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이차곡선
세종대학교 수학통계학부
머리말
이 소책자는 고등학교 과정에서 기하를 배우지 않은 학생들에게 도움을 주기 위해 만들었으며
포물선, 타원, 쌍곡선 등의 이차곡선을 다룬다.
1장부터 순서대로 포물선, 타원, 쌍곡선의 내용을 다루게 되며 부록에는 원뿔곡선 및 이심률,
몇 가지 증명, 연습문제 정답이 포함되어 있다.
대부분의 내용은 고등학교 교육과정에서 다루는 내용이지만 이심률 등의 내용은 고등학교에
서는 다루지 않는 내용이다.
교수자의 입장에서는 강의 기간에 맞게 필요한 부분을 선택하여 강의하면 되고 학생들의
입장에서는 고등학교에서의 학습 상황에 따라 공부하는 양을 조절하면 된다.
이 책으로 공부한 학생들이 이차곡선에 대한 이해를 높이게 되기를 기대한다.
2021년 2월
세종대학교 수학통계학부
차례
제1장
포물선
1
1.1
포물선의 정의와 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
포물선과 직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
제2장
타원
11
2.1
타원의 정의와 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2
타원과 직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
제3장
쌍곡선
25
3.1
쌍곡선의 정의와 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2
쌍곡선의 점근선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3
쌍곡선과 직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
부록 A
원뿔곡선과 이심률
39
부록 B
증명
42
부록 C
연습문제 정답
44
참고 문헌
47
찾아보기
48
제 1 장
포물선
1.1 포물선의 정의와 기본 성질
좌표평면에서 한 점 F 와 이 점을 지나지 않는 한 직선 l 로 부터 같은 거리에 있는 점 전체의
집합을 포물선(parabola)이라 부른다. 이 때 점 F 를 포물선의 초점(focus), 직선 l 을 포물선의
준선(directrix)이라 부른다. 또한, 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의
축(axis) 또는 대칭축(axis of symmetry)이라 하며, 포물선의 축과 포물선과의 교점을 포물
선의 꼭짓점(vertex)이라고 한다. (아래 그림 참조)
다음 정리는 포물선의 꼭짓점이 원점이고 축이 x 축 또는 y 축인 경우를 설명한다.
정리 1.1 0 이 아닌 실수 p 에 대하여 초점이 F(p, 0) 이고 준선이 x = −p 인 포물선의 방정식은
다음과 같다.
y 2 = 4px
2
제 1 장 포물선
또한 초점이 F(0, p) 이고 준선이 y = −p 인 포물선의 방정식은 다음과 같다.
x2 = 4py
증명 : 초점이 F(p, 0) 이고 준선 l 이 x = −p 인 포물선의 위의 임의의 점 P(x, y) 에 대하여 P
에서 준선에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 H 의 좌표는 (−p, y) 이다. 이 때 포물선의 정의에
의하여
PF = PH
이므로
√
(x − p)2 + y 2 = x − (−p)
이다. 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 다음을 얻는다.
y 2 = 4px
역으로 점 P(x, y) 가 방정식 y 2 = 4px 를 만족시키면
√
PF =
(x − p)2 + y 2 =
√
√
(x − p)2 + 4px = (x + p)2 = |x + p| = PH
이므로 P 는 초점이 F(p, 0) 이고 준선이 직선 x = −p 인 포물선 위에 있다. 다음 그림은 이를
잘 설명하고 있다.
같은 방법으로 초점이 F(0, p) 이고 준선 l 이 y = −p 인 포물선의 방정식은
x2 = 4py
1.1 포물선의 정의와 기본 성질
3
임을 보일 수 있다. (아래 그림 참조)
□
그러므로 방정식
y 2 = 4px
로 주어지는 곡선은 초점이 F(p, 0) 이고 준선이 직선 x = −p 인 포물선이며, 이 포물선의
꼭짓점은 (0, 0) 이고 축은 직선 y = 0 이다. 또한 방정식
x2 = 4py
로 주어지는 곡선은 초점이 F(0, p) 이고 준선이 직선 y = −p 인 포물선이며, 이 포물선의
꼭짓점은 (0, 0) 이고 축은 직선 x = 0 이다.
예제 1.2 초점과 준선이 다음과 같이 주어지는 포물선의 방정식을 각각 구하라.
(a) 초점 (3, 0), 준선 x = −3
(b) 초점 (0, −2), 준선 y = 2
풀이 :
(a) y 2 = 4px 의 식에서 p = 3 이므로 포물선의 방정식은 y 2 = 12x 이다.
(b) x2 = 4py 의 식에서 p = −2 이므로 포물선의 방정식은 x2 = −8y 이다.
예제 1.3 다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하라.
(a) y = −x2
4
제 1 장 포물선
(b) y 2 = 4x
풀이 :
(
)
( )
(a) x2 = −y = 4 · − 14 y 이므로 p = − 14 이다. 따라서 초점은 0, − 14 이고 준선은 y =
1
4
이다.
(b) y 2 = 4x = 4 · 1 · x 이므로 p = 1 이다. 따라서 초점은 (1, 0) 이고 준선은 x = −1 이다.
그래프의 평행이동을 생각하면 다음 정리를 쉽게 얻는다.
정리 1.4 방정식
(y − y0 )2 = 4p(x − x0 )
으로 주어지는 곡선은 초점이 F(x0 + p, y0 ) 이고 준선이 직선 x = x0 − p 인 포물선이다. 이
포물선의 꼭짓점은 (x0 , y0 ) 이며 축은 직선 y = y0 이다. 또한 방정식
(x − x0 )2 = 4p(y − y0 )
으로 주어지는 곡선은 초점이 F(x0 , y0 + p) 이고 준선이 직선 y = y0 − p 인 포물선이다. 이
포물선의 꼭짓점은 (x0 , y0 ) 이며 축은 직선 x = x0 이다. (아래 그림 참조)
예제 1.5 다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하라.
(a) y = x2 − 4x + 7
(b) y 2 − 6y = 4x − 5
1.2 포물선과 직선
5
풀이 :
(a) 주어진 식을 다시 쓰면 (x − 2)2 = y − 3 = 4 · 14 (y − 3) 이므로 p =
( 13 )
2, 4 이고 준선은 y = 11
이다.
4
1
4
이다. 따라서 초점은
(b) 주어진 식을 다시 쓰면 (y − 3)2 = 4(x + 1) = 4 · 1 · (x + 1) 이므로 p = 1 이다. 따라서
초점은 (0, 3) 이고 준선은 x = −2 이다.
1.2 포물선과 직선
좌표평면에서 한 포물선과 한 직선은 최대 두 점에서 만난다. 만일 직선이 포물선의 축에
평행하면 한 점에서만 만나게 된다. 직선이 포물선의 축에 평행하지 않은 경우에는 다음 예제와
같이 주어진 포물선의 식과 직선의 식에서 하나의 변수를 소거하여 나오는 이차방정식의 판별
식을 이용하면 만나는 점의 개수를 구할 수 있다.
예제 1.6 포물선 y 2 = 4x 와 직선 y = x + k 가 만나는 점의 개수를 실수 k 의 값에 따라
조사하라.
풀이 : 포물선의 식 y 2 = 4x 에 직선의 식 y = x + k 을 대입하여 변수 y 를 소거하면 다음 식을
얻는다.
x2 + 2(k − 2)x + k 2 = 0
이 식의 판별식을 D 라 하면 다음을 얻는다.
D
= (k − 2)2 − k 2 = −4k + 4
4
따라서 주어진 포물선과 직선이 만나는 점의 개수는 다음과 같다.
(i)
D
> 0, 즉 k < 1 일 때 서로 다른 두 점에서 만난다.
4
(ii)
D
= 0, 즉 k = 1 일 때 한 점에서 만난다. (이 때 주어진 직선은 포물선에 접한다.)
4
(iii)
D
< 0, 즉 k > 1 일 때 만나지 않는다.
4
참고로 위의 예제의 각 경우에 대한 포물선과 직선의 위치 관계가 다음 그림에 잘 나타나 있다.
6
제 1 장 포물선
음함수의 미분법을 이용하면 다음과 같이 포물선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 쉽게
구할 수 있다.
예제 1.7 포물선 y 2 =
1
x 위의 점 (2, 1) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
2
풀이 : 포물선의 식 y 2 =
다음과 같다.
1
x 에 대하여 y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 에 대하여 미분하면
2
2y
dy
1
=
dx
2
그러므로
dy
1
=
dx
4y
이고, 점 (2, 1) 에서 생각하면 다음을 얻는다.
dy
dx
=
(x,y)=(2,1)
따라서 점 (2, 1) 에서의 접선의 방정식은 y =
1
4
1
1
1
(x − 2) + 1, 즉 y = x + 이다.
4
4
2
참고 : 위의 예제는 이차방정식의 판별식을 이용하여 풀 수도 있다. 즉, 구하려고 하는 접선의
1
기울기를 m 이라 하면, 접선의 방정식은 y = m(x − 2) + 1 이다. 이 식을 포물선의 식 y 2 = x
2
1
2
에 대입하면 (mx − 2m + 1) = x 이고, 이 식의 좌변을 전개하여 정리하면 다음을 얻는다.
2
(
)
1
2
m x + −4m + 2m −
x + 4m2 − 4m + 1 = 0
2
2 2
1.2 포물선과 직선
7
이 이차방정식의 판별식을 D 라 하면
(
)
(
)
1 2
1 2
2
2
2
D = −4m + 2m −
− 4m (4m − 4m + 1) = 2m −
=0
2
2
에서 m =
1
1
1
1
임을 알 수 있다. 따라서 접선의 방정식은 y = (x − 2) + 1, 즉 y = x + 이다.
4
4
4
2
8
제 1 장 포물선
제 1 장 연습문제
1.1 초점과 준선이 다음과 같이 주어지는 포물선의 방정식을 각각 구하라.
(a) 초점 (4, 0), 준선 x = −4
(b) 초점 (0, −3), 준선 y = 3
1.2 다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하라.
(a) y = 3x2
(b) x = −y 2
1.3 초점과 준선이 다음과 같이 주어지는 포물선의 방정식을 각각 구하라.
(a) 초점 (−3, 1), 준선 x = 5
(b) 초점 (5, 4), 준선 y = 0
1.4 다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하라.
(a) y 2 + 2y + 4x − 3 = 0
(b) y = 3x2 + 12x + 13
1.5 아래 그림은 초점이 F(1, 1) 이고 준선 l 이 x + y + 2 = 0 인 포물선의 그래프이다. 이 포물선의
방정식을 구하라.
1.6 포물선 y = 4x2 + 1 과 직선 y = −2x + k 가 만나는 점의 개수를 실수 k 의 값에 따라 조사하라.
1.7 포물선 y 2 = x + 1 에 직선 y = 3x + k 가 접하도록하는 실수 k 의 값을 구하라.
1 장 연습문제
9
1.8 포물선 y 2 = −x 위의 점 (−4, 2) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
1.9 점 (−1, 9) 에서 포물선 y = −x2 + 1 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하라.
1.10 그림과 같이 포물선 y 2 = 4x 에 대하여 점 A 에서 y 축에 내린 수선의 발을 H, 선분 AH 와 포물선이
만나는 점을 B 라 하자. 포물선의 초점 F 에 대하여 AB = FB 이고 AH = 5 일 때, AF 를 구하라.
1.11 포물선 y 2 = 4px 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 y1 y = 2p(x + x1 ) 임을 보여라. (단, p ̸= 0)
1.12 포물선 x2 = 4py 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 x1 x = 2p(y + y1 ) 임을 보여라. (단, p ̸= 0)
1.13 포물선 y 2 = 4px 에 접하고 기울기가 m 인 직선의 방정식은 y = mx +
p
m
임을 보여라. (단, p ̸= 0,
m ̸= 0)
1.14 포물선 x2 = 4py 에 접하고 기울기가 m 인 직선의 방정식은 y = mx − m2 p 임을 보여라. (단, p ̸= 0)
1.15 포물선 y 2 = 4px 의 초점 F(p, 0) 을 지나고 기울기가 0 이 아닌 직선과 포물선이 만나는 점을 각각
A, B 라 하자. 또한 점 A 와 점 B 에서 포물선에 접하는 직선을 각각 l1 , l2 라 하자. 두 직선 l1 과 l2
는 서로 수직임을 보여라. (아래 그림 참조)
10
제 1 장 포물선
1.16 포물선의 축에 평행하게 들어오는 빛이 포물선에서 반사되면 반사된 빛은 포물선의 초점을 지나게
됨을 보여라. 단, 빛이 포물선의 한 점에서 반사될 때 그 점에서의 접선에 대한 입사각과 반사각이
같다고 가정한다. (아래 그림 참조)
제 2 장
타원
2.1 타원의 정의와 기본 성질
좌표평면에서 두 점 F, F′ 으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합을 타원(ellipse)이라
부르고, 두 점 F, F′ 을 타원의 초점(focus)이라 한다. 타원의 두 초점 F, F′ 을 지나는 직선이
타원과 만나는 두 점을 각각 A, A′ 이라 하고, 선분 A, A′ 의 수직이등분선이 타원과 만나는 두
점을 각각 B, B′ 이라 할 때, 네 점 A, A′ , B, B′ 을 타원의 꼭짓점(vertex)이라 한다. 또한 선분
AA′ 을 타원의 장축(major axis), 선분 BB′ 을 타원의 단축(minor axis)이라 하고 장축과
단축이 만나는 점을 타원의 중심(center)이라고 한다. 다음 그림은 이를 잘 설명하고 있다.
특히 타원 위의 임의의 점 P 에 대하여 FP + F′ P = AA′ 가 성립함을 알 수 있다.
다음 정리는 타원의 두 초점이 모두 x 축 위에 놓여 있고 중심이 원점인 경우를 설명한다.
정리 2.1 양수 c 에 대하여 두 초점 F(c, 0), F′ (−c, 0) 에서의 거리의 합이 2a 인 타원의 방정식은
다음과 같다.
√
x2 y 2
+ 2 = 1 (단, a > b > 0, c = a2 − b2 )
2
a
b
12
제 2 장 타원
증명 : 두 초점 F(c, 0), F′ (−c, 0) 에서의 거리의 합이 2a 인 타원 위의 임의의 점 P(x, y) 에
대하여
FP + F′ P =
이므로
√
√
√
(x − c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 = 2a
(x −
c)2
+
y2
= 2a −
√
(x + c)2 + y 2
이다. 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면
√
a (x + c)2 + y 2 = a2 + cx
이다. 이 식의 양변을 다시 제곱하여 정리하면
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
이다. b2 = a2 − c2 이라 두고 양변을 a2 b2 으로 나누면 다음을 얻는다.
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
이때c=
√
a2 − b2 이다.
역으로 점 P(x, y) 가 방정식
x2 y 2
+ 2 = 1 을 만족시키면
a2
b
FP + F′ P = 2a
(2.1)
가 성립한다. 식 (2.1) 의 증명은 부록 B를 참조하기 바란다. 그러므로 P 는 두 초점 F(c, 0),
F′ (−c, 0) 에서의 거리의 합이 2a 인 타원 위에 있다.
□
위의 정리와 같은 방법을 사용하면 양수 c 에 대하여 두 초점 F(0, c), F′ (0, −c) 에서의 거리의
합이 2b 인 타원의 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.
√
x2 y 2
+ 2 = 1 (단, b > a > 0, c = b2 − a2 )
2
a
b
또한 b > a > 0 인 실수 a 와 b 에 대하여 방정식
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
로 주어지는 곡선은 두 초점 F(0, c) 와 F′ (0, −c) 에서의 거리의 합이 2b 인 타원의 방정식이고
√
c = b2 − a2 이다.
다음 그림은 앞에서 설명한 두 가지 경우에 대한 타원의 개형을 잘 설명하고 있다.
2.1 타원의 정의와 기본 성질
(a > b > 0 인 경우)
13
(b > a > 0 인 경우)
예제 2.2 다음과 같은 방정식으로 주어지는 타원에 대하여 초점의 좌표를 각각 구하라. 또한
그래프의 개형을 좌표평면에 각각 그려라.
(a)
y2
x2
+
=1
16 12
(b)
y2
x2
+
=1
9
16
풀이 :
√
√
(a) a = 4, b = 2 3 이고 a > b > 0 이므로 c = 16 − 12 = 2 이다. 따라서 초점의 좌표는
F(2, 0), F′ (−2, 0) 이다. 그래프의 개형은 다음과 같다.
14
제 2 장 타원
√
√
(b) a = 3, b = 4 이고 b > a > 0 이므로 c = 16 − 9 = 7 이다. 따라서 초점의 좌표는
√
√
F(0, 7), F′ (0, − 7) 이다. 그래프의 개형은 다음과 같다.
예제 2.3 다음 타원의 장축, 단축의 길이와 초점의 좌표를 각각 구하라.
(a) x2 +
y2
=1
4
(b) 7x2 + 10y 2 = 70
풀이 :
(a) a = 1, b = 2 이므로 a < b 이다. 따라서 주어진 타원은 장축이 y 축 위에 있음을 알 수 있다.
√
√
√
장축의 길이는 2b = 4 이고 단축의 길이는 2a = 2 이다. c = b2 − a2 = 4 − 1 = 3
√
√
이므로 두 초점의 좌표는 각각 (0, 3), (0, − 3) 이다.
(b) 주어진 식의 양변을 70 으로 나누면
x2 y 2
+
=1
10
7
√
10, b =
√
7 이다. a > b 이므로 주어진 타원은 장축이 x 축 위에 있
√
√
음을 알 수 있다. 장축의 길이는 2a = 2 10 이고 단축의 길이는 2b = 2 7 이다.
√
√
√
√
√
c = a2 − b2 = 10 − 7 = 3 이므로 두 초점의 좌표는 각각 ( 3, 0), (− 3, 0) 이다.
이므로 a =
2.1 타원의 정의와 기본 성질
15
예제 2.4 좌표평면에서 다음과 같은 조건을 만족시키는 집합은 무엇인지 타원의 방정식을
이용하여 각각 설명하라.
(a) 두 점 (1, 0), (−1, 0) 으로부터의 거리의 합이 6 으로 일정한 점의 집합
(b) 두 점 (0, 2), (0, −2) 로부터의 거리의 합이 8 로 일정한 점의 집합
풀이 :
(a) 타원의 정의를 이용하면 주어진 집합은 장축이 x 축 위에 있는 타원임을 알 수 있다. 2a = 6
√
에서 a = 3 이며 1 = c = a2 − b2 에서 b2 = 8 이다. 그러므로 주어진 집합은 다음 식으로
표현되는 타원이다.
x2 y 2
+
=1
9
8
(b) 타원의 정의를 이용하면 주어진 집합은 장축이 y 축 위에 있는 타원임을 알 수 있다. 2b = 8
√
에서 b = 4 이며 2 = c = b2 − a2 에서 a2 = 12 이다. 그러므로 주어진 집합은 다음
식으로 표현되는 타원이다.
x2
y2
+
=1
12 16
그래프의 평행이동을 생각하면 다음 정리를 쉽게 얻는다.
정리 2.5 방정식
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1 (단, a > b > 0)
a2
b2
√
으로 주어지는 곡선은 양수 c = a2 − b2 에 대하여 두 초점 F(x0 + c, y0 ), F′ (x0 − c, y0 ) 에서의
거리의 합이 2a 인 타원의 방정식이다. 이 타원은 중심이 (x0 , y0 ) 이며 장축이 x 축에 평행하다.
마찬가지로 방정식
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1 (단, b > a > 0)
a2
b2
으로 주어지는 곡선은 양수 c =
√
b2 − a2 에 대하여 두 초점 F(x0 , y0 + c), F′ (x0 , y0 − c) 에서의
거리의 합이 2b 인 타원의 방정식이다. 이 타원은 중심이 (x0 , y0 ) 이며 장축이 y 축에 평행하다.
(아래 그림 참조)
16
제 2 장 타원
(a > b > 0 인 경우)
(b > a > 0 인 경우)
예제 2.6 다음 타원의 중심의 좌표, 초점의 좌표, 장축의 길이 및 단축의 길이를 각각 구하라.
(x − 1)2 (y − 2)2
+
=1
25
16
(a)
(b) 3x2 + 2y 2 + 6x − 16y + 29 = 0
풀이 :
(a) 중심의 좌표는 (1, 2) 이다. a = 5, b = 4 이므로 c =
√
a2 − b2 = 3 이고 초점은 F(4, 2) 와
F′ (−2, 2) 이다. 또한 장축의 길이는 2a = 10 이며 단축의 길이는 2b = 8 이다.
(b) 주어진 식을 다시 쓰면 3(x + 1)2 + 2(y − 4)2 = 6 이고, 이 식의 양변을 6 으로 나누면
다음을 얻는다.
(x + 1)2 (y − 4)2
+
=1
2
3
√
√
√
그러므로 중심의 좌표는 (−1, 4) 이다. a = 2, b = 3 이므로 c = b2 − a2 = 1 이고
√
초점은 F(−1, 5) 와 F′ (−1, 3) 이다. 또한 장축의 길이는 2b = 2 3 이며 단축의 길이는
√
2a = 2 2 이다.
다음 예제는 좌표공간에서 원기둥과 평면이 만나서 생기는 단면은 원 또는 타원이 되는 것을
설명하고 있다. 또한 원뿔과 평면이 비스듬하게 만나서 생기는 단면은 타원이 되는 것을 알 수
있는데 이에 대하여는 부록 A를 참고하기 바란다.
예제 2.7 좌표공간에 하나의 원기둥과 하나의 평면이 있다. 단, 원기둥의 중심축과 평면은
서로 평행하지도 않고 서로 수직인 것도 아니다. 이 때 원기둥과 평면이 만나서 생기는 곡선은
타원임을 보여라.
2.1 타원의 정의와 기본 성질
17
풀이 : 좌표공간에 그림과 같이 문제의 조건을 만족시키는 원기둥 D 와 평면 α 가 있고, 원기둥과
평면이 만나서 생기는 곡선을 E 라 하자. 이 원기둥에 내접하면서 평면 α 에도 접하는 구 S1 과
S2 를 생각하고 구 S1 , S2 와 평면 α 가 만나는 점을 각각 F, F′ 이라 하자. 또한 구 S1 과 S2 와
원기둥이 만난서 생기는 원을 각각 C1 , C2 라 하자. (아래 그림 참조) 이제 곡선 E 위에 있는
임의의 점 P 에 대하여 P 를 지나고 원기둥 D 의 중심축에 평행한 직선이 C1 , C2 와 만나는 점을
각각 Q, R 이라 하자. 그러면 직선 PF 와 직선 PQ 는 모두 구 S1 에 접하는 직선이므로 PF = PQ
이다. 같은 방법으로 PF′ = PR 이다. 따라서 다음이 성립한다.
PF + PF′ = PQ + PR
점 P 의 선택에 무관하게 PQ + PR 는 일정한 값이므로 결국 집합 E 는 두 점 F, F′ 을 초점으로
갖는 타원이다.
18
제 2 장 타원
2.2 타원과 직선
좌표평면에서 한 타원과 한 직선은 최대 두 점에서 만난다. 다음 예제와 같이 주어진 타원의
식과 직선의 식에서 하나의 변수를 소거하여 나오는 이차방정식의 판별식을 이용하면 만나는
점의 개수를 구할 수 있다.
예제 2.8 타원
조사하라.
x2
y2
+
= 1 과 직선 y = x + k 가 만나는 점의 개수를 실수 k 의 값에 따라
3
2
풀이 : 타원의 식
식을 얻는다.
x2
y2
+
= 1 에 직선의 식 y = x + k 을 대입하여 변수 y 를 소거하면 다음
3
2
5x2 + 6kx + 3k 2 − 6 = 0
이 식의 판별식을 D 라 하면 다음을 얻는다.
D
= −6k 2 + 30
4
따라서 주어진 타원과 직선이 만나는 점의 개수는 다음과 같다.
√
√
D
(i)
> 0, 즉 − 5 < k < 5 일 때 서로 다른 두 점에서 만난다.
4
√
D
(ii)
= 0, 즉 k = ± 5 일 때 한 점에서 만난다. (이 때 주어진 직선은 타원에 접한다.)
4
√
√
D
(iii)
< 0, 즉 k > 5 또는 k < − 5 일 때 만나지 않는다.
4
참고로 위의 예제의 각 경우에 대한 타원과 직선의 위치 관계가 다음 그림에 잘 나타나 있다.
음함수의 미분법을 이용하면 다음과 같이 타원 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 쉽게 구할
수 있다.
2.2 타원과 직선
정리 2.9 타원
같다.
19
(x − x0 )2
(y − y0 )2
+
= 1 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 다음과
a2
b2
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 )(y − y0 )
+
=1
a2
b2
(2.2)
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1 에 대하여 y 를
a2
b2
x 의 함수로 보고 양변을 x 에 대하여 미분하면 다음과 같다.
증명 : 우선 y1 ̸= y0 인 경우를 생각하자. 타원의 식
2(x − x0 ) 2(y − y0 ) dy
=0
+
a2
b2
dx
그러므로
dy
b2 (x − x0 )
=− 2
dx
a (y − y0 )
이고 타원 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 기울기는 다음과 같다.
dy
dx
=−
(x,y)=(x1 ,y1 )
b2 (x1 − x0 )
a2 (y1 − y0 )
따라서 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은
y − y1 = −
b2 (x1 − x0 )
(x − x1 )
a2 (y1 − y0 )
이다. 이 식을 다시 쓰면
a2 (y1 − y0 )(y − y1 ) + b2 (x1 − x0 )(x − x1 ) = 0
이고 양변을 a2 b2 으로 나누면 다음을 얻는다.
(x1 − x0 )(x − x1 ) (y1 − y0 )(y − y1 )
+
=0
a2
b2
(2.3)
그런데 점 (x1 , y1 ) 은 주어진 타원 위의 점이므로
(x1 − x0 )2 (y1 − y0 )2
+
=1
a2
b2
(2.4)
이 성립한다. 식 (2.3)과 식 (2.4)를 같은 변끼리 더하면 식 (2.2)를 얻는다.
y1 = y0 인 경우에는 타원의 개형으로부터 y 축에 평행한 직선 x = x0 + a 와 x = x0 − a 를
접선으로 갖게 됨을 알 수 있는데, 식 (2.2)는 이 경우에도 성립하게 된다.
앞의 정리에서 (x0 , y0 ) = (0, 0) 인 경우를 생각하면 다음 따름정리를 얻는다.
□
20
제 2 장 타원
따름정리 2.10 타원
x2 y 2
+ 2 = 1 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
a2
b
x 1 x y1 y
+ 2 =1
a2
b
예제 2.11 타원
x2 y 2
+
= 1 위의 점 (4, 1) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
20
5
풀이 : 따름정리 2.10을 이용하면 접선의 방정식은
4x y
+ =1
20 5
즉, y = −x + 5 임을 알 수 있다.
예제 2.12 타원
(x − 1)2 (y − 2)2
+
= 1 위의 점 (10, 6) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
225
25
풀이 : 정리 2.9를 이용하면 접선의 방정식은
9(x − 1) 4(y − 2)
+
=1
225
25
즉, x + 4y = 34 임을 알 수 있다.
2 장 연습문제
21
제 2 장 연습문제
2.1 다음 타원의 중심의 좌표, 초점의 좌표, 장축의 길이 및 단축의 길이를 각각 구하라.
x2
+ y2 = 1
4
x2
y2
(b)
+
=1
9
36
(a)
2.2 다음 조건을 만족시키는 타원의 방정식을 각각 구하라.
(a) 두 초점 : F(4, 0), F′ (−4, 0), 장축의 길이 : 10
(b) 두 초점 : F(0, 1), F′ (0, −1), 단축의 길이 : 3
2.3 다음 타원의 중심의 좌표, 초점의 좌표, 장축의 길이 및 단축의 길이를 각각 구하라.
(x − 1)2
+ (y + 3)2 = 1
4
(x + 2)2
(y − 2)2
(b)
+
=1
9
36
(a)
2.4 다음 조건을 만족시키는 타원의 방정식을 각각 구하라.
(a) 두 초점 : F(3, 0), F′ (−1, 0), 장축의 길이 : 10
(b) 두 초점 : F(0, 4), F′ (0, 0), 단축의 길이 : 1
√
2.5 아래 그림은 두 초점 F(1, 1), F′ (−1, −1) 로 부터의 거리의 합이 3 2 로 일정한 점 들의 모임인
타원의 그래프이다. 이 타원의 방정식을 구하라.
2.6 타원
x2
+ y 2 = 1 과 직선 y = 2x + k 가 만나는 점의 개수를 실수 k 의 값에 따라 조사하라.
2
22
제 2 장 타원
2.7 타원
x2
y2
+
= 1 에 직선 y = −x + k 가 접하도록하는 실수 k 의 값을 구하라.
4
2
2.8 타원
y2
x2
+
= 1 위의 점 (3, 8) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
25
100
2.9 타원
x2
y2
+
= 1 에 접하는 직선 중에서 기울기가 1 인 것을 모두 구하라.
4
5
2.10 점 (4, 0) 에서 타원
x2
y2
+
= 1 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하라.
4
3
x2
y2
+
= 1 로 주어지는 타원과 두 초점 F, F′ 에 대하여 타원 밖의 한 점 A 와
16
9
3
점 F′ 을 연결하는 선분이 타원과 만나는 점을 B 라 하자. AB = FB 이고 ∠AFF′ = π 일 때 점 A
4
2.11 그림과 같이 방정식
의 좌표를 구하라.
2.12 타원의 이심률은 e 로 표기하며 e =
x2 y 2
두 초점 사이의 거리
로 계산된다. 타원
+
= 1 의 이심률을
9
4
주축의 길이
구하라. (이심률에 대한 좀 더 자세한 설명은 부록 A를 참고할 것)
2.13 양의 상수 a, b 에 대하여 매개변수 θ 를 이용하여 다음과 같은 매개방정식으로 주어지는 곡선이
무엇인지 말하라.
x = a cos θ, y = b sin θ (0 ≤ θ ≤ 2π)
2.14 타원
x2
y2
+ 2 = 1 에 접하는 기울기가 m 인 직선의 방정식은 다음과 같음을 보여라.
2
a
b
y = mx ±
2.15 타원
√
a2 m2 + b2
x2
y2
+
= 1(단, a > 0, b > 0, a ̸= b) 로 둘러싸인 영역의 넓이는 πab 임을 보여라.
a2
b2
2 장 연습문제
23
2.16 타원의 한 초점 F 에서 출발한 빛이 타원 위의 임의의 점 P 에 반사되면, 반사된 빛은 타원의 다른
초점 F′ 을 지나게 됨을 보여라. 단, 빛이 타원 위의 한 점에서 반사될 때 그 점에서의 접선에 대한
입사각과 반사각이 같다고 가정한다. (아래 그림 참조)
제 3 장
쌍곡선
3.1 쌍곡선의 정의와 기본 성질
좌표평면에서 두 점 F, F′ 으로부터의 거리의 차가 일정한 점의 집합을 쌍곡선(hyperbola)이
라 부르고, 두 점 F, F′ 을 쌍곡선의 초점(focus)이라 한다. 쌍곡선의 두 초점 F, F′ 을 지나는
직선이 쌍곡선과 만나는 두 점 A, A′ 을 쌍곡선의 꼭짓점(vertex)이라 한다. 또한 선분 AA′ 을
쌍곡선의 주축(major axis)이라 하고 주축의 중점을 쌍곡선의 중심(center)이라고 한다. 다음
그림은 이를 잘 설명하고 있다. 특히 쌍곡선 위의 임의의 점 P 에 대하여 FP − F′ P = AA′ 가
성립함을 알 수 있다.
다음 정리는 쌍곡선의 두 초점이 모두 x 축 위에 놓여 있고 중심이 원점인 경우를 설명한다.
정리 3.1 두 초점 F(c, 0), F′ (−c, 0) 에서의 거리의 차가 2a 인 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.
√
x2 y 2
− 2 = 1 (단, c > a > 0, c = a2 + b2 )
2
a
b
26
제 3 장 쌍곡선
증명 : 두 초점 F(c, 0), F′ (−c, 0) 에서의 거리의 차가 2a 인 쌍곡선 위의 임의의 점 P(x, y) 에
대하여
FP − F′ P =
즉,
√
(x − c)2 + y 2 −
√
(x + c)2 + y 2 = 2a,
√
√
(x − c)2 + y 2 − (x + c)2 + y 2 = ±2a
이므로
√
(x − c)2 + y 2 =
√
(x + c)2 + y 2 ± 2a
이다. 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면
√
cx + a2 = ∓a (x + c)2 + y 2
이다. 이 식의 양변을 다시 제곱하여 정리하면
(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 )
이다. c > a > 0 이므로 b2 = c2 − a2 이라 두고 양변을 a2 b2 으로 나누면 다음을 얻는다.
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
이때c=
√
a2 + b2 이다.
역으로 점 P(x, y) 가 방정식
x2 y 2
− 2 = 1 을 만족시키면
a2
b
FP − F′ P = 2a
(3.1)
가 성립한다. 식의 (3.1) 의 증명은 부록 B를 참조하기 바란다. 그러므로 P 는 두 초점 F(c, 0),
F′ (−c, 0) 에서의 거리의 차가 2a 인 쌍곡선 위에 있다.
□
위의 정리와 같은 방법을 사용하면 두 초점 F(0, c), F′ (0, −c) 에서의 거리의 차가 2b 인 쌍곡
선의 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.
√
x2 y 2
− 2 = −1 (단, c > b > 0, c = a2 + b2 )
2
a
b
또한 양의 실수 a 와 b 에 대하여 방정식
x2 y 2
− 2 = −1
a2
b
로 주어지는 곡선은 두 초점 F(0, c) 와 F′ (0, −c) 에서의 거리의 차가 2b 인 쌍곡선의 방정식이고
3.1 쌍곡선의 정의와 기본 성질
c=
√
27
a2 + b2 이다.
다음 그림은 앞에서 설명한 두 가지 경우에 대한 쌍곡선의 개형을 잘 설명하고 있다.
예제 3.2 다음과 같은 방정식으로 주어지는 쌍곡선에 대하여 꼭짓점과 초점의 좌표 및 주축의
길이를 각각 구하라.
(a)
x2
y2
−
=1
12 12
(b)
x2
y2
−
= −1
9
16
풀이 :
√
√
√
√
(a) 이 쌍곡선의 두 초점은 x 축 위에 있고 a = 2 3, b = 2 3 이므로 c = 12 + 12 = 2 6
√
√
√
이다. 따라서 꼭짓점의 좌표는 (2 3, 0), (−2 3, 0) 이며 초점의 좌표는 F(2 6, 0),
√
√
F′ (−2 6, 0) 이다. 주축의 길이는 2a = 4 3 이다.
(b) 이 쌍곡선의 두 초점은 y 축 위에 있고 a = 3, b = 4 이므로 c =
′
√
9 + 16 = 5 이다. 따라서
꼭짓점의 좌표는 (0, 4), (0, −4) 이며 초점의 좌표는 F(0, 5), F (0, −5) 이다. 주축의 길이는
2b = 8 이다.
28
제 3 장 쌍곡선
3.2 쌍곡선의 점근선
쌍곡선
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
에 대하여 y 를 x 의 식으로 나타내면 다음과 같다.
√
a2
b
y =± x 1− 2
a
x
b
따라서 |x| 이 한없이 커지게 되면 위의 식은 두 직선 y = ± x 에 한없이 가까워지게 된다.
a
따라서 이 두 직선은 주어진 쌍곡선의 점근선이 된다. 또한 쌍곡선
x2 y 2
− 2 = −1
a2
b
에 대하여 y 를 x 의 식으로 나타내면
√
a2
b
y =± x 1+ 2
a
x
b
이므로 두 직선 y = ± x 은 역시 주어진 쌍곡선의 점근선이 된다. 이를 종합하면 다음 정리를
a
얻는다.
정리 3.3 쌍곡선
x2 y 2
x2 y 2
−
=
1
또는
− 2 = −1 은 다음 두 직선을 점근선으로 갖는다.
a2
b2
a2
b
b
y=± x
a
예제 3.4 다음 쌍곡선에 대하여 꼭짓점과 초점의 좌표 및 점근선의 방정식을 각각 구하고
좌표평면에 쌍곡선과 점근선을 각각 그려라.
(a)
x2
y2
−
=1
9
16
(b)
y2
x2
−
=1
16 16
풀이 :
(a) 주어진 쌍곡선의 두 초점은 x 축 위에 있고 a = 3, b = 4 이므로 c =
√
9 + 16 = 5
′
이다. 따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 0), (−3, 0) 이며 초점의 좌표는 F(5, 0), F (−5, 0) 이다.
4
점근선은 y = ± x 이다. 쌍곡선과 점근선의 그래프는 아래 왼쪽에 그려져 있다.
3
(b) 주어진 쌍곡선의 식을 다시 쓰면
x2
y2
−
= −1 이다. 따라서 두 초점은 y 축 위에 있고
16 16
3.2 쌍곡선의 점근선
29
√
16 + 16 = 4 2 이다. 따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 4), (0, −4)
√
√
이며 초점의 좌표는 F(0, 4 2), F′ (0, −4 2) 이다. 점근선은 y = ±x 이다. 쌍곡선과
a = 4, b = 4 이므로 c =
√
점근선의 그래프는 아래 오른쪽에 그려져 있다.
(a) 쌍곡선
x2
y2
4
−
= 1 과 점근선 y = ± x
9
16
3
(b)
x2
y2
−
= 1 과 점근선 y = ±x
16
16
예제 3.5 다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 방정식을 각각 구하라.
√
√
(a) 점근선이 y = ± 2x 이고 한 초점의 좌표가 ( 6, 0) 인 쌍곡선
√
1
(b) 점근선이 y = ± x 이고 한 꼭짓점의 좌표가 (0, −2 2) 인 쌍곡선
2
풀이 :
(a) 초점이 x 축 위에 있는 쌍곡선이므로 쌍곡선의 방정식은
조건으로부터
x2 y 2
−
= 1 의 형태이며 주어진
a2 b2
b √
= 2, a2 + b2 = 6
a
임을 알 수 있다. 이 식을 연립하여 풀면 a2 = 2, b2 = 4 이므로 쌍곡선의 방정식은 다음과
같다.
x2 y 2
−
=1
2
4
(b) 꼭짓점이 y 축 위에 있는 쌍곡선이므로 쌍곡선의 방정식은
주어진 조건으로부터
√
b
1
= , b=2 2
a
2
y2
x2
−
= −1 의 형태이며
a2
b2
30
제 3 장 쌍곡선
임을 알 수 있다. 이 식을 연립하여 풀면 a2 = 32, b2 = 8 이므로 쌍곡선의 방정식은 다음과
같다.
x2 y 2
−
= −1
32
8
그래프의 평행이동을 생각하면 다음 정리를 쉽게 얻는다.
정리 3.6 방정식
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
= 1 (단, a > 0, b > 0)
a2
b2
√
으로 주어지는 곡선은 양수 c = a2 + b2 에 대하여 두 초점 F(x0 + c, y0 ), F′ (x0 − c, y0 )
에서의 거리의 차가 2a 인 쌍곡선의 방정식이다. 이 쌍곡선은 중심이 (x0 , y0 ) 이며 주축이 x 축에
b
평행하다. 또한 두 직선 y = ± (x − x0 ) + y0 은 이 쌍곡선의 점근선이다.
a
마찬가지로 방정식
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
= −1 (단, a > 0, b > 0)
a2
b2
으로 주어지는 곡선은 양수 c =
√
a2 + b2 에 대하여 두 초점 F(x0 , y0 + c), F′ (x0 , y0 − c)
에서의 거리의 차가 2b 인 쌍곡선의 방정식이다. 이 쌍곡선은 중심이 (x0 , y0 ) 이며 주축이 y 축에
b
평행하다. 또한 두 직선 y = ± (x − x0 ) + y0 은 이 쌍곡선의 점근선이다. (아래 그림 참조)
a
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= 1과
2
a
b2
b
점근선 y = ± (x − x0 ) + y0
a
쌍곡선
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= −1 과
2
a
b2
b
점근선 y = ± (x − x0 ) + y0
a
쌍곡선
예제 3.7 다음 쌍곡선의 중심의 좌표, 초점의 좌표 및 점근선의 방정식을 각각 구하라.
(a)
(x − 1)2 (y − 2)2
−
=1
25
144
(b) 2x2 − 3y 2 + 8x + 18y − 13 = 0
3.3 쌍곡선과 직선
31
풀이 :
√
(a) 중심의 좌표는 (1, 2) 이다. a = 5, b = 12 이므로 c = a2 + b2 = 13 이고 초점은 F(14, 2)
12
와 F′ (−12, 2) 이다. 점근선의 방정식은 y = ± (x − 1) + 2 이다.
5
(b) 주어진 식을 다시 쓰면 2(x + 2)2 − 3(y − 3)2 = −6 이고, 이 식의 양변을 6 으로 나누면
다음을 얻는다.
(x + 2)2 (y − 3)2
−
= −1
3
2
√
√
√
√
그러므로 중심의 좌표는 (−2, 3) 이다. a = 3, b = 2 이므로 c = a2 +√b2 = 5 이고
√
√
2
초점은 F(−2, 3 + 5) 와 F′ (−2, 3 − 5) 이다. 점근선의 방정식은 y = ± √ (x + 2) + 3
3
이다.
3.3 쌍곡선과 직선
좌표평면에서 한 쌍곡선과 한 직선은 최대 두 점에서 만난다. 다음 예제와 같이 주어진
쌍곡선의 식과 직선의 식에서 하나의 변수를 소거하여 나오는 이차방정식의 판별식을 이용하면
만나는 점의 개수를 구할 수 있다.
예제 3.8 쌍곡선
조사하라.
x2 y 2
−
= 1 과 직선 y = 2x + k 가 만나는 점의 개수를 실수 k 의 값에 따라
3
2
풀이 : 쌍곡선의 식
식을 얻는다.
x2 y 2
−
= 1 에 직선의 식 y = 2x + k 을 대입하여 변수 y 를 소거하면 다음
3
2
10x2 + 12kx + 3k 2 + 6 = 0
이 식의 판별식을 D 라 하면 다음을 얻는다.
D
= 6(k 2 − 10)
4
따라서 주어진 쌍곡선과 직선이 만나는 점의 개수는 다음과 같다.
√
√
D
> 0, 즉 k > 10 또는 k < − 10 일 때 서로 다른 두 점에서 만난다.
4
√
D
(ii)
= 0, 즉 k = ± 10 일 때 한 점에서 만난다. (이 때 주어진 직선은 쌍곡선에 접한다.)
4
√
√
D
(iii)
< 0, 즉 − 10 < k < 10 일 때 만나지 않는다.
4
(i)
참고로 위의 예제의 각 경우에 대한 쌍곡선과 직선의 위치 관계가 다음 그림에 잘 나타나 있다.
32
제 3 장 쌍곡선
음함수의 미분법을 이용하면 다음과 같이 쌍곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 쉽게
구할 수 있다.
정리 3.9 쌍곡선
같다.
또한 쌍곡선
같다.
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
= 1 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 다음과
a2
b2
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 )(y − y0 )
−
=1
a2
b2
(3.2)
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= −1 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 다음과
2
a
b2
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 )(y − y0 )
−
= −1
a2
b2
(3.3)
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
= 1 에 대하여 y
a2
b2
를 x 의 함수로 보고 양변을 x 에 대하여 미분하면 다음과 같다.
증명 : 우선 y1 ̸= y0 인 경우를 생각하자. 쌍곡선의 식
2(x − x0 ) 2(y − y0 ) dy
−
=0
a2
b2
dx
그러므로
dy
b2 (x − x0 )
= 2
dx
a (y − y0 )
이고 쌍곡선 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 기울기는 다음과 같다.
dy
dx
=
(x,y)=(x1 ,y1 )
b2 (x1 − x0 )
a2 (y1 − y0 )
3.3 쌍곡선과 직선
33
따라서 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은
y − y1 =
b2 (x1 − x0 )
(x − x1 )
a2 (y1 − y0 )
이다. 이 식을 다시 쓰면
a2 (y1 − y0 )(y − y1 ) − b2 (x1 − x0 )(x − x1 ) = 0
이고 양변을 a2 b2 으로 나누면 다음을 얻는다.
(x1 − x0 )(x − x1 ) (y1 − y0 )(y − y1 )
−
=0
a2
b2
(3.4)
그런데 점 (x1 , y1 ) 은 주어진 쌍곡선 위의 점이므로
(x1 − x0 )2 (y1 − y0 )2
−
=1
a2
b2
(3.5)
이 성립한다. 식 (3.4)와 식 (3.5)를 같은 변끼리 더하면 식 (3.2)를 얻는다.
y1 = y0 인 경우에는 쌍곡선의 개형으로부터 y 축에 평행한 직선 x = x0 + a 와 x = x0 − a
를 접선으로 갖게 됨을 알 수 있는데, 식 (3.2)는 이 경우에도 성립하게 된다.
□
식 (3.3)도 앞에서와 같은 방법으로 증명된다.
앞의 정리에서 (x0 , y0 ) = (0, 0) 인 경우를 생각하면 다음 따름정리를 얻는다.
따름정리 3.10 쌍곡선
x2 y 2
− 2 = 1 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
a2
b
x 1 x y1 y
− 2 =1
a2
b
또한 쌍곡선
x2 y 2
− 2 = −1 위의 점 (x1 , y1 ) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
a2
b
x1 x y1 y
− 2 = −1
a2
b
예제 3.11 쌍곡선 x2 −
y2
= 1 위의 점 (3, 4) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
2
풀이 : 따름정리 3.10을 이용하면 접선의 방정식은
3x −
즉, 3x − 2y = 1 임을 알 수 있다.
4y
=1
2
34
예제 3.12 쌍곡선
제 3 장 쌍곡선
(x − 2)2 (y − 1)2
−
= −1 위의 점 (5, 5) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
3
4
풀이 : 정리 3.9를 이용하면 접선의 방정식은
(5 − 2)(x − 2) (5 − 1)(y − 1)
−
= −1
3
4
즉, y = x 임을 알 수 있다.
3 장 연습문제
35
제 3 장 연습문제
3.1 다음 쌍곡선의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 주축의 길이 및 점근선의 방정식을 각각 구하라.
y2
x2
−
=1
4
5
x2
y2
(b)
−
= −1
9
36
(a)
3.2 다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 방정식을 각각 구하라.
(a) 두 초점 : F(4, 0), F′ (−4, 0), 주축의 길이 : 4
(b) 점근선 : y = x, y = −x, 꼭짓점 : (0, 3), (0, −3)
3.3 다음 쌍곡선의 중심의 좌표, 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표 및 점근선의 방정식을 각각 구하라.
(x − 1)2
(y + 3)2
−
=1
4
2
(x + 1)2
(y − 4)2
(b)
−
= −1
25
36
(a)
3.4 다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 방정식을 각각 구하라.
1
2
(a) 두 초점 : F(−1, 4), F′ (−1, 8), 점근선 : y = ± (x + 1) + 6
(b) 두 초점 : F(5, 3), F′ (−1, 3), 두 꼭짓점 : (4, 3), (0, 3)
√ √
√
√
√
3.5 아래 그림은 두 초점 F( 2, 2), F′ (− 2, − 2) 로 부터의 거리의 차가 2 2 로 일정한 점 들의
모임인 쌍곡선의 그래프이다. 이 쌍곡선의 방정식을 구하라. 또한 이 쌍곡선의 꼭짓점과 점근선을
구하라.
3.6 쌍곡선
x2
y2
−
= 1 과 직선 y = x + k 가 만나는 점의 개수를 실수 k 의 값에 따라 조사하라.
5
2
36
제 3 장 쌍곡선
3.7 쌍곡선 x2 − y 2 = −1 에 직선 y =
1
x + k 가 접하도록하는 실수 k 의 값을 구하라.
3
3.8 쌍곡선
√
x2
y2
−
= 1 위의 점 (2 5, 3) 에서의 접선의 방정식을 구하라.
5
3
3.9 쌍곡선
x2
y2
−
= 1 에 접하는 직선 중에서 기울기가 2 인 것을 모두 구하라.
4
6
3.10 점 (1, 0) 에서 쌍곡선
x2
y2
−
= 1 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하라.
4
9
3.11 그림과 같이 중심이 원점이고 두 초점 F, F′ 이 x 축 위에 있는 쌍곡선이 있다. 점 F 를 지나고 x 축에
수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중에서 제1사분면에 속하는 점을 P 라 하자. 이 쌍곡선의
3
4
점근선이 y = ± x 이고 FP = 9 일 때 이 쌍곡선의 방정식을 구하라.
3.12 쌍곡선의 이심률은 e 로 표기하며 e =
두 초점 사이의 거리
x2
y2
로 계산된다. 쌍곡선
−
= 1의
9
16
주축의 길이
이심률을 구하라. (이심률에 대한 좀 더 자세한 설명은 부록 A를 참고할 것)
3.13 쌍곡선
x2
y2
−
= 1 에 접하는 기울기가 m 인 직선의 방정식은 다음과 같음을 보여라.
a2
b2
y = mx ±
√
a2 m2 − b2 (단, a2 m2 − b2 > 0)
3 장 연습문제
3.14 다음 그림과 같이 쌍곡선
37
x2
y2
− 2 = 1 위의 임의의 한 점 P 에서 두 점근선에 내린 수선의 발을
2
a
b
각각 A, B 라 할 때 직사각형 PAOB 의 넓이는 점 P 의 선택과 무관하게 일정함을 보여라. (단, O 는
원점이다.)
3.15 쌍곡선의 한 초점에서 출발한 빛이 쌍곡선 위의 점 P 에서 반사되면, 반사된 빛은 타원의 다른 초점과
P 를 연결하는 직선 방향으로 진행하게 됨을 보여라. 단, 빛이 타원 위의 한 점에서 반사될 때 그
점에서의 접선에 대한 입사각과 반사각이 같다고 가정한다. (아래 그림 참조) 즉, 이 문제는 점 P
에서의 쌍곡선의 접선이 ∠FPF′ 을 이등분한다는 것을 보이는 문제와 동치이다.
부록 A
원뿔곡선과 이심률
원뿔곡선(conic section) 또는 원추곡선은 평면으로
원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선을 말한다. 원뿔의 모선
과 밑면의 사잇각을 α, 자르는 평면과 밑면의 사잇각
π
을 β 라 할 때 다음과 같이 구별된다. 단, 0 < α <
2
π
이고 0 ≤ β ≤ 이다.
2
(오른쪽 그림 및 아래 그림 참조)
(a) α > β = 0 이면 원
(b) α > β > 0 이면 타원
(c) α = β 이면 포물선
(d) α < β 이면 쌍곡선
(a)
(b)
(c)
(d)
40
원뿔곡선과 이심률
그러므로 이차곡선인 원, 포물선, 타원, 쌍곡선은 원뿔곡선이라 부른다. 위의 네 가지 경우
중에서 그림 (b) 에 그려진 단면이 타원이라는 것은 다음과 같이 증명된다. (나머지 그림의
경우도 유사하게 증명된다.)
좌표공간에 아래 그림과 같이 꼭짓점 O 를 갖는 원뿔 D 와 평면 α 가 그림 (b) 의 조건을 만족시
킨다고 가정하자. 이 때 원뿔과 평면이 만나서 생기는 곡선을 E 라 하자. 이 원뿔에 내접하면서
평면 α 에도 접하는 구 S1 과 S2 를 생각하고 구 S1 , S2 와 평면 α 가 만나는 점을 각각 F, F′ 이라
하자. 또한 구 S1 과 S2 와 원뿔이 만난서 생기는 원을 각각 C1 , C2 라 하자. (아래 그림 참조)
이제 곡선 E 위에 있는 임의의 점 P 에 대하여 직선 OP 가 C1 , C2 와 만나는 점을 각각 Q, R
이라 하자. 그러면 직선 PF 와 직선 PQ 는 모두 구 S1 에 접하는 직선이므로 PF = PQ 이다.
같은 방법으로 PF′ = PR 이다. 따라서 다음이 성립한다.
PF + PF′ = PQ + PR
점 P 의 선택에 무관하게 PQ + PR 는 일정한 값이므로 결국 집합 E 는 두 점 F, F′ 을 초점으로
갖는 타원이다.
부록 A
41
앞의 그림에서와 같이 평면으로 원뿔을 잘랐을 때 생기는 이차곡선에 대하여 원뿔의 모선과
밑면의 사잇각을 α, 자르는 평면과 밑면의 사잇각을 β 라 할 때 이심률(eccentricity)은 e 로
표기하며, 다음과 같이 정의된다.
e=
sin β
sin α
이 정의로부터 다음을 알 수 있다.
(a) 원의 이심률은 0 이다.
(b) 타원의 이심률은 0 보다 크고 1보다 작다.
(c) 포물선의 이심률은 1 이다.
(d) 쌍곡선의 이심률은 1 보다 크다.
그러므로 이차곡선의 이심률은 원에서 벗어나는 정도를 나타낸다고 볼 수 있다.
특히 타원의 경우 이심률이 0 에 가까울 수록 원에 가까운 모양이며 1 에 가까울 수록 좀 더
납작한 모양의 타원이 된다. 타원
x2 y 2
+ 2 = 1 (a > b > 0)
a2
b
의 두 초점 F(c, 0), F′ (−c, 0) 에 대하여 이심률은 다음과 같이 계산되는 것이 알려져 있다.
두 초점 사이의 거리
c
e=
= =
주축의 길이
a
√
(b > a > 0 인 경우에는 e =
1−
√
a2 − b2
=
a
√
1−
b2
a2
a2
이다.)
b2
천문학에서는 태양 주위를 공전하는 행성의 공전 궤도가 태양을 두 초점 가운데 하나로 하는
타원이라는 것이 알려져 있다. 참고로 지구가 그리는 타원 궤도의 이심률은 대략 0.0167 정도인
반면 핼리 혜성이 그리는 타원 궤도의 이심률은 대략 0.967 로 매우 크다.
쌍곡선
x2 y 2
− 2 = 1 (a > 0, b > 0)
a2
b
의 두 초점 F(c, 0), F′ (−c, 0) 에 대하여 이심률은 다음과 같이 계산되는 것이 알려져 있다.
두 초점 사이의 거리
c
e=
= =
주축의 길이
a
x2 y 2
(쌍곡선의 방정식이 2 − 2 = −1 인 경우에는 e =
a
b
√
a2 + b2
=
a
√
1+
√
1+
a2
이다.)
b2
b2
a2
부록 B
증명
식 (2.1) 의 증명
점 P(x, y) 가 방정식
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
(B.1)
x2
을 만족시킨다. (단, a > c > 0 이고 b2 = a2 − c2 이다.) 따라서 2 ≤ 1 이므로 −a ≤ x ≤ a
a
c
이다. 또한 < 1 이므로
a
c
−a < x < a
(B.2)
a
이다. 그런데 식 (B.1) 에서 y 2 = b2 −
FP + F′ P =
√
√
(x − c)2 + y 2 +
b2 2
x 이므로 다음과 같이 계산된다.
a2
√
(x + c)2 + y 2
√
b2
2
(x + c) + b2 − 2 x2
a
√(
√(
)
)
2
2
b
b
2
2
2
=
1 − 2 x − 2cx + c + b +
1 − 2 x2 + 2cx + c2 + b2
a
a
√
√
c2 2
c2 2
=
x − 2cx + a2 +
x + 2cx + a2
2
2
a
a
√(
)2 √( c
)2
c
x−a +
x+a
=
a
a
c
c
= x−a + x+a
a
a
c
c
= a − x + a + x (⇐ (B.2))
a
a
=
2
(x − c) + b2 −
= 2a
b2 2
x +
a2
부록 B
43
식 (3.1) 의 증명
점 P(x, y) 가 방정식
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
(B.3)
x2
을 만족시킨다. (단, c > a > 0 이고 c2 = a2 + b2 이다.) 따라서 2 ≥ 1 이므로 x ≤ −a 또는
a
c
x ≥ a 이다. 또한 > 1 이므로
a
c
c
x < −a 또는 x > a
a
a
이다. 그런데 식 (B.3) 에서 y 2 =
FP − F′ P =
√
√
b2 2
x − b2 이므로 다음과 같이 계산된다.
a2
(x − c)2 + y 2 +
√
(x + c)2 + y 2
√
b2
2
(x + c) + 2 x2 − b2
√(
√( a
)
)
b2
b2
=
1 + 2 x2 − 2cx + c2 − b2 −
1 + 2 x2 + 2cx + c2 − b2
a
a
√
√
c2 2
c2 2
2 −
=
x
−
2cx
+
a
x + 2cx + a2 (⇐ a2 + b2 = c2 )
2
2
a
a
√(
)2 √( c
)2
c
=
x−a −
x+a
a
a
c
c
= x−a − x+a
a
a
=
2
(x − c) +
b2 2
x − b2 −
a2
= ±2a (⇐ (B.4))
그러므로 FP − F′ P = 2a 이다.
(B.4)
부록 C
연습문제 정답
제 1 장 연습문제 정답
1.1
(a) y 2 = 16x
(b) x2 = −12y
(
1.2
(a) 초점
0,
(
(b) 초점
1.3
1
12
)
, 준선 y = −
1
12
)
1
1
− , 0 , 준선 x =
4
4
(a) (y − 1)2 = −16(x − 1)
(b) (x − 5)2 = 8(y − 2)
1.4
(a) 초점 (0, −1), 준선 x = 2
(
)
13
11
(b) 초점 −2,
, 준선 y =
12
12
1.5 x2 + y 2 − 2xy − 8x − 8y = 0
1.6 주어진 포물선과 직선은 k >
1.7
3
3
3
일 때 서로 다른 두 점에서 만나고 k = 일 때 한 점에서 만나며 k < 일 때 만나지 않는다.
4
4
4
37
12
1
1.8 y = − x + 1
4
1.9 y = 8x + 17, y = −4x + 5
√
1.10 2 6
제 2 장 연습문제 정답
2.1
√
√
(a) 중심 : (0, 0), 초점 : F( 3, 0), F′ (− 3, 0), 장축의 길이 : 4, 단축의 길이 : 2
√
√
(b) 중심 : (0, 0), 초점 : F(0, 3 3), F′ (0, −3 3), 장축의 길이 : 12, 단축의 길이 : 6
부록 C
2.2
2.3
45
(a)
y2
x2
+
=1
25
9
(b)
4x2
4y 2
+
=1
9
13
(a) 중심 : (1, −3), 초점 : F(1 +
√
3, −3), F′ (1 −
√
3, −3), 장축의 길이 : 4, 단축의 길이 : 2
√
√
(b) 중심 : (−2, 2), 초점 : F(−2, 2 + 3 3), F′ (−2, 2 − 3 3), 장축의 길이 : 12, 단축의 길이 : 6
2.4
(a)
(x − 1)2
y2
+
=1
25
21
2
(b) 4x +
4(y − 2)2
=1
17
2.5 14x2 + 14y 2 − 8xy − 45 = 0
2.6 주어진 타원과 직선은 −3 < k < 3 일 때 서로 다른 두 점에서 만나고 k = ±3 일 때 한 점에서 만나며 k < −3 또는 k > 3 일 때
만나지 않는다.
√
2.7 k = ± 6
2.8 3x + 2y = 25
2.9 y = x + 3, y = x − 3
1
1
x − 2, y = − x + 2
2
2
(
√ )
2.11 5, 5 − 7
2.10 y =
√
2.12
5
3
2.13 a = b 이면 방정식 x2 + y 2 = a2 으로 주어지는 원이고, a ̸= b 이면 방정식
x2
y2
+ 2 =1로 주어지는 타원이다.
a2
b
제 3 장 연습문제 정답
√
3.1
(a) 초점 : F(3, 0), F′ (−3, 0), 꼭짓점 : (2, 0), (−2, 0), 주축의 길이 : 4, 점근선 : y =
√
5
5
x, y = −
x
2
2
√
√
(b) 초점 : F(0, 3 5), F′ (0, −3 5), 꼭짓점 : (0, 6), (0, −6), 주축의 길이 : 12, 점근선 : y = 2x, y = −2x
3.2
3.3
3.4
(a)
x2
y2
−
=1
4
12
(b)
x2
y2
−
= −1
9
9
√
√
√
2
(x − 1) − 3
2
√
√
6
(b) 중심 : (−1, 4), 초점 : F(−1, 4 + 61), F′ (−1, 4 − 61), 꼭짓점 : (−1, 10), (−1, −2), 점근선 : y = ± (x + 1) + 4
5
(a) 중심 : (1, −3), 초점 : F(1 +
6, −3), F′ (1 −
(a)
5
5
2
2
(x + 1) − (y − 6) = −1
16
4
(b)
(y − 3)2
(x − 2)2
−
=1
4
5
3.5 쌍곡선의 방정식 : y =
6, −3), 꼭짓점 : (3, −3), (−1, −3), 점근선 : y = ±
1
(즉, xy = 1), 꼭짓점 : (1, 1), (−1, −1), 점근선 : y = 0 (즉, x 축), x = 0 (즉, y 축)
x
√
√
√
√
√
3.6 주어진 쌍곡선과 직선은 k < − 3 또는 k > 3 일 때 서로 다른 두 점에서 만나고, k = ± 3 일 때 한 점에서 만나며 − 3 < k < 3
일 때 만나지 않는다.
46
3 장 연습문제 정답
√
2 2
3
√
2 5
3.8 y =
x−1
5
3.7 k = ±
3.9 y = 2x +
3.10 y =
√
√
3x −
10, y = 2x −
√
√
10
√
√
3, y = − 3x + 3
3.11
y2
x2
−
=1
256
144
3.12
5
3
참고 문헌
[1]
고성은 외, 고등학교 기하, 좋은책 신사고, 2020.
[2]
교육부 , 수학과 교육과정, 교육부 고시 제2015-74호 [별책 8], 2015.
[3]
권오남 외, 고등학교 기하, (주) 교학사, 2020.
찾아보기
【ㄱ】
꼭짓점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 11, 25
포물선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
포물선과 직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
포물선의 정의와 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
【ㄷ】
단축. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
대칭축 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
【A】
axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
axis of symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
【ㅁ】
만나는 점의 개수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 18, 31
【C】
center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11, 25
【ㅅ】
conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
쌍곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
쌍곡선과 직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
쌍곡선의 점근선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
【D】
directrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
쌍곡선의 정의와 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
【E】
【ㅇ】
연습문제 정답 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
eccentricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
원뿔곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
원추곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
이심률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 36, 39, 41
【ㅈ】
장축. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
【F】
focus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 11, 25
【H】
hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
점근선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
접선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 33
접선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 18
주축. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
준선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
중심 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 25
증명. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
【ㅊ】
초점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 11, 25
축......................................................1
【ㅌ】
타원. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
타원과 직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
타원의 정의와 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
【ㅍ】
판별식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 18, 31
평행이동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
【M】
major axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 25
minor axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
【P】
parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
【V】
vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 11, 25