Departamento de Ingenierı́a Civil Industrial
Decisiones Bajo Incertidumbre - IN3272
Profesor: Susana Mondschein
INGENIERIA INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD DE CHILE
Auxiliares: S. Del Rio, F. Del Solar, H. González, D. Keuer,
L. Magga, A. Munizaga, D. Quintanilla, P. Ubilla, V. Vásquez
Guı́a Control 3 - Cadenas de Markov en Tiempo
Continuo y Teorı́a de Colas
Noviembre 2022
Pregunta 1:
En la facultad se cuenta con tres proyectores, los cuales son usados regularmente para las
clases de sus 3 cursos de educación ejecutiva. Debido al intenso uso, los proyectores fallan en
promedio cada 30 dı́as. Actualmente la reparación toma en promedio 3 dı́as y la Universidad
cuenta con un solo funcionario que puede reparar los proyectores.
A pesar de que ocurre poco seguido los alumnos de educación ejecutiva se quejan mucho
si no hay proyector en su sala. Por lo anterior se considera como alternativa capacitar a un
segundo funcionario para que repare los proyectores. Como no tiene mucha experiencia, en
promedio le toma el doble de tiempo reparar un proyector. Si ambos funcionarios están desocupados, el funcionario más rápido siempre será el primero en ser escogido y si un funcionario
comienza a reparar un proyector es él quien lo termina de reparar.
Considerando que el tiempo de reparación y el tiempo de funcionamiento de los proyectores son variables aleatorias exponenciales, responda las siguientes preguntas, tanto para la
situación actual como la alternativa.
a) Dibuje el grafo que responde a la situación descrita
b) Determine la probabilidad que ninguno de los tres cursos de educación ejecutiva pueda
usar proyector
c) Calcule el tiempo promedio que demora un proyector desde que se envı́a a reparar hasta
que vuelve a estar disponible
d) Calcula la tasa de ocupación/utilización de cada funcionario
e) Determine el número promedio de proyectores disponibles
f) Si la universidad gasta 5.000 cada vez que envı́a a reparar el proyector, ¿cuánto es el
gasto mensual por este concepto?
Pregunta 2:
Una empresa vendedora de seguros opera en una oficina de espacio limitado. La oficina
cuenta con 2 vendedores y con 3 sillas para clientes en espera. Los clientes llegan según un
proceso Poisson de tasa 10 clientes por hora.
Guı́a Control 3 - Cadenas de Markov en Tiempo Continuo y Teorı́a de Colas - Noviembre 2022
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En esta época de verano el calor afecta profundamente a los clientes, por lo que quienes
llegan cuando están las 3 sillas de espera ocupadas simplemente se van. Al mismo tiempo,
a medida que hay más clientes en la oficina el aire se “pone más pesado” y esto afecta el
desempeño de los vendedores. Cada vendedor atiende 6 clientes por hora, pero el desempeño
de cada uno empeora en 1/3 por cada cliente esperando a ser atendido.
a) Elabore el grafo de la CMTC que representa la situación descrita. Especifique todas las
tasas de transición entre estados.
b) Encuentre la probabilidad de que ambos vendedores estén desocupados.
c) ¿Cuánta gente, en promedio, llega a la oficina y encuentra que no hay espacio para
esperar?
d) Si un cliente ingresó a las 10.00 AM, ¿a qué hora se espera que salga de la oficina?
El mánager de la oficina de seguro se ha dado cuenta del problema del calor y del tamaño
limitado de la oficina. Por lo anterior, está analizando si compra un aire acondicionado. Con
esta medida, el desempeño de los vendedores no se verı́a afectado por la cantidad de gente
esperando, es decir la tasa de atención no varı́a, y a los clientes no les molestarı́a esperar
parados. El aire acondicionado tiene un costo de operación de US$200 por hora.
e) ¿Cuánto deberı́a ser el ingreso generado por cada cliente atendido para que se justifique
este nuevo modelo de atención?
Pregunta 3:
Usted se encuentra en su casa y necesita descargar cierta información de Internet. Cuando
usted accede a Internet desde su computadora usando la red WiFi obtiene una velocidad de
descarga de 5 Mbps. Sin embargo, la red no es 100% fiable, por lo que cuando está siendo
usada se puede “caer”, quedando fuera de servicio un tiempo exponencial de media 30 minutos.
Suponga que el tiempo que pasa desde que vuelve a estar disponible hasta que se cae de nuevo
también es exponencial, de media 2 horas.
a) Modele el problema y calcule la velocidad media de descarga disponible.
Suponga ahora que su computador dispone de un módem 3G que, en cuanto detecta que la
red WiFi no funciona, se activa y le permite navegar a 1 Mbps. Dicha conexión 3G también
falla cuando está siendo usada después de haber sido activada: tiene un tiempo de vida
exponencial de media 1 hora, y tarda en recuperarse 15 minutos (también exponencial). Tenga
en cuenta que su ordenador siempre se conectará a la WiFi si ésta se encuentra disponible.
b) Modele este problema como Cadena de Markov de Tiempo Continua.
c) Calcule la probabilidad de no tener conexión y la velocidad media utilizada.
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Lamentablemente su computador ha fallado, por lo tanto, decide irse a un cibercafé para
descargar la información que necesita. Este cibercafé mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al dı́a. Se considera que los clientes llegan al local de acuerdo con un proceso
de Poisson de media 24 clientes/dı́a, mientras que el tiempo que ocupan un terminal es exponencial de media 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los puestos ocupados, abandona
el local.
d) Si el sistema funciona al 87% de utilización, calcule la probabilidad de que todos los
puestos estén ocupados.
Cada terminal del cibercafé procesa los trabajos que el usuario le asigna por orden de
asignación. Los trabajos se asignan de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio
de cinco minutos entre trabajos.
e) ¿Qué tan rápido debe trabajar el procesador del terminal para que el tiempo promedio
que los trabajos están el sistema sea de seis minutos?
Pregunta 4:
El aeropuerto de Viña del Mar tiene una sola pista de aterrizaje y una sola torre de control. Durante las operaciones normales, a un avión le toma en promedio 12 minutos aterrizar
y dejar libre la pista de aterrizaje, siguiendo una distribución exponencial. Los aviones llegan
al aeropuerto a una ratio de 4 por hora, según una distribución Poisson.
Si un avión está en proceso de aterrizaje, otro avión que llegue para aterrizar en dicho
aeropuerto debe quedarse en el aire dando cı́rculos alrededor del aeropuerto hasta que el avión
que está aterrizando despeje la pista y la torre de control le dé el pase para aterrizar. La torre
de control autoriza aterrizar a los aviones según el orden de llegada.
El trabajo en la torre de control es muy estresante, por tanto, las regulaciones indican que
la torre de control debe trabajar en promedio 45 minutos de cada hora, dejando un promedio
de 15 minutos libres para aliviar las tensiones.
a) ¿La torre de control cumple con esta regulación?
Por razones de seguridad se ha impuesto una nueva regulación, y ahora el aeropuerto no
puede tener más de 5 aviones dando cı́rculos en el espacio aéreo del aeropuerto. Si llegaran
más aviones, la torre de control los deriva a un aeropuerto cercano.
b) El vuelo AR 2281 que se dirige al aeropuerto de Viña del Mar recibió la autorización
para entrar al espacio aéreo del aeropuerto. Los pasajeros quieren saber cuánto tiempo
en promedio tardarán en aterrizar.
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La compañı́a aérea del vuelo AR 2281 dispone en total de 4 aviones y de un hangar en el
aeropuerto donde realiza las tareas de mantenimiento. El tiempo medio desde que un avión
sale del hangar de la compañı́a hasta que vuelve a él, es de 2 dı́as. Para realizar las operaciones
de mantenimiento, la compañı́a tiene contratado un equipo de 4 técnicos. Actualmente, todos
los técnicos trabajan simultáneamente en el mismo avión y tardan una media de 1 dı́a en
realizar una revisión completa. Suponer que tanto los intervalos entre llegadas como los
tiempos de revisión son exponenciales.
c) Para poder servir todos los vuelos programados, la compañı́a necesita disponer en promedio de 2 aviones. En promedio, ¿se cumple este nivel de servicio?
d) Llegado el caso en que todos los aviones estén en el hangar. ¿Cuál es la probabilidad
de que la compañı́a deba esperar más de 1 dı́a para poder disponer de algún avión?
Pregunta 5:
El taller mecánico RetoCAR ha tenido una alta demanda por su servicio de reparación de
automóviles, debido al rápido tiempo de entrega y la excelencia de su trabajo. Sin embargo,
el jefe del taller ha tenido que rechazar trabajos en variadas ocasiones y piensa que se debe
al espacio restringido que dispone el taller para ubicar los automóviles que debe reparar.
Actualmente la demanda por el servicio de reparación sigue un proceso de Poisson con
una tasa de 3,5 automóviles por dı́a. El taller trabaja 10 horas al dı́a, 5 dı́as a la semana y
dispone de dos espacios para acomodar los autos que esperan su turno de reparación. El taller
puede reparar sólo un auto a la vez y tarda un tiempo que sigue una distribución exponencial
con un promedio de 2,5 horas.
Al lado del taller hay un terreno vacı́o, que se ofrece en arriendo a $300 UM por semana.
El gerente del taller está analizando la posibilidad de arrendar el terreno para guardar automóviles adicionales y ası́ no tener que rechazar trabajos. El terreno tiene espacio suficiente
para que todos los automóviles esperen. Si el beneficio que recibe el taller por cada cliente
atendido es de $100 UM.
a) Como asesor de RetoCAR, ¿qué le recomienda al dueño? Justifique.
b) Como cliente de RetoCAR, ¿qué preferirı́a usted? Analice los distintos aspectos del
servicio que presta el taller.
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Pregunta 6:
Una refinerı́a de cobre recibe el material a procesar mediante camiones propios y camiones
subcontratados. Los camiones llegan a la refinerı́a de acuerdo con un proceso de Poisson a
una tasa de 3 camiones por hora, de los cuales el 20% son camiones subcontratados.
La refinerı́a cuenta con tres andenes de descarga, cada uno de ellos tarda un tiempo exponencial de media 40 minutos en descargar un camión. Los camiones que llegan a la refinerı́a
son asignados aleatoriamente a uno de los tres andenes, debiendo esperar su turno en el andén
asignado.
Los transportistas subcontratados se han quejado por los altos tiempos de espera, pues
pierden dinero al mantener esperando al conductor y al camión. Para enfrentar la petición de
los subcontratistas, la refinerı́a está analizando las siguientes alternativas:
• Alternativa 1: Implementar un sistema de fila única, de manera que los camiones sean
atendidos por orden de llegada en el primer andén que se desocupe.
• Alternativa 2: Destinar el andén 1 para uso exclusivo de los camiones subcontratados.
Los camiones propios serı́an derivados aleatoriamente a los andenes 2 o 3.
Compara ambas alternativas en términos de:
i. Tiempo de espera de los transportistas subcontratados
ii. Probabilidad de espera de los transportistas subcontratados
Pregunta 7:
Una oficina de abogados tiene dos asistentes, que trabajan muy bien durante todo el año.
Estos asistentes piden licencia sólo en el caso de enfermedad. Cado uno de ellos permanece
saludable por un tiempo que distribuye exponencial, con media 30 dı́as. Una vez que se
enferman, permanecen con licencia un tiempo que distribuye exponencial con media 5 dı́as.
a) Describa el sistema como una CMTC. Justifique porqué se puede modelar como una
CMTC y porqué es posible encontrar probabilidades estacionarias.
b) Cuando no hay asistentes, se debe contratar un reemplazante que cobra $30.000 diarios.
¿Cuánto dinero semanal gasta en promedio la oficina de abogados por concepto de
reemplazo? (considere que la oficina trabaja de lunes a viernes).
c) Se acerca el mundial, y el asistente hombre pareciera enfermarse con mayor frecuencia.
Después de observar sus asistencias e inasistencias en el último tiempo, se determinó
que el tiempo que está “sano” se distribuye exponencial con media 20 dı́as. Describa
esta situación como una CMTC. Muestre el diagrama y la matriz de intensidades.
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d) ¿Cree usted que la fracción de tiempo que los asistentes están enfermos crecerá o disminuirá? Fundamente conceptualmente su respuesta.
e) Calcule las probabilidades estacionarias de la situación descrita en c).
Pregunta 8:
“Chile Atiende” es la red de multiservicio del Estado de Chile en la que se realizan trámites
de FONASA, del Instituto de Previsión Social (IPS) y otros más. Actualmente se lanza la
sucursal móvil “Chile Atiende”, que cuenta con dos agentes para atender al público una vez
a la semana en distintas ubicaciones.
La sucursal móvil es un container que se desplaza cada dı́a y el espacio para esperar en el
interior es sólo para dos personas (o sea puede haber máximo cuatro clientes en el container).
El resto de los clientes puede esperar afuera del container. Los trámites demoran un tiempo
exponencial de media 10 minutos por persona y las personas llegan de acuerdo con un proceso
de Poisson a tasa 10 clientes por hora.
a) Calcule el tiempo promedio de espera para ser atendido.
b) Calcule el número promedio de personas que espera fuera del container.
c) Calcule la probabilidad de encontrar a alguien esperando fuera del container.
d) Calcule la probabilidad que un cliente que llegue sea atendido inmediatamente.
La coordinadora de “Chile Atiende” considera que la sucursal móvil podrı́a atender a
más personas, por lo que está pensando en agregar nuevos servicios. Esto traerı́a como
consecuencia un aumento de la tasa de llegada de clientes de entre un 15% a un 20%.
e) ¿Cree usted que es una buena idea?
En los dı́as de lluvia los clientes llegan a la misma tasa, pero nadie está dispuesto a esperar
bajo la lluvia. Por ello, si el cliente no puede esperar en el interior del container se retira y
realiza el trámite en otra oportunidad.
f) Si llueve, ¿qué porcentaje de clientes se retira postergando su trámite?
g) Si llueve, ¿cómo cambia el porcentaje de tiempo que los agentes están ocupados?
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Pregunta 9:
Actualmente la biblioteca cuenta con dos bibliotecarios que atienden a los alumnos que
llegan a solicitar libros de consulta. Los alumnos llegan de acuerdo con un proceso de Poisson
de tasa =30 alumnos por hora y se ponen en una cola única en espera de ser atendidos. Cada
bibliotecario atiende un promedio de 20 alumnos por hora. Se han medido los tiempos de
atención y se ha llegado a la conclusión que éstos son exponenciales.
a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un alumno está en la biblioteca para solicitar un libro?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno llegue y no encuentre personas en la cola?
Se está estudiando un sistema alternativo de préstamo de libros, el cual consiste en una
aplicación a través del celular. En dicho sistema, el alumno ingresa los datos del libro y la
aplicación le dice en que ubicación (repisa) está. Después el alumno retira personalmente el
libro, escanea el código QR del libro con su celular y se lo lleva. A través de pilotos se ha
determinado que un alumno se demora en retirar un libro un promedio de 8 minutos y que
dicho tiempo se distribuye exponencialmente.
c) Desde el punto de vista del alumno, ¿Cuál de los dos sistemas recomendarı́a Ud.?
d) Con este segundo sistema ¿Cuántos alumnos en promedio estarı́an simultáneamente en
la biblioteca?
Pregunta 10:
Los clientes llegan a una tienda comercial de acuerdo con un proceso de Poisson a una
tasa de 15 clientes/hora. El estacionamiento de la tiende posee 5 espacios disponibles. El
tiempo de estacionamiento de un vehı́culo es de 24 minutos promedio y se asume distribuye
exponencial. Los clientes que ingresan a la tienda gastan en promedio $20.000 en cada visita.
Cuando un cliente llega y están todos los estacionamientos ocupados, el cliente se va sin entrar
a la tienda.
a) Determine el ingreso de la tienda por ventas.
b) Determine el porcentaje de utilización de los estacionamientos
Como una manera de incrementar las ventas, el administrador de la tienda propone realizar
un 20% de descuento a los clientes que estén dispuestos a esperar cuando el estacionamiento
está completo. Bajo estas condiciones sólo una fracción q de los clientes estará dispuesta a
esperar a que se desocupe un estacionamiento para ingresar a la tienda.
c) Modele la situación descrita como una cadena de Markov a tiempo continuo. Plantee el
grafo y determine el valor de la fracción q para que exista estado estacionario.
d) Para q=0,1 determine la probabilidad que el estacionamiento esté vacı́o.
e) Para q=0,1 determine el ingreso de la tienda por ventas.
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Pregunta 11:
En el almacén “Ok Markov” trabajan Cristian y Miguel que pueden hace labores de cajeros
y/o reponedores. Por fuera del almacén pasan personas a tasa de 25 personas por hora de
las cuales el 40% quiere entrar a comprar. Sin embargo, el almacén no es muy grande por lo
que podemos asumir que, si hay 7 clientes dentro del almacén, la gente desiste de entrar. El
tiempo que demora las personas en pasar por caja es de 7.5 minutos en promedio y compra 5
mil pesos en promedio. Actualmente, la tarea de Cristian es atender la caja y la de Miguel es
reponer. Asuma que el tiempo en escoger los productos que se desea comprar es despreciable.
a) Si el almacén está abierto 8 horas al dı́a. ¿cuánto es el ingreso diario promedio?
La nueva administradora del almacén, Isabel, ha decidido que tanto Cristian como Miguel
van a hacer labores de reponedor y cajero según la siguiente regla:
• Al inicio, uno de los dos, parte en la caja y el otro como reponedor.
• Si hay 3 clientes en el almacén (1 en la caja y 2 esperando) y llega un 4to cliente, aquel
que trabaja como reponedor debe ir a abrir otra caja.
• Si ambos están trabajando de cajero y al terminar de atender a un cliente el sistema
queda con 3 clientes (1 en la caja y 2 esperando), quien terminó recién de atender cierra
la caja y se va a trabajar como reponedor.
b) Plantee el modelo para el sistema de atención que propone Isabel. Dibuje el grado y
encuentre la matriz de intensidades.
c) Calcule la cantidad promedio de clientes en la cola.
d) Calcule el nuevo ingreso promedio diario del almacén, ¿es una buena medida?
Pregunta 12:
En la farmacia de la Sra. Prieto se ha decidido comenzar a atender pedidos a domicilio.
Para esto su sobrino Ángel que tiene una bicicleta se ha ofrecido para hacer los repartos. Los
pedidos a la farmacia llegan de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 3 pedidos por hora
(Λ. Como la farmacia cuenta con un solo repartidor y los pedidos llegan bastante seguidos,
la Sra. Prieto espera que se junten dos pedidos para enviarlos. El reparto le toma a Ángel
un tiempo exponencial de media 20 minutos (1/µ), desde que sale de la farmacia hasta que
regresa. Durante el primer mes no aceptarán tener más de cuatro pedidos en espera (y dos
en reparto) pues están evaluando el servicio.
a) Elabore el diagrama de transición que representa la situación descrita.
b) Compruebe que la distribución (P0 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ) = (5, 8, 5, 3, 2, 1, 1)/25 es la
distribución estacionaria del sistema.
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c) Determine el número promedio de pedidos en cola (Lq) y el número promedio de pedidos
en reparto (Ls)
d) Utilizando la ley de Little, determine el tiempo promedio que tarda la farmacia en
entregar un pedido.
Después de un mes la Sra. Prieto ha recibido buenos comentarios del servicio por lo que
ha decidido levantar la restricción de no manejar más de 4 pedidos en espera, por lo que ahora
no hay lı́mite para el número de pedidos que pueden quedar en cola.
e) ¿Cuál es la tasa máxima a la que pueden llegar los pedidos de los clientes para que la
cola de pedidos no comience a acumularse indefinidamente?
Pregunta 13:
El equipo de baby fútbol de la U juega diariamente en la liga de universidades. El equipo
cuenta con 7 jugadores en total, pero para un partido se necesitan sólo 5 jugadores (el resto
forma parte de la reserva). Desafortunadamente los jugadores se lesionan con cierta frecuencia
(si no juegan igual se lesionan haciendo otras actividades) y deben permanecer en reposo hasta
que se recuperan y pueden volver a jugar. Un jugador está sano y en condiciones de jugar
durante un tiempo exponencial de media 15 dı́as, y está en reposo (hasta que se recupera) un
tiempo exponencial con media 5 dı́as. En aquellos dı́as en que no hay 5 jugadores disponibles
(o sea en buen estado de salud), el equipo de baby no puede jugar el partido de la liga
correspondiente a ese dı́a.
a) Formule el diagrama de nacimiento y muerte para la situación descrita. Especifique las
tasas de nacimiento y muerte para cada estado.
b) ¿Qué fracción del tiempo el equipo de la U participa activamente en el campeonato (o
sea juega partidos)?
La U ha decidido comprar un “rehabilitador” que decrece el tiempo de recuperación de
5 a 1 dı́a. Sin embargo, el “rehabilitador” puede atender a un jugador a la vez. Cuando
el “rehabilitador” está ocupado, los otros lesionados continúan su recuperación vı́a reposo.
Apenas se desocupa el “rehabilitador”, lo utiliza el siguiente jugador que esté lesionado.
c) Responda nuevamente la parte a) pero bajo estas nuevas condiciones.
d) ¿Cuánto mejora la participación del equipo de la U en la liga de universidades con la
incorporación del “rehabilitador”?
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Pregunta 14:
El grupo de Rock IO-Forever se apresta a realizar un concierto en el estadio Nacional de
Santiago. Se sabe que los fanáticos del grupo son de tres tipos, con distintas tolerancias a la
aglomeración de gente y llegan en forma independiente al recinto.
• Los fans del 1er tipo llegarán al estadio de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa α
(fans/hora) y entrarán sólo si hay menos de N1 personas ya ingresadas, en caso contrario
se retiran del recinto.
• Los fans tipo 2 llegan según un proceso de Poisson de tasa β (fans/hora) y entrarán solo
si hay menos de N2 personas adentro.
• Los fans tipo 3 (hinchas de verdad) llegarán al estadio de acuerdo con un proceso de
Poisson de tasa γ (fans/hora) e ingresarán siempre, a menos que el estadio haya copado
su capacidad C, en cuyo caso se retiran.
Suponga que N1¡N2¡C. Adicionalmente, se sabe que un fan de cualquier tipo se aburre
y se va del estadio en un tiempo exponencial de media 1/µ (horas) a algún bar del sector.
Suponga para los efectos del problema que el repertorio del grupo es inagotable.
a) Modele el número de personas en el recinto como un proceso de nacimiento y muerte.
En especial, detalle las transiciones correspondientes a los estados importantes de la
cadena. ¿Cuál es la relación que deben cumplir los parámetros del problema para que
exista un comportamiento estacionario?
b) Formule la expresión que le permita calcular las probabilidades estacionarias.
c) Encuentre las tasas de ingreso efectivo al estadio para cada tipo de fanático.
Suponga que N1=3, N2=6, C=8, α = 1, β = 2, γ = 3 y µ = 2. Dibuje la cadena
correspondiente y determine:
d) La proporción del tiempo en la cual no pueden ingresar al estadio fanáticos de tipo 1,
tipo 2 y tipo 3 respectivamente.
Pregunta 15:
La red eléctrica de Chile está compuesta principalmente por dos grandes sistemas: el
Sistema Interconectado del Norte Grande (SING) que provee energı́a eléctrica desde Arica
hasta Antofagasta y el Sistema Interconectado Central (SIC) que provee energı́a eléctrica
desde Taltal hasta Chiloé. El SING (N) y el SIC (C) actualmente no tienen conexión y se
puede suponer que sus tiempos de funcionamiento distribuyen exponencial con las siguientes
tasas:
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λN
1 f allas
1 f allas
y λC =
=
120
dı́a
60
dı́a
Asimismo, los tiempos que demoran los técnicos a volver a poner en funcionamiento los
sistemas distribuyen exponencial con media 1 dı́a (cada sistema). Se puede suponer que el
paı́s dispone de una cantidad ilimitada de recursos para reparar los sistemas eléctricos, es
decir, una vez que un sistema falla, entra inmediatamente a reparación.
a) Modele el problema como una Cadena de Markov a tiempo continuo, definiendo claramente los estados considerados, planteando el grafo y la matriz de intensidades asociados.
b) Calcule la probabilidad que ambas zonas del paı́s se encuentren sin energı́a eléctrica al
mismo tiempo.
Suponga ahora que el Gobierno, a través de la Comisión Nacional de Energı́a, desea evaluar
la conveniencia de conectar ambos sistemas eléctricos, decisión que tendrı́a tanto costos como
beneficios. Por un lado, el beneficio de la interconexión serı́a que, en caso de falla de alguno de
los sistemas, la población afectada podrı́a contar con la energı́a eléctrica provista por el otro
sistema, suponiendo que éste no ha fallado. Por otro lado, la interconexión podrı́a provocar
una disminución en la estabilidad global del sistema, pues la falla de alguno de los sistemas
tendrı́a un impacto sobre el tiempo de funcionamiento del otro sistema. En particular al fallar
un sistema, la tasa de falla del único sistema que queda en funcionamiento aumenta al doble.
c) Modele el problema como una Cadena de Markov a tiempo continuo, definiendo claramente los estados considerados, planteando el grafo y la matriz de intensidades.
d) Calcule la probabilidad que ambas zonas del paı́s se encuentren sin energı́a eléctrica al
mismo tiempo.
Señale claramente cuál serı́a su recomendación a la Comisión Nacional de Energı́a desde
un punto de vista de Investigación de Operaciones. Argumente utilizando los resultados
obtenidos anteriormente.
Pregunta 16:
Daniel es cerrajero a domicilio. Para desplazarse tiene un pequeño automóvil el cual tiene
lleno de herramientas y repuestos. Por simplicidad supondremos que el auto de Daniel puede
fallar por dos razones: porque se le pincha un neumático o por una falla eléctrica.
Cada neumático funciona en promedio dos semanas hasta que se pincha; por simplicidad
asumiremos que la duración de cada neumático es exponencial y que son independientes entre
sı́. Por otro lado, la falla eléctrica ocurre en promedio una vez al mes (también asumiremos
que las fallas eléctricas demoran un tiempo exponencial en suceder).
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Daniel tiene un neumático de repuesto y tiene la mala costumbre de reparar el neumático
solo cuando ya no puede usar el auto, por consiguiente, en el caso en que se le pinche una
llanta, pero tenga los otros cuatro neumáticos funcionando y el sistema eléctrico funcionando,
no repara la llanta pinchada.
El tiempo que demora el auto en ser reparado es un tiempo exponencial de tasa 2 reparaciones por semana sin importar el tipo de falla. Cada vez que se repara, el auto vuelve con
los 5 neumáticos funcionando y sin falla eléctrica.
Se modela la situación con una Cadena de Markov a tiempo continuo. Los estados de la
cadena son los siguientes:
• (A,1): el auto tiene los cinco neumáticos en buen estado (los cuatro que usa y el de
repuesto) y tiene el sistema eléctrico en buen estado. El auto funciona.
• (B,1): el auto tiene 4 neumáticos en buen estado (solamente uno pinchado) y el sistema
eléctrico en buen estado. El auto funciona.
• (C,1): el auto tiene 3 neumáticos en buen estado (los otros dos pinchados) y el sistema
eléctrico en buen estado. El auto no funciona porque le falta un neumático.
• (A,0): el auto tiene 5 neumáticos y tiene una falla eléctrica. El auto no funciona porque
tiene una falla eléctrica.
• (B,0): el auto tiene 4 neumáticos en buen estado (solamente uno pinchado) y tiene una
falla eléctrica. El auto no funciona porque tiene una falla eléctrica.
a) Explique porque no se necesita el estado (C,0) en que el auto tiene una falla eléctrica y
solo tiene 3 de los 5 neumáticos en buen estado.
b) Encuentre la matriz de intensidades.
c) Explique porque existe una única distribución de probabilidad a largo plazo, encuéntrela
y calcule el porcentaje de tiempo que el auto pasa sin poder ser usado.
Daniel decide cambiar de hábito y ahora cuando un neumático falla, apenas tenga tiempo
entre los domicilios que visita lo lleva a reparar. Si no tiene contratiempos le tomará un
tiempo exponencial de media un dı́a en llevarlo a reparar.
d) Encuentre la nueva matriz de intensidades y construya el grafo asociado.
Guı́a Control 3 - Cadenas de Markov en Tiempo Continuo y Teorı́a de Colas - Noviembre 2022
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Departamento de Ingenierı́a Civil Industrial
Decisiones Bajo Incertidumbre - IN3272
Profesor: Susana Mondschein
INGENIERIA INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD DE CHILE
Auxiliares: S. Del Rio, F. Del Solar, H. González, D. Keuer,
L. Magga, A. Munizaga, D. Quintanilla, P. Ubilla, V. Vásquez
Pregunta 17:
Una maestranza posee tres máquinas de torno para elaborar piezas. Cada torno requiere
un mecánico tornero para operar. Se ha detectado que existe una enfermedad que afecta a los
mecánicos torneros al manipular el material para elaborar los trabajos, la cual los enferma en
promedio una vez al mes, según una distribución exponencial. La maestranza dispone de tres
mecánicos torneros y dos suplentes, que sustituyen a los titulares cuando éstos están enfermos.
En cualquier otra circunstancia se supone que los mecánicos torneros están siempre sanos.
Cuando un mecánico tornero se ha enfermado, tarda una media de 6 dı́as en recuperarse e
incorporarse al trabajo. La maestranza ha estimado que cada vez que debe cerrarse un torno
por no disponer de un mecánico tornero para operarlo, ello supone una pérdida de ingresos
para la maestranza de US$ 6.000 diarios. Suponga que el mes es de 30 dı́as.
a) ¿Qué % del mes están cerrados todos los tornos?
b) ¿Cuál es el costo medio diario asociado a los tornos que no están operativos?
Recientemente se ha comercializado una nueva medicina que reduce el periodo de enfermedad de los mecánicos torneros enfermos a 3 dı́as. Esta medicina cuesta US$ 5000 por
persona y dı́a.
c) ¿es conveniente adquirirla?
Pregunta 18:
Un centro de información telefónica (call center) cuenta con dos telefonistas cuyo tiempo
de atención de llamadas es idénticamente distribuido y corresponde a una distribución exponencial de media igual a 1 minuto. Dado que la operación de este call center está recién
comenzando, no se cuenta con suficientes datos históricos como para determinar la distribución
de probabilidad de la entrada de llamadas, aunque se puede suponer que los tiempos entre
estas son exponenciales. Además, en los pocos dı́as de funcionamiento se ha advertido que el
10% del tiempo ambas operadoras están desocupadas.
Si una persona llama y ambas operadoras están ocupadas la llamada quedará en espera
hasta que alguna se desocupe y pueda atenderlo. Suponiendo que no existe una restricción
sobre el número de llamadas que pueden quedar en espera, y que los clientes son infinitamente
pacientes, responda:
a) ¿Qué condición hay que imponer sobre la tasa de entrada de llamadas para que exista
estado estacionario?
b) Determine la tasa de entrada de llamadas (λ).
c) Calcule el número promedio de llamadas en espera y el tiempo promedio de espera de
un cliente antes de ser atendido.
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Auxiliares: S. Del Rio, F. Del Solar, H. González, D. Keuer,
L. Magga, A. Munizaga, D. Quintanilla, P. Ubilla, V. Vásquez
Suponga ahora que las operadoras cuando ven que hay llamadas en espera apuran las
atenciones. Los tiempos de atención siguen siendo variables aleatorias exponenciales, pero
ahora la tasa con que una operadora atiende a un cliente cuando hay i clientes esperado es
i · µ.
d) ¿Qué condiciones hay que imponer sobre la tasa de llegada de las llamadas para que
exista estado estacionario? Explique
e) Determine la ecuación que permitirı́a calcular la tasa de entrada de llamadas λ.
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