Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I/ SỬ DỤNG CÁC BĐT KINH ĐIỂN:
Một số bđt kinh điển thường dùng
Định lí 1: (AM-GM) Với mọi số thực không âm 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 𝑡𝑎 𝑐ó
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛
≥ √𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛
𝑛
Dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau.
Định lí 2: (AM-GM suy rộng) Cho 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 𝑘ℎô𝑛𝑔 â𝑚 𝑣à 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑙à 𝑐á𝑐 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑐ó
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑏ằ𝑛𝑔 1. 𝐾ℎ𝑖 đó, 𝑡𝑎 𝑐ó:
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥1 𝑎1 + 𝑥2 𝑎2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑎𝑛 ≥ 𝑎1 1 𝑎2 2 … 𝑎𝑛𝑛
Dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau.
Chú ý: Bất đẳng thức AM-GM suy rộng còn có thể được phát biểu dưới dạng sau:
Cho 2𝑛 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝑘ℎô𝑛𝑔 â𝑚 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 𝑣à 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 > 0. 𝐾ℎ𝑖 đó, 𝑡𝑎 𝑐ó
𝑥1 𝑎1 + 𝑥2 𝑎2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑎𝑛 𝑥1 +𝑥2 +...+𝑥𝑛
𝑥 𝑥
𝑥
(
)
≥ 𝑎1 1 𝑎2 2 … 𝑎𝑛𝑛
𝑥1 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛
Định lí 2: (Cauchy-Schwarz) Với 2 dãy số thực
𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 𝑣à 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 𝑡ù𝑦 ý, 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑏ấ𝑡 đẳ𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐
(𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 )2 ≤ (𝑎12 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 )(𝑏12 + 𝑏22 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑛 )
𝑎
𝑎
𝑎
Đẳng thức xảy ra khi 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 . 𝑄𝑢𝑦 ướ𝑐 𝑟ằ𝑛𝑔 𝑡ử 𝑏ằ𝑛𝑔 0 𝑡ℎì 𝑚ẫ𝑢 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑣ậ𝑦
1
2
𝑛
Ngoài ra thì BCS cũng có dạng phân thức:
Nếu 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑙à 𝑐á𝑐 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝑣à 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 𝑙à 𝑐á𝑐 𝑠ố 𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎì
𝑥12 𝑥22
𝑥𝑛2 (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 )2
+ +⋯ 2 ≥
𝑦1 𝑦2
𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛
𝑦𝑛
Cần chú ý rằng để biết một đánh giá có hiệu quả cao hay không thì trước hết chúng ta phải xem xét
đánh giá đó có giúp bài toán trở nên đơn giản hơn hay không? Bởi lẽ mục tiêu của ta khi thực hiện
đánh giá cho các bài toán bđt chung quy cũng chỉ là để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn, từ đó sẽ
dễ dàng hơn trong việc tìm được phương pháp thích hợp để xử lí
I1. Ứng dụng của AM-GM
Nếu không nói gì thì quy ước chung là a,b,c trong các bài dưới đều dương
P1: CMR
𝑎2
𝑏+2𝑐
+
𝑏2
𝑐+2𝑎
+
P2: Cho 𝑎𝑏𝑐 = 1. 𝐶𝑀𝑅
𝑐2
𝑎+2𝑏
≥
𝑎+𝑏+𝑐
3
∑
𝑎3
3
≥
(1 + 𝑎)(1 + 𝑏) 4
P3:
a) 𝐶𝑀𝑅 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 ≥ 𝑎2 𝑏 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑐 2 𝑎
b) 𝐶𝑀𝑅 𝑎6 𝑏 + 𝑏 6 𝑐 + 𝑐 6 𝑎 ≥ 𝑎4 𝑏 2 𝑐 + 𝑏 4 𝑐 2 𝑎 + 𝑐 4 𝑎2 𝑏
Ta hi vọng tìm được 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝐴𝑀 − 𝐺𝑀 𝑡ừ 𝑥𝑎6 𝑏 + 𝑦𝑏 6 𝑐 + 𝑧𝑐 6 𝑎 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑎4 𝑏 2 𝑐. 𝑀à 𝑑ấ𝑢
𝑏ằ𝑛𝑔 đạ𝑡 𝑘ℎ𝑖 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 𝑛ê𝑛 𝑥𝑎6 𝑏 + 𝑦𝑏 6 𝑐 + 𝑧𝑐 6 𝑎 = 𝑎4 𝑏 2 𝑐. 𝑇ℎ𝑢 đượ𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.
𝑇ự 𝑛ℎ𝑖ê𝑛 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑛𝑔ℎĩ đế𝑛 𝐴𝑀 − 𝐺𝑀 𝑠𝑢𝑦 𝑟ộ𝑛𝑔
Cụ thể là:
𝑥𝑎6 𝑏 + 𝑦𝑏 6 𝑐 + 𝑧𝑐 6 𝑎 ≥ (𝑎6 𝑏)𝑥 (𝑏 6 𝑐)𝑦 (𝑐 6 𝑎) 𝑧 = 𝑎6𝑥+𝑧 𝑏 6𝑦+𝑥 𝑐 6𝑧+𝑦
𝑁ℎ𝑢 𝑣𝑎𝑦, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖𝑒𝑚 𝑐𝑢𝑎 ℎ𝑒
6𝑥 + 𝑧 = 4
6𝑦 + 𝑥 = 2
{
6𝑧 + 𝑦 = 1
𝑥+𝑦+𝑧 =1
P4: Tìm min của biểu thức
𝑃=
𝑎 + 3𝑐
4𝑏
8𝑐
+
−
𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐
Nhìn thoạt vào thì thấy khá cồng kềnh, phức tạp. Để giảm bớt điều đó, nói cách khác là làm gọn hơn
thì ta có thể đặt biến:
𝑎 = 5𝑦 − 𝑥 − 3𝑧
𝑥 = 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
{ 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 + 2 → { 𝑏 = 𝑥 + 𝑧 − 2𝑦
𝑐 =𝑧−𝑦
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐
𝑃=
P5: Cho 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 > 0 𝑣à 𝑎
4𝑥 2𝑦 8𝑦 4𝑧
+
+
+ − 17
𝑦
𝑥
𝑧
𝑦
1
1
+ 𝑎 +1 +
+1
1
2
⋯+ 𝑎
1
𝑛 +1
= 1. 𝐶𝑀𝑅
𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 ≥ (𝑛 − 1)𝑛
P6: Cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3. 𝐶𝑀𝑅
𝑎
𝑏
𝑐
3
+
+
≥
2
2
2
1+𝑏
1+𝑐
1+𝑎
2
P7: Cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3, 𝐶𝑀𝑅
𝑎2
𝑏2
𝑐2
+
+
≥1
𝑎 + 2𝑏 2 𝑏 + 2𝑐 2 𝑐 + 2𝑎2
P8: 𝐶ℎ𝑜 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 𝑣à 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 1. 𝑇ì𝑚 min 𝑐ủ𝑎 𝑏𝑖ể𝑢 𝑡ℎứ𝑐
𝑃 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 5𝑧 2
Để tìm được min, ta muốn tìm được k>0 sao cho 𝑃 = 𝑘(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥).
Từ đây có thể có một ý tưởng rất tự nhiên, là đánh giá AM-GM sao cho các đại lượng 𝑥𝑦, 𝑦𝑧, 𝑧𝑥 để có
được 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑣à 𝑡𝑎 𝑠ẽ 𝑙ự𝑎 𝑐ℎọ𝑛 đá𝑛ℎ 𝑔𝑖á 𝑡ℎí𝑐ℎ ℎọ𝑝 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑠𝑎𝑢 𝑏ướ𝑐 đá𝑛ℎ 𝑔𝑖á. Hai vế
trở nên đồng nhất với nhau. Ta làm như sau: Gỉa sử dấu bằng đạt được khi x=a,y=b,z=c. Lúc này các
đánh giá sau sẽ đảm bảo dấu bằng:
2𝑥𝑦 ≤
𝑏 2 𝑎 2
𝑐
𝑏
𝑎
𝑐
𝑥 + 𝑦 , 2𝑦𝑧 ≤ 𝑦 2 + 𝑧 2 , 2𝑧𝑥 ≤ 𝑧 2 + 𝑥 2
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
Do đó:
2 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑦) =
𝑏+𝑐 2 𝑐+𝑎 2 𝑏+𝑎 2
𝑥 +
𝑦 +
𝑧
𝑎
𝑏
𝑐
Như vậy chỉ cần chọn các số dương a,b,c thỏa mãn 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝐶𝑎 = 1 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑐á𝑐 𝑠ố
𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑏+𝑎
,
,
𝑡ươ𝑛𝑔 ứ𝑛𝑔 𝑙ậ𝑝 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑡ỉ 𝑙ệ 1: 2: 5. Đ𝑖ề𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔ℎĩ𝑎 𝑙à
𝑎
𝑏
𝑐
đ𝑖ể𝑚 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑐ủ𝑎 𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎệ 𝑠𝑎𝑢:
𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 1
{𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑏 + 𝑎
=
=
𝑎
2𝑏
5𝑐
P9: Cho x,y,z dương và thỏa mãn 2𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 2𝑥𝑦𝑧. 𝑇ì𝑚 min 𝑐ủ𝑎 𝑃 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
I2. Cauchy-Schwarz
VD 2.2 Cho hai số thực x, y thỏa mãn 3𝑥 2 + 4𝑦 2 = 5. Chứng minh rằng:
95
2𝑥 + 𝑦 ≤ √
12
VD 2.3. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
𝑎
𝑏
𝑐
+
+
≥1
𝑏 + 2𝑐 𝑐 + 2𝑎 𝑎 + 2𝑏
VD 2.4 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, bất đẳng thức sau đúng:
𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
+
+
≥
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2 𝑐 2 + 𝑐𝑎 + 𝑎2
𝑎+𝑏+𝑐
VD 2.5 Chứng minh rằng với mọi a, b dương, ta đều có:
(𝑎2 + 2)(𝑏 2 + 2)(𝑐 2 + 2) ≥ 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
VD 2.6 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
1
1
1
+
≥ 2
2
2
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 𝑐)
𝑎 + 𝑏𝑐
VD 2.7 Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau
1
𝑎3
𝑏3
𝑐3
≥
+
+
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 (2𝑎2 + 𝑏 2 )(2𝑎2 + 𝑐 2 ) (2𝑏 2 + 𝑐 2 )(2𝑏2 + 𝑎2 ) (2𝑐 2 + 𝑎2 )(2𝑐 2 + 𝑏 2 )
VD 2.8 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 3. Chứng minh rằng
1
1
1
+
+
≥3
2−𝑎 2−𝑏 2−𝑐
VD 2.9 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
𝑎
𝑏
𝑐
+
+
≥1
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 3𝑏 − 𝑐 + 𝑎 3𝑐 − 𝑎 + 𝑏
VD 3.0 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑎𝑏
𝑎+𝑏+𝑐
+
+
≤
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 2𝑐 + 𝑏 + 𝑎
4
VD 3.1 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có
𝑎
𝑏
𝑐
1
+
+
≤
4𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 4𝑏 + 4𝑐 + 𝑎 4𝑎 + 4𝑐 + 𝑏 3
VD 3.2 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
1
1
1
+
+
≥1
2
2
1+𝑥+𝑥
1+𝑦+𝑦
1 + 𝑧 + 𝑧2
VD 3.3 Cho x, y, z, t > 0 và xyzt = 1. Chứng minh rằng
1
1
1
1
+
+
+
≥1
2
2
2
(1 + 𝑥)
(1 + 𝑦)
(1 + 𝑧)
(1 + 𝑡)2
VD 3.4 Cho 2 số thực x và y thỏa mãn 2x – y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
𝑃 = √𝑥 2 + (𝑦 + 1)2 + √𝑥 2 + (𝑦 − 3)2
VD 3.5 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 và 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 14. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
𝑃=
4𝑎 + 𝑏
𝑐
HOMEWORK
A/ Bất đẳng thức AM – GM
Câu 1: Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c ta có:
(𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 )
𝑎4
𝑏4
𝑐4
+
+
≥
𝑏 + 4𝑐 𝑐 + 4𝑎 𝑎 + 4𝑏
4
Câu 2 (Nhật Bản 2005) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
3
3
3
𝑎 √1 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑏 √1 + 𝑐 − 𝑎 + 𝑐 √1 + 𝑎 − 𝑏 ≤ 1
Câu 3 (Iran, 1998) Cho 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 > 0 𝑣à 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 = 1. Chứng minh rằng
𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 + 𝑥43 ≥ max{𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ,
1
1
1
1
+ + + }
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4
Câu 4 (Mông Cổ, 1996) Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng:
1 + √𝑎 1 + √𝑏 1 + √𝑐 1 + √𝑑
+
+
+
≥8
1−𝑎
1−𝑏
1−𝑐
1−𝑑
Câu 5 (Hàn Quốc, 1998) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz. Chứng minh rằng
1
√1 + 𝑥 2
+
1
√1 + 𝑦 2
+
1
√1 + 𝑧 2
≤
3
2
Câu 6 (Nga, 2002) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng
√𝑎 + √𝑏 + √𝑐 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
Câu 7 (Latvia, 2002). Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn
1
1+𝑎 2
+
1
1+𝑏2
+
1
1+𝑐 2
+
1
1+𝑑2
= 1 Chứng
minh rằng:
𝑎𝑏𝑐𝑑 ≥ 3
Câu 8: (Ukraina, 2001). Chứng minh rằng với a, b, c, x, y, z >0 ta có:
[𝑎(𝑦 + 𝑧) + 𝑏(𝑧 + 𝑥) + 𝑐(𝑥 + 𝑦)]2 ≥ 4(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥)
Câu 9: Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
𝑏3
𝑎
𝑏
𝑐
1
+ 3
+ 3
≥
+ 16 𝑐 + 16 𝑎 + 16 6
Câu 10: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
𝑎+𝑏+𝑐 ≥
1+𝑎 1+𝑏 1+𝑐
+
+
1+𝑏 1+𝑐 1+𝑎
Câu 11: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
𝑎)
𝑏)
1+𝑎
1+𝑏
1+𝑐
+
+
≥3
2
2
1+𝑏
1+𝑐
1 + 𝑎2
𝑎2
𝑏2
𝑐2
+
+
≥1
𝑎 + 2𝑏 3 𝑏 + 2𝑐 3 𝑐 + 2𝑎3
𝑐)
𝑎3
𝑏3
𝑐3
3
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
𝑎 +𝑏
𝑏 +𝑐
𝑐 +𝑎
2
Câu 12: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
𝑎) 𝑃 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑧 2
𝑏) 𝑄 = 𝑥 2 + 𝑚𝑦 2 + 𝑛𝑧 2 (𝑚, 𝑛 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔)
Câu 13: Cho các số thực x, y, z, t thỏa xy + yz + zt + tx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
𝑃 = 5𝑥 2 + 4𝑦 2 + 5𝑧 2 + 𝑡 2
Câu 14. Cho a, b, c >0 và 𝑎2 + 2𝑏 2 + 3𝑐 2 = 3𝑎𝑏𝑐. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑃 = 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 +
8 6 4
+ +
𝑎 𝑏 𝑐
Câu 15: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 thỏa mãn ab + bc+ ca > 0. Chứng minh rằng:
𝑎
√𝑎 + 𝑏
+
𝑏
√𝑏 + 𝑐
+
𝑐
5
≤ √𝑎 + 𝑏 + 𝑐
√𝑐 + 𝑎 4
Câu 16: Cho ba số thực t, s, k trong đó 𝑡 ≥ 0, 𝑠 ≥ 1 𝑣à 𝑘 ≥ 1. Chứng minh rằng:
𝑘𝑡 𝑠+𝑘 − (𝑠 + 𝑘)𝑡 𝑘 + 𝑠 ≥ (𝑡 − 1)2
Câu 17: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
4(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) + 9𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 ≥ 21
Câu 18: Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta đều có:
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
𝑎 𝑏 𝑐
+ + + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 2√(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) ( + + )
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏 𝑐 𝑎
B/ Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Câu 19: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c >0
𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
+
+
≥
𝑎 + 2𝑏 𝑏 + 2𝑐 𝑐 + 2𝑎
3
Câu 20: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
𝑎
𝑏
𝑐
+
+
≥1
𝑎 + 2𝑏𝑐 𝑏 + 2𝑎𝑐 𝑐 + 2𝑏𝑎
Câu 21: Cho bốn số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
+
+
+
≥2
𝑏+𝑐 𝑐+𝑑 𝑑+𝑎 𝑎+𝑏
Câu 22: (Indonesia, 2007) Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c tùy ý ta có:
(𝑎2 + 1)(𝑏 2 + 1)(𝑐 2 + 1) ≥ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 1)2
Câu 23: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn
(𝑎2 + 1)(𝑏 2 + 1)(𝑐 2 + 1)(𝑑2 + 1) = 16
Chứng minh rằng
−3 ≤ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 5
Câu 24: Chứng minh rằng với ba số dương tùy ý a, b, c, ta đều có:
3
√𝑎(𝑏 + 1) + √𝑏(𝑐 + 1) + √𝑐(𝑎 + 1) ≤ √(𝑎 + 1)(𝑏 + 1)(𝑐 + 1)
2
1
1
1
Câu 25 (Iran, 1998). Cho x, y, z > 1 và 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2. 𝐶ℎứ𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛ℎ 𝑟ằ𝑛𝑔:
√𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ √𝑥 − 1 + √𝑦 − 1 + √𝑧 − 1
Câu 26 (Nga, 1999) Cho x, y > 0 và 𝑥 2 + 𝑦 3 ≥ 𝑥 3 + 𝑦 4 . 𝐶ℎứ𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛ℎ 𝑟ằ𝑛𝑔
𝑥3 + 𝑦3 ≤ 2
Câu 27 (IMO 2005) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 𝑎𝑏𝑐 ≥ 1. Chứng minh rằng
𝑎5 − 𝑎2
𝑏5 − 𝑏2
𝑐5 − 𝑐2
+
+
≥0
𝑎5 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑏 5 + 𝑐 2 + 𝑎2 𝑐 5 + 𝑎2 + 𝑏 2
Câu 28. (Câu 76 trong đề, không có câu 11, 12, 13, 20 trong các bài m gửi)
Câu 29: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca =3. Nếu 𝑘 ≥ 1, thì
𝑎2
1
1
1
3
+ 2
+ 2
≤
2
2
2
+𝑏 +𝑘 𝑏 +𝑐 +𝑘 𝑐 +𝑎 +𝑘 2+𝑘
Câu 30: Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+
≤1
2
2
1+𝑎+𝑏
1+𝑏+𝑐
1 + 𝑐 + 𝑎2
Câu 31: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3𝑎 + 𝑏 3𝑏 + 𝑐 3𝑐 + 𝑎
+
+
≥4
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑎 2𝑐 + 𝑏
Câu 32: Cho a, b, c, d là độ dài của 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 5
+
+
+ 2
≤
𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏2 + 𝑐 2 2
Câu 33: Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
𝑎−𝑏
𝑏−𝑐
𝑐−𝑑
𝑑−𝑎
+
+
+
≥0
𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 𝑐 + 2𝑑 + 𝑎 𝑑 + 2𝑎 + 𝑏
Câu 34: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
𝑎2
1
1
1
+ 2
+ 2
≤3
−𝑎+1 𝑏 −𝑏+1 𝑐 −𝑐+1
Câu 35: Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 4 và 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑2 = 7.
Chứng minh rằng
𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 𝑑 3 ≤ 16
Câu 36: Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có:
(𝑏 + 𝑐)2
(𝑐 + 𝑎)2
(𝑎 + 𝑏)2
+
+
≤3
𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑎(𝑏 + 𝑐) 𝑐 2 + 𝑎2 + 𝑏(𝑐 + 𝑎) 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐(𝑎 + 𝑏)
Câu 37: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
4𝑎2
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
2
2
2
2
2
2
+𝑏 +𝑐
4𝑏 + 𝑐 + 𝑎
4𝑐 + 𝑎 + 𝑏
2
Câu 38: Chứng minh rằng với mọi a, b, c >0 ta đều có được:
𝑏+𝑐
𝑐+𝑎
𝑎+𝑏
1 1 1
+ 2
+ 2
≤ + +
2
𝑎 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑐
Câu 39: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
𝑎2
𝑏2
𝑐2
1
+
+
≤
(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 + 𝑐) (2𝑏 + 𝑐)(2𝑏 + 𝑎) (2𝑐 + 𝑎)(2𝑐 + 𝑏) 3
Câu 40: (IMO 2008). Cho các số thực x, y, z khác 1 và thỏa mãn xyz=1. Chứng minh bất đẳng thức
sau:
𝑥 2
𝑦 2
𝑧 2
(
) +(
) +(
) ≥1
𝑥−1
𝑦−1
𝑧−1
Câu 41: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
𝑎3
𝑏3
𝑐3
+
+
≥1
𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 3 𝑏 3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 3 𝑐 3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎3
Câu 42: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1
1
1
3
+
+
≥ 3
𝑎(1 + 𝑏) 𝑏(1 + 𝑐) 𝑐(1 + 𝑎) (√𝑎𝑏𝑐 (1 + 3√𝑎𝑏𝑐 ))
Câu 43: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng
√𝑎2 +
1
1
1
3√17
+ √𝑏 2 +
+ √𝑐 2 +
≥(
)
𝑎+𝑏
𝑏+𝑐
𝑐+𝑎
2
Câu 44. Cho hai số thực thay đổi x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của
𝑃 = (𝑎 − 2𝑏 + 𝑐)2 − (𝑏 − 2𝑐 + 𝑑)2 + (𝑏 − 2𝑎)2 + (𝑐 − 2𝑑)2
Câu 45: Cho a, b, c, d thỏa các số thực dương thỏa mãn ab + cd = 1 và 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , 𝑦4 là các
số thực sao cho:
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑥22 + 𝑦22 = 𝑥32 + 𝑦32 = 𝑥42 + 𝑦42 = 1
Chứng minh rằng:
(𝑎𝑦1 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑦3 + 𝑑𝑦4 )2 + (𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1 )2 ≤ 2 (
𝑎2 + 𝑏 2 𝑐 2 + 𝑑 2
+
)
𝑎𝑏
𝑐𝑑
Câu 46: Cho a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực sao cho:
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
Chứng minh rằng
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑧 2 ≥ 3𝑎𝑏𝑐
Câu 47: Cho các số thực 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 thỏa 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0. Chứng minh rằng
𝑛−1
max
1≤𝑖≤𝑛
𝑎𝑖2
𝑛
≤ ∑(𝑎𝑖 − 𝑎𝑖+1 )2
3
𝑖=1