O Cenário de Multiresolução
Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Análise Multiresolução
Método Matemáticos 1C - Prof. Juliano Bandeira
Universidade Federal de Pernambuco
juliano bandeira@ieee.org
June 1, 2016
Método Matemáticos 1C - Prof. Juliano Bandeira
Análise Multiresolução
O Cenário de Multiresolução
Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Sumário
1
O Cenário de Multiresolução
2
Implementando a Decomposição e a Reconstrução
3
Critério da Transformada de Fourier
Método Matemáticos 1C - Prof. Juliano Bandeira
Análise Multiresolução
O Cenário de Multiresolução
Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Definições
O Teorema da Amostragem vs. Resolução de um sinal.
O uso de uma FFT permite analisar um sinal segundo uma
resolução que é fixa.
Se um sinal tem, em alguns de seus “trechos”, variações
abruptas, a análise via FFT se torna ineficaz.
Com a abordagem proposta por Mallat, é possı́vel partir de
uma certa resolução (relacionada ao perı́odo de amostragem
T ) e analisar o sinal utilizando resoluções relacionadas a T /2,
T /22 etc.
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Análise Multiresolução
O Cenário de Multiresolução
Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Definições
Definition
Seja Vj , j = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . uma sequência de subespaços
de funções em L2 (R). A coleção de espaçoes {Vj , j ∈ Z} é
chamada de análise multiresolução com função de escala φ se as
seguintes condições forem atendidas.
1
Vj ⊂ Vj+1 (nested, “aninhamento”).
2
∪Vj = L2 (R) (densidade).
3
∩Vj = {0} (separação).
4
A função f (x) pertence a Vj se e somente se a função
f (2−j x) pertence a V0 (escalonamento).
5
A função φ pertence a V0 e o conjunto {φ(x − k), k ∈ Z} se
V0 for uma base ortonormal (usando o produto interno em
L2 ).
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O Cenário de Multiresolução
Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Definições
Os Vj ’s são chamados espaços de aproximação. Cada f ∈ L2
pode ser aproximada tanto quanto se queira por uma função
num Vj , para um j suficientemente grande.
O sı́mbolo ∪Vj é definido como: f ∈ ∪Vj se e somente se,
para todo > 0, pode-se encontrar j tal que existe uma
fj ∈ Vj para a qual ||f − fj || < .
Escolhas diferentes para os φ podem levar a diferentes anĺises
multiresolução; tudo o que se precisa é que o conjunto
{φ(x − k), k ∈ Z} seja uma base. Assim, podemos obter uma
nova função escala φ̃ para a qual {φ̃(x − k), k ∈ Z} seja
ortonormal.
As funções de escala mais úteis são aquelas compactas (ou de
suporte finito). No caso das wavelets de Daubechies, também
há continuidade, o que permite reailzar os algoritmos de
decomposição e reconstrução de modo mais eficiente.
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Definições
Example
Verifiquemos que a coleção {Vj , j ≥ 0}, juntamente com as
funções escala de Haar, φ, satisfazem a última definição (análise
multiresolução).
Intuitivamente, uma aproximação de um sinal por uma função
em Vj é capaz de capturar detalhes de um sinal “abaixo” de
uma resolução de 2−j . À medida em que j cresce, mais
informação é revelada.
A condição de densidade indica que uma aproximação de um
sinal por uma função em Vj eventualmente captura todos os
seus detalhes, à medida em que j cresce.
As condições de separação, de escalonamento e de
ortonormalidade do sistema de Haar seguem de teoremas
anteriormente apresentados.
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Definições
Example (Análise multiresolução de splines (estrias) lineares)
Splines lineares são funções contı́nuas e lineares por partes,
conforme ilustra a figura a seguir. Seja Vj o espaço de todos os
sinais de energia finita f que são contı́nuos e lineares por partes,
com possı́veis corners ocorrendo apenas nos pontos k/2j , k ∈ Z.
Esses espaços de aproximação saisfazem as condições 1 a 4 na
definição de análise multiresolução.
Figure : Um spline linear.
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Critério da Transformada de Fourier
Definições
Example (Análise multiresolução de splines (estrias) lineares)
A função de escala ϕ é a função tent (tenda)

 x + 1, −1 ≤ x ≤ 0,
1 − x, 0 < x ≤ 1,
ϕ(x) =

0,
|x| > 1,
e o conjunto {ϕ(x − k)}k∈Z é não-ortogonal. Usando os métodos
introduzidos em seções futuras, podemos construir uma nova
função escala φ que não gera uma base ortogonal para V0 .
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Critério da Transformada de Fourier
Definições
Example (Análise multiresolução de Shannon)
Para j ∈ Z, seja Vj o espaço de todos os sinais f de energia finita
para os quais a transformada de Fourier fb = 0 fora do intervalo
[−2j π, 2j π], i. e., todas as f ∈ L2 (R) que são banda-limitada e têm
supp(fb) ⊆ [−2j π, 2j π]. Então, a coleção {Vj } é uma análise
multiresolução com função de escala φ(x) = sinc(x), em que
sinc(x) :=
1,
sen(πx)
πx ,
x = 0,
x 6= 0.
Retornando à discussão de propriedades comuns a todas as análises
multiresolução: para uma dada função g : R → R, seja
gjk (x) = 2j/2 g (2j x − k).
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Definições
A função gjk (x) = 2j/2 g (2j (x − k/2j )) é uma translação (por k/2j )
e um (re)escalonameto (por um fator de 2j/2 ) da função original g .
O fator de 2j/2 está presente para preservar sua norma L2 , ou seja,
||gjk ||2L2 = ||g ||2L2 , para todo j, k.
Usamos esta notação para a função escala φ e, mais tarde, para a
eavelet. O primeiro resultado é o seguinte.
Theorem
Suponha que {Vj ; j ∈ Z} é uma análise multiresolução com função
de escala φ. Então, para qualquer j ∈ Z, o conjunto de funções
{φjk (x) = 2j/2 φ(2j x − k); k ∈ Z}
é uma base ortonormal para Vj .
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O Cenário de Multiresolução
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Critério da Transformada de Fourier
A Relação de Escala
Theorem
Suponha que {Vj ; j ∈ Z} é uma análise multiresolução com funçõ
de escala φ. Então, a seguinte relação de escala é válida:
Z ∞
X
φ(x) =
pk φ(2x − k), em que pk = 2
φ(x)φ(2x − k)dx.
−∞
k∈Z
Além disso, tem-se
φ(2j−1 x − l) =
X
pk−2l φ(2j x − k)
k∈Z
ou, equivalentemente,
φj−1,l = 2−1/2
X
pk−2l φjk .
k
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
A Relação de Escala
Observação: a última equação, que relaciona φ(x) e φ(2x), é
chamada de relação de escala. Quando o suporte de φ é compacto,
apenas um número finito dos pk são não-nulos, porque, quando |k|
grande o suficiente, o suporte de φ(2x − k) está fora do suporte de
φ(x). Portanto, o somatório do último teorema é finito.
Usualmente, φ é real, de modo que os pk também o são.
Example
Os valores dos pk para o sistema de Haar são
p0 = p1 = 1
e todos os outros pk são zero.
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Critério da Transformada de Fourier
A Relação de Escala
Example
Os valores dos pk associados ao sistema de Daubechies são
√
√
√
√
1+ 3
3+ 3
3− 3
1− 3
p0 =
, p1 =
, p2 =
, p3 =
.
4
4
4
4
Theorem
Suponha que {Vj ; j ∈ Z} é uma análise multiresolução com funçõ
de escala φ. Então, uma vez que a relação de escala pode ser
integrada termo a termo, as seguintes igualdades são válidas:
P
1
pk−2l pk = 2δl0 .
Pk∈Z
2
|pk |2 = 2.
Pk∈Z
3
pk = 2.
Pk∈Z
P
4
k∈Z p2k = 1 e
k∈Z p2k+1 = 1.
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Critério da Transformada de Fourier
Espaços Wavelet e Wavelets Associadas
Theorem
Suponha que {Vj ; j ∈ Z} é uma análise multiresolução com funçõ
de escala
X
φ(x) =
pk φ(2x − k).
k
Seja Wj o espaço gerado de {ψ(2j x − k); k ∈ z}, em que
X
(−1)k p1−k φ(2x − k).
ψ(x) =
k∈Z
Então, Wj ⊂ Vj+1 é o complemento ortogonal de Vj em Vj+1 .
Além disso, {ψjk (x) := 2j/2 ψ(2j x − k), k ∈ Z} é uma base
ortonormal para Wj .
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Critério da Transformada de Fourier
Espaços Wavelet e Wavelets Associadas
Para referências futuras, notamos que ψjl (x) = 2j/2 ψ(2j − l) tem
expansão
X
ψjl = 2−1/2
(−1)k p1−k+2l φj+1,k .
k∈Z
Do último teorema, o conjunto {ψj−1,k }k∈Z é uma base ortonormal
para o espaço Wj−1 , o qual é o complemento ortogonal de Vj−1
em Vj . Por sucessivas decomposições ortogonais, obtém-se
Vj = Wj−1 ⊕ Wj−2 ⊕ · · · ⊕ W0 ⊕ V0 .
Definindo Vj para j < 0, tem-se
Vj = Wj−1 ⊕ Wj−2 ⊕ · · · ⊕ W−1 ⊕ W−2 · · · .
Os Vj são aninhados e a união de todos os Vj é o espaço L2 (R).
Portanto, fazendo j → ∞, obtém-se o teorema a seguir.
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Critério da Transformada de Fourier
Espaços Wavelet e Wavelets Associadas
Theorem
Seja {Vj ; j ∈ Z} uma análise multiresolução com funçõ de escala
φ. Seja Wj o complemento ortogonal de Vj em Vj+1 . Então
L2 (R) = · · · ⊕ W−1 ⊕ W0 ⊕ W1 ⊕ · · · .
2
Em particular,
P∞cada f ∈ L (R) pode ser unicamente expresso como
uma soma k=−∞ wk com wk ∈ Wk , em que os wk ’s são
mutuamente ortogonais. Equivalentemente, o conjunto de todas as
wavelets, {ψjk }j,k∈Z , é uma base ortonormal para L2 (R).
A soma infinita que aparece no teorema acima deve ser pensado
como uma aproximação por somas finitas. Noutras palavras, cada
f ∈ L2 (R) pode ser aproximada arbitrariamente segundo a norma
L2 por somas finitas da forma w−j + w1−j + · · · + wj−1 + wj , em
que j é apropriadamente grande.
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Critério da Transformada de Fourier
Espaços Wavelet e Wavelets Associadas
Para j grande, as componentes em Wj de um sinal representam
suas componentes de alta frequência porque Wj é gerado por
translações da função ψ(2j x), a qual vibra em alta frequência. Por
exemplo, comparemos as duas figuras a seguir, que correspondem,
respectivamente, aos gráficos de ψ(x) e de ψ(22 x).
Figure : Gráficos de ψ(x) e de ψ(22 x).
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Fórmulas de Decomposição e de Reconstrução
Em termos de funções de escala, uma função f pode ser
representada por:
X
f =
hf , φjk iφjk .
k∈Z
Considerando a decomposição Vj = Vj−1 ⊕ Wj−1 , também se pode
ter
X
X
f =
hf , φj−1,k iφj−1,k +
hf .ψj−1,k ψj−1,k .
k∈Z
k∈Z
A fórmula de decomposição é iniciada com os coeficientes relativos
à primeira base, os quas são usados para calcular os coeficientes
relativos à segunda. A fórmula de reconstrução faz o contrário.
Em geral, tem-se
P
hf , φj−1,l i = 2−1/2 k∈Z pk−2l hf , φjk i,
P
Decomposição:
hf , ψj−1,l i = 2−1/2 k∈Z (−1)k p1−k+2l hf , φjk i,
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Critério da Transformada de Fourier
Fórmulas de Decomposição e de Reconstrução
A partir de expressões já apresentadas, mostra-se que
X
X
φjk =
2−1/2 pk−2l +
2−1/2 (−1)k p1−k+2l ψj−l,l ,
l∈Z
l∈Z
que corresponde ao “inverso” da relação de escalonamento.
Tomando o produt interno em L2 da última equação com f ,
obtém-se
P
hf , φjk i = 2−1/2 l∈Z pk−2l hf , φj−1,l i
P
Reconstrução:
+2−1/2 l∈Z (−1)k p1−k+2l hf , ψj−1,l i,
A expansão de f ∈ Vj pode ser reescrita como
X
X j
f (x) =
2j/2 hf , φjk i2−j/2 φjk =
ak φ(2j x − k).
k∈Z
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k∈Z
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Fórmulas de Decomposição e de Reconstrução
De maneira similar, pode-se escrever
X j−1
X j−1
f =
ak φ(2j−1 x − k) +
bk ψ(2j−1 x − k),
k∈Z
k∈Z
em que akj−1 = 2(j−1)/2 hf , φj−1,k i e bkj−1 = 2(j−1)/2 hf , ψj−1,k i. Os
akj são chamados de coeficientes de aproximação e os bkj são
chamados de coeficientes de detalhe. As fórmulas de
decomposição e de reconstrução podem ser rescritas em função
desses coeficientes:
(
P
alj−1 = 2−1 k∈Z pk−2l akj ,
P
Decomposição:
blj−1 = 2−1 k∈Z (−1)k p1−k+2l akj ,
n
P
P
Reconstrução:
akj = l∈Z pk−2l alj−1 + l∈Z (−1)k p1−k+2l blj−1 ,
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Critério da Transformada de Fourier
O Algoritmo de Decomposição
São três os passos principais para decompor um sinal f :
inicialização, iteração e terminação.
Inicialização. Primeiro, é necessário definir que Vj considerar. Em
seguida, é preciso escolher fj ∈ Vj . A melhor aproximação a f em
Vj , no sentido de energia, é Pj f , a projeção ortogonal de f sobre
Vj . Uma vez que 2j/2 φ(2j x − k) é ortonormal, tem-se
Z ∞
X j
Pj f (x) =
ak φ(2j x−k), em que akj = 2j
f (x)φ(2j x − k)dx.
k∈Z
−∞
A informação proveniente de um sinal amostrado é usualmente não
suficiente para determinar os coeficientes akj com exatidão. Assim,
nós temos que aproximá-los usando a regra de quadratura dada
pelo teorema a seguir.
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O Algoritmo de Decomposição
Theorem
Seja {Vj , j ∈ Z} uma análise multiresolução com função de escala
φ de suporte compacto. Se f ∈ L2 (R) é contı́nua, então, para j
suficientemente grande, tem-se
Z ∞
j
j
ak = 2
f (x)φ(2j x − k)dx ≈ mf (k/2j ),
−∞
em que m =
R
φ(x)dx.
A precisão dessa aproximação aumenta à medida em que j
aumenta. Usando a fórmula de quadratura akj = mf (k/2j ),
também estamos aproximando a projeção Pj f pela expansão
X
Pj f (x) ≈ fj (x) = m
f (k/2j )φ(2j x − k).
k∈Z
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Iteração. fj precisa ser decomposta numa soma de componentes
de nı́veis mais baixos, conforme ilustra a figura.
Figure : Decomposição de f ≈ fj
A convolução de duas sequências x e y é definida por
X
(x ∗ y )l =
xk yl−k .
k∈Z
Sejam h e ` duas sequências hk := 12 (−1)k pk+1 e `k := 12 p−k .
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Definamos os dois filtros discretos H e L via H(x) = h ∗ x e
L(x) = ` ∗ P
x. Tomemos x = aj e notemos que
L(aj )l = 12 k∈Z pk−l akj . Vemos que alj−1 = L(aj )2l e,
similarmente, que blj−1 = H(aj )2l . Definimos o operador
downsampling D como segue.
Definition
Se x = (. . . x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 , . . .), então, sua sequência
subamostrada é
Dx = (. . . x−2 , x0 , x2 , . . .)
ou (Dx)l = x2l , para todo l ∈ Z.
Forma de convolução: aj−1 = D(` ∗ aj ) e b j−1 = D(h ∗ aj )
Forma de operador: aj−1 = DLaj e b j−1 = DHaj
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O Algoritmo de Decomposição
Figure : Diagrama de decomposição para uma análise multiresolução.
Terminação. Em geral, a escolha do ponto de parada no processo
iterativo de decomposição depende do que se deseja realizar. O
resultado final de um procedimento completo de decomposição
(parando em j = 0) é um conjunto de coeficientes que inclui os
coeficientes de aproximação para o nı́vel 0, {ak0 }, e os coeficientes
0
de detalhes (wavelet) {bkj }, para j 0 = 0, . . . , j − 1.
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Figure : Sinal do exemplo.
Example
O sinal apresentado acima é inicialmente discretizado em 28 nós
(isto é, al8 = f (l/28 )). Nas figuras a seguir, observamos a
decomposição usando wavelets de Daubechies.
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Figure : Componentes usando wavelets de Daubechies.
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Inicialização. Os coeficientes resultantes da decomposição
aparecem nas expansões
X
f0 (x) =
ak0 φ(x − k) ∈ V0
k∈Z
e
wj 0 (x) =
X
0
0
bkj ψ(2j x − k) ∈ Wj 0 , para 0 ≤ j 0 < j.
k∈Z
Iteração. Para formularmos este passo em termos de filtros
e e `e como
discretos, definimos h
ek := p1−k (−1)k ,
h
`ek := pk .
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O Algoritmo de Reconstrução
e
e ∗ x e L(x)
e
Definindo H(x)
=h
= `e ∗ x, chega-se a
X
X
ek−2l b j−1 .
aj =
`ek−2l aj−1 +
h
k
l
l
l∈Z
l∈Z
A equação acima corresponde a uma convolução com os termos
ı́mpares faltando. Esses termos podem ser reiseridos simplesmente
multiplicando-os por 0. Cada termo originalmente não-nulo recebe
um novo ı́ndice, obtido dobrando-se o seu ı́ndice original. Este
prodecimento é chamado upsampling. Assim, tem-se:
e ∗ (Ub j−1 ),
Forma de convolução: aj = `e ∗ (Uaj−1 ) + h
e j−1 + HUb
e j−1 ,
Forma de operador: aj = LUa
em que U é o operador uspsampling.
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O Algoritmo de Reconstrução
Figure : Diagrama de reconstrução para uma análise multiresolução.
Terminação.
Processamento de um sinal. (1) Amostragem, (2)
Decomposição, (3) Processamento, (4) Reconstrução.
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Figure : Compressão em 80% usando Daubechies.
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Figure : Compressão em 90% usando Daubechies.
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Critério da Transformada de Fourier
Critério da Transformada de Fourier
Os exemplos apresentados contêm limitações com respeito aos
espaços de amostragem dos quais se parte para obter uma
representação via wavelets.
As funções escala e as wavelets de Haar são descontı́nuas.
Análise multiresolução de Shannon é suficientemente suave,
mas os filtro usados na decomposição e na reconstrução
possuem respostas ao impulso de duração infinita. Além disso,
o seu decaimento é lento para valores elevados de n.
Os filtros associados aos splines lineares são melhores com
relação ao decaimento, mas suas respostas ao impulso ainda
são de duração infinita.
Em seguida, são estabelecidas, segundo a linguagem da
transformada de Fourier, propriedades que devem ser
satisfeitas por uma função escala a fim de que as limitações
mencionadas sejam removidas.
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A Função Escala
Theorem
Seja φ uma função contı́nua com suporte
R compacto que satisfaça a
condição de ortonormallidade; isto é, φ(x − k)φ(x − l)dx = δkl .
Seja Vj o espaço gerado de {φ(2j x − k); k ∈ Z}. Então, as
seguintes condições são equivalentes:
Os espaços Vj satisfazem ∩Vj = {0}.
Suponha que as seguintes condições adicionais são satisfeitas
por φ:
1
2
R
Normalização: φ(x)dx P
= 1;
Escalonamento: φ(x) = k pk φ(2x − k) para algum número
finito de constantes pk .
Então os Vj associados satisfazem a condição de densidade:
∪Vj = L2 (R), ou, noutras palavras, qualquer função em L2 (R)
pode ser aproximada por funções em Vj para j sufic. grande.
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A Função Escala
O teorema acima fornece, em termos das funções escala,
condições para que uma coleção de subespaços seja dita uma
análise multiresolução.
Em particular, se a função φ é contı́nua, com suporte
compacto, e satisfaz as condições de normalização,
escalonamento e ortonormalidade listadas acima, então a
coleção de espaços {Vj , j ∈ Z} forma uma análise
multiresolução.
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Critério da Transformada de Fourier
Ortogonalidade Via Transformada de Fourier
Para construir uma função escala, é necessário encontrar os
coeficientes pk adequados, o que, na maioria das vezes,
constitui uma tarefa difı́cil.
Em vez disso, pode-se usar a transformada de Fourier:
inicialmente, assume-se que uma função escala existe e vê-se
que propriedades precisam ser satisfeitas pelos coeficientes de
escala pk correspondentes.
Então, o processo é invertido e, ao mostrar que os pk
satisfazem as referidas propriedades, uma função de escala
associada pode ser construı́da.
A transformada de Fourier de uma função f é dada por:
Z ∞
1
ˆ
f (ξ) = √
f (x)e −ixξ dx.
2π −∞
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Ortogonalidade Via Transformada de Fourier
Uma
R vez que φ̂(0) =
( φ = 1) torna-se
1
2π φ(x)dx,
a condição de normalização
1
.
2π
As “traduções” das condições de ortonormalidade sobre φ e ψ
para a linguagem da transformada de Fourier são dadas no
teorema a seguir.
φ̂(0) =
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Critério da Transformada de Fourier
Ortogonalidade Via Transformada de Fourier
Theorem
Uma função φ satisfaz a condição de ortonormalidade se e somente
se
X
2π
|φ̂(ξ + 2πk)|2 = 1, para todo ξ ∈ R.
k∈Z
Adicionalmente, uma função ψ(x) é ortogonal a φ(x − l) para todo
l ∈ Z se e somente se
X
φ̂(ξ − 2πk)ψ̂(ξ + 2πk) = 0, para todo ξ ∈ R.
k∈Z
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Critério da Transformada de Fourier
Ortogonalidade Via Transformada de Fourier
Uma identidade interessante: relembremos que a função escala
de Haar φ, a qual gera o conjunto ortonormal {φ(x − k)k∈Z }, é
identicamente 1 no intervalo unitário e 0 em qualquer outro
lugar,e, portanto, a sua transformada de Fourier é
Z 1
e −iξ − 1
1
e −ixξ dx = √
.
φ̂(ξ) = √
2π 0
− 2πiξ
Após algumas manipulações, obtém-se
1 − cos ξ
1
|φ̂(ξ)| =
=
2
πξ
2π
2
sin(ξ/2)
ξ/2
2
.
Uma vez que {φ(x − k), k ∈ Z} é um conjunto ortonormal de
funções, o último teorema implica o seguinte:
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Critério da Transformada de Fourier
Ortogonalidade Via Transformada de Fourier
X sin2
k∈Z
ξ
2
ξ
2
+ πk
2
+ πk
= 1.
Uma vez que sin2 x é π-periódico, todos os numeradores são iguais
a sin2 2ξ . Dividindo por este fator e simplificando os resultados,
obtém-se
ξ X
4
csc2 =
.
2
(ξ + 2πk)2
k∈Z
A fórmula acima é usualmente derivada por meio de técnicas de
análise complexa. Utilizando-a, é possı́vel obter uma segunda
função de escala para a análise multiresolução via splines lineares.
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Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Theorem
P
A condição de escalonamento φ(x) = k pk φ(2x − k) é
equivalente a
φ̂(ξ) = φ̂(ξ/2)P(e −iξ/2 ),
em que o polinômio P é dado por
P(z) =
1X
pk z k .
2
k∈Z
Suponha que φ satisfaça a condição de escalonamento. Usando o
último teorema de modo recursivo, obtém-se
2
φ̂(ξ) = P(e −iξ/2 )φ̂(ξ/2) e φ̂(ξ/2) = P(e −iξ/2 )φ̂(ξ/22 ).
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Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Portanto,
2
φ̂(ξ) = P(e −iξ/2 )P(e −iξ/2 )φ̂(ξ/22 ).
Continuando dessa forma, obtém-se


∞
Y
n
j
φ̂(ξ) = P(e −iξ/2 ) · · · P(e −iξ/2 )φ̂(ξ/2n ) =  P(e −iξ/2 ) φ̂(ξ/2n ).
j=1
Para uma dada função de escala φ, a última igualdade é satisfeita
para cada valor de n. No limite, quando n → ∞, esta equação se
torna


∞
Y
j
φ̂(ξ) =  P(e −iξ/2 ) φ̂(0).
j=1
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Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Se φ satisfizer a condição de normalização
√
φ̂(0) = 1/ 2π e, assim,
φ̂(ξ) =
R
φ(x)dx = 1, então
∞
1 Y
j
P(e −iξ/2 ).
2π
j=1
A última equação provê uma fórmula para a transformada de
Fourier da função de escala φ em termos do polinômio de escala
P. De modo similar, a transformada inversa de Fourier pode ser
usada para recuperar φ a partir de sua transformada de Fourier.
Embora o uso prático dessa fórmula seja limitado, ela possui
utilidade teórica, conforme será visto posteriormente.
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Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
As wavelets associadas à função φ satisfazem
X
ψ(x) =
(−1)k p 1−k φ(2x − k).
k∈Z
Seja Q(z) = −zP(−z). Para |z| = 1, Q(z) = (1/2)
Com isso, mostra-se que
P
k
p 1−k z k .
ψ̂(ξ) = φ̂(ξ/2)Q(e −iξ/2 ).
Os últimos dois teoremas podem ser combinados para fornecer a
seguinte condição necessária sobre o polinômio P(z) para a
existência de uma análise multiresolução.
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Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Theorem
Suponha que umaR função φ satisfaça a condição de
ortonormalidade, φ(x −
Pk)φ(x − l)dx = δkl , e a condição de
escalonamento,
φ(x)
=
k pk φ(2x − k). Então o polinômio
P
P(z) = (1/2) k pk z k satisfaz a equação
|P(z)|2 + |P(−z)|2 = 1, para z ∈ C com |z| = 1
ou, equivalentemente,
|P(e −it )|2 + |P(e −i(t+π) )|2 = 1, para 0 ≤ t ≤ 2π.
O teorema a seguir é análogo ao teorema acima para a função ψ e
seu polinômio de escalonamento Q.
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Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Theorem
Suponha que umaR função φ satisfaça a condição de
ortonormalidade, φ(x −
Pk)φ(x − l)dx = δkl , e a condição de
escalonamento,
φ(x) = k pk φ(2x − k).
P
P Suponha
ψ(x) = k qk φ(2x − k). Seja Q(z) = k qk z k . Então os dois
resultados a seguir são equivalentes:
Z
ψ(x − k)φ(x − l)dx = 0, para todo k, l ∈ Z.
P(z)Q(z) + P(−z)Q(−z) = 0, para todo |z| = 1.
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Example
Para as funções de escala de Haar, tem-se p0 = p1 = 1 e,
portanto, P(z) = (1 + z)/2. Usando a fórmula para a
transformada de Fourier da função escala de Haar, obtém-se
!
1
e −1ξ/2 − 1
2−iξ − 1
−iξ/2
−iξ/2
√
P(e
)φ̂(ξ/2) = (1+e
)
= √
= φ̂(ξ)
2
−i 2πξ/2
− 2πiξ
Portanto, φ̂(ξ) = P(e −iξ/2 )φ̂(ξ/2). Nota-se também que
|1 + z|2 |1 − z|2
+
4
4
1 + 2Re{z} + |z|2 1 − 2Re{z} + |z|2
=
+
4
4
= 1, para z ∈ C com |z| = 1.
|P(z)|2 + |P(−z)|2 =
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
A Equação de Escala via Transformada de Fourier
Example
De modo similar, a TF da wavelet de Haar é
ψ̂(ξ) =
(e −iξ/2 − 1)
√
.
i 2πξ
Seu polinômio de escalonamento é Q(z) = (1 − z)/2 e, portanto,
φ̂(ξ/2)Q(e −iξ/2 ) =
(e −iξ/2 − 1) (1 − e −iξ/2 )
√
= ψ̂(ξ).
2
−i 2πξ/2
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Procedimento Iterativo para Construir as Funções de
Escala
O último teorema estabelece que, se φ existe, seu polinômio
de escalonamento P deve satisfazer a equação
|P(z)|2 + |P(−z)|2 = 1 para |z| = 1.
Uma estratégia para construir uma função de escala φ é
construir um polinômio P que satisfaça essa equação e então
construirPuma função φ que satisfaça a equação de escala
φ(x) = k pk φ(2x − k).
Suponhamos que P tenha sido construı́do e que P(1) = 1;
seja a função de escala da Haar denotada por
1, se 0 ≤ x < 1,
φ0 (x) =
0, caso contrário.
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Critério da Transformada de Fourier
Procedimento Iterativo para Construir as Funções de
Escala
A função de escala de Haar satisfaz a propriedade de
ortonormalidade. Então, define-se
X
φ1 (x) =
pk φ0 (2x − k).
k∈Z
Em geral, define-se φn em termos de φn−1 por
X
φn (x) =
pk φn−1 (2x − k).
k∈Z
No próximo teorema, mostrar-se-á que φn converge, quando
n → ∞, para uma função denotada por φ. Tomando os
limites da equação acima quando n → ∞, obtém-se
X
φ(x) =
pk φ(2x − k).
k∈Z
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Implementando a Decomposição e a Reconstrução
Critério da Transformada de Fourier
Procedimento Iterativo para Construir as Funções de
Escala
Theorem
Suponha que P(z) = (1/2)
P
k
pk z k é um polinômio tal que
P(1) = 1.
|P(z)|2 + |P(−z)|2 = 1, para |z| = 1.
|P(e it )| > 0, para |t| ≤ π/2.
P
Seja φ0 (x) a f. escala de Haar e φn (x) = k pk φn−1 (2x − k) para
n ≥ 1. Então a sequência φn converge pontualmente
e em L2 para
√
uma função φ, a qual satisfaz φ̂(0) = 1/ 2π (normalização),
Z ∞
φ(x − n)φ(x − m)dx = δnm ,
−∞
e a equação de escalonamento, φ(x) =
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P
k
pk φ(2x − k).
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Critério da Transformada de Fourier
Procedimento Iterativo para Construir as Funções de
Escala
Example
No caso de Haar, p0 = p1 = 1 e todos os outros pk = 0. Neste
caso, P(z) = (1 + z)/2. Tem-se P(1) = 1 e
|P(z)|2 + |P(−z)|2 = 1 para |z| = 1. Também,
|P(e it )| = |(1 + e it )/2| > 0 para todo |t| < π. Assim,
φ1 (x) = p0 φ0 (2x) + p1 φ0 (2x − 1) = φ0 (2x) + φ0 (2x − 1) = φ0 (x).
Então, φ2 = φ1 = φ0 e assim por diante.
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Procedimento Iterativo para Construir as Funções de
Escala
Example (Daubechies)
P
Seja P(z) = (1/2) k pk z k , em que
√
√
√
√
3+ 3
3− 3
1− 3
1+ 3
, p1 =
, p2 =
, p3 =
.
p0 =
4
4
4
4
P(z) satisfaz as condições do último teorema. Portanto, o
esquema iterativo apresentado converge para uma função de escala
φ cuja construção se deve a Daubechies.
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Procedimento Iterativo para Construir as Funções de
Escala
Figure : Quatro primeiras iterações para obtenção de φ.
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