“AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA NACIONAL”
CUADERNO DE TRABAJOS DE MATEMÁTICA
“RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS”
RESPONSABLE DE LA MATERIA:
Lic. NUÑEZ BLAS, Pilar Sara
RESPONSABLES:
CASTILLO CAQUI, Santiago
GUERRERO ROSAS, Mario Antoni
HARO JARA, Yensy
EQUIPO:
Los lobos del escuadrón (4)
HUARAZ - 2022
1. Use un polinomio de Taylor para la función 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑥 alrededor de e para
encontrar una aproximación de 𝐿𝑛3 que sea exacta a 10−4.
Solución:
Para su resolución derivaremos cinco veces la función y luego sustituiremos en
la serie de Taylor.
𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑥 = 𝐿𝑛(𝑒) = 1
𝑓′(𝑥) = 𝑥 −1 = 𝑒 −1
𝑓 ′′ (𝑥) = −𝑥 −2 = −𝑒 −2
𝑓 ′′′ (𝑥) = 2𝑥 −3 = 2𝑒 −3
𝑓 ′𝑣 (𝑥) = −6𝑥 −4 = −6𝑒 −4
𝑓 𝑣 (𝑥) = 24𝑥 −5 = 24𝑒 −5
Serie de Taylor:
∑∝
𝑛=0
𝑓(𝑛) (𝑥0 )
(𝑥
𝑛!
− 𝑥0 )𝑛 = 𝑓(𝑥0 ) +
𝑓′ (𝑥0 )
(𝑥
1!
− 𝑥0 )1 +
𝑓′′ (𝑥0 )
(𝑥
2!
− 𝑥0 )2 + ⋯
Sustituimos:
1+
𝑒 −1
𝑒 −2
2𝑒 −3
6𝑒 −4
24𝑒 −5
(𝑥 − 𝑒)1 −
(𝑥 − 𝑒)2 +
(𝑥 − 𝑒)3 −
(𝑥 − 𝑒)4 +
(𝑥 − 𝑒)5
1!
2!
3!
4!
5!
𝑒 −1
𝑒 −2
𝑒 −3
𝑒 −4
𝑒 −5
2
3
4
(𝑥
(𝑥
(𝑥
(𝑥
(𝑥 − 𝑒)5 + ⋯
1+
− 𝑒) −
− 𝑒) +
− 𝑒) −
− 𝑒) +
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1 + (𝑥 − 𝑒) − 2 (𝑥 − 𝑒)2 + 3 (𝑥 − 𝑒)3 − 4 (𝑥 − 𝑒)4 + 5 (𝑥 − 𝑒)5 + ⋯
𝑒
2𝑒
3𝑒
4𝑒
5𝑒
Entonces:
1
1
1
1
1
𝐿𝑛(𝑥) = 1 + (𝑥 − 𝑒) − 2 (𝑥 − 𝑒)2 + 3 (𝑥 − 𝑒)3 − 4 (𝑥 − 𝑒)4 + 5 (𝑥 − 𝑒)5 + ⋯
𝑒
2𝑒
3𝑒
4𝑒
5𝑒
Nos pide la aproximación de 𝑳𝒏𝟑 que sea exacta a 𝟏𝟎−𝟒 (4 cifras
decimales exactas).
1
𝐿𝑛(3) = 1 + (3 − 𝑒) = 𝟏. 103638
𝑒
1
1
𝐿𝑛(3) = 1 + (3 − 𝑒) − 2 (3 − 𝑒)2 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟖267
𝑒
2𝑒
1
1
1
𝐿𝑛(3) = 1 + (3 − 𝑒) − 2 (3 − 𝑒)2 + 3 (3 − 𝑒)3 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟖𝟔38
𝑒
2𝑒
3𝑒
1
1
1
1
𝐿𝑛(3) = 1 + (3 − 𝑒) − 2 (3 − 𝑒)2 + 3 (3 − 𝑒)3 − 4 (3 − 𝑒)4 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟖𝟔10
𝑒
2𝑒
3𝑒
4𝑒
Los lobos del escuadrón 4
𝐿𝑛(3) = 0.891333 +
1
(3 − 𝑒)5 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟖𝟔12
5𝑒 5
𝑳𝒏𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟖𝟔
Por tanto:
El valor aproximado de 𝑳𝒏𝟑 a 4 cifras exactas es 𝟎. 𝟖𝟗𝟏𝟑.
Programación en Matlab
clear
clc
syms x
f=input("Escriba la función: ");
a=input("Digite el valor de a: ");
n=input("Digite el valor de n: ");
sumatoria = 0;
for i=0:n
sumatoria=sumatoria + (subs(diff(f,x,i),a)*(x-a)^i)/factorial(i);
end
disp("El modelo generado es: ");
disp(sumatoria);
ezplot(f)
hold on
ezplot(sumatoria)
legend(char(f),char(sumatoria))
equis=input("Digite el valor de x: ");
valor_teorico=double(subs(f,equis))
valor_experimental=double(subs(sumatoria,equis))
error_absoluto=abs(valor_teorico-valor_experimental)
error_relativo=abs((valor_teorico-valor_experimental)/valor_teorico)*100
Los lobos del escuadrón 4
Ejecución:
Escriba la función: log(x)
Digite el valor de a: 2.71
Digite el valor de n: 5
El modelo generado es:
(100*x)/271 + log(271/100) - (5000*(x - 271/100)^2)/73441 + (1000000*(x 271/100)^3)/59707533 - (25000000*(x - 271/100)^4)/5393580481 + (2000000000*(x 271/100)^5)/1461660310351 - 1
Digite el valor de x: 3
valor teórico = 1.0986
valor experimental = 1.0986
error absoluto = 2.2928e-07
error relativo = 2.0870e-05
2. Exprese el número 𝑥 = 35.47846 correctamente redondeando a cuatro y tres
cifras decimales. Calcular el error cometido.
Solución:
Caso I:
𝑥4 = 35.4785
𝐸𝑟4 = |𝑥 − 𝑥4 | = |35.47846 − 35.4785|
𝐸𝑟4 = 4.0 × 10−5 ≤
𝐸𝑟4 =
1
25000
≤
1
× 10−4
2
1
20000
la solución es verdadera.
Caso II:
𝑥4 = 35.478
𝐸𝑟4 = |𝑥 − 𝑥4 | = |35.47846 − 35.478|
𝐸𝑟4 = 4.6 × 10−4 ≤
𝜀𝑡4 =
4.6
10000
≤
1
× 10−3
2
1
2000
la solución es verdadera.
Los lobos del escuadrón 4
Es decir, no es correcto redondear por exceso cuando el dígito anterior es 5 y
proviene de un acarreo previo.
Otra forma de obtener el número de cifras significativas es
mediante truncamiento, en donde simplemente se eliminan los dígitos de orden
inferior.
El error cometido en este caso es:
(𝒅)
|𝜺𝒕 | = |𝒙 − 𝒙𝒅 | ≤ 𝟏 ⋅ 𝟏𝟎−𝒅

𝒙𝟒 = 𝟑𝟓. 𝟒𝟕𝟖𝟒
𝜀𝑡4 = |35.47846 − 35.4785| = 4 x 10−5 ≤ 1 ⋅ 10−4
𝜀𝑡4 =

4
100000
≤
1
10000
la solución es verdadera.
𝒙𝟑 = 𝟑𝟓. 𝟒𝟕𝟖
𝜀𝑡4 = |35.47846 − 35.478|=4.6 x 10−4 ≤ 1 ⋅ 10−3
𝜀𝑡4 =
4.6
10000
≤
1
1000
la solución es verdadera.
3. ¿Con qué exactitud es necesario medir el radio de una esfera para que su
volumen sea conocido con un error relativo menor de 0,01%? ¿Cuántos
decimales es necesario emplear para el valor de  ?
Solución:
Volumen de una Esfera:
4
𝑉 = 𝜋𝑟 3
3
Derivamos respecto a r:
𝑉′ = 4𝜋𝑟 2
Sabemos:
𝐸𝑟𝑣 =
𝐸𝑟𝑣 =
4
|3 𝜋𝑟 3 − 4𝜋𝑟 2 |
4
|3 𝜋𝑟 3 |
∗ 100 < 0.1%
|4𝑟 − 12|
< 0.001
|𝑟|
𝐸𝑟𝑣 = 4𝑟 − 12 < 0.001 ∗ 𝑟
Los lobos del escuadrón 4
𝐸𝑟𝑣 = 4𝑟 − 0.001 ∗ 𝑟 < 12
𝐸𝑟𝑣 = 3.999𝑟 < 12
𝐸𝑟𝑣 = 𝑟 < 3.000750188
Por tanto:
𝑟 = 3 valor exacto, para que su volumen sea conocido con un error relativo
menor de 0,01%.
Luego:
4
𝑉 = 𝜋33 = 36𝜋 = 36(3.1416) = 113.976𝑢3
3
Los lobos del escuadrón 4