ElilTOEl fAL
M Ili
{l . 11 . M upoAlOOOII. C. A.
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A~mo.r.
EllIJQANOlel,
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Cf!PIIIWIC~UÜ ,
1/ . A . /{yf'lUlNH. /{. r . C.1(llpIU»-Bacu.#u,
n, B. RWU1Ul
nOCOSU E 1\ PEIllEHllIO 3A)(A4
no COn POTHBJlEHUIQ MAT EPl1 AJIOB
I. Mi-I'oUúbot:, S. E l lyÚUcll 11V, N . Set'y-w#i t' sk i ,
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A I m ln l/é l ol', N . j (ú ·d l sitl., j(. SIII 'I ¡·II ,)/·- I ·(lsHict·,
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PROBLEMAS
DE
RESISTENCIA
DE
MATERIALES
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L. Edi turlal le quedará muy _K ••docida.!i U¡J " 0.0
" .. ud • • u opin i6" aCGl"I:a dol libro q"6 le "'r«;,,w.o~,
.ul c" mo <111 l. lnlducci6n
¡>rnonUlclóu de l mi!", o.
lA mg.a<lQ<:(If1ltn"" tambien 'lua lquler ot t. llUga.eucia
nl!pecto. l. Il<li ción de librOll quo le inleNl!lllll.
Dirija, por r.vor,!u "I'iniolo y 1\llri' rencla~ M la Edl'
torial Mlr:
r
Edi lori. 1 MI.,
1-110, UIISS.
[mflU'D ~" la
o.,,~M,
UUSS
l'tur Vddo.
I Ilhb5k i
per., 2,
MG5Cú ,
t Z9820.
Esle malluallle problemas que l:l ellitor ia,l MIll ofrece
a SllS lectores se lIebe a l:l pluma de un gr upo lIe profesores
de la Cáted ra (le resistencia de ma te riales de l I n~tiluto
meclÍn ico do Lonlngrndo.
BI Ilre ll6.~ito funll ame ul a l llel libro es facilitar eleslulIio de una asignatura tan compleja e im portante llnra el
ingenie ro, cemo le es la resislenc in de ma leriales.
El libro es tá escri t o de acuerdo con el prograUlo lIo
resistencia de materiales para las facultades de ingeniería
mecá nico de la UHSS, que cu bro tres semestres.
El círcul o de cuestiones que Sll Illlnli1.an en el libro es
muy Ilmlllio y Il lwrca tollos los lemlls qu e caracterizan
esta Ilsign!lturn. 1nclu ye les c!l)li tlllos siguientes: tracc ión
y cmnpresiÓn. estades tonsionales e hipótesis de resistencia, recipientes de paredes delg.1das. deslilomient o. cálcu113 de juntas, características geométri cas de las S!!Ccioues,
l nt!lión, fle~ióll, r(l.~istencia compuesta, cstnbilidnd de
IJ/1 rra~ rec l as, barr"~ Cllf\'nS planas, mó touos energéti cos
de cálculo de sislemas elásticos, tubos tle l¡aredes gruesns,
ncc ión uin:\mi cn de lils fueua s y t ensiones alt ernada~.
Pnrn SÍlnp lificnr la Inbor del estudian te y con la fiHnH dad de que asimile mejor 1:1 m:lleria, on cada capitulo se
exponen los bases teór icas de l tema correspondi ente y se
aoaH~a escrupulosa mento toda una serie de ejempl os.
num óricos unos y planteados en for mo general otros, I[Ue,
si n duda, fa ci litan In Iloslerior solución tle los ¡Iroblemos
que se proponOll .
El manual c O Il ~ta de 1028 problemas. Algunos de elles
se resueh'en co n relativa facilidad, otros requie ren ciert us
háhitos, Ile re todos con tr ib uirán a I]ue 01 estudianto ap ren-
apl icar los conocim ientos t eóri cos adquiridos, a la
da 1011 problemas que plAntea la I,r áctica del
iU l(I'ui ero y que no siempre 90n do solución único
y f¡icil .
1-:1 iugcniero encontrara tam bién e n {'sta Iib nJ muellas
cus., ~ útiles q uo lo ayudariÍ n en Sil tra bajo.
1.11 vcn¡ión españolll de estl: tII;lfIu a l :!ení. ,II! un interes
purUeular para el est ud ióltlt o, uI ¡"geuiufo y 01 profeso r
d I! hab la ell ~to ll olla, yn quu, ,le hllel", . on O.~to idioma 11 0
I:xi91e n libros sobro pruh ]emlls d e resis te ncia do materill les
(I UI: IIharquen e:lb Asi g na tura d e una II1I1I1Cr1< t on plena
y Ilrohmda.
PedrQ GulUrre:
tI;1 11
f~~oJució n
INTRODUCCiON
Las mayores dUicuJlllde.~ qU6 los estudiout98 encuentran en
el es tudi o de la resistencia de matllriales surge n al resolver los
problemas. Este libro de problemas tiene, como propósi to, aylldal
a los e~tlllliosOIl de esta Ilsiguatura y, 10 que es de SUIIIII importancia,
H}'udllrlCS 11 asim ilar los métodos de resoluciólI tic los prohl em~s y 11 adquirir los habites necesarios en la solución do
estos.
F.l li bro abarca los lemas sigu ientes: t racción, comprC'si611,
deslizamien t o. característ.icas geométricas de las figuras planas,
torsión, floxió n lrllllsvcrsal pla ll8, rl!Siste ncia compueshl de barras
rect as, flex ión longitudinal, método energético de cálculo do sistenllIS c lústic()I;, barras curvas, lubos de pllTcdes grul'slIS y acción
d inámica Ile IIIS (u('nas.
El contc.'Ct o iucluye los fuudaOlon lOs do la teoría, las ind icaciones
metorlológicall lI ece~arias, ejempl os de resoluciün de problemas
tí ¡¡icos, problemas a rellOh·or. las soluciones de eslos IJroblemas
y un a lJéndice con el material de cousultn necesario. Pllra mayor
comodidad y l,ar" la lIlojor asimilación dol ma loria l indicado, éste
5e distribuyo de manora concéntrica en cada sección pequena, pero
indepl'lId iento, dol curso; las soluciolllJs de los problemas y el material
de cOllsu lta se dan a l final doll ibro. Se considera que elllStudian te,
lHlte lodo, debe flllniliarh:nrse con las bases teóricas, las indicaciones
metodológicns r las resoluc iones de los ejemplos típicos de l ca pítul o cOrreS llOlld iente. g!ito le pormitirá memori~lIr y IIsim ila r mejor
IlIs basell toóricas necesa rias de la teoría. comprender el método
de resolución de los problemas del tipo dado y ad qu iri r cOllocimielllos
s\,fieientes pHra l'('solve r consciente e independientemen te 1011 problemas que se pro¡JOncn.
Las cOJldi ciones de los Ilroblemas que se proponen a TCl1!olve r
es tón rep resen tadas Ilor esquemas acompañados de 1011 va lores de las
magnitudes necesa ri as. Puesto qu e cadH esq uema lluede caracterizar
el trllbilju IIná logo de varias construcc iollcs y 110 sólo de Ulla, a veces
de diferellte dC!itino, en la inmensa ma yoria de los IJroblemas no
se dau condi ciones verbales que limiten el empleo de tal o cual
esquema para un caso concrelo y quo re pitan el nombre do las mism99
magnitudes dadas o por calcular.
,
EIl cada grupo do proulema!! quo llC refie ren;) un mi"JJl" trma
y ti enen igual propósito, se da u na ureve expliCllción deJ objeti vo q " '"
se persigue a l reSQrvcr e l prob lema. T al ]llnnteamielllo d o) Jv::' ]lI'obl.·_
ma~, sin ~fecl:or fI la cl ari dad deJ l\O)nlü ll itlo. ohlig<'l ~ I f'stud innh'
11 pJanlt·"r ]lor s u r.lIenta I~ c'lndir.¡ón <.Iel ]'roblcIIHI y, pur J,. unl".
contribuye" l'umprll lldcr me jor el sent.id" de Jas cue... t io , ,,.~ '1 ""
.~c res lI elv on y 1M dlllos original,.s.. Al mi .~l1ln tiCIllP", Ja 'HIS"Uri"
del (ox tn f'lt 1,7.< .:""diciollc.~ d e In.~ ¡¡rublt!lllilS flcrmHc .1 ,,,m'II¡.:lf
cons id emb lonlen le el nU lllC ro de eS(["f'1Il.1S do cálrll lo y arwli1:or 1111
numero ~uficioll lO) do cuestiones divers,,~ s in in l'fcrrllmtnr el \-.) IIIIi1('>r
el/ll libro>.
La e .~p li l'aci"", <lel sentido fískl). n",cllnico ., geo,nlÍt";t., ,lo:. 1.1s
rnagn itnoll'" qU/l se anOln., por lo~ div,~ l'sos ~ ¡rnh o l os &' d" l'll 1"
labIa d e las notaciones eonvenc i o ll :> l e.~ y (, JI 3qudl,,~ l)(Irte! dl' e " ¡J,,
p¡ulÍgrafo dou d e ri~u T1ln la~ ]¡II.S~S Lcóric¡'s y las indir."r.iolles 1l11'1,uüo _
lógica.~.
La ¡;egl,,,da edi c ión rusa del libro do prol!lemas de rcs i" tellei"
in eluY/l tambié" la flexiólI lo n gi tudin~l y trnnswr"'11
com]¡iJlfldn~. E l li l,ro file elabnr", lo de (lcu(' rdo eon las ~ o rr" M
Estlltlll,-s Soy i é~¡cas (GOST) para el materia l lamina,I".
En la S<.1guflda ed icióu so) reflej~ el Sisten1f1 111 l¡) ru~ c i"HnJ d I.!
Unid~dcs (S I). g(l u na serie de prob lemas ~e e:tpliclOn IH s tl('{' uliaridades d¡, la r(!.~o l llción do lo~ mismos en cS le sistema do IIII ¡dad(·s.
Se dan lnmbién algulJ os probl ema~ para re"olvCT cn eSl" s;stl'lIIa.
Parn m(ly"r co mudidad, IIn sido ruanLellida la misma nUl\wr .. c i,·",
tic In mayoría de los proble ll\[lS 1[lle en la prIme r" edició" ""SI.
I':n la cOlllprnhaclón de las so luciones y de las co n s lr u <.:ci">rc~
geom"lricas de tos pro blemas. ell cstil seg\lu di< l\d iciull. 1•• m""",,
parlo:. los profesores de la cá tedra do resist"ncia de materi nll'" du l
Ins titulo lIlocánico de Leningrado. M. Vo ,I"l'il'IlOv, YII. P"Ii~k,,\'
Y L. Rálll sin a.
Los alltor o~ cst,in especial m/lnle agrndcci, lvs al I,rure~or N H"~új,,v
por In minuc iosa labor l ealizada al rcseiillr I'st.e lil,TO. ns i com" I''' r
s us válidas s ugerenc ias sobre la primora edición . Tnlllhién $(' s i'·1I1 .-u
corn]JI~, cidos dc tooJos aquellos que envi'lron Sil" obscJ \'~l'i.", l's.
Al mism o ticlnpo ngradocen sin ce rame nllJ Al docente G . 11Sk u\' ic h
por e l grnn trabajo real izad o Ql rev isar la !'Iegllnda edición y por toda
uns :¡erie de observacioll/ls y consoj o~ .
L os au to res AgradC(:crán tudas las oh~ervllc i onl'$ c TÍt icfls IllIe
contribuyAl) ¡, la mej orll del J' reseulo librn.
de
rnlltel' inl u~
NOTACIONES F UNDAMENTA LES
A. reacción de apoyo: amplitud de las oacilaclonell fo" . da.
G, longitud del lramo de la barr,: dlmelll!i6n de l. AIIo:el6n
1.... lll!vel'!al; aceleraci6n del centro de gravedad de IR mua
B. macclón de apoyo; anebllT. de la seecl6n t ransversal; Ion,...
lud de la riostra eD eolumnu compuestas
1>, longitud da] tramo de l e ba rTa : anchura de la !l!!ooi6n
C. rlgldeos de 111 barra (&¡~um.l
·C, g r~do~ centlgrado.
D, d. dilÍmetro
E . módul o de eJaaUeidad longitudina l del maU!ria l
" di stanela que determina 1. P<l.iel6n del centro de flexión;
d".plsurniento de la línea neutra 1'fIIIp<!Cln .1 cen l ro de
grave dad en la flexión dn J. ba rra curva
F, Fx. 8"'8 de la ~ei6n Iranaverul de la barra
Pe!>. F. pt • BnlU de ciullamienlQ y apl...,tamienlo
,.
I~.
flecha de l. hBrra
G. módulo de dealiumioolo del malerial
l . aw[eraeión de la fuen:a de g ravedad
h, altu ra d o la. seeei6n rocta.ngu lu, a.l tura de calda del peso
!,. I~. !~. l •• Tndios de giro respeet.o a. los ej1ll! l. ~ . U. ~
l. radio de giro mini,no de la secci6u tranavel'llal
1,. l •• J~ , J•. ntomenL05 uial C!l de inemia d,,1 tl rea d" uua figura respecto
a los eje~ l. , . U. u
Ip . ,,, oment o po lar de inereia del tlrea de una figura
¡muo ", omeoWs pTÍncil'"les da inereio del &roa de unl figura
.,"
a la t.ol1li6n de l.
secci6n
momeuto de io"mia de uoa mISa fC6JlOCto ,1 eje de rotació n
producto de iucmia del ároa do uua ligura l'9llpe<:to a los
ejes 1, 11
eooficieoto que consi dera la iuflueucia de 1. configuración
de la II'lccióu trall!lvel'llal sobre el valor do la e081l1'Ia polenCial d"bida a la fuona cortanlo; coe lielente q ue cooaider.
el g rado de cu.... tura de l. espIra de un reeorte helico ld d
y la influencia de la fuena corten te
coeficieote dinámico
coeficiente do reducción de la mua
J t OT ' caracwrlstica goo",6l rica de la rigide1
1",.
J 'o'
k.
kdo
km'
9
" l on/l"i tud d. l. bu,. o d.
8u.
Inl1l1'
'u, longil ud efec:t lva do o'" blrn .... JdaI ....
Al, vu' . elón at.oluta de la l on,Uud , . II Nnt.
J., longi t ud (li bre) de la r.m. ae Un' column. entre rioslr ..
M . momonto de un par extnrior coneont rado
.lit . mortlon to tOl'llor
.r, M~ .
"l/llnenlO Oector
M"",x_ mom"n lo 1Ie<:IOr mhlmo nn valor ftb$ol ulo
.'11,,_ momento fleclor en la viga conjuglda
"' •. "'._ momeU IOS flectol'M
a loe eja eootnlea principa lea
de Inercia ~ y .. d" la ~ión
"'d ' "' eU . "'dll' M e/ V. M. v. mOmenl1l8 1Iec:1on'!5 6([u;./.lenl...
!II1:ún lu hip6te!.is de rea[slencl.
M. (M t ) mom8"lu fl e<:lor (IOBUr) originado ¡!(Ir "na fuena ge ner. linda "nluria
Me_ momen lo con ... cnciooal on ... I¡n d~ !lecci6n ... ariablc;
M~ . momen lO di námico
m, momeulO uni tario de lo. pa ..., d, fu en .... exteriores. dl$l.;buid os unlformemenUl .obre la longitud; m ua del peso,
de 1, barre
•• , '''lOSa reducida
N. N~_ ~uen.o uiRI; polen"i, en eaban ... de vapor, uliOl, kilo_
... ,'1011; lre-tucncl, de 1.... oscllRclonN (l /e): númllro de
ciclos
Ñ, ""Iuono originado por la lucru uullRriO goueralhAda;
N d . ""rueno axial d inámico
n. nútllc.O) do l'tI ... olueionN JlO. ,,¡inuto; cooficien le de tlCgurldad
1ft. If,_ coeficienles de aeguri d.d relerid", .1 Hmil6 de Iluencia
y .1 de rIl$¡~leDcia
I.. t. eQ(!licienl.G di Hl[u.idad atlrniaible
Ife. roelidenle de !II1:urid.d per fal.bilid. d (pandeo)
P. fuen. concen trad.
P e • I\- luen. cri tita
1'1. fu er ... gen"rali .. d"",
P ro fueru gcneraBuda li cticia
P d . luen. dioA",lca
Pp , luer.... perturbadora
p •• Implit lld de l. lueru pertllrbador.
p. iDl.GlIIldad d, la carga dilltribuid • .obre un , .... ; pf'fllt i6n,
I.Gn.i6n eomplet.a (resultante);
p.. telll16n f'flItu lb nte IlGtd dri ca; pre!ti6n de contacto en l",
lo. IUbos cilindriC<l:!l eompul'I lo.;
Pbl lll' p,.,. teMI6D del ci clo m3xim~, ml nlml )' media;
p., am¡IIIIUd del dolo:
P;" _ p~, lellsl6n mh ima, Inedia y .'''plJ tud dol ciclO) duunl.G al
Irl b. jo 111 el limite de reaijleDeia a l. I" ig.;
_.-10
¡Omu'
P:......
10
p,. limito de
l'<J~¡s l('"c¡.
a la fatiga ;
p _l' li mite do re,is tencia a la faliga en el ciclo s im 61rico
Ip, ]. ICMi6n admitiiblo en el ciclo de coo ficiente d~ asin'lIlrla
Ip _d. l<lll'l¡ón edmi.ible eu el cicllO ! imé trico
O. 0:<. ""~o do la LaTl'll. d~ la corga ; ~!fu~n.o taHgenci.l; fuen..
co rtanta en la ""cció lI
O". fuerla eerlaul<l en 1.. viga conjugada
O,. fuerzall cortanles orieu ladM M'gu.!1 los ej!'!l ~.
Q. tuerza corl an le o rig i""da por IR ¡u<,na ge lleralizadB uo il.ri.
O,. peso del cuerpo <¡UO gol]1<:8
Q~.
q.
'I~. in l en~i d a ,1
'l.
r.
S"
Su. (S),
l.
ds.
T.
I~.
l.
U.
u. " l ' U"o "
V.
p.
tII' .
de la carga d i~ tribuid8 80 bre la longi lud
cooficienl<l do """. ibilidnd do l mslerial a la co ncen l ración
.10 la s lon ~ ;one.
.,,,1 ¡"'; rn<l iDdo curva 1ura du la t" J'" 1\0" 1ra d" 1.. ho rra curva:
coef icienle de 8 ~im~lri 8 el el ciclo
,non"mto" .,~t'¡lico~ del ,i rro do 18 figura ... ·~ I'et)lo o l(lll
('je. :. ~ (''''''l r",,)
di,,,on 8io,, ~ 11O larga dol arto. luugi l ud dl!llI n:o
ele tll on l o de 1" "gi l .. ,1 ,Iel eje geométrico dol Iram o
l",riodo ,lo bs 08ci lacianes; on~rgi~ ci nética
l<lmperat ura de l ~¡slema. ham' . " .. grado. w .. tíg ra,l(lll
liempo
"""rgía pl)le"cial de la~ def" "IIIaciollCs elásticas
rucrg!a pot"uciol ""itaria ,1" la ,lclorllla oi6" oli'.lita;
"" s po rle. ~dJi,¡',s o la "or;Uóó" ,l o In for"'a r dol " olum e"
v"lumen lOrigina l . nnalación del rjo
variación at.."¡,,la del \,,,!lonte,,; \'a riad ó" .. "ilaria
IV, .. lIIód ulo polar .10 la """ción circ"JDr
\V'M' módulo de In "ccció n "n la lor.¡ ión
a" "J or
1\',1.
m6~"lo ~" b ,;cer.ion I'M>""crsal d,' la viga re~l\('cto a la
linea n~ ul rn (III6d"la8 u ialf'! d,' la IK'cción par" In fd,ra
traed",,,,,l,,. ~" ' '''IJrin\id a l
X••
i ncó¡::nilas ~u)i'erfluB8
%. y. :. e¡e..; c(~,rd""a,I,, "
IZ . ángull); cuel ioie" te ~ e dilala r.i';n l i "r~ 1 ,101 tIlal"rial; r ,){·fi·
cielllO de disl ribución de 1~ 3
i,,m.,, en l. Ilc,. iÓn ole la
barra ,"rva; c""¡i cic ,,l o ,lo concr nlracio n dc leIl3iolll.'9
... ~ . COl·lid""I" d .'Cl ivo ,le c... Ile,·n lrn cí6n
fI. ;ing"lo; codicio nl " do crec imiento de las oscilociollcs
y. peS(> por uoidad de "olumen J~ l ", oler ial; ,Ii.lol'$i(o"
laria (delor, nnci{'n " ngu lnr)
v,. ",. V, . ,1'·¡"rI""ci ...",s 8"IIUI~f('5 princ i pales
v•. di $lor~ión octa~dric o
A. ",agnU.. d li"~1l 1 qu u cnr. ctcr iu eJ r rror co",elido al elalJorar el elemenlo cl ~$ lico del si.lemo ; " I"d"ra du Ina l ul>o~
lV { lV, .
x,.
O
t,,,,.•
""i·
"
11.
de~plu8.mlento el'¡~tioo ]teneraliudo; desplualPiento estático
11,. 11 M, 11. , 11". proy«:eiones del desplazslPienlo sobro los ojes '. V. sobro
la ver t ieal y sohro la horizontnl
1111. desplazamiento admi si ble del punto
lI¡p. lIu . II¡~. deBplaZDmienl~ generaliudos; coo liei .. ,,¡.,s de la. ccuaeion~s del método do lu luen.as
lid. desplnamicnto dinámico
110' desplazamiento goncraHudo del punto de W~I,on"ión del
pO!!o cuando la luena per1.nrbadora actúa estátieamonto
e. deformación Hncal (deformación unitHia)
~,. ~ •. e •• do(orruaeiones lil1oa]~9 principalu
e'. doformació" uni taria Ir~n~V!'rs81
t • • lactor do escala
el' coeficiente de sonsil>i1hlad 5u¡x:rficinl
O. 6:<. ángulo de giro de la sección de la viga
0d' augulo dinamicu ,10 giro
K. mMulo do elasticidad estúrea 0.1,·1 "'ateríal
... coelieien\.<! de com¡>resibilidad del malCTi~1
A. e.bellCl de la barra
1.e. Ar. esbelto~ do la oolumoo. roma
JI. coeficiente do PO;!I!Ion del mater ial; ~o"¡iciento de I~ lon¡::ilu'¡
de la barT~ comprimida an la fluión longitudinal (p8nd~0)
p. distancia del centro; rndio de CU"'aHlrn dol ojo gC""'l;t,;cO
do la barra curva
P,. Pm.' r"dios de curvatura do la sección ci",onferencial (nnulH)
~' mer idional do In 1''''''0.1 del rocipiento
o. a~. aa.. lensionr..s narm~l ....
a,. a•. a,. lon8 io"08 principal!'! on el I'Unl" tlndo
a p • limilO de Prolwroiunal idnd
oro limito do f)uencia
"r' Hmi le do Tesialonoia
101. lansion es admisi bl.... ~ t r8ceión y COIllI'Teljió"
ao. tensi6n Hormal 0018"d. ;c"
¡"Ir.el. 1"""",1. ¡"I\' laa¡ul. lensione~ ner",al,·s admisibl~5 a traecl6n. com])ro~ión. f)~I;6n y IIl'lnsumiento
"01. "ell' ... , aov. I<",~;o"es equivalen¡", (ofoctlvu) seg,;"
h.lI hip6tesi~ do resistencia: primera. ~gunda, ... quinta
(bíp6l.esill da Muh r)
aer ll. tensión cdlica
I"e\. tonsi6n admisible en el pandeo (e;¡I.hilidad)
" •. a" teosion"", normales udial y IBl1gooda l ea los tnhos do
paredes grueMa
"l' am• teosionea circun ferencial j' meridional en Jos recipioulC8
da p.rodea delgadn
0 •• lim ite de resiatonci a 11 l. laliga
0Dln. 0Dl' 0 ,
tensióo po~mal mhima. media}' amplitud del ciclo
°
12
0"_ .. lim ite de f'Mlateuei• • l. b Ug. en 1, fln lón aloMtrl<:ll
"-11' limite de f'Mislend •• l. lallga en ]a IraceiófKOmpralón
111,1 alm6 lrica
lo,]. temlón norma] .dmiaib]e en el cido de coeficienle de 1111·
o", lonsl611 no rma] din,;m icI
1' , 1'.. ,
TI' "o,
TO,
ITI.
Td'
T"
',n... Tm' T. ,
T_,.
IT, I.
1'"
Ir _,1.
'P,
1'1'1.
<ol,
kI"
tc".16" \a"IIClleil]; t mu ' ¡~ns ¡611 ¡lngcneJa ] mh:hD I
t8mio"" Ilngelleiales u t remu
¡en5i6n ta"gendll oGt,édTlca
¡emi6" tangendal admilible
tensión t,ngenci,l dinámica
limite de Iftislenci. , b fa l ig. en 1, Ion ió n
tonsión ¡.ngoudll mhin, •• media y ampl ilud de l eldo
limito de r""ilteud a B la 'allla N' la torsió" !i m ~l r ie.
10llslón adm isible en I ~ ¡urIIlón N' el CISO del ci d ,. do cooll.
ciente do •• ¡moldp ,
lell!ión pdmi~ible en 01 cido alm~tri~o
'''lulo do tOrllión; COf'licio"te de d ;~mill ución dn la telll5lón
adlllislhle on b i1exi6n longitudinal
á"gu]o de ¡Orlli6n admisible
';re.. de 1011 diDg" "' BI del mOnle,,¡ O lIedor; ~eloeidad '''gu'
lar; fn..'(.uondB ,ngulH de la. UtiCi loc!OnH
lruu",.cia ""!lular do la va r iación de la r"en.a pert ur ¡" dor
UNIIJAOES DE \tl:IJ ICION
Sl.¡e ~"
¡n/eNfae/Q",,¡ d~ ,,~ld<Ule.
(SI)
,u, 19 S .oet.o, kilogramo. 5/:"gundo; unidades de longitud. do m...
'f de] ¡ lempo (unidad"" 1",~ic/lS);
cm, mm uni dades fraccionarias do long itud (eout i mllero. ,,, i¡¡motro);
N. ntlwtlln, un idad de luon.p ( I N ... I rJ.8t kgl _ 0, 102 kgfl;
kl'> ..\lN, d N. unidades .noltiplea do rll~n.. kilOllew\o". meganew lon ,
dOCftnflW lO" (1 kN _ loa N; 1 ~I"'" _ 10' '""; 1 <lN _ ION"", t,0'.! kgl);
NI ",', \lu id ad do oo ll8i6n r pro~i li" (1 Nlm' "" 1.02-IU'· kgllcm");
MNfm'. unld.d loulHI'lo de Icuaió" y 1,"",lón (1 MNf",' _
- Iú' Nlm' - 10 dNfem' "" 10.2 kgff tllll);
dNlt.m'. d Nfmm', lI11idftdf!!l de teuió n y p~aió " 110 IIrt"violas por el sistema
duu nitla.h' .11 dN!cm' _ I (!IN!m' _ l b.r "" 1,02kgf{tUl';
I dN/m",' _ 10' Nlm' Al 102 kgfJ~",' _ 1.02 kgf/"""');
J. joule,
unidad de trabajo ( I J "" 1/9,81 kgl. m ""
"" 0,102 kgl-m);
W. k\V, .-alio. kilovatio; unidadO!! do potonci. (1 kW ""
"" 102 kgl·m/l"" 1.36 CV).
IJ
Slftt"'" Uo"'to d. " "fdadtl (/lIKGFS)
m. kal, 1, mttlro, kilo¡ramo luer.... fl'Iundo (1 kal """ 9,8 \ p;_ 0.981 dN);
11. I.Onelada loertl (\ 1I _ Hl" kgl """ 9.8 \ .10" N ... 9.81 kN );
kgl/cm". unidld de lenaión y pre!\6n (\ kll/cm" ,., 9.8 \ ·1 00 N/ mi ~
... 0.0981 MN / m" "'" 0.98\ dN /cm1);
ba r . \lnidad no prni!11 loor .. \ aia lo"'l de \lnidades ( I bar _
_ 1()1 Nl m' _ I dN fcm' "" 1.02 kgl/em ');
kgl·m. unidad de tr lb_jo (\ kgl.m "" 9.8\ J);
ev. unid.d de pOlonei. no pro" \$l8 loor 01 sistema de unIdades.
c~\ulllo de v.por (11 .1'. caba llo de [uena) (1 CV _
_ 1:; kgl.m'l ... O.73f, kW).
t . 1'od .. 1" magnitud"" q\le ~ indiun en lo. dibujoA de lO!! probleuuu 88
dldB!. Las m.gnito d ~" que ~e bUKI II nn a(ompaiiadu do1 ailDO
de Inlerro¡lelón (1111 donde es nec:.Yriol.
2. Loe problemu cuyu condlciollfl se dan en el &ialerna in lernlcionl l do
unidldCI (S I) deben reaolvene en fi le mLaroo a¡alema.
S. Si IIa di "",,,!iu ~! geo métricaa da ItoII dibujos no H indie"n, H (onsido.. n dadaa In milhnltl'OS.
>l. [.QS olemonl<n que ... indicID en 101 dibuj<» por doa ]ineM (ou rayado
M (on.ide •• o ab .... lul amen lO rígido! .
5. Cu,,~ld6re.u gM8nliudl la c.tnbllidnll de 10d06 ¡mi ulement(llj com prim l·
dos de In cons trucciune5 (exclu)'endo 108 CU!OB donde esto ~ indita 1l!IJM!c!BL.
mente).
con.~iderln
I. TRACCION
y COMPRESION
§ J. h'iJfuerlllQ aa::(uZ
La l'e!Iultante de las fueu8.'I Ilorma le! de elasticidad en la sección
denomina tiSjUV'Zo axial. El esfuerz o ax ial se determina por el
m~hod o de 1,15 ee<:eiODes. La magn itud del esfuerzo u:;al N" en una
eección t ransvel'l!al cualquiera de la barra es igual a la suma algebu icII do tod as In fuerza!! axides exterlol'ell (concentr adas P y distribuidas, según ley a rbitraria . de intensidad 9..) qu e actúan sobre
la barril 11 uno u otro lad o de 111 sección en cuestión, El esfuerzo de
t rauión se considera positivo y el de com presión, negat iyo.
La f6rmul a ge neral, por la que se puedo obtener la ma gni t lld
del eduer~o Ax ial on una sección tratlSYCl'!!Inlll rbitrarill do lo ba rra,
es le siguiente:
!lO
(1)
La integ ració n so lIevlI a cabo so bro los tra mos solicitad os po r
carga distribuida y la !luma aloarca \odOll los t ramos !li tu ado~ a uno
de los dos lodos de la sección en cuesliÓn.
SI di rigimos el vector de l esfueno axia l N", hacia afu era de la
sección, en t onCe!! las coodicionl'll de equ ilibrio de la parle separada
de la barlll, es decir, la fórmula (1) 110$ dartill la mag nitud)' el signo
correspondiente del esfuerto.
Ejemplo 1. Construir el d iogronla de N ~i P , = P, P t _ 31',
PI - 2P y la carga d istri buida q", varia linealmente de q - O
a q _ Pla. (lig. t ).
RtlOlu.d6n . Trazando un a secclóo transversal ar bitraria en cada
tramo de la barril, se obtienen, por la fórm ula (1), los slguiante!!
vll lores de los esfuerz os 8x illles:
N, _ - PI N, _ - P,
+ Pt -
-P;
S
'"
•
N: ... -PI
P";d:x _ - P
2a
+ p!
-
- P
+ 3P _
+ 3P_ P 4a~t= P ( 2 -
2P;
:C
4al
) ,
"
-
N,
= 2P;
,
_ Jr P--=Zdz-P,_
-P x":;
2«
t, ,,
•
b
_ rp "::"'d:r. _ p,=
J
•
2•
P.
El diagrama do N es tá rcpN!8cnlado on la figura 1.
P,
P,
P,
Diagrama de N
P,
FIII. t
Problemu 1-8. Construir l os diagrAmas del esfuerzo axial N.
En loa problemas 6, 7, 8 se debe considerar quo la interlllidad
do la carga d.i.':ltribuida q~ varia linealmente.
"
.,t
.l
!t.
!
"''"
10lf
j
I
¡4UI!N
I
~O~N
'"
I
~I .., !
i
I
0'-
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1-
~
1
ji
I
I
I
,
,
I
G"Q
I
1"
1
1,
§ :!. 'l'el1JjiU1tc8 nQ¡"/IIuleiJ,
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,
I q-Jt9'm I
I
I
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El
I
'",
: q"O
I.¡...! -,Ji' 1"I
1-'
~ : I •.q·U <1 I
"
I"
q" ¡tIfo¡
ul(tI·!,(~JJ"¡e lltQ
absolu to
y CII C¡'y íu lJ Qt en c in l
Se admite q ue en todos ln~ scccio tle~ transversales do lns barra~
traceiollodas o com¡lrimidas (do ulla manera aproximada tam bión
en el caso de bacras do sección variable) las leusiones nor males (J~
so distrobuyon uniformemonte. Por co n ~igu iculo, In magnitud do la
tensión normal on una sección t ransversal cualquie ra do l~. barra
so determ inará por la Tazón entre Cl ! esfuerzo axial N% en dicho sección
y su /iren F" , es decir,
(21
S uponiendo qu o los mate ri ales de. Ins barras SI'! ationon 11 la ley
do Hooke, la magnitud de l nlargam iento absolu t o do la barra S8
podrá obtener por la fórmu la, geul'Ta, 1 siguiente:
l'!.1=!: í N"dz
(3)
EF" '
siendo E el módul o de elas ti cidad longitudinal del ¡na terilll de la
barra.
_ .
n
La Integracl6n se lIevlI a eabu aobrl;l elida tramo y la suma abllrea
t odos los tramos de la barra.
Si en toda l. loJlgitud 1 de l. b. rra N y F son constantes, entonces
NI
4l _ t .F.
La fórmul a gellera l pata determinar la Ilnergia petencial de la
deformación e[¡i.,lica U, acu mulada en la barra durante la t racci6n
y comprClsión, llS la siguiente:
La illlcgració lI y sumn se efoctúan nr¡ní de la misma forma que
a l ho!!ar el ol arg~ mient o do In bnrra .
P uesto quo dentro do lO!! limites del domiu io el,íslico puedo
considernrse que la energía potcncia l es ig unl nltn.. b"jo de las fuenas
Ou"gtvlllQ tlt d~
P
••jg.
2
extorlor(lll, en el caso de ba rras traccionadns O comprimidos por
fuenu P aplicadas a los extremos, tendremos
(5)
Ejemplo 2. Construir el di ograma de 0", calcular Ilol y U, s i
P - 10 kNi l - 0,3 mi d - 0,01 m; d" _ (0,01 + r) m; E _ 2·iOl M N/m~ (ng. 2).
Ruolueld". El e!fu euo axia l en cualquier sección transversal
" N. - P - 10 kN. Lu areas de 1113 seceionllS transversales son:
lB
en la parte ciUodrieJl,
l' _-¡-_
nd' 025
, n· 10- 1 mi,
en los portes de llCeei6n va riabl e,
F",_n~ _~(0,01 +.t')1
(,
mi.
4
Lu tensio nes normales serán:
en lo II0 rte eilíudrica,
(J
'"
_ N",_
l'
10'
O,25n.10"
C1",~t,273. 1 0' N/ml ••=: t2~3 MN/m' ,
6
en las pa rtes de sección variab le,
0 _ N" -=
4P
=>
4·10'
N/I1II~
127,3 iMNfm~
"
F"
n (0,0 1 + :r.~1 n(O,O I +.t')1
(1 + t OO.t')
(J
I
"-,
=
\27.3
(t
+ l OO.O,OS~1 :=::o
:::::81,6 1\1 1\'/01 1 :
(J
1
"-,l =3 1,8 MN/m
,
El dio g ram a do Ox eslií rCIJrCSC!llnd o en la 'i¡¡lIra 2.
El nJilrgam icnlo II bsoluto de ]¡I 1!llrrn ~o obtieno por la fórmula (3),
td _~
u,
r N"dx=~ + 21'·4 r
J
El'"
3EF
nE
I •
3~P +
t
+2.0, I,
arct
_
81'
t
n/\' 2 (0,0 1 +.t') '0, 11 +
Pl
=
dx
J n(0,01 +.t')1
•
•
I
"
•
10.10' .0,3
Il"0,I = 3.2.1O".O,2tin. 10'+
8 ·1 0' (
0. \
I
1)
+n.2.10 1t 2(O,O I +0. 1 ~.O, I !+2.0. t l arctg
;
Al ~ 1,'1(j·1O-· ni = 0,0146 cm.
ta onorgin potenciol de la deformacioll elástica acu mulada en la
buro se hal la por la fórmu la (5),
1
U= PM _ I 0 .l ,4(j.1O2
2
1
0,73 j:::::7,45kgf.cm.
2·
111
Prob lelllas 9- 16. Construir los di agramas do las tens iones norma(J, ca lcular la~ variacione!:l absolut a!! tle las longitudos do las
ba rras 41 'i las energius potenciales do las deformacionos elásticas U
acumuladas en las burr,ls, si E = 2· HP MN / rn' . En los problomas 11t 4 se debo a dmitir E = 2 ·10' kgffcm·.
109
."
9·
il
!!
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lO'"
,
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"
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11
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{'Zcm Z
Ztf
',m
1 JZcm1
~
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I r,;t";1I
H
f -2cm!
•
~
11.
JL
'1
, IJ' q
,
I
1
O
I,q,q f
Iq
~
_Ij.5cm 1
~
_lz- Scm 1
,•
~.
"kM
§ 3 , D eformaci.';n 'ran 8"er8a~ ." lJar iacto'n Ilel Volu.lII11n
La defo rma ción unitar ia longitudinlll e en el
o compresión 09, según In ley de Hooke ,
CIlSO
de tracción
(6)
"
y la deform ac ión unitaria transversa l ,
.. = - ]II'l=- Il -¡¡,
o
(7)
sifllld o ]L el coefi ciente de P uisson del mnlerial.
Ln variación un itaria del árca de la sección tranavcrsAI de l.
barril puede calcularse por In fórmule,
óF
o
F
E
-J!:::;- 2]18"",,~2 ]1 -.
(8)
Pnrn hall or la. va ri ación nbs..,luln tlel volumen de ]a harr a se
elll]llen In expresiólI
"
,,.
..,.~
(9)
La integraciólI ~o rl'aliw sobro cndo trnmo ,
la suma nbnrca lodos los tromos.
Si la blJrrn ~e lraccio nn o fe co mprime po r In ~
fuerz as P, a plicatlas a los e.~t reIllU~, ('nt,ouees
óV = (1 - 2]1) PI.
(1 0)
E
Fig. 3
Ejemplo 3. D ados P, q, 1, F", E Y
6.F"
¡.L ,
(f ig. 3), calcúlese
11..
ÓV
F", y
.
R esolución. El e~ rucr7.0 n:'l:Ínl y la te llsión lIo rmal cn ulla &e<:ciÓD
tr ansvcrsa l nrbilra r ia SUIl, seg ún los fórmulas (1 ) y (2),
N,, = P +qx;
I'l~
N,.
F%
P + qx
o .~ -- ~--- .
F~
P uesto que , segÍla la ley de H oo ke , el ala rgam iento unituio vale
(J"
+ qx ' Ja Va fJ.3CLO
. • n Un/tafia
. . d o J afeo
.
d e Ja !leeCJ., 1:1
-¡;;
= PEF",
=
t ran sversa l será, segulI la fórmula (8),
6.F~ =_2,L (J" = - 214 P+q;¡ .
F"
E
E I"~
Por la rórmula (9) hallamos la variaci6n absol uta del volumen
de la barra
,
l!.V =( 1 ~211)
SN"rh
,
(1- 2,1)
E
•
r (P +qx) d.c=
J
•
= (1 - 2,1 )
E
(i' + '1'1'- ),.
ProblclIIlIS 17-2/j. Calc ular las magni tud es indica das on Ins
cond iciones de los [lro bl omll~.
!J.
18
,
'.
-,
,
I
,/
1
,
f.p
f ;¡llJ;p '?; ~ '?
M 'l
l .1"
11.
V
'"
S •
p
,,
Acero
: ,1
l. p
W-1
d'Zcm
,-""." ..',,
I
,1
2d
P-?
p
En el probloma 24 50 debe considerar que para al acero E
_ 2·1.0' kgf/cm' y '" _ 0,3.
.
=
§ 4 . D eif/ )/cl =um1.tm lulI ¡le 108 l)/I1"Oif "e sta/e'mas
lI e rJfU'j"(fif
ffrllrlf/lll/U~
El c(,lcolo do 105 desplaznmicnlO!l elllsticO.!! de lO.!! ponto! de
sistemos de barrns artiC lll ndo~ !le realizo !!egún el esquema ge neral
l!iguienLe.
Oc las CCUll ciOI1('s do In clItrilicn !lC calcullln lo~ ellrucnos axiolc!
en todO!! los 1'1C/lIcnt o!! c l á ~ 1 icos dal siste ma. Por la ley de H ooke
se hullan ]¡¡l! magnitudes de l o~ ala rgllDlianlOll absolutos de 1011
cleUlcntO!.
"
, -,
~
,
'1
Z""l
r-
N,
,," N,
,,,
,,
,,
B
I'ig.
~
Cln~idcrando que l"s ('Jclllenl05 del sis tema a l tlcfornHlT!1I'l no
l!Cpa tólJl, I,or c l mél\'do 011' in lcrst,-<:cioucs, !lC plantean In! cond iciOflCl! do cUlnpntibilidlld .le Irts dl'spl:.zamien t O!!, c..~ df'cir, las re lacionl.'!! g.lolllcl ricas enlro tus desJ,I:l"/;llInicntOll de lo.'! elementll!l qlle
constituyen el silltllllln. Otl las relllcionell ob tenid a~ se obliene la
ma gnitlld del dl'spln1.nlllil!lIto (1110 so husca.
Al rml'loar 01 IIHílodo d,) inlcrscccionllS .Iobo trnerso en CIIOll tll
(IIU) cada clemento 11tllllil!lel1lll, allarto dosnrrir la dcfor!1lllción n.linl,
puedo l3miJicn gir;lr rc.'!r~clo " In nrliculllcíón wr l"t'spondicu to.
Por f'~~ t:l razón, Cllda punlu del elemcnto llUedo dl'SI,lnznrse a lo
Inrgo del ejo dul elclIlculo y IlOr 1.'.1 "rco do 11, circunrerencia do rndío
wrrM¡lúndil'llte. E.~lus arcos (in lersccc i onc~) puedeu susti t uirse Ilo r
rectns pcr¡>endi cn l:lres n l(l~ rudios de rOl ación, puesto quo los nln rga mi entos el,;slicos do los elemeutos son poqueñ o.'! en COUl llllracíón COII
los lougitudes tlo éstos.
Y F I (fig. 'Í, a), hnllnr las
EJclllplo 'Í, ])lId"" P, a, E" F"
do l deS llln1.am icnlo
dol
proyl!ccíOIlCS " orlien l .s~ 11Orizontul
punto do aj,!ic.1cióu de In fllcrza
:;c
.s
"
R~IO/uciÓn. DC!lcamponemO! el s iste ma mediante las secciones J
'1 11 da los tirantes on dos sistemas (ng. 4, b).
De las ecuaciones de 111 estática I M A = O y 1: /11 B = O deter-
~ ~ y N z _ ; P . Por
P"
21'a
la ley de Hooke l!.l l = 3t: ,i'\ y ól~ _ 3E~}'~ .
Por el mélodo de intersecciones (Hg. 4, b) ha lla mos 01 dcsplazamiouto hori zontal d el pun t o e igual !l ll.lz Y el dCllpln7.lIruienlo del
pun to e perpendicula r a la lincn /le: 6" = Ll.1: Vi .
El punto D solamente puedo desplazarse por la hori1.un l"1. E ~lo
minamos los esruerzos
Cln
los t irallles NI
dC$pluzem ionlo es: 6D = 6"
2,
- V ...
2ó.lz·
2
El desplazamiento horizonta l del Jlunto do aplicación de la
fuerz a P se co mp ollo del dU5p[llznrnienlo h or izo n ta l del l)unlO D
y del alargamiento del 1" tiran le, es dec ir,
a
4 +' )
6.. =26l,+61, =4Pa
- - +1 -Po.
- _Pa
-( 3E1 F1
3 E,F,
3 EzFz E,F,
.
El desplauu nicnto vertica l del puu to de ¡q¡!icación de la fuona P
!lerá,
6~=6"tga=ll,, ~= Pa
3a
!)
(_'_+_
'_).
E,F,
EI F !
l'robJcmas 25-40. Determina r los desplazamieutos II do los
puntos do aplicación do las fuerzas exterior/l:l P (o de olros puntos
que estén ind icadOll en los condicione!! do los problemas) y las len~ iOlle9 normnles on las socciones transver511les tlo las 1Jllrras elásticas.
En les problemas con dnl09 llterales, donde no figuran los valo res
de E y F, estOll deben considerarse como datlos o ig uales pnrn lntlos
los elementos elást icos de l sistema. E n los llroblemns 37-40 debo
admitirse pnrn todas las barras E .... 2 ·1oa MN/m ' En los prolJ lomas 35 y 36, E ... 2 ·1()1 kgf/cm".
A
11
Ji
•• •
, :--.
.... ~'m·
,
I
•
..
.
,
I
,
{,·2lt·z.~kgfl,m·
P' :Uf
I
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". •/
,
1!.
.1l
,
J'!
..
o·
,.
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•
• •
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H
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,,-Ir,
11
o
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f ·Um:
0 -
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"
---:r,»,
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"".,,,,,.
,.
~
1,·11',·''''''', I,·I
J
i
5.
UeH istel/.c/(~
11 ,.tyi!/.#!:
I~a
detet minllcióu del volor necesario del IÍnm F de la secciÓn
lrll ns\'erso l de una barra traccionada o comprimi da do succión
<COlIslunlo so rOllli zll Ilor la fórmula,
F _N mn
-
ler) ,
( 11)
dondo N mu es el es(oel'lo ax ial máximo, e1\ vlllor all.'lOlolo, e u la
barra q uo se calcula y lerl, la lensiim admisiblo D IracciÓII o com¡mt..
JJiólI l)(I ra e l ma lerial do la bacra. Tamllicll 50 designa In tensión
admisillle a Icocción por lerd, y a cOUlllresión, por [er"l,
En 01 coso do materialC!l de igual res istencia a tracción (IUO
.a com presión (CIl!KI do matorinles plástlcos)
( 12)
aiondo erf 01 limite do fluoneia del malerial a la tracción (compro ..
sión) y
11 (f) 01 cocficlolllo ¡Jo scgurid nd referido ni limito do flll oncln.
Si adomás so plantoa In cOlldici6u do quo el desp lllZlllllion lo
el1lstico 6 do ciorlo plinto dol sistema no s up oro el volor admisible
-dollo 161, ent onces /lO roalba tamlliéll la comprobación de la rigidez,
or la desigualdad
6< 161
(t3)
Ejemplo 5 . Dado: P _ t Ir; a _ I mi a. _ 30"; {a¡ll _
_ t 000 kgUcml ; El _ 2 ·1 0' kg(/cm l ; [er e],¡ _ 100 kgf/cm' y El O,l·tO' kgUem l , quo las proyeccionos hori:tonlal 16~1 y vertical
6,[ adm isibl(lS del des plazamiento de l punto de aplicación do la
fueue P son: [6~ ]l- {6 ~ [ _ t ,3 mm (lig, 5) ; calcular FI y F I'
Ruohu:i6f& . De las eeuaelones do la estál iea (fi g. S, a) ~X _ O
~y _ O resulta ; NI _ NI _ N y N _ P _ 1 t f. Por la f6rmu-
la (U ) h all amos
N
10'
F,= - - = - = 1 cm t ;
[<:7,], 10'
Na
6~ =-~
E~¡"2
10'.10 2
=0,1 cm.
0,1. 10• ·10
De In co nslrlleeiÓll geOlné tri ~~ obtenida por el móto¡]o de in t ersecciones (fig. 5. b) se dl't!uce ~1~le 6/, ..,5 igUlJl Il 111 suma dI! las
""
°f
aJ
•
"
1,
",
b)
-¡
I
<,
.1>1.\
,,
\
L\ "
'o"
-
p
, ,i
-,
X
,,
,, ,
,
,,
,
J;z ,
N
N
Fi~ .
Fig. :;
ti
proycccionc! (te ~'" y 6~ so hre la dir('ceiúlI dll \¡\ hHfra f y Ill'l es igual
a la suma ele lns I!roycccj(jnc~ ele 6~ y 6 ~ su hm la ,Iireceian de la
barra 11, es dec ir,
6/, =
6~
sen a - 5., cos ex;
6l~
==
6~
sen ex -1- 6" cos a.
y por lo tnnLo,
6~=6/,+612= 1 5 mm;
2sena
'
5~=
t'l~
6/,
=O,28fl mm.
2cosa
Pucstu que <'I~ > 16~1. resulla necessrio aumentar las ' reas de las
leeCionc! de las Imrras.
ManteniClldoin"1lrinble<,1 área dc la barra 1, F,,,,,1 cm', hulll!mos el 6rea necesnrill F% de la horra 11.
De la condición de rigidct resulta
!
<'IJI= ~{ Ó.I,
ó.l. ) ~ 1<'IpJ
2scn30
o seu
0,05
Al,'" 0,13 cm,
de doude sc oblicuc,
+
+
Na
AJ2 = --:;¡;D,08 cm y
E.F.
F.=~=12,5 cm~.
O,OBEI
Ln lonsión eJl la ba rra 11, Correspondi(!ulo al órell obte uida, será
°
a" = -N = 8 kgffcm '
F,
y los d~slllllZam¡enlos horizontal y \'crli cal del punto do aplicación
de la fuerza P,
6 v = 1,3 mm;
0,08-0,05
O 3
O,173
.. F>
:::::: ,0 17 cm =
,3
<'1,.
mm.
VII anillo circular do radio interi or r = 100 nlm,
= 101 mm y dll longitud t Sil someto a una presión
radio l p = 20 bar (rig. 6, a).
""¡¡",,",,
Hallllr el increlllcn lo del radio del anillo l!r y el cOllficiento de
8<lguridatl nf COII quo trabajo el auillo si el material do su plHed
tieno un módulo do elll~t i cidad longitudinal E = 2 ·1 ~ MN/m l
y un limite do fluonda a l = 300 MN/m l .
R esclrl.ci6n. Para determ ina r los esfuerzos axiales de tracción N,
que se desarrollan on la pared del anillo, Jo SO'lceionllmos po r su
diámetro (fig, 6, b). Planlea'nos la condición de equilibrio de la
mitad del anillo como la suma de los proyeceionCll de I n~ fuerzas
y los esfuort08, que sarAn fuel"las exteriores para la milad del anillo
&Obre el eje !l. Entonces ob tendremos,
N=
."1plr¡;enada =prl.
Lo tensi6n norma l en la pared de l anillo serA,
.
N
a- - F
t=
-;-;fP~'~¡:ce
(R
r)l
20 ·to' ,10
.!O-2 = 2 ,tD' Nlm'= 200 MN/ml,
Q,I·1O-
y el coeflclent.e de seguridad ni (referido al IImlle de fluenela del
material),
/Ir =-: _:!_t.5.
El incremento al»olu1o del radio interior del anillo 6.r SIl obtiene
de la ley do H ooke. Puesto que,
211 (r+ Ar) _ 2nr_ -;~N:..¡;.2n:::,¡-;E(R
r) l
,m.
Problem., 1i1.Ji8. C.,lcular lu dimOllsiones de la" árelS F de
las seccione" transversales de 108 elementO.! elásticO/! de los sistemu.
En los problemas con datos literales debe consideral'$O que la
tensión admisib le [01 para e l tracción ca igual que para la compresión
011 todos lO! elemeotos elásticos del si.sloma. Si en las condieiones
del problema no figura 01 \'a lor del módulo do elaslicitlad E. debe
coII.sidcr'rsolo dado e igual para tOO1l5 las barras. En 105 problemas 45-46 admitase, p8m el oecro, E - 2·10' kgf/cm'.
!9.
~l
j!
..
•
n
,
..
.j-;
,
'
•
•
r.T
, '1.
t
11
,
",J • •_""",.
,
U:;¡¡iii1.'f'· ¡'"
J6bu"..,
•
,.~
"
,
1
,
,..f(;M'
(~J'~llfIt
1,.,,,,(4.,1.1)...,
f'frNli/d
l}robICII18.!! ·m ·53. Calculnr la rucu a admilliblo P o las nl ng nitu.
des ind icad ns cn In co ndi cion l'~ do los problomall.
!!.
.'
,
l!
-Ji"'o
• •
,
,
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o
"
,·tttnl
(oJ.IZllMiV/...
1" lcm'
f!'J'/aWl/m'
, "
'l==t='l:t4
Za
rt51 '
11 _
r,-tQl!
W»~gf/~
¡a.HS mm
t· z·,h1f/Ufl1
f 8.
..
J.
D'I.
Mimlr.I1IJ1N"I'Dl/l"
f!'J-mujf/UP': h·r
Conaidet'(ll: lon (fel p8JJO I)"PO])io
En al caso de una barra prismática .somelida a la aCClon de ItI
propio peso y de una fueua concentrada Jl aplicada sobre BU extremo
Ubre,
el esfuerzo axial en la acceión t ransversal situadn a una distanl1ia % del extremo Ubre, se calcula por la fónnula,
..
N,. - P
+ iFZ,
(14)
II!. tension nor mal en la misma ~ecdó o, por la fórmula
p
o~ =F+1'%,
(15)
el área necesaria de la sección tra ns" ersal, por la fórmul,
F~
P
lo]
y el ai8rgamionlo absoluto,
~
61 =
EF
(16)
1'1
por la fórmula,
(p+!l..).
2
(17)
siendo y 01 peso por unidod de volumen del material de lo barra,
t la longitud d{l la bHrll y Q = 1'Fl 01 peso de la bnna.
E n 01 caso de una harra de iguol resistencia, es decir, cunudo en
l odas lus secc i o ne~ transversA les do [o barra las tensiones normales.
son jgua¡ e~ , el cálculo del área de lo sección transversal So Nlaliu
por la lónllula,
P
L"
Jl - _ ·c[oJ
" - [01
'
(lB).
siendo e la baso do los logaritmos naturales.
El alargamieuto absoluto de la barro de igual rC'sislencia so
determina pOI' )/1 exprcsiun siguiente:
En el coso de unn harra
.
r¡= (lo J-
l'scalon~do,
el área del escalón .,. seré
p [oj¡-I
1'1,) ((al - 1'1:) ((aJ - 1'1.J) . . . ([0]- i'l¡)
(20)
y el nlargamiento :Ibsoluln,
61=[oJ
E
siendo 1(, l~, l .. .
de In harra.
'f,11 (I _EL)
2[01 '
(2 1)
. las longit udes de los correspondi en tes escalones.
Ejemplo 7. Dado: P = Hi tf; l' = B gflcm 3 ; [al = 1 600 kgf/cm l ;
E _ 2·10' kgflcm l • 1 = 40 m (fig. 7).
Dclerllli ,," r: 01 IÍren F r' el peso Qp y el nlorgam iento absolu to Al,.
de la borra prismática: el área máxima Fe' d peso Q. y 01 al:lrgamiento absoluto Al. de la horra l'sca lonada de " esca lon t'~ de idéutica
31
l ongit ud; el '- rea m/ix lma F¡, el peso Q, y el
Al, do /a ba rra do igua l resistencia.
al
b)
~Ia rg:t m i e ll lo
absolu t o
eJ
,
....,...
I
-"
I
-"
-l'
,
,
,
Fig. 7
Resoluci611. E n el C3~O do In barra pr ismá t ica (Iig. 7, a) el áma
se ca lcu la por la fór mu la (1lI),
Hi ·f OS
3
P- 1G 1(1_8 .1O- 3 .1j. 10
F _
'01
pe~o
~ 10,201j
cm",
propio es
Qp "" yF pi = 8 · 1 0--3·10.20~·1j . 10' """ 32G.53 kgl
'Y el alürgamiOlllo IIbsoluto, por J;¡ fórmula (17), ser:i
6. l p =
Ij
6
·lQl
2 ·10 ·tO,20/¡
( t l3 ·I O+
, 327
- ) -;:,:3, t r.sc m.
2
El! el &.1.'!0 do Ja barr.1 OSC/l/ooadll (fig. 7. b):
el área múxima, por la fórmu la (20), res"ll;¡
P ,-
PIar
t4 )'
([oJ --yl
==
_
(a] 1 _ _ vI ) ' 4 (u]
~
~l
(
p
16· t OS
03
•
(
_,
')~ """ 10,2 cm
16. 10" 1 _8.10 ·4·10
4. 16. 10"
peso,
Q. "" la! F. - P ... W ·11)' 10.:)03 - ID . /0' ::::::; 32·'1,8 kgf
y el alargamiento
l!r.l =
e
[oJl
E
ab~ol o lO
\1o r la [órmula (21)
(1__
Y_
¡ _) ~
2·4 .[O'J
= 16 ·f OZ·1¡ ·to' (1 _ 8 ·10-'·4 .10
2·\0'
1
) .<: : 1 3,192
En el caso do la ba rra de igua l r(!sisleneia (Hg. 7,
por la fórmula (18), será
m áxim~,
"
O'
a· \o-··,· ¡Il'
,P i<Ji 16·1
'= [oJ I: = 16 .10ze
11 _\0'
C W.
2.4.16.10'
=
l a '"
e
,;;;:
el:
el área
la ~2
'
,..:.v cm ,
el peso
Q, - [al 1', - P = 16. 10' .10,202 - 16 ·t Ol ~ 323,3 kgf,
y el alarga miento absoluto, por la fórmula (19),
[al l
16 ·jet·" ·10'
l!r.1¡=E =
2. 1 0~
3,2 cm.
De los resultados oblenid os se despronde que en el caso de uua
barra do acero de 1,0 m de longitud, la d iferencia entro le barra
prismt\tica, la escalonada y la de igual resistencia es insignificante.
Du la fórmu la (16) se deduce que la tens ión originada por el peso '
propio en 111 barra prismátic.:a COl1sUtuye el 5% de [0 1, cuando la
longitud de la barra 1
>- 0,05y [01
ace ro, para lal = 1600
kgf/cm~
. Si se tratase do una barra do
y 'l = 8 gr/cru',
l ...... 0,05·16.1(1 _ l O·
- 100
8.10 3 cm m.
·,.,
m
Problemas 54-57. Determinar las magnitudes indicadas en las
condiciones de lo.s ¡Iroblolllas.
!.!
M
5&
"
lj
fl
"2,51 //'''''
/
[ISJoIQNfI/m'
,.2,51'/"'"
~Qfl't1 IN I¡UQ/
n$/¡{~""O
f,-' : l "
3J
§ r. S'i llt el/las elltática'l II.ente ·¡,ufeterm,imul.oll
(h.ip e I'IJII r.le j OQ8)
Se denominan sulemas estalic(lllltnle indeterminados (hipereslliliaquollos sistomas en l o~ qUIl no Sil pllodon determinar los I!sflll!rzos
on todos los olomentos, aplicando solamente I~s ecullcio!!es ol e la
estálicA. Para el cálcu lo de los sistemas hiporestnticos se emplcal1
las e<:uacio nes do la e:slática y las cOlldiciones vo compatibilidnd
da los des plazamientos. !i:[ cálculo se llllva " cabo ell el ortlen
sigu iente. Se comieuZR llOr plontoar las e<:IlDciones de la est¡\Uca
y se detormina el grado de hiperestalicidad del sistema dad o; des]lul!s
SI! plantean las condiciones de compl1tibilidad de los despJaz8m i ~¡¡ tos,
es decir, las relaciones goomé t ricas entre los alargam ie ntos tle los
diversos I!lemo ntoll dol sistCllln.
Loa nlnrgnmienlos da los t'lemenlo:! dd siOlh'JIln se eXpre5.111
a través de los esfucnos medi"ute In ley do 1l 00IHl y se inlr",lucrm
en las condiciones de compatibilidad do los desplazaU\ienlo~.
l\el:101vicndo las ecuaciones du 111 estática plauteadas y las ccu»ciones de cnmp» ti bilidad de lo!! deS]llazamientos, so obliClIeu los
esruer~os a:o;:iales on todos los clomeutos del s istema.
Al calcular las tensiones térmicas so 1I111ntiune el mismo esqucma
de c.lilcu lo. En este caso las ecuaciotles de [11 estática Sil plantean
sola monte para los osfueuos; lu \·oriaciones dc las longi ~udes de las
barras calel\ l ~das o enfriadas Sil deter minan slllllando Illgcbra icn mente loo incrententos do las longiludes originado:! por lo:!' esfu erzos
y por la variación de la tcmperatura. I~l alargalllÍento absolu t o
debido a la variación do la temperatura se clllcula ]lOr la fÓI'l1\11lo,
¡~l = la~l ,
(22)
CIIS)
siendo 1 la IOllgi~ud de In barra,
a cl valor medio del coe.lidento de dilato("jón lineal dl,l
malerial do la harra,
M la variación de la temperatura .
El cálculo de las tensio nes da montaje se realiza lambién basántJose on Ins ecuaciones de In estática y eo IIlS condiciones de COlnpntibilidnd do los desplazamientos. En este caso, ni plnntonr tns condicio1\CS do compatibilidad de lo:! despl»zamienlos se tiene en cUCHln
la existencia de errores dadoo en las longi t udes de los elementos
del si~ lema. Puesto que las longitud es reales de los elementoo, que
rllS'l11An du rOllle la elaboración de éstos, so diferencian muy poco
dI! IIIS Ilre\'istlls 8(1 el pro~to, ~l calcular los 1I1llrgamien tos abso lutos
dll los elomento:! por la ley de Hooke, se considero n las longitud es
previstas en el proyecto y no las reales.
Al determinar la fuerza m.hima de seguridad partiend o del
cálculo por tensiones admisibles, se Su pOllO que en In barra más
cargada la tensión es igual a la admisible. Partiendo del esfuerzo
así obtenido, se estableco la fllerta máxima de seguridad.
El cálculo de sistemas hiperestát icos por su capflcidad resistente
se lleva a caho en virtud , sola manle, de 1/19 ecuaciones do la eSlática.
EH astas cond iciollOll los esfuerzos axia las se considerll n iguales 11 lo~
produClos do IlIs te nsiones admis ibles por las lÍreas de llls seccio nes
tran s n lrsales en todos nquellos elemen tos, en los (jU Il, ni alcanza r
I n~ tensi ones al lími to de fluellci~ del 11lot,eria l, el sistema se transfnr"'ll en cinemáticament ll \'o riahl('. Est a métod o ,le cu lcul .. se bOlln
sobro la sustitución del ¡[iagramll renl de trnccióll del mater iol
por el dillgr~n11l idea li zado do Prandt l, en el cual el esca lón do
fluencin se cnnsider;, i limitado.
Ejemplo 8 . O(ulo:
n) 1'; , = Hz = Es = E = 2 ·10' kgf/cm!; 101 = 1 600 kgf/cm";
a = O." m; b = 1,2 m; e = U,4 111; ~, = {¡5 ~2 = fj(l°; ~~ = 30°;
F, = IZ 1"1"'; F~ = ,/o. el" '; F , = IG cm l {fig. 8};
Q
;
,
I'i¡,:. S
="
1,) (,( , ~ ,,~ = (,(3
= 12,5 ·10-'; I:!.I =- 1,0°;
e) 6 2 = 1,2 mm . maguilud q"'" indien en clIánt o Ins hMfas 11
res"lla run .o;e r mh corlns ,1" 1'1 (!('[¡i(!o.
Il t' lermin3r: n) 1'; I'n",~; b } 0" 11.11/; e) 0/.11./11'
tre~Q lllci611 . ~) Cá lculo Jlo r tensiones II d m isi !JIC'!!, De In I'CIWlllon
tl t) !¡¡ \'sC!, C¡en (~um:l do las proyecciones, sobro el ejo vcrticlll. de IlIs
rucrw ~ y {'~ rllerzos '11111 actúan ~o b re los nu dos ind ¡cn<lo~ ru 111 figurn 8, a) ~e /1 ],lieIlO:
2N¡ ~en ~¡ = 2N 2 sen p ~;
2N~ seu ~~
+ 2N . seu
fI" ...- 1'.
De 1/1. co udidón de compatibilidad de los desp lnl:llllienlos, es
decir, de In ¡gullldad de Jos des plnz8miell los de l punto da ilpliclIllión
J'
J5
do 111 fucrl!o1 P, úrigiH ~ d ús por la lr;H;cióll litl las barras 1 r 11 y IlUr
la CU IllJlI'C~ iólI de lns b~rras 111 (fig". 8, b). ubloudremos,
6,
+ ó~
= 6,.
Se;¡111I la h'y ol e 11""kc,
,~ _ ~ _ _
,
SI'JI
1\, -
N,I,
H,F,!'(ln~,'
"
1, = -'- ;
."C " ~,
1, = - - ;
se u ~ z
J1
= -'- .
se" 1\3
UU;l "e1. ilt l.r,,,lll c iJa~ la .~ mu¡,;"¡',,d,'s <lb lcniJas, la cundic iulI
d e cOI1l[lalibiliJad d() [os '[ ('~ll l:I la !lliclIlo.~ ;;0 (' sr,rihir,¡ as i,
N,a
""
N 2 /1
N,c
~ II+L'"
" R
"', ,""" z¡1">. = ,""
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I
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Q
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I~U· I¡
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-
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80
1{"!H;
7
--=fI¡
·3
IIIlr,,,I,,cic,,<lu e~t().~ ",, [orf!s eO 111M "cu:¡cioo cs d e la " ~ I ;¡licf,
y un las cc' "wioncs do C'>l II[m tibilidad d,) [')S ,[üs p[ aza micn los, ,,1>1011drolD os o[ sisloma do trtlS ocuacionos s igui e nLos:
V2N, =)f:Lv..
V 3N 2 + Nl = I),
1 ~N,
+ V,N z =
}
21N l
cuya solu ciúu cs,
N,
o.a
0 , 1-' , ;::,: O,332P;
N, = o" I-', :::::J 0,271' ;
Na = ou , p.:::::: 0,53/',
resulta nd o
(J/
0,332
=""""i"2""
P:::::: 0,0276P;
(J1l
= 0.27 1';:::;: 0,01931';
'"
(JIII
P ue~lo que la tensión má:tiuH'l
admi sible sen;,
p.-1L =
..... 0,0331
0 ,11
=
O;~3 p ;:::;: O,033 1P.
no deb e s up eTa r [al, la ca rga
1 600,:::,:48340 kgr ,:::,:48,3 U
0,033\
y, po r lo l alll o, las l eIl8[01l('S en los borras del sistema
0 1 ...
01/
re~\lIt.a Tl¡:n
48 3OO·0,02i6 ,:::,: 1 334 kgrlcllI';
48300 .0,0193 :::::: 932 kgflclIl~;
O'lf = I 000 kgf/cm'.
b) uí lc ulo por ca pacidad rt'!llstellte. El Sj~ l ~ IlH' se eO ll vierto
en eine"" ítico lllen le v,'rinb lc. al fl"ir los borras primeras y h'ree ras.
L ~ ec uación do In t,~t:ilic " '[1m II lI e a los esfuer7.0s en {'st~~ hnrras
e~ 1" s iguient e:
Suponie ud o N, = [a l F, y N . = 101 F. e iulroducie ll do I.'s las
en la ecuación d ~ la l's táli cn. (l hl e "dren ",~ 1" ru('rza
mlÍ .lima I' m." .
o:tpresiolle.~
Pm.u = 2 [0](1', S'H) lit
+ F .sclI ji.) =
=2 .1600 ( 12
Vt +
2
16.!..) :::::: 52750 kgf = :l2,75 Ir.
2
Así, ¡lUes. In ca paci,lad dc C<l rgil del si8 tern~ , ,,1 8t'r cuk uhlda
por copacidad res is tente , resul ló mayor C]ue la CApAc idad ,j,' cnrgo
"ht,c"i" .. JIOT tensiones ~dmisibl~s (co nsidera ndo que l o~ (Ot, riÓ l' ntes
de ~cg llri'¡n,1 s"n ¡gun les).
l'm,, - P l 00
52.¡5- ~8 ,3 1 00
9 10
l'
.
=
1.8,3
,:::,: ,
ro.
e) Cál c ulo de les te ns iones t ~rmi ee ~. Oc las
es tátici' (fi g. \'l. u) se O]¡ t ¡l'IIC.
2/11, sell
p, =
2N ~!!en II ~;
2N 2 sen
cc llnc i o ne~
de la
p ~ = 2N~!!!l n ~.,
31
y r!ll 111 condición do co mpatibilidad dEl 1011 despl>,umientos (conlIiciu" de invariRbilidad de la altu ra del ~ilItuma) (fig. 9, b),
6, + 62 + c'l ,= 0.
/' ''esl''
1'.',1,
ól, = 1,(l, L\t - -" ,.' '
., " ,
la c,""liciulI ,le CIHllllU~jbjJidnd do lus dllSplaznUliOlllo~ sed
8igll;('"I(';
_ "_
:;c,?~,
( (lAI
_ ~) +
El',
+
sc u
~2
1"
(aAl _.!:!..l...)
+
EF,
,
( ctul--,-.
.
N, ) =0.
+--,scn ~3
1!." 3
Ten;cndu en cncnlA qu e N, = olF,. N! = 0/1 "',. N, '--" o/l/ F .•
y consi,I('rn ml o Il>s \'a lores lII,Hn eri cos 11.11105. ka s ecu~ciolles de la
1.
bJ
W
W
t' ;g. 9
6Státicn y la condición do co ul!la ti bilidad do los deS1Jla wmic"tos
adq uirirá n lo. forma s iguien t e:
GV20t = 711'3011
(J,
38
+
71/'301/ = &'11
20'11
2a1/1 =5000
+
}
Resolviendo este sistema , obtendremos,
GI ~ t 105 kgf/cm', GJJ ~ 774 kgf/cm' ,
GIII ~ t 172 kg(/cm' .
d ) Cálculo de 18.'1 tensionC8 de monta je ([jg. 10, o). De 18.8 8I:U8-
»
~~
L
I
I
~V/
.;"Ir " (
1, .',
cioul'!! de In
2N,
l'~t~lie(,
scu ~ , =
/I¡ ; , Ii¡
Ii/I
so ub lielll' (fig. 10, b),
2N z ser,
~2;
2N 1 scn
~2
"" 2N. sen ~3'
Do In cO'Hl[ción de compatibilidad de tos dCSI,la1.8mientos,
~+~+~=~ ,
scn ~,
se n ~J
se n/J.
sen ~2
ó
G/o
Gub
son~,
sen ~2
GlIle
se n ~3
--,- +--,-+ --,-~
E-'
>- , - >
sen ~2
Para los valore!! lIullu!ricos dados, las ecullcionl's ¡Jo la esta ti CIl
y 1;, c.,,,dición de compnlillilidad de los despla zamientos scr~n,
6-¡!j., ~ 7113."
7"\1'3011 =
G,
ne~o l"ic n d<l
}
&/11
+ 2CJ" + 2CJm = 1. 000
este siSlenw obtend rem os, GI ::::: 880 kgf/crn', Gil ~
~ 620 kgffcm t , Gil' ~ 939 kgr/cm'.
I~jcm pl o 9. Sultre el tu bo cilindrico tle acero 1, do radio intorlor
r,
4U mm y de rndio exterior n, = 42 mm, está colooado el tubo
ci.Jíndrico de Rcero 11 previamente calentado de radio interior r! ""
= 41.!)(¡ mm y de radio exterior Hz = /13 mm (fig. 11).
Calcular l. tensi6n en la pared del tubo 1 (a,) y en la pared del
tubo 11 (all) que surge al enfriar el ~ubo exterior.
El lnódu lo de elasticidad longitudinal del ma\e:rial del tub o
es E _ 2· 10' kgf/cm' .
Iltwlu'¡;/6n. Analizamos, en lugar de los tubos, los correspondientes anillos de longitud unitaria (v'ase el ejemplo G). Elanil10 J J,
-e -0-0 Pig .11
al enfrinrse, ocasiona rá una pre~ ión radial exteri or unHvrml p
sobre el !tnillo 1, mientras que éste. ni ofrecer res istencia 8 la deformación, p~sionará igua lmente IJero desde dentro so bre el IlIillo 11.
La magnitud de l. pl"e$ión p se detClrrnina de la condición de "" e
la s uma del inere mCl nto del radio exterior del IInillo J (lI,1I,) ':i de l
incremento del radio interi or del anillo 11 (6.'1) deberá Solf igu/l 1
11 1/1 dHereneia i niei/l l H, - ' 2 '
Puesto que (véase el ejom plo G)
p
nZ
l\.I/, =-_ ._ -'E R, _ t,
y
le cond iciun de compaU bi Hdad tle los desplaznm ienlos será
siguie nte:
In
~) ..",. n ,- 't.
-EP(H:
---+--11, - ', 11 - ' 1
2
de delldo res ulta,
_
p
E(Jl, - fiJ
HZ
~
=
2.10'·0,004 ;::::3 1
4 1"1"
0,2
O,I()1.
t. 2'
--'
-'-'- + -'-'-'R, _ -" + --'Hz- t I
Las tcusion08 normales
(véase el ejemplo 6),
(J,
Y
(JI/
so calcul An por las fórnlulns
=.....E!l...- = 31 .4,2 ,"," 05 1 kgl/cOl!;
II r - ' r
(J/I
(Jt
0,2
= -P'z
- - = 31 ·4, 100 <=t:
Hz-t.
0, 104
' 250 'w:gllcm
" ,•
ProbJemat 58-70. CIIlculu las teDsion" normales en 105 elemontOl! elásticos de los sistemas sometidos a l . aeeión de fueuu.
Si en las condiciones del problema no eslli dado el m6dulo de
el/lslicidad E, se le debe considerar igua l 'para todos lO:!! elementos
(>Iri.~ ti cos de l sistema.
l!
Ji
l!
I•
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I'ro lJ lemas 71-73. Calcular Ins dimensiones do lilS secciones
t rflus\'erso les dI) los elementos del ~ i s tem H .
!!.
,
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"
~
,
(1s1;~olll,l_
{~J. r;oo Jo11"m'
¡J-
?
flo, ;
f-'
l'mul elll AS 710-79. Calcular los tensiones de lfl olltaje. I:J. es la
magnitud lineal del error cometido al e laborar el elemento el:\sti co
del aistema. Para las barras tlelle considerArse (lue E = 2 ·10' kgr/cm' .
En los problemas 78 y 79. E = 2 ·1 ()5 l\IN / m'.
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l'rub lcm8s 80-87. Detcrm iDar ¡al! teus ione" térmicas. Notaclo,(!!!: lJ,./, vnriacion de la tem lK! ratu ra de lodo el IIbteIDa en gradO!!
ollllgrados; ó/, va riación de la temperatura 001 elemento e/t del
islorna; ac, acero; c, cobro.
Considerar: pafa el acero E ... 2· 10" kgl/clul , Ct = 125.10-1;
para el cobre E = 1 -10' kgf/c m', a = 165. 10-1 •
En 1011 problema! ~. 86, 87 nllmitase para el licero E - 2·10' MN/ m',
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fu ...,' IrU k1'l#,"" .", b.splllz(1IDtm/,
tI~ ud" ptll'ft! tito
Prob lemas 88·93. Determinnr IlIs tensiones origi nad As pM In..
fucrU!I y la s tenllioncs dobi da s n la variación dI! la LCIII I'Halllfól.
Notaciones: 01 y o •• tensiones en la barril ti. debidas n Iu /leeil'n
do las fuerza s y tlll v~rlBción do la t empera tura. respecti\'amcul¡'.
t Co nsiderar pMn lns !Jarras E = 2·10" kll'f/cm' ya ","" 12·10 '
I En los probl('IlIM ()2 y 93 n!lmi t aso E .,. 2 ,10' ~IN / m 2.
¡r'"#'.c--,--"-------,--c~>r·\~
..
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Prob lemBJ'l 91i·lOt . Det.orminar la carga admisible partiendo
tlcl cálculo por tensiones admisiblos [PI y del cálculo por capacidad
resistonte 11" l y calcular las tousiona~ do mon taje al ... Y las tensiones
t érmicas a; l ' de acuerdo con la9 condiciones dadas en el e<lquema .
Adm ítase para las ba rras [al = 1 600kgl/cm1 , E = 2·1(1' kgflc m',
a. = 12.10-1• En los proble mas 99, 101 debe considera rse, [al ""
160 MN /m\ E. = 2·10& l\I N/ m'.
.
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L:
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..
Il=+=+_ l
,
,
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E
,
1
,
JiFl=rr, --1------
k9F\=,p"
I' roblem all 102· 107. Q.lcula r las magnhudes indicada!! en lu
condiciones do 1011 problemn para las a nill as y tubos ci Hnd ricoll
do pArede~ delgadA!!.
Nolaciune~: p , Ilresióa por unidad de ;;rea; q, intensidad de 1;_Cll rga
,listribuida (kgf/c m) entre la montu ra y l'Iallillo o entre los anillo.'!.
¡\,jm ítase. Il1I ra e l licero (aC) E = 2 ·10' kgf/cm'; a '" 125 ;(
X 10-'; pnrn el cobre (r ) E = 1·1 0" k¡¡-f/c lJI' ; a .. 165 ·10-' Y l/lIT;,
e l alumi"'n (al) E _ 0,7 ·1tJ1 kgf/cm·.
I~ n 1011 pro bJl'mall 106 y 107 de terminar O" partiendo de la cur"licióu tll' que al h;.jllT la tem¡leraluta ,1('1 "i~tetlll1 se cierra la r","nTII ó.
I1.t;a;J di
!'S- •
l, .1, ; «,; <tJ. ~1·.cI"17't
"'l-~ 'Go 'P
11 . ESTADOS TE1\S lONALES
E 111 PDTESIS
DI, 11 ES ISTENC IA
§ 1 . t : lJ f m l oN t e ll lf ; Ol/ alf'1f till enl, 1,hnlO 11 " e vo/lllllen
En el es tado tCl1~¡onal do volume n, Ott las ca ra~ do! elcllIcuto
situado en la vecin dad do l punto del CU('fPO en cuestión surgen tres
tcnsioncs pr inc ip ales 11, > (J ~ >0" no Igua le!! a cero, «(j g. 12, fl).
Los pianO/! donde ac túan OL' 0 2 Y 0 1 (lib res de tensiones t ange ncia les)
se denomi na n planos principales de lasllmsionu . Los ajes (/ , 11, IlJ)
ortogonales 8. estos pla nos se deno minan ejt!8 prlncfpales de las ten$io",~s.
"
n,
,
0,
,
,,
1Í1
f ig. 12
Las tensiones normales o. las lnngoncio les "t" y I;lS resnl t an tes p
en los planos de I~ s secciones ilLc]inudns se doleflni nan por 1M fórmulas siguieule~:
en los planos lUH¡¡I"los al eje J J I (fig. 12, e),
o = o, cos l o.
0,-°2
+ 0 z go"l a.
"[=~sen2a.,
p=
V0 2 + -r =
(21,)
-V(o'::,:",J'C"CC+--:o¡'~
=,,','"Ca.
en 108 plallos paralelos nI eje J J (fig. 13, a).
(25)
en lús planos pendelos al ejo I (fig. 1/" a),
(26)
GrlifiCllmente, estas tensiones se determinan por 105 di agramas
circlllllres construidos de acuerdo con IlIs figuras 12, e, 13, b Y 14, b.
al
:U
-}
ID
7
,
•
"
~1'
Of--j----'-~~+'-,
0,
O,
" il/ 13.
..
El IIspocto gclleral do l d iagrama circular de la ~ l ell~ i oncs se obtiene
sobrnpolliendo 105 tres ditl.gramas repre!CntadO$ en 111 figura. 14, c•
,,,
.,
~
-=-.'.·C
(J+~
., '
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"'" ",
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•
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" '- "7
Fi,. 14
I
"
Las tensio nes tangenciales extremas va len:
al -al )
T,~
± " ~.,
Tl=± - - -
,
o¡-aZ
"l"1 =±--2-'
"
(27)
La mayor de estas tensiones, en valor absosulo, os T!, EstaB
tensiones surgen en 108 planoa incliuados 450 respecto a las direccionlls
de las tensiones principales:
TI. cm dos planos ortogonales paralelos al eje 1 (lig, 15, a);
Ta, en dos planos ortogonales paralelos al eje II (lig. 15, b);
T 3 , en dos planos ortogonales paralelos al eje 1/1 (lig. 15, e).
"
I
b)
JJI/ ../
~ ___ _L
1&
"
~l
~ ---I
,)
lJI... _'"
FIg. 15
fi g. 16
L as Lensiones octaédricns normales 00, tangenciales '1:0 y resulLnnles Po, que actúan sobre el plono do igual inclinación respecto a los
tres ejes ]lrincilHlles de las tllusiones, (lig. 16) so dolcrmillan por
las rórmulns:
~=i~+~+~,
,
'V (0,-0.)t +(0.-0,)1+(OJ-O,,1
). \
TO="3
Po=
V~ «(J~+o~+o~.
1'8)
-
J
Las defonnncioncs lineales princi llalcs el' E., E3 (alargamientos
unitarios quo ocurren en los direcciones do las tensiones principales)
"
.'Ion:
(2!)
Vnrillciun Hllltarin del \'oJumell
AV
- 211(01+0:
V=CI+tZ+tll
=1-,-,1-2f4 = x
E
Ln mugultud 3---
liC
+'
GI}'
(:JO)
denQm ino eat¡ldellle de ult/rprnl-
bllldad del ma/erlal y la magnitud in,'ers.1, 3(1 E 2)1)
A, mlidrda
de da.lllddad eslina del material.
1..11 onorgía" Ilo ton cia! unitnri n do b .Icformneiu n clásti&:l valo,
11
I
="'2 (Gl~ l +
(J1S:1
=
+ G3P.:J =
;E [G; + cri + oi -
211 (ola'
+ f1;!J, + op,)}.
(3 1)
LA energía ]IaLencia l unitaria , duhidn n lo varineión dc la k,rmil. es,
y la I'IJorgio poleueh)1 unita ri a
eorrl'~ po ndicnte p
la \'arincióu de l
"OIIlIllCII,
1 _2),
U~ol = """""GE(G,
+ (J~ + (J,/\% '
(33)
Todas los furmulas corresJlond iClIl ClI ni <,slndo le llsional ¡Jo
volum ull son Aplicables tnmbilÍn nI ostad" Lens ionnl plano, igulI lando
11. coro una do las lon~ i ones princi ¡wlc." y Al estudo lensiom,1 lincnl,
igualando a cero dos do la.'! IOlllliollcs pl'Íllcipales.
t: jcmplu 10. Dado el estado lonsiOllol tlll la figura 11, el módulo
de elasti cidad E - 2 ·tO* kg r/cm l y 01 coe.licionle do P oissoo f-I _0,3; determ i nar analllica y grUicamcnte TI ••• I a' y T ' en el plano
paralelo al eje 1 pata ~ ... 30"; o' y 1:'" en el plano paralelo 01 e}o //
..
pa ra a = 60°;
P o,
00;
'ta;
o~
y T'" en el plano paralelo al eje 111 pera
t,,~ , 3;
oV
V;
u, Ur,
el ""
30";
Uvol'
R esoluciún, Puest o que las tens iones principales son:
o, = 200 kgflcm~, 02 = - <Í OO kgflcm S y (J, = -800 kgf/cm',
por IlIs fórmul as (27), obtendremos
Jos "alores extremos de lns tensiones t angenciales,
T,=± -400+800
2
= ± 200 kgf/cm';
=
±
"3 =
±
't,
200+800
2
= ± 500 kgIlc m';
200+ 400
..
= ± 300 kgIlcm:,
2'
Fill'. 11
Por las fórmu]¡' s (26), para el
pl ano pa rnlele nI eje J cuando ~ = 30°, ]la lllllnos,
o ' = - <ÍOOcos·30° - 800 scn: 30° = - 500 kgilcm·,
-400+800
,.'
2
o
sen 60 ~ 173 kgrlcm
2
,
Por las fórmula s (25), pora el ]llano ]lflrolelo al eje J J Y Jmra el = 60·,
o' = 200 ce; 60" - 800 sen· 60· = - 550 kgf/c rn: ,
200+ 800
2
te'
o
sen 120
l:::o:
433 kgflcm·
y per los fórmula s (24), parll el plnne pnrnlclo nI eje ¡ JI , cuando
a. = 30· ,
o'" = 200cos·30° - 400 sen· 30· = 50 kgflcm·,
200+1,00
2
T' "
°
•
sen 60 = 260 kgf/cm .
La ¡]etermillllción gráfi ca de Ins t ensiones está dada en el diagrama
circular do In figurn 18.
Por lns (órmu!¡'s (28) de terminamos las tensionl'S eClllédricas,
Po = 100
Vf
(4
+ 16 + 64) ~ 521) kgflcm
Uo
=
t (200 -
To
=
1 ~V1) + 4 + 100 ~ 351.
400 - 800)
~-
2
,
333 kgf/c11l2 ,
1
kgflcm
,
~.
51
por las fórmu las (29), las deform aciones li nlllllell principales,
El
= 2100s (2
·1 0
+ 0,3 .1 ,2) =
100 ( - ,
El= 2.1O
s
2,8 .10- \
+ 0.3, ·6)=- 1,1 ·10-,,
e, = 1 00o'(-8+0,3.2)= _ 3.7.1O-~
2 ·1
Y po r la fórmula (30), la variación unitaria del \'oluIIl('n,
6; = 10-'(2,8 - 1,1 -3,7) =_ 2.10- ',
La energía ¡lo toncia l unitaria de la deforn13c ión elástica y la
fill ' 18
energía. corl'f)!jpondí enle
f6rmulas (3 1) y (32),
u= 100 .10- '
"
e
fI
,;.8 + 4
la variación del volumen se hallan por las
,!,t + 8,;,7 )
= 19,8 .10- 1 kgr.cm/cm'.
La energia potencial unitaria debida a la \'a riaei6n do la forma
será,
Uf == U U"ol = (19,8 - 3,3) .\0-1 = 16,5 .10- 1 kgf ·cm/cm".
Problcmas 108- 122. Delermil1ar al1aHlicnmcnle y mediante 1011
circulares las magnitudes sigu ientes:
1. La~ lensiones tallgenc iales oxtrcmos T" T~ Y T.,
2. Las ten.'liones nor males 11" y tangenciales T",:
a) Cll el ]llano jlnralelo alojo 1, cuya nor mnl (al ]llano) forma
un áugulo ~ = 30" con cl ojo 11 ,
b) I'H el plono paralolo al ejo 11, cuya normal forma un ángulo
(J. = tiQo co n el ejo / ,
e) en el plano parnlelo aleje 11/, cuya normal forma un ¡Íl1gulo
(J. =
30° con el eje /.
3. Las tens iones oclllédriclls re.~ullan lcs Po, norma les u. y tl'ngc ndale.'! To.
dia~ r 311ws
'"
111
~
,",f"
6I1M!llm t
/ 10
Problemll!l 108'·1 22'. Calcular las doformaciones lineales principales el' e2, e3; la variación unitaria del volumell
6: ' 111.
onergía
polencial unitaria de la defornwción elástica u y sus componentes,
correspoudientes 11 la vluillCiólI de lo forma ul Y a 111 del voluroen l'vol '
AnnJizat los estados tcnsiollnles iJt(licados on los problemas
108-122.
Admítllse E = 2· 10' kgf/cm1, ¡.t = 0,3. Eu los prolJlenws 120,
121, 122, E = 2·1O~ .\IN/m' .
§ 2 . 1I 1JJ¿tcilis (/e I'cllis l cn ettt y 11'I/s;uIl 081
eqld t'u l olll clI
En IlIs hipótesis do resistencia se plantean Ilriterios que precisnu
la r~istenllia del elemento del~mnt(.'rial que se encuentra en un estado
t cnsionnl complejo. De acuerdo 11 estos criterios se establecen 111.5
tensi ones equivalou tes (a.), es decir, las tensiones de tracción:monoaxial del olemonto de l ma terial, que tione igual resistencia que este
mismo elemento, ¡Je f O somotido n un estado tensional de volumen.
IndepeudientOlllento do la hipótesis ad mitid a, la Ilondición
de rcsistollcin técnica del elomento del materinl para cualquior
estado tensiollo l es,
(34)
En el caso del estodo te llsiolllll do vo lulDe n do un elemon1o, la9
tensiolles equivalen l!!S scr:i n las siguiontl.'S:
segün la hi pótesis Ile las tOIJSioll(.'s normales n¡¡ixim~s,
(J.,=al cuando (JI>O·
(35)
según la hillótesis de Ins deforlllllciones linenles máximas,
CJclI=CJ,-¡.t(at+aJ,
(36)
según la hipótesis do las tellsiolles tangenciales máximas,
0C"I =(J, - 01,
(37)
segón la hipótesis de In ollergia potencial cspcdficlI de la variación
de la forma,
ac,v= V"Í[(OI-Ot'J'+«(Jz-osl+(a,-(J,n
(38)
8egün la hipótesis de los estlldO!! tensionales límites,
(J~V=CJI-\'aS
(39)
• A Vl.'i:(!!, ca la práeliee. CII 105 (81\05 cuando I <1, 1 > a" el cAlcule de la
nta!Btenda
18 primora hipól.&.l iB sellava a cabo por 1"" lórmulu, a, " la¡\;
lor
lo, 1" lOe '
"
siendo,
(40)
Ejem plo 11. Pare al astado te nsioos l de volumen (lig. i 9),
er2 '" -400
kgf/cm ' , 0' , "'" -800 kgf/cm·
= 200 kgf/cm ' ,
y 1.1. = 0,3.
(JI
Calcular las tensiones equivalentes por todas las hi pótesis de
resis ten ci~ .
Al calcula.T la tensión equivalente por la hipótesis do los estlldOll
tensionales li mites debe admitirse v ... 0,25.
"
"
" ,{
"
~'ig,
ResQI¡u:i6n . 0'0/ =
= 560
*
kgflcm",
200
0'"1/1
"
kgflaw~, er"1/
= 200
+ soq =
+ 0,3 (1,00
1 0Cl0 kg f/cm l ,
= 200
+ 800) ...
V
\v=loo
[(2+ 4)2 + (-4 +8)" +(-8 _2)2] ~872 kgf/cm",
2
er ev =200 + 0,25·800=1,00 kgf/cm ,
Problemas 108"- 122", Calcular las tensienes equivlllentes ¡lar
las hipóle.<;is de resistencia correspondientes.
Annlíconso los estados tellsionales indicados en los problemas
t 08-122. Admitase 1.1. '" 0,3. En el caso de la S& hipótesis (de 109
estados tellsionaln límites), v = O,S,
l' rob lelllHs 123-127. Calc ular las magnitudes indicadas on las
cOlldiciones de 105 problemas.
Notaciones: 1<, coeficien to de compresibilidad del material;
K , módulo do olasticidad estérea; p, inte nsidad de la carga distribui.
da sobre el área . E o todos los casos dehe prescind irse de la fricc ión.
En el IIToblema 123 debe admitirse: pare el licero E =
... 2 ·iD' kgf/cm l , fl = 0,28; pllJ"lI 01 cobro E ... 1 ·10' kgflcml, 1.1. =
"'" O,3tí y para el alumin io E = 0,7.101 kgf/cm l , fl "" 0,33.
"
1ZJ
~
.",.
/ ,
111
, ,
,
A~'rI
e) A/umMII
x -?:
K-?
p. CI; ,; ei ~ : f.
6,.l.l"!: 4a . ?¡ <16-1
111
p
p
I
d,
rU'
,
~d""':
I ~~._. :
,
,
~; ~.---: :
rEJ.
tn la barril'
ti,"?: "z-?: d,"?
p;
Q;{; ~
O¡,I)" ? <lo"?
u· ?
111. RECIPIENTES
DE PAREDES
DELGADAS
Para loa recipientes do forma de cuerpos de l'(I\'olución, cuyas
plI'edElllIlOD finas y no tienen cambios bruscOll ni q\jeb raduras, cuando
acl Cla UDa presión Interi or normal a las paredes, que tiene simetrla
tIllal. 88 puede emplear la teoría mombranAl (que prescindo do 1011
momento! floclorell).
51
Segón esta leor ia, del equili brio d6 un elemen lo sit uado .alrededor
del pu nto en cuestión de In ¡lO red de l recipien te y doterm lll ll do por
secciones meridi onales y per pendicu lares inrinitAmen te próximas
'1
bl
" '1
•
..-- --o,
ds
Fig. 20
(F ig. 20, a) , se obtiene lInn ec ua c ió u «'cuncióu de Lnplacc) I'nra la
dct"rnd"'lción do;: ]ns to;:,,~i""I'~ ll ol"!lI a lcs circuur"r('ul'; inl o, y UlHidi') !> ;l] 0""
~+
0 ..
P,
f'm
=L ,
(Id )
Ó
s iond o p, y p", los radi os ,1 .. Cllr vn tura dc la s~cc i¡jll cirrulIFcrlJnci¡¡ 1
y rll"r i'¡¡onn l de In p[lred del recipi ente ni nivel de l
punto err clles ti ón;
11
In i"l('rr~ i d,1(1 de In IJrcs iólI inLeri or, qu e cs F'lI1ción
ti c 1" cuordClllltla z;
ó el exp(>sor <l e la pI,red del rc cipi"lIlc.
De la co udici úu dc <lqllilihrill de la parle del r,)cipiente determinada por ~C()f. inll cil perpendi cular<ls nI meridiano, nI nil'cl del pUllto
en cne~ l i ún (fig. 2U, b), se Ohlil',re la segllndn ecuaciólI,
(-12)
siend o x ,,1 rluli o tic la circu lI[erencia de la .'I(lcción " es te uivlll,
u d ángulo entre el eje; y la langllulo al nleridi nno ,,1 miSmo
"ivel y
Z la SUnl.:l do l.1s proyeccio nes ~obre e l eje: do las Fuerzas ("jue
RClllan soh ro In !I~lto dol recipie nte !l()parada (Z esU refe rida
.:ll nrco de lougil ud igll"l al radi o),
•
Aqui Xl es el radio
del recipieltte.
z = 1px, dx,.
"
vari a bJo do la circunferen cia
(U)
do la sección
La resolución de las ecuac i ~ncs (41) y (42) 1109 dará Jos valores
siguientes de las t ensiones a, yo .. ,
,
IJ¡=PP'
o
7.
/)p", cos~ ex
'
Z
IIp,cosfa'
1
I
J
C.130S parliculnrcs:
t. pm=OO,p, =p, rocipientu d(l !l'ellcrn tr i-¡; rec ta,
(45)
°m = 6fJ cos' o; "
2 . PI = Pm
= p. recipiente Cll! órico,
pp
Z
o'~,~,p""a'
11m
1J
(1¡6)
= IIp cos' a. •
a) p = conSllllllO (presión de un gns o vapor)
Z=P:I' =~pp2cosZa.
2
2
o,
1
~!'!'!.
(2- -",-)
,
26
Pm
Om=~~'.
(48)
J
Cuando p",=oo y P¡ =P. Or=2am
,>
d
... uan o p/=(I",=p.
=tt.
PP
0/=0''''=26"
(1,0)
(50)
b) p = y (h - z) (presión de un líquido, fig. 21),
siendo" el peso por unidad do volumen del líquido;
h la altura del líqu ido en el recipiento y
z In ordenada var iable,
z=yC'p~~nsZa
"
-ZI)
(51)
La magnitud
Z.=Í:zdz
(52)
•
se calcula fácilmente si se conoce la ecuación de la generatriz de l
recipiente: = z (z).
En la superficie inlerior de la pared dol recipiente la terce ra
t(lnsióu normal principnl es o~ = - p. En la mayoría de los casos
esta tensión os muy pequeña en comparación con o, yo .. Y se IJuode
prescindir de ella al calcular la resiste ncia.
"
"
,
t'ig. 22
Pig. 21
Si 1" pared del recipienlo lieno una quebradura brusca (ng. 22, a)
enlouees en la sección tra nsitoria surgirlÍn fuerzas do borde ¡¡ue
]Iuodcn conducir a grandes sohr(ltensiones (1 110 no cllplll III leoría que
prescinde de los momen t os. P'lra roduci r In influencia de estos fuerzas, lá sección de la Juulo so consolida con un 1Ini llo que Hb~orbo
el empuje,
Si las tensiones normales muridionales cn la sección de In juuta
0'" = 00 ({ig. 22, b), entonces la !Huna lincal do Cnl]l\ljc, sed
¡(53)
qo = Og/)souao.
r
El ñren indi~¡)eus8hlu F del ," .. ill0 de nrrioslrarniunlo de radio
so ¡Hwdo obtcllcr por la fórmula.
F = qvr = 0.6rscn ao.
10J
lo]
(5<'1)
,=
Eje mplo 12 . Dado:
1,2 g/cm 3 ; 11, = 1, m; r = 1 m; a =
00 6 ; 1o} = 1 000 kgf/clll' (fig. 23).
Calculllr 6 y F.
ResollJ.ció/¡. E: n la p8rl\! cónica do l rceipioule (O '" z
h 2 ) Pm
z
= 00, PI = P = cosa' Z = :c elga, p = y (11-:) = y (h - zctga).
<
"
Por 111 fórmul a (52)
!lO
obtiene,
Z, _ clga
J•• ~d~= 7:
clga .
Por In fbrmllla (5 1) Iffi halla el Ileso del líquido uuicado en el vo lu01011 de !tI parto SCpMIl(lo de l rceipiCll to,
Z=l' (hr2 -~ctga)
= "r (!!.2 -='Clg
a ).
3
3
LII ~ tensiones lIo rmnk'S cireunfcre ucilllCll (J, y rucridiOll81C!1 (1 ...
en lo.! punlo.! do In pared dc In p~rle t ón icll del r«ipien te a UII nivel
'L,
11
-1
'-
,
"
~~_
I
- p.-
N
.-- -i'---J¡u..L
1<
-
<~
Fig. 23
arl.!ilrllrio, delcrminndo llor 1" coordenada .:r. son, segú n Ins fór-
mnlps (45),
(1,
=
,,(h - zctga)z
licoso;
yr(~ -1 Clga)
cr",=
6%cosa
y« _ h
ti
l'z(
=6
__
x )
cosa
!!Oll a '
%)
h
2co~a. - 3se n a .
Puesto quo,
obwndremOll
(I/%-t-=O'
..
17", _ _
0,
,,( ,.
0" ..-,="6
COS!); -
,
SOlla
,)
'. - , - "("
--+--2ll cosa.
3 son a .
)
yrh,
=6cosa'
Para los valores num6ricos dados,
O,
•
-
m,..-, -
-,
=
,
1,2.10-1 .101 .4 .1Ot .2
10 ,2 ) - SO,3
- __ + __
__ kg U,m'
1,2.W- ' .tcf (4 .101 .2
26
t
1
30
-
6
.
< <
eiHndrie~ del recipiente (h z
z h) Pm .. DO ,
= y (h - z), a = O y Z es igual a l vdor de Z correspondiente a la parte cónica para z = r, e9 decir, Z = Z %_ ""
En 111 ¡lUrte
p,
= r = r, p
= yr'
,., ctga ).
("2-"3
Las tensiones normales circunferenciales o, y meri dionales 0 m
on los puntos de la porcd de la po rte cilindrica, se obtio nen IlOr la
fórm ula (43),
y,
Ot=1;(}¡-z),
h, )
( 1I - 2 rclga ) =y,
,
) ,
- ( h,+ =y,
- ( /¡,+ -ctga.
263263263
0 ... =y,
-
Para 109 valores numé ricos dados
3
,
2
1,2.10- .10
"m=
1
2
1.2.10- .10
26
( ,
'l '
oblendrelll0~.
.t, .101
,
t¡8
-
10'+ -10'0 , <1' 77 )
3
2
kgflc m ,
25,2 "g
l.
6
~ --
,¡C111 ,.
En la figllr n 23, a e81ún repreSCJl tados 10.'1 diagrllmas do las tellsiones 11, y Om'
La sccción peligrosa de 1ft pnrlo có"icn del recipiente 0:.'5 la supe.
9G
[,0.3
f lor, dando:.' 11, = 6" y (Jm = Ó ·
Cal culam os el eS]lesor 6 ol e [n pared del reci])iento por la tcrccflI
h ipótesis dc re.«i8tcncio . C,, " ~idHn ld (J O, '" 0, ohtendrelllOS lo
1\C11ur.ión,
oc
11, = {} = (11 )
96
!JG
de donde hollnmos, 6 = - = llJOO = O,OOG cm = 0,96 mm.
ror
Admitil1lOS /) = 1 mm.
"
En la sección do 111 jonlR do la parte tónica y la cillndrica
(fig. 23, b).
(lo - O .. = 503 kgllcm'.
Pu('slu qll" <l(I = 01 _ 60°, el área F dcl nnillo do arr ioslromielllo
~ rá. ~l'glÍ lI In fórl\luln (52),
·10'.0,87 1. 1.
1
}' .,., 503.0, 110'
::::: 1 , 1 cm.
Los \,/tlores de c'l y P obtenidos deberán /Jer corn>gidos tClIiclI/lQ
en CU\!uLIl cierLu cOlIsideraciQII(>s constru ctivas IIsi como la 1'51/1bilidod de l anillQ,
Problemlls 128- 133. Determinar ln~ magnillLd('~ indicadas en In
cOlldidoll CII do Jus IlToblcmns.
Nutaciones: p. presión interior de l gas; 'i, peso especifico de l
lh¡lIitlo;.s, espesor do In pnrod (,sil" ¡JOr 11I .3~ hipótesis de resllllclIdn y ¡¡IV por In 4"); F G • liten del nnillo; d, dínlllctro del per no;
n, lIúl1)('ro de pl!rno.s; o~': .•• Hmsioues princi ¡wl08 en el punto peligroso
do In pa rlo es rérica de l recipicntc;o:. z. I idem en lo parle cilíndriclI.
L~ calculO!! se deben reolilar llOr la teoría quo presci ndo do lrus
mOlnonlQ3 Hedores (lcorín membranal).
En el problomll 133 nnnlí¡;CIlSO y co nstrú)'onse los diagrama.!! 01&
J.., I'arilll:iones de /11 len!lión meridional lo... }; y JII lensión (o,) orl Ogonnl a In primerll, Mí como t3li1bi~n el diograwlI de l a tensión equiVAlen te uOII1 ¡;orres]Jondionlo 11 la tcr¡;ora l oorlo do resistonda, en
fUII¡;ión do la wo rd Ol1l1 dn z. Pl.. nléesu Jo condidün de resisloncill .
.J!l
1-1-1 ....
(t{~:~
k,1/o
[6J;S.°? ; Fa -?
1lZ.
111
s-, ¡
ilJ
t ~,~~: ,-/ J
,,
<
.,~
d_Um,
6::,,_?:
"
/losa
!!Ü') -r¡ ~ar
6,1:!'?
,III
,
VI. DESLIZAMIENTO
El ClIlntlo tcnsionnl eorr~po ndicn le al caso cUll nd o sobro las
coras del elemento soporfldo II ct Íl1I 1l solamente tcns io/lCS lango neialclI,
~Il dCIIUUl Ina dl!sli~omiell/o puro. El d(>l!]¡zlI mionto puro va aco m paña do
<1@ 1<
<
FIi. 24
Fli. 25
do un dE's pl/lzam ient o linen l mutuo do 1811 dos ca rn s parll1a]oa
del elemonto. IAl mn~nillld de eslo dcsplllum icnlo I se dcnominll
dlllof ,i61l obsol tllO (fig. 24).
La Tllzón en t ro Jn t1islol1!ión absolu ta, )' 1/1 dis tancia 1 entre las
enfas I10e se 1I0S II I/l7.lIIl
(55)
denomina distorsión unlloria o ángu lo M dlslorsi611.
Los ángu los do di st orsión 1'1. 1': Y y~ (va riación tic los ~ng\l l 05
reC iOs entre los planos de acción dc tenaiones tnll gll ncillles extremas
T" T: Y T•• tle igulII valor, pet o de signo coolenrio) se dctctmin/lll
por la ley de J-I0(I!.:c. E!¡10l!l ángulos SOIl:
RO
(!i(j)
'.G
y, E> f-I-f-~=-,
sienrlo
E
G
_"'-;='+".'")
(57)
2(1
el módulo de deslha mi Clllo o m6du lo do
ma terial.
ol a~l ¡ c¡ d8d
tangon cial rl ol
-
"
La distorsión unilaria Y. ori ginada por la tensión tan¡encia l
octaédrica " 0 SO donomina dit lcnl6n odoidrlca.
*
2
'I't==0-=3 11i',+'Yl+Yl'
1'0 !
1
1
(58)
El! 01 os tndo 10119ionol correspondie nto nI dosl izamionlo pUTO
(fig. 25), on 1011 plnuos incliuados 45°, !lurgen los t on!lionos principales,
(J,
-
(50)
-(JI '" T,
las deformacionos IinoalC!l principales,
tl =_fl=t= t ~}lT.
}
(60)
~=O .
y In d istorsión Angular principal,
y =
2t
.
El centro del círc ul o do las tensionC!l
(0 1)
S(l
CUCUOl11ra , en esto caso.
en el ori gen del sistema de coordenadas (fig. 26) •
..{.v~(o
'
lID,.
!-.~ -'.--'
,
'':-.."
2OMNlm '
,,
-. f @,~W
"t;>..~
~'¡II'
26
)I;g. 27
Fig. 28
Si COrnlidoramos qu o 18lI tC08iones ta ngenciales so distribuyen
uniformomenl.e sobre 01 área F d ondo están aplicadas (fig. 27),
!lntonces el esfuau o tan gencial ser.6,
Q .,. TF
(62)
Teniendo en cuenta las fórmu las (55) y (56), podremos escri bir
la ley de Hou ke para el dMlizamiento on la forma ~ i guiente,
•• _ Ql
_•
(03)
.
G,.
!le
La energía polencial de In deformación Dlást icn del deslizam ien t o
oblicuo [lor In fórm ll l~.
(j'l = lJ,;GF =
2GF
21
U=
Qt.s
2
(61i)
y 1", e"erg i~ IJfltenciul 1Initaria. por la fóruw ln,
'1'
,.
2
2G
/1.=-=-,
(GS)
Ejemplu 13 . P~rll 01 estado lellsioual ,lad" (fig. 28) calculll r
Y" 2. 3 Y Yo· CfUIl!iderllllllo 'lile E = 2, 11}' M N/m' y 1I = O,2fJ.
n cs,,¡ucl611. Lll~ lell s i"n e~ princi pa les en el estado teusiunal do
vulllmen dad o ~" ": 0, ~ 1 00 MN/ IIl'. o~ = - 20 "'N/ m' y 11 . =
= - lÍO i\ l Nlm',
LH.~ I,ellsi",u)s I lIlIgc " ci" l ~s e~l remll s ¡i elleu . .~{'~í,u I:I ~ [,írtllll"
I;I ~ (27). I"s ""l r,rl's .,igll i ,, "lp~:
- 20+ 100
T, =
,,~
2
= 1Oi\li'\/ IIl ~ ,
lOlI + lÍ O~_,o
2
" ~ l N/ mz,
T, = 100+20=tiO ~ I N/ m2.
2
El IIlódll l" ,1(, ,'ll1sl ieid,,,1 ¡ it ll¡''CI ,eial del no.,ter ill l {'s.
fórnHII" (57).
{,' =
2·IO~
2 (1
De 1;,
c .~pr('~iún
,
+ 0.2.-,) =8 ·¡ 0
(rili) se .. lol i,·",·" IlIs
~"g"'"
la
2
¡\IN/ m,
di~l"r~i,,",'~
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clpll ll'.~,
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tjO = -,
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1,.) '
8 · 10'
La
,lis¡0 I·.~i,.,,,
2
<>cl'H:rlrica 8l'r:i, pUl' la f"m,nJa (;;8).
1'0 =:1 . 10
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1
v 1._., +R.I;) +7.5
~
__ ')
_,
1.1_·1f) .
,.:;
/34- 140 _ Odculur las JIllIgllilud!:s illdiclld:.zs ¡)¡l las
InS ]lI'oblclIIlI$.
N"l¡l"iull{'S: 0" límitc dI) rIIlCII~il';
endit ip,,\(, UIl scl;!lI ritlad
(TPSl'r\-" .t., reSiSI.CIU;ill); ( M ,), IIl Hgllitnu "d m')"'e"to c"rJ'('~I'0I,Jie" ­
t" ni ,'stn,h, 010 rlncllein dll l IlInt.~ri al.
p,·,..~r,í",ln~c d n lu flox io'l y c l)lls id~r..~" '1m' la~ ICII~i"nc~ l." II!.:cndal,,~ ~Il ,Iistrilonyc" 1)<l¡rl)1"IIlCIllCu l... suJo ... , 1;1 "<l red dI) I lI~ t "I,OI!.
Pru/¡ICIIHIS
tO Il,lici "IIC~ .Ie
n,
~D
¡.ti/1m!
~DMIIJ/II'
~OM,~im'
r-'r-' Ha/4Nfml~lm~M/JJm'
~-
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1!I ' ?; 'r ' 7,!"IIIS¡iuM~ f' Z,O~ - I!J'WI/m" " ' IJ,J c'~ · w'M~fm'
IJJ!I be
'fi,I,l <?: ' ,,/,l'?
"'u'?, "1' 1
'Y',I~·? ; 'Y. , ?
M,
,,,
,
,
tt'-- =-:,-~~
v. CALC ULO DE LAS
JUNTAS MAS SIMPLES
DE LOS ELEMENTOS
DE lAS CONSTRUCCIONES
1-:" Ins , Iivl' r.~ns jllll tll~ (a bM Il 01 (' pl'l"'1< '~ . ,jo c~ párrllg,-,s •• It, e han'tlls , dll Cll ñ,}s , ,le re mllehl's , sol d~dn s, ,le 1'~ I)ar[lS cn mad ,' I'[l "le.)
IlIs clc m o ntn~ ~lIrrclI IrMe¡ ón, cVl ul,rcsiú lI . dcs¡iz3.micllto .~- 3. p¡IIStaHlitllltll en ¡ng diltlrcllto~ pIH" os.
Si la tra cción y compresión ocurren generalmente de una manera
pura, 61 deslilam i611 Lo pum, práctica 11101I 1e, no elisto. El deslizamiento siempre va acompañado de flexión, o de tracción o compresi6 n ,
y pur Iv tanto, en los plnllos de deslizamiento, apllrLe de In!! tensio"e'l tangencin les, acluurá ll tlllllh ióll lellsiones uOflllllJes. Sin emba rgo,
pues to IIIIU las 111l,¡¡ui t lldes de eslll'! tensiones nortnales sun pequeñs3
en co mpuración COlI Ins tange ncial!'s, los có.lcnl os técnicos se realiZilll sol~ lll ell to por dos]izillUi(!nLo, qn e en (! I caso d(! elementos metá licos ~e d <' II Olllillll ciz;lllalllielito y en el de elemelltos de mndOfll, corl"dura. Gune rahmmte se cunsidl'ru que las lensiones tsngencillles se
"i,;tribuyen uniformemente sv]¡ru el ál1.!n dd eizlll1amiento o corlll,In m (Fo")' El error Ipl!! l1~ í se cumele, se componSll con la mllgllilud
,lo In Irlls ión tnngall('inl o,hllisibla I'TI,
El "I,laslnmienlll cOlIs liluy e una cO ll,prcsió n local (superfi cial)
ole los ,,1"Ullllllr,s (jIU . prús irll 'illI UII" sob ro el ul,ro. Puesto que no se
('""oce 1" ley l'xac tll de ,1i~I, ribuci¡'1I de la I,~siún sob re In ~U llCrfici e
,le "1,1"~t"",ie,,lu, ¡'ilr;. ~ i U1 l'liri ca r I,~~ cálculu!! técnicos, so admite
"'!Ll\'Ollci otlnlnH'Llto (lile la pl'(lsiún >;I.l d ist ribu ye unirormemonte, 110
,<ullm la superficia ti a ;'pl;,slamieulo, sino sobro el nrell (F"p) igual
" In prnYl'ucioll tl o lA ~u ]Jt'I' r i ci" de "l'll1sl¡lIlIicnLo sob re el plnllo Ilcr¡"nlllle"la,' a la Hilen ti" acciólI l\(' la rllerw de ¡¡n'lIión l'nw
I~s l c errol' [ambiéll ~e tiOII(> (>11 cuc uta por la Illagnitllll dn la tellsión admisible al nplastan,jellt.o la,,~1.
P:.lr,1 nn nprovechollli ''',lll r:,cil>"a l ([(:1 lIl oter;;, I, el cli lculo de las
juntas so 1I0vo a cn l)(, tlll la I"",diríun d" igu,,1 T\,~istencia ,11' los
e l llll ll'lIl,,~ 'JIU.! r"rul:.l1I 111 junta, P~rn c l cárcu l.. Ha cm!.lcl1n las rónnll!n~ ,~ig " icl\teH :
1) trHer,ión
y
cuml'rc~jó ",
(li6)
2) cizall n1!lie ll l. .. y cor tadura
F
...... Q,
tl.# fTJ'
(67)
3) IIJlII\~tllrniellto
(liS)
La~ ;'Il'e:¡s que ri gu ra" o" est"s fOflllu lns son Ins nl'tn ~, r~ Ilec,ir,
nqucllns 'l"(J >;I.l o]¡tioJlf'1I ,1",'P lléll ,h) c,,"~idrrH el IH~~i¡'l" d!'hilila_
lIlillHl. .. '¡"lJido 11 dirt"'eJll.e~ nl:'llj"ru~, ac uerdos , n'Il,U'ilS, .. l.c,
Si IIIIa mislIltl ;J,."" ~e cnlculn lJUrciwlln ,"if)IILO y p O I' ~l'lnstamien_
to, olll""ces SI! "scugo In un'y"r de rns dos o!¡tc nid ns , '
PrúcticnlllPllh'. n" siollll"'c es Iws ihl e ;¡tcncrS(l " la cOlldiciíon do
igunJ I~'~i~tellci:, dll Jus plt'Illl'11I.ns (1" las juntns, GIlIII'TnI1111'nl. a enlrnn
5'
/\7
en vigor razon e.., constructivas ~u plem(!llta rias, que Se c$lndian el!
los cu rsos de piezas o:Ie u'uiqui nns, estructuras me tálicns y de madera .
Ejemp lo 14. Dad,,: f' = 1, tf:
'}
p
p
101 -= 1 liUO kgflcllI'; Irl =
'"" '1 200 kgf/cm'; lo" ,1 =
- . 3200 kgf/cm ' (fig. 29, a).
H nll,"' d. 6 (1, b.
,
f/csulució/I. 1.
D<Jtormill~­
"i'Hl del di(""elro d de l pOrrl(I,
,h· In CII!I(li ciú" de I"('~j~lencia
"J cilalbruie¡¡lo (fig, 29. b):
¡r,if
/'
2 4 :;" [;);
., .,
V rtIT ) =
,. /2 .4 ·\0'
'""' V, n ·n· IO.""" 1,1,1)
p
p
,. / 2P
d :;,.
p
cm.
2. D()hmn inació" dcl .~~ p e­
de 111 I,í",illil <'i ,1" 1" c"n·
dición do resislenc;;¡ ,,1 ,'Ipl¡l.-¡I"",ieulo (f ig. 2~. e):
~(,r
l'
M > -;
[o~I'J
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P
1i >-- ~
dlo".J
I¡ ·10'
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""" O,SG cm.
I At .;12· uf'
p
3. 1)elcfI,,¡II»cióll dI" la
nllch llr il tle 1" lá lllinll a ,lo 1"
cOlulició" <le I'e~isle ll(: ia a
ción (fig. 2~. ti):
J'
(a - ¡1)6 :;,. - :
J01
Ir~c_
0= - J> +11=
1i Jo )
1
4.10 . , + I .,U;"""Z.02cm:
0.81;.1(; ·10
Fi~ .
1,. Delr.rmi"aciú"
de la
longitud b del e xlrr.llIO de la
!á[oina de la cond ició" de re~istoncia »1 cizalla11licnt,o (fig. 29. e):
2b·6 ';;".!... ;
[1)
"
29
b'=~=
26 11)
4· 10'
Z .O,8{j. 12 · IOl
~ 1 ,ll4
ClH.
d(l .lolllJl'
lit:>
obticuo,
b=h' +{=1,!lIo+O,73=2,67
CIlI,
Pro blemas 1/11- 11o!!. C,1!cnl¡Lf tu,las las dimensiones do los ulemmLt o.s ole las junt... s repr('~el\ lad!ls en la~ ngura~ .
Ilculiwr l o~ c::i.!r,,]os Ilu rtifHul o d .. la condic:ión d .. igual ~sisteo­
c:iH ,le lv.~ olemonll¡s, En Io.~ prIJbl en"lll 146· 148 nd rníta.se lal =
= '1 (¡OO kgr/crn t ; !-el ~ 1 201) k gf/c m~; IOo pl = 3200 kgl/cm".
En I,~~ I'rolJ lllolits 141" 11,5, 11,9, 101 = JWr.1N/m·;!-e1 = 120MN lm2 ;
10 0 1' 1 = 32U l\IN lm".
•
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"
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-~ = ~
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[CSj-/(lllkv1krut
[r)-0.8 ftSj;
~"I'd-2 «51
P°3,21f
[61ol611(J~/,m ' ; [rNV[6J; (6",,1'2[0/
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~
VI. CAI1ACTElllSTICAS
GEOMETRlCAS DE
LAS l' IGUnAS PLA NAS
§ 1 . A ,'el/ S 11 8 '11" mOIllOt/t oN e ..U i tlc mt
a
So denominan monU!fllos atátictJII d, l úrea de una /igllra r t'&Jlet: lo
z y y (fi g. 30) las intcgralclI detcrrni l1l:ldoll,
101 eJ~1
S, ~ ¡,df;
}
(69)
S,=i zd f ,
siendo F el arca do la fi gura , dF, su clcnlCulo z y 11 , las coordcnndas
de ealo clemento.
Las coordendas de l centro de grll\'odad de la fi gu ra ::" y ¡¡~ se
obtienen por las
rórmU IIlS~
=
1/<=
Los moment03
est,tI~
1
i.
~,
(70)
del área do una fi gura respecto 11 los
a cero.
Dete rmil1ar J 8 ~ coo rdena das del cont ro de gravedad
li mitada por loo segmentos rectos b y c y por
(fig. 3 1).
ojea centralO!! so n
ro
iguQJe~
ResQluciulI, Escogie ndo el elomc n Lo d e ÍL re:l ¡le l:l fignr:l, d F _
!fd; = a;"d=. o/¡t('m lrenws r'3r.1 el ftmll .
f' =
,.
J
=!I
dI'
"
, ,,
El n"It1\('u l " I'~l;iliru
[{mm"''' {¡,V).
J~~ d~= ~b~+;
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aleje y se rrolClIln por
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¡,r!
2 (:!JI
" 1'
+ 1)
Il(· Ins expL"I'._¡",U's (70) pnra l.os cnnr<le n.1d.1 .~ 01,,1 rf' 111 CP dI' gr" " (l,lad
lit figu rit 1'1" ol/Ii/·'le.
~
Sy
-0=7=
+ 1)
+ 2j/'r
h'dll
(n
!Jr = _S_,_ =
bd'
." + I = 11 + 1 e.
F
2(2n + J) be
2(2JI + l)
"
Problemas 150- 155. Hallar la posició n del cen tro do graved ad
de las ligurns.
1"-----+-'-,
,
§ ;t. M IJUllJn l ul<
"e
iJ/ lJ ri; io ,Iel flrlJfI lfe In fi!J'I.I'u
Ln.1 inlogf;.l c!; dofinid as,
f.~ Jy'dF. }
1 ~=¡~tdF .
.
so .lelluwin un mfJI/I('uIO$ de illercia a:ÚldeN . [¡ ,.(>(I/ex o eC (luIQriale.•
(ri g. 32) del ,ina dI! la ligum respeclo a los
,
ejes_e y ;
I y ,=
j yzdF,
(72)
es el product o du inercia del lí rc¡, de la
fi gura res pecLo u los ejes or LogOll nll:'s ;: e y;
es el momen to ¡)Olo r de juercia dol áflla ol e lo figura res pl:'cLn nI ori gen dol sislema do coo rd onada s O.
Los momentos dI;! 1"e, cia roIIpeetO 11 los ",jes Ilaralelol, unos di IU8
cen trales (Iig. 33l. SOIl
cUllle~ (%000/(0) son
I,~ / .. + .·F.
}
2
Iv= / r.+ b P,
Iv.= /r ••• +abP,
(74)
+ +
z
I p = I P.
(a
b~ F.
Los momentos de inereia regpeclo a ejes gi rad os son ((¡¡r.
l u = 1.+ Ir
2
+l. -
2
1 + 1
/ f cos2a - / ,S4lIl2a.
r
1 - 1
1 ·~T-y ,o,,"+ I .,,, "," .
I
I,- /v
~.=-2-S4l n
34),
J
(75)
2«+ 1M' COS,
2a
l Pu.= I Pv.·
Los ejes prin cipnles dQ inercia de una' figura ]llallll . es deci r, doo
ejes ortQgonales, r('spec lo a los cnales ('s nulo el product o d(l inercia
y
,
y•
•
dF
,
'.
---"--!il,
--~
;:,
Fig . .':13
6
- '.,
,,
", , •
•
,
,
~·ig. 3~
del óren dQ In figura. ocupnu la posición qu e se dQtermina IlO t la
ecuación,
21
tg-2«=~.
(76)
1M - 1,
Los rnurnlllllos prillcipnles de inercia del áren d(l un ll figura, es
dec ir. lu~ mom ellt(lS !lXialQs de inerchl reSlleclo a los ejes principalus
d(l inercia. tienen los "alores extre mos sigu ientes :
(77)
1,.
1,.
Si
< O, entoncCll el eje principlI l, respecto al cual el rnOUI(lIll o do inercia es máximo, cruJ;8rá lO!! cuadrantes / )' 11/.
Si
> O. 01 eje principal. I'ClIpeclo 111 cual el rnoml'lIlo ele
inerciA Cll máximo, cruzará lO!! CUllllrllllles 11 y IV.
Lo., ejes ¡lrinci pa lCll lraZlld (l.'! ¡Jor el CQUlTO dQ gnlved"l! tle! li ren tlo
la figura se denom ina n ejes principales rtntroles y lO!! Illomen'rn< de
iner"ill respecl o 11 o.,tO.'l njOl!, momclIICIS de ¡/lerda prineij/(lle& u lllra/l'N.
Los "/l lores llo~ i ti"os (le
t,=
~;
t,_
, / l• .
V
(78)
F'
se denom in lln rodi~ ck I!iro de 11) riguro 1IIIIna
rr(lSpond iente.
1.11 elipse corrl'sllOu¡liellle a la ccuación
zt
i
-:z+---:¡-= 1.
1,
"
re~ ll('c l u
al I'jo co-
(7!l)
se dl'unnl ina eli/l~ de i"{'reia de la ligrlro. En I'~ll' I'xprl'<ioll 11 )' :
lu" .... jl's jlrillciplllell (lo inerci~ dI) In n¡::ura. CClIl'mlml'lItc 11I
elipse do inl'reill so COIl~ lru ye .'JObre I o..~ I'jl'!! jlrillci ll¡lll'!' renlr"ll'sdl' 111
fi¡'::IIT11 ,,11In1l.
El ejl' do simetria do una figura plll lla el! Siem¡lre I'je priucil'''¡
d e iuereia de es!" figura. Todo eje. perpendicular ,,1 do ~im('l rín.
sen; ,,1 seguu do eje priuci ¡l:I l de i",'rca de In rigurn corre~I",ltIli{'lIle
01 pUllln do iu torsecclón do estos cj!'l!.
Si 111 (¡gurll jllona lieno por lo n H'r,,'~ dus (]jc~ da sillLl'll'in. CJIHl
11(1 ~(jrr ortog"ltllle., I'lI l re ~í, enltmce~ tudos lo! ejes que Im.'!an por l·1
ccrr l ru (le grfl\'ed ~d do I'.sln fi gura seráll ejes t1riucipales cpn\ral{'S do
ine rcia. Lo~ rnumenlO~ ax iale:o de inercia dl'l ~rt'n dI' la Figura rl'''!)('C_
lu ~ e:lIOS ejes son iguales.
l~j"lIIplo 16. Pnra el ¡JOl ígono regulnr 110 /1 Ifldos do long;I(,,1 11
(fig. 35). Cfllcular l o~ momenl os princijlales cc ntra les de illl'l'e!¡I. el
1l1<:lIlle"ln polar de inercia y cunstruir In elipse cenlwl d,' iUl·rcin.
Jle.,Ql"dólI. I~I fi ngulo cenlrlll qlH; se aplO)'n 90 bre el IlId" a C8.
11011
2.
0:=-,
"
el radio dI! la circunfere ncia circunscrib,
11 =--'«
2scll'2
y el de la circunreren cia inscrita.
«
r= /l eos '2'
VClI.mos el tr iángulo de ángu lo (;t en el vér t ice (h g, 36, al y eaL culemos los mom ont.os Ilxinles de ine rcia l~, l ~ Y el momento pollu
do inercia l ~,
El anw dc III loanda elemental do espesor du, es
d¡.'= a,dv =~vdv,
,
El 1ll0Ulentl) a:;inl do inercill dnl area del triángu lo res lleclo al
I~ =
.
1,
1 ar~,,
,.
\)2dF=!!-
v
"
lid\) =
el ~rea de In loalllb elemental
de csp('sor dI/. (Iig, 3!i, b),
dF = t, du =
!., (a
- 211) dlL
b)
Fig. 35
y .,1 monw ulu
al eje v,
n.~in]
Fig. 3f,
•
do iucreill .10] "ren de ] tri{,nglll,)
l~ = 2 1 lL~dF = 2~ &1" u (a 2
/1
F ft
u
2u)du
=~,
108
El IIIOlll euh> I'ular de im'l"cill del úrIln del tr i1Íugulo
puntu O StltlÍ,
_11
3
2lf ~II ~2 ¡feos3 ~2
,.
,.
1' = ..
ar
ar
+ " ,,=+ -~
'108
SR"sen 3 ~ Neos
+
_
1,8
i
,
I"e~peeto
r('~]lceLn
al
+
\ a a(, a
. a)=
= -N ooll - eos- 3C09 ~ -+so n-Ü
2
2
2
2
n'
_ se n (l'. (2
'12
+ tosa) .
PlIl'II lo q uo todO!! 1000I ri á ng ul0!! en 'lulI se dhi dll el poligÜllO ,de n
.'1011 ig uu les y !SIl ll ¡JOya n COl! .'!\I~ \"ért¡ ce~ soh re el lJU n to O, e l
mOllmuL" Ilo lur de inú rc in del ~¡n~a dol polígono ,lo 11 la d O!! re.~ pett<l
I lIdo~
11 1 1IIIIIIu O. ser;;
¡ p = lI / j, =-
"R'
1"2 i'!Iln a (CUIla + 2) _
:tU\
' (la !!eU a (eQ:la
+ 2).
El p"lill'~'n" regul ar de 11 l :, du~ lielle " " IIIC U U~ oJo d".~ I"jl'~ du
nu urtugull ll les e ntre s í. pur lo Inl1l", t Ul lu.~ lus eje!! {('lI lrales
serán rjc" priucipa lCi! d o ine rc ia y 103 rllmnenl O!l ele inerci a ¡Iel I,rea
del pullgu n". ig,u, lel! enlre SI e i¡.:uales" l . De DIIUI se ub lilllle.
~ ¡meltÍll
I
/ _ - / 1'
2
=
ull'
- -
V.
!W 1l
a (cos a
+ 2) _
n U'
120:
--.ot! ll
a(Co~o:
P ues l .. ' Iue el ~, rell de l I'ol ig"" o tle " 1;.,lo,¡:,
,
1- -
1I
llar
2 - 2
2
R'
+ 2).
C:I
o:
a
1/
1
SU l! :rco"Y="2// !'C llO: ,
IO!I rndi "" ,111 gi ro pri ncipalll.'l ,11'1 IlOllg ulI" seri;lI.
j
=
v11
¡; =
...
_"_ Vro2-+"-:-,"~,-•.
20
L" eli)Jse ,te illerc i/l tle¡,....,ncr" (' .. u .. " circm,Fl'rellci" ,le n,dio i .
Ejl' m p lo li. P"rn In figura cOII'I",e~11I
rt! IJrt'SIIuladll ell la fi gu ra ~7 Cl"llIs trlli r
la e li l)f!O cenln,1 ,le inl'rc in.
/(eFo /ució ll. H erl' ,·illl"~ In fig ll l"lI ,¡i],uj .. 01 .. A l.'!lCal l' (fig. 38) ;, los ('j e.'l d e cuo rIlelU"]¡'s ;. y IHln, l... l"" a 1".'1 I "d,,~ do!
c:\", I"rll o de 1.. figllm .
C:,d ~, elemell lu <l o 111 figllrll (;' ''l;:uI1lr /.
ca",, 1 2 y I'Ilct~ " I!" .. 11) J) ~o rllf itlrr n IIIs
ojes cOII I.rll lclI z¡y , pnm lclus a J u~ eje.' ty.
El cent ro do gr~,'e, I ¡t(1 del rect lÍ. lI g ll lo
se u b l lcllU dirccllUne llte y las counlellHFi,. 37
d¡,s d I! IUlI cen t ros d e g r~,,·('tI;ltI d el ~lIgu­
la r
2.02 cm y dol (A lI lI l : .
2.4G c m se ubtiene" del ~lI rtid"
d e purfi llll! d e aceru IlIrn illllduS.
Los d lelllos IluO ~ig lluJI (;OII\' ione rcn li zn r 1.'11 rorma d e IlIbla.
La! IIl ng nHud es d el rectángu lo noceM r ins se oh Uellen f{,cilmellto
y lu correspondien tes ~I ungnlu y al ca ll a l !!Il IHl ll all de l .'! lIr l idu.
Así. por eje m plo, 1¡¡'Ir" e l angul ar de lados ig ullles, 70 x 70 x 8 m m
z. ""
t. OtlrrmluulD" .u ,..
eo.rdclltllÜu dd <~IIl"
/fl .... u'1ICtlG • /"" ~/'I' ,
Coor1lea.d •• <1<1
~\'" ~
. . . . odIId del ' _ ' 0
.... p••:lO . . . . .¡. <, ~
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~I(r l id"
:,!I:),8 cm'
hHJI" "WS P, ..., 10, i cm', pnrll el "/1,,,, 1 N' ¡!:¿, P. ""
3(; C ,II ', i.ns
~' l)JIm <> 1 N:!cl állgll Ju, "', = 18 x 2
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-!l
'o
",
tOó\:. 38
77
coordcndRll de los cen tro! de gravedad de cada elemento, respecto
11 los ejes y: !KIli:
paTa el angu l/IT, :, _ 111 _ 7- 2,02 _ 4,98 cm.
,l~r" el canal. l~ - 1 \ cm, Y2 = 7
2,4G "" SAG cm,
pMa e l rcclallgulo. l . ... 22 + I _ 23 cm. y~ _ 7 + !J - IG CIlI.
+
1. 11.'1
cÚOT(lclludl1~
del cen tro ,Ic gravcdnd ¡to In
=.=!!..t..= I 198,2:=::: 15,87
/-'
rig\lr~
SOIl:
y. _!i..!...= 1.I0 1.8:::.;:: 11 ,94 cm.
F
75,5
c m;
75.5
HcferirnOii nho rn la figura a los ejes Cl'lIlrlllclI =oYo JlRrlllclO)lj
lO!! cjl'll =11.
!'MII 111.'1 coo rd clIlldus de los centros de gral'odad de los elemontos
de In figllrn ¡o, y Yo, reill'ocl o !I 10l'I ejes :0 y lit obtendremos:
plHU u] ungu lar.
8
1i.98- 15.87 - - 10.89 cm,
Yo. _ 1i,98_ 11 ,91, = - 0,96 CIlI ,
:01 -
pMa el calla l,
:01 - 11 - 15,87 - - 'Í,87 cm,
!In - 9,1i6 - 1t.9t, - - 2,118 cm,
pa rll el rectángu lo,
:u -
23- 15,87 "'" 7, 13 cm,
VOl - 16- 1 t.9!o - 4,00 cm.
lI ullamos los ll1omclIl Oll dc inercia o..Ic lo~ vleulvllto.s de la f lgum
resllccl o H
l o~
~(
ejes ccntrales 'rYr . En el caso del :Insular (fig. 39)
se "lJti vne de l s urtid o.
Ur
J" = I v, - 1,8.2 cm ' .
,:':'=:S~~íJL
"',
Por las fórmulas prora lu~ mO Ulent o.s tl o
inercia
rcsl)CCto A ejes giradW! hallam Oll,
ti
1, ••
,= J·'2-
J
...
·'.!!Cn2 (- 45¡ =
_ _
__- 20 ( - . ) _ _ ..."8"
. _ cm.
76.4
2
f ill' 39
Il,l.I¡ so u, IJIlTII el a llgul ll r, ojc~ du
iuercia prillcipales IJU lllI l O IllIe el ojo I/¡ ca
un eje de a¡me~rla y po r lo tan lo 1". ,., _ O. Los valol"C!l l u, _
_ 76,4 cm' y l . _ 20 cm' vienen en el s urtido.
Para el perr¡f eanal del ~ nrlid o obte nemos l.~ _ 187 Cill' , 1"," _
_ 2 330 cm'; 1. _ _ O, ya qu e los ojos 'zllz son ejes princi pa les.
d. inereia del cana l.
L OlI
ejes
Parll e l reeUllgulo 89 oblie no,
1
1 =2. 18
'.
12
_
972
cm';
I
M.
1".,=0.
"
= 18.21 _ 12 cm';
12
2.
Dder",'~acI6n
de 11)1 mom.-nlO, de 'IIfr.'a <k /0 /llIura u,p../Q
a 101 ojo. '0' .VO
.- .,.- •
. J
.,"
.- ."
1,",,' 1
-
~
'm
5
I 10.7 - IO.S9 -6.96 48 ., ~S.2
:!S.S -~.S7 -2.48
2 330
7,13
12
9n
".
~
'.00 '"
• .,::0'-
-~2I' l5"
O
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~
.-'m' .-:
J
,,,1
+
+
o
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o'
},
o"
"
~-
-.
..- "
"~
_."+
"'t'"f"
,,
171, 1 3i1,8 3&1 . 1 JO I 3101,
1 830 104 32 1042 1565,
1M2 t 042
2~96 6172 217 3
I'ara el ,;rea de
tolln la figura
3. DelerminaciófI de la pOlliciól1 de 1011 ejes principales de inercia
de la /igum l/V.
Por la fórmula (7G) ~e obtielle,
tg20:
21 ••~o
'11. /,.
2 ·2173
= 11 82.
(i172-2 ~ !)(i
,
De la~ tablas de las fUlIcio nes trigonométricas hallllmOll 20: =
= I¡9"I¡G', es dec ir Ct "'" 24°53'.
Puesto que a > 0, si tuam o.~ este ángulo a. part ir del ejo z en
dirección opuesla a la de las manecil las de l rel oj y trar.amO!! 10/1
ejes priucipales eelltrnles do inercia de la figura u y v.
Puesto qUII I"y. >0, el eje correspondiente al momento máximo
ti c ¡uercia . eje v, pasará Ilor los cuatlrantes 11 y IV.
4. C¡i/culo de los mfJmenlos prlllcipales centrales de inercia de la
figura.
De ncuc rdo eO Il la fórmula (77),
I
_ J _ l ••
mox..
,In
!. -
+., , ~. ± ...!..2 VC(¡O-_-¡'""')"
c+-,c¡" ~., - 249ti +'.1 (i I í2 ±
'.
_
~
'lO
• ••
_
Asi, pues,
''''30 = / . = 7180 cm'; Imln = l u= t l¡88 cm'.
5. Cálculo dI! 1011 radiOll de giro prillCipall!s de la figura y cons/rucci6n de la l'Iipsl! cenlral de inercia.
79
Por
l a~
rórmulas (78) haUam08 loa radiO!! de giro prindpalell.
,V/1;
7= ,Vl7i8ii
~
__ ~ !l.75
F
75 .5
V 'V
I
k
F
I488
=
75.5
cm .
~ 4,44 cm.
P UelIto qlle la ecuación de b elipse de inercia es
11llll8Omi llj~s
.se ra n 105 ra dl Oll de giro j.. !jObN e l o je
!.>
~: + ~ ""
l.
I~
l.
e j. so bre el eje u.
Ubi ca nd o loa "nlorcs obLenidos j . y l. 80 construye !Obre ellas la
eli p!5l! de ine rcia /fig. 38) .
Problen¡¡1.5 156· 158. Determina r los lIlomonlos do inercio \10 II\!
fi guras NlSpoc to a los ojes indi cados 011 IlIs eo ndi ciones do los problemas.
, "
1/ 1--,
1/
I--'~
1:1
"-
-
"roblt mas 159-16:.1. Ca lcúlense
Ira les do inerclll.
so
l u~
mOnl\ln tos [lri neipales ceno
VII. TORSION
§ .1 ,
M{Jmell f o tOl'l/U l '
m
momento · torsor su obtiene jlO r el método de las secciones.
M~ en dcrta secc ión t rlll!S\'ersal de la
barra es igual 11 la .!HI/na alb<eh raica de 1011 momentos dc lo! parClJ
de fUCUH .!I e .~teri .... res (co ncen trad os M y di s tr ibuidos en dircedón
lo ngi lutli nal de inleus hl ad m) que act(¡~ln respec to al eje geomét ri co
de la barra a 1111 lado tic la Sl'Cciún en cucs tión .
Lu fórmula general por In que se Pllede c/l ICIII" r la llI /1gni t ud del
momcn!.(l torsor 1'11 una S4!cció" lrnn~\' er!!lll arbitra r ia d e In hltr ra
e.!! In s iguien te:
f': 1 \'alor tle l mom ento torsor
M, _
ZM+
~~mtU.
(80)
LI< Integraci(m .!le lleva 11 ClI bo sobre cllda tramo don d e II c túa IIn
mO/llento di.!!lribuid o y 11< .~uma . so bre llldo~ 1();1 tramos , s ituado!
a UII lad o de la ~ci úlI que .!le IInali!u.
gt momento t orso r, visto desde la lIormal e~ t e ri or a la .wcción
se consider(.r¡\ , corwendollo1mente. pQ!li\i\'o s i gira e n scnlidn OpUlI.!Jlo al de Ins mancc illa ~ del ro loj.
1~lItro el monUJuto M de l pnr de fnen.I...1 1'.11 kgf ·cm, el núm ero d e
revnluci olH)s Ilor miulIlo 11 y In polcllcin N ox¡~le In rcl~1c i ón siguienle:
N
.
(S I,/I)
M _ !}i300!!.....
(S I, b)
tlf _ illiZO
"
"
En In fórrnuln (81.:1) In l'o tenein {'stri dndu rll
cll bollo~
do "O¡lor
'y cn In fórlllu l" (81, b), el! kil u "¡lliu~.
En e l Si.'llo mo I lIlcr undounl de Uuidnl1c.'l (S I) In rc lncion entre e l
moment o M en newtOlles por metrll (N ·m), In \'cloc idnd :lngulor de
"
rotación (1)1/, Y la potencia N en vatios se da por la fórmula
(8 t ,c)
I'u~stn que el momento- de gi ro es proporcion nlll la po tencl~, ell
el cn~o de árboles que giron ulliforrnemcntu y quu trao~rnilen
cicrtns Ilolencln a lAS m6quinas. se puede. en lugn r del dia grama de
Ins monl<.1!I tus turso n!s. construir el do la distribución do la potanda
a lo largo del ejo ¡Jel arbo l.
Ejemplo 18. Dado_M ((¡g. 40), construir el diagrama do Alt.
"
m,
f ig. 40
Rnolucl6n. Tratando secciones on cada tramo de la barta . por la
fórmula (SO) taniendo en cuenta la re::la admitida parB lo, ,ignos,
hallaremos:
M"
~.
M
M,, = m¡a - 2"
lO
.-.
- O,
lIf "
M _ M =-' _ fI{
IIf, = m¡a-Af __
_ ,
•
2
•
•
M, • """ m¡4-M+
j 2m,2•
"_
-.~-
•
_M
_ _ M+ __
_ _.
M j" %11% _ _ _
M + M~
. 2a!"
2
M,.
.... 0
M
=--2'
!tI "
_Lo
2
1
40
M
=-2·
E l grá fico do MI c~ l ¡¡ rcprescntndo 011 la fi gura 40.
pf()bl~ nHl.s 16/.-167. Con~lr\Lir e l gráfico dul momento t orsor
'"
,.
,
,
-,-
§ 2. !/"~tl81tm eN ' «'/(lul,dalcl/, (/i/oulo ,/ e t O 'r8f(),~
y I!uc'/'Ohl ' ;0 ' 01(1", ,fe fll. fle/ul1lfCdoll elall f l ca
E n el caso dc ulla bllr n cilíndri CQ do l!e<:ción t rnnllversn l circuIII r, dc c1i:imcl ro d = 2e, les tensiones tangcncin ll'll T co un pun to
arbit ra r io de la sección Irous,·cr.ml, sit uado 11 una dis tancla p del
cen tro. se calculnrán por 1/1 fórmu la,
M ,p
(82)
'~ -- .
1,
siendo J p =
lIr'
---;r-
=
na' ~ 0, 1
--:;:r-
d ' el momento polar do inercia
d o la lIfi:cion cirCIIIIlr.
LIIS IcnsiollC$ tangencia les mbimDl! en
del cent ro \'olen,
M,
IV,
~ "u=-- .
1~
pun tos más "ejados
(83)
""
.[endo IV p =
I
:
-
nr'
n¡jl
-z
- ----nr""" 0,2 rP
\j [
módulo polar de l.
resi stencia de 111 secelon circular.
En el caso de borrllS (le sección IrlUlsv('Tljol no circular I"s te n.iones tangen eial!'s móx irnas ~e oblicnen po r la fórmula.
(lilo)
aie nd o 111 1 el módulo de III sección e u la t .....,.¡ón cuyu va lur, paro
las SIlCCiones do di versa conlignración. ligut:l ero 10lj curres¡,olldientell n¡¡onualcs y en lo!! lext~ de n'SislonciR do
uHll erinl('!!.
E l ángulo tic torsión t¡l en el t raUlo de longitud 1 en el que el
Ul omenlu torsur MI pernHlllece consl.allle, M' ,Iclcrmina pUf la fúrmu l" de 1;, loy dI! 1-1 ,,01;0,
1If ,1
(85)
.~--.
GI ,
lI iondu I t el tmum,mt" ,lo inercia. de la !I<.'Ccioll Irllns"orsal do 111 barra cn In tOl'llióu, quoco, el caso de lUIR secciólI circulor ('l! igualo 11)
y en !JI de otra!! secciones es tlif"reulo y vicllo ell [(>S IIWIIUl,lcs
y to .d".~ do Tt!si~tOllcln de nl a lori ;dc~.
Si la bar ra tiello \'llr ios tramo.~ cn I"JI '1110 Alt vll ría s('g(ln ulm
u ol TlI luyo cnlunc('~ 01 11 ngll lo COflljllclU do l or~ i (1II {el ~ u g\ll" de giro
mutu o do l a~ ~ccc i on('!! ,)x lrOl1lus de la Imrra) SI) hll rlara de IH ex presión .
op=
"JM,dI
L.
-- .
GI ,
(86)
I.. a inlegr:lción !lO te~'hll ~ohre la 1""lCitud do cada lr"II1o y In
sobre ludo!! 1"" IrnlllUII dI) ¡" [¡lIrra.
E" l o~ árll<> IClI convione med ir I,,~ (' IIgnl"" de l,)r>:ió" ¡[1l~oIo la
841tclólI d"mlu lItl (IIICUen l rll In po]¡-a mulri'l de l ~¡rtwl Iwcia lu!! dos
~umll,
l o d H~.
La rórmu l" gelwrnl pn rll 1" det"tmioll,ciim do ,,, crltlrgi:o potencill l
de la derormación eláslica acumul uda en 111 unTTII durnu lo la 1.0 ....
lIi6n 09,
u=r. í A/¡dr.
(87)
2GI,
La integración y 111 eumll so rellli~lIn '''lu í igual que al determinnr
11\ ángulo de tor~i611.
Ejemp lo l!l. Dado: Al , a, d y G (fig. 1,1), con~ lruir lus ,lill¡¡rllmil dc MI y IP Y calc ular Tm.. "1/ Y U .
"
-
R~8fJluci6n. El momento torsor en el tramo 1 es M, _ - M .
,
El mement o tersar en unn sección cualquiera do;l l tramo JI será,
M ,,, = - /If
+ 2M -
m(2a-zti=
= 111- 2~1 (2a -%i)= M
Al 'it
111,,,
"',- o= - 3111;
",-%<o
= 11-1 ;
T mu
Para una sección cUlldrada do lado e, W t
,;:::
(~'-3 ) ;
M
,=--W,
0,208
ca.
Fill. 4t
P uesto que
W,
¡:::¡
0,208
d'
2
V- ¡:::¡ 0,0736
2
11'.
Por lo tan lo,
T m.. ,
IWJI1 ~
M
= O,0736d" ';::: 13,6 7
;
Com o 11\ scceióll empotrada izquierdll no gira, convieno medi r
ángul o de t orsión desde extremo ilquiordo de la barra.
~I
85
PM.1
UfIIl
e:
•
,p,,~, = (~:I' J
"'/1
~._2c
arbitrar¡" del ¡rama II
S!)C¡;iÓIl
z
_:1) dxz =
: :" ( :: -
;l:r.);
trll x,-o = U;
= ~{'Ía _ U<l) = _ 2,1/a= _ 2,ua.32~_20,:H
CI"
GI,.
(,:1(['
ll a!!nnlOs el ,,;,lur extremo tld ,;1 '1::<1 1"
d'r"
--'-'= ~ (2~-3 ) =
dxz
GI"
¡l/a.
Cd!'
'f'1I
0;
a
=~ (fla _ \la ) =_~. fif,' =
IPII
.. , _ }-.
Gl,,"
lo GI"
2
=-:!...~ .32~-22,'J2
I,
'1'/ x, ='í'u x,- 'la
M x,
- GI,- ;
<{'1
2;1/01
(jl/ ..
I'uesto
~,_o
='rll
~. _ z"
¡\fa.
Gd'
;
MOl
,-.=- GI" - el;
\llIU
J, <::::O. tli04 c·=Q,1ItO/¡
t
Gm!
I
'~ ~O,35 1 ct,
y
28,'\!)
1; ~ O,0351d' <::::""""T'
result¡¡ ,/"
x,- . =
.
- {20,37
+ 28,I,'J)
fila
¡\fa
c<f = - >'. S,SG cd' .
La energia polenei~l de la deforma ción tllastica ¡¡cumula,l;¡ en la
barra torsi onada ~e ohtieno por la rórmula (87) ,
U=u +ú
I
=
u
M Za
2G1,
+ ",' "r(2xZ_3 ) "'~
2GI, J a
,
.
= MZa [14.25
Gd'
"
+ 5, 1 ( ~ _ 2.<\ + 18)] ~ JB ftf"a.
:J
crf
P ro blemas 168-173. CoDstruir ID9 diagrama~ del momento tOl'Sor
!1ft. del ángu lo do torsión Ij) y calcular las tensiDnes tangsncia les
máximas T mn Y la energía potencial de 111 deformación V, acumulado en In borra . Resolver el prohlemn :170 en el s.istomn S I.
G
f"
~ f" ( 3M
~, a ,Jl,! " rJ~
1lI1
f7I
IN
"
~
~
~-I,Sl ~
M,ml
~
~
~
~
L-,
Ul
lO
OH
~
I,H
m
"
"
lJ1.
M"ml
1
m
j~
; ~
§ 3. RelJ is t encia. 11 1'igitl c:::
En el caso de unn barra de sección transversal constante en la
torsión las dimensienes de la sección so obtienen por la lórmula
w . . . mal: MI
10'_
['J .
(88)
siendo max Mt el momento t onor máximo en vlllef absoluto.
Si ade más se plantea 1<1 condición de que el ángulo do lmsión
máxilTl() 'Pmn n(\ sea superior 01 ángulo de torsión admisible lq¡l,
eutonccos la rigidez de la sección. obtenida se comprueba por la
expresión .
(89)
"
sieudo le la longitud dectiYa correspondiente 111 1 ángulo de t OrsLón
admisible.
En el caso cuando 01 ángulo do torsi6u admisible esta dado en
grado.s por metro de lotLgilud [q¡ol, se le debo introducir en In fórmula (89) on radIanes (1", 1= [ q¡~ ll ~O)' y con.'\idcro r que l. ,.., 100 cm.
Si !le calcula UII árbol de seceí,)" cOlLsllllLte quo transmito ciena
potollcial cnIOIlCI.',' 011 la.!! UmuuJm,¡ (88) y (89), cn lugill' de . )UIX ,\11<
80 iutroduce una do l8~ do~ expresioru.'s (S I) en la ,(;u,,1 por poteneia
efectiva N. se entiendo la mayor del dingrllL1l8 do las P010Uclll'.
En el caso do b1ltrtls de sección circul ar lLLaciza o allular IV,,,,. _
_ IV p Y 1,,,. - I p.
Olido N, = 40 C.V., N: = 20 C,V., N I d
- 30 C.V., n ... I 000 r.I'.m., a - 7J _ 0,6. 11' 1 = 450 kgl/clrl' ,
Ejemplo 20 ,
[q¡ol - 2 grad /m, G _ 8 ·1Q& kg l/cJU' (fig. 42).
Determinar D y d.
l/uoluciólI. Por 01 gráfico de las potencias (fig. 1.2), la polcnci a
efcctÍ\'a resultn N. _ 50 C.V,
N,
N,
N,
~
~
~
~
~
~
~
Y.tl
deNt
P¡g .
~2
Puesto quo el módulo polar de la sección anu lar circular es,
W, _nD'
_ (l_a~;
16
. d
BtLm o
d
a=-¡¡,
teniend o en cuenta la rolación (8 1, CI), la fórmula (88) se oseriblr' ast,
.
nD'(t _al) ......
f6~
~N
., 11fT]
•
de donde se obtie ne,
V''OIG~'--"71~"~·2~O~N~.- _ 71' ¡l- ~ -- 3 64 cm .
D_
11: !i
[T]{I -
¡
~
, 1
ct )
tu' ./.5{) ·0,87
,
'"'"
P uesto que el ¡\ ngll lo ,¡~ lo,-,¡iuu /ldmisible está dado en grndos
llor Ol clro tlt' IOll g ilud. la fórmula (8!)) 116 esc ribid ahora 8~ í ,
i
p
= 11/)' (1 _ a ' ):;? 7 1 620N ~
.~OO.I80 ,
'iG[o:¡¡ ]11
32
do dOIl(lc se o htitlne,
D
N.
_
- ,'(7 1 1;20 .1 00 .1 80 . :i2N.~253J. .,'(
--.,I V /lG]", 6J(t - el). l1'IlG I ", /(I-a)
-
,
•
Q
•
= 253,1.
So deben
C!!COgCf d~filliti\'¡l m('II ' O
; /
V
50
3
10 ·8 ·10'·2 ·U.87
~
3,1¡!) cm.
Ins dhnclIsi"n¡:s sigllirmlcs:
D = :\,r,4 cn,. 11 = 0 ,6.3,r,4 ~ 2. 18
="
CIII.
Ejclll], lo 21. n ad" d
e l1'. ,,, _ 80 rold /ll. G "'" B· IO< MN/ m' ,
hl -;;- ¡iO 1\IN7ii,~. ltrl ~ 2· 111 -' ,'u d/m (fig. 1.3).
DCl..rrni""r No ( kil()\'nli .,~).
¡¡ ,·~(Jf"c i Ón. DI' J:, c" n<li c iull ,le n,~ i ., ten c i~ (88), ten iendo en cucn+
la (8 1, e), ~c obticl lll ¡m ra IH p"telll: i~ ~reclivr,.
N ' ,¡;::: IV
o""",
_ rt.r[1~ _ rt(I,.IO-2)3 .r.o.Jll.80
lJ
"T(~ _
fC,
-
J(j
~
~
¡;030(j vatios = 1i0,3
kilO\"atio~.
Do la coudiciólI (lo ri g ide7. (89). toni ond o on cuonta
(81, e),
ballnrolll os.
N ~ ~ G[(PJ I,o'w = G[(PJ rtd\, = R ·10'"·2 . 1Q- 21t (11 .10- 2)1 ·80 ~
"""
321~J
/.
32
32200 va Lio!:! = 32.2 k lIova Lios.
PuesLo IIIHl del diagnutIi. de las jlOlencias Hig. 43) se doduce
~
N. =
~)N
=
~
No resul t:lr,i
qlw
N,~
2N. = 2·32,2 = 64,/0 ki·
l u\"nLio~ .
Eje m plo 22. Dado: ti = /o cm. a = 40 c m. G = 8· ¡ Q6 kgf/cm l
y qi;'_c - 1" (fig. I¡I¡).
Delermillar TI" ," y !jl~ _ c '
89
R~/ud6n.
CoostruimOll
el
di/lgram/l
del
momento tOl'3Or
(ng. 44). El ángulo de giro de la lICCción B ~!pecto a la sección e so
obLieno do la (!xpre~ión,
:1
M<J
2Ma 3Ma
<l'1I_c= l . -~ --+ -- ~-- .
I.!SO
GI,
GI,
GI,
de donde
50
ohliene,
/11 _
nGJ,
.
3 ·tbO ·/1
!)U\lsto quo 1\::::: O,HO·id'. 11', ::::: O,2OS.fl,
rir.
r ill:. «
43
doude M\ _ 3M. Así, pués.
'T. .
~
3M
3"n":Gc-.O;;.,,,!4:::0'::"'T·'~6
G·0. 14o.i ·d .t 6
IV"
3· 180·a;uí'
1/SOa
__ _
_
8.111.0.1404·4.16 ¡;::: '000 kg ,/ cln.•
ISO·J,u
El in!lu lo de giro de la. sección A reSlleclo a la sección
e
será,
•
_o
•
_ 10 3M·2a.IBO
If... _c
<JI,,_c+<JI... _ II +
GI"n.
.
~
, .+2/,0
...... ' . +.uu
200' = 'oo'
--_
,0<1.
1,
Probl e m 8~ 174-177 . Cnlcular lns dimensiones necc.so. rias da las
IKlcci utlcs l t:lOsvcrsales do las ba rras de las condi ciones do resiste ncia y de r igi,lcz.
En l odos los problcmns do esLe parágra fo y los siguientes, c ~cluyen­
do l o~ w " Llomas qua se resuelven en el sistema SI cuando so da la
lnagniLud G en el dibuj o, ~e debe admitir G .. 8 ·1()& kgf/c ml .
Probl emas 178- 183. Calcu la r las dim ensi ones IlI!ccsarias de las
ticcc ionr s IransvCIS;l!CS de !!1S bnrrlls y el ángu lo t ot lll do torsión.
EtI l",¡"g los problemas do ~s t e pnrágrnfo y [os si¡:u ie ntes los
vnlurl"l\ numéric()s do IlIs longitudes do los lrnlllOS de las barras so
d<Hl
en
IIIc Lros.
"
I'ro blemas IStI-201 . Calcular los llIu gnitlull's ¡ndi Gad n~ en 1M
cOlldiciones de los pr()!Jlcmus.
Eu 01 pr.,t,I IlL1ll' '193 In b1lfTa flB gira 'c"u vd ochJ¡¡tI con~ H'ule
en un ambilllllll qu e ofrece resistencin y que (,rigiu" un f" omento
rea ctivo di st ribuid o uuirormem cntl', ~obre la I""gitud do la ba rra.
Eu 01 problema 191Í el punto e situado S\.Jb ro Ii. 5uJ, crli cio roci lo c
UI! d c~p l (11."Ulicllto do 0,5 111 1ll.
En 01 jlrohlcma 197 el peso Q se desplaza 2 cm.
En el problem~ 198 1n~ ]¡¡,rras AH y CD ~Oll lI])snl ulnmenh.! rígidas.
gn el prnhlCllln 200 lo resislellcia técni ca do las barras es igual.
~n el pmblema 20 1 el punt o A e~ tá situad" en la scccióu illclillo1du.
"
ill
,
",
," "
~
M,"OIrJf1I!
• "
~
~
M
""~•
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~
~
- -z;
w'¡UI'IId/S
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r. "
§ .l. I'-r ub /ell"''' IlIpc r r."hffirfj¡¡
Los problom;l ~ hiperesl:íticoll en In tOrBión, al i~u:l1 111/" en Ir.
'meciólI y compre~ión. in ch')'C I\ si~ t ('lmL~ e n l ~ cl1 l\l~.'j In~ rCllcciont! do Ins apoyos y los ('s["c rzns intcriOTl'8 no !lO pueden obtener do
l l\~ ccunc ioncs do In cs tllticu .
El cálc"lo do ClilO!l 5islcOIilS so rca1iza ernplcnlldo b s cnnrlirinn!!s
S¡[('Clmdns do In csláticn y las condicimll'S do COlllllnti lJilid:u1 dI! lo~
dCllpl~1. amient()lI. E~ las Mlimas so bnSllot 011 In coutinuirl;II] do JO!:!
clOlllcnlO!J quo form an el lIil\lc lIln y rcprellCulnn rcl llciOl IClI ¡::cométri·
cu I'nlro los tlesplaznmientOll do lO!! .. Iemonto!! que COrupulICU el
sistema,
S i llls ligadurnll lIu l, ]cmcnlarias (supcrrluDs) so n nhsolulnlllcu to
rigidnll. e nt onces sus d eform ncio nes sedu nullls, mientras quo si SO Il
eló~tica~.
~U!l des plllu\fnicnlos so d(,t/lr milluráo a través de 13s
d efor mllciouCll de IIcuo rd o co n la ley do Il (.olu}.
Si todos los ('Iemlm tolj de l sistellla hip/lr('~tático trabnjall o~ cl u·
ah 'amonte a torsión, enlonce~ los d esplM:arnient05 elás t icos se obtend rán a lra"és de I ~ ángul o:! de torsión. Si parle .Ie lo:! elemen tos
trab~ja a torsióu y parte n Imcdón o cOUlllresion, en ton ces 1'11 ('1 primer grupo tlo element~ I ~ d ('splrnnmientos se o btendnin 11 trrt\·(og
de los ángulos de t orsió n yen el segundo, n tr~lvés de las derormAciones linea les longi t ud ina[es.
Las ecuaciones de la e~I¡\lica y bs cOlldieioltCll .Ie compntihilidad do [os desplazamie n tos so n diferenles ['ma enda tipo du siste mn
hipcrelltático. Si n ombargo, para nlgullos dc ellos, est:>! condidoll/ls
so n d e hec ho idén li cas y puedun se r rop rescnlntlas e n forllla tlo ecuaciones, en princ ipi o, igun[es.
A ~l, por ejum pl o, en el ell~o de slst('rnas compuestos pnr cierlm.
e lemell tOB rectos unido! IIxiahneoto IIUOJI COI1 otTOl!, eml!otrndo~
d ¡idamen te el1 sus oxtremO!! y solicitntlm. exelusi"lIlI\entc Ilor pllr('S
do tuerus exte riores tOTllionnn tes (fig. 45), las ecunciones de In estt.·
li ca cons tit uye n In suma a[gebrnicn do lO!! mOMlen t o:! de l od Oll lO!!
pnres do fuerUIS da¡I OlI )' reac ti vos respecto ni ojo geonulltico do lruJ
oloment Oll. Es to sumo debeT1i ~er igual 11 cero.
La condidól1 do co mpatibi lldnd de lo~ despluomientOll estnrt.
t'(lpresentada por la suma Qlgebraica de JOlI á ngulos de torsión de todos
..
los trnm os, que en "irlud de quo las secciones I.'xtremllS 110 gi ra o,
lamLien ~l' ni nnla.
Si 11110 de lo~ empolrnrnienlos de la lIan.l no es rig¡lIa. sino e lást ico, eulollccs el lÍ ugulo do gi ro de la seccióu enl Jl otrada clá5lica-
Fil: . :.:;
mellte no ~erlÍ yn if!llnl n cero. ~illn que sl'r[, prO¡H1rcionnl n In m"gn il ud (lel 11l"n'('I,lo r<':o~ t ¡,o. Si nillgllllo de I,,~ d , ~~ I' n'I'''lra ,"i cntos os
rígido. sill(¡ ~I:;stk". en t Oll tts d úllg'¡!u tu t al de tllr~iún dclJHr;i se r
igual n 1" diren.' lItin do I os illlgullJS de giro de Ins ~l'ccioIH's eU'jllltradas.
Ej.. mp l" 23 . Dodo: M, d. f Y C (fig. "G); oLtellcr 'tmu Y
M
M'
-2t
'M
q>~ .
M"
¡
21 /11.(1 ramf1
t"'''.
1111 ,, 1
'
111
1L.lJ!;W.J,
He.<l>f"'''¡/Ín. EII lo~ tramos f. !l. /lf Y fY lo.'> mornrn h )l; polare~
de illerón de las ~cccioncs c¡I'clll""c~ SlJlI:
."lIt
/" 1= / ,. = ¡Q-
1¡o" = f¡o,,,=lG/,,;
1"".=8 1(".
y lO/! án¡u IOll de torsión,
1I{21
,
ql'-G/";
I/---"',=
'/~)
1.
1fl,1I - ~("M,,'c'+7.,,,
!LiG" p
1üGl p
+M
(IIr
_<l M )1
!)JC I p
\jI,v""'
Partiendo do In ceru.liciÓu do que el lingulo de giro mutuo de
ox tremas el! nulo, obtendremos,
IU3
8eCllione~
<!l,
+ <!lll + IJ'm + Iflv _
-1- [ 2M'
GI ~
+ 1.{¡\/' + M)~
+
16
+ (¡\J' -
3M)
k+
(,Ir - JM)
k]- o,
De aquí so obtiol1o,
M' _
Do Iu oc unción
_ 2.9547 M,
I 2'J M :::::< U,O!,!"¡JM,
2 b.'l !
do la cslli ti ca hallllm08
¡lf"
= 3M - M' =
El diagrama de los lIlorncntOll torSOn:!!i esta rbdo en la figura <16.
P ucslu quc,
~
_
M r ",
M r,
,,~
_2,\Jf¡<I7
__ :::::<u",
o,o,¡r,J
la tCl1stó" tangen cinl mlÍx ima ocurrirá en la socción dc d iámetro t.d
en el trBUIO 1/1,
La magnitud do la t ensió n tlllll.tellcilll SIl obtcndrá por la fórmula
'"... -
~
t.\J54iM.,
'",."" M
1 88 JI
_
.. ·":::::<","'U' ----::¡ :::::< • -;:¡- .
IV",,,:la
11(1
a
El ,ingrllo do giro
•
(ji.. """
011
gradO/! de la sección JI es el siguiel1te.
/II r,21 18i.J
Cl,.
U,U'o!i;:lM ·2/·180·;12
.-;- =
CIIf/n'
_?')
M
~ <l _._ G,r'
Ejemplo 24, Dado: m "" 80 N, mlm. /11 _ 1,00 N ,m, 11 .,. 0,5 ni.
hl ... 40 MN/ml y C _ 8· 10' MN /ml (fig. <17): determinar d y const ruir el gdflco de (ji.
Htwlw:/6n. La 'ecunción de equili brio es In sigu ionte :
/11'
ma - M
M" _ O
+
+
y la condición de los despllltAmientos.
q1¡.
"
+ qll/ + !PHI
"'"
O.
PUe!!to que la rigidc!: de la soocióll do la barra es constanle, la
ult i mll [,cllac ión se pod rá esc ribir 011 In for rnll sigu ionte,
+ ma)a+ (Al' + ma -
," " a+ m Szd:t + (Al'
•
~I e
M)a=O,
2
a
,Iollde !O ob ti cne 3M'1I = Al11- 2ml l' ' - n/Y
y
j\f'
""'~ (Al -
2,5/1111)
=*
(<\00 - 2.5 ·80 ·0,5)::::: 10
¡'; . II1.
Introduciendo Al ' en la ecuaci ón del'q ullibrio Imllflrcmos,
Jll-
=
~ (2M
- 0,5ma)
-= j
(800 - 0,5 ·80 .0.5)
~ 2GO
N.m.
Cou~lruimO$ 811Or8 el dingrarnll do 10$ momentos lor,¡ol'1"!l (rig.1j7) ,
,Ie l IJIJ(' se ,ICSI)r(' ud c (¡tH' ma.~ M, _ 200 N· m.
,
,,'
•
,
"Z
,
"o~.~L'_·I~:L:JUILJif.,,_--1
,
.1
mar M, = 1,72
(TI
~
1-8J~
V
200 ~
1j00· 10"
3,2 ·10-:
0\ .... 3,2
cm.
Hollamos lo!! IIngulos do tQl'!li6n,
'Pr~ =
'PI
•
- 'G/o
_. ., _.
J
( Al'
+ m,x) dx
'f'
mr
"x+
2
GJ o
•
Ata+mt
=(1;
lOO'O,5+{OO .O,25
7~=~,-''''~=~
- ,O 007 15-,
8 ·IO'Q ·0,1 .3,21 .10- 1 -
. -.
M'x
=0.0071 5+0,00835=0,0155; <PfJ/~=-G¡ ; 'l'm
¡\f'1I
'PIlI,.-n =
Construimo$
,A
COlI
"
2ü·IOZ·SO
=U;
_OOlrs
' .
Gf p =S.10s.0, 1.3.2' '""".
los resultados ()btenido.~ el diagrama de }"5
ángulos de t orsiun {fig. 47).
EjeulplQ 25. Un tubú de IOllgihul 4a, de
diaule trosD y d. os t a omJlOlrado 011 Sil ext remo
inferior e (fig. 48). EII la partu slIpcriuf <lul
tub o so introduce (JI CXlfulI\O iufcrior tle IOhgit\ld 2a do UII~ IHlrr/! de socciull circular do
D
d
diúmetro do = "2 ...
El e:<tNlIIIO illfe-
m'
Fig. 48
ri or B (lo 111 Lorra so erupolr/! r ígidamente en el
tubo y el oxtremu SUjlerior E del lubo, CII la
banfl. Alrededor del ejo geométrico del si~te­
ma , ell Ju sección extrema A de lit parte sobre·
salien te de la barra actúa IIn psr de mUlllelllo ¡\f y sobre la seccióll slI]lerior E del tubo,
1111 llur d(l lI\ome/lLo 2M.
Determinar t", " ¡ e/l la barro. ttnUII en
el tubo y (¡lA_C, si se conOCe el valor de G
del material de la barra y del tubo.
liesoluci6n. En el lramo A - E de la bsrrn
el momento lorsor eS,
M! = At.
"
P ues to qu e 011 el empolramiento e el momento reactivo M e = 3M,
el momento tor~o r en el lramo B - e del tubo soró },fIne = 3M.
98
El ..islema hiperll/lUt ico r.onstituido por la barra y ill lubo en al
tramo B - E se ..amele, en sus extre mos, a 1& ~ecióo de los mo meD~
los 3M. De la ecuación de la Il/It'tica lit! obtiene M, + M il - 3M.
siendo M " el mo mento que S(l transmite por 111 barril y M il el que
se t ransmite por el lubo.
De la condició n de compatibilidad do los desp latamie nlos S(l deduce que los ' ngulos de torsión de la barre If, y de l tubo '1'1/ en el t ramo B - E serán iguales, es dneir,
M¡2a = MI/ 2a
G/PI
G/ P1I
de dondo
obtiene,
86
1
MI/ = M, ..:J!JL.
l ••
Jntroduciendoesto "aJor en la ecuación do la estática hallaremos,
Al,
(1 +!.e.u..) =3M 6 MI
3M
I +~
/p ,
Mil
3M
1 +~
I p,
P uesto
,
I p"
(IUt!,
_.:t~
p,- 32
y
I
I Gm~( 1 - O
P" = .:tD·(1
T2 - 0:)• =32
,S'I ~ , AS / PI'
r<'slIlta,
3M
~ O 287M
1 + 9045
'
Al,
y
M,,~2,7 1 3M.
Las 1ensiones tangenciales máximas során:
,
tU
16M
M
en el lrnmo A-E 41e la bl\rra,TmuI = tv-"' 7~S,09.,
trllrno B -
e tlcl
",
tubo
3M
.,s
~.058
16
~ O.63&t mu , =
'I'A-E
+ f/lE -B + 'PB - C =
+
ftla
--
G/ p ,
M
3,21i -:;.r'
''o
•
El ¡i ngulo de giro do la sección JI
\P .. -c =
el
el1
d,
n.
r~spec lo R
1(1 sección
e
es,
ft/ 20
+ 0.287 -+
G/
p,
3M2a = 2,2 1 Ma ~ 22,5 M a ,
G .9.1iS·/ PI
GI PI
ccto
7. 99
Pro blemas 202-221_ Determina r las magnitudes indicadas en las
condiciones de los problemas.
En los ¡Iroblemos 2113-22 1 se deue considera.r que E >=
"" 2·1 0" kgffcm! y G '"" 8·1(» kgflcm i .
En el prohlemll 215 los tubos cilíndri cos est/m ~iLuudos concúnlricamen te COIl cierta. holgurI¡ y se emllolrllll rígidamente 01 IlJlO
con 01 olro solllmeule en ~U$ extremos.
d.' 2M
".
, J
~I
~
;1
~a ----'-2a--+--­
(<a)"~I·r.I)".' ;
t_J,_~:_ID
,-
.... l4m
•I
~~z I ~ Q,~m
['rJ' lOIlli/ml; NIIl'MII/m'¡ M· r:
le e
~--- I
.,,' ?
CC¡fCEEC I
.-
I"Jom~Jf~tn'; d"ó
'1/1------,
,,:·r
._ _ I,tm ~ _o,8m_
lp¡' l p,: 111" ... ,/,.: G
r"~.,.I,l-,n · ?
[7:)-¡OMllj"": N-/o1Mtlfm'; d' ?, 'f"?
11'-
-'"
.~
(
INijf-m
l/ofNW
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~
111' "
o
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G.JIII - -'
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0. 2111
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1).. ..
D
«,·m·IO·'
,ilt,.arc, í"",, "
. O, , ?;
":,'?
VIII. FLEXION HECTA
TllANSVERSAL
§ .l.
]o'1 !t;/"::U
cu rl,,"f e '!I ¡¡/Om e"f Q '-' c elor
La fuerza cnrlauto y e l fllOltlellto rleclor so JOJIerrnillnll Jlor ,,1
método do las aeccion es.
La magnitud de In fucrtll curt~nle Q" en un a soccióll arbitraria
de la ,' iga O.'! igllal a la slIma nlgl.)hraicn de las proyecciones de t Odr,s
las fuerzas exleriores (concen trad!l s y distribuidns), 'fue act ÍlulI
sobro la vig!l !I UIIO de l"s I;ldos de la sección en cuestión, sobre UIIO
de los ojes centr~les principnles de inercin do la sección.
La magnitud del momento fl ector Al" 011 una sección ~rb i traria
do la ,'iga es igual a la SUllla al&,'cbrnica do los 1lI0lnontos de lodlls
las fuerzas exte ri ores ~plicadllS sobro la \'iga, a UIIO de los lados de
la secciú n en cueslió n, respccto a uno de los ojes priucipalC!l cont ralO.'! do inercia do lu sección.
I So co nsidernll positivos 11 ue¡::ati\'o~ los valores de Q y Al seg úlI
corre~ponda n o 110 11 las direcciolLcs indicadlls cn la figura /.9.
,Si la carga dis t ribuida se tcrmh13 an tes do llegar ti 18 secció n
que se analiza (fig. 50), en t onces so la puede susti tuir ¡JOr una fnerz"
concentrada llumérieamolJle igual al ¡¡rell del diagrama de la carga
y a pli cada OH la sección q ue pasa por el cen tr u do gra\'ed"d del
area del diagrama do la cllrgn dist ribuidn.
En el caso de cargas que varían liJleahl1ente. las arlJas y las
posiciones do los centros del.'I"aved~d de 1m:! po rtes se porad asse obtienen Illuy fácilmente ]lor In5 co nocidas fórmulas geométricas: Si la
carga varío slJgun una ]Iarábola cuad rátiea ABe (fiJ;. 51), entonces
cOllv ienlJ tener en cuenta lus resultados siguil!lltes de la glJomelría
'"
analitica. El área de la parábola. A BC ea. ; Ih ; el cent ro da gravadad O
de este área desca nsa sobre la verlical BD ; el área de l eegml:loto para bólico F BE ; ',h, su cenlro de gravedad O, se encuentra a una dist an-
~·ig.
da
~
49
Fig. 50
1, de la vertica l FJJ ; el área de la mitad de la pará bola A BD
2 I
Y DBC ~s
3'2 h
distanc ill
~.+
,
-rih, su centro de gravedad O~se encuentra El una
_
=
3
1U I dala línen liD yel ;¡rea del t riángu lo rectó n-
~'jg.
gulo
,,\
cne do hi¡lOtenllSD parabólica BC ee : .~
1,
h =
~ ¡ ·h , su
centr o
de grll \'edad O. se eucuentra a uua dish neta
~ = ~ 1 de J~ vert!cal C(;,
Se ¡)\Ledo rl!comendar ~pro ;l:imarso a la sección por el Indo do la
viga quo estiÍ menos solieitndo ~'construir priu,ero el diagrama de
Q y u~'sl)\Lés 01 de M,
Do la de/in ición do Q y 111, de acuenlo con la reg la do lo~ sig nos
admitida, se desprellllo que en 01 caso do \' igas do ~o l icitación yapo.
yO! s imlit ritos, el diagrama de la fuerza corlau to será anlisimétrico
y el diagrama do lo! momenlos Uoolores, simétrico (rig. 52. o).
En el caso de vigas nn tisimétricas. al ro\'és, el diagr/lmll 11o ¡/lS
ruor~a~ cortantc!! .wrü sirnétr ico y el do los rnorncutOll neclores,
uuli.!imótrico ([ig. 52, b).
1)1) 111 dc[iniciÓII 110 Q.'l6 deduce quo Illl In !Sección dOIl,I<.! so apljeH
IIlIa ruerza concclIlrndll, CII el dia g rama ,11' h, fuerza cu rl olltc. (Ich.'ni
nparnccr un sn lto forusco (11) mag') j;P
1: P
': p
nitud Igunl n In de la [ Ul'rzu e.~te_
_
_
ri or (fig. 52, /l Y 52. b).
Do In tlefinicióD del m"rn{lII! O
I
I
I
rlector Al se desprend e 'I"e 1'11 la
----0--0
0--1
sección d""de so RII!icn UII I)i\f
a.. I IS 1I ' Diuyramo :¡,t.Q
de ruenll~, en 01 di agrllma do JO!!
lllol1wul vs fleetores, dd JCd n pnretor uu snlto
de fllIl¡¡uit.utl
I
.
,
igual 11 111 ue esto llar ,tI) rlll'r~a.!l
'1 i
I
exterior (fi g. 53).
ll.
L 'e' ::!ll1J[1.1~JI!J:J.jt::.Jli::>!'' 1
I~ II e caso de Y¡ga~ q ue no ('St~ 11
-wli ci llll las por I)UfeS de fnonas
t
l~-~r~o~,,~,ro:;m~af;'~';M~r""'it:T
~
hru~co
-"',.0
!Oiagrama de n
11; 11
li' 11
1
r jg. 53
Fig. 52
dist ribuid o.!! que origin a n Ile,¡¡ióll, ni co nstruir lO!! oiagralOas de
Q y M , así como 111 eomp robarlOl!, se debe cmpll)ar las relaci ones
diferenciales (90) y (91) entre M, Q y q )' llls (11Ul de tlsllls se deducl'n,
Q= d!l1,
d%
dQ
..
,
q=-;¡;- =
cfM
dr'
(00)
(9 1)
Deducciones ('senciales de las relaciones (90) y (9 1):
J. L.. fuerza corLnute se interpreta geoméLricamente como el
tnllb'Cntc del ángulo e ntre la tallgen tc ni diagrama de los mome ntos
flcctol'('S en la secc ión dada y el ejo x (eje du lu vig:') y In intensidad
d I! la c(,rgn disl,ribuidn, como 1'llllUgCIl tc uel ángu lo enlre es te mismo
de y la taugcnle al diagrnmll dc la fuerza co rt llute.
2. Si las (ull eiunes do varincivll ¡Jo ¡liS cnrgas di 5 t rib\l itlo.~ son
nlgcbraiclls, cuLollccs en cnda ¡r¡u no de In ,' iga, la función do la
fncrza corlllllle soni 1111 ordOll ~ " l)crior 111 de In fUllción de In carga
d ist riLuida en eSlc (rmllO y el "rdell (lo la función dol Ill OlI\ento
rJector. una IInidlld slIpcrinr ,11 do la fuución de In fuerza cortllnle.
3. En la sección de la "ign do ndo la fllOrla curlonlo es igua l a cero
el lllomento flector ticuo s u valor extremo y en la secc ión doudo [a
fuerza cortante Sllbitallleu lo [la~u pur su ",llor nulo. el grúfici, de [os
IllornOlllos flcclores Ilienlo su l""notení" .
l •. En 1:1 socc¡ún d .. 111 "iga do nde la fuerz~ cortrllllu varía ~llhita_
11'['111[', pero no Imsa 1101' ,,1 ""Ior 111110. el diagrnlwl del 1Il"lIlcUlu
fll'CtN I iOll o UII pico.
5. S i UII t oda 111 longitud d.. la viga. o 011 ti lla de .~us l);lrt {'~. el
diagrallW de 1.1 5 fll,'rzas c(¡ftnulos es n"li s illlc tri w. eJl t uncl'~ ('11 el
cu rr('s pollltiellto trall ' o el gdlir" , de IlIs llIu mcut os flucton's ~I'rr¡
si ,"éLrico y ,·ice\·l,!rs¡ •.
{;. l':" cndu Irrlll") dI' L. vign In vnri acióll do l:t lI,a gllitutl d,,1 IllUlIl en l" rteclur eltlre d",~ ~l'cciu!Jc~ cua[lluicr" es ¡gll ,o! ;ll ,ire.1 del
,Ii "gr"",,, dI,! I;I~ fll .'r~"s (' orl anles cn t ro t'.~t~s dos sccci<Jl1e~ •.
7. Si l' l eje :l está diri g ido hacin 1:1 iz qll ic"dn desde el exlremo
dl'l'l'dl<> de In viga. en\OIlCl;~
n ... _ dM
'" -
dz'
I,,~ IIl orIH·nt.os
! I. 'dure;. \'" dirigida ni enruou l ro do In carga tlistriblli,[n,
Es úli l ICller ou C\lu u\a que en In sccciúu Irallllvcrsrl 'pie coi ncide
COII 1' 1 ('ju do simel ri" de In vi gn, 1;, fuerza cor laute (fuerza nn ti ~ il1l6lri ca) es igualo cero y en In scccíOll qlle coi ncido con el ejo do a nt isirnetría ,lo I~ vig'l. Cl l nlomento flretor (molllCnlo si nrclri c,)) ~erá
ii.!III.j lO ccrr.. S i ell el eje ,lo simetría so brc I,t viga "ctú~ UlHI rllerza
C"'lcl'"lra,ta e.xlorior. cntuncos [as lucrzns COJ'lffllt~s OH I;.s secci"ues
a la iz,¡uierda y a l;l dcrcchn dol ojlJ ,le ~i lllet, ría ~c r r\1l IHlllIéricamrnto
iguales a la mitad do esl a f",!r"".
R. l.." cOIl"exid"d dd dillgrllllln ClIrvilíuoo de
r.""slructiÓn de to>\ ,liagramas ,te Q y
_11
pr"tl" ndo d" sus
ccu ac¡",'~-s
Ej CIIl I,l o 26. Dado: M( ~ 211·m, ¡lJ~ = 12 tl·m,!J, = 2 t!!tu,
(12 = !'l f/ m , l' = 1211,a = :'im,b ,.., :!m,c -= 1 m. 11 = t, ",(Iig.!;) ).
Construir lt)s dillgr'"nllS dI,! (J y M .
• Sie'np .... y cua,,'¡o "" "Clúa" ,,,lol't, C" IO
(,\'. II,¡ T.).
rio r r~
lr~ ,,' o
I""es cOlltcll lrado, e.lo-
Jlnoludon. De la.!! ecuaciones de la e!!Itlitica hallamos las reaccio_
nes A '1 8 en los apoyos como la sUllla de los mome ntos res lleclo
11 los apoyos derecho e itquierdo:
A (a
+ b + c+ d) _q¡b (t + c+d) -1II~+ Pd -q:rl4 = 0;
A ·10-2·2·G- 12
B(d+ c+ b+ a)
+ 12·1, -
-qtd (~ +
1, ·1,·2 _ Ú; JI = :! tr;
c+ b +
a) + P(c + b + a) +
+ /lf2 - qlb (~+a) _ 0;
8· 10-4·1,·8
+ 12·6 +
12-2·2·1, "'" O; B
Ü
0=
lf.
Para simplificnr 1~ 8 eX llrosiones I¡\JI) determinlln Q y M , IlJlIlIitamO.'! 1M ¡lllrles iu ¡uierdll.'l, cuando las secciones se encuentrlln en
M,
t·
B
q,
q,
..
M,
P
~
,-
~
,,
--j
los tramos de longitud a y b, Y las derechas cUlludo se encuenltlw en
los tramos e y d
Q",=A=2 Ir;
O<Xl < a;
1II",= - M,+A x,=- 2+.2.E,;
1II ~, _ =-2 ¡[·m,
'"
M",, __ ,=_2+2.3=4 tf·m;
a
.s;; X1 .s;; a +
\
Q",. = A ~ q, (xz ~ a) =2 ~ 2(Xl ~ 3);
M ",. = - M,
b;
Q",,_ a_ a= 2 tf;
Q"._ a+6 _ S= 2 ~ 2·2 =
~ a)z
~ 2 ti;
(XI
+ Al::! -q,-,-= ~ 2 +2xz ~ (xl~3);1
M"._a_ ,=~ 2 +6=4
tf·m;
M"'._ GH_ ' ....
=-2+ 2.5 - :f =4 tf·m.
P uesto que,
Q",=- 2z,+8 =O cuando xl.= 4 m,
resulta que ma :.: M",,_ . = - 2+2.4 - 1 = 5 tf.m.
O.s;; X~ ~ d;
Q",,= _ B + qzz¡=_6+ 4x,;
Q". _ o= - 6lf;
Q". _ d_ .=-6+4.4 =1O tf;
•
M,, = - M, + Bx,-qZ Tl', = - 2 +6xJ - 2XJ;
M",._=- 2 t(·m;
M"._d_ . = - 2 + 6·4 _ 2·1,2= - 10
p"e~t."
tr ·01.
'Iue.
x3=% resu l ta que
3
2 + li·_ _2._,° = 2.5
2
Q.... =-6+4xz = 0, cuand o
ma:.:}.f
,= -
In,
tf·m;
%, -1'
d ~ x. ~ d -!- c;
Q",=-B+q2d - P = - Ü+ ,, ·Q - 12=-2 If;
M",. = - M, +8x, - qzd ( z,
- 4)+
/'(x, - d)=
= _ 2 + 6x¡ - 1ü(z¡ - 2)
+ 12 (.%, _4);
M",_ d_ ¡=-2 + ü. 4- Hi.2= - 1O tr ·m;
M", _H.-.= - 2 + 6·5 -
Hi·;I
+ 12·1 =
- 8 tf·m.
"n
Veamos en (IIU) secciona
¡\f~. _
r('~ III1 ¡l(I "s
Q y JI! (lig.
I
I\J ~
,1;"" """",
-
2.r! ""
O:
;J"3 ""'-±
J 3, = 2.GI8 "'.
I tl~
+ 00:.
3
2
~-3l'~+ I _ O;
Cur,
-2
:':0, ... 0,382111.
o bte nid os se co nst ruyen los
dia g ra ", n~
Und o: '1, 1, IJ _ u,2 ql (Fig. 55).
longitud a Ill:i.~ f"v o rn lole del \' ollldi7.0 y
Q y iH .
d \!
c"JI~ lruir
~;'lq IJ 1I:" " 1I1~ p
,
I
I
,
0- 0 ......
:.. :
k
1
,-1\-
I
I
I
1
-t-
1:
[,
I
~_II
Diogramrl : dt q
,
-r
,
..
:
-l
:
:
'
~
'"" r
¡fk-,""!:l'hrtrnrl-"'--H ( l
"ª"
' - -"-- -
IIt~o l!l(:¡611 . Se cons id crH 1ft " d /x Jill'm'ollf e la 101111;//'" ¡f,.,
1JO fruH:w ll!lra In c unl el lllome nt u nílClilf máximo adquiero II I \'alor
mlnim o ]Jusi lJI Il, LII lo" gitud m:lll favorulJlo dll l vo ladizo se olJUell1l
de la co nd ic ión de igual,lnd dll lO!! vIlI()r(',~ ahsolu tos dlll mome nto
n octor (1II In ~ecc i ón que so encue ntra solJre el 1t ¡l0Yo (M . p ) y 0 1
mo men t o n ec t or lII¡iximo en el \'lIno de 111 ,'iga (M mu)'
P uc!!lo quo la ,' iga C~ sim oítriea rcspec10 a 111 sección inedia,
M", . ~ en el \ ' 8 11 0 ocurrirá en la sección Ul edi ll y las magnitud('~ dej os
mo men t os fl ectores M .p e n lu llCccionc~ solll'0 los a ¡IOyOS .serán
iguall'!!'
' 08
La condición que .sirve para de termina r la lo ngitud del voladizo
m' s conveniente se escribe as í, ! M.p!_I !tI I mu ' Ha llemoe
ahora loe momentos. Las reacciones en los apoyos son :
3
,1
A = B =- P+ - .
2
,.'
2
~ l
qf
l_2a
il/,"u =- I ----+ A ---~
Map=- Pa- - ;
2
2
8
2
PI
3Pa
ql3
g/a
=1,+""8-2--2-'
I M a " I = I JI I m.'
De [:1 COII([i ciúu
I'a
+ qll~ =.!!.!:.. + Ifl~
2
8
1,
SO obt icno,
_ 3 f'a _ ql4
2
2
1) Si'.1
.'t (51'
'(21'
-,-+
- + 1)"
--- + 1)=0.
1ft
1
4. /jI
1)0
:,,'u¡
SO
oblicne,
~~"[ _ ( 51'
12
ql
m signo ~ !Ileuo~ . IIlIte [a
no puede
~er
+1) + V(~+ , )'+ 2/' +,].
'11
111
raíz CUlldrad~ no so con~idera IJU e~to que ;
II cg:,1 ¡Vil.
Consl ru yalllu~ lo.~
diagr:1lllas de Q y M.
l'
Pu('slo qne - = 0,2,
'1/
Il
'C'C""''.::C2, 1"", D, 162/, b = 1_ 2a "'" l( 1 _
= VM
2
Y
0,324.) = D,fi7G1
3
ql
A =B=-O,2ql+-=O,&j I.
2
2
Corno soLI1J la longitud de [a viga act úa una cll~a u"iform eme nte
distrib\lida, en t odos los Irarnos e[ rliagr,lUlD de Q sera linea l 'J 01
do At , IlDfab()[ico. Debido a [a sinHltría dll [a \'ign. e l diagra ma
de Q ~e r{¡ antisirné trico 'J e[ de M, simiÍlrico.
''0
En el extremo libre ilquierdo de la viga O = - p = - 0,2 q/.
En la sección ext rema derecha del vo ladizo izquierdo.
0= - 1' - qa::;::: - (0,2
0.162) ql ... - O.3GZq/.
+
Sobre el apoyo. en el dingrama de Q, npnrectl 1111 snllo bruseo
debid o 11 la r!!mcción A. Por lo tlllllo, 1111 el ex tremo i1.quillrdo de l
vllno la de viga obtendremos,
Q = O,3G2ql O,8qt = O,43&¡l.
+
Al ncefcarrlOS a la sección media dc la viga por In izquierda
0 = - O,2q/
O,Sg/ - 0.5'1/ = O,1ql .
+
Con los va lores obten idos se eOllstruye el diagrnma de O (rig. 55).
En el extremo izquierdo lib re de la viga el momento r¡"clnr es
ft1 = O y en la sección ~b re el apoyo.
Mop P:;:
-
O.2qJ ·0.1 62/-
f (0. J621)!= -
O,0455qP.
E" In sección media,
Mm u =
I M ap 1-
O,(}J,55ql'.
E l valor doz o Pllf,1 e l cllal en el ,'11110 de 111 vig,1 Al = O!ifJ nl,I;O/lo
de mancra siguicf\IC.
Oc In ~emejnf\za de los triángul os ¡'" llamos,
b
(Jxo - O, tql =
O,l\:\&¡-I
O,lql
Oro - O,1ql
0,33&;/
C5
-_2_-_ '_'
b
0,338/ -
;ro
O.T~I
decir,
Oro = (0,4381 - xo.lq .
El área trapozoidal del grafico de O de altura
Zo es igual a la
variación de Al al pasar de la sc<:ción sobre el apoyo 1\ la quo se
encuent ra 11 IInll distancia %0 del és te, es rlccir.
0.438ql- Oro
2
6
(0,4381
rle donde so obione.
+ 0,4381 -
4110
O,876ko
'%0
= O,0455qlz
%0) %0
= 0,091¿S,
+ O,091 !! =
°
y
.1"0 =
¡ (0,438 ± V0,438t
Puesto que
%0
lIO,tO't).
0,091) = 1 (0,438 ±
~
no puede ser mayot que
= 0 ,3381, a las cond i-
ciones de l problema satisface solamente la rah
- VO.10t);::::: 0, 1221. Co n estos
yolores se ha constituid o el 11)
d iagrama de.M en la fi gura 55.
A
Zo
l' ¡'
Ejemplo 28 . Dado: P,
¡¡
(lig. 56, a). Construir 10.\1 diagram8sde Q y M.
Resolución . Puesto que en
18 sección B qUQ JIII SR por la
arti cul acio n flotan te el mo-
mento rlector es nulo, In vign
pued o ser descompuesta en
= 1 (O,li38 -
~C
~1-la+-Q-4-a-La-1
Al
.
qk
e)
áI:.
~_&
l
:
dos ((¡g. 50, b): la izquierda
AB Y la derecha B C, en ror-
I
rnn uo vo la d izo.
I
I
l' l' 1,
~
_
I
,
I
~
,----,!
i
'1' I".P
l
I
Dlagtrlma de
:,
I
'II " " C
I
~B
~_
f,! e
, ,
$
,1 I
q
l!
i,
I
I
I
I
Ln primera
en su IJx
t rcmo
~-:~1';JJ;1l~'~:J!ct' <>derecho
B se apoya
so bro
el
,
C:l:tromo libre B del voladizo.
:O, g ' d M
I
Estas dos "igas se ]Jl.leden COll- e) ¡ a ramu r
siderar llOr separado (fig. 56, e).
!:-i-----,,,;L,;"'¿~
En 111 vigo AB las rea cciones =~C-"",~,-",,,,,'-'"'''-'''C''"----'',",,;r15t-:
doopoyo son : A = B = P. Lo
•
influencia de esta viga sob ro
el voladizo se ex presa por la acció n sob re su oxtromo izquierfig. S6
d o de la fuerza concentrada
B = P dirigido dQ arri ba abn jo.
Eu adelante el problema se H'suolvo llor separado pora cada viga .
En el trllmo izquierdo de la viga A/J, Q = A "" P. En el tramo
cenl ra l, Q = O y on el derecho, Q = - P. EII el voladizo Q =- - P.
El diagrama de Q está represen tad o en la fi gura 56, d.
811 los tram os dOllde Q = COtl st el momento rlector varía linealmouto y en el tramo dondo Q "'" O, M = COItSt. Las vari ac iones do
los momentos flectores JI.1 en los tramos se deter minan fá cilmente
por las áreas del diag rama do Q. En la figura 56, c está dado el
diagrama do los momentos f1 ect ores.
l'roblemas 222-270 . Construir Jos di agril mas de [a fuerza corta nte Q y los momentos fledores !vi .
En los problemas 251, 253, 255, 2M y 260 los diagramas de
Q y III se deben co nstruir para los longitudes más favorabl es de los
voladizos a.
1
J::n 1)1 proll llllll ll 251 C<lnlllrúyaill,l d , Il ngr:llu~ de ,u sin ca lcu lof
Il re vi a ml) l1 tl) las rl)<l ce ionCll 1)11 lO!! apoy,,~ y 1 ~.'1 ruerzas Cf.rt a n tcs Q.
m
_" ." :r"r:!
~1 )) ))Y'l)))I¡"'r"~
..-
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L.
112
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2)P,,/P,.
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.J'f~
II I
m.
~LI,Í, f
Conslru«lón de los di 8gramjls de IJ y ,11 pur el
método gTMlco,
Los diogf1l1nD~ de 10$ momentos fl ecl ores y las fuerzn s cortantes
llUlldcn construir también por el método griifico. Este JIlEÍtodo
es particularmente cómodo, cuando sobro la viga aclil!l uu sistema
co,,¡plejo d I! fuerzas exlerior('s.
Hell li zn ndo minuci~amollto 10$ dibujos y escogiendo debidamente Ins CM:ftllls. el mé lo(lo gráfico da una ex'lc.tilud su ficiente
pnra los c;í lculos pr¡Íctlcos. &sle método de consl ruccióll do 1011 diagramas de Q y Al so bas..'l. en [as conocidas, en la mecánica, propiedades
del plnut) de fuer1.lls [Jura lelas y del poHgollo funicular.
~e
Al dc tcrmi nllr gráficanleu t¡¡ el momo nto f1 oclor JIf", y la fuerz a
COr tanto Q", on una sección cualquiera de la viga so debo toner en
cuonta la escala do las longitudes
(a
~
i-
:1
que 1m sido dibujada la viga
cm do longitud do la viga cor rCBPQndo 1 cm do longitud en 01
dibujo) y la escala do las fllllrzas
~a
I¡no estli nprcsontad ... III pl nno
'1
Ile llls fllHzas (II TI kgf corrcsIH.l/Jdo 1
l' lTI del Ví'c'or ell 01 1)).:lIlO do
las fuerzas).
P uesto quo I~ dis ta nci a. púlllr 11 en 01 plano do las fuerzas se
midl' en l~ e~cala de las fueTlIIs y 01 ~cgme nlo vertiCIlI y ontro el poligo n" r"nicu ln r y la linea qu e lo cierra on la sección el1 cuestión
de 1" vig ... 1'11 1.. esenIa do ¡ns longillufos, los vHlorcs ,' c rd~de r os
de Mx Y Q", ser¡ín:
M ", = Y
m 11 (IJ) kgf . cm;
Q", = Q", (IJ) kgf,
siendo Q", el voctor del plano de 11Is fuerz as cnrrospondiente a la
S1l ma algebraica de los vecl(¡res de llls fuerzlIs cxtoriorc.~
1,11 0 so encuen l mn a un lado de la sección en cuesUÓn
,la la vig<l.
J..,,, línea (lílleas) de cierre del poligono funicular SO trna (Se
t ralan) de acuerdo a las reg las siguillu tes, teniou do en ClIouta el
t ipo do apoyo do la viga:
1) en el o .~t rerno libre de la. viga la línea do cierro es tangente 111
polígono fu ,\icula r;
2) en el apoyo nrticulado situado en el o:ttrclllO de In viga, asi
como en In IIrticolación t flota nte., la línea de cierre cruza el pol igO l1o funi cular;
3) Illl el nllOyo articu lado situado en el vano de la vig:, la líulla
do cierre so qu iebTll (las líllf.'as de cicrro quc concurre n on la .'!(lcción
de apoyo I,or la derechll y por la izquierdn se cruzan so bre ésta).
Si jJa rll la Cllrga dúla se construyo el pol ígono funic uln r y se
traza la linaa de cierro (líncas do cillrro) de ac uerdo con el tipo dll
apoyo da l(l viga, so obtendrá entonces el grMico do los 1II0lllon1os
flec10TIlS.
Servirá de escala la magnitud quo indica q ue a 1 cm de l sogmenlo
vertical dol diagrama corresponde /1 (tlJ) kgf ·cm del momento
fl ector.
An l!.'s de conslflür el dingrama dn ilIs Inarzas cort..1lltes so dc.bell
de ter mi nar los veclores corrcspondiontes a la$ reacciones de los
apoyos. Eu el pllllJO de las luouas , estos voctores so cortan por
líneas parnle las a la do cierre (a las de cierre) del polígono funicular.
trazadas (t razada) ¡Jor 01 polo. El gráfico de las fuerza~ aortanles
so co nst ruye dos p[oza ndo los veclores del plano do las fuerzas a los
co rrespo ndientes ¡Juntos de la línea de los valorl'S nu los do Q pa ralob
al eje geo mét rico de la viga. l..a cscllIII. de este dillgrama es la magni-
'"
Ejem plo 29. ('ig. 57).
6
¡;¡g~ 51
Ejemplo ;,.,.
O'" (" g. 58).
,
,
-l
" • -J
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3
I
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5
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Ejem plo 33. (fig. 6i).
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f ig . 61
tud..!... que ludicn quo 1 cm do la IOllgitud dol seg mento vllr t icll l del
'1
gráfi co correspondo a II kgl de la luerza cortanto.
Ctulfulo sobre 1/1 vig/! IIctÍlII una c/lrga diSlrlbui tl n, esta.'le dh' ide
IlII pllrtes IlOr HnllllS pefllendicula res a l eje geormílrico dtl ll. viga.
1::1 aren .10 cada 11111\ do estas parles se replllllQn ta IlOr un vector Aplicado en el centro de gra\·edad. Con elIto!! ,·celores, correspo ndientes
l. los .Ie I¡¡s fuorIIIS concentradAs. se conSlr uye el plano de las luor111.'1 y el polígono funicular. El diag rMIl A Ilo ligolla l de Al obtenid o
sn corrige trfluunlo mil. cur v/I inscritn eu el polígo no y el diugrArn(l
esca lona do Ile Q, lru~.ondo ILlIA rec ta o curV A (segÍln se/! el ord en de
I¡¡ cargn distr ib uida) II1IO paso Ilor los punlo.' de los .'ICgmontos hori zOntales del d iagram/l escalona do q ue so e ncuontran enfre nte del
origen y el cxt remo do cada parte del á rea de 1" etr rga dis t ribuida .
Cuando so bre la viga achian momentos cOllccntrados M , é5lOll
se sitlifl ll eu el dia grama do los momentos flectores en la.s seccione5 co·
rreSllOnd ientes en formo de segmcntos ve rli cale5 de longil ud IJ = 11 ~~r¡).
PlIrn coincidi r co n el me lodo alw![tico, a l construir grlÍficaoH'u le los diagramas dI' 111 Y Q considerarllrl\ OS m agnit llde~ positivo,
IUII Sllgnrolllos \'erlica lo., IIIJO se Cllcnenlran so bro lo línea do cierro
del IlOlígono runicular en el CI\SO de Al y sob ro In para lela al eje
."
geomútrico do la viga que 110 interjlrela COIllO la Iíuea de \'Illort~
nul Oll de Q, en el caso ue Q.
Si acortlam~ Ilcerca ruOll a la SI..'cclon de la "iga en cuestión por
111 izquierda y ubicar lO!:! 'l'celore!! do la carga 1I0bre el Illano de las
luenus en Cli tc mismo orden, clltoncCll, ¡lIlra obtener en Jos diagrll mas los lI igllO!:! tlo M y Q "tlmitidOll, ser;, su licienlc ~ Hu ar el polu 11 la
itquíerdll uel plllllO de lall [uerzal!.
Eu los ejom l,los 29, JO, 31, 32 y 33 se ilustra el métod o de cu,,~­
truccion grMica do los dillgramall de M y Q para vigas de di'l'enH...1
II poyos y COII ,¡¡rerentes corgos.
I'rohlcmns 27 1-275. Construir grMi cH mcnto los diagram as J;,
fu ena eorlaute Q y del momeuln ¡lcclor lIf.
ID
q.l'ioNf/ll
/oI·JlUlm
~1 ~11
j..tm - J" ....
Jm'
111""'-
,,'hN
J'roblemu 276-285. Conlltru ir 1011 dlagrnmllS de ll\s fuerz lls c(.r(J y calcu lar las carglls que actúan sobro Ial! 'l'igas, dados los
diagramas de los mome ntos Ilcelores M.
tallt ~
21i
Z11
,---------i¡:
"aráN/o
I
I
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20~/I· m
'" --,tr---'l-t~~
'!
~ lm - -.Jm -"T2m..;..zm ·Ll
,
I +
'!UJi.m
,
ir
§ 2. Tensiones
nO"I1I(lle~
'! I cá lculo de la, seccUJI/.
t ,'anSt'cI'8(f,1 (le la, 1'iYf¿
Las tensiOrJClI normales en un ¡)unto cualquiora de]a secdón transversal de la vigo en la flBxión so determinan por la fórmula,
My
"~ -I-'
(92)
'"
~iclld"
M el
el
a
y ];,
I
momento (lector en la seec ióu trAnners.1l en c ues t ión,
IHomentu de incrc ia d e l 1\1'('11. de es to sección re!!pecto
la lin ea neutra:
(·""rdelln da de l pllulo ('" ClIl.'S tión de 1:1 5Ccció" IUl 8t~
In linen rll'ulrn.
Las 1~II Siolll'~ II orulUlC.Q rll:¡_~illla s do t rllcció" y cUlIl llresió" en In
.~rcciú lI trallsl"er.• aJ
jlt,It..~ de In Jillell
St·
dnd l' dc Jil ,.iga npnreceu \.'" I".'!
IIOOllrlO.
obt ienen 1)(11' las furmulo!!.
¡\/ ~,
I, ulllo~ rn (i~
,do-
ti!
11""" -= -I- ~-ti ,
. L/ ~.
ti! o
0,"",= ---"
_ _ -I
11'.
y, y Y:
IV,
!.J
y,
y IV. _ ' l
-
!/:
(!H)
lu .~ "i~ l anci'l~
du lll~ fibr'IS lraccionnd3~ " c" m·
primidas nuis "lejndos. ;1 J" li'lea IIcutra;
1011 módulos axi"Jes o e<'uatoriales de la ~ ..cció"
trltn s\orsal de la vigo (/1 lo~ módlll o.~ de In St.'C '
cilolI tnllls\"crs.1 1 de 1" "igil elt l:t fle.~iólI)
correspondiente.'! reSllecliviLrne nl e 11 111 fibm
trncciOIl~d~ }' ¡. In cUIIlI'ri",i,lu.
Si I'n In
~'e(: iu" lrllll s \·('r.~1I1.
"
Y'=Y' =>"2
sieudo> " la "llllnl (l e lu 5eCciólI (pur ejclll lllu, 0 11 ('1 c:¡~o d e l'(!(:ciurw>!
!imétric~lI resJICClo a la Hllea Jléulm o ¡le !!(!1:cioncs cuyo tuulro tte
gr¡\\'od,ld !lO encllClllru e n la mitad dc lo IIltura-secc:ilon tI~1 rail).
cntullcl'.'S.
U
1V1=1V,=lV _ _
h
M
y (J",.. = - O"'I"=W'
L.IIS dimensiones ncceS/lrills de Iils ilCcc iouell IranS\'ersnJc! du I" ~
\'Igas ell la fle:xión .'MI obticnen ¡wrtielldo ,le la! tensioncs uoruutll'll
que se desarrollan en lO!! punto!! mlÍll alojndO!l de la linea ueulrll.
En e l CilSO d e vigas cuyo malerinl se Te!llste igual a la tracción
que a la compresión, es decir, cuando Io-"Icl _ loco .. l, la rónllulo
lIara 01 cálcu lo do lu lIección por flexión lIC e!ICribe en lu fOTUlit siguionte:
(US)
'"
siclulo IV c l módll lo Inlnll"" de la .'le(:ciÓn 'r~n s\"cl'l!l1 l de 111 bArril
respecto 111 t~jti neutro;
Mmu t i mOlllellto U<'CtOt rnh:imo e n v!,]or IIb.'IHluto;
10, 1
1~ Il'nl!ióu ~dlllisih l c elelll1~leriHI de JI' \'igll cn 111 flexió " .
gl erro r en In igunldad (!.l5) no lleheni 8u llerllT III ±5~•. Al calculllr
In ~('cc ióu r!(' vigll!' Inll,illij(l as. s,, ¡,!Imi te" ertorc~ rn:lyores, s i COIl,Iuceu ~!'l:l~ 111 HU llll'ul o olt 1" r,'."cr\'a. de reSiSle ucin. E n e l coso ele
,igll'" de tlifl'rt'lIte r"l:!i~ l e"cin n la Iracciúu y 11 la. cumpresión, !le
,¡¡·I}I.'ran ~lIti~facl'r 11111 tlOlI cundiciolte~ l'ig"ie llt.,s:
lOO)
11 ' _ ill", ..
(~17)
• - loc<>n, ' ·
1.11 l'''mtició" rAci""al dr ig"al res iSlrnd" d,,1 tll nlerí:,1 d e Ir'
lign l'1t IlIs rlhró's l'~lrl'tIln.~ de la S('(;cióll peligrosll e .~ib'O [IIU! lu
l'l'crioí" lrll tlli\'en<,t! de Ii, ,ig,'. cuyu tlIllterilll 1\(' rt~iSle igual 11 In
Ir;'t"t"ÍulI 'lue H la el)ltll'tc~i,'II,.1<t~:, ~imcl rica respcclo a la lilll'1I ueutrn
y 'IUl' In :c<e<:ci"" tr.ll,~,,·r~.tI ,h~ ló' 'igil. CII)' () tt1~teri(l1 ufrecc dire·
t.'nle te~ i ~ I l',.ri" a In Iracriún y" la COIl1 I)¡·('.~ióH. H":<I'1I si1l1~lricl.
n·.'!ll'crl U:r la 1i ',,'n
Ta. r",,.,,il'''c aletlCr.'W ó' la prU I",rcio" si¡:"iPt,II':
lit',,'
[000",1_ ~ - Y.
[o"oo j - 1V2 - y, .
l\rt~,tlI,is
de rll r"ndiriún di'
r~ish·l1ci".
(nl:l)
Jn ,·iS"
drb~'Ti;:<e r
Intnh icll
l"flluumirH.
l' ''r~l" IltIe ]" rt'~i.'!ll"tlt· ;., ole 1;0 seccio'rn Ir"ul!,ers.~1 dll ló' "l,p' ell
1:, flt'~i¡'1l "" dell'rmi,,,, I, ur In Illl.gnil,ul ,It, 1<11 tnudn l" dI' 1M !<I!fdun 11'
JI I't pes" de '" "i~n l'~ l,r" I}(,rci .. "al óol nren de In se("ci"n lral1s \"er1':,1 P. pi gra,lo ,Ir ('(, ,,tl"'lli:, 011' 1" ~ioll ITiItI~'· l'"r.~:r1 rll' 111 vi¡:-" se
[Hll'dr ,,,Iurar p"r 1" f'-;UT;UIl
1II//I¡.riQ
i¡:""lc~,
de '"
I:'ul"
~errlú/l, (;IlIlH I',
n"i~ \,(""/),,,;(11
~
.
.
"'" ¡I,; l ¡lIr
~"
dl'uol11illl' 1116dulIJ
nn'yor ~ ..:, I'~lll frucci,iu.
",'ni ló' :!('Cci"" .
I'a r,~
áreas
Ejelll l,lo 311. D",I,,: '/
11 j.,~r cm; J'
1 Ir; I
1, 111: f
1 tn;
I ijtJ{J I;¡:r r ",t (fig. ti:.!).
Cn lc,, 11lT 1m' di"len~í",",~ necl'!!l1rius ,le 111 ~cióll cireu l"r, ClH'oIrada. I"t'rt"l1gular y de duhle 11' (IOImi ll:III:,); la rcl;rciun IIp I,os [II!~O~
ole l'~tnlS I!Ccciu"e~; la l.,n~lórr uormnl I'U 1'1 pUlllu 11 indien.!" ,JI) 1:,
~I)cciótl si tuada d("l,nj" tic 1" f",'n,.. 1''' e l CM" rll' 1" ,igll 111~ .. .. cd ó"
ole ,Iohle Ir'.
1I¡'s"lm:iim. P uesl" '1'''' la "iga es si nuílricn resl' ..cl ... ó' In ilCtdó" tlll',lia. el ""'tI11'"I,, fl .. rlur ,1t,; .~illlfl "currini l't, ~ I a ."C("ción.
10, 1
123
El gráfico de Jos momentos Al originadO! por la carga di.,lribuj .
dn es rmrabólico
d nuiximo AI .. n
COII
•
- lf:.o ' y el diagrama debido
fjg. 62
A Ins fuerzas concent r Ad/l.!! Al, lrnpczoldal con "J IIlllxirno ¡l/mOl
... Pe. Por lo 13nlo,
M ".._
qf
1.I .~'
:..-+ !)c""'--+
l·' "",,3,2
8
2
p _
tf·m.
Por 1:. rMmul!!. (95), el módulo do la sección IIcccsa rio r ...sulls .
W = Af..u =
[a,]
3,2 ·1O~ _ 200
Cul '.
Hi ·10:
1. E" 1'1 caso do In ~CCciÓII circular,
;uf 200
I
IV, = 32=
cm ;
d_ ,'ísI,OO..,.
V 1'1
= 12,68 cm;
2. En t:I
r¡l.'!o
_200 clI1';
F _ o"
tAliO
12ü,8
a=fíOO.6 =-1O,63 cm;
~
11 3 CUl t ,
do la sección reetangula r ,
11,' _ 200 cm';
IV, =M'
- __
6
12
h'
h_
r-21,00= 13,39 cm;
F _ bh =2:=89,6 cm l ,
",
,
ni! =
de la sección cllutlrndn,
IVz "",~3
3. En el
l' _
t lU *,
4. Por la lab Ia del gurUdo de vigas doble te uallamos; para I!I
N"lO, IV = 184 cm 3 y para el N 200, IV = 203 cm l •
Comprobamns la "¡gil N°20,
Q
a mn -[a r! 1QO= 1I'j.¡2G
IV 100= JV - JV~2G100=
lar!
Mm..
W.M 2G
IV
= 200 - 184 100 =8,7% (.'Iolmllllllsión).
1810
PUl'SlO que la so breteJl.'lióll es su!)Cltior al 5°:', el perfil N·20
uo vale.
Compro ha mos In viga N°200,
anl.a -
[0,1
[0",1 100% = IV - IVN
2I'I"
100%
=
IV,, , zo'I
= 200 - 203 .100% = _ I ,fi% (suhlo usion).
203
Admit imos pUI!S, la ,·iga N 2Ü", pllra la cu;. ] F. = 28,9 cm', el
1\101110nto de inerci" respecto ni eje neutro es I = 2030 cm' y la
"ILum /¡ = 20 Clll.
Puesto que el peso de la viga es ]lro]lorcion a! nI (,rea de su se-cf.ió" lr,llls,·er.lal, In relación de 105 pesos de Ins vigns serú ¡gu,,1 a la
de las arcas de sus secciones.
COllsidemndo el área de la sección circular igual a In unidad
obtendremos: F , : 1'1: PI: F.,:::¡ 1: 0,89: 0,71: 0,23.
Así. pues, la ,oiga do secció n doble Le, incluso sicudo ('.~cesiva
su ¡¡reo (se .,thniUó ulla subtCllsión del 1. 5%), es npro;.:iI11Ud:llnellte
10,10 vecC!! mas ligera ([ ue la viga de sección lrnns ' ·ersal circ ul ar.
Hallarnos el momento rtcctor en IH sección de la viga, ea el
lugar de nl'licación dc la fuena,
Q
M
=.!li. c _ q¿ + Pc= 1.1·4 .1 _~+
2
2
2
En 01 punto A de estn
~ección,
2
donde y =
~
1.1 = 5,3 ti ./11.
2
= 5 cm, [n tensión
noftlla! ClI de cemprosióu (In \'ign se nexa ha cia nbajo) y se obtiene
por [/\ fórmuln (92),
O"A
MM
=-=
,
-5,3 ·10"·5
1
:::::; -653 kgflcm.
2·2030
Ejl'ml, lo :If,. Las tensio nes ad m i~ilJJl's del 1lI1'Il' ria l de la VI!;: '
10,1. D"dns las dirncu s i ou('~
.h· ",-,cciúu 11 (fi g. (¡3) ,¡<o,,; la ul
b ~ 2U ",n y 1= I eu,. ,I el('r mil oa r la "It ur" raei,,,,,,1 /¡ d" In ~, ·t" c i{¡ " .
lI,w,,/w:iúlI . :-;.:0;, .' 1 .:oj .. ~ 1:, lin l':' lIl'u lr:' y h, Y h ~ I;Is tli ~ I ;!I,ci ,, ~
j' las fih ,';os ...~ I rt· ,,,ns.
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''';''''ria l (!l.'\) (,·"",Iir.i '", ,It· i[: u"ld",1 01,· rr~ i ~ I" I>r ia de b,s fiIJrl ' ~
t'x t rt "u" ~) "bl"I"I," ''' ' ''~'
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(;"1110 la li",'" " " 1111':' ; I'S "" "j(' n'lIlr:> 1 y. 1'''1' 1" 1:> 11 10 , ,,1 "'0'lI"ul." I'~ I :",t i,'" d,·1 :;r('" ,h' la s,·...·;"" n·~¡t('r l o ro 1" lí,1("11 nrulr"
.",'·r,¡ ig",d " ("{' I"". " ._ ,Il'.. ir .
S,= - {I, - :!/):.!./
(71"- )
1 + ,2/11
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' (" )+ ,,'2. = 0.
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DI' aq"í
SI'
,,101i,'II'·.
1t~- t S¡'+í2 = \J
p",. 1" (;",10
.1
h
'j
h = \I ± l l!i=\I ±:1.
In all",.a dI' la s{'cción d('b"r:\
~l'r
igunl" h
I:! cu' ,)
11 l''''.
P ...... ld('",;,s 18(i·;\II(;. Ih' '''rlll i" a r I"s , u,),IIII, ~~ de 'a ~ seccitltt(·s
11', (z "S 11 11 .. j •. 1t",· i ~. u"l;d . cl' II I I' :tl) Ir''' 'S\,' I'snl{'s 01(' kt s vign s. E~c¡'­
jan.'S<' pn r" 1·1 Il1"u l>l,·II';\ :;11(; !(ls ,lill"'II~ i,.,,,'~ C"""";¡I'"""i .. ,,I,, ~ ,.1
¡¡nl!J!" n¡;\ 30 1.
12t;
l!§.
;~
.'"
".
"~
-,
127
Prob lemas 307-3 13_ Do terminar las tells iot"'.'!
nor lllall'~
en los
pUtlt os 00 ],¡s sccciQ Ué'S trilm.werS.1J('.~ dc- las vigns (los puntos y
se;;ciott~
están indicados on h\.'! condiciones de
'"
] o~
.,. '/0
bs
]Ifohlemas)_
""
~.,.
--,,--~~
~ .... ,' ?
,'Á'"
tffi),
- - a'¡b- -
I
~·
0I
,$
~r
".
~
.,"
Notaciones:
tensiones normales má:'liml y m inim8 en la sccdón peligf'Olla •
O.,n
", .. o .. I.ens ión normal en el Imnt o A de la !leCción pe li grosa,
o""'" tens ión normol e n el Imnto A de In ~cción m/l,
V
I'e~o ]lar IInidnd do vol urnell dl'l mAterinl do In ,' igu,
I 'rnhl l!ma~ :U f¡ ·32!l. Cn lcll lar I n~ tlin,ollsi,lll (>~ nl)ce~n rin s <In las
~e<:cil'lIl'~ lrnn s\'cr!!lt lc~ do las viga!!.
I~II (>1 pro bll'rlH1 31!1 !le tlt,he dcll'rmina f el nulUuo IIcc()!!I1rio de
lUlm,s d" .sucióu r~ l a ll gulllr tlada. situndas Ilnralelaml)Ulc.
1:;11 l'I IlroblenHl 325 .'le debe halla r el IIUIIIl'ro del perfil de lal
"i¡¡-as .Iubll' te corrCl'pnndiClllc a la posición más dl'sftl\'orable ,le l.
en rll" mó"il.
I'; n los problemas 32i- 328 dclermillllf rf'5p<!Cl i\"lllllcnll' lal
dinWII$hlllus b y h jlartielld" dl' ];, cOllllidull de igual r(>.~i.<I!·lIcin d.,
I" .~ fihr."~ trarciOI,n!ln~ y NII"I,riu,id:.s.
129
II
Pro blemllll 330-342. Determinar las magnit udes de las ca rgos
admlslbles! quQ actúnn so bre lu vigas ele las di mert!lio(]05 dadas .
130
p
2m-lm,....-
(CfN90DkJlfem 2
\1·
131
§ 3, 'I'e /Mí o /l es tUf/yell.clflle/fJ, C6 ntl'o d e fl ex i ón
11 rOm11/'olHl cUm (f e f" r e",¡"/ e,/ r'lr, de f(f 1J l'iyo" 1)0/'
' e ll,,1Qll eN I l ll/,y e l/ r l tlfe N
EII un l,unlO a rbilr/Hio de 18 secf iún roclnug ular de la viga
(rig. UIo) la magni tud de la tl'lI ~ió n 13l1gel1ci,, 1 !le de termi na flo r la
fórmula dI! D. Zhuravski,
QS
' --,
b1
s ie nd!) Q
In fu e r1.ll cMl a ut e eu 13 secc iúu en cU(ls li"n ,
s _ ~ (~ - 11') el
momen l" l'¡¡l<'¡tico respecto
A 111
lí uea
tI~ lItrll
t
d e la IJarl e d e la S4lCeiÚII qUI) se ecuen!ra a lJl! I"do
del ni vel y, donde so d ul erm inn lit tellsión lang(lnc ial :
nn clll1ra ti c IH -=ci6n;
b
I _
(99)
~/;' el
111"1111)11 1." .Ic in(lreill de l
:,1 eje t.
Las le nl!iOll l'S tllngellci 8 I l\~
lín ea IIllulra. Estas \"alell,
má .~¡mas
arel'
.11.' la
~eiólI
rospeel o
resul tan e n 1"" p" .. lus de 1"
3 Q
( IOU)
't",u = 2F'
sie nd fl F _ bll II I :irea ,le lA ~ecc i ó lI 11'1I11Sl'er9/11 d e 1;, l'iKH.
P OI' la 16rmul>, (!J!) S(} pu ed e ll calCllln r, de mallen' aproxima d a.
l am bitl n las COIt1 IJ"nell t ~s ,If' lns te ll ~ i ll llcJj lUlI geu c i"l es l,cq Jcn dicu ·
Filr. 64
I' ilr. ij5
la res 111 eje neu tro, en e l cua ti c viKM ol e !leCción no N.'clan gu lnr,
entoudiolld o I)or bel Dncbode 111 secció n 11 1 nive l de.! ]Hluto en cucstión.
Las le nsiol1 eB tangencialeB result ll ntes e n los puntos de l cont o rn o
d e la !lección es l1l n dir igid ll.'l tllngen cial tne nle 11 1 con loruo y e n los
132
otrO!! pll llt os de I ~ secc ión , incl inadas hacin e l plano de a cción de las
hlena-.
lI a ll ar e X:lc ta lUllnlo las tensioncs tange n cinle~ en "¡gas do una
sección c ll a l{IUi e rf. es mu y complicndo. Ln de termi na ción aproxima dn
."Il hn._1l l'lI s up os ic i,)ncs nrb il rH i ll~ sobro la d irecc ión de las te ns io11".' Inllgenci(,ll'~ d"nlro de In se~.C¡ ÓII .
I'.. r" ,' igas do secciólI l.rDII lIn rS3 1 en rorlllll ,lo pl~rril llbj erto d o paredel! dl.'l g:ulns Vig. 65) ~ "lIm ite quo las lells inlles tangenciales se
nric nl llll laugeuc ialmc nl o n In IIl1cn med í,. d e I ~ pllrOO de la sección
)1 ' lile Il urmalrne nt o (1) a t,)!<la liuclI . se di!l ribuyen uniformemente.
1.11 ftirnlllla {lile dele rmina la Icn~iólI la ll ge l1ci ~ 1 es, en esto C880,
QS
,_ - .1 •
(10 1)
S ('1 " 1U1n(' lIl u l'~ l ü \. ku 1"'51)('cI 0 01 1 eJ ... Il c ulru =. de [a l,n rto do
In !!Caión (lil e SIl ... nr ll ('lI lrn a 1111 111110, d (> la " .. r ll.nl l n 111 línell me dio ,
nI ,,¡,el y de l plI lIt" l'lI r "es UólI.
Si In scr.c ióu tlo la ,igll II{) es s imétrica rClIIR'dv 11 1 eje C(' lIlrnl
pri llcip¡, 1 y Il('rpcndicLllar p la lí"(':l ueulra l. I' lIto Llces al)a rete n 1(!11¡¡ionl'>' l ang(!nci !.l e~ 'IIU' ori gi ll a ll 1'11 ('Sta &('CciÓII 1111 mo me nt o tonar.
I'flTa que d esa IW rt'~CII lA l or~ión do la vig!I, la l u('rta cortan te SIl
oI elM.!n\ ap licar II U "U ,,1 c('lI l r" d(' gra "ed ad dI! In !K'CCiÓII , ~ ¡no e ll e l
I,"ut o 1II'IHlULilladn u /11ft' de /fr.ci611 .
Por.! IIlIa for ma c ll nlq1l1,' rfl do la 5~dó" Ir.1nsn r.ml de In vIga
111 d e lcrnl ¡!UI ~i("1 d e la po._ ic ió ll tI!!1 C!llllr.. ,It: fI('xi ón r e pre~!! lItn
j:l r:lIld cs diFi c ullaol('s. ~;II 01 caso de IIlIa BtlCciÓII ,le pnTede!l delglllJ¡ .."
sill,étr ica rt'~ ll('ct" l' 11. lílll 'JI neu t ra: (fi g. 65), el cen tro tl e fl oxión
l>O ubi ca so bre .. 1 " jl' : y Sil dislanda al tell tro dl' gravedad d o 111
secdón l'!l,
~ic lld l)
(102)
~il' uoI v
[' ('1 bra zv tI('1 l'srul'rl" ('1(·lItl'n l :l1 uIII g""cial l df' respectv
n I c.: ,,1 1'O tlu gl'll"c([¡' ll ot u 1(. SNlCió,, ;
F l,l árl'a !In 1"11,, 1.1 St',,:,·i':'n.
Si 1'1 e~lws"r d" b l,nn-tI d el [>edil I ('5 C"II.~I~"IIl, euto ll ceil la
('\I)I'1."-;Ó" ( 1U2) "d""i!'I'I' la r(¡r u.n ~ i gllie nl e:
, IS"
<' _ -¡;
.~i,·",I"
pdt,
( 103)
J' .,1 " ,vnH'III., ,l., iu('rci:, tlc l nrcv du In líll l'lI mcoli a d e 1,)oI a
1.. ~cci ó" nS Jlcclu ;1 1 ejo z;
S" ,,1 1I"',mrlll ll eSI/¡l ie., L'CSpl'cto n i !'jo z do.l Meo s' ,I'J la
[};tr i" ,le 111 líru-:I ",(',ti" de la ~d ólI ~ i tlla d o a UII lud ..
,1,, 1 1I h,,1 Y ,[.·1 I'lIlIto arb ilra ri ".
13'
La inlcgrnciún Sil lIova a cabo no so bro;! el ,irea do lo se~ciulI. ~ ilL "
so bre !ll nTeo s. Si el perfil cst¡j co mpu esto pur \' IlI'iHS parles del tl¡it.TCnte, po ro constante es pesor t, e nlonces e se podrá obtener lIu manf]"
I~s expTesiunus (102) para c¡ld a l)~rlc por ~opll rado.
La resis tencia do la \' iga por tensi o nes
Lallge "c i~los
Sil
CO U1])["H']H!
en 108 puntos d(¡¡,d e nct uan Ins tensio nes tangOllcialcs 11lI, x i'n lls de in
socción transversal donde a[mroce la fuerza cor tante má xim a Qwu
en vlllor nbsollllo.
Ln comprolmciólI se debe re<l lizaf el! 111 caso de \' i gll~ corlas . <1"
vigas do nlmn delgncln y nltll, en vigas co nfe cc ionad as dI) I,,:otl'r i ~ l
q ue ras islc mal el cizallamienln JI de vi!:;I!! soli ci lild /\ s VII I,,~ proximidades de los ¡¡puyos por grandlls c'lI"gas.
L1I r':'rmul" plII";' com proh¡H las le ,, ~¡o rws os:
QmnSa
)
-- ~ [ T,
bol
'[0101= -
siendo So 01 momento estático res pecto al eje neutro de I~ Iwrt e do
111 sección t rans\'ersnl (lile so oncuontrn ~ IIn lado do la
linea de acción de Tn1u ,
bo la anchura de la scceiú n nI n.1\·ol ~I e 1:, lírica de acció n
de Tn, u.
E n la ma)'o rí a do las seceiorH's (lile se eO m¡lflleIHlIl, T'BU nct u8
e n 109 puntos 9itnados sobro In Iín6ll nout ra,
Ln tonsión l¡Hlj.,'llncia! "dmisiblo lTl so escogo g6ucrahncule ig ll"l
11 (0.5 -0, i) [al. Po r ojemplo, e n el caso dol11cero Cr. OC y er. 2,
!TI =- !l00 kgr!crn", "'11 el del ocero Gr. 3, ITI "" 1 000 kgflclll ~; en
el ca~o tlo moterialcs como el piu" y 01 abolo, !TI = 20 kg l/clII·.
t;jOlll lllo 36. Dn do : M , '-- /,0 liN ·tIl, fl/ 1 = 20 kN ·m,
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" '·I"[,.." ,liclI l"r..", a l:. li m',. lIl'u l ra (I",r In rÍ>rm ll la ,l e Zh nr.1""",i).
/{ ,·S,tI'lciÓ,1. 111I 1l.·m'....~ 1,,1' "" I .; r('~ do III! h' ul'i" nl'~ In" l:"e"ci" l c~
1, ,,, I"m lo;.: I d., las r ihrA~ c~ tre m as de In :;ccciú". ,." 1..;.: ¡"" ,Ius 2
1" . flhrn;¡ l'\ l r(, ,, 'A ~ , 1(, 1(1 r H\'idn,J , "" I,,~ I'""I ,,~ .1. , tlú.~ "¡" j "" ,,.~
1" lillen lIl' llll":l ~ il, ,,,, !, ,~ e l\ I~.~ l'nn'd t's dc In c;l\'¡dn,1 y, ¡",r f¡".
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el
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Dado: un a sece!ón do p. redos delgadas en forma de
de ángulo centra l 2a de rad io do la línea media r
y do espetOr consta nte t (Iig. 68).
Cfllcular la posición del celllro do flui ón A .
IltlOluci6n. Do In figura se ded uce que el elemento del arco do la
liuca media del anillo es dA = rdq¡; el elemento 1101 área do la pared
" ,
Fil(. li8
de l a nillo. dfl = tcls "'" rldql y las cllord enada ~ dol contro do grll\'odAd
del elemelllo rlol ¡\n:.'~ dI" Ill! el sistemn de coor d enad~.~ có!ntrnl
VOZ son:
y = r sen '1'; : _ r cos '" - o.
lIiondo a 111 dislllllcia elltro los ej~ JI e y' que pasa. este úllimo,
por el cen tro do curvatura O, de lA seeciólI .
Dó!lofl uimarnos la posiciim dol cculro do grllvedad O do la sec·
ción s itua do !IOuro el eje:. Puesto (IUe el eje y el! ccntral. el mumento
estático dol á rea de la ~ción ~er:¡,
S~ _
1ZIIY = 2rl •) (rcosljI -
o
•
u)d.,, _ 2f1 (r..e' ,a-na) ... (j,
y pur 1" I"n l,o,
a
~
rseu
a.
_
__
a
El bralO f' del esfuep,o III"Sellcilll Tlds rcspecto al ceu tru lit!
grAvC!dn¡1 do la sccció" \·a lC!.
p = r _ aCO>lq¡ ,... r
(1 _/le: a cos.,,).
I~I momento de inercill l ' del IIrco de 111 línea media de In sección fl'lIpcc tO A lA li nea noutm : C!!,
"=Slds_2"s
•
I•
!lC,,'lfldq'=
~(2a-!K'n2a).
EI I mome uto e.'lt {l tico S,' respecto al uje = de In parte IIl,1 MCO
de la liJlen medin de In lIClcc iólI, 5itualla ¡, IIn lado del eleJlwnto arbitrari o determino,lo por el ángu lo Ifl lSCd.,
S" =
S y ,h, =-= r' 1sen Ifldq> _
,:: leos Ij - cos a) •
•
p"r 1" fónllllh, ( 103) Stl lo alla la di slMleiu " !ll' l cell lro dI' gra\'ell nd
de In sección ni CCll t ro de rI lJx ión A,
•
'J s",J=. '
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r(~ - se n 2a)
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c.,os a) dq>,
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!!e ll a-=cosa+
-,, !!en-acosa
(
.'lC1I~
l." distnllcin del cont r!! do curvnlll rn O' ¡[l' In sección 111 centro
d o flex iun A . {'s,
,
.
a +c ,,""- seua +
'"
"
.
.'lC 1l;!a
( sen a - 2acosa+
"
)
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aCOlla
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"(sena -acosa) .
2a .'!f!1I2a
Ejt' Il'l,lu :19. Ol1d(.: /'
"Ir. M
<! ti '111. a _ O....' tIl, 1 _
_ """ [01 = 1 liOO kg[/cm t y !TI _ 1 000 I; gl/e"," (fig. 69).
Deter minar el l1ii muro de l perfil doble te.
IItlWluÓÓn . El diag romA de los momel1 lO1J Iletlnre.~ Al se eOIlIlt ruyo Ueilmelllo, si n nccuidod de eiileuJos, como <'513 ind i~Ad o (\1, lo
figuro 09.
E n el "olodizo, Q
COllllt = -4 11. En i!1 \IHlO, f!1I11l' 1"11 111'0y~, Q = co nst < O. Del dingralna do M lll,llllm~,
áM _ 2 tf·m = - Q·2 111.
dll 1I0llt.lll Sil d lld llCIl qUIl,
Q_ - 1
tr.
El diagra ma de Q cstlÍ rel,rcsenl;ulo eu In Figura 09. Asi, l)Ues,
Af ..... _ 2 If·1I1, I(Jln,u ""' ''If.
' 33
P or 111 rórmulll.
111111:1111 0$,
____
2·10'
I "~
I
l G· ¡<f'
S"gú n el s urti do; [)lH A el ¡¡crlll do hlo l O N°tG, IV = t OO cma
y pnrn 01 perfil dobl o l e 1'\°18, JI! = 1103 cm",
IV
__
_
Mn,n
~
~cm.
(01
."
Fill'. r,9
VHincamos el I"' rril dobl o le ¡'\ °lti.
(1"", ~-[o!
101
lV\
. h.", ~
Tondflllll".~:
( 125
) 00 .<;::: t 5%(~,IJI·()l(' ''SlO
-_ n ).
IC~J-l. 1
\ 't· rifiCllm l,o.! nh..,rn el [)('rfiJ ,10bl o te N° 18:
1)", ••
(o )
(OJ . l {)() _ ( I 25 ~ I) .tOO;::;:_t2,5%
110:1
1'~"'''¡;f'II '''l!
1'1 l'l','ri1 1\
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I' ru lJl c mM 31j :~:J;; 1 . l:" " ~ 'r\lir I,,~ dillgrl\ llIn .~ UO I,, ~ I l·!I ~ ¡flnr.lS
" IIIj(('"d;1 ll'S T p('r]lOlllticnl orr., ~ la lí ncu Ilout rl'l (hnrir.on,nl ) 011 pit r1.0l' 11t'1 I'a lur llI~ ~i ll l" t,""" = T ~ parll 1".' ror nlil ll ¡ lIdic¡l d".~ do JI'
~ci':"1 I r!lns\"\> r~,,1 !In 1~ ~ ,·ig!ls.
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l'rolllcDl us 352-357 . Dete rminar I A~ lcns ioll{'s tnllg~nc ialcl!I
málimllS 'f.... cslllbleciondo Jlrevia menlc (donde sea IHlcClsllri,,)
las llimen~ion(l!l ncccsl\fhul de las \'iglls 1) Ja ~ cargas seguras cúrr~,,­
pondi ent es 11 las tClII s iollf'S normales act ll1i s ibl~ dada!!.
Pro blCtn ll!! 358-363. c.r.lcular la dista li cia t del centro da rl~ xi ólI
11\ de gravedad do In .'!()cciÓn (colIsidóJ'1)!!c que los secciones SOIl do
..
paredes dolgadas).
,
§ .J. Tt'II.JJ i_Q// flH "dlldJ",ft'; H ." CO'lllJ"' obfft'Um Il e lu
r e l/ i Hl f'lu; itl 11,' /tI ";y"
En un punto c ualquiera dI.! la ~cccióu IrMl5\'erlUll tic la Vigll .,ilulI¡¡ UII~ t1is l1Ulcill " de la l í llC~ nuut ra z. In ten sión norl1ll.1 (J y IR
tan~en ci ul T se delHlHi ll ll1l por las rór rnul M (tl2) y (99).
El elellle nt o {'~c"gid" 1IIre.lct!nr de es te 1>lllIt" y formad() pur dus
Sl'CriOIlf'~ tran$n'rl!l1les 3i tllPdll~ 11 111111 di~t~llcil. ¡"riuill1n.¡'lIle
(la
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1 ,TI
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Fig.
Fill'. 70
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dz IIlIn ,le o trll y por dos se1:ciOIlCS 10 ngillldillale3 parlllel1l8
11 111 CIIIIO neulra lambién illrill ilamcn le ccrCII 11. 111111 de 111 ot ra dll
CIl I 1Í !IOmelido al ei! lad o Icu s ionó.1 Jl lallo r(l1lrt!SC llt lulo en la ri gll ra 70.
LII~ tcn s io nes Iwrlnales o .. y IIll' b'(!lIcillle8 T. ell e l plall o inclinAdo
do In ~ecc ¡ ólI 'lile pnSA por e<ta PII"l o (lig. 7 1), son la! siguiNI 'cS;
(J. _ o~co~:r.t_T!lCn2o;, }
I)Cll u eñ~
T"
"
_-ge n2r.t + Tco.~2a.
( 105)
'"
DM 1,lanos inclina dOlj ortogonales entre sí SO!! ].llanos princillll·
lell de las tensio ne)' en el pun to dado do la viga cua nd o,
tga 2 =
Las lU agllil(l(lc~ dc 1M
por la expresiólL,
- 0
" '
( 1(0)
t\ln s i une~ p ri l((lil ", h ·.~ 01
y IJ~ st· (,111i('1I1'1I
( I ui)
1
T"'.
'-± -2 Vo·+ 4~.
",l B
( JU8)
En la figura 7l ~\!j I¡1 l'c pre~ulJ t ada 111 de l.l' I·lIliuAci im ¡tI':Hica ,le l".'j
magnitudcs y l a~ (lif\lcci o ll c~ de lils IUlIsiuue'¡ prill cipnles [lal'tI lAs
cua t ro posibles Vll ri/lllles do estad os lC IIsi ""ult's de: los clellll'lIlos
e~cog i(l ús do 1(. \·iga.
'
ro¡-{ ,-- - 11 -
Fi g. 72
Si CII una n,i sllla soccló n tr.. ns,·ersnl 11(' 1" v iga ilct úilll s illlu ltá·
neamente 01 lIIomelllo rt octor máx imo y I ~I fUl!n.. cortalito m{¡xillHl
o M y Q próximol a 1M má xim O!!, en tonCe! 011 esta secciÓJl so deber"
comproba r la resis ten cia do la "iga , plIrtientlo (lo las tensiones
principales.
La resist encia I,or tenliones princil/ales se comprue ba sola monto
eo el caso de vigas cuyAS secciones lrIl IlSn H"i1P[es ti ullen 1111 p[ma
dolgadn qu e se en~A ncha bruscllmenle en 1111$ proximidades de Ins
fibras e:.::tremas.
LII resiste ncia !lO eO UlpruebA en los [lU ntos donde In anc hurll do In
vIga au monta súbitHmonto .
..,
La.s vi gus de uwtf'riul plástico se comprueban por lu torcera hi pótesis dc resistencia. es decir ¡lOr la fórmul a.
(Jc,,, =(,'1, =
oJ =
Vo t
+ ·h
t
~ [(JJ.
(tOO)
Las vigas do I1wler inl frágil se comprueban por III primera hipótesis
ti c resi ste ncia, segú n I~ n·laci .... n.
~o
I~ I c,i lculo completu ,lu In
da 011 el ej e mpl o 1,0.
la!
Ejclll¡.lo IjO. ])ado: P
I ÜOO kgr/cln~ ~' hl
rcsi~lc .. ci3
do \lllll viga isos táti ca
=" Ir. q
= 3 tr/m, a = 0,8 m,
1 000 k¡;:f/c tn' (fig.', ?a).
t
=
I¡
rn,
3,2/f'm
Fi". 7::1
Dote rtni""r ('1 "úrn,; m ,lo... lu " iga d uLJI Il tll.
l. 1),;türmi""lIlos las I',¡accio,u . s 01,>1l 1'''Yu. Obtenemos,
I/C~Olllci611 .
A=
P (n+f)+!L¡a
2
1
!LP = /'a
/J =
,-.~.'~.8~+:r:-:
, :l~."" =
c''-----;___ :1·8 -
,
I¡
10,8 tr,
·0,8 = 5,2 tI.
1~ 3
2. Co nstru cción do los d iagromos de Q y M.
En el \' Ollldiw, O", X, "" a:
0.<,= - 1' = - 1, Ir; M~ ,= - P;¡;I= - 'ÍX1;
ill",,_ .=O;
M",_ B=-'Í ·O.R=-3,2 tl ·m.
I~n
o~
1)1 \'<1110 culre l os ap0l'l>_~
O"' =
-
/II~. =
f)
+
qXt = - 5.2 + 3x.;
O;r,-v = - 5,2 tI:
Q"....¡= _ 5,2+3 ·4 =ü,S tr,
1hz -
f 4 = 5,2x: -
JlJ <, _ / = 5.2·1, _
P U!lI!lo qlltl
X:""- /,
Ox, ' - - 5,2
y.1ü
l' 3xz =
o!¡lendr('lllos, M 'llO. = 5,2 · 1,73
~ xi:
M.<._o =
= - H,2 tI ·m .
(J.
(¡ uaudo
.
1.73"
=
x~
;"2 J:~
-
.">,2
=""3
~
1.73 m,
•
)
4,a lr·ln. I ,"o" .~a =
.\
~J:~ = 11. Co" e~l,,~
~
_ .l. ---;;-_
,'. - 1. 1J
5 ') ')
"" .~\. - = 3,47 m. h;dl"re"ws :11 .•,
u:
re,o¡ultud üs se ha const ruid o los grúF icos de (J y M el! 1M rigll r:o 73.
3. C:dculu de );, secciúu do la Vi gll (loll le le.
.
,- r I I
IV M ,li..
1.,5· 10"
l'ucSIO(lllOM",os = '·, a t · l\lolllll\lrIlI11o~. ' ="""'fOf" - ~"'"
-=.::: 281 C!II3.
P"r el su rti d"
y IHlr lo> 18nt"
h n ll n lll o~
el p('rri l dollll) te
N~
22.1, IV = :!51 cm',
0ma. - fu j .1 00 = IV - 1I~~:t:za .100 = 28 1 - 2,'Y. .100 =
101
IV",,::w
254
= lO, li% > 5%
En .. 1 C',,~o) d,' 1 l'el'lil N°
v.,
IV -
(sobrülensión).
28U cm"
1V¡o,¡ 24 . 100 = 28 1 - 28U .1 00 "'"
11'10124
28!1
0'0"' - [01.\00 = IV -
[o]
:;::; - 2,i7% (sublensiún).
Escogemos el perfil doblo Le N°21,. I)Ha 01 cun l IV = 280 C10 3,
1 = 3 'Í60 cm·, S~ = 163 cm~. h = 2'Í cm, b = 11, 5 cm, t =
_ O.95cm,d = b~ = O,56cm,h o = h - 2t =- 22, 1 cm (fig. 74). E~le
perfil doble tu trabajara con la siguiente te nsión normn l maxim<t CI1
la fibrll ex trema de la seccióll llcli gr"sn
kgflcm' .
'"
4. Comprobación du la socción de la viga por llllllliones tangenciales.
Puesto q ue, Qonn = 6,8 U, o btend remoa,
Qrn-..-SG
f' ,
'",u=
- = 0.8. 10',163 .<:::: 570 kg,clu
0,56 ·3"60
bGI
< [t J.
5. Const ru cción de los diagramas de las tensiones normales 0,
la llgencillles " principales (JI .• y t angenciales extremas 'mu en la
."
sección más desfavora ble de lA viga y determinación de sus orientaciones.
8n lo que se refiere a las
vo rable es la
s illL~da
t CllsiollQS
principales. lo !lección desfa -
sobre el ap oyo izquierdo (nI Acerca rSII 11 ésto
por la derecha ) en la cua l Al
=
- 3,2
tf'ln
YQ
=
6,8 Ir.
C'llcul"mo~
las tensiones on los nue ve ¡JUlllos do In sllcción,
ind icados en la figurn 74 .
La tonsió n nor mal 011 un ])lInlO cua lquiera situado a una distancia
y do In línea lIuutr:l es
(J
= _ IIfy = 3,2 .I ~:::::: 92,5,.
[
3<\üO
(,)
El IIlUIIll'Ilt" ('."t(, I¡eO) del Ítrl':I •.!l·1 al" TPSpcc t u :1 1 eju
h_t
S. =bt----¡- = 11,S.0,'J5
24-0,95?6
2
::::::1_
~
J
cm .
El mO lllerolo .'sLilic" dI' 1" pilrt o dci i,ren 01(, L, IWf('¡] d.,1 nlmn,
:l un laol .. 01" 111 unlUl",dn !I
~it,I!I(I ;,
s .= ~
e
2
('';¡ _¡l)
<\.
= n,56 ( 22.11 _
2
1,
y' ) = u,28 (122 _ y').
El ,Ilomento "s\¡ilieo el.' In ]l:lrte de la soeeioj" uIJicnd" a "" I"do
de In orúenadn y,
S = S" -¡. S, . = 12ü -1- 0,28 ( 1 22-y~):::::: 160 - 0,28 yO.
Lns tensiones t"" gnneinl os en loo puntOs del ala, seg úlI la lór(!J1l),
,,,,, la
( b)
y en
lo~ punlo.~
.101 almn,
QS
T= - .
b,l
,o~"
(o)
,<5
Por las fórmulas (a), (b), (c), (t 08), (107) Y (tOO) se calculan
los va lores de a, T, '"mu, a " ., tg Za , a" al para las ordenadas JI
."
wr re9 l)O ndienle~
/\ los nue ve punt05 do la sección.
1,05 valores ob tenidos so dan en In tllb la lI iguie nte:
,.
,,,
,
o
,,,
.
I'~',:' I "I
~,
punto
12,00
11 1
± :;:;:; 1 110
1 02( ~i~~~
510 5
:1:510
:1:1170
:1:590
I I.~ ~ ~ .~
II :~
5,;:'2
0 .00
- 5,52
01 50(
± 560
-5101 ~ :1:500
- ll.Oá - I ~
4 .~ :l:1i70
- 11:OC - I O".!() . ~ ;:1:5 10
;:I:~
- 12,01 - 1 11
"
..
0 · 0'
O
0.00
O --'l,0392 - 1"07'
, 020
,,"O
"" --,:v.o -- 0.863
2.08
".
- :;0;0
00
3.. 0
_ 810
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~"~
- 1180
- 1 0'.:0
-1 110
O
O
0.00:1
0.0:19"
o....
-20"2.\ '
- J:!" \O'
- 1,5·0
32° lu'
W ' '?: \ '
1"07'
O O
9ll"O'
88"5:.\'
6~ ':jIj'
57" ,>1"
... ;:' <11
12::" 10'
1J(I:! \ •
tll "01'
000
L "s di:' gr:l UHl ~ do l:l~ tensi one~ est '¡1I re¡,rt'",-",IHtlus 011 la Hguru 75.
L<1s . ,ritll1 lnciulll~ do ru s ten sio nes ]l rill ei IHl¡" .~ e H los Il u nl ..". tlo
In
.~(~I~ ióII
lllle
~u
IInnlizII n so ¡Ion en lu figllTII 7ti.
'i.A7ll.""
,
,.,
'i..... ,'.1't....,. ~7l"'
't OS
------
"",11-
W
5.
'"
6
Pig. 75
En 1/\ fi gur/\ 77 !'St! ro presentada 1/\ determina ción gráfica de IlIS
y orie ntaciones de las tensiones ]Jrinci ¡wles a. ya. en
lo! plintos 4, 5 Y 6.
6. Ci.l ln probaciÓIl do la resistencia do In vig/\ ]lOr l en~ i onC5 prin·
cipll les.
E l punto 8 es 01 mi!.s peligroso ¡Jo Ip sel:ción dcsfu\'orable, donde ,
o . _ t t OO kgf/cm l y o . _ - 160 kgf/CIII'. Colllprobamo~ la rosil\m agni~udes
...
tencia on 08te punto por la tercera hipótesis de resistencia ,
(J,- (Jl <: ¡(JJ.
P uesto quo 1 180 + t OO = t 340 < t 600, la socción escogida
resulta resist ento también por tensiones princi pales.
• , ".,,
0,
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4
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5
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Pi¡. 76
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°
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-(jl08~a...,(j,
Vig. 71
Problemas 3G4-3G7. Determina r (analí tica y gnífimllllOI)te) las
magnitudes y ori eulaCÍo lI('s do [as tensiones principales máximas
y mínimas (JI y (J. en Ins secci onos indicadns de las "igns.
Notaciones: mn:.: o, y mi n 0 0 son las ten.,ionl'S prineipnlos mÚ.~ i­
ma y mín ima en In seceilm más desf~" orl\ble de la "igll , donde la
anchnra de la ~occión "aría brusconwn l.e; o,"'" y 0 3""" los te!1sjon~
pr i n c ipa[e~ en [os mismo~ puntos do la sección //l/l.
En el problema 366 el plano do In carga pas~ ¡wr I~ línoa de Jos
cent ros do flex ió n de las scccione~ trans\'cr~lIles.
H;o
147
P-lOO~9f
.r
0 I
' '
' 2Dtm-CZDcm
mnd,- 1: q1no~~?
~D'ID
I'robll'llI llJ1 :M1t1-:17;J, Cdcular la.'! scccivul'! tnlll~\'l'r,,¡,,, ll'~ 110 In~
)' r(mlilar 111 eumprobaciólI cOnlpletól da ~u resi.'!IIlIICi~,
Admi! ólsc la! _ 1 6u:J kgrfcm2, h l _ 1 000 kgrlcU\2. C,,"lIl1ru6b e.Ml, I'''f I:t tcr':l'rlt hillútl'i!i.'l. I~ re!!i~ lcncill Ilor t6I1.'1i ,,"I'S Ilrilleill~I~,
El! 1..... 1)f!lb l llrn~.~ 372 y 373 admita!O 101 .. I ÜOO :\L'Fm', Itl =
.. IUO MN / "I~, I~II ul ]lf.. blemn ~8 ob l ~n ga.'!6 1.1 carga adm is ible
)' rrn líc,'!I(l lóI c"lUpw llllciulI compl ..,la de In r csislencin lit' In \'i~!I.
Yiga ~
p
p
~+
6m - +
372
'"
IZO-la
__--'---" -160,!.·
,-
.
~m
10
§ 5 , F'tI"f{IlII etlto8 "'el clll c ll.lo (le ItI
,l e
f(f,~ 'I';Y(UJ 1/(1/'
c flJ!arid(u/.
l"eI',l~ t e ll ci(t
,.e~;x' (" lIt e
1.,11 diFerenc in eutro ti c;i lculo de la resislencin 110r tens iones
admisihles y por ca jlacic!at! re3iste lltc. en el caso do ma ter ia les
p lást icos. radicn en los diferentes otapas de l cs t .. do de defo flfHlción
de la v iga IlllO se considoJ"tm como estado peligroso.
1·;1 cñJeulo por cn [JIIcidntl rcsislellte ~o rea liza gc nerallllclltB
/lar J;¡~ tensiones nornw!eB. ~j l> co¡¡~¡demr i'l c-ndu roc; mic¡¡to del
•
oiJJ¡¡fQmlJ de 6
0il19famlJ de 6
Fil:". 78
Hl;llcr i;d ,le 1;, "iga " r igill;,t!" I)or la dC¡<)fmIlCión
p [¡i~tiCII,
SI' l'SCüge
r,lmo haso el ding"nll'" ,l.' I""cció " }' con ' prcsiólI idcnlizarlll (1t·1 '''Motin l el" lo "igll (lig, 78),
J\l raJe " lar por lCII~iUTll'~ adm;~ itJ Jes se considera poligr,,!'o 1"1
I"slnr!" de I¡, "ign cw,,,do "" 1:1 ¡¡br:, O.xll'!'I ll a más l('u~ada, la 1t'lIsión
""J'",al alcall7n (,1 \";,)"r ,lf'l Hm it e de flu c)) ó ll ,Ir'! !lwl l'l'i;l1 (J ,
7!)),
DI! neuerd" con '" J;r{,fien do O (fi g. 7!), 1'1 lI"' tII ~nl" fledllr corre8jlt>ndicnlo n! e~tad" l'('li~rO!lo do 1;\ ,' iga so:-r;',
(¡i~,
"', = O", IV.
(111 )
¡lItrodllricudu f'1 eOcfic;l'nlO:- d.., se ~lI t ;tllIfl. " ... "hl;""HJ \n s;l!"ien to
r"rlll"ln P;lfll In d,'ll'fllli"nc;ó" del Inotllen ' u ¡Iedor ;ldm¡~iIJle ,
( 11 2)
.1/".". = 101 w,
Al calenl"r [1M In c:1p~cid;,,1 ro'3is lo!) I... , ~c t',,"~idcrn 1... liJ.:r,,~" d
cS lndn de la ";g" r"and" .'11 I ,,¡I"H los I'IIJll"~ ,l., In ."cce;oll lJf'ligl'''.'la
Ins 1f',, ~ i u"J'~ n""lnaII'S alcnlll,illI \';, J"r/'s igllilJ.,~ ,,1 li",;\e dI! i!"""ci:1
de) mM,'r;1I1 ( fig, 811).
ESlc .. ~lllll o d., "fll('I'.lo rOH el dia¡;r""l1' ti ... o (r;It, HU) r"fT(,$pOJUII" nI ,"nl" r si¡:u ieuh, ,1t,1 rnomelllo Oc('lor,
Mí = 20',S,
S¡ ... mJo S el m"IlIC'nln esl(,,;" I, do la mita ,1 ,Id (,ren de ]"
trnllsn'r~:11 ,le t:. ,' ig;t re~pe{"to nI ,'j" {"¡·"Iral ..
(1 13)
,~l'C"¡,,1l
'"
Puesto (11111 111 t1nmll ll t o poste ri or de l lll o mcntll flec tor en esta
sección es illlpos ihlt" se Ji ce quo en la ~ecc i ón su rge una cnr licu lac ió" 1)1;i.~L¡c:l) y 1;1 viga 80 convierte así en u n s is tem a cinenuH icIIment f' \'lIrinlllo.
L. f"r llulln parn l:l ,II'lHlll in.1 ción dnl 1l1OUlnl1 to fI ¡x:t or rullllis¡b le
se obl ipl1e . il,lrotlu c ie nolo el coefici cnte ,lo seguri,laol,
M ;"."
~
(111¡)
2101 S.
Vlm p;lT,,,nln las fó rmulas (11 2) y (1 11¡) SC pllcolll aolvcrtir (I"e,
en ¡,I cas" de ..:,.... ficieul.f's dc S<!gn rid :HI i¡;"ll ll'~, el mÜllll'ntn necior
'I TI
"L
+_,.
l~~ "r1 r-f'
l""
1
"rl
<l:
.~
Y7 l
I
'
<
,
t x
1--1> -1
!ldm isi blc M ;"" al cn le"lar po r Ci1lH1Cidad r,·s isl.cn le f'~ 11 \' CCC~ llwyor
que 01 ad mi s ibl u M m H o[¡lf'u ido del dlculo [)(.Ir h' lI~io!l('s n lhll i~i­
bies, sie nd o
1]
=
M;" .. =
2S .
!II",o,
IV
( 11 5)
[ ... , magnitud 1) dC jH'ud.-. snl:lrHeule do In configur3ció" de la
sccciv ll Irn,,!<\"f'r~a l d e la viga.
Ejl'lIl Jl lo 101. Dn,l as la~ rormns d ll las ~eec i o"f's i,,,H cndas en la
li gura 1l 1. dl! lcr min nr e l V" IUf d e l codicj(·" to 1) .
1I,'.<ol'rciá/l.
.c
,
1) IV = - ;
2)
W="G;
"
"
-
3
,
,so
"
P\l (~st o
1(;
, -,- ~ -,' '1 = -.h/"
.ln
~ 1
,(;\)7.
S -- ~·
8 '
3) 11' = bJ,l : S = IJ/¡1
4)
1¡r'·4
S - ":"r~'
8
21
qu c IV = l.
1] =
1.5.
2S
W
S
re~ "lta " ~--=- }¡.
1
Del s urtid o, por í'jornpl o, para el perfil do blo le N" 2Oe, se o blie ne
1 =2030 cm'; S_ 11J\ c m'; h=20 cm ; '1 -
a'2
tf
12.ay'2
o¡12
5) LV= - - - _ - - ;
6) IY = bh'
36
.~_ bh
l
•
n-y2
S= -a~ ·-1 ·- _ y_ 2,
"
2 J
I'roblí'lnm; 374-379.
2
12
S=bh ( ~h_.3...!!_) _
24 '
2.h
114·20
2030 ;:::o: 1,12.
3
J\
311'2
b" (2 - 0 )'
bhl(2 - V2)2"~')34"
12
-,1] =
6bh!
~-, ' .
CnlcuJ ar
la
fra cción
=
l]
~;::
de Jos
m vnH.· uIOll rl cclores má x imo~ /01' m. ' Y M m•• Corl'f!spo nd ien les n 10ll
ca lculos por ca[)aci.lad resi~ll' nte y ¡' or l e nsio lle!l a dmi si b l~ lIMa
I,,;¡ con figura ciolll'S indiCAdllS de l.. ~ ~fcio u()!¡ lrnus\'crs..,les .I e Ins
\"igllS.
!1'
~,
,
-~
.,
.
,
-¡t~ :
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})J.
~
,
~
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-!',.
!J1
1l
.
_
N
a _~
"
Problemas 380·;.\8.), Cnlcula r llls dillll'n~i olle3 nccl'S<,ri,,~ de las
,' igas o I¡I~ cargas ad m i!li hle~ p.. rtiendn del t lÍl cu l() IlOr tensio nes
ft'¡ m i~ ibll'l! y ¡)(Ir tapll cidad rl'~i~lellte.
N o tllciQ n e~; b, d, 11, !"n ... q", .. . .~ou l a.~ ,ti'lI eUSioll(!S 1l C('~.~n ri M
dll 11l ~ Sl)cc i o n e~ lrnnsl'orsnles de las \"igH ~ y l a~ earg¡¡~ ad mi sihles
c() rrc~ l)ond ienles a l cñ lc ul o por t.e nsiones ll d rni ~¡ hl e.~ y b', ¡f', h' ,
!':nA" ";,, .. , llls corr('.~!)(l lldil' "t í's ni c:ilrlllo po r Cll l)Heil!M! resis tente.
' 51
38'
¡0f:/D I
---"->' ~ ",1
f-I
3/1l
¡...
§ /i.
J)1' HJ!frt::f~m
10
-,
lesJ. r~O"'Nf",l
-,
¡(' l/fOil el/. fu {le ... iulI
Loa dCSII]nulIni('IIIO/l do las scec iorw.'l de las vigas
>'(l
Cal'nctl'T'
tIIn I,ur;
1) Jos dcsl,lnluluiclllos linellles de los centrO!! dc gravedad de IIlJl'
Irans\'CTlIll les cn dirección pcrJlcndi cular al eje gl!OrlIélrk..
de In vign %. que so t!cnorninlln flechas lj,,).
2) los desll]ll1.tlrnic"los ang ul ares de lAS ~cccio)ncs tran.~' el'l!<l l('s.
respec ' " 11 la linea IIculra :, que so dCllominnn 6/1gul0ll de'giro de l,,~
UCclOIlt'6 (O,,).
.
[,;'\ flf'c]w j,> se cU!I.1ido ro 1losltivn $; .,tI dirrcci6n coillcitlc cm. In
~eccioncs
d irt'rdtÍn pos i tivu ,leI ojo y p<,rpclldic ul nr r, ] ejo g"')lI lOílrico do In
v igll .:t.
E l ángulo dcgiro O... so cons id era ]1O!jitivo. ~i el girlJ de la .'!(Ocei.)"
Irllns\'cTlIIl I do la "iga nlredcdor de In Hnell neutra: ocurro CI! dirección
opuc"ln a la de In' manecillas del «,Ioj,
Las flecha!!- ma .~ imas y mínimas 1m", 1""ln. así celll\'> los ¡jngul(>~
dI! giro" 0mu' O.. In su ovaluan por sus ,'alor"s nh~ollllos,
P U~'!Ito que la fucna I:orlnnto influyo seusilJlelllcnlo ,~ob r(\ I~,
deformación solamenle on el m,so dI! ,'¡cascorla ,_, gene ralmente I~' O
se calcullln considarand ll 901al11<,nto 01 momento flcl:tor.
I y O so puodoll oblene r por 01 métedo ti!' los pltrl¡rfI01ro~ de origoll,
gróficamen te , I)er el mólode do la vign I:onjugodn y por olros lluílo/!o1S.
'"
M ~ todo d~
1"" I"'. i me tl'!lll de o.ige n
Se consid~rall par;í rn~lr"s dI! origen I ~, [lecha /0 y el ángul o do
gi ro 0u dI! la sccciúu lr~n~n,r~al dc la viga on cuyo ce ntro de gra\' edml se ubica ul ,wig(!H d~ llls cuorden ~d lls.
Couviclle s ituar el origen de Ins coord enlldns' elt el ce ntro dI!
grll\"(~tlad do 111 secciólI transvcrsal ex tre ma de la viga.
L;l~ l'cuacioncs quo dct" rlu in¡'1I /", y 9.< on ulla secci6 n ar lJitrari a
de la \·iga. sil und" " una dis tilll ci~. J; del origen do las coord enadas
(si lAS in lt'lI~idades de I A~ cargas distr ibuidas IJx son fnnciones potencia les) ~O ll las siguienles:
EIJ~ =
/:,'//0
+ EIO o-=- +:E Al ,(x:'::~"~·cL)~ + L p(x
1!
21
"
+ ,._If" '('"-'-=c"",cL)'
- ~ql,
4!
1
q
,~"
(,x'=c',",-)' +
' 1.
(11 6)
+
'_.
(~-a,¡)¡
~If"
q
1,1
-
,., (z-b q )'
....
q,.
~!j !
+.
( 117)
simulo E e l mudu lo dc ,",,"slici,lad longilll \liu,,1 dul nwterial (l!.
I~ "igll;
I el 1H(lIllun l.o de inercia 01,- In secci ón tmns\'crs¡¡l .10 1" dg~l
res pecto al eje .",uLr<. z;
:11 cl IlJO Uleu!.o de lo~ pO"cs d" rucn." s ...... Ie..;urcs;
11m 1:1 distancia del origcll do c'H!r¡j,·";. da~ a las ~ccci,,"r~ d r
flll l ic~, c i un .10 los pnn'!! d(' r\l\'rws (fi~. 8:!, a);
l' lns fuenas curtall t!'s "olll:l1 lltr,,,I;,s (inclnvelld,) Ins rN,rti V;lI\ L'HnlJi':n);
.
'll' la~ disl:llH:ias do IlOs 1""oI us de aplicaci,," do osl.,,~ f'len.,,~
s iLuad os Subro' cl ,'jo ,1(, la \·ign. 111 (oO"il.:(·1/ dI' c""nh"lAdn~
(fig. 82, Ii);
q.q' If~ rcspccti VilJ\le ut e. 1,,'1 v;oIores da 'J.," In pri,uefil, elc .. drri·
v:lII,1'<; de IJ" respect o il :1", p~, ra x ~ (l,,- ['~ decir, prom las
seccioJl('.~ tr~n~\' ('rsalcs !lo,,,lo cornicu1.ól 1;, neciu" (le Ins
fllC"Z US di ~Lribll i ,b s (fig. 82, e)
9/)q,I1~ rnspecLiv:lmenLe, 101 v~lorcs lle 9", do la Jlrim crn, l'lr.,
tleriv~rln s do
la~ secciones
l/x respecto a x, para x = b,,, es dec ir, {la"l
Lraus\'ersnles d Vllll .. ternlÍnll In ncci¿n d,' las
rn~ r 1.(ls dL~trilJllidalj (1111' so ('uenculran »ntes ,lo l:ls SI:'Ctioues qne se 1l11"li1,au (fil!. 82. ej .
Si ('1 ()Tigen de cOQ rdl'!liuln s se ",i I tI¡, !JI! ,.J cl:'olr" de gruw', lnd dula
secclóu 1!.~Lrorll:' dcrcdl;l do 1<1 vig,l ~':;.' .Jirig<' L'l cju .[ ha .. i" la i'l (]uierda. enL"uces li ara la d¡mcdón indira.!" tll! bs car:;a~, ('u las
.)
o)
,¡
~M
o~ '~
x
o,
-x
,
o
q,
t,
q.q
x
~
-- - x -
Fig. 8.2
fórmulas (ltü) Y (11i), I,,~ ténniu os que ... ·flojan la il\[Juoncia d\) I"s
mometlln~ .Ir I,,~ pllTOS e.~ leriotes figur.:ldrl eu l) s igil O uegnliv" y I".'!
dirccciu nl!s dp los !!iros ,h~ las &eceio!l(,s du I"s vigas obtenil!as l¡(jI" la
rórroula ( 11 7) ~('r¡ln OIHlC~ta~ a las atl'lliti,!ns lluLeriormente.
E~ ~llfjcieule recHrdar íloi camPlllc In fórmula {llt'j, dc b ",ual,
dori";llld", ,m obliel'c la fónnula ( 117).
Lo~ ll(}.~ p;, r:,,,u!'tr,,s .Ie ori¡,,"'n In)' O" ~l' oblicnen de la~ !,-j¡.t\1je"l('~
condicionrs dI! "poyo do In vi~a:
1) " 1( ,,1 ,'!Hputrnmi,ll1lo l¡¡nLu I~ fll·d,,, comu ('[ ,¡ugul" de giro
do 1" ;<¡orción ~,," u\llv.~ :
:!) "" l"s :q/O)'os nrtieu[1ll[".. [. 's f [('d,:~~ son igun[t's ;, o'm.
En ,.¡ CllSv d~ vi!:,as s inlóLrica~. ~o 3" .. li ,." ~"h'nH)IIle Ulla ulil:,,1
y se ulilizil !;, w n!li eiú u do sinll'tría ql'" cunsisle el! (1"0 el ;;u¡!"ulo de
giro .1,' la ~(,.'ci';Jl 'J11 0 coincid ... cou el,.j\! dc simelr¡¡¡ ,lo 1" \' i!!" es
igual 11 ceru. u ('U 'lul! 1" flecha do 1;, secl'iú n quc coi ncide con 01 ejll
lIB :lnli~ilnelri" ,t" la vig:l, PS nulil,
Convjpllr planl car solamente uua ,le ¡ns eClla,'j(>ucs (IW) y ( 117)
para HU" secció" cllal'luiern <Id óltim o Lramo de 1" viga. indllyend"
la cnrga en el I\\;S'110 ordeu (¡UC se cncuenlra n parlir del orig",,, de
coordelladns. C.,da uun de e.~ l:l~ ccunciIJm'S \';110 tambiéu jl:lr:l determinar loo y O~ on cualquier lrlllO O do Ja viga, si se o.\cluyc" !I)S "l¡ellluros corrosponJ ientes alM e:\rgas u hicóU!flS en lo~ trn I\lOS ¡lo.-l l'rlores.
Ejemplo li2. Dndo: q, a, l' = 1, '/(1. JI! = 'la', E l (fig. 8:1) .
DelcrmÍ!wr Ix y 0.\..
l(es{)/uci6r¡. Do la ocul1eiún de la e.<l.'ticn X,M" = O obltllCIIIOS,
-qa'
5
2
a
+ tl ,2a -
<lqa.a
•
+ qa-=
O;
Fil:. 8.'1
Oc ncucrdo con la.'! cnndiciorll's de ~pOy.l lerrtll1)llIos: on el ¡¡ IIOyO
ilqnierdo,
1f:1/" = 111/.
+ E/Orll _ -,,' _
"
,.os .Ieei r.
0,
,,'
EI/. + EID,p. - 24 = O,
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el/. + ;¡If:Ia~ + _7_ qal =- O.
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de 1" lillen ul:i.ol;'-;) ,le Jr, \' i ~" (tí,,,·,, do' pHI,I ..,,) así ,:, .",,, J,, ~ rI,'o,; ha s
y ¡us ,¡lIg lJt ,,~ ,h, giro d,> I" s scc.: i"""".
Sil dcb o lCllcr (> 11 c ue n ta q1lt' '-'JI ;lqllclJ:IS ""(;c i"" c~ d O) la dg~
dond e el 1ll0Elwn1.O nodor l'.~ igunl ~ cem. l1ll la lín cn e l'\slicn debed
ex is l ir UII plllllo dr i"n (~ x i bll. EIl los l r~ n lOS (I r 1(1 "ig:\ 11 0 11,1 0 e l
momento [Iecl ol' es IlOs it i vo. 1" cO lO vc .~iola ol de la li ue;l elástica
e.'Il~r;í diri g ida Il;lci" ulmj (, y ,dli .tOll ol " el Ul""ll'ul v ned or f'.~ negfl tiv o , hac in nrriua (e~to se se jia l;¡ on 1(1 figura 8!,).
l'ro hl c flIas ;J8{i·;~7 . En el pr oblema 3&; d lllp rmínl\oe 111 flf'c ha f
y los ,íll gtl los dli gi ro O (le las !\()c(' i onp~ ¡J o Ins \' i g,~s in t.t'gTHu d v las
eCIl"ciofle~ direrenci¡¡les 01,· la lí ' "'n ,·j,is liea:
1) en lC!s problemas 222-22ti , las rl e<l bas y '"gUIOll de giro de los
ext re mos li bres;
2) en los problerllfls 228, 229 Y 231. lal! rle<:ha~ e n las secciones
medi as do lO!! van()lS y 1011 á ngulO!! tle giro en 109 apoyos;
3) on los prob lemas 227 y 230. IlIs flt.o.c hal! mlÍ.Xi rn flll, e n YlIlor
abllOlulo, y los :í ngu lOll de giro en lO!! PP'Oyo~.
La!! ca rg:I!!, 10ugitudC!' y r i,!ideecl! de In.'! secciones de las vigaa
so cOllsidcrall co nocidas.
En e l prublcl1l:1 387 IHiJl().'!e IH d ifcrOllcirl, 1.'11 I,or eionto, olllre la
f1 (K;ha e n la .'lO<:ciÓn med ia (il'l van() do In viga representad/!' e n la
'i¡.:ur.. , tlch' rm irw,la por 11I '''I:IIIIC;On Ilpro .~¡rnntlll de 1:1 lí noll elústicll
y 111 flech~ 1'11 1,1 miHllo Jugtlt, pero ob len itln ¡>nr lA ('CllA I'¡ón del nno
,le la eireunfel"('ncia .
Pro lrl r rU/ls 388-39 1. Dotermi !llIr e /l CUA nto ¡,,,r c;elll0 1'1 mome nto
f[ector mnximo y )" ll ecl':1 en III!! v iftlL!! r"llrl'~,'"I",las e n las figuras
388-311 son TnllyON'll qul' e n e l ca80 el o UIIII ,' igll ,)" dos a,IOyO!! so licihda por hl m is ma carga Q. IloC' ro dislribuidn IIl1iforme rll<'nte lIob re
la l"" gi l nel.
'"
PorolJOla
3B!
Sinusoitit . (me1lw ontia)
~t
-
¡-
f'ruhICHUt;¡ :l!Jt·" U9 . Cnku!;,r Il'S (f"cflnl! ¡.. ,Je I¡¡s secciones
y l o~ (,"guffl.~ d,' gir.) O" (l!. In ~ seccione~ o dI! lns \'igus.
C<.n~ idérl'~ '1m) 1/, fl, f.' Y ! "'Cm conoeldUl!,
'" ~t
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MC,.",I,. de la v;gll co" jug,,,I.
En In ,oiga <lada se cUlls Lru ye ('\ (liHgratl1~ de l o~ 1II 0 1lll,mtOl! Ilec·
tú~ ~llIC se ¡!llor t)reta cornu 11 1111 c"rg¡1 dist rib uida fi ct icia ap li c:" Ir.
a la vi!;;, conju~:lIl a. El ulIJ.:lIlo de giro O~ do una sección de la \' ¡¡IO
,1'ldll se deter mi na como In ruó n ent re 111 fUCflll cor tan t o Q".• r 1l 1..
miSUIl\ ~ecc i ótl de 1:0 "iga cunjllgada y 1,1 righlllz de la socció n de la
vi ga ¡!:Ida, \lS deci r,
. ", '" ~
El'
(11 8)
IS'
La flochu
le.
do
llllll
~(lceió" cualquiera dc la viga dad;, se deter-
mina comu la Tll7.ón IJII~n~ el U10mclIt ll fll'clor M~.~ eH 18 1lI¡~lllu SCI>cUm de 1.1 I'ig'l C(l ujugjldll y' la rigidez El do la viga dada. es decir,
/ .< -_ ,uF.,
El .
( J I !))
S"1:11ll l a~ r"rmulas (118) y ( lit!) ¡;os cOlldil\iollo.lS de d"r')I",u:lció'<
¡" "'¡JI' dl'j,Pr.;1I ¡le l.rll u.~foTU! I.rse
la \' ig" cUlljlll!(I11:l.
I'JI lu.~ ó"IIWyUlI y l'll lu~ JíJUi!I'S ,Ir>
en c(J!ldi cionc~ [mm f)~ y M f' tic
~ ~~-O"<,,---,,>.---
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Fig .
~I;
P.'Ta ubl"llc r la "i¡:n c" "ju g;"l~ (."I'r{'~ I'() ll djl' nt () 11 111 \'iga d ml"
:;;1' I't, ""ceSario s,'guír !;'S Te¡:I" .• ."igu i, 'n h'.":
1) el apüyo ;"'~iCllladu 1m e l exlr"II11, ,Ic 1;, "i!.la du ,h¡ ¡H'rIllancI'C
sicl"lo :qluyo arlicuL"lo eH el ;,x l n'''''' dI! I~ viga conjng, .. lr,;
~) ,., ¡¡pvyo 1Irl.i~III,'"Jv 11'10 "" ('~ , ,; ,~i!¡¡¡I<I" tUI e l ¡UII'¡'''''' dl' li'
"il:lI d,,¡J:, p~~a" ~,-,r
arliculnciúlI fl"lnll t" ¡Iu In viga cOllju'-tntl.1;
- :1) ,·1 c .~tr("I\" Il llllll,tr:ulo (ltl 1,) \'ig~ d"dn I':tS:l a ~cr cxl,.em" lihr.,
du la "iga conjug,,¡I u;
"J ,,] cxlrCIl'<> Jibru de la viII''' d~d" p"~,, o S",. e.\l."l'mo "III)) olra d o
Ile la v igo c,mj'lgail l' :
5) b ",.lit>ulad,íll flotanle ,It, In \'i::-n d"dn "" tr;tnSfO fl llil ell 1111
apoyu ar li culndo d e In vign CÜ I'ju g,III:,.
En 1:':1 figuras 85 y 8tl so iluslr" el uHlplell dlll'stns re~las pnm la
o!JI,mciúII tl e la.~ vi~a~ cu"jllgndns;" y /, .~nn la,' vigas ¡lad,ts. (1' r b'.
las r"rresp,,,,,licntcs vi¡,:;tS eunjll~,1d,,~,
1.,;1 111<][0(1" do 1" Vig.l ,·",¡jugadn ,.~ cú"",¡ju pnri! la dl"lermill;tci ún ,le dcsphI1"H"i~nl"s de sucei"",':! :'¡ slad:,~ ,1>, la \"ig;t, "":;II, d" r.~
faci! d e "bten.. r la~ :trt~HS y 11ls r.llI,Lro~ ,lo g rn"ctlMI ti" lo,~ ,¡¡a~I"""~S
do l o~ mUJll " ull>:j fll'¡;lor":I ,)()J'rt~~pul\dkl\lt's n In "argll tladn.
P"rn que ~c ItWllteng:tn l;t ~ reglas ndll,ilidus p~rn Ins SigllllS de Ins
flocha ~ y los :\ngllluS ,le giro ti c 1" ,;ccci"lI. t.l l di .. gran'" p'JHili,'ü d.,
los mOulClltus f/(-cLun's en la \'iga dada so dehe illtcr¡trd:tJ· CUUl"
carga ficlicia lJ\lIl nchiu de altnjll arrih" Ji el diagrama d .. III~ Ill"lll(' n·
tos flcdores lIegat!"u de 1ft "¡gn tlutln , como earga fictiein (l"C ael,,,'
sobrll In viga t:on jllgadn tic nrrib" "boljll.
'it'"
Dacio: 1', l, ¡.; o I (fig. H7), ,lclermi'I'IT Oc, OA y fA'
,Iillgram¡l do los Il<ome(l l u,~ f!oc!w'cs I)I! JI' "¡gil
dRda AIJC os i;) reprc!lt!u lad o por e l lrir,ngulo rwg"ti,'o de a lLura
PI 011 la sección 11.
'"
Interpretamos este gráfico co~o una carga ficticia para la viga
conjugada A 'B'C'.
Ftg. 87
DI! la su ma de los JIlOJDtlntos res pecto a la arti cu lac ió n flotante B'
(tle las fuerllls si tuadas 11 la derecha de éslP ) obtenemos la reacción
PI'
QF,. = - C ' = -6- .
Pll e~l" 'lile
y
P I'- 2l_PlI
' = __
2 PI,,
=-
MF
A'
(i
3
rcsull:,
Ejem plo M. Dndos M, a, E e / (Hg. 88), dete rminar 1m .. '
R esolw:i6n. L ~ "i ga conj"gada co nstitu ye una viga do dos apoyos
!KIlici la,la po r la carga ficticin uniformemente d ist rihuidn de inle nsidad Al en el segundo tramo.
'"
1" lIt1tnll de lo.'! momentos de las ruenas rCllpecto A los "I'0),os
I)\,
A ' )' IJ' ,¡'>II'rnlÍ n a m OlJ las reaccio nes ri c Li cillS,
G
y
1J' _ S M a
El d in1:"n'" ',~ d"
ciú" d .. ",I(' (I~
I' lIe~lo
,
A' _-¡;- Ma.
()~ t'~l" rl~ [lr{'S('1I1 ~ ¡!" 1'"
M
(l.
y
Mp
."
In fi¡(u nl
&~,
1';" l., "ec-
,
qll\',
IQ, I_ A' - Me=~ Ma
- ,IIe_ O
resllltp,
y po r 1" tanto,
"
-l'e -=2a+ e-5" (l.
IIIIlIAmos -'Iv ..... ,
Mp
*
,
el
4
t,¡
Ml6
48
= - A %.+ ftI -=--J1!a - a + - .-az = _ _ ¡\(a,
..n
1..0 fl echa rnih:ima
'"
2
e~,
5
5
225
2;;
Prob lemas 410-42 1.
De ~erminar
las {lcebas le en las seceioD68
e
y los dngulos de giro 0 0 en las secciones D de las vigas. Considárese
que tanto en este parágrafo como en los siguientes P, q, Af, a E e 1
son maguiludes conocidas.
'!lltt3
' ,
,
,
,
e
P
, , ,
_ Q_
Q
0_
4"
4/'
§"
,-
l'e
J
11·
163
I'roblemas 1j22-425. Determi na r la~ flechas fe de la!! seccione~ e
y loo áagu los de giro OD, y ODI de 18s SCCCiOll{'S situadas a la derecha
y a I ~ izq\lierd~ de 1" ar ti culación D ¡le ]ns ,·igas.
,
"
,,+,-'-y",,_---J,1
,,-
,J
¡'roillemns 1j2f¡./,3.1. Determinnr I ~s flechns máxinllls. en ,-n I0r
nilsolulo. (/1 mox y los ¡Íngulos de giTO IU¡ mu de las secciones de
las Vigl' S. HCj)rcl;e nla r la configuración (le as líneas elást icas de I11S
vigas.
'"
ProblemllS 434-443. Detorminar las fl ec/las 1, 1, y /2 do las se<:ciones C. C l y C1 de las vigas empleando parll ello los valo re/l de ¡lIS
flecha s y ,íngulos de giro de las \"iC-lIs má~ simples, dll dos en la
figura 99.
r:~
q~
q
a
_
4
Q_
q
43//
-L,,=lj'
p
ZP
p
1-=-11:-7<""--1"
Prohlcmlls 444-''jIi8. Delerminar, per cualquier mélodo, las
fl echas m;l.l:imas, en valor absolu lo, rtlm.~ de las vigas.
D ~~20cm
6~15cm
E:IOJhsf/cm Z'
I'roblemas !i!i9..1¡53. Escoger la~ dimensiones de las seccionos
transversales de las v¡gll.'! que satisfagan las condiciones de resisloncia y do rigidoz.
~5(J
f·z.rO'kgflcml
,¡;onri"p':¡"I"rrlimil 1 [C11-1GOOk
f
i q¡ _" {fj-!i;'
P
h
'3
,-,_ .
L· "'m
p,
=6
1---L=6m
P
p. m
2m 1/11 2m 2m
//11 a_1m
..
.
P roblcII1IIS 45ti-1i57. De terminar 111 rellleiÓD de las fl ll'Chas de las
e de las vigall q ue resul tan según se e ncuentre elmome nlo M
a la dcr"chn o 11 In izquierd" de la articu lación D .
seecione~
Si ,." co n ~ t rllyc gr"ricamr'ute en 1" \'ig1\ conjugada el diagrulllU de
lI'''''lenl.os rlec l ures fi cticios ¡\/~e< Y do la fuerza cortante, ficliciu
t"mbién, Qp,. cnlonceti la curvlI runiculnr (de tnllllcra aproxitnildu.
el po líguno fltnicul"r) represent ar,; la línen elástica de la viga dada
y la liu l':l de la fUC I'1.n Cilflatlle, In de In vnri aciÓII de l ,; ng"lo de giro
,le ';'i< seccio nes.
L ,,~ .~i'gmenlos \'crliCót!es Ye< Illtlre la curva fun icn lar y s ', linca de
cien" ,I"n;n l"nngnilutles proporc iouales il las flechas fe< (1(1 In viga
.Iadl' y I..s scgme nl us verlieulc~ Y~ entre la Ilnon do In r,mrza enrla uto
fidic. i.~ y la dll sus v;dúres tlulús, !IlHguilutli'S pn,porci "llah)~ 11 I"JI
(lllglllo!l ti" ¡;iro O~ d(! Il' ~ secciulle~.
Pllc ~ l" que,
lu~
(120)
,.
( 121)
>jil·",lu fI la
liHel" do
I.~
t!isl~ncia
\"igll;
óircH~
..!.-.
"
polnr del
J)I~)lO
In "gcnla de los
de los vecLores;
\'eclorc~
I
T'
la
e~cH IH
Ilue ue lerUlin"n I.. s
.Ie Ins partes do ros llingrnmas do ¡ u~ nlOlllClll"s flectu res do I~
\"iga ,I;,,!;, ~' 1::1. la )'igidez do In sección d ll la I'iga; la ese.. l" do las
.
,os lO
, gtro,
.
er ,la S li<.! ra. El I )' 'H"
I e os angu
_El,
. •HS mngllil u J o
"
¡-, ~~
_
~
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fl , ~ y '1 so debe n oscoger d e Ull mAner a I[tl e on e l dib ujo y" y y; ~e
II UCI[lIlJ medir co n s ufici e nt e exnetiwd .
G cnor::tlm enLe Ilo r el métod o g rMi co .~ (l co"slmyc S(}1 "" I ~,,{(l In ¡¡ ncn
elás tica de la. viga.. En el mé todo ¡.¡ráfico, ta ca rgr\ (¡(¡l ici" ~e ¡lIlelle
apli cor (lo 'l " ll ('.~ 'llIis cómodo) 11" " la "iga c",,,jllgmla . si" ,-, ;o In
d"dn . f~ " l o " c\'s [mra [r,.zar 1" lín ca do c i\'r re ( li"eo ~ d (' ("i"rre) dc l
pol í¡¡:lrIIU ¡""ieul;,r es n cce.~ar i o ,,\.ener~e H las s igu ientes re¡.:l;IS {pie
se de du cc n du l H.~ eO ndiei"nes de '¡P"Y" ,l e la \" ig<\:
1) (>" 1,1 Oll lpo lramion1.., 1" lín ea de eief/,(, es larlb'Cnlt' a l I' ,digo""
flllli Gll ln r ;
2) (> (1 e l np uyo IIf li c ul a du In lín oa de Cil' l'ro 0 1'11 7.11 el I' u lígnllo
(uuicu[¡, r;
3) ell In arlieul'.oió u Flotan te In lílle:l de ci erre i<e Ijll id!ra (,, 1
;1COrc",no.~ 11 IH arl icu l"ciólI (lotnllLe por la rlCroChil y por lu ;"/;'I"ier,In \;' $ líneas du ciurre 1:'e Crn1.1w).
~·ig.
8!1
I~n f" fi g' ul'n SU S(! ¡l us lra el "mp/e" do e~ l as I't'g lHs p,tra ('1 lra7.l1 d o dI' 1" fíll e¡[ do d {'l'ro ( lí ucn,~ de cier r.:!) . El! d i", a ) f"rfl'~fH)II d e
H la \"i¡.:" dada, lo ) a la lillo" ¡" "i rular y e)" 111 d e cierre ,
En 1"" eje lll[ll"s "El y "ti Sé ilnsl ra 1" c{",~trl1CdÓll grtifi..:" du 1"
li llCn l'Uslicu d e las \'i gn ~.
Ej('1I11lIu i\5,
~-- H
Fig . !lO
t 58
"
- _---l
Ejemplo
~6 .
• ~
411 I l!:pl'ÍUIIII
¡
--
t
'
,~a~b----l
'
,
I
I Z:
I
q"
•
Fig. 91
E n nlg nll OS cnsos, ~clemh ele In condici6n do rcsislcncin, se plnlllen lnn, hié" In cor"li ció" <1" rigiele7. ele In vign. Eslncondici611 COII~ i $­
te. I":n .!IH! lA rclacióu d(~l \"uJor nHíximo nbs"lulo de In rJe-chn
1/1,,," ,;,
Il' IU7. de In \'igR 1 deber:; ser inferior al" magnilud dllda
es decir,
~
"
( 122)
St'g\1tI SOl' e l
MiLJIt' d e
>I(!
~
de~l inv
do 1(1 vigo y
~u
es difere"le. P"r eje"'I)I",
"
,,1I"lile,
malerinl, In "',1g"illld mlrlli-
011
el
c~s"
tic vig:o g luel:iliens
§ i . 1"¡!lfl S <fe ",ccción t"nl"infJ(e
Si las di,nensiolles de 1" secci6n lransversnl do IR viga varían
de "un mUIlt'rI) ill~¡gnificanto y SIJ(l \'O en el sentido longitud inal ,
en lonC('lI se Pllede calcular las 1('lIsioncs por las f órmulil~ deducidas
J)IIr~ 1;) ,oiga dc secciótl COllst:l!lte.
Se consideran rllcion¡¡ll's las "igas do igual resistcncia on las
cunl e,¡, 1'11 las fibra s e:rctrelllns de cnda sección trlHISI"Crsal las tensiones Ilorrnnll's so n igllalcs.
,,"
DI~o
dOl "Igu de 19u1l I"I!I!Isl enda
En el caso do flexión pura , la viga de igual resistenc ia es do
!leCción eOllstllulO. En 01 coso gcncrHI de In flexión, la "iga de ¡gunl
rolIisll!lIcia Icndrj¡ ylI sección nlTiablc. (lile "arla I!CgúlI la IlCUllcioll,
W =1.41,,1
"
{o]'
(123)
.¡eudu M " el momentú rtector on 1111 11 ~OC(l ión Arbit rar ia:
IV" el módulo de 1" seeeiólI.
Si 1'11 alguna secci6n Ir81JS\'er.sa1 de la \' ign, el lIloIHeulo fl ecl vr
re!lullll igual a cero o es do magnitud muy pequeña. lIlicntroll (1110 la
fuou a co rtante es diferente do cero o licue magnitud considerable,
entonces 1;, forma de In viga de ignHI re9i~tencia obtenida por la
e<:unciÓII (123) se corrige COII In condiciÓII de res is tencia (IO-i) lJor
lellsiones tangenciAles.
SeguidlllllClltl! lKl dllll algunos ejemplos do cousl rucc ion de l'igli S
de igual TIlsislcncill.
Ejemplo 47. Dado: P , 1, h ... CO II st. 101, ITI (fig. 92). Octcr·
minlU" b~.
Fig. 92
/(CSQ/ " CiQII.
El momente flccto r 1111 1111,.
Ms=-P;.
yel módulo de esta lIe(:ción,
b.h'
WS=T '
Según la ecuación (123),
bJ¡2
I~z
T = 2 101
'"
~ecciun
IIrbitrflrjOl (lS,
de donde se obtiene,
Pues l.o (¡ue en
YQ -
~
l a~ ~eceion!!l! situo d a~
so bre los a po yos, M _ O
, ne so Jluede adm itir aquí uno anc hura ig ual a cero. La
anchurP de la sección ba so determ ina de la condición de resislentla
por tensiones tllnboenciaJes.
3 Q
Tm
3 P
"='2F=-¡ bJ¡. ::s;;; [T].
obltluitm du
L;l cunfiguración (lo la viga de igual rcsiSlelleill se da en la
rigura 92.
I.a 10ligitud .%. dI,! los ex trem os de la viga de 811cburfl constanle ho se ub tiene de la condición siguiente:
b = ~~_ 31'%0
o
4 h [T]- h.t (a] ,
%0=
~J!l..
4 [TI
z. ;::::
PUl'sto que 11:1 ... (0,5 + 0,6) lal, resulta quo
(0,5 -+ 0.42) h.
EJem plu 48. Dado: P, 1, [0' 1, !TI (n g. 93). Determinar d,..
nd'
Ueso /uri(m.
M~ _ - P.%;
IV., =
32~
Oc la ec ullciólI (118) h;lllamos,
nd!
32
Ilur J.. lanlu,
d _'J
,, - -
P.%
=ToT'
¡I [a] ,
4P:r..
n
°
Puc~t() quo cuandu z -= O. ftI ...
y Q _ - 1'. cor re¡;imos In
forma de 1;, viga do i¡;ulIl rel!istcllcia pn rli cndu de l¡, condi ción de
'"
resislcuda por
tcn~ionCl!
tangcnciall'~,
4. IQ/
es decir,
{¡I'
T ,..u=---_~Iii;
3
F
,
3~
(Tl·
ohl ellienflo
Lo co nri guración oblmlidn do In vign ele ig ual resistencia ('sIlo
rcprcl!(lIIl ndn el! In fi gura 93, a.
L:¡ IlIngiltnl .xt del extremo de 1" "jgB dI' diámetro COIIsta!!lc d,!le
oblicue di' 1;, fUllllición,
de dOlido ha llamos.
xo=
~o ~::
:::.:(O,J3+0,2G)dQ•
Si 111 viga dc ig ual rcsistcucin ',('no configu ra ció n coml.lcj,~
e nl OncCl! se ~ulltiluye po r una viga csclllonada circunscrita etl In
viga de ¡gtUll resistencia. Conociclldo lu magnitudes de d . y d !I<}
e8COg(!n vlllol'CS intermedios arbitrarios de l diámetro, por eje mpl o,
do<dl<dt<d~ < d,
'"
.!I(!
delermin ll después.
I~ _ n¡fo
0 - 32'
lV =n~ ,
,
32
Y los IIIOI1Jelllos
. .110 -= II'D 101. M,
pl, rll lo~ (un le~ dD' di' d z Y d, gnTlll lt izD n la resistencia.
U bican do so bre ('1.HngTlIIIlIl de los momenlO!! fl eclo rOll (fig. 93, b)
¡\lo• .lf , . .1/: Y M . l«· n bti('ll('u I ~s longi t ud es de lo.!! correspondicules
('!!f.Illonel! ,le la \'¡gn (fi g. 93. e).
Ucte. mln ad6n de h>s clettpl n.,mlenlos e n tu "lgM
de 'lCt"d6n .... r l~bt e
Lo~ ,11.'~JllnzalllielllvS ell vi¡rns de sccciún \'"riable ~e ¡llledeu olo te1I,' r MwHlicHlIlcule, purel método dn In I'igl\ conjugada o J,: rMiCII-
mell lo' .
1';11 p\ m¿todo (Jlla(itictl!le IIlalltea para (lula Iralllo d e 11\ \' igll la
ecuación di ferencial de 111 linea elal<lica,
t;.'Y" = i\l" ,
~¡erll l "
Cm,
lIe~
l.
I x 1'1 motll e nL .. dr iUl'rcia \'ariuble de 111
reS IH'c ll, a 111 ¡¡ .. en ncutri!.
UUII
11(' 1.>.'1
~ecc iúlI
,le In viga
i"Le~rllci"H l<ll h~llnn I ll ~ f ll llcio"es .t u IIll<Vllr illc ioa"g lll.~'1 11" ~iro Ox do las seccinll e~ y ,le I;,s fltoclms
dobl e
1"
t,YJ,,_ Hy' =
y
E/~ = t.'y =
r M"d:x.+C,
l.
( 125)
J
1UJ~:"
d:x. ]
fiJe
+ C. f + C
2•
( 126)
LII.~ cons Lallles de ¡nl(,¡:rlIrioll C, ~' C~ se dclermiUlw de l :t~ cund ic in lli'!I de allolyo de In \·iga. Ellel ca~" de "lIrios 1ramos se e n.plean
la11lhi,;" la5 co nd iciol1l!l1 ,It) bu rde. es ,Iec ir. l a ~ con d iciones ,!L. igual_
dad d(' los ángulos de Il'ir .. y de Il's rl ec hll~ 11 1 IIce rcaf""S al límito
enlrt ,If~~ IramOlJ ¡)(¡r la d"n'chn y por la illjui'lfIla. I..u!! Ir;t1U()~ so
cafacle ri7.all. 11 0 l!Olallle nl e por 1.. carga. !lino tamhi én I'nr 1;,.'1 leyes
,le \arinción ,1(' IlIs :!CCcinnes Irans\'el'Sl1 les de la \';1:'1.
En lugar de 11I l!C:u nci"n (\2<1) se puede ernl.lellf 1;'11,11;61\ 18 ('C UIl ción siguie nt e:
El 011 '
•
J~
=" 1 ~-",,, 1II~ ,
l.
(127)
siendo 1, el mo mento ¡Je inen:iA do 111. S«c1ón constante 11 In quo
cOHvcncio nnlmenl1l Sil reduce 111 "iga,
.IJ~ ~ el
•
J11,
rnoment" fh.'f'l ..r COIIIC'l'CiorHII .
COII~l
Ejl''''vl" lo!) . Dlldo: P. 1, h
higa dI' igual resisulUe ill
I'aria-
de 1Il·f'ril." rl'l'lnllJ.:ll lar di' a l Lnrn 1, r<ln~I~lIh' y do IIl1ch ura Ú.
l.IIl'.
",,,~,.
1',ÍI'nI111i' 107). t: (n!l. 91).
De!l"rm i nn r 0 ..... y I .. u.
lI eil"l"ri6". De :Icucrdo en"
IHlr 1"
,·1
I'jl'rllpl" 47,
l
P
/.1 ", = -%
2
Il
b h __
"hx
J,,_-'_
"[o [
12
11IIIt o la l'ellllcion (1210) !l("d.
,. M "
2 [0 1 .
1~II = - ~= o
.
Dt:'~ I)lII;S
I~·lr
.
I
:.!¡n JII .,. .
I1
J"
dI) IIun doh le in lc¡:;rnei¡'II,
L
y
l:.'J,
"'C'
--g=+ ,%+ e f'
1, ",'s to que ellan, I II x =
o,
g
t:h,
--y
2[0)
=x+ e
o y e,
= -
~
2[0 1
~
o
2
y
I
1'\1.1'1("
X
=
l y.
2"'
.
I'or lo Inll t ll.
.
2(',[0]
Om.. =OIl=-O.u =(Y) .•_~_-¡¡¡;-=y
IlIIu=«g)
l~ [(J J
1- - -·
loE"
"-T
Del l"jemp ln 107 se sa he que,
l [o )
Eh
~
o•
y co njO cO llsec ucncin,
3 Pl 1
9mU 2 -Ehsb
Pro bleIlH' .'1 I\58-I\ÜG . Determ inar 11\ co nfigu rac ión do Ins vigas de
ig nnl n'~¡sle ll cin y b~ rll'Chas IlHiximas en \'Illor ahsol11to.
Corl¡(l pt1robóliro rfe virliU
ti!
t1
e. 11'CII>O flhre
li5
Prob lell1 l1 467. DAdo: j _ I 111 , b _ 60 mm. h = 5 mm~ n =
10 Iáminlls, 10'1 = 1 600 kgt/cm y E _ 2.10' kgtlcm .
'
'
Determ inllr P mn y I/l",n' PrellCiud llMl de la rricción entre lAS
hoJII~
de la ballesta.
p
Pro blemas 1,68469. Obllmer In co"rigurnció n tic Ill~ .. igAS de iguul
determinar la inFlue ncia de lAS ten.'liolll'S tallgcncillle~
sobre la configu rac ión de tu vigAS; las rrechas de los extremo;; libres
de 111.'1 vig"l!; IQS ángu los de giro de la8 Micciones extrelll/lS de Inl'
" igal! ( i"teqJr(~tar los resu ltados obtenidos). Conlli/lórl'S<' 11111' 1/.
/, "mu.
~o n co uocidos.
rl.'Sist~lI c i n;
t:. ,", ..
.,
q
~l
I'ru blcmas 4. i O-'i75. Determinar la sección de la " igll en 18 (lile
sn rgen las tensiones norm ales nlii.xima~ }' clllenlar cuiin t/ls \'Cl:CS 80n
ma)'Qn:ls aqlli a,. n ' 111 ... . y 1°1 ..... (Iue e u las \'iga.'l llIuítogas
pero de sección constante (tII1hirna).
47'
.71
¡
~, :fT
'"
•
I
-'
~
~
I
P- Jqt
!'roulcmns 1,7G..Ii77. Determina r las lellsioues lIonnal Cll mh;imllS 0mu origj lladllS ¡Ior 01 peso ¡Iropio do 1011 \'igos y la ¡)()!ieión
do la Sllcción poligrOllll. Considerar que M .. u Y IV.n son conocidos.
fl1
lO!
r
I' roblcmlls 1i78..1i8 1. Dolorminar las ¡¡echas de los I'xlrl'mos liUT!!S do lus vigas, originadns Ilor el peso ]IToplo.
Coll~idére nso
conocidos Q. 1, E e / .
!M
~r----~-~
~'(-
,si
éI4
~
~
()~
I
I'; n 1'1 método de la l'iga ronjuguda liara la dútrrmi naciun do la~
do In vign do ~!'ee ¡ 611 vnrinu lo, se ellliclldl' pnr (nrga
ricUrin no yn !!l \'alor lerdndero del 1lI01lll'uto fl eclor ¡\for' ~illo 01
deform~cionl's
C(JIlIl'urionnl.
,\l. =
1\1,, -
1,
l.
de IIcuerdo con 111 ecullción ( 12i).
I~I {¡n~ul o de gi ro y In rreclul de unn sección arbi traria l'C tlllculn n
por In.'! fórmulas.
o=
.~
12_1I ~
Q,%
E/ o
(128)
m
y
_}.fr,
I, sionuo
Qr~
y
E/ o
(129)
I
M,~
In: fuena cortante riclicill y el momento (lector
fictlcio en la viga conjugada;
El o 111 r igidez de la sección constante a la qUII, COIlvenclonalme nte, so reduce la viga dado.
En 01 ca.'lO de vigas de ¡gua.! resistencia de altura constante, al so
eo neidua que el momento de ine rcia de la !lección t ransversal donde
actlÍa M",u e" l o. entooces el momento flector convenciollal será,
lile -
Al mue ... co nsto
Ejemp lo 50. Dndo: P , a, ftf .... 2/'0, E, ¡ (fig. 95).
Determinar O". 0 11 , / " Y le-
~11Il11I1I11I1
MJ ~
ffIltr
::~
W'
I,,~
Fig. 95
R uoluci6n. Los momentos nectores en los tramos de la vIga dada
M"" .... - P"" /tf.. - M" = P a.
100:
".
Es¡;ogll)nOS l o = 2/ y !lnllo mas los momen tos floctores conve ncio nal es en Jos trllmos corrt'S]Jon d iellles:
2f
M o, = ¡Ir! ",
= - 21'x¡,
J
21
3 ,.
ATe, = /11,., 4=2"1,j,
,\1". = A'/,., = Pa.
"
Interpre t amos el g ráfico de los momentos COtlvllJlCiOnll les como
una cnrga ficticia ~p[icnd" " la viga cO llju gada (fig. 95. a).
Descomponemos 1" <'i ga cOJljuglHl n en dlls vo lndi1.0S bns icos
y un a viga ~oculldariH {rig. 05, "l. Puesto que
3
8 , =2 Pa·a
+ ¡la '2
(l"
0/._ ... = - 2Pa~
1II .,c, = -
= 21'a-;
+ 2/'a .~, =
_
.3
- fiel; QfI JI , = - 8, = _ 2/'a 2;
:1.
2f'a- .:!" 1I +"2
I'a - ' /J
1
a-"" ti =
+ 21 1>,
O11 =
Q" 11
----!!.!
2EI
-
tI
"8 Pa
a
,
f}/I~
= - --;
r:/
Ejem p lo 5 1. D" l1 o: q. 1, E, d
co nst , r un" viga do igua l resistoueia , de sccciun roct angula r. do altura h cons tan l!) y dc :1Ilchura
varinll lo b~ (fig. 96).
Dclcrminnr 0" y 1....
1(es()/ uciúll . COllsi o.lcrnm ()s
I _ bll'
u - 12
cnto llcM
ql'
Alc =Almn = - T ;
,,_1 .1.~ = __qJ'_
M"
= _ _
A,
2
2
4
12'
179
Fil:. 00
Los desplazamientos que se ¡)Usenn serán:
Q,.
O,, =~=
qf
_ __
·
2Elo'
/:.'/ 0
I'rnlllNuas t,82../iB5. Octerlllinar las f1('tlw.~ fe ,le las ~cccio nl!S
y los (lIIg'l lo" <l o giro 0u de la" s<'cci'm('s D dI! las vig¡'s.
1', ~, E e ' m"x SI! co nsideran Jad"s.
.
1--
t!;J
, . -----iJ .. - ---
p
e
48'
p
2I
'F=f:::::::::==+iD
..,
e
- t
' - T ·' t '
1
rt1---~c
Problemas 486-491 . Determinar l as flechas mb imas en va lor
ab soluto y los ángulos de giro de la! seccillnes do las \' jgas.
P, M, 0, E e ¡mu. ~e es timan ya co nocidO/!.
'ill
M '2Pq
~
11
p
ZQ----!..a.
0- ,
JI
11
-o
'0
P
P
1
p
1
~
,
11 --t-- a:
--t, o
l"-~~, ,~~--
El método gráfico de uel cl'rni"n ción Ull l o~ dcsl'l"'.o lui llntos on IIIS
vigo s d (l lICcción votioblu ~o ompl eo de 111 m i ~ ma frlr1l1 o (]\l 0 en 0 1
C1l80 do vigas do sección ("<I nstante.
La uife renci~1 co nsiHe rn quo en 01 CIl~O de vigas do lICcc ión
va ri able so ontiende ¡JOl' cllrg" ficticia de la vign conjugada o du la
real, no el mo men to fleet ... l· \"etl lndero 11I~ sino ul C'lIlVflll ll iolWI M o'
L~~ reglas para 01 trll1."do de la 111I\'n d n cierre (Iíltens 110 Ili crro) dnl
IlOlí g<"lno fllniculo r son llls mi smas.
La
c~Cllla
tic h s Flechns seriÍ
I~~~l)'
s i('u'¡ o l ucl Illomentollciller-
Cill tl o la secciólI lral/sl'crsa l I:OIIIII/llltll, ,1 la que, CQIII·cncir",.1Jm clltc,
se n:ducc lo viga .
So ¡JlIlldll c llt lllHle r po r enl'ga fi cticia t nlllbién e l 1lI""Ie.llto fle.e.lo r
vc rdntler o, bajo condición do ilu ll In diMnncin polnr del I' lnno do los
vllclores sen vnrin Ltle e ¡gllol (\
(130)
181
~illn do
110 una distanc ia poll. r arbitraria correspondiente a 111 sección escogida de monll'ut o de inercia l o.
Ej cllI l, lo 52. E n la figura !Ji, a, /J , e estÍl rejlrescnt;,da la co ns trucción grafica 110 [¡, line" ol;blicn du 1111,. \'ig~ e~"nlo "ad n u lr<l\'';~ do l
momonto flcclor cO Il\'encioll a l , cO Il ~id l·r;. n d" l o _ J.
Fill'_ !17
El! In figura !Ji, d, e, j so .¡" 1;, c"IISlroeció n grM ie<l de ¡" Huea
eláslicn du la mi slIlII "iga a l r:1\'é,~ del momento fleetor \'I,lnladero
y de la disl "nciól I,,-, Iar \'a ri"lJle del ['lnuo do los " celo rcs,
SI! "dmitió '1110.
§ 8.
V1 (J //8 lüp c l'Cllfítlic(¡1I
Se tl euoJllionn hiper~8tálicas aquellAs \' igas en las cUides de las
ecuaciones do la estatica no se pueden olJtener lodas las componenle!! reacLi"A~ qUIl su rgen en los npoyos.
El grado do hipercstati cidad ,le la vign se estalJlece por el nú mero de incógnitas SUIJl,lrfluns que no se ¡Illedon ob llllll.lr do las ee nado_
nos do 111 cst;lti cn.
'"
Mhtod05 par.
~ence.
t.
h lperestloUeidael ele
tu
vl¡a!!
M elodo lle los flar¡im elrO$ dt origm, Pa ra 111 viga hipcrestaU ca llalla
se pla ntean las integrales I{cncralO!'! de las ecuaciones diferenciales
(1\, In lillca el;islica a lrl,vés de los parámetros de origen, Esloa parámet ros, a~i cumo lBS co mponen les reacti\'ns, so determinan de la!
co"Ji cio ncs Jo a¡lOyO do In
" Igil ~. Je las ,~cu llcin llr ~ do
In c~t;¡ li c.1 ,
t:jl'ml, lo 53 . Dad": '1, 1,
f: l ' I (ri~. !.IR). ul'll'rmill.1r A,
11 . ¡\f ¡;. JI' o~. Q". ¡\f~..
" r,ro/ucien, Puc~ l" '1"" en
,·1 "poy" ilquierdu In _ o, oIu
;l",,(>ro1 .) cu n las ee lH, c i""e~
( II U) y ( 117). la fu nciulI Jo Ins
f)"clon s r lus ;Ínglllo~ do,¡ gi ro
:<!' I'.~ ribiráll en In r"rUla s i_
g ui... "t ... ,
Fil:". 91\
!'i" ¡':IJU 1"$ cmHliciollO'S dI' HI'''Y'' dl' la ,'i¡p J¡
t:IJ¡= 1::/001 + A !.... _
G
,
LI:?O
I~ / J,,=
,
= 0;
=
{I Y O/ = 11 (' ~ .t",' ir,
li¡O,=' t,'¡Oo+ A.!....
2
-~ =
21,
0,
r¡l'
ql ,
q z5
___
x+ _ x - -
120
60
1 120
S Ul'onio ll¡[ o O.' "" O, de 1;, ecuación
G12 ,11
t
x - - z +-=0,
:;
:;
'"
¡
obtcndremos z .,. V - ::::;O,/¡171 a cuyo valor correspo ndo el \'alor
•
máx imo do la r1cchn
LlI rn c r ~" , .. rIIUllo )' e l mome nto ft{'(;t or rstdn tI.:ulo¡¡ IlOr In s
funciones
~
q
~
Q _ - __ . _
"
10
l 2
Su pooicudo
v
ql- Z _ _
q · _~ .
=O
M
-
"
10
Af. - Olw l l(l rnQ.'lz _ l "V/~.,
1
ij
::::::0,7751, cr,rrcs pon-
di(' nte DI 111111 10 de inflex ión ¡Jo 1:\ 1illcll í'J(IStiCIl.
.
¡
SUpOIIICIlI]O Q" _ 0, hlll l am Ol! Z "' ) " "'" <:>: 0 .10171,
.,
m omento {loo\or ;llh¡uil'ro
~II
M"•.u"", Af
d'!IIdo
el
,-al.)r 1I\;;'1im ....
1¡1'
I
. - y¡
= I S,f'
vv"
M,,_o= O;
JII.,.r_ -
ql!
--=o
15
111 /1_
CIIII est o.• result cu los se hllu cOllstr ui.l o 1011 tli llgrarnns d(! Q y M
Y 1" 1i 1l('1I cl;\s ti clI d Cl JII v¡gll.
I'ruh l<,ma,¡ 1,!J2-"!JJ. Crllcl, lclIsc I ~~ vigll.~ hipcrCll l ;l li il;' ~ lIn do s.
lus IITQultllfU'lll ' ,{l2 y 1,93. tonslrÍl Ylln"" los di:.grMllus do \:,
rU(!U;1 Ilortanto Q y del rn nmClI l" n ector M; {'II e l Ilrobl"'nll 4!H,
ca lcúlese el ángul o do giro de la seccIón ~o ¡' ro el llpoyo .Y en 1.'1 [Iro,
blema 495, 111 rleclm / tic 111 !lCCciúl1 B .
1~ 11
1
' S<
Afilado de campllrtlción de los desplazamim los. La vign hiperestática en cuestión se eonvinrlo, elimina ndo ligaduras, en isostática
y cinOl1lá ticllnlcnle invarillble, obteniendo asl la viga base. La viga
base ¡;e solicita primeramonte por las rllcr7.115 dadns y so dator minn n
00 las secciollcs donde se han eliminado las ligaduras los des plazamientos or i~in n d os corrcspn" di enle.~ a las incógnitas superfhlllS eli·
minndils (11 In ruerza corrcs llondo In flecha , a l rn oml' nt o, el ángulo do
Id
~
1) JI/F --_
i-'
J 8..-1f
1
:
P
t,"¡"l/
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I
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jl!!tlI!!!!jjll fI
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1
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1
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J&
I
f_ o-¡jy
fjg. 99
gir o). L~ l\li~m~ vign con I n~ ligaduras l)1iminadn~ (viga llll xi1ior)
se so li ci ta d(,sJl u 6.~ sola mente IJor Ins i!1 cógnito~ supe rfluas y ~e determinan en [liS mismas sClcc i o " c~ 10;< dcsplar.nmientos co rrc~JIOlldi clI ll)s
n lns iJlcógn;la~ ~ u]ll)rflll".'I .
Lns m11gni t.ud es do las i Ilcúgllit.as supe rfluas so escogen do manora
f[1l0 los dcs plallllllienlu~ 1,,,I:1 I!.'.'I qll e so ohli ene u !';lra las scuionCll
do ud o !wlI 1\ido c \imiJl~dn ~ la~ li g-nd uras do la viga hnsc y do In \'iga
;\uxili¡n corres pollll all :1 l (¡~ desplaznmientos en Ins mi smllS ~ecc i (¡nes
do Ir) viga hiperc~ l á l ica dnda.
E~lC mlÍtodo rCSlllh có modo (111 los CIISOS cuando 111 viga base y la
lIuxiliar so puodon roducir.1 v igas quo fi g uran on la!'! correspondientes lllblas do nd o se dlln lo~ vlllores (le los desplazami entos necesarios.
Es cOJlvo ui cnto conocor lo.~ v/l loros do algun os desplnzamientos,
aUllque 5(';, I'n r a el C¡ISO de In.'! vi gns nuís simples qnn fi gu r lHI llll lAS
t llb lns (lig , !l!l).
<so
Ejemp lo M. Dado: M , 1, E, 1 (fig. 100).
Determinar A , "8 , At a, DA Y /,. Constrú yanse los d iagramas
..
de M y Q.
RtlCl,/.C/6n.Considera mos incogllita superfluo la reacción de apoyo
A de In viga. La viga baso I !t!rá UII \'ollldizo solicitado por el
p /lf de rllo rza~ dll do. dc momento M .
El d l'~plllZllmien t o (fl eeh /l ) do lo vigll baso en la sección li bro drl
npoyo e~. según In t ablu do
M
la nsurn 99,
l
'
~
MIZ
="b~-~-----_-r~_C':.~.~r~--{,)"~
f A'=2 EI ·
.
..
__
l---l
T
I
¡
M
I
'
t
I
I
l-t---l
1
I
I
" i La
viga allxilill r 11 , bnj4"l
In llooión dc la luer%ll d ll!S.
conocida A re<:i be. en la sec·
clon libre del apoyo. una
rl ccha ("éllso la ,·iga 2 do la
fi g. (0).
IA· - -
Af
3El
·
Puesl o q uo en el apoyo A
do In viga da da fA '" O. al
c<>tlllJrolmr los dc~ p lazu 111 iel! los
tutales do las vigas I y 11
ca!! lo~ dcJa vigo da da, obloll.
d re mos,
..
M
fA = /A, +IA ,= O.
"
M f _ Af -O
2E l
3El - ,
dc dOli do halla mos
I'ili. 100
~
A -_i21·
Puosto qu e en una sección cllltl qu loro de la viga t1 adn In fu ona
cortanle Q _ A. 01 di agrama de Ins fu erzas cortantes será un rocl án·
¡u10 de altura
~~f .
La reacción en el a poyo es B "'" - A.
El diagrama del momento fl ector se construye flicilmento s uma n·
do 105 diagra mas correspond ientes 8 las " igas base y aux.iliar. En el
caso de l. viga ba~e el diagra ma del momen t o flector es un re<:tá ngu lo
p08itivo de alt ura M . En el do la vign lHlxiliar el diagrama del
.,
momen to flect o,r es un tri¡inb"ulo negntivo do allu rn { lIf ('n el
DI,l0YO
derecho,
Sobreponiendo ('slo.'! dos di"gram~s ,ob tomlremos 01 d iagroma
rl'sullnnto dl'l momento flccl,or 1),1ra In Vigll dn da. El momeo to
roactivo 1'1l 1'1 empotramient" ser,;
3
M
M II =-ZM+M=-2'
Para 111'IcnnilOnr lus dr.~I,lazlll"j\'IlIU~ tll' (n "iga ('])) Illenmos el
111610,10 de In "iga cOlljllgntla. La ,oig;! rO ll jllgMla y In ca rga ficti cia
I'.~t{oll rr.pTCsculn,I"" ell 111 figura 100, (1,
P \le~lo ,PI{',
01' =!IJ,~_!lJ~=_
A,
~
r.
3
Mi
lo
y
resulta
o _ OI'A, _ _ ~
-( -
/:'1 -
I¡I~·I
y
M Yll2
11/: = --¡:¡ =
-
MP
an'l .
COllviC1I1' pr,'~lal' nll'ndú" ,d he·eI", de 11\11' la vig., conj ugad;., ¡ti
al"'ya,la .. "I" Ul1'tlll1 ~"I,ro 1lU c'l:trcm o, dl'lJcr" cnco" l,.;,rso 1'11
olluililJri,¡ 1J.1j.) 1" at:l:i"n ,1" la "lll"il'¡l ficticin, es ,\o·cir. ('1 momento
ole' In cnrga Ficticia re~l)l'cto al extn',no it'lu icrd" de 1" ,'íg" r""jug'l.Ia deberl' ,"er ,,,d,).
1':" calid,,,1 de iur"gllit,,~ s"l"'rrluas ."U pueden intorjlrl'ló!r, HO
S(,taUll'nlo Ins c"!I1I""'t'ulc~ rl';'lcli"'ls .'U los lngnn'¡< do "W'~"'. siuo
tnmbiell los ,~~Fllerl.l's i""'ri,, ..f'~ (J Y ,\/ (!" 1;, ~" fci"ll d"nd.-, ,o! ser
sl'cciolladn 111 vi~a. st' ol,t i"III'U s"licit;1I'iol'f'~ pl·,~vi~tn ..... " I"s tnIJ lns,
Ej f'm¡ll" r,r•. I) rol,,: q, n, (fig'. 101); ,Ieh>rminnr A,
JlJ A Y M n.
lleJwlw:iiill. Li l ,,'r;" Il"~ l:o viga du d"blu gr~du du Iti¡)(' re~talicidlllj
l'" 1" .~ccci"lI lr"Il~'cr.o;;ll
obll1l!iprulo dos "ig';'lS (l y 11).
CUllsiderl1JJlOS incogllitns supcrfluns 1.1 [uen.ó! curl:wlu (le Y el
1ll0nlCIl l o r leclor !l/,. eu cstn ~.:ciíll',
La compnrnciú" do los d('SJlI"~a!ll¡,~"I,,s ,lo In ,igas 1 y I { nos
110'1" ,,1 siguiontl' SiSI{'uJa do l"'Ui,ci"Il(!~:
e~tnr
n,
e,
'"
De la tabla do la figura 9!l (cosos 1 y 2) se obtiene para la viga l .
O _ lIf ca __Qe az
_M ea~ _Qea3
e, - El
2E I y fe, - 2EI
3E I •
De J¡, misma tabla (casos 1, 2 y 3) pa r a In vigo 11, hallamos,
O =_ M e2a _ Oc (2o.)'+q(2o. l'
e.
El
2EI
GEl
y
_ /If e (Za)2 Oe (20.)3 _ q (24
I C,- 2EI + 3/n
8EI .
l ulrodu ciendo
e~108
valores en las ecuaciones de comparación
lB
, 1)
cjlTl 1I111 ¡ 1,111 1.
MIJ
a --~-- I,---~.
,
M_ (.
t~
A
/ole 0
,
__ - __ _ -,-, f.1,
B
t
l
l
¡,d ! ¡ ¡, ¡ I l!lJJ I't su
B,;;:,'"
8
I
"
-- _____ --
'1
Fig. 10 1
de Jos desplnznmieJl to8 obtendremos,
3Me+ 1 ,5Q"a=~q:"
1,5M" + 3Q,,o. = '2.qa ,
}
rle donde se desprende q\Je
La reacci 6JI A
=
Qe
W qo. ye I momento reactIvo,
.
= 27
qqa"
M.t =Q"o.- M e=g'
188
La rC1,cción B = 2qa - Qc = ; ; qa y el mom~n l O reactivo,
,
3 ,
Mn=Qc 2a - Mc - 2qa ="2 qa .
El mólodo do COllll'nrllCión do los desp lllznmienlos so puede aplicnr LilUlbii!n nI c,¡]CIlI~r sistemas lJi llcrcstáticos compuestos por
vigas y bnrrns (es ,lcc ir, sis temas co nslitui,los IJor vign! y bnrrns
e l ásti ea~ nrLiCl1ladas a estas), y pór t icos (es decir, re t ieulndos de HUd o~ rígi dos en los cIne los ,íngulos entru In~ IJnrrns lIO m~nt i enen invariables durante b deformnción).
Al cnlculnr los pórticos goneral rnellto se prescinde ,le In.'! de[ormacione!l originadas ]lOr In tr~cciún o COlllll rcsilÍn de los CIOUlCn los .
. D¡ulo: "ro voladizo AH solicitado por cnrgn un i~¡¡;,,,.;lI,,, i , "C los \,,..IOfl'S 1/, 1, E" o 1" el t int ll to el,ísUco
IIC y sus dirnc nsioues ,B, Y Po (f ig. 102).
T e
.~
fig.
IO~
1J1'I.L'I·minar el l,~rll~rr.O ¡¡xi¡,] N c u el ti rnntc
/ll'sQlutiúll. Di,'ül imus el ~ iSI()I"'1 vign- lJ arrn IlOr la arliclll¡¡ción
A en una viga .'lB y UIl l irnutc o1:íslico AC. Lo "igll est{, solicitn ,13 por una car~~ l1niformClI llento di!<tri]¡u idn de ¡ntcnsidud q y In
ru erza dC5couocid¡1 N. El tirnnto está solici lad() solnlllellLe prlr la
ruerta N.
Comflllramos lo~ dC~ I)I¡'7. nm i cntos de los e~trcOlOS A de la viga
y dol tirnll lc, ob tcuicudo IfA'¡ = I:J.l:.
'"
Do la llI.b la do la figuro 99 (CllS08 2 y 3) hallofnos,
Nf,
g/:
1/.. , 1=8Et/t - JE, I ,'
!Jo 1(1 10'1 d(' lI ofo" e se
d e~ llrp ... le,
i:J.f._ 3.!!.... .
/:.':F~
•
Int rod uc ien do lit , y L\I ~ ('ti
dcs plo1./ll1tienl os o)¡ll'tldr('n,,,s,
J~
r e ull ciútt ,lo COtttjll\roción uo lO!!
N/~
ql:
N/~
SE, !, - JEt', = 11:"', '
de do rulc
!lO Jt3Il ~ ,
3
IV = - g/ , --.:.,-"~
Ii
I
3 1: t:,I,
+
CII"I'>,~
f, Ed'J
/lOr l icuIIlTt'l! (rig. 103)
1) E 2/-·: '" 00; N =
i
qf"
2) /:.': Fz - O; N = O.
As,"
PUl'S, ~t'gÍl Il
seo lo r igid,'z del li('otllo cl¡¡slico, e l esfucrzo N
puedc " lIr inr .mlre Jos
límit~lI
O"'; N "
~ ql,
Y el momonto flec-
,
~
~i l ¡ IIII1!1III I I B
~
- - t,
"
~
,
2)A1" III II!I (111118
!'ig. 103
t or M B on
el
ompolr~micnl o ,
ql~ ~Mn :s; qlt,
8
2
Eo la fi gu ra t02 c51á rcprescnt ado el d iagrama del mo mento
neclor en la viga, pata un valllr cualqu icn de M g . dentro del inte.....
...
valo de
"afi.ció n i ndica do .
· Dado: un pórtico rectangul nr de lados a y b y de
-¡;;-;;;; . ,"" 11 In flexi ón El , solieillldo por carga db tribui da
/1
I H~ Im red~
(lig. 1M ).
.
'~::~1,::,:2,:' ~ In \'Ilriorion de In dis tancia 6 cn l re las secciones E - 1: .
!i
(' 11
OI \"i cl im".~
n\l tl <!~.
~ i mól ri co,
1.,,,,
Puusto
.¡tU'
el p¡'r li co .'11
(·1 p" r l ic"
el!
res ult a lIuriciun lo :mll liwr dos vigas JI IJ Y Be. I'rcsein-
\"igll~
pU l' sccc ioll('l!
Ir(l7,a dll ~
1--:--'
dieu do de In l r¡leción dl' Ins barras
de l purlico, se puede inlCfllrelnr
I;l1l1n viga como U]lOpUJIl UII los
extrelllos}' consid¡>rllrl... lI >'O licitadns
por rllrg:n d islrilmidn do illt.E'II~i­
d (ld r¡ Y por Jnomull lo~ ,Ic,;¡eolloci(/"s
¡\f ~ en In~ .'l<)cc iuucl! )lol!r(' lo.~ Ill'oy,,~
drhi d o~, aque ll os, .1 In )'igidl'7. do
I lO!' 11lId"s del pórl ¡ro.
P II.'~11l 'lile ¡"JI ;ill~\llo.r.l de l o~
"értir"... ,Id púrlit'o <I d "' ...;,, lIl11ntclU'rlIO r.)clt>!!. al COUlI':orllr lo" ,\(>5.-
[
IJl n7.nlllicll l os.o!JII'II. l rem(l~ O/" .... 0(1;.'
Ou 111 t~h l l1 ,1 <> In figura fi!) (C¡'!l1JlI
lo y 5)
l'<0
hall",
q
Fig.
Do In comparación ele
r"s
1 6-~
'¡I'splaza mien tos so ob ti e ne.
r<!sul lnllllo.
M·= h(a2-ab+b~.
uN!
n I) ('.~ta misllHl l ah l l. se ohlicllo quo el aloj ~lIIi ollt o de l a~ !I'ceiornel1ia~ do los ludo.~ " !<eni,
191
¡' rob le mas 1i9G-Ii99. Calcular las vigas hiporOlltátieas y cOllstr uir
10ll dillgramas do M y Q.
l'ro blemllS 500-505. Calcular las vigas hiperesl:¡Uclls y determinar la!! m~gl\illldes do las cargas ad misible!!.
Pnra todns las vigas so debe considcrilr I~ misma longitud, 3m
y 1.,1 = 1 600 kgllcm'.
E n 10ll problom~s 500 y 50 1 l !l~ secciolle:¡ do las vigas SOll cirCl¡lal'l)s (d = \O cm):
1m los problemas 502 y 503 las seccioucs de las vigas son anulares
(D = 12 cm, d = 8 cm);
\!n los problemas 504 y 505 I¡¡ sección de lilS vigns es cunllrilda
(10 X 10 cm).
500
50114
f -, j t Ifj'
!
'1
rO
M
M
LO
2¡¡--,-a .
lli
tL,3-J
' -1
Q-+-_Q
m
M
O
lJ~,I:j!j
:
Problemas 506-509 _ Deter minar el número del perfil doble te de
1.. sección tranversaL
D,ul o: l' = 2 Lf. '1
I liOO kgrfclIl·.
~
I'roblelll/ls 5 10-513.
2 If/ m, M
=
3 tf -m,
Octllrmirl<_r el
,=
2 m y [o[ ""
momenl0 f1cclor rtHlxi-
IIIOl 1l / ",a1·
,l1L
tLll,.]
P ro blem as ;)I<i-fI 19 . Dclcrminnr d
cnl"c iólI ¡ntcrU\~di:1 () del cllrsor.
13-615
do sp l;'~.fllnil'nl(,
y de la
~rt. i­
\93
'"
t
-10- :Y-O~!:
I'ro ble",;,s '12U-525. Dc lern, ¡""r los es fuerzos .uia les N "" 1"",
!.i r~lI ! c~.
E,:z·/rhgf!,m Z
{¡ o/cm '
E, "¡05kgflcm:
~
la'/Qtm
lo - -l-- Zo
522
d'5mm I
-o.
f,- 2'!rhgflcm'
U
f-Im-I -
'"
e,I, · Ell!
rr
.
,
1
a
ZO' 2Uem
o
Problemas 526-529. Delcr minu en 1011 element os de los si! lemls
co mp uest o!! por \' igas y ba rras:
1) 18.'1" te ns iones t érm icas (prob lemAS 520 y 529):
2) los ten siones de mont aje (ll robJ e llla ~ 527 y 528).
527
f, "ZllJiM"/mI
f, o/Cm'
Et'/O· MN/m t
lO' Jo'
<l t,0-5U' C
",,° /2,5-/0"
519
OZ/irm ' llJe/JI
H
u
a. /m -:- o
o
~
•
-
1m
A,,--,-----'- '-
1111 -
E,-Et -l'/0 5/o1I1/m t , (,'(1m/cm' f ,'Z'/O'Afflcm': (, ' Zcm'
E3'/0· MI'¡/tn'
[:"¡P'k,(¡u.', 4', ··50'e. ",,~IZ.5·lIr'
1"0 111('11105 530-531. C;. Ic"la r lru¡ pó,liclL' 1I¡I}Cres l ¡, tic,,~ y.Je term ,,,'" I"s Ill agllil udl'!! de 1"" "' '' IlI('n lf)~ Ileclore!l 1I ,,\:¡ inm~ ,11", • • .
P rCl!C í ll da ~e .t I' IlIs cI" rur lll llc ioul.'l! uri g in adl19 ¡lOr 1:. Ifll cció n y CO Il1 pr(!~jÍ>" . \'¡IIIsidiímO(' 'I Ul' h,., ri g id cc<,s a lA rl {l .~ i ó u de l a.~ l'{'rdo ncs de
t"d :t~ h, .~ l1H rrns ~"" ij.! IU, l c~ .
E" I,,~ p r,,¡'I I' II\n ~ ::':\Ii 'J ;,3!'o su ,1('loe" r(I 'l., i,l¡·rar lo",bi,;u Ins
dcrn r "Ul e io nl'~ ,l o 109 ,' hllll(·"I<lS Ira cc i" " ," I ,,~ " e'''''pri,"id o9.
-, 4
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(~f:·(J/J.(f
Prob le,,;¡a 538-5li3. Oelcrlll inar las reA cciones de 8110)'0 o los
esfuerzO!! N en los Uranio! de 1011 l)Ór lieos. Illle !lurgen durDnlo el
mOlltajo (538, 539) o al variar la temp eratura (540-543).
Admi toso: E u - 2·10' kgf/eml, f: e ... 10' kgffem',
u.~ _ 12·10 ' ; U e = 1(; .10 .....
'
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Ac~r(J
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IlI >O
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¡l /¿todo d~ la5 1'(1i(,cloll e~ de 1"" frt:~ //I O/lle/lltJS. K~ t e método es
rúnwt! o pnra calenlnr vlgoa.'! contin uas dI! muchus ' ·;1111/8, ~.'i dcti r,
\"igA!! (Iu n cubren " llr¡ (,~ \"1I 11 0.'! siu ju ut ni! nrtieula ol as.
~'ig .
tOS
Snl'" ugn lll QS q un S(l e~lcllln IIl1a ' ·¡gn co ntinua de 11 ' </II10S (ri g. 105)
do r igide1. de la secc ión f.' / \;on stallt o y c uyos Il ]Joyo.'! so ('lI clIcn lrll U
n IIn llli~rno IIi \"o l. El gra.) " de hi)JCre.< t ati ei.lnd deesta viga C!! 11 _ 1.
DesarticulArnos 11. ,·igll ('u Ins scceiorlClI sil uAdn s so bro los a p oyos
nli lt' ui endo 11 ,<¡gllS " l)uy~dll~ ell s u.'! e;ttl"('IllOll. Consideramos i ncóglIitn~ Slll)('rrlua ll los mnmell l u [I('clOrt'll 1'11 dicha.'! ~cjolle.'!. Par"
cada l'~ r do ,· igMI co nti guas de luce~ 1'_1 y Ir (lig. 106, ¡¡)so 1)llIntea
In eoud ici ón do Cúlltill uillnd de Ins Iíll e~lI o]~~tiCII5 CIl for m,¡ tle igual dm) do lus ángulos do giro (O; = O;) en I!l II poyo intermedio l . A ~ ¡
sc obtiene 1111 sj ~ tcml\ d.., '1 - 1 cC\l n cio !le~ de J ,,~ tres momen tos en
rOrlllo COllún i cn .'!i ~ u¡O lllo:
(131)
'"
M,
si end o M , _1
y
M" , 1011
O:'
o'!
IIl'S ,"01l11'1I11.IIl d cscorloc itlOll 1.'11 In!!
!!L'Ccimll'!!' su bte lO!! n l'uyOlJ ¡ - l . / e I
1;
1"11 ó"llg ll1 01l de ¡::iru .le !¡,;¡ ~(';i " ,w~ ~"b re
d ¡!lIOy" i corrolll,""dieu tes n I ,,~ dllll~
~it u ".r,,~ " In iZljlli"rdn y ¡. 111 dcr,'clut
y vl'igilllltl <Jlj
~" I""lC lltc
¡JUr I:,.~ cll rgll ~
ncl lJa 11 tlircCIII"",' lI le sobrl.' ,'~l"s
tralllOS (fig . IOH, u).
LO>! ,,¡,Iures de U:' y 01 sc ¡Juetlell "lIle lll'r 1"" cunl'jll icr ptuCl·di",iclI que
a,
l o, que
!!e
cQlIsidcre adceuntlu,
(1
dc las I.. hlllll. si ('Sto resn lt" p"",il¡le.
~---n.',M~: I ---IIIIII~~'
,¡-,----,
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b) :,
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M:,,::z;¡...)
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Ju lrodllc Íl:ud o en J" lle" lleivlI (I:~I) l'U 1" l;lIt d e i lus \'~Iutc.~ 2, 3.
." 11 se o tJ1iclIll el s ist l!m /l lit, 11 - I ('(' \l atin u!!!!, cuya SO lllciólI
dará los v"lor{.'s do l u d ll ~ 1 ~l s illcóg"H,,~ ~ " I .\'rrhHl.~ (momentos n ecl oros en 1115 .'R'Ccionell i'IOhro lu~ ~poyos de 1;, "¡gil Cf'u IiIlU3 ).
a)
p
"
1
e
b)
t<1, · -Pc-M
fill'. 101
1
Al Ap licar en lA pr/ic li CA el métod o de las ecuacione!l de los tres
roo meutOll con\'iene tener on cuenta IlIs ~igei e nt~ ObSCT\'MCiolles.
t. LOll ángulos O:" y O~ se i"troduce n 011 lAS ecuAcione.'! CO II el
lIlgne po~ iliv o si lAS secciones de las vigllll g¡run en 111 d irección jndicada en la fi gur/l 106, b.
toe
2. Si la viga ClIntinuu termina eH nn \·1I1MliZlI solicitad ll I,or CArgll
(fig. 107. a), éste no se interpretll corno un VIIIIO nuís en In eCll ación
de los tres momentos. sino que se snstituye por el mGrnenLO originado pG r 1" c~ rg" apl iCllda &1 vol.1dizo reS ]lecto a l npoyo próximO
"
b)
r
-"-'
,t¡
-
2
"
~ 2
Fig. 108
c.~ le COII cl ¡¡igno correspo ndicn te (fjg. 107, b). CUIl\"ieIl C
introd ucir este I1wrnCl, t.o en el primer miembro dc In ecuación de los
tres I1wlIlcn l us.
3. Si In ~ección C:l":trellla de la viga continua estii cnlllot rada
(fig. \lI8. 11), cn t ollces su [ingtllo de giro se ra ig uRI a ce ro (O, = O).
Esta (lvdición ¡/UlUle I#)f Elxpresollla pUl· ]H ocllllció" de l o~ tres al
OlO,"cn l os. SIlS~itllyCl1 d o el em]",.K
ln""irnt" pur 1111 vano fict.icio
,le longitud lo "" O (ng. 1013.11).
M
A nllli~"lIdo dos \'lIltOS contiguos lo
y t,. la cond ició n 0, "" O se e~cri- /)) -.:-'___--:~
birá según la ecuación dc los
y aplicatlo a
1
¡
J rIT1l:---
¡
..ce
S
ITIll---
f.
rTlJ}.:---
f
mn
---:zs::
!. res IlInIlH) II !.OS,
2M,I,
+
M 2 l, = -
ü I::JOt.
( 132)
~
'"'-
1, . Si el par de fuenas cun/01
ceut""],, e.ltcrjor se .,pJíca 1'11 JI!
sección silu,1rln 1'11 el np"yo ínler,,,edil) tle 1" \'igll co"t illUH
(lig. 10':). al, Il nt"" ce~ cnllv iene
I
MI:
referir " 1 1ll01\101I1·o ¡\/ d.., este · ---A:
dJ ."<;,-_tL---S~
par ¡¡ b carga situadll en el ,·"n".
/ti"
t::l "wmen!.o ,lel pnr I'''ede
r~ferir"'" soJatllClltc nI \'nllvllerucho (Iig. 109. e) u ¡ti ¡·llluierd"
(Iig. 1U!.I. b). (,
/II ~ /II,{Md
~---
~imlllt'¡ IIC"ln cn t c
fjg. t09
ni izquil'rdu y ,,1 der..,dw di,·jdiénd"lo CI! proporción nrhitrnria (10':/. d). Con,·iene rcfurirlo al "IlIW IIlCIIOS ~o li Gi l;"hl.
Vn;, ,·el 1!/¡I(,lli¡JI).~, ¡¡ti la cclmciólI de J o.~ tres lII()mo"I<l~, los
mOl1lellt".~ rlectores e n J¡,s scecíones ~ ,)hre los apoyos de la \'igll
'"'
conli m u\ se calcula por separado cadu v igll Il poya da en sus extremos,
¡¡:Ira la carga aplicad:l en s u ,,:1110 y los lIl\1mc nLes apli cnd.-.s " II)~
e x trem o~ . Por ejemplo, la re~cción en e¡apoyo i de 111 " iga co"tinua
se pu edo ob l Cllt'r Sll lnal\d ro IlIs reacc iones en Ins apoyos i de I;, ~ dos
" ig as con li g\la~ . Cada una ole e ll ~s ~ obtieu l' de I ~~ ecuaciúllrs ,Ic la
es Lóti ca. Li' f"ru l"l!! ge"ernl pllrll la reacción el! d "poy" ,. ".':
., _
, , + ¡\f ' _ I ~ M I + Jl1 IH~ M.
'1- / 1
I,
[' _ 1
,
s i!,!."!,, A l la rracciú u lotn l elt jos ('poy,,~ i de d os \' iglls c,' "t ig ua s
curr('s¡io lltlic"le sul;l1mmto a I".~ CJ rgll s da das su bre los
n lus rn Ollllllltos
M ¡ol- M ,
"""'c,,-'''"'
la
(,
M ¡_. y M I:
.
reaCCI ón N) el npoy,) i d e IH "iga dCI'cc ha de bida a [o~
mome nt os
M,,,
y /11 1 sn larneute.
,\1 ca lculllr In rell cc i6n c n p[ e rnp OI,ril ll,il' l,to el \'''IIU n\ll " fic ti c io
n o SI) t.i¡'u ., en c uenta.
,\1 cn lenl n r la rl'll cf,i"n rll ni "1)1')'0 ~f'g "id " ,11> 1111 \'"latli~v ~v li ­
c il adu por cnr¡;n, e n 1; , "'''g" it,"l;l r >'<J incl"y,-, 1" ....'~ "ll.~ H ( 1' ti" l"d as
1".'1 rll e " 7a~ .~~ tc ri", 'e~ que ac túutl ¡wh,'c .,¡ " u jadhu .
Lo~ gr:ifi co~ de 1"5 fu..,rza s cut(~ntes y tllulllCnt",s flec tu,·r.' pllt' dl' n
cUJlstruir.~o pur ~c l'u rad .. pum ca da vano, co mo e n tilla v ign HI'''y, ,, la
1'11 S lI~ l'xl re lllOS sl, li c it,,,ln por Ill~ fu er ws c d(!ri"rcs d ,,, l,,~ y j .."
IllOll, ..,,,t,,." d" los "1!U}·l~~. Se I'u ed .. u construir la,ubi6" pI'" ,,1 ",';;Iull"
d e ~ \lI, cr p o~ i ciú lI ¡J " Iros d i ~g rallw s d., lo., Jll OIllt'ntus ell ¡"S ~,'cdun('s
~<Jh r" I"s "p"yu.'! y ,le l\l~ 1lI"llIl'lItus debidlls n 1,\1,\ Cffrg"S d nd ~_~ np licndas 1' 11 cada traillO.
El ,io;;'lIl o d.., gir" y In floeh;'! 1' '' UI];I ~('cr. i {¡" ;orhilnll'i a ¡I .. 1" "ig"
<':olllillUil .;" " " it'ue IIcterlll ill l,r ""nli/.,,,, II,, so lilllle nlt' llll \"1' 11 ". iut.erprd n,l" 1'''''''0 "ign apuynd" e n Sll~ext re "l\!S y ~vl i ci t1l(! " plJ r [a cMgn
UI,liead" " ll el \'a" .. y /,,~ 1lI","ellt.os .,11 b, s s cccinncs ~" ¡'l'e I ".~
apoy'..... j\qll i s ou il l'li cn h[cs to,l os [os ",é todos qu o so p!Ul' lcu ... ,,, n i
~alc"l"r I,, ~ \'ig,, ~ iSf)~t,.,t¡ <':II S .
tr,
tr
Ejelll p lo 58, Ih,lu: l' = 2
M = 4 ' IJI, q = (i t ff u'. e
1m, 1,
3 '11 , II = 2 lll , [o! = I 600 kgflc m' y /:.' ~ 2 ·1 0" kg f/<.: m'
(fig. 11 0, a).
Determinar el llú"w ru de l perfi l ¡lobJ{l tI) de la " iga y f..
liesoluci6/1. DCSCO JllI'OItCIlIOS la " ign c" d f).~ ,le I"e('s 1, y ' z
_(fi g . 1 10, Ii)." In I'lgn de luzl, lIp li camos"¡ IUUU' Clllu:ll, IJri¡.;'i n~d"
por la fncrl.1I l' II p li coda HI "o/¡,diw m, {ll apuyo izqui e rdu . u n par
=
do fU l)rl,ns M y nU mOlllclI l o flcctor
dercc/IIJ .
200
M~
desconocido, 1'11
~I
a poyo
I'ill. 110
A la viga de luz 12 aplicamos una ca rga distribuida de intensidad q, un momento flector desconocido M I en el apoyo izquierdo
y Utl momento fleclor desconocido M, en el derecho.
~:n e l lugar del ompotramiento introducimos nn VAno fIctici o 1, _ 0.
Para el sistema dado de doble grado tle hipere.staticiclad la~
dos ecu/lCiones de los tres momentos serán las siguientes:
MIl,
2M z (l,
IJ
M$lz = _ 6E/ (e:'_e~).
M21~
2Ml~ = - 6E/O;'.
Puesto que M, = - Pe = -2· j = -2 t r ·m y de la tabla de la
¡¡gur~ 99 (casos ti y 5), teniendo en cuenta los signos, TOsulla,
+ +
+
+
EI9l'= MI =4.3=4 tf .ml,
3
3
Ela~=E/ar = q~
3
..,, 6.2 = 2 tr.m 2;
"
24
las ecuaciones d6 loa tres momentos ~erán:
iOM 2 +2M.= - 30,
M2+2M.=-6
l
i
de dond6 !IQ obti6ne M2 "'" - ~ ~ -2,667 Ir · m y M . = ::::::: - 1,667 tf ·m.
Por la fórmula (t 33) determinamos las reac<:iones Ah Al Y
en las secciones fijas:
A,=A~+M2
;:z
A~
M,
1,
28
- :::::::3.11 1 t.I;
9
=6+
- -8 +-5
3
2
3 =11=5,5 t I.
2
ComprOIJllmOll IMI reacciones ob te n idas COIl la
eje \'er t icld,
~U!lla
de IlIs
Ilr()ycni nllc.~ so bre el
;1,
+ A: + Aa -
1
18 (56 + 97 + !I!I) - 2 - 12 = O.
P -ql:=O;
Ln ¡\o uslrucciuu del di~grarlHl do la {uena cortunl(l so da e" la
ri gu ru I \(l. c.
El ,]i~grulUa tlel mOUH)IIto ncctor HO construye pur ul mó l odo de
Snpefl'Midou. 1<:1 diagratlla cOff('sjlOncli e nle a la carga l' lllicadu en
el ,'M1O " ~. pnra In viga ¡Je li1 izquiur¡]n. tri"ngu lar y lJara la derec hfl
Imrahólico (rig. 11 0, dl.
E! gnH ico ofigiu(ulo pUl' fII" "' 2 Y JlI s el¡ una I¡ucn 'I"ebr/\da,
reprel\('lltad:, en la ligllr:, 110, e por la lí,te r, puniendo. SUnlnulUs l' es te ·
.1iilgr"lIIf, d diagrum" rectilíneo CH el vo lllllizIJ, corn"spolldiclllc iI l a
rilen" 1'. D,) las I¡ne"~ !l"II(c<HI:,s 011 lo~ \ 'itn ()Jj tr"T.IIIUOS Iml ordll ' II' <las de tus diagrauH's el1 1m; va"o~ dehidas a 1;, ~ carg".~ dadas.
'J\,,,icnd .. ("" cuenla lns s i~lI"s dll los di"gr~lIlns ()l'igi"od(~~ por los
',""Il('n llJS y por la CHrg~ "htúlnlrcmos el (lillgrallll\ rt"SlI llnn t<- do los
""'l1Irlll,,~ [Ieclores.
C:dCUla'llOS el \"llll)f (I{' .t co rrcs p'JJ1 di en 1e" M",,,,
f'1l el "ano
"',,"
<!
117
,/
18.(;
:E =-=-- ~
I.OR m.
I' n{'sl" que
D.M = Qcx = .!..!2 . I ,ü8 = :I.S I IJ,,",
2
18 2
M",~. " anQ =3,5 1 -~,1
:::::;O,SI¡
\[ · m.
Com" se pnlJd e ubservar del gr:ifico
8
i1/ ",~~=]"
1.r·m.
Por la lurm"I"
w = M.na~= 8 ·10"'
1('_
3
lo]
3. I G.101:::::: >1 cm,
Ik! surl;,!" hall""",s IHlrll ,,1 perfi l doble te N G lH~,
IV = 159 cm'
(una soht{'lensió"
y
~
5"", lo (I\le
l"~
"",,,¡sibl¡,,),
l::S<:ogemM el pc rlil doble to N° 1& IIlIU el cua l,
1
. (ln .... = M mu
8. 10 =
- _ ___
IV
3· 15!)
,ee7k"
vu
g /cm ,
y
l = t430
cm~.
Al dclCflll iunr la flce\Ul Ik cmplcMllO-' e l ",(Ílo(\o de su pcrp()~ici6 11
y l'ecll rri!lW~ n los \'/l IMe.<¡ II c Ins flech as ill(l icndo~ en la la bl n de In
figur:1 !t9 (ca~o~ !j y 1,).
5
q4
Ml~
M ,li
la - - 38Io.et - 'lO/:.'/ X(-
10'
16El =\6.2. 10'. 1,1,3.10' X
~ ·0· 10 + t·1, +~.I, ) ~ 0.058
cm =0,58 mm.
Pr"b le mas Mio -M!). Ca IClll a r 1:18 \' igM¡ hiperes\ti ti cns (51,1" 545)
)' delcrmi nar l a~ .1i IIlllnS¡O II C~ lIeee~a ri as do l a.~ secciones Lraus\'t:'rsll lcs
do I ~s vigas (5loG-54(J),
E n el pro blema !'i "O .lclermíJlcS6 In flec ha de la seccion C.
P
p . Z!t
p
u ' lm
~'qal
I-L-,-_-lfIl~[I~t5EIf--,--,J" - -J~~
5411
ill
p./IJ/(
{J.f ,f ,l·,.:r,1
z
1
(~.IIIJGIIgf~
I'ruh lcllllUl 550-555. Doterm inar los "/lIMOS de las cn rgas "dnd!iblell quc nctunu sobro las vig/ls,
I~:II l o.~ problcll1/l ~ [)!'i 1-553 cOII~idére~e [0 \ _ 1 600 kgflcm t .
En los problcm ¡l ~ ;',0/0 y 555 cOII~¡ d ércSll [01 """ HiO MN /m' .
I'ro bl l'llu, ~
In .~
55ü-557. Doll'r min ar las rloell/l s de la l!
IJHrrns I'scalonadns.
~ciQue~
JI de
t
I'ro hI I'1Il8558_ Delcrmi nur los \lAlor!!~ de M. <1 Y b pMa los
cua ll's 1" viga do In socción \'I. r i;.hle inllit .."I" iS('r;i una vigo de
¡golll rl·... i5IeneiH.
_....,__ a
--..!--,
---
- - c- ---<
I'ro hlc mll 559. Determinar e l momento noctor máxim o /:>n 11'
I mm
"igll ~i los a lmyu.~ iu tcrmedios reciben un asen tamiento de ó
(E
2· H)" kgflcm').
Pr"l, le mas :iijl l-54i 1. De terminar lus e;¡paci ....~ ó r ~ rn Iv~ clw l c~.
las I.ens iollc~ nu"males "lü :dJllu~ {'JI las "jga.~ de dgidl'z de. la
sección ,rad a El h·,ulr,'.1I ....IS I'alores mínim"s,
p
I'"",j,,,,,c.. ,,,,, dd
~¡\I~ ul"
dI'.
"11!"~
p
hil"" ... tñli,'as
1'0' ~" padd~,1 r C!'i, ¡,,,' 11'.
S.> ~II I' oni' 'lile el malerin1 tic la l"ign hiperc~tálic" ('~ pl:',,_ li, ..
Y .~e parl .. ,1.,1 .din gra ma de Im cció,) - cfllllwesión id" Hli1f1do.
P ue.~I(J I[UC 1" c;)p"cidaol l'esisl .." le dp .. ada I'¡¡un dl' 1" "i¡:trl ~c
ngu'" n I Il I'arN:er en él t re~ articlIl,.ci"fIt's pl:blica,' . (u " a en 1'1,,111"
y 01 0" ,'" In ,~ ... erri"ucs subre l o~ 1l 1) ' Jyf'~). I'O'!f'nllIS ,HW 1i1.;<1· r.~.rn 1Ta '11"
por :'1.'1,,,,,,,1,,, i"deIJf'IHli en lelll('"le ¡le rus ,Ielll"'~. E... ,-,"'I'e"i"" I,'
N!nlizar ,,1 dlculo dc In "iga por el '11I~t"do dc "ivc lació" de I"s
mOUll'ulOl> fll'et "r,!~.
Si la ,' iga cs dI! ,;(leeión tT;lIl ,~\'cr~,1J I'IIII ,,;l1l1l 1l', "111,o,el'¡; 1" 1I1,'j::n illld 11\,1 ,,11111'('1110 Ilel't"r Il(lruisihlc tlllllllién sen. CUII"la"I{' y ~"
ohlelHl,,¡ pflr l;t rórmuln ( 11 / ,).
M;M ~= 2lo J S,
~ic",lo
S el 1I1'''IICriln csi;¡lic(, ol l' 1" lI,it"d ,Iel ,¡I1)f1 de 1" ._('cc iun
LrUII~vcr~al
re¡;peclo al eje cl'nlra l.
El grMicl) d e lo~ !II()rlleu1.os fl cclor('~ ,Ieftuttiv.., ("i,'"lado) ,'«,
cons truye Ilor cadll vano de mn ll ern 'lue sus ord onadas senil iguales
H M;".. ell In ~ secciolle~ sohre los "lloyus y CII el "11<10. DI' l., co nfi gurllciólI d" los dingrarllR,~ ni"eJ;Hlo~ ulJtellidO!; He dctlucc ,1I;"a x e n
fUllción de la cH rgn en Jos "HunS, P or In fórmnlo (111,) 51' d{'terminan
lu s cllrgR!~ :lIlmisi bles m;\xim;lS pllrll cMI " IrnlIlO.
Si el ,)X lremO de lit viga es!,; apoymlu en un;! I"'licu lnci on, en tonces, paru qlll' c lllllimo "allo SI' c'11l"icrla el) ciueJ!l,;ticamcnll' ,"n ri,1 _
2();
ble, es s uficiellle In n pnric ión de dos ar l.icuIacionos plás ticas (en el
y en J'i sección so bro 01 apoyo inlcrmcdiv), En este caso el
momen l o neclor en el O,xlrenlO de la viga es igual a ce ro, mi e ntras
qué' e n el ,'arlO y e n In sección ~o bre el a poyo iulernwdi" , S(lrá M~,u ,
VII II O
I'i~ .
I II
En 1,1 figur:l 1 I1 ."<.' ilu,<ln. la cOllsl ru ccióu Ile 1",; oIi" g ",,,,,a~ dll
1",_ 1I''''' '''" I"s [ Iec lores nin'llHl ()~ pa n. el c~so ol e la vign ",,"Iiuua.
!::n 1, 1 I';'~u ole unol \' ig a 1'8c:1I'0I",dll do \'ol"res d" S d" ¡[,,s. t:l di"!!,ra,ua "i \l,lo d" dI' I"s UIO IllI'u l.us rlccl "re,. ,.1' c",,~lr()yf) I,,, ru r Ol da I',oeu ló n
~'il( ,
11 2
cn u HU c" t'n,~po!H li e nlc "n l .. r d i> M;,.,,, , E l c" lcu l" 8 U CI',~i\'" ~e teoli w de la misHw rnnnera que Cll !;,~ \'i g"~ 01 0 sección co nst¡¡ nlo,
Si se d¡¡
cn rgll y so necesita calcul;or la sccci<Ín lrun ~ve rslll de
1" \' ígil. culullCOS 011 Ins secciones do cada tram u d"nde debeu ~p¡¡r.~·
J,.
ce r I ~~ nrlicnloc iOl,cs p "¡.~lieH~
MlllIi s ihl c~
M~ ,a~
,«!
Ilc1.e rmiuA n IflS lIlomen tus ncct (lre~
1'11 fUll ción d ll la carga dad;, . P'lr el lIIáximo do
,en
eslu.~
momcnlus 50 ll a ll a S
las dimensiones de la sección
l rans\'crsal.
Al diseñar 1I1Ia "iga de sc<;ción ,·¡.dable, la.':l dimcnSI<Hles sc
cstnhlcccn <tu nWllura análoga 113f3 cado tramo.
Ej cllllllo 59_ Dado: S. 1,. /2 Y [o] (fig. 112).
Detuu,ill"r JI;"" y '1;" ...
l/ ero/ud';/!. Construirnos 01 d¡"g"3f11lt del IJIOIlH.l!I l o fleclor _ ui\'~'"
Ind o. admis ible
M;"u=2 (oJS.
P"('Slu '1110 dcl diagrama construido "Cl!lIlln
-q;nH~
-8--= 'JAl- ,nox = 1.[
·' o 15 ,
los \'n lor('e (de IH carga m:1J,:im:l admisiblo en los \'aHOS ole la viga
sc r:ín.
- n = 3-'- [o I ""T
S 12[aJ ~
)' '/rn
I,
"
562·567, Dotcrm i"ar l"s r"H1.".':I a dmi siblos
P m "" =
I'roblcmils
las vign s y los sistemas.
EII los ¡¡roblOlllliS 564-567 cOll.. i dll rcn ~1l
2S
Y '] =W'
<;ulloci d u~
I);,ra
101 , o. 11'
06'
p
(1'
565
3m ~
a --:-" a--+---Il--l
(<:IJ' 1600Hg'ltml
M
-L :1 ---J
, --~
<
t~.~
Pro \.l lCUIllS 5G8-57 1. De terminar las di mcns ioll cs ti c
seccioucs
11'31t.SVIlTSlltCS da l as v igas y dll los sistemas.
ConsioJércsc (IUC la secci6n de In.'! ,' igas es rectuugula l' (b = 2h)
\' 'llIC ... 1 ma lcr i¡¡ ! de la!' \' i g'a.~ '!I 01 .. ¡o,< li rnlll~.' t'." pI mi s mo.
,8
u-1m
I
o
a
.lli
F,
T
,
./cm'
o
,
Q·IJ.!im
P-J,Ztr
[61· 15QQIJ'/t;/II'
-,
¡'ro hlcmas 572· 575 . Dctrrminar ('1 coeficie nt e de sl'g urirlllt¡ " 1
(correspond iente 11 la carga) con ('1 (Iue hlm sido cn lculn<lus l a~
vigas ~' los sistl'1tlll~.
AdlllÍ lnsc ¡liml el limito: de flnclIcia del lIHII('Tial (J /
_ 2!'00 kgfh-m ' ,
U_ G I~
§ 9. l '; /l cr!l; a Jlu/cncini ,I e (" d cfo/,IIf(If; j Q/I, efaM íN'
e,j ffl '-'e.x;i~1I
La coergia IlOtenci nl de 1" deformación clásliCll acumu ladn en la
Yiga, cII . el calJO dc)lcx iún trons\'cl'lwl Jllona, .se determina por 1:1
fbno nla,
u ....
!SA/ dJ:+ " S
(13 '0 )
k_F J( ~rdF ,
(135)
3
Q'dz
2EI
2GJ.' '
sieudo
,
uo coeficiente mlinu:msionnl que Cfluctcriln la dcs nniforrni ll;ul "U
la di stribución do III~ Icn~ iooe5 tan!.'('llcinlcs en In ~ceción tran!!versol de la viga y lllU) dependo de la fnrmn !le estR.
En la fórmula (134) la iutegraciún !le re~di'ln ~o h re In longitud
de clldu trnmo do In vi l.'fl y la !lumo IlIJllrcn todos lo~ IraIllOll. I::n In
fórnlula (135) so inlegtll sobro el IIren F ,la la /lccció n Iran¡¡\erllo l;
S, b o fU enen el misulo sig nificad o que en lA rórmula (99) (¡tIC de terminA la tensi6n tangenclnl; E y G IlOn 10lI módulos de elasticidad
longitudinal y taugflnc\ol del material do In viga.
Ejemplo 60. Dado: 0,
Determinar
110.
h Y ~ (fig. 113).
k- ,. ,J(~ r dF,
l/elt1luclón . El iÍreo do In sección ciada es,
F .,. ah -
'"
(1.110'
,
113
~' ¡g.
El morncuto tlo inercia del ¡¡ re~ do la Moceión I't'spcclo 1I 1~ (ljo z,
I
,
12 (ah
1-
,
- oJ~).
Para las n/tls se oulten/',
S' -
o' .);
2' (l-¡--Yl
y pora las pnredes,
a.,h! _
- ..
' l.'
S, _ oh~ -8
,'
2
b _ a_a• .
El cO('[¡eienlo dI) drsigualolnd de
J~s t ellsiollc~ l aFllicncialc~
14'
senl ,
211
,. Introducielldo aqu í los
vfll ore~
de F y 1.
des p u~ s
de alguu as
trlllls(ormaciul! l'S, oIJ I<llIdremos.
l _ a.)1o
3
k -~
ah
fl _~ [ I _ .!. ( I"')~_30~+
-5 (1 _~)(I _ aJI: )~ \
a
ti
h
h'
"
c"~,,s
oh'
1",rlien ln,·\·.<:
¡¡
10 =5 ;
2)
11 = "
Y 11"=/'0;
Si, por ejemplo,
3) p,' rril dob le le N° lO.
D,'¡ sur tido hall a mos a = ¡, = 10 Cm; 1, = 20 cm; a - "o =
= d "'" U,52 c 'n; ao - nAS cm; /J o = }¡ - 2l = 20- 2·0,84. =
= 18,32 cm.
Pu('st" 'Ino
~
h~ _ O 769.
h'
~.
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::::::<O.!}I,S;
~
::::::<O,!l ¡6;
aJIO::::::< 0,868;
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a/¡' - ,
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fesu ll ll
1 - 0,868
{1 _ 0,948 [1
O,!l48)( 1 O,72!l)z
- 30 ·0,769
_..! (15.0 916 8'
+ 7 ·0,645 + 8 .0,6 H ) ]} ::::::< 2,5t.
En el caso de una sección de ¡)odil doble t o la minad o, el coefi ciente de de.'ligualdlld do l as ten.'!i oll cs I/lngonciall's 011 la fl exión se
pu~dc
obtellcr aproximadamcnte )lor la Fórmula,
1 _ lIr/lo
,.
lIh
F
~---=- ,
1 _~
F.
"
siendo F el iirNl de la sección;
Fa cl ¡\r{'ll del alma dc Illturll 11, es decir F. = dll.
Por ejem)llo , cn el CIISO del perfil do blo te N Q 20. ]HllllHl1 lJS por
fór mul ll F = 26.8 cm',
F~
= 20·0,52 = 10,4
~II\',
k_ ~~:!
"'"
e~la
2,58.
Eje mplo 6 1. Dado: l' = G\) kN, '1 = 30 kN /m. a = 2,u. E ""
2·1O h ~lN fm~, G "'" M·lO' i\l Nfrn' y 101 = 1GO ~IN/m' (r i!-(. 111,).
Fi l(. 11·\
Dl'lcrruillilT lo~ nirmcr"~ tll'] I)('rfil do\)lI· le r tlcl ca'lHr.
Rpsoluc!ólI. De I 'l ~ l'c,,,, ci v nl'.~ ,le la ,.~ hitic l' so tl clH,nin.1n
rCII~ci"l\c.~ tic a.p"ym<.
,1 __ 2P
•
+ 2f¡u =
3
PI,,,,¡«aUl<lS )" s
80 "N
',
h
ec na ci ,,!I('~
Q~. = JI =80k:,{:
JII ~, _o=O;
Q~,
l'J
,k
/ ' "~la- J=v"
1
1""
=+
O
k'".
y M.
JII ~= Ax, =80.T,
:¡j\"·m:
fII ,.,_ a= IGO " N·m:
= -11 +qxz = - 100+ 30"'2:
(Ix, _ ~" = -
I~~
lOO
+ :-10·1, =
Q.T ,_O= - l OO kN;
20 k1\":
213
~ ·16 =
MX._:!<I= 100.' -
160 kN ·ID.
Determinamos lIf fflu . D6 la condición,
se obticno
111",...
~Q
", _
10 30 10"
= 100.- __
3
2 Q
500 k N ·ID.
._ =_
3
Por la fórmula hallamos,
500·1~
IV = M mu =
[o]
"",,1042.1O-G m'"",, 1 CM2cm'.
3 ·160·10'
Del surtido escogemos el pe rfil dob l6 te N° 45, para el cual,
IV _ 1 220 cm'; 1 = 27/.50 cm'; f' = 83,0 cm!; h = 1,5 cm;
d = 0,86 cm y
.
F
83
45 ·0,86
k =-~---"",,2. 1 4.
Fo
La energía ¡lotencial de [a deformación ehislica de [a viga se
obtieno cerno la suma de las energías correspondientes a l momento
Ueclor (U M ) ya la fn ona cortante (U Q ).
Por la fórmula (t 31,) ha llarnos,
UM = l:
JM'a..
1
2EI = 2EI
,
(J' ,
M." drl +
~J 11l."' dx2) =
•
•
~
=2~1 [ 64 Jz{dxl+~ S(20~-3.ltl2dx2 ] .10'=
•
•
Ea
10'
( -·8
64
2.2.1011 .27450.10- 1 3
800 ·8- 120·16
+-3
72 ·32 )
+ -5
~
~
""" 769,4 Ji
V Q = !k
f~~
~
2~F ( Q!,I1+ SO!.d.tz) =
•
k.IO'
2GF [",
Jr (_ 1O
+3.tJ' dzz =
•
k ·10' (64a + 200a _120a + 24al) =
=
l
~
=
=
O'IIl+
1
2G F
u""
U."
+V
Q
= 7W,!,
+ 38,7
= 808, 1 J.
Puesto que para las \'jgas normales la cnHg[a potencial correspond iente 11 ¡ll fuerza cortante es pequcñn 011 co mparaci6n con la
cuergía corr~pondienlo al mome nto fl ectur, ge neral mento so prescinde de la primera .
En este ejemplo,
.!!..9.U&(
100= 38,7 .tOO:::::l5%.
769,4
En el caso de vigns cortas no se puedo prescindir do In ene rgía
potencial que correspondo a la fuerza cor tante PIICSlo que puedo
ndquirir un valor considerable.
¡'roblcma 576-58 1. CalCIIJur la energía potencial U de la deformac ivn d:isLica de las vigas tcnicudo en cuenta solamente los mOlllentos [lecto res.
En l'! j,roblcma 570 se dllllllJl urH\!izar las vigas (IU(l ~e iudiclllI OD
los I'roblonws 222-23 1 cOII~idcralldo dlldas lns cargas, las longiludes
l y la~ rigideces El do "'s soccioncs.
"{ffiP ZbxU.
_
~bx b
, , ,
f
58'
~
[0'). l; b, viga dt Iqual resisttncia
I'mll lcma 582. Dctcrrmnnr III IllflucncL3 do los apoyos de In
viga solicitada por un a fuerza a plicada 011 la seccIó n mcdw SO bH'
el valor de In cllClrgia potencial correspondien te ¡¡l momento !lector,
en los casos siguicn lC!:!:
a) la viga esl:¡ apoya da ell ~\lS ex t remos.
1» la villfl ti e ne un ex tromo llIupotrado y el o t ro ar ti culado,
el la Vigl) ¡iollo los dos cltrcmos empotrados.
" roblema 583. Determinar como va r ia la ene rgía pO le ncial correspondiente al momento fleclor en UOH vigll de sección rccto ngulllT
ll poynda sobre ¡Jos It¡JOy05 y so J ici t~dil por la fuorza l' en el ccntro,
si la viga se sustituyo pur la do igual rl'sislencia do altmll de In
sección COlIsh nLe.
¡'ro blcma 584. Calcu lar el codiciente tic In ("rmn de In sección k
¡Hlrl' Ins Sf't,ciol\('s:
t ) rectangular,
2) circlll.1r.
3) tri'lngu lnr tlo lados igual('~.
1,) a n ul~r cil"(',ular,
fi) r.uudrnda en fo rm:> do clljón,
6) dob le te W 60.
En este último (laso, de muéstreso que el co('(i(lionto k, parn
la secció n doble te puedo ser obtenido como la razó n ent re el
área de la sección y la de la pared!l6 Illt ura igual a la tlrl
pe rfil.
Problema 585. Para las vigas de lo~ problemas 577, 578 Y 579
detormi nese la e uerg ía pe tencial correspo!1dicn te a In fuerz a cortan te.
Ev alúese en pur cien to la inf lue!1cia de la fuerza co rt anto sobre 1:>
energía pote ncial en 1:> flexión.
IX. RESISTENCIA CO~lPUESTA
DE UNA BARRA RECTA
DE GRAN RIGIDEZ
§ .1. Fl er i on ¡{(>s I,jada
E n la flexión dl'sv iada , que es la combinación de dos fluiones
lrllnsn'rsa les recias, la tensión no rmal a en un punto cualquiera de
la S(l(:ción transversal de coordenadas y y z (fig. 11 5) 56 determ in a
por In fórmula.
M ,y =
A I' =,.,(IICOSO:
zsena)
0---+
.. ---+ -- ,
1,
I~
J.
Ir
(136)
s icndú I r Y J. Jos momentos de inercia principales cenl ral es de la
~ección I r an~verM I de In ,-igll;
iI1 r y 111. los momontos neclore! respecto u los ojes
decir. Jos componontes del
V
M~
=
reSIlCc!"
+
~l
y y z, ('s
momento
!lector resultante ,Al =
M~ {IIJ1l actúa en 1'1 Illano xp inclinado un ,;lIgulo ce
plano jlri"cipnl de iU('Tc in de In vig:l XII.
Aqui yen ¡¡del ante ~e considera que M r y M. SOIl IJOs ilivos s i
nri gi" alJ tellsiones de tracción
los j)u"t o~ ,lel pri"wr CU:ld r:llllo de
lo ."!!cciúll.
L" ,'cII"ciúII d n l:l Hile!! IIoulrIl1!1I~" c~rribe en In r"rmn giguiell le:
"Jl
y=_l2....M~ !=-.!.!...=lga=_!lg ~,
Iw M,
(137)
Ig
217
siendQ
,
1, =AI
l.
tg.,= _ ·
~-tga.,
(138)
J~
M.
J~
el tangen to del lÍllgulo !In inclilHll;ión de In línea u('utrn IZIt respecto
nI eje :.
La línea neutra lUZ ~iellJllre se desvía del eje = un allglllo p en el
mismo sentillo que la líll(m pp del pla no de acción de las fuerzas se
desvía del ejo y (un Dngulo a.).
Lns lellsi01lCs lIormnles máximn y mí nima se calculnn por In fórmulf\ (136) iutrodnciendo en Ill1n las coordenadas (y" :, e Y2, :2)
de lúS punlos do laugencia de lal! rectas parnlelo.s a In línea !leutr"
con 01 co ntorn o do lo. SIlcción.
Si In tcn~iun llorH\(\1 máxima o míllilll~ nparcce en el lJUnlo mHS
alejndo tlo los dos ejes principales cenlrales tlo inercia de la sección,
enlol1Ccs
(13!l)
y
Om,n=_ ( IMMI + IM,I ) ,
(ViO)
W,
sieullo IV v y IV, 1,,5 módulos do lo ~ecciún res llcclo n los ejes y y:.
En In flexión desviad;), Ins secciones do las "igas se cnlculnn
por tensiones normales, po r tanteos seguitlos do la eorrespondicnto
comprolJación.
Jo;I l)rinlOr ta nteo ¡lIlOÚO realizarse del c!i[cu[o ¡lOr flexión ¡llnn¡¡
originada por la componente del momento rleclor quo requiere UlUyO·
res dim..,nsiolles.
En el caso tlo secciones (lile se inscriben en un rccltín gu lo, el
primer I,autel> se realiza ¡JOr la Iórmuln,
IV~
IV ..... M.+r:M~
,-
[oJ
(ti, 1)
'
siendo
c= W • •
IV,
En el caso de un reclángulo de Illtura h y bnso b, e =
~;
en 01 do
un pe rfil lamiulldo doblo te .so puedo considerar e = 8 y en 01 del
perfil cana l e = G.
La rJechn I y el óngulo do giro O de unA sección cualquiera de la
vigll, en 111 flexión desviada, se oblienen como IV3 suma.'! geom6 lri-cas do las flt'{;haa y los ángulos do giro correspondie nt es n loa compo·
.'2 t 8
nen tes del Inomento fleclor que ac tú an en ¡os planos principales da
inercia do la viga, ru. decir
f=Y/:+f.
sieudo
y
O_VO!+O!,
l. y l. las flechas en dirección
R lO!! ejru. y y z;
ángu los do giro de la sección respecto a lO!! ejes
'1 y :.
El áugu lo do giro resultanlo ocurro IIlrededor de la linea neulra
y la flec ho rcsuhnnle, en el plono Ilefllondicular a la línea neulrll.
Si la flexión dcsvil\dl\ se origina por d09 sistemas diferentes de
fuerza s o .~ loriorcs que se oncuentrl\ n en los planos principolru. do
iuerci!!, cntonces la posición do la línea neutra en una sección transver.!I\1 ari>itr.1ria so debo obtQner por la fórmula,
O, y O,
105
tgP=~~ ,
J, M.
Y la
II~ición
de la linca de la flecha, IlOr la fórmula,
\gf _.h... ,
l.
IJUcsto el ringulo P' ent re la dirección de 111 flocha resultan te y el ojo
y liD ell igual ni ángulo ~ cntro la líllen lIeutra y el eje z.
En c;;to ca~o la li nea elástica do In. viga C! ulla línea estérea.
Si I~_~ CllrgllS que actúan lIobro la vign SO si tu3n cn "orios lIla nos
<¡uo pllson ¡Ior el ojo geolllulrico do In vigll, enlouces proycctlludo
('s13s fU('r1.as soi>rc los pInitOS principll l(,lI de incrCIII oi>t endre Ul05
el CIISO an terior.
Dado: P, q, 1, b, h, E y a (ng. !l G).
posición de la línea neutra, o ..... y I .. n .
."
R twlllcl6/1. Dl'SCom]KIn('mos la fuerla /' y la intensidad de la
cargn uniformemente distribuida q Iloi> re lO!! o}c!l¡Jrinci¡Jalcs central('!
de lneroi" de lJl sección trJlIl5"crsnl y }' z:
I' ~ - I'cosa; qr = qcosa;
I', - Puna; q.=quna.
Las comllonen t('s del momento flector máximo en IJI I!etcióD
dci>ajo do la fu('rta sefall,
~li tu ..,dn
p t
q ti __
1 ( P+ _ql
=_'_+..'!.C...
Al ,
mUO
Al,
4
S;¡
P. I
q,f
t
= ---+ - - = ,n " 4
S
I¡
2
) cosa,
(1'+ -q/2 )
u n a.
El mOIl1('IlIO fI('clor M r. (Iue lIurge 011 cl Jllollo ]Irillciplll %;z; de
Inerci n (lo la viga, tracdolla IlIs fibras que!lC encuonlran a la izquierda
'"
del eje y, y comprime las que se cncuentran a la derecha (fig. 1'16, a).
Elmomell to f]cctor Al .. qu e surge cn el plano principal yx de inercia
de III viga, l racciona las fibras (¡ue se encuontrall por debajo dd
oje z y cumprimo las I¡ ue se encuen tran sobre el eje.
p
..
,
DialJroma
"
, \ o' ,
"w-:
-,
-
, ,
A
,\si. puos. las tensiones de tracción máximas 0m .... aparecerán
en el ¡mllto A do la sección media de In vign y lAS mÁximas de cont·
presiOIl 0mlo en el punto B. Estlls tensiones son :
am a.
mln
=
± (Jlf<mu + M~mu ) = ± !~ ( p + .!l!...)(cosa + sena) .
IV,
IV~
2 bh
La llOs ición de la linoa ncutra
1
tg ~ =-'
1,
/In
2
h
b
sc de termi"ará de la ecum:ion,
h'
tga =--rtga,
b
de do nd e se deduce, que cua nto mayor SIla la razó n
bh
Illayor sera
la desviación de ~ respecto a a .
Si , por ejemplo, el pla no de acción do las fuerzas p:c coincido
b
con el plano di ago na l de la viga, ento nces tg a =- h y 19 ~ =
es decir el 1, lano ne ulro nz eOl. llCI' d··
Ira con e I otro
b"h
b'
.
Jlla no ,liagona l do la ,' iga .
l,:" I!sle t aso h > ú )' , ¡¡or lo t anto ~ > el, como so ¡lid iC1\ en la
fig ura 116, b . g il e~ t n figllra \!s t~ rC]lri:'8cnt ndo tam bién el dillgrnrn p
,11' o.
D" In 1¡,lI la de 111 fl g II TU 00 (Cll ~ "~ 5 )' ü) "h tl'lId rl'lIl "~ pnrn M ~ ,
~
_ htb
_ = _h
5 q,r
381. El,
p,f
q
I' m " , -~ -- + --- _ __
t a
IoEhb
y
[1n 1'1l
Io8 EI ,
.
- ql + " )
(5
8
"
111'
!!Cn a,
M l'
.')
'1
¡I
I "'""I - 384
~'El ,
" l~
+ --'-"'1,8 /:.'/ ,
_ 4 (~ql + /J) eosa.
I,f.:h h
8
1...1 rh·dw res lll t ~ lI l ll l' n 1"
ru il ad Ile In vi,q:" ,,,'rl¡,
¡","< = 1/ f. m." + f~ ,n,. -=
I'i~.
t t1
1.11 üri.' ntaci ón dI) 1M fI\mh" s SO iudie•• ll ll In fi g ura 1IÚ, b.
Ejem¡,lo li3 , D1l,lo: P "" 240 ligl, q _ 1000 kgrlll), I = 2 m, a _
= &f'. E
2 ·1 0' kgflc rn t y [,,1 = I 600 kgf/e m 1 (fig. 11 7).
('.;:ll cul nr '" lIú otw ro d{'1 [Icrlil rl nhl o le. la !,osición de la li nea
n r u l ra y / .. ax'
RC$CI1!lt:íO". Lo~ rnOI1l{'II IO$ rl ec l "res rniixi mO! 1'11 1'1 "I1l (l() t rami cnlo
l'r rii ...
lH~
"'""
M,
n ," ~
= P l!¡CI1 a =- 240.2. -,' = 240 kgr ·m .
q{:
400./,
= - 2-+ P!ro! a =-+ 2<10 ·2·0,800 ~ I :! 16 kgf ·m .
2
22 1
En el primer tanteo admitimos e _ 8.
Por la fórmula (141 ) obtendremos,
1216 +8.240. 100 ... 196 cm~.
1 GOO
IV _ M.+ cM~
I
[a 1
Comproba mos el perfil dob le 10 inferior más próximo N° 20
para el cual
IV. = 1M cm" y IV~ - 23,1
Eu los pUll tos A y B de In sección empotrada se oolione respec Uvalnen le a mu = -ami. Y por lo lunto,
a
.. n
_ /II 'mu
IV.
Puesto que
+
/IIVmu = 121GOO
IVv
184
+
24000~ 1700k
23, 1
f/c mz .
g
a ..... - la 1.100 liOO-1GOO. 1OO _ 0 ?'j-¡
5~ '
rol
=
1 600
,... ,- o> ' 0,
el cunl 111. "" 203 Cln s , III r = 28,2
121 GOO 2/.1)00
~.
z
a"" = ~
28,2 ~ 1 450 kgflcm .
escogemos el N° 20:1,
p:H~1
cm~
y
+
" '"
La lIu}¡ lcnsión consti. tuyo 1000
1 -ÜOO1450 . 100 :::::,
'0 .
Pnrn el perfi l N° 20n, I w _ 155 cm' y 1, "" 2 030 cm ' y, Ilor I()
tanto, en In secciull ernpotrMla ol.olendreluos
tg~ = l!.. M' ma.
""m.. =2030.
1,
240 :=::2,58 y
155 1 216
~ _ 68·50·.
117, a esta tra7.odn In Hne" neutra fl1I y el diagramIl
a Imra la ~ión de C'lIlll ntranJieutn.
), a fll.'i;lra m¡iximn a¡lDrtlCe en el extremo libro de la ,·iga. Do 11'
l al.olll d.., In Figuro 99 (cn505 2 y al se oblierHl,
I~ n
de In
ItI
fil(lIrll
t('n~ion lIurm ~ l
1
I 'ro.. - -El,
(qr
PI"colla )
- -+
8
3
1
-2. 10' .2 030
(4.16.1<)'
8
"~"~·~"","~.c
"..... =_....
3E I,
'"
+
240.8.10- .0,860 )
3
03a
:::::, cm,
240·8·10'·0,5 1 M
:=:: ,vv cm.
3·2· 10'· t 55
La fl echa
r~sultan te
Imu=VI!
forma un angulo
IDU
~'
t g 11'
l'
mbimo.
+g
mu
= VCC=~=
O,33z+ 1 ,03z~ I ,08cm ,
con el eje y, para
Itlnu
IYmu
1,03
0,33
~l
>=---~ -- ~
Ir
=
cual
3,12', es decir,
72°1/j'.
I'rub lemilll 586-595. Determinar las tens iones normales máx imas
en valor ab~olu t o, así como la p08ición de la línea neu tra en las
secciones peligro.~¡¡s dc las vigas.
E n el problema 587 ca lcúlese tambión la rt~cila ver t ica l Iv y I¡¡
ho.ri1. o.n t¡¡1 I~ en la secci ón tic aplicación de la fu~rza, ndm itiendo
E = 2·1()1 kgr/cm'; ~n el pro.b lema 593, la mag nitud y dircccióu do
la fI~clla I dol punto. de aplicación do. PI! admitiendo que 1:: =
1 0··~I N/m·.
lli
11"¡QO;st
f L
a·aJ.
.
lli
f
áa.....
Za -
,........~.
/1
~8(6)
P'Nfl.<J'
,' ,
~;
,,'
/
J (-.za
P/
Ja.u.5"!.j
ill
e'-
~
r
¡;
t
L'2m
~
P2- 2tf
"
'"
p,- m
,i.
¡;o -3U
Pro blemas 5!JG-(;0 1. Determinar Ins magnitudes do las fUIl17.uS
admisib lcs P y In posiciólI dll 111 líllca neutra en las seccio no.!! ¡le li grasa.!! ,le las vigns.
Delcrmiuar también la mngn ilud y dirección (le In flecftn; en el
!Ifoblomn 5!)G. dal ().~tNlmo libr,' dc 1" viga (E "" 10' kgffclIl'), en el
pfub lf'![\a áf)!) . .JI' li' ~c"('ión l111'olin d,'! \";'110 iz,¡nicrtlo de l¡( vign
(E ...... 10' flIN /m').
~./l
p
O- 1m
l'roblcm86 602-605. Odcular las dime nsiones do las s~cio nes
y determinar la 110Sicióu de ]¡, lillt:a neutra en las secciones peligrosas de la~ \·iga~.
EH el problema ijlJ<\ colc úl ese tumbiéu lo mAgnitud y dirección
de la ¡1l'{;l!a del ll~trcl1l0 ]j]'re de hl viga (t: = I()/' kgflcm:).
[oJ-¡Ookgfjcm'
@1.
q : 200 ~glfm
q
I'rnblcmll GQti. Demostrar que cuando
(J."..
1,
a<'2
y
q: <. q, III tellsión
no depende de a Y '1:'
Problema 6Oi . Orn,ostrnr que cuando e '" a y '1 ~ '" '1, la tensión
(J",u no dopond e d,· ,,,,
Prob lema G08. Dad ,,: 1', = '1 ,G3P, E, a, /¡ = 2b. Dclerminarlo
magnitud y diracci ón do f,""~ ,
I'r" hle m¡, 60!1 . D~d ,,: 1'. l. a y Ct = arc lg 0,5. Df'termiunr (Jo,u .
'"
~
~
q
, I
jt,
h-l~
,"' ----9
'"
[~
- ,..- - -1
~'
'X _aretg 0,5
l ~ _ Gtr,
'"
Dado: q, I Y
I'rolJlemll 6 10 .
,
/l.
calcular omn'
~,Iel'f
C~_.:;
";......
l'r" lJlelll u 6 11 . Dado; 1'.
do dosvillcilm do 1" [lochn do
,
___:J i
11.
I~
b Y g Deler millar Im,n y ~I ángulo
lino", ,lo ~cdó n do la fU erl,l' P.
§ :!. 'J'J·(/tT ¡';n () "c»uIJI'e" j,;" II J'fe"' ¡';n
nJln (¡ ¡/m d (/l.
En el callO gel10rlll do 111 deformaci6n siullIll,¡noa do In lrllcción
o com prtlliión )' In flexi ón, en UUll s"cc ió n trllu.wers;,l IIrbilratill de
tilia lJMrll pf i~nHitica, los esrueu(~ intorj(, r('~ 80 redu cen 11 una rnena
Fig. 11 8
axial N~ dirig ida seg un el ojo l:oomÓlrico do la barra x, a lo!! mOIllIlU105 fl oolo ros M , y M, en I ~ plll1105 cenlrnll!5 princi l'alH elo inercia
da la ba rra;n: 'Y %11 'Y a las fuenas eorlllrltC5 Qr y Qz dirigidll~ segun
los ejes 11 y z (Iig. 1t 8).
'"
Las tens io nes norma les en la secció n t ra nsverSl1l de la barra se
deter m in a n por In siguiente ecuación del l,lnnu que no posa por el
origen de coo rdenadas:
(142)
siend o
F
el ál'e" de lo secciólI trolls\'CI'il1l1,
I v e /, s us IllUIlI Cll t l'S cC lI lro lf'g princi pales do inercia,
i~ e
i" ~us rndil's de giro prillcipolcs.
y y z Ins eoorrleundll~ ,It'l pUlIlo situado f'11 el pln no de la
seeeiólI.
La ee unciólI de
¡"
líu(·a I"'ulrn es,
x
P,
(1-13)
I~i c mp[ " (j I¡ .
P" = 24tr./~,
Dudo; IJ "" 200 kgf/m.
161f. P2 = -IOOkgf,
P,
-/- !'+I.'
L¡¡.~ tcIlSi/HlI·... lI"rll", le.~ ndquicrclI l,l~
voJol'e~ nlaxilllu~ y rniuillloS ell [".~ jlUIIl o~ .Ic In1lge l,eill de l cOIII"rno de la ~cc­
don e"'l II'~ I'ee!ns I'''ndelas n In li nc:!
IICH l r;, .
La ~ lcn~i ... nf'S lnngcnc i;¡[f's "f'sultnlllcs se puedcn oLlellcr. de ,"¡¡"era apro.\illW111I, .'<lImll Htl o g""ultill'Í\:Hllwnle Ins
¡"IlSi"III'S 1"" ~Wllr i " II's Cll 01 ]llJ u t" ,1;"[0
d c la SOCCiÓll , origillll,las [lo r QM y Q, .
Generalulcnlo eSlas tCllsi"Jl{'s son
1'C"lllC','íIl~ y no licnel! gl'nll i"'llUrl;ll1cin C' Il
I"s c;¡lclllo~ pn\cticnS.
1':1 c;¡ lcu lo de [;~ "eceió" lnlll~\'CJ's;¡ 1
de hl L¡u'"u 1;C !'c¡,liz<l pUl' lell1;i'II1C'S ,,,,r1ll:llcs, por t~lIlco!' fOil In er.'Tcspund icutu
\· " llIl'roL"ciúll. El prilllH tantclO 1"IC'do
r('nli 'lllr~il, pllrli(~lI d o de In fl c)\io" I'ln,,~,
C'"lsidl'r.,ndn ~OI3l\1(,II((, In COnll'''''clIlc
del lll,ltllCII((' necl or <[lO" i''' l'li cn IIwyor('~
,Iiluellsi""cs. ESl¡· lnul,,'o d"I,,, ~l'r COI"1'",,[0;1011, Irlli"lIo1" 1'11 ~1I"III :1 l.1l)1[¡¡'¡1l 111
~c¡:""ol,, r'-''''I'''I'''n l" dpl 1U'"nelltn fkrtllr
.v In furnll .' .xinl. Ln ~" hrdrn~iúlI 'Illll
surja en I~ sección ohLcllid" nu dehen'
~1I!,C'r"I' el ~ % .
I ,
q
,
aJ
,
"íe.
t I!)
b = 1 2cJII,J¡=II¡CIII~'I=:;1II
(lil{. [Hl). Delcrll\innr (frnox, Uml" Y In posición d!) la liuea IlI'Iltra.
I.~.
221
lfl:soloclt)ll. En la sección peligrosa de ompo tramiento tic \(1
barr~,
N$= - " o - P,
b
A1Y =("2"+
}¡f,
=-
Vi .\0" - 16.\0'= _ 40·lO l kgr;
.0'.
/"2, = w.r
·(,+4·1 O"
- ·10- = '
130·10l
k¡:f.cm;
•
,h
qf
2.4 .1 01
= _ 1, "2-2= - Ir,·10"·8 - - -2- = _ 11iS.jo" kgf ·cm.
Los ~igllos !le !as II)"si rHH'~ 1'11 los plllthl~ d,' la
de \11 barril, orig i"nda~ I",r N x , J1I ~ y :11, I'Sllíll
ligurn 119, u.
I'o r lo
~~cciól1 pcl¡gJ"o~a
sciiala!l,,~ f'J) la
t~lI tO,
Om,.=Nx ± A1g ::¡:: M ,=_ 10·10" ±13fi.JO" .c, ±
m!"
P
lVy
IV,
12 .1ü
H;· 121
1118 .10' . {
475
± - -IG~
- ·ü::::::
k'l
gcm ' .
~. ,
-89 1
"
1-:" 1" ["rUlIII" (tI.:I) S(' :"Imi,,· que N , >0 y 'lile In tensión
origi '\(II I:r p"r M y y M" (>11 el prilll('r clI~llraltlc o >0. En nI problema
ClI
cnf'sliÓII ,
pcr.;
e
Por In tnllto los
J¡~
segl\1~nto~
:>0=- N~i;
Mr
!/o=
~
N"i;
qlle
I~
3
'
cm.
línea 1I1'"lrn
ll1t
CI'!"!;' so hfl! los
3
= "0 .10 ,.12::::::3,53
--- ~
Al ,
... ,
1'=12::::::~'
CUl,
·13G·IQ
"0·10'
_ _
_ _ ·21.3:::::: _ 5,07 Clll.
IH8 ·10'
En la figura IIU, a so hH IrDz~ do la línea nOUlr;' m, por los ex tremos do estos scgment o~ 'i ~\;\ repres{'utado el diagran,n do Ins \CIIsiones llorJilalC!!.
Ejcm " I" 65. Dudo: q = ti kN fm, L = [j !\l, a _ 30 y {o)=
... V.O MN lml (fig. 120).
Dete rminar el numero del j\(' r[i\ (\ob!c te.
G
'28
Rtrolución.
La~
proyeccionea de la carga q sobre los ejM z e V
(filr. 120, Q) son,
f},, -
f}!!(Ino.,
f}r -
qcoso..
La componente q)/ de la carga uniformemente dis tribuida 80bre
In longit ud lactlÍa hncia In izquie rda ocuionando as! una co mpl'fl91ón de In "iga. )"a COlll lIonenle f}v origilla fl oxión transversal plllil ~
en 111 viga.
,
al
,;Xx
~
-
---1
'f\qy
•
Fig. 120
El nlOmeU IO flN:lor máximo
011
1ft .s«ciólI Inedia de la "¡ga es,
f ____
qL' ·
f}
1I1mn=..!l.:....
8
acos a
Healizornos 01 primer tanteo pa ra 01 cálculo de la sección por
M l c momento. ElIlollce~,
JV._Mmu_
(a]
qL'
_
8 (aJ co~1X
6000·36
_
a·Vi .10' .0,800
=2,23.1O- l ml=223 cm'.
Por el su rtid o, el módulo (le la secciólI mlis próximo su pe ri or
cor responde al perfil dohle le N" 22, para el cual IV, _ 232 cm'
y F _ 30,0 cm~.
El! la sección donde actlÍa M mu el esfueno allial do comprMi6n
_ qL
_ lg1X.
2
2
lo $!CciÓIl ol.lteu itla teniend o en cuellln IlImbh!ll
N
I _
q"l
__
_=
"_"1
Comprobamo.~
ell';¡fucno IIxial ,
M.\u
IN"I
Ia I",u => ---¡;- +
6000·6
6000·36
--¡¡;:-- 2 .30,6 .10- lY;:¡ + 8 .232 .10-
1
.0,866
=137,8 ·10' N/ml = 137,8 hi N/m'.
1.11 lI ublensión consti lu ye
la] -j O'I.. u . 100 = 2,02 .l oo~ 1,6%,
(a)
1100
I;;n renlitlntll:1 ~ecC¡ún tlOlllle ncltw In lensión máxi ma se ~lIcue n­
lrll nlg" .~ la iMlui erd n 110 III ~I~cción media 110 111 vign . jlcro tan
cc rell du lÍ~t ll, qu o eSlo no inrluye lIob re el \lá lclllo. E n dcclo, I,nra
un a ~\lción nrhitrnrio se Ob ti ('IIC,
( qJz cosa_ 9rcosa ) +Q(l-Z) sclla .
l al.... u ~_,_
F
W22
l'ul'510 que,
dio 1,... =..!!!....\losa
I~
secei""
_ ~cosa _
2 1V
dx
I,eligro~ll
n'llnha
W
si lll nd~"
.
2... solla =O,
F
la di stancin del al'oyo i¡quicrtlo
¡gunl a
1
IV lga =---;:::<6·2
232·10-'
Z ... -, /_ __ 3/;20
2
F
2,,3 31),6·10- 1 3
ni,
es !lccir, a 10 ,/0 \llll do In milad 11(' la dgn.
gn c~ l ll !!Ccciúu (liara Z = 3,1020 111) Y IJiI I"II In yigil os\lt)gitlu so
oJ¡li(' n ~,
I
( liOOO.63102Q _ 6000.3/ozotv'3) +
lal,nu ~ 232 .10-1
2'
2'
2
+ JO,6
GOOO.3,r:oo
·10- ·2
;::;<
137,85 ,10' N/m 1 = 137,85 ,\ 1Nfln 1 ,
cs decir, 1111 0,0:;% mnyor (111C ('11 In sl'r('Íó" metlio.
I~j l'm p l o 00.1)".1 ... ; f', _ lo ti (~ilull<l" un ol ¡JI,1Ilo zg), f' z _ 1 Ir,
PI "" O,~ U: /If _ ::: Ir,m , 1 = 2 111, IX _ 15°, P = :.10" y 10'1 _ 1 000 kgf/cm" (Hg. 121).
Calcu\¡¡r el número del perfil calla l, !lo Y ZQ.
Utltll¡u;w". El! In !!O~ión lJeligrOllll (en el mnpo tralll ien lo):
N" _ P, \lOS Gl
P, cos P = 4·0,006 + 0,8 ·0,866 ;::;< /0,557 Ir;
+
M v = - 1),
M. _ I'¡l
~ell
IX
,
'2 SIl!! ~ -= -
+ 1':/. -1- M
0,8 ·0,5 ,100 _ -100 lr ·cm;
_ /o· 2OU·0,25!J
+ 1 ·200 + 200 = fl.Oi,2tr'C Ill.
El primer tanteo de In dimensiones de la sección lo realizamo!
Cfllclllando por la flexi6n plana debida:al momont o M il
M,
607,2 ·H" .",,,
I
IV'={af=
16 .1 OS ~.)OVem.
D('1 surtid o SIl ob ticno quo el módu lo do In secciou moyor mb
próximo /11 r"Jcl~Mrio co rres pondo .. 1 pertil CRIIOI N° 22, paro el cual
11'; =t 192 I':m3 , Pllra do! perfilo!! somojolll cs tendremos, IV, _
- 31M
CIl1',
•
"
,
,.......,
,'--,
1-
f
-,
P,
,
,
f
,
'.
P,
~'~"j ..
'1
,
•
/"
,
,
/"/,,,-
/
...-
fil:. 12 1
Tcnillndo en clIouln 11"0 sinlllhr'lIonUlclI lu" M, "11 Ji' "igll ~u rg(ln
t:lIl1r,¡én cl monwnlo tio I.!rnn m¡lgnitm! M~ y (,1 esfuerzo H"iIl J N".
pnr .. rcnliwr la cr"nptollnci ón cSCOgClIlOS 01 pHril 0111101 N ~ 24,
¡lll ra l'] cUlll IV; _ 2~2 Cm',
IV, _ 2·21,2 _ 481 cm',
F
=
21" .,. 2·30,6 "'"
61,2~cm:,
' r_ 2 J ~= 2.387,2=771t," cm",
Co mprobnmos In rosi s l!'nci:1 ,lo los IlI'rfilú8 N° 21 e n 1l11'u uLu mós
len!'! A Ile la secciún (, I\\p"lrad~,
N~
F
°mu = - -
~+ J\I ,
"',
IV,
1,557 l,o·IOi 607.2.10'
----+--+ 481¡ ~
61,2
8(;.0
a",.. - ((11.
[01
resulta
I]un
100
_ 194 __ P l o/.
Hi "" w, ~
-
cl IICr!i ] N° V. e~ iU8uficiclll c.
'"
Para el segun do tan tco cscogemos el cana l N° Z<\ a, parfl el cual
W;=ZIl5 C lll ~,
1V,=Z·2li5=530 Clll~,
f v= 2J ~= 2.488,5='J77 C lll ~
y
F=2·32,9=65,8 CUl~,
U77
1V~=--~ 102,8 cm'.
9,6
Cornp robnrn05 la sección dll estos perfiles
3
t\557
<\ 0·10'
.10
•",n -- -+ --+ 607.2
..... 1
65,S
102,8
530"'"
obtollicndo ulla sobroletosión du
00(1
k,l lcnl~,
ri; ~ 0.2:-)% lo que co rrespondo a la
!lOrllLa udrnisi h!u. Escoge mos defiuitil'II"wll te el callal N° 2<\ a .
PasalHos "horll " determinar In JHl~iciv" de la lí nea neutra en In
scccivn l'eligrO~Il .
Pnrn el I!edi l N ~ 2<\ ,1, l. = 9, ~VI CIl1, ¡! ~ 'JO,8 Clll~
e
·s
fu
977
1 ~= T = ü5,8~
l'1 , 8 cm• .
IJor 11' fÚf ll1u l1l ( 1<\3)scol.otieucll losseglllt'"losque la
cortll en los ojes y y z,
l i lle~
nelllrn
Yo = - <\ ,557 .!J6,8 ~ _ 0,73 cm;
607,2
4,557
-<\0
Zo = - --·1 <\ ,8~ 1,69 cm.
I~ II ];, figUf., 12 1 ,,,
lllelllos, la line,1 neutra
lCllsioucs normulcs.
está
1m
tf:l~.¡l(til, tJOf los !'.~tr(lI1lOS ,te estos segy est;¡ rcpt"fcllliulo d d ing ronln de lm~
Cargll excéll/rica. En el C(lSO ge ll Hal dc solicilncivII excóIIlricn
de Illln barrn IJrisrnátiM, ésto ~IIfrc sinlHl1 ;Ínea meute dr formnci,·",
de traCGÍvu o CIJ lll prpsiÓII y rlexión pura desl'i .. da.
LIJS e![ ucf"t(l~ illter ¡or~! en cada scccivl\ lrausl'crsa l dt) la hart<i
se rtJIl llcc u n "" esfucrzo Ilxial N" = J' ~'a do! mOlllcJltos rlcet",·!"!
111 = I'zp y M, = PYJ' qUQ ~lItgl'JI 1'11 lo.~ I'ln ll OS ccutrales pri"ci~
pares do illt)fCill.1:Z y:ty do In bal·ta. Aq"¡ l' sl)n las fuerzas de tracción
(co lll presió n) ¡lplicJulas, 110 ell el e!"utro de gravedad de las secciolles
Ilxt remlls dc 111 barrn, si no VII los lJUIIl()s de cOl mlelladas YP y Zp
(riS. 122).
Lns tcns i one.~ lIormales 011 lo seccióu trIlIlSI·ef!';\1 !le In l,nrt;\ se
de lcr miuoll por In Ilc uoción siguiente el!'l pl.1I1O quc 110 pasa por el
origen .10 coordtJnadas
(1<\1.)
2J2
el área de la sección transversal;
F
e /, sus momont os centrales principales de ine rcia;
i~ e /. sus radios do giro princi¡lales;
n ' las coord enados de un punto a rbitrario de l plano do la
sección.
La ecuación de la
línea nentra mi es la siguiente,
siendo
J~
,
y
--,-+--,-= 1,
6
_í
z"
_~
y"
( 11,5)
siendo
~
Zp
los
,
_..2....
(H6)
y"
s~glt1 elllos I[UIl
corla
línca IIculra en lo.~
ejes cenlrn[es princi ¡lales de ill orc in z o y do
la setc iólI trallsversal d e
la lJarm.
[~
Fi g. l·) ·)
En 101l pUlIlos do 111 ¡í"oa parRlo!" a 1(1 línea U(·lIlr.1 y {[ue cruza
el Cl'ntru de gra\'ell"d
de!~ seC(·¡ólI,
1"
len~ión
normn J Sl'r;;
(J
= : .
l..a~ len~¡ ones
norlll n!l's máxirnns y mínimas alwreccn en los PUIltos d o t:lI lgencia del cunturno de 1" sección con I:.s reC IllS pnralclall
a la líllell neutra.
En el cnso ole secciones silllli tri cas 'tU(l t engan Io.~ I'IIU1.0S Im;s
al njados tia los d m; ojos centrales pr ill cipa los do illorcia.
llI,i~jllll\s su rge ll ¡Jrt' cis8I1Hlll lc (JII estos ¡JlI lIl o~.
A... í, pafll csta.~ ~('cciolll's
1(Jlmn=P (~+.!L+ Zp ).
l'
IV,
IV~
11lS
tellsio nes
(11, 7)
Si el punto de ¡l ldieneiulI dI' J:, fuorw ~e dCSIJlaw por la rocla JI¡>
IInll pas;! por el celd ro rlc gr<Jwd:ut de la sccc ióll O. (' lI tOH¡;CS 111 line,)
II tlutra 1m S(lllproxi llwr,í. ~in girar, al cent ro d e grll ,·{'dad o .~o alejará
de ésta segúJI so alt'jo:: a se aC('fljUe e l pll lll O de ',!,[Íl"nrión de III fU"rl"
~l
Cl'ntro dI) g)·:o ,·...,lall .
233
En la ligu ra 122 ('S1'1l indicadas los posicione" de las lineas
ncuLras (11 ,11" II:IIJ Y IIJIl.; la linca 11.n. SO encuenlra en el in fin ito)
y lo.'! correspondie nt es dingramas de a ]llIra lo.'! casos cuando la
fuc rta du trncció n ¡> se Aplica en los ]Juntos 0, t , 2 Y 3 de lo
reelll pp.
Si cl punto do IIplieaeión dI) I~ flU!T\t.Il P so dcsp l a~n por la rocl:l
pp (Hg . 123) quo 00 pllsn por el contro do grovedud de la soccióu,
entonces la línea lH:utTlI gira alrededor dcl ]lUllto inmóvil K do coordenadas,
/I~
... -
':
--
Y'o
Y
~- - -'-.
"
=".
Es correcto tambi{jn lo contrari o: si In Iluca neut ra gira Illro,lodor
de un IlIlnlo inmóvil de coordenlldas Yo Y =0. entonces el punto do
IlpJicación do lu fuerza so desplazn puf 1/1
l'
~
rectu pp que nú Ilasa por 01 ce ,¡tro do g"awdad ,le la socción, cuya ecuación P!,
y,
..
Si el ]JllllLO do (IpJicación de In (ucua
!<C oncucntra .'101m: uno de los ejell Jlrillci1'1l1llS ceut.raks do iHerlli ... de la sllcción,
'.
'.
entollces la barril oxperimentll simu ltane!/<'lI(!ule unn defo rnl ~ciólC 8xi~1 de Irncción
Vigo 123
o colllpresi"n y <l e! flexión plana ]¡lIra.
TocIos las fórmula" el])u('Stas anteriormento
~¡l:'lIcn siendo validas SIllvo que en ellal! SI.l delle considerar :p ... O
(~i el punto. tic aplicación de In l uertn se encuentra sollro el oje y),
o /lp = O (ei 01 1mnlo do oplica ción de la fueno ~ encuenlro sohto
el eje :).
Por,! g~rIInlizar In rCllisle ncia do las bllrro~ de matcrial fr:i¡¡:il y de
lIaja resistcncia p In t racc ión es tJece~lIrio IluO la fu erz lI de cOl<lllresiún
aplicad a excentricamente /lO eme en 111 sección Ir~ns\"orsalten s i o n es
de tracci6n.
La parte del plano de la soc.ción lrnnll,'ersal, qu e rodea el cenlro
de gravedad y qu o esU limitada por Ulla li nea cerrada con la JITOpiedAd de quo la fuerza aplicada en el inter ior del contorno ori gi na
te nsio nes de un mis mo sigilO en lodO-'l lo., puntos de la sección lrnnsverMl, se deno minll núcleo celltral.
El contorne delllúcleo cenlral es el lugar geolllólrico do los pu nto's
de a pliCllción do la fUortll excéntrica para los cICa les las corl"llspond i4'ntes líneas neutras sen tongentcs al cout /l rtl O dI' 111 sección lrllnsverMI s in crula rse con ésto.
Ejemp lo 67 . Dado: P = 6,4 tI, b "" 1, cm, h -= 8 cm, Yr> = 2 cm ,
1 cm (rig. 12-4).
Determinar "m& x' aml n , Yo Y Za·
ReSllluc/6/1. En 111 sección lrans\'ersa l surgen 109 esfuerzos siguientes: N" = -{' = -6,10 tr, 111 v = -Pz¡. = -6,10.1 = -6,/1 t r ·cm,
M. = -PYf' -= -6,1,·2 - - 12,8 tr·cm.
¡JO
"
o,
"
-,
Fig. t 21¡
Puesto que ell el primer cundranle de la sección todos los esfuo rzos originan tensiones do compresión, O'tnln ocu rrirá el1 el ángulo
der('c!'" Sll llOrior de 111 S(!cción y 0max, ('11 ángulo izquierd o inferior
(fig.IV., a).
Así. pues,
(J
_~
~
M,
:::~:- F + Wv + W.·
T eniendo en cuentn que,
W =}¡b~ _8. 16 = 61¡ cm' y
v
6T""6
3
1;h2
I¡.QI.
128
iV, =-= -- ~ - cm",
6
3
3
nhlelldremos
a~~~ = (1
6,/1 .10" 6,/1 ·10"·3 12,8 ·10" ·3
----sz
±
64
±
128
sen
(J"\U = -400 kgflcm~,
1J",ln
-800 kgr/cm l •
Por las rórm ul as (11,6) se determinan los segmentos que la linea
neutra III~ eorln en los ejes contra les principales de inercia
y y
Z,
/2
hZ
648
Yo = - ...!-=- --~---= --~ -2,67 cm,
yp
12yp
12·2
3
¡2
b2
164
Zi)= _....:.L=--- ~--- =
~1,33
_ _
cm.
12·1
3
La IW$iciólI do la línea neutra yel diagrama de (1 están dados en
la figura I V., a, b.
Ejemplo 68 . Dado: un!1 sección nrl.dt raria simétrica respecto al
eje z, ¡nscrilH eH el rectángulo ABCD oc lados b < h (lig. 125);
zp
12z p
-1- r,
1---'1',.---1
1 ,
1- - ~
IL = ~ -
L'-t+1f-'
- t I--
Fig. 125
Pig, l20
10/1 rlldios de giro cenlrllles principales dela sección i~ < i, Y la posición del centro de gra\'edad de la sección determinada por Zi). Constrnir 01 nÍldoo ceutral de la sección.
Resoluci6n. Si las líneas neut ras son tangentes a los lados cortos
del roctangulo AB y CD, entonces los puntOIl de a lllicación de In
luena exclÍntrica corrospond ioo tes (pu ntos k y l del contorno del
nu clco centra l) se encontrarán ~obre el eje y yes tarp.n determinadO/l
2i'
por las ordenadas Yn = :¡::
Si las líneas neutras son tangentes a 10/1 ladO/l largos del rectángulo Be y DA, en lonces 10/1 puntos de ap licación de la fue rza excéntrica correspondientes (pun t os m y n del conterno del núcleo cenlral)
se encontraril.n so bre el eje z y se dete r minarán por las abscisa ~ ,
T'
-,
- '.
z~= - .
~
Puesto que de las lineas neutras horiWlltales se puede paliar R las
verticales (y viceversa) girando ,alrededor de punt05 inmóviles coin-
ddentllll con 109 vérti ces del rectángulo, duranto ostos giros de la
1I0ca noutra, el punto de aplicación do la tuenll oxcéntrica deber'
tlesllluzarse por lineas rec Las.
Un iendo los punto/! k, l, m y " por lí llellll rec l¡I ~, oblendrllmQ! el
núcleo central (e n In ri gur!1 1:.!5 el núcleo ceut ral está ray od o con
IInen8 horizontales).
Z"1'~ .. Zn
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,
I
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Put lu In ni" y" = :¡: TI" ;
12 y:~'" "2'
" " ble le (.Ioble 1.e r\ D 20a.
ng.
1:.!7). Del
~nr·
lido!!el ohlicul' para el l'·crFil ,1 " loIe l e 1'\D20a : i, ... 8.:17 cm, 1, =
b
-= 2,32 CIII, h = 20 cm, b
1I C U¡ y ::., - "2'
Il"r lo lanl.u,
2.8371
"
Yn"":¡: --'- :::::I~7.01 f.!I1.
2.2,3~ '"""'
"" = ~ - ,- ,-
20
O'17(
.
'"""':¡: " el
CIlI.
e) 1IIlcción t.."ln;d (JM!rfil N 22,., Hg. 128). Del surtid o ~ ub ticu o Imta
(JI !){!rfi¡ N° 22:,: i . ... 8.!)<J CnI, i ~ =- 2,55 cnl. Ji = 22 cm, ú _
= 8,7 c m y
= 2,4ijrrn. Pur lo tanto,
=.
.
2,551
,
zn = - 8,7 _ 2,4!> ~ - 1,01 cm,
1
2,55
'"• _ _
_
~
26'
, '1 elll.
2,40
237
Prob lemas 6 12-G20. DI'tl'rminar In$ tens iones normal es máxima
a",u y minima a .,ln as ' como tam bién la posic ión de la linea neutra
en In
~t'Cción
peligrosa tl e J:¡s
b~ rtll S
rectll! .
-, f
ZII e",
2a - _
I.Zcm
p
,
-.
,_." ,
'"
'
,
,
IOcm
~j q' 2001cj1/m
e
Problemas 62 1-623. Determínese la lenaión normal mhl ma
o",n y la posición da la linea neut ra en IlIs seccionl'S peligros" de
Ins ba rras.
I'rob lemas 6210·(;29. Deler mine"€! las tcn~ i o nes normales máximll
y minÍlna On,I R l' rl las secciones peligfOSlls du las Imrras y en los
eleme!! l "! del siSlem/l (IUIl L'll t ~1I so n,ethlos a Te!'j ~ lencia compuosla.
o a,u
m
ID
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P·~w¡,f
, :-I'l '--=-----.,
io~';
... 1" - z..
q<:: ,;"1/,"
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-Jd ·
Pro ble mas 630-635. Determiunr los rliUlCll siUl)('s Il('l;esorias do I,nl
secciunes lr'"IS\'I.'rsa les do las barras, vigas y vlros elementos do los
s i~lcma ~.
§n
"
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+
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[r'oJ,;q¡¡I.IN!rnl
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'Ol
l'rub le ulIl ¡¡;m. O() ler'uinar eltnlll.,i,,, 11 I'ara ,·1 e n,l l Ins ton siollcs
normal es m:ixilllns en Ins pl;\lIcll ns y 1' 1\ ('1 eulJroj" .. tos ~(l n igual GS.
l'mhll'lna 637 . Oarl,,: 01 pcso tl o b IIlIiol .. ,[ do
VOIIlIll CIl dol matcria l dll la e',[ulUna y = :!.;'j tf/",'
y la I' rc~ itÍlI latem l so bro la sección di amotra l p r-;2:,.,=90 k !: r/ m~ .
Deh'rmillar el diám etro d de la secci ón Ir""snr511\ do la colnrnlll1 l¡a rU en do de la condición ,1<1 qno
p
en In columna no 1IpnrOCCII lensiones dQ lra ccion.
m
~
I
d
Probll'm1l.!l 638-M7. Determinar las magnitudl'll de la ca rga
rml;\:im8 110 lwligr..sa 1'.
,
,
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i
I, !,
,
Hit!
8mm
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I.m
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12cm
_
p
7a--L.Ja _
a·llcm; [~fVC1'WI1kgt/&mt;
[Y -f1f}Jtgljcm!
'~m
p
~
t-
!
~Ocm
tP
~ 'Nlla
(O]c/6QOkgfIG':1'
2'1 1
)' ro b le "'a (j!¡8. DclHmillnr ]us Ylllores de la fuerza 1', p.1 ra [,~~
cUIl[es en la ~cccioll inferiur de la Iwrrn no l1pl1rcccn t c nsjuno.~ de
tracción.
64'
-'"~lL".
P'/OO/IN
V '-- /
-1
-•
"
,a
-r
P,
{:;\,~
lOcm •
p
~
1 ¡l'
""
,j
a
I'ruh l{' Ul n (iI,!J . Dolcf llllllar los \"1l]"J"('S d'l P, Y (1",'n H¡ (lrl [n
barra o",n. = O.
I'ro bl{'I);IS üf¡Q..G55. Cunsl r uir el ,,{¡deo c~nl":t] de la secciúlI.
,
,
3
24'
§ 3. Tnu:cÚm o compresion 'Y to'rslQl/, combül U(la,s
Si en las secciones transversales de la barra, como consecuencia
de la acción de las fuerzas exteriores, surgen esfuerzos axiales N"
y momen~os torsores ltft. entor.oes 111 barra sufrirá unll deformación
originada por la tracción o compresióo y la tors¡óo simultáneas.
% es el eje geométrico do In borra , y y z, los ejes cenlrales principales de i nercia de In sección Iransversnl.
En el punto pcligroso (.11, z) de In sección de 111 barra en cuestión,
deb ido al esfuerw axinl N", surgen l('n ~ione5 normoles.
N.
a= -¡- ,
siondo F 01 ¡írca ¡JI! la ¡¡eccioo;
y dobido 01 momen lo Lorsor, tensiOIl('S lnngellcia[ (!s,
Al,
t =- ,
IV,
siendo Wt el módulo de In $(lcción parn la torsión.
Lns tells iones lIorm~lp~ principales on este punto sc obUollen por
lo rórmllln (107),
El cálculo do la resistencia se l'c~li~a por las hipótesis do resislencin.
En el caso do mnteria Jes plást. icos se Ilmpleil la ICI'("Crll o cuorta
hi!ló lesis de re~isll' llcin, de acut'rd o con Ins CUides,
0.",=0 , -
a~l. =
0 ,,=
~'¡;;;[o].
Vo: + o; -
0,03
=
(148)
VOZ + 31:~ ,¡;;;[oJ.
(1/.9)
Para los mAteriales qm: ofrccen distintll resislencin a la tracción
y
n
]"
comJlrc~ iun, ~iE'ndo Irolr.,el =
Ocom r
'Y.
se cmplcn In quinta hipó-
tesis do resistencia, llilra la cllill
1 _ \'
1 + v~
o •• = o,-\'(Ia = -2- a+ - 2-
0+
[
)
1:'¡;;; atrae'
(150)
Si la seccion do la bflrril es circulilr de di li mel ro d, entonces,
y
mI
Wt = WP=ffi'
Ejcmp l... 69. Dado: P = 2 If, ¡\J = 4 a,clll. d = ,¡ cm, lad
350 kgflcm~ y \ 0.: \ = 1 400 kgflt m2 (fig. 129); compr obn si la
barra es resistente o no.
ResoluciólI. El esfuerzo u .ial os,
N x = - p = -2 d Q3 kgf,
Y el momento lor$or,
Mt
= M = 1, ·1 0"
kgf,cllI.
Las tensiunes nor ma les en Lodos los puntos de la sección serán,
Nx
2·10"·4
1
o= -=---- ~ - 159 kgllcm .
F
n .111
J.as te nsiones tan gunciales m;íximas en Jos puutos del con t orno
do la seccióu,
Alt
T,,,,,. = --=
I¡
.1 0 3 .16
IV p
•
n·I¡'
~318 kgf/cm~.
Puesto que
"= llfttac]=
[oco",J
350 = 0,25
II¡OO
rtJsulta que la tensión eCjUiva.Jellle, por (a fórmula.. (150), será
1 - 0.25 159
2
+ 1 + 0,25 Y159" + 4 .3 181 ~
2
~ 350 kgflcm 2 [1ft,,".)
os decir, que la bllffa rC.'Jullo resi.'Jtcmle.
Ejcmplo 70. Dado: P = 160 kN, Al = 1, kN .m, }¡ = 8 cm,
b _ JI CUl y 0 1 = :Jao MNf m' (fig. 130).
P
!llg. 129
!lig. ISO
Determinar el coeficiente de segu ridad n/.
Rcsoluci6n. Puesto que N., = P = 16·10' N, Aft = M = 'IX
~ t Q3 N·m y hlb = 8f4 = 2, en todos los punlos de las secciones trans•
. N...
16 ·10c
1"8fS8les 0" . = F '" 0.04.0,08 ... 50· 10" N/ m' = 5(} MN / m" uuen tras
que en los p\lllto~ más so breca rgados Ilor lo t orsió n, e n e l med io de
los lados grandes del rectángulo do lAS ~eccion cs do la mitad i7.quierdll
d e la barro,
I::n los pun t o'!! peligrosO.!! do la borro la lons ió n equivalo nte,
segÍL n la tercora hillólm;is de resi ste ncia, por la fórmu la (11,8), será
u~'" = V501
+ 4 .1 27
1
;:::,;
259 i\l N/m!.
E l coofic ie ulo de seguridad,
(J,
360
/I, = - - = .y:-;:::,; 1,39.
(Jo",
-;)g
§ .J. 1: Q/·Ijj(./I. 11 j"/('rh;/t Hi./11 "naneffR
Duranto 1'1 deformación (JI·iginadr, po r la flex ión y la to rsi6n
simuhálHlas, los csruc r ~.os inte riores en las secciones Irallsv('Tsales
de la hllrra so reducen a cinc" COfn¡lOUelltcs: 1lI001lenlo tOfSOr " I x ""
= M, rcs llect.o ,, 1 cjf' goo",~ lrico ,lo la bnrr ~ x ([¡g. 131), momontos
'1
,
"
Fig. 131
x
Fig.
\.}~
nec t ores M v y M , n'Spccln lO los ejes priucipnlcs conl rnlcs 11,) lncrci"
de In sección y~':: y ruenas COl" lnll¡~ ~ (J v y Q, (,rio nlad as seg ún estos
ejes.
Si la I",r r" es de seccióu trllr!Svcrslt! c;rn, lal" d o d iill(!"lro d,
enlonces 13S ICl!~iones l angt'''cj,'¡ o'.< (llll! d elcl·mi ,m(! Q~ y 0, jllgnr;ill 1111
¡l¡'pel ~(,CII Il(lnl"i" y g"I!crHlmeu¡" 11" S<: cUIJ ~idl'rul' 1'" el cúlcul o.
L lIs lCllsiolle:< l " " gc" c i nll·~ q1l(' d.' lcrminnll el ",""H!uto lOl"Sor
n! cn'17.:w su va lor m,¡ .~ill\ o
2~5
igua l en LOd üs les ¡JU nIos del contorn o de la .o¡ecció" (rig. 132), mien tras quo las len:>iolll's norlllnll'sm:,xirnaS I] Uodeterminall los momentos
f l ec tor('~ M ~ y M, resullm, eH ,los !Juntos (A y E) ,Iel con t orno do
la sett;ó", que SIl entuontran ell los oxtrClr""S dol ,ti;Ímclr" l'erJlond it nl nr al \','tlür dI!! 1ll0llH'nl0 ¡Iedor resnltllll'O M = lí M! ; M;.
Est as l ensi"Ht'g s,,,'.
M
.~2 M
(J=± - ~± -- .
IV
nrt'
En Ir.s IlIllItOS peligrosos A y B In.'! t"o~¡r.!lt',~ " orl n nl('.~ l'1"i ,1('; I11,l os
(J, y (J3 so ubtionon por la fórmula ( 107) y Ins co"ditiOllos 111) resistencia do las desigualdades (t1,8), (1M!) y (150).
Teuicn do e n t uenta los vn lort's du (J y T, a" í como qu e IV~ ~ 21V,
obte ndremos para las fórmulas do re"i"tencia
w ...
<7
M"
(151)
[o] ,
sicnd o A1~ 01 n,n lllellt" f leclor equi vaI I'I11., (dec tivo). (jite
t ercera hil'ólt'sis de rl'~istenda. es.
" '"",-;--;:;0,
+ 111"
~glJU
la
(J52)
Al e", = V A'!
( t5.J)
y seglm la (Iuillt:,.
I_ v
AI "v = - 2- Af
I +\' ~ J.
~
+ ----:¡V AI - + Al
I,
(151,)
~iond"
Si Utl lt ¡''''T¡' ue ~CC¡;j ÚII 11" circlI! .. r se someto" lo¡-siú" y flexiúu
combinad"s, cnlonCIJ~ los p\tlltOS jlcligl'osos !!Crúu t:lm!¡io!n los (111(1 81.'
el\tUontrlll\ 0 11 0 1 con tor no de l:l sección. Sin cm lwrgo. puesto 11110
10/1 puntos con tensio ll O~ lan!l'l'ncialos lll¡,xil11~s originadns IWf In
torsiúu puedon no coincidir co u los puntos doudo ~urgon las lonsiOlll'S
normal es máximllS origin a das pOI' I D [Jnxión, pucd<ln rcsuhur peligrosos nQuellos domlo aparecen llls lens iOncs IlH'g<lnci"los lIl:í .~¡'nas,
aquoll os on qne surgo ll las tellsione~ uonnal"s m[uimas" o tros punlos
intermedios de l conlorn o do la sección.
Sorá n peligrosos los ¡JUulos (y, z) dOlido la tons ioll cllui\" a lenlo
obtenida por la hi pótesis do resistoncia Ilscogida, alca"to su \'a lor
máxim o.
Al ohtclle r la tensi ón Olllli\'1I1onte , a y T se dobon calculor por
las rórUlulll s:
y
M.
1' = )' - - ,
!Vlor
¡¡iendo y un co~(¡c¡'lnLC auimcns iotl1l1 quo deponde da la confi¡; urndón, do In! dilllcu sinll"'s J I:l la sección y uo lall coordcnnuns (y, :)
del punto del CQuto rll v do la sección quo se u lu\ ¡¡ ~n.
,
•
Fil:'. 133
P.. ra Ilrec isiH m:íll el cillculo se puedclI tener e n cuc ntll tOUlbién
lus leusitl nes l:lIlb'{!lIclah'lI 1'0 y 1'0 IjlUl acompaií:1II a la fl e;dólI.
1~ lIl nnC08 lH lconsiun tan gc"dl~l cOIll¡:ll:ltn dl:lbc rá cn l culnr~1' como lu
s umo b"""llIé t riclI.
Ejl'lJlI,lo 71. Dado: l ,,~ Ili¡ímelros de J~ ~ pull"¡'l{ D' -= 20 cm,
D' - !j(J cm, 5".~ JH'.~nS I'~ = 200 kgr. 1'; = 1000 )¡ l:f, 1Q/! I.'!! f"l' r,tOS
en IUl{ corrells P; _ 800 I;¡¡r, 1'; = 1,00 kgr, 1'; '" 1 000 kgr, 1'; _
GOO kgr, la longitud tlel arool l = 2m, el a.,gul .. de in clinación
de J~!I cn rren9 do la lSCgu nd" 1IOII.'a fespei; IO 11 1 I'jo =, (1. = t¡.-,~ , la
10U!iión a.lmisihl o dí,1 ma lerínl del llrbol I(JI = I Qc..(I k¡;f/cm"
(fig. 133). C"kul"r 1'1 di áme tro del :irbol d.
l ft>so/uciQII. D e~J!llI~.llHd" los rllcr~.as du tru sión dI) Ins CO I'rell!!
¡lo cll1lr. ]lolco~ a l «,n lro du lu sccción do l {¡rhol, ublellllrcllIOs 10.'1
rllllJlll'lI l ns rrsllo'clo 111 rJe % en la ~t'ciúlI dOlid o se l' IlCIlI' ulrnn la
primera y la segunda poleas,
M~ = (P; -
Pi) D' = ,.00·10 =
. P,. M x=(
Vz)T=400
U
.30= t 2.iQ 3 kgl ·CDl .
2
I¡
.103 kgf -cm ,
Proyoctando la~ ruenas que act úan en la sección de c~da polea
sobre los ejes y y Z líe ob tfen en l a~ fu cr;¡;as cortantes TI'!Jultantes en
dirección a estos ejes,
p~ = (Pi
Pi)
p~= 1 200+ 200 = t 1,00 kgf, p~ =0,
+ +
P;= (Pi + Pi) eos 4S + P ó :::::: 1 600· 0,707 + 1,00 =
P; = (Pi + Pi) sen 4.5 ~ 1 600-0,707 = 1130 kgf.
G
f 530 kgf,
G
r Los m omentos M~ y .111;' originan torsión . El di:Lgn",,,, .Jel
' momento t arsor Jlf t está dado en la fi gu ra 133, a.
Bajo la ncción dI' las fu erzas p ~ y p~ el ñrb ol se fl oxa en el plano
xy como \lna viga co n voladizo (fig. 133. b). Su mand o los dh'grum as
se obticno el diagrama del momonto fl cctor 111 , roSpllcto fll eje z
(lig. 133, el.
Lo fu ena P; fl oxa el árbol on 01 pla no .TZ como se rcprescn11l
en la figura 133, d. El diflgrama. de l momento flector M " respeclo
al eje y se cln en lo flgur1l 133. c.
Será. poligroKa la secc ión del l\rhol d ouda se encuentra la scguud u
polea.
J"leallw lllos el calcu lo po r la ler CClra hijlÓ1ClSis de TClsis l onc ia. E l
momo nt o f1ector oquivlIleut e so obtieue por 111 fórmula (152)
M .,,, =
v' /11' + Mi- VM~ + M~+ Mt=
=V5G,5·+ I.I ,5!+ 1 Gz~71,9 tí ·cm.
Por 111 fórmula (151) hallamos,
IV = 1I.(f ~ O 1J3 ...... .M "111 = 71 {lOO
32
'
4" [0")
t OOQ •
obteniendo para el di ámetro dd ár bol,
d:>Y 71 ,9 ~4,2 cm.
EJe mp lo 72. Dado: P, a, h= 2b Y lal (lig. 134). Determinar b y h.
R esolucl6/1. Construim os los di ngramllS de los momou t os f1e ctor
M y torsor MI (fi g. 134, a y b) .
En el punto A de la sección de em potramiento peligrosa
(fi g. 134, e).
MI
2Pa
Pa
a =~=36Pa=9Pa y "f = y --=O,
795 ---,~ 3,23-¡- .
W
bh2
b'
Wl or
0,493b
b
SegúlI la tercera hipótes is do resistencia,
do ,I"ude se oh1 ielle,
V
11
0- Pa _ 2 23 ..3 r¡;;;
,
I
V ~·
la] - ,
En el plinto B do la s{!(:ció n peligrosa resulta que ¡mrnelmomentu
[leclor a = O y pllrll el
~
tur~ür ,
M,
-- - -2Pa
-ma, W'OT - O,l,93bJ'
,
Se¡.:ím la Il)rcer,~ hillÓdo resistcuci",
p
1c!ji~
1:
_~ :s;:: rol
mU-
do donde
b>
O,l,93b2 """,,, 2'
SI)
ohtienf'
.'/
l'
V 8,[ I ~,
[p )
,.
h~4,4G
ZP,
¡Pp
P,
El [H,"to A resulta el
más pl'l igrvso y lJOr lo la IItu
d"úc,"os admitir
bR:2,23
'j
"'
DilJgnJfF/1J1k ¡.¡
,,
¡p,
/
p,
'1
o
~
[p)
-
1',
I¡ --o
[p)
Comprobemos Ins di meusiollcs by h uhleJli'¡ 1'~,
renliz~lIdu el cálrulo ¡mm
f ig . 134
el pun t o B y tClliC"do en
cuenta Jus ten siones Inng(!II (; illle~ t]lItl Ilcomjl1liHlII " 1" [le.x iú".
PUl'sto quo eu la sección pfJligro.!1Il la FUCT7.(l curl;. nlo l'S Q = I¡fl,
en el 1".lu1o fj s urgirán lus lensiones 1nngeucjnlcl! ~ig llic ntrs,
3 Q
P
1:Q = - ,- =3 - .
2 bh
li
I,a h'lI siúo tt'9ultnnle tllngcnci,, 1 en e l 11111110 B sera,
31'
2Pa
,." (
b).
T= TQ+T""u_--¡-+ - - -. _""""i' I¡ .OO+3 b
0,4!l3b
b
a
SegúlI In l.' rr ct a hi
"QllfliciúlI .~i¡¡"i"II I {),
I.'; l esi~
lIu resi..,t uJLc in dolx!f¡l cU!IIl'lirso In
"( _ '~: (4,06 + 3; ) <; ~
y. pur lo 1<111 10,
Po
[a l
bi'~ 11
07 '
A..,í, IHles. las d imo ns iones mayo«!S
lia ra el p u nto B , cuand o
•
b
,
10'1
lo
2(,,06+3.)
I¡,OG+3 - > S,S4 6
~lIlllln
""
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,
(11 rca l i~a r e l cá lcu lo
1~O'O'7
,
1.48:=:; 0,493.
3
Esto q u¡('re d ecir q uo el pu n to B es ¡n1¡ S IIC ligroso que el punto
A so la!llcu le en 01 e.'llIn d o IlCqueiías 10ngitudM de los trnrnOll tll·1
b
Ai rbol c uan d o Il < o.;w5:=:; lb.
EjNllll lo 73. CUIl l ro bnrr~s p r ¡~máticII S do lungihul 1, cuyos
OjflS ¡':~" Il ..ítric,,:< ~o enCIlClllrlln en u n mi sm u Illa n". es t án ompQlrndos
e n 111 1 oxlrOfllu y ( )J) 01 olro IIl1 id;' 5 pur 1111 diar!'1.g ma a bsolu l 3111{)lI to
rí gidn (fig. 135, 11).
Delcflll in ll r d ,íngulo d e giro 'f' d el diofrugmll, origilHuJo Ilor
el mo men to M I Oflliclldo Oll el plallll ,101 dlafrr'gIlHl, s i la d i ~ llIl1cia
en t ro los ejes d e las bnrrlls IO n 11. b, Y 1;; las ri g ideces de 1 1l~ bar r3s
11 111 to~iún,
C:. C J y C. ysus rig i d~('S a In fll'lió n D" B:, H~ Y B •.
CoM idéres(l quo e l dinfragmn pfl r man (l{:e \,.,rticnl r que J~ recta
horiton lnJ que pasa Ilo r los cent ros d e gra\'e,lud do In s seccio ne.!!
eltre!1la~ do ln~ bAr rIl.!! coinc ido CU Il la di rccciO I1 de uno de los ejes
Ilrinc i pa les con tr a le.!! de inercia de IIIS ha rras.
llesoludóll. P ues l o quo el d infrllgmn e~ rigi(Jo, g iraní en JIU plnno
,a lred e dor de UII l)nolo O (Iig. 135, b) un angulo 'P. I~slc será l'l ~ngnlo
e"
de lorsión de eada barra, es decir,
tp, =
'rz =
l.)
'1'3
Pucslo quc
M ,
!jl, = --t , 1JI1 =
e,
siondo 10ft
10f t "
lb)
e,
los momentos torsores co rrespondientes n cllda barrIl
,,
aJ
.'
/,
, '0./
/
0'
. \.!.",
Fig. 135
(l¡¡oS rigideces son
)
e, = Gllt,
- ,- ,
las igualdades (al se cscribirán "sí ,
1')
Consideralllto cstas
i¡:ualdnde~,
oLlellurcUlOS:
111" + M t , + M ,. + Mt.=(C,
+e:+c3 +C,)..,.
(d)
251
c~ t rCI1H1$
Lns flrrhas de los
de [liS bllrrns dcbedn cncontrnrse r o
e l J,Jauo del d¡afragmll y ser iguales n (rig. 135, b)
JI =
e.p =
~
(1', _~
Al! ); f, =
/J)
21'
IJ-(II+b - c')o/= -,
B,
(e - o) !JI
=.!..
( p~ _..l.
~1) '
lit
2/
( P' - -;;3 "" )
,(
f~=(a+b+c-e)lp= -
Ih
_1
y
,
)
lo)
I\- A/¡ ,
:U
siendo J',. 1'", P ". l'~ Y ¡)J,. ¡JI " M ,o M,. JII S f ut'rzag y I..~
mOIllCll tos ¡'I,liend(ls a IMI ~ccc¡on{'s extremas de l;l~ CúrresfJlJnllielll,,~
barras y
31:.'/1,
¡' '
lJ _
1=
[a s rigidllGtJS.
Considcrnnt!<l ll lle el di.,frngm;' peTman ceo vO I,ti ta J. olJlcuolr{'III""
(1'") ]"s tÍlIgulos d o giro de lHS scceiull('scxlrclIwsdc las barras dehidos
a la rlc ., i':'lI d c beTún se r nulos, es decir ,
' (3,, )=0; 0.= =,(- ,,3
/ - - M . )= 0, 1
I
1"
l
' )
' (-31 " -¡"l M , ) J, I~
0,= -'( "
---;-Itf.
B, '1.1
N.
fl , = _ I, - - M,
IJ, 21
r!
- / J3
=0; 04= -
l'
1
21
If:
=U;
2l
Do Mllli se (JlJ t i('llo
/' 1
P1 l
M, ~ -'- '
¡\f, ~-- '
2 '
¡\f.= -
2 '
p.'- .
2
J llll'l),llld(' lulu t'~ l (>s vnlor es CII lns cnHlGi ollc~ (r.) y Iwll Mul" do:'
eslns "" " b l(,"dro)lIlO~.
I~, = '¡ B,<'<I';
P, = /i/Js(a
+ /¡ -
,.)'!';
P~ = '¡IJ~(~ -aJ'l';
)
P. = /IBda
(¡
C- t) '1'.
+ +
(11)
Do la ccunciólI Je la esláti ca resulta.
1',
o feo
8 ,,'W
+ 11" (e -
+ ¡> ~
a) '1' = B. (a
p•
...
j- /¡ -
'"
P,
(i)
e) '1' -1- lJ, (a 1- /¡
e - f)
+
y pnr lo 111nto
e=
.!..
+ 8.(a + b+c) .
81 +8 2 +11, +8.
8~a + 8 ,(0 + b)
/-
Ijl
(j)
1' )
Planteamos la su ma de los momentos respee t o al puulo O
MI,
+ MI, + M I. + 1I1 + P,e+ l'~(c_a) + P,(a + u-e) +
t,
+P,,(a+b+c-e)=MD• (1)
Tcuieud" en cllcula (d) y (k), {'."uitJimll~ la fórwu!ll (/)eH la forros
¡¡i¡¡uieule,
4' (C l
C,
C,
C~)
I,lfB,e' ..;- I,fJ'U z (e - a)~
'¡¡plJ 3 (a
h - e)! -1- '¡'pB.(a -1- h
e - e): = M.
(01)
de donde se (l],licm',
+
+
-+
+
+
+
MQ
+
( i1)
'
<r'C,+ ('1+ C. + C"+4]/J ,I+B~(c-a )!rB.( a+h -el+ IJ.( a +b+c_e)z]
Conocipndo JlOs val"rt,¡¡ deo e y '1', de la CXllrrsion (l.) h,,!Jmno.~ MIl'
de In oX¡ITesi,,/( (1,), P, y do JI'S cxprcsioclcs (g), ,11"
Los u>olllulllos flectorelj m:jxi!Uos lH1 ra eada Lo'lrl'¡' r~~"II"" en
las ,~ecciulle~ extn'1l!as y i«l n ,
¡
1lI;LJ:M¡ = P¡Z '
La resistellcia dQ cada Loarrn se 1'~ 1.,,]¡lece medilHll.c 1'] c"leu lo por
to rsión y f1pxiotl c" mhin ad~!!,
Caso particular, Todas las [mrras so n do seceión l; ircular y
d, = d: = d. = d. = d;
a = b = e = d;
l = 10 ¡/;
.,
~=~=~=~=R~=~=~=~=C=i&
En este easo,
p,,,.
,
e = -¡ d;
IHs rúnuIIln s (k ), (u). (e) y (h)
"tJl1·"drern"~
l'psllectivamCIIle,
253
4
MI, = I>l t , = MI, = MI. = 111,= i1i Mo;
Pj =P.=~. MoI4.15.~.~d=!l° Mo~=~·Mo
4
GI p
ti 2
19
l1
HI
1 '
P1= P3 =~ l!!..
lO'
L09 momen tos flec t ores má.xilll OS un
J~ g burrn ~ ~U I1,
Las condiciones do resisten cia <lebení u plnlltearso pnr:1 Ins bu m",
1" y
P or la torcera hipótl'sis tlc resisten cia obtcmlrcllIus,
"0,
¡\fo
38W
Y8 1 +(;I¡~0317 Mo ~[oJ.
•
W "'"
Problemas 656·664, Cons truir Jos diagramas de lo~ momontos
torsor (M,or) Y f1llclor M y dctcrminH In ll111gni\ud de Ja tensión
,l'qui \'alonto correspo ndiente u la lercera hipólesis do rcs istuucla.
""
-
-'-a
"
"
'---.L'
p
~
ID
'"
p
~ ¡;~
¡¡
_
§
b
'o
'"
q
•
Moqa l
,
'"
fl · J50r pt
§§1
IH
p
•
~i
P'JOQ~
>'-'m
I
,.u~
•
I
L
2d
'"
"
"~
,
~,
O.l5m
,
yE =- 2
Pro ble ma 6(',5 . J) iulo: l'
_ S"I"; l = 20cm
=
(lO kgf; d, = 2
G _
2 .1 0" kgflcU\2, Consid crnmlo !I"/)
el !li<lfr~g'nln AH l'S ¡Ibs.jlu!n menle rígillo y pcrm<ltlcco en el
plano \'crticnl. delerminar laR
tans iones n<:>Tmal,'s princilt"l c~
máximas y míninws "" Ins 1),1rras (crmu
) y e l d('s I11I1ulIniclI",In /,11
lo \'l'rlicnl (6,,) d ol plllll.ndt·;.plic(lción !le ¡... fllerzn 1'.
Pro blcnui" G6{j.G80 .
Dcler-
minar las ilim onsioncs do
secciones trnnsvor!Wles ,Ill
b.'lrr!ls ¡mrticlldo do la
hil,ól esis do resj~tcncia.
,
t.:; M"f!
d
I~
"1
',m
m
!{>
las
]'IS
CI1\;
11, = 1 cm; a '"
p
.,<>
p
p
•
,
D
lb
b
1/~20C.Y.
/1"
Jau r.p.m.
[o:1J-/OOOkgfjcm l
;0/1
6O*g1 tt
1/·5iJiiW
~¿1 ~O¡m
Im- 50tm 50cm n - 5UOr.pm
[tJ)o¡OOOk¡llcml
Pmi6n radial
-j<l<'l IsfUirlO e,(cunferem;la/
,...
JO~
' 1 0'
_ u~
.
'"
,,~
I/ ·"t¡ucv;
61ltf1 J .
m
•
30'
2tt
n ~t¡OOr.p.m.
C"J ~750kglftml
p
ill
E,'¡CoZ"¡O?gflcm'
["l o 16DOkgf/rrnZ
]'ro ble nws f,s l -C,SS. CunSltn¡r 10.'1 diagramas de los luorncntos
y rJce~/lr y calcular la carga 110 J)cligrosa partiCllldo de l ClÍII;ulo
IHJr 1" te rcera hillóll'sis do resistencia.
En el problema 688 el diafragmll AY so considera absolutamente
rígido y permnneco en el plano vertica l.
t"r.~nr
!7 _G I ,\
257
["le 'l-ID'iIfI~mf
p
[6J " SO:1Ni / c,-¡¡Z
'
,- ;
\~~i
p
,
§ 5.
(;(1><fl
y e llel'fll d e
I"c"';.~le/H; jft
eUIU/JIlCl<lrt
En 01 caso goneral ¡Je acción ClItérC;l do lns fUl'rza~ sobro unn bnrra
prismáticn, los esfucrzos illtcriorcs en In secc ión trl1!1s\'ersal.'!C reducen a sois componentes: esfller w n.t ial N",. momento torso r .~r l'
fuerzM cor tantes Q ~ y Q, y 1l1OnHlIltoS rtcctor(>s M ~ y M, (fig. 13H).
Si;c es el eje ge'lI né trico de la barril y los ejes y y z son ce ntrales
principllles de inercia dula socc iólI transvcrsnl. cuy" C()lltro do gravedDd coincide co n el celltro de flexión, e nton c.·s Q" y M, d(>[.crrnilHlU
111 rl()xión trans\'erSllI en el plano ;cy, y Q, y Al ¡J' In flexión tr/LIISVersal en el pl;.no x:. Así, IIU OS, la barr;} s ufro 111 dc!orllla ción s irnult;i-
nen de la trllcción o comp resión, de lo tors ión y de dos flexiones tra nsve rsales planas,
En un punto arbi trario (y, z) de la sección tralls\'ersal do 111 ba.rra
la tensión Jlorm;¡[ ~e c;llcu la por la rórmu ln (1/.2) y la tensión tallgollci~l rcsultllute, sumlludo geo métricnmellle las lensi olll's tnngencia les
dllbidlls ;¡ la IUTsiun y n 111 flll.'iión,
La ecuación de la línea neu t ra se da po r la expresión (143),
No siempre es posil¡le de golpo eslnblece r la posición del pun to
ll l'ligroso, rcsultuudo IHJccS<1r io COIll ]larnr el grndo do pclignl de ,'a rios pu nt os
del cunlUTIlO de la sllccióll . Sen; peligroso
~z
¡Hlu!'1 IHllIlo del co nlorno de la sección
/
('1) d Cllallfl t e!l~ión cl]uiv;,Jellte oblenida
pur lfl hiI'Ó1csi,~c~r"gida rc,~ul1;1 m:J,~inw.
Compnrúndu c~l." lCllsiú" dceli,'n c"u
la l" lIsiun admisible se ¡¡uedll u est.a-
,
-
,
M,
~
M,
~z
"
"
"'
X
Fig. 136
Fig.
'"
blllccr. In~ di.lllollsirlllcs tle la sección transversnl do la barra o oo mproba r
la rt'sj~IC n CJ " jle 1.1 barril de dimen sioncs do III tillcción dadas.
I-:j¡'IlI I,lo 74. Dllrlo: Po '" 40 Ir, 1' , = 8 tr, P z = 4 tr, p . _ 2 tr,
1 = 1 no , h
2/, cm, b "" 8 Cul y 101 = 1 400 kgIlcm' (fig. 137).
C"llIptc>l>ar la rcsiMeucia de la barro.
Ne,w/¡.ci6n. 1-;" 1;, secciun Ileligro.s:, iurerior de la bllrt:. su rgen
lu~ r~r"cr7.U~ siguicutcs:
N %=I'o+P,=40+8= 48
"+
111, = P'"2
Lf;
1>2l =8 · 12 + 4·100= 40ij Ir·cnl;
¡\/1I= p,~+Plf=8,4+2,50=t32
1.
M, = "'2 = 2.,2 = 24 If· cm;
QII= I'2 = 4 Ir;
(),=l',=2
tr.
¡[·cm,
En b f;¡¡IIrn 138 estlÍlI representados los diagrnrnQs y las mognitlldllS de In s te" siuncs lIo rm ~les y tnllgenci~lcs corrCSllO!Hlielllcs a lO/:!
esfuerzO/:! interiores obtcl1idos,
~·i g.
138
En el vértice ti de In sccción i"icri()r de In burrn (fig. 13i) s urgen
los tllllsio ll es lIormoles (lile :tlCIlIIZUII d vlllor II¡;;Xi",Ú.
o.
•
=Oma. =0'
+ 0" + o'" =
250 + (j IiG
+ 5W =
1 <\ 12 kgilcm1 .
En el Jlun l u ll, ('n el ccul ro dOJI ludo I1wyor Ilcredw d,! 111
apa reellll t,'usioues normales y lOIlg'cllcinles de val .. r,
o "'" o'
O'~ = 2;;0
5\6 = i(¡ü kgrlcm',
T "" T, mn~ - Tp _ 59 - :~ I
28 kgrlcm·.
+
~('el'iúlI,
+
La lousiú" er]ui valente SOJgí11l In tcrcern hipotesis de resislcll ci:, es ,
Oe " =
Vo 2 + h 2 = V 7üü' +Ii· 282 ""'" 71iS
"gf/ cm' .
En el jllII,L... e, 1.' 11 el cC lllru del ¡¡,rli' nlell"r inf"rior dI' In
surgen las tell siolles normales y t~ng"llriale~ ~i!íllir "tI'H,
o = o'
o" = 250
fl!¡f, ,, 89(; kgllem·,
T = "10.
1', = 4"
!ü =- 00 kgi/crn 1 .
+
+
~('rcioll,
+
+
L~
'ellsiún equivalente por la tercera hipÚlesis de resistencill es,
0e =Yba3 2
I¡ · oif ""'" 00" "gI/cm!.
e
Co"lpnranú,f o. ell los lHmlo! ]Ieligrosos A, 11 y
se deduce 1]IHl
el más peligroso de lodos es el punto A,
P uesto que o '" = 1 1, 12 kgf/cm~ es SUJlerior a 101 en menos de 1%
se puede conside rar qu e la harra es suricierllemenle resistente.
+
e
,ro
Ejemp lo 75. Dado:· P, _ 200 kgf , PI _ tOO kgf, P ,'" 240 kg{,
1, _ 30 cm, I ~ _ 4.0 cm. la _ 6Ocm , l. - 80 cm y 101 _ t 000 kgfJcm'
(fig. 139).
,
P,
9'
D
A,
..
2 [3211
/p on
J
ñ
J
,
4
A
4
O,
O"
,",
•
Fig. 140
Fig. 139
Determ inar a, h, b, d Y do.
l ff:IlQ/llci6n 1. Determillllción de las compoucnte~ reactivas en el
empot rAm iento. Para ello reclIIT imOll a las ~e i ~ ecuaciones de la
estálica (n g. tliO).
!X=A",-P, = O:
A", = P , "'" 200 kgf:
~)' = A *- /'z_O:
L%" ...
_ A . +/~~
A,=Pl= l00 kgf:.
A ,=I'. = 2400 kgl;
M"' = p.~ _ 2400·O,U = 1440 k¡¡f.m;
... O:
!¡ll ",_ M JI.", - 1' ,/, _ 0:
:f:.¡\f , - !tI,..w
MA r -=
¡M.
1:
I~.I.
+ 1',1, -
J
/',1, =0;
- P,l, _ 24U·O,8 - 200·0,3 .,. 132 kgl ·111;
M .... - 1',1.
+ 1~1(/. -
1:) =0;
=
=
M ... . = /',/ 3 - " 1(1, - IV 200 ·0,6 - 100 (0,8 - O.t.) 80 k¡l. DI.
2. Dctcrmillllei6n por tramos de 18 ~ !uenos ;,xinles N, mnme ut os
l (Jr~orl'~ M , y 1ll00ullntu ~ IIccl(lre~ M "" M w Y M ,.
Tronlf! J. Consideromos :; _ O"'11 el pU llt o ¡.; y:z: _ 1, en el puntoD.
1.11 flexi6n en el plolH~ ;l': es,
111,-=- 1',:; M II._. _ O: M r
.... 1',1, _ 200·0,3=60 kgl·m •
.-/,
Tromo 2. Considerllnlo:!. r 0= O en el pu nl o D y.r = 1: ('n el puo·
lo e, Llt fl exión y troceló" en los planos r:z: y :r!J :!.erán
N "" 1>, = 200 kgr; M , = P, I, "'" 200.0,3 = 60 J;gf · m:
!ti .
-.
=0;
M.
~-I,
= P~lz= I OO.O, 'Í _ 4{1
M , - I'z:r.;
J;gf. m.
'"
Tram o 3. ConsideramO!! y _ O en el punto e e y - l~ en el ¡lUnto B .
La cOlll llTcsión, torsión y fl exión 1'11 lO!! IllallO!! yx Y xy serún,
N=-l'z=- 100 kgl;
101, _ 1'.1. =200.0.3=60 kgf·m;
M~=I'",;
/11 ,
•- 1, _
I'zlz
+ 1',1, =
100·0,/¡
+ 200·0,6 "'" 160 kgl·
JlI .
Tram o 4. C... nsjde r~ mOIl x = () ell el ¡JUu lo A y.r 1, (JI! cJ Ilunlu /J.
Lo com llfClIió n, ton¡ión y flexión e n Jus IIJanus .n Y ;(11 .'jcr3n,
N _ _ A .• =_m kgf;
M ,_ III ... " .",. 141 kgl·m;
M. = 111 ... . - A,.r;
"" ><-4 =0 111 ••• = 132 kgl·m;
M . " 1, = M .... - /I .I.=
= 132 _ 240·0,8=_60 kgl·m;
M ._ M ... ,+A~x;
/11.
:00-1,
M'~o - M ... ,
- 80 kgf·m;
_ /11", ' +Avl.=80+ 100·0,8 _ 160 kgf·m.
'
3. Construcción de los di ~grnmos de N , M I' /1(., lIJ v y lIJ, pUf
Iramo~.
De aCltc rd u con l o~ "alores de N. /1ft. M ", M v y M , o b ~cnidos
Ilan. cada Iro mo del sistema. en In li gur" 141. ti. b, t, d Y ~ I'SIÚII
dad o~ los diagramas dc eslos magllitu d c~.
4. C"l1c ul o ele las se<:c.iones Irnns"I'~ICIl ¡lOr trnlllos.
Tromo J. La sección peligroS<l se cncucu lrll 1'11 ¡lIS pron:imi dadcs
de l punto D (rig. 141, d y 139)
M , - 00 kgl·,n.
CIIlcul a mos la
~e.::ciÓn
po r fl exió n Irons"crSllI plalUl,
•Jí---¡;¡- •Jí .6.tQ3
a:;;;¡,. v
6t;J - V (i 1()i"'""a.3cm.
Tromo 2. En la sección ¡)e¡¡grosa. I!II Ins proximi dades del ¡JUnto
141. g y 139).
e (fi g.
N -= 200 kgl; M . ... 60 k¡l.m ; M , _ 40 kg f.m.
'"
Calculamos la sección por flexión desv iada.,
bh2
h
hb 2
hJ
_ J:!"L _.:.,
_ ".
W - - = - ' ' W = - = - ' c_
~
6
12
z
6
24 '
W,
ti 12· t 4:=:: 5,52
JI >
Admitimos h = 5,6 cm: b =
"
"2 .,.
cm.
2,8 cm y com p ro!J a mo~ lB
"
,"
'"
,
" '.
rnt'
- . '~ ±&
l~a "~
.¡ ,
,¡
1_
r
~
:j
b' Z6 _
,
Fig. 14\
sección cO llsiclcraJHlo la r\l"p. ~ .n inl.
F __ b/¡ ~ 2,8 .5 , r, "" 15.7 cm2 •
h S I . . 3.
W~= 12:=::I
•. (,
C lll ,
.
IV,=
C III:
,,=~+~+M,= 200 + 6.10'+ 1¡.1 0'~ !ií2
(J
1:
m.
La
IVy
~ulJ\cn ~iúll
IV,
15,7
14,6
k¡: f/cm'.
7,3
es ,-1"elO""""'""
·1 00 --~
<) 8~"
lo]
103 -- -,
10 ·
Tr(lm o 3. En 1" secciú" peligrosa , en
141, h Y 13!1) N ~ 100 kgf;
t l¡l¡·kg{-m; M , "" 1/;0 kgf· !1l .
(Hg.
=
/¡J.l
24 :=::7,.1
¡" !,r(>~imid"d
]lit "" 4iO
del plLuto B
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Cn1cu l'''ll''S ,·1 d ¡(,," ulro oI u 1" ".'cció" jJor lu,'); ió" y fl o.~ió" cLllllbiu¡¡tlas. E l 111"",,,,, 1.,, Hector o'lu¡\',dcntll .-;cg('n 1" tercl' r;, hipólt·~i s do
f,· si!l\·.\t\ci¡¡ ")1,
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resiste ncl ~,
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que 111 soorctcllsió" l'S in feriur a l I o~
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puedo ad mitir
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l'roblcIl11tl1689·692. Det" rmi unr
1 1l~ tensiollt'~ ct l"il' al cll t~"!I ~egu n
la l CT<:Cfl. hipút('lI is de r('sistl'IIcill,
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Pru blemas 69:1·095 . ClJm llrulmr 111 rcsi stcncill dl' las
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bllrr~s
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por
p
",'oHc.."oH
raj- /fODtsfjcml
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Pro blemas 696· 698. Oot er miQor J os d i mell ~ i \lll'-'" lleCC!lari ll8 de los
seccioul.'lJ transversall.'lJ do las barrall por 111 te reera hipót(,II ;S UD fClI;S '
lenda.
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" rOIll I ,,.cx i ú ll
Se ~ll'nom;lIa nmrle hdicoidal rilimlricr> A la ba rra Jl ri ~m:íti r"
o,)lIr"II"ll" suh rc 1111 c ili",lr" de 'ó,di" &'m~tH lltl~ (ng. 11\2).
V .'¡'rn()~ .'1 resur tQ de l/Ill! hllrrll dc IlCcciú n IrnnSIlCrs.11 cirCIl]lIr
,lo di{UlIctn, d. El oIi ~ mctro medi .. de 111 ('~ pirll lu 1II, () lnI1l Q~ I,or
/) y p ] "i.. ne m 010 eS IJirn ~. I)vr N. I~ l p n~" del rcsurle ~o ,lcl('rllliJlIl
JlM el ó"lIglllu a ,I~, inclinación 11 .. 1 1'1""" 11 .. I ,~ el!Jli rll (xz) r" ~ I,c(" l o
,,1 pI""" horiy.'m tal.
E I ,'jo:r ~ 111111,"'"(1) 11 111 líllcn 1ll1!(1i" 01" 111 ('!IIJ ir:, y d cjll!/, lle rpcndi clllu a l 1~l an" .f":.
Si I"s ext rem os de I~ barro SIl lIellan 11 ]"", ("Cll tros de l«s "~l'i rlls
y SI:! SUUlcll'n;¡ la ó'CciÓII de 11. ruen .. do ImeciólI " Cllle ;iclím ~e¡;: i¡n
el eje d,,1 res urt e, e nl ull ces en cn¡la seeeiólI Irnn~'·l.' rsal dI' 1.. IUlr rn
In!! rIlC...ns illlc riore!l ~o (,,!lucen « un ~.'Irlll' r xo cunlllante!tu t fllccio ll
N"
{' scu a. 11 11m. ¡""rZA l rAnS\'l'rsnl 1:"rt Rut o Qu = " &,,~ a,
II n IIUH lle" 1,, INsur ,1/,
f'n c<!s a y n 1\n 1II" ..wlIl o rlec tur Af ~
- /'11 ~1'11 a (fig . 11\3).
E l punto IJeJigroso de 1/1 sección l!C r¡i el IJllulto A de la ~uper¡icie
inlerior do la espira . En elito l)Unlo,
N" lo! .... __
IGPD ( 1+ d)
11 =_+::.:1.
- lIC ua
(155)
Q
MI
8PD( 1+ "- ) co~a .
T =~+--~--
( 156)
1-'
IV
mi'
I\D
y
1-'
IVp
¡¡ti'
21)
Según la tercera hipó tesis de resisten cia, la co ndici611 de resis tencia IlCrá,
1"0" + 4~=
X
16:: X
V',(CI-+-,.~~C)O'C~-"-'-"-+--¡(-I-+-2~")"-',-.-,-za "';;;;; (0).
Si el p,.,so ,J e la es pi ra os pequeño (a < 1/,°) Y ~
> 10.
(157)
entoncea
~----'
L
1-
,
~
p
-~-
p
Fig. 143
Fig. H Z
Fig.
se rcali 7.R Solnllll'lIlc 1'1 (',ik"lo lI',r l"rsiúJI JlOr
I~
H~
fúr¡uul'l.
8/'D
rttt' ~ [fl·
EI I el CH SO de gran d e cur",.,ll1r,., d e In eSlli r n
de
l~
('ur\'~lura
y de
l,.,~
(~ < 10 )
In in[ l m'llcia
hwnas so {"nl\si<ll'rau Illcdi"ule d r<lp[il'Í pu le
D
lT - O.25 0,G15
k= -
E.. _ J
"
+-- .
( 159)
D
d
'"
q ue
!!(!
incluye en la cond ición de re,i!\(mcin
k8P~ ';;;; ITJ.
(160)
n.
L~ expresión genera l pa ra la deter minación del de!:lp la!amiento
" .t ia l del ex tremo libre del rt!!orle ~ es la siguien te;
Ó_
8I'D'"
~co~C:t
[ 2 (t +L) senlC:t+(I+~) co~"C:t l .
I,D"
/:,'
2D"
G
(101 )
~illlulo
h.' Y G 10lI m ódll l o~ 41" e l ll~licidod longitu di na l y tangencial
del Inattlri,d de la bllffo del r"sorto.
En 01 caso do UII rllSorte do lll! P "~o pequeño, el desploullIie ut o
6l11.1 pll cde ob tene r co n suficiente exac t itud, considerando solamente
la de lornHlción correspoll dienle a 18 torsión Jlor la fór mula,
,
t;Jclllplo 76 . Dado; D ...
8PD'n
(t62)
- (fF'
80
10m; d _
20
10m;
C:t = ISo; ,, _
_ 10 c8piras; E "" 2· tO' kglkm" ; G _ 8·10' kgf/cm" y 101 6000 kgrtc m" (li g. 1M).
Dclerulilla r P y /l.
Jle'ulllclÓn. P ues to q uc a > 1<,\ °, aplicamos la fórmula (157) de
IR que se obtiene el "a lof siguieu le ,le la carga admisib le,
p..;,
n· 2'·()OOO
10·8
V( I+~)"O,067+
(I +~)
O,933
<'\·8
2·8
,:::;: t 050kgl.
El des plo!amielllo axia l lldcl extremu libre del resorte se obllen"
por la fórmula (t 61). Introduciendo en estll fórmula 105 \'RlorNl
numtíric05 dadO!!, ballaremO!!
6= 8·1050·8'·10 [2 (1 + ~) O,OG7 +
2'.0,!lW
"·8" 2·10'
+ (1 + 2·8
~ ) O,!l33o' l ,: :;: 3,S4 cm.
8· 1
Por la fórmu la aprox im ada ( tB2) se o bticne,
15
=
8· 105O.gz.1O
8. 1 ~.2l
-
336
1
, cm.
ElIte \'a lor es a proximadamente un S'4 inferior al valor real del
dl'\!lp lalamiento.
'"
l)..m resorlel! hclitoidulcl! tilí ntlr iws de paso p",[ueño
se
I
I
del .. Iru de rnauern tOIlCólllriClI ([¡l-(. 1li!"I) 'i Sil
somclOll!l la luc rw :uinl,lt, cumpresiúu l'
1,30 k¡.(f. L,,~ dimellsiones del reSu rle ,':.:h'rior I ~on: 1),
100 mm. d, = !ti mm 'i ni = 8 espirlls; laos de l rcosurle illleri"r 2:/), -" 80 I1IUl. d~ "... 12 mm y IIz =
12 espiras. El módulu d~ de~liwmielll" d.,} ""llcl'inl de la ~ hilrrns
de }"s r¡'Sur tes es (,' = ~. Hf kgl/clll'.
D cll'l'Illíucse ('1 nsic"I ... tÍl' 10.'! rCSUl'lc~ eS y lUl! 1 " II~i(lIl(,l! Illllg~l\ci:,­
les m.bim~s T,",u, Y T,,,,, ...
n~S"llIciúlI. Anolnnd" pUl' 1'1 Y I' z llls fuerza s que ndí!;", sob re
10..<; reso rtes. úhlelldren¡{,~ de 1" <1""",ci"" de equilibrin P, -{ p ~
P.
L II c""diClón de C(Jlnplllibilid;,¡j de lo!! d e~pl:O~:lrllical()~ c"nsi~ le
el! qU lll ,,~ asiu" l"s del IlrilllCr ri'~"rle (6,) y d,,1 ~"¡;:III"lo (Iltl su n igll~­
les, es decir, 6, ~ ó 2 •
TcuiCf"I" t'lI 1:lIcnLa 'lile Iros dus r('~ul'les "''''' dI'
pequuilu IH'S<l, p:ll'i' la d('ll'rwi"nClÓ" ,lel a~¡.,,,t,,.
;l p licnmo.~, In fórm"l" ( 1(j2) "htcnif'JIllo P" "" 1"
rf>llllici/lll ¡[1l cOIl'pntihili,lad,
+
81',0:11,
GT =
de d",uk
~o
8JV)~"2
r.{~
h"ll" .
11)'·8 ·1.2'
8"· 12.1 ,/;1
A."í . pncs.
1,, = ~J' = 1 60
kgor.
.,-
J'2= ~J> = 2iO
k¡;:f.
C IU_
t 4~
Fig.
"
y -D,
,, = 1,,_
,
por 1.1 fimnllln (l foR) nh t cu¡]!'('IIH'.".
EH el caso tli'1 ri'sorti' int{'rior '1"0 law[¡iéu f'S do ¡lnS" I'C1l"oño
8
6,7
G < 10 In l.f'nsií", Tm "U .~l~ ,,!oli t'n(' pur In fór]lerl>, D.
,,;=1] """
2(;9
mu la (t 60). Co mo el coefi ciente de rectificación e9
k= 6,67 - 0,25
6,67 1
0,615 ~ 1 224
'
,
+ 6,67
ob teud rl'Ul O.'l
'r mn ,
~
8·270·8
;¡· 1,2
= t ,224 - - - , :=:: 3900 kgf/cm .
I'ro ble mn 699. UII resorte se comprime hasla hncec d(,s<lparecer
el f!SIUlcio ent re las espiras. Determinese la magn it ud de In fuena P
necesa riA pAra ello, IIsí como también la tensión 'rmu que surge,
si D = 5U mm , el paso de lA espira I = 15 mm, n = 1U, el lado
de la .'lección cuadro¡ln de la barra de l resorte es 0=5 mm y G=
= 8· IQt ~INlmt.
Problema 700 . Do~ rf!sorles se cOlllpri mell con fuerzas iguales P_
DI:Illlrminar las razones 't-ma"
- y -6,s I. D ,= D 2,n , =n2; ncf,
- =0z
'r mu,
~2
l.
Y G, =C!_
I'r" bl r mlt 701. Dnd o: D , = D 2 = 200 mm. d, = 2d 2
20 mm.
ni = 8, n2 = 5, C, = Ca = 8· '1 0~ kgf/cm~, l:} <'l"
Determínese 1lI0X 't,. mllx 'r2 y <'1 = ~ = 6, + ~2'
Problema 702. La válvula de seguridad se debe abrir bajo la
presión del vapor p = 5 atm. Dete r minar 'r,o . . , n y <'lo en el resor te,
si Do "" 80 mm; D = 60 mlll, d - 10 mm, t = 18 mm, C =
= 8· 10' kgf!cm~, la comp resión del resorte has ta junta r las espiras
es I¡O mili.
So S U pOliO que duron to la máxima elevacioll de la válvula (al
creCI!f 111 presión en el proceso de 5U apertura) debera Iluedar una
resen'll de 20 mm.
.,
p
"
"
P' 501lgf
Problema 703. Doterminar las tensiones de montaje en loa resortes si A = 5 mm, D, = 60 mm, d, = 10 mm , nI = 10, DI _
"" 50 mm, d~ = 8 mm, na = 8 Y GI ... G2 = 8- 10' kgf/cm'.
'"
703
21
,-f¡-,
¡
70'
L,
,
-,"
•
;/
e
p
Pruhlc m<l 701•. Dclcrmiuot 111 fuerza odllli ~¡ (¡le l' s i pnrn In hurra
ABe 1 = 500 mm , /¡ = 7;,0 mm , d~ _ 30 mOl, 101 - 1 (j()() kg llcm'
y J"lm el resurt/'. D =
111m, d = 10 mm, ,. "--' 10. G =
= 8·1f)ti kgf!cm', E ,--, 2 ·1 0" kf!r/crn" y !TI = 4000 kgf/cm",
R~;, l í("~~o el dlco l" ¡mr\.icnd o do la lerc('r" hillÓlcsis (t u n 'sistcuria.
Pro ble ma 705. 1),,,10 : D = 50 !H1ll , d = '10 !lI1l1. 11 = 2, G =
= 8 ·1 n~ kgf/c m'. d, ... ;~l mlll, b = 500 mm y l' = 100 kgL
Lo b;l rt'il lIE es rígida.
Dc tl'rmirwr en cuá ntos por ciento reduce 01 resorlc la tOllsión eo
,.o
el úrl,ol AD.
J' ru blcmfl 700. Da do: P = 1,6 kN, D = 60 mm; d "" 12 !11m,
n ='" 1;;, G = 8 "1 0' :\IN/ m 2 , 1 _ 500 mm, b = 50 mm
y E =
_ ;¿·lO· MN {m',
Dcterm¡unr la fuena Pel o comllresióu previa el e l re.':lorto paro {Iu e,
IUHl \'C1. iro~tn!(ll1o en I!l púr!.ico, la lensió" que en éste surge dismi_
ntl y~ 2 "e,·es.
'"
t
P
"
-¡
f b_b
:1I
A
,
p
Pr"hle m3 707. D~do; P ... t OS kgf, D -= 100 mm, I "" 182 mm,
I<:rl ~ I¡ 800 kgflcll\~ . E = 2·10' kgrlcrn', G _ 8. 10 6 kgffcm 1 y el
asiellto ndmisibJe del resorte 1M = 100 mm .
Determin ar d y Il por la cUMtn hipótesis de resi stencia.
271
I'rubll'mll 708. U"d,¡: f) "'" l OO mlll, /1. _ 10 "'''',
= 182 111m y 10 1 = 4 I:l0l) kgflcm'.
Dll tl' f minnr l' I,"r 1" l..ree r; , hip ótesis do r1'si~·
l enei" .
I'rto blerna 709. \J,'Io! r", i,,;>r ,,1 cHillrn.1I " .\ i, d f'
en los resort es una \.1'7. unidos é.~1.us. ~i St' silhe <lil e
t. = !iO """, el 1"('.'IOflo 1 rs de Imso gr'" Hlo (1), = 100 mm, d, -' l O ,,,,u. 11, = t" 1, = 1M2 mm) ,
01 rrso rto
,1" 1H1~" pfl'l"cñ" (D~ = .su UlUl .
'f .
d, = H mm, 11, - 8), H,
f; , '" 2 · \0'
y G, = (;, = 8 · W~ kgik lll~.
kgflcm'
X. nEXION LONGITUDINAL
(pANI)EO)
§ l . 1'·,,(' 1';:'\ ""íHClt 11 f ellsi ú lI C l' íN(·"
1':" 1,1 CII~(J dc c<>!n prcsió" 11.\;111 de uno h" rrn I n· i~m;¡Licn. d,'nl..,
do lu~ lim itros de l)rOpureinnn Hdn d . 1" magnilnd de la f""rw cl·ilic"
1)".11 .'!e detormina I'" r \;, fórm u la dc 1~ "lor.
:¡~ fo.:l
)
(lü3)
l <rlt=T '
,
sie ndo E 01 ",ód" lo do ol"~lici d ,,oI 1" "l!i¡udinlll de l ,,,ale ri al de la
barf!l;
I e l 1lI,,,nünlo dc i"efei" IlIinill'" 01,,] ,inm bru l.n F do In
¡¡ección Irll n ~ ,·ors¡d d I' In bnrr;o ;
1,
),1 [11 ]OIlg-i tUII ",ieclivn (libro) de la b,'rrn (III ng it,," do ur,a
h,m· .. ,lo npoyus ar li c"¡,,, I ,,~ ([no pUl" slll'~ l ah ilid a" C~ \:II"i \'1' \"11[(' " In bnrrn de ~p"y"~ dad"s);
l"ngi " ,,1 1'f'~1 de In bnrrn;
1\ clldicicnle q ue dCllo lld r IIt,l t i¡JH dI! " poyo y do solicilacióu
de la bJrr~ .
En la figur<! 146 "stán r~prc!!Cn l od"s I"s CllSflS
simples de
comp rl'sión de bHrn ~ y lo~ vA loros COrrl'¡¡ IHl!ldiente¡¡ del coeficio nt o jI.
L a te llsión críti ca se de terminA p.lt In fórll1U1H
""'S
(1M)
s iend o
J.. =
lt
la osbelte z de
I~
h..rra (rnngnit ud adimengionnl
quo cafncleri7.H 1" l'ropolIsión de In ll:lrrn al IIM,dch);
212
i=
)!jel radio de giro ¡ninimo del área
¡"
de la secció n
transversal de la barrn.
Puesto que l~ tensión crítica Oorll no debe superar el límite de
propereiol\Qlidnd del materia l de la bar ra 0p, la. magnitud de la
esbellcl. A. I]ue perm ite aplica r las fórm\lla~ (163) y (164) so eslft blecera ue 1ft desigualdad,
I.:;;;;"n
V".
(1.65)
E .
Por ejem plo, ell el caso dlll acero c,.. 3, A. >- 100, en el del acero
A. :;;;;"85, en el dul hierro fllJJdido 1.. >80 y un el de made ra,
1.. > 70, ele.
c,.. 5,
ft¡
R:ril
,,,i
,,
"
,
i p.~a,7
f ig.1I,(;
"
d)
Si el paUdl!fl ,le I~ h~rra snr¡¡-e ~"lalllell[.e f",'r" del litni l.e de
prop"reil"ltllll itl,¡d del 1!1ll1.eria l. cnt.nncl'S In tellsitin c rítica .... vLtelL<1..,; po r la f',rnllll.1 emplrica Ile Ynsillski,
crerlt ~ f' -
bJ. ";- CA.",
(fG6)
¡, Y c coeficienlL'I< empiricos 'lILe dcpe l1 dell del \unl crinl
y s(' midun en l<ls mismas nnhladcs (lile la ICllsión.
P<ll'" rl nccro e,. 3. f/ = :i '100 k gf/cm~. b = 11 A kg f/cm: , e = O.
P;lf ll el neero e,., 5. 11 ,-., 1, G',O kgf/c m", b = 36, 17 kgflcm·. e = n.
I';m, el hierro fundidu, fl "" 7 7HO kgr/cm ' , b = 120 k~r/cnl\ e =
~ U,53 kgr/cm·.
Para la madera. a = 293 k~r/c", I. ¡, = l.!)!. k~ flc U1'. e =, 0 .
La fUl"luuln (100) se puedll emlll ear ~ i ao,lt es inferivr <oro en el
caso de UII mal.'ri;,1 1)I;ís\.ico, e inrerior a 0" ~i ~e lrflla de:"11 11Iate·
l'i;\1 fnigi l.
":jcm l,lo 78. Dado 'lIHl el malerilll de la lmrr<l e5 dura lu miuio,
E = V.7 1 .1()& ~IN / m ', op '" l OO t\lN / m ~ , 1 = \, 2 ltl, f) = /, cm
y e/ =- 3 cm (rig. I <\7 ).
Det erm inar 1'",1t y /Jeru·
sieJHlo
f/ ,
273
R e,(}lució/I. El momOllto de inercia de la sección Anular circu lar
de la burra es
1\
•
..
175
64'
n
I = - (D -a-) = - (25G _81) =_;; cm'
64
el área de 1"
64
~ccci6n
tmnsversat de la lInrrr.,
F =;'-(D 2 _cf) =
p
~
y
Sil
~
7
= ;r(IG - U) ="4n
CIII
mdiu de giro. .
-V ,=l / 175.1o =2.
i=
F
¡ji,. 7
1:111.
"
1-;" \01 C;l~u d,,,l,, de "IIVY'; de Jn.~
c~!rClllo.~
d" la bana. el copf icicnl0
lit· n:ducciúlI ,lu In IUlI gitud ('s
,o·l'llesl"
U,7.
'1111,1" cs tJc lle1.dc In lo"l"r,.
A=E...= 0,7· 120·4 =
5
._.,
.. !Ji
= ,11._>:1. V ~-~
0"
Fill'. 1t,7
!'ig. 148
(j')
V/~
180 .... -.
-3 11. ..
-
,
I
la fucrw cr ilíen se !",dni obtoner 1'''1" 1" lúnulIla dr. EIIJer.
p
_ tI. !E J _:1' .0,7 1.1 0' .10'. 175'11 . 10- 8
~rh- (¡I/)" ¡jI¡(O,7 .1 ,2)~
Ln [elisión edl;e ..
1'•• 11
rl'~III I "
85.3· 10' ·/,·\0'
ocra=---¡:-=
711
155·10· W.!m" = 155 "'N/m"
Ejemp lo 79. Dadu 111m el mnlcri,d de la barril es hiürro fundi do,
l = 1.6 m. d = 6 cm y t _ t cm (fig. lIi8). 1)l)ler miunr Porl l '! (Je,ll.
Rewlucioll. El momcntodciucrcia de l;l Neeeión en forma d I) CrlnllS,
1·6'
5 ·1
22 1
•
12
12
12
'
--+-~- cm'
'"
el arca de la seccióu tr;!ns\'ersal
F = ul+(a-/}!
y el radio de gi ro do la sl'cciólI,
i=
11
22 1 "" 1,2!l1i cm.
12· 11
E n el ca50 dnd o de nlwyu de !us ex(r~moi'l tl ll In barra fI ... 0,5.
III
IGO
Pu esto que la esbdh·1. II" lu bnrl"ll A. = -:= ')_. I ,_"'.
?'" <::: 61,8 < 80,
I
In Lc nsión crít.icó' se dulJf' rú oblC II('r ]1M la fúrnmln f'l1lpirica,
a.rlt
<o-
7 7GO _ 120A.
+ fl .!j.1Á'
-= 7 7UO - 120· (j I,H
+ O,53 . ¡;I.¡:;~
La l1log uil ud uo la fuer za
+
"'" :! [j"1 11 I ¡ ( ' u.'
cr¡lic~ rl'~ lIlla,
P era = ocrllF = 23"10 ·1 1 _ 2f.i 100 k¡:f.
rr"bl ~m " s 710·715 . D('! ('r1l1 inn r las nw g nillld .,~ dc la~ rUl'TZlIl'I
críli cns 1'..11 y do IlIs I c n ~i{rnrS (.r íl it¡ts aerll lH>rn la~ harrns cu ulprirnjd,,~ dadas.
Aduritnll~e.
para los IlIHI ,·ri:, I..;; do l;ls bal·r~s los ."ign if'll tes
\'al url'.~ ~pru~ i l1lad(ls de l mutlul" ti ... cl a~li ci dad 1'>llgitlldinnl E y de
los limi les de pnJl'o Tc i,,¡1:1lidnd al'"
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co uol i<'iú" .1,' r,·~i."h·lI('i". ,,¡ ... , ' n,,,toi'-.. 1" rUlloIkiú n d(· ,·~I"hiliol."I,
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de 1" , ·~ht'II('1. p,Ir la [,'u""1111\ ol é' l,: " I"r ( 1Ii:l) " pur 1" 01" Y ""i ,, ~1.. i (1Iili).
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h(i_i,· ... 1"""1" '1 "" ,,1 c,dnd"r IHlT ,'~l:llodi,I'1I1 I.,~ hOlrr,',. t' '' UI,ri,"i
" \ ¡" 1"
l' r,·~"I I " ,I('('('~;, r;" t', , ,. ~i t1,'r,t" f,,(·I"n'.~ \"1"" 1,1 t""O'" In r ¡, ,<
IJII" ~"" i"""il .. l>lo',< ''o )a l'rúo'lica (o'\o'o'lIlri('H I"d .. 11 1" "plit"tri{'1I
,).. 1.. ","'1(" ,lo, " "" 'l'n ·~it·II', /' tll· \'"I"I":' ,,,¡,'i,,1 y Iw l,'rul!I,,"' ¡,IHoI oIt·)
IIH'I..ri,,1 ,1" 1" I", rm) y '1'''' c""lrihu}',·" ,,1 1"""1",,.
L,,~ O'\"I'"lrici":,"<,~ \' 1" el,r'al"r,. ;"K,.,I. cII.tud" ",.,. IIr;l"oI1'~.
se (:o ll ~ i ,l('r~ II 1'~IH'rin1 I11t'"lt' 1-11 l'1 f.;frll ¡", I"'r,, """"d" ""'1 1>I''1,,,,.i,,~
no 11111'111," "t'r flllrulndm" )' .ICI)I·ntll'l' ,l., 1:, I'<III,III'l d I' 1:> hilrr •• y <1'
eOtllli,I,'rll ti i 111 r, 111 IIe il'lI,l" 11 11 c..!'fie ieJo [¡o d" ...... .1111 rid" 11 t .. ,,, 1)1.'ml'lIlo' ri.l.
/'s "('Cir, Ilor .,1 " 11 '"1'11 111 i lloli e:.. I" d.,1 r",·firi,·"I" ,h' :"'g"ri,I".t 1,M
/'stllhil i ol nd. So· ,,"ru;le: 11;¡f" ,.¡ ae{'fu 1",.1
I.R-:I: p" ra 1,1 hiHr"
r ""diol ,,, t,,~1
.-, S,:; Y l,a r" In """I,'ril, 111,,1
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~I/jll admi~ibll!
'"
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dl'II Omillil 1'f)<'/iclo-lIlr dI! l"('tllld6" ,JI! /11 I,',j-
1'/1 rI ¡J/ll/ d rll o cIK/id,,"tr dI' !,I//l d eo,
L a depende ncia de t¡l do A para los distintos ma t(lrilll(lS ~e da en
formll de c"r"lIs no r m~ti\'n s o (lll forma do t ab las (Ilpl!udice 3),
El cMc"l" por es la hilidll d pu ede ser renlizadj) en dos \"~r¡olltel!l
(1I1IÍlo d<)s) .
1. P" r el coefici e nte de ~(lg\lridad por estabilidad dado 111. ].
2. Jlle,Hall l o In Labl:, ,le los cO(lfi cienles do rllllucción dI) la~
j(!¡¡;¡iolles :Id mi s i hles '11p. ).
El prime r Illél\,do 110 es tl el lod o e:C:H: tO, pues to (lue, hablnnd o con
ri g<¡f, ..,1 coefic iente de segu ridad por estabilid ad no puede sor fij ado
previame nt e co n oxnctillld. ya que depellde do lo e~blJlle z de In harra.
E ~te II1IÍt Oll 1l so empleo <'11 los c:Hclllos de comprobnción Ollroxillllldos,
Il ~ i Cll nw en los casos CIIMulo 110 ex is ten los t ahJ¡\s y grlifi cos de
,r(I.) (por ejempl o, ell el cnso de Illalerillles ,,"e,'OII o do emp loo de
burras de eslHllt e7. s up(lrior 11 la que Sf! recnmi e nda).
El segll ndu mé tod " se e mplea Il ni\'cr slI lme n h', y ('~ 01 IIIH"do
[mllllu"clI/,.1 d n c" lcII I" ,1 .. I¡:¡rrw¡ Jl(J,. c.'ltll/¡iI¡d lUl. El e:ílc ulu cn este
f llSU "O r(llll¡'f¡l p,i rli{'lId,) UIl In eC IH, ción,
( lGi-)
emplrand o s"l:HlI(lll l e las t /l bl lls de los coeli eiclI t(ls 'P sill recllrrir lIi
11 ¡" fÚflll1l l" do Eul c r ni a J" elllpír ica de Yasins];i .
Ot:le rmin ~ci{, n
.... la
~ " r¡!a
a,I "' ;8; bl"
S i ]l:m' In harno 'I"(l so cn lcula ~u cuuoce n: In IUlIgilull 1,1'1 tip o
do Il(lUy" dI' los c .\ln! "'''~ (fl), In fonnll y IIIS dill'(lll siunc.s do 1" secció n
Iri"'S'· l'r."m l (l-". J. i) Y ,,1 mlOt crinJ (E, 1oc !), enIOIl C(.'S 11' dpl(l,.",in,,ci"" de ¡" carg~ adllLisihl .. I/'J se l"el,liza por 111111 de [,¡~ ~ i glli\'!l t e~
mél,,,l ()s de cil lc II1 \!.
!)rim .. r m étodo "'. r6/cldo (dadu III~ J): 1. Sil d úll- rminll la I'sbl' ll ez
,l o Ji! /wn" A =
~
·2. &. d..,l<-rllliwl 1/1 [U CUIl allie:1 p o.\! (I'c,11
=-
= ocru 1-') llúr IJI ['I r mula <1" 1~lIle .. (16:1) " II"f 1¡1 .10 Ya s ¡Il ~ ]; i ( 166)
s i 11" ~c f"lIl1lp le J:I c\lIlditiólI ( 165). 3. Por la fórmula (107) se uhtieno
1" enrgll :1I1 lnisi lJl e 1/'1 -
',",
'Orl,'.
()h.~ér\·c"c qll(l .~¡ 111,.1 " .~ ,1\'~c" II(¡cido. ,;e pllCll e "h\r.u(ll·l" nl, rox iIIwd:",wllle, ~cg(l!I 1'1 Jlw leri:'] de 11\ b:,rr~ , s u ol{,l'tiJl" y la IIlHgllilll~1
de la l·~¡'« ll ez A.
Segwl<ltJ mt'lo,la de. ni/rulo (por I ¡, ~ I. nhlas di! 'p (/,,)) l . Si! d(lh'rlldn ll
1"
).,. = T ·2. ]>"1' la c un':, normali,";) "d e las L,,[¡b,s do '+) (A), ¡nl(l r-
1)01;)11\1". ~c dot CTlni ll O el c"diciolllo do pAndeo ,p. 3. lSo cnlclIln la
cnrga de CO nlpre~ ión nolrni"i lJlc II'J = lo~IF = Iplool ,...
277
eo "'l'rDb.!Ició n de L" ... l a bLlLd ~d de In,
b~ " 1I!
SI' rl'nli~.~ lan,hilÍn Ilór d"s métodos, dll móflo nuúlogo ni eX IJllcslo
nlltí\riurllu'nll' (\'~ dl'c ir. ti!,! mlHlern simi lar A como ~c ,le(e'lllillll 1~
flJerw lulmisilJlc). pllrliendll ,le las eCIJ:lCillll('S (W7') y ( 167").
Si 1'¡OI":I 1:. ¡'''rrn ((IJC ~(O cAlcu la ~c ("H1,oeN ' In fll('I'~a dc I;HIllIJrcs ibn 1'. la I""~il,,d /. ,'11il><' ,h' III'''YO ,l., I,,~ 1'.xll"t'IIWS (1'). cllllaLcri,,1
(E.'. 10",11 y la f"r"o;o ,It, 1" ~ccciúll. elll(lllrr.~ In ¡;"nd iciúlI de esllllJi lidild
( Iül") 1"1,.<,, 11:0 i,"I'·lp r lllilladu. pucsl0 '1'''' "i" (:''''''Cl'r las dimell~i.,...
IIl'S d.. 1" ~I'cdó" l " : II ,~\,('rsnlll"s,~ !lllt'd.· "I,lrller}. y, pur 1,\ I:W l ". Ir.
Tnm¡,'''·'' .'6 1""'01., (si ~e culloce ,,1 c""r¡ci"l\ l ~ de Stlgnrid:HI In,. I)
recurrir" 1" fÓ"m"l:t (l üi) yn 1]"0 11" ~., ~"Iol! {'1I:.1 d" I".~ fórll"tln~
(1G:J) ú ( 1nli) d,'be [',npII'A 1·S<.l n I ' :11 klll:,r /'. r jl' 1·;1 ~:i1r"I¡; de 1;. .....'crión
deh .. , I"l'illi~nrs[' por l l\lI len~ s('¡':lIid,,~ di' !;, ,:o rl'l'~I">l"Ii('"le c\Jlnprobuciún (1'" ,. "JI" ti!' b~ lrl's ' ·I'ri:on(esJ.
1,(, primal/ I"l/rllll!l~!le ,ti/e"l" (.11«1.. 111,. 1) ."" ""'P),'ll r;'l"1I \'~7. ~'il
qul' lO" C~ .<ufie ielll ' ·II\L'II1" ex .. ct:l debid u a que JI' magu¡(.nd d., lil e! '1'1Il
se d" .,itl ~H ,,,,,¡,'riol,, a A ('Iue alm no so con oce) es muy ¡nsegur".
E l clikul" ,'JI ,'sle ,."~,, cOII,icn~a $lI lJonielldo que ¡JllrA eSlo lnlOtllt1!"'A
\'áli dn 1" fúnllll1" E ukr (](ja).
&, .!!"'trtl/oí"" ,,1 ntunteut" d u iuerci:t l. d,'S IHJés F. I Y f.. Si A.
rCllul1:t lila y"'" '1"C í. o ('1 clÍ!clilo.';l! d.1 por lrr¡nillll,ln. ~i resulLn llll'lll>t
(Iue }.o e ll lollCCS "1 6,1I;u10 so repite pur la lúr"",I .. ,le Yll s inski
( t (}/i).
1,111II.'!!llIulll uorl(lIIle uecúlcu/IHe rca li 1.lI "or las lnll1ns y grUFieos
de '1' (}.) .'11 el ,·,rd,," ~iguielll(':
1. Se fija un val"r del c",'¡icicnle 'p = 0 ,6-0,8.
2. Se ('st:ll,h'rr IIT,.I
y ,..
-'Ja!""J
o
y se
e~Nb'ClI
Ins
(limell~i.)nes
d e In
sección o 1."1 nlllneru del )){'rfil lami"mlo (si In hill"ra es de :.ccro I"",i l1 ild¡,).
3. S" tlelwmilln " 1, i Y f..
;>. SI· "('[crmilla ~I IIIIC\,(' \'nlot de <1'" Si '1 ' " sc dircrellcill cUllsitlcrableuH'lIle du Ir, ClltOIlCCS !J~rn el segundó l.anleo Sil admite 'p~ =
-= { (q¡ + 11',) ~'se repite el e,ilculo.
LIl ~ección so considern c~lcul~IJa
~al is fn ch.. r iuu'enle s i o y lIT,.)
0 0 se diferen c ian 011 mas do l 5% .
En lu~ hnrras Illmiundns corrienles I~ s "hlen~ión puede re~ullar
s u perior nI 5%.
T ercera ¡¡a rialll~ de ("Ii!ru i o {cum[,irlHtloJ. AlJuí 01 pr imer tHulco
so renJizlI cO II ,·cnciunallllen!o IJOf 1" fórmula do Eu Jer, fijllutl" el
eocficiento 11,. mil'lllras (lile e l dlcul" drfinilh'o se 1I0\'a a <:aho
11 parl ir de In cOlulició lI de estahilid:td (W7 · ).
'"
El orden n seguir 011 esto caso es el sigllillnlo.
1. Se rija el vnl or del cooficie nte n. el! funri6 n de l Illntorin l dllla
Imrra (pMn e l <leer\> II~ ~ 2. pnTlI el hierro flludido. l/e:::::; [) y para la
m~der" n,:::::; 3).
2. S., ca1culn 1\1 1l1OIllCnlO do iuucia
')
p
p
rnillirnu dl1 1" ~CCC¡Ó II I rnns\'orsnl por 1"
fiJrlllula (!ti::!).
:l, & f'scngen las dimensiones de I~
!leed"" n ~I) determina 1'1 ní'lllClrU del perfil
(pnr:, los perfilc~ I.~min~d"s) :lsi ourno F,
"
¡y",
/j, SI' c:dcu ln l'l ro('ficicn le f y ,1 " ~llnés
lo,. !.
". S,· 1'101111(';\ 1;, cOndición do l'~l;,hil i­
oI.,d (!ti/").
1;' Si 1;, ,·,,,ulieióll ([(¡i") nu so c umpl e
('lltollrcs se cun lillll"
L
J
.-.1 c{'!CU]OI \'111';:11111"
el ",wficicl\l(' '1' (\'(>".~I! ¡" sc~n!llln VlHianlu
,11' c{,1¡:"1,,),, ,nl'i~lId ... ln~ dirllell.<i" " t'~ 111'
1" ~"fC i0" (1111'""1"<> ,1,-.1 p('rfil Inm;II:Hlo).
En 1"5 n;lculu~ I'r:ift ico~ por estabilidrul
I
110 ~e rt't') II. i\'ud:o (·~,·"g~r harras cuya ('sl,,·I.
1.('1. .~('a slI p"r;"!':l Ir' 1m; _il1'" indi""I,t;, '-'JI Ins
n"nll;,~ I'"rl' ,-.1 COt·r¡,· i"u tc ,p. Si" \'ndwrgn.
si ~e ",'c ,·~ it" ohtener la carg:l ndm i ~ ihl c
n Cflk uln l' la ~l'cci'>l1 paro ,-..<hl'l toz de l., ]¡;u'r:o SIlIH'I'i"r a 1" 'lile
rC'comicndan I,,~ '(tIrillas . cnt"nccs el {';¡Iculo dl'LIC rCaIi1,:l I'se por
la r"fl\l ll In ,1(' Eu ler. ,'~I;1 hlf'cielldo previame nte cl cndifiNlt,· dc ~'-'gll­
ridatl 1'''1' l's t:ohili,I," L
Ej('mp lo SO. Dnd,,; '[Ile el m,1trrial do 111 bnrra ('s pillO, (ti Jo largo
ole !r<~ fih r as). 101 = 11)4) kgf/ <.:m t • 1 = 2 rn, J' "'" '1 Y d = 1fl c m
(fig, 1M!, (1). Del\'l'Luinar 1'.
I/eso/lldo/!. Para In ~,·('('i{", circ uL,1T,
QTi,"
.¡/IO?~
' = 7. = 7, = -." cm.
La c>sbl'llez .Ie la [mrra
C~.
i. =.!:.... = 200 =80.
2.t>
I' ar:l la IIlnd"ra ('um1<l.., l. ~ CO, ¡'.-Jr las tahla ~. o blcnellHJS 'r ,.. nA8,
0,'\/:1· 100 = 1,/:1 kgF/cm'. l'l'su llamlo
PUf lo lant." 10el
q lal
Ilo1rll In cargon adm¡~il¡¡'·.
,
P= loelF = I,St1·102 =3 770 kgf,
279
1I III 16rnos el coeficiente de seg urid ad del trabajo de IR col u mnll.
Pues to quo ", = 80 > 70, por In fórmu ln (164) obtend re mos,
tO·I·loa
Oull -
y
811
O~.h
156
48
Il e ---~-=
lo~J
3'.
,.......
EjNup lo 8 1. Dado: II Ha COIIlIllIl O de acero l am ill ~do de SCCc[ÚIl
doble te, 10"1 .,. 1 600 kgf/c lll ~, l' _ ItO Ir y 1 "" 2 m (fig. 1&0, b).
Dct .·rminllt el uu mero de l perfil d"bh: too
/rrb·olw:ióll. Fijamos el \'lIlor fJl "" U.U. Ent o n ce~
IO"~ I "'" 'p [01 .,. O,(j· , (j00 ",, !lOO k¡:-r/c m ~
y
ItO· I()3
1)00
p
F ~-~---~ I\ 1 ,7
[O" ~]
Por ,,1 ~lIr tid o. el pe rfil zn h pruximo
¡: _ 1\0,2 c m" e I~ = 2. M cm .
1,11 ('l! be lt e~ de 111 columulI es
el!
z
cm .
el N° 27 pa ra el eu;.I .
}.. =~= \ · 1200 _ 78,7.
lJ
2,M
I'..r la 18blll pllr;, el neero c,.. 3,}.. _ 70, fJl = 0.81, A=8U. 'ti =
_ O,7fi y, IlOr lo IlI nlu , IllITa A _ 78,7,
'PI = 0,75
0,000· 1,3 _ 0,758.
ESC<>glltIl OS
+
I.pz
=
I.p
+ ¡PI =
0,6
+ 0,758 _
2
0,67':1.
2
En toncc!
,0" .1_ 0,G7!)· I 600 = 1 ()8(i kgr/cm" y
Por el
cll81 ¡:
~ urli , lo
eJ Jl·erfil
' _I\O·
- -I/J
- ::::::36,8 cm."
1O&i
m a~ I)ró .~¡ mo
resul ló' el N° 21\ pu ra e l
:v.,8 c m' e Iv = 2,37 etll.
LII cs beltu cs,
2()()
A= 237 ::::::81t,5.
Por 111 tll bla pllrll el licero C~. 3 80 ha ll~ , }.. = 80, 'P "" 0,75,
" - 90, 'P - 0.69. P~ra }. - M,5
IJ'J = 0,6!) + 0,006·5,5 _ 0,723.
La tensión adm is ible
[oel = 0,723· ' 000 _ \ 157 kgr/c m".
x
La
11l1t~ió"
real ell 1" eulumllll,
/.0. [03
o~--".,
;,v,.1':I
p
•
1 [50 kgrllllll-.
r
t
, "
'. ,
~
111,I[clIlos el ,;(jcfillicnlll de scgurioll,d pur
cs lahi[iolnd para [a r"[""' " '' tnku],u[".
Puest" que A = t;!¡,:, < 1Ul!. por In formu ló'
(Iúl;) hallnrl"''''~.
" ef U ~ ;j 1I)1I - 1 1."· :~"J,
~I
11
"
-'
2 l:l¡
11,.= 11:.0:::::; 1,8(;.
Ejt' ''' ll lo 82 . ]);1110: IIlIa rnlun'IHl C"I1'I"H'st"
l'1)r oI"s perfiles c;lIwl ,'011 rios lra!! ~"',I,,dn~.
1' ,... ::1;, lF./ = (¡ 111 Y 1111 11M. k~rJtm~ (fig_ 1!"i0).
1).. I('nnill~ l· (,1 "'''''''rot <Id perfil Ilanal. /J y 1",
1I ¡'¡;IJ1Hci6n. Al """"'"Inl' In di._I.allci" f/
1,,;0. I'rrfilN!, ~"I"l'"I;o /,1 1I\0nll'lIl" dI' iul'l'ci;, 01" la
f y resp,'Ct" 1,1 t'j(. 11 1'... r¡Jt'ndi~1(lnr ~I
p[¡ll", /1" l ,, ~ ri,,~t r[,~. 1';1 ""'''l,'ul .. 01(' im're il'
de la ._,·cciólI ,1,· In e"lun,na " rl'~l'prl" al .. jI' Z
JI" ,nf'in y ]ICn"l1l1('c,' ignal Il /,
21,·. si",,,",
1,· ,, 1 "'''I1\IlIlI" dll iU{'rllÍn 0I{· la ~""I:i"u, d,' ""1'
r"",;, 01,· 1:, (·"Iunllla "r~I"'d" al <"ju c,~"lród d,,1
I'rrli l (';\fI:,1 ~'.
""i""i,),' c"u ,,1 de =. P"r 1"
I'llll,' ,." r,,) i,t;,d <le "1')111"1,1', "1 iui tun ti" 1" ~" r"i"'1i
Irl",~'('I·._;11 de 1" ""lmulIa 01.'1,,' l'''gl'J"S{' 1, .
Fijl""ns 11..
1. lit· 1" r¡,r,nu!a d,· Ellh·t ~~
"Iol i,'"''
:!.; . IU'· 31;. 1U, ..)
- = (.:ID
2· 11l·:! . 1U"
~ b -1-;
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1'''1' ,·1 ~lI r l ¡d" ,h'l :It','r" IIII"i""oI .. 1,1 I'"rfil
(;1nal llll'll',r. mús 1''''.I\illlo, l·.~ ,,1 N- 1/",. P"rn
,Islc SI' "I,li""" 1"
;,1 .-, cn,'. ¡,'
5,ntj cnl
y F
17.11 rm'.
1.1' l'~I",II,·z ti .. 1" ~"I""" , ,, ,!~.
~·i g .
1,.0
281
De In tab la
ll~ro
el a.cero G,. 3
SI)
r. "" 100, q> "" O,GO, A =
hal la
= 110, q¡ = 0,52.
Para" = 106
+ O,OOR ·-\ = 0,552.
'p = 0,52
La
l en~ión
La.
l.en ~i""
atllll iBiblll el!
I(J.I ... Cf,552 · I 660 ... 8S3 kgf/cm'.
tle tra bajo,
f'
3S ·I OS
= - - - = I 02!l kgr/cm:.
2F 2· 17,0
Bobrctollsion tlel
0 = -
es deci r,
IIl1a
1 02!l883 , 100n,
11.',_?O'
"O'
10:.!!)
I U=
I O>iJO
lo (lile es illlld lll isib1c.
Escoge mos el perfil co na l N ~ 10. Panl el c ual, J,. = in t: ln',
i ., = 0,-\2 cm, F = 18, 1 c m', Jw' = ü3.3 c m'. i ~ · = 1.87 cm.
b = 6,1¡ Clll , 1 = O,M cm y Zo = I ,S() Clll .
Ln eshell H de la COl lll1llla cs.
600
' ~--::::::!l3,5.
G,1,2
Por la Lahln ¡)am el acero
!ji
c.,.
3, J,
~
!JO, '1' = 0,ü!J. J, = 100 Y
= O,GO.
Para }. = 93,5 hallaremos,
q> = O,GO + 0,OOO·G,5
La tensión a dmisible es,
[(J. [ ... 0,058 ·1
La
len~¡ón
noo <::::
=
I Oj l
0,058.
kgf/clll~ ,
de trabajo,
p
35 ·I Cf
(1 =-=--<:::: 967 kgf/cm l .
2F 2 ·1 8, 1
Resulta uno sn]¡tensióll del
1051 -967
100% = 7,99%.
1051
Escogemos definitivamente el perfil N' 16.
P llesto que" = 93,5 < l OO, resulta
(J.m = 3 100 - 11 ,-\" <:::: 2034 kgflcm'.
La columna trabaja pues con un coeficiento do seguridad,
n o=
203ft
967 ~2,1.
La di slauci ll racioua l a cnl ro la~ fllmal! se estnblece de Ja co ndi ció n do igunl Tl)sislcnci:l do la columna el! los ¡llan os princi pales
Ile inerci:l xy y X1..
P ues lo (Iue las rnmns de la columna no esl ,i ll unidas por ri ost ras
~bsolularnenlo rl g idal< ~o recomienda escoger I ~ = (t , I ,'> -;.- t, 20) I~ .
Escoge rnos I ~ = 1. 15/ ,. Ento nces,
1.151,,= 1M,
• _ 2( •
/c,,~15~/c,-,----;1-/' _
V
F
+ (:;,+i
r
F.
• ) = 2 ( -.. / 1.1 :', 747
ü:J,:J _
"'"
18, 1
V
1,80) _
= !),G(i;:::: 10 cm,
obte niendo Jmm Ja long itud de 1:1 ri os trH.
B = a -:- 2b = 10
+ 2· liA
<='
22,8 cm.
I'nra ga ralllhar la cs t abilid3d de Cllda rMI HI 'eu 111 plallo ,lo: su
mínima rigidez X1.', Ins ri os tras de ben',n colocn rse a la di sl:lncia
!.eof ica ler, quc se o bt.ieno cxigicnJ" {¡1I0 J:. c~hl'll cr. de \,(u!:, la c"lurnna sea igual n la eshelle z de l IrillllO de J:. rlllII" eulre d ,-,~ riv.slras,
rs drci, ..
'0' ,
-1, - -I~,
OC esta condición SI' halla lo long it ud ICUfiro dd tramo d o la rama
I
10 1 = -.- iu' =;,i v' = 93,5· 1,87 = 1i5 Clll .
Pr~ctie:lmcnt c,
"
an t{'s se rcco lllcndn hn escoger lo =
(~ -:- ~) lo,.
De acuerdo CO II In s nu cvas nor mas (VCIISI.! NMtl\IlS cu nsl ru c ti\' as
y reg las, pnrte [J , sCl:ci,)1l n. C:l pÍl,u[o 3, cdilndu e n rU80 el nño
1962). 1;0 eslJe l! p~ d lJ )¡,~ rUIll;o s A, e n oJ tranl<t cutre Ins rinst ras
deber!. ¡;cr no mnyor tl e 1.0, cs dccir In '" 1,0/ •.. EIl nlll'.~ tro cnsu,
lo = 1,0· 1,87
=
710.8 CIll.
ES('ugcmos, lo = ni l: tl\. Entonces In [nng itu d I de 1:1 columna se
divid e por los ri ns tra~ ~n seis trnmo~ ig ual lJlI, (]Ued,1nd o 2/. cm IJara
In~ /l ¡luyos.
'83
Por rn" ti vos eOllsl rueli vOI! ¡lued o Il d mitirse,
+ 0,8) IJ, l. - 11 "" (:-' -7- lo) /1 )' 1,
11 ... (0,0
(0,8 -7- 1)
l.
En C' I CIlSO I'n cul's.li ón ¡"Imilill lo.~,
0,8 /J
0,8· 22,8 = 18 crn )' I,:=:: 1;0:: 0.8 ern.
If
Gl'uerlllnu'n lc lo cnlumnll con d l,s lrlls se compru ... ba I)()r la es bc l-
tu det li \'a. tl UC' t'S
1_ """
r
Vf,+ (::" + 1
=
V1.871 + (1,8+ 5)z:=:: 7,05
cm.
!>Ot)
' .• =--=85. 1
7.0.',
)'
¡)or~
1;. rllllW.
lo
i'r =-~
j~
7.'i
- - =40.
1,87
Pur lu tll nlo,
Por la tullla p;"'n el ¡,cero CT • 3, intl'rpOllouuo, o htcnurc uHlt< ¡,¡,m
"' - O!',I,
I~ "" 0,00 + O,00!},4. 1
0,037.
LH
l e u ~ i ón
a\lm isible cs.
l o~ l
= 0,637·' 000 _ 1 010
kgr/ern~.
n esu ll ll unl! lIubtensión de
I OW-907 100"
51"
1019
.
'D_ , -o·
Por lo t an l o, In columna es e~tllb l e también res tlce lo ni ejll ¡¡rin·
d llll l p<'rpclIdicu l;,r 11 1M' r iostrall.
&. tleloe lcntr cn cuclIllI que cualldo se Cllllll111\ JIl condiciólI 1, _
1.2 1, y}.,
"iU. lu.!! wugnitu d e~ ;.., y A ~ie!ll llrc cstarn" muy
e"ren la IItW <II! ta ol l"n.
I'robl c1l11ls 7 16· 7 17 . J)Nl' rm i" nr Ins mll¡:lIi l llde.~ de I,)s coeli{"i!'lIlell dc scg,u'idnrl PUl' ,·._I" l> il i,lnll 11. ,."" ' II Je Irnhnju lI I Il~ horrlll!
'·",upri'lIidas 1'11 I,,~ .oi~Il'IIl"~ .
P·1H
7/6
111
1
/
-(
M"
C
Ca-n'
'"
Er oE"l·,qI-Sf/c"':
1,. J. -6,ZI·'"/O-urrt
E, - E, - E.' U!7'/O'xgfltmt
I'ro bkma,. il i'·72ll , f~ ,II·"I;,r l'u h '1",· I",,;:ilud Id ~ i"I"'''1l p¡"r,lu
b ''.'I;d,ili,ln'l.
1\,I,"íl,,"o:.> '1'"' pnrn tI! ' ·lIr¡.(H y <Ii'II<'I\$i,""·.-,I,· J"~,.:cc{·i , ,,, ..s jr¡'II~­
"'1"~ .. ¡,.~ ,lo las Io"rfn~ d"d;,.~ Ia.q ,h'f. ,r ",,, d'>lII'.~ ",' "I"I",'U d'."lI lr ... 1" tll.~
li",it('N ,l., prül"'f(·¡" " "li,llId. E" ,·1 111"< ,1,1"1111' 7:!ll ,It·!.ot· I'rl'l>I'iltlli,'~"
.t<, Lo d('f" r ll,;u:iilll ,It. r"",prl'lIiúu ,1,· 1.1 I"'rr;, JI. al "'''I;''r 1" IlÍ \Wf
.·,l r,l;"id",. ,11'1 ,¡,.le",,,.
[--'--l -~
P
$l'
Proble ma 721. DclerminHr la longitud 1 porll la cua ' lB coJumlla
comp rimida do ace ro ~. :1 de sección circular de diámetro d COII sus
u l rcmOll orticul:uloa, pierde /a C8tHbilidad,
Admitnse E _ 2· 10" kgffcm', 0 1> _ I !KIO k¡r/cm',
a)
01 - 2400 kgffcm'.
1 cm, J>
I Ir h) J ... 1 cm y JI
1,8 Ir.
\'rulJl e JIIII!! 722-7~. Determinar (' 1 lHuu ento dI! 1:1 lelllJlerll t Utn
C) pllrn el clIlIl Ivs clclJlelllos cOmprtruidOll ti!'] l'islemll pií'rdCll
¡/
(~l
lo ca l:lbiJjdlld.
I\dmít .. se: P"rtl ,,1 nc('ru, E = 2·10" kgf/cm', a = 12,5 .1 0 .....
Y (1"
2000 kgr/cm·. I' pta {'[ cobro. 1::
' · 10" kgf/cm', a
_ 11i,.-,· IO .... y o ~
I 000 kgf(cU\'.
l'rv hll' lU lti 72:")· 721'1. (~'¡ru l "r 11'8 ~('('ciuu l'lI II""us,crsoles .to l"lI
de l(l~ ~ i ~ll'rn3S I'0rlif'udo dl'1 coeficientc do
St'gllridllll por csl"hi!id n¡] d/idu /l".
T".ln~ I,, ~ l);Irr;l~ rl>!lIpt imida& 8(>11 .¡.' IIte ro ~. 3 Ilnta el cua l
f.'
2· W" kll"r cm' y 01' - 2000 kgr CIII " .
En 1,1 ¡lmblclII;' 72(;. " l"lI! iciou indicud l\ .10 la bici:. debe cOl1si·
dcrllr"{' comu 1" m;¡~ lH'ligr,,~;,.
hnrro~ t"'l1ll'rilllil l ll ~
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I'roo le nullI 729-733. Compr OOllr, Ilor est aoi lidad , las harras
comprimidas y determinar el ¡lO r cie nto de lIoorele nsión o de subIll nsiOn. Aquí y el! lo sigu iento no de ben eú ll ~i dernrse las po~ i blell
uefotmuciollcs dll la ~ Il"rrllS e'tlllllrl midas origi na das por la torsión,
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l'jl'!'; Y !J.
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I'roh lt'm'IS 7MI·7M, CI,knl,~ r Ins ~,'\'d"nl's ln. ns\'crsnl l'~ 110 h~
c..,lumH;•.'1 y ,lo 1011 .. [(o1ll1'111"s f"IHprilll¡d,).~ d .. l,,~ :>isICH111S, ¡\,l,,,ilir;
pnrn 1'1 ¡,tt'r... c,.. 3, 101
1100 kgf/c ,n l y pan, J¡, lIIadcl"lI. 101
I(jO kgr/rm!,
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Proble Jl1 ftl1 71j5-71j8. IXlcr",;,,/lr ImTa 1 ¡, ~ c\) lulllna~ eflUllIlH'~ I,, !:
1) el níJlllero de l pe rfil de la TOnla dQ la columna;
2) lo andwrn tlo In St'ccj()11 de In colul]ln~ b¡
3) ID distancia lo entre lílS riOl! trl1s (tlislallcia lic ia). Admíl Asc
paTa el mAl!'rinl do 111.'1 ramos do Ills colulIlnllS I~' = 2· tOo kg l/cm'
y 101 = 1 6(j() kgUcm' .
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cQ/ilhitHlda
1" ¡oc.. iú" ,lo fll{'t7.;¡S I Olll!il\l<tillnl('~ y Irnnsv4'r~nl,'~ y rnOUlcu l os ~c en Iru ln" dl' OlflU " t.1 n I,r ...\ i ITI"d", p" ..1leudo
!t() In sup<Jsiciu n do 'IIH! In li"p" ,,¡',slI ,,;, .1" 1" I"'tfi> M' "pI"Il.\ irnn n la
I.:l ~ viga~ s"l]ll'lid"~,,
Si huso j,Ic-.
Fil;. l !j l
En d c,, ~.) d e vig1l~ ,Ip , ·x lrCIIl/l.~ nr li clllH llos (li:.!:. ]:J l ). q'''~ fUI! ,lnl1H'II I:I I"wII[(, ~(' """liza" ,'" !'s l., pnn"'gr;,r." 1" ~iIl II S"itll' imlica do
s() 01" I'"r In l'clI'lri,,,, ~j(( " ¡ \·lIll·.
(UiS)
I':slc In(Íl,nol" d" cfoku],) (qlll' 01. ,1.., nl'li{';)r~ ,,1 n'suJvf'r I,,~ pro.
h1 e",n .~ qlle ll1,ís ,,,Io'lnllll' ~l' I r"I"""'II) ro~ lIl!;, ""'S C'.\ ,.cln l'n .. 1 ('IIM'
di' I ",rr.,~ dc " .\lr"IIl"~ " .. li(·"I"oIu .... sO"H·tid ".~ l' CII "gas Irn".w(·rs¡,l rs
2Sl
urielllnda~
en una
.ni~ma
diroceiólI y !li mdlrlcllS respecto a la sección
mcdi~
do III blOfrn,
El! esle e"~" In tíne: ••,I,ística ori¡:inndr. por 1" fl exión Irnmjvenm l
ClIrcce do IllJnlu~ ,t.. ¡1If1tl.~iúlI. ,'s "eeir. liolle eurl';;oturn ti.., UII mi s mo
signo y puedo. Ilor lo Inlll". $,'r n~l'r,'!I\)lItH,I:I I".r uruo si " u50i.le ( 11.>$).
1';lIllste e~.s" 1" rl,'chll máxima en In ~l·cciÚn med i" do In b"rrll SIlr>Í,
I=~,
1
el rnollll!u lo ¡lu l".
p.
m ~íxillw,
AI'Ga< _ ftl!<'n "
+ PI =
M ".,".
+ /0 1",,,. =
P
IV
+
.--.
I'ft,,"!..
l'
~ + Af ..~ ... + _--,"cl~"e'~"'o-,
f'
(lG!J)
"
y In máxima It'u$ión do COUljlrt'sióu,
mu lo J =- ~
(1(;8a)
l'
11'
(PPe )'
( l iO)
IV 1 -
siondo P 111 r"l'ft" ruin! ,le COnllln'sión;
lI'EI
" Ji: = - ,-, - In rUIln.n do Eule. ¡¡ UO SI) ohliene independil'lI l.l.lmonlo do 1" Il~ bclte •. 010 In bnrra n través dl)l 'llomell l O
epn!.,, 1 I,rin cillal do iuerc:ill I ¡JI) lírl'a de 111 sl'Ceión ¡" trllrlS_
ver!';,1 rf'!pec lo n i eje pcrPl~ndie"lar 111 pl"no do acción
de I~ enr::" IrllllSVers.'1I:
IV el módulo dI"! In secci,rn Iransverll/l l do In bnrra respeclo
II I .,jI' irlllieado:
Ilmn. y M".,n, 1" fll'clw y el mÜ!ll err lO neel or en In mit ad do I~
longilud l do 1.1 hnrra, originado~ oxclusiv;1(oou to ¡I<Ir In
r~. r¡;:,~
1'''" ~~· l' rsn1.
Do In rórmn¡1I (170) Me dl'Sfll'1!ntl o (IUi' " 1 principio do .~u l' l'r·
posición de efectos IlO es a¡,licnhlc MIli; y (1110 las tensiones, ni r~er
las fner~as oX lerinru, creecu on (!Slo eallU con mayo r rnllit!o:"t (IUO
las fnerz As exteriore~.
Eslo im l,Hea 1'1 Imso do la eomllrebación de 1" resislenc in por
t onsione.!! admisihlu ni e'¡lc:lIlo per eargM /11l mi~i]¡ l "s.
Consideraremos q"e e l s istema de viJ./il9 en cu('stión, so met ido
(1
unn ftcxiún longil\ulilllll y lr:H1s\'ersnl (0",hillmI3. tralll. jil co "
un eollficiell lo de sUl:orridnd dado n. si nI anm on tnr lod .1s Ins IUllr7.l1s
ex teriores 11 ,"('ces el .~istemfl (llcan"t,~ 1'1 I'stlHlo peligroso que I!Il 01
case de mnterinlcs pl,\sl ieos eons isle en que In tensión normal 111rí xima
valo r absoluto) se iguala pi lim ita de financia
(nP)
mili I a I = --
+ (nM ¡,an,) +
F
Iguala ndo
11
IV
a" es
(nP) (nfltlJlJ
W(1 -;.';)
(1r.
decir,
(17t)
al coeficionte de seguri dad admisible Inl obtendremos
la fórmula pMO el cúlculo por resistencia
'mulal=[njl'
+ [n]M
F
1r•
n,
IV
+
[n]P[nl /tr.n,
= 0,.
(171,0)
w(1 _ ln1P)
P,
Consideramos que el coeficiente de segu ridad 1nl ni clIlcular por
el m étodo de las cnrgns {I(ill1i6i bl\,s es igual al establecido pa ra la
tensión admisible '1"0 so refiero 111 límite do rluoncia, es decir,
[nI = /Ir
dond e
a,
.
la]
n/= -
E nlonC05 obtendromos la siguie nLe modificación do la fórmula
(t71 , o)
.!.... + M
1... m
F
IV
+
[/11 Nt ••, " .
1V(1_ fn1P)
"';;;;[0"].
(171,b)
P,
Con un error nlgo mllyor, las fórmulas (168-17 1) pllCdcll ap li carse
también en el caso de cnrgns IraIlsvcrsnlcs no si mlÍtri CIIS si la ns ime lrin no está muy rrÓ.~ima a I~ f1nli sirnet ri a .
De manera an;jlogn so reali1.a el cálculo por flexión longitud in al
y l rallsverSill combinndll en el cnso do otros tipos de IlPOYOS de In
burra s, sa lvo que la ecu~civn ( 108) dOlbcr¡; ser lI,ndifie;,dn el! cado
caso co ncreto. As!, por rjemplo, e n el coso de Ull1l vign em po t rada
on uro oxt.rOlmo (fig. 1;1 1, b) In línen elást ico Se ilproximn.po r In
Función:
! = /rnu (l - eos~; ).
L~ s Fórmulm¡ ( I OfJ-171) pprm"ru'ClUl si n ombnrgo v(oIi,IM excepto
'lue d \'olor do In fuerza de 1~lIlcr· l'F. varía ~cgulI ell.il''' de nIIOYo.,
do 111 bnrrn de IIcuerdo onn !I' fórmula (IH3).
Si In cnrga IrnnS\'crsol nct.(m flll pJ plnno !lo ,,,,iximn r igi dez de
la h¡¡rrll e nt.oncc! éplll flebe do comprubarso tnrnbj~l1 por estabili,lad
en 01 p¡¡,no do rigide7. mínima.
EjelllJllu 83 . Dmlo : l' = 800 kgf, P, .,. 100 kgf. l = 2m, Ir =
= 2 cm, h = I¡ cm, E = 2· 10" kgf/cm" y (J, _ 2 ¡¡OO kgr¡cm~
(fig. 152).
p
Delerrllin~r
"
11
(J",."
Y
11, ••
/lesoluci6n. Puest.o (Iue,
1 = bit' = 2·[,1¡ = :J~ cm',
12
I:!
3
In !lcclm en el rrll'd io de In Iwrra nrigiu:HI" I,,,r In fuc rzD
l 00·t) · IO~ ·:J = 25 I¡S·2·1O" ·::2 ;,2 -
P,I'
It,"n.= 1¡'d/~'1
resul l :' I)\!"
o 781
,
cm.
(¡lle,
P = 1 __
3 = _17 .
1 __
20
1'11
P or la fór mula ( 1GB) se
Obtil'IHl ["
flechu
25 20
,
1= 32'1'7 = 0..11 9
Así, pues, I".no COJll;lilllyc el
;~.
20
cm.
100% = 85% d I!
P uesto (IUI)
1',1
Aft,au=--=
I¡
lIT mU = 5· 10'
100·20u
I¡
+ 800·0.9 1\J
/<' "'" bh = 8
'
,ro
<:
,
= .,.I{l" kgl'CII1,
= 5735 kgf· cm,
l·m~ .
uf¡' 2· 1(1 Hi ,
V = - = - - = - cm,
(j
G
:1
f.
J',
se r:;.
pur la fó rmulll (170) o btendremos,
800
5735
8
"
q"'&1 = - +-_ . 3 -
I
P rescindiendo de In rl exión o rigimlCllI por la fllcrt/l /l;\:ial ha llaremos
,
(J
P
¡ll ,..".
'M' -+-F
LV
.
100
5· 1(1 3
+ -_
. =- 1038
IG
k ¡. ,
'g/cm.
I n38
lo que eomslltu)'(l el I 17.i' \OO !¡ "" 88% de 0'" ...
El cfl('ficienlc de ~CJ:llritllld n (referido al lim ito do rluenci a) co n
I¡II O trabllja la \' igl' so IJ hli l'IIO por la 'úflHuln ( 17 1)
1,,3l:
,,1' ,,¡\I "ano 111' n/'ru .
I 01=-+---+11'
F
W(I _ Il/J
) _ .,
/',
6
,,=-
35.tlll
(1
n ('~"I\i('nd"
1, 1)5 Y /I~
+ (j1,U =0.
0,1:111)
I'SlII ecunciún
~c
" ht i"lIen dn" valor!'!! do 11 :
ti,
=
"...., 3I,J)~, .
El \'nlu r ,, ~ ~ 31,(1;, nll plledl! i"¡"fllrrl :, t W CQllln l'o!lIdóll del
prolll" IIIIl pu\'SI" qUt' )''' pa n. 11
n,U7 (P r" II~
111' - 5 :310 kgr)
.
.
I
I
.
I
I
,
.
. I - ,,/'"
1'
I11 l<'Il~ HlII ,n<lX o
CICI. ,'11 " s ln I tl 'IIII! ('
)1 11011 11 0
= (1 -
0, 1:.,,)
rr~1I1la i':1I1I1.~ " HO.
c.JI!ll'r"blltll"~
,,!inri' 1:0 ,-._ I IIIo\lI tl od dll 1.. \' i y:! t' II el pl nuu de
minirn;. ri¡;id('l. I'II ....¡IO {¡'IU
•
1/ _ _
4 _ -I cm 2
¡ -.~-
ID
1:!
:\
po r In [urlll1ll:! (1(,'0 ).
n :¡':
10, 2·10'.
0'. '1\ = - , _ - -
)"
3.4· 11)
I
z
_ 1U7 kgr/clII.
'"
LlIlcllSiólI origill1ldIlCXclrrsi\'nnH'IIIC ¡J<)r L, rurr7,1l P es O' =
100 kgrlern ' . El cl.... rieicnte de
Jit!;1I1 sed,
,,~_ ocdl
_
a
.~t·gllrid;¡d
1fo7
_
~=
de In "ig;¡ por cslnbi-
1,G7.
100
I'rob lclll1lS 7109-7!"J I. ])clcrmilnor 101 necio" m;iximn f y In tens ión
de l:olll¡lr\\sióll miixill1l\ \ 00
I ¡",ril
¡l\tI
" iltal! sigllic"t{!~.
I'robJ l'n"'s 752-7!"J:J. Iktermim'r f. "'".X 10,1, el cO<'[II;,cn te de
segur;dn!! !t y el c"cficit'U lc 11" ~cg"rid,,,1 po r l'slubrl,clul! ". co n que
lrnhllj~n In.~ vig"s ~iguit·" It's.
Probkll18S 7510-751-" Cakul"T las ,limClIsiOIlIl.':l de In
transvcrSl,1 de las vig[l~ ~ i guielltl!s.
'"
~ccci ólJ
XI. . liAR RAS CURVAS
PLANAS
§ 1 . lú,{"el'::o ((x ial, ¡ ,wr,:w rortllllte 11 momento Ilect or
SC! dOJlornina barra cun'" In bnrra GUyo eje b'llométrico es cu rvi-
líneo.
Se Illlali1.llTií ll aquellas barrlll! cu rvas en Ini¡ cuales: 1) el e je
geomótrico es tilla curva plana; 2) Q] pl~lIo de cur\'lllu ra es el pla no
de Simold.1; 3) I¡¡s lucrl,a;¡ IluO subre en:!.'l lIcllÍMI se tmCllentral! en
\<::)\f.'
N~
Fig.
.
'"~
I,,~
---
-
Fig. 151,
el pl¡IIIO ¡Jo la CUfI';JI.UfIl; 4) el mnl cri ¡IJ SI' ntil'ne n la l ey tlo IJ oold
y 5) In rigidez,,~ ~uricien l cm l'lI hl gr,ltule pnrn tlllC so pucdn ap li ca r
el prillcil'io de s lIpcr¡)<Js ición de In ,; fuorzas.
Los C~rUQrw~ iutcr iorCII en In sección Ir:U1SI'(l rsa l d e la bnrru cun'"
so "l,tienen po r el l"étodo de las secciones. Ellos ~e reducen !\ una
fu cr1.u axia l N. n um' co r l~lltc Q y n tlU m(]menlo fleclnf M.
Gell('rnlmento se cU llsidcrarl posi¡ivus; \JI esfuerlO N tic t rncción.
111 fll('n.n cor l[lllle Q C(IY" dirección coillcitle CO II la de esfuerzo N
,lo tr>Jcción giróHI!) UO" en el so ulid o de las ll1nlleci llll ~ dd re loj. el
11101111'11 1 0 [locl ur ¡\/ IllIe ¡¡UllWU!1I la Cll r\'a lur~1 do In bnrt:. ( rig. 153).
Acurd" lI los 11"0 en l o~ dill1!r¡¡mus. los v:,lu 1"\'~ IIO.'! itiv us dc N.
Q y ¡\/ I,,~ U!JiC¡¡I'CIlIOS Iwrpcndi cul"rmelll o :01 eje get"ltné tri co (le 111
!Jarra en dirccc¡ún cunlrar ia ,,1 ce nlr" do cunalura y lus "c!ta ti\' o~
hn c in ,, 1 celllru de cun,:,t 'I f(l. Eu ... 1 ruso de b:or rns cnlllpHt·stn.~ por
tr¡"ll".~ curv ilillcus y rectil i" e{)~. los di ngr:llnas ]J'Jsill\"u~ y lI egaLh'o9
curr(>SIHllldicntes H los lr",,,,,lj r(·ctilílleo.~ cUII\"cn dr;Í si l" nrlos a los
1l1i S IlW~ lados ,leI ('jo ¡''C'JI"úlri cu qu e e n los Iral1l"s cm·\'i li "oos.
J/U h'l'e",Jil"lltl'lIlCltte!le Ji! f"rmll de J" I",rrl! curn. J ".~ 1ll1l¡;"lIitude.'!
N, Q y IIf ¡." la sccción lr:,,,~\'c r~al c!Ncrllli":,d,, pUf l;,~ coürdeJllldus
x, y y 1'1
:,,,,gl¡JUJ:l =l, rClg t~~)
Vl'i\JllO~
sas
I"s cusos
cU~"I(I"
lI(' dr:lermiu"" po r el
lJ\i~",o
",Hollo.
a uu 1:"1,, ,le la ~l'cciú" su ~pJi{""" diver -
c:'r~as.
1) Par de [uel'ws rOIlCl·"lrndo (fig. 151,):
N = O: (J = U; M
M o.
295
2) F ucua co nce nt rada (rig. 155, (1).
Las co mp onen t es clo la fucrz~ P scg,í n los C'jes:r e y (rig. 155. b)
1'"
=
l' cos tt;
p~
~on,
_ P sen a.
l'llrll In fuerza 1'" (Hg. 155, e) l'e "btiene.
N' = l' cos a cos
/1; Q'
= P cns a s('n
/1:
- p ~ C'IS
¡lf '
a,
Pura In fllerl:' f' u ([ig, 155, d),
N - = I'sena~e!l
L"s
e~rllen.o s
/1; Q"
= - 1' seu
ac()~ /I:
Al- = P" s~'n a.
~e n; II .
rcs "lt;HJtes correspondientes" lI, f" erw /'
N = l' (cosacos /l
+ ~cnase ll /1)
/' CCIl (a -
11);
(J "" l' (cosasc n/l- ~en aco~ /I ) "'"' - I' sen (a - /1):
M = l' (:r se n a - y \lO!! (.l.).
=
3. Úl rg" d istribuida uniforml'm ellto sobrll In reclll A /J ,
ac t úa ll ornHtlmOll le a el ln (fig. 15(;, a),
,)
~ ~'~:t
b~::~ ~,,' x
fi2I~
'
p-~
_::<._---+. I i
'.
~r -
P:s; f-Z~
P;:
',
"J:,
o)
,
•
,,
b)
( I UO
,
X
qXCIISIiI
qzt:!.l«
r
-o_·,::li
,
,.,
',:;'
__. . . :.;:JA
,,~~
-- .
"
,x,
,)
_~.,,-~::i~
,
'
.';g.
1 ~5
,, X
,,
,
Fig.
'"
Las eompo rmntcs de 1" ca rga q sobre los ejes :r o 11 (do ,murera
análoga a l caso anterior) ~on,
q" _ qcosa; q~ _ qsen a,
La co m¡JOrwnte q" ori gi na los esfuerzos sig ui en tes (rig. 150, b):
N' = q:r cos a cOs /1: Q' = q:r cos IX so n /1; lII' = - 1J:ry coS a.
'"
Ln componen te '1, (fig, 156, e):
N" _ '1% se r. o: sen ¡J;
Lo~ CSrUCT7."S
Q" _
-q.l'se no:eo~¡J,
rCSllltn 111('9 " r igiHlldos per [a cnrga '1 será n ento nell!l:
N = q% (cos o: eo.'! ti
+ ¡¡en o: se n M_ q%CQS (o: - !J);
Q = '1% (eO:'lO:!\C1l !J
-
M
=q.t; (1"
sen o: -
se n o: eo~!J) _ - '1% IICn (o: -¡J);
fleo~o: ) ,
1, Cn r¡:-., t r"n~\'r rsn l di~t rib\lid" IInilornwrnenten [ o [llrgo¡[1l1 ejo
gc,,,,,,:;tl'ieo do J" hllrr" ( r;~, 1&7, a),
I.n pwyecc illll ~"b l'l!cl {'jI! Y de 1:0 cll rgn scpMlldn (Iig. 1;,7, b y e)
origil!ltní 1.-,.'1 esfurnls siguie lllcs:
N' =q%sen fi;
•
/or =q~ ,
Q'=-q:zeos!J¡
y 13 IJrOYL'(:c ion ",,,bre e l ejo x d e Ins m islIla.s fuerzas (Iig. 157, d):
N"== - '1yco~fi;
/or ""' lfi...
(r= - qysenfi¡
O.lIn" rCH\ilt,,¡[O ole 1" IIcci oll conjllnta do
2
r¡~
}' 'l. obtclldrOIll(¡~ .
N == q(x!lClIll - yeos!');
Q= _ '/(rc,,~p+yseIlP);
M _ ~(:z"+l).
5. Cn r~n JI:>r;dl'ln oIi~ ' rihll ¡d a unilormOllll! ut o n 1" largO del ojo
¡;(lome!ric" tic In Imr rn ( 1;,8, ti).
La h u' r7.n ,'1(' 11I('1I !'0) ('n 111 >'cffi"n d ll cu" nll'no(! :l~ T,y, {[IIO nell,a
~" I,,'" ,d l'lp ll1,,"I" d~ 01,'1 nrcu del cjo ¡::ohlllclric" ,h' la banl' ¡¡n i; ,
(fig. 1;,8,11)
dP = 'le/s,
Ln~ woyecd!U,,'.~ ,11' 1;, ' ''l'rv, dI' sobro ln.~ rjes .l' l' y. dl'z ...
f,d~ 14'n (.1: dI' . = di' eos a
I/IIJ1 f">' a.
LUI' ,'~ f "('TI"~ ('le l1,\,,,I.,I, '~ "r i ~ill~d"" pj,r '" 1,,<,r 7.a dl'~ \'11 1" lM!C'
dón dt! <.:"" r dl'Jmcl~ ,,, ;r, y )' 110 :í"g ulu ~ (l is:. 151:), 11),
_ 111' sen a =
- q H' U a
dN'
c,, ~ ~
e/s;
- dl' •.
dQ'
-
dM'
- tI se u
~('n
a
p ...
&' 11
IS
IIJ1,
di'., (y - 1/,) ... If (11 - 1/,) sell a dJl,
'"
PI
r -- -
q
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::::._,,".::~::rf
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h)
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Fig. 1:;1)
PI
y
!I
b)
__ -
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dN'
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da' dPez
---
~~-~~~~lP_- u<~'~'~P-t~-"--1~----~x~
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dN" dP"
_--
dP,
_r í-- "",E-,o
'q'
-
-:.-_----.....--- _Jl__ tx~,~'L+----L----~.
I'ill. 1,.8
298
LO!! esJueno! elolllcn Ld ales ebidos a la fuena
s«ci6n (Iig. 158, c).
dAl " _
dl'~
eu la mis ma
P = q C08 a sen p ds;
p ".. -q CO! a co~ p ds;
dN" _ dP ,!le1l
d<7 = - d/J ,
dlJ~
COI!
(x -
x,) = r¡ (x -
x,) cos a ds.
Lo! esfuerw~ elementales ori ginados I,ur In acción conjunta de
Ins fuenas dl'z y dl J , ell In ~ccc i ó lI cn euest¡im:
dN "" - q (se n a cos
~
dQ _ - q
P + C<JI! a
(~('n
dllr _ q I(y 1. 0.'1
1111 orcu
a
YIl
~(' ''
,5(>11
a
- cos a se n
C05
+ (x -
p) ds ...
P) ds -
X,) COS
-q sen (a -
a l ds.
c.<f,, ('r~os I nl;,h'~
$
en lu ~.·cci61l un cuc~ liou ~[UU uotc rmina
del eju gcu l1!í;lrico de la lnlrra scrlin IlUe~,
N =
- ,/.~en (a -
P)
(1 = -I¡eu.'l(a - Ji)
Í ds= -
•
S ds=
•
=r¡ j ¡¡en a (l/S _ S.. )
q,se n (a - P);
- I¡scos(a - p);
+ eosa(:l"S_ S, )] =
=ql !(y - 1I~)sc n a
s. =
1
M dr;
-q cos (a - p) tú;
11. ds )'
s, =
1x, as
Se<
Jle--¡-
+ (x -
los m"mI'I1LO~ l'St1Ílicu.~ del
resp<'C to ¡. lo~ ejes .t e y;
xr)eosaJ,
areo
I
las coordenlldll~ d('] c<,ulro
d,>1 ,,'-eo s.
(j. Car¡:-" uniforrn('rnCllle tlislril,mid .. " lo Illtgu del eje geo",élri<,,, ,[e 1;'\ llarra y IM Igt'''¡'' a éste (fig. 159, al.
L;. 1",,1"7.:' elf'lIlf'ul n J C'11 liI .oeefioll tra llsn·rsa[ tle cuordeundllll
Z,I/I .Y de iucli ,t;¡fiú ll 1$ , (fi¡.r. 159. b) 'I"e lIelím l~nb"-' lIci;'\[mellte 111
eje ¡.:eornétricu d.· [n hurr;,
~"hre
el eh'IUt' lIt .. . 1,,[ MC .. ds
~1I,
rtl' ' qrls.
Lo... I!Mucr7,oS 4'[ 4> 111f'!ll~Jrs " rj gilll.doll l'flr J~ r nerza dI' en In
,ced6n Irans\'erSlll dllc"o!'.I(' lli1<las;r, I/.Y d c inclillllci ú lI fI (ri g. 15!l, b)
'"
serán,
dN - -dP eos (lS, - P) = - q eHlI (¡s, - /1) d,,;
11(1 _ dI' ~II (P, - p) = q SIl U (1", _ 1") d&;
- di' I(.:r - :T,)
dA!
Sl.m
P, - (11 - y,) eus¡s,1 •
- q I(y - y ,) COs !S,- (.: - .-e,) ."CII ~,I dI.
Los rsr",·r,..~ t ola le!' 1'1) la l'I'rr ibn (111("
Hrt:O s del rjl' geo métrico do In barril
,
N =- qle,,~(p, - IS)d.·;
i (g -
•
y,)eos 1", d, -
o
que curtól un
Q =qSSC II (I" , - IS)ds;
o
liI _ q [
!ir I\ llalj~1\
í (z -
;t',) SEl U P, ds j.
•
Ej('lIlplu 81¡. Dado: l' y r (rig. 1IiO, n). conslruir los
do N.Qy/lf.
Reso/uri(m. DOlcr/llilllUlI OS N, Q y
¡lJ
diHgr3ma~
l,or lrnnlOs do la lUlrrn
(fig. l iJO, b).
E n cl primer lra lllo; O", 'r,
-< ~ .
N.,,= "eosq>,: 0.,, = /''*'11'1',;
N•. ,_. _ I':
N
AI .. ,
., --,
" ~ O,i07";
_ I'~( I -eos'll,):
N
~ =();
"' - y
Q
"",=0,707/';
.,- -¡!If
. , - .,."
~ O.2\J3Pf>:
En ('! l<Cg lllld fJ 1Tillll": O '" f\1 :
N... = - 21'scII'l'.;
0•• _
!If
2I'cu._1f2:
o"- T,, =
~ ~
.
I'r.
M ..,_ I'I,( 1 +2scn'Pl):
ti'
"'-T
" =
- -~
-< ~ ,
N... _o= O;
111
..,
,,=_2/';
., -'z
1.10 ' '''';
(J
2.4. 14/'p;
M
.~= O;
•• -'1
• =3Pp.
·'-T
Lo!! dilLgramns do N, Q y !If e~ lúll indi ca do~ en la fi gurn t OO,
e, d y
t.
Ejemplo 85. Dado: P, a y lag ecuaciones do los ejes geomét riC09
ti c Ins rlllIlOS slI peri or
_±, (I _,x )(fig.
()
inferior de [a
bnlle~ln
(parábola y =
H11,a ).
-"
C">Il~lrllir J ,,~ dia¡:ralll;' s de
N , (J Y M.
fr.>s"lució n. E H \'irlllol ,l.- In s ¡m~l rí a del
ej,>s
"rl ."g(tnale~,
a¡
:
s i.~ I(lrlln resjlecto n dos
In mitad do tilia ra ma do In
~1I 1H !nel lto
,,,,aJil,'''" flS
,
____ J¿'___ _
,
a)
p
p
p
x
O 'N
b)
,
p
N"
P
a
p
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x
lJiogroma dr N
e)
'Iz
o,m ~
O,J5~P~
JJlagromu dI! O
d)~
:,
j.
o.JS~
/J,5P
O,ii¡j7p -ffiagramr¡d• •
Fig. l eo
Fig. IGI
bal les ta (rig. 161, b). Para UII:1 ,';Ccció" ar]¡itrnria, situadn a In
tan eja x de] I'xlrcnlo i1.<!lI icrdo se obtiene.
di~­
a _x
a
dy
tg~= - = -- ,
d,
P or lu Innln ,
.
/)
/' (a-;I'j
N = - sen ~ = -;:~"j~~"":=J
2 v'2,;~
2
2ax +:J!'
l'
M =-x;
2
,
11"-/':::::; 0,351oP;
N.,_o=Q_ o = -
01' ~ -
'.
111=0 = O;
N ,,-a= O;
0,351/';
/IJ
"-," = 0,25I'a;
Los diagrauws de 11', (.J y
¡\/
.'st:'"
/II ..-~ = 0,5/' a .
n; fl rr"'('lI t ndo.~
en In figura
1 6 1 ,~,dy e .
Ejenlplo 86. Dndo; q, (1, b Y uu ~ n illoeliptico y = .!!... V2a.l:
xl'
a
seccionado en el or i!,'Cn de coo rdem ..lns (fil:'. 162, (1). I)clerminar N.
Q y M.
R eso{/U;ióll. P uesto quc In barra es si lllélriC:1 respecto :11 cje :E,
a llll lizumus solamcnlll In mi l nd sU IICrior.
Por el principio de S"l'crpusición se obtiene par" los e~rt1erzo~
que surgen en In sección lr"ns\'er.~nl de co, ,,,lell¡HIH~.:t:, y y de ¡IICj¡·
nación ~ (fig. 162, e y d) origillmlos por las proyecciones qr y q ~ de
la cargn (fig. 162, b)
=
,
')
- qzsen Ji:
Q = qzcos Ji qyscn Ji:
N
qycos~
+
r
M =_%(Z2+ y '1.
,--l-:~
P Ul'sto que,
tc:p=dy
d.t
rcsult n
=.!!..,
a
a -x
.)
V211.2: _ i"
'~
,
,
~x --l
')
,
r
,
,
N=
, ; a: (2a.1' _
b
'1
Q-
f ;_
2 2
ql/x
x~) + (a _
Z)2 .
d)
f%x+~ (a -x) 1,,'20.l:_ z1
v'~ (20x b'
. , [','
, 'x
qy~~ q"~Jl
,
J!)
+ (o _
X)2
'" '1
M = - - 2"(20x-x ' +x
2 ,
.
Si, flor l'jf' mpl o 1/ = b, cnt ollr rs N = qx: Q= q )i 2,u
x, y JI!
= -qo.1', Los (lingr~nHls de N, Q y 111 ~s láll rCl'rl'~l'lIlados ('n In
fi gurn 163, 1/, by r.
Ej r m l'Jo 87. J) ad0: r¡. p y 1.1 CHga wr!i rn l de illtcn ~ idnll q di stribuid o unifurml' mCnl p a 1,., lar¡::-c, del arco cOl'rcspoll,li en l.ll n un cHur lo
d ll cirrll uf.-rcuc in de radio r (fi g. j(i't , (1). Conslrui r los diagr'Lm~.'1 do
/V.(J yM,
R ps;olllriÓn . Los l'sfnerzns Cn 1" ~('ccjón t.rall.~ ,'(·r~n l de iuclinación
!ji respecto 3 ];, "crlicIlI, corrl's pomli ell les a la r" e r~A d emental dI' =
Diagroma d,
o¡
N
Dlagroma d.
•
'.'
,
,¡
"
DI.gl11ma d. M
- 1.0
" ,
l.' 1 I, .. ','- - j-\ /
G
I
a ,a
Q
í - ¡'- z --i'
l'j ~ .
H.i:l
'1
,¡
q
"
b)
' 1m
dP
,
:
,~~~~qp !
"
,
,
X;¡jP'' '\/
-r.;. ~ , ,¿,
,
A . ':. LJ,L
"
,)
IJia!lramu de
qp
,
--- --~
d) , " !,51/qp
IJiagroma rk ~
O,5"qp
di
,\,"
IJiUljromn de
,,
,
'i
(J
_q;;p"",,,,~
IJilllJromll df! M
a,Wqp '
1
" i
go,"'- -----':.'.l
O,571l{p'
>,
Fig_
16~
J,Wlqp'
'qp
- q d$ _ qp da seran (fig. W<I, b).
dN _ - dP seu !JI = qp sen 19 dqJ:
dO - dI' COI! 111 = qp 1'.09 'JI dqJ:
.'len a) = qp2 (se n q¡ - .'len a) da.
dM "" rlP(I (scn 'f -
L,,~ 1'~rUl'rZ/ls corrcspomliontes 8 la cHrgo q ue Ac lúo
parl e secc iIJl)¡ula de Jo llorra so.rán .
N =- _ qp llC n ljl
,11 = rJi?
0-
r•
N
N
111
- qp'JIMln ip,
1
da. =Q(l1pC09 11',
(sen q¡ - sena) da =qpl(qlMHI r.p
N",_o= O;
L,,~
qp COS!JI
•Sda =
•
~obr6
+ cos 1p -
t );
.. :::::s - q(l ~ 0,707 ... _ 0,555qp;
·-T
~
• -¡-
'.
" ~ - 1 ,57Iqp:
= - W -,
0. __=0;
Q
..
ld. ,_
T=
qp2
"- ,
~
(~
O,555qp;
-
,liagf1lmas de 1\ ', Q 'i M cs t,in
I) :::::S O,57I qp 2.
r1~ ¡¡rescntAd {ls
en la (ig.
IIn. e,
d 'i ,'.
EjC'1I11110 88. I)lItl'l: ", l' 'i una carga de intell ~ idad q di stribuida
Ullif"rlll.'meUle soorll e l arcu ¡Jo. In slllllicircunferllncia de fIIdiu p
y .Iirigida ~egúu la t llll¡,'o.llle ni eje geométrico de In bll.frn (fil:. tr,5, tJ)
o.m .• truir los t.Iio~rnllla ~ ,le N, O 'i /11 .
I/ fso / ul"i611. Ln fue rz a I'lo.lIll'll llll o.n lit sccción inclinada un ¡ingu1" a r,'~ pl'rtu a lu huri z,mlnl cs,
dI' _ q d$ '" qpda.
Los t'Srn cn 09 o.Iemcnla lt'S e n la l!I!Cción t ranS\'cr$l1 de la barro
incl infl da un :ingulo 11' rCS IJOc to a la horiz o nta l y co rrl'Spo ndi e nl ~s
n In f""f lt. dP (fig. 165, b) vo l!'!! :
11M
dN ... - di' cos (IJI - a) = - IJP C03 (1fI - a) e/a.;
dQ = ilP ~e ll ('1' - a) = IJP se n ('JI - a.) da;
- dI' Ip - (' I:OS (cp - a)1 = - qp' 11 - cos ('1' - a)1 ,la.
L"lI esfuerzo;¡ l olnle!! originado., por 111 carga que actúa sob ro In
pn rl e !"eCciollada do la bnrra I'('rán,
N = - gr
Q = qp
1
cos(q> _a)da _
•
-'Ipsen 'p;
r~ n (,p -a)da ='fl,( I - coS 'I');
"
M = _fJfI2
11• da -
lcos(q¡-!;l)da l _ fJfI1(!!Il u q> - (1):
•
N~ _ ~ = U;
,,~0,20&11':
V._._ O: Q
f)
~- T
.-."
Q
I
= 1,70iqf';
·-T
,. =gp:
Q..." - 2t¡r;
M
M
~
~ ... - O,07Bl'J f?;
"- T
· -0 "
== -
I ,G -i!llJf"';
JI!
,, ~ _ u,5il (fI'f:
. - -¡-
/11".." _ _ :{, 14211r2.
Los di agra ma! d., N, Q y JI! cstll u dntlo~ 011 1" figurn 165, c. d y e.
l'ru blclII ll!l 7;)li·i G.). Cm:d rll ir I().'J diagrnmtlll tl el e.~fllf'rzo A .~i3 1
N, ,le 1;, f,,('nn corllllllll Q )' del munw ntu rl ecl"r /11 .
:q:,
1
P""
•••
~
"
q
I. _ _
q.'
r
-r'
r- a
m
-1
__
I
/.
.
"-
.,t --f
I
:a
\.q
I
. I
;,-'/
p
la t:arQa;f~ dlsfrl6tlV'
u"¡rllrli!'/I",,lt z/ll¡I? /Ir
rangtnft /JIllrfO
§ '!.
p . all'~ )
lrpIrol dr Arr¡uf"mf:des
1 'l! lI d 'lO/I l!iI
Ell~~ rlll'rtn :",:i~1
N y e l momento flee to r /11 d e terminan tensiones
n<Jrm nll'!I 0." y (1M mientr~!I qUIl In rueru cor '.lInte Q. lens ionu
tilngl'urilll Cl< T l ] UI! .o;e r]l'Mrro llnu r n lo! I' u u l o~ rlll In S<'Cció n I ra n ~­
\'er.'!.1 1 de In bnr rll curva,
1..1\9 It' u ~ i "uc~ 0'" so cousi d cT.1 11 ltislrihuidu9 unirormemenl e e n el
¡,ren ,l o In ~ecciórl lr .1 n s \· cr~1I1 ,.. micu lr" ... qul' Ins tensiones 0 .11 !I{!
cOlIsidrrnu dist.rihuidos segím In te)' hiperhólico. E s tn ~ l c n ~ ion~s
~o
ohlir-rll' lI JIOT In ... rímmr1n ...
~igllicn l{'8,
N
0,0;=7 '
( 172)
Al Y
n,,. =--.
S r +y
( 173)
siendu S 01 mo mento esllilico del area F respecto a lo. línea neutro. z,
([uC! no cruza el conlro do gnl\'odad de la sección Og;
r e[ r~djo de cu r>'a tura de la Huen neulra 1111;
y la coord l'uuda del ]Hllll o de la sección (lile se analiza,
desde el eje z (fit{. 1(;6).
La [ine" ueulJ'a Wt so ¡Je~p[~za, respecto al eje geométrico de la
ba rra, hada el cenlro de curvatura en 1II magnitud e = p - r,
siendo p el radio de cur,'atura del eje geométri co do la barra.
Fig. 166
El r'lIlio de curvat ura do la línea neut ra de la barra de sección
arbilfllria ~e uC'lermiua por la ecuación :
F
r -
(174)
- Sp~'u
siend o
•
In coordenadn del ¡)Unto que se analiza de la secdón a l
eje CI'otral Zg (fig. \(iG).
En el c~so dI) Hila sección rectangular,
(1
h
,~---
III ~
"
8D el de una sección circular,
y en el de una sección trapezoidal,
F
..
'~'---~~~'-.-------b
( e
+ r. b
L-
h
b~) In ~(bL _
"
b.)
sie ndo r., r¡, ha y b, respectivamente, el radio de curvatu ra y la
an churn de las fib ra.'! exte ri ores e interiores ue la sección,
En 105 correspond ien tes mnnunles y textos de resislencia dEl
maleriales se dan 105 valores de r para Illgu nllS ot ras fo rmas da
secciones trnll sve rMles.
En el caso dI! bnrra s de curv ntura no grande ti puede 5I:r obtenido
por la fórmula nproximadu,
(1i5)
tI~ - ,
p
s ien do i ...
~ 01 rll di o
de inerci,. de la sección t ransversal de la
harra Il'speeto 31 e je cen lrn/ ¡;~
La m{,ximu nproximnciún d., la fórmula ( li5) se o bticno en el
callo dI' barras d e seccion e:!! t rnns\'c rsales simétricas res pecto ni
eje ~.
el,mO,
Y = "+ tI =I, (I + ~
)
P"
f + II = P+II = fI (J
-%),
.• ielld,) u In di s lallc in dd 1),Hllo en cnl'sl ión de la sección n In línea
IIl'utr¡, =.' resu ll a que la rú rmul n ( 173) se esc r ibirá IIs í,
.,
¡\fu
,+ fii7'
M il
CI", = -· --- ~ - r.t,
1
1
11
+ ¡;
(176)
I
~ i l' II ,I <!
;'
'+" ~ _--,Pe'O' -
( I77)
l+ ~
" nlld a 11, filie cnrlle teriza Ip
'111" fUllc ioll uditnensionnl d(! la ('<)nrde
I ~y " V lillcnl de dis lribuci"lI ¡Jo 0'" ('11 111 seceiú1l que d<'pe1l de de la
r' ,r mll 'le la iwetiú1I y 010
l~
C1l r l' :It"r'1 in ieinl .1e la hArrn. Si
*<
/ 0'
ell tonces a. $e ¡Jir" rf'n eillr:"o poco de 111 unillnol y 111 t ensión 0,,, podrá
.~('r ohlon idu 11M la rórJOuln es ta blecida pllr .. 111 "ign reel"
Alu
·~ -I- ·
Las tcusiones normales m8XI!nn y inHuma resultan e n las fibra s
lt = }Ie Y l¡ = -h,. E~l1l9 tcusiorll'S son
ext re mas de la berra cuando
M "
0l• =±---;-;¡a¡,
'"
(178)
I
- h.' para lo libra
siendo W el módulo de la sección, IV. -
,;
P
Y
;
W' = ¡¡:;,
II¡,rH lo ¡ntcri"r.
,,
¡'
. ¡. '~:
ale =a
~L'
e.~terio r
I±rM .
. = ____
he
a _± ~,
(179)
I ±.....!..
p
Lus vulure.'l do los crll!riciollle~ af patll nlgunos secciones Figurun en el a péndicl) 4.
Las teusioue.'l normnlc~ rC~lIllm,les (1 en
/)ia'lro.ma de N
un punto CUllllluicrn de [a seccion transversa l
de [a bar ra curva so pllmh.m "blen(-r por In
formu la
b)
(180)
p
"'"
di
_____ ~>..:
OiGl}roma de 1'1
J)07Pp G)07P
en In e nu! el esfuerzo N se iu trodll ce tU I! el
~ig ll u currcspolldicuLe. gn 1" maynría ti.., lus
cnSVIl (1 ,\_ es 1)C([ueíio e ll cumparac ión c"n 0 ,'1'
Ln {ells ióu tUlIguncia l " rlctllrmillodn pur
1" fuen!! curtante Q, licu o iJllllUJ'lnnci;, SCCIIII'
dorill y gcul'r .. lmcnlo [JO se CUJls idcl'" 0 11 el
cálculo.
Est.as ]1[iCdll" SI!r c"lcul"d".~, dI' mllllc ra
aproximad,,_ CO fll" en el caso do bar ras re.:;l as.
pur la fum,,,],, (99),
QS
.~ -- .
bi
Eje mplo 89 . Dudo: JI = I Ir, p
50 cm:
M
Pp y u
1U cm (rig. IIn. a) .
Determinar max 0' •• mil! Oh T lIlu Y e.
R esoluc/6n. De ac uerdo COII los diagramlls de N, Q y M
(fi g. 167. b, e y d) las tensiones no r mu les maximas ocurriruu en la
sección de em llolramie nto de la IJarra, donde N = - p = - 1 Ir
y M = 2Pp = 2·t·5O = 100 tf·cm y los tensiones langcllcia les
má"¡mas, en la sección del extnlmo libre de la harra donde Q =
!'¡g. 167
."
... p = I U .
En el C8.'K1 dll un" !leCción eu"duda ,
a'
f O'
6
"
W,, = IV, _ IV _ - = _ c m';
1
±;- ±6~~"~ {o,!l39
cxr- --'1 ±!:.
I
~~
1
1,()7<í
± 2 .50
2r
Por lo IRn l o.
!11
mIl.l.: Qe=-¡yCX.
N
1O". i j .
+ F='"""i'i1"'0.9:J9 -
t US
1Ol! =
= 563 .
Al
N
IV
,..
IIlIIlQI =- f.t,+ - ~
l¡f·ü
10 = 553 kgf/cm';
10
'
- - - 1.074 --=
10'
ter
"'" _ 1;44 - 10 = - ti54 kgr/elll~
T," ..
e=- _/' _
/)
=..:!..!:1...=:!.. IO·.=I~J
i
Jo'
2 10
-rl= _uf" " _.¡ = o.
12p
12·50
ij
'6-
kgllelll';
I e lU=
, 6,
,
mlll .
l'robJl'1Il81 i66-iü!l . I)clerm ill llr las ma xim os tClIs i o lle~ dI! trlleciulI 0mu y de comp resi ulI On,' n. as í co mo I n~ I lln~i\llles norlllll ' (!~
O... lllL el punt o ti ill di endu d o [.. ~llee iun p() ligr\.f~II .
.,
~--
,,,
§ :J .
('{¡f("l/fo JIU l' r Cll illf f'lIcj"
Parll J¡"lI~ r 1" rn agllit.lld do In (";'rg;' ~egll ra que ac l ún .""llrÍ' 1" bn rm
cn n 'a y para COnlJl rohn r ~ u resis tencia l!e emp lea la cO lldidú'1.<iguro"t.c
M
I1I1UI", I= _
1
IV,
NI
a,+_
F
~ ["J.
11'; 1)
L;,s ,Ii,"{!",iolles IICCCS!I!"illS do la &'cci<>n Irans\"crs,,] tll· la h,lr r;o
se o htirnl' ll 1'(lr lM' !cOS con la CMrcSJlOlld iclllO cOlUllr'l bat:iólI Jl,,~ 1 6-
f ig. 11;9
ri or. El pr imer 11'II I.c<> .'lC puede fcali~. af cO II ~idcralld,,· 'I"e 1:. hilff<l
es una viSIl rech , es !lucir. ,le aCllerd" COH ]" dcsig""r,l"d.
m" l"I¡l/I~ [aJ.
( 182)
IV,
La CO lILprobncióu de h\ sección se ,lche realiur CllIlsider:Hlllo la
cur valll r/l de la barp\ y 01 es ru erzo nxial po r 111 fó rruul a ( 18 1). L.1
sobrele1lsiún no debe rá ser supe ri or a l 5%.
Si el mnte rü,1 do la barra se resistc de mane ra llirercll t c! a la
tracciún y CO lllpresión, entonces, en la Hocc ión pcli grosll. ]¡. s COlldicioues do re~istencia dobe rán satis racor8t! I/l ulo e Jl la r ib r~ c.\ teri or
como e n la interior , de acuerdo co n las magnitudes do las 1(!IISiollcs
IId misihles ¡(I d y 1(1. 1.
,2<
Ejem plo 90. Olido: lal
4 000 kgl/c m', a .. 20 cm; d = 1 cm
In barril dol resorte y =
=
y la ec uación del aje gcornHrico de
-Q
sen
2;c
,.
(Fig. 1GB) .
P.
DdefmillllT
Hesr¡{udúlI. HCSlIltll1l pel j gtosn~ las secciones do In hnrra situados
el! las cimas de 111 ~jnllso ide , do nde 111 == Pa == 20P kgi·cm, N =
- 1' "Sr y el r"dio de Cllrwlt ntll del eje geomét rico es,
", _ -'-
r)
~ ([1 +(~"'f") . ~ ( [1 +n:'''~n~ z
!I
2
:< - T
-
SOIl -
a
X
"- f
a
,.
=2::::::0, l a =
n
2 cm.
En e l ellso de ulla sección circulor de dilÍmetro d,
n¿
11
'
F ~-= -~O
,I-85 CllI:
,
d
1 _8p
1
1- .
8 2
al=--d
- ~ ---'- =
1- -
2r
4
1,25.
1_ _
2·2
Oc la r"ndiciún de resistencia (181) se obOcne.
Al
N2QP_
P,
ma~ 10,1 = - a l - =-- 1,2,,+ - - :::=: 250P :S;;; I¡ 000.
IV
Jo'
(J, I
0.785
r~ s lJll:lll(lo ¡lllra In fueTul admi sihlo ,
p:o;;:: 4 000 = 16 k r.
...." 250
Ejl' lI1lllo
!Ir .
g
Dnd o: /' = ¡¡ kN, r¡ = 12 " N/ m.
,
,
b =7, h Y [0}=2oo ,' IN / m' (Iig. Ifi!l).
DclCJ'minllf h y v.
If,wolll/;ió ll. En 1;1 s('cl: iúu pe ligros:. (cmp'llrmll1) d e
I~
[,nrrll,
::1
t = G. [ O' · ·l h·
' ·10- 2 +2
.'1 · 12 . 10' . , ,' . 10- ' =
M= IJp+"2'lr
= 1 1¡2[ N· tu;
N .,. - P -
qp = _ (;· Itll -
12· 1(1*· Hl·lO-' "" i 920 N.
313
Ho((n1Llos lns ,fimonsio ncs "]lJ'(ll[im~d!lS tic la. secci611 de la b1lTra
del cí'¡cul" lH.>r flexión, intorprllt'Hldo 1" !Jarra comu UIIII dga rect a,
W __ b}¡~ _ ~>..!!-
li
__
[oJ
S
11,2 1 "",,-,.
'1 .10- '
._
200· IOG
11 )
, = " , cm.
'
de ,Io tod c "blt'"emos.
/¡>
t~ = :-I.8'¡
CIII.
T,'"ie,ul" ,m CIIOllt1l J¡¡ curva t ura de \,¡ ba rra y IItHl sobm lu slJcción
p~ligr"s a actllo ',,,nl, iéll un l'~rllcrzu ;uial lldmitirn,JS h ~ 4 cm y
y b = 3 cm. ""rij esllls dimo",¡j",tC.~ ol" ,Clldwl/lw!,
11' = 3- ·16
-= 8
t;
'
CIII;
"
r _ Oji
Ct ,=---
r -~
2,
,
,
1- -. ~ü-;'"I v, ~ 1,O'J5.
_
1- -
-
2· 111
DIl "'.: II~·rd " c"" la fút"", I,. (18 1), In [e nsión {'f\~Cli\' ;\ ('lO
¡II(O'ri'JI" tic la h"rnl Ser,;,
III U ·~IOII=
M
1
NI
li/Ct'+F
1t¡2 1
"
1" [illra
7u2u
=S.IO- I' I ,m);) + 12.10- 4:::::;
:::::;201,1. 101 N/m'=20J.1 l\JN ltn~.
I'U l'slo 4111l In sobrelcllsión cu"sti t uye el 0,55': • . Sil jluedv
(;"II~i­
dCl'"r (11Hl el c;\lcul(, d I,) l.l ~cccióll 1'('¡¡1i~Il.J{) t·.~ MI isr:lc l ori().
l'rOllJ lcm as 770-771. DClHllIiuar Ins IIHIg'llillloll's tll' I:.s cllrg".~
¡l(hlli~ilJl(>~ /' Y M.
a . 50cm; b ' 20cm
[(1'IW,NOO"!llfcm~ f[J"J-/Z()(JH!l!fcm'
3,.
F,~F2·FJ . F. · '2,lJcml
Ca] . /OOlJk!lfjcm t
I' ro b[e nllls 772-773 . C<ulll,r,,[¡;, r la re5islenc ill de las
c url·as. C()n~idér('sc quo 1;, ICt,.~iÓn nor mal ndmi5ible 05
= 1 Ht)U ]¡gr/cl1l~.
'"
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"
,
90·
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XJJ. METODO ENEI\GETI CO
DE CALCU LO
DE SISTEMA S ELASTI COS
§ l . 1I" ' (','m i u (f ,.j{1I/ d .'
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,\I,"u,l" de lo rucrz¡, gcncrHli zada ¡¡ctida ""la
L" "\l'rcsión I[U" tlet.crmiu;, 1;, eltergi" putelleiul ,le 1" .1"["1'11111,.iult "I:i~,ir:, 11 acutJlulada pur ,.[ e'u!"po o .·1 ~is te,lt;t t1u]"" utc Jn
:I("("i6" .."I¡,li cll ,I!,IA ~ f"er7."~' JI,,,,.It.' st.' r J"t.'!"·l·:!culnd n pu," """ f""d" .,
I"''''''gt.""", tlt.' ~l'gu",l" cord e u, " Il I"s ["I'nus gelll' rnliz,,,I:tll (', " 11 ..
I,,~ ,1!'''I,[n1a " lÍc ul os gCl'l'nl 1iwd"s 0"
~ i ,''' lrl' l .. s illli,u".s " .\ isle
dl'I"·,,¡j",, ri :o li llc:, I.
L,, ~ fU"f1. ns gem!r¡oli1."tlns 1' 1 cs t;i" o.;ulIslil.uidnl! I'"r c,w!t¡lIii'r
lil)l) d I' a r ei"" (f" crzII5, tH U n",n\.,,~, ¡¡fUP!) ,le rU("I'1.1Is. 1,:1'111''' d,' 1110",,·!tl ,,~, ,'11'.) (]" l' c" "vi l"'~ t!('t<\.<lC" 1" p"r" IH uhl c" ci"n dl' In "'"'rgía
I"·l ",,ci<ll,
L,,~ d('~p ];,~ ,,,,, i,·,,L,,~ !i.. ,,("ndiz<ltlu,;,s, """ ",a¡;"il,!\ll's
,lt'l n ·
tui""" I,,~ dO>; I,[:owlI,il:ll I"" ,. " 1"5 ' IUl' J~ s fUl' I"Z"S g,·"'· r" Ii ,.,,,I,,~ l'l,,,I ;1.;)11 lrnl",j" (1' 01" eje"' pl, •. " 1" fuerw c"llccnlrutl" le C"!'N!S¡lou,lu ""
dl'.~p [" ,." ",it' ltle Jill eH I. :tI " ,,,'''lm1.,, "11 .h·spl" '-"1tIkn l." an gul,or, l'te,).
El oIe~plnwltlie"l" gt',ww liz'''[') (!J{,slieu {) 'lile " cur rc ,." ,,1 ¡;"C1P"
",," ,,[ .~isll·'''u, lu'j" la acci"" do Ins fuerz ns gl' m' r"li ·t ,It\,,~, "l' pued,'
¡,hll' u"r PUl" la f6"ml1l" ,1,\ C<l~ li~I ¡" "",
'l""
6-
-)
(-OV,
{)I'~· 1' ,,- '
( 183)
315
siendo p~ In rueru fi cti cia gcuernlizndn correspo ndiente 111 ¡[('slll <1 zamiento gcrH'raliwdo que se ll1lsclI . I~sta ru orza so apli ca ni cllerpo
osislclua ell el lu gar dfllld c ~c hall a Oll ¡!f's pla7.nlllielllo; U". la erlOlr¡:ia
potencial ole In ¡[l'forlllilci ull ehislico del cuerpo ú s istenul dado por
un;' funciun hOlllnglÍ nc1l de l'eg ull<l o o rdf'1I ,le l odn s las fuerza !; ¡::ell orali·llllla~ qu r:t actúan IJI rolo In fUf'r 1." fict icia ~,'cne r¡¡li zlld.1 I'F. Si
en el lu gar ,I olldo so hUSl;n el de~ )ll n1,n l uiell 1.() gClIf' ra lizndo existo 11M
hu.'TZII ¡:W'H'I·:'¡i7.UoIn <l nd:1 1'. corr('spolldi cu to a l d('s plaznmio nt o
genern1i1.fllln que I"C h;\l1n. l' lIl,mcl's dt'l'lIp"rr Cc In necesi dad ,le ap licn r , J I' r enl"nc,'.~.
( 181,)
s;
DU,»
(--
al'"
>u
/',, _ 0
.. - - >
>
(
""
,JI'
n)
>
"
oIir<'((i,'n ,!I·l ' ¡" l' I, lnzilm icnl.o gC I' f'rnl i1.nd".s roillciolirá cun 1;, dirl'cci{HI d,' In Cuerw I' F (ti f' ).
s;
direcc iun dul ,Iesplnzllllli('nlo gen<, rali za do.s será opues tn n la tlirec·
ció" de la fuerzfI I'F (ü 1' ).
El de~p la u"ni l' nto li nl'ul ohll'"i,l" pur la fórr" u lll de Casli glillflo
cnnslilllye la Im,yeccióll dd dC'sp l;l znm icllto liuen l del pli nto tl e
8pli rllciúII de 1" fllenll cmre~p"'l1l j ('nlf', sn bre In tlirecl" i.... " ,le la
tíll !'; ' .h· ilcc iún (le es l.;! rnt' r1.1l .
Mélooo de la IUC.M
En el cns",
Ilctl ri ~
gelle."li rn da unitari ..
gC"l'rnl oJu g"licil;,eiün so hre UIl sish'lIla l'1{¡s lico
de bnr rns, clllIslilllhlo por e l c ment,,~ rectos, los dcs pla l,am ie"lO!l
gl' lI cwl i1.a ol nll c'lU\·illlle cnlc ul nrl,,~ por la fórmu la de Maxwl'1I
Mohr.
ó= ~
lllí,S
r NN
dx
! r M:M:dx
~ S M ¡,;VVdx
EF
+ J El: +
E /u
+
J
:t.k r Qli~dJ;+"i.k. S O:Q:(/.t".
+ !: Jr MIM'(/x+
Gl ,o•
GF
u J GF
( 185)
lIielldo N, M" M " . M I . Q" y Q., rc~pecti\"alllentc, los esfuen.os
eL) unLl sccciiJII Iro us\"crsnl arl,ilnni ll dI' cndn Ir.uno riel
s iSlmllo, origirwdns por todn ~ Ins fuc r1.;ls gc ucrllliudns
qu e octúon so bre el ~i~lelJl a :
'lO
N. XI,.
¡\/~. M" (j y Q.. los lUismos elsfue rw.\! ¡¡elru origiuadus SUlalllt'uto ¡)(Ir fa fll~r'l.a ficticia glll)crnlizndn lluilnrin
;l1,lic"d" HI ,¡iSLclIlH y correspondicnlc al dc~pluzHlUieJlto
¡:l·ll er¡di~.nrto (PHI se Illlsca;
E y G I U$ lll"dulos de olll~licüJnd lúngiludiual y 1nub'Cucilll
,Iel IIlall'ri¡,1 de l c', rrelspondicut.o tramo del clcllIellto;
F el "rlm d e In 1!CrciulI lr<llls\"crSilI doudo !ffi ,l cl~ rlUi rulJ '
Iv~ csrller~,,~;
J, y I ~ lu~ momo"los cOlllralcs I,rillciplllcs de i"creí" de l
¡¡rCIl F;
I ,n, d IIwnwlllu de i"HCi:, " 111 tursión del ñllm F;
J.·u y k, I,IS cueficilllltes quo llcpcllden de 111 furrnn do In
s~cciulI y fllIC ca r:u·ll'rizllll In desunif"r",¡dA¡] del ln~ lells io_
n('s tangeucin lt's lnl 111 rlo~iun;
rlx el clelllclIlo ,Iel e je geu lI u!l rico d cl tnllllO.
La illl('!:TiHliulI so Ilc\'H" ¡;llh"so],re la 1,,"gi tll dillaJ decada tranlU,
lit SUlUn. snhre ludns lils lrlllllUS.
En (' 1 C¡lSO de si~tC(lIm; plnn05 cunsli t uidos por hnTri'~ ilr1icu lllll;¡s,
... ,,][ ru erl. " ~ njllicnd¡l~ en J o~ nndus,
,')=:EN[t¡ 1
( 186)
EF '
~i"IIc!"
/ bs longillld.,s du los Iralll os.
E" pi cnso de s i st"rna.~ cuyo:; t rolllos
~"rrcll
cxcJ.ISi\,¡'lIlCII le
1"r~iÓII.
<'l = L J
M1M1
CIto,
dX.
( 187)
En 0,1 rns" ,lt~ sis tema s 1)lnllu.~ cnnslituidos IlOr "ig"s y purlictlS
'"" los (jlli' In inflllcllcia de IV y Q so bro lA di' fnrmnción es )l1l'llleiin ,
.s=~ J MMdX.
t:f
~i('r"l"
( 188)
rh el elemcnlo tI.·1 ejo ¡:ctJlllcl rico del 1""llO o.;llr\'i1ineo.
~" r(·oHz¡¡ con IIInyor /,x¡,,: lilml,
Si ,·1 f,dcllI"
' JNN
d,+_"J¡lfM,
--".
El-"
El
<
u=
~
( 1!l0)
l::jelll l,lo 92. DAdo; 1'. <1, l. E c l (Ii g. 170, a).
I),'h·rminnr In flecha /.
317
R tsolllci6n. L:l fl echa máxim a I eu la mitad de IR viga
mina por In fórmulll (188) qu e &o puede escribi r así,
I
I=-~
El
~e
det er-
J-
MM ({x.
Los momc u!'>s rleclores eu sccciones nrhitra ri:ls de las vi gas son:
I - -I -~~
PO-O-__~P ---1
1
¡
I
Z
J? le
Z
1
l a~
como collsccucncia de In acción de
M n = l'x ,:
fuefws J'
,]11,11\5,
M o= /,(1;
como cOllsecuencia de la fuerza ficti ci n lIuilnri .. {' .... = 1 (f ig. 170, b),
M
1l+J:.
·~ --2-- ·
La magll itnd .Ie la flecha que se hoscR será.
1= 2 ~
[ J"x~dx,+/luJ2-B(a+xvdx~1 = 24EJ
/'a (3l~ -4).
2EI
a~
"
V e" nl".~
l
.
111 iurlul' ucin ~u hre 1" ll",chn do la fllen ll c"rl~n1t'. Por
IR fór rnu11l (185) la rl cr.hll r.urrespon di enle a la flle n a corlaute en la
fl exió u recia será :
k
IQ=-Z
GP
J-
QQdx.
Puesll, que en los tr umos de In "igll [as rllenuscur'Mltc ~ correspo ndie ll tes 11 IR carga dnda y n la ficticia SOIl respcctivmnen to,
Q~= P,
318
Qb=O,
1
Qa=2'
1
Q~=2
Po.
Po.
2CF
CF
lo=2k--~k--
resulta que
-2/tk
-
y
lo
-~
I
E
El
jI
' - 1¡ )'
C 0.1 (3~
CFal (3~:_I¡ ) "k-
"
siendo
f
j2=¡;;"
Teniendo eu cuenta que en el caso de mater ialea is6trop05
encuentra entre los limites 2",
gse
g.. .; 3, ~ tendrli 109 valoros IIxtro-
rrws siguiell tcs,
Si a ..... O, entonces,
/
-f-(IG
-:- 2t.)k 7., ,
s i a - - enlonCl!S
- 2 '
~=(21¡
-:-36) k ~,
=
I
1
Veamos para el segundo CASO
(a
=
~) ,
1,5 ( 1.9-)
I
.
~_o
CUAndo III fueno corta nte
ejerce la máxima influencia sobre In flecha, las viga.~ do secciones
I"C(; tongular y circular.
P uesto q ue pnrll e l rectángulo de altura h y para el circulo de
diámetro d, j' =
el
c~soI
~
o ¡2 "'"
/
e1l
el
k =
%y k =
~; respeclil'armmte,
en
de vigas de la sección rectangular nbtondrcmn....
t
y
;l~,
c~so
= (2,4 -:- 3,6)
h'
7
de la sección circular,
/,I = (16-9 + -a)
'?
3 ,-
-
a
_ ,f
-;¡-:=:::( 1,77 +2.660%.
1
31!!
00 UIIU! se puede ver que le¡ puedo con~tiluir el 5 % del)'
cu.tIIlo
m á~
.ún,
,"'( .. h A ..:... .. /3.G) h~(i":"'8)h
Vo,os' V 0,05
..,.
'
y
',¡; (v !j·O.1J5
16 ~ V 8 ) "~("~ 7)d.
.
3·0,05
'
eS.llccir, en el cu~u de vigas muy cortns.
SI litl escoge, IlOr ejemplo, lu vigll doblo tu N° 20a de IICOro l"míIlud o, e nt onces
E
G
= 2,5; j = 8,37
c/U; k - 2,i8
y
Así, pues
I Q constituye el
5 ~.
dlll yu Iln ra
y 5840
- ..
0,05
,~
31¡ I c lll ~ 1 7 11.
Ejelll lJlo !l;l. Dado; P , a, b, e, F, 1 10" E y G (n g. li l , a).
Dotcr/JJiuur 6, dl'sp laz a mil'ulo vertica l del ¡)Unto do Ilplicución
do 111 fuerzu P. le niendo en CUl'ntn Imlos l o~ tipos de deformad ou
do In barril.
'1
/1
p
') ~ P'"
FI,. 171
~·ig.
t72
R eSO{llcl6". Ca leu lamo~ el des plazam ionto 1') por la fó r mula (185).
La trucción a parece .!Iol.moute on d tra mo b. Las esfuenas al ía·
1" originados por P y P p = t (fig. 171, b) !on N = (J y IV "'" 1.
320
Tod W! los tranlOS do In barril t'Stá n BomelidOll 11 flexión. Los
nl o!UCI1 IU$ flectol"C!! y fuen.as cortantes en 1l\lIl1C1ltiones tranll\'er.lll lea
a rbitrarillll de lO!! Iramo.~ ¡le la barro, o rigin ndOll IXlr 11l.!! fueun
l' y I '~
I so n rospcc l h 'nnle nl e:
M .= ' )...; M a=.:r: M b_ l'a:
M ~= a: M~_ i>x:
Qa= l ; Q,,=O; Q,,= O: Qo-
Ale= .:r; Qa- P:
II: (jo- l .
LIl t"rslón .. parece w la llle nle en el Iramo r. Los lII omentos lor~ re!l "ri~ in lldO!! l)ror " y /' ., = I lJOn: M, _ Pa; MI = a.
Intr"d uciendu In!! e!lfuCUIllI o bt en id os e n lu fórmula (185) ~e n blioneo {'! \"Id or del dl'!!(lIHwmicll to IJ ue se hnS<""
J'b
J'
li_E,..+E I
(J"~rlz+n3b+ J'.:r~d:r )+C ¡..(d +r)+C/p,',, kJ'
"
"
,(
"
•.
,.3 )] +-C'[ -(a+c)+
kF
""]l
_ ,' (-E'[b-+
+ 0-&+.
f'
I
3
1,
Ejl-m plo 9Ii. \);ul o: p. 1'. E' (' 1, Y un a horro de peqm' iin Cllr-
\'Il ,ilranig. In.
a).
e,
Ul!h' rmiu"r .'le. desll lllzll lllien lll ' ·,'rll en! d é' 1" SI!fc ió n
R,,[U,lud6u. P:'n! 11" alte rnr la " implrin ch, l s i ~t c,lln res pecto ul
l'j~ ",'rlícn l ' 1" 0 pasn p"r d pun to E, HIJlicnmus I'p = 1 eH 1M
~rcci""e~
y
((jg. 172. b) Y :Hl ld izllltl uS ~" llllIll' ,, 'e 111 n,illld del
s i... tl'nln.
1'; " ln~ :;ecri' ,nl's IrIIUll\'~r~I,lcs nrb itrnrios tl e l r rmilu,d lts IloOr
I"s :'''11, ,1,,1\ '/', )' 'f~. lo!! moment o!! f\e&lMe~ So:' ri'lI: lO!! origiuadulI IJur
InJi rIlPrl~'''' "
MI
"p(I -COll'f',); MI,
-" p:
e o
l o~
urh:iund,,:; I")r l".!!
.i7[
rtlCrl~' !J p~
Pur b [""rll tlla ( 18!' )
6c _6v=
~'/(
=
... 1:
-I,( I -c,,~'f' , ),
~(!
Uhtil''' U el
M I! = -p.
tl(·~ llIn 7.n ,lIi ,·" Lu
'ltlC ~f' b U!Jcn,
"fli
,,/ 2
j ¡l/,ifi,II'I, + j MIIMlld'l'z ) -
•
I~:~~
. /Z
{j
•
.. /2
( I _ CUlI'P,)2d,p,
ri
+
j Jip.]
•
,)
=
1',,'
"" ( 7.,..-1 /:,'/ """
321
Ej('ll\plo 9.'i. t):l.do: /1, intell!!i!l ~d de lit cHga dis tribui da U!I;{OfrnOlll cnl e so bre 111 horizon lll l, p, P = 2qp, E e I (ri g. 173. (1).
OctcrrninAr 6, d('~¡)ln1.H rn¡I)Hl"
q
d{'J " Iroyo móvi l.
lIesvluci611. De IlIs {'cullci",ms de
111 1.'~1{!\icH pura el SiS\I)UlU di,do ~c
a}
"bl ¡('uo,
H;.= <Ít/P; Au - "gp; 1111
p
_ '!./fr .
Los mUlIlenlos fl ccl "r~s 011 los
In'mos ,}/J} sistema cnrrcs-
di\'e r~os
')
,
,
x"· ,
P,¡: /
,:
-
x
- -' o
bJ
P,=¡
s'
,
"
A'
I'ig. 174
Fi l(. 17:\
jlfludion les A lns
ruerza~
lid! = P:c= 2qp:c;
,l/¡, = - Pp (1
~
da das seráu.
/f
+ seH !p) -
/ Iuf! ( 1 -cosI¡l)
+
l
+q~ (l -coslP)~= ~ (cos%Ijl+6co~Ijl- " scnlJ'-I I );
Do las ecuac iones de 18 estática pllra 01 sis toma sccu rul ar[ o
(fig. 173, b) obtend romos,
8,,= 1,
5"
resultando para los mOII1Cl1tQ3 rl cclores en los lramos del mi!mo
!.il;llema,
_
t
/II1/=-p( 1 +M!nq»-"2fJ( l -coslr)=
_%(COSII' _ 2!!C1I q¡ -
.
MIII_:r.
3) ;
I'nr 1" rórmu lll ( 189) hftIlHI11f)!! el despla7_a lll ien l o 6, ob tcui end o.
b =-
"
f..~1 [ 2t/f' S.l't ¡/.r+ f(~\ S(co~q>+ (icostJl- "sell '1' •
•
X (eo!! 11' - 2 >'e ll '1' - ;1) rbr
11 ) x
+ I,1If'Q "Si' ¡/,r 1=
•
:1']
1" [ ' +I ( -" 1I + li.,, - 4 +I,n+33., ) + - =
_'1El 3
1,
2
3
:;1
-- )
'(
,
='lt. 27+!..!..n ~!i 7 .21,qfJ.
t.'1
la
ti
Ejl'Ul ll lu 91i. DIIII,,: I'M' I' w' s. lo ugilud del o;> j(! geol11étrico do
111 Imrr:, encoT\'ad" lI(!gún ulln ellT\·1I " r],¡¡ rnrin, E}' I Hig. 171" Q).
IJerermi nllr el ¡¡ngll l... dI' giro O, los d~pln~Brnjeulo., IlOrbon lal
by )' vertica l <5 . de lit ~f'I:r¡on en 111 II"e e~ l lín a lllicada~ las rUer7.I'~
J', y 1'_.
I/~I"dúfl. En "1111 sección h~n:",cl"S!Il clI lIlquil' rn Ile lA harra de
('lUrde,,;.. III ~ del celltro dc grll\l'dnd .re y)' de I\ nglllo JI de inrlillAciú n
d,~ In tllu¡:,entc al eje:t, I ,~~ momentos rl ect or,,~ y 1000I'SrUl'f 7.01' luin lcK
Ii clIl!lI [,,~ \'lIlo rl's siguif'ulü.'l: Imj .. 111 l¡ceión do tllS rut'r7.Il~ dlul as 1'"
y p ~ (ri~. 171" n) •
.11
Ioajo lu
¡,ajo tll
). hajo
P ur
=
I' ~;r,
1',,11 I
N
= - /'" c..~ JI .!
IIceión de
/II F _ 1
(fig. li4. b),
Ilcció n dr.
1''''' _ 1 (r i ~. 1i4, e),
III aa:ioll de I" r - I
(rlg. l il,,(I),
la fó rmul a (IR!)) "hll'lulrf'lllos.
() =
,~~, (" '"
.
J
y ,Is
•
.
+ I)~ JX¡/,.,.) = t.~1
1' _ ~ II
JI;
M_ I ,1V=O,
M=V,N =-coIl P.
M=r.N=se uJl.
(I>.S"
+ I'~S~),
•
2"
323
~ ¡ e n do
S" =
arco! respect o
&,,= ; , ( /,,,
•
¡ y dJl Y
S~ =
¡• ,,¡,
los momen tos estáticos de l
" lus ejes:r o y; •
!I
Sy~ da + "vj xy dS )+ ¿!/o' (fJ" j eos~~ ds _
".
•
- Pu
Ssen ~ cos~ dS ) =
"
"
; / (P"J" + P~Jxv) +
+ h.\'(I'.< cosz~ds-fpv
j
•
.
•
j seIl2~ds) ,
"
dond o 1,, = S y'dl; Y I"g= S xyds so n respec til'Am enlc el mo meuLO
"
d o inurcia "
lin cu J ye l producto d e inercia de l afCO s r"sp llcto a l
ejll % y 11 los ejes xy :
6g =
•
•
·
"
;/(1'" SYIds+"v J¿dS) +
+; F( =
P"
j cos ~ sen ~ds + j son:~ds)
.
I'u
"
i'.~ 1 (P"l"v + Pu1u) + t.\ .(_ l~"
si elldo ¡ ~ =
•
S x'
•
=
•
J
Stl1l 211 ds
"
•
+ Pv
J ds),
.
!!4lI1
Zll
d8el mome nt o de inercia lineal delaTen s TI;'Spec to
al eje 1/.
Veamos la barra de poqueña curva t ura cuyo cjo geometrico tiene
confi guración pArabólica y = -
Puesto que
dy
,
di= - a-
"
7" : P" = O Y p . = p (ng. 175).
_4
resultn,
Sv=..!... íO .zVa2 +:Cdz= ~ I . !. . V(a" + ¿), I- =~(2v2 a
a
"
"
/,,~= _ ~ í z'VaZ+f d.z =
~
3
i:l
1);
2. o
, 1 .. ;:-¡-:--; ~ --;aZ ..v(a~
a' (~r..
=-1-v(a-+iI)
+.z") ' 1° = V2+1)¡
1
20.
5
3
o
15
1•
IM = ~ :l Va' +z'-dx=~14-Va1+:l-
- i [",VO' +
",2
+ a,t l u (;¡: + Va" + :1)11: =
~~
(:11/2 + 1" ,.,i-).
8
'v 2 + t
Introd uciendo Jos
v ~lores
,
ob tenid os en JIIS fórmulas clull doler-
,
el .... p
1_+________________ _
1..
0----1
Vigo 175
rnill~Tl
0, 6"
y 6~
del ejemplo 9G, obtend remos,
U= PS~ = 2y2 - .1. Po." """ O600 Pri ;
El
3
El
'
El
Ó
"
= PI,,~ = _ 112+ 1, Pa' ::::::-0 16'1 pa' ;
15
El
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l'rub lcm llS 77"-787. Do tcfmiullf lus de~plllZllmioutos gencr~li ·
¡n(]icn d,,¡¡ 011 llls fi gufn~.
En l,,¡Ios Jos probl e ma s d orlllo ~o cHlcll lll1l lus clcspln;rrn ir lll us
getronr l izlul"s, ltljlli y CII " ,ltllnll lC, cO II ~¡ rJ iil'\!~c que I"s ri girl('ccs , lo
JilS succiones ele In!! bllrrns SO Il ""'lIucid ns. S i /l O figuran indi cur;i" " l'S
SUlllcnl c n lllrills, cO lI sirlóre!l(l C"IIS I1' 1I10 oJ modulo do eh.slicid .. d deJ
/ll atorin l y las cn rnc l\lrístiCIlII goomc t riclls dll In sllcció" ¡Je l"d"s J u~
CI OIllCll l olI r](:~ l .~ is l e Ill H y de \'u'¡us J u~ lra l1l ()..~ .J,- l;r ~ bal'r,, ~. E n lus
pro blcl1llls 782 y 783, cll1ciiJ('~c In IloGlw. cUII,sideralld o IlInr b¡ lÍu la
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CIII.,,"ce8 cIl(la illleg",1 de la [út"",I,., dc 1\1" ,~\\·, '11 ¡\\uhr ( 18,"J) 1',U'de c"lc nlarsl' Cor"" l'! producto ,101 ~re¡¡ '" dl'1 dia!:"r" lila
del I,~rlll'rr.u cor l'l'~pondiente " 1M ['lI'r~a" dadas (I ig. 171i) I'"r 1,1
cOII I·'¡.'w"l" ~ del rlingralllil dl'l "1¡~rnQ I'._fuerzo I";r" II",,¡,I.) " /n
1"1'1'1.11 lirlidll ¡,'C",'r;o liw,ln IInil1lril1 (e~lc ,li "g r.1IIJn " ..1m ~er 1•.r7." ·
,;.a'III.'IJII' tillcnl) sil ,,,,,111 (111 co"rdl'H;,tln) e" ln'lIle dl'l <.'!.'Ill.r" d" !!rn VlldRd del prinwt di"granw.
P r¡ícliclltllenle_ eSlR regla du Vcresclollguin ~e c"'l'llJ~ pura 1,1
¡¡lÍlcul u de los de8pla1.iHnil'nl"~ lincldc~ y Hngnla rl!!i, en ~jsle ", ,,~
(:ons t¡t"id" l! por \'lg;' s y !lórli<; ,,~, uriginullus !l"r los 'lI om"nt',~ ¡¡,-rtor!.'i!. LIl fOfl1ltJla Iltm dl'lerlt,¡na el ,ll'SII]a'.umiento Ml eseriho:- ,'11
Si la
rjgitle~
c,," ~I;o IlI(',
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(OTl"" ~jg"icnte;
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do nde lu suma '< '1 Ik\'a a cnho par;¡ l odos tos Irnmos del SiSI "lI! il.
L,,~ Irnmo.~ Sl' (lel.oC'o diFC'Tl'uciar no ."olnmenle IH.r 1/1 carga que
~uJm.' ell,,~ ;lclil:•. sil1u I:llnlliéu por los lIign05 do M o M y JlI.>r 1/1
lj("',cioll Irnlls\'cl·lj¡lI, 1:0I1sl"nl" ('11 Cllda truII ' o. I~n ('1 caso de dillgr!lma~ oH }'.TI dI' ig¡¡al sigUI' 1'1 Ilruduclu lIlE >U y l'U ,,1 do di ngrnm¡l ~
do dift'n'uh' ~igH". 'IlE < U.
P or lo IlInlo. la Ilosidón dll I,,~ IIiagrarn8!l M y liT reSIJeCl1) 11 lal!
l i"e¡'~ .t ... ,'"I,,1'elI nulos C'tI Io.~ Iran").'; pu('clo se r cualquiera. pero
ntC')Jié"tI,,~(' ól Ilue lal! pólrle~ il illl ad lll! al rni~IIIO IlId\l tengan el ,uismo
~ i g "u .
Si I.,s
I'n cll1ll ,11'
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.1¡"gr!HnIlS M y JIf lIUII reclilíneos. cu l onces eS iguul
dv" ~u ,,1.01 ielle..t (,n'n .Il y el) clII,1 de ,,11M j¡, coo rdillHlIlII E.
;;1" ',, ". ,
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(fil;. I,i) ~. l u.~ ccnl r '-"!l ,le ~r;¡\l', lall. Haj" ('¡Hla ceniT" d,) grll\·cdnd
,It· (·11,111 p.'rlc :<t.' dl'lx> hull"r In curr"sp"udicl1le "rlI" IIó" t;l ~,. ~:'
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Elllunce,; .
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En 1\(111,·II()~ c:'~us cUólml" ('1 di:'gr;,u'" 11.· iif ('S lí, rCI.r,·~enlndu
11"t 1111;1 nli~"H' rl'C la 1'11 \·Ilt¡'~~ lrnlllfl." dI' In l/lItr:, (fig. 178). r('sullo
1H.lI!i1.olo· 1I,,,llil.lirlt r 1'1 ¡ir.·ó, .., ,le I"d., el di~grmlla do iIf .,ur I ~ corrt'!lIH..mli'·lIle coordcnada , ,1,·1 Ilillgramll de M.
Si" 1" Int!:," ,Iel 1m", .. ,Ic In hllrra Inriól In SL'i:ciulI I r:Hl~\I·r.'!fll.
\·III"ncl'.~ ~I' ";llcl1 l:, 11" ,,1 :;n·n n,: ,1 ,,, ,Icl g r;Hieo d el IIltInll)" lo rl eclo r
M. ~ il'" el ¡¡rt'n r('.lucid",
1,
ilf c = M-.
I
~il'lId"
ID1,1 IIl''''H'lIt .. dt' ¡III'rd" ,It:' la lffittióu CIIII5111nll' ,,1 11"1' con\\' lId"lIlll",elltl' ~(' rl'lInco ,,1 In""" y I l,1 111"111\'111" ,le ill,~ rrilt do la
.~{,{"l'i'·' 1I
\nrillhll'.
;\31
Ejemp lo 97 . Dado: P , 11, F e 1 (fig. 17!J, II).
Det¡orm ina r 6", desplata mionlo hori1On ta l Il e la 5CCciólI 11.
Iltl1Oluáón. En la figura 179, e y d esliin NlllNlsentad05 1f>S (Ii ~g.
rllll1J15 tic los 1ll0nHlll tU! rl oclores: el diJl¡:rnlllA rayado C"rN-'sIJOn do
a)
b)
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Fig . t79
n las rll erzas dadas y el otro, a la cn rga ficlicia PI' _ I apli cada a la
sección A (lig. 179. b) Y di rigida horil.onl Jl lmen le hac ia la derecha .
P uesto que.
pp
p'
Po.!
w, = 2 ; í;, = - ; ~='8:
2
1'111
w,= '8;
~*_ o.;
p'
w'=T:
p'
0)=2' :
teniendo en cuenta 1/1 convcnción so bre los sIg nos, oblendNllll OS por
J. fórmula (19t ) el dcspluomicnto que se bUSCII,
6" _
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1
-(W I ~I
El
+ (o)ze. - (j),e, -
W4~1
+ w,~J =
7 Pa'
- ' --.
12 El
f': jcmplo 98 . I)allu: P , 0, 1" e J (Hg, ISO, ~),
Ikh'tlllinar ll" y le.
n..~¡,u:h¡II, En 111 figura l&l, b cl'lt:i r"IJrt'~cn t " d o t~ 1 di ngrllma. Al
c"r1"t!~II"mlje n ll' 11 ItI cMg:' ,I:.dll 1',
1';" \" figllf" 1811, r, \, 1 d j"wnm:I
cu rn!~I"lH di c "ln al U1umelllu
Firlicj" M " = 1 ,,»I j\'lll l(,:. 1" ISCcc ión A y diri !{hl o ,'!Cgllll la!! 11111,10'
xr
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Fill", 181
ISO
rjl l",. ,1,,1 r .. lu; y ,'n lro fignnl IHO, .1, el diagra m n f¡ c"rrf's\,,,wli"1l 10
lO IH f,,('tI;n fi.-lid :, J'f = I :' plkadil l' In ,..'(:\';.'''' (' Y oIiri¡::-illa vcrl j•
•'n lll ... nlf' Io:,cil' :, I"' j .. ,
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z:,rnieu tos '''' Cllcs tiÓu.
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Ej l'lIIpln 99. Dado: t, 1::, 101 ~. 1111:\ viga dI! igun l r(>sis len cin ,le
altura cous taul e h (fig. 181, o).
Dele r lllinar 0" y lA '
tr~~{JludólI. De I n.~ prr>pi(>d:"I('.Q de In "ign de igua l r('s isle nc!a
se d{'tI.u:e.
IV _~_ M x
.,
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x-
lo]
Eu 1" secciun pc li gro.'W,
IV
= 2/ = lll ona • .
lo]
h
Si e"u\'e" ciouH I",cJlle redll ci ,u <>s la vig" a " ,", sección eOIl!!lllln le,
ell lollcl'S l o = / Y liara el 1110111 1'11 10 f1ec lnr re,l nc id" "hll'ndrcnl(l~ ,
l.
A', = Al xI = AI,"ox = consto
o
1': 1 di "gra ulII del mnme ul o T('<Iuc id" (rig. 18 1, b)
{'.< t :' rC I" '(,s~lIl ad"
IlOr un rect :lIlgulo de nltu rn.
21[0]
JlI mu = - - '
"
E u 1:1 figura 18 1, e y ¡/ ~e tl an IOH tlin grH IIHl s ,le 1\/ c" rrI'S IH)lI o1iclI tesa!" " = 1 Y/'l' = 1 :1 111icaol 08l'llla l>l'cc iólI A y , ¡irigid o.~ M p == 1 ell I~,,"lrn de lus
hnci :, "huj...
II1 nlleciJl".~
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Como w=A'",.,I=-ru ienlos que
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I'ro blellllls 822-826. Delermi nar ras
giro O de In sección C.
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)'ro blc nl1l!l 83 1-833. Delf'l',"¡unl' ]"s df'spIH1.atlOi'·!ll<os Ó ,h,] ¡' I,uyil
nrUeulwl ..
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I'. ind l';" del I r"b~j ... m ini",,,
El (·" k"l" ole I"s ~islc"n ' ~ ('I:i~l i ,'''~ Ioil'\'tl'sl;itin,~ SI' !ult-dl! n·" lí-
!o:I.~;i rl<l,,~() e" l'l principi" 11,·1 (.nllnjo 1\1; ,,;11\(>. S"¡.:ÍJn "~I{' I'rillcipi " I,,~ "alores du I;I~ ¡" c"gllita .•.'Ilpnfluo .• c'III~l. illtid" s 1'''' r"l' r 7.ll~
!!("If('r~li1. "dlll< ,."" l:d t'~ 'I'1t' l'{'nlil;l1l \) J I."bnjo mi"ill'" I'''."ihle.
1.'"
La re~oluciótl de los problemas se realila según III esquIlUlIl
siguiente.
1-;1 ~istema hipercs tá~i co se lib ra de las ligaduras s up llrfluas
hAsLa co nverlirse ell iS08Lático y cillemá t icumcnte in\'ariable, obt üniQllll u el así llamado $islema base.
Pnra I¡HU (JI siste¡u;\ bl, ~e se" el¡uivul ente al dado, el primero se
slllicita ¡lO r todas las fuerzas PI Iltle actímn so bre el sistlllll ll dado,
más todas las fuerzas gClle r~lizad ~s XI superrlulls dosconocidas que
co nstituyen las incógn itas.
Se deter mina des pués la energía ]lOtencia l de la de for m/lCiólI clástic.a del s istema bl\se e n funCIón ue ~eg um[ o orden de P I y XI'
Puesto IjUIl lus desplazamien tos ¡.:encralizados corresJlOlltlieulcs
a las fu erzas j"rcrlCrali:wdas sU]lerfluas descunoc idas so n iguales a cero,
se plantean las ecuaci ones siguien tes,
au
OX ,
=0
(i= 1,2,2, . . ,)
(f 02)
De Ilstas Ilc uaci ones se determinan todas las fu erzas ¡;:eneralizada~
superfluas desconocidas X ¡.
Las Ilcua cionos (192) constituyen las co ndiciones del lJli"imo dll
la energía poleucial de la dcforma ciu n e1 úst ica del sistema e n fu nció u de las fuerzas ¡;:cneralizadlls s uperfl uas desconocid,,~.
En el caso de sistemas constitui dos ¡lOr bar ras 1m; IlClló1cioues
de l jlriuci]Jiu del trabajo minirno pucden ser expresadas por la
fórmula de Max wlll[ - l\l ohr.
Si el sistema cunst" de elementos rllcti líneos sometidos a tracc ión ,
compresió" , flexión recta y torsión , entonces cada ecuación ( HI2)
!lO pod ró IlllC rihir ell [n fo rmn siguien te,
~ J Ni!
dX+ ~ J MMdx+'"J
QQ Jx+
f.."F
El
GP
+" JMIN'tax=O
( 103)
Cl l o r
siendo N, Al , Q y AI¡ I08llsfuerzOil corfi!s pondientes en una .!:'!lcción.
cualquiera de cada tramo del sistema base equivalente, origiuauos
por todas las fuenas dadas P, y las fuerzas generalizadas superfluas
de~n ooidas
Ñ,
XI;
ir, ¡¡ y
M, los mismos esfullrzos en el sisl ema base pe ro
ori ginados exclusivamente por una de las fu erzas gene ralizadas
superfluas desco noci das X, = 1.
Asj, pues, para resolver un problema lliperestaUco do grado de
hiperClltaticidad n se dehen an alizar 11
1 eslados: el estado básico
equ iva lente correspondiente a la accióu do lss fuorzas P , y X I Y n
auxiliares cada uno de los cuales corresponde a la acción do unn de
1M fuerllls X , = 1,
+
t'",
En el
ca~o
r"tfZH!!
,·"I";'n
de
s¡s IClllfl~
planos cons titu idos por barras articuladas
uplicadas en los nudos, Ins ecuaciones (HI3) se siml)lifi-
cOlIsidcrabtclllcntc,
1:
í
NN
([94)
EF d::r=O.
Eu {'I casu de sisl('IIH1S planos cons tituid os po r v igas y [¡órlieos
ell l.. ~ !lile t'] v¡¡lur do los csfucrws Ilxin]cs N y de 1~l s fuerzas cortnnh'," (1 l'!' pcquc,iu, ~c PlH'ldc cnll,lcnT ]" ccuilción sirnplifi ca tl",
lO
í la
MM dx=O.
(195)
En I,IS sistelllas cuyos clcllll'ntlJ.'j cshin snlllctidos n torsión oxclu~i\':'IIl~nlc,
( IUG)
En In." ¡'n'TU!!
¡'¡pcrl·st;it, ¡CIl~
I'llllln~
de cU f vnlura ¡¡(''lutria,
Al pfccisnr el dlcu lo, [;¡s ccuaciorws se dcllcJI
en cUl'lIla I:ulllliéll los es[ucr'los axinlcs,
pl :Hl h~,lr
teniendu
l.a lJIimirwci"n dI! h~ [igadurn~ su pc r(lll1lS l'Il el sislll lllH cstúticaulClltc in¡]ctl'l"Iui"iH]U tlehc re3Ii:wr~c de lIWllcra tal que el ~ i s ~e m"
ha~e re~u]tl} lo m¡'~ ,~ilUl'le y CÓlIlodo 1Josiblo pnrll el (;i¡ lcu]o,
Lu~ ~is\ ,'mas geo lluJlrifamen to si mótL'; cOS solicitadO!! por ca rgas
,~ill"!\"icas (fig. 182, a) o IlntisilfLti\ricn.q (fig. 183, a) cOllvillll e librilr
di' litS tig adll ra~ ~lIpe .. fluas, co rttÍlldol o pur el phmu de ¡;i ulIllrín.
E~t() c,",dIlCC n la disminuciólI dcl 1I11111Cro de rurn.n.~ !!Clll'ra li zadns
slll't'r fl'l:'s df'SGollocid as y so]\! I'<'rmito illli,1izilr un" de las pllrle~
~,·"ci"nadas 111,1 sis tema (fig. 182, b Y fig.1 83, b).
1':11 In se..,..,ióu <]1l0 coillcidc COII el pliHlo de s imctría, ell el cus"
de Cijr).(:t simétriclI, dCS:lparoccu lOij c~fllcrzos "Illisinn'il ri co~ (J y M, y,
CI! el ei'S" dI) carga illllisinll.ít r ic:t. Jo~ c:.<fnc rz us simé t ricos N y M
(r ig. (810).
En los (·Iolllenlos rectilíneos del sis telll n, las illlegra lcs quo
figuran ,'11 lo ecnaciólI (193) plwdell cl.lcllto rse IIlIl!LipliCiIIlltn tos
.lillgrll""Ls.
Si la hiperesl llli c idll1l del .~i¡;tel1ln ha ~ído vencidn. m, lollcell el
dcspl<l7.lltllicnto gc nCrl.lizllolo d" CU~lll uicr sección se plled ll lletcrmi-
llar, 11Il1I!izando el sistema dad o o cua!lluicr SiStCIlli1 baso elluindenl<l
posible. Convione escoger el si~tem" base de tal manera (IIU) la deter-
o,
x,
b)
;)
Fig. 182
FiJ.:. t83
IIl irmciúlI de Jus I'~rllcn vs {lri g ill;II I".~ P"I" la flll'l"UI b'Cnerali zada fieti ci" IIlIitari;l r~5l1he Iv 1l1i¡~ f;',eil Ilosible.
M
M
,
,
1 11' . PI = 30",
Ejem plo l OO. Dado l l' ... 8 tf, (1
El = EII =- E II [ "'" E = 2· 10' kgf/¡; m' (fig. 185, (1).
Dete rminar 0[, 11 . /11 Y 6,\"
~2 _
60°,
P'
PI
f-'I'-I ,
,
,
,)
,
l---l
-
"
b:
1 ,)
x"
x·
ti X,= I
d)
,
"
l =¡;uy
A
Pf ~~
,
Ix '
Xl:1
- 'he:::
P
Fig . i85
Fig. 186
R esolut:i6n. Puesto que los elementos del sistema dado tione n
igual rigidez do la sección y es tán sometidas solamonte a esIuer to~
IIxiales, que son conslan tcll R lo largo do las barrns, para vcncer la
hi pt'reslnticidad rec urrim o.!! a la fó rmula sim plincadn (t94)
!NN1 =O.
(a)
22° 339
E¡!O)b'{)m09 en calidad de
~isL(l)!la
ba.'!e equivalente eL representado
I~ eSbitica ~e Oblil.'ue para
lA en figu rll 185, b. Do las ecuucioues de
el sistoma,
I' - X.
P_ X
X
. N,, = - - - = X. NII/=X.
1 :\
2COM~~
N' ~--_~_I
_
2co~~\
De la~ ecuaci on~~ d~ la c-,:,Ialic" :>c IwlJn I'ar¡¡ el sistCllIl\ noxil inT
(fig. 185, e)
I
I
N.= ____
_ _I · NIl=--~1 Nl l l = 1.
:! Co.~ I',"01'
2 coS p~
~
Tcnie"do en cue nta que
1.= - '-
sell ~,
a
2
=2 m,lll = -- = -;:. III,
.• e "~z 11 3
trall~rorrllll"' 05 111 eruJcjoll (J) ¡Jara I¡! ,lctcrn';"aciúlI dl'l esfuerzo
superfluo dl.'scOl .. widu. COIH" ~jglle,
-va
- '/
21'" /
I
') /)-X
2'
I,lt,.+
ill"II11+ 'l'lJj I-y WJl'=--
.,
.,
')
V:\
V:'¡
3
I 2
'y;(
+
+ 2X .,:;:; + X ,-;"='::' [ _2P + (2 + 3113) XJ_o,
de dOlld() Sil U],t;CIIC
y
Las
serán,
ttm<~j,:mes ,">rIllHII.'II OJl l"s Stlcciones IrAIISVorS/lles dI)]
X
(11/=(1/11=F;:::::
O.278.8. 1(f
N¡
2
= 1112 kgUcm=; (11=F~
2
,<O
sistema
Pnr~
mOl! 1'1
dclermiunr el deSII)II:t.8111icn lO \'crt ic" 16,, de! n udo JI c mp lCII'
isostálico de la {¡¡¡\lrn 185. d.
.~iste rn"
Pflc!'lo qflccn esl('!'¡.~I(lrlu\NI=
lllri~
c,.rre!<l' 0llllc N I
quu
~' lllac"rg<,ficlic¡1l
3fJ
ull j ·
3 V3
1',/ = I ;Iplicada 01 11 \Ido A I'll din'rción "í'rli ca) lIa ci[l ahH j o
J
""' ~
_""s" ,
~(' 11l1~c"
2
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2
I
J
"" -= ,
Z ~.
ohll'll,l ro'm ú~
2a
, - _ .\ N,'/ - - '
A- E,.. "'
- EPZ+ 3-V3 y:i -
I'"ra 1'1
d ~r l llzn lllielll o
2·0,101 7·8·10'·2·10'
2.10'.2.1.732
~
::::; O,U) cm.
Ejl'UlI,lo 101. Dadu: 'l. /, I~' " 1 (r ig. Hm, al .
IJ el.'rllli,,:' r J".
lk.w,lnci6/1, P U~ S I" 'pie la s l'igillcc":¡ ,1,-. 1m; M'cciullcs 1I':lIlS\'l'rSIlIps ¡j •. Jos Iral\lIJs v,-rlienl y hurü ollt al .lel H'''lipo rl ico $(111 igUU¡!,8,
pllra ",'nrer 1:. hiJler('~tnli ciIIMI df'1 ~is l ('mll rrcllrrirnos a la Cfl", ciún
( 195)
~) M¡H tll:=U.
( b)
L o~ 11101111'1,101; rll'cj"I'('s M I ~' M" ,'11 1,,~ I ram,,~ .Irl si.~l eJl1n lw:¡e
t'!J ui w, lcIIl(' (r il!. 186. /1). Xl, y ¡fl,l en ln~ Ir ~Ifl"~ ell'l s i~ll'onn nU.~i li [l r
(ri¡.::. ¡sr•. e y ti) ~"" 1·(,l' llI'l"t;'·I1 I11('II Ic .
•
q.'r2
.\1, = .\ ,x - - ,
2
Pl""lrnnlOs
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S(.Y
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q;2).rtl.r +:J./ J(X ,2/ + X~l" -
'li,f _ '1.1'2) ¡/x= 0,
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.\"2''1' _ ·!.qf _
2
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"
2OX,+::lX 2 -20ql= O, )
12X , +- I,X 2 - 1.'}..,1 = ( l .
.
J!"i
'\ '= M"I;
.\'2=
"
i1 '1 1.
'"
Para tl ete rm inar la fl echa 1... tle la SlX:ció n A calcu lamos ¡\f en
el slslema base eq uiva len te y Al en 01 sistcma a u:ci li ar (fig. 186. l')
en la .!Il'Ccion quo !lO encuentra a la tleroclm do la !!CCcion ti 11 111111
di sta ncia r.
/t1 = X,2l + Xz (
f +r )_2qf -q(f +r r::a
- - !4<"Oz' .ff _
l ü/.1:
- ti,
-.J:.
Po r la furmulo (188) hallamos la fl echll en CUl'sliuII ,
1...
=--- '" (44r- _
"S
'
•
"4E I
,
IGlr_/)
5(j/1
rd.c _ _ _
__
21 12t.·/
D,\do: 1', p. E 0 /"
21, do "un lw rrn d" cur_
187, a).
~.~;::~~:::':: lo! de.'! plualllient05 horitonhd 6" y vertical 6, de
la a i
n A y con.'! tr ui r los diagram as de los mo ment os flectOfCS.
RelOluciof1. Pues to que las barras son de c Ufl'atu ra llequefill
y lO!'! ''' Úllul os do elu Ucidatl longi tud ina l tl l'S S IlS materia ll'S 3-011
iguales, "ara "('uce r la hi lK'resta ti citlad del ei"tcma rccurr¡'1I0~ 11 la
f6rlllul n ~i ml)lHicadn (Hl7),
ti·
E+ JM ~ . _ O.
~)
¡ II tcrpretamus c" mo ill cog ni ta superflua X In reacción hor izoll tlll
01 apoyo articulnd". Mcdia lltc las t'ClIllelones de la esláticlI ya l)ro"echando la e:ci.'!tcll cia de la ar ti cul ac ión fl otllnlo ti, e:C ¡Ire<amt""
I/I ~ reacciont'S en lO!! ~l'oyos del sis tema bllSC cqui\'lI ll:> lIlo (fig. 187, b)
~ Ira "és de la ruenll dllda P y de la incógnita l!uperflll A X . En l'l
~ i ~tOllln au.t ilinr (ri g. 187, t) .'!olicil ll do llOr la fuerz a X .". 1. a ]lureec
solllmente tili a rea cción hori 7.0nt al 1:>11 el ell1llolramir.n lo.
Los mOlllenl OS fl l:>ct ofl:> s en 1Cl! Irnm os 1 y 11 del ~i~tl:> "' H I, !t~i'
I!~l ui"olenlo y del s i .~ te n111 lIux iliar SO " rI)811ecU"HllIen l.('.
M, _ 4Pp - P2p (I - COSI!') ~ X 2p se u I!' ''' 2Pp( 1 - l",,~t¡ J ~
e l!
-
2Xpsen I!'. M" _ Xp seu ql, MI -= -2psc u ql y lf"
I,..e ll t¡.
Y. que ¡0tI ele lllo nlos de lO!'! eie~ I,>comé tricos dc IlIs b/lrrllS 1I01I.
d.J, _ 2p dql, ds¡¡ "" P dI!' , 1 11 _ 21 lo
obtondrem os para la ecuac ión (e).
8
j
•
'"
(X seu ql_Jl( 1
+cosql)l senl!'d 'P +~ x j scu'l!'dlll_O,
•
y UDa
ve~ clllc\ll adll~ la~ integr~l es,
17
r.nX
.
_IG/~= O,
De IIqul hnllu mos,
x =~ p;:::; 1,198P,
17.
Para de l erm inar l o~ d('~l) lu zn rnion los horizo nt al 6~ y vertica l 6 r
de la articu luc iólI A recurrim os o los sistema s auxili ares rep re!O nIndos en las figuras 187. d y IB7,!!.
,
p
/
x-/
,
.,
)I
H
,. '~I
A
~ W"'p
II
~
p, . ¡
I
'1
-O,JS6Pp
1,~161'
.• - /,/IPp
-
~f'p
1
iJ
~
P,-'
1,ISSPp
~ Mmp
r
--
~
aY. .t' J a
1'1,. \87
Teniendo presc nt e que en el lrn mo 1/ de elites eisterna s no surge ll
nllIoli7.Dmos solnmente 01 trnmo / . Lo~ JII Orllen\.os rt f'l'l"r('~
e~ rllcrzos,
t'l1 4'~tl' Il":lIno so n : mOllLl'lItus
urigi na do:. ¡lOr l BS ("cnas d Adlll'.
M, -= 21'(>(1 + CflScr) _ 2Xpscn 'P = 21',/
111 0 1111 '111".< dl·l¡ i d,,~ "
)'
"'uu \{'nt".~
1m
I' t" =
I Hl'lica da hori zOII I "ltlIlOIlII' .
2¡, ~('II
Ip
In fu{'n.n
ir,
(1+co~t¡I- G: sen ¡p),
" rig¡ " " ,I",. 110r la f,,<'nu H'rlien l
MI
= -Ifl -
2¡. ( 1 - co~ 'f) = :¿p (1
+
1'" ,....
tOS
1:
'JI).
Po r Jo Itlu to, 1..:< dcsl,JIlUll ni!'n los ('11 elles!i,,!! ¡;crán.
+rus1J1 - -li4- sc ll !p ) sen'l d,.
",
"
'" "J - 8/" 'J(
' ._,.: 1,
L ".~
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f1f,M,J",_-f.' I ,
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x (1 + r(l~'{')d'I'=8 ( .:!l'1_ 128
2
17n
l
)"(>'
"'=' l H.r," t ,
/:"',
t;/,
IHngrnn,a._ tic Ins lIloll, clIl"s fh,," t vrc" MI y Mil
,,~ I;¡II
01:111",.
e ll la figura 187, c.
Parll "I'Ue('f 111 hipcrc~ t a li ei,lll d ti" I ,~ 1!i.,lc mlU cl iíslico~ I,"r d
métod o d e I,, ~ rllCUil ~ se 1'1:1111<':111 y rt'5Ucl\'1'1I 1M eeuIlc i VII('S C~II""
lIi clI.~.
+
+
+ ... + Ó,.X. + ti". =
ÓI\ X , 1l" X I 1l" X,
6t1 X, + 6:!ZX 1 + 6QX~ +
6"X, + 6:aXl + 6:QX~ +
......
6.,X,
+6
........,
d
Xt
0,
, .. + Óz.X" + li tl , = U,
... + 6~.X ~ + 6,p =U.
1J
(t9!J)
+ 6.,X, + , .. + 6~"X" +6~,,=O,
CadA una dll esta! « ullc io nCll expresa 111 cOl1 di ció l1 (192). ('5 d('(ir,
111 iguAl dad a cero del dcs p lll ~am ien t" generali1,ll t! o en el !!i Sl llm~
estáti camente inde ter mi nado, co rrespondiente 11 cada un~ (le IlIs
fuerzas go uerolitadllll s u perflu As desconocidn s X l' X ~. X. ' ... X.'
Loa tórminos ind e pen dien tes de [aM ecuncioues 6,p y t utl oa Iv;¡
eoeli cicnles 6 u Y
son d es p laZlllniento.~ gU ll era]izados en el ~istl'nln
6,_
'41
UAse. en dire¡;ción a la fllena gt'lIeraJiudll su perflua dt'!ICOIlOCidA
I (primu slIbindi ce) Xl; 6¡,. S<' debe 11 lA ficción tl e tooas las fllf'nA!I
¡::t'lIcrnlizadAs dado!' 1', 6/1 Y 6¡l II cudA 'ueru ge ucrll li utla su per·
lo X _
I in dica da ]Klr el Sl'gulldo
fluil dl'l!C"IOOcillil tlllilllrin X,
~ lIhilldicc.
Todo~ c>slo.s dl).~Jll :o zlll'lie"l.os ge neTll li~ad o~ se pueden u btener
I",r clln lq ui un 111' 1 11~ IIIÓ!l)¡]OS conocidos" II0r IIlII Illb lMI. si ('~Io es
p"si ble.
L m< despl¡,zill1li('III,,~ {j¡!' puedell S<'r IIIflyores o IIU!1I0r('8 que
ceru (' inclns" igual c~ " cero. E ll os dl'llentl('n de las fllenlll
dad ~~. de 1" cOllliguracióll del sistelllA y del I'islema hnse el!C()o
gi,lo.
Lu! d l'S I , lfl 7.amiento.~ b l ¡ )' ll¡_ 110 depellden de lHS fuenas dadu,
~ino 11111' !!C dell'rlllillMI p]enr"ncnle Ilor Ifl cftllfigllracioll de l siste ma
y pOf la ~ in cúll'n ila~ lI" pr r flIlA ~ (·legi das. Lo~ rudie ie lllc!< principales
{jll ~"" ",aglljllllll'.~ ]J " ... iliv,, ~ y d ifl'rt' IIh'~ ,1 " crrn; Ins cl'll'riclrn ll'.'!
nll~i l inrl'J<. 6¡~
I'i~f. 1111,,111'11
~t ,,"I.\,IlTI'.~,
1111'1101"8 " i¡c"alell
11 ('rll.
Al escugl'r el si~tl'n1u Ifa.'ie ~ dclm II'"de r 11 (lile el IntlyOf Ulllllf'ro
I,,,~¡hlt' 111' COl' nci l'uh'~ AuxiH"r('5 !!Ca igunl H cero. CUII"do SI' Irllla
tle ~¡sle ","s si",élric().~ t('$1I1ta cOII\'l'lI i,'" tll I'limiltor 13l" ligad"rll~
~ullt' rrJ ua~ cu"", ('SI .. ~. 11I,lic;I 1'11 la p;igino :.137.
S" "1", li..;" ,, ~ I 1'~ 1 ;,d" ,1.,1 s is te ma dll grnd .. ,Ic hi pNClllnlirid nd
11: 1'1 h:ls icu "() rrr~]I"n , lil'lIll''' la ¡,cción ti" tollns 1M fuen As gr lli'rnli·
10 d ll._ dalln.~ y " H".~ i linrl's e"rr"Bjlolldi"lIt,..,;, r" dlO r"I'Tln gf'''HlIli~II ,I II
~lIpl'rrlUH
tl c~C"IIOCidlt
(l n il~ri¡,.
Si ,,] ."i.~It:H!W hipl'fl'."'I¡itir" ¡se some te 1I01"llIeute A "'''' vurineiólI
d" lB h'lJIpcrnlll rll, I'lItum:, '~ lus 16r",i"os illde]le"dif'nte~ d" Ins
I't""riolle~ c~ lI úllicl'8 St'r:lll 6". des"ln";lIl1Iil'lIli's 1,«' lIerIl1i1.;, d,,~ corl'l'SIlu ndi l'III('S a la (IIeutl k>e n(,r;,H uHI~ II UP'<'rflll~ ""illIri3 i "11 el si~ l l' ''w
b3!<C y "rigiUlIII,,~ ¡lOr In \'ar iaciólI de la tl''''IJefatura. Si :<I.brl' el
sislllll1a :lt lÍJ all ~i , ,,,,lliiue;'ml' .. tl' " ..a cargo y IIII:l \':l rülciuII dt, 1;1
le nlll"rnl "rll, f'1I1""ce!! 1,,11 Icrlllir",~ ill,le¡lelllliI'IIII'l' ,1 1' las N"lInfih"r~
call¡'lIic:l~ ~"r;ill I.~ SUIIIU lr/ P
b/"
Durnnle d "","tnjf'. I'H"/I If'ner 1'11 rue nln I,,~ I'r rUTI'S "" ,,"'li d u8
,." In rnhrir,lIeiún .tI' l,,~ ,'lcllIr ll l"S rie l si~ to:rna. :<11 illtrod" c~ 1I f' II I (¡~
lérm¡IH>.~
'1""
i"III' I"'IIIl il' III I'1III ..
I¡, ~
('{'I", .. i"" l'lI cntlúllirn.' l[O s
I n¡,gJl¡I ,,,k~
" .~ I}resnll l".~ , 1¡'~l'lntl'lIIil'1I1',~ gl'",' r/l l i7.lld ,,~ r"rrcsp"rul il'lIle.'l
;1 la fllen./l gf'lIl'r¡o li7ndu ~ lIp,'rrlll ~ i ('11 l'l lIi~h'"UI Io"s,·, "rigi n Rd()~
por ],~~ err,ll'('S ¡\ de f"lorirllri(}lI.
escoge cI ~j1!II" p... ~ili,·" n Ilf'g:lli>'" ,lo ....s IOS d"~ lllalAlIIíl'n los
bIt y lr¡,,\ scgúu coi"c i,11l1I /. "" I,, ~ ,lirl'cci,,"t'S 0111 I,,~ .1""pl¡n,;,,,,i,'ulolS
b¡.\
s.o
(',,,. 1" ,Iirecciúu ,,,lmi l id:\ »;Ir" XI'
E" 1'1 C:lSO de ~i)!ll' m " 11" un ¡:r:o,I,\ ,le hipl' r()s t¡¡¡i ci d,,,1 IH (""IIuciu,,
r" " úlli"H "1l1 n,cto/I" ,h: b,. r,,('rM~ sp n'.
b,~ =
ti
31[,
result~ndo
Illlfa
la fuert& ge1\Crnlilada
superflua
desconocida,
(200)
Si
[orlJ/ados por vig,1s J' pórticos de ''''
se C,1Jc.U};W sis/el/ms
grallo do hiperesta ti eidad o s i~lemas do elementos curviHncus de
poca cu rvatura, en los cuales la iufluellcia <.le los esfuerzos 'L~ia lcs
y de J;¡ fuerza co rtante e~ pel[ueña,
p
ento nces
, ' SAlM
11'=-
,
q
"' SAlAI
Ei
p
b)
,r
~
"q
X¡ = _
x "
el
\- X -
XI~1
Fig. 188
" S i;'l
-
El d $
ds
-,
In
(20 1)
d
siendo ds HII e1olUento do 1" lungilud del eju b'Cornti tri co del tmlllu.
Ejollll,lu \O:\, Ondo: {). I¡ y (1
(fig. 188. a).
Calcular el "i.~tCllla hip crt'~ I ¡jlic"
considcr:Uldo solalllente la deformadun uriginndll I",r los mOlllcnto..~
f1cctores.
Ucsuluc/ólI. Escogemos ell c'll idad dfl incugnita ~Hperf llla X"
rcacciónenelapoyomu\' il.P,lIlstoqull
~olalllonte
\' S M"
1\'1 d $, 6u = ""
f
¡\IlIf
El
ds~Oy
f
N~
1;"1 d.f=¡l:O
en el tramo do longi l ull 2/1, y 1'11 ps l.e traillO d,,1 sisteuw
bn:re (I ig. 188, b) y del sistemn au~il¡"r (fig. 188, e) M = - 1' (a +
q;' y 1Il .. :c, por l¡\
+ x) _
fórlllul" (20 1) oblendremo~ .
•
f MM
C:","-f
d.x
X¡ =
;uzd.t;
•
=
'"
7.I (7/J + 3qa).
t: jemplo 1M. Dado: q, (1, E e I (rig. 189, a).
Couslruir el dialrr~mo ,le los mome nlos nectores.
llesoll.lCit)lI. Parn "!lllccr In hipc rcslaUcid'HI seccionon'''S el
pórti co por 111 mitad 111,1 dinlt'1 (ng. 189, b).
El sistmna liase C.ita rCl'rescntlldo ell 1ft figurll 189, e y los ~ isll!­
mM~ lHuili"r<'5 con lO!! dia grllmn! ,le los momcntM Flectoros corres·
pond ien tes 11 X , - 1, X ~ = 1 Y X~ .. 1, en la figura 189, d, t, Y f.
,
"
J'
P'u'slo (Iue lo~ '¡illj.(I·D'UIl .~ dll JU IIrigiuad".' I.'.':!r X, = , }' X .• _ 1
son simÓl ric o." m;('ulrll!< 'lile ('1 ,Iillgrllm;, di' JII d.'bid" ~ X l ": ' t'S
nnti sim lÍlricu. I..s c"cliei('ulcs ¡u,xilillr+'!I b l~
6"
O, liu =
= 6>~ ;:a O y elll""rrs las ('cuacio"c~ cll ll'"dcm. ,l.,' ""j i"",,, ,1,- 11l~
I " "r w~ .-edll.
<'i"X, +6"X ,+6,p= 0, }
6::.\'~
6,,. =0,
¡¡"X, <'l lS"'! {j.,. = O.
+
+
+
6~,
Dete rmin ll mos los codicientes 6 11 , 6 n , 6" 'Y 6" _
l o~ grMic~
multiplicando
corl"f'spomtielll,~.
EI6u=2 (
18a';
ai'*D +a.;Ja'/J ) _ ~
1': / 6 33 = 2( I ·a. 1
+ ' ·311· 1) _
2· '.3a·f
J::Uj' 3 = E16" _
D~ h'r,"ill" ' UOI'
%3a =
2· :1'/1
EIf¡II ' -
I,,~ 1,;r,,,iu(O.~
al;
8a;
.30 _
¡1I ,1 ('Jl('udi ('nl (:~
(J01.
I'ur las
illl"l:rales
d l' ¡\l"hr,
.
f.J ll,p =
~
-
J' 180
q~
•
.
.1"11x
2, I
= - lü"a
:
~
. .s,,= - S
f./u
1/.1
!)
,
- - I1$=--lIa.
Un:.
•
H:!a
8
i ul ffl¡!ucidos lus 1'11 ' Orf'~ obteniddS CII las ecuudones
'Y cl l'!! pu(ós de riertns trRnsform acio nes hnl1orcm 09.
\, ,';1;
c' lI(miCll~
2QaX,
+ IOX, =
3!¡a·.
}
IGOX¡=2"jll.
i2aX, + /)I¡X s = <Jqa·.
" ,'
1!lqa"
2(h¡
10
GIo
10
I
X, _ ~ _
1!)2 - !JO
qa~O,182Iqa;
1 28U - 720
72/1 64
27
X.= lliO qa ~ O,IG88qa;
20a
3qoz l
720 9qll _ 180 - 216 qa' ~ _ O,0643qa'.
5GOa
560
Por el método de superpOS1Clon obtendremos los di agra mas de
105 mome nt os rlrel"rtlS '" I! Il lodos lor l tamos tlel llortico (fig. 189, ,):
en 111 sección A, M 1'= O, IGH8qa.a - 0,0&I3'1u t . , = O. I {).1~'9at,
en 1:, g~e ¡óll D, M _ _ O,W88qa. a_O,0613qa2 .1 =
('11
- - O,233 l fJ(I',
0, 1M211{a' Jo _ 0, 168&/11' ti - O,OGl,3qa . ....
'" O,;;Il.32qa',
/J, ¡\/ . 11,IM2 Jqfl.30+0. Ifi8&¡a.a-O,OM3qQ'_
- L1&1 ')7u'
_ - O&\0'),,,
,
la sección C.
,'11 J~ ~ecc i6"
en In
~ l"GClon
¡\/ "'"
E. M _ O.182Iqa.I,50 + 0,IfiS8<¡a.a-
- u.06~3I¡a1-1~· 2Hi
":jcIIl pl" 105.
ti'
0, 1002'1(11,
11, b, r. 11, I!:. (,', In l. a
U",I (o:
y ,\/ 0 >0
(Ii¡:. I\.IU. fI).
I'J:IIIICnl' 111 '-"lIdi elú" de rl,~ j s le ll c i 'l !l(l l l!i.~1.elll" .'11 ,, '
1,'11111" c.
/ksv/rlrl!ill. El ~ i st(, lIl n ]':.sc de c"nfigllrl'cj"" dd"rrH;IlIH p" r 1"
rlc\',II,;[v" ,le la tCJIIlll'f"Lutll I!I ~t,"los. ('Sl,í rl'prt'~l' lIllId" ,'11 111 fi¡.!Utll
ItI(l. /¡ }' d siSleml1 l1u :d lipr 1'11 1" fiLl"r¡¡ I'JO. e.
I',,('sl., 'I UI",
,
1 11= -abó/,
.
,
~II"UUU
/ . mf
' =- .
4
I _:ut
-
rilo
,
.\
I _ :ICf
1'- 32 '
El! 1" SL..:ció" pl"li¡,:roSll ,le cllll",lrn nli¡'u lu ,1\,1 I r~ mil r ,,1 m.uuent ..
fI«:l o r sl"ra M _ X ,e y el l"r;¡, 'r. M, "" X III.
1.(1 wndichi" ,1" n'~i~ t"uci" :«. ,'se ri"/' "s i,
n<f'
1 ""1 ,, lerc('ra hill .... l l·~i" ,lo
32' '1
= 1/ 0,75. ell 1:. CU lorln,
w=
n~~ i~l.'"ci"
,. '1 -
"'
p
PiuFma dt M
'}
"
p
,}
f}
Fi¡. tilO
""
-U. I~l Pp
Fl(. 191
Ejemplo t OO . Dndo : P. p, E,. 1,. E II , Fu Y unn barra de pequeña eurvetu ra (lig. EH , a).
Determinar 0, des pla za mien t o del ape yo móv il.
ftt Sefllá6f1. Se)Hlram OS los elementos 1 y 11 IJe r 111 articulación
móvil (rig. 191. b) . r••)S siste mas h ose y au.~iliar están dados e n 111
ligur" 191. e y d.
COlIl" ,
l'
El dcspJ¡n.alllion to en 1:'lIlst ióll oS so d e tormina r{, COl1l0 el IIlllr gllmient o a bso lut o dd t iranto 11, es dccit,
oS
K,21'
21'1'
= H/lF/I = n/:"/lf'I/' ,
I¡
/:.',11
+ -.-ft ,lEI/FI/
Si t·J t ¡r:l ntc ff IlII e ü s t i{'sc (t'S d \lcir Eu Fu = O), c lIloIlCt'S,
X,= O y
Pp'
6= _
_
2H,I,
Si )"s
dn~
IIfloyns lut'~cn inmudles (es decir , E" f'"
/'
X, = -
r
n
E n !JI jlrimur ilUSO (/:: " F/J
clwl quirrn ser:í,
~
= 00)
oS=O.
O) ,,1 1ll01lll'nto rl ectnr cn un a sccciulI
,
/'
M = - - r ( J - c09q,).
El di<lgtUIlH' de ¡\J asIó tla,lo en Ja figura J(U, I:.
I~ IJ 01 SCgll lUl o cn~" (EIIF" "" 00) c l momento fl edor 011 Ulla
s,-ceió n nthittllri" scní ,
M =l'r (~ - ..!.. + eOS<jI )
ti
2
2
.
El diagrllla dc M cor rcsl'OIl1 lil'lJtc {'si:, dad o ca ]" l ig. HII, ,.
'"
:1. (,'i¡/ c. ,,(o .fe ffll1.l (Oifllfull{JI' , Iti l¡(f/'C/f ell ,f e (ua!fut/
Su l!olieJL<\e por anill o plan" d .. p'HOlIlcs delg,uh,;¡ Cwd1luie!'
SiS h~1l1" d{,~1 ir" !11M,'" de harra s 1;I'I'rll<I", c"yn~ I'Hlgilllde~ ,1.., I"s
I r.1r1I<',~ S'I/I IUm; h o nwy"rt's 'IUI' l/l~
XJ
Fig, IQ~
ditucn!;;'.'",s d ...., b s stlccivm's Ir~"8H! r·
;¡nll'!!, 1~~ lo lIi~ t{'n"\ {'~ do tril,l e hipe!'"51;.li~i,!,,\!, S"" iw:oguit:IS ~u lwrfl,w~
l'l m .. ",~"I" flcrl"r, X" ,,1 " ~['!Cn,o
"xi:! 1 X ~ ,\' In fu,'n," c"rtHlll,· X" ,,~
,r,'cir, r<,~ {',~f"l·I'1."9 itllcr¡"r,,~ <1'''' ~lIr ­
g"'" en 1;, ~l'cciú" Iriln~",'r~,,1 <¡u,' ~"
Ir;'Ul I,al'., o!Jle",'r 1;1 l!i,~lrl",' ¡'''Sll,
(lig, lUZ ). A~í, jllU;S, Ins si ~ h'"",,' cc!'l'"d ..!! ~ul, de hi Iwrestnl icid"tI ¡" I'-Tl""
L a hi!\('ro'~ lMiddllll do lu.~ ll"ill,,~
Il\Lrd ... " ,-uCt-r ya !<{'n p"r ,,1 I'rindl'i" del tn,h"j" Ill ínimu o (1 .. 'lile , 'S fIl¡'~ "uI1l,,1I1I) m"flianle
la~ l'cuaciuu('S f',,,,{miCII,~ del rnól,n!" dJ) 1m:! f"I'I~".~, l'uI-.~I\! 'IUI' 1,,8
:lllillos son du p~rctl l!S dl'l g¡l< ln ,~, ;tI !II" lIh'nr I¡.s ",c\lnrium-~ l,ar" ,'\llICl'I'
In ltill('rcsl"licid~(1 1'8 ~ltfiti"lllo c"" s id nar ,.,,1111)11'11('- 1" dl-r,,,',,,,, ció" ,! ri gi Unf!;' flor el rtlUIIHltlt,-, f)(>ct"r,
So.'
a)
a)
,
, ,
,
P
P,
x
"x
,
b)
"
'}
PI,
PI,
•
P,
q,
•
,}
~
x
y
,
Pfz
P,
ríg, t 91
'5'
•
Si el anillo y In carga so n simétricos respeclo 11 UIJ O do los ejes
(fig. H13. aJ .. enlonces en 1M seCciO Il ~ lrlln~versales que coinciden
con el ejo do simolríll , las fueulls cort anles scrun igup/es a cero.
P ur 1" IlIn lo, m:.niu incogn il llS sU llerflUl\S so/amon le el mo menlo floctur LX, {¡ X;¡ y el esfuo;)rzo
IlxiHI (X ~ o X;) . Se puedo
'J
IlIl"l i7.¡'r pues so Jallloulo 110
luilml ~imél ri ca dol nnillo 0 11
Ing¡IT do nnnli7.nrlo lodo lfig.
x> ,
i ~'
Hl3. 1/ Y lIJ.
,
Si .,1 "lI il1o y lu cnrgo
¡-p
.'1<>11 ~illlélrico~ respec t o 11 ,lO/!
cjes (fi¡;-. I!J!,. 11), enlOIlC!'.'! en
JI'S $1'C¡;j!ll!C.~ silmullls en 1"9
b)
cjl's de silllotr íA lns ru('nu~
curtAnt".'! serán iguules 11 cero
y J~ s Illenas IIx i,. les ~e podr:ln
"J)tener de las eC II¡¡cj"ncs d o;)
In ost iíticlI COIIIO In sn m" do
las llr"yecciullcs de [us fu l'l'zu~
y esftll'fZOS aplicados 11. la
'J
mi t ad de anillo. sobre el ojo
de simet ría correspondieu le.
En ,,~tc C...W. ~"Jaltl{'!I1o el
m"muuto r! eclor (X, ó X;)
será iueóylli lll SIIJlerrlU!I. As í
I'U{'S ('s sn ficieule ;Inaliznr (:11
lu gH r de t odo el :lII ill .. 801,,;
lU ente 1.. {;unrla Jlnrlo u bicad"
t~ lI!rl' I,,~ oj.~s ele simet ríA (rig.
JJiaq,romo -0,75 qp1-0.26qi
W·\. /¡ ,j e),
~M
,'
. U.45 qp'
Si {·l anillo ti"ne m:í .~ de
'J
', 1 -U.(j~ q¡Ji /'
:J:
,I"s ¡·jos de ~¡IIH) t ría . onlolle{'~
~(' I,,,tlra :IIH1 Ii 1.0 r ~u l ame ll l{· I.~
IInrl e del anillo ,dJit¡UJH elltre
las .~('Cei"IIPS que .'!C C UC·UlllI·
tn. u
l,,~ f'je~ cOlltign,).,; rlt'
sillH'trí¡•.
Fil:. I!I~
En .'8 tllS .'leccioncs los fller·
zas I' orta nlcs ~erúlI nulas, lo.~ t:'s fuorzos IUÍI,les ~o ob tendr:1I1 de las
eC\13ci"I11.'9 do. 1;, estálic!! y solo el momoll to r!eclor ~er:í incúgn it n
sl1J1l'rIl"'l,
,
,
,
"1)
Ejem pl u 107 . Dlldo: q, p, E, 1 )' el Anil lo de Il¡¡redes dt'lgadas,
¡·es p(.'Clo a los ojos;¡: e y (fig, J95, aJ.
Del('r lll inor lo. el nccrcn ll lÍonlo de IllS seccionos medi"s do los
Irnm,,~ rectos del Hllil l....
~irn!Ítri¡;o
35'
ll~f1Olu¡;j6f1. Analium~ la cuarta parte del an illo (ri g. 195, b).
En lIs seccionl'lsitua.du en el eje z, la. fuena cortante es igual a cero,
elesfueno axiales qp y el momento fled or X, se interpretll como
fuerta generalizllda su perflua desconocidll.
El momento Hedor en las S<lcciones Arbitrll rias de los trllmos
/ y // del sistemll b/lS<l (lig. 195, e) y del sistemn auxilillr (fig. 195, ti)
será.
M, _ _ lJf,s( 1 -cos<p);
,?
M u - -W(P+X)+Q2";
M, _ I; MII =
1.
Como.
•
l:.·16,p=
JM,M¡ (i$+ J
M"MI/dz = -IJP$
•
•
-q
,
fIn
p
J
( l -c08\f)"q<-
•
•
J
; ] dz=_qpt ( ;
[ P (P+X)-
•
EI6,,=
•
~
:ol1
p
o
o
o
.
+i)
J;V:d. + JMl,dz=p Jd'P + SdZ _ P ( ~ + 1),
el momonlo fl ector X, rC's ulta rá,
+ 2 ~ 07"
, 'lf!.
6"
3(n+2)
Uno "ez vencidll 111 hi pereslllticidlld del lIislema, obtendremos,
3rt
ll,p
X, - - - .... qp2
M¡ =- q(l [l - 3n+2 -COSIP 1 ~-qp2 (O,26 - COS \f);
3(n+2)
z!
3n+2
MII _ -q [ P1 +pz--2
3(n +2)
'1
P
'
r ' + pz _ o
,5.:1.
~-q(O,2 G
-
y por lo tlluto,
M,
~O, 74qpl;
EIl la figura 195, e está repreS<lntad o el diagrama dol mOl1lo nlo
fl ector.
'"
Para hllHnr la magnitud del aeerC/lmicnto de la~ secciones In<ldias
de los tramOS rcct illneo9 del 811illo a plicamos en la sección donde
ac tú a qp uno fuerza ficticia P I' .,. 1 dirigida verticnhnelllo hacia
nrriba. Los mome ntos rlecto res en las secciollcs arbilrnrias dc los
tram os I y /l , originlldos pOf ('sta {llena ser¡jn,
+
MI '" - P (1 - eos 'l') y Mil = - (p .xl,
y por Ir. tanto, ('[ des plazarnic lllo ell cuestión rcsu llllní,
.
6=
"
:'¡(J, M,M, ds+ J
,
ftfI/Ml ldX ) =
'í"",
= ~1:~
(O,2ü-cos.p)(I - cos'f.)¡l<p+
,
í,
+~
(O,2lil'~ + flor El
,E
e'"':":
' 'lPel<".--,I~08",.
!h¡f,,: 1' ,
( Sil'IUIH
el.
0,5:1) (r +.x) dx <::::: I ,nI/pi .
El
'")
"
2a. _ =- , 1', E, 1, y F
(lig. I!)(i. aJ.
O¡,tOI'rnilwr Ór,. y 0.["10. \'flrillcioncs do los rn!li o~ d,-] allill" I'H
dirección n In líU Cll de ucciulI de In.'! fuerzlls y en Jfl~ seccio nes .~il u a­
das en el cenl ro de l ¡rumo ('nlro ]:lS fu erzas, rcspccti\'~IlICIIIIl.
lIesQluÓ¡J". Aroalizll1110S 1.. pnrlo 01 0 J~ pnrotl del o1l1ill" <I',e so
l'IlCIlCHl r n en l re In.~ seccitJJIt's IrHnl!\"crsal(>s Ir"1.a(!ns 1::1' 1)1 medio do
Jos HC"!! enlre lfls fuerzas (fig. HIG, b).
I~n ~sla~ ~occionea los ('sfner1.Os corta ntes son igua les a cero,
miell lrns <lue los csfue r1.Os u:inles No se ob ti emm de In suma d e las
pToyccciolles,lc las rlIer1.a~
o=.,...!--.
yE'sruerzClsso brc el eje \"(,1"lica l, N
.:.. sona
Los rnomeulos flccLnr(>s y los esfue rzo! a.\inle~ en unn sección
nrb i Lrllria <le! SiSLe lnil bnse (rig. 1!)ü, el y del sis tema auxiliar
Hig. Hm, d) serán respcctiv<Hncu to,
.
¡l1 =~ (I~cos,,'),
2~ n a
N= Pcos w ,
2~ n a
M=1,
Ñ=O.
Pueslo que,
"í', -
6,p=--:-
""1
MMd,f'=~.
1',,'
2E I&lI a
í',
( l ~ c os'i')d,p=
""' ( a )
=~ 2E I ~c n a _ 1 ,
,)
"
,
el
9
p
p
p
P
b)
P
B
1
,-
"
, '12"
Xr
:
A
q
,)
'1
di
'1
t.i:/;
1
B
x
'1
fig. H1G
fig. 197
y
1l1t=..E.... S
.. ftFd'P=r~,
El
In
obtendrem os para !Ji moment o,"
XL ~ -~=
6\1
Pp2 (-,---,-).
sena
a
El mom e nto fl eclor en 11118 Meció!! cualquie ra do1 an illo resulta,
M_
Pp(_,
__ eos
2 se n a
se n a
Ip _ _
'
_ + -'-) _ Pp (..!..._ eos Ql)
se n a
Pa ra o htener llpp ap li camos 1' 1'
-
Enttlll c(,H
a
=
-
a
2
sena '
1 e n luga r de la fnerza P.
halJllrcm " ~,
M =~ (~ - ~) ,
Z
{(
!;C u a
N= co~'r
2~CHr.l.
Dcf i ni 1i vn mo"l(l,
Pp' ( titga;
1) +-PI' ( c lga + - a- ) .
d[".=--2- +2scu
-eL-z-2EI
(l.
a
I,E/<'
so n"a
P ara halla r L'.pQo pli cotllOS lino (U (lrl ll r 8d i nl/) ~ = 1 ell la >!CCciUII
incli flad ll un úugulo a res llM:lo ni", ve rt¡e" l (Iig. 19H, e) "hlell iontlo,
.M = - fl seu
Ñ = se n '11
'p.
y
p
21:./
3
Apo= -p .-
•
S(eos
- - Ip - -1) SC Il {pJ,p+
.
sena
el:
I)o(i ni ti .'a men le.
[,¡,JI! a
•
•.I'p
21:. }' scna
1
J
COS 'I¡ ·~('n(I'I"f1.
"
¡J )
r scna .
Apo= - - --_+ _ (cosa _ l ) + -2El
2
a
I,EF
tJl)J
ll a r
I
b. E, 1 , Y u n ~ "ill o u,' IHlr(ldC$
ojes x y !J (Hg. 1!J7, al, DIl\ermi-
Dado: ¡',
11.
re~pc<: t o
lo.~
(1
En
)' ,-1
la cunrlll liarlo de l IIflUIr, (lig. 197, b).
el eje x In fuerza cort~lIto es igUIlI 8 ce ro
J/¡o$q{lIci6/1, f\mdizamos
la~ ,'\-ccion~s sil,uad;!s eu
".~rn..,'l,,,
J'
IlXial,
•
2'
l. ".~ 1I"",U'"I"lI fltlcl."re.~ ('ti un" ,,~"Cciún lran~vcrslll c""Jquieru
du .. ""rde",,"')s del COlllr" 11 .. ¡.!rHn.'<l1H1 x e y ,Id ;¡islemn hll~
(íig. 1\1;, r) }' ,lel ;luxil¡"r (fi¡;. 1\17 _ ti) rf'S¡J\)\jtivollu,nlo serán,
,
l'
¡\/=-(a - ~')
,
<':""''''
1~'/olI'=
M=1.
y
,
.J
~
/IIMd.< =
J
(lI_x)ds=
"
J'( "J'Js _
=-;;
(1
j'
J'
J' J'd" ) = 1 (as - S g ) =
"
= ~~'(a _
2.
Sils )=
~5(1I -xc),
2
:¡ieJld .. s In I""gilud del urc .. dcll'j"gCQmlÍlrieo de lu pared de la e uarl,.
\1;11'1 0 del anillo,
" ,Is
SM =}:t
el IIll>!llc n l(1 \'51:'1lic .. del nreo 3 rC5pcelu alojo y;
S
:r< = -;
In "I,<;<;is" del ceulro do gr:l\'t.J"d del 1I!'CO
,
=
j tZd~= j
$
y f::lólI =
(L,=s,
•
•
ob t01111r"mos \1"ra el ''''''Ilenlu rledor en In
,_
"'
.~o,;ciú"
A,
6,p
P
= -, - =-:;-(x< -a).
"
-
El momonto fleclor en Uflil seeeion
~rlJÍtr¡¡ria
del anillo st-ni,
i'
"' ~-"=2 (.l'c- II).
~i (¡.>:t<,
cnwllccs M..--,,<O;
M.-_ ~~ =O;
M .<_ o=
l'
"2 Xc > iJ.
EII 111 figura 197, e está roprcStllllad o el diagr»ma dul lIlorlluulo
(lector IJ~ra 01 C¡¡gO Cllnndo a - :ro < Xc.
Para obtener la variación de a en la sección A de la cuarta. parte
del anillo, apli cam~ la fucru horizontal P y = 1 di rigida hacia el
centro O.
A esta fu erza corresponde M = y y, por lo tanlo,
L\a =~
S' <l:~ - E)Vd$=~
(r, S' IIds- 'SXVdS) ~
2El
2EI
o
,o
o
p
p
= 2E/(zcS., _ 1,,~) = - 2E¡ I".~o'
•
~ ie ndo S" =
S yels el momento está tico del arco' respecto al eje
••
I"u= í xl/dsel ]Iroducto de
•ejos r , y,
inercia del arco s respecto
11
,7;,
los
I ~.~. = J "w - xeS" = f"u - xcy.' el producto de inoreia de l arco
, respecto a los ejes :ZoYo que cruzan el centro de gravedad de la cuarta parle del anillo y son paralelos
D los ejes:xv (Hg. 1!)7,t).
Para determinar lo var iación de b en la sección A de la cua rta
pllrl,p del an illo, apliramos la fucrl~' vertirlll P p = 1 dirigida verUCllhnente hacia abajo.
A eMa fu erza correspondo íil ... a - x y, por lo tanto,
•
•
ób =
~ S(xc 2EI
x) (a - x) ds =
•
-xc
I•
•
~ (~, S'" -. Sr"'2EI
•
•
Sxds+ :Cds) =2~/ (ax,s-aSu-XcSu+ IM)=
•
I~
P
~ )-- 1
<"v --¿El v.'
- - (1 - x
- 2EI
siendo
' 11 """
•
i X2 ds
•
~
el momento linea l de inercia de l IIrco
$
respecto
al eje y,
11l . .. 1 v ~xcS v= l v-x:S el mOUle nto lineal de illercia del arco
s respecto al ej e Yo.
Casos parlfculares. A. El reti clll nd o cuadrado so t racciona por
la di agonal (rig. 198, a). P ueslo qUB (Iig. 198, b) Xc = /lc
•
= T'
'59
reeulta,
".,
Jl1,..-_=- :
"o
M..-_=--.
'.
El dillgrHna del IUO Il\('ll to flec tor ('sta. dado en IH riguT" 108.
'J
,
p
OJ
Fia:. \98
Si
11 05 rercrin\ll~ ~
1"._ I ••
=V2
,
Fir. 1\19
101 Cj(,5 %0110'
%o_-!Jo,
y por lo lanlo,
f.
ds=dxo0_ dyov'2
."
JX:dx.- Y;(lS
y 1...... -
-~
í-., '
.0
=- 111
1¡ ,
xfldxo=--o_
12
Por las fórmulas del ejemJllo 109, el Dcorlomionto do la sem idiagonal horifonhl del rotieu lado y el alargamienlo do In semi dingonal
...
vertical tlel mismo son de iglln l magnilud,
V2
p
3
-Vi
Pa 3
21¡
El
óa=--·~a =~.-- .
2t: ! 21¡
Il. Anillu
c"nstn de dos orcos circunferencia les de rnd io f>
([11r.
y <1,' (' ''Il"lo ce!Llr:d 2a (Iig. \90. (1).
C"1ll0 (fil:". 1m!. b),
¡/.< - !' d,p,
s = pa. a = f> ( 1 -
x
s"
b
pscua,
cm¡ a).
cosa) y y = r sen a. resulta.
l' (Cflllf[ -
= S.J:d~=f'l
•
f
•
Zc=
S" = j'- ( sena_acosa;
I
,
~=
J'!lds=r'"
d'P = ~,2( 1 - en... 'X):
.J
(CUSlp -closa)sclI'pdLP=
.
J
J
"
"
X1¡/$=f"
l' ur
.•
..
,
J,
,
I !I=
••
j, y 11$= p! S, seu '1
S" =
I ..
-cosa)d'P=r~(sena -acosa);
(COSt¡l
ln.~
(roSL(,-COH'X):¡/'r=
,
,
=L(2a + /w.cos~a - J SO;'n la).
fúrrnlllns Lid l'jemplo I{)'J, oblClldremos.
1'1' ('CII'l XI = "- (.r, _o)= __
~
",
"
•
".,
ól, =
(XS -
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(St'"
1'1' - ':t
f)=-;-
M = -(.c,.
I\/I= -_
'~).
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1
-C " ~'[ ) ,
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_. ~ _ .r,_ " = ,/,.,
_.
. :. ') .
+ ~-'_}
.)_
.
(a
a
."e n
-;¡
_ - -"- + -.2
8<',,2
,, )
.
31]1
Ejemp lo 110. Dado: a, b, E , 1 Y q, presión illtorior sob re la
pared del anillo simé tri co respecto a los ejes % e y (rig. 200, aj .
De termin ar .... a y Ab.
He80luci611. Analiznm03 la cuarta parte del anillo (lig. 200, b).
En las SQceioll()S situadas en el ejo .t la fuor~a cortante es igual A CCfO
y el esfuerzo axial. qa.
Los mO!1lcutrn¡ Ucclores en U/lfl sección t ransversal ar bi traria.
de coord cnnd as del cc ntro de g ravedad x e y, del s iste ma base
(rig. 200, el y dclsislcmll a uxiliar ([ig. 200, d) son rcspccti\'nmollt e,
q
•
q 1
M =qa(a-x)-'2(a-.t)"-FY =
=% l/l.~ -
(%2
+ !Ji ) =% (a _1'1.
1
za
siendo p = V + y~ la t1islnncin de In $Ccción en cuestión nI origen
de coordenadas y M = l .
Como,
•
E/6, p=
•
J - 'J• "
MM ds='i.
(n - p )d¡=
•
=% (aÍ ds- j pZds)=%<<Js_ l
p ),
1p =
•
S pi
•
siendo 5 In longitud del
cuar ta ¡Jnrte del MHlo,
•
nrco
•
del <'jo
geométrico do la
ds el momento IJolar de IUCJ'ci;1 del arco s respecto al
origen do coordenadas
momento flector en la
y
•
•
Elb,, =! jij~ds ~- J ds = s;l
~ecci6 n
"
JI
.wrá ,
o
.
el
x,=_ ~=*
( !...t. _ al) .
6"
_ s
El momento flcctor en una sección arbit raria del anillo,
M
=1(a2_p2) +t (1- a~) =t (~-p:),
. q (1,
,)
S
M~-a=2
_a
,
Si p crece continuamente del "alor a al "alor b > a enlonces,
M ~_a>O;
Mp _ 6 <O y lIl _ !!'=O .
p
'"
V•
~ B
al
•
,¡
dJ
~:
A
l"
••
,• -,T •
.
I
- '¡
x
.~
~l ..
":;¡;:"I
•
i' ~1fi··~'-F' %
Pig. 2W
Fil!'. 20 1
'lO,
En la fi gura 200, testa reprl'Sentado el diagrama del IIIOIlH'nlo
!Iector parll 1'1 caso tURudo b > a.
Para hall a r la \·arillción del tamaño lIen la seccióu A de 111 cllllrlll
pArle del 11111111) 1IIIIicamOll la flleuu horhonlal P F' = 1 dirigida
had" el cClltro O.
A cilla fllcrlll corrl'spOllllc M = y y por lo lalltn,
_-'1- (S'I,_ r¡llld, ) =..!!....(¡¡./"
2/:.'1
sicndo S~=
,
í IIds
•
J
•
$
1. .).
2/:.'1
el 100lllclllo l'Slático t1"lllTco
$
rcspeclO Illl'jo
% (l
Ye= S. 111 ordenadn df'1 centro dl' gF.l\"et1nd del 111"("1) "
o
•
,", Sr
o
2
!Id,.
Pllr:1 hullar 111 v~rillciún de b en 111 ~ción JI do la cuarta Ilnrlo
1 dirigida hlleill ~bIlJo.
del nnillo, aplicAmos In IUl'r7.11 vertical I'~
¡\ eSla f Uf'rza c(orrc~IJO lIll l' Xi
/J X Y II"r lo tanto,
,
P.) (II_-r)d,=....!L.(/~fI
21::1
,
a
J.
p1ds_
_ -'- (!....r. u
2EI
lleudo
•
~
_
•pecto 111 eje •
.
r ds_
Jo
J, -rdll+ J.P~J:¡/s) =
al p
,
,
1,_ I p'.rd,. S,_! %cU
I
_
!...r.S~ + ,~ ) _ -'-(l~ _ x.'/.l.
I
2EI
el momt'nto estático del a reo
I
re!'--
~;
z. _S_
' la absci.'lll del centro do gravOOAd del arco l.
o
Cato particular. Anillo constituido lJOr dos semicircuull'rencill:'
de radio a y dos rectas de longitud 2a (fig. 201, a).
Como (rig. 201.b) s=21 na ;
+ !len 'P):
%l
a CO!! q-;
!h =
a (1
p!
a'
-+
pi =
2a" (1
y' y
%1 _ 11;
YI - Y: tU¡ _ dy;
ds: =
a d1p;
+ se n 1p),
v[¡lf'mll1lmoe,
S,, _
j
YI
cls l
+
y f
!/zdSJ. z=
o
~
ydy+a'
o
(1 +sc n1p)drp =:itn al¡
.
o
"
~
j
:"
¡
a
S,_ }r,ds, + S rzJ,,,:_ojcly+a2S cos't'd1{l =2o',
•
••
z.=
"
J,,=
Jy~ cfs, +
"
~.
s" 3+n
= - - , 11<=-=--"
s
r
<la.
2+n
"
!/i d.... =
"
•
2+ n
I +~f'",p)'cf'P=
"
J
Ildy+a
J
(1
D
o
28 + \)11 ,
12
'
~---" .
.
,
.!!. a
J
.
"
J,,= J ()~Y,¡/S,+
,
?:JS:!- II:
"
¡a
J. ,
P2fJ, Js;¡ =
j
,
"
cfY+ Q'
"
J
.
COS1tfd'l
= t,~ :t /ll;
J¡ (il"+ y)yJy +
• ,
,
, 'í
+211
•
1\I + fln •
(1 +¡¡e IHr) , Jop=--,-"
1, -
•
•
z-
.
•
•
•
Sr~.r, d.~, + S p~~d~=Q S(t.¡l+ ¡/)dy +
,
+2a1S (I +SCn<P)CO~,pd'l'_~{l'.
•
1-:11 el IranlU roeto.
q(/ , ,) q"(,,+:m
") q,'2 (151!)
_ _" ).
2 li +3n
'
,11, = - - - PI _ _ - - - - -
2
¡l/I ~_O =
110 + :-k!
6(2+11)
"
f/II
al
'
::::s 0--0\-'
,1""'11.1' ;
z
1
.
... _
qa ;::;10,259'1"-'
:1(2+:1)
"
,-1 Iramo curvjlínoo,
M
l~ n
::::¡ -
nI
J
(1, ,)_ qa'(-,---scu'p
'
) ,(O,25\J _scnq);
(,+3;¡
M 1 _ - ;q- - - f l
2 s
:::::IIQ
2+3... /fU I :=::;_O,71,Iqa Z.
3(2+")
El diagrama \le] mutll!"lto rl()('t.-,r torres¡)Ondicntc a In c!lnrlra
¡!DrIl' del finillo ft'1~ rl'l)rl'scntnd~ "', In figura 20 1 ,~.
Lo I'nrindó" de (1 scr{"
Al
q
~__
"'-T
. ' - --(110/ 1' - 1.,)_
2El
G-lin-ijll~q/J.'
24(2+11)
. _ ::::¡
El
IJa l
-0,864-,
El
Y 1/1 de b,
l
Qal
.
M=....!L I -T /) _ :1. _ 11, qa ::::¡_O. I60
2E/( ·
e"
12 (2+ n)E'f
El
Ejemp lo 111 . Dado: q, p, E, J Y un RuBlo de paredes delgndll!l
solieitndo simélriClltnCllle respecto ni ejo y (fig. 202, a).
Detcrminllr 6, vnriación de la lougi l lld del diámetro vertical del
anillo.
R~solucI6n. Ana li zamOll la milad del anillo (fig. 202, b).I.En la sección q ue se cncu/ln lra en el oj(l y, la fuen a corta nte es igual a cero; el
momento ftector X, y la fuerz a axia l X; se interpretan como fuer~ a s generalizadns superfluas desconocidas.
Las ecuaciones canónicas de l mé todo aJ
de ¡li S fuerza s so n:
b"X , +c'l ll X2 +Ó1l' = O,
,
6.,X,
+6
U
X2
+ {j2l' = o.
1
Ca lc ulamos el mOOl(lIIto flector, e n una
secció n transversal arbitraria determinllda
por el úngu lo <p, dc l.IÍdo a la e:ugll dada q
(ri g. 202, el .
Puesto que la fuerza clemcntnl que
oelito so bre 01 clement o del arco ds del eje
~:()omé t rico do la p:ucd del auillo, es dp =
= qds = IJ pda, 01 rnomcuto flector elementa l
que lista ocasiona en la secciún de inclinación
111 será ,
dM = dpp (sen'P - so n al =
= qp~ (sen (JI - ~C II al da.
1::1 momonto flect or en In misma SCCeiOIl
debido 11 toda .'! los r"crzlI.'! que nclíwo sobre
el ¡¡rco de ¡ingulo c('nlral 'P I"<.! sultn ,
!
Al = qp2 (sen '1' _ se n a) da. =
o
b)
,
x,
x
,
d)
= qpl(q¡se n fJl +COSfP - 1).
I~ n l()~ s i ~ temill¡ H'I.~ilillres (rig. 202 . d y e)
Jos mmllon(us rluclorf's cn lH mi~nl3 sección
scr;in jU¡ = 1 Y M 2 = P ( 1 - r,os 'p).
Puesto qu e,
EI{jff>=
-" qp3
~ (<¡l se n 'p + CVSfP _
.
EI{jz" =
.•
=
•
1
MM , r!<I=
o
1) d<p = O;
j MM; d$ "'"
o
qr~ j (q¡ son ql + cos ql- 1) (1 •
n
,
cos '1') d<p =
=-T¡ qp;
361
E16 n =
í• mdz = p 1• d¡p _ :tp:
J.Mids~ J
•
i • 1
"
El "", =
y
E/6 11 = E16%t =
ob t ~udrctnO!l
(1 - CO!cp)1 dI( =
pI
MtMz d, _ pI
3~'t ,l
(1 - cos'P) dfJI = np=,
pA ra las ecuAciones cA nóniCAS del métudo de las
ru~rw ~.
X, +pX 2 _ O,
}
.
3
•
qj)=
X,+ - P'\:z - . - ,
d e donde
!le
2
obliene,
"
El momento fle<:lor ... n una lIIlUión arbilrar ia de la pared de l
anillo e~,
'1j)~
q¡,t
Al _ fJpt('PStlU 'P+COSIf' - 1) _ _ + - ( 1 - COM~')=
2
2
=qpz ( <pgcll 'r +~Co~'I' _
j) .
I'or lu bulo.
M
" = qpz ( i. l f2 + LV2 _ 1) :::: _ O.OO I2qpz:
.. - T
"2
Me _
/If
I
"'''T"
2
1- =qpz ( ~ -
2
1)
~ O.5i 1qpl ;
v" __I V2
-.--=
--= _ 1) ~O,3 1 2q" t;
4 2
2 2 .
=qpz ( :In
M_ .. _ _ I ,5qpl.
El diagrama del momento Ueclor estlÍ represeulado en la fivu o
ra 202, /.
Para de termi nar la va ri ación de la longitud del dilÍmetro vcrtiCflI
delllnillo, en la sección que coincide con el ejo y del sislema ba!MI
(fii. 202, b), ap licamos la fueru vertical p •. = I dirigida hacia
abajo. El momen to f1ector origi nado por eS'" fuena en una sección
..
e~ .
ar bitrari a
po r lo
6_
1..
E
í.
~anto.
M=VseD'P.
el desllluamiento que se lIusca ser' ,
MM ds =- 9P'
El
•
í"
•
( cpsen cp
+ .!.cos
cp _1) sen cpd'P
2
ES
qp
- ( ;.. - 2) 9p l ::::1' 0,467 ' •
I
El
El
I'roll/emas 83~·835 . Determinar los esf uerzos ax iales N en los
ele mentos numerados de l s istema.
La ri gidez EF es igua l I,n ra todas 1115 harra!.
Empléese, segun se desee, en est os l)rob!lIllllIs hiperesthicol
y en lO/:! s ig uien tes e l. pri nci pio del tr<l lmj o minimo o el método de 11'18
fucrz ¡ls.
•
_ o_~ p
... 0 _
1'1'"lI lom8S 83G·837. D!ltnmi nnr l" s 1i1011lIlr lt.OS r(!IIctivO/:! on lo!
etnp"l ram ie ulos de h .l! 1'~ l rcmos iu¡uillrd tl.'l do In5 b;,rrlls.
837
,¡
,.
"
,
3,
•
I ,-
I'm blellla >\ S:~.8J¡ l . Calcu lar ¡:lS roa ccinrl es !lll ¡a~ S<!ttiOIlI!l de
alloy"~ A y los d('8pl~zl,rnie lllos \'{'rli ca l('!l 6 de 1;1 !l«tiÓII
de l;1s \'ig~l!.
en el I' robll'TllIl 81, 1 del('f nliu{'S(! Inmbiell el "lIlfll('l)lo !'elldí,'O
'"
1'11 la scctio n A . C.Illlsid éreSl' cnnnd dtl ItI ri git!t·~ /:;1,
e
los
A
t
la
'"
]'ro blemas 842-M 5. C:llcular la~ rellccloneS en el nl)OyO artIculado
de los sistemas y los desp l azallllcnto~ hn eales de la seccIón e
E n los problemas o/I2-M3, Il\, son los dcsplalllmie ntos I"erticales
y on el problema Mt. -8<'J 5, Il h• Jos horizonll,]('s·.
"'~"cJ.
•
P
Pro bleUlas 8li6-8li7 . O('leTlllinnr las reaceionc~ en el apoyo A
y los desp ln7.allliontos vert icales I:i de la secciún si t l]~d(l en el ejt!
dt! si,,\('tría lIc los s¡stcmn~.
D'n
1I1::t
i
!!
a
-la
•
a
•
P
'" - -1--2.
• En 108 problonlBS M2·S66 p,""scíndasll de 1M dol"rmacionil8 long itudi na lil8
de lo! elnman\<). dal alatemn y con. iM...,se igue l"" las rigideces El de lo. elomento. fluioll8do •.
'"
Problemas 848-85 1. Dot ermina. r Ia.s reacciones horiz onta.Jcs de
apoyill! en los s istemas.
,
p
Pro lolemus 85 1-857 . CnJcu lnr
9n el a poyo A do Iill! sisternns.
1;15
com ponen tes de !;\s rcnccionOll
,
"I"~rnq
I
J
L ,+- ,,-
'55 ¡--O........
,.
í•
I
"7
858
#
-o
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A
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q
A
.
,
-1"
~
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I
A
-o ----.-
,.
24·
371
('robh!lllll! 858· 86 1. Dolcrmlrm r el momen t o rleclor 1I ,;bi,uo,
en \'olor nbsolulo, e n los sistomas
~porljeados.
p
,,, ,,, 1
,
a__ a-.-_Cl
~I
¡
:
,
t-a-/-.-a
p
'51
'"
q
_u....-;- a
f,,
,,
,
I!
1
,,,
q
,
q
I'roblcmns 862·870. DctcrH,innr las eOll,pOlwnLcs rCM;ti\'us en I ~I
n IlOyo 11 de los sislol1lns.
En Jos pr"blem~s 8GB· 8iO dete rminese tambiclI los ,IC.~I'Ja7."l1IiOJl·
tos \'erlicn lcs 1) do la socción
1Tlhnillcndo (1'10 la sacl'iú" ell LEIdos
los traHlOS do los si~temas es eireul"r y el ""oleri"J es d rni~lrlf':
G = O,liE.
slle~ión dll
e,
'"
,~
P
1h
A
q'
A
-,-
- ,-
I
~
J
8EIf.
,~
l'j ,J ¿~?n: ~"""~
Problelllas 871 -875. Calcula r las tensiones normales máximas
que surgen e n [os elementos del sistema a l elevarso 111 temperatura
!J.t O C.
C<l,,~ idórcse solamonte lo ucfo rmuciótl origirmda Ilúr la r!l'xión.
Llls scceiollcs simétri cas de r,1I,lU:!}¡, Ilsi como el ma terial do E ya
dad os son iguales pa ra t u,]"s' los alerncntos do cada sislcmn.
--,,-
F9-J
~
I!
t
~
¡l"
"
-'"
ProIJ!CIlla8 876·879. Determinar llls ¡elisiones de montaje rrub:imal'! en los sistomas si lo. longitud del elemento CD os lua yor que
la provista en el proyecto en lJ..
373
Considé rese ~o l amen l e 111 defo rmación originada por la flex ió n.
La socción simétrica do Ritma h así co mo el mate ria l do E dado
es igual para todos l o~ elementos ,I u cada sistema .
811
,.--"
o
t'
o
el.
!!l!
,
•
+
O
o
c--' -
O
2a~ '
ffiJ
I _,_
I'rob lCJIl Illl 880-8810. Delerrn iuar IH ri) ucc iún en ul apoyo n rti cu lado derech., y ul tle~plataJl1 i f'"lo \'!'rlic.. l l:i de la sección e de los
sistemllS •.
Considérese el! ul pro ble lll ll 882 (I"e In enrgn q está distribuida
Illliformem ullto en ,Iircéción horizon tal.
~
{:""-"--I-f,
1---2a..t
--'~Eo,~los probl emu 880-915 hA do teoer 00 cunnlH sól" In dc(ormacionn
originad •• por el momento 1l0010f,
alemeoto.s del . istem. iguel1l!l.
",
t{tI\.!l id~rar IB~
r igideces El de \odo.lol
Pro b le0l8s 885-889. Deter mioar las com ponentes reactivas
los ¡¡poyos izquieru(ls do los ~iS loma5 .
'"
I
I
L..,··o ~ •• a -~
'-'. ""
---,I
Q
i
I
I~
I' rob lem as 890-89:). DclermiJlllr el II('s¡>lll.zll.miculo
de la sección de <'1lli"<lción ,lo la fUl'rzn P.
~P
'"
ell
vertica l
8gz~
-
' ."
p
Q
!
_ ---.J
,
l'rol¡Ielll8S 896-89!). Deterrninar 109 momentos !lectores en la
sección e de los sislernns.
375
J> ro hl cmm¡ !lOO-90G . Dclc r Uliuor Ills Compotll'utl'S rl'aclivo~ el1
la. secciou de ~poyo A de los sislellHls.
En el prohl'lInn 902 la carga q esl;i distribuida lllliformemenlll
sobre I¡, horizontal.
,oa
I
. -..i:~
p
,
A
"
.l.
~E:~ "'f1-~tJ4 "~Jc.-. ~
A
•. A
-
q : 9
..
v.
~
~ ._-
I'rohlemas 907·910. Determinar cuanlas veces, l'U lo~ sis to mas
indicndos, el mOlllento rk'Clor lLuiximo Iln valor ab~olu to )' el desplazamiento vertical de la !le{:ciótI lLIedill son monores quo los correspondi ontes a In burra cun'!J iSQstalicH (fignrn del problema !lU7, (1).
'70
Proble ma!! 911-913_ Det~rminar los momentos reactivos en el
empotrnUlionto y los df's]llnzlllllicntos "crticnle.'! de In sección
media do Ins I'Drr~s Cur\' II ~ ,
La:! l'ecc ioucl! tr .. u:wersHles de las ¡JilfraS son c irculares
y G = OA E,
JI!!
l'rolJ[eItlAS 91 /.-915. [)('lpfmillilf la~ dilllellS;(¡IlPS llel'esnrillS do
Ir~ lIs\'crs('l l cs do l o~ Hilillo," rin'll1:.r(>s,
Ln tCllsión 1I,)nnnl ndllli~i¡'Jo ,Id ,,,,,1(,,,;:.1 dI' 1"" ""ill"s es la l.
las SCCeiOllCS
XIII. CALCULO DE TUBOS
DE PAlIEDES CHVESAS
§ J. '1""'Q cifindri,'o
En el C;lSU dI.! Un lnL .. de I('"g illld ilimilmlD sin fon dos sometido
a presiones unif"rnws f.1dintes inter;"r PI ' y e;¡terior p~ (Hg, 203),
en un puntu arIJit r:,rio do 1" ¡"Ired situado" la dis l nllcia p del CClltro.
las te nsiones Ilormnlcs circnnfHoncinlcs (tn1lgcncinles) a, }' las
tensi olles Ullli¡¡]t'S 11, se deto!rminan pur In:; rórmuln", si·
317
¡ulent~ :
P,~
(1+(11, )-P2'Í"( I +-p;:~ ) .
ri
CJ, "'"
N-!
CJ. ~
.
~
(202)
( -pi~ ) -pz',,( ¡;r?)
I
1_
2
2
r;:-r¡
(203)
•
La \I'nsióu o. < O indCllcndienlemelllo do los valores de PI y P2
mielllfllS que la len~ i ún CJ, puede .'!er mayor o men or ' Iue cero l!egú n
P,
iL " ' "
I
, I 11 "
I
Fig. 203
10 relación entre las
Si
11I1'~nitudl'!l
P, Y P:.
PI>';' ( ~ +1).
c nlonces (11)0 .
En I!$IC 1lIlllO los di agram~! do CJ. y o, 30bre el grue30 de 111 pAred dd
tubo lentlTan la confi gu ración d ~dA en I~ figur11 20-1.
I.os va lol'l'!! maximOll y mí uimo.!l de IAlI ll'nsiolll'S !!Cran,
mI1CJ. _ CJ,
= -Pz,
mino.... o.
=-p"
"-'.
~-'.
1
(2010)
Si
PI=-~' ( ~ + 1) ,
Eu [05 punto! pelig rosos
(li g. 205) In ec uoción P(HA el
¡¡lslollcio (hi pólesis do "" ohr)
IU OX o, -
.
"
en lonces minCJ,=O.
de la !u lJl'r fieie interi or del tubo
c¡;!clllo 110f 111 f]lIillt n hi¡IÓL csi9 de roIlC fá,
v mili CJ. "" 10t,.. I•
de donde se obtiene
(205)
"
sieudo
" = 10 " ... ).
[0"0"')
En el caso d('] mat erial que r<,s ls tll igualme nt e la tracción que
Dlagf'O,"c Iir .:It
[.1'9"',"'1«
6,-1
~
"
Fig. 204
la coml)r<'llion , [ou'..,[ ... [0"" ",1
se escr ibirá lIsi,
~~
r,
S·, p , <
2p~
--~
- ,
,+ 7,'
."ig, 205
- 101. ,, _
v' [oJ - 2,.,
(o)
l" ut o nCl'S 0,
< O.
}' In ecunción (205)
•
+ 21'1
,'.U
.
('~ lt'
(206)
.,.
{II:;O , os ulagrarna
s
de 0. y o , res\JI I;,n como los d I.' la fi g ura 206,
Lus "alor!'!! m á ,~i lll Oll y lIli ni mOll ,11.' h~ lt' n ~ i"nl.'S S<' r:lIl ,
S i 1"=--,1-.
2p
I +""'!'"
ento nces
m ax o , = 0.
r,
'"
En I ~ punto!! I'(']¡gr~os de la superfi cie Inte ri or del tubo
(fl g. 207) III ecuación porll el cá lculo por la quinta hipótesis de rl'!ist enda 5f'rá la ~igu i en l c,
- " min 01 = [O'u ..., 1
do dOlido l!e oL t io ll1l
11
.2. _
['Ycom]- p ,
•
(208)
[O'oomJ + P, - 21'1
,.,
Cuando J¡l rclll cion tlo Ins j'N.'siolll'll se CIICllc nlrn c ll lre los limites
.!(?
+.)<.i'L<.!(r.
+.)
21{
P t 2 r1
los vlllores de /JI rOll llltlln de signo o pu~s lo cn e l gruoso de la pllTod
del tub o.
Si p , "'" p ~ _ 11. cutOllces (J, _ 0, _ - p.
I~ I dC~J> l aza mil'nt o
r
r,
rAd inl /) de u n punto c ualq uicrIl do lo ]Jllrcd
,
1------.,
,-" -~
.,
1 mru;6r~
,
,
-:
' mili",.
,,
',
'
.
lJiapma dI 6 r
I
' ---m~m""
l1t /JI
mill"l
Fig. Z07
I'ig. :!OS
del tubo se dllter minn po r lo ró rmuln,
p
6 _--;-(o,
_ j.UJ,) ...
E
Ip
E (rl
1,
rLl
{ p,r,. [ t+ ?¡ - fl ( 1- 2,,
P
P
)] -
-w, [. + ~ -p (. - ~)]),
(2001
aiondo E Y f1 e l mód ulo do elaslicidad longit udina l y 01 coefi ciente do Poisson del ma teri a l del tubo respectivame nte.
La variación del radio In terior del t ullo cs,
6r1=61>_"_ ~ lp,(~=~ +~) -2P1~~r{]
(210)
y la variación del radio exterior,
6.r2 =6 p
(,,+r. )] .
'. [ 2P' r{_rf
ro - ··=E
PI ~_r{-,I
(2 ft )
Si sobro oll,ubo acL(¡n sol:uncnto una presión illtcrior PI> entonces
011 las rórmullls (202-211 ) lIchera considerarse p~ = U.
Los ¡Jiagr!lmas do (J, y (J, .':loriln análogus a los indicados IlIl la
figurn 2()\, pero con pz = O.
Si sob ro el tubo nctíw solnmcnle ulla
presi ón exterio r p~. entonces en las
fórmulas (202-211) deber,; considerllrsc
P, -= O.
L"s dingram:.g de 1], }' 0, serán an;ilag"s 11 los indicarlos CII In figura 206,
per" Cflll P, = Q.
Ejel.. ]) I" 112. Dad,,: JI~ = 1 MNhn",
1, cm, r~ _ 8cm, [Ot,ac] = 3O/l l N/Ill~.
Fig. ~1J8
[(J,,~m l = 120 ¡\IN !IIl ~, t: _ 1.2·1 0" MN/ rn"
y )1 "'" 0,21. Vigo 208).
DelcrmiUil" PI! .:lor, y 6r z considcrnndo que PI > p~.
Resolución. Po r la fórmuln (205) se "btiell!'.
r,
V
r,=
"
C" '1l 0 "
y
d~.'p m:~
[(1"",] +( 1
v)p,
.
(1 + ,')p, + 2p~
[Olr".,}
la ,,~c J
= --, =
Ja c... m
d,' "I,.'"" r
l,,~
O.~,)
,,- y ---'r,
"
d( fS
C¡'
,
I
.
=. _, IIIlro, IIrll~IH () .. ~I,,~
mi{'n\bl""~
vlllorcs
ni ("\I:.dr¡l(lo, "blclldrcnlos:
30+ 0,75p,
30 _ l.::!:'",
+2
98
dll donde resulta, p , = -- "",,17 l\IN/m', Por In fórmula
.í,75
(210)
lIallnmos,
6.r,=~ [17(61,+ 16 +0,2/,) _2~ ] ~
1,2·10
{j<\_Hi
6<\-Hi
""" o,un.1Q-J cm""" 0,01 mm,
y por Ii! fÓ"nllllo1 (2 1t ),
6.r.= _ _8_
1.2·1O~
[2, 17,_'_'__ ((JI, +
G<\ - '16
IG
64- IG
- 0,210)1 ~
"",,0,G6.10- 3
CIll """
0,007 mm.
I'ru blcmul; 916-1)18. Dctc r mill~r las m:lgllilll(\('s .q('íín J;¡II.,s O() llls
collllic;oncs de los Ilroblern:'s,
38\
de
En 105 problemlls 916, 9 17, 918, a em pl6ese la tercera hipótesis
~!listllncia y en el problema 9t 8, b, l. quinta.
r. - Iacm
P, - MOO ~'ir,f{II'
,,-/Ocm
,
f¡1J-!UOO k9 /cm'
'1'1.!~m
{(JI·
C- 2'/lf Mri/m f
Pt' ?
"",' ?
.'l'. , -1
!
- 1"
qDOAl~/ml
,u ~I1.J
{ ' l"IO( ;J'I~mI
11 ' O,l
¡'.
')
')
P,'ZOUOkgl/'III' P....'>Pl
p,
kgl!cm' p,' 1,1M!/fml
r, - /OCIfl
'1 ' /0,,"
~
K
®,
I
i
son
1111rw1·JSr.<.N/m"
l" I1,J
[($~.'lD~1"'·
((fJ - fJJ(JD ~.'P>'
r, " ?
d r¡~r
¡'.
r
r;·',m.
I . ND'tgl/em1
{ - I.Z
wJ/o#/I/m'
~ ·/J,1~
llr, "
?
p"
?
I'ro bk ma !l1 9. El ¡¡uu z':'u cónico ¡,bs"lutam<,nto rígido de I'mlueilo 1Íugu lo ji de cu ni ~ id Ad Sil lu l rutlucll en un Il nill o de Illlrctlf'8 gm esu de longitud /l. Oell'rlllinlr la pm.,¡':'n p, el"e llpa rece eutro
l!l
~
-t!f-1 6sDlul,
l. rfflt~
-+
'¡ '
1
'"
.",.~
f-¡,,-,¡'.
,
la cuña y el anillo en la secció n modia del últim o CD, cuando la
cuña penetra en toda la ó,ltura a del anill o. Calcúlese también la8
lellsiones máximas quo ftJlllreCOIl 011 la sección CD del /lnillo.
Proh le nlll 920. Determinese el ángulo de conicid~d ~ de l punzón
en cuiill del probJenw IIntcrior qne originll ero la sccción media de l
nni!lo un incremente del rndio de In supl'rfi cie exterior de llort =
= 0,2 mm, si r, = 10 cm , r ~ = 30 cm, E = 10" kgflcm', " ... 0,34
y (Z = 5 CIII.
I'roblollla 921. Dotenninar 01 ó¡ngu]o de conicidad ~ d el punzó n
CÓllico iul roducido t'n el oriric io interio r a 1ft magnitud a, necesar io
para quo so cierre el espacio Hhro ent re 108 lubOll I y Il r para que
surjn una presióu llIullHl de p = 100 kgflcm l •
I\enlicesc el c¡¡lcu lo pHa la .wcciúlI media CD suponiendo que
r, "" 10 CUl, ' : = 30 cm. r.• = 1,0 Cm, f.' ... 10' kgr/c lIl" l' = 0.310,
a .". 5 cm y llo = 0,10 mlll.
I'ro hlc mn 922. Dcterminar la prcsiun Po (lUtT(' Id tuho de hormig011 r (luclco nb.'!olutamenlc rigido y comp robar la resistencia de ]
t ubo por la !]lIillla hipótesis de re~istell{:in . Admílftso Eh~r . kgf
= 2· 10~ kgl/&IlI" )I~o, = O, lü, l(Jc~ mlh o r = 20--,- y l(Jlr~cJ ho, =
cm
lformlfÓl¡
]>rohlcllw 92,1. J) ('l l' rlllirwr l~ mogllitud dc lo I'rclIióll ill l ~rior
má:\:Íltw p ¡¡"n Se I'"col,' ",'¡icar 01 lullo ,I¡, h.1'·lIli,::-ti" 7.11ncllndo por
uu~
c;',~rnró, "¡'s,, llItóll,,{'ul e rígi']u y In pfI·siulI lill,il11 p~. si
E hor "'" Z· I()6
kgl/cll'\
)lho'
O. 1G.
IOcomlho, '
50
kgr/cm'
y lcrtrnc lh or = ::, kgflo,;rn~.
I'rololern n !)Z~. Octrtrllinnr la pr"siún lí",ile f' o {'li t re {'I nni!lo
y In c:;8cnrn nbs{)l" t n",~"te I'Ígida ~¡ ~u cOllo.e" I"s valores de q,
'2 y !.l. CoII~ i ,lc reso que (·1 miHI"lo de elMtiridad d('1 H,ntt'rinl
del n"illo es pe(I"~¡¡o.
Pr o hl e lllft 925. Do lc fllIi"af 101 presióll p o entrr (.] nllilJo y e1
núcleo absoluhuH'1I1C r ígido considero1ndo dndos q. r h r~ Y 1'.
r,.
'83
':(}"'J"'Lesl".~
§ :!. 'l ' lfbo s c Ui,/UI"; coIiI
Cuando ' .actúa" gr""dc., pro~i(mcs ilttt'rior~s Stl ülrI¡,ItllIll IlI bos
compuestos por ,I[)s o más ci lirul r[)s ¡,rCllsados o aju~tad<ls cm calie nte,
LlI rcsistencin do 111 ulli 6n de los tuhos y las ton~ ioHos inici ales que
,
,
I r" ~
'
:
,r,''': :
-.., 1 -:-"";
,,
,,
'"
""4Z:---
'". "
~
Fig. 209
Fig. 2tO
su rgen en sus pa rodes son consecuencia de qua el diámetro interior
del t ubo exterior es lUI~ mllguitlld ti menor qua 01 diámctro ox tcrior
del cl!indro interi or ([¡g. 209).
Cua ndo los cilindros quo so unon son do igual longitud, la presión de cont acto Po se (Ustribu yo un iformomcnto so bro In superficie
de njusle y tiCllll 01 vnlo r siguiente:
•
2"
Po~ -1 (,¡+"
- -- - J', )+-1 ( r,+~+
--- 10' )'
é;, ri - r{
Ez ri-r{
sic' IIt1o E"
E~,
el,,~lici,¡,\t1
eOt'[i~i~ull's d ~ l'"iS~OIl de
11, Y It ¡ los lllÚdlllus ,1..,
Si los e i lilldl"lls
~un
(2 12)
1"ugi['ldilllll y los
los rnnlcrilllcs de
I"s cilimlws in te ri or y " ,~IHior,
dl,1 rn;~nH> m"LI'ri,d, ""lnue~.'1
,
(2 13)
LilS ICllSiullI'S iuie ial",; CII I" .~ I'",eol .. ~ dI! los ci[iUlh'''~ ¡¡UO.'(1 IIIlC",
o,.;!!i 1""Jas por 111 )m'sión Po ~(' ulll iCIIl'1I p"r ];o ~ r""'Ill II 1" ... (202) y (203J.
Se ,lc¡'1l ICII<' f >'11 rn,'oll1 (jUI' p;",1 ('[ ("ilin(l l" ) il,1."ri", de r;"li",.¡ r ,
y r é In prt'~i,," ,Iu c""la .. l" " o "s pro'si"n exl<'fi"f (la prl'~i"!I ¡a l"ri",
<'.~ i¡¡((al n ('l'r,,) l"i('II,r;t ~ '1"" 1'''1":' (·1 <,xI .. ";"r. oll' r"oli,,~ r, y r" 1"
¡l("<,si"''' ,lo r""I""I" 1'0 ro·~"II" 1"'I'~i ,',,, iulni",' (Iil 1)l'I'~i"'ll e .xll'ri" r
es ig((i!1 ,1 ~er,,).
L ,,~ ,Ii,,¡¡mn'i!s ''1'fo,x itll,,,I,,s ti" I;L~ lo'nsi",,,'.'I (J, y 0, "ri¡:in;((ln~
por 1" pI"I'.'Ii '·fI)
,'ti [,, ~ II l>i""I'S 011' I ,,~ rili",lr,,~ ".""', ,, 1"1'1"'1'."'101.,,,1,,.<
"" 1;, [i gu f¡, :!Iu 1'",. ];0.0 li,t""._ pH"I,',,,I~s (lb y NI.
C'I.1ud" .~"[¡fl' l') 111 1", e')(III'''l'~I" "c1 tI" '111:' 11I1'si':'" i ,,1 .'ti, ,,· !;!""",I,·
PI Y lI"a !,rc~ióJl ,·\\l·,·i",. 1"''1''''1;'' p~ I"s ICII ~ ¡ ""{'S O, y o, ~,. "I,li.'111.'11 I,ur I«~ fr.I·",,,I,,,. (~O:!l y {2U:\J. " s ,t.·cir. 0;<'111" ~ " ~I r;ts" dI' " n
1\11", """,ulilic" lit' n"li,,~ r, ~'r,.
I" .s ,lin~l"il,nn .~ :'pro~ill¡;'ol,,~ do ,'~I,,~ 1""~i(O,,,·s "~ ' Ú II ,ln'¡'JS ell
In [¡¡¡lit" 2 1U 1'" ,. I"s I¡",'IIS e,\ ulillU"s ¡ i!l"~ rf.
L,,~ h;l~i""1'S ("('snll.a'oI,·s l'U 1,1 l" h" r.lln lj)lI ('~t<l SI.' ,.hlil' t«'" por
el m,'lnd" ,lo, S lll'crt>,,~lciulI d" la.' Io·(( .'i",,,·~. n'I"·''.' ''l oIl"ln~ I'"r lüs
"o
olin¡¡r" n",~
a/J, (''¡ y
I'f.
Lu.' di"j!(':"""s n'~ ()II""I,,s "pl·" .\inwd,,~ ,It, ["S ¡"1I."i .. ,, ('~ (Ir ~'o ,
so tlnn )'U'- ¡",¡ 1,,, ..I,·s [";ly,"l ns ole la [i¡¡"f" :! 10.
S¡ I"s "il i",! "IIS 1''''''I><ot'''nl,'S ,1t· 1 1111", S,ul d<., ((1:I1,'ril1l '1'Il' rl'~islc
igll"lnl<'lllc 1" I,,,n' i,,,, \l'''' 1" ... ot"l,ri·siulI, elll"IIl"l'.', "I'~¡I II la I,'rCI't" lti l,,',I(".<i~ ¡Jo I""si~h-""i¡, 1" r,·I,,,·i,·,,, úpli"l" '-'lIlr(' 1"" I·"di".~}' )"
lII'igll il "oI 01" In :llIrl'llt[";' ."1' "._1",,1,,('(, 11"1' I"s r"I'",ulas;
r2 =
II =
-v;:;;"
2rt
T:
(/"
-,,,J.
(2 14J
(2 15)
La
pre~i6n
interior máx imll , oxcesiv1t
~ riÍ ,
max(p, -p~= ~ [O'l.
(2 16)
'.
E>!te método Jo dleu lo l'5 vá lidn t¡,m bién eu el cn~o ele t,dlOS
cOH\jlUe>!los Ilur tn-~ y más cil indros. I'nrti lludo do l~ 1Ipretu ra
Q)
enlru tus dos prlnwros cilindros ~o
l-Hn!,lpCIl la I)rt'~iun de cOntac t o (m ir e
cllUII y " JI"r l.ir de esla Ill"{'sión , [,'S lon ~ i oncs inici¡, I I'~ en ,-~lo~ cil indr"s. I'nrtic",l" dc 111 !lt'gurul:o ~p¡"('l"rn, I'IIlr(\ el
bloque C"nlIJllc~t" JlUr do! cill",lr,)._
'
(in t.·t¡!tI'I,uln tomo un sulo cllimlm ole
igu., I,-!! dill'\-!ls i o" c~) y d t(' rccro, dI! rn~­
l1l' rll ~ n {,luG'a. ~u ,Ictl'rmin" la mlt·\,~ ,
llr(>~ió n C!(' ClJu l llC l." ('Il la supt-rficic de
UUCHjll y " Irn\-é~ de cllu , lns 1(!II.~io"I!!I
b)
inicia les cn el hlo'lllc complJ('~ I.o por dos
cil i,,, lnls y 1'11 el Il'rrl'r cilindro.
Las te,,~ionr!! ¡nici"les rffiullnntes eu
1'1 Illoqnf' df' Irf's ci lindrOlI :re Ohlil',wll
pur el mét odo de SU llCTlHlSición dI' lil~
len."ion('l! inicin lf'.'! obtcnid"lI cnr\"('l5p"lI dieHle~ nI I'ri'H1!ro y nI ~egund(f "jus te.
Lns t('lI~iulI('~ ,¡rillinlldils por [01 I'fc~ión
de ¡,.ah"jo f'n e[ hloque constitu id,) p'"
tres cililldroll~e obtienell como en f'l rn ~u
de 111111111.. único nwcizo de ,tlnH'lI si",,(·~
¡,:c nen,lc~. I,il ... lIIlIa a l ~ebr,.,iCA dtl I'stll~
lensionl'lI n"if .Iani I"s Villnre~ de l~ :o
h'n~ i "n.'S 1\llTa comprobnr la ¡"('~i~lendn.
Ln ndidó" ,lo U1I runtlo 11 111(;11 cilin,1 nI!! ronrluce il 1:, lIf'cesi dad dI' drlcrmin n r
'(1In I'r¡-si:", .le c"nt;u'ln nU (l\'n y IInil~
@
,
,
,
I CII~¡"II('II inil'inl('~ ~lIp!t-",olll.nri ~ ~.
I\l .. "cuj"'· un ci li mlro vado rn mocilo
[n tell._ioll dI' COlltnrto se delerm inn po r In
fórmula (212)6 (213), suponiend o rl - O.
Ejemplo t 13. Dndo: p, "" 2 000 k¡;:r/cm t , p%= O. rl _ 8 cm.
E _ 2·t{)" kgf/cm ' y 101 _ 3000 kgflnn ' (fig. 211. a).
Di~eiiar un tubo COlllpul'eto por .10. dlindros de rlim ension{oS
6ptim~s y comprobn rlo po r In ll'rCf' ra hi pó l~si~ de resi slenc in.
n~Qllfl;i611. Por In rórmula (216) dell'rm in nmos 01 radio exterior
del tubo compuesto,
Fig. 211
lo]r.
[oJ - PI
rJ =---~
...
3000·8
3000 2000
-"
oro.
~uperl i citl
Por la lór mul a (21<1) hllllamos·el rlldio de 111
dol tubo,
'z= V;;;~ ""'" YS.Z<I =
de encaje
80;:::;: 13,85ti tm.
P urll sim llliFlc:.r el (ll1eul" ntlmili m O¡; ,~
(2 15) halJlIlIlnS la tlwgllilml ti" In ;. prf' \ "rn
\<1 cm.
])1'
In fórmu la
lIer~¡,lIrill ,
2~ P, ____
2·1<1. · 2. !o' = O,O.!8
' c rll .
lJ. _ _
t:
y de
1;1
lórmula (21:1), 1:.
2·10
pr, '~ió"
de c" nla CIU,
rJ(' l t!rmill" JI")~ " I" ,ra I II~ Il' rr ~i ",ll's ¡"ir,[ull'1' \"I'rn .."p',mli"IIICs
\lrt!~i,'", dI) cm,IMl o Po'
I~'II
/11
pur~d
n In
dd ,iliml,,, llllaivr.
D" In!! r"Tmuln:! (20i), ¡lH Ta p,
U Y PI
I'DIlH II:ul1"8,
(ir
r
;:::;: -
on¡"o,= o,
_
p~
_
_
t ... 85 kgr/c lll' .
500 k¡:rr/c no z,
~ -"
las
L,,~ diugrnrn ll ll dr' 0 r
lit1l'n ~ [lunl r a, ln.• ,,/l.
y (' , 1'1",\:',,,
']¡ul,,~
"11 In
ri~u rll
1. 11. h Y e ¡lOr
En la pared det cilindro exterior.
Po r las rórrnulns (2CM), cOllsidcrnudo p, = Po, P2
y r2 = r" obI.ClIdrou"JS,
=
=
0, r,
r2
miJl(J,=C1r
=-/'0=- 500 kgrlcm 2.
p_r.
,]iagr:""ns de 0, y 0f <,sl:;u (h"j,)s en 111 f i g\)r~ 2 11. f.¡ Y e
líuen._ puul¡'ndas eJ.
CU1UU!:'IlIOS l¡o s IOllS iolll's 1.'11 J;, p~red tlel hloquo COIl1plle~t\> p..,r
I!"~ c ilillll r,,~ (1'''''10 'HI S"],, Lllbo) C"" I"('~p, ,,,,tif!,,t c~ 11 la 1'l"l,.,iulI illterior p ,.
P ur la._ [Urtlllllns (20'1) IJarn p,
2000 kgf/crn' y p~ = n, co,,~idemud o r,
r, y r~ = r, Iwll,1I"elll(o~ ,
1)0"
Ln~
J,,~
kgUcrn 2,
.
rnIUo, = o,
=_p'(2) _
, - =_ .2.IV· ._ =f>OO kgflcm,
3
I
1
,
,,- 'o
,
.,
~
I
,
"
r,
I)or IRS [urmulos (202) y (203) 1)UII p , = 2000 kgr/cm", 1'2 ... 0,
r. h ~ lI n",us ll1s ten s i""es en lus 1J1lllLos de In sUJlerficie
=- r, y r! =
388
de aju s te.
a, ~-'t
1 + -")'
1 +(")'
,
=¡¡'-( )'(" 2= 0· 1 ' 3' I ~!)85kg l/c m.'
r3
-
-
1
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0,
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1 _ )('-~ -)1 _
= p , (-
2. _ 1
?
_. I
O' -I -,-(~y
__
~
:
_ 485 kgf/cm .
3- 1
"
diag ramlls ¡le a, yo, es tlÍ n dados en la figurll 211, b Y e
por l o.~ línens eontillllMI ~!.
II nll;,,,, os IIl~ len!iiuneH re~ul l~nles en In [" ,,·,·d del cilindro lntorior.
o,
= - 1l¡85 2 500 =- I 0 15 kgUem!;
L o~
+
10- ',
(J,
,._t,
o,
__
985+ 985 = 0.
-= - 2 000 " gl/c I11!; o,
"-',
"-"
y en In de l cilimlro e x teri o r ,
= - !iOO _ 4S,j = _!)sS kgrlem l
,
a, ,,_r _ 1010 +985 = 200 1 kgl/c l11!;
,
o,
o,
o,
"- "
"-"
~"
"'" á l O
== -
+ 500 =
1 0[(; kgl/cm';
500 - 485 _ - !l85 kg' tcl11':
- U.
L"'I Iljl!",Ti'J!lIl~ .11) l o~ t (' u ~¡"",'s rt's ull ;'"h'~ o, y o, ~. ' II ~1l eu la ligurll 211 . b Y e IJlJr J8!i ;írcII s r·Hy;, dH~.
Las 1l'llsiolll's 1"{l'r j\·a ll·lI l l·~. ~I"g úu lB h'rCI'rIl Ir ¡Jlüll'~i~ d., r('$i$ll1l1 cill.
r('~ul llon:
"u
ri or.
I ,,~
punlos de 1" 8n pl'rrkie intl' ri " r ,11·1 dll utl ru Illn,J.,¡lin ¡"Il'-
a~",= o,
P- ' o
- o,
1>-',
_ 1 0 15 + 2000 _30 15 kg l/c nr.
,." lús lJU nt us ,11, IIr l!u pl'rlicil' inll'rior tll,l cilindro I'Alcrior .
0.", =0,
- o.
= 200 1 +!)85 _ 2t18G kgflerr,l.
P- '.
"- ' ,
Llr oIc ~v in ciúu ¡n ~ign ificnu t e de 1:0 r" " ,licir'm di, igH al r('~islenciA
d.·) 1II;,I I.·ria[ ('n los JluJllulI 1l\'Ii ¡:rosl)~ dI) JO" ciJi"clr(¡~ el! d(' J,ida 11 que
e) \'lI lur ,JI) ,.: i"troducid .. .~ " ,,1 caJe ul n. "" r~ (,XllctU.
'"
con~i derar
La cond ició n dI) rcsistc nciR 00,11 = 101 so puede
Cllln lllid~
yn quc la so brl:lclIsiólI constituye solamenLe el 0,5%.
l'ruhkmu" 926-!):lO. JJeterminor IA~ tClIIsiunes nurmales r;ldi¡¡lcs
o, y I nlJl:cJlcinl,,~ o, y las llresioJlcs l'1I Jas SUj>('rCi&i"s dlJ (ou t,net o
P~ CII I"s (1I1m8 &"1Il11IlCslus, or¡gin",I~.~ pur 1;1 I"'l'sioll illterior PI
(prulJlelllns (J21;, tl2í). por "J cnhm l"",icIIIO tl/ ' C (prob!"nlu 928)
y pur tll ajuste" prl'l'iÚIl di) ~'prl'lllr;¡ ~\ (prublellws tl2!J, !J30).
Eu lü~ pr,,!;ll'llIa~ !!:W -!!28 ,,!imitase: Hac
2· Jo& kgf/cm'.
)!nc = Ú,3, !latO
12.r,·JÚ~f . E o <>
1.10" kgr/cm', I'c o
0,310,
«co = 1ü,5·!U -·, rl = IOcm,rz
20 (; 111 y r,
1,0 &111.
En los pr"I,It'II"'s !!2!J, n.1U <ll'll'rmínese sulnllwnlo Po.
8andaje
,
fó gf
r, -
di"A
Z
Bandaje
''tl(
i
)'ro!;ICnlU 931. Para 1:1 tu!;" eOll1l'lJ('slo do!;le determinu r:
f) I(ls tllUsioncs ori giuutllls por e l ajuste A Ilresion de Apre tura
lJ. _ 0,4 mm;
..
2) las lensi onC!l or iginlldas por la presión interior Po _ 2000 kgr/cm'.
3) Ins te"ll'i"JlMI t (>t~IC'l!,
4) ltl disrn'nueiúu, en pur c ieuto, ¡Jo In tellsión efecti\'a correspondil'"1.0 ni" lerrl'rl' hipúlCSil'l do resi~'oncil' en el tubo compu('~ lo
on CU!lIl';l rn ciún con el ' "bo mnd1.0 dI) Ja~ lIIi ~u 'll~ dimen siones,
AIJlllÍlll 9\l r,
1Il cm, r z
25 I;n¡ Y r ~ _ 50 CIl1.
I' rnbJ{' l1H1 932. ])i .'~ei,nr ,,1 tub" c\.Impuesto du],[e de dil1lell.~iones
óptinw8 ¡ IO T la terCl'ra h¡l'úte~ i s de resistencia.
ü,"sidf'rn r ,l l"lf~': 1',
10 c m. E
2· 10" kgf/cm', J< - 0,3.
101 = 4 000 Iq;-Ilc m', p
;~ 000 kgr/cm'.
l'rnblCIll3 933. Oe!l' r l1lillll r p(lr:, 1'1 t ubo COIll ]JUcstO triple,
1) 1,,8 ten~jolle!l urj~inmr/ls 11M 1"8 Iljus tC! 11 jll'Cl!iim A, 'i A t ,
~) I,,~ tensioll{,s " r iL:'iJlndll.~ 1'''1' la llN'siólI intHi"r p;
3) In~ t"I1 Sj[)lIl'S "rl"'li\'n ~ 1'''1' 1:, \('Tct:r u h jl'ótt:~is d,) rc~¡sll'ncill;
1,) d p¡"'c,,,,'njo d,' r,.d"cd(1II de J:I~ luusiu m's ,,[{'di,'nl! "" el
lullI' ""'"I'Ul'sl.', e" (,u!IlI'"",'ci,·", cu" l,1 lulll) mllci1.u d,- 1 ;1~ I"i~","s
ti i,n l' lI ~ i.",c~.
•
-1
-{
xrv.
ACCION DlNAi\l ICA
DE LAS FlEIlZAS
§ " ( '" kul" 1/1' ,,{¡IJilI/1I ( ... i1lI ellmll) t ' n IIIIwimümlo
(/·,n",ide" " ,"lu IU1I {lI e ,.::" 1I IU! ;/lI'''l'ill)
La :ocI·i"lI di"iimlca tI(· 1M r"l'M'lIS se cllr:lcleril.:l por la e".i~ lc/lcill
"c,'h' r"d "lll'~ 1'" los I' lcll\t' IlI ".'1 del sól ido el! CU{'StiOIl (sis lmna).
&O).: Ú" Sl'I1I ' las "cd .. r""i (" ,,·~ ' I'le su rgc", "Min el curúcl{'r du 111 dt'fo rmaci,,,, ~. du la d.."I1"II\'ci"" del só lid".
1.11 I· .,i~ l (: " cia lIt} nn, h·tlwi')II{'s c""dllcc a 1;1 al'nr¡c,¡ún ,1" f"crr."s
de ¡m' r,· in "" ~1'1I 1id" cll nt w ri" " I,,~ nCl'll' r[lciOIl('~. Ln rllen.u de
de
iucrei;. l,Tcnlt'lll... 1 dJl,!!C.' ohtit'lI{' C"lllu (,1 produ cto de la maSH dm do
lO'
uu vulllllU'n l,lcm,'ut,, ] d el cuerpo d V pOI' su ¡,ce]erllció" n,
dl' , =dm .a =1. n,t1Y,
g
siend" V l' ] I"'~" de 1" ""id,,,! d e "uJU"WIl dd 1lI,11"rinl d e l ~ó ljd (),
~ In ''''l'h'rnl'ió" ,j., 1" !!Tnv",bd ,
I ~n 1" fi)!tll'n ~ 1 ~ , (1 e~ l~ "l'flflN'n ln,t" ,,1 ('n,"" ,1" un u,o\' illlic"lu
de Ira ~I:t<'¡¡''' 11" ""if"rm,' y l''' 1" fir,:II"" 212. /¡ l,1 do) II" a rOl"civ'l
I1l1if" r ",,' ,
Si dU" " I"~ " 1 "",,' ill,i.'uL,', 1" ,; ,' 1"""'111",. ,kl ~úJ Í<I" s uf,...,,, "cl'I"I'Uei"II('s """,~I""t . ,s. ,101.1" do p¡¡ rl indal' "r"rrir" t'u el e'IIl'l,,,rl:lr,,icnlu
del !lHt!."ri,,1 ,ll'l ,~ól id(), E" l'~t o r " ~,, las l(,lI~i", U'~ y l,,~ drf"rrll;l ci",,,'~ ~e podr;'", uh lt' ul'r G""'" I'H 1'1 (II~" de
"1
sidieitn c i" " l'sl,í li"1l flur rUl'rw~ ,'xteJ'iurrs
,"
y IU('I'zll>' ,It, in.'rdil.
dPu ~v\,
Si ('1 ~o lid" (j u.' ]lr"" fijos ,'ierloS l"'sOS es
'
s uficipntl'Ill('lIll' ri)!i.¡ ... ellt()" Cl'~ por la loy dvl
, '
lJI o \' ill\il'lIt" lid "úlid" >'t' ('s lnhl, 'e"n I ,,~ ,,(,('IIJ'
rn c iúlles ,1 .. " " ~ l'l" ""'II I"s y <I(,los ])('~,,~ y !l"r
és l.;\$ I<\s f!ll'r ~<\~ ,1" iner eill , ¡': ~ tIl S fuerza!' ti c
i"cre i" s.' ~()"'''JI ,d pes" ],rupi" ,ft·1 50 1id ".
n l,, ~ pe~,,~ fijo!' r a tuda s l¡.s fur"zas exl.l'riu l'f's
,,¡¡ I ic¡. d,, ~ y SI' c"" ~i d"r,, l' l só li,!" illl n'l'oso, ]0;]
c;', le"l" se 1'I)"li,,;, l'1l1 "'l l'l'~ ¡)Or I",~ lII i s " ")~ me l,,,,
¡I"s 'Iue SI' l'.<tablt-ckw" p" n, d ca~" de s" li ·
cit" .. ioJl !'s t (, li en.
Fi g, 212
Si el pe,'" tic I ,,~ ",nSa,. fijns 'lile lI ev u el
~o lid" ' 'S g rnudc , ,'n cOllll,,, r,, ci ó u cun S1I IlesO
pru!li'.': Y Ins f"l'rw ~ (le ¡"ereíu tI,,1 ~ú ljd o sun 1'''!Jucñus , "11 elll!l]lllru e,uu C" lI IlI s de l;l~ nHl S3g fijas , elJI"lICl'S nI cllJcllln r " 1 ~úli,j,)
por rt:'sistell e in y rigid('7. ,~c pot!r¡i Il ro'~I'illdir <lc ~" J"'~" I' r"l'io,
I~n 1",; c;osos CllHlldo l;os ori.'nt"ci"".·" ,le I;, s nceJeracioncs (I de l
m,wlt"ir"¡,, tlc l ~ó¡itl" ,latl" c" illci ,l c n !'''" In línea ,le " cciou ,lo 1:,
aeclernció" ,I c 1" gral'e dild ~ l,1 ¡i!,,, ,le dd"r"",ció" "rigiuitdn por
las tllC-f'l1lS d e ill crc in coiueit!e e'", l' 1 ,lo' I:l dcf"nnnciüu t'fcndn por
el poS() Ilropio y In ,. nHl~IlS Ilu o II CI'a. Si "I'nfte ,le ío..;l.m¡ 1(11 .'x i,- tell
ot ras rllefl¡l~ ap licadn..; ¡¡) súlid" ent0 ll c('~ 1"..; esfll,'rzos ge ll r rilli7. ntlO!l
dinámicos P~, !¡,~ !el(~inl(l',~ ¡Id ("" l' ll,,,1"5 O"d Y \¡'''!:,l''lclnl,,~ Td)
y los d cspl lllllmit!" los <'id í t (' lIi ~ ,,, I,, el( ctLell la l,,~ rllrrzn,~ ,lo illercj,,)
COII \'elld rlÍ cnlcularlos " 11 funció" <ll' Ins mn¡;:uillltl.'5 f', 1/ Y t'i c" rresp ondi ell ! C~ n In so li e iln ciólI ('s t "licn s in I;,s fll"rt"~ tlo ¡lIereí" .Y el
coefic ion\ e dilliÍmicn ,
,
,
"
k,t = 1
392
+ -ag
(2 17)
por las fórmul as,
lid =k~P, }
P,I =k<1P,
(2 18)
6,1 =J;,¡5.
En lus c,,~os Gunlld" 1"11 uricll t »c ioul's d o IIIS accler:lci"ut\~ a tlol
Ulo\'irnicn\.o da do del ~ulidu U" w iucid"1I COII la 110 111 ~Cell'rllCi ólI
do In wavedad g, ,,1 ti llO do ,lef"rmllciólI d{!ll:uer pu,
o ri¡:;1II1110 p or 1;,,~ fllC'rza.~ de ; ucrei" )'11 11" cnrrcspondl' rli ~I d e 111 ,11'fo rUlnciJn de h idn ni pellO I,ro llío
ya 1115 lIl/li'UlS que lIe\'a. ,\1 calculi1r ,'l s" lid o C'1l e.'lle
cn.'lO se dclJerá" co ns id era r Iml te llsio n!.'s y ,]('f.. rmad",",s c"r r('~I/lJII,l icn l('s a oa,l" tipo dI' tldllrrnllción
cm n" l)lllu ~ rellli7.11 Iln ra I :,~ ~., Iifi¡ no i olll's <"~f¡'lti(',,S,
Ej e Ulll lo 1110 . La bn!""" l, ri~n ' (l tion de l"llgi¡,ud 1
{lil e 50 purl~ ctus nmsns de peso (l, y Q~ I!(I l'm:Ul"ulrn
011 rnn\'Ímie nlo IIlIi furml"lII{lIlte Ilccll'rado ver t ica I (hllc ia
nrril¡II). recorriendo en I,,!' pri me r O.'! 1 ilCgun d ns el
Q,
eS llnci u S (rig, 213),
DCh'rm i llar el aren n{''(:I,~"rin F d e la ~~i"'n !rnllS'
t'ig, 213
\"c r!n l d e In I"'fr" y .'Su ~I"rg"onicnto diná'l1lc" !li ,,1
pe.'l(l pur ull id~d ti" \'IIllIlI\en d e l Iw'tcrinl do I~ barra es V, ,, 1 mód ulo
d ,! e lllstic ida d IÚlIgil'l(tillnl E y la I.lml<ió u ndll1 i ~¡ hle 11 la tr llc·
cl UII . 10'1.
1I,'~'()luci6/l, I~ I e.'lh1l'r1." IIxin l ('s1¡i ti clI 1I1I\x irlll' CII In s('cclón
II np<' r iur dc la bnr r a ('s,
mllX
N - O,
-1-
0% + l,n,
La I,ClIsiJn n"ixillln Iwr lllnl l's l¡)lica ,
IlInIN
0,+01
IlIl;\lCl _ --F-~ --F
-- +'
Como la iIC¡¡]"rllri'lI l Il e l m"vilnicll t ú dll, l..
v\Jr l icn]'ullute hllCill ¡'rril,:"
d
1
1/ ...
.
~~
c,)(· fi ri" II I,(' d i l':;mir"
•
!:sl l; d i l'i¡:idn
rcs ull nrl, .
Ln tensió n 111 3x i onll di,,¡"IIl1ic)( >'eni ,
Se,:,m la condici" n dl'
rl's i ,~ lc nc i a,
mll. ~ o~ .... kd ",¡'IX
O' ' "
10'1
'"
D e nq\lí se uhticllo el :hea
la hnrr:o,
n(lc(ls;'ri~
El nlnrgmn ioulo dc In barra
cst,íticnlll"nl" es ,
¡J{!
,lo In sección trllnsl'cnlUl do
:írc:o 1: f"""oIn lag r"en.as nclúnn
"'
lll = ( (J, +::"(J,,+
_I yFl ) _ I .
:{ . t
el"
El al:Ol'¡!illniClltu
,Ji":""i,',, ,k la
],nrrn srd 01l10IlC('5,
llid = k J L\I.
l~j('m l ,lu
Ilá . Un
rc~"rll'
]ll'licu i¡Jnl ci líndrico ,It)
I'as .. l'o:quc,1 0. ,Jo 1,,"!!itu,J l = .10 cm, de radi l> ,le la
It = 2 cm, do r;ldi" drJ hi b r = 0,2 cm y do
11. = 10 espiras, 8"I,,,rla
Sil exlrelll(' U,};) 11,,1 ,~n ¡Jo
p('so Q = I k¡;f }' gira en d plan" verlicnl nlr,·dcdor
du In nrli,'u latiol' iUIlI"vil rl'l,lil<ludu n ... :l()(j ruvo1\I .. iu!lu~ pur mi"UI .. (fig, :! 14).
DulerHIÍ""r 1,1 lcn~iun 1IWb'1!",,¡,,¡ dill,hnicll Illhilll;l m'¡X Td en
la sN'ci'>Il t!('1 "Iarll]¡re d,,1 re>!urle y el ,J(,sjJJ"1.n",iclIlo "",xi",,,
III de l pr~u (, ~i d ,,,,;,Jul,, rll' dl'.<li1.,1I11i"lIl" ,leI al;1I1I1"..: t'S
=
= 8 ·1if' kgrlc ",: y el pe su tlcl re~or tc rs IIII'Y 1"'qlll'l1u l'll "UUl]J"f;lcio" eH" (,1 ,1.., 1,1 'I\;' ~;l (J.
lIes<Ji !U:ió/I . LfI fUl'r1.f1 JIl,¡"iru" d,) tn'cci"" ,liuu",icfI I'd =
= kd(J DcIl1H sooro l'] resurte cu,Jm!" (·1 pe.OjO} Q OC1'IUl lit p,,~ic i oll
inferi or l'.~l.rrru~.
Bellidll " In I,{,cn rigidc7. d('1 rrSIII'I,', ni dd¡'rmillnr In fuen:.
centrifuga, se debo tenor en cUJls i¡h'ruciulI el ¡dal'gami(mtfl ¡Jol
I1lje del r esorte.
e~i> ira
""lo ...,
e
As í, pues el cod icioul e diu(lIlIico
~('rlÍ.
,
kó = 1 +!!. = 1 + ~ (1
g
siondo la velocidad angular
w=:n1l=11 .200=21 rad/~;
30
30
g
+
lll):
y
Hllllnmos purs,
Pd = Q ( 1
+ ;~ (l+ I¡p~~~3nD)] =
Q [1
+ 0,<\5 (30 + O,25/~d)1 ~
::::;: Q (14,5
+ O, tlP..),
de dOllde so obliene.
11,.5Q
Pd =
1
::::;: 17 1 kgf.
O,IIQ
,
Ln lensióu ¡ulIgellcinl oIin¡irnic¡. máxima on In socción IrnllsvCTsn!
del nlnmbrc del resorle
~rrá,
y el dcs]l!azamil:'uto dimimico Ill,;:':irno oJo! p<,so,
17,1
tJ.l= -1 l' ~= __
1,
\J I!
~
1.1 , 3
cm.
lo
l~jel l1l, lo IIG . La lwrrn prisl11:, t icll do lon gi tud I que ~oporln
su OXI ,"CUlO anpador el P('~" (J, ('s11' cm!wlrada eH el extremo infe-
b)
e)
Fig. 215
dar en unn J';I'UI nhsolulfllllcl\te r[gicln '1"0 so
ng.
111"0\'0
216
[mjo un IÍngulo
t;t
nI plnno hori7;outul con IlccJcrnciún C()I1~ln ll llJ (l (fig. 2 15, /1).
I)CICflllilHlI' l o~ v'l lores máxirno y míui!110 de las tcnsíollCS dindm icas IIOTlllulcs en la sección peligrosa do In barra, si su orca y s u
395
módul o do la seee,':'1I ~on rcspecti\'a!llell lc f' y IV y 01 peso por unidlul
d() longitud, '1_
!f1'llQl llriú'" 1)1I1'nntl' el 1I11,\'il1li('lI l" del ~iSlcma. soLre la Imrr'l
actililll: el !leso (l. ,,1 p"S(' pr"!, i,, If. dirigidus \'crlienlnH'1I11l hlle i"
0'
g
t\lIle,'ntr.~da
ahaj o; 1" (,,<:r,. a do;> ill lore i"
y In {'<lrga ,Ir ¡IIHei,..
forn lC',ueule ,I islrih" id " !Jo uril'1I1;lda hnj,) "" ;"lIIgulo
g
~ _
"" iCl
al
-
l'j () !lc"'uól ri,·!<. ('n diT('cci,," 0IJllc~tn;l lo d,·lll1vvillli('nLv (n¡:r. 21.';. b).
En In secciúu peligrosa {,I1'polr:,,!:, de Jn Lnrra "parecen ¡n s 11'11sioll\'s nvrllw!\'s oril:innda~ p"r las fuen,as i<i¡;ni cll l e~:
r" ef~;\S rI,· ¡':fn,'(',!"d (J y q (1 111' ocasi"UMI c"lHllresiúu nxial
"
,
Q+!Jl
~--I-"-'
COUlI'UII('u l('s do los fll(' r w~ ti., illerrin 111'(' o1Clllnll a lo lnrgu del
eje geul1IélrictJ ,lo In barril y (l ile oCHsio nall CO ll1pfl's iún ox inl,
0-= _ W+ql)lIsena
,F
y cOlI\ p" lll'nh'~ ,le I II.~ fllerzll.~ do inercia '1"0 ncl únll perpe ndic llln" IIwnlr al "jo b'Ü()l1uítrico de 111 h:wra ~' que uC'l ~ i O lllln flexió" ,
Las lensiol"!s ""rrnnlt>." din:imicas máxi,,,ns y lIIí1lill'"5 eH la
ció" pcli g r,,~a do 111 ]¡"ff¡1 scrfi n.
",.",,
=± (O+~I/I)
alcos a _
•"1,,
g lV
0+1/1
,..
~l'C ­
(I +~sen
a) .
I!
Elemplo 117 , Unn barra do IVlIgilud 1, ¡udinnda r.!s pt'c h , ni
plllno buri wntal el ¡íngn lo a, 5llp"rLn en ._u ('.\ Irelll" libre lIun IIlasn
de peso Q y girn alrededo r dl'l ejo veftical 00 COII \"Cllocidnd ¡¡nglllar
ÜI cO ll51nlllCl (fig, 216, a) .
Detorminor In leusión norllH,J dlui,¡ni!!u milx i llla 011 In SIl!!!!;Ú"
pe li grosa do la Lllrrn si 01 pl'SO por lJuitlllll dE' longill"l de ésl:t el! q.
el áren ,le In secciÓ n trnll s\"l' rM I, F y el IIlódulo d ll la seec;':'1I 11 1"
flexi ón. W .
IlI.·w/uci611. TcuillUdo e n cHonln 1.15 fu{'rlas ecn lrifugns I]Ur apil ret)lln. escogll tllos (,J eS(luemn rlll elilc.. l" represc"lodo llJl In figur /l 21G, b.
300
En la secció n peligrosa empotrada de la barra actúan:
1) momen tos (lectores
debid os ni ¡K'so ]lTOrio de la barra q
,f
M '=Tcl»a;
a l IIe80 do In masa Q
M~ -
QI coa a:
!l.
w'l tOS a
g
fI In fllt'Tzn contrífllg1l eoneen trnda
Q(.,~ I
111.=--1 sen2a¡
2,
a la Cl\TglI contrifu g:¡ diSITilJllitln linen lrnen ll' do
,
1.
(U'I tOS
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eSI,,,, j n dic"d o~ COI1 [[('("hn!' ;lrnrlll"'"in d ;I,~ ,1" I...s ímUr,'s '" Ú 11. Si 11 0
se dan In.'! d irn ons in llC" .10 la ~m;I' i" " l r"n s"\'r~n l y r: ,j,,] ,¡rl",l, \'"lll llce" rnll~ideN!S(' t!.~lo nb":l<IlU lnrnc n lc r ígi do. Lv.'! I'lcll"'1I1.115 nb~ II¡ lI la -
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mellle rígidos do los , ¡s lcmlls. excluyendo 103 eje~ de rot.aciÓn , eSlán
roprellC ll ta dos por líneu dobles con rAyado.
Eu l udos lo!! problemos a exce pción de l 912. consideresc que la
rolaciOIl tOS ull ifurlll ll. I'reKill!ll1st' de lo~ ddur llHlcio nell tic l(js elemelltus del sistoma a l calc ul ar 1;ls ruerl;'s do illl!rcio.
En lus I'rlJh lc m ,,~ 937 y !l38. arwr1c de 1 ;1~ rut'nn~ do ¡IIl!rcin,
c()lIsidúr~BO l lUlI hién 11l~ rucr1.ns do gn,v,,¡lnd.
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del sistema elástico do la ])Osición del ctjui1 ¡brio est able. Si el
~ i $ lcma
.'loMea do s u pos ición de e lJ uilib rio por la acción tic un solo impulso,
entonces ~c obtienen 1,15 IIsi lIanllldns oscilociones libres o prof,ias. Si
sobro e l ~islllma nclÍla una fuerza generalizada (¡ue \'nría periódica-
lUonte en r'uwión dol tiempo (fuena IluLnrbadorll) oblclI¡]rcmos olllonces los oscilnciolll's forzadas.
Las oscilaciones libres, como cotlscc".. ncin do IriS rU CI'~ns ,lo
resistenci", ~on (le hecho oscilaciones All1orliglllldns, 1'5 decir. oscilaciones quo ocurren con amplitud q ue disminuye con el tiempo.
Si la frecuencia de Ins osci lac iones libres co incido con !¡l do 1;1 fucrzn
Jlortu r badora, en t onces surgo la resoll3ucia. fenómeno quo cunsiste
en un ;'unlenlu rapido y continuo rle 111 ~"'pli t ud. Puesto quo el
lI umen to de la ampliLud do Ins oscilacioll f's cst;í re laciona do con e l
incromc nlo do las tensiOIll'S, JI! r¡,som,n ci¡¡ pued o conducir ni sis tplun
a un fnl 10 prematuro.
Todo sis temu ol(,slico Iiono una infinidad ¡lo grndos do lihertad.
pUl'Slo 'IUf' el IllJIIll'rO de coordelllldns indopf'IHlientf's que determillllll
la pos icióu on el CSJlncio de las masns diMrihllitlns en los f'lemclIto¡¡
de l .~iste nHl es infinitamen tu grrmdc.
Si lA masa prU IJifl d.'1 ~islonHl 110 se cOJl.~illcra. o se cOIl~idcra
reduciéndola a uno o va rios Ilunl<18. e nlouces se puede estimar que
el sis te ma tie lJ e uno o v/nios grados de liber t ad. C'lIlt1do se prpscimlo
do la rnflsa propia do l sistema, se considera que éste licue un gr~do
do libertad si So porta u lla sola masa cuya posición en 01 esp~ cio se
de terminll ]lor 11M sola coordenada. Si la masa propia de l sistema
se puede concontrar, con suficionle oxactitud, e n 01 p unto ¡le apliclIeió n de l peso que sopo rla, e nlonces se consi dera tamb ién 'Iue convencionalmente el sis tema Iieno un grado de libertad .
Aquí se a nalizan snlamcnlc las o~c i ! a ciones pro llÍas sin IHllorli guamicnlo del 1Ii.~tellln de un grado de !iherll11l y se prellcindo de la
."
maslI propia dd 5islemll . Lll Ula~a propin $C co nsiderará solanllmta
en lo~ problemlls más Si m ples {jnll ~Il rdie reu u ]llS ~iJ n ci" u es de
barras prism;iticas.
En l odos los casos. I¡. nH'~n que osciln se cOllsidcfll conslnu lc ye l
~i~ lem ll elástico, lineal. es deci r . (lile la fuerza b'l)lIe rldita{I¡, de r~u­
!,ernCión I~ que npllrt!t,e 1'11 un IlIorneuto dndo I'S prOIH,rf'i"ual 01
de.<p lowmiell1.o genc ralizndn torr{'spon d i('nlll 6,
/' = Cl!,
(2 HI)
~ icndo e la ri¡ádez rld si~lell1a, fncrzn ge neralizada 'lile origina
1111 ¡Jesplnwm icnl" ge ll{'r"lit.ll(lo igual 11 In unidad,
La cou figur;,ciún d(>l sistema dl'fo rn,MI(, uurunlo las osdlacionlls
.~c considHIl la mi smn qlle la q lll' correspo ut!o a la ~o li cilllciún
' ·.~ I I¡ li c;, del ~is l eml' pror t" ('orrl'spulIdi{'ulc fUl'TW gell{'wlizadll ap licntla 1'11
{·l 1,""1,, ¡junuc $C fija 111 n\a.~a ~'<¡uo
Ilclíw ell la miS IHi! ,lit('c\"Ít", 1'11 <JUl' a¡ C,
b)
"curren llls (I~c il acio"e.',
c'f'
e,
Os.::il nÓ II" CS libres de siSle,nftS ,,1'¡sl i"{I~
l"("!dntli en~ ,, ,le ,,, mm.." w... "ia
En 1'1
e,
cil~o.Je
s ist.'ma .• lill".11",,,,, le
el ,¡"lIl'ln7.;'lIIi,'III<' gelll!,,,1;1.,,,." /) ,Iel 11111110 oIf1 slls¡lellsiún det
j)C~". cnrrr~I''''/IIlicn l(l iI),1 "rd"lI e~t,¡­
lirl' s"hre l'~le mismo ."11110 .J I' 1'1
cnrr,,~p(lII¡jiCllle ¡,u-rw gl'nernlí w,l;, "
~e "tJli.·"f' r,¡dlm cnt c por fll,'!q,¡j,·r.1
.JI:' los mél"d"s (''' IHlCitj"s y In rigi.lc1.
e ,1.·1 si~ t,'n,.l por la ".qJl'l'sioll,
.¡('r"'·II'llhle~,
e,
,
e,
'
el
;21
di ti"'c;);
e;
La ri¡{idn ,Id s isll·{"a r"" U"'l'xi,'",
[ln ra¡'·I", ell s .. rie n mi.\I;, do ~llS {'le1lI{'{llOS c llÍs l ;co~ c(>lIl';eIlO ¡)el¡>rmi nnrln
recurr;en,lo ,,1 ",él"do ¡;iglli¡>lIt l',
Si los el,·mCIII ..s C I:¡ SI¡co.~ lid .-isleFjg. 2111
m3. de rigidece~ C(S{' lI\len ('11 paralelo
(l'sqllelll".~ dil In nI;. 2 18, u y b) enlonces In ri gidl'Z del sisleJl1a sc rá,
C = ~C¡,
(22 1)
:;i ."1' Ul)e" 1'11 seri" (fit:. 21Fi. e).
"-'e,
(222)
y si ljIJ lHl(l1l do maner ll mi.llll ([ig. 2 18, d) do 1111 fonnll f/1l0 pll rlcde l(i.~
de rigidllces C , cst lÍu unidos e n paralelo y lo otr~ parlo
d o l,,~ (llc m ell t \~~ do rigidecll!! cí ell ser io, e ntonces 111 rigid ez 10101
d el s islllmll sllrl;,
cl (lrncn l o~
(223)
CUllU!!Q se I'rescind e de 111 nl:lsn prop ia de l sisl(lma , l~ frccueucia
c irculllr dll ln~ "scilnciolllls libres w (numoro dll oscilaciones IlU 2n
seg uud os) , 111 rrec uellcia de llls oscil"cioues N (uúmll rfl de oseilacionc~
¡¡ur !'Cf(ulldo) y el pe rÍ(lIlo de IUl< o~cilaciollcs T (li oHl¡1O l)Cce~llri"
pnr'l r..,diznr un ciclo completo) se de ter miu an pvr los rórmul"s
sigll i cllte~:
n) I'H el
del
e".~ ...
del mo\' irn ionlu illtertl'lli\'o (d e
'''' ",,~e
y
retroce.~")
I"'.~u,
-~ VI ~ l/f:¡¡
III
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c=_n ,V/~-¡¡' )I
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(J, kgf.s'/crn (el] el siSlf) ,u II SI
/fI
es
111 Illasa !lI1 kg '11le so delermina com]lilníndol" e"" In
mus" ,mIrón de , kg; el peso Q eH Ilowloncs, V mg);
d~sphl zall1 illntu Hilen ! del Iluuto de ¡oplie;,ciún de!
Ileso , corrcspolldicll te 11 la acción e.~l¡Í l icu d~ 1"
fuenll Q orient"dll Sl'g,íu I~ s oscilaciones, eH c m(m);
rigidez del $¡slema, 011 kgf/&m (N / m ó kN / m);
h) elJ el cus\) d e un mOl'imiclllo IlJt l'rnalil'1J de rO lae ióu,
-- ~'1
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yt.
N=~
"
1=2:t
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(225)
siendo
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"W~(' dd
(el! el ~istl:'rna S I
mOnwllto de illercin do i:l
~ >;u
eje de r"lneiúlI kgr'Ctn·s·
'm JpI um = 110 J I)~ dV
kg· m' );
y pes" 110T unidad tic "O]UIIWII tlel ll mllSn fijll Ve n kg r/cm'i
Po densidad, ,m,sa I)"r ulli,larl do \'" Iumcn ole V cn kg/m '
(en el siste mA SI):
1) di~lalldn del t']ell ll'lIlv ,1.. v.rlllmcn dV u! eje ole rúlae iólI ,
en tlll(II1);
e = !!.... rigidez
•
o
~i~tcrnll
.'11 kgr ·cm (N· 'u), d"o!!e M es el
11101111'111" que ;j('llia c~I;;licnmcnlc sollro la sl'teión
de susponsión d.,1 p('SfI ell la lI irccl'iún ,1,) las I)8eilnciolIes, 1'11 kgf, c lIl (N, 11') Y <r, ('1 de~ I)lnutn, ¡ ('nl" illlJ.:ulll'
,ji' 1:, ~N~ciúlI rle lIlllicneióll riel !H"'"CIlI" M "rigilli,do
p"r In !red,,,, ".~I(,lic" ole ,\sl<,. (. " rarli,,"e~.
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Eje mplo 122. Dnd o: Q; 1; las caraclerís ti cas D , d y 1I del resorle
e l " limero do eS I)ir~ s) , G y q u o la barra AB es nbsolu tamente
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1 -.--
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Fi g. 222
ríg id n e imp l> ud crob lo (rig. 222); determ inar 111 frecuencia circu lllr
de Ins I>sc ilacif>llcs W 011 función do la pos ic ión 1101 peso Q, es decir,
NI función de la distnnc ia x,
/l esoluci6n, La fu er w qlle t rat;c io na el rosorle es P = Q ~ , El
,II'SI, I:walll ir llto
\' ef ti c~ 1
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G,
V 2QDIi'
Es t(! pr(¡bl em~ se puedo resolver también IIM ti en do 110 del mo\' imiento de t roslaciólJ, s ino de l lll ov imí e nt,o g ir~,t,ori o .1,,1 peso Q.
ElIlolWI'S so (Ohtend r{l,
liara el dcs pl¡o z¡om iento angular del peso, 'P =
6í' ;
[tam el Illomemto do rCCIII'(!fa.ciú ll , M "" PI;
IIIIT,1
la ri g idoz del
~i s telllll,
M P¡I
C _ _ "",_
'p
5"
'07
pnrll (ll 11\01" ""1... (le illcrlli" dl' In IIII' ~" de l pl'~O r('s peut u nll'j"
tll' ro lllci(III,
Q •
J m =~.c-;
g
Ej('rnpJu Ji:!. Dlldo: I",rll I n ~ l"IfT<l S, ' " d" (,' 1. 1" d , ,\' (,', ;
Ilnra ,, 1 (1i~IlO '( ( I)C~" por unitl1,,1 do vulum e tl), U y h (fi ~, :!:!:.l) .
Dolerlllillnr In freclllmci .. circular w de IH,~ oscilm:i""es 01,,1 d i,"c",
R esQ/uci6lt . LHS ri gidcc"s de In s ¡'nrrn ~ 11 1.. I<w¡;ib" ~"" ,
c! =
C _ Gil 1' , _ (J,n¡f,.
,/, - 321, '
G, /p , = (;~(~,
l2
32l.
Pues to 'lile la.~ bnrrllS e,~t¡i!l 1",i,I,,~ e" par"I"I", 1,1 rj gi d ,' ~ 11,, 1
si s tCllI1I ,)scih,"l e ~e Obl",'ulr!í IlOr 1" r';'r"mln (22 1), es de cir,
C=C,+Ca=~ (G,tIt+ Gt~ ).
32
El nW'""lllu de ille rcin ,1..,
ni eje de rolllc iúlI N',
I~
rl'~ I','tlv
DI!
' S' ' S·
g,.
l.
m,1 S11 ,J,,] disco ciJíll,l ri co
DI1.
Im= -
1,
'l' S'
p dV = _
p2"phdp = ,!n - h
go
C
Por 1.. I';'rtnlll" (22,S) ¡'"lIaulUs
Im:io"cs ,,.,1 di sco
I,~
f' dp= -Jl'(hU
_ _' .
32g
o
Irecue tl da " il'clI1.1r do I;, ,~ usc i-
. I G,tIt + (;2al
h, =
~
VE.. =~ 1/
1m
D ,
_1,___1,_ .
X/¡
g
Ejemplo 12". Dudu: para 1" viga 1"
12• E., F2 Y Q (tig. 22") .
I!.'¡ y 1"
p"r" 1" barr.. .
De terminar T.
Re$olucitJ/l. La rigidez de la \' ign se bril des all<lyos solicilad tl por
u/la fllerzn Hplicfldtl e n su se<Jci6n media es,
e
_ 4BE, / ,
, - l~
40'
la rigidez de la barril 11 la t racción,
C:= E:F1 ,
"
Corno la vign y la barra estiln uoid ~s en serie, por lB. fórmula
(224) o blendrern o~ la rigider. del sistema o!cilnntc,
I
e - - - - ---,,----'-----c1. +.!. ---.iL + ~
Cr
C:
48E rJ,
EtFl
Por In rórmuln (224.) se halla el período da In OIlCilacioncs del
sist emn,
¡',,,blemlls 9.}t¡-9G5. Doterminar In! mllgnitudes que so indica u
cund iciones de los problemlls liara los aistemns OIlCillllLte8.
rli reccióu tlo In OlICilllciollcs se indIca por flechas situadas s I
lado del /)('80.
en
¡ II~
L~
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I [Mi/¡m'
' 9810'
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l 'llf)'~pr!1
c ·~ II'IIgI/t",:
..
OIIc:llatlonee Ilb_ de al5temll!l
F~ II
el'~IiOO8
t<lnsidNando la
tnll5.ll
I"ollla
las ~lIaciolleJ libres de un sistema elástico, la Ulalla di~ tri ­
buidll propia mo del sistema IHlede consider~rse de manen Il IJTO" imadi, dllSpluáudola al puuto de sus pem"ÓIl del Ilt'SO y sumándola
con la masa m del pelO.
So enliende por mua reducida m. la masll COllcent rada en el pu nto
de sUlI penllióu del pesó c uya energía cinética es igual a In energía
cinética dol mov im lonto dd si~ lem8 de masa mo. La mognitud de
I~ mosa roducida Illl lH·olJOrciollal u la do la lUMa real ud si~loma Y !Se
determina ¡Jor la rórmula,
(220)
m, - ~· .. ·mo.
..,
El coefi c ien te !l e reducción de la ma sa km de pende de 111 ley de
"'1rin ción tic los velocidades ¡leI m ovimie nt o de los el!lmen t 08 do la
' " lI$1 /l!Q Y S6 f's l nloJece tl f' la igunldnd de 18~ cUllrgíns cinéticas de
j "s uo.,,,irnhlll l"S lI u 111, y IIID qu o IIOS 110\'1I a In Ilxprus ión s ig ui ente,
1
k ,"=n/u
J(,,)'
-
v
/)
(227)
dmo.
:<il'ud" /'i Y 6., los IIf's plllZlI lllienl os ¡::encrul izndos del plinto de s us·
l)l' II.~j6 11 ,lel pes .. y do UI! jlllnl(, ¡¡ ¡-hitrorio del sist.e ma originados
I" s d"s por In Meión es t ali e!' s ohre d s is temo do HIlJl fUl'rzn gIlUCTIl lI'l '''!;' que CHrI'l'~ l' onda 111 tip" de defo rWl1ci ó n ,11' 1 sislomu en las
<Jsc ¡];H: i v II C~. ap lica d n 111 punto) do;) !;tlSpCIl.':' iÓn ¡l!; ] pc~o y o rimllada
seg ün Ins osc i lll ci,u,es.
E " (! I C,1S0 df' Ionrrns I"('(\!ns 11 (~ wcción I r"II ~\'l' rs¡d cu nSlfl llt o los
coerieiL'n!C's de reducc ión d,' h. ,n;1sa se obli"II CII 1'",. I ~ fOI"",,,III ,
,
k"'= 71
J('i )' dx,
(228)
o
"¡{'lI(lo d.c e l l'Il'lIIC'u l" , 1,· IUII¡;ilud .10 la
l s u 1,,,,¡;iI IHI .
L;. frccul'ncl;1 circ"I "," (oJ, 1" frl'cl1" " c in
r.s\;¡ I ;,~iulI('s li lJn';; dcl ~ i .~ I (",w , 'hi.~li c() "11
CllC'"I ;l In ,,,,,-,,,, I'rul,ia . .~" ulJ li l'II CJI I" ,r
1» l'U 1'1 " ,,,vinoiento ;,Jtcl"lI:l l i\"u.
w~
V
e
m + k ", lII"
lJilrr;. ,
N Y el pl'rínd o T d ll ln s
(' 1 (;"-"0 (¡ " I.! ~\I lOllgn c"
In s rúrmIlJ;I ~ ~ i g ''¡(' II Il's :
~ ,rL----,l~
li 1
1
,. (lo
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,
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1
~' f + km~
m
'1
N=...!...
" (1+""(1
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"
-,
/
2n
, (22Q)
'1
~' 1
'1;
r
m
+ 1.',. -"
m
V-"- (I +1;," Vo ) ~
- , V'-(I + ,. ", _mo),
(1
g
_
_ JI
I!
111
siendo
O=
mg y 00 = moJ( los pesos de la
SiSlcUHI,
g
el desplnzn mienlo line/l l
1:) =
d ~1
ma~n
a plicada y del
punto de
~llspensión
del peso, debido n In l,l cció u esta t iCII ~l)brll el ~ i s t cnw do
1:, fue u a Q orienlada segÍln las ol,(;i]¡u;iones,
b) en el movimi euto nllcrn nl iv o de ro tación
1
(230)
..Q
_'-.LL.. .1
b)
•
1
f ig. 225
sien¡]o 1m Y 1"", los mOlllclIloS d" illereía dI' In mnsa
del PI'!!O m y de 1;1 IIlIlSa dl,1 ~ ¡ ~ l e ma
mI) res pecto al cje ,[ 0 rolllciÓ n.
Vcnmos nlgunos ejcmpl o.~ dOllllc se considrrc 1"
masa propin de Ins bnrrns prismáti cAs , en el l (;~~') d ...
las osci laciones libres má s si mples.
Eje m p lo 125 . O.~cil~ci o ncs 10n!litudin~lcs. lJad o:
(J, l', F.o, b y E (011 cl sislcnw S I se co nsid('rn d ndn,
111 Ul IlSA d ... 1 peso ni 1' 11 kg. In d(' n s i,l~d do In Iwr ra PI)
el! kgl m~. F , a, /; y E, fig . 225, o).
Dc t('rnlinar T.
Q
Reso llU:i6/1. Cunlldu 111 (;;1rga Oncl ÍJll llst¡ilicnmellt(',
In relación entre los dCSIllaz ll lll ienlOl' line/llcs (nlargH Ill icntos y acorlllmientos) de dos seceio nes nrbilr1\rins
(determinados por Ins coord('lmd3l; x, y X2) Y 11\
~e<:(;iólI
do s o spon ~i ón Ile l pe80, su n re~pecti\' nmenle,
,
~- ~
,
y
De la expresión (228) hallam o~ el coefi cient e de redu cción de la
m/lS1l ,
Puesto que los tramos de la barra se unen e n I)aralelo, por la
rórrnula (221) h allamo~ la rigidez del sist ema,
C =EF +EF =f:, }' a+b.
a
/J
ab
l.... , "'asa propia de l sistoma es
1110
=
L
f'
g
(a
+ o),
y la do l peso,
m=!l( e n el sistema SI mQ=ro}'(tI +b) ].
g
J~
Por
1iI!rI' ~
_ n
7'-2
e" ,,1
fór llllll~
(22\1) ]¡allalllÜS el ]Icriodo de lns oscilaciones
del s isleJl1:l.
Vm+ek.
__ :1
,IIIQ_,)
~ j~tollla
SI
T = 2n 11'111+10,,,111 0
e
2n
V~. ~ ( I+IIU}' .II+b) ,
EF a+b
3
111
C(J$QS porliClIlures (se 1IIllllizIlll en el sistema técnico do unidades).
Si 01 peso Q so sus]Jendo solJre ¡a barra do lo ngitud a, JJlion tras
'lile la tlo longitud b no l'xisto (Iig. 225, /.1), olllunces, SUIHmi(lIldo
bEF
= O.
"ht('nllrf'nHI~
/<; ,:
C ~- ,
F
lIIu = L II.
g
a
~.
Si él ptSO Q descnnsa ~u lm) Ifl ha rrfl do longi l,ud /J, rni(mlrns (]uo
la lJarn' tlll ¡""gil,,,1 11 " 0 oxistl' (fig. 22;), el, e ntonces
E'F
- = 0,
a
c - /:"''-
b '
IIIQ =\'"
- b Y 1· = 2n. , / Qb (
g
EFg
V -,-
];:jenqJI .. 126 . Oscil/lciones l r;lllsvorsnles. Dado:
y 1 (fig-.
),
, + \'f'b
-,3(1
Q, y, p, /, E
226l.
J)"¡ormi na r T.
f{ esoluc¡¿i,l. C"n'Hlo el poso Q actún cst:íUcaUlcn tc, 01 <!cs lllnzamionl" lineal (fl"cha) de un~ scccióu cunlquil'r a ~ilw,da " lllm distancia,., do] l'lIlpolrnrniento Izquie rdo M de lcfJni,wr,í IlOr (,1 111(\10([0
de los parámetros de origen,
6
x
De
[11
= ~(ftf.!!..._!L
.r).
El
2
2 6
c",,(]ieiún tia sin,ctría de In \'iga se dedu ce.
,~ ~ (~_ 'l!...)~ O
(d',)
dx x - y
El
2
1(i
y
,
:11 0 =Q'
-
'1 por lo tonto,
"
6,.--~
4SE/ (3"'-""')
f
t" '
b)
Q
L __
Fi¡r. 226
Fig. 227
Hallalllos pur IR rórmula (228) el coeficienle de reducció n de la
1D888 de la viga,
m
In
•
•
k"~!' 1
J(6·)'d%~32 J( 3 ",_ , ,,, )' ~!3.
61
fl'35
El peSQ propio do la viga es Q = 'if'l.
El periodo da lBS oscilaciones li bres da la ,oiga se obliene de la
expresi6n (229)"~~_ _--,,,
...
T~2n V~g (1 + k.2c)~~
Q
4
V~ (1 + 13 'PI).
3El g
35
Q
Eje mpl o 127. Oscil l,ciflnes 10f.'lionaI1:'5. Dado; Q, D , y, el, a,
b y G (Hg . .227, a) .
Determiunr T.
llesolucl6f1. Duralll.C In Ilcc ión es tática del mom(lIIlo dc rolación
((UC actúa lIobre (n sección dc suspensión del disco, 1115 re lacio nes de
los desp lazanlÍenlos Illlgulnres (ángu los do giro) ,lo s()ccio,ws arbitrarias (¡ld() rmin,ul.1 l1 pu,' Ills coordeulldn s'x, y x~) y la sección de s usI'l'n~i(,,\ del di!lc" ~'J!\ n'sp!'eliv Amcnte,
= '1'.•. =
6."
~
6".
'Px.
r%
'6=-;;
=1;
r
a
'p
.
Do acuerd" (\"U la [Mmul" (228) el c"l'[icienlo de reducción de la
mnsn tle L, I,, 'rno ~.' r ('
"
k",~ _
,,+' b [r(,"-)'".,+
J "
Jr( ·"/, )'''.',l~ .c.1 .
o
•
P,U'sLo (jitO los t rllrtlos tle In bnrrn es1án uuidús en IIaralelfl, 1'",.
la iórmuln (2.21) haJlarl'1I1os 111 \'ig ido¡ de] sislellln
e=
(;1 ,.
+ (,"{/. =G I /.II + /, =
,,/¡
(1"
+ /,
{;,,/f' ."
.32 ah
El 1l1Onwn l n do in('rl"Í1l tle la ma s:. de la h"rrn rilíndri ca r('sllect"
" ~" "jp goo",é t.ric<> lIf'ri,
n \'
32';
/r(a + b).
1m. =
El momeuto do illl'TCia tle In ma s" del
¡!i~<l"
cilíllllrico do l'('lI"
Q y de (li';"lClro D es,
(1
J)~
g
"
1" , = - . -
.
P"r la rúrumla (:!:lO) .<e uLliclH.l l,1 pcri "du de 1;,.';
liJ,rl'.'; ,1,,1 .~i~ I (l!ll " ,
T =:!¡¡
~kn,lm"=:!¡¡
e
V
(1 +~~) ~
I m"l!
Glp(u+"J:l
-Io,,~ " /~.~ (l
d~ V nGgl/+b
CI/SO porliwll/f. Si
".~<.:il~cio!lcs
+
1m
.(I+/')
:r.lr Y
12Q
/) "
.
(fig. 227, b) , culoll<.:\'>'
e_Gil'
"
1
_ :r.iI'i'"
m.-
32g
1, 15
,
T_2" y'1'(1 + "-~)
~".!!.
y'~
(1 + 12QD
"""'z).
GI l'
3 1,..
cf
lIGg
I'rob lCll lllS 96Ii·970. Determ ina r 10lI I;odicieu \cs dc reduc..:iúlI
dc lA musa kM do IlIs "¡ga s, co nsidC.rIlntlo (11111 111 IUlIsn se dcsplnzlI 11 Jo
s«ción K.
¡
968
t -" tj'
9~9Clijlfcm
ekgl/&m
-
t-
"
t
0&
-1 I
11
+ e _I
1
I'rohlc lII lIS 97 1·97:; . Dete r mi nor los l)uiodQS
libre! do los
r
de 111.'1 oscilaciones
si ~ t c !ll ll$.
m
e ¡¡,ro e e~Jffcm
,
I
'lO
a
If
m
1m
~
O!ei lAdone!l rOnJIdA' ~In ru"'r ... ~ de rf:!Iistendft
Si las oscilocioues forwdlls <Iel sistclllu de uu gra d o de Jjucrtad
result"n (le la al,licución so urc peso tlo un" fucrza gcne ruliza<ln <le
perturlHlción a r mÓZlicn
(231)
"ieud ... 1'0 el \<a lor má .x im,) de la fuerza perlllrblulorll PI';
Wo In frecuencia circulllr <lo esta fuerza;
I el tiempo;
en tollcc~ la amplitud de IlI s oscilaciOlLCS forzadas JI se delerminurá
por In fórmula s iguiente,
'.
.
,
A =---z=~
1 _ w•
(232)
g.
'
In f(,rrllula (~02) 60 es el <Iesplnzalllien to ¡''ClIl·rnli1.ado del
puuto ,le 511spensión ,leI pl':!lO. o riginndo por la accio n estáticn do 111
fuerzn I'u. w, la frecu(' ll ci.1 circular do lns osd laciouf's propiu.~ dd
"i8Iem" y
I
P ~ - - - 1 ' el coeficiente de aumento de las oscilaciones. (233)
1_ w•
~:II
.
>
'
,~O
w, ell\('lIces JI_ O y e l pesu
.~i~h·nl" elÍtslico permulleeerá prÍtctica llleu to
,¡IIC d escnnsa .~oUrc el
ell repos ...
Si Wo <t w, entoncl'S JI _ 6. Y las oseill'lcioJll's .Iel peso ocurri rlill
cun IIlIa 1l1l1plitud igll:>l n! d~sp!l'Izi\l]Iiento urig iuadu I,or 11'1 acc ión
estática de la fuerza 1'".
Si Wo ~e apru~i"'n a <oJ, ClltOllCf'S la ntlll'litll\1 JI crecer,¡ r~p i da ­
ml'lIte.
C,,;HI(io ,~O = lO s IIrgol l:r res""llllcin y JI .. oo. Eu r.. ali dlld .
•h·hi.lo H In existencia de f"e1"Z".~ d" resi~tcllcia, la amplitud A 110
Ill'gará a ser inf illita. pu" s í. puedl1 n!callr.nr UHa IIwguitu!! lIluy
Si
c,,"~idl'rable.
l';" la lom, de 1"l'~I"""lci" , C'WII<IO 0.7 ..;;:
Wo "" 1,3,
'"
I,, ~ fuerzas
pertllrha dQT.1S 1'1'1 "ti\'ultlc"l o 1)C(IUcñas pu ede ll originar ddurl<llIciQlIes cUllsiderables en los cll1llle"t.os dol l'istonw !¡ue oscila. por lo
lanl l'. l ell.~ iolH'.~ c"n~i,h,rnJ¡les larubiÓ".
Si 1" Inlc"""ri,, de )" r"e!'la perhlrbl1dúrn. al Cn'Cf'T, I ",~a nip idallWlltl' la Z'''n, !!u rusvIIl'lncia. e ut oIl C!'S In fllllpliLud 110 lelldrú
tiel11po ~lIficielltl' para 1llcmu.ar su \'nlor m,¡ .~ irnú.
EjclIll,lo 128. AI ¡Il'sO Q = 100 kgf, que descan s11 ~I)breel ex t remo
de IIlIa hilrfll prislll" liel1 lIe longitud l = 1 111 Y de ¡iroa de la ~ecc ióll
tnfs\'l'r~al F = I {rn ~, ~c le fijn olro peso Q, = 2 kgf ' lile gira c{u)
~1-61>
el brazo p = 8 cm rea lhando n = 2 1i0Q r.ll.m. (n g. 228, a).
El módulo de elast icidad lo ngitudi nal del ma terilll de la ullrra es
E ... 2· 10" kgflC ln'.
Determina r la ampli t ud de [as osci [ncioHes fou adn ~ ,Id peso
prescindiondo 00 In masa do la b.uTa y tic [ns fuerzas 00 resist<mcia .
,)
'r-'~1
b)
í ,"
"
. !
~,
'p
,
.1 ______________ _
.)
Pp ·PO·lettW.t
p¡, '~5!'II"'r--' q¡
~p.•
0,
p.
r¿.:;;_
Fil/ . 229
f ig . 228
R esoll/ci6/!. P uest.o que el desp lnznnliento linea l (abrgnmienlo)
del ¡Junto dondo se fija el peso. al ad uar estáticamentll la fUf'un Q
oricntada según lns oscilnciones, es
Ql
,~--=
t.:P
=--~=O.OO.J cm,
obtClHlremOl:!, ]lor In rúrmul.l (2210).
la c ioneg libres Inllgit udinHIf's
"' =
~
I
2·10
100·100
G
2·10·1
l~
frcc"e" ci" c ircula r de lns
11'*= -V!J81 . 2 . 10·~1,'¡3~ .
Al I!irnr la cllrga desequilibradn O, npnrf'ce uml
f'o
=!l.!
",;',¡,
g
n~ci ­
c uya co mpura'lI te
~nbre
fuer~a
In línea do
la~
Cl," trífll ga
o}.O;e ilnc io ne5
cons tituye Ulln Iuen:, IJf'rtur]¡",I"ra Hf rnóniCIl (lig. 228. 11) I' p =
-= Po sen "'o t que origina oscilaciones lurzadas.
La velocidad angu lar dll rotac ión de l IleSO Q, es al mis ril O tlemJlo
lA frecuencia. circular de las O-'!Cilaciones fOf zadas y es igual 11
wQ=~= 11·2400 ~25 1 ..!..,
30
P = Qr
o
g
'18
s
30
El ,'alor rn,ixirno de 111 fuerw
Iler~url)l!dorn
w~p = 2,25 1 .8 ~ 1030
2
981
es,
kgl.
El alllrgll mi lln t o de In barra, orien tado segú n Ins oscilaciones
y originado [Jor la acción estáti cn de la fuona Po cs,
'.~
1 030·100 ::::; OO',
. ,,_ cm.
Po!
EF
2·10",1
Como III cocf icic u tc de ll\llllonL,) do [liS oscilncioll/'s que se obtie ne
por la rórlrlllln (233) es
1
~
251 2 :=::1
w~
-
1,47.
- 1,<\3~
W'
]" IImplit"d de las oscilaciones fO t 1.aclas del sisle!On será,
A =
~be
= 1.'17-0,052
~
0,08
CIIl .
].:" In mitad del din te l ,101 pór li co rC ]Jresenta d o
,'ti
,(¡ so encuen t ra nll motor cl&trico lIQ IJIHsa m =
lJU kg. Ln pnr tc dl'~cqlljli¡'rmla del molor l'stá consti t uida IJor un peso
conccll trHllo do lllllsa m, = t, kg ' Ille girn cO Il un brazo r ... l¡ cm
n lrcdl'do1" del oj.. ,Iel motor ['lIciendo n = 1 500 r.ll. m.
Determina r la lIU1plitud de 1n~ oscilntiollcs fonll,lns ,Icl pórlico
1 cm . el m"mento ,le iU(>TCi:, de In sección lrll nS\'HSIII ,Iel
diul!!1 y ,lo Ins cr,luulIlns es I = '¡ OO crn~ y E = 2· 10" " IN/m".
I'resciutlnso del peso propio de l portico.
~i!
U"8olllcioll. 1.,11 Fucrl:! de grllvl'dnd .11'1 !lIntor l' lcctrico y su pa rle
desequilihfndn l'~
Q = mg = 91,0 N: (J, = m,g = 38,2 N.
L~ ... rl'ncciollos loorlw lll:,ll's eu los apoyos del pOrti~.o nrigina das
I)(J" In :!cció" esl~1ifn del pe~o Q Sel o h lienl' u ]lor ]:! rórnlll ln (200)
del 111 {'em,ción cnnóuicn del mólodo de
,
11I~ fllerzns
X, = _ 0,'1' . Co mo
"
EIO'f'=-2 í k,xzd71=- Qt'
•,
El o,,=2
2
y
J
.?{d.r,+2fl=%l',
•
resulln
X , = Qt·3
2.8,03
e~l!l li ca
=~Q=~DI¡O=lIr,
1ü
N.
lü
sU5pcu.~ióu de l pe~o Q or igiund a por SlI
se obliclIl' por el ",6lnd o de In fuer7.A lI!1i ta r ia
Ln flecha del pUlIto d e
nccióu
2
•
= 0,857 · 10-' 111 = U,857 ·IO-~ CII!.
I,n frcclIPllfÍa circulor .111 li'" osc i l" cio oes lil>f(~s del pórtico res ult a.
, r¡
:\1
~ir;,r
.'[
,/
".S I
V t= V 0,857. 10- 1
w=
pc~o
:\38....!....
O, :'llnrccc In fll('l7." cC lllrHu¡:.•
dcscl[uilibr .. du
1'0 = III" I~!.{) Cll yH cO lllponente soLro In ,lircccitÍn de las oscil"ci,,"P~
(fi g. 229, b) cvus l ituyo UllrI fucr zn !,erl',rhad"rfl HrmÓlliclI I' r
= 1'0 se u ~) o l 'lile cn llsa oscilacio ll lJs forz aolns de fnlc ll ellc ia circular.
wo=~ = ¡¡;· I 500 ='1 5i ~
:{():lO
s
El valur m:íx imo de In fUt'n,' pcrl ur h;ulürn sed
1'0 '" 1o·1 57~·;'· 1O -~ = :1 !)!,O N.
¡';st" fucrll', ¡'pli ea dll \l~ t¡ili c;)m c ltlc, origina ell la
d e l diul CI In Ik-d a s iguient e :
= ~. Pof =
fj
n
!}1,
El
¡ ·3D/¡Q·t
!.!ü.2.1O" .I¡(IO. IO- s
~cccfón
=3,7. 10- <
IIlcdjll
111 .
C<) I1,,' d (I,eficiculo ,It' '''''tlClll o d(' ¡;os osciln ci"llcs es
la :l11'1,lil,II,1 ,Il'
¡\
=
~<'i.
In~ osc il.~c illn f.''¡ rllrza.t;l~ ,1,·) ~i~l{,n\n scni
1.28·3.7 · 1U- 1
". 7· 10- ' tn = O.U-'.7 cm.
I' .., b lcma !l7ti. Dcl,'T, n; ... "r e l t"'lIIer" ,le t'I'\'o luci"ttl's /' 0 <1,-1
nwlo .. ('lile Itlll.' <l1.' t! CSj! la1.nrsc sobro In.~ g" í ,,~) eJl c " y" .::jc l!C .::"cueo lf"
e) c.\c'¡lllrico dc peso O, s i ~c eO ll occ
Hnl p lil ltll A ,le I r, ~ oscil"c i ollc~
forzl\d R~ dclm olor. El Jlesu O iuclu}'o el <lp lltl nlur y (· 1 ¡1l'11.'.\ c1Íulric"
O,. Presc indRsc dc la I1lRSR dI! )RS hnrrn ~ .
1,.
."
I'roblem a 977. Determinar la a mplitud A de la! oscilado nea
del émbolo del indicador de la máquina de vapor que se mueve si n
fricción en el ci lindro de di1irnetro D si la pr('~ i ón (Iue IIctilll ~Ob r8
el émbnlo \'lIríll segim In ley
P~
- Pm
+ Posen lÜot.
Prob lellllis 97&-980. Dcter lll inar lns amp litudes A (le llls osciladones forzndn s de l o~ sislemns.
En los problelllllS 078 y 979 consid ÓI'1!!!e lAmbién 111 masa de las
\-igll:<.
Omo/.,.·
-S,fllgf
-;-...,
I'roblcma 98 1. El IJUn! .. de SUSIJCnsióll del n.,¡orte helicoidlll
Te;.lil" un mo\'imicnto nrmóni co o;;ellntorio de IIcul' rd.) n la ccuación
"" p= lUscn20t.
Dl' lermin:lT l~ IImp litud JI do IlIs oscilncioncs f"r7.~do~ (Ie l peso
y In~ lC1l.', ioues ,1I1I ;;miCII ~ mlll td s i el ,liI¡metro de 1,] espi rA del
re.",rl e l'S D = I D cm , el ti i,; mct ro de l nlH mll re de l r,,~(¡Tte , rI = 1 cm,
el 11I'''''l'rO de ("); Ilin.s 11
25)' (,' "" M· I O' kg r/clll·.
lli
d' /,4Icm
,1-,.
M,
la
CI'6íkm
Co6'IOskJI/cmZ M~·'OOQY!fII/IAjf·tm
A- ?
ma~rtf . ?
Oete.",inMi6n de tas
ten5¡O~
)'
rál~ulo
4r- I
de la
1"Q¡~en .. ¡~
El desl']¡,lHmie"lo ¡,·.JUl'raIiMUlo .liu¡'imico 6. de
1111 1!Ulllo cun l' Iuier" del sist.e "ln en un 1lI""l1lll lo t arb ilrn.;n de l movimie nlO O!lC ihllorio cons ta dc l ,11!~ pl!ltnl1li ell lo gel1(' rnli7.ndo COII:;lanl(' 6, quo
en rre~ l ll)lI(le 111 tip o do dd"rIlI1H:iÓII quo s urRO dura lite el ¡Iroce.'o
uscil11lorio j)ero 'lile es debido 11 In IlCciÓII estática IIl' l poso Q y dol
peso propjo ,1,,1 ~i~te ma , y del desplnza mi l'lI l o gellc.nliwdo \'nTinblo
421
originado por la carga perlurbllaorll
1'" = I'o~ell (~ ot, ('s dl'{;ir,
(23t,)
Ód
En el caso de sislen ,a~ lim;o:,lcs, de llliln('fll ;lll;iloga, ¡;e delerlUi":,,,
IlItnbiell las l ell~iollCs dilli,micns g('ner;oIjzadu~ Pd (Od o Td) en 1m;
puntos de Jos elemelll us del sis t.cmo. 1::S decir,
J'~ = p-l I\po ."etl '~ ol,
(235)
siendu {J li' (elisio" gCllera1iwda (o o t) c"rrcspulldicnle al tillu
do derUfnlllCioll 'lile lIlIrgu dUrl!lIlll las ,,~cilaciuJles, p,'ru "rigill" do
por 1" acción eslatica del peso (1 y del !lCSU prupiu dl)l Sisll'llI:' y Po.
In tensión gelll'r;,liwda de bida" la
uccióu I'st,ílicn de 1:, fuerZll Im;xi",,,
¡Jerl ur]¡:,dur" I'u.
Los ,·,olures e.\lremu" de l:,~
tensioncs apllr('CI'11 ,]urilull' las dc'"
viacim'es 1I,,¡ .~imil.~ dcl siSleu,," de
la !¡"siciuu d ... 1 C'luilibriv "~I,ític'l
y
F,g. 230
""'1
(:¿;¡(j)
P uesto qllc dlll'llulc lil~ "scilnci,,,,l's las lCII~iOl,l)s ,·"ría" p('riódicamellt c (fig. 230). (lll el CIlSU do pr"cesos dll ¡¡,rg;' dllrlldón, ('1
calculo de In r('sis10nci~ de sjstc"';'~ IIscil"nll's dl'bl'ni nm!i1.nrso por
los mé todos e~ta¡'l(lcidu~ pnra IUl! c¿¡lcul'ls dI) C<orgns nltcrn,,~ cí¡;J[c,, ~ .
eunndosc tralll de proc('so.~,,;;("iJn(orius de Jloc.~ durodó" y c""lIdo
.
. II ('.':' (mIlXP4 -2 min Pd ) cs pe'lucna,
. l 'uC I II~ ll'USIOII!'S
I ""IIIP , ,tOH
var,,,,
el cúle"l", dll la rcsi~I('"cill JlIII'III' í'rccluar¡;e;J p:lrtir d,' [¡os lellsiones
m,h imllS ,Jo II! UI¡.~tnll fur",~, '1'"' eS10:se rll"liza pano las cnrgas C!)IIShules.
CU'"0 el desplalllmicllto Ill:¡.~i",o Ilcucrnlizu'¡ü d¡U:'fllicu l'S
(237)
aiendo
,
60
,
A
ko! = J+~ -= I+ ­
(238)
el coeficiculc dinámico de [ns oscilaciollcs, la tcns ión dinám ica
generalizada máxima !iCrlÍ,
(239)
La cOlld icióll de rl'si stonciu se pude;¡ plantear en 1" fOfma
aiguiollto,
ltlUX Pd = pk d " " Ipl
(240)
p
~ [;J ,
(24 t )
<,
sie ndo IIJl la tensión gcrH.'TnHndfl ndlu isible (101 Ó ITI).
Ej em]Jlu 130. En 1/\ scccj{,1I lIledia do ulla vigA do i'!Cceión rec la nguiar F ... bxl, ,,,, 12 x I cm' de IOllgi tutl ¡ _ t m se encuontra
un Ill ut or eléctri co que ¡lesn Q = 20 kgf. La parle dcsequililJrada
(IlH' giTn e~tá constituida Ilor un peso concentrado Q, "" t kgf ubicado
l'obrc el t'je dol motor a UIl/\ distancia ]1 = 4 cm (fig. 231,11) .
a)
Dctcrmiuar 01 número do revoluciulIl'~ por minuto 11 pflrll (IIIC 111
...o;::
f
I{,'~'
IClIsióu lI"rmnl IIubima ¡>II la >' ig:o
;olc~UICl'
el
vlllor
1rl~J[ Od =
_ 2 UUO kgf/clll~. El pe~o do l.~
uniol"d ,1" \,OIUlll('1I del IlUlt('rinl ~
,le 1" \'iJ:"H es V - 8 gflcrn~. cl mO1""
dulo tic elasticidad
1:.' - 2· 10' kgr/cm l ,
longi tudinal
1 ~ ~
~
1 _ -1
1p
.
~
- J...
r
o)
1&
._-' ~t
p,. p, .stI!Co>.t
l
h
Col
__ .~_
II csofur/611. El p{'so prvJli" de la
viga,
1'11f·
Q~ =- Vf'l
~I
8· 10-'· 12· 1·1 ()1 !J,G kgl.
El mvmenlo do inercia ,lo la scccionlrnlls\"l'rsn l tle In ,·ig;' r~~pecl o
ni eje neutro y el mutl,,!o do la ~CciÓII so •• rr.' pcetl\"nn.elllr,
bh' _ ...::..:...".,.1
I? I
bh-z ___
12· 1 =2 en,.•
1_-cm ', 1V _ 12
12
ij
ij
\)Ur.1lLt,~ la acei"u esl ol icll d!) la rllcr~a llo"c~'lItr;,da (J y do In
disl ribllidn Qa lIOLrc 1;, "igll, llO ICllsión lIofll):,1 m (, ~ima (J,u .. y 111
rlechll IInixim" O"'U Sl'r;in,
(J,nu _
M'''OI =IV
-Ql1, + -001
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I_ «I +Q.)
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...... · - -i8t·' +38-f¡ el - "8E/ 0+8 Q•
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P It('~lo
fin !} ~ I coefi cie ntll dilllllll;CO ('s, según la rú rn",l" (238),
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la ;'11'1'1;111,1 ;"IJl I¡ ~i hl ('
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lino" x
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3 10
In s ":",,ci l nriu'I':s 1"(' slIltnni
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= (~ _1)6"""
=5,45 ·0.27 = 1,47 en,.
o"',,.
DLIr;,ul l' la a,,~ióu ('~l;itica ~ "I¡ro 1" vi!:;! ,1" 1,1 fUI'rlo" c,'llc<'!,lr'u1a
(1. t, fl,'eI,:. ti ... ~'Il ""H ,;Ilcc¡¡m clIntltuie !"" :situa d!! 11 In rli;¡lllllc ia .1:
,Id "I'''Y'' ¡~. qll¡t'rd". y In ¡!L·dla ti ." , Jól 'uit".! ,l e In I' i gll srr;,n I'l'SJlCC1 j \';1
me",,'
,
QP
20·
C ¡Oe
6 ~ -' -8-" -' = "¡"8".C2 .""~O.'.Cl
11Ia~1I ,h~
y eJ .;"l'ficic'llc 0I {' I'.. tlu cci'" ' d e J;l
(:!3&), !'oH:;
km =
1;, ,-íg;1 ,
~l'gltn
's" (~)~ dz = ~l'S
" (;¡-=_ lo ~)~ J.x =
lll
2
/6
•
24
•
cm,
In 1''''lIlIIln
'17 .
35
In r" !"Iuul" (2:!!J) ."e "tJtillllCl la rrt!cllt'lIciil circu lar tll' la",
"~cilaci,,",'~ lilJn's do In \' ig:,:
1),-
., (
!)81. 21i.
1
[;
1+ -17 .-U, li
c',m" C"u,;ecucnci<1 ,!<:,I d ... ;..c(\ui!ih "¡" ¡(¡>I
d cs¡, rrull;¡ 1" fllcrzH cenlríf" g.:1 J'o
tical (rig. 23 1, /1) J' p = 1'0
S~Hl
~ (o.@)
g
"",,61.8
35 2u
I'~ so.' (t, '¡lIt'
I /~ .
Ili ,·~ .
"'"
clIyr. cOl1qwlIe"h' \"l'r-
"'o t t's "un fllenll JIl'rlurl¡n'¡" fi'
Ilrmónicn 'jllO or ig irlll osc il llCiollllS furznolll~ ,Ill 1" vigo; ' , I\quí ,"o -
;:;
es 111 fr(!{;ullllci" c i rCllI~r dll In flll'ru, p" rlllrlwd" r n JJ" . el '11lvr
máximo de eSln flle l7.lI.
CUlIlIllo la fl'('nn P o ftC\iJ ~ esL',licllmclIl¡; 111 i1cthn m[,xi ,u;, de In
"¡gll rl'sulln
60 =
424
I'of =
t,8 /~' 1
Q,¡3p
1.8E l g
~)~ =
t . JOB./¡
h)g = ~ CJI).
"S·2·JOa • t ·!)S I
2/\ ·!)81
De 111 fórmu la (232) se ded uce,
z
liJ.
_ 61,8'.
% -O 102 1iJ~
1,1.7
(
' ) -"
2
,
24.98 1 1 _~
2. ·98161,8• -liJoZ - '
61 8-ffi
2
61,8
.
de dOlllle se obtieno
Así, pu('s, el número¡ de revolucionos por minu to e n cues ti ón C9,
30
30·58.6
•
•
n =-(~o= --- :::::;560
r.p.Ol.
Prnb lemas 982· 98.1 . Dct cnnill ll T IlIs tC1l 5i""e~ dinámica s maxi111 .. 5 ('11 los s i ~ hHIIH~ s umetidos ~ o~. jI (\cioncs fur zl,,!Hs.
E l !leso (lo l·~ t a incluido en (J.
m
n, ·¡Oilrp¡n.
(J"ZiJOk f
:[N'IU
~
,
'm - -
w. - llJr; M,- 200fH!I'·om
ma' ''J " ?
G' 8·r01ilj1Icml;
(I7~· '¡:a '· ?
§ :r. TIIIJla ct o
El
1('11111110) 11 0
\,['I'l\'id,,1I1o'5 de
illlpnclo (){;\l rT\l C1Jalldo vnríHII 1)I'II~CilI1\ Ullt t' las
cuer pos, d I! los si¡;tcnws " de ~ II ~ ¡mrtes . {lile
l,,~
Cl ll l'n n 1'11 con t1l ct ",
Analiz:ucmos sula rnl' n\.1l ¡"S casüs Itl lís simples dc choquo ,h: n"
c ne rp u en mov imien t o con otro iumó\'iI, O CUII 1110 sistl'ma illm"vil ,
y ud "li l.irll l!lus In s suposiciones ¡¡iIP,icu l.cs:
1. E l c llerp o fi lie goll)('a l'S absn lutameute rígi do .
2. E l cne rpo g"l l'efulo li ell e IIn grad o de libe rlad y sus ,I " sp l[l~ a­
mi c II I ()~ gol'II c r"I ;1.,,,I,,s ¡¡OIII I'fi"'l'o rcio llall's a IlIs fuer7." '; gellcfDli7.adas
COl"r e~ lJOlHlien l el!. l nnlu ell 1,1 ('"su de occ;"" es l ~ ti c a como e lO el
de ntc iún dinámic3.
3. El choque no es e lá ~t i cu (se c" 'I ~ illcrn que dllr;lIlte el cho'llle
11 0 so SelJa ri,n los cuerpos (Iue en t.f"ll ell conlacln). mient ras 'llIe las
Ilf·rnrn ", ci "nl'~ g"llrral rs ,Irl curr!!o go lpen \lo ¡¡uf( clüsli cns .
l •• El oS]lecto do la deformación del c uerpo go l¡Jeado ('S idónti co
a l d e In ,1l'forlllllción originada por In ,l cción es táli cn do la fuena
!,'Oneralizn do cor respoudionto , npli co d a ('u e l lu gar dondo ocu rre el
illlpu cl<> y el! 11' d irCl::c ión do tÍslo.
¡,. L" 1'('lncidnd de l cuerpo qU fl go lpen es poqueñl' eu compnnHl i{m
COI' la \'e lacida,1 de IJfOpagación de llls olidas d e choque y el tieUlpo
qlle ,IUJ'iI e l illlllncto es has ta"te lIIi1yor IIUO el necesario para '1"0 Iils
onda s ,lo c hOl]ue so prOI"'g ucn por lod o el \'olullll'u del Clll'fpO
goIIJe",t".
Admitic,,, lo ('s l as su pos icioues, los (>SfU('fZOS t!i ",i", icos genCTIIliwdu.s I'd, las 10llSio ll('s Pd y los deS IJIIL7.lI rnioulús 6d d el c uer]J('
It"O 5I1f r,' ()! gol jle pu ed en se r ob t enida s, de ma nor a II prox imu.lu. por
las Ión""I¡¡s s igu ient es :
Pd =kdP, }
(2/12)
Pd =k~p,
6d = kdó.
Eu estas formulllS P, P y lo cor res llO nd cll 1\ lo ¡¡cción "st<itlcn
sobre ('1 c uorpü golpeado de II l1 n ru erln ge lJernl ir.odn n"licndo ell 01
lugar de f ch uque y en dirección 11 éste. y I.:d ('s el coeficiente .UlLií lll iCfJ,
adimensiounl. moyor quo I~ unida,l.
Si el cue rp o ql.lo go lpea pes;¡ Q y n I chocar con e l cu e rpo I:'ulpeado
de pe~" (Jo se mue'·e e n dirocci(¡JI de la fuerza de gravedad cun lil
ve luc illad ~'o y s i cn los clcmen t,os del Cl le rp u golpe<ld o s urge n Ilcsp lllzami clltol! do o\"" no(', e nto nces e l coeficient o (Iin~mico .se nb tendrí,
pur la fótlllulil ' __, __--;_ _
C
kd= l + l ! t+ v! .
1:6 1
+ _. / I + t1aC .
JI
Qg
I = 1+
+ k ,. Q.Q
j +k",~
= 1
Q
l'
+_.
I
", ~
O
.
U ' +1.:
(24 3)
siend o ó -
e
1.:,"
Q
e
e l desplazomionto
line:¡l de l punto d o impacto
cl.Il!lIdo ac t úa e~l¡jticl!mcnte el peso Q en In direcc ió u
del golpe;
la rigidez del cllerpo (11.Ie 5e go l¡JOa y que cürresponde
ni tip o dado d e Sil de forma ción;
coe(¡cientc d e rcduccivn de la ma~a del cuerpo gfJl peado al pUl1lo d ou do ocurro el impaclo, Que se o b, iene pOf el mism o procedimie nlo qu o CII e l caso de
las osc il nc ilJne~i
QV:
.... ¡., Cirhí t;cll tl cl 1I1(' \' ;'lliculu ,le! [''''s o Q en el
2g .. ,,,.,. .,'
ill ~l "Il(¡'
" ,
riel ¡1JI1",,,t,,:
Q6
f,ot'-lIdn) dll la
se guIpen,
,-51" 1;(,, dd I)('SO (J.
('''''1'1'''
t¡lI(·
C{Jrl'c~IJ"lldirutél
m ¡il
T
[1''' cr i''ll "~
( ' ,1 i'bl'I";Í ~I1S1iluil'''l\ pur
n In acc;on
milllll n1S In
1110
In
e
De]" rúrm ula (21.3) ~l' oI (' oI" cl) qu e c ua,,! " IIln y vr :tca I~ ri~jdrz
,1,·1 <';\"-"1'" 'I'w se !i.,lpl''', ¡""lu "wy,'r~cr!, In magniln,¡ ,Id c"ericic lI 1(' ,Ii ,n'lI" ic"
e",,,, oI ,, la nU'ga ~)!<l' "pl ica in ~ l a" l i¡lI c3rnCII I[', l'S ,j,>r i r. (;11111"'"
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0/1""1,, 11" .~e flu'se;",I" de 111 I/W!;II (21,3) y ",,1011/:1'$ el uilGu/v .."".
l"¡ Io"Yl' ,,1 ''''III('nl'' tl n la n'Sl'rI' " de r .. ~ i st .. lld,1.
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tli";",,,j,'u ,,'" I,odr" "hll"'("r p"r 1" r",nllllla
k~ = l + ~= l +
c"".,.,ti'""1,,sc
Si
UlI
..:.:.!.ó :> 11 0
e
,-,·,·"r
'0
npn,~i",,,da,
(V.6)
iu ft'ri"r ,, 1 [,'Ju .
t'lIt,,"ces ",. p",lr:, ¡¡d 111;1 ir
(2<\ 7)
IOn ,' 1"1 .... 1" IIW!I ',r ,1" 1 IU ~" ,
Se d .. l>.. teu ,'!" ('" cllcllt a 'lile el c;''¡ c ul u l'"r ] "" rúrr"ul,,~ (21,0)
y (:Uií) "" ,·(,nl ri ¡'\l~' t· ,,1 "'1Ulf'lIlu ,1,· 1" '·(·."" :I" \"II d,· .. ('~i~ I I 'lIc·i ".
",''',dio'ml"
1027
Cunud(l el ¡I!'SO propio do l cuerpo golpendo!!s muy gr~nde (Qo(0), K" _ 2.
1\1l el c~~" del irnp~c l () horizou lal 1" oXllr('~i':'n (2/,3) deben" ser
su~ l illlidn por 1(\ rórrnul",
_
1
(248)
En E'~ll' cnso, ni prescindir de In maSH lito] ClIl'TIIO (JI'" Tl'~ibll el
im¡Jltcto nlllllenlu la reser\'n de resistencia incluso ~i kd se Ilcl!!rlllin<l
por In f"ruml:. (21\7),
Si el ¡)('~u prof,j" dl'l cuerpo golp!!,,,l,, (,~ Jloqu!!ño, y ~i 1\"'11 ¡ijn
un I'('S" cOlIsi,lernhl(' (), 'IUO T('cil,o el illl]lncl.. ,Iel 1)('50 Q. ""Iones
en lns r"Tlnutns (21\3) {¡ (21\8) el \'nlor del kmQo debe ni ¡;u~t¡lnir5C
por Q"
A l ca lClIlnr los siste,nns que choclln cun rnlü sus ele meutos ~e uneo
en ]lMal"I", ell ¡¡eril' o dI! rnnnern ('orn1.oiwuln, la rigidez ¡]<,I Si¡;lc,Ul' e
!W /H'l'd t· d,'lerrniun r JI"r las fórmulns (221), (222), (223) r<'spec li "",1I,cn l!!,
Si el Cl1el'pO quo go lpen se \'lIcuentrn en rno,'imienlO giratorio
y si rl! ,, 1 cLl!!r po que se go lpe" "/IMeCf'1I J"rormnciolles Je(e rlllilladas
pf¡r \,,;. ,!esIl11l7.ll m; en l,),'; nng\l\nrl'~, (,1I101lC1'3 ~Cl putllen emplear las
fó rmll l"s "IIIt','i,)r\'!!, susl i111y<,udo en I'II11S In veloeidnd Ji 11<,,11 Vo
por In ""gulnr ¡<lo y I:\s m~sn~
y Qo pM los 1lI01 .. ,ell t o~ de illercin
, ,
!I.
t' ''''0 reS¡H'clO H I,,~ ejl's ,le to lncióll,
El cú!elll0 por tesi~ l ellcin "'11 l·1 i"'pncLo se reolizn por lns fórl\1 ulm¡ eSlnblecidns ¡HIt" el cnso d(~ soHci lllCiúlI est átic;:¡,
L¡. cond ición de fe~islencill puode t'scribi rsc a~í.
m{l .~ Pd = ~'dl'mox
IPdl,
(21,9)
11,'
I,,~ mn~ll~ 1m
-<
sie nd u mnx Pd lo lensi':' .. dirHimicll gellefa!izntla II,;Íxima;
I'mu 1.1 tellSi61\ gener" li uldll máximn cotrcspo nJiollle a In
ncción es tú1 iCII de l peso ();
IPdl In le nsióll din,irnic;¡ gl'nernlizodll ndmi,~ibl() el)rresIlondiente,
En los ci,lculos pn\cticos 90 ,¡elle considerar IIUO tlurnn le la solicilllCiólI por impAc to el CU!!f]IO lie nde;¡ destruirse de IlIllllera frági l,
d vpendierulo on nllo grado es ta prO¡liednd del ('oHleoido y de la
estruclura de l ,"aleria l del sólido, do In ,'!!Iocidlld de su licHncióu,
do In lernp<, ralurll y do 111 conc()l1tración de lag tClIsione,~,
En l o~ problemn~ (I"C Rnalitarnos so s u pone que est os fac to res
rundnrnl'ntnles qlle influyen sobre la resistencia dllrnnle e l im pact o,
se 11Iln cousidcl'!Hjo nI escoger lu~ le ll ~iolles a dmis i hles.
4 cm; /, = 20 c m : F, ...
Ejc lIl lllo 131. Dlldo: m = 10 kg; It
= 2 CIII'; I~
!jO cm:
= 1, cm": E,
1:.', =
2 x 10· ~ I N / m:( f ig. 232. 11). Se prescinde dc1 llcSO prop io GI
dc las bnrrns.
Delrtmillar Ud" U~. y I)d.
Reso/m:ión. C¡¡ ICll1amOll cl peso del;;ól ido (Iue goll)CIl,
"'2
Q = mg = 'IO·9,81 = 98,1 N.
P"csto que las barrns do rigidcces
/:'F
_...::.....=. ~e ulle" I'n p;H~, lclo, p"r
/,
I l:"n"~
In rigide1. de l
e,
.s
1" fórmula (221) hll·
~ i slcmn,
EF,
EF2 ,, ( F,
2 )~
e = e,+ C' l=-+-~'
-1, + "'1,
1,
1
=
2.10"
e'
1
4
10-
0,20
+ t, O,liO
. 10-
4
)
= t,
·Ioa
1\/111.
T l'ui(,lId" ,'n elle"l " ' 1"1.' ,\1 Itl'gar e l i"'pHc l",. In
"elocidml tlel pesu (J {[IIO cno lihrellHmto d t, la ullu rH f¡
es 110 = V2gli, nhll'lltlrC11l'1S,
'""/,,,0'.
,
""" ;J2.G· 10.
'"/OC-e'"'
-·'C'O"C
nS, 1
E~ln
.!i"'"nicn
mngnilud ('9 \lltl grru"lo <[ 110 e l c(,crkienl c
~o IHlede "hlen('r p"r la form "I" (247).
e,,,,,., durilnl c la III'C;OIl l'~I;íLica ¡Jel peso Q 1'1 dl'Spln1.;l'lIic"IO del ,JUIII') de su (I,JIiCI,eion es oS
"Srll"T7.0~
IVlIgilndinales en lns SeccioneS
Q _ N,
1\
~
C -~ =c;-.
IrnJls\· r"s,,[¡'.~
dI'
lu~
'""
v.o
I",r ra s
scrúlI.
N,=!1.... C, =_Q_ y N.=!1....C,~_Q_
e
1+ e~
e,
- e
e '
1 +2
e,
~29
lns
IJns tcnsiones lI ormal c.'l d ill lÍ micas en lns ~cccioncs transversa les de
Imrrn~ resultan,
od,=!!..!..kd=k,j
f,
(1+"'2/'
Q ) =571 2.10- 41(
F
F,I~
I
98, 1 4
1,,10-, 0,20 )
2.10- 4 DAD
= I 'ÍO.IO~ .\'/ 111 1 = 1/,0 l\1J\" /l1l l .
+
\l8.1
410- ' ( 1 + 2·10 <,(J'!'O)
571=
'¡.1O- 1 u.20
=/U· IO· N/¡n2=/O ~rN / m·.
El oI{'.. pl~zMnicnto diuumico del punto de illlpflclo
,
CIlSO~
"=cQk
I O . 9,8 1 ~_ 1
1 ' 10- '
4. 108 ", ,::::: ,'1"
d=
10 =
S{'r;;.
00 1'
.
<.
CIII.
Jlnrliclllarrs.
1) Si C 2 = O (rig. 232. b), (',llouec.'!
FF
?
10"
0,20
C=C,=~=----.O.02
1,
1.:" =
V
2hC, =
(J
.. /·~2-,C
•.~I~
O=" .~2C.~IO~' ~ 4.102;
V'
\l8.1
Q
!lB, 1
z
o, =-~·d=--·
<,
,,',
2.10- 1 4. 1 (j~200·10e N/m R::200 MN/ 1I12;
li¡ = .!:{kd = 98. 1 .1o.10'~2.1O-4 111::>:::0.02 cm.
o
e
2.10&
e,
o (Iig. 232. el, culouc('s
I::F2 2· 10"·4·10- '
C=C 2 = - - =
=2 · 10' N/ m; kd=4·lO z;
/2
0,'10
2) Si
Q 01 =10·9,8
O"d =-1.-- - .14 . 1O" :::::;_ · 1O· NI'
111
'
1'1
1,
= '00
_
lld=!Lkd =2.1O-' nI=2.JO- 2 cm .
e
EjCllllllo 132. Dado: Q = lo kgf; h = lo cm; dus resorles de ¡lRSO
j)cqueiio de características: O "" 2 cm: d = O,li cm, n = 1, espiras,
".
G = 8·
t O~
kgr/cm 1 y u na \' igfl de cara.cteríst icas: 1 = 40 cm,
(l ...
= 3 cm, b = i cm y E = 2· 10" kgf/crn'
(rig. 233). So prt'scilldll do los pesos de
los T('!ln rleS y de la vigll.
Determi na r
mllx
(Jd
IlI3X
Td f'U
en la VigA y
el
Tl'sortc,
despInza miento
lid.
del p\luto do impact o.
Ilesoluciv". Como los reso rlCS do ri gideces
el
=
sc;;,:¡ es tán \luidos 011
PIlTnlclo
" SEI
----¡;r-
.
J .• J
y J1I "Ig.,
(e
Tlgu el. ,. 2
Fig. 233
so
uno
n ellos en ¡;¡·ric. In rigidc~. dl'] sistcmn so cll lc utH~ por In fórm ula
(223) cnrrl'Spolldicnlc nI caso de unión mixta de los I'lcmentos,
1
e
----,-co-,------'-=~~~ ~
/j·8·"
. li1 · ¡(f· 12
8 ·[01 2.')G·IO- 1 + 'i8.2. ¡(f .3 .¡
~
hal l .lmo~
1'Ilr 1;, r(¡r!Hula (2105)
.. /
11 2 kg r/c llI .
el coeficiento llinám ico •
'!./IC
2·/, ·11 2
.. /
.
""<1= 1+ V 1+ -= 1+ V ' + - -- :=:,;Hi.
PUI's tO
']IU!
D
d -
2
0,1,
(J
=:.,
"
pnra el cocrlc i(>1I1e do nu,ncntn ,lo la!!
h'"sio"es l'U el rl's.-.rtr- C01!lO c(oll.O('cueuri~ de 111 cun'lIl"rll t!(' In espi r.1,
oblcmln'llllls
k=
"
-
.E.._
d
LM lellsiolles
Sf'r,in.
.
I.-~
Ú'
+ 0'('¡ 5= ~+O. ' ''::::::1.3 1.
D
<\
5
1
-0.2.-'
d
d
'¡iw;n¡ic.'~ Ill:;~irnns
<\ QV
max T~ = k~kd:::::: '1,31
1W
1,·<\·2
n.lVi ·I O
.'11
l o~
rCS0rL,'S y ,'u In \" i gQ
l
• I G ~ 3 ViO kgf/c Ul ;
Ql
<\ IV
I, ·<\O·{¡
•
1 280 kgr1cm-.
<\·;-1· 1
El desp l"?",nic"to dinámico del pun to .Ie illlJl(lct" S('f'·'.
!Il a J¡a,,= --k,,=--- I G~
&d = -Q k~ = - '.
e
11 2
I G ~ 0,5i 1'11' .
'"
•S·I
no
. l'
('~I~
IÚS
I l' ~ l' n
('
r<' ~ or l {'s,
l'
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A'~ = I +
.. /
2hC
1+ = 1+
V
.. /
V
Q
/3
'J·/j·3i."i
I + --- - :::::UA;
,
1, · 100· (;
o .... . = - - - ·28,10 ::::: 2 270 kgf t l ll l ,
4·3· 1
20
1,1,
e
"gr.
C UI .
h
ti,
2 CUl .
r
CIIl. 1,
I en, y
1.2 cm .
l
1"
G/ ~. o
,_-_
'
I
I .,"~ d ,~~ p r itl ll' Tu S 1'~¡' [ OIl{,S dI' l u !>:lrrn ,;e II U"II 1'11 ~\'ril' y , JIVT
l all lo. 1" riJ:ridl·7. lotal ~I'rl¡ ,
1
C. = - I - .
,
- + el
el
l' III'~ ' " ' IUl' ,'11 In ,_l'cciun d"nd c ~I) u"lie," t:I Jl nr 1' ~ Il'ri"r de rll .. rl"~.
(,1 l¡'!Ter ,-se" 1" " de 1" h:lTra se 11 110 C.." los ul r,,~ dos <'11 pr,mlc-JI), In
r il: idl'l ' " l nl dl' , ,,da I ~ barra ill li' rjlrelu d a CUI no 1111 si~ t l'm:l dl' d .. ·
llll' ul,O/I UIl;tI ....~ ,." fla r:t lelo, .'fI°roi
'
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.... +e a- ---+
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-- ~
1
l
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+G/- I
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~"-I ( ~ + ~ + I,. ) ~ O, ' ''-l ( ...!... +I . .!. .
I ¡I,
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I /"
=O.1 2,8.lif (
20
.."
+.r.)-
~
,
+ ') ::::: .12'Jv
1
l A' + 1.2'
I
kgf/crn.
La IInergía cinéUca del cuerpo quo golpea, en el momonto del
illlpflcto, será,
T= Qr..i=Qh kgf .cm.
2,
El ángulo de giro esl:itico de la sección donde se aplica el par do
¡uenas do momento M = Qp, será
M
Qp
e
e
20 ·4
3290
8
.~ - =-=--~-
329
!ad.
La energía Ilotencinl de la ueformación elástica en la torsión
estática es,
Como la TeladólI
es pC'lueña, el coeficiente dinámicose IUlllflní ¡lOr 111 rórmulfl (210(1)
El ¡íngulo ele gi ro clin:,micu tic h~ sección de In barra, dendo se
(l lllica el mome nto exterior uriginado por el peso quo eno, será
'Pd = ~kd =
8·7,5
32(J R: 0,18'_ rad.
y el desplazamien to lincal din:imico del
pll~O
Q,
/l o!: = P(ld = 0,182· 10 = 0,73 cm.
El momen to reac t ivo en el ctllpot rnmie nt o ucrcc],r. de 111 barra,
dllbido a la ll lll icadón csHltica del ¡lIIt ex t erio r de IlH.l']lOlil o M =
= Qp resul t a,
GI p >
l
8 2,8.10'. 0.1
Md.c=q:CI=(JI--~ - ·
1':1 mome nto reactivo
M .. = JI! n-BI~
1l1l
329
20
R:
3
4 kgf ,ctll .
el empot ra mien t o izquierdo tic lA bllrrA.
""de. =
20· /¡ - 3/. = /¡G kgf,clll,
y la.'! tl'lIsiOIlIJ~ l!1uglJucinlm!
ViglIS,
IlIlU T"
¡\f 11 ,
-
•
!Y/
~
I,
_ ~
I¡li
- - - , 1,.)
0,2, 1,2
='
IVp ,
0/1 III Y
J
m,
'j""
k¡::f/c ,,,z;
~,O<I
M,I~t ,
31, _ ~
= - - ' ,.·(!:=::; - - I .• ':=::; I 2:10 kgrlcm".
0,2 ·1
Eje uIIIJ" 1:\". lJ adn: 111 = I kg. ,'o
= 2 cm, 1
eu Ins I1'alll01l de las
M" ,
I,li
7 ,a~V"'"
0:'1"
=-- "'d~ ---~
'IV",
0.2· 1/¡
mal '["d. = - - n '"
mn '~'["d
diU:¡lIIi clI~ rn6simo~
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t:
~
=
G
=
1, 111 .~, m, = 2() k¡::, ti
=
.\Ii\ /rn~
2·10"
(rig. :!:I.í). El
illllmcl o VII di rigid" lo"ri7")I,I;oI,,,~,,ll·. Sil pr ..sc ind Cl ,1,,1 p,'su pfo;opiu dI' 1;, hann.
Dcl er",¡,,!>r ""' .~ (J". nlll~ '[",I~ y ,\¡.
Ifesolllci,ín . C.dc"I:"" .. ~ el JU'~" c.. ,'n!! I""'m dicHle el In Jl1a~a /11: (1 = mI[
9JH X. Co''''''
el sj~llJma 1'~la sOIlH"lid" nI ¡"'pMI" ole la
I1l!1~a m ¡¡Ul' ,~l' 1Il1l{'\"IJ 1",rizolll¡dn"·IIII'. "1
cudiric"le ,lil'1;I"ic" SI' dcloer" 11eleI"II, il,n,' p',r
la rúrnlllla (21,8)· lIlIsliluyentl" In 'W1;:lIillld
/'-",ln a po r la ",n~iI 1111' l'.'! dl'cir,
-'-O
JI/" r:t-·
1
(lJ.!·I + /II,·
"d =
'"
I'lIe~t~) que ~'I ¡J(·spln1.n mi euln lI"ri'''<>1I1,,1 d~1 JlIIIII" de CIl()(III(",
origin;uj" pur la túl"S¡ÚII dlJ Jo IHlI"I"" '""rticóll pOI' Ja fuerza Q 11"1'
ac t úa ,,~L;íticHn'éIl1o y lJuo \';\ d¡r¡gid" scg(m J¡¡ '¡ ¡fI'CC¡ÚU ,lel in'pncto,
Ml
Qt'
GI"
GI"
Óo~ffJl=--'~ -- .
el sislelllll golpeado se pUCll o interprl'lu r cumu un ~¡Hlou ' ;' con uJliú"
en serie del elemc uto flcxadú lo ori1.<llIlnlrnculc . d!l rigidez t:¡
y IJ I lJ!emllllto vcr ti c;!l torsi o nad o. cuya rigidez referida 1d
miento liucul dol pUlI lú de choq Ué
• eumo el problema""
lIu,Citui rl!O In rr8cció"
Ic",Qij
Q
r~,u~h'e
por
l'fC
en el
Icmlllil
-¡;¡--.
C~
!lsC~ma
(;~"
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dc~p J;, l,;' -
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SI. eH la fórmula
(21,8) d~b"
(22~) h a ll ~n]f)s
P or la fó r lO lIln
C- - I- 1
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1
111 ri g icl ez dI) t od o e l
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8 · 1O'" . O,I _U,021
~I '-I'~
I ' -,·O /"
~ lO· 10' N/m.
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P" rn d cndi ciClI l 1' d i,,¡im ito se ubl icne,
CUllndo lo f uerw () ;o¡,1\I:l <,sl:;1 ¡en me lO te 1'11 la d irflcc iún de l impa ct n _ In \t' lI sió n 1l0TIll;1 ! lIHixi llHl (J,,, .. e n la lla n a hOfÍ'l.o nln l, In !(' lI sión
t :lI,g" " cil\ [ m uxilll;1 T mn ('j , 111 IHl rrn vertí c,, 1 y el df'sp lll1." ", iunt o
li neal Ó dd l'"" h, tlll ello'1 11o .~{' ..,ill n's]Jecli\'ll nlc u tc ,
Ql
owu= W::::::
Ql
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=-º- = ~::::::O.G I ;l.
L
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!J.8 1.Q,I\ ::::::5_ I U5 N'm~=5 J\ I X/ III ~ .
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111agni lud l'~ tl in'\!ll i r. ;,~
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'1 '"- se h" lJall ,'{'s., II"r"II,
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T,¡ - {;" f "'n
11 ,2 · 2,;, =
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.\ I.'l / m\
6,1 = k,11i = 11. 2·U.QHI3 R: U,69 c m.
Si \,1 .- i.-l clI'" nO 1 1 cVH~(, fijó' 1" mHSH m " c IIlo nccs
~." =
,Vr;¡¡;
, /
¿-= V
('g
1'.16 .1 0'
n,lS l ·!I,1"J 1
R:5 1,4i;
I U"~(I'1 = 5 I.lj·5=2.'")R i\I N/ u,".
", :IX T,I = ;,1.10·2':'
Ej<' m/,/u 1;J;1.
= 1:1 gflcnr'. f
= 1 UUU
k gr/cm~
L!!l i\IN
"'~;
6'1 "" ' ,I .¡¡ ·O.\W¡ I:l
1'''I);IC['' l" ng-itlld i llil L
2 111 . ,.. = 1, C1 II ', /;'
(ng. 23h),
::=;
:¡, I!i cm.
D:III,,: (,1 = I:! kgL Y
.,... 2· 10" kg r/c lll', I(ld] =
Detl'fll1inar h, cons i d~rnndo li! lI1a~a ole l;! lwrrn y pr(>sc ind;endo
de ella,
/1i-soluri6f1. Cumo en el (".18(, "UHIHlo l¡! cnrgll (1 !le l (1;< e~(:¡t ien mOlllc,
O
r,
•
el c,,<!Ii~ i ctl l (' dillau'¡cf> ,,1>1"11;,10 p"r J[I ,,"'t"ula (:!/,9)
r('sllltarl'
f
1
S
o = - = - = : ! kgl/clll,
F
'Í
kd = [Ud] = 1 000 = 500.
-r
2
U
1
1'",.
ot ra parlC, COJIIIO l., 1I,luddad dí'l "'O'·;tll;('t<lO
dl·1 1)('sO Q ('u l'] ttt"tltt'ttl .... del cltot¡ttt' ,'S ti.
V2gh.
Fil;'. 23G
lH r;g iol(·z dl' 111 lJarra u h, tracc ión,
/:.'1-'
e "" -,-
l·l 1lt'~O
propi o de ]¡, hi<rra, (Jo = rF1 y rl f"l'ri,·;,·tlI<' lit' rrdUfciólI de l:o tna~a
1
de J" lwrt'a ni trnslndarla ,,] I'lttttu do c]¡,ltJ'''', km ~ ]" ("""~(' eJ
(ljelnplo 1:!,'",), pllr 1" rórtnuk, (21,3) "b(('IIr1r(>m"s,
_ 1
-
+
Ji'
+ 2f¡,2.1U~
.".
8.2 . 10'
Así, I"/cs. !i(¡O
(/,ml~
1).;{.8
3.10'
,
' I' V'
1+
r li" = 1 +
.. /1
3 · 10'
V + -3-,8- 10 .
;\'8
3· 11)'
~,tI ¡,
e
:::::: 3 1,'-> cm.
Si se prc!:!Cillde de Ja lUasa de la llarr,l,
kd =500=
fl=
v'2ht:F= V 2h.2.101·I,=Hhlh
<)e
y IlOr lo tanlo h = 2;:;
CII1,
del pesu propin de la bnrra,
pe ligrosa: oJc coíd!\ del
Il o~o
lo que !Ju i.'rl' decir que, al Jlr<'~eiIHJir
~e reduTO I'J "" lur .It! la "llufa no
OH
3 1,5_25 • 100
31,5
4>'
9·2 ·11f
Ql
' 1"" , .
~w
Ejcm lJlo 136. Choqul" tranS\'l'rsal. Dado: h = 5 cm, ! .,. I m,
1 = 2 000 crn~. IV = 200 cm!, 00 = 25 kgf, f.'
2· 10' kgf/cm'
y rO'~1 = [ 200 kgIlcrn 1 (fig. 237),
Dl"tcrminnr D cOlIs;¡ll"rnndo la masa de In
l' igH y prc&:indicndu de ella.
f{ellOluci6l1, Cuand ... 01 IJC~O O ac tita cst¡iliCllnl<'nte, la flecha d,,1 extremo lihr(l d(l la
Q/'
\'ign );t'rH 6 = 3EI ; In flecha de IHHI
Fi¡¡-, 237
~ecc;ón
nrhitrnrill ,le la vign, silunda n la dislnllcill x de l em[lOlnl[nienlo,
]Jor In fónllula del 0'610<10 de los llaramelros dc orib'Cn,
Por lo tanlo, ,,1 c(){'fic;cutc de reducció n de I¡l
conccntrarl¡, CI! el plinto ue ehoque resultnn;
'J' (')'
i
km=¡
Vi
fi.t' = ,
"
Illa~a
de [a viga al
'J' (3"21' -2i'
" )JZ= ¡40
33
.
y 1'1 COl'fiticUl(l din{lIlJic<I, 1""· 1" f"I'tu"l" (2Ioa),
k
,
d=
+
2"3/:,'/
+QT'
I
33
O.
'+ -140 -Q
Por olra ]l1lr!P, (lOIllO el pl"SO Q ni nClunr
cn la liga la le,,~i ón lu;;'xinw 1I0rllll,l,
Ql
Q, IOO
IV
200
es t ;; li cam~nlo
origina
Q
2
kgf/c rn ,
2
(JmOI=--~--=-
p[
cncficien le dilH;lIIicn
~cn¡ segÍlII
la fórmula (24!)j
1,37
P or lo [,miO,
de dOlld\!
~e
21000
Q
= I
+ .,V/ I -:-
12· 10'
Q + ti 6
13QI - (j· IO"Q - 3t.i· Hr- = O,
obtleno
Q=!... (3.l\f± -v'9 . 1O' +3ij.IOZ)~ 3 ±
3.7 10',
13
13
DI) c~tas ,Ivs
fuícc~ ~ú l v
oua
s¡¡(i~fa(le I~s
cu ndic iollcs del pro b!eul<l,
Prcsc indiclldo d c lu IlWSll obtclldrell1os,
2·400
Q=
Y 2,'¡.3t'1
--¡¡¡r-
y, por lo In"lo.
1,8 kgL
Así,
no
s i ~e prescindo de 1" nms" de la v iga, cn l onc('s el pell O
d<l la masa 'I 'Hl CHC , ~e ro.',lnc ir:' en
plll'S.
{lcli gr,,~o
5" '8
....::....=...! 1 00~8%.
52
Ej('rnl,r'j Ilí. l 'IIpllc1.o !ors i"ulIlIl(', El pl'SI) (J = 3 kgf gira s(J!Jru
el brH7.Il (, = S CIII alrede d or del ejl' horf1.un(¡. I;( con ,'cJoc id,u! IIlIg lI 1m cons\¡¡n\u
1))0
y e\\l)cn
COl) \"
I", .. te ~obn.'SH!ic n te d e 1" Iwrra
citirul riCl1 de longitud l
40 cm
y cll' d ¡,¡melro d = (j cm (fig. 238).
Dcterm iuar el niullcro adrnis i lit o de revoluciones n del peso Q
fig. 238
IlOf 1l1inuto, si el IICSO do lo uni111111 ~ [e \'OJunH.!U del mutllf inl d e
8 gl/c m", el mó,[ulu del ¡[esliza llli llulO G =
lo barru ,~s y
"'" 8 . 10S kgf/cJI1' Y la ten sión.l. adnlisililu lungt'llch¡1 ITd l -=
_ 400 kgf/clll'.
lleso luc161! . Cuandu III ro rgn Q !lctón esllÍticlItlllllltu soliro la
barra en ésta surg(lJl las tensiOrH'8 tange nciales m:¡ .~iIlIRS siguic nt ~s.
Tm ••
'"
Q¡)
Qp
3·8
5
IV"
O.2J"
O,2·ü
!)
= -- ~ - - ~ --3 = -
2
kgr/c,,' .
El coeficiente d iruirnico rCl'lulta,
kd _ ITd l = 400·9 _ 720.
S
T mu
CU II '" 01 mUmllnL(, de ine rcia de In
eje dc ru tac ión es
l
1.. = -Q
(1
g
_
m a.S!1
del
¡¡CIIO
Q respec to a l
3·64
.2
_ _ :::::: 0,2 kg[ ·cm·II .
!.lB1
el momen lo de ¡lIareill de la masa de la ba rra ,
1
n '1' ..
/ ", =_·_al::::::O,
I 8.10_ _ ·(j• ·40~ O,042
• 32 g
!.IB I
01 cocficicnl o do reducció n li t) la Jll IISII de In bnfrn (véaso el ejempl o
127), k m
....
I
T,
lo cncrllin cinó t ica del moyj mi(lll lo gi rll tor io del
I",W:
r-
f
- 2 - ::::: O,1w¡I kg·cm,
y 111 energía JlQlll llcial¡11J In deFurm llci6n eJásticn e n la torsío" de la
lJ urrn nI II cllla r 01 pes" cl! l&ticnlllcnlc,
\).(;1,. ,;0
I
Q"p'[
U~---~
. - !)·
--I ~ k!lr CIIl ,
2G/
2 8 ·' O' ·0, 1· 6
,
¡w r In rór mula (243) hnll llfCItlO!l e l coofi cic l1l e di n{¡m ico,
kd _ I+·,/ I +.!.....
U
I
k ~
1+ ,
+ - {m
1 + 0, 1.00: .9. 111 :::::
I 0,012
+3.0,2
::::; 1+ VI +8Io Iw:.
Si
~o
prescillllc de 1,. IIHI"''' ,le I¡, uMrll,
'"
y !I"f lo 1:'IIll" ,
nll
no
30
30
",o= --~-= 21¡
y
30 ·24
n= --- ~230
f.p.m .
1\
I\~í, !lUl'~, :d pl'l'sci",lir do la 1IH1"" de la Iwr ra, el UílllHJrO aJlllis ible de ro\'oluc io ll t's .:ld Ileso qllo gu l¡Jl''' se redileO 1'11
240-230
V.O . 100 ~ '"
' /U ·
Prob le m as 9811-100:1. Uotcrmillar las ",aglli tudcs iuJic:¡¡las 011
h~ cOllll icioncs do lus pro Llcllla.~ IHlra lus si ~tc n HlS c[¡is t icQS sO lllot i¡J os
al illll'lIcIO.
PI"l'.'lC íudasc d el !:o maS,l pr"pi n d n I r,~ elclIllllllos dc lus s i.~llllllas.
1::11 1"" prohlc,",,~ quo so reslle l\'C II ~ " [oru,,, gllllllnll el codicillllto
dillrrm ic" so dC!¡l't{, cu klllur por h, rúnllul" np m ximndn,
k,, =
.V17
·-·.
g'
I~ II I<lS sislellllls a ll nrlica d u.~ r en
cOJl~ i d('rnrso In ~ cf"r ll lncjón origi uada
ID
1M..
q=100N
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[1J)-I600k9!/cm l 60"
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Ins bllrr;ls CI II'\'IIS
por la flexió".
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" roblema 100Ii. J)erno~t rD r 11"0 pora las borras indk ndll~. Ins
t OIl~iones dimími cas llIax im ns, nblenidu prescindiendo do In mll,lI
do la "iga, no depend en de la lIIanera de /lpeyo y de la magnitud a.
Co nsidérese que h :> 6.
W
'~
~
Prub lema 1005. Dclerm illar a lIara (I"e 111 Il)n~¡ón max Ud sea
mini,no . l'rescínd nse de 1M 1II11!IB do las \'¡gl' ~ y collll¡dérc~o que h
oS.
¡' rob lema 1006. De termina r la 10 1l1lio" mil): Td en 01 ojo tille
gi ra co n la ve locidad a ll gu lnr !tl y qUIl SO llorl o el v" IHulo de Ill Olnento
>
do ¡llereiA do la ma811 1.. , cuando SIl pllrll 01 ojo brusca ment e:
a) en un solo cojinete; b) 011 10ll do' ~.oii ll c lcs s imultánca mcutc.
1QQZ
t:ñ
,
...
S k9f/cm'
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r. . _,
AL.J
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r, 1
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- ,- J
1m.
1",, - H", · J",
Gk91/'m'
Pro blema 1007 . Dllter m inar max 1"4 en Cll árbol de l lI istema t ra nsm isor CUl\ nd o fre nn súbitamente el ext remo de l úr bol en el cojinete A.
¡'ro blemnll 1008-10 11. Determinar las magnitudes ind icada s
en las co ndici o nes dll los pro blemnll pafa los lIistemns some tidos al
im pacto.
Co nsidéll'ge el peso propio de lodos nqne ll os elCllllen loll Ilue Jo
tienen indica do. Ténganse en cuenta IlIs observacio nes hec has en los
pro ble mas 984-1003.
100B
1'----,,-"
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f}¡o2Q
ClJ : ?
6~./?
[l ~ J[hgflcm¡
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Q"/78kS' I
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[ ' 2·IIJ~kgI/Wll
ma~O"d : ?
I'ro bJellll' ltlJ 2 . II ClIoh·cr el proiJlemn 093 c"u~i, lt'n" Hlo la infl ue nc ia de la mnsa do 111 vigll. S" ¡Il"¡ n cs (Jo.
I'ro hle mll IOI :\. l)c lerrnill(lT mllx Td l'U el ¡¡ rlwl. originmj" ¡)(Ir
e l i m¡)(Hll o torsioullulo que surge 111 co ncc t nr si.bil ¡. mentc el embrngue
lite. Ellte embrllgue co uecta el s istemll en movim iento girnt orio
do In pllrte derech" dol arb ol con 111 IlnrLo iZI¡uicrda inmóv il.
Pro blemll 10110. De terrni n;u· y couqwmr IlIs le nsin ues ad,' a d,/"
a~11I eu 1 ~l s lJil rro1S 1, 1/, 1/1, que S\l r~,,1Jn d\lr~Hl te vI cll<..11I"Q do l
mism o ¡lI!SO Q 'tue cne de '" IIÚS lI ll' altura h = 10 cm.
41,3
~,
~-
u
Fl'{cm '
q
I
",
r,
r,
r, ~
'"
XV. TENSIONES
A LTEHNAIJAS
E" I.'sll' CII "íllulo se 1I,l/lJiun las tellsionell (Iue "lid:... )l(l riódiC;8lOente dllmnlc un ¡"rgo lllp!!O de ti ClllpO.
El tonjnu\u de \'/llore5 eOllsecuti\'O!! de las lellsion... s alternadas
lInraulc UI1 ciclo ~c denomina ciclo de las lelis/onn.
CUllud u ~"bre el ~':'lido ncl¡ian si~len¡¡'l ti cu lllf'lIt e tellsiones alle rIIn dlls. ell los Jugl. rcs de lIu¡ximll co ncclllrnciúlI de Ins IOIl.'~ioJlell
Im/Hlon nparClwr griotns (IUO conducen n In destrucción fr{lgll del
lIÓlido. El Ilroccsu do .'Iurgirnionlo y dcsó,rrollo do las grial".'! on el
nla lerin l del lIulillo, origi uado por 1119 leusio nes ¡¡llernndas 1i0 don e.mirm Jaliga del malfrirJl.
LII resis tenci a del malerinl n las te nsiones Alternadas se denomina
reside/Ida Ihl mtllerlal Q la jatiga, Las tensiones máximas de variacl6n
periódica (Itle 01 mAteria l puede re~istir indefinidamente .'!O denomin A límite de re'¡"mc/a a la fatiga.
Ge nera lm ente SIl clI!cu l¡, el limite CO llvencionol ele t('l!illte ncia
8. la ra ti g1l basándose on un número limitndo do ciclos, por e jllmplo,
en 01 ca80 do los meto les fl!f roSOS (5 -;.- 10). 10" ciclos, en 01 caso de
metales no ferrOMs, (50 -;.- 100) ·10' ciclos, etC.
El ciclo .'!O cafacleriu por el coeficiente do 1Isimetrl1l r que se
obtione como 111 rra cci6n a lgebraica
r-~
P ...n
.
('50)
siendo P...n (a .. u y Tm.... ) Y Pmln (alllIO y t",IG) los tensiones máx imas y mínimas de l ciclo.
La mag n itud p =P",.. +P"'I"
...
•
2
(251 )
se den omina tensión media del ciclo y
(252)
amplitud dd ciclo.
El limite do res istenci a a la fa ti ga os
p, =p:;'.. =p~
+ p~,
(253)
s iendo p:;"" P~ y p~ ¡¡, tons ión mlÍxima, la t ensión media y l a
amplitud dol ciclo correspondiente a l caso cuando 01 malorial trabaja on su lím ito do res islencia a iII fati ga.
,
p
•
•
J ~~ _ __ L 'f/!"'fJII
Pmu,!
Pm,., ;
,
L'...j"
I I
f'tI1N9 dd QCW
Pmu1
J
P""p r,1'tn
I'ig. 239
,-
l';I:' 2~O
•
p
PmaT,
- flrmpo
'.
i"
Fil: .
-,
p..u,
.1
Fig. 2~2
2~ t
Si e l ciclo es si mótrico (rig. 239), entonces
P mu = - Pmln;
p ", '" O;
r = - 1;
P. = P_I·
Cunudo el ci clo es do signo COllst,a ut e pus il,i\'(> y asi mc tr ico
(fi g. 240),
P",u >0; rml .. >0; O < r < 1Cuando el ciclo es asimétri co y de signo olterll<lti\'o (Iig. 2/0 1) ,
Pm . ' >0;
Pmln < O; - 1 < r <O.
Cuando el ciclu es de pulsación (lig. 2/.2 ),
Pmu>O; Pmln=O;
Pruu
P", = P~= -2-'
r =O; P, = Po'
§ J. ,,'a cto/'es lJj'-/nc ;lwlel( (jI/ e -I/I/fuyen sobre
/1/. ·/'eilistellc-itl. {(el 'II j.!/.f el"iul n I n
C~ rácter
fa.Nu,,·
del cicl o y ti po de deformaci6n
1';11 el ca~o do 1111 cid" simétrico 01 límite de resis tenc ia n la ratiga
dol Ulnlcrinl (ella" "" las "trlls cur"lici,lUl's son illeut iclIs) IHl quiero
su vlII"r ",illill"'. El limit o de f('sistcllcin 11 la rlltiga CII el ciclo
5i mótric" /1- , (0_, Ú T_,) so 110ll' rlllil\:I por 111 c ur\"n (rig. 2ti3) que so
p 1r9'/"'''I1
"
, -~
P'~ l
a
..
,
; ti",
NI""".,..d< nclos}
con~tr"ye p"r l os IIntos oXl'c rim Cnló,les. Pnrn ul l", c n In I,nrto derec ha do 1" CI\.\"n . nlli dondo!!\l COllvie r te en hori7.0ntl1 l, se traza Unn
UHlgn1l t e a la curVIl. L Il ordUllada quo determina osta Itlngcute SI.!
;1(1.1Ii 10 como limito convencioual de r e.~i.~ Lo.)rI c i l\ II la fólt igll.
Su hall cstablecidl, IlIs siguil'ntcs rcl¡.ci"ncs al'roxilll,ulas e utro
I()s li,"i lf's de re~islu,,,.:iól n I n fntign c n la flexión ~j mélri cu, 0_,;
ell la tracc icJlI _ cOIO ])rosiólI ~¡m étri c"s O_llra~ Y tJII la I.uts.ió"
simétrico T _ I por UlIól pnrte y el límite <In roturn o, (res i5t cncia) po r
ottl1.
¡JafiO ,,1 ;,cero,
0 _1"'"'
(0,4 -7- 0,6) Or;
T _ , "'"'
("1_1 ,rae"'"'
(0,4 -7- 0, i)
para el hiurro fllmlic!o,
0"_, (O,ti -;- 0,5) 0,;
(0,7...;- 0,8)
° _,;
O _ ,;
T_,:::::: (0,7 -;- O,!)) 0"_,;
para los metales no rerrosos
0_1 "'"'
(0,25 -;- 0,5) u r ·
En el CRSO do (111 ciclo asinuilrico, 01 límite do rc~istencin a la
fati gn ¡lUodo ob tenerse por In cun';1 uXj)(:rimo ntal de l;l~ nmll Htlldes
li mites, C!lll~lru id " e~, el sis temA do coordl'w,dAS
p,", Pd (rig. 21i1i).
En n le parágrafo &>1" Ml da ell11a l ~ri"l occti!8rio para ....""'her 1011 problema. que ligtlran en el líbro .
.,
Se ('Iltimu!r por Pr. ('11 111 H¡::urll, 1'\ límite de resis tencia del
lIu' (I'rinl, corrl.'Spomtwlllc ,,1 til''' dI) ,Ic{¡¡rmnci{m ltnllu del ~ó¡¡ <1o.
P alio el c",.rid cu ll' de i,silllt' lríUII {' 1 cido r
la
,w' jJ nitlll l ol e l¡r ~
_1',
ji",
• 1- ,
-,- . r
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flml"
S(!
delel'II""11
p",""
,
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Ud <lrigell ,le l,,!", coo\"\I"m\\I:\!! !'M tr'17.1I um. recla iudiuad:\ UII
(, ,,gil),, ~ rl·~I'\·¡;to nI l' jO ""' OS lIlIliIlldo I¡,S coonlcwII¡"s Pi.. y p ~ de l
plmlo do i,,\prsccdón .le {'~ III t",- I" con In CII""" ,Id tlilljJtllma se
o hUolI(' 1,1 lí ,,, il u de r ... "iS ICllrin
;o
1(1 fnti¡::n,
p,=p~,+p~.
"~jcm l)l<I 138 . \)11'\0: el aCI'TV IIWfClI /,0 en ('5\:,,,lu nOfllmli1,ado
y (,J d¡orio ,lo IllS ohsc r \'nci()ne.~ de los cn$ ' yo.~ por fatigll pnr" 01 caso
dI' 1" flcxió" , I{' ,'i .-l " ~j ","' l r¡cu: (J ,\11'\ / ",' :IDu; :!!J(); :!HU; 270;
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1f<'.,·"III~;úlI .
(,Itimm< n" l l¡'gnron
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oI a h ~~ "htt'u;,I!);; eH I,,~ "lI s"yo~ s.' "on~ l rllyi\
I:! c"na !Ir In rt·.~i .~II· I, ci ll ro f" ra li go" en I~ I ~ i ~ l t'Jl1!l tI,- r oo r,I ,',,,,dn¡;
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tlt· ridus) (fil!'. 2",-,).
'1" '''1.[1 "<1,, la lallgclIl,· "" la p" l"I e e.x lm",,, d,' rcth" .1(. 1.1 ""rvll
S" ]'1'1l ('] .. j,> .1 .. H>ú rd e",,'¡a8. <,1 IÍlllilc (" ""-'>lIc; ... ",, 1
n 1" Inl;;.:a (T _1 ;::::i 232 I\ I N/ m'.
Ej"ml, l" tI!). I)"d" Ip l~ (,J "",L.. ri"J t·~ 'Wpra ür. :L Jos \'" Iurl's
('~I;d .l ,·{',·"" ,~.
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01" 0, = :¡.'l,S k¡:f ' onm!, 0_,
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I n~ ""'jtli(,,,k~ l i,,,i( ..·~ 01(· 1 dd u o~ t'"r l'l'~ I)(}"d i " lI h's n JII~ (l'II ~ i,,, ..·~
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Delermina r l1o , ~ '
/l tsolm:ión , Por l,,~ dutos eXIJe ri nll',,1.ale~ construinlOs la c urva
de 11IS 1I11111litudes limites cn I' } sis\.unw de e')(Irdcuadlls 11m - l1a
(Fir:, 240),
COIII O dlíllúlo do rC5i stuuoia a In faligH '1110 ~o tI!llcf!lIina COI'!'('SpOlldo al c iclo 1.simlÍ\rico tic coofi c i\!fll U d" ns iul clría r = U,25,
n'sulta
"=
-:.:0""2,,,'
tgp, - :-1 +0,25
Trozam o.~
por ,,1 or igou dn l¡¡~ cuonlCllmho¡ 1;, rct;\" iuclin;lIla
O
~ = :U rC'«I)(!clo 111 oje (1 m' LaS r,llorll.'uadns ,]('1 ¡mu lo de i llll~rsccdvlI
do oS lo mela cml In cuna do h~ IImll lil mll's limih'~ ~IlII,
o':.;,%> .<:::< 22,5 kgf/mm 2 y o~~ .<:::< 13 kgl/mm 2,
y 01 lílllilu de
n'~¡5t e llein
l1o,~=I1::;:!>
C.m~ntr8ción
o la fa Liga qlle se bllsca,
+ o ~':' .<:::< 22,5 + 13 =
35,5 kgf/mm2,
de knsion ...
Se entioudo por Cfmctmlración de ¡ellsioues tl l aume ntu IOCfl I de
108 (elisiones en la~ ]lroximi,la dt's dol foco de conc~nlraci61l (es
decir , allí donde tiene lugar un a variA ción loca l de 111 configurl1ci6n
del sólid o, en forllla de agujeros, surcos, ratlura~, ar istas hucca~,
cha fl anes c6ncavos, e tc, ).
L ~ razon \lnlre ta lell~i6n lOCAl mftxinll' PI (0"1 6 ti) y 1I1 Ilominal
p (11 o t) en la ~ecc¡ón ,lehiti ladn \lor el f\J~o do conce ntr acion
(pero obte nida sin considerar lH COnceU1rl1ci6n), que corresponde a In
carga estática y qu e se determina ~ upotliendo qne el nmt er ial es
absolutame nt e homogéneo, is6tro]Ju y l'}is ti co, S{l denomina coefi ciente teórico de concentración de tmaiones,
(l._PI,
a,
,, )
(25<1)
( (l.O=~yaf=-; .
P
El cooficionte (l. > 1 refleja sO]¡llII cn lo la influoucin do la co nfigu r/lc ión geométrica del foco do Ilonct'ntración sohre la magnitud
de la tt'lIsi6n mftxinla locfll.
En el caso do tensiones alteruadns sc.inlroduce tarnhi cu el cu ncepto de coeficiente efecliL'o de cOllcen/ració n de tensiones,
Cl..= P-1
_._, (eto.=. Cl..=. '
P_I ,
11_1
y
,
0" _ 1
T_I)
(255)
T_ 1
quo es la rol a.ci 6n del Hm ite de resistencia a 1" fat iga en el ciclo
rcsi,~tenc¡ a a la [atig,1
de ot ra prob6t a de las mismas dimo nsiones pero con un foco de conce nlfll cióu P ~.,
simétrico de una probeta lisa p _ 1 allimHe de
'"
El coeficiente CXe reUejo no solamente la infl uencia de la COll rigur:lciün ~eomélricn sobre e l "alor del limite de resis tencin a la
fnlig~, sino lambh;n la inrluencia del mnterinl de la Ilrobeta.
Lu rll7.On.
ct
_1
e
q- -a _ 1
(250)
se !Icnomina cveJiciell/tl de k llsilJilidad c/d ma/I'r ial a la conunlrue/ón
dI' Il'Iui!!IIt'6. O -<: (/
l.
En el cnso de l hierro fundido '/ ... 0, en el ,je los II ceros para
c"n~truccionl'S'/ _ 0,6..;- O,1;j (e ~ \'alor me nor !le feriero a los acerO!!
do resislencin nwd il' ye l UUI)·or. a los nccrOll dc nlla resistenc ia)
y l!1I l'i tic los acer!!s dI'
<
o. :;:,. 130
k ¡; fh n u,~ ,
'1 ~ 1;
(en 1'1 n pcutlice.j, en la fit:llrH 1 ~Il tlll el ¡;rMico do los ,·"Iorl'>! npro,~ i , u; ...I,,~ 11" '1 Iwrn l!l llI""ro en (uneion ,le o, y aa li ill co n~idl'r"f Jo
inflw' uc in ,lO! JI';! d;Ill\'''''iol1e~ de I,,¡; solidos).
Como (/ d"pon.le lombi" .. ,IQ la forma y dim ensiones dl·1 ,;úlido
e n lo¡; ca lculos Jlr;;clÍl' os ('~ lilas ,<oguro IJ10rtir do los "l, lore!! ,lo a .
eslnl, lct:id03 e ll los I''' ~' )'u~.
!'nelo. de CS<'II I"
I.n in flll l'u.ia 01(' I n~ ,li'lll'l!~ i oJt('.'! nbs olul ilS ,l!' t,,~ "olid,,~ .O l![,ro
li,,,jlt· ,le r,,~ i,..I'·lI ci a i1 11' fnti¡.:a st' d"I,,}U,iuJl J/ldor ¡JO' ,·.'I,-",la .
]." ,Ii~ul ill "ci"'n dt,l Iíru H¡' ¡l., r/'~is"'n"¡a n 11, fn li,:ll. ;'¡ nurncn lllf
I.,~ ,,,I,,..·~ nh!'OlulOl' d,' In ~ ,li",/',,~i"'H'~ tlel súl i¡l o. ~" "",,1(110 ji/I r e l
cOt"/iri<'llk de ..,..,al" l'~ < I )' "s i ¡,:II"¡ 11 In re!ndon d,·1 li ",i ll' ,1 ... ",lI isto 'uriu" [,. f"li¡.:n ,l.· In Ifrl.beln ,1,·[ .li;"Illl'tro 11,,,1,, f) al ,1,) la jlTobol1l
¡nllr"n .1 ... l1iullll·t ro d,
~·I
(257)
(cu ~' I Il lui ll,l ico ;1, ,'u In fi,!!!)flo :! ~l' do ... 1 ¡.:r;;fko tl l' lo~ \'ll l" rt'" 01 01:,.
e u fu uO'Ív lI 01(' D 1"Oril I v.~ I' r('r,,~ ;1 1 cflrho uo )' n "·,,, ILL~. o·u lo~ en_
do ,Iift' rent ...!! tr;I I ;, ,,, ¡.· ,,I,,~ ole las l' uIK'rficit'lI olt' las I'r.,l",t;, ~. Es lo
I(niric., 11111',10 em l, lt·l'r."'· para ,,"n ,¡ ... I,·r rninud'UI l' l, r.,.~ irn lldll do l'~
Inut o 1'11 ... 1 I'''~O .te fle xitill romo l' n ,,1 tl e tOI·.O;'''')'
S i ,.J "oefi cicIII O "fl,<: lill) d" conccntroci"u d o Ic n ~¡on e~ so o l>l io l1 o
d(' 1 din grn",,, ,¡ UI' clIn.qidl'rl' InrnbitÍlI ,.] r"dor tlo ":!.nt:., l'lIlouce~
11 0 hny llCCc~id1ll1 d,· in t roducir en los c;i1cuI Ul! currocc ioll n lgUlli1 quo
co " ~id,,ro la~ I l illll!,,~ion(')j eI!)1 só lido.
U- II ~
'"
EAlado d.e la
"'perllc~
La influencia del ost ado de la superficie del sólido sobre ellimilo
de re~i~tencia a la fatiga se cOD~idera , introduciendo el cot:/lcltnle de
R1Ulbllidad !u.p«//cla.l, t. < t, que es la relaci6n dellímito de rl'5ill10llcio o lo fatiga do un a probeta con el 08 todo dado de su 9uper(¡cio
(p _,), ni de otra ¡lrobo ta igual, pero de 8u¡Jerlicie pulida p _l .
(p-,) ,
'.~-- .
p- ,
(258)
(on la fi gura 3 del apán dice 5 se da e. on función de o, parll l o~ di 5_
lilltOll estados de la superficie de las probetas).
El elocto do consolidación del ba tid o (endurecimiento por deformación en frío) de la supe rfi cie, de l temple de lo superficie. do In
CCn1entllción. de la nil ruro ció n y de otros factores tecnológicos Stl
evalúa por el coeficiente ~, que so obtioue de 109 rnllnullle9 cOJ'r(>~pO!l_
diefltell y (IUO so in troduco como fnctor del coeficiente 1':••
§
2.
Cf, lc l¡(o ,fe le' r es i s l encú, en ('1, C(lSO tI#J 1111 (' ,,' m/o
', CllI~;Q'/wl Mu enl y ¡[#JI d es N i:flU/;e u/ o p lt 'ro ( l ul'l<i(m)
So supone que al variar In ca rga , no vllrío el carácter dd ('stado
le nslonnl en el ¡Hlnto dol s61ido que so onalil3 y (lije los l·iclo.~ ,It!
las \'Il rinciones de las tell5iones permallocoll semejantes (r
"Oll ~t ).
I~" 01 ca~o de un ciclo similrico do Ins tonsiones oh('rn:,,!~.,. el
codicionle de segu ridnd so eslnbloce por lo magnitud d(J1 lílllilo
úo r<'sisteneia Il lo fnti!!'o do In pietll. Lo influencia de los f;l('tOll'('''
eSCllcinlc.!! (concellt ración de tensiones, fa ctores de ost..1.la y ('st;"I(>
do In superricio) sobro 11' resistencia 11 la fatigll do la pi"zll so 1'11,,01('
IIprecinr por el eoefici onle general
-.
'dl~
,_-_o
(25!l)
Por lo tanlo. 01 coeficiente do se~ufidlld eO Il que Ifabnjn la pieza
en 01 ciclo simétrico se pueúe evalunr por 1" expresión siguiente,
ep_,
P_.
n~--.
(260)
Ilendo Pmu 1~ tensión m:i .~i Pn;1 (nomina l) ('11 In pieza.
LII cOlldicion do resistenci" !!("r.; ,·"t""('I'-".
I'", .• ~
~
1('_.1
(21 ;{ )
y ltl nw¡;nilud de 111 h'usi"n ¡-"Imi,'ihle.
rp-, )= f{lIn-_,l .
(2G2)
siendo [nI el coeficiente do seguridad adm i1Jible (recomendable).
En e l callO de UD cIclo asimétrico de "ariaci6n de las tensiones,
cuyo coeficiento do asimetrín es r
(ó t g JI
= :
~~)
el coeficiente
de segnriuad por fa liga puedo determinarse por el diagrama simplifi·
cado de tus amplitudes límites quo se constru ye por el limite de
rc!) i sll~ ll c ia a la fntiga P~I correspondie nte a l cicl o simétrico y por
el limite de rotura (resistencia) p, parn lfl tracción estática (fig. 247).
P,
D
,-1----".
M
A
P,
Fig. 247
Si el ciclo de trnblljo se c¡¡ru clcri7.¡I el! esto dingr"llI" por el punto
e y el cido lími te semejante a é~le. por el punto D, enl onces el
codk,irn le dc S<'guridAd p or res is tencia se determina gróficll.rnon te
OIJ ' o alla J •ItlclUllente.
•
pOI' ]a ru ]nCI·6 n 11 = OC
(263)
El! 1,1 (''' F.O de tcnsiollcs alt('rn¡¡d as do a mplitud pCqUCÜII, puede
0('111'1'; 1' 'I " f) u1 r8tado limite del material plástico se dotermino no
p nr 1;. f,,¡ig" , ~ illo por la rlut'l! cia (Iromo EM del diag rom») ye nl onces
el rodit"il'JJlc de
s~ g\H·jdlld
se ol.tendrá por
n¡=....!!.!.-=
p¡
~I
límite de fluencill
(2M)
Pm+Pa
Al r0 1l1rroh~r 1 ~ r c ~ i ~ t('ll c ia se rccomiollllo compnrnr In~ mngnitu·
dr ~ ( 1(' l o~ rur fici(, lll('s {le sl'gm itl¡ul , ol!lrJtid~s por 1<15 f'¡rnt\.lns
(2t¡;I) ~' (:.'f;l,) ~. nd' uiti,' 1.1 'M nu!' <1 .. ,·I];>s. El coo ficienfl" de ~,'g uri­
dnd ndn,ilitl u drlJ(' ~rr no ;"r"'-;or ,, 1 :Hl mis;Ll p . n ... la fórlllula (2ü3).
iguul:... do /J "" [n I, 11m ' lp m[ y Po = [Pal, ~c oLticllo 1,1 Jl1:lS uilUd
Pmu
de la tensión ad mi sible correospomlil'lIto al ciclo as imétrico Ip,j.
[1',1 _ _ _-,'",[1'= ,
)[",1'IL-----;:(l_r)(p]+( 1 +r)[{1
(265)
d E!..
p,
Ipl (101 u [TI). 111 lCIISiúlI "dlllisilJlu II:lra 11.
Ln condiriun d,) r~.oi~lcnc i " ~l·r¡,.
~icHdo
p, ...
fI ...
+
P.
-< Ip, l.
(2tiG)
('ara mayor ~in' I Jlifjc"riun ,1 ... lo.'! dlc lll o.~ y l"'nI f:""r('('l'r ul
coeficiente ,1,.. .'I<'gll rhl u, l, S(\ 1",,·,11.' ""'I,Io';,r ,,1 ,Iiagrama n>ctiFiclulo
de las h'n s io"l'~ u tl"' ¡.~i1,I,·~ 01,· Zodt'rI>I,.. rg (fig. Vi8),
Po
r ¡l:. 2\8
Segun este
,¡¡~gr(\ma.
e l codiciente do seguridad sed,
(267)
}' [n magu itud de la ICl1!1ión
adil,j ~ j ('le ,
2fplfp- d
r) [fll
+ (1 + r) [1'- 1J
(2GB)
Ejemp lo IIiO. L ~ b~rrn de.'!CCciólI circll lnr dudiámetrod "" 1,0 Inm
y de superficie csmarilnda es do III:(' ro CT. 1, pura el clla l, 0, 480 M N/ms y o _, ~ 200 Mfo; / m".
Determinar el coeficiente dc l!4.'guridAd /1 , con quo trahnja ht
barril sometid a a la rluxión a ltcrllad~ seg un un ciclo !linuílr ico,
si Mmu = - M m 1n = 640 N·m.
lt~luci6/1. Lal! l ellsi one~ má .~ima }' rnlllirna del ciclo son,
u",•• _
."
-
Al,....
U m.... S3--;:::;
IV
{ViO
,
0, 1 ·4·1 0
.=
10' IN/ m' = 100 '" IN/ 111 ' .
Del A'rMieo de In fi g ura 2 dc l II péndiee 5, pa ra la ba rril do secció n
circular do dialllclro d = líO mm, do Hecro al cnriJono y de supe rfiei,) ('s ltIe r i[¡,tlu ('1 rador do esca la es ee = 0,8U.
Pur la fúrll ,,, l,, (260) ~e o!J l icllIl para el coefi cienle tlo .'>I!gur id ad,
e ..G _1 ~O,8(; . 200;::; 1,7.
0mn
100
11 =
Ejem p lo I/¡ I . Lu LJnrrn l'sc~ I O " lH la de ~ecc i ')n cfrcuh'f
D = 80 mlll y d = líO mili (rig. ViO) C~
pit ra el cUlO l 0, = 1 000 ~IN / m' y O_ur8e =
di{"ndro~
del aCl"'O IíOX,
du
200 ,\ IN / m'. E ro l't c hHfI:i n cunCDvo. ~
=
0,2. 1.,10 s uper-
fi ei" tl e 1:. b" rrn 1'~1,¡ ",i"urjo~um(' ,,1 1l Nu"oriln ¡[n .
DCIl'rt(1illnr l'1 "¡,l"r 1I1'·I.\;mu ,l.· 1" c" rgH IOx ia l III1.crIHHIIl J'",., q ue var ía s(' g" " .,1 ciclo simél r iro. I' i ~Il {jui" r"
gn rauliwr 1111 <lodici""I., ,It, ~, 'g",·j d" IJ dI' Inl = 1.8.
lI,.s()/¡trit5n. D.,I !("r,ir¡"o ,¡" 1" [ igllm 1, tld apéudi ,'" 5
~"
oh! i"IIl',
I'"ra
r
J
= u.~.
Im ra
l't "CI)ro
d.,
Fij¡:.
2~'J
o, =
1 000 ,\ ¡XIi ,,", ;"11''"1'01", ,,10. 1') ~()cFie ic() te .'Tutti,,!> rll' C"u~('n ' r" c ió n
d,' I (, ,,~io,,('~ «.
1,7. Eu l'1 cn~" ,1(· "', "s nwr¡ l"tlu ",i""c i o.~o,
f • ... !.
L" I,.. , ~i ún n d rni~ihll' sC' I"ÍJ,
IO - "
'~O
el ,irl'" mí"inw ,1,· 1"
0'-1 , r;,"
2!iO
1,8 ·1 ,7
J =---~--- ~
!tlJa.
~('("c i úu
82
l\¡ N/m ~,
do In I, ... rr;o ,
,
F =¡¡rr =n.4 ;::; 12,G cm'.
y la fUHl.ll
",{, .~i,,,a
d
,u i,,] "lll·n, m la.
¡ O~ OOQ:'>l" = 103 kN.
,"tr IJol do sl'cciú n circulnr tlo ¡[¡"melr o
nI .. "rLJono, 1"'1"" ,·l !;,n,] 0] , ""' (iD kgflm m',
Fij! . :!:.'iO
ltIi" uc ¡ o~"n l('ull' "~ I ,,('ri)lt(ln
' ¡clte "JI n¡;u jcro ci r cu h,r , ']1H) lo a lr,,\· it·~;o. ,le diáu ,..tro a ... ]U mm y ~e l:!o"'elu'" l~ l or~ión
nlto rtl nda de ciclo ~imé(.Tico (;0" ,,,;IX /11 1 "" - min 111 , =
= 90 kgl· m (fig. 250).
Y de SU I't'rf il'i o
1,53
Determinar el coeficien te de seguridad con que trabnja el ñrbol.
R~so luci6n, Admitimos que a proximadame nte
_t = O,li 0< Y
°
't
_1
= 0,50 _1 = 0 ,2,60 = 12 kgf/mm",
Del grúfico de la figura 5 del apóndice 5, para el
~ICcrú
,le
(1<
""
-= 60 kgf/mm' Sil obtiene el coeficiente efectivo de COllcc"trat;ilÍn
d e tensiones que considera ya la influencia de las dimens iollcs
lutas del árbol ele "" 1, 77,
Hb~o­
El módulo de la sección ell la torsión de ulla secció" ci rculnr ,
debilitada IJor e l agujero ; = 0,2 segón los da t os de los rn¡\JHHtles os,
W, =
Cuando
~c t ú~
~~ 0,81. :>::: 20,6 cm",
muo M, = 90 k¡¡r·m.,
z
Af, = 9{)·10 :>::: 437
Wt
20,6
'tma. = mil:!:
El coeficiente de seguridad será,
Ejcllll, lo ¡!j3. Determinar In tensión nd misible en la fl eX"i';I¡ nltcrnada de característica del ciclo r = -0, 6 si so caleul,¡ UlIll pil'zn de
acero alelldo para construcciones de 0 < = 100 kgf/mm ' yo," =
= 80 kgr/mlll' con un coeficiente de sognridlld [n] _ 2, L" p¡"l,:O os
do sección circulor de diámotro d = 40 111m y tiene un foco de cmleelltración para el cua l el coeficiente teóri co de coueenlraciólI ,le tensiones es 0:" = 1,6, m coeficien te de consolidación origiuadu pOf el
endurecimiento superficia l pOf deformación en frío es ~ ., lA.
Resolución. Admitimos (J _1 =- O.I¡; (J, "" 0,4·100 "" loO kgf/cm'.
Suponiendo Que el coeficien te de sensibilidad del m[lteriól] es q =
"" 0,8 hallamos ¡Jor la fórmula (256) el coeficiente efectlvo de eOIlcentraci6n de t ellsiones,
ele '" 1
+ q (O:a
- 1) = 1
+ 0,8 (t ,6 -
1)
=
1,48.
El fa ctor de esco la e,. so obtiene por la curva r; cotrespo!Hliente
al acero alcado· con concentración moderada de tel1sioncs del gnifico
dI! la figura 2 de l Apéndice 5, es decir, e,.:>::: 0,65,
La tensió n admisib le correspondiente a la carga constnnte es
[aJc:.!!..= 80 =40
[IIJ
2
kgf/ mm',
Por la fórmu la (259) 80 obtiene el coefi ciente do Infl uenc ia !lob",
la fati ga do los diversO:! factores en 01 caso de un cielo sim~t rl co ,
t,4·1
0615
e= e.~.
-;:-::::: O,65·1,48
~,
,
por la fórmula (262), la t ensión admisible corroapondill'nto a l cielo
simétrico,
[CJ_,1=
IlO'
_L
__
~
[nJ
0,615·40 _l'
, 3 kg Umm•
2
y IJot la fórmula (265), la tensión admisible en 01 ciclo asimét rico
do coeficionte de asimotria r = -0,6,
ICJ-o.•l =
_ _ _Oo'1
"'-"11""=--,,,-1_
_ :-_
"a,
( l _r)(O' )+(I +r)lO"_,] -
=
(1
2·40· 12,3
0,6) 12,3·0,8
+ O.(3)1iO + (1 _
~
l'1 , 5 k'g I1 mm.
•
EjCIlllllo 1Ii-i . Compro\}nt la rC.'IbtCllcia del árbol c!l(;alonado de
!<'eción circular do di áme tros D .. 60 mm y d _ 30 mm (nI:. 25 1)
de :lecro nI carbono, marca 1i5, con a, -=
_ iO kgflmm', 1,= 22 kgf"nm' y T., _ 16 kgflmrn', si e l coofieicnlo do scgurhl~d es 1,,1 _ 1,6. En el chaflá n cóncavo,
~
-
O, I Y e l codiciente de endureci-
.";g. 251
mienlo ,",e hido 1\1 chorreado con perdil:"ulIl'~,
~ _ 1,1. El árhol se someto a una torsi611 alternada do
111:"1:\: MI _ liS kgf'lIl Y min .M I =- - 21¡ kgf·m.
f{ c!I()lr¡(/(ÍI,. La tensión tangencial admisible para \¡¡ t orsi6o
IlO ,,[terna es,
Tr
lT]=- _22
- ::::I 13,8 kgf/mm.•
In.] 1,6
Del g;,Hico 6 del a¡16ndico 5, interpolando, par/l ~ = 0, 1, par/l
el acero do o. "" 70 kgf/ mm', se obtiene el coeficiente efecli\' o de
conccl1lradón a!::::I 1,28.
¡~ I c(){!ficien lO que considera In influencia do lodos lo~ fn clore.
solJre la rC!sisteru: ia n la fati ga es,
~_.t ::::lg::::lO,86;
a:
1,28
Ip te nsión adrni~jblo IH'lrfl .. 1 ciclo lIirnétriru,
I,
JI!
(nrut1<' rí~ 1
l'T_r
,_--~
I
O
.8G
'
_
_·1G
_ _ 8'
,li k'g " 111111:
[n1
l.G
¡,'II !ll'1 dd" ,Imln,
-,
'"
_'C"C;C"C'C"C'C
,-
r,, ¡, ~
¡I/ ,
1" tI'n,ji;!! nolllli~i101l', p"r 111
rúrt""I"
n.5;
(:!I~). ,'u;III,I(o r
U,.-'.
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2·1.1.8·8,li
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(1 ') I TI+(i+r*_d~( I +().;') t 3.l:I+(1 U.5)·S,ti
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V""" l,,~ -""ln IlU'lIll'
,·1 .'s tlld o I(>IIl';",,,1I 111" ,, ° ¡lIdie,,,j,,
" 11
111
n ¡,:u ra :!:,:! y r"r rt'~J'{J ll<l it'nto n UI, '" ,II.-ri"J pl,¡~licu.
La rUlldiri,'u, ,11' n'~i~If'lId~, ."~' 1'~~riLl' ,11, ¡¡('llt'rolo c"n l., h·rrl'r.l
o la ("liarla
ltil,óIN.i~
,h' n· ... i... t,·nda "11 1"
'oru'''
,·liplil".,
~igu il'ull' .
(2t.i!l)
" quí O"'b~
10,1
o..
o.; T"' ~1
T",
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y he,1 ~(m In .~ ("II~h.. w~ ;,d'll i._ ilJl"s lIor~
m,,1 y t:"'¡':l'ncin l '1'''' >jI> "Llil"a'1I p(,r lu r,', r~
111,,1:, (2G5 Ú 2(8) do 1Ir1l1'rdo COIl las c;o r;I(·1t'risticlls de los ciclos de 'D r iacio" dI' In~ tl'll~iOIll'S 1l0rm rtl l'.~
y IDllge neiales.
El eodieiell to gcue r:, 1 de Sl'gur id a,1 11 ,lo' lro piufI e'Hllll lo :<olJ ro
clip Rclu PIl silllu h t,uenmen te las h',,~ioIH>~ ,,11t'rufldas (J y T se obtiene
de 111 CX llr;esión
~'ill'.
252
/1=-:Cr'e'"c"~''--7
Vll!+/I~
(2íO)
11, Jo~ coefi cientes de ~(!g\lridud pal'ciól lCII cor~3 J)o n"i(ln ­
les rI'S I!l~c ti"' !lmente " 1 CIIllO clmndo lIolJru 111 I'il'.,a IIcl urou lIolllnn'llto
sielldu 110 y
te nsione! a llernadas (J y al CIUIO cuando actúan exclusivamente
leD ~ ione9 Itlteroadas T. E~tO!l coefieien tea parciales do seguridad se
determi na n por 111 fórmula (263) 6 (2G7).
~~H~,o ;' :~': n:~arbOI do acero (CT.
5) so someto !I la acci6n
que va rí nn pe r iódicn y 5incronillldamente
= - 160 N· In Y de momentO.'! 101'301'65
N· m y
M , .,. 320 N· m . El :irbol es esC'a lonado
do di¡Írn lll ros
= ;.0 mm y d _ 40 mm; el rlldio del c1lafllÍn cóncavo
es fJ - 0.25 c m. El l1cero CT, 5 lic uo hu~ ca rll cterislic/ls siguientes.
cr, _ 540 ~IN I IU~. (JI = 280 ,\I N/m l , T, = 3.50 MN/m' , TI _ 1&1 .\IN / m', 0_, = 2<\ 0 i\IN / IrI ~ Y T_t ... 11,0 MN / m'.
])n! ('rm inM el coefi cien te do seg urid nd n con que trabaja el árbol.
II fllO /ución . IlIterpolando en los grMico., dc las figuras 6 y 7
dol PIH!mJ icc 5, st' obti enen los cQ('ficicntcs do concen tración de ten-
do
1[
aio nf's pa ra
~ =~
= 0.0025 y u, "" 5'10 JIIN / m!,
a~. ""'" 1.8 1
ComO' \' 11 ('stc cO.'!O'
y
D
5
(f = T
a~. "",, 1 ,42.
1.25 < 2, so del.len cO'rn'g ir IO's
valorf'!! tic a~ y a!.<
DI,I ¡;dfi co de In figura 8 ,Id n pémlico 5, so oh! ienen Jos coeficientes de corrección ~" = 0,83 y~, - 0.70.
L o..! \'alort'il d l, rin ilivos do a!. y a! BO ca lculan por In rórmulD
dnd a ,,11 In fi ¡:urll 8 dd np,;,,,lirc 5.
a:= 1 ¡u (a:. _ 1) ""'" I U,83(1,8 1 _ 1) R;ll ,07
+
+
a; _ I +~, (a:. - 1) ""'" I + tI,70( 1,42 _
De 1;1 cunll
5 11M o.
.~ II¡>e rn d¡¡ 1
1) ""'" 1,33.
,~ .I .,J
Il!r;ir if O rc¡lr"!Ml111ado e n In fig ura 3 del ¡¡¡"índice
~,"41 " N I ",~ "'-, ohl i"nl) II I coofici.·"te ,1 ... sc nsi¡,ili d;"t
t.
lI. b,'(
1. "s l'ocfi c i~nlt'" gcltt'nl l"" q ue rd lejnn 1" influencia sobre 1"
1.1 Int i!:":t dc t odo~ 'us rHelores !lOn:
n.~ ¡ ~ It · "ria ¡,
1' ,
a:
0.88
'. ~ - ~-- """
1,07
05.'
,'~
y
LHS l('u ~ iolll'S m [ix i ll1"~ y milli l ll"~.
eorl·t'!! I),,,,tl ioltt,,s 11 111 rll'xiv n y I.Or~iú !l
o
"'R<
~.
e, = a;
0.88 {j tir
= 1,;J;J """ . >.
1I0fllllll.,,,
I\l t l' rll :" I;l~
y t;''' Il"(· ndnles.
"on:
.... M,""'= ¡\f"'''x _ _ /~_&'i.l0' NJmz=ül¡ MN/m '~
IV
nll' - 6.:ul. 10-'
32
O,"'n_ jllml~ = - 160 , _ _ 25,5. 10' N/m2 = _ 25.5 MN/ lll z;
IV
l>,28·1U-
."
mal: J.1,
mal: M.
"tmn= - - - _ _ _ _ =
640
nlff'
Wp
•=
t 2,56 ·tQ
5 t .1O~
N/ m z= 5 1 ,\ 1N/mi;
t6
320
",-;;;:;,,,,.= 25,5.10" N/m z=25,S MNJJl)~
12,56 · tO
Lns tens iones modias y las a mplitud es do los c iclos do 111.'1 lCII sio·
!les lJormlll,'s y tangenciales serán:
0"..
= O'mn
+ o"'ln='G4 2
T mu
t' .. =
+
T rnln=
2
25,5 ~ Hl I\I N/rn1:
+ 25,5 ~ 38,2
2
IItN h u";
5 1 - 25,5 ~ 12,7 MN/mz,
2
,:''''''' c-;;:-'
2 : m",,"
"rq =
51
2
P or la ftirmulll (263) ha llam os los coefi cientos de sCg'uri dllJ por
l CI1 >;io lll'5 1101"l0a l05 y tangenci a les,
110
0'_.
2100
=
0:-_'-''---::_
- _.0".,+ -cr -2100 . 19+ - '-
=
1,10 7
g
e..
0,
T_ t
11 ,=
Tg
"f_ t
~ T.. +-;-
=
510
~
2,59;
0,53
1";0
J40 38
3S0'
?
.-+
:::::;4,06.
12,7
0,66
El cocficiClll tl glln crll l de segurid od SO ha llll por la f(u'lIIula (:!7Q),
11_
II g ll,
-
Yll ~ + n~
2,59 ·4,06 "",,2,18.
Y2,S9' 11,06t
+
Ejemp lo 11\6 . La picza de la fi gu ra 253 es do acoro CT. G. Oaolo: ,
c . = 60 kgflnunt , (JI = 32 kgf/mm' , T r = 22 kgr/ Hlm ~ . (J_, =
= 25 kgIlmm', T_, = t 5 kgf/ rnm', D _ 80 mm , d - 40 mili. p ~
_ 0,2 cm, ¡ = 1,0 c m , a = 10 cm, Pg = c ons ~ = 1ü kgi y /' quo
v;rín según el ciclo simétr ico de P mu (1 P m 1" = - /'rn a.Dctermi uar el valor IIdmis ible de /'m.. si se req uicrll qu e 111 pie za
t onga un coeficiente do !lCguridad (n( = 2. L a sU ]lerfic ie do la ]lieza
es t á t ornenda tosC8mon to.
R~wluci6f1 .
.f. =
De los grUi cos de las figuras 6 y 7 delapéndiee 5 pan
..B...._ 2,
0.2 ... O,OS,
d
d
"
cuaodo
a. _ 6O
kgUmm ' ,
se ohtil'uru los COCriciCll tcs de concen t rnci ón do las tensioues en el
dla [J.ín cÚll cavo
1X:~ 2,07 ,
IX ! ~
1,56.
P Of In Cll f VIl 4 do In fi gura 3 del apénd ice 5 para a. = 60 kgfJmm'
hnll¡,UlOII e l cocJiciento do sensi bilidad SUllerfi cial e. ... 0,8. Loa
COC"licit'lIl,es b>ellcralcs quo re fl ejan la
p
inrJllrnc i:l ¡Jo l odos los fact ores sob re
l¡, resiste ncia a la fatiS':l 800 ,
I
1'.,=~=~~o,38(j
IX ~
y
"L
2,07
-
0,8
I,SU
,,~ -- ~
O.
,u "
1
Fig. 253
y In:o I('n~ioncs normales máx imas y mí ni rnAS en el c ha fl á n có nca vo,
or i;:inold :':I por I~ flex ión nlte rnada I5eg ün el cic lo a!'! imét rico,
a",.,_ P,+IVI'mul ~
[6+
= IOO+ G251'
0, '1. P",uI,0
61,
, ,p" k"""~,,',
..
I'o-I'mu/
a,,"0=--- ~
16 - Pmul,O= 100 _02 51'
O, I. M
IV
'
"'. ,
kgllc m' •
l." .. h'n~ion('S IIUlb't'llci¡¡les rn i, ... imIlS y m' nirn:ls e n el c1 ra fl an CÚfICIl\" origina das por la lor!'! i"n a h ernlld" l!('gím el c icl o s irn ií lri co
~ r;ln,
p",., ' O= 0732/'
,
mOl
O,2 .V.
I'm..
IV p
"lm.. =--'~---
"lml,,= -
P,nu
_ _ a ~ - 07"2/"
, " m"'S' '"cm.
IV,
Llls tensiones medi;,s y Ins :U"I,lit ud cs do los ciclO!'! de Ins Il'nsiun,'s norma les y ta ngCllcia lu rl'.!!u lt :lnin,
0", _
aB
_
a ...... +0"".
2
0 mu
1m '"
-
o ,nLn
100 kS'ffc m' ;
= 62 ,5P", .. k g rrc m~ ;
2
O;
T. "'"
0,732 P mu kgf/c lIl ' .
<s.
Por 11\ fó rmu la (267) !le obtiene n 1011 coefi cielllNI !le seguridad
tOllsiolles lI o rmal{'!! r tllllgcncill ll'l!,
25
25
~-
2S. 1
-
0.625 P
0,732
+ O """ "'3'
t,t_1
0.5 12· 15
",---O,IJ7:I:!/ ',,,,,,_
3·'_
pU f
+ I ,¡¡2 /~'Rn '.
,.}(}tl
105
"",",
~ --.
1:"
COII ... C'I c",.fil'i"Ul" j;l"H' j'il l ,l.· !'l'll'uri dn d, ~('g ill l In !ó"m " I:.
(210). " ~
P InU (0,732
+ l ,li2 /
J
X
,,, . , )
x -,~~",,;.~~~~ _
2~,!
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lOSz
V ,O.' 3'-+ ",'-··'1'nI' " ) ' +
1",nU25· (0,;
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2<) / ""'~
V25:'~",. + 1051 (0,732 + t ,ü2p UlU r
. 'J
"),
~
+ .~.
lO,) (0,73_ + I ,h_1 ",ul =
2
15 .1 05
2
1,
ó
ol!l c ..,I""III (),'j para In nl:. -, ifllll
/'"" .. ::::; - 0.10102 ± VOAI,¡f'
!UI'T Ul
¡'c! m il'iloIl'
+ 58, I ::=:: _
(¡\l I'
,<e hu sca,
ONi2 ± 7,GJ kg f.
L /ls comli ciu"l's d el prullll'lIl:I N' SI, Usfu('t'u l"ulu lIlcII l c \:ulIlI,l o
P",u::::< 7, 2 kgL
Pro bl(' mll 10 15. Dcll'rm ir lll r IIlt',lillll l .· IUI! liUl i t('~ iuleri urc.!! du
118 fu nci on e! em¡) irica~ el ,"nlur nll r(>.\ h n~clo del lim ito do rc~is L IltIl:ia
a la fAli gll e n 111 Condón " lt c rIL ll d A ~(' ll íI U 1,1 cid u ~ i tll étri co tic In s
jlTl!hl'C l'S de I\cc ro con foco ti c f.UIIn, ,, trAc ilm, ".i a, "" 960 MN / m ' ,
IX,
¡ ,U Y q = u,9.
I'ro h l('tIl l1 10 16. U n1l barra ('¡;ell lo " " d n d e ~'rci óLL circul Rr do d ilÍructr<Js d = :ro mm y D = 72 ",m !Kl
Jomoto A ¡ r Ace ió " - cOmllt('~ ió " Ah llrllHll u 110. I 'nln = - 1'm l n - 5 1f.
DeU>rrnilH, r e l rad iu m ínimo {ldnLi.~i blu dl!1 clH,rla n eÓll eOVQ 1', si
(J. _ 1\0 kgr/ llllll', (J _I !rU = 12 kgrl null ' y s i e l eooJici onle d ",
seguridad necuM rio es IIIJ = 2 .
.,
Prob lema 1017 . La bllrrn eM:lllonnda de sección circ ula r de
diómetros D = 00 mm, d, "" 30 rnm y di _ 32 mm I!!I dc acero
20X
(J., \•.., ...
IH. fll el cua l Oc "'" 80 kgf/mm l y
21i kgílmm'. E l1 los ebaflall('scOncn ... ~ ~: _ O,:l Y
10(1
~: _ 0, l . Ln s lllH~rfjc i c de I~ !JI¡rrn Ils tá min .. cio~nll1onto cs mc rihHIII.
D c tl~rll1innr d coeficiente
trnbnjn 111 barra
tl "
do 5Cgu ridn d n con que
agua dulce, ~i ~o 1I01l1OIe 11 11l1li
[ Ilcna nxlnl nll('l"Ilnda !' ",n = - I',n l " _ 3\ quo
val'Ío ~lIgÍln el ciclo !limé t rico.
¡'ro blc mu 10 18. Det erminar In fuenn floxionallto
m:lxinllt /' m... con !J UO l, l urbol do ocero cscn lonndo
en rolación pllede I rn]¡"j:lf de IlCllcrdo con el e~(l'lfl'
lila do In fisura y ron un coofi ci(lU lo do lICg uri,hul
de I,d - 1.8.
('... 'uli i,ló.....se.
= 7U m m, d
fJ,
p
o.• _ 3GO .\IN/ mi,
= I :!OO ;\IN/ rn t ,
:.0 mm , ~ .- 0. 15, l _
(jO
-(f-Q! -~
t':;tlll lon ~du
D _
e u. y a = 1,0 cm. La
1Qli
¡'rn hl cm n 10 19. El ;,r1",1
I
,lo
t 'b
D = f.O mm, d _
=- ,,o mm y ~ = 0,05 IraIJnja CI! ligua dulco ~omot i.l o 11 IOl'!JiulI
,, !Iornnda !K'gílll el ddo si nl(il rico con e l ClX'ficicn lo tle !lCguridnd
lId -= 1,5. Ln SUl'crri ci,) d,·1 ,¡rIJo] cstli pulida. Dch'rminar c uá l
do I/I~ ,los (."'wh·s sed m¡;! fl'sislolllo, /,1 do aCl'fO CT. 5 (a, _
_ 52 ,,~r/ nll,.1 y T_, = !lo kgr/ rn",t) ti ()I ,le acero ~OX (a , =
_ 100 I; ll'r/ ",m~ y T-, "" 22 kg"mm').
P m hl e UlII 1020 . 1),,010: Ur! HcetO 30XM ,lo cnrncl.f'tisLic;l.~ a, _
_ 90 Iq( f/ lt1lu' y a_\ t. oc .,. 3(; k~fhn!tt' y do I1mpJilu de~ limilos
a~ l)arn 109 VIIJUn;>¡¡ Illcd iOll tlmlus de 1 ;1~ ten¡¡io"es a;;',
(J~ kg fltt1m~
20
~O
00
(J~
3:!
:!G
1&
t gl/ lOm'
Dete rmina r a u.e.
'"
P ro ble mll 1021. Determi nar a-il.1 para el acero Cllyll Cllr\'n do Ins
amplitudes límites (e n los cicles dados a m > O) se dll apro.ximadamente por 1" ccunció":
o~
<=<
20 [ 1 -
( ~~ YJ .
I' ro blelll ll 1022. Determinllr el coeficiente de segllrid"d cnn quo
Irabaill 1111" piew de acero sornetl,1a "tl'"sioncs aILl'rIJlld"s,le Irac..c ió n -compres ión , si a,=90 kg r¡mlll~, 01= 70 kgf/ nl!ll~, 11_, l : .c =
= 30 kgr/mm" I1 mu = 1ü kgr/ mm" a""n = -6 kgf/mlll', o:., =
= 1. 5, ~=O,7, e.= 0,9 y 11= 1,3.
I'rob lelllll HJ2:l. Una pieUl do acero debe rá Lr.,b"jar " ne.,ion
alternada de amplilud de lns tellsion('s a~ = 200 MN / m' cOIJ un
coclicicnlll de srg ur idlld Inl ... 2. Cuál {Iebo ser 01 coc.ficielltc tlo
asimetría rl el cielo r, si !Te = t 100 /\IN/m t , a, = !.lOO I\IN/U\~,
a_, = 1,80 MN /m". a n = 1,2, q = O,!.l. e. = 0,8. e.'" t Y f\ lA.
l'rohlellw lOZA. Determinar el valor m ínimo do la tel11;ióu ,nI misible en IIl1a pieza do acero que Ir¡¡(Wj.l a tracción - couqm:sión
allernnda do cMactnist irn de l (;ic!o r = - O,t, y con un coefi ciento
de segllrillnd In l = 1,4. El mnlerinl es "cero ni car[¡ono para el cual
11, "" !iO kgf/ nllu' y 0r = 21, kgf/mJll'. Ln lliezn <,s do sección circular de di'l1Iwlro d = 30 mm con llll foco de cOllcen l ración pata el
cual a G = 2. El roeficiellto de cOIl~olidacióll debida ~l endurecimienlo de In SII1wdi cio 110r dc-fornwción en frío ~ s ~ = 1,2.
¡'roblclllll W25 -l. El árbol de ncrro (11.' ~eccióJl circular do diáIIId ru ¡{ = "O 111m lielw II n aguj,'ro I rausvrrsn I quu lo cr uza ti c ¡[iúme1ro a = fl 111m y Iralmja ~1'g(1Il el dclo ¡lUls;tIlto (1" = U) ~O ll un
coeficiellle de seguridad do 11t1 = 1,8.
D('l erm inar In magnitud del mO l1l1'ulo lorsor al¡eflllldo J1\[¡:xirno
Mio si el iírlJOI e~ de acero 30x r CA 1J:\T<l el cual a,
= 110 kgf/mm\ Tr = 51 kgf/mm' y T_ , = 23 kgf/ mm".
Problema 1026.-) Determi nnr el coeficiento de segurill:ul 11.
con quo tr1lba j/l la pieza sometida 11 tracción y t.orsiÓn nlt c rHatla~.
si esta piel.3 es de acero 1, 5 y a, = 60 kgflmm', a~ = 32 kg r/ nl1l1'.
0_, I'M = 20 kgflmm",
TI 22 kgf/ mm', T_, = l G k¡¡l/nnu',
o:~ = 1,7. o:~ = 1,1,. t~ = O,7, t ,_ l , ~ = 1. a mox = 1 000 I; gUCIIl',
am i. = 200 kgf/clll', T mu = 1,00 kgflcm" y Tml n - -100 kgf/c m' .
DlIIX
• El' tn~ I""hl~",n~ indIcado, {on Bslcri.cos 80 debo f('t urrir 01 diagrama
tiru"li¡icoolu ole Z,,,lcrllCrg .
'"'
Probl(' Dl8 1027,·) La barra cillndri ca de acero de sección circular de diámetro d -= 30 mm elltA empotrada en IIUS ext remos, Sobre
la ¡ulrle sob resalien te de esta barra actúa la fuerz a P que \'arla I!egú n
el ciclo sim6trico.
Dct('rminar el valor de la fuenn máxima 1' .. ."
~i
el llc('ro es d!>
111 I1IMf/l I,OXH para el cua l a, _ 900 hlN /m*, a_1 =1,00 hlN/m*,
T_, _ 21,0 MN/m', El diiimelro de la b/lffa en su parl e llIedi/l es
D .,. (;QIII III , ~ _ 0, 1, l = 32clI1, a _ 10cm, ~ _ 1,2ylld _ I ,G,
I'm blt' III A IO~,. El árbol ('~rIlIOlllltl o de acero do ~crric"n rirculn f
de J j:i lll<'\ rOli D "" 60 cm y d = 50 mm y de radio del clwfl,iu CÓllr:I vo r .., 5 111111 !C so ull'le H f1exióu y \orlOió" nlt<, rnadns,
I)l'hnuina r el fot'fici<,nte de s('guridlld n con que tralwja e l
árhol. si "11 111 s{'cei,,,, Jle\igrWiIl (le trll n ~ic ión sutJ:en los UlOIIU' lIlos
fll','lor('~ Al n'" 1 '"'" iJ kt\ ,'" Y M ili'" _ 1 ,5 kN · ni Y 101:1 JIlOIIIl'ntOo" lor9"rt',~ mnx M, ~ 2kN, m y min M, _ - 0,5 kN, m,
1:1 (, r!.(¡1 es do ~cero "OXII ]lMn el I'1n,] o, = (JOO MN/ m*,
o, ",... ¡,-,O ,\ IN / m2 ,
"" ~I I\ ~lN / 1U2,
cJ_I "'"
"00 MN / rn!, T, '" 390 r.1N lru 2 y T_ 1 _
1'1 " r,'rl" dcenduTf'Cimicnl o de
de,., "1111 1"1 coeficiente P "" 1,3,
l o~
rnctor<,s tecnológicos so cOJlsi-
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