. Формирование информационного массива о сеточной области
фильтрации.
5. Определение начальных точек координат ( x, y ) границы Γ раздела
в сеточной области.
6. Решение системы дискретных уравнений по переменной x методом
переменных направлений:
6.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) в нижней части контура Γ ;
6.2. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) (для всех j = 2,3,..., Mi −1) методом Рунге-Кутта (прямой ход);
6.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( x ) , β ( x ) , γ ( x ) на верхней части контура Γ ;
6.4. Вычисление
α ( x) , β ( x) , γ ( x)
(для
значений
всех
прогоночных
коэффициентов
j =Mi −1, Mi −2,...,2) методом Рунге-Кутта
(обратный ход);
6.5. Вычисление значения пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 6.1-6.5 повторяются для всех
i = 1,2,.., M j .
7. Решение системы дискретных уравнений по переменной y методом
переменных направлений:
173
7.1. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
u ( y ) , v ( y ) , w ( y ) на левой части контура Γ ;
7.2. Вычисление
u ( y ) , v ( y ) , w ( y ) (для всех
значений
i = 1,2,.., M j )
прогоночных
коэффициентов
методом Рунге-Кутта (прямой ход);
7.3. Определение начальных значений прогоночных коэффициентов
α ( y ) , β ( y ) , γ ( y ) на правой части контура Γ ;
7.4. Вычисление
значений
прогоночных
коэффициентов
α ( y ) , β ( y ) , γ ( y ) (для всех i =Nj −1, Nj −2,...,2) методом Рунге-Кутта (обратный
ход);
7.5. Вычисление значения пластового давления P1i, j и P2i, j .
Пункты 7.1-7.5. повторяются для всех
j =1,2,..,N.
8. Проверка итерационного процесса по функции давления
max P1(i,sj) − P1(i ,sj−1) ≤ ε .
i, j
Если выполняется это условие, то осуществляется переход к
следующему временному шагу, в противном случае переход к шагу 6 для
продолжения процесса расчета новых приближений.
9. Определение значения границы раздела l ( x, y) .
10. Проверка условия окончания решения во времени. Если tk > T , то
перейти к шагу 11, в противном случае вычислительный процесс
продолжается для следующего временного шага, т.е. переход осуществляется
к шагу 4.
11. Конец.
Следует
отметить,
что
применение
метода
дифференциальной
прогонки для решения двумерной задачи с подвижной границей раздела дает
квадратичную
сходимость
итерационного
процесса
при
определении
положения границы раздела и позволяет получить абсолютно устойчивую
вычисленную схему для системы в целом.
174
6.4. Визуализация результатов расчета основных показателей
разработки нефтяных и газовых месторождений при водонапорном
режиме
Анализируются результаты расчетов при различных конфигурациях
области фильтрации, а также значениях коэффициентов вязкости и
проницаемости пласта в случаях, когда нефть и газ вытесняются водой (т.е.
рассматриваются
случаи
нефть-вода
и
газ-вода).
Исследуется
перераспределение поля давления в пласте и продвижение границ раздела
при различных длительностях разработки месторождений.
а) Случай «нефть–вода». Для решения задачи фильтрации с
подвижной границей раздела нефть-вода и проведения вычислительных
экспериментов разработано математическое и программное обеспечения,
которые позволяют визуализацию численных результатов расчета, основных
показателей
разработки
нефтяных
месторождений
в
графическом
и
анимационном виде.
Примеры. Рассмотрим нестационарную фильтрацию нефть-вода в
пористой среде. Пласт разрабатывается в водонапорном режиме системой
двух батарей скважин с заданными постоянными дебитами и поддерживается
начальное пластовое давление с помощью четырех нагнетательных скважин
в водоносной зоне.
Расчеты проведены при следующих значениях параметров: длина
пласта
L = 1 0 к м ; мощность пласта h = 1 0 м ; дебит скважины в
вытесняемой
зоне
qВ = 200 м3 /сутки .
q H = 300 м 3 / сутки
Начальное
пластовое
и
вытесняющей
давление
PH = 150 атм
зоне
(в
безразмерных единицах 0.5), а характерное пластовое давление Pх = 300 атм .
Остальные параметры заданы в следующем порядке: m = 0.1 ; k = 0.1 Дарси :
число шагов по горизонтали и вертикали N = 100 ; M = 100 ; упругоёмкость
пласта βН = 0.00001 см2 / кгс; βВ = 0.00001 см2 / кгс.
175
Рис. 6.4. Динамика распределения давления в пласте с единой
центральной нагнетательной скважиной ( µН = 4 сПз ) .
На рис. 6.4 приведены распределения давления на скважине, сечении и
площади.
Таблица 6.1
Безразмерные значения давления на нагнетательной скважине и
положения границы раздела при µН = 4сПз
Время
в сутки
разработки
Давление на
нагнетательной
скважине (Рскв)
Давление на
границе
раздела (Ргр)
Координаты
границы раздела
0
180
360
540
720
900
1080
0.5
0.542
0.577
0.602
0.633
0.651
0.672
0.500
0.520
0.534
0.539
0.529
0.525
0.524
0,5000
0,5296
0,5595
0,5893
0,6191
0,6490
0,6789
lxy
Таблица 6.2
Безразмерные значения давления на нагнетательной скважине и
положения границы раздела при µН = 8сПз .
Время
в сутки
разработки
Давление на
нагнетательной
скважине (Рскв)
Давление на
границе
раздела (Ргр)
Координаты
границы раздела
0
0.500
0.500
0.5
176
lxy
180
360
540
720
900
1080
0.591
0.597
0.602
0.605
0.608
0.611
0.519
0.532
0.535
0.526
0.523
0.521
0.5256
0.5555
0.5896
0.56191
0.641
0.656
В табл. 6.1 и 6.2 приведены расчетные значения безразмерного
давления на границе раздела и в контуре питания, а также положения
границы раздела при различных моментах времени. Полученные результаты
показывают, что коэффициент вязкости нефти существенно влияет как на
динамику распределения давления в пласте, так и на характер продвижения
контура водоносности.
На рис. 6.5 показаны результаты расчета разработки нефтяной залежи с
односторонней
прямоугольной
областью
фильтрации
при
контурном
заводнении. Здесь начальное пластовое давление поддерживается с помощью
трех нагнетательных скважин в левой части пласта. Расчеты показывают, что
при увеличении времени разработки нефтяной залежи в левой части пласта
поднимается пластовое давление. Эти результаты наглядно подтверждают
график площадных изменений давления и распределения давления в
сечениях, а также скважинах.
Рис. 6.5. Изменение давления в нефтяной залежи
при контурном одностороннем заводнении
177
На рис. 6.6 показаны результаты расчета для прямоугольной области
фильтрации
нефтяного
месторождения
с
единой
центральной
эксплуатационной скважиной и тремя нагнетательными скважинами,
которые поддерживают давление в левой части пласта.
Из этих рисунков видно, что начальное пластовое давление в
некотором интервале почти постоянное, затем резко падает и достигает
своего минимального значения в точке, где расположена эксплуатационная
скважина. С увеличением времени эксплуатации пласта (т.е. при постоянном
отборе нефти из эксплуатационных скважин) увеличивается падение
давления в правой части нефтеносности (это часть отражена на графике
черным цветом). В левой части пласта, где расположены три нагнетательные
скважины, давление во времени увеличивается.
Рис. 6.6. Разработка нефтяной залежи
при контурном одностороннем заводнении
Далее в рис. 6.7-6.9 рассмотрены варианты, когда коэффициент
вязкости нефти принимал значения
µН = 4,6 и 8 сПз . Из-за симметричного
расположения скважин и распределения давления в пласте анализируются
результаты расчетов в сечении y = 0.5 .
Из этих рисунков видно, что при большей вязкости нефти в нефтяной
скважине давление постепенно падает, а при меньшей вязкости во времени
178
падение давления прекращается, т.е. процесс стабилизируется. Это зависит
от работы нагнетательной скважины.
Рис. 6.7. Динамика изменения давления в пласте и скважинах при
µН = 4cПз, qН = −400 м3 / сутки, qВ = 200 м3 / сутки
Скважины: скв1 – эксплуатационная; скв2 – нагнетательная
Рис. 6.8. Динамика изменения давления в пласте и скважинах при
µН = 6cПз, qН = −400 м3 / сутки, qВ = 200 м3 / сутки
Скважины: скв1 – эксплуатационная; скв2 – нагнетательная
Рис. 6.9. Динамика изменения давления в пласте и скважинах при
µН = 8cПз, qН = −400 м3 / сутки, qВ = 200 м3 / сутки
Скважины: скв1 – эксплуатационная; скв2 – нагнетательная
179
Рис. 6.10. Распределение давления в нефтяной залежи с осевым
заводнением для круглой области фильтрации
Рис. 6.11. Распределение давления в нефтяной залежи с осевым
заводнением для прямоугольной области фильтрации
На рис. 6.10 и 6.11 приведено центрально-осевое заводнение нефтяной
залежи тремя нагнетательными скважинами с одинаковыми дебитами для
круглой и прямоугольной областей фильтрации.
Все графики показывают, что программы дают ожидаемые картины по
распределению давления, которые достигаются в третьем году разработки
нефтяного месторождения. Здесь, также в центре вблизи нагнетательной
скважины давление постепенно увеличивается.
в) Случай «газ – вода».
Рассматриваемый нами круглой формы пласт G1 +G2 разрабатывается в
водонапорном режиме системой двух батарей скважин с заданными
постоянными
дебитами
qГ
в
центре.
180
Разработка
газовой
залежи
осуществляется
блоковым
заводнением.
Поддерживается
начальное
пластовое давление с помощью четырех нагнетательных скважин с
одинаковыми дебитами qВ в водоносной зоне.
Из-за симметричности области фильтрации результаты расчетов
анализируются только в сечении при x=0.5. При этом рассмотрены варианты
для значений коэффициентов вязкости газа
µГ = 0,02 сПз и µГ = 0,05 сПз ,
остальные параметры остаются безизменения. В табл. 3.3 приведены
исходные характеристики объекта.
Таблица 6.3
Исходные данные по характеристикам пласта
Обозначени Числовое значение и
Наименование исходных данных я входных
размерность
параметров
параметров
Начальное пластовое давление
150 кгс / см2 ( 0.5)
P
h
Мощность пласта
20м
β
Коэффициент упругоёмкости
−5
15 кгс / см2
пласта в области водоносности
µ2
1сПз
Вязкость воды
µ1
0.02 сП з
Вязкость газа
Проницаемость водоносного
k2
0.1Дарси
пласта
Проницаемость газоносности
k1
0.1Дарси
пласта
Коэффициент газонасыщенности
0.61
a
Коэффициент остаточной
0.2
a0
газонасыщенности
25×104 м3 / сут
qΓ
Дебит скважин (газ)
200 м3 / сут
qΒ
Дебит скважин (вода)
0,1
Пористость пласта
m
10 км
Характерная длина области
L
На
рис.
6.12
и
6.13
приведены
результаты
вычислительных
экспериментов с одной центральной эксплуатационной скважиной и
четырьмя нагнетательными скважинами, расположенными в левой и правой
частях области фильтрации при вязкости газа µГ = 0,02сПз и µГ = 0,05сПз в
181
графическом виде. При этом распределение давления в газовой области
фильтрации отображается в виде графика (в плане), на сечении и скважинах.
Из части «График изменения давления в скважинах» рис. 6.12 видно,
на эксплуатационной скважине в начальный момент времени давление
падает, а потом постепенно поднимается. Это зависит от нагнетательной
скважины
двухстороннего
сжатия
в
пласте,
и
даёт
искусственное
поддержание газоотдачи.
В табл. 6.3 и на рисунках 6.12 и 6.13 приведены расчетные значения
безразмерного давления на эксплуатационных скважинах, на границе раздела
и в контуре питания, а также положения границы раздела для различных
моментов времени. Из этих результатов видно, что в начальный момент
времени разработки, чем больше вязкость газа, тем больше падение давления
на эксплуатационной скважине и скорость продвижения границы раздела газвода.
Рис. 6.12. Динамика изменения давления в газовой залежи
при двухстороннем заводнением. µГ = 0,02сПз
Рис. 6.13. Динамика изменения давления в газовой залежи
при двухсторонним заводнением. µГ = 0,05сПз
182
Рис. 6.14. Динамика изменения положения границы раздела.
Ряд 1 - µГ = 0,02сПз ; Ряд 2 - при µГ = 0,05сПз
Из рис. 6.14 видно, что скорость продвижения границы раздела со
временем увеличивается, а также значение коэффициента вязкости газа
существенно влияет на падение давления в контуре питания и на границе
раздела.
Как показывает анализ, большое значение коэффициента вязкости газа
ускоряет падение давления на эксплуатационной скважине и увеличивает
скорость
продвижения
границы
раздела
газ-вода,
где
расстояние
эксплуатационной скважины близко к водоносному контуру. Это наглядно
видно из рис. 6.12-6.14, где показаны кривые изменения давления во времени
на скважинах и распределение давления на 3-й год разработки, а также
динамика
изменения
положения
границы
раздела
при
значениях
коэффициентов вязкости газа µГ = 0,02сПз и µГ = 0,05сПз .
Из этих результатов следуют суждения:
- большое значение коэффициента вязкости газа приводит к большему
падению давления в залежах;
- большое значение коэффициента вязкости газа сильнее влияет на
скорость продвижения водоносного контура в залежи, в случаях, когда
расстояние эксплуатационной скважины близко к водоносному контуру;
- большое значение коэффициента вязкости газа приводит медленному
падению давления в водоносной зоне.
183
Рис. 6.15. Динамика изменения давления при разработке
газовой залежи с двухсторонним заводнением
при одинаковых дебитах
Рис. 6.16. Система разработки газовой залежи с двухсторонним
контурным заводнением и разных дебитах скважин
Рис. 6.17. Динамика изменения давления на скважинах и в пласте в сечении
x=0.5, y=0.5 без нагнетательных скважин при разных дебитах
эксплуатационных скважин
В рис. 6.15-6.17 приведены результаты расчета вычислительных
экспериментов для двух центральных эксплуатационных скважин и четырех
184
нагнетательных скважин, расположенных в левой и правой частях области
фильтрации при вязкости газа µГ = 0,02 сПз . Здесь все полученные результаты
дают ожидаемые картины по распределению давления в области фильтрации,
которые отображаются в виде изолиний, в сечении x=0.5 и y=0.5, а также на
скважинах.
185
ГЛАВА VII. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ И ГАЗА ПРИ РАЗРАБОТКИ
МЕСТОРОЖДЕНИЙ
7.1.Автоматизация численного решения задачи фильтрации
нефти и газа в пористой среде
Одним из эффективных средств автоматизации процесса решения
краевых задач фильтрации жидкостей и газа в пористой среде для
определения гидродинамических параметров пластов при добыче нефти и
газа, позволяющих ускорить проектирование, анализ и прогнозирование
разработки нефтяных и газовых месторождений [1-4], является построение
автоматизированных систем (АС), ориентированных на решение различных
классов задач. Под АС понимается комплекс программных средств,
состоящий из совокупности программных модулей, которые представляют
собой множества алгоритмов и реализуют различные методы решения
отдельных классов задач; управление программой, обеспечивающей по
заданной исходной информации автоматизированный выбор оптимального
решения конкретной задачи с учетом ее специфики и гарантирующей
качество
получаемого
решения;
комплекс
сервисных
программ,
обеспечивающих удобство связи пользователя с системой, сбор, наполнение
и обработку опыта работы и др[40].
Разработка
устойчивых
вычислительных
схем,
эффективных
алгоритмов и комплекс программ позволяющие решать задачи фильтрации
жидкостей и газа в пористой среде существенно повышает достоверности
получаемых численных результатов. При этом автоматизации определения
основных показателей разработки нефтегазовых месторождений позволяет
ускорит анализа и прогнозирование разработки месторождений при добычи
нефти и газа.
186
Большая сложность решаемых задач фильтрации жидкостей и газа в
пористой среде обуславливает необходимость создание автоматизированных
систем прикладных программ, ориентированных на решение определенных
классов краевых задач фильтрации нефти и газа в пористой среде. Задача
фильтрации такого класса связано, как правило, необходимостью расчета
фильтрационного
потока
в
достаточно
больших
областях
сложной
конфигурации.
Одним
из
эффективных
средств
автоматизации
процесса
проектирования и анализа нефтяных и нефтегазовых месторождений на
ПЭВМ является построение САПР. Определение оптимальных показателей
разработки основывается на теоретической модели гидродинамических
процессов, происходящих в залежи. Они представляются в виде краевых
задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных.
Рассматриваемая автоматизированная система должны состоит: из
комплекса программных средств, представляющих собой совокупность
алгоритмов, реализующих различные методы решения отдельных классов
задач; из управляющей программы, обеспечивающей по заданной исходной
информации автоматизированный выбор оптимального решения конкретной
задачи с учетом ее специфики и гарантирующей качество полученного решения; из комплекса сервисных программ, обеспечивающих удобства связи
пользователя с системой, сбор, накопление и обработку опыта работы и др.
В системе взаимодействия проектировщика-специалиста с ПЭВМ
обеспечивается диалоговый режим обработки данных. Здесь инициатор
решения задачи определяет целесообразность углубления анализа ситуации и
направления поиска оптимального результата.
В связи с широким производством и внедрением современных
поколений ЭВМ в практику расчетов среди пользователей вычислительных
машин стали преобладать специалисты различных отраслей науки и техники,
187
не являющиеся, как правило, квалифицированными программистами. Их
задача заключается в получение такого математического обеспечения,
которое бы позволяло решать задачи определенного физического смысла в
их “естественной ” постановке [42].
Рассматриваемая система является интерактивным средством анализа
данных
на
ПЭВМ,
обеспечивающая
взаимодействие
оператора
экспериментатора с ПЭВМ в процессе принятия окончательных или
промежуточных решений. При этом участие оператора экспериментатора в
процессе вычислительного эксперимента может быть пассивным, когда
оператор подтверждает или отрицает правильность автоматически принятых
решений по известной ему совокупности входных данных , или активным,
если обеспечено его вмешательство в процесс эксперимента с целью
разрешения сомнительных случаев и повышения достоверности решений.
7.2. Общие принципы построения пакета прикладных программ для
проведения вычислительного эксперимента на ЭВМ
В настоящее время получили достаточно широкое развитие и
распространение
пакеты
программ,
ориентированные
на
решение
прикладных задач [1-4, 49]. Пакеты прикладных программ (ППП) прошли
несколько этапов в своем развитии. Ранее под пакетом программ
подразумевался простой набор подпрограмм, сейчас этому понятию
соответствует программный комплекс со специальным входным языком. Уже
на компьютерах первого поколения стали накапливаться библиотеки
стандартных
подпрограмм
для
вычисления
элементарных
функций
преобразования векторов, матриц и т.д. Они составлялись на основе
стандартных соглашений, обеспечивающих совместимость и единообразие
использования. Накопленные библиотеки подпрограмм из различных
прикладных областей стали называть ППП.
Разработка ППП существенно отличается от разработки отдельно
взятых программ. Для облегчения работы программистов - создателей ППП 188
существуют
инструментальные
средства,
поддерживающие
процессы
проектирования и построения пакетов на всех этапах разработки. В создании
пакетов программ принимают участие специалисты по предметной области
пакета
и
системные
программисты.
Так,
например,
специалисты-
прикладники непосредственно участвуют в разработке основных алгоритмов
и программ функционального наполнения, выборе методов решения
поставленных задач, проектировании основных операторов входного языка
пакета для описания постановки задачи и т. д.
Системные
программисты
проектируют
и
создают
системное
наполнение пакета (транслятор с входного языка, организующую программу
- монитор пакета, средства управления данными, программы диалогового
взаимодействия пользователя с пакетом и т. д.). Проектирование и создание
ППП обеспечивается четкой технологией работ на всех этапах разработки
пакетов (модульный анализ, программирование модулей, создание и
реализация языка).
ППП состоит из функционального и системного наполнения.
Функциональное наполнение содержит библиотеку модулей, которые
являются конструктивными элементами, используемыми на различных
этапах функционирования пакета. В библиотеку модулей функционального
наполнения входят прикладные программы для выполнения отдельных
этапов решения задач из предметной области. Состав функционального
наполнения, его мощность или полнота покрытия предметной области
отражают объем прикладных знаний, заложенных в пакет.
Нефтегазодобывающее
предприятие
связано
непрерывным
технологическим процессом и как объект проектирования и управления
относится к классу больших систем. Оно характеризуется техникоэкономической,
технологической
и
геолого-промысловой
специфических особенностей [3, 4, 5, 28, 29]:
189
общностью
• скважины, как источники добычи нефти и газа, расположены на
больших расстояниях от объектов сбора, подготовки и транспорта нефти и
газа;
• технологические объекты «пласт – скважина – промысловое
оборудование – нефтегазопровод – потребитель» – единая неразрывная
система;
• газовые
и
нефтяные
пласты
характеризуются
переменной
производительностью (нарастающая, постоянная и падающая добыча);
• в процессе эксплуатации объекты добычи и транспорта целевых
продуктов постоянно меняют свое состояние;
• технологические режимы для определения возможностей объекта
добычи изменяются во времени;
• разработка
и
анализ
объектов
добычи
нефти
и
газа
предопределяются как первоначальной, так и текущей геолого-промысловой,
технологической и технико-экономической информациями.
Организационно объектно-ориентированная система состоит из двух
частей: управляющие программы и функционального наполнения. При этом,
исходя из информации для системы задач посредством пользовательского
интерфейса, управляющая программа управляет всем ходом расчета
проблемно-ориентированной системы, начиная от ввода исходных данных до
получения соответствующих результатов. Функциональное наполнение
системы состоит из модулей построения и решения дифференциальных
уравнений и модулей представления результатов расчета.
В связи с широким производством современных поколений ЭВМ и
внедрением их в практику расчетов среди пользователей стали преобладать
специалисты различных отраслей науки и техники, не являющиеся, как
правило, квалифицированными программистами. Их задача заключается в
получении такого математического обеспечения, которое позволяло бы
решать задачи определенного физического смысла в их «естественной»
постановке.
190
В системе взаимодействия проектировщика-специалиста с ЭВМ
обеспечивается диалоговый режим обработки данных. Здесь инициатор
решения задачи определяет целесообразность углубления анализа ситуации и
направления поиска оптимального результата.
Организация вычислительного процесса в системе основывается на
следующих основных принципах:
• модульность программ. Модульный принцип программирования
рассматривается как основной компонент при организации вычислительного
процесса.
Он
дает
ряд
преимуществ:
возможность
многократного
использования одного и того же модуля; организацию автоматизации
вычислительного процесса; уменьшение сроков создания каждой отдельной
большой программы за счет использования заранее разработанных модулей;
быстрое приспособление модулей к условиям конкретной задачи и др.;
• простота
пользования
пользования.
комплексом
Максимальное
позволяет
удобство
входной
язык,
и
простоту
компактно
формулирующий задания;
• типизация и стандартизация. Комплекс должен предусмотреть
возможность внесения корректировок в структуру входных данных и в
модули при организации вычислительного процесса;
• эффективность. Комплекс должен обеспечить эффективный выбор
методов решения задачи при применении к заданному классу задач.
В настоящее время наибольшую известность получили модели и
методы оценки качества программного обеспечения, предложенные в работе
Боэма. При проектировании и разработке программ учитывались следующие
характеристики качества программного обеспечения.
1. Быстродействие - способность программ выполнять свои функции
за ограниченный период времени; определяется выбранными алгоритмами
вычислений, объемом и структурой данных, средствами управления, вводавывода, диагностики и т. д.
2. Универсальность - возможность использования программ для
191
решения
широкого
класса
задач;
определяется
универсальностью
вычислительных алгоритмов и полнотой используемых средств.
3. Точность вычислений должна быть достаточной при использовании
программ для различных практических приложений.
4. Устойчивость
(робастность)
-
способность
нормального
функционирования программ при нарушении некоторых ограничений,
например, в программах предусматривается обработка аварийных ситуаций
при делении, извлечении квадратного корня и т. д.
5. Общность системы - соответствие различных подпрограмм общим
законам,
ограничениям
и
стандартам;
определяется
единообразием
взаимодействия подпрограмм и организации данных, методов планирования,
проектирования и разработки программ.
6. Сопровождаемость программ - легкость внесения изменений и
проверки правильности программ для удовлетворения новых требований или
исправления обнаруженных недостатков.
7. Мобильность
(переносимость)
-
возможность
использования
программ на других типах и конфигурациях ЭВМ, подключение к другому
программному обеспечению или использование отдельных подпрограмм в
других пакетах.
Фактически модульный анализ сводится к выбору подходящих
структурных формул, описанию геометрических объектов и процессов
формирования матриц, решению алгебраических задач и оформлению
результатов вычислений.
Системное наполнение представляет собой совокупность программ,
обеспечивающих автоматизацию выполнения задания и взаимодействие
пользователя с пакетом. Такие программы управляют работой пакета при
решении задач, задаваемых на входном языке пакета. Таким образом,
программы,
входящие
в
состав
системного
наполнения
пакета,
воспроизводят описание задачи на входном языке и переводят его на
внутренний язык. По описанию задачи на внутреннем языке определяется
192
последовательность модулей, которые необходимы для решения задачи. Эти
модули затем объединяются в единую программу и реализуются.
Проблема построения пакетов программ. Выделим следующие
основные направления работ по решению этой проблемы:
• описание класса решаемых задач;
• модульный анализ алгоритмов решения задач;
• построение входного языка пакета программ;
• программирование
и
отладка
модулей
функционального
наполнения;
• комплексная отладка пакета и опытная эксплуатация.
Описание класса решаемых задач предшествует разработке пакета и
определяет его проблемную ориентацию. На этом этапе определяется
предметная область ППП. Успешная реализация этого направления возможна
при активном участии специалистов-прикладников, имеющих хорошие
знания в предметной области и методах решения задач. Класс подлежащих
решению задач описывается в терминах соответствующей области знаний.
При этом производится классификация решаемых задач.
Для получения различных модулей - конструктивных элементов пакета
программ - проводится модульный анализ алгоритмов расширения задач,
используемых в данной предметной области. При этом определяется общая
структура пакета. На этапе модульного анализа выделяются те подзадачи,
решение которых обеспечит решение задач данного класса. Целью
модульного анализа является определение совокупности модулей, из
которых можно составить программы для решения всех задач. В конечном
итоге, функциональное наполнение пакета должно содержать достаточно
полный набор модулей для создания программ решения задач из заданной
предметной области.
Таким образом, при создании пакетов программ разработчики
определяют набор программных модулей функционального наполнения,
обеспечивающих эффективное функционирование пакета. После этого
проводят
исследование
способов
193
реализации
этих
средств
в
инструментальной
системе.
При
этом
важно
учитывать
простоту
программирования и отладки модулей функционального наполнения и
надежность их эксплуатации.
Комплексная отладка и опытная эксплуатация пакета выполняются
согласно общим требованиям, предъявляемым к программному изделию.
Следует отметить, что входной язык пакета и его функциональное
наполнение можно значительно расширить дополнительными средствами,
необходимость в которых возникает в процессе опытной эксплуатации
системы.
Модули автоматизированных систем по мере возможности должны
быть прочными. Прочности модулей характеризуются степенями их
независимости, которые оцениваются двумя критериями: сцеплением и
связностью.
Следует
отметить,
что
сцепление
является
мерой
взаимозависимости модулей, которая определяет, насколько хорошо модули
отделены друг от друга. Модули считаются независимыми, если каждый из
них не содержит о другом никакой информации. Чем больше информации о
других модулях хранит модуль, тем больше он с ним сцеплен. Что касается
понятия связности модулей, то она является мерой прочности соединения
функциональных и информационных объектов внутри одного модуля.
Рис. 7.1. Общая схема информационных связей между модулями
194
На рис. 7.1 представлена схема модульного построения пакета
прикладных программ для моделирования процессов разработки нефтяных и
газовых месторождений. Работа программы начинается с постановки краевой
задачи, а затем в решение задачи вносятся геометрические и аналитические
компоненты. Центральное место в программе занимает метод сеток,
учитывающий область исследования по независимым переменным. На
основе метода сеток и выбранных компонентов производится построение
информационного массива и сеточных уравнений. Результатом работы ППП
является формирование элементов матрицы, решение уравнения и выдача
результатов.
7.3.Информационное обеспечение системы для решения задач
прогнозирования, анализа и мониторинга разработки нефтяных и
газовых месторождений
Перед реализацией численных моделей фильтрационных процессов,
происходящих в нефтяных и газовых пластах произвольной конфигурации
области фильтрации, в общем случае необходимо, прежде всего, разработать
их информационные модели, содержащие в себе целый комплекс данных.
Для
произвольной
конфигурации
области
фильтрации
разработана
информационная модель, которая учитывает границы расчетной области,
проницаемости, пористости и расположения скважины в дискретной области
фильтрации. Информационная модель содержит следующие информации о
предметной области фильтрации:
• геологические и гидродинамические параметры месторождения;
• конфигурация области фильтрации;
195
• скважины и их дебиты, начальное состояние поля давления,
проницаемости пласта, пористости, а также начальное и конечное время
эксплуатации скважин.
Для обеспечения исходными данными и управления вычислительным
процессом,
а
также
с
целью
экономии
памяти
ЭВМ
создается
информационный массив I = {infij } (i = 1, N ; j = 1, M ) . В общем случае каждому
узлу сетки Ωh1h2 ставится в соответствие один элемент этого массива в виде l
- значной символьной константы
infij =" r1r2 ...rl " .
Здесь l - число характеристик данных, необходимое для полноты
информационной модели; rk (k = 1, l ) - элемент k-го разряда информационной
модели.
Фактически эти разряды rk являются кодом конкретного параметра
пласта или жидкости, которые принимают значения десятичных чисел от 0
до 9. Принимаемые признаки или значения каждого вводимого или
выводимого данного k-й характеристики, по усмотрению пользователя,
группируются, и номера этих групп должны соответствовать элементу rk
разряда.
На основе этих данных составляется информационный массив о
сеточной области фильтрации [3]. Например, элементы информационного
массива I = {infij } представляются в виде восьмизначной константы
infij ="r1r2r3r4r5r6r7r8".
Разряд r1 содержит в себе информацию о границе и конфигурации
области фильтрации:
196
0,

1,
2,

r1 = 
3,
4,

5,
если ( xi , y j ) ∉ G;
если ( xi , y j ) ∈ Г1 ;
если ( xi , y j ) ∈ Г 2 ;
если ( xi , y j ) ∈ Г 3 ;
если ( xi , y j ) ∈ G ∩ ( xi , y j ) ∉ Sk ;
если
( xi , y j ) ∈ G ∩ ( xi , y j ) ∈ Sk .
Здесь Sk - контур k-й скважины.
Например, информационный массив конфигурации круглой области
фильтрации будет имеет вид, который представлен на рис. 7.2.
Рис. 7.2. Информационный массив конфигурации - круговая
дискретная область фильтрации
Здесь
r1 - разряд определяет следующие:
0 – фиктивные узлы;
1 – первое граничное условие на границе;
197
2 – второе граничное условие на границе;
3 – третье граничное условие на границе.
4 – внутренние узлы;
5 – скважины.
Разряд
r2 содержит информацию о зонах по коэффициенту
проницаемости пласта.
Например, информационный массив для проницаемости в по зонам
области фильтрации ( r2) будет иметь вид рис. 7.3.
Рис. 7.3. Информационный массив для проницаемости пласта
дискретной области фильтрации
1, если ( xi , y j ) ∈ G1 ;

r2 = 2, если ( xi , y j ) ∈ G2 ;

3, если ( xi , y j ) ∈ G3 ,
При этом значения проницаемости по зонам, например, будет иметь
вид:
198
G1 : k = 0.5; G2 : k = 0.05; G3 : k = 0.3
Информационный массив аналогичным образом построится для
пористости пласта дискретной области фильтрации и других параметров
пласта.
7.4.Программно-инструментальный комплекс для мониторинга и
прогнозирования основных показателей разработки нефтяных и
газовых месторождений
Разработка устойчивых вычислительных схем, универсальных и
эффективных алгоритмов и программного обеспечения, позволяющих
проведение расчета основных показателей разработки нефтяных, газовых и
нефтяных и газовых месторождений, существенно повышает достоверность
получаемых численных расчетов и их визуализации в графическом виде
объекта. Программное обеспечение определения основных показателей при
добыче нефти или газа позволяет ускорить проектирование, анализ,
прогнозирование и разработку нефтяных и газовых месторождений. Поэтому
в целях повышения эффективности использования современных ЭВМ
необходимо
создание
программного
обеспечения
для
проведения
вычислительного эксперимента с взаимодействием со специалистами по
ЭВМ. Это необходимо для принятия окончательных или промежуточных
решений в процессе анализа и прогнозирования разработке месторождений.
На
основе
математической
модели
и
алгоритма
расчета
на
программном инструменте Borland Delphi и Matlab разработан комплекс
программного обеспечения основных показателей разработки нефтяных,
газовых и нефтегазовых месторождений с соответствующим интерфейсом.
Система
“Компьютерное
моделирование
процессов
разработки
нефтяных и газовых месторождений” (КМПРНГМ) является инструментом
для
проведения
вычислительных
экспериментов
нестационарных процессов фильтрации
199
нефти
по
исследованию
и газа. Программное
обеспечение
позволяет
вести
численный
расчет
прикладных
задач
фильтрации нефти и газа в одно- и двухслойной пористой среде для
двухмерных областей практически произвольной формы. Для различных
краевых задач допускаются различные формы областей фильтрации. При
этом формируется информационный массив для описания расчетной области
фильтрации с использованием информационной базы данных. На границе
области фильтрации можно задать краевые условия первого, второго или
смешанного типов.
Функциональная схема разработанного программного комплекса
приведена на рис. 5.4, где представлена взаимосвязь между модулями
решения задач фильтрации нефтяных и газовых месторождений.
Для начала расчета необходимо выбрать тип задачи, входящий в блок
выбора задач:
- задача фильтрации нефти в пористой среде;
- задача фильтрации газа в пористой среде;
- задача фильтрации нефти в пористой среде с учетом скорости
осаждения мелкодисперсных частиц;
- задача с подвижной границей раздела «нефть-вода»;
- задача с подвижной границей раздела «газ-вода»;
- задача фильтрации нефти с слабопроницаемой перемычкой в
двухслойных пористых средах;
- задача фильтрации газа с слабопроницаемой перемычкой в
двухслойных пористых средах.
Блок задач взаимодействует с блоком модулей формирования
исходных данных.
Блок модулей формирования исходных данных содержит следующие
модули:
- модуль формирования исходных данных по параметрам пласта;
-
модуль
формирования
информационного
конфигурации дискретной области фильтрации;
200
массива
(ИМ)
- модуль формирования ИМ проницаемости пласта;
- модуль формирования ИМ пористости пласта.
Затем в схеме начинает работу вычислительный блок, который на
основе введенных исходных данных и выбранного типа задач выполняет
вычислительные функции и производит вычислительный эксперимент.
Рис. 7.4. Функциональная схема работы программного комплекса
201
В состав вычислительного блока входят модули:
- вычисления коэффициентов трехточечного конечно-разностного
уравнения;
- реализации метода сеточной прогонки;
- реализации метода дифференциальной прогонки;
- решения задачи Коши методом Рунге-Кутта;
- вычисления скорости осаждения мелкодисперсных частиц.
Блок вычисления взаимодействует с блоком вывода результатов, в
состав которого входят модули:
• вывода результатов расчета в табличном виде через каждые 30 сутки;
• выводы распределения давления пласте в плоскости (плане) в виде
контурной графики изобаров;
• вывода результатов расчета в сечении в графическом виде;
• вывода результатов расчета изменения давления на скважинах в
графическом виде;
• вывода результатов расчета в виде 3D-графика;
• просмотра анимации распределения давления в пласте.
Для
расчета
основных
показателей
разработки
нефтяных
месторождений и визуализации результатов вычислительного эксперимента
в графическом и анимационном виде разработано программное обеспечение
“Компьютерное
моделирование
процессов
разработки
нефтяных
месторождений” (рис. 7.5).
Программное обеспечение состоит из следующих этапов:
• Ввод исходных данных: продолжительности разработки, начального
пластового давления, шага по времени, коэффициента проницаемости,
упругоёмкости пласта, вязкости нефти, размеров и мощности пласта, а также
количества, координат и дебитов скважин.
• Вывод результатов расчета в табличном виде за каждые 30 суток.
202
• Вывод
результаты
результатов
отображают:
в
графической
динамику
визуальной
распределения
форме.
давления
в
Здесь
виде
площадного и контурного графика, а также графика падения давления на
скважине по времени и профили распределения давлений в сечении.
• Выбор конфигурации области фильтрации: круглой, прямоугольной,
эллиптической, многоугольной и произвольной формы.
• Просмотр информационного массива конфигурации дискретной
области фильтрации и проницаемости пласта.
• Вычисление основных показателей нефтяных месторождений.
Важной
составной частью
программного
обеспечения
является
формирование исходных данных.
Рис. 7.5. Пользовательский интерфейс программы
КМПРНМР и ее результаты работы
Информационная часть программного комплекса “Компьютерное
моделирование процессов разработки нефтяных месторождений” включает
следующие элементы:
Общее время – продолжительность разработки нефтяных и газовых
месторождений даётся в сутках (например, для вычисления основных
203
показателей нефтяных месторождений после двух лет эксплуатации задаётся
730 суток).
Начальное давление – здесь имеется в виду начальное давление в
разрабатываемом слое, например 300 атмосфер. По природе может быть от
100 до 300 атмосфер.
Шаги по времени – 24 часа, то есть 1 сутки. Рекомендуемый
промежуток 1/ 2 (половина) суток.
Проницаемость k – коэффициент проводимости нефтеносного слоя.
Рекомендуемая для трещиноватых коллекторов 0.1 - 0.4 Дарси.
Коэффициент вязкости µ - динамическая вязкость, для нефти от 2
до 8 Д, для газа от 0,1 до 0,001 Д в зависимости от свойств газа.
Коэффициент
упругоёмкости
пласта
–
берется
в
пределах
β = 2.3 ⋅10−3 см2 / кгс.
Длина пласта газа или нефти по x – LX: 1 до 8-10 км, может быть и
больше.
Мощность нефтяного или газового пласта h – высота слоя,
например, 20 метров.
Число скважин – количество используемых скважин в области
нефти и газа.
Объем вырабатываемой нефти или газа за сутки (дебит).
Координаты скважин по оси x (значение в промежутке от 1 до 100).
Координаты скважин по оси у (значение в промежутке от 1 до 100).
Вывод результов
на экран и запись пошагового временного
результаты в файлы (например, через важдые 10 суток вывод и запись).
Запись полного результата в каждом промежутке производится в
файле Natija.txt.
Функциональная часть интерфейса программы «Вычисление основных
показателей разработки нефтяных месторождений» состоит из следующих
элементов:
204
Введение в строй программы.
Вывод результатов на экран.
Вывод результатов в графической визуальной форме в плане и
изменения давления скважины по времени.
Интерфейс программы выполнен в следующем виде. В левой части
открывающейся программы вводятся исходные данные:
- время разработки (количество суток). Чем большее количество суток
будет введено, тем более подробный расчет будет выполнен;
- начальное давление в атмосферах;
- шаг расчета (в сутках);
- проницаемость пласта (коэффициент);
- упругоемкость пласта (коэффициент);
- вязкость нефти (коэффициент);
- длина пласта по оси х;
- ширина пласта по оси у;
- мощность пласта (толщина);
- выдача результатов за определенный период (количество суток);
- количество имеющихся скважин на данном месторождении.
После ввода или редактирования параметров расчета необходимо
выбрать один из типов области фильтрации:
- круглая;
- прямоугольная;
- эллиптическая;
- многоугольная;
- произвольная.
Таким образом, программное обеспечение моделирует распределение
давления в определенной области фильтрации, где расположены скважины и
откуда производится добыча нефти. В левом нижнем углу рабочей панели
программы необходимо выбрать, с помощью кнопок, одну из функций
программного обеспечения:
205
- расчет показателей;
- анимация;
- контурная графика;
- информационный массив по конфигурации;
- информационный массив по проницаемости.
Большую часть интерфейса программного обеспечения (Form1)
занимает численный расчет основных показателей разработки нефтяных
месторождений.
В
этой
части
приводится
таблица
с
основными
показателями, которая формируется в режиме реального времени и можно
увидеть все введенные и рассчитанные показатели параметров нефтяных
месторождений.
В правом нижнем углу проводится визуализация процесса расчета,
которая содержит рисунок области фильтрации по одной из выбранных
опций, и графики расчета нефтяных скважин, отображающие функцию
падения, и распределения давления в сечениях пласте.
Интерфейс программного обеспечения разработан таким образом, что
можно получать результаты расчетов в виде табличной и графической
(визуальной) формах. При выборе функции «анимация» производится
исполнение анимации, которая даёт динамику распределения давления во
всей области фильтрации в наглядной форме и можно увидеть весь процесс
нагнетания и добычи нефти, изменения давления в скважинах и во всей
области.
7.5.Визуализация результаты ВЭ на ЭВМ при моделирование процессов
разработки нефтегазовых месторождений для анализа и принятия
управленческих решений
Программное
разработки
обеспечение
нефтяных
«Вычисление
месторождений»
206
основных
применяется
показателей
в
анализе,
проектировании и прогнозировании работ нефтяных месторождений. Из-за
получения симметричного результата при проведении вычислительных
экспериментов по основным показателям разработки газовых месторождений
области фильтрации рассматриваются в виде круга или квадрата.
Аналогичное программное обеспечение создано для расчета основных
показателей разработки газовых месторождений (рис. 5.6-5.11).
Рис. 7.6. Полное представление пользовательского интерфейса
программы расчета месторождения природного газа
и ее результаты работы при k=0.01 Д .
207
Рис. 7.7. Результаты вычислительного эксперимента распределения
давления в газаносном пласте в разных представлениях (см. рис. 2.19)
Рис. 7.8. Пользовательский интерфейс программы расчета газового
месторождения с четырмя скважинами с q=300000 м3/сутки
и ее результаты работы (см. рис. 2.20).
208
Рис. 7.9. Полный пользовательский интерфейс программы
для расчета газового месторождения с четырмя скважинами с
q=500000 м2/сутки (см. рис. 2.21).
Рис. 7.10. Пользовательский интерфейс программы
и ее результаты работы
209
Интерфейс программного обеспечения отображается на экране ЭВМ с
исходными данными и результатами расчета основных показателей
разработки нефтяных и газовых месторождений.
Рис. 7.11. Интерфейс программы вычисления основных
показателей разработки газовых месторождений с двумя скважинами в
форме шестиугольника.
Программное обеспечение для моделирования процесса вытеснения
одной жидкостью другой в пористых средах (рис. 7.12), а также
компьютерное моделирование процессов фильтрации нефти и газа в
двухпластовых системах (рис. 7.13) имеют аналогичную структурную схему
и функциональные возможности.
210
Рис. 7.12. Интерфейс программы вычисления показателей
нефтяных месторождений в случае искусственного поддержания
пластового давления (нефть-вода)
Для
проведения
численных
экспериментов
необходимо
ввести
исходные данные: по времени разработки скважин, давлению, параметрам
нефти - вязкости, проницаемости пласта, его размеры, а также количество
скважин и их координаты, дебиты. В результате проведения численного
эксперимента будет построена таблица распределения давления в пластах.
При необходимости получения анимированного изображения выбирается
функция «анимация».
Графическое представление результатов расчетов в двухпластовых
системах показывает распределение давления в пласте в сечении и падение
давления в скважине.
Для выполнения анимации в программе предусмотрена функция,
которая организует демонстрацию картины по времени или по слоям с
заранее заданным шагом. Анимация позволяет получить результаты расчета
в наглядной форме. После введения всех входных параметров, количества
скважин, выбора формы области фильтрации начинает выполняться
анимация с учетом времени разработки нефтегазового месторождения,
которая показывает изменение формы области фильтрации со временем.
211
Анимация в ускоренном режиме отображает реально протекающие процессы
в пластах и области фильтрации круглой, прямоугольной, эллиптической или
произвольной формы. Причем с помощью анимации можно наблюдать, как
происходит отбор нефти из скважин, как падает давление в пласте вокруг
скважины. График при этом показывает падение давления в разрезе.
Разработанное программное обеспечение позволяет проводить полное
исследование как уже разрабатываемых, так вновь вводимых в эксплуатацию
скважин нефти и газа. В режиме реального времени можно провести
численный
эксперимент
и
получить
достоверную
информацию
о
месторождении, о чем свидетельствуют акты внедрения разработанного
программного комплекса.
212
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абуталиев Ф.Б., Хаджибаев Н.Н., Измайлов И.И., Умаров У.
Применение численных методов и ЭВМ в гидрогеологии. – Ташкент:
Фан, 1976. – 160 с.
2. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.
- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 416
с.
3. Ахмед-Заки Д.Ж. Об одной задаче двухфазной фильтрации смеси в
пористой среде с учетом теплового воздействия // Научные труды
НИПИ Нефтегаз. - Баку, 2010. - № 3. - С. 29-33.
4. Баламирзоев А.Г., Зербалиев А.М., Иванов В.В. Математическое
моделирование нестационарной фильтрации упругой жидкости в
неоднородном пласте // Вестник Дагестанского государственного
технического университета. Технические науки. - 2013. - № 4 (31). - С.
50-54.
5. Бельман Р., Калаба Р. Квазилиниаризация и нелинейные краевые
задачи. - М.: Мир, 1968. – 184 с.
6. Гальцев О.В., Гальцева О.А. Математическое моделирование процесса
фильтрации жидкостей в пористой среде различной геометрии //
Математическая физика, математическое моделирование. Математика.
Физика. – 2015. - № 23 (220). – Вып. 41. - С. 126-127.
7. Гладков Е.А. Геологическое и гидродинамическое моделирование
месторождений нефти и газа. – Томск: Изд-во Томского
политехнического университета, 2012. - 99 с.
8. Грачев С.И., Стрекалов А.В. Опыт в решении задач моделирования и
оптимизации разработки месторождений нефти и газа. – М.: Научноисследовательский и проектный институт нефти и газа, 2012. - № 2. С. 56-62. ISSN: 2074-5966.
9. Григорян Л.А., Тимофеева Е.Ф. Математическое моделирование задачи
разработки
нефтяных
месторождений
//
Естественные
и
математические науки в современном мире: Материалы XVIII
Междунар. науч.-практ. конф.– Новосибирск: СибАК, 2014. - № 5(17). С. 52-62.
10.Гусейн-Заде М.А., Колосовская А.К. Упругий режим в однопластовых
и многопластовых системах. - М.: Недра, 1972. – 454 с.
11.Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых
месторождений. - М.: Наука, 1974. – 376 с.
12.Закиров И.С. Развитие теории и практики разработки нефтяных
месторождений. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований,
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. – 365 с.
213
13.Закиров С.Н., Шмыгля Л.П. Некоторые вопросы анализа разработки
газовых месторождений при водонапорном режиме.М. ВНИИЭ газпром, 1971, 40 с.
14.Клочков М.А. К решению задачи визуализации результатов
моделирования процессов разработки нефтегазовых месторождений //
Известия Института математики и информатики УдГУ. – Ижевск, 2017.
– Т. 49. - С. 3-16.
15.Лейбензон Л.С. Подземная гидрогазодинамика. Сбор. трудов, т. 2. Ь.
Изд. АН СССР 1953, 544 с.
16.Лубнин А.А., Юдин Е.В., Асмандияров Р.Н. Планирование добычи с
учетом
ограничений
инфраструктуры
//
Математическое
моделирование и компьютерные технологии в процессах разработки
месторождений: Сборник статей V научно-практической конференции.
- Москва: Нефтяное хозяйство, 2012. – С. 31.
17.Маскет М., Гейман М.А. Физические основы технологии добычи
нефти. - М.: Институт компьютерных исследований, 2004. – 609 с.
18.Мирзажанзаде А.Х. и др. Методы повышения эффективности
процессов добычи и транспорта газа. – М.: Недра, 1970. – 238 с.
19.Мирзаджанзаде
А.Х.,
Гусайн-Заде
М.А.Решение
задач
нефтегазопромысловой механики. М. Недра 1971, 199 с.
20.Мулявин С.Ф. Основы проектирования разработки нефтяных и газовых
месторождений: Учебное пособие. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2012.
– 215 с.
21.Мухидинов
Н.
Методы
расчета
показателей
разработки
многопластовых месторождений нефти и газа. – Ташкент: Фан, 1978.
- 117 с.
22.Назирова Э.Ш. Модульный анализ алгоритма решения задач
фильтрации многофазных жидкостей в пористых средах // Узб. журнал
«Проблемы информатики и энергетики». - 2014. - № 5. – С. 48-52.
23.Назирова Э.Ш., Содиков Р.Т. Решение уравнения Пуассона в системе
Mathcad и его визуальная графика // Проблемы информационных и
телекоммуникационных технологий: Сборник научно-технических
конференций республики. - Ч. 2. 10-11 марта 2016. – Ташкент, 2016. С. 4-5.
24.Назирова Э.Ш., Содиков Р.Т., Бахриддинов А.К. Создание системы
Matlab для визуализации решения задач двумерных параболических
уравнений // Значение информационно-коммуникационных технологий
в инновационном развитии реального сектора экономики: Тез. докл.
Республиканской научно-технической конференции. Ч. 1. – Ташкент,
2017. - С. 332-334.
25.Назирова Э.Ш. Компьютерное моделирование процессов разработки
нефтяных
месторождений
и
визуализации
результатов
вычислительного эксперимента // Вестник ТУИТ. – Ташкент, 2018. - №
1(45). - С. 95-108.
214
26.Назирова Э.Ш., Неъматов А. Численное моделирование процесса
фильтрации газа в многослойных пористых средах // Там же. - С. 77-88.
27.Назирова Э.Ш. Моделирование процесса фильтрации жидкости в
многослойной пористой среде и приближённо-аналитическое решение
задачи // Проблемы вычислительной и прикладной математики. –
Ташкент, 2018. - № 6(18). - С. 124-134.
28.Назирова Э.Ш., Неъматов А., Улуғбеков С. Модели, алгоритмы и
программный
комплекс
для
графического
представления
распределения давления нефти в пористых средах // Актуальные
проблемы математического моделирования, алгоритмизации и
программирования: Материалы Республиканской научно-практической
конференции. 17-18 сентября 2018. – Ташкент, 2018. - С. 178-182.
29.Неъматов А. Назирова Э.Ш. Численное моделирование процесса
фильтрации газа в пористой среде // Международный академический
вестник. - 2016. - № 1(13). - С. 52-56.
30.Неъматов А., Назирова Э.Ш. Алгоритм решения двумерной краевой
задачи пароболического типа // Вестник ТУИТ. - Ташкент, 2014.
№ 2. - С. 97-100.
31.Неъматов А., Назирова Э.Ш., Содиқов Р. Ғовак муҳитда нефтнинг
фильтрланиш
жараёнининг
чегарий
масаласини
сонли
моделлаштириш. Collected articles of International scientific-technical
conference «Problems and development of radio electronics,
telecommunication and information technologies». – vol. I. May 21-22,
2015. – Tashkent, 2015. - рp. 8-11.
32.Неъматов А., Назирова Э.Ш. Разработка вычислителного алгоритма и
программного обеспечения исследований основных показателей
нефтяных месторождений на компьютере // Проблемы вычислительной
и прикладной математики. – Ташкент, 2015. - № 2. - С. 12-18.
33.Неъматов А., Назирова Э.Ш. Численное моделирование процесса
фильтрации газа в пористых средах // Международный академический
вестник. - 2016. - № 1(13). - С. 52-56.
34.Неъматов А., Назирова Э.Ш. Численное моделирование двумерной
задачи
фильтрации
нефти
в
пористой
среде
методом
дифференциальной прогонки // Проблемы информатики как наука:
Материалы XVI Международной научно-методической конференции.
Секция1. 11-12 февраля 2016. - Воронеж, 2016. - C. 114-117.
35.Неъматов А., Назирова Э.Ш. Программное обеспечение по
математическому моделированию процесса фильтрации нефти в
пористой среде // Агентство по интеллектуальной собственности
Республики Узбекистан. Свидетельство № DGU 04240. 16.02.2017 г.
36.Неъматов А., Назирова Э.Ш., Акбарова Н.Р., Содиков Р.Т. Вычисление
основных показателей разработки газовых месторождений // Агентство
по интеллектуальной собственности Республики Узбекистан.
Свидетельство № DGU 04285. 10.03.2017 г.
215
37.Павлова Н.Ц. Нефтегазовая подсистема в стратегии развития региона. –
Элиста:
Изд-во
Регионального
института
инновационных
исследований, 2011. – 214 с.
38.Павлова Н.Ц. Проблемы инновационного развития нефтегазовой
отрасли России // Известия Волгоградского государственного
технического
университета.
Волгоград:
Волгоградский
государственный технический университет, 2012. - Т. 13, № 7 (94). - С.
144-146.
39.Павлова Н.Ц. Развитие нефтегазового комплекса России: проблемы и
перспективы налогового и тарифного регулирования // Бизнес.
Образование. Право: Вестник Волгоградского института бизнеса. Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, 2013. - № 2 (23). - С. 141143.
40.Пивоварова Н.А., Чудиевич Д.А. Стандартизация, метрология и оценка
соответствия в нефтегазовой отрасли: Учеб. пособие. – Астрахан.
гос.техн. ун-т. – Астрахань: Изд-во АГТУ, 2014. – 144 с.
41.Пономарев А.И., Зарипова К.Р. Численное моделирование
неизотермической нестационарной фильтрации газа для различных
постановок задачи // Электронный научный журнал «Нефтегазовое
дело». - 2013. - № 3. - С. 228-262. http://www.ogbus.ru
42.Равшанов Н., Курбонов Н.M. Численное моделирование процесса
фильтрации газа в пористой среде // Информационные технологии
моделирования и управления. – Воронеж, 2016. – № 1(97). – С. 34-45.
43.Равшанов Н., Курбонов Н.М. Модель для разработки и проектирования
нефтегазовых месторождений // Cучасні проблеми математичного
моделювання та обчислювальних методів: Матеріали конференції. –
Рівне (Украина), 2013. - С. 197.
44.Равшанов Н., Курбонов Н., Ахмедов Д. Модель и эффективный
алгоритм параллельного вычисления задачи фильтрации газа в
пористых средах // Science – oddteorriidopraktyki. Наука - от теории до
практики: Сборник докладов конференции. – Сопот (Польша), 2013. С. 14-18.
45.Равшанов Н., Неъматов А., Назирова Э.Ш. Математическая модель,
алгоритм и программа расчета основных показателей разработки нефти
с учетом гель-частиц в пористых средах // Актуальные проблемы
математического
моделирования,
алгоритмизации
и
программирования:
Материалы
Республиканской
научнопрактической конференции. 17-18 сентября 2018. – Ташкент, 2018. - С.
211-215.
46.Равшанов Н., Назирова Э.Ш. Численное решение двумерных задач
фильтрации нефти в двухпластовых пористых средах // Современные
технологии в нефтегазовом деле – 2018: Материалы Международной
научно-технической конференции. - Т. 1. 30 марта 2018. – Уфа: Изд-во
УГНТУ, 2018. - С. 152-155.
216
47.Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. –
656 с.
48.Телков А.П., Стклянин Ю.И. Образование конусов воды при добыче
нефти и газа. – М.: Недра, 1956. – 163 с.
49.Ягафаров А.К., Клещенко И.И., Зозуля Г.П. и др. Разработка нефтяных
и газовых месторождений: Учеб. пособие.– Тюмень: ТюмГНГУ, 2010. –
50.Atkinson C., Isangulov R. A mathematical model of an oil and gas field
development process // European Journal of Applied Mathematics. – UK,
2010. – vol. 21. – Issue 3. – рp. 205-227.
51.Lopuh N. B., Pyanylo, Ya. D. Numerical analysis of models with fractional
derivatives for gas filtration in porous media // Journal of Coupled Systems
and Multiscale Dynamics, American Scientific Publishers. – vol. 2, № 1,
June 2014. - рp. 15-19(5).
52.Nazirova E.Sh. Mathematical modeling of filtration problems three phase
fluid in porous medium // Информационные технологии моделирования
и управления: Научно-технический журнал. – Воронеж: Научная
книга, 2018. - № 1(109). – С. 31-40.
53.Nazirova E.Sh. Numerical solution for oil filtration with the particular gel of
particles in a porous medium // Abstracts of the VI International scientific
conference «Modern problems of the applied mathematics and information
technology – Al-Khorezmiy 2018». NUU, Tashkent, September 13-15,
2018. - рp. 99-100.
217