Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matematicas
Cursos de Servicios para Ude@
Cálculo diferencial
Taller-Parcial 2
1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos (justifique)
a) (
2x
8
2x
8
−
) = lı́m
− lı́m
x→4 x − 4
x→4 x − 4
x−4 x−4
) Si f es continua, entonces es posible que lı́m f (x) no exista.
b) (
) Toda función algebraica es continua en todo los reales.
c) (
) Si P (x) es un polinomio, entonces lı́m P (x) = P (a)
a. (
) lı́m (
x→4
x→a
x→a
g(x)
d ) ( ) Si lı́m
existe, entonces el lı́mite tiene que ser
x→6 f (x)
e) ( ) Si f (c) = L, entonces lı́m f (x) = L
f (6)
g(6) .
x→c
f) (
) Si lı́m f (x) existe, entonces la función f es continua en el punto x = c.
g) (
) Si f no está definida en x = c, entonces lı́m f (x) no existe.
h) (
) Si lı́m [f (x) + g(x)] existe, entonces lı́m f (x) y lı́m g(x) existen.
i) (
) Si lı́m f (x) = L entonces f (c) = L
x→c
x→c
x→0
x→0
x→0
x→c
j) (
) Si una función f es discontinua en x = c, entonces f (c) no existe.
f (x)
g(x)
k ) ( )Si lı́m
= 1, entonces lı́m
= 1.
x→a g(x)
x→a f (x)
l ) ( ) Si lı́m f (x) existe, entonces la función f es continua en x = a.
x→a
m) (
) lı́m [f (x) + g(x)] = f (a) + g(a).
n) (
) Si f es continua, entonces es posible que lı́m f (x) no exista.
ñ) (
) Toda función polinomica es discontinua.
o) (
p) (
) El limite de funciones es único
√
) lı́m− x = 0
q) (
) Si lı́m+ f (x) = lı́m− f (x) entonces lı́m f (x) existe.
x→a
x→a
x→0
x→a
r) (
x→a
x→a
) Si lı́m f (x) existe entonces f (x) es continua en a.
x→a
s) (
) Si f (x) tiene una discontinuidad removible en x = a entonces lı́m f (x) existe.
x→a
x − 2 si x < 0
t) ( ) La función h(x) =
tiene una discontinuidad removible en x = 0.
2 − x si x ≥ 0
u) (
) Si lı́m− f (x) y lı́m+ f (x) existen, entonces lı́m f (x) existe.
x→c
v) (
x→c
x→c
) lı́m [f (x) · g(x)] = lı́m f (x) · lı́m g(x), si y sólo si uno de los lı́mites existe.
x→c
2. Sea f (x) =
x→c
x→c
x2 − 2x − 3
. ¿Qué se puede decir acerca de lı́m f (x)?. Sol. 4
x→3
x−3
3. Dada la función f (x)
(
f (x) =
2
1
si x 6= −1
si x = −1
¿Existe lı́m f (x)?. Sol. si existe
x→−1
4. Sea f (x) =
x−4
. ¿Qué se puede decir acerca de lı́m f (x)?. Sol. no existe
x→4
|x − 4|
5. Considere que lı́m f (x) = −8, lı́m g(x) = 4, lı́m h(x) = 0 y que lı́m p(x) no existe. Calcular los siguientes lı́mites:
x→2
x→2
x→2
x→2
a. lı́m [g(x) − f (x)]. Sol. 12
e. lı́m f 2 (x) − g 3 (x) . Sol. 0
b. lı́m [f (x) · g(x)]. Sol. −32
f (x) · h(x)
. Sol. 0
x→2
g(x)
g(x)
g. lı́m
. Sol. no existe
x→2 h(x)
x→2
h. lı́m
x→2
x→2
x→2
c. lı́m [f (x) + p(x)]. Sol. no existe
x→2
g(x)
d. lı́m
. Sol. − 12
x→2 f (x)
p
g(x) +
p
3
5
f (x)
. Sol. −32
x→2 g(x)
h
i
p
j. lı́m h(x) f (x) . Sol. no existe
f. lı́m
i. lı́m
x→2
6. Calcule los siguientes lı́mites aplicando sus propiedades.
c. lı́m (3 − x)(x + 1). Sol. 3
x2 + 2x − 3
. Sol. 54
x→−1
x−4
5
√
1
g. lı́m
x+ √
. Sol. 32
x→1
x
d. lı́m1 (2x + 1)(4x2 − 2x + 1). Sol. 2
h.
a. lı́m (x3 − 3x2 + 2x − 4). Sol. −4.
x→1
b. lı́m (x3 − 1). Sol. −2
x→−1
x→2
x→ 2
r
e. lı́m
x→1
x2 + 3
. Sol.
x+2
2
f. lı́m
3
lı́m 1
x→− 2
√
3
3
(2x − 1)
5
(4x − 1)
. Sol. − 41
i. lı́m 4. Sol. 4
x→1
3+x
4
7. Dadas las funciones f (x) =
y g(x) = 2 , hallar:
4−x
x
f
(x). Sol. 13
a. lı́m
x→1
g
g
b. lı́m
(x). Sol. 3
x→1 f
c. lı́m (f ◦ f )(x). Sol. 11
3
x→1
d. lı́m (f ◦ g)(x). Sol.
4
3
e. lı́m (g ◦ f )(x). Sol.
16
25
f. lı́m (g ◦ g)(x). Sol.
1
4
x→1
x→1
x→1
8. En caso de que exista, calule el lı́mite que se indica
x2 − 4x + 4
. Sol. 0
x→2
x2 − 2x
x2 − 1
lı́m 2
. Sol. −2
x→1 x − 3x + 2
x3 − 8
lı́m 2
. Sol. −1
x→2 6x − 3x3
x2 − (a + 1)x + a
lı́m
. Sol.
x→2
x3 − a3
x2 − 4
lı́m
. Sol. 4
x→2 x − 2
√
x+1−1
lı́m
. Sol. 21
x→0
x
x−1
lı́m √
. Sol. 2
x→1
x−1
√
7+ 3x−3
n. lı́m
. Sol.
x→8
x−8
√
x−8
. Sol. 3
o. lı́m √
x→64 3 x − 4
p
a. lı́m
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2x3 − 5x2 − 2x − 3
h. lı́m 3
. Sol.
x→3 4x − 13x2 + 4x − 3
i.
j.
k.
l.
m.
3
q.
r.
s.
t.
11
17
√
3 2+2
2x + 2x + x − x − 1
lı́m
. Sol.
√
√
4
3
2
11 2 + 2
x→ 22 6x + 2x + 5x − x − 4
r
2
√
3 4x + 4x − 3
lı́m1
. Sol. 2
2
4x − 1
x→ 2
r
√
x2 − 9
lı́m
. Sol. 530
2
x→−3
2x + 7x + 3
√
√
√
x+2− 2
lı́m
. Sol. 14 2
x→0
x
p
√
3
√
(x + 9)2 − 3 81
2 3
lı́m
. Sol. 27
81
x→0
x
4
1
72
x3 − x2 − x + 10
. Sol. −15
x→−2
x2 + 3x + 2
√
3
x+1−1
lı́m
. Sol. 31
x→0
x
√
√
4
x4 + 1 − x2 + 1
lı́m
. Sol. − 21
x→0
x2
√
2 − 2x − 4
√
lı́m
. Sol. 23
x→4 3 −
2x + 1
√
√
x+h− x
1
lı́m
. Sol. 2√
x
h→0
h
x−8
lı́m √
. Sol. 12
x→8 3 x − 2
1
1
1
−
. Sol. − 41
lı́m
x→0 x
2+x 2
p. lı́m
a−1
3a2
u.
2
v.
f (x). Sol. 0
x5 + 1
. Sol. 12
x→−1 x + 1
x−1
x. lı́m √
. Sol. 5
x→1 5 x − 1
x
6x
y. lı́m
− 2
. Sol.
x→3 x − 3
x −9
√
x5 − x
z. lı́m √
. Sol. 9
x→1
x−1
w. lı́m
1
2
9. El dominio de la función f es [0, 5], utilice su gráfica para calcular los limites indicados.
a. lı́m f (x)
d. lı́m f (x)
g. lı́m f (x)
b. lı́m+ f (x)
e. lı́m+ f (x)
h. lı́m+ f (x)
c. lı́m f (x)
f. lı́m f (x)
i. lı́m f (x)
x→1−
x→2−
x→1
x→4−
x→2
x→1
x→4
x→2
x→4
10. Trazar una gráfica para la función f que satisfaga las siguientes condiciones:
i.
ii.
lı́m
f (x) = 2
lı́m
f (x) = −1
x→−5−
x→−5+
iv lı́m+ f (x) = 3
x→3
v. f (−5) = 1
iii. lı́m f (x) = 3
vi. f (0) = 0
x→3−
11. Hallar los valores de las constantes a y b tales que lı́m g (x) y lı́m g (x) existan.
x→−2
√

 a − 5x
g (x) = b + 2x


4x − 3b
Sol. a =
9
4
b=
x→1
si x < −2
si − 2 ≤ x ≤ 1
si 1 < x.
1
2
12. Hallar los valores de las constantes a y b para que existan los lı́mites laterales correspondientes

3

ax − 5
f (x) = 2x + b


4x − 3b
Sol. a =
1
2
si x < −1
si − 1 ≤ x ≤ 1
si 1 < x.
b = − 72
13. Sea


2x − a si x < −3
g (x) = ax + 2b si − 3 ≤ x ≤ 3


b − 5x
si x > 3.
Determine los valores de a y b tales que lı́m g (x) y lı́m g (x) existan. Sol. a = −3 b = −6
x→−3
x→3
14. Calcular lı́m f (x) para la función f (x) dada a continuación:
x→2
 2
x − x − 6
f (x) =
x+2

2x − 3
Sol. no existe
15. Dada la función f (x) =
|x|
, calcular:
x
si x < −2
si x ≥ −2
a. lı́m− f (x). Sol. −1
x→0
b. lı́m+ f (x). Sol. 1
x→0
c. lı́m f (x). Sol. no existe
x→0
16. Dada


−2
f (x) = x2 − 3


2−x
si x < −1
si − 1 < x < 2
si x > 2
Calcular:
a.
b.
lı́m f (x). Sol. −2
d. lı́m− f (x). Sol. 1
lı́m f (x). Sol. −2
e. lı́m+ f (x). Sol. 0
x→−1−
x→2
x→−1+
x→2
c. lı́m f (x). Sol. −2
x→−1
f. lı́m f (x). Sol. no existe
x→2
17. Determine el valor de los siguientes lı́mites
|x| − x
. Sol. no existe
x→0
x
x2 − 1
. Sol. no existe
b. lı́m
x→1 |x − 1|
a. lı́m
c. lı́m
x→0−
|x + 3| − 3
. Sol. 1
x
18. Dada la función f (x) =
√
2x + 1 − 3
. Sol. √13
x−1
x→1+
2
. Sol. 0
e. lı́m |x|3 x + 1 −
x→0
x
2−x
f. lı́m+
. Sol. −1
x→2 |x − 2|
√
d. lı́m
1
, calcular:
x
a. lı́m− f (x). Sol. −∞
x→0
b. lı́m f (x). Sol. +∞
x→0+
c. lı́m f (x). Sol. no existe
x→0
19. Dada la función f (x) =
a.
b.
−3
, calcular:
x+2
lı́m f (x). Sol. +∞
x→−2−
lı́m f (x). Sol. −∞
x→−2+
c. lı́m f (x). Sol. no existe
x→2
20. Dada la función f (x) =
x−1
, calcular:
x−2
a. lı́m− f (x). Sol. +∞
x→2
b. lı́m+ f (x). Sol. −∞
x→2
c. lı́m f (x). Sol. no existe
x→0
21. Calcular el lı́mite que se indica
x
1
−
. Sol. −∞
a. lı́m −
x − 2 x2 − 4
x→−2
2
8
b. lı́m
− 2 . Sol. −∞
x→0 x
x
c.
lı́m −
x→−1
x3
x
. Sol. +∞
+1
√
d.
lı́m −
x→−0
1+x
. Sol. −∞
x
e. lı́m−
x2
. Sol. −∞
x4 − 1
f. lı́m−
x3 + x2 − 1
. Sol. −∞
x−1
x→1
x→1
2x2
. Sol. −∞
x→1 3x2 − 1
−x2
. Sol. +∞
j. lı́m+
x→2 4 − x2
x2 − 4
. Sol. +∞
x→2 (x − 2)2
1
h. lı́m − √
. Sol. +∞
2
x→−1
x −1
i. lı́m−
g. lı́m+
22. Dada la función f (x) =
−2x
, calcular:
− 4)2
(x2
a. lı́m− f (x). Sol. −∞
c. lı́m f (x). Sol. −∞
e.
b. lı́m+ f (x). Sol. −∞
d.
f. lı́m f (x). Sol. +∞
x→2
x→2
x→2
lı́m f (x). Sol. +∞
x→−2−
lı́m f (x). Sol. +∞
x→−2+
x→−2
23. Calcular el lı́mite que se indica
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
2x − 3
. Sol. 12
x→+∞
4x
5x3 + 6x − 7
lı́m
. Sol. 0
x→−∞ 3x5 − 2x + 1
3x5 − 2x + 1
lı́m
. Sol. +∞
x→−∞ 5x3 + 6x − 7
√
x2 + 1
. Sol. 1
lı́m
x→+∞
x
x
lı́m √
. Sol. −1
2
x→−∞
x +1
4x3 − 5x + 6
lı́m
. Sol. 2
x→−∞ 2x3 − 3x2 + 8
√
x2 − 16
. Sol. −1
lı́m
x→+∞
x+4
√
x4 − 3x2 + 1
lı́m
. Sol. 1
x→+∞
x2 − 1
5x − 3
lı́m √
. Sol. √53
x→+∞
3x2 + 2x + 6
2x + 3
lı́m p
. Sol. 0
x→+∞
(3x − 2)3
lı́m
√
x + 5 x2 + 1
√
. Sol.
k. lı́m
x→+∞
2x2 + 1
|x|
. Sol. 0
l. lı́m
x→−∞ x2 + 1
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
6
√
2
x3
. Sol. 1
x→+∞ x3 + 1
√
√
lı́m ( 3 1 + x + 3 −x). Sol. 0
x→−∞
p
√
√
2x + x
√
. Sol. 2
lı́m
x→+∞
x+2
√
1 − x2 + 1
lı́m
. Sol. −1
x→−∞
x
√
x+x
√ . Sol. 1
lı́m
x→+∞ x −
x
√
2
lı́m ( x + 2 − x). Sol. 0
x→+∞
√
lı́m ( x2 + x − x). Sol. 21
x→+∞
√
lı́m (2x − 4x2 + 5x − 3). Sol. − 45
lı́m
x→+∞
24. Calcular el lı́mite que se indica
sin(3x)
. Sol. 3
x
x
lı́m
. Sol. 12
x→0 sin(2x)
sin(2x)
lı́m
. Sol. 13
x→0 sin(6x)
sin(x − π2 )
. Sol. 1
lı́mπ
x→ 2
x − π2
x
lı́m
. Sol. −∞
x→0− 1 − cos(x)
tan(5x)
lı́m
. Sol. 5
x→0
x
tan2 (θ)
lı́m
. Sol. 0
θ→0
θ
1 − cos2 (x)
lı́m
. Sol. 0
x→0
x
1
lı́m sin(x) sin
. Sol. 0
x→0
x
1
lı́m x cos
. Sol. 0
x→0
x
a. lı́m
x→0
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
l. lı́m−
x→0
m. lı́m
x→0−
1 − cos(2x)
. Sol. 0
x
1 − cos3 (x)
. Sol. 0
x
n. lı́mπ
1 − sin(x)
. Sol.
π
2 −x
o. lı́mπ
√
cos(x) − sin(x)
. Sol. 2
cos(2x)
p. lı́m
sin(3x)
. Sol.
sin(2x)
q. lı́m
1 − cos(x)
. Sol. 0
π−x
x→ 2
x→ 4
x→π
x→π
1
2
1
3
1 − cos2 (x)
. Sol. 0
x→0
sin(x)
r. lı́m
s. lı́m
x + 1 − cos(x)
. Sol. 1
sin(x)
t. lı́m
sin(x)
. Sol. 0
1 + cos(x)
x→0
x→0
25. Clasifique las discontinuidades de cada función como reovibles o esenciales.
a.
 2
 x − 2x + 1
f (x) =
x−1

1
c.

 sin x
f (x) =
x
0
si x > 1
si x ≤ 1
si x 6= 0
si x = 0
Sol. Removible en x = 1
b.
√

 1 −√2 x
x
f (x) =

0
Sol. Removible en x = 0
√
√
x+2− 2
d. g(x) =
. Sol. Removible en x = 0
x
si x 6= 0
si x = 0
e. h(x) =
Sol. Esencial en x = 0
1 − 3x2
. Sol. Esencial en x = 0
x2
26. Analice la continuidad de cada función en el punto x que se indica.
a. x = 2
c. x = 1; x = 2
 2
x − 4
f (x) =
x−2

4
√

 1 − x si x < 1
f (x) = 0
si 1 ≤ x ≤ 2

√
x − 2 si 2 < x
si x 6= 2
si x = 2
Sol. Continua en x = 2
Sol. Continua en x = 1; x = 2
d. x = 1; x = −1
b. x = 0
(
f (x) =
x−1
x2 − 1

1

si x < −1
 x+1
f (x) = 1 − |x| si − 1 ≤ x ≤ 1

 1
si 2 < x
x−1
si x ≤ 0
si 0 < x
Sol. Discontinua en x = 1; x = −1
Sol. Continua en x = 0
27. Determine los valores de a y b que hacen continia la función.
c.
a.
(
f (x) =
ax + 1
b+x


2bx − 1 si x < b
f (x) = 3x − 2 si b ≤ x ≤ a


ax
si a ≤ x
si x < 1
si x ≥ 1
Sol. a = b
Sol. a = 2, 1; b = 1,
b.
c.
 2
x − 1
f (x) =
x+1
 2
x +b

2

3x − a
f (x) = b

 √x+3−2
si x < −1
si x ≥ −1
x2 −1
Sol. b = −3
Sol. a =
28. Sea
23
;b
8
=


si x ≤ 0
−1
h (x) = ax + b si 0 < x < 1


1
si x ≥ 1.
Determine a y b de modo que h sea continua en todo su dominio.
29. Use el teorema de estricción (o sandwich) y la siguiente desigualdad,
cos(x) 6
para demostrar que lı́m
x→0
sin(x)
= 1.
x
30. Halle los siguientes limites,
1
2
sin(x)
61
x
π π
,x ∈ − ,
2 2
1
8
si x < 1
si x = 1
si x > 1
tan(x)
,
x→0
√x
x+1−1
b) lı́m
x→0
x
31. Halle todos los números donde la función no es continua y diga qué tipo de discontinuidades tiene.
a) lı́m
f (x) =
4
x2
2
−4
2
-3
-2
1
-1
2
3
-2
-4
32. Determine los valores de a y b que hagan que la función h sea continua en todo su dominio

√
si
x<0
 a 9−x
sen(bx)
+
1
si
0
≤
x≤3
h(x) =
 √
x−2
si
x>3
33. Sea

 2x + 1
ax + b
f (x) =
 2
x +2
si
x≤3
si 3 < x < 5
si
x≥5
Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.
34. Determine el intervalo más grande (o unión de intervalos) donde la función g sea continua, con g definida por


2x − 3 si x < −2
g (x) = x − 5 si −2 ≤ x ≤ 1 .


3 − x si x > 1
35. Calcular los siguintes lı́mites:
2x2 − x − 3
x→−1
x+1
√
√
x+2− x
b) lı́m
x→0
x
x−8
c) lı́m √
x→8 3 x − 2
tan(πx)
d ) lı́m
x→1 x − 1
a) lı́m
36. Sea f continua en todos los reales tal que f (5) = 4 y lı́m g(x) = 5. Calcular lı́m f (g(x))
x→4
x→4
37. Determine el lı́mite
lı́m x sen(1/x)
x→0
38. Encuentre los valores de a y b de modo que la siguiente función sea continua en todo su dominio.

x<1

 x + 1 si



ax + b si 1 ≤ x < 2
f (x) =





3x
si
x≥2
39. Calcule el valor de a y b para que la función f sea continua en su dominio.
 2
x + 2x + 1




x2 − 1
f (x) =
2ax − 3b



 sen(x − 1)
x2 − 1
x < −1
−1 ≤ x ≤ 1
1<x
40. Calcule los siguientes lı́mites.
√
2 − 2x − 4
√
a) lı́m
x→4 3 −
2x + 1
√
3− 10−x
x−1
x→1
b) lı́m
c) lı́mπ
x→ 4
sen(x)−cos(x)
1−tan(x) .
41. Calcular los siguientes lı́mites si existen:
x2 − 5x + 6
x→2 x2 − 12x + 20
√
√
x− 4
b) lı́m 2
x→4 x − 16
1
1
1
c) lı́m
−
x→0 x
2+x 2
√
2

 x si x ≤ −2
42. Considera f (x) = ax + b si 2 < x < 2 .


2x − 5 si x ≥ 2
Determine los valores de a y b para que la función f sea continua en x = 2 y x = −2.
a) lı́m
43. Calcular los siguintes lı́mites:
√
2x + 1 − 3
√
a) lı́m √
x→4
x−2− 2
x−1
b) lı́m √
x→1
x+3−2
x2 + 3x − 10
c) lı́m
x→−5
x+5
−2t − 4)
d ) lı́m 3
t→−2 t + 2t2
√
2

 −x si x < 0
44. Sea f (x) = 2 − x si 0 ≤ x < 3


(3 − x)2 si x > 3
45. Determine si lı́m
x→1
x−1
existe.
|x − 1|
. Determine el conjunto mas grande donde f es continua.