پاسخ:
سوال 1
گزینه 1
= 3600 − (108 0 + 102 0 + 960 ) = 540زاویه مربوط به گروه O
3
20
= 0/15
پاسخ:
=
سوال 2
f
n
⇒
× 3600
f
n
= 540
گزینه 3
چون مد برابر 2است و منحصربه‌فرد می‌باشد ،پس x = 2است .با مرتب کردن دادهها داریم:
= 2/5
2+3
2
=میانه
⇒
1+1+2+...+7+8
10
= 3/3
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4,7, 8
=میانگین
⇒ 3/3 − 2/5 = 0/8
پاسخ:
سوال 3
گزینه 3
8
5
2
1
داده
1
؟
1
1
فراوانی
مطلق
فراواني داده‌ي 5نمي‌تواند برابر 2باشد ،زيرا در اين صورت داده‌هاي مرتب شده به صورت 5 ،-7 ،5 ،2 ،1و 8خواهند بود كه
امكان‌پذير نيست.
پس فراواني داده‌ي 5برابر با 3است .بنابراين:
⇒a=3
a2 − 4 = 2a − 1 = 5
داده ی چهارم +داده سوم
2
=5
5+5
2
تعداد داده ها زوج است
=میانه → = 6 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−تعداد داده ها
=
توجه کنید که چون aعدد طبیعی است ،فراوانی مطلق داده‌ی 8بیش‌تر از یک نمی‌تواند باشد.
پاسخ:
سوال 4
گزینه 1
گزینه «»1
مجموع درصدهای فراوانی برابر 100است ،بنابراین:
⇒ a = 15
a + 27 + 34 + 24 = 100
بنابراین؛ زاویه متناظر با نمره Aدر نمودار دایره‌ای این نمرات برابر است با:
× 3600 = 540
15
100
=α
پاسخ:
سوال 5
گزینه 3
اگر پیشامد اتمام به موقع کار را با Aو پیشامدهای ر خ‌دادن اعتصاب و عدم ر خ‌دادن اعتصاب را به‌ترتیب با B 1و B 2نمایش دهیم،
داریم:
[]Math Processing Error
1
3
0/12
0/36
=
پاسخ:
0/2×0/6
0/12
= = 0/8×0/3+0/2×0/6 = 0/24+0/12
سوال 6
گزینه 2
نمودار درختی را برای حل مسئله رسم می‌کنیم:
80
100
×
= 0/84
پاسخ:
60
100
+
84
100
90
100
×
40
100
=(داشتن کارت ملی هوشمند) P
=
سوال 7
گزینه 2
طبق قانون ضرب احتمال اگر Aو Bدو پیشامد به شرط P (A) > 0باشند ،آنگاه:
)P (A ⋂ B) = P (A)P (B|A
حال برای محاسبه ) P (A 1 ⋂ A 2 ⋂ A 3دو بار از قانون ضرب احتمال استفاده می‌کنیم.
)P (A 1 ⋂ A 2 ⋂ A 3) = P ((A 1 ⋂ A 2 ) ⋂ A 3
)) = P (A 1 ⋂ A 2 )P (A 3|(A 1 ⋂ A 2
)) = P (A 1 )P (A 2 |A 1 )P (A 3|(A 1 ⋂ A 2
پاسخ:
سوال 8
گزینه 3
گزینه «»3
مجموع فراوانی‌های نسبی در یک جدول فراوانی برابر یک است ،بنابراین:
⇒ z = 0/5
0/1 + z + 0/4 = 1
از طرفی با توجه به رابطه بین فراوانی و فراوانی نسبی دسته‌ها داریم:
=3
= 12
15 × 0/1
=y
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
0/5
⎨
15
×
0/4
⎪
⎪
⎪
⎩
= ⎪ x
0/5
⇒
= 18
پاسخ:
سوال 9
0/4
x
=
12−3
0/5
0/5
15
=
=
0/1
y
x−y
z
⇒
گزینه 1
گزینه «»1
اگر Aو Bبه‌ترتیب پیشامدهای آن باشند که «مجموع دو عدد رو شده مضرب 5باشد» و «هر دو عدد رو شده زوج باشند»،
آنگاه داریم:
B = {(2, 2) , (2, 4) , (2, 6) , (4, 2) , (4, 4) , (4, 6) , (6, 2) ,
})(6, 4) , (6, 6
})A ⋂ B = {(4, 6) , (6, 4
2
9
پاسخ:
سوال 10
گزینه 1
نمودار درختی را برای حل مسئله رسم می‌کنیم:
اگر پیشامد سیاه نبودن گوی خارج شده را با Cنمایش دهیم ،داریم:
53
126
=
35+18
126
=
1
7
+
5
18
=
2
7
×
1
2
+
5
9
×
1
2
= )P (C
=
)n(A ⋂ B
)n(B
= )P (A|B
پاسخ:
گزینه 2
سوال 11
اگر پیشامد Aرا «حداقل یک فرزند پسر» و پیشامد Bرا «حداکثر دو فرزند پسر» تعریف کنیم ،داریم:
سه فرزند
پسر
دو فرزند
پسر
=6
=
)n(B ⋂ A
)n(A
6
7
پاسخ:
3
(
)
2
3
(
)
1
پسر
3
+( ) = 7
3
3
)
2
دو فرزند
یک فرزند
پسر
+
= )n(A
یک فرزند
پسر
3
)
1
+
(
= )n(B ⋂ A
(
= )P (B|A
سوال 12
گزینه 2
= 3 + 8 + 4 + 6 + 4 = 25تعداد کل دادهها
× 100 = 16
پاسخ:
4
25
سوال 13
فراوانی مطلق
= × 100
تعداد کل دادهها
=درصد فراوانی نسبی داده‌ی 3
گزینه 2
دو پیشامد Aو Bمستقل‌اند اگر و فقط اگر داشته باشیم:
)P (A ⋂ B) = P (A)P (B
در گزینه « »2داریم:
}⇒ A ⋂ B = {2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
1
3
1
2
1
=
6
}B = {2 , 3 , 5
A = {1 , 2} ,
)n(A
2
= =
6
)n(S
)n(B
3
= )P (B
= =
6
)n(S
)n(A ⋂ B
= )P (A ⋂ B
)n(S
Aو Bمستقل‌اند.
= )P (A
⇒ )⇒ P (A ⋂ B) = P (A) × P (B
در سایر گزینه‌ها به راحتی می‌توان نشان داد که ) ،P (A ⋂ B) ≠ P (A) × P (Bپس دو پیشامد Aو Bمستقل نیستند.
پاسخ:
گزینه 3
سوال 14
راه اول:
: P (A) = 0/7احتمال قبولی در درس ریاضی
: P (B) = xاحتمال قبولی در درس فیزیک
A
P (A ⋂ B) = 0/7x
و B
مستقل اند
−
−
−−−
−−
−−
−
→
)P (B − A) = P (B) − P (A ⋂ B
⇒ x = 0/6
18
100
3
10
= ⇒ 0/3x = 0/18 ⇒ x
0/18 = x − 0/7x
راه حل دوم:
نکته :اگر Aو Bمستقل باشند A‘ ،و A ،Bو ‘ Bو ‘ Aو ‘ Bنیز مستقل‌اند.
: P (A‘) = 1 − P (A) = 1 − 0/7 = 0/3احتمال قبول نشدن در درس ریاضی
)P (A‘⋂ B) = P (A‘) × P (B
⇒ x = 0/6
پاسخ:
سوال 15
∘× 360∘ = 72
پاسخ:
0/18 = 0/3 × x
گزینه 3
3
15
سوال 16
:خانواده 4نفره
گزینه 2
فرض کنید پیشامدهای Aو Bبه‌ترتیب به‌صورت «بازیکن اول بلندتر از بازیکن دوم باشد ».و «بازیکن اول بلندقدترین بازیکن
تیم باشد ».تعریف شوند .در این‌صورت داریم:
1
4
=
تذکر:
1
8
1
2
1
2
=
)P(B
)P(A
=
)P(A ⋂ B
)P(A
= )P (B|A
= ) P (Aاست ،چون بین دو بازیکن اول و دوم ،احتمال بلندقدتر بودن یک بازیکن برابر دیگری است .همچنین پیشامد
،Bزیرمجموعه پیشامد Aاست ،بنابراین A ⋂ B = Bاست.
پاسخ:
سوال 17
گزینه 3
ابتدا میانگین را محاسبه می‌کنیم:
x̄ = 0/25 × 2 + 0/4 × 3 + 4 × 0/2 + 5 × 0/15 = 3/25
مد نیز داده‌ای است که بیشترین فراوانی را دارد .بنابراین ،3مد دادهها است.
0/25دادهها یعنی 5داده برابر 2و 0/4آنها یعنی 8داده برابر 3است .بنابراین داده‌های دهم و یازدهم ،هر دو برابر 3هستند و
در نتیجه میانگین آنها که همان عدد 3است ،میانه دادهها می‌باشد.
پاسخ:
سوال 18
گزینه 4
میانگین حدسی ده داده‌ی آماری را yدر نظر می‌گیریم:
−3×2+2×3+3×4+(−2)×1
10
= y+1
= 16
10
10
X¯ = y +
⇒ X¯ = y +
10(y+1)+18+20
12
= ‘ Xمیانگین دوازده داده
¯¯¯¯¯
¯
⇒ 10y + 10 + 38 = 192
⇒ 10y = 144 ⇒ y = 14/4
⇒ X¯ = y + 1 = 14/4 + 1 = 15/4
پاسخ:
سوال 19
گزینه 3
فضای نمونه تقلیل یافته به صورت زیر است:
})S = {(1, 3), (1, 5), (3, 5), (2, 4), (2, 6), (4, 6
اگر Aپیشامد خارج شدن مهره با شماره 2در این فضای نمونه جدید باشد ،آنگاه داریم:
})A = {(2, 4), (2, 6
1
3
=
2
6
= )P (A
پاسخ:
سوال 20
گزینه 2
پاسخ:
سوال 21
گزینه 1
)(2
⇒ C = 8A
C
4
و
= 2A
)(1
⇒ D = 4A
)(3
2A = B
D
2
= 2A
)(1) , (2) , (3
A + B + C + D = 30 −−−−−−−→ A + 2A + 8A + 4A
= 15A
⇒B=4
∘× 360∘ = 48
احتمال این که عدد رو شده مضرب 3باشد ،برابر است با
باشد برابر است با:
1
9
=
1
3
پاسخ:
×
1
3
4
30
2A = B
و
⇒ 15A = 30 ⇒ A = 2
=زاویه‌ی مرکزی دسته با فراوانی مطلق B
= . 26پس احتمال این که در بار اول و سوم عدد رو شده مضرب 3
1
3
گزینه 2
سوال 22
هر دسته به نسبت فراوانی‌ای که دارد زاویه اشغال می‌کند ،چون فراوانی مطلق دسته‌ی یک نصف فراوانی مطلق دسته‌ی دو
می‌باشد ،پس در نمودار دایره‌ای نصف دسته‌ی دوم زاویه اشغال می‌کند.
= 0/5
پاسخ:
1
2
f1
f2
=
سوال 23
=
α1
α2
گزینه 1
اگر Aپیشامد مرد بودن شخص انتخابی و Bپیشامد متأهل بودن شخص انتخاب شده باشد ،مورد خواسته شده در صورت
سؤال )‘ P (A|Bاست .طبق قانون بیز:
)P(A)×P(B‘|A
)‘P(B
= )‘P (A|B
)‘P (B‘) = P (A) × P (B‘|A) + P (A‘) × P (B‘|A
5
9
=
2 1
×
3 4
3
10
= )‘⇒ P (A|B
3
10
=
4
10
×
1
3
+
1
4
×
2
3
=
پاسخ:
سوال 24
گزینه 4
اگر پیشامد Aرا مشکی بودن روی مشاهده شده کارت و پیشامدهای C، Bو Aرا به‌ترتیب انتخاب کارت دو رو سفید ،انتخاب
کارت دو رو مشکی و انتخاب کارت یک رو مشکی و یک رو سفید در نظر بگیریم ،آنگاه طبق قانون احتمال کل و قانون بیز داریم:
)P (A) = P (B) P (A|B) + P (C) P (A|C
)+ P (D) P (A|D
پاسخ:
سوال 25
3
2
×
2
3
=
4
11
=
4
×1
11
4
3
×
11
2
1
2
×
4
11
=
)P(C)P(A|C
)P(A
×1+
4
11
×0+
3
11
=
= )P (C|A
گزینه 3
تعداد حاالتی که مجموع اعداد روشده سه تاس 7باشند ،به‌صورت زیر است:
B = {(1 , 2 , 4) , (1 , 3 , 3) , (1 , 1 , 5) ,
})(2 , 2 , 3
3حالت
3حالت
3حالت
6حالت
فقط در 6حالت ،هر سه عدد رو شده فرد هستند ،بنابراین اگر Aپیشامد رو شدن سه عدد فرد باشد ،داریم:
2
5
=
6
15
پاسخ:
= )P (A|B
سوال 26
گزینه 2
گزینه «»2
: Aتصادف به علت خواب‌آلودگی
: Bتصادف به علت سرعت زیاد
)P (A − B) + P (B − A) = P (A) − P (A ⋂ B) + P (B
)− P (A ⋂ B
)= P (A) + P (B) − 2P (A ⋂ B
= 0/7
70
100
=
10
100
×−2
55
100
+
35
100
=
پاسخ:
سوال 27
گزینه 3
چون پرتاب‌ها از هم مستقل‌اند ،پس احتمال هر کدام از پرتاب‌ها را در هم ضرب می‌کنیم .در پرتاب‌های سوم و پنجم ،همه
حالت‌ها امکان‌پذیر هستند ،در نتیجه داریم:
1
54
=
پاسخ:
1
3
×
1
3
×
سوال 28
1
6
⇒
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎭
⎪
1
6
= )P (3
= 13
2
= 13
6
2
6
= ) مضرب P (3
= ) از 3کم تر ( P
گزینه 4
گزینه «»4
اگر Aرا پیشامد انتخاب دو مهره غیرهمرنگ و B 1و B 2را به ترتیب پیشامد انتخاب ظرف‌های اول و دوم ،در نظر بگیریم ،داریم:
) P (A) = P (B 1 )P (A|B 1 ) + P (B 2 )P (A|B 2
)
3
1
( )
)
1
2
پاسخ:
سوال 29
= ×1
1
2
=)
7
15
10
2
+
7
1
(
×
(
1
(8
2 15
1
2
+
=
)
2
1
( )
)
21
45
×
1
2
6
2
4
1
(
×
(
+
8
15
×
1
2
1
2
=
=
گزینه 2
می‌دانیم که همیشه مجموع درصد دادهها برابر 100است .پس:
⇒ x = 100 − 77/5 ⇒ x
∘
پاسخ:
سوال 30
17 + 20/5 + 22 + x + 18 = 100
= 22/5
∘
× 360 = 81
22/5
100
∘
= θ4 = F 4 × 360
گزینه 2
پیشامد آن‌که حداقل یکی از این دو نفر در امتحان ریاضی قبول شوند ،متمم آن است که هیچ کدام در امتحان ریاضی قبول
نشوند .اگر پیشامدهای قبول شدن علی و رضا را به‌ترتیب با Aو Bنمایش دهیم ،آنگاه این دو پیشامد و در نتیجه پیشامدهای
‘ Aو ‘ Bمستقل از یکدیگرند و داریم:
P (A‘⋂ B‘) = P (A‘)P (B‘) = 0/4 × 0/3 = 0/12
P (A ⋃ B) = 1 − P (A‘⋂ B‘) = 1 − 0/12 = 0/88
پاسخ:
سوال 31
گزینه 2
گزینه «»2
اگر A 1پیشامد انتخاب دسته اول و A 2پیشامد انتخاب دسته دوم و Wپیشامد انتخاب دو کارت سفید باشد ،آنگاه:
) P(A 1 )P(W|A 1
) P(A 1 )P(W|A 1 )+P(A 2 )P(W|A 2
= ) P (A 1 |W
)
3
14
=
1
× 15
55
15
1
2
× 55 + 2
1
2
=
)
6
(
2
11
2
+ 12 ×1
(
)
)
پاسخ:
سوال 32
×
6
2
11
2
1
2
=
(
×
1
2
(
گزینه 3
حذف داده‌های
→ = 8 × α = 8α −−−−−−−مجموع 8داده اولیه
18 , 14 , 12
= 8a − (18 + 14 + 12) = 8a − 44مجموع 5داده
2برابرکردن 5داده
−
−−−−−−−−−
→
= (8α − 44) × 2 = 16α − 88مجموع 5داده در حالت جدید
16α−88
5
= میانگین 5داده در حالت جدید ⇒
⇒ 11α = 143 ⇒ α = 13
پاسخ:
گزینه 3
سوال 33
راه حل اول:
(P (A) = 0/7احتمال قبولی در درس ریاضی)
(P (B) = xاحتمال قبولی در درس فیزیک)
⇒ P (A ⋂ B) = 0/7x
Aو Bمستقل‌اند
)P (B − A) = P (B) − P (A ⋂ B
→ x = 0/6
18
100
3
10
= ⇒ 0/3x = 0/18 ⇒ x
0/18 = x − 0/7x
راه حل دوم:
نکته :اگر Aو Bمستقل باشند A‘ ،و A , Bو‘ A‘ , Bو ‘ Bنیز مستقل‌اند.
(P (A‘) = 1 − P (A) = 1 − 0/7 = 0/3احتمال قبول نشدن در درس ریاضی)
⇒ x = 0/6
پاسخ:
سوال 34
0/18 = 0/3 × x
گزینه 2
( Σبه معنی جمع است)
⇒α
∘99
∘360
= 0/275 = 27/5 %
پاسخ:
سوال 35
=فراوانی نسبی ⇒
∘+ 45∘ + α + 49∘ = 360
∘
⇒ 23 + 144
∘
∘∑ α i = 360
∘= 99
فراوانی نسبی × ∘α = 360
گزینه 2
چون تعداد مهره‌های سیاه در کیسه‌ی دوم ،کمتر از 3است ،پس تنها حالت ممکن آن است که از هر کیسه 3 ،مهره‌ی سفید
خارج شود .داریم:
1
175
=
4
/
35×/205
=
)
)
4
3
6
3
(×
)
()
3
3
7
3
(
(
پاسخ:
سوال 36
گزینه 1
میانگین نمرات دانش‌آموزان این کالس برابر است با:
1×7+2×10+2×11+1×13+3×14+4×17+2×19
1+2+2+1+3+4+2
= 14
= ̄x
210
15
=
با توجه به اینکه تعداد دادهها برابر 15است ،پس داده هشتم میانه داده‌هاست که مطابق جدول این داده برابر 14است (اگر
دادهها را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم ،داده‌های هفتم ،هشتم و نهم برابر 14هستند ).در نتیجه داریم
x̄ − Q 2 = 14 − 14 = 0
پاسخ:
گزینه 4
سوال 37
نمودار شامل سه دسته است که نفراتی که نمره بین 10تا 15گرفته‌اند در دستۀ دوم هستند .اگر F 2 ،f 2و nبه ترتیب فراوانی
دستۀ دوم ،فراوانی نسبی دستۀ دوم و تعداد کل دادهها باشد ،داریم:
=9
پاسخ:
3
10
× = 30
2
سوال 38
⇒f
f2
n
= F2
گزینه 4
مجموع فراوانی‌های نسبی در یک جدول فراوانی برابر یک است ،بنابراین داریم:
⇒ z = 0/5
0/1 + z + 0/4 = 1
از طرفی با توجه به رابطه بین فراوانی و فراوانی نسبی دسته‌ها داریم:
1/5
=3
0/5
⎨
6
⎪
⎪
= 12
= ⎩ x
⎪
0/5
= 18
پاسخ:
9
0/5
=
=y
12−3
0/5
سوال 39
⎧
⎪
⎪
⎪
⇒
x−y
z
=
0/4
x
=
0/5
15
=
0/1
y
⇒
گزینه 3
(250 − 101) + 1 = 150
حذف اعشار
20 + 1 = 21
–––––––
–––––––––
–
–
––––
0/134 × 150 = 20/1
پس عدد 21ام مجموعه عددی انتخابی است (عدد اول ،101عدد دوم 102و ...عدد 21ام 121می‌شود).
پاسخ:
گزینه 1
سوال 40
)⇒ P (A ⋂ B) = P (A). P (B
⇒ 0/1 = 0/2P (B) ⇒ P (B) = 0/5
Aو Bمستقلند
منظور از آن‌که فقط Bرخ بدهد ،آن است که Bرخ دهد ولی Aرخ ندهد ،یعنی پیشامد .B − Aداریم:
)‘P (B − A) = P (B ⋂ A‘) = P (B). P (A
= P (B)(1 − P (A)) = 0/5 × 0/8 = 40
پاسخ:
گزینه 1
سوال 41
فراوانی مطلق
=فراوانی نسبی
تعداد کل داده ها
1
5
=
1
2
f3
N
= f̄ 3
¯
¯
4
5
1+ 35
=
4f 3
=
f3
N
∘× 360∘ = 180
پاسخ:
سوال 42
=
N
1+3
1
2
=
÷N
→−
−
4f 3
N+3f 3
∘
3 × 360
=3
′
̄f
¯
¯
′
¯
¯
̄α‘ 3 = f
گزینه 2
اگر فراوانی کارگران زن را با f 1و فراوانی کارگران مرد را با f 2نمایش دهیم داریم:
420f 1 +520f 2
f 1 +f 2
⇒ 500f − 420f = 520f − 500f
⇒ 80f = 20f ⇒ f = 4f
2
1
= ⇒ 500
∑ f ixi
n
= ̄x
2
2
1
1+4
=
= %20
1
2
f1
f 1 +f 2
f1
n
⇒
1
1
−
→−−−−−−−−−−−−
1
5
=
f1
n
⇒
1
4
=
f1
f2
⇒
پاسخ:
1
7
سوال 43
3
21
=
)
3
10
=
2
7
=
1
10
=
)
=
)
3
2
5
2
6
21
)
)
)
(
3
2
7
2
2
=احتمال قرمز بودن هر دو مهره از جعبه‌ی A
(
(
)
)
2
5
(
= احتمال قرمز بودن هر دو مهره از جعبه‌ی B
=
2
گزینه 1
(
4
2
7
2
(
=احتمال آبی بودن هر دو مهره از جعبه‌ی A
(
= احتمال آبی بودن هر دو مهره از جعبه‌ی B
(
= احتمال هم‌رنگ بودن 4مهره ⇒
احتمال هر دو مهره قرمز از جعبه‌های Aو Bیا احتمال هر دو مهره آبی از جعبه‌های Aو B
1
14
=
پاسخ:
5
70
=
3
10
سوال 44
×
1
7
+
1
10
×
2
7
= )P (A
گزینه 2
چون در صورت سوال بیان نشده که مهره‌ی آبی چندمین مهره است ،می‌توان فرض کرد 3مهره با هم خارج شده‌اند .در این
صورت داریم:
27
55
پاسخ:
=
3×9×4
2×11×10
سوال 45
=
9×8
2
=
12 × 11 × 10
3×2×1
×3
)
9
2
()
)
12
3
3
1
(
= )P (A
(
گزینه 4
بنابر ضرب‌المثل معروف «با يك گل بهار نمي‌شود» نمي‌توان همواره با شواهد كم ،حكم كلي داد .درگزينه‌هاي « »2« ،»1و « »3به
دليل كوچك بودن اندازه‌ي نمونه ،نتيجه‌ي حاصل از نمونه ،قابل تعميم به جامعه نمي‌باشد.
پاسخ:
گزینه 3
سوال 46
فرض کنید Cپیشامد آن باشد که خانواده انتخابی 3دختر داشته باشد .داریم:
1
4
=
4
)
3
24
(
= )P (C|B
1
8
،
=
3
)
3
23
(
= )P (C|A
در این صورت طبق قانون بیز داریم:
)P(A)P(C|A
)P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B
1
3
1
16
=
=
3
16
پاسخ:
+
1
16
سوال 47
1
5
1
2
پاسخ:
=
× 18
×
1
2
1
+1
8 2
×
1
2
=
گزینه 1
= ⇒
= )⇒ P (A ⋂ B
)P(A ⋂ B
1
10
1
8
1
16
=
1
4
)P(A)P(C|A
)P(C
= )P (A|C
سوال 48
)P(B ⋂ A
)P(A
= )P (B|A
1
10
−
1
2
= )P (A ⋂ B‘) = P (A − B) = P (A) − P (A ⋂ B
2
5
=
گزینه 2
+ x 2 +. . . +x n = 26n
1
⇒x
= 26
x 1 +x 2 +...+x n
n
فرض کنیم x 1کوچک‌ترین و x nبزرگ‌ترین داده باشد .در این‌صورت:
= 24
26n−2x 1
n−1
⇒
= 24
(x n −x 1 )+x 2 +...+x n−1
n−1
=n
x1
2
از طرفی
پاسخ:
= . nبنابراین:
سوال 49
= 24
1
⇒x
= 12
x1
2
⇒
+ 12
x1
2
1
⇒x
= 2n + 24
= x1
گزینه 3
اگر طول دسته‌ها را برابر Lو کران پایین دسته‌ی اول را xدر نظر بگیریم ،آنگاه داریم:
L
2
= x + 7L −مرکز دسته‌ی هفتم
= x + 3Lکران‌باالی دسته‌ی سوم
⇒L=3
⇒x=3
21
2
=
7Lتفاضل
2
−
−
−
→
x + 3L = 12
45
2
=
13L
2
x+
{
1
⇒ 2x
⇒
26n − 2x 1 = 24n − 24
+ 12
پاسخ:
سوال 50
گزینه 2
با توجه به حدود دسته‌ی اول ) [18, 21خواهیم داشت( C = 21 − 18 = 3 :طول دسته‌ها)
دامنه‌ی تغییرات
⇒ 3 = ⇒ R = 45
R
15
R
K
=C
حال در دسته‌بندی جدید خواهیم داشت:
=5
45
9
=‘ Cطول دسته‌های جدید
در بین 9دسته ،دسته‌ی پنجم دسته‌ی وسط است .پس:
‘C
5
) ) = 18 + (4 × 5 +
2
2
= 18 + 22/5 = 40/5
x 5 = 18 + (4C‘+
پاسخ:
سوال 51
گزینه 3
در دسته ی سوم داریم:
= 20
18/5+21/5
2
= x iمرکز دسته
⇒
)[18/5 − 21/5
: n = 40تعداد کل دادهها
: 25 − 13 = 12فراوانی مطلق دسته‌ی سوم
= 12درصد فراوانی نسبی دسته‌ی سوم
× 100 = 30%
40
پاسخ:
سوال 52
گزینه 3
اگر تعداد داده‌هایی که در دسته‌ی Cقرار می‌گیرند را xفرض کنیم ،خواهیم داشت:
n = ∑ f i = x + 2x + 3x + 6x = 12x
fA
2x
∘× 360
∘ × 360∘ = 60
= αA
= αA
n
12x
⇒
پاسخ:
سوال 53
گزینه 2
گزینه «»2
احتمال پاسخ صحیح به هر سوال برابر
1
4
است ،پس اگر پیشامد مورد نظر را با Aنمایش دهیم ،داریم:
5
5
1 4 3
1 5
( )( ) ( ) +
) ()
4
4
4
4
5
1
64
=
1
43
=
42
45
=
16
45
=
1
45
( = )P (A
+
3
45
×= 5
پاسخ:
گزینه 3
سوال 54
اگر پیشامد ثبت زلزله را با Eنمایش دهیم ،داریم:
1
3
= )P (A) = P (B) = P (C
)P (E) = P (A) × P (E|A) + P (B) × P (E|B
)+ P (C) × P (E|C
3
4
= × 1 = 0/75
1
3
× 0/75 +
1
3
1
3
× 0/5 +
= )⇒ P (E
تنها در استان ،Cزلزله در تمامی شهرها ثبت شده است ،بنابراین طبق قاعده بیز داریم:
4
9
=
1
×1
3
3
4
پاسخ:
)P(C)P(E|C
)P(E
=
سوال 55
= )P (C|E
گزینه 2
فرض کنیم باید سکه را nمرتبه پرتاب کنیم ،بنابراین:
(همه‌ی سکه‌ها رو بیایند)=( P-1اصًال پشت نیاید)=(P-1حداقل یک بار پشت)P
⇒2
n
پاسخ:
گزینه 3
سوال 56
= 2x + (x + 5) + (x + 3) + 2 = 4x + 10مجموع فراوانی‌ها
فراوانی B
= x+5 = 0/3
4x+10مجموع فراوانی ها
⇒ 0/2x = 2 ⇒ x = 10
= Bفراوانی نسبی
1/2x + 3 = x + 5
= 5 + x = 15اعضای سطح B
پاسخ:
گزینه 4
سوال 57
جامعه‌ي آماري کل دانش‌آموزاني هستند که در کنکور قبول مي‌شوند.
پاسخ:
گزینه 1
سوال 58
احتمال ُگ ل شدنp :
qqq
qp
44
625
یا pq
=
8
125
احتمال ُگ ل نشدنq :
3
پرتاب
2
پرتاب
−
−−−−
→
−
−−−−
→
+
4
625
↗p
↘q
= × ( 45 × 15 ) × 2
1
5
3
× ( 15 ) +
4
5
5
100
<
1
2n
⇒
95
100
>
1
2n
⇒ P (A) = 1 − P (A‘) = 1 −
> 20 ⇒ n ≥ 5
پاسخ:
سوال 59
گزینه 1
7،7،11،15،16،17،18
ابتدا دادهها را مرتب می‌کنیم:
=7مد
=15میانه
= 13
91
7
=
7+7+11+15+16+17+18
7
= ̄x
R = max − min = 18 − 7 = 11
اختالف میانه و مد از بقیه بیش‌تر است.
پاسخ:
سوال 60
گزینه 2
x = 100 − (8 + 17 + 26 + 25) = 24
24درصد از جمعیت این جامعه جوان هستند ،بنابراین:
نفر × 2000 = 480
پاسخ:
سوال 61
24
100
= جمعیت جوان این جامعه
گزینه 1
برای برداشتن کارت اول محدودیتی وجود ندارد ،ولی واضح است که این کارت با دو کارت دیگر (از دو رنگ دیگر) هم شماره
است ،پس احتمال انتخاب کارت دوم با این شرط که شماره متفاوتی نسبت به کارت اول داشته باشد ،برابر
27
29
است .حال در
میان 28کارت باقیمانده ،دو کارت هم شماره با کارت اول و دو کارت هم شماره با کارت دوم هستند ،پس احتمال انتخاب کارت
سوم به گونه‌ای که هم شماره با دو کارت اول نباشد ،برابر
24
28
×
پاسخ:
24
28
است .احتمال مورد نظر برابر است با:
27
29
سوال 62
گزینه 3
اگر پیشامدهای B 1و B 2به‌ترتیب سالم و معیوب بودن المپ انتخابی از جعبه اول و پیشامد Aسالم بودن هر دو المپ یا
معیوب بودن هر دو المپ انتخابی از جعبه دوم باشد ،آنگاه داریم:
) P (A) = P (B 1 ) P (A|B 1 ) + P (B 2 ) P (A|B 2
)
4
2
(+
)
22
45
=
14
45
)
10
2
+
6
2
(
(
8
45
=
×
2
3
+
15+6
45
)
3
2
(+
)
×
2
3
)
10
2
+
7
2
(
×
(
21+3
45
×
1
3
1
3
=
=
پاسخ:
سوال 63
گزینه 3
گزینه «»3
⇒ P (A)P (B) = 0/1
P (A ⋃ B) = 0/6 ⇒ P (A) + P (B) − P (A ⋂ B) = 0/6
P (A ⋂ B) = 0/1
P (A) + P (B) = 0/7
P(A ⋂ B)=0/1
−
−−−−−−−
→
بنابراین )P(Aو )P(Bریشه‌های معادله x 2 − 0/7x + 0/1 = 0هستند که P (B) < 0/5است .داریم:
⇒ ⇒ (x − 0/5)(x − 0/2) = 0
پاسخ:
سوال 64
x 2 − 0/7x + 0/1 = 0
)x = 0/5 = P (A
{
)x = 0/2 = P (B
گزینه 4
= α Bزاویه‌ی مرکزی گروه خونی (Bدر جدول اولیه)
× 360∘ = 36∘ x
x
10
= αB
= α‘ Bزاویه‌ی مرکزی گروه خونی (Bدر جدول جدید)
⇒ 6 x = 12 ⇒ x
∘
پاسخ:
سوال 65
∘
x+2
)× 360∘ = 30∘ (x + 2
12
)α‘ B = 36∘ x + 48∘ = 30∘ (x + 2
=2
∘
α‘ B = 30∘ × (2 + 2) = 120
= α‘ B
⇒
⇒
گزینه 2
می‌دانیم که هرگاه داده‌های آماری در عدد ثابتی ضرب شوند مد نیز در آن عدد ضرب می‌شود و اگر دادهها با مقدار ثابتی جمع
شوند به مد نیز آن مقدار ثابت اضافه می‌شود .پس اگر مد داده‌های
x 21 − 3, x 1 x 2 − 3, . . . , x 1 x n − 3برابر x 1 k − 3خواهد بود ،بنابراین:
5
x1
=⇒ x k=5⇒k
1
x1 k − 3 = 2
x 1 , x 2 , . . . , x nبرابر kباشد ،آنگاه مد داده‌های
پاسخ:
سوال 66
گزینه 2
R = 59 − 23 = 36
=4
36
9
= طول هر دسته ⇒
) : [23 , 27) , [27 , 31) , [31 , 35) , [35 , 39حدود دسته‌ها
], [39 , 43) , [43 , 47) , [47 , 51) , [51 , 55) , [55 , 59
فراوانی دو دسته‌ی آخر 15تاست ،پس فراوانی داده‌هایی که کمتر از 51هستند برابر 120 − 15 = 105است ،پس درصد آنها برابر
است با× 100 = 87/5 % :
پاسخ:
سوال 67
گزینه 1
پاسخ:
سوال 68
گزینه 2
105
120
=5 + x + 4 + 6 = x + 15مجموع فراوانی‌ها
فراوانی مطلق دسته آخر
× 100
مجموع فراوانی ها
⇒x=9
1
6
گزینه «»2
اگر تعداد کل دادهها را nدرنظر بگیریم ،طبق فرض داریم:
20f 3 = 3n
60f 3 + 600 = 26n + 260
{
⇒
⇒ 9n + 600 = 26n + 260 ⇒ n = 20
=
در نتیجه⇒ f = 3 :
3
∘54
∘360
f3
20
f3
3
∘54
n = 360∘ = 20
∘
f 3+10
= 156
= 26
n+10
∘360
60
⎧
⎨
⎩
= درصد فراوانی نسبی دسته آخر
⇒ 25 = × 100
مجموع فراوانی‌ها ⇒
6
x+15
= x + 15 = 24
4فراوانی مطلق دسته سوم
=
=
24مجموع فراوانی ها
= درصد فراوانی نسبی دسته سوم
پاسخ:
گزینه 3
سوال 69
گزینه «»3
اگر تعداد تیرهای اصابت کرده به هدف را با xنمایش دهیم ،آنگاه داریم:
5
3 4 1 1
) ( ) ()
4
4
4
81
128
پاسخ:
گزینه 2
سوال 70
⇒ 8 = ⇒ R = 40
R
5
R
C
= C = 22 − 17 = 5 , K
حال اگر دادهها در 10دسته طبقه‌بندی شوند:
=4
40
10
=
R
‘K
=‘C
)= [17, 21دسته‌ی اّو ل
= 35
33+37
2
=
5
⇒x
)= [33, 37دسته‌ی پنجم
=
648
1024
=
405+243
1024
( = )P (x = 4) + P (x = 5
= ×1
5
3 5 1 0
) ( ) ()
4
4
5
(+
81
256
×5
243
1024
×+1
1
4
×