CURVAS EVOLVENTE Y EVOLUTA
Andrés L. Granados M.
Oct/2017. Revisión: 20/Dic/2018
Dada una curva plana y = f (x) en coordenadas cartesianas (x, y) o coordenadas polares (r, θ), tal que
x = (x, y) = [x(t), y(t)] = [ r(θ) cos θ, r(θ) sen θ ] = (r, θ)
(1)
siempre se pueden hallar la curva evolvente (no confundir con envolvente (envelope)) xi o la curva evoluta
xe de ésta con coordenadas paramétricas, de manera que, si se tiene la curva paramétrica x = [x(t), y(t)],
entonces encontraremos la curva también plana [x(t), y(t)] −→ [xi (t), y i (t)] ó [xe (t), y e (t)], respectivamente
(θ puede ser un parámetro t).
Figura 1. Curvas y su respectivas evolutas. Las curvas son las evolventes de las respectivas evolutas.
EVOLVENTE
La curva evolvente o involuta (evolvent/involute) se obtiene de la siguiente manera. Imaginemos una
cuerda flexible tensada arropando la curva (x, y), tal que el extremo libre en un principio en (xo , xo ), se
desenvuelve de la curva paulatinamente, de manera que describe otra curva (xi , y i ), tal que en un punto
(x, y) la cuerda se mantiene tensada a la curva original con un ángulo ϕ sobre recta tangente en el punto
(x, y). Entonces
xi = x − ρ cos ϕ
xi = x − ρ λ
(2)
y i = y − ρ sen ϕ
donde ρ es la longitud de la cuerda, cuyo extremo libre estaba originalmente en (xo , yo ) y λ = (cos ϕ, sen ϕ)
es el vector unitario tangencial a la curva en (x, y). Las funciones trigonométricas del ángulo ϕ son
1
cos ϕ = 1 + tan2 ϕ
tan ϕ
sen ϕ = 1 + tan2 ϕ
1
(3)
y la tangente tan ϕ y la longitud de la cuerda desenrrollada ρ se calculan como ( ρ es el arco de la curva
x = (x, y) en el intervalo [θo , θ] o [to , t], dependiendo como se parametrice)
ẏ
dy
= y =
tan ϕ =
dx
ẋ
ρ=
x
xo
1 + [y ]2 dx =
θ
θo
dx 2
dθ
+
dy 2
dθ
dθ =
t
ẋ2 + ẏ 2 dt
(4)
to
o equivalentemente (el signo negativo es porque la cuerda se desenrrolla cuando crece el parámetro t)
cos ϕ = − dx
ẋ
dθ
2 2 = − ẋ2 + ẏ 2
dx + dy
dθ
dθ
sen ϕ = − dy
dθ
dx
dθ
2
dy
+
dθ
ẏ
2 = − ẋ2 + ẏ 2
(5)
Esto permite calcular igualmente las coordenadas xe = (xe , y e ) de la curva evolvente como se indica en (2).
Figura 2. La catenaria y(x) = a cosh(x/a) (azul) como la evoluta
de la tractriz x = ± a arcsech (y/a) ∓ a2 − y 2 (roja) de radio a = 1.
2
EVOLUTA
La curva evoluta (evolute) es un concepto contrario al de la evolvente. De manera que la evoluta es la
curva (xe , y e ) de la cual la curva dada (x, y) es su respectiva evolvente. Con las misma definiciones anteriores,
entonces las coordenadas de la evoluta son
xe = x − ρ sen ϕ
xe = x + ρ μ
y e = y + ρ cos ϕ
(6)
donde μ = (−sen ϕ, cos ϕ) es la normal principal a la curva dada, con funciones trigonométricas
1
cos ϕ = 1 + tan2 ϕ
tan ϕ
sen ϕ = 1 + tan2 ϕ
(7)
La tangente tan ϕ a la curva dada en (x, y) y tangente a la curva evoluta en (xe , y e ) y la distancia ρ, el radio
de curvatura, se calculan como (ẏ = dy/dt y ÿ = d2 y/dt2 )
tan ϕ =
dy
ẏ
= y =
dx
ẋ
ρ=
dy
1+
dx
2
2 3/2
d y
dx2
=
[1 + (y )2 ]3/2
(ẋ2 + ẏ 2 )3/2
=
y
ẋÿ − ẍẏ
(8)
La recta de la cuerda tensada en este caso entre los puntos (x, y) sobre la curva y el punto (xe , y e ) en la
evoluta es tangente a la misma, y perpendicular a la curva (x, y) en todo momento. Por lo que se tiene que
xe = x −
dy
dx
2 dy
1+
dx
d2 y
dx2
=x−
y [1 + (y )2 ]
y ye = y +
2 dy
1+
dx
d2 y
dx2
=y+
[1 + (y )2 ]
y (9)
donde se refleja la influencia del radio ρ en los segundo términos de las ecuaciones, una vez substituidas las
expresiones (8) en (6).
En coordenadas polares, esto serı́a
2 2 dy
dx + dy
dθ
dθ
dθ
e
x = x − 2 2 dy
d y
dx
− d x2
dθ
dθ
dθ2
dθ
2 2 dx + dy
dx
dθ
dθ
dθ
e
y = y + 2 2 dy
d y
dx
− d x2
dθ
dθ
dθ2
dθ
(10)
y en coordenadas paramétricas
xe = x − ẏ
ẋ2 + ẏ 2
ẋÿ − ẍẏ
y e = y + ẋ
ẋ2 + ẏ 2
ẋÿ − ẍẏ
(11)
El centro de curvatura (xc , y c ), para funciones del tipo y = f (x), se ubicarı́a en (y = f (x) y y = f (x))
xc = x −
y (1 + y 2 )
y yc = y +
1 + y 2
y (12)
a una distancia ρ sobre la recta perpendicular a la curva en (x, y). Los puntos (xc , y c ) del centro de curvatura
y xe = (xe , y e ) de la evoluta coindiden, estando obviamente en la misma dirección.
3
Curvas como la cicloide son evolventes y evolutas de curvas de la misma familia y tamaño. Algo
similar, pero con diferente tamaño y orientación ocurre con las epi-hipocicloides, epi-hipotrocoides, astroides,
cardioides (figura 4), nefroides, deltoides, espirales lorarı́tmica, etc. Para el cı́rculo, la evoluta es el punto
central y, viceversa, para el punto central, el cı́rculo es la evolvente. La evolvente del cı́rculo se utiliza para
el diseño de dientes de engranajes. Ası́ existen múltiples aplicaciones geométricas, cinemáticas y dinámicas
para las evolventes y las evolutas. El péndulo isocrónico de Christiaan Huygens (1629-1695) es una de ellas,
basado en la evolvente de la cicloide (curva braquistocrona y tautocrona).
Cuando se parametiza la curva plana con su longitud t = s, la curva se define de forma paramétrica
como x(s) = [x(s), y(s)], entonces el vector unitario tangente λ y el vector unitario normal principal μ se
calculan como
dλ
1
dx
= κ(s) μ(s)
κ(s) =
(13)
λ(s) =
ds
ds
ρ(s)
donde κ(s) es la curvatura, la inversa del radio de curvatura ρ(s). De acuerdo a esta notación, entonces la
evoluta se determina como [ μ = (−sen ϕ, cos ϕ) ]
xe = (xe , y e ) = x + ρ μ = (x − ρ sen ϕ, y + ρ cos ϕ)
(14)
y empleando la identidad de Frenet dμ/ds = −κ λ (conjuntamente con (13.b) conforman las ecuaciones de
Frenet-Serret para curvas planas), resulta la siguiente expresión
dx dρ
dρ
dxe
=
+
μ−λ=
μ
ds
ds
ds
ds
(15)
la cual nos dice que el vector tangente a la evoluta xe es normal a la curva x en el parámetro s.
Figura 3. La evoluta (ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 − b2 )2/3 (azul)
de la elipse (x/a)2 + (y/b)2 = 1 (roja) horizontal, con a = 2 y b = 1.
4
NOTA
En las ecuaciones (2) o (6) se puede substituir ρ por
ρ = ρ̃ − c
(16)
siendo c una constante arbitraria para desplazar las curvas evolvente o evoluta y, dado el caso, tener una
correspondencia evolvente-evoluta de forma unı́voca (el resto de las ecuaciones permanecen iguales). Es decir,
la curva evolvente con la constante c, sea la evolvente única de su única curva evoluta (sin la constante),
o viceversa. Esto, particularmente, por la dependencia del arco ρ de la curva en la ecuación (4) de una
longitud inicial c (para t = to ρ̃ = c, donde ρ = 0, cuando la evoluta en dicho punto correspondiente tiene
radio de curvatura ρ̃, diferente a ρ). La constante c puede ser negativa o positiva para lograr el mencionado
acoplamiento de curvas.
Esta diferencia c de distancias se hace notoria en la figura 3 a la derecha, justo donde la cúspide de la
evoluta no hace contacto con el óvalo de la elipse (c para la evolvente coincide con el radio de curvatura en
el óvalo de la elipse). Contrariamente, en la figura 2 en el centro, si existe dicho contacto entre la tractriz y
la catenaria, por lo que c = 0.
Figura 4. La evoluta-evolvente (interna-externa) de la cardioide en coordenadas
polares r = a (1 + cos θ) rotada ±90◦ . (La varilla azul presenta rodadura sobre la interna)
La evolvente se puede representar mediante la curva parametrizada en la forma
t
ẋ(t)
i
ẋ(τ ) dτ
x (t) = x(t) −
ẋ(t) to
(17)
Cuando se escoge la longitud s de la curva como parámetro (s se convierte en la función primitiva de la
integral en (17)), se simplifica ẋ(s) = λ(s) y ẍ(s) = κ(s)μ(s) (Frenet-Serret), con κ(s) la curvatura y λ y μ
la tangente y la normal unitarias de la curva x(s). Para la evolvente se obtiene
xi (s) = x(s) − ẋ(s) (s − so )
ẋi (s) = −ẍ(s) (s − so ) = −κ(s) μ(s) (s − so )
5
(18)
por lo que (ρ̃ = s, c = so ) se tiene que:
• En el punto xi (so ) la evolvente no es regular (porque ẋ(so ) = 0), y de ẋi (s).ẋ(s) = 0 sigue:
• La normal unitaria de la evolvente en el punto xi (s) es la tangente a la curva dada en el punto x(s), y
• Las evolventes (para distintos c) son curvas paralelas, porque xi (s) = xio (s) + so ẋ(s) y por el hecho
de que ẋ(s) es el vector normal unitario en el punto xio (s) = xi (s)|so =0 = x(s) − s ẋ(s).
BIBLIOGRAFIA.
[1] Boltianski, V. G. La Envolvente. Editorial Mir, 1977.
[2] Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and
Surfaces with Mathematica, 3r d Edition, 2005.
[3] https://es.wikipedia.org/wiki/Evoluta
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Evolute
[5] https://es.wikipedia.org/wiki/Evolvente
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Involute
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