Sveučilište u Splitu
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
Silvestar Šesnić
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 2
Repetitorij predavanja
I dio
Split, 2018.
Uvod
Kolegij Osnove elektrotehnike 2 (OE2) se predaje u drugom semestru preddiplomskog studija
Elektrotehnike i informacijske tehnologije, Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje,
Sveučilišta u Splitu. Ovaj repetitorij služi kao pregledni materijal koji može pomoći studentima da, uz
redovito pohađanje predavanja, auditornih i laboratorijskih vježbi, te konzultiranje druge obvezne
literature, uvide opseg kolegija te razinu znanja i sposobnosti koje je potrebno usvojiti i posljedično
primijeniti. Napominjem da ovaj repetitorij ne služi kao zamjena redovitom dolasku na sve oblike
nastave, kao ni zamjena za obveznu literaturu.
Osnovni cilj kolegija OE2 jest osposobljavanje studenata za razumijevanje osnova vremenski
promjenjivih veličina u elektrotehnici, rješavanje jednostavnih mreža izmjenične struje te
cjeloživotno usvajanje i produbljivanje znanja iz područja elektrotehnike. Kolegij predstavlja prirodni
nastavak kolegija Osnove elektrotehnike 1 koji se predaje u prvom semestru istog studija te je
preduvjet za adekvatno razumijevanje izloženog gradiva.
Nakon uspješno savladanog kolegija, studenti će biti u mogućnosti:
·
·
·
·
·
·
·
·
definirati osnovne karakteristike vremenski promjenjivih veličina;
opisati strujno-naponske odnose u krugovima izmjenične struje;
primijeniti vektorske i simboličke metode na rješavanje izmjeničnih mreža;
matematički opisati titrajne električne krugove;
izračunati osnovne parametre jednostavnih trofaznih sustava;
objasniti međuinduktivnu spregu u izmjeničnim mrežama;
interpretirati prijelazne pojave u jednostavnim krugovima;
provesti mjerenja osnovnih električnih veličina.
Ovaj repetitorij predstavlja radnu verziju koja potencijalno ima pogreške, nedorečenosti i/ili
određene nedostatke. Molim sve korisnike da mi ukažu na uočene propuste s ciljem unaprjeđenja
repetitorija. Unaprijed zahvaljujem na svim ispravcima.
1
1
Osnovna razmatranja o promjenjivim strujama
1.1
Općenito o promjenjivim veličinama
Sve fizikalne veličine koje se susreću u elektrotehnici (struja, napon, snaga, energija…) mogu biti (i
najčešće jesu) vremenski promjenjive.
Vremenski promjenjiva veličina je ona veličina čiji se iznos mijenja tijekom vremena te se može reći
da je funkcija vremena
i = f ( t ) , e = f ( t ) , u = f (t ) .
(1.1)
Sve vremenski promjenjive veličine mogu se prikazati analitički i grafički. Analitički zapis je
matematički zapis pomoću kojeg je moguće vršiti sve potrebne operacije sa zadanim veličinama, ka
na primjer
i ( t ) = 5 (1 - e -0.002 t ) [ A]
.
pö
æ
u ( t ) = 10sin ç 314t - ÷ [V ]
2ø
è
(1.2)
Ovaj zapis prikazuje trenutnu vrijednost promatrane veličine.
Grafički zapis je zapis u pravokutnom (Kartezijevom) koordinatnom sustavu, gdje je na apscisi
definirana vremenska varijabla, a na ordinati vrijednost promatrane veličine, npr.
Slika 1.1. Grafički prikaz vremenski promjenjivih veličina (1.2)
2
Grafički prikaz vremenski ovisne veličine je pogodan za vizualizaciju same veličine, ali nije prikladan za
izvršavanje matematičkih operacija u procesu rada s vremenski promjenjivim veličinama.
Veličine koje se tijekom svog trajanja periodično ponavljaju nazivaju se periodički promjenjive
veličine. Matematička definicija periodično promjenjive funkcije je
f (t ) = f (t + T ) ,
(1.3)
gdje T predstavlja period promatrane veličine nakon kojega određena veličina poprima jednake
vrijednosti. U kontekstu elektrotehničkih veličina, periodične veličine su pogodnije za razmatranje
budući da nije potrebno promatrati čitavo vrijeme njihovog trajanja, već ih je moguće razmatrati
samo unutar perioda T. Primjer periodične veličine ja dan na Slici 1.1. (dole) gdje je period zadan kao
T=0.02 s.
Fizikalna veličina komplementarna periodu je frekvencija koja se definira kao
f =
1
[ Hz ] .
T
(1.4)
Osim vremenske promjenjivosti i periodičnosti, električne veličine mogu biti i izmjenične ili
istosmjerne. Ako električna veličina ne mijenja svoj predznak tijekom vremena tada se govori o
istosmjernim veličinama. Ukoliko dolazi do promjene predznaka, govori se o izmjeničnim veličinama.
U slučaju električne struje, izmjeničnom se smatra ona struja koja tijekom vremena mijenja predznak
protjecanog naboja.
Budući da izmjenične veličine tijekom vremena mijenjaju svoj smjer (predznak), referentni smjer
(struje ili napona) će predstavljati dogovorno pretpostavljeni smjer pri kojem je promatrana veličina
pozitivna.
Ukupna količina protjecanog naboja kod istosmjernih struja je definirana kao
Q = IT ,
(1.5)
što numerički predstavlja površinu ispod krivulje struje, prikazano na Slici 1.2., (lijevo).
Slika 1.2. Količina protjecanog naboja
U slučaju vremenski ovisnih veličina (Slika 1.2., desno) potrebno je definirati infinitezimalno mali
vremenski interval dt za čije vrijeme trajanja se struja i(t) može uzeti kao konstantna veličina te se
definira dio protjecane količine naboja kao
3
dq = i ( t ) dt .
(1.6)
Ukupna količina protjecanog naboj Q unutar vremenskog intervala T je definirana kao
T
T
0
0
Q = ò dq = ò i ( t ) dt .
(1.7)
Relacija (1.7) grafički predstavlja površinu ispod krivulje struje.
„Pravilna” izmjenična struja je ona struja kod koje je unutar jednog perioda T ukupna količina
protjecanog naboja jednaka nuli.
1.2
Sinusoidalne promjenjive veličine
Sinusoidalne promjenjive veličine (struja, napon, snaga…) su predmet razmatranje većeg dijela ovoga
kolegija. Postoje dva razloga za njihovo podrobno razmatranje. Prvi, „teoretski“ razlog leži u činjenici
da se, prema Fourier-ovoj analizi, svaka veličina može prikazati kao zbroj sinusoida različite
amplitude, frekvencije i faznog pomaka, što znači da poznavanje metoda proračuna za sinusoidalne
signale osigurava poznavanje metoda proračuna za bilo koje proizvoljne signale. Drugi, „praktični“
razlog se temelji na učestalosti pojave sinusoidalnog signala u svakodnevnim aplikacijama, što je
posljedica jednostavnosti generiranja sinusoidalnog signala (titranje, kružno gibanje…).
Određivanje izraza za sinusoidalnu struju se provodi pomoću analogije između sinusne funkcije i
sinusoidalnog signala (u ovom slučaju struje) koji su prikazani na Slici 1.3.
Slika 1.3. Sinusoida i sinusoidalna struja
Odnos vrijednosti na ordinatama je određen sljedećom relacijom
sin a
i
=
Þ i = I max sin a ,
1
I max
(1.8)
dok je odnos na apscisama definiran kao
a
t
2p
= Þa =
t.
2p T
T
Kombiniranjem relacija (1.8) i (1.9) dobije se
4
(1.9)
i ( t ) = I max sin
2p
t.
T
(1.10)
Ukoliko se usvoji izraz za kružnu frekvenciju
w=
2p
= 2p f éë s -1 , rad s ùû
T
(1.11)
bilo koja sinusoidalna veličina (struja, elektromotorna sila, pad napona) se može prikazati kao
i = I max sin w t
e = Emax sin w t
(1.12)
u = U max sin wt
1.3
Fazni pomak izmjeničnih veličina
Budući da su veličine izražene s (1.12) ograničene činjenicom da u trenutku t=0 imaj vrijednost nula,
potrebno je uvesti zapis koji omogućava prikaz općenitijeg izraza za sinusoidalnu veličinu koja u
početnom trenutku može imati neku vrijednost. Ta se veličina može iskazati kao
i = I max sin (wt ± a i ) .
(1.13)
Gdje kut αi predstavlja fazni pomak sinusoidalne veličine
Ukoliko je fazni pomak pozitivan, on definira struja koja ‘prethodi’ nekoj referentnoj struji (onoj struji
koja je definirana s i(0)=0) (Slika 1.4. crvena krivulja)
i1 = I max sin (wt + a1 )
(1.14)
Ukoliko je fazni pomak negativan, on definira struja koja ‘zaostaje’ za referentnom strujom (Slika 1.4.
plava krivulja)
i2 = I max sin ( wt - a 2 )
Slika 1.4. Fazni pomak sinusoidalne struje
5
(1.15)
Apscisa na Slici 1.4. je definirana kutom (radijani) i vremenom (sekunda), budući da se obje
vrijednosti jednako često koriste, a njihov odnos je definiran relacijom (1.9).
Trenutna vrijednost sinusoidalne veličine ovisi o faznom pomaku. Fazni pomak između bilo koje dvije
veličine jednakih frekvencija se određuje kao
a12 = a1 - a 2 .
1.4
(1.16)
Osnovni učinci izmjenične struje
Izmjenična struja, kao i istosmjerna, ima tri osnovna učinka: kemijski, toplinski i magnetski učinak.
1.4.1 Kemijski učinak – elektroliza
Kemijski učinak električne struje se očituje u izlučenoj količini materije pri prolasku struje kroz
elektrolit. U slučaju vremenski ovisnih struja ta izlučena količina materije je definirana kao
T
m = ò ai ( t ) dt ,
(1.17)
0
gdje m predstavlja izlučenu količinu materije, a elektrolitski koeficijent ovisan o vrsti elektrolita te T
vrijeme promatranja.
Relacija (1.17) se može prikazati kao
T
m = a ò i ( t ) dt = aQ
(1.18)
0
U slučaju da je za elektrolizu primijenjena „pravilna“ izmjenična struja ukupna izlučne količina
materije će biti jednaka nuli budući da je ukupna količina protjecanog naboja tijekom jednog perioda
jednaka nuli. Dakle, „pravilnom“ izmjeničnom strujom se ne može vršiti elektroliza. Unatoč
navedenome, „pravilna“ izmjenična struja se može iskoristiti za vršenje elektrolize, ukoliko se njen
signal na neki način „ispravi“ prije prolaska kroz elektrolit (dioda, Graetzov spoj…) ili se na izmjenični
signal superponira istosmjerna komponenta te se tako dobije struja koja unutar svoga perioda
osigurava određenu količinu protjecanog naboja.
1.4.2 Toplinski učinak
Prema Jouleovom zakonu, količina oslobođene topline prolaskom struje jakosti I kroz otpornik otpora
R definirana je s
W = I 2 RT ,
(1.19)
odnosno za vremenski promjenjive struje
T
W = R ò i 2 ( t ) dt .
(1.20)
0
Budući da količina topline ovisi o kvadratu struje, očito je da će se na otporniku R oslobađati toplina
bez obzira na smjer protjecane struje.
6
1.4.3 Magnetski učinak
Gibanje električnog naboja uzrokuje stvaranje magnetskog polja, što znači da izmjenična struja stvara
magnetsko polje (prikazano preko magnetskog toka) na isti način kao i istosmjerna struja
F (t ) =
Ni ( t )
Rm
.
(1.21)
Potrebno je istaknuti da je ovako stvoreno magnetsko polje (tok) vremenski promjenjivo, što
omogućuje induciranje elektromotorne sile (Faradayev zakon elektromagnetske indukcije)
e = -N
1.5
dF
.
dt
(1.22)
Mjere promjenjivih električnih veličina
Mjere promjenjivih električnih veličina se uvode radi lakše uporabe i proračuna s vremenski ovisnim
veličinama. Svi izrazi koji su dani u ovom poglavlju definirani su za struju, ali jednako vrijede i za
napon i elektromotornu silu.
1.5.1 Srednja vrijednost
Srednja vrijednost predstavlja matematičku aritmetičku sredinu diskretnog skupa podataka,
definiranu kao
I sr =
1 N
å in ,
N n =1
(1.23)
gdje N predstavlja ukupan broj uzoraka. Ukoliko se umjesto diskretnog skupa podataka in promatra
kontinuirana funkcija i(t), tada se broj uzoraka može definirati kao
N=
T
,
Dt
(1.24)
gdje je T period promatranja, a Dt vremenski razmak između dva susjedna uzorka. Tada se (1.23)
može pisati kao
I sr =
1 N
å in Dt .
T n =1
(1.25)
Ukoliko se pusti da broj uzoraka N ® ¥ tada Dt ® dt , a operator sumacije postaje integralni
operator te se može pisati
T
I sr =
1
i ( t ) dt .
T ò0
(1.26)
Pomnoži li se relacija (1.26) s T, dobije se
T
I sr T = ò i ( t ) dt
0
7
(1.27)
Lijeva strana jednadžbe (1.27) predstavlja količinu protjecanog naboja uzrokovanu konstantnom
strujom Isr, dok desna strana predstavlja količinu protjecanog naboja uzrokovanu vremenski
promjenjivom strujom i(t) (1.7). Drugim riječima, srednja vrijednost vremenski promjenjive struje
predstavlja onu konstantnu struju za koju bi u istom vremenskom intervalu T protekla ista količina
naboja. Promatra li se jednadžba (1.27) u grafičkom kontekstu, vidi se da je riječ o jednakim
površinama koje su omeđene različitim strujama, Slika 1.5.
i(t)
Isr
Q
T
t [s]
Slika 1.5. Geometrijsko značenje srednje vrijednosti
Iz ovako definirane srednje vrijednosti vremenski promjenjive struje, jasno je da će srednja vrijednost
bilo koje „pravilne“ izmjenične veličine biti jednaka nuli. Iz tog razloga se u razmatranje uvodi
elektrolitska srednja vrijednost.
1.5.2 Elektrolitska srednja vrijednost
Elektrolitska srednja vrijednost vremenski ovisne veličine predstavlja srednju vrijednost „ispravljene“
veličine, tj. veličine čiji su negativni djelovi pretvoreni u pozitivne. Matematički zapis te vrijednosti je
T
I el =
1
i ( t ) dt .
T ò0
(1.28)
Ova se vrijednost naziva elektrolitska budući da ovako definirana struja u mogućnosti vršiti
elektrolizu.
1.5.3 Efektivna vrijednost
Količina oslobođene topline prolaskom konstantne ili vremenski promjenjive struje kroz otpornik
otpora R dana je relacijama (1.19) i (1.20). Ukoliko se postavi uvjet da je ta količina topline jednaka,
može se dobiti
T
I RT = R ò i 2 ( t ) dt .
2
(1.29)
0
Kraćenjem otpor R s obje strane jednadžbe, te matematičkim uređivanjem, dobije se
T
I ef = I =
1 2
i ( t ) dt .
T ò0
(1.30)
Dakle, efektivna vrijednost vremenski promjenjive struje predstavlja onu konstantnu struju za koju bi
se u istom vremenskom intervalu T na istom otporu R oslobodila jednaka količina topline.
Vrijedi napomenuti da se mjere vremenski promjenjivih veličina odnose kao
8
I sr £ I £ I max .
(1.31)
i = I max sin wt .
(1.32)
1.5.4 Mjere za sinusoidalnu struju
Sinusoidalna struja je zadana relacijom
Srednja vrijednost sinusoidalne struje dobije se koristeći relaciju (1.26)
I sr =
T
I max T
I
1
1
T
I
sin
w
tdt
=
sin wtdt = - max cos wt 0 =
max
ò
ò
T0
T 0
T w
=-
I max 1
I
T
2p
2p
( cos wT - cos w × 0 ) = - max æç cos T - cos × 0 ö÷ = .
T w
T 2p è
T
T
ø
=-
ö
I max æ
23
p - cos
ç cos
{0 ÷ = 0
1
2
2p è 1
1
ø
(1.33)
Ovim je pokazana već poznata činjenica da je srednja vrijednost „pravilne“ izmjenične struje jednaka
0.
Elektrolitska srednja vrijednost dobije se koristeći relaciju (1.28)
T
I el =
1
I max sin wt dt .
T ò0
(1.34)
Slika 1.6. Apsolutna vrijednost sinusoidalne struje
Sa Slike 1.6 vidljivo je da apsolutna vrijednost sinusoidalne funkcije daje funkciju čiji je period T 2 , a
koja je u tom periodu opisana sinusoidom. Usvajajući ove zaključke, elektrolitska srednja vrijednost
se računa kao
9
T
T
T
2I
1
1 2
1
I el = ò I max sin w t dt = ò I max sin wtdt = - max cos w t 02 =
T 0
T0
T w
2
2I
2I
1æ
T
T æ
2p T
2p ö
ö
= - max ç cos w - cos w × 0 ÷ = - max
cos
- cos
× 0÷ = .
ç
T wè
2
T 2p è
T 2
T
ø
ø
I æ
ö 2
= - max ç cos
p - cos
{
{0 ÷ = I max
p è -1
1
ø p
(1.35)
Efektivna vrijednost sinusoidalne struje se računa pomoću (1.30).
T
T
T
I2
I2
1
1
2
I = ò ( I max sin w t ) dt = max ò sin 2 wtdt = max ò (1 - cos 2w t ) dt =
T0
T 0
T 02
2
T
2
2
æT
ö I max
I max
1
T ö
æ T
=
sin 2w t 0 ÷ =
ç ò dt - ò cos 2wtdt ÷ =
çt 0 2T è 0
2w
ø
0
ø 2T è
2
I max
é
T æ
2p
2p öù
=
T - sin 2
0÷ =
(T - 0 ) ç sin 2
ê
2T ë
2 × 2p è
T
T øúû
=
2
I max
2T
é
T
êT 4p
ë
.
(1.36)
2
æ
ö ù I max
sin
4
p
sin
0
=
ç { { ÷ú
2
0 øû
è 0
Iz ovoga slijedi da je
I=
1
I max .
2
(1.37)
1.5.5 Omjerni faktori
Omjerni faktori su tjemeni faktor, faktor oblika i srednji faktor, dani sljedećim relacijama
I max
I
I
fO =
.
I el
fT =
fS =
(1.38)
I el
I max
Za sinusoidalne veličine ovi faktori iznose
fT = 2 = 1.41
fO =
p
.
= 1.11
2 2
I
2
f S = el = = 0.64
I max p
1.6
Princip generatora izmjeničnog napona
(1.39)
r
Svitak s N zavoja rotira kutnom brzinom ω u homogenom magnetskom polju indukcije B , kao na Slici
1.7.
10
N
t
B
ω
α
t=0
S
S
α
S
Slika 1.7. Induciranje sinusoidalnog napona u homogenom magnetskom polju
Magnetski tok obuhvaćen petljom je definiran kao
r r
F = B×S .
(1.40)
U početnom trenutku vektor magnetske indukcije i vektor površine su kolinearni te je njihov skalarni
produkt maksimalan. U nekom trenutku t, magnetska indukcija i vektor površine zatvaraju kut α te je
njihov skalarni produkt dan relacijom
F = BS cos a .
(1.41)
Kut α koji petlja prijeđe za vrijeme t je a = wt te se može pisati
F = BS cos wt .
(1.42)
Prema Faradayevom zakonu, elektromotorna sila koja se inducira u zatvorenoj petlji je dana s
dF
.
dt
(1.43)
d
d
( BS cos wt ) = - NBS cos wt = w NBS sin wt .
dt
dt
(1.44)
e = -N
Uvrsti li se (1.42) u (1.43), dobije se
e = -N
Usvoji li se da je amplituda elektromotorne sile dana s
é 1 Vs 2
ù
Emax = w NBS ê
m =V ú ,
2
ës m
û
konačni izraz elektromotornu silu induciranu u petlji je
11
(1.45)
e = Emax sin wt .
(1.46)
Ovdje je vrijedno napomenuti da u relaciji (1.42), ω predstavlja kutnu brzinu mehaničkog gibanja, dok
u relaciji (1.46) predstavlja kružnu frekvenciju elektromotorne sile. Ovo predstavlja jasan fizikalni
pokazatelj pretvorbe mehaničke energije u električnu.
12
2
Strujni i naponski odnosi u krugovima izmjenične struje
Prilikom proučavanja mreža istosmjerne struje, jedini pasivni element je bio omski otpor čiji je
strujno-naponski odnos definiran Ohmovim zakonom. Budući da sada u razmatranje ulaze vremenski
promjenjive veličine koje stvaraju vremenski promjenjiva električna odnosno magnetska
(elektromagnetska) polja, potrebno je u razmatranje uzeti i utjecaj induktivnih (magnetski) i
kapacitivnih (električni) elementa u strujnim krugovima.
Ovi utjecaji će se razmatrati na koncentriranim parametrima; otporniku otpora R, zavojnici (svitku)
induktiviteta L i kondenzatoru kapaciteta C. Koncentrirane parametre možemo predstaviti kao
idealne elemente koji imaju samo fizikalnu karakteristiku koju predstavljaju dok su ostali parametri
zanemarivi.
2.1 Priključak omskog otpora
Omski otpor priključen je na sinusoidalni izvor napona odnosno elektromotorne sile, kao na Slici 2.1.
Slika 2.1. Omski otpor priključen na sinusoidalni izvor napona
Elektromotorna sila se definira kao
e = Emax sin wt ,
(2.1)
te se pad napona na otporniku R prikazuje kao
u R = U max sin wt .
(2.2)
Budući da su vodovi koji spajaju izvor i trošilo idealni, vrijedi U max = Emax
Odnos napona i struje na otporu R definiran je Ohmovim zakonom za vremenski ovisne veličine
i (t ) =
u (t )
R
(2.3)
Uvrsti li se (2.2) u (2.3) dobije se struja koja teče kroz otpornik kao
i (t ) =
U max sin wt
= I max sin wt ,
R
gdje je
13
(2.4)
I max =
U max
.
R
(2.5)
Vremenski odnos struje i napona na otporniku R je prikazan na Slici 2.2.
Slika 2.2. Odnos napona i struje na omskom otporu
Vrijedi primijetiti da su valni oblici struje i napona jednaki te da su ove dvije veličine u fazi. Naime,
fazni pomak između napona i struje je
j = au - ai = 0 .
(2.6)
2 , dobije se odnos efektivnih vrijednosti struje i
Ukoliko se obje strane relacije (2.5) podjele s
napona na omskom otporu
I=
U
.
R
(2.7)
2.2 Priključak zavojnice
Zavojnica induktiviteta L priključena je na sinusoidalni izvor napona odnosno elektromotorne sile, kao
na Slici 2.3.
Slika 2.3. Zavojnica priključena na sinusoidalni izvor napona
14
Elektromotorna sila se definira kao
e = Emax sin wt .
(2.8)
Prilikom priključivanja zavojnice na vremenski promjenjivu elektromotornu silu, kroz zavojnicu teče
vremenski promjenjiva struja koja stvara vremenski promjenjivo magnetsko polje. Vremenski
promjenjivo magnetsko polje uzrokuje vremenski promjenjivi magnetski tok koji ulančan sa zavojima
zavojnice stvara vremenski promjenjivu elektromotornu silu (Faradayev zakon). Ova inducirana
elektromotorna sila (napon samoindukcije) je pojava koja pruža „otpor“ prolasku struje. Dakle,
fizikalni mehanizam je potpuno drugačiji od omskog otpora gdje dolazi do sudaranja elektrona s
atomima u kristalnoj rešetci.
Odnos napona i struje na zavojnici induktiviteta L se izvodi iz Faradayevog zakona
dF
.
dt
e = -N
(2.9)
Ako se usvoji da je magnetski tok definiran preko Ohmovog zakona za magnetski krug
F (t ) =
Ni ( t )
(2.10)
Rm
te se uvrsti u (2.9), dobije se
e = -N
di ( t )
d Ni ( t )
N 2 di ( t )
== -L
.
dt Rm
Rm dt
dt
(2.11)
Budući da je napon suprotnog predznaka od elektromotorne sile, može se pisati
uL ( t ) = L
di ( t )
dt
.
(2.12)
Struja se iz izraza (2.12) može dobiti kao
uL ( t ) = L
di ( t )
dt
Þ di ( t ) =
1
1
u L ( t ) dt Þ i ( t ) = ò uL ( t ) dt
L
L
(2.13)
Budući da je pad napona na zavojnici posljedica sinusoidalne elektromotorne sile, dobije se
1
U
U
i ( t ) = ò U max sin wtdt = max ò sin wtdt = - max cos wt .
L
L
wL
(2.14)
Ukoliko se usvoji
I max
é
ù
ú
U max ê V
=
= Aú ,
ê
w L ê 1 Vs
ú
êë s A
úû
(2.14) se može pisati kao
15
(2.15)
i = - I max cos wt .
(2.16)
Pretvorbom kosinusne funkcije u sinusnu, dobije se
pö
æ
i = I max sin ç wt - ÷ .
2ø
è
(2.17)
U relaciji za struju kroz induktivitet potrebno je naglasiti dvije karakteristike. Izraz w L predstavlja
é 1 Vs
ù
= W ú . Taj otpor se
nekakav otpor što je vidljivo i u činjenici da je jedinica za taj izraz jednaka ê
s
A
ë
û
naziva induktivni otpor te se piše
X L = wL .
(2.18)
Induktivni otpor se koristi isključivo u mrežama sinusoidalne struje te predstavlja određenu vrstu
apstrakcije koja nam omogućava da induktivitet pojednostavljeno prikazujemo kao „otpor“. Potrebno
je naglasiti da taj „otpor“ nastaje uslijed induciranog napona samoindukcije i da fizikalno nema
nikakve veze s omskim otporom. Ovaj induktivni otpor je proporcionalno ovisan o frekvenciji kruga te
se može kretati u rasponu od kratkog spoja ( f = 0 ) do otvorenog kruga ( f = ¥ ). Detaljnije o
frekvencijskoj karakteristici induktivnog otpora će biti riječi u poglavlju 7.1.1.
Druga karakteristika izraza (2.17) se očituje u činjenici da je struja predstavljena sinusnim izrazom sa
određenim faznim pomakom. Taj fazni pomak između napona i struje se može odrediti kao
j = au - ai =
te vidimo da iznosi
p
2
p
2
p
2
,
(2.19)
. Naime, kaže se da kod idealne zavojnice struja zaostaje za naponom za faktor
. Ovaj odnos struje i napona na idealnoj zavojnici je prikazan na Slici 2.4.
Slika 2.4. Odnos napona i struje na induktivnoj zavojnici
16
2 , dobije se odnos efektivnih vrijednosti struje i
Ukoliko se obje strane relacije (2.15) podjele s
napona na induktivnom otporu
I=
U
.
XL
(2.20)
Ovim izrazom strujno naponski odnos na zavojnici je sveden na već poznati Ohmov zakon.
2.3 Priključak kondenzatora
Kondenzator kapaciteta C priključen je na sinusoidalni izvor napona odnosno elektromotorne sile,
kao na Slici 2.5.
Slika 2.5. Kondenzator priključen na sinusoidalni izvor napona
Prije izvođenja relacije za struju kroz kondenzator, potrebno je napomenuti da kroz kondenzator
struja (u smislu usmjerenog gibanja elektrona) NE teče, već se uslijed promjene električnoga polja
unutar kondenzatora, koje je uzrokovano promjenom polariteta na samim pločama, dolazi do
reorijentacije dipola unutar dielektrika i do pojave tzv. pomačnih struja (eng. displacement currents).
Ovu pojavu nazivamo strujom budući da je jedna od posljedica reorijentacije dipola stvaranje
magnetskog polja.
Elektromotorna sila se definira kao
e = Emax sin wt
(2.21)
Odnos napona i naboja na kondenzatoru kapaciteta C je definiran kao
q ( t ) = Cu ( t )
(2.22)
Derivira li se relacija (2.22) dobije se
dq ( t )
dt
=C
du ( t )
dt
.
(2.23)
.
(2.24)
Izraz s lijeve strane predstavlja struju te je
iC ( t ) = C
duC ( t )
17
dt
Uvrsti li se relacija za napon na kondenzatoru koji je jednak elektromotornoj sili izvora u (2.24),
dobije se
iC ( t ) = C
d
U max sin wt = wCU max cos wt ,
dt
(2.25)
gdje je
I max
é
ù
ê
ú
U
V
= max ê
= Aú
1 ê 1 As
ú
1
úû
wC êë s V
(2.26)
Pretvorbom kosinusne funkcije u sinusnu, dobije se
pö
æ
i = I max sin ç wt + ÷
2ø
è
(2.27)
U relaciji za struju 'kroz' kondenzator potrebno je naglasiti dvije karakteristike. Izraz 1 w C
é 1 As
ù
predstavlja nekakav otpor što je vidljivo i u činjenici da je jedinica za taj izraz jednaka ê1
= Wú .
ë s V
û
Taj otpor se naziva kapacitivni otpor te se piše
XC =
1
.
wC
(2.28)
Kapacitivni otpor se koristi isključivo u mrežama sa sinusoidalnom strujom te predstavlja određenu
vrstu apstrakcije koja nam omogućava da kapacitet pojednostavljeno prikazujemo kao „otpor“.
Potrebno je naglasiti da taj „otpor“ nastaje uslijed promjene smjera orijentacije dipola u izolatoru i da
fizikalno nema nikakve veze s omskim otporom. Ovaj kapacitivni otpor je obrnuto proporcionalno
ovisan o frekvenciji kruga te se može kretati u rasponu od otvorenog kruga ( f = 0 ) do kratkog spoja (
f = ¥ ). Detaljnije o frekvencijskoj karakteristici kapacitivnog otpora će biti riječi u poglavlju 7.1.1.
Druga karakteristika izraza (2.27) se očituje u činjenici da je struja predstavljena sinusnim izrazom
određenim faznim pomakom. Taj fazni pomak između napona i struje se može odrediti kao
j = au - ai = te vidimo da iznosi faktor
p
2
p
2
p
2
(2.29)
. Naime, kaže se da kod idealnog kondenzatora struja prethodi naponu za
. Ovaj odnos struje i napona na idealnom kondenzatoru je prikazan na Slici 2.6.
18
Slika 2.6. Odnos napona i struje na kondenzatoru
2 , dobije se odnos efektivnih vrijednosti struje i
Ukoliko se obje strane relacije (2.26) podjele s
napona na kapacitivnom otporu
I=
U
XC
Ovim izrazom strujno naponski odnos na kondenzatoru je sveden na Ohmov zakon.
Induktivni i kapacitivni otpor se zajedno nazivaju reaktivni otpori.
19
(2.30)
3
Snaga i energija izmjenične struje
3.1 Fazni pomak u realnim mrežama
U realnim mrežama izmjenične (sinusoidalne) struje fazni pomak između napona i struje izvora je dan
kao
-
p
2
£j £
p
2
.
(3.1)
Ako jer fazni pomak negativan tada se govori o mreži kapacitivnog karaktera, a u slučaju pozitivnog
faznog pomaka, riječ je o mreži induktivnog karaktera. Kapacitivni karakter znači da mreža sadrži
radne i kapacitivne elemente (može sadržavat i induktivne, ali su u tom slučaju kapacitivni
dominantni, X C > X L ), dok induktivni karakter znači da mreža sadrži radne i induktivne elemente
(može sadržavat i kapacitivne, ali su u tom slučaju induktivni dominantni, X L > X C ).
3.2 Trenutna snaga
Kod istosmjernih struja snaga je definirana kao
P = UI .
(3.2)
Budući da se struja i napon sada promatraju kao vremenski ovisne veličine, može se definirati
trenutna vrijednost snage kao
p ( t ) = u (t ) i ( t ) .
(3.3)
Uzevši vrijednost napona u ( t ) = U max sin wt te struje i ( t ) = I max sin (wt - j ) , trenutna vrijednost
snage se računa kao
p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = U max sin wt × I max sin (wt - j ) .
(3.4)
Dovoljno je postaviti fazni pomak samo jedne izmjenične veličine, budući da se uvijek može podesiti
da je jedna veličina referentna, tj. s faznim pomakom 0.
Izraz (3.4) se, uz pomoć relacije za trigonometrijsku transformaciju
1
sin a sin b = ëécos (a - b ) - cos (a + b )ûù ,
2
(3.5)
može pisati kao
p ( t ) = U max sin wt × I max sin (w t - j ) =
1
= U max I max éë cos (wt - w t + j ) - cos (wt + wt - j ) ùû = .
2
1
= U max I max éë cos j - cos ( 2w t - j )ùû
2
Ako se usvoji
20
(3.6)
1
U I
U max I max = max max = UI
2
2 2
(3.7)
p ( t ) = UI éë cos j - cos ( 2wt - j ) ùû .
(3.8)
tada se može dobiti
Izraz (3.8) predstavlja relaciju za trenutnu vrijednost snage izmjenične struje. Ovaj izraz je koristan za
teorijsko proučavanje, ali za praktične potrebe je nužno uvesti neke druge načine mjere snage
izmjenične struje.
3.3 Energija, srednja snaga i faktor snage
Energija se u slučaju konstantnih veličina definira kao
W = PT .
(3.9)
U slučaju vremenski promjenjive snage, energiju je potrebno definirati kao
T
W = ò p ( t ) dt .
(3.10)
0
Ako se izjednače izrazi (3.9) i (3.10) dobije se izraz za srednju snagu
T
P=
1
p ( t ) dt .
T ò0
(3.11)
Srednja (radna) snaga (slično kao i srednja struja) predstavlja onu konstantnu vrijednost snage koja u
nekom vremenskom intervalu T oslobađa jednaku količinu energije kao i vremenski promjenjiva
snaga.
U slučaju sinusoidalnih veličina, srednja (radna) snaga se računa kao
T
T
1
1
P = ò p ( t ) dt = ò UI éë cos j - cos ( 2wt - j ) ùû dt =
T 0
T0
T
T
ù UI é
Tù
UI é
1
T
=
cos j t 0 sin ( 2w t - j ) 0 ú =
ê ò cos j dt - ò cos ( 2wt - j ) dt ú =
ê
T ë0
2w
û
0
û T ë
UI ì
1
ü
=
ésin ( 2wT - j ) - sin ( -j ) ùû ý =
ícos j (T - 0 ) T î
2w ë
þ
=
UI
T
(3.12)
ì
ùü
1 é
ï
êsin ( 4p - j ) - sin ( -j ) ú ïý = UI cos j [W ]
í T cos j 424444
3úï
2w ê 1444
ïî
0
ë
ûþ
Vidi se da srednja (radna) snaga ovisi o efektivnim vrijednostima napona i struje (jednako kao i kod
istosmjernih veličina) te o kosinusu faznog pomaka. Izraz cos j se naziva faktor snage.
Ovim postaje evidentno da je fazni pomak realna veličina koja utječe na snagu koja se oslobađa u
strujnom krugu izmjenične struje. U slučaju idealnog radnog otpora R ( j = 0 ) snaga koja se troši će
21
biti jednaka umnošku UI. U slučaju čistog reaktivnog otpora ( j = ± p 2 ) snaga koja će se trošiti bit će
jednaka nuli.
Na neko proizvoljno trošilo, bez obzira na njegov karakter (radno, induktivno, kapacitivno), potrebno
je dovesti određeni napon te će kroz njega proteći određena struja. Običan umnožak te dvije veličine
sada predstavlja prividnu snagu (snaga koja se prividno predaje trošilu)
S = UI [VA] .
(3.13)
3.4 Grafički prikazi snage
S ciljem boljeg razumijevanja vremenske ovisnosti snage te kvalitetnijeg uvida u fizikalne procese,
potrebno je razmotriti kako se snaga ponaša na raznim trošilima. U tu svrhu, najjednostavnije je
snagu promatrati u grafičkim prikazima.
3.4.1. Snaga na idealnom otporniku
Budući da je na čistom radnom otporu fazni pomak j = 0 tada se izraz (3.8) može pisati kao
p ( t ) = UI éë cos0 - cos ( 2w t - 0 )ùû = UI (1 - cos 2w t ) .
(3.14)
Ovaj izraz, kao što je vidljivo na Slici 3.1., predstavlja vremenski promjenjivu veličinu koja oscilira oko
neke konstantne vrijednosti (UI) s periodom osciliranja koji je dvostruko manji od perioda napona ili
struje koji su je uzrokovali. Može se također reći i da je frekvencija osciliranja dvostruko veća ( 2w ).
Bitno je primijetiti da je ta snaga uvijek pozitivna veličina.
Ukoliko se promatra protok energije uzrokovan ovakvom vremenski ovisnom snagom, prema izrazu
(3.10), energija je predstavljena površinom koja je omeđena krivuljom snage i vremenskom osi. U
slučaju radnog otpora ta oslobođena energija je uvijek pozitivna budući da predstavlja energiju koju
izvor predaje trošilu te se ona troši (pretvorba iz električne u toplinsku) na samom trošilu (otporniku).
Dodatno je potrebno napomenuti da je energija također vremenski ovisna veličina. Manju količina
energije (za isti vremenski period Dt ) će izvor predati trošilu oko trenutka T 2 nego oko trenutka
T 4.
Slika 3.1. Snaga na idealnom otporniku otpora R
22
3.4.2. Snaga na idealnoj zavojnici
Budući da je na idealnoj zavojnici fazni pomak j = p 2 tada se izraz (3.8) može pisati kao
é
p
p öù
æ
p ( t ) = UI ê cos - cos ç 2wt - ÷ ú = UI ( 0 - sin 2w t ) = -UI sin 2wt .
2
2 øû
è
ë
(3.15)
Ovaj izraz, kao što je vidljivo na Slici 3.2., predstavlja vremenski promjenjivu veličinu koja oscilira oko
vremenske osi s periodom osciliranja koji je dvostruko manji od perioda napona ili struje koji su je
uzrokovali, odnosno frekvencija osciliranja je dvostruko veća ( 2w ). Bitno je primijetiti da je ta snaga
pravilna izmjenična veličina sa srednjom vrijednosti koja je jednaka nuli ( P = 0 ).
Ukoliko se promatra protok energije uzrokovan ovakvom vremenski ovisnom snagom, prema izrazu
(3.10), možemo vidjeti da energija sada poprima i negativne vrijednosti (površina ispod osi apscise).
Ta 'negativna' energija predstavlja energiju koja se akumulirala u trošilu (u obliku energije
magnetskog polja) tijekom prethodne četvrtine perioda te se sada vraća u izvor. U slučaju idealne
zavojnice vidi se da energija oscilira između izvora i trošila i ne gubi se kao kod radnog otpora.
Slika 3.2. Snaga na idealnoj zavojnici induktiviteta L
3.4.3. Snaga na idealnom kondenzatoru
Budući da je na idealnom kondenzatoru fazni pomak j = - p 2 tada se izraz (3.8) može pisati kao
é æ pö
p öù
æ
p ( t ) = UI ê cos ç - ÷ - cos ç 2w t + ÷ ú = UI ( 0 + sin 2w t ) = UI sin 2w t .
2
2 øû
ø
è
ë è
(3.16)
Ovaj izraz, kao što je vidljivo na Slici 3.3., predstavlja vremenski promjenjivu veličinu koja oscilira oko
vremenske osi s periodom osciliranja koji je dvostruko manji od perioda napona ili struje koji su je
uzrokovali, odnosno frekvencija osciliranja je dvostruko veća ( 2w ). Bitno je primijetiti da je ta snaga,
kao i u slučaju idealne zavojnice, pravilna izmjenična veličina sa srednjom vrijednosti koja je jednaka
nuli ( P = 0 ).
23
Ukoliko se promatra protok energije uzrokovan ovakvom vremenski ovisnom snagom, prema izrazu
(3.10), možemo vidjeti da energija poprima i negativne vrijednosti, kao i kod idealne zavojnice. Ta
'negativna' energija predstavlja energiju koja se akumulirala u trošilu (u obliku energije akumulirane u
električnom polju) tijekom prethodne četvrtine perioda te se sada vraća u izvor. U slučaju idealnog
kondenzatora vidi se da energija oscilira između izvora i trošila i ne gubi se kao kod radnog otpora.
Slika 3.3. Snaga na idealnom kondenzatoru kapaciteta C
3.4.4. Snaga na serijskom RL spoju
Budući da je na serijskom RL spoju fazni pomak 0 < j < p 2 tada je izraz (3.8), izraz za snagu
p ( t ) = UI éë cos j - cos ( 2wt - j ) ùû .
(3.17)
Ovaj izraz, kao što je vidljivo na Slici 3.4., predstavlja vremenski promjenjivu veličinu koja oscilira oko
neke srednje vrijednosti P = UI cosj s periodom osciliranja koji je dvostruko manji od perioda
napona ili struje koji su je uzrokovali, odnosno frekvencija osciliranja je dvostruko veća ( 2w ).
Ukoliko se promatra protok energije uzrokovan ovakvom vremenski ovisnom snagom, prema izrazu
(3.10), možemo vidjeti da energija poprima i pozitivne i negativne vrijednosti. Ta 'negativna' energija
predstavlja energiju koja se akumulirala u trošilu (u obliku energije akumulirane u magnetskom polju)
tijekom prethodnog dijela perioda te se sada vraća u izvor. Vidljivo je da je energija koju izvor predaje
trošilu veća od energije koju trošilo vraća izvoru budući da se dio energije gubi u obliku oslobođene
topline na radnom otporu. U izvor se vraća samo onaj dio energije koji se akumulirao u zavojnici.
24
Slika 3.4. Snaga na serijskom RL spoju
3.5 Trokut snaga
Relacija (3.8) se može pisati kao
p ( t ) = UI cos j - UI cos ( 2wt - j ) .
(3.18)
Uz pomoć relacije za transformaciju
cos (a - b ) = cos a cos b + sin a sin b ,
(3.19)
može se dobiti
p ( t ) = UI cos j - UI cos ( 2wt - j ) = UI cos j - UI cos 2wt cosj - UI sin 2wt sin j =
= UI cos j (1 - cos 2wt ) - UI sin j sin 2wt
.
(3.20)
Ova relacija predstavlja trenutnu vrijednost snage rastavljenu na dvije komponente. Prvi dio relacije
(3.20) ( UI cos j (1 - cos 2wt ) ) predstavlja trigonometrijski krivulju amplitude UI cos j koja oscilira
oko srednje vrijednosti iznosa UI cos j . Drugi dio relacije (3.20) ( UI sin j sin 2wt ) predstavlja
trigonometrijsku krivulju amplitude UI sin j koja oscilira oko nule. Ove dvije amplitude predstavljaju
dvije komponente trenutne snage. Prva komponenta je aktivna (radna) snaga kako se već pokazalo u
(3.12). Druga komponenta, budući da joj je srednja vrijednost jednaka nuli, predstavlja tzv. jalovu
snagu, budući da snaga ne može vršiti nikakav rad. Jedinica za ovu snagu je VAr, odnosno voltamperi
reaktivno. Iz ove tri komponente, moguće je izvesti i prividnu snagu kako je definirana u (3.13). Dakle,
u izmjeničnim krugovima postoje tri vrste snage:
Radna snaga
P = UI cos j [W ]
Jalova snaga
Q = UI sin j [VAr ]
Prividna snaga S = UI [VA]
25
Ukoliko se izrazi za radnu i jalovu snagu kvadriraju te potom zbroje, dobije se
æ
ö
2
2
2
2
P 2 + Q 2 = (UI ) cos 2 j + (UI ) sin 2 j = (UI ) ç cos 2 j + sin 2 j ÷ = (UI ) = S 2 .
14
4
244
3
ç
÷
è
1
ø
(3.21)
Ovaj izraz predstavlja osnovu za definiranje trokuta snaga, definiranog relacijom
S = P2 + Q2
(3.22)
i prikazanog na Slici 3.5.
Slika 3.5. Trokut snaga
Ovo je simboličan način na koji se mogu predstaviti odnosi snaga u izmjeničnim mrežama, gdje radna
i jalova snaga predstavljaju katete pravokutnog trokuta, a prividna snaga hipotenuzu. Bitno je
primijetiti da kut između radne i prividne snage predstavlja fazni pomak φ.
26
4
Vektorsko predočavanje sinusoidalnih veličina
Razmatranje električnih veličina u vremenskom području je, općenito govoreći, kompleksan i
kompliciran način razmatranja, te je za potrebe lakšeg i bržeg proračuna potrebno uvesti neke druge
načine razmatranja, nastojeći ne izgubiti previše na općenitosti i učinkovitosti proračuna. Zbog toga
se uvode dva nova načina prikazivanja, općenito nazvana simboličkim metodama. To su:
·
·
Grafo-analitičko, odnosno vektorsko predočavanje
Analitičko predočavanje (kompleksni račun)
Kod simboličkih metoda uzima se da su efektivne vrijednosti struja i napona te njihovi fazni pomaci
dovoljni za učinkoviti proračun.
4.1 Konstrukcija sinusoidalnih električnih veličina pomoću vektora
Vektorsko predočavanje sinusoidalnih veličina se temelji na matematičkoj konstrukciji sinusoide iz
rotirajućeg radij vektora. Naime, vremenska ovisnost projekcije jediničnog radij-vektora koji rotira
kružnom brzinom ω iz horizontalnog položaja na vertikalnu os, matematički opisuje sinusnu funkciju.
Kut koji taj vektor prijeđe je jednak
a = wt .
(4.1)
Imajući taj način konstrukcije sinusne funkcije u vidu, može se pretpostaviti da se sinusoidalna
funkcija struje (i napona) može prikazati u vidu vektora koji rotira kružnom brzinom ω koja odgovara
kružnoj frekvenciji struje (napona). Potrebno je napomenuti da dužina vektora u tom slučaju
odgovara maksimalnoj vrijednosti promatrane veličine. U tom slučaju, usvajajući relaciju (4.1) vidljivo
je da
i ( t ) = I max sin a = I max sin wt .
(4.2)
Drugim riječima, ovim simboličkim načinom predočavanja, dobivena je za trenutne vrijednosti struje
formalno matematički ista jednadžba.
Na Slici 4.1. prikazani su napon i struja u fazi s odgovarajućim vektorima koji su položeni kolinearno.
Slika 4.1. Sinusoidalne veličine predstavljene rotirajućim vektorima
27
U slučaju dvije fazno pomaknute veličine (npr. napon ‘prethodi’ struji), kao na Slici 4.2, može se
vidjeti da njihov prikaz odgovara rotaciji dva vektora koji su međusobno pomaknuti za određeni kut.
Taj kut odgovara kutu faznog pomaka između napona i struje.
Slika 4.2. Sinusoidalne veličine predstavljene rotirajućim vektorima (napon 'prethodi' struji)
Dakle, može se zaključiti da vremenskim faznim pomacima odgovaraju geometrijski pomaci između
radij-vektora.
Budući da je provođenje bilo kakvih praktičnih proračuna s rotirajućim vektorima vrlo teško, te se
veličine mogu promatrati kao da miruju, a os na kojoj se očitava projekcija radij vektora se rotira
kutnom brzinom ω u suprotnom smjeru. Na ovaj način se dobije mirujući vektorski dijagram. Uvjet
mirujućeg vektorskog dijagrama jest jedinstvena kružna frekvencija za sve vektore. Ova činjenica
predstavlja i najveće ograničenje vektorskog prikaza, tj. moguće je vršiti proračune isključivo za
veličine iste frekvencije.
Također je potrebno naglasiti da se kod vektorskih dijagrama vektori izmjeničnih veličina prikazuju u
efektivnim iznosima. Izbor referentne veličina ovisi o situaciji u samoj mreži koja se proučava.
4.2 Zbrajanje izmjeničnih veličina
S ciljem pokazivanja učinkovitosti prethodno postavljenih osnova vektorskog predočavanja
sinusoidalnih veličina, ovdje je provedeno zbrajanje dva fazno pomaknuta napona u vremenskom
području (primjena drugog Kirchhoffovog zakona).
Pretpostave se naponi
u1 = U1max sin wt ,
(4.3)
u2 = U 2max sin (wt - a 2 ) .
(4.4)
Zbroj dvije sinusne veličine jednake frekvencije uvijek daje sinusnu veličinu te se može pisati
u = u1 + u2 = U max sin (wt - a ) .
28
(4.5)
Ovaj zbroj je grafički prikazan na Slici 4.3.
Slika 4.3. Zbrajanje trenutnih vrijednosti
Usvojajući trigonometrijski identitet
sin (a - b ) = sin a cos b - cos a sin b ,
(4.6)
Može se pisati
u1 + u2 = U1max sin wt + U 2max sin wt cosa 2 - U 2max cos wt sin a 2 =
= (U1max + U 2max cos a 2 ) sin wt - U 2max sin a 2 cos wt
,
(4.7)
u = U max cos a sin wt - U max sin a cos wt .
(4.8)
Izrazi s desne strane u relacijama (4.7) i (4.8) moraju biti jednaki u svakom trenutku t, što je moguće
samo ako su amplitude uz iste trigonometrijske funkcije jednake
U1max + U 2max cos a 2 = U max cos a ,
(4.9)
U 2max sin a 2 = U max sin a .
(4.10)
Kvadriranjem i zbrajanjem relacija (4.9) i (4.10), dobije se
2
2
2
U1max
+ 2U1maxU 2 max cos a 2 + U 22max cos 2 a 2 + U 22max sin 2 a 2 = U max
cos 2 a + U max
sin 2 a
æ
ö
ö
2
2 æ
2
U1max
+ 2U1maxU 2 max cos a 2 + U 22max ç cos 2 a 2 + sin 2 a 2 ÷ = U max
a244
+ sin 23
a÷
ç cos
144
ç 1442443 ÷
1
è
ø
è
1
ø
.
(4.11)
2
U max = U1max
+ U 22max + 2U1maxU 2 max cos a 2
Dijeljenjem relacije (4.10) dobije se
sin a =
U 2 max sin a 2
.
U max
Na ovaj način su dobivene relacije za izračun nepoznanica u izrazu (4.5).
29
(4.12)
Završni izraz u relaciji (4.11) se može pisati kao
2
2
2
U max
= U1max
+ U 2max
- 2U1maxU 2max cos (p - a 2 ) ,
(4.13)
odnosno, ukoliko se čitava jednadžba podijeli s faktorom 2
U 2 = U12 + U 22 - 2U1U 2 cos (p - a 2 ) ,
(4.14)
što upućuje na kosinusov poučak pri računanju iznosa vektora U, kao na Slici 4.4. Također, izraz (4.12)
daje relaciju za proračun kuta α na istoj slici.
U
Slika 4.4. Vektorsko zbrajanje (oduzimanje) efektivnih vrijednosti
S ovim se pokazalo da analitički proračun u vremenskom području daje jednake rezultate kao
proračun uz pomoć vektorskog predočavanja sinusoidalnih veličina.
Dakle, u vektorskom području zapis (4.5) je predstavljen kao
U = U1 + U 2
(4.15)
i označava da se pojedine sinusoidalne veličine zbrajaju u vektorskom području. Također je potrebno
napomenuti da i dalje vrijedi sljedeća relacija
U ¹ U1 + U 2
(4.16)
budući da je riječ o isključivo efektivnim vrijednostima.
U sljedećim poglavljima će se pokazati primjena vektorskog predočavanja sinusoidalnih veličina na
jednostavne mreže izmjenične struje.
4.3 Serijski R-L spoj
Serijski spoj idealnog otpornika i idealne zavojnice priključen je na sinusoidalni naponski izvor
e = Emax sin wt , kao na Slici 4.5.
30
Slika 4.5. Serijski R-L spoj priključen na sinusoidalni naponski izvor
Da bi se nacrtao vektorski dijagram napona i struje potrebno je za odabrati referentnu veličinu.
Budući da u spoju na Slici 4.5 postoji samo jedna struja koja teče kroz sve elemente spoja, logično je
upravo tu struju odabrati za referentnu. Pad napona na otporniku je u fazi sa strujom te se crta kao
kolinearni vektor, dok napon na zavojnici prethodi struji za fazni pomak p 2 . Ukupni pad napona na
spoju se dobije vektorskim zbrajanjem ova dva napona prema relaciji (4.15)
U = UR +UL
(4.17)
i prikazan je na Slici 4.6.
U
Slika 4.6. Vektorski dijagram napona i struje za serijski R-L spoj
Iz Slike 4.6. je vidljivo da se iznos ukupnog napona može izračunati kao
U = U R2 + U L2 .
(4.18)
Ukoliko se naponi sa Slike 4.6. podijele s zajedničkom strujom I, može se dobiti tzv. trokut otpora
odnosno impedancije prikazan na Slici 4.7.
Slika 4.7. Trokut otpora (impedancije) za serijski R-L spoj
31
Potrebno je napomenuti da je kut φ jednak i kod vektorskog dijagrama i kod trokuta otpora.
Impedancija predstavlja omjer napona i struje na nekom dijelu strujnog kruga te daje informaciju o
„ukupnom otporu“. Nedostatak ovakvog definiranja impedancije leži u činjenici da se isti iznos
impedancije može dobiti za različite kombinacije aktivnih ili reaktivnih otpora te iz samog iznosa
impedancije nije moguće utvrditi o kakvoj se kombinaciji radi. U tu svrhu kao pomoćna veličina služi
trokut otpora. Izraz za impedanciju serijskog R-L spoja se može dobiti ukoliko se relacija (4.18)
podijeli sa strujom I
U
= Z = R 2 + X L2 .
I
(4.19)
Fazni pomak u ovakvom spoju može se odrediti iz trokuta otpora kao
j = arctan
XL
.
R
(4.20)
4.4 Serijski R-C spoj
Serijski spoj idealnog otpornika i idealnog kondenzatora priključen je na sinusoidalni naponski izvor
e = Emax sin wt , kao na Slici 4.8.
Slika 4.8. Serijski R-C spoj priključen na sinusoidalni naponski izvor
Da bi se nacrtao vektorski dijagrama napona i struje potrebno je za odabrati referentnu veličinu. Kao
i u slučaju R-L spoja, logično je struju odabrati za referentnu veličinu. Pad napona na otporniku je u
fazi sa strujom te se crta kao kolinearni vektor, dok napon na kondenzatoru zaostaje za strujom za
fazni pomak p 2 . Ukupni pad napona na spoju dobije se vektorskim zbrajanjem ova dva napona
prema relaciji (4.15)
U = U R + UC
i prikazan je na Slici 4.9.
32
(4.21)
I
φ UR
U
Slika 4.9. Vektorski dijagram napona i struje za serijski R-C spoj
Iz Slike 4.9. je vidljivo da se iznos ukupnog napona može izračunati kao
U = U R2 + U C2 .
(4.22)
Ukoliko se naponi sa Slike 4.9. podijele s zajedničkom strujom I, može se dobiti tzv. trokut otpora
odnosno impedancije prikazan na Slici 4.10.
Z
Slika 4.10. Trokut otpora (impedancije) za serijski R-C spoj
Izraz za impedanciju serijskog R-C spoja se može dobiti ukoliko se relacija (4.22) podijeli sa strujom I
U
= Z = R 2 + X C2 .
I
(4.23)
Fazni pomak u ovakvom spoju se može odrediti iz trokuta otpora kao
j = arctan
XC
.
R
(4.24)
4.5 Serijski R-L-C spoj
Serijski spoj idealnih elemenata (otpornik, zavojnica i kondenzator) priključen je na sinusoidalni
naponski izvor e = Emax sin wt , kao na Slici 4.11.
33
Slika 4.11. Serijski R-L-C spoj priključen na sinusoidalni naponski izvor
Da bi se nacrtao vektorski dijagrama napona i struje potrebno je za odabrati referentnu veličinu. Kao
i u prethodnim slučajevima, logično je struju odabrati za referentnu veličinu. Pad napona na
otporniku je u fazi sa strujom te se crta kao kolinearni vektor. Pad napona na zavojnici prethodi
vektoru struje za fazni pomak p 2 dok napon na kondenzatoru zaostaje za strujom za fazni pomak
p 2 . Ukupni pad napona na spoju se dobije vektorskim zbrajanjem ovih napona prema relaciji (4.15)
U = U R + U L + UC
(4.25)
i prikazan je na Slici 4.12.
Slika 4.12. Vektorski dijagram napona i struje za serijski R-L-C spoj
Potrebno je napomenuti da je u vektorskom dijagramu na Slici 4.12., pretpostavljeno da je
X L > X C Þ U L > U C , tj. spoj ima induktivni karakter. U slučaju da vrijedi X L < X C , vektorski
dijagram bi bio sličniji onome na Slici 4.9., tj. karakter spoja bi bio kapacitivan. Iz Slike 4.12. je vidljivo
da se iznos ukupnog napona može izračunati kao
U = U R2 + (U L - U C ) .
2
(4.26)
Ukoliko se naponi sa Slike 4.12. podijele s zajedničkom strujom I, može se dobiti tzv. trokut otpora
odnosno impedancije prikazan na Slici 4.13.
34
Z
φ
R
Slika 4.13. Trokut otpora (impedancije) za serijski R-L-C spoj
Izraz za impedanciju serijskog R-L-C spoja može se dobiti ukoliko se relacija (4.26) podijeli sa strujom I
U
2
= Z = R2 + ( X L - X C ) .
I
(4.27)
Fazni pomak u ovakvom spoju može se odrediti iz trokuta otpora kao
j = arctan
X L - XC
.
R
(4.28)
4.6 Paralelni R-L-C spoj
Paralelni spoj idealnih elemenata (otpornik, zavojnica i kondenzator) priključen je na sinusoidalni
naponski izvor e = Emax sin wt , kao na Slici 4.14.
Slika 4.14. Paralelni R-L-C spoj priključen na sinusoidalni naponski izvor
Da bi se nacrtao vektorski dijagram napona i struja potrebno je za odabrati referentnu veličinu.
Budući da u spoju na Slici 4.14 postoji samo jedan napon koji se nalazi na svim elementima spoja,
logično je upravo taj napon odabrati za referentan. Struja kroz otpornik je u fazi s naponom te se crta
kao kolinearni vektor. Struja kroz zavojnicu zaostaje za vektorom napona za fazni pomak p 2 dok
struja kroz kondenzator prethodi naponu za fazni pomak p 2 . Ukupna struja koja ulazi u spoj se
dobije vektorskim zbrajanjem ovih struja prema prvom Kirchhoffovom zakonu
I = I R + I L + IC
i prikazana je na Slici 4.15.
35
(4.29)
I
Slika 4.15. Vektorski dijagram napona i struja za paralelni R-L-C spoj
Potrebno je napomenuti da je u vektorskom dijagramu na Slici 4.15., pretpostavljeno da je
X L < X C Þ I L > I C . Iz Slike 4.15. je vidljivo da se iznos ukupne struje može izračunati kao
I = I R2 + ( I L - I C ) .
2
(4.30)
Kod istosmjernih struja se osim otpora R koristi i vodljivost G koja je definirana s
G=
1
[S ] .
R
(4.31)
Tako definirana aktivna vodljivost se koristi i kod sinusoidalnih struja. Usvajajući činjenicu da kod
vremenski promjenjivih struja imamo i reaktivne elemente koji su opisani induktivnim i kapacitivnim
otporima, mogu se uvesti i induktivna i kapacitivna vodljivost koje se definiraju kao
BL =
1
1
=
[S ]
X L wL
(4.32)
BC =
1
= wC [ S ]
XC
(4.33)
Ukoliko se struje sa Slike 4.15. podijele s zajedničkom naponom U, može se dobiti tzv. trokut
vodljivosti odnosno admitancije prikazan na Slici 4.16.
Slika 4.16. Trokut vodljivosti (admitancije) za paralelni R-L-C spoj
Admitancija Y predstavlja omjer struje i napona na nekom dijelu strujnog kruga te daje informaciju o
„ukupnoj vodljivosti“. Nedostatak ovakvog definiranja admitancije leži u činjenici da se isti iznos
admitancije može dobiti za različite kombinacije aktivnih ili reaktivnih vodljivosti te iz samog iznosa
nije moguće utvrditi o kakvoj se kombinaciji radi. U tu svrhu kao pomoćna veličina služi trokut
36
vodljivosti. Izraz za admitanciju paralelnog R-L-C spoja može se dobiti ukoliko se relacija (4.30)
podijeli s naponom U
I
2
= Y = G 2 + ( BL - BC ) .
U
(4.34)
Potrebno je napomenuti da admitancija predstavlja recipročnu vrijednost impedancije.
Y=
1
Z
(4.35)
Fazni pomak u ovakvom spoju se može odrediti iz trokuta vodljivosti kao
j = arctan
BL - BC
.
G
37
(4.36)
5
Simbolički način rješavanja mreža izmjenične struje
5.1 Primjena kompleksnog računa na izmjenične struje i napone
Kao što je već navedeno, simboličke metode su predstavljene s dva pristupa
·
·
Grafo-analitičko, odnosno vektorsko predočavanje
Analitičko predočavanje (kompleksni račun)
U prethodnom poglavlju je objašnjeno vektorsko predočavanje, koje značajno pomaže prilikom
računanja sa sinusoidalnim veličinama, ali ima dvije mane. Te mane su nedostatak općenitost samo
ga prikaza, koji se očituje u činjenici da se svaka mreža mora rješavati „od početka“ (nije moguće
primijeniti poopćene metode), te manji nedostatak koji se očituje u inherentnoj nepreciznosti samog
grafičkog prikaza.
Analitičko predočavanje sinusoidalnih veličina temelji se na kompleksnom računu. Za razliku od
prikaza u matematici, u elektrotehnici se uzima prikaz imaginarne jedinice pomoću slova j, budući da
slovo i predstavlja vremenski promjenjivu struju. Dakle,
j = -1 .
(5.1)
Ukoliko se, pomoću kompleksnih brojeva, pokušaju predstaviti vektori koji predočavaju izmjenične
veličine, jedan tipičan strujno naponski odnos na idealnoj zavojnici bi se mogao prikazati kao
Uˆ = Ue j 0
p
-j
Iˆ = Ie 2
.
(5.2)
Kompleksni zapis (5.2) bi trebao odgovarati vektorskom prikazu napona koji leži na referentnoj osi te
struje koja zaostaje za naponom za fazni pomak p 2 . Ovakav način prikaza sinusoidalnih veličina u
kompleksnom području zanemaruje bitnu karakteristiku tih veličina, a to je njihova vremenska
ovisnost. Ta karakteristika je u vektorskom prikazu bila prisutna kroz dogovorni prikaz mirujućih
vektora uz rotirajuću os na koju su projicirani.
S ciljem prikaza vremenski ovisnih sinusoidalnih veličina u kompleksnom području, potrebno je
krenuti od već poznatog analitičkog prikaza u vremenskom (realnom) području
i = I max sin (wt + a i ) .
(5.3)
Trenutne vrijednosti struje (5.3) mogu se predočiti projekcijom na imaginarnu os vektora koji je
opisan kompleksnim brojem
j w t +a
iˆ = I max e ( i ) .
(5.4)
Izraz (5.4) jasno opisuje vrh vektora u kompleksnom području koji u trenutku t = 0 s pozitivnim
dijelom realne osi zatvara kut a i te se njegov argument povećava s protokom vremena upravo za
umnožak wt . Iznos vektora odgovara maksimalnoj vrijednosti promatrane veličine (struje). Iz ovoga
proizlazi da prikaz sinusoidalno promjenjivih veličina u kompleksnom području na način definiran
38
izrazom (5.4) upravo odgovara rotirajućim vektorima od kojih se krenulo pri definiranju vektorskog
prikaza.
Ako se promotri matematička definicija izraza (5.4) koja je dana s
j w t +a
iˆ = I max e ( i ) = I max cos (w t + a i ) + jI max sin (wt + a i ) ,
(5.5)
tada je jasno vidljivo da se između izraza za struju u vremenskom području (5.3) i izraza za struju u
kompleksnom području (5.4) ne može postaviti znak jednakosti. S druge strane, želi li se istaknuti da
oba izraza predstavljaju istu veličinu, ali u različitim domenama (područjima) tada se može pisati
I max sin (w t + a i ) = Im é I max e
ë
U max sin (w t + a u ) = Im éU max e
ë
j (w t +a i )
ù B I max e j (wt +ai ) ,
û
j ( w t +a u )
ù B U max e j (wt +au ) .
û
(5.6)
(5.7)
Na ovaj se način utvrđuje da izraz (5.3) predstavlja sinusoidalno promjenjivu struju u vremenskom
(realnom) području, dok izraz (5.4) predstavlja istu tu sinusoidalno promjenjivu struju u
kompleksnom području. Prikaz struje (napona) u kompleksnom području predstavlja fazor trenutne
vrijednosti definiran kao
iˆ = I max e jai e jwt
uˆ = U max e jau e jwt
.
(5.8)
Iz relacije (5.8) može se definirati fazor maksimalne vrijednosti kao
Iˆmax = I max e jai
.
Uˆ max = U max e jau
Dijeljenjem izraza (5.9) s faktorom
(5.9)
2 dobije se fazor efektivne vrijednosti.
Iˆ = Ie jai
.
Uˆ = Ue jau
(5.10)
Ovaj izraz za struju (napon) predstavlja veličinu koja će se najčešće koristiti za opis sinusoidalno
promjenjivih struja (napona) u kompleksnom području. Izostavljanje faktora e jwt znači da se
pretpostavlja harmonijska (sinusoidalna) ovisnost, ali je se više ne ističe.
5.2 Analiza serijskog R-L-C spoja primjenom kompleksnog računa
Serijski spoj idealnih elemenata (otpornik, zavojnica i kondenzator) priključen je na sinusoidalni
naponski izvor e = Emax sin wt , kao na Slici 5.1.
39
Slika 5.1. Serijski R-L-C spoj priključen na sinusoidalni naponski izvor
Ukupan pad napona na serijskom spoju je dan u realnom i kompleksnom području relacijom
u = U max sin (wt + a u ) B Uˆ max e jwt .
(5.11)
Struja koja teče kroz taj spoj mora biti sinusodialnog karaktera i zadana je kao
i = I max sin (wt + a i ) B Iˆmax e jwt
(5.12)
Naponska jednadžba za krug na Slici 5.1. se prema drugom Kirchhoffovom zakonu (u vremenskom
području), može pisati kao
u ( t ) = uR ( t ) + uL ( t ) + uC ( t ) ,
(5.13)
odnosno usvajajući već poznate strujno-naponske odnose, kao
u = iR + L
di 1
+
idt .
dt C ò
(5.14)
Prelaskom u kompleksno područje, relacija (5.14), piše kao
(
)
d ˆ
1
Uˆ max e jwt = Iˆmax e jwt R + L
I max e jwt + ò Iˆmax e jwt dt .
dt
C
(5.15)
Fazori maksimalnih vrijednosti predstavljaju vremenski konstantne veličine te je potrebno provesti
derivaciju odnosno integriranje samo harmonijskog člana
Iˆ
d
Uˆ max e jwt = Iˆmax e jwt R + LIˆmax e jwt + max ò e jwt dt
dt
C
ˆ
I
Uˆ max e jwt = Iˆmax Re jwt + LIˆmax jw e jwt + max e jwt
jwC
Izvrši li se kraćenje lijeve i desne strane s harmonijskim članom e jwt i faktorom
ˆ + j w L Iˆ - j 1 Iˆ ,
Uˆ = IR
{
w
C
XL
{
XC
40
(5.16)
2 , dobije se
(5.17)
čime je određen odnos struje i napona u kompleksnom području za jednostavni serijski spoj
Uˆ = Iˆ éë R + j ( X L - X C ) ùû .
(5.18)
Potrebno je napomenuti da je uklanjanje harmonijskog faktora e jwt ekvivalentno postavljanju
mirujućeg vektorskog dijagrama, tj. proračun je olakšan, ali se pretpostavlja jedinstvena frekvencija u
cijelom krugu.
Dijeleći izraz (5.18) sa fazorom struje dobije se izraz za kompleksnu impedanciju
Uˆ
Zˆ = = R + j ( X L - X C )
Iˆ
(5.19)
Impedancija se u kompleksnom području sastoji od realnog dijela koji predstavlja aktivne otpore i
imaginarnog dijela koji predstavlja reaktivne otpore. S ovako definiranom impedancijom moguće je
serijski spoj više različitih impedancija prikazati kao
N
Zˆ = å Zˆ n ,
(5.20)
n =1
čime se dobije zapis identičan onome kod istosmjernih veličina u slučaju serijskog spoja više
otpornika.
Ukoliko se impedancija definira kao omjer fazora trenutnih vrijednosti napona i struje, tada je očito
da impedancija nema vremensku komponentu te da predstavlja mirujući vektor
Ẑ =
2 Ue jau e jwt
2 Ie
jai
e
jwt
= Ze
j (a u -a i )
.
(5.21)
Ova karakteristika je bitna razlika između karaktera struje i napona odnosno impedancije u
kompleksnom području.
5.2 Analiza paralelnog R-L-C spoja primjenom kompleksnog računa
Paralelni spoj idealnih elemenata (otpornik, zavojnica i kondenzator) priključen je na sinusoidalni
naponski izvor e = Emax sin wt , kao na Slici 5.2.
Slika 5.2. Paralelni R-L-C spoj priključen na sinusoidalni naponski izvor
41
Pad napona na svakom elementu paralelnog spoja dan je u realnom i kompleksnom području
relacijom
u = U max sin (wt + a u ) B Uˆ max e jwt .
(5.22)
Struja koju daje izvor u ovaj spoj mora biti sinusodialnog karaktera i zadana je kao
i = I max sin (wt + a i ) B Iˆmax e jwt .
(5.23)
Strujna jednadžba za krug na Slici 5.2. se prema prvom Kirchhoffovom zakonu (u vremenskom
području), može pisati kao
i ( t ) = iR ( t ) + iL ( t ) + iC ( t ) ,
(5.24)
Odnosno usvajajući već poznate strujno-naponske odnose
i = uG +
1
du
udt + C
.
ò
L
dt
(5.25)
Prelaskom u kompleksno područje, relacija (5.25), se može pisati kao
(
)
1
d ˆ
Iˆmax e jwt = Uˆ max e jwt G + ò Uˆ max e jwt dt + C
U max e jwt .
L
dt
(5.26)
Fazori maksimalnih vrijednosti predstavljaju vremenski konstantne veličine te je potrebno provesti
deriviranje odnosno integriranje samo harmonijskog člana
Uˆ
d
Iˆmax e jwt = Uˆ max e jwt G + max ò e jwt dt + CUˆ max e jwt
L
dt
.
ˆ
ˆI e jwt = Uˆ Ge jwt + U max e jwt + CUˆ jw e jwt
max
max
max
jw L
Izvrši li se kraćenje lijeve i desne strane s harmonijskim članom e jwt i faktorom
(5.27)
2 , dobije se
ˆ - j 1 Uˆ + j wC Uˆ ,
Iˆ = UG
{
w
L
BC
{
(5.28)
BL
čime je određen odnos struje i napona u kompleksnom području za jednostavni paralelni spoj
Iˆ = Uˆ éëG - j ( BL - BC ) ùû .
(5.29)
Potrebno je opet istaknuti da je uklanjanje harmonijskog faktora e jwt ekvivalentno postavljanju
mirujućeg vektorskog dijagrama, tj. proračun je olakšan, ali se pretpostavlja jedinstvena frekvencija u
cijelom krugu.
Dijeleći izraz (5.29) sa fazorom struje dobije se izraz za kompleksnu admitanciju
42
Iˆ
Yˆ = = G - j ( BL - BC )
Uˆ
(5.30)
Admitancija u kompleksnom području se sastoji od realnog dijela koji predstavlja aktivne vodljivosti i
imaginarnog dijela koji predstavlja reaktivne vodljivosti. S ovako definiranom admitancijom moguće
je paralelni spoj više različitih admitancija računati kao
N
Yˆ = å Yˆn ,
(5.31)
n =1
čime se dobije zapis identičan onome kod istosmjernih struja u slučaju paralelnog spoja više
otpornika.
Ukoliko se admitancija definira kao omjer fazora trenutnih vrijednosti struje i napona, tada je očito
da admitancija nema vremensku komponentu te da predstavlja mirujući vektor
Yˆ =
2 Ie jai e jwt
2 Ue
ja u
e
jwt
= Ye
- j (a u -a i )
.
(5.32)
5.3 Ohmov i Kirchhoffovi zakoni u kompleksnom obliku
Usvajajući sve do sada izneseno o kompleksnom predočavanju sinusoidalnih veličina, može se
zaključiti da u kompleksnom području Ohmov zakon glasi
Uˆ
Iˆ = .
Zˆ
(5.33)
Vidljivo je da je izraz (5.33) vrlo sličan Ohmovom zakonu za istosmjerne veličine ( I = U R ) s tim da je
usvojeno kompleksno predočavanje te je aktivni otpor zamijenjen impedancijom spoja.
Prvi Kirchoffov zakon (zakon čvora) za sinusoidalne veličine u kompleksnom području kaže da je
algebarska suma svih fazora struja koje ulaze u neki čvor jednaka nuli,
N
alg å Iˆn = 0 ,
(5.34)
n =1
što odgovara prvom Kirchoffovom zakonu za istosmjerne struje uz napomenu da se nužno računa s
fazorima.
Drugi Kirchoffov zakon (zakon petlje) za sinusoidalne veličine u kompleksnom području kaže da je
algebarska suma fazora svih elektromotornih sila u nekoj petlji jednaka algebarskoj sumi fazora
padova napona na impedancijama u toj istoj petlji
N
K
n =1
k =1
alg å Eˆ n = alg å Iˆk × Zˆ k .
43
(5.35)
5.4 Metode analize izmjeničnih mreža primjenom kompleksnog računa
Metode analize izmjeničnih mreža primjenom kompleksnog računa predstavljaju nadogradnju
metoda analize istosmjernih mreža uz korištenje kompleksnih brojeva prilikom predočavanja
izmjeničnih veličina. Najčešće metode koje se koriste za analizu mreža su
·
·
·
·
·
·
·
Direktna primjena Kirchhoffovih zakona;
Metoda konturnih struja;
Metoda potencijala čvorova;
Metoda superpozicije;
Theveninov teorem;
Nortonov teorem;
Millmanov teorem.
Direktna primjena Kirchhoffovih zakona ne predstavlja metodu u užem smislu riječi, budući da se
sastoji samo od primjene Kirchhoffovih zakona bez dodatnih modifikacija.
Metode konturnih struja i potencijala čvorova su metode koje se koriste za analizu čitavih mreža,
dakle za određivanje struja u svim granama mreže i/ili potencijala svih čvorova mreže. Evidentno je
da te metode nisu prikladne za korištenje ukoliko je potrebno dobiti stanje u samo jednom dijelu
mreže. S druge strane, njihova prednosti leži u mogućnosti strukturiranog zapisa jednadžbi koje je
potrebno riješiti što im osigurava jednostavnost korištenja u okviru računalnih programa.
Metoda superpozicije te Theveninov, Nortonov i Millmanov teorem su metode koje su prikladne za
proračun stanja u samo jednom dijelu mreže, dakle djeluju komplementarno s prethodno
spomenutim metodama.
5.4.1 Transformacija trokut – zvijezda i zvijezda – trokut
Prije proučavanja metoda analize mreža izmjenične struje, prvo će se navesti relacije za
transformaciju trokut – zvijezda i zvijezda – trokut ekvivalentnih spojeva koje su već izvedene za
istosmjerne struje. Opći je zahtjev da se, nakon transformacije, stanje u mreži ne smije promijeniti,
što se očitava u činjenici da struje koje ulaze u čvorove moraju ostati jednake, potencijali čvorova
moraju ostati jednaki te fazni pomak između struje i potencijala pojedinog čvora mora ostati jednak.
Transformacijske relacije ostaju iste kao kod istosmjernih struja uz uvažavanje kompleksnog zapisa
pri prikazu impedancija. Transformacija se vrši prema Slici 5.3.
Slika 5.3. Transformacija trokut – zvijezda i zvijezda – trokut
44
Relacije za transformaciju trokut – zvijezda su zadane kao
Zˆ1 =
Zˆ 2 =
Zˆ12 Zˆ31
Zˆ12 + Zˆ 23 + Zˆ31
Zˆ Zˆ
12
23
23
31
.
(5.36)
Zˆ Zˆ
Zˆ12 = Zˆ1 + Zˆ 2 + 1 2
Zˆ 3
Zˆ Zˆ
Zˆ 23 = Zˆ 2 + Zˆ3 + 2 3 .
Zˆ1
Zˆ Zˆ
Zˆ 31 = Zˆ 3 + Zˆ1 + 3 1
Zˆ 2
(5.37)
Zˆ 3 =
Zˆ12 + Zˆ 23 + Zˆ31
Zˆ Zˆ
Zˆ12 + Zˆ 23 + Zˆ31
Relacije za transformaciju zvijezda – trokut su zadane kao
Potrebno je napomenuti da ovako definirane transformacijske relacije mogu dovesti do izračuna
negativnih aktivnih otpora što ne predstavlja pogrešku već se može shvatiti kao naponski izvor čiji je
iznos jednak umnošku struje i otpora.
5.4.2 Direktna primjena Kirchhoffovih zakona
Kod direktne primjene Kirchhoffovih zakona potrebno je odrediti broj čvorova u mreži (nč), broj grana
u mreži (ng) te broj nezavisnih petlji (np). Nakon toga je potrebno postaviti pretpostavljene smjerove
struja u svim granama te smjer obilaska nezavisnih petlji. Prema Prvom Kirchhoffovom zakonu
potrebno je postaviti nč-1 jednadžbu, dok je prema Drugom Kirchhoffovom zakonu potrebno
postaviti ng-(nč-1) jednadžbu. Na ovaj se način dobije jednadžbi koliko ima grana u mreži u kojima su
nepoznanice upravo struje u tim granama. Rješavanje takvog sustava jednadžbi omogućava dobijanje
struje u svima granama.
Slika 5.4. Direktna primjena Kirchhoffovih zakona
Primjeni li se ova metoda na mrežu na Slici 5.4, uz pretpostavljene struje i smjerove obilaska petlji,
dobije se sljedeći sustav jednadžbi
45
Iˆ1 - Iˆ2 - Iˆ3 = 0
Eˆ = Iˆ1 R1 + Iˆ2 jX L + Iˆ1 ( - jX C ) .
(5.38)
0 = Iˆ3 R2 - Iˆ2 jX L
Uvrštavanjem vrijednosti elemenata sa Slike 5.4 dobije se sustav
Iˆ1 - Iˆ2 - Iˆ3 = 0
- j10 = ( 2 - j 3) Iˆ1 + jIˆ2 .
(5.39)
0 = Iˆ3 - jIˆ2
Rješavanjem ovog sustava, dobiju se fazori struja u svima granama mreže
Iˆ1 = 2 - j 2 = 2 2Ð - 45° [ A]
Iˆ2 = - j 2 = 2Ð - 90° [ A]
.
(5.40)
Iˆ3 = 2 = 2Ð0° [ A]
5.4.3 Metoda konturnih struja
Metoda konturnih struja proizlazi iz primjene Kirchoffovih zakona kada se uklone redundantne
jednadžbe. Prilikom primjene metode konturnih struja postavljaju se naponske jednadžbe za
proizvoljno odabrane nezavisne konture (petlje) u mreži. Naponske jednadžbe se postavljaju prema
relaciji
nk -1
Iˆk Zˆ kk + alg å Iˆi Zˆ ik = Eˆ kk ,
(5.41)
i =1
i¹ k
gdje je Iˆk struja k-te konture, Iˆi struja i-te konture koja ima zajedničku granu s k-tom konturom, Zˆ kk
ukupna impedancija k-te konture, Zˆik impedancija u međašnoj grani između k-te i i-te konture, te
Eˆ kk algebarska suma elektromotornih sila k-te konture. Bitno je napomenuti da se predznak kod
algebarske sume u relaciji (5.41) određuje s obzirom na smjerove konturnih struja u međašnoj grani
(ukoliko su u istom smjeru, predznak je '+'; u suprotnom smjeru, predznak je '-').
Slika 5.5. Primjena metode konturnih struja
Primjeni li se ova metoda na mrežu na Slici 5.5, uz pretpostavljene smjerove obilaska kontura, dobije
se sljedeći sustav jednadžbi.
46
IˆI ( R1 + jX L - jX C ) - IˆII jX L = Eˆ
- IˆI jX L + IˆII ( R2 + jX L ) = 0
.
(5.42)
Uvrštavanjem vrijednosti elemenata sa Slike 5.4 dobije se sustav
( 2 - j 2 ) IˆI - jIˆII = - j10
.
- jIˆI + (1 + j ) IˆII = 0
(5.43)
Rješavanjem ovog sustava, dobiju se fazori konturnih struja. Fazori struja u pojedinim grana mreže
odgovaraju ili struji dane konture ili algebarskom zbroju struja susjednih kontura u slučaju međašnih
struja
IˆI = Iˆ1 = 2 - j 2 = 2 2Ð - 45° [ A]
IˆII = Iˆ3 = 2 = 2Ð0° [ A]
.
(5.44)
Iˆ2 = IˆI - IˆII = - j 2 = 2Ð - 90° [ A]
5.4.4 Metoda superpozicije
Metoda superpozicije je metoda koja se može primijeniti na linearne mreže, a temelji se na činjenici
da se stanje u jednom dijelu mreže (struja, napon) može odrediti kao algebarska suma stanja u tom
dijelu mreže koji stvaraju pojedini izvori, kada su sami uključeni u mreži
ni
Iˆ = alg å Iˆi .
(5.45)
i =1
Slika 5.6. Primjena metode superpozicije
Primjeni li se ova metoda na mrežu na Slici 5.6, u kojoj se traži struja Iˆ , potrebno je odrediti struje
Iˆ ' i Iˆ¢¢ , kao posljedice izvora Ê i Ê . Struja Iˆ ' se može odrediti kao
1
2
47
Iˆ ' =
Eˆ1
jX ( - jX C )
R+ L
jX L - jX C
14
4244
3
- jX C
= 5 - j5 = 5 2Ð - 45° [ A] ,
jX L - jX C
(5.46)
jX L P( - jX C )
dok je struja Iˆ¢¢
Iˆ " =
Eˆ 2
R
= -5 + j5 = 5 2Ð135° [ A] .
R × jX L R + jX L
- jX C +
R + jX L
1
424
3
(5.47)
RP jX L
Ukupna struja se može dobiti kao
Iˆ = Iˆ¢ + Iˆ¢¢ = 0 .
(5.48)
5.4.5 Theveninov teorem
Theveninov teorem glasi: Bilo koja linearna mreža (ili njezin dio) može se nadomjestiti Theveninovim
ekvivalentom. Theveninov ekvivalent je serijski spoj Theveninovog naponskog izvora i Theveninove
impedancije. Theveninov naponski izvor predstavlja napon otvorenih stezaljki s kojih se promatra
mreža koja se nadomješta, dok je Theveninova impedancija, impedancija promatrana s tih istih
stezaljki kad su svi izvori isključeni.
Slika 5.7. Primjena Theveninovog teorema
Ukoliko se pomoću Theveninovog teorema želi izračunati struja Iˆ3 na slici 5.7, potrebno je odrediti
EˆT i ZˆT . Theveninov napon je, prema Slici 5.7 (dolje lijevo), izražen kao
48
EˆT = Eˆ
jX L
= 2.5 + j 2.5 = 2.5 2Ð45° [V ] .
R1 + jX L - jX C
(5.49)
Theveninova impedancija je, prema Slici 5.7 (dolje desno)
jX L ( R1 - jX C )
ZˆT =
= 0.25 + j1.25 = 1.27Ð79° [ W ] .
R1 + jX L - jX C
144
2443
(5.50)
jX L P( R1 - jX C )
Sada se struja Iˆ3 , može odrediti kao
Iˆ3 =
EˆT
= 2 = 2Ð0° [ A] .
ZˆT + R2
(5.51)
5.4.6 Nortonov teorem
Nortonov teorem glasi: Bilo koja linearna mreža (ili njezin dio) može se nadomjestiti Nortonovim
ekvivalentom. Nortonov ekvivalent je paralelni spoj Nortonovog strujnog izvora i Nortonove
impedancije. Nortonov strujni izvor predstavlja struju kratkog spoja stezaljki s kojih se promatra
mreža koja se nadomješta, dok je Nortonova impedancija, impedancija promatrana s tih istih stezaljki
kad su svi izvori isključeni.
Slika 5.8. Primjena Nortonovog teorema
Ukoliko se pomoću Nortonovog teorema želi izračunati struja Iˆ3 na slici 5.8, potrebno je odrediti IˆN i
Zˆ N . Nortonova struja je, prema Slici 5.8 (dolje lijevo), izražena kao
IˆN =
Eˆ
30
20
=
-j
= 2.77Ð - 34° [ A] .
R1 - jX C 13
13
49
(5.52)
Nortonova impedancija je, prema Slici 5.8 (dolje desno)
jX L ( R1 - jX C )
Zˆ N =
= 0.25 + j1.25 = 1.27Ð79° [ W ] .
R1 + jX L - jX C
144
2443
(5.53)
jX L P( R1 - jX C )
Sada se struja Iˆ3 , može odrediti kao
Iˆ3 = IˆN
Zˆ N
= 2 = 2Ð0° [ A] .
Zˆ N + R2
(5.54)
5.4.7 Millmanov teorem
Millmanov teorem glasi: Napon između dvije točke mreže u kojoj se nalazi ng paralelno spojenih
grana može se odrediti pomoću relacije
ng
Uˆ AB =
(
alg å Eˆi Yˆi + Iˆgi
i =1
ng
åYˆi
)
.
(5.55)
i =1
Slika 5.9. Primjena Millmanovog teorema
Ukoliko se pomoću Millmanovog teorema žele odrediti struje u mreži na slici 5.9, potrebno je
odrediti Uˆ
AB
1
R1 - jX C
=
= 2Ð0° [V ] .
1
1
1
+
+
R1 - jX C jX L R2
Eˆ
Uˆ AB
(5.56)
Sada se struje u svim granama mreže mogu odrediti prema Ohmovom zakonu za dio strujnog kruga
50
Eˆ - Uˆ AB
Iˆ1 =
= 2 2Ð - 45° [ A]
R1 - jX c
Uˆ
Iˆ2 = AB = 2Ð - 90° [ A]
.
jX L
Uˆ
Iˆ3 = AB = 2Ð0° [ A]
R2
(5.57)
5.5 Snaga predočena u kompleksnom području
Radna, jalova i prividna snaga su ranije definirane kao (Poglavlje 3.5)
P = UI cosj
Q = UI sin j
(5.58)
S = UI
Ukoliko se, u kompleksnom području, pomnože fazori napona i struje, dobije se
ˆ ˆ = UIe j (au +ai ) .
UI
(5.59)
Ovaj izraz ne predstavlja prikladan način za definiranje snage budući da ne uzima u obzir fazni pomak
između napona i struje, već zbroj njihovih faza. Može se zaključiti da se prikladan izraz dobije ukoliko
se razmatra konjugirano kompleksna vrijednost fazora struje
ˆ ˆ* = UIe j (au -ai ) = UIe jj .
UI
(5.60)
U tom slučaju se radna, jalova i prividna snaga u kompleksnom području mogu prikazati kao
( )
ˆˆ )
Q = Im (UI
ˆ ˆ*
P = Re UI
*
.
(5.61)
ˆ ˆ* = P + jQ
S = UI
Na ovaj način definirana snaga može imati pozitivan i/ili negativan realni (radni) i imaginarni (jalovi)
dio. Pozitivna radna snaga predstavlja element koji troši energiju (otpornik), dok negativna
predstavlja element koji predaje energiju u sustav (izvor). Pozitivna jalova snaga predstavlja element
koji troši jalovu energiju (zavojnica), dok negativna predstavlja element koji predaje energiju u sustav
(kondenzator).
5.5.1 Teorem maksimalne snage
Teorem maksimalne snage glasi: Izvor predaje trošilu maksimalnu snagu ukoliko je trošilo
prilagođeno izvoru. Uvjet prilagođenja u mrežama izmjenične struje se može dobiti na sljedeći način.
Trošilo impedancije Zˆ = R + jX priključeno je na realni naponski izvor elektromotorne sile Ê i
t
t
t
unutrašnje impedancije Zˆi = Ri + jX i , kao na Slici 5.10.
51
Slika 5.10. Trošilo priključeno na realni naponski izvor
Radna snaga koja se troši na trošilu je dana relacijom
Pt = I 2 Rt .
(5.62)
Iznos struje je
E
I=
( Ri + Rt )
2
+ ( Xi + Xt )
.
2
(5.63)
Uvrštavanjem (5.63) u (5.62), dobije se
Pt =
( Ri + Rt )
E 2 Rt
2
+ ( Xi + Xt )
2
.
(5.64)
Da bi snaga bila maksimalna, uvjet je da je diferencijal snage jednak nuli
dPt = 0 .
(5.65)
Diferencijal snage se definira kao
dPt =
¶Pt
¶P
dRt + t dX t .
¶Rt
¶X t
(5.66)
Da bi (5.65) bilo zadovoljeno, potrebno je
¶Pt
¶P
= 0, t = 0 .
¶Rt
¶X t
52
(5.67)
2
¶Pt E
=
¶Rt
¶Pt
=
¶X t
( ( R + R ) + ( X + X ) ) - 2E R ( R + R ) = 0
(( R + R ) + ( X + X ) )
2
i
2
t
i
2
t
t
i
i
t
2 2
2
t
i
-2 E Rt ( X i + X t )
t
2
(( R + R )
i
2
t
+ ( Xi + Xt )
)
2 2
(5.68)
=0
U oba slučaja potrebno je brojnik izjednačiti s nulom te se dobije
E2
(( R + R )
i
t
2
+ ( Xi + Xt )
2
) - 2E R ( R + R ) = 0 ,
2
t
i
t
(5.69)
-2 E 2 Rt ( X i + X t ) = 0 .
(5.70)
Xt = -Xi .
(5.71)
Rt = Ri .
(5.72)
Iz relacije (5.70) proizlazi
Ako se (5.71) uvrsti u (5.69), može se izvesti
Relacije (5.72) i (5.71) zajedno daju uvjet prilagođenja
Zˆ t = Zˆi* .
(5.73)
Može se reći da je trošilo prilagođeno izvoru ukoliko je impedancija trošila jednaka konjugirano
kompleksnoj impedanciji izvora.
53